/
Автор: Шейпак А.А.
Теги: гидромеханика механика жидкостей и газа механика газов аэродинамика физика плазмы физика учебное пособие гидродинамика
Год: 1991
Текст
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РСФСР ПО ДЕЛАМ НАУКИ И ВЫСШЕЙ ИКОЛЫ
МОСКОВСКИЙ ABTMOJ^ECTPWT^^ fвтуз-ЗИП)
—' V
К.К. ШЕЙЛАК
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
Учебное пособие
УДК 532:533
ШЕЙПАК А.А.ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА:Учебное пособие.-М.:
МАСИ(ВТУЗ-ЗИЛ), 1991. - 96 с.
Настоящее пособие предназначено для студентов, обучающихся
по технологическим специальностям 12.01 - 12.07, и основано на курсе,
поставленном автором в Московском автомобилестроительном институте
(ВТУЗ-ЗИЛ) в объеме 64-76 часов. Такой же курс предусмотрен и учеб-
ным планом бакалавра-инженера.
В предлагаемом учебном пособии упор сделан не на строгие мате-
матические доказательства основных положений, а на логическую после-
довательность гидромеханических моделей технологических систем, ана-
литические решения типовых задач, широкое применение численных мето-
дов. Применяется эвристическое описание ряда гидравлических явлений.
Учебное пособие охватывает основные вопросы разделов 1.1» 1.2,
1.3» 1.4, 2.21 типовой программы ГУМУ - II/I Гидравлика (техническая
механика жидкости и газа), одним из авторов которой является и автор
предлагаемого пособия.
Ил. - 37, лит. - 5 найм.
Рецензенты: С.П.Стесин, проф. МАДИ;
Ю. А.Беленков, доц.МАМИ
Подгс
и гидравлика’
У
Р
Я.
га множ.
I г.,поз.2796
коп.
юдскаяДб
^естроигельный
ВВЕДЕНИЕ
Настоящее учебное пособие предназначено для студентов тех
машиностроительных специальностей, у которых механика жидкости
и газа (гидравлика) не является основополагающей фундаменталь-
ной дисциплиной, а наряду с теоретической механикой (механикой
недеформируемого твердого тела) и сопротивлением материалов
(механикой деформируемого твердого тела) составляет базис для
профилирующих дисциплин и дает общеобразовательные основы при-
менения математических методов для моделирования реальных объ-
ектов.
При изложении материала основное внимание уделяется не
строгости изложения, а основам методологии и практическим при-
ложениям гидромеханических моделей применительно к конструиро-
ванию и эксплуатации технологических машин и приспособлений.
Таким образом,главный аспект имеет техническая гидромеханика
(гидравлика), изучающая законы и условия равновесия и движения
жидкостей и способы применения этих законов для решения прак-
тических задач.
Содержание книги соответствует программе дисциплины "Гид-
равлика (техническая механика жидкости и газа)* ГУМУ-II/I, ут-
вержденной Рособразованием СССР 31.05.1988 применительно к
I и П уровням подготовки по базовой части курса ("ядра") и не-
которым модулям.
Применяемый математический аппарат соответствует обычному
курсу высшей математики для технических вузов с пятилетним
сроком обучения. Предполагается также знание школьного курса
физики, особенно раздела "Механика*. Вследствие сказанного
сравнительно мало места уделено гидростатике.
Учебное пособие написано на основе курсов лекций "Механи-
ка жидкости и газа" и Тидрогаэодинамика", читаемых автором
в течение ряда лет в Московском автомобилестроительном инсти-
туте (ВТУЗ-ЗИЛ) для технологических специальностей 12 группы.
I. ГИПОТЕЗА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ. СИЛЫ, ДЕЙСТВУПЦИЕ НА ЖИДКОСТЬ
Предметом изучения механики жидкости и газа является жид-
кость - физическое тело, у которого относительное положение его
элементов изменяется на значительную величину при приложении
достаточно малых сил соответствующего направления. Таким образом,
йаучйах тливтекА]
I ИМ. ГэзькАга а
4
основным свойством жидкого тела или просто жидкости является
текучесть, поэтому наше определение относится как к капель-
ным жидкостям (вода, бензин, дизельное топливо, технические
маела и т.д., так и к газам (воздух, азот, водород, гелий и
т.д.). Интересно отметить, что в английском языке существуют,
как и в русском,слово для обозначения капельной жидкости ~
liquid и слови для обозначения газообразного тела - 9^
кроме того,имеется слово, обозначающее физическое тело, спо-
собное течь, объединяющее и капельную жидкость и газ - flu id *
В русском языке только в контексте можно понять точное значе-
ние слова’’жидкость? Очевидно,существенное различие в поведении
жидкости и газа будет иметь место, например, при наличии у
капельной жидкости свободной поверхности, граничащей с газом,
наличие поверхностного натяжения, возможность фазового перехо-
да в капельной жидкости и т.д. В дальнейшем будут рассматри-
ваться такие ситуации, когда вышеназванные факторы являются
незначительными и законы движения капельных жидкостей и газов
являются идентичными.
Следует отметить, что граница между твердым телом и жид-
ким телом не всегда очерчивается резко. Так, прй воздействии
на капельную жидкость, например на жидкую струю, больших сил
(достаточно большого импульса сил) при малом времени взаимо-
действия такое вещество,как вода,приобретает свойства, близкие
к свойствам хрупкого твердого тела. В то же время смола и неко-
торые виды пластмасс в обычных условиях ведут себя как твердые
тела, а при воздействии силы в течение продолжительного проме-
жутка времени принимают свойства обычной жидкости, например те-
кучесть.
Свойства твердых тел, жидкостей и газов обусловлены их
различным молекулярным строением. Однако основной гипотезой
механики жидкости и газа, как и многих других разделов механи-
ки, является гипотеза сплошной среды, в соответствии с которой
жидкость представляется континуумом, непрерывно, без пустот
заполняющим пространство. Гипотеза сплошной среды подтвержда-
ется многочисленными экспериментами как при обычных условиях,
так и при существенных отклонениях от нормальных условий, и
дает возможность применять аппарат классических дифференциаль-
ного и интегрального исчислений и обосновывает понятие значе-
ния в точке применительно к различным параметрам жипкости:
плотности, скорости и т.д.
5
После принятия гипотезы сплошной среды логично ввести поня-
тие жидкой частицы - малого объема сплошной среды, который при
движении мож=т деформироваться и масса которого не смешивается
с окружающей жидкой средой. Жидкая частица рассматривается как
материальный объект, к которому применимы все основные законы
механики. В механике жидкости и газа используется понятие жид-
кого объема, под которым понимают бесконечно малый или конеч-
ный об^ем жидкости, состоящий за рассматриваемый промежуток
времени из одних и тех же частиц; понятие жидкой поверхности;
понятие жидкой линии.
В обычных жидкостях только в некоторых случаях могут
действовать сосредоточенные силы. Как правило,нужно рассматри-
вать силы распределенные по объему или поверхности. Различают
два вида сил, действующих на любое вещество, в том числе и на
жидкое. Во-первых - дальноцействуюшие силы (например, сила
тяжести), способные проникать внутрь любого объема жидкости.
Такие силы можно назвать объемными или массовыми. Элементарную
массовую силу можно представить как
и
5R = г t)p5w,
где F* ~ единичная массовая сила - сила, действующая на
единицу массы жидкости;
8W - элемент объема жидкой частицы;
- плотность жидкости;
Т - радиус вектор;
t - время.
Для гравитационного поля земли F « g , причем обычно
принимают g - 9,80655 м/с^ = const.
Второй вид сил - силы .близкого действия, непосредственно
связанные с молекулярным строением вещества (например, силы
поверхностного натяжения) и проявляющиеся на протяжении тон-
кого слоя, примыкающего к границе жидкого объема. Ввиду ма-
лости глубина проникновения по сравнению с линейными размерами
жидкой поверхности величину такой силы можно считать пропор-
Вечторнке величины обозначены знаком
над буквой
н/м « I КПа
циопальной площади поверхности 5 А . Сили близкого действия
называют поэтому поверхностными. Величина и направление поверх-
ностной силы в точке может зависеть от ориентации поверхности в
пространстве. Элементарную поверхностную силу запишем в следую-
щем виде:
5? = рп(гТ,гД)5Д , (1.2)
где К - единичная внешняя нормаль к поверхности (положитель-
ное направление);
5А - элемент площади поверхности;
р« - сила, действующая на единицу площади, или напряжение.
В системе СИ напряжение измеряется в н/м^, I н/м^ * I Па
(Паскаль), 10^ н/м^ « 1ГПа (Гектопаскаль), I03
(Килопаскаль), 10$ н/м^ « I МПа (Мегапаскаль).
Отметим, что индекс . п* в формуле (1.2) обозначает не
проекцию, а ориентацию элемента поверхности 5 А , векторная ве-
личина может быть представлена нормальной р«л и
касательной рлг составляющими (рис. I). Очевидно, в
каждой точке жидкой поверхности можно провести две нормали К
и - П и два напряжения “рп и "pln .По третьему за-
кону Ньютона
р„=-р-„ . (1.3)
Опыт показал, что в обычных жидкостях могут существовать
только нормальные напряжения сжатия, хотя в некоторых случаях в
капельных жидкостях могут иметь месте и растягивающие напряже-
ния, например - в тонких капиллярах.
При изучении механики жидкости и газа обычно предполагает-
ся выполнимость законов классической (равновесной) термодинами-
ки, в частности существование для движущейся жидкости термичес-
кого уравнения состояния
Пр, а,Т)=о, (1.4)
где (/ « 1/р - удельный объем;
р - термодинамическое давление-
Рис. I. Нормальные и касательные напряжения
Рис. 2. К понятию циркуляции
Рис. 3. К понятию вихря скорости
8
Для получения калорического уравнения состояния, например
зависимости внутренней энергии от параметров состояния,кроме
соотношения (1.4) нужно иметь ещё одно эмпирическое соотноше-
ние: как правило, зависимость теплоемкости от температуры при
одном постоянном давлении.
Простейшие термические уравнения состояния имеют несжимае-
мая жидкость
jo -const (1.5)
и термически совершенный (идеальный) газ
рО' =f RT ИЛИ р/р . (1.6)
2. КИНЕМАТИКА ЖЖ ОСТИ
2.1.Основные понятия
Кинематика жидкости является разделом механики жидкости
и газа, в котором жидкость изучается вне зависимости от дейст-
вующих сил. Кинематика устанавливает связь между геометричес-
кими характеристиками движения и временем.
Общий характер движения жидкой ерьды благодаря её текучес-
ти значительно сложнее, чем в случае твердого тела. Под ско-
ростью в кинематике жидкости и газа понимают скорость некото-
рой точки элементарной жидкой частицы. Так как в математичес-
кой модели жидкости - сплошной среде - от жидкой частицы в
пределе переходят к точке, то местоположение этой точки внутри
жидкой частицы несущественно. Экспериментальное наблюдение за
аналогом модели жидкой частицы осуществляется посредством вве-
дения в поток краски с плотностью, мало отличающейся от плот-
ности жидкости. Наблюдения показывают, что в природе и в тех-
нике наблюдаются два вида, два режима течения: слоистое , или
ламинарное, и турбулентное, или неупорядоченное.
Ламинарный режим течения( движения >жидкости - это такой
режим течения, при котором частицы жидкости перемещаются по
траекториям, направленным вдоль общего основного течения, без
поперечного перемещения; пульсации давления и скорости отсут-
ствуют. В частном случае прямой трубы частицы жидкости переме-
шаются параллельно её оси. Слово ’’ламинарное” происходит от
9
латинского слова £amin а - пластина, полоска.
Турбулентный режим течения жидкости - это такой режим те-
чения, при котором частицы жидкости перемещаются по случайным
траекториям, имеющим неопределенную,случайную пространственную
форму. 1уроулентное течение имеет беспорядочный, стохастический
характер, сопровождается постоянными поперечными и продольны-
ми пульсациями скорости и давления с переменными амплитудами
и частотами.
Слово ’’турбулентно#-от латинского слова turb utent из
- беспорядочный.
В некоторых случаях течение жидкости имеет перемежающийся
характер: в одной и той же точке пространства происходит смена
ламинарного режима турбулентным через неравномерные промежутки
времени. Это так называемая переходная область течения.
Переход ламинарного режима течения жидкости в турбулентный
связан с потерей устойчивости ламинарного движения при наложе-
нии на него малых возмущений в виде двумерных колебаний, рас-
пространяющихся в направлении основного течения.
Существуют два метода изучения движения жидкости. По мето-
ду Лагранжа изучают движение в пространстве индивидуальных
частиц жидкости. По методу Эйлера изучают движение, происходя-
щее в некоторой точке пространства в любой момент времени,при-
чем естественно, что через фиксированную точку пространства
проходят различные частицы жидкости. Таким образом, по методу
Эйлера объектом изучения является не сама жидкость, а фиксиро-
ванная часть пространства,заполненная жидкостью. Исследованию
подлежит изменение различных элементов движения в фиксирован-
ной точке пространства с течением времени и изменение элемен-
тов при переходе к другим точкам пространства. В нашем курсе
всё изложение построено на методе Эйлера. Объектом изучения
являются по существу различные векторные и скалярные поля,ха-
рактеризующие движение жидкости, например, поле скоростей:
v (T,t) , (2-1)
где Т - радиус-вектор, t - время, или в проекциях:
Vx= Vx(a,y,x,f); Vz = Vz (x, ,
10
поле плотности
j>y>(x,y,z,i) и т.ц.
Аргументы x,y,Z,t носят название переменных
Эйлера. В цельнейшем изложении будем пользоваться декар-
товыми прямоугольными координатами, хотя при решении практи-
ческих задач применяются различные системы координат.
Будем считать, что все кинематические величины-непрерыв-
ные и дифференцируемые функции. В отдельных случаях непрерыв-
ность может нарушаться, могут образовываться поверхности раз-
рыва.
Движение или течение сплошной среды характеризуется в
каждый момент времени в каждой точке пространства определенной
величиной и направлением скорости, называемой местной или ло-
кальной скоростью.
При турбулентном режиме течения локальная скорость может
быть определена следующим образом:
Ve4jvdt ,
i
где *V ~ мгновенное значение локальной скорости,
Т ~ интервал осреднения.
Ускорение жидкой частицы определяется полной производной
вектора скорости по времени
а.= 4?- (2-2)
dt f
которую называют также индивидуальной,или субстанциальной
производной.
Учитывая зависимость вектора скорости от времени и коор-
динат, по правилам дифференцирования сложной функции найдем:
dV Э? ЭУДх
II
или
dVъУ
dT~ st
’’Jx V*Ъг
В векторной формуле, используя оператор Гамильтона
(набла), ускорение жидкой частицы можно представить в вице:
=: -+• V*
dt ©t v'v .
(2.3)
Напомним, что оператор Гамильтона V является условным
вектором, оператором.
В декартовых прямоугольных координатах
V = L fe + ‘
Если - некоторый скаляр, то Vf будет вектором,
градиентом
Если CL - произвольный вектор, то скалярное произведение
( V • О ) дает дивергенцию вектора ZT :
/ Г? ‘Х > J и ______________________________________________________ ЭОх "©Ow _i_ ЪОт
а векторное произведение - С V * П J вектор ротора или вих-
ря 2Г ;
‘ i *<
[7ка] = ret а = ~
ах Qy а?
12
; / _ '3qu'\ . ; f Ъах _ Ъаг ) + L ( gOy _ Ъйх )
4^ ъх/ + к\ъх ъц).
Первое слагаемое правой части уравнения (2.3) выражает из-
менение скорости в фиксированной точке пространства во времени
и может быть названо локальной составляющей ускорения; второе
слагаемое характеризует изменение скорости частицы при её пере-
мещении и может быть названо конвективной составляющей ускоре-
ния.
Аналогично можно найти субстанциальную производную по вре-
мени от других определяющих величин, например плотности или
температуры
ат_ g/г эт эт . эт - эт 4fi7.v)T
Конвективная составляющая ускорения может быть как при
нестационарном (неустановившемся), так и при стационарном
(установившемся) движении, а локальное - только при нестацио-
нарном .
В проекциях на оси координат х , у , Z ускорение
может быть записано как
dVx _ ЭУх ЪУх . v ЭУ5 _ ЭУх (гг о) к/
7t v dz vt K v/ * »
©t +v«ax gy - .
13
Введем некоторые понятия. Линией тока называется вообра-
жаемая линия в жидкости, в каждой точке которой в данный момент
времени вектор скорости касателен к ней. Совокупность линий
тока,проходящих через все точки некоторого контура, образует
трубку тока. Жидкость, заключенная внутри трубки тока, обра-
зует струйку.
Очевидно, уравнение линии тока будет
dx _ _ dz
Vx Vy Vz
(2.4)
Линия, по которой перемещается определенная частица жид-
кости, называется траекторией. Линию, на которой в данный мо-
мент времени расположены частицы, прошедшие в разное время че-
рез одну и ту же точку пространства, называют линией отмечен-
ных частиц.
При установившемся движении траектория, линия тока и ли-
ния отмеченных частиц совпадают.
В общем случае через любую точку движущейся среды можно
провести лишь одну линию тока, но существуют особые точки,в
которых величина скорости должна быть равна нулю или бесконеч-
ности.
Так как трубка тока образована совокупностью линий тока,
то очевидно, что количество вещества, протекающего в любом се-
чении трубки, будет одним и тем же.
Поток вектора скорости Q через поверхность Д есть ска-
лярная величина, равная
Q=fVndfl= [ = f(Vxdudz+V;c/xdz + V'zc/zdy; . (2.5)
а д а °
Поток вектора скорости физически представляет собой се-
кундный объемный расход жидкой среды через поверхность fl -
Размерность потока вектора скорости будет м3/с.
Если поверхность Й замкнута, то при отсутствии внутри
поверхности источников и стоков поток вектора скорости через
замкнутую поверхность будет равен нулю.
Массовый расход Q в СИ измеряется
в кг/с.
В гидромеханике широко применяется понятие циркуляции скорости.
Если в векторном поле скоростей проведем отрезок произвольной
кривой АВ, то криволинейный интеграл
в е 8 0
Г„= = j |V |coj<4df = fvtdg=f(VadT+V>dy + V«dz) (2.6)
4 4 4 4
определяет величину циркуляции скорости по контуру на участке
АВ ( рис.2).
Если кривая, по которой определяется циркуляция,замкнутая,
то величина циркуляции определяется интегралом по замкнутому
контуру
Г=$ (Vrdoc^V^ij + Vxdz)
Рассмотрим физический смысл вихря вектора скорости. Напом-
ним известное понятие вращения твердого тела. Пусть плоское те-
ло вращается с угловой скоростью вокруг оси X ( рис. 3).
Положительное направление вращекия-от оси х к оси у
(против часовой стрелки). Величина скорости точки М будет
равна V ц), X , а её проекции на оси х и у соот-
ветственно
Vx ~ у * Vy — Ci)g х ,
Отсюда
«у
Эх
Следовательно,
rot2 V= ^5** 7*^“ ~2c0z ил* cJz=-g-rotjV ж
Если аналогичным образом
тела вокруг осей х и у
рассмотреть вращение твердого
, то определим
.. 2 | / ЭУХ _ Ъ\/г 77
.^-"Z\Zz 7)Xj~'Z’rvtl/V
15
Рис. 4. Вращение сосуда с жидкостью
Рис. 6. К выводу уравнения неразрывности в
цифференциальной форме
16
Следовательно, вихрь вектора скорости жидкой частицу мо-
жет быть определен вектором угловой скорости
W=4 rot V (2.7)
Вихрь скорости характеризует вращение отдельных частиц
жидкости. Можно представить себе такое движение жидкости, в
котором каждая частица жидкости будет двигаться только пос-
тупательно, так что движение жидкости будет безвихревым, а
между тем вся масса жидкости как целое будет двигаться по
кругу.
Таким будет движение жидкости вместе с прямоугольным со-
судом, вращающимся параллельно самому себе (см. рис. 2).
Обратным примером является движение жидкости слоями
(см. рис. 3).
V* • ау » Vy ₽ 0 , Vi « О
Тогда rot,7 « 0, 0, Tot7 »-а
Очевидно, аналогично понятию линии тока можно ввести по-
нятие вихревой линии. Вихревой линией назовем воображаемую
линию в жидкости, в каждой точке которой в фиксированный мо-
мент времени направления касательной и ротора скорости сов-
падают. Совокупность вихревых линий, проходящих через произ-
вольную замкнутую кривую образует поверхность, называемую
вихревой трубкой.
2.2. Уравнение неразрывности (сплошности)
в дифференциальной форме
Если при движении жидкость целиком без пустот и разрывов
заполняет пространство, то ее плотность _р и местная скорость
связаны^зависимостыг/ которая называется уравнением не-
разрывности и выражает закон сохранения массы.
Рассмотрим жидкую частицу в вице прямоугольного паралле-
лепипеда со сторонами dx , dy , dz и подсчитаем изменение
массы в объеме dx dy*dz за единицу времени ( рис.б).
Длп этого надо вычислить поток вектора jjv" через все шесть
граней. Начнем с грани АВСР. Поток через неё равен
-j>Vxdydz ,
так как положительные направления нормали и скорости противо-
положны . Поток через грань А* В* С* О’ будет
ptfx(x*dx,y,z)dydz=[j>Vx(x,<p) + <tydz
Таким образом,суммарный поток вдоль оси Z будет
Повторяя аналогичные рассуждения с другими двумя парами
граней, получим общий поток через все грани для бесконечно
малого параллелепипеда
~Э(?Ух)
. Эх
Таким образом, мы показали, что поток через поверхность
нашего элементарного объема равен произведению дивергенции
вектора JDV на объем параллелепипеда.
Очевидно, для любого конечного объема суммарный поток
есть сумма потоков из отдельных его частей. Следовательно,
можно записать, что
jj>V„d/l = [j>(7-n)dfl = Jdiv(pV)dw = J(VyV)dw .
я * w
Проверенные рассуждения привели к частной форме известной
из курса математики теоремы истроградского-Гаусса.
Секундное изменение массы в неизменном объеме можно
подсчитать цругим образом как
J -
Следует учесть, что поверхностный интеграл положителен,
если через поверхность А вытекает жидкости больше, чем вте-
кает, а объемный интеграл при этом отрицательный, так как
плотность в этом случае должна уменьшиться.
Таким образом ,
pv.dfl =
Используя ранее полученный результат, можно записать
J + di'irty'Vjdw = 0
В силу произвольности объема
+ diV(pV)=O , (2.8)
Это уравнение является уравнением неразрывности в диффе-
ренциальной форме для произвольного движения сжимаемой жидкос-
ти.
Уравнение неразрывности после несложных преобразований
можно представить ещё в следующих формах
Для несжимаемой жидкости обратится в нуль /dt и
уравнение неразрывности будет
эу*. ?>Уг п
Э? т ъг
diV V = 0 .
или
Для стационарного (установившегося) движения « О
и уравнение неразрывности можно записать как
+ ^=0
©X или Г
2.3. Уравнение неразрывности в гидравлической
форме
В технических приложениях существенное значение имеет
гидравлическая форма записи закона сохранения массы.
Рассмотрим установившийся поток сжимаемой жидкости в
трубе произвольной формы ( рис. 7). Поверхность А = Aj +
+ + А3 ограничит некоторый объем жидкости в трубе, кото*
рую будем считать материальным представлением струйки тока.
f pvndfl= f pVndfl+ / P\4.d/? =0 .
H a< 4« *>
Так как боковая поверхность А3 непроницаема для жид-
кости, то на ней Уп = 0 и, следовательно,
J р V„ dfl =0 .
Так как на поверхности Aj нормаль направлена нарул^г
от выделенного объема, а скорость-внутрь, и Vn =-,
где V-n проекция скорости на внутреннюю нормаль, то
J J .
Если поверхности Аи А^ нормальны в каждой точке ли-
ниям тока, то иг называют живыми сечениями.
20
Рис. 7. К выводу уравнения неразрывности в гидравли-
ческой форме
Рве. 8. Изменение параметров потока по длине канала с
плавноизменяющнмся оечеяием
21
Если сечения близки к плоским, то
, (2„
Это - равенство наоооенх раохотов.
. Для несжимаемой жицкооти / cans) и
УЛ « У*Я< , (2.10)
Это - равенство объемных расходов.
Из (2.Ю) логиодо следует понятие средней по оочению
скорости
$VdA J_
v = — = Д t <2Л1)
На рис,8 представлено изменение средней скорости по дли-
не канала с достаточно плавным Изменением Площади поперечного
сечения в предположении несжимаемости жидкости. На участке
2-3 скорость возрастает। на участке 4 - 5 - уменьшается.
Таким образом,при установившемся течении проявляется
конвективная составляющая ускорения жидкости.
Следует отметить, Что формулы (2.8) - (2.II) относятся как
* модели идеальной жидкости без трения (без касательных
Напряжений), так и к реальной вязкой жидкости.
2.4. Основные теоремы кинематики жидкости
Теоремы кинематики жидкости будут приведены ниже ввиду
краткости курса без вывода. Строгое обоснование их можно изу-
чить в монографиях [ I J и /Г 2 У.
Из теоретической механики известно, что скорость любой
точки твердого тела определяется геометрической суммой ско-
рости поступательного движения вместе с некоторым полюсом 0
и скорости вращательного движения вокруг мгновенной оси, про-
ходящей через полюс 0.
V = V, * [ Cd * То J '
Для элементарной частицы жидкости скорость складывается
из скорости квазитверцого движения (поступательного и враща-
тельного) и деформационной скорости. Это - теорема Коши-Гельм-
22
гольца, которую в векторной форме можно записать в виде
V ~ V* + [бЗ * 5г] + £ rad F ,
где Г ~ ^2, ($<< ♦ 512 бу -^Зздбг ) +
♦ Sa^x^y т SijSxJz + So s^z ;
V« - скорость поступательного движения;
[сЗхбг] - скорость вращательного движения вокруг мгновенной
оси с угловой скоростью сЗ" ;
grad F - скорость чистой деформации.
Формула (2.12) использует понятие тензора скоростей
деформаций
| 5 н S/а 5*3
Ss | sf< Sit s3s
I . . ' •
5j< Syx Sjj
с компонентами s Za t гц® zi и %}
принимают в декартовой системе координат значения Z, у , 2 *
Диагональные составляющие тензора скоростей деформаш$и
характеризуют скорости относительного изменения длины отрезка *
а их сумма - скорость изменения относительного объема элемен-
тарной частицы жидкости. Компоненты S при t /
характеризуют скорость угловых деформаций или деформаций сдвига.
На рис. 9 показано плоское движение жидкой частицы жид-
кости поступательное , вращательное (поворот отрезков АВ и CD )
и деформационное (изменение длин отрезков АВ и CD и измене-
ние величины угла между отрезками АВ и СО»
Соотношение (2.12) имеет важное практическое значение.
Одним из современных методов измерения локальных скоростей
является наблюдение за твердыми частицами с плотностью, рав-
ной плотности жидкости, ичевядно, что при таком методе пропа-
дает деформационная составляющая скорости в масштабе размера
вводимой твердой частицы.При наблюдении за жидкими частицами
этой систематической ошибки метода измерения не будет.
23
Рассмотрим теорему Гельмгольца о вихрях. Введем понятие
потока вектора вихря
f lOt.Vd/l = f diV rot VdW ,
Я V
Очевидно, что поток вектора вихря скорости через боковую
поверхность вихревой трубки по определению равен нулю.Из век-
торного анализа известно, что поток любого вектора через любую
замкнутую поверхность, внутри которой нет особенностей, равен
нулю. Рис. 7 можно рассматривать и в качестве вихревой трубки
с заменой вектора V вектором V* . Проводя рассужде-
ния, аналогичные приведенным в разделе 2.3,легко получить,что
J rot.nVdfi= f rotrfdft (2.13)
ИЛИ
J W.ndfl - (2.13a)
Равенство (2.13) выражает теорему Гельмгольца о вихрях:
поток вихря скорости через поперечное сечение трубки в данный
момент времени постоянен по её длине. Если вихревая трубка яв-
ляется элементарной, то в пределах каждого из сечений будет
Сл) — const и, следовательно,
= cOiAi или = const (2,14
Из теоремы Гельмгольца вытекают важные для практических
приложений следствия:
I. Сечение вихревой трубки не может стать равным нулю,
так как для этого требуется физически невозможное бесконечно
большое значение угловой скорости.
2. Вихревые трубки не могут заканчиваться внутри жидкости.
Они либо образуют вихревые кольца, замыкаясь на себя, либо
"опираются” на стенку, ограничивающую поток, или на свободную
поверхность.
Теорема Стокса устанавливает зависимость между циркуля-
цией и потоком вихря скорости: поток вектора вихря скорости
череэ любуто поверхность, опирающуюся на некоторый замкнутый
24
контур» равен циркуляции скорости по этому контуру
Г» f rotnVdfl * J • (2.15)
я u
Циркуляции скорости по замкнутому контуру может служить
наряду с потоком вихря мерой интенсивности вихревого движения,
и это понятие широко применяется в теоретических построениях
и на практике, например при проверке качества изготовления
впускных коллекторов двигателей внутреннего сгорания. Отметим
однако, что локальная характеристика rot 7” точнее описывает
картину течения, чем интегральные Г или J^rotvd/?,
2.5. Плоские патоки несжимаемой жидкости.
Функция тока
Плоские потоки жидкости, когда, например, Vj «О, яв-
ляется очень важными вицами течения, легко представляемыми
графически. Существует мнение, что развитие расчетных методов
для пространственных потоков сдерживается не только быотродейс-
вием и памятью ЭВМ, но и трудностью представления трехмерных
течений.
Уравнение неразрывности для плоского потока несжимаемой
жидкости будет
+ ЗД.=0 или
Очевидно, что выражение Vxdy - v^dx является пол-
ным дифференциалом некоторой функции
dТ ~ + = ~ х +
Сравнивая коэффициенты при
dz и dy t находим
г щ
V
ЪХ
(2.16)
25
Уравнение линий тока для плоского потока будет
dx _
Vx Vy , или Vx dy - Vydx =0 .
Таким образом, вдоль любой линии тока будет d'F «О,
или Т «const . Следовательно, функция тока имеет свойство
сохранять вдоль любой линии тока постоянное значение, которое,
однако, различно для различных линий тока.
Существование линий тока не зависит от налишя или отсут-
ствия в жидкости вихрей. Однако,оно вытекает из уравнения не-
разрывности для плоских течений и поэтому функция тока сущест-
вует только для плоских течений. Особенно просто рассчитыва-
ется поле течения, если поток не только плоский, но и потен-
циальный, т.е. скорость является градиентом некоторой ска-
лярной функции Ч*
V = grad . (2.17)
В этом случае во всем потоке rot V «О, т.е. течение
является безвихревым.
3. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОЙ СРЕДЫ В НАПРЯЖЕНИЯХ
3.1. Напряженное состояние жидкости.Свойства
напряжений
Рассмотрим жидкую движущуюся частицу в виде тетраэдра с
вершиной в начале координат (рис. 10). Применяя к этому
жидкому объему второй закон Ньютона, получим
Fj>6W <5An~pzMz = ap£v/ ,
где F - единичная массовая сила;
- напряжение на грани, нормальной направлению ;
рх - напряжение на грани, нормальной оси х ;
ру - напряжение на грани, нормальной оси у ;
pi - напряжение на грани, нормальной оси z .
Знаки перед слагаемыми, содержащими напряжения и
pi « обусловлены тем, что положительные направления напря-
жений и координатных осей х, у и Z противоположны.
Разделив исходное уравнение на S’ fln и принимая во
внимание, что б\*/= */3 h Sfln , при переходе к пределу
получим
рп =рхсо$(т,?Г)+ Ру <^(уЛ) t (ЭД)
где
Ct>5CX,7F)-t COS COS (Z,n)- £д~ ♦
Спроектируем векторное равенство(3.1) на координатные
оси х, у их.
рпх ^рххСОЯаЛ) + p^cosl^K) + ргхСОЗ(гЛ) ?
hf - рхуСО*С*Л)+ ргу , (3.2)
pnz = р*г СОЗ(хЛ) + -* Р?2 b>s(zt7T) .
Для каждой из проекций используются два индекса, первый
определяет ориентацию площади (направление нормали), а второй
- координатную ось, на которую проектируется соответствующий
вектор. Очевидно, что рхх , руу и ргх суть нормаль-
ные напряжения, а проекции с разноименными индексами - касатель-
ные напряжения (см.,например,для на рис. 10 справа).
Записав уравнение моментов, можно доказать теорему о
взаимности касательных напряжений
P*j~Ptx> р»г-рЯх , р^г = pz<f .
Шесть независимых скалярных величин, определяющих напря-
женное состояние жидкости, образуют симметркадый тензор нап-
ряжений
п=
pxj
р«*
р»|
руг
(3.4)
Предположим,что все касательные напряжения равны
нулю. Это может иметь место в двух случаях: либо если жид-
кость находится в покое, либо в случае модели идеальной жид-
кости.
Тогда из (3.3) следует
рпх =рхх СО4(хЛ) , Р"у = Рмс°5(1{ЛЪ рпг=ри» COS(Z,Tf) .
следующих равенств
рпх~рп cost*,Я) , р^ = рпссь(^п), рп cos (Z,n) .
Сопоставляя две серии равенств» получим
-рхх-руу ~pzz- Р
(3.5)
где р гидродинамическое давление в идеальной жидкости
или гидростатическое давление в покоящейся реальной жидкости.
Эта величина положительна» так как жидкая среда» как отмеча-
лось ранее» не выдерживает растягивающих напряжений. Давление
р отождествляют с термодинамическим давлением» входящим
в термическое уравнение состояния.
3.2. Уравнение движения жидкости в напряжениях
Рассмотрим движение жидкого параллелепипеда со сторонами
da » » dz . На жидкую частицу действует массовая сила
J)^dadudz и поверхностная сила иа шесть граней.Рас-
смотрим сначала грани» нормальные оси х ( рис. II). На
левую грань действует поверхностная сила р* d^dz /
на правую грань - /'дх'dydz . Отметим, что
Ох является векторной величиной и при изменении координаты
Рис. U.K выводу уравнения движения жидкости
в напряжениях
29
меняется как по величме, так и по направлению. Суммарная си-
ла на две грани будет -dxdydz , Аналогич-
ные рассуждения для других осей дадут ещё две составляющие
поверхностных сил 'гРг/^- drdydz и ^r*/j/-dx dy dz.
Тогда уравнение движения (второй закон Ньютона) может быть
записано следующим образом:
/>dxdydz^=j>dxd</dzF + *
Разделив последнее равенство на dz<^da t получим
уравнение движения в напряжениях в векторной форме
dt т v ?z 32/
или
f o.w
о
Уравнения движения в напряжениях в проекциях на декартовы
оси координат будут иметь следующий вид:
^. + гУи)1/ - Г + т
Z>t (vv)Vz rx j> { дх Эу Ох ' f
ЗД. * (V'tM = F. + 4 / +
дГ iv гJ р { ъх c)z / ,
(3.7)
Система (3.6) является незамкнутой даже вместе с уравне-
нием неразрывности, так как число неизвестных Wx, Vg,px^
p^pz2,pxy, p2ifpt^ ) больше числа уравнений.
Для покоящейся жидкости система (3.7) легко замыкается.
Вместе с уравнением неразрывности система (3.7) становится
полной и в некоторых случаях движения идеальной жидкости и
газа.В других случаях требуется привлечь дополнительные связи •
и гипотезы.
30
4. ГИДРОСТАТИКА
4.1. Дифференциальные уравнения Эйлера для покоящейся
жидкости
Рассмотрим жидкость» покоящуюся относительно системы коор-
динат» жестко связанной с Землей или движущейся с ускорением
относительно неё.
Тогда уравнения движения (3.7) примут следующий вид
(уравнения Эйлера):
=0,
i = 0
(4.1)
или в векторной форме
Уравнение (4.2) может быть проинтегрировано» если Г
является градиентом некоторой функции. Пусть
Г=-дгвбФ или =
Тогда
grad Ф + j? Jra<^ р = о •
Для несжимаемой жидкости ( р const ) легко полу-
чается общий интеграл уравнений Эйлера в виде
ф -£= const . (4.3)
Из (4.4) следует, что поверхности уровня ф « const
(силовая или потенциальная функция) в покоящейся жидкости сов-
падают с поверхностями равного давления (изобарическими).
При решении практических задач иногда удобно пользоваться
31
другой формой дифференциального уравнения равновесия жидкости
dp = Fxdx + fydtf + Fz dzf (4A)
легко получаемой ив системы (4.1).
4.2. Основной закон гидростатики
Рассмотрим равновесие несжимаемой жидкости в неподвижном
сосуде, находящемся в равномерном (параллельном) поле сил
тяжести ( рис. 12). Тогда при соответствующем выборе сис-
темы координат Fx » Fy «О и Fz = - g = - ^ф/дг.
Очевидно, что Ф » <jz + С , где С - произвольная пос-
тоянная.
Принимая во внимание (4.3), получим
2+ ^=consi . (4.6)
Для нахождения постоянной Cj используем условие р • ро
при z ж z0 , где ро - давление на свободной поверх-
ности (граница газ-жидкость).
-Ь_=С
J3» 1
Тогда р=р., (4.6)
где h = .
Величина h называется весовым давлением,
Из основного закона гидростатики следуют известные из школь-
ного курса физики закон Паскаля и закон сообщающихся сосудов.
4.3. Равновесие жидкости в сосуде, движущемся
прямолинейно с постоянным ускорением
Равновесие при условии движения сосуда с ускорением назы-
вается относительным покоем. При прямолинейном движении сосуда
с постоянным ускорением ( рис. 13)
Fx « — G и j » «О, Fz * •
Используя уравнение (4.4), получим
4- dp ~ jdz- fldz
32
Интегрируя, найдем
. (4.7)
Воли принять р - const , то получим уравнение поверх-
ностей уровня (иеобарических поверхностей)
jv-ptCt^O, (4.8)
которые являются плоскостями, параллелымм оси у и нормаль-
ными сумме векторов j к .
Тогда распределение давлений определяется формулой
р-р, * (4.9)
4.4. Сила давления жидкости на плоскую стенку.
Центр давления
Подсчитаем силу давления жидкости на элемент плоской
стенки плоиадью А. Стенка наклонена к горизонту под углом
(см. рис. 14). Давление на свободной поверхности
Элементарная сила давления будет
dP ~ pdfl =(p.+p^h)dfl =p»dflr Jtyhdfl.
Полная сила давления определяется интегрированием по
площади
Р» р. [dA + =fVHj>pjno<£|pM,
где - статический момент плоцвди относи-
тельно оси Ох , С - координата центра масс плоской
фигуры.
Рис. 12. Абсолютный покой жидкости в равномерном поле
сил тяжести
Рис. 13. Относительный покой в сосуде, движущемся с
постоянным ускорением
Рис. 14. Сила давления, действующая на плоскую стенку
34
Таким образом.
Р= (p, + ^hc)A =ptfl. (4Л0)
Полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна
произведению площади стенки на величину гидростатического
давления в центре масс плоской фигуры. В машиностроении
обычно po>^j^ghc и
Р = р, fl .
Для нахождения центра давления - точки приложения сум-
марной силы давления Р найдем сначала центр давления
для силы, обусловленной весовым давлением. Используя теоре-
му Вариньона (момент равнодействующей силы давления относи-
тельно оси 0* равен сумме моментов составляющих сил) и
теорему Штейнера о связи моментов инерции относительно парал-
лельных осей, можно получить координату приложения суммарной
силы весового давления (центр давления).
т.е. центр давления расположен ниже центра масс плоской пло-
щадки. Сила давления ре fl , очевидно, приложена в центре
масс - точке С. Центр давления равнодействующей силы
p«fl * he Я находится между точками С и D
( рис. 14). Так как в машиностроении обычно р0 9
то можно пренебречь различием точек С и D. Однако в
гидротехнике,когда р0 « ра (атмосферное давление),
положение центра давления определяется только весовым давле-
нием, и различие между точками Сир становится опреде-
ляющим.
5. МОДЕЛЬ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
5.1. Уравнение движения идеальной жидкости
в форме Эйлера
Полагая в уравнениях движения (3.6) и (3.7) касательные
напряжения равными нулю и учитывая, что в этом случав
Р». = Pjj = pt2 - - Р ,
35
получим дифференциальные уравнения движения идеальной жид-
кости в форме Эйлера в проекциях
или cWx - г 7Г ~ 1 7 Ъх , d_b_ Р < (5л) di - 0'7 «у ; ik _ г 1 5£_ di ~ Fz~ / ъг . в векторной форме dt ' Г~ f 9 dP • (5.2)
В случае несжимаемой жидкости система (5.1) вместе с
уравнением неразрывности
Ж W ЭУг _ Л
ЭХ * 02 °
является замкнутой.
Решением системы будут функции
р={<(Хф2,Ъ , =
У?=Ь(Г,у,2, О ,
определяющие векторное поле скорости и скалярное поле давле-
ний для каждого момента времени.
Для нахождения зависимости координат жидкой частицы от
времени t и начального положения (координаты )
необходимо проинтегрировать ещё одну систему из трех уравне-
ний.
В случае сжимаемой жидкости плотность в общем случае яв-
ляете? функцией давления и температуры. Для исследования дви-
жешь жидкости в этом случае необходимо привлечь ещё уравне-
ние энергии.. В нэдем курсе мы ограничимся частным случаем
движения сжимаемой жидкости, когда плотность является функ-
36
цией только давления. Такие жидкости называются баротропными
и для них система (5.1) - (5.2) является замкнутой. Для баро-
тропной жидкости целесообразно ввести функцию давления
0ПРвДеляемУ,° как
d<P= (5.4)
aj Р _р(р> .
Величина d (Р является полным дифференциалом,поэтому
_ ( Эр 2^»jL2£.
9х р ах} Vy ~ Р Р Ъг
grad Т5 = -р grad р . (5.5)
Для нахождения частных решений дифференциальных уравне-
ний гидродинамики необходимо задать начальные и граничные
условия. Начальные условия состоят в нашем случае в задании
поля скоростей в начальный момент времени
V'x (Х,у, Z) ,
(5.6)
V»(a,g,z,t.)= f,(x,g,z).
Граничные условия могут быть в зависимости от конкретной
задачи разными.
Рассматривая движение жидкости в области с подвижными по-
верхностями (например, поршневой насос или цилиндр двигателя
внутреннего сгорания), допустим, что жидкость прилегает к
стенке, но не протекает через неё. Проскальзывание частиц
идеальной жидкости относительно стенок допустимо. В рассмат-
риваемом случае граничное условие будет, очевидно, состоять
в том,что скорость перемещения любой точки поверхности и
скорость прилегающей к ней частицы жидкости должны иметь оди-
наковые проекции на нормаль к поверхности.
Если уравнение поверхности будет
г(х,у,г,М-0. (5.7)
то дифференцируя неявную функцию по t , получим искомое
граничное условие:
37
DX ** Эу * £z Vx Vt ~~° •
(5.8)
Следует отметить, что аналитических решений уравнений
движения идеальной жидкости известно немного. Численное же
решение системы (5.Пне на много проще»чем решение системы
уравнений для вязкой жидкости, более адекватно описывающих
реальные процессы. Однако, анализ уравнений движения идеаль-
ной жидкости позволяет получить целый ряд очень важных для
.теории и практики результатов.
5.2. Уравнение движения идеальной жидкости
в форме Громеки - Ламба
Используя известное из векторного анализа преобразование
£jradv*= (V-v)V * [7*rotV]t
уравнение движения в форме Эйлера можно переписать в следую-
щем вице:
=|г *8rad^*- *rot VJ =?- js-^rad р . (5 9)
(5.9) - уравнение движения идеальной жидкости в форме Громеки-
-Ламба. Отметим, что русский ученый И.С.Громека и англичанин
Ламб получили подобную форму записи в виде проекций на оси
координат. __ _
Очевидно, что V* = V* + V/ * V/ — (V*“V) .
Уравнение (5.9) является преобразованием уравнения Эйлера и
по существу не отличается от него. Допустим далее,баротроп-
ность жидкости и существование потенциала массовых • сил
Г= - дгаЛФ . Тогда уравнение (5.9) примет следующий вид:
дгаЛ(ф^ ~ [V я rotVJ / (5.10)
me J .
38
5.3. Интегралы уравнений движения идеальной
жидкости
5.3.1. Установившееся безвихревое движение
Рассмотрим уравнение движения в форме Громеки-Ламба для
баротропной жидкости в поле массовых сил»имеющих потенциал.
Так как по условию / М «Ом rot V - 0, то
иа (5.10) следует, что
<jrad (Ф + «р+ = О
ИЛИ
Ф + (Р + - const, (5.II)
Это равенство называется интегралом Бернулли и выполняет-
ся для всей области пространства, заполненного жидкостью с
потенциалом скорости. Если жидкость несжимаемая, а массовые
силы представлены только равномерным полем сил тяготения, то
' Ф = 8х-
и из (5.II) следует
"р * 4- =СОП51 . (5.12)
J *
5.3.2. Установившееся вихревое движение
Так как в этом случае « 0, то
grid (Ф * ) - [7* rotV] .
Возьмем произвольно направленный отрезок dl и умножим
на него скалярно обе части полученного уравнения
<3rad(<t> + 7>+=[7>rotV]-d?
Очевидно, что если df совпадает по направлению с
линией тсжа или вихревой линией, имеет место следующее ра-
венство:
(ф + Т )‘d"^ “ d | = о
39
ж ли
V*
Ф 4 (Р + -75- const
X* •
Таким образом, получено уравнение по форме аналогичное,
полученному в предыдущем параграфе, однако в последнем слу-
чае константа сохраняет свое значение не для всей области
течения, а вдоль определенной линии тока или вихревой линии.
Для других линий константа может изменить свое значение.Кро-
ме того,равенство (5.II) будет выполняться для поверхности,
образованной вихревыми линиями, проходящими через определен-
ную линию тока, либо линиями тока, проходящими через опреде-
ленную вихревую линию.
Очевидно, что значение константы будет одинаковым для
всей области течения, если векторы 7 и rot V колли-
неарны в каждой точке области течения.
Уравнение (5.12) для несжимаемой жидкости в равномерном
поле сил тяжести, полученное как интеграл уравнений движения
вдоль линии тока, носит также название уравнения Бернулли для
элементарной струйки идеальной жидкости. В курсе общей физики
и в некоторых курсах гидравлики оно получается с помощью общих
законов сохранения массы и энергии
Уравнение (5.12) можно записать в трех формах
Г + + -£ = tonst ,
Р V1
z+ 7j+ ту = H = consti (5.13)
V* 4
+ р 4 JO у =con5t;
причем слагаемые в этих уравнениях можно трактовать как сос-
тавляющие удельной энергии жидкости, отнесенные к единице
массы, веса и объема, соответственно.
Введем следующую терминологию для некоторых слагаем» в
системе (5.13):
14 - полный напор;
Z - геометрический напор ;
р/ ра - пьезометрический напор;
Z* Р/РЯ /Я* j>v7t Л* * р/р v‘A 40 - скоростной напор (динамический напор); - гидростатический напор; - весовое давление; - динамическое давление; - полное давление; - удельная энергия положения; - удельная энергия давления движущейся жидкости; - удельная кинетическая энергия; - полная удельная механическая энергия движущей- ся жидкости.
5.3.3. Неустановившееся безвихревое движение
В рассматриваемом случае rot 7 » о или
V =2 rad <f .
Скалярная функция f является функцией координат и
времени t причем последнее рассматривается как параметр.
Так как порядок операций Ъ/Vt и grad можно
поменять, уравнение движения для баротропной жидкости в
поле массовых сил, имеющих потенциал, примет следующий виц:
grad + ф4 <р+ = о
Следовательно,можно записать, что
ур + Ф+ Ф+ = f(i), (5.1
где Т С+) - произвольная функция времени.
Равенство (5.14) носит название интеграла Коши-Лагранжа.
Для несжимаемой жидкости в равномерном поле сил тяжести
из (5.14) получаем уравнение
2 + + Ц * 9
(5.15)
Рассмотрим в некоторой момент времени произвольную трубку
тока (см.рис. 7). Так как правая часть уравнения (5.15) зави-
сят только от времени, то для двух сечений трубки можно запи-
сать следующее равенство:
41
. К + 2L’ + Idll +
1 я *9 a dtir 1 ц 9 dtit.
(5.16)
Если t - криволинейная координата, отсчитываемая
вдоль трубки тока, то
V- 3<f
v- ~Ъ1
и т= pdf ,
ъч> I 211 =
I/ ®i|<
г
С учетом проделанных выкладок уравнение (5.16) можно
переписать следующим образом:
2,+Л+2? "Zx+7J+2j + ' (бЛ7)
Равенство (5.17) носит название уравнения Бернулли для
неустановивтегося движения струйки идеальной жидкости.
Запишем уравнение расхода в следующем виде:
- Vt 4, - VA = const,
где Д - произвольное сечение канала (струйки).
Преобразуем интеграл в уравнении (5.17)
t
где L? - /д - эквивалентная длина канала от
первого до второго сечения может быть легко вычислена ив
геометрических соотношений.
Уравнение Бернулпи дня неустановившегося движения струй-
ки идеальной жидкости может быть записано теперь следующим
образом:
42
z<+ jg 4 Ц -2a +
L? dV<
g di .
(5.19)
fi 4.
Я 23
5.3.4. Интегралы уравнений движения для баротропного
газа
В случае рассмотрения движения газа можно пренебречь
влиянием массовых сил. Функция давления Р принимает раз-
личный вид в зависимости от процессов изменения параметров
состояния. Рассмотрим изотермическое течение термически со-
вершенного газа. В этом случае
-Р = = RT. (5.20)
И
J= ^ЛР’С •
Интеграл Бернулли при условии пренебрежения массовыми
силами можно записать следующим образом
h-елр ♦ ± , (5.21)
или
v*= А +
Т 2 7» Р
(5.22)
В случае адиабатного (изознтропного) течения газа уравне-
ние процесса будет
Р _ Р» , где
~ Л*
- показатель адиабаты.
Функция давления в атом случае будет
f А = А [ JE = A- p J£__ _E_
43
Уравнение Бернулли для адиабатного движения идеального
термически совершенного газа примет следующий вид:
Js X + У.1- _Л_ -Е» + V?
k-1 J> z к-1 Л z .
(5.23)
Если Vo « V , то можно получить зависимость
V = Лтт 1 ’ <5.а>
называемую формулой Сен-Венана-Вантцеля.
Уравнения (5.21), (5.23) и (5.24) целесообразно использо**
вать лить при существенной сжимаемости газа, что имеет мес-
то при скоростях, приближающихся к скорости звука. При дви-
жении газа с малыми скоростями (для воздуха при нормальных
температурах до 100 м/с) можно пользоваться уравнением Бер-
нулли для несжимаемой жидкости. При атом хорошие результаты
дает применение в расчетах среднего значения плотности.
6. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЖОЙ ЖИДКОСТИ
6.1. Одномерная модель реальных потоков
Реальные потоки жидкости в природе и технических устрой-
ствах всегда являются трехмерными. Однако При решении прак-
тических задач для каналов, имеющих достаточную протяженность
без резких изменений формы и величины сечения и небольшую
кривизну, можно ввести модель одномерного потока, параметре
которого зависят от одной координаты: прямолинейной или кри-
волинейной. Если кривизна линий тока и угол, образуемой ими,
малы, то поток называется плавноизменяющимся. В таких потоках
в пределах живого сечения давление распределяется по гидро-
статическому закону, а в некоторых случаях может сштаться
постоянным по сечению. Постоянное значение можно придать и
величине скорости по сечению, отождествляя её со среднерас-
ходной
V_JL_
v" д " Я
44
Тмим образом,плавномвменяющиеся потоки можно считать в первом
приближении хорошей иллюстрацией модели одномерного потока.Для
такого потока, считая его элементарной струйкой, должно быть в
какой-то мере справедливо уравнение Бернулли, в частности для
несжимаемой жидкости, например, в вида
Pi у/
z,+ П + *9 ~Zx+
Ух*
23
(6.1)
Экспериментальная проверка этого утверждения, представлен-
ная на рис. 6 внизу, показывает, что расчетное в соответствии
е,(6.1) и опытное (зависимость 2) изменения давления по длине
канала на участке 1-3 мало отличаются, а на участке 3-5 расхож-
дение между зависимостями I и 2 становится значительнее. При
замедлении потока могут иметь место и качественные различия :
зависимость 3 на рис. 8 показывает постоянное значение давле-
ния по длине канала при монотонно возрастающей функции в соот-
ветствии с законом (6.1). Описанные эксперименты могут быть
объяснены тем, что в реальных жидкостях действуют касательные
силы внутреннего трения или вязкости. Величина силы вязкости
в простейшем случае ламинарного плавной вменяющегося течения оп-
ределяется экспериментальной зависимостью, установленной
Ньютоном
Т=/* | гл- h • <&-2)
Касательное напряжение
14^1 t (6.3)
где ju - ковффициент вязкости, или коэффициент динамичес-
кое влек ости, или просто вязкость жидкости;
П - нормаль ж линии тока.
В 1 ® вязкость ju намеряется в Па-с, вязкость
води при нормальных условиях равна I0*8 Па.с.
Вязкость зависит от параметров состояния жидкости: темпера
турн и давления
JU “f (Т,р) .
(6.4)
45
В гидромеханике часто используется понятие кинематической
вязкости
U
l)= , (6.5)
имеющей в СИ размерность м^/с.
Учет вязкости приводит к изменению граничных условий,так
как опыт показывает, что частицы жидкости и газа "прилипают"
к стенке, приобретая её значение скорости. В частности, если
стенка неподвижна, скорость частиц жидкости у стенки равна
цулю ( рис. 15 ). Однако понятие средней по расходу скорости
остается в силе.
Рассмотрим равномерное установившееся движение жидкости в
трубе произвольного сечения с периметром П (рис. 16).
Пренебрегая силами инерции, уравнение движения можно займсать
в следующем виде:
й(р«-р») =г П С ,
где Л - площадь поперешюго сечения;
I - длина канала;
(ргра) • разность давлений (перепад давлений) по длине
канала.
Рассматривая формулу (6.6) можно ввести понятие гидравли-
ческого радиуса
д
Rr ~ "П (6.7)
Очевидно, что налиже вязкости приводит к необратимому
преобразованию за счет работы сил трения части механической
энергии жидкости в теплоту. Эта часть энергии диссипирует,
рассеивается в пространстве, как внутри потока, так и вне его.
Для учета этого обстоятельства необходимо ввести в рас-
смотрение так называемые гидравлические потери, имеющие раз-
мерность слагаемых уравнения Бернулли и характеризующие описан-
ное выше преобразование энергии.
6.2. Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости
Поток жидкости переносит в пространстве механическую энер-
гию, причем в случае реальной жидкости происходит её честимая
диссипация, вследствие перехода некоторой доли механической
Рис. 15. Распределение по сечению скорости в потоках
идеальной (слева) и реальной (справа) жидкости
Рис. 16. К понятию гидравлидвского радиуса
Рис. 17. Изменение давления по длине трубопровода,
содержащего диафрагму с острыми кромками
47
энергии в теплоту. В общем случае полный поток всех видов энер-
гии называется в физике вектором Умова-Пойнтинга. Иногда раз-
личают вектор Умова в механике (впервме введен Н.А. Умовш
применительно к гидродинамике) и вектор Пойнтинга в теории
поля. Вектор Умова для несжимаемой жидкости, движущейся в
равномерном поле сил тяготения, можно записать следующим об-
разом:
Ч. = (9г + | + Т>'7. <«-8>
Для плавноизменяюцегося потока жидкости вектор Умова
будет
Я< = 14 (?z+F+-r)VdA . (6.9)
Тогда для одномерного потока среднюю удельную энергию»
отнесенную к единице массы, можно подсчитать как
£ +
е=^р=——;
Упитывая, что по сечению - const и вводя
корректив кинетической энергии
называемый также коэффициентом Кориолиса, получим следующее
выражение для средней удельной энергии потока
3H = gz + £ + e< (б,п)
ИЛИ х
*=2+7д+о<4" . (6.12)
В зависимостях (6.II) и (6.12) индекс „ср* опущен.
В дальнейшем из контекста всегда будет ясно,о какой скорости:
средней или локальной идет речь.
Понятие средней удельной энергии потока жидкости и сред-
48
него напора можно получить и другими способами. Например, ис-
ходя И 8 понятия мощности потока жидкости.
Элементарная мощность
dM=^Hd<?=j>gHVdfl ,
Моирость потока жидкости
N=^HcfQ=^HcFV<r4-
Учитывая материал раздела 6.1,можно записать, вводя по-
нятие гидравлических потерь, следующее равенство:
z'+X'<<^ = z‘t 7» +ь-. <6ЛЭ>
называемое уравнением Бернулли цля потока вязкой жидкости.Это
уравнение по существу только вводит понятие гидравлических
потерь для плавнойвменяющегося потока жидкости
Очевидно, что коэффициент о< I, причем при равно-
мерном в сечении поле скоростей сХ ж I, для турбулентного
режима течения <4 I.
Из соображений размерности гидравлические потери можно
представить в следующем виде
(6.15)
где V - характерная скорость (обычно в сечении I или 2);
%" - безразмерный коэффициент.
Кроме гидравлических потерь - потерь капора часто исполь-
жуют понятие потерь давления
др» • (бЛв)
Очевидно, что цля получения велижты гидравлических по-
терь г или коэффициента , необходимо привлекать либо экс-
периментальные данные, либо уравнения, адекватно описывающие
поведение вязких жидкостей. Такие уравнения будут рассмотрены
в разделе 7.
49
6.3. Общие сведения о гидравлических потерях
Рассмотрение реальных природных каналов и технических
гидравлических систем дает возможность разделить гидравличес-
кие потери на два вида. Во-первых,это может быть потеря пол-
ного напора по длине, обусловленная работой сил трения, рас-
пределенных по этой длине в первом приближении равномерно.
Очевидно, что эти потери, называемые также потерями на тре-
ние, пропорциональны длине канала или трубопровода. Во-вторых,
это может быть местная потеря полного напора, обусловленная
местной деформацией поля скоростей из-за сил трения, распре-
деленных существенно неравномерно.
Небольшой по протяженности участок трубопровода, имеющий
резкое изменение конфигурации или размеров, носит название
местного гидравлического сопротивления. Типичным примером
местного гидравлического сопротивления является диафрагма -
- тонкая пластинка с отверстием, помещенная в трубопровод
/ рис. 17). В области, непосредственно примыкающей к диаф-
рагме, поток претерпевает резкую деформацию, его в этом слу-
чае нельзя считать плавноизменяющимся, и поэтому здесь непри-
менимо уравнение Бернулли. На некотором расстоянии вниз и
вверх по потоку течение можно считать плавноизменяющимся
(например, сечения I и 2 на рис. I), однако эта граница труд-
но определяется как при помощи расчетов, так и при помощи
экспериментов. Вследствие этого в состав местного гидравли-
ческого сопротивления могут попасть участки трубопроводов с
существенными гидравлическими потерями по длине.
Вид формулы для обобщения экспериментальных данных при
определении местных гидравлических потерь дает теория размер-
ностей, теория подобия или анализ дифференциальных уравнений
движения вязкой жидкости. Впервые формулу для оценки величины
местных потерь ввел в гидромеханику немецкий ученый Вейсбах
в XIX вехе, поэтому она носит название "формула Вейсбаха"
(6.17)
В формуле (6.17) коэффициент местного гидравли-
ческого сопротивления, или коэффициент местных гидравличес-
ких потерь - безразмерная величина, которая определяется
50
видом гидравлического сопротивления и числом Рейнольдса, V
средняя расходная скорость в характерном сечении, до или после
местного гидравлического сопротивления (как правило, исполь-
зуется большая величина скорости, подсчитанная по меньшему
значению площади сечения потока).
Коэффициент имеет величину порядка I, он редко
бнвает меньше 0,1 и больше 10.
Потери напора по длине (гидравлические потери на трение)
при постоянной площади поперечного сечения трубопровода при-
нято подсчитывать по формуле Дарси
, <6Д9>
Ah (6.19)
где - коэффициент гидравлического трения или коэффициент
Дарси.
Для круглых труб формула (6.18) примет следующий вид:
, Л С V2
. (6.20)
Коэффициент X имеет порядок 0,03 и может существенно
зависеть от параметров жидкости и микрогеометрии поверхности
трубопровода. Для турбулентного режима течения коэффициент
гидравлического трения обычно не выходит за пределы диапазона
0,01 - 0,05. При ламинарном режиме течения коэффициент Дарси
достаточно легко вычисляется в большинстве случаев теорети-
чески. Для эллиптического трубопровода решение будет приве-
дено в разделе 7.
6.4, Гидравлический расчет трубопроводов
Вс© встречающиеся в технических приложениях трубопроводы
можно разделить на две группы:
I. Простые трубопроводы, представляющие собой последова-
тельное соединение нескольких труб и устройств без ответвлений.
2. Сложные трубопроводы с ответвлениями, параллельными
соединениями, кольцевыми замкнутыми участками.
При проведении гидравлических расчетов для нескольких
трубопроводов, соединенных последовательно, используется урав-
51
некие Бернулли в следующем виде:
т.е. предполагается, что отдельные местные сопротивления не
влияют на картину потока и местные потери в каждом сопротивле-
ние. В (6.21) приняты следующие обозначения: i - номер про-
извольного трубопровода постоянного диаметра, j - номер про-
извольного местного сопротивления, п - число участков с
трубами постоянного диаметра, т - число местных сопротив-
лений. Разумеется сечения I и 2 могут войти в множество значе-
ний i.
При расчете сложных трубопроводов составляется баланс рас-
ходов в узловых точках (равенство притоков и оттоков жидкости)
и баланс напоров на кольцевых участках (равенство нулю алгеб-
раической суммы потерь напора для каждого кольца).
Гидравлический расчет трубопроводов, особенно сложных,
обычно проводится с помощью ЭВМ. Более подробно обсуждаемый
вопрос целесообразно изучать на практических занятиях путем
решения задач.
6.5. Истечение жидкости из насадков и отверстий при
поетоянном напоре
Насадок - это короткий трубопровод, непосредственно под-
соединенный к баку (сосуду) с жидкостью. Отверстием в тонкой
стенке называется насадок, у которого отношение длины к диа-
метру меньше 0,25.
Сосуд (бак)обеспечивающий истечение жидкости при постоян-
ном напоре изображен на рис.18. Величиной скорости в баке можно
пренебречь. Будем считать отверстие малым d zZ Н .В этом
случае все параметры жидкости поперек струи будут одинаковыми.
Опыт показывает, что при истечении из отверстия в тонкой стенке
струя на выходе из него сжимается и на некотором расстоянии от
сосуда процесс формирования струи заканчивается.
Запишем уравнение Бернулли для сечений II я 22 (см.рис. 18)
выбирая плоскость сравнения, проходящую через центр отверстия,
и+ л"=А4"м*>
52
где - коэффициент местных потерь для отверстия.
Решая это уравнение относительно скорости» получим
Введем коэффициент скорости
и коэффициент сжатия струи
Тогда величину расхода можно полу’ить по следующей фор-
муле:
Q =УЙС = tW ==jufl/2g(H4.-^_) t
где JU - коэффициент расхода
Значения коэффициентов расхода» скорости и сжатия струи
зависят от вида насадка и параметров потока. Как правило» они
определяются экспериментально.
6.6. Истечение жидкости при переменном напоре
(опорожнение сосуда).
При медленном изменении напора ( рис. 19) для каждого
последовательно сменяющегося состояния можно применить в пер-
вом приближении соотношение установившегося течения
Q- jaAVZfH* » где
Д - площадь поперечного сечения отверстия.
Если обозначить площадь поперечного сечения сосуда _п~
(в общем случае л» (Н) )» то можно записать» что
Л-dH^-Qdt .
Учитывая начальное условие: при t « 0 » Н = И0 и прини-
мая _ru«const t const » легко получить следующую
формулу для времени опорожнения бака:
Т=--^Д= (6.23)
53
Рис. 18. Истечение жидкости при постоянном напоре
Рис.19. Истечение жидкости при переменном напоре
Рис.20. Разгон жидкости после открытия затвора на
конце трубопровода
Отметим, что рассмотренное решение задачи учитывает только
емкостное свойство гидравлической системы и не учитывает инер-
ционных свойств.
6.7. Истечение газа через сопло
При рассмотрении движения газа с достаточно большими ско-
ростями (этот раздел механики газа называется газовой динами-
кой) целесообразно ввести скорость распространения малых воз-
мущений, называемую чаще скоростью звука. Из курса физики из-
вестно, что для любой сплошной среды её величину можно подсчи-
тать по формуле _____
Экспериментальные данные дают значения скорости звука при
нормальных условиях для воды ~ 1400 м/с, а для воздуха
330 м/с. Очевидно, что столь большие значения скорости
для капельной жидкости трудно достижимы, а для газов доста-
тоодо часто реализуются в различных устройствах пневмоавто-
матики и газовых машинах.
Для термически совершенного газа скорость звука будет
a^VkRT ,
показатель изоэнтропы, равный отношению тепло-
где к
емкостей при постоянном давлении и постоянном объеме (для
воздуха к ’« 1,4).
Так как наличие тела в потоке газа или капельной жидкости
вызывает возмущения, то. следует ожидать, что поле течения мо-
жет существенно зависеть от отношения средней скорости тече-
ния к скорости звука. Это отношение называется числом Маха.
В зависимости от величины этого критерия можно рассматри-
вать четыре типа течений: дозвуковые течения, когда скорость
жидкости во всем потоке меньше скорости звука (в первом приб-
лижении при достаточно малых скоростях течения можно пренеб-
речь сжимаемость?); околозвуковые течения, когда скорость жид-
кости или газа сравнима со скоростью звука; сверхзвуковые
течения, когда скорость жидкости больше скорости звука; и
гиперзвуковые течения, когда скорость газа существенно пре-
вышает скорость звука ^последний случай представляет интерес
главным образом для космической техники и авиации).
Рассмотрим очень важную для приложений задачу об истечении
газа из резервуара через сужающийся насадок, который в ©том слу-
чае называется обычно соплом. Скорость в резервуаре будем счи-
тать пренебрежимо малой, поэтому интеграл Бернулли для этого
случая в предположении изоэитропичности движения будет иметь
следующий вид:
У* к р _ к , Рд
г * к - 4 Р ~ к - 4 _р. ,
где индекс "0я относится к резервуару.
Решая последнее уравнение относительно скорости, получим
v=
Очевидно, что максимальная скорость газа реализуется при
условии р / р. О и М ~*“ос (а —• О) •
vw- \/-£гг«т.
Массовый расход газа в предположении одномерности течения
я отсутствия потерь определяется следующим образом:
Обозначив Р/р. = Е. , последнюю формулу преобразуем сле-
дующим образом:
I JiT в , ’/к. I к-4/к
*?"=V кЛ” , где ^£)=£ ,V1~£
Легко заметить, что функция f(£) имеет экстремум (максимум),
соответствующий так называемому критическому отношению давлений
При к « 1,4 0,528.
Максимальное значение массового расхода тогда будет
Зависимость расхода газа от отношения давлений в предполо-
жении постоянства температура Т© и давления р* дано на рис .30
иЭтот случай характерен для паротурбинной тех-
ники. В машиностроении, в частности в системах пневмоавтомати-
ки, часто бывает задано постоянное значение противодавления, а
давление в резервуаре меняется. В этом случае зависимость рас-
хода от отношения давлений дается на рис.30 (кривая $ р* « сгаг ,
р « const ).
Пунктирной кривой на рис. 30 изображена теоретическая кри-
вая при ₽• « const и р «ааг для . Её отличие
от действительной объясняется тем, что при £= на срезе
сопла устанавливается звуковая скорость V =а= V«pt а при
€ < £ образуется так называемый звуковой барьер: изменения
внешнего давления не могут проникнуть внутрь сопла, поэтому
расход остается постоянным при pd « const .
Заметим, что при истечении через отверстие с тонкой кром-
кой становится существенным неодномерный характер течения,поэ-
тому наблюдается так называемый второй критический режим тече-
ния. Так, например, для круглого отверстия в тонкой стенке при
истечении воздуха критическое отношение давления имеет порядок
% 'я 0,1.
Отметим, что формула для скорости остается верной для лю-
бой области течения: дозвуковой или сверхзвуковой. Форма же се-
чения сопла для получения сверхзвуковой скорости (сопла Лаваля)
совпадает по конфигурации с трубкой Вентури для несжимаемой
жидкости. Однако в сопле Лаваля на расчетном режиме работы ско-
рость монотонно возрастает, а давление монотонно уменьшается.
6.8. Разгон жидкости
Рассмотрим процесс установления стационарного течения жид-
кости при постоянном значении напора, реализующейся после мгно-
венного открытия затвора на конце трубопровода ( рис.20).
Уравнение Бернулли для сечения на свободной поверхности
бака и сечения перед затвором запишем в следующем виде:
Н ’ — У2 + -г -i- (6 24)
где V - коэффициент гидравлических потерь, учитывающий
как местные потери, так и потери на трение.
При установившемся течении
и ~ Лл- + Г- (6.25’)
° Ь
57
Из (6.24) м (6.25) имеем
У.*
^у.1 у‘ц.^ХЧ1^
9 dt
(6.26)
Разделяя переменные, получим
я+- 2е dV__
ат_ ! + У.* - У*
Так как
I + $ . 2дИ0 /У*
, то
Интегрируя последнее соотношение методом разложения на
простейшие дроби с учетом нахального условия при t «О
V «О, получим
t- е7° - £ е- Уо-^-У-т /л
t “ 23нГ £ у^у ~ У«- у ’*То^v^y. (б-27)
График зависимости У = f (i) изображен на рис. 20
справа. Отметим, что когда t « ^То t V » 0,96 V© .
Очевидно, что в рассмотренной задаче учитываются инерционные
свойства жидкости, но не учитываются емкостные.
6.9. Гидравлический удар
Если обратить задачу, рассмотренную в подразделе 6.8,
т.е. рассмотреть мгновенное торможение потока со скоростью V©
при мгновенном закрытии задвижки на конце трубопровода, то по-
лучим физически невыполнимое бесконечно большое значение дав-
ления. Этот результат обусловлен неадекватностью рассматривае-
мой гидромеханической модели. При быстром закрытии задвижки
необходимо учитывать и емкозтные и инерционные свойства гидрав-
лической системы. Приближенное решение задачи может быть полу-
чено, если принять в качестве физического постулата, что из-
менение режима, возникшее в некотором сечении трубопровода,
распространяется в обе стороны от этого сечения в виде плоской
волны. Граница невозмушенной и возмущенной жидкостей носит наз-
вание фронта ударной волны. Очевидно, что рассматриваемый пос-
тулат может быть выполнимым только для сжимаемой жидкости.
58
Сжимаемость жидкости характеризуется коэффициентом объемного
сжатия
/р= “ ( ^dp) V" (6.28)
либо объемным модулем упругости
Из курса общей физики известно, что объемный модуль уп-
ругости определяет скорость звука в сплошной среде
“=/1=0 • <6-30’
Объемный модуль упругости является функцией параметров
состояния: температуры и давления. Для воды гц5и обычных усло-
виях К я 2000 МПа, для машинного масла 1300 МПа, для
некоторых силиконовых жидкостей, используемых в качестве "жид-
кой” пружины, 800 МПа.
При внезапном закрытии трубопровода возникает гидравличес-
кий удар, представляющий собой колебательный процесс, возникаю-
щий в трубопроводе с капельной сжимаемой жидкостью. Этот про-
цесс является очень быстротечным и характеризуется чередованием
повышений и понижений давления, причем изменение величины дав-
ления связано с упругими деформациями жидкости и стенок трубо-
провода.
Повышение давления . Дрмд связано с величиной началь-
ной скорости Vo и скоростью перемещения ударной волны,сов-
падающей в первом приближении со скоростью звука а . Приме-
няя к элементу трубы dx теорему импульсов, получим
рис. 21).
[(р.*Држ)-р.]АсИ = fy>dx(Vo-V) .
Так как скорость распространения ударной волны С= ^x/dt,
ТО
Apwej>v.c , (6.31)
Выражение (6.31) носит название формулы 1^уковского.
Если уменьшение скорости происходит до конечного значения,
равного V , то возникает неполный гидравлический удар, для
59
которого формула Жуковского приобретает следующий вид:
Формулы (6.31) и (6.32) справедливы в случаях, когда вре-
мя закрытия задвижки подчиняется следующему условию
tMp < , <6-33)
отвечающему так называемому прямому гидравлическому удару. При
t > Zt /с имеет место непрямой гидравлический удар, повы-
шение давления при этом будет меньше.
Подробный анализ явления гидравлического удара можно сде-
лать при помощи волнового уравнения, которое можно получить из
уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлера.
Для обычных водопроводных труб получена следующая полуем-
пирическая формула для повышения давления при гидравлическом
ударе
Друд« (Ю - 14) V
где V - скорость жидкости в м/с;
давление в технических атмосферах.
Скорость распространения упругих возмущений в трубопроводе
зависит от модуля объемной упругости жидкости и от характерис-
тик трубопровода
/ к / '
где Е - модуль упругости материала стенок трубы;
Р - плотность жидкости;
q - параметр, зависящий от формы поперечного сечения
трубы.
Для тонкостенных труб круглого сечения q ~ б , где
D - внутренний диаметр трубы, 6* - толщина стенки. Для
труб большой толщины имеются более сложные зависимости для
определения коэффициента q
Тонкостенные трубы легко меняют форму поперечного сечения,
а изменение поперечного сечения сказывается на скорости рас-
пространения упругих колебаний. Так, для трубы эллиптического
сечения при разности полуосей порядка толщины стенки величина
q для трубы с овальным сечением будет существенно больше,
60
Рис. 22. Установившееся движение в прямой
трубе эллиптического сечения
Рис. 23. Течение жидкости в зазоре между
параллельными пластинами
61
чем для трубы круглого сечения. Из-за этого скорость распросра-
нения упругих колебаний при наличии эллипсности трубы су-
щественно уменьшается.
7. Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости
7.1. Уравнения Навье-Стокса
Предположим, что в пространственном потоке несжимаемой жид-
кости имеется следующая зависимость между компонентами тензора
напряжений и тензора скоростей деформаций:
Р«х=-р+ г/j +
P«=P"=/J(|^'+4x’), (7Л)
Р”=~Р+ 2/J , Р^-Р^-Р (1^ *
где р - термодинамическое давление.
Из первых трех уравнений следует, что
р = _ р™ * Рир4 р'*
Система зависимостей (7.1) является обобщением закона жид-
костного трения Ньютона. Ока непосредственно не проверяется
экспериментально, однако все следствия из этой гипотезы на ос-
нове точных решений дифференциальных уравнений движения жид-
кости не противоречат опытным данным.
Существует более строгое обоснование гипотезы для обоб-
щенного закона трения Ньютона, но оно требует хорошего знания
тензорного исчисления, которое не входит в программу высшей
математики для большинства машиностроительных специальностей.
Подставляя зависимости (7.1) в уравнения движения в напря-
жениях (3.7), можно получить дифференциальные уравнения движе-
ния для несжимаемой вязкой жидкости (уравнения Навье-Стокса).
УЕ* + (V^V^F, - + a)72V^,
|г + (V-VM=Fz- OV‘V* ,
где УгУя=ДУж= г;ух . Э2Ух гг» ,
VVu= ДУи = + с 3 оос* +
?‘Уг=ДУг= & DZ1
-лапласианы соответствующих компонентов скоростей
Ниже представлены выкладки получения одного уравнения из
системы (7.2) для оси х
?2а*. + + =_ +2jUfe+n +
Ъх ъ</ ъг Ъхг^ъх*
Р Э2* Ъх-Ъ2
- ъг> ., ъгУх.. г%),.. э /эу* , гуу , гуг)
= ~ъх+Щ-& +
Последнее слагаемое для несжимаемой жидкости равно нулю.
В векторной форме уравнение Навье-Стокса записывается сле-
дующим образом:
-f(v-v;V - F - i yradp + D Угу . (7.3)
Уравнение Навье-Стокса вместе с уравнением неразрывности
J • ГУ — Ъ Vw 3 2 „ Л
div 7- ъх т ъ?.
63
образует для несжимаемой жидкости замкнутую систему и вместе
с граничными и начальными условиями принципиально позволяет
получить решение всех задач механики жидкости для ламинарного
режима течения. Особенности граничных условий для вязкой жид-
кости обсуждались в разделе 6.1: условие ’’прилипания" частиц
жидкости.
Следует отметить, что существует небольшое число точных
(аналитических) решений уравнений Навье-Стокса. Большинство из
них относится к достаточно простым каналам, когда не проявляет-
ся существенно нелинейность зтой системы.
В последнее время много задач было решено с помощью ЭВМ
различными численными методами.
7.2. Установившееся движение жидкости в прямой трубе
эллиптического сечения
Будем рассматривать так называемое стабилизированное тече-
ние, когда профили скоростей в каждом сечении трубы идентичны.
Такой случай,строго говоря,соответствует трубе бесконечной дли-
ны. Линии тока будем полагать прямыми линиями, параллельными
оси трубы, которую совместим с осью 2Г ( рис. 22).
Система (7.2) для нашего случая сведется к следующей
о— X
°” р Ъх ,
о - - -L + 1) +
0 ~ Р Ъг + " (.га* гу* /.
Очевидно, в рассматриваемой задаче давление может быть
функцией только переменной Z , а компонента скорости V? -
- функцией переменных х и у.
Математическая модель рассматриваемой гидромеханической
задачи сведется к следующему уравнению
\ га» d2 , (7-4)
где
64
Так как левая часть уравнения является функцией х и у,
а правая - z , то они равны некоторой постоянной.
Будем искать решение в виде
Vz=/«(i--£- -£) ™
\ О / f
удовлетворяющее граничным условиям на границе эллипса с урав-
нением Х,/а«+ У*/6* = i • Подставляя (7.5) в (7.4),най-
дем постоянную А
л W Q* __ и
2^1 ’ а«* 8х -V*™* (7.6)
Вычислим расход» проходящий через произвольное поперечше
сечение
Q= fjvzdxdy= Vzm« Jf(l- -£t)dx-dy ,
Пусть х=ах' , уаЬу', у'*, dx'da^2ni‘di'.
Тогда
-^'*)dx'dy = VzmexO^J (i~ Z
Q
Средняя скорость по сечению будет
Q ~ У/ггтюх
Zc^ пцГ ~ г
Если , то цля трубы круглого сече-
ния получим
fl- _ 7rda dd-Др
128 р £ ~ Ч 32j>8tf > <7-7'
откуда
д £ Vz или h , С У* Пг₽- А Я' zg , (7.8)
гл® 1 _ X* и
^““Re Ке~
65
Зависимость (7.6) носит название формулы Пуаэейля. Число
Рейнольдса Re является безразмерным комплексом. Формула (7.7)
хорошо подтверждается экспериментом,пока число Рейнольдса
Re 2300. До этого значения течение жидкости в трубе носит
ламинарный характер, при числе Re ;> 4000 течение в трубе,
как правило,становится турбулентным. При этом зависимость по-
терь на трение (или давление трения) от расхода (средней ско-
рости) становится существенно нелинейной, близкой к квадратич-
ной. Подробнее этот вопрос целесообразно изучать при выполнении
лабораторной работы по экспериментальному определению коэффи-
циента гидравлического трения
7.3. Установившееся движение между двумя параллельными
пластинами
Рассмотрим течение в канале, ограниченном двумя параллель-
ными пластинами бесконечной протяженности ( рис. 23). Систе-
ма уравнений (7.2) для этого случая принимает следующий вид:
^-= и
dx “ d у*
(7.8)
Будем полагать, что нижняя пластина покоится, а верхняя
движется с постоянной скоростью V. . Такое течение в общем
случае с наличием градиента давления называется течением
Куэтта. Пусть расстояние между пластинами будет h . Гранич-
ные условия примут следующий вид;
п - О, V - о;
у • h, V V.,
Решение уравнения будет
. <7-9’
Распределение скоростей в соответствии с этим решением
приведено на рис. 23: кривая I соответствует большому положи-
тельному градиенту давления, кривая 2 - отрицательному.
При безградиентном течении (течение чистого сдвига) полу-
чается линейное распределение скоростей
V = voy . (7.10)
66
- В 1971г. советский ученый В.А.Романов установил фундамен-
тальный факт, что так называемое плоскопараллельное течение
Куетта никогда, ни при каких возмущениях не теряет устойчивос-
ти, оставаясь ламинарным при сколь угодно больших числах
Рейнольдса. Устойчивость плоского течения Куетта носит исклю-
чительный характер, привлекая к себе внимание теоретиков и
экспериментаторов, т.к. все остальные ламинарные течения вяз-
кой жидкости при некотором значении числа Рейнольдса теряют
устойчивость, приобретая турбулентный характер.
Если обе пластины неподвижны и рассматривается участок ка-
нала длиною I в направлении оси х, распределение ско-
ростей будет
Подсчитаем величину расхода через канал, имеющий толщину
И и ширину вдоль оси z 6 , предполагая закон распреде-
ления скоростей (7.II)
<7Лг>
Уравнение (7.1) хорошо подтверждается экспериментами при
условии ламинарного режима течения й 6 h, £h,
что выполняется при течении в зазорах.
Отметим,как и в предыдущей задаче,линейную зависимость
расхода от перепада давления. Это - общая закономерность лами-
нарного движения жидкости.
7.4. Первая задача Стокса
В качестве примера использования уравнений Навье-Стокса
для нестационарного движения рассмотрим течение жидкости, ко-
торое возникает при внезапном движении ранее покоившейся плос-
кой стенки в своей плоскости с постоянной скоростью Vo .
Пусть стенка совпадает с плоскостью xz (см.рис. 23). Подоб-
ная задача является модельной для расчета разгона различных
устройств гидроавтоматики, например плоских затворов.
Для плоской задачи из уравнения Навье-Стокса остается
уравнение типа уравнения теплопроводности
67
Давление во всем пространстве постоянное. Начальные и гранич-
ные условия можно сформулировать следующим образом:
при i 6 0 , V « 0 для всех у ,
при i > 0 , v « Vo для у « 0 ,
у « О для у « •
Решение уравнения (7.13) подробно рассматривается в курсе
высшей математики.
Если ввести безразмерную переменную
п- ---------V--- (.7.14)
и положить V ~ Vo f(l]) , (7.15)
уравнение в частных производных (7.13) можно свести к обыкно-
венному дифференциальному уравнению
f“+ Zqf* ж 0 (7.16)
со следующими граничными условиями:
f ж I при q ж 0 и f ж 0 при Q «
Решением етого уравнения будет
V = Voer(c !) , (7.17)
где «
erfc Г)= Геар (-Ql)di?=j-erf = [expf-rfjdq
1 °
является дополнительным интегралом вероятности. Для функций
erf и erfc имеются подробные таблицы. Значение
erfc при q ж 2 равно примерно 0,01.Поэтоцу толщина
слоя жидкости, увлекаемая пластиной,может бить оценена как
Графическая зависимость распределения скоростей приве-
дена на рис. 24.
68
7.5. Уравнение движения Рейнольдса для турбулентного
режима течения вязкой жидкости
Уравнения движения Навье-Стокса справедливы лишь для лами-
нарного режима течения. При турбулентном режиме течения локаль-
ную скорость можно представить в виде суммы осредненной во вре-
мени скорости и пульсации скорости
7=v + v‘, <7Л8)
где V - мгновенное значение скорости,
V - ©сродненное значение скорости,
V* - пульсация скорости.
Покажем, что наличие пульсаций скорости приводит к появле-
нию дополнительных поверхностных напряжений. Пусть жидкость дви-
жется в основном вдоль оси х, но пульсации скорости имеют
пространственный характер. В направлении оси у за время
переносится масса жидкости St с импульсом
р Vy V* 5Л 51. Приравнивая его импульсу сил -
TpFfl-St • получим мгновенное значение касатель-
ного напряжения
=.-J>V±Vj • (7.19)
Производя интегрирование, можно определить среднее значе-
ние касательного турбулентного напряжения
ОТ
= £ J -tfdt = -р&Ц (7.20)
4 '
где VzV] - среднее произведение пульсаций скоростей.
Аналогичные выкладки можно проделать для всех составляющих
напряжений поверхностных сил.
Таким образом, в турбулентном потоке,кроме Вязкостных по-
верхностных сил,надо учитывать дополнительные - турбулентные, ,
обусловленные наличием пульсаций. Уравнение движения примет
тогда следующий вид:
69
Система (7.21) носит наевание уравнений Рейнольдса.
Отметим, что уравнение неразрывности для турбулентного те-
чения имеет такой же вид в силу своей линейности,как и для ла-
минарного режима течения. Уравнения Рейнольдса можно получить
из уравнений Навье-Стокса,производя осреднение по времени.
Из-за наличия пульсаций скорости турбулентное движение
всегда трехмерное, количественная оценка величины пульсаций
проводится посредством степени турбулентности
Р_
£_ - , (7.22)
где V - среднее значение скорости.
Порядок величины вязкого касательного напряжения в соот-
ветствии с формулой Ньютона будет
= . (7.23)
Вичислим отношение
если IV»! s Ivjl Я? 0,1V t
70
Тогда
Гт J 0,04 Jpy*d
Го ~ Я V
= О,О£ Re
Т.е., если Re = Ю^, то Гт/Г^ = 100, т.е. при раз-
витом турбулентном течении касательные турбулентные напряжения
имеют величину, превышающую величину напряжения вязкого трения
на несколько порядков.
Уравнения Рейнольдса образуют незамкнутую систему. Задача
замыкания имеет много решений, но ни одно из них не является
в настоящее время исчерпывающим проблему. Одной из первых ги-
потез, предложенных Буссинеском, является гипотеза кажущейся
турбулентной вязкости:
, (7.25)
где уц - вязкость жидкости,
- турбулентная вязкость,
эффективная вязкость.
Турбулентная вязкость не является свойством жидкости, а
определяется кинематическими характеристиками турбулентного
течения и его предысторией. В настоящее время имеется множест-
во полуэмпирических теорий для определения, кажущейся турбу-
лентной вязкости. При таком подходе в вычислительном плане за-
дачи для ламинарного и турбулентного режимов течения становят-
ся- идентичными, но при турбулентном течении появляется блок
(и соответствующая подпрограмма) для вычисления кажущейся вяз-
кости.
7.6. Численные методы решения задач гидродинамики
вязкой жидкости *
Программа дисциплины "Гидравлика (техническая механика
жидкости и газа)*, предусматривает изучение численных методов
и их реализацию на ЭВМ применительно к решению уравнений
Навье-Стокса в конечно-разностной форме. Для учебных, а в ряде
случаев и для научных целей наиболее целесообразно использова-
ние декартовой системы координат и физических переменных :
Яг
Материал раздела 7.6 написан совместно с В.Г.Зубковым.
71
компонент скоростей и давления. В исследуемой области изменения
независимых переменных вводится сетка - дискретная совокупность
узловых точек. Вместо функций непрерывного аргумента рассматри-
ваются сеточные функции» значения которых задаются в узловых
точках сетки. Дифференциальные уравнения с соответствующими крае-
выми условиями заменяются приближенными сеточными уравнениями,
связывающими значения искомых функций в узлах сетки. При этом
формируется система алгебраических уравнений, которую можно тем
или иным способом решать с помощью ЭВМ.
Наиболее продуктивен для учебных целей метод контрольного
объема. Основная идея этого метода заключается в разбиении
расчетной области на непересекающиеся, но граничащие друг с дру-
гом контрольные объемы, чтобы каждый узел расчетной сетки содер-
жался в одном контрольном объеме. Дифференциальное уравнение
интегрируется по каждому контрольному объему. При ©том для вы-
числения интегралов используются кусочные профили,которые опи-
сывают изменение переменной между узлами. В результате такого
интегрирования получается дискретный аналог дифференциального
уравнения, в который входят значения переменной в нескольких
соседних узлах.
Уравнения движения можно записать только в случае, если
поле давлений задано. Если оно неизвестно, то для его определе-
ния используют уравнение для поправки давленияполученное в
результате интегрирования уравнения неразрывности по контроль-
ному объему»
Описанный метод контрольного объема хорошо работает для оп-
ределения потерь давления в местном гидравлическом сопротивле-
нии при задании различных эпюр скоростей во входном и выходном
сечениях.
8. ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТОНКИХ СЛОЯХ
8.1. Уравнение движения жидкости в тонких слоях
Полная система уравнений, описывающая плоско-параллельное
течение несжимаемой жидкости постоянной вязкости имеет следую-
щий вид:
72
yr + v»Tx Эу - J5 эх + 'Чгог+ ^7,
П + 7хЗД+ ^24^./ &>_+1)/ЗД.+ ЗД.) (8.1)
?>t vt эх + v« ©у - 7 Ъу *и\эх» + 'ду1/,
24_+ 24-0
"Эх Ъу 0 .
В системе (8.1) опущены слагаемые с проекциями массовых
сил, предполагаемых малыми по сравнению с поверхностными.
Предположение, что течение происходит в тонком слое
(рис. 25), нижняя линия - непроницаемая для жидкости, верхняя
(пунктирная) - граница между течением в слое и течением вне
слоя той же жидкости, но без учета вязкости. Верхняя линия
может быть также непроницаемой подвижной стенкой.Линии имеют
большой радиус кривизны. Координатная ось х - дуга по нижней
линии, ось у перпендикулярна к оси х, £ - масштаб протяжен-
ности слоя по оси х, 8* - средняя толщина слоя. Отношение
s £ - малый безразмерный параметр.
Введем безразмерные независимые переменные xj и yj без-
размерные проекции скорости Vxi и , безразмерное
давление р< , и безразмерное время t < .
t=T t4, (8.2)
где pt - характерная для задачи разность давлений;
Т - характерный для задачи промежуток времени.
Введем безразмерные числа (критерии): число Эйлера
Eu=p<>/pVa , число Рейнольдса VC / D и число
Струхала 5h-t/VT.
После ряда преобразований система (8.1) примет следующий вид:
73
Числа Еи, Re, Sh получены делением коэффициентов
при отдельных слагаемых уравнений движения на коэффициент при
конвективной силе инерции. Следовательно, число Эйлера препор-
ционально отношению силы давления к силе инерции; число Рей-
нольдса пропорционально отношению силы инерции к силе вязкости,
число Струхала пропорционально отношению локальной инерционной
силы к конвективной. Таким образом, все введенные критерии явля-
ются критериями динамического подобия.
Рассмотрим два случая течения жидкости в тонком елее.
Во-первых: Sh I, Re
В этом случае, произведя оценку величин отдельных слагае-
мых и возвращаясь к размерным переменным, получим следующую
систему уравнений, полученных Прандтлем в 1904 году для погра-
ничного слоя:
(8.4)
Граничные условия для системы (8.4) будут.
I) При у » 0, Vx « 0, Vjf «О - условия прилипания.
2) У « 5 (х), Vx «V - условие непрерывности скорости.
3) у 'ж б (х), *3\/х/^=о - условие непрерывности касательных
0 натгрякеюМ.
Пусть теперь критерии подобия имеют другой порядок величин:
ShA, I, Еи~ , Re ~ */е.
Тогда,вернувшись к размерным уравнениям, получим дифферен-
циальные уравнения для течения в тонком смазочном слое, получен-
ные Рейнольдсом в 1886 году.
|£.О , <8.5)
гх гу и *
74
В смазочном слое обе границы представляют собой твердые
стенки. По этой причине основные граничные условия являются ус-
ловиями прилипания. К числу неизвестных необходимо отнести не
только проекции скорости, но и давление. Система (8.5) линейная
и сравнительно легко поддается решению.
8.2. Гидромеханическая модель опорного подшипника.
Рассмотрим сдавливание слоя параллельными плоекостями.Пусть
элемент верхней плоскости с координатами ± а , параллельный
оси х, перемешается вертикально вниз со скоростью V ( рис.
26). Граничные условия для системы (8.5) для рассматриваемой
эадачи примут следующий вид:
У s О, V* » о, Vy « О ;
У - и Vx= о, Vp-V }
х -id р-р.; % - 0, -0.
Решение для компоненты скорости V» ищем в следующем
виде:
(8-б>
Принимая во внимание граничные условия, получим
• (8'7>
Из уравнения неразрывности имеем
j fr'-v J
h h
v,|. =o,
h
|jK>l9-V=0.
75
Произведя интегрирование, получим
_ i_fj_ M-bh =v
эх 12р Ъх 6 I
Если Al = const , то
ь*р _ дгуд
эх*" и5”"
И p=--^-X*+C(Z + С*Х . (8.8)
п
Учитывая граничные условия для давления, получим
Р = р0 + -^г(О4-Х*} . (8.9)
Определим теперь силу, действующую на пластину шириною 6
в направлении оси 2, •
р= j -^^-(at-xl)dx= . (8.Ю)
-a
Среднее давление будет
и ~ Р_____________________ (8 II)
Рср- аТГ” ьз
Максимальное давление
_ (8.к>
Так как = - (аурх / и5 , то
V*=- ^у(у-и).
Используя уравнение неразрывности, получим
76
24. Распределение скоростей вблизи стенки
25. К выводу уравнений движения жидкости в
тонком слое
26. Сдавливание слоя жидкости параллельными
плоскостями
Учитывая граничное условие Vy = 0 при у = 0, окончатель-
но имеем
V.-т? (-Г-ЧН.
Если у = h , то Vy = - V.
Если рассматривается круглая пластина радиусом а , то
решение будет следующим:
р = р.+ f (8.13)
.» (8Л4)
3 Vet1
, (8.15)
SjuVq1
8.3. Плоский клиновидный слой смазки
Это- движение жидкости между двумя непараллельными плоскостями,
одна из которых перемещается с постоянной скоростью VQ в
направлении отрицательной оси %. Рассматриваемая задача яв-
ляется простейшей гидромеханической моделью подшипника скольже-
ния. Граничные условия для системы (8.5) будут следующими (рис.27):
при у ж О» V* « - V* , Vy ж 0 ;
при у « h , Vx « 0 , Vy » 0 ;
при х ж 0 и х ж Ь ( h ж he и hi 9 соответственно) р «р© .
Решение для компоненты скорости Vx ищем в следующем
виде
Vx- Иг У* . (8.16)
Учитывая граничные условия и связь между геометрией канала,
h=h.+-b^ft-x=he(/4kf\ Гдй k=^b. >
получим
78
v«s -и) . (8Л7)
Для нахождения давления используем, как и в предыдущей за-
даче, уравнение неразрывности.
h
о
(8.18)
После несложных преобразований приходим к следующему равенству:
г /_иэ_
Так как выражение в скобках не зависит от х и у, его
можно приравнять произвольной постоянной, которую целесообраз-
но выбрать следующим образом:
12/4 <>Х Z
Очевидно, что при h = h * давление достигает экстре-
мума, являющегося максимумом.
Уравнение (8.19) можно переписать следующим образом:
' (8.20)
Учитывая, что ^Р/фх = ^Р/ЪЬ ^^/дх , вместо (8.20) получим
(8.19)
2
gjMt И
ъь ~ к ho 'h*
(8.21)
Интегрируя с учетом граничных условий, получим
Вычислим силу давления, принимая размер в направлении
оси z , равным 8 . £
Р - f (р-р.)6da .
о
После вычисления интеграла получим
О — 614 VoE 6 г к 1
(8.23)
Исследуя зависимость силы давления от параметра клиновип-
ности слоя к , можн® получить, что значение максимума силы
79
соответствует к = I,2 и
Рт.гО.ТбуЦУо ' (8.24)
Для отыскания координаты приложения силы Р Xl сос-
тавим уравнение моментов
I
Р-х<. = fo (p-p.)-xdx . (8.25)
Ив уравнения (8.25) получим
6к+ к* - 2 (3+2к) еп(Н1<)
2к((2+ k)6)«+ к)-2к]
(8.26)
Когда Р W Ртах, х = 0,43 t .
Используя закон распределения скорости (8.17), получим
T=-u^),..Т- 5-^ . 'в'г7>
Исключая h и ъР/Ъх , после упрощений найдем, что
_и ыл______......ji-i
h|(4kx 2+ k (e + kx)*J
(8.28)
Сила трения будет
I
Т = Jrt>dx=ju (J+к)-ТИТ] • (8.29)
При к «1,2, Tft °«75Jun^7‘.
Отметим, что в клиновидном смазочном слое возможно образо-
вание возвратного течения (отрыва потока). Координата точки
отрыва определяется из условия
гУх _[
l,«h
= 0
и равна
% k + J л
к(к+ Я) 5
(8.30)
80
Очевидно, что при к 4 I , т.е. течение
по всей длине пластины будет безотрывным. При к = I,2 отрыв
происходит в точке Хотр = 0,89 . Если к = I, то значения
сил давления и трения мало отличаются от их значений при к =1,2.
Отметим, что сила давления обратно пропорциональна квадра-
ту малой величины ho , а сила трения обратно пропорциональна
этой же величине в первой степени.
8.4. Основные сведения по работе цилиндрического
подшипника скольжения
При установившемся движении шипа в подшипнике линия
наименьшего зазора между ними смещается в сторону вращения шипа
и расположена приближенно перпендикулярно к направлению внеш-
ней нагрузки на шип.
Пусть нагрузка на горизонтальный вал, вращающийся в подшип-
нике, направлена по вертикали. До вращения вала его шип будет
касаться поверхности вкладыша подшипника в некоторой точке
(рис. 2^а). Область между поверхностями шипа и подшипника разде-
лена на две равные части I и П. В первой части движение поверх-
ности шипа будет происходить в сторону широкой части слоя, поэ-
тому результирующая сила давления шипа будет направлена от
шипа к вкладышу. Во второй части, наоборот, результирующая сила
давления будет направлена от вкладыша к шипу (рис. 28/5). Так
как эти силы не уравновешиваются внешней нагрузкой, то шип бу-
дет смещаться вправо, пока направление равнодействующей силы
давления не будет противоположным внешней нагрузке.
9. ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА ИМПУЛЬСА И ЗАКОНА МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
В МЕХАНИКЕ ЖИДКОСТИ
Эти законы установлены в механике для любой системы мате-
риальных точек, между которыми действуют силы взаимодействия,
попарно равные и противоположно направленные, вследствие чего
главный вектор и главный момент внутренних сил равны нулю в
любой момент движения. Оба этих закона справедливы как для иде-
альной, так и для вязкой жидкости.
Рассмотрим установившееся движение жидкости в элементарной
трубке тока (рис. 29). Пусть скорости в сечениях I и 2 будут
и , соответственно, и за время dt жидкий объем из
81
Рис. 27. Плоский клиновидный слой смазки
момента импульса в механике жидкости и газа
I I
положения 1-2 перейдет в положение 1-2, так, что
77' = V4dt и 22' = Vk dt .
Так как движение установившееся, то объемы Г 2 будут иметь
один и тот же импульс в момент времени t и t * d t,
В соответствии с уравнением расхода
dm = Vidtp<dA< = Vtdtj)id Яд ,
Таким образом, изменение импульса за время dt будет
dK - Va dm - V<dm ,
Это изменение импульса равно элементарному импульсу всех
внешних сил (массовых и поверхностных), приложенных как к боко-
вой поверхности трубки, так и к сечениям I и 2. Если массовыми
силами можно пренебречь, то остаются только поверхностные силы
(в случае идеальной жидкости - только силы давления)
сГк= vidm-V<dm = ?dt
»л«
Аналогично’, рассматривая закон момента,импульса, легко
придти к уравнению
dl = -?<*V«-dm = L?dt
Т т ^77 dm. Т .77 dm
где T - момент импульса жидкого объема 12 , 7 < и Т/
радиусы вектора сечений I и 2, L - главный момент внешних
сил, приложенных ко всей замкнутой поверхности объема 1+2.
Полученные равенства могут быть объединены теоремой Эйлера:
сумма всех внешних сил, приложенных ко всей поверхности произ-
вольного объема трубки тока,экБивалентна в случае установившего-
ся движения двум силам
Ъ dm.
dt
-Ъ dm.
* V< dt ,
83
приложенным к конечному и начальному сечениям и численно равным
секундным импульсам жидкости, вытекающей и втекающей в трубу.
Применим полученный результат к течению жидкости со ступен-
чатой эпюрой скоростей во входном сечении и с равномерной эпю-
рой в выходном сечении после внезапного изменения площади сече-
ния (рис. 31). Будем пренебрегать потерями на трение между се-
чениями I и 2, а давление в сечении I-а будем считать равны-
м давлению в сечении I (последнее утверждение подтверждается
экспериментально для случае турбулентного режима течения).
Тогда уравнение импульса можно записать в следующем виде:
( Р4'Ра) flz -pVn ( Vt- V«) Д<2 (Уа” V<z) .
Уфжтль Бернулли с учетом неравномерности распределения
скоростей в первом сечении будет
Р< + УЛ Ун-Дн УЛ-У^Яа _ Р< У/ , .
РЗ + У«-Я«а) ~ Ц Ц П ’
где h - гидравлические потери (местные) на участке II-22.
Заметим, что выравнивание потока, как показывает экспери-
мент , происходит на длине € , равной примерно трем разностям
диаметров труб: £ « 3 ( D - d ).
Уравнение расходе запишем в следующем виде:
У«г Ац 4 Уи’ = VaAa .
Будем считать известными следуюпрсе величины:
Тогда
\/ — „Ун Ан + Уд Ад ,
Аг
а величины ( рх - р< ) и h легко найти после простых ал-
гебраических преобразований
к гч Ан (У«-У±) , Au (Vn~Vi)
84
« V.‘.
2i
Если V’a= V^-V< , то получается результат, известный под
названием теоремы Борда-Карно
Ря-р<= />V< (V<-V*)
" и = < * ~ Vt) г
ч
Из анализа полученных зависимостей можно сделать важное
заключение о том, что гидравлические потери в местных сопротив-
лениях существенно зависят от неравномерности эпюры скоростей
на входе в канал. Так, если принять, что = Яи и Да
то
В то же время потери, подсчитанные по средней скорости должны
составить
Zjh = Mivnl1
Вводя обозначение « V<< (I +Х ), можно получить
4- = о
h 1 Ч
Таким образом ^потери в предельном случае |а| = I будут
на 75^ больше чем при равномерной эпюре скоростей.
Законы импульса и момента импульса часто применяются цля
расчета силы воздействия установившегося потока жидкости на
твердое тело, помещенное в него полностью или частично.
10. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ 0 ГИДРАВЛИЧЕСКИХ МАШИНАХ
Гидравлическими машинами называются устройства, выполняющие
механические движения цля преобразования энергии, материалов и
информации, использующие в качестве рабочего тела капельные жид-
кости. Но устройству и принципу действия при одинаковом назначе-
нии к гидравлическим машинам близки газовые или пневматические
машины, использующие в качестве рабочего тела газы. Основы тео-
рии гаяэвых мадин рассматривают в технической термодинамике.
85
Рис. 30. Зависимость массового расхода газа от
отношения давлений, I - рв» Const
р »var 2 - рв«ааг» р » const
Рис. 31. Внезапное расширение потока с неравно-
мерной (ступенчатой) эпюрой скоростей
на входе
86
В зависимости от преобладающего вида преобразования разли-
чают три вида машин: энергетические, рабочие и информационные.
Энергетические машины предназначенные для преобразования любо-
го вида энергии (для гидравлических машин - потенциальной и
кинетической энергий жидкости) в механическую, называются ма-
шинами-двигателями. Рабочие подразделяются на технологические
и транспортные. В технологических машинах происходит изменение
формы, свойства и состояния обрабатываемого предмета, находя-
щегося в твердом, жидком и газообразном состоянии. В транспорт-
ных машинах преобразование состоит только в изменении положения
перемещаемого предмета. Информационные машины предназначены для
преобразования информации, причем если информация представлена
в виде чисел, то машина называется вычислительной. Отметим,что
электронная вычислительная машина, строго говоря, не является
машиной, так как в ней механические движения служат лишь для вы-
полнения вспомогательных операций. Название машина за ЭВМ сох-
ранилось в порядке преемственности от вычислительных машин типа
арифмометра.
В соответствии с ГОСТ 17398-72 машина для создания потока
жидкой среды называется насосом. Уточняя это определение, на-
сосом будем называть устройство для напорного перемещения жид-
кой среды посредством сообщаемой ей механической энергии.
Рабочими органами насоса называется совокупность его эле-
ментов, соприкасающихся с основным потоком перекачиваемой жид-
кости, начиная от входа в насос и до выхода из него. Если рабо-
чие органы насоса не совершают механического движения (например,
в струйном насосе), то такой насос называют насосом-аппаратом.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только насосов-машин,
в которых рабочие органы приводятся в движение от двигателя.Та-
кие насосы следует отнести к энергетическим машинам, несмотря
на ряд черт, характерных для технологических и транспортных ма-
шин. По рабочему процессу к насосам близки гидравлические тор-
моза, преобразующие подводимую к ним механическую энергию дви-
гателя в тепловую.
Насосы - один из самых распространенных видов машин: извест-
но, что 2(7* производимой в мире электрической энергии затрачива-
ется на привод различных насосов.
Теория и расчет гидравлических машин основываются ня общих
метод*v механики жидкости и газа, основы которой рассматривались
в пргдыдутдих разделах. *Оцн*чо, как отмечал акя^нмик
87
Л.И.Седов, "теория и практика гидравлических и газовых машин -
- это обширная инженерная наука, богатая своим огромным опытом,
многочисленными результатами и достижениями. Качественные пока-
затели совершенства газовых и гидравлических машин связаны с их
экономичностью, прочностью, надежностью регулирования и действия.
Решение, оптимальные в целом, получаются как компромиссы, в воз-
можность достижения которых совершенство аэродинамических про-
цессов дает основной вклад".
В теории гидравлических машин основным понятием является
МОЩНОСТЬ потока ЖИДКОСТИ Nnor — pgQH = pQ t где
u- , 2 + Kzb. + v?- v<*
n- л* -r — напор и p-
давление гидромашины. В насосе напор ( удельная энергия) повыша-
ется, в гидравлическом двигателе - уменьшается. Объемный расход
жидкости для насоса чаще называется подачей. Для гидравлического
двигателя мощность потока жидкости является входной, поэтому
коэффициент полезного действия определяется следующим образом:
П - N rA - ^гд _
4 pgQH р<?
или для двигателя с вращательным движением выходного эвена
Мео _ Мео
п= .
Для насоса мощность потока жидкости является полезной, вы-
хрдной. Поэтому
п_
N N ,
где N - мощность насоса (мощность, потребляемая насосом или
мощность приводящего двигателя).
Рабочие органы насоса делятся на подвод, энергосообщитель,
направитель и отвод ( рис. 32). Подводом или подводящим уст-
ройством называется часть насоса, по которой основной поток жид-
кости поступает от входа в насос к энергосообщителю/ Энергосооб-
щитель - это приводимый от двигателя движущийся элемент насоса-
-машины. Очевидно, что энергосообщитель расположен в рабочей ка-
мере насоса с зазором, по которому проходят так называемые утеч-
ки: часть потока жидкости, которая не попадает к потребителю.
Направителем будем называть устройство для организации потока,
если он поступает к энергосообщителю более одного раза или же не
проходит целиком через энергосообщитель. Отводом или отводящим
устройством называется часть насоса, по которой основной поток
поступает от энергосообщителя к выходу из насоса.. Подвод, нап-
равитель и отвод являются элементами корпуса насоса.
Классификацию насосов естественно построить в зависимости
от вида преобладающих сил, действующих на жидкость в энергосооб-
щителе. В МЖГ различают силы массовые и поверхностные, причем
последние могут быть силами трения и силами давления.
Силы давления для перемещения жидкости можно использовать
при объемном вытеснении, причем величина силы при отсутствии
утечек не зависит от скорости вытеснения. Назовем поэтому объ-
емным насосом насос, в котором под действием сил давления жид-
кость вытесняется из замкнутого объема. Идеальная подача объем-
ного насоса (величина утечек равна нулю, жидкость несжимаемая)
определяется только скоростью перемещения рабочих органов и не
‘зависит ни от свойств жидкости, ни от характеристики системы,на
которую насос работает. Таким образом, между перемещением рабо-
чих органов и подачей имеется жесткая кинематическая связь. Объ-
емный насос может сообщить энергию гипотетической жидкой среде
с нулевой плотностью. Идеальная характеристика объемного насоса
изображена на рис. 33.
Насос, действующий за счет сил инерции или сил трения (воз-
можно совместное действие сил инерции и сил трения), назовем
динамическим. В этом насосе отсутствует жесткая кинематическая
связь между перемещением рабочих органов и подачей. Напор насо-
са (изменение удельной энергии жидкости от входа в насос до вы-
хода из него) не зависит от плотности перекачиваемой жидкости,
а потребляемая мощность пропорциональна ей.
Насос, действующий за счет массовой силы, обусловленной
инерцией жидкости, назовем инерционным. В таком насосе трение -
нежелательное явление, снижающее экономичность работы машины.
Инерционный насос может сообщать энергию идеальной жидкости,ли-
шенной вязкости.
Насос, в котором жидкая среда перемещается за счет сил вяз-
костного трения, назовем насосом трения. В этом.насосе энергия
может сообщаться гипотетической жидкости с конечной величиной
вязкости, но с плотностью, равной нулю: в машине будет происхо-
дить приращение давле^и^, т.е. удельной объемной энергии.Легко
заметить, что для насоса трения должна существовать оптимальная
яе-ичиня вескости *ит<олти, •’ри которой ’'рктирность работы
89
машины будет экстремальной. Строго говоря, насосов в которых
действуют только силы трения, не существуют. Легко построить
серию насосов, в которых преобладающее влияние сил трения пос-
тепенно сменяется влиянием сил инерции. В кистом вице силы тре-
ния проявляются только при ламинарном режиме течения жидкости.
При турбулентном режиме течения жидкости проявляются и си-
лы инерции, в результате действия которых происходит обмен коли-
чеством движения между частицами жидкости в соседних слоях.
Свойство вязкости проявляется здесь только как первичный фактор,
приводящий в движение или тормозящий частицы, которые находятся
вблизи жестких границ потока: в случае насоса - это границы
энергосообщителя.
Вид преобладающих сил диктует конструкцию насоса,поэтому
ГОСТ 17398-72 дает несколько отличающееся от вышеприведенного
определение динамического и объемного насосов, основанное на
устройстве машины. Динамическим насосом в ГОСТ Т7398-72 назван
насос, в котором жидкая среда перемещается под силовым воздей-
ствием на нее в камере, постоянно сообщающейся со входом и вы-
ходом насоса. В объемном насосе жидкая среда перемещается путем
периодического изменения объема занимаемой ею камеры, поперемен-
но сообщающейся с входом и выходом насоса.
Таким образом, в динамическом насосе силы, действующие на
жидкость со стороны энергосообщителя, создают постоянный поток
жидкой среды. Поэтому рабочие органы динамического насоса часто
называют его проточной частью. По принципу действия энергосооб-
щитель динамического насоса должен быть достаточно быстроходным,
что легко осуществимо при его вращательном движении, хотя аме-
риканским исследователем Шеппардом предложен динамический насос
с возвратно-поступательным движением энергосообщителя.
Идеальная характеристика динамического насоса изображена
на рис. 34.
Одним из наиболее распространенных видов динамических на-
сосов является насос центробежный, в котором жидкая среда пере-
мещается от центра энергосообщителя - рабочего колеса к пери-
ферии путем обтекания лопастей. Поэтому центробежные насосы
вместе с диагональными и осевыми называют лопастными или ло-
паточными .
Лопастным насосом называется динамический насос, в котором
жидкая среда перемещается путем обтекания лопастей (лопаток).
Рис. 32. Схема насоса. I - подвод; 2 - энергосообщитель;
3 - отвод; 4 - направитель
Рис. 33. Идеальная характеристика объемного насоса
Рис. 34. Идеальная характеристика цинамииеского насоса
91
II. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ГИДРАВЛИЧЕСКИХ И ПНЕВМАТИЧЕСКИХ
ПРИВОДАХ
Гидравлическим приводом (гидроприводом) называется совокуп-
ность устройств, в число которых входит один или несколько гид-
родвигателей, предназначенная для приведения в движение механиз-
мов и машин посредством рабочей жидкости под давлением.
Пневматическим приводом (пневмоприводом) называется сово-
купность устройств, в число которых входит один или несколько
пневмодвигателей, предназначенная для приведения в движение
механизмов и машин посредством рабочего газа под давлением.
По виду движения выходного звена гидро- или пневмодвигате-
ля различают приводы врашательного движения ( рис. 35),при-
воды возвратно-поступательного движения (рис* 36) и приводы
возвратно-поворотного движения.
В зависимости от типа двигателя гидропневмоприводы разли-
чаются на гидродинамические и объемные. В последних использу-
ются двигатели возвратно-поступательного движения: гидроцилинц-
ры или пневмоиилинцры.
Гидроцилимдр (пневмоцилинцр) можно в расчетах принимать за .
местное гидравлическое сопротивление, величина которого опреде-
ляется из условия равновесия поршня. Так,для гидроцилиндра,
изображенного на рис. 36, можно записать следующее равенство:
Перепад давлений на гидроцилиндре
г, 4R . d* ~
дрч = р,- Ра _ D» Р»
Если d О или р2 р< , то можно считать,
что гидравлические потери в таком местном сопротивлении не
будут зависеть от расхода жидкости. То же самое будет иметь
место и в гидроцилиндре с двухсторонним штоком.
3 гидравлической сети с цилиндром при расчете иногда
надо учитывать разницу расходов жидкости в штоковой и поршне-
вой полостях. Так, для рис. 36
92
Рис. 35. Условное обозначение гицромашин вращательного
движения. А - насос; Б - гицроцвигатель (гиц-
ромотор); В - пневмоцвмгатель (пневмомотор)
Рис. 36. Схема гицропилиндра (пиевмоцилимдра) двухсто-
роннего действия с односторонним штоком.
А - штоковая полость; Б - поршневая полость
Рис. 37. Принцип работы простейшего объемного гидро-
привода
93
Q,= f (tf-cHVn,
Q» = Д- D*7n ,
где Vn - скорость поршня.
Полезная мощность двигателя возвратно-поступательного
движения определяется следующим образом:
N-RVn ;
где R - сила на штоке.
Принцип работы объемного гидропривода можно пояснить на
простейшей схеме ( рис. 37).
Два цилиндра - левый I и правый 2 - заполнены жидкостью
и соединены трубопроводом, гидравлические потери в котором
пренебрежимо малы. Тогда давление в цилиндрах I и 2 в соответ-
ствии с законом Паскаля будет одинаковым
где и fti - площади поршней цилиндров I и 2 соответ-
ственно.
Учитывая практическую несжимаемость жидкости можно запи-
сать
h|A< ~ или V< = Vafla - Q •
Тогда условие передачи знергии можно записать следующим
образом:
R«V< = pQ = RxVa ,
где pQ - мощность потока жидкости;
R«V< - мощность, затрачиваемая на перемещение поршня в
цилиндре I;
RaVz - мощность, развиваемая поршнем цилиндра 2.
Таким образом, в рассмотренной схеме механическая энергия
преобразуется в энергию потока жидкости в цилиндре I, а затем
происходит преобразование энергии потока жидкости в механичес-
кую энергию поршня 2 - выходного звена системы.
94
ЛИТЕРАТУРА '
I. Слезкин Н.АЛекции по гвдромеханике.-М.;и3д. МГУ, 1984.-225е.
2. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика.'•М. I Машиностроение,
1987.-440 с.
3. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа»-М.I Наука, 1973.
-848 с.
4. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.-М.! Наука, 1974:712с.
5. Тарг С.М. Основные задачи теории ламинарных течений-Л.Г
Гостехтеоретиздат, 1951420с.
95
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ......................................... 3
I. Гипотеза сплошной среды. Силы, действующие на
жидкость .............................................. 3
2. Кинематика жидкости ............................. 3
2.1. Основные понятия .............................. 3
2.2. Уравнение неразрывности (сплошности) в
дифференциальной форме ............................
2.3. Уравнение неразрывности в гидравлической
форме ........................................... 19
2.4. Основные теоремы кинематики жидкости ......... 21
2.5. Плоские потоки несжимаемой жидкости.
Функция тока ................................. 24
3. Уравнение движения жидкой среды в напряжениях..... 25
3.1. Напряженное состояние жидкости. Свойства
напряжений ........................................ 25
3.2. Уравнение движения жидкости в напряжениях..... 27
4. Гидростатика ..................................... 30
4.1. Дифференциальные уравнения Эйлера для поко-
ящейся жидкости .................................. 30
4.2. Основной закон гидростатики ................. 31
4.3. Равновесие жидкости в сосуде, движущемся
прямолинейно с постоянным ускорением .............. 31
. 4.4. Сила давления на плоскую стенку. Центр
давления ....................*....................... 32
5. Модель идеальной жидкости ...............’........ 34
5.1. Уравнения движения идеальной жидкости в .
форме Эйлера ...................................... 34
5.2 Уравнения движения идеальной жидкости в
форме Громеки-Ламба........................... 37 / //
5.3. Интегралы уравнений движения идеальной
жидкости ........................................ 38 ' ( "
5.3.1. Установившееся безвихревое движение.... 38
5.3.2. Установившееся вихревое движение ...... 38
5.3.3. Неустамовившееся безвихревое движение.. 40
5.3.4. Интегралы уравнений движения для
баротропного газа ............................ 42
Л' ЗЬС.
, ’ 1
96
6. Одномерные течения вязкой жидкости ................ 43
6.1. Одномерная модель реальных потоков ........... 43
6.2. Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости . 45
6.3. Общие сведения о гидравлических потерях........ 49
6.4. Гидравлический расчет трубопроводов ........
6.5. Истечение жидкостииз насадков и отверстий
при постоянном напоре ............................. 51
6.6. Истечение жидкости при переменном напоре
(опорожнение сосуда) .............................. 52
6.7. Истечение газа через сопло................... 54
6.8. Разгон жидкости .............................. 56
6.9. Гидравлический удар ......................... 57
7. Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости .... 61
7.1. Уравнения Навье-Стокса ....................... 61
7.2. Установившееся движение жидкости в прямой
трубе эллиптического сечения ................ 63
7.3. Установившееся движение между двумя парал-
лельными пластинами ............................. . 65
7.4. Первая задача Стокса ......................... 66
7.5. Уравнения движения Рейнольдса для турбулентного
режима течения вязкой жидкости..................... 68
7.6. Численные методы решения задач гидромеханики
вязкой жидкости ................................... 70
8. Движение вязкой жидкости в тонких слоях ........... 71
8.1. Уравнение движения жидкости в тонких слоях .... 71
8.2. Гидромеханическая модель опорного подшипника .. 74
8.3. Плоский клиновидный слой смазки .............. 77
8.4. Основные сведения по работе цилиндрического
подшипника скольжения ............................. 80
9. Применение закона импульса и закона момента импульса
в механике жидкости ................................... 80
10. Основные сведения о гидравлических машинах ....... 84
II. Основные сведения о гидравлических и пневматических
приводах .............................................. 91