B.C. МОНАХОВ
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ
КОНЕЧНЫХ ГРУПП
И ИХ КЛАССОВ
Допущено
Министерством образования Республики Беларусь
в качестве учебного пособия для студентов
физико-математических специальностей учреждений,
обеспечивающих получение высшего образования
^
Минск
'Вышэйшая школа"
2006

УДК 512.542(075.8)
ББК22.14я73
М77
Рецензенты: кафедра высшей алгебры Белорусского
государственного университета; доктор физико-математических наук, профессор
заведующий кафедрой прикладной математики Полоцкого
государственного университета ЭМ. Пальчик
Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги
или любой ее части не может быть осуществлено без разрешения
издательства.
Монахов, B.C.
М77 Введение в теорию конечных групп и их классов:
учеб. пособие / B.C. Монахов. - Мн.: Выш. шк., 2006. -
207 с.
ISBN 985-06-1114-6.
Изложены основы теории групп и теории классов конечных
групп: формаций, классов Шунка, классов Фиттинга. Рассмотрены
группы н их подгруппы, гомоморфизмы и произведения групп, абе-
левы и нильпотентные группы, разрешимые и сверхразрешимые
группы, проекторы и инъекторы.
Структура пособия отличается последовательностью и
доступностью изложения материала, полнота доказательств отвечает
методическим требованиям преподавания и делает возможным
использование пособия студентами для самостоятельной работы.
Для студентов, аспирантов и преподавателей
физико-математических специальностей вузов.
УДК 512.542(075.8)
ББК 22.14я73
© Монахов B.C., 2006
ISBN 985-06-1114-6 © Издательство «Вышэйшая школа», 2006

ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория групп — один из центральных разделов
современной алгебры, в настоящее время активно
разрабатываемый в Беларуси в научных школах Минска,
Гомеля, Витебска, Новополоцка, Могилева и Мозыря. Однако
учебных изданий, посвященных основам теории
конечных групп, в республике до сих пор не было.
Данная книга — расширенная запись лекций по
теории конечных групп, читаемых автором на
математическом факультете Гомельского государственного
университета им. Ф. Скорины начиная с 1986/87 учебного
года в рамках специализации «Алгебра и теория чисел».
Для понимания изложенного в ней материала
достаточно знать начальные разделы вузовского курса алгебры:
матрицы, отображения, перестановки, поля, векторные
пространства.
При подборе материала автор использовал методики
построения текстов лекций по теории групп С.А. Чуни-
хина и Л.А. Шеметкова, а также отдельные фрагменты
книг Гашюца [6] и Хупперта [7].
Книга состоит из пяти глав. Материалы первых трех
из них полностью охватывают ту часть типовой
программы университетского курса «Алгебра и теория чисел»,
которая касается теории групп, в связи с чем данное
учебное пособие может быть рекомендовано студентам-
математикам при изучении этого курса. Четвертая и
пятая главы могут оказаться полезными аспирантам
специальности 01.01.06 «Математическая логика, алгебра и
теория чисел» при подготовке к сдаче кандидатского
экзамена.
Более углубленно изучить различные разделы теории
конечных групп и их классов читатель может по
монографиям и обзорным статьям, указанным в списке
литературы.
3

ПРЕДИСЛОВИЕ
Автор искренне благодарен члену-корреспонденту
Национальной академии наук Беларуси профессору
Л.А. Шеметкову и профессору В.А. Ведерникову за
многочисленные полезные советы, способствовавшие
улучшению качества излагаемого материала. Автор весьма
признателен рецензентам — коллективу кафедры
высшей алгебры Белорусского государственного
университета, возглавляемому профессором О.И. Тавгенем,
профессору этой кафедры О.В. Мельникову, заведующему
кафедрой прикладной математики Полоцкого
государственного университета профессору Э.М. Пальчику —
за конструктивные замечания, и кандидату физико-
математических наук И.В. Близнецу — за помощь в
подготовке рукописи к изданию.
Все отзывы и пожелания просим присылать по
адресу: 220048, Минск, проспект Победителей, 11,
издательство «Вышэйшая школа».
Автор

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
N — множество всех натуральных чисел
Ζ — множество всех целых чисел
Q — множество всех рациональных чисел
Ш — множество всех действительных чисел
С — множество всех комплексных чисел
Ζ ρ — поле классов вычетов по простому модулю ρ
{а \ β} — множество всех а, для которых выполняется β
π — некоторое множество простых чисел
π' — дополнение к π во множестве всех простых
чисел
G — группа
\G\ — порядок группы G
е — единичный элемент группы G
Ε — единичная подгруппа, единичная группа
π(η) — множество всех простых делителей
натурального числа η
7r(G) — множество всех простых делителей порядка
группы G
Z(G) — центр группы G
F(G) — подгруппа Фиттинга группы G
Ф(С) — подгруппа Фраттини группы G
G' — коммутант группы G
Cg{H) — централизатор подгруппы Η в группе G
Ng{H) — нормализатор подгруппы Η в группе G
Aut G — группа всех автоморфизмов группы G
Inn G — группа всех внутренних автоморфизмов
группы G
Η <G —Η является подгруппой группы G
Η < G —Η является собственной подгруппой группы G
Μ < G — Μ является максимальной подгруппой
группы G
Η <\G —Η является нормальной подгруппой группы G
Η <\ <G — Η является субнормальной подгруппой
группы G
Η · <\ G — Η является минимальной нормальной
подгруппой группы G
\G : Н\ — индекс подгруппы Я в группе G
5

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
А х В — прямое произведение подгрупп А и В
[А]В — полупрямое произведение нормальной
подгруппы А и подгруппы В
(...) — подгруппа, порожденная некоторым
множеством элементов
[х,у] = х~1у~1ху — коммутатор элементов х,у £ G
Αχ—χ~λΑχ — множество, сопряженное с
множеством А посредством элемента χ
А~ В — группы А и В изоморфны
Ерп — элементарная абелева группа порядка рп
Dn — диэдральная группа порядка η
Qs — группа кватернионов порядка 8
Zn — циклическая группа порядка η
Sn — симметрическая группа степени η
Ап — знакопеременная группа степени η
GL(n,P) — полная линейная группа степени η над
полем Ρ
SL(n, Ρ) — специальная линейная группа степени η над
полем Ρ
PGL(n, P) — проективная полная линейная группа
степени η над полем Ρ
PSL(n, P) — проективная специальная линейная группа
степени η над полем Ρ
(5 — класс всех конечных групп
21 — класс всех абелевых групп
У1 — класс всех нильпотентных групп
U — класс всех сверхразрешимых групп
Θ — класс всех разрешимых групп
D — начало доказательства
й — окончание доказательства

ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
1.1. Группы. Примеры групп
Бинарной алгебраической операцией на множестве X
называют отображение декартова квадрата Χ χ Χ в X.
Если φ: Χ χ X —>■ X — бинарная операция на X, то
каждой упорядоченной паре (а, Ь) элементов из X
соответствует однозначно определенный элемент с = ср(а,Ь).
Бинарную операцию на X обозначают одним из следующих
символов: +,·,©,о,®,* и т.д. Если вместо φ условимся
писать о, то вместо с = <р(а, Ь) следует писать с = а о 6.
Наиболее часто используются две формы записи
операции: аддитивная и мультипликативная. При
аддитивной форме записи операцию называют сложением и
вместо с = а о Ь пишут с = а + Ь. При мультипликативной
форме записи операцию называют умножением и
вместо с = aob пишут с = α-b или с — аЬ.Ъ дальнейшем при
изложении теории будем использовать
мультипликативную форму записи операции.
Говорят, что на множестве X определена бинарная
операция (умножение), если ab G X для всех а,Ь G X.
Если а(Ьс) — (ab)c для всех а, 6, с G X, то операция
называется ассоциативной. Если ab = 6а для всех а, 6 G X, то
операция называется коммутативной. Элемент е € X
называется единичным, если ае = еа = а для всех a G X.
Обратным к элементу а называется такой элемент а-1,
что аа-1 = а~1а = е.
Полугруппой называется непустое множество Ρ с
бинарной алгебраической операцией (умножение), которая
удовлетворяет следующим двум требованиям: операция
определена на Р, т.е. ab G Ρ для всех а,Ь € Р; операция
ассоциативна, т.е. а(Ьс) = (аб)с для любых а, 6, с G Р.
Теорема 1.1. Б полугруппе может быть не более
одного единичного элемента. Если в полугруппе
имеется единичный элемент, то каждый элемент обладает
не более чем одним обратным.
1

1. ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
D Пусть е\ и в2 — единичные элементы. Тогда е\е2 =
— е\, поскольку в2 — единичный элемент, и е\е2 = в2, так
как ei — единичный элемент. Поэтому е\ — e<i. Пусть
теперь е — единичный элемент. Предположим, что а\ и
а2 — обратные к а элементы, т.е. а\а = аа\ = е = а2<з =
= аа2- Тогда αϊ = aie = αι(αα2) = (α\ά)α2 = еа>2 = α>2· ^
Теорема 1.2. 5 полугруппе 'результат
применения операции к нескольким элементам не зависит от
способа распределения скобок.
D Пусть αι,α2,... ,ал — элементы
мультипликативной полугруппы Р. Не меняя порядка следования
элементов, можно разными способами вычислять их
произведение. Для η < 4 составим следующие произведения:
а\ при η = 1;
αια2 при η = 2;
(αια2)α3,αι(α2α3) при η = 3;
((aia2)a3)a4,(ai(a2tt3))tt4?ai((a2tt3)tt4),ai(a2(tt3tt4))7
(aia2)(a3a4) при η = 4.
Поскольку операция ассоциативна, то (αια2)α3 —
= а\(а2аз). Для η = 4, используя свойство
ассоциативности, легко доказать, что все пять произведений
совпадают.
Продолжим доказательство индукцией по п. Считаем,
что для числа элементов, меньшего п, справедливость
утверждения установлена. Нам нужно показать, что
Ы · · · α*)(α*+ι . · · an) = Ы · ·. α>ι)(αι+ι... ап)
при любых &и/, 1<&,ί<η — 1. По предположению
индукции произведения внутри скобок вычисляются
однозначно. Пусть к > I. Тогда
(ai. ..afc)(a/fe+i ...an) =
= ((αϊ ...a/)(af+i... afc))(afc+i... an) = (α{ ...α/)χ
x((ai+i ...αΑ:)(αΑ:+ι...αη)) = (αϊ ...α,)(α/+ι ...ап).И
8

1.1. Группы. Примеры групп
Теорема 1.2 позволяет использовать в полугруппах
знак кратного умножения:
2 3 η
i=l i=l i=l
В частности, при а\ = α2 = ... = an = а произведение
aa.. .а обозначают через ап и называют п-й степенью
элемента а. Следствием теоремы 1.2 являются
равенства:
апат = ап+т, {ап)т = апт, (1.1)
справедливые для всех натуральных η и т. В
полугруппе Ρ с единицей е для любого α Ε Ρ полагают
α° = е. Заметим еще, что если аЬ = 6а, то (аб)" =
= αη6η для всех натуральных п, что легко проверяется
индукцией по п.
Группой называется непустое множество G с
бинарной алгебраической операцией (умножением), которая
удовлетворяет следующим требованиям:
1) операция определена на G, т.е. ab € G для всех
a.beG;
2) операция ассоциативна, т.е. а{Ьс) = (ab)c для
любых a,b,c E G\
3) в G существует единичный элемент, т.е. такой
элемент е £ G, что ае — еа — а для всех a Ε G;
4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для
любого а Е G существует такой элемент а"1 Ε G, что
αα_1 = α~ια = е.
Более кратко: полугруппа с единицей, в которой
каждый элемент обладает обратным, называется группой.
Группу с коммутативной операцией называют
коммутативной или абелевой. Если G — конечное
множество, являющееся группой, то G называют конечной
группой, а число \G\ элементов в G — порядком
группы G.
Отметим некоторые начальные свойства групп,
которые сформулируем в виде лемм. Следующее свойство
вытекает из теоремы 1.1.

1. ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
Лемма 1.3. В группе имеется единственный
единичный элемент и для каждого элемента существует
единственный обратный.
Лемма 1.4. Если a, b — элементы группы G, то
(а"1)"1 =а u{ab)~l =6~1а"1.
D Первое равенство очевидно. Так как
{аЬ){Ъ~1а-1) = a{bb'l)a~l = aea~l = е, (fr1^1)^) =
= b~l(a~la)b = b~leb = e, то справедливо и второе
равенство. Й
Определим отрицательные целые степени элемента
группы как обратные положительным степеням, т.е.
положим
а~п = (а71)"1 (1.2)
для всех η Ε N.
Лемма 1.5. Если а — элемент группы G и s Ε Ζ,
mo (а5)"1 = (а"1)5=а-5.
D Пусть s > 0. Тогда по лемме 1.4 имеем:
(αθ)-1 = (α...α)-1=α-1...α-1 = (α"1)θ.
Теперь (а5)-1 = а-5 по формуле (1.2). Если s = 0, то
(а*)-1 = е = (а"1)5 = а"5. Если 5 < 0, то
(а5)"1 = ((а"1)!5!)"1 = ((а·5!)"1)"1 = а^ = а"5,
(а"1)5 = (а"1)"!*! = ((а"1)!5')"1 = ((аИ)"1)"1 = а'*' = а~\
Следовательно, (а5)-1 = (а-1)5 = а-5. И
Лемма 1.6. Для любых целых s^t и любого а 6 G
справедливы равенства: asal = α5+ί, (а5)* = а5*.
D Для натуральных показателей данные равенства
уже получены в формулах (1.1). Если один из
показателей — нуль, то равенства также справедливы. Пусть s
и t — отрицательные числа. Используя леммы 1.4, 1.5 и
формулы (1.1), получаем:
aV = α-ΙΊα-ΙΊ = (α-ψΙ(α-ψ = (α~ψ+Μ = as+t,
(α$)1 = (α-Μγ = ((αϊ'!)"1)* = (α'Ί)-' =
= (αΙ*Ι)'*Ι = αϊ*"*' = ast.
10

1.1. Группы. Примеры групп
Если s < О, t > О, t > |s|, то
t
Если s < О, t > 0, |s| > t, то
a-V = a^V = а'1 .. .а'1 а.. .а = (а~1)^-1 = al+s.
\s\ t
Далее, если s < О, t > О, |s| > t или t > |s|, то
(а5)' = а5...а5 =
= (а"1... а"1)... (а"1... а"1) = (а"1)!5^ = asK
W W
4 ν '
£ скобок
Случай 5 > 0, t < 0 проверяется аналогично, й
Лемма 1.7. В группе G уравнения ах = b иус — d
имеют единственные решения χ = a~lb и у — dc~l.
D Так как a(a~lb) = (aa~x)b = eb = ί>, то а~1Ь —
решение уравнения ах = Ь. Если t — произвольное
решение этого уравнения, то t = et = {a~la)t = a~~l(at) =
= α"16. Аналогично проводятся рассуждения для
уравнения ус = d. ЕЗ
Теорема 1.8. Полугруппа Ρ является группой
тогда и только тогда, когда уравнения ах — Ьу уа — Ъ
имеют решения для любых элементов а, 6 Ε Р.
D Если Ρ — группа, то по лемме 1.7 уравнения
ах ~Ь,уа — Ь имеют решения для любых а,Ь £ Р.
Обратно, пусть Ρ — полугруппа и уравнения ах = 6,
уа = Ь имеют решения для всех а,Ь € Р. Зафиксируем
элемент с Ε Ρ и обозначим через #с решение уравнения
еж = с. Пусть g — произвольный элемент из Ρ и у* —
решение уравнения ус = д. Умножив обе части равенства
схс = с слева на у*, получим у*схс = у*с или дос = #.
Таким образом, ^хс = g для всех g Ε Р.
11

1. ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
Решение уравнения дх = хс обозначим через д~г.
Итак, дд~1 = хс для всех д Ε Р.
Пусть а — произвольный элемент из Ρ и хса = Ь.
Умножим справа обе части равенства на а-1. Имеем
хсаа~1 = ba~l или хсхс = ba~~l. Но хсхс = хС1
поэтому Хс = Ьа~1. Так как аа~1 = яс, то αα"1 = 6α"1. Через t
обозначим решение уравнения а"1 х = хс, т.е. a~lt — хс.
Умножив обе части уравнения aa~l = ba~l справа на £,
получим: aa~lt = ахс = а = &а~Ч = Ь#с = 6, т.е. а = b и
хс — единичный элемент полугруппы Р. По теореме 1.1
единичный элемент в Ρ единственный.
Допустим, что д~1д = /, где #,/ Ε Р. Умножив обе
части равенства справа на д~1, получим g~lgg~l = fg~l
или g~lxc = ff"1 = /ff-1- Так как в Ρ единичный элемент
единственный, то / = хс и д~1 — обратный элемент к
элементу д в полугруппе Р. Поэтому Ρ — группа. И
Теорема 1.8 позволяет ввести определение группы,
эквивалентное исходному.
Группой называется непустое множество G с
бинарной алгебраической операцией (умножением),
удовлетворяющей следующим требованиям:
1) операция определена на G;
2) операция ассоциативна;
3) уравнения ах = b, ya = b имеют решения для
любых элементов α, ί> Ε G.
Говорят, что элемент а группы G сопряжен с
элементом Ъ посредством элемента я, если а = x~lbx. Вместо
x~lbx удобнее писать Ьх. Через aG = {ах \ χ Ε G}
обозначим множество всех элементов группы G, сопряженных
с элементом а. Это множество аР называется классом
сопряэюенпых с а элементов. Ясно, что если G абелева,
то aG = {а} для всех а € G.
Лемма 1.9. Пусть G — группа, элементы a, b,x,y E
Ε G. Тогда:
1) ахУ = (ах)У;
2) (ab)x = ахЬх;
3) (а*)"1 = (а"1)*;
12

1.1. Группы. Примеры групп
4) (ах)к = (ак)х для любого целого к;
5) два класса сопряженных элементов либо
совпадают, либо их пересечение пусто;
6) группа G является объединением
непересекающихся классов сопряженных элементов.
D 1—4. Утверждения очевидны.
5. Пусть aG Л bG φ 0 и d € aG Л bG. Тогда d = ax = by
для некоторых х, у EG. Поэтому
x~lax = y~lby, a = xy~1byx~1 = Ь2*1 Е 6G.
Если с = α* G aG, то с = Wx~Xz е bG и aG С 6G.
Аналогично bG С aG, поэтому aG — bG.
6. Так как a = ae G aG, то каждый элемент группы G
принадлежит некоторому классу сопряженных
элементов и, согласно утверждению 5, группа G распадается на
непересекающиеся классы сопряженных элементов, й
Все приведенные определения и полученные
результаты легко переносятся (с соответствующим изменением
терминологии, как указано далее в табл. 1.1) на
множества с аддитивной формой записи операции.
Приведем примеры числовых групп.
1. Множества Ζ, Q, R, С с операцией сложения — абелевы
группы. Все требования определения группы проверяются без труда.
2. Множество N со сложением не является группой, так как в
N нет нулевого и противоположных элементов. Однако N со
сложением — коммутативная полугруппа.
3. Множество { — 1,1} с умножением — конечная абелева
группа порядка 2.
4. Ни одно из множеств Ν, Z, Q, R, С с умножением группу не
образует. Если положим R# = R\ {0}, Q* = Q\ {0}, C# = C\ {0},
TO R#, Q# и С* с умножением являются абелевыми группами.
Множества Z* = Z\{0} hNc умножением — полугруппы, но не
группы.
Приведем примеры матричных групп.
1. Пусть Ρ — некоторое поле. Через М{п,Р) обозначим
совокупность всех квадратных η χ π-матриц с элементами из Р. Ясно,
что М(пу Р) с операцией умножения матриц — полугруппа с
единичной матрицей в качестве единичного элемента. Так как только
невырожденные матрицы имеют обратные, то Μ(π, Ρ) не является
группой.
13

1. ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
Таблица 1.1
Мультипликативная
запись операции
Умножение
Произведение аб,
η
; Υ[ α,χ = а\ао ... an
t=l
Единичный элемент е,
ае = еа = а
Обратный элемент α ,
αα~ = α~ α = е
j Ассоциативность,
(аб)с ~ a(bc)
Коммутативность,
аЪ = Ъа
Степень ап при η > 0,
αη = α .. .α
η раз
Степень ап при η < 0,
αη = α~1...α~1
— η раз
αη = е при η = 0
η71 ηΤΪΙ ηΎΙ-\-ΤΠ
α α — α ,
η, πι £ Ζ
(an)m = anm, n,m€Z
(α6)η = αη6η, η e Ζ,
если α6 = Ъа
Аддитивная
запись операции
Сложение
Сумма а + 6,
η
Σ <Ч = αι + аг + ... + αη
г=1
Нулевой элемент 0,
α+0=0+α=α
Противоположный элемент
а + (—а) = — а + а = 0
-α,
Ассоциативность,
(а + Ъ) + с = а + (Ь + с)
Коммутативность,
a + 6 = 6 + а
Кратное па при η > 0,
ηα = a + ... + a
η раз
Кратное па при η < 0,
ηα = (—a) + ... Η-(—a)
— η раз
ηα = 0 при п ~ 0
па + ma = (η + m)a,
η,τη eZ
τη(ηα) = (τηη)α, η, m 6 Ζ
η(α + b) = ηα + ηδ, η 6 Ζ,
если α + 6 = b + a
2. Пусть GL{n,P) = {A e Μ (η, Ρ) \ detA φ 0}. Тогда
GL{n, P) — группа, которую называют полной или общей линейной
группой степени η над Р.
3. Матрицы с единичными определителями образуют группу
SL{n,P) = {Л 6 GL{n,P) | detA = 1}, которая называется
специальной линейной группой степени η над Р.
Приведем примеры групп перестановок.
1. Пусть X = {1,2,..., п}. Взаимно однозначное отображение
множества X на себя называется перестановкой степени п.
Совокупность всех перестановок степени η обозначают через Sn-
Перестановку г 6 Sn удобно изображать двустрочной таблицей, указы-
14

1.1. Группы. Примеры групп
вая образы всех элементов:
" (т(1)
2
7(2)
п\ /1 2 ... тг\
где {αι,α2,... ,ап} = Х\ г: 1 к» αϊ,..., η «-> ап.
Тождественное преобразование ε χ является взаимно
однозначным отображением и поэтому ε χ 6 5η · Очевидно, что
(I 2 ... п\
= εχ={ΐ 2 ... nj'
Произведение 6т двух перестановок £ и τ находим как
произведение отображений: 6т(к) = 6(т(к)), к = 1,2,...,тг. Легко
показать, что множество Sn всех перестановок степени η с
операцией умножения образует конечную группу порядка п\ с единичным
элементом
2 ... п>
2 ... ηj
-С
которую называют симметрической группой степени п. При η > 3
эта группа неабелева. (Таблица умножения элементов группы 5з
дана на обложке.)
2. Четные перестановки образуют конечную группу Ап
порядка п!/2, которую называют знакопеременной группой степени п.
При η > 4 эта группа неабелева.
Приведем примеры групп функций.
1. Четыре функции
fi(x) = x, f2{x) = -x,
χ
χ
с операцией умножения образуют группу. Составим таблицу
умножения этих функций.
Произведение fifj указывается на пересечении строки /; и
столбца fj. Например,
/а/з: *£-&--,
поэтому /2/3 = /4·
Таблица 1.2
h
/2
/3
Λ
Λ
/1
/2
/з
/4
/2"
/2
Λ
Λ
/з
/3
/з
Λ
Λ
/2
Λ
/4
/з |
/21
/1
15

1. ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
Из табл. 1.2 видно, что умножение определено на множестве
{/l j /2 j /з > /4 } и коммутативно. Поскольку умножение
отображений ассоциативно, то выполняется второе требование определения
группы. Функция /ι является единичным элементом, а /Г = /j,
т.е. каждый элемент является обратным для себя. Таким образом,
множество {/ι, /о, /з, /4} с умножением является конечной абеле-
вой группой порядка 4.
2. Аффинным преобразованием прямой называется
отображение φα^'. х «->■ ах + 6, а,Ь 6 R, а ^ О, множества R в R.
Совокупность всех аффинных преобразований прямой
обозначается через i4i(R). Согласно операции умножения отображений
аффинные преобразования прямой перемножаются так: φα^φ0 d'·
χ «-)■ ex + d y-+ c(ax + b) + d = acx + (be + d) и Ψα^Ψο,ά = Vacfc+d-
Поэтому A\ (R) является неабелевой группой с единичным элементом
φ\$ и обратным элементом φα-ι ~а~1Ь Для элемента φα^·
Пример 1.1. Перечислить все классы сопряженных
элементов симметрической группы
S3 = {ε, (12), (13), (23), (123), (132)}.
О Вычислим (12)ж, где χ «пробегает» элементы из S3. Ясно,
что (12)ε = (12) и (12)(12) = (12). Далее,
(12)<13) = (13)~1(12)(13) = (31)(12)(13) = (23),
(12)<23> = (32)(12)(23) = (13),
(12)(123) = (321)(12)(123) = (13),
(12)(132) = (231)(12)(132) = (23).
Итак, (12)53 = {(12), (23), (13)}. Аналогично
(23)5з=(13)5*={(12),(23),(13)},
(123)5э = (132)5э = {(123), (132)}.
Таким образом, в Бз имеется только три класса сопряженных
элементов и 53 = ε53 U (12)5э U (123)5э. 13
Теорема 1.10. Две перестановки соирясисены в оп
тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое
число независимых циклов каждой длины.
О Пусть г = (ац ... air)(a2i ... a2s) · ·. {ат\... amt) —
разложение перестановки τ на независимые циклы и π —
произвольная перестановка из Sn. Можно записать
перестановку следующим образом:
7Г = (Ьи "' ^lr ^21 '" ^2s '" ЬтХ··' ЬтЛ
\а\\ ... а\г а>2\ ··· #2s ··· ami··· amtJ'
16

1.2. Подгруппы
Тогда для произвольного 6^ имеем:
π-1τ7Γ:^Λαί^(α^π1_Γ>^+1'
[an ь-> Ьц.
Следовательно,
7Г~ τπ = (Ьц . . . 6ir)(&2i . . · b2s) · · · (6mi · ♦ · bmt),
т.е. сопряженные перестановки имеют одинаковое число
циклов каждой длины. Обратно, если перестановки
δ = (Сц . . . С1Г)(С21 · · · С25) · · · (Cmi . . . Cmt),
σ = (dn ... rfir)(d2i . · · d2S) · · · {dm\ ... dmt)
имеют одинаковое число циклов каждой длины, то
_ fd\\ ... rfir- C?21 ··· ^25 ··· rfml ··· <*тЛ
\Сц ... Cir C21 ... C2s ..- Cmi ... Cmiy
является такой перестановкой, что α~ισα — δ. Таким
образом, перестановки δ и σ с одинаковым числом циклов
каждой длины сопряжены. И
Рассмотрим симметрическую группу степени 4. Запись (...)(.)
обозначает любую перестановку в £4, распадающуюся на
циклы длиной 3 и 1. В 54 возможны следующие разложения:
(·)(■){·)(·), (-)(·)(··).(·)(···), (··)(■·), {...·)· На основании теоремы 1.10
группа 54 имеет пять классов сопряженных элементов.
1.2. Подгруппы
Подмножество Η группы G называется подгруппой.
если Η — группа относительно той же операции, которая
определена на G. Запись Η < G означает, что Η —
подгруппа группы G, а Η < G — что Η < G — собственная
подгруппа группы G, т.е. Η < G и Η φ G.
ТЕОРЕМА 1.11. Непустое подмножество Η
группы G будет подгруппой тогда и только тогда, когда
h\h,2 G Η и h^1 G Η для всех Λχ, hi G Η.
D Пусть Η — подгруппа группы G, т. е. Η — группа
относительно той же операции, которая определена на
17

1. ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
G. На Я определена алгебраическая операция, поэтому
h\h2 G Я для всех h\,h<i G Я.
Проверим, совпадает ли единица е\ подгруппы Я с
единицей е группы G. Ясно, что е\е — ее\ = е\)
поскольку е\ — элемент из G. В G для е\ имеется обратный
элемент ej~ , т.е. е\ е\ — е\е\ = е. Так как е\ —
единица в Я, то е\е\ = е\. Умножив обе части последнего
равенства на е[ , получим ej~ е\в\ = е\ е\ или ее\ = е,
откуда е\ = е. Таким образом, единицы подгруппы Я и
группы G совпадают.
Поскольку Я — подгруппа, то для каждого h G Я
существует обратный элемент h~l G Я", т.е. такой, что
h~lh = hh~l = е\ = е. Это означает, что h~~l является
обратным элементом в G.
Обратно, пусть h\h2 G Я и /ij-1 G Я для всех
/ii,/i2 G Я. Тогда на Я определена алгебраическая
операция. Она ассоциативна в Я, так как ассоциативность
справедлива для всех элементов из G. Элемент Л-1,
обратный к h G Я, также принадлежит Я, поэтому
Л~1/г G Я и /i/ι-1 G Я. Поскольку h~lh = е = hh~l,
то е G Я и Я — группа. И
Отметим, что каждая группа G обладает единичной
подгруппой Ε = {е}. Сама группа G также считается
подгруппой в G. Эти подгруппы называют тривиальны-
ми подгруппами. Нетривиальная подгруппа группы G —
это такая подгруппа Я из G, которая отлична от G и Е.
Собственной называется подгруппа, отличная от
группы. Очевидна следующая
Лемма 1.12. 1. Если Я — подгруппа группы G и
К — подгруппа в Η, то К — подгруппа группы G.
2. Если Я и К — подгруппы группы G и Я
содержится в К, то Я — подгруппа в К.
Пусть Τ — подмножество группы G и χ G G.
Через Тх = {x~ltx | t G Τ} обозначим подмножество всех
элементов группы G вида x~ltx = tx, где t «пробегает»
все элементы множества Т. Подмножество Тх
называется подмножеством, сопряженным подмножеству Τ
посредством элемента х.
18

1.2. Подгруппы
Лемма 1.13. Если Η — подгруппа группы G, то
Нх — таксисе подгруппа для любого χ G G.
D Пусть *ь^2 £ Нх. Тогда существуют элементы
/ii,/*2 G Я такие, что t\ — hx, t<i — hx.
Следовательно, tit2 = h\h\ = {h\h<2)x G Hx, поскольку hih,2 G H.
Кроме того, tj"1 = (x~lh\x)~l = rc"1^^1^ G Ях, так как
ft^" G Я. Условия теоремы 1.11 выполняются,
следовательно, Нх — подгруппа. Η
Подгруппа Нх называется подгруппой, сопряженной
подгруппе Я посредством элемента х.
Лемма 1.14. Пересечение любого непустого
семейства подгрупп группы является подгруппой.
D Пусть D = f] Яа, где На — подгруппа группы G
для любого a G / и I — некоторое множество индексов.
Если di,d2 G D, то di,cf2 G На для всех a G /. Значит,
ύίι<^2 G Яа и ^1^2 G D. Если d G D, то d G Яа и d_1 G Яа
для всех a G /. Следовательно, d_1 e D и D — подгруппа
группы G согласно теореме 1.11. Η
Пересечение пустого семейства подгрупп группы G
будем считать равным G.
Подгруппа, пороэюдепная мноэюеством. Пусть
Τ — подмножество группы G. Пересечение всех подгрупп
группы G, содержащих подмножество Т, называется
подгруппой, порожденной подмножеством Т, и
обозначается через (Г). Таким образом,
<т>= η я.
TCH<G
Из этого определения получаем равенство (0) = Е) а
также нижеследующее утверждение.
Лемма 1.15. Подгруппа, пороэюдепная непустым
мноэюеством Т, является наименьшей подгруппой,
содержащей множество Т.
Введем обозначение Т-1 = {t~l \ t G Τ}.
Теорема 1.16. Пусть Τ — непустое
подмножество группы G. Тогда подгруппа (Т) состоит из всех
19

1. ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
конечных произведений элементов из Τ и им обратных,
т.е.
(τ) = {ίι...ί„ \иетит-\пеЩ.
D Пусть F = {ίι... tn I U е Τ U Τ"1, η G Ν} и
u,v £ F. Тогда
u = ίι ...ίη, ν = hi ...hk, tuhj e TUT"1, n,& G N.
Поэтому uv = ίι... ίηήι ... ftfc также является
конечным произведением элементов из Τ U Τ-1. Кроме
того, u~l = (ii-.-in)-1 = ί"1...*^1 Ε F, поскольку
ί"1 Ε TUT"1. Условия теоремы 1.11 выполняются, по-
этому F — подгруппа.
Подгруппа F содержит подмножество Т, значит, F
встречается среди подгрупп, участвующих в пересечении
р) Я. Следовательно, (Т) С F.
TCH<G
Проверим обратное включение. По определению
TCH<G
Если Я - подгруппа и Τ С Я, то Т~1 С Я и F С Я по
теореме 1.11. Следовательно, F С (Т) и (Т) = F. H
Решетка подгрупп. Пусть S(G) обозначает
множество всех подгрупп группы G с бинарным
отношением < . Две подгруппы Аи В находятся в бинарном
отношении < тогда и только тогда, когда А — подгруппа в Я.
Ясно, что отношение < рефлексивно, антисимметрично и
транзитивно. Поэтому S(G) — частично упорядоченное
множество с наименьшим элементом Ε и наибольшим
элементом G.
Напомним, что решеткой называется частично
упорядоченное множество, в котором каждое
двухэлементное подмножество обладает как точной верхней, так и
точной нижней гранью.
Для каждой пары {А, В} подгрупп пересечение АПВ
будет наибольшей подгруппой, содержащейся в А и в В.
Поэтому АПВ — точная нижняя грань двухэлементного
20

1.2. Подгруппы
множества {А, В}. Из теоремы 1.16 получаем, что (AUB)
будет точной верхней гранью множества {А, В}. Таким
образом, доказана
Теорема 1.17. Множество S(G) всех подгрупп
группы G с бинарным отношением < является
решеткой.
Централизатор. Пусть Τ — непустое
подмножество группы G. Совокупность всех элементов группы G,
перестановочных с каждым элементом множества Т,
называется централизатором множества Τ в группе G и
обозначается через CG(T).
Лемма 1.18. 1. Если Τ — подмножество группы
G, то централизатор CG{T) является подгруппой.
2. Если S и Τ — подмножества группы G и S СТ,
moCG(T)CCG(S).
3. Если Τ — подмножество группы G и χ G G, то
CG{T*) = CG{T)*.
D 1. Пусть х,у G CG(T). Тогда для любого апемента
t G Τ получаем, что xt — tx, yt = ty. Поэтому xyt =
= xty = txy, xy G CG(T). Умножив обе части равенства
xt = tx на x~~l слева, получим: t = x~ltx, tx~l = x~lt,
x~l G CG(T). По теореме 1.11 централизатор CG(T)
является подгруппой.
2. Если χ G CG{T), το χ перестановочен со всеми
элементами из Т, а так как S С Т, то χ будет
перестановочен со всеми элементами из S. Поэтому χ G CG(S) и
cG(T)ccG(S).
3. Если g G CG[TX), то gtx = txg для всех t G Т. Так
как gtx = gx~ltx = txg — x~ltxg, то xgx~lt = txgx~l,
xgx~l G CG(T). Поэтому g G CG{T)X и CG{TX) С
С CG(T)X'. Аналогично проверяется обратное
включение. И
Центр группы. Центром группы G называется
совокупность всех элементов из G, перестановочных с
каждым элементом группы. Центр обозначается через Z(G).
Ясно, что Z(G) = CG(G), т.е. центр группы G совпадает
с централизатором подмножества G в группе (7. Кроме
того, Ζ{β) = Π C-g($)·
geG
21

1. ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
Лемма 1.19. Для группы G справедливы
следующие утверждения:
1) если а Е Z(G), то класс сопряженных с а
элементов состоит из одного элемента а, т.е. оР = {а};
обратно, если аР — {а}, то a Ε Z(G);
2) Z{G)X = Z{G) для всех χ G G;
3) Z(G) является абелевой подгруппой;
4) группа G абелева тогда и только тогда, когда она
совпадает со своим центром;
5) если Я — подгруппа, то CG(H) Π Я = Z(H);
6) если χ Ε G, то (Z(G),x) — абелева подгруппа.
D 1. Если a G Z(G), то aG = {ах\х G G} = {а}, так
как ах — х~1ах = х~1ха = а. Обратно, если аР = {а}, то
ах — а для всех χ G G и α G Z(G).
2. Поскольку Z[G) = CG(G), то Z{G)X = CG{G)X =
= CG{GX) = CG{G) = Z(G) для всех χ e G. (Здесь мы
использовали лемму 1.18.)
3. По лемме 1.18 множество Z(G) = CG(G) является
подгруппой. Если хьу G Z(G), то хд = дх) уд = #£/ для
всех элементов д G G. В частности, ху = ух и Z(G)
абелева.
4. Если G абелева, то каждый элемент группы G
перестановочен со всеми элементами группы G, поэтому
G = Z(G). Обратно, если G = Z(G), то из
утверждения 3 леммы следует, что G абелева.
5. Если ζ G Ζ (Η), то г/ι = Лг для всех /г € Я, поэтому
ζ G <7σ(#) и Ζ {Η) С Я П СС(Я). Обратно, если с G
G Я Π Сс{Н). то с/г = he для всех h G Я и с G Z(H), т.е.
HnCG{H) CZ{H). Таким образом, Z(#) = Hf)CG(H).
6. Пусть χ £ G и Η = {Z(G),x) — подгруппа,
порожденная подмножеством 5 = Z(G) U {χ}. Ясно, что
любые два элемента s и t подмножества S
перестановочны. Поэтому перестановочны элементы s~l Hi""1. Теперь
по теореме 1.16 подгруппа Я абелева. й
Приведем примеры подгрупп.
1. Так как Z,Q, К, С — аддитивные группы, то Ζ < Q < R < С.
2. Поскольку Q*, R#, C9^ ,{—1,1} — мультипликативные
группы, п» {-1,1} <Q# <R# <С#.
22

1.3. Циклические группы
3. Относительно умножения GL(n, Ρ) и SL(n, Ρ) — группы,
где Ρ — некоторое поле. Значит, SL(n, Ρ) < GL(n, P).
4. Совокупность Sn всех перестановок степени η и
совокупность Ап всех четных перестановок с операцией умножения
перестановок являются группами. Поэтому Ап < Sn- Несложно
показать, что при любом η > 4 центры этих групп являются
единичными подгруппами.
1.3. Циклические группы
Зафиксируем в группе G элемент а. Пересечение всех
подгрупп группы G, содержащих элемент а, назовем
циклической подгруппойf порожденной элементом а, и
обозначим через (а). Таким образом, (а) = f| Η. Из те-
aeHKG
оремы 1.16 в случае Τ = {а} следует
Теорема 1.20. Циклическая подгруппа (а),
порожденная элементом а, состоит из всевозможных целых
степеней элемента а, т.е. (а) = {ат | га £ Ζ}.
Следствие. Циклическая подгруппа абелева.
D Пусть G — группа, (а) — циклическая
подгруппа, порожденная элементом а £ G, и a;,i/ -
произвольные элементы подгруппы (а). Тогда по теореме 1.20
χ = α71, у = ат для некоторых целых чисел п, га и
яу = апат = ап+т = ат+п = атап = ух, т.е. подгруппа
(а) абелева. В
Порядок элемента. Пусть а — элемент группы G.
Если все степени элемента а различны, т.е. ат Φ αη для
всех целых га φ η, то говорят, что элемент α имеет бес-
конечный порядок.
Предположим, что имеются совпадения ат = αη при
га φ п. Если, например, га>п, тога — п>0и ат~п = е,
т.е. существуют натуральные степени элемента а, равные
единичному элементу. Наименьшее натуральное число А,
при котором ак — е) называют порядком элемента а и
пишут: \ а \= к.
Ясно, что в любой группе единичный элемент е
имеет порядок 1. Других элементов порядка 1 в группе нет.
23

1. ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
В конечной группе все элементы имеют конечные
порядки.
Следующая теорема показывает, что циклическая
подгруппа, порожденная элементом конечного порядка
к) состоит точно из к элементов.
Теорема 1.21. Пусть элемент а £ G имеет
конечный порядок к. Тогда (а) = {е. а, а2,..., ак~1}. Кроме
того, ат — е в точности тогда, когда к делит т.
О По теореме 1.20 (а) = {ат \ т £ Z}. Любое целое
число га можно представить в виде т — kq + г, 0 <
< г < к - 1. Поэтому ат = akq+r = ahqar = {ak)qar = ar
и (α) С {е, α,... ,ак~1}. Обратное включение очевидно,
значит, (а) = {е, а,..., ак~1}. Так как ат = аг, то ат = е
лишь при г = 0, т.е. когда А; делит т. Ε
Если группа G совпадает с одной из своих
циклических подгрупп, то G называют циклической группой.
В этом случае в группе G имеется элемент а такой, что
G = (а) и по теореме 1.20
G = {a) = {am |77ΐΕΖ} = {...,α-2,α_1,α0 = β,α,α2,...}.
Если элемент а имеет бесконечный порядок, то
элементы ат, га £ Ζ, в группе G попарно различны и С? —
бесконечная циклическая группа.
Если элемент α имеет конечный порядок к, то G =
= (а) = {е,а,... ,ак~1} по теореме 1.21, т.е. циклическая
группа G, порожденная элементом а порядка Аг, состоит
из к элементов. В этом случае G - конечная циклическая
группа порядка к.
Подгруппы циклических групп. Вначале
рассмотрим бесконечные циклические группы.
Теорема 1.22. Все подгруппы бесконечной
циклической группы G = (а) исчерпываются единичной
подгруппой Ε = {е} и бесконечными циклическими
подгруппами (ат} для каждого натурального га.
D Пусть Η — произвольная подгруппа бесконечной
циклической группы G = (а). Тогда е € Η и если других
элементов в Η нет, то Η = {е} — единичная подгруппа.
24

1.3. Циклические группы
Пусть аг £ Я, α1 φ е. Тогда обратный элемент аГь
также принадлежит Я и можно выбрать в Я элемент ат
с наименьшим натуральным показателем га. Если ап —
произвольный элемент из Я, то η = mq + г, 0 < г < га,
и аг = ап-ш^ = ana_m* = an((am)i)"1 £ Я. По выбору
m заключаем, что г = 0 и η кратно га. Таким образом,
Я С (am). Поскольку if — подгруппа, то выполняется и
обратное включение {ат) С Я. Итак, Я = (am).
Заметим, что для каждого га > 2 подгруппа (am) бесконечна
и не совпадает cG. В
Следствие. Все неединичные подгруппы
бесконечной циклической группы являются бесконечными
циклическими подгруппами.
Напомним, что запись (п, га) означает наибольший
общий делитель чисел пят.
Лемма 1.23. Если (а) — циклическая группа
порядка п, то элемент ат имеет порядок п/(п,га).
В частности, элемент ат имеет порядок η тогда и
только тогда, когда пит взаимно просты.
D Пусть η = ύίηχ, га = dm\, где d = [n.m). Ясно,
что (ni,mi) = 1. Если amt = e, то dn\ делит rat = dm\t
и щ делит t. Так как amni = admini = anm* = e, то щ -
порядок элемента ат. Η
Теорема 1.24. Все подгруппы конечной
циклической группы (а) порядка η исчерпываются
циклическими подгруппами (ат) порядка п/т для каждого
натурального т> делящего п.
D Пусть Я — подгруппа группы (а) = {е, а,..., ап~1}.
Тогда е £ Я и если других элементов в Я нет, то
Я = {е} = (ап) — единичная подгруппа порядка 1.
Пусть ат Ε Я, ат φ е, m — наименьшее.
Допустим, что аг — произвольный элемент из Я. Разделим
t на га с остатком: t = mq -f r, 0 < г < га.
Теперь ar = а1~тя = a*a"m<? = a'(a™7)-1 € Я, поскольку
аь,ат £ Я. По выбору га получаем, что г — 0 и t
делится на га. Итак, в Я все элементы являются степенями
элемента ат. Следовательно, Я = (ат) — циклическая
группа.
25

1. ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
Убедимся, что т делит п. Пусть η = rag + r, 0 < г <
< т. Тогда аг = ап~т^ = αη(α™?)-1 = е({атУ)-1 € Я.
Из минимальности га следует, что г = 0 и η делится
на га. По лемме 1.23 порядок Η равен η/πι. й
Следствие. В конечной циклической группе
порядка η для каждого натурального делителя d числа η
существует единственная подгруппа порядка d.
G Пусть G = (а) — конечная циклическая группа
порядка η и d — натуральное число, делящее п. По
теореме 1.24 в группе G существует подгруппа D = {an'd)
порядка d. Если Μ — другая подгруппа порядка d, то
по теореме 1.24 подгруппа Μ = (am), га делит η и
I ат |= η/πι = d. Поэтому га = n/d и Μ = (ат) =
= {anld) = Ζλ Η
Следующая теорема позволяет упростить
теорему 1.11 в случае, когда группа конечная.
Теорема 1.25. Пусть Η — непустое
подмножество группы G и каждый элемент из Η имеет
конечный порядок. Если h\h,2 6 Η для всех /ii,/i2 £ Η, то
Η — подгруппа.
D Так как каждый элемент h £ Η имеет конечный
порядок, то (h) = {е, /г,... ,/ifc_1}, k =\ h \ . Очевидно,
что hhk~l = hk~lh = hk = е, hk~l = h~l G Η. Теперь
согласно теореме 1.11 Η — подгруппа. Η
Следствие. Если Η — непустое подмножество
конечной группы G и h\h2 Ε Η для всех fti,/i2 £ Η, то
Η — подгруппа.
Рассмотрим аддитивную группу Ζ. В аддитивной записи
теорема 1.20 принимает вид: (а) — {та | т 6 Ζ}. Так как (1) =
= {ml | т £ Z}, то Ζ = (1} — бесконечная циклическая группа.
Ясно, что (—1) = Ζ и (α) φ Ζ дтя любого целого а £ {—1,1}.
Для каждого натурального η в мультипликативной группе С*
комплексных чисел без нуля имеется η различных корней степени
η из единицы, которые находятся по следующей формуле:
2Аж . . 2Ьг ,
Sfc = COS hi Sin , « = 0, l,...,n — 1.
m k П П г
Так как ε* = ε£, то множество корней степени п из единицы
образует циклическую группу (ει) порядка π, порожденную
элементом Е\.
26

1.3. Циклические группы
Теорема 1.26. Порядок перестановки есть
наименьшее общее кратное длин ее независимых циклов.
D Если (αια2) — цикл длиной 2, то (αϊа2)(αϊа2) = ε,
т.е. транспозиция есть перестановка порядка 2.
Аналогично цикл (αια2 ... α&) длиной к есть перестановка
порядка к. Пусть теперь перестановка
г = {аха2 ... ah)... {ЬгЬ2 ·.. blt)
разложима в произведение независимых циклов длиной
^ь fai---ih- Так как независимые циклы
перестановочны, то
rk = (ala2...ah)k ... (bxb2 .. .bk)k.
Поэтому тк = ε тогда и только тогда, когда к делится
на /ι, 12, · · · ? h- Если к — порядок перестановки г, то к —
наименьшее натуральное число, для которого тк — е.
Следовательно, порядок перестановки есть наименьшее
общее кратное длин ее независимых циклов. Ш
Перечислим порядки элементов в 5з- Так как 5з = {ε, (12),
(13), (23), (123), (132)}, то на основании теоремы 1.26 имеем:
| ε |= 1, | (12) |=| (13) |=| (23) |= 2, | (123) |=| (132) |= 3.
Перечислим порядки элементов в группе 54- Запись (...)(.)
обозначает любую перестановку в 54, распадающуюся на циклы
длиной 3 и 1. В 54 возможны следующие разложения: (-)(·)(·)(·)>
(.)(.)(..), (.)(—)> (.·)(··)> (····)· На основании теоремы 1.26 в группе
54 элементы имеют порядки 1, 2, 3,4.
В группе 5в нет элементов порядка 7,8,9,10.
Лемма 1.27. Если в группе все неединичные
элементы имеют порядок 2, то группа абелева.
D Пусть | а | = 2 для всех a Ε G#. Тогда а2 = е и
а = а-1 для всех а £ G. Так как (ab)2 = abab = e для
всех a,b e G, то ab = b~la~l = ba, ЕЗ
ЛЕММА 1.28. Порядки сопряженных элементов
равны,
D Воспользуемся леммой 1.9. Пусть α, χ — элементы
группы G и | а |= к. Тогда (ах)к = (ак)х = е и \ах\ делит
к по теореме 1.21. Если | ах |= /, то а1 = {{ах)х~ )1 =
= ((ах)1)х~ =еи/ делится на к. 13
27

1. ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
1.4. Изоморфизм групп
Две группы G и G\ называются изоморфными,
если существует биекция f:G-*G\ такая, что f(ab) =
= f(a)f(b) для всех а,Ь £ G. Для обозначения
изоморфизма используется запись G ~ G\. Отметим
простейшие свойства изоморфизма.
Лемма 1.29. Пусть /: G -> G\ — изоморфизм
группы G на группу G\. Тогда:
V f(e) ~ единичный элемент группы G\, где е —
единичный элемент группы G;
2) /(а-1) — обратный элемент к элементу /(а) в
группе G\ для любого a G G.
Лемма 1.30. l.G~G.
2. Если G ~ Gi, то G\ ~ G.
3. Если G~Gi uGx~G2, то G ~ G2.
4- Отношение «быть изоморфными группами»
является отношением эквивалентности.
D 1. Отображение eg'· G —> G, переводящее каждый
элемент в себя, является изоморфизмом G на G.
2. Известно, что для каждого биективного
отображения /: G —» G\ существует обратное отображение /_1:
G\ -> G, которое также будет биекцией. Если a G G и
/(а) — а\ G Gi, то f~l(a\) = а. Пусть b G G и Ь\ —
= f(b) G Gi. Тогда ГЧЬ) = Ь и οχδχ - /(о)/(6) = f(ab),
поскольку / — изоморфизм. Отсюда / l(a\b\) = ab =
= /—1(αι)/~1(ί>ι) и /_1 — изоморфизм.
3. Пусть /: G -> G\ — изоморфизм групп G и G\. a
φ: G\ -> G2 — изоморфизм G\ nG2. Тогда φ/ —
биективное отображение G на G2, причем <pf{ab) = cp(f(ab)) =
= ^(/(α)/(ύ)) = φ{ί{α)ΜίΨ)) = <pf{a)<Pf(b) Для любых
a, b £ G. Значит, у?/ — изоморфизм G и G2.
4. Данное утверждение следует из утверждений
Ιδ. И
Теорема 1.31. i. Все бесконечные циклические
группы изоморфны между собой и изоморфны
аддитивной группе целых чисел.
28

1.4' Изоморфизм групп
2. Все конечные циклические группы одного порядка
изоморфны между собой.
D 1. Пусть < g > — бесконечная циклическая
группа, порожденная элементом g, a Ζ — аддитивная группа
целых чисел. Все степени дп различны, поэтому
отображение /: η и-)- дп будет биекцией между Ζ и < д >.
Так как дт+п = дтдп, то f(m + η) = дт+п = дтдп =
= /(га)/(™), и / — изоморфизм. Таким образом, каждая
бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной
группе целых чисел. Поэтому все бесконечные
циклические группы изоморфны между собой.
2. Пусть Gi = {ebffbff?,...,^"1}, G2 = {е2,£Г2,
9%ι · · · ·>9ι~ } "~ Циклические группы порядка к.
Определим отображение /: д\ ь->· д\, t = 0,1,..., fc — 1. Для
n,ra G {0,1,..., к — 1} имеем п+т = fcg+r, 0 < г < Л —1.
Тогда /(<г?<7П = /(<Ю = 9l = Ρ???1 = /(<??)/№)> и / -
изоморфизм Gi на G2. IS
Матрица перестановки. Матрицей
перестановки π £ 5П называется η χ η-матрица Μ(π)=(α^-),
определенная следующим образом:
= Γΐ, если г = n(j),
4 \θ, если г φ 7r(j).
В матрице перестановки η единиц, остальные элементы
равны нулю. Единица встречается один раз в каждой
строке и в каждом столбце. В j-m столбце единица
стоит на 7t(j)-m месте, т.е. в матрице Μ(π) имеются только
элементы απ^^ = 1, где к = 1, 2,... ,п, а все остальные
элементы — нули. Очевидно, что Ж(е) — Ε —
единичная матрица, здесь ε — единичный элемент в Sn. Через
sgn(7r) обозначается знак перестановки π.
Теорема 1.32. 1. Матрица произведения
перестановок равна произведению матриц перестановок, т.е.
Μ(πτ) = Μ(π)Μ(τ) для всех π, τ G Sn.
2. detM(7r) = sgn(7r) для всех π G Sn.
3. Отображение М: ти М(т) осуществляет
изоморфизм симметрической группы Sn степени η и
подгруппы ImM = {М(т) | τ G Sn} из группы GL(n,R).
29

1. ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
D 1. Пусть п(к) = г, тогда в строке Μ(π){ единица
стоит на А-м месте. В столбце Ж(т)3 единица стоит на
t(j)-m месте. Поэтому
Ж(тг)гЖ{тУ = (0... 1... 0)[0... 1... 0] =
{1, если к = r(j), где π (к) = г, _ J 1, если г = πτ^"),
0, если А; ^ г(j), [О, если г ^ πτϋ)·
Так как Μ(πτ) = (flij)> ГДе
(1, если г = 7rr(j),
0, если г ^ πτ^'),
то α*,· = М(тг);М(тУ и Μ(πτ) = М(тг)М(т).
2. Определитель матрицы вычисляется по формуле
detM(?r) = ^ sgn(r)ar(i)i · · · ατ(η)η·
resn
В матрице Μ(π) = (α^) только элементы an^k равны
единице, остальные — нули. Поэтому detM(7r) = sgn(π).
3. Так как detM(r) = sgn(r) € {—1,1}, то Μ —
отображение Sn в GL(n,R). Из построения М(т) следует, что
Ж — инъекция. Покажем, что ImM — подгруппа группы
GL(n,R). Так как Μ(τ)Μ(π) = Μ(τπ) (см.
утверждение 1 теоремы), то Μ(τ)Μ(π) G ImM. Далее, Μ(ε) = Е,
и если г имеет порядок t, то ть = ε и М(т*) — Ε = Ж(т)ь,
т.е. порядок матрицы М(т) делит £. Таким образом, все
матрицы перестарювок имеют конечные порядки и
согласно теореме 1.25 ImM — подгруппа GL(n,R).
Поэтому Ж: Sn —» ImM — биекция, а по утверждению 1
отображение Μ — изоморфизм, й
Теорема 1.33. Любая конечная группа порядка η
изоморфна подгруппе симметрической группы Sn
степени п.
D Пусть G — группа порядка η и G = {#1,
#2, · · · ,Яп} — все ее элементы. Можно считать, что Sn —-
совокупность всех биективных отображений множества
{<?ь02>· · · >07i} на себя. Для каждого χ 6 G определим
30

1.4- Изоморфизм групп
отображение 1Х: д{ н» xgi = /х(#г) множества G в себя.
Если xgi — хд^ то Зг = 9j и /х — инъекция. Но инъекция
конечного множества — всегда биекция, поэтому lx G Sn.
Зададим теперь отображение φ: G -> Sn, положив
φ: χ н> /д., ж G G. Тогда Imy? = {lgi,lg<2, · · - Jffn}·
Покажем, что Imc/? — подгруппа группы Sn. Если 1Х и 1у —
произвольные элементы из Ιτηφ, то
Uyigi) = lx{ly{gi)) = 1х{у9%) = худ% = Jxy(si)
и /я^ = /^ G Imy?. По теореме 1.25 множество Imc/? есть
подгруппа группы Sn. Так как 1х1у = 1ху, то <р{ху) =
= φ(χ)φ(ν) и φ — изоморфизм между G и Im<p. й
Следствие. Любая конечная группа порядка η
изоморфна подгруппе полной линейной группы GL(n,R)
степени η над R. 5 частности, число неизоморфных
групп данного порядка конечно.
D Первое утверждение вытекает из теорем 1.32, 1.33.
Для доказательства второго утверждения зафиксируем
натуральное число п. По теореме 1.33 каждая группа
порядка η изоморфна подгруппе симметрической группы
Sn. Поскольку Sn — конечная группа, то число ее
неизоморфных подгрупп конечно. И
Автоморфизмы групп. Изоморфное отображение
группы G на себя называют автоморфизмом группы G.
Совокупность всех автоморфизмов группы G обозначим
через AutG. Если ψ и ф — автоморфизмы группы G, то
согласно определению умножения отображений
произведение автоморфизмов вычисляется так:
(рф(аЬ) = <р{ф(аЬ)) = ср{ф{а)ф{Ь)) =
= φ{ψ{α))φ(ψψ)) = φφ(α)φψ{δ)
для любых а, Ь G G. Поэтому φψ — автоморфизм G, и
умножение автоморфизмов определено на AutG.
Ассоциативность умножения автоморфизмов следует из
ассоциативности умножения отображений. Отображение εο·
G -» G, переводящее каждый элемент в себя, является
автоморфизмом группы G. По лемме 1.30 каждый
автоморфизм имеет обратный. Итак, доказана следующая
31

1. ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
Теорема 1.34. Совокупность AutG всех
автоморфизмов группы G является группой.
Мультипликативная группа Rf положительных
действительных чисел изоморфна аддитивной группе R всех действительных
чисел. Логарифмическая функция у = In x задает биективное
отображение Rf на R. Если х,у 6 R+, то ^(ху) = lnx + In?/ и In —
изоморфизм групп R+. и R.
Пусть Η < G и χ £ G. Зададим отображение /: Η —► Я*,
положив f(h) = /ι* для всех h € Н. Ясно, что / — биекция. Так
как
/(Λ1Λ2) = (fcift2)* = (hi)x(h2)x = f(hi)f(hi),
то / — изоморфизм. Таким образом, в любой группе сопряженные
подгруппы изоморфны.
Перечислим матрицы, соответствующие перестановкам
степени 3. Так как 53 = {ε, (12), (13), (23), (123), (132)}, то
/О 1 0\
Ж(е) = Е, Ж(12) =11 0 0 ,
\0 0 1/
/о о ϊ\
М(13) =010
\1 0 0)
/1 0 0\
М(23) =001
\о ι oj
/о о η
М(123) =10 0
Ιο ι о;
/0 1 0>
М(132) =001
\1 0 0>
Пример 1.2. Доказать, что
σ-{(ί 0 (? 0}
является группой относительно умножения, изоморфной
мультипликативной группе G\ = {1, — 1}.
D Так как
(!i)(! i)-G !)·-(? ί)"4 0ес
Остальные произведения элементов из G также принадлежат G,
поэтому G — группа. Очевидно, что отображение
(j ;)·*'. (; ί)«-··
будет изоморфизмом, й
32

1.5. Смежные классы
1.5. Смежные классы
Пусть G — группа, Η — ее подгруппа и д G G. Правым
смежным классом группы G по подгруппе Η называется
множество Нд = {hg \ h G Η} всех элементов группы G
вида hg, где h «пробегает» все элементы подгруппы Н.
Аналогично определяется левый смежный класс дН =
= {gh | he Η}.
Лемма 1.35. Пусть G — группа, Η — подгруппа.
Тогда:
1)Н = Не;
2) g G Hg для каждого g G G;
3) если a G Н, то На = Н; если b G На, то НЬ =
= На;
4) На = НЬ тогда и только тогда, когда ab~l G Н;
5) два смежных класса либо совпадают, либо их
пересечение пусто;
6) если Η — конечная подгруппа, то \ Hg \=\ Η \ для
всех g G G.
D 1—3. Данные утверждения очевидны.
4. Если На = НЬ, то еа = hb, h G Η и ab~l = h G
G H. Обратно, если ab~l G H, то a G Hb и На = ί/Ъ no
утверждению 3.
5. Пусть НаП Hb ^ 0 и с е НаП Hb. Тогда с =
= h\a = /ΐ2& и α6_1 = /if !/i2 € -Η"· Теперь #α = #Ь по
утверждению 4.
6. Отображение ф: hy-ϊ hg есть биекция множеств Η
и Я#. Поэтому | Η |=| Hg |. И
Трансверсалъ. Пусть Η — подгруппа группы G. Из
утверждений 2 и 5 леммы 1.35 вытекает, что каждый
элемент группы G содержится точно в одном правом
смежном классе по подгруппе Н. Это свойство позволяет
ввести следующее определение. Подмножество Τ элементов
группы G называется правой трансверсалью Η в (7,
если Τ содержит точно один элемент из каждого правого
смежного класса группы G по подгруппе Н. Итак, если
Τ = {ta I a el} — правая трансверсаль Η в G, то G =
= (J Htai Hta Π Ηίβ = 0 при α φ β. Таким образом,
taer
справедлива
33

1. ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
Теорема 1.36. Если Я — подгруппа группы G, то
G совпадает с объединением непересекающихся правых
смежных классов по Η.
Если G — конечная группа, то число различных
правых смежных классов по Я также будет конечно, оно
называется индексом подгруппы Я в G и обозначается
через \ G : Η \. Ясно, что индекс Я в конечной группе G
совпадает с числом элементов в правой трансверсали Τ
подгруппы Я, т.е. \G : Н\ = \Т\.
Теорема 1.37 (Лагранжа). Если Η —
подгруппа конечной группы G, то \ G \=\ Η \\ G : Η \. В
частности, порядок конечной группы делится на порядок
каждой своей подгруппы.
Ώ Пусть индекс Я в G равен п. По теореме 1.36
имеем разложение G = Hg\ U Нд2 U... U Hgn, Hgi Π Hgj = 0
при г φ j. Так как | Hgi \=\ Η \ для всех г, то } G |=
=| Я | χ | G: Я |. В
Следствие 1. Порядок каждого элемента конечной
группы делит порядок всей группы.
Ώ По теореме 1.21 | а |=| (α) | для каждого a G G,
поэтому | а | делит | G |. й
Аналогично определяется левая трансверсаль
подгруппы Я в группе G. Если L = {la \ a G J} — левая
трансверсаль Я в G, то G — |J /аЯ, ΙαΗΓ\ΙβΗ = 0 при
aeJ
αφ β. Ясно, что индекс подгруппы Я в конечной группе
G совпадает с числом элементов в левой трансверсали L
подгруппы Я, т.е. j G: Я |=| L |. Для левой
трансверсали справедлив аналог теоремы 1.36. Поэтому из теоремы
Лагранжа имеем
Следствие 2. Если Я — подгруппа конечной группы
G, то число левых и число правых смежных классов G
по Я совпадают.
Теорема 1.38. В группе простого порядка нет
нетривиальных подгрупп. В частности, группа
простого порядка циклическая.
D Пусть G — группа простого порядка р. Если Я —
подгруппа, то по теореме Лагранжа | Я | делит | G |.
Поэтому либо | Я |= 1 и Я = Е) либо | Я |= ρ и Я = G.
34

1.5. Смежные классы
Выберем неединичный элемент а и рассмотрим
циклическую подгруппу (а), порожденную этим элементом. Так
как а ф е, то (α) φ Ε, поэтому (α) = G — циклическая
группа. И
Теорема 1.39. Пусть Я < К <G uG — конечная
группа. Если Τ — правая трансверсалъ Η в К, a S —
правая трансверсалъ К в G, то TS — правая
трансверсалъ Η в G. В частности, \ G : Я |=| G : К || К : Я | .
G Пусть Г = {in...,**}, S = {si,...,sn}. Тогда
if = Я*1 U ... U Htk, HU Π Ж, = 0, ίφ j,
G = Ksi U ... U if sn, Ksi Π if s, = 0, гф j,
G = (Я«1 U ... U Я**)$1 U ... U (Я«1 U ... U Htk)sn. (1.3)
Предположим, что HtaSb = HtcSd для некоторых
натуральных а, 6, с и cf. Тогда
taS6(*cSd)_1 = ία^1^1 G Η < К.
Следовательно, s^s^*1 £ t~lKtc = if, Квь = Ksd- Но s&
и Sd — элементы из правой трансверсали К в G, значит,
Sb = Sd к b = d. Теперь
taS&iicSd)*"1 = *а*Г! ^ Я, Я*а = Я<с, а = С.
Таким образом, формула (1.3) является разложением G
по Я и Т5 — правая трансверсаль Я в G. Так как
индекс подгруппы совпадает с числом элементов в ее
правой трансверсали, то | G : Я |=| TS |=| Τ || 5 |=
=| К : Я 11 G : К | . И
Отметим, что теорема Лагранжа вытекает из
теоремы 1.39 при Η = Е.
Двойные смеснсные классы. Пусть Я и К —
подгруппы группы G и д £ G. Множество Я#Х = {hgfc |
ЛбЯ, fc £ if} называется двойным смежным классом
группы G по подгруппам Я и if.
Лемма 1.40. Пусть Η и К — подгруппы группы
G. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) каждый элемент g £ G содержится в
единственном двойном смежном классе НдК;
2) два двойных смежных класса по Η и К либо
совпадают, либо их пересечение пусто;
35

1. ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
3) группа G есть объединение непересекающихся
двойных смежных классов по подгруппам Η и К;
4) каждый двойной смежный класс по Η и К есть
объединение правых смежных классов по Η и левых
смежных классов по К;
5) если группа G конечна, то двойной смежный
класс НдК содержит \ К : Η9 Π Κ \ правых смежных
классов по Η и \ Η : Η Π Κ9 \ левых смежных классов
по К,
D L Так как каждая подгруппа содержит
единичный элемент, то g = еде Ε НдК, Допустим, что д Ε НхК.
Тогда д = hxk для некоторых h Ε Я, к Ε К и НдК =
= H{hxk)K = НхК.
2—3. Утверждения следуют из утверждения 1.
4. Утверждение следует из равенства НдК =
= U Hgk = U hgK.
кек нен
5. Для доказательства данного утверждения
подсчитаем число правых смежных классов в разложении
НдК = U Hgk по подгруппе Н. Допустим, что Ндк\ =
кек
= Ндк2. Тогда
Ндкгк^1 = Нд, кхЩх Ε д~1Нд ПК = Н9ПК.
Справедливо и обратное, т.е. если к\Щ1 Ε Η9 Π К, то
kik^1 Ε g~lHg, gfak^1 Ε Hg, gk\ Ε Hgk2, Hgki = Ндк2.
Поэтому в двойном смежном классе НдК правых
смежных классов по Η столько, сколько их в группе К по
подгруппе Нд Π К.
Аналогично НдК = (J НдК и h\gK = h2gK то-
Л€/7
гда и только тогда, когда h\lh2 Ε Η Π К9 . Поэтому в
произведении НдК левых смежных классов по К будет
точно столько, каков индекс | Η : Η Π К9 |. ЕЗ
Произведение подгрупп. При g = e двойной
смежный класс НдК = Η К = {hk | h Ε Я, Α: Ε ЯГ}
превращается в произведение подгрупп Η и К.В общем случае
Η К не является подгруппой.
36

1.5. Смежные классы
Говорят, что подгруппы Η и К перестановочны, если
НК = КН. Равенство НК — КН означает, что для
любых h\ Ε H,k\ Ε К существуют h2 Ε Я, к2 Ε К такие,
что h\k\ = &2^2·
Теорема 1.41. Произведение двух подгрупп
ется подгруппой тогда и только тогда, когда эти
подгруппы перестановочны.
D Пусть Н,К — подгруппы группы G.
Предположим, что Η К — подгруппа и h Ε Я, k E К. Тогда
kh = (/Г1*-1)-1 еНК и КНС НК.
Поскольку для элемента hk в подгруппе Η К существует
элемент hiki такой, что (hiki)~l = hk, то hk = fcj-1/^"1 E
Ε КН и НК С КН. Итак, если НК — подгруппа, то
НК = КН.
Обратно, пусть Η К = КН. Тогда для любых hi, h2 Ε
Ε Я, fci, k2 (Ξ К имеем A;i/i2 = ^з^з3 где /&з Ε Я; Лгз Ε iC.
Поэтому
{hiki)(h2k2) = hi{k\h2)k2 = hihshk2 E Я,РГ,
(ΛιΑτι)-1 = fcf1/^1 E #Я = НК.
Значит, произведение НК является подгруппой. Ш
Теорема 1.42. Если Я и К — подгруппы конечной
группы G,mo\HK\=\H\\K\/ \НПК\.
D Согласно лемме 1.40 произведение НеК = Η К
есть объединение правых смежных классов по Я и число
таких классов | К : КПН |. Поскольку | Η к |=| Я | и
различные правые смежные классы имеют пустое
пересечение, то | НК |=| Я || К : КПН | = | Я || X | / | КПН |. И
Если Η К = G, то говорят, что группа G факторизу-
ема подгруппами Н,К. В этом случае каждый элемент
g Ε G представим в виде g = hk, где Л Ε Я; k E К.
Лемма 1.43. Ясли Η и К — подгруппы группы G
и G = НК, то G = КН и G — НХК при любом χ Ε G.
О Если G = HK, то G = ХЯ по теореме 1.41.
Если χ — произвольный элемент из G, то а; = hk, где
h е н,к е к,и нхк = ннкк = нкк = k~lHkK =
= А^ЯХ = АГ^Я = ХЯ = G. И
37

1. ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
Лемма 1.44. Если Η — собственная подгруппа
группы G, то НХН φ G при любом χ G G.
D Допустив, что НХН = G для некоторого χ G G,
согласно лемме 1.43 имеем G = (Нх)х Η = Н, т.е.
получили противоречие. Η
Теорема 1.45. Для любого простого числа ρ
группа порядка р2 абелева. Кроме того, группа порядка р2
либо циклическая, либо является произведением двух
своих подгрупп порядка р.
О Пусть ρ — простое число и G — группа порядка р2.
Выберем неединичный элемент a G G и положим А = (а).
Если А = G, то G — циклическая группа. Пусть А ф G.
По теореме Лагранжа | А \= р. Выберем b G G \ А и
положим В = (Ь). Если ί? = G, то G = (Ь) — циклическая
группа. Пусть В φ G. По теореме Лагранжа | В \~ р.
Так как А П В — собственная подгруппа в А и в В, то
по теореме Лагранжа АГ) В = Ε и \ АВ |=| А \\ В \= р2,
т.е. АВ = В А = G. По лемме 1.44 подгруппы А и Б не
сопряжены между собой. Если существует элемент g £ G
такой, что А ^ А9, то Α Π Α5 = Ε и
| ΑΛ* |=| А || А* Н| G |,
т.е. G = АА9, что противоречит лемме 1.44. Поэтому
А = А9 при любом g £ G. Аналогично В — В9 при
любом g £ G. Теперь для любых а £ A, b G В имеем:
аЪсГ1Ъ-1 = {аЬа~1)Ь-1 G Ва~гВ = Б,
аба"1?)-1 = αίδα-^-1) G ΛΑ6"1 = Α.
Значит, aba~lb~~l G Α Π Β = Ε и ab = ba. Η
Лемма 1.46. Пусть Н — подгруппа группы G.
Тогда:
1) если Η абелева, то Z(G)H — абелева подгруппа;
2) Z(G)Z(H) — абелева подгруппа.
D 1. Из определения центра следует, что для Z(G)
и Η выполняются условия теоремы 1.41, поэтому
Z{G)H = HZ{G) - подгруппа. Если х,у е Z(G)H) то
я = 2ιΛι, У = ^2^2, где Z{ G Z(G); Ы G H\i — 1,2. Теперь
ху = zih\Z2h2 = Z2h,2Z\h\ = ух, т.е. Z{G)H абелева.
38

1.5. Смеснсные классы
2. Пусть Η — произвольная подгруппа. Тогда Ζ{Η)
является абелевой подгруппой и Z(G)Z(H) — абелева
подгруппа согласно утверждению 1 леммы. И
Произведение двух непустых подмножеств Τ и S
группы G определяется как множество TS = {ts \ t €
е г, s e S}.
Лемма 1.47. Пусть Τ и S — непустые
подмножества группы G, х,у € G. Тогда:
1) Т(ху) = (Тх)у;
2) множество всех элементов g £ G, для которых
Т9 = Τ} образует подгруппу;
3) (TS)X = TXSX;
4) (Τ Π S)x = ТХП Sx.
D 1. Каждый элемент множества Т(ху> может быть
записан в виде (xy)~ltxy, где t Ε Т. Так как
(xy)~ltxy = y~lx~ltxy, x~ltx е Тх,
то у~1{х"Нх)у е {ТХ)У, т.е. Т^> С {ТХ)У.
Обратно, каждый элемент множества (Тх)у может
быть записан в виде y~l(x~lsx)y, где s E Т. Поэтому
y-\x-lsx)y = (xy)-ls(xy) е Т^ху\ {Тх)у С Т^ху\
Таким образом, {Тх)у = Т^ху1
2. Пусть Η — множество всех элементов g группы G,
для которых Т9 = Т. Если g,h е Я, то Т^) = (T9)h =
= Th = Τ и gh € Н. Из равенства Τ — Т9 получаем, что
Тр-г = {Τ9)9~λ = Tw-J = Tj поэтому g~l е Η я Η -
подгруппа.
3—4. Данные утверждения очевидны, й
Нормализатор. Если Τ — непустое подмножество
группы G и д е G, то дТ = {gt \ t е Т} и Тд =
= {tg \ t е Т}. Элемент д £ G называется
перестановочным с подмножеством Г, если <?Т = Тд. Равенство
дТ = Тд означает, что для любого элемента t\ Ε Τ
существует такой элемент ^ £ Т, что gti = ^2ί7· Если
элемент д перестановочен с подмножеством Т, то дТ = Тд
и Τ = д~~1Тд = Т9. Совокупность всех элементов
группы G, перестановочных с подмножеством Т, называется
39

1. ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
нормализатором подмножества Τ в группе G и
обозначается через NG(T). Итак,
NG(T) = {geG\<F = Tg} = {geG\T' = T}.
Лемма 1.48. Пусть Τ — непустое подмножество
группы G, g — произвольный элемент группы G. Тогда:
1) NG(T) < G;
2) CG(T) < NG(T);
3) NG{T°) = NG(T)9;
4) NG(T) < NG(CG(T));
5) если Η — подгруппа группы G, то Η < Ng{H).
D 1. Утверждение вытекает из леммы 1.47.
2. Если χ £ CG{T), то χ перестановочен с каждым
элементом множества Т, поэтому хТ = Тх и χ £ NG{T).
3. Если χ £ NG{T9), то (Г*)* = Τ9 и Т^-1) = г по
лемме 1.47. Поэтому gxg~l £ Ng{T) к χ € g~lNG(T)g =
= NG{T)9. Таким образом, ATG(T^) С NG(T)9. Обратно,
если у £ NG(T)9, то у = ζ9 для некоторого ζ £ No {Τ)
и ζΤ = Τζ. Отсюда g~lzTg = g~lTzg и g~lzTg =
= 9~l*99~lT9 = ^p = yT^. Аналогично £_1Τζ£ =
= g~lTgg~lzg = Τ* ζ* = T^y. Таким образом, уТ^ = T^y
и у £ NG(T9), т.е. iVG(T)s с NG(T9). Следовательно,
7VG(T)* = iVG(TS).
4. Если χ £ ΛΓσ(Τ), то Τ = Тх и CG(T) = CG(TX) =
= CG(T)X по лемме 1.18, т.е. χ £ iVG(CG(T)).
5. Если he Η, то hH = Η = Hhnh e NG{H), т.е.
Η <NG(H). Η
Теорема 1.49. Пусть S — непустое
подмножество конечной группы G. Если Τ = {ίχ,..., ίη} — правая
трансверсаль нормализатора NG(S) в группе G, то Σ =
= {S*1,..., 5ίη} — совокупность всех подмножеств,
сопряженных с S в группе G и Sli φ Stj при г φ j. В
частности, число подмножеств, сопряженных с S,
совпадает с индексом нормализатора NG{S) в группе G.
D Пусть К = NG{S). По условию G = KtxU.. .UKtn,
Kti φ Ktj при г φ j. Если х — произвольный элемент
из G, то χ = kti для некоторого к £ К и
натурального числа г. Поэтому Sx = Skti = Su £ Σ. Если
предположить, что Su = Stj, το S = S*^ и ij-tr1 £ К,
40

ί.5. Смежные классы
т.е. Ktj = Kt{. Так как элементы t{ и tj
принадлежат правой трансверсали К в Gy то г = j и во
множестве Σ все элементы попарно различны. Таким образом,
| Σ Н| Т |=| G : NG(S) |. В
Теперь с помощью теоремы Лагранжа получаем
Следствие 1. Число подмножеств, сопряженных
данному непустому подмножеству S в конечной группе
G, делит порядок группы G.
Пусть множество S состоит из одного элемента s, т.е.
S = {s}. Тогда нормализатор и централизатор
множества S совпадают. Поэтому справедливо
Следствие 2. Если s — элемент конечной группы
G и Τ = {ίι,...,ίη} ~~ правая трансверсаль
централизатора Cg{S), то sG — {stl,..., stn}. В частности,
число элементов, сопряженных элементу s, совпадает с
индексом централизатора Cg{S) и делит порядок
группы G.
В дальнейшем мы неоднократно будем использовать
приводимое ниже утверждение.
Лемма 1,50 (тождество Дедекинда). Если
А,В и С — подгруппы группы G и А < С, то С Π ΑΒ =
= А(СГ\В).
D Если χ Ε СПАВ, то χ - ab, где а € А; Ь Ε В. Так
как А < С, то а Ε С. Но χ Ε С, поэтому Ь = аГ1х также
принадлежит С. Таким образом, χ = аЪ Ε А(С Π В).
Обратно, пусть χ = ab Ε А(С Π В), а е А, ЬеСПВ.
Поскольку А < С, то а Е С и χ = α6 Ε С. Таким образом,
я = αδ Ε С П ΑΒ. И
Пример 1.3. Найти разложение симметрической группы 5з
в левые смежные классы по подгруппе ((12)).
D Вначале перечислим все левые смежные классы группы
53 = {б, (12), (13), (23), (123), (132)} по подгруппе Я = <<*> =
= {с, (12)}:
сЯ = с{С| (12)} = {*, (12)} = Я,
(12)Я = (12){б,(12)} = {(12)|б}=Я|
(13)Я = (13){е,(12)} = {(13),(123)},
(23)Я = (23){с,(12)} = {(23)|(132)}|
(123)Я = (123){е, (12)} = {(123), (13)} = (13)Я,
(132)Я = (132){е, (12)} = {(132), (23)} = (23)Я.
41

1. ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
Искомое разложение принимает вид
53 = еН U (13)Я U (23)Я. Ε
Пример 1.4. Найти все подгруппы группы 5з-
D Порядок группы 5з равен 6. По теореме Лагранжа ее
подгруппы могут быть только следующих порядков: 1, 2, 3, 6.
Подгруппы порядка 1 и б — это единичная подгруппа Η ι = {б} и
вся группа Но = G. Подгруппы порядка 2 и 3 по теореме 1.38 -
циклические. Перебирая все элементы группы 5з, получаем
следующие подгруппы: Я3 = ((12)) = {б, (12)}, Я4 = {(13)) = {б, (13)},
НЪ = <(23)> = {6,(23)}, Н6 = <(123)> = {с, (123), (132)} = ((132)).
Итак, 5з имеет шесть подгрупп.
Так как элементы (12), (13), (23) сопряжены в 5з (см.
пример 1.1), то Яз, Я4,Я5 сопряжены и группа 5з содержит четыре
класса сопряженных подгрупп: {Н\}: {Я2}, {Яз,Я4,Я5}, {Hq}. Й
1.6. Нормальные подгруппы
и фактор-группы
Подгруппа Я называется нормальной подгруппой
группы G, если хН = Нх для всех χ £ G. Запись Я < G
читается: «Я — нормальная подгруппа группы G».
Равенство хЯ = Нх означает, что для любого элемента
h\ Ε Я существует элемент h*i G Я такой, что xh\ = h^x.
Теорема 1.51. Для подгруппы Я группы G
следующие утверждения эквивалентны:
1) Η — нормальная подгруппа;
2) подгруппа Я вместе с каэюдым своим элементом
содержит все ему сопряженные элементы, т.е. hx Ε Я
для всех h G Я и всех х G G;
3) подгруппа Η совпадает с каждой своей
сопряженной подгруппой, т.е. Я = Нх для всех χ G G.
D Доказательство проведем по схеме 1 => 2 => 3 => 1.
1 => 2. Пусть Я < G, т.е. хН = Нх для всех χ G G.
Если h — произвольный элемент из Я, то hx G Ях = хН.
Поэтому существует элемент h[ G Я такой, что hx — xh\.
Тогда x~lhx — h[ G Я.
2^3. Ясно, что Нх = {hx | /г G Я} С Я для всех
χ G G. В частности, Нх С Я, т.е. хНх~1 С Я. Теперь
Я С яг'Ях = Я* и Я = Я* для всех χ Ε G.
42

1.6. Нормальные подгруппы и фактор-группы
3 => 1. Если Нх = Я для всех χ е G, то х~1Нх = Я и
Я# = a;if для всех χ € Gy т.е. Я — нормальная подгруппа
группы G. И
Следствие. Если Η < G и h е Н, то hG С Н.
Обратно, если hG С Я для всех h Ε Я, то Η <\G.
Понятие «нормальная подгруппа» можно
рассматривать не только по отношению ко всей группе, но и
относительно подгрупп. Для Η < К < G подгруппа Я
будет нормальной в К, если хН = Η χ для всех χ £ К.
Лемма 1.52. Пусть Я — подгруппа группы G.
Тогда:
1)H<NG{H);
2) если H<K<GuH<K,moK< NG(H);
3) Nq{Η) — наибольшая подгруппа группы G, в
которой Я нормальна;
4) если Я < Gj то Ng{H) = G. Обратно, если
NG{H) = G,moH<] G;
5) Cg{T) < NG(T) для любого непустого
подмножества Τ группы G.
D 1. Если х £ NG{H), тоЯх = ЯиЯ< NG{H).
2. Пусть Η < К < G и Н<К. Если χ Ε К, то Нх = Я
ихе NG{H), т.е. К < NG{H).
3. Из утверждения 1 следует, что Я <\ NG(H), a из
утверждения 2 получаем, что NG(H) содержит любую
подгруппу, в которой Я нормальна. Поэтому Ng(H) —
наибольшая подгруппа, содержащая подгруппу Я в
качестве нормальной подгруппы.
4. Утверждение следует из утверждения 3.
5. Если χ е NG{T), τοΤ = Тх. Поэтому CG{T)X =
= CG{T) согласно лемме 1.18 и CG{T) < NG(T). И
Лемма 1.53. Пусть Η — нормальная подгруппа
группы G. Тогда:
1) если L <G, то HL < G и Я П L <] L;
2) если L<G, moHL<GuHf)L<G;
3) CG{H)<G;
4) Z(H) < G.
43

1. ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
D 1. Если L < G, то HL = LH и HL < G по
теореме 1.41. Так как (Я Π L)1 = Η1 Π Ll = Я Π L для всех
/ Ε L, то Я Π L <\ L.
2. Если L <] G, то очевидно, что HL <G и Η DL<G.
3. Так как Cg{H)<Ng{H) и Ng(H) = G на основании
леммы 1.52, то Сд{Н) <\ G.
4. Поскольку Z(H) — НПСс{Н) согласно лемме 1.19,
то Z(H) <] G по утверждению 2. И
Простая группа. В каждой группе G тривиальные
подгруппы (единичная подгруппа Ε и сама группа G)
являются нормальными подгруппами. Если в неединичной
группе G нет других нормальных подгрупп, то группа
G называется простой. Единичную группу Ε считают
непростой.
Теорема 1.54. Абелева простая группа является
циклической группой простого порядка. Обратно,
каждая группа простого порядка будет простой абелевой
группой.
D Очевидно, что в абелевых группах все
подгруппы нормальны. Поэтому в простой абелевой группе
совокупность всех подгрупп исчерпывается тривиальными
подгруппами.
Пусть G — абелева простая группа. Тогда в G
существует неединичный элемент а и циклическая
подгруппа (а) нормальна в G. Так как G — простая группа, то
(а) = G и G — циклическая группа. По теореме 1.22
бесконечная циклическая группа (а) обладает
нетривиальной подгруппой, например (а2), поэтому она не простая.
Пусть G = (а) — конечная циклическая группа,
| а |= η и ρ — простое число, делящее п. Элемент ар
имеет порядок n/ρ, поэтому циклическая подгруппа (ар),
порожденная элементом оР', отлична от G. Но тогда она
нормальна в G. Это возможно лишь в случае, когда
{ар) = Ε — единичная подгруппа, т.е. когда η — ρ —
простое число.
Обратно, пусть G — группа простого порядка р. По
теореме 1.38 в группе G все подгруппы тривиальны и
G — простая группа, й
44

1.6. Нормальные подгруппы и фактор-группы
Существуют неабелевы простые группы; например,
знакопеременная группа Ап степени η является простой неабелевой группой
для любого η > 4.
Фактор-группа. Пусть Η — нормальная подгруппа
группы G. Обозначим через G совокупность всех левых
смежных классов группы G по подгруппе Н, т.е. G =
= {хН | χ Ε G}. Положим
(хН)(уН)=хуН. (1.4)
Проверим, задает ли это равенство алгебраическую
операцию на множестве G. Если хН = х\Н, у Η = у\Н
для некоторых Х\,у\ Ε G, то х\ — xh, y\ = уд,
Λ, д Ε Н. Значит, {xxH){yiH) = xiy\H = (xh)(yg)H =
= xy(y~1hy)gH = хуН, поскольку y~lhy Ε Η по
теореме 1.51. Таким образом, равенство (1.4) не зависит от
выбора представителей смежных классов и каждой паре
хН, уН ставится в соответствие единственный элемент
хуЕ.
Ясно, что предложенная операция (1.4) определена
на G и ассоциативна. Элемент еН = Η будет
единичным, а элемент а~1Н — обратным к элементу аН. Таким
образом, доказана следующая
Теорема 1.55. Совокупность G = {хН | χ Ε G}
всех левых смежных классов группы G по нормальной
подгруппе Η с операцией (хН)(уН) = хуН образует
группу с единичным элементом еН = Η и обратным
элементом (аН)~1 — а~1Н.
Группа G называется фактор-группой группы G по
подгруппе Η и обозначается через G/H.
Если группа G конечна, то фактор-группа группы G
по любой нормальной подгруппе Η также будет
конечной группой порядка, равного индексу подгруппы Η в
группе G, т.е. | G/H |=| G : Η |=| G \ / \ Η I .
Лемма 1.56. Если фактор-группа G/Z(G)
циклическая, то группа G абелева.
D Пусть G/Z(G) = (gZ(G)) — циклическая группа,
а, Ь — произвольные элементы группы G. Тогда
α = 0**i, b = glz2, z[,z2eZ{G)) kJeZ,
ab = gkziglz2 = gkglzxz2 = glgkz2zx = glz2gkzx = ba. Kl
45

1. ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
Теорема 1.57. Все фактор-группы бесконечной
циклической группы (а) исчерпываются бесконечной
циклической группой (α)/Ε ~ (а) и конечными
циклическими группами (а{ат}\ порядка т для каждого
натурального числа т.
D Так как каждая циклическая группа абелева, то
в ней любая подгруппа нормальна. По теореме 1.22 все
подгруппы бесконечной циклической группы А = (а)
исчерпываются единичной подгруппой Ε и бесконечными
циклическими подгруппами Μ = (am), m Ε N.
Факторгруппа А/Е будет бесконечной циклической группой,
изоморфной А. Так как А = {ак \ к Ε Ζ}, то А/М
состоит из смежных классов акМ, к Ε Ζ. Если asM — аьМ,
то as~b Ε Μ и s — t кратно т. Отсюда следует, что
смежные классы М, аМ: а2М>..., ат~1М попарно
различны. Кроме того, для любого агМ Ε А/М имеем:
t = mq + r: 0 < г < m и аьМ = amqaTM = arM. Таким
образом, А/М = {М, аМ, а2М,..., am_1M} = (aM), т.е.
А/М будет конечной циклической группой порядка га. И
Теорема 1.58. Все фактор-группы конечной
циклической группы (а) порядка η исчерпываются
конечными циклическими группами {а(ат)) порядка га для
каждого натурального т, делящего п.
О По теореме 1.24 все подгруппы группы А = (а)
исчерпываются подгруппами Μ = (am) порядка п/т для
каждого га, делящего п. Легко доказать, что
А/М = {аМ) = {аМ, а2М,..., am-1 Μ, Μ},
т.е. А/М = (а(ат)) — циклическая группа порядка т. И
Теорема о соответствии. Через S(G, H)
условимся обозначать совокупность всех подгрупп группы G,
содержащих подгруппу Н. В частности, S(G, E) = S(G) —
совокупность всех подгрупп группы G, а S(G, G) = {G}.
Теорема 1.59 (о соответствии). Пусть Η —
нормальная подгруппа группы G. Тогда:
1) если U — подгруппа группы G и Η < U', то U =
= U/Η — подгруппа фактор-группы G = G/H;
46

1.6. Нормальные подгруппы и фактор-группы
2) каждая подгруппа фактор-группы G = G/H
имеет вид V = V/H, где V — подгруппа группы G и Я <V;
3) отображение φ: U f-> JJ является биекцией
множества S(G:H) на множество S(G);
4) если Ν £ S(G, Я), то N — нормальная подгруппа
группы G тогда и только тогда, когда Ν/Η —
нормальная подгруппа фактор-группы G/H.
D 1. Пусть U £ S(G,tf) и U = {иН \ и £ U} -
совокупность смежных классов группы U по нормальной
подгруппе Я. Если щН^щН £ [/, то ui,U2 £ Ε/, а так
как U — подгруппа, то U\U2 £ U и wj" £ U. Поэтому,
{щН)(и2Щ = щи2Н £ V, {щН)~1 = щ1Н £ Ϊ7
и согласно теореме 1.11 U — подгруппа группы G.
2. Пусть V — произвольная подгруппа из G. Тогда
V состоит из некоторых смежных классов G по Я.
Обозначим через V множество всех тех элементов группы
G, из которых состоят смежные классы,
принадлежащие V, т.е. V = {х £ G | гсЯ £ У}. Если νι,ϋ2 £ V»
то v\H,V2H £ У, а так как У — подгруппа, то
Поэтому ^1^2 £ V и trj"1 £ У, т.е. У — подгруппа в G.
Ясно, что Я < V.
3. Отображение φ: U ^ U будет сюръекцией на
основании утверждения 2. Докажем, что у? — инъекция.
Пусть U и V — подгруппы, содержащие Я.
Предположим, что подгруппы U = {иН | и £ U] и V = {νΗ \ ν £
£ V} совпадают. Тогда для любого и £ U существует
ν £ V такой, что иН = νΗ. Поэтому v~lu £ Я < V Π С/.
Теперь и G V и U < V. Аналогично проверяется
обратное включение. Следовательно, U — V νι φ — инъекция.
4. Если N <] G, JV £ S(G,#), то (gH)-l{nH){gH) =
= Я~1п9Н £ ЛГ/Я для всех # £ G, η £ N. Поэтому
Ν = Ν/Η < G. Обратно, если iV < G, то
<Γ1"0# = (дНГ1(пН)(дН) £ TV, ^ш? £ Ν.
Значит, Ν < G. ΚΙ
47

1. ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
Совокупность всех нормальных подгрупп группы G
обозначим через Sn(G).
Теорема 1.60. Множество Sn(C?) с бинарным
отношением < является подрешеткой решетки S(G)
всех подгрупп группы G.
D В теореме 1.17 доказано, что множество S(G) с
бинарным отношением < является решеткой. Ясно,
что Sn(G) С S(G). По лемме 1.53
Я Π L < G, {HUL) = HL<]G
для всех #, L<G, поэтому Sn(G) — подрешетка решетки
S(G). И
Собственная нормальная подгруппа Η неединичной
группы G называется максимальной нормальной
подгруппой, если из условий Η < К<\G следует, что Η — К
либо К = G. У единичной группы максимальной
нормальной подгруппой считают всю группу.
Теорема 1.61. 1. Если Η — максимальная
нормальная подгруппа неединичной группы G, то
факторгруппа G/H является простой группой.
2. Если Η — нормальная подгруппа группы G и
фактор-группа G/H простая, то Η — максимальная
нормальная подгруппа группы G.
D 1. Предположим, что G/H непростая. Тогда
существует нетривиальная нормальная подгруппа К/Η
группы G/H. По теореме 1.59 подгруппа К нормальна вой
К φ G, К φ Η, Η < К. Получили противоречие.
2. Пусть Η — нормальная подгруппа группы G и G/H
простая. Предположим, что существует нормальная
подгруппа L группы G такая, что Η < L, Η φ L, L φ G.
Тогда L/H — нетривиальная нормальная подгруппа в
G/H. т.е. G/H непростая. ΚΙ
Теорема 1.62. Если ρ — наименьший простой
делитель порядка конечной группы, то каждая подгруппа
индекса ρ нормальна в группе.
О Пусть G — конечная группа, ρ — наименьший
простой делитель | G | и Η — подгруппа индекса р.
Предположим, что подгруппа Η не является
нормальной. По теореме 1.51 существует элемент χ Ε G такой,
48

1.7. Силовские подгруппы конечных групп
что Η φ Нх. Поскольку | Я | / | Η П Нх \ф 1 и делит
|<?|,то
\Н\1 \НПНХ \>р,
| G |>| ННХ |=| Я || Я* | / | Я Π Я1 |>| Я | ρ =
=|Я||<?:Я|=|<?|
по теореме 1.42. Поэтому G = ##х, что противоречит
лемме 1.44. И
Подгруппа индекса 2 нормальна в группе. В частности,
подгруппа Ап нормальна в Sn-
В аддитивной группе Ζ целых чисел подгруппа 5 Ζ = {δ/с | /г 6
6 Ζ} чисел, кратных 5, нормальна. Смежные классы Ζ по 5Ζ имеют
вид г + 5Ζ, где г = 0,1, 2,3, 4. Фактор-группа
Ζ/5Ζ = {5Ζ, 1 + 5Ζ, 2 + 5Ζ,3 + 5Ζ,4 + δΖ}
состоит из пяти элементов. Нулевым элементом будет δΖ.
Сложение в G/H определяется равенством (а + Я) -f (6+ Я) = (а + Ь) + Я.
Например, (2-f δΖ)4-(4 + δΖ) = 6+δΖ = 1 + δΖ. Вычислив остальные
суммы, можно составить таблицу сложения для фактор-группы.
Ясно, что Ζ/δΖ= (1 -f δΖ) — циклическая группа порядка δ.
Пример 1.5. Найти все фактор-группы группы 5з-
D Среди подгрупп группы 5з со своими сопряженными
совпадают следующие подгруппы: Е, 5з, Я = ((123)) (см. пример 1.4).
По теореме 1.51 эти три подгруппы нормальны в S3. Ясно, что
S3/S3 — единичная группа, a S$/E изоморфна 5з- Порядок
подгруппы Я = ((123)) равен 3, а порядок 5з/Я равен 2. Поэтому
5з/Я — циклическая группа порядка 2. Смежные классы 5з по
Я исчерпываются классами Я и (12)Я. Таким образом, группа
5з имеет три фактор-группы: S$/E ~ 5з, S3/S3 ~ ^' ^з/Я" ^
= {Я,(12)Я} = ((12)Я>.Н
1.7. Силовские подгруппы конечных групп
По теореме Лагранжа порядок подгруппы делит
порядок конечной группы. Обратное утверждение не
всегда верно, т.е. если натуральное число d делит порядок
группы, то в группе может и не быть подгруппы
порядка d.
Пример 1.6. Доказать, что знакопеременная группа А^
порядка 12 не содержит подгрупп порядка 6.
D Допустим противное. Пусть Я — подгруппа порядка 6.
Тогда | А\ : Я |= 2 и Я < А^ согласно теореме 1.62. Группа А$
содержит подгруппы Κι = ((234)), К2 = ((134)). Если Kt £ Я, то
49

1. ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
Η Π Κ{ — Ε и | НК[ 1=1 Я || К{ \= 18, т.е. получили противоречие.
Следовательно, К\К2 С. Н, а, так как Κι ΠΚ-ζ = Ε, то \ Κ\Κ<ζ |= 9.
Снова получили противоречие. Значит допущение неверно и А<± не
содержит подгрупп порядка 6. й
Вполне естественно возникает вопрос: для каких
делителей d порядка группы имеется подгруппа порядка
(П В случае, когда d — степень простого числа, ответ
дает теорема Силова. Для доказательства теоремы Силова
потребуется следующая
Лемма 1.63. Если порядок конечной абелевой
группы G делится на простое число р; то в G существует
подгруппа порядка р.
D Применим индукцию по порядку группы. Пусть
Η — максимальная подгруппа. Ясно, что Η абелева и
\Н\ < \G\. Если \Н\ делится на р, то по индукции в
Η имеется подгруппа порядка р. Пусть \Н\ не делится
на р. Так как \G\ = \H\\G : Я|, то ρ делит \G : Н\.
По теореме 1.61 G/H является простой группой, а на
основании теоремы 1.54 фактор-группа G/H = (gH)
является циклической группой простого порядка р. Но
теперь G = Н(д) и согласно теореме 1.42. число ρ =
= \G : Н\ = \(д) : Η Π (д)\ делит \(д)\. Пусть \(д)\ = рт.
Тогда {дт) — подгруппа порядка р. Й
Пусть ρ — простое число. Конечная группа,
порядок которой есть степень простого числа р, называется
р-группой. Если группа является р-группой для
некоторого простого числа р, то она называется примарной.
Теорема 1.64 (Силова). Пусть конечная
группа G имеет порядок рт5, где ρ — простое число и ρ не
делит s. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) в группе G существует подгруппа порядка рг для
каждого г = 1,2,..., га;
2) если Η — р-подгруппа и Ρ — подгруппа порядка
рт', то существует такой элемент а £ G, что Η < Ра;
3) любые две подгруппы порядка рт сопряжены;
4) число подгрупп порядка рт в группе G сравнимо с
единицей по модулю ρ и делит s.
D 1. Доказательство проведем индукцией по | G |.
По индукции считаем, что для всех групп, порядок ко-
50

1.7. Силовские подгруппы конечных групп
торых меньше порядка (7, утверждение 1 теоремы
выполняется. Предположим вначале, что порядок центра
Z(G) делится на р. Так как Z(G) — абелева группа, то
к Z(G) применима лемма 1.63. По этой лемме в Z(G)
есть элемент ζ порядка р. Так как Ν = (ζ) —
нормальная подгруппа группы G порядка р, то фактор-группа
G/N имеет порядок pm~ls < \G\ и по индукции в
G/N = G найдется подгруппа Pi порядка рг для
каждого г = 1,2,..., га — 1. По теореме о соответствии b_G
имеется подгруппа Рг такая, что Р{ > N и Ρχ/Ν = Ρχ.
Тогда | Pi |= рг+1, где г — 1,2,... ,га — 1. Итак, в
группе G существуют подгруппы Ρχ,Ρ2,... ,Pm_i порядков
р2,р3,... ,рт соответственно и подгруппа 7V порядка р.
Теперь перейдем к случаю, когда порядок Z(G) не
делится на р. Рассмотрим разложение группы G на
различные классы сопряженных элементов
G = K1UK2U...UKd, (1.5)
где Ki — xf = {xf I g G G} — класс сопряженных
с Xi элементов. По лемме 1.9 пересечение различных
классов — пустое множество, а по следствию 2 из
теоремы 1.49 число элементов в классе xf равно индексу
централизатора Сс(хг)· Пусть кц =\ Ki \=\ G : Cg{x%) |·
Централизатор каждого элемента из центра совпадает с
группой G, и обратно, если централизатор некоторого
элемента совпадает с группой, то этот элемент попадает
в центр (7. Поэтому из разложения (1.5) получаем
| G \= l + l + ... + l+fcc + fcc+i + ... + fcd, (1.6)
\Z{G)\
где kj > 1 для каждого j > с. Если все числа fcc, fcc+i j · · · j
kd делятся на р, то из суммы (1.6) следует, что | Z(G) \
делится на р, а это противоречит рассматриваемому
случаю. Итак, существует kf, где / > с такое, что ρ не делит
kf. Поскольку kf =\ G : CG{xf) |, то | CG{xf) \= pmS\ <
<\ G |, где 5ι = s/kf — целое чиаю и ρ не делит θχ.
Теперь к группе Сс(х/) применима индукция. По ин-
51

1. ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
дукции в Cg{xj) существует подгруппа порядка рг для
каждого г — 1,2, . ..,га, которая является искомой для
группы G.
2. Рассмотрим разложение группы G на двойные
смежные классы по подгруппам Ρ и Я:
G^Px^HU Px2H U ... U PxtH. (1.7)
Зададим отображение φι: gxji (-> х~хдхф>, д € Ρ, Л £ Я,
переводящее элементы двойного смежного класса Рх{Н
в элементы произведения подгрупп х~хРх{ — PXi и Я.
Легко показать, что отображение <# взаимно однозначно,
поэтому, используя теорему 1.42, получаем:
I PXi \\ Я I ртт>ь
где рь =\ Я |. Так как Ρ** Π Я есть подгруппа в Я, то по
теореме Лагранжа | PXi Π Я | делит рь и р6/ | PXi Π Я | —
целое число. Из разложения (1.7) теперь имеем:
ртз = ^\Рх{Н\=^р"
Ρ
I P*< П Я Ι
г=1 г=1 ' '
Сокращая обе части равенства нарт, получаем:
г=1 ' '
Так как s взаимно просто с р, а рь/ \ ρΧί Π Я | — целое
число, являющееся степенью р, то в правой части
равенства (1.8) существует слагаемое, равное единице. Пусть,
например, рь =| Pxj Π Я |, где 1 < j < t Тогда Я < PXJ.
3. Пусть Ρχ и Р2 — подгруппы порядка рт. По
утверждению 2 существует элемент a £ G такой, что
Pi < Ρ2α. Так как | Рг |=| Р£ |, то Ρι = Ρ2α.
4. Пусть G — группа порядка pms, (p,s) = 1, Ρ —
подгруппа порядка рт и N = Ng(P) — нормализатор
подгруппы Ρ в группе G. Рассмотрим разложение груп-
52

ί.7. Силовские подгруппы конечных групп
пы G на двойные смежные классы по Ρ и Ν:
G = ΡχχΝ U Px2N U ... U PxtN. (1.9)
Отображение </?^: gx{h ь-> x~[xgxih, g £ F, h Ε Ν, будет
взаимно однозначным отображением ΡχιΝ на PXiN.
Теперь из разложения (1.9) имеем:
1 ' Af Ι ρχ· η iv ι ' ' f-* ι ρ** η ν ι'
г=1 ' ' г=1 ' f
Положим \ G '. N \— p. Элемент х\ можно выбрать
единичным, поэтому ΡχχΝ = ΡΧιΝ = Ν и ΡΧι Π ΛΓ = Ρ.
Теперь
ρ = 1 + ]Γ | Ρ*< | / | PXi Π TV | . (1.10)
г=2
Покажем, что под знаком суммы в формуле (1.10) нет
слагаемых, равных 1. Допустим противное, т.е. что для
некоторого j > 2 имеем равенство | Рхз |=| PXJ Π Ν \.
Это означает, что PXJ < N и подгруппа N содержит две
подгруппы Ρ и Рхз порядка рт. По утверждению 3
существует элемент у Ε Ν такой, что Ρ = Рхзу. Но тогда
Xjy G JV, а так как у £ N, то и Xj £ N. Это возможно
только при j = 1, т. е. получили противоречие. Значит,
допущение неверно и в формуле (1.10) под знаком суммы
все слагаемые отличны от единицы. Поскольку каждое
слагаемое есть степень простого р, то из формулы (1.10)
получаем сравнение ρ = 1 (mod ρ). По утверждению 3
все подгруппы порядка рт в G сопряжены между собой,
а по следствию 2 из теоремы 1.49 число подгрупп,
сопряженных с Р, равно р. Поскольку Ρ < iV, то ρ делит s. H
Силовской р-подгруппой конечной группы G
называют такую р-подгруппу, индекс которой не делится на р.
Непосредственно из теоремы получаем
Следствие. Пусть конечная группа G имеет
порядок pmsy где ρ — простое число и ρ не делит s. Тогда:
1) существует силовская р-подгруппа и ее порядок
равен рт;
53

1. ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
2) каждая р-подгруппа содержится в некоторой си-
ловской р-подгруппе;
3) любые две силовские р-подгруппы сопряжены;
4) число силовских р-подгрупп сравнимо с единицей
по модулю ρ и делит s.
Теорема 1.65. Для конечной группы G и ее силов-
ской р-подгруппы Ρ справедливы следующие
утверждения:
1) если К — нормальная подгруппа группы G, то РП
ПК — силовская р-подгруппа в К, а РК/К — силовская
р-подгруппа в G/K;
2)NG/K(PK/K) = NG(P)K/K;
3) если К\ и Κ<ι — нормальные подгруппы группы G,
то КХК2 П Ρ = (Κι П Ρ){Κ2 Π Ρ) и ΚΧΡ Π Κ2Ρ = (ΑΊΠ
ПК2)Р;
4) пусть ρι,Ρ2ι · · · )Ρη ~ все простые делители
порядка группы G, pi φ pj при г Φ j, и Рь Рг, · · · ? Ρη —
соответствующие им силовские подгруппы. Тогда G =
= (Pi U Р2 U ... U Рп), а если η = 2, mo G = ΡιΡ2.
D 1. Так как | Ρ |= рт и ρ не делит | G : Ρ |, то
РПК - р-группа, а из того, что | РК \ = \ Ρ \\ К | / | Ρ Г)
Π К |, следует | РК : Ρ | = | К : К Π Ρ |. Из
теоремы 1.39 получаем, что \ G : Ρ \ = \ G : РК \\ РК : Ρ \ и
\ К : КПР \ не делится на р. Значит, К Π Ρ — силовская
р-подгруппа в К. Поскольку | РК/К |=| Ρ/Ρ Π К \, то
РК/К — р-группа, а так как число ρ не делит
\G:P\/\PK:P\ = \G:PK\ = \ G/K : РК/К |,
то РК/К — силовская р-подгруппа в группе G/iC.
2. Для элемента # £ NG(P) получаем:
(χ-1Κ)(ΡΚ/Χ)(χ·ϋΓ) = Ρ·τΚ/# = РХ/Х,
т.е. NG{P)K/K < NGIK{PK/K). Обратно, если уК G
Ξ NG/K(PK/K), то Р^К = РК\ Теперь Ρ и Р^ -
силовские подгруппы в РК, которые согласно следствию
из теоремы 1.64 сопряжены в РК, т.е. существует
элемент ак е РК, α G Ρ, к в К, такой, что Ру = Pafc = Рк.
54

1.7. Силовские подгруппы конечных групп
Тогда yk~l £ NG(P) и у 6 NG(P)K, т.е. NG/K{PK/K) <
< NG{P)K/K.
3. Если ab € (Κι Г)Р){К2Г)Р), α Ε ΚχΠΡ, b € К2Г\Р,
то ab в КХК2 П Ρ и (Κχ η Ρ)(#2 Π Ρ) < ΚιΛΓ2 П Р. Если
Μ < G, то пусть | Μ \ρ означает наивысшую степень
ρ, делящую порядок М. Согласно следствию из
теоремы 1.64 | Μ \ρ — порядок силовской р-подгруппы из М.
Из утверждения 1 получаем
\К>ПР\=\Кг\р, г = 1,2, \KiK2nP\=\KiK2\p.
Поэтому
| (К1ПР)(К2ПР) 1=1 Кг \р\ К2\р/\ ΚλΠΚ2 \р =
=\κλκ2\ρ=\κλκ2ηρ\
и (Κλ П Р){К2 Π Ρ) = КХК2 Π P.
Если аб G (Κι Π К2)Р, α Ε Κλ Γ) К2у b G Ρ, то
аб G Κι Ρ Π #2^ и (Κι Π Κ2)Ρ < ΚιΡ Π Κ2Ρ.
Обратно, пусть a\b\ = a2b2 G K\PC\K2P, где αϊ G Κχ,
a2 G K2, i>b62 G P. Тогда α^αι = ί>2ί>Γl G K1K2 Π P.
Поскольку уже доказано, что
КХК2 ПР = К2КХ П Ρ = (К2 П Р){Кг П Ρ),
то α^"1αι = C2Ci, где c2 Ε Κ2Π Ρ; ci G Κχ Π P. Теперь
aicj"1 = a2C2 G К\ПК2 и αι£>χ = aicf ^δι G (Κι Π K2)P.
Следовательно, ΚχΡ Π Κ2Ρ = (Κι Π Κ2)Ρ.
4. Пусть Я = (Λ U P2 U ... U Ρη). Тогда | Р{ \ делит
| Я" | для каждого г = 1,2,..., η и поэтому | G | = | Pi | χ
χ | Ρ2 | ... | Ρη | делит | Η |, т.е. Η — G. Для η = 2 по
теореме 1.42 имеем | G | = | Ρ1Ρ2 |, откуда G = Ρ1Ρ2. ΚΙ
Лемма 1.66 (Фраттини). Если К -
нормальная подгруппа конечной группы G и Ρ - силовская р-
подгруппа из К, то G = Nq(P)K.
G Пусть g — произвольный элемент из G. Так как
Ρ < К < G, то Р9 < К9 = К и по теореме Сило-
ва подгруппы Ρ и Р9 сопряжены в К. Поэтому
существует элемент k G К такой, что Ρ = Pgk, откуда
55

1. ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
дк € NG{P) и д G NG{P)k~l С NG{P)K. Таким
образом, G = NG{P)K. В
Лемма 1.67. Каждая подгруппа конечной группы,
содержащая нормализатор некоторой силовской
подгруппы, самонормализуема.
D Пусть Ρ — силовская подгруппа группы G и Η —
подгруппа, содержащая NG{P). Так как if < NG(H), то
по лемме Фраттини NG(H) = HNG(P) = Я. 13
Лемма 1.68. Пусть Ρ — р-подгруппа конечной
группы G, N <G и ρ не делит \ N \. Тогда
NG/N(PN/N) = NG(P)N/N.
Π Ясно, что NG{P)N/N < NG/N{PN/N). Пусть
NG/N{PN/N) = Α/Ν. Тогда PiV < Λ и А = NG(P)N
по лемме Фраттини. И
Симметрическая группа Se степени 6 имеет порядок б! =
= 2 · 3~ · 5. По теореме Силова Sq содержит подгруппы порядков
2, 2", 2 , 2 , 3, 3~, 5. Силовская 2-подгруппа имеет порядок 2 , а
силовские 3- и 5-подгруппы — 3" и δ соответственно.
Пример 1.7. Доказать, что группа порядка 15 —
циклическая.
D Пусть G — группа порядка 15. Силовская 3-подгруппа Ρ
имеет порядок 3, а силовская 5-подгруппа Q имеет порядок 5. По
теореме Силова число силовских 3-подгрупп равно 1 +3/с для
некоторого неотрицательного целого к и делит 5. Поэтому в G имеется
только одна подгруппа порядка 3. Аналогично число силовских 5-
подгрупп равно 1 + 5ί и делит 3, поэтому в G существует только
одна подгруппа порядка 5.
Если χ — элемент порядка 3, то {х) — подгруппа порядка 3,
поэтому {х) = Р. Значит, в G только два элемента порядка 3: χ и
х'. Аналогично если у — элемент порядка 5, то {у) — подгруппа
порядка 5, поэтому {у) = Q и в G только четыре элемента поряд-
ка 5: у, у , у и у . Так как в группе четырнадцать неединичных
элементов, то должны существовать элементы других порядков.
По теореме Лагранжа порядок каждого элемента делит число 15,
поэтому в G существует элемент порядка 15 и G — циклическая
группа. Е!

ГОМОМОРФИЗМЫ
И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
2.1. Гомоморфизмы групп
Пусть G и Г — мультипликативные группы.
Отображение φ: G —)» Г называется гомоморфизмом, если
tp(xy) = φ{χ)φ{ν) (2.1)
для любых х,у G G. Если Μ — подмножество группы G,
то φ{Μ) = {φ{τη) \ т Ε М} — образ Μ при
гомоморфизме φ, а φ(ΰ) — образ гомоморфизма φ. Образ
гомоморфизма φ также обозначают через Im φ. Ядром
гомоморфизма φ называется множество Кег φ = {χ G G | φ{χ) =
= ε}, где ε — единичный элемент группы Г. Другими
словами, в ядре собраны все элементы группы G,
переходящие при отображении φ в единичный элемент группы
Г, т.е. Кег φ = φ~ι ({ε}).
Лемма 2.1. Пусть φ: G —» Г — гомоморфизм.
Тогда:
1) единичный элемент е группы G переходит в
единичный элемент ε группы Г, т.е. φ(β) = ε;
2) обратный элемент переходит в обратный, т.е.
φ(α~ι) = φ(α)~ι для всех а G G;
3) образ гомоморфизма является подгруппой группы
Г, т.е. Ιιαφ < Г;
4) ядро гомоморфизма является нормальной
подгруппой группы G, т.е. Κβτφ < G;
5) (p(g) = φ{Κ) для элементов g,h G G тогда и
только тогда, когда gh~l G Κβτφ.
D 1. Предположим, что tp(e) = ει G Г. Так как ε —
единица группы J1, то ε\ε = ε\. Применяя формулу (2.1)
к равенству ее = е, получаем ε\ε\ = ε\. Теперь ε\ε =
= ειει, откуда ε = ει = φ(β) — единица группы Г.
2. Так как е = αα~ι = α-1 α, то ε = φ(β) =
= φ(α)φ(α~ι) = φ(α~ι)φ{α) и φ(α~ι) = φ(α)~ι.
3. Если а,/7 € Im у?, то существуют a>b E G такие, что
φ(α) = α, φ(ίή = β. Поскольку G — группа, το ab G G
57

2. ГОМОМОРФИЗМЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
и a~l G G. Отсюда αβ — (p(a)cp(b) = cp(ab) G Ιπιφ и
α-1 = <£(α)~ι = φ{α~ι) G Ιπκ/?, т.е. Im(£ < Г.
4. Если a,b £ Кег<£, то (/?(α) = ε = <ρ(ί>). Поэтому
¥>(αί>) = φ{α)φ{ϋ) = ε, т.е. аб G Кегу>. Далее, ^(α_1) =
= ^(α)_1 = ε, т.е. α-1 G Ker<£. Значит, Ker<£ < G.
Для произвольных элементов д € G, а Е Кег у? имеем:
φ(9~1<>>9) = ψ{9)~1ψ{ο)ψ{9) = φ{9)~1εψ{9) = ε.
Поэтому g~lag G Кег</? и Kercp<]G по теореме 1.51, с. 42.
5. Пусть g,h £ G и φ(ρ) = φ(Κ). Тогда
4>{gh~l) = ψ{9)φ{Η~ι) = φ{9)φ{Η)~ι = ε, у/г"1 G Кег<р.
Обратно, если g/ι-1 £ Кег</?, то ip(gh~l) = ip{g)(p(h~l) =
= φ{9ΜΚ)~λ = ε и v(g) = ν(Λ). И
Гомоморфизм φ: G -ϊ Γ называется мономорфизмом,
если Кег<£ = {ε}. Из леммы 2.1 следует, что
гомоморфизм φ является мономорфизмом тогда и только тогда,
когда φ — инъекция. Если Ιτηφ = Г, то гомоморфизм
φ: G -> Г называется эпиморфизмом. Ясно, что в этом
случае φ — сюръекция. Гомоморфизм, который
одновременно является мономорфизмом и эпиморфизмом, будет
изоморфизмом.
ЛЕММА 2.2. Пусть φ: G —> Г — гомоморфизм.
Тогда:
1) если Η < G, то φ(Η) < Г;
2) если Ή < G, то φ{Η) < \ταφ;
3) если подмножества Τ и S сопряжены в G, то
φ{Τ) и ip{S) сопряжены в Ιτηφ.
G Доказательство всех утверждений леммы
выполняется элементарной проверкой, й
Теорема 2.3 (основная о гомоморфизме).
Если φ: G —)» Г — гомоморфизм, то G/Κζτφ ~ \mip}
т.е. при гомоморфизме групп фактор-группа по ядру
изоморфна образу.
D Пусть К — Кег</?. Поставим в соответствие
элементу аК G G/K элемент φ(α) G Im<p, т.е. положим
f{aK) = φ{α). Если аК = ЬК, то b~la Ε К и (p(b~la) = ε.
58

2.1. Гомоморфизмы групп
Поэтому φ(α) = у>(Ь) и f(aK) = f{bK). Таким
образом, соответствие / не зависит от выбора
представителя смежного класса и каждому аК ставится в
соответствие единственный элемент φ(α). Следовательно, /:
аК \-¥ φ(α) является отображением группы G/K в
группу Ιπιφ. Так как
f((aK)(bK)) = f(abK) = φ(<ώ) = <p(aMb) = f(aK)f(bK),
то / — гомоморфизм. Если φ{α) — произвольный
элемент из Ιταφ, то φ(α) = f(aK), т.е. / — сюръекция. Если
f{aK) = f(bK), то φ(α) = <р(6), поэтому cp(a~lb) = ε и
а_16 Ε Кег(/? = /С, т.е. аК = ЬК. Следовательно, / —
инъекция и / — изоморфизм групп G/K и Im<p. H
Теорема 2.4. Пусть Я — нормальная подгруппа
группы G. Тогда для любой подгруппы А пересечение
Α Π Η является нормальной подгруппой в подгруппе А}
а отображение φ: аН н» а(А Π Я) — изоморфизмом
групп АН/Я и А/А П Я.
D Произведение АН — подгруппа группы G
согласно лемме 1.53, с. 43. Так как единичный элемент е группы
G содержится в А и в Я, то АН содержит Η я А. Кроме
того, Η будет нормальной подгруппой в АН, и можно
рассматривать фактор-группу АН/Н. По лемме 1.53
пересечение Α Π Η является нормальной подгруппой в А.
Поэтому можно рассматривать фактор-группу А/АПН.
Отображение φ: аН *-> а(АГ)Н) будет биекцией
множества АН/Н на А/А П Я, причем
φ((α1Η)(α2Η)) = φ(αια2Η) = αια2(Α П Я) =
= αϊ (Λ Π Я)а2(А ПЯ) = φ{αιΗ)φ{α2Η).
Следовательно, φ — изоморфизм. ΚΙ
Теорему 1.59 о соответствии, с. 46, дополняет
следующая
Теорема 2.5. Если N и Η — нормальные
подгруппы группы G, причем Η < Ν, то G/N изоморфна
G/H/N/H.
59

2. ГОМОМОРФИЗМЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
D По теореме о соответствии подгруппа N/H
нормальна в G/H и фактор-группа G/H/N/H состоит из
смежных классов gH(N/H), где дН — элемент из группы
G/H. Рассмотрим отображение φ: G/H —> G/N,
определяемое равенством <р{дН) = gN. Это отображение будет
эпиморфизмом. Если дН £ Кегу?, то (р{дН) = = gN = N
и д £ N, поэтому Кет φ = Ν/Η. По основной теореме о
гомоморфизме группы G/H/N/H и G/N изоморфны. ЕЗ
Приведем примеры гомоморфизмов групп.
1. Пусть G — произвольная группа, а К — ее произвольная
нормальная подгруппа. Отображение φ: д i-> p-fif группы (2 в
факторгруппу G/K будет эпиморфизмом с ядром К.
2. Пусть Ζ — аддитивная группа целых чисел, G —
мультипликативная группа и а — фиксированный элемент из G. Рассмотрим
отображение φ : & »-> а из Ζ в G. Так как у>(/г -Η) = α + = α α =
= φ{Η)φ{1), το φ — гомоморфизм. Образ Imy> = {<^(&) | А; € Ζ} =
= {a | fc G Ζ} = (α) совпадает с циклической подгруппой,
порожденной элементом а. Ядро Кет φ = {к \ φ{α) = е} = {а = е}
состоит из тех целых чисел к, для которых а = е. По теореме 1.21,
с. 24, все эти числа кратны порядку элемента а, т.е. Кег^ =| а | Ζ.
Согласно основной теореме о гомоморфизме Ζ/ | α | Ζ ~ (α).
3. Пусть Sn — симметрическая группа степени π, а Г1 =
= {—1,1} — мультипликативная группа. Рассмотрим отображение
sgn: r н-» sgnr. Поскольку знак произведения перестановок равен
произведению знаков, то равенство (2.1) выполняется и sgn —
гомоморфизм. Ядро этого гомоморфизма состоит из четных
перестановок, поэтому Kersgn = Ап — знакопеременная группа. Так как
sgn — сюръекция, то Imsgn = Г и 5П/АП — Г.
4. Зададим отображение det: A »-> det А, которое каждой
невырожденной матрице А £ GL{n, Ρ), где Ρ — поле, ставит в
соответствие ее определитель. Так как определитель произведения двух
матриц равен произведению определителей, то равенство (2.1)
выполняется и отображение det — гомоморфизм группы GL(n, Ρ) в
мультипликативную группу Р*. Каждый элемент а £ Р* будет
определителем матрицы
(а О ... 0\
О 0 ... 1/
поэтому Imdet = Р^, т.е. det — эпиморфизм. Ядро Kerdet = {Лб
€ GL(n,P) | det Λ = 1} состоит из матриц с единичным опре-
60

2.2. Автоморфизмы
делителем, поэтому Кег det = SL(n, P) — специальная линейная
группа, а по лемме 2.1 SL(n,P) нормальна в GL(n,P). Согласно
основной теореме о гомоморфизме GL(n, P)/SL(n, P) изоморфна
мультипликативной группе Р^.
2.2. Автоморфизмы
Напомним, что изоморфное отображение группы на
себя называется автоморфизмом. Два автоморфизма φ
и ф группы G считаются равными, если они
одинаково действуют на элементах, т.е. когда φ(χ) = ф(х) для
всех χ Ε G. Если автоморфизмы φ и ф различны, то
существует у Ε G такой, что <р(у) ф ф{у).
Совокупность Aut G всех автоморфизмов группы G с операцией
(φφ)(χ) = φ{φ(χ)) для любых χ Ε G является группой
(см. теорему 1.34, с. 32).
Приведем примеры автоморфизмов групп.
1. Пусть G — абелева группа и а: х »-> χ~ι. Тогда α —
автоморфизм группы G.
2. Пусть С* — мультипликативная группа ненулевых
комплексных чисел. Тогда отображение а + Ы »-> а + Ы = а — Ы
является автоморфизмом С^.
3. Пусть G — абелева группа порядка пит — натуральное
число. Если тип взаимно просты, то отображение β: д н-> дт1 д £ G,
является автоморфизмом группы G. В частности, если G —
абелева группа нечетного порядка, то отображение д н* <f —
автоморфизм. Действительно, так как G абелева, то (ab)ni =■ атЪт для
всех а, 6 € G. Поэтому отображение β: д »-> дт — гомоморфизм.
Если ат = е для некоторого а € G, то порядок а делит т согласно
теореме 1.21, с. 24. Но | а | делит η по теореме Лагранжа, а числа
тип взаимно просты. Из равенства ат — е следует, что а = е и
β — инъекция. Так как инъекция конечного множества является
биекцией, то β — автоморфизм.
При автоморфизмах сохраняются многие свойства
групп. Отметим простейшие из них в приводимой ниже
лемме.
Лемма 2.6. Пусть G — группа, Η и К —
подгруппы G, Η < К, χ eG υ,φΕ AutG. Тогда:
61

2. ГОМОМОРФИЗМЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
1) | χ 1=1 φ(χ) |/
2) CG(<p(x)) = tp(CG(x));
3)<p(H) = {ip(h)\heH}~H;
4) φ(Η) < φ(Κ) u\K:H\=\ φ(Κ) : φ(Η) \;
5) если Η<Κ, τηοφ(Η)<]φ(Κ) и Κ/Η ~ φ(Κ)/φ{Η);
6) Να(φ(Η)) = φ(Να(Η)), Οβ{φ{Η)) = ψ{Οα{Η)).
Внутренние автоморфизмы. Пусть G — группа
и д G G. Зададим отображение гд: χ »-> дхд~1 для всех
χ G G. Если дхд~1 = дуд~1, то χ = у и гр — инъекция.
Так как для любого h €. G имеем ig{g~lhg) = h, то г^ —
биекция. Кроме того, гд(ху) = g{xy)g~l = дхд~1дуд~1 =
= ig(x)ig(y) и гд — автоморфизм группы G.
Автоморфизм г?:хи дхд~1 называется внутренним
автоморфизмом группы G, порожденным элементом д.
Совокупность всех внутренних автоморфизмов группы
G обозначается через InnG. Таким образом,
Inn G = {гд: χ н* дхд~ \ д, χ G G}.
Теорема 2.7. Пусть G — группа. Тогда:
1) lrniG<kwtG;
2)limG~G/Z(G).
D 1. Пусть ig^ih £ InnG, g,h£G. Тогда
igih(x) = ig{ih(x)) = ig(hxh~l) = g(hxh~1)g~l =
= (gh)x(gh)'1 =igh{x).
Таким образом, igi^ = igh и умножение определено на
InnG. Для единичного элемента е Ε G внутренний
автоморфизм ге будет тождественным отображением, т.е.
единичным элементом в InnG. Поэтому из равенства
igih = igh = ie следует, что h = g~l и (г^)"1 = ig-\ G
G InnG. Оба условия теоремы 1.11, с. 17, выполняются,
значит, Inn G — подгруппа.
Пусть φ G Aut G, ig G Inn G. Тогда для любого χ G G
{φ~49φ){χ) = (φ-{ί9)(φ{χ)) = cp-l{gip{x)g-1) =
62

2.2. Автоморфизмы
= Ψ-1(9)Ψ'1(Ψ(Χ))Ψ-1(9-1) = φ-1(9)χ(φ-1(9))-1 =
= ίφ-ΐ(9){χ), т.е. φ~Η9φ = V4<?) G
^последовательно, InnG — нормальная подгруппа группы
AutG.
2. Определим отображение /: G —¥ InnG следующим
образом: /: д н> гд для всех д G G. Тогда f{gh) = г^ =
= igih — f{9)f(h) и / ~~ гомоморфизм группы G в
InnG. Ясно, что / — сюръекция, т.е. Im/ = InnG.
Ядро Кег/ = {# G G | /(я) = ге} = {д G G \ дхд'1 = χ
для всех χ G G} = Z(G). Применяя основную теорему о
гомоморфизме, получаем, что G/Z(G) ^ InnG. KI
Теорема 2.8. Пусть G — группа и Η — ее
подгруппа. Тогда Cg(H) < Nc(H) и фактор-группа
Ng{H)/Cg{H) изоморфна подгруппе группы
автоморфизмов Я.
D Для каждого g G Ng{H) ограничение г^
внутреннего автоморфизма ig группы G на подгруппе Я будет
автоморфизмом Я. Рассмотрим отображение f'-g^ftg
для всех g .G Nq{H). Оно является гомоморфизмом
группы Ng{H) в Aut#, ядро которого Кег/ = {<? G ЛГ<~(Я) |
tf/uT1 = /г для всех h G Я} = CNg{h){H) = CG{H).
Теперь осталось только применить основную теорему о
гомоморфизме. И
Характеристические подгруппы. Пусть Я —
подгруппа группы G и α — автоморфизм группы G. Если
а(Н) = Я для всех a G Aut G, то Я называют
характеристической подгруппой группы G и пишут: Я char G.
В каждой группе G единичная подгруппа и вся
группа являются характеристическими подгруппами. Если в
группе G нет других характеристических подгрупп, то
она называется характеристически простой. Ясно, что
простые группы являются характеристически простыми.
Лемма 2.9. Каждая подгруппа конечной
циклической группы характеристическая.
D В циклических группах подгруппа
фиксированного порядка единственна (см. следствие из теоремы 1.24,
63

2. ГОМОМОРФИЗМЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
с. 26). Поэтому если G — циклическая группа и Η < G,
то из условия | Я |=| а(Н) | следует, что а(Н) = Я и
Я char G. И
Лемма 2,10. Пусть Я <G. Тогда:
1) если Я char G} то Η < G;
2) если Η char G, mo Cg(#) char G;
3,) если Я, if char G, mo Я if char G и Я П if char G;
4) если Η < Κ < G, Я char G и if/Я char G/Я, mo
if char G.
D L Пусть Я char G. Тогда ig(H) = Я для всех g Ε
Ε G. Так как ig(H) = gHg~l, то из равенства gHg~l = Η
для всех g Ε G следует, что Я < G.
2. Пусть Я char G и α € AutG. Если # Ε СС(Я),
h Ε Η, το gh = hg для всех h Ε Η, поэтому α(^)α(ή) =
= а(/г)а(#), а так как а(Н) = Я, то а(д) Ε Cg{H) и
GG^)charG.
3 — 4. Достаточно выполнить простую проверку, й
Лемма 2.11. tfi/стъ Я <К < G. Тогда:
i^ если Я char if char G, то Я char G;
^) если Я char К <G, то Η < G.
G 1. Для любого α Ε Aut G из условия К char G
следует, что а(К) = К. Ограничение а \к автоморфизма α
на К будет автоморфизмом if, а поскольку Я char if, то
а \к (Я) = а{Н) = Я и Я char G.
2. Так как if < G, то ip(if) = if. Ограничение г°д
автоморфизма гд группы G на К будет
автоморфизмом if, а поскольку Я char if, то i®(H) = гд{Н) = Я
и Я < G. Η
Холловой подгруппой конечной группы называют
подгруппу, порядок и индекс которой взаимно просты.
Силовская подгруппа всегда будет холловой.
Лемма 2.12. Пусть N — холлова нормальная
подгруппа конечной группы G. Тогда N —
характеристическая подгруппа и если Μ — подгруппа, порядок которой
делит порядок Ν, то Μ < N.
D Докажем вначале второе утверждение. Пусть
Μ < G и порядок Μ делит порядок N. Так как ΜΝ —
64

2.2. Автоморфизмы
подгруппа, то ее порядок делит порядок G. Но | MN \=
=\Μ\\Ν \ / \ΜΠΝ Ι поэтому
\ΜΝ\/\Ν\=\Μ\ /\ΜΠΝ\
делит | G/N |. Так как | Μ/Μ Π Ν | делит | N |, а числа
| N | и | G/7V | взаимно просты, το \ Μ \=\ Μ Γ) Ν \ и
Μ < N. Второе утверждение доказано.
Перейдем к доказательству первого утверждения.
Если a £ AutG, то a(N) — подгруппа, порядок которой
равен порядку N. По доказанному имеем α(Ν) = Ν и
N char G. И
Следствие. Нормальная силовская подгруппа
конечной группы является характеристической.
Центральные автоморфизмы. Автоморфизм а
группы G называется центральным автоморфизмом,
если а перестановочен с каждым внутренним
автоморфизмом группы G, т.е. если агд = гда для всех д £ G.
Теорема 2.13. Автоморфизм а группы G
является центральным тогда и только тогда, когда g~la(g) £
£ Z(G) для всех g £ G.
D Пусть а — центральный автоморфизм. Тогда
aig = igOL для всех g £ G. Если х — произвольный
элемент, то
аг9{х) = a{gxg~l) =
= a{g)a{x)a(g)~l = iga{x) = ga{x)g~l.
Поэтому g~la(g)a(x) = a(x)g~la(g) и g~lot{g) £ Z(G).
Обратно, пусть α — автоморфизм и g~la(g) £ Z(G)
для всех g £ G. Тогда для любого χ £ G имеем:
g~la(g)a(x) = a{x)g~la{g), a{g)a{x)a(g)-{ = ga{x)g~l,
aig(x) = г9а(х), т.е. а — центральный автоморфизм. ΚΙ
Следствие 1. Группа с единичным цеуьтром не
имеет нетождественных центральных автоморфизмов.
Следствие 2. Если G — группа с единичным
центром, то CAut G Inn G — Ε.
D Достаточно вспомнить, что множество
центральных автоморфизмов группы G совпадает с CAutGhmG,
а затем применить следствие 1. И
65

2. ГОМОМОРФИЗМЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
2.3. Эндоморфизмы и операторы
Гомоморфное отображение группы в себя называется
эндоморфизмом. Таким образом, эндоморфизм φ
группы G переводит элемент χ £ G в некоторый элемент
φ(χ) £ G, причем (р(ху) = (р(х)(р(у) для любых х,у €. G.
Множество всех эндоморфизмов группы G обозначают
через End G.
Отображение χ н» е для любого χ £ G является
эндоморфизмом; здесь е — единичный элемент группы G.
Этот эндоморфизм называется нулевым. Эндоморфизм
χ н» χ называют единичным или тождественным.
Лемма 2.14. Множество EndG всех
эндоморфизмов группы G с операцией φφ(χ) = φ(φ(χ)) для всех
χ £ G является полугруппой с единицей ε: χ н» χ.
D Пусть φ, φ Ε End G. Так как
<^(zy) = ψ{φ{χν)) = <р{ф{х)ф(у)) =
= ψ(Φ(χ)ΜΦ(υ)) = {<рФ)(х){<рФ){у),
то <£>V ~ эндоморфизм G. Поскольку умножение
отображений ассоциативно, то EndG — полугруппа. Далее,
(ρε(ж) = φ(χ) и ε<ρ(α;) = φ(χ), поэтому φε = εφ — φ для
всех φ £ End G и ε — единичный элемент в End G. й
Понятие гомоморфизма, введенное для групп,
распространяется и на полугруппы. Отображение φ: Р\ ->
—» Р2 мультипликативных полугрупп Pi и Р2
называется гомоморфизмом, если цэ(ху) — (р(х)(р(у) для всех
х,у £ Рь Если гомоморфизм φ: Р\ —» Р2 является би-
екцией, то он называется изоморфизмом полугрупп Р\ и
Р2- Факт изоморфизма полугрупп Pi и Р2 обозначают
так: Pi ~ Р2.
Эндоморфизмы циклических групп. Обозначим
через (Z,·) мультипликативную полугруппу целых
чисел, а через (Zn, ·) — мультипликативную полугруппу
классов вычетов по модулю п.
Теорема 2.15· 1. Если {д) — бесконечная
циклическая группа, то End(g) ~ (Z,-).
66

2.3. Эндоморфизмы и операторы
2, Если (д) — конечная циклическая группа порядка
п, то End{g) ~ (Zm ·).
D По теореме 1.20, с. 23, (g) = {g*\ie Ζ}.
Обозначим через cpk, fe G Z, эндоморфизм группы (#), для
которого дг н> дгк. Пусть φ — произвольный эндоморфизм
группы (д). Тогда ср(д) G (#), поэтому tp{g) = gm для
некоторого целого га. Если дг — произвольный элемент
из (д), то ср{дг) = {(р{д))г = #тг и <р = <рт. Таким образом,
каждый эндоморфизм группы (#) имеет вид ψ^\ дг *->> дгк:,
где fc G Ζ, поэтому End(#) = {^ | fc G Ζ}. Поскольку
(</Wt)^ = <^Ы^)) = ¥>*($") = 98ti = 4>st{9%
то (ps<Pt = y>si и отображение α: fc «-> ^ будет
эпиморфизмом полугруппы (Ζ,·) на полугруппу End(g).
1. Пусть {д) — бесконечная группа. Тогда gs Φ дг при
s Φ £, поэтому φ3 Φ φι и отображение α: fe *-» <££ будет
изоморфизмом полугрупп (Z,·) и End{g).
2. Пусть {#) — конечная группа порядка п. Тогда
(θ) = {9° — е,9>921 · · · jff71"1} п0 теореме 1.21, с. 24. Если
φ8 = φι, то </>5(#) = gs = <pt(g) "= #*, £5~' = е и s - t
делится на п (см. теорему 1.21). Поэтому отображение
β: к н» </?*., fe = fe Η- ηΖ G Ζη, будет изоморфизмом
полугрупп (Ζ„,·) nEnd(5). И
Теорема 2.16. L £k/m (#) — бесконечная
циклическая группа, то Aut{g) — группа порядка 2.
2. Если (д) — конечная циклическая группа порядка
n, mo Aut(g) изоморфна группе всех обратимых
элементов полугруппы (Zn, ·).
3. Группа автоморфизмов циклической группы
абелева.
4· Группа автоморфизмов группы простого порядка
ρ является циклической группой порядка ρ — 1.
D 1. Из всех эндоморфизмов φ^ бесконечной
циклической группы (д) только два эндоморфизма φ\: д н» д
и φ~\: д »-> д~1 будут автоморфизмами.
2. Пусть X — множество всех обратимых элементов
полугруппы (Ζη, ·). Если φ G Aut(g), то φ — обратимый
67

2. ГОМОМОРФИЗМЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
элемент, поэтому φ Ε X. Если ψ 6 X, то ^ - биекция,
поэтому ф £ Aut{#) и Aut(g) = X.
3. Так как (Z, ·) и (Zn, ·) — абелевы полугруппы, то в
обоих случаях группа Aut{g) абелева.
4. Если ρ — простое число, то кольцо классов
вычетов Ζρ является полем, поэтому его мультипликативная
группа (Ζ*,·) — циклическая порядка ρ — 1. Теперь из
утверждения 2 получаем, что Aut{<?) ~ (Zjf ,·). й
Операторы. Пусть даны группа G, множество Ω и
отображение /: Ω —» End (7, переводящее элемент а € Ω
в элемент /(α) Ε EndG. Так как f(a) — эндоморфизм
группы G, то каждый элемент χ £ G под действием
эндоморфизма f(a) перейдет в элемент f(a)(x) Ε G.
Условимся вместо f(a)(x) писать а(х). Ясно, что а(ху) =
= а(з;)а(у) для всех х,у Ε G. В этой ситуации
множество Ω называют областью операторов группы G,
элементы из Ω — операторами группы G, а саму группу
G — О,-группой или группой с областью операторов Ω.
Операторы действуют на группе G также, как и
соответствующие им эндоморфизмы. Заметим, что различные
операторы могут не отличаться действием на группе G,
поскольку им может соответствовать один и тот же
эндоморфизм.
Подгруппа Η называется Ω- допустимой или просто
Ω-подгруппой, если а(Н) С Η для всех a £ Ω. Ясно, что
пересечение Ω-подгрупп Ω-группы также является Ω-
подгруппой. Если Η — Ω-подгруппа и α Ε Ω, то
ограничение /(а)\н эндоморфизма f(a) на подгруппе Η
является эндоморфизмом подгруппы Я, т.е. /(а)|# G End /ί.
Это позволяет считать Ω областью операторов любой Ω-
подгруппы группы G.
Рассмотрим наиболее употребительные операторы.
1. Пусть Ω — непустое множество и отображение /: Ω —> End G
действует так: /(α) = ε, где ε: g *-* g — тождественный
эндоморфизм группы G. В этой ситуации /(Ω) = (ε) — единичная
подгруппа в AutG С EndG и a(g) = f(c*)(g) = е{д) — д. Поэтому каждая
подгруппа группы G будет Ω-допустимой.
68

2.3. Эндоморфизмы и операторы
2. Пусть А — непустое подмножество группы G. Превратим
А в область операторов группы G с помощью отображения /:
а н-> га, а £ А. Здесь га: g ►-> aga~l — внутренний автоморфизм
группы (7, порожденный элементом а. Таким образом, f(A) С
С Inn G < End G. Если Η — Α-допустимая подгруппа из группы
G, то аНа~1 С Η для всех а € А, т.е. а € Ng(H). Таким образом,
Л-допустимы ми подгруппами будут те подгруппы X из группы G,
для которых А С Ng(X)· При А — Z{G) все подгруппы будут
£((7)-допустимыми.
3. Положим А = G. Тогда f(G) — InnG — подгруппа группы
End(7. Поэтому G-допустимыми подгруппами будут нормальные
подгруппы и только они.
4. Если Ω = AutG, то Aut(7-допустимыми будут
характеристические подгруппы и только они.
Если Η — Ω-подгруппа группы G и Η < G, то
фактор-группа G/H становится Ω-группой, если
положить а(дН) = &{д)Н для д £ G и α £ Ω. Для
теоремы 1.59, с. 46, Ω-аналогом является следующая
Теорема 2.17. Пусть Η — нормальная Ω-
подгруппа Ω-группы G. Тогда:
1) если U — Ω-подгруппа и Η < U, то U/H — Ω-
подгруппа фактор-группы G/H;
2) каждая Ω-подгруппа фактор-группы G/Η имеет
вид V/H, где V — Ω-подгруппа группы G и Η <V.
Пусть G — неединичная группа с областью
операторов Ω. Если в группе G нет Ω-допустимых
нетривиальных нормальных подгрупп (т.е. отличных от единичной
подгруппы и всей группы), то группа G называется Ω-
простой. Для теоремы 1.61, с. 48, Ω-аналогом является
следующая
Теорема 2.18. 1. Если Η — максимальная
нормальная Ω-подгруппа неединичной Ω-группы G, то
фактор-группа G/H является Ω-простой группой.
2. Если Η — нормальная Ω-подгруппа Ω-группы G и
фактор-группа G/H Ω-простая, то Η — максимальная
нормальная Ω-подгруппа Ω-группы G.
Пусть G и Г — группы с одной областью
операторов Ω. Гомоморфизм φ: G —> Г называется Ω-
гомоморфизмом, если а(}р(д)) = ¥>{а{д)) для всех д Ε G,
69

2. ГОМОМОРФИЗМЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
a £ Ω. В следующей лемме перечислены его очевидные
свойства.
Лемма 2.19. Пусть G и Г — группы с одной
областью операторов Ω и φ: G —> Г — Ω-гомоморфизм.
Тогда:
1) ядро Κβτφ={χ £ G\(p(x)=e}, где ε — единица
группы Г, является нормальной Ω-подгруппой группы G;
2) образ φ{Η) любой Ω-подгруппы Η из G является
Ω-подгруппой группы Г;
3) образ 1т φ = φ(ΰ) = {<p(g) \ g £ G} Ω-
гомоморфизма φ является Ω-подгруппой группы Г.
Если 1т φ = Г, то Ω-гомоморфизм φ: G —> Г
называется Ω-эпиморфизмом. При Κβτφ = £? говорят
об Ω-мономорфизме. Если </? является одновременно Ω-
эпиморфизмом и Ω-мономорфизмом, то его называют Ω-
изоморфизмом. В этом случае говорят, что группы G и
Г Ω-изоморфны и пишут: G ~ Г. Обратим
внимание на то, что если φ: G —» Г есть Ω-мономорфизм, то
φ: G —> Im</? — Ω-изоморфизм.
Теорема 2.20. При любом Ω-гомоморфизме φ:
G —> Г группы G/Kercp и Ιτηφ Ω-изоморфны.
D По основной теореме о гомоморфизме
отображение /: gKerip н* ср(д) является изоморфизмом группы
G/Kerc^ и группы Im(£. Если a £ Ω, то
/(а(^Кег^)) = f(a{g)Keiip) = φ{α{ρ)) =
= <*{<Р(9)) =a{f{gKevcp))
и / — Ω-изоморфизм. Η
Теорема 2.21. #а/ш N и Η — нормальные Ω-
подгруппы Ω-группы G, причем Η < Ν, то Ν/Η —
нормальная Ω-подгруппа фактор-группы G/H и имеет
место Ω-изоморфизм (G/H)/(N/H) ~ G/N.
D Из теоремы 2.17 следует, что N/H —
нормальная Ω-подгруппа Ω-фактор-группы G/H. По теореме 2.5
отображение φ: G/H —> G/N, определяемое
равенством ip{gH) = gNj является эпиморфизмом. Так как
φ{α(9Η)) = φ(α(9)Η) = a{g)N = a{gN) = a(cp(gH)), то
70

2.4· Композиционные ряды
φ — Ω-эпиморфизм. Если gH Ε Κβτφ, то <р{дН) = gN =
= N и д G N, поэтому Кет φ = TV/Я. По теореме 2.20
группы G/H/N/H и G/ΛΓ Ω-изоморфны, В
Теорема 2.22. Пусть Я — нормальная
Ω-подгруппа Ω-группы G. Тогда для любой Ω-подгруппы А
пересечение Α Π Η является нормальной Ω-подгруппой в
подгруппе А, а отображение φ: αΗ м> а(АГ)Н)
является Ω-изоморфизмом Ω-групп АН/Η и Α/Α Π Я.
D Ясно, что Α Π Η является нормальной Ω-
подгруппой в А, а по теореме 2.4 φ — изоморфизм АН/Ή
и А/А П Я. Если а е Ω, то
α(φ(αΗ)) = а(а{А П Я)) = {а{а)){А П Я) =
= φ(α{α)Η) = φ{α{αΗ))
и φ — Ω-изоморфизм. ΙΕΙ
2.4. Композиционные ряды
Цепочка подгрупп
Ε = А0 < >4ι < ... < Αα_ι < Ла = G
называется рядом длины а неединичной группы G и
обозначается через (Αϊ)2=ο,...,α· Ряд называется
нормальным, если Aj < G для всех г, и субнормальным, если
Aj_i < Лг для всех г. Ясно, что каждый нормальный ряд
будет субнормальным.
Пусть (Аг)г=о,...,а ~ субнормальный ряд конечной
группы G. Фактор-группы А{/А{-\, г = Ι,.,.,α,
называются факторами ряда, числа jAi/Ai-il —
индексами ряда. Нормальный ряд (Αΐ)ί=ο,...,β конечной группы
G называется главнъш, если Αι-\ является
максимальной нормальной подгруппой группы G, содержащейся в
А{, г = 1,..., а. Ясно, что в этом случае главный фактор
Ai/Ai-i является минимальной нормальной подгруппой
группы G/Ai-i для каждого г = 1...., а.
Субнормальный ряд (А;)г=о,...,а конечной группы G
называется композиционным, если А{-\ является
максимальной нормальной подгруппой в А?;, г = Ι,.,.,α.
71

2. ГОМОМОРФИЗМЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Композиционные факторы Αι/Αι-ι по теореме 1.61, с. 48,
представляют собой простые группы.
Ряд Ε = Ε считается композиционным и главным
рядом единичной группы Е, а число 0 — длиной этого
ряда.
Пусть G — конечная группа с областью операторов Ω.
Ряд (Аг-)г=о,...,а; состоящий из Ω-подгрупп, называется
Ω-рядом. Субнормальный Ω-ряд (Α^ΐ-ο,.,.,α называется
Ω-композиционным, если Α^_ι является максимальной
нормальной Ω-допустимой подгруппой в А^ г = 1,..., а.
Ясно, что Ω-композиционные факторы А{)А{-\ по
теореме 2.18 — это Ω-простые группы.
Приведем примеры рядов.
1. Пусть (^4i)i=0,...,a ~~ композиционный ряд группы G
порядка р\1р^2 -. -P?fc· Предположим, что все композиционные факторы
этого ряда абелевы. Тогда по теореме 1.38, с. 34, все
композиционные факторы имеют простые порядки. Поэтому число
композиционных факторов порядка pi равно α;, α = αϊ -f а 2 + ... + а* и
|G|= fl\Ai/Ai-i\-
t=l
2. Пусть Ω = (ε) — единичная подгруппа в Aut G. Тогда
Ω-композиционный ряд является композиционным рядом
конечной группы G.
3. Если Ω = Gy то ^-допустимые подгруппы группы G — это в
точности ее нормальные подгруппы. Поэтому G-композиционный
ряд будет главным рядом.
4. Если Ω = Aut (7, то Aut G-допустимые подгруппы
группы G — это в точности ее характеристические подгруппы.
Поэтому Aut G-композиционный ряд состоит из
характеристических подгрупп и Aut G-композиционные факторы являются Aut G-
простыми группами.
Пусть G — конечная Ω-группа. Будем говорить,
ЧТО два Ω-КОМПОЗициОННЫХ ряда (Аг)г=0,1,...,а> (-5ι)ΐ=0,1,...,6
группы G изоморфны, если а = b и существует биекция
г:{Лг/Аг_! |i = l,...,a} -> {Si/St-i |i = l,...,b}
такая, что τ(Α;/Α;_ι) ~ Ai/Ai-χ.
Теорема 2.23 (Жордана—Гёльдера). Любые
два Ω-композиционных ряда конечной Ω-группы G
изоморфны.
72

2.4» Композиционные ряды
D Будем следовать схеме доказательства данной
теоремы, приведенной в книге Kurzweil Η., Stellmacher В.
[27]. Применим индукцию к порядку группы. Ясно,
что можно считать группу G неединичной. Пусть
(i4i)i=0,l,...,a И (#г)г=0,1,...,Ь ~~ ДВа Ω-КОМПОЗИЦИОННЫХ ря-
да Ω-группы G. Подгруппа N — Вь-\ является
максимальной нормальной Ω-подгруппой Ω-группы G,
поэтому А{ < N или AiN = G для всех г = 0,1,..., α.
Положим А* = А{ Π Ν и зафиксируем наибольшее j, для
которого Aj < N. Тогда A*j = Aj<Aj+l < Aj+i. Поскольку
Aj+i/Aj — Ω-простая группа, то А*| = Aj = А^+1 и
G/ΛΓ = Aj+lN/N ~ Ai+i/Ai+i Π iV = Α,·+1/Α,·. (2.2)
Для А; > j + 2 имеем А*к Π Afc_i = А& Π ЛГ Π Α^_ι = A£_x
и Α£/Α£_χ ~ AJAife-i/Afc-i < Ak/Ak-i. Поскольку
Ak/Ak_i — Ω-простая группа, то АЦА1_Х ~ Ак/Ак_х
или Ajl/Aj^! = .Б. Если A*k/A*k_Y — Ε, то из равенств
NAk — NAk_i = G находим:
G/JV = NAk/N ~ A*/A* П iV = Л*/Л£,
G/ΛΓ = NA^/N ~ Л^/А^ П ЛГ = Ак-Х1А\_Ъ
что приводит к равенству Ак = Ак-\· Получили
противоречие. Поэтому
■Α\/Α1_χ ~ Ак/Ак-х при к > j + 2. (2.3)
Теперь Я = А% < ... < А) < A*j+2 <...<A*k = N,
Е = В0<... <#&-! = N
представляют собой два Ω-композиционных ряда Ω-
группы N. По индукции а — 1 =6-1 и существует би-
екция
t*:{A*/AU |i = l,...,i,i + 2,...,o}->
-^{Вг/Вы |i = l,...,6-l}
такая, что т*{А*1А\_х) ~ A*i/A![_l. Согласно формуле
73

2. ГОМОМОРФИЗМЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
(2.3) t*(A£/A*-i) - MIM-u i Φ 3 + 1» а из формулы
(2.2) следует, что G/ΛΓ = G/Bb^ ~ Aj+i/Aj. И
В случае, когда Ω = (ε) — единичная подгруппа в
Aut G, получаем
Следствие 1. Любые два композиционных ряда
конечной группы G изоморфны.
В случае, когда Ω = G, имеем
Следствие 2. Любые два главных ряда конечной
группы G изоморфны.
Лемма 2.24. Пусть H,K<\G и К < Н. Тогда
централизатор
СсЛН/К) = (geG\ g-'h-'gh е К, h е Я)
является нормальной в G подгруппой и фактор-группа
G/Cg{H/K) изоморфна подгруппе группы Aut(H/K).
О Для каждого g £ G зададим отображение η9:
Kh м> Kghg~l. Если Kghg~l = Kgfg~l для некоторых
h, f е Я. то gh{gf)~l е К, атак как К < G, то/г/"1 G К,
поэтому /С/г = /Г/. Значит, 7р ~ биекция Η/К на себя.
Поскольку для любых а, 6 £ G
7α76(#Ό = la(Kbhb-1) = Kabhb-'a-1 = ~/ab(Kh),
то lab —lalb и 7# € Aut(H/K). Рассмотрим
отображение ί: G —» Aut (Я/1С), при котором 6(g) = η9.
Поскольку S(ab) = 7afc — 7αЪ — £(аЖ&), το ί — гомоморфизм
группы G в Aut {Η/К) с ядром
Keri = {g e G \ η9\ Kh ^ Kghg~l = Kh} =
= {g e G | ^/цг1*-1 e #} - cG(H/K).
По основной теореме о гомоморфизме фактор-группа
G/Cg{H/K) изоморфна подгруппе из Aut (Η/Κ). ΚΙ
Введем обозначение A\itc{H/K) = {7$ | 3 £ G}, где
75: iffr ь-> Kghg~l. Тогда АиЬо{Н/К) = Imi и лемма 2.24
утверждает, что G/Cg{H/K) ~ Aut^^/if).
Если if <] G, Я < G, К < Η и Η/К — минимальная
нормальная подгруппа группы G/X, то Я/К называют
главным фактором конечной группы G. Ясно, что в этом
74

£.5. Прямые произведения
случае имеется главный ряд конечной группы G,
членами которого будут подгруппы К и Я. Если \Н/К\ —
степень простого числа р, то фактор Н/К называют р-
главным фактором группы G.
Следствие. 1. Если Н/К — главный фактор
конечной группы G, то Cq{H/K) <\ G и G/Cg{H/K) ~
~ AutG{H/K).
2. Если Н/К — главный фактор порядка ρ конечной
группы G, то фактор-группа G/Cg{H/K) —
циклическая порядка, делящего ρ — 1.
D 1. Доказательство следует из леммы 2.24.
2. По теореме 2.16 группа автоморфизмов группы
простого порядка ρ является циклической порядка ρ — 1.
Поэтому если Н/К — р-главный фактор группы G
порядка р, то фактор-группа G/Cq{H/K) — циклическая
порядка, делящего ρ — 1. й
2.5. Прямые произведения
Пусть G — группа, АУВ — ее подгруппы. Напомним,
что произведение АВ определяется как множество
элементов αδ, где а £ А\ Ь £ В. Если А В = G, то говорят,
что группа G является произведением своих подгрупп А
и В. В этом случае каждый элемент g £ G представим
в виде g = αδ, где а £ A; δ £ В. Произведение G = АВ
называется прямым, если подгруппы А и В нормальны
в G и АПВ = Е. Запись G = Ах В означает, что группа
G является прямым произведением своих подгрупп А, В.
Теорема 2.25. Пусть группа G является прямым
произведением своих подгрупп А и В. Тогда:
1) каждый элемент g £ G единственным образом
представим в виде g = ab, где а £ А\Ь £ В;
2) каждый элемент подгруппы А перестановочен с
каждым элементом подгруппы В.
Обратно, если выполняются утверждения 1 и 2, то
АПВ = Е, подгруппы А и В нормальны β G uG = Ах В.
D 1. Из равенства G = АВ следует, что каждый
элемент g £ G записывается в виде g = αδ, где α £ Л; b £ В.
Если имеет место другая запись: g = αϊ δι, а\ £ Α, δι £ β,
75

2. ГОМОМОРФИЗМЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
то ab = а\Ь\, откуда a~la\ = 66J"1 Ε Α Π В = Е. Поэтому
а = αχ, b = b\.
2. Рассмотрим произведение д = a~lb~lab. Поскольку
А < G, то 6_1αί) £ Л и д е А. Так как В < G, то α_16_Ια €
е В и д е В. Ко АП В = Е, поэтому а"1^-1^ = е и
аб = 6а.
Пусть утверждения 1 и 2 выполняются. Из
утверждения 1 следует, что G = AI?. Элемент d G АПВ можно
записать в виде d — ed — de, где е, d £ АПВ. Из
однозначности представления элементов следует, что d = е, т.е.
АП1? = Е. Из утверждения 2 получаем, что Аи В —
нормальные подгруппы. Итак, все условия определения
прямого произведения выполняются, поэтому G = Αχβ. 0
Теорема 2.25 позволяет дать иное определение
прямого произведения, эквивалентное сформулированному
выше. Группа G является прямым произведением
подгрупп А и J5, если каждый элемент д Ε G единственным
образом представим в виде д = аЬ, где а Е A, b £ В, и
каждый элемент подгруппы А перестановочен с каждым
элементом подгруппы В.
Определение прямого произведения дано для двух
подгрупп. Для большего числа сомножителей
определение формулируется так. Группа G является
прямым произведением подгрупп Αχ, Аг, · ·., Ап, если
выполняются следующие требования: G = ΑχΑ2·..Αη,
Aid Αχ... Ai-iAi+i ...Ап = Ε, Α{ < G, i = 1,2,..., n.
η
В этом случае пишут: G = Αι χ А2 x ... х Ап = X А*.
Данное определение можно заменить следующим,
эквивалентным ему. Группа G является прямым
произведением подгрупп Αχ, А2,..., Ап, если каждый элемент
g Ε G единственным образом представим в виде g =
= а,[а,2 ·. · аП) где а,{ Ε А^, « = 1,2,..., п, и элементы из
любых двух подгрупп А; и Aj, г Φ j, перестановочны
между собой.
Перечислим свойства прямых произведений.
Утверждения приводимой ниже леммы непосредственно
следуют из определений прямых произведений.
Лемма 2.26. 1. Если G = Α χ В, А = Αχ χ ... χ Аь
В = Α^+ι χ ... χ Am mo G = Α χ ... χ Ak χ Afc+x χ ... χ Αη.
76

2.5, Прямые произведения
2. Если G = А\ χ... χ Апу moG = Ах В, где А = Αχ χ
χ ... χ Л/, 2? = Α/+ι χ ... χ Αη <?лл / = 1,2,... ,η— 1.
Лемма 2.27. 1. Если G = Αχ В, Аг < А, В{ <В,
то А\В\ = Αι χ В\.
2. Еслив = АхВ иА<Н <G, то Η = Ах{НС\В).
3. Если G = Ах В, X С А, то CG{X) = СА{Х) χ В,
NG(X) = ΝΑ(Χ) χ Β.
4- Если G = А х В и Αχ <] А, то Αι < G.
5. Если G = AxB, то Z{G) = Ζ {Α) χ Ζ {Β).
D 1. Из теоремы 2.25 следует, что подгруппы А\ и Βι
перестановочны, поэтому А\В\ — подгруппа группы G
согласно теореме 1.41, с. 37. Ясно, что Αι Π Β ι < АПВ =
= Ε. Кроме того, подгруппы Αι и Βι нормальны в Αι Βι.
Следовательно, ΑιΒι = Αι χ Βι.
2. На основании тождества Дедекинда Η = А(НПВ).
Остается применить утверждение 1.
3. Согласно теореме 2.25 элементы из А
перестановочны с элементами из В, поэтому В < CG(X) и CG(X) =
= (Са{Х) ΠΑ) χ В = Са(Х) х В яг, основнии
утверждения 2. Аналогично В < NG(X) и NG{X) = (NG(X)PiA)x
χΒ = ΝΑ(Χ) χ Β.
4. Если G = А х В и А\ < А, то JVg(Ai) > А и Αι < G
по утверждению 3.
5. Ясно, что Ζ (Α) Ζ {В) = Ζ (Α) χ Ζ(Β) < Z(G). Пусть
г = αί) — произвольный элемент из Z(G), a G А, 6 G В.
Если χ G А, то ха = хгб-1 = гЬ-1я; = αχ и α G Ζ (А). Если
у € В, то yi> = ya~lz = a~lzy = 6?/ и 6 G Ζ(5). Таким
образом, г G Ζ (Α) Ζ {В) и Z(G) < Z{A)Z{B). Поэтому
Z(G) = Ζ(Α) χ Ζ(Β). Β
Лемма 2.28. £"слг/ G = Л χ β; mo G/A ~ В.
D По теореме 2.25 каждый элемент из G
однозначно представим в виде ab, a G А, Ь G В. Следовательно,
</?: ab ^ b будет отображением группы G в группу В. Так
как
<£(αιί>ια2ί>2) = ^(αι^διΜ = &1&2 = «pfai&iM^Wj
то у? — гомоморфизм. Ясно, что φ — сюръекция, поэтому
Im φ = В. Если аб G Кег φ, то е = у>(а&) = 6 и Кег φ = А.
Согласно основной теореме о гомоморфизме G/A ~ β. Η
77

2. ГОМОМОРФИЗМЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Теорема 2.29. Если G = ΑχΒχ = АхВ2, то
существует центральный автоморфизм f группы G такой,
что f{Bi) = В2.
D По теореме 2.4 отображение щ\ Ь{ ь-> Ъ{А, bi G В\,
г = 1,2, — изоморфизм В{ на G/A. Поэтому произве-
дение а = α^αχ является изоморфизмом группы Si
на £?2· Для каждого 6 G Si по построению
изоморфизмов имеем ЪА = α(ί>)Α, поэтому 6_1а(6) G А. Если а —
произвольный элемент группы А, то подгруппы В\ и #2
централизуют а, поэтому 6_1а(Ь) G Z(A) < Z(G).
Таким образом, Ь_1а(6) G Ζ ((7) для всех bG В\. Поскольку
каждый элемент χ G G единственным образом
представим в виде χ = αί>, где α G А, 6 G Si, то соответствие
/: χ ь-> αα(δ) будет автоморфизмом группы (7. Кроме
того, ζ"7(ζ) = б^а-Ча^) = b~la{b) G Z(G), т.е. / -
центральный автоморфизм согласно теореме 2.13. Но
действие / на В\ совпадает с изоморфизмом а: В\ —» В2)
следовательно, f(B\) = В2. ЕЗ
С учетом следствия из теоремы 2.13 получаем
Следствие 1. .ЕЬш (7 = Αχ£ι=Αχ£2ω Z(G) = £,
mo Si = Ι?2·
Следствие 2. .Если G — Ах В, А и В - простые
гьеабелевы подгруппы, то Е, А, В uG — все нормальные
подгруппы группы G.
О Пусть С — нормальная подгруппа группы G и
С 0 {Е,А, B,G}. Так как А и В — простые группы, то
АпС = ВГ\С = Е. Теперь С А/А -Си СА/А изоморфна
нормальной подгруппе простой группы G/A ~ В. Поэто-
му С а В и G = Ах С. Применяя предыдущее следствие,
получаем, что С = В. 13
η
Теорема 2.30. Пусть G = X Gi, Gi — неабеле-
βα простая группа для всех г и Ε φ Ν < G. Тогда су-
ществует подмножество J С {Ι,.,.,η} такое, что
Ν= Χ (77.
D Применим индукцию по п. Предположим, что ΛΓΠ
ПС?» = Ε для всех г. Тогда iVG, = NxGi*N < Z{G) на
78

2.5. Прямые произведения
η
основании теоремы 2.25. По лемме 2.27 Z(G) = X Z(Gi),
а поскольку подгруппы G{ простые неабелевы, то Z(G) =
= Ε и N = Ε, т.е. получили противоречие.
Следовательно, без ущерба для доказательства можно считать, что
Ν Π Gi φ Ε. Так как N Π G\ < Gb то G\ < N и по лем-
п
ме 2.27 N = G\ χ (Ν Π Χ Gi). Применим индукцию к
г=2
η η
группе X Gf и ее нормальной подгруппе К = ΝΠ X Gi.
i=2 i=2
По индукции существует подмножество J\ С {2,...,п}
такое, что К = X Gj. Теперь N — G\X К = X Gj, где
J= JiU{l}. И
Внешнее прямое произведение. Пусть Gi и G<i —
группы. На множестве Gi x G2 = {(ffbift) I ffi £ Gi,
£2 € G2} определим операцию следующим образом:
(9i^92){hi,h2) = (gihug2h2), где д^,^ € Gi. [Множество
G\ x G2 превращается в группу с единичным элементом
(βι,β2), где ei — единичный элемент группы Gi, и
обратным элементом (gi,g2)~l = (fff1?^1)· Группу Gi x G2
называют внешним прямым произведением.
В группе G = G\ x G2 имеются две подгруппы
G'l = {(5ь е2) | 31 е Сг}, G^ = {(е1>92) | ^ € G2},
причем G\ изоморфна Gi, a G2 изоморфна G2- Кроме
того, G[ <3 G, G'2 < G, G; Π G'2 = Ε и G = G^ x G'2,
т.е. группа G совпадает с прямым произведением своих
подгрупп G\ и G2.
Теорема 2.31. Если G\ и G2 — группы взаимно
простых порядков, то Aut(Gi x G2) = AutGi x AutG2-
D Пусть / G Aut(Gi x G2). Так как по лемме 2.12 G\
и G2 — характеристические подгруппы группы G\ x G2,
то ограничение fa = /|<~. автоморфизма / на
подгруппе G{ будет автоморфизмом группы Gi. Отображение
а: f *-* (/ь/2) группы Aut(Gi χ G2) во внешнее прямое
произведение AutGi x AutG2 будет мономорфизмом.
Обратно, каждый элемент (ψ\,φ2) £ Aut G\ x Aut G2
является образом при отображении а следующего авто-
79

2. ГОМОМОРФИЗМЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
морфизма группы G: (51,52) ^ (<Ρι (01)^2(02))· Поэтому
Aut(Gi χ G2) = AutGi x AutG2. H
Теорема 2.32. Пусть группа G = Ах В является
прямым произведением своих подгрупп А и В и А\<А,
Βι < В. Тогда ΑχΒλ = Αλ χ Βλ < G и G/{A\ χ Βλ) ~
~ Α/Αλ χ Β/Βι.
D Обратим внимание на то, что А/А\ χ Β/Β\ —
внешнее произведение групп А/А\ и В/В\. Из
леммы 2.27 следует, что А\ и В\ — нормальные подгруппы
группы (7, поэтому А\В\ — нормальная подгруппа.
Далее, А\В\ = А\хВ\ по лемме 2.27. Зададим отображение
φ: ab н> (аА\,ЪВ\) из группы G во внешнее прямое
произведение А/А\ χ В/В\. Так как
<p{aib\a2b2) = ^(αια2&ιί>2) = (01^2^1,6162^1) =
= {aiAubiBi)(a2Aub2Bi) = φ{αφ{]φ{α^2)
для всех а\,а2 G A, 61,62 G 5, то <р — гомоморфизм.
Каждый элемент (cAi, di?i), с G A, d G 5, группы AjA\ χ
xBjB\ будет образом при отображении φ элемента cd G
G Α χ Β = G, т.е. φ — эпиморфизм. Если ab G Ker φ, то
e = (p(ab) = (aAi,6i?i) и a G Ai, 6 G Si. Таким образом,
Κβτφ = ΑιΒ\ = A\ χ Βχ. Теперь остается применить
основную теорему о гомоморфизме, й
Подпрямое произведение. Пусть группа G = А\Х
хА2 является прямым произведением своих подгрупп
Ai, г = 1,2. По теореме 2.25 каждый элемент группы
G единственным образом представим в виде g = а\а2,
а\ G Ai, a2 G А2. Поэтому отображение φ\\ g ь* α; с
учетом теоремы 2.25 будет эпиморфизмом G на А{.
Эпиморфизм φι: G —> Αι называют проектированием группы
G наг-ю компоненту А{. Ясно, что если Η — подгруппа
группы G, то ψί{Η) — подгруппа группы А{. Подгруппу
ψΐ{Η) называют проекцией подгруппы Η на А{. Если Η
такова, что φ%{Η) = Лг·, г = 1,2, то подгруппу Η
называют подпрямым произведением прямого произведения
G = Ai x4
Лемма 2.33 (Ремака). Если Νχ и N2 -
нормальные подгруппы группы G, то фактор-группа
G/(N\ Π Ν2) изоморфна подгруппе, являющейся под-
80

2.5. Прямые произведения
прямым произведением прямого произведения (G/N\)x
*(G/N2).
D Внешнее прямое произведение (G/N\) x (G/N2)
состоит из множества всех пар (aNi,bN2) с умножением
(aNubN2){cNi,dN2) = {acNubdN2),
где a, b,c,d € G. Зададим отображение φ: g н-> (gN\,gN2)
для всех g £. G. Это отображение будет гомоморфизмом,
так как ip{gh) = {ghNughN2) = (gNugN2)(hNuhN2) =
= 4>(9)<p{h), g,h e G. Ясно, что Ιτηφ = {(gNugN2) | # G
Ε G} и Im<£ есть подгруппа группы (G/Νι) x {G/N2),
которая является подпрямым произведением. Найдем
ядро отображения φ. По определению ядра Кет φ — {g G
G G I <p(<7) = e}, где е — единичный элемент прямого
произведения (G/N\) x (G/N2). Но единичным
элементом является пара (iVi, iV2), поэтому <£>(#) = {gNi,gN2) =
= {N\,N2) тогда и только тогда, когда g € ΝιΠΝ2. Итак,
Кег<£ = Ν\ Π Ν2. По основной теореме о гомоморфизме
G/(7Vi Π 7V2) ~ lm¥? < (G/ΛΓι) x {G/N2). Η
Разложение циклической группы. Группа,
которая не может быть представлена в виде прямого
произведения двух различных собственных подгрупп,
называется неразложимой. Очевидно, что неразложимыми
будут все простые группы.
Симметрическая группа 5з степени 3 содержит единственную
нетривиальную нормальную подгруппу ((123)), поэтому 5з
неразложима.
Теорема 2.34. Множество всех подгрупп
циклической примарной группы с бинарным
отношением < является линейно упорядоченным множеством.
В частности, циклическая примарная группа
неразложима.
D Пусть {д) — циклическая группа порядка р71, где
ρ — простое число. По теореме 1.24, с. 25, все ее
подгруппы исчерпываются циклическими подгруппами (д1)
порядка pn/t для каждого натурального t} делящего рп.
Отсюда следует, что t = pm, где т = 0,1,...,π, и
(9р0) = <<?>, (9Р), (Л ···, ^Л (9ΡΊ = Ε - все
подгруппы группы {д).
81

2. ГОМОМОРФИЗМЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Пусть (др } и (др ) — две произвольные подгруппы.
Считаем для определенности, что к < I. Тогда I — к > О
и (9Р У — 9Р ) те· элемент др является степенью
элемента др и (др ) < (др ). Значит, в группе {д) из
любых двух подгрупп всегда одна содержится в другой.
Поэтому множество S((g)) всех подгрупп группы {д) с
бинарным отношением < является линейно
упорядоченным множеством. В частности, в циклической при-
марной группе нет двух неединичных подгрупп,
имеющих единичное пересечение, й
Теорема 2.35. Если (д) — группа порядка пт, где
п,т — взаимно простые числа, то (д) = {дт) χ {дп)·
D Так как пит — взаимно простые числа, то
существуют целые числа s и t такие, что ns + mt = 1.
Теперь д = gns+mt = (дп)Ч9тУ, т.е. д е (дп){дт).
Отсюда следует, что (д) = {дт)(дп). Ясно, что подгруппы
{дт) и (дп) нормальны в (д). Пусть gk G (дт) П (дп),
т.е. дк = gmkl = дпк-. Тогда дшк^-пк^ = е и ran делит
тк\ — п&2 по теореме 1.21, с. 24. Но га и η взаимно
просты, поэтому га делит &2, а п делит к\ и дк — дтк* = е.
Это означает, что подгруппы (дп) и (дт) имеют
единичное пересечение. Итак, все требования прямого
произведения выполняются. Значит, (д) = (дт) χ (дп). Й
СЛЕДСТВИЕ. Всякая конечная циклическая
группа является прямым произведением своих примарных
неразложимых циклических подгрупп. Более точно, ее-
Ли (θ) ~ циклическая группа порядка η = ρ^ιρψ .. -p£fc,
где Pi - простые числа, ρι φ pj при г Φ j, m,o (g) =
= (ffi) x (52> x ... x (gk), где (#) = {gn/p^) -
циклическая подгруппа порядка pf*, г = 1,2,..., fc.
D Воспользуемся индукцией по fc. На основании тео-
ремы 2.35 получаем (д) = (др^'-'р^ ) χ (gpi ). Подгруппа
(gV2 -Pk ) имеет порядок р^1 и по теореме 2.34
неразложима. Группа (gPi ) имеет порядок п\ — р%2 · ·. р%к
и к ней применима индукция. По индукции (gPl ) =
= (92) х ... х Ы, гДе 9г = др"1^'р*1) = дп'р^ -
элемент порядка р?'1, г = 2,3,...,к. Теперь согласно лем-
82

2s 6. Минимальные нормальные подгруппы
ме 2.26 получаем, что (д) = (дг) χ (д2) х ... х (дк)> где
gi =дР?~Ък =9η/ΡΪ\ И
Пусть G — (д) — циклическая группа порядка 100. Так как
100 = 2 · δ", то по теореме 2.3δ группа (д) = {дъ ) χ (д2 ) является
-2
прямым произведением своих примарных подгрупп: (д° ) порядка
2 и (д ) порядка о". На основании теоремы 2.34 подгруппы (р25)
и (д ) неразложимы.
2.6. Минимальные нормальные подгруппы
Минимальной нормальной подгруппой группы G
называют такую нормальную подгруппу 7V, что Ν φ Ε
и в N нет нетривиальных нормальных подгрупп
группы G. Запись N - <] G означает, что N — минимальная
нормальная подгруппа группы G. Очевидно, что в
каждой неединичной конечной группе имеется минимальная
нормальная подгруппа.
Цоколем группы G называется подгруппа,
являющаяся произведением всех минимальных нормальных
подгрупп группы G. Цоколь группы G обозначают через
SocG. Таким образом, SocG = Π Ν.
N-<G
Лемма 2.36. Пусть Ν · < G. Тогда:
1) если К <\G, то либо N < К, либо Ν Π К = Ε и
ΝΚ = Ν χ К;
2) если N абелева и ΝΗ = G для некоторой
собственной подгруппы Η группы G, то Ν Π Η = Ε;
3) если К <G и N %К,то ΝΚ/Κ · < G/K.
О 1. Пусть N %К. Тогда Ν Г) К < G по лемме 1.53,
с. 43, и Ν Π К — собственная подгруппа в N. Поэтому
ΝΓ)Κ = ΕπΝΚ = Ν хК.
2. Поскольку ΝΠΗ <Н и ΝΓ)Η <Ν, το ΝΓ)Η <G
и N ПН = Ε.
3. Так как N g Κ, το ΝΚ/Κ - неединичная
нормальная подгруппа группы G/K. Если Х/К —
минимальная нормальная подгруппа группы G/K из ΝΚ/Κ,
το Χ φ К, X<GnX = {Xn N)K по тождеству Де-
декинда. Теперь Χ Π Ν < G, а из утверждения 1 сле-
83

2. ГОМОМОРФИЗМЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
дует, что Χ Π Ν = TV и X = NK. Поэтому Х/К =
= NK/K · < G/tf. И
Лемма 2.37. Пусть Ж — некоторое множество
минимальных нормальных подгрупп группы G и Μ =
= Π W· 7Wa:
ΛΓΕΜ
1) если К <\ G, то существуют подгруппы
N\,N2,...,Nk е Ж такие, что КМ = К χ Νχ χ ΛΓ2χ
χ... χ ЛЬ;
2,) существуют подгруппы iVi, iV-2, - - -, TVm Ε Μ
такие, шо М = Ν\ χ ΛΓ2 χ ... χ iVm;
3) если Ж — множество всех минимальных
нормальных подгрупп, то существуют подгруппы
N\, iV2,... ,NS Ε Μ такие, что SocG = Ν\ χ N2 x... x N3.
D 1. Если N e Ж и Ν <£ Κ, το NK = Ν χ К по
лемме 2.36. Пусть {Νι,Ν2,... ,Ν^} — подмножество из
Μ с наибольшим fc, для которого
К{JJ Ni) = KxNixN2x...xNk.
г=1
Обозначим через X = if χ Νι χ Ν2 x ... x TV*. Ясно, что
Χ < Χ < ΧΜ. Если Χ φ КМ, то существует подгруппа
Ν еЖ такая, что Ν % X. Но тогда по лемме 2.36 ΧΝ =
= Χ χ Ν и X TV = KxN\X...xNkxN, что противоречит
максимальности А;. Поэтому допущение неверно и X =
= КМ.
2. Утверждение следует из утверждения 1 при К =
= Е.
3. Если Μ — множество всех минимальных
нормальных подгрупп, то подгруппа Μ = J] TV совпадает с
NeM
цоколем группы G и остается только применить
утверждение 2. ЕЭ
Теорема 2.38. 1. В каждой группе минимальная
нормальная подгруппа характеристически проста.
2. Характеристически простая группа является
прямым произведением изоморфных простых групп.
84

2.6. Минимальные нормальные подгруппы
О 1. Пусть N · < G и if char iV. По лемме 2.11
подгруппа К <\G. Из минимальности N следует, что К = Ε
или К = N. Поэтому N характеристически проста.
2. Пусть G — характеристически простая группа и
N · < G. Ясно, что α(Ν) — минимальная нормальная
подгруппа группы G для любого a Ε Aut G. Пусть Ж =
= {a{N) | a G Aut G} и Μ = Π ^· Так как
кем
β(Μ) =β(]1 К) = Π £(#) = Μ
кем кем
для любого β £ AutG, то Μ — характеристическая
подгруппа, поэтому Μ = G. По лемме 2.37 получаем, что
G = NixN2x...xNm для {NUN2,..., ЛГт} С М. Итак,
группа (7 является прямым произведением изоморфных
подгрупп Νι,Ν2,. ·. ,Nm. По свойствам прямых
произведений каждая нормальная в N\ подгруппа будет
нормальной подгруппой группы G, поэтому iVi — простая
подгруппа, й
Элементарной абелевой р-группой называют группу,
являющуюся прямым произведением своих подгрупп
порядка р.
Теорема 2.39. Пусть N · < G и К · < N.
Тогда К — простая подгруппа и существуют элементы
9и---ч9т £ G такие, что N = К91 χ ... χ К9т. Кроме
того:
1) если N абелева, то \ К |= ρ для некоторого
простого ρ и N — элементарная абелева р-группа;
2) если N неабелева, то каждая минимальная
нормальная в N подгруппа принадлежит множеству
D Пусть Μ = {К9 | g Ε G} и L = Ц X. Ясно,
χ ем
что L является нормальной подгруппой группы G. Так
как К9 < N для всех g £ G, то L < N, поэтому L = N.
Поскольку К9 — минимальная нормальная подгруппа в
N, то по лемме 2.37 существуют элементы gi,..., gm E G
такие, что Ν = К91 χ ... χ K9rn. Из леммы 2.27 следует,
что подгруппа К простая.
85

2. ГОМОМОРФИЗМЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
1. Пусть N абелева. По теореме 1.54, с. 44, К имеет
простой порядок. Пусть | К |= р. Тогда N —
элементарная абелева р-группа порядка рт.
2. Пусть N неабелева. По теореме 2.30 каждая
минимальная нормальная в N подгруппа принадлежит
множеству {К91,..., К9™}. В
Следствие. Минимальная нормальная подгруппа
группы является либо элементарной абелевой р-группой
для некоторого простого р, либо прямым произведением
изоморфных простых неабелевых групп.
Лемма 2.40. Пусть N · < G, N < Η < G. Если
К · < Н, К < N, то существуют элементы д\,..., дп Ε
G G такие, что N = К91 χ ... χ К9п.
Π Так как К9 < № = N для любого д G G,
то N = (К9 | д е G). Полагая Ж = {К9 \ д е G}, из
леммы 2.37 для группы Η и ее нормальной подгруппы
N получаем, что существуют элементы д\, · * · ·>9η такие,
что N = К91 χ ... χ К9п. В
Подгруппа U называется субнормальной подгруппой
группы G, если существуют подгруппы t/o, С^ь ···, f/s
такие, что U = Uo<U\<.. .<Us-i<]Us = G. Запись £/<]<]G
означает, что U — субнормальная подгруппа группы G.
Очевидно, что каждая субнормальная подгруппа
является членом некоторого субнормального ряда группы G.
Лемма 2.41. Пусть U<<G. Тогда:
1) если Τ <<U, то Τ <\<\G;
2) если V <G, то V П U < < V;
3) если V < < G, moU CiV <<G;
4) если N < G,mo UN/Ν < < G/N.
О 1. Данное утверждение очевидно.
2. Пусть U = Щ < U\ < ... < C/5-i <\US = G. Так как
C/i<t7i+i, то (Vr\Ui+i)r\Ui = 7ПС/г.<7ПС^+1. Поэтому
С7 Π К = £/0 П К < C/i П V < ... < С/5-1 Π 7 < С/, П 7 = У
иС/П7<]<]У.
3. Согласно утверждению 2 UC\V« V, а поскольку
K<]<G, то U HV <<G.
4. Так как
UN/N =
86

2.6» Минимальные нормальные подгруппы
= U0N/N < U\N/N < ... < Us-ιΝ/Ν < USN/N = G/N,
то UN/Ν < < G/N. И
Лемма 2.42. Если U <<G, то SocG < NG{U).
D Пусть U = Uo<U\<...< Un-\ <Un = G.
Воспользуемся индукцией по п. Если η — 1, то U <G
и SocG < Ng(U) = G. По индукции SocC/n_i <
< Nun-i(U) < Nc(U). Пусть ΛΓ — произвольная
минимальная нормальная подгруппа группы G. Если N <
< {/„-ι, το Ν < Soci7n_i по лемме 2.40 и N < NG(U).
Если N £ С/п-ь то NUn-\ = Ν χ 17η_ι по лемме 2.36 и
N < С с (U) < Ng{U). Таким образом, в любом случае
N < Nq(U) и SocG < Ng{U) по определению цоколя, й
Теорема 2.43. Если {Ui \ г е 1} — некоторое
множество субнормальных подгрупп группы G, то U =
= (Ui\ieI)<< G.
D Воспользуемся индукцией по порядку G. Пусть
N · <] G. Тогда UiN/N < < G/7V на основании леммы 2.41
и по индукции UN/N < < G/iV. Согласно лемме 2.42
iVCf] NG(t/i), поэтому C/<C/JV<<GhC/<<G. И
ie/
Из леммы 2.41 и теоремы 2.43 получаем
Следствие. Совокупность всех субнормальных
подгрупп группы G образует решетку.
т
Лемма 2.44. Пусть G = χ Gj, G{ — неабелева
г—l
простая группа для всех г и Ε φ Ν < <G. ТЬг^а c?/-
ществует подмножество J С {l,...,m} такое, что
Ν = χ G?.
D Пусть AT = .ΛΓ0 < ΛΓι < ... < iVn_i <] Νη = G.
Воспользуемся индукцией по п. Согласно теореме 2.30
существует подмножество J ι С {l,...,m} такое, что
iVn_i = χ Gj. По индукции найдется подмножество
J С Ji такое, что N = χ Gj. IS
Теорема 2.45. Пусть Η<< G, К<< G г/#ПД: =
= .Б. £слг/ if — неабелева простая подгруппа, то
(HUK) = H хК.
87

2. ГОМОМОРФИЗМЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
D Пусть U = (Я U К) и
Я = #о <3 #ι < ... < #π-ι <Hn = U,
К = К0<Кг<...< Кш-Х <Km = U.
Воспользуемся индукцией по п. Если η = 1, то Я <] Ε/ и
С/ = [Я]Х. Если K<U,toU = HxK. Пусть X не
является нормальной подгруппой группы ЕЛ Тогда т > 2 и
if — собственная подгруппа в Α"ι. Так как К\ <3 < Е/, то
£7 т^ ifi П Я <] <] Я. Из того, что Я — простая неабелева
группа, следует, что Я < К\ и ЯХ = Я χ К.
Пусть теперь η > 2. Тогда Я ^ Hkl для некоторого
fei ЕКиЯПЯ^ =£7. ТаккакЯп_1<Е/, то (ЯиЯ*1) С
С Яп_1 и по индукции (Я U Hkl) = Я χ Я*1.
Пусть У = Ях Hkl χ ... χ ЯАе, k\,...,kt € К, с
наибольшим номером ί. Ясно, что
для некоторого fc G if, то КПЯ* = Ε и (КиЯ*) = К χ Я*
по индукции. Получили противоречие с выбором числа
t. Поэтому Нк С V для всех к е К и К < NG{V).
Следовательно, Е/ = VK.
Если К Π if φ Ε, то по лемме 2.44 V Г) К = χ Hki
г е ι
для некоторого множества /, поэтому существует номер
j Ε I такой, что Hkj < К. Теперь Я < К, что
противоречит условию теоремы. Следовательно, V Π К = Ε
и U = [К]Х. Если JT < Е/, то U = Я χ К\ Пусть К
не является нормальной подгруппой в группе ΕΛ Тогда
К — собственная подгруппа в подгруппе К\, поэтому
К\ Π V Φ Ε и по лемме 2.44 существует множество J
такое, что V Г) Κ\ = χ #fcj. Так как V Π Κ\ <\ Κ\, то
j € J
{VnKi)K = (VnKi) х К и для некоторого Я*1 < Fntfi
имеем Я*'К = Я*' χ К. Но ^ Ε Д\ значит, Hkl χ К =
= Нх К. И
Теорема 2.46. Пусть Я — неабелева простая
подгруппа группы G u Я < < G. Тогда Я^ · < G u
существуют элементы g\,g2->- - - ->9п £ G такие, что HG =
= X Я*.
г = 1
88

2.7. Полупрямые произведения
Π Если Я <] G, то утверждение теоремы очевидно.
Пусть Я не является нормальной подгруппой группы G.
Тогда существует элемент g Ε G такой, что Я φ Η9. По
теореме 2.45 получаем, что (Я U Н9) = Я χ Η9. Пусть
V = Η91 χ Η92 χ ... χ H9t — прямое произведение с
наибольшим номером t. Если Нх % V для некоторого χ £ G,
то V Π Нх < <\НХ, а поскольку подгруппа Я* простая
неабелева, то У Π Я* = Ε и (К U #*) = V χ Ях по
теореме 2.45. Получили противоречие с выбором t. Поэтому
Нх С V для всех хЕСи7 = #g < G. Предположим,
что V\ · О G, Vi < У. Тогда по лемме 2.44 V\ = X Я* и
У = Яс С Vi. Поэтому У = Vi · < G. В
2.7. Полупрямые произведения
Теорема 2.47. Пусть К и Я — группы и φ —
гомоморфизм группы К в Aut Я. Тогда существует
группа G, обладающая следующими свойствами:
1) G содержит подгруппы Η* ^ Η и К* ~ К;
2)G = H*K*;
3) Н*ПК* = Е;
4) Я* < G.
D Условимся обозначать образ элемента h Ε Η при
автоморфизме ψ(&) Ε Aut#, k e К, через fti>(fc)u].
Покажем, что множество G = {(&, /г) | к € К, h E Я} с
операцией
(*ι,Λι)(*2,Λ2) = (Λι^,Ι^ί1)^]^) (2-4)
является искомой группой.
Так как [^(fc^1)^] G Я, то операция (2.4) определена
на G. Проверим ее ассоциативность:
{(kl,hl)(k2,h2))(h,h3) = (fci*2. [^(^"^ЛхЫ^з.Лз) =
= (Мг*з, И^ХМ** ^ιΜΜ =
= (fcifc2fc3, [(^(АгзЛгз)-1)^!] [^з_1)А2]Лз).
(Λι,Λι)((Α2,Λ2)(Λ3,Λ3)) = (kuhi){k2h,[i>(kzl)hi}h3) =
89

2. ГОМОМОРФИЗМЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
= (*1*2*з, №((*2*3)_1)Λι] [rf>(k^l)h2]h3).
Следовательно, операция (2.4) ассоциативна. Пусть е/< —
единичный элемент группы К, а ец —- единичный
элемент группы Я. Так как
{kx,hi)(eK,eH) = {к\ек, [ф{е£)Ь\]ен) = (Λι,/ΐι),
(eK,eH){kuhi) = {еккъ [rp(k^l)eH]hi) = (fcbfti),
то (e#,e#) ~ единичный элемент G.
Покажем, что (fc,/i)_1 = (k~l,[rp(k)h"1]):
{k,h)(k-l,[iP{k)h-[}) = (A;fc-1,[^(fc)/i][^(^)/i"1]) =
= (екЛ^)(ЛЛ"1)]) = (в/с,ея),
(fc-1,[^(A:)/i-1])(it)/i) = (A-1*, ty(k-l)[tl>(k)h-l]]h) =
- (e^V^MW^W = (е*,ея).
Итак, G - группа. Рассмотрим два множества: К* =
= {(*,ея) | fc Ε К}, Я* = {(ея-,Λ) | h G Я}. Поскольку
(&1,е//)(Аг2,ея) = (МгЛ^/К^^я^я) = {к\к2,ен)еК*\
{eK,hi)(eKyh2) = (ел-е/гЛ^к1)^]^) = {eK,hih2)eH*,
то К* и Я* — подгруппы группы G. Ясно, что
отображения fc «-> (fc, ея), Λ !-> (eK,h) являются изоморфизмами
К ~ К*, Я ~ Я*. Из построения получаем, что Х*П
ПЯ* = £иС = #*Я*. Так как
(k,eH)~l(eK,h){k,eH) =
= {k-\eH)(eK,h){k,eH) = {к~\[ф(е^[)ен]Н){к,ен) =
= (Аг-Ч)(А:,еЯ)(Аг-ЧЛ^-1)%я) = (ек^[^-1)п])еЯ*
то Я* < G. И
Построенная в теореме 2.47 группа G называется
внешним полупрямым произведением группы К и
группы Я относительно гомоморфизма φ и обозначается
через G = КФ[Н) или G = [Н]ФК.
90

2.7. Полупрямые произведения
Следствие. Внешнее полупрямое произведение G =
= Кф[Н] групп К и Η относительно гомоморфизма
ф: К —> Aut Я является прямым произведением тогда и
только тогда, когда гомоморфизм φ каждый элемент
группы К переводит в тождественный автоморфизм
группы Я.
D Если G = Κψ[Η] = К χ Я, то операция (2.4)
принимает вид {ki,hi)(k2,h2) = {kik2)hih2)) [φ{^1)^]Η2 =
= /ii/i2j поэтому φ(^1) — 6 ~ тождественный
автоморфизм группы Я для любого k2 G К.
Обратно, если гомоморфизм φ каждый элемент
группы К переводит в тождественный автоморфизм группы
Я, то из формулы (2.4) следует, что (ki,hi)(k2,h2) =
= (kik2,hih2) и произведение G = А^/,[Я] будет
прямым. И
Пример 2.1. Построить полупрямое произведение двух
циклических групп.
D Пусть К = (к), \К\ = т, Η = (Λ), |Я| = п. Выберем
натуральное г, для которого гт Ξ l(modn) и г ?έ 1(тос1тг) при
О < I < т. Для каждого г = 1,...,ш зададим отображение с/?;:
/г' ·-> /г*Г , ί ί= 1,..., п. Так как
^(Л*1/»*3) = Vi(/*'1+i2) = ftiiriftf2r' = *»ί(Λίι)ν>ί(Α*β),
το y?.j — эндоморфизм Я. Поскольку Кекрг = {/&* | /ιίΓ = е} = {Λ* |
η делит tr1} = {/i* Ι π делит £} = {е}, то φι — автоморфизм Н.
Заметим, что
/ifrJ\ ι tr* r* ttri+3 /it\
= φί{1ι ) = h =h = ipi+j{h ), <^· = <^+j.
Здесь сложение i + j> происходит по модулю п. Отображение ф:
kl j-> φι будет гомоморфизмом группы К в группу Aut H. По
теореме 2.47 существует группа Gy являющаяся полупрямым
произведением групп К и Η относительно фу т.е. G — Κψ[Η]. й
Положим в предыдущем примере т = 2. Тогда г = η — 1, φ\\
h* ь-> Н^п~1^1 = ЪГЬ,ψ2'. h{ у+ /г^п_1) = h* }φο — тождественный
автоморфизм и G = <fc)^[(fr>] = (A;,/i | k'2 = й'г = е, /г* = fr_1>.
Говорят, что группа G является полупрямым
произведением подгрупп А и В. если выполняются следующие
91

2. ГОМОМОРФИЗМЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
требования: G = АВ, А П В = Е, В О G. Полупрямое
произведение обозначают так: G = А[В] или G = [В]А.
Построенная в теореме 2.47 группа G является
полупрямым произведением своих подгрупп К* и Н*.
Лемма 2.48. Пусть G = А[В]. Тогда:
1) каждый элемент g G G единственным образом
представим в виде произведения g = ab, где α Ε A; bEB;
2) если αχ, <22 G А и δχ,ί>2 € В, то (αι&ι)(α2&2) —
= (а102)(^Ь2).
D 1. Из равенства G = АВ следует, что каждый
элемент g G G записывается в виде g = αδ, где а £ A] b £ В.
Если имеет место другая запись: g = αχ6χ, а\ G Α, 6χ G -В,
то αί> = αι&ι, откуда a~la\ = bb^1 £ А П В — Е.
Поэтому а = αχ, 6 = b\ и каждый элемент g G G однозначно
записывается в виде # = аб.
2. Имеем:
(αχί>χ)(α2ί>2) = αια2α^161α2ί>2 = (αχα2)(6?2&2)· ^
Элемент порядка 2 называется инволюцией, Диэд-
ральной группой называется группа, порожденная двумя
различными инволюциями.
Теорема 2.49. Пусть G — группа. Тогда следую-
щие утверждения эквивалентны:
1) G — диэдральпая группа;
2)G = [А]В, где А = (а);В = (Ь);\В\ =2;аь = а~1.
D Пусть G — диэдральная группа. Тогда
существуют две инволюции г и j такие, что G = (i,j). Пусть
В = (j), а = ij и А = (а). Тогда
аг = (υΥ = wji = Л = (UT1 = a~l € А
а3 = (ij)j = jijj = ji = (г;)"1 = a~{ e A,
поэтому A < G и АВ < G. Так как j € В < АВ и α/ =
= ijj = г G АВ, то G = (г,;) = АВ. Если Ε φ Α Г) Β,
то В < А и г = j;по следствию из теоремы 1.24, с. 26.
Получили противоречие. Поэтому АПВ = Ε и G = [А]В.
Обратно, пусть группа G = [А]В, где А = (а); В =
= (Ь); | В |= 2; а6 = а-1. Тогда α&αί> = αα_1 = е и ab —
инволюция. Так как В = (6) < (а&, 6)иа = абб < (аб, 6),
то G < (ab, 6), т.е. G = (αί>, 6} — диэдральная группа. И
92

2.7. Полупрямые произведения
Обычно диэдральную группу порядка Ъп записывают
так: U2n = (а,Ь | ап = Ь2 = е, аь = а-1). Отметим, что
группа из примера 2.1 при т = 2 является диэдральной
группой порядка 2п.
Говорят, что группа G является цептральным
произведением своих подгрупп А и В, если выполняются
следующие условия: G = АВ, A<\G, B<G, АПВ С Z(G).
Очевидно, что прямое произведение двух подгрупп
является центральным. Кроме того, если G = АВ —
центральное произведение, то
G/(A ПВ) = А/[А Г) В) χ В/{А П В)
будет прямым произведением.
Над полем Ζ 5 определители матриц
Ч» s)-»-(! ί)
равны 1, поэтому А, В е SL(2,Z5). Далее, А2 = В2 = 4£, Л4 =
*·-(? S).*-(S !)■
Итак, А И В — матрицы порядка 4 и (А) П {В) = (АЕ) С
С Z(SL(2, Z5)). Через Q обозначим группу, порожденную этими
матрицами. Несложно показать, что Q — группа порядка 8.
являющаяся центральным произведением двух нормальных подгрупп
(А) и {В). Поскольку В~1АВ = В3АВ = А3 = Л-1, то группу Q
можно записать так:
Q = (А, В\А4 = В4 = Я, А2 = В2, В'1АВ = А"1).
Легко проверяются следующие свойства группы Q: Z(Q) = (4Е);
все элементы из разности Q \ Z(Q) имеют порядок 4; Q содержит
единственную подгруппу порядка 2; каждая подгруппа нормальна.
Группу
Q = (А, В | А4 = В4 = Е, А2 = В2, В~1АВ = А'1)
называют группой кватернионов.
Несложно доказать, что в группе GL(2, С) подгруппа,
порожденная матрицами
С -·)· (-°. ί)·
изоморфна группе Q.
93

2. ГОМОМОРФИЗМЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
2.8. Линейные группы
Нам потребуется следующая информация из теории
полей, которую можно найти в учебнике [2].
Характеристика конечного поля — всегда простое число и если Ρ —
конечное поле характеристики р? то число элементов в
поле Ρ равно pm, га £ N, т.е. | Ρ |= рт. Любые два
конечных поля равных порядков изоморфны между собой.
Пусть Ρ — конечное поле и \Р\ = рт = q. Если Q —
другое поле порядка q, то поле Q изоморфно полю Р.
Матрица над полем Р, у которой ниже диагонали все
элементы — нули, а на диагонали все элементы —
единицы, называется верхней упитреугольной. Множество
всех верхних унитреугольных матриц обозначают через
ί/(π, Ρ). Очевидно, что U(n, P) является подгруппой
специальной линейной группы SL(n,P) и полной
линейной группы GL(n, Ρ), (см. § 1.1). Кроме того, подгруппа
SL{n, Ρ) < GL{n, Ρ) и фактор-группа GL(n, P)/SL(n, P)
изоморфна мультипликативной группе поля Ρ (см. § 1.6).
Поскольку любые два конечных поля Р, Q
равных порядков изоморфны между собой, то группы
GL(n,P),GL(n,Q) изоморфны. Этот факт позволяет
вместо GL{n, Ρ) писать GL(n, q), где q = \Р\ = \Q\ = рт.
Аналогично вместо SL(n,P) будем писать SL(n,q).
Заметим, что если Ерп =< а\ > + ... + < ап > —
элементарная абелева р-группа порядка рп, записанная
аддитивно, то можно рассматривать векторное
пространство V(n,p) над полем Ър классов вычетов по
простому модулю р, в котором аддитивной группой является
группа Ерп, а умножение на элементы из поля Ър
определяется по правилу [к]а = ка для любых α £ Ерп и
[к] = к + рЪ £ Zp. При этом очевидно, что Aut(Epn) =
= AutV(n)p) = GL{n,p). Таким образом, доказана
Теорема 2.50. Элементарная абелева р-группа
Ерп порядка рп изоморфна аддитивной группе
векторного пространства размерности η над полем Ър из ρ
элементов, а группа автоморфизмов Aut Epn
изоморфна полной линейной группе GL(n,p).
π-1
Теорема 2.51. 1. \ GL{n,q) |= Π {яп~Яг)·
г=0
94

2.8. Линейные группы
2.\ЗЦп,д)\=д^ПП(д»-д*).
г=0
3. Порядок | U(n,q) \= qn\n-1)/2 u группа
J7(n,pm), pm = q является силовской р-подгруппой в
группах GL(n,pm) и SL(n,pm).
D 1. Пусть Ρ — конечное поле порядка q = рт, где
ρ — простое число. Из элементов этого поля
составляются строки невырожденных η χ η-матриц. В каждой
строке η элементов. Поэтому число всевозможных строк над
полем Ρ равно qn. Подсчитаем теперь число
всевозможных невырожденных η χ η-матриц над полем Р.
Известно, что матрица является невырожденной тогда и только
тогда, когда никакая строка этой матрицы не является
линейной комбинацией остальных строк. Первая
строка невырожденной матрицы может быть любой, кроме
нулевой. Поэтому для первой строки существует qn — 1
возможностей. Вторая строка может быть любой,
непропорциональной первой строке. Коэффициентов
пропорциональности столько, сколько элементов в поле Р, т.е. q.
Поэтому для второй строки существует qn — q
возможностей. Третья строка невырожденной матрицы не должна
быть линейной комбинацией первых двух строк.
Очевидно, что число строк, являющихся линейной комбинацией
двух строк, равно q2. Поэтому для третьей строки
существует qn — q2 возможностей. И так далее. Наконец,
последняя n-я строка не должна быть линейной
комбинацией первых п— 1 строк. Поэтому для последней
строки существует qn — qn~l возможностей. Таким образом,
число невырожденных матриц равно
(qn - Ш - q)... (qn - qn~X) = Ц(дп - <f).
г=0
Это число совпадает с порядком группы GL(n,q).
2. Так как GL{n, P)/SL{n, P) ~ F#, | P# |= q - 1, то
71-2
I SL(n,P) |=| GL(n,P) \ /(q - 1) = Д (?n - №~1'
3. Порядок | U(n,q) |= q^n ~n)/2, поскольку в верхней
унитреугольной матрице выше главной диагонали (п2—
95

2. ГОМОМОРФИЗМЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
—п)/2 мест. Далее,
| GL(n,q) |= jj(9" - ?f) = gi+-+(»-D jj(gn-i _ 1} =
г=0 i=0
= 9n(n-1)/2 Π («"'* - J) =1 ^η'«) Ι Π («""' " 1),
π-1
причем Yl (qn~l — 1) не делится на ρ, поэтому U(n,q) —
г=0
силовская р-подгруппа группы GL(n,q). Поскольку
U(n,q) < SL(n,g), то U(nyq) — силовская р-подгруппа
группы SL(n,q). Й
Теорема 2.52. 1. Центр группы GL(n,P) состоит
из скалярных матриц.
2. Центр группы SL(n,P) состоит из скалярных
матриц с единичным определителем.
D 1. Через Ец при г = j обозначим единичную
матрицу, а при г φ j' — матрицу, которая получается из
единичной добавлением единицы на пересечении г-й строки
и j-ro столбца. Так как detEij = 1, то Eij £ SL(n,P).
Пусть В = (bij) — произвольная матрица,
перестановочная с каждой матрицей Eij. Тогда
'Ьп ... bij-i bij + Ьц b\j+i ... bin\
&21 ··. 62.7 — 1 i>2j + ί>2ζ ^2j+l ··· fon
BEij =
^nl
( bu
EtjB —
Unj — l Unj T" 0Л
Пп
bi-n ·
bti + bji .
6t+ll
^i-hl η
\ bnl
(b\j + bu = by,
&2j + &2г = b2j,
bi-lj + 6t-li = bi_ij,
Ьу + &u = bij + bjj,
bi+\j + bi+\i = 6j+i j,
4*71.7 H" #712 — ^nj*
Последняя система получилась из равенства ВЕц
— Eij В. Из нее следует, что
96

2.8. Линейные группы
b\i = Ь2г = ..· = &(t-l)t — fyz+l)z = — = &т = 0, bit = fyj·
Таким образом, при г, j = 1,..., гг получаем, что В —
скалярная матрица. Итак, если матрица В перестановочна
с каждой матрицей E\j, то В — скалярная матрица.
Если аЕ — скалярная матрица, a Ε Р*, то а£? · А =
= АаЕ для любой матрицы A Ε GL(n,P), поэтому
aEeZ(GL{n,P)).
Обратно, если матрица В Ε Z(GL(n, Ρ)), то она
перестановочна с каждой матрицей из GL(n,P), в частности
с каждой матрицей Е^, i,j = 1,...,п. Поэтому матрица
В будет скалярной. Итак, Z(GL(n,P)) = {aJ5 | a Ε P#}.
2. Из определения центра получаем, что
Z(GL(n,P))DSL{n,P) С Z(SL(n,P)).
Обратно, если Б G Z(SX(n, P)), то матрица Б
перестановочна со всеми матрицами из SX(rc, P), в частности
с каждой матрицей Eij,i,j = Ι,.,.,η. Значит, В —
скалярная матрица и Ρ G Z(GL(n,P)). Отсюда следует,
что Z(SL(n,P)) С Z{GL{n,P)), поэтому Z{SL(n,P)) =
= Z{GL(n,P))nSL{n,P). Η
Следствие 1. 1. \ Z(GL(n,q)) \= q-l.
2. |Z(SL(n,g))|=(n,g-l).
D 1. Так как Z(GL(n,q)) состоит из скалярных
матриц, то число таких матриц равно числу ненулевых
элементов поля Р, т.е. q — 1.
2. Центр Z(SL(n,q)) состоит из скалярных матриц
a£7, a G Р*, для которых а71 = 1. Так как
мультипликативная группа поля Ρ циклическая, то число решений
уравнения ап = 1 равно наибольшему общему делителю
пид-1.й
Фактор-группу GL(n,q)/Z(GL(n,q)) называют
полной (общей) проективной линейной группой и
обозначают через PGL(n, q). Фактор-группу SL(n, q)/Z(SL(n, q))
называют специальной проективной линейной группой и
обозначают через PSL(n,q).
Следствие 2. 1. | PG£(n, g) | = | SL{n, g) \ = qn~l x
г=0
97

2. ГОМОМОРФИЗМЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
2.\PSL(n,q)\=d-1\SL(n,q)\=d-1qn-lTU(qn-qi),
i=0
d= (n,g-l).
О Оба утверждения вытекают из теоремы 2.51 и
следствия 1. й
Следствие 3. 1. \ GL(2,q) |= {q2 - l){q2-q).
2.\SL(2,q)\=q(q2-l).
3.\PGL(2,q)\=q(q2-l).
l\PSL(2,q)\=
_ f2m(2m - l)(2m + 1) при q = 2m,
~ \(l/2)pm(pm - l)(pm + 1) при q=pm,p>2.
Теорема 2.53.1. Группа GL(2,2m)=Z{GL{2,2m))x
xSL(2,2m). В частности, PGL{2,2m) ~ 5L(2,2m) =
= PSL(2,2m).
2. При ρ > 2 группа PGL(2,pm) содержит подгруппу
индекса 2, изоморфную PSL(2,pm).
D 1. Ясно, что обе подгруппы Z(GL(2,2m)) и
5L(2,2m) нормальны в GL(2,2m). По теореме 2.52
Z{GL{2,2m)) П SL{2,2m) = Z(SL{2,2m)). Но если D €
€ Z(SL(2,2m)), то D — скалярная матрица с единичным
определителем, т.е. D = jE,j2 = 1. Так как у £ Р# и
| р# |= 2т — 1 — нечетное число, то по теореме Лагран-
жа в мультипликативной группе поля Ρ нет элементов
порядка 2. Поэтому η — е и D — единичная матрица.
Таким образом,
Z(SL(2,2т)) = Z(GL(2,2т)) П SL(2,2т) = Е.
В частности, 5L(2,2m) = PSL{2,2m).
Так как
| Z{GL(2,2m))SL{2,2m) \=
=| Z{GL(2,2m) || SL(2,2m) |=| GL(2,2m) |,
то все требования прямого произведения выполняются и
GL(2,2m) = Z(GL{2,2m))SL(2,2m).
Отсюда, в частности, следует, что
PGL{2,2m) = GL(2,2m)/Z{GL{2,2m)) ~ 5L(2,2m).
98

2.8. Линейные группы
2. Пусть ρ > 2 и К = Z(GL{2,pm))SL{2,pm). Ясно,
что К < GL(2,pm). По следствию 1 из теоремы 2.52
| Z(GL(2,pm)) П SL(2,pm) |=| Z(SL(2,pm) \= 2,
1 Z{GL{2,pm)) I 1 SL(2,pm) | =
1 ' |Z(GL(2,p-))n5L(2,p-)|
_ (pm - l)pm(p2m - 1) _ 1 GL(2,pm) 1
2 2
т.е. | GL(2,pm) : К \=2. Кроме того, фактор-группа
PGL(2,pm) = GL(2,pm)/Z(GL(2,pm))
содержит следующую подгруппу индекса 2:
K/Z{GL(2,pm)) =
= Z(GL(2,pm))5L(2>PTO)/Z(GL(2,pm)) ~
~ SL(2,pm)/Z(GL(2,pm)) Π SX(2,pm) =
= SL(2,pm)/Z(SL(2,pm)) = PSL(2,pm). И
Доказательство следующей теоремы можно найти в
книге Хупперта [7, теорема II.8.27].
Теорема 2.54. Группа PSL(2,pm) содержит
только следующие подгруппы:
1) элементарные абелевы р-группы порядков р,р2,...,
Рт;
2) циклические группы порядка ζ в случае, когда ζ
делит (pm ± l)/d, где d = (2,рт - 1);
3) диэдральные группы порядка 2z, где число ζ такое,
как в п. 2;
Ji.) A4 в случае, когда ρ > 2 или ρ — 2 и т — четное;
5) S± в случае, когда р2т ξ l(mod 16);
6) А5 в случае, когда ρ = 5 или р2т = l(mod 5);
7) полупрямое произведение элементарной абелевои
группы порядка рк с циклической группой порядка t в
случае, когда t делит (рк - \)/d ut делит рт - 1;
8) PSL(2,pk) в случае, когда к делит га;
9) PGL(2,pk) в случае, когда ρ — нечетное и 2к
делит га.
99

АБЕЛЕВЫ
И НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ
3.1. Строение конечных абелевых групп
В данном параграфе доказывается следующая
Теорема 3.1. Конечная абелева группа
является прямым произведением примарных циклических
подгрупп. Любые два таких разложения имеют одинаковое
число сомножителей каждого порядка.
О Вначале докажем теорему 3.1 для примарных
абелевых групп. Нам потребуются следующие две леммы.
Лемма 3.2. Если абелева р-группа Ρ имеет
единственную подгруппу порядка р, то Ρ циклическая.
G Применим индукцию по порядку Р. Ясно, что
отображение φ: χ —> χν, χ Ε Ρ, является
эндоморфизмом группы Ρ, ядро Кег<£ = К которого состоит из
единичного элемента и всех элементов порядка р. По
условию в Ρ только одна подгруппа порядка р,
поэтому \К\ —р. Согласно основной теореме о гомоморфизме,
с. 58, Ρ/Κ ~ Ιπκρ, а так как по лемме 2.1, с. 57, Imc^ —
подгруппа в Р, то Im<£ — подгруппа индекса ρ в
группе Р. Если Imcp = J5, то Ρ = К — циклическая согласно
теореме 1.38, с. 34. Если Ιπκ^ ф Е, то по теореме Сило-
вг, в Ιτηφ имеется подгруппа порядка р, а по индукции
Im(£ — циклическая группа. Это означает, что
существует неединичный элемент g Ε Ρ такой, что {дК} = Р/К.
Теперь Ρ = {д)К, но в {д) имеется подгруппа порядка р,
поэтому К С (д) и Ρ = (д) — циклическая группа, й
Лемма 3.3. Если Η — циклическая подгруппа
наибольшего порядка абелевой р-группы Р, то существует
подгруппа К такая, что Ρ = Η χ К.
G Воспользуемся индукцией по |Р|. Можно считать,
что Ρ — нециклическая группа. По лемме 3.2 группа Ρ
имеет не менее двух подгрупп порядка р, а согласно
следствию из теоремы 1.24, с. 26, в Η только одна подгруппа
порядка р. Поэтому существует подгруппа К порядка р,
не содержащаяся в Н. Ясно, что Η ПК = Е. В Р/К нет
з
100

ЗЛ. Строение конечных абелевых групп
циклических подгрупп порядка строго большего, чем
порядок циклической подгруппы НК/К, поэтому НК/К
является циклической подгруппой наибольшего порядка.
По индукции Ρ/К — НК/К χ L/K для некоторой
подгруппы L из Р. Теперь Ρ = (HK)L = HL, Η Π L = Ε и
P = HxL. В
Теорема 3.4. Конечная абелева примарная
группа является прямым произведением своих циклических
подгрупп. Если имеется два таких разложения Ρ =
= Р\ х F2 х · · · х Рг = Q\ х Q2 х · ·. х Qs, то г = s
и при подходящей нумерации \ Р{ \=\ Qi \ для всех г.
D Воспользуемся индукцией по | Ρ |. Пусть теорема
верна для всех абелевых р-групп порядка меньше, чем
| Ρ |. Выберем в Ρ циклическую подгруппу Р\
наибольшего порядка ραι. Тогда Ρ = Р\ χ К согласно лемме 3.3.
По индукции К = Ρ<ι χ ... χ Рг, и первое утверждение
теоремы доказано.
Для доказательства второго утверждения удобно
расположить множители так, чтобы их порядки не
возрастали:
ρ = Ы χ (92) χ .^ χ Ы, Pi = Ы, 19г |= ίΛ (3.1)
^1 > ^2 > · · · > &k > &k+l = а*+2 = . . . = ar = 1,
Ρ=(Λι>χ(Λ2>Χ.-·Χ<Λβ>, Οΐ = (Λί>, |Ъ|=Л (3.2)
b\ > h > ... > bi > 6/+i = h+2 = ... = 65 = 1.
Рассмотрим множество Pp = {xp | χ G P} всех ρ-χ
степеней элементов из Р. Так как Р — абелева группа, то
хрур = (Ху)Р е р*>, (χΡ)-ι = (χ-1)? е Ρ? и Ρ? -
подгруппа. Кроме того, Р? = (#f) — подгруппа индекса ρ в
группе Pi, т.е. | Pf |= pai~l.
В соответствии с разложениями (3.1) и (3.2) каждый
элемент группы Ρ представим в виде χ = ffi1^2 · · · #rr =
= h^h^...h^, поэтому **> = g?lg?2.-.<gk =
= h{mihp2m2...h^mi и
РР = Pf χ Pi χ ... χ Ρζ = QP χ QP χ ... χ Qf (3.3)
101

3. АБЕЛЕВЫ И НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ
являются двумя разложениями подгруппы Рр в прямые
произведения циклических подгрупп. Так как | Р[ \=
—\ Pi !/р> to I Pp |<| F I и к группе Рр применима
индукция. Из разложения (3.3) заключаем, что к — I и
I -F? NI Οζ I Для всех *· Теперь pai~l = pbi~l и α» = 6*
для всех г = l,...,fc. Таким образом, | Pi |=| <2г Ι Для
г = 1,..., fc.
Пусть pd =| F! χ Р2 х ... х Рк |=| Qi x Q2 x · ·. х Qk\ ·
Тогда из разложений (3.1) и (3.2) заключаем, что | Ρ |=
= р<* | Pfc+1 X Р*+2 X .·. X Рт |= pV"* - Ρ* I Qfc+lX
xQk+2 x · · · x Qs |= pdps~k. Поэтому г = 5 и теорема
полностью доказана, й
Теорема 3.5. Каждая конечная абелева группа
является прямым произведением своих силовских
подгрупп. Для каждого простого числа ρ силовская р-
подгруппа в абелевой группе единственна.
D Пусть G — абелева группа порядка η = ρ\ι χ
хрТ * · * рТ > гДе Рь Ρ*2ί ·. · 5 Рг — различные простые числа.
По теореме Силова в G существуют силовские
подгруппы GPlJGP2,..., GPt, соответствующие простым числам
ρι,Ρ2,... ,Ρί. Силовские подгруппы нормальны в G,
поскольку G абелева. Кроме того, порядки GPl и GP2
взаимно просты, поэтому GPl ΠGP2 = Ε и GPlGP2 = G^ χ GP2.
Предположим, что для некоторого к уже доказано, что
GPlGP2... GPfc = GPl x GP2 χ ... χ GPfc. Тогда подгруппа
Η — GPl x GP2 χ ... χ GPk имеет порядок р^р^2 · · -Р%к ·>
а пересечение Η nGPfc+1 — подгруппа порядка, делящего
| Я | и | Gpfc+1 |. Отсюда следует, что Η Π GPAi+1 = Ε. Так
как if и оРк+1 — нормальные подгруппы, то HGPk+1 =
= Η χ Gpfc+1. Итак, GPlGP2... Gmi = GPl x GP2 χ ... χ
xGPjL.+1. Теперь, согласно индукции, группа G разложима
в прямое произведение своих силовских подгрупп. Так
как силовские р-подгруппы сопряжены между собой, то
для каждого простого ρ силовская р-подгруппа в
абелевой группе единственна. Е1
Теперь перейдем к доказательству теоремы 3.1.
Утверждение теоремы 3.1 является следствием из
теорем 3.4 и 3.5. Действительно, по теореме 3.5 каждая
конечная абелева группа разложима в прямое произве-
102

ЗЛ. Строение конечных абелевых групп
дение своих силовских подгрупп. Согласно теореме 3.4
любая силовская подгруппа является прямым
произведением своих циклических подгрупп. Поэтому каждая
конечная абелева группа разложима в прямое
произведение своих циклических примарных подгрупп.
В конечной абелевой группе G силовская р-подгруппа
Gp единственна для каждого простого р. По теореме 3.4
любые два разложения подгруппы Gp в прямое
произведение циклических подгрупп имеют одинаковое число
множителей каждого порядка. Это справедливо и для
всей группы G. И
Вернемся к теореме 3.4. По теореме 1.31, с. 28, все
циклические группы одного порядка изоморфны,
поэтому циклическую группу можно задать ее порядком.
Пусть абелева р-группа Ρ порядка ра разложима в
прямое произведение
ρ = рг χ р2 χ ... χ рТ (3.4)
циклических подгрупп Р\, Ρ<ι,..., Рт порядков
ра\ра2,... ,раг. Ясно, что а = а\ + α<ι Η- ... + ar.
Порядки (ραι, ρα2,..., раг) циклических множителей
прямого произведения (3.4) называют инвариантами
абелевой р-группы Р.
Если две абелевы группы Ρ и Q имеют одинаковые
инварианты (ραι ,ρα2,... ,раг), то
Ρ = ρχ χ Ρ2 χ .. . χ Prj Q = Qx χ Q2 χ . . . χ Qr
и I Pi |=| Qi |= Pai Для г = 1,... ,r. Поэтому существуют
изоморфизмы ψί\ Ρι —» Qi, при которых элемент gi Ε Pi
отображается в элемент ipi{gi) £ Qi- По свойствам
прямых произведений любой элемент из Ρ однозначно
представим в виде 3102 ■ · · 0г> где gi Ε Pi- Поэтому
отображение (р{д\д2 · · -Αν) = Ψι(9ι)ψ2{92) - · · ¥v(ffr) будет
изоморфизмом групп Ρ и Q Тем самым доказана
Теорема 3.6. Примарная абелева группа
однозначно определяется своими инвариантами.
Для построения произвольных, не обязательно
примарных, абелевых групп порядка η поступают
следующим образом. Выписывают все возможные инварианты
каждой силовской подгруппы, а затем, комбинируя ин-
103

3. АБЕЛЕВЫ И НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ
варианты силовских подгрупп, получают все возможные
абелевы группы порядка п.
Перечислим все абелевы группы порядка 16. Через Сп
условимся обозначать циклическую группу порядка п. Группа порядка
16 = 24 может обладать следующими инвариантами:
(24), (23,2), (22,22), (22,2,2), (2,2,2,2),
которым соответствуют группы:
Cie, С8 х С2) С4хС4? С4хС2хС2, С2 χ С2 χ С2 χ С2.
Таким образом, абелевы группы порядка 16 могут быть одного из
пяти указанных видов.
Перечислим все абелевы группы порядка 1000. Так как 1000 =
= 2 · 5 , то для силовских подгрупп возможны следующие
ситуации. Силовская 2-подгруппа имеет порядок 2 , и это либо Cs, либо
С4 х С2, либо С2 х С-2 х С'2 · Силовская 5-подгруппа имеет порядок
53, и это либо Ci25) либо С2$ х C's, либо Съ х Сs х С$. Таким
образом, абелева группа порядка 1000 может быть только одной из
следующих групп:
С8 х Ci25, Cs χ С25 х Сб, С8 χ С5 х С5 χ С5,
С4 χ С2 χ Ci25, Ca х С'2 χ С25 х Cs, С4 χ С2 х С5 χ С5 χ С5,
С2 X С2 X С2 X Ci25> С2 X С2 X С2 X С25 X ^5,
С2хС2хС2хСьхСъх С5.
3.2. Примарные группы
Напомним, что р-группой называют группу, порядок
которой есть степень простого числа р. Ясно, что
подгруппы и фактор-группы любой р-группы также
являются р-группами. Примарной называют группу, которая
является р-группой для некоторого простого р.
Теорема 3.7. Центр неединичной примарной
группы отличен от единицы.
О Пусть Ρ — ρ-группа порядка рп > 1 и К\, Κ<ι, · · · ·>
Kt — все различные классы сопряженных элементов
группы Р, Ki — {gf Ι χ Ε Ρ}. По следствию 2
из теоремы 1.49, с. 41, порядок класса сопряженных
с д{ элементов равен индексу централизатора д^ т.е.
| Κι |=| Ρ : Cp(gi) |= pai. Каждый элемент центра
составляет отдельный класс и наоборот, если | К3; |= 1, то
104

3.2. Примарные группы
gj € Z(P), где Ζ {Ρ) - центр. Итак, Ρ = Κλ ΙΙ#2υ.. \}KU
где ЛГг Π Kj — 0 при г φ j. Пусть Κι = {е}. Тогда
рп = 1 + ра2 + · · · + pat. Отсюда следует, что существует
Ζ > 1 такое, что сц = 0. Но тогда 1 = ραι =\ Ρ : Cp(gi) | и
Я 6 Z(P). И
Теорема 3.8. β примарной группе каждая
собственная подгруппа отлична от своего нормализатора.
D Пусть Ρ — р-группа и Л — собственная подгруппа.
Рассмотрим разложение группы Ρ в двойные смежные
классы по Л:
Ρ = АххА U Лж2Л и ... U AxtA = Л U ( (J Лж*Л J . (3.5)
Здесь χι = е. Используя теорему 1.42, с. 37, получаем:
| АхгА 1=1 АХ*А |=| Л** \\ А | / | Лх* η Л | .
Теперь из разложения (3.5) имеем
t
\P\=\A\+J2\AXi\\A\/\AXinA\. (3.6)
г=2
Пусть | Ρ |= рп, | Л |= ра. Тогда из равенства (3.6)
следует, что
t
рп-а = i + \£\A\/\AXinA\.
г=2
Так как рп~а > 1, то в правой части равенства под
знаком суммы имеются слагаемые, равные единице, т.е.
существует номер j > 2 такой, что | Л |=| AXJ Г) А \. Это
означает, что Лх> = Л и Xj £ Np(A). Ввиду того что
j > 2, элемент Xj не принадлежит Л и Л — собственная
подгруппа в Νρ(Α). ΚΙ
Следствие. В примарной группе все максимальные
подгруппы нормальны и имеют простые индексы.
D Пусть Ρ — р-группа и Μ < · Р. По теореме 3.8
Μ — собственная подгруппа в своем нормализаторе
Νρ(Μ). Из максимальности Μ следует, что Νρ{Μ) = Ρ
105

3. АБЕЛЕВЫ И НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ
и Μ < Р. По теореме о соответствии в фактор-группе
Р/М нет нетривиальных подгрупп, поэтому согласно
теореме Силова группа Р/М имеет простой порядок. И
Теорема 3.9. В примарной группе пересечение
неединичной нормальной подгруппы с центром группы
отлично от единицы.
D Пусть Ρ — р-группа и А < Ρ, Α φ Ε. Требуется
доказать, что Α Π Ζ(Ρ) φ Ε. Если α — произвольный
элемент из А) то ах Ε Ах = А для любого элемента χ Ε Р.
Поэтому А состоит из классов сопряженных элементов
группы Р, т.е. А = K1UK2U.. .UKj, где К{ = а\р. Можно
положить К\ = {е}. Поскольку | Κι |=| Ρ : Cp{ai) |, то,
считая | А |= рп) \ Ki |= pni, получаем
г=2
Теперь ясно, что существует j > 2 такое, чторп' =| Kj |=
= 1 и Oj G Ζ(Ρ). ΚΙ
Следствие 1. Нормальная подгруппа простого
порядка примарной группы содержится в ее центре.
Следствие 2. Минимальная нормальная подгруппа
примарной группы имеет простой порядок и
содержится в центре группы.
D Пусть Ρ — р-группа и N · < Р. Так как Ν φ Ε,
то Ν Π Ζ(Ρ) ^ Я, а поскольку iV Π Ζ(Ρ) < Ρ, το Ν <
< Ζ (Ρ). Согласно теореме Силова в N существует
элемент а простого порядка. Поэтому < а > <] Ρ и из
условия N · <Р следует, что N =< а >. й
3.3. Нильпотентные группы
Группа называется нильпотентной, если все ее си-
ловские подгруппы нормальны.
Приведем примеры.
1. В абелевой группе все подгруппы нормальны, поэтому
каждая абелева группа нильпотентна.
2. Примарная группа совпадает со своей силовской
подгруппой, значит, каждая примарная группа нильпотентна.
106

3.3. Нильпотентные группы
3. В группе 5з силовская 2-подгруппа ((12)) ненормальна,
поэтому 5з ненильпотентна.
Лемма 3.10. Нилъпотентная группа является
прямым произведением своих силовских подгрупп.
D Пусть группа G нильпотентна, | G | = р^1 χ
хр£2 · · >Рпп ·> гДе все простые числа pi различны, и Pi —
силовская р^-подгруппа. Так как Ρχ, Р2 < G, то ΡχΡ2 < G,
а поскольку Ρχ Π Ρ2 = Е} то ΡχΡ2 = Ρχ χ Рг- Далее,
{PiP2)Ps < G, P1P2 Π Ρ3 = £7, поэтому {ΡιΡ2)Ρ3 = PiX
ХР2 х Рз, и т.д. Через η шагов с учетом теоремы 1.65,
с. 54, получаем, что G = Р\Р2 · · · Рп = Р\ х Pi х · · · х ^· И
Лемма 3.11. i. Подгруппа и фактор-группа ниль-
потентной группы нилъпотентны.
2. Прямое произведение нильпотентных групп
является нильпотентной группой.
D 1. Пусть G — нильпотентная группа, Η < G и Ρχ —
силовская р-подгруппа из Н. Так как в группе силовские
р-подгруппы сопряжены, то в нильпотентной группе
силовская р-подгруппа единственна для каждого простого
р. Поэтому Ρχ < Ρ Π Н) где Ρ — силовская р-подгруппа
группы G. Из того, что Ρ Π Η — р-группа и | Я : Ρχ |
не делится на р, получаем, что Ρχ = Ρ Π Η. Но Ρ < G,
поэтому Ρχ < Я и Η нильпотентна.
Пусть N < G. По теореме 1.65, с. 54, PiV/iV —
силовская подгруппа в G/N. Так как Ρ < G и iV < G, то
PN/N < G/W, т.е. G/N нильпотентна.
2. Пусть G = Gx χ ... χ Gn и группа G{ нильпотентна
для любого г = 1,..., п. Пусть ρ — простое число и Р{ —
силовская р-подгруппа в G{. Так как Р{ < G2 и в прямом
произведении элементы из различных множителей
перестановочны, то Pi < G и Ρ = Ρχ χ ... χ Ρη < G. Кроме
того, Ι Ρ |= ΤΤ j Pi Ι и Ρ — р-группа. Ясно, что
t=l
η
I G : Ρ |= J] I Gn Pi\,
t=l
107

3. АБЕЛЕВЫ И НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ
поэтому | G : Ρ | не делится на ρ и Ρ — силовская
подгруппа вС. й
Напомним, что π{Χ) - - множество всех простых
делителей порядка группы X.
Теорема 3.12. 1. Если G — пеедипичпая нилъпо-
тептпая группа, то центр Ζ{β)φΕ и 7r(Z(G)) = n(G).
2. В нилъпотентнои группе каждая собственная
подгруппа отлична от своего нормализатора.
3. В нилъпотентнои группе G пересечение неединич-
ной нормальной подгруппы N с центром группы
отлично от единицы и π(Ν) = π(Ν Π Z(G)).
D 1. Пусть G — неединичная нильпотентная
группа. По лемме 3.10 G является прямым произведением
своих силовских подгрупп. Но центр каждой силовской
подгруппы отличен от Ε по теореме 3.7. По лемме 2.27,
с. 77, центр прямого произведения равен прямому
произведению центров сомножителей, поэтому Z(G) Φ Ε.
Если ρ G tt(G) и Ρ - силовская р-подгруппа в G, то Ε φ
φ Ζ{Ρ) < Z{G) и ρ Ε π{Ζ{β)). Значит, n(Z(G)) = n{G).
2. Пусть теперь G — нильпотентная группа и Я < G.
По лемме ЗЛО G = Р\ χ Ρ<ι χ ... χ Ρη, где Рг — силовская
Pi-подгруппа, а по лемме 3.11
Я = (Я Π Pi) х (ЯПР2) χ... χ (ЯПР„),
где Я Π Pi — силовская р^-подгруппа из Я. Так как Я <
< G, то существует номер j такой, что Я Π Pj < Pj. По
теореме 3.8 подгруппа Np (HDPj) содержит элемент Xj,
не принадлежащий Я Π Ρ}. Теперь Xj не принадлежит
Я, но Xj G Nq{H).
3. Пусть опять G - нильпотентная группа и Ε φ
Φ Ν < G. Далее, пусть ρ G 7r(iV) и Р\ — силовская
р-подгруппа в iV, a P - силовская подгруппа в (7,
содержащая Р\. Так как G и N нильпотентны, то Р\ < Ν,
а Р < G. По лемме Фраттини G = NNo(Pi) = NG{P\),
т.е. Pi <] G. Теперь Pi < Ρ и по теореме 3.9 пересечение
Ρι Π Ζ (Ρ) τ^ Ε. Так как центр группы G совпадает с
108

3.3. Нильпотентпые группы
прямым произведением центров силовских подгрупп, то
ΕφΡχΓι Ζ{Ρ) <ΝΠ Z{G), ρ G π{Ν Π Z(G)).
Поэтому π(Ν) С π{Ν Π Z{G)). Поскольку TV Π Z(G) <
< Ζ (Ν), το π(Ν Π Z(G)) С π(Ζ(ΛΓ)) = тг(ЛГ). Итак,
π{Ν) = π{ΝΠΖ{ΰ)). И
Следствие 1. В нилъпотентной группе каждая
максимальная подгруппа нормальна и имеет простой
индекс.
D Пусть G — нильпотентная группа и Μ < · G. По
теореме 3.12 Μ — собственная подгруппа в своем
нормализаторе Nc{M). Поэтому NG(M) = G η Μ <G. Теперь
в G/M нет нетривиальных подгрупп и G/M имеет
простой порядок по теореме Силова. й
Следствие 2. Минимальная нормальная подгруппа
нилъпотентной группы имеет простой порядок и
содержится в центре группы.
D Пусть N — минимальная нормальная подгруппа
нильгютентной группы G. Так как ΝφΕ, то ΝΓ\Ζ(ΰ)φΕ
по теореме 3.12. Поскольку Ν Π Z{G) < G и Ν · < G,
το Ν < Z(G). Теперь все подгруппы из N нормальны
в G. По теореме Силова в N существует подгруппа N\
простого порядка. Так как N\ < G, то Ν\ = Ν. ΚΙ
Теорема 3.13. Для группы G следующие
утверждения эквивалентны:
1) G — нильпотентная группа;
2) G — прямое произведение своих силовских
подгрупп;
3) каждая собственная подгруппа отлична от своего
нормализатора;
4) все максимальные подгруппы нормальны;
5) все подгруппы группы G субнормальны.
D Из утверждения 1 следуют утверждения 2, 3 и 4 в
силу леммы 3.10 и теоремы 3.12. Из утверждения 2
следует утверждение 1 по определению прямого
произведения. Из утверждения 3 следует утверждение 4. Пусть
справедливо утверждение 4, т.е. в G все максимальные
109

3. АВЕЛЕВЫ И НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ
подгруппы нормальны. Предположим, что G ненильпо-
тентна. Тогда в G существует ненормальная силовская
подгруппа Р. Пусть Μ — максимальная подгруппа
группы G, содержащая Nc(P). По условию M<G, а по лемме
Фраттини G = MNg(P) = Μ, т.е. получили
противоречие. Значит, допущение неверно и из утверждения 4
следует утверждение 1, из утверждения 3 следует 5, а
из 5 - 3. В
Лемма 3.14. Если N — максимальная абелева
нормальная подгруппа нильпотентной группы G, то
CG(N) = N.
D Пусть С = Cq{N). Предположим, что NфС.
Тогда N < С и C/N — неединичная нормальная по
лемме 1.53, с. 43, подгруппа нильпотентной группы G/N.
Согласно теореме 3.12 C/N Π Z(G/N) φ Ε. Пусть
Ν < Η < G и Η/Ν — подгруппа простого порядка из
C/N Π Ζ'(G/N). Тогда Η < G и по лемме 1.56, с. 45, иод-
группа Η абелева. Получили противоречие. И
Лемма 3.15. Пусть Ζ < Z(G). Группа G ниль-
потентна тогда и только тогда, когда фактор-группа
G/Z нильпотентна.
D Если группа G нильпотентна, то по лемме 3.11
G/Z нильпотентна.
Обратно, пусть G/Z нильпотентна ρι Ρ — силовская
подгруппа в G. Тогда PZ/Z — силовская подгруппа в
G/Z согласно лемме 1.65, с. 54, поэтому PZ/Z < G/Z и
Ρ Ζ < G. На основании леммы Фраттини G = Nq(P)Z, a
так как Ζ < Z(G), то Ρ <\ G. В
Пусть G — неединичная группа. Введем следующие
обозначения: Z0{G) = Ε. ZX(G) = Z{G). Z2{G)/z]{G) =
= Z(G/2i(G)),..., ZiiO/Zi-iiG) = ZiG/Z^iG)),... .
Ясно, что
Ε = Z0{G) < Zi(G) < ... < Zi_i(G) < Zi(G) < ... .
ТЕОРЕМА 3.16. Неединичная группа G
нильпотентна тогда и только тогда, когда существует
натуральное число с такое, что ZC(G) = G.
ПО

3.4- Подгруппа Фраттини
Π У неединичной нильпотентной группы G центр
Z(G) = Zi(G) отличен от единицы, поэтому E = Zq(G)<
< Z\(G). Группа G/Z\{G) нильпотентна по лемме 3.11.
Если G/Zi{G) = Ε, то с = 1. Если GjZx(G) φ Ε, то
Z2(G)/Zi{G) = Z(G/ZX(G)) фЕиЕ = Z0{G) < ZX{G) <
< Z2(G). Таким образом, получаем цепочку подгрупп
Ε = Z0(G) < ZX{G) < ... < Zi-iiG) < Zi(G) < ... .
Значит, существует натуральное с, для которого ZC(G) =
= G.
Обратно, пусть G φ Ε и ZC(G) = G для
некоторого натурального с. Воспользуемся индукцией по с.
Если с=1, то Z(G) = Z\{G) = G и G абелева.
Пусть Z{G) = Zi(G) Φ G. Для GjZx{G) получаем, что
Zc-i(G/Zi{G)) = GjZx{G), поэтому G/ZX{G)
нильпотентна по индукции. Теперь G нильпотентна согласно
лемме 3.15. 13
Итак, каждая неединичная нильпотентная группа
обладает возрастающим центральным рядом
Ε = Z0{G) <ZX{G)<...< Zt^(G) <
<Zi{G)<...<Ze{G) = G,
где Ζγ{β) = Z(G); ...; Z{{G)jfZ<_i(G) = Z(G/Zi^(G));
г = 1,..., с. Число с называется ступенью
нильпотентности группы G и обозначается через c(G). Для
единичной группы полагают с(Е) = 0. Очевидно, что c(G) = 1,
когда G Φ Ε и G абелева, a c(G) = 2, когда G неабелева,
но G/Z(G) абелева.
3.4. Подгруппа Фраттини
В единичной группе Ε нет собственных подгрупп.
В неединичной группе всегда существует собственная
подгруппа, например подгруппа Е. Собственная
подгруппа Μ неединичной группы G называется
максимальной подгруппой, если Μ не содержится ни в какой
другой подгруппе, отличной от всей группы G, т.е.
если из условия Μ < Η < G следует, что Μ — Η или
111

3. АБЕЛЕВЫ И НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ
Я = G. Для максимальной подгруппы Μ используется
запись Μ < · G. Легко проверяется
Лемма 3.17. Пусть Μ < · G и К <\G. Тогда:
1) если a G AutG, то а(М) < · G;
2) если χ €G, то Мх < · G;
3) если К <М, то Μ/К < · G/K;
4) если К не содержится в М, то Μ К = G;
5) если U — максимальная подгруппа фактор-группы
G = G/K, то существует U < · G такая, что К < U
uV = U/К;
6) если Μ < G, то индекс подгруппы Μ в группе G
является простым числом.
Подгруппой Фраттиии неединичной группы
называется пересечение всех ее максимальных подгрупп.
Подгруппа Фраттини неединичной группы G обозначается
через Ф((7). Таким образом, Ф(С) = Π Μ. Для еди-
М < -G
ничной группы Ε полагают Ф(Е) = Е.
Если Η < G, то пересечение всех подгрупп,
сопряженных с Я, называется ядром подгруппы Η в группе G
и обозначается через Core с (Ю-
Лемма 3.18. Пусть Η <G. Тогда:
1) Cone g{H) — наибольшая нормальная подгруппа
группц G, содержащаяся в Н;
2)Ф(0)= П Сохе о(М);
Μ < G
3) Ф(£) char G, в частности Ф(С?) < G.
D 1. По определению Согес(-#) = Π Ηχ. Поэтому
χ е G
CoreG(#) < G. Если К < G и К < Я, то Кх - К < Нх
для любого χ Ε G и К < Core g{H)- Следовательно,
Core с (Я) — наибольшая нормальная подгруппа группы
G, содержащаяся в Я.
2. Поскольку подгруппа, сопряженная
максимальной, будет также максимальной подгруппой, то Ф((2) =
= П М= П (ПМХ)=П CoreG(M).
112

3.4- Подгруппа Фраттини
3. Из леммы 3.17 следует, что Ф((7) char G, в
частности, Ф((?) < G. Η
Теорема 3.19. Подгруппа Фраттини является
нормальной нильпотентной подгруппой.
D Из леммы 3.18 следует, что Ф(£) < G. Пусть
Ρ — силовская подгруппа в Ф((7)· Предположим, что Ρ
ненормальна. Тогда Ng{P) — собственная подгруппа и
можно выбрать максимальную подгруппу МвС,
содержащую NG{P). Теперь Ρ < NG(P) < Μ, а по лемме
Фраттини G = Φ(ϋ)Νο{Ρ) < Μ, т.е. получили
противоречие. Значит, допущение неверно и Ρ < G. ΚΙ
Элемент χ £ G называется необразующим
элементом группы G, если для любого подмножества Τ группы
G из условия (Г,х) = G следует, что (Т) = G.
Теорема 3.20. Подгруппа Фраттини группы G
состоит из всех необразующих элементов. В частности,
если группа Gf$(G) циклическая, то G циклическая.
D Обозначим через X множество всех
необразующих элементов группы G. Пусть χ £ X. Предположим,
что χ не содержится в Ф((7). Тогда существует
максимальная подгруппа М, не содержащая х. Теперь Μ φ G,
а (М, χ) = G. Получили противоречие с тем, что χ —
необразующий элемент. Поэтому, допущение неверно, и
ХсФ(О).
Пусть у Ε Ф(С) и существует такое подмножество
Τ С G, что (Г) т* G, а (Г, у) = G. Предположим, что
Я — максимальная подгруппа, содержащая подгруппу
(Г). Так как у G Ф(в) < Я, то G = (Г, у) < Я. Получили
противоречие. Следовательно, допущение неверно и у —
необразующий элемент.
Пусть группа Gf${G) циклическая. Тогда G/${G) =
= (</Ф((7)) для некоторого элемента g e G. Поскольку
G = (ρ,Φ(ΰ)), то G = (д) и G циклическая. IS
Следствие 1. .Бели Я — подгруппа группы G и
НФ{С) =G,moH = G.
Следствие 2. Пусть K<G. В группе G существует
собственная подгруппа Я такая, что G = КН тогда
113

3. АББЛБВЫ И НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ
и только тогда, когда подгруппа К не содержится в
подгруппе Фраттини Ф{С).
D Если в группе G существует собственная
подгруппа Я такая, что G = К Η и К С Ф(£?), то по
теореме 3.20 G = (X, Я) = (Я) = Я. Получили противоречие.
Обратно, если if 2 Ф(^), то существует максимальная
подгруппа М, не содержащая К. Поэтому КМ = G. й
Пусть К — подгруппа группы G. Подгруппа if
называется добавлением к подгруппе К, если КН = G и
КН\ φ G для любой подгруппы Н\ из Я, отличной от
Я. Понятно, что любая подгруппа обладает по крайней
мере одним добавлением.
Лемма 3.21. Подгруппа Я является добавлением
к нормальной подгруппе К в группе G тогда и только
тогда, когда Η К = G и Η ПК С Ф(Я).
D Пусть Я — добавление к подгруппе К. Допустим,
что Я Л К не содержится в подгруппе Фраттини Ф(Я).
Тогда существует максимальная подгруппа Н\ в Η
такая, что Я Π К не содержится в Ях. Так как Η ПК <\Н,
то
Ηι{ΗΠΚ) = Η, G = HK = Ηι{ΗΠΚ)Κ = ΗλΚ,
т.е. получили противоречие с определением добавления.
Поэтому допущение неверно и Η Π Κ < Φ (Я).
Обратно, "пусть Η К = G, Я П К < Ф(Я).
Предположим, что Я не является добавлением к К.
Тогда существует максимальная подгруппа Н\ в Я такая,
что Н\К — G. По тождеству Дедекинда, с. 41, Я =
~ Н\(Н ПК) < ΗιΦ(Η) = Н\. Получили противоречие.
Поэтому допущение неверно и Я является добавлением
кК.Й
Теорема 3.22. Пусть К <\G. Тогда:
1) Ф(К) < Ф(С);
2) Φ(ΰ)Κ/Κ < Φ{σ/Κ);
3) если К < Ф((7), то Φ{σ)/Κ = Φ(ϋ/Κ);
4) если A<G и К < Ф(А), то К < Ф((7).
D 1. Так как Ф(К) char К, то Ф{К) < G.
Предположим, что Ф(К) % Φ(ΰ). Тогда существует максимальная
114

3,4' Подгруппа Фраттипи
подгруппа Μ такая, что Ф(К)М = G. По тождеству Де-
декинда, с. 41, К = Φ(Χ)(ίΓ Π Μ), а по следствию 1 из
теоремы 3.20 К = КОМ, т.е. К <М. Теперь Ф(К) < М,
т.е. получили противоречие. Поэтому допущение неверно
и Ф(К) < Ф(<7).
2. Утверждение вытекает из леммы 3.17.
3. Так как К < Ф((7), то К содержится в каждой
максимальной подгруппе и Φ(ϋ)/Κ = Ф(С/К) по
лемме 3.17.
4. Пусть А < G и К < Ф{А). Предположим, что К
не содержится в Ф(£). Тогда существует максимальная
подгруппа Μ группы G, не содержащая К. По тождеству
Дедекинда А = А Г) G = А Г) МК = (Α П Μ)Я\ Так
как К < Ф(А), то по следствию 1 из теоремы 3.20 А =
= Α Г) Μ, т.е. А < М. Теперь К < М, что противоречит
предположению. Поэтому оно неверно и К < Ф(С)· ^
Теорема 3.23. Φ(Οι χ G2) = Φ(Οι) хФ(С2)·
D Пусть G = Gi χ G2. Так как Gi <] G и G2 <] G, то по
теореме 3.22 Φ(ΰι) χ Φ(£2) С Ф(С). Пусть G/^(Gi)x
хф(С2)) = G*. По теореме 3.22
Φ((7)/(Φ(<2ι)χΦ((72)) = Φ(σ*).
Ясно, что G* = G\ χ G£, где G^ = Gi^(Gi), G£ =
= σ2/Φ(σ2). Вновь по теореме 3.22 Φ(β;) = Ф(С£) = Я.
Так как пересечение максимальных подгрупп группы G*,
содержащих подгруппу G*, равно G* и G| Π G2 = J5, то
Φ(σ*) = В. Поэтому Ф(С) = Ф(С0 х Ф(С2). И
Теорема 3.24. Яусшъ D < К <G, D < Φ{ΰ) и
D <\G. Если фактор-группа K/D нилъпотентна, то К
нильпотентна.
О Пусть Ρ — силовская р-подгруппа группы К. По
теореме 1.65, с. 54, PD/D — силовская р-подгруппа в
K/D, а так как K/D нильпотентна, то PD/D < K/D.
Поскольку PD/D char K/D, то PD/D < G/D, PD < G.
По лемме Фраттини G = Ng(P)D, а согласно следствию
1 из теоремы 3.20 имеем, что G = Nq(P), Ρ < G и К
нильпотентна. й
115

3. АБЕЛЕВЫ И НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ
При D — Ф(С?) и К = G получаем
Следствие. Если Gf${G) нилъпотентна, то G
нильпотент,на.
Лемма 3.25. Пусть G — р-группа. Тогда:
1) С/Ф(С) — элементарная абелева р-группа;
2) если К <G и G/K — элементарная абелева
группа, то Ф(С) С К;
3) Ф((7) является наименьшей нормальной
подгруппой группы G, фактор-группа по которой —
элементарная абелева р-группа;
4) если | G/<fr(G) \ = рп, то существуют элементы
χι,...,хп £ G такие, что G = (χι,..., хп).
D 1. В р-группах максимальные подгруппы
нормальны и имеют индекс ρ (см. следствие из теоремы 3.8).
Пусть {Mi | г = 1,...,га} — множество всех
максимальных подгрупп группы G. Так как фактор-группа
т
С/Ф(С) = G/ Г) Mi по лемме 2.33, с. 80, изоморфна под-
г=1
т
группе прямого произведения f| G/Mi групп G/Mi по-
i=l
рядка р, то С/Ф(С) элементарная абелева.
2. Пусть {Hi/К | г = 1,..., к} — множество всех
максимальных подгрупп группы G/K. По условию G/K
элементарная абелева, поэтому
ПШг/К) = Е, Ф(в) = П * С Л #г = К.
2 = 1 А < G t = l
3. Утверждение вытекает из утверждений 1 и 2.
4. Так как С?/Ф(С) — элементарная абелева группа
порядка рп, то С/Ф(в) = (х\Ф(С)) χ ... χ (χηΦ(ΰ)) для
некоторых χι,.... хп £ G. Теперь G = (χχ,..., χη, Ф(С))
и G = (хь · · ·, Хп} по теореме 3.20. й

РАЗРЕШИМЫЕ
И СВЕРХРАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
4.1. Коммутант
В абелевой группе любые два элемента
перестановочны. Если группа неабелева, то в ней существуют
неперестановочные элементы, те. такие элементы а и 6, что
ab фЪа. Поэтому естественно рассмотреть элемент х, для
которого ab = Ьах. Отсюда χ = a~lb~lab.
Коммутатором элементов а и b называют элемент
α_ι6_1α&, который обозначают через [а,6]. Ясно, что
ab = ba[a,b]. Подгруппа, порожденная коммутаторами
всех элементов группы G, называется коммутантом
группы G и обозначается через С Таким образом,
G' = ([a,b] \a,beG).
Лемма 4.1. Пусть G — группа, a,b,cG G. Тогда:
1)[а,Ь}-1=[Ь,а);
2)[аЬ,с] = [а,с]%с];
3) [a, be] = [a,c][a,b]c;
4) если [α, b] перестановочен с элементами a ub, то
[а\ Ы] = [a, b]li для любых i,j Ε N.
D Доказательства утверждений 1 — 3
осуществляются простой проверкой. Докажем утверждение 4. Пусть
d = [a.b]. По условию da = ad, db = bd. Поскольку
d = a~lb~lab, то ad — b~lab и
b~lalb = {Ъ~1аЬУ = (ad)1 = a{d\
b~2alb2 = Ь-Л{Ь~1а1Ь)Ь = ίΓ V^> = Ь~\Ш{ = a{d2x.
Используя индукцию по j, получаем:
iTW = b-1{b-{j~[)aibj-l)b =
= Ь-1(аЧи~1)г)Ь = Ь~ха1Ьа^-[)1 = a4ji.
Поэтому [а\ V] = W = [а, Ь]гз. В
Лемма 4.2. 1. Если Η <G, то Нг < G'.
2. G' char G, в частности Gl <] G.
4

4. РАЗРЕШИМЫЕ И СВЕРХРАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
3. Если Η <G,moH' <\ G.
4. Если G = AxB, moG' = А' χ В'.
D 1. Утверждение очевидно.
2. Пусть a, b — произвольные элементы группы G и
φ — произвольный автоморфизм группы G. Тогда
ф([а,Ь}) = ф(а)-1ф(ЬГ1ф{аЩЬ) = [ф(а),ф(Ь)].
Итак, образ коммутатора вновь является коммутатором.
Поэтому G' char G.
3. Если H<\G, то Я' char H<G и H'<G по лемме 2.11,
с. 64.
4. Из утверждения 1 следует, что А! х Bf < G'.
Если [αι6ι,α2£>2] — произвольный коммутатор, αι,α2 Ε
€ Α, ί>ι,62 € В, то [αϊ61,0262] = [аь^РьЫ и G' <
< А' х В'. 13
Теорема 4.3. ί. Фактор-группа G/G' абелева.
2. Если N <\G и G/N абелева, то G' < N.
5. Ясли Я <G,Gl <Н,то Η <\G и G/H абелева.
D 1. Для любых aGf,bGl £ G/G' имеем:
aG'bG1 = abG' = 6α[α, b]G' = baG1 = bG'aG'.
Следовательно, фактор-группа G/G1 абелева.
2. Пусть a,b £ G. По условию G/N абелева,
поэтому aNbN = bNaN, abN = baN. По свойствам смежных
классов (ba)~lab Ε ЛГ, следовательно, [α, b] Ε N иС < Ν.
3. Пусть Η < G и G' < Η. По теореме о
соответствии, с. 46, H/G' < G/G1. Но G/G' абелева, поэтому
H/Gf < G/G', Η <\ G. У абелевой группы все
факторгруппы абелевы. Теперь G/H ~ G/G /H/Gf абелева. Й
Теорема 4.4. Группа нильпотентна тогда и
только тогда, когда ее коммутант содержится в
подгруппе Фраттипи.
D Пусть G — нильпотентная группа. По следствию
1 из теоремы 3.12, с. 109, все максимальные подгруппы
в G нормальны и имеют простые индексы. Поэтому если
Μ < · G, то G/M абелева и G' < Μ по теореме 4.3.
Следовательно, G' < Π Μ = $(G).
Μ < G
118

4*1. Коммутант
Обратно, пусть G' < <&(G). Тогда Gf${G) абелева и
по следствию из теоремы 3.24, с. 115, группа G нильпо-
тентна. И
Теорема 4.5. Если G — группа, то Gf П Z(G) <
< Ф(С).
D Положим D = Gf Π Z(G). Допустим, что D не
содержится в $(G). Тогда существует максимальная
подгруппа Μ такая, что DM = G. Если д = dm G G, d G D,
m Ε Μ, το M^ = Mm = Μ. Поэтому M<GhG'CM.
Теперь G = Μ, т.е. получили противоречие, й
Подгруппа G" = (G')' называется вторым
коммутантом группы G, а (?М — (G^-1))' — г-м
коммутантом.
Лемма 4.6. Пусть N<G. Тогда (G/N)® =G®N/N
для любого г G N.
D Обозначим {G/N)f = JT/ΛΓ. Воспользуемся
теоремой 4.3. По утверждению 1 этой теоремы фактор-группа
G/N/K/N ~ G/K абелева, а по утверждению 2 —
& < К и G'JV С if.
Обратно, (G/N)/{G'N/N) ~ G/G'iV абелева по
утверждению 3 теоремы 4.3. По утверждению 2 K/N <
< G'N/N и К С G'N. Следовательно, К = G'TV и
(G/N)' = G'N/N. Для г = 1 лемма доказана.
Предположим, что лемма верна для £, т.е.
(G/N)№ = G^N/N, и докажем ее для ί + 1. Ясно,
что
(С/ЛГ)('+1) = ((С/ЛГ)^); =
= (GWN/N)f = {G(t)N)'N/N > G(m)7V/iV.
С другой стороны,
G{t)N/NjG{t+l)NjN ~
- G^N/G^N ~ G(iVG(t) Π G<t+1>W
является абелевой группой, поскольку (G^)' = G^+1) <
< G^ Π G(i+1). Следовательно,
(G/i\0(t+1) = {G{t)N/N)f < G{t+l)N/N. В
119

4. РАЗРЕШИМЫЕ И СВЕРХРАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
Для подгрупп А и В группы G положим
[А,В] =([а,6] \ае А,ЬеВ).
Подгруппу [А, В] называют взаимным коммутантом
подгрупп А и В. Ясно, что G' — [(?,(?].
Лемма 4.7. Пусть G — группа, А,В <G. Тогда:
1) [А,Я] = [Я,А];
2) [А, В] <(AUB);
3) если Αχ <А,ВХ< В, то [AuBi] < [А,В];
4) [А, В] <А тогда и только тогда, когда B<Nq(A);
5) если А, В <G, то [А, В] < А П В.
D 1. Так как [Ь,а] = [а,Ь]~1е[А,В], то [В, А] <[А,В].
Аналогично [a,b] = [b,a]~[ e [В,А] и [А,В] < [В,А].
2. Пусть αι,α2 G А, 6ι,ί>2 G В. Тогда из утверждений
2 и 3 леммы 4Л получаем:
" [αιΑΡ = [αι^ΛΗ^Α]"1 G [Α,Β],
[ai>6i]63 = [ai,62]-1[a1,6i62]e [Α,Β].
Поэтому [A, B]<(AUB).
3. Данное утверждение очевидно.
4. [а, 6] = а^Ь^аб G А равносильно тому, что b~lab G
G А, т.е. В < NG(A).
5. Пусть А, В < G. Тогда [a, b] = a"](6_Ia6) G А,
[а, 6] = (а-^-^б G В и [А, В] < А П В. И
Лемма 4.8. Пусть группа G = AS. Тогда:
1) [А,В] <\G и [А[А,В]/[А,В],В[А:В]/[А,В}} =
= £;
2,) если Αι < А, то Αι [Α, β] < G;
з;с = а'в'[а, в].
D 1. По лемме 4. 7 [Л,5]<1(AUB} = G. Далее,
о[Д,В]Ь[ДВ] =о*[ДВ] =
= Ьа[а, Ь] [А, В] = Ьа [А, В] = Ь[А, В] а [А, В],
поэтому [А [А, В] I [А, В], В [А, В] / [А, В] ] = Е.
120

4-1- Коммутант
2. Пусть Αι < А. Тогда Αχ [Α, В] / [А, В]
нормальна в Α [Α, β]/[Л, β], а из утверждения 1
следует, что j4i[A,.B]/[j4,2?] нормальна в G/[A,B]. Итак,
Αι [А, В] <G.
3. Ясно, что А'В9 [А, В] < G'. Так как А'[А,В] < G,
В1 [А, В] < G и G/A'B'[A,B] абелева, то G'<
<А'В'[А,В]. И
Теорема 4.9. Ясли G = АВ, подгруппы А и В абе-
левы, то коммутант группы G абелев.
D По лемме 4.8 G' = [А, В]. Пусть αϊ, α2 G А, Ьь 62 Ξ
G 5, а^2 = ash, Ьах2 = Ь4й4, аз,а* € Д &з,&4 G В.
С учетом того, что подгруппы А и В абелевы, получаем:
[αιΑΡ*2 = [οι, 6?3]*» = [аь64а4]Ь2 = КМ*2 =
= [а*2 А] = МзА] = [а3А], ИАр"2 = [а>2АР =
= МзАР = [аз АР = К δ?2] = [а3Аа4] = [аз А],
[αϊАР62 = КАР02, [^WHajА] = [aiAH^aJ1].
Отсюда следует, что коммутант группы G абелев. ΚΙ
Для группы G положим ϋΓο(^) — G. Определим для
каждого г G N подгруппу Ki{G) = [Ki-\(G),G]. Ясно,
4toJTi(G) = [K0(G),G] =Gl.
Лемма 4.10. L Kj(G) — характеристическая
подгруппа группы G для любого г 6 N U {0}.
2. Kt{G) < Ki-i{G) для всех г G N.
3. Ki{G)/Ki+i(G) <Z(G/Ki+i{G)) для г GNU{0}.
D 1. Применим индукцию по г. Подгруппа K\(G) =
= G1 характеристическая. Пусть уже доказано, что Кг =
= Ki(G) char G и / Ε AutG, α G Кг, g Ε G. Тогда
f([a,9\) = [/(*),/Ы] e [tf,,G] = lf<+, и Кг+1 char G.
2. Утверждение следует из леммы 4.7.
3. Если a G iQ, ff G G, то
aKi+igKi+1 = #α[α,#]ί^+ι = 9^Ki+i = gKi+iaK^i
и Хг/^г+ι < Z(G/Ki+l), г G N U {0}. И
121

4. РАЗРЕШИМЫЕ И СВЕРХРАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
Итак, для группы G построена цепочка подгрупп:
G = K0{G) > Ki(G) > ... > Ki{G) > ... с центральными
факторами Ki-i{G)/Ki(G) < Z(G/Ki{G)), i G N.
Теорема 4.11. /. Если существует натуральное
число т такое, что Km(G) = Ε, то группа G нильпо-
тентна.
2. Ступень нильпотентности нильпотентной
группы G есть наименьшее натуральное число п, для
которого Kn{G) = Ε.
D 1. Применим индукцию по га. Если га = 1, то
Ki{G) — Gf = Ε и группа G абелева. Пусть т > 1 и
Km(G) = Ε, Km-X{G) φ Ε. Тогда подгруппа Xm_i(G) <
< Z(G), а фактор-группа G/Km-i(G) нильпотентна по
индукции. По лемме 3.15, с. ПО, группа G нильпотентна.
2. Пусть G — нильпотентная группа ступени
нильпотентности п. Тогда η — наименьшее натуральное
число, для которого Zn(G) = G. Положим К{ = K{(G),
Z{ = Z{(G). Покажем, используя индукцию по п, что
Ki < Zn-i для всех г G N U {0}. (4.1)
При г = 0 К0 = G < Zn = G. Пусть Χ2·_ι < Ζη-{+ι. Так
как Zn-i+i/Zn-i = Z(G/Zn-i), то
Ki = {[a,g] \a€Ki-U g G G) <
< ([a,g] | a G Zn-i+u g G G) < Zn-i
и неравенство (4.1) доказано. В частности, при г = η из
утверждения (4.1) получаем Кп < Ζο = Е.
Пусть t — наименьшее натуральное число, для
которого Kt = Ε, Ясно, что t < п. Покажем, используя
индукцию по £, что
Kt-i < Zi для всех г G N U {0}. (4.2)
При г = 0 Kt = Ε < Ζο = Е. Пусть уже доказано, что
^-г+1 < ^i-l· ПОСКОЛЬКУ
G/Kt-i+l/Zi-i/Kt-i+i =i G/Zi-i,
122

4>2, Разрешимые группы
то существует эпиморфизм G/Kt-i+\ на G/Zi_i с
ядром Кег/ = Zi-i/Kt-i+i. Так как Kt-i/Kt-i+i <
< Z(G/Kt-i+\) по лемме 4.10, то
fiKt^/Kt-^) < Z(G/Zi-i) = Zi/Zi-г
и неравенство (4.2) доказано. В частности, при г = t из
(4.2) получаем: G = Z$ и £ > п. Теперь t = п. И
В лемме 2.24, с. 74, для подгрупп Η и К <G, К < Я, введена
подгруппа
CG{H/K) = (geG\ g-Xh-lgh e Ky h e Я),
которая нормальна в (2 и G/Cc{H/K) изоморфна группе
AntG(Н/К). Ясно, что CG{H/K) = {д е G \ [д, Я] С К}.
4.2. Разре1ыимые группы
*Для группы G можно построить цепочку
коммутантов G > G' > G" > ... > G& > G(i+1) > ... Если
существует номер η такой, что G^ = Ε, то группа G
называется разрешимой. Наименьшее натуральное п, для
которого называется производной длиной группы G
и обозначается через d(G). Группа, которая не является
разрешимой, называется неразрешимой. Для единичной
группы получаем d{E) = 0. Неединичная абелева группа
G имеет цепочку коммутантов G > G1 = Е. Поэтому абе-
левы группы разрешимы и имеют ступень разрешимости
не более 1.
Лемма 4.12. Нильпотентпые группы разрешимы.
Π Пусть G — нильпотентная группа и Μι < · G.
По следствию 1 из теоремы 3.12, с. 109, подгруппа
М\ нормальна и | G : М\ | — простое число. По
теореме 4.3 G' < Мх. Если М2 < · Мь ТО ВНОВЬ М'2 < Μι,
| Μι : М2 | — простое число и G" < М[ < М2.
Пусть | G |= ρ*ιρ%2 · · ·νΤ ~ каноническое разложение
и η = αϊ + α2 + ... Η- α*. Тогда G(n) = Ε κ G —
разрешимая группа ступени не выше п. й
Лемма 4.13. 1. Подгруппы и фактор-группы
разрешимой группы разрешимы.
123

4. РАЗРЕШИМЫЕ И СВЕРХРАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
2. Если N <\ G, N и G/N разрешимы, то G
разрешима.
3. Прямое произведение разрешимых групп является
разрешимой группой.
D 1. Пусть G — разрешимая группа и d(G) = п.
Если Я < G, то Я' = <[Ai,A2] I huh2 € Я) < G'.
Аналогично при любом г = 1,2,... .
Поэтому Я^71) < G^ = Ε и Я разрешима, причем ступень
разрешимости Я не выше ступени разрешимости G.
Пусть ЛГ < G. По лемме 4.6 {G/N)№ = G^N/N = £
и G/TV — разрешимая группа ступени не выше п.
2. Пусть N — разрешимая нормальная подгруппа
группы G, cf(iV) = η, а G/ΛΓ — разрешимая группа
ступени разрешимости га. Тогда (G/iV)(m) = G^N/N = Ν/Ν
и G<m) С N. Теперь G^m+n) < N^ = EhG-
разрешимая группа ступени не выше η Л-т.
3. Пусть G = G\ χ G2) где Gi и G2 — разрешимые
группы ступени разрешимости η ι и п2 соответственно.
По лемме 2.28, с. 77, G/Gi ~ G2, следовательно, с учетом
утверждения 2 получаем, что G — разрешимая группа.
Из леммы 4.2 для любого натурального г следует: G1 =
= G(;} χ G?, поэтому d(G) = max{d(G1),d(G2)}. И
Теорема 4.14. 1. В разрешимой пеедипичпой
группе минимальная нормальная подгруппа является
элементарной абелевой р-подгруппой для некоторого
простого р.
2. В разрешимой неединичной группе максимальные
подгруппы имеют примарные индексы.
3. Главные факторы разрешимой неединичной
группы являются элементарными абелевыми примарными
группами.
4- Композиционные факторы разрешимой
неединичной группы имеют простые порядки.
О 1. Пусть G — разрешимая неединичная группа и
N · < G. Так как Nf — характеристическая подгруппа в
Ν, Ν' φ TV, то Ν' < G и Nf = Ε, т.е. подгруппа TV абе-
лева. Теперь, согласно следствию из теоремы 2.39, с. 86,
124

4-2. Разрешимые группы
N — элементарная абелева р-подгруппа для некоторого
простого р.
2. Воспользуемся индукцией по порядку группы.
Пусть Μ < · G. Если N · <\ G, то N — элементарная
абелева р-группа для некоторого простого числа р.
Если N не содержится в М, то ΝΜ = G и | G : Μ |=
=| Ν : Ν Π Μ |= р\ Пусть N < М. Тогда в
факторгруппе G/iV по индукции максимальная подгруппа M/N
имеет примарный индекс, поэтому индекс \ G : Μ \ =
=| G/N : Μ/Ν | примарен.
3. Пусть Н/К — главный фактор разрешимой
неединичной группы G. Тогда Н/К — минимальная
нормальная подгруппа фактор-группы G/K, поэтому согласно
утверждению 1 Н/К — элементарная абелева примар-
ная группа.
4. Пусть Н/К — композиционный фактор. Тогда К —
наибольшая нормальная подгруппа в Η и Н/К -
простая группа по теореме 1.61, с. 48. Так как Н/К
разрешима, то она отлична от своего коммутанта, поэтому Н/К
абелева pi по теореме 1.54, с. 44, имеет простой
порядок. Η
Группа с примарными индексами максимальных подгрупп
может быть неразрешимой. Примером служит простая группа
P5L(2, 7), в которой индексы максимальных подгрупп
принадлежат множеству {7,8} (см. теорему 2.54, с. 99).
Теорема 4.15. Для группы G следующие
утверждения эквивалентны:
1) G — разрешимая группа;
2) каждая неединичная подгруппа группы G отлична
от своего коммутанта;
3) группа G обладает нормальным рядом с абелевы-
ми факторами;
4) группа G обладает субнормальным рядом с абеле-
выми факторами.
D Пусть справедливо утверждение 1, т.е. G —
разрешимая группа. Далее, пусть ступень разрешимости груп-
125

4. РАЗРЕШИМЫЕ И СВЕРХРАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
пы G равна п. Тогда
G > Gf > G" > ... > G{n~l) > G{n)=E.
Факторы этого ряда по теореме 4.3 абелевы. Поэтому
данный ряд является нормальным рядом с абелевыми
факторами. Так как каждый нормальный ряд
субнормален, то из утверждения 1 следуют утверждения 3 и 4, а
из утверждения 3 — утверждение 4.
По лемме 4.13 в разрешимой группе каждая
подгруппа разрешима. Поэтому из утверждения 1 следует
утверждение 2.
Пусть справедливо утверждение 4, т.е. G обладает
субнормальным рядом
G = Н0 > #ι > #2 > ·. · > Ht-ι >Ht = E
с абелевыми факторами Щ/Hi+i, г = 0, ...,£ — 1. По
теореме 4.3 получаем, что
G'<HU G" = (G')'<(Hi)'<H2,...,
C?W = (G(i-1})'.< {Ht-i)' <Ht = E
и G разрешима. Таким образом, из утверждения 4
следует утверждение 1.
Пусть справедливо утверждение 2, т.е. в G каждая
неединичная подгруппа отлична от своего коммутанта.
Тогда G > G*. Если G^ φ Ε, то G® > G^l\ Поэтому
существует натуральное к такое, что G^ = Ε.
Следовательно, группа G разрешима и из утверждения 2 следует
утверждение 1. И
Группу с нормальной силовской р-подгруппой
называют р-замкнутой.
Лемма 4.16. Если G — не р-замкнутая группа и
D = Р\ Π Ρ2 — пересечение двух различных силовских
р-подгрупп Р\ и Р2 наибольшего порядка, то Nq{D) —
не р-замкнутая группа.
D Пусть В{ — Npi (D). Так как в примарных группах
собственные подгруппы отличны от своих
нормализаторов, то D — собственная в J5,- подгруппа. Предположим,
что Nq{D) — р-замкнутая группа и Τ — нормальная си-
ловская р-подгруппа подгруппы Nq{D). Через Ρ обозна-
126

4'2. Разрешимые группы
чим силовскую в G подгруппу, содержащую Т. Так как
D < В{ < Τ Π Ρ{ < Ρ Π Pi и D — пересечение силовских
ρ-подгрупп наибольшего порядка, то Ρ = Р\ и Ρ = Р^)
т.е. получили противоречие, й
Теорема 4.17. Пусть G — группа порядка pnq. где
ρ и q — различные простые числа. Тогда:
1) если ρ > q, то силовская р-подгруппа нормальна:
2) если q > рп, то силовская q-подгруппа нормальна;
3) если q < рп, но ρ < q) то в группе G есть
неединичная нормальная р-подгруппа.
Π Пусть Ρ и Q — силовские р-подгруппа и q —
подгруппа группы G. Ясно, что | G : Ng{P) \= 1 или
| G : NG{P) \=q, а по теореме Силова \ G : NG(P) \=
= 1 + kp, A: € N U {0}. Аналогично | G : NG{Q) \= рг =
= 1 + fcg, t,fc GNU{0}.
1. Если ρ > q, то | G : NG(P) |= 1 и Ρ < G.
2. Если 9 > pn, то | G : NG{Q) |= 1 и Q < G.
3. Теперь пусть q > ρ и q < pn. Если Ρ <J G, то
утверждение 3 справедливо. Пусть Ρ не является
нормальной подгруппой группы G и Pi, P2 — различные
силовские р-подгруппы группы G, для которых
пересечение D = Р\ Π Ρ2 имеет наибольший порядок. Так как
| РХР2 1=1 PX\\P2\I\D\= рпрп/ | £> |< pnq, το D φ Ε.
Если Ζ) < G, то теорема доказана. Пусть £> не является
нормальной подгруппой группы G. По предыдущей
лемме подгруппа Τ — NG(D) не является р-группой,
поэтому некоторая силовская g-подгруппа Q группы G
содержится в Т. Так как G = PiQ, то каждый элемент g € G
представим в виде g = fra, где α Ε Pi; b Ε Q. Поэтому
£)9 = £>ba = Da < (D,PX) = Ρχ И £7 φ DG < Pj . Η
Следствие. Группа порядка pnq разрешима для
любого η е Νυ{ο}.
D По теореме 4.17 группа G порядка pnq содержит
неединичную примарную нормальную подгруппу N.
Теперь N разрешима по лемме 4.12, а фактор-группа G/N
разрешима либо по индукции, либо по лемме 4.12. Из
леммы 4.13 следует, что G разрешима. Η
Теорема 4.18 (Бернсайда). Группа порядка
pnqm разрешима для любых n, m Ε N U {0}.
127

4. РАЗРЕШИМЫЕ И СВЕРХРАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
Доказательство теоремы 4.18 имеется в монографиях
[23], [28], [29].
Теорема 4.19 (Томпсона — Фейта). Группы
нечетного порядка разрешимы.
Доказательство теоремы 4.19 опубликовано в
работе Feit, W. Solvability of groups of odd order / W. Feit,
J. Thompson // Pacif. J. Math. 1963. V. 13. № 3. P. 775-
1029.
4.3. Подгруппа Фиттинга
Произведение всех нормальных нильпотентных
подгрупп группы G называют подгруппой Фиттинга
группы G и обозначают через F(G). Множество простых
делителей порядка группы G обозначается через 7r(G), a
наибольшая нормальная р-подгруппа группы G — через
Op(G).
Лемма 4.20. 1. F(G) --· наибольшая нормальная
нильпотентная подгруппа группы G.
S.F(G)= Π Op(G).
3. F{G) char G.
D 1. Пусть Η и К — нильпотентные нормальные
подгруппы группы G и Нр, Кр — силовские р-подгруппы
из Η и К. Так как Нр char #, а Η < G, то Нр < G по
лемме 2.11, с. 64. Аналогично Кр < G, поэтому НрКр < G.
Ясно, что НрКр — р-группа. Покажем, что она силовская
в Η К. Для этого вычислим ее индекс:
\HKHK >\Η\\Κ\\ΗνΓΜ<Ρ\
\пк.нркр\- lHnKllHp]lKpl -
= \Н:НР\\К:КР\
\ΉΓ\Κ:ΗρΓ\Κρ\'
Так как числитель не делится на р, то НРКР —
силовская р-подгруппа группы НК. Итак, произведение двух
нормальных нильпотентных подгрупп есть нормальная
нильпотентная подгруппа. Поэтому F(G) — наибольшая
нормальная нильпотентная подгруппа группы G.
128

4-3. Подгруппа Фиттинга
2. Ясно, что 0V(G) < F(G) для всех р, значит,
Π Op(G) С F(G). Обратно, если Ρ — силовская р-
подгруппа группы F(G), то Ρ char F(G) и Ρ нормальна
в G, поэтому Ρ < Op(G) и F(G) С Π Op(G).
pen(G)
3. Если α Ε AutG, то a{F{G)) < G и a(F(G)) ниль-
потентна, поэтому F(G)a(F(G)) = -F(G) на основании
утверждения 1 и F(G) char G. Й
Лемма 4.21. i. Ф(С) < F(G); если G разрешима и
ОфЕ, mo${G)^F{G).
2. F{G/${G))=F{G)I${G).
3. Если N'·< G, mo F(G) < Cg{N); если, кроме того,
N абелева, то N < Z(F(G)).
D 1. Поскольку подгруппа Фраттини Ф(С) — ниль-
потентная нормальная подгруппа группы G, то Ф(С) <
< F(G). Пусть G — разрешимая неединичная
группа. Тогда С/Ф(С) разрешима и неединична. Пусть
Α/Φ{β)·<β/Φ{β). Так как А/Ф(в) - р-группа для
некоторого простого р, то по следствию из теоремы 3.24,
с. 116, подгруппа А нильпотентна и А < F(G).
Следовательно, F(G) φ Φ(σ).
2. Если F(G/&(G)) = Κ/Φ(ΰ), то согласно
теореме 3.24, с. 115, if — нильпотентная нормальная в G
подгруппа, поэтому К < F{G) и F{GI${G)) < F(G)/Q{G).
Обратное включение следует из определения подгруппы
Фиттинга.
3. Для минимальной нормальной подгруппы N либо
Ν П F{G) = £7, либо ΛΓ < F{G). Если TV Π F(G) = £?, то
7VF(G) = iV χ F(G) и F{G) < CG{N). Если iV < F{G),
το Ν -- элементарная абелева р-группа для некоторого
простого р. Так как Ζ = Z(F(G)) char F(G), το Ζ < G.
С другой стороны, Ν Π Ζ φ Ε по теореме 3.12, с. 108,
поэтому N < Ζ. Ш
Теорема 4.22. Op(CG{F{G))F{G)/F{G)) = Ε для
любого ρ £ k(G). В частности, если G разрешима, то
CG(F(G)) < F(G).
D Пусть F = F{G), С = CG(F). Так как С < G
по лемме 1.53, с. 43, то CF/F < G/F. Предполо-
129

4. РАЗРЕШИМЫЕ И СВЕРХРАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
жим, что Op(CF/F) φ Ε для некоторого ρ Ε n(G) и
A/F · <G/F, A/F < Op(CF/F). Ясно, что А = (Cn^)F
и AilC <] G. Пусть Ρ — силовская р-подгруппа
группы ΑΠ С. Так как A/F = (АП C)F/F - А П С/С Π F =
= Ar\C/Z{F) — р-группа, то АПС = PZ(F), а поскольку
Ρ < С, το NG{P) >FkP< АПС. Теперь ΑΠ С - ниль-
потентная нормальная подгруппа группы G и АПС < F.
Таким образом, А = (С Π A)F = F и первое
утверждение доказано. Если G разрешима, то CF/F разрешима,
поэтому CF/F = Ε и С < F. И
Говорят, что подгруппа Я группы С дополняема в
С, если существует такая подгруппа /С, что G = ЯЛГ и
Η Π К = Е. В этом случае подгруппу К называют до-
полнением к подгруппе Я в группе G.
Теорема 4.23. Если Η — нильпотентная
нормальная подгруппа группы G и Я Π Ф(С) = Ε, то Я
дополняема в группе G.
D По условию Я < F(G), а по теореме 4.4
коммутант Я' < Ф(Я). Согласно теореме 3.22, с. 114,
подгруппа Фраттини Ф(Я) < $(G), а по условию Я Π Ф(С) = Е.
Поэтому Я' = Ε и Я абелева. Пусть Τ — добавление к
Я в С По лемме 3.21, с. 114, Я ПТ < Ф(Г). Поскольку
пересечение Η Π Τ нормально вТив Я, то Η ΠΤ <G
и согласно теореме 3.22, с. 114, Я Π Г < Φ(β) Π Я = Е.
Следовательно, НС\Т = Ε иТ — дополнение кЯвС.0
Теорема 4.24. Фактор-группа F(G)/${G) есть
прямое произведение абелевых минимальных
нормальных подгрупп группы С/Ф(С).
D Предположим вначале, что Φ(ΰ) = Ε, и
обозначим через F подгруппу Фиттинга F(G). По
теореме 4.4 коммутант F' < Ф(^). Но F <\G, значит,
Ф(^) < Ф(в) = Ε по теореме 3.22, с. 114. Поэтому
F' = Ε и F абелева. Пусть Τ — прямое произведение
абелевых минимальных нормальных подгрупп группы
С наибольшего порядка. Тогда Τ < F и по теореме 4.23
существует подгруппа 5 такая, что G = [Т]5. Согласно
тождеству Дедекинда, с. 41, F = [T](F HS). Но F
абелева, поэтому F = Τ χ (F Π 5), а так как F Π 5 < 5, то
F Π 5 < С. По выбору Τ пересечение FDS = Ε иЕ = Т.
130

4-3. Подгруппа Фиттинга
_Пусть теперь Φ(ΰ) φ EuG = G/${G). По лемме 4.21
F(G) = F{G)/<b{G). Так как Ф((7) = Ел то для G
утверждение уже доказано, й
Следствие. В разрешимой группе с единичной
подгруппой Фраттини подгруппа Фиттинга есть прямое
произведение минимальных нормальных подгрупп.
Теорема 4.25. Подгруппа Фиттинга совпадает с
пересечением централизаторов главных факторов
группы.
D Пусть .
D = n{CG{H/K) | Н/К- главный фактор G}.
По следствию из леммы 2.24, с. 75, подгруппа D
нормальна в G. Если Ε = Aq < Αχ < ... < Аа-\ < Аа — G —
главный ряд группы G, то Ε = D Π Αο < D Π Α\ < ... <
< D Π Αα_ι < D Π Αα = L> — нормальный ряд группы D.
Так как подгруппа D содержится в каждой подгруппе
CoiAi/Ai^), το [Dr\Ai,D] <DC\[AUD] <ΰΠΑΜ для
г — 1,..., а. По теореме 4.11 подгруппа D нильпотентна,
поэтому D < F(G).
Проверим обратное включение. Пусть Н/К —
главный фактор группы G. Так как
Н/К · < G/K, F(G)K/K < G/K,
то по лемме 2.36, с. 83, либо {H/K)D{F{G)K/K) = Ε,
либо Н/К < F(G)K/K. В первом случае HDF{G) < К,
поэтому [H,F(G)\ < HnF{G) < К, F{G) < CG{H/K). Во
втором случае из нильпотентности подгруппы F(G)K/K
по лемме 4.21 получаем, что {Н/К) < Z(F(G)K/K).
Вновь F{G) < CG{H/K). Таким образом, F{G) < D и
F{G) = D. И
Лемма 4.26. F(Gi x G2) = F(Gi) x F(G2).
D Пусть G = Gi x G2. Ясно, что F(Gi) χ F(G2) <
< F(G) и F{G) Π d = F{Gi), i = 1,2. Так как
G{F{G)/Gi < G/Gi - G2, то GiF(G)/Gi ^ F{G)/F{Gl)
и F(G)/F(Gi) изоморфна нормальной нильпотентной
подгруппе группы G2. Поэтому | F{G)/F{G\) |<| F(G2) |
и F(Gi х G2) = F{GX) x F(G2). EI
131

4. РАЗРЕШИМЫЕ И СВЕРХРАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
Пусть G — группа и
F0(G)=E,
F1(G) = F(G),
F2(G)/Fi(G) = F(G/F1(G)),...,
FiiO/Fi-iiG) = FiG/Fi-^G)),... .
Ясно, что Ε = F0{G) < FX{G) < F2{G) < ... .
В разрешимой неединичной группе подгруппа Фит-
тинга отлична от единичной подгруппы согласно
лемме 4.21. Поэтому для разрешимой группы существует
натуральное η такое, что Fn(G) = G. Нилъпотентной
длиной разрешимой группы G называют наименьшее п,
для которого Fn(G) = G. Нильпотентную длину
разрешимой группы G обозначают через n{G). Таким образом,
если группа G разрешима и η = n(G), то
E = F0(G) < Fi(G) < ... < Fn_i(G) < Fn(G) = G,
где Fi(G)/Fi-i(G) = F{G/F^i{G)).
Следовательно, построенный ряд нормальный и его факторы
Fi(G)/Fi-\(G) нильпотентны.
Ясно, что n(G) = 1 тогда и только тогда, когда
группа G нильпотентна.
Например, п(5з) = 2; п(А^) = 2; п(54) = 3.
Непосредственно из определения нильпотентной
длины следует
Лемма 4.27. Пусть G — разрешимая группа.
Тогда:
1) n{G/F{G)) = n(G) - 1;
2)n{G/Fi{G))=n{G)-i.
Лемма 4.28. 1. Если G - разрешимая группа,
то длина любого нормального ряда группы G с нильпо-
тентными факторами не меньше, чем n(G).
2. Нильпотентная длина разрешимой группы
совпадает с длиной самого короткого нормального ряда с
нильпотептными факторами.
D 1. Применим индукцию по порядку группы G.
Пусть
Ε = #о < Ηχ < ... < Ht-i < Ht = G
132

4-3, Подгруппа Фиттинга
является нормальным рядом группы G с нильпотентны-
ми факторами. Так как Н\ — нормальная нильпотент-
ная подгруппа группы G, то Н\ < F(G) = F\(G) и
n{G/F) = n(G) - 1. Здесь F = F(G). Фактор-группа
G = G/F имеет порядок меньший, чем порядок группы
G и обладает рядом
Е = Н0 = Н1<Н2<...< Ht-ι <Ht = G,
где Hi = HiF/F. Ясно, что это нормальный ряд, его
длина / < t — 1 и его факторы
#,/#;_! = (HiF/F)/(Hi-iF/F) * HiFIHi-xF ~
~ Hi/Hi-i(Hi П F) ~ (Hi/Hi-J/iHi-iiHi П *·)/#<_!)
нильпотентны. По индукции t — 1 > / > n(G/F) =
= n(G)-l и t >n(G).
2. Данное утверждение следует из утверждения 1. 13
Лемма 4.29. Пусть G — разрешимая группа.
Тогда:
1) если Η < G, то п(Н) < n(G);
2) если К <\G, то n(G/K) < n(G);
3) если N\,N2<\ G, то η(ΝιΝ2) = max{n(iVi),n(N2)}.
В частности, если G\ и G2 — разрешимые группы, то
n{G\ χ G2) = max{n(Gi),n(G2)};
4)п(С)=п(С/Ф(С)).
D Пусть η = n(G) и^ = Fi(G). Тогда £7 = F0 <
<FX <...<Fn_i <Fn = G.
1. Пусть Hi ~ Η Π Fi. Тогда ряд
F = i?o < i?i < ... < Hn-1 < Hn = Η
будет нормальным рядом с нильпотентными факторами
Щ/Н^ = HDFi/HnFi-! ~ (ЯпВД-ι/Ή-ι < Fi/F^.
По лемме 4.28 n(tf) < η = n(G).
2. Пусть if < G и Fi = FiK/K. Тогда ряд
E = F0<Ti< ...Fn_i <Fn = G/K
будет нормальным рядом группы G/if с нильпотентны-
133

4. РАЗРЕШИМЫЕ И СВЕРХРАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
ми факторами
Fi/Fi-г = (FiK/K)/{Fi^K/K) ~ FiK/Fi-iK ~
- Fi/F^FinK) ~ {Fi/Fi-u/iFi-^FinKyFi-x).
По лемме 4.28 n(G/K) <n = n(G).
3. Ясно, что F{Ni)F{N2) < F{NiN2). Обозначим
D = F(NiN2)· Тогда согласно лемме 4.27 n(NiN2/D) =
= η(ΝιΝ2) — 1, а по индукции
η(ΝλΝ2/Ό) = m-dx{n{NiD/D),n{N2D/D)} <
< max{n(Ni) - l,n(iV2) - 1} = max{n(7Vi),n(JV2)} ~ 1.
Следовательно, η(ΝιΝ2) < тах{п(ЛГ1),п(ЛГ2)}. Так
как по утверждению 1 m&x{n(N\),n(N2)} < η(Λ^ιΑ^2), то
имеем
η{ΝιΝ2) = max{n(M),n(N2)}.
4. Положим Φ = Ф(С)· По лемме 4.21 для
неединичной разрешимой группы G имеем Φ φ F и F{G/Q) —
= F^G/Φ) = F/Φ = Fi/Φ. Поэтому n(G) = п(С/Ф). Ε
Следующая теорема принадлежит К. Дёрку и
опубликована в его работе Doerk, К. Uber die nilpotente
Lange maximaler Untergruppen bei endlichen auflosbaren
Gruppen / K. Doerk // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova.
1994. V. 91. P.19-21.
Теорема 4.30. Если U — максимальная
подгруппа разрешимой группы G, то n(U) = n(G) — i, где
t 6 {0,1,2}.
D Воспользуемся индукцией по порядку группы G.
Пусть N — минимальная нормальная подгруппа группы
G. Если N <£]U, то U ~ G/N и n(U) = n{G/N) = n{G)-
—г. причем г = 0 в случае, когда Ν φ F(G), и г — 1 в
случае, когда N = F(G). Поэтому можно предположить,
что все минимальные нормальные подгруппы группы G
содержатся в U. По индукции
n{U/N) = n(G/N) - г, г <= {0,1,2}. (4.3)
Если группа G содержит две различные минимальные
нормальные подгруппы, то n(G/N) = n(G), n(U) =
134

4-3. Подгруппа Фиттинга
— n(U/N), и из равенства (4.3) получаем, что теорема
справедлива. Следовательно, можно считать, что группа
G содержит в точности одну минимальную нормальную
подгруппу.
Предположим, что N < Ф(С). Тогда Ν φ F(G) no
лемме 4.21, поэтому n(G) = n(G/N). Если Ν Φ F(U), то
n(U) = n(U/N) и остается применить равенство (4.3).
Если N = F(U), то n(U) = n(U/N) + 1 и из
равенства (4.3) получаем, что n(U) = n(G) — г + 1, г £ {0,1,2},
т.е. n(U) = n{G) или n(U) = n(G) - 1.
Итак, можно считать, что Φ(<7) = Ε и N = F(G) по
следствию из теоремы 4.24. Поэтому n(G) = n(G/N) + 1.
Если n(U) > n(U/N), то из равенства (4.3) получаем
n(U) > n(G) — 1 — г, г £ {0,1,2}, и теорема
доказана. Пусть n(U) = n(U/N), т.е. JV φ F(U). Считаем, что
TV — ρ-группа. Ясно, что F(U) — р-группа, a F2(G)/N —
р'-группа. Допустим, что F2{G) < U. Тогда F{U)/N и
F2{G)/N — неединичные нормальные подгруппы в U/N,
следовательно, Ε Φ F{U)/N < CG/N(F2{G)/N). Но
CG/n{F2{G)/N) < F2{G)/N по теореме 4.22. Поскольку
F(U)/N —р-группа, &F2{G)/N -р'-группа, то получаем
противоречие. Следовательно, F2(G) £ U. Теперь G —
= UF2{G) и n(G) -2 = n{G/F2{G)) = n{U/U П F2{G)) <
< n(U/N) = n(U). поэтому теорема доказана
полностью. Й
Все три значения г £ {0,1, 2} в теореме 4.30 имеют место.
Значение г = 0 выполняется на любой нильпотентной неединичной
группе. Значение г = 1 выполняется на группе 5з с максимальной
подгруппой ((12)). Значение ί = 2 выполняется на группе 54, у
которой силовская 2-подгруппа максимальна.
Если фактор-группа G/F(G) нильпотентна, то
группу G называют метанилъпотентной.
Теорема 4-31. 1. В разрешимой группе
подгруппа Фраттини совпадает с пересечением максимальных
подгрупп, не содержащих подгруппу Фиттинга.
2. В разрешимой ненильпотентной группе
пересечение максимальных подгрупп, содержащих подгруппу
Фиттинга, метанильпотентно.
135

4. РАЗРЕШИМЫЕ И СВЕРХРАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
D Обозначим через Φ-piG) пересечение всех
максимальных подгрупп группы G, не содержащих F(G), a
через Ф/?(0) пересечение максимальных подгрупп
группы G, содержащих F(G). Ясно, что подгруппы Ф-р((3) и
Ф/г(£) характеристические в группе G и Ф(С) = Фр(С)П
ПФ^(С).
1. В фактор-группе G/${G) подгруппа Фиттинга
F{G/${G)) = F(G)/Φ(G) на основании леммы 4.21,
поэтому Ф;р(С/Ф(С)) = Φψ(0)/Φ(ΰ). Предположим,
что Φψ(ΰ)/Φ(ΰ) φ Ε и Κ/Φ{ϋ) — минимальная
нормальная подгруппа группы С/Ф((7), содержащаяся в
Ф-р(С)/Ф(0). Так как подгруппа X нормальна в группе
G и фактор-группа Κ/Φ(ϋ) нильпотентна, то по
теореме 3.24, с. 115, подгруппа К нильпотентна и К < F{G).
Но теперь К < Φρ{0)Γ\Φψ{0) — Ф(С), т.е. получили
противоречие. Поэтому допущение неверно и Ф^(С)/Ф(С?) =
= Е, т.е. Φ-piG) = Ф(С).
2. Пусть G — разрешимая ненильпотентная группа.
Ясно, что F{G) < Фг(С) и 9F{G)/F{G) = Φ(σ/Γ(<3)).
Поэтому Φρ{ΰ) метанильпотентна. й
В неразрешимой группе 5L(2,5) центр, подгруппа Фратти-
ни и подгруппа Фиттинга совпадают и имеют порядок 2.
Поэтому в группе 5L(2, δ) нет максимальных подгрупп, не
содержащих подгруппу Фиттинга. Следовательно, в неразрешимых
группах утверждение 1 теоремы 4.31 нарушается.
4.4. Теорема Шура — Цассенхауза
В данном параграфе доказывается теорема Шура —
Цассенхауза, которая, как и теорема Силова, относится к
фундаментальным результатам теории конечных групп.
Теорема 4.32 (Шура—Цассенхауза). Пусть
N — нормальная подгруппа группы G. Предположим,
что \Ν\ = η и \G : N\ = т взаимно просты. Тогда
в группе G существует подгруппа порядка т и любые
две подгруппы порядка т в группе G сопряжены между
собой.
136

4*4* Теорема Шура — Цассенхауза
Π Заметим, что если т — примарное число, т.е.
т = р1 для некоторого простого р, то данное
утверждение вытекает из теоремы Силова, с 50.
Будем следовать схеме доказательства этой теоремы,
приведенной в книге D.J.S. Robinson [28].
Вначале докажем теорему для абелевой подгруппы N.
1. Существование и сопряженность подгрупп
порядка га в группе G, когда N — абелева подгруппа.
Пусть Q = G/N. Тогда каждый элемент χ G Q
является в группе G смежным классом по подгруппе
N, следовательно, χ = txN', где {tx | x G Q} —
левая трансверсаль подгруппы N в группе G. Так как
txty G txtyN = txNtyN = ху = txyN, то существует
элемент с(х,у) G N такой, что
txty = txyc(x,y). (4.4)
Теперь, используя равенство (4.4), для любых x,y,z €. Q
имеем:
[*x*y)tz == *хус(Х1У)*г =
= txytzC{x, y)ts = t(xy)zc(xy, Z)c{x, y)U ,
M<yi«) = txtyzc{y,z) = tx{yz)c{x,yz)c(y,z).
ПОСКОЛЬКУ {txty)tz = tx(tytz) И ί(^)ζ = *x(yz)i T0
c(xy, z)c(ar, у)'* = с(ж, yz)c(?/, г). (4.5)
Равенство (4.5) справедливо для любых ж, у, г G Q.
Введем элемент d(y) = T[c(x,y). Ясно, что d(y)€N.
xeQ
Поскольку | Q |= m и TV абелева, то из равенства (4.5)
получаем d(z)d(y)t= = d(yz)c(y, z)m или
^Ы=%)'-ф)с(у12г)-т. (4.6)
Так как (п, га) = 1, то отображение # h~* <7Ш> 9 ^ G.
является автоморфизмом группы G (см. пример из § 2.2).
Поэтому существует элемент е(у) G iV такой, что е(у)ш =
= d(y)-1. Теперь равенство (4.6) можно записать в виде:
e(yz)-m = (e(y)-m)ue(z)-mc(y,z)-m =
137

4. РАЗРЕШИМЫЕ И СВЕРХРАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
= (е(уУ<е(г)с(у,г)Гт.
Следовательно. e(yz) = e(y)tze(z)c(y,z).
Введем элемент sx = txe(x) Ε N и, используя
равенство (4.4). вычислим произведение:
sysz = tye{y)tze{z) = tytze{y)ts e{z) =
= tyzc(y,z)e{y)txe{z) = tyze{yz) = syz.
Следовательно, отображение а: х «-> sx является
гомоморфизмом группы Q в группу G. Если зх = 1 —
единичный элемент группы G, то txe(x) = 1 и ίχ Ε ΑΓ. В этом
случае χ = txN = N — единичный элемент группы Q.
Следовательно, α — инъекция и Q ~ Ima — подгруппа
порядка га в группе G.
Итак, в случае, когда N — абелева подгруппа,
существование подгруппы порядка га в группе G установлено.
Пусть теперь Τ и L — две подгруппы порядка га в
группе G. Тогда G = [N]T = [N]L и Q = G/N ~T~L.
При данных изоморфизмах Q —» Τ и ζ) —> L элемент
χ Ε Q переходит в элементы tx Ε Τ и lx Ε L. Поэтому
-t = \^а; I % Ε Ц/, txty = £од/, -^ = i'a; | % Ε ц/, *χίϊ/ — bxyj>
Так как а; = txN = lxN, то существует элемент а(х) Ε Ν
такой, что ίχ = ίχα(α;). Поскольку lxy = txya(xy) и /Х2/ =
= My = txa(x)tya(y) = txya{x)tya(y), то
a(xy) = а(х)'"а(у). (4.7)
Введем элемент 6 = fj a(x). Из равенства (4.7) по-
лучаем 6 = btya(y)m. Так как (π, га) = 1, то
существует элемент с Ε Ν такой, что Ъ — ст. Поэтому
ст = cmtya(y)m или с = ctya(y) и a(y) = ce~iy. Теперь
^2/ = tya(y) = tyc~tyc = tyt~lc~ltyc = c~ltyc. Отсюда
^ = Oy I У e Q} = {c~V | у Ε Q} = c^Tc.
Таким образом, если N — абелева подгруппа, то
подгруппы порядка т существуют и сопряжены между
собой.
138

4-4» Теорема Шура — Цассенхауза
2. Существование подгрупп порядка т в группе G.
Воспользуемся индукцией по порядку группы G.
Пусть ρ — простое число, делящее порядок подгруппы Ν,
и Ρ — силовская р-подгруппа из N. Положим L = Ng(P)
и Ζ = Ζ (Ρ). Тогда L < Nq{Z) = Μ, так как Ζ —
характеристическая подгруппа в Р. По лемме Фраттини G = NL
и G = ΝΜ. Поэтому для подгруппы Ν\ = Ν Π Μ
получаем, что | Μ : Νι |=| G : N \= га. Поскольку Ζ φ Ε,
то можно применить индукцию к фактор-группе Μ/Ζ.
Пусть Χ/Ζ — подгруппа порядка т в группе Μ/Ζ, тогда
Μ = XNU Χ Π JVi = Ζ. Так как | X : Ζ |= m
взаимно просто с | Ζ | и Ζ — абелева подгруппа, то X имеет
подгруппу порядка т согласно утверждению 1.
Итак, в любом случае в группе G существует
подгруппа порядка т.
3. Сопряженность в группе G подгрупп порядка т,
когда фактор-группа G/N разрешима.
Обозначим через π множество простых делителей
числа т и положим R = On(G). Пусть Η и К — две
подгруппы из G порядка т. Тогда RH и RK
являются π-подгруппами группы G, поэтому R < Η Π К. Если
R φ Ε, то по индукции H/R и K/R сопряжены в G/R,
поэтому подгруппы Η и К сопряжены в группе G.
Пусть R = Ε и L/N · < G/N. По условию
факторгруппа G/N разрешима, поэтому L/N является
элементарной абелевой р-подгруппой для некоторого простого
ρ G π. Пересечение L П Η будет силовской р-подгруппой
в L, поскольку (L Π Я) ~ (L Π Η)Ν/Ν < L/N и
I L : L Π Η \ = \ HL : Η |=| G : Η |= η есть р'-число.
Аналогично L Π Κ будет силовской р-подгруппой в L,
поэтому L Π Η = (L Π Κ)9 = L Π К9 для некоторого
geL. Пусть S = LDH. Тогда S < (Я, К*) = J.
Если J = G, то 5 — нормальная π-подгруппа группы
G, что противоречит равенству Οπ(<3) = Ε. Поэтому J —
собственная подгруппа группы G. По индукции
подгруппы Я и X9 сопряжены в J. Следовательно, подгруппы
Η и К сопряжены в G.
4. Сопряженность в группе G подгрупп порядка т7
когда подгруппа N разрешима.
139

4. РАЗРЕШИМЫЕ И СВЕРХРАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
Так как N/N1 абелева и N' < G, то подгруппы
ΗΝ*/Ν' и KN'fN' сопряжены в группе G/N' на
основании утверждения 1. Поэтому Н9 < KN' < G для
некоторого д £ G. Но теперь подгруппы Нд и К сопряжены
в KN' по индукции. Следовательно, подгруппы Η и К
сопряжены в G.
5. Сопряженность в группе G подгрупп порядка га.
Так как числа пит взаимно просты, то одно из них
нечетное и согласно теореме 4.19 либо iV, либо G/N
разрешима. Следовательно, любые две подгруппы порядка
га сопряжены в группе G. й
Следствие. Пусть выполняются условия
теоремы 4-32. Если натуральное число га ι делит га, то
каждая подгруппа порядка га ι содержится в некоторой
подгруппе порядка га.
D Пусть Я и Н\ — подгруппы порядков га и т\
соответственно. Тогда G = ΗΝ и ΗχΝ = (ΗχΝ) Π (ΗΝ) =
= ((Η\Ν) Π Η)Ν, откуда следует, что
Ι {ΗιΝ)ΠΗ\=\ Η{Ν :Ν\=\Ηλ |=гаь
Теперь Н\ и (Η\Ν) Π Η — две подгруппы порядка т\
в группе ΗχΝ порядка т\п. По теореме 4.32 Н\ =
= ({ΗγΝ) ПН)9 < Η9 для некоторого (7 E G. И
В качестве приложения теоремы 4.32 приведем еще
одно свойство подгруппы Фраттини произвольной
конечной группы.
Теорема 4.33. n{G) = π((7/Φ(<3)).
D Ясно, что 7r(G/<3>(G)) С 7r(G). Предположим, что
существует простое ρ Ε 7r(G) такое, что ρ $ π(ΰ/Φ(ϋ)).
Через Ρ обозначим спловскую р-подгруппу группы G.
Тогда Ρ < $(G) и Ρ <\G. По теореме 4.32 существует
подгруппа Η такая, что G = [Р]Н, Получили
противоречие со следствием 2 из теоремы 3.20, с. 113. Поэтому
допущение неверно и tc(G) = 7r(G/<I>(G)). й
Следствие. Если К < G и Η - добавление к К, то
тг(Я) =n(G/K).
О Согласно лемме 3.21, с. 114. группа G = Η К и
НпК < Ф(Я). Так как G/tf ~ Я/Я Π /Г, то tt(G/K) =
= 7г(Я) по теореме 4.33. й
140

4· 5. Холловы подгруппы разрешимых групп
4.5. Холловы подгруппы разрешимых
групп
Пусть Ρ — множество всех простых чисел, а π —
некоторое множество простых чисел, т.е. π С Р. Дополнение
к π во множестве Ρ обозначим через π', т.е. π' = Ρ \ π.
Наряду с множеством π будем использовать
функцию π (га) — множество всех простых чисел, делящих
натуральное число га. Если G — группа, то вместо π(| G |)
условимся писать π((7), например n(S^) = {2,3,5}.
Зафиксируем множество простых чисел π. Если
тг(га) С π, то число т называется π-числом.
Подгруппа Η группы G называется έ-подгруппой,
если | Η | есть π-число. Подгруппа Η называется π-
холловой подгруппой, если | Η | является π-числом, а
индекс | G : Η \ - - π'-числом. Таким образом, π-холлова
подгруппа — это такая π-подгруппа, индекс которой не
делится на простые числа из множества π.
Подгруппа Η группы G называется холловой
подгруппой если Η — π-холлова подгруппа для некоторого
множества π С Р. Другими словами, Ή — холлова
подгруппа тогда и только тогда, когда (\ Η \,\ G : Η \) = \.
Через Hall7r(G) обозначим совокупность π-холловых
подгрупп группы G. Если π={ρ}, то Hall7r(G)=SyIp(G) —
совокупность силовских р-подгрупп группы G и по
теореме Силова, с. 50, множество Sylp(G) непусто для любой
неединичной группы G и любого ρ £ π((7).
Если в группе G существует р'-холлова подгруппа, то
эту подгруппу называют р-дополнением.
Лемма 4.34. Пусть Η £ Hall*(С?), М, N<G. Тогда
справедливы следующие утверждения:
1) а(Н) £ Hall7r(G) для любого а £ AutG; в
частности Η9 £ Hall7r(G) для любого g £ G;
2) HN/N eKcal^G/N);
3) Η Π Ν £Ηα11π{Ν);
4) Η Π Μ Ν = (ΗΠΜ){ΗΠΝ)Ε Ή*Άπ{ΜΝ).
D 1 — 2. Утверждения очевидны.
141

4. РАЗРЕШИМЫЕ И СВЕРХРАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
3. Так как Я — π-подгруппа, то Я Π Ν — π-под-
группа согласно теореме Лагранжа, с. 34. Кроме того,
ΗΝ/Ν ~ Η/Η Π Ν, откуда | ΗΝ : Я |=| N : Я П Ν | =
= | G : Я I / I G : ΗΝ \ - π'-число, т.е. Η Π Ν ~ π-
холлова подгруппа в TV.
4. Пусть Я Π ΜΝ, Я Π Μ, ΗΠΝ - π-холловы
подгруппы в ΜΝ, Μ и ΛΓ. Кроме того, (Я П М)(Н Г) Ν) <
< ΗΠΜΝ. Так как тг(ЯПМ)итг(ЯПЛО = π{ΗΓ)ΜΝ),
то (Я Π Μ) (Я Π AT) = Я Π M7V. И
Теорема 4.35. Пусть G — разрешимая группа и
π — мпожество простых чисел. Тогда справедливы
следующие утверждения:
1) π-холловы подгруппы в группе G существуют;
2) любые две π-холловы подгруппы группы G
сопряжены между собой;
3) каждая π-подгруппа группы G содержится в
некоторой π-холловой подгруппе.
D Применим индукцию по порядку группы G.
Если G = Е, то теорема верна. Предположим, что G Φ Ε
и N -- минимальная нормальная подгруппа группы G.
По теореме 4.14 подгруппа N — элементарная абелева
р-группа для некоторого простого р.
1. По индукции в группе G/N существует π-холлова
подгруппа Η/Ν. Если ρ G π, то Я — π-холлова подгруппа
группы G. Пусть ρ £ π. По теореме Шура — Цассенхауза
в Я существует подгруппа U такая, что Я = [N]U. Легко
показать, что U — π-холлова подгруппа группы G.
2. Пусть Н\, Н-2 G Hall^G). По лемме 4.34 подгруппы
H\NjN и H2N/N — π-холловы в G/N. По индукции они
сопряжены в G/N, т.е. существует элемент gN G G/N
такой, что (Η2Ν/ΝΥΝ = ΗγΝ/Ν, откуда Η%Ν = Η{Ν.
Если ρ G π, то Η%Ν = Η [Ν = Н\ = Щ. Если ρ £ π, то
[JV]fff = [ДГ]Я1 и подгруппы Η γ и Я| сопряжены в [N]H\
по теореме Шура — Цассенхауза.
3. Пусть U — π-подгруппа группы G и Я — π-холлова
в G. Можно считать, что UN/N < HN/N. Если ρ G π,
τοϋΝ <Н nU <Н. Пусть ρ g π. Тогда [7V][/ < [N]H и
остается применить следствие из теоремы 4.32. й
142

4»6. Примитивные группы
Теорема 4.36. Если группа G содержит три
разрешимые подгруппы Н\,Н2 и Н$ попарно взаимно
простых индексов, то G разрешима
G Пусть Ρ — минимальная нормальная подгруппа
группы Н\. Тогда Ρ — элементарная абелевар-подгруппа
для некоторого простого р. Так как (| G: H2 |, | G\H$ |) =
= 1, то можно считать, что ρ не делит | G : #2 | и силов-
ская р-подгруипа S из #2 является силовской
подгруппой группы G. По теореме Силова, с. 50, PCS9 для
некоторого g G G. Теперь G = #i#f и Ρ С Нг Π Щ.
Если χ — произвольный элемент группы G, то χ = аб, где
а 6 #ι, 6 G tff и Рх = РЬ СЩ. Следовательно, PG =
= {Рх | χ Ε G) С Я|. Так как FG — разрешимая
нормальная в G подгруппа, то к фактор-группе G/PG
применима индукция, по которой G/PG разрешима. Теперь
и группа G разрешима. И
Следствие. Если в группе G существует р-
дополнение для всех ρ £ 7r(G), то группа G разрешима.
D Если | 7г((7) |> 2, то группа G разрешима согласно
теореме 4.36. Если | π (С?) |= 2, то группа G разрешима
на основании теоремы 4.18. Если | n(G) |= 1, то группа
G разрешима по лемме 4.12. Η
4.6. Примитивные группы
Группа называется примитивной, если она содержит
максимальную подгруппу с единичным ядром. В
примитивной группе максимальная подгруппа с единичным
ядром называется примитиватором.
Лемма 4.37. 1. Простая неабелева группа
примитивна и любая ее максимальная подгруппа является
примитиватором.
2. Нильпотентная группа примитивна тогда и
только тогда, когда она имеет простой порядок.
D 1. Данное утверждение очевидно.
2. В нильпотентной группе все максимальные
подгруппы нормальны. Если G — примитивная
нильпотентная группа, то только единичная подгруппа Ε может
143

4. РАЗРЕШИМЫЕ И СВЕРХРАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
быть примитиватором. Но если Ε — максимальная
подгруппа группы G, то по теореме Силова, с. 50, G имеет
простой порядок. Обратно, каждая группа простого
порядка всегда примитивна, й
Лемма 4.38. 1. Если Μ < · G, то G/Core с Μ
примитивна и М/Cove gM — ее примитивamop.
2. Если К <G и G/K примитивна, то в группе
G существует максимальная подгруппа Μ такая, что
K = CoreGM. _
D 1. Подгруппа Μ = М/Соге^М максимальна в
G = GI Cove qM, а из того, что Соге^М — наибольшая
нормальная подгруппа группы G, содержащаяся в М,
следует, что Соге^М = Ε и G примитивна с
примитиватором М. _
2. Пусть К <G и G = G/К примитивна. Далее,
пусть Μ — примитиватор группы G. По лемме 3.17,
с. 112, существует максимальная подгруппа Μ группы
G такая, что М — М/К. Поскольку Соге-^М = Е, то
Core GM = К. ΚΙ
Лемма 4.39. Если Μ — максимальная
подгруппа группы G и N — неединичная нормальная подгруппа
группы G такая, что Μ Π Ν = Ε, то N —
минимальная нормальная подгруппа.
D Произведение ΜΝ является подгруппой группы
G, отличной от М. Поэтому ΜΝ = G и \Ν\ = \G : М\.
Если N\ - минимальная нормальная подгруппа
группы G, содержащаяся в ΛΓ, то опять MN\ = G и
|ΛΓι| = \G : М\. Теперь \Νλ\ = \Ν\ и ΛΓι = ΛΓ. Η
Теорема 4.40. В примитивной группе подгруппа
Фиттинга либо единична, либо является минимальной
нормальной подгруппой. В частности, в разрешимой
примитивной неединичной группе подгруппа Фратти-
ни единична, а подгруппа Фиттинга — минимальная
нормальная подгруппа.
D Пусть G — примитивная группа, Μ - ее
примитиватор, F = F{G) φ Ε и К = F П Μ. Так как
СогесгМ = J5, то F не содержится в М, поэтому К —
144

4-6. Примитивные группы
собственная в F подгруппа. По теореме 3.12, с. 108,
NF(K) φ К, а так как К < Μ и G = МК, toK<G. Но
теперь К < Core GM = Ε и F — минимальная
нормальная подгруппа согласно лемме 4.39.
Если G — разрешимая примитивная неединичная
группа, то Ф((7) — собственная подгруппа в F(G),
поэтому Ф((7) = Е. й
Следствие. В примитивной группе неединичная
нилъпотентная нормальная подгруппа совпадает с
подгруппой Фиттинга и является минимальной
нормальной подгруппой.
Теорема 4.41. Пусть G — примитивная группа и
Μ — ее примитиватор. Тогда справедливо одно из
следующих утверждений:
1) группа G содержит единственную
минимальную нормальную подгруппу Ν, причем N = CG(N) и
G = [N]M;
2) группа G содержит единственную
минимальную нормальную подгруппу N, причем CG(N) — Ей
G = NM\
3) группа G содержит точно две минимальные
нормальные подгруппы N\ и N2, причем G = [N\]M —
= [N2]M, Ni = CG(N3-i), г = 1,2, и Nx ~ N2 ~
~ NiN2 Π Μ. Кроме того, если V — собственная
подгруппа группы G такая, что VN\ = VN2 = G, то V —
максимальная подгруппа группы G, CorecV = Ε и
VnNl = VnN2 = E.
D Пусть К — произвольная неединичная
нормальная подгруппа примитивной группы G с примитивато-
ром М. Так как Соге^М = Е, то К не содержится в Μ
nG = MK. Поскольку С = CG(K) < G, то С Π Μ < Μ.
Кроме того, К < CG{C П Μ) < NG(C Π Μ), поэтому
С Π Μ < G. Теперь С Π Μ С Core GM = Ε и если С Φ Ε,
то G = [С]М и С — минимальная нормальная в G
подгруппа согласно лемме 4.39. Таким образом, если К —
произвольная неединичная нормальная подгруппа в G,
145

4. РАЗРЕШИМЫЕ И СВЕРХРАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
ТО
G = MK, C = CG{K) = E, (4.8)
или
G = [C]M, C-<G. (4.9)
Предположим вначале, что F = F(G) φ Ε.
Согласно теореме 4.40 подгруппа F — минимальная
нормальная в G подгруппа. Теперь F абелева по следствию из
теоремы 2.39, с. 86, и F — Cg{F) на основании
свойства (4.9). Если Η — другая минимальная нормальная
подгруппа группы G, то Η Π F = Ε и HF = Η χ F, т.е.
Я < Cg{F) = F. Значит, получили противоречие.
Поэтому F — единственная минимальная нормальная
подгруппа, т.е. имеем утверждение 1 из заключения теоремы.
Пусть F(G) = Ε и в G содержится единственная
минимальная нормальная подгруппа N. По следствию из
теоремы 2.39, с. 86, подгруппа 7V есть прямое
произведение изоморфных простых неабелевых групп, в частности
Ζ(Ν) = Ε. Теперь CG{N) Π TV = Ζ {Ν) = Ε и по свойству
(4.9) подгруппа Cg{N) = Ε. По свойству (4.8) группа
G = ΜΝ, т.е. имеем утверждение 2 из заключения
теоремы.
Пусть теперь F(G) = Ε и в группе G имеются две
различные минимальные нормальные подгруппы Ν\
и iV2. Тогда ΝιΓ\Ν2 = Ε, ΝλΝ2 = Ν\ χ Ν2. Поэтому
Ν\ < CG{N2) и по свойству (4.9) N\ = CG{N2).
Аналогично N2 = Cg(Ni). Из свойства (4.9) также следует,
что G = [Ni]M = [.N2]Μ. Если допустить, что
существует третья минимальная нормальная подгруппа Л^з, то
Ν3 < Cg{N[) = N2, N3 < CG(N2) = ЛГЬ т.е. получили
противоречие. Значит, в группе G точно две
минимальные нормальные подгруппы.
Пусть теперь V — собственная подгруппа группы
G такая, что VN\ = VN2 = G. Предположим, что
Η — максимальная в G подгруппа, содержащая V.
Если К = Соте о Η Φ Ε, то либо Νχ < К, либо Ν2 < К,
что противоречит равенствам HN\ = HN2 = G. Значит,
146

4»6. Примитивные группы
Core qH = Ε и к Н применимы свойства (4.8) и (4.9).
Поэтому ΝλΠΗ = Ν2Γ)Η = Ε, значит, VnNi = VnN2 = -Б,
а из равенств |7Vi| = |G : V\ = |G : Я| следует, что
V — Η — максимальная в G подгруппа.
Далее, 7ViiV2 = NiN2C)NiM = Ni(NiN2nM), поэтому
А^з-г ^ ΝιΛΓ2/ΛΓί = JViiM^ Π M)/Ni ~
- ΝιΝ2 Π Μ/ΝχΝ2 HMnNi = ΝλΝ2 Π Μ.
Итак, Νι~Ν2~ ΝλΝ2 Π Μ. ΚΙ
Следствие. Б примитивной группе не более двух
минимальных нормальных подгрупп.
Обозначим через 7 класс всех примитивных групп.
Разобьем его на три подкласса:
?\ — класс примитивных групп с абелевой
минимальной нормальной подгруппой;
?2 — класс примитивных групп с единственной
неразрешимой минимальной нормальной подгруппой;
7 ζ — класс примитивных групп с двумя
неразрешимыми минимальными нормальными подгруппами.
Класс У ι состоит из всех групп, соответствующих г-
му, г = 1,2,3, утверждению теоремы 4.41. Эта теорема
утверждает, что 7 — iPiUJ^UJV Все три класса не пусты.
Например, S3 € 3\; Аъ\ 55 G 3>2; [А5 х Ab)Z2 e 3>з·
Для разрешимых примитивных групп имеет место
только случай 1 теоремы 4.41, т.е. каждая разрепшмая
примитивная группа принадлежит 7\.
Теорема 4.42. Пусть G — разрешимая пеединич-
ная примитивная группа и Μ — ее примитиватор.
Тогда:
1) группа G имеет единственную минимальную нор-
мальную подгруппу Ν, причем N = Cg{N) и G = [N]M;
2) если ρ делит \Ν\, то Ор(М) = Е;
3) все дополнения к подгруппе N в группе G сопря-
оюены между собой.
D 1. Данное утверждение следует из теоремы 4.41.
В частности, N — р-группа для некоторого простого р.
147

4. РАЗРЕШИМЫЕ И СВЕРХРАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
2. Пусть K/N = Op(G/N). Тогда К — нормальная р-
подгруппа группы G, поэтому К С Op(G) < F(G). Но
согласно теореме 4.40 подгруппа F{G) = TV, следовательно,
K/7V = Еи Op{G/N) ~ (5Р(М) = Е.
3. Пусть Μ и Я — два дополнения к
подгруппе 7V в группе G. В G/N выберем минимальную
нормальную подгруппу L/N. На основании утверждения 2
подгруппа L/N — g-группа, q φ ρ, поэтому L= \N\Lq,
где Lg — силовская g-подгруппа группы L. Из
того, что G — [N]M = LM, следует, что L П Μ —
силовская g-подгруппа в L. Аналогично G = [Л^Я = LH и
LD Η — силовская ^-подгруппа в L. По теореме Си
лова, с. 50, L Π Μ = {L Π Я)', / Ε L. Ho L Π Μ < Μ,
значит, NG(L Π Μ) = Μ. Аналогично ATG(L П Я) = Я. Так
как нормализаторы сопряженных подгрупп сопряжены,
то Μ = Я', В
Теорема 4.43. β разрешимой группе
максимальные подгруппы сопряжены тогда и только тогда, когда
их ядра равны.
D Пусть G — разрешимая группа, Я и Μ —
максимальные подгруппы. Предположим, что Я = Му1 у Ε G,
Тогда Соге6'Я = П #* = Π Л^ху = CoreGM.
χ 6 G χ G G
Обратно, пусть Core qH = Core gM. Тогда
G/Core ^Я — примитивная группа с примитивато-
рами Η/Cove qH, M/CovecM. По теореме 4.42 эти
подгруппы сопряжены в G/СотеоН, поэтому Я и Μ
сопряжены в группе G. И
Теорема 4.44. i. Группа G Ε У ι тогда и только
тогда, когда в G существует единственная
минимальная нормальная подгруппа Ν, причем N абелева и N не
содержится в Ф((?)·
2. Разрешимая группа примитивна тогда и только
тогда, когда она содержит самоцентрализуемую
минимальную нормальную подгруппу.
D L Если (jE?i, to из теоремы 4.41 следует,
что в группе G существует единственная минималь-
148

4*7. Сверхразрешимые группы
ная нормальная подгруппа ЛГ, причем N = Cg{N) и
G = [N]M, где Μ — примитиватор группы G. Из того,
что N = Cg(N), следует, что N абелева. Из того, что
G = [N]M, вытекает, что N не содержится в Ф((7).
Обратно, пусть N — единственная минимальная
нормальная подгруппа, причем N абелева и N не
содержится в Ф(С). Тогда существует максимальная подгруппа Μ
такая, что N не содержится в Μ. Теперь ΜΝ = G. а так
как Μ Π TV < Μ, Μ Π Ν < ΛΓ, το Μ Π ΛΓ < G. Из
минимальности ΛΓ следует, что Μ П N = £7, а из того, что
N — единственная минимальная нормальная подгруппа,
заключаем, что Соге^М = Ε и группа G примитивна.
2. Если G — разрешимая примитивная группа, то
G G ?ι и по теореме 4.41 G содержит
самоцентрализуемую минимальную нормальную подгруппу.
Обратно, пусть разрешимая группа G содержит
минимальную нормальную подгруппу N и N = Cc(N).
Согласно лемме 4.21, F(G) < CG{N) = ΛΓ, тогда Ф(С) = £?
и -F(G) = ΛΓ. Поскольку Ф(<7) = -Б, то существует
максимальная в G подгруппа Μ такая, что ΛΓ не
содержится в: М. Тогда G = МАГ, а так как Μ Π ΛΓ < Μ,
ΜηΛΓ<] ΛΓ, το Μ Π ΛΓ < G и из минимальности N следует,
что Μ Π Ν = Ε. Поскольку ΛΓ = Cq{N), to Core^M = £?
и G примитивна, й
4.7. Сверхразрешимые группы
Группа называется сверхразрешимой, если она имеет
нормальный ряд с циклическими факторами.
Лемма 4.45. 1. Каждая подгруппа и каждая
фактор-группа сверхразрешимой группы сверхразрешимы.
2. Прямое произведение сверхразрешимых групп
является сверхразрешимой группой.
3. Сверхразрешимая группа разрешима.
D 1. Пусть группа G сверхразрешима. Тогда группа
G обладает нормальным рядом с циклическими факто-
рами G = G0>Gi >... >Gr_! >Gr = E, (4.10)
149

4. РАЗРЕШИМЫЕ И СВЕРХРАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
Gi < G и фактор-группы Gi/Gi+i циклические для всех
г. Пусть U<GylUx = UC\ Gi. Тогда U имеет ряд
U = Щ > Ui > ... > Ur-ι >Gr = E, (4.11)
причем Ui = U DGi <U для всех г. Далее,
Ui-i/Ui = UnGi-i/UnGi ~ (UnGi-JGi/Gi < G^/Gi
и фактор-группа Ui-i/Ui циклическая. Итак, ряд (4.11)
нормальный и его факторы циклические. Поэтому
подгруппа U сверхразрешима.
Пусть N < G. Рассмотрим ряд
G/N > GiN/N > ... > Gr-ιΝ/Ν > GrN/N = Ε. (4.12)
Ясно, что GiN/N <\ G/N для всех г, поэтому ряд (4.12)
нормальный. Далее,
Gi-iN/N/GiN/N ~ Gi-iN/GiN ~
~ Gi-i{GiN)/GiN ~ Gi-x/Gi-i П G{N =
= Gi-i/GiiGi-г Π TV) ~ Gi-i/Gi/GtfG,·-! Π ЛГ)/Ф,
поэтому факторы ряда (4.12) циклические и
факторгруппа G/iV сверхразрешима.
2. Пусть Си Я- сверхразрешимые группы. Тогда
группы G и Η имеют нормальные ряды
G = Go > G\ > ... > Gr_i > Gr = £7,
Я = Я0 > Ηχ > ... > Я5_! >HS = E
с циклическими факторами G^-i/G^, Нг-\/Щ.
Рассмотрим прямое произведение G х Я и построим ряд
СхЯ = СохЯ>С!хЯ>...> Gr_! χ Я >
> Gr χ Я = Щ > Нх... > Я5_1 > Н3.
Этот ряд нормальный и его факторы циклические.
3. Пусть группа G сверхразрешима. Тогда группа G
имеет нормальный ряд (4.10) с циклическими
факторами. Поскольку GT-x циклическая, то Gr-i разрешима.
Так как GT-2/GT-\ и Gr_i циклические, то они
разрешимы, поэтому Gr_2 разрешима по лемме 4.13. Теперь
Gr_3/Gr_2 и Gr_2 разрешимы, значит, и Gr-3 разрешима
150

4.7. Сеерхразрегиимые группы
согласно лемме 4.13 и т.д. Через конечное число шагов
получаем, что группа G разрешима, й
Лемма 4.46. 1. Если группа G содержит
нормальную циклическую подгруппу К и фактор-группа G/K
сверхразрешима, то G сверхразрешима.
2. Если фактор-группа G/Z(G) сверхразрешима, то
группа G сверхразрешима.
3. Нильпотентная группа сверхразрешима.
D 1. Так как G/K сверхразрешима, то имеется
нормальный ряд G/K = G0/К > Gil К > ... > Gr/K = Ε
с циклическими факторами Gi-i/K/Gi/K. Рассмотрим
ряд
FMG = G0>Gi>...> Gr-i >Gr>K>E. (4.13)
Так как G%/K < G/K, то Gi < G и ряд (4.13)
нормальный. Кроме того, факторы Gi-\/G{ ~ Gi-i/K/Gi/K
циклические для г = 1,... ,г. Далее, К — циклическая
группа. Значит, ряд (4.13) нормальный с циклическими
факторами и группа G сверхразрешима.
2. Пусть Ζ = Z(G). Так как G/Z сверхразрешима, то
имеется нормальный ряд G/Z = Go/Ζ > G\/Z > ... >
> Gr/Z = Ε с циклическими факторами Gi-i/Z/Gi/Z.
Поскольку в абелевой группе максимальные подгруппы
имеют простые индексы, то группа Ζ обладает рядом
Ζ = Zq > Ζι > ... > Zm = Ε с факторами Zj/Zj+χ
простых порядков. Рассмотрим ряд
G = Go > Gi > ... > Gr_i > Gr > Ζ =
= Z0>Zl>...>Zm = E. (4.14)
Так как Gi/Z < G/Z, то Gi < G. Поскольку все
подгруппы из центра группы нормальны в группе,
то ряд (4.14) нормальный. Кроме того, факторы
Gi-i/Gi ^ Gi-i/Z/Gi/Z циклические для г = 1,... ,r, a
факторы Zj/Zj+ι, j = 0,... ,m — 1, имеют простые
порядки. Значит, ряд (4.14) нормальный с циклическими
факторами и группа G сверхразрешима.
3. Воспользуемся индукцией по порядку группы.
Пусть G — нильпотентная группа и К · < G. Тогда К
имеет простой порядок. По индукции фактор-группа
151

4. РАЗРЕШИМЫЕ И СВЕРХРАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
G/K сверхразрешима. Следовательно, G
сверхразрешима на основании утверждения 1. ЕЗ
Лемма 4.47. Группа сверхразрешима тогда и
только тогда, когда она обладает главным рядом с
факторами простых порядков.
D Пусть G сверхразрешима. Тогда она имеет
нормальный ряд (4.10) с циклическими факторами G^-i/Gz-
Так как Gi-i/Gi <\G/G{ и Gi-i/Gi циклическая, то по
лемме 2.9, с. 63, все подгруппы в Gi-i/Gi
характеристические. Пусть G\\/G{ — подгруппа простого индекса
в Gi-i/Gi. Тогда G\l\/GiCharGi-i/Gi < G/d.
Следовательно, GiJl/Gi < G/Gi no лемме 2.11, с. 64, и ряд
G = G0 > Gi > ... > Gi_i > Gji\ > Gx > ... > Gr = Ε
нормальный с циклическим фактором G^-i/G-jj
простого порядка. Повторяя эти действия, через конечное число
шагов приходим к главному ряду с факторами простых
порядков.
Обратно, если группа G имеет главный ряд с
факторами простых порядков, то он будет нормальным, а его
факторы — циклическими. Значит, группа G является
сверхразрешимой, й
Теорема 4.48. I. Максимальные подгруппы
сверхразрешимой группы имеют простые индексы.
2. В сверхразрешимой группе каждая минимальная
нормальная подгруппа имеет простой порядок.
Π 1. Пусть G — сверхразрешимая группа и Μ < · G.
По лемме 4.47 группа G имеет главный ряд G = Go >
> G\ > ... > Gr-\ > Gr = Ε с факторами простых
порядков. Зафиксируем число г такое, что Gx < Μ, но
Gi-\ £ Μ. Поскольку Μ < · G и G;_i <\G, то G = MG;_i
и | G : Μ | = | Gi-ι : Μ Π Gi-χ |. Однако Gb < МП G;-l
и | G{-\ : Gi j= p, поэтому либо G2 = Μ Π G;_i, либо
Μ Π Gi.-[ = Gi-ι. Так как G*_i £ Μ, то G; = Μ Π G^_i
и I G: Μ μ p.
152

4-7. Сеерхразрешимые группы
2. Воспользуемся индукцией по порядку группы.
Пусть N · <\ G. По лемме 4.47 в группе G существует
минимальная нормальная подгруппа К простого порядка.
Если NС\К φ Е, то N = К и утверждение справедливо.
Пусть Ν Π К = Е. По лемме 2.36, с. 83, ΝΚ/Κ -
минимальная нормальная подгруппа фактор-группы G/K.
По индукции | N |=| ΝΚ/Κ \ — простое число. Η
Лемма 4.49. Если G — сверхразрешимая группа и
ρ — наибольший простой делитель порядка G, то си-
ловская р-подгруппа группы G нормальна.
D Воспользуемся индукцией по порядку группы G.
Пусть N - < G. Тогда \ N \= q — простое число
согласно теореме 4.48. Фактор-группа G/N сверхразрешима.
По индукции GPN/N < G/N, т.е. GpN < G. Если ρ = q,
το Ν < Gp и GPN = Gp <G. Пусть ρ Φ q, тогда р > q.
Так как фактор-группа G/Cg(N) по теореме 2.8, с. 63,
изоморфна подгруппе группы AutiV, которая по
теореме 2.16, с. 67, является циклической группой
порядка q - 1, то Gp < Cg{N) и GPN = Gp χ Ν. Но тогда
Gp char GpN < G. Следовательно, Gp < G. Й
Говорят, что группа G дисперсивна, если она имеет
нормальный ряд, факторы которого изоморфны силов-
ским подгруппам. Более точно, пусть φ — некоторое
упорядочение множества простых чисел. Запись ptpq
означает, что ρ предшествует q в упорядочении φ, ρ Φ q.
Группа G порядка p^lp%2 ---P%n называется φ-дисперсивной,
если ρ\ψρ·2ψ - · · ψΡη и для любого г группа G имеет
нормальную подгруппу порядка Ριιρ22 · · -рТ - т-е* гРУппа G
имеет нормальный ряд
Ε < Gi < G2 < . · · < Gn-i < G, (4.15)
где |Gi| = ρ?1; \°2\ = pVpT\ ·■·; \Gi\ = vVp?---pV,
...; |Gn_i| = P?1??2 •••Pn-i1· B этом слушав) У Ря"
да (4.15) факторы изоморфны силовским подгруппам:
Gl/E~GPl,G2/G1~GP2, ..., Сп/Сп-г-Ср».
Если при этом упорядочение φ таково, что ptpq
влечет ρ > q, то (р-дисперсивная группа называется диспер-
153

4. РАЗРЕШИМЫЕ И СВЕРХРАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
сиеной по Оре. Дисперсивной группой называют группу,
являющуюся φ-дисперсивной для некоторого φ. Диспер-
сивная по Оре группа G р-замкнута для наибольшего
ρ £ π((7) и g-нильпотентна для наименьшего q £ n(G).
Приведем примеры.
1. Нилыготентная группа (^-дисперсивна при любом φ.
2. Группа 5з дисперсивна по Оре.
3. Группа А± «^-дисперсивна, причем ρφς тогда и только тогда,
когда ρ < q, но А± не дисперсивна по Оре.
4. Прямое произведение 5з х А± является недисперсивной
группой.
Лемма 4.50. 1. Подгруппа и фактор-группа φ-
дисперсивной группы также φ-дисперсивпы.
2. Прямое произведение φ-дисперсивных групп
является φ-дисперсивной группой.
3. φ-дисперсивные группы разрешимы.
4. Если С?/Ф(С?) φ-дисперсивна, то группа G φ-
дисперсивна.
D 1—3. Данные утверждения проверяются
непосредственно на основании соответствующих определений.
4. Воспользуемся индукцией по порядку группы G.
Пусть | G | = ΡιιΡ22 -'·Ρηηι ΡιΨΡ2ψ· · · φΡη· Через Ρ{
обозначим силовскую рг-подгруппу группы G.
Согласно условию Pi<&(G) < G, а по лемме Фраттини, с. 55,
G = Ng{Pi)${G). Тогда Pi < G по следствию 1 из
теоремы 3.20, с. 113. Так как Φ(β)Ρι/Ρχ С Φ(<3/Ρι), то
фактор-группа G/Ργ (^-дисперсивна по индукции,
следовательно, группа G φ-дисперсивна. И
Теорема 4.51. Сверхразрешимая группа
дисперсивна по Оре.
D Пусть G — сверхразрешимая группа, | G \— р^1 χ
хр£2 х · · · х Рпп^ Pi > Р2> --·> Рп- По лемме 4.49 си-
ловская pi-подгруппа Р\ <3 G. Фактор-группа G}P\
имеет порядок ρψ ... р%п и по индукции фактор-группа
G/Р\ дисперсивна по Оре. Значит, для любого г в
группе GjP\ имеется нормальная подгруппа HijP\
порядка р%2.. .pf\ г = 2,..., п. Пусть Н\ = Р\. В группе G
154

4-7. Сверхразрешимые группы
имеется нормальная подгруппа Щ порядка р^р^2.. .р*1
для любого г = 1,2,..., п, т.е. группа G дисперсивна по
Оре. Η
Теорема 4.52. Коммутант сверхразрешимой
группы нилъпотентен.
D Воспользуемся индукцией по порядку
группы G. Пусть К · <] G. По индукции фактор-группа
{G/K)' нильпотентна. Но согласно лемме 4.6
(G/K)' = G'K/K ~ G'/G' П К. Если К не содержится
в G', το Gr Π К = Е) так как | if |= ρ — простое число
и группа G'K/K ~ G' нильпотентна. Пусть К <G'.
Поскольку G/Cg{K) — циклическая группа порядка,
делящего ρ — 1, то G1 < Cq(K) и К содержится в центре
G'. Тогда G' нильпотентна согласно лемме 3.15, с. ПО. й
Экспонентой группы называют наименьшее общее
кратное порядков всех элементов этой группы.
Говорят, что группа G линейных преобразований
пространства V действует неприводимо на V, если в
пространстве V нет G-допустимых нетривиальных
подпространств, т.е. подпространств, отличных от нулевого и
всего V.
Лемма 4.53. Пусть V — векторное пространство
размерности η > 1 над полем Zp. G — абелева группа
линейных преобразований пространства V экспоненты,
делящей р— 1. Если G действует неприводимо на V, то
η = 1 и группа G циклическая.
D Пусть g £ G. Так как группа G имеет экспоненту
р— 1, то g является корнем многочлена хр~1 — 1. Этот
многочлен над полем Ър разложим в произведение линейных
многочленов, поэтому g имеет характеристический
корень λ φ 0 в Ζρ и подпространство W = {v \ vg = λν}
ненулевое. Пусть χ £ G и ν £ W. Тогда vxg — vgx = Xvx
hvxGW. Значит, W — ненулевое G-допустимое
подпространство пространства V. Из неприводимости группы G
следует, что V = W, Поэтому каждый элемент группы
G индуцирует скалярное умножение на К, а из
неприводимости G следует, что η = 1. Но теперь группа G
155

4. РАЗРЕШИМЫЕ И СВЕРХРАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
изоморфна подгруппе мультипликативной группы поля
Ър и, следовательно, она циклическая. ЕЗ
Пусть Н, К <G к К <Н.В лемме 2.24, с. 74,
введена группа CG{H/K) = (д е G \ g~lh~lgh € К, h €
£ Η), которая является нормальной подгруппой
группы G, и фактор-группа G/Cq{H/K) изоморфна группе
AutG{H/K). Ясно, что CG(H/K) = (geG\[g,H]C К).
Теорема 4.54. Пусть Н/К —р-главный фактор
группы G. | Н/К |= ρ тогда и только тогда,
когда AutG(H/К)—абелева группа экспоненты, делящей
р-1.
D Если Н/К — р-главный фактор группы G порядка
р, то AutG(H/K) — абелева группа экспоненты, делящей
ρ — 1 по следствию из леммы 2.24, с. 74.
Обратно, пусть Autc(H/K) — абелева группа
экспоненты, делящей ρ — 1. По теореме 2.50, с. 94,
элементарную абелеву р-группу Н/К порядка рп можно
рассматривать как векторное пространство размерности η над
полем Ζρ, а группу автоморфизмов AutG(H/K) — как
группу линейных преобразований. Из того, что Н/К —
минимальная нормальная подгруппа в G/ К, следует, что
AutG(H/K) действует неприводимо на Н/К. Теперь по
лемме 4.53 получаем, что η = 1, т.е. | Н/К |= р. Η
Следствие. Группа G сверхразрешима тогда и
только тогда, когда для каждого простого ρ и каждого
р-главного фактора Н/К группы G группа AutG(H/K)
абелева экспоненты, делящей ρ — 1.
D Если группа сверхразрешима, то все ее главные
факторы имеют простые порядки. Это следует из
леммы 4.47 и теоремы Жордана — Гёльдера (см.
теорему 2.23, с. 72). Тогда A\itc(H/K) - абелева группа
экспоненты, делящей ρ — 1 по теореме 4.54.
Обратно, если для каждого р-главного фактора Н/К
группа AutG(H/K) абелева экспоненты, делящей р—1, то
по теореме 4.54 каждый главный фактор имеет простой
порядок и G сверхразрешима по лемме 4.47. KI
Теорема 4.55 (Хупперта). Если в группе G все
максимальные подгруппы имеют простые индексы, то
группа G сверхразрешима.
156

4*7. Сверхразрешгьмые группы
О Воспользуемся индукцией по порядку группы G.
Ясно, что условия теоремы наследуются всеми
факторгруппами группы G. Если в группе G имеются две
различные минимальные нормальные подгруппы iV*i и N2,
то G/Ni сверхразрешима по индукции. Так как Ν1ΠΝ2 =
= .Б, то согласно лемме Ремака, с. 83, группа G
изоморфна подгруппе прямого произведения (GjN\) x (G/A^)·
Тогда по лемме 4.45 группа G сверхразрешима. Поэтому
в дальнейшем считаем, что в группе единственная
минимальная нормальная подгруппа.
Пусть ρ — наибольший простой делитель
порядка группы G и Gp — ее силовская р-подгруппа.
Предположим, что Gv не нормальна в G. Тогда
Ng(Gp) Φ G и существует максимальная подгруппа Μ
группы G, содержащая Ng{Gp). По теореме Силова
| G : NC{GP) | = 1 + Ар, \М: NG{GP) |= 1 + kiP. Так как
но условию теоремы | G : Μ \= q — простое число, то
из равенства | G : NG{GP) |=| G : Μ || Μ : NG{GP) \
следует, что q =| G : Μ |= 1 + р{к — k\q)) а это
противоречит максимальности числа р. Следовательно,
допущение неверно и Gp < G. По индукции фактор-группа GjGp
сверхразрешима, значит, группа G разрешима.
Пусть N · < G, N < Gp. Из того, что N —
единственная минимальная нормальная подгруппа, следует,
что подгруппа Фиттинга F(G) является р-группой.
Если N £ $(G), то существует максимальная подгруппа
Μ в группе G такая, что N % М. Поэтому G = ΝΜ
и Ν Π Μ = Ε согласно лемме 2.36, с. 83. По условию
\ G : Μ \ = \ Ν \= ρ и группа G сверхразрешима по
лемме 4.46.
Следовательно, N < Ф(С). По лемме 4.21 для
фактор-группы G = G/N получаем, что F(G) = F(G)/N —
ρ-группа, а по теореме 4.52 (G)' < F(G). Отсюда
следует, что C-q{A/B) = G для каждого главного ρ'-фактора
А/В группы G. По теореме 4.25 подгруппа F(G)
совпадает с пересечением централизаторов главных факторов
группы G порядка р. По лемме Ремака, с. 80, и теоре-
157

4. РАЗРЕШИМЫЕ И СВЕРХРАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
ме 2.16, с. 67, получаем, что G/F{G) — абелева группа
экспоненты, делящей ρ — 1. Поэтому G/F(G) — абелева
группа экспоненты, делящей ρ — 1.
Так как N · <\G и Ν П Z(F(G)) ^ Ε, то TV <
< Z{F(G)) и F(G) < CG(iV). Теперь G/CG{N) ~
- {G/F(G))/{CG{N)/F{G)) и G/CG{N) - абелева
группа экспоненты, делящей ρ — 1. По теореме 4.54 iV имеет
порядок ρ и G сверхразрешима согласно лемме 4.46. й
Следствие. Если фактор-группа С/Ф(С)
сверхразрешима, то и группа G сверхразрешима.
D Пусть фактор-группа G/&(G) сверхразрешима.
По теореме 4.48 все максимальные подгруппы в G/Ф((7)
имеют простые индексы. Но тогда все максимальные
подгруппы в G имеют простые индексы и G
сверхразрешима по теореме 4.55. И
Теорема 4.56. Пусть G — разрешимая группа.
Группа G сверхразрешима тогда и только тогда, когда
для каждой максимальной подгруппы Μ группы G либо
F(G) < Μ, либо F(G) Π Μ — максимальная подгруппа
группы F(G).
D Пусть G сверхразрешима и Μ < · G. Тогда
I G : Μ Ι — простое число. Если F(G) не содержится в М,
то F{G)M = G и | G : Μ |=| F{G) : F{G) Π Μ \ -
простое число. Поэтому F(G) Π Μ < · F(G).
Обратно, пусть G разрешима и для каждой
максимальной подгруппы Μ группы G либо F(G) < Μ, либо
F{G)f)M < · F(G). Так как F{G^(G)) = ^(С)/Ф(С)
по лемме 4.21, то условия теоремы переносятся на
фактор-группу (7/Ф(С). Если Φ(ΰ)φΕ, то по
индукции С?/Ф(С) сверхразрешима, поэтому согласно
следствию из теоремы 4.55 группа G
сверхразрешима. Итак, Ф(С) = Е, F{G) = Νλ χ ... χ Nt -
прямое произведение минимальных нормальных подгрупп
N{ группы G, г — 1,..., t. Для каждого г
существует максимальная подгруппа Мг- группы G, такая, что
NiDMi = Ε и G = [Νι]Μ{. Согласно тождеству Деде-
кинда, с. 41, F(G) = [Ni](F(G) Π М{), а по условию
теоремы F(G)DMi < - F(G). Из нильпотентности F(G)
следует, что | JVj |=| F(G) : F(G) Π Afj 1= p\ — простое
число. Теперь фактор-группа GjCc^i) абелева поряд-
158

4*7. Сверхразрешимые группы
ка, делящего pi — 1, поэтому
G' С Д CcW) с CG(F(G)) < F(G).
Пусть теперь Μ < - G. Если Μ > F(G), то G/M абелева
и | G : Μ | - простое число. Если F(G) не содержится
в М, то MF(G) = G и | G : Μ |=| F(G) : F(G) Π Μ | -
простое число. По теореме 4.55 G сверхразрешима. Η
Следствие 1. Пусть G — разрешимая группа.
Группа G сверхразрешима тогда и только тогда,
когда для любой максимальной подгруппы Μ группы G и
любой нормальной подгруппы N группы G либо Μ > Ν,
либо ΜΓ)Ν < · Ν.
D Если G сверхразрешима, то все максимальные
подгруппы имеют простые индексы и если Μ не
содержит JV, то MN = G, \G : Μ \ = \ N : N ПМ \ — простое
число и Ν Π Μ < · Ν.
Обратно, если для любой максимальной подгруппы
Μ и любой нормальной подгруппы N либо N < М, либо
Ν Π Μ < · TV, то это верно и для подгруппы Фиттинга
F(G). По теореме 4.56 группа G сверхразрешима. KI
Следствие 2. Разрешимая группа сверхразрешима
тогда и только тогда, когда индекс любой
максимальной подгруппы, не содержащей подгруппу Фиттинга,
является простым числом.
D Если группа сверхразрешима, то согласно
теореме 4.48 индекс каждой максимальной подгруппы есть
простое число.
Обратно, пусть G — разрешимая группа, у которой
индекс любой максимальной подгруппы, не содержащей
подгруппу Фиттинга, является простым числом. Если
Μ — максимальная подгруппа группы G и F(G) %. Μ,
то | G : Μ |= ρ — простое число. Теперь G = MF(G) и
ρ =| G : Μ |=| F{G) : F{G) П Μ | . Поэтому F(G) Π Μ -
максимальная подгруппа в F(G) и по теореме 4.56
группа G сверхразрешима, й
Пусть X = Ζ5 θ Ζ5 = {(α, &) Ι α,6 e Ζ5} — аддитивная
элементарная абелева группа порядка 5~. Группу X можно
рассматривать как двумерное векторное пространство над полем Ζ 5;
159

4. РАЗРЕШИМЫЕ И СВЕРХРАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
она разложима в прямую сумму двух своих подгрупп порядка 5:
X = ((1,0)) θ ((0,1)). Пусть Q --· группа кватернионов (см. с. 93)
Q = (А, В | Л4 = В4 = Е,А2 = В'\В'1АВ = /Г1) С 5L(2,Z5),
где А и В — матрицы над полем Z5:
--(ί !)·'-(? ί)·
В силу теоремы 2.50, с. 94, Q является группой автоморфизмов для
X. По теореме 2.47, с. 89, существует группа G = [X]Q, имеющая
порядок 200, а ее подгруппы Η = [Х](А); К = [Х]{В) имеют
индекс 2 в G. Следовательно, Н,К <G. Поскольку
(1,0) (J з)= (2-°) = 2(1,0) 6 ((1,0)), <
то ((1,0)) <3 Н. Таким образом, Η содержит нормальную
подгруппу Н\ = ((1.0)), фактор-группа по которой Н/Н\ является
полупрямым произведением нормальной подгруппы X/Н\ порядка 5 и
циклической подгруппы порядка 4. Следовательно, Η
сверхразрешима. Аналогично
(1,2) (J J)= (2,4) = 2(1,2) 6 ((1,2)),
т.е. К содержит нормальную подгруппу ((1,2)), фактор-группа
по которой является полупрямым произведением норхмальной
подгруппы порядка 5 и циклической подгруппы порядка 4. Поэтому К
сверхразрешима. Следовательно, G является произведением
нормальных сверхразрешимых подгрупп Η и К. Предположим, что G
сверхразрешима. Тогда по лемме 4.49 и теореме 4.48 в G имеется
нормальная подгруппа ((х, у)) порядка 5. Поэтому
(χ'^(θ ?)=(2^3у)б((х,у)>,
(я,у) ί ! о) =(У>4х)€ ((*>2/))>
что возможно только при χ = у = 0. Следовательно, допущение
неверно и G несверхразрешима.
Таким образом, существуют несверхразрешимые
группы, являющиеся произведением нормальных
сверхразрешимых подгрупп.

ПРОЕКТОРЫ И ИНЪЕКТОРЫ
5.1. Формации и классы Шунка
Будем рассматривать множества групп, т.е.
множества, элементами которых являются группы. Класс
групп — это множество групп, которое вместе с каждой
своей группой содержит все изоморфные ей группы. За
некоторыми классами закреплены стандартные
обозначения:
21 — класс всех абелевых групп;
У1 — класс всех нильпотентных групп;
И — класс всех сверхразрешимых групп;
Θ — класс всех разрешимых групп;
£ — класс всех конечных групп.
Если π — некоторое множество простых чисел и X —
класс групп, то через Χπ обозначается класс всех π-групп
из X. Ясно, что Χπ = Χ Π бл-. Группы из класса X
называют также Х-группами.
Класс X называется наследственным классом или
классом, замкнутым отгсосительно подгрупп, когда
выполняется следующее требование:
://еспр £е;#;^^ !:/■;";%: (5.1)
Класс X называется замкнутым относительно
фактор-групп или гомоморфом, когда выполняется
требование:
?:i :h; У: .^Qjripin <3: ^; i&^k;'г |^Щ ? Щ Ш^й:;: <Й/^νί ^;^! '^^!::;:' ?:';; Oh ^ ^ί ? ί h1 Ш^ Ш {г ·; (5·2)
Класс X называется замкнутым относительно
прямых произведений, когда выполняется требование:
|§||§^^ (5.3)
Класс X называется насыщенным, когда выполняется
требование:
161

5. ПРОЕКТОРЫ И ИНЪЕКТОРЫ
^есЩз/N^ Щ#ЩЩ^ (5.4)
Класс X называется замкнутым относительно под-
прямых произведений, когда выполняется требование:
:3;:|Ш|& (5.5)
Формацией называется класс, замкнутый
относительно фактор-групп и подпрямых произведений. Таким
образом, для формации выполняются требования (5.2)
и (5.5).
Формация называется насыщенной, если она
является насыщенным классом, т.е. для нее выполняется
требование (5.4). Ясно, что класс групп, замкнутый
относительно подпрямых произведений, будет замкнут и
относительно прямых произведений. В частности,
каждая формация замкнута относительно прямых
произведений.
Теорема 5.1. Класс групп, замкнутый
относительно подгрупп, фактор-групп и прямых произведений,
является формацией.
О Пусть для класса 5 выполняются требования
(5.1) — (5.3). Необходимо проверить, выполняется ли
требование (5.5). Пусть G/Νγ € 5 и G/N2 G 5. По
лемме Ремака (см. лемму 2.33, с. 80) фактор-группа
G/N\ Π N2 изоморфна подгруппе прямого произведения
G/N\ χ G/N2- Так как выполняется требование (5.3), то
G/N\ χ G/N2 Ε J. Поскольку выполняется требование
(5.1), то каждая подгруппа из прямого произведения
также принадлежит £. В частности, G/N\ Π N2 6 #· ^
Приведем примеры формаций.
1. Классу 21 всех абелевых групп присущи следующие свойства:
подгруппы и фактор-группы абелевых групп являются абелевыми
группами; прямые произведения абелевых групп также являются
абелевыми группами. Поэтому условия теоремы 5.1 для класса 21
выполняются. Следовательно, 21 — формация. Но эта формация не
является насыщенной. Действительно, все группы порядка 4 абе-
левы, поэтому все они принадлежат 2ί. В неабелевой группе Q
кватернионов порядка 8 подгруппа Фраттини $(Q) имеет порядок 2,
поэтому Q/$(Q) £ 21, но Q не содержится в 21.
162

5.1. Формации и классы Шунка
2. Для 91 выполняются условия теоремы 5.1. Если G/N £ 91,
N < Ф((7), то G Ε 91 по следствию из теоремы 3.24, с. 116. Поэтому
91 — насыщенная формация.
3. Для И справедливы условия теоремы 5.1, а по следствию из
теоремы 4.55, с. 156, Η — насыщенная формация.
4. Для Θ выполняются условия теоремы 5.1, а из леммы 4.13,
с. 123, следует, что выполняется требование (5.4). Поэтому Θ —
насыщенная формация.
5. Класс (£тг всех π-групп является формацией, поскольку он
замкнут относительно подгрупп, фактор-групп и прямых
произведений. Если £/Ф(<2) 6 <£тг, то 7r(G) = π((?/Φ((τ)) по теореме 4.33,
с. 140, поэтому G 6 <£π, т.е. (Επ — насыщенная формация.
6. Поскольку пересечение насыщенных формаций является
насыщенной формацией, то насыщенными формациями будут
следующие классы групп:
Θττ = β Π (£тг — класс всех разрешимых π-групп;
Ηπ = И П (Επ — класс всех сверхразрешимых π-групп;
9ΐπ = 91Π (Етг — класс всех нильпотентных π-групп.
Класс X называется примитивно замкнутым, когда
выполняется требование:
В силу того что примитивная фактор-группа может
быть получена как фактор-грулпа группы G по ядру
некоторой максимальной подгруппы, требование (5.6)
эквивалентно требованию:
!; VeJ^\^Cteeoi^*6^^? всех максдм^львых ,- -,
\\ :Щд^рухщМ шй труппы <j?, то G е^ЭЕ.' -'
Классом Шунка называется класс групп, который
одновременно замкнут относительно фактор-групп и
является примитивно замкнутым классом. Таким образом,
для класса Шунка выполняются требования (5.2) и (5.6).
Теорема 5.2. Всякий класс Шунка является на-
сыщенным.
D Предположим, что X — класс Шунка и N —
нормальная подгруппа группы (7, N < Ф(С) и G/N E
G 3£. Требуется показать, что G £ Χ. По лемме 3.18,
163

5. ПРОЕКТОРЫ И ИНЪЕКТОРЫ
с. 112, подгруппа Фраттини Ф(С) совпадает с
пересечением ядер всех максимальных подгрупп, т.е. Ф((?) =
= П Core GM. Так как1 TV < Ф(<3), то N < CoreGM
м к· g
для всех Μ < · G. Следовательно, G/TV/Core qM/N ~
~ G/Core qM G X ввиду того, что G/N G X и X —
гомоморф. Теперь G G Э£, поскольку класс X примитивно
замкнут. Η
Следствие. Если класс Шунка X является
формацией, то X — насыщенная формация.
Теорема 5.3. Насыщенная формация является
классом Шунка.
D Пусть 5 — насыщенная формация. Тогда для £
выполняются требования (5.2), (5.4) и (5.5). Надо
показать, что для J выполняется требование (5.7). Пусть
G/Core gM G 5 для всех Μ < · G. По лемме 3.18,
с. 112, <E>(G) = Π Core gM. Так как 5 — формация,
w'<· о
то С/Ф(С?) — G/ Г\ Core cM Ej. а поскольку 5 насы-
щена, то G G 5. И
Классы 91, 9Ϊτγ, И, ϋπ-, β, 6л-, <Е, <3тг — насыщенные
формации, следовательно, они являются классами Шунка.
Поскольку класс 21 всех абелевых групп — ненасыщенная
формация, то он не является классом Шунка.
Теорема 5.4. Класс всех разрешимых групп, у
которых коммутанты имеют нечетные индексы, явля~
ется классом Шунка и не является формацией.
D Вначале покажем, что класс
X = {G е 6 | 2 не делит | G : G' \)
является классом Шунка. Пусть G 6 X и N <l G. Так как
(GIN)' = G'N/N, то"
| G/N : G'N/N \=\G: G'N |=
=\G\\G'nN\/\G'\\N\=\G:G'\/\N:G'nN\
и 2 не делит | G/N : {G/N)1, |, т.е. G/N G X. Пусть G € Θ
и G/Core o'M G £ для всех Μ < · G. Предположим, что 2
делит | G/G' |. Тогда в группе G существует нормальная
подгруппа К индекса 2. Ясно, что К = Core сК < ■ G
164

5.1. Формации и классы Шунка
и G/K 0 Э£, т.е. получили противоречие. Таким образом,
X — класс Шунка.
Пусть G=(a)x 5L(2,3), α2 = е. Группа SX(2,3)
имеет порядок 24, а ее центр — порядок 2 (см. теорему 2.51,
с. 94, и теорему 2.52, с. 96). Поэтому в группе SX(2,3)
имеется нормальная подгруппа (b) = Z(SX(2,3))
порядка 2 и 5L(2,3)/(b> ~ А4 по теореме 2.54, с. 99.
Подгруппа (ab) < G и G/(ab) ~ SX(2,3) Ε 3£. Кроме того,
G/(a> ~ 5L(2,3) Ε Э£, но G ~ G/(a> Π (α&> 0 Ж. Поэтому
X не является формацией. И
Теорема 5.5. Если класс Шунка X содержит
неединичную р-группу, то X содержггт все р-группы.
D Предположим, что неединичная р-группа Ρ Ε X.
В р-группах максимальные подгруппы нормальны и
имеют простые индексы, т.е. если Pi < · Ρ, то Ρχ < Ρ и
| Ρ : Pi |= р. Так как Эс — гомоморф, то Ρ/Ρι Ε Χ.
Следовательно, в JE имеется группа порядка р. Допустим
теперь, что G — произвольная р-группа. Рассмотрим
произвольную максимальную подгруппу Μ группы G.
Тогда для Μ выполняются свойства Μ <] G и | G/M |= р.
В этом случае Μ = Core^M, G/Core^M Ε Χ. Так как
Χ — класс Шунка, то требование (5.7) из его определения
позволяет заключить, что G Ε Χ. Ю
Характеристикой класса X называется множество
простых чисел р, для которых в X имеется
неединичная р-группа. Характеристику класса X обозначают
через χ(Χ).
Теорема 5.6. Если X — класс Шунка. то ХПУХ =
D Предположим, что G Ε Э£ П 91 и ρ Ε ?r(G).
Тогда в нильпотентной группе G существует максимальная
подгруппа Μ индекса р. Поскольку пересечение классов
Шунка X и 91 вновь является классом Шунка, то G/M E
Ε Χ Π 91 и ρ Ε χ(Χ). Поэтому tt(G) С χ{Χ) и G Ε Ήχ(*),
т.е. £П<ЯС9Тх(:с).
Обратно, пусть G Ε ^(зе)· Рассмотрим
произвольную максимальную подгруппу Μ группы G. Так как G
нилыютентна, то Μ нормальна в G и | G/M |= р. Но
165

5. ПРОЕКТОРЫ И ИНЪЕКТОРЫ
ρ Ε χ(£), поэтому G/M Ε Э£, а так как Э£ — класс Шун-
ка, то G Ε £ и <Пх{Х) С ΐ Π ОТ. Η
Следствие. £fc/m X — насыщенная формация, то
Пусть £ — формация и G — группа. Пересечение
всех нормальных подгрупп группы G, фактор-группы
по которым принадлежат #, обозначим через и
назовем 5-корадикалом группы G. Таким образом, G^ =
П Ν.
Лемма 5.7. Пусть 3" — формация и G — группа.
Тогда:
1) если N <\G и G/N е 5, то G* < N;
2) G/G* е 5;
3) G^ — наименьшая нормальная подгруппа группы
G, для которой G/G^ E 57
4) G Ε 5 тогда и только тогда, когда G^ = .Б.
D 1. Если N <\ G n G/N E £, то по определению £-
корадикала G$ < N.
2. Из определения формации следует, что G/G^ =
= G/( П Ν) Ε 5·
N<G, G/iV6 5
3. Из утверждений 1 и 2 следует, что G^ —
единственная нормальная подгруппа группы G, для которой
G/G* Ε 5.
4. Если G Ε 5, то G* = Е. Если G* = Е, то G ~
~ G/JS € 5- Η
Приведем примеры корадикалов.
1. Для класса абелевых групп 21-корадикал G — G1 является
коммутантом группы G.
2. Пусть X — класс всех элементарных абелевых р-групп. По
теореме 5.1 класс X — формация. По лемме 3.25, с. 116, для
каждой р-группы Ρ подгруппа Ρ совпадает с подгруппой Фраттини
группы Р.
Лемма 5.8. Пусть 5 — формация, G — группа,
Η <G uK<G. Тогда:
1) {G/Κγ = G*K/K;
2) если φ — эпиморфизм G, то ip{G)^ = ψ(ΰ$);
166

5.1. Формации и классы Шунка
,3) если G = Η К, то Н^К = G$K;
4) если G = HK и К <G*,mo Η*К = G*.
Π 1. Пусть (G/K)* = Ν/Κ. Тогда {G/K)/{N/K) ~
~ G/7V G 5 и G5 < 7V по лемме 5.7, поэтому G^K/K <
< Ν/К. С другой стороны,
(G/K)/(GdK/K) ~ G/G*K ~ (G/G*)/{GSK/GS) е У,
так как G/G1^ G # и 5 — гомоморф. По лемме 5.7 N/Jf <
< G*K/K, т.е. G^/tf = Ν/Κ = (G/Kf.
2. Пусть φ — эпиморфизм и К = Кегф. Тогда φ{β) =
= G/K и φ(ΰ)* = (G/X)* = G^/X = ^(Gs).
3. Пусть Η < G и δ — естественный эпиморфизм
группы G на G/X, т.е. 5: д н-> gif для всех д Ε G.
Так как Кег5 = X, 5(G) = G/X и G = ##, то 5(Я) =
= Η К/К = G/K = 5(G). Поскольку δ(Η$) = Η*К/К,
то
S{GS) = G*K/K = (G/tf)* -
= 5(G)* = <У(Я)5 = i(#s) - HdK/K.
Следовательно, <№/# = Η9 К/К и G5tf = H*K.
4. Если К < G*, то Я*Х = G*# = Gs. И
Пусть ЭС — класс групп и$- формация. Корадикаль-
ным произведением X и $ называется класс
£o5={GE£ | G* G X },
состоящий из всех групп, у которых #-корадикал
принадлежит X.
Лемма 5.9. Пусть X — класс групп, J —
формация. Тогда:
1) если X — нормально наследственный класс, то
£ С X о 5;
2) если X содержит единичную группу (например,
X — непустой гомоморф), то # С X о £;
3) если X и 5 — формации, то группа G € Х°$ тогда
и только тогда, когда (G*)x = Ε.
D 1. Если G Ε X и Χ — нормально наследственный
класс, то G^ G I и G G I о 5, т.е. X С £ о £.
167

5. ПРОЕКТОРЫ И ИНЪЕКТОРЫ
2. Если G е 3, то G$ = Ε е X и G е X о $, £е.
3 С X о у. /
3. Пусть X и 5 -— формации. Допустим, что (? G ν£ο#.
Тогда G^ G 3£ и (G^)x = Ε по лемме 5.7. Обратно, если
(G5)* = Е, то G5 € £ и G € ЗЕ о J. И
Теорема 5.10. i. Если X — гомоморф, a J -- g5op-
мация, mo X о J — гомоморф.
2. Если X и 3 — формации, то X о J — формация.
3. Если X и 3 ~ наследственные формации, то
X о 3 — наследственная формация.
4. Если X и 5 - нормально наследственные
формации, то X о J — нормально наследственная формация.
D 1. Пусть G еХо$ и N <G. Тогда
(G/N)s = G*N/N ~ Gd/{GS Π Ν) е Χ,
так как G* G ЗС и 3£ — гомоморф. Поэтому G/N G X о £
и Эс о 3 — гомоморф.
2. Пусть X и 5 — формации. По утверждению 1
теоремы произведение X о £ — гомоморф. Пусть Л^ < G,
G/Ni G * о у, i = 1,2. Тогда (G/ΛΓ,)* = G*^/^< ~
~ Gd/{G$ Π ЛГ^) G £. Так как X — формация, то
(G/Νχ Π Ν2)Ζ = G^{NX Π Ν2)/Νι Γ) Ν2 ~
-G^/{G^nNlr\N2)eX
и G/(Ni Π Л^) G 3£ о J. Итак, 3£ о £ — формация.
3. Пусть 3 и X — наследственные формации, G G
G £ о J и Я < G. Тогда HG*/GS < G/G* G 5,
следовательно, HGt/G* G 5. Так как HG*/G* ~ Я/(Я Π Gs),
то #* < G5. Но Gs G X, поэтому Я5 G Ж и Я G ЗС о у.
4. Пусть X и $ - нормально наследственные
формации. Пусть G € Хо$ и N <G. Тогда G« G X.
Рассмотрим подгруппу К = NG^. Ясно, что К < G.
Поскольку X/G5 < G/G5 € У, то X/G5 € 5 и tf/G5 =
= NG*/GS ~ JV/(7V П G5) Ε 5, т.е. Ν* < Ν Γι Gs. Так
как iV П G^ < G^ G X и X — нормально наследственная
формация, то ЛГ П G5 G £. Но iV5 нормальна в Ν Π G5,
поэтому iV5 G £ и N G X о £. 1Я
168

5.2. Проекторы
.Теорема 5.11. Пусть 3£, 2) w 3 — формации.
Тогда:
1) G(x°9) = (G®)* для любой группы G;
*;(3£оЗ})оЗ = 3£о(2)оЗ).
D 1. По теореме 5.10 произведение Э£о2) — формация.
Пусть Л/* = С(*°9) — £о2)-корадикал группы G. Так как
G/7VgXo2},to
(G/7V)^ = о® Ν/Ν ~ (^/(G® Π JV) Ε Э£,
поэтому
Рассмотрим фактор-группу G/(G^)X. Поскольку
{Gl{G^)xf> = G^(G^)X/(G^)X ~
~ GV/{G*)X П G^ = GV/(G*)X e X,
то G/{G^)X e £o2) и G(*°9) < (G^)*. Таким образом,
2. Из утверждения 1 следует, что
G(Xo2))o3 = (С3)(Х°Ф) = ((G3)2->)* = (G{<®°3))x = G*o(a>3)
для любой группы G. Теперь если Ge(Xo2))o3, то
£(*оф)оЗ = Е = дХоЩоЪ) uGe £о(2)оЗ). Следовательно,
(Хо2))оЗСЗ£о(2)оЗ).
Обратно, если G G Зе о (2) о 3), то G*°(9°3) = Е =
= G^°^°3 и G G (3£о2))оЗ. Значит, £о(2)оЗ) С (£о2))оЗ
и*о(2)оЗ) = (3:о2))оЗ.Й
5.2. Проекторы
Пусть G — группа и X — класс групп. Если Я -
подгруппа группы G и Я £ £, то Я называют Х-подгруппой.
В группе G X-максимальной подгруппой называется
такая jC-подгруппа Я, которая не содержится ни в какой
большей Х-подгруппе. Таким образом, подгруппа Я
является Х-максимальной в G, если Я £ Χ и из условий
Η <К <G, К е X следует, что Η = К.
Подгруппа Я группы G называется Х-проектором
группы G, если ΗΝ/Ν — ^-максимальная подгруппа
169

5. ПРОЕКТОРЫ И ИНЪЕКТОРЫ
+—
группы G/N для любой нормальной подгруппы TV rj^yn-
пы G.
Пусть У1Р — класс всех р-групп и Gp — силовская р-подгруппа
в G. Так как Gp £ *ЛР и индекс Gp в группе G не делится на р,
то Gp — ЭДр-максимальная подгруппа группы G. Для любой
нормальной подгруппы N группы G по теореме 1.65, с. 54,
факторгруппа GpN/N — силовская р-подгруппа в G/N, поэтому GPN/N
является Ч\р-максимальной в G/N и Gv — *Лр-проектор группы G.
Таким образом, *Лр-проектор группы G совпадает с ее силовской
р-подгруппой.
Лемма 5.12. Пусть X — класс групп. Если Η —
Х-проектор группы G и N <\Gy то HN/N — Х-проектор
фактор-группы G/N.
□ Пусть K/N < G/N. Тогда
{ΗΝ/Ν · К/Ν) Ι Κ/Ν = ΗΚ/Ν/Κ/Ν ~ ΗΚ/Κ.
Так как Η — Х-проектор в G, то НК/К является X-
максимальной в G/K. Поэтому (ΗΝ/Ν · Κ/Ν)/Κ/Ν
^-максимальна в G/N/K/N ~ G/K и ΗΝ/Ν - X-
проектор в G/N. й
Лемма 5Λ3. Пусть X — класс групп. Подгруппа Η
группы G является Х-проектором тогда и только
тогда, когда Η является Х-максимальной в G и для любой
минимальной нормальной подгруппы N группы G
подгруппа ΗΝ/Ν — Х-проектор группы G/N.
D Если Η — Х-проектор группы G, то Η будет X-
максимальной в G и по лемме 5.12 подгруппа ΗΝ/Ν —
Х-проектор группы G/N для любой минимальной
нормальной подгруппы N группы G.
Обратно, пусть подгруппа Η Х-максимальна в G и
ΗΝ/Ν — Х-проектор группы G/N для каждой
минимальной нормальной подгруппы N группы G. Пусть
К — произвольная нормальная неединичная
подгруппа группы G и К\ — минимальная нормальная
подгруппа группы G, содержащаяся в К. По условию
леммы НК\/К\ — Х-проектор группы G/K\y
поэтому {ΗΚχ/Κχ · К/Кг)/К/Κι ~ НК/К будет Х-мак-
симальной в G/K\fK/K\ ~ G/K. Следовательно, Η —
Х-проектор группы G. KI
170

5.2. Проекторы
Лемма 5.14. Пусть X — гомоморф, Я < G, N<G
и Ν < Η. Если Η/Ν — Х-проектор фактор-группы
G/N, то каждый Х-проектор подгруппы Я является
Х-проектором группы G.
D Пусть К — ЭС-проектор подгруппы Я. Тогда
ΚΝ/Ν ЭС-максимальна в Η/Ν, а так как Η/Ν — Х-
проектор группы G/N> то KN = Я.
Пусть К < L G X, L < G. Тогда KN/N = H/N <
< LN/N ~ L/L Π N. Поскольку X — гомоморф, то
L/LHN G X и ΚΝ = Я = LN, т.е. L < Я. Из X-
максимальности К в Η следует, что К = L и К будет
^-максимальной в G.
Предположим, что подгруппа К не является X-
проектором группы G. Это означает, что существует
нормальная подгруппа А в группе G такая, что АК/А не X-
максимальна в G/A, т.е. существует подгруппа S/A G X
и АК/А < S/A. Поскольку Η/Ν — Х-проектор
группы G/N и ΑΝ/Ν < G/N, то (Η/Ν < ΑΝ/Ν)/{ΑΝ/Ν) =
= (ΗΑ/Ν)/(ΑΝ/Ν) ^-максимальна в {G/N)/{AN/N) и
Η Α/ΑΝ Х-максимальна в G/AN. Кроме того,
{S/A · AN/A)/{AN/A) ~
~ SN/AN ~ (S/A)/{S/A Π AN/A) G X,
а так как Η A/AN = KNA/AN < SN/AN, то из X-
максимальности Η A/AN в G/AN получаем, что НА =
= KNA = SN. Теперь S = AK{S П Ν) < АН, а
поскольку К — ЗС-проектор подгруппы Я, то К/К ПА ~
~ К (Α Π Η)/Α П Я ^-максимальна в Η/Α П Я. Но
К/К ПА~ К А/А < S/A < АН/А ~ Η/Α η Я,
где К/ЯГ Π А 6 X и 5/Л Ε £. Поэтому ЯГА = S, что
противоречит допущению. KI
Теорема 5.15. Пусть X — класс групп, а 2) —
класс Шупка. Если β каждой ^-группе существует X-
проектор, то Χ Π 2) — класс Шупка.
U Пусть G Ε £П2) uN<G. Тогда G/ΛΓ G 2), так как
2) — гомоморф. Поскольку G G £, то G является своим
ЗС-проектором, значит, G/N G X и Χ Π 2) — гомоморф.
171

5. ПРОЕКТОРЫ И ИНЪЕКТОРЫ
Пусть G/Core GM € Χ П 2) для всех Μ < · G. Так
как 2) — класс Шупка, то G £ 2). Пусть Я -- ^-проектор
группы G, он существует по условию теоремы.
Предположим, что Η φ G. Тогда в группе G существует
максимальная подгруппа А такая, что Η < А. Поскольку
НСотеаА < Л, то HCoreGA φ G. Но #СогесЛ/СогесЛ
будет Э£-максимальной в G /Core с А по определению X-
проектора, поэтому G/Core gА не принадлежит X.
Получили противоречие. Значит, Η = G, G Ε X, и требова-
ние (5.7) для класса 3:П2) выполняется. Следовательно,
Χ Л 2) — класс Шупка. IS
Разрешимым классом называется класс, состоящий
PI3 разрешимых групп.
Следствие. 1. Щсть X — класс групп. Если в
каждой группе существует Х-проектор, то X — класс Шун-
ка.
2. Разрешимый класс X, для которого каждая
разрешимая группа обладает Х-проектором, является
классом Шупка.
G 1. Данное утверждение следует из теоремы в
случае, когда 2) = £ — класс всех групп.
2. Утверждение следует из теоремы в случае, когда
2) = Θ — класс всех разрешимых групп, й
Теорема 5.16. Если X — класс Шупка. то в
каждой группе существует Х-проектор.
D Предположим, что существуют группы, в которых
нет Э£-проекторов. Среди таких групп выберем группу
наименьшего порядка и обозначим ее через G. Итак, в
группе G пет Х-проектора, но в каждой группе меньшего
порядка существует 36-проектор.
Если группа G простая, то каждая ЗЕ-максимальная
подгруппа является ^-проектором группы G. Значит,
группа G непростая. Пусть N<G, Ν φ Ε. Тогда \G/N\ <
< \G\ и в G/N есть £-проектор. Обозначим его через
H/N. Если Η — собственная подгруппа, то \Н\ < \G\ и
в Η по индукции имеется ^-проектор, который по
лемме 5.14 будет Х-нроектором группы G. Получили
противоречие. Следовательно, Η = G и G/N £ X для всех
172

5.2. Проекторы
неединичных нормальных подгрупп N группы G. Если
G не примитивна, то все примитивные фактор-группы
группы G отличны от G и принадлежат X. Но X — класс
Шунка, поэтому G € X и сама группа G является X-
проектором, т.е. получили противоречие.
Следовательно, G примитивна. По теореме 4.41, с. 145, в группе G не
более двух минимальных нормальных подгрупп.
Вначале рассмотрим случай, когда в группе G
единственная минимальная нормальная подгруппа. Пусть
N · < G. Если N < Ф((3), то G/N е X и по
теореме 5.2 группа G £ Э£, т.е. получили противоречие.
Следовательно, N не содержится в $(G). Поэтому
существует максимальная подгруппа Μ группы G такая, что
G = ΜΝ. Пусть К — Э£-проектор подгруппы М, он
существует по индукции, и А — ^-максимальная
подгруппа группы G. содержащая К. Так как G/N = ΜΝ/Ν ~
~ Μ/ΜΠΝ G £, то Κ(ΜΠΝ) = Μ и G = Κ{ΜΓ)Ν)Ν =
= ΚΝ = A7V.
Пусть теперь L — произвольная неединичная
нормальная подгруппа группы С В нашем случае АГ - -
единственная минимальная нормальная подгруппа, поэтому
N < L и AL/L = G/L £ ЗЕ, т.е. AL/L ^-максимальна в
G/L и А — Х-проектор группы (7.
Пусть теперь в группе G две минимальные
нормальные подгруппы Ν\ и 7^2- По теореме 4.41, с. 145, G =
= [7Vi]M = [7V2]M, где Μ < · G. Так как G/Nx ~MeX
и Μ < · G, то Μ ^-максимальна в G. Пусть L —
произвольная неединичная нормальная подгруппа группы G.
Тогда минимальная нормальная подгруппа в группе G
из L совпадает с Ν{ или N2. Пусть L > Ν\. Тогда
ML > MN\ — G и ML/L = G/ί/ ^-максимальна в G/L,
т.е. Μ — 3>проектор группы G. 13
Объединяя следствие из теоремы 5.15 и теорему 5.16.
получаем
Следствие 1. Класс X является классом Шупка
тогда и только тогда, когда в каждой группе
существует Х-проектор.
Следствие 2. Если 5 — насыщенная формация, то
каждая группа обладает 5-проектором.
173

5. ПРОЕКТОРЫ И ИНЪЕКТОРЫ
Π По теореме 5.3 каждая насыщенная формация
является классом Шунка. Теперь утверждение следует из
теоремы 5.16. й
Формация 21 не является классом Шунка и в диэдральной
группе порядка 8 нет 21-проекторов.
Пусть X — класс групп. Подгруппа Η называется Х-
покрываюъи}ей подгруппой группы G, если Η является X-
проектором каждой подгруппы группы (7, в которой Η
содержится.
Пример 5.1. Доказать, что в знакопеременной группе А$
степени 5 силовская 2-подгруппа Ρ является 91-проектором, но не
является ^Я-покрывающей подгруппой.
D Действительно, в А$ имеется подгруппа, изоморфная А±*
Пусть Η — подгруппа группы А$, содержащая Р, и изоморфная
А±. Тогда Ρ нормальна вЯи Н/Р 6 91, т.е. подгруппа Ρ не
является ^-проектором подгруппы Н. Значит, подгруппа Ρ не является
91-гюкрывающей подгруппой группы А$. Так как А$ — простая
группа и Ρ — *Л-максимальна в А$, то Ρ будет *Л-проектором в
А^. Отметим, что подгруппа Ρ является ^-покрывающей
подгруппой, й
Лемма 5.17. Пусть X - гомоморф. Подгруппа Η
является Х-покрывающей подгруппой группы G тогда и
только тогда, когда Η Ε Χ и из условий
Η <U < G, С/о < Е/, U/Uo e X (5.8)
следует, что НЩ = U.
D Пусть Η — ЭС-покрывающая подгруппа группы G
и выполняются условия (5.8). Так как Η — Х-проектор
подгруппы {/, то HUo/Uo является ^-максимальной в
U/U0. Но U/Uo e X, поэтому HU0/U0 = U/U0 и HU0 = U.
Обратно, пусть Η Ε X и для всех подгрупп U и Uq,
удовлетворяющих условиям (5.8) следует, что НЩ =
= U. Предположим, что подгруппа Η не является X-
покрывающей подгруппой группы G. Тогда подгруппа
Η не является ЗС-проектором некоторой подгруппы X.
Это означает, что для некоторой нормальной
подгруппы Хо группы X подгруппа НХо/Хо не Х-максимальна
в Х/Хо· Пусть U/Xo — ЭС-максимальная подгруппа в
Х/Хо, содержащая НХо/Хо- Тогда HXq < С/, а так как
Η £ X и X — гомоморф, то HXq/Xq ~ Η/Η Π Хо Ε ЗС.
174

5.2. Проекторы
Для подгруппы U выполняются условия (5.8), поэтому
НХо = U. Получили противоречие. Следовательно,
допущение неверно, подгруппа Η — Х-проектор подгруппы
X, а так как X — произвольная подгруппа группы G,
содержащая Д", то Η — Х-покрывающая подгруппа группы
G. Η
Лемма 5.17 позволяет дать следующее определение
^-покрывающей подгруппы, эквивалентное исходному.
Пусть X — класс групп. Подгруппа Η называется X-
покрывающей подгруппой группы G, если выполняются
следующие требования:
1) Η е X;
2) из условий Η <U < G, Uq<\U, U/Uq Ε X следует,
что U = HU0.
Лемма 5.18. Для любого гомоморфа X и любой
группы G справедливы следующие утверждения:
1) если Η — Х-проектор группы G и Η максимальна
в G, то Η — Х-покрывающая подгруппа группы G;
2) если Η — Х-покрывающая подгруппа в группе G и
Η < X <Q, то Η — Х-покрывающая подгруппа в X;
3) если Η — Х-покрывающая подгруппа группы G и
N<\G, то HN/N — Х-покрывающая подгруппа
факторгруппы G/N;
4) если N < G и H/N — Х-покрывающая подгруппа
фактор-группы G/N, то каждая Х-покрывающая
подгруппа из Η является Х-покрывающей подгруппой
группы G.
D Утверждения 1 и 2 непосредственно вытекают из
определения Х-покрывающей подгруппы.
3. По лемме 5.12 подгруппа ΗΝ/Ν — Х-проектор
фактор-группы G/N. Пусть Χ/Ν — произвольная
подгруппа группы G/N, содержащая ΗΝ/Ν. Тогда Η < X,
а так как Η — Х-проектор подгруппы X, то вновь по
лемме 5.12 подгруппа ΗΝ/Ν — Х-проектор Χ/Ν. Поэтому
ΗΝ/Ν — Х-покрывающая подгруппа группы G/N.
4. Пусть В — Х-покрывающая подгруппа в Н. Тогда
ΒΝ/Ν будет Х-максимальной в Η/Ν. Но H/N G X, зна-
175

5. ПРОЕКТОРЫ И ИНЪЕКТОРЫ
чит, BN = Я. По лемме 5.14 подгруппа В — ЭС-проектор
группы G. Пусть В <U <G, U0<U, U/U0 G X.
Докажем, что UqB = ί7, тогда по лемме 5.17 подгруппа В
будет £-покрываЕощей подгруппой группы G.
Так как Η = ЯЛГ < i/iV и Я/TV — ЗС-покрывающая
подгруппа группы G/N, то H/N — ^-покрывающая
подгруппа в UNJN. Но U0N/N < UN/Ν и UN/Ν/ЩИ/Ν ~
~ UN/UqN ~ C//C/0(i/ Π Ν) Ε Ι, поэтому #C/0W =
= Я(7о = UN, откуда получаем, что BNUq = I7iV. По
тождеству Дедекинда, с. 41, U = BUo{U Π ΛΓ), а
поскольку В([/ Π W) = t/ Π Я, то Е/ = U0{U Π Я).
Тогда U/Uq ~ U Г) H/Uq Π Я G Ж, а так как Я - X-
покрывающая подгруппа из Е/ПЯ, то Uf)H = B(UoHH)
nU = U0{U Π Я) = Я0Я(гУ0 П Я) = С/0Я. Η
Напомним, что подгруппа Я группы G называется
дополнением к подгруппе К, если Η К = G η НПК =- Е.
Для класса 3£ введем следующие подмножества
подгрупп группы G: Projje(G) — совокупность всех X-
проекторов группы G; Covx{G) — совокупность всех X-
покрывающих подгрупп группы G.
Ясно, что Covje(G) С Projx(G). Если А —
нормальная подгруппа группы G, то через Compel) обозначим
совокупность всех дополнений к подгруппе А в группе G.
Теорема 5.19. Пусть X — класс Шунка, А —
минимальная нормальная подгруппа группы G, причем
G £ X, a G/A £ X. Если А абелева, то
CompG(A) = Proj*(G) = Covx(G).
□ Применим индукцию по порядку группы G.
Согласно теореме 5.16 в группе G существуют X-
проекторы, поэтому PioJx(G) φ 0. Пусть Я -
произвольный ЗС-проектор группы G. По лемме 5.12
подгруппа Я А/А является ЗЕ-проектором группы G/A. Так как
G/A е X, то НА = G. Из того, что G £ X, получаем, что
Я φ G. Поскольку НГ\А<Н и А абелева, то Η Г) A<G, и
из минимальности подгруппы А следует, что Я Π А — Ε
и Я — максимальная подгруппа группы G. Таким обра-
176

5.2. Проекторы
зом, доказано, что
Prob(G) = Covx{G) С CompG(A). (5.9)
Пусть теперь В — произвольное дополнение к
подгруппе А в группе G. Тогда G = [А]Н = [А]В.
Предположим, что существует минимальная нормальная
подгруппа N группы G такая, что N < Η Π В. Рассмотрим
фактор-группу G/N. Так как ΑΝ = Α χ TV, то ΑΝ/Ν —
минимальная нормальная подгруппа группы G/N\
Подгруппа Η/Ν является ЗС-проектором группы G/N)
поэтому G/N £ J, но G/N/AN/N G X. Таким образом, все
условия теоремы выполняются для фактор-группы G/N.
По индукции B/N — ЗС-покрывающая подгруппа группы
G/N, а по лемме 5.18 подгруппа В — Х-покрывающая
подгруппа группы G.
Пусть теперь пересечение Η Π В не содержит
неединичных нормальных подгрупп группы G. Допустим, что
Core qB Φ Ε и К — минимальная нормальная
подгруппа группы G, содержащаяся в В. Тогда АК = А х К С
С Cg{A), значит, АКПН — нормальная подгруппа
группы G. В нашем случае А К Π Η не содержится в В:
поэтому {АКПЩВ = G, G/АКПН ~ В/ВПАКПН G X.
Так как Н/АКПН — Х-проектор группы G/AK Π Я, то
получили противоречие. Следовательно, СохедВ = Е.
Теперь если L — произвольная нормальная
подгруппа группы (7, то L не содержится в В и BL/L = G/L
будет ЗС-максимальной в G/L, т.е. β — Х-проектор
группы G. Итак, Сотр^(^) С Proj^(G) и из соотношения
(5.9) следует, что Proj X(G) = CovX(G) = Compel). И
Лемма 5.20. Пусть X ■- класс Шунка и N - ииль-
потентная нормальная подгруппа группы G. Если Η —
Х-подгруппа, для κοτη,οροιι ΗΝ = G, то Η содержится β
некоторой Х-покрыва7ощей подгруппе группы G. В
частности, если Η — Х-максимальная подгруппа группы G,
для которой ΗΝ = G, то Η -- Х-покрыеающая
подгруппа группы G.
D Воспользуемся индукцией по порядку группы G.
Пусть А — минимальная нормальная подгруппа группы
G, содержащаяся в N. Тогда для фактор-группы G/A
177

5. ПРОЕКТОРЫ И ИНЪЕКТОРЫ
условия леммы выполнены. По индукции Х-подгруппа
НА/А содержится в некоторой Х-покрывающей
подгруппе F*/A группы G/A.
Условию леммы удовлетворяет группа F* с нильпо-
тентной нормальной подгруппой F* Π Ν и Х-подгруппой
Н. Если F* φ (7, то по индукции подгруппа Η
содержится в некоторой Х-покрывающей подгруппе F группы F*,
которая по лемме 5.18 будет Х-покрывающей
подгруппой группы G. Поэтому следует считать, что G/A £ X.
По теореме 5.19 подгруппа А имеет дополнение F в
группе G и F является Х-покрывающей подгруппой группы
G. Ясно, что F — максимальная подгруппа группы G.
Так как Ν П F < F и N нильпотентна, то N OF <\G.
Если Ν Г) F Φ Ε. то можно считать подгруппу А
содержащейся в Ν Π F. Тогда F — G и Η < F,
Если Ν Π F = £, то А = 7V и из условия #Λί = G
следует, что ii — дополнение к N в G и по теореме 5.19
Я будет Х-покрывающей подгруппой группы G. И
Теорема 5.21. Для любого класса Шунка Χ β каою-
дой разрешимой группе G любой Х-проектор является
Х-покрывающей подгруппой и любые две Х-покрывающие
подгруппы группы G сопряжены между собой.
D Воспользуемся индукцией по порядку группы G.
Заметим, что по теореме 5.16 в каждой группе
существует Х- проектор.
Пусть G — разрешимая группа и А —
минимальная нормальная подгруппа группы G. Тогда А абеле-
ва. Пусть Η — Х-проектор группы G. Согласно
лемме 5.12 подгруппа НА/А является Х-проектором
группы G/A. По индукции можно считать, что НА/А — X-
покрывающая подгруппа группы G/A.
Рассмотрим подгруппу НА и применим к группе НА
лемму 5.20. Согласно этой лемме подгруппа Η является
Х-покрывающей подгруппой группы НА. По лемме 5.18
подгруппа Η будет Х-покрывающей подгруппой
группы G. Итак, каждый Х-проектор группы G является X-
покрывающей подгруппой группы G.
Пусть теперь Н\ и #2 — две Х-покрывающие
подгруппы группы G. Тогда Н\А/А и Н2А/А —
ΧΙ 78

5.2. Проекторы
покрывающие подгруппы фактор-группы G/A и по
индукции они сопряжены между собой, т.е. существует
элемент д G G такой, что НгА/А = {Н2А/АУА. Отсюда
получаем, что Н\А = ЩА.
По лемме 5.18 Н\ и iff — Х-покрывающие подгруппы
группы Н\ А. Если Н\ А — собственная подгруппа группы
G, то по индукции подгруппы Η ι и iff сопряжены в Н\А,
т.е. существует элемент ha G Н\А, где h G Я, a G А,
такой, что Н[ = iff α· Значит, Н\ и #2 сопряжены в G.
Поэтому будем считать, что Н\А = Н^А = G. Подгруппа
А выбиралась произвольно. Если CoreG#i φ Ε, то А
можно считать содержащейся в Hi и Н\ = G. В этом
случае теорема верна.
Пусть СотесНх = Е. Тогда Соге<з#2 = Е. Но в
разрешимой группе максимальные подгруппы с
единичными ядрами сопряжены между собой по теореме 4.43,
с. 148. Значит, Н\ = Щ для некоторого χ G G. ΚΙ
По теореме 5.3 каждая насыщенная формация
является классом Шунка. Поэтому справедливо
Следствие. Для любой насыщенной формации У
β каждой разрешимой группе G любой ^-проектор
является 5-покрывающей подгруппой и любые две J-
покрывающие подгруппы группы G сопряжены между
собой.
Поскольку в разрешимых группах понятия J-
проектора и ^-покрывающей подгруппы совпадают, то в
дальнейшем для разрешимых групп будем использовать
термин «^-проектор».
Теорема 5.22. Если X - разрешимый класс
Шунка, а$ - разрешимая насыщенная формация, то Хо$ —
разрешимый класс Шунка.
D По теореме 5.10 произведение X о £ — гомоморф.
Ясно, что Хо$ — разрешимый класс. Пусть G/N G £ο£
для всех примитивных фактор-групп G/N группы G и
S — Х-проектор группы G^. Так как группа G
разрешима, то Х-проекторы в G^ существуют и сопряжены
между собой. По лемме Фраттини G = Nc(S)G^.
Предположим, что существует максимальная
подгруппа Μ в группе G такая, что 5 < Μ и G5 g M. Пусть
179

5. ПРОЕКТОРЫ И ИНЪЕКТОРЫ
СотесМ — ядро подгруппы Μ в группе G,
Факторгруппа G/Core gM примитивна, поэтому G/СотесМ £
(G/CoreGM)5 = GdCoreGM/CoreGM ~
-G5/(G5nCoreGM)GX.
Но тогда G5 = S{G$ П CoreGM) < 5CoreGM < Μ, что
противоречит выбору М.
Следовательно, для любой максимальной подгруппы
Η группы G такой, что S < Н, выполняется включение
G* < Н. Поскольку G = NG{S)GS, то S < G, G*/S <
< Φ ((7/5). Так как формация # насыщенна и G/G^ ~
~ {G/S)/{G*/S) е У, то G/S Ε У и G* = 5 G X. Значит,
G G X о у. И
Следствие. Если X и $ — разрешимые насыщенные
формации, то Χ о J — разрешимая насыщенная
формация,
О По теореме 5.10 произведение X о J — формация.
Так как каждая насыщенная формация является
классом Шунка, то по теореме 5.22 произведение Хо$ — класс
Шунка. Но класс Шунка — насыщенный класс, поэтому
X о £ — насыщенная формация. И
В нильпотентных и сверхразрешимых группах X-
проекторы допускают описание для любого класса
Шунка X,
Теорема 5.23. Пусть X — класс Шунка и G —
нильпотептпая группа. Подгруппа Η группы G X-
максимальпа тогда и только тогда, когда Η — χ(Χ)-
холлова подгруппа.
D Согласно теореме 5.6 пересечение Χ Π 9ΐ = ^χ(Χ)-
Пусть Η — ^-максимальная подгруппа группы G. Ясно,
что Η будет х(3£)-подгруппой. Если К -- х(£)-холлова
подгруппа группы G, то Η < К. Так как К £ ^х(х) =
= Χ Г) 9ΐ, то К — ^-подгруппа и Η = К.
Обратно, если Η — х(£)-холлова подгруппа, το Η £
Ε ^χ(χ) = % Π 9ΐ. Если К ^-максимальна в G η Κ > Η,
то К Ε £ Π 91 = 9ΐχ(£) и -К" """ х(£)-подгруппа. Поэтому
Н = К. Η
180

5·&· Проектоуы
Поскольку в каждой группе ЗС-проектор является ЗЕ-
максимальной подгруппой, то имеем
Следствие. 1. Пусть X — класс Шунка и G —
нилъпотентная группа. Подгруппа Η является X-
проектором группы G тогда и только тогда, когда Η —
х(Х)-холлова подгруппа.
2. Пусть 5 — насыщенная формация и G — нильпо-
тентная группа. Подгруппа Η является Х-проектором
группы G тогда и только тогда, когда Η — χ{Χ)-
холлова подгруппа.
Теорема 5.24. Пусть X — класс Шунка и G —
метанильпотентная группа. Подгруппа Η является X-
проектором группы G тогда и только тогда, когда Η
будет Х-максимальной в G и HF(G)/F(G) — χ(Χ)-
холлова подгруппа фактор-группы G/F(G).
D Пусть Η — Х-проектор группы G. Тогда Η
является ЗЕ-максимальной в группе G и HF(G)/F(G) —
ЗЕ-проектор фактор-группы G/F(G) согласно
лемме 5.18. Так как G/F(G) по условию нильпотентна, то
HF(G)/F(G) — %(ЗЕ)-холлова подгруппа фактор-группы
G/F(G) по следствию из теоремы 5.23.
Обратно, пусть Η является ЗЕ-максимальной в
группе G и HF(G)/F(G) — ЗЕ-холлова подгруппа
факторгруппы G/F(G). Пусть К — ЗЕ-проектор группы G. Тогда
KF(G)/F(G) — Х-проектор фактор-группы G/F{G). По
следствию из теоремы 5.23 подгруппа KF(G)/F{G)
является х(ЗС)-холловой подгруппой нильпотентной
группы G/F{G). Значит, HF(G) = KF(G). Поскольку
подгруппа Η является ЗЕ-максимальной в HF(G), то по
лемме 5.20 подгруппа Η — ЗЕ-проектор группы HF(G). Так
как подгруппа К также является ЗЕ-проектором группы
HF(G), το Η и К сопряжены. Следовательно, подгруппа
Η — ЗЕ-проектор группы GM
Следствие 1. Пусть X — насыщенная формация и
G — метанильпотентная группа. Подгруппа Η — X-
проектор группы G тогда и только тогда, когда Η
является Х-максимальной в G и HF(G)/F{G) — χ(Χ)-
холлова подгруппа фактор-группы G/F(G).
Поскольку по теореме 4.52, с. 155, каждая
сверхразрешимая группа имеет нильпотентный коммутант, то
получаем
181

5. ПРОЕКТОРЫ И ИНЪЕКТОРЫ
Следствие 2. 1. Пусть X — класс Шунка и G —
сверхразрешимая группа. Подгруппа Η — Х-проектор
группы G тогда и только тогда, когда Η является X-
максимальной в G и HG'/G1 — х(Х)-холлова подгруппа
фактор-группы G/Gf.
2. Пусть X — насыщенная формация и G -
сверхразрешимая группа. Подгруппа Η будет Х-проектором
группы G тогда и только тогда, когда Η является X-
максимальной в G и HG'/G' — \(Х)-холлова подгруппа
фактор-группы G/G'.
5.3. Картеровы и гашюцевы подгруппы
разрешимых групп
Лемма 5.25. Пусть X — класс Шунка
характеристики π и Η - Х-проектор группы G. Тогда
Ng(H)/H — π*-группа.
D Если Nq(H)/H не является π'-группой, то
существует простое число ρ £ π, которое делит порядок
Ng{H)/H. По теореме Силова в группе Ng(H)/H
имеется подгруппа К/Η порядка р. Так как в X есть подгруппа
порядка р, то К/Η £ X и Ή не является Х-проектором
К, т.е. получили противоречие, й
Лемма 5.26. Пусть X — класс Шунка. В каждой
разрешимой группе Х-проектор самонормализуем тогда
и только тогда, когда 91 С X.
D Пусть в каждой разрешимой группе ЭС-проектор
совпадает со своим нормализатором. Предположим, что
УХ не содержится в X. Тогда существует группа G £ УХ\Х.
Пусть Η — Х-проектор группы G. Так как G φ X, то Η φ
Φ G. Но г? гшльпотентных группах собственные
подгруппы отличны от своих нормализаторов, поэтому
Ng{H) Φ И, т.е. получили противоречие. Значит,
допущение неверно и У\ С X.
Обратно, пусть 9ί С X и существует разрешимая
группа G, в которой Х-проектор Η - собственная
подгруппа в своем нормализаторе. Пусть простое число ρ
делит порядок Nq{H)/H. Тогда в Ng{H)/H существует
182

5 3- Картеровы и гаш7оцевы подгтппы
подгруппа К/Η порядка р. Так как К/Η е 91 с Χ το
Η не будет ^-проектором подгруппы X, т.е. получили
противоречие, й
Картеровой подгруппой называют нильпотентную
самонормализуемую подгруппу группы.
Теорема 5.27. В любой разрешимой группе
множество УХ-проекторов совпадает с множеством кар-
теровых подгрупп.
D Пусть Η — 91-проектор разрешимой группы G.
Тогда Η нильпотентна и по лемме 5.26 совпадает со
своим нормализатором, т.е. Η является картеровой
подгруппой группы G.
Обратно, пусть Η — картерова подгруппа
разрешимой группы G. Воспользуемся индукцией по порядку
группы. Так как в нильпотентных группах
собственные подгруппы отличны от своих нормализаторов, то
Η — 91-максимальная подгруппа группы G. По
лемме 5.20 существует нильпотентная нормальная
подгруппа N группы G такая, что ΗΝ — собственная
подгруппа. По индукции Η — 91-проектор группы ΗΝ. Пусть
xN Ε NG/N(HN/N). Тогда Нх — картерова подгруппа
группы ζΗΝ)χ = ΗΝ и по индукции подгруппа Нх —
Οΐ-проектор группы ΗΝ. Поэтому подгруппы Η и Нх
сопряжены в ΗΝ', т.е. существует элемент у £ ΗΝ такой,
что Нх = НУ. Тогда ху~1 Ε NG{H) = Я, χ G Ну С ΗΝ.
Таким образом, ΗΝ/Ν — самонормализуемая
нильпотентная подгруппа группы G/N. По индукции подгруппа
ΗΝ/Ν — 91-проектор группы G/N, а согласно лемме 5.18
подгруппа Η — ОТ-проектор группы G. KI
Следствие. В любой разрешимой группе картеровы
подгруппы существуют и сопряжены между собой.
Лемма 5.28. Если в примитивной разрешимой
группе G примитиватор имеет простой индекс, то
группа G сверхразрешима.
D Пусть G — примитивная группа, Μ — ее
примитиватор и \ G : Μ \= ρ — простое число. Пусть N · < G.
По теореме 4.42, с. 147, группа G = [Ν]Μ и N = CG{N).
Тогда | Ν \— ρ и G/N изоморфна группе
автоморфизмов группы 7V, которая является циклической группой
183

5. ПРОЕКТОРЫ И ИНЪЕКТОРЫ
порядка, делящего р —1. Следовательно, Μ циклическая
и группа G сверхразрешима по лемме 4.46, с. 151. й
Гашюцевой подгруппой группы G называется
подгруппа Η группы G, удовлетворяющая следующим двум
условиям:
1) Η сверхразрешима;
2) если Я < #! < Τ < G, то | Τ : Ηλ \ — не простое
число.
Теорема 5.29. В любой разрешимой группе
множество il-проекторов совпадает с множеством гашю-
цевых подгрупп.
G Пусть Η — U-проектор разрешимой группы G.
Тогда Η сверхразрешима. Предположим, что
существуют подгруппы Hi и Τ такие, что Η < Hi < - Τ, | Τ : Н\ |=
= ρ — простое число. Тогда Τ/Coreτ(Ηι) —
примитивная группа с примитиватором Ηι/Соте τ{Ηι) индекса
ρ в T/Corer(#i). По лемме 5.28 группа T/Core;r(#i)
сверхразрешима. Так как Η — U-проектор Τ, то
Τ = ΗCorer(Hi) = Hi, т.е. получили противоречие.
Поэтому допущение неверно и если Η < Н\ < - Т, то
| Τ : Hi I — не простое число.
Обратно, пусть выполняются оба условия из
определения гащюцевой подгруппы. Если Η < · Τ и Τ Ε it,
то I Г : Η Ι — простое число по теореме 4.48, с. 152,
что противоречит второму условию. Поэтому ff — it-
максимальная подгруппа группы G. По лемме 5.20
существует нильпотентная нормальная неединичная
подгруппа N группы G такая, что HN — собственная
подгруппа. Рассмотрим фактор-группу G/N. Ясно, что HN/N
сверхразрешима. Если ΗΝ/Ν < Ηι/Ν < · Τ/Ν < G/N,
то Η < Hi < · Τ < G и Ι Τ : Hi | - не простое
число. Таким образом, HN/N — гащюцева подгруппа
фактор-группы G/N. По индукции HN/N является it-
проектором фактор-группы G/N, а согласно лемме 5.18
подгруппа Η — it-проектор группы G. й
Следствие. В любой разрешимой группе гащюцевы
подгруппы существуют и сопряжены между собой,
В § 4.5 для произвольного множества π простых
чисел в каждой разрешимой группе установлено
существование и сопряженность π-холловых подгрупп. Эти
184

5,4* Классы Фиттинга
утверждения являются частными случаями следствия из
теоремы 5.21.
Теорема 5.30. В любой разрешимой группе
множество Θπ -проекторов совпадает с множеством
π-холловых подгрупп.
D Воспользуемся индукцией по порядку группы.
Поскольку класс Θπ всех разрешимых π-групп является
насыщенной формацией, то вл-проекторы существуют и
сопряжены в каждой разрешимой группе в силу
следствия из теоремы 5.21. Пусть Η — Θπ-проектор
разрешимой группы G и N — минимальная нормальная
подгруппа группы G. Тогда Η — π-подгруппа группы
G. Так как ΗΝ/Ν — бтг-проектор группы G/N, то по
индукции ΗΝ/Ν — π-холлова подгруппа группы G/N.
Если ΗΝ φ G, то по индукции Η — π-холлова
подгруппа группы ΗΝ, поэтому из равенства | G : Η |=
= | G : ΗΝ || ΗΝ : Η | следует, что Η — π-холлова
подгруппа группы G. Если ΗΝ = G, то Η — максимальная
подгруппа группы G и Η Π Ν = Ε. Если Ν — р-группа
для р G π, то G — π-группа иС = ЯЕ 6π. Если ρ £ π,
το I G : Η |=| Ν Ι — π'-число и Η - π-холлова
подгруппа груплы G. Итак, каждый б^-проектор разрешимой
группы G является π-холловой подгруппой.
Обратно, пусть Η — π-холлова подгруппа группы G.
Тогда из леммы 4.34, с. 141, следует, что Η — (Зтг-проек-
тор группы G. й
Следствие. Для произвольного множества π
простых чисел в каждой разрешимой гр%)ппе G π-холловы
подгруппы существуют и сопряжены между собой.
5.4. Классы Фиттинга
Класс X называется нормально наследственным или
классом, замкнутым относительно нормальных
подгрупп, когда выполняется требование:
||||Ш|Щ (5.Ю)
Очевидно, что если класс X замкнут относительно
нормальных подгрупп, то X замкнут относительно суб-
185

5. ПРОЕКТОРЫ И ИНЪЕКТОРЫ
нормальных подгрупп, т. е. если G Ε X и N < < G, то
7VGX.
Класс X называется замкнутым относительно
произведений нормальных Х-подгрупп, когда выполняется
требование:
111ЯШЯШВ1!111Я1Ш11И1Я (5Л1)
Классом Фиттинга называется класс X, замкнутый
относительно нормальных подгрупп и произведений
нормальных Х-подгрупп. Класс Фиттинга называют также
радикальным, а формацию, являющуюся классом
Фиттинга, — радикальной.
Классы Θ, 9ΐ, Θπ, 91π для любого множества простых чисел π
будут классами Фиттинга.
Для каждого натурального к класс 91 всех разрешимых групп
нильпотентной длины, меньшей либо равной к, согласно
лемме 4.29, с. 133, будет классом Фиттинга.
Пример 5.2. Показать, что классы 21 и U не являются
классами Фиттинга.
D Действительно, для классов 21 и 11 первое требование
(см. (5.10)) определения класса Фиттинга выполняется, а второе
требование (см. (5.11)) нарушается. Неабелева диэдральная
подгруппа D$ порядка 8 является произведением двух абелевых
подгрупп А и В порядка 4. Поэтому D% = АВ £ 21, но Ау В € 21.
Для класса сверхразрешимых групп 11 соответствующий пример
имеется в конце гл. 4. й
Теорема 5.31. Если класс X замкнут
относительно произведений нормальных Х-подгрупп, то
каждая субнормальная Х-подгруппа группы G содержится
в некоторой нормальной X-подгруппе.
□ Пусть Η — субнормальная Эс-подгруппа группы
G. Применим индукцию по индексу \ G : Η \. Заметим,
что Η φ Ng{H) и Nq{H) φ G. Выберем подгруппу L в
группе G, обладающую следующим свойством:
подгруппа L порождается всеми субнормальными подгруппами
X группы G такими, что Η < X < Ng{H).
Ясно, что Η < L < Ng{H). Так как по
теореме 2.43, с. 87, подгруппа, порожденная субнормальными
подгруппами, является субнормальной подгруппой, то L
субнормальна и существует субнормальная подгруппа Μ
186

5.4- Классы Фиттинга
в группе G такая, что L <\ Μ и Μ φ L. По выбору L
подгруппа Μ не содержится в Nq{H). Значит, существует
элемент χ G М\ NG(H). Ясно, что Я φ Нх, Нх е X
и Нх — субнормальная подгруппа группы G. Поскольку
Я < L, то Я* < Lx ~ L. Теперь if Я* — подгруппа
группы L и ЯЯ1 G X согласно второму требованию
определения класса Фиттинга (см. (5.11)). Кроме того, ННХ φ Я,
поэтому к подгруппе ННХ применима индукция. По
индукции в группе G существует нормальная подгруппа N
такая, что N G X и ННХ < N. Значит, Η <Ν.№
Следствие 1. Пусть класс X замкнут
относительно произведений нормальных Х-подгрупп. Если Н\, Н2 —
субнормальные Х-подгруппы группы G, то (Н\^Н2) —
субнормальная Х-подгруппа.
D Пусть Μ = (Н\,Н2). По теореме 5.31 в группе
Μ существуют нормальные Х-подгруппы Ν\ и Ν2 такие,
что Н\ < Ν\7 Н2 < Ν2. Согласно второму требованию
определения класса Фиттинга (см. (5.11)) произведение
ΝχΝ2 G X. Поэтому Μ = (ЯЬЯ2) < ΝλΝ2 < Μ и Μ =
= ΝχΝ2 ex. ®
В силу следствия 1 требование (5.11) стало
эквивалентным следующему требованию:
Следствие 2. Пусть класс X замкнут
относительно произведений нормальных Х-подгрупп. Если Я —
субнормальная Х-подгруппа группы G, то HG £ £.
D Подгруппа HG порождается всеми сопряженными
с Я подгруппами группы G, т.е. HG = (Н° | g G G). На
основании следствия 1 получаем, что Я6* Gl. й
Применяя следствие 2 к классам всех разрешимых и
нильпотентных групп, имеем
Следствие 3. Пусть Я — субнормальная подгруппа
группы G. Тогда:
1) если Я разрешима, то HG разрешима;
2) если Я нильпотентна, то HG нильпотентна.
187

5. ПРОЕКТОРЫ И ИНЪЕКТОРЫ
Пусть X — класс Фиттинга. Произведение всех
нормальных Х-подгрупп группы G называется Х-радикалом
группы G и обозначается через ΰχ. Ясно, что Х-радикал
όχ является наибольшей нормальной подгруппой
группы G, содержащейся в X,
Если G — группа, то ЭД-радикал С*л совпадает с подгруппой
Фиттинга F(G).
Лемма 5.32. Пусть X — класс Фиттинга, G —
группа и Η <] <G. Подгруппа Η £ X тогда и только
тогда, когда Η < ΰχ.
О Пусть Η < < G и Η Ε Χ. По следствию 2 из
теоремы 5.31 получаем, что Η < HG £ X и HG < ΰχ.
Обратно, пусть Η <J < G и Η < Gx* Так как Gx € Χ
и выполняется первое требование определения класса
Фиттинга (см. (5.10)), то Я G X. Η
Лемма 5.33. Если X — класс Фиттинга и
N < <G, то Νχ = GxDN.
D Так как GxnN < < G* и G* 6 ЭЕ, το ΰχΠΝ £ Χ.
Поскольку ΰχΠΝ < Ν, το Gx Γ) Ν С Νχ.
Обратно, Νχ <3 iV < < G, поэтому Νχ < < G и
Νχ С Gx согласно лемме 5.32. Итак, Gx Π JV = ΛΓχ. ΚΙ
Лемма 5.34. Пусть группа G содержит
нормальную подгруппу N индекса р, где ρ — простое число. Если
Ζ — циклическая группа порядка р, то прямое
произведение G х Ζ содержит нормальную подгруппу К',
изоморфную G, и отличную от G.
D Так как (G χ Ζ) /Ν ~ Ενι, где Ενι — элементарная
абелева группа порядка р2, то в (G χ Ζ)/Ν
существует ρ2 — 1 элементов порядка ρ, которые распадаются на
(р2 — 1)/(р — 1) = ρ + 1 подгрупп порядка р. Поэтому в
(G χ Ζ)/Ν существует подгруппа Κ/Ν порядка ρ такая,
что Κ/Ν φ G/N и Ζ £ К. Подгруппа К нормальна в
группе G χ Ζ, Κ φ G. Кроме того, GxZ = KxZu
(G χ Z)/Z ~G~{K χ Ζ)/Ζ ~ К. Β
Теорема 5.35. Если класс Фиттинга X содержит
разрехиимую группу G. то 9ΐπ(<7) Q
ΧΩ Пусть G £ ХП& ар Ε 7r(G). У разрешимой группы
факторы композиционного ряда имеют простые
порядки. Поэтому существуют подгруппы N < Η <] <] G такие,
188

5.4» Классы Фиттинга
что | H/N \— р. Пусть Ζ — циклическая группа порядка
р. По лемме 5.34 существует группа if, изоморфная Η
такая, что К < Η χ Ζ, К φ Η. Теперь Η К = Η χ Ζ Ε Χ.
Итак, класс Χ содержит группу порядка р.
Пусть Ρ — произвольная р-группа. По индукции
можно считать, что все собственные подгруппы
группы Ρ содержатся в X. Если в группе Ρ имеются две
различные подгруппы Pi, P2 индекса р, то Ρχ,Ρζ £ X
по индукции, а так как для X выполняется второе
требование определения класса Фиттинга (см. (5.11)), то
Ρ = Р\Р2 € X. Пусть в Ρ только одна подгруппа индекса
р. В этом случае группа Ρ циклическая. Пусть | Ρ |= ρπ,
I -Pi 1= Рп_1· Построим группу В = Αι χ ... χ Ар,
Αχ ~ Ρ\. Пусть Ai = (di). Рассмотрим отображение
у: В «->■ В такое, что 7(аг) = ^г+ь * — 1, - -. ,р — 1,
j[ар) = а\. Легко показать, что 7 € Auti?, I7I = ί>·
Следовательно, существует группа Μ — (αϊ,...,αρ,7) =
= Β(7>. Тогда | Μ | = ρί*-1)**1, значит, все подгруппы в
Μ субнормальны. Так как Б G ϊ и (7) G ϊ, то Μ G X.
Вычислим порядок элемента αϊ7. Поскольку
(αι7)ρ = αι7αι7·.·αι7 =
= αι(^ι7_1)(72αι7~2) · · · (7Ρ_1αι71~Ρ) = «ι«2 ... αΡ
и d\d2..-dp имеет порядок pn_1, то элемент αχ7 имеет
порядок ρ . Следовательно, Ρ Ε X. Итак, !ЯР С J для
всех ρ G 7r(G). Поэтому 9ΐπ(<2) CI. й
Следствие 1. #слг/ £ — класс Фиттинга, то
D По теореме 5.35 имеем включение 91р Q X для
всех ρ € χ(£). Поэтому ^х(х) С Χ Π ОТ.
Обратно, если G G £ Π 9ΐ, то 41π(ο) С J по
теореме 5.35. Поэтому n(G) С χ(Χ) и G € ЭТх(х). Итак,
<nn£ = <nx(je). и
Следствие 2. Ясли £ — класс Фиттинга, то
*(*)= U π(σ).
Ge£n6
D Пусть τ = U 7г(С7). Если ρ Ε χ(£), то суще-
Gexne
189

5. ПРОЕКТОРЫ И ИНЪЕКТОРЫ
ствует группа Zv простого порядка, принадлежащая X.
Так как Zp G Χ Π 6, то ρ G т.
Обратно, если ρ G т, то существует разрешимая
группа G G X такая, что ρ G π((7). По теореме 5.35 получаем,
что ^(G) С £ и ρ G х(Х). Итак, χ{Χ) = т. В
Пусть X — класс Фиттинга и 2) — класс групп.
Радикальным произведением X и 2) называется класс
Хо2) = {Се<£|СуС*€2)}.
Теорема 5.36. £Ъш X и%) — классы Фиттинга,
то Χ ο 2) — ?сласс Фиттинга и X С Э£ о 2).
D Пусть Се^офиЖС Тогда Я* = Я П Gx и
Я/Яд- ~ HGx/Gx < G/Gx. Так как G/G* G 2) и 2) -
класс Фиттинга, то Η/Ηχ €2)иЯеЗСо2).
Пусть Hi e £о2), Hi<iG, i = 1,2, и G = Я1Я2.
Тогда Я<СХ/СХ ^ #/# П Gje = Щ/{Щ)х е 2J и
G/G* - ЯхЯг/Сх = {HxGxlGx){H2GxIGx) G 2J. Сле-
довательно, GG3Eo2j иХоЗ) - класс Фиттинга.
Если G G ЗС, то G = Gx и G/Gje = Вб2), т.е. G G
G X о 2). Таким образом, ЗЕ С ЗС о 2). Η
Теорема 5.37. Пусть 3£,2) г/3 ~ классы
Фиттинга. Тогда:
1) (G/Gx)z) = Gxoy/Gx',
i?;(Xo2))o3-Xo(2)o3).
D 1. По теореме 5.36 произведение ЗС о 2) — класс
Фиттинга и ЗЕ С ЗС о 2). Поэтому Οχ С G£O0)> a так как
^Хоф £ Э£ о 2), то Gxoty/Gx G 2). Отсюда следует, что
Gxoty/Gx С (G/Gx)v).
Проверим обратное включение. Обозначим
{G/Gx)y = H/Gx. Так как Я < G, то Я* С G*,
поэтому Я^ = G*. Но H/Gx G 2), значит, Я G X о 2),
т.е. H/Gx С Gxoty/Gx. Таким образом, {G/Gx)^ =
= {GxoZ))/Gx.
2. Пусть G G (3£ о 2)) о 3· Это означает, что
G/Gxog е 3. Но σ/σ*>„ - (G/Gx)/(Gx<>iB/Gx) =
= (G/Gx)/{G/Gx)<o. Из того, что (G/Gx)/(G/Gx)fB G 3,
следует, что G/Gx G 2) о 3, G G £ о (2) о 3)· Аналогично
доказывается, что ЗС о (2) о 3) С (ЗС о 2)) о 3· ЕЗ
Пусть ЗС и 2} — произвольные классы групп. Через
Ext^2) обозначим совокупность всех групп, в которых
190

5.5. Ипъекторы
имеется нормальная Х-подгруппа и фактор-группа по
ней принадлежит 2), т.е.
Ext*2) = {G G С | 3N < G, N G X, G/7V G 2)}.
Теорема 5.38. Ясли X — класс групп, замкнутый
относительно нормальных подгрупп, w2) - формация,
тоХо%) = Exts2).
D По определению корадикального произведения
имеем X о 2) = {G G б | G^ G Э£}. Поэтому ясно, что
£о2) CExt^S).
Обратно, пусть G G Ext*?). Тогда существует
нормальная подгруппа N G X, для которой G/JV G 2).
Поскольку 2) — формация, то G® С TV, а так как j£
замкнут относительно нормальных подгрупп, то G^ G X и
GG£o2). Η
Теорема 5.39. Ясли X — класс Фиттинга и 2) —
гомоморф, то X о 2) = Extχ2).
D По определению радикального произведения име-
ем Хо2) = {G G С | G/Gx G 2)}. Поэтому ясно, что
Хо 2) CExtjc?)·
Обратно, пусть G G Extx2). Тогда существует
нормальная подгруппа Ν Ε X такая, что G/N G 2).
Поскольку X — класс Фиттинга, το Ν С Gjc· Тогда G/Gx ~
~ (G/N)/(Gx/N), а так как 2) - гомоморф и G/N G 2),
то G/G*G 2) и Ge£o2). В
Следствие 1. Ясли J — тсласс Фиттинга, а 2) —
формация, то Хо%) = Хо%) = Ext^2).
Следствие 2. £сл?х Э£ м 2) - радикальные формации,
то £о2) = £о2) - Ext*2).
5.5.Инъекторы
Пусть X — класс групп. Подгруппа Я группы G
называется Х-ипъектором, если для каждой
субнормальной подгруппы К группы G пересечение Η Π К является
Х-максимальной подгруппой в К.
Лемма 5.40. Пусть X — класс групп. Если Η — X-
иньектор группы G и К <\<\ G, то Η Π К ■-■ Х-иньектор
подгруппы К.
191

5. ПРОЕКТОРЫ И ИНЪЕКТОРЫ
D Пусть N<<K. Тогда Ν<<Οπ{ΗΓ\Κ)Γ\Ν =
= ΗΠΝ Х-максимальна в N. Это означает, что Η Π К —
Х-инъектор подгруппы К. И
Лемма 5.41. Пусть X — класс групп. Подгруппа
Η является Х-инъектором группы G тогда и только
тогда, когда Η будет Х-максимальной подгруппой в G
и Η Π Κ — Х-инъектор подгруппы К для всех
максимальных нормальных подгрупп К группы G.
G Пусть Η — Х-инъектор группы G. Тогда Η
является Х-максимальной в G и по лемме 5.40 подгруппа
Η Π Κ — Х-инъектор подгруппы К.
Обратно, пусть Η — Х-максимальная подгруппа
группы G и Η Π Κ — Х-инъектор подгруппы К для
всех максимальных нормальных подгрупп К группы G.
Пусть N < <G и N < L, L — максимальная
нормальная подгруппа группы G. Так как Η Π L — Х-инъектор
подгруппы L, то пересечение ΗΠΣ,ΠΝ = Η Π Ν является
ЗЕ-максимальным в N и Я — Х-инъектор группы G. й
Теорема 5.42. Пусть X — класс групп и 2) —
класс Фигптинга. Если β каждой 2) -группе
существует Х-инъектор, то Χ Π 2) — класс Фиттипга.
D Пусть G Ε ΧΠ2), N<<\G. Тогда группа G
является своим Х-инъектором. Из определения Х-инъектора
получаем, что G Г) N = N — Х-максимальная подгруппа
группы N для всех N < < G. Поэтому N £ X, а так как
2) — класс Фиттинга, то Ν Ε Χ Π 2) и первое
требование определения класса Фиттинга (см. (5.10)) для ХП2)
выполняется.
Пусть NUN2<G, NuN2eXr\2). Тогда NXN2 € 2),
поскольку 2) — класс Фиттинга. По условию в группе
N\N2 существует Х-инъектор, который обозначим через
Η. По определению Х-инъектора подгруппа Ν{ΠΗ
является Х-максимальной в Ni, следовательно, Ni Π Η = TVj
и ΝιΝ2 = Я G X П 2). Значит, для Χ Π 2) выполняется
и второе требование определения класса Фиттинга (см.
(5.11)). Ε
Следствие. 1. Пусть X — класс групп. Если в
каждой группе существует Х-инъектор, то X — класс
Фиттинга.
192

5.5. Инъекторы
2. Разрешимый класс X, для которого каждая
разрешимая группа обладает Х-инъектором, является
классом Фиттипга.
Π 1. Утверждение следует из теоремы в случае,
когда 2) — класс всех групп.
2. Утверждение следует из теоремы в случае, когда
2) = © — класс всех разрешимых групп. Щ
Лемма 5.43. Пусть X — класс Фиттипга и Η —
Х-максимальная подгруппа группы G. Если Η < L <
< NG(H), то NG(L) < Ng(H). В частности,
нормализатор Х-максимальной подгруппы самонормализуем.
D Если χ Ε NG(L), то Нх < Lx = L и ННХ Ε X.
Так как Η является ЗС-максимальной, то Η = Нх и χ Ε
Ε NG(H). В
Лемма 5.44. Пусть X — тсласс Фиттипга, G —
разрешимая группа, N — нормальная подгруппа
группы G с абелевой фактор-группой G/N. Пусть W —
Х-максимальная подгруппа из N и V\, V2 — Х-макси-
мальные подгруппы группы G, содержащие W. Тогда V\
и V2 сопряжены в G.
D Воспользуемся индукцией по порядку группы.
Так как Ν П V< Ε £, το W = Ν Π Vt и V{ < NG{W)
для каждого г = 1,2. Если NG(W) Φ G, то по
индукции подгруппы V\, V2 сопряжены в NG(W) и лемма
справедлива. Поэтому следует считать, что подгруппа W
нормальна в G. Пусть Ci/W — картерова подгруппа из
Mi/W = NG/w(Vi/W) = NG(Vi)/W. По условию леммы
фактор-группа G/N абелева. Значит. G1 — [G, G] < N и
[Vi, Aff] < NOV; = W. Отсюда заключаем, что подгруппа
Vi/W содержится в центре Mi/W. Но Ci/W
самонормализуема в Mi/W', поэтому Vi < Ci. Согласно лемме 5.43
нормализатор NG(Ci) < Af,, поэтому
NG(d)/W = NMi{Ci)/W = NMi/w(d/W) = d/W
и Ci/W — подгруппа Картера группы G/W.
Следовательно. Сх = С2 для некоторого элемента χ Ε G.
Тогда Vj*, V2 — нормальные ЭС-подгрупиы из С2> поэтому
VfVfe е X, Vf = К2. И
193

5. ПРОЕКТОРЫ И ИНЪЕКТОРЫ
Теорема 5.45. Если X — класс Фиттинга, то в
каждой разрешимой группе G существует Х-иньектор
и любые два Х-ипъектора группы G сопряжены.
D Воспользуемся индукцией по порядку группы G.
Так как группу G можно считать неединичной, то ее
коммутант G' по индукции имеет Х-инъектор, который
обозначим через W. Через V обозначим ЗС-максимальную
подгруппу группы G, содержащую W. Пусть Μ —
максимальная нормальная подгруппа группы G. Ясно, что
G' < М. По индукции подгруппа Μ содержит X-
инъектор U. Согласно лемме 5.40 подгруппа U Π G' —
ЗС-инъектор подгруппы G'. По индукции U Г) G' = Wx
для некоторого χ £ G1. Пусть Τ — ^-максимальная
подгруппа группы G, содержащая U. Тогда [/<ТПМб1,
поэтому U = Τ Г) Μ. Подгруппы Τ и Vх содержат X-
максимальную подгруппу Wx коммутанта G1. По
лемме 5.44 они сопряжены, т.е. Ту = Vх для некоторого
у е G. Теперь U* = (Τ П М)у = ТУ Г) Μ = Vх Г) М.
Следовательно, Vх Π Μ — 36-инъектор G по лемме 5.41.
Итак, существование Х-инъектора в группе G доказано.
Пусть V\ и Vo — Х-инъекторы группы G. Тогда V\C\G/
и V2 Π G' — ϊ-инъекторы подгруппы G1. По индукции
V\ Π Gf = (V2 Π G1)9 для некоторого g Ε G'. Применяя
лемму 5.44 для подгрупп W = V\ Π Gf < V\ Π V/,
получаем, что Vi и V2 сопряжены bG. й
Теорема 5.46. Пусть X — класс Фиттипга и
G — разрешимая группа. Подгруппа Η является X-
ипьектором группы G тогда и только тогда, когда Η
будет Х-максимальной в G и ΗT)G' — Х-инъектор
коммутанта G'.
Π Если Η — Х-инъектор группы G, то подгруппа
Η является ^-максимальной в группе G и Ή Г) G! - X-
инъектор подгруппы G' согласно лемме 5.40.
Пусть Η — Х-максимальная подгруппа группы G и
HC\Gl — 36-инъектор в Gf. Пусть, далее, К — ЗС-инъектор
группы G, он существует согласно теореме 5.45. По
лемме 5.40 пересечение KDGf — Х-инъектор подгруппы G1.
Согласно теореме 5.45 подгруппы К Π Gl и Η Π G!
сопряжены между собой, т.е. существует элемент g £ G1
такой, что Я П С = (КГ) G')9 - К9 П G'. Тогда подгруп-
194

5.5. Инъекторы
пы Η и К9 являются ЗС-максимальными в G и содержат
J-максимальную подгруппу К9Г) С'. По лемме 5.44
подгруппы Η и К9 сопряжены, поэтому Η — jC-инъектор
группы G. И
Следствие 1. Пусть X — класс Фиттипга и Ε —
= Gn < Gn-\ < ... < G\ < Go = G — ряд с абелевыми
факторами GijGi+χ. Подгруппа Η является Х-иньектором
группы G тогда и только тогда, когда Η Π Gi — £-
максимальная подгруппа в G\ для всех г.
D Если Η — ЭС-инъектор группы G, то Η Π G{ —
Х-инъектор подгруппы Gi согласно лемме 5.40, поэтому
Η Π Gi является j-максимальной подгруппой в G{ для
всех г.
Обратно, пусть HnGi является ^-максимальной
подгруппой в Gi для всех г. По индукции Η Π G\ — X-
инъектор в G\. Так как G/G\ абелева, то Gl < G{ и
подгруппа Η — Х-инъектор в G по теореме 5.46. й
Следствие 2. Пусть X — класс Фиттипга и
G — разрешимая группа. Подгруппа Η является X-
ипъектором в G тогда и только тогда, когда для любой
нормальной подгруппы N группы G пересечение Η Π Ν
является Х-максимальной подгруппой в N.
D Пусть Η — Х-инъектор в G. Из определения инъ-
ектора следует, что пересечение Η Π Ν является X-
максимальной подгрупппой в N для всех N <G.
Обратно, пусть для любой нормальной подгруппы N
группы G пересечение Η Π Ν является Х-максимальной
подгруппой в N. Тогда, в частности, Я Π <?W - X-
максимальная подгруппа в (?W для всех г, где G^ — г-й
коммутант. Для разрешимой группы G и ее
производного ряда Ε = G^ < G(n_1) < ... < G1 < G выполняются
условия следствия 1, поэтому Η — JC-инъектор bG. Η
Следствие 3. Пусть X — класс Фиттинга и G —
разрешимая группа. Если Η — Х-ипьектор группы G и
Η < К < G, то Ή — Х-иньектор в К.
D Пусть Ε = Gn<\ Gn-ί < · · · < G\ < G0 = G — ряд
с абелевыми факторами Gi/Gi+i и Κχ = К Π Gi. Тогда
ряд Ε = Кп < Κη-ι < ... < Κι <Kq -К имеет абеле-
вы факторы KijKi+χ. Кроме того, Η Г\ Gi < К Π Gi <
195

5. ПРОЕКТОРЫ И ИНЪЕКТОРЫ
< G{ и Я C\Gi является Х-максимальной в Gj. Поэтому
Я f)Gi = Я Π (Κ Π Gi) = Η Γ) Ki будет Х-максимальной
в KnGi = Κι. Применяя следствие 1, получаем, что Я —
Х-инъектор в К. й
Теорема 5.47. Пусть X — класс Фиттинга uG —
нильпотентиая группа. Подгруппа Η группы G
является Х-максимальной тогда и только тогда, когда Η —
х(Х)-холлова подгруппа.
D Пусть Η — ^-максимальная подгруппа группы G.
Так как Я Ε £Π9ΐ = 9ΐχ(£), то Я будет х(£)-подгруппой.
Если К — х(Э£)-холлова подгруппа, то Я < К Ε ^х(х) =
= Χ Π 9ΐ и if — 3>подгруппа. Следовательно, Η = К.
Обратно, если Я — х(ЗС)-холлова подгруппа
группы G, то Я Ε 9Τχ(£) = 3: Π 9ί. Пусть if является 3£-
максимальной в G и К > Η, тогда К Ε ХПУХ = ^х(х) и
X — х(£)-подгруппа. Следовательно, Я = К. ΚΙ
Следствие. Пусть X — тсласс Фиттинга и G —
нильпотентная группа. Подгруппа Я группы G
является Х-иньектором тогда и только тогда, когда Я —
х(£)-:га/1Л0ва подгруппа.
Теорема 5.48. Пусть X — тсласс Фиттинга uG —
группа с нильпотентным коммутантом G1'. Подгруппа
Η — Х-инъектор группы G тогда и только тогда,
когда Я является Х-максимальной в G и содержит χ{Χ)-
холлову подгруппу из G*'.
D Пусть подгруппа Я — Э£-инъектор группы G.
Тогда Я является ^-максимальной в группе G и Я Π G' —
ЗС-инъектор подгруппы G'. Так как подгруппа G' по
условию нильпотентна, то Я Π G1 = Gr ,χ^ — х(ЗС)-холлова
подгруппа в G' по следствию из теоремы 5.47.
Обратно, пусть Я — Х-максимальная подгруппа
группы G и Я содержит х(ЗС)-холлову подгруппу
группы G1. Далее, пусть К — Э£-инъектор группы G, он
существует согласно теореме 5.45. Тогда по лемме 5.40
пересечение KDG1 — Х-инъектор подгруппы G'. По следствию
из теоремы 5.47 пересечение К Π G' — G' ,^ является
х(ЗС)-холловой подгруппой. Тогда Я" и Я сопряжены по
лемме 5.44. Значит, Я — ЗС-инъектор в G. й
Следствие. Пусть X — класс Фиттинга и G —
196

5.5. Инъекторы
сверхразрешимая группа. Подгруппа Η — Х-инъектор
группы G тогда и только тогда, когда Η является
Х-максимальной в группе G и содержит х(Х)-холлову
подгруппу коммутанта.
В группе 5з х Ζ<ι подгруппа Η = Zz x ^2, где Ζ% — силовская
3-подгруппа из 5з, является ЭД-инъектором. Но Η не является хол-
ловой подгруппой.
Пусть X — класс групп. Подгруппа Η группы G
называется Х-биектором, если подгруппа Η Π Ν является
ЭС-максимальной в N для каждой субнормальной иод-
группы N группы G, а НК/К является ЗС-максимальной
в G/K для каждой нормальной подгруппы К. Ясно,
что Э£-биектор одновременно будет Х-проектором и 3£-
инъектором группы G.
Силовские р-подгруппы являются 91р-биекторами.
В группе 54 силовская 2-подгруппа является ^П-биектором.
Для класса Шунка £ каждая разрешимая
группа G обладает единственным классом сопряженных
5-проекторов. Если J — радикальный класс, т.е. класс
Фиттинга, то каждая разрешимая группа содержит
единственный класс сопряженных ^-инъекторов. Но
наиболее употребительные классы групп являются
одновременно и классами Шунка и радикальными классами.
Поэтому вполне естественно возникает вопрос о
существовании ^-биекторов в разрешимых группах для
радикального класса Шунка £.
Теорема 5.49. Пусть $ — радикальный класс
Шунка. Тогда в каждой нильпотентной группе G
существует $-биектор Η и подгруппа Η является χ{$)-
холловой подгруппой.
D Утверждение доказывается на основании
следствий из теорем 5.23 и 5.47. й
Следствие. Пусть 5 — радикальная насыщенная
форма-ция. Тогда в каждой нильпотентной группе G
существует ^-биектор Η и подгруппа Η является χ($)-
холловой подгруппой.
Обозначим через Proj^(G) совокупность всех £-
проекторов группы G, а через Inj^(G) — совокупность
всех Зг~инъектоРов·
197

5. ПРОЕКТОРЫ И ИНЪЕКТОРЫ
Напомним, что метанильпотептной группой
называют группу G, в которой имеется нильпотентная
нормальная подгруппа N такая, что фактор-группа G/N
нильпотентна.
Теорема 5.50. Пусть 5 — радикальный класс
Шупка. Если в метанильпотептной группе G
существует $-биектор Н, то Η является х($)-холловой
подгруппой группы G.
D Пусть Η £ Inj^(G)nProj^(G). Так как в
разрешимой группе все J-проекторы и все 5-инъекторы
сопряжены между собой, то Inj^(G) = Proj^(G).
Пусть К — F{G) — подгруппа Фиттинга. Так как
КГ\Н — 5-инъектор в /С, то по следствию из теоремы 5.47
подгруппа К Π Η является х(5)-холловой подгруппой в
К. Так как G/K нильпотентна и НК/К является £-
проектором в G/K, то НК/К будет х(#)-холловой
подгруппой в G/K по следствию из теоремы 5.23. Поскольку
НК/К ~ Н/(НПК), то Я --'х(5)-подгруппа. Кроме то-
го, | G : Η |=| К : (Я Π К) || (G/K) : {НК/К) | и
| G : Я | есть х(5У-число. Значит, Я — х(3:)-холлова
подгруппа, й
СЛЕДСТВИЕ. Пусть 5 — радикальная насыщенная
формация. Если в метанильпотептной группе G
существует ^-биектор Η, то Я является х($)-холловой
подгруппой.
Группа S4 χ Ζ3 не является метанильпотентной, но 91-
проекторы и *Л-инъекторы совпадают между собой и являются
нехолловыми подгруппами порядка 24.
Теорема 5.51. Пусть £ — радикальный класс
Шунка uffl — нормально наследственный гомоморф,
состоящий из разрешимых групп. Если в каждой группе
G £ 9Л существует $-биектор, то 9ЛХ(5) С £.
Π Предположим, что 9ЯХ($) не содержится в $ и G —
группа наименьшего порядка из разности 9ЛХ(^)\5. Если
G имеет простой порядок ρ, τορ £ χ(#) и G £ 9ΐρ С #, т.е.
получили противоречие. Значит, G — группа непростого
порядка и можно выбрать нетривиальную нормальную в
G подгруппу N. Так как N £ 9Л и ΛΓ — χ(£)-подгруппа
в G, то iV £ 93tx(JP) и TV £ J.
198

5.5. Инъекторы
Пусть Η — ^-биектор в G. Тогда Η — #-инъектор в
G и N < Н. Поскольку Η является 5-проектором в G, то
H/N будет ^-максимальной в G/N. Так как Ш —
гомоморф, то G/N £ 9Я*(5), а по выбору группы G получаем,
что G/N е 5, т.е. Η = G и G Ε #. Пришли к
противоречию. Значит, допущение неверно и 9ЛХ(#) С J. Η
Следствие 1. Если $ — радикальный класс Шунка,
для которого в каждой разрешимой группе существует
$-биектор, то J = (5χ(^) ·
Следствие 2. Если 5 — радикальная насыщенная
формация, для которой в каждой разрешимой группе
существует $-биектор, то $ = <5χ(#) ·
Для натурального числа к через 9ifc обозначим класс
всех разрешимых групп нильпотентной длины не более
к. При к = 1 имеем класс всех нильпотентных групп, а
при к = 2 — класс всех метанильпотентных групп.
Лемма 5.52. Для любого натурального числа к
класс 9Ί* является радикальной насыщенной
наследственной формацией.
D Применим индукцию по к. При к — 1 имеем класс
91 всех нильпотентных групп, он является насыщенной
наследственной формацией и классом Фиттинга. Пусть
утверждение справедливо для к = t. По следствию 2 из
теоремы 5.39
ίΠ'ο 5Π = 9П* о ?Л = Ext*nti)n.
Но класс Ext^i^l состоит из всех разрешимых групп
нильпотентной длины, меньшей либо равной t 4- 1, т.е.
ExtwW = Ήί+1, поэтому
Согласно следствию из теоремы 5.22 класс 9ΐί+1 —
насыщенная формация, а по теореме 5.36 класс 9ΐί+Ι
радикальный. В силу леммы 4.29, с. 133, 9ίί+1 —
наследственный класс. Следовательно, класс 9ίί+ι является
радикальной насыщенной наследственной формацией. ΚΙ
Лемма 5.53. Пусть G — разрешимая группа и 1 <
199

5. ПРОЕКТОРЫ И ИНЪБКТОРЫ
< к < n(G). Если А — У1к-проектор группы G, то
п(А) = fc.
D Поскольку 9lfc — насыщенная формация, то У1к-
проектор в группе G существует согласно следствию из
теоремы 5.21. Поскольку Α Ε 91*, то п(А) < к. Если к =
= n(G), то А = G и утверждение доказано. Пусть А; <
< n{G) и / = n(G) - А. По лемме 4.27, с. 132, G/Fi{G) =
= fc, а поскольку AFi(G)/Fi(G) — ОТ^-проектор группы
G/F,(G), то AF/(G) = G. Тогда G/FZ(G) - А/А П fl(G),
следовательно, п(А/А Π F/(G)) = fc и n(A) = к. В
Теорема 5.54. Если в разрешимой группе G
существует У\к-биектор и к > 2, то G Ε 91*.
D Применим индукцию по порядку группы. Пусть
В — *У1*-биектор группы G. Нам надо доказать, что В =
= G. Предположим, что B^GnB<M<-G. Тогда
В является ЯТ^-биектором подгруппы Μ по лемме 5.18
и следствию 3 из теоремы 5.46. По индукции В = М,
следовательно, В — максимальная подгруппа группы G.
Так как В — ОЯ^'-инъектор группы G, то ^-радикал
<3«П* С В и п(В) = к. По теореме 4.30, с. 134,
n{G)-k = i, г G {1,2}. (5.13)
Поскольку B/Gy\k — 91*-проектор группы G/Gy\k, то
n(G/Gy\k) > к и n(B/Gy\k) = к согласно лемме 5.53. По
теореме 4.30, с. 134,
n(G/G*0-* = je{l,2}. (5.14)
Согласно лемме 4.27, с. 132. n(G) = fc + rt{G/G^), а из
равенств (5.13) и (5.14) находим, что А· = i—j Ε {0, —1,1}.
Получили противоречие, й
Заметим, что в условии теоремы 5.54 требование
к > 2 не является лишним. Для к = 1 в симметрической
группе 5/1 силовская 2-подгруипа является 91-биектором

ЛИТЕРАТУРА
Использованная
1. Ведерников, В.А. Элементы теории классов групп /
В.А. Ведерников. Смоленск, 1988.
2. Милованов, М.В. Алгебра и аналитическая геометрия /
М.В. Милованов, Р.И. Тышкевич, А.С. Феденко. Мн,,
2001.
3. Монахову B.C. Введение в теорию групп / B.C. Монахов.
Мн., 1990.
4. Шеметкову Л.А. Классические факторизации групп и
колец / Л.А. Шеметков. Гомель, 1979.
5. Шеметкову Л.А. Формации конечных групп / Л.А.
Шеметков. М., 1978.
6. Gaschiitz, W. Lectures of subgroups of Sylow type in finite
soluble groups / W. Gaschiitz // Notes on pure mathematics;
Canberra, 1979. № 11.
7. Huppert, B. Endliche Gruppen I. / B.Huppert. Berlin;
Heidelberg; New York, 1967.
Рекомендуемая
8. Белоногое, В.А. Задачник по теории групп /В.А. Бело-
ногов. М., 2000.
9. Богополъский, О.В. Введение в теорию групп / О.В. Бо-
гопольский. М.; Ижевск, 2002.
10. Горенстейн, Д. Конечные простые группы: введение в их
классификацию / Д. Горенстейн. М., 1985.
11. Каморников, С.Ф. Подгрупповые функторы и классы
конечных групп / С.Ф. Каморников, М.В. Селькин. Мн.,
2003.
12. Каргаполов, М.И. Основы теории групп / М.И. Каргапо-
лов, Ю.И. Мерзляков. М., 1982.
13. Кондратьев, А.С. Конечные группы / А.С. Кондратьев,
А.А. Махнев, А.И. Старостин // Алгебра. Топология.
Геометрия. М., 1986. Т. 24. (Итоги науки и техники. ВИНИТИ
АН СССР). С.3-120.
201

ЛИТЕРАТУРА
14. Кострикин, А.И. Конечные группы / А.И.Кострикин //
Алгебра. Топология. Геометрия. М., 1966. (Итоги науки.
Сер. Математика. ВИНИТИ АН СССР). С. 7-46.
15. Мазуров, В.Д. Конечные группы / В.Д. Мазуров.
Алгебра. Топология. Геометрия. М., 1976. Т. 14. (Итоги науки и
техники. ВИНИТИ АН СССР). С. 5-56.
16. Нерешенные вопросы теории групп: Коуровская тетрадь.
Новосибирск, 2002.
17. Селъкип, М.В. Максимальные подгруппы в теории
классов конечных групп / М.В. Селькин. Мн., 1997.
18. Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А.Н. Скиба. Мн., 1997.
19. Холл, Ф. Теория групп / Ф. Холл. М., 1962.
20. Чунихин, С.А. Подгруппы конечных групп / С.А. Чуни-
хин. Мн., 1964.
21. Чунихин, С.А. Конечные группы / С.А. Чунихин,
Л.А. Шеметков. // Алгебра. Топология. Геометрия. М.,
1971. (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР).
С. 7-70.
22. Шеметков, Л.А. Формации алгебраических систем /
Л.А.Шеметков, А.Н. Скиба. М., 1989.
23. Doerk, К. Finite soluble groups. / К. Doerk, Т. Hawkes.
Berlin; New York, 1992.
24. Guo, W. The Theory of Classes of Groups / W. Guo. Beijing;
New York; Dordrecht; Boston; London, 2000.
25. Huppert, B. Finite groups, II / B. Huppert, N. Blackburn.
Berlin; Heidelberg; New York, 1982.
26. Huppert, B. Finite groups, III / B. Huppert, N. Blackburn.
Berlin; Heidelberg; New York, 1982.
27. Kurzweil, H. Theorie der endlichen Gruppen. Eine
Einfuhrung / H. Kurzweil, B. Stellmacher. Berlin; Heidelberg;
New York, 1998.
28. Robinson, D.J.S. A course in the theory of groups /
D.J.S. Robinson. Berlin; Heidelberg; New York, 1982.
29. Wehrfritz, B.A.F. Finite groups: a second course on group
theory / B.A.F. Wehrfritz. Singapore; New Yersey; London;
Hong Kong, 1999.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
А
Автоморфизм групп 31, 61
- - внутренний 62
--- центральный 65
Б
£-биектор 197
Г
Гомоморф 161
Гомоморфизм 54, 64
Группа 9, 12
- абелева 9
- дисперсивная 154
- диэдральная 92
- р-замкнутая 120
- знакопеременная 15
- кватернионов 93
- коммутативная см. Группа
абелева
- конечная 9
- линейная общая 14
- полная см. Группа
линейная общая
- - специальная 14
- неразрешимая 118
- нильпотентная 106
- примарная 50, 104
- примитивная 143
- проективная 97
- простая 44
- разрешимая 123
- сверхразрешимая 149
- симметрическая 15
- факторизуемая
подгруппами 37
- характеристически простая
63
- циклическая 24
-- бесконечная 24
-- конечная 24
р-группа 50, 104
- абелева элементарная 85
ЭС-группа 161
д
Длина нильпотентная 132
- производная 123
Добавление 114
Дополнение 130
р- дополнение 141
И
Изоморфизм групп 28, 58
- полугрупп 66
- рядов 68
Инволюция 92
Индекс подгруппы 34
ЗС-инъектор 191
к
Класс групп 161
- замкнутый относительно
нормальных
подгрупп см. Класс
групп нормально
наследственный
относительно подгрупп
см. Класс
наследственный
подпрямых
произведений 162
203

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Класс групп, замкнутый
относительно
произведений
нормальных подгрупп
186
прямых произведений
161
фактор-групп см.
Гомоморф
-- наследственный 161
- - нормально
наследственный 185
- насыщенный 161
- примитивно замкнутый 163
- радикальный см. Класс
Фиттинга
- разрешимый 172
- смежный двойной 35
--- левый 33
- - правый 33
- сопряженных элементов 12
- Фиттинга 186
- Шунка 163
Коммутант 117
- взаимный 120
Коммутатор 117
Корадикал группы 166
л
Лемма Ремака 80
- Фраттини 55
м
Матрица верхняя унитре-
угольная 94
- перестановки 29
Мономорфизм 58
Η
Нормализатор 40
О
Образ гомоморфизма 57
Оператор 68
Операция бинарная
алгебраическая 7
ассоциативная 7
коммутативная 7
Π
Перестановка 14
Подгруппа 17
- гашюцева 184
- дополняемая 176
- допустимая 64
- единичная 18
- картерова 183
- максимальная 111
- - нормальная 48
- ЭС-максимальная 169
- нетривиальная 18
- нормальная 42
- - минимальная 83
- JC-покрывающая 174, 175
- порожденная множеством
19
- силовская 53
- собственная 18
- субнормальная 82
- тривиальная 19
- Фиттинга 128
- Фраттини 112
- характеристическая 63
- холлова 64, 141
- π-холлова 141
- циклическая 23
- ЗС-подгруппа 169
- π-подгруппа 141
Подгруппы перестановочные
37
Подмножество сопряженное
18
Полугруппа 7
Порядок группы 9
- элемента 23
-- бесконечный 23
Преобразование прямой
аффинное 16
204

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Примитиватор 143
Э£-проектор 169
Произведение корадикальное
167
- подгрупп 36, 75
- подпрямое 80
- полупрямое внешнее 90
- прямое 75, 91
-- внешнее 79
- радикальное классов 181
- центральное 93
Ρ
Ρχ- радикал 179
Решетка подгрупп 20
Ряд 71
- главный 71
- композиционный 71
- нормальный 71
- субнормальный 71
- центральный 111
с
Ступень нильпотентности
111
Τ
Теорема Бернсайда 127
- Жордана - Гёльдера 72
- Лагранжа 34
- о соответствии 46
- Силова 50
- Томпсона - Фейта 128
- Хупперта 156
- Шура - Цассенхауза 136
Тождество Дедекинда 41
Трансверсаль левая 33
- правая 33
φ
Фактор главный 74, 75
- композиционный 72
- ряда 71
Фактор-группа 45
Формация 162
- насыщенная 154
- радикальная 186
X
Характеристика класса 165
Ц
Центр 21
Централизатор 21
Цоколь группы 83
ч
π-число 141
-к' - число 141
э
Экспонента группы 155
Элемент единичный 7
- необразующий 113
- обратный 7
Эндоморфизм 66
- единичный см.
Эндоморфизм
тождественный
- нулевой 66
- тождественный 66
Эпиморфизм 58
Я
Ядро гомоморфизма 57
- подгруппы 112

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Основные обозначения 5
1. Группы и их подгруппы 7
1.1. Группы. Примеры групп 7
1.2. Подгруппы 17
1.3. Циклические группы 23
1.4. Изоморфизм групп 28
1.5. Смежные классы 33
1.6. Нормальные подгруппы и фактор-группы. . 42
1.7. Силовские подгруппы конечных групп ... 49
2. Гомоморфизмы и произведения 57
2.1. Гомоморфизмы групп 57
2.2. Автоморфизмы 61
2.3. Эндоморфизмы и операторы 66
2.4. Композиционные ряды 71
2.5. Прямые произведения 75
2.6. Минимальные нормальные подгруппы ... 83
2.7. Полупрямые произведения 89
2.8. Линейные группы 94
3. Абелевы и нильпотентные группы 100
3.1. Строение конечных абелевых групп 100
3.2. Примарные группы 104
3.3. Нильпотентные группы 106
3.4. Подгруппа Фраттини 111
4. Разрешимые и сверхразрешимые группы 117
4.1. Коммутант 117
4.2. Разрешимые группы 123
4.3. Подгруппа Фиттинга 128
206

ОГЛАВЛЕНИЕ
4.4. Теорема Шура — Цассенхауза 136
4.5. Холловы подгруппы разрешимых групп . . . 141
4.6. Примитивные группы 143
4.7. Сверхразрешимые группы 149
5. Проекторы и инъекторы 161
5.1. Формации и классы Шунка 161
5.2. Проекторы 169
5.3. Картеровы и гашюцевы подгруппы
разрешимых групп 182
5.4. Классы Фиттинга 185
5.5. Инъекторы 191
Литература 201
Предметный указатель 203

Учебное издание
Монахов Виктор Степанович
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
И ИХ КЛАССОВ
Учебное пособие
Редактор М.С. Молчанова
Художник и художественный редактор В А. Ярошевич
Технический редактор НА. Лебедевич
Корректор В.П. Шкредова
Компьютерная верстка В.Ф. Белявской
Подписано в печать 22.12.2005. Формат 84x108/32. Бумага типографская Jsfe 2. Гарнитура
«Times». Офсетная печать. Усл.-неч. л. 10,92. Уч.-изд. л. 11,06.
Тираж 2000 экз. Заказ 3656.
Республиканское унитарное предприятие «Издательство "Вышэпшая школа"».
ЛИ № 02330/0056829 от 02.03.2004. 220048, Минск, проспект Победителей, И.
Республиканское унитарное предприятие «Типография "Победа"». 223310, Молодечпо,
ул. Тавлая, 11.