Теги: математика  

Похожие

Историко-математические исследования. Выпуск XXI

Историко-математические исследования. Выпуск XXXI

400 биографий ученых

Историко-математические исследования. Выпуск ХХХ

Текст 
                    



историко-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ

Выпуск

XVIII

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

МОСКВА 1973

УДК 51 (091)

Сборник содержит статьи по истории математики.
Несколько статей посвящено возникновению и раз-
витию функционального анализа, включен ряд работ
по истории математического анализа.

Кроме этого, в сборник вошли статьи различного
содержания: о вычислительной машине П. Л. Чебы-
шева, о теории параллельных Л. Эйлера, о древ-
нейшем математическом памятнике Руси — «Учении»
Кирика Новгородца.

Сборник рассчитан на всех читателей, интересую-
щихся историей математических наук.

Редакционная коллегия:

А. П. ЮШКЕВИЧ (отв. редактор),
С. С. ДЕМИДОВ, Ф. А. МЕДВЕДЕВ, | Г. Ф. РЫБКИН |,

Е. И. СЛАВУТИН (секретарь редакции)

0221-0342

И 042(02)-73 377"73

© Издательство «Наука», 1973 г.

СОДЕРЖАНИЕ

От редакции.............................................. 9

О возникновении и развитии
функционального анализа

| П. Леви | (Париж). Функции линий и уравнения в функцио-
нальных-производных. (Перевод с французского С. С. Пет-
ровой, Москва) ......................................... 13

Ж. Дьедонне (Ницца). История гармонического анализа.
(Переводе французского С. С. Петровой, Москва).......... 31

Ф. А. Медведев (Москва). Основоположники функциональ-
ного анализа о его ранней истории....................... 55

Ф. А. Медведев (Москва). Первая монография по функцио-
нальному анализу........................................ 71

М. Бернкопф (Ныо-Цорк). Введение абстрактных представле-
ний в теорию функциональных пространств. (Перевод с анг-
лийского Ф. А. Медведева, Москва)....................... 94

Вопросы истории математического анализа

А. Б. Паплаускас (Москва). Доньютоновский период развития
теории бесконечных рядов. I............................ 104

А. П. Юшкевич (Москва). Л. Карно и конкурс Берлинской
академии наук 1786 г. на тему о математической теории бес-
конечного ............................................. 132

А.	П. Юшкевич (Москва). Ж. А. да Кунья и проблемы обосно-
вания математического анализа.......................... 157

П. Дюгак (Париж). Понятие предела и иррациональные
числа. Концепции Шарля Мерз и Карла Вейерштрасса . .	176

С. С. Демидов (Москва). К истории теории дифференциальных
Уравнений с частными производными...................... 181

М. Г. Шраер (Брест). Методы А. Пуанкаре в теории потен-
циала ................................................. 203

Статьи различного содержания

В.	П. Визгни (Москва). К истории «Эрлапгенской программы»
Ф. Клейна................................................ 218

К. Фогель (Мюнхен). Византия как посредник между Восто-
ком и Западом в области математики. (Перевод с немецкого

Н. Н. Гекдрихсона, Москва)............................... 249

Р. А. Симонов (Москва). О композиционной структуре «Уче-
ния» Кирика Новгородца (1136 г.)......................... 264

В. В. Иванов (Москва). Замечания по поводу языковых
особенностей сочинения Кирика Новгородца о числах и
счете (1136 г.)	........................................ 278

10.	А. Белый (Николаев). Эйлеровы эквиваленты пятого
постулата ............................................... 280

А. Н. Боголюбов, И. 3. Штокало (Киев). «Программа по ана-
литической механике» М. В. Остроградского................ 289

Л. Е. Майстров (Москва). Об оценке арифмометра П. Л. Чебы-
шева .................................................... 295

Е.	И. Славутин (Москва). О некоторых вопросах структуры
«Арифметики» Диофанта Александрийского................... 301

Н. Н. Михельсон (Ленинград). Борис Михайлович Коялович 310

К.-Р. Бирман (Берлин, ГДР). Об избрании Н. И. Лобачев-
ского членом-корреспондентом Геттингенского научного об-
щества. (Перевод с немецкого)............................ 322

Именной указатель........................................ 326

SOMMAIRE

Editorial....................................................

L’Origine et le developpement
de Fanalysc fonctionelle

I p. Levy I (Paris). Fonctions de lignes et equations aux derivees
fonctionnelles. (Traduction russe de S. 5. Petrova, Moscou) . .	13

J. Dieudonne (Nice). Histoire de Г analyse harmonique (Tra-
duction russe de 5. S. Petrova, Moscou)......................... 31

F.	A. Medvedev (Moscou). Les fondateurs de Fanalysc fonction-
nelle sur son etape initiale.................................... 55

F. A. Medvedev (Moscou). Premiere monographic consacree
a I’analyse fonctionnelle....................................... 71

M. Bernkopf (New York). L’introduction des notions abstraites
dans la theorie des espaces fonctionnels (Traduction russe de

F. A. Medvedev, Moscou) ........................................ 94

Problemes d’histoire du calcul infinitesimal

A. B. Paplauscas (Moscou). La periode prenewtonienne de la
developpement de theorie des series infinics................... 104

A. P. Youschkevitch (Moscou). L. Carnot et le concours de Г Aca-
demic de sciences de Berlin de 1786 sur la theorie de 1’infini
mathematique................................................... 132

A. P. Youschkevitch (Moscou). J. A. da Cunha et les fondements
de 1 analyse infinitesimale.................................... 157

Dugac (Paris). La notion de limite et les nombres irration-
-Conceptions de Charles Meray et de Karl Weierstrass.
(traduction russe)............................................. 176

S. Demidov (Moscou). Sur 1’histoire de la theorie des equa-
tions aux derivees par tielies................................. 181

Chraer (Brest). Les methodes de II. Poincare dans la
tneorie de potentiel........................................... 203

Varia

V. P. Vizguine (Moscou). Sur 1’histoire de «Erlanger Programm»
de F. Klein................................................... 218

K. Vogel (Miinchen). Bysance comme mediateur entre J’Est

et 1’Ouest dans le domaine des mathematiques. (Traduction
russe de N. N. Uendrikson, Moscou) ........................... 249

R. A. Simonov (Moscou). Sur la structure de la «Doctrine»
de Kyrik le Novgorodien (1136)	........................... 264

V. V. Ivanov (Moscou). Reniarques sur les particnlarites lin-
guistiques du traite sur les nonibres et sur le calcul de Ky-
rik le Novgorodien (1136)	.................................. 278

Yu. A. Belyi (Nicolaev). Les propositions equivalentes au Vе
postulatum d’Euclide chez L. Euler-........................... 280

A. N. Bogolubov, I. Z. Chtokalo (Kiev). Le «Programme de la
mecanique analytique» de M. V. Ostrogradski................... 289

L. E. Maistrov (Moscou). Sur Г appreciation de I’arithmometre
de Tchebycliev ............................................... 295

E. I. Slavoutine (Moscou). Quelques problemes de la structure
des «Arithmetiques» de Diophante d’Alexandrie................. 301

N. N. Michelson (Leningrad). Boris Mikhailovitch Koialovitch 310

K.-R. Biennann (Berlin, DDR). Sur Г election de N. I. Lobat-
schevski a la place d’un membre correspondant de la Societe
scientifique de Gottingen. (Traduction russe)................. 322

Index des noms..............................................   326

ОТ РЕДАКЦИИ

«Историко-математические исследования» начали вы-
ходить в 1948 г. в качестве трудов семинара Московского
государственного университета по истории математики.
Вскоре авторский коллектив «Исследований» значительно
вырос и в ежегоднике стали публиковаться труды ученых
не только Москвы, по также Ленинграда, Киева, Таш-
кента, Алма-Аты, Казани, Харькова, Ростова-па-Допу
и многих других городов Советского Союза, а также за-
рубежных историков пауки. «Исследования» приобрели
широкий круг читателей и в течение многих лет вносили
регулярный вклад в разработку проблем истории мате-
матики. К сожалению, после выхода в 1966 г. XVII вы-
пуска издание приостановилось прежде всего из-за бо-
лезни Г. Ф. Рыбкина, одного из двух редакторов сборника.

Теперь издание «Историко-математических исследова-
ний» возобновляется, и они будут выходить как один
из печатных органов Института истории естествознания и
техники Академии наук СССР. Пополненный молодыми
силами, состав редакции должен обеспечить регулярность
выхода ежегодника. Как и прежде, страницы «Исследо-
ваний» будут открыты для всех работ, представляющих
ценность. По традиции сборники будут, как правило,
состоять из тематических разделов, статей различного
содержания и публикаций архивных материалов и пере-
водов. Вместе с тем редакция будет стремиться возможно
полнее освещать актуальные проблемы развития мате-
матики новейшего времени и современности, с одной сто-
роны, и методологические проблемы нашей науки —
с другой.

В первом разделе этого выпуска помещены пять работ
по истории функционального анализа, одного из наиболее
бурно развивающихся направлений математики XX в.,
находящего важные приложения. Три из них представля-
ют собой переводы докладов, доложенных коллоквиуму

«Пути развития функционального анализа» XIII Между-
народного конгресса по истории науки, который состоялся
в Москве 23 августа 1971 г. Следует заметить, что автором
одного из докладов был французский математик П. Леви,
принадлежавший к числу создателей функционального
анализа (он скончался в 1972 г.); автор другого — Ж. Дьё-
донне, крупнейший представитель группы французских
математиков, выступающих — в переменном составе — под
псевдонимом Н. Бурбаки.

Следующий раздел включает шесть статей по вопросам
истории математического анализа. Первая из них пред-
ставляет собой систематический обзор предыстории тео-
рии бесконечных рядов от Архимеда до Ньютона. Во вто-
рой анализируется недавно обнаруженная рукопись
Л. Карно по основаниям исчисления бесконечно малых,
поданная им на конкурс Берлинской академии наук
1786 г.; эта рукопись была впоследствии переработана
Карно в его известные «Размышления о метафизике исчис-
ления бесконечно малых» 1797 г. Другая статья посвящена
оригинальным воззрениям на тот же вопрос ученого вто-
рой половины XVIII в. Ж. А. да Кунья, в ряде случаев
близким к той реформе анализа, какая была предпринята
несколько позднее Больцано, Коши и Гауссом. К этим
работам примыкает и перевод одного из докладов на мате-
матической секции XIII Международного конгресса, по-
священного учению о действительном числе и пределе
Мерэ и Вейерштрасса. В следующей статье рассмотрены
работы Даламбера по уравнениям с частными производ-
ными, а в последней статье этого раздела — развитие
приемов решения задач теории потенциала в классических
мемуарах А. Пуанкаре и его современников, особенно
Г. А. Шварца.

Раздел статей различного содержания открывается ра-
ботой о физических и математических предпосылках
знаменитой Эрлангенской программы Ф. Клейна (1872).
За этим помещен перевод обзорного доклада о математике
Византии, сделанного 22 августа 1971 г. на коллоквиуме
«Средневековая наука, взаимоотношения Востока и За-
пада» XIII Международного конгресса, и статья о древ-
нейшем математическом памятнике средневековой Руси —
«Учении» Кирика Новгородца. Четыре следующие статьи
посвящены соответственно теории параллельных в одной
рукописи Л. Эйлера, не публиковавшейся ранее про-

о ВОЗНИКНОВЕНИИ И РАЗВИТИИ
ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

ФУНКЦИИ ЛИНИЙ И УРАВНЕНИЯ
В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ1

|П. Леви

1.	Прежде всего я хочу поблагодарить организаторов
этого конгресса за приглашение выступить здесь с сооб-
щением и извиниться за то, что буду говорить в основном
о своих собственных работах. С 1910 по 1922 г. я занимался
функциональным анализом Вольтерра, который является
лишь частью того, что мы называем сегодня функциональ-
ным анализом. Этот анализ Вольтерры знаменует собой
важный этап в развитии математики — переход к все
более и более общим проблемам. Здесь мы еще руковод-
ствуемся иногда аналогией с классическим анализом,
но находим также проблемы совершенно нового аспекта.

Его развитие (анализа Вольтерры — С. П.) воспроизво-
дит в некоторых чертах развитие классического анализа,
который в течение долгого времени изучал только отдель-
ные функции. Нас удивляет тот промежуток времени, ко-
торый был необходим для того, чтобы перейти от этих при-
меров к общему понятию функции. Лишь с открытием диф-
ференциального исчисления теория функций стала ана-
лизом. Аналогично, длина кривой, определенный интеграл
были примерами функционалов, т. е. величин, зависящих
от всей совокупности значений функции. Вариационное
исчисление дало новые примеры функционалов. Но, по
моему мнению, функциональный анализ действительно
родился только в 1896 г., когда Вольтерра, исходя из
общего понятия функционала, определил то, что было на-
звано затем функциональной производной.

1 Доклад, представленный XIII Международному конгрессу по
рово“ИИ НЭУКИ (Москва, 23 августа 1971 г.). Перевод С. С. Пет-

Сам Вольтерра связывал с функциональным анализом
важнейшие работы (свои и Фредгольма) по интегральным
уравнениям, а также свою прекрасную теорию переста-
новочных функций («Fonctions permutables»). Как бы там
ни было, я буду говорить здесь только о тех вопросах,
которые относятся к общей теории функционалов, а также
о тех, где появляется понятие функциональной произ-
водной.

2.	Для того чтобы изложить общую теорию, лучше от-
казаться от геометрического языка Вольтерры. Итак, рас-
смотрим некоторый функционал U=U [я], определенный
для всех функций х=х (?) (? и х действительные) функцио-
нального пространства Q. Если не будет оговорено особо,
то в дальнейшем Q будет пространством непрерывных
и ограниченных на некотором промежутке i (открытом
или замкнутом, может быть, бесконечном) функций.
Нам придется также говорить о пространстве La (а 1)
измеримых функций х, таких, для которых |#Г сумми-
руема, и о пространстве Я?п п раз дифференцируемых функ-
ций, принадлежащих к Яо вместе со своими производными
до порядка п включительно.

Функционал U будет непрерывен в пространстве
если U [#+ &г]—U [я] стремится к нулю вместе с нор-
мой || &r||=sup|	(?)|. Его называют линейным,

если тождественно

С/[^ + Иу] = ХС7И + и£7[у].	(1)

Согласно Ф. Риссу (1907), общий вид линейного непре-
рывного в функционала дается формулой

г/, И =$«(<) и (Л),	(2)

где — ограниченная мера.

Распространение на случай, когда х есть функция мно-
гих переменных, не представляет труда. Фреше в 1915 г.
показал, что общий вид билинейного функционала от х (?) и
у (?) (т. е. линейного по я и у), непрерывного в /X/, дается
формулой

V [ж, г/] = j j X (t) у (u) fl (dtdu).	(3)

i i

jyf фреше определил целые однородные функционалы
степени п условием, что U [te+pj/l — однородный по-
лином степени п относительно X и fi. Общий вид такого
функционала, непрерывного в дается формулой

Un = j j j X (^1) X (^2) • • ' X (O • • • ^я»	0)

i I i

где P ~~ мера, ограниченная в г”; UQ — постоянная,
функциональный полином является конечной суммой
выражений этого вида. Фреше получил замечательное
обобщение теоремы Вейерштрасса: всякий функционал,
непрерывный на конечной части является пределом
последовательности функциональных полиномов.

Когда мера fi абсолютно непрерывна, то Ur и Un при-
нимают форму Вольтерры, или регулярную форму

UY [я] = j dt,

(5)

Un [ж]-- j j • • • j f (^1, ^2» • • • ’ О X (^1) ^lx (^2) ^2 • • *X (О ^я>

i i i	(6)

где функция / суммируема (на i или на Г). По поводу фор-
мул (4) и (6) необходимо заметить, что ничего не изме-
нится, если переставить в р или в / п переменных t4 и
взять среднее полученных таких образом значений.
Следовательно, не умаляя общности, можно предположить
ри/ симметричными функциями от Тогда представле-
ния функционалов будут каноническими, т. е. каждый Un
будет иметь единственное представление указанного вида.

Среди Un в форме (4) регулярные характеризуются
следующим свойством: никакая система значений и ни-
какое множество таких систем, имеющее меру нуль в in,
не играет роли в определении Un. Это условие практически
более ограничительное, чем это предполагал Вольтерра.
Часто случается, что множество, определенное одним или
несколькими равенствами вида tn=tk, играет особую роль.
Поэтому (изменяя немного мои прежние обозначения)
я предлагаю называть функционал Un нормальным в
или ^-нормальным, если он имеет вид

 2 j • • • j	• • •’	(^i)^i- •	(?)

где сумма 2 берется по всем рп таким, что р± р2

(п)

pv 1 и Spn=n, а каждая функция fPi...P^
суммируема на i\ При отсутствии в определении Un
особых значений систем tn следовало ожидать именно эту
формулу. Естественно, в случае, когда интервал i ко-
нечный, может случиться, что его концы а и Ъ будут
играть особую роль и что нужно добавить члены, содержа-
щие х (а) их (Ь).

В пространстве La нормальная форма Un является фор-
мой Вольтерры (6). Но условие, что / (£ь t2, . . tn) сум-
мируема на Г, заменяется следующим: она измерима .
и	суммируема на in. Для а=1 это озна-

чает, что/ — измеримая ограниченная функция. Для п=1,
а=2 мы приходим к результатам, полученным Фреше
в 1907 г.

В пространстве мы находим, очевидно, формы, более
общие, чем в Так, в нормальная форма U2 дается фор-
мулой

U2	j / (£р ^2) [$ (G)	х (^г)]2 dt-tdtz +

i i

+ jte(W)+40*'2(01^>	(8)

i

7	.9	(<1 — M2/ (*1, *2)

где g и h суммируемы на i2 и > тг-п— , X2 - суммиру-

1 “I 1Г1	г2/

ема на г.

Все эти понятия легко распространяются на функцио-
налы, зависящие от произвольного числа функций одной
или нескольких переменных.

3.	Будем говорить, следуя Фреше, что функционал
U [ж], определенный в нормированном векторном про-
странстве, р раз дифференцируем, если

п

1

где ZPU для каждой определенной функции х является
целым однородным функционалом от степени р и где
остаток Rn есть о|| когда ||	-> 0.

Р. Гато предложил менее ограничительное определение,
не предполагающее наличие нормы: достаточно, чтобы
V/ f Q, R„=o (Ар) для йг (£) = Х/(0,А-► 0,

Еще раньше Вольтерра в работах, рассмотренных выше,
о моему мнению, создал функциональный анализ, пред-
дожив ДЛЯ 817 выражение

SU=\Ux(t)bx{t)dt (Ux(t)=U’x[x(.), t]},	(10)

i

которое я назвал нормальным. U'x — функциональ-
ная производная. Так как она зависит от Z, если U оп-
ределен в 5F, то нормальной формой Wx является

(t) = j U"xXl (t, Zj 6rr (Zj dtY + UX2 (Z) 8Z (Z);	(11)

i

ц* (как мы это увидим в п. 4) симметрична по Z и tr.
Эта формула при В2.г-0 приводит 82С7 к нормальной
форме

32£7 = j j UXlX2 (Z1? Z2) Ьх (Zj) (Z2) dtYdt2 -j-
» i

+ \u”x,(t)Zx(t)dt, (12)
i

где Uxt суммируема на i и U"XlTi суммируема на iXi.

Тогда формула (И) справедлива почти всюду па i.
Необходимы более ограничительные условия для того,
чтобы она была справедлива для всех i f i. Для ZnU
порядка п > 2 применяются формулы, аналогичные фор-
муле (7).

Условие UX2 (tn)=0 характеризует регулярные функ-
ционалы. Все их вариации §nU являются регулярными
функционалами от

Эти регулярные функционалы являются частным слу-
чаем гармонических функционалов, для которых

△*7= j Z7"2(z)</Z=0,	(13)

i

где А17 — лапласиан. Вольтерра, пренебрегая вторым
слагаемым в выражении (12), полагал обобщить лапла-
сиан, рассматривая интеграл от UXlT_. Это, очевидно,
ошибка.

Все эти результаты применимы для функций линий,
случае спрямляемых кривых мы будем заменять пара-

метр t длиной дуги s. Для плоских кривых нормальная
форма вариации дается формулой Адамара

8(7 = j U'„(s)bnds,	(14)

С

где расстояние 8п между исходной и деформированной
кривой, отложенное по нормали, предполагается ориенти-
рованным. Для кривых в R3 часто используют формулу
Вольтерра

oU = J (U'x Ьх + U'y Ъу + U’zbz) ds, (15)
с

где все три функциональные производные связаны соот-
ношением

x'U'. + y'Uy + ^U^O,
которое выражает тот факт, что смещение, не деформирую-
щее кривую, не изменяет U (по крайней мере, в случае
замкнутой кривой или кривой конечной длины, не имею-
щей концов). При рассмотрении 82С7, разумеется, нужно
учесть вариацию длины ds элементарной дуги; для пло-
ских кривых, например, мы получим fols——к folds,
где к — кривизна кривой.

В пространстве может быть удобно определять кривую
С ее горизонтальной проекцией Г и апликатой z—z (о)
точки С (где о — длина дуги Г). Таким образом, мы опре-
деляем смещение кривой С двумя бесконечно малыми
смещениями Зи и 8z. Простые формулы позволяют
перейти от одних обозначений к другим. Мы не можем
останавливаться здесь ни на технических деталях, ни на
распространении этих методов на функции поверхностей.
Отметим еще только, что по поводу комплексных функций
кривой С f R3 имеется весьма любопытная теория изо-
генных функций Вольтерры: смещение точки М кривой С
в процессе деформации этой кривой можно считать пер-
пендикулярным к С, но его направление произвольно
в нормальной плоскости. Тогда, если	и

7=71-|-i72 являются дифференцируемыми функциями С,
то отношение коэффициентов при ds в выражениях для
8С7 и 87 зависит, вообще говоря, от этого направления.
Если предположить, что оно от него не зависит, то мы
получаем условия, аналогичные тем, на которых основана
теория аналитических функций Коши. В этом случае

Вольтерра называет функции U и V изогенными. Интерес
к этому понятию обусловлен тем, что изогенные функции
бпазуют значительно более обширный класс функций,
чем аналитические функции U.

4.	Моя диссертация (Париж, 1911) является первым
опытом систематического изучения уравнений в функцио-
нальных производных, которые называли тогда интегро-
дифференциальными. Я пользовался теми же обозначе-
ниями, что и в формуле (14); здесь я снова возвращаюсь
к чисто аналитической точке зрения. Тогда уравнения
запишутся так:

8CZ= j®[x(.); t, U]ix(t)dt,

(16)

т. е. U'x (t) представляется как функция, зависящая от
Z, и и от всей совокупности значений функции х (.). Такое
уравнение является обобщением уравнений в полных диф-
ференциалах классического анализа, и для него также
существуют условия интегрируемости, которые мы полу-
чаем, рассматривая семейство функций х (.), зависящих
от двух параметров X и р, и принимая во внимание, что

dW dW

равенство	выполняется, каковы оы ни оылп про-

изводные дх и ду (.)/дХ. Если это равенство выполня-
ется тождественно, то уравнение называют вполне интегри-
руемым. Если усреднить некоторые условия разрывности,
то задача Коши, состоящая в нахождении решения U при
известном его значении для некоторой функции х (.), до-
пускает решение и притом единственное. Если это не так,
то необходимы более полные исследования.

Из условия интегрируемости следует, что U"XiX2 (/1? t2)
симметрична относительно ty и t2 (результат, сформули-
рованный выше).

В моей диссертации я рассмотрел также случаи, когда
функционал U определен только в тогда для 8Ф =
= W’x мы получаем выражения вида:

(t)=\f(t, ZJ8л(Z:) + E$x(Z)),	(17)

i

{E [8л (Z)] = Ло (t) 8x (z) + A, (Z) 8x' (Z) +... + A„ (Z) 8Ж'”> (z)}.
Условие интегрируемости заключается тогда в том, чтобы,
с одной стороны, / (£, ij, которую нужно отождествить

c Uxxy, была симметрична относительно t и t± и, с другой
стороны, выражение Е (&е) совпадало со своим сопряжен-
ным. Для этого необходимо и достаточно, чтобы Е (Ъх)
имело вид

Е (8z) = а0 (Z) ад (Z) 4- A [aj (t) lx' (Z)] +  • •

••• + -Й7 [«ДУ) 8^(0]	(2p<n).	(18)

5.	В 1907 г. Адамар показал, что функция Грина
g (А, В) (А и В две точки внутри контура С), с помощью
которой можно решить задачу Дирихле для уравнения
Лапласа, удовлетворяет следующему соотношению:

3g (Л, В) = _	У>,	Ms, (19)

04	'	2г. J du	dn	»	\	/

и

где M — точка С с криволинейной абсциссой 5, а положи-
тельное направление Ъп отсчитывается внутрь области,
ограниченной контуром С. Он дал также формулы для ва-
риации двух других функций у (А, В) и G (А, В). Я рас-
смотрел эти три уравнения с точки зрения их интегри-
руемости. Здесь я приведу только результаты, относя-
щиеся к уравнению (19).

Условием интегрируемости будет следующее соотно-
шение:

dg (Л, М) dg(M, В) dg(A, М) dg(M, В) __ q
ds	dn * dn	ds	•	\ J

Очевидно, ему удовлетворяет функция g и не удовлетво-
ряют другие функции. Принимая во внимание, что оно
удовлетворяется и в том случае, когда деформируется
контур, я получил два семейства решений U (А, В).
Одни решения будут аналитическими и регулярными функ-
циями от x1-\-iy1 и x2—iy2 или и ^2+^2 У1 ~~
координаты точки А, х2, у2 — координаты точки В).
Другие имеют, по крайней мере, в некоторой окрестности
рассматриваемого контура ту же особенность, что и
g (А, В) и, кроме тогог для них справедливо соотношение
dU(A,M) dU (М, В)

ds ~ ds	( '

Это семейство решений включает и функцию Грина для
области, внутренней к С и внешней к нескольким другим

онтурам Ch, если рассматривать ее как функцию С,
и фиксированных С h. Следовало бы найти эти решения,
это объяснило бы, почему условие интегрируемости дает
только тривиальные свойства g (Л, В).

]3 1920 г. Адамар, вернувшись к замечанию, сделан-
ному в ^$07 г., заметил, что функция

2п \ дхт ‘	\ дх2



является решением уравнения

о7 (А, В) = J V И» V (Л/, В) ends.

с

(22)

Он показал также в 1907 г., что функции 7 (А, В) (функ-
ция Неймана) и G (А, В) (функция Грина второго порядка)
также просто связаны с решениями уравнения (22).
Я установил, что это уравнение вполне интегрируемо,
и доказал следующую теорему, которая до некоторой сте-
пени объясняет его замечательную роль: если уравнение

8Г(Л, В) = J /[7 (Л, В), 7(Л, М), V(M, B)}mds (23)

С’

вполне интегрируемо в классе симметричных функций,
то либо функция / зависит только от V (А, В), либо это
уравнение приводится к виду (22) заменой неизвестной
функции (FJ.

Я вывел с помощью уравнения (19) новый метод
определения g (А, В). Известно, что если функция
h(M,	(котораяявляется первой, не обра-

щающейся в нуль па контуре производной от g),
то можно получить g (А, В) двумя квадратурами. Таким
образом, определение g(A, В) сводится к нахождению
функции двух переменных h (М, М'). Если заменить
фигуру, образованную контуром С и точками М и ЛГ,
подобной, очень близкой к исходной, фигурой, то можно
вывести из уравнения (19) вариацию h (Л/, М'). С дру-
гой стороны, из однородности следует, что эта вариация
Равна е/г (М,	(е), если коэффициент подобия 1-|-£

стремится к 1. Мы получаем таким образом че-
е ыре интегральных уравнения, которым удовлетворя-

Для произвольного контура эти уравнения использовать
трудно. Но я доказал, что теоретически для определения
этой функции достаточно этих уравнений, если еще из-
вестно поведение g (А, В) в окрестности контура. Доста-
точно проверить это для конкретного контура; в случае
окружности проверка относительно проста.

В 1912 г. я распространил эти результаты на случай
пространства. Уравнение (19) обобщается без труда.
Принципиальные затруднения возникают при разыскании
какой-либо конкретной поверхности, для которой могут
быть разрешены интегральные уравнения, определяющие
d2g(A, B)ldnAdnB. Для этой цели я предпочел сфере
цилиндр вращения. Комбинированное использование ря-
дов и интегралов Фурье позволило свести проблему к ин-
тегрированию уравнения Риккати с целым параметром.
Редактируя это сообщение, я заметил, что задача Дирихле,
решаемая таким путем для круглого цилиндра, будет
решаться тем же методом для всех тел, полученных из ци-
линдра инверсией.

В 1918 г. я применил результаты, полученные для
^(Л, В), к изучению вариации электрической емкости
проводника произвольной формы, я изучил также задачу
плоской геометрии, аналогичную предыдущей, замена
логарифмического потенциала ньютоновым приводит к су-
щественным различиям между случаем плоскости и прост-
ранства.

6.	Для изучения уравнений в частных функциональных
производных возвратимся снова к аналитической точке
зрения2. Итак, рассмотрим некоторый функционал £7,
зависящий от двух функций х (t) и у (t) одной и той же
переменной £ и уравнение вида

£/;(<) = ф[хи, Z],	(24)

Из него выводим для следующее выражение:

W'y = Н (oZ7i) + L (М +	(8у),	(25)

где Я, L и — линейные функционалы.

Мы находим тогда следующее условие интегрируе-
мости: выражение

Я^ВД + bjM	(26)

2 Если нет ссылок на других авторов, то результаты, изложенные
в п. 6 и 7, взяты из моей статьи «Об интегрировании уравнений
в частных производных:».

e eg__сопряженный к L функционал, должно совпадать

со своим сопряженным. Если это условие выполняется
тождественно, то уравнение вполне интегрируемо.

Остановимся на этом случае. Замечательно то, что здесь
хорошо работают классические методы интегрирования
уравнений в частных производных первого порядка.

У Контактный элемент определяется через U', х (.), у (.),
Ux (•) и	Он называется интегральным элементом,

если удовлетворяет уравнению (24). Полным интегралом
называется семейство интегралов, содержащее во всей
своей совокупности все интегральные элементы. Если су-
ществует полный интеграл, то уравнение безусловно
вполне интегрируемо. Оно интегрируется тогда методом
Лагранжа: любое решение либо принадлежит полному
интегралу, либо является огибающей более или менее
обширного семейства решений, которые ему принадлежат.
Здесь может быть особое решение, являющееся огибаю-
щей всех остальных.

Также без труда обобщается и метод Коши. Множества
характеристик представляют собой множества элементов,
каждому из которых соответствует задание функции у (.)
и которые удовлетворяют уравнениям:

Ьх = — ^фу),

W=\[Uy-II(U'x)]Zydt,

(27)



где <5?и являются сопряженными к Я, L и L±. Эта си-
стема интегрируема, если уравнение (24) вполне интегри-
руемо; если один из ее элементов является интегральным,
то и все элементы будут интегральными. Основное предло-
жение теории Коши состоит в следующем: любая ин-
тегральная поверхность, содержащая (не особый) эле-
мент характеристики, содержит ее целиком (особые эле-
менты являются элементами особого интеграла).

Отсюда легко следует, что задача Коши решается так же,
Как в классической теории уравнений с частными произ-
водными первого порядка. Интегрирование уравнения (24)
водится тогда к интегрированию системы (27), т. е. к за-
даче, аналогичной более простой задаче, которая была изу-

7.	Результаты, полученные для уравнения (24), имеют
«внутреннее» применение, состоящее в обобщении работ
Якоби — Гамильтона по вариационному исчислению. На-
чиная с 1905 г., Фреше указывал на возможность такого
обобщения, но, естественно, без использования результа-
тов, изложенных выше. В 1912 г. Адамар обратил мое вни-
мание на результат Вольтерры: функционал Ф (С, и (.))
равен минимуму интеграла



(28)

(5 — область, заключенная внутри контура С) для всех
функций z (х, у), равных па С данной функции и (z); ми-
нимум, реализуемый гармонической функцией, прини-
мающей на С заданные значения, удовлетворяет уравнению

(29)

Это оказался именно случай исследований, резюмирован-
ных в п. 6, результаты которого позволили мне убедиться
в том, что уравнение (29) вполне интегрируемо.

Я изучил также интегралы вида

/ = Ц у, z, р, q)dxdy =	(30)

где функция / всегда положительна. Если значения z
заданы на контуре, то отыскание функции z, доставляющей
минимум интегралу Z, приводится к решению дифферен-
циального уравнения второго порядка эллиптического типа
-L — Л-	631)

0z dx др * dy ду	'	'

Минимум Ф — некоторый функционал, зависящий от С и
и (.). Выражения Ф^ и Фп содержат нормальную произ-
водную. Исключая ее, мы получаем уравнение в частных
функциональных производных, которое обозначим через Е.

Это уравнение вполне интегрируемо. Это следует из того,
что для него, очевидно, существует полный интеграл.
Действительно, область S можно заменить на область 51?
которая будет внутренней по отношению к переменному
контуру С и внешней по отношению к другому контуру Сг,
лежащему внутри С. Мы получаем таким способом другие
интегралы того же самого уравнения, добавляя к Ф по-

стоянную л, находим интегралы, образующие полный
интеграл.

Всякий элемент определяется заданием контура С, зна-
чения z и ее нормальной производной на С и значения Ф.
Пля существования решения z уравнения (31), удовлетво-
ряющего на С заданным условиям, достаточно выполнения
условий непрерывности. Тогда очевидно, что всякое реше-
ние Е, содержащее один элемент, содержит все элементы,
которые мы получим, сохраняя ту же функцию 2, яв-
ляющуюся решением уравнения (31), и варьируя одновре-
менно конутр Сг, ограничивающий изнутри S± и а, таким
образом, чтобы интеграл

a -J- j j / (я, у, 2, р, q) dxdy

(32)

оставался постоянным. Отсюда следует, что элементы,
связанные таким образом с решением z уравнения (27),
образуют множество характеристик.

Можно распространить эти результаты па случай,
когда / зависит от всех проиводпых z до порядка 7V вклю-
чительно. Тогда необходимо задать па контуре не только
значения z и dzldn, но и значения всех нормальных
производных d2z!dn2, . . ., dNzldnx, уравнение (31) за-
меняется уравнением порядка 2АГ. Таким образом постав-
ленная задача была решена в параграфах 12 и 28 моей
работы 1914 г., цитированной выше. Важным частным
случаем, указанным в этой работе, является случай, когда

f(x, у, z, Р, g) = \/l + р2 + д2-	(33)

Тогда Ф будет площадью минимальной поверхности, огра-
ниченной замкнутой пространственной кривой С (или
заключенной между С и некоторой фиксированной кривой
G). Так как все три координаты равноправны, имеется
смысл возвратиться к обозначениям Вольтерры. Мы по-
лучаем таким образом уравнение

Ф J	+ Ф/ —	(34)

которому удовлетворяет Ф. Тогда вектор Ф'г, Ф^, Ф^ —
единичный вектор, нормальный к С и касающийся рас-
сматриваемой минимальной поверхности.

8.	Для изучения уравнений порядка больше единицы
необходимо ввести понятие интеграла по функциональной
области. Речь идет уже не об обобщении классического

интеграла, но о построении теории совершенно нового
типа. В Нп куб может быть разложен на 2Л кубов со сторо-
нами, в два раза меньшими. В бесконечномерном прост-
ранстве их должно быть несчетное множество, так что
классическое определение интеграла использовать нельзя*.

Существует два способа обойти это затруднение.
Можно, как это сделал Фреше в 1915 г., сохранить форма-
лизм классической теории. Легко видеть, что это возможно.
Пусть 5 — последовательность вещественных чисел
Хр g (0,1); пусть apq g-й десятичный знак Хр. Можно
расположить все а в виде единой последовательности
чисел bfl, которые будут десятичными знаками одного
числа у. С точностью до множества меры нуль соответ-
ствие между S и у взаимно однозначно. Тогда мере Лебега
на (0, 1) будет соответствовать некоторая мера па множе-
стве Е последовательностей S. Мы можем вывести отсюда
теорию интегрирования, обобщающую классическую.
Эта идея была систематически развита в 1934 г. Б. Иессе-
ном. Но в основных чертах она стала для меня привычной
в 1919 г.; я полагаю, что эта идея восходит к Лебегу.

В своей работе 1915 г. Фреше рассмотрел более общий
случай абстрактного множества Е. Полагая, что на нем
определена вполне аддитивная мера и (в) (где е обозна-
чает подмножество Е), он сумел обосновать общую теорию
интегрирования в абстрактных пространствах. Эта теория
была развита П. Даниелем и Н. Винером, которые, по-ви-
димому, не знали о приоритете Фреше. Опа легла в ос-
нову современной теории вероятностей, после того как
в 1933 г. А. Н. Колмогоров определил вероятность как
меру р (е), заданную на классе борелевских множеств,
удовлетворяющую условиям р (Е') = 1, р (е)	0.

Эта теория весьма удовлетворительна в том смысле,
что сохраняются аксиомы теории Лебега. Вероятности
и меры являются вполне аддитивными. Однако она не об-
ходит затруднения, указанного выше: в бесконечномерном
векторном пространстве, если р(Е)=1, то почти все
объемы, внутренние по отношению к Е, имеют меру нуль,
если их размерности не равны размерности Е. Теория Гато
(умер в 1914 г., его бумаги были опублиованы в 1919 г.)
совершенно другая. В ней отказываются от полной адди-
тивности меры, как это делается в некоторых случаях,
когда речь идет о случайном выборе целого числа. Это не
«истинное» вероятностное распределение, а предел неко-

торого распределения, и полной аддитивности здесь нет.
Рассматривая функции х (i), определенные на (0, 1),
Гато называет простыми функциями n-го порядка функ-
ции, постоянные в каждом из п интервалов ((/г 1)/и, Л/п)
(Л=1, 2 . .	п). Для таких функций функционал U

сводится к функции ип (х1ч х2, . .	х„) от п ее значений.

Пусть V„ — множество точек (ггг, х2, . . , х„), для кото-
рых х (t) будет внутри данного объема V. Средним зна-
чением U по V будет тогда, по определению, предел
средних значений ип по и„. Мера множества е £ V есть
среднее его характеристической функции (-1 на е и О
вне е). Очевидно, указанный предел может и не существо-
вать; если он существует, то мера не будет «истинной ме-
рой», т. е. вполне аддитивной.

В 1918 г., не зная о работах Гато, я также пришел к та-
кому определению среднего значения. Я сообщил об этом
Адамару, который указал мне па приоритет Гато и пред-
ложил заняться публикацией его бумаг, что я и сделал 3.
Продолжая размышлять над этими вопросами, я получил
новые результаты, которые изложил в курсе, прочитанном
в 1919 г. в Колеж де Франс, а затем развил в 1922 г.
в моих лекциях по функциональному анализу.

Эти результаты связаны с замечанием, сделанным в на-
чале данного пункта: весьма общий факт — из двух
функциональных объемов одним по отношению к другому
почти всегда можно пренебречь. Уже Гато заметил, что
среднее значение непрерывного функционала по шару
зависит только от его значений на поверхности шара,
в свою очередь зависящих только от значений на экваторе.
На самом деле куски шара, которые не граничат с поверх-
ностью, так же, как и те, которые не примыкают к эква-
тору» образуют такую часть полного объема, которой
можно пренебречь, что уже было замечено Борелем.

Я обобщил эти результаты, рассматривая функционал
U — равномерно непрерывный внутри сферы F с £а ра-
диуса R с центром в начале координат. Различные поверх-
ности ип=ра (р — целое действительное переменное,
а данная константа) делят сферу	на области,

и имеется одна область (или, как исключение, две смеж-
?дх) такая, что множеством остальных можно пренеб-
* См. Bull. Soc. Math. France, t.17, 1919, p. 47—96.

речь, т. е. это множество представляет часть полного
объема, которая стремится к нулю при неограниченном
возрастании п. Если устремить а к нулю, то мы увидим,
что в любой окрестности поверхности и„=т„ концентра-
ция объема возрастает, если тп — среднее значение ип.
Так как предел тп может и не существовать, то можно,
если т какая-то из точек накопления тп, рассматривая
только подпоследовательность значений п, для которых
тп стремится к т, определить обобщенную меру Гато
и говорить, что предел в любой окрестности поверхности
U=т содержит почти всю сферу. Итак, несмотря на то, что
т может и не быть хорошо определена, мы можем сказать,
что какой бы ни была принята мера, функция U почти
всюду в области V почти равна своему среднему значению.
Слова «почти всюду» не означают здесь, что речь идет о
всюду плотном множестве, а только то, что его дополне-
ние является такой частью V, которой можно пренебречь.

Естественно, если имеет значение только окрестность
поверхности, то этот результат применим также для по-
верхности сферы. Вообще он применим для любой связ-
ной замкнутой поверхности, радиусы кривизны нормаль-
ных слоев которой имеют конечную верхнюю грань.
Он распространяется также на гильбертово простран-
ство Q, где значения Гато xL, х2, . . ., хп заменяются
п первыми координатами av точки Л, принадлежащей Q
в полной системе ортогональных осей. Впрочем сущест-
вуют объемы, для которых этот результат неприменим.
Так, в Q, если V — объем,

2

(35)

то среднее значение функции U=f (аг) является, оче-
видно, истинным средним.

Тогда встает важная проблема: если мы выбираем
в Q полную систему ортогональных осей, то получим ли
для данного функционала, применяя метод Гато и исполь-
зуя координаты av, одно и то же среднее значение?
Тот же самый вопрос ставится для лапласиана, который
можно определить или по формуле (13), или по формуле

ьи

— lim — V
n->co * A

dW

dal *

(36)

1

когда речь идет о среднем значении U или лапласиана;
второе определение использует предел, который, вообще
говоря, не существует или зависит от порядка осей.
Сравнение двух определений требует, следовательно, пред-
варительного рассмотрения порядка членов в последо-
вательности ортогональных функций. Рассмотрения та-
кого рода можно найти в моей книге 1922 г. Эти резуль-
таты достаточно сложны, чтобы быть изложенными здесь.

9.	Мы можем теперь вернуться к уравнениям в функ-
циональных производных порядка больше единицы. Эта
обширная область еще мало изучена. Помимо исследований
по регулярным функционалам, решениям уравнения £7"s=0,
едва ли можно указать что-либо, кроме работ Гато и моих
по обобщенному уравнению Лапласа А £7—0 и нескольких
замечаний Гато об уравнениях с правой частью.

Возможно, наиболее замечательной идеей Гато, во вся-
ком случае наиболее смелой, было введение при изуче-
нии этого вопроса обобщенных ньютоновских потенциа-
лов. Так как в Rn потенциал, порождаемый единичной
массой, равен 1/г”"2, то я, до ознакомления с бумагами
Гато, не считал возможным определить его для беско-
нечного п. Однако Гато удалось, используя свое определе-
ние среднего значения, дать строгие понятия потенциалов
простого и двойного слоя в Ь2 и показать, что задача Ди-
рихле, довольно сложная в пространстве п измерений,
становится элементарной для бесконечного п. Функция,
гармоническая внутри выпуклого объема V и равная
на его поверхности заданной функции и (М), является
потенциалом двойного слоя с плотностью и (М). Отсюда
непосредственно вытекает, что ее значение в центре сферы
равно, как и в R\ среднему ее значений по поверхности.
Из этой теоремы Гато легко вывести следующую: если
£7 — субгармонический функционал, т. е. А£7^0, то
среднее значение £7 по шару не меньше его значения
в центре шара.

Я предложил это исследование и показал весьма общим
образом, что тот факт, что среднее значение часто опреде-
ляется преобладающим значением, а также тот факт, что
в выражении (35) для лапласиана ничто не изменится,
если пренебречь одним из членов, вносят значитель-
ые упрощения. В некоторой точке поверхности можно
Вес УЧитывать направление нормали и тогда легко вы-

&U = —k^-,	(37)

dn *	' '

где dUldn — производная по нормали к поверхности,
перпендикулярной к поверхности уровня U=U (А), а
к — средняя кривизна этой поверхности в точке А.

Итак, гармонические функционалы характеризуются
тем свойством, что их поверхности уровня будут минималь-
ными поверхностями. Задача Дирихле для некоторой об-
ласти V сводится тогда к задаче Плато, где каждая из
поверхностей U С является минимальной поверхностью,
граница которой Г определена на поверхности, ограничи-
вающей V, условием U= С. Можно также сказать, что эта
поверхность является геометрическим местом точек, из ко-
торых кривая Г видна как разделяющая пространство
на два равных телесных угла. Таким образом, две довольно
сложные задачи Дирихле и Плато приводятся в Л2 и в Q
к одной, которая в Rn была бы более простой.

Разумеется, чтобы лучше понять сказанное, не нужно
забывать, что предел ДС7 в Q может и не существовать.
Это означает, что в Rn сформулированные результаты тем
точнее, чем больше п, и что, если рассмотреть последо-
вательность значений га, для которых этот предел сущест-
вует, они справедливы в пределе.

Мне остается только добавить, что моя книга 1922 г.
содержала некоторые ошибки. Это послужило одной из
причин, заставивших меня внести значительные изме-
нения при ее переиздании в 1951 г. под названием «Кон-
кретные проблемы функционального анализа» 4.

Уже летом 1922 г. Н. Винер сообщил мне, что прочитал
мою первую книгу. У меня есть основания думать, что
она оказала влияние на ход его мыслей, приведших
в 1923—1924 гг. к двум важным статьям по броуновскому
движению. Если это действительно так, то это наиболее
значительные работы, которые следовали идеям моей
книги 1922 г. Я отмечу также одну заметку Ж. Жюлиа
и статьи Эванса, Пранжа и Себага. Книга 1951 г. вскоре
повлекла за собой новые исследования сначала в Совет-
ском Союзе и немного позднее в Японии. Я не достаточно
осведомлен об этих работах, чтобы здесь их обсуждать.

4 Русск. перевод: П.Леви. Конкретные проблемы функционального
анализа. М., «Наука», 1967. — Прим, перев.

ИСТОРИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА1

Ж. Дьёдонне

Теория, которую теперь называют гармоническим ана-
лизом, с самого своего зарождения не переставала оказы-
вать активное влияние па развитие всей математики и об-
разовала необычайный перекресток, где сошлись, сме-
шиваясь и взаимно обогащаясь, почти все ветви нашей
науки. Следовало бы также обратить особое внимание на
все возрастающую значимость, которую эта теория при-
обретает в математической физике (из которой она, кстати,
и возникла); однако это потребовало бы специального ис-
следования и значительно большей компетентности, ко-
торой я не обладаю. Поэтому я вынужден, к сожалению,
касаться главным образом вопросов чистой математики.
Ввиду обширности темы я должен буду, очевидно, огра-
ничиться очень краткими замечаниями, которые лишь
затронут существо вопроса.

Развернувшаяся в XVIII в. полемика вокруг тригоно-
метрических рядов привела в конце концов к современ-
ной концепции функции. В XIX в. теория рядов Фурье
явилась местом стыка, где взаимно обогащались теория
функций комплексного переменного и теория функций
действительного переменного. Возникающие здесь проб-
лемы сходимости, наряду с работами Кантора, во многом
способствовали рождению топологии на прямой, а также
более быстрому развитию понятий интеграла и меры, ко-
торое привело к концепциям Стилтьеса, Лебега, Данжуа
и Л. Шварца. Теория Фурье должна также рассматри-
ваться как один из источников современного функциональ-
ного анализа, так как в ней возникли многочисленные не-
тривиальные операторы, и она способствовала введению
в анализ (например, посредством идеи ортогональности)
«геометрического мышления». Наконец, в начале XX в.

ДокдаД» прочитанный на XIII Международном конгрессе по исто-
рии науки (Москва, 23 августа 1971 г.). Пер. С. С. Петровой.

именно в гармоническом анализе происходит слияние ал-
гебры и анализа, столь характерное для математики нашей
эпохи. Я хотел бы проследить здесь историю гармониче-
ского анализа, главным образом в аспекте его многочислен-
ных связей с другими областями математики.

1. Гармонический анализ
и функциональный анализ

Я буду краток при изложении хорошо известной исто-
рии возникновения гармонического анализа, или, точнее,
теории рядов и интегралов Фурье. Я напомню только, что
тригонометрические ряды начинает исследовать Даниил
Бернулли в связи с решением задачи о колебаниях струны.
Почти одновременно степерные ряды в комплексной об-
ласти явились независимым источником теории триго-
нометрических рядов [101. «Формулы Фурье», выражаю-
щие коэффициенты аи, Ъп (соответственно си) разложения
функции / в тригонометрический ряд

со

/ (я) ~ S (ап cos пх + \ sin пх)
и

“ . \ (!)

соответственно 2j сп&“х I

11=—со	/

в виде интегралов:

2п	2z

а0 = J / (х) dx, ап = — j / (х) cos nxdx,

0	0	(2)

2г.

1 Г

bn = —\f (х) sin nxdx (n > 0)
о

2г.	\

If .	\

соответственно cn— J /(x) e~™xdx ,	(3)

/

встречаются уже фактически у Клеро и Эйлера, приме-
нявших их ко многим функциям, периодическим или непе-
риодическим, по вопросы сходимости здесь еще не воз-
никают. Тем не менее именно Фурье нужно считать осно-
воположником этой теории. Несомненно, он является
по существу математиком XVIII в., и поэтому не следует

него строгих понятий о сходимости рядов или опре-
искать У0Нтеграла. Однако его большой заслугой является
деления^ доСТавил, если пе решил, проблему представ ле-
то, чТ°оИЗВОльной функции ее рядом Фурье, чем н завер-
НИЯ Шлемику предыдущего века по этому вопросу. Что ка-
ШИЛ я преобразования Фурье, которое каждой функции
саете ; леНной на R, ставит в соответствие функцию дей-
ствкгельвого переменного

Ff(y) = F(y) = J f(x)e-^dx,

(4)

то Фурье первый начал систематически применять его
для интегрирования уравнений в частных производных
[10], тогда как Лаплас, примерно в то же время, исполь-
зовал для этих целей преобразование

со

L/ ($) = j / (х) e~x8dx (s — комплексное)
о

(5)

[21]. Оба используют (как это делал до них эпизодически
Эйлер) тот факт, что дифференцированию «оригинала» со-
ответствует намного более простая операция умножения
«изображения» на переменную 2.

Знаменитый мемуар Дирихле 1829 г. [20] явился пер-
вой работой, в которой была строго доказана сходимость
ряда Фурье. Ограничившись только непрерывными и ку-
сочно-монотонными функциями, оп показал, что если /
непрерывна и монотонна на [0, /г], то интеграл

h

{f{^^nx_dX	(6)

J м ' sm х	4 7

о

стремится к ~/(0) при ?г-> оо. Этот результат был полу-
чен посредством весьма оригинального для того времени
анализа, послужившего образцом для многочисленных ис-
следований XIX в. по «сингулярным интегралам». Соответ-
ствующий результат для интеграла Фурье, по-видимому,
впервые был получен только Жорданом в 1883 г. в его
курсе анализа [44]. Известно, что впервые совремепное
а Мы используем общепринятую терминологию операционного ис-
числения — Прим, перев.

Определение функции было дано Дирихле в упомянутом
выше мему аре 1829 г. Как видно из последней части этой
работы, Дирихле много занимался распространением сво-
его результата па функции с бесконечным числом точек
разрыва. Однако стоящая на первом месте проблема схо-
димости ряда Фурье произвольной непрерывной функции
оставалась- по-прежнему открытой. Данный Вейерштрас-

со

сом в 1872 г. пример функции 2a”C0s^na;(^ — целое,
«=1

больше 2, 0 < а < 1, ab 10), не имеющей ни в одной
точке производной, показал, что рядами Фурье можно
представлять непрерывные функции, значительно более
«иррегулярные», чем те, которые рассматривал Дирихле.
Тем не менее отрицательный ответ на этот вопрос был по-
лучен в 1873 г. П. Дюбуа Реймоном [23], построившим
контрпример функции, сильно колеблющейся в окрест-
ности нуля, ряд Фурье которой в этой точке расходится.
Исходя из этого примера, нетрудно построить непрерыв-
ную функцию, ряд Фурье которой расходится в точках
всюду плотного счетного множества. Но можно ли говорить,
что ряд Фурье непрерывной функции «в основном»
(en general) сходится или, по крайней мере, не везде рас-
ходится? Понадобилось более 100 лет, чтобы окончательно
решить этот вопрос: в 1966 г. шведский математик Л. Кар-
лесон [12] показал, что ряд Фурье непрерывной функции
сходится почти всюду к этой функции; обратно, для лю-
бого множества меры нуль существует непрерывная функ-
ция, ряд Фурье которой расходится на этом множестве
(Каан—Катцнельсон [50]). Замечательно то, что резуль-
тат Карлесона был получен из анализа сходимости рядов
Фурье функций более широкого класса, чем непрерывные
функции. Как мы видели, эта проблема была поставлена
уже Дирихле, и она явилась «лейтмотивом» последующих
исследований.

Мы можем датировать мему аром Дирихле рождение со-
временного гармонического анализа. Для того чтобы по-
пытаться охарактеризовать посвященную ему обширную
литературу, несомненно, удобнее всего сконцентрировать
наше внимание на идее преобразования. Ясно, что примени-
тельно к интегралу Фурье и интегралу Лапласа эта идея
с самого начала была четко осознана и использована их
изобретателями. Напротив, несмотря на поразительную

гию между рядами и интегралами Фурье, кажется,
анало лся значительпо больший промежуток времени,
П°яЯтого чтобы привыкнуть рассматривать формулы (3)
к преобразование функции, определенной па [0, 2 тс],
Линкиию, определенную па Z3,h обратно, что «суммиро-
в ние» (в некотором смысле, требующем уточнения) три-

гонометрического ряда 2 составит в соответствие функ-
ции определенной па Z, некоторую функцию па [0,2-].
Трудно сказать точно, когда был осознан этот факт, безус-
ловно связанный с введением первых концепций «абстракт-
ного» функционального анализа, а также с понятием интег-
рала Стилтьеса и с изучением рядов Дирихле; по-видимому,
это произошло около 1900 г. С этой точки зрения можно
считать, что указанные преобразования ставят два типа
проблем (которые часто переплетаются): А) определение
области существования; Б) изучение свойств «преобразо-
ваний», а также «обратного» преобразования.

А) Как уже заметил Дирихле, проблема отыскания
коэффициентов Фурье некоторой функции, определенной
на [0, 2 тс] по формулам (3), или преобразования Фурье
некоторой функции, определенной в 7? по формуле (4),
сводится по существу к определению интеграла от этой
функции. Замечательно то, что большинство обобщений

понятия интеграла, предлагавшихся начиная с середины
XIX в., имели в качестве пробного камня проблему опре-
деления преобразования Фурье. Так, что особенно удиви-
тельно, первое по времени из этих обобщений — интеграл
Римана — являлся для автора простой технической за-
готовкой во вводном параграфе его мемуара о представле-
нии функции тригонометрическим рядом [68]. Точно
так же Лебег в мему аре, последовавшем вскоре за его
диссертацией, где он вводит свое понятие интеграла,
применяет эту конструкцию к рядам Фурье [53]. Так же
поступает и Л. Шварц, после того как определяет распре-
деление [74] 4. Что касается интеграла Данжуа, то он
применяется к той же проблеме лишь спустя некоторое
Ремя после его открытия. Это, по-видимому, объясняется
м’ что для определения коэффициентов Фурье функции,

3 Z —

4 в множество целых чисел. — Прим, перев.

«обпк™еи литера?уре распределения по Шварцу называют чаще
Щенными» функциями. — Прим, перев.

равной сумме всюду сходящегося тригонометрического
ряда, через ее значения этого интеграла недостаточно [19].

Единственным обобщением понятия интеграла, которое
не было сразу же применено в гармоническом анализе,
является интеграл Стилтьеса, так как «коэффициенты
Фурье — Стилтьеса»

2тс

\e~nlxdF(x)	(7)

и

для функции F с ограниченной вариацией, определенной
на [0, 2^], не изучались до 1915 г. [56], и только в 1920 г.
[14] Даниель определил преобразование Фурье — Стил-
тьеса меры и па R

со

F(V)= j е-^ф(х).	(8)

—СО	/

Этот пробел был полностью восполнен в последующие годы,
особенно благодаря работам П. Леви [54], когда преоб-
разование Фурье—Стилтьеса стало одним из наиболее
мощных инструментов теории вероятностей.

Определение преобразования, связывающего последо-
вательность коэффициентов Z с некоторой функцией,
представляемой в некотором смысле рядом Фурье, в слу-
чае, когда этот ряд не везде сходится, ставит другой тип
проблем (подобные проблемы возникают и для интеграла
Фурье или коэффициентов Фурье, когда их хотят опреде-
лить для неинтегрируемых функций). Это проблема вы-
бора методов суммирования рядов или интегралов. Здесь
одним из первых примеров, по-видимому, является метод,
данный Пуассоном [10] для нахождения обращения ин-
теграла Фурье по формуле

<? (z) = lim — ( <р (В) dz\ е iy2, cos (х— tyydy. (9
о

Среди ранних примеров укажем еще метод Абеля для сум
мирования тригонометрических рядов

со

lim 2 (ап cos пх + bn sin пх\

г->1 «=0

(10

, одящий естественным образом к связи между степен-
и и тригонометрическими рядами (чисто формально

* метод фактически уже применялся Эйлером). Наконец,
ЭТ°бходимо напомнить, что самой знаменитой теоремой
суммировании» тригонометрических рядов была теорема
фейера [27]: ряд Фурье непрерывной функции всегда
суммируем методом Чезаро.

JОднако «методы суммирования» представляют собой,
сведи прочих, только один из методов аппроксимации. Раз-
витие функционального анализа и, в частности, введение
множеств меры нуль должно было привести к расширению
классической концепции «определения» функции ее зна-
чениями в каждой точке. Если выйти из класса непрерыв-
ных функций, то формулы Фурье, имеющие смысл для
любой интегрируемой по Лебегу функции, показывают,
что одной и той же последовательности коэффициентов
Фурье функции / ставится в соответствие целый класс
функций, равных почти всюду /, причем у нас нет никаких
оснований предпочесть одну из этих функций другим.
Следовательно, нельзя было ограничиться методами «то-

чечной» аппроксимации, приводящими к нахождению
значений «приближаемых» функций в каждой точке, так
как они не согласуются с этой новой концепцией функций,
«определенных почти всюду». Нужно добавить, что методы
«точечной» аппроксимации, дающие положительные ре-
зультаты для разрывных функций, не позволяют, вообще
говоря, оперировать удобным образом с этими функциями
(см. [24, гл. I, стр. 3—7]). Первой по времени из числа
этих новых теорем об аппроксимации является известная
теорема Фишера — Рисса 1907 г. [28, 69]. В 1799 г. Пар-
севаль формально установил соотношение

2х



(И)

между функцией и ее коэффициентами Фурье [10]; если
ряд Фурье равномерно сходится к /, то это равенство
нетрудно доказать, исходя из тождества

2р	N	2«	N

J I/(*)- ^cneni*\*dx= ( \f(x)Pdx-2« S|CJ2.	(12)

О	J	—il

Теорема Фишера—Рисса придает этому результату окон-
чательный вид, устанавливая простое взаимно однознач-
ное соответствие между гильбертовыми пространствами
Z2 и L2 (0, 2 тс) с помощью обобщения понятия ряда Фурье:
соотношение (И) имеет место для любой функции
/ f L2 (0, 2 тс) с 7?-(О, 2я), и, обратно, для любой после-
00	со

довательностп (сп), такой, что 2| сп\2 <^4"°°» РЯД
—со	-со

сходится, но только в метрике 7>2, к некоторой функции,
имеющей в качестве коэффициентов Фурье числа сп.
Для пространств Lp при р=£2 такого простого результата
не существует; в частности, А. Н. Колмогоров [52] по-
строил пример функции из L1 (0, 2тс), ряд Фурье которой
расходится в любой точке и также расходится в метрике
L1; чтобы восстановить функцию по ее ряду Фурье, нужно
использовать процесс суммирования Чезаро, который
в этом случае сходится почти всюду.

Несколько лет спустя [63] Планшерель получил аналог
теоремы Фишера—Рисса для интеграла Фурье: здесь воз-
никли более серьезные затруднения, так как формула (4)
не имеет смысла, когда / принадлежит L2 (7?), но не L1 (R);
следует отметить, что для / f I1 П L2 преобразование
Ff принадлежит также L2 и выполняется соотношение

Ц7Ь=1/Ь,	(13)

что позволяет определить Ff посредством непрерывного
продолжения во всем L2. Но такая точка зрения в свою
очередь включается в концепцию преобразования Фурье,
применяемого уже не к отдельной функции, а к «функцио-
налу». Рассмотрение преобразования Фурье—Стилтьеса
(8) ограниченной меры р как функции является неудовле-
творительным, логичнее рассматривать преобразование
меры р как меру Fp, имеющую в качестве плотности от-
носительно меры Лебега функцию (8) (эта функция при-
надлежит к Л00 (7?) и, в частности, локально интегри-
руема); для любой непрерывной функции ср с компактным
носителем мы имеем в силу теоремы Лебега—Фу бини

<Дч '?>= j j ? (®) e-ttzdy. (t) dx = <p,	(14).

так что /jFu оказывается двойственным (transposee) к пре-
образованию Фурье -> Fw, ограниченному на простран-
стве К (R) непрерывных функций с компактным носите-

лем Эта точка зрения, кажется, впервые была высказана
А Вейлем по поводу преобразования Фурье в L для
(85 стр. 118]; на пей основывается определение преобра-
зования Фурье распределений [74, 76]. Вообще каждый
раз когда имеется точная информация об образе^ относи-
тельно F пространства R функций («тест-фупкций» в ши-
роком смысле), то можно определить преобразование
Фурье FT непрерывной линейной формы Т на 1<R соотно-
шением двойственности

(FT, <fr = (T, F<?>,	(15)

где _ любая функция из R; разумеется, топологии, ко-
торые мы должны ввести в R и FR, являются существен-
ной частью этого определения, но во всех известных при-
мерах оказывается, что эти топологии можно ввести «есте-
ственным» образом [25, 34].

Совершенно иное направление исследований состоит
в том, чтобы некоторой периодической функции /, пред-
полагаемой только измеримой (по не интегрируемой), со-
поставить тригонометрический ряд, сходящийся почти
всюду к /. Если / всюду конечна, то теорема Меньшова и
Бари утверждает существование, по крайней мере, одного
такого ряда; если же / только измерима, то, как доказал
Д. Е. Меньшов, существует тригонометрический ряд,
сходящийся к / по мере [1, т. II, стр. 144]. Однако здесь
нельзя говорить о «преобразовании», так как этот ряд,
вообще говоря, не единствен: Д. Е. Меньшов [1, т. II,

со

стр. 367] дал пример ряда 2 коэффициенты которого

—ОО

не все равны нулю, но который, тем не менее, сходится
почти всюду к нулю. Проблема единственности имеет
длинную историю, начинающуюся с Кантора [И], пока-

завшего, что коэффициенты ряда 2 cos пх + 6nsin пх),

я=0

сходящегося всюду к нулю, обязательно равны нулю.
татИТ напом™ть’ что» пытаясь обобщить этот резуль-
на случай, когда сходимость имеет место вне счет-
сти°/Н“а точек» Кантор пришел к необходимо-
(«ппо ВгеДения пеРвых топологических понятий на прямой
ные» ^зво^ное>> множество, последовательные «производ-
т* Д-), теорема о произвольном, «исключительном»

счетном множестве была доказана в 1909 г. В. Юнгом
[1, т. II, стр. 354].

Б) Свойства преобразований. С самого зарождения
теории была замечена тесная связь между свойством «ре-
гулярности» периодической функции и поведением коэф-
фициентов Фурье в бесконечности; наиболее известным ре-
зультатом является теорема Римана—Лебега, утверждаю-
щая, что коэффициенты Фурье функции из L1 (0, 2 т:)
стремятся к нулю вместе с 1/п при п-> со; интегрированием
по частям отсюда можно вывести, что коэффициенты Фурье
функции из класса сг равны о (п~г).

Отправляясь от этих идей, можно считать, что сущест-
вуют «оптимальные теоремы», именно теоремы, явно опи-
сывающие (посредством свойств, не использующих пре-
образования Фурье) пространство FR преобразований
Фурье функций (а также мер или распределений), при
надлежащих к данному пространству К; в этом случае
можно искать формулы «обращений», позволяющие явно
задать биективное отображение F1 из FR на JR. Имеется
небольшое число таких «оптимальных» теорем:

а)	наиболее ранней является следующая теорема из
теории аналитических функций (Коши): коэффициенты
рядов Фурье периодических функций, аналитических
в некоторой полосе, содержащей действительную ось,
равны сп=О (а1и|) для любой постоянной а£([0,1]
(см. также [58, 59]);

б)	аналогом для интеграла Фурье является намного
более глубокая теорема Пэли — Винера [62], окончатель-
ный вид которой придал Л. Шварц [76], описавший пре-
образования Фурье распределений с компактным носите-
лем как медленно растущие функции, продолжаемые в ком-
плексную плоскость целыми функциями экспоненциаль-
ного типа;

в)	теоремы Фишера—Рисса и Планшереля, упомяну
тые выше, характеризуют ряды Фурье функций из
L2 (0, 2") и преобразования Фурье функций из L2;

г)	элементарный результат Л. Шварца, устанавливаю-
щий (посредством двойственности) тот факт, что простран-
ство умеренных (temperees) распределений переводится
преобразованием Фурье в себя;

д)	теорема Герглотца — Бохнера [5, 39, 69], характе-
ризующая преобразования Фурье — Стилтьеса положи-
тельных мер как положительно определенные функции

Л уже не векторное пространство, а конус и неиз-
(здесь вНуТренняя характеризация функций, являющихся
веСУстями положительно определенных функций).
Ра^? 10 ЭТих теорем имеется большое число частных
^ультатов относительно других пространств /?, например,
Р6 стпанств Lp при Хорошо изученным является
°постранство А непрерывных на [0, 2*] функций, ряды
JJP пье которых сходятся абсолютно; наиболее замечатель-
е свойство этого пространства дается теоремой Винера—
Леви, утверждающей, что для любой функции f £ А,
для которой Ц/1К1, Ф-/ будет также функцией из А,
если только Ф аналитична в некоторой окрестности образа
/• эта теорема была дополнена Катцнельсопом, показав-
шим, что аналитические в окрестности [—1, +1] функции
являются единственными, обладающими указанным свой-
ством для всех функций / £ А, таких, что || /1|< 1 [48, 81 ].

Другим пространством, для которого имеются много-
численные результаты, является пространство функций,
ряды Фурье которых лакунарны, т. е. с„=0 для всех п,
кроме последовательности nft, такой, что	с > 1

для любого к.

Укажем, наконец, еще два типа проблем, явившихся
предметом многочисленных работ. С одной стороны, рас-

оо

сматривая ряды Фурье 2сие”,я» коэффициенты которых
-со

являются случайными независимыми величинами, пыта-
ются сформулировать свойства ряда, имеющие место почти
наверное [47].

Совсем другому направлению принадлежит сопостав-
ление действительной функции/(б) = 2(аи cos тгО—(- sin пб)
аналитической функции комплексной переменной F(re'®) =
со

для которой / (б), при некоторых усло-
виях, может рассматриваться как предел действительной
части функции F, когда г->1. Это, очевидно, приводит
к сопоставлению функции / предела при г -> 1 (когда он
существует) мнимой части функции F. Это является от-
точкой при определении и изучении «сопряжеп-
и Функции» суммы ряда Фурье, которая во многом
Чествовала развитию современного функционального

анализа, являя важные примеры линейных операторов
нового типа [51].

В) Ряды ортогональных функций. Одним из первых
было замечено свойство ортогональности

2л

J fm (х) in dx = 0 при т=£п,
О

(16)

которому удовлетворяют функции (x)=emx1 определен-
ные на [О, 2тс], так как именно на нем основаны формулы
Фурье (3). Однако даже до Фурье [10] в физических за-
дачах уже встречались другие разложения в ряды «ор-
тогональных» функций с некоторыми «весами» гр,
т. е. такие, для которых

ь

j	— при т^п. (17)

а

В течение всего XIX в. продолжается глубокое изуче-
ние этих разложений для функций одной переменной либо
в связи с теорией линейных дифференциальных уравне-
ний второго порядка (теория Штурма—Лиувилля), либо
в связи с рассмотрением частных ортогональных систем
таких, как полиномы Лежандра, Якоби, Лагерра, Эрмита
и других. Эти исследования и их распространение на функ-
ции многих переменных наряду с работами Гильберта и его
последователей привели к спектральной теории операто-
ров, к которой мы еще вернемся. С другой стороны, было
приложено немало усилий к тому, чтобы понять, какие
из свойств тригонометрических рядов вытекают исключи-
тельно из ортогональности и полноты системы и ка-
кие следуют из специфических свойств этой системы
[31, 45].

Г) Почти периодические функции. Среди ортогональ-
ных разложений в теории Штурма — Лиувилля встреча-
лись разложения по функциям экспоненциального семей-
ства (ea»f), где \ — действительные, не целые; ряды Ди-
рихле являются разложениями такого вида. По-видимому,
именно разложения указанного типа, появившиеся в не-
бесной механике, дали первый толчок к систематическому
изучению в работах Боля [7] и Эсклапгона [26] «квази-
периодических» функций, являющихся равномерными пре-
делами (всюду на R) «обобщенных тригонометрических

N

полиномов» 2 c„exp(ikj), где X„ принадлежат решетке

2 конечного типа (Q. — действительные числа, ли-
нейно независимые над Z). Начиная с 1923 г., Бор обоб-
щил эти исследования на случай, когда не делается ни-
каких предположений относительно последовательности
действительных чисел (\), и получил свою знаменитую
характеризацию этих функций свойством «почти перио-
дичности». В течение десятилетия эта теория пользовалась
большой популярностью; ниже мы рассмотрим ее в связи
с теорией групп, а здесь лишь укажем на два очень важных
направления, которые возникли в ходе ее развития.

Во-первых, основным рабочим инструментом у Бора
является следующее предложение: для всякой почти пе-
риодической функции / ее среднее

т

Mf = li m	( / (ж) dx	(18)

7’->со 22

всегда существует; отсюда следует, что для любого дей-
ствительного числа а существует среднее М (J

если / — периодическая функция с периодом 2 тс, то оно
равно нулю, когда а не есть целое п, и 2т.с_п для остальных
значений а. Несомненно, руководствуясь этим свойством,
Бор показывает, что среднее любой почти периодической
функции f М (J (х)е1Хх) будет равно нулю для всех X, ис-
ключая некоторую последовательность обобщая фор-
мулу Парсеваля (И), он показал, кроме того, что если
сп~М (f (ж)е1Хлг), то имеет* место фундаментальное ра-
венство

л/(|/12)=2|с»12-
п

(19)

Как это заметил несколько лет спустя Н. Винер [96],
такой метод определения и сп по сути уже был исполь-
зован физиками, например Шустером, который около
1900 г. много занимался исследованием «скрытых перио-
дичностей» различных процессов и именно в связи с этим
ввел в математику термин «гармонический анализ», уже
Долгое время применявшийся физиками в исследованиях
такого рода. Сразу же после первых работ Бора С.Бохнер
показал, что можно дать другую характеризацию почти

периодических функций [4]: это такие функции /, сдвиги
(translatees) которых f(x—h) (h f R) образуют множество,
относительно компактное в топологии равномерной схо-
димости. Так как экспоненты являются функциями,
для которых векторное пространство, порожденное всеми
сдвигами, имеет размерность 1, то соотношение

cneil”x =	— t)	(20)

можно интерпретировать следующим образом: в замкну-
том (в смысле равномерной сходимости) векторном прост-
ранстве, (/), порожденном сдвигами функции /, ищутся
функции, для которых аналогичное пространство сдвигов
имеет минимальную размерность; и тогда теорема об ап-
проксимации Бора означает, что пространство (/) яв-
ляется замкнутым подпространством, порожденным этими
минимальными подпространствами (первый пример, по-
мимо случая рядов Фурье, того, что затем становится ос-
новной проблемой «гармонического синтеза», к которой
мы еще вернемся).

Д) Функции периодические в среднем и обобщения.
Другой вид обобщений был введен в 1934 г. Ж. Дельсар-
том [15]: если заметить, что периодичность функции
может быть выражена с помощью свертки (convolution)
/* (§й—So)=O (где 8а — мера Дирака в точке а), то можно
рассматривать более широкий класс функций, удовлет-
воряющих соотношению вида /*р, где jt является мерой
с компактным носителем на прямой или в 7?”, можно даже
заменить jt распределением, как это сделали Л. Шварц
[75] и Каан [46]. Экспоненты е'1х заменяются здесь «экс-
поненциальными мономами» (одночленами) хпё*х (а —
комплексное число, необязательно чисто мнимое), линей-
ные комбинации которых характеризуются тем, что они
являются линейными комбинациями решений уравнений
/*р=0, сдвиги которых порождают векторное простран-
ство конечной размерности; показатели, для которых это
имеет место, являются корнями целой функции F (z) =
= e~*xdp (ж), и для любого а мы имеем п < п (а), где
п (а) — кратность нуля а функции F (z). Здесь рассматри-
вают еще билинейный функционал (соответствующий «сред-
нему» М (jg) теории почти периодических функций)

K(f, g)= J j/(—x)g(x — y)dxdy.(y),	(21)

торый позволяет для периодической в среднем функции
/^вычислять ее «коэффициенты Фурье» сак (а — корень
7 („\ -0 к п(а)—1) и «формально» сопоставлять фупк-
Г {Z) v, \	д.	____ __________

ДИИ / разложение 2j (2j

). Впоследствии изучалось,

=о

СакХ е

каком смысле оно может «представлять» функцию f
?см предыдущие работы, а также [18]). Этот формализм,
столь близкий к формализму почти периодических функций
/ о не содержащий его), немного позже привел Дельсарта
к изучению еще более общих формализмов «разложений»,
включающих в себя все предыдущие и дающих также ши-
рокое обобщение формулы Тейлора с остаточным членом
[16, 17].

Е) Применения классического гармонического анализа.

Чтобы полно охарактеризовать многочисленные приме-
нения гармонического анализа, потребовался бы еще один
не менее обстоятельный доклад. Мы уже отметили большую
роль преобразования Фурье—Стилтьеса в теории вероят-
ностей [54]. Первые приложения в теории чисел и в клас-
сической алгебраической геометрии восходят к Коши и
Пуассону, применившим «формулу Пуассона» для полу-
чения обращения тэта-функции. Вся трансцендентная тео-
рия абелевых многообразий (комплексных) основана на
гармоническом анализе обобщенных тэта-функций Фробе-
ниуса и Пуанкаре [86]. С другой стороны, два основных
метода аналитической теории чисел — теория рядов Ди-
рихле и теория Харди—Литлвуда — базируются в конеч-
ном счете на глубоком изучении некоторых экспоненциаль-
ных сумм (суммы Вейля, Виноградова и т. д.).

Начиная с Эйлера и Лапласа, линейные функциональ-
ные уравнения (дифференциальные уравнения, обыкновен-

ные и в частных производных, разностные, интегральные,
интегро-дифференциальные и т. д.) становятся той об-
ластью математики, где наиболее плодотворно применялись
преобразования Фурье и Лапласа.

Именно формализмом этих преобразований обуслов-
лены сенсационные результаты (непосредственное обос-
нование которых оказалось столь трудным) приложений
операционного исчисления Хевисайда к указанным вопро-
сам. Распределения Л. Шварца позволили намного упро-
стить и почти «алгебраизировать» эти приложения, а также
значительно расширили поле их действия. Не имея воз-
можности входить в детали, среди разных достижений,

обусловленных теорией Фурье для распределений, укажу
лишь пространства Соболева и появившиеся несколько
раньше пространства псевдодифференциальных операто-
ров, являющихся важными инструментами в современной
теории уравнений с частными производными [42, 55, 79].

2. Гармонический анализ
и топологическая алгебра

Две основные идеи — свертки (convolution) и харак-
тера,— начиная с 1924 г., «алгебраизировали» гармониче-
ский анализ. Идея характера целиком проистекла из тео-
рии конечных групп. Идея же свертки наряду с понятием
алгебры конечной группы заняла центральное место в со-
временном гармоническом анализе (называемом иногда
«абстрактным» [401).

Уже в анализе начала XIX в. мы встречаем примеры
свертки; так, Пуассон представляет решение F (х, t)
уравнения теплопроводности как свертку некоторой функ-
ции с «элементарным решением»

со

F (х, I)— । ехр



(22)

метод Дирихле доказательства сходимости ряда Фурье
основан па представлении п-й частной суммы ряда в виде
следующей свертки:

। Р sin —- (я — 0

=	rvdt-

J sin~2~

О

(23)

Большинство «сингулярных интегралов», изучавшихся
в XIX и в начале XX в., имели вид

ь
\Kn(x-t)f(t)dt.

а

(24)

Так, например, интеграл, использованный Вейерштрассом
для приближения непрерывной функции многочленами,
есть в точности интеграл (22) с t=i/n; точно так же ин-

примененный Фейером в его доказательстве сум-
ТеГРуемости ряда Фурье методом Чезаро, получается из
/93) заменой имеющегося здесь «ядра» Кп его квадратом,
их методах, а также в многочисленных «методах сум-
Звания» расходящихся рядов, которые их полностью
М0РИРУЮТ, функции, которые свертываются, играют су-
KOrтвeннo, различную роль, а алгебраический аспект этой
Новации остается в тени. Со своей стороны Вольтерра
в теории интегральных уравнений систематически изучал
некоторую операцию, называемую им «композицией», и
которая, в некотором смысле, является операцией более
общей, чем свертка; эта операция двум функциям К (х, у),
L (я, у) двух действительных переменных ставит в соот-
ветствие третью М (х, у), обозначаемую К* Ln определяе-

мую формулой

У

М (х, у) = j К (х, t) L (t, у) dt.

(25)

Если К (х, y)—f (х—у) nL (х, y)=g (х — у) (случай, изу-
ченный Вольтеррой под названием «ядра замкнутого
цикла»), то легко видеть, что М (х, y)=h (х, у), где, если
мы обозначим через /15 hr функции, равные соответ-
ственно /, g, h для t 0 и нулю для t <С 0, то \ есть свертка
Д и hv В общем случае Вольтерра рассматривает опера-
цию (25) как результат «перехода от конечного к бесконеч-
ному» в формуле для произведения двух матриц, а матрич-
ное исчисление ему служит моделью для установления
правил «композиций» [82]; так что введение идеи группы
не приносит здесь существенной пользы и не поднимается
вопрос о связи свертки и преобразования Фурье.

По-видимому, до 1920 г. эта связь пикем систематически
не рассматривалась; безусловно отдельные ее примеры
можно найти и в изучении рядов Фурье произведения двух
Функций, и в теории «мультипликаторов» рядов Фурье, и
ь мемуаре П. Л. Чебышева [17] по теории «составных»
вероятностей; показательно, что даже в 1935 г. в первом
издании книги Зигмунда [99] еще не дается названия опе-
рации свертки. В 1920 г. Даниель [14], давая общее опре-
деление преобразования Фурье—Стилтьеса ограничен-
н°и меры на 7?, явно указывает па основное свойство:
преобразование свертки двух мер есть произведение их
преобразований Фурье. Найденное независимо П. Леви

[54] это свойство, начиная с 1925 г., становится одним из
излюбленнейших средств в теории вероятностей.

Однако решительный поворот к «алгебраизации» гар-
монического анализа происходит в момент, когда благо-
даря работам И. Шура и Г. Вейля в анализ проникает
алгебраическая теория представлений линейных конеч-
ных групп. Известно, что основателем этой теории является
Фробениус, заложивший, начиная с 1896 г. [30], ее основы
в ряде мемуаров. Но принадлежащее ему понятие харак-
тера для коммутативных групп появилось намного
раньше, вместе с символом Лежандра (без сомнения, пер-
вым примером нетривиального характера), затем L-ря-
дами Дирихле; основываясь на этом, Вебер в 1882 г.
построил общую теорию для произвольных конечных ком-
мутативных групп [84]. Распространение понятия харак-
тера на некоторые бесконечные группы, например линей-
ные группы GL (п, С), было сделано уже И. Шуром в его
диссертации 1901 г. [71], где он определил алгебраическим
методом неприводимые линейные рациональные пред-
ставления этих групп. По-видимому, в это время Шуру
еще не пришло в голову ввести в этой ситуации топологи-
ческие понятия. Он пришел к этому значительно позже,
когда в 1924 г. [72] пытался обобщить на ортогональную
группу знаменитые «соотношения ортогональности ха-
рактеров» Фробениуса для конечных групп, например,

2 X (s) X' (s'1) = 0, если Х'^Х.	(26)

Здесь был необходим некоторый процесс «суммирования»
на бесконечной группе, заменяющий конечную сумму (26),
и И. Шур находит его в интегрировании по инвариантной
мере, введенному в 1896 г. Гурвицом [43], но не получив-
шего в то время применения. В следующем году Г. Вейль,
развивая свою «глобальную» теорию полупростых групп
Ли, распространил идею Шура, понадобившуюся ему для
явного описания характеров, па произвольные компактные
полупростые группы Ли, связав одновременно их теорию
с инфинитезимальным понятием «веса», применявшимся
Э. Картапом уже с 1913 г. Немного позже [94] Г. Вейль,
несомненно под влиянием применения в теории линейных
представлений конечных групп идеи групповой алгебры,
стал последовательно использовать для компактных групп
Ли понятие свертки двух непрерывных функций (которое

этих условиях непосредственно обобщает операцию
пРИ0?кения в алгебре конечной группы). Для замены еди-
УмН г0 элемента групповой алгебры (отсутствующего
Н0Чбщем случае) он вводит понятие регуляризации и «ап-
В оксимативной» единицы и получает таким образом па-
П^пу с0 знаменитой теоремой Петера—Вейля обобщение
компактные группы Ли классической теоремы, утвер-
В^ающей’ что Регулярное представление конечной группы
содержит все ее неприводимые представления. Основным
инструментом, использованным Вейлем для получения
этих результатов, явилась теория Фредгольма—Рисса
компактных операторов (именуемых в то время «вполне
непрерывными»), связывавшая в этой весьма общей си-
туации гармонический анализ и спектральную теорию.
Одновременно [93] Г. Вейль показал, что та же техника
может служить для значительного упрощения теории почти
периодических функций Г. Бора.

Похоже на то, что дальнейшее развитие современного
коммутативного гармонического анализа могло произойти
только при переносе этих результатов па некоммутатив-
ные группы. Действительно, начиная с 1931 г. [64],
Л. С. Понтрягин приступает к разработке общей теории
коммутативных компактных метризуемых групп (не обя-
зательно групп Ли) и устанавливает основной факт, что
для распространения теории двойственности конечных ком-
мутативных групп, принадлежащей Веберу [84], нужно
рассматривать двойственную к компактной коммутативной
группе (группу непрерывных характеров), наделенную
дискретной топологией, в то время как двойственная
к дискретной коммутативной группе (группа всех ха-
рактеров) должна иметь топологию простой сходимости,
делающей ее компактной группой. Открытие меры Хаара
в 1933 г. [37] позволило Л. С. Понтрягину в 1934 г. [66]
распространить эти результаты на произвольные комму-
тативные локально компактные группы, метризуемые и
связные. Его мемуар стал отправной точкой для целого
Ряда работ (Ван Кампена [80], А. Вейля [85], Д. А. Рай-
noB?Q ч драконье [9] и т. д.). которые в период с 1935
об *^0 г* помогли во многом выяснить структуру более

Щпх коммутативных локально компактных групп и пе-
КляеСти на них теорию Фурье, объединив, в частности,
сические теории рядов Фурье (двойственные груп-
и ^), интегралов Фурье (группа R, двойственная

4 Заказ Д', U2

49

себе) и их обобщения на группы Z”, Тп и Rn (восходя-
щие к XIX в.). Следует отметить, помимо элегантности
и простоты этой теории, что она нашла важные и неожидан-
ные применения в теории алгебраических чисел, где
локально компактные группы «аделей» и «иделей» представ
ляют собой вид групп, совершенно отличных от упоминав
шихся выше классических групп, и где гармонический ана
лиз на этих группах представляет собой в настоящее время
наиболее прямой путь для получения основных теорем
теории алгебраических чисел, включая теорию полей клас-
сов [87—91]. С другой стороны, фон Нейман [83] и
А. Вейль показали, что, вводя идею вложения локально
компактной группы в «универсальную» компактную группу
(обобщая идеи Г. Бора [8] об использовании для почти
периодических функций функции с «бесконечным числом
переменных»), можно включить в эту общую схему различ-
ные понятия «почти периодических функций». В этих
работах, однако, аналогия с методами теории конечных
групп не выглядит еще совершенной, ибо понятие группо-
вой алгебры не было достаточно отточено из-за отсутствия
соответствующих топологических понятий. Этот послед-
ний этап, приведший к введению нормированных алгебр
и их спектральной теории, обязан фундаментальным тру-
дам И. М. Гельфанда и его школы.

Эта обширная теория объединяет одновременно гармони-
ческий анализ на локально компактных коммутативных
группах и спектральную теорию операторов Гильберта и,
следовательно, выходит за рамки нашего изложения. Од-
нако необходимо сказать, что одним из ее первых триумфов
было изумительно красивое «алгебраическое» доказатель-
ство, данное И. М. Гельфандом, теоремы Винера—Леви
об абсолютно сходящихся рядах Фурье. Таким образом
все лучшее и существенное, что есть в «гармоническом син-
тезе» [40, 48, 51, 70, 81], находит свое естественное место
в контексте нормированных алгебр. Наконец, эта теория
также способствовала рождению того, что мы называем
теперь «некоммутативным гармоническим анализом», т. е.
изучению линейных представлений некоммутативных
локально компактных групп (и, в частности, групп Ли)
в бесконечномерных банаховых пространствах [57]: тео-
рии глубокой и трудной, требующей больших технических
усилий, в настоящее время начинающей еще только раз-
виваться, несмотря на полученные уже многочисленные

важные результаты, и о которой, даже зная все эти
факты, едва ли еще можно судить адекватным обра-
зом.

ЛИТЕРАТУРА

. Я. Я. Бари. Тригонометрические ряды. М., Физматгиз, 1961.
?* A - Besikovitch. Almost periodic functions. Cambridge Univ. Press,
1932

3 R. P‘ Boas. Jr. Integrability theorems for trigonometric trans-
' forms. Heidelberg, Springer, 1967.

z S Bochner. Beitrage zur Theorie der fastperiodischen Funk-
tionen. — Math. Ann., 1927, 96, 119.

к S Bochner. Vorlesungen uber Fouriersche Integrate. Leipzig,
Akad. Verlag, 1932.

6.	S. Bochner. Monotone Funktionen, Steiltjessche Integrate und har-
monische Analyse. — Math. Ann., 1933, 108, 378.

7.	P. Bohl. Uber die Darstellung von Funktionen einer Variabeln
durch trigonometrische Reihen mit mehreren einer Variablen
proportionalen Argumenten. (Inaug. Diss., Dorpat, 1893).

8.	Я. Bohr. Collected mathematical works, v. II. Dansk mat. for.,
Copenhague, 1952.

9.	J. Braconnier. Sur les groupes topologiques localement com-
pacts. — J. math, pures et appl., 1948, (9), 27.

10.	H. Burkhardt. Trigonometrische Reihen und Integrate (bis etw.
1850), Enzycl. der Math. Wiss., Bd. II A 12, Leipzig, Teubner,
1904-1916.

11.	G. Cantor. Gesammelte Abhandlungen. Berlin, Springer, 1932.

12.	L. Carleson. On the convergence and growth of partial sums
of Fourier series. — Acta Math., 1966, 116, 135.

13.	P. Cartier. Uber einige Formein in der Theorie der quadratischen
Formen. — Math. Z., 1964, 84, 93.

14.	P. J. Daniell. Stieltjes-Voltcrra products. — Compt Rend. Congr.
internal, math., Strasbourg, 1920, 130.

15.	J. Delsarte. Les fonctions moyenne-periodiques. — J. math, pures
et appl., 1935, (9), 14, 403.

16.	J. Delsarte. Sur un procede formel de developpement des fonctions
en series et sur quelques applications. — J. math, pures et appl.,
1936, (9), 15, 102.

17.	J. Delsarte. Sur une extention de la formule de Taylor. — J. math,
pures et appl., 1938, (9), 17, 213.

lo.	J. Delsarte. Theorie des fonctions moyenne-periodiques de deux
variables. — Ann. Math., 1960, 62, 121.

A. Denjoy. Lemons sur le calcul des coefficients d’une serie trigo-

20 pOnietrique, 5 vols. Paris, Gauthier—Villars, 1941—1949.

• P- G. Lejeune-Dirichlet. Sur la convergence des series trigonomet-
ries qui servent a representer une function arbitrage entre
21 S,es/imites donnees. — J. reine une angew. Math., 1829, 4, 157.

Poetsch‘ Handbuch der Laplace Transformation, 3 Bd. Basel,

22 7^ Mauser, 1950-1956.

a ’ Donoghue. Distributions and Fourier transforms. N. Y.,
Acad. Press, 1969.

23.	P. Du Bois Reymond. Untersuchungen uber die Convergenz und Di-
vergenz der Fourierschen Darstellungsformen. — Abhandl. Akad.
Wiss. Munchen, 1876, 12, 1.

24.	R. D. Edwards. Fourier series. A modern introduction, 2 vols.
N. Y., Holt, Rinehart and Weston, 1967.

25.	L. Ehrenreis. Fourier analysis in several complex variables. N. Y.,
Wiley—Interscience, 1970.

26.	E. Esclangon. Sur une extension de la notion de periodicite. —
C. r. Acad. sci. Paris, 1902, 135, 891.

27.	L. Fejer. Sur les fonctions bornees et integrables. — C. r. Acad,
sci. Paris, 1900, 131, 984.

28.	E. Fischer. Sur la convergence en moyenne. — C. r. Acad. sci.
Paris, 1907, 144, 1022.

29.	J. Fourier. Memoire sur la theorie de la chaleur. — Bull. Sci. Soc.
Philomath., 1807, 1, 112.

30.	G. Frobenius. Gesammelte Abhandlungen, Bd. 3. Heidelberg,
Springer, 1968.

31.	A. Garsia. Topics in almost everywhere convergence. Chicago,
Markham, 1970.

32.	I. Gelfand. Normierte Ringe. — Матеи, co. 1941, 9 (51).

33.	I. Gelfand. Uber absolut konvergent trigonometrische Reihen
und Integrate. — Матеи, сб., 1941, 9 (51).

34.	И. M. Гельфанд, Г. Е. Шилов. Обобщенные функции, вын. 1—3.
М. Физматгиз, 1958—1959.

35.	И. М. Гельфанд, II. Я. Виленкин. Обобщенные функции,
вын. 4. М., Физматгиз, 1961.

36.	R. Goldberg. Fourier transforms. Cambridge Univ. Press, 1961.

37.	A. Haar. Der Maassbergriff in der Theorie der kontinuierlichen
Gruppen. — Ann. Math., 1933, 34, 147.

38.	G. Hardy, W. Rogosinski. Fourier series. Cambridge Univ. Press,
1944.

39.	G. Herglotz. Ueber Potenzreihen mit positivem reellem Teil in Ein-
heitskreis. — Sitzungsber. Sachs. Akad. Wiss., 1911, 63, 501.

40.	E. Hewitt, K. Ross. Abstract harmonic Analysis, 2 vol. Heidel-
berg, Springer, 1963—1970.

41.	I. Hirschman, D. Widder. The convolution transform. Princeton
Univ. Press, 1955.

42.	L. Hormander. Linear partial differential operators. Heidelberg,
Springer, 1964.

43.	A. Hurwitz. Ueber die Erzeugung der Invarianten durch Integra-
tion. Getting. Nachr., 1897, S. 71.

44.	C. Jordan. Cours d’analyse. Paris, Gauthier-Villars, 1883.

45.	S. Kaczmarz, H. Steinhaus. Theorie der Ortogonalreihen. Wars-
zawa, 1935.

46.	J. P. Kahane. Lectures on mean periodic functions. Tata Inst.
Fund. Res., Bombay, 1959.

47.	J. P. Kahane. Series de Fourier aleatoires. — Sem. Bourbaki,
N 200, 1959/1960.

48.	J. P. Kahane. Series de Fourier absolument convergentes. Heidel'
berg, Springer, 1970.

49.	J. P. Kahane. Histoire et actualite des series de Fourier, Con-
ference.

50.	J. P. Kahane, Y. Katznelson. Sur les ensembles de divergence
des series trigonometriques. — Studia Math., 1966, 26, 305.

vatznelson. An introduction to harmonic analysis. N. Y.,
^^^imneoroff» Une serie de Fourier-Lebesgue divergente par-
52. A.	r. Acad. sci. Paris, 1926, 183, 1327.

r^hP<?eue. Sur Ies series trigonometriques. — Ann. Ecole norm.
53. «рг 1963. (3), 20, 453.

P L6vy. Calcul des probabilites. Paris, Gauthier-Villars, 1925.
54- у ,	Equations differentielles operationelles et problemes

55 aux limites. Heidelberg, Springer, 1961.

N Rusin Sur la notion de I’integrale.—Ann. ma tern, pura ed appl.,
5	1917, 26, 77.

-7 G. Mackey. Group representations and non commutative harmonic
analysis. — Notes Dept. Math., Univ. California, Berkeley,

1965.

kq 5, Mandelbrojt. Series de Fourier et classes quasi-analytiques
de fonctions. Paris, Gauthier-Villars, 1935.

59	S. Mandelbrojt. Fonctions entieres et transformation de Fourier.
Applications. — Math. Soc. Japan, 1967.

60	M. Mathias. Uber positive Fourier Integrate. — Math. Z., 1923,
’ 16, 103.

61.	M. А. Наймарк. Нормированные кольца. M., Гостехпздат, 1956.

62.	R. Paley, N. Wiener. Fourier transforms in the complex domain. —
Amer. Math. Soc. Collect. Publ., N 19, 1939.

63.	M. Plancherel. Contribution a 1’etude de la representation d’une
fonction arbitraire par des integrates definies. — Rend. Circ. mat.
Palermo, 1910, 30, 289.

64.	L. Pontrjagin. Der allgemeine Dualitiitssatz fur abgeschlossene
Mengen. — Verhandl. Internal. Math. Kongr., Zurich 1932, Bd. II.
Sektionsvortrage, 195.

65.	L. Pontrjagin. Les fonctions presque periodiques et 1’analysis
situs. — C. r. Acad. sci. Paris, 1933, 196, 1201.

66.	L. Pontrjagin. The theory of topological commutative groups. —
Ann. Math., 1934, 35, 361.

67.	Д. А. Райков. Гармонический анализ па коммутативных группах
с мерой Хаара и теория характеров. — Труды Матом, ин-та
им. В. А. Стеклова, 1945, 14.

68.	В. Riemann. Sur la possibilite de representer une fonction par
une serie trigonometrique. Oeuvres, p. 225.

69.	F. Riesz. Sur les systemes orthogonaux de fonctions. — C. r. Acad,
sci. Paris, 1907, 144, 615.

Joe Rudin. Fourier analysis on groups. N. Y., Wiley-Interscience,

71.

72.

73.

74.

75.

I.	Schur. Uber eine klasse von Matrices, die sich einer gegebenen
Matrix zuordnen lassen. Inaug. Diss., Berlin, 1901.

у Schur. Neue Anwendungen der Integralrechnung auf Probleme
uer Invarianten theorie, 1 Mitt. Berlin, Sitzungsbcr., 1924, S. 189.
L. Schwartz. Generalisation de la notion de fonction, de derivation
ae transformation de Fourier et applications mathematiques
et physiques. — Ann. Univ. Grenoble, 1945, n. s., 21, 55.

•	Schwartz. Theorie des distributions et transformations de Fou-
£ler-~~ Ann. Univ. Grenoble, 1948, n. s., 23, 7.

•	Schwartz. Theorie generate des fonctions moyenne-periodi-
Tues.-Ann. Math., 1947, 48, 857.

76.	L. Schwartz. Theorie des distributions. Nouv. ed. Paris, Hermann,
1966.

77.	P. Tchebichef. Sur deux theoremes relatifs aux probabilites. —
Acta Math., 1890, 14, 305.

78.	E. Titchmarsh. Introduction to the theory of Fourier integrals.
Oxford, Clarendon Press, 1937.

79.	F. Treves. Linear partial differential equations with constant
coefficients. N. Y., Gordon-B reach, 1966.

80.	E. van Kampen. Locally bicompact Abelian groups and their
character groups. — Ann. Math., 1935, 36, 448.

81.	N. Varopoulos. Tensor algebras and harmonic analysis. — Acta
Math., 1967, 119, 51.

82.	V. Volterra. Lemons sur les fonctions de lignes. Paris, Gauthier-
Villars, 1913.

83.	J. von Neumann. Almost periodic functions on a group 1. —
Trans. Amer. Math. Soc., 1934, 36, 445.

84.	II. Weber. Beweis des Satzes, dans jede eigentlich primitive
quadratische Form unendlich viele Primzahlen darzustellen
fahig ist. — Math. Ann., 1882, 20, 301.

85.	A. Weil. L’integration dans les groupes topologiques et ses appli-
cations. Paris, Hermann, 1940.

86.	A. Weil. Theoremes fondamentaux de la theorie des fonctions
theta. — Sem. Bourbaki, N 16, 1949.

87.	A. Weil. Adeles and algebraic groups. Inst. Advanced Study, 1961.

88.	A. Weil. Sur certains groupes d’operateurs unitaires. — Acta
Math., 1964, 111, 143.

89.	A. Weil. Sur la formule de Siegel dans la theorie des groupes
classiques. — Acta Math., 1965, 113.

90.	A. Weil. Basic number theory. Heidelberg, Springer, 1967.

91.	G. Weiss. Harmonic analysis. Studies in Math., v. 3. Studies
in real and complex analysis. Prentice Hall, 1965, p. 124.

92.	II. Weyl. Theorie der Darstellung kontinuierlicher halbeinfacher
Gruppen durch lineare Transformationen. — Math. Z., 1925,
23, 274; 1926, 24, 328, 377, 785.

93.	II. Weyl. Integralgleichungen und fastperiodische Funktionen. —
Math. Ann., 1927, 97, 338.

94.	F. Peter, II. Weyl. Die’Vollstandigkeit der primitiven Darstcl-
lungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe. — Math.
Ann., 1927, 97, 737.

95.	D. Widder. The Laplace transform. Princeton Univ. Press, 1946.

96.	N. Wiener. Generalized harmonic analysis. — Acta Math., 1930,
55, 117.

97.	N. Wiener. The Fourier integral and certain of its applications.
Cambridge Univ. Press, 1933.

98.	H. Wilf. Finite sections of some classical inequalities. Heidel-
berg, Springer, 1970.

99.	A. Zygmund. Trigonometric series. Warszawa, 1935.

ОСНОВОПОЛОЖНИКИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
О ЕГО РАННЕЙ истории

Ф. А. Медведев

По истории функционального анализа написано уже
немало исследований. Среди них видное место занимают
работы его создателей, в том числе самых первых: С. Пин-
керле, В. Вольтерры, Ж. Адамара и Д. Гильберта. Эти
работы не являются, как правило, собственно историко-
математическими исследованиями в том смысле, который
сложился среди историков-профессионалов; это — или

обзоры, или исторические введения к математическим тру-
дам, или просто наброски хода развития отдельных идей.
Но их богатейшее научное содержание заставляет и будет
заставлять обращать на них внимание всех, кто интере-
суется историей функционального анализа.

Работы упомянутых авторов разбросаны в различных
изданиях. Они далеко не равноценны, а порою и не срав-
нимы, так как публиковались в разное время и по разным
поводам. Собрать их воедино, коротко описав содержа-
ние каждой из них и выделив некоторые важные историко-
научные идеи, — такова цель настоящей статьи. Далее
речь будет идти о работах Пинкерле [1—3], Гильберта [4],
Адамара [5, 6], Вольтерры [7—9] и Фреше [10, 11],

перечисленных в хронологическом порядке.

Первой по времени была краткая заметка Пинкерле
«К библиографии по теории дистрибутивных операций» [1 ],
опубликованная в 1899 г. Незадолго до этого Пинкерле
пришел к мысли о необходимости построения особого ис-
числения, которое с известной степенью условности можно
ыло бы сейчас назвать теорией линейных операторов.
° этому вопросу он тогда уже опубликовал ряд статей,
в том числе большой «Мемуар о дистрибутивном функцио-
нальном исчислении» (1897 г.) [12], во введении к которому
с л сУммарный обзор основных, как он полагал, работ,
Державших идеи, аналогичные тем, которыми руковод-

ился сам. Это привело его с соображению, что было бы

полезным иметь более полную систематизированную биб-
лиографию, которую он и предложил в [1], не претендуя
на исчерпывающую полноту.

В качестве первого истока теории линейных операто-
ров Пинкерле указал так называемое символическое ис-
числение, т. е. исчисление, в котором знаки различных
операций (дифференцирования, интегрирования, конеч-
ной разности и т. д.) трактовались как особые алгебраи-
ческие величины, действия над которыми совершаются
по определенным правилам. В связи с этим он называл
работы Лейбница, Лагранжа, Лапласа, Лорньа, Грюзона,
Арбогаста, Франсэ, Сервуа, Морфи, Буля, Грегори,
Кармайкла и привел имена еще нескольких математиков,
занимавшихся теми же проблемами. Вслед за тем он отме-
тил ряд работ, в которых это символическое исчисление
применялось в исчислении конечных разностей (Казорати),
в теории линейных дифференциальных уравнений (Либри,
Буль, Шлезингер и др.), в теории чисел (Лукаш), в алгеб-
раическом анализе (Чезаро) и в теории билинейных форм
(Фробениус, Штуди, Сфорца, Пинкерле).

Отдельно Пинкерле выделил цикл исследований по изу-
чению конкретных операторов. Из них он назвал работы
по дифференцированию с произвольным индексом (Лейб-
ниц, Эйлер, Фурье, Лакруа, Лиувилль, Шпицер, Риман,
Ольтрамаре, Бурле, Пинкерле) и по интегральному пре-
образованию Лапласа (Лаплас, Лакруа, Абель, Меллин,
Пуанкаре, Пинкерле, Шлезингер, Хорн, Амальди).

Следующим циклом изысканий, которые вели к теории
линейных операторов, для Пинкерле явились исследова-
ния по теории интегральных уравнений (работы Абеля,
Римана, Бельтрами, Лорньи, Пинкерле, Леви-Чивиты,
Н. Я. Сонина, Вольтерры).

Наконец, Пинкерле отметил несколько работ, характе-
ризующихся применением концепций векторного исчисле-
ния к теории операторов в п-мерных пространствах
(Лагерр, Пеано, Карвалло). Как продолжение их он ука-
зал на свои исследования такого же типа, но по отношению
к бесконечномерным пространствам.

В заключение Пинкерле привел несколько работ Шапиры
и Ольтрамаре, в которых, по его словам, содержались
«частные системы исчисления операций, более или менее
связанные с некоторыми из перечисленных выше»
[1, стр. 18], а также указал на одну статью Бурле, близкую

ЛО содержанию к упоминавшемуся мемуару Пинкерле
1897 г.

Хронологически следующим является оозор Пипкерле
«функциональные операции и уравнения» [2], написанный
им в 1905 г. для немецкой энциклопедии математических
наук- В идейном отношении обзор примыкает к предыду-
щей заметке, но значительно больший объем самой ра-
боты позволил Пипкерле развернуть указания, содержа-
щиеся в [1 ], в довольно полную картину состояния теории
линейных операторов на рубеже XIX—XX вв. и ее при-
менений к разнообразным вопросам математики. Эта кар-
тина нарисована в историческом плане — для того или
иного положения теории или ее применений указывается,
как правило, работа, в которой это сделано впервые. Число
такого рода исторических указаний существенно возросло:
к именам и работам, названным в [1], добавлены исследо-
вания Беббиджа, Гершеля, Коши, Рассела, Шрёдера,
Кёнига, Греви, Лё, Кэли, Адамара, Фредгольма, Гиль-
берта и очень многих других. Значительно увеличилось
количество ссылок на новые работы тех авторов, имена
которых упоминались в [1]. Еще более детализировано и
дополнено все это в другом обзоре Пипкерле [3], подготов-
ленном для французской энциклопедии математических
наук.

Очень интересно, что в эпоху, когда, как считают неко-
торые современные математики, функциональный анализ
еще не сложился в отдельную пауку1, Пипкерле сумел
соединить в одно целое громадный комплекс работ не-
скольких поколений математиков, в основном правильно
отобрать те из них, математическое содержание которых
входит в круг идей современного функционального ана-
лиза. Правда, связи, установленные Пинкерле, зачастую
являются чисто внешними, но это сохраняется в значи-
тельной мере и теперь.

Весьма интересно и то, что Пинкерле всюду настойчиво
подчеркивает роль алгебраических идей и методов, начи-
ная с открытой Лейбницем аналогии между правилом обра-
зования производных высших порядков для произведения
ДвУх или более функций и правилам образования соот-
ветствующих степеней биномов и полиномов и кончая
----—.

30-° °Ф°Рмление в самостоятельную науку нередко относят к 20—
-м годам нынешнего столетия; см., например, [13, стр. 13].

алгебраическими аналогиями для интегральных уравне-
ний Фредгольма. Значительная часть содержания ра-
бот [2, 3] Пинкерле посвящена тому, что теперь обычно
относят к линейной алгебре, но это алгебраическое содер-
жание тесно связано у него с функционально-аналити-
ческим материалом.

Более полного описания предыстории функционального
анализа не существует и в настоящее время, поэтому обра-
щение к указанным статьям Пинкерле неизбежно для вся-
кого, кто интересуется первыми шагами новой науки.

Обратимся теперь к статье Гильберта «Сущность и цель
анализа бесконечного числа независимых переменных» [3].
Эта работа значительно менее исторична, нежели обзоры
Пинкерле. Зато по содержанию она подчинена развитию
единой идеи и ее преломлению в разнообразных матема-
тических задачах, именно идее перехода от конечного
к бесконечному. В алгебре конечное число неизвестных
величин определяется по конечному же числу заданных
условий. В анализе неизвестными являются не постоянные
величины, а функции, и они определяются по некоторым
заданным функциональным соотношениям, например
в форме дифференциального или интегрального уравне-
ния. И если рассматриваемые функции и функциональные
соотношения можно задать в форме бесконечного числа
неизвестных, удовлетворяющих бесконечному же числу
условий, то указанные проблемы алгебры и анализа,
по выражению Гильберта, сливаются (verschmelzen sich)
в одну и получается более общая и более замкнутая про-
блема решения систем бесконечного числа уравнений с бес-
конечным числом неизвестных.

Чтобы научиться решать подобные системы, необхо-
димо изучить свойства функций бесконечного числа пере-
менных, в частности, попытаться перенести на них основ-
ные понятия функций конечного числа переменных —
непрерывность, дифференцируемость, аналитичность и т. п.
Гильберт показывает, как и в каких случаях это можно
сделать.

Прежде всего он рассматривает линейные функции
бесконечного числа неизвестных

у =	+ а2х2 + ...

Чтобы это выражение имело смысл, необходимо, чтобы ряд
справа сходился, а это будет иметь место тогда, когда,

пример, выполняются неравенства:

2	< 7V.

т к неявно появляется гильбертово пространство Z2 и ли-
йные функции бесконечного числа неизвестных рас-

S лтриваются заданными на I2. Затем вводится понятие
° прерывной функции, показывается, что всякая липей-
ная^ функция непрерывна, что квадратичная функция

2 аР<1Хрхч в0°6ще НР является непрерывной. Находятся
условия непрерывности ее, дается определение аналити-
ческой функции и т. д.

После наброска такой теории Гильберт показывает, как
она применяется к теории интегральных уравнений,
к краевым задачам и в вариационном исчислении, причем
последнее выступает как дифференциальное исчисление
функций бесконечного числа переменных [4, стр. 66].

По ходу изложения основ теории функций бесконечного
числа переменных и ее применений Гильберт ссылается
на свои работы и работы своих учеников и последователей
Хеллингера, Тёплица, Шмидта, Безе Кейрцса (William di
Wese Cairns). Из работ ученых, не принадлежащих школе
Гильберта, указаны только две статьи Коха — одна в связи
с наличием у него понятия аналитической функции беско-
нечного числа переменных, а другая по поводу проблемы
обращения системы бесконечного числа уравнений вида:

У\ —	($1» *^2» • • •)»

У 2 — ^2 Н- £*2 (£]



где Р. (z=l, 2,. . .) — степенной ряд от бесконечного числа
переменных х..

Кроме того, в тексте названы без указания их работ
Лилл, когда речь идет о бесконечном детерминанте
14, стр. 68], К. Нейман и Фредгольм в связи с интегральными
Уравнениями, Вольтерра и Пуанкаре по поводу одной
оремы из теории аналитических функций конечного
Ко°Ла временных [4, стр. 69]. Имена других математи-
в» занимавшихся теми же или аналогичными вопросами,

14 г?6 упомянУты-

бой'* к статье Адамара [5]. Он поставил перед со-
аДачу: на основе изучения предшествующего развития

математики создать логическую схему, экстраполяция
которой в будущее показала бы естественную необходи-
мость разработки функционального анализа.

Исторический анализ Адамара — не скрупулезное изу-
чение всей совокупности соответствующих фактов, а выде-
ление главных движущих идей, проявляющихся не в от-
дельных работах, а в целых направлениях научной мысли.
Отсюда и исторический стиль его статьи: в ней не названо
ни одной работы и упомянуты имена лишь очень неболь-
шого числа математиков (Декарта — в связи с созданием
аналитической геометрии; Евдокса, Архимеда, Кавальери,
Ферма, Роберваля и Паскаля — в связи с предысторией
анализа бесконечно малых; Ньютона и Лейбница — как
создателей анализа; И. Бернулли и Эйлера — в качестве
представителей идеи о функции, задаваемой аналити-
ческим выражением; Фурье, Дирихле, Коши и Римана —
как выразителей современного представления о функции;
Пуанкаре — как инициатора качественной теории диф-
ференциальных уравнений; К. Неймана и Фредгольма —
как основоположников теории интегральных уравнений;
наконец, Вольтерры, Пинкерле, Бурле и Фреше — в связи
с созданием самого функционального анализа).

Главной целью математики до XVII столетия Адамар
считает изучение соотношений между некоторыми числами,
остающимися неизменными в ходе рассуждения, с тем,
чтобы использовать эти соотношения для вычисления не-
которых из этих чисел, когда остальные предполагаются
известными.

В качестве второго этапа развития математики он вы-
деляет переход к изучению законов изменения величин
или функций. Этот переход совершился тогда, когда числа
стали рассматриваться изменяющимися непрерывно. Функ-
ция подвергается теперь двум типам операций — алгеб-
раическим и инфинитезимальным; она играет примерно
такую же роль, как и число на предшествующем этапе;
в задачах этого периода речь идет о вполне определенной
функции, даже если она не известна.

Экстраполяция намеченной схемы приводит к рассмотре-
нию функции как некоторого переменного объекта, анало-
гичного переменной величине в классическом анализе,
но изменяющегося уже в функциональном многообразии-
При этом операции, которые можно осуществлять над этой
новой переменной, теперь тоже не носят фиксированного

пантера, а являются более или менее произвольными
• рпациями определенного класса. «Отрасль математики,
°? ^кт которой определяется таким образом, есть то, что
° годня называют функциональным исчислением» [5, стр. 10].
седдамар показывает, что такая экстраполяция не яв-
ется чисто логической схемой, а подтверждается целой
л вокупностью проблем, вытекающих из приложений.
Из них на передний план он выставляет механические
’приложения, выражаемые в принципах вариационного
исчисления, в котором функция рассматривается как пере-
менный объект; само это исчисление оп трактует как пер-
вую главу функционального анализа. Далее Адамар ука-
зывает на физические задачи из теории электричества и
теплоты; основной из них он считает задачу Дирихле,
а в связи с нею выделяет теорию интегральных уравне-
ний. Наконец, называется теория аналитических функ-
ций как математическая дисциплина, новейшие достиже-
ния которой требуют применений функционального ана-
лиза.

Адамар подчеркивает, что разработка функциональ-
ного анализа весьма существенна для прогресса пауки.
Но и возникающие при этом трудности очень велики и
выяснены лишь в малой мере, несмотря па работы Воль-
терры, Пинкерле, Бурле, Фреше, Мура и других. В ка-
честве первоочередной задачи оп ставит изучение «функ-
ционального континуума, т. е. множественности, получае-
мой при непрерывном изменении функции всевозможными
способами» [5, стр. 17]. Теорию функционального конти-
нуума он считает главой теории множеств и называет
Фреше как ученого, начавшего ее разработку.

Как видно, в работе Адамара [5] содержался первона-
чальный набросок той периодизации истории матема-
тики» которую впоследствии предложил А. И. Колмого-
ров [14] и в которой выделены три периода: постоянных
величин, переменных величин и переменных отношений.
Впрочем, можно заметить, что задолго до Адамара ее до-
вольно ясно высказал Пинкерле [12. стр. 1]. Далее,
в изложении Адамара функциональный анализ представ-
лен как^ естественный результат развития физико-матема-
ической мысли. Наконец, подчеркнута важная роль этой
ауки и намечены ее задачи.

ист °ЧТИ °ДЯ°вРеменно со статьей Адамара [5] появился
орический обзор Вольтерры, образующий первую главу

его книги «Лекции по теории функций от линий» [7]
Основная направленность этого обзора такова же, как
у Адамара: показать, что функциональный анализ есть
естественное продолжение исследований по анализу, нахо-
дящее опору в математическом естествознании. Руководя
щей идеей является переход от конечного к бесконечному,
который так выпукло обрисовал Гильберт в [4].

Как и Адамар, Вольтерра начинает с древнегреческой
математики, но, в отличие от первого, он в истории мате-
матики старается проследить развитие идеи перехода от
дискретного к непрерывному, от конечного к бесконеч-
ному до увенчания ее учением о функциях бесконечного
числа переменных. Если у Гильберта в [4] это учение
выступает в основном как результат трудов его самого,
а также его учеников и последователей (хотя и как законо-
мерное обобщение ряда классических представлений),
то у Вольтерры оно представлено как итог многовековых
усилий, начиная чуть ли не с Евдокса и Архимеда и кон-
чая его работами по функциям от линий и их многообраз-
ным применениям.

Классический континуум Вольтерры представляет как
предел совокупности дискретных величин, а операция
интегрирования рассматривается как перенос понятия
суммы из области конечного в область бесконечного (диф-
ференцирование для него есть лишь обращение интегри-
рования). Аналогичный переход от конечного к бесконеч-
ному совершается при нахождении интеграла обыкновен-
ного дифференциального уравнения по методу Коши:
чтобы вычислить такой интеграл в некоторой области,
последнюю разбивают на конечное число частичных обла-
стей, выполняют в них определенные алгебраические опе-
рации и затем совершают переход к пределу путем беско-
нечного уменьшения каждой из частичных областей и
неограниченного увеличения их числа.

Такой переход осуществлялся и для других операций.
Так, еще Валлис совершил его по отношению к произведе-
нию. Сам Вольтерра, начиная с 1887 г., применял анало-
гичный переход от конечного к бесконечному в случае
последовательности бесконечного числа линейных пре-
образований или, аналитически, бесконечного числа ли-
нейных подстановок. Он рассматривал подстановки, эле-
ментами которых являются переменные величины, как
пределы числовых подстановок, когда число чисел не-

пиченно возрастает. Теорию таких подстановок Он
отменил к интегрированию линейных дифференциаль-
«мх уравнений.

В Наконец, соображения, связанные с переходом от ко-
сого к бесконечному, приобретают новое качество и
Вв новятся более общими, когда их переносят в теорию
а якций. После краткого обзора истории понятия функ-
и Вольтерра в качестве обобщения его указывает на по-
нятие функции бесконечного числа переменных и утвер-
ает что он ввел его в 1887 г. в цикле заметок, в которых
ппеделялось и изучалось понятие функционала. Все это
иллюстрируется примерами из математического естество-
знания.

Соображения, развитые в [7], Вольтерра вскоре дета-
лизировал в некоторых отношениях [8]. Основной лейт-
мотив остался прежним — необходимость изучения функ-
ций бесконечного числа переменных. Он утверждает, что
начал разрабатывать эту идею с 1883 г., подчеркивая, что
к ее необходимости его привело осознание того, что «боль-
шая часть естественных явлений, если их исследовать бо-
лее глубоко, приводит к величинам, зависящим от беско-
нечного числа переменных» [8, стр. 20]. Основной своей
заслугой он считает, что сразу же поставил и начал решать
задачу построения исчисления таких функций, введя,
в частности, понятия производной и дифференциала
функционала и построив обобщенный ряд Тейлора, кото-
рый оказался частным случаем более общих результатов
Адамара и Фреше по аналитическому представлению
функционалов.

С той же точки зрения перехода от конечного к беско-
нечному Вольтерра проанализировал и систематизировал
исследования по теории интегральных и интегро-диф-
ференциальных уравнений, а также уравнений в функ-
циональных производных и некоторые их применения,
проведенные им самим, Фредгольмом, Эвансом, Гильбер-
том и учениками последнего.

Следует заметить, что переход от конечного к бесконеч-
н°му, от дискретного к непрерывному, которому Вольтерра
УДелил так много внимания в своих упомянутых истори-
еских обзорах, хотя и на самом деле имелся в его ранних
Р отах, не был все же тогда сформулирован им как само-
деятельный метод исследования. Он содержался в них

Чно неявно, видимо, не вполне был осознан, и, ве-

роятно, лишь после блестящего изложения этого метода
Гильбертом [4] сам Вольтерра посмотрел на прежние ра-
боты с указанной точки зрения.

В большой работе М. Фреше [10] главным является те-
зис, о котором уже шла речь в связи с работой Адамара [5]:
чтобы обеспечить основы функционального анализа, не-
обходима предварительная разработка теории абстракт-
ных множеств [10, стр. 13]. После построения такой теории
создание функционального анализа является относительно
простым делом [10, стр. 5]. Высоко оценивая результаты,
полученные Пинкерле, Вольтеррой, Адамаром, П. Леви,
Гильбертом, автор полагает, что их основные методы —
формальное развитие свойств операций (Пинкерле), изуче-
ние особых функций (функционалов), аргументом которых
является кривая или функция (Вольтерра, П. Леви),
обобщение методов вариационного исчисления (Адамар),
метод функций бесконечного числа переменных (Вольтерра,
Гильберт), — сыгравшие полезную роль на ранней стадии
функционального анализа, уже исчерпали себя и не при-
годны для того направления функционального анализа,
которое начали почти одновременно и независимо разви-
вать Фреше и Мур.

Основной целью функциональпого, или, как предпочи-
тает говорить Фреше, следуя в этом за Муром, общего
анализа он считает изучение функционалов, заданных
на абстрактных множествах, для чего прежде всего необ-
ходимо перенести элементарные понятия анализа беско-
нечно малых на случай переменных произвольной природы,
а затем с помощью их обобщить на абстрактные функцио-
налы и основные классические предположения. В силу та-
кой установки «самым плодотворным методом функцио-
нального анализа нам кажется метод, состоящий в трак-
товке элемента, от которого зависит функционал, прямо
как переменного и в той форме, в которой он естественно
появляется» [10, стр. 3]. В этом направлении можно идти
и далее, заменяя функционалы операторами (Фреше гово-
рит об отношениях (des relations) между элементами про-
извольной природы), но, как считает Фреше, случай функ-
ционала был до 1925 г. единственным, который рассматри-
вался сколько-нибудь подробно, хотя сам он, начиная
с 1909 г., опубликовал несколько работ на эту тему.

Остановимся теперь на замечаниях Фреше, связанны*
с оценкой подхода Э. Г. Мура к функциональному анализу*

Фпеше, ссылаясь на соответствующие работы последнего,
тмечает, что Мур, исходя из иных соображений, в 1905—
1908 гг. начал строить функциональный анализ почти
той же степенью общности [10, стр. 4—5]. Фактических

Результатов Мура Фреше не рассмотрел, а ограничился
двумя замечаниями.

А Выше было сказано, что одной из важных задач функ-
ционального анализа на его первоначальной стадии Фреше
считал обобщение элементарных понятий анализа. При
этом возникает вопрос, как выбирать такие определения,
которые для элементов абстрактных множеств позволяют
использовать способы рассуждений, аналогичные ис-
пользуемым в классическом анализе? [10, стр. 6]. Первое
замечание Фреше и относилось к сопоставлению принци-
пов выбора этих определений.

Мур четко сформулировал один из них: существование
аналогий между основными чертами различных теорий
влечет существование объединяющей теории.

Считая такой принцип очень полезным, Фреше полагает
нужным дополнить его другим: всякий раз, когда сово-
купность свойств некоторого математического объекта,
используемая для доказательства некоторого предложе-
ния об этом объекте, не характеризует его полностью, дан-
ное предложение может быть обобщено на более общий
объект [10, стр. 7].

Второе замечание Фреше состоит в некотором противо-
поставлении подходов Мура и его собственного. Как говори-
лось, согласно Фреше, при изучении функционалов глав-
ным является исследование их инфинитезимальных
свойств, для чего необходима предварительно разработан-
ная теория абстрактных множеств, в рамках которой
нужно определить понятия предела, окрестности, расстоя-
ния. Напротив, Мур, начиная с функционалов, заданных,
на первый взгляд, на совершенно произвольном множестве,
фактически сужает область своих исследований по срав-
нению с общностью Фреше [10, стр. 14].

Пп Развитии теории абстрактных множеств Фреше
i стр. 14—15] выделяет пять этапов. Первый из них
тносится к доисторическим временам и связан с поня-
м целого числа, соответствующего некоторому свойству
рактных множеств. Второй — с введением трансфи-
НахНЬ1х чисел у Кантора. Третий — перетрактовка послед-
У Французских математиков, из которых называется

5 Заказ № 112

65

лишь Бэр. В отдельный этап развития теории абстракт-
ных множеств Фреше выделил определение интеграла
от функционала, так как такое определение не требует
привлечения инфинитезимальных свойств области зада-
ния функционала, а опирается на предварительное изуче-
ние аддитивных семейств абстрактных множеств. Наконец,
пятым этапом он считает разработку функционального
анализа в своих и Мура трудах. В последующих частях
работы [10] Фреше описывает, как в функциональном
анализе вводятся различные понятия пространства, рас-
стояния, предела, окрестности и т. д. В связи с этим он
отмечает многочисленные свои работы, а также работы
Хаусдорфа, Читтендена, П. С. Урысона, П. С. Александ-
рова, Банаха, Винера, Брауэра и Менгера. Характерной
чертой изложения Фреше является тесное переплетение
результатов функционального анализа и топологии, кото-
рые он иногда просто не различает.

Перейдем к обзору Адамара [6], прочитанному им
на VI математическом конгрессе в Болонье в 1928 г.

В самом начале Адамар отметил, что функциональный
анализ вырос настолько, что полученные в нем результаты
не могут быть изложены в одном или нескольких обзорах.
В отношении предыстории и ранней истории вопроса Ада-
мар в основном повторил соображения своей более ран-
ней статьи [5]. Однако теперь он более подчеркнул роль
в подготовке и становлении функционального анализа
уравнений с частными производными, иллюстрируя это
на примерах уравнения распространения звука и уравне-
ния электростатического равновесия проводника [G,
стр. 147—148].

После краткого сопоставления направлений исследова-
ний у Пинкерле и Вольтерры [6, стр. 148—150] Адамар
упоминает о подходе Фреше и Мура, но не останавли-
вается на этом подробнее, так как их направление должно
было быть предметом сообщения Фреше, о котором речь
будет далее. Чуть подробнее он останавливается на ре-
зультатах Гато по обобщению понятий интеграла, объема,
среднего значения, объемного и поверхностного потен-
циалов. Несколько большее внимание уделено вариации
функционала и связанной с ним производной функционала
(работы Вольтерры и самого Адамара). Еще большее -*
теории линейных операторов, причем в последней основ-
ное внимание обращено на групповые свойства операторов,

торыми начал заниматься еще Леви-Чивита и которые
К° бенно выявились в теориях операторов Фредгольма и
гГльтерры; в этом разделе своего обзора [6, стр. 152—154]
Дпамар больше всего места отвел некоторым результатам
Польтерры и их связям с группами преобразований для
пдференциальных уравнений (упоминаются имена Вес-
ко Ковалевского, Мойсила и Дельсарта).

Заключительный раздел обзора Адамара посвящен во-

просу о том, что дало математике и математическому есте-
ствознанию применение идей и методов функционального
анализа. Начинает он с операционного исчисления и
утверждает, что символические методы Хэвисайда были
объяснены в работах П. Леви и Джорджи благодаря мето-
дам функционального анализа. Отмечаются также передока-
зательства средствами функционального анализа ряда
теорем из теории функций комплексного переменного,
данные Пинкерле. Особенно подчеркивается роль новой
дисциплины в теории уравнений с частными производ-
ными (Кайе, Ф. Бернштейн, Дёч, Мишаль), в механике
(обобщение принципа Гамильтона — Якоби), в оправда-
нии рассуждения Римана при доказательстве принципа
Дирихле (Арцела, Гильберт), в обобщении теорем о неяв-
ных функциях (Вольтерра, Пере, Эванс, Гильдебрандт,
П. Леви), обобщении понятия размерности (Фреше, Ба-
нах) и т. д.

В заключение Адамар отмечает важность теоремы
о неподвижной точке, доказанной Биркгофом и Келлогом.
Он указывает, что ее доказательство у названных авторов

проведено «при помощи довольно деликатного анализа»
[6, стр. 160], но, что, как показал Вессио, она непосред-
ственно вытекает из соответствующей теоремы Пуанкаре—
Боля. Адамар упомянул и о применениях теоремы о не-
подвижной точке в теории дифференциальных и интег-
ральных уравнений.

Доклад на том же конгрессе Фреше [И] был посвящен
общему анализу или теории функционалов на абстракт-
ных множествах. По содержанию этот доклад примыкает
отчасти повторяет уже рассмотренную статью Фреше [10].
оэтому мы будем кратки. Во-первых, отметим отсутство-
В1Ю] мысль, которую автор приписывает Муру,
Дол анализ в логическом и педагогическом плане
цйп?Кен предшествовать классическому анализу и функ-
нальному анализу (в смысле Вольтерры — Адамара —

Леви); последние суть лишь частные конкретизации пер-
вого. Во-вторых, если в [10] основное внимание уделялось
абстрактным функционалам, то в [11] упор сделан на тео-
рию непрерывных операторов, или, как их называет
Фреше, непрерывных абстрактных преобразований, при-
чем подчеркивается роль в ней теорий интегрирования и
дифференцирования.

Фреше ссылается исключительно на собственные ра-
боты: относительно исследований других ученых он отсы-
лает к своей книге [15] и лишь в самом конце приводит
несколько «случайно пришедших на память» [11, стр. 272]
имен, чтобы охарактеризовать исследования по функцио-
нальному анализу как пример международного сотрудни-
чества: Шёнфлиса и Хаусдорфа в Германии, Гана и Men
гера в Австрии, Мура и Читтендена в США, Рисса и его
учеников в Венгрии, Серпинского и Мазуркевича в Польше,
П. С. Александрова и П. С. Урысона в СССР.

Нашу статью мы завершим кратким описанием неболь-
шой книги Вольтерры [9] по истории вариационного ис-
числения, рассматриваемой в связи с развитием функцио-
нального анализа.

К 1932 г., когда появилась книга Вольтерры [9], не было
новостью, что в вариационном исчислении скрывались за-
чатки функционального анализа, что его методы явились
одним из истоков методов первоначального этапа новой
математической дисциплины, что с созданием последней
первое стало ее относительно небольшой ветвью — все
это Вольтерра подтвердил еще раз, быть может, с большей
отчетливостью и убедительностью.

Как и в предыдущих работах Вольтерры [7, 8], зна-
чительное место в [9] отведено идее перехода от конечного
к бесконечному, от дискретного к непрерывному в разнооб-
разных задачах вариационного исчисления и функциональ-
ного анализа. Много внимания уделено связи вариа-
ционного исчисления с теорией интегральных и
интегродифференциальных уравнений (главным образом
на примерах работ самого Вольтерры, а также Адамара,
Шлезингера, Эв анса).

Вторая часть [9] посвящена взаимоотношениям между
вариационным исчислением и проблемами механики и
математической физики. Прежде всего выделяется принцип
Дирихле, квалифицируемый как логика математической
физики; рассмотрены различные его доказательства, глав-

образом основанные на принципах вариационного
^счисления (Арцела, Гильберт и другие); утверждается,
что успех используемых при этом методов был обусловлен
полунепрерЫВНОСТЬЮ функционала /=Ц0!024-0?у^2

dQ

Q

что обнаружение этого факта открыло новые пер-
спективы в исследовании этой проблемы. В связи
с последним обстоятельством особенно подчеркнута роль
Тонелли, который, изучая проблемы вариационного исчис-
ления как частные вопросы теории функционалов, поло-
жил в основу вариационного исчисления новый метод,
основанный на понятии полунепрерывности функционала.
На этом пути были найдены решения новых вариационных
задач и новыми способами получены старые результаты,
были обнаружены новые решения большого числа диф-
ференциальных уравнений и задач механики.

Вольтерра проследил также тенденцию сведения задач
естествознания к проблемам минимума в работах Декарта,
Лейбница, Мопертюи, Лагранжа, Гамильтона, Якоби,
Гаусса, Герца; рассмотрел обобщения идей вариационных
принципов механики и математической физики, получен-
ные в рамках функционального анализа и реализованные
в его собственных исследованиях.

Мы вкратце описали ряд работ исторического типа,
принадлежащих основоположникам функционального
анализа — Пинкерле, Вольтерре, Гильберту, Адамару и
Фреше. Даже в своей совокупности они не дают полной
картины становления функционального анализа на рубеже
XIX—XX вв., и создание такой картины — одна из важ-
ных задач историков математики. В решении этой задачи
рассмотренные работы могут принести очень большую
пользу. Особенно ценным, на наш взгляд, представляется
основной вывод, вытекающий из их рассмотрения, состоя-
иши в том, что история функционального анализа яв-
ляется естественным продолжением истории обширной
совокупности физико-математических наук, что его идеи
и методы имеют широко разветвленные и глубокие корни
* разнообразных проблемах математики и математического
естествознания.

ЛИТЕРАТУРА

1.	S. Pincherle. Pour la bibliographic de la theorie des operations
distributives. — Bibi. Math., 1899, (2), 13, 13—18.

2.	5. Pincherle. Funktionaloperationen und Gleichungen. Encycl.
der Math. Wiss., II A, 11, S. 761—817.

3.	S. Pincherle. Equations et operations fonctionnelles. — Encycl.
des sci. math, pures et appl., 1912, 2, 5, p. 1—82.

4.	D. Hilbert. Wesen und Ziele einer Analysis der unendlichvielen
unabhangigen Variabeln (1909). Ges. Abhandlungen, Bd. 3
Berlin, 1935, S. 56-72.

5.	J. Hadamard. Le calcul fonctionnel. — L’Enseignement math.,
1912, 14, 5-18.

6.	J. Hadamard. Le developpement et le role scientifique du calcul
fonctionnel. Atti Congr. internal, mat., Bologna, 3—10 settembre,
1928, t. I, 143—161. Bologna, 1929.

7.	V. Volterra. Lemons sur les fonctions de lignes professees a la Sor-
bonne en 1912, Chap. I. Paris, 1913.

8.	V. Volterra. Les problemes qui ressortent du concept de fonctions
de lignes (1914). Opere matem., t. IV. Roma, 1960, p. 19—42.

9.	V. Volterra. Le calcul des variations, son evolution et ses progrcs,
son role dans la physique mathematique (1932). Opere matem.,
t. V. Roma, 1962, p. 217-267.

10.	M. Frechet. L’analyse generale et les ensembles abstraits. —
Rev. metaphys. et morale, 1925, 32, 1—30.

11.	M. Frechet. L’analyse generale et les espaces abstraits. Atti
Congr. internal, matem., Bologna, 3—10 settembre, 1928, t. I,
267-274. Bologna, 1929.

12.	5. Pincherle. Memoire sur le calcul fonctionnel distributif (1897).
Opere scelte, t. I. Roma, 1954, p. 1—70.

13.	С. Г. Крейн. Предисловие редактора к книге: Н. Я. Виленкин,
Е. А. Горин, А. Г. Костюченко и др. Функциональный анализ,
М., «Наука», 1964.

14.	А. Н. Колмогоров. Математика. БСЭ, 1938, т. 38, стр. 359—402.

15.	М. Frechet. Les espaces abstraits et leur theorie consideree comine
introduction a l’analyse generale. Paris, 1928.

ПЕРВАЯ МОНОГРАФИЯ

ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ

Ф. А. Медведев

Математики высказывают различные мнения относи-
ельно появления функционального анализа. Так,
Л В. Канторович и Г. П. Акилов относят создание функ-
ционального анализа как самостоятельной математической
дисциплины к 20—30-м годам текущего столетия [1, стр. 7 ].
Такой же точки зрения придерживается С. Г. Крейн
[2, стр. 13]; Б. 3. Вулих указывает начало столетия
[3* СТр. 7], Г. Е. Шилов — рубеж XIX и XX столетий
[4* стр. 7]. Присоединяясь к последнему, мы хотели бы
подтвердить тезис о более раннем формировании функцио-
нального анализа как относительно самостоятельной
области математики рассмотрением книги С. Пинкерле
«Дистрибутивные операции и их применения в анализе»
[5] — первой монографии по функциональному анализу,

в которой подытожены и систематизированы исследования
главным образом самого Пинкерле, относящиеся к 90-м го-
дам XIX столетия.

Имя Пинкерле порой незаслуженно забывается. Между
тем он был большим математиком, внесшим, в частности,
значительный вклад в создание функционального анализа.
М. Фреше писал в 1928 г., что «общий анализ 1 нельзя
представить без трудов итальянских математиков и осо-
бенно двух из них, гг. Пинкерле и Вольтерры» [6, стр. 267].

Сальваторе Пинкерле родился И марта 1853 г. в Триесте.
Ио окончании лицея он поступил в Высшую нормальную
школу в Пизе, которую окончил в 1874 г. Ведущими
преподавателями в ней тогда были Э. Бетти — глубокий
^посторонний математик, один из создателей тополо-
к ~~ и У. Дини, который ко времени поступления Пин-
нач ° В ?ЫСШУЮ нормальную школу заканчивал перво-
альный цикл своих исследований по дифференциаль-

Гр

паиН6<<0бщий аналпз>> Фреше, следуя Муру, относил к тому, что
ТСЯ теперь функциональным анализом.

ной геометрии и готовился к созданию своего большого
труда по теории функций действительного переменного.
Кроме них значительное влияние на Пинкерле оказал
Ф. Казорати — выдающийся знаток римановских идей,
популяризовавший их в Италии; с ним Пинкерле поддер-
живал тесные связи.

Все же наибольшее научное воздействие на Пинкерле
оказали не итальянские ученые, а Карл Вейерштрасс,
лекции которого по теории функций он прослушал
в 1877/78 учебном году во время пребывания в Берлине
и учеником которого всегда считал себя 2. Эти лекции
Пинкерле обработал и под названием «Опыт введения
в теорию аналитических функций по принципам проф.
К. Вейерштрасса» [10] напечатал в 1880 г. Это была
первая систематизированная публикация глубоких идей
Вейерштрасса, который сам не желал изложить их
в письменном виде. Публикация имела большой резонанс
в кругах итальянских математиков и вместе с тем обратила
внимание на молодого ее автора. Весной 1880 г. Пинкерле
был приглашен преподавателем алгебраического ана-
лиза в Палермский университет, а осенью того же года —
в Болонский университет, где преподавал до ухода в от-
ставку в 1928 г. Умер Пинкерле 10 июля 1936 г.

За свои научные заслуги он был удостоен многочислен-
ными почестями: избранием членом «Академии деи Лин-
чей (Рысьеглазых)», Болонской академии наук и целого
ряда других итальянских и иностранных научных обществ;
в частности, он был избран иностранным членом Москов-
ского математического общества 3.

Первый период научной деятельности Пинкерле ха-
рактеризуется некоторой неопределенностью интересов —
от физики, которой он первоначально намеревался за-
няться, до чистого анализа. Соответственно разнообразна
тематика его ранних работ: поверхности минимальной
площади, алгебраические и дифференциальные уравнения,
соотношения между коэффициентами и корнями целой
функции, некоторые классы монодромных функций.

Широту кругозора и многообразие научных интересов
Пинкерле сохранил и впоследствии. Его работы (всего
271 наименование, из них 24 книги — главным образом

2 Кроме этого, в Берлине Пинкерле слушал лекции Куммера 11
Кронекера.

3 Подробнее о жизни и деятельности Пинкерле см. [7—9].

бяики) относятся к теории функций комплексного
Уделенного, теории конечных разностей, дифференциаль-
пеР и интегральным уравнениям, интегральным преобра-
жениям разных видов, теории непрерывных дробей и
3° обобщений; большое число исследований принадлежит
Аункциональному анализу. Интересовался Пинкерле и
сторией математики; в частности, его обзоры в немец-
кой и французской энциклопедиях математических наук,
посвященные предыстории функционального анализа, еще
теперь следует рассматривать как важнейший источник.

Следует также упомянуть, что многие его чисто научные
работы содержат исторические введения или же обширные
историко-библиографические справки.

Остановимся коротко на некоторых замечательных
предвосхищениях Пинкерле.

Одним из них является теорема, доказанная в 1882 г.,

которую для одномерного случая можно высказать так:
если заданная на сегменте 1а, д] функция обладает
тем свойством, что в некоторой окрестности каждой точки
х £ [а, 6] нижняя грань ее значений отлична от нуля,
то существует такое положительное число М, что на всем
[о, &] справедливо неравенство | f(x) | > М [И, стр. 67].
Некоторые авторы видят в ней зародыш теоремы Бореля,
о конечном покрытии [12, стр. 424], а Натуччи даже
утверждает, что она включает «как частный случай ту
знаменитую теорему о покрытии, которую Борель уста-
новил 12 лет спустя и которая стала классической в тео-
рии меры множеств» [9, стр. 339]. Сам Пинкерле сформу-
лировал ее для плоскости и рассматривал как важное
обобщение, охватывающее теоремы Гейне—Кантора о рав-
номерной непрерывности и Вейерштрасса о рядах анали-
тических функций, равномерно сходящихся в окрестностях
всех точек заданной области; в [И] он широко поль-
зовался ею при изучении разложений в ряды аналитиче-
ских функций.

В 1886 г. Пинкерле [13] изучает операторы вида

С

ц ®Р°странстве аналитических функций при некоторых
Исс^П°Л0?Кениях относительно яДРа (я, У)- В ходе
еДования он получает некоторые функциональные

уравнения и показывает, что их решение равнозначно
решению соответствующих им систем бесконечного числа
линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных
[13, стр. 106—107, 110, 123]. Если вспомнить, что в XIX
и в самом начале XX столетия интегральные уравнения
нередко рассматривались как частный случай функцио-
нальных уравнений, то отсюда недалеко до идеи связи
решения интегральных уравнений с решением указанных
систем линейных уравнений. Правда, положение дел
у Пинкерле в [13] обратное тому, которое позднее сло-
жилось в теории интегральных уравнений у Гильберта,
когда решение интегрального уравнения получалось из
решения системы бесконечного числа линейных уравне-
ний с бесконечным числом неизвестных. Пинкерле, осно-
вываясь на свойствах функций комплексного переменного,
находил решения некоторого функционального уравне-
ния, а уже потом, ставя в соответствие этому уравнению
систему бесконечного числа линейных уравнений, по-
лучал решение такой системы. Но позднее Пинкерле
обратил свой подход. В 1897 г. [14] он сводит нахождение
собственных значений линейного оператора в простран-
стве степенных рядов к решению бесконечных систем
линейных уравнений. А еще через несколько лет форму-
лирует эти идеи в более общем виде: «Из общей теории
дистрибутивных операций4, которую мы развили в на-
стоящем труде, вытекает, что всякая указанная опера-
ция может, в сущности, рассматриваться представимой
системой однородных линейных уравнений вообще бес-
конечного (но всегда счетного) числа переменных» [5,
стр. 467].

Если принять во внимание, что эти слова были опуб-
ликованы в 1901 г., т. е. до появления соответствующих ра-
бот Фредгольма, а тем более работ Гильберта, то нельзя
не отдать должного прозорливости Пинкерле.

Метод решения Пинкерле задачи о собственных зна-
чениях линейного оператора в заметке [14] интересен
и в другом отношении. Хотя, как упоминалось, он про-
водил свои исследования для частного случая простран-
ства степенных рядов, но его рассуждениям, при некото-
рой модификации, можно придать очень большую общ-
ность. Так, в 1925 г. Фубини [15] установил, что, со-

4 Под дистрибутивными операциями Пинкерле понимал линейные
операторы.

Sfifi ход иДей Пинкерле в [14] и делая лишь формаль-
*Ра замену показателя степени целочисленным индексом,
Ь получить теорию, аналогичную изложенной Пин-
ле но охватывающую как частные случаи теории
Ке?егральных уравнений Гильберта—Шмидта и Гиль-
?в та—Хеллингера для уравнений, обладающих спект-
- ом собственных значений.

Р концу XIX в. в математике сложились условия,
позволявшие выдвинуть идею бесконечномерного функ-
ционального пространства и приступить к разработке
теории операторов в таких пространствах. Выполнение
этого трудного дела, продолжающееся до сегодняшних
дней, начал в середине 90-х годов Пинкерле. Фактически
понятие бесконечномерного функционального простран-
ства присутствовало в его работах еще 80-х — начала
90-х годов. Но осознанно к этой идее он подошел в работе
«Замечание о геометрии функционального пространства»
[16]: «В некоторых недавно опубликованных работах
Я ввел понятие, которое в различных исследованиях по
анализу удобно рассматривать как совокупность анали-
тических функций одного переменного х или, для большей
определенности, как совокупность рядов по целым поло-
жительным степеням х — совокупность или пространство,
в котором каждый отдельный ряд является элементом.
Такое многообразие, очевидно имеющее бесконечное число
измерений, можно назвать функциональным пространст-
вом (spazio funzionale). Всякий степенной ряд по х будет
точкой этого пространства, а коэффициенты ряда можно
рассматривать как координаты точки» [16, стр. 368].

Речь здесь еще не шла об общем понятии функциональ-
ного пространства, определенного аксиоматически. В ука-
занной и некоторых других работах Пинкерле сосредо-
точивает внимание на более конкретных пространствах,
и лишь к 1901 г. он, как мы увидим далее, становится
на существенно более общую точку зрения. Однако идея
этого важнейшего понятия современной математики сфор-
мулирована им вполне четко, и он сумел очень плодотворно
ее использовать. Так, например, она помогла ему уста-
новить, что у некоторого класса линейных операторов
спектр собственных значений может оказаться непрерыв-
5^5£Иб, стр. 375—376; 14, стр. 391 ] 5, что в бесконечно-
6	‘

са 66 откРытие непрерывного спектра у линейных операторов
язывали с именем Гильберта и относили к 1906 г. [21, стр. 114].

мерном пространстве происходит расщепление свойств
операторов обладать корнями и проектировать все про-
странство на собственное подпространство, не имеющее
места для операторов, действующих в конечномерном
пространстве [14, стр. 398; 18, стр. 76, сноска; 19
стр. 84] — факт, переоткрытый Хеллингером и Тёплицем
в 1910 г.; при ее помощи он пришел к идее продолжения
или распространения операторов [33, стр. 97—98]; она же
несомненно, способствовала введению им понятия комму-
татора первоначально в виде так называемой функцио-
нальной производной [17, стр. 144], а затем и общим
образом [20].

В конце XIX в. в Италии у Пинкерле и Вольтерры
сложились две концепции новой математической науки.
В основе обеих лежала одинаковая идея: обобщить тео-
рию функций комплексного переменного на новые объекты
исследований — операторы и функционалы. Оба автора
независимо и одновременно приступили к реализации
своих замыслов еще в 80-х годах, но эта реализация про-
исходила в разных направлениях: Пинкерле взял за ис-
ходный образец вейерштрассову теорию, а Вольтерра —
риманову. Оба получили существенные результаты,
многое их объединяет, а во многом они очень раз-
личны.

Первоначально Пинкерле занимался изучением конкрет-
ных операторов с целью их применения к решению от-
дельных математических проблем. Затем он пришел
к убеждению в необходимости самостоятельной пауки
о линейных операторах. Такое убеждение складывалось
под воздействием его собственных исследований, а также
в результате исторических поисков и изучения разно-
образных применений линейных операторов в математике,
начиная с XVII столетия. Видимо, решающим толчком
послужило обнаружение им в середине 90-х годов связи
формальной теории операторов с линейными преобразо-
ваниями в n-мерных векторных пространствах и зарожде-
ние в связи с этим идеи, что понятие оператора является
естественным обобщением указанных линейных преобра-
зований на случай бесконечномерных пространств — идеи,
названной Леви-Чивита гениальной [22, стр. 125]. На-
сколько общим образом мыслил Пинкерле новую матема-
тическую дисциплину, можно судить по следующим его
словам:

Ь«работа, которую я имею честь представить Академии,
I ^надлежит области анализа, которая так относится
L обычной теории функций, как последняя к исследованию
К числах, т. е. той области, где функция рассматривается
°ак произвольно изменяющийся элемент и которую
оэтому целесообразно назвать функциональным исчи-
слением. При рассмотрении функции как переменного
элемента появляется потребность в изучении операций,
которые можно выполнять над нею, подобно тому как
теория функций порождает исследование арифметических
операций, когда в качестве переменного рассматривается
одно или несколько чисел, к которым применяются эти
Арифметические операции» [23, стр. 87]. Чтобы правильно
оценить прозорливость этих слов, следует вспомнить,
что они были написаны в 1895 г.6, когда Адамар еще не
приступил к занятиям функциональным анализом и когда
фреше было только семнадцать лет. Созданием «функцио-
нального исчисления» и занялся Пинкерле, посвятив
этому почти всю свою дальнейшую научную деятельность.
Он наметил себе при этом следующую программу: «Начать
с изучения самых простых операций, затем последователь-
ными композициями и обращениями переходить посте-
пенно к более сложным, подобно тому как в теории ана-
|литических функций последовательно переходят от рацио-
нальных функций к элементарным трансцендентностям,
затем к алгебраическим функциям и т. д.» [24, стр. 2].
Не имея намерения характеризовать всю деятельность
Пинкерле в области функционального анализа, перейдем
к описанию содержания его книги [5].

Обычно, когда ссылаются на книгу «Дистрибутивные
операции и их применение в анализе», то в качестве ав-
торов указывают Пинкерле и Амальди. Мы же все время
называли ее (и будем называть далее) книгой Пинкерле.
Это требует пояснений. Дело в том, что, как видно из
предисловия Пинкерле, на долю Амальди, в то время
только что окончившего университет и защитившего
Диссертацию о преобразовании Лапласа, выпала главным
образом редакторская работа, особенно в главах X и XIV.

ежду тем почти все идейное содержание книги было
опубликовано ранее в отдельных статьях Пинкерле,
теперь речь шла о систематическом изложении и не-

п°чти повторены в 1897 г. [24, стр. 1].

котором обобщении его результатов. Иногда изложение
в [5] просто сводится чуть ли не к перепечатке или пере-
воду предыдущих публикаций Пинкерле (ср., например
главу XVI «Очерк геометрии линейных пространств
функций» и статью [16] или «Примечание I» и статью [25];.
Но вместе с тем материал его более ранних исследований
организованный в единое целое, рассмотренный с единой
точки зрения, приобретает новое качество, выступая
в виде самостоятельной научной дисциплины, интересной
и важной как своими предметом и методами, так и очень
широким полем приложений. При таком систематическом
изложении некоторые старые результаты приобретают
новые оттенки.

В ранних работах по функциональному анализу
итальянские математики при изучении функционалов
и операторов, как правило, не обращали внимания на
аргумент, подобно тому как в начальный период станов-
ления классического анализа не принимался во внимание
аргумент функции. Это утверждение не противоречит
сказанному ранее относительно идеи бесконечномерного
пространства у Пинкерле и привлечения им в отдельных
работах различных пространств аналитических функций:
его тогда еще не интересовали общие свойства таких
пространств и их влияние на характер разрабатываемой
теории. Главной особенностью книги [51, напротив,
как раз является то, что в ней четко намечен поворот
к изучению абстрактных функциональных пространств
и линейных операторов в них. В этом направлении Пин-
керле идет уже вполне осознанно и бесповоротно, хотя
продвигается и не очень далеко.

Как и большинство современных курсов функциональ-
ного анализа, книга Пинкерле «Дистрибутивные операции
и их применения в анализе» открывается аксиоматически
сформулированным определением линейного простран-
ства [5, стр. 1—4]. Его определение по существу ничем
не отличается от тех, которые встречаются в наших руко-
водствах, ни в отношении общности, ни в отношении
перечня аксиом, и если мы сравним его, например, с опре-
делением в книге [2, стр. 17], то увидим у Пинкерле
лишь большую пространность, обусловленную наличием
у него некоторых сопроводительных пояснений, да при-
сутствие трех аксиом равенства [5, стр. 1], теперь обычно
не формулируемых.

f-Цонятие линейного пространства не принадлежит Пин-
рпле, и он» ВВОДЯ его, ссылается на Лагерра и Пеано.

Но в™ несомненной заслугой, не считая более четкой
П полной формулировки аксиом, является распростране-
яе этого понятия на бесконечномерный случай (впер-
йые это сделано им в [26, стр. 358—359]), а главным
образом то, что он положил его в основу функционального
анализа. На протяжении всей книги операторы рассмат-
риваются заданными для элементов линейного простран-
ства или, как он чаще говорит, линейного множества 7.
и всякий раз, когда приходится рассматривать опера-
торы, определенные для какого-либо класса функций,
Пинкерле прежде всего убеждается, что этот класс явля-
ется линейным пространством.

Как и понятие линейного пространства, общее понятие
оператора (операции) Пинкерле не принадлежит. Сам он
возводил истоки последнего к Лейбницу и в своих исто-
рических работах проследил его развитие до конца XIX
столетия.

В исследованиях Пинкерле понятие оператора появ-
ляется по крайней мере в 1885—1887 гг. [13, 27, 28].
В книге «Дистрибутивные операции и их применения
в анализе» оно вводится самым общим образом [5,
стр.17]. При этом Пинкерле определяет сумму и произведе-
ние операторов, а также произведение оператора па
действительное или комплексное число, вводит нулевой
и обратный операторы, постулирует ассоциативность про-
изведения операторов и отмечает, что произведение их
вообще не коммутативно и т. д.; показывается, в частности,
что множество однозначных операторов, преобразующих
одно линейное пространство в другое, в свою очередь
является линейным пространством [5, стр. 17—20].

Однако основным объектом изучения в [5] являются
линейные операторы, которые Пинкерле общим образом
ввел еще в 1895 г. [17] и которые он называл дистрибу-
тивными операциями. Определял он их обычным теперь
разом: оператор А, действующий в пространстве S,
азывается линейным (дистрибутивным), если при любых

вмесТИМ’ ЧТ° те₽мпн «линейное пространство» не общепринят;
или Т° Нег? Употребляют также термины «линейное множество»,
TepMH“HaH система>>- Пинкерле в [5] применял все три

a, p £ S и любом действительном или комплексном числе
с выполняются условия [5, стр. 25—26]:

Л(а + ₽)=зЛ(а) + Л(₽),
А (са) = с А (а).

Следующими двумя общими понятиями, рассмотрен-
ными в [5], являются скалярное произведение и сопря-
женный оператор; оба они введены были ранее в работе
[19], но в менее общем виде. Подход Пинкерле к ним,
особенно к первому, довольно своеобразен. Сначала он
вводит и изучает [5, стр. 184—192] эти два понятия для
частного случая, когда исходным пространством является
множество формальных рядов Лорана, рассматриваемое
как линейное пространство. После этого он продолжает:
«Свойства, суммарно развитые нами в предыдущих параг-
рафах для сопряженной операции заданной операции,
основываются в сущности на свойствах той операции,
которую мы определили для двух независимых элемен-
тов, принадлежащих 3 (пространству рядов Лорана. —
Ф. М.)у и которую мы обозначили через R 8. Более общим
образом можно исходить из операции /?, определенной
любым способом при условии, что она обладает следую-
щими свойствами:

а)	она однозначно определена для двух элементов о
и ф, взятых произвольно в соответствующих функцио-
нальных пространствах 21 и 23, различных или совпа
дающих;

Ь)	она дистрибутивна (линейна. — Ф. М.) относительно
<р и относительно ф;

с)	она такова, что если для всякого из 21

Я (у, ф) = Я(<р, Ф1),

то отсюда можно заключить, что ф=ф1, и, аналогично,
если для всякого ф из 23

7? (у, ф) = Я(?1, ф),
то отсюда следует, что <p=<pi;

d)	она такова, что

Л (яхр, ф) = R (<р, яф) »

8 Речь идет о том, что далее мы называем скалярным произведением
в смысле Пинкерле; он не вводит для него специального термина.

[5, стР- 1951; х здесь означает любое действительное или
комплексное число.

До недавнего времени скалярное произведение в функ-
циональном анализе определялось как функционал, удов-
летворяющий условиям, аналогичным условиям а—d
Пинкерле. Последний же вводит «операцию R» как про-
извольный линейный оператор, для которого выполня-
ются перечисленные требования. Мы все же и столь общее
понятие назвали скалярным произведением, во-первых,
потому, что в исследованиях Пинкерле оно выполняло
роль обычного скалярного произведения и сводилось
к нему в рассмотренном им частном случае пространства
рядов Лорана. Во-вторых, недавно начали появляться
работы, в которых обычное скалярное произведение
обобщается в направлении, приближающемся к опреде-
лению Пинкерле. Например, Н. Н. Чаус ввел скалярное
произведение, значениями которого являются элементы
из 12 ([0, со)), а не числа [29].

Пользуясь своим скалярным произведением, Пинкерле
вводит понятие сопряженного оператора обычным теперь
образом: оператор А называется сопряженным к опера-
тору Л, если выполняется равенство

*(!(?). <]>) = *(?. 1(D).

Правда, последнее определение и элементарные свойства
сопряженных операторов он дает для пространства рядов
Лорана [5, стр. 187—195], но после введения общего
скалярного произведения замечает, что они остаются
справедливыми и для этого случая [5, стр. 195]. Из свойств
сопряженных операторов Пинкерле рассмотрел следующие:
1) единственность сопряженного оператора;

2)	линейность А при линейности Л;

3)	Л+ В = А +R;

4)	сопряженный оператор линейной однородной функ-
ции нескольких операторов равен той же линейной одно-
родной функции от сопряженных операторов;

5)	А^=А;

6)	АВ=ВА;

ОбJ СопРяженный оператор обратного оператора равен
Ратному оператору сопряженного;

°ПерСЛИ производный^ (в смысле Пинкерле) оператор

6 Заказ jfi 112

81

9) если А задается в виде матрицы, то и Л имеет мат-
ричное представление, причем матрица у А получается
транспонированием матрицы оператора А.

Ввел Пинкерле и самосопряженные операторы [5
стр. 194], но подробно изучать такие операторы не стал, от-
ведя им лишь один небольшой параграф своей книги.

В современном функциональном анализе большую роль
играет понятие функции от линейного оператора. Одо
имеет длинную и сложную историю, еще не прослежен-
ную во всех деталях, несмотря на ряд работ, посвященных
его возникновению и развитию, из которых можно ука-
зать [30, 31]. Отдельные операторные функции — в виде
рядов разного рода линейных операторов — Пинкерле
изучал в ранних работах. После того как Леви-Чивита
в 1895 г. ввел общее понятие аналитической операторной
функции [32], не давая, впрочем, ему формального опре-
деления, Пинкерле стремился его уточнить [33, стр. 102—
104], опираясь на то свойство операторной функции
<р(4),что оператор <р (4) перестановочен с любым опера-
тором, перестановочным с А. Более подробно эти свои
соображения он развил в рассматриваемой нами книге
[5, стр. 343-349].

Мы указали некоторые определения и результаты Пин-
керле, содержащиеся в книге [5]. Этот перечень, причем
опять-таки со ссылками на его предшествующие работы,
можно было бы продолжить. Ограничимся упоминанием,
что он ввел и изучил корневое пространство [5, стр. 31—
34], инвариантное пространство [5, стр. 96], подобные
операторы [5, стр. 343—347] 9 и т. д.

Книга Пинкерле интересна не только общими дефини-
циями и утверждениями. Большая ее часть посвящена
изучению конкретных операторов: умножения, сдвига,
дифференцирования, линейных дифференциальных форм,
аналогичных форм в конечных разностях и в подстанов-
ках, преобразования Лапласа и других интегральных
преобразований. Остановимся только на двух примерах.

Вопрос об интегральном преобразовании Лапласа тесно
связан с операционным исчислением. До недавнего вре-
мени наиболее распространенным подходом к обоснованию

9 Во всех этих случаях указаны лишь страницы, где соответствую-
щее понятие вводится впервые. Пинкерле применяет их во многих
других местах книги.

следнего был подход Ф. Бернштейна и Г. Дёча, при
^°тором интеграл Лапласа рассматривался как некоторый
К°ератор в определенном функциональном пространстве,
° операционное исчисление строилось как исчисление
а я такого оператора. Работы Бернштейна и Дёча по
^томУ вопросу относятся к 20-м годам нашего века. Но
более чем на три десятилетия раньше, когда функцио-
нального анализа еще не существовало, аналогичный
подход был в значительной мере реализован в трудах
Пинкерле, в частности в работе 1887 г. [34]. Свое даль-
нейшее развитие указанный подход получил в книге [5],
где ему посвящен специальный раздел (стр. 353—363).

работы Пинкерле по преобразованию Лапласа, ви-
димо, были неизвестны Бернштейну и Дёчу, когда они
занимались обоснованием операционного исчисления.
В связи с этим Пинкерле писал в 1925 г.: «Среди преоб-
разований, ставящих в соответствие элементам заданного
пространства элементы другого, также заданного прост-
ранства, по важности выделяется преобразование Лап-
ласа—Абеля. . . Как я отмечал в ряде случаев, эта важ-
ность проистекает в основном из того факта, что указан-
ное преобразование обладает одним замечательным свой-
ством, в некотором смысле характеристическом: умноже-
ние на переменное оно преобразует в дифференцирование
и наоборот. Я рассмотрел (и полагаю первым) это свойство
с точки зрения функционального анализа, т. е. как суще-
ственное свойство линейного преобразования между двумя
функциональными областями и притом во многих рабо-
тах, восходящих к 1887 г., и не без удовлетворения вижу,
что в самых недавних работах становятся на ту же самую
точку зрения, даже если мои исследования ускользнули
от внимания их авторов» [35, стр. 477].

Дёч в своем обзоре предмета и метода функционального
анализа и некоторых его применений [36], опубликован-
ном два года спустя, признал, правда сдержанно, за-
слуги Пинкерле не только в создании функционального
анализа, но и в применении методов последнего в опера-
ционном исчислении.

И качестве второго примера, в некотором смысле харак-
Ризующего плодотворность взаимосвязи различных
ассов операторов, мы остановимся на следующем.

в осле того как Пинкерле в [5] изучил линейные формы
°нечных разностях (глава X), линейные дифференци-

альные формы (главы XI—ХП), линейные формы в под-
становках (глава XIV), он заметил, что во всех трех слу-
чаях необходимым и достаточным условием линейной
зависимости форм является обращение в нуль аналогич-
ных детерминантов: определителя Казорати в первом
случае, определителя Вронского во втором и определи-
теля Греви в третьем. Анализируя доказательства этих
трех предложений, он обнаруживает [5, стр. 430—431],
что они по существу тождественны и опираются лишь на
аналогичные соображения относительно коэффициентов
и корней форм, а также поведение операторов конечной
разности, дифференцирования и подстановки при при-
менении их к произведению функций.

Это позволяет ему (глава XV) ввести класс операторов,
названных им «операциями, допускающими билинейную
формулу умножения», т. е. операторов А, обладающих
тем свойством, что

Л (<рф) = а0<рф + а01<рЛ (ф) + ®юфЛ (<р) + апЛ (<р) Л (ф) +

+ ₽1<р4(?) + ₽2фЛ(ф),

где — определенные функции, а <р, ф — любые функ-
ции рассматриваемого пространства.

Называя затем функцию 7, удовлетворяющую условию

Л(т) = Л(1)Т,

константой относительно оператора А10, он доказывает
[5, стр. 435—438] теорему: если А — линейный опера-
тор в пространстве аналитических функций, допускаю-
щий билинейную формулу умножения, то необходимое и
достаточное условие того, чтобы п функций ср1} ср2,. • • » %
удовлетворяли линейному однородному уравнению с по-
стоянными относительно А коэффициентами с/.

С1?1+С2?’2 + ••• +СЛ = °>

состоит в равенстве

нулю детерминанта:

Ti ?2	•••	К

4(<Pi)	^(<р2)	...	А(?я)

А"-1^) А-Ч?2) ... А”-1(?„)

АО Для оператора дифференцирования эти константы являютсЯ
обычными числами.

е Л* — степень оператора А. Эта теорема включает
как частные случаи три указанных выше предложения.

Несомненно, для каждого оператора или класса опера-
торов» изученного Пинкерле в книге [5], впоследствии
были получены новые существенные результаты, в ней
яе содержащиеся; особенно это относится к линейным
дифференциальным формам и преобразованию Лапласа.
Но вряд ли существует другая книга, в которой все пере-
деленные выше операторы частных видов изучались
бы вместе с единой точки зрения, в их взаимной связи.
В этом отношении книга Пинкерле представляет интерес
л сегодня.

До сих пор речь шла о достаточ. •> четко сформулиро-
ванных идеях и результатах книги (5]. Наряду с ними
в ней содержится много идей и методов, еще не оформив-
шихся в окончательном виде, и это, быть может, не менее
интересная сторона труда.

Выше сказано, что Пинкерле самым общим образом
сформулировал понятия линейного пространства и ска-
лярного произведения. Более того, он рассмотрел конк-
ретное пространство функций — множество рядов Ло-
рана, — в котором соединил линейность пространства
с наличием в нем скалярного произведения. Тем самым
у него имелась налицо возможность введения общего
понятия унитарного или предгильбертова пространства,
т. е. линейного векторного пространства, со скалярным
произведением. Пинкерле явно не ввел такого понятия,
во оно фактически содержалось в его книге и могло быть
получено объединением § 2—5, в которых определялось
линейное векторное пространство, и § 253, где вводилось
векторное произведение.

Когда в предшествующих своих работах Пинкерле вел
речь о бесконечном функциональном пространстве, то он,
как правило, ограничивался множеством степенных рядов
с отличным от нуля радиусом сходимости. Напротив,
в книге [5] он вводит много разнообразных бесконечно-
мерных пространств, правда, не в тех формулировках,
в которых они затем вводились и изучались.

*ак, он ввел пространство т ограниченных последо-
вательностей [5, стр. 68—70], доказав, что оно линейно
бесконечномерно; рассмотрел оы, как уже отмечалось,
ространство рядов Лорана. Чтобы полнее охарактери-
ать разнообразие функциональных пространств, рас-

смотренных в книге [5], а вместе с тем выявить и извест-
ную узость подхода, предоставим слово самому Пинкерле.
«До сих пор мы рассматривали пространство S степенных
рядов п, а в нем — множество 5° рядов, имеющих от-
личный от нуля радиус сходимости; в последнем — мно-
жество тех рядов, круг сходимости которых имеет радиус,
больший г, и обозначили это множество, образующее ли-
нейное пространство, через 5Г; такое множество тем
менее широкое, чем больше г, т. е. каждое Sr содержит
Sr', если г' > г. В каждом множестве Sr содержится
множество 500 целых', рациональных или трансцендентных,
функций; в этом 5е0 можно различать все более и более
узкие линейные множества, накладывая, например, на
образующие их ряды все более и более сильные условия
сходимости 11 12. Но сколь бы узким ни бралось линейное
пространство, содержащееся в 5°, мы будем понимать
его так, что в нем всегда содержится множество целых
рациональных функций от х, которое мы обозначим через
и к которому принадлежит система

1, х, х2, ..., ж", ...,

которая в § 103 названа фундаментальной системой для
S. . . Напомнив это, мы можем расширять пространство
элементов, к которым мы применяем наши соображения,
в частности, пространство, в котором применимы элемен-
тарные операции М, D, S 13.

В самом деле, рассмотрим результат умножения эле-
ментов из 5° на какую-либо аналитическую функцию
р. Множество полученных произведений будет составлять
пространство, которое мы обозначим через Ж® или просто
9)1°; и в этом пространстве мы можем различать все более
и более узкие пространства, каждое из которых содержит
предыдущее:

ЭД°, ..

получаемые соответственно умножением р на элементы из
5°, ..., Sr, Sr', ..., 5% ..8Ш...

11 Имеются в виду формальные степенные ряды.

12 Условия, которые мы можем получить из теории целых функции
и связанные с жанром этих функций; но здесь нет нужды под-
робно останавливаться на этом. — Прим. Пинкерле.

13 Т. е. операторы умножения, дифференцирования и подстановки*

Элементарные операции применимы к этим вновь опре-
деленным системам.

м Следовательно, применением этих операций к перво-
начальному пространству S мы добавим новые элементы
при помощи умножения на ц. Отметим в. частности:

а)	пространство, получаемое присоединением к S тех
элементов, которые получаются последовательным умно-
жением на 1/х. Оно является пространством рядов Лорана
и будет обозначаться через 3, тогда как через S обозна-
чим множество рядов по целым отрицательным степеням
х а через Sr — пространство, содержащее ряды, сходя-
щиеся вне круга радиуса 1/г;

Ь)	пространство, получаемое из предыдущих добавле-
ний пространства, выводимого из рассматриваемого умно-
жением на ха, где а — произвольное число;

с)	пространство, получаемое из предыдущих добавле-
нием пространства, выводимого из рассматриваемого по-
следовательным умножением на log х [5, стр. 84—86].

Каждое из этих пространств изучалось и применялось
Пинкерле в разных местах его книги и относительно всех
доказывалась обычно лишь линейность. Но при факти-
ческом исследовании он шел далее, иногда превращая
их в нормированные пространства. Так, например, изу-
чая ряд

со

п=0

где D — оператор дифференцирования, он пользуется
тем, что в можно ввести норму функции аи, опреде-
ляемую как || ап || =тах | аи | [5, стр. 90], не выделяя,
однако, понятия нормы. Последним он пользовался

и ранее для пространства Sr и даже требовал общим
образом, чтобы рассматриваемые им операторы оставляли
ограниченной эту норму [24, стр. 31]. Так что одна из
Фундаментальнейших идей современного функциональ-
ного анализа — идея линейного нормирования простран-
ства содержится, по крайней мере в зародышевой
Форме, в трудах Пинкерле.

Известно, какую важную роль в изучении функцио-
альных пространств сыграло введение геометрических
Н ЙСТавлений- Иногда это связывают с именем Э. Шмидта,
М. Бернкопф, например, пишет, что самым важным

вкладом Шмидта в теорию функциональных пространств
является применение в ней геометрического языка [37,
стр. 46], имея в виду работу последнего, опубликованную
в 1908 г. Однако Пинкерле пользовался геометрическим
языком при изучении функциональных пространств в самых
различных ситуациях задолго до Шмидта. Эта геометри-
зация функциональных пространств является одной из
основных идей его книги «Дистрибутивные операции и их
применения в анализе»; он вводит ее уже в самом начале
[5, стр. 9], пользуется геометрическим языком на про-
тяжении всего изложения и завершает книгу главой
«Очерк геометрии линейных функциональных пространств».
Вектор, координаты вектора, базис пространства, линей-
ное преобразование, пространство корней, инвариантное
пространство, плоскость и кривая в функциональном
пространстве и т. п. — понятия, которые под теми же
или аналогичными названиями применяются здесь по-
стоянно. Разумеется, геометрический язык Пинкерле
не столь богат, каким он стал в более позднее время, по
именно он вошел в науку и впоследствии лишь был уточ-
нен и обогащен в соответствии с уточнением и обогаще-
нием понятия функционального пространства.

Говоря о книге [5], мы подчеркивали, что она представ-
ляет собою изложение и систематизацию идей и резуль-
татов самого Пинкерле, полученных им в более ранних
работах. Это не означает, что он не опирался в них на труды
своих предшественников и современников или что помимо
него не было ученых, работавших тогда над созданием
функционального анализа. Таковых было много, и Пин-
керле был знаком с их трудами. В основном тексте книги
[5] ссылок на работы других авторов относительно мало.
Зато заключительная часть этой книги [5, стр. 461—484]
посвящена исключительно описанию результатов пред-
шественников и современников автора в области функцио-
нального анализа и некоторых смежных вопросов.
В частности, коротко описаны некоторые результаты
Вольтерры. Впоследствии эти исторические замечания
выросли в упоминавшиеся большие обзоры Пинкерле,
помещенные в немецкой и французской энциклопедиях
математических наук.

Книга Пинкерле [5] стала отправным пунктом его
последующих изысканий в этой области математики,
и он постоянно ссылался на нее, например в работах [381

/где интегральные уравнения Вольтерры и Фредгольма
были обобщены до операторных уравнений, решения
коТорых включали как частные случаи решения назван-
ных авторов), [39] (где углублены идеи предыдущей
статьи), [40] (где получили дальнейшее развитие понятия
скалярного произведения, сопряженного и самосопря-
женного операторов) и т. д.; ссылались на нее и другие
авторы, например, М. Фреше [41] или Ф. Пеллегрино
[42, стр. 441]. Следует все же сказать, что монография
Пинкерле, как, впрочем, и вся его деятельность в функ-
циональном анализе, не получили должной оценки и при-
знания. В качестве подтверждения сошлемся на книгу
Н. Данфорда и Дж. Т. Шварца [43], в библиографии
к которой, состоящей из более чем двух тысяч наименова-
ний статей и книг по функциональному анализу и смежным
вопросам, указаны лишь два исторических обзора Пин-
керле. Во многих других книгах по функциональному
анализу, даже итальянских, имя Пинкерле вообще не
упоминается. Так, в «Лекциях по функциональному ана-
лизу» М. Пиконе [44] он упоминается единственный раз
в связи с теоремой о конечном покрытии.

Причины такой забывчивости, конечно, многообразны.
Прежде всего первые работы Пинкерле отделены от
нашего времени почти целым столетием. Они долгое время
были, а в значительной мере остаются и теперь, не очень
доступными, так как только в 1954 г. были изданы два
тома его избранных произведений, включивших лишь
небольшую часть его работ. К тому же большинство из них
написано на итальянском языке и помещено в относительно
малораспространенных научных журналах. Далее, со-
временная монографическая литература по функциональ-
ному анализу преследует в основном учебные цели, и
естественно, что в ней применяются более новые способы
рассуждений, подходов к рассматриваемым вопросам
и Указываются соответственно авторы и работы более
позднего времени. Но главная причина, видимо, все же
не в этом, и мы на ней остановимся подробнее.

Функциональный анализ является обобщением класси-
ческого анализа в широком смысле. В историческом раз-
витии последнего можно выделить две большие фазы.
?еРвая характеризуется тем, что аргумент изучавшихся
Функций принимался за нечто данное, известное, инту-
ивно понятное, не подлежащее изучению. При рассмот-

рении аргумента исходили из геометрических свойств
обычного евклидова пространства. Так продолжалось
до 1872 г., когда появились теории действительных чисел
и началось создание теории множеств. Вторая фаза харак-
теризуется тем, что аргумент функции привлекает все
большее и большее внимание и в исследовании по теории
функций теоретико-множественные и топологические
соображения все больше превалируют над функциональ-
ными.

В известной мере аналогичная ситуация сложилась
и в истории функционального анализа. Работы итальян-
ских математиков по функциональному анализу, и осо-
бенно работы раннего периода, напоминают исследования
по классическому анализу первой фазы и характеризу-
ются минимальным вниманием к аргументу функционала
или оператора. Сказанное не противоречит тому, что го-
ворилось выше о понятии функционального простран-
ства у Пинкерле. Оно у него оставалось слишком бедным
по своим свойствам, чтобы из последних можно было
получать содержательные утверждения о свойствах функ-
ционалов и операторов. То, что Пинкерле при построении
исчисления операторов взял за образец теорию функций
комплексного переменного, быть может, даже уводило его
в сторону от более глубокого изучения свойств функцио-
нальных пространств. Правда, к моменту написания
книги «Дистрибутивные операции и их применения в ана-
лизе» в трудах Бореля, Бэра и Лебега начали создаваться
основы современной теории функций действительного
переменного и Бэр уже провозгласил тезис, что «все
проблемы относительно функций сводятся к некоторым
вопросам теории множеств» [45, стр. 121]. Однако подход
Пинкерле все еще оставался достаточно плодотворным;
а кроме того, ему, вероятно, трудно уже было перестраи-
ваться на новый способ мышления.

Легче это было сделать Фреше. Он приступил к заня-
тиям функциональным анализом много позднее. К 1906 г.
характер теории функций действительного переменного
стал более определенным и, не отягченный грузом тра-
диций, молодой Фреше приступил к построению функцио-
нального анализа по образцу теории функций действи-
тельного, а не комплексного переменного. Его диссерта-
цией «О некоторых вопросах функционального исчисле-
ния» [46] можно датировать начало нового этапа в

азвитии функционального анализа, соответствующего вто-
Р й из указанных фаз развития классического анализа.
Именно в этом направлении и стала по преимуществу
строиться новая математическая наука. Понятно, что
Б новом потоке идей и методов постепенно стали забы-
ваться прежние, а вместе с тем и их авторы.

Впрочем, не так было в прошлом. Мы уже приводили
высокую оценку его трудов, данную Фреше. Аналогично
их оценивал Адамар. Его имя Банах назвал в одном ряду
с именами Вольтерры, Фреше, Адамара, Рисса и других
творцов функционального анализа [47, стр. 133).

ЛИТЕРАТУРА

1.	Л. В. Канторович, Г. II. Акилов. Функциональный анализ
в нормированных пространствах. М., Физматгиз, 1959.

2.	С. Г. Крейн. Предисловие редактора к книге: II. Я. Виленкин,
Е. А. Горин, А. Г. Костюченко и др. Функциональный анализ.
М., «Наука», 1964.

3.	Б. 3. Вулих. Введение в функциональный анализ. М., Физмат-
гиз, 1958.

4.	Г. Е. Шилов. Предисловие редактора перевода к книге: П. Леви.
Конкретные проблемы функционального анализа. М., «Наука»,
1967.

5.	S. Pincherle (in collabor. U. Amaldi). Le operazioni distributive
et le loro applicazioni all’Analisi. Bologna, 1901, I—XII —490.

6.	M. Frechet. L’analyse generale et les espaces abstraits. — Atti
Congr. internal, mateni., Bologna, 3—10 settembre, 1928, t. I,
267—274. Bologna, 1929.

7.	S. Pincherle. Notice sur les travaux (1925). Opere scelte, t. I.
Roma, 1954, p. 45—63.

8.	U. Amaldi. Della vita e delle opere di Salvatore Pincherle (1937);
S. Pincherle. Opere scelte, t. I, p. 3—16.

9.	A. Natucci. Nel primo centenario della nascita di Salvatore Pin-
cherle. — Giorn. matem. Battaglini, 1953—1954, (5) 2, 335—342.

10.	S. Pincherle. Saggio di una introduzione alia teoria delle funzioni
analitiche secondo i principii del prof. 0. Weierstrass.—Giorn.
mat., 1880, 18, 178-254, 317—357.

И- <$. Pincherle. Sopra alcuni sviluppi in serie per funzioni anali-
tiche (1882). Opere scelte, t. I, p. 64—91.

12. T. H. Hildebrandt. The Borel theorem and its generalizations. —
Bull. Amer. Math. Soc., 1926, 32, 5, 423-474.

5. Pincherle. Studi sopra alcune operazioni funzionali (1886).
Opere scelte, t. I, p. 92—141.

8. Pincherle. Appunti di calcolo funzionale distributive (1897).
Opere scelte, t. I, p. 388—398.

G. Fubini. Un’osservazione sulla transcendente d (z) del Pincherle

16 У$25), Opere scelte, t. Ill, Roma, 1962, p. 128—129.

°- 8. Pincherle. Genno sulla Geometria dello spazio funzionale
(1896—1897). Opere scelte, t. I, p. 368—377.

17.	S. Pincherle. Sulle operazioni funzionali distributive. — Attj
R. Accad. Lincei, Rend., Cl. sci. fis., mat. e natur., 1895
IVj, 142-149.	v

18.	S. Pincherle. Sul concetto di piano in uno spazio ad infinite di-
mension! (1897—1898). Opere scelte, t. II. Roma, 1954, p. 71—76.

19.	S. Pincherle. Sull operazione aggiunta (1897—1898). Opere scelte
t. II, p. 77-84.

20.	S. Pincherle. Sopra un’estensione della formula del Taylor nel
calcolo delle operazioni. — Rend. R. Accad. sci. 1st. Bologna
n. s., 1902-1903, 7, 128-134.

21.	E. Hellinger. Hilberts Arbeiten uber Integralgleichungen und
unendliche Gleichungssysteme. — In: David Hilbert. Ges.
Abhandlungen, Bd. 3. Berlin, 1935, S. 94—145.

22.	T. Levi-Civita. I gruppi di operazioni funzionali e inversione degli
integrali definiti (1895). Opere matem., 1.1. Roma, 1954, p. 125—
152.

23.	S. Pincherle. L’algebra delle forme lineare alle differenze. —
Mem. R. Accad. sci. 1st. Bologna, 1895—1896, (5), V, 87—126.

24.	S. Pincherle. Memoire sur le calcul fonctionnel distributif (1897).
Opere scelte, t. II. Roma, 1954, p. 1—70.

25.	S. Pincherle. Pour la bibliographic de la theorie des operations
distributives. — Bibi. Math., 1899, (2), 13, 13—28.

26.	S. Pincherle. Le operazioni distributive e le omografie (1896).
Opere scelte, t. I. Roma, 1954, p. 358—367.

27.	S. Pincherle. Note sur une integrate definie. — Acta math.,
1885, 7, 351-386.

28.	S. Pincherle. Sur sertaines operations fonctionnelles representees
par des integrates definies (1887). Opere scelte, t. I, p. 142—172.

29.	H. H. Чаус. Построение банаховых пространств с помощью
одного обобщения скалярного произведения. — Матем. зап.,
1970, 8, вып. 1, 67—76.

30.	А. А. Киселев, Е. П. Ожигова. О ранней истории операционного
исчисления. — В сб.: Вопросы истории физико-математических
наук. М., «Высшая школа», 1963, стр. 133—139.

31-	Л. А. Люстерник, С. С. Петрова. Из ранней истории симво-
лического исчисления. — XIII Международный конгресс по
истории науки. Коллоквиум: «Пути развития функционального
анализа. М., «Наука», 1971.

32.	Т. Levi-Civita. Sui gruppi di operazioni funzionali (1895). Opere
mat., t. I. Roma 1954, p. 101—111.

33.	S. Pincherle. Di alcune operazione atte ad aggiungere о togliere
singolarita in una funzione analitica (1900). Opere scelte, t. IL
Roma, 1954, p. 91—157.

34.	S. Pincherle. Delle trasformazione di Laplace e di alcune sue
applicazioni (1887). Opere scelte, t. I, p. 173—192.

35.	5". Pincherle. Di alcune trasformazioni funzionali. — Atti
R. Accad. Lincei, Rend., Cl. sci. fis., mat. e natur., 1925, (6),
1, 477-482..

36.	G. Doetsch. Uberblick uber Gegenstand und Methode der Funktio-
nalanalysis. — Jahresber. Dtsch. Math.-Verein., 1927, 36,
S. 1-30.

37.	M. Bemkopf. The development of function spaces with particular
reference to their origins in integral equation theory. — Aren*
Hist, exact sci., 1966, 3, 1—96.

К «о 5. Pincherle. Sulle equazioni funzionali lineari (1906). Opere
scelte, t. II. Roma, 1954, p. 264—301.

 oo S. Pincherle. Appunti di calcolo funzionale (1911). Opere scelte,
I- t. IL P- 362-404.

f /л S- Pincherle. Sull’operazione aggiunta di Lagrange (1913). Opere
 ’ scelte, t. II, p. 435—444.

A4 M. Frechet. Sur les operations lineaires. — Trans. Amer. Math.

Г I Soc., 1904, 5, 4, 493-499.

Г 42- &• Пеллегрино. Теория аналитических функционалов и ее при-
ложения (1951). — В кн.: П. Леви. Конкретные проблемы
функционального анализа. М., «Наука», 1967, стр. 377—497.

43.	Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц. Линейные операторы. Спектраль-
I ная теория. М., «Мир», 1966.

44.	Picone. Lezioni di analisi funzionale. Roma, 1946—1947.

I 45. R- Baire. Sur les fonctions de variables reelles. — Ann. mat.

I pura ed appl., 1899, (3), 3, 1—123.

46.	M. Frechet. Sur quelques points du calcul fonctionnel. — Rend.
Circolo mat. Palermo, 1906, 22, 1—74.

47.	S. Banach. Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur
application aux equations integrates. — Fundam. Math., 1922,
3, 133—181.

L

ВВЕДЕНИЕ АБСТРАКТНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

В ТЕОРИЮ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ 1

М. Бернкопф

1. Одним из интереснейших аспектов истории матема-
тики является анализ вторжения и распространения в ма-
тематике новых идей. Часто они просачиваются медленно,
лишь постепенно завоевывая признание, — таков обычный
путь. Однако порой новая концепция оказывается столь
мощной и так помогает воображению, что сразу же полу-
чает признание. Не всегда последнее является благом:
часто при становлении нового теряется многое из того,
что было ценным или интуитивным при прежних подхо-
дах. Так обстояло дело с абстрактным анализом.

В начале настоящего столетия ни один аналист не думал
о применении теорем, сформулированных и доказанных
в абстрактных терминах, для решения, скажем, какой-
либо задачи из теории дифференциальных уравнений.
Но в середине XX в. абстрактный анализ в форме бана-
ховых и гильбертовых пространств, а также связанных
с ними идей стал весьма значительной частью матема-
тики. Главным тезисом настоящей статьи является утверж-
дение, что быстрый рост этого направления может быть
прослежен непосредственно от трех статей Джона фон Ней-
мана, опубликованных в 1929 г. Как мы увидим,
в этих работах было показано, что для некоторых проблем
аебтрактный подход фактически дает лучшие, даже более
конкретные результаты.

Это не означает, что абстрактная математика была
новым явлением в начале столетия; речь идет только об
абстрактном анализе. Прежде чем говорить об этом,
объясним некоторые термины.

Под абстрактной математической системой мы будем
понимать систему, в которой аксиомы, неопределимые
термины и т. д. относятся к неспецифицированным объек-
там. Примером являются аксиомы банахова пространства,

1 Доклад, прочитанный на XIII Международном конгрессе по ис-

тории науки (Москва, 23 августа 1971 г.). Пер. Ф. А. Медведева.

Формулировке самого Банаха [1]. Он отправляется
® произвольного множества объектов, обозначаемых че-
°т % у, Z и т. д., для которых он постулирует некоторые
Р о*ства. Он нигде не пользуется тем, что, например,
у Y Z и т. д. являются некоторыми функциями, даже
гли ясно, что он имеет в виду именно функции.

6 С ДРУГОЙ стороны, работы Гильберта представляют
собой пример классического или конкретного подхода.
Он исходит из специального класса последовательностей
ействительных чисел и доказывает нужные ему свойства,
пользуясь аксиомами действительного числа.

Имея в виду эти определения, мы уверенно можем ска-
зать, что в начале XX столетия объем абстрактной ма-
тематики был достаточно большим, о чем, например,
свидетельствует алгебра с ее теорией групп. Но в ана-
лизе еще работали в рамках конкретного: главными объек-
тами были числа и функции; делались лишь случайные
экскурсы в область векторов и кватернионов. Правда,
некоторые математики рассматривали такие объекты как
пространства бесконечного числа измерений, и пионером
этого направления был Сальваторе Пинкерле. Но инте-
ресно, что он считал необходимым предпослать своей
статье длинное введение, в котором объяснялось, что он
имел в виду [14]. Даже эта статья не является абстрактной
в современном смысле, так как точки в его пространстве
являются степенными рядами, представляющими анали-
тические функции. Эта и несколько других статей пред-
ставляют собой общий итог выходов за традиционные
рамки анализа XIX в.

2.	Наиболее ранней работой в направлении, ведущем
к теории функциональных пространств абстрактного вида,
была известная диссертация Мориса Фреше 1906 г. С нею
в анализ было введено абстрактное метрическое простран-
ство. Идеи и методы, рассмотренные в ней, были столь
новыми, что Фреше оказался вынужденным написать
введение, в котором несколько длинно разъяснил пре-
имущества его образа действия. В этом введении он сна-
чала описал развитие различных обобщений понятия функ-
ции одного переменного до функций нескольких пере-
менных и функций от кривых, как их трактовали Воль-
®Рра и Арцела, а также функций, областями задания
торых являются множества функций и которые изучены
^Дамаром. Он пишет [6, стр. 1—31:

«В настоящем мемуаре мы станем на совершенно общую
точку зрения, включающую в себя эти различные слу-
чаи (обобщенных функций. — М. Б.).

Мы будем поэтому говорить, что функциональная опе-
рация U определена на множестве Е произвольных
элементов (чисел, кривых, точек и т. д.), если всякому
элементу А из Е соответствует единственное числовое
значение U (А) операции U. Исследование свойств этих
операций является целью функционального исчисления. . .

Допустив полезность этого предварительного изучения
множеств, мы сталкиваемся с одной трудностью. Первым
обобщением, представляющимся естественным, является
понятие непрерывной функции. И если мы желаем рас-
пространить его на операции, переменные которых имеют
произвольную природу, то необходимо сначала знать,
что следует понимать под соседним элементом или под
пределом последовательности элементов (подчеркнуто ав-
тором. — М. Б.). Это кажется невозможным: до сих пор
обыкновенно давали специальное определение для каждой
категории рассматриваемых элементов — точек, кривых
и т. д. Я преодолел эту трудность при помощи метода,
аналогичного тому, который в теории абстрактных групп
позволяет рассуждать о неопределенной явно композиции
(подчеркнуто нами. — М. Б.). -

Развив эту точку зрения, я заметил, что почти все клас-
сические определения предела (но не все) могут быть вы-
ражены так: всякой паре А, В элементов рассматривае-
мой категории можно поставить в соответствие число
(Л, В) 0, обладающее свойствами, очень схожими со
свойствами расстояния между двумя точками, и такое,
что: 1) В совпадает с А, если (Л, В)—О, и 2) В стремится
к Л, если (Л, В) стремится к нулю 2. Принимая эту менее
общую, но тем не менее весьма широкую теорию, мы полу-
чаем многочисленные более точные результаты.

Методы, которые мы только что набросали, приводят
нас к обобщению почти всех теорем о линейных множествах
и непрерывных функциях (по крайней мере тех, которые
можно выразить на языке, не зависящем от природы
рассматриваемых элементов) (подчеркнуто автором. —
М.Б.).

2 Пространства, удовлетворяющие неравенству треугольника, рас”
сматривались Фреше как частные'случаи более общих пространств,
обладающих вышеуказанными свойствами 1 и 2.

Сначала необходимо установить, как нужно преобразо-
вать формулировки теорем, чтобы они сохраняли смысл
в общем случае. Затем доказательства нужно или пере-
вести на новый язык или, когда это невозможно, дать
новые, более общие. Оказывается, что доказательства,
которые мы получаем таким образом, часто столь же
просты, а иногда даже более просты, чем те частные,
которые они заменяют. Это, несомненно, обусловлено
тем, что создавшиеся обстоятельства требуют использо-
вания лишь действительно существенных особенностей. . .

Во второй части мы применяем полученные общие ре-
зультаты. . . к различным категориям элементов опреде-
ленного типа. Единственная трудность здесь состоит
в том, чтобы показать, что каждая из этих категорий
удовлетворяет необходимым условиям справедливости
теорем первой части. Когда это сделано, то остается лишь
сформулировать теорему в каждом случае. . .».

Отметим, что идея первоначального доказательства
теорем в абстрактной формулировке, а затем применения
их к частным проблемам была столь чуждой в анализе
в 1906 г., что Фреше был вынужден объяснять даже меха-
низм рассуждений. Сегодня эти методы стали обыч-
ными — фактически имеются ученые, которые сказали бы,
что лишь они составляют истинную математику, а все
остальное только приложения, — но тогда они были
новыми для анализа. Заметим мимоходом, что можно
пожалеть об отсутствии в журнальных статьях места,
где исследователь мог бы пояснить то, что он сделал,
и почему он сделал это таким образом.

3.	История самих функциональных пространств вос-
ходит к Ивару Фредгольму 3. В 1903 г. Фредгольм опубли-
ковал статью об интегральных уравнениях. Давид Гиль-
берт позднее расширил результаты Фредгольма, построив
полную теорию собственных значений и собственных
векторов для случая непрерывных и симметричных ядер 4.

з

4

Следующие строки, в которых дается набросок истории функцио-
нальных пространств, представляют собой резюме работ Бери-

копфа [3, 4], в которых дается и библиография.

Рассмотренное Гильбертом интегральное уравнение имеет вид

/М==в(г) + х| К (х, s) 0(s) ds, где 6 — неизвестная, а /
— известные функции. К называется ядром и является
имметричным, если К (х, у) = К (у, х). Число X является

Первое решение Гильберта было очень сложным и содер-
жало пределы детерминантов конечного порядка при без-
граничном возрастании порядка. Его второй метод,
предложенный в 1906 г., был основан на теории последо-
вательностей, суммируемых с квадратом * 5; в нем исполь-
зовались бесконечные формы и ряды типа Фурье для
преобразования их в интегральные уравнения. Это яви-
лось началом теории гильбертовых пространств.

Ученики Гильберта продолжили его труд. В 1907 г.
Эрхард Шмидт обобщил теорию собственных значений
на уравнения с несимметричными ядрами, а в 1908 г.
опубликовал работу, в которой рассмотрел системы бес-
конечного числа линейных уравнений с бесконечным
числом неизвестных, положив в основу пространство
суммируемых с квадратом последовательностей. Именно
в этой последней статье мы находим первое явное указа-
ние на «гильбертово .пространство» и много других гео-
метрических терминов, ставших обычными в сегодняшнем
анализе.

Наряду с этим происходил естественный рост теории
бесконечных матриц и их детерминантов. В определяющей
статье, опубликованной Хеллингером и Тёплицем в 1910 г.,
были намечены основные вехи этой теории и введены,
по крайней мере в зародышевой форме, многие стандарт-
ные теоремы теории функциональных пространств.

Следует отметить, что ни одна из вышеуказанных работ
не была абстрактной в современном смысле. В них в основу
кладется пространство суммируемых с квадратом после-
довательностей, и хотя язык является столь же общим,
как и язык современной теории гильбертовых пространств,
по нашим стандартам результаты оказываются довольно
частными.

Ранней статьей в стиле современного анализа была дис-
сертация Банаха 1922 г. [1]. Перед этим был выявлен
значительный интерес лебеговского интегрирования и его

собственным значением уравнения, если существует отличное
от нуля решение 0 уравнения 0 = 6 (х) 4- X j К (х, s) 6(s) ds‘, та-
кое решение называется собственным вектором. Сегодня неко-
торые авторы назвали бы X обратной величиной собственного
вектора.

5 Последовательность {ай} называется последовательностью, сум-
мируемой с квадратом, если 2 < °о.

язи с теорией интегральных уравнений, достигшей
СуЛЬминации в открытии Фридешем Риссом пространств
и Lq в 1910 г. [15]. Эта работа, хотя и не являющаяся
абстрактной в принятом теперь смысле, содержала многие
понятия, обобщенные через двенадцать лет Банахом,
к ним относятся такие важные понятия, как слабая схо-
димость, сопряженное пространство и сопряженный опе-
ратор. т.	-	.

Работа Рисса подготовила Банаху ту базу, на которой
строилась основополагающая статья последнего по тео-
рии банаховых пространств [1]. В ней он действует
в современном абстрактном духе и говорит:

«Чтобы не нужно было доказывать (некоторые тео-
ремы. — М. Б.) отдельно для каждого множества. . .,
я выбрал иной путь: я общим образом рассматриваю мно-
жество элементов, для которых постулирую некоторые
свойства и получаю теоремы, а затем для каждого мно-
жества специальных функций показываю. . ., что для
него справедливы эти постулаты» [1, стр. 134]. Отметим,
что пояснения считаются нужными.

Затем Банах формулирует постулаты абстрактного дей-

ствительного нормированного векторного пространства
и требует, чтобы это пространство было полным в тополо-
гии, индуцированной нормой. Далее он переходит к до-
казательству большого числа теорем в такой абстрактной

постановке, включая раннюю форму принципа равномер-
ной ограниченности и теорему о сжимающем отображении.

Непосредственное влияние этой статьи трудно оценить,
хотя эффект длительного воздействия был огромным.
До 1930 г. на нее ссылались, по-видимому, относительно

мало, и полное воздействие этой теории определенно не
ощущалось до тех пор, пока в 1927 г. Ган [7], а более
подробно в 1929 г. Банах [2] не выявили красоту этой
теории благодаря открытию сопряженного пространства
банахова пространства. Однако даже около 1927 г. Хел-
лингер и Теплиц — в связи с ранней безуспешной по-
пыткой Э. Г. Мура построить абстрактную систему, которая
включала бы гильбертовы пространства [9], — утверж-
дали [8, стр. 1472], что «. . . такая аксиоматическая фор-
Уляровка не приводит к теории решений. . .».

• Фактически три статьи дали окончательный толчок
в	а^стРактного анализа. Они были написаны

г. Джоном фон Нейманом [10—13]. Хотя они

посвящены теории гильбертова пространства, но сразу же
оказали воздействие на весь функциональный анализ и
связанные с ними области математики6. Например,
профессор Фридрихе 7 написал статью, в которой приме-
нялся традиционный подход, основанный на последова
тельностях и матрицах, и которая уже была готова к пуб-
ликации, когда появились работы Неймана. Он счел
необходимым переписать ее, учитывая абстрактные идеи,
введенные последним.

Нейман отправляется от теоремы Рисса—Фишера и
показывает, что гильбертово пространство суммируемых
с квадратом последовательностей Z2 и множество £2 функ-
ций, квадрат которых интегрируем по Лебегу на некотором
интервале, в сущности идентичны. Затем он переходит
к определению гильбертова пространства Н как любого
множества, удовлетворяющего обычным теперь аксиомам
бесконечномерного векторного пространства со скаляр-
ным произведением (конечномерные пространства спе-
циально исключались).

Наряду с этим Нейман исследовал эрмитовы операторы 8.
Благодаря остроумному методу классификации, извест-
ному под наименованием спектрального разложения, оп
сумел получить интегральное представление одного класса
операторов, названных им гипермаксимальными. Этот
класс включает все ограниченные и некоторые неограни-
ченные эрмитовы операторы и фактически является един-
ственным классом операторов, допускающих спектраль-
ное разложение.

Затем Нейман распространил свой результат в моди-
фицированной форме на неэрмитовы операторы. Сначала
он определил кольцо В ограниченных на Н операторов,
а также ввел в анализ многие другие понятия алгебры,
включая понятие *-алгебры 9. Он ввел также несколько

6 Более детальный разбор этих статей см. Бернкопф [5].

7 Курт О. Фридрихе, профессор математики университета в Нью-
Йорке. Описанный далее факт был сообщен в частной беседе с ав-
тором в феврале 1967 г.

8 R является эрмитовым, если R определен в Я, и для всех имеющих
смысл Rf и Rg выполняется равенство (/?/, g)=(/, Rg).

° Подмножество S пространства В является *-алгеброй, если оно
является подпространством В, которое замкнуто относительно
умножения и *-операции. Операция, обозначенная звездочкой,
означает для каждого оператора А некий оператор 4*, такой, что

логий в В. Затем, следуя практике конечномерного
Т°^чая он называет оператор А нормальным, если
лЛЛ*==Л*Л, и П0ЛУчает несколько иные характеристики
омальных операторов. Они используются для обоб-
В<еяия понятия нормальности на пары неограниченных
Сенаторов, называемых сопряженными парами 10, пока-
°ывается, что нормальные операторы являются как раз
теми, которые обладают спектральным разложением.
Ринако — ив этом различие между конечным и бесконеч-
ным числом измерений — не все неограниченные эрмитовы
операторы являются нормальными, а только те, которые
гипермаксимальны, и таким образом не все эрмитовы опе-

раторы имеют спектральные разложения.

F Он рассмотрел пространство Я суммируемых с квадра-
том последовательностей и множество Л/ бесконечномер-
ных матриц, заданных в Я. В частности, как и для конеч-
ного числа измерений, матрица Я будет называться уни-
тарной, если Z7’1=Z7', и U будет называться наложимой
на А, если матричные произведения	AU и

B—U^AU являются определенными и абсолютно схо-
дятся. Пусть F={/y} и G={gj} — полные ортонормиро-
ванные системы. Тогда пары (Л, F) и (В, G) называются

унитарно эквивалентными, если существует такая уни-
тарная матрица U, что B—U^AU и G=UF. Унитарная

эквивалентность не является отношением эквивалент-

ности (отсутствует транзитивность); быть может, еще
хуже то, что спектры операторов не инвариантны отно-
сительно унитарной эквивалентности.

Идея унитарной эквивалентности была затем обобщена
Нейманом до n-шаговой унитарной эквивалентности:
(Л, F) является унитарно эквивалентной (В, G), если
существует п+1 пара (ЛР FJ 1, 2, . . ., п) с
Wo» Fo)=(A, F) и (Ля, Fn)=(B, G), такими, что (Лр F{)
унитарно эквивалентна (Л.+1, Fi+l) (i=0, 1, . . ., п — 1).
Аакое обобщение является отношением эквивалентности,

W/» £)==(f, A*g) и (/, Ag)=(A*f, g). Это, очевидно, является об-
ю общением эрмитова оператора.

Я и Я* образуют сопряженную пару, если области их задания
одинаковы и если (Я/, g)=(/, R*g)Af> Rg)=(R*f, g) для всех f
И общей области.

»л«_менно в статьях [10, И] Нейман показал мощь абстракт-
. Вместе с тем он обнаружил [12], что применение
представлений приводит к совершенно неожиданным

метода
конкретных
Отологиям.

но Нейман обнаружил такой поразительный факт, что
всякие две неограниченные матрицы являются унитарно
эквивалентными в три шага. Более того, если рассматри-
ваются операторы, порождаемые матрицами, то любые
два оператора являются унитарно эквивалентными в де-
сять шагов. Окончательный удар теории унитарной экви-
валентности наносится тогда, когда Нейман показывает,
что если задан любой неограниченный оператор /?, То
существует такой унитарный оператор U, что единствен-
ным элементом, общим областям задания операторов
и U^RU, является элемент 0 !

5. Таким образом, Нейман разрушил конкретный под-
ход к теории гильбертовых пространств. Удивительно то,
что абстрактный анализ приводит к более четким и ясным
результатам. Математики, работавшие в этой области
в 20-х годах, надеялись, что многие теоремы теории ко-
нечномерных матриц будут обобщены без больших моди-
фикаций. В отношении некоторых теорем это сделано
для ограниченных матриц. Но только ограниченных
операторов не достаточно: неограниченным, например,
является оператор дифференцирования. Более того, по-
следние десятилетия показали, что использование теории
матриц для получения результатов, относящихся к не-
ограниченным операторам, является искусственным и,
быть может, случайным11. Мы теперь знаем почему:
даже некоторые из простейших теорем в этом случае
оказываются несправедливыми.

Эти результаты Неймана имели последствия, далеко
выходящие за пределы теории гильбертовых пространств.
Следуя его примеру, аналисты все чаще прибегали к аб-
страктному подходу, избегая конкретных реализаций.
Часто это затемняет существо дела, а не выясняет. Итера-
ции Пикара, хотя сегодня они и рассматриваются как
не элегантные, видимо, вскрывают основную структуру
дифференциальных уравнений глубже, нежели теорема
о сжимающем отображении. Абстрактный анализ зани-
мает весьма значительное место в схеме математического
мышления, но его не следует переоценивать.

11 Указанная выше беседа с профессором Фридрихсом.

ЛИТЕРАТУРА

с Banach. Sur les operations dans les ensembles abstraites et leur
application aux ^uations integrates. — Fundani. Math., 1922,
3 133—181.

n e Banach. Sur les fonctionelles lineaires. I, II. — Stud. Math.,
2* 1929, I, 211-216; II, 233-239.

q M. Bernkopf. The development of function spaces with particular
reference to their origins in integral equation theory. — Arch.
History Exact Sci., 1966, 3, 1—96.

. M Bernkopf. A history of infinite matrices. — Arch. History
Exact Sci., 1968, 4, 308-358.

к д/ Bernkopf. Three Pivotal Papers of John von Neumann. —
Trans. N. Y. Acad. Sci., 1959, ser. II, 31, 516-528.

n л/. Frechet. Sur quelques points du calcul fonctionnel. —Rend.
°’ Circolo Mat. Palermo, 1906, 22, 1—74.

7	В Bahn. Uber lineare Gleichungssysteme in linearen Raumen. —
J. reine und angew. Math., 1927, 157, 214-229.

8.	E. Bellinger, O. Toeplitz. Integralgleichungen und Gleichungen
mit unendlichvielen Unbekannten. — Encycl. Math. Wissen.,
II c. Leipzig, Teubner, 1923—1927, S. 1335—1602. Repr. Teubner,
1928.

9.	E. Moore. On a form of general analysis with applications to li-
near differential and integral equations. — Atti IV Congr. Inter-
naz., Rome, 1909, 2.

10.	J. von Neumann. Allgemeine Eigenwerttheoric Hermitescher
Funktionaloperationen. — Math. Ann., 1929, 102-1, 49—131.

11.	J. von Neumann. Zur Algebra der Funktionaloperation und Theorie
der Normaloperationen. — Math. Ann., 1929, 102-3, 370—427.

12.	J. von Neumann. Zur Theorie der unbeschrankten Matrizen. —
J. reine und angew. Math., 1929, 161, 208—236.

13.	J. von Neumann. Collected works. A. H. Taub (Ed.). N. Y.,
Pergamon Press.

14.	S. Pincherle. Memoire sur le calcul fonctionnel distributif. —
Math. Ann., 1897, 49, 325-382.

15.	F. Biesz. Untersuchungen uber Systeme integrierbarer Funktio-
nen. — Math. Ann., 1910, 69, 449—497.

ВОПРОСЫ ИСТОРИИ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

ДОНЬЮТОНОВСКИЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ. I

А. Б. Паплаускас

Весьма трудно указать более или менее точное время
появления в математике бесконечных рядов. Первое
свидетельство в литературе применения бесконечного
ряда мы находим у Архимеда в его «Квадратуре пара-
болы». Для доказательства предложения XXIV: «Вся-
кий сегмент, заключенный между прямой и параболой,
составляет четыре трети треугольника, имеющего с ним
одно и то же основание и равную высоту» [1 ] Архимед,
не вводя каких-либо общих понятий теории рядов,
просуммировал по существу бесконечную геометриче-
скую прогрессию.

Каким же образом рассуждает Архимед? Пусть неко-
торый сегмент параболы ограничен хордой АВ (рис. 1).
На параболе берется точка С так, чтобы касательная
в ней была параллельна А В, и за первое приближение
площади сегмента параболы принимается площадь тре-
угольника АС В. Далее прямые АС и СВ рассматриваются
как хорды, ограничивающие сегменты той же параболы,
и производятся аналогичные построения. Теперь в ка-
честве второго приближения Р2 площади сегмента пара-
болы берется сумма площадей трех треугольников

Р2 = &ADC + &АСВ + ЬВСЕ.

Доказав, что сумма площадей треугольников ADC *
ВСЕ есть четверть основного, он получает

Повторяя

этот процесс, Архимед приходит к равенству

Р.=Л+4л + ---+^гЛ-

г едующим шагом является доказательство, что при до-
° «точно большом п разность Рп — ^1^РХ может быть сде-
С яа меньше любой заданной величины, однородной
р , Окончательно, методом доказательства от против-
с * он убеждается, что площадь сегмента параболы
оавна 4/3Л. Если посмотреть на этот процесс с точки
зрения бесконечных рядов, то налицо суммирование
бесконечной геометрической прогрессии со знаменате-

лем х/4.

Новый шаг вперед в учении о бесконечных рядах был
сделан в средние века учеными, разрабатывавшими круг
проблем кинематики и математики, — так называемое
учение «о конфигурации качеств» или «о неравномерности
интенсивностей». Мы не будем останавливаться на прин-
ципах этого учения, которым посвящена обширная ли-
тература, и рассмотрим только применение в нем беско-
нечных рядов. Для нахождения сумм бесконечных рядов

Рис. 1

средневековые математики, работавшие в этом направ-
лении, пользовались двумя методами: геометрическим и
алгебраическим.

Первым по времени был Ричард Суайнсхед (Суисет)
из Оксфорда [2—5]. В конце 40-х годов XIV в. Суайнсхед
Написал работу «Книга вычислений» (Liber calculationum),
которая была напечатана впервые в 1477 г. в Падуе.
Но Суайнсхеду, средняя интенсивность какой-либо

величины на некотором промежутке при условии равномер-
ного роста интенсивности равна средней арифметической
начальной и конечной интенсивностей. Изучая среднюю
интенсивность в случае, когда весь промежуток разбит
на отрезки по убывающей геометрической прогрессии со
знаменателем х/2, а в каждом последовательном проме-
жутке интенсивность растет по закону арифметической
прогрессии 1, 2, 3, . . Суайнсхед приходит к выводу,
что средняя интенсивность по всему промежутку будет
равна интенсивности на втором из этих промежутков.
Этот результат на современном языке может быть выра-
жен сходящимся бесконечным рядом

1 । 2 [ 3 । 4 [	_<->

т +	+	—	(!)

Так, в 40-х годах XIV в. был впервые просуммирован
бесконечный числовой ряд, отличный от простой убываю-
щей геометрической прогрессии.

Пожалуй, самым ярким представителем этой эпохи
был француз Николь Орем (Nicole Oresme), живший
в 1323-1382 гг.

Оригинальна, богата различными идеями и многогранна
работа Орема «О конфигурации качеств» (De configuratione
qualitatum) ([6], см. также [2, стр. 601]), написанная
до 1371 г. Несмотря на то, что этот трактат Орема в то
время не был напечатан, он получил широкое распростра-
нение в рукописной форме как среди его соотечественни-
ков, так и в других странах средневековой Европы.
Как раз в нем Орем и развивает указанные выше направ-
ления.

С точки зрения математики трактат Орема несет прежде
всего глубокий отпечаток идей функциональной зависи-
мости и ее геометрического изображения [7]. Постав-
ленные им задачи нередко приводят к суммированию
бесконечных рядов, с чем он с удивительной простотой и
успехом справляется.

В отличие от Суайнсхеда Орем широко и систематически
привлекает геометрические изображения, что придает
его теории и изложению большую строгость, привлека-
тельность и простоту понимания. Сказанное легко иллю-
стрируется рассмотрением задачи, которая приводит
хождению Оремом суммы бесконечного ряда (1). В гл.

«О мере и протяжении некоторых дифформностей в бес-

к на-

VIII

вечность» III части Орем рассуждает так. Пусть заданы
к°аДРатная площадь величиной в один фут с основанием
ГТ) и некоторая другая площадь, равная первой, с осно-
ванием АВ. Пусть далее линия CD делится до бесконеч-
ВпСти на непрерывно пропорциональные части в отноше-
в 2:1, т. е. CD делится на две равные
вторая из них делится опять на две
равные половины и т. д. до бесконечно-
сти. Таким образом, квадрат разделится

половины,



на бесконечную сумму прямоугольников
с равными высотами, а основания обра-
зуют бесконечный сходящийся ряд у +
ill

+ z+ -8+1б+--- Обозначим последова-
тельно эти прямоугольники буквами Е, F, G
и т. д. (рис. 2).

Далее возьмем первый прямоугольник
Е и поместим над квадратом АВ с краю
В, второй F — поместим над прямоуголь-
ником Е и т. д., как показано на рис. 2.
Далее, вообразим, что основание АВ раз-
делено таким же образом, что и CD. Тог-

да ясно, что на первой пропорциональной
части линии АВ находится площадь
высотой в 1 фут, на второй части —
в 2 фута, на третьей части — в 3 фута, на
четвертой — в 4 фута и т. д. до бесконеч-
ности. Но суммарная площадь составляет
2 фута, следовательно, вся площадь, на-
ходящаяся на линии АВ, по величине
есть учетверенная площадь, находящаяся

£ £

£	£	&	

с я

Рис. 2

на первой пропорциональной части.

Здесь мы видим, как геометрически, очень изящно и
Достаточно строго доказывает Орем суммируемость
к 2 Ряда (1).

В гл. X «О некоем другом примере и о дифформности
сложного целого, состоящего из униформных и уни-
формно-дифформных частей», Орем дает более сложный
Ример суммирования ряда

24 + 3-^+4.^ + 6.^ + 8.±+12.± + ... (2)

Задача формулируется следующим образом: «Пусть час
делится до бесконечности путем мысленной разметки
(per signacionem) пропорциональных частей в отношении
2:1. Пусть при этом качество 1-й части будет униформно
в каком-либо градусе, качество 2-й части — униформно-
дифформно, начиная с этого градуса до вдвое большего,
качество 3-й части униформно в этом двойном градусе,
качество 4-й части — униформно-дифформно, начиная

с этого двойного градуса до вдвое большего, и такое чере-
дование соблюдается в других частях наиболее составной
фигуры. Я утверждаю, стало быть, что качество целого
будет стоять в трехсполовинном отношении (tripla ses-
quialtera) в качестве его 1-й части. Иными словами, отно-
шение целого к этой 1-й части будет равно 7 : 2» [6,
стр. 712—713]. Задача изображается геометрически так,
как показано на рис. 3.

Рассматривая сначала униформные отрезки прямой,
Орем находит, что каждое следующее качество в 4 раза
меньше по экстенсивности и в 2 раза больше по интенсив-
ности, чем предыдущее, и по доказанному Оремом в гл. IV
получается, что вся совокупность частей униформности
ровно вдвое больше 1-й части, обозначаемой единицей,
и эта единица равнозначна всему числовому ряду этих
частей, за исключением первой. Аналогично Орем посту-
пает при подсчете униформно-дифформных частей, изо-
бражаемых наклонными отрезками. Качество 2-й части
униформно-дифформно и, согласно гл. VII, по величине

таково, каким было бы, будучи униформным в градусе
бедней точки, а из гл. VI следует, что этот градус средней
точки находится в отношении 3 : 2. Следовательно, ка-
чество 2-й части по величине таково, каким оно было бы,
если бы было униформно интенсивнее 1-й части в 1,5 раза.
Ло она имеет вдвое меньшую экстенсивность, чем 1-я.
Согласно гл. VI, качество 1-й части в 1х/3 раза больше,
чем 2-й, т. е. отношение между ними равно 4 : 3 и т. д.
Вся совокупность униформно-дифформных частей стоит
в отношении 4:3 ко всей совокупности униформных
частей. Если, например, 2-я часть этого качества равна 2,
то совокупность, образованная ею и другими униформ-
ными частями, равна 4, как было показано ранее. Сово-
купность, образованная всеми униформно-дифформными
частями, равна 3, как только что было показано. Следо-
вательно, суммарное качество равно 7. Итак, отношение
суммарного качества к 1-й своей части равно 7 : 2. Таким
образом, Орем доказал, что сумма бесконечного ряда (2)

I --- д _________________1_____1__I—J

г, ъ ъ 0

Рис. 4

равна 7/2. Оба метода нахождения сумм двух бесконечных
рядов являются чисто геометрическими. Однако Орем
пользуется не только этим методом. Алгебраический
метод определения суммы бесконечного ряда изложен
Оремом в другом математическом трактате «Questiones
super geometriam Euclidis» [8].

Став, в отличие от Аристотеля, в некотором смысле на
позитивную точку зрения, он предполагает, что делением
можно величину аппроксимировать с произвольной точ-
ностью.

Орем рассматривает вновь геометрическую прогрессию
со знаменателем 1/п. Пусть произвольная величина а
(например, отрезок АВ на рис. 4) разделена на бесконечно
много частей в произвольном отношении п. Удалим от
этой величины первую часть деления	)

и оставшаяся часть РГВ = а/п будет в п раз меньше, чем
Целое, затем .удалим вторую часть P1P2=-^-fl—и

оставшаяся часть Р2В опять в п раз будет меньше пре-
дыдущей и т. д., тогда сумма

равна величине а. Доказательство Орема основывается
на следующих предположениях:

а)	когда отношение а : Ь, большее, чем единица, растет
до бесконечности, то при неизменном а второй член про-
порции Ъ стремится к нулю;

б)	если к отношению а : Ь, большему единицы, при-
бавить равное, затем к сумме прибавить вновь равное
и т. д., до бесконечности, то отношение будет стремиться
к бесконечности;

в)	некоторая величина может по пропорциональным
частям в отношении 1/п как расти, так и убывать.

Исходя из этих предположений, Орем рассуждает сле-
дующим образом: остатки PJ3, PJB, P3Bt . . . и т. д. или
а/п, а/п1 2, а/п3. . . находятся в геометрическом отношении,
так как каждый последующий остаток получается из
предыдущего умножения на 1/п. Отношение между а и
каждым следующим остатком будет всегда в п раз больше
и поэтому, в силу предположения б), бесконечно; а оста-
ется всегда постоянным, следовательно, в силу предполо-
жения а), остаток стремится к нулю, откуда получается,
что вычитаемое и есть вся величина а.

Далее Орем ставит более тонкий вопрос: всегда ли бес-
конечный ряд, в котором члены убывают в отношении,
меньшем, чем единица, имеет конечную сумму, иначе
говоря, всякая ли геометрическая прогрессия со знаме-
нателем меньше единицы сходится? Без особых дока-
зательств Орем предлагает читателю лишь правило для
подсчета суммы геометрического рядах.

Здесь же Орем не только поставил аналогичный вопрос
для любых убывающих бесконечных рядов с положи-
тельными членами, но даже доказал расходимость гармо-

1 Это правило позже можно найти у А. Томаса, у Ф. Виета в работе
«Variorum de rebus mathematicis responsorum liber octavus»-
Tours, 1593; Opera, Leiden, 1646, p. 397—398 и у П. Ферма в со-

чинении «De aequationum localium transmutatione et emendatione
ad multimodam curvilineorum inter se vel rectilineis comparationein

cui annectitur proportionis geometricae in quadrandis infinitis
parabolis et hyperbolis usus». Opera varia, Toulouse, 1679, p. 44—57;
Oeuvres, I. Paris, 1891, p. 255—285.

ического ряда. Это было, несомненно, одним из самых
главных достижений Орема в области теории бесконеч-
тх рядов. До последнего времени считалось, что это
сделали П. Менголи (1650) и Я. Бернулли (1698) [9, 10],
во совсем недавно Г. Бусард установил приоритет Орема.
Чтобы показать, что не всякий убывающий бесконечный
пстп с положительными членами сходится (имеет конечную
рнм	1111

сумму), последний рассмотрел ряд у + у + у+у + • • • 11
рассуждал примерно следующим образом: разделим время
на бесконечно много пропорциональных частей п возьмем
величину в один фут. Если в последовательно идущие
пропорциональные части времени прибавлять к футу соот-
ветственно 1/2, 1/3, х/4 Фута и т. д., то сумма будет бес-
конечной. Для доказательства Орем образует бесконечно
много групп членов, суммы которых, как легко убедиться, •

1 1

больше, чем г/2. Он берет сумму у+у, которая больше,
О Ч

1111

чем 72; y + y+ у+-8"> которая больше, чем т/2, и т. д. до
бесконечности. Отсюда он заключает, что геометрический
ряд имеет своей суммой бесконечность. Таким образом, уже
за 300 лет до Менголи в математике существовало дока-
зательство расходимости гармонического ряда.

Относительно использования бесконечных рядов сле-
дует сказать, что все позднейшие авторы целиком освоили
идеи Орема и, как правило, их знания о бесконечных ря-
дах не превосходят знаний самого Орема. И хранящаяся
в Эрфурте рукопись неизвестного автора «Utrum omnis
qualitas in infinitum divisibilis existens in subiecto divi-
sibili denominet ipsum infinite tale», и комментарий
Б. Торни к: Heytesburys «De tribus praedicamentis»
(конец XV в.) и «Quaestiones in libros phisicorum Aristote-
lis» Иоганна Дуллерта (Johanes Dullaert) (1506) и др. со-
держат задачи и бесконечные ряды, имевшиеся в том или
ином месте у Орема [8, 11].

Чтобы закончить европейское средневековье, обратим
особое внимание на работу Альваруса Томаса (Alvarus
•Thomas) от 1509 г. — «Книгу о трояком движении и
отношениях» (Liber de triplici motu proportionalibus
annexis. Parisii, 1509).

Бредневековые математики, рассматривая движение,
Придерживались древней аристотелевой классификации,

по которой существует три основных вида движения:
движение в пространстве, движение по количеству и дви-
жение по качеству. Именно эти три основных вида движе-
ния и имел в виду Томас, называя свою книгу.

Ни один историк математики до начала XX в. не обра-
щал внимания на эту замечательную работу с точки зре-
ния изучения бесконечных рядов. Впервые в 1913 г.
П. Дюгэм в своем известном сочинении [12] указал,
что в работах Орема и Томаса имеются суммирования
бесконечных рядов, более сложных, чем прогрессии.
Это замечание Дюгэма натолкнуло Г. Вилейтнера па
мысль изучить сочинения Томаса, ибо он считал, что та-
кие ряды впервые рассматривались только Яковом Бер-
нулли в самом конце XVII в. Столь неожиданные утверж-
дения Дюгэма побудили Вилейтнера обратиться к извест-
ному в то время историку математики Энестрёму с прось-.
бой сообщить что-либо о Томасе. Энестрём, со своей сто-
роны, обратился с просьбой к Вилейтнеру разыскать
в Мюнхене сочинение Томаса и проверить утверждение
Дюгэма. Оказалось, что в Мюнхенской библиотеке дей-
ствительно хранится экземпляр сочинения Томаса. Ана-
логичный экземпляр Г. Валентином был найден в Берлине
и подробно им описан [13] 2. Вилейтнер, получив экзем-
пляр сочинения Томаса, занялся его изучением и в 1914 г.
опубликовал по этому вопросу статью [14]. Уже первое
знакомство с сочинением Томаса приводит Вилейтнера
в восторг: «Когда я раскрыл некоторые места и немного
вчитался, я узнал, что указание Дюгэма не только пол-
ностью справедливо, но что мы имеем здесь системати-
ческое изложение применений бесконечных рядов» [14,
стр. 151].

Скорее всего Томас хорошо знал работы Орема, так как
некоторые привлеченные им задачи целиком принадле-
жали последнему. Однако сказать только это было бы не-
справедливо относительно Томаса, ибо задачи Орема
приводили к суммированию «комбинированной» прогрес-
сии, в то время как Томас решает вопросы, приводящие
к суммированию значительно более сложных рядов.

Не будем касаться задач, которые уже были решены
Оремом. Начнем с того момента, когда Томас переходит

2 Имеются еще.два экземпляра книги Томаса, хранящиеся в Нацио-
нальной библиотеке в Париже, которым пользовался, по-види-
мому, Дюгэм, и в библиотеке Британского музея в Лондоне.

изложению вопросов, непосредственно относящихся
к еме названия самой работы. Рассматривается движение
К которого тела вообще, а также специальные случаи
*е движения: простое, ускоренное, равномерно уско-
9Тдное и т. д., скорость движения и связанные с движением
2 зличные задачи. Все это приводит Томаса к суммиро-
Р яиЮ бесконечных рядов, более сложных, чем убываю-
щая геометрическая прогрессия. Заметим, что если по
работы и по поставленным задачам Томас следует
за Оремом, то он отвергает изящный геометрический
метод доказательства Орема и предпочитает чисто словес-
ные рассуждения, порой весьма многословные.

Первым и основополагающим примером, приводящим
к бесконечным рядам более сложного характера, а именно
к рядам вида

1 +	+ Зх5 + 4я3 +...,

где Томас всегда предполагает, что 0 < х <С 1, является
следующий: пусть некоторый временной промежуток раз-
делен на пропорциональные части в произвольном отно-
шении и в первом временном промежутке тело имеет
некоторую известную скорость, во втором временном
промежутке удвоенную скорость, в третьем — утроенную
и т. д., используя все целые числа по порядку; тогда
утверждается, что средняя скорость движения относится
к скорости в первом временном промежутке, как весь
временнбй промежуток относится к первому временному
промежутку. Позже он эту задачу расширяет: отрезок
пути, пройденный телом за все время движения, так-от-

носится к отрезку пути, пройденному за первый времен-
нбй промежуток, как квадрат всего времени к первому
временнбму промежутку.

Например, пусть данное отношение пропорционального
Деления есть 3/2, тогда отношение времен есть 3, скоростей
Такзке 3, путей — 9. Это следует из утверждения Томаса,
второе он привел ранее: отрезок пути, который проходит
Ло равномерно ускоренным движением за некоторое
Р Мя, равен отрезку пути, который проходит это тело
аю

же время, двигаясь равномерно со скоростью,

РАЙНОЙ

В я я°лУсУмме начальной и конечной скоростей.
Для СлУчае, если временнбй промежуток, взятый

Удобства за 1, разделен в отношении а (а > 1), то

8 Заказ № иг	ЦЗ

первый временной промежуток равен 1 — -i-. Если началь-
ная скорость равна и0, то средняя скорость будет равна
отношению р0:^1—которое одновременно представ-
ляет весь пройденный путь. Путь в первом временном
промежутке равен	—у)» отношение путей 1:^1—.Лу

Если воспользоваться далее обозначениями и буквами
самого Томаса, то задача сводится к суммированию ряда

Подсчитывая пройденный путь, Томас приходит к следую-
щему равенству:

где /2 = 1: Q1— —) . Далее Томас приводит множество
числовых примеров вплоть до а = 8.

Далее задача усложняется. Временное пространство
опять делится на пропорциональные части в отношении
а (а > 1). Пусть в каждом отдельном временном проме-
жутке скорости растут по геометрической прогрессии со
знаменателем а и пусть (а/д)=Л. Тогда, как утверж-
дает Томас, весь пройденный путь относится к пути пер-
вого временного промежутка как нечто разделенное на
пропорциональные части в отношении а к своей первой
части, или, при наших обозначениях, как 1:^1—
Во второй задаче скорость берется как убывающая по
геометрической прогрессии со знаменателем q (q <С 1) ПРИ
aq=h. Обе задачи приводят Томаса к суммированию ряда

1 -f- \х + W + W + . •.

при двух условиях 1<Х<1Дги X < 1. Для нас, ес-
тественно, данный ряд будет сходящимся, если выпол-
няется первое условие, именно |Хх| <С 1, для Томаса
это соответствует двум различным случаям.

В 9-м предложении Томас допускает, что скорость в
ных и нечетных временных промежутках растет или

вает по геометрической прогрессии, и при подсчете пр00
денного пути он приходит к суммированию рядов:

чет-
убы-

1 + я + Хж2 + рх3 + Х2ж4 4- р2#5 -j- . ..,

1 + X + X2 + X3 + Хж4 + р#5 + vx6 -}- ра:7 4- ...

В 10-м предложении Томас начинает с примера, который
можно записать следующим образом:

1 4.2. 1.1. 1. _1.1_ .

1	2	2*4	22 + 8	23 * ’ ' '

Здесь временные промежутки суть 1, х/2, 1/2з, 1/2з, . . .,
а отношения скоростей 1, 3/2, 5/4, 9/8 и т. д. Если коэф-
этого ряда представить в виде сумм, получим

Томас не ограничился только делением временного
промежутка в отношении 2, а привел ряд примеров с дру-
гими отношениями, и можно утверждать, что он рас-
смотрел семейство рядов вида

|х| < 1. Как же Томас находит сумму предпоследнего
ряда? Метод его крайне прост и эффективен. Он разбивает
его на две геометрические прогрессии:

1	+ т + ^+^з+--”

A 1д_1 1_l1 J--L

2	’ 2 + 4 * 22 + 8 ‘ 23 ' ' • •

и находит общую сумму, равную 7/3.

Тем же методом он легко суммирует ряды:

14_I.I4JI.I4_I9.! .

14-1.1 .11 _|_Ц1_|_

*^ 3 2	6 22	12 23 * * • • ’

которые также принадлежат указанному выше семейству,
находит, что их суммы равны соответственно 5/2 и 20/9.
засматривает Томас и более сложные примеры, когда
и х отличен от г/2, именно:

В 11-м предложении Томас решает задачу, приводя-
щую к рядам другого типа. Пусть основной промежуток
времени разделен по-прежнему на пропорциональные
части, но тело теперь движется так, что во втором времен-
ном промежутке его скорость в 3/2 раза больше, чем в нер-
вом, в третьем — в 4/3 раза больше, чем во втором, в чет-
вертом — в 5/4 раза больше, чем в третьем, и т. д. Таким
образом, для нахождения пройденного пути надо просум-
мировать ряд

л.З . 3 4 9 . 3 4 5 ч .

1 + 2«+Гза?+2ТТ^+-'

где 0 < х < 1. Томас не смог дать общего правила и
ограничился следующими двумя примерами:

Метод вычисления сумм этих рядов был указан выше:
разложение на два ряда, суммы которых известны ранее:

1+4а:+4а:2+4;ЕЗ+'5'а:4+ =

= l+ a: + a:1 2 + a?+...+ у я + у я2 + у гг’+у я4 + ...

Самое интересное, пожалуй, находится в последнем
12-м предложении. До сих пор все задачи, которые ставил
Томас, приводили к рядам, которые так или иначе могли
быть разложены на геометрические прогрессии, суммы
которых он умел подсчитывать. Здесь же он впервые
сталкивается с рядом, который может быть записан в виде

1 + \х + Х2я2 + Х3а^ + ...,

причем 1 < X, <Н-1 и, как говорит сам Томас, \ РаС'
положены по вполне определенному закону, но всегда
с одной стороны больше единицы, а с другой не превоС'
ходят соответственно членов последовательности нату-
рального ряда 2, 3, 4, 5, . . . В граничных случая
для X; затруднений для Томаса нет, но в остально
возникают трудности, которые он удивительно даль

вИдй° пытается преодолеть. Эти ряды он не может про-
суммировать, тогда он решает вопрос оценкой. Если
-=1 (i=l, 2, 3, . . .), то указанный ряд превращается
в* обычную убывающую геометрическую прогрессию,
если же \=i (i=l, 2, 3, 4, . . .), то ряд превращается
в известный ему уже ранее ряд

1 + х + 2а?2 + Зя3 + 4я4 + ...

Отсюда он заключает, что всегда сумма указанного ряда
будет заключена между суммами двух известных рядов,
именно

+ М + М2 + М3 +	<(t Jz)2-

Понятно, что он это делает не в общем виде, ибо у него
отсутствуют соответствующие средства выражения. Но те
примеры, которые он привел, со всей убедительностью
показывают, что он обладал указанной оценкой в общем
виде.

Так он рассмотрел ряды:

<+2(4)+4(т)’+4й)’+....	(3)



и доказал, что сумма первого ряда заключена между
2 и 4, второго — между 3 и 9.

Если здесь Томас ограничился относительно простыми
рядами, то следующие ряды и их оценки значительно
сложнее. Так без доказательства он приводит оценки
снизу и сверху для трех рядов:

Нетрудно заметить закономерность расположения ко-
эффициентов в последнем ряду: коэффициенты при не-

4 , 2

четных членах всегда имеют вид 1	, при четных —..

1+“> за исключением второго члена, который всегда
меньше двух. Возникает вопрос, почему Томас не смог
просуммировать ряды (3)—(7) и ограничился лишь оцен-
кой сверху и снизу. Ответ на этот вопрос довольно про-
стой. Дело в том, что уже суммирование рядов (3)—(4)
в общем виде приводит к логарифмической функции,
а именно, первый ряд суммируется к 24-1п 2, второй —
к З+ln 3, а ведь сами логарифмы были открыты лишь
в конце XVI в. Нужно только удивляться, что Томас
не спасовал перед этими рядами, не получив точных сумм,
дал оценку сверху и снизу. Конечно, то, что Томас впер-
вые приходит к ряду логарифмической функции, дело
чисто случайное. Причину невозможности такого сумми-
рования Томас не видит в самом предмете и относит это
за счет ограниченности человеческого разума, хотя он
одновременно совершенно правильно заметил, что эта
сумма бесконечного ряда, представляющая пройденный
телом путь, есть иррациональная. Вышесказанное ясно
и однозначно показывает, насколько большой шаг в об-
ласти развития бесконечных рядов был сделан в европей-
ском средневековье, прежде чем все эти представления
получили дальнейшее развитие в работах Ньютона и
Лейбница.

В период, непосредственно предшествующий великим
открытиям Ньютона и Лейбница, еще более значительные
и даже поразительные результаты в области бесконечных
рядов получили математики Индии. Удивительно, что
этот факт, установленный почти 150 лет назад, долгое
время оставался вне поля зрения историков науки, даже
после того, как английский санскритолог Чарлз Уиш,
работавший долгое время в Индии, в 1834 г. опубликовал
в печати сообщение [15] о найденных и частично изучен-
ных им рукописях южноиндийских математиков по тео-
рии рядов; на них не обращали внимания.

Пожалуй, только профессор Харьковского универ-
ситета В. И. Лапшин [16], напав случайно на работу
Уиша, оценил ее важность и опубликовал ее в русском
переводе [17]. Однако и эта публикация осталась неза-

меченной. И лишь благодаря трудам индийских истори-
кОв математики середины нашего века стало ясно, что
распространенное мнение, будто после XII в. индийскими
математиками не было создано ничего нового и оригиналь-
ного в математике, совершенно не соответствует действи-
тельности.

' По вопросам суммирования конечных числовых рядов
мы сошлемся на работу Сингха [18], из которой читатель
может почерпнуть много интересных сведений, и оста-
новимся лишь на бесконечных рядах.

К началу XV в. в Южной Индии, где процветало могу-
щественное государство Виджайянагар, были получены
результаты, которые и по сей день удивляют историков
науки своей оригинальностью, неожиданностью и, если
можно так сказать, своей «несвоевременностью».

Потребность астрономии в более точном вычислении

числа те привела индусов к разложению тригонометриче-
ских функций в бесконечные ряды, а крайне медленная

их сходимость натолкнула на мысль совершить такие
тождественные преобразования первоначальных рядов,
которые привели бы к более быстро сходящимся рядам. Мы
будем основываться на выдержках, содержащихся в четырех
работах индийских историков математики Раджагопала,
Венкатарамана, Ведамурти-Айяра и Сингха [19—21].
На русском языке также имеется ряд работ, освещающих
те или иные стороны истории теории разложений в бес-
конечные ряды у индусов [16; 22; 3, стр. 149—151,
160—167].

Бесконечные ряды имеются в следующих четырех руко-
писях, на которые указал Уиш: «Тантрасанграха» («На-
учный справочник»), «Каранападдхати» («Техника дей-
ствий»), «Садратанамала» («Нить светящихся жемчужин»)
и «Юкти-бхаша» («Объяснительный комментарий»). Все
трактаты, за исключением последнего, по обычаю того
времени содержат лишь формулировки утверждений и
правила, по которым следует действовать, чтобы полу-
Чи?ь тот или иной результат.

и Естественно, что по ним мы не можем судить о методах
способах получения тех или других результатов. Однако
сложение в некоторой степени спасает последний трак-
вы ’ В КотоР°м имеется достаточно данных для получения
6XaOflOB °$ эт°м« Крайне сомнительно, что авторы «Юкти-
Ша» придумали что-то новое, ибо сравнение рукописей

«Юк*ги-бхаша» и «Тантрасанграха» показывает, что первая
представляет комментарии ко второй.

Так как первые трактаты довольно сходны по своему
содержанию, то мы для выяснения полученных там резуль-
татов ограничимся рассмотрением «Тантрасанграха».

Не останавливаясь подробно, мы вкратце укажем,
что индусы начала XV в. получили один из основных
своих результатов: разложение в степенной ряд arc tgx
по степеням х и его частные случаи для те/4 и те/6. В Ев-
ропе этот ряд был получен много позже Грегори (1671)
и Лейбницем (1673). Кроме того, математики Индии
умели разлагать тригонометрические функции sin х
и cos х в степенной ряд по х. Ими были получены многие
числовые бесконечные ряды, ставшие известными в Ев-
ропе значительно позже, и изобретены общие правила
преобразования рядов, позволявшие получить из данного
ряда другие бесконечные ряды, сходимость которых зна-
чительно быстрее, чем у исходного. Пользуясь этими
методами, они смогли получить значение те с точностью
до семнадцатого знака после запятой. Были получены
аппроксимирующие формулы для те с корректирующими
членами нескольких видов, которые значительно улуч-
шили точность вычисления те.

Нилаканта, автор «Тантрасанграха», был убежден,
что длина окружности не может быть рационально выра-
жена частями диаметра. Никакая комбинация 'четырех
арифметических действий, видимо, не приводила Нила-
канту к получению точного значения для те. Это привело
его к заключению, что «нельзя измерить то [диаметр]
и другое [окружность] одной и той же единицей. Даже
в результате длительных вычислений можно только
сделать степень несоизмеримости очень малой, абсолют-
ная же соизмеримость никогда не будет достигнута» [23].
Какое ясное представление о несоизмеримости и возмоя^
ности неограниченных аппроксимаций! Но, с другой
стороны, именно это и привело его к выделению бесконеч-
ных рядов.

Рассмотрим подробнее, каким образом формулируются
те результаты и правила, которые приводят к бесконеч-
ным рядам, в частности, к главному результату — ряДУ
для арктангенса, который мы далее будем называть
рядом Грегори.

В «Тантрасанграха» читаем:

«... Методом, установленным выше, для вычисления
окружности может быть найдена дуга, соответствующая
панной величине синуса. Умножить данную величину
(ista) синуса (jya) на радиус и разделить на косинус
(kotijya). Таким образом, найденная величина есть первое
количество. Затем, действуя вновь с квадратом данного
синуса как множителем и квадратом косинуса как дели-
телем, найти из первого количества другие количества.
Раздели соответственно последовательные количества на
нечетные числа 1, 3, 5, . . . Теперь отними четного порядка
количества от нечетных количеств. То, что останется,
является требуемой дугой» [24].

Если воспользоваться современной символикой, то
легко перевести это правило в следующий бесконечный

_____ г sin а г sin3 а г sin5 а_г sin7 а ,	,qx
Га COS а 3 cos3 а * 5 COS5 а 7 cos7 а ' ’ * ’ ’	' '

где г — радиус окружности и а — центральный угол,
соответствующий данной дуге.

Трудно сказать, понимал ли автор, что данный ряд
сходится при условии, если sin а cos а, т. е. О <1 а

к/4, и расходится при а > ^/4. Но из дальнейшего ви-
дно, что автор «Тантрасанграха» рассматривает ряд, кото-
рый явно сходится при а > я/4. Он берет вместо функции
sin а другую, со сдвинутым аргументом sin (л/2—а)
и согласно только что приведенному правилу получает

(9)

или

гк__	__ Г COS а_ г cos3 а . г СОЗ5 а

2 Га sin а 3 • sin3а"*"5 • sin5а *’’’
который сходится уже при а < ^/4. Далее автор заме-
чает, «что касается дуги и ее дополнения, то возьми синус

меньше, чем данный (ista), затем, совершив повторно опе-
рации [описанные], найдешь аналогичный результат» [24].

Оба полученных ряда можно найти и в других более
поздних работах индийских математиков. Все они дали
точное выражение дуги окружности при помощи бес-
конечного ряда в одинаковой терминологии и формули-
ровках, что указывает скорее на их преемственность,
чем на их независимость.

Если в ранних работах индийских математиков отсут-
ствуют какие-либо указания на методы получения ука-
занных рядов, то в «Юкти-бхаша» они имеются. Один

Рис. 5

из них заключается в следующем: «изобрази окружность,
касающуюся четырех сторон квадрата в средних точках
его сторон. Прямые линии, соединяющие средние точки
противоположных сторон квадрата, должны пройти через
центр О круга и образовать главные направления: восток —
запад, юг — север. Расстояние между точкой касания
«восток» стороны квадрата и окружности А и угловой
точкой квадрата юг — восток Т равняется половине
диаметра квадрата. На этой половине стороны квадрата
возьми большое число точек Рг (г=1, 2, 3, . . ., п—1)
так, чтобы разделить ее на то же число khandams или
частей. Прямые ОРГ, соединяющие эти точки с центром
окружности, суть karnams [гипотенузы] некоторых тре-
угольников, имеющих О А своим общим koti [косинус]»
[25]. После установления этой диаграммы (рис. 5) для
дальнейших выводов в «Юкти-бхаша» даются три правила
подобия треугольников, которые используются для уста-
новления длины х/8 окружности «восток» — «юго-восток».

Подробности изложения получения суммы довольно гро-
моздки; отметим лишь, что для окончательного результата
математики Индии, вероятно, воспользовались общим
равенством

Я—1

lim —V rp = —г,
nP+1 Xj p +1 ’
2=0

справедливость которого ранее была известна в Северной
Индии при р=1, 2, 3, 4. В конечном итоге окончательные
результаты индусов могут быть записаны в виде

a==arctgf = j-L+L_ L-+...



2т — 1

в частности,

Имея такой ряд, индийские математики могли по край-
ней мере теоретически и прилагая большие усилия
вычислить число тй с любой точностью. Однако они же впер-
вые заметили, что для получения заранее заданной точ-
ности приходится прибегать к подсчету огромного коли-
чества членов ряда. Они уже тогда поняли, что этот ряд,
говоря современным языком, сходится крайне медленно
и поэтому для практического применения не выгоден.
Поэтому они искали так называемый корректирующий
член, который прибавляется к частной сумме медленно
сходящегося ряда и значительно улучшает точность
вычислений.

Скажем, в «Тантрасанграха» находим следующую фор-
мулу [23, стр. 80]:

I (-1Г1 , (~1)яп

4	3	5	2n —1 ' 4«2-f-l '

У того же Нилаканты имеются еще два правила, даю-
щие корректирующие члены в следующем виде:

(-1)” „ (-1)” (пз+1)
4п	п (4п2._|_ 5)

Таким образом, л/4 выражается при помощи частной
суммы ряда Грегори Sn и корректирующего члена

+ (i = l, 2, 3),

где

A'(l)  (—*)”	JQ{2)   (—l)”n	/£43)   (—1)" (n2-|- 1)

» ~~ 4n »	« ~4w2 4-l *	»	n(4n2-|-5) ’

Нетрудно заметить, что

1^1}1>1^3)1>|^2)1-

Неизвестно, каким образом индийские математики полу-
чили эти корректирующие члены, из каких соображений
исходили для их построения. Удивительно то, что эти
поправки настолько удачно подобраны, что их применение
даже для небольшого индекса дает изумительную точность.

Историки математики делали не одну попытку рекон-
струкции корректирующих членов. Ц. Т. Раджагапал
и К. Мукунда-Марар [26] и опять тот же Ц. Т. Раджа-
гапал совместно с Т. В. Ведамутри-Айяром [27], а также
И. Э. Гофман [28], пользуясь современным математиче-
ским аппаратом, пытались объяснить структуру коррек-
тирующих членов и восстановить те соображения, из ко-
торых исходили индусы при их построении. Из всех этих
попыток самой простой, наиболее вероятной и правдо-
подобной является реконструкция И. Э. Гофмана, ибо
она соответствует возможностям индийских математиков
XV в., владевших разложениями в цепные дроби. Правда,
реконструкция Гофмана недостаточна, ибо объяснение
третьего корректирующего члена опирается на формальный
подход к распознанию в нем двух первых корректирующих
членов, объединенных алгебраическими операциями.
С другой стороны, реконструкцию Гофмана можно при-
нять лишь в качестве одного из возможных путей, по кото-
рому индийские математики получили корректирующие
члены, и, конечно, нельзя целиком принять как воспро-
изведение общей идеи, что

S-S„ = K^ (i = l, 2, 3).

И, наконец, реконструкция Гофмана имеет существен-
ный недостаток; при некоторых п подходящие дроби
по своей форме не соответствуют корректирующим членам.
Индийские же историки математики, на наш взгляд,
предложили слишком сложные реконструкции, употреб-

ляя идеи современной теории функций, которыми вряд ли
могли пользоваться средневековые индийские математики.

Индийские математики не ограничились указанным
рядом Грегори и тремя корректирующими членами для
рационального приближения к числу тс. Они поняли
также, что этот медленно сходящийся ряд можно пре-
образовать к другим более быстро сходящимся рядам.
В том же «Танстрасанграха» мы находим правила для
нахождения длины окружности, по которым, например,
можно записать следующие ряды:

с 3 ,	1	1,1	1	,

4^4 ‘"33 — 3	53 — 5 "Г 73 — 7	93 — 9

или

с 3 ,	1	1,1	1	!

4 — 4 * 2 • 3 • 4	4*5*6‘6«7«8	8.9 • 10

(10)

(109

и далее

______!___I__1___1__1___I______|_	,	(И)
8	22 — 1 • 62 — 1 * 102 — 1 “ 142 — 1 ’	’	v f

или

_£.==_L--L-1_L—1_____L__1__I____1__L	(11')

8	1 • 3^5 • 7^9 • 11^13 • 15^17 • 19	'

Аналогично

+	122 — 1 + 162 — 1 +•*•)»	(12)

или

1--£.=—___I_— 4_1__I___1_L-

2	8	3-5^7.9^11.13^15.17^

(12')

где с — длина окружности [17, стр. 537—539].

Непосредственно встает вопрос, каким образом мате-
матики Керала получили эти ряды? Один из ответов оче-
виден, ибо само преобразование рядов также не представ-
ляет никаких трудностей, и индийские математики эти
преобразования не могли не заметить. Это преобразование
состоит в простой группировке и объединении членов
ряда. Например, в ряде Грегори, сгруппировав попарно
члены, соединенные знаком минус, или сгруппировав
попарно члены, начиная со второго, получим соответ-
ственно ряды (1Г) и (12').

Однако у индусов имеются ряды, получение которых
сопряжено с более трудными преобразованиями ряда
Грегори.

Встречается ряд

с __	1_______J___।	1_______1___I

16	15 4-4-1	35 4-4-3“ 55 4- 4 - 5	75 4-4 - 7 “ •••

В «Каранападдхати» мы находим следующее правило:
«Приложи к диаметру, трижды взятому, сумму членов,
происшедших от разделения 6 раз взятого диаметра
на квадрат дважды взятого квадрата без единицы, четных
чисел 2, 4, 6, 8, 10, . . ., вычтя из каждого квадрата квад-
рат соответствующего четного числа. Сумма будет окруж-
ность круга» [17, стр. 541—542].

Это правило выражается следующим бесконечным рядом:

_ Qz7 ।	6d	6d 1

С _ oct 4- 12.22 - 1)2 — 22 (2.42 —1)2 —42 *

+ (2.62— 1)2 — 62 ““•••»	(^)

при d=l имеем

с — 3_	1.1.1.

6	1 - 3 • 3 • 5 *“3 • 5 • 7 - 9 ' 5 • 7 - И • 13 '

+ 7 • 9 - 15 - 17 + 9 - И - 19 -21 + ’ ’ *

Здесь же автор предлагает не только преобразование
медленно сходящегося ряда в более быстрый, но и дает
корректирующий член двух видов.

Мы читаем:

«Умножь диаметр на 4 и раздели на произведение по
порядку на квадрат чисел 2, 4, 6, 8, . . ., вычтя единицу
из каждого квадрата; частные числа попеременно прикла-
дывай и вычитай из дважды взятого диаметра; поправь
полученную сумму, взяв ближайшее нечетное число,
меньшее последнего четного в квадрате, потом возьми
его в квадрат, приложи к этому 2 и удвой сумму и на это
таким образом полученное число раздели четырежды
взятый диаметр; частное придай или отними, как пона-
добится, от суммы, выше полученной, и выйдет весьма
точная окружность» [17, стр. 538—539].

Этот ряд будет иметь вид
, 4d 4d r 4d 4d ,
C 2d -f- 22 _ i "“42 _ t + 62 _ i —82 __ i ।	* * *

••• ± 2 [(p-1)24-2] ’	(15)

где с — окружность, d — диаметр, p — последнее четное
число.

Если положить d=l, то будем иметь

«-2______1_______1	,	. (—I)”-1 ,

~"4~ ~ 22 - 1	42 — 1 ' • • •	(2п)2 — 1 ‘

J_____Ы1)”----- (15')

^2l(2n —1)2 4-21*	' >

Кроме того, здесь же дается и другой корректирующий
член вида

2(2п + 1)2-

Исследования индийских математиков в области бес-
конечных рядов не ограничиваются рядом Грегори и полу-
чающихся из него более быстро сходящихся рядов. У них
мы находим разложения тригонометрических функций
sin ср и cos ср в ряд Маклорена по степеням ср.

В тех же трактатах «Тантрасанграха», «Каранападдхати»,
«Сандратанамала» и «Юкти-бхаша» содержатся предло-
жения, вернее правила, следуя которым можно получить
разложения функций sin ср и cos ср в бесконечные ряды
Маклорена по степеням угла. В шестой главе «Карана-
паддхати» мы читаем:

«Дели дугу окружности на 2, 3 и т. д. радиуса, умножь
затем дугу на первый результат, полученное произведение
на второй, это произведение опять на третий и т. д. В таким
образом найденной последовательности подпиши четные
количества под дугой, а нечетные количества под радиу-
сом и вычти их попеременно. То, что получится, и будет
соответственно бгуйя и коти дуги синусом и косинусом»
124, стр. 627].

Если а — дуга окружности радиуса г, стягивающая
Центральный угол 9, то, следуя вышеуказанному правилу,
получим последовательность величин

а	а	а а

2г1 Зг * 4г * 5г *

Далее, умножая по правилу, получаем другую последова-
тельность:

g3___	___-____ (17)

2г» 2 ’ 3 • г2’ 2 • 3 • 4г3 ’ * ”	v }

Записав нечетные члены (17), начиная с дуги,
имеем последовательность
а3 д5 а7

а’ ТГ72'» ТТг*"» ТТгв" * • • • ’

мы

(18)

а записав четные члены, начиная с радиуса, получаем
последовательность

а2 а4 а6

г’ ТГГ ’ ТГгз" > ’ёТТг’ ’ • • •

(19)

Вычитая попеременно в (18) члены последовательности,
имеем

бгуйя a = r sin 6 =а - 3^5-+-^-- ...

или

• А А «3 А5
sln0=0__+__

02"+1
(2^4-1)!

Аналогично из (19) находим

IZ	А	а2 . а4 а6 |

Komu а = r cos 0 = г-бТ7г+ • 

ИЛИ

cos^1 -£+£-£+ •• •+(-!)’’ (Йт+ •• •

Кроме того, имеются еще два правила [23, стр. 80],
замечательные по двум соображениям. Во-первых, они
показывают, что когда углы малы, то при вычислении
синуса можно с достаточной точностью ограничиваться
двумя первыми членами ряда. С другой стороны, они
говорят о том, что индийские математики понимали
смысл все более и более точных аппроксимаций.

Первое правило может быть записано в виде

о • а 1 «3
2?sine«a-T —

а второе

В sin 6 + 4- sin30.
о

Последняя формула наводит на мысль, что индийские
математики, возможно, умели разлагать arc sin х в сте-
пенной ряд, ибо правые члены последнего приближенного
равенства являются не чем иным, как первыми двумя
членами разложения функции arc sin х.

Как же, однако, индийские математики пришли к разло-
жениям синуса и косинуса? На этот счет имеется доста-
точно сведений, содержащихся в «Юкти-бхаша» и дающих
возможность проследить этот путь. Сразу отметим, что
этот путь до некоторой степени подобен тому, по которому
шли индийские математики при получении ряда для
aretgz, и состоит из трех главных моментов: 1) выража-
ется элементарная часть искомой величины, исходя из
геометрических соображений, 2) составляется сумма эле-
ментарных частей и 3) последняя выражается в виде
ряда (подробности см. в [22, стр. 325]).

Заканчивая, следует заметить, что исследование работ
индийских математиков по бесконечным рядам нельзя
считать законченным. Ясно, что индийские математики
не могли получить упомянутые правила без большой
подготовительной работы. Эти результаты настолько спра-
ведливы, а многие из них столь точны, что наводят на
мысль, что где-то должен был сохраниться тот «эксперимен-
тальный» материал, на основе которого индусы пришли
к своим обобщениям. До сих пор остается загадкой и ве-
дется дискуссия по поводу времени и места написания
той или иной рукописи. Очевидно, лишь одно, что в Индии
мы находим целый ряд разработанных математических
приемов, которые характерны для дифференциального
и интегрального исчислений и учения о бесконечных
рядах, которые появились позже в Европе. Однако име-
ется и существенная разница, заключающаяся в том,
что в Индии в отличие от Европы не было столь благопри-
ятной почвы, чтобы из этих первых ростков выросло ог-
ромное ветвистое дерево современного математического
анализа. Индусы ограничились единственной локальной
задачей — вычислением числа те, а этого оказалось не-
достаточно, их идеи не получили дальнейшего развития
и распространения.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Архимед. Сочинения. Перев. И. Н. Веселовского. М., Физмат-
гиз, 1962, стр. 93.

2.	В. П. Зубов. Трактат Николая Орема «О конфигурации ка-
честв». — В сб.: Историко-математические исследования, вып. II.
1958, стр. 616.

3.	Л. 77. Юшкевич. История математики в средние века. М., Физ-
матгиз, 1961, стр. 396.

4.	С. В. Boyer. The History of the Calculus and its Conceptual Deve-
lopment. N. Y., 1949, p. 78.

5.	M. Clagett. The Science of Mechanics in the Middle Ages. Madison,
1959, p. 380.

6.	Николай Орем. Трактат о конфигурации качеств. Перев. и прим.
В. П. Зубова. — В сб. Историко-математические исследования,
вып. II, стр. 709 и далее.

7.	Н. Wieleitner. Uber den Funktionsbegriff und die graphische
Darstellung bei Oresme. — Bibi. Math., 1913—1914, (3), 14,
193—243.

8.	H. Busard. Nicole Oresme. Questipnes super geometriam Euclidis.
Leiden, 1961, p. 1—6, 71—77; Uber unendliche Reihen im Mit-
telalter. — Nieuw tijdschr. Wiskunde, 1963—1964, 51, N 3,
p. 132-139.

9.	G. Enestrom. Zur Geschichte der unendlichen Reihen um die Mitte
des siebzehnten Jahrhunderts. — Bibi. Math., 1911—1912(3),
12, 135-148.

10.	J. E. Hofmann. Die Entwicklungsgeschichte der Leibnizschen
Mathematik wahrend des Aufenthaltes in Paris (1672—1676).
Munchen, 1949, S. 184; Uber Jacob Bernoullis Beitrage zur Infi-
nitisimalmathematik. Geneve, 1956, S. 64—65, Anm. 89, 91.

11.	A. Maier. An Grenze von Scholastik und Naturwissenschaft.
Rom, 1952, S. 364, 381.

12.	P. Duhem. Etudes sur Leonard de Vinci, v. III. Paris, 1913,
p. 393, 540-541.

13.	G. Valentin. Eine Ausgabe der «Liber de triplici motu» des Alvarus
Thomas. - Bibi. Math., 1914, (3), 14, 249-252.

14.	H. Wieleitner. Zur Geschichte der unendlichen Reihen im christ-
lichen Mittelalter. — Bibi. Math., 1914, (3), 14, 150—168;
A. P. Juschkewitsch. Geschichte der Mathematik imMittelalter.
Leipzig, 1964, S. 411—412.

15.	С. M. Whish. On the Hindu quadrature of the circle and the infi-
nite series. — Trans. Roy. Asiatic Soc. Great Britain and Ire-
land, III. London, 1834.

16.	Э. Я. Бахмутская. Бесконечные ряды в работах математиков
Южной Индии в XV—XVIII вв. — В сб.: Из истории науки
и техники в странах Востока, вып. 2, 1961, стр. 175.

17.	В. И. Лапшин. О квадратуре круга у индийцев и бесконечных
рядах, которыми выражается отношение окружности к диа-
метру. — Журн. Мин-ва народи, просвещ., ч. 20. СПб., 1838,
стр. 528—551.

18.	А. TV. Singh. On the use of series in Hindu mathematics. — Osiris,
1936, 1, 606-624.

19.	С. T. Rajagopal. A neglected chapter of Hindu mathematics. —
Scripta Math., 1949, 15, 201.

20.	С. Т. Rajagopal, Т. V. Vedamurthi Aiyar. On the Hindu proof
of Gregory’s series. — Scripta Math., 1951, 17, 65.

21.	С. T. Rajagopal, T. V. Vedamurthi Aiyar. A Hindu approximation
to Pi. — Scripta Math., 1952, 18, 25.

22.	Э. Я. Бахмутская. Степенные ряды для sin 6 и cos 6 в работах
индийских математиков XV—XVIII вв. — В сб.: Историко-
математические исследования, вып. XIII. М., Физматгиз, 1960,
стр. 325.

23.	К. Balagangadharan. Appendix. — J. Bombay Branch Roy.
Asiatic Soc., 1944, 20, 81.

24.	A. N. Singh. On the use of series ip Hindu mathematics. — Osiris,
1936, 1, 625.

25.	С. T. Rajagopal, T. V. Vedamurthi Aiyar. Hindu proof of Gre-
gory’s series. — Scripta Math., 1951, 17, 68.

26.	K. Mukunda-Marar, С. T. Rajagopal. On the Hindu quadrature
of the circle. — J. Bombay Branch Roy. Asiatic Soc., 1944,
20; С. T. Rajagopal. A neglected chapter of Hindu mathematics. —
Scripta Math., 1952, 18, 201.

27.	С. T. Rajagopal, T. V. Vedamurthi Aiyar. A Hindu approximation
to Pi. — Scripta. Math., 1952, 18, 25.

28.	J. £. Hofmann. Uber eine altindische Berechnung von it und ihre
allgemaine Bedeutung. — Math.-Phys. Semesterberichte, 1953,
3, 193.

Л. КАРНО И КОНКУРС
БЕРЛИНСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК 1786 г.
НА ТЕМУ О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
БЕСКОНЕЧНОГО

А. П. Юшкевич

Среди многочисленных сочинений по основаниям ана-
лиза бесконечно малых, появившихся в XVIII в., почет-
ное место занимают «Размышления о метафизике исчис-
ления бесконечно малых» Л. Карно. Уже первое их изда-
ние 1797 г. привлекло внимание не только во Франции,
но и вскоре появилось в португальском (1798), немецком
(1800), английском (1800—1801), итальянском (1803) и
русском (1823) переводах. Переработанный и дополненный
текст «Размышлений», выпущенный Карно в 1813 г.,
несколько раз издавался во Франции в течение более
полутора столетий, вплоть до 1970 г., его английский
перевод вышел в 1832 г. Столь длительный успех книги,
центральная идея которой — так называемая теория ком-
пенсации ошибок — не удовлетворила ни большинство
современников автора, ни последующие поколения, не был
случайным. Карно в весьма доступном изложении зна-
комил с теми логическими и психологическими трудно-
стями, которые были присущи анализу бесконечно малых
в его время и которые новички иногда ощущают и в наши
дни. Он произвел интересное и тонкое сопоставление
принципов всех известных в XVII—XVIII вв. инфините-
зимальных приемов и предложил ясную, рациональную
трактовку некоторых основных понятий и процедур,
уже близкую к той, какая стала стандартной после ре-
формы анализа, проведенной в первую очередь Больцано,
Коши и Гауссом. Наконец, его книга была написана увле-
кательно, она и до сих пор читается с интересом. Я вспо-
минаю, что профессор Л. К. Лахтин, лекции которого
по введению в анализ я слушал в Московском универси-
тете осенью 1923 г., рекомендовал нам «Размышления»
для расширения кругозора и советовал перевести ее на
русский язык (перевод 1823 г., ставший библиографичес-
кой редкостью, не был, вероятно, Л. К. Лахтину известен).
Впоследствии новый русский перевод, выполненный по





тексту 1813 г., был дважды издан в серии «Классикиесте-
ствознания» в 1933 и 1936 гг., и мне довелось принять
участие в его подготовке х.

В предисловии к первому изданию своего труда 1797 г.
Карно писал: «Вот уже несколько лет, как автор этих
размышлений составил их в форме, в какой предлагает
их ныне» 2. Эти слова дали повод итальянскому историку
математики Дж. Виванти высказать в очерке «Исчисление
бесконечно малых», написанном для IV тома «Лекций»
М. Кантора, предположение, что мы обязаны «Размышле-
ниями» Карно объявленному Берлинской академией наук
на 1786 г. конкурсу по вопросу о математической теории
бесконечного3. Теперь гипотеза Виванти, высказанная
в 1908 г., не только подтвердилась, но найдена и опубли-
кована рукопись, посланная Карно на берлинский кон-
курс 4. Это произошло следующим образом. В неопубли-
кованной переписке Карно с первым переводчиком «Раз-
мышлений» на немецкий язык И. К. Ф. Гауффом проф.
Ч. Гиллиспи несколько лет назад обнаружил упоминание
самого Карно, что его сочинение возникло из опыта,
представленного им на упомянутый конкурс. По просьбе
проф. Гиллиспи я, будучи летом 1968 г. в Германской
Демократической Республике, познакомился в Централь-
ном архиве Германской академии наук в Берлине со всеми
документами, касающимися конкурса 1786 г., и обнару-
жил рукопись, которая несомненно принадлежала Карно:
об этом свидетельствовали как ее содержание, так и по-

черк. К рукописи приложено письмо, адресованное авто-
ром непременному секретарю Берлинской академии наук
Ж. А. С. Формею и посланное из Арраса, где тогда жил
Карно. Письмо, датированное 8 сентября 1785 г., естес-
твенно, без подписи: все конкурсные сочинения должны
были оставаться до присуждения премии анонимными
и представлялись под девизом вместе с запечатанным

Г1 Лазарь Карно. Размышления о метафизике исчисления бесконечно
малых. Перев. Н. М. Соловьева. Под ред. и с прилож. статьи
А. П. Юшкевича «Идеи обоснования математического анализа

2

3

в XVIII веке». Изд. 2. М.-Л., 1936.

Oeuvres mathematiques du citoyen Carnot. Basle, 1797, p. 128.

M. Cantor. Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik, Bd. IV.
Leipzig, 1908, S. 657.

Таким образом, предположение И. Э. Гофмана, что Карно не
участвовал в конкурсе 1786 г., теряет силу. См. J. Е. Hoffmann.
Geschichte der Mathematik, t. III. Berlin, 1957, S. 68.

конвертом, в котором имелась записка, устанавливающая
связь между девизом и автором 5 б.

Конкурсное сочинение Карно оказалось более инте-
ресным, чем можно было бы ожидать, судя по приведен-
ному заявлению самого Карно, что он печатает «Размыш-
ления» в той форме, в какой составил их несколькими
годами ранее. Мы не знаем, когда автор «Размышлений»
подверг переработке рукопись 1785 г., но издание 1797 г.
заметно отличается от этой рукописи и формой, и содер-
жанием, хотя в обоих случаях основной является теория
компенсации ошибок и значительные куски рукописи
вошли без переделок в печатный текст. Отличия эти
заслуживают анализа, которому и посвящена настоящая
статья 6. Но прежде всего следует познакомиться с неко-
торыми обстоятельствами берлинского конкурса 1786 г.

Довольно распространено мнение, будто в XVIII в.
обращалось мало внимания на основания анализа бес-
конечно малых, что это был, выражаясь словами Ф. Клейна,
период творческий, а не критический. Мнение это оши-
бочно. Напротив, математики того времени, включая
крупнейших из них, видели многие трудности, связанные
с понятиями бесконечно малого и бесконечно большого
количества и с операциями над ними, и пытались эти
трудные вопросы разрешить. Правда, инфинитезимальные
процедуры нередко применялись тогда неосторожно
с точки зрения требований, выработанных позднее, но
это объяснялось не беззаботностью исследователей, а,
в первую очередь, сравнительной безопасностью таких
процедур в пределах изучавшегося множества функций,
по большей части аналитических. Вместе с тем аналисты
XVIII в. были далеки от того безмятежного единодушия
в вопросах «метафизики исчисления бесконечно малых»,

5 Я весьма благодарен руководству Германской академии наук
в Берлине (теперь — Академия наук ГДР) и директору ее Архива
д-ру Кристе Кирстен, разрешившим публикацию рукописи
Л. Карно, а также д-ру К.-Р. Бирману (Берлин, ГДР), ока-
завшему мне помощь различными ценными справками.

6 Эта статья представляет собой несколько переработанный текст
моей работы, помещенной в книге: Lazare Carnot Savant by
Ch. C. Gillispie. A monograph treating Carnot’s scientific work,
with facsimile reproduction of his unpublished writings on mecha-
nics and on the calculus, and an essay concerning the latter by
A. P. Youschkevitch. Princeton, 1971, p. 149—168. В этой же книге
я опубликовал факсимиле письма Карно Формею и конкурсного
сочинения. Карно (стр. 171—267).

какое наступило, казалось, надолго, в середине прошлого
столетия и было вновь нарушено через несколько десятков
лет после открытия парадоксов теории множеств. Весь
XVIII в. прошел в спорах между сторонниками различ-
ных концепций исчисления бесконечно малых, спорах,
особенно разгоревшихся после остроумной и во многом
справедливой критики, появившейся в «Аналисте» Дж.
Беркли (1734). Не входя в подробности этих дискуссий 7,
мы здесь ограничимся самыми краткими необходимыми
замечаниями.

В исследованиях по математическому анализу и его
приложениях к геометрии и физике основные операции
с инфинитезимальными, т. е. бесконечно малыми и бес-
конечно большими количествами, покоились на прин-
ципе, который либо формулировался явно, либо подра-
зумевался: на пренебрежении в равенствах и выражениях,
содержащих бесконечно малые, всеми членами высшего
порядка малости. Это позволяло, в частности, рассматри-
вать кривую как многоугольник с бесконечным числом
бесконечно малых сторон, неравномерное движение на
бесконечно малом участке пути как равномерное и вообще
пользоваться, как теперь говорят, линеаризацией. Нью-
тон стремился теоретически обосновать эту практику
в учении о пределах и в окончательном варианте своего
метода флюксий — обобщенных скоростей изменения пере-
менных количеств — флюент. За Ньютоном последовало
большинство английских математиков XVIII в.; впрочем,
Маклорен (1742) предпочел дать чрезвычайно длинные
и утомительные доказательства основных теорем исчис-
ления флюксий при помощи античного метода исчерпы-
вания, который сам был исходной и еще весьма стесни-
тельной формой метода пределов 8. На континенте Европы
господствовали дифференциальное и интегральное ис-
числения Лейбница, в которых на первом плане стояло
не понятие флюксии, но бесконечно малого дифференци-
ала переменной величины, — у Ньютона этому соответ-
ствовал исчезающий момент флюенты. Дифференциал

7 См. мою статью в русскОхМ издании «Размышлений» Карно, ука-
занном на стр. 133, а также книгу: Carl В. Boyer. The History
of the Calculus and its Conceptual Development. N. Y., 1959.

Cm. Fl. Cajory. A History of the Conceptions of Limits and Fluxions
in Great Britain from Newton to Woodhouse. Chicago and London,
1919; История математики, т. III. Под ред. А. II. Юшкевича.
М., 1972, стр.255—265.

г к	функции у=/ (ж) понимали и определя-

\	ли как ее бесконечно малое приращение,

\	dy—ky, но фактически в дифференциаль-

4	\	ном исчислении dy вычисляли как глав-

ную часть приращения, линейную от-
\ носительно Аж, т. е. как f (х) Аж, и это
р-----\ g служило одним из источников парадок-

V сов и логических трудностей 8 9.

\\ Принцип пренебрежения высшими бес-
\\ конечно малыми получил более широкую
\ \ известность благодаря первому печатному
\ \ курсу дифференциального исчисления —
м Я n i «Анализу бесконечно малых» (1696) Лопи-
рис	таля, где он был сформулирован в виде

двух «требований или допущений». Пер-
вое требование позволяет брать безразлич-
но одно вместо другого два количества, разнящиеся на ко-
личество бесконечно малое по сравнению с каждым из них,
а второе — рассматривать кривую как совокупность бес-
конечного множества бесконечно малых прямых линий 10.
Возражения Беркли против этих постулатов содержали,
как один из элементов, идею компенсации ошибок, кото-
рую он пояснил на примере построения касательной ТВ
к параболе у2=рж в точке В, АР—х, РВ=у (см. рис. 1).
Допустим, что точка N параболы бесконечно близка
к В, так что PM—dx и BN=dy суть бесконечно малые
приращения или дифференциалы абсциссы и соответ-
ственно ординаты. Согласно второму постулату, дугу BN
можно рассматривать как прямую, лежащую на продол-
жении касательной ТВ. Поэтому подкасательная ТР вы-
ражается, в силу подобия треугольников ТРВ и BBN,
равенством

=	(D

8 Свой знаменитый мемуар по дифференциальному исчислению (1684)
Лейбниц начал с определения dy, равносильного нашему dy—
—f (х) Дя, где Да: — произвольное приращение аргумента, но это
определение ни у него, ни у кого-либо другого в XVIII в. не

нашло применения. См. А. Р. JuSkevic. Gottfried Wilhelm Leib-
niz und die Grundlagen der Infinitesimalrechnung. Studia Leibni-
tiana. Suppl., v. II, В. II. Wiesbaden, 1969.

10 Г. Ф. де Л'Опиталь. Анализ бесконечно малых. Перев. с франц.
Н. В. Леви под ред. и со вступ. статьей А. П. Юшкевича. М.—Л.,
1935, стр. 63—64.

С другой стороны, вычисление dx из равенства pdx—
(y+dy)2—y2—2ydy-\-dy2, согласно первому постулату,

Дает	pdx = 2ydy,	(2)

так что

ТР = ^=2х.	(3)

Истинность окончательного результата не вызывала сом-
нений: еще древние греки вывели его, не пользуясь прин-
ципами пренебрежения исчисления бесконечно малых.

Чем же объясняется парадоксальный факт вывода
точных следствий из ошибочных предпосылок? Беркли
отвечал: взаимным уничтожением двух противоположных
ошибок, по недостатку и по избытку, сделанных в ходе
вычислений. Уравнение (1) неверно, так как треугольник
ТРВ подобен BRL, где L лежит на продолжении каса-
тельной TPL и правильное уравнение есть

=	(V)

dy -\-z *	' '

где z—NL. Точно так же неверно уравнение (2), правиль-
ное уравнение будет

pdx = 2ydy + (dy)2,	(29

так что

ТР=_________у—_______	(ЗП

1	dx	(dyp •

Р dy	2у + z

Но (39 совпадает с (3), так как z— (dy)2/2y. Это Беркли
устанавливает на основании 33-й теоремы I книги «Кони-
ческих сечений» Аполлония, в которой синтетически дока-
зано, что прямая, проходящая через точки ВиТ^ ТА=АР,
касательная к параболе АВ. «Таким образом, — заклю-
чал автор «Аналиста», — . . . благодаря двукратной
ошибке вы приходите, если и не к научному познанию
(at a science), то все же к истине (at truth)» 11.

С точки зрения Беркли, обязательное наличие ошибок,
хотя бы и погашающих друг друга, лишало исчисление
бесконечно малых характера подлинной науки; вместе
с тем он полагал, что без этого исчисления можно было бы
обойтись. Во второй половине XVIII в. идея компенса-
ции получила новое развитие на континенте Европы,

u G. Berkeley. The Analyst ect. London, 1734, § 21.

где полемика, возбужденная «Аналистом», широко содей-
ствовала усилению исследований по основаниям анализа.
Эйлер пришел к убеждению, что единственный способ
строго обосновать общепринятые инфинитезимальные про-
цедуры заключается в трактовке бесконечно малых
и, в частности, дифференциалов как абсолютных нулей
или исчезающих количеств. В соответствии с этим Эйлер
разработал своеобразное исчисление нулей, в котором
du

— вводится как предельное значение неопределенной
г	0	Ду

формы -Q-, которое достигается отношением когда
Да; и Ду в конце концов обращаются в нули. Но, применив
понятие предела в своем определении Эйлер совер-
шенно не развил самый метод пределов 12. В предисловии
к «Дифференциальному исчислению» (1775) Эйлера, где
изложена его концепция, упоминается и тут же отверга-
ется идея компенсации ошибок.

Почти в это же время Даламбер в статьях «Дифферен-
циал» (1754) и «Предел» (1765) знаменитой «Энциклопе-
дии» выступил убежденным сторонником метода пределов
Ньютона, освобожденного от всяких механических рас-
смотрений, хотя и не полностью арифметизированного.
Имея в виду тогдашние представления о бесконечно
малых величинах, он (подобно Маклорену) заявлял,
что этот термин служит только для сокращения выраже-
ний: в действительности такие величины в анализе не
встречаются, и он оперирует лишь пределами конечных
количеств. Дифференцируют собственно не отдельные
количества, но лишь уравнения, причем находятся пре-
делы отношений конечных разностей переменных. Про-
цедура отбрасывания бесконечно малых имела в глазах
Даламбера, в сущности, чисто формальный характер:
это отбрасывание было следствием перехода к пределу.
Однако Даламбер почти не вышел за границы суммарной
характеристики метода пределов, хотя и считал, что «мета-
физика дифференциального исчисления еще важнее и,
быть может, с большим трудом поддается развитию, чем

12 См. А. Р. Juschkevttch. Euler und Lagrange iiber die Grundlagen
der Analysis. Sammelband zu Ehren des 250 Gebursstages Leon-
hard Eulers. Unter der Redaktion von K. Schroder. Berlin, 1959.
См. также: История математики, т. II. Под ред. А. П. Юшкевича.
М., 1970, стр. 265—272.

самые правила этого исчисления» 13. Он привел опреде-
ление предела монотонного переменного количества и
всего две общие теоремы: о единственности предела и о пре-
деле произведения; явного определения дифференциала
у него нет, но видно, что под dy и dx он понимает любые
количества, отношение которых равно пределу отношения
соответствующих конечных приращений Ду и кх. По-
строение анализа на основе метода пределов еще пред-
стояло осуществить.

Взгляды как Эйлера, так и особенно Даламбера нашли
многих сторонников, но удовлетворили не всех. Лагранж
в «Заметке о метафизике исчисления бесконечно малых»,
помещенной во II томе «Miscellanea Taurinensia» (1760—
1761), впервые сформулировал как общее свойство исчис-
ления бесконечно малых то обстоятельство, что оно «само
исправляет применяемые в нем ложные гипотезы» 14 *,
пояснив это соображениями, обобщающими на любые кри-
вые те, которые Беркли иллюстрировал задачей о каса-
тельной к параболе. Заметка Лагранжа не осталась неза-
меченной и, например, упомянута в посмертном издании
1770 г. известного курса математики Лакайля, подготов-
ленном Мари, причем мысль, что нестрогие исходные на-
чала дифференциального исчисления приводят к истине
лишь путем компенсации ошибок, приписана Ньютону 16.
Однако какого-либо обоснования учению о компенсации
Лагранж не дал, а примерно через десять лет, в 1772 г.,
выступил с новой идеей построить анализ независимо
«от всякой метафизики и всякой теории бесконечно малых
или исчезающих количеств» 16 при помощи понятия про-
изводной функции и', определяемой как коэффициент вто-
рого члена разложения данной функции/(х + £), и=/(ж),
по степеням £, т. е. разложения / (я+ £) =/ (x)-\-f'(x) S+. . .,
й свойств этого разложения, которое, как думал Ла-
гранж, можно, вообще говоря, вывести чисто алгебраи-
чески. Впрочем, эту новую концепцию анализа, к которой
независимо от него подходили и другие ученые, как напри-

13 Encyclopedic methodique ou par ordre des matieres, t. I. Padoue,
1787, p. 524b (статья Differential).

14 Oeuvres de J. L. Lagrange, v. VII. Paris, 1877,"5 p. 598 (Note sur
la metaphysique du calcul infinitesimal).

5 N. L. de la Caille. Lemons elementaires de mathematiques. Paris,
1770, p. 337 (первое издание — 1741 г.).

6 Oeuvres de J. L. Lagrange, v. III. Paris, 1869, p. 443.

мер, Кондорсе и Арбогаст, Лагранж подробнее развил
только четверть века спустя в своей «Теории аналити-
ческих функций» (1797). В 70-е и 80-е годы он был занят
более всего исследованиями по алгебре, теории чисел и
механике. Тем не менее «метафизика исчисления беско-
нечно малых», как выражался он вслед за Даламбером,
продолжала его живо интересовать. Математический
класс Берлинской академии наук, директором которого
он был в 1766—1787 гг., предложил для конкурса 1786 г.
проблему математической бесконечности. Академия офи-
циально выдвинула это предложение в публичном собра-
нии 3 июня 1784 г.

Текст конкурсного объявления гласил:

«Польза, доставляемая математическими науками,
уважение к ним и почетное наименование точными науками
по преимуществу, справедливо им даваемое, обязаны яс-
ности их принципов, строгости их доказательств и точ-
ности их теорем.

Чтобы сохранить за этой прекрасной частью наших зна-
ний такие драгоценные преимущества, требуется

Ясная и точная теория того, что в математике назы-
вают бесконечным.

Известно, что высшая геометрия постоянно пользуется
бесконечно большими и бесконечно малыми. Однако древние
геометры, а также аналисты, тщательно избегали всего,
что близко к бесконечному, а выдающиеся современные
аналисты признают, что выражение бесконечная величина
противоречиво.

Академия желает, чтобы было объяснено, каким обра-
зом из противоречивого допущения было выведено столько
верных теорем, и чтобы был указан верный, ясный, од-
ним словом, подлинно математический принцип, подходя-
щий для замены бесконечного, с тем, чтобы исследования,
производимые с его помощью, не стали слишком трудными
или слишком долгими. Требуется, чтобы вопрос был рас-
смотрен со всей возможной общностью, а также строгостью,
ясностью и простотой» 17.

Сроком конкурса было объявлено 1 января 1786 г.,
а премией служила золотая медаль весом в 50 дукатов.

17 Nouveaux Memoires de I’Academie Royale des Sciences et Belles—
Lettres, 1784 (Berlin, 1786), p. 12—13. См. также Registres de
I’Academie de Berlin, I: IV, 32, fol. 373—374 (Zentrales Archiv
der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin).

Участвовать в нем приглашались все желающие, исклю-
чая ординарных членов Академии.

Всего на конкурс поступило 23 сочинения, из которых
в Центральном архиве Германской академии наук в Бер-
лине сохранилось 21; старые № 7 и 18 отсутствуют. Члены
Математического класса под председательством Лагранжа
рассмотрели представленные сочинения, и их единодуш-
ное решение было подтверждено Академией в публичном
собрании 1 июня 1786 г. Официальное заключение об ито-
гах конкурса было таково:

«Академия получила много сочинений по этому вопросу.
Все авторы упустили из виду объяснить, как из противо-
речивого допущения, каким является допущение бесконеч-
ного количества, было выведено столько верных теорем.
Все они более или менее отошли от требуемой ясности,
простоты и особенно от строгости. Большая часть из них
даже не увидела, что требуемый принцип не должен огра-
ничиваться исчислением бесконечно малых, но распро-
страняться также на алгебру и на геометрию, трактую-
щую на манер древних.

Таким образом, по мнению Академии, на ее вопрос
не было получено ни одного полного ответа.

Тем не менее она нашла, что тот, кто ближе всего подо-
шел к ее цели, есть автор французского сочинения под де-
визом:

Бесконечность это бездна, поглощающая наши мысли 18.
Поэтому Академия присудила премию ему» 19.

Лауреатом конкурса стал проживавший в то время
в Варшаве швейцарский математик Симон Люилье, и его
«Элементарное изложение принципов высших исчисле-
ний» было издано Академией в том же 1786 г. 20 Кроме того,
Академия особо выделила и присудила почетный отзыв
(accessit) 21 работе под девизом «Peritia fit mihi amor»,

18 Девиз «L’infini est le gouffre on s’absorbent nos pensees» взят из
книги J. S. Bailly. Histoire de 1’astronomie moderne. Paris, 1785.

19 Nouveaux Memories de Г Academic Royale des Sciences et Belles—
Lettres, 1786 (Berlin 1788), p. 8. См. также Registres de I’Academie
de Berlin, I : IV, 32, fol. 418 (Zentrales Archiv der Deutschen
Akademie der Wissenschaften zu Berlin).

20 Сочинение Люилье, рукопись которого в Архиве не сохранилась,
имело, очевидно, в старой нумерации, один из двух номеров,
7 или 18.

21 Accessit значит «он приблизился», этот отзыв присуждался тем,
кто, не заслуживая премии, был признан достойным отличия.

автор которой неизвестен: она, по-видимому, не была на-
печатана, а конверты с девизами и фамилиями участников
конкурса были уничтожены после его окончания.

Я познакомился со всеми сохранившимися конкурс-
ными работами и полагаю, что оценка, данная Математи-
ческим классом, а точнее говоря, Лагранжем22, была
в основном справедливой. Не касаясь пока сочинения
Карно, о котором будет сказано далее, все остальные
не содержали даже попытки объяснить, как в анализе
бесконечно малых из ошибочных предпосылок выводятся
верные теоремы. И среди этих остальных сочинений
труд Люилье несомненно выделялся своими высокими
качествами, хотя основная идея его и не была оригиналь-
ной. По собственному заявлению Люилье, его работа
представляла собой «развитие идей. . ., которые г. Далам-
бер лишь наметил»23. Прежде всего, в первой главе
«Изложения» Люилье несколько дополнил саму теорию
пределов, присоединив к двум упомянутым теоремам
Даламбера важное предложение о пределе отношения двух
переменных 24 и подробно доказав все применяемые им
теоремы, — частью при помощи античного метода исчер-
пывания. Он ввел — в печати впервые — самый знак
предела в форме lim. и в той же главе писал, например,
что «Пт. ДР/Да; или dPIdx обозначают одно и то.же»25 26.
Но вклад Люилье в общую теорию пределов не был зна-
чителен. Излишнее различение пределов количеств и
пределов отношений повлекло за собой по существу излиш-
ние теоремы, а наряду с этим еще не было теоремы о пре-
деле суммы или разности переменных. Определение пре-
дела ограничивалось случаем монотонных переменных, и
теоремы доказывались отдельно для возрастающих и убы-
вающих количеств. Впрочем, во втором, пересмотренном
и дополненном издании «Изложения» на латинском языке,
вышедшем в 1795 г., Люилье специально указал, что
переменное количество может приближаться к постоян-

22 Остальные математики Берлинской академии того времени —
Н. де Бегелен, Иоганн III Бернулли, Дж. Кастильон, далеко
уступали Лагранжу по дарованию и авторитету.

23 L’Hutlier. Exposition elementaire des principes des calculs su-
perieurs. Berlin, 1786, p. 167.

24 «Предельное отношение двух переменных количеств, имеющих

пределы, равно отношению их пределов». L'Huilier. Exposition
elementaire. . ., р. 24.

26 L'Huilier. Ibid., p. 31.

ному как к своему пределу и не монотонно, пояснив это
примерами знакочередующихся рядов 26. Странно, что
это обстоятельство упустили из виду Даламбер и многие
другие авторы даже еще в начале XIX в.

В последующих главах Люилье дал систематическое и
обстоятельное изложение начал дифференциального и ин-
тегрального исчислений с приложениями к геометрии и
отчасти к механике. Для своего времени это действи-
тельно была хорошая реализация намеченной Даламбером
программы. Добавлю, что большая XI глава содержит
не лишенную интереса критику тогдашних идей об акту-
ально бесконечном (например, Фонтенелля), а также дру-
гих концепций анализа (особенно Эйлера). Понятие
потенциально бесконечно малого отнюдь не было чуждо
Люилье, он формулирует его в первой главе и здесь же
приводит один частный случай теоремы о сумме конечного
числа бесконечно малых 26 27. Однако он ничего не говорит
о взаимозависимости между понятиями предела и потен-
циально бесконечно малого и он не оценил достоинств,
присущих алгоритму исчисления бесконечно малых школы
Лейбница.

Присуждение премии Люилье было в общем естественно,
чего нельзя сказать, однако, относительно присуждения
accessit. Отмеченное этой оценкой сочинение (№ 21 в перво-
начальной нумерации и № 19 в теперешней) не отличалось
какими-либо достоинствами и представляло собой беглый
очерк начал анализа на основе ученически изложенных
идей того же Даламбера. Правда, остальные сочинения,

26 S. L'Huilier. Principiorum calculi differentialis et integralis ex-
positio elementaris. Tubinguae, 1795, p. 17. Ср. E. С. Шатунова.
Теория пределов Симона Люилье. — В сб.: Историко-математи-
ческие исследования, вып. XVII. М., Физматгиз, 1966, стр. 329—
330.

27 Бесконечно малое количество х Люилье называет «переменным
количеством, не имеющим предела малости (или таким, которое
может быть сделано меньшим, чем любое указанное количество)»
S. L'Huilier. Exposition elementaire . . ., р. 21. Частный
случай теоремы, о котором идет речь, сформулирован так: «вся-
кая функция Q переменного х, имеющая вид Bxb+Cxc+Dxd +. ..
• • . -\-Lxl -\-Мхт-]-Nxn, может быть сделана меньше, чем
любое указанное количество» (там же, стр. 23); здесь 0 < b < с <...
• • • < п. Термин «бесконечно малое» Люилье применял только
в смысле актуально бесконечно малого. В латинском издании книги
предложения о сумме или разности (потенциально) бесконечно
малых и об их произведении на какое-либо число формулируются
(на стр. 12) уже в общем виде.

кроме работы Карно, были еще слабее. Еще более удив-
ляет, что в отзыве Берлинской академии наук утвер-
ждается, будто все участники конкурса упустили из виду
объяснить упомянутое парадоксальное свойство анализа
бесконечно малых. Здесь произошло какое-то недоразуме-
ние: один из авторов, Карно, посвятил свое сочинение
прежде всего этому вопросу, что и высказал совершенно
ясно уже в первых строках краткого «Резюме» в самом
начале представленной рукописи: «Сперва его [анализ
бесконечно малых. — А. Ю.1 должны были рассматри-
вать как простой метод приближения. Затем обнаружили,
что, несмотря на ошибки, допускаемые в выражении усло-
вий каждой задачи, результаты бывают совершенно точны.
Доказательство того, что на самом деле эти ошибки должны
всегда взаимно уничтожать друг друга, как необходимое
и непременное следствие операций исчисления» 28. Можно
было по-разному оценить доказательство Карно, но пол-
ное умолчание о нем в официальном отзыве непонятно.
Ведь сам Лагранж видел в компенсации ошибок движу-
щую пружину исчисления Лейбница, причем не только
в 1760 г., но и позднее до конца жизни, — об этом гово-
рится в его предисловии к новому изданию «Теории ана-
литических функций», вышедшему в 1813 г., на следующий
год после смерти автора. Что касается предложенного
Карно доказательства компенсации ошибок, то несом-
ненно, что Лагранж считал его неудавшимся и в 1786 г.,
и позднее. В только что упомянутом предисловии Лагранж
по поводу компенсации ошибок писал: «Это легко показать
на примерах, но было бы, возможно, трудно доказать
общим образом» 29. Поэтому нет оснований верить рас-
сказу, будто, познакомившись с «Размышлениями» Карно,
Лагранж написал их автору, что если бы знал их раньше,
то ему не потребовалось бы развить собственную теорию 30.
К тому же, приведя в § 37 издания «Размышлений» в под-
тверждение своей концепции весь соответствующий пас-

28 (L. Carnot). Dissertation sur la theorie de 1’infini mathematique,
p. 4 (Zentrales Archivder Deutschen Akademie der Wissenschaften
zu Berlin. Sign. AAW : 1261—62, Preisschrift № 5 fur das Jahr
1786. В факсимильном издании рукописи (см. прим. 6 на стр. 134)
эта цитата находится на стр. 176.

29 J. L. Lagrange. Theorie des fonctions analytiques. Nouv. ed.,
Paris, 1813, p. 3.

80 Hippolyte Carnot. Memoires sur Carnot, v. I. Paris, 1861, p. 13—14.

саж из «Теории аналитических функций», включая только
что цитированные слова, Карно не упоминает о таком
письме Лагранжа. Между тем в § 167 он для подкрепле-
ния своих взглядов по другому вопросу сослался на беседы
с Лагранжем.

Обратимся теперь к рукописи Карно, озаглавленной
«Рассуждение о теории математического бесконечного»
(Dissertation sur la theorie de i’infini mathematique) и
представленной под девизом «Лишь тот может здраво су-
дить о вещах, кто умеет избежать злоупотребления сло-
вами» (Celui—la seul pent juger sainement des choses qui
sait eviter 1’abus des mots)31.

В рукописи «Рассуждения» 90 страниц, писанных рукой
самого Карно; в ней, помимо вводных замечаний и «Резюме»,
100 параграфов, объединенных в 13 разделов, заголовки
которых даны на полях. Издание «Размышлений» 1797 г.,
по объему почти на 20% меньшее, чем рукопись, состоит
из 68 параграфов, объединенных в 17 разделов. В издании
1813 г., по объему приблизительно втрое выросшем по срав-
нению с предыдущим, имелись уже 174 параграфа. Оно
было разделено на 3 больших главы и 20 разделов; кроме
того, к нему добавлено обширное приложение по теории
отрицательных количеств — вопроса, мельком затрону-
того еще в «Рассуждении». Все эти отличия были связаны
с отличиями как в структуре, так и в содержании всех
трех вариантов труда Карно.

В первых параграфах рукописи (§ 1—36) вводились,
частью в форме определений, частью же более или менее
четких описаний, основные понятия: системы «назначен-
ных» количеств (quantites designees) наших х,у, z,..., а,
Ь, с,. . . и их функций и системы «вспомогательных ко-
личеств» (quantites auxiliaires), которые, по условиям
задачи, непрерывно32 и неограниченно приближаются к со-
ответственным «назначенным» (§1—3); предела (§4—10);
бесконечно большого и бесконечно малого (§ 11—18);
«несовершенного» уравнения (equation imparfaite — при-
ближенного равенства А=В, в пределе совершенно точ-
ного, так что Иш (А/В) равен 1, §19—20); дифференциалов

31 Далее все ссылки на «Рассуждение» даны в пагинации ее репро-
дукции факсимиле в книге Lazare Carnot Savant (см. стр. 134,
прим. 6).

Карно писал: «нечувствительные степенями» (par degree insensib-
les). «Рассуждение», стр. 177.

различных порядков и интеграла (§ 21—33); вариации
(§ 34—35); наконец, «дифференциального момента» (mo-
ment differential — предела отношения бесконечно ма-
лого приращения функции к бесконечно малому прира-
щению аргумента, § 36). Понятию дифференциального
момента (т. е. производной) придается весьма важное зна-
чение и оно находит применение в дальнейшем.

Р В § 37 и 38 говорится о связи анализа бесконечно малых
с приемами приближенного вычисления различных вели-
чин. Здесь в большом примечании подчеркнуты алгорит-
мические преимущества исчисления Лейбница перед мето-
дом пределов, примененным Ньютоном в «Математических
началах натуральной философии» (1686), и утверждается,
что открытие исчисления бесконечно малых принадлежит
одному Лейбницу, ибо «Ньютон преобразовал в своем
исчислении флюксий метод первых и последних отноше-
ний (т. е. пределов. — А. Ю.) в алгоритм лишь много
спустя после открытия дифференциального исчисления,
либо, по крайней мере, он не опубликовал этого ранее,
а судить о людях можно только по их трудам» 33. Это при-
мечание не попало в печатный текст, но примерно та же
мысль более сдержанно высказана в § 164—165 второго
издания «Размышлений» (1813).

Далее в § 39—50 на примере построения подкасательной
к окружности у2=2ах~х2 по методу Лейбница демонстри-
руется компенсация ошибок; при этом уравнения, соот-
ветствующие уравнениям (1) и (2) примера, разобранного
Беркли, оказываются «несовершенными». Затем Карно
переходит к своей основной задаче — построению теории
несовершенных уравнений, которая и должна общим обра-
зом объяснить компенсацию ошибок, характерную для ис-
числения Лейбница.

Сама идея компенсации ошибок не была, как мы видели,
новой, и весьма вероятно, что Карно был знаком если
не с «Аналистом» Беркли, то, по крайней мере, с упомяну-
той ранее заметкой, опубликованной Лагранжем в «Miscel-
lanea Taurinensia», 1760—1761. Новым, однако, был замы-
сел доказать неизбежность компенсации ошибок. Это
Карно пытается сделать в серии трех теорем. Согласно
теореме I (§ 51), при замене в точном или несовершенном
уравнении какого-либо переменного другим, отличаю-

33 «Рассуждение», стр. 201.

щимся от него бесконечно мало, данное уравнение перехо-
дит либо в точное, либо, по крайней мере, в несовершенное.
Это следует из самого определения несовершенного урав-
нения, члены которого предполагаются (в нашей термино-
логии) непрерывными функциями. Записав данное урав-
нение в виде А=В, а уравнение, получающееся при под-
становке х' =x-\-z, где z бесконечно малое, в виде А'=В',

Карно показывает, что из равенства	в силу

следует равенство = 1 (о знаке пре-
дела L см. далее). В теореме II (§ 53) устанавливается,
что уравнение, содержащее лишь назначенные количества,
не может быть несовершенным. Из этих двух предложе-
ний выводится основная теорема III (§ 55): уравнения,
1) полученные путем таких преобразований точных или
несовершенных уравнений, при которых они не перестают
быть, по крайней мере, несовершенными, и 2) не содержа-
щие других количеств, кроме назначенных, суть необхо-
димым образом точные уравнения.

Теория несовершенных уравнений была положена Карно
в основу той трактовки исчисления Лейбница, в которой
бесконечно малые рассматриваются как настоящие пере-
менные количества, отличные от нуля. Но существует и
другой подход к анализу, в котором бесконечно малые
принимаются равными нулю. В § 58—77 рассмотрено
в сравнении с исчислением Лейбница «исчисление исчезаю-
щих» (calcul des evanouissants) или нулевых количеств;
имя Эйлера при этом не названо. Обе концепции являются,
с точки зрения Карно, равноправными и, как сказано
в § 72, анализ бесконечно малых есть соединение (un com-
pose) их обоих. Метод исчезающих отличается от метода
обыкновенных бесконечно малых тем, что в нем все диф-
ференциальные соотношения точны и не приходится пре-
небрегать какими-либо количествами. С другой стороны,
исчезающие количества суть лишь фикции (etres de raison)
или алгебраические формы, подобно мнимым количествам,
но это вовсе не мешает обладать как тем, так и другим
определенными математическими свойствами (§ 67). Здесь
следует иметь в виду, что Карно относил к настоящим ко-
личествам только положительные. Не только мнимые
числа, но и нуль и отрицательные числа он считал полез-
ными фикциями.

В § 65 формулируется теорема IV, основная для исчисле-
ния исчезающих и представляющая собой перефрази-
ровку теоремы III, а путем их синтеза получается «фунда-
ментальный принцип исчисления бесконечного», именно
теорема V (§ 77): «Если имеется уравнение, два члена кото-
рого разнятся бесконечно мало. . . [в том или другом
смысле слова. —А. /9.1, то можно заменить какое-либо
из входящих в него количеств другим количеством, бес-
конечно мало отличным от первого, без того, чтобы появи-
лась какая-либо ошибка в назначенном результате: и то же
относится ко всем предложениям, которые можно выра-
зить такими уравнениями» 34. В принципе равноправные,
обе эти концепции находят практическое применение в за-
висимости от характера соответствующих задач. Употреб-
ление обычных, не исчезающих бесконечно малых более
естественно и удобно в приложениях интегрального исчис-
ления, например к измерению геометрических величин
(§ 83). В кратком примечании учение о компенсации оши-
бок распространяется здесь и на метод неделимых: точ-
ность результатов последнего объясняется тем, что, на-
пример, абсурдность допущения, будто тело состоит из
поверхностных элементов, не имеющих толщины, уничто-
жается абсурдностью допущения, что число таких эле-
ментов абсолютно бесконечно. В этой связи Карно заме-
чает, что подобного рода трудности присущи не только
инфинитезимальному, но и обыкновенному анализу, опери-
рующему «чисто фиктивными (fictives) количествами»,
вроде отрицательных чисел, «которые по сути дела могут
выражать настоящие количества только, если им пред-
шествуют большие, чем они, положительные» 35, — мысль,
которую он подробнее развил в «Геометрии положения»
(Geometrie de position, 1803) и затем в дополнении ко вто-
рому изданию «Размышлений».

Охарактеризовав таким образом два аспекта исчисле-
ния бесконечно малых, Карно посвящает затем § 84—92
методу пределов, — на этой части «Рассуждения» мы
подробнее остановимся далее, а § 93—97 — методу не-
определенных коэффициентов. При этом он выявляет тес-
ное родство обоих этих методов с исчислением бесконечно
малых и, более того, устанавливает, что применяемые

34 «Рассуждение», стр. 233.

33 Там же, стр. 239.

в них приемы можно сделать совершенно сходными с прие-
мами общепринятого анализа Лейбница.

Хотя только что упомянутая мысль в полном объеме
раскрывается лишь в конце рукописи Карно, как и обоих
изданий «Размышлений», но она является для него основ-
ной. При правильном понимании все рассмотренные ме-
тоды — оба варианта исчисления бесконечно малых, ме-
тоды пределов, флюксий, неопределенных коэффициентов
(во втором издании «Размышлений» к ним добавляются
еще методы исчерпывания, неделимых и теория аналити-
ческих функций или производных) — основаны на общих
принципах. В «Заключении» рукописи, подводя итог
своему исследованию, Карно писал: «Словом, не прихо-
дится ли при этом излагать одни и те же идеи, выражать
одни и те же отношения и не отличаются ли все эти методы
лишь в манере излагать эти идеи и выражать эти отноше-
ния?» зв. Среди различных методов выделяется совершен-
ством своего алгоритма и богатством приложений исчисле-
ние бесконечно малых Лейбница, но не следует исключать
и другие инфинитезимальные методы; в каждом данном
случае лучше применять наиболее подходящий (§ 98).

Последние два параграфа «Заключения» содержат инте-
ресные общие соображения о прогрессе математики
(§ 99—100). На примерах арифметики, алгебры и анализа
и, более специально, основных понятий числа и коли-
чества Карно показывает, что отличительной особенностью
развития математических наук является тенденция к созда-
нию все более и более общих концепций и теорий, ибо
«почти всегда обобщать, значит упрощать»37. Осветив
этот вопрос на нескольких страницах, Карно заканчивает
рукопись словами: «Но уже слишком долго говорится
о метафизике в сочинении, целью которого является при-
ведение к ясным и отчетливым принципам понятий, кото-
рые с первого раза могут казаться смутными и мало точ-
ными» 38. Обращаясь к теории пределов Карно, необхо-
димо сразу подчеркнуть, что она играет в «Рассуждении»
весьма значительную, можно сказать, решающую роль.
Целью Карно было обоснование анализа бесконечно ма-
лых, но само это обоснование опиралось на свойства пре-
делов. Для этого потребовалось ввести целый ряд новых

«Рассуждение», стр. 253.

’ Там же, стр. 257.

Там же, стр. 262.

определений и предложений общей теории пределов, и
в этом направлении Карно достиг результатов, не мень-
ших, а кое в чем и больших, чем Люилье в премированном
сочинении.

Прежде всего, с помощью понятия предела определяются
бесконечно малое и бесконечно большое количества. Уже
в § 1 Карно обращает внимание читателя на то, что точное
понятие о бесконечно малом весьма просто и непосред-
ственно зависит от понятия предела, а последнее на-
столько ясно, что математики обычно не считают даже
нужным его определять. Именно, бесконечно малое коли-
чество есть разность двух количеств, имеющих один и
тот же предел 39. Впрочем, основное определение дается
несколько далее, в § 12: «Среди инфинитезимальных коли-
честв те, предел или последнее значение которых есть О,
называются бесконечно малыми» 40; тут же в примечании
доказывается (правда, не вполне удовлетворительно) равно-
сильность обоих определений. В том же примечании спе-
циально подчеркнуто, что бесконечно малые суть перемен-
ные количества, отдельные значения которых определены
и конечны. Сам термин «бесконечно малое» (infiniment
petite) неудачен, он вводит начинающих в заблуждение;
было бы предпочтительнее говорить о «неопределенно ма-
лом» (indefiniment petite), и этим выражением Карно
пользуется неоднократно 41. В том же § 12 бесконечно
большое количество определено как то, которое имеет
пределом 1/0 42. Карно поясняет, что этот последний сим-
вол вовсе не выражает настоящий предел, настоящее коли-

39 См. примечание в «Рассуждении» на стр. 174—175. Определение
предела в «Рассуждении» отсутствует, но это понятие достаточно
подробно и отчетливо описано в § 1, 4 и 5; монотонность перемен-
ного количества не предполагается.

40 «Рассуждение», стр. 181.

41 Любопытно заметить, что и Люилье при рассмотрении пределов
отношений бесконечно малых и больших величин рекомендовал
употреблять новые термины — infiniblement petit и infinible.
Слово infinible, писал он, «представляется мне выражающим
свойство не иметь возможности стать законченным», между тем
как слово infini представляется выражающим состояние закон-
ченности. См. L'Huilier. Exposition elementaire des principes...,
p. 147.

42 Еще Даламбер писал, что «бесконечное, рассматриваемое в анализе,
есть, собственно говоря, предел конечного, т. е. граница, к которой
конечное стремится, никогда ее не достигая». См. Oeuvres philo-
sophiques, historiques et litteraires de D’Alembert, t. II. Paris,
An. XIII, 1805, p. 346.

честно, как, впрочем, и знак 0. В сущности под бесконечно
большим количеством понимается переменное количество,
обратное бесконечно малому, как это говорится в § XX
первого издания «Размышлений» (1797). Приведенные
определения сопровождаются в § 15 рукописи различением
«ощутимого» (sensible) или «указуемого» (assignable) бес-
конечного от «абсолютного» или «метафизического», кото-
рое есть не что иное, как предел первого. Если иметь в виду
бесконечно малые, то в первом случае речь идет о перемен-
ном «неопределенно малом», из значений которого исклю-
чается его предельное или последнее значение, т. е. 0,
а во втором об «исчезающем количестве», т. е. как раз
о предельном, нулевом значении. Впрочем, исчезающие
количества всегда рассматриваются совместно с теми
неопределенно малыми, пределом которых они являются.

Понятие предела было положено Карно в основу опре-
деления не только бесконечных количеств, но, как мы ви-
дели, несовершенного уравнения (см. выше) и дифферен-
циального момента. В § 36, где впервые говорится о диф-
ференциальных моментах, вводится и знак предела в форме
сокращения L (Люилье тогда же писал lim), который
встречается и в обоих изданиях «Размышлений». По-
скольку дифференциал отождествлялся с бесконечно ма-
лым приращением, дифференциальный момент выражался
символами, вроде Ldyldx', кроме того, с несомненной
целью подчеркнуть аналогию с дифференциалами, Карно
изображал ту же величину еще знаком Dy, которым ранее
пользовался Иоганн I Бернулли, а в конце XVIII в.
Арбогаст. Понятие предела находило также применение
в доказательствах теорем о несовершенных уравнениях,
а также в исчислении исчезающих количеств.

Применив, таким образом, понятие и свойства предела
к обоснованию анализа Лейбница, Карно тем не менее
не считал возможным заменить исчисление бесконечно ма-
лых методом пределов в тогдашней его форме, поскольку
в этом методе отказываются от оперирования изолирован-
ными бесконечно малыми количествами. В § 84 «Рассужде-
ния» мы читаем: «Хотя метод компенсированных ошибок
и исчисление исчезающих полностью основаны на свой-
ствах того, что мы назвали пределами, однако они отли-
чаются от того, что собственно называют методом пределов
или первых и последних отношений, в том, что в последнем
не пользуются по отдельности количествами, которые мы

назвали инфинитезимальными, и даже их отношениями,
но только пределами или последними значениями этих
отношений»43 44. Если бы не этот недостаток, то метод
пределов был бы предпочтительнее исчисления бесконечно
малых, ибо в отличие от исчисления нулей оперирует
только настоящими количествами, а в отличие от метода
компенсации ошибок следует прямыми и ясными путями
(§ 85).

Впрочем, указанный недостаток метода пределов можно,
по мнению Карно, устранить. Для этого предварительно
сообщаются три общие теоремы о свойствах пределов
(§ 86—88). Согласно теореме VI, ранее, по-видимому, ни-
кем не формулировавшейся, предел назначенного коли-
чества равен ему самому (т. е., в частности, lim а=а),
в теореме VII утверждается свойство единственности пре-
дела, а теорема VIII, которую Карно впервые высказал
одновременно с Люилье, гласит: «. . .Предел отношения
двух количеств равен отношению из пределов», в его обо-
г У LY 44 п

значениях	. ото последнее предложение рас-

пространяется и на случай Z/Y=LZ=0: предел отно-
шения двух неопределенно малых равен отношению соот-
ветствующих исчезающих количеств, — это следует из са-
мого понимания символа 0/0 в исчислении нулей. Нужно
заметить, что рассуждения, с помощью которых обосно-
ваны теоремы VI—VIII, мы не могли бы назвать доказа-
тельствами.

Чтобы отделить друг от друга в конечных выражениях
формы бесконечно малые dy и dz, переменные у, z
рассматриваются как функции одного переменного, ска-
жем х. Тогда, согласно теореме VIII, L можно пред-
г dyldx т dy Idz

ставить в виде ь	К-, или, что то же,

dzfdx dxfdx1

Dy/Dz. В последней дроби числитель и знаменатель уже
отделены, а характеристика D подчиняется тому же алго-
ритму, что и характеристика d (§ 90—91). «Таким образом,
не только метод пределов становится столь же простым,
как исчисление бесконечно малых, не теряя притом ничего
в строгости, но также процедуры обоих методов становятся

43 «Рассуждение», стр. 239,

44 Там же, стр. 242.

абсолютно тождественными; ибо для этого нужно только
вместо бесконечно малых количеств подставить моменты
исчезновения45, являющиеся конечными количествами,
отношения которых таковы же, как и соответствующих им
исчезающих количеств» 4в. Следует добавить, что в методе
флюксий Ньютона наши производные какого-либо одного
переменного, по-другому, скажем dyldz, всегда выра-
жаются в виде отношения флюксий ylz, где у, z зависят
от всеобщего переменного параметра «времени» t и потому
в вычислениях флюксий у, z играют ту же самую роль, что
и наши дифференциалы dy, dz. Сходная мысль высказана
в § 142—143 второго издания «Размышлений». Как отме-
чает А. Н. Колмогоров, полная равносильность приемов
исчисления флюксий с тем подходом к понятию дифферен-
циала функции, в котором он рассматривается, как произ-
ведение производной функции на произвольное постоян-
ное приращение аргумента А/, вполне естественна: если
положить последнее равным единице, то dx=xht=x
и dy=yM=y 4’.

Карно было ясно и то обстоятельство, что в методе пре-
делов все несовершенные уравнения переходят в совер-
шенно точные. В первом издании «Размышлений» он пояс-
нил это на двух примерах. Одним из них служит все та же
задача о подкасательной к кривой y=f(x) 46 47 48 (№ XXXVIII).
Здесь несовершенные уравнения вида (1) и (2) заменяются
предельными соотношениями для подкасательной St:
£, = и lim 4— и для lim J —J_-	я записал

1 Дд~0	Дх->0 &У ~~ Г (*)	’

все в нашей символике. Другой пример (§ LVI)
взят из правил дифференциального исчисления: несовер-
шенному уравнению d-xy=xdy+ydx (обозначения при-
надлежат Карно) в теории пределов соответствует точное
уравнение lim(^~^=i/X limПервый пример
сохранился и во втором издании «Размышлений» (§ 135).

46 Дифференциальный момент Карно называет также моментом ис-
чезновения (moment d’evanouissement).

46 «Рассуждение», стр. 244.

47 А. Н. Колмогоров. Ньютон и современное математическое мышле-
ние. — Московский университет памяти Исаака Ньютона. М.,
1946, стр. 40.

48 У Карно речь идет об окружности у2=2ах—х2, упоминавшейся
нами выше.

Стремление Карно положить теорию пределов в основу
исчисления бесконечно малых и придать первой те же
алгоритмические преимущества, какими обладает второе,
является чрезвычайно интересной особенностью «Рассужде-
ния». В этом, как и в некоторых других пунктах, напри-
мер, выдвижении на первый план взаимной зависимости
понятий предела и бесконечно малого, Карно отчасти
предвосхищал реформу анализа, столь успешно начатую
Коши. Ведь Коши ставил своей целью сочетать строгость,
присущую теории пределов, с простотой, доставляемой
непосредственным оперированием бесконечно малыми. Од-
нако для достижения этой цели требовалась гораздо бо-
лее глубокая переработка оснований анализа. Установив
формальное тождество правил оперирования символами
Dy и dy, Карно не построил все же на основе теории пре-
делов аппарат исчисления бесконечно малых и дифферен-
циалов. Отделены друг от друга были конечные величины
Dy и Dz (пропорциональные dy и dz в нашем смысле),
но не бесконечно малые дифференциалы dy и dz (в смысле
Карно). Поскольку Карно по традиции продолжал пони-
мать под дифференциалом функции ее бесконечно малое
приращение, дифференциальные выражения (не приведен-
ные к форме выражений, содержащих только производ-
ные) оставались неточными. Между тем новое определение
дифференциала, данное Коши, немедленно устраняло эту
трудность, все правила дифференцирования из приближен-
ных становились точными и понятие несовершенного урав-
нения становилось лишним.

Следует добавить, что теория несовершенных уравнений
Карно, не уступая в смысле строгости другим концепциям
анализа XVIII в., вместе с тем и не была более строгой.
Достаточно заметить, что оказывалась совершенно неопре-
деленной сфера применения центральной теоремы III
(см. стр. 147), ибо не имелось средств исследовать, какие
классы величин и функций приводят к несовершенным
уравнениям и какие классы преобразований таких урав-
нений допустимы. Чтобы ответить на эти вопросы, требо-
валось, прежде всего, создать гораздо более развитую тео-
рию пределов и учение о свойствах непрерывных функ-
ций. А Карно еще даже не сформулировал понятия о не-
прерывной функции в нашем смысле слова, хотя и подхо-
дил к нему в своем определении несовершенного уравнения
и особенно системы «вспомогательных количеств» (§ 1—2).

Каковы бы ни были с точки зрения классического анализа
XIX в. недостатки конструкции оснований исчисления
бесконечно малых, предложенной Карно в 1785 г.,
его «Рассуждение» было выдающимся произведением.
Остается кратко сравнить его с печатными изданиями
«Размышлений».

Как говорилось, основная концепция Карно при подго-
товке «Размышлений» осталась прежней и целые пассажи
вошли в них почти или вовсе без изменений. Вместе с тем
структура сочинения подвергалась переработке, были улуч-
шены отдельные определения и теоремы, исключены или
введены некоторые разделы.

В издании 1797 г. «Размышления» начинались вводными
замечаниями о цели труда и о связи анализа с методами
приближений (§ 37—38 рукописи, за исключением приме-
чания о приоритете Лейбница). Далее рассматривалась
задача о касательной к окружности (§ 39—50 рукописи)
и лишь после этого приводились определения основных
понятий и три теоремы о несовершенных уравнениях
(§ 1—36 и 51—56 рукописи). Такая последовательность
сообщала изложению большую стройность; кроме того,
были внесены уточнения в некоторые формулировки.
В основе определения инфинитезимальных количеств и
несовершенного уравнения по-прежнему лежало понятие
предела; исключено было определение дифференциального
момента. Затем исчисление Лейбница сравнивалось с дру-
гими методами, но уже в другом порядке: прежде всего
с методом неопределенных коэффициентов (§ 93—97
рукописи), затем с методом пределов (§ 84—91 рукописи)
и, наконец, с исчислением исчезающих количеств (§57—
77 рукописи). В изложении двух последних методов были
сделаны весьма значительные сокращения. В частности,
были полностью исключены рассуждения, относящиеся
к модификации метода пределов, и теорема о пределе
отношения двух количеств. Добавлено было, как упомина-
лось, решение задачи о касательной к окружности по методу
пределов. Книга заканчивалась кратким изложением пра-
вил дифференцирования и интегрирования и решением
нескольких задач, отсутствовавших в рукописи. Из заклю-
чения были полностью исключены соображения о прогрессе
математических наук (§99—100).

В целом издание «Размышлений» 1797 г. отличалось
от рукописи 1785 г. значительно меньшим вниманием к

теории пределов, хотя само понятие предела по-прежнему
было основным. Эта тенденция с еще большей определен-
ностью отразилась во втором издании «Размышлений»
1813 г., где в главе I, посвященной общим принципам
анализа бесконечно малых, инфинитезимальные коли-
чества и несовершенные уравнения определены без приме-
нения понятия предела, которое в явном виде здесь вовсе
не используется. Вторая глава содержит значительно
более подробное, чем в первом издании и в рукописи, изло-
жение анализа бесконечно малых, а в третьей дано также
весьма обстоятельное сравнение методов, которыми можно
анализ заменить. Как известно, именно второе издание
«Размышлений» получило наибольшее распространение,
а с рукописью «Рассуждения» был знаком лишь узкий
круг членов Математического класса Берлинской акаде-
мии наук того времени. Вследствие этого многие замеча-
тельные мысли Карно, не попавшие в последний вариант
его труда, оставались неизвестными или мало известными.

Оценить меру влияния, оказанного Карно на ближай-
шее развитие «метафизики исчисления бесконечно малых»,
затруднительно. Мы не знаем, в какой мере были знакомы
с его идеями Больцано, Гаусс, Коши и другие создатели
классического анализа XIX в. и какую роль сыграли эти
идеи в формировании их воззрений. Несомненно одно:
уже первое издание «Размышлений» имело много читате-
лей в разных странах и вряд ли могли пройти мимо этой
книги выдающиеся математики начала прошлого столе-
тия. Об этом, в частности, свидетельствует ее высокая
оценка в предисловии ко второму изданию весьма популяр-
ного в то время курса математического анализа Лакруа,
где, среди прочего, говорилось:

«Г. Карно показывает затем, как несовершенные урав-
нения становятся в конце вычислений строгими, и по ка-
кому признаку можно судить об их законности. . . Но
не следует судить о труде г. Карно по тому немногому,
что я о нем сказал; и заслуга его мемуара состоит не только
в его собственной трактовке дифференциального исчисле-
ния, но и в сравнении различных точек зрения, с которых
излагали это исчисление»49.

49 S. F. Lacroix. Traite du calcul differential et du calcul integral.
2е ed., t. I. Paris, 1810, p. XVII.

Ж. А. ДА КУНЬЯ И ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

А. П. Юшкевич

Имя португальского математика XVIII в. да Кунья
теперь почти забыто, да и раньше не пользовалось широкой
известностью. Оно не упоминается в сводных сочинениях
по истории математики Э. Т. Белла, К. Бойера, Г. Вилейт-
нера, И. Э. Гофмана, Дж. Лориа; его нет в «Общей истории
наук» (редактор Р. Татон) и в «Словаре научных биогра-
фий» (редактор Ч. Гиллиспи). Лишь в 4-м томе «Лекций»
М. Кантора (1908) Ф. Кэджори привел краткие сведения
о жизни да Кунья, а о его главном труде, «Математиче-
ских началах» \ писал: «Это сочинение. . . содержит
в весьма сжатом изложении арифметику, геометрию,
алгебру и исчисление бесконечно малых. Автор стремится
везде дать строгие доказательства. Его пояснения нередко
содержат новые и свежие мысли» 1 2. Это справедливо, но,
к сожалению, Ф. Кэджори ограничился приведенной об-
щей оценкой. Почти пятнадцатью годами ранее, в 1894 г.,
И. Ю. Тимченко указал на «точное формальное определе-
ние дифференциала» у да Кунья и назвал «Математические
начала» замечательной книгой, «представляющей собой
первый опыт строго формального изложения всей мате-
матики (на 299 страницах in —8°!)»3. И. Ю. Тимченко предпо-
лагал возвратиться к этой книге, однако более ничего
о ней не опубликовал. Большее внимание уделили да Кунья
португальские ученые, и мы еще обратимся к некоторым
суждениям Ф. Г. Тейшейра и Ж. В. Гонсальвеса 4.

1 Jose Anastdcio da Cunha. Principios Mathematicos. Lisboa, 1790.
Этим оригинальным изданием я не располагал.

2 Vorlesungen iiber Geschichte der Mathematik, Bd. IV, hrg. von
M. Cantor. Leipzig, 1908, S. 48—49.

3 И. Ю. Тимченко. Основания теории аналитических функций.
Часть I. Исторические сведения. Одесса, 1899, стр. 352—353. —
Соответствующий раздел книги был сперва напечатан в «Запи-
сках Математического отделения Новороссийского общества
естествоиспытателей», 1894, т. XVI, стр. 96—97.

4 F. Gomes Teixeira. Historia das matematicas em Portugal. Lisboa,
1934. — 7. Vicente Goncalves, Analise do Libro VIIII dos «Principios

Жизнь Жозе Анастасио да Кунья, сына художника
Лоренсо да Кунья, сложилась трагически. Он родился
в Лиссабоне в 1744 г. и «изучал грамматику, риторику и
логику в Доме конгрегации ораторианцев, а физику и
математику из любознательности и без учителя» б. Юношей
19 лет он поступил на военную службу в чине лейтенанта
артиллерии и затем провел около десяти лет со своим пол-
ком в Валенса до Миньо.

В эту пору при короле Жозе I министр маркиз С. Ж. де
Помбал властно проводил антифеодальные и антиклери-
кальные реформы (1750—1777). Деятельность инквизи-
ции была ограничена, орден иезуитов распущен, пере-
устраивалась и совершенствовалась система образования,
в частности, был организован математический факультет
Университета в Коимбре.

Да Кунья принадлежал к группе свободомыслящей
португальской интеллигенции, распространявшей пере-
довые идеи «века просвещения». Видный прогрессивный
мыслитель, да Кунья зарекомендовал себя также как
автор мему ара по баллистике, в котором подверг критике
некоторые положения Белидора и Дюлака. Осенью 1773 г.
маркиз де Помбал, высоко ценивший способности и
знания молодого офицера, назначил его на вакантное
место профессора геометрии в Университете г. Коимбры 6.
В течение четырех лет да Кунья успешно работал в Уни-
верситете, но в 1777 г., когда, со смертью Жозе I, маркиз
де Помбал был отстранен и к власти вернулись реакцио-
неры, он сразу потерял все — кафедру, общественное
положение и даже свободу. Покровительство впавшего
в немилость министра стало одной из главных причин
его бедствий; к тому же он имел опасных врагов на мате-
матическом факультете, в частности, бывшего иезуита

Mathematicos» de Jose Anastacio da Cunha. Congresso do Mundo
Portugues. 1: 1940, 123—140. Фотокопией этой статьи я обязан
любезности проф. Ж. Г. Тейшейра (Лиссабон).

5 Цитировано по заявлению, сделанному да Кунья 10 июля 1778 г.
в ходе его процесса (см. далее) и опубликованному в книге:
Т. Braga. Historia da Universidade de Coimbra, v. Ill, p. 619,
Lisboa, 1898. Я искренне благодарен проф. X. Бернету (Барсе-
лона), приславшему мне ксерокопию этого сочинения.

6 Свое доброе мнение о да Кунья де Помбал высказал в официальных
документах. См. Т. Braga. Historia da Universidade de Coimbra,
p. 500-501.

профессора Жозе Монтейро да Роша (1735—1819) 7.
По решению инквизиции Коимбры да Кунья был аресто-
ван и против него был возбужден позорный процесс по
обвинению в том, что он стал последователем таких писа-
телей, как «вероотступник Вольтер» и другие враги като-
лической религии 8 *. Осужденный в октябре 1778 г.
на три года заключения, он был освобожден в начале
1781 г. Поддержка одного влиятельного сановника по-
зволила ему занять должность профессора математики
в одном колледже; он смог начать (или возобновить)
подготовку своих «Математических начал». Но его здо-
ровье было подорвано в тюрьмах инквизиции и он скон-
чался 1 января 1787 г., не дожив до 44 лет.

Друг, ученик и поклонник да Кунья Жозе Мануел де
Абреу (1757—1815), переводчик его «Начал» па француз-
ский язык, рассказывает об этом сочинении следующее:
«Первые книги «Математических начал» были в Лиссабоне
известны, насколько помню, с 1782 г.; г. да Кунья при-
мерно в это время подготовлял их и отдавал печатать для
применения в королевском колледже св. Георга, директо-
ром которого тогда состоял. По мере того как они выхо-
дили из печати, их там излагали под его руководством.
Но поскольку этот колледж претерпел превратности
судеб, повлекших за собой ликвидацию должности, зани-
маемой там г. да Кунья, печатание остальной части его
труда задержалось и было закончено только в 1787 г.;
последнюю корректуру его он правил накануне своей
смерти» е. Таким образом, по словам де Абреу, всяческие

7 Да Роша, по специальности астроном, сыграл, наряду с да Ку-
нья, выдающуюся роль в развитии математических наук в Порту-
галии. Ф. Г. Тейшейра писал: «В Португалии тогда закончился
период упадка математических наук и взошла заря нового свет-
лого периода, который открыли эти двое знаменитых ученых;
обстоятельства, при каких они появились, еще более повышают
их заслуги. Влияние обоих профессоров на развитие образования
в Португалии ощущалось долго. . .». См. F. G. Teixeira. L’oeuvre
des mathematiques en Portugal depuis le siecle XVе jusqu’au siecle
XVIIIе. Memorie della Pont. Accademia delle Scienze Nuovi Lincei,
ser. II, v. 8. Roma, 1925, p. 346. Ксерокопия этой статьи была мне
любезно прислана проф. Р. Жакелем (Мюлуз).

8 Т. Braga. Historia da Universidade de Coimbra, p. 627.

8 Principes mathematiques de feu Joseph Anastace da Cunha, tra-
duits litteralement du portugais. Par J. M. d’Abreu. Bordeaux,
1811, p. 1. Фотокопию этой книги мне также прислал лиссабон-
ский профессор Ж. Г. Тейшейра; в дальнейшем она цитируется
как «Principes mathematiques».

несчастья, а также почти непрестанные страдания удру-
чали да Кунья в последние годы его жизни 10.

Да Кунья оставил после себя несколько рукописей,
названия которых свидетельствуют о его глубоком инте-
ресе к основаниям математики. Среди них были: «Вступи-
тельное рассуждение о первых началах геометрии», «О ма-
тематической бесконечности», «Против метода первых и
последних отношений возникающих и исчезающих коли-
честв Ньютона», «Предисловие к теории флюксий».
Большая часть этих рукописей в свое время находилась
у де Абреу, который расценивал их «как шедевры в смысле
стиля и глубины» 11. Не знаю, сохранились ли они до
нашего времени. «Опыт о началах механики» вышел
посмертно в Лондоне 12.

«Математические начала» состоят из 21 книги. Мы рас-
смотрим 9-ю книгу, в которой предложены концепция
да Кунья бесконечных рядов и новая теория показатель-
ной функции, и 15-ю книгу, содержащую начала исчис-
ления бесконечно малых.

Характерное для XVIII в. изложение теории показа-
тельной и логарифмической функций дал Эйлер в I томе
«Введения в анализ бесконечных» (1748). Прежде всего
(глава 6) он описывает, широко опираясь на интуицию
или неполную индукцию, основные свойства «показатель-
ного количества ах, где а > 0 и х — действительное
число, например, ее непрерывность для всех значений
—оо < я < + оо 13 и правило ат•ап=ат+п. Логарифми-
ческая функция впервые определяется как обратная
показательной, так что #=logo у, если у=ах. В главе 7,
следуя в основном Э. Галлею (1695), выводятся разло-

10 Последние часы жизни да Кунья подробно описал в личном письме
другой его ученик и поклонник Д. Домингос Антонио де Соза
Котиньо, маркиз до Фуншал (1760—1833). См. Т. Braga. Historia
da Universidade da Coimbra, p. 635—636.

11 Principes mathematiques, p. 1.

12 J. A. da Cunha. Ensayo sobre os principios de mechanica. Dada
a luz por D. D. A. de S. C. London, 1807. Инициалы эти означают
Д. Д. А. де Соза Котиньо, маркиза до Фуншал. Фотокопию этого
«Опыта», заслуживающего отдельного исследования, мне прислал
также проф. Ж. Г. Тейшейра.

13 Сам Эйлер говорил, что функция аху а>1, принимает все положи-
тельные значения между 0 и -j- со при подстановке вместо т всех
действительных чисел, заключающихся между — оо и -|-оо. Выраже-
ние «непрерывная функция» имело у Эйлера другое значение.

жения обеих функций в степенные ряды. Вывод основан
на обращении с бесконечными многочленами, как с конеч-
ными, и на отбрасывании конечных членов во всех выра-
жениях, содержащих бесконечные слагаемые (или же
бесконечно малых членов при наличии конечных). Кроме
того, в нем предполагается, что разложение биномиаль-
ной функции (14-я)”‘ имеет место для любых действитель-
ных х и т\ принимаются также некоторые другие недока-
занные предложения. Например, исходным пунктом вы-
числений является допущение, что при бесконечно малом
показателе ш	ш ,

а = 1 + Ао),

где к — постоянное число, зависящее от а 14.

Представляя любое конечное z как произведение wf,
где ш — бесконечно малая и i — бесконечно большая,
Эйлер выражает а по формуле бинома в виде

а‘ = а* = (1 + Ла>)‘ = (1 + -£-)‘= 1 +1 к2 +

заменяет каждую дробь (i—n)/i (n=l, 2, 3, . .	f=4-oo)

на единицу и получает экспоненциальное разложение
g л . kz . №z2 . k$z3

«=1+-+г7т + 7Т2Тз+--”

где к определяется равенством

С помощью аналогичных приемов, примененных к выра-
жению

log, (1+*) = | (1+^-1

(которое нетрудно вывести из формулы 1 +#= (1 + к
справедливой по Эйлеру, поскольку значение (1+А:а))*
при f=-|-oo «дойдет до любого числа, большего единицы»),
получается разложение логарифма

1оМ1+*)=|(т-т+7--'-)-

14 Сначала Эйлер принимает, что а > 1.

Н Заказ № 112

161

В ходе таких чисто формальных выводов вопрос о схо-
димости рядов просто не вставал, но он немедленно при-
обретал решающее значение, когда от алгебраических
преобразований переходили к вычислению конкретных
значений функции путем сложения последовательных
членов соответствующего ряда. Так, положив в логарифми-
ческом ряде 1-\-х=а, Эйлер находит для к представление
д-1	(а_1)2 , (д— 1)3

A— t	2'3

и пишет: «Величина этого бесконечного ряда, если поло-
жить <2=10, должна быть приблизительно = 2,30258,
хотя трудно понять, как может быть

О	9	92 .93	94

2,30258	и т. д„

так как члены этого ряда непрерывно увеличиваются и,
взяв сколько либо членов, нельзя получить сумму, близ-
кую к истинной» 15. Но он тут же выводит разложение для
loga £ х и, приняв у а = 10, получает

. 113^5 - 115 -Г * •

здесь члены ряда «заметно убывают, и поэтому скоро дают
для к достаточно близкое значение» 16.

Полвека спустя принципиально аналогичную трактовку
задачи мы встречаем у Лагранжа, который в главах III и
IV части I своей «Теории аналитических функций»
(1797) предложил два вывода тех же разложений. Эти
выводы различны, но оба сохраняют чисто формальный
характер и основаны на разложении биномиальной
функции (x-\-h)m, выведенном в допущении, что его первые
два члена при любом т всегда суть xm-\-mxm~1h1 что, по
утверждению Лагранжа, «легко доказать с помощью либо
простых правил арифметики, либо первых действий ал-
гебры» 17. Хотя, согласно Лагранжу, метод Галлея и

Л. Эйлер. Введение в анализ бесконечных, т. I. Перев. Е. Л. Па-
цановского. Под. ред. И. Б. Погребысского. М., Физматгиз,
1961, стр. 104.

16 Там же, стр. 105.

17 J. L. Lagrange. Theorie des fonctions analytiques. Nouv. ed.
Paris, 1813, p. 20.

Эйлера в анализе и допустим, ио его собственное доказа-
тельство имеет то преимущество, что «свободно от какого-
либо рассмотрения бесконечности» 18. Разумеется, и Ла-
гранж принимал в соображение сходимость рядов, как
только дело доходило до приближенных вычислений;
именно для оценки точности приближений, доставляемых
вычислением частных сумм рядов, должна была служить
его знаменитая формула остаточного члена ряда Тейлора.

Следует подчеркнуть, что математики XVIII в. отчет-
ливо различали сходящиеся ряды от расходящихся, хотя
иногда слово «сходящийся» употреблялось в другом
смысле, чем это делают после Коши. И они по существу
понимали под суммой ряда —|— и2 —... —ин -|-... число $,
являющееся пределом частных сумм sn первых п членов
Ui+^2+ • • • +пя при п —► +со, если такое число существует,
а сходящийся был для них ряд, имеющий конечную сумму.
В несколько иных выражениях такое определение имеется
у Лейбница (письмо к Николаю I Бернулли от 28 июня
1713 г.) 19. Маклорен в «Трактате о флюксиях» (1742)
говорил о «пределе суммы ряда» 20, а Эйлер в «Диффе-
ренциальном исчислении» (1755) писал, что в обычном
понимании «сумма каждого ряда всегда должна быть пре-
делом, к которому мы тем ближе подходим, чем больше
членов складываем» 21. Более того, математики XVIII в.
установили несколько критериев сходимости и знали,
в какой области сходятся многие применяемые ими сте-
пенные и иные ряды. В вопросе о природе расходящихся
рядов высказывались различные мнения. Некоторые уче-
ные полагали, что такие ряды незаконны и представляют
собой выражения, не имеющие суммы и лишенные смысла.
Другие, и притом весьма влиятельные математики, счи-
тали их законным и необходимым средством исследования.

18 J. L. Lagrange. Theorie des fonctions analytiques. Nouv. ed.
Paris, 1813, p. 31.

19 G. W. Leibniz. Mathematische Schriften, Bd. III. Halle, 1856,
S. 985.

20 C. MacLaurin. A treatise of fluxions (in two books), v. I. Edin-
burgh, 1742, p. 289. Термин «сумма» у Маклорена, как и у не-
которых других авторов того времени, означал сумму п первых
членов ряда; нашей же сумме ряда у него соответствует выраже-
ние «значение ряда, когда он предполагается бесконечно про-
долженным».

21 Л. Эйлер. Дифференциальное исчисление. Перев., статья и прим.
М. Я. Выгодского. М.—Л., Гостехпздат, 1949, стр. 100.

Эйлер, сделавший с их помощью немало блестящих
открытий, выдвинул гениальную идею обобщения понятия
суммы на расходящиеся ряды и разработал некоторые
общие принципы и методы, строго обоснованные в совре-
менной теории суммирования рядов. Но математики
XVIII в. были единодушны в том, что целые рациональ-
ные функции алгебры и бесконечные степенные ряды ана-
лиза управляются одними и теми же законами, что такие
ряды можно неограниченно и без учета их сходимости
подвергать таким же преобразованиям, как и конечные
многочлены, — умножению, перестановке членов, под-
становке ряда в ряд, дифференцированию, интегрирова-
нию и т. д.

В сочинениях по анализу, за редкими исключениями,
не считали нужным определять понятия сходимости и
суммы ряда и все действия над рядами производили,
не учитывая область их сходимости. Теория показатель-
ной функции и ее применения у да Кунья резко отличалась
от общепринятых стандартов изложения.

Эта теория изложена в IX книге «Математических на-
чал». В отличие от своих предшественников и современни-
ков, которые шли от предполагаемых известными свойств
показательной функции к выводу ее ряда Тейлора,
да Кунья определяет ах через сумму сходящегося степен-
ного ряда и уже отсюда получает ее свойства. Затем он
вводит логарифм как функцию, обратную показательной,
и устанавливает его свойства. Попутно получаются не-
которые логарифмические разложения, но здесь их связь
с логарифмом еще не устанавливается; это сделано
в XXI главе. В общем подход да Кунья к этой проблеме
предвосхищал (на уровне науки XVIII в.) методы совре-
менной теории аналитических функций 22.

Изложение в IX книге весьма лаконично, в ней всего
12 страниц. Прежде всего формулируется «Опреде-
ление I. Всякий ряд, число членов которого можно
увеличивать сколь угодно либо потому, что закон продол-
жения дан заранее, либо потому, что первые члены всегда
одинаково образуют те, которым они предшествуют,
называется сходящимся рядом, если, ограничиваясь дан-
ным числом первых членов, можно без приметной (consi-

22 Достоинства теории показательной функции да Кунья первым
высоко оценил де Абреу. См. Principes mathematiques, р. VI.

кЗёгаЫе) ошибки пренебречь остальными. В таких случаях,
записав достаточное число членов, чтобы указать закон
продолжения, сумму тех, которыми пренебрегают, обо-
значают через «и т. д.», поставленное после первых чле-
нов» 23.

Согласно Ж. В. Гонсальвесу, это определение означает,
что ряд	называется сходящимся,

(если, сколь малым бы ни было данное число е > 0, сумма
^«(-1+^+2+* ’	становится меньшей, чем е, начи-

ная с некоторого определенного значения п (е), как бы
велико ни было р. Другими словами, «да Кунья принял
в качестве определения то самое, что впоследствии стало
у Коши критерием сходимости» (так называемый крите-
рий Больцано—Коши). При этом «нельзя сказать, что
здесь не достает определения суммы, ибо такое определе-
ние в действительности неявно содержится (или подразуме-
вается: esta realmente implicita) в тексте» 24.

Хотя интерпретация Ж. В. Гонсальвеса заманчива 25,
все же она представляется весьма сомнительной. В кри-
терии Больцано—Коши сумма мя+1+ия+2-|-.*‘-|-мя+р со-
держит произвольно большое, но всякий раз ограниченное
число членов. Напротив, в определении да Кунья речь
идет обо всех «остальных» членах, следующих за «данным
числом первых членов», т. е. о выражении ип+1-}-ип+2-}- • • •
- - • -|-мя4.р+ • • •, содержащем неограниченное количество чле-
нов, и именно сумма этого выражения, называемая далее
«суммой тех, которыми пренебрегают», обозначается «че-
рез «и т. д.», поставленное после первых членов». Поэтому
определение сходимости или суммы бесконечного ряда

23 Principes mathematiques, р. 117. Гопсальвес приводит начало
цитированного текста по-португальски; в русском переводе опо
звучит так: «Математики называют сходящимся ряд, члены кото-
рого всякий раз одинаково определяются им предшествующими,
так что ряд можно постоянно продолжать, причем в конце концов
становится безразлично, продолжается он или нет, в силу того,
что можно без приметной ошибки пренебречь суммой скольких
угодно членов, если бы они были прибавлены к уже написанным
или указанным (a somma de quantos termos se quizesse ajuntar
aos ja escritos on indicados). . .» (J. V. Goncalves, p. 125).
Как видно, перевод де Абреу не всегда буквальный, вопреки
сказанному на титульном листе французского издания.

24 J. V. Goncalves, 1. с., р. 126.

6 Особенно, если пользоваться, как Гонсальвес, португальской
формулировкой дефиниции, звучащей не вполне определенно.

опирается у да Кунья на возможность оценки суммы не-
которого другого бесконечного ряда, т. е. есть определе-
ние idem per idem. Правда, в цитированных формулиров-
ках выражения «остальные» члены и «сумма тех, которыми
пренебрегают» (или «скольких угодно членов, если бы
они были прибавлены к уже написанным или указанным»),
применены без термина «все». В действительности, однако,
подразумевается и обозначается «и т. д.» сумма всех чле-
нов, начиная с некоторого. В таком же смысле употреб-
ляется «и т. д.» в последующих предложениях.

Как бы то ни было, определив понятие сходимости,
да Кунья в дальнейшем применяет только сходящиеся
ряды и в случае степенных рядов всякий раз устанавливает
область сходимости. Он систематически использует с этой
целью почленное сравнение рядов с положительными чле-
нами, не формулируя, впрочем, общих теорем. Установив
сходимость рассматриваемых рядов, да Кунья затем обра-
щается с ними так же, как его современники, т. е. приме-
няет к ним различные алгебраические и аналитические
действия без ограничений. Заключения его остаются
верными, ибо он оперирует степенными рядами только
внутри их области сходимости.

В качестве мажорирующих рядов да Кунья широко
использует геометрические прогрессии 26. Для этого он
прежде всего доказывает сходимость бесконечной геомет-
рической прогрессии с положительным знаменателем
с < 1 (предложение 1). Пусть дана прогрессия 1+с+
+с2+с3+ и т. д., 0<с<1. Легко доказать, что

1 1
некоторый член прогрессии обратных величин 1	— + ^+

+ и т. д., скажем член d = l/cn+1, окажется боль-

26 ф. г Тейшейра утверждал, что учение да Кунья эквивалентно
теореме о сходимости ряда с положительными членами в случае,
когда lim -	< 1, хотя такую теорему да Кунья и не высказал

71 —► СО Un

(Historia das Matematicas em Portugal, p. 255). Это неточно,
так как имеются ряды, сходимость которых может быть устано-
влена путем сравнения с убывающей геометрической прогрессией
и для которых отношение ня+1/ии не имеет предела, меньшего 1
(или не остается меньшим фиксированного числа к < 1). Ср.
также критические замечания у Ж. В. Гонсальвеса (цит. соч.,
стр. 127-129).

шим, чем любое данное число i7. Пусть е есть вели-
чина, «которой можно пренебречь без приметной ошибки»27 28.

1 1

Если взять член ~-------------г,то е>-—--------- «но значе-

е(1 — с) ’	d (1 — с) ’

1	—>	1с С2 С3

ние -5----з" не может оыть меньше, чем -г 4- -г4- -гЧ—гЧ-

а — са	d 1 d 1 d 1 d *

и т. д.»29, что можно проверить, умножив оба эти выра-
жения на d — cd, а значит, -тЧ-4-Ч~-з-Ч--гЧ- и т. д. =
d d * d d 1

= ся+1 _j_ c«+2 с«+з _|_ п т д меныпе e, 4T0 n требовалось
доказать. Цитированные только что слова знаменательны;

1

число -ту-.-г оольше суммы

d(l — с)

любом р и то же число «не

|(1+с+...+с?-1)
может быть меньше,

при

чем

1 С б?2

—+ -^ + ^“ + -j+ и т. д.» (до бесконечности). Случай

—1 < с 0 оставлен в стороне — для дальнейшего он не
требуется. Впрочем, да Кунья, как и другие математики
XVIII в., в своих формулировках не всегда различал
значение-относительного числа и его абсолютное значе-

ние,^ некогда он говорит, что некоторый ряд сходится
при с < 1, то- часто подразумевает, что —1 < с <4.

Из предложения I выведены два следствия: 1) ряд

л ,	, а2 , «з

1 4" йттт5—о+ . • • сходится при люоом а и 2) ряд

, аЗ д5

а у Ч~ у г • • • сходится при а <Л (следовало бы сказать

при —1 < а < 1). Чтобы доказать первое следствие,
да Кунья почленно сравнивает «продолжение данного
ряда, начиная с члена с»30 с показателем Ъ > а,

. ас . а2с ,
т. е. ряд с + —+	.

геометрической прогрессией с Ч- -

с мажорирующей
(6 + 1 )2 + ’ ’ ’ ТаК0<!

27 Для доказательства да Кунья представляет член d как сумму
/1 \ , /1 1\
возрастающих разностей 1 -]- ( — — 1J I -------------+ • • •

, ( 1 П

• • • + г ^я+1-7"/ и ссылается на аксиому, которую мы теперь

называем аксиомой Евдокса—Архимеда (ср. Principes mathe-
matiques, р. 24).

28 Principes mathematiques, p. 118. — Обозначения да Кунья здесь

29

несколько изменены.

Там же, р. 118.

Там же.

рассуждение имеет силу лишь для положительных
значений а, обстоятельство, которое автор не отме-
чает, и случай отрицательных а опущен либо по не-
досмотру, либо потому, что да Кунья считал очевидной
сходимость всякого абсолютно сходящегося (по нашей
терминологии) ряда.

Показательная функция а6, где а и Ъ — какие-либо
действительные числа (и основание а > 0, что выясняется
несколько далее), вводится в определении II: если

Л I . с2 . сЗ

а	1 + с + “2* + 2^3 + “

то величиной аь называется сумма ряда

(1)

(2)

ьзсз ,
2 • 3~*” ’ '

аь = 1 + Ьс -|-

62С2

сходящегося для всех значений b и с. Чтобы определение II
имело смысл для всех значений а > 0, остается доказать,
что любое положительное число а может быть представ-
лено суммой ряда вида (1). Именно, согласно предложению
II это имеет место, если взять

причем последний ряд31 сходится, согласно второму
следствию, для любых значений а. В самом деле, положим
(a—l)/(a+l)=d, тогда

c=2(d + ^+...)	(39

и, поскольку a=(l+d)/(l—d),

а = 1 +2d-|-2d2 + 2d3+ ...,	(4)

«что доказывается путем умножения 1—d на частное
14-2d-|-2d2+2d3+ и т. д.» 32. Если подставить ряд (3')

.	с2 сЗ

вместо с в ряд 1 +	тг + тт—$+..., то получается пра-

Z Z * о

вая часть (4), т. е. число а.

31 Сумма которого равна натуральному логарифму а.

32 Principes mathematiques, р. 121 — и здесь обозначения фран-
цузского издания несколько изменены.

Основное свойство abac=ab+c доказывается посредством
перемножения рядов для аь и ас (предложение IV), после
чего легко выводятся формулы аь~с==аь!ас, а°=1,
а~ь=Иаь. Правила (аь)с—аЬс и acbc=(ab)c почти немед-
ленно вытекают из определения показательной функции
(предложения V и VI).

В предложении VII да Кунья весьма остроумно выводит
разложение бинома Ньютона

(1+0»=1+п<?+ n(n~V+---,	(5)

которое имеет место, «если только, когда п не есть целое
положительное число, Q < 1» 33. В выводе предвосхищена
идея представления степенной функции с помощью по-
казательной (причем вместо логарифмов используются соот-
ветствующие степенные ряды). Та же мысль была по-друго-
му проведена в знаменитых исследованиях Абеля о ряде
1 + #4“^^. 2~ а?2 4~ - • • (1826) и применяется в совре-
менных изложениях теории аналитических функций.
Допустим, что

и, следовательно (предложение II),

1 + С = 1+« + ^+2^+...,	(7)

так что

(1 + <2)” = 1 +тп + ±^ + ^+ ...	(8)

Заменив в ряду (6) величину @/(24-0 на прогрессию

Q <?/2	С2 , <?3	znx

2 -4- С 14- <?/2	2	4 "т“ 8	•••’	' 7

сходящуюся при —2 <С Q С 2, и проделав различные
приведения, да Кунья получает (логарифмическое) раз-

сходящееся при —Наконец, подстановка
последнего выражения для т в правую сторону равенства

33 Principes mathematiques, р. 124,

(8) доставляет, после перестановок и приведений, бино-
миальное разложение (5).

Предложения VIII и IX содержат некоторые преобра-
зования рядов (3) и (5). Упомянем второе из них

(1+<2)”=1 +

I п (п + 1) (п + 2) f Q у (	/44х

2-3 V + W ‘ ’’ k '

сходящееся при любом показателе п, если Q > —V2 или,
как выражается да Кунья, «если только Q < V2, когда Q
отрицательно или же когда п не целое отрицательное
число» 34; «в противном случае ряды, либо в теореме,
либо в доказательстве, не были бы сходящимися» 35.

Наконец, в определениях III и IV вводятся логарифмы
как показатели степеней какого-либо данного положи-
тельного основания и, в частности, натуральные лога-
1 1
рифмы, соответствующие основанию 1 -f- 1	—3 + • • 

В предложении X в нескольких словах доказаны главные
свойства логарифмов. Все это умещается на одной стра-
нице. Впрочем, да Кунья возвращается к показательной
и логарифмической функциям еще в XXI книге, где обра-
щает порядок изложения. Здесь он сперва определяет 1х
как функцию, для которой всегда la-\-lb=lab, так что
/1=0 36. Затем, допуская, что «во всех случаях» 37

I (1 + и) = Аи. + Ви2 + Си3 + ...,

он выражает все неопределенные коэффициенты В, С, . . .
через А с помощью почленного сравнения рядов:

Z [1 + [2и + и2)] = 2Аи + (Я + 4Z?) и2 + ....
и

Z(1 + 2u + u2) = 2Z (1 -\-и) = 2Аи-\-2Bu2....

что дает /(1 + „)==л /ц _

\ Z О	/

34 Principes mathematiques, р. 126.

35 Там же, стр. 127.

36 Идея определения непрерывной функции, как решения функцио-
нального уравнения, была ранее использована Эйлером: в одном
из своих доказательств биномиальной формулы он исходил из
уравнения / (а+&)=/(а) / (&) (Novi Comm. Acad. Petrop., t. 19,
1774 (1775)).

37 Principes mathematiques, p. 287.

Так как число А остается неопределенным, то существует
бесконечное множество систем логарифмов. Непосред-
ственно далее мы находим разложение 1а в ряд (3), а выра-
жение аь определяется как число, логарифм которого при
основании а равен Ь.

Наконец, да Кунья дает здесь новое доказательство
биномиальной формулы, сходное с выводом разложения
I (1+^). Именно, он допускает, что «во всех случаях воз-
можно» представить	в форме бесконечного ряда

14-^^+Ин2-|-Ви3Ч-----, который получается «в некоторых

случаях»38, и почленно сравнивает разложения, соот-
ветствующие

[1 + (2и + ,?)]»
и

(1 + 2и + и2)п = [(1 + н)”]2 = (1 + пи + Аи2 + ... )2.

Перейдем к принципам, положенным да Кунья в основу
исчисления бесконечно малых, которому посвящены XV
и следующие книги. Как всегда, стиль его в высшей сте-
пени лаконичен. Важнейшие определения занимают ме-
нее двух первых страниц XV книги и не сопровождены
какими-либо пояснениями или примерами. Центральными
являются понятия бесконечно большой и бесконечно ма-
лой величин; в этом, как и в обозначениях, да Кунья
примыкал к школе Лейбница. Подобно Даламберу и
Люилье, он рассматривает только потенциальные инфи-
нитезимальные величины; с другой стороны, в противо-
положность этим сторонникам теории пределов, он из-
бегает явного употребления понятия предела. Выше мы
упомянули его сочинение против метода первых и послед-
них отношений Ньютона.

Определив прежде всего, что такое постоянная (это —
выражение, принимающее только одно значение) и пере-
менная (выражение, которое может принять более одного
значения), да Кунья формулирует определение II: «Пере-
менная, которая может принимать значение, всякий раз
большее, чем любая данная величина, бесконечна] пере-
менная, значение которой может всякий раз стать меньше,
чем любая данная величина, называется бесконечно малой
(infinitieme). В определении III речь идет о понятии
функции: «Если значение выражения А зависит от зна-

38 Principes mathematiques, р. 287.

Чения другого выражения В, то А называют функцией В,
8QB*— корнем Л» зе.

Особенно замечательно определение IV, эквивалентное
современному определению дифференциала: если при-
ращение А/ (х) функции / (ж), соответствующее значению
аргумента х и его приращению Дж, может быть представ-
лено в виде суммы Д/ (ж)=ЛДж4-еАж, где А не зависит от
Дж и е стремится к нулю вместе с Дж, то выражение Л Дж,
пропорциональное Дж, называется дифференциалом функ-
ции / (ж) при значении ж и обозначается df (ж). Впрочем,
терминология да Кунья для нас непривычна: дифференциал
он называет флюксией, пользуясь словом, которое у Нью-
тона означало скорость флюенты, т. е. производную пере-
менной величины, но которое в те времена иногда служило
синонимом бесконечно малого приращения, у Ньютона
имевшего название момент 38 * 40. Например, Л. де Бугенвиль
в 1754 г. писал: «То, что Лейбниц именует разностью,
Ньютон именует флюксией» 41. Сходное замечание имеется
у Эйлера (1755), который, отдавая решительное пред-
почтение обозначениям Лейбница, весьма ценил термино-
логию Ньютона42. Определение IV да Кунья гласит:
«Если обозначить dx величину, взятую однородной с кор-
нем ж, и назвать ее флюксией этого корня, то обозначают
также dVx и называют флюксией Гж величину, которая

7 /7	и	Г (ж —I— dx) — Гж dr*c gr

делает dl х dx постоянной, а —-—-------------г- беско-

’	dx	dx

нечно малой или нулем, когда dx становится бесконечно
малой и все, что не зависит от dx, остается постоянным» 43.
Как видно, да Кунья сделал попытку согласовать терми-
нологию метода флюксий с символикой дифференциаль-
ного исчисления, попытку, которую Эйлер считал практи-
чески бесполезной.

Да Кунья впервые дал строгое аналитическое опреде-
ление дифференциала, вновь введенное и использованное

38 Principes mathematiques, р. 196.

40 Так поступали, например, некоторые ближайшие последователи
Ньютона. См. F. Cajory. A history of the conceptions of limits

and fluxions in Great Britain from Newton to Woodhouse. Chicago
and London, 1919, p. 49—55.

41 De Bougainville. Traite du calcul integral, I partie. Paris, 1754,
p. VI.

42 Л. Эйлер. Интегральное исчисление, т. I. Перев. С. Я. Лурье
и М. Я. Выгодского. М., Гостехиздат, 1956, стр. 10.

43 Principes mathematiques, р. 197.

математиками XIX в. Для своего времени это был не-
сомненный шаг вперед. Правда, точное определение диф-
ференциала функции в геометрической форме было пред-
ложено еще Лейбницем в его знаменитой работе «Новый
метод. . .» 1684 г. Для функции y=f (х)\ изображенной
плоской кривой С, дифференциал dy ординаты у Лейбниц
определил пропорцией dy : dx=y : st, где dx есть произ-
вольное приращение абсциссы, х и st — подкасательная
кривой в точке с абсциссой х. Но это определение, соот-
ветствующее аналитическому определению dy=y'dx44,
никогда не применялось для вычисления дифференциалов,
и оно более не встречается в позднейших сочинениях
XVII и XVIII вв. Дифференциал dy=df (х) определяли
как бесконечное малое приращение функции Ау, соот-
ветствующее бесконечно малому приращению dx аргу-
мента х, т. е. принимали, что dy=ky. Вместе с тем на деле
значение dy вычисляли, рассматривая dy как часть Ау,
и именно ту часть, которая пропорциональна dx\ с этой
целью в выражении Ау отбрасывали все слагаемые, со-
держащие высшие степени dx. Так поступали сам Лейбниц,
Яков и Иоганн I Бернулли, Лопиталь, Эйлер и др. Оче-
видное противоречие между равенством dy=ky и нера-
венством dy=^ky долгое время оставалось одним из глав-
ных источников парадоксов метафизики (по выражению
Даламбера) исчисления бесконечно малых 45. Определение
IV да Кунья позволяло устранить это противоречие и
узаконить всю практику дифференциального исчисления.

Оставляя в стороне определение V флюенты, т. е. ин-
теграла, и определение VI — флюксий высших порядков,
мы рассмотрим несколько теорем XV книги. Иные рас-
суждения автора отнюдь не безупречны с нашей точки
зрения; это не лишает их исторического интереса. Со-
гласно I предложению, «при бесконечно малой х и постоян-
ных Л, В, С и т. д. бесконечно малой будет Ах-\-Вх2-\-Сз?-\-
и т. д.» 46. Пусть Q — какая-либо данная величина, Р —
какое-либо число, большее каждого из коэффициентов,

44 В сущности это было обращение правила определения подкаса-
тельной.

4- См. мою статью «Л. Карно и конкурс Берлинской академии
наук 1786 г. на тему о математической теории бесконечного».
(Наст, сб., стр. 135—136. — Ред.)

46 Principes mathematiques, р. 197. — Это же предложение опубли-
ковал Люилье: L'Huilier. Exposition elementaire des principes
des calculs superieurs. Berlin, 1786, p. 23.

и п (конечное) — число коэффициентов; в таком случае
АхД-Вх2-\- и т. д. < Q, если взять х < Q/nP и < 1 (как обы-
чно, рассматриваемые величины предполагаются положи-
тельными). В предложении II устанавливается, что
d (xn)=nx1t~1dx\ однако не сказано, что приведенное дока-
зательство имеет силу только при целых положитель-
ных п. Любопытно предложение VI, которое мы вос-
произведем вместе с выводом: «Г (x-\~dx)—Гя становится
бесконечно малой, если принять здесь dx бесконечно ма-
лой, и все, что не зависит от dx, постоянным. Ибо при
этих двух условиях dPxIdx постоянна, а следовательно,
Г (х -|- dx) — Гх d£x

—----dx--------dx бесконечно мала или нуль; отсюда

dFx ,	.	ГГ(а;4-</а;)	—	Га;	</ГаП	,

же	следует,	что	-y—dx 4- ——г1-----------------v-	dx =

J ’	dx 1 L dx	dx	J

= Г (x-[-dx) — Гя = бесконечно малой» 47.

Справедливо, что функция, дифференцируемая при
значении х, при этом значении непрерывна. Однако да
Кунья нигде не выделяет понятия непрерывности
в смысле Больцано и Коши; кроме того, он несомненно
не представлял себе непрерывных функций без производ-
ных, за исключением отдельных точек. В контексте
книги XV предложение VI служит леммой, которая исполь-
зуется в доказательстве формулы d (xTx)=dxTx-\-xdrx
(предложение VII). Для этого да Кунья выражает раз-
ность

(х 4- dx) Г (х 4- dx) — хТх dxFx — xd£x
dx	dx

в виде суммы двух бесконечно малых

[Г(* + £)~Г*_д х + [Г (х + dx) - Гх].

Дифференциал логарифма вычислен посредством по-
членного дифференцирования экспоненциального ряда
ж = 1 4-^ + у (^)2 + ^~(^)3+ • • • (предложение VIII). Раз-
ложение данной функции в ряд Тейлора находится по ме-
тоду неопределенных коэффициентов при допущении воз-
можности такого разложения (предложение XI), — такой
вывод в свое время дал Маклорен (1742). Оставляя в сто-
роне теоремы о перестановке порядка дифференцирований

47 Principes mathematiques, р. 199.

функций многих переменных (предложение XII), о вы-
числении площадей (XIII), длин дуг (XIV), объемов
(XVIII) и некоторые другие, приведем еще предложе-
ние XVI: «Разность двух флюент с равными флюксиями
не зависит от корня»48. Допустим, что dVx=dkx и
Гя—тогда й0я=О и да Кунья заключает, что Ох
не зависит от х. Насколько я знаю, это была первая форму-
лировка основной теоремы интегрального исчисления,
которую мы выводим теперь из формулы конечных при-
ращений Лагранжа (1797).

«Начала» да Кунья вне Португалии не изучали, их фран-
цузский перевод не привлек внимания специалистов 49.
Как учебный курс, это сочинение не могло конкурировать
с трактатами Лакруа и другими распространенными тогда
руководствами, а вскоре после французского издания
«Начал» (1811) появились знаменитые «Алгебраический
анализ» (1821) и «Резюме лекций. . . по исчислению бес-
конечно малых» (1823) Коши. В общем «Начала» да Кунья
не смогли оказать влияния на прогресс математической
мысли, какого заслуживали. Можно сказать, что это со-
чинение разделило трагическую судьбу автора. Само
назначение книги и ее чрезмерная краткость помешали
автору полнее развить свои новые идеи. И мог ли кто-
либо подозревать, что такие мысли содержатся в пере-
веденном с португальского учебнике автора, имя которого
было вовсе неизвестно за пределами его родины? Как бы
то ни было, мы можем и должны отнести Ж. А. да Кунья
к числу выдающихся предшественников той реформы
исчисления бесконечно малых, которую начали проводить
вскоре после его преждевременной смерти Больцано,
Гаусс, Коши, Абель и другие математики XIX в.

48 Principes mathematiques, р. 205.

48 Мне известен только один отклик того времени на книгу да Кунья
вне Португалии, а именно ее высокая оценка шотландским ма-

тематиком и физиком Джоном Плейфером (1748—1819), который
характеризовал ее как первый научный труд в Португалии, де-
лающий ей честь. Ср. J. V. Goncalves, 1. с., р. 130, 140);
Grande enciclopedia portuguesa е brasileira, v. VIII, p. 262 (статья
«Da Cunha J. A.»).

ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.
КОНЦЕПЦИИ ШАРЛЯ МЕРЗ

И КАРЛА ВЕЙЕРШТРАССА1

П. Дюгак

Между 1860 и 1870 гг. Шарль Мерз во Франции, Карл
Вейерштрасс и Рихард Дедекинд в Германии независимо
друг от друга разработали теории иррациональных чи-
сел и, более или менее явно, обратили внимание матема-
тиков на нестрогость в определении понятия предела
без корректного определения действительных чисел.

Из наших исследований вытекает, что нельзя, как это
обычно делают, сопоставлять вклад Мерз, Вейерштрасса
и Дедекинда с тем, что сделали Эдуард Гейне и Георг
Кантор. В самом деле, Гейне и Кантор знали теорию ирра-
циональных чисел Вейерштрасса и, несмотря на ориги-
нальность их теорий, их конструкции не вытекали из
той внутренней необходимости, которая, как мы поста-
раемся показать, имеется в работах Мерз и Вейерштрасса.
Изучение теории Дедекинда будет сделано в даль-
нейшем.

Изложим вкратце теорию Мерз, которую мы рассмотрели
в [1], и остановимся на теории Вейерштрасса (некоторые
новые полученные результаты были изложены 4 марта
1971 г. на семинаре по истории математики в Институте
Анри Пуанкаре в Париже); она будет детально изучена
в [2], где получат развитие выраженные здесь идеи.

Шарль Мерз был убежден, что анализ является основой
всей математики, и, считая его «жалким и несвязанным»,
а также абсолютно не строгим, посвятил все силы, чтобы
«сделать его естественным, ясным и строгим, как любой
вопрос элементарной алгебры» [1, стр. 334]. В 1868 и
1869 гг. Мерэ опубликовал два фундаментальных ме-
муара. Первый посвящен его концепции анализа, который,
по его мнению, должен основываться на разложении
функций в ряды Тейлора; таким образом, он остается

1 Доклад, прочитанный на XIII Международном конгрессе по
истории науки (Москва, 19 августа 1971 г.).

в рамках концепции Лагранжа, привнося в нее недостаю-
щую строгость.

Во втором мему аре содержится первое из опубликован-
ных и удовлетворительное определение иррациональных
чисел. Чтобы довести до конца алгебраизацию анализа,
которую он поставил себе целью с 1868 г., Мерз нужен был
такой необходимый инструмент, как понятие предела.
С самого начала реализации своего плана он сталкивается
с препятствием: имеются последовательности рациональ-
ных чисел, не сходящиеся к рациональному числу, но
обладающие некоторыми свойствами последовательностей
рациональных чисел, сходящихся к рациональным числам.
Чтобы устранить это препятствие в разработке своей ма-
тематической теории, он, начиная с 1869 г., строит строгую
теорию иррациональных чисел.

Для этого Мерэ рассматривает последовательность ра-
циональных чисел v=(vn), которая стремится к рациональ-
ному числу V при п, стремящемся к бесконечности. Отсюда
немедленно следует, что vn+p—vn стремится к нулю, если
пир стремятся к бесконечности. Если не существует ра-
ционального числа, к которому стремится последователь-
ность р, но если разность ип+р—vn стремится к нулю, то
«последовательность v чрезвычайно схожа» [1, стр. 340]
с последовательностями, сходящимися к рациональным
числам. И Мерэ говорит, что эта последовательность схо-
дится к фиктивному пределу. Уточнения, данные затем
Мерэ этим фиктивным пределам, которыми он дополняет
множество рациональных чисел, превращают их в ир-
рациональные числа. Так же их определяют и по сей день,
так как его определение соответствует переходу к фактор-
множеству при помощи отношения эквивалентности. В са-
мом деле, он вводит понятие эквивалентных последова-
тельностей: две последовательности или эквивалентны,
если их разность стремится к нулю при стремлении
п к бесконечности. Мерэ добавляет, что «две последователь-
ности, эквивалентные третьей, эквивалентны между со-
бой» [1, стр. 341 ].

Более того, одним знаком можно обозначить и
фиктивный предел последовательности и, и предел
любой последовательности, «эквивалентной и».

Следовательно, иррациональное число — это множество
эквивалентных последовательностей. Таким образом,
Мерэ, пользуясь методом последовательностей Коши,

определил действительные числа как дополнение к ра-
циональным числам.

С 1834 по 1838 г. Вейерштрасс изучал право в Бонне,
но одновременно изучал труды Абеля и Якоби по эллипти-
ческим функциям. Последние так увлекли его, что он
поставил себе целью продолжить и закончить работы этих
математиков по эллиптическим функциям, тем более что
ему удалось [2] к концу пребывания в Бонне установить
у

х	„	С dt

для функции у, определяемой из х= I -—	,

о

х 4-	+ в/Я7 + • • •

соотношение у—-,- / о —г'----------------, т. е. вы-

*	1 +	-J- bGxb	’

разить функцию, обратную к ж, как частное двух степенных
рядов. Эта форма была указана ранее Якоби и Абелем,
но Вейерштрасс вычислил коэффициенты рядов и применил
тот же метод к другим эллиптическим функциям. Таким
образом, с самого начала к исследованию эллиптических
функций применяется аппарат теории степенных рядов,
аппарат, который со временем стал независимой ветвью
и привел к теории аналитических функций Вейерштрасса.

После исследований в области эллиптических, абелевых
и аналитических функций, но не занимаясь достаточно
основаниями анализа, Вейерштрасс в 1856 г. приехал
в Берлин, чтобы преподавать в Технологическом инсти-
туте (Gewerbeinstitut) и университете. Довольно полный
обзор курса анализа, прочитанного Вейерштрассом до
1860 г. в Технологическом институте, дан в заметках
Шварца в 1861 г. [4], впервые изученных в [2]. Этот
курс показывает, что новый предмет преподавания (Вейер-
штрасс до этого преподавал только в средней школе)
заставил его вновь обдумать те понятия, которые лежат
в основе анализа. Заметки Шварца показывают, что Вейер-
штрасс в 1861 г. еще не создал свою теорию иррациональ-
ных чисел и, вопреки тому, что часто утверждалось, он
в 1861 г. еще не построил свою непрерывную функцию без
производной. Основное в этом курсе — определение пре-
дела функции при помощи ей 3 [2, 4] —есть решающий
шаг в анализе. Здесь имеется понятие окрестности
[4, стр. 3], строгое определение бесконечно малых
[4, стр. 5], определение производной [4, стр. 6] в форме
/ (x-\-h)—f (x)=ff (х) h-[-h (h), где (h)=o (h). Порази-
тельна в заметках Шварца современная манера из-

ложения курса. Но главным является текст [4, стр. 35],
так как там мы находим набросок теории иррацио-
нальных чисел, из которого видно, что в основу
будущей теории действительных чисел ляжет понятие
бесконечного ряда. Вейерштрасс говорил: «По существуют
также величины, которые не выражаются через единицу
и части единицы, к ним применяют форму бесконечных
рядов».

В зимнем семестре 1861/62 г. в Берлинском универси-
тете Вейерштрасс впервые объявил курс «Общей теории
аналитических функций», но из-за тяжелой болезни не
смог читать лекции; этот курс он начал читать только зи-
мой 1863/64 г. Мы датируем первое публичное изложение
его теории этой зимой и думаем, что теория была разрабо-
тана около 1863 г. [2]. Курс был повторен зимой
1865/66 г., и оп вдохновил Е. Коссака па первое печатное
изложение теории Вейерштрасса [3]. Кроме книги Кос-
сака, мы рассматриваем в [2] рукописные заметки Г. Гет-
нера [5] по курсу 1874 г., А. Гурвица [6] по курсу 1878 г.
и, наконец, рукопись Тиме [7] по последнему курсу ана-
лиза Вейерштрасса 1886 г., которая изучается впервые.
Сравнение этих рукописей сделано в [2], здесь же мы
ограничимся их общим обзором. Это, конечно, не позволит
выявить полностью различия изложений курсов Вейер-
штрасса и трудности его радикальной попытки сделать
основания анализа абсолютно строгими.

Все рукописи начинаются с наивной теории целых чисел,
но в ней уже есть понятия, которые станут основными в тео-
рии множеств. Построив положительные рациональные
числа как агрегаты, составленные из элементов еп (и их крат-
ных), причем пеи=1 и сумма еп равна рассматриваемому
рациональному числу, Вейерштрасс вводит определение:
число В является частью числа А, если каждый элемент В
является элементом А. На множестве рациональных
чисел можно определить подстановки, состоящие в за-
мене п элементов 1/п единицей и любого элемента г через
гп i/n. Можно дать определение равенства двух чисел:
говорят, что два числа А и В равны, если любую часть
А можно преобразовать путем подстановки в часть В, и,
обратно, любую часть В превратить в часть А. Чтобы опре-
делить агрегат, составленный из бесконечного числа по-
ложительных рациональных чисел, вводится критерий
конечности: агрегат А называется конечным, если сущест-

вует рациональное положительное число В, такое, что лю-
бая конечная часть А содержится в В. Затем множество
положительных рациональных чисел дополняется выше-
описанными агрегатами А и их равенство определяется
так же, как и для агрегатов, составленных из конечного
числа элементов, заменяя только в определении термин
«часть» термином «конечная часть». Вейерштрасс доказы-
вает, что если агрегат имеет конечное значение, то его
можно разложить на два; в одном будет конечное число
элементов, в другом — бесконечное, причем сумма эле-
ментов второго меньше любого заранее заданного числа.
Таким образом, определение Вейерштрасса равносильно
определению Мерэ. Не составляет труда дальше построить
множество всех действительных чисел, дополняя мно-
жество положительных действительных чисел.

В заключение процитируем Мерэ: «Как аналист, я ни-
когда не сравнивал себя с Вейерштрассом, который раз-
двинул границы поля математики, я же только удалял
камни и тернии на этом поле» [2].

ЛИТЕРАТУРА

1.	Р. Dugac. Ch. Мёгау et la notion de limite. — Rev. Hist. Sci.,
1970, 23, 333-350.

2.	P. Dugac. Elements d’analyse de Karl Weierstrass. — Archive
for history of exact sciences.

3.	E. Kossak. Die Elemente der Arithmetik, Programm Fried. —
Werder. Gymn., Berlin, 1872.

4.	K. Weierstrass. Differentialrechnung, Vorlesung, 1861, par
H. A. Schwarz, Djursholm.

5.	K. Weierstrass. Einleitung in die Theorie der analytischen Funk-
tionen, 1874, par G. Hettner, Gottingen.

6.	K. Weierstrass. Einleitung in die Theorie der analytischen Funk-
tionen, 1878, par A. Hurwitz, Zurich.

7.	K. Weierstrass. Ausgewahlte Kapitel aus der Funktionenlehre,
1886, par G. Thieme, Berlin.

К ИСТОРИИ
Теории дифференциальных уравнений
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

С. С. Демидов

1. Рассматривается уравнение

dz dz d-z d%z d^z \ n
ж, u, z, -3—, *3—. -3-r, 3—7-,
k u dx ’ dy ’ Эх2 ’ dxdy ’ dy2 J

или, в обозначениях Г. Монжа,

F (х, у, z, р, q, г, s, t) = О,
где
dz	dz	d%z	d^z

P =~T~ t	Г==~Г~9, S = 3—7-,

r dx ’ a dy ’	dx2 *	dxdy ’

^3

~ dy* ’

Рассмотрим выражение

л 1 fdF\z
° — 4 \ ds )

dF dF
dt dr *

Пусть z (я, у) — некоторое решение уравнения. Рас-
смотрим 8 в некоторой точке (xlf у1ь z (хг ух)). Уравнение
называется эллиптическим, параболическим или гипер-
болическим в данной точке, если соответственно В < О,
8 = 0 или 8 > 0. В дальнейшем мы будем рассматривать
в основном линейные уравнения, т. е. уравнения вида

А (х, у)	+ 2 В (х, у) + С (х, у)	+ а (х, у)^+

+Ь(х, у)-^ + с(х, у)z + j(x, у) = 0.	(1)

В этом частном случае уравнение будет являться эллип-
тическим, параболическим или гиперболическим в (ж1} у±),
если соответственно

8 = В2 — АС <0,	8 = 0 или 8 > 0.

Классическими примерами уравнений этих типов могут
служить:

уравнение Лапласа (эллиптическое уравнение)

дх% + ду2 ~~ U’
уравнение теплопроводности (параболическое уравнение),
d2z dz

уравнение колебаний струны (гиперболическое уравнение)
дх2	ду2 *	' '

По аналогии с обыкновенными дифференциальными
уравнениями можно было бы искать общее решение
уравнений с частными производными, т. е. такое решение,
зависящее от произвольных функций, что любое решение,
за исключением, может быть, так называемых «особых»
решений, получалось бы из данного надлежащим выбором
этих произвольных функций г. Однако оно может быть
найдено лишь в редких случаях. К тому же оно не при-
носит подчас пользы для решения конкретных краевых
задач.

Например, рассмотрим уравнение Лапласа (2). Дей-
ствительная часть любой аналитической функции явля-
ется решением этого уравнения. Обратно: любое решение
уравнения Лапласа — действительная часть некоторой ана-
литической функции. Следовательно, z (х, y) = Re / (x-\-iy),
где / (x-\-iy) — произвольная аналитическая функция,
общее решение уравнения (2).

Рассмотрим теперь задачу Дирихле для уравнения (2):
на достаточно гладкой границе Г некоторой конечной
области D плоскости (х, у) задается непрерывная функция
(х, у); требуется найти функцию z (х, у), такую, что
внутри D и z|r = <p. Однако оказывается, что
выделение из общего решения частного, дающего решение
задачи Дирихле, вырастает в новую задачу, по своей
сложности ничем не уступающую первоначальной. В силу
указанных причин дифференциальные уравнения изу-
чаются в связи с некоторыми краевыми задачами. При-
мерами таких задач могут являться упомянутая только

1 Понятие «общего решения» с течением времени эволюционировало,
о чем см. ниже.

что задача Дирихле, задача К. Неймана (па достаточно
гладкой границе Г некоторой конечной области D зада-
ется функция ср; требуется найти такую функцию z (х, у),
которая внутри D удовлетворяет уравнению (2) и =?),
задача Коши для уравнения (3) (найти функцию z (х, у),
при у > 0 удовлетворяющую уравнению (3) и при i/=0
обращающуюся в заранее заданную функцию ср (ж)),
задача Коши для уравнения (4) (найти такую функцию
z (х, у), при у > 0 удовлетворяющую уравнению (4),
чтобы dzldy и z при у= 0 обращались в заранее заданные
функции ср (х) и ф (х)).

Оказывается краевые задачи имеет смысл рассматривать
лишь по отношению к определенным типам уравнений.
Поставим задачу Коши для уравнения Лапласа (2) таким
образом: пайти функцию z (х, у), удовлетворяющую урав-
нению Лапласа (2) при у > 0 и условиям z (х, 0)=0,
zy(r, 0)=Ф(»)-

Допустим, что мы имеем решение этой задачи в некото-
рой области, ограниченной снизу отрезком оси х. Из-
вестно, что функция, гармоническая в области, у которой
граница содержит прямолинейный отрезок, и равная
нулю на этом отрезке, может быть гармонически продол-
жена на пего и через него. Так как производная гармони-
ческой функции есть гармоническая функция, то z^(x,y)
является гармонической функцией, следовательно, zfJ(x,y)—
аналитическая функция х при г/=0, поэтому ф (х)
обязана быть аналитической2. Однако многочисленные
задачи физики сводятся к задачам с неаналитическпми
начальными данными. Кажется вполне естественным по-
этому такое решение проблемы: заданные начальные функ-
ции в рассматриваемой части плоскости у=0 равномерно
аппроксимировать многочленами (что возможно по теореме
Вейерштрасса). Такой шаг был бы физически обоснован,
если бы из равномерной аппроксимации при у=0 полу-
чалась бы равномерная аппроксимация при у > 03.

В рассматриваемом нами случае это оказывается сов-
сем не так. В 1917 г. на заседании математического об-

2 Подобный пример можно найти в книге [1, стр. 169].

3 Действительно, условия Коши на практике не могут быть найдены
с абсолютной точностью, поэтому для естествознания предста-
вляют интерес лишь корректные задачи (о понятии корректности
см. ниже).

щества в Цюрихе Адамар доложил следующий, принад-

лежащий ему, пример 4 *; он положил в рассматриваемой

задаче ф(.г) sin пх, тогда

/	\	1 к •

z (х, у)=—— shny smnx

будет ее решением (пик — положительные посто-
янные). Так как |г (0, ж)|^ —, то при достаточно боль-
шом п | ъ'у (0, х) | будет сколь угодно малым для любых
х. В то же время полученное нами решение задачи Коши
будет принимать сколь угодно большие значения при

сколь угодно малых значениях у, если п достаточно ве-
лико. Таким образом, рассматриваемая задача оказыва-
ется некорректной б. Следовательно, при постановке кра-
евых задач встает вопрос об их корректности. Известно,
что поставленные выше краевые задачи для уранений
(2)—(4) корректны и в случае более общих уравнений
соответствующего типа и приводят к некорректным зада-

чам, когда они ставятся для уравнений иных типов.

1.	Таким образом, сегодня для исследуемого уравнения
ставится краевая задача (постановка задачи варьируется
в зависимости от типа уравнения) и уравнение рассматри-
вается в совокупности с краевыми условиями.

2.	Основные вопросы исследования краевой задачи —
вопросы существования, единственности и непрерывной
зависимости решений от начальных данных.

Итак, сегодняшняя теория дифференциальных уравне-
ний с частными производными — теория краевых задач
для таких уравнений 6. Однако такой подход к теории
стал преобладающим лишь в начале нынешнего столетия.
В прошлом веке теорию краевых задач относили к мате-
матической физике, понимая под теорией уравнений с част-
ными производными (или под общей их теорией, как тогда
ее часто называли) теорию построения общих решений
таких уравнений, зависящих от произвольных функций.
Если по истории теории краевых задач имеется целый ряд

4 Указанный пример содержится, например, в книге Адамара [2].

6 Будем, следуя Адамару, называть задачу корректной, если ее ре-
шение существует, единственно и непрерывно зависит от краевых
данных (так как малость изменения краевых функций можно пони-
мать по-разному, то существуют различные определения коррект-
ности, об одном из них см. [3, стр. 84—87]).

6 Здесь и далее, если не оговорено обратное, под дифференциальным
уравнением с частными производными следует понимать уравнение
второго порядка с двумя зависимыми переменным^,

интересных исследований, в большинстве своем написан-
ных в последнее время (Н. И. Симонова, Ф. И. Франкля,
С. С. Петровой, В. А. Сологуба, М. Г. Шраера и др.),
то по истории общей теории дифференциальных уравнений
таковые практически отсутствуют. В то же время теория
краевых задач относится к числу областей, наиболее
изучаемых математиками прошлого века, ее разработкой
занимались крупнейшие ученые своего времени, в ее гра-
ницах сформировались методы и общие понятия, которые
составляют важную часть современной теории дифферен-
циальных уравнений. Поэтому необходимость изучения
ее истории, на наш взгляд, совершенно очевидна.

В настоящей работе затрагиваются лишь некоторые
моменты истории общей теории дифференциальных урав-
нений с частными производными, группирующиеся вокруг
следующих вопросов: каким образом эволюционировало
понятие общего решения, как разрабатывалась задача
редукции дифференциальных уравнений с частными про-
изводными к простейшему виду, приведшая к созданию
современной классификации уравнений по типам, каким
образом формировался взгляд на краевую задачу как
на основную задачу теории. Безусловно, большая часть
вопросов истории общей теории уравнений с частными
производными остается при этом за рамками данной ста-
тьи, при написании которой автор пользовался рядом
работ советских и иностранных авторов, а также изда-
ниями первоисточников. Часть из них указана в тексте
и в библиографии в конце статьи 7.

2. Теория дифференциальных уравнений в частных про-
изводных возникла в XVIII в. Источниками ее создания
явились геометрические и физические задачи, причем
последние играли особо важную роль для уравнений
порядка выше первого. Геометрические задачи, например,
привели к «модулярным» уравнениям (уравнениям, со-
держащим модуль — параметр), а затем и к рассмотрению
таких уравнений, вроде

7 Автор пользуется случаем, чтобы выразить глубокую благодар-
ность А. П. Юшкевичу, под руководством которого написана эта
работа, а также А. Д. Соловьеву, прочитавшему рукопись и сде-
лавшему ряд важных замечаний.

(Эйлер, 1734/35, опубликовано в 1740). Различные воп-
росы физики и механики сводились к многочисленным
уравнениям второго и более высоких порядков, например:
уравнение колебаний струны (Даламбер, 1747, опубли-

ковано в 1749) 8

d2z __ d2z
дх2 ду2*

уравнение малых колебаний газа (Эйлер, 1760—1761)

d2z__ d2z . d2z . d2z

дх2 дх2 ' ди2 "* ди2 ’

уравнение колебаний мембраны (Эйлер, 1764, опубли-
ковано в 1766)

d2Z __ d2Z d2Z
ди2 дх2 * ду2 *

уравнение изгибных колебаний пластинки (Эйлер, 1772,
опубликовано в 1773)

d4z । ri d*z n

Если для обыкновенных дифференциальных уравнений
элементарные вопросы теории были в достаточной мере
выяснены к середине XVIII в., то природа интегралов
дифференциальных уравнений в частных производных
оставалась в то время довольно загадочной. Это объясня-
ется как принципиально большей сложностью проблемы,
так и слабостью аналитического аппарата, с одной сто-
роны, и, еще более недостаточной разработкой простран-
ственной геометрии — с другой. Первая монография по
этой теории — третий том «Интегрального исчисления»
Л. Эйлера (1770) (интересно отметить, что почти все ре-
зультаты по уравнениям в частных производных, изло-
женные там, принадлежат ему самому). Принимая дея-
тельность Эйлера за исходную точку 9, попытаемся сжато
изложить, какие из основных вопросов теории были им
подняты и в какой мере.

8 У самого Даламбера уравнение колебаний струны записывалось
в иной, по существу, эквивалентной приведенной форме; совре-
менная запись этого уравнения появляется в более поздних его
работах.

6 Для наших целей мы можем оставить в стороне выдающиеся
результаты, полученные в математической физике Даламбером,
Д. Бернулли, Лагранжем и другими учеными XVIII в.

Эйлер ищет, как он выражался, «полный» интеграл
дифференциального уравнения с частными производными,
содержащий произвольные функции, число которых равно
порядку уравнения. При помощи различных замен он
старается привести уравнение к такому виду, для которого
он может найти полный интеграл. Если это не удается
и решение находится в каком-нибудь другом виде, напри-
мер в виде ряда, то Эйлер не считает свою задачу окон-
чательно решенной.

Очень важно появление у Эйлера формулировки одной
из основных краевых задач уравнений с частными про-
изводными — начальной задачи. Рассматривая уравнение



и найдя его решение в виде

г = j dx j Р (х, у) dx + xf (у) + F (г/),

где / (у), Р (у) — произвольные функции, Эйлер пишет:
«Задача, приводящая к уравнению

всегда такова, что при заданном значении х=а задается
значение dzldx вместе с z в виде определенных функций
от у. Поэтому, если интегралы

Р (х, у) dx и i dx \ Р (х, у) dx

таковы, что при х=а они равны нулю, то при х=а полу-
чаем

=	z = af (у) + F (у),

и обе функции будут определены природой задачи. По-
этому мы должны при всех таких задачах искать полный
интеграл» [4, стр. 563]. Во-первых, как отмечено в [4],
начальная задача формулируется Эйлером, вообще говоря,
не только для данного уравнения, что указывает на по-
нимание им общности задачи, во-вторых, решение этой
задачи выделяется из полного интеграла.

К постановке этой задачи Эйлер приходит, по-видимому,
из естественной аналогии с обыкновенными дифференциаль-

ными уравнениями 10, а также из физических соображе-
ний, так как большая доля тех уравнений, которые он
рассматривает, — уравнения некоторых физических за-
дач.

Существенную роль сыграл факт применения метода
характеристик в действительной области.

Исследуя общее линейное гиперболическое уравнение

— 2Р Г7Г + (р2 — <?2) -тт + R 41
ду2 дхду 1 ' v / дх2 1 ду

+ S^+Tz+V=0,

где Р, Q, R, S, Т, V — функции х и у, Эйлер вводит
характеристические координаты.

t= j + (/> + <?) tty], u = j q[dx + (P — Q)dy],
где p, q — интегрирующие множители. После замены
он получает уравнение

(TV, М — функции х и у).

Этим методом для гиперболического случая Эйлер поль-
зуется неоднократно, например при нахождении интеграла
уравнения колебаний струны. Параболических уравнений
Эйлер почти не затрагивал, что, по-видимому, связано
с недостаточно четкой постановкой соответствующих
физических задач.

Отметим также, что при рассмотрении уравнений
Пфаффа Эйлер затрагивает вопрос о существовании ре-
шений уравнений с частными производными. Вопрос

10 Аналогия с обыкновенными уравнениями и успехи в теории по-
следних сыграли большую роль в развитии теории уравнений
с частными производными. Сведение таких уравнений первого
порядка к обыкновенным уравнениям и построение их теории
в трудах Эйлера, Даламбера, Лапласа, Лагранжа, Монжа и
Шарли привели к многочисленным работам аналогичного харак-
тера для уравнений второго порядка и породили многочисленные
аналогии как в постановке задач, так и в методах решений (на
теории уравнений второго порядка мы специально останавли-
ваться не будем, отсылая читателя к работам [5—7]).

этот возник у Эйлера по сути дела в связи с некоторым
недоразумением. В случае уравнения

Р (х, у, z)dx + Q (х, у, z) dy + R (х, у, z)dz = O
Эйлер ставил задачу нахождения многообразий лишь
двух измерений, удовлетворяющих данному уравнению,
т. е. интеграла вида / (х, у, z)=const. В связи с этим
возникали условия интегрируемости:

дР__dQ__dR дВ _дР

ду ~~~ дх 1	dz ду * дх dz *	' '

которые необходимы для того, чтобы выражение Pdx+
-\-Qdy-YRdz являлось полным дифференциалом функции
от х, у, z. Эйлер делил уравнения такого вида на «дей-
ствительные», для которых условие (5) выполняется,
и «мнимые», для которых оно не выполняется. Недоразу-
мение с появлением «действительных» и «мнимых» решений
связано с тем, что Эйлер совершенно не рассматривает
решения, являющиеся одномерными многообразиями (ко-
торые несколько позднее учел Г. Монж), это приводит
Эйлера к такому выводу: «Это различие между действи-
тельными и мнимыми уравнениями надо соблюдать
очень тщательно, особенно в интегральном исчислении,
ибо было бы смешно искать интеграл какого-нибудь диф-
ференциального уравнения, т. е. конечное уравнение,
удовлетворяющее ему, когда такого конечного уравнения
вовсе не существует» [8, стр. 201]. Обсуждая вопрос
о том, как появляются уравнения, не обладающие реше-
нием, Эйлер замечает, что их источником не могут быть
задачи математической физики, которые по самому своему
физическому смыслу должны иметь решение, и что такие
уравнения могут возникать из искусственных геометри-
ческих построений.

Как видно, Л. Эйлер затронул по существу все основ-
ные вопросы теории уравнений в частных производных.
К сожалению, его замечательные общие идеи оказались
затерянными среди большого количества других, подчас
менее важных и более частных результатов, разбросанных
великим математиком по многочисленным трудам.

Методом характеристик в действительной области поль-
зовался Лаплас [9, стр. 21], который создал для интегри-
рования гиперболических уравнений метод каскадов,
не потерявший своего значения и поныне. Однако ни

у Эйлера, ни у Лапласа понятия характеристики, по сути
дела, нет 11, как не было у них и общей геометрической
интерпретации уравнений в частных производных и их
решений. Основы геометрической теории уравнений, осо-
бенно первого порядка, заложил Г. Монж, которому
принадлежит понятие характеристики (ему принадлежит
и сам термин), сыгравшее важную роль в дальнейшем
развитии вопроса. В своем «Приложении анализа к геомет-
рии» (1807) Монж строит различные примеры дифферен-
циальных и конечных уравнений поверхностей, заданных
способом их образования. Так, например, для цилиндри-
ческих поверхностей он получает уравнения

ар -f- bq — 1 и у — bz — y(x — az),
для конических

(z — a)p + (y — b)q = z —с и =

для поверхностей, которые образуются движением прохо-
дящей через ось z прямой параллельно плоскости (х, у),
px + qy = 0 и z = <p(-0.

Исходя из многочисленных примеров такого сорта,
Монж разработал свой метод интегрирования уравнений
в частных производных. Важное значение при этом при-
обретает у него понятие характеристики. Монж недоста-
точно ясно различал два разных понятия характеристики,
которые он ввел п которые, вообще говоря, не эквивалент-
ны. В одних случаях под характеристикой он понимал
линию пересечения двух бесконечно близких поверхностей,
принадлежащих однопараметрическому их семейству, в
других случаях линию (вернее, многообразие нулевого
порядка, т. е. линию для уравнений первого порядка,
многообразие первого порядка, т. е. линейную полосу, для
уравнений второго порядка и т. д.), через которую можно
провести бесчисленное множество поверхностей, удовлет-
воряющих данному уравнению.

Для уравнений первого порядка имеется некоторое
основание смешивать эти два понятия. Любая поверх-

11 У Эйлера и у Лапласа рассматривается вопрос упрощения дан-
ного линейного уравнения путем замены переменной, у Эйлера —
случай гиперболических уравнений, у Лапласа — гиперболиче-
ских и параболических.

ность, не являющаяся особым интегралом данного урав-
нения, есть огибающая некоторого одиопараметрического
семейства поверхностей, соответствующим образом выде-
ленного из двупараметрического семейства, причем каж-
дая характеристика этого однопараметрического семей-
ства (т. е. характеристика в первом значении) есть харак-
теристика уравнения в частных производных (характери-
стика во втором значении) и наоборот. Для уравнений
высших порядков таких оснований, вообще говоря, нет.
Тем не менее, базируясь па довольно шатких соображе-
ниях, Монж выводит правильное уравнение характеристик
для общего уравнения второго порядка [10, стр. 159—
161], а также для уравнений более высоких порядков.

Следует отметить постановку Монжем краевых задач
для уравнений в частных производных. Само понятие
характеристики у Монжа (имеются в виду характеристики
во втором смысле) для уравнений второго порядка сво-
дится к тому, что для некоторой кривой С и разверты-
вающейся поверхности/), задаваемых уравнениями харак-
теристики, задача Коши (как мы бы сказали сегодня)
становится неопределенной. Приведем пример еще одной
из краевых задач Г. Монжа: «Даны в пространстве две
произвольные кривые двоякой кривизны; найти среди
всех поверхностей, образованных движением прямой,
остающейся всегда параллельной заданной неподвижной
плоскости, такую поверхность, которая проходит одно-
временно через обе кривые» [10, стр. 167]. Иначе это
можно переформулировать так: заданы две произвольные
кривые двоякой кривизны, найти все решения уравнения
(Cq+Brr-2(Cq+B)(Cp + A)s + (Cp + A)4 = 01	(6)

проходящие одновременно через обе эти кривые. Монж,
наряду с уравнением (6), строит конечные уравнения
этих поверхностей независимо от уравнения (6), которые
приобретают у него такой вид:

z~xy> (Ах + By + Cz) + yty (Ах + Бу + Cz),
т. е. задача свелась к нахождению функций ср и ф таким
образом, чтобы получить уравнение искомой индивидуаль-
ной поверхности.

Для теории уравнений не столь важны сами результаты
Монжа, как введенное им понятие характеристики и его
геометрический метод, которые позволили выработать

ту новую общую точку зрения, которая послужила фун-
даментом дальнейшего развития теории уравнений с част-
ными производными.

В 1815 г. Ампер [И] сделал попытку построения общей
теории уравнений в частных производных второго и более
высоких порядков. В начале своей работы Ампер опреде-
ляет общий интеграл: для того чтобы интеграл в понима-
нии Ампера был общим, нужно, чтобы из него не вытекало
никаких других зависимостей между переменными и их
производными до бесконечности, кроме выраженных дан-
ным уравнением и уравнениями, получающимися его
дифференцированием. (Это определение отличается от того,
какое было у Эйлера —«полный интеграл» — и какое
мы увидим у более поздних авторов.) Так, например,
общим интегралом уравнения

——— = 0	(7)

дуг дхг	' >

будет выражение

2 = ? (х + у) + Ф (я — у).

Действительно, z=<p (#+у)+ф (х—у) удовлетворяет урав-
нению (7) и всем уравнениям вида

дх*дук+% дх*+%дук

(i, к = 0, 1, 2...),

(8)

получаемым из данного дифференцированием i раз по х
и к раз по у. При этом из равенства z=<p (аЧ~у)+Ф (х—у),
дифференцируя его сколько угодно раз, нельзя получить
никаких соотношений, кроме тех, которые выражаются
уравнением (8).

Напротив, если рассмотреть выражение z=y (ж+у),
которое, очевидно, удовлетворяет уравнениям (7) и (8),
то путем его дифференцирования можно получить соотно-
шения, не входящие в (7) и (8). Например, такое

Таким образом, это выражение не является общим интегра-
лом в смысле Ампера.

Исследования Ампера касаются в основном так называ-
емых общих интегралов первого класса. К этому классу
он относит интегралы, зависящие от произвольных функ-
ций, но не содержащие «частных квадратур». «Частная
квадратура» по Амперу (или «частный интеграл» по ана-

логии с частным дифференциалом) — интеграл, подын-
тегральное выражение которого содержит произвольную
функцию от нескольких переменных, из которых только
одна рассматривается как переменная интегрирования,
а все остальные играют роль параметров. Например,
общий интеграл уравнения

d%z _ dz

дх% ду ’

который имеет вид

z=_U+f^lexpr_j£^)il^ (9)
2 Vtc J <Jy L	J	V

-со

где — произвольная функция, содержит «частную квад-
ратуру».

К этой работе непосредственно примыкает другой мемуар
Ампера, напечатанный в 18-й тетради того же журнала
[11 ]. В нем он развивает идеи предыдущей статьи, а также
сводит параболическое уравнение к тому виду, который
позже стали называть каноническим.

Результаты Ампера оказали большое влияние на даль-
нейшее развитие вопроса, в том числе на труды Д. Буля,
Э. Бура и, наконец, на монографию В. Г. Имшенецкого[12],
которая долгое время считалась классическим руковод-
ством в своей области.

В 1822 г. Фурье выпустил в свет «Аналитическую теорию
теплоты». По сути дела это математическая теория раз-
личных граничных задач для уравнения теплопроводности

dz	। d^z ( ()2z\

Фурье впервые систематически ищет решение в виде три-
гонометрического ряда. При этом он вновь нашел фор-
мулы коэффициентов этого ряда 12, показал, что функции
довольно широкого класса представимы на произвольном
конечном интервале в виде

со

2 (яя cos пх + bn sin пх},	(10)

я—0

12 Эти формулы были получены в 1777 г. Эйлером (опубликовано
в 1798) и еще ранее, в 1757 г., А. Клеро (опубликовано в 1759).

и в значительной мере разъяснил вопрос о возможности
изображения функций рядами, который явился предме-
том споров между Даниилом Бернулли, Даламбером,
Эйлером и другими математиками XVIII в.

В работах Пуассона, Дирихле, Остроградского совер-
шенствовался и обобщался метод Фурье, в трудах Гаусса,
Пуассона, Грина, Томпсона и Дирихле разрабатывалась
теория потенциала.

Весьма существенно отметить, что в дальнейшем мате-
матическая физика и общая теория уравнений с частными
производными развивались довольно обособленно друг
от друга. Той и другой посвящены свои монографии, свои
разделы в Энциклопедии математических наук [13, 141.
Д. Ф. Егоров в свое время по этому поводу писал:
«Аналитическая теория уравнений с частными производ-
ными 2-го порядка отделилась от математической физики,
благодаря принципиальной разнице в самой постановке
вопроса при изыскании интеграла данного уравнения,
в зависимости от того, рассматривается ли оно самосто-
ятельно или же как уравнение определенной задачи
физики.

Действительно, всякая физическая задача приводит
к определению функции, удовлетворяющей не только
уравнению с частными производными, но еще некоторым
начальным и предельным условиям, в силу которых
задача является вполне определенной; искомая функция
может быть найдена тем или другим приемом (разложе-
нием в ряд, при помощи определенных интегралов),
причем в выражение ее не входит никаких произвольных
величин. Между тем, если задачей нашей является опре-
деление функции, удовлетворяющей только данному урав-
нению с частными производными, то в выражение этой
функции необходимо должны входить произвольные вели-
чины, и является желательным определить как степень
произвола самого общего решения, так по возможности
и само решение» [15, стр. II].

Такое расхождение направлений развития общей теории
п математической физики существовало довольно долго,
и лишь на рубеже нашего столетия, когда общая теория
обратилась к изучению краевых задач, эти направления
слились. Правда, между обеими теориями всегда сущест-
вовала связь, которая поддерживалась как благодаря
общности темы, так и благодаря прозорливости некоторых

математиков, которые рассматривали краевые задачи как
одну из важнейших частей общей теории.

3. Первая четверть XIX в. — замечательный период
в истории математического анализа. Давно назревавшая
необходимость в более строгом обосновании этой науки
привела выдающихся математиков (Гаусс, Больцано и
особенно Коши, а затем Абель и другие) к ее построению
с помощью значительно усовершенствованной теории пре-
делов. Такое построение потребовало уточнения понятий
и свойств предела и бесконечно малой, привело к созда-
нию теории сходимости рядов, общей теории интеграла,
а затем учения о действительном числе (Дедекинд, Кантор,
Вейерштрасс) и теории функций действительного пере-
менного. Уже Коши перестал приписывать всеобщность
теоремам анализа и вводил в их формулировки столь
привычные нам ограничительные условия на функции.
При этом, что особо для нас важно, большое значение
начинают придавать проблемам существования исследуе-
мых объектов. Это были проблемы существования преде-
лов последовательностей, первообразных, определенных
интегралов и т. д.

Все эти новые идеи вошли и в теорию дифференциальных
уравнений. Здесь на первый план выступает проблема
существования решений. Надо отметить, что она, по-види-
мому, имела своим источником не только характерную
для всего математического анализа потребность в дока-
зательстве существования объектов, определяемых с по-
мощью инфинитезимальных методов, по и тот более част-
ный факт, что к тому времени уже выяснилась невозмож-
ность интегрирования в квадратурах произвольного обык-
новенного дифференциального уравнения. В таких слу-
чаях решение получали с помощью «бесконечных» про-
цессов аппроксимации и возникал вопрос о сходимости
последних.

Впервые проблему существования решения некоторой
краевой задачи рассмотрел О. Коши. В своих лекциях
1820—1830 гг. он сформулировал начальную задачу13,
или, как мы ее называем теперь, задачу Коши, и доказал
существование и единственность ее решения для уравнения
у' =f(x,y)

13 Конечно, начальную задачу рассматривал еще Л. Эйлер, но
только Коши начал рассматривать ее систематически, доказывая
для нее теоремы существования и единственности.

при начальных условиях х=х0, у=у0 в области непре-
рывности / (ж, у) и df (х, у)/ду (подробное доказательство
опубликовано Ф. Муаньо в 1844 г.). Под общим решением
обыкновенного уравнения тг-го порядка начинают пони-
мать такое решение, зависящее от п произвольных посто-
янных, которое содержит в себе решение любой задачи
Коши для данного уравнения при соответствующем вы-
боре этих постоянных.

В значительной мере по аналогии с обыкновенными диф-
ференциальными уравнениями строится и теория уравне-
ний с частными производными. Для них Коши ставит
начальную задачу, которую для уравнений второго по-
рядка можно сформулировать на языке дифференциальной
геометрии таким образом: имеем произвольную кривую
С и описанную развертывающуюся поверхность D, найти
интегральную поверхность уравнения второго порядка,
проходящую через С и касающуюся вдоль нее D.

Общий интеграл такого уравнения понимается как соот-
ношение между z, х, у и некоторыми произвольными
функциями, которое дает полное решение задачи Коши
для любой кривой С и поверхности D при соответствующем
выборе этих функций. Такое определение общего интеграла
было впервые высказано, по-видимому, Дарбу [16, стр. 98].
Легко показать, что почти все интегралы уравнения (1)
могут быть получены как решения некоторой определен-
ной задачи Коши. Исключение составляют лишь те реше-
ния (так называемые «особые» решения), вдоль которых
dFIdr, dF Ids, dFIdt тождественно равны нулю.

Интересно сравнить это определение с определением
Ампера. С. Ли [17] и Гурса [18, стр. 211—214] по-
казали на различных примерах, что интеграл, общий
в смысле Ампера, может не оказаться таковым в смысле
Дарбу.

Таким образом, задача Коши заняла в общей теории
дифференциальных уравнений с частными производными
второй половины XIX в. центральное положение. В 1874 г.
С. В. Ковалевской была доказана теорема существования
и единственности аналитического решения этой задачи
для систем дифференциальных уравнений с частными
производными при аналитичности начальных данных
и функций, задающих уравнения, а также в предположе-
нии, что рассматриваемая система имеет нормальную
форму (подробнее см., например, [3, стр. 22—38]).

Построение теории общих решений в смысле Дарбу,
положившего в основу задачу Коши, потребовала разви-
•тия теории характеристик. Как уже отмечалось выше,
определение характеристики для уравнений порядка выше
первого, данное Монжем, было путанным. Аккуратное
определение в случае уравнений второго порядка мы встре-
чаем в книге Дюбуа Реймона [19].

В самом начале этой монографии автор высказывает
интересную точку зрения, которая стала общепринятой
в XX столетии: «Если под общим интегралом понимать
•аналитическое выражение, содержащее все частные ин-
тегралы, то такого, на мой взгляд, вообще говоря, не су-
ществует» [19, стр. VII]. И далее: «Напротив, дифферен-
циальные уравнения с частными производными прихо-
дится рассматривать совместно с граничными значениями
как целое и нельзя разрывать их при исследовании»
[19, стр. VIII].

Одна из основных заслуг этой книги — четкое опре-
деление характеристик для уравнений второго порядка
и сознательное применение метода характеристик в дей-
ствительной области. В § 45, рассматривая старую задачу
приведения уравнений к простейшему виду путем замены
переменных, он сводит уравнение

r + S$+77 + C/ = 0

к одному из видов

s = <p(z, у, z, р, q)\ г или t = ф (ж, у, z, р, q),
переходя к характеристическим координатам в тех слу-
чаях, когда дифференциальные уравнения характеристик
допускают интегрирование в действительной области.

В статье 1889 г. [20], которая должна была в какой-то
мере восполнить материал недостающего второго выпуска
вышеупомянутой книги, Дюбуа Реймон рассмотрел и слу-
чай мнимых характеристик и впервые ввел классификацию
уравнений (в случае линейных однородных уравнений)
по типам: эллиптический (8 < 0), параболический (8=0),
гиперболический (8 > 0). В том же 1889 г., кроме работы
Дюбуа Реймона, появились исследования Л. Бианки
и Э. Пикара, посвященные проблеме редукции линейных
уравнений с частными производными к простейшему виду.
В работе Бианки [21 ], в которой исследовались в основном
уравнения эллиптического типа, производится редукция

общего неоднородного линейного уравнения второго по-
рядка с двумя независимыми переменными к виду

д Г ди ,	ди) . д (, ди , ди 1	. *

д% I 1	df] J ’ ду [ д£ 1	дт] J	1	1 ’

где а, Ъ, с, а, у, В — действительные функции переменных
хну,

В этой же работе Бианки производит аналогичное пре-
образование для случая уравнения многих переменных,
а именно для уравнения

V V	। V l ди . а

2 2	+2+ °-

i к	i

которое он приводит к виду

*	к

Интересен подход Пикара к задаче о редукции линейных
уравнений [22]. Он ограничивается рассмотрением лишь
тех линейных уравнений, которые являются лагранже-
выми уравнениями вариационной задачи для функционала
$ р(и’
где

/(“ »л“2+л'О2+2г^->+

+А"Ш+2в'и^+2в"^’ (и)

т. е. он рассматривает лишь уравнения вида

Л^+2В-^-+Л"^+(^-+^')^-+

дх2 1 дхду 1 ду2 * \ дх 1 ду ) дх 1

(12)

причем лишь те из них, для которых Л'Л "—Б2 > 0, т. е.
которые являются эллиптическими. Далее он в основном
оперирует с квадратичной формой (И). Вводя новые
переменные X, У, Пикар приводит выражение

\ дх j 1 дх ду 1 \ду /

К ВИДУ

(®2+О



В результате этой замены соответствующее лагранжево
уравнение (12) приобретает вид

Н(^Мда))+Ч^-^+£-^)‘‘-^“=0

или

ku1 + W (X, У) и' = 0, где и' = izp.

Более подробно об этих результатах Бианки и Пикара
можно прочитать в § 4 первой части книги Ф. Покельса
[23]. Интерес к проблеме редукции, проявленный почти
одновременно тремя выдающимися математиками, рабо-
тавшими в разных странах, указывает на важность ее
разрешения для дальнейшего успешного развития теории.
Однако Пикар и Бианки, интерес которых был в основном
направлен на изучение специальных видов уравнений
(исключительно эллиптического типа), не создали клас-
сификации уравнений. Честь создания последней целиком
принадлежит Дюбуа Реймону. Попытки многочисленных
авторов, в том числе Эйлера, Лапласа, Ампера, привести
общее линейное уравнение к простейшему виду заверши-
лись в работах Дюбуа Реймона созданием фундаменталь-
ной классификации уравнений с частными производными
второго порядка 14.

В статье [20] Дюбуа Реймон рассматривает также две
краевые задачи для линейных гиперболических уравнений.
Его работы сыграли выдающуюся роль в развитии теории
уравнений с частными производными, хотя идеи, содер-
жащиеся в них, не были по достоинству оценены учеными,
занимающимися общей теорией уравнений. Д. Ф Егоров
в своей монографии [15, стр. XII—XIII] писал: «Иссле-
дования du Bois Reymond’a (имеется в виду его книга

(14 Классификация линейных уравнений высших порядков и с боль-
шим числом неизвестных является естественным обобщением
классификации Дюбуа Реймона. Значительные трудности возни-
кают при создании естественной классификации систем уравнений
с частными производными. И. Г. Петровский выделил и изучил
классы систем, которые по своим свойствам напоминают эллип-
тические, гиперболические и параболические уравнения. Не-
сколько иной подход к классификации систем содержится
у А. Дуглиса и Л. Ниренберга.

(1864). — С. Д.) остались совершенно незамеченными,
что объясняется, вероятно, неудачным выбором геометри-
ческого истолкования уравнений 2-го порядка в его книге
и отсутствием у него каких-либо результатов, относящихся
собственно к интеграции уравнений» (т. е. к поискам
общего интеграла. — С. Д.). О рассматриваемой выше
статье Дюбуа Реймона Д. Ф. Егоров даже не упоминает.

Попытаться охарактеризовать состояние общей теории
дифференциальных уравнений с частными производными
к концу XIX столетия — задача, при настоящем уровне
разработки ее истории, неразрешимая. Отметим лишь
некоторые существенные, на наш взгляд, направления
ее развития.

Прежде всего это вопрос о возможности сведения инте-
грирования дифференциальных уравнений с частными
производными второго порядка к интегрированию обык-
новенных уравнений. В трудах А. Ю. Давидова, Г. Дарбу,
В. В. Преображенского, Н. Я. Сонина, К. М. Петерсона
была фактически выяснена невозможность этого в общем
случае и исследовано, когда такое сведение осуществимо.
Этот цикл работ завершает результат Э. Вебера [24] о том,
что класс уравнений, для которых нахождение общего
интеграла сводится к интегрированию обыкновенных
уравнений, совпадает с классом уравнений, интегрируе-
мых так называемым «методом Дарбу».

В трудах Бэклунда, С. Ли и Э. Гурса [25] разрабаты-
валась теория характеристик.

С. Ли была создана новая геометрическая теория урав-
нений с частными производными первого порядка [26].
Рассматривая уравнение F (х, у, z, р, <?)=0 как уравнение
с пятью неизвестными х, у, z, р, д, связанными дифферен-
циальным соотношением dz—pdx—qdy=O, Ли ставил за-
дачу исследования его интегральных многообразий —
многообразий элементов (х, у, z, р, q), удовлетворяющих
уравнению и указанному дифференциальному соотношению.
Основным аппаратом исследований Ли стала созданная
им теория контактных преобразований. За работами Ли
последовал целый ряд исследований (в том числе уже
цитированная диссертация Д. Ф. Егорова), содержавших
попытки построения аналогичной теории для уравнений
второго порядка. Однако ни на пути, указанном С. Ли,
ни на каком ином, из числа разрабатываемых математи-
ками того времени, построение общей теории, сравнимой

по результатам с теорией уравнений первого порядка,
достигнуто не было.

К началу XX столетия в теории уравнений с частными
производными второго порядка сложилась следующая
ситуация: продолжались безуспешные попытки имевши-
мися в наличии методами в рамках традиционных теорий
построить общую теорию таких уравнений, бесплодность
которых с очевидностью обнаружилась в первые десяти-
летия XX столетия. В трудах некоторых математиков
уже формировался взгляд на теорию уравнений в частных
производных как на теорию краевых задач. Последняя же,
развивавшаяся до сих пор внутри математической физики,
обладала богатым арсеналом результатов и методов
(классические результаты Гаусса, Римана, Дирихле,
Шварца, К. Неймана, Пикара, Пуанкаре, Дюбуа Реймона
и др.). Постановка тех или иных краевых задач для раз-
личных видов уравнений математической физики дикто-
валась простыми физическими соображениями. И когда
появилась фундаментальная классификация уравнений по
типам (1889), то уже для каждого из них имелись свои,
созданные в математической физике, виды краевых задач.

С появлением у Ж. Адамара (1917) понятия коррект-
ности краевой задачи замкнулся тот основной круг вопро-
сов, в пределах которого развивалась в дальнейшем
теория краевых задач.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Р. Duhem. Hydrodynamique, elasticite, acoustique, v. 1. Paris,
1891.

2.	J. Hadamard. Lectures on Cauchy’s problem in linears partial
differential equations. N. Y., 1952.

3.	И. Г. Петровский. Лекции об уравнениях с частными производ-
ными. М., Физматгиз, 1961.

4.	Н. И. Симонов. О научном наследии Л. Эйлера в области диф-
ференциальных уравнений. — В сб.: Историко-математические
исследования, вып. VII. М., Гостехиздат, 1954, стр. 513—595.

5.	А. П. Юшкевич. Исторический очерк в книге В. В. Степанова
«Дифференциальные уравнения». М., Гостехиздат, 1953.

6.	К. А. Рыбников. История математики, т. 2. Изд. МГУ, 1963,
гл. III.

7.	Г. Вилейтнер. История математики от Декарта до середины
XIX столетия. Перев. с нем. под ред. А. П. Юшкевича. М.,
Физматгиз, 1960, ч. I, гл. 8.

8.	Л. Эйлер. Дифференциальное исчисление. Перев. с лат.
М. Я. Выгодского. М., Гостехиздат, 1949.

9.	P. S. Laplace. Ouvres completes, v. 6. Pari^ 1884.

10	Г. Монж. Приложения анализа к геометрии. Перев. с франц.
В. А. Гуковской под ред. М. Я. Выгодского. M<j ОНТИ, 1936.

11.	А. М. Атрёге. Considerations generales sqr }es integrates
des equations aux differentielles partielles. — J, Ecote Polytechn.,
1815, Cah. 17, 549—611; 1820, Cah. 18, 1-188.

12.	В. Г. Пмшенецкий. Исследование спосооон интегрирования
уравнений с частными производными 2-го порядка. Казань,
1868

13.	А. Sommerfeld. Randwertaufgaben in der Theorie der partiellen
Differentialgleichungen. — Encykl. der math. Wiss., Bd Hi,
H. 4. Leipzig, 1900.	.	.

14.	E. von Weber. Partielle Differentialgleichungen. — Encykl.
der math. Wiss., Bd IIj, H. 2-3. Leipzig, 19()0.

15.	Д. Ф. Егоров. Уравнения с частными пропзводць1ми 2-го порядка
по двум независимым переменным. Общая теОрПЯ интегралов,
характеристики. — Уч. зап. Имп. моек, ун-та, Отд. физ.-матем.,
1899, вып. 15.	, , 1

16.	G. Darboux. Lemons sur la theorie generate Qes surfaces, t. 2.
Paris, 1889.

17.	S. Lie. Zur Theorie der Flachen constanter hrijrnmung. — Arch,
for Math, og Naturvidenskal, В. V., Christianity 1880, 328—358.

18.	E. Goursat. Lemons sur 1’integration des equations aux derivees
partielles du second ordre, t. II. Paris, 1898.

19.	P. Du Bois Reymond. Beitrage zur Interpretation der partiellen
Differentialgleichungen mit drei Variabeln. H. у Leipzig, 1864.

20.	P. Du Bois Reymond. Ueber lineare Differentialgleichungen
zweiter Ordnung. — Crelle’s J., 1889, 104, 241—301.

21.	L. Bianchi. Suite equazioni lineari a derivate parziali del 2е
ordine. — Rendiconti della R. Acad, dei Lincey y, 2, 1889,
35-44.	,,,	.	.

22.	E. Picard. Sur une classe d equations Imeaires aux derivees par-
tielles du second ordre. — Acta math., 1889, 12, 323—338.

23.	F. Pockels. Uber die partielle DifferentialgleicEung Au-|-fc2u=0
und deren Auftreten in der mathematischen Phys^. Leipzig, 1891.

24.	E. Weber. Ueber partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung,
die sich durch gewohnliche Differentialgleichnngen integrieren
lassen. — Sitzungsberichte der bayer. Akad. цег Wiss., 1896,
24, 425-437.	.

25.	E. Goursat. Sur une classe d equations aux derivees partielles
du second ordre. — Acta Math., 1895, 19, 285—340.

26.	S. Lie. Theorie der Transformationsgruppen. B. I у Leipzig, 1890.

МЕТОДЫ А. ПУАНКАРЕ
В ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА

М. Г. Шраер

С именем Анри Пуанкаре связан важный этап истории
теории потенциала, лежащий на стыке классического
направления этой теории, идущего от Грина и Гаусса,
и нового теоретико-множественного и теоретико-функцио-
нального направления в математике.

К 90-м годам прошлого века, когда появились исследо-
вания Пуанкаре по теории потенциала, в этой теории ясно
обозначился кризис, второй после известного первого,
вызванного возражениями Вейерштрасса против закон-
ностей применения вариационных методов доказательства
принципа Дирихле. Суть нового кризиса состояла в том,
что принципы К. Неймана и Робена, пришедшие на смену
принципу Дирихле и лежащие в основе первых общих
методов теории потенциала, были установлены лишь для
выпуклых поверхностей, т. е. для такого класса поверх-
ностей, который нельзя было признать достаточно широким
ни с точки зрения требований математической общности,
ни с точки зрения физических приложений теории потен-
циала.

Три больших мемуара Пуанкаре [1—3], появившихся
один вслед за другим на протяжении небольшого отрезка
времени, сыграли выдающуюся роль в деле преодоления
указанного кризиса и оказали огромное влияние на даль-
нейшее развитие теории потенциала и математической
физики в целом.

Прежде всего Пуанкаре принадлежит заслуга в откры-
тии нового метода доказательства принципа Дирихле,
свободного от ограничений, связанных с выпуклостью
рассматриваемой поверхности. Речь идет о методе, назван-
ном самим автором методом выметания (methode du ba-
layage) и опубликованном в первом из упомянутых ме-
муаров [1].

Еще со времен Пуассона и Грина было известно, что
если единичную массу, сосредоточенную в какой-нибудь

точке Р внутри сферы, распределить по её поверхности
так, чтобы на ней образовался слой Грина, то такое пре-
образование (как раз и названное Пуанкаре операцией
выметания изнутри сферы) не приводит к каким-нибудь
изменениям поля вне данной сферы. Пуанкаре заметил,
что из этого утверждения, дополненного указанием о дей-
ствии слоя Грина на точки внутри данной сферы, можно
извлечь весьма далеко идущие следствия. Такого рода
дополнение и делает сначала Пуанкаре, доказав, что
операция выметания положительных масс (зарядов) из
сферы приводит к ослаблению поля внутри этой сферы.
Это предложение Пуанкаре составляет первую «класси-
ческую» основу его метода выметания.

Вторая основа этого метода связана с новым в то время
теоретико-множественным направлением в математике:
Пуанкаре доказывает, что для любой замкнутой поверх-
ности (о) всегда можно построить счетное множество
сфер (sf), покрывающих область, лежащую вне (или
внутри) (о), и не пересекающихся с самой поверхностью (о).

В работе [1] Пуанкаре, опираясь на указанные предло-
жения (фигурирующие в дальнейшем под названием пер-
вой и второй лемм Пуанкаре), доказывает существование
решения того частного случая внешней задачи Дирихле,
который тесно связан с основной задачей электростатики;
речь идет о построении функции V, гармонической вне
заданного проводника, ограниченного поверхностью (о), ре-
гулярной на бесконечности и обращающейся в единицу
на самой поверхности (о). Идея построения такой функции
состоит в следующем.

Проводник (о) окружается сферой (5) произвольного
центра О и достаточно большого радиуса 7?; на сфере (5)
распределяется простой слой электричества плотностью
р=1/4тсЯ. В соответствии со второй леммой область
вне (о) покрывается счетной системой сфер (st) и, начиная
с какой-нибудь из них (назовем ее (sj), производятся
последовательные выметания, но так, чтобы каждая из
сфер покрытия выметалась бесконечно много раз (напри-
мер, в таком порядке s2;	s2, 5з’>	s3>

Sj, $2> 53, $4» $5» • • •)•

По первой лемме каждая операция выметания приводит
разве лишь к уменьшению потенциала в любой точке М
пространства по сравнению с первоначальным его зна-
чением

r»W=

----, если M лежит вне (Е),
ОМ--к 7

1, если М лежит внутри или на (£).

Таким образом, внутри каждой из сфер (s.) определится
некоторая невозрастающая последовательность поло-
жительных функций V& (п=1, 2, 3. . .), гармонических
внутри (sj, имеющая, следовательно, некоторый конеч-
ный предел У(О. По теореме Гарнака этот предел также
является гармонической внутри (sj функцией, а сово-
купность всех У(<) (i=l, 2, 3. . .) определит некоторую
функцию V, гармоническую вне (о). Так как каждая из
функций удовлетворяет условию 0	Ио=^-^-

в любой точке вне (S), то таким же свойством обладает
и предельная функция V, которая, таким образом, ока-
зывается регулярной на бесконечности.

Наиболее существенным пунктом рассматриваемого до-

казательства является проверка выполнимости краевого
условия. Только в этом пункте появляется необходи-

мость в ограничениях, накладываемых на рассматривае-
мую поверхность (о). В общем случае эти ограничения
сводятся к требованию существования определенной ка-
сательной плоскости и двух отличных от нуля главных
радиусов кривизны в каждой точке поверхности (о).
Эти ограничения позволяют для каждой точки М0£(о)
построить сферу ($), лежащую внутри (о) и касающуюся (о)
в точке 7И0. Если С — центр этой сферы, г — ее радиус,
то отношение г!МС, рассматриваемое как функция точки М,
будет гармонической функцией вне ($), обращающейся
в единицу на самой этой поверхности. Поэтому функция



z=t гце Vn(M)— потенциал в точке Л/,

получающийся из Vo (М) после п операций выметания,
будет потенциалом в точке М поля, порожденного поло-
жительными зарядами, лежащими вне ($), и отрицатель-
ным зарядом (—г), сосредоточенным в центре С сферы ($).
В силу этого вне ($) функция U (М) не может иметь ми-
нимумы, а так как £//($)=0, то вне (s) U (М) будет поло-

жительной, т. е. Vn(M)>==. Итак, вне (s) будем иметь

=== < Vn (М) V (М)	1. Поэтому при М Мо g (о)

окажется, что V (М) V (Мо) = 1, т. е. заданное крае-
вое условие выполняется в каждой точке М0£(о), если
в этой точке поверхность (о) имеет определенную каса-
тельную плоскость и два отличных от нуля главных ра-
диуса кривизны. Мы подчеркнули еще раз эти требования
потому, что Пуанкаре в последующем их ослабляет;
он доказывает, что рассматриваемая теория сохраняет
свою силу и тогда, когда поверхность имеет конечное
число так называемых конических особых точек. Под та-
ким названием у Пуанкаре выступает точка поверхности,
являющаяся вершиной какой-нибудь части поверхности
конуса вращения с телесным углом, отличным от нуля.
Исследование поведения гармонической функции при
приближении к конической точке поверхности основано
на лемме, в которой используется выражение для электро-
статического потенциала проводящего эллипсоида. Не-
которые утверждения, высказанные в связи с обоснова-
нием этой леммы, Пуанкаре не доказывает; но проверка
показала их справедливость.

Известно, что рассмотренный частный случай внешней
задачи Дирихле с помощью метода изображений Томсона
дает возможность доказать существование функции Грина
для внутренней задачи Дирихле. Однако отсюда, вообще
говоря, не следует существования решения общей задачи
Дирихле при произвольно заданных непрерывных краевых
условиях, ибо оно нуждается еще в исследовании поведения
нормальной производной функции Грина вблизи рас-
сматриваемой поверхности. Это побудило Пуанкаре пред-
принять новое исследование [4], в котором он устанавли-
вает принцип Дирихле (при тех же предположениях
относительно поверхности, что и раньше), минуя построе-
ние функции Грина.

Основная идея этого нового применения метода выме-
тания состоит в том, что функция Уо, с которой начинаются
последовательные приближения к искомой гармонической
вне (а) функции V, сама не предполагается гармонической
вне (о), а лишь непрерывной вместе со своими частными
производными первого и второго порядков во всем про-
странстве, регулярной на бесконечности и обращающейся
в заданную на (с) функцию U (М). Тем самым и сама
функция U (М) предполагается не только непрерывной,
но и имеющей непрерывные частные производные пер-
вого и второго порядков на (о).

к? Сначала Пуанкаре рассматривает случай, когда функ-
ция Vo (Р) во всем пространстве удовлетворяет условию
Д Vo (Р) < 0. Тогда, утверждает Пуанкаре, ее можно

рассматривать как потенциал электричества, располо-
женного во всем пространстве с положительной плот-
ностью р(Р) =—• Иными словами, Пуанкаре не-

явно использует характеристическое свойство потенциала
объемных масс в применении ко всему пространству,

полагая, что если функция

V'AP)= |

т

есть

РН

потенциал объемных масс, расположенных во всем про-
странстве (Т) с непрерывной плотностью р (Р)-~—^*4^ ,
то эта функция совпадает с первоначально взятой функ-
цией Vo (Р). Ниже мы остановимся на этом пункте подроб-

нее, а теперь лишь заметим, что из сказанного следует
положительность функции Vo (Р) во всем пространстве,
а значит и положительность функции U (M)=VQ (71/)
во всех точках Мf (о).

Покрывая пространство вне (а) счетной системой сфер
(s.) и производя последовательные выметания изнутри
этих сфер так, как это было сделано выше, мы снова при-
дем к функции V (Р), положительной и гармонической
вне (а) и регулярной на бесконечности. Для того чтобы
доказать, что lim V (Р) = U (71/) для любой точки М f (а),

Р-+М

Пуанкаре и здесь прибегает к построению сферы ($),
содержащейся в (а) и касающейся (о) в произвольно взя-
той фиксированной точке Мf (а). Найденную выше функ-
цию V (Р) Пуанкаре теперь сравнивает с решением W (Р)
внешней задачи Дирихле для сферы ($), подчинив это
решение условию W (M)=VQ (71/) в любой точке 71/f (s).
Рассуждения, аналогичные тем, которые проведены были
выше, но лишь с заменой отношения г!СМ па W (71/),
приводят к доказательству выполнимости краевого усло-

вия.

Возвращаясь теперь к начальному пункту рассуждений
Пуанкаре в случае ДVo (Р) <Z 0, заметим, что спустя
2 года после выхода в свет рассматриваемого мемуара [1]
Пуанкаре появилась работа Парафа [5], в которой метод
выметания Пуанкаре переносится на двумерный случай.



грм

Рассуждения Парафа, легшие в основу соответствую-
щей главы «Трактата по анализу» Пикара [6], кроме
отличий, вызванных поведением ньютоновского и лога-
рифмического потенциала на бесконечности, обращают
на себя внимание и в том пункте, на котором мы остано-
вились выше. В применении к пространству трех измере-
ний изменения, внесенные Парафом в рассматриваемом
пункте, касаются прежде всего начальной функции Vo (Р).
Она предполагается непрерывной во всем пространстве
вместе со своими частными производными до третьего
порядка включительно. Далее, ДУ0 (Р) предполагается
отрицательной не во всем пространстве, а лишь вне (о).
Этих предположений достаточно для того, чтобы с полным

основанием утверждать, что функция V'o (Р) =

в которой р (М) = — ДТ0 (71/)/4тс, имеет непрерывные частные
производные первого порядка, а интеграл распространен
на все пространство (D) вне (о), есть ньютонов потенциал
объемных масс с непрерывно-дифференцируемой плот-
ностью и, следовательно, удовлетворяет вне (о) уравне-
нию Пуассона: ДТ^ (Р)=—4^р (Р)=ДТ0 (Р). Именно
с функции У' (Р) начинается теперь процесс последо-
вательных выметаний, приводящий к функции V' (Р),
положительной и гармоничной вне (о), регулярной на
бесконечности и обращающейся в U' (M)=V'O (М) на (о).
Так как ДУ0 (P)=&V'O (Р) вне (о), то функция
6 (Р) = У0 (Р)—V' (Р) будет гармонической вне (а), при-
нимающей на (а) значения 6 (M)=U (М) — U' (71/). Таким
образом, положив V (P)=Vf (Р)+ 6 (Р), получим функ-
цию, гармоническую вне (а) и обращающуюся на (а)
в заданную функцию U (М).

Более общий случай, когда начальная функция Vo (Р)
больше не удовлетворяет условию Д Vo (Р) < 0, сохраняя
остальные свои свойства, может быть приведен к преды-
дущему разбиением пространства на две части, в одной
из которых ДУ0 (Р) < 0, в другой — ДУ0 (Р)	0.

До сих пор предполагалось, что функция U (7И), в ко-
торую должна обращаться на поверхности (а) искомая
гармоническая вне (о) функция, принимает на (о) значе-
ния, равные значениям, принимаемым на этой поверх-
ности начальной функцией Уо (Р); последняя же пред-
полагалась непрерывной вместе со своими частными
да

производными первого и второго порядков. Переходя к об-
щему случаю, когда U (М) только непрерывна на (о),
Пуанкаре утверждает, что ее можно приблизить функ-
циями рассмотренного вида в следующем смысле: можно
построить две последовательности функций U19 U2, . . .
. . ., Un, . .	U[, U2, . . ., [/', . . ., определенных на (о) и

подчиненных требованиям:

1)	Un и U'n (п=1, 2, . . .) непрерывны на (а) вместе со
своими частными производными первого и второго по-
рядков;

2)	Un<Un+11 U'n>U'„+1, Un<U'n (п = 1, 2, ...)на (а);

3)	lim Un (М) = lim U'n (М) = U (М),
я->со	я->со

где U(М)—заданная на (о) непрерывная функция.

Не останавливаясь на доказательстве этого утвержде-
ния, Пуанкаре, пользуясь предыдущими результатами,
для каждой из функций Un (М), Un (М) строит соответ-
ствующие функции Vn (Р), Vn (Р), гармонические вне (о)
и обращающиеся на (а) соответственно в Un (М) и U'n (М).
В силу известных свойств гармонических функций усло-
вия вида 2) будут выполняться и для функций Vn (Р),
У' (Р) вне (о). Поэтому последовательности (Р)} и
{F' (Р)} будут иметь общий предел V (Р) и этот предел
будет искомой гармонической вне (о) функцией, обра-
щающейся в заданную функцию U (М), если предполо-
жить дополнительно, что эти условия 3) выполняются
равномерно относительно точек поверхности (о).

[Таким образом, если учесть упомянутые поправки, то
можно считать, что Пуанкаре впервые в истории устано-
вил принцип Дирихле для весьма широкого класса по-
верхностей.

Идеи, высказанные Пуанкаре в связи с созданием ме-
тода выметания, получили резонанс лишь спустя десяти-
летия, когда в теорию потенциала проникают методы
теории функций. Так, Перрон [7], развивая идею Пуан-
каре о приближении гармонической функции, дающей
решение задачи Дирихле, с помощью функций, вообще
говоря, не гармонических, а удовлетворяющих условию
AF0 0 (или AF0 0), приходит к методу нижних и
верхних функций решения задачи Дирихле, в котором не-
явно использует понятия суб- и супергармонических функ-
ций, введенных позднее Риссом [8]. Обосновав возмож-

ность покрытия области, лежащей внутри или вне любой
замкнутой поверхности, счетным множеством сфер, Пуан-
каре открыл путь методам аппроксимации произвольных
областей областями простейшего вида. Наконец, исследо-
вания, предпринятые Пуанкаре в связи с разрешимостью
задачи Дирихле при наличии на рассматриваемой поверх-
ности конических точек, привели к важным в дальнейшем
понятиям регулярной и иррегулярной точек поверхности,
к обобщению постановки и решения краевых задач, к про-
никновению в теорию потенциала понятий меры и емкости
множеств [9—12].

В частности, условия, определяющие коническую
точку поверхности, в настоящее время выступают под
названием «условий Пуанкаре».

Глубокое развитие самого метода выметания Пуанкаре
мы находим у Валле-Пуссена [13], поставившего в центр
своих исследований по этому вопросу не потенциал,
а массы (заряды), переносимые при выметании. Такое
рассмотрение, как замечает Валле-Пуссен, «возвращает
этому понятию (понятию емкости множества. — М. Ш.)
естественное физическое значение» [13, стр. 170].

Метод выметания при всей своей общности относительно
класса рассматриваемых поверхностей уступал методам
К. Неймана и Робена по крайней мере с точки зрения
аналитического представления решений краевых задач
теории потенциала. По этой причине Пуанкаре предпри-
нял новые исследования, связанные с распространением
методов К. Неймана и Робена на некоторые невыпуклые
поверхности. В третьем из упомянутых выше мемуаров [3]
Пуанкаре определяет класс поверхностей, гомеоморфных
сфере, для которых методы К. Неймана и Робена еще
сохраняют свою силу. Для такого рода поверхностей,
получивших в дальнейшем название поверхностей, удов-
летворяющих преобразованию Пуанкаре, имеющих в каж-
дой своей точке определенную касательную плоскость и
конечную кривизну, Пуанкаре установил следующее
предложение: если W — потенциал двойного слоя, рас-
пределенного на заданной поверхности (о) с непрерывной
плотностью const, то отношение ИГ интегралов (функ-
ционалов) вида J (VIP)2 dx, взятых соответственно по
внутренности и внешности (о), заключено в конечных и
отличных от нуля пределах, не зависящих от v.

Аналогичное утверждение Пуанкаре доказал и для
потенциала простого слоя с непрерывной плотностью
р^О и нулевой общей массой.

Опираясь н$ первое из этих предложений, он устанав-
ливает принцип К. Неймана для всех поверхностей, до-
пускающих преобразование Пуанкаре.

‘Однако заслуга Пуанкаре состоит не в указании этого
преобразования, роль которого в истории теории потен-
циала оказалась весьма недолговечной, а в том, что он
впервые обратил внимание на связь между принципом
К. Неймана и существованием конечных и отличных от
нуля пределов отношения ИГ. Именно эта связь послу-
жила исходным пунктом в исследованиях В. А. Стеклова
и Зарембы, которые, опираясь на основополагающие
работы А. М. Ляпунова, смогли обосновать применимость
методов К. Неймана и Робена ко всем поверхностям Ля-
пунова.

В связи со сказанным представляет определенный исто-
рический интерес выяснение тех идей, которыми руковод-
ствовался Пуанкаре в своих исследованиях по методам
К. Неймана и Робена. Этот интерес усугубляется еще и
тем, что те же идеи лежат в основе теории так называе-
мых фундаментальных функций, обобщающей класси-
ческие методы специальных функций, теории, набросок
которой Пуанкаре излагает в своем третьем мему аре.

Истоки этих идей мы находим в упомянутом первом и
во втором [2] мемуаре Пуанкаре, посвященном пробле-
мам теории тепла.

Известно, что метод Фурье решения краевых задач
теории тепла приводит к задаче отыскания собственных
значений и собственных функций, удовлетворяющих
внутри заданного тела (71) уравнению kU-\-kU=Q и
условию ~-\-hU	0 на поверхности (о) этого тела. В част-

ном случае стержня Штурм и Лиувилль еще в 30-х го-
дах XIX в. установили существование счетного мно-
жества собственных значений кп и соответствующих им
собственных функций Un. В своем первом мемуаре Пуан-
каре пытается распространить эти результаты и па слу-
чай тела трех измерений. Не располагая в то время на-
дежными средствами для такого распространения, Пуан-
каре решается прибегнуть к вариационному методу,
рассматривая его, разумеется, лишь как эвристическое

средство получения возможных результатов. Таким путем
Пуанкаре довольно просто получает результаты, вполне
аналогичные указанным выше для стержня. Именно, рас-
сматривая отношение В/А интегралов B^—h j F2da-|-
(°)

+ j (VF)2dT, A= j F2d^ Пуанкаре показывает, что если
(Т)	(П

это отношение имеет минимум при условии А=1, то этот
минимум дает первое собственное значение кг рассматри-
ваемой задачи, а та функция F, которая доставляет этот
минимум, как раз и есть первая собственная функция Uv
Последующие собственные значения кп и собственные
функции Un строятся индуктивно: ikn есть минимум от-
ношения В/А при условиях J FUxd^= j FU2di = ...

(Т)	(Т)

. . . = J FU^dx =. 0, a Un есть функция, доставляющая
(Т)

этот минимум. И хотя эти результаты были получены сомни-
тельными средствами, а скорее благодаря этому, они
указали направление дальнейших поисков, обратили
внимание на первостепенную роль изучения отношения
некоторых интегралов при решении ряда задач математи-
ческой физики.

Большой интерес с точки зрения формирования идей
и методов Пуанкаре представляет его исследование о ха-
рактере роста собственных значений рассматриваемой
задачи. В силу сказанного это исследование сводится
к оценке снизу отношения В/A при указанных допол-
нительных условиях. Показав, что искомую оценку доста-
точно получить для случая Л-=0, и доказав для выпуклого
тела неравенство к2^>^, в котором I — наибольший
диаметр тела, а а — постоянная, Пуанкаре выдвигает
важную идею перехода от к2 к любому кп и, как полагал
Пуанкаре, от выпуклого тела — к любому. Эта идея
состоит в разбиении данного невыпуклого тела на неко-
торое число р выпуклых и в выборе в качестве функции F,
фигурирующей в интегралах А и В, линейной комбина-
ции из п — 1 первых собственных функций, коэффициенты
которой подбираются так, чтобы удовлетворить п — 1
упомянутым дополнительным условиям. Развивая эти

идеи во втором мемуаре, Пуанкаре доказывает свою,
ставшую впоследствии знаменитой, лемму, гласящую
о том, что для всякой ограниченной области (Т) и для
р

любой функции V = 2 а/Р р построенной из произвольно
y=i

заданных линейно независимых в (7) функций ср^., при
достаточно большом числе р этих последних, всегда можно
подчинить постоянные а. таким р — 1 линейным зависи-
мостям, что будет справедливо неравенство > Lp = Ър\
где Ъ — постоянная, зависящая лишь от размеров обла-
сти (Т).

Спустя три года с момента опубликования первого
мемуара Пуанкаре появляется заметка [14] Пикара, выяс-
няющая, что ключ к строгому обоснованию результатов
Пуанкаре находится в работе Г. А. Шварца [15], вышедшей
еще в 1885 г. Отыскивая внутри заданной плоской области
(Т) интеграл уравнения &Uр (х, y)»U = 0, обраща-
ющийся в единицу на контуре (L) этой области, Шварц
заменяет исходное уравнение на другое, содержащее пара-
аз

метр tt и ищет решение задачи в виде ряда U wntn
п=0

по степеням t. Для отыскания радиуса сходимости этого
03

ряда Шварц строит мажорантный ряд 2 вводя инте-
я=0

гралы

wm,n = $	Ги>я = j (Vu>m, Vw„)dz,

(7)	(T)

получившие в дальнейшем название интегралов Шварца.
Установив, что Жт>„= Wm+lt^ и	Vn+I,„, и поло-

жив в связи с этим Wmi п = Жт+Я, Шварц показывает, что
последовательность {И^я+1/РИя} возрастает и, будучи огра-
ничена сверху, имеет конечный предел С > 0; поэтому
со

ряд 2 wrfn сходится равномерно внутри (Т) при 111 < 1/С.
n—Q

На основе этого Шварц показывает, что существует
1. W„ тг

предел 11 m —= V и что этот предел есть интеграл урав-
я—>со

нения &V -|- -~г V = 0, обращающийся в нуль на (L).
О

Наконец, он устанавливает, что число k1 = i(C является
минимумом отношения j (ДС7)2 dh: j pU^dz, взятым по всем

(Т)	(Т)

непрерывно дифференцируемым внутри (Т) функциям U,
обращающимся в нуль на (L). Иными словами, Шварц
доказал существование первого собственного значения кг
и соответствующей собственной функции V\ уравнения
△И + kV = 0, рассматриваемого в плоской области (Г)
dV

при условии	= O для случая к=оо.

Развивая идеи Шварца, Пикар в упомянутой заметке
выдвигает важную мысль рассматривать интеграл урав-
нпя &U-\-kU = 0 при условии U |(Z) = 1 как функцию
комплексного параметра /с, трактуя собственные значе-
ния ki как особые точки этого интеграла. Используя
метод средних арифметических К. Неймана и строя ин-
тегралы Шварца, Пикару удается показать, что особая
точка kY рассматриваемого интеграла является простым
полюсом, а собственная функция Ur — вычетом функ-
ции U относительно этого полюса.

Таким образом, идеи Шварца, обогащенные исследо-
ваниями Пикара, получили новое истолкование и послу-
жили важной вехой в строгом обосновании результатов,
высказанных Пуанкаре.

Дальнейшее блестящее развитие идей и методов Шварца
и Пикара мы снова находим у Пуанкаре. В своем втором
мемуаре, появившемся вскоре после упомянутой заметки
Пикара, Пуанкаре выдвигает фундаментальной важности
идею положить в основу исследования неоднородное
уравнение AV+A:V+/=0. Важность этой идеи состоит
со

в том, что радиус сходимости ряда V = 2 7пкп, в виде ко-
w=0

торого отыскивается интеграл этого уравнения при усло-
вии 7|(<у)=0, существенно зависит от выбора функции /.

р

Взяв в качестве / линейную комбинацию 2 из Р за‘

/=1

данных функций и используя свою упомянутую выше
со

лемму, Пуанкаре показывает, что ряд 2 7я/ся сходится
я=0

абсолютно и равномерно при условии |к\ <ZLp и, следо-
вательно, его радиус сходимости может быть сделан как

угодно большим. В утверждении этого неравенства и
состоит так называемая фундаментальная теорема Пуан-
каре, играющая первостепенную роль в установлении
мероморфности интеграла V рассматриваемой задачи.
Так как фундаментальная теорема относится не к любой
функции /, а лишь к некоторой линейной комбинации
таких функций, то ее непосредственное использование
не приводит к цели. И в этом пункте как раз и раскры-
вается глубина замысла введения неоднородности /.
С помощью подстановки W= ^F-j- а2СЛ2+ • —J- apU р, в ко-
торой V — искомая функция, a Uу — вспомогательные
функции, удовлетворяющие тем же условиям, что и F,
но с заменой / на Fy_D Пуанкаре приводит данное урав-
нение к виду

ДИ/ + kW + (aj + a2F0 + •  • + «Л-2) = О, Ж |(„ = О,
допускающему применение фундаментальной теоремы.
В результате получается система линейных алгебраиче-
ских уравнений, определяющая искомую функцию F
в виде V—PID, где D — определитель системы — много-
член р — 1 степени от к, а Р линейно зависит от VF, т. е.
голоморфна при |к\ < Lp. Отсюда в силу неограниченного
роста Lp вместе с р следует мероморфность F на всей
плоскости комплексного переменного к. Пуанкаре пока-
зывает, что эта функция допускает лишь простые полюсы
и что вычеты в них совпадают с собственными функциями
соответствующей однородной задачи. Таким образом,
задача, о которой шла речь, получила полное решение
для случая h=co. Отметим еще, что Пуанкаре наметил
путь решения этой задачи и для конечного h > 0, но не
коснулся случая Л=0. Вместе с тем нельзя не подчерк-
нуть, что введение неоднородности / оказалось сущест-
венным и при решении другой задачи теории тепла —
задачи о разложении заданной функции в ряд по собствен-
ным функциям. И здесь Пуанкаре выдвигает блестящую
идею использовать в качестве упомянутой неоднородности
как раз разлагаемую функцию /.

Однако основной интерес представляют не столько ре-
зультаты Пуанкаре, сколько связанный с ними метод,
получивший в ^дальнейшем название метода Шварца —
Пуанкаре. В своем третьем мемуаре Пуанкаре указывает
применение этого метода к задачам Дирихле и К. Ней-
мана. И так как эти последние не содержат в своих усло-

виях параметра, столь существенного для применения
метода Шварца—Пуанкаре, то Пуанкаре решается на
изменение самой постановки этих задач, вводя в их крае-
вые условия параметр X. Введение этого параметра —
важнейшая идея, выдвинутая Пуанкаре, играющая перво-
степенную роль и в современных методах решения крае-
вых задач. Преобразование Пуанкаре, которого мы косну-
лись выше, как раз результат применения метода
Шварца—Пуанкаре к решению задачи Дирихле. Пуан-
каре указывает и на другое применение этого метода
к теории так называемых фундаментальных функций,
но сам эту теорию строит на основе вариационных методов.

Дальнейшее развитие метода Шварца—Пуанкаре и
его новые применения, в особенности к решению краевых
задач теории потенциала, мы находим в работах Е. Ле-
руа и В. А. Стеклова [16]. В. А. Стеклову, в частности,
принадлежит заслуга в решении второй проблемы, возни-
кающей в связи с применением метода Шварца — Пуан-
каре, — проблемы разложения заданной функции р ряд
по фундаментальным функциям соответствующей крае-
вой задачи.

Метод Шварца — Пуанкаре и основанная на ней тео-
рия фундаментальных функций, в которой решение крае-
вой задачи представляется в виде функции некоторого
параметра, связь этой функции с характеристическими
числами и фундаментальными функциями — все эти во-
просы и многие другие подготовили почву к созданию
теории интегральных уравнений.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Н. Poincare. Sur les equations aux derivees partielles de la phy-
sique mathematique. — Amer. J. of Math., 1890, XII, N 3,
211-294.

2.	H. Poincare. Sur les equations de la physique mathematique. —
Rend. Circolo mat. Palermo, 1894, 8, 57—186.

3.	H. Poincare. La methode de Neumann et le probleme de Diri-
chlet. — Acta math., 1896, 20, 59—142.

4.	H. Poincare. Theorie du potentiel newtonien. Paris, 1899.

5.	A. Paraf. Sur le probleme ue Dirichlet et son extension au cas
de 1’equation lineaire generale du second ordre. — Ann. Fac. sci.
Toulouse, 1892, ser. 1, VI, 75.

6.	E. Picard. Traite d’analyse. Paris, 1901—1908.

7.	O. Perron. Eine neue Behandlung der ersten Randwertaufgabe
fur Au=0. - Math. Z., 1923, 18, 42-54.

8.	F. Riesz. Sur les fonctions subharmoniques et leur rapport a la
theorie du potentiel. — Acta math., 1926, 48, 329—343.

9.	H. Lebesgue. Sur le probleme de Dirichlet. — Rend. Circolo
mat. Palermo, 1907, 24, 371—402.

10.	N. Wiener. Certain notions in potential theory. — J. of Math,
and Physics, MIT, 1924, 8, 24—51.

11.	G. Bouligand. Sur le probleme de Dirichlet. Ann. Soc. polon.
math., 1925, 4, 59-112.

12.	M. В. Келдыш. О разрешимости и устойчивости задачи Ди-
рихле. — Усп. матем. наук, 1941, вып. VIII, 171—292.

13.	G. de la Vallee Poussin. Extension de la methode du balayage
de Poincare et probleme de Dirichlet. — Ann. Inst. Henri Poin-
care, 1932, 11, 169-232.

14.	E. Picard. Sur 1’equation aux derivees partielles qui se presente
dans la theorie des vibrations des membranes. — C. r. Acad,
sci. Paris, 1893, 117, 502-507.

15.	H. A. Schwarz. Uber die Flachen kleinsten Flachen inhalts betref-
fendes Problem der Variationsrechnung. T. II. Helsinfors, 1885.

16.	M. Г. Шраер. Основные задачи теории потенциала в трудах
В. А. Стеклова. — Материалы научно-теорет. конф., посвящ.
50-летию Великой Октябрьской социалистической революции;
секция физико-математическая, Брест, 1967, стр. 6—9.

СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ

К ИСТОРИИ «ЭРЛАНГЕНСКОЙ ПРОГРАММЫ»
Ф. КЛЕЙНА

В. И. Визгин

1.	Введение

В октябре 1972 г. исполнилось 100 лет с того дня, когда
Ф. Клейн (1849—1925 гг.), вступая в должность профес-
сора Эрлангенского университета, выступил с докладом
«Сравнительное обозрение новейших геометрических ис-
следований», вошедшим в историю математики под на-
званием «Эрлангенской программы» [1]. «Программа»
Клейна синтезировала все предыдущее развитие геомет-
рии и определила один из основных путей ее дальнейшего
развития вплоть до нашего времени. В настоящей работе
мы хотим рассмотреть некоторые историко-научные во-
просы, связанные с генезисом «Эрлангенской программы»,
в частности, вопросы взаимоотношения физики и геометрии.

В современной физике со времени Эйнштейна фунда-
ментальное значение приобрел теоретико-инвариантный
подход, в соответствии с которым физические теории
формулируются и развиваются прежде всего как теории
инвариантов некоторых групп преобразований, т. е. со-
вершенно в духе «Эрлангенской программы». В связи
с этим возникает вопрос, каким образом абстрактная
математическая концепция оказывается столь плодотвор-
ной в естествознании, причем не только на прикладном
уровне, но и в принципиальном отношении? Чем вызы-
вается столь замечательное, по словам Клейна, «совпаде-
ние двух совершенно обособленных по своему истори-
ческому происхождению рядов мыслей». Воздерживаясь
от сколько-нибудь обстоятельного теоретико-познава-

тельного анализа причин «совпадений» такого рода,
который, на наш взгляд, в общем еще не проделан, мы
з этом вопросе на первых порах присоединяемся к точке
зрения, высказанной Гильбертом в его знаменитом до-
кладе «Математические проблемы» (1900): «Несомненно,
что первые и самые старые проблемы каждой математи-
ческой области знания возникли из опыта и поставлены
нам миром внешних явлений. . . При дальнейшем раз-
витии. . . человеческий ум, обнадеженный удачами, про-
являет уже самостоятельность; он сам ставит новые и
плодотворные проблемы, часто без заметного влияния
внешнего мира, с помощью только логического сопостав-
ления, обобщения, специализирования, удачного расчле-
нения и группировки понятий. . . А между тем во время
действия созидательной силы чистого мышления внешний
мир снова настаивает на своих правах: он навязывает
нам своими реальными фактами новые вопросы и откры-
вает нам ноАяе области математического знания. И в про-
цессе включения этих новых областей знания в царство
чистой мысли мы часто находим ответы на старые нерешен-
ные проблемы и таким путем наилучшим образом продви-
гаем вперед старые теории. На этой постоянно повторяю-
щейся и сменяющейся игре между мышлением и опытом,
мне кажется, и основаны те многочисленные и поражаю-
щие аналогии и та кажущаяся предустановленная гармо-
ния, которые математик так часто обнаруживает в за-
дачах, методах и понятиях различных областей знания»
[2, стр. 17].

Таким образом, можно предположить, согласно Гиль-
берту, что «эрлангенский» характер физических теорий —
в значительной мере результат естественнонаучного проис-
хождения самой «Эрлангенской программы». В этой
связи выявление и анализ физических (и вообще естест-
веннонаучных) истоков концепции Клейна представляют
особый интерес. Впрочем, это необходимо и для выяснения
того реального исторического процесса, который привел
к установлению клейновской «Программы».

Прежде чем обратиться непосредственно к изучению
генезиса «Эрлангенской программы» и, особенно, тех
физических факторов, которые были существенны в этом
процессе, мы кратко охарактеризуем основное содержа-
ние ее, следуя Клейну, а также наиболее выдающемуся
продолжателю дела Клейна и Ли в XX в. Э. Картану.

Итак, в чем же заключается сущность клейновской кон-
цепции? «Как известно, основная идея Клейна может быть
связана с наиболее древними понятиями науки. Элемен-
тарная (евклидова. — В. В.) геометрия изучает свойства
фигур, которые не зависят от их частного положения
в пространстве. Прошло немало столетий, прежде чем
эта несколько неопределенная формулировка была пере-
ведена на точный язык: свойства, изучаемые элементар-
ной геометрией, являются теми, которые остаются
инвариантными относительно некоторой совокупности пре-
образований, образующей группу движения. . . Проектив-
ная геометрия, являвшаяся сначала одной из глав эле-
ментарной геометрии и превратившаяся при дальнейшем
развитии в самостоятельную научную дисциплину,
с точки зрения Клейна есть изучение свойств фигур,
инвариантных относительно некоторой (другой. — В. В.)
совокупности преобразований (проективных преобразо-
ваний), образующих группу.

Вообще всякая группа непрерывных преобразований
определяет самостоятельную геометрию. Эта геометрия,
если рассматривать переменные, преобразуемые группой,
как величины, определяющие точку пространства соот-
ветствующего числа измерений, изучает свойства фигур,
инвариантные относительно преобразований группы G,
причем эти последние играют такую же роль, как движе-
ния в евклидовой геометрии или проективные преобразо-
вания в геометрии проективной. Группа G называется фун-
даментальной группой данной геометрии. Таким образом,
получается аффинная геометрия, конформная или анна-
лагматическая геометрия, геометрия Лагерра, эрмитова
и т. д.» [3, стр. 486].

В § 1 своей «Эрлангенской программы» Ф. Клейн выра-
жает это таким образом: «Наиболее существенное поня-
тие, необходимое для дальнейшего изложения, есть
понятие о группе пространственных изменений. . . Сущест-
вуют такие преобразования пространства, которые остав-
ляют вообще без изменений геометрические свойства про-
странственных образов. Геометрические свойства, по са-
мому определению, не зависят от положения, занимаемого
в пространстве изучаемым образом, от его абсолютной
величины и, наконец, от ориентации в расположении его
частей. Свойства пространственного образа не изменяются
поэтому от всех движений пространства, от его преобразо-

ваний подобия, от процесса зеркального отражения и от
всех преобразований, которые могут быть из них состав-
лены. Совокупность всех этих преобразований мы назовем
главной группой изменений пространства; геометрические
свойства не изменяются от преобразований главной группы,
и обратно, можно сказать: геометрические свойства ха-
рактеризуются их неизменяемостью относительно пре-
образований главной группы» [1, стр. 401—402].

Заметим, что здесь речь идет об евклидовой геометрии
(или, точнее говоря, об эквиформенной геометрии, группа
которой, помимо движений и отражений, содержит еще
и подобия). Переходя далее от трехмерного пространства
элементарной геометрии к n-мерному числовому много-
образию и от главной группы к различным группам пре-
образований многообразия, Клейн замечает: «Только
уже нет более, как в пространстве (евклидовом. — В. В.),
группы, которая выделялась бы по своему значению между
остальными, — каждая группа равнозначна всякой дру-
гой. Как обобщение геометрии (евклидовой. — В. В.)
получается, таким образом, следующая многообъемлю-
щая задача (выражающая квинтэсенцию «Эрлангенской
программы». — В. В.). Дано многообразие и в нем группа
преобразований', нужно исследовать те свойства образов,
принадлежащих многообразию, которые не изменяются
от преобразований группы». Тремя строками ниже Клейн
еще более лаконично формулирует «эрлангенский» под-
ход к геометрии: «Дано многообразие и в нем группа пре-
образований. Требуется развить теорию инвариантов
этой группы» [1, стр. 402].

Итак, согласно Клейну, геометрия — это теория ин-
вариантов некоторой группы, рассматриваемой как группа
преобразований заданного многообразия. Отсюда следует,
как подчеркивает Клейн, «произвольность в выборе при-
соединенной группы преобразований и. . . равноправ-
ность всех типов геометрического исследования (т. е.
равноправность геометрий. — В. В.), подходящих под
общее требование» [1, стр. 403].

Можно сказать далее, что геометрия как научная тео-
рия должна содержать высказывания, обладающие опре-
деленной степенью общности, т. е. относящиеся не к еди-
ничным ситуациям, но к целому классу «систем отсчета»
или «координатных систем», в которых записываются
преобразования, связывающие эти «системы». Отсюда и

следует неизбежность теоретико-группового подхода ко
всякой научной теории, впервые провозглашенного в гео-
метрии. Клейн, конечно, ясно понимал это обстоятельство
и применительно к элементарной геометрии выразил его,
как он сам заметил, «несколько неопределенно» в сле-
дующих словах: «Действительно, представим себе про-
странство на мгновение неподвижным, застывшим много-
- образием, тогда каждая фигура имеет индивидуальный
интерес; из свойств, которыми она обладает как индиви-
дуум, только те суть собственно геометрические, которые
остаются неизменными при всех преобразованиях главной
группы» [1, стр. 402]. Э. Картан выражает эту мысль
более прозрачно и общо: «В пространстве, не обладающем
однородностью, т. е. фундаментальная группа которого
приводится к тождественному преобразованию, невоз-
можно в смысле Эрлангенской программы построение
общих (т. е. научных. — В. В.) положений: вся гео-
метрия сводилась бы к частным фактам без связи одних
с другими» [3, стр. 486].

Эрлангенская схема охватывает обширный класс гео-
метрий, как бы вложенных одна в другую и связанных
с группой проективных преобразований и последовательно
вкладываемыми одна в другую ее подгруппами: аффинной,
эквиформенной, или группы подобий, групп движений
пространств постоянной кривизны (в частности, евклидо-
вой группы и групп движения гиперболического и
эллиптического пространств) и т. д. В эту же проективную
схему естественным образом, как мы увидим, вклады-
вается серия геометрий, эквивалентных, с геометрической
точки зрения, геометриям группы Пуанкаре (фундамен-
тальной группы специальной теории относительности),
группы Галилея — Ньютона (фундаментальной группы
классической механики) и т. д. В рамки «Эрлангенской
программы» Клейн включал не только геометрии, описы-
ваемые копечно-параметрическими группами Ли (напри-
мер, подгруппами проективной группы), но и существенно
более общие геометрии, например топологию, связанную
с бесконечной группой всех непрерывных преобразований.

Однако существует целый класс геометрий, который не
включается органично в эрлангенскую схему. В связи
с этим скажем несколько слов о соотношении «Эрланген-
ской программы» и второй основной геометрической кон-
цепции — концепции Римана, в которой основным поня-

тием является не фундаментальная группа, а фундамен-
тальная (произвольная) дифференциальная квадратичная
форма, являющаяся обобщением понятия расстояния
между двумя бесконечно близкими точками. Ограничимся
при этом высказыванием Э. Картана, которое показывает
невозможность включения римановой (в широком смысле)
геометрии в рамки клейновского построения: «Можно
было бы, однако, попытаться подчинить риманову гео-
метрию руководящей идее Клейна, воспользовавшись
принципом, играющим основную роль в Эрлангенской про-
грамме, именно — принципом присоединения. (Суть его за-
ключается в следующем: если G — исходная группа, a GY —
ее подгруппа, то геометрия G± вкладывается в геометрию G
в том смысле, что в рассмотрение при этом вводится не-
который «особенный образ», инвариантный относительно

роль такого образа в случае неевклидовой геометрии
играет некоторая поверхность второго порядка — так
называемый «абсолют», и тогда неевклидова геометрия
ассоциируется с проективными преобразованиями, сохра-
няющими этот «абсолют». — В. В.)

Действительно, геометрия Римана изучает инварианты
бесконечной группы всех точечных преобразований с п
переменными, к которой присоединена определенная квад-
ратичная форма. Но такая трактовка этого вопроса была бы
отклонением от принципа присоединения Клейна в
настоящем его значении, так как свойства, изучаемые ри-
мановой геометрией, «нельзя рассматривать как инвари-
антные при преобразованиях, сохраняющих присоеди-
ненную квадратичную форму», вследствие того, что «в об-
ыщем случае таких преобразований не существует» [3,
стр. 488].

В 20-х годах XX в. в трудах Леви-Чивиты, Г. Вейля,
Э. Картана, Схоутена и некоторых других исследователей
была разработана синтетическая концепция, объединяю-
щая клейновское и римановское направления, но с не-
сомненным преобладанием теоретико-группового под-
хода, что позволяет говорить о своеобразном расширении
схемы Клейна.

В настоящей работе, однако, речь будет все время идти
о первоначальной форме «Эрлангенской программы», вы-
двинутой Клейном в 1872 г.

Чтобы выяснить удельный вес физического вклада в раз-
работку клейновской «Программы», мы должны рассмот-

реть ее предысторию, прежде всего путь к ней самого
Клейна. Впрочем, реконструкция этого пути представ-
ляет и самостоятельный интерес.

2.	Путь Клейна к «Эрлангенской программе»
и ее предпосылки

Клейновская «Программа» представляет собой, с одной
стороны, закономерный результат развития геометрии,
особенно в XIX в., а с другой стороны —своеобразный
итог раннего периода творческой деятельности самого
Ф. Клейна (1868—1872 гг.). Объективные предпосылки
«Эрлангенской программы» с достаточной полнотой вы-
являются, если проследить «предэрлангенское» развитие
идей Клейна, а также выяснить научные контакты и
стимулы, способствовавшие формированию этих идей.

Поступив в 1865 г. в Боннский университет, Клейн уже
весной 1866 г. становится ассистентом Плюккера, выдаю-
щегося геометра (формулы Плюккера в алгебраической
геометрии, «плюккеровы координаты» и фундаментальная
идея о «пространствах с произвольными элементами»
и т. д.), а также крупного физика-экспериментатора
(открытие катодных лучей, спектральные исследования
газового разряда, открытие кристалломагнетизма). В пе-
риод с 1866 по 1868 г., вплоть до кончины Плюккера,
Клейн помогал ему не только в подготовке лекций по
экспериментальной физике, но и в работе над изданием
рукописи Плюккера «Новая геометрия пространства,
основанная на рассмотрении прямой линии как элемента
пространства», в которой были заложены основы линейча-
той геометрии. Это определило и тематику первых научных
работ Клейна, который вскоре после смерти Плюккера
познакомился в связи с изданием его труда с известным
математиком Клебшем — автором ряда работ по теории
инвариантов, алгебраической геометрии и теории абеле-
вых функций и посвятил его в свои исследования по ли-
нейчатой геометрии. Благодаря Клебшу Клейн вошел
в круг исследований английской теоретико-инвариантной
школы (Кэли, Сильвестр, Сальмон), к которой непосред-
ственно примыкали линейчато-геометрические работы Бат-
тальини, тесно связанные с интересами Клейна. Обнару-
жив некоторые пробелы в работах итальянского мате-
матика и частично заполнив их, Клейн познакомил со

своими результатами Липшица, который посоветовал
ему применить еще неопубликованную теорию элемен-
тарных делителей Вейерштрасса. Так и возникла первая
печатная работа Клейна — диссертация «О приведении
общего уравнения второй степени между линейными
координатами к канонической форме», защищенная им
в Бонне в декабре 1868 г. [4, статья I].

С начала 1869 г. до середины августа 1869 г. Клейн был
в Геттингене, где, главным образом, занимался подго-
товкой к изданию второго тома «Новой геометрии» Плюк-
кера, которая к концу мая была закончена. Одновременно
он продолжал работу над вопросами, поднятыми в его
диссертации, более систематически используя теорию
инвариантов, столь популярную тогда (благодаря Клебшу
и его ученикам — М. Нётеру, Гордану и др.) в Геттин-
гене. Именно здесь и прежде всего под влиянием Клебша
Клейн глубоко усвоил идею инварианта и овладел теорией
алгебраических инвариантов. Летом 1869 г. он слушал
лекции Клебша по теории инвариантов бинарных форм.
Подчеркнем, что именно Клебш познакомил его с теоре-
тико-ипвариантпыми исследованиями Кэли и Сильвестра,
в частности, с замечательными исследованиями Кэли
о проективном мероопределении, сыгравшими, как мы
увидим, решающую роль в генезисе «Эрлангенской про
граммы» [5, стр. 222].

Однако свою работу по геометрии Клейн считал на пер-
вых порах временной и предполагал в ближайшее время
приступить к дальнейшему изучению физики. Несмотря
на большой интерес к физике, который несомненно объяс-
нялся влиянием Плюккера, Клейн вскоре понял, что его
настоящее призвание — геометрия. «Это намерение (т. е.
намерение заниматься физикой. — В. В.) я тогда оставил
и в соответствии с моими иными склонностями должен
был в конце концов совсем отказаться от него» [4, стр. 50].

В конце августа 1869 г. Клейн приезжает в Берлин,
где в октябре он встречается с норвежцем С. Ли, тогда еще
тоже начинающим математиком, уже знакомым, однако,
с наброском теории групп подстановок по лекции Л. Си-
лова о теории Галуа, которую он слушал еще в 1863 г.
«Мы работали, начав от различных исходных пунктов,
но над одними и теми же или родственными проблемами.
Поэтому мы вскоре вступили в почти ежедневный обмен
мыслями, и это нас сблизило, тем более что паши гео-

метрические интересы были чужды большинству из на-
шего окружения» [4, стр. 50J, — так Клейн описывает
начало творческого содружества, столь важного в под-
готовке «Эрлангенской программы».

Другим важным событием берлинского периода была
встреча Клейна с О. Штольцем, перешедшая затем
в дружбу. Именно «от Штольца я впервые узнал о неевкли-
довой геометрии и тогда же понял, что она должна быть
теснейшим образом связана с общим проективным меро-
определением Кэли» [4, стр. 50], — писал Клейн спустя
полвека. Итак, заметим, что идея о фундаментальной связи
неевклидовой геометрии с теорией Кэли о проективной при-
роде метрической геометрии, которая послужила как бы
решающим трамплином для развития эрлангенской кон-
цепции, зародилась у Клейна, по-видимому, осенью
1869 г., но только через 2 года оформилась в клейновскую
интерпретацию неевклидовой и вообще метрической гео-
метрии на основе проективного мероопределения Кэли.
Берлинский период завершился докладом Клейна на семи-
наре Вейерштрасса (середина марта 1870 г.) о концепции
Кэли. В конце доклада Клейн поставил вопрос, «не су-
ществует ли совпадения между идеями Н. И. Лобачевского
и Кэли», на что «получил ответ (Вейерштрасса. — В. В.),
что это две далеко отстоящие по идее системы и т. д.»
[6, стр. 189]. Конечно, не следует переоценивать эту
догадку Клейна, тем более что его знакомство с неевклидо-
вой геометрией было тогда еще очень поверхностным, и
веских аргументов в пользу своей замечательной идеи
он еще не имел. Поэтому приговор Вейерштрасса сыграл
свою роль, и Клейн «позволил переубедить себя этими
возражениями и отложил в сторону уже созревшую мысль»
[6, стр. 190].

Берлинский период сменяется парижским: с апреля
1870 г. по июль 1870 г. Клейн и Ли находились в Париже,
где они, несмотря на сравнительно краткое пребывание,
сделали чрезвычайно важные приобретения.

Во-первых, незадолго до их приезда в Париж вышел
в свет знаменитый «Трактат о подстановках и алгебраи-
ческих уравнениях» К. Жордана [7], о котором впослед-
ствии Клейн писал, что «достижением труда Камилла
Жордана является именно то, что он глубоко проник
в эту область (т. е. теорию групп подстановок и ее прило-
жения к алгебраическим уравнениям. — В, В.) и дал

первое систематическое ее изложение. . ., в частности,
Жордан обследовал всю алгебраическую геометрию, тео-
рию чисел и теорию функций, чтобы отыскать интерес-
ные группы перестановок» [6, стр. 386]. Универсальный
и синтетический характер теоретико-группового подхода,
его новизна и простота сразу же произвели на них неизгла-
димое впечатление.

Второе важное приобретение парижского периода —
это ознакомление с «новыми исследованиями французов
по метрической геометрии (геометрия обратных радиусов,
постоянное использование сферической окружности)», ко-
торые «были неизвестны в Германии» [4, стр. 51]. Оказа-
лось, что линейчато-геометрическое направление, разра-
батываемое особенно интенсивно в Германии, было тесно
связано с новыми французскими работами Шаля, Ла-
герра и, главным образом, Дарбу, с которым у Ли и Клейна
установились прочные дружеские отношения.

В-третьих, для Ли, может быть, «еще более существен-
ными оказались исследования французов по геометри-
ческой теории дифференциальных уравнений (связанные
в первую очередь с именами Монжа, Ампера, Коши. —
В. В.)» [6, стр. 386], которые стимулировали его работы
по теории контактных преобразований и теоретико-груп-
повой классификации дифференциальных уравнений.
В Париже, наконец, была опубликована первая совмест-
ная работа Клейна и Ли — первый шаг в цепочке «пред-
эрлангенских» работ [4, статья XXV]. В этой работе речь
идет о так называемых «Ж-кривых», допускающих неко-
торую однопараметрическую группу линейных преобра-
зований Ч Хотя явного определения группы как замкну-
той системы допустимых преобразований здесь еще нет,
общий подход носит отчетливый теоретико-групповой
характер. Действительно, исследуются кривые, инвариант-
ные относительно некоторого класса линейных преобра-
зований.

В связи с началом франко-германской войны Клейн
возвратился в Германию, продолжая научную переписку
с С. Ли. Прослужив некоторое время в запасных частях
немецкой агрмии в Бонне, Клейн в начале октября 1870 г.

1 Примером PF-кривой является логарифмическая спираль. Буква W
связана со словом Wurf, являющимся обозначением двойного
отношения; с этой точки зрения PV-кривая определяется задан-
ным двойным отношением.

заболел тифом. В середине декабря на обратном пути
в Норвегию его посетил С. Ли, они обсуждали вопросы,
связанные со второй их совместной работой, примыкаю-
щей к предыдущей статье о Ш-кривых. В январе 1871 г.
Клейн вторично приезжает в Геттинген, где возобнов-
ляется его тесный творческий контакт с Клебшем. Про-
должается также интенсивная научная переписка с С. Ли
и Дарбу. В марте 1871 г. Клейн и Ли заканчивают свою
вторую статью с примечательным названием: «О плоских
кривых, которые переходят в себя посредством замкнутой
системы однократно бесконечных обратных линейных
преобразований» [4, статья XXVI]. Это вторая статья
в цепочке предэрлангепских работ. Геометрическое со-
держание ее весьма близко к предыдущей статье, но в от-
личие от последней для нее характерно явное понимание
того, что система допустимых преобразований, о которой
идет речь в статье, является замкнутой и что эта замкну-
тость позволяет использовать аппарат теории групп
подстановок. Авторы ссылаются при этом на известные
курсы Серре и Жордана и разъясняют, что единственным
отличием групп подстановок от их «замкнутой системы
преобразований» является характер изменения перемен-
ных: в теории групп подстановок он дискретный, а у них —
непрерывный. По существу говоря, авторы вплотную
подходят здесь к аксиоматике непрерывной группы;
здесь же они впервые (правда, в примечании) используют
и термин «группа».

Летом 1871 г. в Геттинген приезжает О. Штольц. Во-
зобновившиеся дискуссии со Штольцем сильно стимули-
ровали дальнейшее развитие связи между неевклидовой
геометрией с кэлиевским учением о проективном меро-
определении, и Клейн приступил к дальнейшей ее раз-
работке.

Наряду с соображениями классиков неевклидовой гео-
метрии Н. И. Лобачевского и Я. Бояи существенную роль
в его поисках играла штаудтовская концепция незави-
симого от метрической геометрии обоснования проектив-
ной геометрии. Любопытно, что Клейн сам не изучал ни
Н. И. Лобачевского, ни Я. Бояи, ни Штаудта. Роль посред-
ника сыграл Штольц, благодаря которому Клейн глубоко
проник в суть этих трудно читаемых сочинений. Итак,
центральный синтетический период в разработке «Эрлан-
генской программы» начинается летом 1871 г. Различные

геометрические идеи и теории как бы собираются в од-
ном фокусе (а линза при этом — идея группы!). Правда,
.синтетическая тенденция у Клейна была определяющей
с самого начала. «Мой интерес с моего боннского времени
был направлен к тому, чтобы, избегая обоюдных споров
двух математических школ, внешне непохожих друг на
друга [имеются в виду школы синтетического направ-
ления — Штейнер, Штаудт и другие и аналитического
направления — Плюккер, Клебш, Кэли и другие. —
В. В.], понять их общность и превратить их противо-
положность в некоторое единое, целостное понимание»
[4, стр. 52].

19 августа 1871 г. было сдано в печать сообщение «О так
называемой неевклидовой геометрии» [4, статья XVI],
в котором детально развита замечательная идея Клейна
о включении неевклидовых геометрий в схемы проектив-
ного мероопределения Кэли. Помимо Гаусса, Бояи и
Лобачевского, Клейн ссылается также на знаменитые
работы Римана [8, стр. 309] и Гельмгольца [9, стр. 386],
к оценке значения которых мы еще вернемся. В связи
с учением о проективной природе метрических геометрий
Клейн ссылается па упомянутый выше «Шестой мемуар»
Кэли. Существенное значение имели для Клейна и работы
Бельтрами [10, стр. 180], который связал неевклидовы
геометрии с теорией поверхностей постоянной кривизны.
Объединив названные направления исследований, Клейн
вскрыл проективную природу основных метрических
геометрий, сопоставив им некоторые совокупности проек-
тивных преобразований, оставляющих инвариантным
«абсолют» или «фундаментальную поверхность» про-
странства. Однако оставались еще существенные пробелы,
и для установления «Эрлангенской программы» требова-
лось значительное углубление и обобщение всей схемы.

Так, еще не было дано независимого от метрики обо-
снования проективной геометрии. Клейн ограничился
замечанием, что последовательное развитие концепции
Штаудта должно привести к необходимому результату.
Для нас более существенными представляются пробелы,
связанные с неразработанностью теоретико-группового
подхода. Клейн, по-видимому, в этой работе главное
внимание сосредоточил на связи проективной и неевкли-
довых геометрий, и теоретико-групповые аспекты в ней
играют даже меньшую роль, чем в статьях о IV-кривых.

В частности, отсутствуют и термин «группа», и ссылки
на теорию групп подстановок. Конечно, открытая Клейном
связь может рассматриваться как основа для теоретико-
инвариантной классификации геометрий, но последова-
тельное проведение этой классификации еще отсутствует,
как отсутствует еще и явное использование теории групп.

Примерно за два месяца до обсуждаемой работы Клейн
закончил небольшую статью о связи линейчатой геомет-
рии с механикой твердого тела [4, статья XIV1. Роль
ее в разработке концепции Клейна хотя и не столь велика,
как статьи о неевклидовой геометрии, но все-таки заметна.
Механика твердого тела, точнее кинематика, тесно свя-
занная с проективной геометрией уже в трудах Мёбиуса,
Плюккера, Шаля и др., давала наглядные примеры не-
прерывных групп преобразований и тем самым способ-
ствовала оформлению теоретико-группового формализма.
Сам Клейн считал, что решающие сдвиги в рассматривае-
мом развитии произошли осенью 1871 г. сразу после за-
вершения первой работы по неевклидовой геометрии:
«С осени 1871 г. я работал особенно над тем, чтобы поста-
вить в ясное взаимоотношение последовательный проек-
тивный способ мышления. . . с неевклидовой геометрией,
развитием мёбиусова барицентрического исчисления и
основными представлениями гамильтоновых кватернио-
нов. Так в ноябре 1871 г. возникла основная мысль, раз-
работанная мною в октябре 1872 г. в «Эрлангенской про-
грамме» [4, стр. 521. Действительно, в октябре 1871 г.
была сдана в печать статья «О линейчатой и метрической
геометрии» [4, статья VIII] — очередное звено в «пред-
эрлангенской цепочке», значение которого определяется
тем, что «в ней, как и в большой работе Ли о линейчатой
и шаровой геометрии, рассмотрен ряд новых примеров
непрерывных групп преобразований, находящихся в рам-
ках обсуждаемых там геометрических проблем» [4,
стр. 411]. Однако понятие группы и здесь еще явно не
фигурирует.

Накопление примеров из различных разделов геомет-
рии, свидетельствующих об эффективности и универсаль-
ности теоретико-инвариантного подхода; попытки охвата
на его основе далеко отстоящих друг от друга геометри-
ческих систем; наконец, возникновение в явной форме
«эрлангенской» концепции — вот итоги” осени 1871*^.
Между возникновением основной идеи (согласно Клейну,

ноябрь 1871 г.) й первой публикацией, в которой ос-
новные идеи «Программы» были изложены впервые с до-
статочной полнотой (сдана в печать 8 июля 1872 г.) [4,
статья XVIII], прошло примерно полгода. Это был период
синтеза всех тех направлений в геометрии, которые еще
недавно представлялись совершенно независимыми.

По-прежнему весьма плодотворными и стимулирую-
щими были в это время частые беседы и дискуссии с Клеб-
шем, Штольцем, а также переписка с С. Ли. В начале июня
работа была закончена и сдана в печать под названием
«О так называемой неевклидовой геометрии» (второе
сообщение) [4, статья XVIII]. Именно в этой работе
впервые была четко сформулирована та концепция, ко-
торую мы связываем с «Эрлангенской программой», за-
конченной и опубликованной только в октябре 1872 г.
Однако это сочинение увидело свет уже после знаменитой
«Эрлангенской» лекции и ее публикации. Июньская публи-
кация была, по существу говоря, первой редакцией «Эр-
лангенской программы», как это считал и сам Клейн:
«Сначала ее (т. е. основу «Программы». — В. В.) я выра-
зил во 2-м сообщении о неевклидовой геометрии, которое
вследствие внешних задержек с публикацией появилось
в печати лишь после «Эрлангенской программы» [4,
стр. 412]. Сравнение этих двух работ показывает, что ос-
нова клейновской концепции фактически содержится
в первой из них. Теоретико-групповой формализм исполь-
зуется здесь явно, причем рассматриваются непрерывные
группы автоморфизмов тг-мерных многообразий. Так же
как и в «Эрлангенской» лекции, здесь вводится понятие
главной группы и конструируется иерархия вложенных
ДРУГ в друга подгрупп (хотя термин «подгруппа» еще не
используется).

Отметим теперь единственное принципиальное различие
между этим сочинением и «Эрлангенской программой»,
появившейся в октябре 1872 г. В первой работе различ?
ным группам сопоставляются не соответствующие им
геометрии, как в «Программе», а соответствующие «гео-
метрические методы». Дело здесь, конечно, не только
в терминологической разнице: одно дело — понимание
групповой концепции как совокупности методов в рамках
одной геометрической системы, совсем другое дело —
понимание геометрии как теории инвариантов этой
группы, откуда возникает точка зрения множественности

и известного равноправия геометрий. Утверждение имение
этой точки зрения — решающий сдвиг в генезисе «Про-
граммы» Клейна за время, прошедшее между обсуждае-
мыми работами. Другое отличие непринципиального ха-
рактера заключается в объеме материала, использованного
в этих работах. В «Программе» он более широкий и разно-
образный, «но зато детальное представление в соч. XVIII
(т. е. упомянутой работе о неевклидовой геометрии. —
В. В.), может быть, даже более убедительно в силу егс
первичности» [4, стр. 412].

В окончательном оформлении концепции Клейна, как
отмечает он сам, имели значение два обстоятельства.
Первым было то, что 1 сентября в Геттинген приезжает
С. Ли, который к этому времени уже разработал основы
своей теории контактных преобразований и выяснил ее
значение для теории уравнений с частными производными
первого порядка. Несомненно, что С. Ли и Клейн обсуж-
дали связь этой теории с общей клейновской концепцией
(так Клейн был редактором первой статьи С. Ли, посвя-
щенной его теории, которая была опубликована в «Got-
tingen Nachrichten» в конце 1872 г.). Но еще более сущест-
венно то, что С. Ли, по-видимому, сыграл решающую
роль в переходе от теоретико-групповой классификации
«геометрических методов» к соответствующей классифи-
кации геометрий.

Так, Клейн, говоря о различии между рассматривае-
мыми работами, подчеркивает, что в первой «речь идет
еще о различных «геометрических методах», выражение,
от которого по совету С. Ли позднее (т. е. в «Программе». —
В. В.) я отказался» [4, стр. 52].

Вторым обстоятельством было то, что Клейн, вступая
в должность профессора Эрлангенского университета,
по традиции должен был выступить с программным до-
кладом, который предварительно распространялся среди
коллег в отпечатанном виде. Поэтому «Программа» Клейна
увидела свет раньше, чем законченная еще в ноябре
1871 г. работа о неевклидовой геометрии.

Таковы история и идейные истоки «Программы», к ко'
торой Клейн пришел в результате более чем пятилетних
исследований. Основной движущей силой клейновского
синтеза явился процесс расщепления геометрии на ряд
различных, иногда независимо развивающихся геометри-
ческих дисциплин, который достиг апогея в середине

XIX в. Главную роль в этом процессе играло постепенное
выделение проективной геометрии в самостоятельную
ветвь геометрии, не зависимую от геометрии метрической.
Открытие неевклидовых геометрий было другой важной
чертой этого процесса. Начало разработки многомерной
геометрии, расширение понятия координат и возникнове-
ние на этой основе линейчатой, круговой, шаровой и
других геометрий, первые топологические исследования,
блестящее развитие дифференциальной геометрии поверх-
ностей и т. д. — все это также различные грани упомя-
нутого процесса дифференциации геометрии.

С другой стороны, в самой же геометрии и алгебре по-
степенно вырабатываются средства (методы, формы) для
преодоления прогрессирующей дифференциации и оты-
скания путей к синтезу. Это, прежде всего, замечатель-
ная мёбиусова концепция «геометрического родства», пред-
восхитившая «Программу» Клейна, и связанное с ней
систематическое применение метода преобразований и
инвариантов [11]. Затем разработка алгебраической тео-
рии инвариантов, в которой главную роль сыграла ан-
глийская геометрическая школа. Подчеркнем, что именно
работы Кэли о проективном мероопределении, непосред-
ственно примыкающие к теоретико-инвариантным алге-
браическим исследованиям английской школы, как мы
видели, имели определяющее значение в развитии идей,
приведших к «Эрлангенской программе». Наконец, воз-
никновение в алгебре (в связи с теоретико-числовыми и
геометрическими исследованиями) основ теории групп
подстановок [И]. Итак, клейновский синтез — естествен-
ный и неизбежный итог развития геометрии в XVIII и
XIX вв., но в известной мере не только одной геометрии,
но всей математики (в первую очередь, алгебры, теории
чисел и т. д.). Внутренняя логика развития геометрии
уже в середине XIX в. настоятельно требовала синтеза,
а к 70-м годам развитие математики в целом подготовило
и средства, необходимые для его осуществления.

Иллюстрируем сказанное убедительной хронологией,
которая, кстати говоря, дает ясный ответ на вопрос,
почему этот синтез был осуществлен именно в 70-е годы
XIX в.:

1857 — Штаудт — Обоснование проективной геометрии
независимо от метрической геометрии

1854 — 1859 — Кэли — 6 мемуаров о квантиках — ос-
новы теории инвариантов

1858 — 1861 — Аронгольд и Клебш — символическая (фор-
мальная) теория инвариантов

1859 — Кэли — «Шестой мемуар о квантиках» — кон-
цепция Кэли о проективном мероопределении
1860 — 1863 — Публикация переписки Гаусса и Шу-
махера о неевклидовой геометрии

1865 — Жордан — первые работы Жордана по теории
Галуа

1866 — 1868 — Бельтрами, Риман, Гельмгольц — фунда-
ментальные исследования по неевклидовой гео-
метрии и кинематическому обоснованию геомет-
рии

1870 — Жордан — «Трактат о подстановках» — первое
глубокое изложение теории групп подстановок.

Таким образом, фундаментальные исследования по
проективной и неевклидовой геометриям, алгебраической
теории инвариантов и теории групп подстановок и т. д.,
образующих базу «Эрлангенской программы», были вы-
полнены не более чем за 15 лет, предшествовавших ее
провозглашению. Причем исключительно важные работы
Гельмгольца, Римана, Бельтрами, Жордана и др. были
опубликованы всего за 3—4 года до публикации «Про-
граммы»! Все это в сочетании с рассмотренным выше ма-
териалом позволяет говорить о концепции Клейна как
закономерном, неизбежном итоге развития геометрии,
об удивительной детерминированности этого развития.

В 1850 и даже 1860 г. «эрлангенский» синтез был еще
едва ли возможен (так, идейно близкая к «Программе»
концепция геометрического родства, развитая Мёбиусом
в 30—50-х годах, не привела к подобному синтезу и,
будучи преждевременной, оказалась лишь некоторым
предвестником его) 2. Но то, что открытие «Программы»
произошло в самом начале 70-х годов, а, скажем, не
80-х годов, — заслуга Клейна и Ли. Здесь важны не
только внутренняя логика развития геометрии, подгото-
вившая возможность ее открытия, но и целый ряд об-

2 Кстати говоря, Клейн усмотрел связь концепции Мёбиуса со
своей «Программой» лишь спустя 15 лет, после того как в 1885—
1887 гг. принял участие в издании собрания его сочинений.

стоятельств, связанных с самими творцами. Например,
автором концепции такого рода мог быть математик
весьма широких интересов, знакомый детально с такими
далекими друг от друга разделами математики, как проек-
тивная, линейчатая, неевклидова и т. д. геометрии, тео-
рия групп подстановок, алгебраическая теория инвариан-
тов ит. д.; требовался особый синтетический стиль мышле-
ния, чтобы в столь различных и новейших теориях
(теория проективного мероопределения Кэли, неевкли-
довы геометрии, теория групп подстановок и т. д.) усмот-
реть общую сущность и разработать новую объединяющую
конструкцию. При этом в развитии самого Клейна как
творца «Программы» играло роль много случайных, на
первый взгляд, обстоятельств: и то, что он был учеником
Плюккера, и знакомство с Клебшем, и поездка в Берлин,
где началась его плодотворная творческая дружба с Ли
и О. Штольцем, и т. д. Но наиболее существенным было
стремление Клейна к достижению некоторого синтети-
ческого подхода, который бы позволил с единой точки
зрения охватить и понять весь геометрический калейдо-
скоп (ср. цитату, приведенную на стр. 229).

3.	Физические истоки
«Эрлангенской программы»

Рассматривая становление концепции Клейна, мы ви-
дели, что основное значение в этом процессе имела внутри-
геометрическая проблематика. Геометрия нуждалась не
только в достижении более глубокого понимания и обо-
снования новых своих разделов (особенно неевклидовых
геометрий), но и в выработке некоторого синтетического
подхода, который позволил бы с единой точки зрения
охватить все разнообразие различных геометрических
систем и методов. Средства для решения этих задач были
развиты в самой геометрии и особенно в алгебре, т. е.
«без заметного влияния внешнего мира». «Шестой мемуар»
Кэли, в котором было развито учение о проективном меро-
определении, — главный исходный пункт «Эрлангенской
программы» — находится как раз на стыке алгебраиче-
ской теории инвариантов и проективной геометрии.

И все-таки при более внимательном рассмотрении всей
картины открытия «Программы» можно увидеть разветв-
ленную сеть каналов, связывающих ее с естествознанием

и техникой. Все эти связи естественным образом разде-
ляются на три группы:

1.	Физические факторы (точнее, естественнонаучные и
технические, но в дальнейшем мы для краткости будем
называть физическими и те, которые более непосредствен-
ное отношение имеют к геодезии и картографии, биофизике
и физиологии и т. д.) первого порядка, оказавшие не-
посредственное воздействие на Клейна и Ли в процессе
разработки ими «эрлангенской» концепции.

2.	Физические факторы второго порядка, повлиявшие
в основном на современников и близких предшественников
Клейна и Ли, внесших фундаментальный вклад в разра-
ботку «Программы» (Риман, Гельмгольц, шБельтрами,
Жордан и др.).

3.	Наконец, физические факторы третьего порядка,
т. е. более отдаленные физические истоки отдельных
геометрических дисциплин.

Более подробно рассмотрим здесь первые две группы,
а в отношении третьей ограничимся несколькими заме-
чаниями.

Физические факторы первого порядка. Клейн начинал
свою научную деятельность как ассистент Плюккера на
кафедре физики; приехав в начале 1869 г. в Геттинген,
он продолжал считать свои геометрические занятия вре-
менными и готовился к дальнейшему изучению физики.
Однако математические наклонности и интересы вскоре
взяли верх. Несмотря на это, Клейн на всю жизнь сохра-
нил интерес к физике, а также стремление к установлению
более тесных и всесторонних контактов между математикой
и физикой.

Результаты своей чисто линейчато-геометрической дис-
сертации он пытался связать с некоторыми физическими
идеями относительно «эфира» и электричества. Идеи эти
носили в значительной мере натурфилософский характер,
однако они могли стимулировать само исследование.

Для Клейна было характерно не только и не столько при-
менение математических методов в физике, сколько ис-
пользование физических аналогий, образов, моделей и
и т. д. для разработки и интерпретации нетривиальных
математических конструкций. Именно поэтому Зоммер-
фельд называл его впоследствии «физическим математиком»,
а не «математическим физиком». Одной из первых работ
такого рода была его короткая статья, в которой описаны

четыре модели (из цинка) некоторых сложных линейчатых
поверхностей, изготовленные им самим вместе с А. Вей-
кером в конце 1869 г. [4, статья XIV]. В этой статье Клейн
указывает, что метод моделей в линейчатой геометрии ис-
пользовал уже Плюккер, который, по его словам, был по-
бужден к этому благодаря общению с Фарадеем, приме-
нявшим модельные конструкции в своих исследованиях
и лекциях по теории электричества.

Каким же образом физические интересы Клейна и его
склонность к «физической математике» были связаны с раз-
работкой «Программы»? Непосредственно, пожалуй, един-
ственным образом, — через механику твердого тела, ко-
торая сыграла в этот период заметную роль в выработке
и оформлении теоретико-группового способа мышления.
Механические перемещения, в частности движения твер-
дого тела, использовались Клейном и Ли как механиче-
ские аналоги геометрических, групповых по существу,
преобразований. В ряде «предэрлангенских» работ 1869—
1871 гг. мы находим ссылки на трактаты по механике (па-
пример, Шелла [12]), а также на исследования по неев-
клидовой механике (например, Тилли, Шеринга [13] и
и др.). Клейн сам детально разрабатывает аналогию между
кинематикой и статикой твердого тела и линейчатой гео-
метрией в работе 1871 г. «Заметка о взаимосвязи линейча-
той геометрии с механикой твердого тела» [4, статья XIV)].
И это происходит как раз в период оформления «эрланген-
ской» концепции.

Другой мостик, соединяющий «Программу» с механикой,
был построен С. Ли. Речь идет о теории контактных (или
касательных) преобразований, связь которой с задачей
интегрирования уравнений механики была установлена
им не позже начала 1872 г. Контактные преобразования,
изучение которых было стимулировано аналитической
механикой, служили еще одним нетривиальным примером
плодотворности инвариантно-группового подхода. Введе-
ние их в эрлангенскую схему подсказывало также воз-
можность распространения ее и на механику, что явно про-
изошло, однако, только в релятивистскую эпоху. В пер-
вой редакции «Программы», разработанной к началу
лета 1872 г., упоминание о контактных преобразованиях
еще отсутствует. Несомненно, что включение их в «эр-
лангенский» доклад было навеяно приездом С. Ли в Гет-
тинген в начале сентября 1872 г.

Физические факторы второго порядка. Можно без
всякого преувеличения сказать, что названные выше ис-
следования Бельтрами, Римана, Гельмгольца, Жордана,
наряду с идеями Кэли и Штаудта, создали настоящий фун-
дамент для разработки «Эрлангенской программы». Вместе
с тем они, в отличие от работ Кэли и Штаудта, были весьма
тесно связаны с физикой. Именно эту связь мы имели
в виду, когда говорили о физических факторах второго
порядка, значительно более существенных и многочислен-
ных по сравнению с рассмотренными ранее факторами пер-
вого порядка. Кратко рассмотрим некоторые из них, ра-
зумеется, главные, на наш взгляд.

А. Решающим математическим средством, позволившим
осуществить классификацию различных геометрий и, та-
ким образом, осуществить «эрлангенский» синтез, была
теория групп подстановок. Эта теория возникла в работах
прежде всего Галуа как естественный результат развития
проблемы разрешимости в радикалах алгебраических урав-
нений (Лагранж, Вандермонд, Руффини, Коши, Абель).
Однако известное значение имели также теоретико-число-
вые исследования Эйлера и, особенно Гаусса, а также Кум-
мера, Кронекера и др., продолжавших развитие идей
Гаусса [И].

Хотя Лиувилль еще в 1846 г. издал основные работы
Галуа, «только в 1870 г. благодаря появлению книги Ка-
милла Жордана «Traite des substitutions et des equations
algebriques» было привлечено всеобщее внимание к тео-
рии групп как необходимому орудию теории уравнений»
[6, стр. 385].

Трактат Жордана, как мы видели, был первой теорети-
тико-групповой школой Клейна.

Теоретико-групповые интересы Жордана, однако, не
были чисто математическими. Они с самого начала были
тесно связаны с его кристаллографическими исследовани-
ями. Изданию «Трактата» предшествовали работы Жор-
дана о группах движения (1866—1869), написанные,
прежде всего, под влиянием успехов французской кристал-
лографической школы А. Браве (1866) [14, стр. 229].

В последующей работе о группах движения [15] Жор-
дан изучает всевозможные движения твердого тела, со-
ставимые из вращений и трансляций. Здесь его результаты
непосредственно примыкают к исследованиям по кине-
матике твердого тела (Пуансо, Мёбиус, Плюккер, Шелл

и т. д.). Сопоставляя каждому движению твердого тела
некоторое винтовое движение, обозначаемое символом
Л t (г — угол поворота вокруг оси A, t — шаг винта или
смещение вдоль этой оси), он определяет закон компози-
ции двух винтовых движений, дающий третье винтовое
движение. При этом он отчетливо осознал фундаменталь-
ное значение замкнутости множества всех винтовых дви-
жений.

Для кристаллографии более существенным было то, что,
опираясь на развитую им теорию групп движения, Жор-
дан нашел 16 плоских кристаллографических групп среди
174 вычисленных им плоских и пространственных групп
движения. Для нас важно, что кристаллография, наряду
с кинематикой твердого тела, была одним из первых не-
тривиальных приложений теории групп, которая сама
формировалась в тесном контакте с задачами кристалло-
графии и минералогии. Идея классификации кристалло-
графических систем по группам движения могла стимули-
ровать идею классификации различных геометрических
систем по группам преобразований. Таким образом, кри-
сталлография и кинематика стимулировали разработку как
теории групп в целом, так и, в особенности, теории групп
движения, связанной с развитием в работах С. Ли теории
непрерывных групп.

Б. Обычно считается, что концепции Клейна и Ри-
мана в известном смысле прямо противоположны и свя-
заны с двумя совершенно различными направлениями в раз-
витии геометрии: «Для Клейна основное геометрическое
понятие содержится в аксиоме равенства, интерпретирован-
ной в свете понятия группы. Для Римана. . . основным
геометрическим понятием является понятие длины».
И несколько далее: «Очевидно, что риманова геометрия
совершенно не укладывается в рамки „Эрлангенской про-
граммы“, так как риманово многообразие не допускает
в общем случае никакого вида однородности» [3, стр. 487].
Хотя это, по-видимому, верно, лекция Римана, опублико-
ванная в 1868 г. (а написанная в 1854 г.) [8, стр. 309],
несомненно имела основополагающее значение для раз-
вития идей Клейна, а с другой стороны, была прочно свя-
зана с физической проблематикой.

Клейн ссылается на мемуар Римана и в своих фунда-
ментальных работах по неевклидовой геометрии, и в самой
«Программе», поскольку именно в нем впервые были рас-

смотрены n-мерные римановы пространства постоянной
кривизны (эллиптические пространства), которые были
включены Клейном в схему проективного мероопределе-
ния. Отметим содержащиеся в мемуаре идеи и разработки
«Эрлангенского» характера, которые должны были так
или иначе сказаться на генезисе клейновской схемы.
Во-первых, это — развитие и-мерного подхода. Во вто-
рых, Риман специально выделяет класс пространств с по-
стоянной кривизной, которые могут быть описаны на ос-
нове понятия подвижности, подходя таким образом вплот-
ную к концепции Кэли — Клейна: «Многообразия с по-
стоянной мерой кривизны могут быть характеризованы
также тем свойством, что фигуры могут в них перемещаться
без растяжений и сжатий» [8, стр. 320]. Это же подчерки-
вает и Вейль в своих глубоких примечаниях к мемуару
Римана. Для разработки «эрлангенской» конструкции ему,
так сказать, недоставало, по крайней мере, двух вещей:
1) проективного подхода и, в частности, тех результатов
по проективному обоснованию метрики, которые в 1859 г.
были получены Кэли; 2) теоретико-группового аппарата,
который стал достоянием математики в значительной мере
лишь после выхода в свет в 1870 г. трактата Жордана.
Кроме того, геометрическая концепция Римана сама по
себе была чрезвычайно содержательной и в схеме метри-
ческих геометрий существенно более общей, чем концеп-
ция Клейна. Нам кажется, что глубокие замечания Римана
о возможности обоснования геометрий пространств по-
стоянной кривизны па основе понятия подвижности могли
существенно повлиять на Клейна, хотя сам он прямо об
этом нигде не говорит.

Теперь рассмотрим кратко физические истоки мемуара
Римана, который к тому же насыщен глубокими, иногда
пророческими замечаниями физического характера. За-
метим, прежде всего, что мемуар был написан в конце пе-
риода интенсивных занятий Римана физикой (в 1846—
1847 гг. Риман слушал лекции Якоби по механике;
в 1849—1850 гг. сблизился с Вебером, был ассистентом
физического практикума, членом физико-математического
семинара в Геттингене, начал исследования физико-син-
тетического характера; в 1852—1854 гг. написал наброски
«Тяготение и свет», «Законы движения субстанции», «Но-
вые математические принципы^натурфилософии» и др.,
которые Клейн впоследствии расценивал как предвос-

хищение теории Максвелла и т. д.) [16]. Вейль подчерки-
вал, что Риманом в геометрии был совершен тот же шаг,
который Фарадей и Максвелл сделали в области физики,
и эта связь между полевыми концепциями в физике и гео-
метрии присутствовала в работах Римана не только в по-
тенциальном логическом плане, но и фактически. Мему ар
насыщен физическими идеями, которые существенным об-
разом стимулировали все построение Римана. Уже в самом
начале для обозначения элемента многообразия он исполь-
зует термин «состояние», предвосхищая тем самым понятия
многомерных конфигурационного и фазового пространств
аналитической механики. При конструировании метрики
Риман рассуждает как естествоиспытатель, опирающийся
на измерения, и как физик-полевик, рассматривающий
метрическое поле.

Заключительное высказывание Римана о возможности
объяснения метрики посредством некоторых физических
сил справедливо было расценено впоследствии как гениаль-
ное предвосхищение общей теории относительности. Про-
извольно искривленное риманово пространство — это, со-
гласно Риману, лишь одна из возможных структур физи-
ческого пространства. В качестве другой возможности он
рассматривает пространства постоянной кривизны, имею-
щие в «Программе» Клейна основополагающее значение:
«Если допустим, что тела существуют независимо от места
их нахождения, так что мера кривизны везде постоянна,
то из астрономических наблюдений следует, что она не
может быть отлична от нуля, или если она отлична от нуля,
то по меньшей мере можно сказать, что часть вселенной,
доступная телескопам, ничтожна по сравнению со сферой
той же кривизны» [8, стр. 321].

Итак, риманова концепция в геометрии имела в значи-
тельной мере физическое происхождение. А с другой сто-
роны, она, как мы видели, была тесно связана с кругом
идей Клейна и Ли.

В. Прежде чем рассмотреть еще один из важнейших
физических истоков неевклидовых геометрий — геодезию
и картографию, — упомянем о подходе Н. И. Лобачевского
к построению неевклидовой геометрии, который в общем
был аналогичен подходу Гаусса и отчасти рассмотренному
выше подходу Римана. Он считал, что геометрические
утверждения должны проверяться физическим опытом
(и сам пытался это сделать), а также что «силы все произ-

водят одни: движение, скорость, время, массу, даже рас-
стояния и углы» [17, стр. 61—62]. Примерно также думал
и Гаусс, что видно, например, из его переписки с Ольбер-
сом и Герлингом [18, стр. 102,103,117 и т. д. ]. Выдающееся
значение для развития неевклидовой геометрии имели
также его «Общие исследования о кривых поверхностях»
[19, стр. 123] (1827). Именно они послужили исходным
пунктом построений Римана, а также работ Бельтрами,
сыгравших важную роль и в истории неевклидовых, гео-
метрий, и в предыстории «Эрлангенской программы».
С другой стороны, «его [т. е. Гаусса. —В. 5.] геодези-
ческие работы были практической основой всех его гео-
метрических открытий» [20, стр. 40].

На основе работ Лобачевского, Гаусса и некоторых дру-
гих ученых (в частности, ученика Гаусса — Миндинга)
фундаментальные результаты, чрезвычайно важные в под-
готовке клейновской концепции, были получены Бельтрами.
Как и Гаусс, Бельтрами шел от задач геометрии и карто-
графии. В 1865 г. он решил задачу геодезического отобра-
жения поверхности на плоскость, а после сопоставления
работ Миндинга и Лобачевского он пришел, используя
полученный им ранее результат, к интерпретации плани-
метрии Лобачевского как внутренней геометрии поверх-
ности постоянной отрицательной кривизны [10, стр. 180].
После ознакомления с опубликованным в 1868 г. мемуа-
ром Римана Бельтрами доказал тождественность риманова
пространства постоянной отрицательной кривизны с про-
странством геометрии Лобачевского [21, стр. 360]. Основой
этого доказательства было установление факта свободной
подвижности геометрических фигур в римановых простран-
ствах постоянной кривизны. Тем самым Бельтрами, как
и Риман, подошел вплотную к классификации метриче-
ских геометрий на основе понятия подвижности соответ-
ствующих пространств. Это было отмечено несколько позд-
нее и самим Клейном: «. . .Общее меропределение Кэли
равносильно предположению о постоянстве меры кривизны»
и далее: «. . . таким образом и для перехода от формул
Бельтрами к формулам Кэли достаточно сделать всего
один шаг» [22, стр. 450]. Итак, дифференциально-гео-
метрические и неевклидово-геометрические исследования
Лобачевского, Гаусса, Миндинга и, особенно, Бельтрами,
столь существенные в подготовке «Эрлангенской про-
граммы», были тесно связаны с физикой, ее теоретико-

познавательными проблемами, а также с геодезией и
картографией.

Г. Знаменитые исследования Гельмгольца о кинемати-
ческом обосновании геометрии были, как и рассмотренные
выше работы Римана, Бельтрами, Жордана, одним из
важнейших пунктов «Эрлангенской программы» и, вместе
с тем, сами стимулировались физической проблематикой.
Кроме того, Гельмгольц, в отличие от названных выше ис-
следователей, был, прежде всего, естествоиспытателем.

Подчеркнем, что идея кинематического обоснования гео-
метрии (главным образом, евклидовой) восходит к древним,
широко применявшим метод наложения геометрических
фигур, а в Новое время — к Ньютону: «. . .Геометрия ос-
новывается на механической практике и есть ничто иное,
как та часть общей механики, которая излагает и обосно-
вывает искусство измерения» [23, стр. 2]. Эта идея в раз-
личных формулировках встречается и отчасти обсуждается
в трудах Лейбница, Н. И. Лобачевского и др.; интересное
развитие этой мысли встречается у немецкого философа и
психолога Ибервега (1851) [24, стр. 66—67].

Интерес к происхождению геометрических представле-
ний возник у Гельмгольца в первую очередь в связи с ис-
следованиями по физиологии зрения, а также в связи с изу-
чением теории познания Канта [25]. Гельмгольц решился
опубликовать свои результаты [9, стр. 366] после появле-
ния в 1868 г. известного мемуара Римана. Отметив
общность и некоторое различие с подходом и выводами
Римана и подчеркнув биофизическое происхождение своих
исследований, он формулирует основную идею обоснова-
ния квадратичной метрики: «Моя исходная точка зрения
заключалась в том, что всякое первоначальное измерение
пространства основывается на наблюдении совмещения.
О совпадениях же вообще нельзя говорить, если твердые
тела или системы точек не могут быть передвигаемы без
изменения формы. . . Поэтому я с самого начала предпо-
ложил возможность пространственного измерения путем
констатирования совпадения и поставил себе задачу найти
самую общую аналитическую форму многократно протя-
женного многообразия, при которой возможно движение
требуемого вида» [9, стр. 368]. Ядром аксиоматики Гельм-
гольца и является идея свободной подвижности/твердых
тел, т. е., по существу говоря, теоретико-групповая (клей-
новская!) концепция метрических геометрий, но без

использования терминологии и аппарата теории групй.
Это обстоятельство (т. е. отсутствие теоретико-групповой
методологии), недооценка проективного подхода, а также
значительно меньшая геометрическая эрудиция, чем
у Клейна, не позволили Гельмгольцу в полной мере раз-
вить свои идеи до уровня «Эрлангенской программы».

Мы видим, таким образом, что основным каналом, свя-
зывающим «Эрлангенскую программу» с физикой, были
как раз работы Жордана, Римана, Бельтрами, Гельм-
гольца и др., которые мы отнесли к физическим факторам
второго порядка.

Упомянем также о физических факторах третьего по-
рядка, т. е. физических корнях отдельных геометриче-
ских дисциплин, расходящаяся эволюция которых и при-
вела к необходимости «эрлангенского» синтеза (связь
евклидовой геометрии и тригонометрии с геодезией, меха-
никой, астрономией; аналитической геометрии — с ки-
нематикой; начертательной и проективной геометрии —
с геометрической оптикой, архитектурой, инженерной
практикой, графостатикой и т. д.; дифференциальной
геометрии — с геодезией, картографией, механикой, оп-
тикой, теориями упругости, потенциала, теплопроводности
и т. д. [20, 26, 27].

Итак, мы выделили три класса физических факторов,
существенных для генезиса концепции Клейна. Наиболее
значительны, многочисленны и тесно сплетены с «Эрлан-
генской программой» факторы второго порядка. Факторы
первого порядка, ^связанные непосредственно с физиче-
скими интересами и разработками Клейна и Ли, несмотря
на их стимулирующую роль, более второстепенны. Фак-
торы третьего порядка акцентируют внимание на физи-
ческом происхождении большинства геометрических дис-
циплин, демонстрируя тем самым глубину физических исто-
ков «Эрлангенской программы».

4.	Введение «Эрлангенской программы» в физику
и «эрлангенскин» подход к истории физики

В заключение мы остановимся кратко на двух вопросах
взаимоотношения «Эрлангенской программы» и физики,
которые представляют интерес главным образом для фи-
зики и ее истории. Первый вопрос касается истории вве-
дения «эрлангенского» подхода в физику, т. е. такого ме-

тода конструирования физических теорий, при котором
они формулируются как теории инвариантов некоторых
групп преобразований. Второй вопрос относится к обсужде-
нию возможности применения «эрлангенского» метода
к истории физики, точнее, к анализу развития основных
физических теорий.

1.	Идеалом дорелятивистской физики было сведение ее
к дифференциальным уравнениям; принципам инвариант-
ности (а, следовательно, и теоретико-групповому аспекту
физики) не придавалось при этом существенного зна-
чения.

Кроме того, — и это самое главное — переменная
времени в физике играла явно выделенную роль и не могла
рассматриваться на одном уровне с пространственными
переменными. Оба эти обстоятельства препятствовали вве-
дению «эрлангенской» концепции в физику. Необходимые
предпосылки для этого введения были созданы открытием
специальной теории относительности, которая не только
устранила резкий разрыв между переменными простран-
ства и времени, но и вообще выдвинула принципы инвари-
антности на первый план. Впервые «эрлангенскую» струк-
туру теории относительности и классической механики
выявил Г. Минковский, явно сформулировав эти теории
как теории инвариантов соответственно групп Пуанкаре
(неоднородная группа Лоренца) и Галилея — Ньютона
(1907—1908) [28—30]. Точка над «и» была поставлена са-
мим Клейном, который развил формулировку Минков-
ского, связав ее непосредственно со всей «Эрлангенской
программой» и включив названные группы в схему проек-
тивного мероопределения (1910) [31]. Это включение ука-
зывало, кстати говоря, на возможности дальнейшего рас-
ширения группы Пуанкаре, в частности, до групп движе-
ния четырехмерных неевклидовых пространств, что пред-
восхищало некоторые результаты эйнштейновской теории
тяготения и космологии. Значительное развитие получил
«эрлангенский» подход в общей теории относительности,
квантовой теории и современной физике элементарных
частиц. В настоящее время он признан одним из важных
способов теоретических построений.

2.	«Эрлангенский» подход может быть с успехом приме-
нен не только к построению какой-либо физической тео-
рии, но и к анализу исторического развития основных
физических теорий, поскольку каждая из них связана

с той или иной фундаментальной группой симметрии [32].
Например, одна из главных линий развития физики от
древности до наших дней, связанная с эволюцией простран-
ственно-временных форм, может быть совершенно в духе
«Эрлангенской программы» описана как последовательное
расширение первоначальной фундаментальной группы
пространства—времени, ассоциированной с динамикой
Аристотеля. Если ввести обозначение: А — 7-параметри-
ческая аристотелева группа, отличающаяся от галилей-
ныотоновской группы G — фундаментальной группы клас-
сической механики — отсутствием в ней генераторов «чи-
стых» галилеевских преобразований, Р — группа Пуан-
каре — фундаментальная группа релятивистской физики,
Е — группа Эйнштейна, т. е. группа, связанная с римано-
вой геометрией, то развитие физики от Аристотеля через
Галилея и Ньютона до теории относительности (сначала
специальной, а затем и общей) можно схематически пред-
ставить так:

A-+G-+P->E,

т. е. как последовательное расширение фундаментальной
группы теории, действующей на пространственно-времен-
ном многообразии.

Имеются и другие варианты «эрлангенского» подхода,
в которых можно использовать группы, действующие на
многообразиях состояний физических систем [33].

Применение различных форм «эрлангенского» подхода
к истории физики дает возможность конструировать раз-
личные модели развития основных физических теорий,
что имеет не только классификационное, но и эвристиче-
ское значение.

Подчеркнем, наконец, что общая теория относитель-
ности чрезвычайно сильно стимулировала развитие гео-
метрии, которое в 20—30-х годах привело к существенной
модификации «Эрлангенской программы» как общего клас-
сификационного принципа геометрии. Таким образом,
вновь проявляется плодотворная взаимосвязь геометрии
и физики.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Ф. Клейн. Сравнительное обозрение новейших геометрических
исследований (Эрлангенская программа). — В сб.: Об осно-
ваниях геометрии. Под ред. А. П. Нордена. М., Гостехиздат,
1956, стр. 399—434.

2.	Д. Гильберт. Математические проблемы. — В сб.: Проблемы
Гильберта. Под ред. П. С. Александровой. М., «Наука»,
1969.

3.	Э. Картан. Теория групп и геометрия. — В сб.: Об основаниях
геометрии.

4.	F. Klein. Ges. mathematische Abhandlungen, Bd 1. Hrsg. von R.
Fricke u. A. Ostrowsky. Berlin, 1921.

5.	А. Кэли. Шестой мемуар о формах. — В со.: Об основаниях
геометрии.

6.	Ф. Клейн. Лекции о развитии математики в XIX столетии, ч. I.
Перев. Б. Лившица, А. Лапшина, Ю. Рабиновича, Л. Тумер-
мана. М.—Л., Гостехиздат, 1937.

7.	С. Jordan. Traite des substitutions et des equations algebriques.
Paris, 1870.

8.	Б. Риман. О гипотезах, лежащих в основании геометрии. —
В сб.: Об основаниях геометрии.

9.	Г. Гельмгольц. О фактах, лежащих в основании геометрии. —
В сб.: Об основаниях геометрии.

10.	Э. Бельтрами. Об интерпретации неевклидовой геометрии. —
В сб.: Об основаниях геометрии.

И. Н. Wussing. Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffes. Ber-
lin, 1969.

12.	W. Schell. Theorie der Bewegung und der Krafte. Leipzig, 1870.

13.	E. Schering. Die Kraft der Gravitation in dem Raum von Gauss. —
Getting. Nachr., 1870, 15.

14.	C. Jordan. Sur les groupes de mouvements. — C. r. Acad. sci.
Paris, 1867, p. 229.

15.	C. Jordan. Memoire sur les groupes de mouvements. — Ann. ma-
tem. pura ed. appl., ser. 2, 1868/1869, 2.

16.	Б. Риман. Сочинения. Перев. под ред. В. Л. Гончарова. М.—Л.,
Гостехиздат, 1948.

17.	Н. И. Лобачевский. Новые начала геометрии с полной теорией
параллельных. — В сб.: Об основаниях геометрии.

18.	К. Ф. Гаусс. Отрывки из писем и черновые наброски, относя-
щиеся к неевклидовой геометрии. — В сб.: Об основаниях
геометрии.

19.	К. Ф. Гаусс. Общие исследования о кривых поверхностях. —
В сб.: Об основаниях геометрии.

20.	Д. Дж. Стройк. Очерки истории дифференциальной геометрии
до XX столетия. Перев. М. Г. Шестопал под ред. Э. Коль-
мана. М.—Л., Гостехиздат, 1941.

21.	Э. Бельтрами. Основы теории пространств постоянной кри-
визны. — В сб.: Об основаниях геометрии.

22.	Ф. Клейн. Отзыв о сочинении С. Ли «Теория групп преобразова-
ний». III (1893). — В сб.: Об основаниях геометрии.

23.	И. Ньютон. Математические начала натуральной философии. —
Изв. Николаевск, морск. акад. Пг., 1915.

24.	А. В. Васильев. Пространство, время, движение. Пг., 1923.

25.	H. Helmholtz. Ueber die Natur der menschlichen Sinnesempfin-
dungen. Wiss. Abhandlungen, Bd 2. Leipzig, 1892, Abh. LXXVI.

26.	В. Ф. Каган. Очерки по геометрии. Под ред. П. К. Рашевского.
М., Физматгиз, 1963.

27.	J. L. Coolidge. A history of geometrical methods. N. Y., 1963.

28.	H. Minkowsky. Das Relativitatsprinzip. — Ann. Phys., 1915,
47, 927.

29.	Г. Минковский. Пространство и время. — В сб.: Принцип отно-
сительности. Под ред. В. К. Фредерикса и Д. Д. Иваненко.
М.-Л., ОНТИ, 1935.

30.	Н. Minkowsky. Die Grundgleichungen fur die electromagnetischen
Vorgange in bewegten Korpern. — Getting. Nachr., 1908, 53.

31.	Ф. Клейн. О геометрических основаниях лоренцовой группы. —
В сб.: Новые идеи в математике, № 5. Под ред. А. В. Василь-
евой, СПб., 1914.

32.	Н. П. Коноплева, Г. А. Соколик. Проблемы тождества и прин-
цип относительности. — Эйнштейновский сборник. Под ред.
И. Е. Тамма, Г. И. Наана. М., 1967.

33.	В. П. Визгин. «Эрлангенский» подход к истории физики. —
Труды XII и XIII конференций аспирантов и младших научных
сотрудников ИИЕиТ АН СССР. М., ВИНИТИ, 1971.

ВИЗАНТИЯ КАК ПОСРЕДНИК
МЕЖДУ ВОСТОКОМ И ЗАПАДОМ
В ОБЛАСТИ МАТЕМАТИКИ1

К. Фогель

Стихийно возникающие контакты между соседними на-
родами всегда способствовали передаче и дальнейшему
развитию научного знания. Обмен сведениями начинается
при сношениях между жителями приграничных областей;
купцы, посланники и путешественники, стремящиеся
узнать чужие страны, содействуют его дальнейшему распро-
странению. Воспринимаются знания соседних народов
и передаются свои. Ранним примером этого служит воз-
никновение греческой науки в Ионии, где контакты с со-
седями принесли знание вавилонских и египетских науч-
ных достижений. Из них греки затем создали науку, впер-
вые ставящую своей целью получение истин путем анализа.
Они дали науке больше, чем некогда унаследовали.

Аналогичная ситуация была в Византии. В области ма-
тематики, — о которой здесь идет речь, — Византия ока-
залась единственной обладательницей классического на-
следия и первоначально не могла ничего заимствовать ни
у народов, населявших восточную границу империи Юсти-
ниана, ни на Западе, где жизнь только устанавливалась
после смятения, вызванного переселением народов.
Там долгое время располагали лишь скромными знаниями,
дошедшими в передаче римлян. С математическими и астро-
номическими проблемами, выходящими за пределы повсе-
дневно необходимого, познакомились только в XII сто-
летии, причем из арабских, а не из византийских источ-
ников. Вначале это были скорее всего собственные сочине-
ния арабов, но затем также и греческие книги, которые
арабы изучали и переводили на свой язык; эти книги по-
падали в Италию и Испанию, где в переводе на еврейский
язык или латынь становились доступными для ученых.

Однако мнение, что проникновение математики на За-

1 Доклад, прочитанный на XIII Международном конгрессе по
Истории науки (Москва, 22 августа 1971г.). Перевод И. Н. Ген-
дрихсона.

пад зависило будто бы исключительно от мусульманских
стран, является ошибочным в такой его формулировке,
которая исключает вклад Византии. Греческие подлин-
ники могли прийти на Запад только из Византии.

Сохранение произведений великих математиков элли-
нистической эпохи началось уже во времена Юстиниана,
когда Византия выступила преемницей научных школ
Афин и Александрии, где постепенно свертывались иссле-
дования в области математики. Мы знаем, что в Византии
изучали и комментировали Евклида, Архимеда, Аполло-
ния и Герона. Это же можно предположить и в отношении
Диофанта; вскоре в Константинополе стали известны ариф-
метические задачи, имеющие характер эпиграмм. Здесь же
их изучал армянский ученый Ананий Ширакаци, оставив-
ший после себя аналогичные проблемы.

В три последующих после Юстиниана столетия, когда
государству угрожали внешние враги и его истощали ре-
лигиозные распри между иконоборцами и их противниками,
изучение классического наследия почти прекратилось.
В это время происходил интенсивный обмен дипломати-
ческими посланцами между Византией и королями фран-
ков, обе стороны добивались признания в качестве закон-
ных преемников римских императоров. Одна из миссий
оставила при дворе Карла Великого в 781 г. грека Елисея.
Он должен был обучить греческому языку дочь Карла Ве-
ликого принцессу Ротруду, предназначенную стать же-
ной 11-летнего Константина VI, равно как и назначенную
для ее сопровождения свиту. Конечно, никому не известно,
проходила ли принцесса во время этого малоуспешного
преподавания в Аахене византийские арифметические за-
дачи такого рода, какие встречаются в «Предложениях для
изощрения юного ума». Содержание этого сборника ука-
зывает на его частично греческое происхождение, как это
видно из сравнения с арифметическими эпиграммами и при
вычислениях типа «хау» и в задачах на истечение жидкости
(задачи на бассейны). Там встречается также задача «дать
и взять» х, позднее предложенная Леонардо Пизанскому

1 Автор называет так задачи, в простейшем случае приводящиеся
к системе:

хр = а (у — р),

у + р = Ь(х — р),

где х и у — имущество двух лиц, а р — некоторая данная сумма.

в Византии неким магистром. Другие задачи, как «Задача
о птицах» (известная позднее под названием «Zechenauf-
gabe») или «Задача о собаке и зайце», опять имеют восточное
происхождение; здесь отчетливо проявляется арабское
влияние, которое, однако, не могло еще идти через Испа-
нию. В задачах фигурируют восточные звери, например,
верблюды, которых покупает восточный купец.

Так как к тому же известно, что между дворами хали-
фов и Каролингов были установлены дипломатические от-
ношения, в наши рассмотрения следует включить необхо-
димость существования прямого, не проходящего через
Испанию, пути от арабов в Западную Европу.

Второй период расцвета математических исследований
в Константинополе связан с именем математика и философа
Леона, деятельность которого имела огромное значение
для сохранения и распространения на Западе греческих
текстов. Живя вдали от столицы на острове Андрос, он
нашел учителя математики и обнаружил полузабытые
книжные сокровища в одной из местных монастырских
библиотек. Когда он уже в качестве учителя математики
приобрел среди математиков некоторую известность, об
этом узнал от одного из военнопленных халиф ал-Ма’мун.
Он пожелал заполучить Леона для своего двора, при ко-
тором еще при предшественниках ал-Ма'муна изучались
и переводились математические труды. Когда император
Феофил узнал об этом приглашении, он принял Леона
на государственную службу, поручив ему преподавание
при церкви Сорока Мучеников.

Впоследствии Леон в качестве «первого философа» и
ректора нового университета в константинопольском
дворце Магнаур смог собрать вокруг себя большой круг
учеников. Из их среды мы знаем Арефу, позднее ставшего
епископом в Цезарее, который оставил важные замечания
по поводу одной лекции Леона, посвященной Евклиду,
а также Константина Кирилла, который распространял
христианство в Болгарии и Моравии. Через полтора сто-
летия после этой первой славянской миссии культурное
влияние Византии, имеющее огромное значение для даль-
нейшей истории, распространится на Киевское кня-
жество.

Введенное Кириллом написание цифр, а также древне-
славянские названия для высших степеней числа десять
относятся к этому времени.

Однако более всего Леон заслуживает благодарность
Запада за единственные в своем роде старания сохранить
классическую математическую литературу. По его пору-
чению были изготовлены рукописи, на которых основы-
вается почти все наше нынешнее знание античной матема-
тики. Так он велел собрать из работ Архимеда, до того вре-
мени разрозненных, все, что удастся найти; результатом
явилась известная, ныне потерянная, основная рукопись
А, бывшая некогда собственностью Георгия Валла.
В то же время появились и другие рукописи, например,
ныне утраченного оригинала «Арифметики» Диофанта
(оригинал к God. Madrit 48), две рукописи «Альмагеста»
(Cod. Vatic. Gr. 1594 и 1291), а также комментарии к ним
Теона и Паппа (оригинал в Med. Laur. 28, 18), далее уте-
рянная основная рукопись Аполлония (копии в Cod.
Vatic. Gr. 204, 206) и написанные в 888 г. «Начала» Ев-
клида (Cod. Bodleian. Doruillian. X, I), приобретенные не-
когда Арефой за 14 сблидов.

Правда, до XII в. западноевропейские ученые почти
не имели прямого доступа ко всему тому, что было пере-
писано учеными Византии, которые и после смерти Леона
стремились спасти от забвения идеи античных классиков.
Конечно, кое-какие сведения о математике классического
периода сохранились в то время в Европе: Марциан Ка-
пелла и Боэций знали Евклида и Никомаха; однако ха-
рактерно, что уже Кассиодор в противоположность Боэ-
цию называет посредственными математиками как Ар-
химеда, так и Аполлония, с трудами которых он опреде-
ленно был знаком только понаслышке. Имеются и другие
следы знакомства с произведениями Евклида. Например,
импульсы подобного рода, по-видимому, исходили от лан-
гобардов, живших в герцогствах Беневент и Салерно, гра-
ничивших с византийской Апулией и Калабрией.
Так, в VIII в. в монастыре Боббио хранился миланский
палимпсест VII в., в нем были написанные на языке ланго-
бардов отрывки из «Аналеммы» Птолемея и механических
«Парадоксов» Анфемия. Император Оттон II, женатый на
византийской принцессе Феофании, обучался у одного грека
и имел в своей библиотеке по крайней мере «Две грече-
ские книги по математике»; надпись взята из каталога би-
блиотеки монастыря Святого Михаила в Бамберге (XII в.),
куда впоследствии перешли эти книги. О существовании
в Европе греческого текста Евклида X в. свидетельствуют

два листочка пергамента из Мюнхена, из которых видно,
что несведущий переводчик принял за числа буквы, рас-
ставленные у геометрических фигур. Примеры такого рода
доказывают существование греческих оригиналов в За-
падной Европе.

Тем временем в научной жизни стали лидировать арабы.
Вскоре после того как они простерли свои владения от
Эбро до Инда, в них пробудился интерес к науке, началось
изучение источников, имевшихся в завоеванных Египте,
Сирии и Иране. Первое подтвержденное соприкосновение
арабов с греческими текстами произошло в Сирии, где
в монастырях хранились сделанные очень давно переводы
этих текстов па сирийский язык. Халифы из династии аба-
сидов превратили Багдад, к которому сходились все пути
с востока и запада, в новый научный центр; было прика-
зано переводить индусские и греческие тексты, частично
их закупали в Византии. Приглашались в страну грече-
ские ученые; выше мы уже говорили о попытке халифа ал-
Ма’мупа пригласить к себе Леона. В результате этого к X
столетию мусульманам стала доступна вся греческая
наука, в том числе математика и астрономия. До нас до-
шли также книги, греческий оригинал которых утерян.
При этом арабы до такой степени освоили классической
материал, что могли обогатить его собственными выдаю-
щимися достижениями. Их исследования потребовали
расширения понятия числа посредством трактовки гео-
метрических иррациональностей как чисел, развития тео-
рии параллельных, систематического построения теории
конических сечений и применения ее к решению задач
высших порядков и прежде всего развития алгебры и три-
гонометрии. Развитие арабской математики достигло зе-
нита в XII столетии, как раз тогда, когда в Западной Ев-
ропе обратили внимание па математические достижения
арабов и с восхищением стали пх осваивать.

Западные ученые раньше всего установили контакт
с мусульманской наукой в Испании. Научное превосход-
ство арабов получило признание в Толедо после освобо-
ждения его в 1085 г. от пх господства. С одобрения и под
покровительством толедского архиепископа Раймонда I
с первой половины XII в. в Толедо трудились многочис-
ленные переводчики, получавшие помощь от еврейских
ученых, которым был более доступен арабский язык.
Ими были переведены на латынь и еврейский наряду

с новой индо-арабской арифметикой и алгеброй также и
переработанные арабами труды греческих астрономов и
математиков. Так снова стал известен Аристотель. Платон
из Тиволи перевел «Сферику» Феодосия и затем «Книгу
измерений» Абраама Бар Хийя, которая представляет со-
бой геометрическое сочинение, показывающее хорошее
знание автором трудов Евклида. Далее в 1138 г. он пере-
вел астрологическое сочинение Птолемея «Четверокнижие»,
греческий оригинал которого утерян. Также потерянное
сочинение Птолемея «Планисферий» в 1143 г. перевел Гер-
ман из Каринтии. Наиболее значительным переводчиком
был Герардо из Кремоны (1143—1187). Он приехал в То-
ледо с целью изучить арабский, так как хотел читать
произведения Птолемея. Вместе со своими помощниками
он перевел с арабского не менее 87 произведений. Из
греческих авторов, которых он переводил на латинский
с переводов, сделанных Сабитом Ибн Коррой, Исааком
бен Хунайном и Костой Бен Лука, должны быть осо-
бенно упомянуты: Евклид («Начала» и «Данные»), Пто-
лемей («Альмагест»), Гипсикл («О восхождении»), Феодо-
сий («Сферика» и «Об обитаемых местах»), Гемин («Книга
введения в сферику»), Менелай («Сферика»), Архимед
(«Об измерении круга») и, вероятно, «Конические сече-
ния» Аполлония, один фрагмент из которых существует
в нескольких рукописях XIV в.

Все названные переводчики работали в Испании, в про-
тивоположность им Аделгард из Бата (годы активности
1116—1142) — наиболее видный из английских ученых,
живших до Гроссетеста, — объездил наряду с Испанией
Восток и Сирию. Он первый стал переводить произведения
ал-Хорезми, ему также принадлежит старейший перевод
«Начал» Евклида с арабского на латинский. Аделгард оста-
навливался также в Сицилии, где так же, как и в южной
Италии, мирно соседствовали итальянцы и арабы, греки
и евреи. Там знали греческий язык, и со времен Архита
и Архимеда не прерывалась греческая культурная тради-
ция, продолжая жить и при господстве сарацин и норман-
нов. Здесь при дворе королей обеих Сицилий Роже II и
Гильома I открылся другой путь проникновения грече-
ской математики на Запад — прямой путь из Византии,
минуя арабские страны.

Император Мануил I Комнин, связи которого с Западной
Европой укрепляла также и его женитьба на Гертруде

Зульцбахской, заключил в 1158 г. мир с норманнами, на-
всегда потеряв, правда, при этом права на Калабрию и
Дпулию. В это время возвратился обратно некогда послан-
ный в Константинополь сицилианец Аристипп, владев-
ший греческом языком; он привез королю Гильому I им-
ператорский подарок — греческие рукописи. Среди них
был и «Альмагест», переведенный затем примерно в 1160 г.
в Сицилии. Автор перевода неизвестен, им вполне мог быть
Аделгард из Бата. В предисловии автор говорит, что он
в Солерно услышал о Аристиппе и о рукописи «Альма-
геста». Преодолев Сциллу и Харибду и обойдя огненные
ручьи, текущие с Этны, он вышел на прямую дорогу к дому
Аристиппа, т. е., очевидно, направился в Катанию, где
последний был епископом. Хотя автор перевода и считал,
что хорошо знает греческий (Graecis litteris bene praein-
structus), он счел нужным в известной мере в качестве
упражнения перевести вначале «Данные», «Оптику» и
«Катоптрику» Евклида, а также «О движении» Прокла,
в чем ему любезно помог Евгений. Этот «эмир» Евгений,
сицилианец, бывший высоким чиновником при норман-
нском дворе, знал греческий, арабский и латинский языки.
Он уже до этого перевел на латинский «Оптику» Птолемея,
которая к тому времени сохранилась только в рукописи
на арабском языке. Аристипп, который больше интересо-
вался философскими рукописями, перевел с греческого не-
которые сочинения Платона, а также четвертую книгу
«Метеорологии» Аристотеля. В библиотеке норманнских
правителей в это время были также две рукописи Архи-
меда, среди них вышеназванная рукопись Леона, которая
впоследствии стала собственностью Гогенштауфенов и за-
тем после сражения при Беневенте в 1266 г. вошла в со-
став первой папской библиотеки.

Из Северной Италии также ездили в Константинополь
ученые гости, чтобы принять участие в диспутах с грече-
скими теологами, они являлись важными посредниками,
связывавшими греческую культуру с западноевропейской.
Так, Яков из Венеции (1136) перевел на латинский части
До этого времени неизвестного на Западе аристотелева «Ор-
ганона», «Топику» и обе «Аналитики». Сюда же относится
Моисей из Пергама, чье собрание греческих манускрип-
тов, добытых им в Константинополе, погибло от пожара
в 1136 г. Он жил там в поселении венецианских купцов.
Венеция приобретала в Византии все большее влияние,

особенно после помощи, оказанной Византии в войне с нор-
маннами. Пиза также имела в Константинополе колонию,
к которой принадлежал, в частности, Лев Туск, пере-
водчик Мануила I. Другим уроженцем Пизы, многократно
посещавшим Константинополь, является Бургундио Пи-
занский. Он также занимался переводами естественно-
научной литературы. В 1202 г. Константинополь посетил
и Леонардо Фибоначчи, с чьим именем по праву связывают
начало самостоятельных математических исследований на
Западе. В этом году появился первый вариант его «Книги
абака». Здесь и в позднейшем произведении «О геометрии»
(1224) он изложил всю совокупность математических зна-
ний, собранных им в поездках по странам Средиземноморья.
Так, он знает новые индо-арабские цифры и методы
и предпочитает их всем прочим. Он умеет ясно изложить
материал. Он знает Евклида, причем даже 10-ю главу,
где рассматриваются иррациональности. Эти знания он
должен был получить там, где говорят по-гречески; об
об этом свидетельствуют уже и применяемые им специаль-
ные термины, как «рити» (=рт]тт]) или «апотоми» (=dno-op.Yj).
Он и сам во многих местах пишет, что учился у тамошних
магйстров. (Имя одного из них он упоминает, это некто
Мус к). Возможно, что эти магистры в свою очередь
узнали много нового для себя от совершавшего большие пу-
тешествия Леонардо. Но мы не можем сказать ничего опре-
деленного на этот счет. Однако младший современник Лео-
нардо Абраам ибн Эзра несомненно способствовал распро-
странению западных знаний в Византии. Его учебник ариф-
метики был известен в XV. в Византии теологу Мордухаю
Комтино и верховному раввину Элия Мизрахи. Леонардо
поддерживал связи с кругом ученых из Палермо, которым
покровительствовал император Фридрих II. Последний,
как до этого правители норманнов, немало способствал
установлению связей между Востоком и Западом, и в годы
его правления мирное сотрудничество с арабами достигло
кульминационного пункта. При его дворе подвизался
в качестве астролога и философа англичанин Михаил Скот.
Леонардо посвящает ему свои труды, как, впрочем, и са-
мому императору. В это время, особенно в Англии, ясно
осознали, что дальнейший прогресс науки зависит от изу-
чения античных греческих первоисточников. Уже Ари-
стипп посылал переводы своим английским друзьям,
равно как и Джон Безпнгсток (Basyngstoke). Последний

учился в Афинах и оттуда посылал рукописи в Париж
своему Другу Роберту Гроссетесту. Гроссетест был первым
канцлером Оксфордского университета и восторженным
поклонником греческой культуры, так же как и его уче-
ник Роджер Бэкон, который утверждал, что дорога в ма-
тематику закрыта тем, кто не знает греческого, а, в свою
очередь, знание математики является предпосылкой для
успешного овладения другими науками.

Отношения между Востоком и Западом во времена кре-
стовых походов не способствали обмену научными идеями.
Разве только при взятии Константинополя в 1204 г. во
время печально известного четвертого крестового похода
среди огромной военной добычи в руки франков могли
попасть и рукописи. Можно сказать с определенностью,
что в те дни было многое уничтожено и потеряно для науки.

Только после реставрации 1261 г. можно предполагать
возобновление научной деятельности в Византии. Ситуа-
ция складывалась как некогда во времена Леона, которому
также пришлось начинать все заново. Феодор Метохит
(около 1260—1332) сообщает, что заинтересовался мате,
матикой еще в юности. Но в те времена не было ни учите
лей математики, ни желающих ее изучать; лишь об Ев-
клиде и Никомахе можно было кое-что услышать от
философов, но и от них нельзя было узнать ни о 10-й книге
«Начал», ни о стереометрии Евклида, ни о конических се-
чениях Серена или «удивительного» Апполлония. Все же он
нашел себе учителя астрономии Птолемея в лице Мануила
Бриенна (Manuel Bryennios), а затем самостоятельно изу-
чал всего Евклида («Стереометрия», «Данные», «Оптика»,
«Катоптрика» и «Феномены») и также «с великими усили-
ями» Аполлония. Следовательно, в Византии все же оста-
лись рукописи, а также создавались в XIII и XIV вв.
новые. Так, Максим Плануд (около 1260—1310) заново
издал и прокомментировал «Арифметику» Диофанта.
В своем учебнике арифметики <p7]<po<popia хат’ ’Ь8оо^ он
вводит новые «индийские» цифры и методы. При этом бро-
сается в глаза, что, в то время как он пользуется восточ-
ными формами цифр, в оригинале 1253 г., переработкой
которого является его книга, употребляются западные
формы цифр (губар).

Кто привез западную форму в Византию? Были ли это
Итальянские купцы, как о том повествует более поздняя
византийская рукопись, или же Леонардо Пизанский,

17 Заказ № 112	257

или сам Плануд, который затем заменил ее на восточную
форму, пожалуй, под влиянием Трапезунда? Здесь хорошо
видно, что теперь Восток хоть в малой степени отдал Ви-
зантии долг благодарности. В Византии и в дальнейшем
были известны индийские цифры и методы. Так Николай
Рабдас осуществил новое издание учебника арифметики
Плануды и особенно подчеркнул большие преимущества
индийских цифр при умножении и делении. Более поздний
учебник арифметики времен, когда «страной правили
турки», содержит уже десятичные дроби. Их ввел ал-Каши,
руководитель обсерватории У луг-Бека в Самарканде,
сознательно связывая их с последовательностью восходя-
щих степеней числа десять. Его методы применяли и рас-
пространяли его сотрудники; мы знаем Кади-заде ар-
Руми и Али ал-Кушчи, который умер в 1474 г. в Констан-
тинополе. Центром, где оживились занятия астрономией,
был в XIV столетии Трапезунд. Здесь кончалась идущая
из Персии торговая дорога. Связь между Трапезундом,
с которым Византия всегда имела политические и культур-
ные отношения, и Персией демонстрирует астроном Гри-
горий Хиониад (Gregorios Chioniades), ездивший туда по
поручению императора Алексея II (1297—1330). Он изу-
чал язык, собирал книги, особенно по астрономии, и при-
вез их в Трапезунд, где основал академию (t axaSepda
vexixwv	ТратгеСоиутб;). Существует перевод

1323 г. одного астрономического сочинения писавшего
по-арабски Шамса-ал-Бухари (£ар.ф р.тои^ар’т]^). Мануил
из Трапезунда — духовное лицо, о котором нам ничего
более не известно, с помощью книг, привезенных
Хиониадом, которые он переводил, обучал астронома и
врача Георгия Хрисокока; последний, среди других про-
изведений, сам написал учебник астрономии персов. Влия-
ние персидской математики видно в творчестве Исаака
Аргира (около 1310—1371), который, в частности, написал
введение к малым астрономическим таблицам персов.
И Феодор Мелитениот, великий казначей, архидиакон
и «учитель учителей» в патриаршей школе в Константи-
нополе, написал в 1361 г. астрономию в трех книгах —
наиболее обширное произведение этого рода. Он изучал
сочинения из Трапезунда и снова Птолемея и Теона
в оригинале. Так окольными путями в Византию снова
вернулась греческая астрономия.

На Западе особенно плодотворной была деятельность

доминиканца Виллема из Мербеке. По просьбе своего
друга Фомы Аквинского он неустанно работал в 1260—
1281 гг. над переводами греческих математических и фило-
софских текстов. Он сам бывал в Греции, один раз до
1266 г., далее в качестве архиепископа Коринфского
с 1278 приблизительно по 1281 г. Между этими двумя по-
ездками он пребывал при папском дворе в Витербо, где
к его услугам была библиотека, в которую, кстати, при-
были книги Гогенштауфенов. Собственноручно сделанный
им перевод произведений Архимеда сохранился в одном
ватиканском кодексе, в котором объединены два некогда
различных произведения. Этот кодекс содержит почти
всего Архимеда и Евтокия, затем «Катоптрику» Герона,
«Аналемму» Птолемея и другие математические произве-
дения.

Результаты работы, проделанной к этому времени пере-
водчиками до XV столетия, едва ли имели влияние на
широкие круги, а также па университеты схоластов; там
в центре внимания были все еще Евклид и Никомах,
Боэций и элементарный квадривий, который в XIII сто-
летии опять-таки в Византии снова подвергся переработ-
ке, — наилучшей из всех — выполненной эрудитом
Пахимером (1242—около 1310). Более значительной фигу-
рой в это время являлся говоривший по-гречески монах
Варлаам из Калабрии, который бывал в Константинополе
в связи с богословскими диспутами. Он опубликовал со-
чинение о расчете солнечных затмений и оставил после
себя работу о греческой теории дробей и пропорций,
которая ознакомила Запад со старинной логистикой гре-
ков. Варлаам был одним из ранних гуманистов, он учил
Петрарку греческому языку и ему воздавал хвалу Боккач-
чио. Правда, у гуманистов, желавших вернуть из забвения
величие Рима и чувствовавших себя истинными потом-
ками римлян, лишь на втором плане было пробуждавшееся
чувство восхищения греческой культурой и стремление
вернуть к жизни их произведения также и на языке Пла-
тона и Евклида. И в то время, когда приближалась гибель
Византии, все правители эпохи Ренессанса проявляют
большую страсть к собиранию произведений искусства и
к книгам, как это указывает основание библиотек при всех
Дворах. Так, папа Николай V приказал Якову из Кремоны
перевести знаменитую основную рукопись Архимеда, про-
павшую после 1311 г., которая была снова выменена у тор-

говца. Сама же рукопись была позднее собственностью
Георгия Валла, затем князей Карпи, между 1544 и 1564 гг.
потеряна окончательно.

В государственных, церковных и частных библиотеках
Византии все еще оставались книжные сокровища, при-
обрести которые добивались во все большем числе прибы-
вавшие в Константинополь итальянцы. Гуманисты Ау-
риспа и Филельфо, последний из которых читал в 1427 г.
во Флоренции лекции о Греции, привезли рукописи, среди
которых впервые была одна из книг «Конических сечений»
Аполлония. Покидавшие гибнущую родину ученые, как
например, Георг из Трапезунда, сделавший перевод «Аль-
магеста», тоже спасали для Запада математические руко-
писи. Также родившийся в Трапезунде кардинал Висса-
рион пожертвовал церкви Святого Марка в Венеции не
менее чем 776 рукописей, из них 482 греческих. Там были
произведения, пожалуй, всех греческих математиков,
может быть, не было разве только Диофанта. Его «Ариф-
метику» открыл в 1453 г. Региомонтан, который в 1461 г.
прибыл в Италию с кардиналом, где он, частично как со-
провождающее его лицо, частично самостоятельно, ездил
по всем местам, где имелись математические и астрономи-
ческие рукописи. Он имел намерение перевести и издать
всех греческих математиков. Были проведены предвари-
тельные работы, имелись в наличии рукописи, которые он
получил в подарок от Виссариона или собрал сам. Ранняя
смерть в 1476 г. в сорокалетием возрасте разбила эти
грандиозные планы. Другие довели до конца начатое дело.
Искусство Гутенберга сделало доступным широким кру-
гам также и печатные издания греческих математиков.
Первым напечатанным по-гречески математическим про-
изведением является книга Валла «De expetendis et fu-
giendis rebus», содержавшая отрывки из произведений мно-
гочисленных греческих математиков. Затем последовали
в XVI столетии «Начала» Евклида (Гринеус; Базель,
1533), «Альмагест» (его же, 1538), Архимед (Гешауф; Ба-
зель, 1544). В дальнейшем было много изданий, «Ариф-
метику» Диофанта издал Баше де Мезириак (1621), «Ко-
нические сечения» Аполлония — Галлей (1710), «Сборник»
Паппа — Гульч (1876—1878).

Византия выполнила свою научную миссию. Она бе-
режно сохранила труды античных классиков, включая
математиков, и принесла их в дар первоначально арабам,
260

а затем Западу. В конечном итоге труды античных класси-
ков были спасены и перекочевали в Европу.

На них опирались такие европейские ученые, как Де-
карт, Ферма, Кавальери, Кеплер п Дезарг, которые на
классическом фундаменте смогли построить новые области
математики — аналитическую геометрию, исчисление бес-
конечно малых и проективную геометрию.

ЛИТЕРАТУРА

Общие сочинения о науке в Византии

М. А. Андреева. Очерки по культуре византийского двора в XIII в.
Прага, 1927.

The Cambridge Medieval History, IV. The Byzantine Empire, Part II.
Government, Church and Civilization. Cambridge, 1967.

J.	L. Heiberg. Geschichte der Mathematik und Naturwissenschaften
im Altertum. — In: Handbuch der Alterturmswissenschaften, V,
T. 1, 2 Halfte. Munchen, 1925.

K.	Krumbacher. Geschichte der byzantinischen Litteratur. Munchen,
1897.

N. Pigulewskaja. Byzanz auf den Wegen nach Indien. — In: Berli-
ner Byzantinische Arbeiten, Bd 36. Amsterdam, 1970.

В-J. Simonide, J. Theodorides. Reflexions sur la science Byzan-
tine. — Rev. gen. sci., 62, 1955. Separatum, S. 1—11.

Сочинения о математике Византии

The Cambridge Medieval History, IV. Chapter XXVIII. Byzantine
Science, p. 264—305, 452—476.

M. Cantor. Vorlesungen fiber Geschichte der Mathematik I. Leipzig,
1907, S. 510—517.

J. L. Heiberg. Der byzantinische Mathematiker Leon. — Bibliotheca
math., n. F., 1887, 1, 33—36.

А. П. Юшкевич. История математики в средние века. М., Физмат-
гиз, 1961. Немецкое издание: А. Р. Juschkewitsch. Geschichte
der Mathematik in Mittelalter. Leipzig, 1964.

E. E. Липшиц. Византийский ученый Лев Математик. Виз. врем.,
новая серия II, 1949, 106—149.

Г. Б. Петросян. Математика в Армении в древних и средних веках.
Ереван, 1955.

М. Stephanides. Matematika ton Byzantinon. Athena, XXXV,
1923, 206-218.

P- Tannery. Memories scientifiques, IV: Sciences exactes chez les By-
zantins. Paris, 1920.

K- Vogel. Buchstabenrechnung und indische Ziffern in Byzanz. Akten
XI. internationalen Byzantinisten—Kongr., 1958. Munchen,
1960. 660—664.

K- Vogel. Der Anteil von Byzanz an Erhaltung und Weiterbildung
der griechischen Mathematik. — In: Miscellanea mediaevalia,
Bd la. Antike und Orient im Mittelalter. Berlin, 1962, S. 112—128.

Греческая математика у арабов

А. Р. Juschkewitsch. Geschichte der Mathematik in Mittelalter. Leip-
zig, 1963, S. 248-255, 277-288.

A. Midi. La science arabe et son role dans 1’evolution mondiale.
Leiden, 1938.

E.	B. Plooij. Euclid’s conception of ratio and his definition of propor-
tional magnitudides as criticized by Arabian commentators (Dis-
sertation Leiden), Rotterdam. 1950.

Византия и Запад

R. E. Bruce. Sicily, and the march of ancient mathematics and science
to the modern world. — Scripta math., 1938, 5, 117—121, 181—
185, 245-250.

F.	Bliemetzrieder. Adelhard von Bath. Munchen, 1935.

J. Ebersolt. Orient et Occident. Paris, 1954.

С. H. Haskins. Studies in the History of Mediaeval Science. Cambridge,
1924.

J. E. Hofmann. Vom Einfluss der antiken Mathematik auf das mittel-
alterliche Denken. — In: Miscellanea mediaevalia, Bd 1. Antike
und Orient im Mittelalter. Berlin, 1962, S. 96—111.

H. Hunger. Theodoros Metochites als Vorlaufer des Humanismus
in Byzanz. — Byzant. Z., 1952, XLV, 4—19.

W. Ohnsorge. Abendland und Byzanz. Gesammelte Aufsatze zur Ge-
schichte der byzantinisch-abendlandischen Beziehungen und
des Kaisertums. Darmstadt, 1958.

Преподавание в Византии

F. Fuchs. Die hohere Schulen von Konstantinopol im Mittelalter.
Leipzig—Berlin, 1926.

A. Heisenberg. Grabeskirche und Apostelkirche, II. Leipzig, 1908,
S. 17, ff, 90 ff.

J. M. Hussey. Church and learning in the Byzantine Empire 867—1185.
London, 1937.

V. Laurent. Le quadrivium et la formation intellectuelle sous les
Paleologues (предисловие к P. Tannery, Quadrivium de Georges
Pachymere) Citta del Vaticano, 1940, p. XVII—XXXXIII.

Византийские математические тексты

I.	Baillet. Le papirus mathematique d’Akmim. Mem. publ. par les
membres de la Mission archeologique fran^aise au Caire, t. IX.
Paris, 1892.

J.	Chamber. Barlaami monachi logistica nunc primus Latine reddita
et scholijs illustrata, Parisiis M.VI.C. (=1600). (Это издание
содержит также греческий текст.)

С. Friedlein. Die Geometrie des Pediasimus. Programm Gymn. Ans-
bach, 1866.

C. J. Gerhardt. Das Rechenbuch des Maximus Planudes. Halle, 1865.

H. Gerstinger, K. Vogel. Eine stereometrische Aufgabensammlung im
Papyrus Graecus Vindobonensis 19996. — Mitteilungen aus der Pa-
pyrussammlung Erzherzog Rainer, N. S., N. Folge. Wien, 1932,
S. 11—76.

J. L. Heiberg. Anonymi logica et quadrivium cum scholiis antiquis. —
Det. Kgl. danske vid. selskab. Hist.-filol. Medd., 1929, XV, 1.
r L,. Heiberg. Byzantinische Analekten. — Abhandl. Geschichte Math.
1899, 9, 161—174.

j. L. Heiberg. Euclidis Elementa, Bd V. Leipzig, 1888; содержит
Scholia in elementa, а также в Appendix scholiorum III (S. 710—
724) записи одной лекции Леона и в Appendix IV (S. 725—738)
арифметическую трактовку теорем 2 книги «Начал».

j L. Heiberg. Mathematici Graeci minores, Det. Kgl. Danske vid.
’ selskab. Hist.-filol. Medd., 1927, XIII, 3.

H. Hunger, K. Vogel. Ein byzan tinisches Rechenbuch des 15. Jahrhun-
derts, 100 Aufgaben aus dem Codex Vindobonensis Phil. Gr. 65
Oesterr. Akad. Wiss. Wien, 1963.

p. Tannery. Notice sur les deux lettres arithmetiques de Nicolas
Rhabdas. — Mem. scient. 1920, IV, Paris, 61—198.

p. Tannery. Quadrivium de Georges Pachymere. R. P. E. Stephanu
(Ed.) Studi e testi 94. Citta del Vatican©, 1940.

K. Vogel. Ein byzantinisches Rechenbuch des friihen 14. Jahrhunderts.
Wiener byzantinistische Studien. 1968, VI.

К истории распространения
классической математики

J. L. Heiberg. Den graeske Mathematiks Overleveringshistorie, Overs,
over det Kgl. Danske Vidensk. Selsk. Forh., Kobenhavn, 1896.

J. L. Heiberg. Literargeschichtliche Studien fiber Euklid. Leipzig,
1882.

Г. П. Матеиевская. Учение о числе на средневековом ближнем и
среднем Востоке. Ташкент, 1967.

Ценные данные о пути греческих математических текстов
в Европу содержат Хейберг в Тейбнеровской серии изданий
классиков (Апполоний, т. II; Архимед, т. III; Еклид, т. V;
Герои, т. V) и Таннери (Диофант, т. II).

О КОМПОЗИЦИОННОЙ СТРУКТУРЕ
«УЧЕНИЯ» КИРИКА НОВГОРОДЦА (1136 г.)

Р. А. Симонов

Сочинение Кирика Новгородца «Учение им же ведати че-
ловеку числа всех лет» является уникальным древнерус-
ским произведением XII в. Особенность его состоит в со-
держании, посвященном хронолого-математическим во-
просам, что ставит это сочинение на особое место среди
памятников средневековой культуры.

Хронологическое и математическое существо трактата
Кирика Новгородца исследовалось в трудах митрополита
Евгения, П. Хавского, В. В. Бобынина, Н. В. Степанова,
Т. И. Райнова, Б. В. Гнеденко, В. П. Зубова, А. Е. Раик
и др.1 Общая хронолого-математическая характеристика
этого произведения с использованием новейших данных
приводится в труде по истории русской математике
А. П. Юшкевича 2.

Содержание «Учения» в научных исследованиях подра-
зумевается стабильным, не зависимым от истории возник-
новения сочинения и последующего его существования
в копиях, которые могли сохранить первоначальный об-
лик памятника, но могли донести его в урезанном варианте
или, наоборот, в пополненном виде — за счет позднейших
добавлений. Древнейшая копия, в которой сохранилось
«Учение», относится к XVI в., следовательно, ее от ориги-
нала отделяет примерно четыре столетия и, возможно, не
один десяток промежуточных списков, которым могли
быть присущи отмеченные выше особенности. Сохранив-
шиеся списки «Учения» различны по объему материала.

1 См. библиографию у В. П. Зубова в «Примечаниях к „Наставлению,
как человеку познать счисление лет“ Кирика Новгородца». —
В сб.: Историке-математические исследования, вып. VI. М.,
Гостехиздат, 1953, стр. 192—195, а также вышедшую позже ста-
тью А. Е. Раик «К вопросу о делении часа у Кирика Новгородца»—
В сб. Историко-математические исследования, вып. XVI. М.,
«Наука», 1965, стр. 188 и др.

2 А. П. Юшкевич. История математики в России до 1917 года. М.,
«Наука», 1968, стр. 17—20.

Считается полным (или более полным) списком «Учения»
наиболее объемистая Погодинская копия 3. Но никто не
доказал, что это так. В действительности авторскому ва-
рианту «Учения» может соответствовать другая, более
краткая копия. Тогда выводы, сделанные об «Учении»
на основе Погодинского списка, могут оказаться невер-
ными. Поэтому изучение исторической судьбы текста «Уче-
ния» Кирика Новгородца с учетом всех имеющихся спис-
ков памятника представляется актуальной научной за-
дачей.

Необходимость такого исследования давно получила
известное отражение в научной литературе. Ее осознанию
способствовало издание текста «Учения» митрополитом
Евгением в 1828 г. Последний высказал предположение
о возможном частичном изменении переписчиками сочи-
нения его заключительной части 4.

В советское время, причем па страницах «Историко-
математических исследований», изучению истории текста
«Учения» был дан значительный толчок. Заслуга в этом
принадлежит Т. И. Коншиной и В. П. Зубову: ими был
издан в фототипическом воспроизведении Погодинский
список «Учения» и обнаружен еще один, неизвестный
ранее, краткий Мазуринский список произведения 5 * * В.

Не все в указанной публикации почти 20-летней давности
представляется безупречным с позиций требований к науч-
ному изданию древних текстов. Остановлюсь па одном
моменте, который важен в связи с дальнейшим изложе-
нием. К своему переводу текста Погодинского списка
Т. И. Коншина и В. П. Зубов указали разночтения по
так называемому Софийскому списку, содержащемуся
в рукописи (шифр: Соф. № 457). Как удалось выяснить,
основная часть рукописей Софийской Новгородской

3 В. В. Бобынин. Состояние математических знании п России до
XVI века. — Журн. Мин-ва народи, просвещ., 1884, ч. 232,
апрель, стр. 190; В. П. Зубов. Примечания к «Наставлению, как
человеку познать счисление лет» Кирика Новгородца. — В сб.:
Историко-математические исследования, вып. VI, стр. 193.

4 Б[вгений]. Сведение о Кирике, предлагавшем вопросы Нифонту,

епископу Новгородскому. — Труды и летописи Общества исто-
рии и древностей российских. М., 1828, ч. 4, кн. 1, стр. 129, при-

менение.

Б Нирик Новгородец. Учение им же ведатп человеку числа всех лет.—

В сб.: Историко-математические исследования, вып. VI, стр. 174—

Таблица 1. Данные научной печати о списках «Учения» Кирика Новгородца

№ п/п	Год	Автор	Название, место издания и прочее	Данные
1	1823	К. Ф. Калайдович	а) Прибавление к статье: О вре-	а) Сообщается об «Учении» Ки-
2	1824	К. Ф. Калайдович	мени перевода нашей Библии. — Труды Об-ва любит, российской словесности, ч. 3. М., 1823, стр. 170  б) Там же, стр. 170—171  а) Иоанн, экзарх Болгарский. М.,	рика Новгородца по списку конца XV в.  б) Приводится часть текста из за- ключительных слов этого списка а) Повторно воспроизводится часть
3  4	1828  1842	Митрополит Ев- гений  А. X. Востоков	1824, стр. 97  б)	Там же, стр. 215.  в)	Там же, стр. 215  Сведение о Кирике, предлагав- шем вопросы Нифонту, епи- скопу Новгородскому. — Труды и летописи Общества истории и древностей российских. М., 1828, ч. 4, кн. 1, стр. 122—129 Описание русских и словен- ских рукописей Румянцевского музеума. СПб., 1842, стр. 39—40	текста из заключительных слов списка конца XV в.  б)	Информируется о местонахож- дении списка «Учения» конца XV в. — в частных руках 3. А. Петрова  в)	Упоминается о Румянцевском списке «Учения» начала XIX в. как копии, снятой с рукописи из собрания Софийской библиотеки Публикации «Учения» по Ру- мянцевскому списку (с иска- женной передачей обозначений разрядов десятков и сотен ты- сяч)  Описание Румянцевского спи- ска (с правильной передачей обозначений разрядов десятков и сотен тысяч)



5	11847	' П. Хавский
6	1884	В. В. Бобынин
7	1938  1952	С. П. Обнорский,  С. Г. Бархударов
8	1953	Т. И. Коншина, В. II. Зубов
9	1953	В. П. Зубов

а)	Примечания на русские хроно-
логические вычисления XII ве-
ка.—Чтения в Общества исто-
рии и древностей российских,
№ 6. М., 1847, стр. 25-37

б)	Дополнительная выписка из
вычислений Кирика XII века. —
Там же, стр. 38—40
Состояние математических зна-
ний в России до XVI века. —
Журн. Мин-ва народного про-
свещ., 1884, СПб., ч. 232, ап-
рель, стр. 185—191

Хрестоматия по истории рус-
ского языка, ч. 1. Л.—М.,
Учпедгиз, 1938, стр. 186—193.
Изд. 2. М., Учпедгиз, 1952,
стр. 265—276

Кирик Новгородец. Учение им
же ведати человеку числа всех
лет. — В сб.: Историко-матема-
тические исследования, вып. VI,
стр. 174—191

Примечания к «Наставлению,
как человеку познать счисле-
ние лет» Кирика Новгородца. —
В сб.: Историко-математиче-
ские исследования, вып. VI,
стр. 193—194

а)	Дублируется изданный митро-
политом Евгением в 1828 г.
текст «Учения» по Румянцев-
скому списку. Производится ма-
тематическая проверка числовых
данных — в соответствии с их
транскрипцией в изданном тексте

б)	Сообщаются сведения о Пого-
динском списке «Учения»

Обобщаются данные об «Учении»
Кирика в плане характеристики
уровня древнерусской мате-
матики XII в. (очевидно, без
использования подлинников
Румянцевского и Погодинского
списков, но с их упоминанием)
Публикация типографским шриф-
том «Учения» Кирика Новгород-
ца по Погодинскому списку,
с его' датировкой — XVI в.

Публикация в фототипическом
воспроизведении Погодинского
списка с параллельным пере-
водом на современный русский
язык

Информируется об обнаружении
Т. И. Коншиной Мазуринского
списка XVIII в. «Учения» с ука-
занием его состава и местона-
хождения

библиотеки сейчас хранится в Отделе рукописей Го-
сударственной Публичной библиотеки (г. Ленинград),
причем эти книги были зашифрованы по-новому, а таблиц
сопоставления старых номеров новым не сохранилось.
По старому шифру не только сейчас, но и в дореволюцион-
ное время нельзя было найти книгу из бывшей Софийской
библиотеки. То, что разночтения указаны по старому
шифру книги, может означать: Т. И. Коншина и В. П. Зу-
бов не видели самой рукописи. Откуда же взялся этот
шифр? Дело в том что в начале XIX в. с Софийского списка
была снята копия, которая сейчас хранится в Отделе ру-
кописей Государственной библиотеки СССР им. В. И. Ле-
нина (далее ГБ Л), в ней указан шифр книги (Соф. № 475),
из которой была сделана эта выписка6. Отсюда Т. И. Кон-
шипа и В. 11. Зубов могли узнать шифр оригинала Ру-
мянцевского списка, в разночтениях же указали шифр
самого оригинала, а не используемой копии.

Того, кто, руководствуясь указанием Т. И. Коншиной и
В. П. Зубова, рассчитывает, что располагает «точными
координатами» одного из списков «Учения», ждет разо-
чарование: неизвестно, сохранилась ли до настоящего
времени рукопись, имевшая старый шифр Соф. № 475, и
если да, то еще предстоит установить, где она сейчас
находится.

В настоящей статье на основании имеющихся текстов
«Учения» делается попытка разобраться в композицион-
ной структуре произведения и, хотя бы в первом прибли-
жении, установить, какой из списков «Учения» в большей
мере соответствует первоначальному виду этого сочинения
(протографу).

В настоящее время известно точное местонахождение
трех списков «Учения»:

1.	Погодинский список, XVI в., хранится в Отделе ру-
кописей Государственной Публичной библиотеки
им. М. Е. Салтыкова-Щедрина в Ленинграде, Погодинское
собрание, № 76, лл. 342—346.

2.	Мазуринский список, XVIII в., хранится в Централь-
ном государственном архиве древних актов, фонд 196
(Мазурина), № 1069, лл. 115 об.—116 об.

3.	Румянцевский список, начало XIX в., хранится
в Отделе рукописей Государственной библиотеки СССР

6 Отдел рукописей ГБЛ, ф. 256 (Румянцева), № 35, л. 4.

им. В. И. Ленина, ф. 256 (Румянцевское собрание), № 35,
лл. 1—

Чтобы установить, нет ли материала, дополняющего
данные имеющихся трех списков «Учения», необходимо
проанализировать сведения о различных текстах памят-
ника, а также о публикациях произведения (полностью
или частично). В табл. 1 сведена информация, почерпнутая
из научной печати о различных списках «Учения». Анализ
соответствующих сведений показывает, что, кроме извест-
ных трех списков, в литературе упоминаются еще два
текста. Один из них содержался в Софийской рукописи
№ 475. В печати не отмечается каких-либо существенных
расхождений между оригиналом и сохранившейся его ко-
пией (Румянцевским списком).

Фрагмент другого текста, по данным К. Ф. Калайдовича
относящегося к концу XV в., был дважды опубликован 7.
Эта выдержка аналогична части заключительного текста
в Погодинском и Румянцевском списках. Отсутствуют дан-
ные о том, что по содержанию копия «Учения» XV в. была
иной, чем какой-нибудь из указанных двух списков.
Не установлено, что собой представляла копия XV в. —
совершенно новый текст или ею был, например, исчезнув-
ший Софийский список. По составу рукопись, в которой
содержался текст XV в., является Пятикнижием, как,
кстати, и книга, в которую входит Погодинский список.
К. Ф. Калайдович мог несколько ошибиться в датировке
рукописи: возможно, она относилась не к концу XV в.,
а к XVI в. Тогда не исключено, что копия «Учения»,
относимая К. Ф. Калайдовичем к концу XV в., теперь
известна как Погодинский список.

Одно бесспорно, нам неизвестны данные о существовании
текста «Учения», по содержанию в чем-то иного, чем имею-
щиеся три списка.

С целью исследования композиционного построения
«Учения» Кирика Новгородца проанализируем состав
произведения по Погодинскому списку в сопоставлении
С двумя другими текстами (Мазуринский и Румянцевский
списки).

- К. [Ф. ] К[алайдови]ч. Прибавление к статье: О времени перевода
нашей Библии. — Труды Общества любителей российской сло-
весности. М., 1823, ч. 3, стр. 170—171; К. Ф. Калайдович. Иоанн,
экзарх Болгарский. М., 1824, стр. 97 и 215.

Ййложение начинается без какого-либо авторского
вступления. Материал разбит на небольшие разделы
(будем их называть параграфами) размером от 4 до
18 строк; они занумерованы, номера (в алфавитной нумера-
ции) вынесены на поля листов.

В первых пяти параграфах речь идет о том, сколько
прошло времени в различных единицах от «сотворения
мира» до момента написания трактата, а именно: 1) в го-
дах; 2) в месяцах; 3) в неделях; 4) в днях; 5) в часах.
Каждый параграф содержит цифровой материал, свя-
занный с числом 6644, как количеством лет, которое
прошло за указанный период. Это число точно датирует
написание первых пяти параграфов 1136 годом. Завер-
шается § 5 сентенцией, смысл которой таков: «Ведь по-
немногу создается город и делается большим, так и зна-
ние понемногу растет» 8.

В следующих параграфах говорится о теоретических
основах календарных вычислений: об индикте (§ 6),
о солнечном (§ 7) и лунном «кругах» (§8), о тысячелетиях
(§9), о так называемых «обновлениях»: неба (§ 10), земли
(§ И), моря (§ 12), воды (§ 13), о високосных годах (§ 14),
о «великом круге» (§ 15).

В идущих далее трех параграфах приводится материал
о числе месяцев (§ 16), недель (§ 17) и дней (§ 18) в году
с учетом високосных дней. Числовой материал этих
параграфов никак не связан с датой 6644 г., поэтому их
написание, в отличие от предыдущих параграфов, не
может быть приурочено точно к 1136 г.

Затем говорится о количестве часов в году (§ 19) и дне
(§ 20). Следующие параграфы (§ 21—27) посвящены так
называемым дробным делениям часа. В § 19—27 также
не содержится данных, которые можно связать с да-
той 6644 г.

В § 27 примыкает, не имея самостоятельного номера,
заключительный текст, в котором автор трактата указы-
вает свое имя, год написания сочинения, ряд хронологи-
ческих сведений и биографических данных о себе.

Первые пять параграфов Погодинского списка можно
выделить в качестве раздела, обладающего чертами само-
стоятельной части, так же как последующий материал.
Об этом говорят следующие данные:

8 Кирик Новгородец. Учение. . . — В сб.: Историко-математические
исследования, вып. VI, стр. 179.

1.	Все пять параграфов связаны между собой общей
темой — о единицах счета времени (год, месяц, неделя,
день, час), причем применительно к одному периоду —
от «сотворения мира» до момента написания сочине-
ния.

2.	Завершаются первые пять параграфов сентенцией,
не имеющей прямого отношения к материалу о единицах
счета времени, но как бы отделяющей их своеобразной
словесной виньеткой от последующего материала.

3.	Содержание следующих параграфов, начиная с ше-
стого, связано с теорией календаря, т. е. с другой темой,
чем первые пять параграфов. Оно посвящено таким поня-
тиям, как индикт (15-летний период), «солнечный круг»
(28-летний период), «лунный круг» (19-летний период),
«великий круг» (цикл в 532 года) и др.

4.	В названии § 6 употребляется слово «учение», как
и в начальном (первом) параграфе, чем как бы устанав-
ливается равноправие заголовка отдельной части трак-
тата и его самого. В остальных случаях применяются
синонимы и соответствующие по смыслу обороты речи,
но больше ни разу в заголовках не встречается слово
I «учение». Это можно объяснить тем, например, что автор
начал изложение нового раздела трактата, затем вместе
слив написанное, сохранил название первого раздела
трактата в качестве общего заголовка.

5.	Мазуринский список «Учения» Кирика Новгородца
содержит только первые пять параграфов (без заключи-
тельной сентенции).

Сопоставляя все эти данные, можно сделать вывод, что
состав Мазуринского списка не случаен. Если бы он обры-
вался, например, § 4, а не заканчивался § 5, было бы ясно,
что материал о единицах счета времени неполон. Если бы
в Мазуринский список был включен § 6, он дисгармони-
ровал бы с пятью первыми, казался бы лишним.

Все пять первых параграфов содержатся в качестве
начальной части также в Румянцевском списке.

По содержанию, подразделению на параграфы мате-
риал о единицах счета времени во всех трех списках
«Учения» идентичен, за исключением ряда языковых
особенностей, а также отличий в записи чисел, которые
сводятся к пропуску некоторых цифровых знаков в Ма-
зуринском и Румянцевском списках по сравнению с По-
годинским списком.

На основании изложенного можно, очевидно, заключить,
что часть о единицах счета времени (§ 1—5) входила в со-
став протографа «Учения» Кирика Новгородца.

Текст, начиная с § 6, посвященный вопросам теории
календаря, распадается на две неравные части, большая —
§6—15, состоящая из десяти параграфов, непосредственно
связана с датой 1136 г., а*меньшая — следующие три
параграфа (§ 16—18), никак с ней не связана. О принад-
лежности или непринадлежности к протографу 1136 г.,
следовательно, есть сомнения только в отношении трех
параграфов: 16—18: Причем то, что они по своему мате-
риалу не основаны на данных 1136 г., не может быть ре-
шающим аргументом против их принадлежности про-
тографу.

Есть ли какие-нибудь основания для отнесения этих
трех параграфов к составу протографа «Учения»? Как
будто их дает Румянцевский список, в который входит
полностью материал как § 1—5, так и § 6—18. Поскольку
Румянцевский список не обрывается на § 15, последнем
из точно датируемых 1136 г., а включает в свой состав
и § 16—18, то можно предположить, что они завершали
раздел о теоретических основах календаря в протографе
«Учения» Кирика Новгородца.

Материал § 19—27 Погодинского списка в другие списки
«Учения» не входит. Начинается § 19 заголовком: «А се
часы поведае[т]» 8 9. Такая начальная конструкция (А
се. . .) встречается в Погодинском списке еще только
однажды, в заголовке § 6, которым начинается раздел
о теоретических основах календаря: «А се оучение о
идиктЪ» 10 11. Не говорит ли это о том, что раздел о дробных
делениях часа следует начинать с § 19, а не с § 21, как
принято в научной литературе? и.

Содержание § 19—21 о числе часов в году и дне не-
сколько расходится с традицией предыдущих пунктов,
где данные рассматриваются последовательно для всех
единиц счета времени: года, месяца, недели, дня. Вместе

8 Кирик Новгородец. Учение. . . — В сб.: Историко-математические

исследования, вып. VI, стр. 186. При цитировании надстрочные
буквы ставятся в общую строку в квадратных скобках, «омега»
заменяется буквой «о», «и» с двумя точками i — буквой «и», «юс
малый» — буквой «я».

10 Кирик Новгородец. Учение. . . — Там же, стр. 178.

11 В. П. Зубов. Кирик Новгородец и древнерусские деления часа. —

В сб.: Историко-математические исследования, вып. VI, стр. 196.

с тем скачок из года сразу ко дню в разделе о дробных
делениях часа уместен, так как в последующем изложе-
нии основной единицей измерения времени выступает
день, и материал о всех более крупных единицах оказался
бы лишним.

Это соображение, а также то, что Румянцевский список
завершается §18, ав§19 употребляется конструкция,
известная раньше в заголовке самостоятельной части
(А се. . .), делает возможным полагать, что текст о часах,
основное содержание которого посвящено дробным деле-
ниям часа, начинается § 19, а не § 21.

Кроме того, следует учесть, что сведения, приводимые
в § 20 о количестве часов в одном дне, уже сообщались
раньше (§ 5). Если относить § 20 ко второй части — об
основах календарных расчетов, то непонятно, зачем
потребовалось говорить о том же вторично. Однако если
к разделу 3 о дробных делениях часа подойти как к не-
зависимому сочинению, то сообщение в нем этих данных
выглядит вполне естественно. Значит, и последнее сооб-
ражение говорит в пользу того, что новый раздел надо
начинать не с § 21, а с ему предшествующих двух пунктов
вводного характера.

Вопрос об отношении раздела «О дробных делениях
часа» к протографу является более сложным, чем других
частей Погодинского списка. Уже предыдущее замечание
о повторном сообщении в этом разделе некоторых данных,
очевидно, входящих в протограф, наводит на размышление
о его независимости от последнего. Однако окончатель-
ное решение указанного вопроса может быть найдено,
очевидно, в результате комплексного изучения Погодин-
ского списка в отношении языковых особенностей от-
дельных его частей, а также привлечения материала но-
вых списков памятника. Важное значение могут иметь
косвенные данные. В. П. Зубов указывает источники не
древнее XVII в., содержащие сведения, аналогичные
тексту о дробных делениях часа Погодинского списка 12.
Если бы были найдены соответствующие произведения,
восходящие ко времени до 30—40-х годов XII в., то по-
явились бы основания утверждать, что эти данные могли

12 В. П. Зубов. Кирик Новгородец и древнерусские деления часа. —

В сб.: Историко-математические исследования, вып. VI,
стр. 197—199.

быть известны Кирику и, следовательно, могли входить
в протограф 1136 г.

Таким образом, единственным аргументом для отнесе-
ния раздела 3 — о дробных делениях часа — в состав
протографа «Учения» Кирика является включение соот-
ветствующего материала в Погодинский список. Никакой
связи с датой 1136 г., какая имеется в случае § 1—15,
в материале этого раздела нет.

Заключительный текст Погодинского списка, примы-
кающий к § 27, тождествен заключительным словам Ру-
мянцевского списка. Здесь говорится о том, что трактат
написан в 6644 г. (1136 г.), сообщается, сколько лет
осталось до начала седьмого тысячелетия, указываются
год индикта, солнечного и лунного «кругов», отмечается,
что 6644 г. — високосный, затем приводятся сведения
из церковной хронологии: о пасхе и других религиозных
праздниках. Далее излагаются сведения об авторе: где
живет, какое имеет имя, род занятий, возраст и др.

Материал заключительного текста связан с содержа-
нием первых двух разделов (§ 1—5 и 6—18). Приводя
обычные в датировочпых приписках сведения, Кирик их
использует для иллюстрации приложимости тех фактов
и понятий, которые содержатся в указанных разделах.
Так, материал первой части о единицах счета времени
пятикратно варьируется в связи с указанием возраста
Кирика — отдельно в годах, месяцах, неделях, днях
и часах. Сведения, сообщенные в различных параграфах
раздела о теоретических вопросах календаря, суммиру-
ются в связи с датой написания произведения. Знамена-
тельно, что в заключительном тексте нет никаких следов
его связи с материалом раздела о дробных делениях часа.

Достаточно обоснованным, думается, будет вывод о
включении заключительного текста в состав протографа.
Здесь содержится точная дата написания трактата, имя
автора. Важно также то, что своим содержанием заклю-
чительные слова связаны с разделами (§ 1—5, 6—18),
которые уже были отнесены к протографу.

На основе проведенного анализа в Погодинском списке
можно выделить следующие части:

I.	Раздел о единицах счета времени (§ 1—5).’

II.	Раздел о теоретических основах календаря (§ 6—18).

III.	Раздел о дробных делениях часа (§ 19—27).

Заключительный текст (Зкл.).

На основе изучения Погодинского списка Можно со-
ставить представление о его структуре. Благодаря заклю-
чительному тексту, I и II его части как бы объединяются
композиционно в единое целое, из которого выпадает
III часть. В свою очередь III часть — о дробных делениях
часа — никаких видимых связей с остальным текстом
не имеет. Более того, в ней повторяется материал, со-
общавшийся в первой части без указания, что он при-
водился раньше (табл. 2).

Таблица 2

1

хххххххх

Зкл.

ххххххххх

Ill

Штриховкой показаны повторяющиеся в I и III частях сведения о числе

часов в одном дне.

Складывается мнение, что III часть писалась вне связи
с остальными частями «Учения». Такое впечатление уси-
ливается следующим наблюдением. Во II части (§ 17)
приводились данные о количестве недель в году, которые
сообщались также в I части (§ 3), при этом специально
в тексте § 17 оговаривалось, что сведения излагаются пов-
торно («пакы», т. е. опять)13: «Се пакы 1авляе[т] коли [ко]
н[еде]ль в лгЬт!» 14. В III части отсутствует подобное
указание при повторном изложении, что понятно, если
к разделу о дробном делении часа подходить как к само-
стоятельному произведению, написанному независимо
от остального материала Погодинского списка «Учения».
В таком случае сведения, которые относительно этого
материала были повторными, в самостоятельном произве-
дении выступали первоначальными, поэтому и не могло
быть ссылки, что они приводятся вторично.

13 -4. Г. Преображенский. Этимологический словарь русского языка,
14 £ 2‘	1959> СТР- 6-

Кирик Новгородец. Учение. . . — В сб.: Историко-математические
исследования, вып. VI, стр. 186.

Однако самостоятельность и независимость 111 части от
остального содержания «Учения» не может еще служить
основанием для окончательного вывода о том, что она была
написана не Кириком и не в XII в. Для этого необходимы
дополнительные исследования, но уже сейчас можно

довольно определенно установить, какие части списков
«Учения» вероятнее всего входили в состав протографа
(табл. 3).

Таблица 3

Погодин-
ский
список

Мазурин-
ский
список

Румянцев-
ский
список

Протограф

II

Зкл.

1

I

Если верны предположения автора настоящей статьи о
композиционном построении «Учения», то протографу
в наибольшей степени отвечает Румянцевский список.
В связи с этим возникает проблема отношения дополни-
тельных статей Погодинского списка к остальным ча-
стям, тождественным предполагаемому протографу «Уче-
ния». На данном этапе изучения вопроса можно выделить
два альтернативных направления, в которых может
найти решение эта проблема.

1.	Дополнительные статьи «О дробных делениях часа»
принадлежат Кирику, но в состав «Учения» они были вне-
сены после написания произведения, в которое по перво-
начальному замыслу не должны были входить. Этот
материал мог быть включен самим Кириком в «Учение»,
которое уже существовало как самостоятельное произве-
дение. Следовательно, такая вторичная переработанная ре-
дакция «Учения» должна была появиться в XII в., после
1136 г. Не исключено, что дополнительный материал был
вставлен в «Учение» не Кириком, а каким-то другим
лицом, объединившим в одном произведении два сочине-
ния, которые, как он знал, принадлежат одному автору-
Это могло произойти, вероятно, в XII—XIII вв., сразу

после смерти Кирика Новгородца или спустя некоторое вре-
мя, пока не стерлась еще память об авторе произведений.

2.	Дополнительные статьи «О дробных делениях часа»
пе принадлежат Кирику. В таком случае этот материал
мОг быть включен в «Учение» не им самим, а каким-то
позднейшим составителем, вероятно, после кончины Ки-
рика, т. е., скорее всего, в XIII—XV вв.

Для проверки того, какую из двух альтернатив сле-
дует предпочесть, можно привлечь данные языка «Уче-
ния». Казалось бы, если дополнительные статьи покажут
менее архаичный язык, чем части, отнесенные к прото-
графу, то вторая альтернатива получит серьезное под-
тверждение. Однако здесь трудно установить определенный
критерий, так как древние языковые черты в списках
XVI в. могут встретиться в малом числе, и поэтому их
отсутствие не может быть достаточным основанием для
заключения о том, что текст, утративший эти черты, по
своему происхождению менее древен, чем соседний текст,
сохранивший эти черты. Именно так или почти так обстоит
дело в случае Погодинского списка, как показывает за-
ключение о его языке доктора филологических наук
В. В. Иванова, приводящееся в качестве приложения
к настоящей статье. Как установил В. В. Иванов, древ-
нейшие языковые черты встречаются в части, соответ-
ствующей предполагаемому протографу «Учения», а в до-
полнительном материале они отсутствуют. Это как будто
дает основание считать более предпочтительной вторую
альтернативу, но следует учесть, что во всем списке от-
мечен единственный случай языкового архаизма XII в.,
поэтому отсутствие древних черт в дополнительных ста-
тьях не дает все же достаточных оснований окончательно
принять вторую альтернативу.

Предварительные выводы о первоначальном облике
«Учения» Кирика Новгородца приводят к необходимости
пересмотреть как бесспорное существующее мнение о не-
изменности, стабильности содержания (состава) произве-
дения в том виде, как оно представлено Погодинским
списком. Дальнейшие исследования покажут, входил ли
материал «О дробных делениях часа» в состав прото-
гРафа XII в. Пока нет данных, чтобы ответить на этот во-
прос положительно с такой же степенью уверенности, как
° включении в него других частей Погодинского списка,
общих Румянцевскому и Мазуринскому спискам.

Приложение

ЗАМЕЧАНИЯ

ПО ПОВОДУ ЯЗЫКОВЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ
СОЧИНЕНИЯ КИРИКА НОВГОРОДЦА

О ЧИСЛАХ И СЧЕТЕ (1136 г.)

В. В. Иванов

Весь текст списка XVI в. (Погодинского), очевидно,
обнаруживает, что он был осуществлен одновременно
с какого-то иного списка более раннего происхождения.
Можно с уверенностью говорить, что источником Пого-
динского списка был такой список, который не мог отно-
ситься по времени своего происхождения к 1136 г.: по
данным русского сравнительно-исторического языкозна-
ния, утрата редуцированных ъ и ъ в северных русских
диалектах (к которым относится и древненовгородский)
прошла не ранее XIII в., в рассматриваемом же документе
утрата редуцированных и прояснение их в гласные о и е
отражены достаточно полно и отчетливо. С другой сто-
роны, можно думать, что источник Погодинского списка
может быть отнесен к XIV—XV вв., ко времени сильного
второго южнославянского влияния: об этом свидетель-
ствуют написания типа пръвое^ дръжитъ, плъни, явно
искусственные для этого периода, а также написания
типа исполненга^ поновленла, воднаа, также носящие искус
ственный характер. При этом в языковом отношении нет
оснований говорить ни о том, что Погодинский список
содержит части, по происхождению относящиеся к раз-
ным историческим периодам, ни о том, что источник этого
списка содержит такие разновременные части.

В то же время не следует думать, что протограф уче-
ния Кирика может быть отнесен к периоду после XII в.,
скорее можно утверждать действительно раннее происхо-
ждение этого протографа: об этом свидетельствует яркий
языковой факт — употребление в заключительной части
учения формы давнопрошедшего времени, образованной
имперфектом от быти + причастие на -л-i бяше было.
По свидетельству истории русского языка, такая форма
полностью отсутствует в памятниках с XIII в. и встре-
чается лишь в тех случаях, если перед нами списки па-

мятников XI—XII вв. или если это памятники, в которых
речь идет о событиях, относящихся к XI—XII вв.

Что касается мнения о неоднородности составных ча-
стей учения Кирика и о «выпадении» третьей части из
общего характера памятника, то в языковом отношении
это, пожалуй, можно подтвердить двумя соображениями.

1.	В стилистическом плане третья часть отличается от
первых двух употреблением личных форм глаголов на-
стоящего времени: разумели велю, азъ поведаю, пишемъ
(в первых двух частях предпочтение отдавалось безличным
оборотам). Создается впечатление, что автор (или авторы)
разных этих частей по-разному оценивал (или оценивали)
возможность своего вмешательства в изложение учения
о числах в исчислении. Это обстоятельство сразу броса-
ется в глаза, когда текст читается подряд.

2.	В первой и третьей частях употреблена одна и та же
конструкция с числительным «12» (Bl): В1 часа еста въ
дни (в 1 ч.) и В1 есть часа (в 3 ч.). Эти конструкции упот-
реблены в одном случае с глаголом в форме двойственного
(1 ч.), а в другом — в форме множественного числа (3 ч.).
Трудно полагать, что в тексте, имеющем действительно
единое происхождение, могла бы наблюдаться подобная
картина.

Таким образом, я думаю, что единое происхождение
Погодинского списка и отнесенность протографа Кирика
к XII в. не исключают того, что третья часть Погодинского
списка свидетельствует о введении в него (вероятно,
уже в источнике этого списка) текста, не относящегося
непосредственно к первым двум частям.

ЭЙЛЕРОВЫ ЭКВИВАЛЕНТЫ
ПЯТОГО ПОСТУЛАТА

Ю. А. Белый

Научные интересы Леонарда Эйлера были настолько
всеобъемлющими и разносторонними, что очень трудно
назвать какую-либо математическую проблему того вре-
мени, которая прошла бы мимо его внимания.

Таким редким исключением до недавнего времени счи-
талась теория параллельных, что особо отмечалось био-
графом Эйлера О. Шписсом [1 ], хотя влияние Эйлера па
деятельность геометров того времени и, в частности, па
работу И. Г. Ламберта (1728—1777) по теории параллель-
ных [2], написанную в 1766 г., но опубликованную
только в 1786 г., неоднократно подчеркивалось [3].

Не так давно были обнаружены и исследованы эйле-
ровы рукописи учебных руководств по элементарной гео-
метрии [4], в которых отражено отношение Эйлера к тео-
рии параллельных с точки зрения учебно-методической.
Однако можно считать установленным, что этот вопрос
занимал Эйлера и в значительно более широком плане:
среди неопубликованных записей академика Н. И. Фусса
(1755—1825), ученика и ближайшего помощника Эйлера
в последние годы его жизни, удалось обнаружить два
фрагмента, первый из которых озаглавлен «Эйлерово уче-
ние о параллелизме», а второй — «Эйлеровы начала гео-
метрии, выведенные из принципа подобия» [5]. То, что
имя Эйлера прямо указано в заглавиях, а также скепти-
ческие замечания самого Н. И. Фусса ко второму фраг-
менту, в которых он выражает несогласие с мнениями
своего учителя, «великого Эйлера», позволяет с большой
вероятностью утверждать, что в этих фрагментах Н. И. Фусс
передает мысли самого Эйлера, почти полностью потеряв-
шего зрение в последние десятилетия своей жизни, по
интересующему нас вопросу.

Ниже приводится текст обоих фрагментов на языках
оригинала (латинском и частично французском) и в рУс'
ском переводе.

«Euleri Doctrina
Parallelism!»

Axiomata:

Linea recta est linea brevis-
sima quae ab uno puncto ad
aliud quodcunque duci potest.

Linea recta duo puncta, in
eodem piano sita, jungens, etiam
in eodem piano est sita.

Duae lineae rectae se mutuo
intersecantes AB & CD semper
in eodem piano sunt sitae.

ЙВ /

«Эйлерово учение
о параллелизме»

Аксиомы:

Прямая линия — кратчай-
шая, которую можно провести
от одной точки к другой.

Прямая линия, соединяющая
две точки, расположенные в од-
ной плоскости, расположена
также в той же плоскости.

Две прямые линии, взаимно
пересекающиеся между собой,
АВ и CD, всегда расположены
в одной и той же плоскости.

Рис. 1

Si per duas lineas se mutuo
intersecantes AB & AC ducan-
tur utcunque rectae DE, D'E',
D"E", &c quae priores itidem
intersecantur omnes hae lineae
in eodem piano erunt sitae.

Если через две линии, взаимно
пересекающиеся между собой,
А В и АС, провести какие-либо
прямые DE, D'E', D"E" и
т. д., таким же образом пере-
секающие первые, все эти ли-
нии будут расположены в одной
и той же плоскости.

Si per duas lineas se mutuo
intersecantes AB & AC tertia
traducatur DE, quae porro pro-
longatur usque in F ita ut DE=
eEF, itemque, fiat EC=AE,
turn vero ducatur recta FC se-
quitur triangula CEF & AED
esse aequalia. Nam anguli op-
Positi CEF & AED sunt aequa-
les itemque latera adiacentia
FE=DE & AE=CE (per hypo-

Если через две прямые,
взаимно пересекающиеся между
собой, А В и АС, провести
третью, DE, которую продол-
жить до F так, чтобы DE=EF,
а также отложить ЕС=АЕ,
а затем провести прямую FC,
то из этого следует, что тре-
угольники CEF и AED будут
равны. В самом деле противо-
положные (вертикальные) углы

thesin) ergo anguli. . ? lateribus
oppositi F=D & C=A.

CEF и A ED равны, так же как
и прилегающие к ним стороны
FE=DE и АЕ=СЕ (по пред-
положению); следовательно,
углы, лежащие против этих
сторон, F=D и С~А.

lam si ducatur ex D recta
DC' rectam AB sub eodem an-
gulo CAB intersecans, turn vero
sumatur DD'=AD at ex Dz
ducatur recta D'F' rectas AB et
AC sub eodem angulo quo recta
DF, intersecans in punctis
D' & E' turn vero faciaturque
E'F'=D'E' et E'F"=DE' ma-
nifestum est oriri triangulae
aequalia tam inter se quam
praecedentibus.

Теперь, если проведем из D
прямую DC, которая пересе-
кает прямую АВ под тем же
углом САВ, и, взяв DD'=AD,
проведем из D' прямую D'F',
которая пересекает прямые АВ
и АС под тем же углом, что и
прямая DF, в точках D' и Е',
и далее возьмем E'F'=D' Е' и
E'F”=DE', то, очевидно, что
образуются треугольники, рав-
ные как между собой, так и
предыдущим.

At quia lineae FF' & F'F"
junctim basin trianguli FDF"
exhibentNB eae in directum erunt
sitae, itemque partes F'F" &
F"F'"; itemque F"F'" &
ideoque tota FFIV in directum
erit sita, quae porro, cum opera-
tiones praescriptae in infinitum
continuari possunt, cum recta
AB nunquam conveniet.

И так как прямые FF1 2 и
F'F”, вместе взятые, состав-
ляют основание треугольника
FDF"NBa, то они расположены
по прямой, как и ччсти F'F”
и р"р"^ а также рнр"' и
F"'F1V, поэтому вся FF1N будет
расположена на прямой, и так
как указанные операции могут
быть продолжены до беско-
нечности, то [FFIV] никогда
не сойдется с АВ.

1 В этом месте рукопись неразборчива.

2 См. сноскукв на стр. 283.

At quia rectae AB et FFIV
fn eodem piano sunt sitae, et
utrinque productae nunquam
convenient, eae parallelae erunt.

Hoc modo simul demonstratum
est angulos alternos esse aequales.

NBHic autem adhuc demon-
strandum restat rectas FF',
F'F" & c in directum esse sitas,
quod ex haec demonstratione
neutiquam sequitur. Hoc autem
facile demonstrate licet sequenti
modo

И так как прямые АВ и FF™,
расположенные в одной пло-
скости п продолженные в обе
стороны, никогда не сойдутся,
то они параллельны.

Таким же образом доказы-
вается, что накрест лежащие
углы равны.

NB [Примечание оригинала].
Остается доказать, что прямые
отрезки FF'] F'F'" и др. лежат
на одной прямой, что из этого
доказательства никак не сле-
дует. Но это ведь легко дока-
зывается следующим образом:

/aed = /fef'	DD'	= AD
DE = FE	/DD'E'	= /ADE
AE = F'E	/D'DE'	= /DAE
kADE — XFEF’	A DE'D	' = kAED
/ADE=/EFF'	D'E'	= DE
/DAE = /EF'F	DE'	~AE
Eodem modo (таким образом)	к DE'D' 	= A F'E'F"
/DE'D' = /F'E'F"	к DE'D1	'= kAED
DE' = E'F'	kF'E'F" = k	AED^bFEF'
D'E'~E'F'	E'F' — EF	D'E'= DE
	E'F'=EF'	DE' — AE
kDE'D' ~ kF'E'F"		
/D'DE' = /E’F"F'	D'F'	^DF
/DD'E' = /E'F'F"	AF' =	= DF"
	A FDF" =	= к AF'D'
/FF'E =/DAE —/D'DE'	/FDF" -	= /AF'D'
/E'F'F" =/DD'E' =/ade		
/AP'D’ = /FDF"		
FF'E + AF'D + F'F'E =		
= D'DE' + FDF" + AD El		

з г> „

части этого равенства описки. Предполагается, очевидно,
** Е +AF'D' -i-F',F'E,=D,DE'-{-FDFn+ADF.

at D'DE'+ FDF" +ADF==2d
ergo FF'E 4- AFD 4- E"F'E — 2d4
ideoque FF'F" in directum

no D' DE' + FDF" + ADF = 2dy
итак FF'E 4- AFD + F"F'E=2d\
следовательно, FF'F" находятся
на прямой.

Dela il suit, que

1)	Les angles alternes egaux

2)	La somme des internes=2d

Рис. 6

Отсюда следует, что:

1)	накрест лежащие углы равны;

2)	сумма внутренних =2d.

Рис. 7

Bifariam secatur GH in О,
per О ducatur utcunque recta
AOI, eritque OG=OH, OI=OA,
ZGOI=Z_AOH, △GOI-AAOH,
ZOGI=ZOHA, h. e. b=c,
a+b=c4-d=2d ergo b+d=2d.

Разделив GH в О пополам,
через О проведем какую-нибудь
прямую АОЦ будет OG=OII,
01=0 A,	/_GOI=Z_AOH,

&GOI=&AOH, Logi=£oha,
т. е. d=c, a-{-b—c-}-d=2d,
следовательно, b-}-d=2d.

Приводим теперь текст второго фрагмента:

«Euleri Elementa Geometriae ex
principio similitudinis deducta»

Principium similitudinis in hoc
consistit, quod proposita quacun-
que figura semper alia, vel major,

«Эйлеровы начала геометрии,
выведенные из принципа
подобия»

Принцип подобия состоит
в том, что любая предложенная
фигура всегда может быть изоо-

4 Должно

быть FF'E+AF'D,+F"F,E'=2d.

vel minor, exhiberi, vol saltern
concipi possit, quae illi perfecte
sit similis. Hoc est, ut primo
omnes anguli homologi inter se
sint aequales; deinde, ut omnia
latera homologa sint proportio-
nalia.

Proposito igitur triangulo quo-
cunque ABC aliud concipi po-
test abc illi perfecte simile,
ita ut sit angulus a=A, b=B,
c=C, turn vero latus ab : AB=
=ac : AC=bc : BC.

ражена или по крайней мере
представлена в воображении
как другая, большая или мень-
шая, которая была бы ед совер-
шенно подобна. Это значит,
во-первых, что все соответ-
ственные углы между собой
равны и затем все соответст-
венные стороны пропорцио-
нальны.

Следовательно, если дан ка-
кой-нибудь треугольник АВС,
можно представить другой, abc,
этому совершенно подобный
так, что углы а=А, Ь=В,
с=С, а также стороны аЪ : АВ—
—ас : АС—Ьс : ВС.

Postquam autem super latere
ab anguli a et b ipsis A et В
fuerint constituti, tota figura
jam penitus determinaturNB,
unde patet simul ac in Д abc duo
tantum anguli a et b aequales
fuerint angulis A et B, turn Д abc
jam perfecte simile esse futurum
Д ABC et sponte fieri angulus
c=C° simulque latere esse pro-
portionaliaNB (operationis exp-
licatione non opus est).

Propositum nunc sit triangu-
lum rectangulum ABC in quo
ZC° sit rectus ex quo in latus
oppositum AB demissum conci-
piatur perpendiculum CD ita ut
anguli у et S ut pote recti sint
inter se aequales. Comparetur
Д ACD cum Д ABC et quia
habent anguli у—C (rectum) et
A communem erunt similia, ideo-
que tertius angulus a tertio
prioris (B) aequalis. Eodem modo

После того как па стороне
ab будут построены углы а и Ъ
по углам А и В, вся фигура уже

NB
определена целиком , отсюда
очевидно, что коль скоро в тре-
угольнике abc только два угла
а и b будут равны углам А и В,
треугольник abc будет совер-
шенно подобен треугольнику
АВС, угол с=С, в то же время
стороны будут пропорциональ-
ны1^® (пояснять построение нет
необходимости).

Пусть теперь дан прямоуголь-
ный треугольник АСВ, в кото-
ром угол С прямой, из него
на противоположную сторону
АВ опустим перпендикуляр CD
так, чтобы углы у и 8, также
прямые, были бы между собой
равны. Сравнивая ДА CD
с треугольником АВС, убеж-
даемся в их подобии, так как
угол у=С (прямой) и А —
общий, отсюда третий угол а

Л BCD comparatum cum toto
ВАС, ob angulum 8=C et В
communem erunt etiam similia
hincque tertius angulus p aequa-
lis tertio A prioris. At vero an-
guli a et p faciuntur rectum
unde etiam summa angulorum
A et В semper erit aequalis recto.

равен третьему углу (В) пер-
вого треугольника. Подобным
образом сравниваем треуголь-
ник BCD со всем ВАС, так как
угол Ъ=С и В общий, они также
подобны и третий угол р равен
третьему углу А первого
[тр-ка]. Однако углы аир
вместе составляют прямой, от-
куда сумма углов А и В также
равна прямому.

Рис. 9

Рис.10

Hine ergo in triangulo quo-
cunque summa trium angulorum
semper aequatur duobus rectisNB.

Nam demisso perpendiculo
BD5, ut habeantur duo vel
angula ABD et CBD in illo
summa angulorum A-|-a est rectus
similique modo in altero summa
angulorum y+B est etiam aequa-
lis recto quia igitur а-|-у=С
erit A+В 4-C= duobus rectis.

Ex figura praecedente adeo
deduci potest theorema Pytha-
goricum. Cum enim Д ACD oo
Д ABC, ob latera proportiona-

NBHaec petitio principii
summi Euleri monstrat quam
facile sit in primis dementis
hallucinari ratiocinando.

Principium similtudinis non
tale est, cujus veritas sine de-
monstratione conceditur. Non
est axioma.

5 Описка. Должно быть CD.

Следовательно, в любом тре-
угольнике сумма трех углов
равна всегда двум прямымыв-

Ибо, опустив перпендикуляр
BD6, получим два прямоуголь-
ных треугольника АВС и CBD,
в которых сумма углов А-|-а
равна прямому, подобно тому
как во втором сумма углов
Y+B также равна прямому,
следовательно, a-|-Y=C будет
А В+С = двум прямым.

Из предыдущей фигуры мо-
жет быть выведена теорема Пи-
фагора. Пусть Д A CD оо Д АВС,
так как стороны пропорцио-

nb3to petitio principii вели-
кого Эйлера показывает, как
легко можно заблудиться в рас-
суждениях з самых основа-
ниях.

Принцип подобия не таков,
справедливость. которого могла
бы быть принята без доказа-
тельства. Это не аксиома
[Прим. Н. Фусса].

lia, erit AD : AC=AC : AB hinc
ДС2=АВ • AD. Eodem modo ob
д BCD сю Д ВАС erit BD : BC=
==BC : BA hinc BCa=AB • BD
hinc addendo AC2 • BC2=
=AB(AD4-BD)=AB2.

нальны, будет AD : AC=
AC : AB, отсюда AC2=AB -AD!
Подобным образом из &BCD сю
сю ДВА С будет BD : ВС=
=ВС : В А, следовательно, ВС2=
—AB-BD, откуда, складывая,
получим АС2+ВС2=АВ (AD-J-
+BD)=AB2.

В первом из этих фрагментов по существу предприни-
мается попытка доказательства того, что эквидистанта пря-
мой на плоскости представляет собой прямую же. Пред-
варительные допущения не включают в себя никакого
эквивалента пятого постулата, однако, как и следовало
ожидать, в скрытом виде этот эквивалент используется.

В примечании утверждается, что FF' и F'F" лежат на
одной прямой. Но если допустить противное (рис. 11),

то не удастся, например, доказать равенство углов F,rFD
и FDA, так как углы F,rFD и F'FD при этом оказыва-
ются разными.

* * *

В отличие от первого, в самом заглавии второго при-
веденного здесь фрагмента указывается на то, что в ос-
нове доказательства лежит принцип подобия. Из загла-
вия же следует вывод, что Эйлер ясно представлял себе роль
аксиомы параллельных и ее эквивалентов в основаниях
геометрии («. . . начала геометрии, выведенные из прин-
ципа подобия»).

В самом тексте фрагмента, исходя из принципа подо-
бия, Эйлер просто и ясно выводит предложение, экви-
валентное «усиленной (в формулировке Д. Гильберта)
аксиоме параллельности». В другой форме пятый посту-
лат на основе принципа подобия еще в 1663 г. выводился,
как известно, Дж. Валлисом (1616—1703). Интересно,
Что из принадлежащего явно самому Фуссу примечания

к этому фрагменту следует, что сам Фусс не понял глу-
бины рассуждений Эйлера, как не сумел позже, в 1823 г.,
оценить новизну идей, изложенных в учебном руковод-
стве по геометрии, написанном Н. И. Лобачевским неза-
долго до разработки основ неевклидовой геометрии и по-
ступившем к Н. Фуссу на официальный отзыв.

Итак, можно утверждать, что и теория параллельных
не прошла мимо внимания великого Эйлера, и его имя
должно занять свое место в предыстории неевклидовой
геометрии вместе с характеристикой предпринятых им
попыток решить сложнейший вопрос оснований матема-
тики, честь окончательного решения которого принадле-
жит нашему замечательному соотечественнику Николаю
Ивановичу Лобачевскому (1792—1856).

ЛИТЕРАТУРА

1.	О. Spiess. Leonhard Euler, Frauenfeld/Leipzig, 1929, S. 178.

2.	J. H. Lambert. Theorie der Parallellinien. — Mag. reine und angew.
Math. Leipzig, 1786.

3.	P. Stackel, F. Engel. Die Theorie der Parallellinien von Euklid
bis auf Gauss. Leipzig, 1895, S. 145.

4.	Ю. А. Белый. Об учебнике Л. Эйлера по элементарной геомет-
рии. — В сб.: Историко-математические исследования, вып. XIV.
М., Физматгиз, 1961, стр. 237—284.

5.	Архив АН СССР (Ленинградок, отд.), ф. 40, on. 1, № 60, лл. 92,
93, 93 об.

«ПРОГРАММА ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ»
М. В. ОСТРОГРАДСКОГО

А. И. Боголюбов, И. 3. Штокало

Зимой 1829/30 г. адъюнкт-профессор Петербургской
академии наук М. В. Остроградский прочел курс публич-
ных лекций по математической физике и астрономии.
В числе его слушателей находились пять репетиторов
Института корпуса инженеров путей сообщения, специ-
ально откомандированных для этой цели. Таковы первые
шаги М. В. Остроградского в учебном заведении, в ко-
тором ему пришлось проработать до конца своей жизни.
В августе 1930 г. он был назначен профессором института
с возложением на него обязанности читать аналитическую
механику во втором и астрономию в первом классах.
Начиная с этого года и в продолжение почти тридцати
лет оп читал аналитическую механику первым в России;
таким образом, М. В. Остроградскому принадлежит не
только постановка преподавания этого предмета в рус-
ской высшей технической школе, по и доведение препо-
давания до высокой степени совершенства.

5 января 1849 г. М. В. Остроградский был назначен
главным наблюдателем за преподаванием математических
наук в Институте корпуса инженеров путей сообщения
и в Строительном училище (несколько раньше, в 1847 г.,
он был назначен главным наблюдателем за преподаванием
математических наук в военно-учебных заведениях) и ис-
полнял эту обязанность до самой смерти, хотя и не был
утвержден в соответствующей должности х.

Сохранился ряд документов, по которым можно судить
о воззрениях М. В. Остроградского на преподавание ана-
литической механики. Это, во-первых, лекции по аналити-
ческой механике, написанные самим автором и изданные
литографским способом Институтом корпуса инжене-
ров путей сообщения в 1863 г., затем записки Н. С. Бу-
Даева, слушавшего лекции М. В. Остроградского в Глав-

1 ЦГИАЛ, 1860, ф. 417, on. 1, д. 201, лл. 1-2.

3/т19 Заказ № 112	289

ном педагогическом институте в 1851—1852 гг. Оба курса
весьма близки по своему содержанию 2 3. Сюда же отно-
сится «Инструкция для преподавателей математики и ме-
ханики Института корпуса путей сообщения»,8 состав-
ленная в 1853 г.

Нами обнаружена в Центральном государственном исто-
рическом архиве в Ленинграде программа курса аналити-
ческой механики, составленная М. В. Остроградским
и рассмотренная учебным кабинетом Института корпуса
инженеров путей сообщения 12 ноября 1860 г.4, являю-
щаяся последним документом, характеризующим мысли
М. В. Остроградского по вопросу преподавания аналити-
ческой механики. Программа эта содержит собственно-
ручные его правки и подписана им.

«Лекции по аналитической механике» М. В. Остроград-
ского в обоих вариантах не учитывали особенностей выс-
шей технической школы; результатом его размышлений
по этому поводу и явилась публикуемая ниже программа.
Последняя является первой, составленной по важнейшему
предмету технического образования, — аналитической (и
теоретической) механике, составленной специально для
русской высшей технической школы.

В программе выделены два раздела: а) механика точки
и б) механика системы. Уже это повлекло за собой более
четкое распределение материала.

Существенным является уточнение основных понятий
механики, проводимое М. В. Остроградским в программе
впервые. Так, в «Лекциях» он пользуется понятием
«ускорительной силы», заимствованным еще от XVIII в.
В программе почти весь второй пункт посвящен исследо-
ванию понятия ускорения, к которому автор приходит,
очевидно, из понятия силы. Дальнейшее уточнение поня-
тия проводится в п. 4.

Понятие работы, как известно, было развито в трудах
Кориолиса и Понселе и приобрело свою общепринятую

2 В 1946 г. курс, изданный в 1963 г. с дополнениями из записей
проф. Н. С. Будаева, был переиздан в виде второй части первого
тома Полного собрания сочинений М. В. Остроградского под род.
акад. В. И. Смирнова.

3 М. В. Остроградский. Педагогическое наследие. Документы из
жизни и деятельности. Под редакцией II. Б. Погребысского и
А. П. Юшкевича. М., Физматгпз, 1961, стр. 325—331.

4 ЦГИАЛ, 1863, ф. 447, on. 1, д. 198, лл. 131-133.

форму к 40-м годам XIX в. М. В. Остроградский впервые
применяет его в пунктах 4 и 5 программы.

Новым является исследование движения тел в воздухе
с учетом сопротивления среды (п. 6) и исследование по-
лета артиллерийского снаряда (п. 7). Введение этих раз-
делов, несомненно сделанное автором с учетом интере-
сов техники, в определенной степени отражает исследова-
ния самого М. В. Остроградского 5. На слушателя-тех-
ника ориентируется также п. 9, в котором автор вводит
в рассмотрение силу трения. При этом нетрудно заметить
логическую связь с предшествующими пунктами про-
граммы.

Первый раздел программы — механика точки, состоя-
щий из И пунктов, соответствует содержанию первых
двенадцати лекций курса. Однако если сравнить детали
содержания, то становится очевидной значительно боль-
шая полнота программы.

Что касается второй части программы, озаглавленной
«механика системы», то опа состоит из 17 пунктов (пункты
12—28). Им соответствуют также 17 лекций (XIII—XXIX),
однако разница в содержании еще более значительна,
чем в первой части. Так, исследованию весьма важного
для техников вопроса о моментах инерции и сопутствую-
щих вопросов посвящено пять пунктов программы
(пункты 12—16). Соответственно в «Лекциях» эти во-
просы освещены значительно менее подробно и занимают
три главы (XIII—XV). Содержание следующих лекций,
XVI и XVII, приблизительно соответствует содержанию
17-го и 18-го пунктов программы, однако весьма сущест-
венный вопрос о сложном маятнике изъят автором и пере-
несен в п. 21. Рассмотрение удара упругих и неупругих
тел (п. 19), к которому Остроградский обращается раньше
исследования общих законов движения, также в «Лек-
циях» было изложено иначе: там исследование удара
упругих тел рассматривалось в разделе, посвященном
закону живых сил, а удар неупругих тел — в разделе,
посвященном движению центра инерции. Несомненно, что
новый способ изложения, принятый М. В. Остроградским

5 М.В. Остроградский. Заметка о движении сферических снарядов
в сопротивляющейся среде; Мемуар о движении сферических сна-
рядов в воздухе. — Полное собрание трудов, т. II. Киев, Изд-во
АН УССР, 1961, стр. 76-95.

в программе, ^связан с теми исследованиями, которые он
проводил в 1854 г.6.

В программе как закон живых сил, так и движение
центра тяжести системы рассматриваются после иссле-
дования законов удара: им посвящен п. 20. Следующий
пункт программы, 21, посвящен исследованию равно-
весия и движения твердых тел. Сюда же, как указывалось
выше, отнесено и исследование сложного маятника.
Совершенно новым является изучение баллистического
маятника и определение начальной скорости артиллерий-
ских снарядов, которым посвящен п. 22.

Следующие пункты, 23 и 24, по своему содержанию
соответствуют лекциям XVIII и XIX. В курсе эти лекции,
посвященные исследованию некоторых вопросов строи-
тельной механики, предшествовали лекциям XX—XXVII,
посвященным механике жидких тел. Завершались «Лек-
ции» исследованием общих законов механики вместе
с теорией удара. В программе же механике жидкостей
посвящено всего четыре пункта, 25—28, причем ими за-
канчивается содержание программы.

Таким образом, различие между «Лекциями» и «Про-
граммой» является весьма существенным, и можно дока-
зать, что вся дальнейшая работа над усовершенствова-
нием программы по механике в русской высшей техниче-
ской школе следовала направлению, указанному М. В. Ост-
роградским. Далее следует текст программы.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

а)	Механика точки

1.	Материя, непроницаемость и движимость. Покой
и движение. Время и его мера. Предмет механики; место,
занимаемое ею в ряде математических наук. Веществен-
ная точка; траектория. Движение прямолинейное и рав-
номерное; скорость. Движение переменное, скорость в
этом движении, проекция скорости на различных на
правлениях. Нахождение движения точки по данной
скорости.

2.	Сила; мера ее действия. Ускорение; проекция уско-
рения на координатные оси и проекция ускорения на про-

6 М. В. Остроградский. Мемуар по общей теории удара. — Полное
собрание трудов, т. II, стр. 234—266.

невольное направление; проекция ускорения на касатель-
ной, главной нормальной, на радиус-вектор и на линию,
к нему перпендикулярную.

3.	Уравнение движения вещественной точки. Отвесное
движение в пустоте, высота и скорость, одна другой со-
ответствующие. Параболическое движение.

4.	Причины ускорений. Инерция материи, сила инер-
ции, масса, количество движения. Живая сила. Средняя
плотность. Тела разнородные и однородные, плотность
в каждой точке разнородного тела. Нахождение масс.
Момент или работа силы. Работа силы инерции. Работа
тяжести.

5.	Совокупление и разложение ускорения и движущих
сил. Работа равнодействующей равна сумме работ соста-
вляющих. Притяжение тел вообще и в особенности сфе-
рических.

6.	Прямолинейное движение тел в воздухе. Движение
тел, брошенных наклонно к горизонту, принимая сопро-
тивление воздуха пропорциональным первой степени
скорости.

7.	Движение артиллерийских снарядов.

8.	Кеплеровы законы. Закон всеобщего тяготения. Дви-
жение точки, притягиваемой к неподвижному центру по
закону Ньютона. Траектория есть одно из конических
сечений.

9.	Общая теория несвободного движения вещественной
точки. Уравнение движения по данной кривой. Давление
на кривую. Трение: как принять его в расчет. Движение
по данной поверхности. Трение приТэтом движении.
Уравнение работ.

10.	Движение тел тяжелых по данной кривой — круго-
вой и циклоидальной; маятники.

И. Чрезвычайно малые размахи простого маятника,
принимая в расчет сопротивление воздуха. Движение по
наклонной плоскости, принимая в соображение трение.

б)	Механика системы

12.	Система точек. Ее моменты инерции относительно
точки, прямой линии и плоскости. Наименьший момент
инерции относительно точки; центр инерции; его коорди-
наты. Теоремы, облегчающие нахождение центра инерции.

13.	Центр инерции дуг кривых линий и площадей.
Гюльденовы правила. Центр инерции поверхности и объе-
мов вращения. Центр инерции однородных тел вообще.

14.	Нахождение момента инерции относительно точки.
Момент инерции эллипсоидального слоя.

15.	Зависимость между моментами инерции параллель-
ных прямых, из которых одна проходит через центр
инерции. Теория главных осей моментов инерции.

16.	Момент инерции эллипсоидального слоя параллеле-
пипеда, эллипса и параллелограмма.

17.	Перемещение системы точек и механическое ее опре-
деление. Функция возможных перемещений. Общие пра-
вила для отыскания этой функции. Причины, по которым
следует ограничиться первой степенью перемещений.

18.	Общая теория механики. Правило моментов или
работ. Упрощение этого правила на счет полного реше-
ния. Преобразование сил.

19.	Удары тел, лишенных упругости, и тел упругих.

20.	Теория мгновенных действий. Уравнение работ пли
закон живых сил. Движение центра тяжести системы.

21.	Преобразование сил, действующих на твердое тело.
Уравнение движения твердых тел; действие удара па
твердое тело. Сложный маятник. Центр качания.

22.	Баллистический маятник. Определение начальных
скоростей артиллерийских снарядов. Центр удара.

23.	Веревочный многоугольник. Равновесие неразрыв-
ной нити.

24.	Цепная линия.

25.	Уравнение движения и равновесие несжимаемых
жидкостей. Давление в каждой точке жидкости. Поверх-
ности разного давления.

26.	Равновесие тяжелых жидкостей. Давление на гори-
зонтальное или наклонное дно сосуда. Центр давления.

27.	Равновесие упругих жидкостей. Приложение к рав-
новесию в атмосфере. Измерение высот посредством ба-
рометра.

28.	Скорость и расход несжимаемой жидкости, выте-
кающей малым отверстием из сосуда, при уровне постоян-
ном и переменном. Клепсидра.

Михаил Остроградский

Рассмотрено и представлено 12-го ноября 1860 г.

ОБ ОЦЕНКЕ АРИФМОМЕТРА П. Л. ЧЕБЫШЕВА

Л. Е. Майстров

Общепринятая оценка значения арифмометра П. Л. Че-
бышева сводится к следующему. Во времена Чебышева
вычислительные машины обладали существенными не-
достатками, в том числе и конструктивными. Это побу-
дило его запяться конструированием вычислительной
машины, в результате чего он создает свой арифмометр
с непрерывной передачей десятков, который значительно
превосходил по своим качествам все вычислительные
машины своего времени и был удобен для практического
применения.

Приведем некоторые высказывания по этому поводу.
«Во времена Чебышева счетные машины с прерывным из-
менением цифр суммы обладали еще значительными кон-
структивными недостатками (арифмометр Однера поя-
вился позднее), и это, очевидно, побудило П. Л. Чебышева
к созданию счетной машины с непрерывным движением»
[1, стр. 72]. «Машина Чебышева выгодно отличалась
от существовавших в то время счетных машин с прерыв-
ным изменением цифр от разряда к разряду, которые
имели значительные конструктивные недостатки» [2,
стр. 238]. «Арифмометр Чебышева считался наиболее
совершенной из существовавших тогда машин этого рода»
13, стр. 141 ] и т. п. По-видимому, такая оценка восходит
к В. Г. Боолю [4].

Для того чтобы дать убедительную оценку арифмометру
П. Л. Чебышева, необходимо посмотреть, какие были
вычислительные машины до его появления, какие требо-
вания выдвигались перед вычислительными машинами,
какие были основные тенденции их развития, над чем
работали конструкторы и изобретатели вычислительных
машин.

Наибольшее распространение во второй половине XIX в.
имел арифмометр Томаса, изобретенный в 1818 г. в Па-
риже [5]. Выпуск этого арифмометра (само слово «ариф-

мометр» предложил Томас) был налажен с 1821 г. Ко вре-
мени начала работы П. Л. Чебышева над своей вычислитель-
ной машиной арифмометров Томаса было выпущено около
1500 штук, часть из них была в употреблении в России.
В основе арифмометра Томаса находился ступенчатый
валик, впервые примененный еще Лейбницем. Арифмо-
метр Томаса от выпуска к выпуску совершенствовался
и был в употреблении во многих странах, в том числе
и в России, в течение целого столетия, что говорит о его
несомненно хороших качествах. Этот арифмометр оказал
существенное влияние на все производство вычислитель-
ных машин XIX в. Арифмометр Томаса был довольно
быстродействующей машиной. Например, два 8-значных
числа можно было перемножить примерно за 15 сек,
а разделить 16-значное число па 8-значное — за 25 сек.

Из суммирующих устройств нужно выделить счисли-
тель Куммера, представленный Петербургской академии
наук в 1846 г. Этот инструмент оказался настолько удач-
ным, что его выпускают во многих странах (в том числе
и в СССР) до наших дней. В 1845 г. 3. Я. Слонимский
предложил Академии наук вычислительный прибор, по-
лучивший до этого высокую оценку и премию Берлинской
академии наук [5J.

Мы не будем здесь останавливаться на идеях Ч. Беб-
биджа, но его последователи, отец и сын Шейцы из Шве-
ции, построили разностную машину, которая демонстри-
ровалась в Лондоне и Париже в 1855 г. На аналогичной
машине составляли и обрабатывали английские таблицы
смертности, опубликованные в 1864 г. Было построено
еще много других счетных приборов и высказано много
идей относительно их устройства.

К 70-м годам прошлого века выработались определен-
ные требования к вычислительным машинам. Основные
из них состояли в следующем: 1) общая ручка для про-
изводства действий; 2) наличие ручки гашения; 3) при
выполнении действий, когда необходимо было переда-
вать десятки через много разрядов (например, 999 999-И
или 1 000000 — 1), машина должна давать верный результат,
не требуя при этом чрезмерных усилий для вращения
рукоятки; 4) машина должна работать точно независимо
от скорости движения рабочих частей, для этого нужно
иметь специальные приспособления, чтобы цифровые
колеса не вращались по инерции; 5) ошибки, происходя-

щие от неправильного обращения, должны быть по воз-
можности исключены. Например, если рукояткой не со-
вершен полный оборот, установочный рычаг установлен
между цифрами и т. п. Были определенные требования
относительно габаритов и стоимости машины.

Во второй половине XIX в. над усовершенствованием
вычислительной техники работали многие изобретатели
и конструкторы. В основном их усилия сводились к уве-
личению быстродействия и надежности машин.

Упоминавшиеся выше Шейцы предложили записываю-
щую счетную машину. Запись производилась на специаль-
ной свинцовой пластинке; фактически производилась
не запись, а чеканка результатов. Такой несовершенный
способ записи не получил распространения, но он ока-
зал стимулирующее воздействие на многих исследова-
телей.

В 1888 г. В. Берроуз в США получает патент на сум-
мирующую записывающую машину.

Рычажный набор чисел, который существовал почти
во всех счетных машинах, имел свои недостатки. Основ-
ной из них состоял в том, что, набирая числа, легко до-
пустить ошибку, не доведя или переведя рычаг относи-
тельно нужной цифры. Значительно удобнее клавишный
набор чисел. Первая клавишная машина была сконструи-
рована еще в 1877 г., но не получила распространения.
Более удачно эта идея была осуществлена в 1885 г. Фель-
том (США).

В 1889 г. на парижской выставке был продемонстри-
рован арифмометр Л. Болле, основной частью которого
является так называемый множительный конгломерат
или множительное тело. При умножении число оборотов
рукоятки в арифмометре Болле равно числу цифр мно-
жителя, а не сумме его цифр, как это требуется в других
арифмометрах.

В 70-е годы Болдуин в США и В. Т. Однер в России
начинают работать над созданием арифмометра, в основе
которого находится зубчатое колесо с переменным числом
зубцов вместо ступенчатого валика Лейбница (колесо
Однера). Арифмометр Однера оказался настолько удоб-
ной машиной, что к началу XX в. получил широкое рас-
пространение почти во всем мире. В дальнейшем в очень
большом числе конструкций арифмометров было исполь-
зовано колесо Однера.

На повестке дня стояло применение в вычислительных
машинах электричества в качестве движущей силы.

В этот период развития вычислительной техники, осно-
ванной на механических принципах, в работу по созданию
нового арифмометра включается П. Л. Чебышев.

19 августа 1876 г. на V сессии Французской ассоциации
содействия преуспеванию наук, происходившей в Клер-
мон-Ферране, П. Л. Чебышев сделал первое сообщение
о своем арифмометре: «Суммирующая машина с непре-
рывным движением». Хотя содержание доклада не со-
хранилось, но не вызывает сомнения, что речь шла о пер-
вой суммирующей машине, которая сейчас хранится
в Музее истории города Ленинграда.

Устройство суммирующей машины П. Л. Чебышева
изложено, например, в [6], так что мы на этом останавли-
ваться не будем. До арифмометра Чебышева все счетные
машины имели прерывную (дискретную) передачу накоп-
ленных сумм в следующий разряд. При этом числовое
колесо высшего разряда продвигается сразу на одно деле-
ние, когда колесо низшего разряда переходит с 9 на 0.
При непрерывной передаче десятков колесо высшего раз-
ряда постепенно поворачивается на одно деление, пока
колесо соседнего низшего разряда совершает полный
оборот. В своем арифмометре П. Л. Чебышев этого достиг
применением планетарных передач.

Итак, П. Л. Чебышев предложил в 1876 г. суммирующую
машину, построенную на новом принципе — на принципе
непрерывной передачи десятков.

Являлась ли эта машина лучше и надежнее всех суще-
ствующих машин? Конечно, нет. На суммирующей машине
Чебышева складывать числа очень неудобно, а вычитать
фактически нельзя. Считывать правильно результат во
многих случаях почти невозможно. В окошках для считки,
если в результате есть цифры больше пяти, необходимые
цифры или видны частично, или совсем не видны, а вместо
них хорошо видпы цифры, которые считывать не следует.
Можно, конечно, составить особое правило считки, чтобы
получать нужные числа, но это крайне неудобно. П. Л. Чебы-
шев говорит, что в связи с непрерывной передачей десят-
ков «чтение цифр становится более трудным» [7, стр. 158].
Суммирующая машина Чебышева очень громоздкая и тя
желая; ее габаритные размеры: 54x13x14,5 см. Нет
ручки гашения результатов, ставить машину в исходное

положение нужно для каждого разряда отдельно и обя-
зательно начиная с меньших разрядов. Во время поворота
числового колеса единиц числовое колесо десятков пово-
рачивается в десять раз медленнее, а числовое колесо
сотен — в сто раз и т. д.

Таким образом, во время набора единиц вся суммирую-
щая машина приходит в движение. В результате этого
для поворота числовых колес требуются значительные
усилия. Можно указать еще целый ряд неудобств, возни-
кающих при пользовании этой машиной.

Но суммирующей машиной Чебышева никто не пользо-
вался. Нет ни одного свидетельства о том, что на ней
кто-нибудь считал, в том числе и сам П. Л. Чебышев.

В 1878 г. П. Л. Чебышев решил передать суммирующую
машину в парижский Музей искусств и ремесел. Для
этого он строит второй экземпляр машины, в который
вносит некоторые изменения. За счет более рационального
использования планетарных передач и уменьшения по
ширине наборных колес уменьшалась длина прибора
(24,5 см), по несколько увеличилась высота (18 см).
Появилась ручка гашения результатов1. Но в основном
это прежняя неудобная для пользования машина, па кото-
рой можно выполнять только сложение. Первый экземпляр
машины П. Л. Чебышев оставляет у себя, а второй пере-
дает в музей как музейный экземпляр; па нем никто
никогда не считал.

П. Л. Чебышев не ставил перед собой задачу создать
удобную для пользования суммирующую машину. Он
ставил перед собой значительно более существенную проб-
лему: найти другой, новый принцип, на котором могут
строиться вычислительные машины. Эту проблему оп
блестяще решил. П. Л. Чебышев доказал, что вычисли-
тельные машины могут быть построены па принципе
непрерывной передачи десятков. По суммирующая машина
явилась только первым шагом в этом доказательстве.
26 августа 1882 г. на XI сессии той же Ассоциации
П. Л. Чебышев делает доклад: «О новой счетной машине»,
в котором, по-видимому, говорит (содержание доклада
не сохранилось) о приставке к суммирующей машине [8].
Эта приставка давала возможность производить умножение

1 Сравнение двух экземпляров суммирующих машин П. Л. Чебы-
шева приведено в [6].

и деление. Приставка была изготовлена с учетом размеров
музейного экземпляра суммирующей машины и была
передана в тот же музей, где находится в комплекте
с суммирующей машиной и сегодня. При помощи этой
приставки также никто никогда не производил вычислений.
Но П. Л. Чебышев в полном объеме доказал, что возможны
вычислительные машины с непрерывной передачей десят-
ков. Этот принцип получил распространение в основном
начиная с 40-х годов нашего столетия.

В связи с применением электропривода увеличилась
скорость работы малых вычислительных машин. При
дискретной передаче десятков при этом неизбежно появ-
ляются толчки. При непрерывной передаче — ход машины
плавный, что позволяет, без опасений поломок, увеличить
скорость работы механических вычислительных устройств.
Принцип передачи десятков, предложенный П. Л. Чебы-
шевым, используется в американской счетной машине
«Мерченд», швейцарской «Директ» и др.

П. Л. Чебышев при создании ряда механизмов также
не преследовал непосредственных практических целей.
Он доказывал возможность преобразования данными
средствами одного движения в другое. Эти механизмы,
так же как и его арифмометр, явились материальным
воплощением его теоретических выводов и идей.

ЛИТЕРАТУРА

1.	И. И. Артоболевский, Н. И. Левитский. Механизмы П. Л. Че-
бышева. — В кн.: Научное наследие П. Л. Чебышева, вып. 2,
М.-Л., Изд-во АН СССР, 1945.

2.	История отечественной математики, т. 2. Киев, «Наукова думка»,
1967.

3.	В. Е. Прудников. П. Л. Чебышев ученый и педагог. М., «Просве-
щение», 1964.

4.	В. Г. Боолъ. Приборы и механизмы для механического произ-
водства арифметических действий, 1896.

5.	Из истории вычислительных устройств. (Публикация по мате-
риалам Архива АН ССССР и примечания М. И. Радовского).
В сб.: Историко-математические исследования, вып. XIV. М.,
Физматгиз, 1961.

6.	Л. Е. Майстров. Первый арифмометр П. Л. Чебышева. — Там же.

7.	11. Л. Чебышев. Полное собрание сочинений, т. IV. М.—Л.,
1918.

8.	П. Л. Чебышев. Полное собрание сочинений, т. V, М,—Л.,
1951.

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ
СТРУКТУРЫ «АРИФМЕТИКИ»
ДИОФАНТА АЛЕКСАНДРИЙСКОГО

Е. И. Славутин

«Арифметика» Диофанта Александрийского не раз ста-
новилась предметом тщательного изучения и комменти-
рования. Можно назвать несколько монографий, пол-
ностью или в значительной своей части посвященных
Диофанту [1—3].

Изучение «Арифметики» Диофанта шло по двум направ-
лениям. Во-первых, был предпринят филологический
анализ текста, в результате которого оказались восста-
новленными существовавшие в нем лакуны, и даны науч-
ные переводы текста1 на латинский [5], немецкий [6],
французский [4] и английский [2] языки. Во-вторых,
изучалось математическое содержание «Арифметики», и
здесь мы также имеем несколько переводов (как правило,
представляющие собой комментарии к тексту) алгебры
Диофанта на язык алгебры XIX в., в терминах которой
были классифицированы диофантовские задачи и описаны
некоторые приемы их решения. Так, Томас Хисс [2]
проводит классификацию задач «Арифметики» по образцу
обычного учебника алгебры, где различаются определен-
ные и неопределенные задачи, число уравнений, неизвест-
ных и степень. Но в этом случае задачи, расположенные
последовательно и решенные общим методом, оказываются
по Хиссу принадлежащими к разным типам, а задачи,
решенные различными методами, попадают в один класс.
С точки зрения такого подхода, «Арифметика» Диофанта
представлялась хаотическим и случайным собранием
задач.

Вообще во всей историко-математической литературе,
посвященной этому произведению, вопрос о логике распо-
ложения задач в соответствии со способами их порожде»

1 В Главной редакции физико-математической литературы изда-
тельства «Наука» готовится к печати перевод «Арифметики»
Диофанта, выполненный И. Н. Веселовским под редакцией и
с комментариями И. Г. Башмаковой.

ния и методами решения не только не обсуждался, но
и не был поставлен. Настоящая работа посвящена осо-
бенностям композиции «Арифметики». Мы рассматриваем
группы последовательно идущих задач, объединенные об-
щим способом порождения их условий и методом решения,
специфическими для алгебры Диофанта. Нумерация задач
соответствует изданию Диофанта [4]. Номер III.5 обо-
значает задачу 5 книги III, номер IV.7—IV. 11 указывает
на группу задач с 7 по И книги IV.

При решении задач Диофант вводит обозначение ?
(концевая сигма) для неизвестной величины и оперирует
с алгебраическими выражениями от одной неизвестной.
Условия же задач, которые мы приводим в современной
алгебраической записи, в «Арифметике» даны в словесной
формулировке. Поэтому при чтении статьи следует иметь
в виду, что все алгебраические выражения, за исключе-
нием выражений от представляют собой алгебраичес-
кий эквивалент словесного текста.

Первая группа включает задачи 1.1—1.6, представляю-
щие собой линейные системы двух уравнений с двумя
неизвестными:

I. 1
^4-Х, = 100,
Хх + Х’2 —40;

I. 2
х1+х2=бо,
Х1 = ЗХ2;

1. з

Х1 + Х2 = 80,
X,— ЗХ2 = 4;

I. 4	I. 5	I. 6

X,— Х, = 20, Х, + Х2 = 100, Х1 + Х2 = 100,
Х1==5Х2;	|Х1+1Х2=ЗО; ±Х1-^Х2 = 20.

В задачах 1.1—1.4 Х2 полагается равным с, ав1.5и1.6с
равна соответственно */6 Х2 и 1/6 Х2, затем из второго
уравнения находится выражение от с для неизвестной
Xj. Полученные для и Х2 выражения от <; подставля-
ются в первое уравнение, которое приводит к уравнению
от с вида	где Ъ < с. Последнее решается

вычитанием из обеих частей уравнения Ъ и делением на а.

В задачах 1.2—1.4 число а, равное определителю си
стемы, имеет одно и то же значение, равное 4. В задачах
1.1, 1.5 и 1.6 постоянным остается первое уравнение
системы X1-J-X2=100.

Во вторую группу входят задачи I. 7—1.11, в которых
решается уравнение первой степени с одной неизвестной:

I. 7	I. 8

X — 20 = 3(Х —100); Х + 100 = 3(Х’ + 20);

1.9	I. 10

100 —Х = 6(20 —X);	X 4-20 = 4(100 — X);

I. н

X 4-20 = 3 (X —100).

Задачи этой группы сводятся к уравнению вида az-\-b=
—cc,-\-d, где b <С d и а > с. Из обеих частей, как и в пре-
дыдущей группе, вычитается Ь, но, кроме этого, необхо-
димо вычесть член с;, содержащий неизвестную. В этом
смысле решение одного уравнения с одной неизвестной
из второй группы задач приводит к более общему уравне-
нию относительно ;, чем решение системы двух уравнений
с двумя неизвестными первой группы. Это, видимо,
объясняет выбранный Диофантом порядок следования
первой и второй групп задач.

Перейдем- к рассмотрению систем уравнений второй
и третьей степени.

Третья группа включает задачи I. 27—I. 30:

I. 27	I. 28

Х14-Х2 = 20,	Х14-Х2 = 20,

ХхХ2 = 96;	Х24-Х2 = 208;

I.	29	I. зо

Xi4-X2 = 20, Хх —Х2 = 4,
X? —Х2 = 80; XjX2 = 96,

метод решения которых основан на подстановке во вто-
рое уравнение систем выражений Хх=104-?, Х2=10—<;
(I. 27—1. 29) или Xx=s4-2, Х2=;—2 (I. 30), удовлетворяю-
щих тождественно первому уравнению. Все задачи этой
группы имеют общее решение Хх=12, Х2=8. При состав-
лении систем Диофант исходил из решения, вычисляя
по нему свободные члены уравнений. До Диофанта в ва-
вилонских клинописных текстах мы встречаем аналогич-
ные серии систем двух уравнений второй степени с двумя

неизвестными, обладающие общим каноническим реше-
нием Хх=30, Х2=20. В обоих случаях мы имеем дело
с задачами одного типа, причем решение Диофанта Х!=12,
Х2=8 пропорционально вавилонскому Xj=30, Х2=20.

Четвертая группа содержит задачи IV. 1—IV. 2:

|IV. 1	IV. 2

Х1 + Х2=10, Xj —Х2=6,
XI + XI = 370; X* — XI = 504.

Как и в третьей группе, здесь решается определенная
система двух уравнений с двумя неизвестными, но не
второй, а третьей степени. Задачи четвертой группы ре-
шаются при помощи подстановок, аналогичных подста-
новкам в задачах третьей группы. Хотя задачи IV. 1—IV. 2
не имеют одинаковых решений, но на их предварительный
выбор, подобно задачам третьей группы, указывает то,
что сумма решений остается постоянной. Задачи IV. 1
и IV. 2 имеют-соответственно следующие решения: Хх=7,
Х2=3 и Хг=8, Х2=2, в обоих случаях Х1Ч-Х2=з10.

Задачи шестой группы I. 31—1. 34:

1.31	1.32

х| + х|=5(х1 + х2),
Xi = 3X2;

х|-х|=б(х1+х2),
Хх = ЗХ2;

Х| + Х| = 10(Х1-Х2),
Хх = ЗХ2;

Х*-Х*=12(Хх-Х2),
Хх = ЗХ2,

и задачи седьмой группы II. 1—11.5:

II.	1	II. к2

X? + Xf = 10(Xx + X2); XJ — Х| = 6( Хх — Х2);

«П. 3	II. 4

ХхХ2 = 6 (Xx ± X2); XI + XI = 10 (Xx - X2);

II. 5

Xf - X* = 6 (Xx + X2),

мы рассмотрим вместе. Общим для систем шестой группы
является второе уравнение. При переходе к седьмой
группе это уравнение исчезает и определенная система
двух уравнений с двумя неизвестными превращается
в неопределенное уравнение. Решение задач седьмой

группы начинается с подстановки Xj=2c, X2=q, экви-
валентной добавлению уравнения Л1=2АГ2, аналогичного
уравнению шестой группы Х^ЗХ^ На языке алгебраи-
ческой геометрии в задачах седьмой группы ищется
рациональная точка на квадрике, проходящей через
начало координат, а метод решения эквивалентен прове-
дению прямой через точку (0, 0) 2, принадлежащей пара-
метрически заданной прямой Xt=2c, X2=q с тангенсом
угла наклона 2, пересекающей квадрику еще в одной
точке. Аналогичную интерпретацию можно дать также реше-
нию задач II. 8—II. 9. В задачах II. 8—11.9 рассматрива-
ются квадрики Х^Х^=42 и Х“+Х5=22+32 с рациональ-
ными точками соответственно (0, —4) и (2, —3), через
которые, как и при решении задач седьмой группы, про-
водится прямая с тангенсом угла наклона, равным 2,
пересекающая квадрику еще в одной рациональной точке.
Во всех указанных задачах значение тангенса угла на-
клона постоянно и равно 2, а выражения для Хп Х2
через неизвестную с, с которыми на самом деле работает
Диофант, постоянно усложняются:

в задачах II. 1—II. 5
в задаче 11.8
в задаче 11. 9

Задачи восьмой группы IV. 8—IV. 12:

IV.8	IV.9

X3 + Х2 = X3,	X3 + Х2 = X,

Х1 + Х2 = Х;	Xi + Xs^X3,

IV. и

IV.,10

У3+П=Г1+К2;

IV. 12

У?—У? = У2—У2;	У«+У2=У»+У1>

после взаимно обратных преобразований неизвестных сов-
падают с IV. 10—IV. И. Действительно, преобразования

Х1==у2

Х2=У1-У2> п

X=YV

Y^X. + X^X),
У2=хг

2 Точка (0, 0) по Диофанту не является решением, так как у него

вообще отсутствует понятие нуля и решения ищутся в области
положительных рациональных чисел, отличных от нуля.

переводят решения задач IV. 8 и IV.11 друг вЗ друга.
Аналогично преобразования

Х1=У1.
x2=yi-yv и
Х=У2

Л = ^>

Y2 = X(=$X^Q

задают переход от IV. 9 к IV. 10 и обратно. Мы сравним
решения задач IV.8 и IV.И, но все выводы можно дословно
повторить относительно задач IV.9 и IV. 10.

Вначале все неизвестные в задачах IV. 8, IV. 11 Диофант
выражает через ; : Хх=2с, Х2=;, Х=3; и Ух=3;,
У2=2с, и, подставляя эти выражения в уравнения,
приходит в обоих случаях к уравнению 19;2=1, не имею-
щему рационального решения. После некоторого анализа
он получает новые выражения для неизвестных: Хх=7с,
Х2=с, Х=8; в задаче IV. 8 и Ух=8;, У2=7; в задаче
IV. И, которые после подстановки в уравнения приводят
к одному и тому же уравнению 169;2=1, откуда ? = 1/13,
что дает решение Хх=7/13, Х2=1/13 задачи IV. 8 и реше-
ние Ух=8/13, У2=7/13 задачи IV.11. Легко видеть, что
приведенные выше взаимно обратные преобразования
переменных переводят вычисления, подстановки и реше-
ния задач IV. 8 и IV. И друг в друга.

В задачах девятой группы IV. 34—IV. 36 Диофант при-
меняет общий метод решения, состоящий в следующем.

Пусть задана система:

/1(^)/2(Х2) = ^
/3(Х3)/4(Хв) = &®,

где f. (Xj)=aiXj.-}-bi. Положим Х2=; и выразим Хх и Х3
из первых двух уравнений:

Х3 =

1 / №
\/з(?)



Подставив найденные для Х± и Х3 выражения от ? в третье
уравнение, получим уравнение относительно решение
которого дает решение всей системы.

При составлении задач IV. 34—IV. 35, видимо, Дио-
фант исходил из леммы к задаче V.8:

ХУ = 22,
YZ = З2,
ZX=42,
которую он решает тем же способом. Если мы сделаем
замену переменных:

Х = Хг ± 1,

У = Х2±1,

Z = X3±1,

и вместо тройки квадратов 22, З2, 42 возьмем тройку
квадратов (2+1)2, (З-j-l)2, (4-4-1)2, то получим систему
уравнений IV. 34—IV. 35:

Х1Х2±(Х1 + Х2) = 8,

Х2Х3±(Х2 + Х3) = 15,

Х3Х1±(Х3 + Х1) = 24,

где знак плюс соответствует задаче IV. 34, а минус —
задаче IV. 35. К каждой из задач IV. 34—IV. 36 имеется
лемма, соответствующая тому шагу общего метода, па кото-
ром Х\ и Х3 должны быть выражены через X2=q. Леммы
получаются из уравнения XY=a2 одной из следующих
замен неизвестных:

Х = +

У = Х2 + 1,

(Х = Х1 — 1,
I У = Х2-1,

(Х^Х^а,
|у = Х2 — а.

Линейные замены при решении систем уравнений второй
степени до Диофанта применялись в вавилонской мате-
матике.

Кроме рассмотренных выше девяти групп задач в «Ариф-
метике» имеется около 20 задач, естественным образом
объединяющихся в пары по общности условий и методов
решения. Можно выписать систему уравнений от 2п неиз-
вестных и ее решение таким образом, что при двух опре-
деленных значениях п они будут являться условиями
и решениями подобной пары задач Диофанта. Мы проде-
лаем это для некоторых наиболее интересных пар, вна-
чале выписывая общую систему и ее решение, а затем
указывая те значения п, при которых получаются соот-
ветствующие задачи Диофанта.

Рассмотрим систему уравнений

Х* + ХМ=ГЬ

где i=l, 2, . . п и п+1=1 (по определению). Положим
Х.=21’-Ч+2*_1-1 и	для г=1, 2, . .

п—1. Эти выражения от с удовлетворяют тождественно
первым п—1 уравнениям. Если взять Хя=2”-1; 1 и YH=
=2”-1ъ—2”"1, то, подставив в п-еуравнение эти выражения,
найдем	2й __

? = 22” - 2” 4-1 ’

а затем и решение системы. Именно такую схему решения
применял Диофант при п=2, 3 в задачах 11.21 и 11.33.

Рассмотрим систему уравнений

где i— 1, 2 . . ., п и п+1 1. Положим У;=2*'"1 и X.—
=2‘"Ч—1 для г=1, 2, . . ., п—1. Эти выражения от с,
удовлетворяют тождественно первым п—1 уравнениям.
Если взять Уя= (2"-1+1)<; и Хя=2“”Ч+1, то, подставив
их в n-е уравнение, найдем

__ 2й — 1

“ 2” + 1 ’

а затем и решение системы. При п=2, 3 мы получаем
условие и решение задач 11.22 и II.33.

Рассмотрим систему уравнений

(*1 + Х2 + ... + Хя)* + Х<=У2,

где i=l, 2, . . ., п. Положим Xj + . . .+ХЯ=«О; и У<=«,?,
где i= 1,2, . . ., п. Тогда из уравнений системы находим
а-);2 и, подставляя их в уравнение ^т+. . • +
+Хя=а0?, получаем

? =_________________-

а1 + а2 + ’ * * +ап “ па0

откуда легко находятся решения. При п=2 и «0=1,
а2=2, «2=3 получаем условие и решение задачи II. 24,
при п=3 и «0=1, «1=2, «2=3, «3=4 получаем условие
и решение задачи III.2. Несущественная модификация
предыдущих рассмотрений дает решение системы

(^1 + x2+...+V-x<=y?,

где i=l, 2, . . ., п, которое n=2 приводит к задаче при
II. 25 и при ?г=3 — к задаче III. 3.

Мы разобрали задачи — пары второй и третьей книг,
кроме того, укажем пары задач первой книги, условие
и решение которых допускает сведение к одной обобщен-
ной задаче. Таких пар в первой книге шесть: 1) 1.1, 1.20;
2)1.12, 1.13; 3) 1.16, 1.17; 4) 1.18, 1.19; 5) 1.22,1.23;
6) 1.24, 1.25.

Проделанный в статье разбор «Арифметики» Диофанта
Александрийского приводит к следующим выводам.

1.	Алгебра Диофанта характеризуется не только искус-
ными приемами, меняющимися от задачи к задаче, но
и общими методами, обучению которым служат группы
последовательно идущих в тексте задач.

2.	В некоторых группах задач мы впервые встречаем
взаимно обратные преобразования неизвестных, позво-
ляющие переходить от решения одной системы уравнений
к решению другой, т. е. в смысле алгебраической геометрии
мы имеем первые примеры нетривиальных бирегулярных
отображений.

3.	Решение парных задач идет по одной и той же схеме,
обобщаемой для системы от произвольного числа неиз-
вестных. Таким образом, «как это было принято в древ-
ности, методы не формулируются в общем виде, а повто-
ряются для решения однотипных задач» [7, стр. 10].

4.	Отмеченные нами параллели с вавилонской матема-
тикой позволяют судить о тех влияниях, которые испы-
тала греческая алгебра со стороны более древней мате-
матической цивилизации.

Автор выражает глубокую благодарность профессорам
И. Г. Башмаковой и А. П. Юшкевичу, прочитавшим ра-
боту и сделавшим ценные замечания.

ЛИТЕРАТУРА

1.	G. Н. F. Nesselmann. Die Algebra der Griechen. Berlin, 1842.

2.	T. L. Heath. Diophantus of Alexandria. A study in the history
of Greeck algebra. Cambridge, 1885.

3.	G. Loria. Le scienze esatte nell’antica Grecia. Milano, 1914, p. 845—
919.

4.	P. ver Eecke. Diophante d’Alexandrie. Paris, 1959.

5.	P. Tannery. Diophanti Alexandrini opera omnia cum Graecis com-
mentariis, 2 vols. Leipzig, 1893—1895.

6.	G. Wertheim. Die Arithmetik und die Schrift fiber die Polygonal-
zahlen des Diophantus von Alexandria. Leipzig, 1890.

7.	И. Г. Башмакова. Диофант и диофантовы уравнения. М., «Наука»,
1972.

БОРИС МИХАЙЛОВИЧ КОЯЛОВИЧ

И. Н. Михельсон

Известный математик и метролог Борис Михайлович
Коялович родился 2 мая 1867 г. в Петербурге в семье
профессора истории Михаила Осиповича Кояловича.
В 1885 г. он окончил с первой золотой медалью шестую
Петербургскую гимназию и осенью того же года поступил
на физико-математических факультет Петербургского уни-
верситета. Здесь уже на первом курсе он представил науч-
ную работу «Вычисление уклонения падающих тел от
отвесной линии (на экваторе)». Работа делится па две части:
решение приближенное и точное. Последнее получается
методом итераций, приводящим к бесконечному ряду.
Проведена оценка сходимости ряда и различий между
приближенным и точным решениями. Рукопись работы
сохранилась.

После окончания в 1889 г. университета Б. М. Кояло-
вич был оставлен при нем на два года для приготовления
к профессорскому званию (вместе с математиками В. А. Мар-
ковым, Г. Ф. Вороным и физиком А. Л. Гершуном).
Своим учителем Б. М. Коялович справедливо считал
А. Н. Коркина.

Весной 1891 г. Б. М. Коялович сдал магистерский экза-
мен, а в 1894 г. защитил магистерскую диссертацию [1]:
«Исследование о дифференциальном уравнении

ydy—ydx = R(x)dx».	(1)

Это уравнение привлекало к себе внимание со времен
Эйлера. Б. М. Коялович предложил новый метод, назван-
ный им методом частных решений. Он показал, что урав-
нение (1) может быть проинтегрировано, если мы знаем
четыре его решения. Исследование привело его к построе-
нию нового класса — уравнений типа (1), допускающих
интегрирование в квадратурах.

Борис Михайлович
КОЯЛОВПЧ

Эту свою работу М. Б. Коялович развил в 1939 г. [15].
Он показал, что если известно пять решений уравнения (1),
то проблема сводится к уравнению

с?3 da

_ е

d'l da \ а — 1 / ’

Р — 1 а — 1

общий интеграл которого есть

/с) = сГ(Ф, /<;) + //,

ГДР

г

F(z, к) = j (е' — l)dt,

ср = In р — In а, ф = In (р — 1) — In (а—1),
а с, к и Н — постоянные.

Осенью 1890 г. Б. М. Коялович получил от А. А. Мар-
кова открытку: «Во вторник 20-го ноября (на будущей
нед[еле]) будет первое собрание Мат. общ. под пред-
седатель [ством] Вас. Гр. Имш[енецкого]. Если желаете,
я могу ввести Вас в это общество]. Начало заседаний]
в 7 часов вечера, следователь [но], отправиться от меня
надо в 6х/4 или 6х/2 ч. Я буду ждать Вас до 6г/2 часов
Торговая 30, кв. 9. Ваш А. Марков». Так Коялович
вступил в только что образовавшееся С.-Петербургское
математическое общество. За семь лет, с 1892 по 1899 г.,
он сделал в Обществе 11 докладов, из которых многие были
связаны с его магистерской диссертацией [47—48]. В пер-
вом своем докладе «Об одном способе интегрирования
обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка»
(29 февраля ст. ст. 1892 г.) он предложил обобщение
метода множителей	Эйлера для	решения	уравнения	вида

I	У')-	(2)

Докладчик вводит вспомогательное уравнение

£ =	2),

для которого известны п частных решений ос,, о^, . . .,
«л. Если функция / (х, у, cct) (z—1, 2, . . .) удовлетворяет
условию

а,.)

(£ = 1,2, . . ., п)
и

п

2 ^f<o (#, а.)=о,

*=1

где тп*. — постоянные, то выражение

п

2	(х, У, а») = const

*=1

есть полный интеграл уравнения (2).

16 марта ст. ст. 1892 г. Б. М. Коялович рассказал
о приложении описанного метода к уравнению

к	h

у' 5 А/ — S Mjyj,

где и М. — любые функции от х, a h и к — целые
положительные функции.

21 апреля ст. ст. 1895 г. он выступил с сообщением:
«Несколько примечаний об интегрировании уравнения
ydy—ydx-Rdx». При этом он указал, что данная задача
рассматривалась Л. Эйлером [49], А. В. Летниковым [50],
а также отметил некоторые неточности в работе [51],
Н. Я. Сонина, рассматривавшего уравнение

— 1 I

dx ' У ’

19 октября ст. ст. 1895 г. Н. Я. Сонин выступил с отве-
том Б. М. Кояловичу, однако в Протоколах С.-Петербург-
ского математического общества содержание его выступ-
ления не приводится.

В 1893 г. Б. М. Коялович был приглашен в Петербург-
ский технологический институт преподавателем теории
вероятностей и репетитором по математике. В это время
он издает свой первый курс [25 ] литографским способом.
В 1900 г. он получил должность адъюнкт-профессора,
а в 1903 г. профессора. С 1896 г. Коялович читал на ка-
федре математики С.-Петербургского университета спе-
циальный курс теории дифференциальных уравнений
с частными производными.

В декабре 1901 г. на 11-м съезде русских естествоиспы-
тателей и врачей Б. М. Коялович сделал сообщения:
«Об одном обобщении формулы Грина» [2] и «К вопросу
об единственности некоторых решений линейных дифферен-
циальных уравнений» [3].

В 1903 г. он защищает докторскую диссертацию на тему:
«Об одном уравнении с частными производными четвер-
того порядка» [4], именно об уравнении

A A	I Q	I	Л	/О\

ДДи=^+2^^+^г==0	(3)

(которое встречается в теории равновесия упругих тел)
при заданных значениях:

1)	решения и на границе прямоугольного контура;

2)	градиента по нормали на контуре.

Рассматриваются решения, которые внутри контура
и на нем остаются конечными и непрерывными вместе со
своими производными первых трех порядков. Исследо-
ваны частные случаи:

1)	и—щ па контуре; grad и=0 на контуре;

2)	и=0 на контуре; grad и=а на контуре.

Решение применено к случаю конкретной задачи о рав-
новесии упругой прямоугольной пластинки, наглухо
заделанной по краям и с равномерно распределенной
нагрузкой. Дано приближенное численное решение для
случая, когда отношение сторон прямоугольной пластинки
составляет 1 : 2.

Эта задача представляет интерес для расчета водонепро-
ницаемых переборок в кораблях. Результаты диссертации
были использованы И. Г. Бубновым для судостроительных
расчетов [52]. В 1909 г. проф. Дж. Лауричелла писал
о работе следующее: «Прямоугольный контур, как и вся-
кий контур, имеющий углы, не поддается ни моей методе,
ни методе Фредгольма. Несколько лет тому назад Кояло-
вич дал прямой разбор этого случая, дав немаловажные
числовые приложения» [53].

С 1903 г. Б. М. Коялович был членом Ученого комитета
Министерства народного просвещения, участвовал в ра-
боте Международной комиссии по реформе преподавания
математики, возглавлявшейся Ф. Клейном.

В связи с работой в Ученом комитете Б. М. Коялович
опубликовал в Журнале Министерства народного про-
свещения за 1903—1916 гг. почти 70 обстоятельных

рецензий, главным образом на учебники для средней
школы. Некоторые отзывы его повлекли за собой поле-
мику, например, с И. В. Слешинским по поводу «Алгебры
логики» Л. Кутюра (см. Журнал Министерства народного
просвещения за январь, май, сентябрь 1910 г.).

Предметом нескольких работ Б. М. Кояловича явились
так называемые неопределенные дифференциальные урав-
нения, в которых число неизвестных функций больше
числа уравнений. В 1923 г. он сделал па эту тему три
сообщения в Ленинградском физико-математическом об-
ществе, членом которого он состоял [54], а затем опубли-
ковал три статьи [5, 6].

Целая серия докладов Б. М. Кояловича на Всерос-
сийском съезде математиков в Москве [1927 г.], па I
(Харьков, 1930) и II (Ленинград, 1934) Всесоюзных мате-
матических съездах, а также его печатных работ [7—14]
посвящена бесконечным системам линейных уравнений.
Метод ортогональных функций, введенный Эйлером, хорош
в теории, вычислительные же трудности его громадны.
Б. М. Кояловича интересовало не только и не столько
доказательство существования решения системы вида [9]:

*,= 2 о-^Ук+ъ,,,	у,— S 4”Ч+₽»	(4)

к=1	fc=l

CD

при 7V-> оо,	и	причем	(чт0

к 1

только и существенно для практических задач теории
упругости), сколько ее количественное решение и метод
оценки приближений при больших значениях N. Он
ввел особые выражения, названные им «лимитантами»,
которые позволяют, зная величины нескольких первых
неизвестных, определять границы для всех остальных
неизвестных. Б. М. Коялович показал, что всякая конечная
система вида (4) всегда имеет решение и притом единствен-
ное. При неограниченном возрастании числа уравнений
и неизвестных найденные решения будут стремиться
к некоторым предельным значениям — «главным реше-
ниям», которые все не превышают определенного постоян-
ного числа. Применение лпмитантов дает способ последо-
вательных приближений для определения приближенных
значений всех неизвестных сразу и притом по желанию —
приближения по избытку или по недостатку. Общая тео-

рия была применена к расчету равновесия прямоуголь-
ной мембраны под действием равномерно распределенной
нагрузки.

В связи с этими работами Б. М. Кояловича между ним
и Р. О. Кузьминым разгорелась полемика [10, 55—57],
которая повлекла за собой уточнение ряда понятий и пред-
ложений, а заодно побудила Б. М. Кояловича заняться
вопросом о различии между идеями потенциальной и
актуальной бесконечности. Эти вопросы Б. М. Коялович
обсудил в переписке с Н. II. Лузиным, письма которого
сохранились у автора данной статьи.

Б. М. Коялович был не только математиком. С 1925
по 1938 г. оп работал в Главной палате мер и весов. Здесь,
в ареометрической лаборатории, он продолжал работы
Д. И. Менделеева по изучению водпо-сппртовых смесей.

Известно, что растворение спирта в воде сопровожда-
ется сокращением объема растворяемых жидкостей, что
делает невозможным непосредственное определение кре-
пости в объемных процентах по данным объемов безвод-
ного спирта и воды, взятым для составления смеси. Со
всей обстоятельностью это явление было впервые изучено
Д. И. Менделеевым [58—60].

Ввиду сомнений, существовавших относительно точ-
ности алкоголометрпческих таблиц, применявшихся
в СССР в начале 20-х годов, и предстоявшего перехода
алкоголометрии на 100-градусную шкалу температур,
Главная палата мер и весов признала необходимым и свое-
временным подвергнуть тщательной научной критике все
имеющиеся па этот счет литературные данные и в 1924 г.
поручила провести эту работу специальной комиссии,
в которую вошли профессора М. С. Вревский, А. П. Гор-
бов, Б. М. Коялович, А. И. Степанов и ряд сотрудников
Главной палаты [61]. Комиссия, рассмотрев все известные
материалы (Д. И. Менделеева, Осборна, Крейтлинга
и др.), пришла к выводу, что за основу должны быть
взяты наиболее полные, однородные и достоверные ре-
зультаты, полученные Д. И. Менделеевым. На основе
этих результатов тогда же были опубликованы предвари-
тельные результаты [62], а позже составлены известные
таблицы 1927 г. [18—21].

Изучение экспериментальных данных Д. И. Менделеева,
Осборна и М. С. Вревского привело Б. М. Кояловича
к новой инерполяционной формуле [171. Интерполяцион-

ная формула Б. М. Кояловича, в отличие от общеприня-
того способа, выражает в параболическом виде не саму
ординату, а ее квадрат:

у2 А + Вх + Сх2 + Dx3 + Ex*.	(5)

Б. М. Коялович показывает что добавление в правую
часть члена вида Ру

г/2 = ylj + Ру + Вх-\- Сх2 + Dx3 + Ex* (6)
не усложняет вычислений, но сильно повышает точность.

Определение коэффициентов Аг, Р, В, С, D и Е велось
методом наименьших квадратов. Хотя, по замечанию
Б. М. Кояловича, минимум суммы квадратов уклонений у2
не гарантирует минимум суммы квадратов уклонений
самого у, тем не менее оказалось, что полученная формула
очень хорошо представляла результаты наблюдений.

На основании таблиц 1927 г. были рассчитаны стеклян-
ные и металлические спиртомеры и таблицы к их показа-
ниям в интервале температур от —25 до +30° С (позже
до +40° С), а также ряд вспомогательных таблиц и номо-
грамм. Таблицы, составленные комиссией, просущество-
вали до 1951 г., когда в связи с переводом на новую нор-
мальную температуру (+20° С) были составлены новые
таблицы [63].

В дальнейшем, после долгих и поначалу неудачных
попыток Б. М. Кояловичу удалось дать две простые
формулы для закона плотности водно-спиртового раствора
в зависимости от количества спирта в этом растворе [23].
Он разработал также метод, позволяющий переходить
от известных изотерм к неизвестным. Метод основан
на том, что если принять зависимость удельного веса D
от температуры t в виде формулы третьей степени (что
хорошо удовлетворяется), то отсюда вытекают тождествен-
ные соотношения между любыми пятью изотермами, так
что любая изотерма может быть выражена через четыре
других, и, если они известны, можно найти по ним все
остальные. Составленные таблицы показали прекрасное
согласие с опытами.

Результаты работы Б. М. Кояловича легли в основу
официальных таблиц 1927 г. плотностей водно-спиртовых
растворов, принятых Всесоюзным комитетом по стандар-
тизации при Совете труда и обороны. Коялович показал
также, что между 95 %-ной и 97 %-ной крепости спирта

имеет место аномалия в ходе плотности водно-спиртового
раствора [22].

Все работы Б. М. Кояловича отличаются оригиналь-
ностью подхода к рассматриваемому вопросу, строгостью
математического анализа и стремлением довести исследо-
вание «до числа». Это стремление, очевидно, связано как
с личными чертами характера ученого, так и с многолет-
ней работой его в технических вузах и в Главной палате
мер и весов.

Помимо охарактеризованных выше научных работ
Б. М. Коялович опубликовал многие курсы и учебники
по разным разделам высшей математики, сочетавшие
простоту и строгость изложения [25—46]. Его лекции
славились своей ясностью и интересом изложения и
всегда собирали большую аудиторию. В 1928 г. ему было
присвоено звание заслуженного работника науки, а в
1932 г. назначена персональная пенсия.

Начав свою педагогическую деятельность в 1893 г.
в Петербургском технологическом институте, Б. М. Коя-
лович состоял профессором Высших женских курсов
(с 1894 г. вплоть до слияния их с университетом), орди-
нарным профессором Женского педагогического инсти-
тута с его основания в 1912 г. до 1921 г.; с 1902 по 1923 г.
был преподавателем и членом Конференции Военно-
инженерной академии. Оп был также тесно связан с Ки-
евским, Пермским, и Ростовским университетами. В пос-
леднем в 1918—1920 гг. он читал ряд математических
курсов. С 1932 по 1938 г. он был профессором Педагоги-
ческого института им. Герцена. В 1930 г. Б. М. Коялович
в связи с преобразованием Технологического института
перешел в Машиностроительный (ныне Политехнический)
институт, где проработал до 1935 г. С 1935 г. и до своей
болезни в 1938 г. он был профессором Ленинградского
института инженеров коммунального строительства (ныне
ЛИСИ). В 1925 г. приказом по ВСНХ Борис Михайлович
был назначен старшим метрологом Главной палаты мер
и весов, где состоял председателем денситометрического
комитета. В Главной палате мер и весов он проработал
до 1938 г.

Б. М. Коялович был не только ученым, по и весьма
разносторонним и высококультурным человеком, очень
хорошо играл в шахматы. В различных шахматных
журналах России п СССР опубликовано свыше 30 шах-

матных партий, сыгранных им с 1891 по 1926 г. В 1902 г.
он принимает участие в турнире сильнейших игроков
Петербурга и занимает III место (I и II поделили между
собой М. И. Чигорин и Левин). Приходилось встречаться
ему за шахматной доской и с математиками (А. А. Марков),
и с ведущими шахматистами своего времени. Из опубли-
кованных партий, сыгранных им с М. И. Чигориным
(1902 и 1905 гг.), он проиграл обе [64, 65]. Но в 1912 г.,
играя черпымп, он выиграл у А. А. Алехина [66], а
в 1924 г. — у Э. Ласкера [67].

Б. М. Коялович был большим любителем и знатоком
музыки, литературы, поэзии, театра. Особенно хочется
отметить превосходное знание им семи иностранных
языков, включая древнегреческий и латынь. Скончался
Б. М. Коялович 29 декабря 1941 г. в осажденном Ленин-
граде.

ЛИТЕРАТУРА

Научные труды и учебные руководства
Б. М. Кояловича

1.	Исследование о дифференциальном уравнении ydy—ydx=Rdx.
СПб., 1894, стр. XII, 261.

2.	Об одном обобщении формулы Грина. Докл. 29.XII 1901 (ст. ст.)
на XI Съезде русских естествоиспытателей и врачей СПб., 1901;
Дневник XI Съезда, стр. 368, 437, 456 и 616—617.

3.	К вопросу об единственности некоторых решений линейных
дифференциальных уравнений. Докл. 29.XII 1901 (ст. ст.)
на XI Съезде русских естествоиспытателей и врачей. СПб., 1901;
Дневник XI Съезда, стр. 368, 437, 456 и 616—617.

4.	Об одном уравнении с частными производными четвертого по-
рядка. СПб., 1902, 127 стр.

5.	О неопределенных дифференциальных уравнениях (Докл. I). —
Журн. Ленинградск. физ.-матем. об-ва, 1926, 1, вып. 1, 66—76.

6.	О неопределенных дифференциальных уравнениях (главное ре-
шение). — Журн. физ.-матем. об-ва при Пермск. гос. ун-те,
1927, 4, 103-112.

7.	О некоторых системах линейных уравнений с бесчисленным
множеством неизвестных. — Труды Всерос. съезда математиков
в Москве 27 апреля—4 мая 1927 г. М.—Л., 1928, стр.205—206.

8.	Закон асимптотических выражений для бесконечных систем
линейных уравнений. Докл. 28.VI 1930 г. на I Всесоюзп. съезде
математиков. Опубл, как V глава работы «Исследование о бес-
конечных системах линейных уравнений» в Изв. Физ.-матем.
института им. В. А. Стеклова, т. III, стр. 153. См. Труды
I Всесоюзн. съезда математиков. Харьков, 1930. М.—Л., 1936,
стр. 23 и 372.

9.	Исследования о бесконечных системах линейных уравнений. —
Изв. Физ.-матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 1930, 3, 41—167,

10.	К теории бесконечных систем линейных уравнений (ответ пр°Ф.
Кузьмину). — Труды Физ.-матем. ин-та им. В. А. Стекл°ват
1932, 2, вып. 2, 1 — 16.

И. Об основных понятиях теории бесконечных систем линейных
уравнений. — Труды II Всесоюзн. матом, съезда. Л., 24—
3U июня 1934 г., т. 2, секционные доклады. М.—Л., 1936,
стр. 184—187.

12.	К теории лнмптантов. — Там же, стр. 187—190.

13.	Etudes sur les systemes lineaires infinis; Etude I. Ж урн. Пн-та
математики АП УССР, 1935, № 1, 49—74.

14.	Об основных понятиях теории бесконечных систем линейных
уравнений. — Уч. зап. Ленпнградск. пед. ин-та им. А. II. Гер-
цена, 1937, 5, 83-100.

15.	К вопросу об интегрировании дифференциального уравнения
ijdy—ydx= R(x)dx. — Сборник памяти акад. Граве. М., Гостех-
издат, 1940, стр. 79—87.

16.	О реформе русской алкоголометрии. — Поверочное дело. Журн.
практ. метрологии и информации о работе Главмервеса, 1927,
№ 3 (10), 8—12.

17.	Математическая обработка экспериментальных данных в таб-
лицах Главной палаты 1927 г. — Журн. прикл. химии, 1928,
1, вып. 4-5, 219—235.

18.	Удельпые веса растворов, отнесенные к воде при наибольшей
плотности (/)^4), расположенные но весовым процентам для
температуры выше 0° (таблица). — Там же, стр. 235—241.

19.	Удельные веса растворов, отнесенные к воде при наибольшей
плотности (0<ч) для температур выше 0° по объемным процен-
там при 4-15° С в единицах пятого знака (таблица). — Там же,
стр. 243—247.

20.	Удельпые веса водно-сипртовых растворов, отнесенные к воде
при наибольшей плотности (/^,4) для температур ниже 0°
по весовым процентам (таблица). — Там же, стр. 249—253.

21.	Удельные веса водно-спиртовых растворов, отнесенные в воде
при наибольшей плотности (/\-4) ниже 0°по объемным процен-
там при 15° С (таблица). — Там же, стр. 255—259.

22.	Об аномалиях, замеченных для крепких растворов спирта. —
Там же, стр. 460—262.

23.	О плотностях водно-спиртовых растворов. — Сообщ. ВИМС VIII
Генеральной конференции мер и весов. Л.—М., Изд. «Стандарт
и Рац», 1933, стр. 1—97; Всесоюзн. комитет по стандартизации,
вып. 119, стр. 5—67 (на франц, яз.), стр. 71—97 (на русск. яз.,
сокращенный текст).

24.	Table des densites des solutions aqueuses de 1’ethanol. — In: Tab-
les alcoolometriques Precedees de 1’une notice historique sur la
reforme de i’alcoolometrie dans 1’URSS, et d’un memoire sur
le choix des donnees experimentales pour servir de base a 1’alco-
olometrie (Presentees a la Vlll-enie Conference generale des
poids et mesures). Алкоголомстрическые таблицы (для VIII Ге-
неральной конференции мер и весов). ВНИИМС, № 128.
Изд. «Стандарт и рац.», 1933, стр. 41—54.

25.	Теория вероятностей. Лекции, читанные в СПб. технол. ин-те
в 1892/93 уч. году., вып. 1. (Основные понятия, теорема Бер-
нулли, способ наименьших квадратов). Литогр., 96 стр., без года

26.	Лекции по аналитической геометрии (в пространстве). Курс II.
СПб., Изд. Высш, женск. курсов, литогр., 1895, 165 стр.

27.	Лекции по математике (высшая алгебра), читанные на I курсе
Технологического института в 1900/01 г. Изд. I. СПб., литогр.,
1901, 408 стр.

28.	Аналитическая геометрия. Лекции, читанные на I курсе СПб.
технол. ин-та. СПб., литогр., 1901, 397 стр.

29.	Лекции по дифференциальному исчислению, читанные на I курсе
СПб. технол. ин-та. СПб. литогр., 1902, 406 стр.

30.	Аналитическая геометрия. Лекции, читанные на I курсе СПб.
технол. ин-та. Изд. II. СПб., литогр., 1903, 348 стр.

31.	Аналитическая геометрия. Лекции, читанные на I курсе СПб.
технол. ин-та. Изд. III. СПб., литогр., 1905, 348 стр.

32.	Аналитическая геометрия. Лекции, читанные на I курсе СПб.
технол. ин-та, Изд. IV. СПб., литогр., 1907, 347 стр.

33.	Теория дифференциальных уравнений (1907/08 уч. год.). Изд.
младшего класса [Николаевской инженерной] академии. СПб.,
литогр., 1908, 48 стр.

34.	Лекции по высшей математике, т. I. Дифференциальное исчисле-
ние с приложениями к анализу и к геометрии. Начало инте-
грального исчисления. Изд. СПб. технол. ин-та. СПб., 1909,
368 стр.

35.	Интегральное исчисление (по лекциям, читанным на механиче-
ском отделении Технологического института). СПб., литогр.,
1909, 168 стр.

36.	Конспект курса аналитической механики. СПб., литогр.,
1909, 48 стр.

37.	Аналитическая геометрия. Пг., изд. Об-ва взаимопомощи
студентам Нг. технол. ин-та, литогр., 1915, 288 стр.

38.	Аналитическая геометрия. Пг., изд. «Akademia», 1922, 204 стр.

39.	Лекции по высшей математике, т. I, вып. 1 (дифференциальное
исчисление с приложением к анализу). Изд. II. М.—Пг., Гос-
издат, 1923, 244 стр.

40.	Лекции по высшей математике, т. I, вып. 2 (начала интеграль-
ного исчисления). М.—Пг., Госиздат, 1923, 185 стр.

41.	Лекции по высшей математике, т. II, вып. 1 (основания высшей
алгебры, интегрирование функций, определенные интегралы,
основные сведения из теории дифференциальных уравнений,
дополнения). М.—Пг., Госиздат, 1923, 156 стр.

42.	Аналитическая геометрия. Изд. II., пспр. и доп. М.—Пг.,
Госиздат, 1923, 198 стр. (Из серии «Нормальные руководства
для высшей школы»).

43.	Лекции по высшей математике, т. II, вып. 2. Л., Госиздат,
1924, 308 стр.

44.	Систематический сборник задач и упражнений по высшей ма-
тематике. Сост. группою проф. и препод. Ленинградск. высш,
техн, учебн. завед. под общ. ред. и с предисл. проф. Б. М. Коя-
ловича, вып. 1. Аналитическая геометрия. Л., Госиздат,
1924, 172 стр.

45.	То же, вып. 2. Дифференциальное исчисление с приложениями
к анализу. Л., Госиздат, 1924, 148 стр.

46.	То же, вып. 3. Интегрирование функций. Л., Госиздат, 1924,
124 стр.

Вспомогательная литература

47.	Доклады в С.-Петербургском математическом обществе. Про-
токолы С.-Петербургского математического общества 1890—
1899. СПб., 1899 (даты по ст. ст.).

48.	И. Я. Депман. С.-Петербургское математическое общество. —
Сб.: Псторико-математические исследования, вып. XIII. М.,
Физматгиз, I960, стр. 15, 17, 45—47, 86, 87, 90. (На стр. 86
имеется портрет Б. М. Кояловича.)

49.	L. Euler. Novi Commentarii Academiae scientiarum Imperialis
Petropolitanae, t. XVII, 1772, p. 105—124.

50.	А. В. Летников. Ueber die Bedingungen der Integralitat eini-
ger Differentialgleichungen. Dresden, 1867, S. 18.

51.	II. Я. Сонин. О дифференциальном уравнении. — Пзв. Имп.
акад, наук, 1895, 2, № 2, 93—128.

52.	И. Г. Бубнов. Напряжения в обшивке судов от давления воды. —
Морской со., 1902, Л° 10, 137.

53.	G. Lauricella. Sur 1’integration de 1’equation relative a I’equilibre
des plaques elastiques encastrees. — Acta math., 1909, 32, 201.

54.	Список докладов, прочитанных в заседаниях Ленинградского
физико-математического общества с 1922 по 1927 г. — Журн.
Ленинградск. физ.-матем. об-ва, 1927, 1, вып. 2, стр. II.

55.	Р. О. Кузьмин. К теории бесконечных систем линейных уравне-
ний. — Труды Физ.-матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 1931, 1,
вып. 2, 1—16.

56.	Р. О. Кузьмин. Об одном классе бесконечных систем линейных
уравнений. — Труды II Всесоюзн. матем. съезда. Л., 24—
30 июня 1934 г., т. 2, секц. докл. М.—Л., 1936, стр. 190—191.

57.	Р. О. Кузьмин. Об одном классе бесконечных систем линейных
уравнений. — Изв. АН СССР, VII серия. Отд. матем. и естест.
наук, 1934, № 4, 515—546.

58.	Д. И. Менделеев. Растворы спирта С2ПвО, IV глава монографии
«Исследование водных растворов по удельному весу, 1887». —
Избранные сочинения п/р А. II. Баха и др., т. III. Л., 1934,
стр. 220—275.

59.	Д. И. Менделеев. О соединении спирта с водою. (Рассуждение
о соединении спирта с водою, представленное в физико-мате-
матический факультет С.-Петербургского университета Д. Мен-
делеевым для получения степени доктора химии, СПб., 1865). —
Сочинения п/р акад. В. Е. Тищенко, т. IV. Л., 1937, стр. 1 — 152.

60.	Д. И. Менделеев. Соединения этилового спирта с водой. — Сочи-
нения п/р акад. В. Е. Тищенко, т. IV. Л., 1937, стр. 414—417.

61.	А. И. Горбов. От редакции. — Журн. прикл. химии, 1928, 1,
№ 3, 159.

62.	Таблицы удельных весов водпых растворов спирта. — Главная
палата мер и весов, № 43. М.—Л., 1925.

63.	М. Ф. Романов, М. Д. Иппиц. Состояние и перспективы разви-
тия эталонных работ в областях измерения длины массы и вре-
мени. — Труды ВНПИМ, 1958, 33 (93), 14—38.

64.	Шахматный журнал 1902, 12, № 7-8, 171.

65.	И. Романов. Творческое наследие М. II. Чигорина. М., «Физ-
культура и спорт», 1960, стр. 265—266.

66.	Шахматный листок, 1923, стр. 67.

67.	Шахматный листок, 1924, стр. 32.

ОБ ИЗБРАНИИ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
ЧЛЕНОМ-КОРРЕСПОНДЕНТОМ
ГЕТТИНГЕНСКОГО НАУЧНОГО ОБЩЕСТВА

К. Р. Бирман

То, что Н. И. Лобачевский был рекомендован в члены
Геттингенского научного общества К. Ф. Гауссом, нам
известно из многих источников. Этот факт упомянул сам
Гаусс в письме К. Л. Герлиыгу 8.11 1844 г. [1 ]; основное
положение представления Гаусса Ф. Клейн после про-
смотра архивных материалов сообщил П. Штеккелю,
из публикации которого [2] оно с неточным указанием
библиографических данных перешло к Ф. Энгелю [3],
а от последнего — к Л. Б. Модзалевскому [4].

Благодаря любезности архива Академии наук в Гет-
тингене я могу сообщить теперь полный текст представ-
ления (см. вклейку).

Гаусс, с известной его добросовестностью, оставил
открытым вопрос об имени Лобачевского и попытался
его выяснить. Это ему удалось, как видно из следующего
письма секретарю Геттингенского общества И. Ф. Л. Хаус-
ману (также из архива Геттингенской академии наук):

Кроме того, уважаемый друг, я должен дополнительно
уведомить Вас, что имя нашего казанского корреспон-
дента действительно Николай, хотя, по всей вероятности,
диплом Вы уже отослали, и это дополнение опоздало.
Небольшое сочинение, в котором имеется полное имя
и которое ранее я напрасно искал, вновь попало мне
в руки только сегодня. 18 декабря 1842

В(есь) Т(вой)'

Гаусс

Из писем Гаусса К. Л. Герлингу от 4. и 8.II 1844 г.
вытекает, что Гаусс в то время располагал несколькими
публикациями Лобачевского [7]; однако первоначально
он смог изучить их основательно лишь отчасти и отложил
точное прочтение до тех пор, пока не окажется больше
досуга и он не начнет свободнее читать русскую литера-
туру [8]. Его положительное суждение о Лобачевском



'*4fy)^'f/J^2">	f^ahchctfskt

д~, /&-.\r^f J£&j.}<££££г

Л, 2 5	4v / А’4-2.





z—^^.-2

Королевскому обществу

озволю себе предложить в корреспонденты нашего общества
русского имперского статского советника
Н. Лобачевского /5/
профессора в Казани
одного из самых выдающихся математиков русского госу-
дарства

еттинген 23 ноября 1842

с преданностью Гаусс.

о сих пор я нигде не смог найти иного обозначения имени, как
шциалом И. (видимо, Николай). Г.

Согласны с удовольствием —

Хаусман,
Лангенбек,
Конради,
Бенеке,
Маркс,
Вебер,
Вёлер,
фон Зибольд,
Г. Риттер,
Гёк,
Бертольд /6/

должно было поэтому основываться прежде всего на
«Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallel-
Linien» (Berlin, 1840) п na «Geometric imaginaire» (J. reine
und angewandte Mathematik, «Crelles Journal», 1837, 17,
295 ff.). В письме Герлингу от 8.II 1844 г. [9] он дает
высокую оценку первой из названных выше работ; из нее
он узнал и полное имя. В отношении трудов Лобачевского
на русском языке заслуживает внимания, что один
из них Гаусс получил от Э. Кнорра (Е. Knorr [10]); это
тот самый Кнорр, через которого Лобачевский представил
Берлинской академии только что указанные «Геометри-
ческие исследования» [И].

Письмо, в котором Лобачевский поблагодарил Гаусса
за избрание корреспондентом Геттингенского общества,
с небольшими сокращениями [12] опубликовано Ф. Эн-
гелем [13] и Л. Б. Модзалевским [14].

Несомненно, что Лобачевскому доставило глубокое
удовольствие признание его Гауссом, слава которого
дошла до него и его университетского товарища И. М. Си-
монова еще за тридцать лет до этого через М. Ф. Бар-
тельса [15].

Примечания

1.	Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauss und Christian
Ludwig Gerling, Hrsg. v. Clemens Schaefer. Berlin, 1927, S. 668.
Важные дополнения к этой переписке содержатся в Christian Ludwig
Gerling an Carl Friedrich Gauss. Sechzig bisher unveroffentlichte
Briefe. Hrsg. v. Theo Gerardy, Gottingen, 1964. — Извлечения
из этой переписки помещены: Carl Friedrich Gauss, Werke, Bd. 8.
Gottingen, 1900.

2.	Paul Stackel. Ein Brief von Gauss an Gerling. — In: Nach-
richten von der Konigl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen.
Math.-phys. Klasse, aus dem Jahre 1896. Gottingen, 1896, S. 40—43.

Речь идет о письме Гаусса Герлингу от 8.II 1844 г., которое
находилось в частном владении, а потому в упомянутом в приме-
чании [1] издании Клеменса Шефера могло быть напечатано
только по копии. Позднее это письмо поступило на рынок автогра-
фов. При этом факсимиле последней страницы было помещено
в каталоге: Die Welt der Sterne und Zahlen. Originalbriefe von Astro-
nomen und Mathematikern. Autographen-Katalog 75 der Firma Hell-
mut Meyer u. Ernst. Berlin, 1940, S. 15.

3.	N. I. Lobatschefskij. Zwei geometrische Abhandlungen. Aus
dem Russischen iibersetzt, mit Anmerkungen und mit einer Biographie
des Verfassers v. Friedrich Engel. T. 2. Leipzig, 1899, S. 436—437.

4.	Материалы для биографии H. И. Лобачевского. Собрал
и отредактировал Л. Б. Модзалевский. М.—Л., 1948, стр. 451.

5.	Буква f зачеркнута и заменена на w. Кроме того, еще
раз повторено разборчивым почерком: Lobatschewski.

6.	Подписи принадлежат следующим ученым:

Хаусман, Иоганн Фридрих Людвиг (1782—1859), минеролог.
Постоянный секретарь Геттингенского общества с 1840 по 1859 г.

Лангенбек, Конрад Иоганн Мартин (1776—1851), анатом.

Конради, Иоганн Вильгельм Генрих (1780—1861), медик.

Бенеке, Георг Фридрих (1762—1844), специалист по английскому
и немецкому языкам.

Маркс, Карл Фридрих Генрих (1796—1877), медик.

Вебер, Вильгельм Эдуард (1804—1891), физик, друг Гаусса.

Вёлер, Фридрих (1800—1882), химик.

фон Зибольд, Эдуард (1801—1861), гинеколог.

Риттер, Август Генрих (1791—1869), философ.

Гёк, Карл Фридрих Кристиан (1793—1877), историк.

Бертольд, Арнольд Адольф (1803—1861), зоолог и физиолог.

7.	См. прим. 1 и 2.

8.	Ср. Kurt R. Biermann. Einige Episoden aus den russischen
Sprachstudien des Mathematikers C. F. Gauss. — In: Forschungen
und Fortschritte, Bd. 38, 1964, S. 44—46.

9.	См. прим. 1.

10.	He «Кпогге», как писал Ф. Энгель (см. прим. 3, стр. 398)
на основании одного письма Гаусса И. Ф. Энке. Но Энгель уже
предполагал, что Гаусс написал К. Ф. Кнорре (1801—1883) вместо
Э. Кнорр (1805—1879) только по недосмотру (см. прим. 3, стр. 400,
437—438) и что пересланное через Кнорра сочинение на русском
языке представляло собой оттиск «Применения воображаемой
геометрии к некоторым интегралам», 1836 (там же, стр. 437).
Об остальных работах Лобачевского на русском языке, имевшихся
у Гаусса, см. также прим. 3, стр. 434—435.

И. Ср. К. Р. Бирман. Неопубликованное письмо Н. И. Лоба-
чевского Берлинской академии наук. — В сб.: Историко-математи-
ческие исследования, вып. XIV. М., «Наука», 1961, стр. 623—
625. Биографические данные о Кнорре см. там же, стр. 625, прим. 4,
а также прим. 3, стр. 438—439. Энгель полагал, что один из двух
имевшихся у Гаусса экземпляров «Geometrischen Untersuchungen»
Лобачевского Гаусс купил, а другой был послан ему Отто Струве
(1819—1905). Однако возможно, что первый из названных экзем-
пляров был передан Гауссу Кнорром вместе с оттиском, упомяну-
тым в прим. 10.

12.	Отсутствует обращение (на немецком языке).

Высокородный

высокочтимый господин надворный советник
а также дата и титулы Лобачевского:
Казань 7 июня 1843 г.

Имп. русск. действ, статский советник,
професс, и ректор Казанского универ-
ситета, член-корреспондент Королев-
ского научного общества в Геттингене.

13.	См. прим. 3, стр. 437.

14.	См. прим. 4, стр. 450—451.

15.	См. прим. 8, стр. 46 (по: И. М. Симонов. Записки и воспо-
минания о путешествии по Англии, Франции, Бельгии и Германии
в 1842 году, Казань, 1844, стр. 315). Ср. далее Н. И. Идельсон.

Лобачевский — астроном. — В сб.: Историко-математические иссле-
дования, вып. II. М.—Л., 1949, стр. 137—167, особенно стр. 140—
141. Хотя и установлено, что Бартельс, при всем его восхищении
Гауссом, не мог говорить Лобачевскому и Симонову о восходящих
к 1794 г. занятиях Гаусса неевклидовой геометрией (ср. И. Я. Деп-
ман. М. Н. Бартельс — учитель II. И. Лобачевского. — Там же,
вып. III. М., 1950, стр. 475—485), тем не менее эта давно опроверг-
нутая гипотеза недавно была высказана вновь; см. Л. Vucinich.
Nikolai Ivanovich Lobachevskii: The Man behind the First Non-
Euclidean Geometry. Isis, 1962, Bd. 53, p. 465—481, особенно p. 471.

22 Заказ Ks 112

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ

Абель Н. (N. Н. Abel) 36, 56/
83, 169, 175, 178, 179, 195,
238

де Абреу Ж. М. (J. М. d’Abreu)
159, 160, 164

Адамар Ж. (J. Hadamard) 18,
20, 21, 24, 27, 55, 57,
59-64, 66-70, 77, 91, 95,
184, 201

Аделгард из Бата (Adelhart of
Bath) 254, 255, 262

Акилов Г. П. 71, 91

Александров П. С. 66, 68, 247

Алексей II (Император Визан-
тии) 258

Алехин А, А. 318

Али ал-Кушчи 258

Амальди У. (U. Amaldi) 56,
77, 91

Ампер А. М. (А. М. Ampere)
192, 193, 196, 199, 202, 227

Андреева М. А. 261

Анфемий 252

Аполлоний 137, 250, 252, 254,
257, 260, 263

Арбогаст Л. (L. F. A. Arbogast)
56, 139, 151

Арефа 251, 252

Аристипп (епископ спцилпан-

F ский) 255, 256

Аристотель 109, 111, 246, 254,
255

Аронгольд Г. (S. Н. Aronhold)

• 234

Артоболевский И. И. 300

Архимед 10, 60, 62, 104, 105,
130, 167, 250, 252, 254, 255,
259, 260, 263

Архит Тарентский 254

Арцела (С. Arzela) 67, 69, 95

Аурпспа (Aurispa) 260

Байе (I. Baillet) 262

Байи (J. S. Bailly) 141

Балагангадхаран К. (К. Bala-
gangadharan) 131

Банах С. (S. Banach) 66, 67,
91, 93, 95, 98, 99, 103

Бар Хпйя Абраам (Savasorda)
254

Бари Н. К. 39, 51

Бартельс М. Ф. (М. Bartels) 323,
325

Бархударов С. Г. 267

Баттальини Дж. (G. Battaglini)
91, 224

Бах А. Н. 321

Бахмутская Э. Я. 131

Баше де Мезириак (С. G. Bachet
de Meziriac) 260

Башмакова И. Г. 301, 309

Беббидж Ч. (Ch. Babbage) 57,
296

де Бегелен (N. de Beguelin) 142

Безикович А. С. (A. Besico-
vitch) 51

Безингсток Дж. (J. Basyngstoke)
256

Белидор Б. (В. F. Belidor) 158

Белл Э. Т. (Е. Т. Bell) 157

Белый Ю. А. 280, 288

Бельтрами Э. (Е. Beltrami) 56,
229, 234, 236, 238, 242-244,
247

Бенеке Г. Ф. (G. F. Benecke)
324

Беркли Дж. (G. Berkeley) 135—
137, 139, 146

Бернкопф М. (М. Bernkopf) 87,
92, 94, 97, 100, 103

Бернулли Даниил I (Daniel I

Bernoulli) 32, 186, 194

Бернулли Иоганн I (Johann I

Bernoulli) 60, 151, 173

Бернулли Иоганн III (Johann III

Bernoulli) 142

Бернулли Николаи I (Nico-
laus I Bernoulli) 163

Бурнуллп Яков I (Jacob I Ber-
noulli) 111, 112, 130, 173, 319

Бернштейн Ф. (F. Bernstein) 67,
83

Берроуз В. (W. Burroughs) 297

Бертольд A. A. (A. A. Berthold)
324

Бетти Э. (E. Betti) 71

Бианки JI. (L. Bianchi) 197—199,
202

Биркгоф Дж. Д. (G. D. Birk-
hoff) 67

Бирман К. P. (К. R. Biermann)

134, 322, 324

Блимецридер Ф. (F. Bliemetz-
rieder) 262

Боас P. II. (R. P. Boas) 51

Бобынин В. В. 264, 265, 267

Боголюбов А. Н. 289

Бойер К. (С. В. Boyer) 130,
135, 157

Боккаччио Дж. (G. Boccaccio)
259

Болдуип (Baldwin) 297

Болле Л. (L. Bolle) 297

Боль И. Г. (Р. Bohl; 42, 51, 67

Больцано Б. (В. Bolzano) 10,

132, 156, 165, 174, 175, 195

Бооль В. Г. 295, 300

Бор Г. (Н. Bohr) 43, 44, 49-51

Борель Э. (Е. Borel) 27, 73,
90, 91

Бохнер С. (S. Bochner) 40, 43,
51

Боэций А. М. С. (А. М. S. Boet-
hius) 252, 259

Боян Я. (J. Bolyai) 228, 229

Браве О. (A. Bravais) 238

Брага Т. (Т. Braga) 158—160

Браконье Ж. (J. Braconnier) 49
51

Брауэр Л. Э. (L. Е. J. Brower)
66

Бриенн М. (Manuel Bryennios)
257

Брюс Р. (R. Е. Bruce) 262

Бубнов И. Г. 313, 321

Бугсввилль Л. (L. A. de Bou-
gainville) 172

Будаев Н. С. 289, 290

Булигап (G. Bouligand) 217

Буль Дж. (G. Boole) 56, 193

Бур Э. (Е. Bour) 193

Бурбаки Н. (N. Bourbaki) 10,
54

Бургундио Пизанский 256

Буркхард Г. (Н. Burkhardt) 51

Бурле (С. Bourlet) 56, 60, 61

Бусард Г. (И. Busard) 111, 130

Бэклунд А. Ф. (A. F. Backlund)
200

Бэкон Р. (R. Bacon) 257

Бэр Р. (R. Baire) 66, 90, 93

Вайс (G. Weiss) 54

Валентин Г. (G. Valentin) 112,
130

Валл Реоргий 252, 260

Валле-Пуссен Ш. Ж. (Ch. J.

de la Vallee Poussin) 210, 217

Валлис Дж. (J. Wallis) 62, 287

Ван Камней (E. van Kampen)
49, 54

Вандермонд A. T. (A. T. Van-
dermonde) 238

Варлаам из Калибрни 259

Варопулос (N. Varopoulos) 54

Васильев А. В. 247, 248

Вебер В. Э. (W. Е. Weber) 240,
321

Вебер Г. (Н. Weber) 48, 49, 54

Вебер Э. (Е. von Weber) 200,
202

Ведамурти Айар Т. В. (Т. V. Ve-
damurthi Aiyar) 119, 124, 131

Везе Кейрнс В. (W. di Wese
Cairns) 59

Вейерштрасс К. (К. Th. Weier-
strass) 10, 15, 33, 46, 72, 73,
91, 176-180, 183, 195, 203,
224, 226

Вейль A. (A. Weil) 39, 45, 49,
50, 54

Вейль Г. (Н. Weyl) 48, 49, 54,
223, 240, 241

Венкатараман (Venkataraman)
119

Венкер A. (A. Wenker) 237

Вернет X. (J. Vernet) 158

Вертгейм Г. (G. Wertheim) 309

Веселовский И. Н. 130, 301

Вессио (Vessiot) 67

Вёлер Ф. (F. Woleur) 324

Виванти Дж. (G. Vivanti) 133

Виддер Д. (D. Widder) 52, 54

Виет Ф. (F. Viete) НО

Впзгин В. П. 218, 248

Вплейтнер Г. (Н. Wileitner) 112,
130, 157, 201

Виленкин Н. Я. 52, 70, 91

Виллем из Мербеке (Willem
von Moerbeke) 259

Вильф Г. (Н. Wilf) 54

Винер Н. (N. Wiener) 26, 30,
40, 41, 43, 50, 53, 54, 66,
217

Виноградов II. М. 45

Виссарион (кардинал) 260

Вольтер Ф. М. A. (F. М. A. Vol-
taire) 159

Вольтерра В. (V. Volterra) 13—
19, 24, 25, 47, 51, 54-56,
59-64, 66-71, 76, 88, 89,
91 95

Вороной Г. Ф. 310

Востоков А. X. 266

Вревский М. С. 315

Вронский — см. Гёне-Вронский

Вудхауз (Woodhouse) 135, 172

Вулих Б. 3. 71, 91

Вуссинг Г. (Н. Wussing) 247

Вучинич A. (A. Vucinich) 325
Выгодский М. Я. 163, 172, 201,
202

Галилей Г. (G. Galilei) 222, 245,
246

Галлей 3. (Е. Halley) 160, 162,
260

Галуа Э. (Е. Galois) 225, 234,
238

Гамильтон У. Р. (W. R. Ha-
milton) 24, 67, 69

Ган Г. (Н. Hahn) 68, 99, 103

Гарнак A. (A. Harnack) 205

Гарсиа A. (A. Garsia) 52

Гаскинс (С. Н. Haskins) 262

Гато Р. (R. Gateaux) 16, 26—
29, 66

Гаусс К. Ф. (С. F. Gauss) 10,
69, 132, 156, 175, 194, 195,
201, 203, 229, 234, 238, 241,
242, 247, 288, 322—325

Гауфф И. К. Ф. (J. К. F. Hauff)
133

Гейзенберг A. (A. Heisenberg)
262

Гейне Э. (Н. Е. Heine) 73, 176
Гельмгольц Г. (Н. Helmholtz)
229, 234, 236, 238, 243, 244,
247, 248

Гельфанд И. М. 50, 52

Гемин 254

Гендрихсон Н. Н. 249

Георгий Трапезундский 260

Герарди Т. (Т. Gerardy) 323

Герардо Кремонский (Gherardo
da Cremona) 254

Герглотц (G. Herglotz) 40, 52
Герлинг К. Л. (Ch. L. Gerling)
242, 322. 323

Герман из Каринтии (Hermann)
254

Герои 250, 259, 263

Гертруда Зульцбахская (визан-
тийская императрица) 254

Герхард (С. J. Gerhardt) 262

Герц Г. (Н. Hertz) 69

Гершель Дж. (W. J. Herschel)
57

Герштпнгер Г. (Н. Gerstinger)
262

Гершун А. Л. 310

Гетнер Г. (G. Hettner) 179, 180

Гешауф Т. (Т. Geschauff) 260

Гёк К. Ф. К. (К. F. Ch. Hoeck)
324

Гёне-Вронский IO. (J. Ноёпе
Wronski) 84

Гиллиспи Ч. (Ch. С. Gillispie)
133, 134, 157

Гильберт Д. (D. Hilbert) 42,
50, 55, 57—59, 62-64, 67,
69, 70, 74, 75, 92, 95, 97,
98, 219, 247, 287

Гильдебрант Т. (Т. Н. Hilde-
brandt) 67, 91

Гпльом I (король обеих Си-
цилий) 254, 255

Гипсикл 254

Гнеденко Б. В. 264

Гольдберг Р. (R. Goldberg) 52

Гончаров В. Л. 247

Гонсальвес Ж. В. (J. V. Gon-
calves) 157, 165, 166, 175

Горбов А. П. 315, 321

Гордан П. (Р. Gordan) 225

Горин Е. А. 70, 91

Гофман И. Э. (J. Е. Hofmann)
124, 130, 131, 133, 157, 262

Граве Д. А. 319

Греви (A. Grevy) 57, 84

Грегори Д. (J. Gregory) 120,
123, 125—127, 130

Грегори Д. Ф. (D. F. Gregory) 56
Грин Дж. (G. Green) 20, 21,
• 194, 203, 204, 206, 313, 318
Гринеус С. (S. Grynaeus) 260
Гроссетест Р. (R. Grosseteste)
254, 257

Грюзон Ф. (J. Ph. Griison) 56

Гуковская В. А. 202

Гульч Ф. (F. Hultsch) 260

Гунгер (Н. Hunger) 262, 263

Гурвиц A. (A. Hurwitz) 48, 52,
179, 180

Гурса Э. (Е. Goursat) 196, 200,
202

Гутенберг И. (J. Guttenberg) 260

Давидов A. IO. 200

Даламбер Ж. (Jean le Rond
d’Alembert) 10, 138—140, 142,
143, 150, 171, 173, 186, 188,
194

Данжуа A. (A. Denjoy) 31, 35,
51

Даниель П. (P. J. Daniell) 26,
36, 47, 51

Данфорд H. (N. Dunford) 89, 93

Дарбу Г. (G. Darboux) 196,
197, 200, 202, 227, 228

Дедекинд P. (1. W. R. Dedekind)
176, 195

Дезарг Ж. (G. Desargues) 261

Декарт P. (R. Descartes) 60,
69, 201, 261

Дельсарт Ж. (J. Delsarte) 44,
45, 51, 67

Демидов С. C. 181

Депман И. Я. 321, 325

Дёч Г. (G. Doetsch) 51, 67, 83,
92

Джорджи Дж. (G. Giorgi) 67

Дини У. (U. Dini) 71

Диофант 10, 250, 252, 257, 260,
263, 301-309

Дирак И. (Р. A. М. Dirac) 44
Дирихле Лежен П. (Р. G. Le-
jeune Dirichlet) 20. 22, 29,
30, 33—35, 42, 45, 46, 48, 51,
60, 61, 67, 68, 182, 183, 194,
201, 203, 204, 206, 207, 209,
210, 215—217

Доногю (W. F. Donoghue) 51
Дуглис A. (A. Douglis) 199
Дуллерт II. (J. Dullaert) 111
Дьёдоне Ж. A. (J. A. Dieu-
donne) 10, 31

Дюбуа Реймоп П. (Р. Du Bois
Reymond) 34, 52, 197, 199—
202

Дюгак II. (Р. Dugac) 176, 180
Дюгэм П. (Р. Duhem) 112, 130,
201

Дюлак (J. Dulacq) 158

Евгении (XII век, «эмир») 255
Евгений (митрополит) 264—267
Евдокс 60, 62. 167

Евклид 130, 250—252, 254—257,
259, 260, 262, 263, 288

Евтокий 259

Егоров Д. Ф. 194, 199, 200,
202

Елисей 250

Жакель Р. (R. Jaquel) 159

Жозе I (король Португалии) 158

Жордан К. (С. Jordan) 33, 52,
226, 228, 234, 236, 238-240,
243, 244, 247

Жюлиа Ж. (G. Julia) 30

Заремба С. (S. Zaremba) 211

Зибольд 3. (Е. von Siebold) 324

Зигмунд A. (A. Zygmund) 47,
54

Зоммерфельд A. (A. Sommer-
feld) 202, 236

Зубов В. П. 130, 264, 265, 267,
268, 272, 273

Пбервег (L'berwcg) 243

Ибрахим ибн Синап ибн Сабит
ибн Корра 254

Иваненко Д. Д. 248

Иванов В. В. 277, 278

Идельсон II. II. 324

Иессен Б. (В. Jessen) 26

Имшенецкий В. Г. 193, 202, 311

Иоанн (экзарх болгарский) 266,

269

Иппиц М. Д. 321

Исаак Аргир 258

Исаак бен Хунайн 254

Каан (J. Р. Kahane) 34, 44, 52

Кавальери Б. (В. Cavalieri) 60,
261

Каган В. Ф. 248

Кади-заде ар-Руми 258

Казоратп Ф. (F. Casorati) 56,
72, 84

Кайе (G. R. Кауе) 67

Калайдович К. Ф. 266, 269

Кант И. (I. Kant) 243

Кантор Г. (G. Cantor) 31, 39,

51 65 73 195

Кантор М. (М. Cantor) 133, 157,

176, 261

Канторович Л. В. 71, 91

Капелла Марцыан (Martianus

Cappella) 252

Карвалло (Е. Carvallo) 56

Карл Великий (император Фран-
ков) 250

Карлесон Л. (L. Carleson) 34,
51

Кармайкл Р. (R. Carmichael) 56

Карпо И. (Н. Carnot) 144

Карно Л. (L. Carnot) 10, 132—

135, 142, 144—156, 173

Картав Э. (Е. Cartan) 48, 219,

222, 223, 247

Картье П. (Р. Cartier) 51

Кассиодор Ф. (F. М. A. Cassio-
dorus) 252

Кастильон Дж. (G. F. Castil-
lion) 142

Катцнельсон (Y. Katznelson) 34,
41, 52, 53

Качмаж С. (S. Kaczmarz) 52

ал-Каши Джемшпд 258

Келдыш М. В. 217

Келлог О. Д. (О. D. Kellog) 67

Кеплер И. (J. Kepler) 261

Кёпиг Г. (G. Koenigs) 57

Кирик Новгородец 10, 264—267,
269—279

Кирилл Константин 251

Кирстеп Криста (Christa Kir-
sten) 134

Киселев А. А. 92

Клагет М. (М. Clagett) 130

Клебш Р. Ф. A. (R. F. A. Clebsch)
224, 225, 228, 229, 231, 234,
235

Клейн Ф. (F. Klein) 10, 134,
218—242, 244, 247, 248, 313,
322

Клеро А. К. (А. С. Clairaut)
32 193

Knopp Э. (Е. Knorr) 323, 324

Кнорре К. Ф. (К. F. Кпогге)
325

Ковалевская С. В. 196

Ковалевский Г. (G. Kowalewski)
67

Колмогоров А. Н. 26, 38, 53,
61, 70, 153

Кольман Э. Я. 247

Кондорсе М. Ж. А. (М. J. A. N.

К. de Condorcet) 139

Коноплева Н. П. 248

Копради И. В. Г. (J. W. Н. Con-
radi) 324

Константин VI (император Ви-
зантии) 250

Коншина Т. И. 265, 267, 268

Кориолис Г. (G. G. Coriolis) 290

Коркин А. Н. 310

Коссак Е. (Е. Kossak) 179, 180

Коста ибн Лука ал-Балабакки
254

Костюченко А. Г. 70, 91

Кох Г. (Н. von Koch) 59

Коши О. (A. Cauchy) 10, 18,
19, 23, 40, 45. 57, 60, 62, 132,
154, 156, 163, 165, 174, 175,
177, 183, 184, 191, 195—197,
201, 227, 238

Коялович Б. М. 10, 310—318,
320, 321

Коялович М. О. 310

Крейтлинг 315

Крейн С. Г. 70, 71, 91

Кронекер Л. (L. Kronecker) 72,
238

Крумбахер К. (К. Krumbacher)
261

Кузьмин Р. О. 315, 321

Кулидж Дж. (J. L. Coolidge)
248

Куммер Э. (Е. Е. Kummer) 72,
238, 296

да Кунья Ж. A. (J. A. da Cunha)
10, 157—160, 164-175

да Кунья Л. (L. da Cunha) 158

Кутюра Л. (L. Couturat) 314

Кэджори Ф. (Fl. Cajory) 135,
157, 172

Кэли Л. (A. Cayley) 57, 224—
226, 229, 233-235, 238, 240,
242, 247

Лагерр Э. (Е. Laguerre) 42, 56,
79, 220, 227

Лагранж Ж. Л. (J. L. Lagrange)
23, 56, 69, 93, 138, 139, 141,
142, 144-146, 162, 163, 175,
176, 186, 188, 238

де Лакайль Н. Л. (N. L. de la
Callie) 139

Лакруа С. (S. F. Lacroix) 56,
156, 175

Ламберт И. Г. (J. Н. Lambert)
280, 288

Лангенбек К. И. М. (К. J. М.
Langenbeck) 324

Лаплас П. С. (Р. S. Laplace)
20, 29, 33, 34, 45, 51, 54,
56, 77, 82, 83, 85, 92, 182,
183, 188-190, 199, 202

Лапшин А. 247

Лапшин В. И. 118, 130

Ласкер Э. (Е. Lasker) 318

Лаурпчелла Дж. (G. Lauricella)
313, 321

Лахтин Л. К. 132

Лебег А. (Н. Lebesgue) 26, 31,
35, 37, 38, 40, 53, 90, 100,
217

Лев Туск 256

Леви II. В. 136

Леви П. (Р. Levy) 10, 13, 30,
36, 41, 47, 50, 53, 64, 67,
68, 91, 93

Левин 318

Л свитский Н. И. 300

Левп-Чивпта Т. (Т. Levi-Civitta)
56, 67, 76, 82, 92, 223

Лежандр А. М. (А. М. Legendre)
42, 48

Лейбниц Г. В. (G. W. Leibniz)
56, 57, 60, 69, 79, 118, 120,
130, 135, 136, 143, 144, 146,
147, 149, 151, 155. 163, 171 —
173, 243, 296, 297

Леон 251-253, 255, 257, 261,
263

Леонардо да Винчи (Leonardo
da Vinci) 130

Леонардо Пизанский (Leonardo
Pisano) 250, 256, 257

Леруа Э. (Е. Leroy) 216

Летников А. В. 312, 321

Лё Л. (L. Leau) 57

Ли С. (S. Lie) 48—50, 196, 200,
202, 219, 222, 225—228, 230—
232, 234—237, 239, 241, 244,
247 .

Лпбри Г. (G. Libri) 56

Лившиц Б. 247

Лионе Ж. Л. (J. L. Lions) 53

Липшиц Р. (R. Lipschitz) 224,

Лптлвуд Дж. (J. Littlewood) 45

Лиувилль Ж. (J. Liouville) 42,
56, 211, 238

Лобачевский II. II. 10, 226, 228,
229, 241—243, 247, 288, 322—
325

Лопиталь Г. Ф. (G. F. A. de
Г Hospital) 136, 173

Лоран В. (V. Laurent) 262

Лоран П. (Р. A. Laurent) 80,
81, 85, 87

Лоренц Г. А. (II. Lorentz) 245

Лорна Дж. (G. Loria) 157, 309

Лорнья М. (А. М. Lorgna) 56

Лузин Н. Н. 53, 315

Лукаш (Е. Lucas) 56

Лурье С. Я. 172

Люилье С. (S. L’lluilier) 141 —
143, 150-152, 171, 173

Люстерник Л. А. 92

Ляпунов А. М. 211

Мазуркевич С. (St. Masurkie-
wicz) 68

Майер A. (A. Maier) 130

Майстров Л. Е. 295, 300

Маккей Г. (G. Mackey) 53

Маклорен К. (С. MacLaurin) 127,
135, 138, 163, 174

Максвелл Дж. К. (J. С. Max-
well) 241

ал-Мамун (багдадский халиф)
251, 253

Мапдельбройт С. (S. Mandel-
brojt) 53

Мапуил из Трапезупда 258

Мануил I Комнин (император
Византии) 254. 256

Мари (J. F. Marie) 139

Марков A. A. 311, 318

Марков В. A. 310

Маркс К. Ф. Г. (К. F. Н. Marx)
324

Матвиевская Г. П. 263

Матиас М. (М. Mathias) 53

Медведев Ф. А. 55, 71, 94

Меллин (Н. Mellin) 56

Менгер (К. Menger) 66, 68

Менголи П. (Р. Mengoli) 111

Менделеев Д. И. 315, 321

Менелай 254

Меньшов Д. Е. 39

Мерз Ш. (Ch. Мёгау) 10, 176,
177, 180

Мёбиус А. Ф. (A. F. Mobius)
230, 234, 238

Мпели A. (A. Mieli) 262

Миндпнг Ф. Г. (F. Minding) 242

Минковский Г. (Н. Minkowsky)
245, 248

Михельсон Н. Н. 310

Мишаль (Michal) 67

Модзалевский Л. Б. 322—324

Моисей Пергамский 255

Мойсил Г. (G. Moisil) 67

Монж Г. (G. Mong) 181, 188—
191, 197, 202, 227

Мопертюи П. Л. М. (Р. L. М.
de Maupertuisl 69

Мордухай Комтпно (Mordecai
Comtino) 256

Морфи Р. (R. Murphy) 56

Муаньо Ф. (F. М. N. Moigno)
196

Мукунда-Марар К. (К. Mukun-
da-Marar) 124, 131

Мур Э. Г. (Е. Н. Мооге) 61,
64-68, 71, 99, 103

Муск 256

Мюллер И. (J. Muller, Regio-
montanus) 260

Наан Г. И. 248

Наймарк М. А. 53

Натуччи A. (A. Natucci) 73, 91

Нейман И. (J. von Neumann) 18,
50, 54, 94, 99-103

Нейман К. Г. (С. G. Neumann)
59, 60, 183, 201, 203, 210,
211, 214-216

Нессельман Г. (G. Н. F. Nessel-
mann) 309

Нётер М. (М. Noether) 225

Николай V (римский папа) 259

Нпкомах 252, 257, 259

Нилаканта 120, 123

Ниренберг Л. 199

Нифонт (епископ Новгородский)
265, 266

Норден А. П. 247

Ньютон И. (I. Newton) 10, 60,
118, 135, 138, 139, 146, 153,
160, 169, 171, 172, 222, 243,
245-247, 293

Обнорский С. П. 267

Однер В. Т. (W. Odner) 295,
297

Ожигова Е. П. 92

Ольберс В. (W. Olbers) 242

Ольтрамаре Г. (G. Oltramare) 56

Онсорге В. (W. Ohnsorge) 262

Орем Н. (N. Oresme) 108—113,
130

Осборн 315

Островский A. (A. Ostrowsky)
247

Остроградскпй М. В. 10, 11,
289—292, 294

Оттон II (император) 252

Паплаускас А. Б. 104

Папп 252, 260

Параф A. (A. Paraf) 207, 208,
216

Парсеваль М. А. (М. A. Parse-
val) 37, 43

Паскаль Б. (В. Pascal) 60

Пахимер Г. (G. Pachymere) 259,
262, 263

Пацановский Е. Л. 162

Пеано Дж. (G. Peano) 56, 79

Пеллегрино Ф. (F. Pellegrino)
89 93

Пере (Peref) 67

Перрон О. (О. Perron) 209, 216

Петер Ф. (F. Peter) 49, 54

Петерсон К. М. 200

Петрарка Ф. (F. Petrarca) 259

Петров 3. А. 266

Петрова С. С. 13, 31, 92, 185

Петровский И. Г. 199, 201

Петросян Г. Б. 261

Пигулевская Н. (N. Pigulew-
skaja) 261

Пикар Э. (Е. Picard) 102, ЮТ-
ЮЭ, 201, 202, 208, 213, 214,
216, 217

Пиконе М. (М. Picone) 89, 93

Пинкерле С. (S. Pincherle) 55—
58, 60, 61, 64, 66, 69—93,
95, 103

Плануд Максим 257, 258, 262

Планшерель М. (М. Plancherel)
38, 40, 53

Плато (J. Plateau) 30

Платон 255, 259

Платон из Тиволи (Platone de
Tivoli) 253

Плейфер Дж. (J. Playfair) 175

Плуй Ф. Б. (F. В. Plooij) 262

Плюккер IO. (J. Plucker) 224,
225, 229, 230, 235—238

Погребысскпй И. Б. 162, 290

Покельс Ф. (F. Pockels) 199, 202
де Помбал С. Ж. (S. J. de Pom-
bal) 158

Понселе Ж. В. (J. V. Poncelet)
290

Понтрягин Л. С. 49, 53

Пранж (Prange) 30

Преображенский А. Г. 275

Преображенский В. В. 200

Прокл Дпадох 255

Прудников В. Е. 300

Птолемей Клавдий 252, 254,
255, 257-259

Пуанкаре А. (Н. Poincare) 10,
45, 56, 59, 60, 67, 176, 201,
203, 204, 206, 207, 209—217,
222, 245, 246

Пуансо Л. (L. Poinsol) 238

Пуассон С. (S. D. Poisson) 36,
45, 46, 194, 203, 208

Пфафф И. Ф. (J. F. Pfaff) 188

Пэли Р. (R. Е. A. Ch. Paley)
40, 53

Рабдас Николай 258, 263

Рабинович Ю. 247

Раджагопал Ц. Т. (С. Т. Raja-
gopal) 119, 124, 130, 131

Радовский М. И. 300

Раик Е. А. 264

Райков Д. А. 49, 53

Раймонд I (архиепископ Толедо)
253

Райнов Т. И. 264

Рассел (W. Н. Russel) 57

Рашевский П. К. 247
Региомонтан — см. Мюллер
Риккати В. (V. Riccati) 22
Риман Б. (В. Riemann) 35, 40,
53, 56, 60, 67, 201, 222, 223,
229, 234, 236, 238—244, 247

Рисе Ф. (F. Riesz) 14, 37, 38,
40, 49, 53, 68, 91, 99, 100,
103, 209, 217

Риттер А. Г. (А. Н. Ritter)
324

Робен (Robin) 203, 210, 211
де Роберваль (G. Р. de Rober-
val) 60

Рогозынский В. (W. Rogosinski)
52

Роже II (король Обеих Сицилии)
254

Романов II. 321

Романов М. Ф. 321

Росс К. (К. Ross) 52

Ротруда (франкская принцесса)
250

да Роша Жозе Монтейро (Jose
Monteiro da Rocha) 159

Рудин В. (W. Rudin) 53

Руффини П. (Р. Ruffini) 238

Рыбкин Г. Ф. 9, 11

Рыбников К. А. 201

Сабит ибн Корра — см. Ибра-
хим ибн Синан ибн Сабит ибн
Корра

Сальмой (Salmon) 224

Себаг (Sebag) 30

Сервуа Ф. (F. J. Servois) 56
Серппнский В. (W. Sierpinski)
68

Серре Ж. A. (J. A. Secret) 228

Силов Л. (L. Sylovv) 225
Сильвестр Дж. (J. J. Sylvester)
224, 225

Симонид Б. (В. J. Simonide)
261

Симонов И. М. 323—325

Симонов Н. И. 185, 201

Симонов Р. А. 264

Сингх А. Н. (A. N. Singh) 119,
130, 131

Скот Михаил 256

Славутпн Е. И. 301

Слешинский И. В. 314

Слонимский 3. Я. 296

Смирнов В. И. 290

Соболев С. Л. 46

де Соза Катиньо маркиз до
Фуншал Д. Д. A. (D. D. А.
de Sousa Coutinho marquis
do Funchal) 160

Соколик Г. A. 248

Соловьев А. Д. 185

Соловьев H. M. 133

Сологуб В. А. 185

Сонин Н. Я. 56, 200, 312, 321

Стеклов В. А. 53, 211, 216, 217

Степанов А. И. 315

Степанов В. В. 201

Степанов Н. В. 264

Стефани Р. П. (R. Р. Е. Ste-
phanu) 263

Стефаппдес М. (М. Stephanides)
261

Стилтьес Т. (Т. J. Stieltjes) 31,
35, 36, 38, 40, 45, 47, 51

Стройк Д. Дж. (D. J. Struik)
247

Струве О. 324

Суайнсхед Р. (R. Swineshead)
105

Сфорца (Sforza) 56

Схоутен И. A. (J. A. Schouten)
223

Тамм И. Е. 248

Таинери П. (Р. Tannery) 261—
263, 309

Татон Р. (R. Taton) 157

Тауб А. (А. Н. Taub) 103

Тейшейра Ж. Г. (J. G. Teixeira)
158-160

Тейшейра Ф. Г. (F. G. Teixeira)
157, 159, 166

Тейлор Б. (В. Taylor) 45, 51,

63, 92, 163, 164, 174, 176

Теон 252, 258

Тёплиц О. (О. Toeplitz) 59, 76,
98 99 103

Тилли Ж. (J. de Tilly) 237

Тиме Г. (G. Thieme) 179, 180

Тимченко И. Ю. 157

Титчмарш Е. (Е. Titchmarsh) 54

Тищенко В. Е. 321

Томас A. (A. Thomas) 110—118,
130

Томас Ш. (Ch. Thomas) 296

Томпсон (Thompson) 194

Томсон У. (W. Thomson) 206

Тонелли A. (A. Tonelli) 69

Торни Б. 111

Треве Ф. (F. Treves) 54

Тумерман Л. 247

Уиш Ч. (С. М. Whish) 118, 119,
130

Улуг-Бек 258

Урысон П. С. 66, 68

Фарадей М. (М. Faraday) 237,
241

Фейер Л. (L. Fejer) 37, 47, 52

Фельт (Felt) 297

Феодор Мелитениот 258

Феодор Метохпт 257

Феодориде 261

Феодосий 254

Феофанпя (византийская прин-
цесса) 252

Феофил (император Византии)

- 251

Ферма П. (Р. Fermat) 60, НО

Фибоначчи — см. Леонардо Пи-
занский

Филельфо (Filelfo) 260

Фишер Э. (Е. Fischer) 37, 38,
40, 52, 100

Фогель К. (К. Vogel) 249, 261,
263

Фома Аквинский (Thomas Aqui-
natus) 259

Фонтенелль Б. (В. de Fonte-
nelle) 143

Формей Ж. A. (J. A. Formey)
133, 134

Франкль Ф. И. 185

Франсэ Ж. Ж. (J. J. Fran^ais) 56

Фредгольм И. (J. Fredholm) 14,

49, 57-60, 67, 74, 89, 97,
313

Фредерикс В. К. 248

Фреше М. (М. Frechet) 14—16,
24, 26, 55, 60, 61, 63-71, 77,
89-91, 93, 95-97, 103

Фридлейн (С. Friedlein) 262

Фридрих II (император) 256

Фридрихе К. О. (К. О. Fried-
richs) 100, 102

Фрике Р. (R. Fricke) 247

Фробениус Г. (G. Frobenius) 45,
48, 52, 56

Фубини Дж. (G. Fubini) 38, 74,
91

Фурье Ж. (J. В. J. Fourier) 22,
31—42, 44—47, 49-54, 56,
60, 98, 193, 194, 211

Фусс Н. И. (N. Fuss) 280, 286—
288

Фухс Ф. (F. Fuchs) 262

Фэр Экке П. (Р. Ver Eecke) 309

Хаар А. (Л. Haar) 49, 52

Хавский П. 264, 267

Харди Г. (G. Н. Hardy) 45, 52

Хассе (J. М. Hussey) 262

Хаусдорф Ф. (F. Hausdorff) 66,
68

Хаусман И. Ф. Л. (J. F. L.

Hausmann) 322, 324

Хевисайд О. (О. Heaviside) 45,
67

Хевит (Е. Hewitt) 52

Хейберг (J. L. Heiberg) 261, 263

Хейтесбери (W. Heytesbury) 111

Хеллпнгер Э. (Е. Hellinger) 59,
75, 76, 92, 98, 99, 103

Хёрмандер Л. (L. Hormander)
52

Хилл Г. (G. W. Hill) 59

Хпоппад Григорий (Gregorios
Chioniades) 258

Хпс Т. (Т. L. Heath) 301, 309
ал-Хорезми Абу Абдалла Му-
хаммед ибн Муса ал-Мад-
жуси 254

Хорн И. (J. Horn) 56

Хрисокок Георгий 258

Чаус Н. Н. 81, 92

Чебышев П. Л. И, 47, 54, 295,
296, 298-300

Чезаро Э. (Е. Cesaro) 37, 38,
47, 56

Чигорин М. И. 318, 321

Читтенден (Chittenden) 66, 68

Шаль М. (М. Chasles) 227, 230

Шамбе Ж. (J. Chamber) 262

Шамс-ал-Бухари 258

Шапира (Н. Schapira) 56

Шарпи П. (Р. Charpit) 188

Шатунова Е. С. 143

Шварц Г. А. (Н. A. Schwarz) 10,
178, 180, 201, 213-217

Шварц Дж. Т. (J. Т. Schwarz)
89, 93

Шварц Л. (L. Schwartz) 31, 35,
40, 44, 45, 53, 54

Шейц (Scheutz) 296, 297

Шелл В. (W. Schell) 237, 238,
247

Шеринг (Е. Schering) 237, 247
Шестопал М. Г. 247

Шефер К. (С. Schaefer) 323

Шёнфлпс A. (A. Schocnflies) 68
Шилов Г. Е. 52, 71, 91
Шпракацп Алании 250

Шлезингер Л. (L. Schlesinger)
56, 68

Шмидт Э. (Е. Schmidt) 59, 75,
87, 88, 98

Шписс О. (О. Spicss) 280, 288
Шпицер С. (S. Spitzer) 56
Шраер М. Г. 185, 203, 217
Шрёдер К. (К. Schroder) 57,
138

Штаудт Хр. (К. G. С. von
Staudt) 228, 229, 233, 238

Штейнгауз Г. (Н. Steinhaus) 52

Штейнер Я. (J. Steiner) 229

Штеккель П. (Р. Stackel) 288,
322, 323

Штокало И. 3. 289

Штольц О. (О. Stolz) 226, 228,
231 235

Штуди Э. (Е. Study) 56

Штурм III. (J. Ch. F. Sturm)
42, 211

Шумахер (Н. С. Schumacher) 234
Шур II. (I. Schur) 48, 53
Шустер (Schuster) 43

Эберсольт (J. Ebersolt) 262

Эванс (J. J. Evans) 30, 63, 67,
68

Эдвардс Р. Д. (R. D. Edwards)
52

ибн Эзра Абраам 256

Эйлер Л. (L. Euler) 32, 33, 37,
45, 56, 60, 138, 139, 143, 147,
160-164, 170, 172, 173, 186—
190, 192-195, 199, 201, 238,
280, 287, 288, 310, 312, 314,
321

Эйнштейн A.* (A. Einstein) 218,
246

Элия Мизрахи (Elia Misrachi)
256

Энгель Ф. (F. Engel) 288, 322—
324

Энестрём Г. (G. Enestrom) 112,
130

Энке И. Ф. (J. F. Encke) 324

Эренрейс Л. (L. Ehrenreis) 52

Эрмпт HI. (Ch. Hermite) 42

Эсклангон (Е. Esclangon) 42, 52

Юнг В. (W. Н. Young) 40

Юстиниан (император Византии)

249, 250

Юшкевич А. П. 130, 132—136,
138, 157, 185, 201, 261, 262,
264, 290, 309

Якоби К. Г. (К. G. J. Jacobi)
24, 47, 67, 69, 178, 179,
240

Яков из Венеции (Jacobo da
Venezia) 255

Яков из Кремоны (Jacobo da
Cremona) 259

функции линий и уравнения в функциональных производных. Л е в и П-
Сб. «Историко-математические исследования», вып. XVIII. М., «Наука»»
1973, стр. 13-30.

Ретроспективный обзор исследований автора в области функцио-
нального анализа в направлении, начатом Вольтерра.

История гармонического анализа. Д ь ё Д о н н е Ж. Сб. «Историко-
математические исследования», вып. XVIII. М., «Наука», 1973,
стр. 31—54.

О развитии гармонического анализа от становления его в рамках
классического анализа до современных исследований в этой области.

Библ. 99 назв.

Основоположники функционального анализа о его ранней истории.
Медведев Ф. А. Сб. «Историко-математические исследования»,
вып. XVIII. М., «Наука», 1973, стр. 55-70.

О трактовке С. Пинкерле, Д. Гильберта, Ж. Адамара, В. Вольтерра
и М. Фреше проблемы возникновения и значения функционального
анализа.

Библ. 15 назв.

Первая монография по функциональному анализу. М е дведевФ. А.
Сб. «Историко-математические исследования», вып. XVIII. М„ «Наука»,
1973, стр. 71—93.

Рассмотрена книга С. Пинкерле «Дистрибутивные операции и их
применения в анализе» (1901), в которой подытожены исследования
по функциональному анализу в XIX в.

Библ. 47 назв.

Введение абстрактных представлений в теорию функциональных про-
странств. Б е р н к о п ф М. Сб. «Историко-математические исследо-
вания», вып. XVIII. М., «Наука», 1973, стр. 94—103.

Прослежено формирование некоторых понятий абстрактного функ-
ционального анализа (матричного, банахова, гильбертова пространств,
унитарной эквивалентности операторов и т. д.).

Библ. 15 назв.

Доньютоновскин период развития теории бесконечных рядов. П а-
плаускас А. Б. Сб. «Историко-математические исследования»,
вып. XVIII. М., «Наука», 1973, стр. 104—131.

В статье освещается первоначальный период развития теории беско-
нечных рядов от работ Архимеда до открытий времен Ньютона и Лейб-
ница. Подробно анализируются работы математиков средневековой
Европы, а также средневековой Индии.

Илл. 5. Библ. 28 назв.

Л. Карно и конкурс Берлинской академии паук 1786 г. па тему о матема-
тической теории бесконечного. Юшкевич А. П. Сб. «Историко-
математические исследования», вып. XVIII. М., «Наука», 1973,
стр. 132-156.

Анализ недавно обнаруженной автором рукописи Карно, представ-
ленной на конкурс Берлинской академии и посвященной вопросам обос-
нования исчисления бесконечно малых.

Илл. 1

:	Ж. А. да Кунья и проблемы обоснования математического анализа.

:	Юшкевич А. П. Сб. «Историко-математические пссчедования»

j	вып. XVIII. М., «Наука», 1973, стр. 157—175.

j	О малоизвестной книге португальского математика XVIII в. да

i Кунья «Математические начала» <1790).

Понятие предела и иррациональные числа. Концепция Шарля Мерз •
н Карла Вейерштрасса. Дюгак П. Сб. «Историко-математические	•

исследования», вып. XVIII. М., «Наука», 1973, стр. 17G—180.

Проводится сравнение	методов введения иррациональных чисел	

у Мерз и Вейерштрасса.	:

Библ. 7 назв.	:

!

К истории теории дифференциальных уравнений с частными пропз- :
водными. Демидов С. С. Сб. «Историко-математические последо-
вания», вып. XVIII. М., «Наука», 1973, стр. 181—202.	!

Рассмотрены некоторые моменты истории теории дифференциальных
уравнений с частными производными: эволюция понятия общего реше-
ния, редукция уравнений к простейшему виду и др.

Библ. 26 назв.

Методы А. Пуанкаре в теории потенциала. Ш р а е р М. Г. Сб. «Исто-
рико-математические исследования», вып. XVIII. М., «Наука», 1973,
стр. 203-217.

Прослежено возникновение в работах Пуанкаре метода выметания,
дальнейшего развития им методов Неймана и Шварца, а также после-
дующая судьба этих методов.

Библ. 16 назв.

К истории «Эрлангенской программы» Ф. Клейна. В и з г и н В. П.
Сб. «Историко-математические исследования», вып. X VIII.-М., «Наука»,
1973, стр. 218-250.

Рассмотрены некоторые историко-научные вопросы, связанные с ге-
незисом «Эрлангенской программы» Клейна, и особенно вопросы взаимо-
отношения физики и геометрии.

Библ. 33 назв.

Византия как посредник между Востоком п Западом в области матема-
тики. Фогель К. Сб. «Историко-математические исследования»,
вып. XVIII. М., «Наука», 1973, стр. 249-263.

Широко распространена точка зрения, согласно которой сочинения
древнегреческих ученых стали доступными в Европе средних веков
лишь через посредничество арабских переводов и изложений. Автор
показывает, что целый ряд оригинальных греческих трудов по мате-
матике попал в средневековую Европу через Византию, а также раскры-
вает роль Византии в передаче математических открытий арабских
стран.

Библ. 46 назв.

О композиционной структуре «Учения» Кприка Новгородца. XII в.
Симонов Р. А. Сб. «Историко-математические исследования»,
вып. XVIII. М., «Наука», 1973, стр. 264-279.

Анализ структуры одного из древнейших памятников русской
математической литературы, а также вопроса о том, какой из списков
«Учения» больше соответствует оригиналу, до нас не дошедшему.

Табл. 3.

Эйлеровы эквиваленты пятого постулата. Белый Ю. А. Сб. «Исто-
рико-математические исследования», вып. XVIII. М., «Наука», 1973,
стр. 280—288.

Публикация (на языке оригинала и в переводе) и анализ двух фраг-
ментов рукописей Н. И. Фусса, излагающих взгляды Л. Эйлера на
теорию параллельных.

Илл. 11. Библ. 5 назв.

«Программа по аналитической механике» М. в. Остроградского.
Боголюбов А. Н., Шток амо II. 3. Сб. «Историко-мат еыа-
тические исследования», вып. XVIII. М., «Наука», 1973, стр. 289—294.

Публикация и анализ первой в России программы курса аналити-
ческой механики, составленной Ы. В. Остроградским.

Об оценке арифмометра П. Л. Чебышева. Майстров Л. Е.
Сб. «Историко-математические исследования», вып. XVIII. М., «Наука»,
1973, стр. 295-300.

В данной статье показано, что П. Л. Чебышев построил свой арифмо-
метр не для практической эксплуатации, а для доказательства того,
что в основу вычислительных машин можно положить новый принцип —
непрерывную передачу десятков вместо дискретной, существовавшей
во всех ранее предложенных машинах.

Библ. 7 назв.

О некоторых вопросах структуры «Арифметики» Диофанта Александ-
рийского. С л а в у т и н Е. И. Сб. «Историко-математические иссле-
дования», вып. XVIII. М., «Наука», 1973, стр. 301—309.

Разбираются группы задач «Арифметики» Диофанта (III в. н. э.)
и описываются общие методы порождения задач и их решений. Рас-
сматривается один из самых ранних примеров использования бирегу-
лярного отображения. Установлены некоторые параллели с вавилон-
ской математикой.

Библ. 7 назв.

Борис Михайлович Коялович. Михельсон Н. Н. Сб. «Историко-
математические исследования», вып. XVIII. М., «Наука», 1973,
стр. 310—321.

Краткая биография и разбор творчества советского математика
Б. М. Кояловича.

Илл. 1 (портрет). Библ. 67. назв.

Об избрании И. II. Лобачевского членом-корреспондентом Геттин-
генского научного общества. Бирман К. Р. «Историко-математи-
ческие исследования», вып. XVIII. М., «Наука», 1973, стр. 322—325.

Впервые публикуемый полный текст документа, в котором Гаусс
рекомендовал избрать Н. И. Лобачевского членом-корреспондентом
Академии наук в Геттингене.

Илл. 1. Библ. 15 назв.

Историко-математические исследования
Выпуск XVIII

Утверждено к печати Институтом
истории естествознания и техники
Академии наук СССР

' V i *	• /	4 ’*

Редактор’ А. Ф. Лапко
Художественный редактор Н. Н. Власик
Технический редактор В. А. Григорьева

Сдано в набор 20/П 1973 г. Подписано к печати 29/V 1973 г. Формат 84xlO8I/sl.

Бумага № 2. Усл. печ. л. 18,1. Уч.-изд. л. 18,4. Тираж 1900.	Т-06965.

Тип. зак. № 112. Цена 1 р. 47 к.

Издательство «Наука» 103717 ГСП, Москва, К-62, Подсосенский пер., 21

1-я типография издательства «Наука» 199034» 9 линия» дом 12