АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ИНСТИТУТ ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
И ТЕХНИКИ
ИСТОРИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
Выпуск
XXI
в
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1976
УДК 51(091)
В сборник вошли работы по общим вопросам исто-
рии математики, истории алгебры п теории чисел,
математического анализа и др. В сборнике принимают
участие такие известные ученые, как Б. Л. Ван дер
Варден, А. К. Кромби, Ж. Дьёдочне и др.
Издание рассчитано на историков науки и широкие
круги математиков.
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
А. И. Маркушевич (отв. редактор),
С. С. Демидов, Ф. А. Медведев,
Е. И. Славутин (секретарь редакции),
А. П. Юшкевич
20201—233
055(02)—76 1—76
И
© Издательство «Наука», 1976 t
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие.............................................. 7
Общие вопросы истории математики
Ж. Дьёдонпе (Ницца). О прогрессе математики. (Перевод
С. С. Петровой) ...........	............ 9
А. К. Кромби (Оксфорд). Об общем воздействии математики
па натурфилософию Запада. (Перевод О. Б. Шейнина) . .	22
С. X. Спраждинов (Ташкент), Г. П. Матвиевская (Ташкент).
Об изучении истории математики в Средней Азии ....	51
Вопросы истории алгебры и теории чисел
Э. М. Брейне (Амстердам). Улучшение приближений в матема-
тике вавилонян. (Перевод Ф. А. Медведева} .	.....	61
М. М. Рожанская (Москва), И. С. Левинова (Москва). Об одной
математической задаче в «Книге весов мудрости» ал-Хазини 71
И. Г. Башмакова (Москва), Е. И. Славутин (Москва). Исчис-
ление треугольников Ф. Виета и исследование диофантовых
уравнений............................................... 78
Б. А. Розенфельд (Москва). Векторы и псевдовекторы Виета
и их роль в создании аналитической геометрии..... 102
И. Г. Мельников (Ленинград). К вопросу об эйлеровском опре-
делении удобных чисел.................................. 110
Л. Новы (Прага). Универсальная алгебра у Сильвестра и
Уайтхеда................................................ ИЗ
Вопросы истории математического анализа
и его приложений
В. С. Широков (Горький). О «Книге вычислений» Ричарда
Суисста................................................ 129
П. Костабель (Париж). Изобретение Христианом Гюйгенсом
циклоидального маятника и ремесло математика. (Перевод
С. С. Петровой) .....................	143
Э. А. Фельмаи (Цюрих). О замечании Г. В. Лейбница по по-
воду одной теоремы в «Математических началах натураль-
ной философии» Ньютона. (Перевод Ф. А. Медведева) . . .	150
3
С. С. Демидов (Москва). О понятии решения дифференциаль-
ных уравнений с частными производными в споре о колебании
струны в XVIII веко..................................... 158
Е. М. Полищук (Ленинград). Вито Вольтерра............... 183
А. Т. Григорьян (Москва), Б. Н. Фрадлин (Киев). Из истории
развития неголономноп механики в конце XIX столетня . .	214
Статьи различного содержания
Б. Л. Ван дер Варден (Цюрих). Переписка между Паскалем и
Ферма по вопросам теории вероятностей. (Перевод Ф. А. Мед-
ведева) ..........................	228
Л. Е. Майстров (Москва). М. В. Ломоносов и «Арифметика»
Л. Ф. Магницкого.................... 233
Р. Татон (Париж). Хронологическое описание работ А. Кле-
ро (Перевод С. С. Петровой)......... 240
К. Р. Бирман (Берлин). Гаусс и Гёте (Перевод II. II. Генд-
рихсона) ........................	261
Е. П. Ожигова (Ленинград). О научных связях Гаусса с Петер-
бургской Академией наук............. 273
Публикации
К. Ф. Гаусс. Пояснение возможности построения семнад-
цатиугольника. (Перевод М. В. Крутиковой. Публикация
Е. П. Ожиговой) ....................	285
Э. Винтер (Берлин). Теория и практика в переписке Чирнгау-
за с Кирхом. (Перевод II. Н. Г снд рихсона)............. 292
Чирнгауз — Кирх. Переписка. (Перевод II. Н. Гендрихсона.
Публикация Э. Винтера—Берлин). .	.............299
Библиография
Список опубликованных работ А. П. Юшкевича.............. 312
Указатель авторов и названий статей выпусков с X по XX
(1957—1974) «Историко-математических исследований» . . .	328
Именной указатель....................................... 339
SOMMAIRE
Editorial.................................................. 7
Problemes generaux
J. Dieudonne (Nice). L’idee de progres en mathematique.
(Traduit par S. S. Petrova)................................ 9
A. Crombie (Oxford). Some general effects of mathematics on -we-
stern natural philosophy. (Traduit par О. B. Sheinine) ...	22
S. H. Sirajdinov, G. P. Matvievskai’a (Tachkent). Les recherclies
sur L'bistoire des mathematiques en Asie Cent rale ....	51
Problemes d’histoire de 1’algebre et de la theorie des nnmbres
E. M. Bruins (Amsterdam). Increasing the accuracy in Babylo-
nian mathematics.......................................... 61
M. M. Rojanskai’a, I. S. Levinova (Moscou). Sur un prohlenre
mathematique dans le «Livre de la balance de la sagesse» de
al-Hazini...................~............................. 71
I. G. Bachmakova, E. I. Slavutine (Moscou). Le calcul des trian-
gles de F. Viete et la solution des equations diophantiennes 78
B. A. Bosenfeld (Moscou). Les vecteurs et les pseudovecteurs
de Viete et leur role dans la formation de la geomctrie analytique 102
I. G. Melnikov (Leningrad). Sur la definition d’Euler de numeri
idonei.................................................   110
L. Novy (Prague). L’algebre universelle de Sylvester et de
Whitehead................................................ 113
Problemes d’histoire de 1’analyse infinitesimale
V. S. Chirokov (Gorki), Sur le «Liber calculationum» de Ri-
chard Suiset............................................. 129
P. Costabcl (Paris). L’invention du pendule cycloidal par
Christian Huygens et le metier mathematique. (Traduit par
S'. A. Petrova) ......................	143
E. A. Fellinann (Basel). Uebereine Bemerkungvon G. W. Leib-
niz zu einem Theorem in Newtons Principia Mathematics.
(Traduit par P. A. Medvedev)............................. 150
S. S. Demidov (Moscou). La discussion sur les cordes vibrantes
(XVllIe siecle) et la notion de solution de I’equation aux
derivees partie Iles..................................... 158
В. M. Polichtchouk (Leningrad). Vito Volterra............ 183
5
A.	T. Grigorian (Moscou), В. N. Fradline (Kiev). Sur le deve-
loppement de la mecanique non-liolonoine a la fin du XIXe
siecle.......................................................... 214
Varia
B.	L. van der Waerden (Ziiricb). Die Korrespondenz zwischen
Pascal und Fermat iiber Wahrscheinlichkeitsprobleme. (Traduit
par F. A. Medvedev) ...................	228
L. E. Mai'strov (Moscou). M. V. Lomonosov et l’«Arithmetique»
de L. Ph. Magnitski...................................... 233
R. Taton (Paris). Inventaire chrouologique de 1’oeuvre de
Clairaut. (Traduit par А. X. Petrova).................... 240
K. R. Birmann (Berlin, DDR). Goethe und Gauss. (Traduit par
N. N. Hendrtcson) ...................	261
E. P. Ogigova (J .eningrad). Sur les relations de Gauss avec 1’Aca-
demie des Sciences de Petersbourg........................ 273
Publications
K. F. Gauss. Ubersicht der Griinde der Constructibilitat des
Siebenzehneckes. (Traduit par M. V. Krutikova, publie
E. P. Ogigova)........................................... 285
E. Winter (Berlin, DDR). Theorie und Praxis im Brifwechscl
Tscbirnhaus. (Traduit par N. N. H endricson)............. 292
E. M. von Tscirnhaus und G. Kirch. Briefwechsel. (Hsg. von
E. Winter. Traduil par N. N. Hendrtcson)................. 299
Bibliographic
Index des ouvrages publies de A. P. Youschkevitch ....	312
Index des ouvrages publies dans X—XX volumes les «Istorico-
matematitcheskie issledovania» (1957—1974)............... 328
Index les nomes........................................   339
ПРЕДИСЛОВИЕ
На протяжении более четверти века «Историко-мате-
матические исследования» являются центром, вокруг
которого группируются исследования по истории мате-
матики в СССР. В двадцати предыдущих выпусках общим
объемом около 600 печатных листов опубликовано 366
статей почти 150 авторов. Среди авторов сборников и ма-
ститые ученые, и только что приступившие к исследова-
тельской работе молодые историки математики, советские
и зарубежные ученые. Тематика сборников охватывает
практически все аспекты историко-математических иссле-
дований — от первичной публикации архивных материа-
лов, древпих и средневековых текстов до общих вопросов
истории математики.
Авторы настоящего сборника посвящают свои статьи
старейшине советских историков математики Адольфу
Павловичу Юшкевичу, семидесятилетие которого испол-
няется 15 июля 1976 г. Именно А. И. Юшкевич — вместе
с Г. Ф. Рыбкиным — организовал это издание и настоя-
щий выпуск является единственным, в котором он не при-
нимает ни авторского, пи редакционного участия. Для
юбилейного сборника прислали статьи многие советские
и зарубежные ученые. Установленный объем его не поз-
волил поместить все присланные материалы, часть кото-
рых будет помещена в следующем выпуске.
В первом разделе настоящего выпуска помещены статьи
по общим вопросам истории математики, среди них статьи
об особенностях прогресса чистой математики, о воздей-
ствии математики на взгляды естествоиспытателей и гу-
манистов эпохи Возрождения, об исследованиях по исто-
рии математики в Средней Азии.
Раздел «Вопросы истории алгебры и теории чисел»
начинается статьей, в которой по-новому рассмотрен
вопрос об использовании приближений в вавилонской
математике. Затем помещены работы о способе решения
задач о взвешивании у ал-Хазини, о так называемом ис-
7
числении треугольников Виета, открывающем интерес-
ную страницу предыстории теории комплексных чисел,
векторного исчисления и аналитической геометрии. Раз-
дел заканчивается статьями об определении «удобного
числа» у Л. Эйлера и о подходе Сильвестра и Уайтхеда
к универсальной алгебре.
В разделе «Вопросы истории математического анализа
и его приложений» дан анализ трактата видного средне-
векового ученого Суисета, на примере квадратуры некото-
рой фигуры, проведенной Гюйгенсом, рассмотрены некото-
рые особенности его творчества как математика, выдви-
гается интересная гипотеза о предыстории вариационного
исчисления, с повой точки зрения освещена полемика
XVIII в. о колебании струны, помещены работы о жизни
и деятельности выдающегося итальянского математика
Вито Вольтерра, о развитии неголономной механики
в конце XIX в.
Раздел «Статьи различного содержания» содержит ра-
боты о переписке между Паскалем и Ферма по вопросам
теории вероятностей, о пересмотре роли Л. Ф. Магницкого
в формировании взглядов М. В. Ломоносова, библиогра-
фию работ Клеро, статьи о различных аспектах жизни
Гаусса.
Наконец,, раздел публикаций составляет заметка Гаус-
са о построении семнадцатиугольника и комментированная
переписка Чирнгауза с Кирхом.
Сборник заканчивается списком трудов А. П. Юшке-
вича и указателем авторов и названий статей, помещенных
в «Историко-математических исследованиях» с 1957 по
1974 г.
А. И. Маркушевич
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
О ПРОГРЕССЕ МАТЕМАТИКИ1
Ж. Дьёдонне
Прежде всего я хочу уточнить, что ввиду моей недоста-
точной компетенции в области приложений математики
речь пойдет исключительно о чистой математике.
I. Имеется ли сегодня прогресс
в чистой математике?
Вопрос может показаться странным и даже абсурдным,
так как идея постоянного прогресса в любой другой науке
принимается всеми без возражений. Однако многие обра-
зованные люди часто совершенно искренне задают этот
вопрос, с трудом понимая, что еще можно открыть в мате-
матике. Я подозреваю, что этот курьез обусловлен сти-
лем преподавания элементарной математики в школе, где
всегда речь идет о задачах уже давно решенных, причем
само решение излагается догматически. Таким образом,
ученикам не ведомо, что существует большое число нере-
шенных математических проблем, являющихся в настоя-
щее время объектом активных исследований. В самом деле
рост числа публикаций по математике подчиняется сегод-
ня тому же экспоненциальному закону, что и в других
науках, с теми же последствиями — затруднениями в рас-
пространении информации и опасностью очень узкой спе-
циализации.
II. В чем выражается прогресс
чистой математики?
Мне кажется, что он происходит в следующих трех
направлениях: в решении проблем, в понимании матема-
тических феноменов и во введении хороших обозначений
i Перевод с французской рукописи С. С. Петровой.
9
и удобных алгоритмов; последнее, по-видимому, свойст-
венно только математике.
а) В каждую эпоху математики оказываются перед
лицом проблем, завещанных им предшественниками или
поставленных современниками. В дальнейшем я оста-
новлюсь на вопросе об источнике этих проблем. Приведу
здесь две наиболее старые и знаменитые проблемы, не
решенные еще и сегодня: «проблему Ферма» о невозмож-
ности решения в целых числах уравнения хп + уп = zn для
и 3 (исключая тривиальные решения, когда х, у иг
равны 0 или +1) и «проблему Гольдбаха» (1742) о пред-
ставимости любого четного числа в виде суммы двух
простых 2.
Следует подчеркнуть, что весьма часто интерес к уже
решенной проблеме не пропадает, так как она сразу в ре-
зультате уточнений и обобщений порождает много дру-
гих. Прекрасной иллюстрацией является теорема о пред-
ставимости любого целого п суммой квадратов четырех
целых чисел. Сформулированная Ферма, она была дока-
зана спустя сто лет Лагранжей. По еще до того, как
эта проблема была решена, она породила многочисленные
задачи, часть из которых не удалось решить и сегодня.
Примерами таких задач являются: нахождение числа це-
лочисленных решений Xj (1	7 ty уравнения х^ +
4- а"2 + . . . + х% = п; обобщение этой задачи па слу-
чай произвольной квадратичной формы с действительными
коэффициентами; проблема Варинга, когда показатель
ваменяется па целое число 2.
Особенность, проявившаяся совсем недавно, состоит
в том, что никогда нельзя быть уверенным заранее, что
ответ на математический вопрос может быть сведен всегда
к «да» или «нет». Из работ Гёделя и Коэна стали известны
примеры неразрешимых проблем: другими словами, мож-
но показать (с помощью так называемых математиче-
ских рассуждений), что, отправляясь от аксиом, допусти-
мых в современной математике, мы никогда не сможем
доказать, что ответ на поставленный вопрос будет либо
положительный, либо отрицательный. Возникает вопрос:
если проблема еще не решена, как, например, проблема
Ферма, то не может ли случиться, что опа неразрешима?
2 В 1937 г. проблема Гольдбаха была частично решена И. М, Вино-
градовым. (Прим, ред.)
10
б) Чаще всего решение математической проблемы на-
чинается с эмпирических прощупываний, с удачной идеи,
приводящей (частично или полностью) к цели без полного
понимания смысла проделанного. Иногда, тщательно ана-
лизируя эту идею и развивая имеющуюся технику (часто
ценой значительных усложнений), мы приходим к зна-
чительному расширению сферы действия первоначального
приема, создавая таким образом достаточпо общий метод,
применимый также к решению других проблем. В качест-
ве типичного примера можно указать проблему прибли-
жения алгебраического числа рациональными числами,
где первоначальная идея Лиувилля, разработанная
впоследствии Туэ п Зигелем, в конечном счете привела
в работах Рота (1955) к лучшему возможному результату.
Аналогично, свойства приближения экспоненциальной
функции, на которых основывалось доказательство Эр-
мита трансцендентности числа е, развитые в различных
направлениях Зигелем и А. О. Гельфопдом, получили
значительные обобщения в недавних работах А. Бекера.
В связи с этим следует упомянуть методы Дирихле —
Римана и Харди — Литтлвуда в аналитической теории чи-
сел, восходящие к элементарным идеям Эйлера о «произ-
водящих функциях» последовательностей чисел; другим
примером является проблема разрешения особенно-
стей комплексного алгебраического многообразия, где
первоначальный метод Э. Нётер для кривых, заключаю-
щийся в последовательных «раздутиях» особых точек,
целой огромных усилий технического характера был рас-
пространен Зариским на случай размерности 2 и 3 и
Хмронака на случай произвольной размерности.
Подчас после первых многообещающих успехов все
последующие усилия в том же направлении оказываются
безрезультатными. Типичным примером является пробле-
ма разрешимости «в радикалах» алгебраических уравнений;
для уравнений второй степени эта проблема была решена
еще в античности, большой прогресс был достигнут в XVI в.
с открытием формул для решения уравнений 3 и 4-й сте-
пени, ио все попытки пойти дальше оставались напрасны-
ми в течение более чем двух веков. Затруднения были
преодолены только тогда, когда Лагранж и Вандермонд
в 1770 г. подвергли существовавшие ранее методы систе-
матическому анализу, исходя из повой идеи действия
перестановок корней уравнения на алгебраические выра-
11
женин, образованные с помощью Этих корней. Развивая
эту идею, Руффини и Абель показали невозможность ре-
шения в радикалах «общих» уравнений степени 5, а в 1830 г.
Галуа нашел полное решение вопроса для любых алгеб-
раических уравнений.
Таким образом, речь идет о том, чтобы понять истин-
ную природу этих проблем (иногда весьма скрытую), что
часто приводит к открытию совершенно новой области
математики. Так, проблема решения алгебраических
уравнений в радикалах способствовала возникновению
теории групп и теории полей. Знаменитые «теоремы ко-
нечности» Гильберта в теории инвариантов, позволяющие
разрешить задачи, не поддающиеся прямым методам,
явились истоком современной коммутативной алгебры.
Начиная с 1940 г. развитие «абстрактной» алгебраической
геометрии стимулировалось большей частью желанием
включить теорию алгебраических сравнений в теорию чи-
сел. Отметим, что идеи, которые оказываются весьма пло-
дотворными в решении одной проблемы, часто заимство-
ваны из других разделов математики, что делает очевид-
ным глубокое единство математики и с другой стороны —
поверхностное и устарелое ее деление на алгебру, геомет-
рию и анализ.
Даже если некоторая проблема в первоначальной своей
постановке не поддается решению, тем не менее усилия,
затраченные на ее решение, нередко приводят к резуль-
татам намного более интересным, чем сама эта проблема.
Так, предполагая решить (по крайней мере, для некото-
рых показателей) проблему Ферма, Куммер наметил вехи
теории делимости в полях алгебраических чисел, а про-
блемы Баринга и Гольдбаха значительно стимулировали
развитие аналитической теории чисел.
Поэтому понятно, почему со времени своего знамени-
того доклада на математическом конгрессе 1900 г. Гиль-
берт придавал столь большое значение математическим
проблемам как основному источнику прогресса матема-
тики. Быть может, он вынужден был настаивать на этой
точке зрения из-за проявившегося уже в то время призна-
ка опасной тенденции строить общие теории вне связи со
стремлением решать конкретные проблемы. К сожалению,
с тех пор эта тенденция только усилилась и привела
к тому, что математики утонули в море удручающе по-
средственных публикаций, в которых излагаются, по
12
выражению Р. Тома, теории «ничтожные и неинтересные».
«Серьезные» математические проблемы отчасти напо-
минают живые существа, к естественной эволюции ко-
торых следует относиться с большим уважением. Пробле-
мы, поставленные искусственно, с единственной целью,
каким угодно образом обобщить известное, редко приводят
к важным результатам, и лучшие современные математики
с отвращением отворачиваются от этого бессвязного
бреда, препятствующего прогрессу математики.
в) Очень часто некоторая область математики не может
развиваться из-за отсутствия хороших обозначений, поз-
воляющих уяснить ее истинную природу. Типичным при-
мером является алгебра: понадобилось 13 столетий от Дио-
фанта до Виета и Лейбница, чтобы записать «общее» ал-
гебраическое уравнение в виде
aDxn + ap?""1 -}-... -f- ап = 0;
это обстоятельство делает понятным, почему греки
никогда не знали алгебры в собственном смысле слова.
Понадобилось целых сто лет, чтобы исчисление бесконеч-
но малых приобрело окончательную форму. Главной при-
чиной этого послужило то, что до Ньютона и Лейбница
не было предложено удобных обозначений для новых
понятий производной и интеграла, что не позволяло до-
статочно отчетливо выделить сами эти понятия. Хорошим
обозначениям обычно сопутствуют алгоритмы, облегчаю-
щие их использование: мы понимаем под этим вычисления
или стереотипные рассуждения, установленные раз и на-
всегда так, что их применяют почти автоматически, не
создавая их каждый раз заново, что весьма ощутимо со-
кращает математический язык и позволяет сконцентриро-
вать внимание на главных моментах доказательства.
Чтобы оценить достигаемые таким образом результаты,
достаточно вспомнить, что алгебраические уравнения
второй степени занимают в «Алгебре» Штифеля, написан-
ной в XVI веке, 200 страниц, или что учителю Ньютона
И. Барроу понадобилось 100 страниц и столько же рисун-
ков для изложения задач на касательные или площади,
которые теперь в элементарных учебниках анализа бес-
конечно малых излагаются в 10 раз короче.
Наконец, уже сравнительно недавняя история с ис-
числением бесконечно малых повторилась на примере
развития идеи обобщенной функции: возникнув сразу
13
в нескольких областях математики и при решении не-
скольких задан (Хевисайд, Дирак, Бохпер, Фантапье,
С. Л. Соболев и др.), эта идея смогла достичь зрелости
и приобрести эффективность в приложениях лишь тогда,
когда Л. Шварц систематизировал соответствующие ал-
горитмы. Другими примерами являются применение сим-
волов булевой алгебры (иногда называемой «теорией
множеств») и совсем недавнее интенсивное использование
«диаграмм отображений», которые с помощью системы
стрелок делают удивительно наглядными ситуации, когда
рассматривается целая система множеств и их отображе-
ний.
III.	Инициаторы прогресса
Развитие математической теории чаще всего происхо-
дит посредством сочетания оригинальных идей, носящих
ярко выраженный отпечаток индивидуальности, и кол-
лективной работы многочисленных математиков, изучаю-
щих возможности использования этих идей и развиваю-
щих их в различных направлениях. История предлагает
нам целую гамму примеров, показывающих, как от слу-
чая к случаю может меняться соотношение между про-
грессом коллективного и индивидуального типов. Так,
едва ли возможно приписать одному определенному ма-
тематику идею мнимых чисел, которая появляется с раз-
ных сторон в XVI в. Созданное в XVII в. трудами прак-
тически всех математиков того времени, независимо от
их ранга, исчисление бесконечно малых может казаться
внушенным идеями Евдокса, искусно использованными
Архимедом, однако нет уверенности в том, что сам Ев-
докс не руководствовался идеями своих предшественни-
ков; с другой стороны, тот оборот, который ученые XVII в.
придали методам Архимеда, значительно отличается
от концепции древних и не может быть приписан влиянию
одного математика. Мы говорили выше, что теория обоб-
щенных функций должна также рассматриваться как плод
коллективного творчества, и она любопытным образом
сохраняет этот характер уже 20 лет в своем основном
поле приложений — теории уравнений с частными про-
изводными. Современная гомологическая алгебра дает
другой пример дисциплины, основные идеи которой воз-
никли одновременно в различных областях математики.
Из примеров, относящихся к XIX в., укажем па медлеп-
14
пое развитие линейной и полилинейной алгебры от Кэли
и Грассмана до Фробениуса, а также теории интегриро-
вания от Дирихле до Лебега. Напротив, более много-
численными являются случаи внезапного возникновения
плодотворной идеи, появление которой, казалось бы,
ничто не предвещало. Яркими тому примерами являются:
«метод бесконечного спуска» Ферма, «внутренняя диффе-
ренциальная геометрия» Гаусса, «идеальные числа»
Куммера, поверхности Римана, симплициальные разбие-
ния у Пуанкаре и его качественная теория дифференци-
альных уравнений, р-адические числа Гензеля, пучки и
спектральные последовательности Лере.
Впрочем, нужно ясно себе представлять, что следует
называть «коллективной работой»; здесь в математике
очень редко составляется настоящий коллектив, как это
происходит в экспериментальных науках, где сотрудники
работают в одной лаборатории. Сотрудничество Харди и
Литтлвуда, наиболее часто приводимое в качестве такой
коллективной работы, происходило обыкновенно по пе-
реписке. Точно так же, когда замечают, что некоторая
теория является по большей части плодом коллективного
творчества, то понимают под этим ее разработку многими
математиками, работавшими в одно и то же время в одном
и том же направлении и державших друг друга в курсе
своих занятий. Следует заметить, что почти всегда в та-
кой группе выделяется небольшое число математиков,
одаренных богатым воображением, которые урывают
львиную долю, предоставляя другим лишь роль стати-
стов. Следует поэтому считать, что история полностью
подтверждает мнение, согласно которому существенное
в математических' открытиях является произведением
горстки великих умов, в то время как математики мень-
шего масштаба способствуют распространению и углуб-
лению их великих созидательных идей, представляя со-
бой своеобразные «резонансные барабаны».
Разумеется, индивидуальный приоритет не исключает
довольно распространенного явления одновременного от-
крытия двумя математиками, работающими независимо,
одной и той же идеи или теоремы. Известными примера-
ми этого являются история эллиптических функций (от-
крытых независимо Гауссом, Абелем и Якоби) или исто-
рия неевклидовой геометрии (осознанной одновременно
Гауссом, Н. И, Лобачевским, Бойяи).
15
IV.	Основные тенденции прогресса
чистой математики
Мы видели, что, за исключением небольшого числа
проблем, где прогресс был достигнут за счет усовершен-
ствования первоначальной техники, подлинный прогресс
большей частью обусловливается углублением понимания
изучаемых явлений, происходящим обычно за счет вклю-
чения их в более широкие рамки. Классическим примером
являются аналитические функции действительного пере-
менного, где странные на первый взгляд явления (вроде
расходимости степенного ряда, сумма которого является
аналитической функцией в окрестности каждой точки)
тотчас объясняются естественным образом, когда перехо-
дят к рассмотрению аналитических функций в комплекс-
ной плоскости. Аналогично, в XIX в. должны были раз-
личать, с одной стороны, ряды Фурье интегрируемых
функций, а с другой — сходящиеся тригонометрические
ряды, которые могли и не быть рядами Фурье для их
сумм (имелся даже патологический феномен таких три-
гонометрических рядов — ряды с ненулевыми коэффи-
циентами, сходящиеся почти всюду к нулю); ситуация
прояснилась только после того, как поняли, что не толь-
ко функции, но и обобщенные функции могут обладать
«рядом Фурье».
Почти очевидно, что более общие объекты, которые
приходится таким образом вводить и изучать, являются
более «абстрактными», чем первоначальные. Только аб-
стракция и обобщение реально приводят к исчезновению
явлений, присущих достаточно частной ситуации и часто
маскирующих истинное существо дела. Лишь благодаря
им возможно уяснение глубоких связей между внешне
совершенно разными вопросами, а следовательно, и уяс-
нение глубокого единства всей математики.
Таким образом, мы видим, почему современная мате-
матика неминуемо должна была прийти к изучению столь
общих абстрактных «структур», как группа, кольцо,
топологическое пространство, оператор, пучок, схема
и т. д. Не следует тревожиться, пока эта эволюция про-
исходит естественным образом, как мы могли бы сказать
«по заказу»; поразительные успехи, которые ее отмечают,
более чем достаточны для того, чтобы ее оправдать.
Опасность, как это было подчеркнуто выше, может под-
16
стерегать нас лишь со стороны безосновательной абстрак-
ции, побуждаемой только желанием перещеголять своих
предшественников; например, абстрактное изучение сет-
чатых множеств (или «решеток»), либо неассоциативпых
алгебр почти не оправдывает надежды их авторов приме-
нить их к старым проблемам.
Можно также опасаться, видя математику, отходящую
в своих блужданиях от «интуитивных» понятий. В дей-
ствительности «интуиция» математика в гораздо большей
степени состоит в длительной привычке, чем в обращении
к концепциям, исходящим непосредственно из наших
чувств. В связи с этим наблюдается любопытное явление—
перенос чувственной интуиции на совершенно абстракт-
ные объекты. Наиболее поразительным здесь является
пример активного распространения языка геометрии
в математических теориях, казалось бы, весьма от нее
далеких (функциональные пространства, геометрия чисел,
алгебраическая геометрия над абстрактными полями,
геометрия «аделей» в теории чисел и т. д.); по-видимому,
многие математики находят в языке геометрии прекрас-
ное руководство в своих исследованиях.
V.	Причины и превратности прогресса
чистой математики
Никому не придет в голову отрицать, что зарождение
математики обусловлено задачами повседневной жизни,
счетом предметов или измерением величин. Основываясь
на этом бесспорном факте, целая школа мыслителей хо-
чет видеть в развитии математики лишь воздействие внеш-
них, в основном социальных факторов, или реак-
цию на нужды техники или естествознания. В том, что
касается последнего пункта, то несомненно, что уже
с самого зарождения исчисления бесконечно малых важ-
ная часть математического анализа была тесно связана
с развитием механики, астрономии и физики. Эта связь
не ограничилась проблемами, возникшими в названных
науках, которые превратились в постоянный и неисчер-
паемый источник новых задач, в том числе задач в области
функциональных уравнений (обыкновенных дифферен-
циальных уравнений и с частными производными, урав-
нений в конечных разностях, позже интегральных, ин-
тегро-дифференциальных и т. д.), но выразилась также
17
в создании общих методов решения этих уравнений, ме-
тодов, которые возникли в результате перевода на мате-
матический язык чисто физических концепций (понятия
энергии, различных «экстремальных принципов»). Более
того, уже почти столетие новое поле приложений (стати-
стика, исследование операций, вычислительные машины)
открыто для других математических дисциплин, таких,
как алгебра и логика, с естественным и неизбежным при
этом взаимообменом идей. Тем не менее, несмотря на всю
важность ветвей математики, находящихся в постоянном
и плодотворном контакте с приложениями к наукам
о природе, они далеко не составляют большинства в древе
современной математики. История математики XIX в.
дает достаточно тому примеров. Среди больших новых
теорий, возникших в этот период, только гармонический
анализ и спектральная теория операторов происходят
отчасти из потребности их использования физиками или
астрономами, но ничего подобного нельзя сказать об ос-
тальных новых идеях этого века, из числа которых упо-
мянем здесь наиболее яркие: группы, инварианты, алге-
браическую теорию чисел, неевклидову геометрию.
Признаюсь, мпе не кажутся убедительными попытки
«социологических» объяснений происхождения этих тео-
рий. Конечно, очевидно, что некоторый уровень цивили-
зации необходим для развития «абстрактных» манипуля-
ций. Но, будучи высказанным, что «объясняет» это ба-
нальное соображение? Я с любопытством ожидаю социо-
лога, который покажет мпе, каким образом общественная
среда маленьких немецких дворов конца XVIII в. могла
неминуемо привести молодого Гаусса к исследованию
вопроса о построении правильного 17-угольпика с помощью
циркуля и линейки! По-моему, не стоит заходить слишком
далеко в поисках фантастических причин, когда достаточ-
но взглянуть вокруг себя, чтобы увидеть всеобщее вле-
чение, которое уже с ранних лет развивают игры, возбуж-
дающие естественное любопытство человека и взываю-
щие к его прозорливости: все виды загадок, головоломки,
кроссворды и т. д. Надо ли также удивляться, рассмат-
ривая теоретико-числовые проблемы, которые изобилуют
уже со времен греческой математики? И если некоторые
из них, как, например, определение прямоугольных тре-
угольников со сторонами, выражаемыми целыми числами
(задачи, решенной Пифагором в V в. до н. э.), представ-
18
ляют некоторый практический интерес, то достаточно от-
крыть Диофанта, чтобы найти там десятки проблем, кото-
рые не имеют никакого практического применения и
рассматриваются лишь как замысловатые и трудные за-
гадки.
Необходимо также представлять себе ту роль, которую
играли целые числа в античной философии и религии,
в частности у пифагорийцев и у мыслителей, испытавших
их влияние. Последние были полны презрения к тем, кто
хотел опорочить низменными практическими интересами
созерцание Истины и Красоты, которые открываются
в свойствах чисел тем, кто занимается их изучением. Мы
видим, что вместе с греками (и современными математи-
ками, разделяющими их эстетические взгляды) мы да-
леки от бешешгого утилитаризма тех, кто видит в мате-
матике только банальный рабочий инструмент,— концеп-
ция, исторически возникшая лишь в XVIII в. Если бы
она получила перевес, то задушила бы в зародыше боль-
шинство прекрасных теорий, завоеванных с тех пор ма-
тематикой, среди них даже, возможно, те, к которым тяго-
теют самые что нм па есть практики.
Итак, я полагаю, что мы имели возможность убедить-
ся в том, что основной фактор развития математики имеет
внутреннее происхождение — размышление о глубокой
природе поставленных проблем, независимо от их проис-
хо/кдения. Отметим также часто встречающееся парадок-
сальное явление, когда внешне пустяковые задачи при-
водят к красивейшим и мощным теориям. Например, уже
с момента возникновения исчисления бескопечно малых
располагали вполне удовлетворительными для нужд
практики методами приближения корня алгебраического
уравнения или же значения определенного интеграла;
это, естественно, с самого начала могло бы отвратить
математиков от проблемы решения алгебраических урав-
нений в радикалах или от исследования функции,
выражающей длину дуги эллипса, так как, по-видимому,
решение этих задач ничего не давало практику, доволь-
ствующемуся численными методами. Однако известно,
что произошло как раз обратное: упорству математиков,
вдохновленных завещанным греками идеалом поиска
Истины, свободного от каких-либо практических интере-
сов, мы обязаны рождению теории групп и современной
алгебраической геометрии.
19
В совсем недавнее время мы были свидетелями неод-
нократно повторявшейся ситуации, непостижимой для
физиков и философов, когда с удивлением замечают, что
математический аппарат, необходимый для развития по-
явившихся революционных концепций современной фи-
зики, таких, как теория относительности или квантовая
механика, уже задолго до их рождения был создан и раз-
вит в связи с внутренними проблемами математики вне
каких-либо подозрений, что этот аппарат может когда-
нибудь получить другие приложения.
Мне остается сказать несколько слов об исторических
превратностях прогресса в математике, ибо не следует
полагать, что ее развитие происходит плавно и упорядо-
ченно, даже в самые благоприятные времена. Решение
некоторых проблем, поставленных несколько веков или
даже тысячелетий назад, до сих пор не продвинулось ни
на шаг, среди наиболее известных из них: проблема су-
ществования совершенных чисел, определение простых
чисел Ферма или Мерсенна, иррациональность константы
Эйлера. Без видимых причин некоторые периоды являют-
ся математически бесплодными, как десятилетие 1785 —
1795 гг., когда сам Лагранж пришел к мысли о конце эры
математических открытий. Напротив, мы явились жи-
выми свидетелями того, как после обеих мировых войн,
без видимых к тому причин, хлынули потоки новых идей,
внезапно появившихся с разных сторон.
Необходимо также принимать во внимание школы и
моду: после смерти Ферма практически в течение 70 лет
математики не занимались алгеброй и теорией чисел,
соревнуясь в оформлении великого творения эпохи —
исчисления бесконечно малых. В наше время в некоторых
математических кругах (русская и польская школа 1920 —
1940 гг., сотрудники Куранта в Нью-Йорке) считалось
хорошим тоном интересоваться лишь функциональным
анализом, теорией множеств или топологией, пренебре-
гая остальными разделами математики. Наконец, некото-
рые теории после блестящих успехов внезапно сошли со
сцены, либо из-за недостатка новых задач, либо из-за
кажущейся их неприступности. Примерами таких теорий
служат теория инвариантов, теория дифференциальных
уравнений в комплексной области (уравнения Пенлеве).
Нет никаких оснований считать, что в настоящий мо-
мент происходит спад в развитии математики. Не прохо-
20
дит и года, чтобы не появился математик с исключительно
оригинальными идеями, позволяющими решить пробле-
мы, с которыми не справились его предшественники
За последние 20 лет в мире значительно возросло число
исследователей.
Нередко задают себе вопрос, не задушит ли разраста-
ние математики ее будущий прогресс: невозможность фи-
зически охватить теории, столь многочисленные и столь
богатые понятиями и результатами, привела к крайней
специализации и к прогрессирующему разобщению тео-
рий, что в конечном счете ведет к их увяданию вследствие
недостатка живительных новых идей, приходящих со
стороны. Нам действительно известны такие примеры
истощения теорий, но. к счастью, как мы уже неоднократ-
но повторяли, в математике существует мощная тенден-
ция к унификации, уменьшающая эту опасность. И неред-
ко длинные и многословные выводы, полученные старыми
методами, умещаются па нескольких страницах благодаря
анализу, исходящему из более общих концепций, или же
созданию новых методов. Таким образом, математики не
имеют серьезных причин сомневаться в процветании своей
науки, по крайней мере до тех пор, пока будут сущест-
вовать современные формы цивилизации.
ОБ ОБЩЕМ ВОЗДЕЙСТВИИ МАТЕМАТИКИ
ИА НАТУРФИЛОСОФИЮ ЗАПАДА1
А. К. Кромби
Натурфилософия, унаследованная Галилеем и его сов-
ременниками, отражала множество отдельных общих ев-
ропейских откликов на мысль древних 2. Свой первый ин-
теллектуальный импульс средневековый запад получил
в XII—XIII вв. в результате обнаружения аристотелев-
ской логики, натурфилософии и евклидовой геометрии, и
этот импульс продолжал действовать в течение XIV в.
в «философском сообществе», основанном на универси-
тетах, расположенных в основном в северной части Евро-
пы. Двумя значительными достижениями этого философ-
ского сообщества были, с одной стороны, некая система
объяснения, особенно в теоретических построениях мате-
матики и космологии, а с другой — логическая точность
в применении доказательства при выдвижении довода,
включая выбор решения па основе запланированных на-
блюдений. Аристотелевская логика навязывала науке
о природе такую форму доказательства, относящую при-
чину к следствию, как предпосылки к выводу, которая
могла скрывать реальные процессы и приемы решения
проблем, однако в этой форме была воплощена фундамен-
тальная греческая концепция системы, будь то макрокосм
Вселенной или микрокосм живого существа.
Структура рациональной философии, происходящей
в конечном счете от греческих источников, была описана
в середине XII в. испанским писателем Доминго Гунди-
салво в его «De divisione philosophiae» 3, являющейся от-
ражением более раннего арабского философского опыта,
описанного в X в. ал-Фараби. Гупдисалво разделил знание
на божественную науку (divina scientia), происходящую
1 Перевод с английской рукописи О. Б. Шейнина.
2 Настоящая статья основапа на соображениях, развитых в кни-
ге [1].
3 О Гундпсалво и источниках его познании см. [2, стр. 36—40].
22
от Ветхого и Нового заветов, и человеческую науку (hu-
mane scientia), «открываемую человеческим рассужде-
нием» [3, стр. 5]. Часть труда Гундисалво была посвяще-
на красноречию (eloquencia), а часть — учению об уме
(sapiencia); последнее включало философию, которая
стремилась «постичь истинную суть всего, что существу-
ет, поскольку это возможно человеку» [3, стр. 9]. Некото-
рые вещи существуют, по Гундисалво, независимо от че-
ловека, например бог, небо и Земля, а также все одушев-
ленные создания и неодушевленные предметы, порож-
денные естественно (naturalia); другие вещи, как законы,
учреждения, религиозные обычаи и все искусственные ве-
щи (artificialia), были «созданы умением и волей человека»
[3, стр. 10—И], который был в состоянии наложить на
естественный материал искусственную форму, как при из-
готовлении вина или статуи. Философия разделялась на
теорию и практику [3, стр. 11], каждая из которых состояла
из трех частей. Теоретические философии включали физи-
ческую науку или науку о природе (scientia physica sive
naturalis) — низшую науку, изучающую материальные
предметы в процессе изменения, математическую науку
или дисциплину (scientia mathematica sive disciplinis),—
среднюю (media) науку, изучающую изменения в аб-
страктном, теологию или первую науку, первую филосо-
фию, метафизику (theologia sive scientia prima, sive phi-
losophia prima sive metaphysica)- высшую науку, изучаю-
щую неизменные и абстрактные предметы4. Практиче-
ские философии включали политику или искусство граж-
данского управления, искусство управления семьей,
включая общее и техническое образование, и этику или
искусство управления собственным поведением [3, стр. 16,
139-140]. ‘
Геометрический рационализм, характерный для «Вто-
рой аналитики» Аристотеля и трудов Евклида, прояв-
ляется у Гундисалво при изложении математики. Матема-
тика у него состояла из семи искусств (artes) — арифме-
тики, геометрии, музыки, астрономии, а также наук о зре-
нии (scientia de aspectibus), весах и простых механизмах
(de ingeniis), каждая из которых являлась и теоретической
4 Там же, стр. 14 -15; «Scientia naturalis», стр. 19—27; «De mathe-
matics», стр. 28— 35; «De scientia divina», стр. 35—43. Первая
из mix включала медицину (стр. 20, 83). Стоит отметить сравнение
художника или ремесленника с натурфилософом (стр. 27).
23
и практической. Методом всех этих наук было доказа-
тельство (demonstratio), т. е. «силлогизм, основываю-
щийся на первичных и истинных предложениях» [3,
стр. 31—ЗЗ]5, которые, в свою очередь, могли быть осно-
ваны на чувствах, либо быть самоочевидными, либо, на-
конец, уже быть доказанными, подобно заключениям
евклидовых теорем. Этот подход можно иллюстрировать
двумя примерами. Наука о зрении, основанная на выво-
дах, «которые, как доказал Евклид, являются необходи-
мыми», требовалась потому, что зрение иногда обманы-
вало, как, например, когда квадратные предметы на рас-
стоянии казались круглыми или когда предметы казались
расположенными в ином порядке, либо имеющими иные
относительные размеры или положение по сравнению
с истинными размерами и положением. Следовательно,
была необходимость в средствах для разграничения «меж-
ду тем, что представляется зрению иным, чем оно есть на
самом деле, и тем, что представляется таким, как оно есть.
Ибо эта наука определяет причины, от которых эти вещи
происходят, и притом добивается этого необходимыми до-
казательствами; кроме того, она учит, каким образом зре-
ние может вводить в заблуждение, чтобы тем самым мы
не ошибались, а могли постигать все, на что мы смотрим,
именно таким, каким оно есть» [3, стр. 112—113]. При рас-
смотрении науки о простых механизмах Гундисалво
столкнулся с проблемой связи абстрактной математики
с конкретными и фактически применяемыми музыкальны-
ми инструментами, зажигательными зеркалами, строи-
тельным оборудованием и т. п. Она была для него мостом
между зтими двумя различными областями: «Наука о
простых механизмах (scientia ingeniis) есть наука о том,
какими ухищрениями можно заставить согласовываться
все зти вещи, меры которых выражены (числом) и дока-
заны в теоретическом учении (in doctrinis); согласовывать-
ся, я говорю, в естественных телах... Науки о простых
механизмах поэтому учат способам ухищрения и отыска-
ния того, как естественные тела могут быть подогнаны одно
к другому при помощи какой-нибудь выдумки, соответ-
ствующей числу так, чтобы от них могла произойти та
польза, которую мы ищем» [3, стр. 122—124].
5 См. также [3, стр. 90—124].
24
Гундисалво предложил не более чем программу, 6 ОС*
новном переписанную из его арабских источников и не
содержащую свидетельств какой-либо способности решать
теоретические либо практические задачи. Однако вне об-
разованного научного сообщества существовали ремес-
ленники, которые в этот период начали выказывать приз-
наки рационального понимания реальных конструкций
и точности их работы. Одна из исторических проблем,
еще ожидающая своего решения, есть проблема соотноше-
ния между научным сообществом и ремесленниками. Име-
ются свидетельства о возрастающих контактах между
этими двумя группами. В XII в., видимо, наблюдалось
повышение общественного положения таких специали-
зированных ремесленников, как архитекторы (architec-
tus), выделившихся в качестве теоретиков (teoricus)
и имевших мастеровых под своим началом, от простых
практиков (practicus) своего ремесла. На совещании, про-
исходившем в 1391 г. во время постройки Миланского ка-
федрального собора, один из архитекторов заявил: «Ис-
кусство без науки ничто» (Ars sine scientia nihil est) ®.
В связи с этим возникает вопрос: что же в точности озна-
чал термин «наука» (scientia) в отличие от термина «ис-
кусство» (ars), притом не только для архитекторов, но
и вообще для практиков и теоретиков того периода? Дру-
гим изменением было возрастание объема обучения нау-
кам и практической математике в университетах. Про-
граммы обучения этим наукам, а также история техни-
ческих сочинений и самой техники представляют богатое
поле для исследований, и, конечно же, именно здесь сле-
дует отыскивать историю склонности к практической и
количественной точности в научной и технической дея-
тельности. Подобные исследования должны сочетаться с
накоплением биографий отдельных лиц. И, как всегда,
филология обеспечивает необходимую существенную по-
мощь в понимании и теоретических идей, и фактической
деятельности, например, посредством изучения значений
и изменений значений таких терминов, как «natura», «lex
naturae», «naturalia», «artificialia», «ars», «scientia», «phi-
losophia», «causa», «fortune», «demonstratio», «mathema-
tica», «ratio», «quantitas», «mensura», «calculatio», «harmo-
6	Cm. [4—6]. По поводу средневековых теорий происхождения ис-
кусств и паук и их классификации см. бауэровское издание [3,
стр. 349 и след.], [7], [2, стр. 21 и след.], [8, 9].
25
Jiicus», «scientia experimentalis», «scientia de ingeniis», «ma*
gia nattiralis», «macliina», «organicus», «instrumentarius»,
«motus», «elementum», «species», «virtns», «corporalis»,
«materialis», «spiritualis», «ingenium».
С конца XIV в. высшая группа, которую Олыпки ха-
рактеризовал как «мастеров-инжеперов» [10, стр. 35 и
след.], ввела в интеллектуальную жизнь новый стиль ра-
ционализма, отличного от рационализма университетских
философов. Эти мастера-инженеры были, по существу,
продуктом итальянского городского общества. Их вклад
в интеллектуальное и техническое здание европейской на-
уки состоял в добавлении к логическому контролю аргу-
ментации, достигнутому философами. рационального
контроля над многообразным содержанием живописи,
скульптуры, топографии, картографии, архитектуры,
инженерного дела, строительства каналов, фортификации,
артиллерийского дела, анатомии и музыки. Вожди этой
группы все чаще обучались теоретическим наукам, как,
например, геометрической оптике и механике, а также
анатомии, равно как и таким практическим искусствам,
как литью и каменной кладке.
Наиболее утонченным примером практического приме-
нения теории этими мастерами было применение линейной
перспективы, основанное на научных трактатах Евклида,
Птолемея, Герона Александрийского, Ибн ал-Хайсама,
ал-Кипди и Витело. Евклид формализовал учение об
оптике как теорию зрения, приняв глаз за начальную
точку лучей зрения, образующих конус с вершиной
в глазе и основанием в наблюдаемом объекте. Главной
целью греческой оптики (optice — термин, обычно пере-
водимый на средневековый латинский язык как perspec-
tive) бы то нахождение соотношения между истинными
размерами объектов и их изображениями, и эта цель
оставалась главной как в арабской, так и в латинской
средневековой оптике. В XIII в. Роберт Гроссетест про-
явил, по существу, философский интерес к построенной
таким образом оптике как к основной иллюстрации ари-
стотелевой теории доказательства в естествознании [2,1971,
стр. 117], [11]. Художники-перспективисты XV в. ис-
пользовали научную оптику для другой цели, сформули-
рованной Лоренцо Гиберти следующим образом: «Под-
ражать природе, когда это возможно» [12, стр. 48].
Они не были заинтересованы ни в методологии, ни
26
в самой теории зрения. Вместо этого они независимо соз-
дали то, что стало называться естественной или обыкно-
венной перспективой (perspectiva naturalis или communis),
новой художественной или практической перспективой
(perspectiva artificialis или prospettiva practica), давшей
практичный геометрический метод построения убеди-
тельного изображения трехмерного пространства на дву-
мерной картине или в скульптуре. В основе их исследо-
ваний лежало представление картинной плоскости в каче-
стве сечения конуса лучей зрения. Таким образом, они
сделали оптику Евклида не наукой, непосредственно при-
водящей к геометрической теории пространства зрения,
а неким практическим методом, позволяющим им изме-
рять и получать то, что было бы видно при определенном
угле зрения, расстоянии, размере, расположении, форме,
отражении, преломлении, тени и т. д., и преобразовывать
эту информацию в образы на плоскости или на поверхно-
сти скульптуры 7.
Художники-перспективисты были почти столь же
очарованы вычисленными искажениями зрения, как и
истинными представлениями. Филиппо Брунеллески и
Л. Б. Альберти применили новые технические приемы
и при помощи оптических приборов объяснили оба эти
явления. Альберти писал в 1435 г.: «... Ни один знаток не
станет отрицать, что никакие объекты на картипе не могут
казаться естественными, если только они не находятся в
определенном отношении друг к другу. Мы объясним тео-
рию, лежащую в основе этого утверждения, если только
когда-нибудь напишем о пашем способе демонстрации
картии, которым восхищались наши друзья, называя
это „чудом рисования" (miracula picturae). Сказанное
мпою очень уместно для этого аспекта нашего предмета»
122, стр. 8].
Возможно, что Альберти совершал эти чудеса при по-
мощи своего рода кинетоскопа,— быть может коробки
с картиной, нарисованной внутри нее па экране и наблю-
7	Проблема истолкования евклидовой оптики художниками Воз-
рождения в процессе развития своих идей и практики отличается,
разумеется, от проблемы концепций, которые могут быть правиль-
но отнесены в самому Евклиду п его греческим последователям.
Относительно истории теории перспективы см. [13, стр. 90 и след.],
[14], [15, стр. 183—221], [16, стр. 758—770] (две последние статьи
содержат обширную библиографию), [17], [18], [19, стр. 32, номер
56 и библиографию], [20, стр. 21 и след.]; см. также [21].
27
даемой сквозь проколотое отверстие, предвосхитившей
камеру-обскуру, использованную Леонардо да Винчи для
объяснения перспективы 8. Сконструированное Альберти
«окно» или рамка — плоская прозрачная решетка, поме-
щаемая перед наблюдаемым объектом,— показывала, как
картина соответствовала сечению этой решеткой прохо-
дящего через нее конуса зрения 8. Это устройство было так-
же принято Леонардо и иллюстрировано Альбрехтом Дю-
рером 10. Кроме зтого требования количественной точ-
ности в подражании природе Дюрер впитал в себя фло-
рентийский платонизм, утверждая: «...Хороший худож-
ник наполнен изнутри фигурами, и, если бы он мог жить
вечно, ему пришлось бы всегда выискивать нечто из своих
внутренних идей, о которых пишет Платон» и. Эти и дру-
гие художники, как, например, Пьеро деи Франческа 12,
чьи пояснения знаменуют подъем научной и литературной
эрудиции художника, несомненно предлагали в некоторой
степени теоретическое обоснование методов, обнаружен-
ных в основном практикой. Однако сами эти обоснова-
ния иллюстрируют характерное рациональное и активное
8	См. Альберти [23, стр. 112—ИЗ] и [22, стр. 51, 57, 105 106,
109—117], а также [24, стр. 14—27]. Источники, относящиеся
к истории камеры-обскуры, см. в [19, стр. 32—39, 46—47], [25—
27]. О Леонардо да Винчи см. [28, стр. 14 и след.].
8	По этому вопросу см. [22, стр. 51 — 56, 68—69, 107—109, 121],
[23, стр. 55, 66—71, 115], [29], [30, стр. 123—129], [31, стр. 120],
[20, стр. 27 и след., 38—39, 75—76], [6, стр. 35 и след.]. Относи-
тельно сходства между методами Альберти в перспективной
живописи и в топографии (например, в его «Discriptio Urbis
Romae», «Ludi matematici» и «De re aedificatoria», датируемых
десятилетием после его возвращения из Флоренции в Рим в 1443 г.)
см. [22, стр. 115—117], [23, стр. 18, 114], [20, стр. 70 и след.,
стр. 164 и след.] (о других простых механизмах, в основном опи-
санных по Витрувию, см. стр. 205—209) п [32].
10	См. [33], [34, стр. 252—253], [24, стр. 34—43]. В лекциях о дан-
тевском «Аде» Галилей [35, стр. 42] упомянул еще один матема-
тический труд Дюрера — «Vier Bucher von menschlicher Pro-
portion» (1528). В [36, стр. 191] имеются иллюстрации дюреров-
ского «телара» или «инструмента для рисования в перспективе»,
а на стр. 192—193 — иллюстрация камеры-обскуры с линзой.
Бароцци да Виньола [32, стр. 55 и след.] дал также рисунок
«окна». Литературу об «окне» Леонардо да Винчи см. в [37,
стр. 33], [28. стр. 72 и след.].
11	Цитируется по [34, стр. 280]; этот отрывок был написан в 1512 г.;
ср. [34, стр. 243, 255—260, 280—282] и [38, § 31 и след.].
12	См. [39]; приятное своей свежестью обсуждение истории этого
периода см. в [40, стр. 20 и след.], [41].
28
аналитическое отношение к природе, которому впослед-
ствии стали подражать техника и математика.
Новая программа, не просто изученная, а с триумфом
реализованная этой группой в искусстве рисунка, полу-
чила свое наиболее содержательное выражение у Леонар-
до [42]. В ответ на вопрос, которым начинался его «Trattato
della pittora» [43], он писал: «Является ли живопись наукой
или нет? Наукой называется язык мысли, имеющий свое
происхождение в изначальных принципах, далее которых
в природе ничего нельзя найти, что составляло бы часть
зтой науки... Никакое человеческое исследование нельзя
назвать подлинной паукой, если оно не прошло через
математические доказательства. И если вы скажете, что
истинны науки, начинающиеся и оканчивающиеся в уме,
то зто неверно и должно быть отброшено по многим при-
чинам, и прежде всего потому, что в такой язык мысли не
входит опыт (esperientia), а без этого ничто не является
достоверным» [42, стр. 3—4]13.
В ответ на другой вопрос он применил следующую ло-
гическую структуру, отражающую и Евклида, и «Вторую
аналитику», в сочетании с наблюдениями, более непосред-
ственно относящимися к искусству живописи:
«Какая наука является механической, а какая неме-
ханической? Говорят, что механическим знанием яв-
ляется то, которое рождается из опыта, а научным (sci-
entifica)—то, которое порождается умом и завершается
в нем; полумеханическое знание — то, которое рождает-
ся в науке, а оканчивается в ремесле. Однако, мне ка-
жется, что науки, не возникшие из опыта — материи вся-
кой достоверности — и не оканчивающиеся в известном
опыте, т. е. происхождение которых, их построение и за-
вершение не прошло через какой-либо из пяти органов
чувств, напрасны и полны ошибок. Если мы сомневаемся
в достоверности того, что приходит к нам от наших ощу-
щений, то насколько более мы должны сомневаться в тех
вещах, которые противоречат ощущениям, вроде сущно-
13 Перевод здесь пересмотрен (эта цитата в переводе на русский
язык имеется в книге: Леонардо, Книга о живописи. Перевод
А. А. Губера и В. К. Шилейко. Общая редакция А. Г. Габричев-
ского, вступительная статья В. Н. Лазарева. М., 1934, стр. 59.
Однако перевод в ней не идентичен переводу в статье Кромби.—
Прим, перев.); ср. [44]. По поводу натурфилософии Леонардо
да Винчи см. [45, стр. 1 и след., особенно стр. 44—48], [46], [47]
и особенно [48, стр. 35 и след.].
29
сти бога, души и таких вещей, о которых всегда спорят и
ссорятся. Как раз всегда случается, что там, где отсут-
ствует основание, возникает сильный протест, чего
нет в случае достоверности. По этой причине, где налицо
сильный протест, там отсутствует подлинное знание, ибо
истина окончательна тогда и только тогда, когда она стала
общим достоянием и спор прекращается; но если спор
возникает вновь, то перед нами ложное и путанное знание
и достоверности нет. Истинными же науками являются
те, в которые истинный эксперимент входит через ощу-
щения и которые заставляют умолкнуть полемику. Они
создаются не теми, кто исследует их своим воображением,
а всегда основываются па первичных, истинных и извест-
ных принципах, следующих один за другим, и следствия
этих принципов всегда верпы. Это мы видим в элементар-
ных принципах математики, имеющей дело с числом и ме-
рой и называемой арифметикой и геометрией, а также рас-
сматривающей со всевозможной достоверностью разрыв-
ные и непрерывные величины. Здесь не спорят о том, что
дважды три больше или меньше шести или что сумма уг-
лов треугольника меньше двух прямых, ибо все такие дис-
куссии отвергнуты и обречены на вечное молчание, а ре-
зультаты математики дают умиротворение тем, кто посвя-
тил себя этой науке, которую нельзя назвать ложной
наукой ума.
Если вы скажете, что такие известные подлинные на-
уки имеют вид механических наук, так как могут достичь
своих целей только через ремесло, то я отвечу, что то же
самое имеет место для всего искусства, которое проходит
через руки его создателей, являющихся своего рода чер-
тежниками, а чертеж есть часть живописи. Астрономия
и другие науки действуют при помощи ручных операций,
но прежде всего они интеллектуальны, как и живопись,
которая первоначально содержится в уме того, кто раз-
мышляет о ней (del suo specculatore); однако и живопись
не может достичь совершенства без ручной операции. На-
учные и истинные принципы живописи, определяющие
прежде всего, что есть тень тела и что представляют собой
первичные и вторичные тени, чем является освещение
(1шне), что есть темнота, свет (luce), цвет, тело, форма,
положение, расстояние, близость, движение и покой,—
это принципы, постижимые только умом, без действия
руки. Это наука о живописи, содержащаяся в уме тех,
30
кто размышляет о ней, и без которой порождаются опера-
ции, тем более заслуживающие упомянутых размышле-
ний или научного исследования (contemplatione о scien-
tia)» [42, 1.19]14.
В другом месте он пишет: «Если художник хочет ви-
деть красоты и любоваться ими, то он властен над их по-
рождением», а затем продолжает: «Фактически все, что
существует во вселенной в виде сущности, явления или
воображения, он первоначально имеет в уме, а затем в ру-
ках, и все это столь ярко, что пропорциональная гармо-
ния, которую образуют вещи, отражается в единственном
озарении» [42, 1.35] 1Б.
Дальнейшие выдержки указывают на взгляды Леонардо
на искусство замысла и науки о природе, основанные на
причинности и необходимых естественных законах. «При-
рода подчинена закону, живущему в ней»,— писал он
[44, MS С. f. 25v] 16; ее закон аристотелев, ибо Аристотель,
обсуждая, почему поверхность воды удерживается за пло-
тиной, утверждал, что вся опа «располагается па равном
|расстоянии от центра мира». Он, кажется, был опьянен
феноменом необходимости: «О удивительная, изумитель-
ная необходимость, своими законами ты принуждаешь все
события следовать своим принципам кратчайшим путем»
[44, f. 345v],
Его рассказ о своих методах снова отражал «Вторую
аналитику»:
«Но сначала я делаю некоторый опыт (essperientia),
прежде чем идти дальше, потому что намереваюсь сначала
ссылаться на опытное знание, а затем уже доказывать ра-
зумом, почему подобные опыты нужно производить имен-
но таким образом; таково истинное правило, в соответ-
ствии с которым должны поступать теоретики (spechula-
Lori), изучающие естественные явления. И хотя природа
зачинается с причины и оканчивается в опытном знании,
там необходимо поступать наоборот, т. е. начинать...
! опытного знания и с его помощью исследовать причины»
49, MS Е, f. 55г1.
4 В указанной выше книге Леонардо да Винчи на русском языке
эта цитата помещена на стр. 81—82; переводы опять-таки не
совпадают. (Прим, перев.)
6 Аналогично см. стр. 64 русского перевода. (Прим, перев.)
Р «La natura constretta daila ragione delia sua legie che inllei infi-
samente vive...».
31
Разум Ставит исследователя в господствующее Поло-
жение, потому что,— писал он при обсуждении количе-
ственного закона свободного падения тел,— «в природе
нет результата без причины; пойми причину, и тебе не
нужен опыт» [44, f. 147v] 17.
Для Леонардо как мастера искусства и замысла и мыс-
ленного экспериментирования, с которым, как свидетельст-
вуют его беспорядочные рукописи, он находился в беско-
нечной интеллектуальной игре, исследование природы
являлось целью, преследуемой в основном интеллекту-
альными ухищрениями:
«О, раздумывающий о вещах, я не хвалю тебя за знание
вещей, которые природа обычным образом сама естествен-
но осуществляет посредством своего собственного порядка;
но, говорю я, наслаждайся знанием цели тех вещей, которые
придуманы твоим собственным разумом» [49, MS G, f. 47г].
Параллельный художественный рационализм наблю-
дается в позиции, занятой современником Леонардо, фи-
лософом Марсилио Фичини (1433—1499). Посредством
многословной герметической риторики 18 Фичини предло-
жил свою точку зрения на соотношение человеческого и
божественного знания принципов творения, основанную
на аналогии человеческого и божественного искусства.
Человеческий разум понимает естественные вещи только
в определенной пропорции к божественному пониманию.
Ибо «если правда то, что говорят будто сила знания должна
соответствовать познаваемой вещи, то, быть может, это
верно для нашего знания. Действительно, поскольку мы
через знание еще не являемся создателями вещей, быть
может, пет никакой причины, почему мы должны пони-
мать эти вещи, если бы не существовало определенной про-
порции; по так как первичной причиной вещей является
божественное понимание, то бог не приходит к познанию
потому, что он соответствует природе вещей, он знает
потому, что сам является причиной вещей» [38, стр. 11491.
Но в применении разума в человеческом искусстве
Фичини нашел наиболее очевидное доказательство дей-
ствия аналогичного разума в природе.
17 Nessuno effeto е in natura sanza ragione; intendi la ragione, e non
ti bisogma sperienza.
18 В оригинале «Hermetic rhetoric»; Гермес (Hermes) — в частности,
бог секретов, а Гермес Трисмеджистус — зачинатель египетского
искусства, наук, магии. (Прим, перев.)
32
«Соответственно, если человеческое искусство есть лишь
подражание природе и если это искусство создает опре-
деленные творения в соответствии с определенными прин-
ципами работы (operum rationes), то и сама природа дей-
ствует подобным же образом, и чем более эффективно она
действует и чем более прекрасные вещи создает, тем более
живо и мудро ее искусство. И если искусству, которое не
создает живых существ и не вводит оригинальных или
совершенно новых форм, присущи жизненные принципы
(rationes), то насколько же более необходимо думать,
что природе, которая порождает живые существа и про-
изводит оригинальные и совершенно новые формы, присущи
жизненные принципы. Чем собственно является человече-
ское искусство? Видом природы, который управляет внеш-
ней материей. Чем является природа? Искусством, кото-
рое управляет материей изнутри, и дело обстоит так, буд-
то внутри дерева находится резчик. Но если человеческое
искусство, хотя оно и находится вне материи, все-таки
настолько согласованно и настолько близко к выполняе-
мой работе, что успешно создает определенные творения
с определенными идеями, то насколько же лучше это вы-
полняется искусством природы, которое не касается по-
верхности ни своими руками, ни другими внешними ору-
диями. Так, рука 19 геометра при построении фигур на
земле касается пыли, но ум геометра конструирует свою
воображаемую материю изнутри. И как ум геометра, ког-
да он обдумывает внутри себя принципы фигур и без какого-
либо усилия или плана создает внутреннее совпадение
с образами фигур, так в искусстве природы божественная
мудрость посредством интеллектуальных принципов на-
полняет природными семенами саму животворящую и
движущую силу, соединенную с ней, и тем самым весьма
просто и тоже изнутри образует материю. Что такое тво-
рение искусства (artificium)? Разум художника (artificis)
в веществе, отделенном от него. Чем является создание
природы? Разумом природы в веществе, соединенном с ним.
Поэтому устройство этого творения напоминает устройство
создания природы настолько больше, насколько устрой-
ство произведения искусства схоже с человеческим искус-
ством, причем в той же пропорции, в какой материя ближе к
18 В издании 1576 г. написано «душа» (anima), а не «рука» (manus),
но это явная опечатка.
2 Историко-математ. исслед., в, XXI
33
природе, чем к человеку, й в какой природа управляет
материей в большей степени, чем человек. Поэтому разве
ты усомнишься положить определенные правила в основу
определенных созданий природы? И даже более того:
как и человеческое искусство,— из-за того, что оно ка-
сается лишь поверхности вещества и творит при помощи
случайных правил, а потому создает случайные формы,—
искусство природы — поскольку оно порождает или вы-
являет реальные формы из глубины материи,— действу-
ет, как хорошо известно, в основном посредством суще-
ственных и вечных правил... Но определенные вещи дол-
жны возникать от определенных семян, и какие бы вещи
не переходили из состояния потенции в реальность, они
приводятся к такой реальности причиной, которая уже
имеет в себе эту реальность, равную или даже превосхо-
дящую ее» [50, стр. 1231.
Однако, хотя и человеческое и природное искусство
начались изнутри от рациональных принципов, одно
только человеческое искусство свободно и изобретательно.
Для Фичини, как и для Леонардо, человеческое искус-
ство зарождается сначала в голове, и человек, создавая
произведения искусства таким образом по своей собствен-
ной воле, не только соперничал с природой своим подра-
жанием, но подражал и богу — изобретателю самой
природы.
Примеры Фичини включают идею моделей, формаль-
но, если и не материально, идентичных своим естест-
венным соответствиям, которую Леонардо продвинул
намного дальше, используя ее в качестве орудия научного
исследования.
«Другие живые существа существуют либо без искус-
ства, либо с одним единственным искусством, к занятиям
которым они не обращаются добровольно, а понуждаются
законом судьбы (fatali lege). Доказательство этого ут-
верждения состоит в том, что с течением времени они не
совершенствуются в деле создания вещей. С другой сто-
роны, человек является изобретателем бесчисленных ви-
дов искусства, которыми он занимается по своей собствен-
ной воле. Это доказывается тем, что человек занимается
многими видами искусства, изменяется при этом и, ввиду
длительной практики, становится более умелым. И, что
примечательно, человеческие искусства сами по себе соз-
дают все, что только создает природа, будто бы мы яв-
34
ляемся не рабами природы, а ее соперниками 20 21. Зевксис
так нарисовал виноград, что птицы слетали вниз к картине.
Апеллес так нарисовал кобылу и суку, что пробегавшие
мимо ее лошади тихо ржали, а собаки завывали. В не-
коем индусском храме Пракситель вырезал из мрамора
столь прекрасную Венеру, что ее с трудом уберегали
в целости и целомудрии от похотливых взглядов прохо-
жих. Архит Тарентский вырезал голубя из дерева в соот-
ветствии с математическими правилами, подвесил его и на-
дул своим дыханием так, что он полетел. Египтяне, как
утверждает Гермес, создавали такие статуи богов, кото-
рые могли говорить и ходить. Архимед из Сиракуз изго-
товил бронзовую небесную сферу (coelum), в которой са-
мым реалистическим образом выполнялись, как и на самом
небе, все семь движений планет и она сама вращалась как
небо и. Вряд ли нужно упоминать о пирамидах египтян,
зданиях и мастерских по выработке металла и стекла у рим-
лян и греков. Коротко говоря, человек копирует все тво-
рения божественной природы и завершает, исправляет
и подправляет творения более низкой природы. Таким
образом, могущество человека почти подобно могуще-
ству божественной природы, ибо человек, сам по себе, т. е.
при помощи своих собственных планов и искусства, уп-
равляет собой, почти не стесненный пределами своего те-
лесного естества, и соперничает в своих трудах с отдельными
творениями более высокой природы...» [50, стр. 295—297].
Человек проявляет мощь своего разума в многообразии
наслаждений, придуманных им для своих пяти чувств,—
в тканой материи, картинах, скульптурах и сооружениях,
а также летая по воздуху подобно Дедаду и Икару, ис-
пользуя огонь, возделывая землю и орошая ее. Он устано-
вил господство над каждым веществом в мире и над всеми
стихиями; «он использует все, будто он владыка всего»; его
ремесла «формируют вещество мира и управляют живыми
существами, а тем самым подражают богу, изобретателю
природы (Deus naturae artifex)». Аналогично обстоит дело
со «свободными науками», науками о числах и фигурах,
с музыкой, астрономией, натурфилософией, метафизикой,
20 По поводу нижеследующих примеров влияний искусства см. [51,
XXXV, стр. 36, 65, 95 и XXXVI, стр. 4, 21].
21 О небесной сфере или планетарии Архимеда см. [52, I, 14, 22].
Описание голубя Архита было дано во втором столетии нашей
эры в [53, Х.12.8].
2*
35
ораторским искусством, а также с «вдохновленным сумас-
шествием поэтов».
«Особо следует отметить лишь то, что не просто кто
угодно может понять, при помощи каких принципов и ка-
ким образом творение даровитого художника, артисти-
чески созданное, соединено воедино, но только тот, кто
обладает равной силой художественного гения (artis
ingenium). Ибо никто не смог бы понять, каким образом
Архимед сконструировал свои бронзовые сферы и придал
им движения, аналогичные небесным движениям, если
только он сам не был наделен аналогичной гениальностью.
И тот, кто понимает подобное в силу аналогичной гениаль-
ности, конечно же, способен сконструировать те же вещи
после того, как он их осознал, если только не испытывает
недостатка в необходимых материалах. Поскольку, сле-
довательно, человек познал порядок небес, откуда, как
и когда они движутся или что они производят, кто может
отрицать, что он наделен гениальностью (так сказать),
почти равной гениальности творца небес, и что в опреде-
ленном смысле он смог бы создать небеса, будь у него
необходимые орудия и небесная материя; действительно,
он изготавливает их уже сейчас, хотя и из другого вещест-
ва, но весьма схожие по своему устройству с природными».
С середины XVI в., главным образом благодаря Про-
клу и Паппу, оформился платоновский стиль мышления
о математических искусствах и науках. Еще до печатных
изданий проклова Евклида (греческое издание 1533 г.,
латинское — 1560 г.) и Математического собрания Паппа
(только на латинском языке, 1588 г.) эти произведения
были известны в рукописях. Знание мыслей этих ученых,
равно как и соответствующих древних теоретических и
практических руководств, стало доступным также и по
обширному и влиятельному сочинению Джорджо Валлы
[54]. Родившийся в 1447 г. во Флоренции, Валла, занимая
должность секретаря правителя Милана. Джиованни Джи-
акомо Триульци, смог собрать отборную коллекцию гре-
ческих рукописей из числа привезенных в Милан после
падения Константинополя. Этому покровителю, после
смерти Валла в 1499 г., сын последнего посвятил пос-
мертное издание великого сочинения своего отца 22. Сорок
девять'книг этого сочинения охватывают широкий круг
22 О Джорджо Валле и его коллекции рукописей см. [55].
36
вопросов современного автору общеобразовательного и
практического знания, описывая математические науки
вообще (1 книга), арифметику (3 книги), музыку (5), гео-
метрию (6), заканчивающуюся отдельной книгой о пнев-
матике. катоптрике и оптике; астрономию, включая кон-
струирование и применение измерительных приборов и
медицинскую астрологию (4); физиологию, т. е. науку о че-
ловеке и физике (4); медицину (7); грамматику (4); диалек-
тику, т. е. логику (3); поэтику (1); риторику (2); моральную
философию (1); экономику, включая архитектуру и земле-
делие (3); пропорциональности и непропорциональности
души и тела (3); и, наконец, дополнительные темы, вроде
славы и судьбы (1). Длинные рассуждения последних книг
приводили к моральным и медицинским заключениям о ве-
щах в душе, теле и вне нас, которых следует добиваться
либо остерегаться. Хотя многое из этого материала было,
естественно, основано на трудах Боэция, Евклида, Птоле-
мея, Аристотеля, Платона, Цицерона, Галена и на других
стандартных источниках, проведенное Валлой обсуждение
математических наук, поскольку он пользовался своей
коллекцией греческих рукописных текстов, проложило
новые пути в латиноязычной математике.
Описание математических наук и искусств у Валлы сле-
довало общему курсу Прокла и Паппа и с тем же плато-
новским рационализмом, однако характеризовалось ин-
дивидуальной точкой зрения. Автор выделил три вида
знаний: опыт в частностях без рационального познания
соответствующих причин, даже когда эти частности про-
являются одинаково, вроде наблюдаемых результатов дей-
ствия лекарств; затем частное и всеобщее рациональное
знания. Частное рациональное знание считалось им ча-
стью искусства либо науки: «Все наше знание либо незави-
симо от разума, либо связано с ним и является либо ча-
стным, либо всеобщим. Частное знание, независимое от
разума, приводит к экспериментальному знанию. Послед-
нее есть знание некоторой вещи без знания ее причины,
как если кому-то известна только польза от чего-то и он
применяет это что-то, не имея представления о причине
его полезности. Всеобщее знание без помощи разума при-
водит к опыту (experientia), ибо опыт независим от разу-
ма и всеобщего знания, как это, например, имеет место у
врачей-эмпириков, поскольку эти эмпирики, хотя им и
известны многие полезные вещи, все-таки не представляют
37
себе полностью причину их полезности. Поэтому опыт
состоит в запоминании и наблюдении, независимо от ра-
зума, тех лекарств, которые часто действуют одним и тем
же образом и которые применяются эмпириками, не имею-
щими представления о причинах. Далее, то, что представ-
ляет частное рациональное знание, составляет часть ис-
кусства или науки: искусства, если его предмету свой-
ственны изменения, и науки, если его предмет неизменен.
Но всеобщее знание, связанное с разумом, приводит
искусство или науку к завершению: искусство, если оно
изучало изменчивые предметы и такие предметы, которые
могут погибать; науку, если ее предметы неизменны и при-
том таковы, что не могут гибнуть. Таким образом, искус-
ство и наука различаются по своим предметам. Искусство,
следовательно, есть знание всеобщих (истин), связан-
ное с разумом и трактующее о переменных предметах,
либо иначе — искусство есть многообразное собрание по-
нятий, которые используются для некоторой цели и кото-
рые относятся к вещам, полезным для жизни человека. Так
вот, я сказал „многообразное собрание понятий" с тем, что-
бы его можно было отличить от экспериментального зна-
ния, когда это последнее происходит от частного знания.
Я добавил „используются", имея в виду хитрость, порож-
денную опытом, противоположным мнению, полезному
для некоторой жизненной цели, в силу наличия пустых и
скверных искусств, как, например, ходьбы по канату или
того, которое имеют обыкновение называть gohetica, пер-
вое из которых пи полезно, пи вредно, тогда как второе
действительно может оказаться весьма вредным. Искус-
ство можно также определить следующим образом: ис-
кусство'есть склад ума (habitus), параллельный вообра-
жению, причем воображению природы, которая сама есть
нечто вроде склада ума, потому что она неотделима от ве-
щей, в которых она существует, и она имеет свою соб-
ственную сущность в них, как, например, в животном,
растении, камне и т. д. Она также следует некоему пути,
т. е. следует своему собственному порядку, потому что она
выполняет все подобное, руководствуясь разумом, но не
воображением, как искусство, ибо она не заготавливает
внутри себя ничего из того, что желает породить. Но
художник (artifex) мыслит, когда хочет чего-либо'для'себя,
внутренне придает ему вид и форму и соответственно
создает для себя образ всего того, что должно быть ото-
38
бражено. Существуют некоторые философы, определяю-
щие „путь" и „разум учения" таким образом, который при-
годен и для определения науки. Так вот, наука отно-
сится к всеобщим истинам, знание о которых не может
быть обманчивым; ибо то, что известно без какой-либо
ошибки, известно по причине непоколебимости познавае-
мых вещей, их неизменной природы. Наука не исследует
также частичных свойств, привычек и темпераментов, как
медицина. Но она целиком охватывает человека, лошадь,
лису и другие вещи того вида, которые всегда одни и те
же. Искусство же имеет дело с текучими вещами и веща-
ми, которые не всегда одни и те же, потому что его предме-
ты текучи и переменны, как, например, предмет медици-
ны — человеческое тело. Поэтому обязанность врача (ше-
dicus) применять слабительное в надлежащее время, од-
нако если состояние пациента сразу же меняется и его
здоровье неустойчиво, то от слабительного последует и
вред и польза, и действие лекарства окажется нерезуль-
тативным не столько вследствие отсутствия искусства вра-
ча, как писал Гиппократ в подлинном предисловии к сво-
им „Афоризмам", сколько ввиду пищеварительных процес-
сов и изменений в теле пациента. Подобная неустойчивость
предметов не менее заметна во всех других видах искусств.
Таким образом, то, что относится к постоянным предме-
там, называется наукой, потому что она ведет нас к уве-
ренности и к цели, унося нас прочь от неопределенности
и изменчивости частностей» [54, I. 3, «De vario cognitionis
modo», sig. a Iv — a IIr] 23.
Вместе с Платоном Валла разделял предметы познания
на физиологические, математические и теологические, от-
нося к физиологическим все, происходящее от четырех
телесных элементов, к теологическим — все, полностью
лишенное материи, и полагая, что математические пред-
меты расположены между теми и другими. Из этого поло-
жения вытекала существенная воспитательная роль, при-
писываемая Платопом и его последователями математике
в руководстве умами юношества на пути от телесного к бо-
жественному 24. По поводу познания одушевленного он
цитировал Архита Тарентского:
23 Ср. соображения Джона Дунса Скота в [2, стр. 169—171].
24 См. [54, 1.6, «De divisione disciplinarum», sig. a. IIIV |; cp. [54,
lib. XX, «Physiologia», prol.]; см. также [56, \ II], [57, I, стр. 284
и след.; II, стр. 529 и след.].
39
«В своей книге „De mente et sensu“ Архит определил
разум и ощущение в качестве источников познания, а нау-
ку и искусство — как цели познания, и утверждал, что
из этих источников происходят все отрасли знания; целей
же науки и искусства человек может достичь при помощи
разума, ощущений и деятельности. В соответствии с вида-
ми родов этих источников могут существовать и виды поз-
нания» [54, 1.6, sig. a IVrL Рожденная в уме, математика
восходит от одушевленных предметов физиологии (т. е.
физики), а затем снова опускается с тем, чтобы проник-
нуть в природу и произвести «смешанные» науки, вроде
механики и оптики [54, 1.18, «De officio mathematicae»,
sig. а IV 4- 3]. Продолжая свои рассуждения, он иногда
дословно повторял описание Прокла классификации ма-
тематических наук пифагорейцами и Гемина [54, 1.21,
«De partibus mathematices»] 25, равно как и описанное
Проклом использование четырех диалектических мето-
дов составления и разложения, определения, деления и
доказательства у Евклида [54, 1.22, «De arte disserendi in
mathematicis»] 26. Ниже, в кн. 10, он повторил проклову
краткую историю изобретения геометрии египтянами и
арифметики — финикийцами, а затем описал внедрение
математики в Греции Фалесом и ее дальнейшее развитие
Гиппократом Хиосским, Платоном и Архитом и их совре-
менниками, а также последующими поколениями вплоть
до Архимеда, Аполлония, Герона Александрийского,
Птолемея, Теона, Паппа и т. д. [54, X, «Liber geometrae
primus» с. I, sigs. и. Пг— IIIV]. Его аргументация свиде-
тельствует о тщательном изучении изложения логической
структуры математики у Прокла, с которым он обычно
соглашался, хотя и с критическим сознанием существо-
вания противоположных взглядов. Так, например, он
отметил представляющие интерес расхождения между
Аристотелем, Героном Александрийским, Проклом и стои-
ками по поводу разделения основных принципов геометрии
на гипотезы, требования и аксиомы. Стоики называли все
аксиомы гипотезами [54, sigs. n. IIIV — lVr],
25 Он цитирует прокловского Евклида и Паппа в книге Х.1. Ср.
Гейберг [55, стр. 127[.
26 Ссылаясь при этом на «Республику» Платона [54, lib. Х.1],
на «Начала» Евклида [54, sig. n. IIv] и Прокла [54, sig. и. Illv].
40
Из других рукописных источников, которыми поль-
зовался Валла, отметим «De placitis philosophorura» Аэция,
по которому он описал теории стоиков и Эпикура о зрении
и звуке 27 и теории Пифагора о движении Земли 28. Одна-
ко его наиболее подробные добавления к прокловой схеме
математических искусств и наук касались механики, архи-
тектуры, оптики и музыки. По вопросам механики он
цитировал Ктесибия, равно как и «Герона-механика», и
опубликовал частичный перевод «Пневматики» Герона 29.
В области архитектуры он изучил сочинение Витрувия
«De architectlira», впервые напечатанное в I486 г.30, рас-
сматривая отношение этого искусства к той части оптики,
которая называется сценографикой (scenographica) 31 32.
В кн. 10, разделяя оптику на науку о зрении и называя ее
«optica univocally», катоптрику и сценографику, он цити-
ровал, помимо Платона и других философов, Евклида
и Птолемея, а также сочинение по теории зрения Дамиапу-
са из Лариссы и героново «De speculis» 82. Более подробно
он рассмотрел геометрическую оптику и проблему зрения
в кн. 15 и совсем подробно, цитируя Галена, Демосфена
Филалета, Цельса и Диоскорида по поводу целого ряда
27 Там же, XXI. 54—71, sig. П и след.; при этом он цитирует Эпи-
кура, стоика Хризиппа и т. д. См. [55, стр. 56, 127]. Труд
Аэция впоследствии был приписан Плутарху. По поводу этих
теорий зрения и звука см. [19, стр. 5 и след.].
28 Там же, XXI. 45. Оп подробно рассмотрел математическую астро-
номию в кн. XVI—XIX; различные измерительные приборы —
прямоугольник, диоптр Гиппарха, клепсидру, использованную
«Героном-механиком» при измерении видимого диаметра Солнца
астролябией (как опа описана Проклом в его «Hypotyposes of
astronomical hypotheses», см. [57, II, стр. 535—536]) — описапы
в книге XVIII. 2, 3, 21. В книге X.l, sig. и. III4 он перечисляет
инструменты, используемые в геодезии.
28 Этот перевод образует книгу XV. 1 «De spiritalihus».
30 Валла [54, Х.П.2 — «De architecture», sig. II.IIIV—II.IV4], где
on ссылается на Архимеда, Ктесибия, Герона, а также на Ви-
трувия.
31 Там же, X.l, sig. п. ITIV, со ссылкой на Витрувия и Плиния, и
Х.П.2, sig. П.IllV со ссылкой на Герона и Витрувия; см. также
Прокла.
32 Там же, X.l, sig. n. IIIrv. По поводу Дамиануса (или Гелиодора)
из Лариссы см. [58], [59], [60, стр. 354—355], а по поводу «Heron
Mechanicus in lihro de specnlus» (Валла [54, sig. n. ITIv])cm. [61;
II.1], [60, стр. 208—211], [2, стр. 116, №4; стр. 213, №6], [21, стр.
24 и след.]. О частях оптики см, [54, 1.21].
41
глазных болезней и их лечения,— офтальмологию ь.
кн. 28 («De natura oculorum») 33.
Наболее интересным во многих отношениях было его
обсуждение проблем музыки в кн. 5—9, начиная с гл.
(v. I) «О изобретении музыки» — об истоках греческой му-
зыки преимущественно у пифагорейцев, со ссылкой
на платоновского «Тимея», труды Цицерона, Порфирия,
Аристоксена и Аристида Квинтилиана. По пробле-
мам гармонии, созвучия, высоты тона и т. п., относящимся
к науке о музыке, его основными новыми источниками,
помимо сочинений Платона, Аристотеля и Никомаха из
Геразы, были «De musica» Аристида Квинтилиана, «Наг-
monicorum, sen De musica libri tres» Птолемея, «In
Harmonica Ptolemaei commentariis» Порфирия, «Eorum
quae in mathematicus ad Platonis lectionem utilia sunt
expositio» перипатетика Адраста из Афролизиаса и плато-
ника Теона из Смирны, «Harmonicorum elementorum
libri tres» Аристоксена и «De sensibus» Теофраста 34. Из со-
чинения Порфирия он перевел на латинский язык знаме-
нитый отрывок из утерянной книги Ар хита Тарентского
«О математике», явно поддерживая его идею осмысливания
экспериментальной науки при помощи математики:
«Архит Тарентский, который следовал учениям Пифа-
гора и сочинения которого вызывали глубокое восхище-
ние и одобрение не только у Порфирия, но и у многих дру-
гих, говорит то же самое, что и Птолемей. Действительно,
в его книге, озаглавленной „О математике", он говорит
в самом начале: „Те философы представляются мне правы-
ми в своей оценке и понимании математических наук,
которые особенно глубоко осмыслили их, ибо математики
очень сведущи в природе целого. Математики также дают
нам возможность понимать частности: они позволили
нам познать быстрые и медленные движения звезд, их
83 Основные данные об этих авторах см. в [60, стр. 240—241, 258—
260, 301—307], о Демосфене также в [62, стр. 189—190], а о Га-
лене в [19].
34 Валла [54, кн. V, «De harmonica primus», особенногл. 1, «Deinven-
tione musicae», гл. 2, «Ut diaphona symphonaque in ipso habeant
саего» и главы, следующие за небесными гармониями и гармония-
ми души; кн. VI, «De harmonica secundus», особенно гл. 1, «In quo
genere ponenda, vis harmonica et eius scientia», гл. 2, «De materia
musices», гл. 3. «Musices distribute», гл. 4, «In quo genere sonus
ex quo acumen et gravitas ponendus si», также кн. 1,21.],
42
восходы и заходы, и геометрия, наука о Диелах и музыка
кажутся мне почти сестрами. Они были первыми, кто
осознал, что звук не может быть произведен без столкно-
вения, что это столкновение происходит посредством со-
ударения тел одного об другое и что скорость, вызываю-
щая звук, не равномерна. Существует много звуков, при-
роду которых мы не можем постичь либо из-за слабости
воздействия, либо вследствие удаленности от нас, или, на-
конец, потому что шум слишком громок: наше чувство
слуха не способно воспринимать чересчур сильный шум, по-
добный лязгу оружия, при котором имеет место беспоря-
дочное смешение таких звуков. Из звуков, доходящих
до органа слуха и воспринимаемых им, те представляются
высокотонными, которые после столкновения, вызвавшего
звук, быстро распространяются, тогда как низкотонными
полагаются те, которые после столкновения распростра-
няются медленно и слабо. Например, если кто-нибудь
возьмет прут и медленно, не применяя большой силы,
станет двигать его, он произведет звук низкого тона;
если же он будет двигать его быстро и энергично, прут
издаст звук высокого тона. Мы можем осознать этот факт
не только таким образом, но также и тогда, когда, разго-
варивая или запевая, мы орем, с большой силой выдыхая
воздух вслед за голосом, и тем самым производим высоко-
тонный звук. То же происходит при бросании дротика:
дротик, брошенный почти без применения силы, падает
возле нас. Воздух в большей степени поддается телам,
брошенным с силой, и в меньшей степени — телам, бро-
шенным с меньшей силой. То же самое происходит при
употреблении нашего голоса: все звуки, издаваемые при
сильном дыхании, являются громкими и высокотонными,
тогда как звуки, издаваемые при слабом дыхании, слабы и
низки; и от одного и того же человека мы можем услышать
громкий звук весьма издалека, либо, напротив, даже
находясь вблизи, не сможем услыхать низкий звук. Дру-
гой пример может представить игра на флейте. Та часть
дыхания, выходящего из рта флейтиста, которая прошла
через голосовые связки, ближайшие ко рту, вызывает вы-
сокотонный звук ввиду большой силы позади него, тогда
как та часть, которая прошла через связки, расположен-
ные в большем отдалении от рта, производит более низкий
звук. Это не оставляет сомнения в существовании един-
ственного объяснения: быстрое движение приводит к высо-
43
глазных болезней и их лечения,— офтальмологию ь.
кн. 28 («De natura oculorum») 33.
Наболее интересным во многих отношениях было его
обсуждение проблем музыки в кн. 5—9, начиная с гл.
(v. I) «О изобретении музыки» — об истоках греческой му-
зыки преимущественно у пифагорейцев, со ссылкой
на платоновского «Тимея», труды Цицерона, Порфирия,
Аристоксена и Аристида Квинтилиана. По пробле-
мам гармонии, созвучия, высоты тона и т. п., относящимся
к науке о музыке, его основными новыми источниками,
помимо сочинений Платона, Аристотеля и Никомаха из
Геразы, были «De musica» Аристида Квинтилиана, «Наг-
monicorum, sen De musica libri tres» Птолемея, «In
Harmonica Ptolemaei commentariis» Порфирия, «Eorum
quae in mathematicus ad Platonis lectionem utilia sunt
expositio» перипатетика Адраста из Афролизиаса и плато-
ника Теона из Смирны, «Harmonicorum elementorum
libri tres» Аристоксена и «De sensibus» Теофраста 34. Из со-
чинения Порфирия он перевел на латинский язык знаме-
нитый отрывок из утерянной книги Архита Тарентского
«О математике», явно поддерживая его идею осмысливания
экспериментальной науки при помощи математики:
«Архит Тарентский, который следовал учениям Пифа-
гора и сочинения которого вызывали глубокое восхище-
ние и одобрение не только у Порфирия, но и у многих дру-
гих, говорит то же самое, что и Птолемей. Действительно,
в его книге, озаглавленной „О математике", он говорит
в самом начале: „Те философы представляются мне правы-
ми в своей оценке и понимании математических наук,
которые особенно глубоко осмыслили их, ибо математики
очень сведущи в природе целого. Математики также дают
нам возможность понимать частности: они позволили
нам познать быстрые и медленные движения звезд, их
33 Основные данные об этих авторах см. в [60, стр. 240—241, 258—
260, 301—307], о Демосфене также в [62, стр. 189—190], а о Га-
лене в [19].
34 Валла [54, кн. V, «De harmonica primus», особенно гл. l,«Deinven-
tione musicae», гл. 2, «Ut diaphona symphonaque in ipso habeant
саего» и главы, следующие за небесными гармониями и гармония-
ми души; кн. VI, «De harmonica secundus», особенно гл. 1, «In quo
genere ponenda, vis harmonica et eius scientia», гл. 2, «De materia
musices», гл. 3. «Musices distribute», гл. 4, «In quo genere sonus
ex quo acumen et gravitas ponendus si», также кн, 1,21.J,
42
восходы и заходы, и геометрия, наука о Диелах и музыка
кажутся мне почти сестрами. Они были первыми, кто
осознал, что звук не может быть произведен без столкно-
вения, что это столкновение происходит посредством со-
ударения тел одного об другое и что скорость, вызываю-
щая звук, не равномерна. Существует много звуков, при-
роду которых мы не можем постичь либо из-за слабости
воздействия, либо вследствие удаленности от нас, или, на-
конец, потому что шум слишком громок: наше чувство
слуха не способно воспринимать чересчур сильный шум, по-
добный лязгу оружия, при котором имеет место беспоря-
дочное смешение таких звуков. Из звуков, доходящих
до органа слуха и воспринимаемых им, те представляются
высокотонными, которые после столкновения, вызвавшего
звук, быстро распространяются, тогда как низкотонными
полагаются те, которые после столкновения распростра-
няются медленно и слабо. Например, если кто-нибудь
возьмет прут и медленно, не применяя большой силы,
станет двигать его, он произведет звук низкого тона;
если же он будет двигать его быстро и энергично, прут
издаст звук высокого тона. Мы можем осознать этот факт
не только таким образом, но также и тогда, когда, разго-
варивая или запевая, мы орем, с большой силой выдыхая
воздух вслед за голосом, и тем самым производим высоко-
тонный звук. То же происходит при бросании дротика:
дротик, брошенный почти без применения силы, падает
возле нас. Воздух в большей степени поддается телам,
брошенным с силой, и в меньшей степени — телам, бро-
шенным с меньшей силой. То же самое происходит при
употреблении нашего голоса: все звуки, издаваемые при
сильном дыхании, являются громкими и высокотонными,
тогда как звуки, издаваемые при слабом дыхании, слабы и
низки; и от одного и того же человека мы можем услышать
громкий звук весьма издалека, либо, напротив, даже
находясь вблизи, не сможем услыхать низкий звук. Дру-
гой пример может представить игра на флейте. Та часть
дыхания, выходящего из рта флейтиста, которая прошла
через голосовые связки, ближайшие ко рту, вызывает вы-
сокотонный звук ввиду большой силы позади него, тогда
как та часть, которая прошла через связки, расположен-
ные в большем отдалении от рта, производит более низкий
звук. Это не оставляет сомнения в существовании един-
ственного объяснения: быстрое движение приводит к высо-
43
Фотонному звуку, а Медленное — к нийкоТонному. То
же самое происходит при вращении ромби ЯБ. Если их вра-
щают спокойно, они издают низкий звук, но, вращаемые
энергично, они издают высокий звук. А если ты будешь
дуть сквозь камышовую трубку, нажимая на нее сверху,
она издаст низкий звук, если же ты зажмешь ее в какой-
либо точке внизу, но не па нижнем конце, то она издаст вы-
сокотонный звук. Это происходит потому, что то же
самое дыхание, если его распространить на большую дли-
ну, выходит наружу как слабый шум, если же его рас-
пространить на короткую длину, он выходит громко. Если
кто-нибудь добавит к этим примерам другие, иллюстри-
рующие движение, необходимое для появления голосового
звука и его распространения, он в конце-концов будет
иметь достаточное основание, чтобы доказать, что вы-
сокотонный звук издается при быстром движении, а
низкотонный — при более медленном"» [54, VI, 4].
Вот почему Птолемей, который был весьма сведущ
в учениях Архита и других пифагорейцев, равно как и в
учениях Аристотеля и Теофраста и других перипатетиков,
полагал, что точка зрения пифагорейцев намного превос-
ходней.
И действительно, именно пифагорейцы, наряду с
последователями Платона, были фактически исследова-
телями этой отрасли знания.
В другой книге (№ 22), в которой рассматриваются
естественные принципы и причины, в двух главах «De
natura» Валла дал сводку некоторых традиционных аристо-
телевых взглядов. Природа является внутренним прин-
ципом движения зв. Оставляя в стороне бога, т. е. оконча-
тельный первичный принцип всех вещей, действующая
причина может оказывать свое действие либо сознательно,
либо бессознательно, как орудие [54, XXII, 8]. Естествен-
ные предметы обладают внутренней причиной движения,
а предметы, изготовленные человеком,— внешней 35 36 37. Следу-
ет различать естественные, противоестественные и сверхъ-
естественные действия; последние относятся к божествен-
35 Инструменты, подвешенные на веревке и вращаемые на ней при
мистериях.
36 Валла [54, XXII, «Physiologiae... tertius...: De naturalibus
principiis et causis», гл. 8; «De natura», sig. LL.lP;] см. также
[63, 11.1, 1926, стр. 14 и след.).
37 Там же, XXII, 8.
44
йой мощи 38. Бог считался наилучшими мудрейшим созда-
телем и причиной всего добра 39.
Сочинение Витрувия «De architectura» играло особую
роль в интеллектуальной истории XVI в. Витрувий ка-
сался многочисленных аспектов натурфилософии. Наи-
более непосредственное отношение к нашей теме имеет
его пастойчивое указание о необходимости теории, пред-
шествующей рациональному действию, в частности ма-
тематики для творческого искусства, и отмеченная им
аналогия между природой и архитектором в применении
проектов и замыслов. Автор первого перевода Витрувия на
итальянский язык (1521 г.) Чезаре Чезарьяно указал на
это в своих комментариях. Витрувий [64, I, 3] 40 делил
архитектуру на три части: строительство, гномонику
и механику. Обсуждая термин «machinatio», использован-
ный Витрувием для обозначения третьей части архитек-
туры, Чезарьяно писал:
«Механика: относительно этого слова признают, что
оно имеет много значений, но эти значения можно пони-
мать вообще, потому что механика сама является и мыс-
лителем, и исполнителем, и изобретателем ручных при-
емов, при помощи которых достигается нечто. Она может
быть произведена от „я хитроумно изобретаю" — на ла-
тинском языке: „язабочусь", „яожидаю",„япредполагаю",
„я изобретаю", т. е. „я обдумываю", „я продумываю”,
„яизобретаю" — „я убеждаюсь", „я работаю над" и т. д.,—
и от „стратегема", на латинском языке —„забота", «размы-
шление". Отсюда происходит греческое слово mechane,
т. е. „сметливость", „размышление", „механика" и „меха-
ник", т. е. действующий руками» [64, f. 18].
Комментируя самое начало описания простых механиз-
мов в кн. X. 1 у Витрувия, Чезарьяно, кроме того, обсуж-
дает термин «машина»:
«„Машина" и т. д. Вышеупомянутая часть „Механики",
о которой говорит в этой книге автор, начинается неким
вступлением относительно ее определения: механика до-
статочно заслуживает похвалы уже за присущее ей основ-
ное сходство с божественной работой по созданию мира,
если не за великие и достопамятные полезные применения,
38 Там же.
39 Там же, гл. 9.
40 Об изданиях Витрувия см. [65, стр. 185], где, однако, имеются
отдельные ошибки.
45
Достигнутые людьми й перечисленное айтором в данной
главе. Более того, это не только было выяснено славными
философами посредством размышлений, учитывающих
предшествующие великие формулировки, но и применено
на практике благодаря жгучему желанию своими собст-
венными руками воплотить в ощутимом творении то, что
они продумали разумом, как написано про прославленного
философа Архита Тарентского, который вырезал настоль-
ко гармоничного и хитроумного деревянного голубя, что,
будучи подброшен в воздух, он пролетел большое рас-
стояние сам по себе... И заметь, что „machine4* это гре-
ческое слово, которое на этом языке произносится как
„mechane44, откуда для обладателя ее выводится имя „mecha-
nic44, и оно происходит от греческого слова, означающего
„познанная размышлением44, ибо небходимо, чтобы машина
была вначале создана в уме при помощи естественного и
непогрешимого рассудка; с этого момента она может быть
пущена в ход» [64, X.l, f. 162v],
Цели искусств не следует смешивать с целями филосо-
фии и науки, однако нетрудно видеть, что и первые виды
современных искусств и первые из современных наук яв-
ляются типичными продуктами одного и того же об-
...Лэства. В обоих случаях опыт природы преломлялся че-
рез стиль и влияния некоторой традиции. И те и другие
были связаны друг с другом своей общей опорой на ра-
циональную, количественную теорию, а также на знание
орудий и простых механизмов. Некоторые историки 41
предположили, что склонность западной цивилизации ос-
новывать не только эти виды человеческой деятельности,
но и деятельность многих видов на общем фундаменте
разума и вычислений может дать возможное объясне-
ние единственного в своем роде развития современ-
ной науки на Западе. Другими примерами служат
рациональная квантификация времени в календаре и
введение абстрактных единиц в механических часах; внед-
рение математической картографии, связанной с научными
методами навигации; методы бухгалтерского учета, тор-
гового и финансового управления, действовавшие в Ита-
лии начиная с XIII в. Нельзя ли предположить, что при-
вычка к разуму и к вычислениям, возникавшая в западном
41 Начиная с известного «Введения» Вебера к [66]; см. также [67]
и [68, стр. 214 и след.].
46
обществе во всех этих различных видах деятельности, яви-
лась действенным условием подъема математической и
экспериментальной наук, что, например, привычка взвеши-
вать, измерять и учитывать в каждом из этих видов дея-
тельности поощряла ту же привычку в других видах дея-
тельности? Возможная связь между методами численной
регистрации в торговле, в теоретической и практической
науках является лишь одной специфической проблемой
исследования. Не указывает ли все это на некоторую
умственную и социальную предрасположенность, на уст-
ремленность воли и рассудка к просвещению и могущест-
ву, которые обеспечили единственную в своем роде бла-
гоприятную совокупность обстоятельств, позволившую
Западу использовать интеллектуальные возможности,
представившиеся при открытии греческой пауки, с такими
энергией и целеустремленностью, каких нельзя найти ни
в каком другом обществе?
Какими бы ни были ответы на эти существенные проб-
лемы интеллектуальной социологии, стремление к коли-
чественной мере и логике все-таки привело к решению
фундаментальной проблемы идентичности в науке и в при-
роде. В течение XVI в. вопросы о виде обитаемого физи-
ческого мира, о том, что вообще следует спрашивать об
этом мире, о надлежащих методах его исследования, о том,
что можно полагать его удовлетворительным объяснением
и что можно знать про него наверняка, оставались для
философского сообщества в целом в различной степени
открытыми. Неудовлетворение философией Аристотеля,
укоренившейся в университетах в качестве общего базиса
всей системы образования, получило поддержку с появ-
лением других философских систем, представленных в за-
служивающей доверия систематизированной форме. Иног-
да философские дискуссии имели существенное отношение
к натурфилософии, однако лишь при рассмотрении об-
щих проблем знания и существования. Эти дискуссии
содействовали не столько накоплению технического со-
держания науки от поколения к поколению, сколько
уточнению интеллектуального мировоззрения, моральных
обязательств и надежд в культуре каждого периода. Но
динамичность общества в такой же степени достигается про-
тиводействием и трениями, как и согласием. Равным обра-
зом, специфичностью динамического общества частично
является стиль и метод противодействия, расхождения,
47
равно как и согласие по всей сфере его культуры. Стиль
интеллектуального поведения в натурфилософии, а также
в индивидуальных и социальных процессах, при помощи
которых делаются и становятся признанными открытия и
изобретения, может быть проиллюстрирован примерами
из религии, юриспруденции или искусства настолько же,
насколько и примерами из самой натурфилософии. Это
очевидно, например, по отношению к характеру попыток
в XIII в. сочетать вновь истолкованную аристотелеву фи-
лософию с теологией всемогущего и всепредусмотритель-
ного творца, к спорам между новым платонизмом XV в.
и новым скептицизмом XVI в., наконец, к количественной
науке Галилея, являющейся просто последней в ряду
старых и новых философий. В некоторых областях натурфи-
лософии, равно как в теории и практике религии, юриспру-
денции и искусства, старое и повое находилось в противо-
борстве, результат которого продолжал оставаться нео-
пределенным еще длительное время после смерти Галилея.
ЛИТЕРАТУРА
1.	А. С. Crombie (with the collaboration of A. Carugo). Galileo
and Mersenne: science, nature and the senses in the sixteenth
and early seventeenth centuries. Clarendon Press. Oxford, 1976.
2.	A. C. Crombie. Robert Grosseteste and the origins of experimental
science 1100—1700. Oxford, 1953, 1971.
3.	D. Gundissalinus. De divisione philosophiae, prologue. Hrg.
L. Baur, Beitrage zur Geschichte der Philosophic des Mittelalter,
IV, 2—3. Munster, 1903.
4.	J. S. Ackerman. Ars sine scientia nihil est. Art Bulletin, 1949,
XXXI, 84—111.
5.	E. de Bruyne. Etudes d’esthetique medievale. 3 vol. Brughes,
1946.
6.	Frankl. The Gothic. Princeton, 1960.
7.	M. Grabmann. Die Geschichte der scholastischen Methode. 2 vol.
Freiburg im Breisgau, 1909—1911.
8.	A. C. Crombie. Quantification in medieval physics. Isis, 1961,
LII, 143—160.
9.	Hugh of St. Victor. The Didascalicon: a medieval guide to the
arts. Transl. with introduction and notes by J. Taylor. New York,
1961.
10.	L. S. Olschki. Geschichte der neuesprachlichen wissenschaftlichen
Literatur, I. Heidelberg, 1919.
11.	A. C. Crombie. Grosseteste, Robert. Dictionary of scientific
biography, v. 5, New York, 1972, 548—553.
12.	L. Ghiberti. I commentarii, I. Hrg. J. von Schlosser. Berlin, 1912.
13.	E. Panofsky. The codex Huyghens and Leonardo da Vinci’s art
theory. London, 1940.
48
14.	D. Gioseffi. Perspectiva artificialis. Trieste, 1957.
15.	«Perspective» in Encyclopaedia of world art. XL New York, 1966.
16.	«Optical concepts», ibid, X, 1966.
17.	A. Parroncki. Studii sulla dolce prospettiva. Milano, 1964.
18.	G. F. Vescovini. Studi sulla prospettiva medievale. Firenza, 1965.
19.	A. S. Crombie. The mechanistic hypothesis and the scientific
study of vision. Proc, of the R. Microscopical Soc., 1967, II.
20.	J. Gadol. Leon Battiste Alberti. Chicago, 1969.
21.	V. Ronchi. The nature of light. London, 1970.
22.	L. B. Alberti. On painting. Transl. J. R. Spenser. London, 1956.
23.	L. B. Alberti. On painting and on sculpture. Ed. C. Grayson.
London, 1972.
24.	W. M. Ivins. On the rationalization of sight. New York, 1938.
25.	D. C. Lindberg. The theory of pinhole images from antiquity to
the thirteenth century. Arch, for Hist, of Exact. Sci., 1968, V,
174—176.
26.	D. C. Lindberg. A reconsideration of Roger Bacon’s theory of
pinhole images. Ibid., 1970, VI, 214—223.
27.	D. C. Lindberg. The theory of pinhole images in the fourteenth
century. Ibid., p. 299—325.
28.	M. H. Pirenne. Optics, painting and photography. Cambridge,
1970.
29.	L. B. Alberti. Della pittura. Ed. L. Malle. Firenze, 1950.
30.	G. Ten Doesschate. Perspective. Nieuwkoop, 1964.
31.	E. Panofsky. Renaissance and Renaissances in western art.
London, 1970.
32.	Barozzi da Vignola. Le due regole della prospectiva practica.
Bologna, 1582.
33.	A. Durer. Underweysung der Messung. Niirenberg, 1525.
(Пересмотренное издание 1538 г. и латинское — 1532 г.).
34.	Е. Panofsky. Albrecht Durer, 1955.
35.	G. Galilei. Opera. Ed. naz., IX. Firenze, 1968.
36.	D. Barbara. La practica delle perspectiva, IX, 3. Venetia, 1568.
37.	A. C. Crombie. The mechanistic hypothesis, 1967. (Cm. [19].)
38.	M. Ficini. In Parmenidem commentarium. Opera, Basileae, 1756.
39.	P. della Franceschi. De prospectiva pingendi. Ed. G. Nicco Fasola.
Firenze, 1942.
40.	W. P. D. Wightman. Science and the renaissance, I. Edinburgh,
1962.
41.	W. P. D. Wightman. Science in a renaissance society. London,
1972.
42.	Leonardo da Vinci. Treatise on painting. Codex urbinas latinus
1270. Transl. A. A. McMahon, I, 1. Princeton, 1956.
43.	Das Buch von der Malerei, nach dem Codex Vaticanus (Urbinas)
1270. Hrg. H. Ludwig. Wien, 1882.
44.	Leonardo da Vinci. Il codice atlantico.— Trascrizione di Piumati.
8.	tom. Milano, 1894—1904.
45.	G. Saitta. Il penserio italiano. II. Firenze, 1950.
46.	V. P. Zubov. Leonardo da Vinci. Cambridge, Mass., 1968.
47.	C. D. O’Malley (ed.). Leonardo’s Legacy. Berkeley and Los
Angeles, Calif., 1969.
48.	K. D. Keele. Leonardo da Vinci’s physiology of the senses.
49.	Leonard de Vinci. Les manuscrits... publies par C. Ravaisson—
Mollien, 6 tom, Paris, 1881—1891.
49
50.	M. Ficini. Theologia Platonica, IV. 1. Opera, Basileae, 1576.
51.	Pliny. Natural History.
52.	Cicero. De re republica.
53.	A ulus Gellius. Noctes Atticae.
54.	G. Valla. De expetendis et fugiendis rebus opus. 1501.
55.	J. L. Heiberg. Beitrage zur Geschichte Georg Valla’s und seiner
Bibliothek. Leipzig, 1896.
56.	Plato. Bepublic.
57.	T. L. Heath. Greek Mathematiks. Vol. I, II. Oxford, 1921.
58.	La Prospettiva d’Euclide, nella quale si tratta di quelle cose,
che per raggi diritti si veggono, e di quelle, che per raggi reflessi
negli specchi appariscono. Tradotte dal В. P. M. Egnazio Danti,
Cosmografo del Serenissimo Signor Duca di Toscana, con alcune
annotazioni de’Iuoghi piu important!, insieme colla Prospettiva
di Eliodoro Larisseo cavara dalla Libraria Vaticana, e tradotta
dal medesimo, nuovmenta data in luce. Firenze, 1573.
59.	Schrift uber Optik, hrg. B. Schone. Berlin, 1897.
60.	G. Sarton. Introduction to the history of science, I. Baltimore,
1927.
61.	Heronis Alexandri. Opera. Hrg. L. Nix und W. Schmidt. Teubner,
Leipzig, 1900.
62.	Pauly— Wissowa. Realencyclopadie der classischen Altertums—
Wissenschaft, V. Stuttgart, 1905.
63.	Aristotle. Physics.
64.	C. Cesariano. Di Lucio Vitruvio Pollione De architectura libri
dece traducti de latino in vulgare affigurati; Commentati; et con
mirando ordine insigniti, I. 3. Como, 1521.
65.	F. Argelati. Biblioteca degli volgarizzatori. IV. Milano, 1747.
66.	H. Weber. The Protestant Ethic, transl. Parsons, 2nd ed., 1958.
67.	P. Rossi. I filosofi e le macchine 1400—1700. Milano, 1962.
68.	S. Moscovici. Essai sur 1’histoire humaine de la nature. Paris, 1968.
ОБ ИЗУЧЕНИИ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
В СРЕДНЕЙ АЗИИ
С. X. Сираждинов, Г. П. Матвиевская
Интенсивная работа по изучению истории средневе-
ковой математики в странах Ближнего и Среднего Восто-
ка, в том числе Средней Азии, была начата, по существу,
только во второй половине прошлого столетия. Хотя
арабские и персидские рукописи математического и астро-
номического содержания, представляющие документаль-
ный материал, который свидетельствует о состоянии точ-
ных наук в этих странах в средние века, сохранились в
большом числе, они долго оставались почти неизученными,
так как не вызывали интереса у специалистов-филологов и
историков, чьими усилиями в основном развивалась в
XIX в. история науки Востока.
Расшифровка и комментирование этих рукописей свя-
заны с преодолением трудностей двоякого характера.
Во-первых, эта работа невозможна без достаточного глу-
бокого овладения средневековым научным арабским или
персидским языком, а также без определенного опыта
в чтении древних рукописей. Во-вторых, и это главное,—
для своего успешного завершения она требует от исследова-
теля не только высокой математической квалификации,
но и значительных познаний в области восточной истории
и философии.
Благодаря работам ряда ученых, многие из которых,
будучи математиками, физиками и астрономами, специ-
ально изучили восточные языки (Л. А. Седийо, Ф. Венке,
Г. Зутер, Э. Видеман, К. Шой и др.), в начале XX в.
стало ясно, что математика восточного средневековья за-
служивает существенной переоценки. Если раньше из-за от-
сутствия доступных историкам науки документов счита-
лось, что единственная заслуга средневековых ученых со-
стояла в сохранении и передаче в Европу греческого и
отчасти индийского научного наследия, то теперь были
51
йолуЧёнЫ многочисленные свидетельства орйгййальностй
их математического творчества.
Долгое время, однако, — также по причине скудости ма-
териала — полагали, что математика рассматриваемого
периода носила сугубо прикладной характер. Более того,
считалось, что многие труды классиков античности, хотя
и были переведены па арабский язык, но по своему содер-
жанию остались непонятными ученым восточного сред-
невековья. По мере накопления материала, становилась
очевидной ошибочность подобной точки зрения: оказалось
что они не только постигли идейное богатство греческой ма-
тематики и проявили немалый интерес к вопросам теории,
но сделали значительный шаг вперед в разработке таких
вопросов. Выяснилось, что во многих отношениях резуль-
таты, полученные в этот период, заложили фундамент
математической пауки в Европе.
Вообще, стало очевидно, что средневековый период раз-
вития математики на Ближнем и Среднем Востоке и,
в частности, в Средней Азии следует рассматривать как
весьма плодотворный этап истории этой науки, представ-
ляющий в связи с недостаточной изученностью широкое
поле деятельности для исследователя. Интерес к его
изучению с тех пор неуклонно возрастал. Появившиеся
в течение последних десятилетий многочисленные публика-
ции переводов арабских и персидских математических и
астрономических трактатов на европейские языки, ком-
ментарии к ним, а также обобщающие исследования со-
ставляют значительный и постоянно расширяющийся раз-
дел современной историко-математической литературы.
В общих усилиях по изучению математики восточного
средневековья, и в особенности математики народов
Средней Азии, чрезвычайно велика доля советских уче-
ных.
Начало широких исследований в этом направлении в
Советском Союзе было положено работами А. П. Юшке-
вича, в свое время отметившего необходимость коренного
изменения старой концепции так называемой «арабской»
науки, безраздельно господствовавшей в сочинениях по
истории математики [1]. Обобщив уже известные данные,
А. П. Юшкевич отметил значительность научного вклада
среднеазиатских математиков и поставил задачу катало-
гизирования, описания и планомерного изучения богатей-
ших советских рукописных фондов на восточных языках.
52
Тогда же была отмечена необходимость издания перейодой
трудов 'классиков среднеазиатской математики на совре-
менные языки с целью их популяризации среди истори-
ков науки.
А. II. Юшкевичу принадлежит также общая характери-
стика того специфического направления в математиче-
ской пауке, которое сложилось в средние века в странах
Ближнего и Среднего Востока (см. [2, стр. 24—25], [3,
стр. 350—357] и др.).
А. П. Юшкевич является автором многих исследова-
ний о математическом творчестве таких выдающихся сред-
невековых ученых, как ал-Хорезми [4], Омар Хайям [5, 6,
7], ал-Каши [8], Сабит ибн Корра [9], Насир ад-Дин
ат-Туси [10], Кази-заде ар-Руми [11] и др. Особое значе-
ние имел выход из печати в 1961 г. книги А. II. Юшкеви-
ча [12], где были обобщены все полученные к тому време-
ни сведения по рассматриваемому вопросу.
Большое влияние на развитие исследований в области
истории математики Ближнего и Среднего Востока, и в осо-
бенности Средней Азии, оказали многочисленные работы
Т. Н. Кары-Ниязова, Г. Д. Мамедбейли, Б. А. Розенфель-
да и других советских ученых.
Постепенно работа в указанной области приобретала все
больший размах. В нее оказались вовлеченными многие
историки математики Азербайджана, Казахстапа, Таджи-
кистана, Узбекистана, для которых опа представляется
особенно актуальной. Творцы древней среднеазиатской
культуры и науки, «поселенцы Согдианы, Хорезма, Бак-
трии, Ферганы, Шаша являются предками таджиков, уз-
беков, туркмен и других народов Средней Азии» [13]. По-
этому изучение рукописных памятников средневековья
дает новые сведения об истории культуры восточных
республик Советского Союза, где замечательные научные
традиции прошлого получили в паши дни новое развитие.
В Узбекистане в течение последних пятнадцати лет
проводятся систематические исследования по истории
математики. В настоящей статье дается краткий обзор
полученных результатов и обсуждаются некоторые перспек-
тивы этой работы.
Изучение истории точных паук было начато в Узбеки-
стане еще в довоенные годы, когда археологи и астроно-
мы обратились к исследованию развалин обсерватории
Улугбека в Самарканде, а затем — к изучению научных
53
^РУДоВ этой обсерватории (Г. Д. Джалалов, Т. Н. Кары
Ниязов, В. А. Шишкин, В. П. Щеглов и др.). Анализ
астрономических таблиц Улугбека и характеристику дея-
тельности выдающихся математиков и астрономов XV в.,
группировавшихся вокруг этого знаменитого правителя
и ученого, дал в вышедшей в 1950 г. и удостоенной Госу-
дарственной премии СССР монографии «Астрономическая
школа Улугбека» Т. Н. Кары-Ниязов — зачинатель ис-
следований по истории физико-математических наук в
Узбекистане [14]. Т. Н. Кары-Ниязову принадлежит так-
же ряд более поздних публикаций, посвященных творче-
ству Улугбека 115, 16] и др.
С течением времени тематика работы в этой области
расширяется, к ней подключаются все новые участники,
которые, широко пользуясь помощью и поддержкой таких
ведущих советских ученых, как А. II. Юшкевич и Б. А. Ро-
зенфельд, сделали немало для выяснения неизвестных
моментов истории математики Средней Азии.
С 1960 г. в Институте математики им. В. И. Романов-
ского АН УзССР начинается систематическая разработка
проблемы «История математики на Ближнем и Среднем
Востоке в средние века». С самого начала предполагалось
проводить исследования в нескольких направлениях, ре-
шая возникающие задачи поэтапно.
На первом этапе основное внимание было направлено
на предварительное библиографическое изучение опубли-
кованных исследований по рассматриваемой теме, на их
хронологическое и идейное упорядочивание; важность
этого не раз подчеркивалась ведущими историками ма-
тематики [17, стр. 56]. Составление обзора русской и
иностранной литературы по истории математики
Средней Азии позволило обобщить уже известные факты
и в конечном счете определить наименее изученные вопро-
сы, требующие разработки в первую очередь [18].
На следующем этапе оказалось возможным постепенно
перейти к решению основной и весьма нелегкой задачи —
выявлению, переводу, исследованию и публикации ма-
тематических текстов, до сих пор неизвестных или мало-
изученных. Эти документы, позволяющие дать объек-
тивную оценку научного наследия прошлого, содержат,
как правило, новые сведения, дополняющие наши зна-
ния о средневековой восточной математике. Особое зна-
чение получают научные комментарии к тексту, от глубины
54
которых зависит правильность понимания публикуемого
труда в исторической перспективе. На основании этого ма-
териала могут быть написаны работы обобщающего ха-
рактера, отражающие действительную картину состояния
математики в изучаемый период.
Наибольший интерес у нас, естественно, вызывают во-
просы, связанные с историей точных наук в Средней
Азии. Поэтому значительное внимание уделяется изучению
рукописных сочинений по математике и астрономии, хра-
нящихся в фонде Института востоковедения им. Бируни
АН УзССР. Эти сочинения, зачастую служившие учебны-
ми пособиями, распространенными в Средней Азии, могут
свидетельствовать об общем уровне математических поз-
наний в среднеазиатских государствах в тот или иной
период. Хотя работа такого рода потребует значительного
времени и усилий, уже сейчас получены определенные ре-
зультаты, позволяющие составить общее представление
о ташкентском собрании математических рукописей [19,
20]. Анализ материала из этого собрания дал некоторые
новые сведения об истории арифметики, алгебры и теории
чисел в Средней Азии ([21—23] и др.).
При выполнении намеченной программы был получен
ряд результатов, отраженных в публикациях Института
математики АН УзССР. Так, на основании исследования
ранее неизвестных арабских трактатов, содержащих ком-
ментарии восточных ученых IX—XIII вв. к десятой книге
«Начал» Евклида, и других сочинений удалось выяснить
вопрос о теоретическом обосновании действий над число-
выми иррациональностями в математике рассматриваемо-
го периода и о содержании, вкладывавшемся в понятие
иррационального числа; прослежено также влияние сочи-
нений восточных авторов па формирование учения о чис-
ле в Европе [24—26].
t Анализ некоторых геометрических сочинений и, в част-
ности, трактата среднеазиатского ученого XIII в. ас-Са-
марканди «Обоснованные предложения» позволил осветить
некоторые вопросы, связанные с развитием геометрии на
средневековом Востоке ([27, 28] и другие работы того же
автора).
Историки математики Узбекистана за последние годы
сделали немало для изучения и популяризации научного
наследия отдельных выдающихся ученых прошлого и
опубликовали большое число статей и книг на эти темы.
55
Продолжалось исследование трудов представителей са-
маркандской школы Улугбека (Г. Д. Джалалов, Р. И. Иба-
дов, Н. И. Леонов, Г. П. Матвиевская, А. Усманов,
Э. А. Хатипов и др.); был освещен, в частности, вопрос
о распространении «Зиджа» Улугбека в Европе [29]. Пере-
ведены на русский язык (полностью или частично) и ис-
следованы труды великого среднеазиатского ученого-эн-
циклопедиста XI в. Абу Али ибн Сины (М. А. Ахадова),
«Трактат по арифметике с помощью доски и пыли» Насир
ад-Дина ат-Туси (С. А. Ахмедов, X. Тллашев) и произве-
дение его ученика ан-Найсабури «Солнечный трактат по
арифметике» (X. Тллашев), сочинения уроженца Хорезма,
математика и астронома XII—XIII вв. ал-Джагмини
(X. С. Сидыков), «Трактат о теоретической арифметике»
Абу-л-Вафы ал-Бузджани (Г. П. Матвиевская) и др.
Особый интерес исследователей вызвало творчество ве-
ликого среднеазиатского ученого Абу-р-Райхана ал-Би-
руни, 1000-летний юбилей которого был широко отмечен
научной общественностью в 1973 г. Вышли в свет много-
численные издания, посвященные жизни и деятельности
Бируни ([30] и др.). Его сочинения «Памятники минув-
ших поколений», «Индия», «Геодезия», «Канон Мас‘уда»,
изданные Институтом востоковедения АН УзССР, были
подвергнуты всестороннему анализу в работах многих
историков науки Узбекистана (А. Абдурахманов, А. Ах-
медов, П. Г. Булгаков, Р. И. Ибадов, Г. П. Матвиевская,
К. Н. Нарходжаев, С. X. Сираждинов, Г. Я. Умаров,
А. Ф. Файзуллаев, В. П. Щеглов и др.) ([31, 32] и др.).
К исследованиям, относящимся к истории математики,
нужно причислить также изучение в историческом плане
становления современной узбекской математической тер-
минологии (М. А. Сабиров [33]), в создании которой вы-
дающуюся роль сыграл Т. Н. Кары-Ниязов, автор пер-
вых учебников по элементарной и высшей математике на
узбекском языке («Асосий математик анализ курси»,
«Аналитик геометрия» и др.).
В дальнейшем изучение средневековой восточной мате-
матики и астрономии несомненно будет продолжено, так
как многие вопросы, одинаково важные как для истории
математики, так и для истории культуры Средней Азии,
все еще остаются неисследованными. И впредь большое
внимание будет уделяться изучению творчества ученых —
уроженцев Средней Азии,
56
Уже сейчас начаты, например, перевод на русский
язык и публикация сочинений Абу Насра ибн Ирака —
выдающегося хорезмийского астронома и математика
X—XI вв., учителя Бируни. Изучаются математические
разделы средневековых арабских энциклопедий и, в част-
ности, труда «Ключи наук» другого уроженца Хорезма —
Абу Абдаллаха ал-Хорезми (X в.). По-видимому, потребу-
ется издание арабско-русско-узбекского словаря средне-
вековых научных терминов, который облегчит дальнейшую
работу по изучению рукописных памятников.
Для успешного развития исследований в области исто-
рии восточной математики и соответствия их результатов
тем требованиям, которые выдвигает современная наука,
необходимо обратить внимание на ряд возникающих в
этой связи вопросов. Наиболее актуальный из них, хотя
и не новый,— вопрос о подготовке научных кадров.
О специфических требованиях, предъявляемых к исто-
рику математики, писал еще в 1958 г. Б. В. Гнеденко
[17, стр. 62], назвав среди них, помимо хорошей математи-
ческой подготовки, знание истории своей науки, всеобщей
истории и философии, а также свободное владение язы-
ками, на которых представлена литература по исследуе-
мому периоду истории математики, и, наконец, подготов-
ку к архивной работе и к работе с первоисточниками.
Очевидно, что к исследователю, занимающемуся истори-
ей восточной математики, должны предъявляться все
указанные требования, причем особое значение приобре-
тают два последних пункта.
Мы убедились в том, что от молодого историка мате-
матики нельзя ожидать успешной работы, если он не
овладеет восточными языками настолько глубоко, что при
чтении математических и астрономических текстов смо-
жет рассчитывать на свои собственные силы, обращаясь
за помощью к филологам лишь в исключительных слу-
чаях. Поэтому в Институте математики АН УзССР в офи-
циально утвержденную программу подготовки специали-
стов вводится изучение арабского языка (помимо одного
западного) с обязательным экзаменом или зачетом.
В обязательном порядке будущий историк математики
должен сдать также в качестве экзамена или зачета
спецкурс по какой-либо математической дисциплине,
близкой ему по теме работы. Кроме того, по программе
от него требуется ознакомление в общих чертах с состоя-
57
нием развития современной математики (например, в объе-
ме трехтомника «Математика, ее методы, содержание и
значение», М., Изд. АН СССР, 1956).
Как показал опыт, без неуклонного выполнения этих
требований исследователь оказывается беспомощным и
неспособным к самостоятельной научной работе в обла-
сти истории восточной математики.
Нужно добавить, что важнейшим моментом, который
должен быть учтен в самом начале работы над конкретной
историко-математической темой, является основательное
знакомство с русской и иностранной литературой по изу-
чаемому вопросу. Обзор этой литературы должен фигури-
ровать также при окончательном оформлении результа-
тов исследования в виде статьи или диссертации. Толь-
ко таким образом можно избавиться от опасности появ-
ления неоригинальных, дублирующих друг друга работ
и получить критерий оценки полученных фактов и вы-
водов. Чтобы эта оценка была более объективной, полу-
ченные результаты должны широко обсуждаться с прив-
лечением не только историков математики, но и востоко-
ведов, изучающих смежные проблемы.
В заключение остается добавить, что в вопросах, ко-
торых мы коснулись, есть еще много неясного. Было бы
чрезвычайно полезно, если бы такого рода научно-орга-
низационные проблемы специально обсуждались па кон-
ференциях по истории науки.
ЛИТЕРАТУРА
1.	А. П. Юшкевич. О математике народов Средней Азии в IX—
XV веках. Сб. «Истор.-матем. исслед.», вып. IV. М.— Л.,
Гостехиздат, 1951, 455—488.
2.	А. П. Юшкевич. О новых работах в СССР по истории математики.
Сб. «Истор.-матем. исслед.», вып. XL М.— Л., Физматгиз,
1958, 11—46.
3.	А. П. Юшкевич, Б. А. Розенфельд. Математика в странах Востока
в средние века. Сб. «Из истории науки и техники в странах
Востока», вып. I. М., ИВЛ, 1960, 349—421.
4.	А. П. Юшкевич. Арифметический трактат Мухаммеда бен Муса
ал-Хорезми. Труды Ин-та истории естеств. и техники АН СССР,
т. I. М., 1954, 85—127.
5.	А. П. Юшкевич. Омар Хайям и его «Алгебра». Труды Ин-та
истории естеств. и техники АН СССР, т. II. М., 1948, 498—534.
6.	Омар Хайам. Трактаты. Перев. Б. А. Розенфельда. Вступ.
статья и коммент. Б. А. Розенфельда и А. П. Юшкевича. М.,
1961.
58
7.	Б. А. Розенфельд, А. П. Юшкевич. Омар Хайям. М., «Наука»,
1965.
8.	А. П. Юшкевич, Б. А. Розенфельд. Джемшид Гиясэддин
ал-Каши. В кн. «Джемшид Гиясэддитт ал-Каши. Ключ арифме-
тики. Трактат об окружности». Перев. Б. А. Розенфельда под
ред. В. С. Сегала и А. П. Юшкевича, комм. А. П. Юшкевича
и Б. А. Розенфельда. М., Гостехиздат, 1956.
9.	А. П. Юшкевич. О квадратуре параболы Сабита ибн Корры.
Сб. «История и методология естественных наук», вып. V. Изд.
МГУ, 1965, 118—125.
10.	Б. А. Розенфельд, А. П. Юшкевич. О трактате Насир ад-Дина
ат-Туси о параллельных линиях. Сб. «Истор.-матем. исслед.»,
вып. XIII. М., Физматгиз, 1960, 475—482.
11.	Б. А. Розенфельд, А. П. Юшкевич. О трактате Кази-заде ар-Руми
об определении синуса одного градуса. Сб. «Истор.-матем. ис-
след.», вып. XIII. М., Физматгиз., 1960, 533—538.
12.	А. П. Юшкевич. История математики в средние века. М., Физ-
матгиз, 1961.
13.	А. Н. Боголюбов. Развитие математики и математических зна-
ний в Средней Азии. В кн. «История отечественной математики»,
т. I. Киев, Изд-во АН УССР, 1966, 388—419.
14.	Т. Н. Кары-Ниязов. Астрономическая школа Улугбека. Таш-
кент, 1950.
15.	Т. Н. Кары-Ниязов. Улугбек — великий астроном XV в. В сб.
«Из истории эпохи Улугбека». Ташкент, 1965.
16.	Т. Н. Кары-Ниязов. Улугбек и Савай Джай Сингх. Сб. «Физико-
математические науки в странах Востока». М., «Наука», 1966,
247—255.
17.	Б. В. Гнеденко. О некоторых задачах истории математики. Сб.
«Истор-матем. исслед.», вып. XI. М., Физматгиз. 1958, 47—62.
18.	Г. П. Матвиевская. К истории математики Средней Азии.
Под ред. и с предисл. С. X. Сираждинова. Ташкент, 1962.
19.	Г. И. Матвиевская. О математических рукописях из собрания
Института востоковедения АН УзССР. Изв. АН УзССР, серия
физ.-матем. наук, 1965, № 3, 72—74.
20.	Г. П. Матвиевская. Математические и астрономические рукопи-
си Института востоковедения Академии наук Узбекской ССР.
Сб. «Из истории точных наук на средневековом Ближнем и Сред-
нем Востоке». Под ред. С. X. Сираждинова. Ташкент, «Фан»,
1972, 169—200.
21.	X. Тллашев. «Солнечный трактат об арифметике» ан-Найсабури.
Сб. «Из истории точных наук на средневековом Ближнем и
Среднем Востоке». Под ред. С. X. Сираждинова. Ташкент,
«Фан», 1972, 220—241.
22.	Г. П. Матвиевская, X. Тллашев. К вопросу о математике
в Средней Азии в XIII—XVI вв. Изв. АН УзССР, серия физ.-
матем. наук, 1974, № 2, 19—22.
23.	Г. П. Матвиевская, X. Тллашев. Новые данные о научном
наследии Насирэддина Туси и его школы. Циркуляр Шема-
хииской астрономической обсерватории, 1973, № 30—31,15—20.
24.	Г. П. Матвиевская. Учение о числе на средневековом Ближнем
и Среднем Востоке. Под ред. С. X. Сираждинова. Ташкент,
«Фан», 1967.
59
25.	Г. П. Матвиевская. Развитие учения о числе в Европе до
XVII в. Под ред. С. X. Сираждинова. Ташкент, «Фан», 1975.
26.	Г. П. Матвиевская. Материалы к истории учения о числе на
средневековом Ближнем и Среднем Востоке. Сб. «Из истории
точных наук на средневековом Ближнем и Среднем Востоке».
Под ред. С. X. Сираждинова. Ташкент, «Фан», 1972, 76—168.
27.	А. Ахмедов. Изложение основ геометрии на средневековом Во-
стоке. Изв. АН УзССР, серия физ.-матем. наук, 1969, № 5, 1—6.
28.	А. Ахмедов. Трактат Шамсиддина Самарканди «Обоснованные
предложения». Сб. «Из истории точных наук на средневековом
Ближнем и Среднем Востоке». Под ред. С. X. Сираджинова.
Ташкент, «Фан», 1972, 20—42.
29.	В. П. Щеглов. Предисловие в кн.: «Ян Гевелий. Карта звездного
неба». Ташкент, «Фан», 1970.
30.	П. Г. Булгаков. Жизнь и труды Беруни. Ташкент, «Фан», 1972.
31.	Беруни. К 1000-летию со дня рождения. Сб. под ред. А. К. Аренд-
са. Ташкент, «Фан», 1973.
32.	«Общественные науки в Узбекистане», 1973, № 7—8.
33.	М. А. Сабиров. Математикадан русча-узбекча лугат, Тошкент,
1973.
ВОПРОСЫ ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ
И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
УЛУЧШЕНИЕ ПРИБЛИЖЕНИЙ В МАТЕМАТИКЕ
ВАВИЛОНЯН1
Э. М. Брейне
В основе стремительного развития вавилонской мате-
матики величайшее открытие шумеров — шестидесятерич-
ная позиционная система нумерации. Позиционная сис-
тема позволяет легко оценивать разность, а тем самым
и точность результатов, полученных различными метода-
ми. Проблемы иррациональных чисел, столь важные в
греческой математике из-за неудобной системы нумера-
ции, были менее существенны для вавилонян. Числа у
них делились на два класса: числа, обратные величины
которых выражаются конечными шестидесятеричными
дробями, и числа, обратные величины которых представ-
ляются бесконечными шестидесятеричными дробями.
Последний случай возникает при вычислении обратной
величины иррегулярного числа. Вавилоняне осознавали
это: здесь и там мы читаем высказывания, вроде*
igi 1 ;25 u-la ip-pa-|a-ar
mi-nam a-na 1;25 lu-us-ku-un sa 21;15
in-na-di-nam. 15-e
(обратимую величину числа 1;25 нельзя раздробить на
части. На сколько нужно умножить 1 ;25, чтобы получить
21;15; это - 15) 2.
Это показывает, что при делении Ыа прежде всего
спрашивалось:1 «какова обратная величина числа а?»
Если обратная величина не выражалась конечной шести-
1 Перевод с английской рукописи Ф. А. Медведева.
2 В данной статье в записи чисел в шестидесятеричной системе
нумерации запятой отделяются шестидесятеричные знаки друг
от друга, а точка с запятой отделяет целую часть от дробной.
(Прим, ред.)
61
десятеричной дробью, то ставился вопрос: «На какое чис-
ло нужно умножить а, чтобы получить 6?»
Таким образом, математики пришли к стереотип-
ным выражениям, которые можно было опускать, не
теряя точности языка. Именно этим было вызвано сокра-
щение таких выражений. В более древних текстах реше-
ние поставленной задачи начиналось высказыванием:
ZA-E KJ-DA-ZU-DE,
at-ta- i-na e-pe-si-i-ka
(ты будешь делать).
Позднее оно сокращается до выражения «ZA-Е, at-ta»,
т. е. «ты», которое с современной точки зрения тоже мож-
но опустить.
Аналогично и сами задачи характеризовались простым
указанием, вроде «tul-sag» (погреб) — для вычисления
объемов, «а1п» (город) — для построения концентриче-
ских окружностей, «siddu-putu» (длина - ширина) — для
нахождения прямоугольника, «ЬаЬп» — или «siliptu»
(дверь) — для определения диагонали прямоугольника.
Для применения формул приближенного вычисления
корней, сохранившихся в тексте VAT 6598 для случая
нижней грани, нужно было заданное число N разложить
на сумму или разность двух квадратов. В тексте IM
52301 эта процедура объясняется словесно, и в современ-
ных обозначениях формула имеет вид
ТУ — а2 "|2
2а I
лт Г ! ТУ —а212
Л=|а+-^Н
Это тождество справедливо при произвольно выбранном
а, которое для удобства деления обычно выбиралось
регулярным числом. Первая скобка правой части назы-
вается теперь квадратом героновского приближения. Ука-
занная формула наводит на мысль испытать различные
значения а, и, таким образом, сама практика могла под-
сказать некоторый итерационный метод.
Подставляя отношение х/у вместо а, получаем, что про-
стое сведение к отношению целых чисел приводит к итера-
ции схемы Герона:
х	х2 4- Ny2
= — , а2 == —х—— .
У	2ау
Необдуманная, автоматическая итерация формулы Ге-
рона дает тот же результат, что и современное решение
62
уравнения Пелля, если, начиная с одного решения, брать
последовательность р-го, 2р-го, 2пр-го решений.
Подобные тривиальные заключения, подсказываемые
сохранившимися числовыми данными, загораживают путь
к «реконструкции» того метода, который применял древний
автор для получения специфического результата, приво-
димого им без указания своего метода. По нашему мнению,
даже невозможно доказать, что в вавилонской мате-
матике когда-то применялась итерация для вычисления
квадратных корней: удачный выбор первого приближе-
ния мог бы сделать итерацию ненужной. Например, при
вычислении }Л2 в шестидесятеричной системе мы можем
начинать с
а1==1;	2 = 12 + 1;
2 = (1; 30)2 - 0; 15;
а3 = 1;ЗО--^ = 1;25;
02 = 1+4- = !; з°;
2 = (1; 25)2 — (0; 5)2;
o4 = l;25--V^- = l;25-0; 0,8,49,24,...=
4	2; 50	’	’
= 1; 24,51,10,35,...,
и тогда значение, сохранившееся в тексте YBC 7289, полу-
чается при помощи трех итераций.
Однако в том же самом тексте мы встречаем, что сто-
рона квадрата равна 30, а это означает, что писец сначала
вычислил диагональ квадрата со стороной 1/2, а затем
удвоил результат. Тем самым мы встречаемся с фактом,
что диагональ квадрата очень легко задается в виде
2 х (0; 30)2 = 0; 30,
откуда получается большое число разложений
0; 30 = (0; 42)2 + (0; 6)2 = (0; 43)2 — (0; 7)2 =
= (0; 42,26)2 - (0; 0,46)2 = (0; 42,25)2 + 0; 0, 0, 49, 35.
Два последних разложения,— которые можно было бы
взять непосредственно из таблиц квадратов, если не хоте-
лось прибегать к извлечению корня,— без какой-либо
итерации, а только при помощи деления дают числа
63
0; 42, 25, 35 и 0; 42,25,35, 5, а следовательно, четыре
первые цифры для
1 /2 = 0; 42,25,35,3,53,3
нисколько не доказывают, что итерация действительно
применялась или что была потребность в ее применении
при вычислении квадратных корней.
Во времена Герона явно указывалось, что итерацион-
ный метод необходим, и, таким образом, сторонние боковые
Рис. 1.
и диагональные числа оказались
не нужными в вычислениях. Если
мы внимательно прочитаем текст
Прокла, то увидим, что фактиче-
ски они применялись только для
доказательства иррациональности
У 2, для убеждения в этом «Эпи-
кура и Ксенократа».
Аналогично, текст IM 31248
показывает, как вавилоняне вы-
числяли трансверсали в трапеции,
фактически пользуясь методом
современной аналитической гео-
метрии прямой: определяется «US
ana SAG» (угловой коэффициент)
и значение у вычисляется (рис. 1)
по формуле
, Ъ — и,
у = а + х——

где Ъ — а — 44, с = 3 + 1 +
4-34-14-3 = 11, а
у = 1 + ^х.
Современного математика это наводит на мысль о ли-
нейной интерполяции между двумя значениями заданной
функции
однако из чисто геометрической таблицы указанного тек-
ста такого вывода сделать нельзя.
К счастью, стереотипная формулировка в тексте АО
6770 относительно сложных процентов доказывает, что
64
линейная интерполяция применялась еще в Древневави-
лонский период.
После полной формулировки задачи в этом тексте со-
держится целая фраза — «atta ina episka» и указание,
что нужно вычислить, насколько через четыре года ос-
новной капитал и проценты па него превзойдут сумму
«2 кпг». Затем следует: сколько нужно добавить к капи-
талу, растущему три года, чтобы получить прирост, ко-
торый за четыре года превзойдет «2 кпг» — как если бы
делитель был иррегулярным, и, наконец, просто указы-
вается результат: «2;33,20 вычесть из четырех лет».
Однако делитель
1;124—1;123 = 1;123 (1;12—1) = 1; 43, 40, 48 X 0;12
определенно является регулярным. Если следовать ука-
занию текста, то вычисления были бы такими:
1—1;2—1;26, 24-1;43,40, 48-2;4, 24, 57, 36,
0;4, 24,57,36
2;4, 24, 57, 36 — 1; 43,40, 48 ’
0;4, 24, 57, 36 .	1	__q
0;20,44,9,36 ’ 20; 44, 9,36 “ U’ Z’ ’	4U’
2;53, 36, 40 X 4;24, 57, 36 = 12;46, 40.
Этот результат нужно умножить па 12, чтобы получить
результат, указанный в тексте. Период явно выражен в ме-
сяцах, и никакой ошибки нет.
Однако никакой вавилонский вычислитель не стал бы
вычислять по столь сложной эффективной схеме. Он даже
не стал бы определять проценты через три года и четыре
года, а вместо
rn+i _ а
гп+1_гп
вычислил бы
г — Аап	.
r_t  , где га=1.
Замечая же, что г— 1=0; 12, он опустил бы деление и,
переместив шестидесятеричную цифру, получил бы число
месяцев в виде разности
г — Аап,
3 Историко-математ. исслед., в. XXI
65
которая к самом тексте рассматриваемой задачи Составля-
ла сумму
1;12—2 X (0;50)?!.
А так как умножение на 0,50 эквивалентно вычитанию ше-
стой части, то он написал бы
2—1;40—1;23, 20—1 ;9, 26,40,
1;12-1;9, 26, 40 -- 0;2,33,20,
2;33, 20 месяцев.
Таким образом, не остается никаких сложных умножений
и делений на четырехзначные числа и к искомому резуль-
тату приводят четыре простых вычитания.
Современная формула решения уравнения
F (х) = 0
имеет вид
F (ах) = Dlt F М = Р2)
_ Di (02 - ai) ___I (га)
“ 271	F' («1) 4- 1 F" (аг) (а2 - <и)
F Г Fп	1
= 01——-2^(02 —«1) —	.
Она показывает, что полученная точность имеет тот же
порядок, что и точность, получаемая применением метода
Ньютона — Рафсона. Всякий раз, когда метод Ньюто-
на — Рафсона дает слишком большое значение, линей-
ная интерполяция приводит к слишком малому значению,
и наоборот. Без умения дифференцировать этот числен-
ный метод эквивалентен процедуре Ньютона — Рафсона.
Например, для квадратиого корня имеем
_ уу _ о.
В этом случае метод Ньютона — Рафсона приводит
к слишком большому значению
66
линейная интерполяция — к слишком малому
z = а
N — a?
2а -р 6 *
в то время как отклонения от квадрата равны
/ D1 \2	Р1(Т>2 —7>1)
\ 2а ) И (2а + д)2	’
Применение линейной интерполяции бросает новый
свет на многие известные факты вавилонской математики.
Мы рассмотрим здесь вычисления, относящиеся к правиль-
ным многоугольникам. Тексты из Сузы содержат таблицу
с правильными шестиугольником и семиугольником, для
вычерчивания которых первоначально была проведена
окружность, но затем стерта как ненужная ни для теории,
ни для вычислений. Очевидно, что первое приближение
для отношения стороны ап правильного тг-угольника к ра-
диусу окружности R было получено из соотношения
пап — 2nR — 67?.
Эти данные для значений
а6 = 7? = 30,	«2 — 30, 7? = 35
содержатся в рис. 2. Для пятиугольника, упомянутого
в перечне констант Сузских таблиц, рисунка не сохра-
нилось, но имеется окружность, описанная вокруг равно-
бедренного треугольника со сторонами (50; 50; 60).
Вычисление радиуса окружности, описанной вокруг рав-
нобедренного треугольника, эквивалентно «уменьшению
вдвое числа сторон» правильного многоугольника. Итак,
поскольку треугольник со сторонами (50; 50; 60)
34*
67
является первым приближением центрального тре-
угольника в пятиугольнике с а5 = 60 и R = 50, то вы-
числение дает диагональ d пятиугольника (п~ 21/2),
и приведенный результат
d =	-(= 1,926 в десятичной системе)
отличается от значения 1,9032 только на 0,88 процента;
значение же а5 = 1,12 отличается от 1,1775 на 1,91 про-
цента. Поэтому чертеж на рис. 2 более точен, чем полу-
чающийся из первоначального приближения а5 = 6/5.
Определяя в «геометрии без углов» правильный много-
угольник как многоугольник, у которого все стороны и
все диагонали одного и того же вида равны, и обозначая
сторону и диагонали через
fl, d-у,	^3- • •’	,
получаем, что соотношения в равнобочной трапеции дают
d}z = fl2
тогда как для специального значения к, например
V2 (п — 3), две последовательные диагонали становятся рав-
ными. Беря длину диагонали за единицу, имеем, что зна-
чение а соответствует a2n/R. Например, для семиуголь-
ника получается
dl = fl2 + ad2, d2 = a? + dyd3, d2 = d3.
Применяя засвидетельствованные вавилонские методы,
мы можем исключить dr и получить уравнение для х =
= ald2 в виде
х2 + 1 — х2 + 2х,
а затем численно решить это уравнение.
Однако это исключение не обязательно. Мы можем
следовать схеме, получаемой из самих равенств
a, dr = 1 — a2, fli = — у + ]/"-у + d2 ,
в которых значение аг должно быть того же порядка, что
и значение а, и тогда возможна линейная интерполяция.
В десятичной системе первое приближение будет
аи = 2- ='0,44 ...,
68
a = 0,44; d± = 0,8064; a± = -0,5 + 0,9488313;
Dr = 0,0088313;
a = 0,45; d± = 0,7975; ar = -0,5 + 0,9412790;
D2 = —0,0087210,
а второе —
n / / i 0,0088313-0,01 л ,/гno
a = °’44 +	0,0175523	= °’44503’
и ошибка самое большее равна 1 X 10-5.
Из равнобочной трапеции получается много соотно-
шений между диагоналями, например, равенство
dp+q-l ~ dp-i ~р ^д_1Дп-2Р-д-1>
соответствующее равенству
[sin (р + q) а]2 = (sin pa)2 -Р sin qa sin (2р -J- q) a.
Рассмотрим теперь девятиугольник. Для него имеем
равенства
d[ — а2 + ad%,
d% = а2 -р d±d3 = d* + ad3,
dl = a2 4- d2d±, d3 = cZ4.
Приравнивая два выражения для dl, причем множитель
d2 — а можно исключить, находим
d3 = dr -р а.
Далее, равенства
(t/з — а2)2 =	+ (d3 — a) dl
дают
d3 — 3cid3 -р cl3 — 0.
Уравнением для = х = является
Н	аз
X3 -Р 1 = Зх.
Пренебрегая членом х3 или же пользуясь равенством
18alg = GjR, получаем первое приближение а18 = 0;20.
69
Затем получается
х = 0;20; х* + 1 = 1;2,13,20;
Зж = 1 + Л = 0;2,13, 20,
х = 0; 21; xs + 1 = 1;2, 34, 21;
к>х = 1; 3 - D2 = 0;0, 25, 39,
и следующее приближение будет
а18 = 0;20, 50-Я.
Следовательно,
9а18 = 3; 7,30-7? ~3у  R.
. о 1
n>3g-.
Тем самым без применения исключения, в соответствии со
способом, проиллюстрированным в случае семиугольни-
ка, получается тот же самый результат.
Вместо метода «деления круга» в современной матема-
тике получается метод, пригодный для любого значения
п: по последовательности
a, dp, dp-1, . . ., d
2 ’ ^1
с выбранным значением а и dv = 1 при помощи только
деления находится последовательность значений, затем
решается квадратное относительно а уравнение и произво-
дится линейная интерполяция между результатами, по-
лученными для двух значений исходной стороны а. Это
делает возможным легкое получение большой точности
и показывает, как можно объяснить точные результаты
вавилонян при помощи линейной интерполяции.
ОБ ОДНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ
В «КНИГЕ ВЕСОВ МУДРОСТИ» АЛ-ХАЗИНИ
М. М. Рожанская, И. С. Левинова
Абу-л-Фатх‘Абу ар-Рахман ал-Манеур ал-Хазини —
уроженец Мерва, видный арабоязычный ученый первой
половины XII в., один из учеников Омара Хайяма, жил
и работал при дворе сельджукского султана Санджара.
Кроме «Весов мудрости» до пас дошли несколько его аст-
рономических трактатов и фундаментальное астрономи-
ческое сочинение — так называемый «Санджарский зидж»
(зйдж ас-Санджарй), написанный, по всей вероятности,
под существенным влиянием «Канона Мас’уда» ал-Биру-
ни.
Основной труд ал-Хазини — «Книга весов мудрости»
(Китаб мйзанал-хикма) — сохранился в трех рукописях; од-
на из них обнаружена русским востоковедом II. В. Хапы-
ковым, который частично перевел ее на английский язык
[1]. Она хранится в Ленинградской публичной библиоте-
ке им. Н. Е. Салтыкова-Щедрина. На основании двух
других рукописей, хранящихся в Индии (Бомбейской и
Хайдарабадской), «Книга весов мудрости» была издана
в 1941 г. в Хайдарабаде [2]. Отдельные части этого трак-
тата переведены на немецкий язык Э. Видеманом [3] и
Т. Ибелем [4]. Мы пользовались хайдарабадским изданием
«Книга весов мудрости».
«Книга весов мудрости» представляет собой исчерпы-
вающее изложение вопросов теоретической и практиче-
ской статики своего времени и построена в некотором смы-
сле по типу современной научной монографии. Изложению
собственных результатов автора предшествует подробный
критический обзор всего сделанного в этой области нау-
ки учеными предшествующих поколений, как античными,
так и его предшественниками в странах ислама. Таким об-
разом, эта книга характеризует целый этап в истории
статики, и по ней в значительной мере можно судить о
71
Достижениях в этой области ученых средневекового Во-
стока.
Характерной особенностью «Книги весов мудрости»
является то, что ее автор применяет математические мето-
ды к решению целого ряда механических проблем. Мы
рассмотрим одну из таких задач: о выборе минимального
числа гирь для взвешивания некоторого данного груза.
Задаче о взвешивании посвящена первая глава VI
книги «Весов мудрости» ([2], стр. 109—110).
Вначале ал-Хазини излагает общепринятый, по его
словам, на средневековом Востоке метод подбора гирь
для взвешивания. «В настоящее время,— говорит он,—
при выборе гирь придерживаются естественной последо-
вательности разрядов чисел х. Из каждого разряда берут
три числа: из разряда единиц это 1,2,5, из разряда десят-
ков — 10, 20, 50, из разряда сотен — 100, 200, 500» ([2],
стр. 109).
Итак, общепринятый набор для взвешивания состоит
из девяти гирь — по три для каждого разряда чисел, об-
щий вес которых составляет 888 весовых единиц. С по-
мощью этого набора гирь можно взвесить груз весом Р
888 весовых единиц, помещая его соответственно в одну
или две чаши весов.
Однако, замечает далее ал-Хазини, если пользо-
ваться при взвешивании только одной чашей весов, то
некоторые грузы, вес которых входит в последователь-
ность чисел 1, 2,. . ., 888, нельзя взвесить с помощью од-
ного указанного набора гирь. Ал-Хазини показывает,
что таким образом можно взвесить груз в три единицы веса
(3 = 1+2), но нельзя, например, взвесить груз в че-
тыре и девять единиц веса, так как 4 = 2 -И 2 = 1 + 1 +
+ 2, 9 = 1 + 1+ 2 + 5 = 2 + 2 + 5ит. д. Следова-
тельно, если пользоваться одним таким набором гирь и
одной чашей весов, можно взвесить все грузы от 1 до 888
единиц веса, и притом единственным образом (например,
6 = 5 + 1, 8 = 5 + 2 + 1 ит. д.), за исключением гру-
зов в 4 и 9 весовых единиц в первом десятке, 14 и 19 —
во втором, 24 и 29 — в третьем, 104 и 109 во второй сотне
и т. д. для всей последовательности чисел вплоть до 888.
Для взвешивания же грузов, подпавших под исключение
(т. е. в 4, 9, 14, 19,. . . весовых единиц), в этом случае
1 В десятичной системе.
72
приходится пользоваться двумя наборами гирь, а имен-
но, восемнадцатью гирями общим весом 888 X 2 = 1776 еди-
ниц.
Но при этом возникает другое неудобство: один и тот
же груз, говорит ал-Хазипи, можно взвесить многи-
ми способами. Например, груз весом в 3 дирхема 2 можно
взвесить четырьмя способами: 3 = 1 + 2 = 5 —2 =
= Ю-5-2 = 20-10-5-2.
Таким образом, способ взвешивания с помощью набора
гирь, выбранных «в общепринятом порядке», имеет, по
мнению ал-Хазини, два существенных недостатка: если
при взвешивании пользоваться только одной чашей весов,
то гири подбираются единственным образом, но необ-
ходимы два набора. Если же взвешивать груз с помощью
двух чаш, то одного набора гирь достаточно, но способ их
подбора неоднозначен, что осложняет технику взвеши-
вания. Чтобы избавиться от этих неудобств, ал-Хазини
предлагает два принципиально новых, по его словам,
способа подбора гирь.
«Если мы хотим подобрать гири в соответствии с есте-
ственным порядком чисел,— говорит он,— и помещать их
[при взвешивании] без противопоставления 3 им гирь во
второй чаше, то необходимо [их порядок] выбрать в соот-
ветствии с удваиванием. Мы берем первую [гирю, по весу]
равную 1, вторую — 2, третью — 4, четвертую — 8, пя-
тую — 16, шестую — 32, седьмую — 64, восьмую — 128,
девятую — 256, десятую — 512. Их число больше числа
гирь в принятом наборе на единицу».
«Если же мы хотим воспользоваться меньшим [количе-
ством гирь],— продолжает далее ал-Хазипи,— то этого
можно добиться посредством противопоставления. [После-
довательность] гирь [в таком наборе] мы выбираем, от-
правляясь от единицы. Затем умножаем ее на три и так
продолжаем далее. Тогда первая гиря [по весу] равна 1,
вторая — 3, третья — 9, четвертая — 27, пятая — 81,
шестая — 243, седьмая — 729. Число этих гирь на два
меньше числа гирь в общепринятом наборе» ([2], стр. 109).
2 1 дирхем составляет 4,23 г.
3 Характерно, что ал-Хазини в этом случае употребляет термин
«ал-мукабала», которым математики средневекового Востока обыч-
но пользовались для обозначения алгебраической операции пере-
несения членов уравнения, содержащих неизвестное, в одну
сторону, а свободных членов—в другую.
73
Таким образом, в первом случае, т. е. когда гири кла-
дутся только на одну чашу весов, вместо «общепринятого»
набора в 9 гирь предлагается набор в 10 гирь, но подоб-
ранных таким образом, что их веса в порядке возраста-
ния составляют геометрическую прогрессию с первым
членом 1 и знаменателем 2. И, хотя число гирь в этом на-
боре на единицу больше, чем в «общепринятом», с его по-
лющью можно взвесить уже груз Р 1023 весовых еди-
ниц (1023 есть сумма первых десяти членов этой прогрес-
сии) и отпадает необходимость в двух наборах гирь.
Во втором случае, т. е. когда гири кладутся на две ча-
ши весов, «выгода» еще больше. Набор состоит всего из се-
ми гирь (на две меньше, чем в «общепринятом» наборе, и
на три меньше, чем в первом случае), подобранных таким
образом, что их веса в порядке возрастания составляют
геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаме-
нателем 3. С помощью семи гирь, помещая их на две чаши
весов, можно взвесить груз до 1093 весовых единиц (чис-
ло 1093 — сумма первых семи членов этой прогрессии).
«Выгода» в этом случае, по словам ал-Хазини, двойная: чис-
ло гирь в наборе наименьшее, а максимальный груз, ко-
торый можно взвесить с помощью этого набора,— наи-
больший.
Итак, задачу ал-Хазини коротко можно сформулиро-
вать так. В первом случае требуется выбрать десять гирь
таким образом, чтобы с их помощью можно было взвесить
любой груз до 1023 весовых единиц при условии, что
гири ставятся только па одну чашу весов.
Во втором случае задача несколько видоизменена:
требуется выбрать семь гирь, с помощью которых можно
взвесить груз до 1093 весовых единиц при условии, что
гири кладутся па обе чаши весов.
Короче, в обоих случаях задача сводится к нахожде-
нию наименьшего числа гирь, с помощью которых мож-
но взвесить все целые веса меньше некоторого заданного.
Математический смысл задачи весьма прозрачен. Ес-
ли в первом случае груз Р представить в виде
Р = а0 а±рг + а2р2 + • • • +
9
2 агРг <102з), где pi равны соответственно 1,2, 22, . . .
г=0
. . ., 29, a — либо пулю, либо единице, то решение
74
ал-Хазини эквивалентно представлению числа Р в двоич-
ной системе счисления.
Аналогичным образом, во втором случае, если груз
Р представить в виде
Р =	+ ^iPi + а2р2 + . . . + а6р6,
в
(2 агРг^ 1097), где pi равны соответственно 1,3,32, ..., З6,
г—0
a a,i могут принимать значения только —1, 0 и + 1, ре-
шение ал-Хазипи эквивалентно представлению числа Р
в троичной системе счисления 4 *.
Иными словами, оба случая задачи ал-Хазипи можно
рассматривать как частные случаи задачи о представле-
нии целого числа в виде суммы или разности различных
степеней некоторого данного целого числа (число слагае-
мых п в первом случае равно 10, во втором — 7).
Известно, что задача о взвешивании имела широкое
хождение в средневековой Европе. Впервые она встре-
чается в «Книге абака» Леонардо Пизанского [5], который
формулирует ее в таком виде: требуется выбрать четыре
гири, с помощью которых можно было бы взвесить груз
до 40 весовых единиц, при условии, что гири кладутся на
обе чаши весов. Ответ Леонардо: 1, 3, 9, 27, т. е. его задача
совпадает со вторым случаем задачи ал-Хазини для
п = 4.
Леонардо мог познакомиться с задачей о взвешивании
как во время своих путешествий по Востоку, так и в про-
цессе изучения арабоязычиой математической литерату-
ры, которое, как он сам говорит об этом, было необходи-
мым этапом при написании «Книги абака», тем более, что
эта задача входит в состав XII главы, содержащей боль-
шое число самых разнообразных задач. Некоторые из них
определенно имеют восточное происхождение, в частно-
сти традиционная задача о суммировании степеней семи,
подобная которой встречается еще в древнем Египте. Су-
ществует точка зрения, что египетская задача (прямо или
4 Такой способ представления отличается от принятой в наше время
троичной системы счисления только тем, что вместо чисел 0,1 и 2
в ней употребляются —1,0 и -|-1. Представление числа у ал-Ха-
зини с помощью простейших преобразований легко сводится
к современному.
75
косвенно, через античные источники) могла войти в араб-
скую математическую литературу, а через нее — в «Кни-
гу абака» ([6], стр. 59—65).
Вряд ли можно предположить, что среди источников
Леонардо Пизанского была сама «Книга весов мудрости»:
ведь он рассматривает только один из случаев задачи
ал-Хазипи, да к тому же для и = 4. В пользу этого предпо-
ложения говорит и то, что книга ал-Хазини осталась не-
известной в средневековой Европе и была обнаружена
только в XIX в. Леонардо мог познакомиться с задачей
о взвешивании в изложении других авторов, а возможно,
и при знакомстве с конструкциями весов и практикой взве-
шивания во время своих торговых операций на Востоке.
Леонардо сделал следующий шаг в решении задачи о
взвешивании. Пусть, говорит он, требуется взвесить
груз весом больше 40 весовых единиц. Тогда надо взять
пятую гирю весом 81 = З4. Это позволит взвешивать груз
до 121 весовой единицы, и так далее, до бесконечности
(ad infinitum). Таким образом, он фактически формулиру-
ет второй случай ал-Хазини для любого п.
В трактат современника Леонардо Пизанского, Иорда-
на Неморария, «Разъяснение Иордана об алгорисме» ([7],
[8, стр. 78]), посвященном обоснованию арифметических
операций с целыми числами, входит предложение, кото-
рое в современной записи имеет вид
9 + 9-10 + 9-Ю2 + . . . +9-10п-1< 10п
и которое можно интерпретировать как запись случая
задачи о взвешивании, эквивалентного представлению дан-
ного числа в десятичной системе счисления 5. Задача о
взвешивании в таком же виде, каку Леонардо Пизанского,
имеется у Луки Пачоли и повторяется у многих авторов
вплоть до Эйлера.
Если же обратиться к истории математики в странах
Востока, то кроме «Книги весов мудрости» задача о взве-
шивании не обнаружена ни в одном из источников по
математике стран ислама. Ближайшую аналогию реше-
нию ал-Хазини можно видеть пока в практике умноже-
ния целых чисел в египетской математике, в приеме, ко-
5 Следует иметь в виду, что Неморарию, в отличие от Леонардо
Пизанского, свойственно отвлечение от конкретного содержания
задач. Как правило, он оставляет в стороне какие бы то ни было
приложения к коммерческой арифметике, геометрии и т. д.
76
торый сводится к разложению одного из сомножителей на
сумму слагаемых вида 2fc. Роль египетской математики
в процессе формирования математики средневекового Во-
стока общеизвестна. Конкретные данные к истории зада-
чи о взвешивании, возможно, даст изучение метрологи-
ческого материала, как египетского (археологического),
так и средневекового, если с этой точки зрения рассмо-
треть дошедшие до нас сочинения о весах и мерах.
Все вышеизложенное, однако, не означает, что ал-Ха-
зини ставил перед собой задачу о представлении целого
числа соответственно в двоичной и троичной системе, так
как эквивалентность двух задач с математической точки
зрения отнюдь не означает их исторической эквивалент-
ности.
ЛИТЕРАТУРА
1.	A. Khanikoff. Analysis and extracts of Kitab mizan al-hikma
(Book of balance of wisdom), an arabic work on the water-balance,
written bu al-Khazini in the Xllth century. J. of Amer. Orient.
Society, vol. 6, 1859.
2.	А бд-ар-Рахман ал-Хазини. Китаб мизап ал-хикма. Хайдарабад,
1359 (1940).
3.	Е. Wiedemann. Uber die Bestimmung der Zusammensetzung von
Legieruugen. Aufsatze ziir arabischen Wissenschaftsgeschichtc.
Hildesheim — New York, 1970, Bd. I, S. 464—491. Uber die
Stundenwage. Bd. II, S. 57—67.
4.	Th. Ibel. Die Wage im Altertum und Mittelalter. Erlangen, 1908.
5.	[Leonardo Pisano]. Scritti di Leonardo Pisano matematico del
secolo decimo terzo, publicati da Baldassare Boncompagni, vol. I
(Liber Abbaci). Roma, 1857.
6.	M. Я. Выгодский. Арифметика и алгебра в древнем мире. М.,
Физматгиз, 1963.
7.	G. Enestrom. Uber die «Demonstratio Jordan! de algorismo». F. 3,
Bd. VII, 1906/1907, S. 24—37.
8.	Г. П. Матвиевская. Развитие учения о числе в Европе до XVII в.
Ташкент, 1971.
ИСЧИСЛЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Ф. ВИЕТА
И ИССЛЕДОВАНИЕ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ
И. Г. Башмакова, Е. И. Славутин
§ 1. Введение
Шестнадцатый век в математике может быть по праву
назван веком алгебры. Именно в это время были решены в
радикалах уравнения 3-й и 4-й степени, начаты система-
тические исследования алгебраических уравнений и соз-
дано буквенное исчисление. Исследование так называе-
мого «неприводимого случая» кубического уравнения при-
вело Р. Бомбелли к чисто формальному введению мнимых
чисел [1], для которых он определил правила операций.
Это блестящее развитие алгебры происходило в Италии,
классической стране Ренессанса, и только в конце века
появляются талантливые алгебраисты во Франции и Ни-
дерландах. Самым крупным среди них был Франсуа Виет
(1540—1603). Он стал творцом математической формулы,
создателем первого в математике буквенного исчисления
и положил начало теории алгебраических уравнений, от-
крыв зависимость между корнями и коэффициентами урав-
нений, а также систематически применяя алгебраические
подстановки.
Однако мы не во всем отдаем должное этому великому
математику. Принято считать, что он, следуя древним,
ограничивал область чисел положительными рациональ-
ными, а область величин — положительными веществен-
ными и имеющими размерность, т. е. совершенно изгонял
из алгебры отрицательные числа, не говоря уже о мнимых.
На самом деле все обстоит гораздо сложнее. Виет не вво-
дил отрицательных и мнимых чисел, но, как мы покажем,
он построил новое исчисление, выдержанное в духе ан-
тичной строгости и равносильное исчислению комплекс-
ных чисел. Чтобы показать это, мы проанализируем по-
следний отдел книги «Первые замечания к видовой логи-
стике» (Ad logisticam speciosam notae priores, 1597?) [2,
78
стр. 13—41], названный Виетом «Порождение треуголь-
ников» (Genesis triangulorum) [2, стр. 33—41], а также
кпигу IV его сочинения «Зететика» (Zetetica) [2, стр. 42—
81]. Проведенное в настоящей работе исследование поз-
воляет сделать вывод, что в «Порождении треугольников»
Виет построил исчисление треугольников, операции ко-
торого соответствуют операциям умножения комплексных
чисел, а в предложении 4 книги IV «Зететики» он опреде-
лил также обратную операцию — деление. Пользуясь
своим исчислением, Виет вывел формулу, эквивалентную
возведению бинома а + Ы в любую целую положитель-
ную степень п. При этом все исчисление было построено
безупречно строго и без явного расширения области ра-
циональных чисел. Поскольку, как мы говорили, мнимые
числа были формально введены Бомбелли уже за 20 лет
до этого, то возникает вопрос: пе было ли исчисление тре-
угольников Виета первой интерпретацией комплексных
чисел? Такая точка зрения существенно предполагает,
что сам Виет строил свое исчисление именно с целью дать
обоснование «мнимым величинам». Мы ничего не знаем о
том, так ли это. Нам, однако, кажется, что Виет, хотя и
знал о нововведении Бомбелли, но пе мог допустить его
в своей алгебре, которой он хотел придать строгость ан-
тичной геометрии. Поэтому он избрал другой путь. Ситу-
ация здесь похожа на ту, которую мы находим в «Арифме-
тических исследованиях» [3] К. Ф. Гаусса. В этом заме-
чательном произведении была построена теория квадра-
тичных форм ах2 + ^Ьху 4- су2, где а, Ъ, с — заданные
целые числа, эквивалентная арифметике квадратичных
полей Q(^), где D = Ь2 — ас, причем были установ-
лены и законы делимости, обобщению и исследованию
которых посвящали впоследствии свои работы Э. Куммер,
Р. Дедекинд, Е. И. Золотарёв, Л. Кронекер. Однако ин-
терпретации арифметики целых алгебраических чисел
у Гаусса не было, хотя он знал о них и даже построил ариф-
метику целых комплексных чисел т + п У — 1, где т,
п^Ъ. Но он раньше других понял все трудности, кото-
рые возникают в общем случае для целых чисел поля
Q (УD), и предпочитал строить всю теорию на другом
языке в терминах уже известных понятий и объектов, без
введения новых. Мы думаем, что так же обстояло дело и с
«Порождением треугольников» Виета.
79
Предлагаемая статья состоит из двух основных частей.
В первой из них (§ 2) будет изложено «Порождение тре-
угольников», а во второй (§ 3) — применение построенного
исчисления к решению неопределенных уравнений. В зак-
лючение статьи дается критика тех исследований, в кото-
рых разобрано «Порождение треугольников» (§4), и об-
суждается вопрос о значении неопределенного анализа
для развития алгебры (§ 5).
§ 2. Исчисление треугольников Виета
и его интерпретация
«Первые замечания к видовой логистике» начинаются
изложением буквенного исчисления. После вывода раз-
личных тождеств и формул (например, формулы для
(а + Ь)п, при п= 2, 3, 4, 5, 6) Виет выделяет особую часть
под названием «Порождение треугольников». На предло-
жения этой части он неоднократно ссылается в «Зететике»
при решении неопределенных уравнений. Независимо от
этого «Порождение треугольников» представляет большой
и вполне самостоятельный интерес.
В первых девяти из пятнадцати предложений (это пред-
ложения XLV—LIX) Виет строит своеобразное исчисле-
ние: он определяет операции над треугольниками, по
которым двум прямоугольным треугольникам ставится в
соответствие третий. Делается это в следующей последо-
вательности.
В предложении XLV (1-е предложение раздела «Gene-
sis triangulorum») требуется «образовать прямоугольный
треугольник на двух корнях», т. е. найти такие рациональ-
ные функции X = ф (g, Т]), у = ф (|, ц) и z = % (g, ц),
чтобы после подстановки их в уравнение
,г2 + У2 — 22
оно обратилось в тождество. Виет показывает, что такими
функциями будут X = g2 — ц2, у = 2£ц И Z = g2 + Т]2
и называет х — основанием, у — высотой и z — гипотену-
зой. При этом он не говорит, каким образом были найде-
ны эти выражения, и не выясняет, дают ли они все реше-
ния уравнения.
В следующем предложении XLVI ставится задача:
«Через два прямоугольных треугольника выразить (effin-
gere) третий треугольник». Далее уточняется, что гипоте-
80
нуза составленного треугольника должна равняться про-
изведению гипотенуз составляемых треугольников. Если
обозначить стороны первого треугольника (ж, у, z),
а второго (и, v, iv)1, то гипотенуза составленного будет
ziv, а катеты его Виет получает, пользуясь формулой,
известной, по-видимому, еще Диофанту ([4], задача
Ш19), а позже высказанной в виде общего правила Лео-
нардом Пизанским [5, стр. 257—258]
Z2IV2 = (ж2 + у2) (и2 + V2) = (хи — yv)2 +
-Г (XV + уи)2 = (хи + yv)2 + (xv — уи)2.
Отсюда он выводит, что результатом композиции могут
быть два треугольника: 1-й с основанием | хи — yv |,
высотой xv + уи и гипотенузой zw и 2-й с основанием
хи 4- yv, высотой ] xv — уи\ и гипотенузой zw (см. рис. I)2.
Рис. 1
Треугольник, полученный в результате первой опе-
рации, Виет называет synaereseos от греческого слова
oovaipeco — сочетать, объединять, а в результате вто-
рой — diareseos, от греческого слова dtatpew — разре-
зать, рассекать. Он пишет далее, что причину этого разъ-
яснит в своем месте 3 «оЪ causam suo experimendam».
1 Для сторон треугольников мы используем привычные
для нас буквенные обозначения. Виет обозначал основание,
высоту и гипотенузу первого треугольника буквами D, В и Z,
а второго — G, F и X; для обозначения основания и высоты пря-
моугольного треугольника он также использует буквы М и N.
2 Сам Виет пользуется обозначением DG BF, где — озна-
чает, что из большей величины надо вычесть меньшую.
3 Это разъяснение мы находим в работе Виета «Responsum ad pro-
blema quod omnibus mathematicis totius orbis construendun
proposuit Adrianus Romanus» [2, стр. 305—324], а также в работе
его ученика А. Андерсона «Ad angularum sectiones teoremata
KA0OAIKQTEPA demonstrata per Alexandrum Andersonum»
81
Далее полученный результат Виет формулирует в ви-
де самостоятельной теоремы:
«Если даны два прямоугольных треугольника, то квад-
рат плоского числа па гипотенузах равен квадрату сум-
мы произведений базиса каждого из треугольников на
высоту другого, плюс квадрат разности между произведе-
нием базисов и произведением высот. Или также равен
квадрату разности произведений базиса одного треуголь-
ника на высоту другого, плюс квадрат суммы произведе-
ний базисов и произведений высот» [2, стр. 35].
Композицию треугольников Виета можно интерпре-
тировать как операцию умножения комплексных чисел.
Поставим в соответствие прямоугольному треугольнику
(ж, у, z) комплексное число а = х + yi, норма которого
Na = х2 -j- у2. Тогда 1-я операция Виета равносильна
операции умножения комплексных чисел а = х yi,
р = и + vi, где Na — z2 и TVp = w2. Действительно,
комплексному числу у ~ ар = (х + yi) (и + vi) —
— (хи — yv) + (xv + уи) i соответствует треугольник
(| хи — yv |, xvуи, zw). 2-я операция равносильна опе-
рации умножения комплексных чисел а = х + yi и р =
= и — vi. Действительно, комплексному числу у' =
~ ар = (хи + yv) (уи — xv) i соответствует треуголь-
ник (хи + yv, \xv — уи\, zw).
При этом, однако, операция над треугольниками имеет
смысл, если Ф + ф <С л/2, где ф, ф — острые углы при ос-
новании компонируемых треугольников. Таким образом,
исчисление Виета отвечает операциям над комплексными
числами с аргументами <^зт/2.
Перейдем теперь к анализу предложений XLVIII—
LI, оставив пока в стороне предложение XLVII.
В предложении XLVIII Виет устанавливает, что при
композиции двух равных треугольников (х, у, z) получает-
ся треугольник (х2 — у2, 2ху, z2), который он называет
треугольником двойного угла «по причинам, которые
[2, стр. 287—304], которую издатель Виета Жирар включил в со-
брание его сочинений. В обеих работах сформулированы теоремы
(а во второй работе также приведены их доказательства, видимо,
восходящие к Виету), состоящие в том, что острый угол при осно-
вании прямоугольного треугольника, полученного в результате
1-й И 2-й операции, равен, соответственно сумме и разности углов
при основании исходных прямоугольных треугольников.
82
должны быть изложены в своем месте» 4 [2, стр. 36]. Лег-
ко видеть, что в этом предложении Виет дает фактически
вывод предложения XL и тем самым проясняет его смысл.
В предложении XLIX Виет применяет свою компо-
зицию к первоначальному треугольнику (ж, у, z) и к тре-
угольнику двойного угла (х2 — у2, 2ху, z2). В результа-
те он получает треугольник (х3 — Зал/2, Зх2у — у3, и3),
который называет треугольником тройного угла.
В предложении L и LI он продолжает этот процесс,
компонуя всякий раз первоначальный треугольник с тем,
который был получен в предыдущем предложении, после
чего формулирует общее правило этой операции, которую
он называет «раздвижением» (diductio) треугольников.
Это правило представляется нам чрезвычайно интересным
и важным для истории алгебры, поэтому мы, кроме пере-
вода, приведем здесь его латинский текст:
EX HIS ARGUITAR
Consectarum generate in diductionibus
triangulorum rectangulorum
Si qua potestas componatur a binomia radice, et singu-
laria facta homogenea distribuantur in duas partes succes-
sive, utrobique primum adfirmata deinde negata, et harum
primae parti similis fiat basis trianguli rectanguli alicujus,
perpendiculum alteri. Erit hypotenusa similis ipsi potesta-
ti. Cum autem triangulum illud cujus basis similis fit, vel
aequalis uni radicibus compositionis, perpendiculum vero
alteri, a suo cui perpendiculum subtenditur angulo, deno-
minationem sottietur. Triangula sane ab iisdem radicibus
diducta, per quoscunque potestatum ordines commode ab
eodem angulo multiplici denominabuntur, secundum con-
ditionem potestatis. Duplo, videlicet cum potestas est quad-
ratum. Triple, cum cubus. Quadruple, cum quadrato —
quadratum. Quintuple, cum quadratocubus, et eo in infi-
nitum progressu.
«Отсюда становится ясным общее правило раздвиже-
ния 5 (diductionibus) прямоугольных треугольников: если
4 Это предложение содержится в указанных выше работах (см.
примечание 3 на стр. 81).
5 «Раздвижением» Виет называет операцию возведения треугольника
в степень, при которой углы умножаются на соответствующие по-
казатели степеней.
83
образована некоторая степень бинома от корней и полу-
ченные отдельные однородные члены последовательно
распределены на две части, и в обеих сначала [взяты]
положительные (adfirmata) [члены], а вслед за тем отри-
цательные (negata), то эта первая часть будет подобна
основанию некоторого прямоугольного треугольника, а
вторая — высоте. Гипотенуза же подобна самой степени.
Тот треугольник, основание которого подобно или рав-
но одному из корней составленного [бинома], высота же —
другому, получит наименование от угла, против которого
лежит высота. Треугольники, полученные раздвижением,
исходя из тех же корней, получают название в соответ-
ствии с показателями степеней, а также по увеличенному
согласно характеру степени углу. А именно, двойному,
если степень — квадрат, тройному, если степень — куб,
учетверенному, если — квадрато-квадрат, упятеренному,
если — квадрато-куб, и т. д. до бесконечности» [2, стр. 37].
В этом правиле нетрудно усмотреть правило возведе-
ния комплексного числа х + yi в любую целую степень.
Виет сначала компонует два равных треугольника (пред-
ложение XLVIII), что при нашей интерпретации отве-
чает возведению а = х + yi в квадрат:
а2 = (х + yi)2 = (х2 — у2) 4- 2xyi.
Второе компонировапие отвечает произведению а и а2,
т. е. а3 = (х + yi)3, третье — а4 = (х + yf)4 и т. д. Виет
ничего не говорит о мнимой единице и ее степенях, одна-
ко выводит, как мы видели, общее правило, равносильное
возведению в степень бинома х 4~ yi.
Итак, Виет применял свою композицию треугольни-
ков для тех же целей, для которых мы применяем произ-
ведение комплексных чисел. Он первый на другом языке
установил формулу
(х 4- yi)n == хп 4- nxn~ryi — п ^п~ хп~2у2 — ...
Заметим также, что исчисление треугольников Виета не
только соответствует исчислению комплексных чисел
вида х 4* yi (как это было у Бомбелли), но, одновременно,
и исчислению их в тригонометрической форме р (cos ф -|-
4- isin <р). Действительно, прямоугольный треугольник
с катетами х, у может быть задан также своей гипотену-
зой z — р и острым углом при основании ф. Выведенное
84
Виетом общее правило может быть поэтому записано в
виде
[р (cos ср + isin ф)]п = рп (cos /?ф + i sin /?ф), где п ф < зт/2,
откуда при р 1 получается формула Муавра.
Обратимся теперь к пропущенному выше предложе-
нию XLVII. В этом предложении Виет определяет новую
операцию над прямоугольными треугольниками. Он фор-
мулирует ее так:
«Из двух подобных прямоугольных треугольников вы-
вести (deducere) третий так, чтобы его гипотенуза в квад-
рате равнялась сумме квадрата гипотенузы первого и
квадрата гипотенузы второго».
Как мы видели, в предложении XLVI Виет определил
операцию умножения треугольников так, что при этом
гипотенузы перемножаются. Это соответствует тому, что
N (ар) = Na-N$. В предложении XLVII он хочет
найти такие аир, чтобы N (а, р) = Na 4~ Лф. Поскольку
Na Дф = (TVa) (1 4-	, то если = р/а> где ~ дей-
ствительное число, мы получим
Na + N (ка) = (Na) (1 + I2).
Посмотрим теперь, как действует сам Виет. Он берет
два подобных треугольника со сторонами х, у, z и кх,
ку, w ~ kz и замечает, что
2 I 2	(z2 + гг>2) (^2 + V2) /л I 7 2\ / 2 I 2\
z2 и'2 =	= (1 4- к2) (х2 4- у2) =
= (х — ку)2 4- (у 4- кх)2 = (у — кх)2 4- (х 4- ку)2.
Итак, то, что делает Виет, эквивалентно умножению чис-
ла а = х 4- yi на одно из чисел р = 1 4~ ki, р' = к + i,
Р = 1 — ki, р' = к — i. Таким образом, ход его мыслей
тот же, который мы изложили выше. Этот специальный
случай композиции треугольников Виет неоднократно
применяет в дальнейшем.
В предложении 4 книги IV «Зететики» Виет определяет
обратную операцию к композиции треугольников именно
для этого специального случая.
«Найти два подобных прямоугольных треугольника,
имеющих заданные гипотенузы, если выведенный из них
треугольник имеет основание, составленное из высоты
первого и основания второго, и оно наперед задано».
85
Виет не упоминает в формулировке теоремы, ио пред-
полагает, что квадрат гипотенузы третьего треугольника
равен сумме квадратов гипотенуз первых двух. Это под-
тверждается не только последующим решением, но и самой
формулировкой, где речь идет не о «выражении» (effin-
gere), а о «выведении» (deducere) третьего треугольника
из двух данных.
Пусть первый из искомых треугольников имеет гипо-
тенузу z, а второй — w и пусть w/z — к. Стороны первого
треугольника обозначим х, у, а второго, ему подобного,—
кх, ку. «Выведенный» треугольник будет иметь гипотенузу
)Лг2 + w2 и заданное основание кх 4~ у = п. Тогда и
высота его задана. Пусть опа равна т. Таким образом,
получается система уравнений
(кх	у = п,
| х — ку\ = т.
Виет рассматривает два случая: 1) ку — х = т и
2) х — ку = т. В первом из них он получает
гоп — zm	zn -|- гоп
z2 -J- w2 ’ у z2 w2
Легко видеть, что здесь па другом языке решается за-
дача определения числа х 4~ yi, если известно, что
(х 4- yi) (к — i) = п 4~
Второй случай соответствует определению у 4~ xi из ра-
венства
(у 4~ xi) (1 — ki) = п 4- mi.
Заметим, что те же операции с треугольниками допус-
кают и другие интерпретации. Мы можем, например, 1-й
случай представить как нахождение числа у — xi из ра-
венства
(1 4~ ki) (у — xi) = п 4- mi,
а второй случай — как нахождение числа х — yi из ра-
венства
(к 4~0 (х — yi) = п + mi.
Такая неоднозначность получается потому, что Виет при
компонировании треугольников может менять местами
катеты треугольников или переставлять сами треуголь-
86
ники так, чтобы в результате получить положительные
базис и высоту.
Заметим, что умножение, определенное в предложении
XLVI, и обратная ему операция, о которой мы только что
говорили, по существу, являются вполне общими опера-
циями. Действительно, они равносильны умножению и
делению па комплексные числа вида 1 ± ki или к ± С
по любое комплексное число а ± Ы может быть с точно-
стью до действительного множителя представлено в та-
ком виде:
cl —|— bi = а 1 —— i j = Ъ -у -|~ i j .
Итак, Виет развил своеобразное исчисление треуголь-
ников, построенное безупречно строго и равносильное
умножению комплексных чисел, возведению их в степень
и делению. При этом он знал предложения, равносиль-
ные тому, что при умножении комплексных чисел их ар-
гументы складываются, а модули перемножаются.
Прежде чем перейти к применению этих предложений
для решения неопределенных уравнений, рассмотрим
остальные предложения из раздела «Порождение треуголь-
ников».
Следующая группа предложений, а именно предложе-
ния LII, LIII, и следствия из них посвящены операциям,
отвечающим замене координат.
В предложении LII проводится сравнение двух тре-
угольников: одного, построенного на корнях J и ц, и
второго, построенного на корнях J — ц и щ =
= £ + ц. Виет показывает, что второй треугольник будет
подобен первому с коэффициентом подобия 2 и что
основание и высота меняются местами, иначе говоря, про-
изводится поворот па 90° и гомотетия с коэффициентом 2.
С точки зрения нашей интерпретации смысл этого
предложения крайне примечателен. Заметим прежде все-
го, что
(В +П о (1 + о = (5 - n) + (I + л) i = 11 +
На языке Виета это означает, что прямоугольный тре-
угольник (Ет, щ, У g + Ц1) «выведен» из прямоугольных
треугольников (J, ц, j/"j2 + ц2) и (1, 1, У 2). Далее, по-
строение прямоугольного треугольника на корнях
§7
и равносильно возведению в квадрат комплексного
числа + rpf:
(ь + П1о21 = а 4- по2 (1 + о2 = а2 - п2 + 2^0-2^.
Виет, однако, не решается ввести компонирование пря-
моугольного треугольника (g2 — ц2, 2£ц, g2 + ц2) с вы-
рожденным треугольником (0, 2, 2), соответствующим мни-
мому числу 2i, и поэтому формулирует полученный ре-
зультат на языке геометрических преобразований, причем
умножению на I отвечает у Виета, как мы видим, поворот
на 90°.
В предложении LIII сопоставляются треугольники с
катетами х, у и треугольник, построенный на корнях х,
у 4- z, где z = х2 + у'2. Виет утверждает, что второй
треугольник подобен первому с коэффициентом подобия
2 (у z), а основание и высота второго треугольника пере-
ставляются местами.
Это предложение тесно связано с предыдущим и, по
существу, является его развитием. Посмотрим, что оно
означает для соответствующих комплексных чисел. Из
того, что а = х-4- yi = (? 4~ рО2 = Е2 “ т12 + 2&Щ
и z = ?2 + Л2, следует, что
х 4- (у 4- i = I2 - п2 4- (2 gp 4- Е2 4- n2) i =
= (Е + П) ((Е — n) + (Е + п)0 =
= py + z (1 + оа + v).
Поэтому треугольнику, построенному на корнях х и
у 4- z, соответствует комплексное число
(х + (у + z) i? =	(1 +0 (6 + W2 =
= 2i (у 4- z) (х 4- yi).
Это объясняет смысл предложения.
После предложения LIII Виет выводит ряд важных
для дальнейшего следствий: во всяком прямоугольном
треугольнике (х, у, z), построенном на корнях g и ц, име-
ют место соотношения:
2) 1±2L =	£>п;
1 X	£ — Т] 'S
О\	Z	4"	У   X _ 7?.
'	z	4-	у 4- х	£ ’
,.	Z	4-У — у = Z — X	Т]_
'	z +	у + х	у
88
Ё том, Что каждое йз этих соотношений выполняется, лег-
ко убедиться непосредственными вычислениями.
§ 3. Неопределенные уравнения 2-го порядка
в «Зететике» Виета
«Зететика» Виета состоит из пяти книг. В первых трех
книгах решаются уравнения 1-й и 2-й степени и системы,
сводящиеся к таким уравнениям. Из 48 решенных там за-
дач 15 заимствованы из «Арифметики» Диофанта, а осталь-
ные представляют их несложные модификации. Однако все
решения Диофанта алгебраизированы Виетом и проводят-
ся с помощью буквенной алгебры. Иррациональные числа
при этом рассматриваются как равноправные с рацио-
нальными.
В четвертой и пятой книгах «Зететики» Виет решает
неопределенные уравнения, многие из которых также за-
имствованы из «Арифметики» Диофанта. Приведем для
сравнения таблицу 1 соответствующих задач.
Таблица 1
Виет	Диофапт	Виет	Диофант
IVi	He	Vi	Hie
IV2	Ik	V2	Ш19
IV3	II9	Vs	III7
IV5	IVio	V4	in8
IV6	П10	v5	III9
IV7	Un	v7	Ilho
IV8	II12	V8	III11
IV9	His	V10	IV7
IVio	Лемма к V7	V11	VI5
IVn	V7	V13	V10
IV12	Часть зад. V2i		
IV15	Часть зад. V22		
IV18	Vie		
Мы остановимся здесь только на первых пяти задачах
книги IV, которые сводятся к уравнениям ж2 + у2 = а2
и х2 4- у2 = а2 + Ъ2.
При решении задач, заимствованных из «Арифметики»,
Виет, как правило, дает два решения, одно из которых
89
Восходит к Диофанту, а другое — к Леонардо Пизан-
скому.
Виет начинает со знаменитой задачи П8 Диофанта:
«Найти два квадратных числа, равные [в сумме] данному
квадрату», которая равносильна уравнению
я2 + У2 =	(1)
Первое решение Виета таково: он берет прямоугольный
треугольник в числах (р, 7, г), где р2 + q2 = г2, и рассмат-
ривает треугольник (х, у, а) как ему подобный. Тогда
х а	а .	а
у = — ,х = —р. Аналогично, y^ — q- Второе решение
повторяет решение Диофанта: один из искомых квадратов
он обозначает через х (Виет использует букву А), а вто-
рой через а—^-х. Тогда
О
х2 -J- (а — ~хУ = а2,
откуда
2SR	R	№
+	У — а	sX~~S^ + R^a'
Виет замечает, что первое решение совпадает со вторым.
Он пишет: «В самом деле, прямоугольный треугольник в
числах образуется на двух числах S и R, и гипотенуза
будет подобна S2 + /Г2, основание подобно S2 — R2. Вы-
сота подобна 2SR». Поэтому
и
т. е. оба решения совпадают.
Интересно отметить также, что первое решение почти
дословно повторяет решение, данное Леонардо Пизанским
в его книге «Liber quadratorum» (1225 г.) [5]. Отличие
состоит в том, что Леонардо, не имея алгебраической
символики, сопровождает свое решение геометрической
картинкой: он рисует произвольный прямоугольный тре-
угольник (р, q, г) и па его гипотенузе г откладывает от-
резок а. Опустив из его конца перпендикуляр на один из
катетов, он получает х и у, значения которых находятся
из соображений подобия.
90
Отметим, однако, что у Диофанта эта задача является
примером для иллюстрации общего метода решения не-
определенных уравнений вида /2 (ж, у) = 0, где /2 (х, у) —
многочлен 2-й степени. Метод же Леонарда—Виета част-
ный, максимально приспособленный для уравнения (1).
Он основан на знании решения уравнения
х2 + у2 = z2.	(2)
Решению этой задачи методом Леонарда—Виета можно
придать прозрачную геометрическую интерпретацию.
Зная решение уравнения (2): х = р, у = q, z = г, легко
перейти от него к решению уравнения
и2 + и2 = 1,	(3)
т. е. к нахождению рациональной точки на окружности
радиуса 1:
Умножая все члены последнего равенства на а2, т. е. про-
изводя гомотетию с коэффициентом а, получаем решение
исходной задачи:
р	7
х = — а, у = — а.
г 1 d Г
Задача IV2 Виета совпадает с задачей П9 Диофан-
та. Ее решение также содержится в «Liber quadratorum»
Леонардо.
Виет формулирует задачу так: «Найти два квадрата,
равные двум квадратам», т. е.
х2 + у2 = а2 + Ь2.	(4)
Он предлагает три решения этой задачи.
Решение 1. Пусть а2 + Ъ2 = z2 (z — может быть
рациональным или иррациональным). Возьмем прямо-
угольный треугольник в числах (р, q, г) и применим к не-
му и к треугольнику (a, b, z) композицию, определенную в
«Порождении треугольников», тогда, согласно первому
методу, гипотенуза будет подобна rz, основание | ра — qb |
и высота pb + qa, а согласно второму методу — ги-
потенуза подобна rz, основание pa 4- qb, высота же
| pb — qa |. Затем Виет берет треугольник, подобный
полученному с гипотенузой z. Его катеты будут:
91
в 1-м случае
„ \ра-дЪ\
---- ---------
г
а во 2-м
= ра-\~дЪ
(5)
Таким образом, в решении 1 Виет, исходя из рацио-
нальной точки (у-, -y-j на окружности радиуса 1 и рацио-
нальной точки (а, Ь) на окружности радиуса z, находит
новую рациональную точку на окружности радиуса z.
Для этого он применяет композицию треугольников,
равносильную умножению комплексных чисел р + qi
и а + Ы или р -j- qtyt а — Ы, и делит полученный резуль-
тат на г. В результате он получает прямоугольные треу-
гольники, соответствующие комплексным числам
Решение2. В этом решении Виет следует за Ди-
офантом. Оп полагает х = t а, у = t —b и получает
_ Sb-Ra	_	(S'2-R^b- 2SRa
х S2 + /?2 У~ &+№	1	'°'
после чего замечает, что оба решения совпадают и что
решение 1 «сокращает анализ Диофанта». Он опять пола-
гает в решении 1 р = S2 — 7?2, q = 2SR, г = S2 4- R2,
и тогда формулы (5) переходят в формулы (6). Итак, Виет
в решении 1 сводит задачу к уравнению (2), а Диофант
проводит непосредственное решение задачи.
Решение 3. Это решение дается в предложении
IV3. Оно опирается на 2-ю операцию с треугольниками,
определенную в предложении XLVII. А именно, Виет рас-
сматривает два подобных прямоугольных треугольника
с гипотенузами а и Ъ и из них образует третий треуголь-
ник с гипотенузой z = |/42 + Ь2. Если обозначить7^сто-
роны 1-го прямоугольного треугольника u, v, а, то по
предложению XLVII получим х = | и — ки |, у — и -}-
4- ки, где к = Ъ/а. Тогда х2 + у2 = а2 + Ъ2, т. е. получаем
92
новое решение уравнения (3). Согласно предложению
IVx, решение уравнения
и2 + V2 = а2	(Г)
имеет вид
2at	1 —
“ ~ 1 + «2 ’	V = 1+«2 а’
тогда
I 2at~b(l~t^ I	a(l_i2) + 2&f
I 1 + /2 I ’ У “	1 + f2
Как видно, это решение действительно отличается от
двух первых. Постараемся понять его смысл с точ-
ки зрения принятой нами интерпретации. Мы видим, что
Виет сначала находит рациональную точку (и, v) на ок-
ружности (!'). Затем он переходит от этой окружности к
окружности (3) и показывает, что между рациональными
точками этих двух окружностей можно установить вза-
имно однозначное соответствие. Действительно, пусть
(u,v)—произвольная рациональная точка на (1'), т. е. тре-
угольник (и, и, а) является прямоугольным треугольни-
ком в числах. К этому треугольнику Виет применяет опе-
рацию предложения XLVII, т. е. в наших терминах умно-
жает а = и + vi на постоянное комплексное число
Р = 1 + ki, где к — Ъ/а. Тогда
ар = (и + vi)(l + ki) — (и — kv) + (ки 4~ v) i,
причем TV (ар) = а2 4~ &2, т. е. х = и — ки и у = ки 4- v
представляют координаты рациональной точки, лежащей
на окружности (3). Наоборот, чтобы перейти от рацио-
нальной точки (х, у) окружности (3) к рациональной точ-
ке (и, v) окружности (1'), надо разделить у = х 4~ yi па
комплексное число Р = 1 + ki. Операцию, соответствую-
щую делению комплексных чисел, Виет, как мы уже зна-
ем, определяет в предложении IV4. Только после этого
соответствие устанавливается в обе стороны. Итак, вза-
имно однозначное соответствие между точками окруж-
ностей (!') и (3) установлено, по существу, с помощью
умножения и деления на комплексное число = 1 +
. Ъ . а 4- Ы
4 I = —-  .
а	а
Таким образом, если первые два метода осуществляют
переход от одной рациональной точки окружности (3)
93
к другой ее рациональной точке (точно так же, как это де-
лалось в задаче IVX), то третий метод дает возможность
от рациональной точки окружности (1) перейти к рацио-
нальной точке окружности (3). Таким образом, задачи П8
и П9 оказываются у Виета тесно связанными, причем
вторая сводится к первой.
Теперь мы приступаем к анализу предложения IV5, в
котором Виет применяет почти весь аппарат развитого им
исчисления треугольников.
Предложение IV5 так же, как предложения I Vx_3, вос-
ходит к «Арифметике» Диофанта. В задаче V10 «Арифме-
тики» Диофант преобразует систему уравнений
 Ух + P-Xt
Ух + т-П
где р — 2, у == 3, в систему
’-^1+	= Р -Г т
1у2 = ^-т,
решение которой в области рациональных положительных
чисел сводится к отысканию рационального положитель-
ного решения уравнения
Х[ + X2 | р + у + 1,
удовлетворяющего условию р <С X2 <Z Р + 1. Кроме то-
го, в процессе решения выясняется, что одно решение
Xi = «, Х2 = Ь, не удовлетворяющее, однако, условию
Р <С X2 С Р + 1, Диофанту известно.
Точно так же Виет формулирует предложение IV5:
«Найти два квадратных числа, равные двум данным
квадратам, из которых один заключен между данными
пределами», т. е.
х2 + у2 = а2 + Ъ2,	(7)
f < х2 < g.
Однако решение Виета совершенно отлично от решения
Диофанта и основано на исчислении треугольников.
94
Прежде всего Виет берет прямоугольные треугольники
(п1? т1ч z) и (n2, m2, z), где z — ]Ла2 + Ь2, пл = ]/f,
тх = Vz2 — п2 — V g, т2 = 1Лг2 — t?2- Исходя из
первого треугольника (тг1?	z), он паходит, применяя
операцию, введенную в предложении IV4, два подобных
треугольника (н1? i?x, а) и (ки^ киг, b), где к = b/а и
щЪ —mia	1ща 4-
“1 = а2 + Ь2	=	й2+^	«•
Аналогично, исходя из второго треугольника (тг2, m2, z),
он находит два подобных треугольника (н2, г2, а) и
{ки2, kv2, &), где
П2& — т^а	та 4- тг&
u2 —	Ь2 а’	у2 а2 + 62 а’
Далее, если g1? тц и |2, ц2 — корни, на которых построены
треугольники (нх, vlf а) и (и2, р2, а), то по следствию 1 из
предложения LIII имеют место соотношения
а — щ т)1 а — U2 Т12
------- = —— И -------- = ——
г>1|	Е>1	V2 Е.2
ИЛИ
е2 — {nib — mid)_ щ z2 — {mb — rmd)___ щ
та + mib	ma -}- imb	*
Виет утверждает, что если корни g, ц удовлетворяют ус-
ловию
Т)1 Т] Т]2
Ь К ’
то отвечающее им решение уравнения (6), а именно (п, т),
где п = ки — v, т -- kv — и,
^2— Y]2	2Е,Т]
и =	 9 ai и = ~-z ; 9 а,
^2 + д2	^Н-т]2
будет удовлетворять условию / < п2 < g. Тем самым за-
дача сводится к нахождению корней g и ц, удовлетворяю-
щих условию
z2 — {nib — mid) Г] z2 — (н2& — т2а)
nia -|- mib	ща т^Ь
ИЛИ
Ч(П1а + таЬ) . £
Z2 — (nib — mia) ‘ ®
т] {пга 4- т2&)
z2 — («2& — тъа) ’
95
Полагая ?] = 1, Виет сводит ЭаДачу к нахождению | = 1,
удовлетворяющего условию
та 4- rmb . г та 4- mdb
z2 — (mb — mid) ® z2 — (п2& — гта) ’
Каков же смысл решения Виета на языке комплекс-
ных чисел? Пусть (п, т) — рациональная точка окруж-
ности (7). Виет ставит ей в соответствие прямоугольный
треугольник^, т, z), что при нашей интерпретации соот-
ветствует комплексному числу п 4~ mi. Пусть а1? а2,
а — аргументы соответственно комплексных чисел -f-
+ mAi, п2 + m2f, п 4~ mi, тогда условие / < тг2 < g рав-
носильно условию tg 04 >> tg а > tg а2. Далее, построе-
ния Виета равносильны отысканию по точкам (7гх, тг)
и (п2, т2) на окружности (7) точек (щ, и (н2, к2) на ок-
ружности (7). Для этого он применяет метод предло-
жения IV3, эквивалентный делению комплексных чисел
т 4- mii ।	•	^2 4- rmi .
Щ + v±i, 	= и2 4- v2i,
гцр к = Ыа. Геометрически деление на комплексное число
к — i эквивалентно гомотетии с коэффициентом &2- и
повороту на угол у < 90 , тангенс которого равен	,
поэтому аргументы комплексных чисел иА + vxi и и2 +
4- v2i равны соответственно 04 4~ У и а2 4~ Т- Если
ui +	== (51 + ПД)2, и2 +	= (52 + П2О2,
то аргументы комплексных чисел 4~ и ?2 4~ Лг*
«14- Т	аг 4- т -г, х
равны соответственно —— и —2— * ^иет Ф^ктически
утверждает, что условие tg 04 > tg а >> tg а2 равносиль-
но условию

где (а 4~ т)/2 — аргумент комплексного числа 4-
связанного с числом п mi соотношением
п + mi = (к — г) g + qi)2 g +
96
Это справедливо, если выполняется условие 6 ах + у <
< 90°. Проверим это. Действительно, либо a <Z = У/,
либо а > п2 — У g. В противном случае (а, Ь) являлось
бы решением задачи. Виет неявно предполагает, что а <С тг15
откуда следует, что b = Уz2 — а2 т1 У z2 — nl и
~	Другой стороны, tg 04 = и tg (90° — у) =
= b/а, так как tg у = а/b, поэтому tg (90° — у) >► tg ах
и 90° — у Х> схх, тем самым аг + у <С 90°.
Таким образом, результат Виета на языке комплекс-
ных чисел можно сформулировать следующим образом.
Рациональные точки (п, т) окружности (7), удовлет-
воряющие условию f < п2 <С g, находятся по формуле
п + mi = (к — i) Q + r]i)2
где ц — 1, а % — рациональное число, удовлетворяющее
неравенству
nia -f- mib	п^а тчЪ
z* — (nib — mia) 6 z2 — (№& — ш2<7) *
Таким образом, проведенный выше анализ «Порож-
дения треугольников» и группы задач «Зететики» показы-
вает, что они неразрывно связаны. Итак, построив в
«Порождении треугольников» исчисление треугольников,
соответствующее оперированию с теории комплексными
числами, Виет применяет его в «Зететике» для решения
неопределенных уравнений. Более того, операция, экви-
валентная делению комплексных чисел, определяется
только в «Зететике». Предложения «Зететики» также
показывают, насколько глубоко Виет владел теоремами,
которые теперь мы относим к алгебре комплексных
чисел.
§ 4. Оценка «Порождения треугольников» Виета
историками науки
Мориц Кантор довольно подробно остановился в своих
«Лекциях по истории математики» [6] на разборе «Порож-
дения треугольников» Виета. Он отмечает, что, начиная
6 Заметим, что выполнение более слабого условия (ai -|- у)/2 < 90°
недостаточно для Виета, так как он не может иметь дело с углами
>90°.
4 Историко-математ. исслед., в. XXI
97
с предложения XLV, Виет «рассматривает происхождение
друг из друга рациональных треугольников» [6, стр. 633].
Затем он рассматривает предложения 45, 46 и 48—51,
выпуская очень важное для дальнейшего предложение 47,
и приходит к выводу, что выведенные Виетом формулы и
соотношения равносильны представлению sin па и
cos па через степени sin а и cos а «с тем отличием, что он
пишет D вместо sin а и В вместо cos а, а гипотенузу пер-
вого треугольника называет Л, тг-го же — Ап» [6, стр. 634].
Таким образом, М. Кантор обратил основное внимание
на то, что при композиции треугольников, определенной у
Виета, углы складываются, но считал лишним, ненужным,
что гипотенузы треугольников при этом перемножаются!
Мы видели выше, что последнее очень важно и для опре-
деления композиции, и для ее приложений. Г. Г. Цейтен
в своей «Истории математики XVI—XVII вв.» [6] придер-
живается примерно той же точки зрения. Основным ре-
зультатом Виета он считает «выражения для синусов (или
хорд) и косинусов кратных дуг. В своих примечаниях к
nLogistica speciosa" Виет выводит для них, исходя из
обычных выражений для cos (х + у) и sin (х + у), следу-
ющие формулы:
cos тх = cosm# —	cosm-2^ • sin2 х + • • •,
1 • А
sin тх = т cos™-1# • sin х —
т(т — 1) (т — 2)	2	.
----“-- о о------ COS™-3# • SIH2# + • • •
1. • Z • о
Виет представляет тригонометрические функции не с
помощью теперешних их обозначений, а в виде отноше-
ний сторон прямоугольных треугольников...» [7, стр.
118]
Итак, и Кантор, и Цейтен учитывают только одну сто-
рону в «Порождении треугольников» — композицию уг-
лов, совершенно не касаясь другой, о которой мы под-
робно говорили выше. Вероятно, это произошло потому,
что ни один из названных ученых не рассмотрел приме-
нение композиции треугольников при решении задач не-
определенного анализа в «Зететике» Виета.
98
§ 5. Заключение
Принято считать, что основной проблемой алгебры
долгое время была проблема решения уравнений в ради-
калах. Более того, молчаливо принимаеся, что вплоть
до XVIII в. это была единственная проблема, исследова-
ние которой привело к становлению и развитию алгебры
как науки, являясь для нее тем же, чем была проблема
определения площадей и объемов для математического
анализа.
Однако более внимательное изучение вопроса показы-
вает, что это не совсем так. По крайней мере, эта пробле-
ма была не единственной. Продолжая наше сравнение
с математическим анализом, можно сказать, что так же, как
наряду с проблемой определения площадей стояла про-
блема определения касательных, экстремумов и скоростей,
так и параллельно с задачей решения уравнений в радика-
лах с самого начала стояла и другая: решение неопреде-
ленных уравнений в рациональных (или целых) числах.
Этой проблеме почти целиком посвящена «Арифметика»
Диофанта. А ведь именно там впервые вводятся отрицатель-
ные числа и буквенные обозначения для неизвестной и ее
степеней.
Далее, известно, что развитие алгебры на средневеко-
вом Востоке, особенно в школе Абу-л-Вафы и у ал-Карад-
жи, было теснейшим образом связано с переводом и усвое-
нием «Арифметики» Диофанта, т. е. опять-таки с учением
о неопределенных уравнениях.
В XVI в. с «Арифметикой» познакомились и европей-
ские математики. Р. Бомбелли, восприняв способ, кото-
рым Диофант вводил отрицательные числа, ввел таким же
образом (т. е. чисто формально или аксиоматически) не
только отрицательные, но и мнимые числа. При этом це-
лью его было исследование «неприводимого случая» куби-
ческого уравнения. Виет же строил свое исчисление
треугольников для решения неопределенных уравнений
В качестве ведущей идеи он взял композицию форм вида
х2 + у\ известную уже Диофанту; таким образом, и ему
«Арифметика» послужила отправным пунктом.
В XVII в. Пьер Ферма, изучая «Арифметику», поста-
вил свои знаменитые теоретико-числовые проблемы, из
которых отметим малую теорему Ферма, великую теорему
Ферма и вопрос о представлении чисел квадратичными
4*
99
формами. Первая из них была несколькими способами
доказана Л. Эйлером. При этом Эйлер впервые в матема-
тике рассмотрел конечные группы, циклические группы и
доказал «теорему Лагранжа» для конечных коммутатив-
ных групп. «Великая теорема» привела, как известно, к
введению в XIX в. алгебраических чисел и к построению
их арифметики. Вопрос же о представимости чисел квад-
ратичными формами послужил началом теории квадратич-
ных форм, развитой Эйлером, Лагранжем и Гауссом. Ком-
позиция классов форм, построенная Гауссом, послужила
еще одним примером групповой операции, определенной
над объектами, далекими от чисел. При этом были дока-
заны основные теоремы о конечных абелевых группах.
Этот же вопрос о представлении чисел квадратичными
формами привел к открытию квадратичного закона вза-
имности. Наконец, в начале XIX в. Якоби связал методы
Диофанта и Эйлера для решения неопределенных урав-
нений 3-й степени и более высоких степеней с теоремами
сложения эллиптических и гиперэллиптических интегра-
лов Эйлера и Абеля.
Неопределенный анализ продолжал успешно разви-
ваться в течение всего прошлого века, являясь местом
встречи и взаимодействия идей алгебры, теории чисел,
алгебраической теории функций и геометрии.
А. Пуанкаре в самом начале нашего века дал некий
синтез всех этих идей и методов в своей работе «Арифме-
тические свойства алгебраических кривых» (1901) [8].
Он наметил грандиозную программу, исследования кото-
рой продолжаются вплоть до наших дней.
Итак, в то время как тема «решения определенных урав-
нений в радикалах» исчерпала себя к середине прошлого
века, тема «неопределенные уравнения», развивавшаяся
наряду с первой, начиная с античности, продолжала ин-
тенсивно развиваться и переросла в наши дни в алгебра-
ическую геометрию, занимавшую одно из центральных
мест в современной математике.
Отмеченные нами факты, конечно, далеко не исчерпы-
вают значения неопределенных уравнений в развитии ал-
гебры. Это значение еще предстоит изучить. Наша статья
в этом смысле является только шагом на этом пути.
100
ЛИТЕРАТУРА
1.	R. Bombelli. L’AIgebra. Bologno, 1572.
2.	F. Vietae. Opera matematica. Lugduni Batavorum, 1646.
3.	К. Ф. Гаусс. Арифметические исследования. В кн. «Карл Фрид-
рих Гаусс. Труды по теории чисел». М., Изд-во АН СССР, 1959,
стр. 15—586.
4.	Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоуголь-
ных числах. Перев. с древнегреческого И. Н. Веселовского.
Ред. и коммент. И. Г. Башмаковой. М., «Наука», 1974.
5.	Leonardo Pisano. Scritti, v. 2. Pubbl. de В. Boncompagni. Roma,
1862.
6.	JAf. Cantor. Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik. Bd. II,
3. Aufl. Leipzig, Druck und Verlag von B. G. Teubner, 1913.
7.	Г. Г. Цейтен. История математики в XVI и XVII веках. М.— Л.,
ОНТИ, 1938.
8.	А. Пуанкаре. Об арифметических свойствах алгебраических
кривых. В кн.: «Анри Пуанкаре. Избранные труды», т. II. М.,
«Наука», 1972, 901—960.
ВЕКТОРЫ II ПСЕВДОВЕКТОРЫ ВИЕТА
И ИХ РОЛЬ В СОЗДАНИИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Б. А. Розенфельд
В статье «Исчисление треугольников Виета и исследо-
вание диофантовых уравнений» [1] И. Г. Башмакова
и Е. И. Славутин показали важное значение сочинения
Виета «Первые замечания к видовой логистике» в истории
алгебры. Настоящая заметка посвящена выяснению роли
этого труда Виета для истории геометрии. В статье «Дио-
фант и Ферма» [2] И. Г. Башмакова доказала существен-
ное влияние «Арифметики» Диофанта [3] не только на
теоретико-числовые, но и на геометрические работы П. Фер-
ма (1601—1665). Несомненно, что Ф. Виет (1540—1603)
был одним из промежуточных звеньев между Диофантом
и Ферма. В настоящей заметке будет показана роль ука-
занного сочинения и некоторых других сочинений Виета
в подготовке одного из важнейших открытий Ферма —
открытия аналитической геометрии.
Кроме указанного сочинения Виета [4, стр. 13—41],
мы рассмотрим также сочинение Виета «Теоремы к деле-
нию углов» [4, стр. 287—304], па которое наше внимание
обратил ученик И. Г. Башмаковой С. С. Глушков, и «От-
вет на задачу, которую предложил для решения всем ма-
тематикам мира Адриан ван Роомен» [4, стр. 305—324].
Оба последних сочинения посвящены выводу теорем о
тригонометрических функциях кратных углов и об их
применении к делению углов на равные части. Решение
задачи ван Роомена, представлявшей собой алгебраиче-
ское уравнение 45-й степени, сводящееся к задаче о деле-
нии круга на 45 равных дуг, было предложено Виетом в
1594 г. «Теоремы к делению кругов», содержащие полные
доказательства формул Виета, сохранились в обработке
ученика Виета Андерсона, но несомненно, что сами дока-
зательства принадлежат Виету. «Первые замечания»
впервые были напечатаны посмертно Жираром в 1631 г.,
мы пользуемся изданием «Математических сочинений»
102
Виета, составленным Ф. Схоутепом и изданным в 1646 г.
в Лейдене.
И. Г. Башмакова и Е. И. Славутин в работе [1] по-
казали, что в «Первых замечаниях» Виет определил ком-
позицию треугольников, равносильную умножению комп-
лексных чисел. В цитируемом ими 46-м предложении этого
труда Виет строит по двум прямоугольным треугольникам
Рис. 1
с горизонтальными катетами («основаниями») D и G, вер-
тикальными катетами («перпендикулярами») В и F и ги-
потенузами X и Z (рис. 1) два новых треугольника с «ос-
нованиями» | BF — DG | и BF + DG и «перпендикуля-
рами» BG + DF и | BG — DF |. Далее он указывает,что
гипотенузы этих треугольников равны (в соответствии с
применявшимся Виетом античным принципом однород-
ности он говорит, что гипотенузы новых треугольников
«подобны» произведениям гипотенуз первых двух треуго-
льников, считая произведение гипотенуз прямоугольни-
ком, а гипотенузу нового треугольника — стороной пря-
моугольника, другая сторона которого равна 1, а площадь
равна площади первого треугольника). В дальнейших
предложениях Виет пользуется тем, что углы между «ос-
нованиями» и гипотенузами при композиции треугольни-
ков складываются или вычитаются и, в частности, при
n-кратной композиции треугольника с самим собой
умножаются на п (последнюю операцию Виет называет
«раздвижением» (diductio) треугольника). Виет формули-
рует правило образования катетов «раздвинутого» треу-
гольника, равносильное вычислению вещественной и
мнимой частей комплексного числа (D 4- Bi)n с помощью
бинома Ньютона. Свойства композиции треугольников,
вытекающие из хорошо известных Виету выражений _ко-
103
синуса и синуса суммы и разности двух углов через сину-
сы и косинусы этих углов, применялись Виетом в «Тео-
ремах к делению углов» и «Ответе на задачу». Однако в
последних двух сочинениях Виет (он интересовался
только углами треугольников) применял аналогичную
композицию треугольников, но с точностью до подобия.
В обеих этих работах сформулированы следующие две
теоремы (в первой из них приведены и их доказательства):
«Теорема I. Если имеются три прямоугольных
треугольника, причем острый угол первого отличается от
острого угла второго на острый [угол] третьего и превос-
ходство на стороне первого, то стороны третьего получа-
ются с помощью следующих подобий: гипотенуза подобна '
прямоугольнику па гипотенузах первого и второго, пер-
пендикуляр подобен прямоугольнику на перпендикуляре
первого и основании второго минус прямоугольник на
перпендикуляре второго и основании первого, основание
[подобно] прямоугольнику на основаниях первого и второго
плюс прямоугольник на перпендикулярах их же...
Теорема II. Если имеются три прямоугольных
треугольника, причем острый угол первого, прибавлен-
ный к острому углу второго, равен острому [углу] треть-
его, то стороны третьего получаются с помощью следую-
щих подобий: гипотенуза подобна прямоугольнику на
гипотенузах первого и второго, перпендикуляр подобен
прямоугольнику на перпендикуляре первого и основании
второго плюс прямоугольник на перпендикуляре второго
и основании первого, основание [подобно] прямоугольни-
ку на основаниях первого и второго минус прямоугольник
на перпендикулярах их же» [4, стр. 287—289 и 314—
315]. В ответе вап Роомену после каждой из этих теорем
приводятся примеры: для теоремы I—три треугольника,
«перпендикуляры» которых равны 1, а основания — соот-
ветственно 2, 3 и 7, для теоремы II — три треугольника с
«перпендикулярами», снова равными 1, и с основания-
ми, соответственно равными 7, Зи2. Там же Виет указы-
вает, что «эти две теоремы образуют фундамент всего уче-
ния о делении углов» [4, стр. 315].
Весьма возможно, что, как считают авторы статьи [1],
композиция треугольников Виета представляет собой
геометрическую интерпретацию комплексных чисел, ко-
торые должны были быть известны Виету из книги Бом-
белли [5], однако, в силу приверженности Виета к антич-
104
пой терминологии, он выдержал свое изложение в клас-
сическом геометрическом духе. Может быть, композицию
треугольников Виета более правильно рассматривать не
как геометрическую интерпретацию комплексных чисел,
а как геометрическую интерпретацию равносильных
комплексным числам пар вещественных чисел, теория
которых впоследствии была разработана Гамильтоном.
Оставляя в стороне эти алгебраические вопросы, мы
должны признать, что в «Первых замечаниях» мы встре-
чаемся с сопоставлением каждой точки, являющейся верх-
ней вершиной рассматриваемых им треугольников и пред-
ставляющей собой если пе любую точку плоскости, то во
всяком случае любую точку правого верхнего квадранта
этой плоскости, одновременно как двух отрезков — «ос-
нования» (basis) и «перпендикуляра» (perpendiculum),
совпадающих с прямоугольными (декартовыми) коорди-
натами этой точки, так и «гипотенузы» и угла между «ос-
нованием» и гипотенузой, совпадающих с полярными ко-
ординатами этой точки — ее радиус-вектором и полярным
углом.
Если гипотенузы треугольников, строящихся Виетом
в «Первых замечаниях», можно рассматривать как векто-
ры, представляющие собой радиусы-векторы точек, то
гипотенузы треугольников, строящихся в «Теоремах к
делению углов» и в ответе ван Роомену, представляют со-
бой векторы, определенные с точностью до множителя,
называемые в современной геометрии псевдовекторами
[6, стр. 18]. Следует подчеркнуть, что Виет пе определяет
сложения своих векторов и псевдовекторов, а определяет
только их умножение, аналогичное умножению комплекс-
ных чисел.
Весьма возможно, что Виет пришел к композиции тре-
угольников, отправляясь от правил определения косину-
сов и синусов сумм и разностей углов. Виет мог прийти
к этому и другим путем: на основе анализа 19 задачи III
книги «Арифметики» Диофанта [3, стр. 88—89]. И. Г. Баш-
макова [2, стр. 218] считает вероятным, что Диофант знал
тождество
(а2 4- &2)(с2 + tZ2) - (ас + М2 + (ad - be)2 =
= (ad + be)2 -f- (ас — bd)2,
равносильное закону умножения числовых пар Гамиль-
тона, Это тождество, как известно, применялось в «Книге
105
квадратов» Леонардо Пизанского [7], хорошо знакомого
с арабской математической литературой, в которой сох-
ранились четыре книги «Арифметики» Диофанта, оставав-
шиеся неизвестными в Европе (см., например, [8]). Поэ-
тому Виет мог заимствовать правило композиции треуголь-
ников из «Книги квадратов» Леонардо Пизанского, при-
дав ему геометрическую форму, и вполне возможно, что
Леонардо Пизанский заимствовал это правило из не до-
шедших до нас книг Диофанта или из арабских сочине-
ний, написанных под влиянием Диофанта (к авторам та-
ких сочинений относится ал-Караджи, о многих сочинениях
которого мы узнали только совсем недавно [9]).
По-видимому, источниками введенных Виетом в «Пер-
вых замечаниях» «прямоугольных» и «полярных коорди-
нат» не были «Конические сочинения» Аполлония, где
систематически использовались косоугольные и, в част-
ности, прямоугольные координаты (правда, тесно свя-
занные с рассматриваемыми им кривыми) и сочинение
Архимеда «О спиралях», где систематически применялись
полярные координаты, также тесно связанные с изучав-
шимися здесь спиралями. Единственным известным нам
случаем совместного рассмотрения прямоугольных и по-
лярных координат и установления соответствующих пра-
вил перехода до Виета является определение Сабитом ибн
Коррой положения копца тени гномона на плоскости
солнечных часов с помощью «длины тени» и «азимута
тени» и с помощью «частей длины» и «частей ширины» в
«Книге о часовых приборах, называемых солнечными ча-
сами» (см. [10]). Виет мог быть знаком с некоторыми ре-
зультатами этого трактата Сабита через ал-Баттани, не-
которые сочинения которого были переведены на латынь
(они были известны Региомонтану, который заимствовал
у ал-Баттани «теорему Альбатегния» — сферическую тео-
рему косинусов, рассматривавшуюся вместе с двойствен-
ной ей теоремой Виетом в его «Восьмой книге ответов на
различные математические вопросы»; ал-Баттани же за-
имствовал эту теорему из указанного трактата Сабита).
Трудно сказать, привел ли Виета к его учению о компо-
зиции треугольников какой-нибудь из трех указанных
путей; вполне возможно, что Виет пришел к этому уче-
нию совершенно самостоятельно или оно возникло в ре
зультате совместного воздействия нескольких из указан-
ных источников.
106
Говоря о появлений аналитической геометрии в иачалё
XVII в., обычно указывают на роль латинских переводов
«Конических сечений» Аполлония, выполненных Ф. Ком-
мандино и Ф. Мавролико, переведших названия коорди-
нат Аполлония латинскими выражениями, от которых
произошли наши термины «абсцисса», «ордината» и «ап-
пликата» (последние два термина, произошедшие от выра-
жения Коммандино ordinatim applicatae — «приложенные
по порядку», имели один и тот же смысл). Влияние этих
переводов и на «Геометрию» Декарта [11], опубликованную
в 1637 г., и па «Введение в изучение плоских и простран-
ственных мест» [11, стр. 137—196] несомненно: Ферма
пользовался термином applicata, а Декарт — выражением
appliquee par ordre — французским переводом термина
Коммандино. Но в то же время обращает на себя внима-
ние большое сходство треугольников, с помощью которых
Ферма вводил прямоугольные координаты в своем «Введе-
нии», с треугольниками Виета: Ферма ставит в соответ-
ствие всякой точке I правого верхнего квадранта плоско-
сти ее прямоугольные координаты А и Е (рис. 2; эти коор-
динаты обозначаются гласными буквами в соответствии с
принципом обозначения «искомых величин» того же Вие-
та). Фактически Ферма, так же как Виет, характеризует
точку I не только прямоугольными координатами, но и
радиус-вектором и полярным углом, однако для них он
не вводит обозначений и рассматривает уравнения только
в координатах А и Е. Тот факт, что «Введение» было напи-
сано вскоре после публикации «Первых замечаний» Виета,
делает весьма вероятным предположение о том, что Фер-
ма пришел к идее аналитической геометрии под влиянием
не только переводов Аполлония, но и под влиянием рас-
сматриваемого нами сочинения Виета: по-видимому,
именно при чтении Виета Ферма пришел к мысли «отвя-
107
зать» абсциссы и ординаты точек Аполлония от рассмат-
риваемых кривых, чем и объясняется то, что Ферма рисо-
вал координаты точек вместе с их радиус-векторами.
Возможно также, что и Декарт пришел к своему ис-
числению отрезков, лежащему в основе его аналитической
геометрии, в результате размышлений над «исчислением
треугольников» Виета: координаты точек у Декарта ближе
к координатам Аполлония; вводя свои координаты, Де-
карт не рассматривает радиус-вектора точки, но очень
возможно, что отказ Декарта от применявшегося Вие'том
и Ферма принципа однородности был навеян именно
представлением гипотенузы одного треугольника в виде
произведения гипотенуз двух других треугольников (не-
обходимый для определения такого произведения единич-
ный отрезок также играет существенную роль в исчисле-
нии отрезков Декарта).
После появления «Геометрии» Декарта и буквенная ал-
гебра, и аналитическая геометрия стали развиваться в
формах, приданных им Декартом, и сочинения Виета
почти не читались. Этими следует объяснить то, что Джон
Валлис (1616—1703), пытавшийся в своем «Трактате об
алгебре» [12] (1685) построить геометрическую интерпре-
тацию комплексных чисел, не воспользовался идеями
«Первых замечаний» Виета: соединение этих идей с идеей
Валлиса о том, что мнимая величина ]/* — Ьс является
средней пропорциональной между величинами — бис или
Ъ и — с, т. е. отрезком, перпендикулярным к отрезкам
Ъ и с, отложенным на одной прямой по разные стороны
от основания перпендикуляра [12, стр. 266], дало бы воз-
можность Валлису построить вполне удовлетворитель-
ную геометрическую интерпретацию комплексных чисел,
такую, которую предложили в 1799 г. К. Бессель и в
1806 г. Ж. Арган. Однако до 1637 г. «Первые замечания»
читались математиками, и, как мы видим, помимо хорошо
известного влияния этого сочинения на развитие алгебры
и тригонометрии, весьма вероятно, что оно оказало су-
щественное влияние и на открытие аналитической геомет-
рии.
108
ЛИТЕРАТУРА
1.	И. Г. Башмакова, И. С. Славутин. Исчисление треугольников
Виета и исследования диофантовых уравнений.— ИМИ,
вып. XXL М., «Наука», 1976, стр. 78—101.
2.	И. Г. Башмакова. Диофант и Ферма.— ИМИ, вып. XVII. М.,
«Наука», 1966, стр. 185—204.
3.	Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоуголь-
ных числах. Перев. с древнегреческого И. Н. Веселовского.
Ред. и коммент. И. Г. Башмаковой. М., «Наука», 1974.
4.	F. Vietae. Opera mathematica. Lugduno Batovorum, 1646.
5.	R. Bombelli. L’Algebra. Bologna, 1572.
6.	И. А. Схоутен, Д. Дж. Стройк. Введение и новые методы диф-
ференциальной геометрии, т. I. И. А. Схоутен. Алгебра и уче-
ние о перенесении. Перев. М. 3. Кайнера. М.— Л., Гостех-
издат, 1939.
7.	Leonardo de Pisa. Le livre de nombrcs carres. Ed. P. Ver Eecke.
Bruges, 1952.
8.	R. Rashed. Le travaux perdus de Diophante (1). Revue d’histoire
des sciences, 29, N 2, 1974, 97—122.
9.	Б. А. Розенфельд. Алгебраический трактат ас-Самав’ала.—
ИМИ, вып. XX. М., «Наука», 1975, стр. 125—149.
10.	А. Ю. Сансур, С. А. Бокатуева. Новые исследования о матема-
тическом творчестве Сабита ибн Корры.— Труды XIII Между-
народного конгресса по истории пауки, секции III, IV. М.,
«Наука», 1974, стр. 99—103.
11.	Р. Декарт. Геометрия с приложением избранных работ П. Фер-
ма. Перев. и прим. А. П. Юшкевича. М., Гостехиздат, 1938.
12.	J. Wallis. A treatise of Algebra, both historical and practical.
London, 1685.
К ВОПРОСУ ОБ ЭЙЛЕРОВСКОМ ОПРЕДЕЛЕНИИ
УДОБНЫХ ЧИСЕЛ1
И. Г. Мельников
Удобные числа — одно из интереснейших открытий
Эйлера в теории бинарных квадратичных форм. Обнару-
жив, начиная с 1745 г., удобные числа d 1, 2 и 3, Эйлер
завершил свои изыскания в этом направлении лишь в
1778 г. В результате было найдено 65 удобных чисел и
построена приблизительная теория.
Позднее эти 65 удобных чисел были выявлены Гауссом
в связи с классификацией бинарных квадратичных форм.
Натуральное число d по Гауссу является удобным тогда
и только тогда, когда в каждом роде чисто коренного
порядка определителя — d имеется лишь по одному клас-
су форм. Это определение удобного числа доступно лишь
специалистам по теории чисел.
В литературе большое распространение получило оши-
бочное определение удобного числа, приписываемое Эйле-
ру. Например, у Э. Троста [1, стр. 35] можно прочитать:
«Эйлер заметил, что х2 + dy2 (d > 1) для специальных
значений d однозначно и собственным образом представ-
ляет лишь простые числа. Коэффициенты d ои назвал
„удобными числами44...». Такое истолкование удобных
чисел основано на недоразумении. Так, взяв удобное
число 13, обнаруживаем для числа 3481 единственное
представление формой х2 + 13у2 с взаимно простыми х
и у, именно, 3481 = 582 + 13-З2. Однако 3481 = 592 не
является простым числом. Та же форма представляет
единственным и собственным образом составное число
94: 94 = 92 + 13-I2.
[ Неправильная трактовка удобных чисел порождает
ошибочные теоремы. Так, в книге Э. Троста [1] теорема
И: «Нечетное число вида 4тп + 1 тогда и только тогда
1 Большая часть этой заметки воспроизводит сообщение автора
иа секции истории математики IV Всесоюзного математического
съезда.
110
является простым, когда оно лишь единственным образом
представимо в виде суммы двух взаимно простых квадра-
тов» неверна уже потому, что 25 = З2 + 42 не является
простым числом. Так же легко опровергаются теоремы
12, 13 и 14 из той же книги. Ошибочными являются ана-
логичные теоремы 20, 21 и 24 в книге Хольцера [2].
О неправильном истолковании удобных чисел Эйлера
многими авторами я докладывал на Всесоюзной конфе-
ренции по истории науки в мае 1959 г. в Москве [3] 2.
Тогда я напомнил, что Эйлер в работах, посвященных удоб-
ным числам, «простыми числами» называл обыкновенные
простые числа, их квадраты, удвоенные простые числа и
степени числа 2. Приведенное выше определение удоб-
ного числа по Э. Тросту становится вполне приемлемым,
если в нем простые числа трактовать в эйлеровском смысле.
Число D называется удобным по Л. Е. Диксону [5,
стр. 184], «если D — ab, п = ах2 + &у2, {ах, by) = 1, то
п = р, р2, 2р или 2т. Притом п = р, если число п пред-
ставимо формой [а, 0, 6] существенно одним способом».
Диксон исказил понятие удобного числа. На основании
его определения можно думать, что форма ах2 + by2, где
ab — удобное число, при взаимно простых ах и by пред-
ставляет простые числа р единственным способом, а составные
числа р2, 2р и 2т неоднозначно. В действительности же
эти составные числа представляются формой также един-
ственным образом.
Эйлер нашел 65 удобных чисел, исследовав все нату-
ральные числа до 10 000, и высказал гипотезу о конеч-
ности множества удобных чисел. В 1901 г. Куннингем и
Куллен продолжили изыскания Эйлера до 101 220, однако
ни одного нового удобного числа не обнаружили. В 1960 г.
А. Ферье [6] сообщил, что от 100 000 до 200 000 также нет
ни одного удобного числа. Изыскания Ферье были про-
должены учениками В. Серпинского. Последний в письме
от 9 февраля 1961 г. сообщил мне: «Мой ученик Кан Цу
Сон пе нашел ни одного удобного числа от 200 000] до
400 000, а другой мой ученик Ж. Войчик не нашел ни
одного удобного числа от 400 000 до 700 000. Вычисления
этих авторов хранятся в архиве деканата факультета ма-
тематики и физики Варшавского университета».
2 Этот доклад, по-видимому, оказал известное влияние на работу
Стейнига [4].
Ш
В 1934 г. Човла, опираясь на результат Гельбронна,
доказал конечность множества удобных чисел. Гипотеза
Эйлера подтвердилась. Оставалось выяснить, сколько
может быть удобных чисел и в каком промежутке они со-
держатся.
Соответствующая информация появилась в книге
В. Серпинского [7]. Оказывается, еще в 1948 г. Ж. Д.
Свифт [8] показал, что до 2 500 000 пет ни одного нового
удобного числа. Човла и Бриггс [9] установили, что новых
удобных чисел может быть не более одного и если оно су-
ществует, то должно быть больше, чем 1065.
В. Серпинский хорошо продумал эйлеровское опре-
деление удобного числа и предложил такую формулировку
[7, стр. 214]: «Удобными числами мы называем числа с/,
обладающие следующим свойством: если печетное число
п >> 1 имеет единственное представление формой ж2 + y2d
(разумеется, если не обращать внимания на порядок сла-
гаемых), где х и у — неотрицательные целые числа, при-
чем в этом единственном представлении слагаемые взаимно
просты, то п — простое число».
Это определение освобождает нас от необходимости
относить четные числа 2р и 2™ к «простым» в эйлеровском
смысле. Также не нужно считать «простым» число р2,
так как оно теперь имеет два представления. Определение
В. Серпинского снимает трудности, связанные с эйлеров-
ским понятием удобного числа.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Э. Трост. Простые числа. Перев. с нем. Н. И. Фельдмана, под
ред. А. О. Гельфонда. М., Физматгиз, 1959.
2.	L. Holzer. Zahlentheorie. Teil I. Leipzig, 1958.
3.	И. Г. Мельников. Открытие Эйлером удобных чисел. Сб. «Исто-
рико-матем. исслед.», 1960, вып. XIII, 187—216.
4.	J. Steinig. On Euler’s Idoneal Numbers. Elemente der Mathematik,
1966, Bd. XXI, Heft 4, 73—88.
5.	Л. E. Диксон. Введение в теорию чисел. Перев. с англ.
А. 3. Вальфиша. Тбилиси, Изд-во АН ГрузССР, 1941.
6.	Е. Ferrier. N ombres idoines. Mathesis, 1960, 69, 34—36.
7.	W. Sierpinski. Elementary theory of numbers. Warszawa, 1964.
8.	J. D. Swift. Note on discriminants of binary quadratic forms
with a single class in each genus. Bull. Amer. Math. Soc., 1948,
54, 560—561.
9.	S. Chowla, W. E. Briggs. On discriminants of binary quadratic
forms with a single class in each genus. Canadian J. Math., 1954,
6, 463-470.
УНИВЕРСАЛЬНАЯ АЛГЕБРА
У СИЛЬВЕСТРА И УАЙТХЕДА
Л. Новы
1.	Теория универсальных алгебр, изучающая теорию
алгебраических структур с произвольным числом алгеб-
раических операций (не обязательно бинарных), возникла
в связи со стремлением к выработке единой точки зрения
при их изучении и имеет непродолжительную историю х.
Она начинается, собственно говоря, с работ Г. Биркгофа
и других в 30-е годы нашего века 1 2. Отдельные идеи и
результаты, высказанные или полученные в более ранние
годы, носили спорадический характер и составляют пре-
дысторию теории универсальных алгебр. Значительное
место в этой предыстории принадлежит Д. Д. Сильвест-
ру 3 (1814—1897) и А. Н. Уайтхеду 4 (1861—1947). В
данной статье не ставится задача последовательного изу-
чения предыдстории теории уверсальных алгебр, ее цель —
дать реконструкцию соответствующих идей в работах
этих авторов. Хотя материал нашего исследования был
1 Ср. [1, гл. 3] или стр. 5—6 введения к [2].
2 В предисловии [3, стр. V] о начальном периоде изучения универ-
сальных алгебр говорится следующее: «В статье... Георга Гре-
цера... рассматривается универсальная алгебра и ее отношение
к теории структур. Если исключить ранние статьи Уайтхеда, то
можно сказать, что ее первоначальные результаты принадлежат
Биркгофу и относятся к тридцатым годам; однако они оставались
в тени до середины сороковых годов...» (см. также [4; 5|).
3 «Общее название, данное мною предмету, было причиной многих
размышлений; принятое в конце концов название «универсальная
алгебра» применялось отчасти в том же смысле Сильвестром
в статье «Лекции о принципах универсальной алгебры», опубли-
кованной в 6 томе «American Journal of Mathematics» за 1884 г.
Однако в этой статье, несмотря на ее многозначительное название,
речь идет явно только о матрицах» [6, стр. VI].
4 A. N. Whitehead. Universal Algebra [6]; более поздние работы
А. Н. Уайтхеда на эту тему, относящиеся к нынешнему веку,
Мы не рассматриваем.
ИЗ
ограничен опубликованными работами 5, он достаточен,
на наш взгляд, для выяснения смысла усилий Д. Д. Силь-
вестра и А. Н. Уайтхеда, а также тех исторических вза-
имосвязей, которые обусловили появление их резуль-
татов.
2.	В арифметико-алгебраической литературе хорошо
известен термин «универсальная арифметика», использо-
ванный Ньютоном в известном сочинении," опубликован-
ном в 1707 г. Этим термином он точно обозначил возник-
шую в первой половине XVII в. тенденцию арифметики и
алгебры придать общность области, носившей название
«arithmetica litteralis» («буквенная арифметика»). Опера-
ции с буквами, введенные по аналогии с операциями, 'при-
менявшимися в известных тогда числовых областях, бы-
ли распространены на величины «вообще», т. е. на все
величины, употреблявшиеся в математике того времени.
Перевод геометрии на «алгебраический» язык — что как
бы прочитывалось в подтексте — никоим образом, за
исключением единичных случаев, не выступал на перед-
ний план.
Несколько иначе понимали общий характер операций
с символами представители английской алгебраической
школы (Пикок, Грегори, де Морган) 6. Эти авторы, исходя
из различных соображений, попытались по-новому пост-
роить всю алгебру. Они осознавали различие между
действиями с числами (арифметика) 7 или с выражающими
их символами (арифметическая алгебра) и общей или сим-
волической алгеброй. Последняя, по их представлениям,
является абстрактной аксиоматической системой, где
свойства «композиции» (composition, combination) даются
совокупностью правил (rules, laws), а правильность пред-
ложений доказывается их выводимостью из аксиом. Они
четко отделяли символы от их интерпретаций; по их мне-
нию, системы вовсе не обязаны иметь интерпретацию (мо-
5 Весьма вероятно, более цельное изложение рассматриваемых
вопросов у Сильвестра содержится в его лекциях «On multinomial
quantity», прочитанных в 1881 г. [7, стр. 209], содержание которых
частично отражено в работе [7]. Можно предполагать также, что
Уайтхедом был подготовлен (но так и не опубликован) второй том
его сочинения, содержащий развитие его идей.
в Ср. [8-11].
7 В настоящей краткой заметке мы не указываем на различие
во взглядах и в терминологии цитируемых авторов. Об этом под-
робнее см. [8—11].
114
дель) или могут иметь их несколько. Важно то, что если
на данную интерпретацию символов распространяются
все заданные правила, то на нее распространяются также
все утверждения системы.
Точка зрения Пикока и его коллег отвечала уровню
развития математики 30-х и 40-х годов XIX в. — времени,
когда они получили свои основные результаты. В этих ре-
зультатах имеются интересные моменты 8, но на них ска-
залось время их получения. Конкретная формулировка
законов композиций непосредственно зависела от правил
действий с числами (так как отсутствовали другие интер-
претации), и перестройка всей алгебры на повой основе
пе увенчалась успехом. Развитие идей английской алгеб-
раической школы, которое в течение последующих деся-
тилетий обогатило алгебру многими ценными результатами,
шло в двух направлениях: в направлении построения
частных систем в духе их идей и в направлении развития
математической логики 9.
В сороковые годы начали бурно развиваться некоторые
новые отрасли алгебры, в которых не только были полу-
чены важные для остальных разделов математики резуль-
таты, но и был приобретен опыт и познания, относящиеся
к свойствам новых математических объектов, операций
и структур, а также к свойствам их моделей. Особенно
существенное значение имели успехи в области «нетради-
ционных» отраслей, которые вышли из рамок прежнего ко-
личественного понимания математики. Большую роль
здесь сыграло изучение различных систем гиперкомплекс-
ных чисел, чаще всего построенных па основе кватернио-
нов Гамильтона, а также изучение детерминантов и мат-
риц, важность которых проистекала из их связей с разви-
вавшейся теорией инвариантов, позволявшей установить
для них широкие математические взаимосвязи. В разра-
ботке этих проблем наибольший вклад внесли Артур Кэли
и Д. Д. Сильвестр — ученики названных выше предста-
вителей ранней английской алгебраической школы и в
некотором смысле продолжатели их деятельности, — осо-
8 Важную роль у них играло стремление разработать такую систе-
му, в которой устранялись бы затруднения, связанные с введением
отрицательных и комплексных чисел, что им и удалось сделать
в довольно удовлетворительной форме.
9 Более подробно об этом см. [11].
115
бенно в молодые годы, когда они нередко работали в
тесном контакте 10.
3.	Д. Д. Сильвестр развил идею «универсальной ал-
гебры» в период своего пребывания в Америке в 1875 —
1884 гг. 11 Хотя ему было тогда уже за шестьдесят, на-
блюдался новый расцвет его математической деятельности.
Несколько раз обещанные им общие работы по универ-
сальной алгебре свелись к «Лекциям о принципах уни-
версальной алгебры» [7], посвященным преимущественно
матрицам 12; в этой работе, которая носит явно незакон-
ченный характер (она как бы прерывается посредине треть-
ей лекции), ему даже не удалось — по субъективным или
объективным причинам — ясно высказать и оформить
идеи, намеченные в прежних работах.
В исследованиях, выполненных в Америке, Сильвестр
преимущественно разрабатывал тематику, так или иначе
затронутую им ранее. Большое внимание уделил он «по-
вой» алгебре 13. В специфически трудной для понимания
и весьма несистематической манере изложения он выяснял
внутренние взаимосвязи между областями, изучавшимися
до сих пор раздельно, — теориями инвариантов, матриц
и гиперкомплексных чисел. Осознание этих взаимосвязей
отвечало тенденции современного ему развития математи-
ки 14, однако в данном конкретном случае возникают во-
просы о форме, в которой эта связь выразилась, а также,
насколько ясно она была осознана.
Идеи и проблемы, относящиеся к рассматриваемому
вопросу, разбросаны в различных работах Сильвестра
начала восьмидесятых годов. Так, в работе [14] он упоми-
10 Этот известный факт приводит, между прочим, Г. Ф. Бекер [12].
11 В конце 1883 г. Д. Д. Сильвестр получил приглашение занять
Севиллиапскую кафедру геометрии в Оксфорде (ср. [12, стр.
XXXII], [13, стр. 278]); имеются соображения, указывающие
на то, что результаты по рассматриваемой тематике были полу-
чены им в Америко.
12 См. [6]. Данное там замечание А. II. Уайтхеда формально является
правильным, хотя, как мы постараемся показать в дальнейшем,
результаты Сильвестра имеют более глубокий смысл, чем может
показаться на первый взгляд.
13 Ср. [12, стр. XXX].
14 Изучение процесса осознания внутренних взаимосвязей между
различными алгебраическими теориями и последующего исполь-
зования этих связей в конкретных алгебраических исследованиях
того времени — задачи, которые мы не ставили в настоящем ис-
следовании и к решению которых мы вернемся впоследствии.
116
нает о своей повой теории «кратной алгебры» («of mul-
tiple algebra»), являющейся, по существу, алгеброй ги-
перкомплексных чисел, и обещает посвятить ей специаль-
ную работу с соответствующими доказательствами. Это
обещание осталось иевыпо л пенным. Основная же идея
работы [14] — введение важного как в теории матриц,
так и в теории гиперкомплексных чисел понятия неявного
корпя матрицы. Лишь в заключительной ее части, посвя-
щенной операциям над матрицами, Сильвестр, ссылаясь
в связи с этим на одну работу Кэли 1857 г. 15, говорит
о многих неожиданных результатах, полученных «моим
новым методом», из которых «не самым удивительным яв-
ляется связь между теорией матриц и теорией инвариан-
тов» [14, стр. 111].
Работы [16—19] посвящены гиперкомнлексным чис-
лам. Сильвестр «открывает» 16 известную работу Кэли о
матрицах, написанную в 1858 г., и констатирует, что «сущ-
ностью кватернионов является не что иное, как теория
подстановок второго порядка, а... они, в свою очередь,
по существу тождественны с квадратными матрицами
второго порядка» [16, стр. 112[. Он признает, что главная
заслуга в получении этих результатов принадлежит
Кэли, а в частных случаях — Беббеджу и другим, од-
нако сам пытается их развить. Сильвестр стремится уста-
новить взаимосвязи (изоморфизмы) между матрицами
(квадратными) высших порядков, особенно третьего,
и соответствующими системами- гиперкомплексных чисел,
называемых им nonions, sedenions и т. д. [18]. Таким об-
разом он пришел к некоторым типам алгебр, которые изу-
чал Б. Пирс 17. При этом, желая «пролить дополнитель-
ный свет на сущность процессов, используемых в новом
мире мысли, названном многоуниверсалыюй алгеброй
или алгеброй кратных величин», Сильвестр утверждает,
15 По-видимому, он имеет в виду работу [15], представленную Ко-
ролевскому обществу в декабре 1857 г.
16 Ср. [7, стр. 209].
17 «Пусть т, п теперь означают матрицы третьего порядка. Мы могли
бы предложить решить уравнение тп = —пт. Результат ис-
следования состоит в том, что мы должны иметь т2 = п2, т3 = 0,
п3 — 0, и, записав тп = р, т2 = п2 = q, получаем в результате
множество из пяти элементов 1, т, п, р, q, для которых умно-
жением является операция, обозначенная через (аб) на стр. 144
последнего замечательного мемуара проф. Пирса в Американ-
ском журнале математики» [19, стр. 133].
117
что он дал подробные Доказательства своим утверждениям,
и отсылает за деталями к упомянутой выше (так и пе по-
явившейся) работе, которую он готовил для опубликования
в «American Journal of Mathematics» [18, стр. 125]. В за-
ключительной части работы [18, стр. 132] он отмечает зна-
чение новой алгебры и объясняет ее название: если до сих
пор алгебра называлась универсальной арифметикой, то
новую алгебру следует называть универсальной алгеброй18.
В последующих работах Сильвестр не развивает и даже
не объясняет свою точку зрения на характер универсаль-
ной алгебры. Он, пожалуй, только делает упор на технику
изучения соответствующих матриц и их взаимосвязей
с теорией инвариантов. Поэтому у него па первый план
выступают некоторые основные свойства матриц (напри-
мер, дефект матрицы), которые он считает основными за-
конами «в науке о кратных величинах» (multiple quan-
tity) 19. На работах этого времени отразились некоторые
субъективные моменты: Сильвестр готовился к возвраще-
нию в Англию, рассматривая предоставление ему Севил-
лианской кафедры геометрии в Оксфорде как определенное
удовлетворение за период, когда он не имел соответству-
ющего университетского положения, как венец своей пе-
дагогической карьеры 20. Хотя работы Сильвестра по рас-
сматриваемой тематике продолжают издаваться, остается
неясной хронология их завершения 21. В них он занима-
ется, между прочим, решением матричных уравнений,
показывая при этом, что для вычислений более удобны
матрицы, чем обычные выражения для гиперкомплексных
18 «Мне кажется, что эта обширная новая наука о кратных величинах
(multiple quantity) так относится к вопросам обыкновенной или
кватернионной алгебры, как небесная механика к «динамике
частицы» или пары частиц... и удачно названа универсальной
алгеброй» ([18, стр. 132]). Формулировка Сильвестра указывает
также на определенные исторические взаимосвязи.
Js Ср. [19, прим, на стр. 133], а также весь текст [20], пронизанный
стремлением сопоставить по смыслу три закона динамики Нью-
тона с открытыми Сильвестром основными законами.
20 О том, что подготавливаемый отъезд не позволяет ему закончить
начатые работы, он прямо пишет в своих работах. Ср. заключи-
тельные слова в [19, стр. 145] и примечание на стр. 147 в [20].
21 Здесь мы относим работы Сильвестра, вышедшие в 1884 г., к его
пребыванию в Америке. Свою кафедру в Оксфорде оп принял
в торжественной обстановке лишь в конце 1885 г., когда уже
начали появляться его многочисленные публикации, относя-
щиеся к другому кругу вопросов.
118
чисел, а также дает новое изложение ранее опубликован-
ных в Америке результатов (на которые он ссылается, на-
пример, в [21, стр. 155]) о гиперкомплексных числах. Он
снова подчеркивает, что после универсальной арифметики,
которая якобы возникла примерно 250 лет тому назад
в работах Герриота, в настоящее время возникает новая
паука — «универсальная алгебра», появление которой он
связывает с работой Кэли 1858 г. ([22, стр. 185])22. О ее
значении он говорит также в заключительной части ра-
боты [22], где констатирует важность объединения тео-
рии инвариантов и теории комплексных величин, кото-
рые, по его словам, в настоящее время соединены в
единую теорию алгебраических подстановок, частным
случаем которой является аналитическая теория кватер-
нионов 23.
Работа [7], которую мы уже несколько раз упоминали,
не содержит чего-либо существенно нового по сравнению
с предшествовавшими ей. Лишь во введении подчеркива-
ется несколько идей, важных для понимания его представ-
лений о характере и возникновении новой алгебры. Здесь
он сравнивает создание некоммутативной алгебры с откры-
тием Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии и высоко
оценивает работу Кэли 1858 г., в которой, по его мнению,
был заложен краеугольный камень «науки о кратных ве-
личинах» (multiple quantity), т. е. повой алгебры. Основа-
ние для этой оценки он видит во введенной Кэли операции
сложения матриц, чем, по его словам, был открыт путь
к их пониманию как кратных величин. За обобщение ква-
тернионов потом взялись Пирсы, которые, согласно Силь-
22 Аналогичное утверждение содержится на стр. 199 предисловия
к работе [23], где он, между прочим, указывает на объединение
двух больших теорий «современном» или «новой» алгебры: теории
линейных преобразований и теории обобщенных величин.
23 Исследуемые здесь вопросы образуют «...так сказать, канал,
подобный Панамскому, соединяющий два громадных океана,—
теории инвариантов и теории комплексных или кратных (multip-
les) количеств; действительно, в одной из этих теорий мы рас-
сматриваем действие подстановок на них самих, в другой — их
действие на формы; более того, мы видим, что аналитическая
теория кватернионов, будучи частным случаем теории мат-
риц (!), прекращает свое существование в качестве независи-
мой науки; так, из трех ветвей анализа, ранее рассматриваемых
как независимые, одна уже упразднилась или растворилась, а две
другие объединились в одну единственную теорию алгебраических
подстановок» [22, стр. 187].
119
вестру, также указали на «тождественность» линейных
ассоциативных систем и их матричных выражений 24.
Кратко характеризуя точку зрения Сильвестра, можно,
пожалуй, не искажая его взглядов, сказать, что он имел
в виду идею универсальной алгебры как теории, объеди-
няющей теории известных ему алгебраических систем-
Ограниченность точки зрения Сильвестра, имеющая свои
исторические и субъективные причины, состоит в том, что
этими системами были для него практически лишь системы
гиперкомплексных чисел, т. е. системы с одной, двумя
или несколькими независимыми единицами над полем
действительных (или комплексных) чисел с двумя операци-
ями (сложением и умножением), а инструментом для их
изучения была теория матриц. (Отсюда вытекает как его
высокая оценка работы Кэли, так и включение теории
инвариантов.) Вне нового комплекса алгебры оказались
у него некоторые изучавшиеся тогда системы (например,
теория групп), он недооценил отдельные аспекты работ
Грассмана; с этим же связан —несмотря на все его ого-
ворки — и факт увязки его идей только со свойствами
числовых областей.
4.	В отличие от Сильвестра, А. Н. Уайтхед уже в са-
мом начале своей научной карьеры 25 взялся за решение
задачи — дать обширное и цельное изложение «универ-
сальной алгебры». Кроме этого синтезирующего стрем-
ления, характерного для всех работ Уайтхеда, его под-
ход отличается от сильвестровского также и тем, что
он исходит из другого представления о тенденциях раз-
вития математики 26.
Уайтхед, как следует из предисловия к сочинению [6],
замыслил его в двух томах. В его задачу входило подроб-
ное изложение различных систем символического мышле-
24 «...Пирсы... высказали мнение, что, вероятно, все системы
алгебраических символов с ассоциативным законом умножения
должны в конечном итоге быть тождественными с линейными
преобразованиями объектов (of schemata), допускающих матрич-
ное представление» ([7, стр. 210]).
25 До 1898 г. Уайтхед опубликовал только одну работу в области
физико-математических наук, причем его работы, относящиеся
к основаниям математики и другим, не затрагиваемым в настоя-
щей работе областям, появились уже в XX в.
26 У Сильвестра заметно влияние его собственных научных интере-
сов, зародившихся в середине века. О реакции современников
на работу Уайтхеда и их понимании этой работы см. [24].
120
ния, связанных с обычной алгеброй 27. В качестве основ-
ных примеров таких систем он приводит кватернионы
Гамильтона, исчисление Грассмана экстенсивных величин
и символическую логику. Все эти системы заслуживают
более подробной разработки, однако они также пригодны
для сравнительного изучения, которое бросило бы свет на
общую теорию символического мышления и, в частности,
на алгебраический символизм 28. В первом томе, наряду
с общими принципами, Уайтхед излагает необходимые
в дальнейшем для сравнительного изучения символическую
логику и исчисление Грассмана, а тайже связанную с по-
следним идею обобщенного понятия пространства, значе-
ние которой он видит также и в том, что она дает единый
метод интерпретации различных алгебр. Естественный спо-
соб сравнения алгебр дается, по его словам, именно един-
ством их интерпретации. Задачей второй книги должно
было быть подробное сравнение символической структуры
этих алгебр; он замышлял запяться в ней кватернионами,
матрицами и общей теорией линейных алгебр. При этом
оп отмечал, что к такой «сравнительной анатомии» при-
ступил еще Б. Пирс в своей «Линейной ассоциативной
алгебре» и что она является темой новейших исследова-
ний в Германии.
Далее в своем интересном вступлении Уайтхед отста-
ивает необходимость существования и разработки универ-
сальной алгебры, которая может показаться лишней для
изучения отдельных областей, которые она синтезирует.
Значение универсальной алгебры у него вытекает из самой
сущности математики, свое понимание которой оп стремит-
ся далее объяснить.
Можно сказать, что это понимание отвечает тенденции,
имевшей место в англо-саксонской математике и четко
выраженной Б. Пирсом 29. Математика в самом широком
смысле, считает Уайтхед, является развитием всех типов
27 «Цель настоящей работы — представить полное исследование
различных систем символического рассуждения, связанных с
обыкновенной алгеброй» ([6, стр. VI]).
28 «...они также заслуживают сравнительного изучения, так как
бросают свет на общую теорию символического рассуждения
и на алгебраический символизм, в частности» ([6, стр. VI]).
29 Ср. [6], где излагается точка зрения Б. Пирса, высказанная в
первой части работы [25], в ее исторических взаимосвязях.
121
формального, необходимого дедуктивного мышления30.
Ввиду того, что речь идет о формальном мышлении,
смысл (meaning) не принимается во внимание и математика
занимается только выводом одного предложения из дру-
гих, тогда как истинность предложений является вопро-
сом опыта и философии. В этом смысле математическое
мышление является необходимым.
Понимание Уайтхедом сущности математики интересно,
кроме всего прочего, тем, что оно расходится со взглядами
на интерпретации абстрактных математических систем,
высказанными за 60 лет до него Пикоком и другими, ко-
торые Уайтхед не рассматривает. Несмотря на формаль-
ность и бессодержательность алгебраических систем, они,
согласно Уайтхеду, тесно связаны с интерпретациями
и даже зависят от пих. Он идет и далее. Если математика
до сих пор была лишь наукой о числах (величинах) и о
пространстве, которое дано нам в опыте, то это лишь по-
тому, что не были известны другие системы дедуктивного
мышления, которые удовлетворяли бы нашему понима-
нию математики. Только внедрение комплексных ве-
личин делает возможным дальнейшее развитие алгебры
в том направлении, что в настоящее время «обычные» ве-
личины образуют только ее особый случай. Это привело
к возникновению специальных алгебр, имеющих свойства
математической науки (они являются, в частности, дедук-
тивными), но не занимающихся исключительно числами
или величинами.
Взгляды Уайтхеда правильно отражают одну из сторон
развития алгебры в XIX в. Однако из своих положений
он делает слишком далеко идущие выводы. Назначение
своей работы он видит в создании универсальной алгебры,
которая продемонстрирует единство математики. Идеалом
математики, по его словам, является создание (алгебраи-
ческого) исчисления, которое обеспечит процесс мышле-
ния в любой области, и потому любая интеллектуальная
деятельность, не являющаяся философией, индуктивным
соображением или фантазией, является математикой 31.
30	«Математика в самом своем широком значении — развитие всех
типов формального, необходимого, дедуктивного рассуждения»
[6, стр. VI]. Мы считаем, что такое понимание еще не дает одно-
значного ответа на один из главных вопросов оснований мате-
матики того времени: можно ли математику вывести из логики?
31	Отождествление математики с дедуктивным (необходимым) мыш-
лением более четко выражено Б. Пирсом (ср. [26]). У Уйатхеда
122
В таком случае различные специальные случаи алгебра-
ического исчисления являются специальными алгебрами,
и задача книги — показать по крайней мере основные их
интерпретации.
Опубликованный первый том не дает возможности од-
нозначно судить, в какой мере автору удалось достичь
цельного изложения и, па его основе, получить класси-
фикации специальных алгебр. В изложении тех разде-
лов математики, которые вошли в первый том, ощущается
стремление к целостности и особое внимание к алгебраи-
ческому выражению; наряду с вниманием к символи-
ческому выражению понятий и утверждений, отмечаются
черты сходства и различия интерпретаций, т. е. разных
специальных алгебр. Поскольку нас интересует уайтхе-
довское понимание универсальной алгебры, мы подробно
рассмотрим третий раздел первой книги32, названный
«Принципы универсальной алгебры» (стр. 18—32), учиты-
вая многочисленные замечания историко-литературного
характера, разбросанные по всему тому.
Несмотря на всю занимательность и яркость работы,
собственно изложение принципов универсальной алгебры
представляется относительно простым и в общем мало-
оригинальным33. Универсальная алгебра рассматривается
здесь как исчисление, в котором символизированы общие
операции, названные сложением и умножением. Уайтхед
констатирует их общие и специальные свойства, что при-
водит его в конце концов к классификации алгебр 34.
на первый план выступает другая черта: дедуктивное мышление
и выражающее его исчисление образуют единство и внутреннюю
сущность всех математических дисциплин и приложений, и в
этом смысле является универсальной алгеброй.
32	Еще два раздела книги посвящены Общим вопросам. В первом
«О природе исчисления» Уайтхед излагает необходимый логи-
ческий материал, тесно связанный в ряде случаев с его фило-
софскими воззрениями. Второй раздел, названный «Множества»
(Manifolds), является основой для применения теории множеств
к исследованию ряда вопросов.
33	Сам Уайтхед признает тот факт [6, стр. 32], что он исходил из
содержания «Учения о протяжении» Грассмана (1844), а именно
из его вступительной части «Обзор общего учения о формах».
Это утверждение безусловно правдиво, хотя более аккуратное
сравнение изложения обоих авторов вызвало бы еще ряд вопро-
сов, для рассмотрения которых потребовалось привлечь работы
других авторов.
34	Например, Уайтхед, рассматривая операцию а + Ъ = с (синтез
или сложение), указывает, что, вообще говоря, априори она не
123
Специальные алгебры, с точки зрения операции сложения,
бывают двух типов, задаваемых уравнениями
а + а = 2at	(1)
а а = а.	(2)
Наиболее известным случаем алгебры второго типа
является символическая алгебра Буля, важными пред-
ставителями алгебр первого типа — линейные ассоци-
ативные алгебры. С точки зрения умножения автор раз-
личает в первую очередь линейные и нелинейные алгебры,
причем единственным известным ему примером нелиней-
ной алгебры является экстенсивное исчисление Грассмана.
Основной недостаток уайтхедовской классификации
состоит в том, что при различении алгебр оп руководству-
ется пе последовательным логическим анализом раз-
личных свойств операций, что могло бы значительно прод-
винуть решение его задачи классификации и конструиро-
вания различных типов алгебр 35, а, исходя из известных
ему типов алгебраических систем, стремится видеть их
общие черты и специфические особенности. Некоторые
места его книги свидетельствуют о том, что найденным
им общим чертам он приписывает общеалгебраический
характер 36. Это, конечно, снижает общность его анализа,
т. е. его алгебра перестает быть универсальной.
Сильной стороной подхода Уайтхеда является то об-
стоятельство, что оп исходит из теоретико-множественной
обязана быть коммутативной или ассоциативной, однако в раз-
личных рассматриваемых алгебрах она обладает этими свойствами,
так что различие имеется лишь в значении суммы, т. е. в том,
какой элемент получается в результате операции.
35	Таким образом, он совершает, по существу, ту же ошибку, что
до него сделал Грассман и др. (см. [27, стр. 180—181]); мы
полагаем возможным показать, что, несмотря на всю зависимость
от известных интерпретаций, Грассман все же был более после-
довательным в логическом анализе свойств операций. Здесь над
Уйатхедом довлело его понимание роли интерпретаций.
зв Сложение не обязательно однозначно. Действительно, если вы-
полняется равенство (2), то одновременно выполняются равенства
х-}-Ь = а, а?& + & =
откуда от заключает, что уравнение х + Ъ = а, имеющее решение
а, имеет и решение х + Ъ. Если равенство (2) не выполняется,
то все операции сложения обладают тем же свойством, и иссле-
дуемая алгебра оказывается, если применить современную тер-
минологию, коммутативной аддитивной группой.
124
основы, так что алгебры для него задают различные струк-
туры на множествах. В то же время (и это ограничение
исторически обусловлено) его универсальная алгебра —
общее исследование алгебр с двумя операциями (сложе-
нием и умножением), которые являются лишь бинарными.
Таким образом, универсальная алгебра Уайтхеда вклю-
чила не все известные тогда и интенсивно изучавшиеся
алгебраические структуры (например, группы) 37. Исклю-
чая исследование обычных числовых множеств, т. е.
широко исследовавшиеся в то время числовые тела, он
отказался тем самым от рассмотрения важных понятий
подтела, идеала, подыдеала и т. п.
Можно, следовательно, сказать, что ограниченность
Уайтхедовского понимания универсальной алгебры выяв-
ляется одновременно в двух отношениях: при констру-
ировании различных алгебраических систем он недоста-
точно анализирует понятие операции и в то же время не-
достаточно понимает отдельные части современной ему
алгебры, а потому его синтез оказывается неполным.
Уайтхедовской точке зрения на универсальную алгебру
соответствует подбор цитат и библиографических ссылок
в его сочинении. Невозможно, конечно, по этим признакам
судить о знании автором современной литературы, однако
они все же свидетельствуют о субъективности его подхода.
Например, Уайтхед, который в своих логических выводах
исходит непосредственно из работ Буля, ссылается только
па работу 1854 г. [29], оставляя без внимания (даже в
исторических замечаниях) его работу 1847 г. [30]. Анало-
гично этому, он вовсе не упоминает работ Пикока и Грего-
ри, в которых приводится другое понимание интерпрета-
ции алгебраической системы, отличное от его собственно-
го, ограничившего действенность его анализа. Да и
понимание работ Буля основано не на их связи с развитием
алгебры того времени, а на аспекте дальнейшего развития
логики (Джевонс, Венн, Ч. С. Пирс [6, стр. 115]). В ре-
зультате на передний план выступает критика Буля как
логика.
37	Но из этого не следует, что Уайтхед не пользовался этими струк-
турами при исследовании различных проблем; с этой точки зре-
ния интересна его позже опубликованная работа [28], в преди-
словии к которой прямо говорится, что одна из главных идеи
работы состоит в том, чтобы «связать алгебру с теорией групп
и открыть широкое поле исследований в этом направлении»
[28, стр. 140].
125
Отказ от исследования числовых систем нашел отра-
жение и в цитируемой литературе; об алгебраических
работах (включая исследования Дедекинда, Жордана и
др.) 38 вовсе пе говорится, хотя цитируются работы о новых
тенденциях в геометрии. Независимо от того, носили ли те
или иные особенности выбора упоминаемой в тексте ли-
тературы и исторические ссылки случайный или умыш-
ленный характер, ясным остается то, что случайное или
умышленное игнорирование важных разделов алгебры
того времени связано с ограниченностью понимания Уайт-
хедом универсальной алгебры.
5. Работы Сильвестра и Уайтхеда об универсальной
алгебре выражают — каждая по-своему и на основе раз-
личных уровней знания — объединяющие тенденции в
математике последних десятилетий XIX в. Более под-
робный анализ развития математики этого периода, ви-
димо, показал бы наличие этой тенденции в других обла-
стях, особенно в конкретных методах. С этой точки зрения
эти работы ценны и тем, что они явились сознательными
попытками построить некий единый метод, позволявший
найти общую основу различных теорий тогдашней алгеб-
ры, а в отношении Уайтхеда не только алгебры. Обе по-
пытки имеют ограниченное значение, и их ограниченность
определенно связана с направленностью и характером ра-
бот названных авторов.
Важным и характерным для математики того времени
является высказанная Уайтхедом в предисловии к рассмат-
риваемому сочинению мысль о том, что для математики
XIX в. объединяющий подход универсальной алгебры
не дает средств для более глубокого понимания и иссле-
дования алгебраических структур, что обоснование со-
ответствующих разделов математики следует искать в
общих философских принципах.
Однако, несмотря на то, что высказанное обоими ав-
торами общее требование единства являлось проявлением
долгосрочной тенденции, все же с точки зрения науки
того времени большое значение имели их конкретные
исследования, которые позволяли судить о различиях
между общим замыслом п его конкретной реализацией
в определенную эпоху.
38 Не цитируются и даже пе упоминаются ни Пеано, ни Фреге,
ни алгебраические работы Шрёдера, ни работы по интенсивно
развивавшейся в то время теории инвариантов.
126
ЛИТЕРАТУРА
1.	А. Г. Курош. Лекции по общей алгебре. М., Физматгиз, 1962.
2.	А. Г. Курош. Общая алгебра. М., «Наука», 1974.
3.	Trends in lattice theory. Ed. by’J. C. Abbott. New York, 1967,
IX + 215.
4.	G. Birkhoff. What can lattices do for you? Ib., 1—40.
5.	G. Gratzer. Universal algebra. Ib., 173—215.
6.	A. N. Whitehead. A treatise on universal algebra with applicati-
ons, vol. I. Cambridge, 1898, XXVI + 586.
7.	J. J. Sylvester. Lectures on the principles of universal algebra.
Amer. J. Math., 1884, VI, 270—286. Math. Papers, vol. IV,
208—224.
8.	L. Novy. Anglicka algebraicka skola. Dejiny ved a techniky,
vol. 1. Praha, 1968, 88—105.
9.	L. Novy. L’ecole algebrique anglaise. Revue de Synthese. Hie S,
1968, N 49—52, 211—222.
10.	L. Novy. L’ecole algebrique anglaise. Xlle Congres International
d’Histoire des Sciences. Colloques. Paris, 211—222.
11.	L. Novy. L’ecole algebrique anglaise. XHIe Congres International
d’histoire des sciences. Actes, Tome I B, 145—151.
12.	II. F. Baker. Biographical notice. In: Sylvester. Math. Papers,
vol. IV, XV—XXXVII.
13.	J. J. Sylvester. Inaugural lecture at Oxford on the method of
reciprocants. Nature, 1886. Math. Papers, vol. IV, 278—302.
14.	J. J. Sylvester. On the equation to the secular inequalities in the
planetary theory. Philosophical Magazine XVL (1883), 267—269.
Math. Papers, vol. IV, 110—111.
15.	A. Cayley. A memoir on the theory of matrices, Philosophical
Transactions. London, CXLVIII, 1858, 17—37. Collected Math.
Papers, vol. II, 475—496.
16.	J. J. Sylvester. On the involution and evolution of quaternions.
Philosophical Magazine, 1883, XVL, 394—396. Math. Papers,
vol. IV, 112—114.
17.	J. J. Sylvester. Sur les quantites formant un groupe de nonions
analogues aux quaternions de Hamilton. C. R. Paris, 1883, 1336—
1340. Math. Papers, vol. IV, 118—121.
18.	J. J. Sylvester. On quaternions, nonions, sedenions etc. Johns
Hopkins University Circulars, 1884, III, 7—9. Math. Papers,
vol. IV, 122—132.
19.	J. J. Sylvester. On involutants and other allied species of invari-
ants to matrix systems. Johns Hopkins University Circulars,
1884, III, 9—12, 34, 35. Math. Papers, vol. IV, 133—145.
20.	J. J. Sylvester. On the three laws of motion in the world of uni-
versal algebra, Johns Hopkins University Circulars, 1884, III,
33, 34, 57. Math. Papers, vol. IV, 146—151.
21.	J. J. Sylvester. Sur les quantites formant un groupe de nonions
analogues aux quaternions de Hamilton, C. R. Paris, 1884, 273—
276, 471—475. Math. Papers, vol. IV, 154—159.
22.	J. J. Sylvester. Sur les deux methodes, celles de Hamilton et celle
de 1’auteur, pour resoudre 1’equation lineaire en quaternions.
C. R. Paris, 1884. Math. Papers, vol. IV, 183—187.
127
23.	/. J. Sylvester. Sur la resolution generale de 1’equation lineai're
en matrices d’un ordre quelconque. C. R. Paris, 1884. Math. Pa-
pers, vol. IV, 199—205.
24.	G. Vacca. A treatise on universal algebra, with applications.
By A. N. Whitehead, vol. I. Рецензия: Revista di Matem., 1899,
т. VI, 101—104.
25.	B. Peirce. Lineare associative algebra. Lithographed. Washing-
ton, 1870, 153; Amer. J. Math., 1881, vol. 4, 97—229.
26.	L. Novtj. Benjamin Peirce’s concept of linear algebra. Acta
historiae rerum naturalium necnon technicarum. Special Issue &.
Prague, 1973, 211—231.
27.	L. Novy. Origins of modern algebra. Prague, 1973.
28.	A. N. Whitehead. Memoir on the algebra of symbolic logic. Amer.
J. Math., 1901, vol. XXIII, 139—165, 297—316.
29.	G. Boole. An investigation of the laws of thought. London —
Cambridge, 1854.
30.	G. Be ole. The mathematical analysis of logic. Being an essa у
towards a calculus of deductive reasoning. Cambridge, 1847.
128
ВОПРОСЫ ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЙ
О «КНИГЕ ВЫЧИСЛЕНИЙ» РИЧАРДА СУИСЕТА
В. С. Широков
Сборник трактатов Ричарда Суисета «Книга вычис-
лений» (Liber calculationum) неоднократно привлекал
внимание историков пауки [1—7]. Нои сейчас, после пуб-
ликаций отрывков из него М. Клагетом, после исследо-
ваний Торндайка, Аннелизы Майер, Бойера, Вильсона,
В. II. Зубова нельзя сказать, что мы имеем до конца от-
четливое представление о сочинении, в котором, по сло-
вам А. Майер, «в некотором смысле собрана сумма всего
точного знания XIV века» [8, стр. 268]. Настоящая статья
примыкает к исследованиям В. II. Зубова (см. [9—14],
подробная библиография в [14]), к его замечательным
статьям и монографиям, посвященным истории средне-
векового естествознания (о Николае Ореме, Фоме Брад-
вардине, Николае из Отрекура, о Герарде Брюссельском
и др.).
«Книга вычислений» 1 примыкает по своей тематике
и структуре к «Правилам разрешения софизмов» («Regule
solvendi sophysmala») Вильяма Хейтесбери и «Сумме ло-
гики и натурфилософии» («Summa logicae et philosophic
naluralis») Джона Дамблтона, авторов, связанных с Мер-
тон-колледжем Оксфордского университета, учеников Фо-
мы Брадвардина. Следует также назвать анонимные,
но несомненно мертонцев, трактаты: «О шести несообраз-
ностях» («De sex iiiconvenientibus») и особенно «Aestunum
calidum». За дату написания «Книги» Суисета можно при-
нять 1346 г. Этим годом помечена одна из рукописей [4,
стр. 202]. Другим свидетельством этой даты являются сло-
«Liber calculationum» издавалась трижды: Падуя, 1477, Павия,
1498, Венеция, 1520. Известны многочисленные рукописи |4,
стр. 202]. Мы пользовались копией венецианского издания.
5 Историко-математ. исслед., в. XXI
129
ва в тексте первого трактата: «как хорошо поясняет пре-
подобный магистр Фома Брадвардин в своей книге о про-
порциях» [15, 4rb] 2. То, что Брадвардин назван магистром
и настоящее время этого предложения, вероятно, подтвер-
ждает то, что «Книга вычислений» написана не только
при жизни Брадвардина, но и до получения им сана ар-
хиепископа (1347 г.).
Биографические сведения о Суисете скудны и неясны,
как и о большинстве средневековых авторов. Известно
только, что он, вероятно, был в Мертон-колледже с 1340 по
1355 г. и был замешан в скандальные выборы канцлера
Оксфордского университета в 1343 г. Суисет написал еще
более ранний трактат «О движении» («De motibus») и, воз-
можно, традиционные для схоластического образования
«Вопросы к „Физике" Аристотеля» [8, стр. 267]. Компи-
лятивные по характеру, эти трактаты, однако, отличаются
от сочинений Хейтесбери, Дамблтона и «анонимов» бо-
лее арифметическим, чем логическим подходом к рассмат-
риваемым проблемам.
Рассмотрение проблем интенсии и ремиссии форм,
тесно связанное с сочинениями Аристотеля 3, приводилось
вначале в плане более общефилософском и логическом,
чем собственно математическом. При этом пришли к раз-
личению экстенсивности качества и его интенсивности
и способности интенсивности возрастать и убывать. Сю-
да же тесно примыкает старая галеновская концепция
градусов лекарств и темпераментов и арабо-восточное
учение о физических минимумах (Ибн-Сина, ал-Хазен
и др.) [10, стр. 294—296]. Слияние этих теорий привело
к квантитативному подходу в учении об интенсии и ре-
миссии форм: «теплота составляется из качественных ча-
стей так же, как количество из своих количественных
2 Символы при ссылках на [15] означают номера глав и параграфов
этой работы. Кроме Брадвардина, Суисет ссылается на Аристо-
теля, Евклида, Кампана, Аверроэса и Боэция.
3 Не следует слишком преувеличивать влияние Аристотеля на на-
турфилософию XIV в. (как, например, делает Дюгем [13]).
Ссылки на Аристотеля часто имеют спекулятивный характер,
служат автору только для подкрепления своего авторитета.
Особенно показателен в этом отношении, на наш взгляд, Орем.
Подчеркивая пользу теории широт форм, Орем постоянно ссыла-
ется на Аристотеля [16, стр. 29—29], 15, стр. 164], хотя несомненно,
что все эти вопросы широко обсуждались в Оксфорде и Париже,
и мертопские авторы или Буридан имели для Орема гораздо
большее значение.
130
частей» [15, 2vb], —этот вывод Суисета принадлежит
XIII в. и широко обсуждался тогда в плане онтологии.
Возникшее в начале XIV в. течение номинализма, связан-
ное в первую очередь с деятельностью Вильяма Оккама,
способствовало прояснению основных понятий и вызвало
интерес именно к инфинитезимальным проблемам и проб-
лемам математического атомизма [17, стр. 135—143].
Почему интенсия и ремиссия качеств, в частности
движения, исследовались вначале в плане онтологии? То,
что этими вопросами занималась «физика», имело свои
причины. Дело в том, что «понятие движения и изменения
осталось чуждо древней математике 4 * * *, а господствовав-
шее в Средние века аристотелевское учение узаконивало
подобное отчуждение» [17, стр. 145], поэтому понятия
движения и вообще изменения и связанные с ними проб-
лемы непрерывного, континуума, вообще инфинитези-
мальные проблемы изучались в «физике», а пе в математи-
ке. «К тому же — и это самое главное — еще не было
достаточно мощных стимулов вводить в математику по-
нятие изменения и переменной величины» [там же]. По-
этому переменные формы изучались как бы на границе
между физикой, математикой и философией.
При изучении натурфилософии Средних веков безус-
ловно существует опасность, что «современный читатель
может вычитать из схоластических текстов больше, чем
туда было вложено их авторами, и увидеть в них гораздо
больше сокровищ точного знания, чем па самом деле
в них имеется» [8, стр. 261]. Мы здесь согласны с
Аннелизой Майер; такая опасность, разумеется, есть,
и эту ошибку делают не только Дюгем и его последователи
[13], но и современные пеосхоласты и представители нео-
атомизма, рассматривающие Средневековье как эпоху,
исключительно благоприятную для развития науки.
Но сама Майер часто впадает в противоположную
крайность, отрицая это знание там, где оно несомненно
имелось. На наш вгляд, прав В. П. Зубов: «XIII и XIV
века выработали логико-математические предпосылки но-
вого естествознания наряду с накоплением множества
новых наблюдений и фактов. Логика научной мысли в
4 «Все построения Евклида соответствуют алгебраической конст-
рукции цепочек квадратичных полей... Акспомы непрерывности
там нет. С этой точки зрения „Начала11 Евклида являются глу-
боко алгебраическим произведением» [18, стр. 357].
5*
131
упорном труде и борьбе эмансипировавшаяся от суровой
„опеки" церкви, опережала развитие экспериментального
наблюдения и технику изготовления измерительных при-
боров» [10, стр. 302]. Одним из сочинений, способствовав-
ших этому, и является «Книга вычислений» Ричарда Суи-
сета.
Она состоит в издании 1520 г. из 16 трактатов: 1. Об
интенсии и ремиссии; 2. О дифформпостях; 3. Об интен-
сивности элементов, имеющих два неравно-интенсивных
качества; 4. Об интенсии и ремиссии смесей; 5. О разреже-
нии и густоте; 6. О приращении; 7. О действии; 8. О силе;
9. О распределении действий; 10. О максимуме и миниму-
ме; 11. О месте элемента; 12. Об освещенности; 13. О дей-
ствии света; 14. О местном движении; 15. О среде без со-
противления или о приращении силы и сопротивления;
16. О достижении высшего градуса. Форма изложения —
обычная для схоластики диспутативная форма «вопроса».
Теория интенсии и ремиссии форм изложена в первом
трактате. Суисет следует Аристотелю [19, стр. 92], когда
он рассматривает изменение интенсивности качеств как
движение противоположностей. При этом интенсия и ремис-
сия у Суисета относятся друг к другу как количества
большое и малое [15, 2 vb, 3 га], интенсии соответствует
отношение, большее единицы, ремиссии — меньшее. «Как
говорят об отношениях больших единицы и меньших еди-
ницы, так же следует говорить об интенсии и ремиссии,
различая ремиссию как противоположность интенсии,
т. е. рассматривая ремиссию отрицательно по отношению
к интенсии, так же как говорят о величинах большой
и малой» [15,4 гЬ]. При этом Суисет пе устает повторять,
что интенсия и ремиссия на самом деле (in ге) пе отличают-
ся друг от друга и от самого качества: «интенсия тепло-
ты есть сама теплота» [15, 3 га], они отличаются только
расположением, так же как путь из Л в В отличается от
пути из В в А [15,4 гЬ]. Здесь имеется в виду, видимо, не то,
что интенсия совпадает с ремиссией, а то, что интенсия
однозначно определяет ремиссию; они рассматриваются
во взаимосвязи друг с другом. Увеличению интенсии
соответствует уменьшение ремиссии и наоборот, притом
с такой же скоростью: «если приобретается холод, то с та-
кой же скоростью теряется тепло, так как из двух про-
тивоположностей как увеличивается одно, так же умень-
шается другое» [15, 2 va].
132
Для «изображения» градусов интенсивности Суисет
рассматривает две шкалы: интенсии и ремиссии. Под шка-
лой Суисет не подразумевает геометрического образа:
прямой или оси. Если обозначить интенсивности и х2, а
соответствующие им ремиссивности уг и у2, то для связи ин-
тенсии и ремиссии, вероятно, подходит формула	|6].
Особое значение Суисет придает предельному соотно-
шению: если х —> оо, то у —> 0 и наоборот. Оно позволяет
ему согласовать свое учение об интенсии и ремиссии с
аристотелевским тезисом, что интенсивность физического
качества меняется в конечных пределах. Если интенсив-
ность стремится к бесконечности, Суисет переходит на
шкалу ремиссии (которая стремится к нулю) и наоборот.
Это предельное соотношение пронизывает собой всю «Кни-
гу вычислений» (например, 2 va, 3 vb, 8 va и др.) и является
одним из основных аргументов Суисета.
Из него получаются, например, такие парадоксальные
теоремы: «широта от любого градуса ремиссии до не-гра-
дуса ремиссии бесконечна, а до градуса бесконечной
ремиссии конечна, так как бесконечный градус ремиссии
то же самое, что и не-градус интенсии, а широта от любого
градуса интенсии до не-градуса конечна» [15, 3 гЫ, или
«сумма любого числа бесконечностей равна одной беско-
нечности, так как сумма нулей равна нулю» [15, 9 га].
Подобное представление есть и у Хейтесбери. Реально
скорость и медленность, пишет Хейтесбери, одно и то же,
они отличаются формально, и медленность надо рассмат-
ривать как недостаток скорости. Рассматривая популярный
среди схоластов пример вращающегося колеса, Хей-
тесбери говорит, что, если точка движется по радиусу
к центру, то медленность движения возрастает до беско-
нечности; соответственно скорость стремится к нулю [20,
стр. 120]. Суисет дополнил и развил это представление,
у самого Хейтесбери выраженное мимоходом и довольно
неясно.
Шкала с такими свойствами, очевидно, не будет рав-
номерной: «из униформной потери интенсии не следует
униформное приобретение ремиссии» [15, 4 va]. Эти идеи
положены в основу «шкал» интенсии и ремиссии, обсуж-
даемых в первом трактате. «Относительно того, чему со-
ответствуют интенсия и ремиссия качеств, имеется не-
сколько мнений... По первому мнению считается, что ин-
133
тенсия качества соответствует приближению к высшему
градусу или градусу наибольшей интенсивности широты
этого качества, а ремиссия — расстоянию от высшего гра-
дуса. Второе мнение состоит в том, что интенсия опреде-
ляется расстоянием от не-градуса, а ремиссия — рассто-
янием до высшего градуса. Третье мнение: интенсия
определяется расстоянием от не-градуса, а ремиссия приб-
лижением к нему» [15, 2 га]. Как понимает Суисет «рас-
стояние» и приближение»? Расстояние имеет у него об-
щепринятый смысл, а «приближение» относится к рас-
стоянию так же, как интенсия к ремиссии, т. е. является
величиной, обратной расстоянию [15, 2 гЬ]. Затем идут
доводы против первого и второго способов и в пользу
третьего, к которому склоняется и сам Суисет.
Особое значение Суисет (рассматривая дальше только
третью теорию) придает условию, чтобы на шкале интен-
сии и ремиссии нашлась точка, интенсия которой была бы
равна ремиссии. Вероятно, это надо понимать так, что
на шкале иптенсии найдется точка А, а на шкале ремис-
сии —В, такие, что ОА = ОВ, а так как интенсия обратна ре-
миссии, т. е. ОА-ОВ= 1, то это требование означает выбор
единицы измерения, единицы масштаба, исключительный
для Средневековья случай. Обсуждению этого вопроса
посвящена остальная часть первого трактата [15, 2 vb
— 5 гЬ]. Суисет сначала доказывает единственность тако-
го градуса, затем его существование. Аргументация Су-
исета основана на теореме Евклида: если-77- = -77-, то А = В
и наоборот. Пусть А и В такие два градуса, что интенсия
равна ремиссии. Будем считать (обозначая интенсию х,
а ремиссию у), что ха <С хв, тогда-=-----; но ---->
ХА	У А	ХЛ
ХВ \ л	Ув л
значит, и ---2> 1; но так как Хв = у в, то и---2> 1, —
Уа	'	У А
получается противоречие с первым неравенством [15, 3va].
Подобное доказательство постоянно применяется Суисе-
том и составляет сущность метода «калькуляций».
Доказательство существования представляет собой за-
мечательное инфинитезимальное рассуждение, также ча-
стое у Суисета. «Берется некоторый градус А и пусть ин-
тенсия А больше ремиссии. Положим, что А ремиссируется
до не-градуса, т. е. интенсия убывает до нуля и ремиссия
возрастает до бесконечности. Получается, что в некото-
134
рый момент интенсия станет равна ремиссий, так кай
вначале интенсия была больше ремиссии» [15, 3 va].
Отметим, что здесь неявно используется непрерывность
шкал интенсии и ремиссии.
Материал первого трактата повторяется и в дальней-
ших главах, и часто почти буквально. Суисет считает,
что из его концепции интенсии и ремиссии форм следуют
и реальные качества, которые всегда у него рассматрива-
ются противоположными парами (густота и разреженность,
сила и сопротивление, скорость и медленность, тепло
и холод и т. д.) — одно соответствует интенсии, другое —
ремиссии. Таким образом (и здесь Майер, постоянно под-
черкивающая метафизичность и абстрактность схоласти-
ческих построений, совершенно права), для какого-либо
решения практических вопросов шкала Суисета малопри-
годна. Почему схоласты совсем отказались от физических
измерений даже на том простейшем уровне, который поз-
воляло им тогдашнее развитие техники и производства?
Одна из причин — приближенность, неточность любого
физического измерения (довод, например, Жана Бурида-
на), поэтому схоласты, борясь за «чистоту» теории, со-
вершенно отказались от какого-либо физического опыта,
хотя были и противоположные мнения (Бэкон, Брадвар-
дин, Орем) [21].
Шкала Суисета подвергалась резкой критике в Италии
XV—XVI вв. со стороны Помпонацци, Марлиани и др.,
но итальянцы не смогли противопоставить Суисету ни-
чего, кроме возврата к галено-аристотелевской концепции
[3], [6].
Между тем теория интенсии и ремиссии форм у Суисета
является аппаратом оперирования с бесконечностью 5.
Бесконечность в античности, например у Аристотеля,
рассматривалась как величина, но пе бесконечное множест-
во элементов. Суисет в основном так же рассматривает беско-
нечные интенсивности, но в центр ставится идея соответст-
вия между элементами множеств. Посредством шкал ин-
тенсии и ремиссии преодолевается также противоречие
между бесконечно большим и бесконечно малым. Беско-
нечное множеств о отличается от конечного тем, что его часть
5 Мы поэтому не согласны с Аннелизой Майер, которая рассмат-
ривает шкалу интенсии и ремиссии Суисета как пример совершен-
но произвольного построения, не имеющего никакого смысла
[8, стр. 280].
135
может быть равна в смысле соответствия элементов всему
множеству — конечная часть шкалы интенсии, например,
отображается на бесконечную часть шкалы ремиссии, что,
впрочем, было известно до Суисета (Роджэр Бэкон, Грос-
сетест).
Еще теорема о бесконечных множествах, используемая
Суисетом при доказательстве «мертонского» правила, со-
стоит в следующем: если имеются два бесконечных мно-
жества величин и {6J, таких, что отношение {ajbt}
постоянно, то этому же будет равно и отношение «сумм»
(2 а.) а-
их элементов, т- е- = Т~ 45vb]. Этот принцип
Суисет применяет не только к счетным множествам, но
и множествам мощности континуум, причем под суммой
понимается так называемое «тотальное» количество, нап-
ример площадь или пройденный путь.
Здесь уместно вспомнить линию интенсивности и ре-
миссивности Роджэра Бэкона [10, стр. 295]. Бэкон откла-
дывает градусы температуры на вертикальной оси от ну-
левой точки так, что отношение отрезков равно отношению
температур. Мышление Бэкона и Гроссетеста геометрично.
«Необходимо проверять материю мира посредством до-
казательств, развиваемых в геометрии» [10, стр. 293].
Суисету же в целом геометрическая концепция Гроссетеста
и Бэкона совершенно чужда. Суисет нигде не ссылается
на геометрические книги «Начал» Евклида. Как и все
мертонцы, он не считает геометрические доводы достаточ-
но убедительными. Геометрический рисунок присутствует
в «Книге вычислений» неявно, вопреки мысли автора,
и только один раз Суисет использует геометрический при-
мер для пояснения трудного логико-арифметического до-
казательства. Мы можем предположить, что Суисет совсем
не был знаком с графической идеей Бэкона, по крайней
мере, теория Суисета далека и от линии интенсии и ре-
миссии Бэкона и от теории широт форм Орема. Фунда-
ментального для теории широт форм положения, что
«любое отношение, существующее между интенсивностя-
ми, существует и между линиями» [5, стр. 166], у
Суисета нет.
Второй трактат («О дифформностях») посвящен поня-
тиям униформного и дифформного изменений. Качество,
все интенсивности которого равны, называется унифор-
мным, иначе — дифформным, если же скорость изменения
136
интенсивностей постоянна, то — униформно-дифформным,
если же нет, то дифформно-дифформным. Новое, что сде-
лано XIV в. по сравнению с античностью, это именно изу-
чение униформно-дифформных изменений. Один из главных
результатов этого исследования — «мертонское» правило,
теорема, утверждающая, что качество униформно-диффорч-
ное равно униформному со средней интенсивностью.
Суисет дает три разных доказательства этой теоремы
[15, 19 va, 45 vb]. Этот вопрос хорошо изучен [9, стр. 136;
4, стр. 303].
Здесь Суисет рассматривает сложные дифформности.
Отметим, что хотя Суисет и вообще мертонцы исследовали
подробно только униформно-дифформные качества, но
нельзя утверждать, как И. 10. Тимченко в своей интерес-
ной заметке [22] о трактате Суисета, что дифформпо-диф-
формные изменения вообще чужды Суисету.
В начале второго трактата Суисет доказывает теорему,
что дифформное качество, обе половины которого уни-
формны, соответствует своему среднему градусу [15, 5 rb —
va; 2, стр. 75]. Другим примером сложной дифформности
является широко обсуждавшийся в Оксфорде и в Париже
ряд2“?Г = 2, имеющийся без доказательства и у Хей-
тесбери.
Доказательство Суисета эквивалентно такому:
оо
£ = 2 "тр = И- ^2 + • • • + Sn Д- • • •,
где 51=± + -1+... = 1,52=^ + 4+... =	...
...,	= — + • • • = ^п1 , ... Тогда S =	4- $2 + • • •
•••4-Sn4- ••• =1 + U4-+ ... -2 [15, 6vb; 2, стр. 78].
Еще один пример сложной дифформности приводится
в шестнадцатом трактате. Отрезок делится на пропорци-
ональные части в отношении 4:1, т. е. таким образом,
что первая часть в четыре раза больше второй, вторая
в четыре раза больше третьей и т. д. Рассматривается
дифформное качество, которое в первую пропорциональ-
13’
ную часть возрастает униформно от 3 до 5 (средняя интен-
сивность равна четырем), средняя интенсивность второй
пропорциональной части в два раза больше, т. е. равна 8,
значит, во вторую часть интенсивность возрастает от 5
до 11 и т. д. (см. рис. 1). Тогда отношение «тотальных ве-
личии» (quantitas totalis) любой предыдущей части к по-
следующей равно двум. И, значит, применяя «принцип
Рис. 1
Суисета», имеем, что отношение всего количества к раз-
ности между ним и количеством первой части равно двум.
Обозначая все количество через S, имеем3 =2, а по-
тому S — 6 [15; 58гЬ|. Здесь также до геометрического рисун-
ка Орема один шаг. Подобный же пример рассматривается
в третьей части «Трактата». Нам также представляется
очень вероятным, что именно таким образом пришел Орем
к формуле суммы бесконечно убывающей геометрической
прогрессии [23].
При этом вопросы исследования сходимости рядов
и не возникали вовсе, так как схоласты поступали наобо-
рот, т. е. сумму «расписывали» в ряд. Исследование ряда
2 ~~ в трактате «А est unum calidum» у Б. Тории и у
г=1 21
А. Томаса ничем не отличается от доказательства Суисе-
та [5, стр. 495—507]. Новое, геометрическое доказатель-
ство дал Орем [14, стр. 710; 5, стр. 416]. Рассмотрение
бесконечных рядов является вершиной средневековой
инфинитезимальной математики. Эти достижения XIV в.
суммированы в первом и втором вопросах «Questiones
super geometriam Enclidis» Орема [16, стр. 1—6] и в его же
третьей части «Трактате! о конфигурациях качеств» [5.
14, 24].
138
Другая важная идея Суисета: аналогия между распре-
делением градусов интенсивности качества и геометри-
ческим объектом — линией, поверхностью, телом. Эта
аналогия основана на утверждении, что «любая величина
есть широта от не-градуса до нее самой» [15, 5rb], имеющем-
ся и у Хейтесбери [20, стр. 139]. Геометрический пример
приводится Суисетом в шестом трактате «De augmenta-
tione». Суисет говорит, что приобретение широты двух
качеств происходит с одной и той же скоростью (equevelo-
citer), если отношение нового (приобретенного) качества
к старому одно и то же для каждого из этих качеств. Рас-
суждение станет понятным, если рассмотреть два прямо-
угольника одинаковой ширины, но разной длины, и пусть
они приобретают ширину с одной и той же скоростью, тогда
прямоугольник с большей длиной будет увеличиваться
(в смысле увеличения площади) быстрее. Другой пример.
В начале восьмого трактата «De reactionе» Суисет говорит
о возможности для качества возрастать по интенсивности
до бесконечности при сохранении конечного «количества»
самого качества. Униформное качество (теплота) величи-
ной в один фут делится па пропорциональные части в от-
ношении 2:1. Затем все интенсивности второй пропорци-
ональной части присоединяются к соответствующим ин-
тенсивностям первой части, которые станут в два раза
больше. Затем добавляются все интенсивности третьей
части и т. д. Значит, в конце первая пропорциональная
часть будет бесконечной интенсивностью теплоты, а все
количество останется тем же самым [15, 30 vb]. До геомет-
рического рисунка Орема также остается совсем немного;
такой же пример в восьмой главе третьей части оремов-
ского «Трактата» [14, стр. 709]. У Суисета геометрические
образы используются в самой простой, но исторически
важной форме: как наглядный пример, поясняющий сло-
весное доказательство.
Часто доказательство Суисета может быть дополнено
геометрической иллюстрацией, что и было сделано позд-
нейшими издателями.
Дальнейшая геометризация учения об интенсии и ре-
миссии форм связана с именами Жана Буридана и Николая
Орема. Буридан явно указал на пользу представления
распределения интенсивностей физического качества
поверхностью или телом. В «Вопросах к восьми книгам
„Физики" Аристотеля» Буридан говорит, что «подобным
139
Измерением площади поверхности или объема тела дифформ-
ность сводят к униформности» [25, 15 va]. В 19-м вопросе
третьей книги Буридан приводит примеры поверхностей
конечной площади, возрастающих до бесконечности в
длину или в высоту. Вообще, в «Вопросах» Буридан по-
стоянно использует геометрические образы, правда, часто
в простейшей или туманной форме. Вероятно, отсюда
берет начало геометрический дух сочинений Орема. Впро-
чем, это сочинение, своего рода итог всех средневековых
«Вопросов к „Физике44 Аристотеля», еще совсе не изучено.
Мы здесь отметим только его несомненное влияние на воз-
никновение теории широт форм Орема.
В ранних «аристотелевских» сочинениях Орема «Воп-
росы „О соединении и разъединении44 Аристотеля» и «Воп-
росы к „Физике44 Аристотеля» эта геометрическая техника
развивается дальше и подходит вплотную к теории широт
форм. Если все качество поместить в одну точку, то ин-
тенсивность этого точечного качества будет бесконечной,—
одна из любимых тем XIV в. Это утверждение стано-
вится очевидным, пишет дальше Орем, из рассмотрения
геометрического примера: «если взять площадь, напри-
мер, в два фута длины и один высоты, затем длину умень-
шить вдвое, в то время как все количество останется преж-
ним, поверхность будет в два раза выше. И точно так же,
если все количество поместить в третью часть, то она будет
в три раза выше и т. д. до бесконечности. Поэтому, если
целое помещается в точку, оно будет бесконечной интен-
сивности» [5, стр. 63].
В «Вопросах к „Физике44 Аристотеля» Орем, обращаясь
оо
к РЯДУ 2 -|г
сначала дает словесное доказательство, поч-
ти буквально повторяющее доказательство Суисета, затем
он пишет: «и если на линии в два фута, разделенной на про-
порциональные части, над первой частью была бы площадь
высотой в один фут, над второй в два фута, над третьей
в три фута и т. д., тогда вся площадь будет равна площади
в четыре фута длины и один фут высоты» [5, стр. 64].
Ранние сочинения Орема близки к трактатам Хейтесбери
и Суисета. Нельзя сказать точно, читал ли Орем «Правила»
Хейтесбери или «Книгу вычислений» Суисета, но несом-
ненно, что главные результаты «калькуляторов» были об-
щеизвестными в Париже.
140
Остальные трактаты Суисета мы оставляем для даль-
нейшего исследования. Укажем только, что общий об-
зор книги Суисета, впрочем очень беглый и местами не-
ясный, содержится в статье Торндайка [1]. Главы «О при-
ращении» и «О максимуме и минимуме» хорошо разобра-
ны К. Вильсоном [20, соответственно стр. 128—134 и
стр. 87—93]. Другие сочинения Суисета, частью спорные,
перечислены М. Клагетом [3, Appendix 1]. Об инфини-
тезимальных проблемах «Книги вычислений» хорошо на-
писано К. Бойером [2, стр. 74—80] и К. Вильсоном [6],
некоторые проблемы затронуты в нашей статье [23].
В заключение мы выражаем глубокую признательность
А. П. Юшкевичу за многочисленные советы по этой статье,
в немалой степени способствовавшие ее улучшению.
ЛИТЕРАТУРА
1.	L. Thorndike. A history of magic and experimental science, v. 3,
N. Y., 1934.
2.	С. B. Boyer. The concepts of calculus, 2d ed. New York, 1949.
3.	M. Clagett. Giovanni Marliani and late medieval physics. New
York, 1941.
4.	M. Clagett. The science of mechanics in the middle ages. Madison,
1959.
5.	M. Clagett. Nicole Oresme and the medieval geometry of qualities
and motions. Madison, 1968.
6.	C. Wilson. Pomponazzi’s critisism ofbCalculator, JSJS, v. 44,
p. 4, N 138, dec. 1953.
7.	А. П. Юшкевич. История математики в Средние Века. М., 1961.
8.	A. Maier. An der Grenze von Scholastik und Naturwissenschaft.
Essen, 1943.
9.	В. П. Зубов, A. T. Григорьян. Очерки развития основных поня-
тий механики. М., 1962.
10.	В. И. Зубов. Из истории средневековой атомистики. Труды
Ин-та истории естествознания, т. I. М., Изд-во АН СССР, 1947.
11.	В. П. Зубов. Трактат Николая Орема: «О конфигурации ка-
честв», «Историко-матем. исслод.», 1958, вып. XI.
12.	В. П. Зубов, Б. А. Розенфельд, А. 11. Юшкевич. Об исследова-
ниях по истории математики Средних веков. «Историко-матем.
исслед.», 1963, вып. XV.
13.	В. П. Зубов. Концепции Дюгема в свете новейших исследова-
ний по истории естествознания. В кн.: «Труды совещания
по истории естествознания. Ип-т истории естествознания
АН СССР 24--26 декабря 1946 г.». М.— Л., Изд-во АН СССР,
1948, стр. 95—110.
14.	Орем Николай. Трактат о конфигурации качеств. Перев. и
прим. В. П. Зубова. «Историко-матем. исслед.», 1958, вып. XI.
141
15.	Я. Suisset. Calculator. Venetia, 1520.
16.	H. L. L. Busard. Nicole Oresme. Questiones super geometriam
Euclidis. Leiden, 1961.
17.	В. П. Зубов. Развитие атомистических представлений до начала
XIX века. М., 1965.
18.	И. Г. Башмакова. Лекции по истории математики в Древией
Греции. «Историко-матем. исслед.», 1958, вып. XI.
19.	Аристотель. Физика. Перев. В. П. Карпова. М., ОНТИ, 1936.
20.	С. Wilson. William Heytesbury. Medieval logic and the rise
of mathematical physics. Madison, 1956.
21.	В. П. Зубов. Рецензия: Аннелиза Майер. Предшественники Га-
лилея в XIV веке. Рим, 1949; Две основные проблемы схоласти-
ческой натурфилософии. Рим, 1952; На границе между схола-
стикой и естествознанием. Рим, 1952; Метафизический фон позд-
несхоластической натурфилософии. Рим, 1955; Вопросы истории
естествознания и техники, вып. 8. М., Изд-во «Наука», 1959,
стр. 162—165.
22.	I. Timtschenko. Bibliotheka Math., 1900 (3), 1, 503—504.
23.	В. С. Широков. Идеи анализа бесконечно-малых в натурфило-
софии XIII—XIV веков. Труды ГПИ. Сб. «Математика». Горь-
кий, 1974.
24.	А. Б. Иаплаускас. Доныютоновскийпериод развития бесконеч-
ных рядов. I. «Историко-матем. исслед.», 1973, вып. XVIII,
стр. 104—131.
25.	J. Buridanus. Questiones super octo libros Physicorum Aristo-
telis. Paris, 1509.
ИЗОБРЕТЕНИЕ ХРИСТИАНОМ ГЮЙГЕНСОМ
ЦИКЛОИДАЛЬНОГО МАЯТНИКА И РЕМЕСЛО МАТЕМАТИКА1
И. Костабель
В докладе, прочитанном мною па коллоквиуме по ме-
ханике в Москве в августе 1971 г. в рамках XIII Между-
народного конгресса по истории науки, мне приходилось
уже говорить об изобретении Христианом Гюйгенсом цик-
лоидального маятника как о поразительном примере
проявления чисто технических качеств, которые нередко
играют важную роль в открытии и которыми зачастую
пренебрегают в философии науки. Однако тогда мы не
имели возможности должным образом остановиться на
этом примере, иллюстрирующем математическое мастер-
ство, что уместно, как мы полагаем, сделать в этом сбор-
нике, посвященном крупнейшему историку математики.
Использованные нами материалы доступны всем: они
опубликованы в XVI томе собрания сочинений Гюйгенса.
Нет необходимости подчеркивать достоинства этого мону
ментального издания, явившегося в период между двумя
мировыми войнами свидетельством подъема в истории ма-
тематики. С появлением этого издания ученые обрели,
с одной стороны, источник информации, который еще долго
не будет исчерпан, с другой стороны — возможность кон-
тролировать порождаемые соответствующими текстами
комментарии и интерпретации.
В связи с нашим вопросом мы]рассмотрим прежде всего
группу рукописей 'из (регистра,^озаглавленного «Chartae
Mechanicae», составляющего, в (свою очередь, часть «Ма-
nuscrit А» согласно классификации бумаг Гюйгенса в биб-
лиотеке Лейдена. В 1928 г. внутри указанного выше
регистра была произведена классификация, и основной
интересующий нас текст оказался на листе 72 (le folio 72),
в (то (время как вспомогательные рассуждения и вычисле-
1 Перевод с французской рукописи С. С. Петровой.
143
ния к этому тексту оказались на листах 73—74 (цитируе-
мые сочинения, т. XVI, стр. 392—403).
На листе 72 рукой самого Гюйгенса проставлена дата:
1 декабря 1659. Причина знаменательности этой даты
объясняется автором в следующих словах: «Так была най-
дена циклоида». Здесь же Гюйгенс уточняет постановку
задачи, приведшей к этому открытию: «Найти связь между
периодом малых колебаний маятника и временем верти-
кального падения с высоты, равной длине маятника».
Такой точной постановкой задачи Гюйгенс подвергает
современного читателя риску преуменьшить то характер-
ное, что уже содержится в постановке этой задачи.
В своем сочинении «Новые мысли Галилея» («Nouvelles
Pensees de Galilee», 1639), критическое издание которого
мы подготовили в 1973 г., Мерсепн уже подчеркивал, что
в «Discorsi» Галилей ошибался, пренебрегая малыми ко-
лебаниями в условии изохронности. Оригинальность
Гюйгенса состоит в первую очередь не в том, что он при
установлении связи между колебаниями маятника и уско-
рением силы тяжести обратил особое внимание на малые
колебания, а в сделанном им выборе элементов сравнения,
вторым из которых явилось время падения с высоты, рав-
ной длине маятника. Разумеется, еще до Гюйгенса обра-
тили внимание на свойство, определяющее эту длину;
уже Галилею и Мерсенну было известно, что период коле-
бания маятника пропорционален его длине. И хотя это
свойство было получено в результате туманных рассуж-
дений полу-теоретического, полу-эксперимептального ха-
рактера, оно давало ученым некоторые наводящие сооб-
ражения.
В формулировке Гюйгенса, столь ясной, не вызываю-
щей никаких вопросов даже у современного читателя,
ощущается стремление глубоко понять и хорошо поста-
вить проблему, прежде чем приступить к поискам ее ре-
шения. В этой формулировке, вне всякого сомнения, со-
держится идея о том, что если существует связь между
колебаниями маятника и ускорением силы тяжести, то
ее можно обнаружить только при рассмотрении зависимо-
сти ускорения от длины маятника, являющейся характе-
ристической в этой проблеме. Таким образом поступают
математики, отыскивая независимые параметры, позво-
ляющие корректно сформулировать задачу.
144
Чтобы представить действия Гюйгенса при отыскании
решения указанной проблемы, мы не будем следовать
в подробностях рассуждениям и вычислениям па том языке
и в той форме, в какой они им изложены. Для упрощения
введем некоторые обозначения (в частности, для скоростей
и дифференциальных элементов), отсутствующие у авто-
ра, строго сохраняя его геометрические конструкции и
ход рассуждений.
Первый этап рассуждений Гюйгенса состоит в подсчете
времени движения маятника по малой дуге круга KZ
Рис. 1
(рис. 1). Если Е — движущаяся точка на KZ, то па вер-
тикали AZ Гюйгенс рассматривает фиктивную движущую-
ся равномерно точку В, желая получить искомое время
путем сравнения этих двух движений. На рисунке буква В
помещена так, как если бы она представляла проекцию Е
на вертикаль 4Z, по это пе означает, что Гюйгенс отожде-
ствляет движущуюся точку В с проекцией движущейся
точки Е. Это означает только, что следует из его текста,
что сравниваются две движущиеся точки, проходящие
элементы (particulae) ds и do своих траекторий, которые
соответствуют друг другу в проекции. Скорость, с которой
движущаяся точка Е проходит ds, была известна еще со
времен Галилея,— это скорость, приобретенная телом
в свободном падении из Л в В, пропорциональная квадрат-
ному корню из АВ. Скорость, с которой движущаяся
фиктивная точка В проходит do, выбирается равной зна-
чению скорости свободного падения из А в Z. Стрела дуги
колебания AZ задана, и сравнение двух рассматриваемых
скоростей чрезвычайно просто: а именно, их отношение
равно корню квадратному из отношения высот падения.
145
Поэтому Гюйгенс записывает, что отношение времен
прохождения равно отношению элементов ds и с/с, умно-
женному на величину, обратную отношению скоростей,
т. е., если мы обозначим'времена через dt и tZ0 (dt для точ-
ки Е, dd — для В), основная формула, используемая
Гюйгенсом, будет следующая:
dt __ Т_Е_
с/0 — BE
1/—
V АВ •
Чтобы освободиться от квадратного корпя — естественное
для математика желание, он рассматривает дугу параболы
с вершиной А, осью AZ, проходящей через точку 5.
Если D — точка этой параболы, находящаяся на BE, то мы
BD BD 1 /~АВ	dt ТЕ АК
имеем —илиw = ]/ -^, отсюда
Выберем на прямой BDE точку X, определенную соотно-
шением
ВХ ТЕ АК
~АК ~~ BE Х BD 9
Мы имеем
dt	ВХ dt	dB
dQ " АК ИЛИ ВХ	АК ’
Это соотношение позволяет понять идею, которой руковод-
ствовался автор при введении точки X. Полученное ра-
венство легко проинтегрировать.
Если мы предположим все элементы do равными между
собой, то будут равными и все с/0, тогда дробь dQ/AK будет
равной 0/omnes АК, причем omnes А К = А К : AZ.
Если dt/BX одновременно с dB/АК постоянно равно
одному и тому же значению, то мы имеем право сделать
г	0	,
вывод, что ---л r>v- =------Гт?-, т. е. время t прохожде-
omnes ВХ omnes АК 51	1
ния маятника из К в Z равно времени прохождения фик-
тивной точки В из А в Z, умноженному па отношение
(omnes ВХ) к (omnes АК) или, что то же самое, ^BXd<5
к АК-AZ.
Второй этап в исследовании Гюйгенса связан с подсче-
том интеграла, записанного нами в современной форме.
Как показывает параграф, помещенный на листе 73, соот-
ветствующее вычисление было подсказано геометрическим
чертежом.
146
Если дуга KZ достаточно мала, так что ее Можно рас-
сматривать как подобную дуге параболы, a KEZ и
будут двумя симметричными дугами параболы, то очевид-
но, что произведение BE X BD, входящее в знаменатель
dt/d$, выражается просто при помощи точки 7V, в которой
прямая BED пересекает полукруг, построенный на AZ
как на диаметре (рис. 2).
Рис. 2
|Л^ BE	BE	ZB
Ибо или
BD 1/'АВ	BE • BD VZB • АВ BN
и ak=V лГ ’ 0ТКУда =-------------------AZ-----= -лГ-
Отсюда очень просто определяется ВХ: ВХ = -д%ВМ.
Вычисление интеграла от ВХ приводится таким образом
к вычислению площади полукруга. Читатель легко про-
ведет эти вычисления, которые дают
£ _ л ТЕ
0	4 Х АК ’
Время 0 легко связать с временем свободного падения
с высоты, равной длине ТЕ маятника. Действительно,
известно, что если 0 — время пробега точкой В расстоя-
ния AZ со скоростью, равной скорости, приобретенной
тяжелым материальным телом в конце свободного падения
с той же высоты AZ, то 0/2 — время падения. Таким обра-
зом, если мы обозначим через т — время свободного паде-
ния с высоты, равной длине маятника (TZ или ТЕ), то мы
О Г AZ	t л
немедленно получим — = 21/ -^г, откуда следует — = -у •
Т Г 1 Е	Т 4
' ^ак как А К мало отличается от AZ- ТЕ/2,
147
I л
то мы имеем —	.
т /2
Таким образом мы получаем в
приближенном виде искомый результат.
В соответствии с этим рассуждением, Гюйгенс сопостав-
ляет форму вычисления с геометрическим чертежом, кото-
рый был связан у него в это время с размышлениями
о касательной к циклоиде.
Здесь берет свое начало третий этап. Если теперь KZ
не дуга круга, а циклоида (рис. 3), у которой диаметр по-
рождающего круга — CZ, а касательная в точке Е к кри-
вой параллельна хорде ZE' порождающего круга, то с по-
мощью тех же рассуждений, что и на первом этапе, мы
имеем
dt __ СЕ' -j Г AZ СЕ' _ ZE' _ , Л CZ
dB BE' ’ V АВ С BE' ~~ BZ ~~ V BZ
CZ - AZ _ VCZ • AZ
de ~ V AB • BZ “ BN
Из последнего уравнения на этот раз уже точно (в не в при-
ближенном виде) выводится равенство, — =	, где т —
время свободного падения из С в Z. Время t является,
таким образом, тем же для любой начальной точки К
на полу-циклоиде ZH, и существование строго изохрон-
ного маятника с любыми амплитудами колебаний дока-
зано.
Мы приглашаем читателя проследовать по пути, ко-
торый привел Гюйгенса к его открытию. Оценивая подоб-
ное открытие, всегда можно сбиться на общие слова.
Сказать, например, что оно полностью явилось результа-
том математических построений и успех был обусловлен
качествами ума человека их произведшего, что эти качества
счастливо соединили метод и изобретательность. Но все
эти утверждения имеют реальное содержание только при
условии скрупулезного рассмотрения хода мыслей иссле-
дователя.
Так всегда должен поступать ученик, чтобы научиться
у мастера тому, чего никогда не найдешь в книгах, т. е.
не только «движению руки», которое позволит усвоить
лучшее в техническом мастерстве, но и движению мысли,
направляющей это движение. Это «движение руки» м(я
148
хорошо видели, когда Гюйгенс в конце первого этапа
самыми элементарными средствами, без соответствующей
привычной нам техники, рассматривал проблему инте-
грирования. Но, без сомнения, значительно большее можно
заметить на последующих этапах его рассуждений: его
стремление черпать вдохновение в самих формах геоме-
трических фигур как в формах вычислений, стремление
через сравнение скрытого родства и через симметрию
открывать пути, позволяющие ему двигаться вперед.
Именно в этом состоят те характерные черты, позволяющие
узнать ученого, как мы узнаем золотых дел мастера,
человека, знающего свое ремесло в лучшем понимании
этого слова.
Если история науки под влиянием эпистемологии слиш-
ком быстро предавала бы забвению подобные примеры, то
она способствовала бы пренебрежительному отношению
к чрезвычайно важным компонентам процесса человече-
ского познания. К счастью, этому препятствует междуна-
родное сотрудничество ученых, поддерживающее в данном
вопросе необходимое равновесие.
О ЗАМЕЧАНИИ Г. В. ЛЕЙБНИЦА
ПО ПОВОДУ ОДНОЙ ТЕОРЕМЫ
В «МАТЕМАТИЧЕСКИХ? НАЧАЛАХ
НАТУРАЛЬНОЙ ФИЛОСОФИИ» НЬЮТОНА 1
3.	А. Фельман
I
Как известно, Исаак Ныотои в 35-м предложении
второй книги своих ставших столь знаменитыми «Матема-
тических началах натуральной философии» 1687 г. (рис. 1)
дал дифференциальное уравнение дуги меридиана тела
вращения с наименьшим сопротивлением 2, однако без
вывода и доказательства. Современники Ньютона и даже
ученые следующего поколения приложили немало уси-
лий, чтобы воздержаться от заключения о начале истории
вариационного исчисления. Сам же Ньютон, не желая
приписывать себе дополнительную славу, проявил сдер-
жанность в этом пункте 3. Спустя несколько лет эта честь
выпала на долю базельского математика Якоба Бернулли
за его решение изопериметрической проблемы, которая,
в свою очередь, возникла из поставленной Иоганном
Бернулли проблемы брахистохроны и тоже была решена
первым. Ни один из выдающихся ученых того времени,
включая Христиана Гюйгенса, не осознал тогда отважного
ньютоновского вторжения в новую область, и даже Лейб-
ниц, как мы увидим, откликнулся лишь довольно неясным
замечанием; все же имеется признак того, что этот философ
своим тонким инстинктом смог по крайней мере почув-
ствовать смысл ньютоновской схолии.
Обратившись к тексту «Начал» (рис. 2), мы для любой
точки N «кривой сопротивления»
MN : GR = GB*: kBR • BG*	(*)
1	Перевод с немецкой рукописи Ф. А. Медведева.
2	В первом издании 1687 г. это место находится па стр. 327, а
во втором — 1713 г.— на стр. 300.
3	Ньютоновский способ получения этого уравнения появился в
печати впервые в [1, стр. 375 и далее].
150
PHILOSOPHISE
NATURALIS
P RIN CI PI A
MATHEMATICA
Autore JS. NEWTON, Trin. Coll. Cwtab. Soo. Mathrfeos
Profeflbre Lwafumo, & Socictatis Regalis Sodali.
IMPRIMATUR
S. P E P Y S, Rog. Sot. P R R S E S.
"Julii 5. 1686.
L 0 N D I N 73
iiiii Societaiis Pegt£ ac Typh Jofepbi Streaier. Proliant Vena-
feaptjd Sanu Smithed infignia PrjncipisinCoemiteno
O. Pauli* aliolq, nonnullos Bibliopolas,	MDCLXXXVII.
Рис, 1, Титульный лист «Математических начал» издашгя 1687 г.
C 3»7 J
em eundem С В generator, minus rdiftta quam Odum prius.
Ci modo utrumque fccundum phgam axis fui AB progrediator, .
& utriufque terminus В praccedai Ogam quidem propofitie*
nem in conftraendh Navi*
bus non inimkm futuram
effe cenfeo.
Quod fi figure D N FB
ejufmodi fir ut, fi ab ejus
pundo quovis N ad axem
AB demittatur perpendi*
culum NM, & a pun&o
dato G ducatur гева G R
qrne parallel fit ге&ж figuram tangent! in N, & axem produdum
fixer in K, fberit MN ai GR. ut G Rath. ad ^BRxGBf .* So*
lidum quod figurxhujus re vol u none circa axem AB fada defcri*
bitur, m Medio rare & Elaftico ab A verfus В vefocifiime mo*
ven do, minus refiftetur quam aliud quodvfe eadem longitudine .
Sc htitudinedefcnprumSolidum fcirculare,
Prop, XXXVI. Prob. vm.
Ir^enire refijkmhaM corp<?m Sph^riei ш Fluid® r^ro EJaJiico .
( Vide Fig. Pag. 3*$«)
Dcfignet ЛВЛ'Асогрш Spbxricum centra C kmidiametro СЛ
delcriptum. Producarur C-A prime ad S deinde ad K, ut fit AS
parstertia ipfius CA3 be CR lit ad OS utdenfirascprporfeSphe*
rici ad deniiratem Medii. Ad CK erigantur perpendicula FCr.
R X3 centroque К & Alymprotis С R3 К X defcribarur Hyper*
bola quxvis F EE In CR capiatur CT longitudinis cujufvis, Be
erigatur perpendfculum T F abfdndens aream Hyperbolicam'
FCT& fit CZ latus hiijifs areas applicate ad redam.FC. Di* -
co quod rnotus quern globus, defcribendo fpatium C Z, ex refi*
fientia Medii amittet, ent ad ejus motum totum fub initio ut Ion*
gitudo С1 ad longicudincm C R quamproximc. * Nam
Рис. 2. Страница 327 ньютоновских «Начал» с замечаниями
Лейбница
получим вывод ньютоновского уравнения. Действительно,
если мы обычным образом вообразим декартову систему
координат с началом в точке С и обозначим эту кривую
через / (х), то точка N будет иметь координаты N (х, у).
Пусть, далее, в соответствии с рассуждениями Ньютона,
GR параллельна касательной к кривой в N, а отрезки MN
hRG = b перпендикулярны абсциссе CR. Если теперь по-
ложим первую производную /' (х) равной р и подставим
в равенство (*), то из этой пропорции получится обыкно-
венное дифференциальное уравнение 4-й степени:
Р1 + ^VPS+ 2р2 + 1 = О,
а из него получаем параметрическое представление
Х =	Z7] + ^2»
(^|)-
Это представление известно из любого учебника по вариа-
ционному исчислению, где опо обычно фигурирует в раз-
деле «задача Ньютона» 4. Из появившегося шестого тома
математических трудов Ньютона [3] видно, что Ньютон
ко времени написания своих «Начал» в основном уже
должен был знать это. Рис. 3 представляет собой фото-
копию соответствующей рукописной страницы Ньютона
из фонда университетской библиотеки в Кембридже.
II
О первоначальном изучении Лейбницем основного тру-
да Ньютона историки науки узнали всего около трех лет
назад. А именно, в Швейцарии был обнаружен принад-
лежавший Лейбницу экземпляр первого издания «Начал»,
содержащий замечания на полях и подчеркивания, сде-
ланные рукой философа. Изучение этих надписей на полях
дает в качестве наиболее вероятной даты первого чтения
Лейбницем «Начал» конец осени 1689 г. [4]. Здесь нас
интересует только небольшое дополнение, которое Лейб-
ниц поместил под схолией к 28-й теореме 35-го предло-
жения (рис. 2).
4 См. [2, стр. 454].
153
«7
<«*
x	c* *r^
s >^
Jts^-M^". л-“\Лййй
4ЛА?
AJd *•
r&igr » s. ™ -	-	* : >
*r; J L\_ x« »»"***< ЛгЛй
Рис. 3. Страница ньютоновской рукописи из его первоначального
наброска «De motu согрошп», ULC Ms. Add. 3965. 10 fof. 107v.
(Я благодарен университетской библиотеке Кембриджа за предо-
ставление этой иллюстрации.)




Тщательный анализ оригинала 5 приводит к следую-
щему: Лейбниц написал сначала «investigandum ex iso-
perimetris facillime progrediens» и переправил затем
«isoperimetris» на «isolabis» — слово, которое не найти
ни в одном словаре. По-видимому, Лейбниц первоначально
связал с текстом «Начал», где говорится о максимуме и
минимуме, понятие изопериметрии, ибо фактически эта
проблема на начальной стадии вариационного исчисления
состояла в том, чтобы определить, когда для некоторого
интеграла (здесь сопротивления) получается экстремум,
если задан некоторый другой интеграл (здесь длина дуги).
Но что следует полагать относительно того, как произо-
шло, что Лейбниц слово «isoperimetris» исправил на изоб-
ретенное им самим слово «isolabis»? П. Коста бель (Париж),
со своей стороны, предпринял попытку решить эту загад-
ку; я тоже присоединился к этой версии в моей моногра-
фии [4]. В своей работе [5; 6, т. 6, стр. 135—144] Лейбниц
отличает «resistentia absoluta» от «resistentia respectiva» 6.
Первое он мыслит обусловленным силами сцепления сре-
ды, не зависящим от скорости движущегося тела и про-
порциональным поверхности атаки. Второе зависит, с од-
ной стороны, от первого, а с другой — от скорости движе-
ния тела в среде, и лейбницевская концепция относитель-
ного сопротивления требует ограничения скорости в со-
противляющейся среде. Вероятность того, что уже при
первом чтении «Начал» Лейбниц мог подумать об этом
различии, увеличивается благодаря письму Гюйгенсу,
датированному октябрем 1690 г. [7, стр. 521; 6, т. 6,
стр. 189]:
«Quant la resistance du milieu, je crois d’avoir remarque
que les theoremes de M. Newton, au moins quelques tins que
j’avais examimes, s’accordaient avee les miens. Ce qu’il
appelle la resistance en raison doublee des vitesses (en cas
des temps egaux), n’est d’autre de colie que j’appelle la
resistence respective qui m’est en raison composee des
velocites et des elemens de Г espace...» 7.
5 Он находится в Бодмеровской библиотеке (основанной Бодмером)
около Женевы (Швейцария).
с Абсолютное сопротивление от относительного. {Прим, перев.}
7 «Что касается сопротивления среды, то, как я уже заметил,
теоремы г. Ньютона, по крайней мере те, которые я проверил,
соответствуют моим. То, что он называет сопротивлением в уд-
военном отношении скоростей (в случае равных времен), есть
не что иное, как сопротивление, названное мною относительным
155
Но слово «isolabis»? Загадка почти решается письмом
Иоганну Бернулли от 29 июля 1698 г. [6, т. 3, стр. 525],
в котором Лейбниц поздравляет базельца за его элегант-
ный способ, каким он трактовал «метод максимумов и ми-
нимумов». Там сказано:
«Loco isoperimetrarum liceret generalius adhibere figu-
res isodynamas secundum unum fungendi rationem ex iis
reperire vel eligere earn quae Maximum aut Minimum
praestet alia fungendi ratione...»8
Мы видим здесь в «isodynamas» филологически ясное
соответствие для ранее загадочно появившегося слова
«isolabis». Ему — несомненно, как основе заимствованного
выражения ЛаЩ (Xapeiv) — можно ставить в соответствие
абсолютное сопротивление. «Напор» этого «потока» на ча-
стицу сопротивляющейся среды тогда относился бы к по-
верхности (атаки) в смысле приведенного текста или ука-
занной выше работы [5]. Разумеется, остается неясным,
имел ли при этом Лейбниц в виду основание цилиндра
(как это было у Ньютона) или же криволинейную поверх-
ность искомого тела вращения с Л С в качестве оси (рис. 4).
В последнем случае слово «isolaba» понималось бы так,
в
что интеграл yds задан, а у (х) нужно определить так,
А
сопротивлением, которое у меня равно отношению, составленному
из скоростей и элементов пространства...»
8 «Вместо изопериметрических фигур надо сравнивать в отношении
действия изодинамные фигуры, а из них выбирать или оставлять
ту, которая обращает в максимум или минимум другое отношение
действий».
156
в
чтобы вариационный интеграл yds • cos2d принимал
А
минимальное значение.
Как бы то ни было, письмо к Бернулли по крайней мере
указывает путь, на котором можно с определенной досто-
верностью свести лейбницевские идеи относительно неко-
торого «общего метода» (generalius) к решению «изопери-
метрических» экстремальных задач. Однако окончательное
выяснение этого загадочного пассажа мы ожидаем не ра-
нее, как после полного критического издания соответ-
ствующих рукописей Лейбница, и здесь мы еще раз убеж-
даемся в той суровой истине, что «история никогда не вы-
сказывала своего последнего слова» 9.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Н. W. Turnbull. The correspondence of Isaac Newton, v. III.
Cambridge, 1961.
2.	История математики с древнейших времен до начала XIX столе-
тия. Т. 3. Математика XVIII столетия. Под ред. А. П. Юшкеви-
ча. М., «Наука», 1972.
3.	The mathematical papers of Isaac Newton, v. VI. Cambridge, 1974.
4.	E. A. Fellmann. G. W. Leibniz — Marginalia in Newtoni Princi-
pia mathematica (1687). Paris, 1973 (Collection des Travaux de
I’Academie Internationale d’Histoire des Sciences, № 18).
5.	G. W. Leibniz. Schediasma de resistentia medii ... Acta croditorum,
1689, 1, 39—46.
6.	G. W. Leibniz. Mathematische Schriften. Herausg. von С. I. Ger-
hard. Bd. I—VII. Berlin — Halle, 1849—1863.
7.	Ch. Huygens. Oeuvres completes, IX.
° Так говорит П. Костабель в предисловии к монографии [4].
О ПОНЯТИИ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
В СПОРЕ О КОЛЕБАНИИ СТРУНЫ В XVIII ВЕКЕ
С. С. Демидов
1. Спору о звучащей струне в XVIII в. в историко-
математической литературе уделено большое внимание
(см., например, [1—3]). И хотя некоторые авторы счита-
ют, что значение этого спора чрезмерно преувеличено и
внимание к нему со стороны историков математики не-
оправданно велико х, мы все-таки позволим себе еще раз
остановиться на этой замечательной странице истории ма-
тематики, тем более, что в имеющихся сочинениях, за-
трагивающих существо дискуссии, почти все внимание
уделялось процессу расширения класса допустимых в ана-
лизе функций, развитию самого понятия функции, вопро-
су о представимости функции тригонометрическим рядом.
В то же время, с точки зрения теории дифференциальных
уравнений, а именно с этой точки зрения, мы и будем его
анализировать, спор этот, насколько нам известно, нигде
не разбирался.
2. Спор о колебании струны в XVIII в. мы будем рас-
сматривать исходя из представлений, принятых в совре-
менной теории дифференциальных уравнений с частными
производными. Речь в этом споре идет о решении уравне-
ния
аг- дх* ’	' '
удовлетворяющего граничным
и (0, f) = и (Z, f) = 0	(2)
и начальным
и (х, 0) == и0 (х), ди 0) = и0\х)	(3)
1 Замечание такого характера, сделанное К. Трёсделлом [3], пред-
варяет его собственное чрезвычайно интересное изложение cjiopa,
насчитывающее 163 страницы in quarto (sic!).
158
условиям. К такой постановке приводится задача о малых
плоских поперечных колебаниях натянутой, закреплен-
ной на концах струны длины I.
Определение 1. Решением такой задачи назы-
вается функция и (х, t), удовлетворяющая уравнению (1)
и условиям (2), (3).
Из этого определения следует, что функция и (х, t)
должна быть, по крайней мере, дважды дифференцируе-
мой по х и t. Нетрудно убедиться, что такое решение дает
формула
x+at
и. t) =	(* + at) + »<,(*-at) + 1 С Ро (a) da
x-at
(см. [4, стр. 112]), носящая имя Даламбера. Мы в даль-
нейшем будем рассматривать случай р0 (х) = 0, тогда
последняя формула примет вид
и (х, t) = M* + .aQ+ »о(з-at) .	(4)
Очевидно, что для существования таким образом опреде-
ленного решения необходимо, чтобы функция и0 (х) была
дважды дифференцируемой. Такое условие на функцию,
задающую начальную форму струны, сильно ограничивает
практическую применимость данного выше понятия ре-
шения, исключая из рассмотрения, например, случаи,
когда начальная кривая имеет угловые точки, в которых
первая производная разрывна.
3. Обобщенные решения вводятся либо как пределы
последовательностей классических решений, либо при
помощи интегральных тождеств. Проиллюстрируем оба
эти подхода на случае задачи Коши для уравнения
д2и _ д^и	,л
~д&~ ~	'
при начальных условиях
и (х, 0) = и0 (ж),	 о.
(3')
Если и0 (х) — дважды дифференцируемая функция на от-
резке [0, Z], то решением задачи Коши в области
D {t > 0, х — t > 0, х + t < 1} будет функция
и t) = UQ + *+Ъо (ж —0
(4')
2
159
Пусть функция и0 (х) только непрерывна, тогда бе моЖШ
представить как предел равномерно сходящейся на [О, I
последовательности дважды дифференцируемых фупкци!
и™ (х), При этом соответствующие решения (х, t
будут равномерно в D сходиться к функции (4'), что дае:
нам основание рассматривать (4') как обобщенное решенш
уравнения (!'). Поэтому естественным представляете;
вводить обобщенное решение при помощи следующее
определения.
Определение 2. Обобщенным решением неко
торого дифференциального уравнения с частными произ
водными в некоторой области D называется функция и
являющаяся пределом равномерно сходящейся в D по
следовательности классических решений. (Часто равно
мерную сходимость заменяют сходимостью в среднем
Так определенные обобщенные решения могут быть даж
разрывными.)
Обобщенные решения вводятся также при помощ
интегральных тождеств. Продемонстрируем это на ypai
пении (1'). Пусть и (х, t) — классическое решение этог
уравнения. Умножим равенство (1') на функцию а (х, i
дважды непрерывно дифференцируемую в D и обращав
щуюся в нуль в окрестности ее границы; полученное соог
ношение проинтегрируем по D
D
Интегрируя по частям, приходим к выражению
D
Это равенство удовлетворяется для любого классическое
решения уравнения (!'), по оно же выполняется и д.т
более широкого класса функций, так как не содерж]
производных от и; это дает нам основание определить обо
щенное решение, введя
Определение 3. Обобщенным решением ура
нения (1') в области D называется функция и (х, t), уд
влетворяющая равенству (5) для любой дважды непреры
но дифференцируемой функции о (х, t), обращающей
в нуль во всех точках области D, расстояние которых
границы области D меньше некоторого р > 0.
160
Несколько изменяя интегральное тождество, можно
учесть начальные условия задачи Коши. Так, обобщенным
решением задачи Коши для уравнения (1') в области
D {t 0, х — £ > О, х 4~ t <Z 1} при начальных усло-
виях (3'), заданных на отрезке [О, I] оси х, называют
функцию и (х, I), удовлетворяющую тождеству
t
ЙГ д2б д2б 1 j , Г , . д<5 (х, 0) j п
“	— -d^\dxdt + \u0(x) —’-dx = 0
«	о
для всякой дважды непрерывно дифференцируемой функ-
ции о (х, t), обращающейся в нуль в окрестности границы
области D, из которой исключен отрезок [0, 1\ оси х.
Теория обобщенных решений уравнений с частными
производными требует для своего построения привлечения
аппарата современного функционального анализа. Ее ос-
новы были заложены в 30-е годы нынешнего столетия
в работах С. Л. Соболева (см., например, [5]). После
краткого экскурса в современность вернемся к предмету
нашей работы — спору о звучащей струне в XVIII веке.
4. В 1747 г. (опубл, в 1749) Даламбер [6, 7] выводит
уравнение колебания струны (1), которое он сам записы-
вал в несколько иной форме. Он получил для пего общее
решение в виде
и = ф (х at) + ф (х — at),
а также решение при учете начальных и краевых данных
(у = ф (х 4~ at) — ф (at — х), где ф (х) такова, что
Ф (х 4" 2Z) = ф (х), ф (х) — ф (—х) и0 (х), аср' (х) —
— аср' (—х) = и0 (х)). Даламбер считал (и это мнение было
общепринятым в математике его времени), что действия
анализа бесконечно малых справедливы только для функ-
ций, заданных единым аналитическим выражением —
«непрерывных» по тогдашней терминологии 2. Класс «не-
прерывных» функций по свойствам, которыми его наде-
ляли математики того времени, совпадает с классом
функций, аналитических всюду, кроме изолированных
особых точек, в окрестности которых функции разлагаются
в обобщенный степенной ряд, т. е. ряд, содержащий дроб-
ные и отрицательные степени переменной 3.
2 Здесь и далее термин «непрерывный» (соответственно «разрыв-
ный»), употребленный в таком смысле, выделяется кавычками.
3 Об этих путаных представлениях на природу «непрерывных»
функций подробнее см. [8].
6 Историко-математ. исслед., в. XXI
161
Соответственно этому Даламбер полагал, что произ-
вольные функции, фигурирующие в его решении задачи
о колебаниях закрепленной на концах струны, должны
быть «непрерывными». Так, если и0 (х) = 0, то и(х, t) =
uq (х 4- at) 4- uo (х — at)
= —-—!— ------------ и свойством «непрерывности» долж-
на, очевидно, обладать функция н0(гг), задающая начальную
форму струны, т. е. и0 (х), обладающая свойствами перио-
дичности (и0 (х + 21) = и0 (х)) и нечетности (и0 (—х) =
= — и{) (х)), должна па всей числовой оси задаваться еди-
ным аналитическим выражением — требование, подразу-
мевавшееся Даламбером и ранее, но четко выражен-
ное в [9].
5. В 1748 г. (опубл, в 1750) Эйлер написал работу
«О колебании струны» [10]. В этом сочинении он, вслед
за Даламбером, дал свой, мало отличающийся от далам-
беровского, метод решения задачи. Однако, в отличие от
Даламбера, он предположил, что начальная функция мо-
жет быть произвольной механической кривой (эта произ-
вольность, как заметил он позднее [И], ограничивается
лишь требованием сплошности кривой). При этом Эйлер
исходил, с одной стороны, из физической сущности зада-
чи — струне можно придать начальную форму, соответ-
ствующую произвольной механической кривой, с другой
стороны, из формы решения (4'), которая позволяет
строить решение во всей плоскости х, t при произвольном
задании начальных данных. Полученное Эйлером решение
не является классическим — оно может иметь разрывы
не только вторых, по и первых производных. Таким обра-
зом, по существу, им были введены обобщенные решения
уравнения (1), более того, им было расширено поле при-
менения анализа от функций аналитических до функций
кусочно дифференцируемых. Однако обобщение решения
уравнения (1) проведено им совершенно некорректно:
он даже не дает определения такого решения. Говоря
в одних случаях, что оно удовлетворяет уравнению (1)
(не поясняя в каком смысле), в других, обсуждая его свой-
ства, он исходит из физических соображений. Некоррект-
ность рассуждений Эйлера (а сделать их корректными при
тогдашнем уровне анализа было невозможно) вызвала
реакцию со стороны Даламбера.
6. В своем возражении, опубликованном в 1761 г. [12],
Даламбер разбирает конструкцию Эйлера.
162
На [О, Z] задана сплошная кривая АМВ (задающая
начальную форму струны!), продолженная на всю число-
вую ось периодически и нечетным образом (Вцсс, fimA);
из таким образом полученной кривой по формуле (4)
(рассматривается случай и0 (х) = 0) строится решение
на всей полуплоскости t > 0. «Я утверждаю, — пишет
Даламбер [12, стр. 15], — что эта конструкция может
иметь место только в случае, когда кривые АМВ, Вцсс,
$тА и т. д. до бесконечности были бы связаны одним
уравнением и подчинялись одному закону непрерывности».
Далее Даламбер приводит конкретные соображения, под-
тверждающие его точку зрения.
а. Пусть начальная кривая такова, что она состоит
из кусков, задающихся различными аналитическими вы-
ражениями. Пусть х^ — точка, слева от которой (в неко-
торой ее окрестности) кривая задается одним уравнением
(у = /х (rr)), справа (также в некоторой ее окрестности) —
другим (г/ = /2 (#)). Подсчитаем разностные отношения,
д^у	д2у
соответствующие вторым производным и .
иХи	ul“
Они будут следующими (рассматривается решение
У - ф (# + 0 + <р (я — t))z
-ST =	[Ч) & + * + 2Д/>	(Х + Z +Дг> + *₽ (ж+01 +
+	[<р	— 2Д0 — 2<р(х — г — д«) + ф(ж —«)],
1ч (ж +z + 2Дж) — 2<р (ж+<+Дж)+ч(ж+<)]+
+	—г + 2Дж) —2<р(ж —г + Д^ + ч^ — 01-
Положим Ах = At, тогда можно записать
4^ =	f4>(z + 1 + 2Дж) —2<р(ж +1 + Дх) + <р(х +1)]+
+ 4? [ф f — 2Дж) — 2<р (х — t — Дх) + <р (х — г)].
& +* + 2 Дж)— 2Ч(Ж +г + Дж) + Ч + Z)1+
+	[<Р (» — t + 2Дх) — 2<р (ж — (+ Д«) + <р(х —1)|.
6*
163
Для того чтобы в пределе при Л.т О, Д£ -+ 0 получить
z . д2и д2и	-
в точке (ж, у)	, необходимо, чтобы в этой точке
lini Ф (ж — t — 2Дж) — 2ф (х — t— Дж)
Дх->0	А372
_ ,.	ф (ж — t -{- 2Дж) — 2ф (ж — t 4- Дж)
“' 1]1П	Дж2	’
Дх—>0
Если х — t = х0, то это равенство можно переписать так:
цт /1 (хр — 2Дж) — 2/1 (жо — Дж) -р /1 (жо) __
Дх-*о	^ж2
/2 (жо + 2Дж) — 2/2 (ж0 -|- Дж) + /2 (жо)
Дх->0
Дж2
что, вообще говоря, может не иметь места. Если оставать-
ся в рамках классического решения, то отсюда, строго
говоря, следует, что вторая производная начальной фун-
кции не может иметь скачков и разрывов первого рода.
б. В точках А и В вторая производная начальной
функции должна обращаться в нуль. Ибо, если она отлич-
на от нуля, например положительна в некоторой окрест-
ности [А, А + Ля?), то, ввиду способа продолжения
функции на всю ось, она должна быть отрицательной
в (Л — Дя, А] и, таким образом, в точке А вторая произ-
водная должна иметь скачок. Следовательно, мы приходим
к случаю, рассмотренному выше.
в. Третье возражение Даламбера носит физический
характер, и мы не будем на нем останавливаться.
Итак, хотя Даламбер настаивает, чтобы начальная
кривая давалась единым аналитическим выражением,
все его математические аргументы направлены только
против одного —против существования разрывов первого
рода второй производной начальной функции. А так как
разрывы второго рода не были известны математикам
того времени и класс функций, производная которых
«не делает скачков», могли отождествлять как с классом
дифференцируемых, так и с классом непрерывно дифферен-
цируемых функций 4, то смысл математических возраже-
ний Даламбера сводится к тому, что начальная функция
должна быть дважды дифференцируемой (или дважды не-
4 С такой двойственностью нам еще придется столкнуться впос-
ледствии.
164
прерывно дифференцируемой). Таким образом, если от-
бросить излишнее требование Даламбера о задании на-
чальной функции единым аналитическим выражением
(а это, как мы еще увидим, Даламбер сделает впослед-
ствии), то позиция Даламбера (классическое решение!)
становится совершенно верной и абсолютно справедливы
его слова [9, стр. 358]: «Во всех других случаях проблема
не может быть разрешена, по крайней мере, моим мето-
дом, и я не знаю также, не превосходит ли опа силы из-
вестного анализа». Они справедливы и пророческие, ибо
построение теории обобщенных решений превосходило
силы тогдашнего анализа и было делом отдаленного бу-
дущего.
7.	Определяющим в позиции Л. Эйлера в споре о коле-
бании струны является требование более широкого пони-
мания решения уравнения (1). Им, по сути дела, вводится
обобщенное решение этого уравнения. Однако состояние
основ математического анализа того времени не позволяло
произвести это обобщение корректным образом.
Даламбер, в свою очередь, ведет речь о классическом
решении уравнения (1), на которое он накладывает из-
лишние ограничения, вытекающие из неясных представ-
лений о природе основных понятий математического ана-
лиза, характерных для того времени.
Таким образом, говоря о решении дифференциального
уравнения (1), Даламбер и Эйлер понимают под этим,
с нашей точки зрения, разное: один — классическое ре-
шение этого уравнения, другой — обобщенное. Что ме-
шало двум выдающимся геометрам видеть, что предмета
для спора пет, что достаточно лишь уточнить позиции
каждого?
Немало этому способствовала слабая разработка основ
математического анализа, в частности отсутствие ряда
важных понятий, например односторонней производной,
а также неясности, проистекавшие из неверного понима-
ния некоторых из них (например, противоречивые пред-
ставления о «непрерывных» функциях). Важная причина
этого непонимания коренится, на наш взгляд, также и
в специфическом понимании понятия решения математи-
ческой задачи. И для Даламбера, и для Эйлера понятие
такого решения зависит, прежде всего, не от того, каким
образом мы его определим (определим одним способом —
получим классическое решение, другим —обобщенное),
165
а решение представляет собой некоторую реальность,
имеющую свойства, не зависящие от способа, каким это
решение определяется. Для выяснения этих свойств можно
прибегать к различным способам, в том числе к физиче-
ским соображениям, как это делают и Даламбер, и Эйлер.
8.	В 1759 г. в дискуссию вступает Лагранж, опублико-
вавший «Исследования о природе и распространении
звука» [13]. В 15-м пункте, обсуждая вопрос о решении
задачи колебания струны, Лагранж пишет [13, стр. 68]:
«...Мне кажется несомненным, что следствия, которые вы-
водятся по правилам дифференциального и интегрального
исчислений, будут всегда незаконными во всех случаях,
если этот закон [закон непрерывности. — С. Д.] не пред-
полагается имеющим место. Отсюда следует, что так как
построение господина Эйлера выведено непосредственно
из интегрирования данного дифференциального уравне-
ния [имеется в виду метод Эйлера решения уравнения (1). —
С. Д.], то это построение по самой своей природе приме-
нимо только к непрерывным кривым, которые могут быть
выражены некоторой функцией переменных t и х. Я за-
ключаю, следовательно, что все доказательства, которые
можно привести для решения такого вопроса, предпола-
гая сначала, что ордината у кривой будет функцией t и х,
как делали до сих пор господа Даламбер и Эйлер, абсо-
лютно недостаточны и что только через исчисление,
какое мы имеем в виду, когда рассматриваются движения
точек кривой, каждой в отдельности, можно надеяться
достичь заключения, защищенного от всех ударов».
Из приведенной цитаты видно, что Лагранж разделяет
точку зрения Даламбера о неприменимости операций
анализа к «разрывным» функциям. Однако, считая само
решение, полученное Даламбером в виде (2), применимым
и к «разрывным» функциям (здесь он солидаризируется
с Эйлером), Лагранж ставит задачу его получения другим
методом, рассматривая движение каждой точки струны
в отдельности.
9.	Лагранж рассматривает задачу о колебании закреп-
ленной на концах нити, нагруженной п — 1 равными
массами, разделяющими нить на п равных частей. Он при-
водит ее к решению системы линейных дифференциальных
уравнений второго порядка
’ л/2 “ (Wi — Н- ук-л) (к = 1, . . ., п — 1)
166
(yk — ордината к-й массы, I — положительная константа,
5г/.
У о — Уп = 0) с начальными условиями г/ф=0 - Y „
Эту систему он решает по методу, данному Даламбером
в 4 томе мемуаров Берлинской академии за 1748 г.
ду
(см. [14]). Он обозначает —-- = ик и получает систему
= I (г/,+1 — 2г/, 4- ?/,_j) dt (к = 1, . . ., п — 1),
dyk = Ujfdt.
Умножая первые п — 1 уравнений иа неопределенные
множители Mit вторые п — 1 уравнений па Ni и склады-
вая их вместе, Лагранж получает
п—1
2 (Mkduk -|- Nkdyk) =
/1=1
п—1
= [Мкик + C^fc+i — 2M, +	?/J,	(6)
k=i
где Mo = Mn — 0. Для неопределенных коэффициентов
Лагранж выписывает следующие соотношения:
RM. = TV,, RNK = I (М,+1 - 2Мк + М,_г),	(7)
тогда соотношение (6) примет вид
2 Mkd (ик + Нук) = Bdt 2 мк(ик + Ry,).
k=i
Если обозначить
2(Мл + ЯЛ/кг/к) = г,	(8)
/1-1
то получим
dz = Rzdt,
откуда
z = FeRt,
где F — произвольная константа. Для нахождения R
и Mh Лагранж выписывает систему, которая следует из
167
соотношений (7):
R4Ik=l(Mk+1-2Mk-[-Mk_1).
Он выбирает следующую систему значений, удовлетворяю-
щих этой системе:
кчл
sin-
^=_4Zsina^, Мк = ^ (v = l..............п-1).
sin-
п
(9)
Возвращаясь к (8), Лагранж получает
п—1
2(71/^ + ^^)=^,
/£—1
или, что то же самое,
rf(¥-wA)
к=1____
dt
п—1
4-7? 2^. = №,
где Mk и R — известные выражения, определяемые по
71—1
формулам (9), или, обозначив 2 ^кУк — и->
к=1
^^Ru = FeRt.
dt 1
Интегрируя последнее уравнение, Лагранж находит
71—1
fc=i
где G—произвольная константа. Обозначив
71—1	71—1
2 MkYk — P, ^MkVk^Q,
k=i	/i=i
(10)
Лагранж получает систему из п — 1 уравнений для опре-
168
деления п — 1 неизвестных z/r, . . ., z/„_T:
п—1
2 мкУи = Р-cos (2« УI -sin +
+ С
/ ч -.г- . VJL
sin yi VZsin-2^
VT • VJT
2 V I sin~2^-
(v = 1, 2, 3, ..., n — 1),
где Mk определяются по формулам (9), a P и Q — по фор-
мулам (10). Окончательное решение Лагранж записывает
в виде
??.—г
где
л= 2 ySin^,	2 Yi^^-
J=1	3=1
Далее Лагранж переходит к задаче колебания струны,
рассматривая последнюю как предельный случай рассмо-
тренной нагруженной нити при п —> оо и стремлении
к нулю массы каждого грузика (так, что суммарная масса
всех грузиков стремится к конечному пределу — массе
струны). В результате перехода к пределу при п->оо,
отличавшегося полным отсутствием какой-либо строгости,
Лагранж получил следующее выражение для решения
задачи колебания закрепленной па концах струны:
2
(а, II, Т, s — некоторые константы). По поводу получен-
ного таким образом решения Лагранж пишет [13,
стр. 107]: «И это построение, очевидно, то же самое, ко-
торое господин Эйлер изобрел для этой же гипотезы.
Вот, следовательно, теория этого великого Геометра, по-
169
ставленная вне всяких посягательств и установленная
на принципах прямых и ясных, которые не основываются
каким-либо образом на законе непрерывности, на котором
настаивает господин Даламбер».
10. Некорректно приведенный Лагранжем предельный
переход вызвал реакцию со стороны Даламбера и Д. Бер-
нулли. В своем трактате «Новые исследования о природе
и распространении звука» Лагранж пишет [15, стр. 159]:
«Такой переход от конечного к бесконечному в моих фор-
мулах не показался достаточно очевидным и доказатель-
ным двум великим Геометрам, господам Даниилу Бернул-
ли и Даламберу, как они соизволили дать мие почув-
ствовать в своих частных письмах; я подумал, что нужно
найти другой, более простой метод, который поможет
избежать всех затруднений, встречающихся при преобра-
зовании формул». И такой метод он предложил в назван-
ном выше трактате.
Рассматривается уравнение колебания струны
d2z  d2z
dt2 ~	'
с граничными и начальными условиями
z |х=0 ~ zlx=a = 0, Z |/=0 = Z (х),	= R (х).
Обе части этого уравнения домножаются на пока неопре-
деленную функцию М (х) и интегрируются в пределах
от 0 до а:
а	а
\^rM(x)dx =
о	о
Интегрируя правую часть по частям, Лагранж получает
С л/г / \ j Г dz л/г / \	/ .xdM~\a . Г d2M
\	- М (х) dx = -т— М (х) — z (х, t) -у- 4- \ z dx.
j дх2 v ' \~дх ' ' v ' dx Jo J dx2
о	о
Функция M (x) выбирается так, чтобы М (0) = М (а) — 0,
тогда
а
\^M(x)dx =
о
d2M л
z-тТ dx.
dx2
о
170
На М (х) накладывается еще одно условие:
d-AI
^=Ш,	(И)
dx2	’	'	'
где к — постоянное, тогда Лагранж получает
а	а
(*	Я2 7	Г*
\ М (х) dx = к \ zM (х) dx	(12)
о	о
а
и, обозначая s = zM (х) dx,
6
Это уравнение Лагранж интегрирует методом Даламбера
и получает
s = S (х) cos (t уг— /г)	sin (t |Л — /f),
V — к
где
S(x) = s |z=0 и R (х) = г |f=0,
или
S(x) = Z (х) М (х) dx, R (х) = U (х) М (х) dx.
Тогда
j zM (х) dx = cos (t У — к) J Z(x) M (x) dx +
+ sin(f	и (x) M(x)dx.
у — к J
Из уравнения (11) получаем выражение для М (х), кото-
рое с учетом граничных условий, налагаемых на М (х),
имеет вид
М(х) = A sin (х У — к), где У — к =
(v = 0, ±1, +2, ...).
Таким образом, можно записать
J z sin (х У — к) dx = cos (t	sin (х У— к) dx 4-
4-	sin	U (х) sin (х У — к) dx.
171
Проделав ряд преобразований последнего равенства, Ла-
гранж получает
а
z sin (х ™ ) dx =
б
б
- 4-	(5и ® Jsin (z v)dx-
Так как это равенство должно иметь место при любых
значениях v = 0, +1, +2, . . то Лагранж делает от-
сюда вывод (доказательства, разумеется, дать не мог и
считал его само собой разумеющимся), что
Z(x + 0 + Z (х - t)	(j U (?) н - (У u^)i=x-l
Z ~	2	2
Относительно своего нового метода решения Ланграпж
полагал:
а)	что он представляет собой аналог предыдущего
метода («Что касается двух наших предыдущих методов,
они прежде всего отличаются друг от друга только тем,
что в последнем подставлены дифференциалы и интегралы
вместо алгебраических сумм и разностей, которые находим
в первом» [15, стр. 177].)
б)	Этот новый метод позволяет, по мнению Лагранжа,
избежать неприятностей, связанных с трудностями пре-
дельного перехода, свойственных первому. Таким образом,
удается обосновать точку зрения Л. Эйлера па примени-
мость «разрывных» функций для случая решения урав-
нения (1") и тем самым «преодолеть трудности, которые
ему самому [Даламберу.— С. Д.] казались непреодоли-
мыми в анализе» [15, стр. 177].
Для нас в рассуждениях Лагранжа представляется
наиболее интересным следующее: говоря о решении задачи
колебания струны, он пытается заменить уравнение (1")
этой задачи интегральным тождеством (12). «Я воображаю
сначала, — пишет он [15, стр. 177], — что вместо простого
dzz d2z 5
общего уравнения = с , которое относится ко всем
CL JU
о d2z
5 Так Лагранж обозначает уравнение —— — кг .
172
движущимся точкам, имеется бесконечное их число, из
которых каждое представляет движение каждой точки
в отдельности — движение, которое зависит, впрочем,
от всех других, так как дифференциал tZ2z, который взят
в предположении изменения только х, выражает вторую
разность значений z для трех последовательных точек.
Я умножаю, следовательно, каждое из этих уравнений
па неопределенный коэффициент М или, скорее, на коли-
чество Mdx, рассматривая М как переменную, которая
может подойти ко всем уравнениям вообще, и я беру их
сумму интегрированием... Теперь, так как речь идет о том,
чтобы объединить вместе коэффициенты при каждом
значении z, которое соответствует каждой подвижной
точке, я преобразую мое интегральное уравнение к такому
виду, чтобы дифференциалы z, зависящие от х, исчезли».
Таким образом, действия Лагранжа можно квалифици-
ровать, в известном смысле, как замену классического
решения обобщенным. При этом способ, которым вводится
это обобщение (домножение на функцию, обращающуюся
в нуль на концах промежутка, интегрирование по частям
и получение интегрального тождества), удивительным об-
разом сходен с тем, которым вводятся обобщенные решения
в смысле определения 3. Мы употребили оборот «в извест-
ном смысле», чтобы подчеркнуть, что Лагралж нигде прямо
не говорит о введении нового понятия решения и лишь
действия его можно трактовать как направленные на такое
введение.
И. Продолжая свои размышления о природе решения
волнового уравнения, в частности о возможности его
представления в виде тригонометрического ряда, Лагранж
старался сделать более прозрачной конструкцию перехода
к пределу от конечного случая к случаю непрерывной
струны. В работе «Решение различных проблем интеграль-
ного исчисления» [16] он записал решение для случая
начальной скорости системы, равной нулю, в виде
173
где
Л У. 4-Р.	Л Q.
Ф (я) = 2 2j / sin (*) =• 2 2j - { sin
1=1	i=i г
п
71=?. y<«sin-2^-, У(« — начальное значение у^\ Pi,
L	п -4- 1
7=1	*
Qi —выражения, зависящие от Д2У<г\ Д4У({), Д6У% . . ..
Затем, переходя к пределу при п —> оо и положив в этом
случае Pi Q, = 0, Лагранж замечает, что последнее
Л/
справедливо лишь в случае, когда «—ч- нигде пе делают
dx1
скачка [т. е. не имеют разрывов первого рода. — С. Д.],—
ни в начальной кривой, пи в последовательных ветвях»
[16, стр. 554]. Таким образом, если учесть, как мы это де-
лали раньше, что разрывы второго рода еще не были из-
вестны, можно интерпретировать ограничение Лагранжа
как требование бесконечной дифференцируемости началь-
ной функции (продолженной па всю ось) в решении вол-
нового уравнения.
В письме от 16 октября 1764 г. обрадованный Даламбер
пишет Лагранжу [17, стр. 15]: «То, что Вы сообщили мне
о колеблющейся струпе, кажется, дает мне возможность
полностью одержать верх» [в споре с Эйлером.— С. ДА.
Лагранж в письме от 13 ноября 1764 г. отвечает ему:
«Вы правы, когда говорите, что моя теорема о колеблю-
щейся струне позволяет Вам одержать верх относительно
непрерывности ветвей порождающей кривой, когда на-
чальная кривая подчинена одному уравнению [курсив
мой.— С. ДА. . . я могу Вас уверить, что я очень
доволен, что приблизился к Вам в этом пункте. Впрочем,
мое решение не требует, чтобы начальная кривая могла
выражаться одним уравнением, оно будет иметь место
всегда, какой бы ни была эта кривая, если только усло-
вия, о которых я Вам говорил [бесконечная дифферен-
цируемость в пашей интерпретации. — С. ДА, оказываются
выполненными» [17, стр. 21].
В ответном письме от 12 января Даламбер пишет [17,
стр. 24]: «Вот мы, следовательно, согласны насчет колеб-
лющейся струны, по крайней мере, в том случае, когда
начальная кривая выражена одним уравнением». И да-
лее идут его слова, важные для понимания существа
его позиции в споре: «Если опа [начальная кривая. —
174
С. Д.] нарисована случайно, то как мы можем убедиться,
что вдоль этой кривой dny/dxn не делается скачков в ка-
ком-нибудь месте? Решение будет тогда иллюзорным,
так как мы пе можем никогда быть уверенными, что оно
будет хорошим» [17, стр. 24].
Лагранж в своем письме от 26 января 1765 г. поместил
следующие слова, характеризующие его взгляд па вопрос
существования математических объектов: «Это правда,
что я плохо вижу, — каким образом можно было бы убе-
диться, что это условие [бесконечной дифференцируемо-
сти начальной кривой.— С. Д.] наблюдаемо у кривой,
начерченной случайно; но достаточно, чтобы объект был бы
возможным, чтобы он мог иметь место в природе» [17,
стр. 29—30].
12. В литературе (см. [1, стр. 986—987]) бытует пред-
ставление, что Лагранж на протяжении спора пе занимал
твердой позиции, меняя свое мнение, поддерживал то
одну, то другую сторону: вначале оп выступил на стороне
Эйлера, затем перешел на позиции Даламбера, затем (уже
во втором издании «Аналитической механики» [18]) вновь
вернулся на позиции Эйлера. Изложенное нами говорит
об ином: Лагранж занимал в споре твердую позицию,
пе совпадающую целиком пи с эйлеровской, ни с даламбе-
ровской. Он, исходя из физических соображений, считал,
что решение (4') справедливо и для «разрывных» функций
и0 (х), однако полагал, что методы, которыми это решение
получено Эйлером, в этом случае некорректны, и пытался,
предлагая другие методы, обосновать конструкцию Эйлера.
Все выводы Лагранжа по этому вопросу стоят в неразрыв-
ной связи с его попытками обосновать справедливость
проводимого им предельного перехода.
13. Свое отношение к спору Кондорсе высказал в ме-
муаре 1771 г. (опубл, в 1774) [19]. При помощи чрезвы-
чайно туманных рассуждений об исключении произволь-
ной функции из решения и выражений, полученных его
дифференцированием, Кондорсе приходит к выводу: на-
чальная функция не обязательно должна задаваться
«непрерывной» кривой, т. е. задаваться единым аналити-
ческим выражением, она может быть составленной из
многих таких кривых. При этом должны соблюдаться
следующие правила «стыковки»:
1)	функция, задающая начальную форму струны,
должна быть непрерывной в точках, в которых иаруша-
175
ется единообразие ее аналитического выражения («та:
сказать непрерывной (continue), что касается ее описания
ио не аналитического уравнения» 6 [19, стр. 71]);
2)	эта функция должна иметь в этих точках непрерыв
ную производную (касательная слева совпадает с каса
тельной справа).
Эти правила-ограничения Кондорсе недостаточны дл:
определения классического решения (в противовес ла1
рапжевым, которые были излишними).
14.	К такому же выводу, что и Кондорсе, пришел .
Лаплас в «Мемуаре о последовательностях» (1772, опубл
1779) [20]. Он, рассматривая колебания струны npi
vo Cr) = 0, вместо уравнения (1) брал дифференциально
разностное уравнение
-	Ц (ж +	0 — %У t) + y(x —	<)],
(Iй
конструировал его решение, а затем переходил к предел;
при Аж —> 0. Лаплас полагал, что для законности таког
перехода (чтобы (Г") давало в пределе (1)) необходимо
чтобы первая производная от начальной функции не де
лала скачка, т. е. не имела разрыва первого рода («эт
условие необходимо, чтобы предложенное дифференциаль
ное уравнение могло существовать» [20, стр. 81]).
Лаплас сформулировал общее правило, недостаточно
для классических решений: для уравнений тг-го порядк
от произвольных функций, входящих в решение, следу
ет требовать отсутствия скачков у производных порядк;
п — 1.
«Когда в проблеме колеблющейся струны,— пише
Лаплас [20, стр. 83], —начальная кривая такова, что дв
ее прилежащие стороны образуют конечный угол, напри
мер, когда она образована объединением двух прямых ли
ний, то, как мне кажется, геометрически предшествующе
решение не может быть использовано. Но если мы рас
сматриваем эту проблему и все подобные ей физически, т
мне кажется возможным применение данной нами копст
6 Здесь Кондорсе, насколько нам известно, впервые в исторш
математики употребляет термин непрерывная (continue) для ха
рактеристпкп функции, непрерывной в нашем смысле (точнее
функции, не имеющей разрывов первого рода; разрывы второе
рода в то время были неизвестны).
176
рукции также для случая, когда струна образована систе-
мой многих прямых линий. Действительно, априори оче-
видно, что ее движение должно очень мало отличаться от
движения, происходящего в предположении, что в точках,
где эти прямые встречаются, имеются маленькие кривые
[закругления.— С. ДА, которые позволяют использовать
эту конструкцию [курсив мой.— С. ДА». Из этих слов
видно, что интуитивно Лаплас правильно нащупывает тот
возможный путь, следуя по которому впоследствии при-
дут к определению 2.
15.	Мы видим, что и Лагранж, и Лаплас, и Кондорсе
в противовес мнению Даламбера подтвердили высказанное
Эйлером положение о возможности использования в ка-
честве начальной «разрывных» функций, не задающихся
единым аналитическим выражением. Особенно наглядно
это положение Эйлера было продемонстрировано Г. Мон-
жем (см., например, [21]), давшим общепринятые затем
геометрические конструкции решений ряда уравнений с
частными производными, в частности волнового уравне-
ния, и использовавшего при их построении «разрывные»
функции.
Однако и Лагранж, и Лаплас, и Кондорсе не приняли
положения Эйлера о том, что начальной кривой может
быть любая сплошная кривая. Все они чувствовали необ-
ходимость наложить на начальную функцию те или иные
требования гладкости: от недостаточного для классиче-
ского решения требования существования непрерывных
первых производных начальной функции (Кондорсе и Лап-
лас 7) до излишнего требования Лагранжа о ее бесконеч-
ной дифференцируемости.
Чувствовал ли Эйлер слабость своей позиции, приме-
няя для построения решения общую конструкцию, не
предполагавшую от начальной кривой никакой другой
гладкости, кроме сплошности, и определяя при этом ре-
шение как функцию, удовлетворяющую уравнению (1)?
Судя по всему, нет, ибо более чем через двадцать лет после
начала спора в работе [И], отвечая на аргументы Далам-
бера, приведенные нами в п. 6, Эйлер заявлял, например,
что функция у = (р (и) — а (а — и)2, где и = ct + х,
7 Так можно трактовать требование Лапласа отсутствия разрывов
1-го рода у производных первого порядка (но этому поводу
см. п. 6 и прим. 4 к ному).
177
, .	д2и 2
удовлетворяет (sic!) уравнению = с , хотя у =
3 /------------
= У а (а — и)2 имеет в точке и = а заострение, что ука-
зывает на непонимание (или на нежелание понять) сущ-
ности выдвигаемых Даламбером возражений.
16.	Апологеты Эйлера в этом споре, например Арбо-
гаст, вовсе не чувствовали слабых мест в позиции Эйлера,
и, развивая его идеи, подчас усугубляли слабые стороны
эйлеровских рассуждений. В своих построениях, выпол-
ненных в духе Г. Монжа и удостоенных премии Петер-
бургской академии наук, Арбогаст [22] поддерживает
идею Эйлера о возможности применения «разрывных»
функций в решениях дифференциальных уравнений. При
этом оп идет дальше Эйлера, предполагая, что произ-
вольные функции могут иметь даже разрывы 1-го рода (в
его терминологии fonctions discontigiies). Для подтверж-
дения такой точки зрения Арбогаст широко использует
идею односторонней производной. Возражая Даламберу,
Лагранжу, Лапласу и Кондорсе, накладывающим огра-
ничения на гладкость начальной функции, Арбогаст пе
замечает, что, по сути дела, ведет речь пе о классическом
решении, а о некотором его обобщении, представления о
котором он черпает из геометрических построений в сти-
ле Г. Монжа.
17.	Аргументы, выдвинутые в споре, в особенности,
по-видимому, геометрическое исследование вопроса, про-
веденное Монжем, привели Даламбера к отказу от его пер-
воначального требования «непрерывности» начальной функ-
ции. В работе «О разрывных функциях» [23], опублико-
ванной в VIII томе «Opuscules», он использует в конструк-
ции решений дифференциальных уравнений, проводимых
в чисто монжевском стиле, «разрывные» функции. В част-
ности, он пишет [23, стр. 307]: «Вообще можно, я думаю,
установить следующее правило для разрывных функций,
которые могут встречаться при интегрировании уравнений
с частными производными. Пусть задано уравнение по-
рядка п и ф (х, у) и т. д.— разрывная функция, которая
входит в интеграл и которая становится последователь-
но функциями А (ж, у), © (х, у) и т. д.; разрывная функ-
ция может входить в интеграл только в случае, когда диф-
ференциальное уравнение будет иметь место для всех воз-
dnz	dnz
можных значений z. Пусть —— == В—- и пусть
dx	dy
.178
,П
dn 1(pz
Ф (Ах + Су) — разрывная функция, которая удовлетворяет
этому уравнению и становится разрывной при z=a; нужно,
чтобы эта функция была такой, чтобы - - было бы рав-
dzn
dnkz	х	г г
но , когда z = а, и чтобы то же самое было бы для
dn-1Az	cZnAz
——- , когда z = а, и т. д. Но если бы---------и
dz11 1	dzn
не были равными, то функция гр (Ах + Су) не
И
dz71'1
dnyz
dz11
удовлетворяла бы уравнению».
В IX неопубликованном томе «Opuscules», как об этом
сообщает А. П. Юшкевич (см. [24]), Даламбер вновь воз-
вращается к вопросу о применении «разрывных» функций,
на этот раз уже конкретно к проблеме колебания струны:
«Итак, мы думаем теперь, что для решения этой задачи мо-
жет быть необязательным, чтобы значение ординаты у
кривой выражалось непрерывной функцией и что опа мо-
жет принадлежать кривой с различного рода ветвями».
И далее, перечисляя ограничения, накладываемые на по-
ddt]
ведение у, он отмечает, что « — нигде не делает скачка,
т. е. на кривой нет точек, в которых имеет одновре-
менно два различных значения» (цит. по [24, стр. 229]).
Приведенные фрагменты из сочинений Даламбера ука-
зывают не только на признание им позиции Эйлера по воп-
росу о применимости «разрывных» функций, но, что осо-
бенно важно, па выделение четкого, освобожденного от
излишних ограничений,
пия 8 *
непие
(ср. с
18.
нения
(а тем более построение теории) которого превышало уро-
вень возможностей математики того времени. Однако, бла-
годаря своим большим практическим возможностям, кон-
струкция Эйлера получила признание среди широких
кругов математиков, хотя лишь немногие пытались дать
понятия классического реше-
как такой функции z, что «дифференциальное урав-
будет иметь место для всех возможных значений z»
определением 1).
Эйлер, по существу, понимал под решением урав-
(1) обобщенное решение, корректное определение
8 При этом следует не упускать из виду сказанного нами в п. 6
и прим. 4 к 11. 6.
179
ей строгое обоснование (рассмотренные нами попытки
Лагранжа, замечания Лапласа). Первым — здесь мы вос-
пользуемся сведениями Трёсделла [3J — кому удалось
обойти трудности в случае, если начальная форма стру-
ны имеет угловые точки (типа защепленной струны), был,
по-видимому, Кристоффель, который в своих лекциях,
опубликованных в 1877 г. [25], заменил дифференциаль-
ное уравнение (1) физической проблемы соответствующим
интегральным уравнением. Построение теории обобщен-
ных решений было делом уже нынешнего столетия.
Спор о колебании струны в XVIII в. показывает иск-
лючительную важность разработки оснований математи-
ческих дисциплин и связанного с этой разработкой уров-
ня строгости — лишь отсутствие ясных взглядов на ос-
нования, в данном случае анализа, могло породить такие
заблуждения, от которых не спасала даже мощная интуи-
ция таких гениальных математиков, как Даламбер и Эй-
лер.
19.	Мы попытались показать, что под объектом спора
Даламбер и Эйлер понимали, по существу, разные вещи,
хотя и называли их одним именем — решением уравне-
ния (1).
Даламбер понимал под решением уравнения (1) клас-
сическое решение. Опасаясь выйти за рамки дозволенно-
го в анализе и стараясь соответственно этому разумно ог-
раничить используемые методы, с трудом сдавая укреп-
ленные позиции, стремился к естественному определению
классического решения, которого в конце концов и достиг.
Этой своей направленностью на исключение из анализа не-
достаточно, на его взгляд, обоснованных понятий и мето-
дов Даламбер предвосхищал ригористический дух анали-
за последующего столетия, который мы связываем с име-
нами Больцано, Коши, Абеля и Вейерштрасса.
ЛИТЕРАТУРА
1.	И. ТО. Тимченко. Основания теории аналитических функций,
ч. I, т. I. Одесса, 1899.
2.	Н. Burkhardt. Entwicklungen nach oscillirenden Functionen und
Integration der Differentialgleichungen der mathematischen Phy-
sik. Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung.
Bd. 10. Heft 1, 2. Leipzig, 1901—1908.
3.	C. Truesdell. The rational mechanics of flexible of elastic bodies,
1638—1788 (= L. E uteri. Opera omnia, ser. secunda, vol. XI,
Sect. 2). Turici, 1960.
180
4.	И. Г. Петровский. Лекции об уравнениях с частными производ-
ными. Изд. 3-е. М., Фмзматгиз, 1961.
5.	С. Л. Соболев. Некоторые применения функционального анализа
в математической физике. Новосибирск, изд. Сибирского отд.
АН СССР, 1962.
6.	J. D’Alembert. Recherches sur la courbe quo forme une corde
tendue, mise en vibration. Histoire de 1’Acad. royle des sc. et des
belles lettres de Berlin, v. 3, Annee 1747. Berlin, 1749, 214—219.
7.	J. D’ Alembert. Suite des recherches sur la courbe quo forme une
corde tendue, mise on vibration. Histoire de 1’Acad. royale des
sc. et des belles lettres do Berlin, v. 3, Annee, 1747. Berlin, 1749,
220—229.
8.	А. И. Маркушевич. Основные понятия математического анализа
и теории функций в трудах Эйлера. В сб.: «Леопард Эйлер
(к 250-летию со дня рождения)». М., Изд-во АН СССР, 1958.
9.	J. 1УAlembert. Addition au memoire sur la courbe que forme
une corde tendue, mise en vibration. Histoire de 1’Acad. royale
des sc. ot des belles lettres. Annee 1750, v. 6. Berlin, 1752, 355—
360.
10.	L. Euler. Sur la vibration des cordes. Histoire de 1’Acad. royale
des sc. et des belles lettres de Berlin. Annee 1748, v. IV. Berlin,
1750, 69—85.= Opera omnia, Ser. II, v. 10, 63—77.
11.	L. Eulero. De ch ord is vibrantibus disquisitio ulterior. Novi Comm.
Ac. Sc. 1. Petr., v. XVI1, 1772 (1773), 381—409 = Opera omnia,
Ser. II, 11, Sect. 1, 62—80.
12.	J. D'Alembert. Recherches sur les vibrations des cordes sonores.
Opuscules mathematiques, v. I. Paris, 1761.
13.	J. L. Lagrange. Recherches sur la nature, et la propagation du son.
Miscellanea Taurinensia, t. I, 1759, pp. I— X, 1—112 = Oeuv-
res, t. 1, 39—148.
14.	H. И. Симонов. О первых исследованиях Ж. Даламбера и
Л. Эйлера по теории линейных систем дифференциальных урав-
нений с постоянными коэффициентами. «Историко-матем. ис-
след.» вып. IX. М., Гостехиздат, 1956, 789—803.
15.	J. L. Lagrange. Nouvel les recherches sur la nature et la propa-
gation du son. Miscellanea Taurinensia, t. II, 1760—1761 =
= Oeuvres, t. I. Paris, 1867, 151—318.
16.	J. L. Lagrange. Solution de diffcrents problemes de calcul inte-
gral. Miscellanea Taurinensia, t. Ill, 1762—1765.= Oeuvres,
t. I. Paris, 1867, 471—668.
17.	J. L. Lagrange. Oeuvres, t. XIII. Paris, 1882.
18.	J. L. Lagrange. Mecanique analytique. 2-e ed., t. I. Paris. 1811.
Sec. partie, sect. VI, art. 61, 62 = Oeuvres, t. XI (Русск. перевод:
Ж. Лагранж. Аналитическая механика. Т. I, II. М.— Л.,
Гостехиздат, 1950).
19.	Condorcet. Sur la determination des fonctions arbitrages qui
entrent dans les integrates des equations aux differences partiel-
les. Histoire de 1’Acad. r. des sci., Annee 1771. Paris, 1774,
49—74.
20.	P. S. Laplace. Memoire sur les suites. Histoire de 1’Acad. d. Sc.
d. Paris, 1779 (82), 207—309 = Oeuvres 10, 1—89.
21.	G. Monge. Memoire sur la construction des fonctions arbitraires
qui entrent dans les integrates des equations aux differences
partielles. Menioires de mathematique et de physique, presentes
181
a Г Academic Royale des Sciences, par divers savans. Annee 1773.
Paris, 1776, 267—300.
22.	Arbogast. M emoire sur la nature des functions arbitrages qui
entrent dans les integrates des equations aux differentielles par-
tielles. St. Petersbourg, 1791.
23.	D’ Alembert. Sur les fonctions discontinues. Opuscules math.,
t. VIII. Paris, 1780, 302—308.
24.	А. П. Юшкевич. К истории спора о колеблющейся струне (Да-
ламбер о применении «разрывных» функций). «Историко-матем.
исслед.», т. XX. М., «Наука», 1975, 221—231.
25.	Е. В. Christoff el. Untersuchimgen fiber die mit deni Fortbestehen
linearer partieller Differentialgleichungen vertraglichen Uns-
tetigkeiten. Ann. di Matem. Рига et Applic. (II), 8, 81—112
(1877) = Werke, 2, 51—80.
ВИТО ВОЛЬТЕРРА
Е. М. Полищук
Выступая 17 октября 1946 г. на общем собрании Италь-
янской академии наук (Accademia Nazionale dei Lincei),
посвященном возобновлению ее деятельности после вой-
ны, президент Академии Гвидо Кастельнуово назвал Ви-
то Вольтерра великим сыном Италии, гордостью мировой
науки.
В наше время интенсивного потока научной информа-
ции, когда оригинальные результаты стареют так быстро,
ссылки на работы Вольтерра, написанные много десятков
лет тому назад, не перестают появляться. Это обусловле-
но не только их богатым идейным содержанием и большой
творческой фантазией Вольтерра, но и тем, что, разраба-
тывая математические теории, Вольтерра не отрывался
от их физических основ и во многих работах, наряду с
преодолением аналитических трудностей, старался до-
водить результаты до экспериментальных проверок.
Он отдал много сил просветительской и организатор-
ской деятельности, был человеком непреклонных нравст-
венных принципов и доказал, что ради них готов риско-
вать не только своим благополучием, но и самой жизнью Ч
Вито Вольтерра родился 3 мая 1860 г. в Анконе. Его
отец — коммерсант по продаже тканей Абрамо Вольтер-
ра — умер, когда Вито не было еще двух лет, пе оставив
почти никаких средств. Вся тяжесть воспитания ребенка
легла на плечи его матери Анджелики Альмалья и ее бра-
та Альфонсо, очень полюбившего «пикколо» (маленького)
Вито и заменившего ему отца в годы детства и юности.
1 Подробное изложение вопросов, о которых говорится в данном
очерке, будет дано в книге: «Вито Вольтерра. Жизнь и творчест-
во», над которой в настоящее время работает автор. Я призна-
телен А. П. Юшкевичу за интерес, проявленный к моей работе,
а также Эдоардо Вольтерра (Римский университет) за предо-
ставление материалов о его отце и Ф. А. Медведеву за сделан-
ные им замечания.
183
Они поселились в Турине, где Альфонсо Альмалья
работал в должности чиновника местного банка, а после
того как Вито окончил начальную школу, переехали во
Флоренцию, где определили его в техническое училище
«Данте Аллигиери» при институте «Галилео Галилей».
Рассказывали, что Вито рос робким, довольно замкну-
тым мальчиком. Склонности к математике, механике и
творческие способности обнаружились в нем необычайно
рано. К 12 годам он проштудировал знаменитые тогда
курсы — «Арифметику» Бертрана и «Геометрию» Лежанд-
ра, а 14-ти лет, прочитав роман Жюль Верна «Путешест-
вие на луну», он попытался произвести расчет траектории,
по которой летели герои этого романа. Через много лет,
на лекции в Сорбонне по задаче трех тел, Вольтерра ска-
зал своим слушателям, что один из изложенных им резуль-
татов был навеян идеей его юношеской работы. Вообра-
жаемая траектория в ней разбивалась на последователь-
ность мелких дуг, каждая из которых приближенно заме-
нялась параболой.
Плата за обучение в училище «Данте» была довольно
высокой, а скромного жалованья Альфонсо Альмалья ед-
ва хватало на пропитание его семьи и Вито с матерью.
Мальчик часто бывал вынужден помогать дяде, работая
в банке и разъезжая с его поручениями. Но этого было не-
достаточно, и настал день, когда Вито пришлось смирить-
ся с мыслью об оставлении училища. Он успел все же ус-
пешно сдать большинство экзаменов и на одном из них
обратил на себя внимание физика Антонио Роити — про-
фессора института «Галилей». Роити решил помочь маль-
чику и определил его препаратором на свою кафедру.
Кроме того, он познакомил Вито с инженером путей сооб-
щений Эдоардо Альмалья — однофамильцем его матери
и будущим свекром Вольтерра. Инженер Альмалья уст-
роил Вито на платную работу по расчету строительных со-
оружений, которые он осуществлял. Это позволило юноше
закончить училище и накопить необходимую сумму денег
для поступления в университет.
В 1878 г. Вито Вольтерра направляется в Пизу для
обучения там физико-математическим наукам в Нормаль-
ной школе. Он не случайно выбрал именно этот город.
В’то время там работали Улиссе Дини и Энрико Бетти, ко-
торые вместе с Эуджению Бельтрами, проживавшим в
Риме, справедливо считались самыми крупными итальяп-
184
скими математиками того времени. Все они, кроме того,
были прекрасными лекторами.
Дини известен своими работами по теории функций
вещественной переменной, гармоническому анализу, ана-
литической теории дифференциальных уравнений.
Бетти был очень яркой личностью. Ветеран войны за
независимость Италии (в молодости он служил в войсках
Джузеппе Гарибальди), Бетти был также видным органи-
затором итальянской пауки. Круг его собственных науч-
ных интересов во многом был близок проблемам, зани-
мавшим Б. Римана, с которым Бетти находился в перепис-
ке, а затем дружил в дни пребывания в Италии великого
немецкого математика. В молодости Бетти занимался ал-
геброй, а позднее выполнил ряд работ по многозначным
аналитическим функциям. Он одним из первых понял роль
комбинаторной топологии в геометрической теории функ-
ций и ввел понятия, которые Пуанкаре впоследствии наз-
вал (в значительно более общей форме) «числами Бетти»
и «группами Бетти». Начиная с середины 60-х годов Бет-
ти очень успешно работал в области теории упругости и
уравнений математической физики.
Этим двум своим учителям Вольтерра и обязан в пер-
вую очередь. Некоторые их работы явились отправными
пунктами его творческого пути.
Среди товарищей Вольтерра по пизанскому универси-
тету были математики, впоследствии ставшие академика-
ми,— Луиджи Бианки и Карло Сомильяна. В те же годы
там учились будущие писатели Карло Пичиола и Гвидо
Маццони, а также Карло Новатти, впоследствии один из
крупных итальянских филологов.
Еще до поступления в Нормальную школу Вольтерра
познакомился с основами дифференциального и интеграль-
ного исчислений, по, прослушав лекции Дини по анализу
и дифференциальным уравнениям, он по-новому осмыс-
лил основы этих дисциплин. Вскоре 20-летний студент
Вито Вольтерра представляет своим учителям ряд резуль-
татов по анализу, которые сразу же были одобрены и опуб-
ликованы. О том, насколько удачны были эти опыты, сви-
детельствует тот факт, что и сейчас, более чем через 90
лет после появления работ [1, 2], в литературе встречают-
ся ссылки на них.
В первой (1881) доказан ряд теорем о точечно разрыв-
ных функциях. Вторая работа (1881) начинается с ответа
185
на вопрос, поставленный Дини: верно ли, что всякая огра-
ниченная па замкнутом промежутке а х Ъ функция,
имеющая на нем примитивную, интегрируема на [а, Ь] по
Риману? Построив тонкий контрпример, Вольтерра по-
казал, что это вообще пе так 2. В пей содержатся также тео-
ремы, посвященные распространению теории интеграла
Римана на функции, определяемые дифференциальными
уравнениями. Так, рассматривая систему уравнений на
некотором промежутке изменения аргумента, Вольтерра
строит мажоранты и миноранты неизвестных функций, ана-
логичные верхним и нижним суммам Дарбу. Отсюда по-
лучается условие существования решения (вообще говоря,
разрывного), аналогичное условию существования рима-
новского интеграла.
Почти одновременно с этими двумя работами появля-
ется большой мемуар Вольтерра «О некоторых характе-
ристических свойствах функций комплексного перемен-
ного» [4], посвященный применению их к краевой задаче
в двумерной области в случае, когда на одной части ее
границы задано значение неизвестной функции, а па дру-
гой — значение ее нормальной производной. Вольтерра
достигает цели, искусно комбинируя метод Римана
в теории функций с комплексным анализом. Попутно он
получает в новой записи некоторые теоремы Г. Шварца о
гармонических функциях, а также один результат о гра-
ничных свойствах аналитических функций в круге, дока-
зываемый им с помощью тригонометрических рядов.
Но значение указанного мемуара этим не исчерпыва-
ется. Как известно, одна из основных граничных задач
теории аналитических функций — «проблема Гильберта»—
заключается в следующем. Требуется найти функцию
/ (z) = и + iv, аналитическую в области D, при условии,
что на границе Г этой области выполняется соотношение
вида a ($) и (s) + b (s) v (s) = с (s), где Г, а,Ъ, с —
заданные функции, которые могут иметь разрывы. Как за-
метил И. Н. Векуа (1952), четкая постановка данной за-
дачи с указанием относительно возможного метода ее ре-
шения впервые была дана в этом мемуаре.
Его сменяет серия публикаций по различным вопросам
математической физики и гидромеханики, среди которых
2 См. например, А. Лебег [3, стр. 87—88]. В новейшей литературе
имеются также различные модификации этого примера.
186
следует особо отметить заметку «Об одной задаче электро-
статики» [5]. Появление ее можно считать рождением ин-
тегральных уравнений.
Как известно, эти уравнения, как обращения интег-
ральных преобразований различных частных видов, рас-
сматривали в первой половине XIX в. Лаплас, Коши,
Абель, Лиувилль. Заслуга Вольтерра состоит в том, что
он первым рассмотрел эту задачу для произвольного яд-
ра и понял, что она связана с особым классом функцио-
нальных уравнений. Позднее он сам оценит значение это-
го факта и подробно изучит «уравнения Вольтерра», до-
ведя их до того вида, в каком они впоследствии вошли в
учебники. А тем временем молодой ученый продолжает
интенсивно работать в разных направлениях.
Появляются его диссертация «Вопросы теории потен-
циала», удостоенная премии пизанского университета, ме-
муар «Некоторые задачи гидродинамики», две работы по
математической теории электролиза, работа по равновесию
фигур вращающейся жидкости, в которой снова использо-
ваны интегральные уравнения, заметки «Об изгибании по-
верхности» и «Об одном классе трансцендентных функций»
(обобщение одной теоремы Абеля).
1887-й год был ознаменован для Вольтерра получе-
нием профессуры и выходом ряда новых работ.— Это ме-
муар «Об основах теории линейных дифференциальных
уравнений» [6] и серия заметок «Функции, зависящие от
других функций» [7] (позднее Вольтерра [8] именовал их
функциями линий; этого термина он придерживался и
после того, как Адамар в 1900 г. ввел слово «функционал»).
Название мемуара, надо сказать, пе вполне удачное.
В сущности, в нем вводится и изучается понятие «продукт-
интеграла» (мультипликативного интеграла) от линейно-
го оператора A (t), заданного в виде (п X п) матрицы, эле-
менты которой aij (t) — функции, определенные на неко-
тором промежутке a b.
Пусть а = t0 <Z tr <Z ... < tn — b — какое-либо под-
разделение этого промежутка и Е — единичная матрица.
Вольтерра составляет произведение
п
= Ц (Е + А (£0 A/fc),	<tk,
(1)
A^a — tk —
1S7
Если существует предел lim лп = Т (а, Ь) при п -> оо,
А//г —> О, он называется левым продукт-интегралом. Ес-
ли множители в (1) записаны в обратном порядке, мы по-
лучаем правый продукт-интеграл Т (а, Ь). При соответ-
ствующих условиях устанавливается существование ин-
теграла Т (а, Ь). Одновременно вводятся левая и правая
продукт-производные:
DA = lim (А/)"М (t + А0 A'1 (Z),
DA = lim (ДО"1 Л (О A'1 (t 4- ДО-
Af-Я)
Доказывается, что
DT (a, t) = А (О, DT = A (t).
Несложные преобразования приводят Вольтерра к пред-
ставлению продукт-интеграл а в виде некоторого ряда
(этот ряд, называемый иногда матрицантом, незадолго перед
этим встретился в одной работе Пеано). Откуда сразу сле-
дует равенство dT = А (/) Т (a, t), показывающее связь
интеграла Т с системами линейных дифференциальных
уравнений. Несколько менее интересными представляются
остальные страницы мемуара, посвященные криволиней-
ному и двойному продукт-интегралам, а также распрост-
ранению на них формулы Грина.
)ьИ Еще тогда Вольтерра наметил построение продукт-ин-
теграла в комплексной области. Развернутое изложение
относящихся к этому идей он опубликовал позднее. Оп-
ределяя по той же схеме интеграл от матрицы, зависящей
от комплексного аргумента, Вольтерра во втором мемуа-
ре [9] получил для него аналог теоремы Коши (интеграл
по замкнутому контуру от матрицы с голоморфными эле-
ментами — единичная матрица), теорию вычетов, теорию
абелевых интегралов и ряд других фактов теории функций
комплексного переменного. В этих пунктах результаты
Вольтерра имеют точки соприкосновения с замечательны-
ми работами И. А. Лаппо-Данилевского, выполненными в
Ленинграде в 20—30-х годах нашего века. Материал о си-
стемах линейных уравнений в комплексной области из
второго мемуара Вольтерра о продукт-интеграле можно
рассматривать лишь как первый шаг по сравнению с дале-
188
ко идущей теорией Лаппо-Данилевского. Однако само по-
нятие вольтерровского продукта-интеграла оказалось пло-
дотворным и имело дальнейшую любопытную историю.
Из определения интеграла Т (а, Ь) следует его мульти-
пликативность Т (а, с) Т (с, Ъ) = Т (а, Ь), а с Ъ. Ес-
ли Т — стохастическая матрица, т. е. матрица с неотри-
цательными элементами, такая, что сумма чисел, стоящих
в каждой ее строке, равна единице, то последнее равенст-
во представляет собой известное соотношение теории це-
пей Маркова, справедливое также при замене A (t) интег-
ральным оператором для марковских процессов общего
вида и известное под названием уравнения Колмогорова —
Чепмена (1931).
В 1932 г. известный специалист по функциональному
анализу и теории вероятностей М. Фреше, хорошо знав-
ший многие работы Вольтерра, сообщил ему, что незадол-
го до этого чешский математик Богуслав Хостинский под-
робно исследовал аналитические вопросы, связанные с
уравнением Колмогорова — Чепмена и использовал при
этом ряды типа вольтерровских матрицантов (при этом
единичная матрица заменялась 6-функцией Дирака).
В результате контактов Вольтерра и Хостинского воз-
никла их монография «Инфинитезимальные линейные
преобразования», вышедшая в Париже в 1938 г. [10]. В
этой книге почти без изменения воспроизведены оба ме-
муара Вольтерра, посвященные продукт-интегралу3 , и
содержится также ряд оригинальных результатов Хостин-
ского.
Если подход Вольтерра к интегральным уравнениям в
середине 80-х годов носил еще неосознанный характер, то
заложенные с 1887 г. основы анализа функций линий быст-
ро приняли довольно законченный вид. Уже в первой за-
метке [7] на эту тему Вольтерра достаточно четко опреде-
ляет понятие функционала, ограничиваясь их рассмот-
рением в пространствах непрерывных функций (что было
естественным для того времени), вводит понятие вариа-
ционной (функциональной) производной, устанавливает
теорему, дающую выражение вариации функционала че-
рез его производную, рассматривает аналог функциональ-
ного ряда Тейлора. В следующей заметке [7] было показа-
но, что не только дифференциальные, но и интегральные
3 См. [6, 9].
189
и интегро-дифференциальные уравнения могут быть полу-
чены приравниванием нулю вариации подходящего функ-
ционала. Там же было впервые введено понятие уравнения
в вариационных производных.
Можно сказать, возникла ситуация, когда исходная
идея оказалась настолько плодотворной, что ее развитие
на первых этапах не потребовало преодоления особых тех-
нических трудностей. Вместе с тем Вольтерра находит но-
вые оригинальные пути дальнейшего развития теории
функций линий.
В XII томе журнала «Акта математика» (1889) появля-
ется его мемуар «О некоторых обобщениях теории функ-
ций комплексного переменного» [11]. В последующие го-
ды Вольтерра неоднократно печатал свои работы в этом
журнале. С его основателем и редактором Г. Миттаг-Леф-
флером он познакомился еще в 1881 г., когда шведский
математик приезжал во Флоренцию. Впоследствии они
много раз встречались и до конца жизни Миттаг-Леффлера
(1928) оставались близкими друзьями.
В названном мемуаре рассматриваются комплексные
функционалы, зависящие от пространственных замкну-
тых кривых (циклов). Вводится понятие производной та-
кого функционала в данной точке М кривой по заданному
в ней двумерному направлению. Два функционала называ-
ются изогенными в М, если отношение их производных не
зависит от выбора направления 4. Достаточно, чтобы пос-
леднее имело место для любых трех взаимно перпендику-
лярных направлений. Определение Вольтерра несомнен-
но было навеяно известными идеями Э. Бельтрами о па-
рах комплекснозначных функций, монотонных па данной
поверхности. Условия изогепности приводят к уравнениям,
играющим здесь роль уравнений Коши — Римана. Хотя
они оказались мало похожими на классические уравнения,
носящие это название, Вольтерра, ограничиваясь адди-
тивными функционалами, сумел обнаружить связи этой
теории с аналитическими функциями одной и нескольких
переменных. Он получил аналог теоремы Коши — Пуан-
каре и доказал также такую теорему: если функционал,
изогенный некоторому другому функционалу, обращает-
ся в нуль на всех циклах, лежащих па замкнутой гладкой
4 Исходные положения этой работы изложены в начале статей
[12] и [13].
190
поверхности, то он равен нулю и па всех циклах, находя-
щихся внутри нее.
Опубликованные одновременно в докладах Итальян-
ской академии наук заметки Вольтерра по обобщению тео-
рии изогенных функционалов на пространства высших
размерностей не содержали каких-либо существенно но-
вых идей, по примечательны некоторыми теоремами о ко-
сосимметрических тензорах и формах Пфаффа. Эти теоре-
мы, восходящие к предыстории тензорного анализа, неод-
нократно цитировались, например, в книге Схоутена [14].
Период пребывания Вольтерра в Пизе (1878—1892)
завершается двумя большими циклами работ. Первый из
них относится к вариационному исчислению, второй — к
уравнениям распространения волн и связанному с ними
принципу Гюйгенса.
В работах первого цикла на функционалы, заданные
кратными интегралами, распространяется теория Гамиль-
тона — Якоби. Гамильтоновы уравнения динамики заме-
няются уравнениями в частных производных «гамильто-
нового типа». Вольтерра показывает, что в одном частном
случае они совпадают с уравнениями Бетти, описывающи-
ми напряженное состояние в упругих непрерывных сре-
дах. Далее рассматривается та же задача, по для вариа-
ций интегралов с подвижными границами. Эти границы
представляют собой некоторые замкнутые многообразия,
в простейшем случае — одномерные циклы, и условия эк-
стремума записываются в виде уравнений, содержащих ва-
риационные производные. Вольтерра подчеркивает, что
это существенно новый класс уравнений по сравнению с
полученными им ранее интегральными и интегро-дифферен-
циальными уравнениями. Наконец, вариационное исчис-
ление применяется к физическим задачам, главным обра-
зом к теории электромагнитного поля. В более позднее
время Вольтерра неоднократно возвращался к теоретиче-
ским вопросам электродинамики и посвятил им большое
количество работ. Несмотря на содержащиеся в них кра-
сивые преобразования, эти работы не стали заметной ве-
хой в развитии вопроса. Теперь всем известно, что для это-
го требовались существенно новые идеи,— те, которые
привели в начале XX в. к созданию специальной теории
относительности. В ряде работ первого цикла Вольтерра
приходит к волновым уравнениям. Исследование их соста-
вляет содержание работ второго цикла.
191
Центральное место в нем занимает известный мемуар
1892 г. «О колебаниях света в кристаллической среде»
[15]. В нем изучаются уравнения
9 д	I	ду	до	\	79 д	/	дю	ди	\	д2и '
С2 -т—	----Н--------------------3— =	,
ду	\	ду	дх	/	dz	\	дх	dz	/	dl2
dz	\dz	ду)	дх	1	ду	дх	) ~ dt2 '	'	'
, 9 д / дю	ди \	9 д / до	дю \ д2ю
Ь“ -у— Н-----7— — a Sr- Н--------,
дх	\	дх	dz	/	ду	\	dz	ду	/	dt2
выведенные еще в первой половине XIX в. Ламе в его лек-
циях по теории упругости. При этом ставится не задача
Коши, а не менее трудный вопрос: найти (и, г, w) по за-
данным их значениям для двух моментов времени Z', t".
Несмотря на прогресс в изучении этих уравнений, свя-
занный с именами Ламе, Вебера, Вейерштрасса и особен-
но С. В. Ковалевской, правильные их решения к тому
времени не были получены.
В начале мемуара Вольтерра показывает, что ошибки
его предшественников были обусловлены тем, что они не
учитывали многозначности, связанные со спецификой за-
дачи (так, волновая поверхность здесь задается алгебраи-
ческим уравнением четвертого порядка
+ + = ^ = ^ + ^ + ^).
Используя эллиптические функции и выбрав удачным
образом систему координат («координаты Вебера»), Воль-
терра, после ряда тонких преобразований, преодолел все
трудности и получил верное решение (русский перевод
части этого мемуара помещен в виде дополнения к кни-
ге [16]).
Все остальные работы этого цикла посвящены волно-
вым уравнениям в изотропной среде. В первой из них из-
вестная формула Кирхгофа решения волнового уравне-
ния в трехмерном пространстве распространяется па ци-
линдрические волны. Вольтерра показывает, что из выве-
денной им формулы получается, в частности, выражение
Гельмгольца для распространения звука в трубах. Более
подробно цилиндрические волны изучаются в работе [17].
Содержащиеся в ней результаты (фундаментальные ре-
шения, интегральные представления) стали классически-
192
ми и вошли во многие учебники математической физики.
К этому же циклу примыкают четыре ^лекции Вольтер-
ра о принципе Гюйгенса, напечатанные в^журнале «Nuovo
Gimento», т. 31—33, 1892 г. В предисловии Вольтерра про-
сит рассматривать их как продолжение напечатанных ра-
нее там же лекций Бельтрами, Кирхгофа и Пуанкаре по
уравнениям математической физики.
В целом, Вольтерра внес большой вклад в математиче-
скую теорию распространения волн. Им был решен до кон-
ца ряд трудных конкретных задач в этой области и выяс-
нен ряд принципиальных вопросов: развит метод характе-
ристик; выявлено, к каким особенностям приводит задание
граничных значений на характеристических поверхнос-
тях; исследован принцип Гюйгенса в пространствах выс-
ших размерностей; независимо от других авторов разрабо-
тан вопрос о волновых потенциалах и т. д. Значение этих
результатов Вольтерра отметил Ж. Адамар в своих из-
вестных книгах по проблеме Коши и теории волн.
Последней статьей Вольтерра, написанной в Пизе, был
некролог памяти Э. Бетти (1823—1892). С большой тепло-
той рисует он облик своего учителя и замечательного че-
ловека.
В 1892 г. Вольтерра переезжает в Турин, где до 1899 г. за-
нимает в университете кафедру механики и теоретической
астрономии, оставленную Сиаччи. Шестилетний период
пребывания в Турине был для Вольтерра исключительно
плодотворным. Первое время, наряду с чтением лекций по
аналитической механике, он продолжает исследования по
теории волн и возвращается, в частности, к задаче распро-
странения света в кристаллической среде, посвящая ей
большой мемуар 1894 г. [18]. В этой работе рассматривает-
ся задача Коши для уравнения (2), дается для него трак-
товка вопроса о характеристиках и принципе Гюйгенса.
Одновременно Вольтерра приступает к систематиче-
ской разработке теории линейных интегральных уравне-
ний с переменным верхним пределом. Этой проблеме он
посвятил ряд заметок в 1896 г. и статью «О некоторых воп-
росах обращения определенных интегралов» [19]. Послед-
ней он предпосылает введение, в котором излагается исто-
рия вопроса об обращении интегральных преобразований.
Среди других ученых Вольтерра называет здесь Н. Я.
Сонина, исследовавшего обобщенное уравнение Абеля —
Лиувилля, и А. В. Летникова, занимавшегося аналогич-
7 Историко-математ. исслед., в. XXI	193
ной задачей в вещественной и комплексной области в свя-
зи с производными дробного порядка.
Вольтерра начинает с уравнения первого рода
X
(р (х) = J К (х, t) / (t) dt,
а
но быстро сводит их к уравнениям второго рода
х
f{x)— j К (х, t) / (t) dt -{-'Ф (ж)
а
и получает решения последних в виде ряда по композициям
ядра К уравнения. Он обнаруживает, что этот ряд равномер-
но сходится в любой конечной части пространства, вводит
понятие о резольвенте уравнения и об уравнении, союзном
с данным. Тут же было доказано, что решение интеграль-
ного уравнения может быть получено из решения системы
п линейных алгебраических уравнений с треугольной мат-
рицей предельным переходом при п -> се.
В одной из заметок было показано, что задача Коши
для линейного дифференциального уравнения любого по-
рядка с переменными коэффициентами может быть сведе-
на к интегральному уравнению. Были также рассмотрены
некоторые сингулярные интегральные уравнения и раз-
личные обобщения (системы уравнений, уравнения с крат-
ными интегралами и т. д.).
Этим самым в 1896—1897 гг. была построена теория
«интегральных уравнений Вольтерра» в таком виде, в ка-
ком мы ее встречаем в учебниках до середины XX в.
Работа Вольтерра на кафедре и контакты его с турин-
скими астрономами (тамошняя обсерватория в то время
считалась одной из лучших в Италии) стимулировали его
интерес к вопросам астрометрии и небесной механики.
Вскоре он занялся одной трудной задачей о движении
земных полюсов.
Во второй половине XIX столетия астрономы обнару-
жили, что широты в одних и тех же точках земной поверх-
ности не остаются постоянными, а претерпевают еле за-
метные регулярные колебания. Отклонения от равновесия
в диаметрально противоположных точках, находящихся
на одной параллели, при этом равны по абсолютной вели-
чине и противоположны по знаку. Не подлежало сомне-
нию, что эти колебания вызываются смещениями мгновен-
194
ной оси вращения земной поверхности. Эти смещения, как
было показано еще Эйлером, сами носят колебательный
характер. Найденный Эйлером период колебаний земной
оси составлял 10 месяцев (этот результат впоследствии был
подтвержден в вычислениях других авторов; история воп-
роса подробно изложена в классическом трактате Тиссе-
рана по небесной механике).
Предлагались различные гипотезы для объяснения
этого явления — вулканические причины, изменения уп-
ругих и пластических свойств земной коры и т. п. Но все
они были признаны несостоятельными, так как имеют
случайный, непериодический характер.
Вольтерра выдвинул предположение, что смещения
земной оси вращения могут быть вызваны постоянными
действиями, подобными морским течениям, движениями
вод в реках, испарениями и последующими конденсация-
ми водяных паров — причинами, которые можно предста-
вить как регулярные смещения материи, оставляющие поч-
ти неизменными распределение массы в самой земле. Что-
бы учесть эти факторы, Вольтерра [20] обобщил уравне-
ния Эйлера вращения твердого тела, добавив к ним члены,
характеризующие внутренние движения вод, не меняю-
щие распределение на земле массы в целом:
А 4? + — Б)qr + m'iq ~ = °’
В^ + (А~ C)rp + m1r — m3p = 0, >
с 4г+(в~pq+т2р ~ miq=°-
(3)
Известно, что даже при отсутствии введенных Воль-
терра добавочных слагаемых (т1 = т2 = т3 = 0) иссле-
дование этой системы, которой кроме Эйлера занимались
Лагранж, Пуансо, С. В. Ковалевская и другие, представ-
ляет значительные трудности. Поэтому можно предста-
вить себе сложность поставленной Вольтерра задачи. От-
носящиеся к этому его результаты, опубликованные в ря-
де предварительных заметок, были суммированы в гран-
диозном мемуаре [21], появившемся в 1898 г.
Первые четыре его главы посвящены изучению движе-
ния твердого тела, в котором происходят стационарные
перемещения жидких масс (в первой главе — геометриче-
ское исследование в духе Пуансо, в следующих трех —
7*
195
анализ обобщенных уравнений Эйлера), в пятой главе
находятся приближенные решения этих уравнений и они
сопоставляются с результатами наблюдений английского
астронома Чендлера (1896), которым были обнаружены
колебания земной оси с периодом 430 дней. Как показал
Вольтерра, если принять, что составляющая момента па-
ры, характеризующей результирующую внутренних дви-
1
жении по земной оси, равна ^3 , то из выражения, дающе-
го период Чендлера, получится найденный Эйлером пери-
од — 300 дней.
Примерно в то же время Вольтерра опубликовал две
работы под несколько необычным названием «О потоке ме-
ханической энергии». Они были навеяны исследованием
Пойнтинга об электромагнитных волнах. В названных ра-
ботах сделана попытка рассмотрения гравитационного
поля, обусловленного наличием двух движущихся масс,
каждая из которых испытывает упругие деформации.
В 1900 г. итальянская, да и не только итальянская,
наука понесла большую потерю: в возрасте 64-х лет в Ри-
ме скончался Эудженио Бельтрами.
Бельтрами еще в молодости выдвинулся в число са-
мых крупных геометров мира (достаточно назвать его зна-
менитую интерпретацию геометрии Лобачевского на по-
верхностях постоянной отрицательной кривизны), а впо-
следствии много и очень плодотворно работал в области
аналитической механики и математической физики.
Адресованное Вольтерра приглашение занять в рим-
ском университете кафедру такого ученого, как Бельтра-
ми, а также избрание его в 1899 г. действительным членом
Академии наук Италии явилось признанием его больших
научных заслуг.
По древней традиции многих западных университетов,
новоизбранный руководитель кафедры произносит речь,
в которой освещаются перспективы развития той или иной
близкой ему области. Речь Вольтерра носила довольно
необычное для того времени название: «О некоторых воз-
можностях применения математики в биологии и эконо-
мике».
Приложения математики к биологии до этого ограни-
чивались в основном элементарной статистикой; это же
относится и к экономике. В своей речи Вольтерра наметил
пути применения к этим дисциплинам такого испытанно-
196
го аппарата математического анализа, как дифференциаль-
ные уравнения.
Математико-биологические идеи, затронутые в этой
речи, были подробно развиты Вольтерра через 30 лет и
явились предметом его плодотворного сотрудничества с
рядом итальянских экологов.
Переезд Вольтерра в Рим совпал с важным событием
в математике — Вторым международным математическим
конгрессом, состоявшимся.в Париже в 1900 г., на котором
37-летний Д. Гильберт сформулировал свои знаменитые
проблемы 5.
Выше уже говорилось, что Вольтерра решил, в част-
ности, задачу о распространении света в кристаллической
среде, которая не поддавалась усилиям некоторых крупных
математиков. Однако по характеру своей творческой дея-
тельности его больше тянуло к самостоятельной постанов-
ке новых задач (особенно связанных с естествознанием) и к
созданию для них оригинальных методов решения. Так или
иначе, но круг гильбертовых проблем остался в стороне от
идей Вольтерра.
Находясь в Турине, Вольтерра активно участвовал
в работе муниципалитета, был одним из основателей тамош-
ней Политехнической школы. После переезда в Рим его
общественная деятельность развернулась в полной мере.
Он становится председателем и членом ряда правительст-
венных комиссий, а также комиссий Академии наук по
реформе среднего и высшего образования, членом нацио-
нального бюро Италии по вопросам изобретений, членом
международного комитета по изучению и использованию
радиоактивности, возглавляет вместе с Форелем (Австрия)
международную организацию по изучению сейшей в
озерах.
Он очень живо реагировал на все события международ-
ной жизни, особенно те, которые касались его родины.
В 1905 г. Вольтерра становится сенатором и с тех пор
неизменно переизбирается в сенат.
В 1900 г. он женился на Вирджинии Альмалья. Она была
верной и достойной подругой своего мужа до конца его
5 На конгрессе было прочитано два доклада по истории математи-
ки. Один — известным историком математики Морисом Канто-
ром, другой — Вольтерра. Кроме того, Вольтерра прочитал
на Конгрессе доклад «О задаче Пуассона для гиперболических
уравнений».
197
жизни, сопровождала его в частых и далеких путешестви-
ях, неизменно помогала в оформлении его работ. Она пе-
реписала и напечатала на машинке такое количество ли-
стов, вписала так много формул, что ученый шутя говорил:
титры В. Вольтерра на моих статьях означают не Вито,
а Вирджиния Вольтерра.
Пристрастие Вольтерра к путешествиям позволяло
ему непосредственно общаться со множеством коллег
в разных концах земного шара. По приглашению Г. Мит-
таг-Леффлера он дважды побывал в Швеции. «Стокгольм-
ские лекции» Вольтерра 1906 г. были одно время весьма
популярны и несколько раз переиздавались. Вольтер-
ра побывал в Германии, Австрии, Швейцарии, заводит
в Англии дружеские контакты с Уиттекером и другими
механиками-аналитиками. В 1909 г. он совершает первую
поездку в США, а в 1912 г. приезжает туда вторично на
торжества по случаю открытия университета Райса (Хью-
стон, штат Техас). Вольтерра прочитал в этом универси-
тете шесть лекций по интегральным уравнениям и их при-
ложениям.
Особенно часто он бывал в Франции, которую очень
любил и считал своей второй родиной. Здесь у него было
особенно много друзей.
По рассказам Эдоардо Вольтерра, его отец прекрасно
знал французскую литературу, старую и новую, любил
также многих английских писателей. Он с увлечением
читал на французском языке все произведения Л. Н. Тол-
стого, многие романы Ф. М. Достоевского и И. С. Турге-
нева, интересовался литературной критикой, особенно
ценил Сент Бева. В его библиотеке было полное собрание
сочинений очень любимого им Э. Ренана. Он интересовался
историей, особенно новой, историей искусств, был цени-
телем скульптуры и живописи. В его загородном доме
в Аричче (близ Рима) находилась собранная им интересная
коллекция произведений искусства. Там же находилась
его библиотека, которую он собирал всю свою жизнь.
Вот, что еще говорит Эдоардо Вольтерра 6. «Музыка
была страстью моего отца. Он часто посещал оперу
и концертные залы. Его любимыми композиторами были
Бах, Беллини, Россини и Моцарт. Он интересовался твор-
9 В письме от 12 февраля 1971 г. к автору настоящей статьи.
1PF
чеством Вагнера и хорошо знал многие его произведения.
Отец очень любил природу и особенно горы. В молодости
он совершил ряд восхождений, в частности — к вершинам
Червино и Монте Роза.
С весны до осени он преимущественно жил и работал
в Аричче. Там его ежедневно можно было видеть, направ-
ляющегося на прогулку в лес и к озерам мимо старинных
романских замков».
С 1900 по 1914 г. научные интересы Вольтерра концент-
рируются преимущественно вокруг вопросов теории уп-
ругости, некоторыми задачами которой он занимался и ра-
нее. Результаты Вольтерра, полученные в названный
период,— создание теории дисторсий и теории остаточ-
ного действия — относятся к числу его наивысших дости-
жений.
В 1901 г. Вольтерра заинтересовался только что опуб-
ликованной заметкой И. Вайнгартена, в которой было по-
казано, что возможны случаи, когда упругое тело, не под-
верженное действию внешних сил (объемных или поверх-
ностных), может испытывать внутренние напряжения
(простейший пример — тор, у которого путем двух близ-
ких радиальных разрезов образована щель, а затем скле-
ены ее края). Вольтерра обратил внимание на то, что это
обусловлено топологической структурой, точнее, связно-
стью тела.
В серии работ, суммированных затем в общирном ме-
муаре [22], Вольтерра провел математический анализ
этого явления.
Отправным пунктом явились классические выражения
Кирхгофа для деформации с последующим использова-
нием формулы Стокса и хорошо известные в истории тео-
рии упругости условия Сент-Венана.
Первоначально Вольтерра ставит вопрос: могут ли
односвязные упругие тела, не подверженные внешним
силам, испытывать внутренние напряжения. Он показы-
вает, что это невозможно, если предположить, что со-
ставляющие тензора деформации дважды непрерывно
дифференцируемые функции (такое состояние Вольтерра
называет регулярным). Из аналогичных рассуждений, как
показывает Вольтерра на ряде примеров, следует, что,
в согласии с результатом Вайнгартена, в многосвязных
телах при аналогичных условиях возможны внутренние
напряжения.
199
I {Вольтерра подметил также гидродинамическую анало-
гию этого явления. Пусть имеется сосуд с твердыми непо-
движными стенками, заполненный жидкостью. Тогда, при
отсутствии вихрей, если сосуд односвязен, жидкость не-
подвижна, но она может находиться в движении, если тело,
занимаемое сосудом, многосвязно. Вольтерра провел очень
полный анализ теории для упругих полых цилиндров и
некоторых других тел. Изучая изменения деформации
в упругом многосвязном теле, возникающие после разре-
зов, обращающих его в одпосвязное тело, с последующим
соединением краев разреза, Вольтерра показал, что раз-
рывы деформации на склеенных краях характеризуются
для каждого разреза шестью «константами купюр».
Он выяснил смысл этих констант, а также вопрос о том,
в какой мере их априорное задание определяет упругое
состояние тела.
Законченный характер построенной теории естественно
поставил вопрос о ее экспериментальной проверке. Пер-
вая из них была проведена Вольтерра в 1907 г. на каучу-
ковых цилиндрах в сотрудничестве с инженерами фирмы
Пирелли в Милане. Вскоре инженер Ролла, используя
оптические методы, провел ряд экспериментов на трубках,
заполненных желатином. Дальнейшие, более точные опы-
ты были выполнены, также оптическими методами,
в 1909 г. в Риме профессором Корбино. Все они показали
хорошее согласие с аналитическими расчетами Вольтерра.
«Дисторсии Вольтерра», как принято теперь называть
внутренние напряжения в упругих многосвязных телах
при отсутствии внешних сил,— частный случай дисло-
каций, теория которых в настоящее время охватывает
широкий круг не только механических, но и электромаг-
нитных явлений.
Некоторые результаты теории дисторсий Вольтерра
рассматривал в сотрудничестве со своими соотечественни-
ками Э. Чезаро и К. Сомильяна. Последний получил
ряд дальнейших результатов в этом направлении.
Интересно, что при рассмотрении дисторсий Вольтерра
придумал весьма оригинальные модели гомеоморфных друг
другу трехмерных многообразий. Через 15 лет он расска-
зал о них в Париже молодому тогда американскому то-
пологу С. Лефшецу, который описал эти модели в сво-
ей известной книге по топологии алгебраических поверх-
ностей.
200
Теория остаточного действия, в том виде, какой ей
придал Вольтерра, являет собой пример физической те-
ории, выросшей в значительной степени на основе функци-
онального анализа. Несомненно, Вольтерра пришел к ней
в результате своих аналитических построений. Первая
работа в этом направлении принадлежала Л. Больцману,
показавшему на примере одной линейной задачи теории
упругости, что напряженное состояние тела с учетом оста-
точного действия может быть описано интегро-дифферен-
циальным уравнением (Больцман рассматривал эту за-
дачу также и с молекулярной точки зрения). Аналогичный
вопрос был рассмотрен Максвеллом, который, кроме того,
предложил метод его экспериментальной проверки, а
также — Кельвином и Фойхтом. Затем в период в 1906 по
1913 г. Вольтерра посвятил этой теории большое количест-
во работ, в которых проводил ту точку зрения, что диф-
ференциальные уравнения механики и электродинамики
сплошных сред являются лишь приближениями более
точных интегро-дифференциальпых уравнений, учитыва-
ющих остаточные «эредитарные» эффекты. Это обстоятель-
ство Вольтерра пытался возвести в общий принцип есте-
ствознания, который настойчиво отстаивал и до конца
жизни разрабатывал с разных точек зрения (последняя
его работа, оставшаяся незаконченной, называлась «Об
энергии остаточного действия»). Общая его идея состояла
в том, что уравнение, описывающее то или иное физи-
ческое явление, должно иметь вид
Df + Jf = 0,
где / (х, г/, z, t) — функция или вектор-функция, ха-
рактеризующая состояние тела (системы); D — диффе-
ренциальный оператор; Jf = F [/] — интегральный опе-
ратор, характеризующий предысторию системы, ее со-
стояние за интервал времени — оо т t (или £0 <
т t).
Этим самым для Вольтерра стало ясным, что именно
иптегро-дифферепциальные уравнения, которые еще ранее
встретились у пего в теории функций линий, призваны
служить математическим аппаратом теории остаточного
действия. Ему удалось построить довольно стройную
теорию широкого класса таких уравнений [23].
Рассматривая, в частности, вопросы распределения
напряжений в упругих телах различной формы, Вольтер-
201
ра пришел к трехмерным эллиптическим интегро-диффе-
ренциальным уравнениям и к системам таких уравнений.
Ему удалось преодолеть дополнительные серьезные (по
сравнению с аналогичными для дифференциальных урав-
нений) трудности, связанные, в частности, с нахождением
фундаментальных решений его уравнений, и получить
решения в виде рядов по композициям ядер, входящих
в уравнения (ядер, описывающих «эредитарные» эффекты).
Уже в первых работах были описаны основные свой-
ства таких рядов (выражаясь современным языком,— раз-
личные классы операторных функций, которые ими вы-
ражаются). Было замечено, что задача значительно упро-
щается, если входящие в уравнение ядра коммутируют.
Последнее, в частности, имеет место, если ядра зависят
только от разности аргументов. Вольтерра показал, что
этот случай представляет особый интерес, так как связан
с условиями замкнутого цикла — гистерезисной петлей
изучаемого явления.
В качестве примера одной из задач, рассмотренных
Вольтерра, можно привести краевую задачу для интегро-
дифференциального уравнения
t
Л miff 9ZU (Т) . ч , dzU (Т) ,	.
д“ J	А Р’г) +	V' Т) +
to
+ ^/з(«,т)]йт = 0,	(4)
где и (t) = и (х, у, z, t) и Au (f) — лапласиан по коорди-
натам X, у, Z.
Пусть * — операция композиции двух функций ср, ф:
t
<р*ф = J ср (t, g) ф (g, т) dl,
-г
причем a<^t,	Композиции функций ср, ср обозначают-
ся: ср*ср = ср 2 и т. д.
Вольтерра показал, что если известно фундаменталь-
ное решение v уравнения (4), то краевая задача для него
может быть, как и классическая задача Дирихле, решена
известным методом Грина.
Нахождение функции v, однако, далеко не просто.
Мы приведем лишь ее вид для случая, когда ядра, описы-
202
Ьающие остаточное действие, коммутируют, /2*/i,..»‘
v = -у-, г == Ух2 4- у2,4- z2,
~ -Н-г+О-(4-+4 с-
х = 2 ------—v —— \pn®> t)di,
п—1	-г
р(х, у, Z, т, t) -	т) + (v-)2f2(«. т) +
+ (-т-)27з(«. t),
Jiff, т) = Л (t, т) - /? (t, т) 4- /? (t, т) -... (i = 1,2,3).
Этот пример хорошо показывает, насколько данная
задача отличается от аналогичной классической, для ко-
торой фундаментальное решение есть просто 1/г.
Рассматривая ряды по композиции
ф(z, /) = aQ -ь a±zf 4- a2z2/2 4- a3z3/3 4- ...,
Вольтерра нашел для многих из них изящные теоремы
сложения ф (% + z2, /) - и [ф (zlt /), ф (z2, /)], анало-
гичные известным теоремам сложения для целых аналити-
ческих функций.
Одновременно он показал, что функции от композиций
позволяют получить в замкнутом виде решения обширных
классов нелинейных интегральных и интегро-дифферен-
циальных уравнений.
Ряд вопросов теории остаточного действия Вольтерра
рассматривал совместно со своими учениками и сотруд-
никами. Среди них в первую очередь следует назвать та-
лантливого, рано умершего, Лауричелли и уже тогда за-
рекомендовавшего себя работами по механике и тензорному
анализу Т. Леви-Чивиту. Дальнейшие, чисто математи-
ческие, вопросы Вольтерра рассматривал также с Ж. Пере.
Этот французский математик был одним из его самых рья-
ных поклонников. Он часто помогал своему учителю в
проведении вычислений и редактировании работ. Нельзя
не назвать также одного из любимых учеников Вольтерра —
американца Грифита Ивенса, работавшего у него в
Италии в 1909—1912 гг., автора ряда работ по интеграль-
ным и интегро-дифференциальным уравнениям.
203
Разумеется, Вольтерра отдавал себе отчет в роли экс-
периментальной проверки его концепций остаточного
действия. Здесь прежде всего возник вопрос об экспери-
ментальном нахождении ядер уравнения. Предваритель-
ные расчеты, необходимые для постановки эксперимента,
были проведены Вольтерра совместно с Леви-Чивитой.
Затем, в 1912 г., в США, в лаборатории Вебстера и Порте-
ра, были поставлены и сами опыты для некоторых частных
задач, которые показали удовлетворительное согласие
с теорией.
В полной мере значение теории остаточного действия
обнаружилось лишь почти через 40 лет, в связи с широ-
ким развитием теории ползучести, применением поли-
мерных материалов и других высокомолекулярных со-
единений, обладающих вязко упругими свойствами. В на-
стоящее время в этом направлении получено много новых
результатов, теоретической основой которых является со-
временная теория термовязкоупругости 7.
В 1912 г. в Париже, в серии математических моногра-
фий, редактируемых Борелем, выходит книга Вольтерра
«Лекции об интегральных и интегро-дифференциальных
уравнениях» [26]. В этой книге изложены основные факты
теории вольтерровских уравнений, а также теории Фред-
гольма, уравнений с постоянными пределами интеграла,
включая некоторые добавления автора к этой теории.
Уравнения Фредгольма, благодаря своему математи-
ческому содержанию и их красивым приложениям к за-
дачам Дирихле и Неймана, надолго заняли центральное
место в теории интегральных уравнений.
Вольтерровские уравнения принято было считать лишь
частным случаем уравнений Фредгольма. Важность по-
следних стала особенно понятной после выхода известных
работ Гильберта по интегральным уравнениям (1904—
1912), в которых было дано систематическое изложение
его теории уравнений с симметричным ядром на основе
метода собственных функций, сыгравшего впоследствии
большую роль в становлении общей теории линейных
операторов.
7 См. [24], где использованы также методы функционального ана-
лиза и приведена обширная библиография, включающая работы
по теории ползучести, также учитывающие эффекты остаточного
действия. См. также [25].
204
Впоследствии, однако, выяснилось, что интегральные
уравнения Вольтерра в рамках классических уравнений
математической физики имеют свою область аналогичных
приложений,— тесно связаны с динамическими задача-
ми. Мюнцем и другими в начале 30-х годов была построена
теория тепловых и волновых потенциалов (сами понятия
эти ранее были известны), в которой вольтерровские урав-
нения играют такую же роль, какую уравнения Фред-
гольма играют в стационарных краевых задачах, приво-
дящих к эллиптическим уравнениям.
В той же борелевской серии математических моногра-
фий в 1913 г. выходит книга Вольтерра «Лекции о функ-
циях линий» [27] — одна из первых монографий по функ-
циональному анализу. Она содержит изложение основных
идей Вольтерра по функциям линий; в ней подробно рас-
смотрены вопросы теории остаточного действия и многие
связанные с ними уравнения; большое место отводится
и методу композиций.
Более подробно теория композиций была изложена
в 1924 г. в совместной монографии Вольтерра и Пере
«Лекции о композициях и перестановочных функциях»
[28]. С современной точки зрения в ней содержится боль-
шой фактический материал по некоторым специальным
классам нормированных колец с равномерной нормой,
главным образом коммутативных.
В 1912 г., после операции, неожиданно скончался Анри
Пуанкаре. Вольтерра был горячим поклонником твор-
чества этого великого математика, механика и физика-те-
оретика. Он был глубоко потрясен его кончиной. «Un
uomo vale tanto pui quanto meno apprezza sa vita» — зна-
чение человека тем больше, чем меньше ценит он себя.
Это старинное изречение процитировал Вольтерра в сво-
ем некрологе о Пуанкаре. Как мы увидим ниже, имеются
все основания применить их и к самому Вольтерра.
Наш предыдущий рассказ в основном касался его
творчества. Но здесь нам предстоит коснуться обстоя-
тельств, которые делают биографию Вольтерра необычной.
С самого начала первой мировой войны Вольтерра вы-
ступает как ярый сторонник англо-русско-французской
коалиции. Определенную роль в этом сыграла его любовь
к Франции, которую он считал своей второй родиной.
Еще в предвоенные годы Вольтерра интересовался
некоторыми техническими вопросами воздухоплавания.
205
В 1915 г., после вступления Италии в войну, 55-лет-
ний ученый с мировым именем, академик, сенатор, наста-
ивает на отправке его на фронт и в чине лейтенанта за-
числяется в одну из итальянских авиационных частей.
Находясь на фронте, Вольтерра в течение двух лет делил
суровую судьбу итальянских военных летчиков. Вместе
с ними он многократно летал на несовершенных самолетах
того времени, не раз проявляя образцы отваги и мужества.
За один особенно ответственный полет на воздушном шаре,
едва не окончившийся трагически, он был удостоен выс-
шей итальянской военной награды — награжден желез-
ным крестом. Он удостаивается также звания капитана
авиации итальянской армии. В это же время он проводит
интенсивные исследования по аэронавтике и совершенство-
ванию бортовой артиллерии летательных аппаратов. По
утверждению Уиттекера, Вольтерра был первым, кто
предложил в воздухоплавании заменить водород гелием,
и первым, кто организовал производство гелия.
Он выполняет также ряд поручений командования
фронта и военного министерства, летает с ответственными
миссиями в Англию и Францию, посещает базы подводных
лодок в Тулоне и Гарвиче, предлагает конструкции гидро-
и аэрозвуковых локаторов. Испытания одного из этих
аппаратов он решился проводить в только что запятой
союзными войсками Гориции, еще находившейся под огнем
австрийских батарей.
Вместе со своими французскими коллегами — из-
вестными математиками Э. Б орел ем и П. Пенлеве (вто-
рой из них в военное время был министром, а затем премь-
ер-министром Франции)— Вольтерра не раз бывал на пе-
редовых позициях франко-германского фронта. Во время
одной из военных миссий Вольтерра в Лондон английские
друзья устроили ему сюрприз. Когда он после утомитель-
ного рабочего дня вернулся в отведенную ему комнату,
он увидел, что ее стены увешаны прекрасно выполненными
рисунками моделей, иллюстрирующих его теорию дистор-
сий. Вольтерра был тронут этим вниманием и потом часто
о нем вспоминал.
Ряд работ Вольтерра по аэронавтике и артиллерии был
впоследствии опубликован в специальных журналах.
Перенесенные в годы войны тяжелые физические испыта-
ния привели в 1919 г. к серьезному сердечному заболева-
нию, на время оторвавшему Вольтерра от работы. Все же он
206
решается осенью этого года совершить новую поездку
в Соединенные Штаты, где читает в г. Беркли цикл лекций
по электродинамике. Они вскоре были там же изданы от-
дельной книгой «О потоке электромагнитной энергии»
[29]. В этой небольшой монографии дается построение
электродинамики в криволинейных координатах на основе
вариационного принципа и методов тензорного анализа.
В 1920 г., в связи с шестидесятилетием Вольтерра,
в Болонье выходит его книга «Эссе о науке» [30]. В ней
собраны статьи Вольтерра о многих ученых (Бетти,
Бельтрами, Дини, Пуанкаре, Кельвине и др.), а также
его мысли о науке, искусстве, литературе.
20-е годы нашего века, как известно, были ознамено-
ваны зарождением направлений функционального анализа,
которым надолго суждено было стать магистральными —
абстрактные топологические пространства, спектраль-
ный анализ линейных операторов, банаховские простран-
ства. Все это несколько отодвинуло в сторону вольтер-
ровские «функции линий». Все же следует отметить такую
веху в их развитии, как теорию аналитических функцио-
налов Фантапье.
В серии работ, опубликованных начиная с 1924 г.,
ученик Вольтерра Луиджи Фантапье, оставаясь в рамках
конкретно аналитических построений, построил теорию
функционалов в пространствах локально аналитических
функций одного и многих комплексных переменных и
указал ряд ее применений. Эти исследования были про-
должены большим количеством других ученых; Вольтерра
также посвятил им статью [31], в которой показал, что
некоторые исходные результаты Фантапье, относящиеся
к линейным аналитическим функционалам и опираю-
щиеся на интегральную формулу Коши, могут быть по-
лучены также применением теоремы Миттаг-Леффлера
о представлении мераморфной функции, полюсы которой
заданы.
За несколько лет до этого, в юбилейном томе матема-
тического журнала Лиувилля, посвященном 70-летию Эми-
ля Пикара (1928), был опубликован большой мемуар Воль-
терра «О математической теории остаточного действия» [32].
В нем для случая динамической системы п материальных
точек, описываемой линейными интегро-дифференциаль-
ными уравнениями, дается энергетическая трактовка
остаточного действия, рассматриваются вопросы устой-
207
чивости, периодичности решений, а также некоторые дру-
гие, не затронутые Вольтерра в его прежних публикациях.
Остальные страницы мемуара связаны с возникшим у
Вольтерра к тому времени интересом к некоторым вопро-
сам математической биологии, которым в основном было
посвящено его творчество в последние годы жизни.
Началось с того, что в 1925 г. биолог Умберто Анкона
показал Вольтерра обширный статистический материал,
свидетельствующий о колебаниях численности отдельных
видов рыб в Адриатическом море. Эти колебания носили
характер, близкий к периодическому, причем не было ос-
нований считать, что они являлись следствиями каких-ли-
бо периодических географических факторов. Анкона вы-
сказал предположение, что причиной их были взаимо-
действия в системе «хищник — жертва». Попытки Воль-
терра [33, 34] разобраться в этом вопросе привели его к
системе дифференциальных уравнений, являющейся ши-
роким обобщением уравнения Ферулста (1845):
= (7 — TV) ТУ,	7 = const,
динамики численности изолированной популяции.
Пусть в некоторой ограниченной изолированной об-
ласти сосуществуют п биологических популяций Аг,...,Ап
с численностями соответственно ,... ,7УП. Пусть Ni (/)—
функции, описывающие изменение численности популяции
А^ во времени. Уравнения, полученные Вольтерра (1926),
имеют вид
Здесь и ац — «константы скорости», характеризующие
изменение популяции А{ в отсутствие всех видов, кроме А^
а коэффициенты i — константы скорости, опи-
сывающие взаимодействие различных видов популяций.
Коэффициент р,- равен «весу» особи из популяции At.
Уравнения (5) выведены в предположении, что коэф-
фициент собственной рождаемости i-ro вида, удовлетво-
ряющий соотношению dNi — yiNidt, выражается равен-
ством yi = 8i —	т. е. линейно убывает с уве-
личением численности популяции.
20g
Кроме того, предполагается, что прирост численности
популяции за счет истребления ею популяции Aj
пропорционален что согласуется со статистически-
ми данными. При этом = — а#.
Для случая п = 2 (один хищник, одна жертва) си-
стема (5) совпадает с уравнениями, которые в вопросах
экологии и биофизики почти одновременно подробно рас-
сматривал А. Лотка.
В дальнейшем Вольтерра обобщил уравнения (5) так,
что они описывали и взаимодействие особей одной и той же
популяции. Он рассмотрел и более сложную модель,
t
введя в систему (5) интегральные слагаемые 3 J Nj (г)
3 о
(t, т)л]дгг(г), характеризующие действия среды на ор-
ганизм; он интерпретировал их как эффекты заражения.
Используя метод последовательных приближений,
Вольтерра доказал теоремы существования и единствен-
ности полученной системы интегро-дифференциальных
уравнений.
Так возникла очень интересная книга Вольтерра «Ма-
тематическая теория борьбы за существование» [35],
на которую и в настоящее время имеются многочисленные
ссылки в литературе по экологиитживотпых.
Ряд положений теории Вольтерра по динамике чис-
ленности популяций удовлетворительно согласуется с опыт-
ными данными. Например со статистикой колебания
численности пушных зверей в Канаде с 1845 по 1935 г.,
с экологическими данными А. Н. Северцова, У. Н. Томп-
сона и некоторых других. Г. Ф. Гаузе (1935) провел в
Москве интересные опыты по экспериментальной провер-
ке на бактериях некоторых выводов Вольтерра 8.
В последующих работах Вольтерра [37], исходя из
уравнений (5), стремится установить некоторые общие
положения, которые он называет биологическими зако-
лами.
Пусть щ — значения Nit для которых имеет место
8гРг + 2 агЗ^j = О
_____	3
8 Хорошее изложение биологических вопросов, относящихся к
теории Вольтерра и экспериментам Гаузе, имеется в книге [36].
?09
(центр равновесия, центр системы). Вольтерра формули-
рует, в частности:
Закон 1: независимо, от начальных данных фазовые
траектории системы (5) — замкнутые циклы, группирую-
щиеся вокруг центра (а19 . . . , ап).
Закон 2 (закон сохранения среднего): среднее от
Ni за любой интервал, равный периоду, равно (ц.
В дальнейшем Вольтерра показал, что его уравнения
могут быть записаны в лагранжевой форме и получены
путем приравнивания нулю вариации некоторого функ-
ционала, который он назвал демографическим действием.
Период увлечения Вольтерра проблемами динамики
численности популяций совпал с мрачной эпохой дикта-
туры Муссолини. Еще в 1922 г. Вольтерра распознал,
какую опасность Италии несет надвигающаяся угроза
фашизма. После прихода Муссолини к власти Вольтерра
вместе с Бенедетто Кроче и Франциско Руффини возгла-
вил небольшую группу оппозиционно-настроенных се-
наторов, энергично противившихся всем мероприятиям
фашистского режима. К тому времени он был одним из
самых почитаемых в Италии людей —президентом Ака-
демии наук, главой ряда комиссий королевства по воп-
росам просвещения, науки и техники.
В 1930 г. парламентская система в Италии, основанная
в XIX в. Кавуром, была, в сущности, полностью разрушена.
Вольтерра больше не появлялся в сенате. С 1931 г. он
был полностью отлучен от всех должностей, оставил Ака-
демию, кафедру в Римском университете, которую воз-
главлял более 30 лет.
Он живет большую часть времени за границей, лишь
иногда наведываясь в свою виллу в Аричче. Вольтерра
совершает поездки в Чехословакию, Румынию, Испанию,
ежегодно читает какой-либо курс в Париже в институте
Анри Пуанкаре.
Нарастающий разгул фашизма делал для Вольтерра
почти невыносимым пребывание в Италии, но, несмотря
на настойчивые просьбы друзей, он решительно отказался
навсегда покинуть родину. Его, упоминавшийся выше,
ученик Л. Фантапье — теолог, имевший значительные
связи в Ватикане, —добился у Папы Пия II назначения
Вольтерра в 1936 г. академиком Ватикана («Академия
Понтефиччья»). Это обстоятельство до некоторой степени
210
явилось для Вольтерра поддержкой и способствовало его
материальной независимости.
В 1937 г. он совершает поездку в Египет (Ассуан, Алек-
сандрию) и Лахор. Поездка было одновременно на корот-
кое время «бегством от действительности» и осуществлением
давней мечты —побывать на Ближнем Востоке, данью
интересам к древней истории и археологии.
В 1938 г., в дни последнего пребывания в Париже,
Вольтерра обсуждает с Ж. Пере план второго и третьего
томов задуманного трактата «Общая теория функциона-
лов» (вышел лишь первый том). Он просит также своего
сына Энрико подготовить материал для издания книги
о дисторсиях (эта книга с добавлением Энрико Вольтер-
ра, относящимся к инженерным приложениям теории,
вышла лишь в 1960 г. [38]).
Почти сразу же по возвращении Вольтерра тяжело
заболел. Но еще больше, чем прогрессирующий физи-
ческий недуг, его подавляло состояние крайней депрессии,
вызванное реакцией на разливающуюся по Европе кро-
вавую волну гитлеризма. Свойственные ему с юности
исключительная организованность и дисциплина труда
сменились состоянием лихорадочного возбуждения. По
словам близких, он часто бредил, просыпался по ночам
и торопился записать какие-то мысли. Ему казалось, что
он еще не сказал самого главного из того, что хотел сде-
лать.
Вступление Италии в войну па стороне фашистской
Германии, разгром Франции и оккупация гитлеровцами
Парижа явились ударами, от которых он уже не мог
оправиться. 11 октября 1940 г. Вольтерра скончался в
Риме. Сообщения о его смерти и похоронах в Аричче не бы-
ло ни в одной из итальянских газет.
В один из дней, когда Рим был оккупирован гитлеров-
скими войсками, —16 октября 1943 г. —к дому 17 на
ул. Виа ин Лучина, где находилась квартира Вольтерра,
подъехал гестаповский фольксваген. Вышедший из ма-
шины офицер СС передал швейцару через переводчика,
что он имеет ордер на арест и отправку в концентрацион-
ный лагерь некого Вито Вольтерра. Подбежавшие две
женщины, перебивая друг друга, торопливо проговорили:
«Что вы, что вы, синьор тепенте, сенатор умер три года
тому назад».
А еще ровно через три года состоялось посвященное
211
йамяти Вольтерра Заседание Академии наук Италии, о ко-
тором мы сказали в начале этой статьи.
К столетию со дня рождения Вольтерра Итальянской
академией наук было завершено издание пятитомного
собрания его математических работ: Vito Volterra. Орете
Matematiche, Memorie е Note, v.I —V. Roma, Accademia
Nazionale dei Lincei, 1954—1959 [39].
Полный список публикаций Вольтерра (270 наимено-
ваний), включая его книги (они не вошли в собрание со-
чинений), был приложен Е. Уиттекером к его вступитель-
ной статье к американскому изданию вольтерровских
лекций, читанных в Мадриде в 1925 г. [40].
ЛИТЕРАТУРА
1.	V. Volterra. Alcune osservazioni sulle funzioni punteggiate dis-
continie. Giorn. di Matem., 1881, 19, 76—87.
2.	V. Volterra. Sui principi del calcolo integrale. Giorn. di Matem.,
1881, 19, 333—372.
3.	А. Лебег. Интегрирование и отыскание примитивных функций.
М., ОНТИ, 1934.
4.	V. Volterra. Sopra alcune condizioni caratteristiche delle funzioni
di una variabile complessa. Ann. di Matem. pura ed appl., 1883,
(2), 11, 1—55.
5.	V. Volterra. Sopra un problema di elettrostatica. Nuovo Cimento,
1884, (3), 16, 49—57.
6.	V. Volterra. Sui fondamenti della leoria delle equazioni diiercn-
ziali lineari. Parte prima. Mem. Soc. I tai. Sci. nat., 1887, (3),
6 : 8, 104 p.
7.	V. Volterra. Sopra le funzioni che dipendono da latra funzioni.
Atti R. Accad. Lincei. Rend. Classe di Sci. Pis., Matem. e Nat.,
1887, (4), 3, 97—105, 141—146, 153—158.
8.	V. Volterra. Sopra le funzioni dipendenti da linee. Atti R. Accad.
Lincei, Rend. Classe di Sci. Fis., Matem. e Nat., 1887, (4), 3,
274—281.
9.	V. Volterra. Sui fondamenti della teoria delle equazioni differen-
ziali lineari (Parte seconda). Mem. Soc. I tai., Sci. Nat., 1899,
(3), 12, 3—68.
10.	V. Volterra, B. Hostinsky. Operations infinitesimales, lieaires,
Paris, Gauthier — Villars, 1938.
И. V. Volterra. Sur une generalisation de la theorie des fonctions
d’une variable imaginaire. Acta Mathem., 1889, 12, 233—286.
12.	E. M. Полищук. Метрические свойства изогенных функциона-
лов и векторных полей. Вестник ЛГУ, 1957, 13 : 3, 22—29.
13.	Е. М. Полищук. Изогенность и римановы метрики. УМЖ
1959, 11 : 1.
14.	J. A. Schouten. Dor Ricci — Kalcul. Berlin, 1924.
15.	V. Volterra. Sur les vibrations lumineuses dans les milieux bire-
frigents. Acta Math., 1892, 16, 153—215.
212
16.	С. Ё. Ковалевская. Математические труды. М., Изд-во АН СССР,
1951.
17.	V. Vollerra. Suite ou.de cilindriche nei mezzi isotropi. Atti R.
Accad. Lincei, Rend. Classe di Sci. Fis., Mateni. e Nat., 1892,
(5), 1, 265—277.
18.	V. Volterra. Sur les vibrations des corps elastiques isotropes.
Acta Mathem., 1894, 18, 161—232.
19.	V. Volterra. Sopra alcune question! di inversione di integral!
definiti. Ann. di Matem. Рига ed Appl., 1897, (2), 25, 139—178.
20.	V. Vollerra. Sopra una classe di equazioni dinamiche. Atti R.
Accad. Sci. di Torino, 1898, 33, 451—475.
21.	V. Vollerra. Sur la thoorie des variations des latitudes. Acta Math.,
1898, 22, 201—296.
22.	V. Volterra. Sur 1’equilibre des corps elastique multiplement
connexes. Ann. Ecole norm., 1907, (3), 24, 401—517.
23.	V. Volterra. Sur les equations integro- differentielles et leurs
applications. Acta Math., 1912, 35, 295—356.
24.	А. А. Ильюшин, Б. E. Победря. Основы математической теории
термовязкоупругости. М., «Наука», 1970.
25.	Ю. II. Работное. Ползучесть элементов конструкции. М., «Нау-
ка», 1966.
26.	V. Volterra. Lemons sur les equations integrates et les equations
integro-differentielles. Paris, Gauthier—Villars, 1912.
27.	V. Volterra. Lemons sur les fonctions des lignes. Paris, Gauthier—
Villars, 1913.
28.	V. Volterra, J. Pere. Lemons sur la compositions et les fonctions.
Paris, Gauthier—Villars, 1924.
29.	V. Volterra. The flow of electricity in a magnetic field. Berkeley,
30.	Г. Volterra. Saggi scientific!. Bologna, Zanichelli, 1920.
31.	Г. Volterra. Representations des fonctionelles analytiques
deduilos du theoreme de Mittag—Leffler. J. Math. Pur. Appl.,
1934, 13, 293-316.
32.	V. Volterra. Sur la theorie mathematique des phenomenes heredi-
taires. J. Math. Pur. Appl., 1928, 9, 249—298.
33.	V. Volterra. Richerche matematiche suite assaciazioni biologiche.
G. 1st. Ital. Attuari, 1931, 2, 295—355.
34.	V. Volterra. Sur les jets liquides. J. Math. Pur. Appl., 1932, 11,
1—35.
35.	V. Volterra. Lecons sur la theorie mathematique de la lutte pour
la vie. Paris, Gauthier—Villars, 1931.
36.	Э. Макфедъен. Экология животных. M., ИЛ, 1955.
37.	V. Vollerra, U. d’Ancona. Les associations biologiques au point
de vuo mathematique. Paris, Hermann, 1935.
38.	V. Vollerra, E. Volterra. Sur les distortions des corps elastiques.
Paris, Gauthier—Villars, 1960.
39.	V. Volterra. Opera matematiche, memorie e note, v. I—V. Roma,
Accad. Naz. dei Lincei, 1954—1959.
40.	V. Vollerra. Theory of functionals and of integral and integro-
differential equations. Dover publ., N. Y., 1960.
ИЗ ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ НЕГОЛОНОМНОЙ МЕХАНИКИ
В КОНЦЕ XIX СТОЛЕТИЯ
А. Т. Григорьян, Б. Н. Фрадлин
Введение
По терминологии Г. Герца, несвободные материальные
системы называются голономными или неголономными,
в зависимости от того, выражаются ли наложенные на
них связи интегрируемыми или неинтегрируемыми диф-
ференциальными уравнениями. Наиболее распространен-
ным типом неголономных систем являются линейные не-
голономные системы первого порядка. Классическими при-
мерами неголономных систем являются твердые тела с
чистым качением.
Наряду с голономными и неголономными связями
и системами в механике рассматривают также голономные
и неголономные координаты. Неголономные координаты
называются также квазикоординатами или псевдокоор-
дипатами.
Обычно, говоря о механике, имеют в виду механику
голономных систем в голономных координатах — голо-
номную механику. Механику неголономных систем в го-
лономных и неголономных координатах и механику
голономных систем в квазикоординатах будем называть
неголономной механикой.
Указание на возможность существования линейных
неголономных условных уравнений имеется еще в «Анали-
тической механике Лагранжа» (1788). Систематическому
внедрению идеи Лагранжа о линейных неголономных
связях первого порядка в аналитическую механику наука
обязана М. В. Остроградскому, который в своих мему-
арах 1834—1838 гг. исследовал дифференциальные прин-
ципы механики, уравнения равновесия и движения ли-
нейной неголономной материальной системы.
Понятие о линейных неголономных координатах за-
рождается в исследованиях Л. Эйлера (1758—1765) по
динамике твердого тела. Идея неголономных координат
214
получила обобщение в работах М. В. Остроградского, где
пеголономные координаты широко используются в иссле-
дованиях самого общего характера по аналитической ме-
ханике.
Начало изучению движения твердого тела с качением
положили ученые XVII—XVIII вв.: Ньютон, Эйлер,
И. Бернулли, Даламбер. Однако задачи, которые были
исследованы этими учеными, носили голономный харак-
тер, ибо аналитическое представление соответствующих
связей приводит к дифференциальным уравнениям с одним
или двумя параметрами. Значение этих исследований для
неголопомной механики состоит в том, что они открыли
путь для дальнейших, более .общих, исследований движе-
ния твердого тела с качением при наличии неголономных
связей. Исследование такого рода более общих задач ди-
намики качения твердого тела мы находим в «Механике»
С. Пуассона (1811, 1833) и позднее, в середине XIX сто-
летия, в работах А. Курно, Г. Кориолиса, Ф. Миндинга,
В. Пюизё, Г. Слессера. При составлении соответствую-
щих систем динамических уравнений движения твердого
тела Пуассон и его последователи пользовались аксиомой
об освобождаемости от связей и общими теоремами дина-
мики. По существу, это был несколько модифицированный
метод составления дифференциальных уравнений движе-
ния твердого тела, указанный Л. Эйлером. О том, что рас-
сматриваемые задачи о движении твердого тела с качением
носят неголономный характер и существенно отличаются
от задач голономной механики, названные ученые, естест-
венно, не могли предполагать.
Последняя четверть XIX столетия отличается появ-
лением многочисленных исследований по механике, на-
сыщенных глубокими основополагающими идеями, свя-
занными с формированием новой области аналитической
механики — неголопомной механики. В этот период выяс-
няется специфический характер неголономных систем,
получают свое дальнейшее развитие понятия неголоном-
ных связей и квазикоординат, устанавливаются различ-
ные варианты дифференциальных уравнений движения
неголономных систем, обсуждается правомерность ин-
тегральных принципов в него лоно мной механике, выяс-
няется неголономный характер задач о чистом качении
твердых тел, зарождается электродинамика неголономных
Систем»
215
1.	Развитие понятия неголономных связей
в исследованиях И. В. Мещерского, Г. Герца,
Л. Больцмана, Г. К. Суслова и Ж. Адамара
Как указывалось выше, в 1788 г. Лагранж ввел поня-
тие линейных неголономных связей первого порядка.
Наиболее общее понятие неинтегрируемой дифференци-
альной связи, в том числе нелинейной и не обязательно
первого порядка, впервые установил И. В. Мещерский
(1887). Он высказал оригинальную мысль о том, что ли-
нейная или нелинейная неголономная связь может быть
реализована либо в виде некоторой среды (в частности,
среды сопротивления), либо в виде шероховатой поверх-
ности. Дифференциальная связь,как и конечная, эквива-
лентна определенной силе — реакции, наложенной на
рассматриваемую материальную точку. Любопытно за-
метить, что еще в 1887 г. И. В. Мещерский указал на неп-
рименимость ряда положений голономной аналитической
механики, в частности принципа Гамильтона — Остро-
градского (в классическом смысле), к динамике неголо-
номпых систем. Этот вопрос в конце XIX столетия ока-
зался ахиллесовой пятой для многих выдающихся ученых.
Специфические закономерности динамики неголоном-
ных систем были также предметом глубокого размышления
Г. Герца. Во введении к своему знаменитому сочинению
«Принципы механики», опубликованному в 1894 г., он,
как и И. В. Мещерский, указал на неприменимость к не-
го лономным системам принципа Гамильтона — Остро-
градского. В качестве примера Герц приводит движение
шара, который катится без скольжения по твердой го-
ризонтальной плоскости, и показывает, что при таком
движении принцип Гамильтона — Остроградского не-
состоятелен. При этом любопытно заметить, что выход из
создавшегося затруднения Герц видел не в ограниченности
интегральных вариационных принципов в смысле их
применимости к неголономным системам (у Герца нет даже
намека на возможность подобного обобщения), а в прибли-
женном выполнении условия качения в действительном
движении шара. Правда, он не настаивает на правильности
такой постановки вопроса.
Желая подчеркнуть своеобразный характер матери-
альных систем, подчиненных пеиитегрируемым дифферен-
те
циальпым связям, Герц ввел специальные термины —
«голономные и неголономные связи и системы».
Мы видим, что И. В. Мещерский в ;1887 г. и Герц
в 1894 г. отчетливо представляли себе реализацию него-
лономной связи либо в виде сопротивляющейся среды,
либо в виде негладкой поверхности. Л. Больцману при-
надлежит дальнейшее развитие проблемы о способах
конкретного осуществления неголономных связей. В его
исследованиях 1885 и 1902 гг. мы находим серию ориги-
нальных примеров неголономных связей, реализуемых
при движении систем зубчатых и фрикционных колес пу-
тем непрерывного изменения передаточного числа. Ряд но-
вых примеров неголономных связей принадлежит Г. К. Су-
слову и относится к периоду 1898—1902 гг. В классическом
учебнике Г. К. Суслова по теоретической механике в ка-
честве неголономной системы приводится система двух
твердых тел, соединенных весьма длинной гибкой нитью,
не поддающейся кручению. Аналогично, неголономной си-
стемой является твердое тело, неизменно связанное с
гибкой, не испытывающей кручения, весьма длинной
нитью, при условии, что ее второй конец имеет постоян-
ную угловую скорость вращения вокруг касательной.
Точно так же мы получим неголономную систему, если
твердое тело находится в спонтанном движении вокруг
неподвижной точки и неизменно соединено с одним кон-
цом гибкой, весьма длинной и не поддающейся кручению
нити, второй конец которой неподвижен.
Наконец, отметим идею Г. К. Суслова о том, что пер-
вые интегралы динамических уравнений движения си-
стемы можно рассматривать как уравнения наложенных
на нее связей. Эта идея сыграла в дальнейшем значитель-
ную роль в исследованиях П. В. Воронца.
К рассматриваемому периоду относятся также иссле-
дования Ж. Адамара 1895 г., в которых устанавливаются
условия правомерности уравнений Лагранжа второго
рода при движении неголономных систем. Адамар пока-
зывает, что не только условие чистого качения одной по-
верхности по другой, но и условие отсутствия верчения
является неголономной связью.
217
2.	Динамические уравнения движения
неголономных систем
в исследованиях Н. Феррерса, Дж. Гиббса,
Э. Рауса и А. Фосса
Выше указывалось, что в 40-х годах XIX столетия
М. В. Остроградский установил систему дифференциаль-
ных уравнений движения неголономной материальной
системы, подчиненной линейным связям первого порядка
весьма общего типа. Однако уравнения Остроградского
выражены в декартовых координатах и содержат множи-
тели связей. Поэтому они неудобны для практических
применений. Естественно, что мысли исследователей со-
средоточились на поисках более совершенных форм урав-
нений неголономной механики, соответствующих урав-
нениям Лагранжа второго рода и свободных от указан-
ных недочетов.
В 1872 г. Феррере сделал попытку составить уравне-
ния неголопомной системы, не содержащие неопределен-
ных множителей Эйлера — Лагранжа, но ему не удалось
полностью освободиться от декартовых координат и от
связанных с ними больших технических и принципиаль-
ных неудобств теоретического и практического характера.
При составлении динамических уравнений движения
голономной системы в обобщенных координатах, содер-
жащих неопределенные множители, от внимания Лаг-
ранжа, по-видимому, ускользнуло то обстоятельство, что
эти уравнения тривиально обобщаются на неголономные
системы. Любопытно заметить, что М. В. Остроградский,
фактически восполнивший указанный пробел в «Анали-
тической механике» Лагранжа, вместе с тем сделал шаг
назад, пользуясь в своих обобщенных динамических урав-
нениях не лагранжевыми, а декартовыми координатами.
Дифференциальные уравнения движения неголономной
системы в обобщенных координатах с неопределенными
множителями связей впервые составил Раус в 1877 г.
и независимо от него Фосс в 1885 г.
Сопоставляя формы уравнений Феррерса и Рауса—Фосса,
можно заметить, что каждая из них имеет существенный не-
достаток: в уравнениях Феррерса исключены множители
связей, но они содержат декартовы координаты; в урав-
нениях Рауса — Фосса, наоборот, фигурируют множители
связей, зато они составлены в обобщенных координатах,
218
т. е. в минимальном числе. Каждый из этих недостатков
в зависимости от условий рассматриваемой задачи, может
привести к определенным трудностям.
Чрезвычайно важная для развития аналитической
механики статья Гиббса [1] «Об основных формулах ди-
намики», опубликованная в 1879 г., очень редко упоми-
нается в литературе, и если она даже цитируется, то лишь
в связи с содержащимися в ней обобщениями принципов
Даламбера — Лагранжа и Гаусса для систем с односто-
ронними связями, в частности при наличии импульсивных
сил. Однако, наряду с этими глубокими исследованиями,
Гиббс в указанной работе впервые установил дифферен-
циальные уравнения движения голономной системы в
голономных и неголономных координатах, которые в ли-
тературе известны под названием уравнений Аппеля. Этот
ценный результат, полученный Гиббсом в 1879 г., остался
впе поля зрения ученых того времени и фактически был
переоткрыт снова П. Аппелем 20 лет спустя.
3.	Динамические уравнения движения
неголономных систем
в исследованиях С. А. Чаплыгина, В. Вольтерра,
Д. Кортевега и П. Аппеля
После исследований Гиббса, Феррерса и Рауса, по-
жалуй, самой насущной проблемой неголономной меха-
ники была проблема получения совершенной системы ди-
намических уравнений, аналогичной системе уравнений
Лагранжа второго рода в голономной механике. Первый
вариант такого рода уравнений опубликовал С. А. Чап-
лыгин (1897). Уравнения Чаплыгина знаменуют собой но-
вую эру в развитии неголономной механики. Благодаря
открытию этих уравнений неголономная механика была
поставлена па такой же высокий уровень, на каком стояла
в конце XVIII столетия голопомная механика при выходе
в свет «Аналитической механики» Лагранжа. Преодолев
тупик, в котором оказалась динамика неголономных си-
стем в конце первого периода своего развития, С. А. Чап-
лыгин своими исследованиями 1897 г. раскрыл потенци-
альные возможности создания мощных методов неголо-
номной механики, обобщающих соответствующие методы
классической) динамики голономных систем. Исследо-
219
ваниями С. А. Чаплыгина начинается второй период в
истории неголономной механики.
Если уравнения Чаплыгина являются первым вари-
антом дифференциальных уравнений движения иеголоном-
ной системы в голономпых координатах, то уравнения
Вольтерра, установленные в 1898 г., представляют собой
первый вариант подобных уравнений, выраженных в ква-
зикоординатах.
В 1899 г. Кортевег указал детермииантное уравнение,
эквивалентное системе динамических уравнений для не-
голономпой системы с линейными, стационарными и од-
нородными связями первого порядка в лагранжевых
координатах.
Перечисленные варианты динамических уравнений не-
голономной механики Чаплыгина, Вольтерра и Кортеве-
га, открытые в конце XIX столетия, объединены общей
структурой уравнений Лагранжа второго рода с корректи-
рующими аддитивными членами. Однако существенно дру-
гую, удивительно простую форму имеют уравнения Ап-
пеля — Гиббса, выраженные в отличие от уравнений типа
Лагранжа не посредством кинетической энергии, а с
помощью энергии ускорений. В 1899 г. Аппель показал,
что эта форма уравнений, открытая, как указано выше,
еще Гиббсом в 1879 г. в пределах голономной механики,
имеет значительно более широкие границы своей приме-
нимости, будучи справедливой и для неголономных систем
с линейными связями первого порядка в голономных и не-
голономных координатах.
4.	Исследование правомерности
интегральных вариационных принципов механики
в работах Г. Герца, А. Пуанкаре,
Л. Гельдера и А. Фосса
О правомерности дифференциальных вариационных
принципов механики Даламбера —Лагранжа и Гаусса
для неголономных систем было известно еще М. В. Остро-
градскому. Однако, как указывалось выше, интегральные
вариационные принципы механики, в частности принцип
Гамильтона — Остроградского, в классическом смысле
неприменимы к неголономиым системам. Например, рас-
сматривая вопрос о применимости принципа Гамильтона —
Остроградского к примеру с чистым качением шара по
220
неподвижной плоскости, Герц в 1894 г. обратил внимание
на появляющееся здесь противоречие: в соответствии с
указанным принципом шар может переместиться из од-
ного заданного положения в другое по инерции, в действи-
тельности же такой переход невозможен. Герц высказал
замечание о том, что это противоречие, быть может, объ-
ясняется отсутствием в природе, строго говоря, чистого
качения. Но вместе с тем Герц хорошо понимал, что ука-
занное противоречие не является противоречием между
теорией и экспериментом, а связано с противоречивыми
следствиями из различных положений самой теории, что
оно должно быть разрешено в пределах самой теории.
Поэтому его не могла удовлетворить в качестве объясне-
ния данного противоречия ссылка на опыт. В конечном
итоге Герц приходит к выводу, что принцип Гамильтона —
Остроградского в классической трактовке неприемлем
в случае неголономных систем.
Пуанкаре заинтересовался неголономной механикой
под влиянием книги Герца «Принципы механики». В своей
статье 1897 г. «Идеи Герца в механике» он дал критическую
оценку механике Герца и, в частности, предложил ори-
гинальное доказательство неголономпого характера за-
дачи о чистом качении шара. В результате элементарного
поворота шара вокруг точки контакта, он должен перейти
из одного положения А в некоторое другое положение В,
характеризующееся той же точкой контакта, но новой
ориентацией системы координат, неизменно связанной
с шаром. Далее автор показывает, что в действительности
перемещение шара АВ нельзя осуществить непосредствен-
но без скольжения, но оно достижимо за конечный про-
межуток времени. Таким образом, Пуанкаре приходит
к утверждению, что виртуальное перемещение АВ не явля-
ется кинематически возможным и принцип Гамильтона —
Остроградского, как и другие интегральные принципы
механики в классической форме, для неголономных систем
не имеют места.
Глубокое исследование вопроса о применимости ин-
тегральных вариационных принципов механики к него-
лономным системам принадлежит Гёльдеру [2]. В 1896 г.
он подверг принципиальной критике рассуждения Герца
и показал их ограниченность. Прежде всего оп заметил,
что интегральные вариационные принципы механики
эквивалентны принципу Даламбера — Лагранжа, и если
221
последний применим к неголономным системам, то такое
же всеобщее значение должны иметь интегральные ва-
риационные принципы механики. Обобщая понятие варь-
ированного движения, он выводит обобщенный интег-
ральный вариационный принцип механики (принцип Гёль-
дера), из которого при специализированных способах
варьирования, как частные случаи, вытекают принцип
Гамильтона — Остроградского и две формы (расширенная
и узкая) принципа наименьшего действия Лагранжа. Он
показывает, что все эти принципы, при соответствующем
понимании операции варьирования, справедливы как для
голономных, так и для неголономных материальных си-
стем.
При классической трактовке понятия вариации в
смысле Лагранжа варьированное движение является ки-
нематически возможным движением. Для стационарных
голономных систем такой подход к выбору кривых сравне-
ния допустим, ибо в этом случае всегда можно осуществить
взаимо однозначное соответствие между множеством варь-
ированных конфигураций системы и множеством возмож-
ных перемещений из данного положения. Однако при на-
личии неголономных систем, как было указано выше, такое
соответствие, существенно необходимое для получения ин-
тегральных вариационных принципов механики, осу-
ществить нельзя, так как в этом случае возможных смеж-
ных положений бесконечно больше, чем возможных пере-
мещений из заданного положения.
Чтобы выйти из создавшегося тупика,- Гёльдер, в
противоположность Герцу, не отказался от интегральных
вариационных принципов в неголономной механике, а по-
шел по пути надлежащего обобщения понятия вариации.
Именно он принял, что в случае голономных связей смеж-
ная кривая может и не быть отрезком траектории систе-
мы, а в случае неголономных связей она, вообще, является
кинематически невозможной траекторией.
В своих исследованиях Гёльдер ограничился рассмот-
рением только декартовых координат. Соответствующее
обобщение полученных Гёльдером результатов на лагран-
жевы голономные координаты получил Фосс [3] в 1900 г.
322
5.	Приложение винтового исчисления
к неголономной механике
в исследованиях А. П. Котельникова
В магистерской диссертации А. П. Котельникова «Вин-
товое счисление и некоторые приложения его к геометрии
и механике», опубликованной в 1895 г., мы находим иссле-
дование некоторых теорем о винтах, характеризующих
движение несвободной материальной системы, в том числе
и неголономной. В частности, оказывается, что если связи
неизменяемой неголономной системы допускают два ки-
нематических винта, образующих некоторую группу, то
они допускают и все остальные винты этой группы (более
подробно см. [4]).
6.	Исследования Е. Карвалло
по теории движения велосипеда
В отличие от своих современников (М. Бурле, Ж. Бус-
синеска, Э. Рауса и др.), которые при построении элемен-
тарной теории одноколесного и двухколесного велосипе-
дов пользовались общими теоремами динамики, Карвалло
в 1897 г. акцентировал внимание на неголономном характе-
ре системы движущегося велосипеда и применил для ис-
следования этого движения уравнения Рауса — Фосса.
Получив дифференциальные уравнения движения велоси-
педа, Карвалло установил условия его равновесия, изу-
чил устойчивость его движения и тенденцию к боковому
скольжению. Эти исследования были опубликованы в
1900-1901 гг.
7.	Зарождение электродинамики неголономных систем
в трудах Карвалло
В конце XIX столетия Карвалло показал, что урав-
нения Лагранжа второго рода неприменимы к простейшей
электрической машине, так называемому колесу Барроу,
содержащему объемные проводники со скользящими кон-
тактами. По аналогии с чистым качением обруча причину
этого обстоятельства Карвалло усматривал в наличии в
данном случае неголономных связей. Однако высказанная
мысль в исследованиях Карвалло осталась неподтверж-
денной, хотя она находится в полном соответствии с фор-
223
мализмом электродинамических аналогий, который на
рубеже XIX и XX столетий в свете гениальной теории
Максвелла уже был известен. Конкретизацию и обоснова-
ние этой идеи Карвалло завещал будущим поколениям.
8.	Динамика твердого тела
с чистым качением и верчением
в исследованиях Н. Феррерса, Э. Рауса, К. Неймана,
Д. К. Бобылёва, Н. Е. Жуковского и А. Фирканта
Неголономный характер задачи о чистом качении твер-
дого тела, впервые, по-видимому, заметил Феррере (1772),
который иллюстрировал степень эффективности выведен-
ных им уравнений неголономной механики на примере
качения без скольжения однородного круглого тяжелого
диска по неподвижной горизонтальной плоскости.
В известном трактате Рауса по теоретической механике
(1884) приводится большое количество различных задач,
относящихся к движению твердого тела с качением. Од-
нако при решении этих задач автор пользовался общими
теоремами динамики, а не выведенными им динамическими
уравнениями движения неголономных систем, преследуя,
очевидно, при этом цель получения наиболее простого
решения. Аналогично поступили Д. К. Бобылёв (1892) и
Н. Е. Жуковский (1893), решая задачу о шаре (с гироско-
пом внутри), катящемся без скольжения по неподвижной
горизонтальной плоскости.
Однако К. Нейман в 1888 г. и Фиркант в 1892 г. со
всей определенностью заметили, что изучение качения
твердых тел занимает в аналитической механике особое
место, будучи связано с неинтегрируемыми дифференци-
альными условными уравнениями с тремя переменными.
Для решения такого рода задач они применяли динами-
ческие уравнения Рауса — Фосса с множителями связей.
Естественно, что эта методика сопряжена с трудоемкими
вычислениями и громоздкими дифференциальными урав-
нениями, трудно поддающимися интегрированию даже
в простейших случаях.
В XIX столетии сложилась весьма любопытная ситу-
ация: приложения неголономной механики долгое время
развивались независимо от ее теории. Этот разрыв возник
по той простой причине, что в середине XIX столетия
ученые рассматривали комплекс задач о чистом качении
224
и верчении твердых тел как иллюстрации механики твер-
дого тела вообще, безотносительно к характеру наложен-
ных на это тело связей. Методика решения подобных за-
дач была более или менее удовлетворительно разработана
еще в XVIII столетии Л. Эйлером, а в начале XIX столетия
Пуассоном и состояла в составлении соответствующих
динамических уравнений Эйлера, для чего использовались
общие теоремы динамики. Для учета связей применялась
аксиома об освобождаемости от связей, а вводимые
при этом реакции стремились исключить па основании
закона Амоптона — Кулона. Ученые XIX столетия вплоть
до 70-х годов не имели никакого представления о него-
лономном характере задач о движении твердых тел с ка-
чением и верчением, и только в результате исследований
Феррерса, К. Неймана, Фирканта, Герца и С. А. Чаплы-
гина, относящихся к последней четверти XIX столетия,
была выяснена специфическая природа такого рода за-
дач, характерная для неголономных систем. Таким об-
разом, неголономная механика обрела свои приложения.
9.	Оценка научного наследия ученых XIX века
по неголономной механике
в свете ее дальнейшего развития
и современного состояния
Переходя к общей оценке исследований по неголоном-
ной механике в последней четверти XIX столетия, следует
заметить, что этот период в истории развития данной об-
ласти механики занимает особое место, так как именно
в это время закладывается фундамент неголономной ме-
ханики, устанавливаются первоосновные понятия, прин-
ципы, динамические уравнения, обнаруживаются конкрет-
ные неголономные системы, ставится и по возможности
решается относящийся к неголономной механике ряд проб-
лем, представляющих основополагающий теоретический
и прикладной интерес.
Историко-критический анализ научного наследия уче-
ных последней четверти XIX столетия по неголономной
механике в свете дальнейшего развития этой науки в XX
столетии позволяет сделать следующие выводы.
1.	К концу XIX столетия был осознан специфический
характер движения неголономных систем, получены их
динамические уравнения в форме Чаплыгина — Вольтерра,
8 Историко-математ. исслед., в. XXI
225
Рауса — Фосса и Аппеля — Гиббса, а также выве-
дены дифференциальные принципы механики Даламбера—
Лагранжа и Гаусса и интегральные принципы Гёльде-
ра — Фосса. Таким образом, к началу XX столетия ди-
намика неголономных систем приобрела самостоятельное
значение и выделилась в отдельный раздел аналитической
механики со своими особенностями незакономерностями.
2.	В рассматриваемый период был доказан неголоном-
ный характер движения твердых тел с чистым качением
и верчением, движения твердого тела или системы твердых
тел, неизменно связанных с не поддающейся кручению
гибкой нитью, а также движения системы зубчатых или
фрикционных колес с переменным передаточным числом.
Указанные системы, как известно, являются элементами
машин и механизмов, динамических и электродинами-
ческих устройств самодвижущихся экипажей, систем ав-
томатического регулирования и управления. Таким об-
разом, еще на рубеже XIX и XX столетий были известны
элементарные неголономные системы, которые устанав-
ливают тесную связь между неголономной механикой и
современной техникой, являясь основой многочисленных
технических приложений неголономной механики.
3.	В конце XIX и начале XX столетий были обнаруже-
ны простейшие электрические машины с неголономными
связями, что свидетельствует о наличии приложений не-
голономной механики к электродинамике. Эти приложе-
ния в значительной чиере были реализованы лишь в се-
редине XX столетия.
4.	В конце XIX столетия была создана теория малых ко-
лебаний неголономной системы около положения ус-
тойчивого равновесия, которая прочно вошла в научную
и учебную литературу по аналитической механике. В се-
редине XX столетия вокруг этой теории возникла дискус-
сия, в результате которой она получила дальнейшее обоб-
щение и уточнение.
5.	Основополагающие исследования по неголономной
механике ученых последней четверти XIX столетия вызвали
расцвет неголономной механики в XX в. Количество ис-
следований в этой области быстро возрастает, охватывая
все большее число ученых и стран. Достаточно сказать,
что в первой четверти XX столетия по неголономной ме-
ханике было опубликовано в три раза больше работ, чем
за весь предшествующий период, а за 45 лет, с 1925 г.
226
по 1970 г. — в пять раз больше, чем в первой четверти
XX столетия. При этом в СССР опубликовано в 15 раз
больше работ, чем в дореволюционной России, и столько
же работ, сколько в остальных странах мира вместе взя-
тых.
Все время увеличивающееся число исследований по
неголономной механике вызвано расширением пределов
ее применимости, лучшим пониманием ее важных прило-
жений в различных областях естествознания и техники.
ЛИТЕРАТУРА
1.	J. W. Gibbs. On the fundamental formulae of Dynamics. Amer.
J. Math., 1879, vol. 2, N 1, 49—64.
2.	О. Гёльдер. О принципах Гамильтона и Мопертюи. В сб.: «Вариа-
ционные принципы механики». М., Физматгиз, 1959, 538—563.
3.	А. Фосс. О принципах Гамильтона и Мопертюи. В сб.: «Вариа-
ционные принципы механики». М., Физматгиз, 1959, 564—567.
4.	Т. В. Путята, Б. Л. Лаптев, Б. А. Розенфельд, Б. Н. Фрад-
лин. Александр Петрович Котельников. М., «Наука», 1968.
8*
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
ПЕРЕПИСКА МЕЖДУ ПАСКАЛЕМ И ФЕРМА
ПО ВОПРОСАМ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ1
Б. Л. Ван дер Варден
Переписка между Блезом Паскалем и Пьером Ферма
относительно вероятностей в некоторых азартных играх
хорошо известна. Все их письма были написаны в 1654 г.
и опубликованы во втором томе «Собрания сочинений»
Ферма [1]. Очень хорошие комментарии к ним даны
И. Тодгентером [2] и Ф. Н. Дейвид [3].
Несмотря на наличие этих хороших книг, я хотел бы
возвратиться к указанной переписке еще раз, так как
в имеющихся комментариях не дано, как мне кажется,
надлежащей оценки точки зрения кавалера де Мерэ.
Поводом к упомянутой переписке послужили некото-
рые вопросы относительно вероятностей в азартных
играх, которые кавалер де Мерэ поставил перед Паска-
лем. Чтобы ответить па эти вопросы, Паскаль развил
некий метод и сообщил свои ответы и этот метод Ферма.
Ферма ответил на те же вопросы частично и при помощи
другого метода, и Паскаль с большой радостью конста-
тировал совпадение своих результатов с результатами
Ферма. «Я с удовольствием вижу, что истина является
одною и той же в Тулузе и Париже»,— писал Паскаль.
Мерэ были затронуты два вопроса.
А. Задача о разделе ставки. Два игрока поставили
по 32 пистоли 2. Тот, кто выигрывает 3 партии, получает
64 пистоли. В каждой отдельной партии вероятности
выигрыша у игроков должны быть равными. Если пер-
вый уже выиграл две партии, а второй — только одну,
то ожидание выигрыша первого игрока равно 48 писто-
1 Перевод с немецкой рукописи Ф. А. Медведева.
2 Пистоля, пистоль — старофранцузская денежная единица.
(Прим, ред.)
228
лям, ибо если он выигрывает следующую партию, то полу-
чит 64 пистоли, а если проиграет, то положение обоих
игроков окажется одинаковым, и ожидание выигрыша
каждого будет по 32 пистоли. Следовательно, если игроки
хотят прервать игру, то первый должен получить 48 пи-
столей.
Если первый выиграл две партии, а второй пи одной,
то при помощи того же метода Паскаль находит, что ожи-
дание первого равно 56 пистолям. Если он выиграл толь-
ко одну партию, а второй — ни одной, то его ожидание
составит 44 пистоли.
Затем Паскаль дает две общие формулы, из которых
первая относится к случаю, когда игра продолжается до
п + 1 партии, и первый уже выиграл п партий, а вторая—
к случаю, когда первый выиграл одну партию, а второй —
ни одной. Вторая формула в современных обозначениях
имеет вид
ТГ=А + А-	,
2*4-6 . . . 2п
где А — ставка каждого игрока, а И7 — ожидание вы-
игрыша первого. Паскаль говорит, что эту формулу труд-
но доказать, но приводит две теоремы, на которых осно-
вывается доказательство.
Для решения задачи о разделе ставки Ферма нашел
другой метод. Его письмо Паскалю, в котором объяснен
этот метод, потеряно, однако из ответа Паскаля метод
Ферма можно реконструировать. Если первому игроку
не хватает для выигрыша двух очков, а второму — трех,
то вопрос решается во всяком случае после четырех игр.
Возьмем две буквы а и Ъ и выпишем все последовательно-
сти из 4
букв:
а а а а
а а а Ъ
а а b а
b b b Ъ
Буквы а или Ъ означают, что игрок А (соответственно
В) выигрывает очко. Из 16 возможных последовательно-
стей букв 11 благоприятны для А, так как Л получает очко
дважды. Следовательно, вероятности выигрыша у А и В
относятся как 11 к 5.
229
Тем же методом Ферма находит, что в случае трех
игроков, из которых одному (Я) для выигрыша не хватает
одного очка, а двум другим (В и С) — по два очка, ве-
роятности выигрыша относятся как 17:5:5. Тот же ре-
зультат Паскаль нашел своим собственным методом.
Задача о разделе ставки была поставлена кавалером
де Мерз, но он сам не смог решить ее. «М. de Меге n’avoit
jamais pu trouver la juste valeur des parties ni de biais
у arriver, de sorte que je me trouvais seul qui eusse connu
cette proportion»3,— пишет Паскаль ([1, стр. 290]).
В письме от 29 июля 1654 г. Паскаль упоминает одну
трудность, очень удивившую кавалера де Мерз («ипе
difficult© qui etpnnoit fort M., car il a tres bon esprit,
mais il n’est pas geometre ... et meme il ne comprend
pas qu’une ligne mathematique soit divisible a 1’in-
fini ...»)4
Свое сообщение Паскаль начинает так: «П me disoit
done qu’il avoit trouve faussete dans les nombres par cette
raison: Si on entreprend de faire un six, avec un de, il у a
a.vantage de I’entreprendre en 4, comme 671 a 625» 5.
Это означает: можно с успехом держать пари, что из
четырех бросков одной кости выпадает шестерка, так как
вероятность выпадения шестерки относится к вероятности
противоположного события как 671 к 625.
Данное место можно интерпретировать так, что де Мерз
знал из опыта о выигрыше пари относительно выпадения
шестерки при четырех бросках. Однако этот текст я по-
нимаю так, что де Мерз нашел путем вычислений, что
вероятности относятся как 671 к 625, и это его очень
удивило.
Фактически нетрудно вычислить, что число возмож-
ных результатов при четырехкратном бросании кости
равно 6 4 = 1296, а число неблагоприятных бросаний,
когда шестерка не выпадает, равно 625. Следовательно,
3 «Г. де Мерз не сумел найти ни правильное значение ожидания
выигрыша, ни способ получения этого ожидания, так что только
я понял эту пропорцию [раздела ставки.— Ред.]».
4 «Трудность, которая очень удивила М., так как хотя у него
и очень острый ум, ио он не является геометром... и даже не
понимает, что математическая линия делима до бесконечности...»
5 «Он сказал мне, что нашел ошибку в числах [в арифметике.—
Ред.} вследствие того, что если задаться, целью добиться выпа-
дения шестерки, то при четырех бросках кости имеется преиму-
щество, равное отношению 671 к 625».
230
вероятности относятся как 671 к 625. Паскаль приписы-
вает де Мерэ «очень острый ум», и вычисление действи-
тельно просто. Паскаль говорит также, что де Мерэ на-
шел ошибку «в числах», значит, последний должен был
получить определенные числа. То, что он правильно нашел
их не только для четырех бросков одной кости, по и для
24 бросков двух костей, вытекает из сообщения Паскаля
в начале письма: «J’admire bien davantage la methode des
parties que celle des des; j’avois vu plusieurs personnes
trouver celle des des, comme M. le chevalier de Mere, qui
est celui qui m’a propose Ces questions, et aussi M. de Ro-
berval...» 6.
Чтобы правильно понять продолжение этого письма,
следует указать, что выпадение двух шестерок тогда на-
зывалось «sonnes» 7. Паскаль продолжает: «Si on entrep-
rend de faire sonnes avec deux des, il у a desavantage de
1’entreprendre en 24. Et neanmoins 24 est a 36 (qui est le
nombre des faces de deux des) comme 4 a 6 (qui est le nomb-
re des faces d’un de).
Voila quel etoit son grand scandale qui lui faisoit dire
hautement que les propositions n’etoient pas constantes
et que I’Arithmetique se dementoit: mais vous en verrez
bien aisement la raison par principes ou vous etes» 8.
Де Мерэ считает, что арифметика противоречит самой
себе. Он совершенно правильно говорит, что мы ошибем-
ся, если будем держать пари, что за 24 броска двух костей
один раз выпадет две шестерки. Я мог бы предположить,
что и этот результат он получил арифметически, а сле-
довательно, путем вычислений, а не из опыта. Число воз-
можных результатов бросков при 24 бросаниях двух ко-
стей равно 3624, а число результатов без двукратного вы-
6 «Я очень восхищен преимуществом метода раздела ставок по
сравнению с методом костей; я знал нескольких лиц, нашедших
последний, вроде г. кавалера де Мерэ, предложившего мне эти
вопросы, а также г. де Роберваля...»
7 Дюжина.
8 «Если мы возьмемся выбросить дюжину, то будет убыточно бро-
сать их 24 раза. Однако 24 относятся к 36 (числу граней двух
костей) [в комбинаторном смысле.— Ред.}, как 4 к 6 (числу
граней одной кости).
Вот в чем состоял тот большой скандал, который заставил
его во всеуслышание сказать, что предложения арифметики не
сохраняют силу и что она противоречива; однако Вы легко уви-
дите причину ошибки де Мерэ из принципов, которых Вы при-
держиваетесь».
231
падения шестерки равно 3524, т. е. больше половины
числа 3624. Почему же это заключение он называет ариф-
метическим и большим скандалом? Возможно, он говорит
себе: если мы бросаем кость четыре раза, то имеем четыре
шанса, каждый из которых равен 1/6. Если же мы бросаем
24 раза две кости, то имеем 24 шанса, каждый из кото-
рых равен 1/36. Но четыре к шести относится как 24 к 36,
следовательно, в обоих случаях мы должны иметь равные
шансы выиграть пари. Арифметика, как кажется, проти-
воречит этому столь логичному соображению, а потому
противоречит себе самой.
Если высказывания кавалера де Мерэ означают то,
что я только что сказал, то его можно лучше понять, чем
в предположении, что он знал из опыта об убыточности
держать пари за выпадение двух шестерок при 24 бро-
саниях; «убыточность» слишком мала, чтобы он мог ясно
осознать ее из опыта.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Oeuvres de Fermat, vol. II. Paris, Gauthier—Villars, 1894.
2.	J. Todhunter. A history of mathematical theory of probability
(1865). Перепечатка: Chelsea. New York, 1949.
3.	F. N, David. Games, gods and gambling. New York, Hafner, 1962.
М. в. ЛОМОНОСОВ И «АРИФМЕТИКА» Л. Ф. МАГНИЦКОГО
Л. Е. Майстров
Когда пишут о Л. Ф. Магницком или о М. В. Ломоно-
сове, то обычно упоминают о том, что еще в юношеском
возрасте М. В. Ломоносов внимательно читал и изучал
«Арифметику» Л. Ф. Магницкого, чуть ли не выучил ее
наизусть и она оказала большое влияние на все его твор-
чество. Иногда эта тема развивается более подробно.
Приведем некоторые примеры. «Один из экземпляров
„Арифметики" попал в руки юного Ломоносова. Это про-
изошло в 1725 г. ...Известно, что М. В. Ломоносов полу-
чил книгу Магницкого от одного из своих односельчан —
Христофора Дудина, принес ее в котомке во время своего
зимнего многотрудного пути из Архангельска в Москву
и хранил эту книгу до конца своих дней. Позже, говоря
о роли, которую „Арифметика" сыграла в его жизни, Ло-
моносов назвал „Грамматику" Смотрицкого и „Арифме-
тику" Магницкого „вратами учености"» [1, стр. 47].
Аналогичные высказывания приводятся в [2, стр. 36],
[3, стр. 151] и во многих других работах.
Другие авторы говорят о влиянии Л. Ф. Магницкого на
М. В. Ломоносова еще категоричней: «Основы всех его
[М. В. Ломоносова.— Л. М.] физических теорий выходи-
ли из тех вопросов, которые в нем возбудил Магницкий и
которые он если и не разрешил, то отметил правильный
путь к их решению. А поэтому я считаю Магницкого пред-
шественником Ломоносова, т. е. тем, кто дал ему возмож-
ность развернуть во всей полноте основы научного естест-
вознания. Я сказал бы так: без Магницкого мы не имели
бы Ломоносова» [4, стр. 22]. Это же почти повторяется
в [5, стр. 81-82].
В книге «Летопись жизни и творчества М. В. Ломоно-
сова» [6], которая должна была быть наиболее достоверным
источником, так как в ней излагаются, как сказано в пре-
дисловии, только события «о которых дошли до нас
в письменных или в составленных на основании не до-
233
шедших до нас архивных материалов печатных изданиях»
(стр. 9), по интересующему нас вопросу имеются следую-
щие записи.
«1724. Июня, после 12. Получил в собственность от
семьи Дудина „Арифметику" Леонтия Магницкого,
„Грамматику" Мелетия Смотрицкого и „Псалтырь"
Семеопа Полоцкого» [6, стр. 22]. «1730. декабря 9. Ушел
из дому в Москву... взяв с собой „Арифметику" и „Грам-
матику"» [6, стр. 22].
В приведенных выше цитатах утверждается, что еще
до своего появления в Москве М. В. Ломоносов не толь-
ко ознакомился с «Арифметикой» Л. Ф. Магницкого,
но глубоко ее изучил и она оказала влияние на все его
дальнейшее научное творчество; «Арифметику» М. В. Ло-
моносов взял с собой, когда пешком отправился в Москву,
всегда ее имел при себе и с большим уважением отзывался
в дальнейшем о ней («врата учености»).
Имеется единственное сомнение относительно этой
версии. Но высказано оно было робко и не обратило на
себя внимания. Г. М. Коровин в книге «Библиотека Ло-
моносова» пишет: «Знакомство с книгой началось у Ломоно-
сова еще в период его жизни па родине. Академическая
биография Ломоносова 1784 г. утверждает, что помимо
книг духовного содержания юноша Ломоносов имел
в своем распоряжении „Грамматику" М. Смотрицкого и
„Арифметику" Л. Магницкого. Н. И. Новиков прибав-
ляет к этому списку еще „Псалтырь рифмованную"
С. Полоцкого. Раннее знакомство Ломоносова с этими кни-
гами вполне вероятно, хотя позднейшими высказываниями
самого Ломоносова подтверждается лишь изучение им
„Грамматики" Смотрицкого. Однако все подробности
работы Ломоносова с этими книгами... пе представляются
достоверными» [7, стр. 6—7]. Так, например, в Академи-
ческой биографии утверждается, что М. В. Ломоносов
«не расставался... с ними никогда, носил везде с собою и,
непрестанно читая, вытвердил наизусть. Сам он потом
называл их „вратами своей учености", а при уходе в Мо-
скву Ломоносов якобы взял книги Смотрицкого и Магниц-
кого с собой, чуть ли пе засунув их за пазуху. Неосмот-
рительность таких утверждений очевидна для всякого,
кто держал в руках эти солидные фолианты весом в не-
сколько килограммов... Мы имеем для периода жизни
Ломоносова на родине (до 1731) лишь один бесспорный,
234
Документально подтвержденный факт — факт его грамот-
ности, умения читать и писать» [7, стр. 7]. В другом месте
Г. М. Коровин пишет: «Знакомство Ломоносова с книгой
Магницкого еще в годы жизни на родине можно признать
вероятным, хотя сам Ломоносов нигде (ни в своих сочи-
нениях, ни в письмах и автобиографических документах)
о Магницком не упоминает» [7, стр. 65].
Непоследовательность Г. М. Коровина состоит в том,
что, с одной стороны, он высказывает сомнения в чтении
М. В. Ломоносовым книги Л. Ф. Магницкого, тем более,
что пет никаких данных о наличии книги Л. Ф. Магниц-
кого в личной библиотеке М. В. Ломоносова; с другой
стороны, он помещает «Арифметику» Л. Ф. Магницкого
в книгу «Библиотека Ломоносова», которая «представляет
собой систематический каталог книг, периодических изда-
ний и статей в них, прочитанных Ломоносовым и входив-
ших в состав его личной библиотеки» [7, стр. 36], по ни-
каких оснований для этого не приводит.
Авторы, излагающие версию о том, что М. В. Ломоно-
сов читал «Арифметику» Л. Ф. Магницкого, ссылаются
как па основной источник на так называемую «Академи-
ческую биографию М. В. Ломоносова», которая была без
подписи помещена в первом томе «Полного собрания со-
чинений М. В. Ломоносова», 1784 г.1
Действительно, первые биографы М. В. Ломоносова
(см. [9]) почти ничего не говорят относительно образова-
ния, которое получил М. В. Ломоносов в детстве и юно-
сти. «Еще в раннем возрасте проявилась его любовь
к науке» (А. П. Шувалов); «Будучи обучен российской
грамоте и писать, прилежал оп более всегда, по врожден-
ной склонности, к чтению книг» (Н. И. Новиков); «На
10 году в зимнее время учился он читать и писать у свя-
щенника своего села, который, не зная латинского языка,
выучил его только чтению церковных книг, но возбудил
его любознательность рассказами про Заиконоспасский
монастырь в Москве. Ломоносов также выучился исчис-
Д. С. Бабкин в статье [8], опубликованной в 1946 г., доказы-
вает, что автором Академической биографии является М. И. Ве-
ревкин. Поэтому во всех последующих публикациях эта биогра-
фия М. В. Ломоносова значится как биография, написанная
М. И. Веревкиным (см., например [9]). Ввиду того, что «доказа-
тельства» Д. С. Бабкина неубедительны, мы за этой биографией
оставляем название Академической.
235
лению, впрочем, без объяснения правил» (Я. Я. Штелин).
Более полные сведения мы находим только в «Академи-
ческой биографии». Все исследователи ссылаются на сле-
дующие два места из этой биографии.
1) «В доме Христофора Дудина увидел он [М. В. Ло-
моносов.— Л. МД в первый в жизни своей раз недухов-
ные книги. То были старинная славянская грамматика
и арифметика, напечатанная в Петербурге, в царствова-
ние Петра Великого для навигатских учеников. Неотступ-
ные и усильные просьбы, чтоб старик Дудин ссудил его
ими на несколько дней, оставалися всегда тщетными.
Отрок, пылающий ревностию к учению, долгое время
умышленно угождая трем стариковым сыновьям, довел
их до того, что выдали они ему сии книги. От сего самого
времени не расставался он с ними никогда, носил везде
с собою и, непрестанно читая, вытвердил наизусть. Сам
ин потом называл их вратами своей учености» [9, стр. 50].
2) Когда М. В. Ломоносов уходил из дому в Москву,
«не позабыл взять с собою любезных своих книг, состав-
лявших тогда его библиотеку: грамматику и арифметику»
[9, стр. 50].
В этих цитатах нет прямого упоминания «Арифметики»
Л. Ф. Магницкого, и утверждения, что здесь идет речь
о ней, требуют доказательства. Таких доказательств ни-
кто пе проводил, все считали, как само собой разумею-
щееся, что речь идет об «Арифметике» Л. Ф. Магницкого
(см. цитаты, приведенные в начале статьи).
Внимательное чтение цитат 1) и 2) говорит о том, что
в них имелась в виду не «Арифметика» Л. Ф. Магницкого.
Следует напомнить, что «Арифметика» — это крупнофор-
матный большой том в 662 стр. В «Академической биогра-
фии» идет речь о книжке небольшого размера: «не рас-
ставался... никогда, носил везде с собою и, непрестанно
читая, вытвердил наизусть», «не позабыл взять с собою
любезных своих книг». Да и «вратами учености» естест-
венно назвать маленькую начальную книжку, а не фун-
даментальный курс математики, каким была «Арифмети-
ка» Л. Ф. Магницкого. Более того, полное название
«Арифметики», напечатанное на ее титульном листе, не
соответствует цитате 1) из «Академической биографии».
На титульном листе написано: «Арифметика, сиречь наука
числительная. С разных диалектов на славянский язык
переведенная, и воедино собрана, и на две книги разделе-
236
на... в богоспасаемом царствующем Великом граде Мо-
скве типографским тиснением ради обучения мудролюби-
вых российских отроков, и всякого чина и возраста людей
па свет произведена». В «Академической биографии»
сказано, что «Арифметика» была напечатана в Петербур-
ге, в то время как «Арифметика» Л. Ф. Магницкого на-
печатана в Москве.
Известно, что М. В. Ломоносов нигде и никогда не
упоминал о том, что он читал Л. Ф. Магницкого, хотя
в письме к И. И. Шувалову от 31 мая 1753 г. такое упо-
минание напрашивается, если бы этот факт имел место.
Вспоминая свое детство, М. В. Ломоносов пишет в этом
письме: «Имеючи отца хотя по натуре доброго человека,
однако в крайнем невежестве воспитанного, и злую за-
вистливую мачеху, которая всячески старалась произве-
сти гнев в отце моем, представляя, что я всегда сижу по
пустому за книгами. Для того лшогократно я принужден
был читать и учиться, чему возможно было, в уединен-
ных и пустых местах, и терпеть стужу и голод, пока я
ушел в Спасские школы» [8, стр. 55].
Если бы М. В. Ломоносов в основном усвоил «Ариф-
метику» Л. Ф. Магницкого (мы не говорим «вытвердил
наизусть»), то он пришел бы в Москву (в конце 1730 г.)
математически высокообразованным человеком. «Ариф-
метика» была, по существу, энциклопедической математи-
ческой книгой. В ней излагалась арифметика, алгебра,
геометрия, тригонометрия, космография, география и на-
вигация; книга содержала большое число задач и таблиц
(о содержании и оценке «Арифметики» Л. Ф. Магницкого
см., например, [10]). Никаких сведений о том, что
М. В. Ломоносов прибыл в Москву с солидным математи-
ческим багажом, у нас нет. Наоборот, мы можем предпо-
лагать, что М. В. Ломоносов, кроме самых элементарных
сведений по арифметике, в это время ничего из матема-
тики больше не знал. В 1731 г. М. В. Ломоносов «начал
обучаться в третьем нижнем классе академии «граммати-
ке» ... получил основные знания по географии, истории,
арифл!етике и катехизису» [6, стр. 24]. В 1732 г.
М. В. Ломоносов «начал обучаться в четвертом нижнем
классе — «синтаксиме», где ... закончил изучение ариф-
метики» [6, стр. 25]. «Систематическое изучение матема-
тики, физики, географии, немецкого языка и других пред-
метов, не входивших в программу московской Академии,
237
Ломоносов начал лишь в Петербурге, куда прибыл 1 ян-
варя 1730 г.» [7, стр. 8]. Все это говорит за то, что
М. В. Ломоносов начал изучение математики в Москве
и Петербурге, а не явился туда уже математически обра-
зованным человеком.
В своих работах, в которых М. В. Ломоносов приме-
нял математику, мы не встречаем специфических обозначе-
ний, характерных для «Арифметики» Л. Ф. Магницкого;
М. В. Ломоносов никогда не пользовался многочислен-
ными и разнообразными таблицами Л. Ф. Магницкого.
Мы не можем указать ни одного, не только прямого, но
даже косвенного свидетельства того, что М. В. Ломоносов
учился по «Арифметике» Л. Ф. Магницкого. Возникает
естественный вопрос: какая книга имелась в виду в «Ака-
демической биографии М. В. Ломоносова»?
Точно такой книги, которая описана в «Академической
биографии», мы не знаем: «арифметика, напечатанная
в Петербурге, в царствование Петра Великого для нави-
гатских учеников». Поэтому мы можем высказать только
несколько предположений.
1)	Имелось в виду «Краткое и полезное руковедение
во аритметыку» И. Ф. Копиевича, изданное в Амстердаме
в 1699 г. Арифметике в этой книжке отведено 16 стр.
Ввиду того, что место издания (Амстердам) было для рус-
ского учебника достаточно неожиданным, его можно было
перепутать с Петербургом (тем более, что год издания
в «Академической биографии» не указан). Кроме того,
существует мнение, что книга И. Ф. Копиевича в Россию
была доставлена через Архангельск, что легче объясняет
путаницу с местом издания книги. Указания, что книга
предназначалась для навигатских учеников, естественно,
быть не могло, так как книга издана раньше организации
навигатской школы.
2)	Речь шла о рукописном конспекте самого начала
«Арифметики» Л. Ф. Магницкого. О существовании таких
конспектов пишет А. П. Юшкевич: «Ее [„Арифметику”
Л. Ф. Магницкого.— Л. МД изучали много и прилежно,
о чем свидетельствуют многочисленные сохранившиеся
списки и конспекты книги» [10, стр. 70]. На таком кон-
спекте, охватывающем пе более четырех действий ариф-
метики, могло быть указание, что он служил для нави-
гатских учеников, так как его мог составить один из таких
учеников. В самой же «Арифметике» Л. Ф. Магницкого
238
нигде пет указания, что она предназначена для «навигат-
ских учеников». Если ученик, составивший конспект,
сам был из Петербурга, он мог на заглавном листе конс-
пекта (или в другом месте) поставить слово «Петербург».
Внешне рукописи того времени похожи на печатные кни-
ги, все же конспект был рукописный, а не печатный.
3)	Имелась в виду или рукопись учебника для нави-
гатской школы А. Д. Фархварсона [И] или какая-нибудь
другая рукопись, составленная преподавателями павигат-
ской школы для учеников. Конечно, ни одно из этих пред-
положений полностью не удовлетворяет «Академической
биографии», но, по-видимому, автор этой биографии
в чем-то допустил ошибку. Сегодня неизвестна арифме-
тика, которая полностью соответствовала бы описанию
«Академической биографии».
В заключение заметим, что есть много оснований
утверждать, что с книгой М. Г. Смотрицкого «Граммати-
ка» Ломоносов познакомился после 1730 г., уже будучи
в Москве и Петербурге.
ЛИТЕРАТУРА
1.	А. П. Денисов. Леонтий Филиппович Магницкий. 1669—1739.
М., «Просвещение», 1967.
2.	Е. С. Кулябко, Е. В. Бешенковский. Судьба библиотеки и архи-
ва М. В. Ломоносова. Л., «Наука», 1975.
3.	История отечественной математики, т. I. Киев, «Наукова дум-
ка», 1966.
4.	Д. Д. Галанин. Леонтий Филиппович Магницкий и его «Арифме-
тика». Вып. II—III. М., 1914.
5.	А. Морозов. Ломоносов. М., «Молодая гвардия», 1961.
6.	Летопись жизни и творчества М. В. Ломоносова. М.— Л.,
Изд-во АН СССР, 1961.
7.	Г. М. Коровин. Библиотека Ломоносова. М.— Л., Изд-во АН
СССР, 1961.
8.	Д. С. Бабкин. Биографии М. В. Ломоносова, составленные его
современниками. В кн.: М. В. Ломоносов. Сборник статей и
материалов. II. М.— Л., Изд-во АН СССР, 1946.
9.	Ломоносов в воспоминаниях и характеристиках современников.
(Составитель Г. Е. Павлова). М.— Л., Изд-во АН СССР, 1962.
10.	А. П. Юшкевич. История математики в России до 1917 года.
М., «Наука», 1968.
11.	В. Район. Русский рукописный учебник кораблевождения
1703 г. Труды XIII Международного конгресса по истории
науки. Секция VI, М., «Наука», 1974. То же в «Историко-
астроном. исслед.», вып. XII (отв. ред. Л. Е. Майстров), М.,
«Наука», 1975,
ХРОНОЛОГИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ РАБОТ А. КЛЕРО
Р. Татой
Издавая в 1952 г. уже после смерти автора исследова-
ние Пьера Брюне «Жизнь и творчество Клеро» 1 2, я доба-
вил к нему 3 библиографию работ Алексиса Клода Клеро
(1713—1765), несколько измененный вариант которой
был опубликован в следующем году в «Revue d’histoire
des sciences» 4.
В процессе подготовки издания важной, не опубли-
кованной до сих пор переписки Клеро и Эйлера (1740 —
1764) 5, над которой я работал в сотрудничестве с Адоль-
фом Павловичем Юшкевичем, мною был составлен более
полный и точный вариант этой библиографии. В работе
над хронологическим описанием сочинений Клеро я сле-
довал примеру Густава Энестрёма «Указатель сочинений
Леонарда Эйлера» (Verzeichnis der Schriften Leonard
Eulers, Leipzig, B. G. Teubner, 1910—1913), который
представляет образец точного, методичного и удобного
описания громадного наследия Эйлера 6. Мою работу,
явившуюся результатом исключительно плодотворного
сотрудничества, я хочу посвятить Адольфу Павловичу
Юшкевичу, моему коллеге и другу, крупнейшему, по
моему мнению, историку математики нашего времени,
1 Перевод с французской рукописи сделан С. С. Петровой.
2 Paris, Presses Universitaires de France, 1952, In — 8°, VIII,
112 p.
3 Цитируемое произведение, стр. 109—111.
4 R. Taton. «Esquisse d’une bibliographic de 1’oeuvre de Clairaut;
Revue d’histoire des sciences, t. VI, 1953, p. 161 — 168» (глав-
ным образом, стр. 161—165).
5 Эта переписка будет опубликована в IV томе IV серии (Commer-
cium epistolicum) полного собрания сочинений Леонарда Эй-
лера, издаваемого Эйлеровской комиссией швейцарского обще-
ства естественных наук совместно с Академией наук СССР.
6 Я уже следовал атому примеру в работе над хронологическим
описанием сочинений Лагранжа «Inventaire chronologique de
F oeuvre de Lagrange», Revue d’histoire des sciences, t, 27, 1974,
p. 3—36,
240
в котором меня восхищает блестящая эрудиция, глубо-
кий ум и возвышенные человеческие качества.
Наша работа над комментариями и примечаниями
привела к тому, что одновременно были получены точные
сведения о хронологической последовательности публика-
ций Клеро и дополнительная информация о времени под-
готовки и датах представления этих работ. Вот почему,
после того как был составлен хронологический список
публикаций этого математика, я попытался установить
даты окончательной подготовки каждой из этих работ,
составляя по мере возможности вторую хронологию, соот-
ветствующую порядку их завершения.
Наша работа начинается с хронологического описания
публикаций Клеро, которое представляет полный их ка-
талог: сочинений, мемуаров и статей, составленный по
годам публикаций с включением посмертных переизда-
ний и всех известных переводов.
Нумерация соответствует хронологическому порядку
первых публикаций 7, переиздания и переводы обозна-
чаются номерами, соответствующими первым публикаци-
ям с добавлением цифры вверху или заглавной буквы
справа (к букве добавляется еще цифра в случае переиз-
дания перевода).
Каждая справка включает название данной публика-
ции с обычными библиографическими указаниями 8.
7 Этот помер пишется жирным шрифтом в начале каждой справки.
В рамках одного определенного года не всегда было возможно
установить порядок, которому в действительности следовали
различные публикации; выбранный нами порядок либо является
наиболее вероятным, либо, в случае отсутствия каких-либо
предположений, наиболее удобным.
8 Список сокращений:
Ac. R. Sci: Academic Royale des Sciences de Paris (Королев-
ская парижская академия наук);
В. Inst.: Bibliotheque de 1’Institut de France (Библиотека Ин-
ститута Франции);
В. М.: British Museum (Британский Музей);
В. N.: Bibliotheque nationale, Paris (Национальная библио-
тека, Париж);
В. Sorb,: Bibliotheque de la Sorbonne (Библиотека Сорбонны);
E. N. S.: Bibliotheque de mathematiques de FEcole Normale
Superieure, Paris (Математическая библиотека Высшей нормаль-
ной школы, Париж);
Н. A. R. S. 17 XX: Histoire de FAcademic royale des sciences
(de Paris) pour l’anneel7xx, avec les Memoires... (Hist.: Первая
часть Histoire; Mem.: Вторая часть Memoires);
241
В случае книги: город, в котором она издана, имя изда-
теля, год издания, число страниц и формат, шифр экзем-
пляра, находящегося в Национальной библиотеке Пари-
жа, или, за отсутствием такового, другой большой пуб-
личной библиотеки 9, возможное отношение к другой,
указанной ранее, публикации этого списка (переиздание,
перевод и т. д.). В случае статьи из периодического изда-
ния: название периодического издания, том, выпуск и
т. д., нумерация страниц. Какие-либо другие сведения
могут быть даны либо после справки, либо в сноске: дата
прочтения или представления рукописи, отношение
к более ранним публикациям, общие справки (год и но-
мер), позволяющие легко найти переиздания и переводы
данной публикации. Некоторые работы, о которых мы не
могли собрать достаточную информацию, большая часть
переводов, а также обработки и посмертные переиздания
снабжены совсем короткими справками, относящимися
главным образом к одному из экземпляров каждой упомя-
нутой публикации.
Это хронологическое описание дополнено таблицами
публикаций. В первой таблице они распределены по при-
близительной дате их редакции или окончательной под-
готовки, во второй — по тематическому разделу, к кото-
рому они относятся. Эти таблицы составлены в результате
тщательного просмотра данных работ, а также ежегодных
томов протоколов Парижской королевской академии наук.
Список основных неопубликованных рукописей Клеро,
который следует за таблицами, полнее опубликованного
нами в 1953 г. (Revue d’histoire des Sciences, t.’VI,
p. 165—167). В результате исследований, предпринятых
в связи с подготовкой издания переписки Эйлера, было
NC: Номер справки, соответствующей этой публикации в
N.U.C.;
NUC: The National Union Catalog Pre — 1956 Imprint, vol.
410;
Phil. Trans: Philosophical Transactions of the Royal Society;
P. V.: Volumes annuels des Proces-verbaux manuscrits de Г Aca-
demic royale des sciences de Paris;
Trans. Phil.: Transactions Philosophiques de4a Societe royale...
(Французский перевод некоторых томов).
9 Некоторые полезные сведения были заимствованы нами из за-
метки о Клеро, помещенной в каталоге The National Union,
Catalog’ Pre — 1956 Imprint, vol. 110, Mansell, 1970, pp. 385-^
387 (n° NC 0445745 a 0445793).
242
Пайдепо много пйсем, опубликований х й неопубликован-
ных, из научной переписки Клеро, отсутствовавших в на-
шем списке 1953 г. Однако несистематический характер
наших исследований научной переписки Клеро не позво-
лил дать подробное ее описание. Краткое описание, кото-
рое мы здесь приводим, ограничивается следующим на-
бором сведений: количество и даты писем, указание на
издание, в котором приводится текст или местонахождение
рукописного экземпляра 10.
Мы надеемся, что несмотря на пробелы это краткое
описание научной переписки Клеро будет полезным до-
полнением к собранным нами о нем материалам. Мы пола-
гаем, что эти материалы будут способствовать дальней-
шим исследованиям творчества одного из выдающихся
ученых второй трети XVIII века и.
I.	ХРОНОЛОГИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПУБЛИКАЦИЙ
1731
1	. Recherches sur les courbes a double courbure (par A. C. Clai-
raut). Paris, Nyon, Didot et Quillau, 1731. In — 4°, (VIII) —
122 p., 67 fig. en 6 pl. [B. N.: V 6275]. Представлено Ac. R.
Sci., 16 июля 1729; отзыв от 20 августа 1729 Р. де Мейрана
и Николя (Р. V. 1729, f° 170, 206).
10	Дополнительные сокращения, используемые помимо приведен-
ных выше:
Bigourdaii: G. Bigourdan, Lettres inedites d’Euler a Clairaut,
Comptes-rendus du Congres des Societes Savantes, Lille, 1928,
Paris, 1930, p. 26—40;
Boncompagni: B. Boncompagni, Lettere di Alessio Claudio Clai-
raut, Atti dell’Accademia Pontificia di Nuovi Lincei, t. XIV,
Rome, 1894, p. 233—291;
RAD: V. Varicak. La seconde partie de la correspondance de
Boskovic_(en serbo—create), In Rad Jugoslavenske Akademije
Znanosti i Umjetnosti 193. Zagreb, 1912, p. 163—338 (особенно
Speziali: P. Speziali. Une correspondance inedite entre Clairaut
et Cramer. Revue d’Histoire des Sciences, t. VIII, 1955, p. 193—
237;
Charavay: B. N., Departement des manuscrits, fichier Chara-
vay.
11	Одна из последних статей о Клеро принадлежит Ж. Итару.
(Dictionary of Scientific Biography, t. III. New York, 1971,
p. 281—286).
243
1733
2.	Nouvelle maniere de trouver les formules des centres de gra-
vite. H. A. R. S., 1731, 1733, Mem., p. 159—162. Представле-
но Ac. R. Sci., 5 мая 1731 и 19 марта 1732 (P. V. 1731, f°
89; P. V. 1732, f° 128).
3.	Sur les courbes que Гоп forme en coupant une surface courbe
quelconque, par un plan donne de position. H. A. R. S. 1731,
1733, Mem., p. 483—493, 1 pl. Представлено Ac. R. Sci., 5 и
12 дек. 1731, 12 и 19 янв., 27 февр. 1732 (Р. V. 1731, f° 210,
212; Р. V. 1732, Г 18, 24, 86).
1734
4.	Quatre problemes sur de nouvelles courbes, de Mr. Alexis Clai-
raut, Je fils, Miscellanea Berolinensia, t. IV. Berlin, 1734, jp.
143—152. Представлено Ac. R. Sci. (Paris), 13 апреля 1726;
отзыв 18 мая 1726 Николя и Пито (Р. V. 1726, f° 121, 170).
1735
5.	Des epicycloides spheriques. H. A. R. S. 1732, 1735, Mem.,
p. 289—294. Представлено Ac. R. Sci., 7 и 28 марта 1733
(P. V. 1733, f° 53, 77).
6.	Maniere de trouver des courbes algebriques et rectifiables sur
la surface d’un cone. H. A. R. S. 1732, 1735, Mem., p. 385—
387. Представлено Ac. R. Sci., 11 июня 1732 (P. V. 1732, f°
200—201).
7.	Solution d’un probleme de geometrie. H. A. R. S. 1732, 1735,
Mem., p. 435—436, 1 pl. Представлено Ac. R. Sci., 6 дек.
1732 (P. V. 1732, f° 288).
8.	Sur quelques questions de maximis & minimis. H. A. R. S.
1733, 1735, Mem., p. 186—194. Представлено Ac. R. Sci.,
25 и 28 февр., 7 марта 1733 (P. V. 1733, f° 39, 40, 53).
9.	Determination geometrique de la perpendiculaire a la meri-
dienne tracee par M. Cassini; avec plusieurs methodes d’en
tirer la grandeur et la figure de la Terre. H. A. R. S. 1733, 1735,
Mem., p. 406—416. Представлено Ac. R. Sci., 5 и 9 дек. 1733
(P. V. 1733, f° 217-218).
1736
10.	Solution de plusieurs problemes, ou il s’agit de trouver des
courbes dont la propriete consiste dans une certaine relation
entre leurs branches, exprimee par une equation donnee,
H. A. R. S. 1734, 1736, Mem., p. 196—215. Представлено Ac. R.
Sci., 30 июня 1734 (P. V. 1734, f° 190).
11.	Remarques sur la methode de M. Fontaine pour resoudre le
probleme ou il s’agit de trouver une courbe qui touche les co-
tes d’un angle constant dont le sommet glisse dans une courbe
donnee. H. A. R. S. 1734, 1736, Mem., p. 531—537, 1 pl.
Представлено Ac. R. Sci., 26 янв. 1735 (P. V. 1735, f° 20).
244
1738
12.	Sur la nouvellc methode de M. Cassini, pour connaitre la fi-
gure de la Terre. H. A. R. S. 1735, 1738, Hist., p. 51; Mem.,
p. 117—122. Представлено Ac, R. Sci., 18 июня 1735 (P. V.
1735, f° 142—144).
13.	Examen des differentes oscillations qu’un corps suspendu par
un fil, pent faire lorsqu’on lui donne une impulsion quelcon-
que. H. A. R. S. 1735, 1738, Hist., p. 92—98; Mem., p. 281 —
298, 1 pl. Представлено Ac. R. Sci., 23 дек. 1735, 18 янв. и
29 февр. 1736 (Р. V. 1735, f° 267; Р. V. 1736, f° 5, 35).
14.	Examen de la reponse de M. Fontaine a mes objections centre
sa methode pour trouver une courbe qui touche continuellement
les cotes d’un angle constant, dont le sommet glisse dans une
courbe donnee. IL A. R. S. 1735,1738, Mem., p. 577—580, 1 pl.
Представлено Ac. R. Sci., 1 февр. 1738 (P. V. 1738, f° 29).
1739
15.	Solution de quelques problemes de dynamique, 11. A. R. S. 1736,
1739, Hist., p. 105—110; Mem. p. 1 — 22, 2 pl. Представлено
Ac. R. Sci., 30 апр.,4 мая и 3 авг. 1735 (P. V. 1735, Г 106—
107, 172).
16.	Sur la mesure de la Terre par plusieurs arcs de meridien pris
a differentes latitudes. H. A. R. S. 1736, 1739, Mem., p. Ill —
120. Представлено Ac. R. Sci., 13 и 27 авг. 1735 (P. V. 1735,
f° 181, 184).
17.	Investigationes aliquot, ex quibus probatur Terrae figuram
secundum Leges attractionis in ratione inverse quadrati dis-
tantiarum maxime ad Ellipsin accedere debere, per Dn. Ale-
xin (sic) Clairaut, Reg. Societ. Lend. & Reg. Scient. Acad.
Paris. Soc., Phil. Trans., vol. XL, (1737—1738). London, 1741,
n° 445 (jan.— june 1738), p. 19—25 12. Мемуар, посланный из
Торнио (Финляндия, Лапландия) 20 февр. 1737 (н. ст.) и
прочитанный в Королевском обществе 24 марта 1736/1737
(ст. ст.), 4 аир., 1737 (н. ст.) (Arch. Royal Society, LBC.
23.252 et LBC. 23. 256). Хотя на титульном листе тома XL
Phil. Trans, указан 1741 год, мы датируем этот мемуар (п°
17) и следующий (п° 18) 1739 годом, так как в конце тетрадей
п° 445 и 449, содержащих эти мемуары, имеется надпись
«Printed for Т. Woodward... printer’s to the Royal Society.
1739».
18.	An Inquiry concerning the Figure of such Planets as revolve
about an Axis, supposing the Density continually to vary, from
the Centre towards the Surface; by Mr. Alexis Clairaut, F. R. S.
and Member of the Royal Academy of Sciences at Paris. Trans-
lated from the French by the Rev. John Colson Lucas. Prof.
Math. Cantab and F. R. S., Phil. Trans., vol. XL (1737—
1738). London, 1741, n° 449 (aug.— sept. 1738), p. 277—306 13.
Мемуар, посланный из Парижа по-французски: Recherches
sur la figure des planetes qui tournent autour de leur axe, en
12 См. также 17A (1759) и 17В (1809).
13 См. также 18А (1759) и 182 (1809)
245
supposant que leur densite varie du centre a la surface, 2 окт.
1738 и прочитанный в Королевском об-ве 26 окт. 1738 (6 нояб-
ря 1738, н.с.) (Arch. Royal Society, LBC. 25.22 и LBC 25.24).
. Относительно датировки тетради п° 449 Phil. Trans., см. за-
мечание после п° 17.
1740
19.	De 1’aberration j apparente des etoiles, causee par le mou-
vement progressif de la lumiere. H. A. R. S. 1737, 1740, Mist.,
p. 76—83; Mem., p. 205—227, 2 pl. Заявлено Ac. R. Sci.,
11 дек. 1737 и прочтено в период с 12 до 22 февр. 1738 (Р. V’
1737, f° 215; Р. V. 1738, f° 33, 37—50).
20.	Des centres d’oscillation dans des milieux resistants, H. A. R. S.
1738, 1740, Mem., p. 159—168. Представлено Ac. R. Sci.,
23 мая и 4 июня 1738 (P. V. 1738, f° 118—124).
1741
21.	Elemens de geometrie. Paris, David «fils, 1741. In — 8°,
XXIV—XVI — 216 p., 14 pl. [B. N.: V. 18889] 14.
21bis. To же, Paris, Lambert et Durand. To же [В. N.: V. 18890].
Представлено Ac. R. Sci., отзыв от 31 авг. 1740 Реомюра, де
Мейрана, Николя; Клеро представляет один экземпляр
22 ноября 1741 (Р. V. 1740, f° 185; Р. V. 1741, р. 457). См.
в Н. A. R. S. 1741, 1744, Mist., р. 97—98.
22.	Suite d’un memoire donne en 1733, qui a pour titre: Deter-
mination geometrique de la perpendiculaire a la meridienne,
& с. H. A. R. S. 1739, 1741, Mem., p. 83—96. Представле-
но Ac. R. Sci., 21 марта — 15 мая 1739 (P. V. 1739, f° 60,
87, 108—114).
23.	Sur les explications cartesienne et newtonienne de la refrac-
tion de la lumiere, H. A. R. S. 1739, 1741, Mem., p. 259—
275, 10 fig. dans le texte. Представлено Ac. R. Sci., 24 июля
и 5 авг. 1739 (P. V. 1739, f° 144, 195—202).
24.	Sur la maniere la plus simple d’examiner si les etoiles fixes ont
une parallaxe, & de la determiner exactement. H. A. R. S.
1739, 1741, Hist., p. 42—46; Mem., p. 358—369, 1 pl. Пред-
ставлено Ac. R. Sci., 2 марта 1740 (P. V. 1740, f° 35—38).
25.	Recherches generales sur le calcul integral. H. A. R. S. 1739,
1741, Mem., p. 425—436. Представлено Ac. R. Sci., 4 и 7 марта
1739 (P. V. 1739, f° 47—48).
1742
26.	De la spirale d’Archimede decrite par un mouvement pareil a
celui qui donne la Cycloide, & sur quelques autres courbes de
meme genre. H. A. R. S. 1740, 1742, Mem., p. 148—154, 6 fig.
dans le texte. Представлено Ac. R. Sci., 9 июля 1740 (P. V.
1740, f° 149—151).
14 См. также 21A (1744), 21B (1749), 21C (1751), 212 (1753), 21D
(1753), 213 (1765), 21E (1772), 214 (1775), 215 (1830), 21F (1836),
216 (1852), 217 (1853), 21E' (1856—1857), 21E' (1881), 218 (1920).
246
27.	Probleme physico-mathematique. H. A. R. S. 1740, 1742, Mem.,
254—263. Представлено Ac. R. Sci., 27 июля и 9 авг. 1740
(P. V. 1740, f° 161, 173—175).
28.	Sur Г integration ou la construction des equations differentiel-
les du premier ordre. H. A. R. S. 1740, 1742, Mem., p. 293—
323. Представлено Ac. R. Sci., 31 мая и 7 июля 1741 (P. V.
1741, p. 157, 186).
1743
29.	Theorie de la figure de la Terre, tiree des principes de 1’hydro-
statique, Paris, David fils, 1743. In—'8°, XL — 310 p., в тек-
сте много чертежей [В. N.: Res. р. V. 650] 15 16.
29bis. То же, Paris Durand, 1743. То же, С. А. К.: F 24. Пред-
ставлено Ac. R. Sci. между 13 дек. 1741 и 14 авг. 1742 (Р. V
1741, р. 474—475; Р. V. 1742, р. 22, . . ., 364); свидетельство
Дорту де Меирана 6 сент. 1742 (Theorie. . . р. 310); экзем-
пляр, представленный 25 мая 1743 (Р. V. 1743, р. 227). См.
также И. A. R. S. 1742, 1745, р. 86, 98—104.
1744
21Л. Шведский перевод 21 (Stockholm, 1744). 2-е издание этого
перевода: Stockholm, 1760.
1745
30.	Sur quelques principes qui donnent la solution’d’un grand nomb-
re de problemes de dynamique. H. A. R. S. 1742, 1745, Hist.,
p. 123, Mem, p. 1—52, 5 pl. Представлено Ac. R. Sci., 2 марта—
6 anp. 1743 (P. V. 1743, p. 151,. . ., 204, 205, 205*-240*,
3 pl.).
1746
31.	Elemens d’algebre. Paris, Les Freres Guerin, David 1’aine,
Durand, 1746. In — 8°, XVIII—336 p., 7 таблиц [B. N.: Res. V
2060]. Представлено Ac. R. Sci., 4 авг. 1745; отзыв 20 июля
1746 Николя и Буге. Клеро представляет один из экземпля-
ров 14 дек. 1746 (Р. V. 1745, р. 216; Р. V. 1746, р. 206—208,
320) I®.
32.	De 1’orbite de la Lune dans le systeme de M. Newton.'H. A. R. S.
1743, 1746, Hist., p. 123—129, Mem., p. 17—32, 3 pl. Пред-
ставлено Ac. R. Sci., 13 июня, 18 и 22 июля, 5 дек. 1744
(Р. V. 1744, р. 328, 397, 504—510).
1749
21В.	Elementa geometriae... Venise, J. В. Recurti, 1749, NC
0445763. Латинский перевод 21.
15 См. также 292 (1808), 293' (1909), 29Л (1913), 29В (1928), 29 С
(1947).
16 См. также 312 (1749), 31 А (1752), 313 (1760), 31В (1760), 31С
(1766), 314 (1768), 315 (1797), 316 (1801),
247
312.	Elemens d’algebre (2е ed.). Paris, Durand, 1749. In — 4°,
XXIV — 349 p., 7 таблиц [В. N.: V 19209] 17.
33.	Du systeme du Monde dans les principes de la gravitation uni-
verselie. H. A. R. S. 1745,1749, Mem., p. 329—364. Этот мемуар
объединяет различные сообщения, представленные Ac. R. Sci.
между 7 янв. и 2 дек. 1747.
а)	Первая часть (стр. 329—339) содержит текст мемуара, про-
читанного на публичном заседании 15 ноября 1747 и представлен-
ного Академии вторично 22 и 29 ноября (Р. V. 1747, р. 517—527,
531, 537).
Ь)	Вторая часть (стр. 340—352) была зачитана в Академии
28 июня 1747 и на последующих ассамблеях. Ее большая часть бы-
ла представлена в нескольких бумагах, завизированных г. де Фу-
ши 7 января, 15 марта и 14 июля 1747 г. (цит. опус., стр. 340,
замечание после нумерации страниц). См. также: Р. V. 1747,
стр. 305, 307,. . ., 485 (заседания 28 июня, 1 июля, . . ., 28 авгу-
ста, 2 сент. 1747 г.).
с)	Третья часть (стр. 353—364) представляет текст, прочитан-
ный в Академии в период между 2 декабря 1747 г. п 20 января 1748,
после того как он был вручен запечатанным де Фуши, непременно-
му секретарю Академии, и прежде чем Клеро мог ознакомиться
с мемуаром Эйлера по теории Сатурна, написанным для конкурса
Парижской академии 1748 г. (св. цит. опус, замечание в сноске
Р. V. 1747, стр. 539, 545, 551, 553—559: заседания 2, 20 и 23 де-
кабря 1747; Р. V. 1748, стр. 17 : 20 января 1748). Следует отметить,
что по поводу этого сложного вопроса протоколы Академии Р. V.
дают недостаточные, а иногда и неточные сведения.
Хотя том Н. A. R. S. 1745 вышел в свет только в начале вто-
рого семестра 1749 г., этот мемуар был напечатан в декабре 1748 г.;
в это время Клеро раздал несколько оттисков. Клеро опубликовал
в 1760—1761 г. (мемуар п° 52) более подробный вариант своих ра-
бот 1747 г.
34.	Reponse aux reflexions de M. de Buffon, sur la Joi de 1’attrac-
tion, et sur le mouvement des apsides. H. A. R. S. 1745, 1749,
Mem., p. 529—548. Представлено Ac. R. Sci., 17 февр. 1748
(P. V. 1748, p. 51—62). R этом мемуаре дается ответ на кри-
тику де Бюффона относительно позиции, занятой Клеро в
предыдущем мемуаре в вопросе о неуниверсальности законов
гравитации. (20 и 24 янв. 1748, Р. V. 1748, р. 17—26; Н. А.
R. S. 1745,1749, Mem., р. 493—500: Reflexionssur la loi d’attra-
ction).
35.	Avertissement de M. Clairaut au sujet des memoires qu’il a
donne en 1747 & 1748, sur le systeme du Monde dans les prin-
cipes de Fattraction. H. A. R. S., 1745, 1749, Mem., p. 577—
578. Представлено Ac. R. Sci., 17 мая 1749 (P. V. 1749, p. 265 ):
Объявление об изменении мнения Клеро по вопросу о законе
всемирного тяготения.
17 13 сентября 1751 г. Клеро уступил все права на «Элементы ал-
гебры» издателям «David laine et Durand, Libraires a Paris».
Эта пометка появляется даже на некоторых экземплярах 2-го
издания 1749 г., впоследствии переработанного (например,
R. N.: V 19209, стр, XXIV) и на некоторых экземплярах З-го
издания 1760 г.),
248
36.	Reponse a la replique de M. de Buffon. H. A. R. S. 1745, 1749,
Mem., p. 578—580. Представлено Ac. R. Sci., 11 июня 1749,
(P. V. 1949, p. 302): Ответ на новые замечания де Бюффона
в тексте, пе сообщенном Академии (Addition au Memoire qui
a pour titre Reflexions sur la loi d’attraction. H. A. R. S.
1745, 1749, Mem., p. 551—552).
37.	Reponse au nouveau Memoire de M. de Bufffon. H. A. R. S.
1745, 1749, Mem., p. 583—586. Представлено Ac. R. Sci.,
21 июня 1749 (P. V. 1749, p. 319—320): Ответ на новое возра-
жение до Бюффона (Secondo additional! memoire qui a pour tit-
re Reflexions sur la loi d’attraction, H. A. R. S., 1745, 1749,
Mem., p. 580-583) 18.
1751
21C. Elementi di geometria. . . , trad, de V. Monaldini; Rome,
G. Salomoni, 1751 [NC 0445764]. Итальянский перевод 21;
2-е издание, Рим, 1771 [NC 0445764].
38.	De 1’aberration de la lumiere des planetes, des-cometes et
des satellites. H. A. R. S. 1746, 1751, Hist., p. 101—104,
Mem., p. 539—568, 3 pl. Представлено Ac. R. Sci., 31 авг.
и 6 сент. 1746 (P. V. 1746, p. 246, 249—263).
1752
31 A. Anfangsgrunde der Algebra. . ., trad. C. Mylios. Berlin,
Nicolai, 1752. Немецкий перевод 31; 2-е изд. этого перевода
с добавлениями К. Ф. фон Темпельхофа. Leipzig, Kummer, 1778
[NC 0445745].
39.	Theorie de la Lune deduite du seul principe de Г attraction re-
ciproquement proportionelle (sic) aux quarres des distances. . . .
Piece qui a remporte le prix de 1’Academie imperiale des scien-
ces de Saint-Petorsbourg propose en 1750. Saint-Petersbourg
impr. Ac. Imper. Sci., 1752. le — 4°, p. 92 [B. N.: V. 8279] 19.
Основная часть датирована 6 дек. 1750 (стр. 83), затем следует
«Remarques & additions», отправленные Клеро 2 января 1752
(свид. его письмо к Шумахеру от той же даты). 13 августа
18 Полемика между Клеро и де Бюффоном заканчивается прямым
вмешательством Академии, которая решает (21 juin 1749, Р. V.
1749, р. 320), «что добавление г. де Бюффона, напечатанное в то-
ме за 1746, остается, а последующие ответы и возражения одного
и другого будут напечатаны в конце тома после того, как они
будут просмотрены назначенными рецензентами гг. Николем и
Монтиньи, и что в будущем ничто не будет напечатано в томах
Академии (даже под предлогом добавления) без прочтения на
ассамблеях и отсылки в Комитет (le Comite de librairie)». Это
решение и обычное запаздывание с публикацией томов Акаде-
мии объясняют, почему том Н. A. R. S. 1745, изданный в 1749,
содержит наряду с мемуарами, датированными 1745 г., мемуа-
ры 1747 (мемуар п° 33), 1748 (мемуар п° 34) или 1749 (заметки
п° 35, 36 и 37).
9 См. также 392 и 412 (1765).
249
1752 он уведомляет Шумахера о получении по почте одного
экземпляра своего сочинения.
40.	De 1’orbite de la Lune, en ne negligeant pas les quarres des
quantites de meme ordre que forces perturbatrices. H. A. R. S.
1748, 1752, Mem., p. 421—440. Мемуар, представленный Ac. R.
Sci., 20 дек. 1748 (P. V. 1748, p. 561), запечатанный в па-
кет 21 янв. 1749 и прочитанный 15, 18 и 22 марта 1752 (Р. V.
1752, р. 157, 159, 161—168).
1753
21D. Anfangsgriinde der Geometrie. . ., trad. F. J. Bierling. Ham-
burg, Herold, 1753. Traduction allemande de 21; nouvelle edi-
tion, ibid., 1773; ..., 5е ed. trad. J. Reimers, ibid., 1790.
212 Elemens de geometrie, seconde ed., Paris, David, In — 8°,
1753, XXIV—215 p., 14 pl. [I. P. N. : 1 R 81846].
212 bis. To же, Paris, Durand, 1753. To же [Univ, of Berkeley,
California] 20.
1754
41.	Tables de la Lune calculees suivant la theorie de la gravitation
universelie, Paris, Durand, Pissot, 1754. In — 8°, (IV) —
XVI —102 p., 1 tableau [B. N. V 21154: экземпляр с пометками
и исправлениями, сделанными от руки Ж. де Лаландом] 21.
Представлено Ac. R. Sci., 5 септ. 1753; отзыв от 22 дек.
Кассини де Тюри и Лё Монье (Р. V. 1753, р. 547, 673—675).
Cf. Н. A. R. S. 1752, 1756, Hist., р. 111 — 116.
1755
42.	A Letter from Monsieur Clairaut, Member of the Royal Aca-
demy ofJSciences at Paris, and F. R. S. to Thomas Birch D. D.
Secret. R. S. containing a Comparison between the Notions of
M. de Courtivron and Mr Melvil, concerning the Difference of
Refrangibility of the Rays of Light, Phil, trans., vol. 48, 1754,
London, 1755, p. 776—780 22. Письмо, датированное 30 июня
1754 (Hampton — Court in Middlesex), прочтенное 4 июля
1754.
1756
43.	Construction des tables de la parallaxe horizontale de la Lune,
qui suivent de la theorie que j’ai donnee desmouvemens de cet-
te planete; avec quelques reflexions sur ses autres elemens
calcules dans meme theorie. H. A. R. S. 1752, 1756, Hist.,
p. 115—116, Mem., p. 142—160. Представлено Ac. R. Sci.,
16 и 23 янв. 1754, P. V. 1754, p. 6, 11—24).
20. Сведения, заимствованные из заметки «Клеро, Алексис — Клод»
в.The National Union Catalog Pre — 1956 Imprint, vol. 110, Man-
sell, 1970, p. 385—387.
21 См. также 392 и 412 (1765).
22 См. также 42r (1809).
250
44.	Construction des tables du mouvement horaire de la Lune.
H. A. R. S. 1752, 1756, Hist., p. 115—116, Mem., p. 593—
622, 1 pl. Представлено Ac. R. Sci., 30 anp. 1755 (P. V. 1755,
p. 293-315).
1758
45.	Nouvel le theorie de la figure de la Terre, ou Гоп concilie les
mesures actuelles avec les principes de la gravitation univer-
selie. In — 8°, 54 p., без титульного листа, указания автора,
места или даты. Надписи от руки: «par Clairaut» и в конце
«Toulouse, impr. Pierre Robert, 1758». Речь идет об одном ме-
муаре Клеро, получившем премию на конкурсе Королевской
академии наук, надписей и литературы Тулузы за 1750 г.
(см. Mercure de France, nov, 1750, p. 147—148). См. также пись-
мо Клеро к Г. Крамеру за ноябрь 1750 (Atti dell’Accademia
pontificia de Nuovi Lincei, t. 40, Rome, 1894, p. 243).
46.	Lettre de M. Clairaut a MM. les Auteurs du Journal des Sgavans,
Journal des sgavans, fevr. 1758, p. 67—82. Письмо датировано:
«Париж, 11 января 1758»; относительно выдержек из III то-
ма (Recherches sur differens points du systeme du monde» Да-
ламбера, опубликованных в июне 1757 г. в Journal des Sga-
vans.
1759
47.	Memoire sur 1’orbite apparente du Solei] autour de la Terre
en ayant egard aux perturbations produites par les actions de
la Lune & des Planetes principales. H. A. R. S. 1754, 1759,
Hist., p. 120—124. Mem., p. 521—564. Представлено Ac. R.
Sci., 9, 13 и 23 июля, 14 дек. 1757 (P. V. 1757, f° 463, 465, 487,
640). В действительности эта брошюра была третьим сочине-
нием в сборнике, озаглавленном: Pieces qui out remporte le
prix de Г Academic royale des sciences, inscript ions et belles-
lettres de Toulouse, depuis 1747 jusqu’en 1750. Toulouse,'1758,
in — 4°. Свид. Ж. де Лаланда Bibliographic astronomique.
Paris, 1803, p. 464; Journal des S^avans, oct. 1759, p. 654—
663. Этот сборник, не сохранившийся ни в Национальной
библиотеке, ни в Библиотеке Института Франции, согласно
каталогу NUC, том II, Mansell, 1968, стр. 392 (N Л 0037183),
находится в библиотеке Гарвардского университета; в] ка-
талоге указан издатель F. Forest.
48.	Memoire sur la comete de 1682, adresse a MM. les auteurs du
Journal des S^avans. Journal des s^avans, janv. 1759, p. 38—
45. Зачитан на публичной Ассамблее Королевской академии
наук 14 ноября 1758 (см. также Р. V. 1758, стр. 849).
49.	Reponse de М. Clairaut a quelques pieces la plupart anonymes
dans lesquOlles on a attaque le Memoire sur la comete de 1682 lu
a I’assemblee publique de J’ACademie des sciences du 14 no-
vembre 1758. Paris, impr. M; Lambert, 1759, In — 12, 22 p.
(B. N.: V, p. 6947). Напечатанный ответ Клеро был роздан
в Кор. акад, наук 11 авг. 1759. (Р. V. 1759, f° 668). Упомя-
251
нутып в нем мемуар значится под номером п° 48 в данном
списке.
17А. Recherches pour prouver que selon les loix de Г attraction
en raison inverse du quarre des distances, la figure de la Terre
doit beaucoup approcher de celle d’un Ellipsoide. Trans, phil.,
1737, Paris, 1759, p. 18—25, 2 pl. Французский перевод 17
(1739) сделан Ж. П. де Га (см. стр. XXXV).
18А. Recherches sur la figure des Spheroides qui tournent autour
de leur axe, comme la Terre, Jupiter & le Soleil, en supposant
que leur densitevarie du centre a la circonference. Trans, phil.,
1738. Paris, 1759, p. 295—319. Французский перевод 18
(1739), сделанный Ж. П. де Га.
50.	Principes mathematiques de la philosophie naturelie, par feue
Madame la marquise du Chastellet. Paris, Lambert, 1759, 2 vol.
in - 4°: (IV) - XVIII — (VI) - 437 p., 9 pl.; (IV) — ISO-
299 p., 5 pl. Несмотря на то, что этот перевод приписывается
исключительно госпоже дю Шатле, нет сомнения в том, что Кле-
ро просмотрел французский текст Principia (т. I и первая ну-
мерация т. 2), сверил редакцию «Exposition abregee du sys-
teme du Monde» (стр. 1 —116 второй нумерации т. II) и почти
полностью изложил «Solution analytique des principaux pro-
blemes qui concernent le system e du Monde» (стр. 117—285 вто-
рой нумерации т. II). См. I. В. Cohen, в Archives internatio-
nales d’histoire des sciences, t. 21, 1968, стр. 261 — 290 и R. Ta-
ton, там же, t. 22, 1969, стр. 185—210.
1760
21E.	Beginzelen der geometrie, trad et augm. par000. Amster-
dam, 1760. [Univ. Bibl. Leiden]. Голландский перевод 21.
31B.	Gronden der algebra, trad. A. B. Strabbe. Amsterdam, Jan
Morterre, 1760 [Univ. Bibl. Leiden]. Голландский перевод 31.
51. Theorie du mouvement des cometes, dans laquelle on a egard
aux alterations que leurs orbites eprouvent par Paction des pla-
netes. Avec Г application de cette theorie a la comete qui a
ete observee dans les annees 1531, 1607, 1682 et 1759. Paris,
Michel Lambert, s. d. [1760]. In— 8°, (II) — XIV — 248 p.,
2 pl. [B. N. : V. 21155). Представлено Ac. R. Sci., 8 авг. 1759;
отзыв от 18 авг. Лакайля и Безу (Р. V. 1759, f° 643, 674—680).
Клеро представляет экземпляр своего сочинения 8 марта 1760
(Р. V. 1760, f° 106).
313. Elemens d’algebre, 3е ed. Paris, Durand, 1763, In — 8°,
XXIV — 348 p. 7 таблиц [В. N. : V. 19210].
313bis. To же, 3е ed. Paris, David, 1753. To же [В. N. : V. 19211].
52a. Memoire sur les mouvemens des corps celestes, adresse a Mes-
sieurs les Auteurs du Journal des s^avans, Journal des s?a-
vans, dec. 1760, vol. I, p. 751—775. Публикация старых работ
(большей частью 1747), касающихся главным образом не-
которых приложений задачи трех тел (теория Луны, Юпите-
ра, Сатурна и т. д.). Сравнить с мемуаром п° 33 (1749).
52b. Seconde partie du Memoire sur les mouvements des corps ce-
lestes, adresse a Messieurs les Auteurs du Journal des s^avans.
Journal des s^avans, dec. 1760, vol. II, p. 815—832.
252

1761
52c. Troisieme partie du Memoire sur le Mouvement des corps ce-
lestes, adresse a Messieurs les Auteurs du Journal des sgavans.
Journal des s^avans, janv. 1761, p. 3—20.
522.	Memoire sur les mouvemens des corps celestes, s. 1. n. d.
(Paris, 1761), 3 parties, 24—17—18 p., in — 4° [B. N. : V.
8280]. Объединение трех выдержек из Journal des sgavans,
dec. 1760 — janv. 1761 (n° 52a, 52b, 52c).
53.	Lettre de M. Clairaut a Messieurs les Auteurs du Journal des
S^avans. Journal des Sfavans, dec. 1761, p. 837—848. Ответ
на критические замечания Даламбера по поводу работ Клеро
о проблеме трех тел.
1762
54.	Reponse de М. Clairaut au Memoire de M. Fontaine, insere
dans le Journal de fevrier 1762. Journal des s^avans, mai 1762,
302—310. По поводу статьи Фонтена, озаглавленной: «Doutes
sur la methode de M. Clairaut pour determiner le mouvement
de la Lune autour de la Terre» (Journal des s^avans, fevr. 1762,
p. 111—115).
55.	Nouvelles reflexions de M. Clairaut sur le sujet de la contes-
tation qui s’est elevee entre M. d’Alembert et lui, a 1’occasion
de la comete de 1759. Journal des sgavans, juin 1762, p. 358—
56.	Recherches sur la comete des annees 1531, 1607, 1682 et 1759,
pour servir de supplement a la theorie par laquelle on avait an-
nonce en 1758 le terns du retour de cette commete. Piece de
M. Clairaut... qui a remporte le prix propose par I’Academie im-
perial des sciences de St-Petersbourg pour I’annee 1761 . . .
St — Petersbourg, impr. de I’Academie imperiale des sciences,
1762. In — 4°, 42 p., pl. [B. N. : Vp. 2716]. Мемуар отослан
Клеро 3 дек. 1761.
57.	Memoire sur les moyens de perfectionner les lunettes d’ap-
proche, par 1’usage d’objectifs composes de plusieurs matieres
differemment refringentes, H. A. R. S. 1756, 1762, Hist., p. 112—
126, Mem., p. 380—437. Представлено Ac. R. Sci., Публичная
ассамблея 1 апреля 1761, прочитан снова 11 апр. и 21 июня
1761 (Р. V. 1761, стр. 78, ... , 120).
58.	Second Memoire sur les moyens de perfectionner les lunettes
d’approche par 1’usage d’objectifs composes de plusieurs matie-
res differement refringentes. H. A. R. S. 1757, 1762, Hist., p.
153—160, Mem., p. 524—550. Представлено Ac. R. Sci.,
26 мая 1762 (P. V. 1762, f° 210).
59a. Lettre de M. Clairaut a Messieurs les Auteurs du Journal des
SQavans. Journal des sgavans, oct. 1762, p. 664—678. Содержит
в основном «Traduction du memoire de M. Klingenstierna
sur 1’aberration des rayons de lumiere lorsqu’ils sont refrac-
tes par les surfaces et des lentilles spheriques» 23.
23 Этот мемуар С. Клингенштерна был опубликован в 1760 г.
в 21 томе «Kungliga vetenskapakademiens Handligen», в сбор-
нике работ Академии наук в Стокгольме. 3 июня 1744 Клинген-
штерна был назначен Парижской Академией наук корреспон-
дентом Клеро.
253
59b. Suite de la traduction du memoire de M. Klingenstierna sur
1’aberration des rayons de lumiere. Journal des spa vans, nov.
1762, p. 738-754.
1764
60.	Troisieme memoire sur les moyens de perfectionner les lunet-
tes d’approche, par Fusage d’objectifs composes de plusieurs
matieres differemment refringentes. H. A. R. S. 1762, 1764,
Hist., p. 160—169, Mem., p. 578—631, 2 pl. Представлено
Ac. R. Sci., 17, 21, 28 и 31 марта, 4 апр. 1764 (P. V. 1764,
f° 63, . . ., 70).
61.	Lettre de M. Clairaut a Messieurs les Auteurs du Journal des
Spavans. Journal des spavans, mars 1764, p. 173—177. Клеро
представляет здесь письмо г. Серра, помеченное «Женева,
1 декабря 1763» по поводу явления, известного в Женеве под
названием сейш (seiche).
1765
62.	Memoire sur la comete de 1759, dans lequel on donne les pe-
riodes qu’il est le plus a propos d’employer, en faisant usage
des observations faites sur cette Comete dans les quatre derni-
eres apparitions. H. A. R. S. 1759, 1765, Hist., p. 160—161,
Mem., p. 115—120. Представлено Ac. R. Sci., 23 июня 1759
(P. V. 1759, f° 514).
392 et 412. Theorie de la Lune, seconde edition a laquelle on a joint
des Tables de la Lune, construites sur une nouvelle revision de
toutes les especes de^calcul dont leurs equations dependent.
Paris, Dessaint et Saillant, mars 1765. In — 4°, VIII — 162 p.,
1 pl. [B. N. : 4° V 17779].
213. Elemens de geometrie, 3е ed. Paris, Durand neveu, 1765.*In-
8°, XXXII-XVI — 215Jp., 14 pl. [B. N. : V. 18891].
213 bis. To же, Paris, CIe des Librares, 1765. To же [С. A. K. :
F 81].
1766
63.	Nouvelle solution de quelque problemes sur la manoeuvre des
vaisseaux, qui se trouvent dans le Vol. de 1’Academic de 1754,
H. A. R. S. 1760, 1766, Hist., p. 141—142, Mem., p. 171—178,
1 pl. Представлено Ac. R. Sci., 22 и 26 марта 1760 (P. V. 1760,
f° 199, 201—207).
31C. Elements of algebra. London, Richardson and Urquhart,
1766. [NC 0445769]. Сокращенный английский переводуЗ!.
314.	Elements d’algebre, 4е ed., Paris, VVe Savoye, 1768, In — 8°,
XX — 351 p. [B. N. : 8° V. 31280].
1772
21F. Poczatki geometryi ... Trad par M. Poczobut S. J. Wilno,
1772, In — 4®, XVI—219, p.—XXVI p. 14 табл. [Библ. Вар-
шавского университета]. Первый польский перевод 21.
254

1775
214. Elemens de geometrie, 4е ed. Paris, Durand, 1775, In — 86
[NC 0445761].
1797
315.	Elemens d’algebre. Cinquieme edition avec des notes et des
additions tirees en partie des lemons donnees a 1’Ecole normale
par Lagrange et Laplace et precedes d’un Traite elementaire
d’algebre (par S. F. Lacroix). Paris, Durand, an V — 1797,
2 vol. in — 8° (B. Inst. : M 1882].
1801
316	Elemens d’algebre. Sixieme edition avec notes et des additi-
ons tres etendues par le cit. Garnier ... precedes d’un traite
d’arithmetique par le cit. Theveneau, avec une instruction sur
les nouveaux poids et mesures. Paris, Courcier, an X-1801,
2 vol. in — 8° [В. M. : 1394. g—23].
316 bis. To же, Derniere edition... Paris, chez Emery, an IX —
an X-1801, 2 vol. in — 8°. [B. N. : 8° V. 31281].
1808
292. Theorie de la figure de la Terre, 2е ed. Paris, Courcier, 1808.
In — 8°, XL — 308 p., рис. в тексте [F. N. S. : S. N. 41440].
1809
17B et 182. Английский перевод 17 (1739) и переиздание 18
(1739), в Philosophical Transactions .... Abridged with notes,
by Ch. Hutton, G. Shaw and R. Pearson, vol. VIII, from, 1735
to 1743. London, 1809, p. 118—123, 207—223,	42 г. Англий-
ское резюме 42, там же, vol. X, from 1750 to 1754. London,
1809, p. 530—532.
1830
215. Elemens de geometrie. Nouvelle ed. Paris, Bachelier, 1830.
In - 8°, XXII — 185 p., 7 pl. [B. N. : V. 18892].
1836
21G. Elements of geometry. Dublin, M. Goodwin & Co, 1836,
In — 12, VII — 88 p. [В. M. : 1212 c—18]. Английский пере-
вод 2 т.; переиздание в 1851 [В. М. : 8531 Ь—12] и 1852 [В. М.:
: 8531 Ь—13].
1852
216. Elements, de geometrie, reimprimes par M. Saigey. Paris, L.
Hachette, 1852. In — 16, VIII—129 p., 2 pl. [B. N. : V.
18893]. Перепечатано с этого издания в 1853 [В. N. : 18894],
1857 [В. N. : V. 34893], 1861 [В. N. : V. 34894].
255
1853
2Р. Elements de geometrie. Nouvelle edition mise en accord avec
le systeme decimal par M. Honore Regodt. Paris, J. Delalain,
1853. In—16, XII —144 p., fig. [B. N. : V. 18895].
1856
21F'. Zasady geometryi . . ., trad, par S. T. Przystanski. Wars-
zawa, Ministerstwo Wychowanie Publicznego, 1856, XII —
154 p. —145 p., 12 tabl. [Bibl. Univ. Varsoviej. Новый поль-
ский перевод 21 (2-е издание, Варшава, 1857).
1881
21G. Elements of geometry, trad. J. Kaines. London, C. Kegan
Paul & Co, 1881. In — 8°, XXI — 118 p. [В. M. : 8503 c—11].
Новый английский перевод 21.
1909
292. Theorie de la figure de la Terre. Paris, Hermann et fils, 1909
[NC 0445789]. Факсимильное издание 292 (1808).
1913
29A. Theorie der Erdgestalt nach Gesetzen de Hydrostatik, hera-
usgegeben von Ph. E. B. Jourdain und A. von Dettingen. Leip-
zig, W. Engelmann, 1913. In—16, 162 p., 54 рисунка в тексте
фронтиспис (Ostwald’s Klassiker, n° 189) [С. A. K. : 5004].
Аннотированный немецкий перевод 29.
1920
218. Elements de geometrie. Paris. Gauthier — Villars, 1920. 2 vol.
in—16, XIV—95 p. et 103 p. («Les maitres de la pensee scien-
tifique» M. Solovine edit.) [B. N. : 8° V. 17374].
1928
29B. Theoria della forma della Terra dedotta dei principi dell’idros
tatica. Traduction de M. Lombardini avec notes, suivie d’une
’ note de F. Enriques : <11 problema della forma della Terra
nell’antica Grecia». Bologna, Nicola Zanichelli, 1928. In —
8°, VII — 245 p. [B. Sorb.: S De 296 (6) 12°]. Итальянский
перевод 29 с комментариями и примечаниями.
1947
29С. Теория фигуры Земли, основанная на началах гидростати-
ки. Перевод Н. С. Яхонтовой; комментарии и редакция
Н. И. Идельсона. Л., Изд-во АН СССР, 1947, In—8°, 359 стр., 3
вклейки. [В. N.: 8° V. 59011.] Комментированный русский
перевод 29.
256
И. АНАЛИЗ ПРИВЕДЕННЫХ^ВЫШЕ ПУБЛИКАЦИИ
1. Классификация по времени представления24
1726 : 4.
1729 : 1.
1731 : 21, 31.
Клеро избран в Королевскую Академию наук (И июля).
1732 : 32, 2а, 6, 7
1733 : 5, 8, 9.
1734 : 10.
1735 : 11, 15, 12, 16, 13.
1736 : отъезд в экспедицию в Лапландию (20 апреля).
1737 : 17.
Возвращение из экспедиции из Лапландии (20 августа).
1738 : 14, 19, 20, 18.
1739 : 25, 22, 23.
1740 : 24, 26, 27.
1741 : 21, 28.
1742 : 29.
1743 : 30.
1744 : 32.
1745 : 31.
1746 : 38.
1747 : 33, 521.
1748 : 522, 34, 40.
1749 : 35, 36, 37, 50, 31*.
1750 : 391, 15.
1751 : 392.
1753 : 41, 21*.
1754 : 43, 42.
1755 : 44.
1757 : 47.
1758 : 46, 48.
1759 : 62, 49, 51.
1760 : 63, 523, 31*.
1761 : 57, 53, 56.
1762 : 54, 55, 58, 59.
1764 : 60, 61, 39* и 41*.
2. Тематическое описание25
Инфинитезимальная геометрия {1726—1740) : 4, 7, 3, 6, 7, 5, 10, И,
14, 26.
24 Эта таблица составлена главным образом на основании дат
представления различных работ, прочитанных в Парижской
Академии наук, которые приблизительно соответствуют их
завершению. В некоторых случаях, например для мемуара
п°52, эта дата является датой его редакции, указанной самим
автором. Сохранена нумерация предыдущего списка. Если но-
мер дан курсивом, то это означает, что соответствующее сочине-
ние издано отдельно; цифра при номере и сверху соответствует
порядковому номеру издания. Номера без индексов соответ-
ствуют изданиям, подготовленным при жизни Клеро (исключе-
ние составляют переводы). Индексы внизу означают, что пред-
ставление работы растянулось на несколько лет.
25 В этой таблице публикации Клеро сгруппированы по темам
в порядке появления последних в исследованиях Клеро. Даты,
набранные курсивом, соответствуют периоду, в течение которого
Клеро активно интересовался данным вопросом. В пределах од-
ного раздела публикации следуют в порядке их представления
согласно данным предыдущей таблицы.
9 Историко-математ. исслед., в. XXI
257
Математический анализ (1731—17^1) : 2, 8, 25, 28.
Геодезия (1733—7739) : 9, 12, 16, 22.
Динамика (7735—7713) 15, 13, 20, 27, 30.
Форма Земли и планет (1737—1750) : 17, 18, 29, 45.
Аберрация (7737, 1746) : 19, 38.
Рефракция света (1739, 1754) : 23, 42.
Звездный параллакс (1740) : 24.
Преподавание математики (1741—1745) : 21, 31.
Теория Луны (1744—1764) : 32, 40, 39, 41, 43 , 44, 54, 392, 172.
Общие проблемы Системы Мира; задача 3 тел (1747—1761)’.
33,	52, 34, 35, 36, 37, 50, М, 46, 53.
Таблицы Луны (1753—1755, 1764): 41, 43, 44, 412.
Теория комет (1758—1762) : 48, 62, 49, 51, 56, 55.
Управление кораблями (1760) : 63.
Ахроматизм (1761—1764) : 57, 58, 59, 60.
Метеорология (1764) : 61.
III.	СПИСОК ОСНОВНЫХ РУКОПИСЕЙ КЛЕРО
1.	Архив Академии наук в Париже
Р. V. 1732 а Р. V. 1760: копии некоторых мемуаров, представлен-
ных Клеро Академии (тексты иногда отличаются от текстов, на-
печатанных в Н. A. R. S.): № 6, 19, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 30,
32, 33 (частично), 24, 37, 38, 40, 43, 44, 63, отзывы на работы № 31
41, 51. См. точные справки в соответствующих разделах описа-
ния. Отметим, в частности, следующий важный неизданный текст
Клеро: «Exposition abregee de се qui a ete dit dans PAcademie
sur le mouvement de Г apogee de la Lune et sur la loi de Г attra-
ction». Ms. PV. 1749, seance du 11 juin 1749, p. 297—302. Досье
Клеро: «Remarques sur les articles qui ont rapport au mouvement
de I’apogee de la Lune tant dans le Livre des Principes Mathe-
matiques de Mr. Newton que dans le Commentairo de cet ouvrage
publie par les P. F. Jacqier et le Seur», мемуар, датированный
20 дек. 1747, 27 стр. Там же: Академические отзывы, датирован-
ные 21 июля и 8 мая 1762.
2.	Библиотека Института Франции
Ms. 1792: содержит различные бумаги, относящиеся к полемике
Клеро и Даламбера.
Ms. 2102, 38 f°: «Premieres notions sur les mathematiques a 1’usage
des enfants», копия, сделанная г. Турно с рукописи из библио-
теки Санкт-Петербурга, посланной императрице Екатерине II
Дидро как будто от Клеро.
3.	Архив Парижской обсерватории
Ms. А. 6.9. : Письмо Клеро Делилю от И июня 1752 с решением
одной задачи аналитической геометрии, связанной с вычисле-
нием параллаксов (3 стр., 1 чертеж, одно замечание Делиля).
Ms. В 5.7. : Отзыв без заглавия, датированный 24 июля 1756,
об определении местоположения Вильжуифа (2 стр.).
258
Ms. С. 2. 8 : В конце досье и после мемуара Мопертюи «Sur la
figure de la Terre...», копия (6 стр.) мемуара Клеро, вероятно,
прочитанного им в мае 1735 г. в Академии наук: «Sur les me-
sures qui se feront dans le Nord par rapport a la figure de la Terre».
4.	Национальная библиотека, Париж
Ms. f. n. acq. 5153, f° 3—10: мемуар без заглавия о теории Луны.
Запечатан в конверт 6 сентября 1747, открыт и прочитан 2 дек.
1747. в Академии наук (с надписью де Фупти), 16 стр.
Ms. f. fr. 12268 : «Comipentaires sur le livre des principes mathe-
matiques de M. Newton» 193 f°, текст госпожи дю Шатле с много-
численными поправками и добавлениями Клеро (заметка Р. Та-
тона в Arch. int. Hist. Sci. 22, 1969, стр. 209—210 и замечание
104).
5.	Архив Королевского общества, Лондон
Ms. LBC 23.255 и LBC 25.24 : латинский текст и французский
оригинал 18.
6.	Архив Академии наук СССР, Ленинград
Копия мемуара № 25, посланного Даниилом Бернулли Эйлеру
2 янв. 1740.
Копия первой части мемуара № 28, посланная Клеро Эйлеру 17 сент.
1740.
Копия второй части мемуара № 28, посланная Клеро Эйлеру
11 окт. 1741 (A. A. N., F. 136, ор. 2, n° 1, f° 97—103).
IV.	КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ ПЕРЕПИСКИ КЛЕРО
Jean d’Alembert (Жан Даламбер) (1717—1783): 3 письма из пере-
писки (1764). Ch. Henry, В Bull. Boncompagni, t. 18, Rome 1885,
p. 533—537.
Daniel Bernoulli (Даниил Бернулли) (1700—1782): 14 писем Клеро
(10 аир. 1759—15 янв. 1764). Boncompagni, р. 259—286.
Jean I. Bernoulli (Иоганн I Бернулли) (1667—1748): 5 писем Клеро
(12 авг. 1732—26 дек. 1739). Boncompagni, р. 245—257.
Jean III Bernoulli (Иоганн III Бернулли) (1744—1807): 2 письма
Клеро (28 дек. 1763, 4 июня 1764). Boncompagni, р. 286—288.
Rudzer J. Boscovic (Р. Ж. Бошкович) (1711—1787): 9 писем Клеро
(16 мая 1760—19 июля 1764). 5 писем в RAD, р. 216—224; 4 дру-
гих не опубликованы — Bankroft Library, Los Angeles.
Charles Bossut (Шарль Боссю) (1730—1814): 2 неопубликованных
письма Клеро от 4 февраля 1751 (указаны в Charavay) и 8 марта
1761 (Smith Collection, Columbia University).
James Bradley (Джеймс Бредли) (1693—1762): 1 письмо Клеро
от 19 авг. 1748. U. Bradley. Miscellaneous Works and Correspon-
dence. Oxford, 1832, p. 451—453.
Jean Louis Calandrini (Жан Луи Каландрини) (1703—1758): одно
письмо Клеро от 6 марта 1748. Speziali, р. 233—237.
Marquis de Condorcet (Маркиз де Кондорсе) (1743—1794): одно
9*	259
неопубликованное письмо Клеро (s. 1. n. d.). В. Inst., Ms 876,
n° 44.
Gabriel Gramer (Габриэль Крамер) (1704—1752): 26 писем из пе-
реписки (30 марта 1729 — ноября 1750). 21 письмо в Speziali,
3 других в Boncompagni, р. 239—243.
Joseph Nicolas Delisle (Иозеф Никола Делиль) (1688—1768): одно
неизданное письмо Клеро (И июня 1752): В. Obs., Ms. А 6.9.
Emilie du Chatelet (Эмилия дю Шатле) (1706—1749): 4 письма
Клеро (1741). Boncompagni, р. 233—239.
Leonhard Euler (Леонард Эйлер) (1707—1783): 61 письмо из пере-
писки (17 сент. 1740—1764). 7 писем Эйлера опубликованы в Bio-
gourdan. Письма будут опубликованы в L. Euler, Opera Omnia,
Ser. IV, A, t. V.
Augustin Nathanael Grischow (A. H. Гришов) (1726—1760): 2 пись-
ма Клеро (21 июня и 1 октября, 1752). Будут опубликованы
в Euler, Opera Omnia, Serie IV A, t. V.
Francois Jacquier (Франсуа Жакье) (1711—1778): 7 писем Клеро
(18 октября 1744 — 6 мая 1760). Е. Jovy, Le Р. Francois Jacquier
et ses correspondents Vitry — le — Francois, 1928, p. 37—49.
Georges Louis Lesage (Г. Л. Лесаж) (1724—1803): 6 писем из перепис-
ки (21 янв.—5 авг. 1764). Р. Prevost, Notice sur la vie et les Merits
de Georges Louis Lesage. Geneve, 1805, p. 362—372.
Thomas Le Seur (T. Лёсёр) (1703—1770): одно письмо Клеро
(29 мая 1745). Не опубликовано: Smith Collection. Columbia
University.
George Parker comte de Macclesfield (Георг Паркер герцог Макс-
филд) (1697—1764): копия на итальянском языке письма Клеро
(май 1760 ?). Не опубликовано: Bankroll Library, Los Angelos.
Pierre-Joseph Macquer (П. Ж. Маке) (1718—1784): одно письмо
Клеро (22 апреля 1752). Не опубликовано: В. N., Ms f. fr. 12305,
f° 193—194.
Gerhard Friedrich Muller (Г. Ф. Мюллер) (1705—1783): 3 письма
Клеро(19июня,3дек., 17 авг. 1763);будут опубликованы в Euler,
Opera Omnia, Serie IV A, t. V.
К. Г. Разумовский (1728—1803): 2 письма Клеро (10 февр. 1751
и 16 авг. 1755); буцут'опубликованы в Euler, Opera Omnia, Se-
rie IV A, t. V.
Samuel Richardson (С. Ричардсон) (1689—1761): 4 письма Клеро
(6 апр. 1753—7 авг. 1754). 3 письма в Boncompagni, р. 288—291;
одно неопубликованное письмо (6 апр. 1753: в каталоге Chara-
vay).
Jean Jacques Rousseau (Ж. Ж. Руссо) (1712—1778): одно письмо
Клеро (25 апр. 1765). Th. Dufour. A Correspondence generale de
Rousseau, t. XIII. Paris, 1930, p. 260. Royal Society (Королев-
ское общество): 4 письма (24 марта 1736, 15 сент. 1737, 13 дек.
1737, 2 окт. 1738). Не опубликованы: Royal Society, [LBC,
23.252, 24.22, 24.79, 25.22.
Johann Daniel Schumacher (Поган Даниил Шумахер) (1690—1761):
4 письма Клеро(15 марта 1751—13авг. 1752). Будут опубликованы
в Euler, Opera Omnia, Serie IV A, t. V.
Marquis d’Usse (Маркиз Юссе): одно письмо (s. 1. n. d.). He опуб-
ликовано: В. N., f. fr. n. acq. 3282, f° 168—169.
Ville Nouvelle (Toulouse) (Билль Нувель, Тулуза): одно письмо
Клеро (18 дек. 1754). Указано в каталоге Charavay.
ГАУСС И ГЕТЕ1
К. Р. Бирман
Два современника — «король поэтов» (Dichterfiirst)
Гёте и «первый среди математиков» (Princeps mathemati-
corum) Гаусс, достигшие мировой известности уже при жиз-
ни и жившие на расстоянии всего 170 км (Веймар— Браун-
швейг), а с 1807 г. —только лишь 120 км (Веймар—Гёт-
тинген) — не замечали друг друга. Это весьма странно.
Но не менее удивительно отсутствие анализа этого обстоя-
тельства в литературе 2. Пауль Эпштейн удовольствовался
догадкой, что, наверно, Гёте «никогда не знал, что в Гёт-
тингене, в нескольких часах езды от него, жил величайший
математик его эпохи» [2, стр. 78]. Вильгельм Лоре [3]
ограничился заявлением, что сомневается в правильности
предположения Эпштейна. Я попытаюсь сейчас проанали-
зировать положение вещей и тем самым заполнить этот
пробел.
Эккерман, как и другие авторы, писавшие о высказы-
ваниях Гёте, никогда не слышал, чтобы Гёте когда-либо
упомянул имя Гаусса. Точно так же напрасно мы стали
бы искать имя Гаусса в произведениях Гёте или в его
письмах. В его «Материалах к истории учения о цвете»
[4] с их многочисленными ссылками на естествоиспытате-
лей, начиная с древности, мы не встречаем даже упоми-
нания о Гауссе. Гаусс не принадлежит к числу рецензен-
тов йенской «Всеобщей литературной газеты», которую
Гёте организовал в 1804 г. и на которую и в дальнейшем
оказывал большое влияние [5]. В библиотеке Гёте нет ни
единой работы Гаусса [6], хотя в ней имеются некоторые
теоретические сочинения по математике. Например, сочи-
нения известного астронома П. А. Ганзена, чьи матема-
тические способности ценил и Гаусс. В библиотеках Иены,
Гёттингена и Веймара Гёте не брал никаких сочинений
1 Перевод с немецкой рукописи Н. Н. Гендрихсона.
2 В работе [1] отсутствует какой-либо анализ; само название
служит, скорее, для привлечения внимания геодезистов.
261
Гаусса [7, 8]. Они не переписывались и никогда не встре-
чались.
Теперь посмотрим, как могут выглядеть эти обстоя-
тельства с точки зрения Гаусса. Сарториус фон Вальтерс-
гаузен, если можно так выразиться, — «Эккерман Гаус-
са», в противоположность «истинному Эккерману», дает
нам на этот счет некоторые сведения. «Великий матема-
тик, — пишет он [9, стр. 34], — гораздо меньше сумел по-
стичь творческую манеру Гёте, проникнуться его образом
мыслей, чем он постиг творческую манеру и образ мыслей
Жана Поля 3, и, хотя он несомненно был знаком со всеми
произведениями поэта, они удовлетворяли его все же не
в полной мере; ему казалось, что в них недостаточно мыс-
ли. Не очень высоко ценил он и его лирическую поэзию,
не признавая ее значения и присущее ей совершенство
формы».
Профессор геологии Сарториус (1809—1876), обязан-
ный Гауссу своим образованием по части физико-матема-
тических наук, испытывал к Гауссу в течение последних
25 лет его жизни чувство почтительной дружбы. Гёте,
будучи другом родителей Сарториуса, являлся его крест-
ным отцом. Сарториус неоднократно посещал его па пра-
вах «юного горящего энтузиазмом естествоиспытателя»
[10, стр. 197] и приносил с собой имя Гаусса. Мы не имеем
совершенно никаких оснований предполагать, что Сар-
ториус умышленно или неумышленно искажает слова
Гаусса. В настоящее время в библиотеке Гаусса из про-
изведений Гёте имеется лишь двухтомник «Учения о
цвете» (Тюбинген, 1810). В опубликованной части обшир-
ной переписки Гаусса имеется лишь одно единственное
несущественное упоминание о Гёте [11].
Известно, что каждый современник, обладающий ли-
тературными или научными стремлениями, проезжая через
Веймар, наносил визит Гёте или, по меньшей мере, пы-
тался это сделать. Но не Гаусс. Как стало известно сов-
сем недавно [12], и его дорога однажды случайно завела
в Веймар. Это случилось в 1811 г., по-видимому, около
Михайлова дня, до или после каникул, когда он, направ-
ляясь в обсерваторию Зееберг близ Готы или на обрат-
ном пути в Гёттинген, заехал переговорить с механиком
Фридрихом Кёрнером, который должен был в Гёттинге
3 Жан Поль Рихтер. {Прим, перее.)
262
не переделать некоторые инструменты [13]. Гаусс не ис-
пользовал этот случай для того, чтобы познакомиться
с Гёте 4.
Имеется только единственная альтернатива, объяс-
няющая, почему Гёте никогда не упоминал о Гауссе:
или Гаусс не казался Гёте значительной фигурой, или
он не желал его замечать.
Рассмотрим вначале предположение, что Гёте вообще
ничего не знал о том, что в Гёттингене существует профес-
сор по имени Гаусс. Это предположение опровергается
весьма просто. Гёте имел в своей коллекции автографов
два письма Гаусса [14]. На обоих Гёте написал красными
чернилами «Гаусс» 5. Первое письмо, посланное Гауссом
24.11.1805 г. еще из Брауншвейга на имя лейпцигского
торговца художественными изделиями и антиквара Ио-
ганна Готтлоба Штиммеля, содержит поручения по пово-
ду книжного аукциона, состоявшегося 25 ноября. Оно
могло попасть в коллекцию Гёте в начале 1806 г. вместе
с другими, написанными по тому же случаю и содержа-
щими аналогичные поручения письмами, адресованными
устроителю аукциона. Следовательно, самое позднее
с этого времени Гёте знал о существовании Гаусса. Вто-
рое письмо, направленное 16.4.1812 г. Гауссом своему
другу Бернарду Августу фон Линденау — астроному и
государственному деятелю из Саксен-Альтенбурга, —
содержит сообщение об успешных вычислениях орбиты
Паллады, произведенных для Французского института
и Лапласа. 9.2.1812 г. Гёте просил Линденау об авто-
графах для своей коллекции [4, стр. 260—261], которые
тот ему выслал 29 августа 6. В своем благодарственном
письме от 7 сентября [17, стр. 94] Гёте писал, что мо-
4 Остановка в Веймаре не подтверждается материалами Государ-
ственного и городского архивов Веймара (письменная справка
городского архива в Веймаре от 11. 7 1973).
5 Фотокопии этих писем мне любезно предоставили Исследователь-
ские мемориальные мастерские немецкой классической литера-
туры в Веймаре, архив Гёте —Шиллера (в дальнейшем NFG/GSA).
Оба письма опубликованы мной под заглавием «Письма Гаусса,
находившиеся во владении Гёте» в журнале NTM.
6 Письмо Линденау не датировано 9.8.1812, как это сообщает (со
знаком вопроса) Шрекенбах (см. [14]). Это письмо, вопреки
неверному указанию в [15; IV/23, стр. 457], сохранилось (любез-
ное сообщение господина Дитера Гёрне из NFG/GSA от 9.2.1973).
Господин Гёрне сообщил мне также, что оно напечатано в [16,
стр. 301—302].
263
жет теперь живо представить себе «превосходных мужей»,
с которыми «приходит в соприкосновение» Линденау7.
Среди них, следовательно, имелся в виду и Гаусс, которого
Линденау посетил в январе в Гёттингене [18, стр. 23 и 43].
Таким образом, в 1812 г. Гёте «соприкоснулся» с Гауссом.
В 1819 г. заведующим обсерватории в Иене был назначен
Фридрих Поссельт, остававшийся на этой должности в те-
чение 4 лет вплоть до своей ранней смерти [19, особенно
стр. 87]. Приняв решение пригласить Поссельта на эту
должность, Карл Август написал Гёте 16.2.1819, что ас-
пирант, рекомендованный Линденау, является учеником
Гаусса 8. Отсюда совершенно очевидно следует, что Вели-
кий герцог предполагал, как нечто само собою разумею-
щееся, что Гёте известно, кто такой Гаусс. Наконец,
еще последнее доказательство того, что Гёте знал о Гаус-
се: Мать вышеупомянутого доверенного лица Гаусса —
Сарториуса фон Вальтерсгаузена — в письме от 27.7.1830
к Гёте «крестному сообщает, что ее сын, т. е. крестник
Гёте, будет слушать лекции Гаусса, который проявляет
по отношению к нему такую благосклонность, отблагода-
рить за которую в должной мере невозможно» [10,
стр. 207] 9.
Можно было бы возразить, что знание имени Гаусса
не обязательно связано с глубоким понимаем его значе-
ния как ученого. Рассмотрим и это возражение. Однако
если до сих пор я приводил факты, говорившие сами за
себя, то теперь я вынужден пользоваться косвенными
доказательствами, которые, однако, как я полагаю, мо-
гут убедить в том, что Гёте не мог оставаться в неизвест-
ности относительно того глубокого уважения, которым
пользовался Гаусс.
Гёте было уже 47 лет, когда Гаусс стал известен
в научных кругах. 1 июня 1796 г. в «Интеллигенблатт» —
приложении ко «Всеобщей литературной газете»— было
опубликовано сообщение Гаусса об открытии им возмож-
ности построения правильного 17-угольника при помощи
7 Линденау подарил Гёте в общей сложности 14 автографов.
8 См. [20, стр. 236]. На это мне любезно указал господин Дитер
Гёрне из NFG/GSA. О том, что Карлу Августу Гаусс был изве-
стен, видно из письма Фридриха Кёрнера Гауссу от 3.7.1821:
«То, что Вы благосклонно выразили свою готовность помочь
по части телескопов, доставило Великому герцогу столько же
радости, сколько и мне» [21, в особенности стр. 19].
8 На это мне любезно указал господин Гёрне.
264
циркуля и линеики, содержащее также принцип нахож-
дения всех правильных многоугольников, допускающих
построение циркулем и линейкой. Это не привлекло вни-
мания Гёте, который едва ли мог понять, что тем самым
19-летний математик преступил границы той области
знания, которая не претерпевала изменений на протя-
жении двух тысячелетий. И появившиеся в 1801 г. зна-
менитые теоретико-числовые «Арифметические исследо-
вания» Гаусса утвердили его репутацию все же только
среди весьма узкого круга специалистов. Если во Франции
имелись полдюжины математиков, которые были в состоя-
нии глубже проникнуть в сущность предмета, то в Гер-
мании еще меньшее число лиц могло претендовать в этом
вопросе на роль компетентных экспертов. Поэтому для
Гаусса было отрадно узнать в 1808 г., что.в далекой Ка-
зани студенты уже занимаются по его книге под руко-
водством друга Гаусса Мартина Бартельса. Но широкой
известности имени Гаусса в Европе и Северной Америке
способствовала особая причина.
С тех пор, как высказанная уже Кеплером гипотеза
(О существовании планеты между Марсом и Юпитером по-
лучила новую поддержку в виде имеющего почти геомет-
рический характер «закона расстояний» (от планет до
Солнца) Тициуса —Боде (1766, соответственно 1772),
подтвердившегося открытием Урана Виллиамом Герше-
лем, поиски новой планеты стали интенсивнее. Резуль-
тат, к которому могли привести эти усилия, интересовал
весь мир. Наконец, в 1801 г. в Палермо Пиацци от-
крывает малую планету — Цереру, однако его наблюде-
ний оказалось недостаточно для определения орбиты
традиционными способами, и надежды вновь отыскать
эту планету быстро свелись к минимуму. И лишь эфеме-
риды, сообщенные Гауссом, помогли бременскому врачу
и астроному-любителю Вильгельму Ольберсу вновь
отыскать ее на небе 1.1.1802. Теперь Гаусс за одну ночь
стал знаменитостью. Уже 5 сентября получает он, напри-
мер, приглашение в Петербург10. Невозможно, чтобы
Гёте, встречая в то время имя Гаусса, не запечатлел его
10 Письмо Гаусса Фуссу от 20.10 1802 (см. [22], в особенности
стр. 219). Фотокопиями этих материалов я обязан господину
А. П. Юшкевичу. (О взаимоотношениях Гаусса с Петербург-
ской академией см. статью Е. П. Ожиговой, помещенную р этом
ще сборнике.—Ред.)
265
в своем сознании, тем более что, как это справедливо от-
мечает Дитрих Баттенберг (см. [19, стр. 85—86]), откры-
тие малых планет оказало значительное влияние на
тогдашнее решение основать в Иене университетскую об-
серваторию. Когда Александр фон Гумбольдт возвратил-
ся в Париж из своего большого путешествия по нынеш-
ним Венецуэле, Кубе, Колумбии, Эквадору, Перу и
Мексике, имя Гаусса было там «на всех устах» 11. И при
этом весть о появлении «нового Ньютона» не проникла из
Брауншвейга в Веймар? Но посмотрим далее.
В начале 1808 г. в новообразованном королевстве
Вестфалия контрибуция взыскивалась в форме принуди-
тельного займа [9, стр. 39—40]. На долю Гаусса выпало
2000 франков. Упомянутый выше Вильгельм Ольберс
предоставлял ему тогда в распоряжение эту сумму. Гаусс
не принял предложенный другом подарок. Тогда эти
деньги внес за Гаусса Лаплас. Облагодетельствованный
таким манером Гаусс выслал деньги обратно вместе
с процентами. Наконец, из города, где родился Гёте,
были доставлены ему 1000 гульденов, отказаться от кото-
рых он не смог потому, что сделавший пожертвование
остался неизвестным. Только в дальнейшем узнали, что
покровителем Гаусса был Теодор фон Дальберг, первен-
ствующий князь Рейнского союза, являвшийся прежде
эрцканцлером, последний курфюрст Майнцкий. Когда
человек, бывший в прошлом «соседом и товарищем»12
Гёте, с которым он «прожил много прекрасных дней» 13,
поступает таким образом, получив известие о том, что
произошло с неким Гауссом, то может ли тогда для Гете
оставаться секретом, какой ранг закреплен за математи-
ком из Гёттеигена, согласно сложившемуся в Германии
и за ее пределами мнению? Сама постановка вопроса вле-
чет за собой отрицательный на него ответ.
Вспомним далее о том, что Гёте и Гаусс имели общих
друзей, знакомых и корреспондентов. Я называл Сарто-
риуса, Поссельта, Бернарда фон Динденау, а также
Александра фон Гумбольдта, которые лично были знако-
мы как с Гёте, так и с Гауссом, и состояли с ними в дру-
жеской переписке. Могут быть названы и многие другие
11 Письмо А. фон Гумбольдта к П. Г. Л. Дирихле (июнь 1855 г.)
см. [23, стр. 125].
12 Письмо Гёте к К. Ф. Цельтеру от 10.4 1827 см. [24, стр. 125].
13 Письмо Гёте к И. Ф. Г. Шлоссеру от 23.2.1818 см. [25, стр. 42].
266
лица, связанные с обоими. В дальнейшем я еще упомяну
о некоторых из них. Представляется немыслимым, что
Поссельт, будучи руководителем обсерватории в Иене,
никогда не упомянул при Гёте, которому как раз был
вменен в обязанность верховный надзор над научными
и культурными заведениями, имя своего великого учите-
ля, который до этого хотел устроить его на должность
профессора в Грейфевальде14.
Итак, не подлежит сомнению, что Гёте знал, кто такой
Гаусс и каким высочайшим уважением пользуется он
в научном мире. Если он, вопреки этому, никогда не произ-
носил его имени и, не считая двух надписей па автогра-
фах писем Гаусса, ничего о нем не писал, то это происхо-
дит намеренно — он не хотел ничего о нем слышать. Само
собой разумеется, можно назвать немало таких именитых
современников, о которых Гёте также не упомянул ни
разу, поскольку он просто пе имел с ними точек сопри-
косновения, и в этом не было необходимости. Гаусс пе
принадлежал к их числу. Здесь дело, как это видно из
приведенного ниже случая, обстояло иначе.
В марте 1817 г. Гёте готовил для сцены комедию Ав-
густа Коцебу «Обокраденные». Случилось так, что в этой
пьесе в одной реплике были упомянуты Лейбниц и Гаусс
и, именно, следующим образом: «Пусть будете вы таким
же ученым, как Лейбниц или Гаусс» [26, стр. 194]. Здесь
вмешался Гёте. Он вычеркнул имя Гаусса и заменил его
именем Канта, так что теперь фраза звучала следующим
образом: «Сделайтесь такими же совершенными, как Лей-
бниц, таким же великим, как Кант» [27, стр. 354—355].
Теперь в новом свете предстают и «различные имеющие
место обстоятельства и прочее, на что следует обратить
внимание», которые побудили Гёте отказаться «от перво-
начального намерения» 15 направить преемника Поссель-
та Людвига Шрепа «в Готту или в Гёттинген» 16, чтобы
он «смог бы продвинуться на более высокую ступень ма-
тематических познаний». Здесь Гёте обнаруживает хоро-
шее знакомство с именами ведущих немецких астрономов
14 Письмо Гаусса к И. Кисторпу от 21.4.1818. Архив Университета
в Грейфевальде: Phil. Fak., Bd. 15, Fol. 305. Копией письма
я обязан госпоже доктору И. Ян, Берлин.
15 Письмо Гёте к Карлу Августу от 1.3.1827 [28, стр. 414].
16 В Гёттинген, следовательно, к Гауссу или Гардингу. Кажется,
на них обратил вначале внимание Карл Август (см. [19, стр. 88]).
267
того времени — в том же самом письме от 1 марта 1827 г.
он предложил Карлу Августу послать Шрена в Кёниг-
сберг к Фридриху Вильгельму Бесселю 17, так как Бес-
сель «считается одним из превосходнейших астрономов».
И на самом деле Бессель и Ольберс были вслед за Гауссом
самыми значительными астрономами своего времени.
Летом 1829 г. Гёте посетил бельгийский астроном и
статистик Адольф Кетле с супругой и вслед за тем пое-
хал к Гауссу [29]. Кетле был превосходно принят обои-
ми, оба оказали ему большое доверие. Он не только
принимал участие вместе с супругой в праздновании 80-ле-
тия Гёте, по на него было возложено деликатное поруче-
ние сообщать в Веймар с предстоящего съезда естествоис-
пытателей в Гёйдельберге все отзывы о Гёте как об есте-
ствоиспытателе. Гаусс, в свою очередь, вопреки своему
обыкновению, рассказал Кетле о том, что он собирается
опубликовать, и был с ним чрезвычайно любезен. Кетле
детально описал эти встречи, ио он ни единым словом
не обмолвился о реакции Гёте на его намерение от-
правиться вслед за этим в Гёттинген или реакции Гаус-
са на его рассказы о том почете, с которым он был встре-
чен в Веймаре и которого он совершенно не ожидал. Это
не случайно, здесь Кетле ни о чем не умалчивает. Про-
сто и Гёте, и Гаусс хранили молчание.
Теперь я попытаюсь дать объяснение сознательному
игнорированию Гаусса со стороны Гёте и критическому
отношению Гаусса к Гёте. Может ли быть причиной пове-
дения Гёте цитированное высказывание Гаусса о Гёте,
сделанное им в разговоре с Сарториусом? Это исключено:
разговор должен был произойти после 1830 г., даже
в высшей степени вероятно, что после смерти Гёте (1832),
когда Сарториус уже окончил свое учение; вероятно, он
имел место даже после 1843 г. в период, когда Гаусс по-
стоянно находился в обществе Сарториуса [30]. Возмож-
но, конечно, что уже задолго до этого Гаусс высказался
при случае аналогичным образом в разговоре с собесед-
ником, па чью сдержанность он полагался, и что его отзыв
затем был все же сообщен в Веймар, возможно, в огруб-
ленном и искаженном виде, как это бывает со сплетнями.
Не исключено, что это было сделано в письменной форме.
В отношении неопубликованной части писем, адресован-
17 Из финансовых соображений Шрен был послан, однако, не к
Бесселю, а все-таки в Готту к Ганзену.
268
ных Гёте, в настоящее время не представляется возмож-
ным сделать заключение на этот счет, так как работа над
этой перепиской для запланированного ее издания еще не
находится на той стадии, когда известны все лица, упо-
мянутые в переписке 18.
Я полагаю, что одну из причин того, что Гёте игнори-
ровал Гаусса, мы должны видеть в молчании Гаусса по
поводу «Учения о цвете» Гёте. С того дня, как Гёте полу-
чил от Штиммеля заказ Гаусса для аукциона от
24.11.1805 г., он знал, что Гаусс интересуется физической
оптикой, — из семи заглавий, которые пожелал приобре-
сти Гаусс, три относятся к этой области... Всех трех ав-
торов цитировал и Гёте 19. Если бы Гаусс обнародовал
какую-либо критику, то стала бы возможной и антикри-
тика, в то время как авторитет, храпящий молчание,
был решительно неуязвим. Тот факт, что человек, чье
мнение должно было иметь для Гёте наибольшую цен-
ность, прошел мимо его «милого злосчастного Учения
о цвете» 20, его «с такой любовью взращенного дитя» 21,
было чувствительным ударом, который не был ни забыт,
ни прощен. Когда резонанс, вызванный его «Учением
о цвете», помог ему также «лучше узнать людей» 22, он
узнал теперь, что Гаусс является сторонником Ньютона.
И, действительно, Гаусс питал к Ньютону «безграничное
почтение и называл его обыкновенно в своих сочинениях
«Великий Ньютон» (summus Newton) — эпитет, которым
он пе награждал более пи единого из смертных» 19,
стр. 84]. Полемика Гёте против Ньютона, бесспорно уди-
вительно резкая и получившая название «разоблачение»,
должна была вызвать возмущение у Гаусса, который ста-
вил Ньютона выше Лейбница [9, стр. 85]. Выступить
с антикритикой Гаусс по многим причинам не считал для
себя возможным.
Известно, что Гаусс считал неудобным высказать
свое мнение по собственной инициативе и испытывал
отвращение к любой полемике. Кроме того, проистекав-
шая из его абсолютной честности и правдивости песпо-
18 Сообщение господина Дитера Гёрне из NFG/GSA, руководителя
работы по подготовке издания писем к Гёте.
19	П. Буге [4, П/6: стр. 275], Р. Ж. Бошкович [4, П/3, стр. 33],
И. Ф. фон Родэ [4, 1/8, стр. 208].
20	Письмо Гёте к Сарториусу от 4.11. 1809 [10, стр. 96].
21	Письмо Сарториуса к Гёте от 8.4.1810 [10, стр. 106].
12	Письмо Гёте к Сарториусу от 19.7.1810 [10, стр. 112].
269
собность высказаться подробно о том, чему он не может
«с полной убежденностью дать весьма похвальный от-
зыв» 23, окончательно удерживала Гаусса как от напи-
сания письма, так и от какой-либо рецензии. Такой пози-
ции Гаусса способствовало то, что он чувствовал недо-
ступным для себя свойственное Гёте художественное
восприятие природы. С такой точки зрения вопрос о при-
чинах игнорирования Гауссом «Учения о цвете» Гёте
и упорной отчужденности Гёте по отношению к Гауссу
сводится к вопросу об отношении Гёте и Гаусса к мате-
матике. В этом истинная причина непримиримых противо-
речий.
Существует серия работ, посвященных вопросу «Гёте
и математика». Я не собираюсь еще раз вкратце повто-
рять то, о чем было многократно сказано.
Что мог подумать Гёте, когда прочел в письме, пода-
ренном Линденау, что число всех получающихся при его
вычислениях уравнений близко к 400?
Что мог почерпнуть Гёте, который изгонял из своего
языка числа 24, в образе мыслей Гаусса, сумевшего уви-
деть «поэтическую» сторону в вычислении таблиц лога-
рифмов [33, стр. 254]. Если Гёте когда-либо услышал
об этом, то уже применение слова «поэтический» в этой
связи должно было показаться ему ересью. Нет, здесь
противостояли два антагониста, противоположность
которых была непреодолима. Это обнаруживается и в том,
что Гаусс являлся поклонником Жан-Поля. При всем
уважении, которое мы в наше время вновь оказываем
буржуазному гуманисту и другу народа Жан-Полю, ни-
кому всерьез не пришло бы в голову ставить его выше
Гёте. Но мы не должны забывать, что Гаусс в его время
был не единственным, кто переоценил Жан-Поля.
Гёте знал о пристрастии Гаусса к Жан-Полю с момента
приобретения упомянутого письма к Штиммелю, в кото-
ром Гаусс заказал наряду с тремя работами по физике
четыре книги Жан-Поля [34]. Мы имеем право, соблюдая
требующуюся осторожность, заметить, что, конечно,
знание этого факта не служило тому, чтобы уменьшить
предубеждение Гёте в отношении Гаусса.
Перечисление противоположных качеств двух антипо-
дов можно продолжить. Они начинаются с социального
23 Письмо Гаусса к Шумахеру от 6. 7. 1840 [31, стр. 385].
24 Письмо к К. Л. фон Кнеблю от 25. 11. 1808 [32, стр. 224].
270
происхождения — здесь сын королевского советника, там
выросший при самых стесненных обстоятельствах сын
«мясника и каменщика». Они продолжаются в вопросах,
касающихся мировоззрения и религии — здесь «послед-
ний из язычников», там убежденный верующий, свобод-
ный, однако, от догм и вероисповедания. Они отражены
в характере семейных отношений — здесь величие, там
скромная простота; они существуют в различии в знании
мира — здесь человек, много путешествовавший и узнав-
ший мир, там человек, который редко выбирался за преде-
лы дальних окрестностей своего княжества, если не
принимать во внимание его поездку в Баварию. И они
могут найти дальнейшее подтверждение во многих раз-
личиях во взглядах и образе жизни.
Чтобы достичь взаимопонимания и обоюдного уваже-
ния, нужна была бы личная встреча. Из-за ее отсутствия
не мог быть достигнут и духовный контакт. Ныне мы можем
только глубоко сожалеть, что два таких уникальных
явления в духовной жизни оказались чуждыми друг дру-
гу. Но задачей их духовных и культурных наследников
является наведение мостов между миропониманием, свой-
ственным художнику, и математическим отражением реаль-
ного мира.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Е. Brennecke. Goethe und Gauss. In: Zs. fur Vermessungswesen,
1952, 77, 49—53.
2.	P. Epstein. Goethe und die Mathematik. In: Jb. d. Goethe —
Ges., 1924, 10, 76—102.
3.	W. Lorey. Goethes Stellung zur Mathematik. In: Goethe als
Seher und Erforscher der Natur. Hrsg. v. Johannes Walther.
Halle, 1930, 131 — 156, 309—312.
4.	J. W. Goethe. Die Schriften zur Naturwissenschaft. Hrsg. i.
A. der. Dt. Akad. d. Naturforscher Leopoldina'(в дальнейшем—
LA), 1/6 und 11/6.
5.	K. Bulling. Die Rezensenten der Jenaischcn Allgemeinen Lite-
raturzeitung im ersten Jahrzehnt ihres Bestehens, 1804—1813.
Weimar, 1962.
6.	H. Buppert. Goethes Bihliothek. Katalog. Weimar, 1958.
7.	K. Bulling. Goethe als Erneuerer und Benutzer der Jenaischen
Bihliotheken. Jena, 1972.— LA 11/6, 268—269.
8.	E. Keudell. Goethe als Benutzer derWeimarer Bihliothek. Ein
Verzeichnis der von ihm entliehenen Werke. Hrsg. v. Werner
Deetjen. Weimar, 1931.
9.	W. Sartorius von Waltershausen. Gauss zum Gedachtniss. Leip-
zig, 1856. Nachdruck Wiesbaden, 1965.
10.	Goethes Briefwechsel mit Georg und Caroline Sartorius. Hrsg.
v. Elge von Monroy. Weimar, 1931 (в дальнейшем — G/S).
271
11.	T. Gerardy. Nachtrage zum Briefwechsel zwischen Carl Fried-
rich Gauss und Heinrich Christian Schumacher. Gottingen, 1969.
12.	W. Gresky. Der Jenaer Universitatsmechaniker Dr. Friedrich
Konig [правильно — Korner] — ein Vorlaufer von Zeiss und
Schott — in seinen Briefen an Carl Friedrich Gauss. (Teil I).
In: Thiiringen. Landeskundl. Blatter. Mainz, 1973, Heft 8,
12—16. в особенности 14 (Brief. Korners an Gauss vom 19.2.
1812).
13.	W. Gresky. Der Jenaer Universitatsmechaniker Dr. Friedrich
Konig — ein Vorlaufer von Zeiss und Schott — in seinen Brie-
fen an Carl Friedrich Gauss (Teil I). In: Thiiringen. Landes-
kundl. Blatter. Mainz, 1973.
14.	H. J. Schreckenbach. Goethes Autographensammlung. Weimar,
1961, 75, Nr. 540 und 541.
15.	J. W. Goethe. Werke. Weimarer Ausgahe (WA), IV/22.
16.	Goethe’s Naturwissenschaftliche Correspondenz (1812—1832).
Hrsg. v. F. Th. Bratranek. Bd. 1. Leipzig, 1874.
17.	J. W. Goethe. Werke. Weimarer Ausgahe, IV/23.
18.	W. Gresky. Aus Bernhard von Lindenaus Briefen an C. F. Gauss.
In: Mitt. Gauss —• Ges., 1968, Nr. 5, 12—46. insbes. 23 und 43.
19.	D. Wattenberg. Goethe und die Sternenwelt. Jb. d. Goethe —
Ges. N. F. 1969, 31, 66-111.
20.	Briefwechsel des Herzogs-Grossherzog Carl August mit Goehte.
Hrsg. v. Hans Wahl. Bd. 2. Berlin, 1916.
21.	W. Gresky. Der. Jenaer Universitatsmechaniker Dr. Friedrich
Korner. Ein Vorlaufer von Zeiss und Schott — in seinen Brei-
fen an Carl Friedrich Gauss. (Teil II). Thiiringen. Landeskundl.
Blatter. Mainz, 1973, Heft 9, 17—20.
22.	Письма Гаусса в С.-Петербургскую академию наук. Труды
ИИЕиТ АН СССР, 1, 1934, вып. 3, 209—238.
23.	К. R. Biermann. Zum Verhaltnis zwischen Alexander von Hum-
boldt und Carl Fridrich Gauss. Wiss. Zs. der Humboldt —
Univ, zu Berlin. Math.-Nat. R., 8, 1958/59, 121—130.
24.	J. W. Goethe. Werke. Weimarer Ausgahe, IV/42.
25.	J. W. Goethe. Werke. Weimarer Ausgahe, IV/50.
26.	Theater von August von Kotzebue. Bd. 35. Leipzig und Wein,
1841.
27.	J. W. Goethe. Werke. Weimerer Ausgahe, 11/13.
28.	Briefwechsel des Herzogs — Grossherzogs Carl August mit Goet-
he, Hrsg. Hans Wahl. Bd. 3.
29.	K. R. Biermann. Von Goethe zu Gauss. Stationen auf einer Rei-
se Adolphe Quetelets. Archives Internationales d’Histoire
des Sciences, 1970, 23, 207—213.
30.	J. B. Listing. Zur Erinnerung an Sartorius von Waltershausen.
Mitt. Gauss — Ges., 1967, Nr. 4, 19 — 24.
31.	Briefwechsel zwischen C. F. Gauss und H. Ch. Schumacher.
Hrsg. v. C. A. F. Peters. Bd. 3. Altona, 1861.
32.	J. W. Goethe. Werke. Weimarer Ausgahe, IV/20.
33.	M. Cantor. C. F. Gauss. Neue Heidelberger Jahrbiicher, 1899, 9.
34.	J. P. Richter. Auswahl aus des Teufels Papieren. Gera, 1789.—
Die unsichtbare Loge. Bd. 1, 2. Berlin, 1793.— Geschichte
meiner Vorrede zur 2. Auflage des Quintus Fixlein. Bayreuth
1797.— Das heimliche Klaglied der jetzigen Manner. Bremen,
О НАУЧНЫХ СВЯЗЯХ ГАУССА С ПЕТЕРБУРГСКОЙ
АКАДЕМИЕЙ НАУК1
Е. П. Ожигова
В обширной литературе, посвященной великому немец-
кому ученому Карлу Фридриху Гауссу (1777—1855), его
отношениям с Петербургской академией наук, уделяется
довольно скромное место. Биографы ученого ограничи-
ваются обычно упоминанием о приглашении Гаусса в
Петербургскую академию на должность астропома-паб-
людателя и об его отказе от этого предложения. Иногда
высказываются разные соображения о причинах отказа.
Порой упоминают о переписке Гаусса с непременным сек-
ретарем Академии Н. И. Фуссом и с академиком
Ф. И. Шубертом, но забывают при этом, что ряд писем
Гаусса в Петербургскую академию наук был опубликован
еще в 1934 г. [1] и что еще несколько его писем Ф. И. Шу-
берту и П. Л. Шиллингу также напечатаны [2—4]. Кроме
того, описанию связей Гаусса с русскими учеными была
посвящена статья М. И. Радовского «Гаусс и его связи
с Россией» [5] и публикации [6].
Дополнительные сведения о взаимоотношениях Гаус-
са с Петербургской академией наук содержатся в прото-
колах заседаний Конференции Академии [7, 8]. В настоя-
щей заметке дается краткий обзор записей, касающихся
первого периода связей Гаусса с Академией Наук.
По-видимому, первое упоминание имени Гаусса отно-
сится к протоколу заседания 7 марта 1799 г. (ст. ст.),
когда было зачитано письмо Циммермана от 16 февраля
с сообщением о предстоящем выходе в свет «Арифметиче-
ских исследований» Гаусса.
Немецкий ученый Эбергард Август Вильгельм Цим-
мерман (1743—1815) с 1766 г. был профессором физики
в Брауншвейге. Он много путешествовал, бывал и в Рос-
сии, напечатал несколько больших сочинений о своих
1 По материалам протоколов заседаний Конференции Ими. Акаде-
Мии наук.
273
поездках. Неоднократно он представлял свои труды Пе-
тербургской Академии наук, находился в переписке с Ака-
демией, особенно интенсивной была эта корреспонденция
в конце XVIII — начале XIX в. Через него, а также через
Боде и Цаха (см. ниже) поступала в Академию литература
по математике, физике, астрономии, от него узнавали о
новостях научной жизни Европы, в первую очередь Гер-
мании. 28 июля 1794 г. по предложению директора Акаде-
мии наук княгини Е. Р. Дашковой Циммерман, Цах и
Боде за оказываемые Академии услуги были избраны
почетными членами Академии, а в 1797 г. Боде — членом-
пенсионером.
От Циммермана, жившего в Брауншвейге, не могло
ускользнуть такое важное событие, как подготовка и
предстоящий выход в свет капитального труда по теории
чисел его молодого друга Карла Гаусса, которому он покро-
вительствовал. Следующие упоминания о Гауссе снова
связаны с письмами Циммермана. 29 октября 1800 г.
было зачитано его письмо от 19 октября (н. ст.), в котором
Циммерман сообщал, что послал на имя покойного неп-
ременного секретаря Академии И. А. Эйлера один экзем-
пляр ценной диссертации доктора Гаусса и обещал вско-
ре прислать большой математический труд того же авто-
ра, которого очень хвалил.
В связи с тем, что в это время был наложен запрет на
ввоз иностранной литературы в Россию, Академия не
получила первой посылки Циммермана и, зная, что не
получит и других его посылок, поручила секретарю напи-
сать Циммерману, Цаху и Боде письма с просьбой сохра-
нить все книжные посылки, предназначенные для Акаде-
мии, до тех пор, пока их Академия не запросит.
Третье упоминание о Гауссе было в письме Циммер-
мана, зачитанном секретарем 14 января 1801 г. В письме
содержались различные новости относительно опытов,
посвященных изучению гальванических явлений. А затем
говорилось об аналитических трудах Гаусса. Циммерман
отзывался о них с большой похвалой и дал их краткое
изложение. К сожалению, это письмо пока не обнаружено.
12 апреля 1801 г. вице-президент Академии С. Я. Румов-
ский прочел указ о снятии запрета па ввоз иностранной
литературы, который был наложен еще 16 апреля 1800 г.
Непременному секретарю было поручено незамедлитель-
но известить всех корреспондентов Академии о снятии
274
запрета, Чтобы они могли с первой же оказией выслать
все, что у них хранилось и было предназначено для Пе-
тербургской академии.
Вскоре книги начали поступать. Профессор Берлин-
ского университета и директор Берлинской обсерватории
Иоганн Элерт Боде (1747—1826) также постоянно перепи-
сывался с Академией и пересылал литературу. Он послал
книги водным путем через Штеттин (протокол 27 мая).
В письме от 9 мая 1801 г., извещавшем Академию об от-
правке книг, Боде сообщил также об открытии новой ко-
меты (впоследствии оказавшейся планетой) итальянским
астрономом Пиацци (Piazzi, 1746—1826, почетный член
Академии наук). Боде добавил, что, по его мнению, сов-
падающему с мнением других астрономов, это не комета,
а планета, находящаяся между Марсом и Юпитером.
3 июня 1801 г. секретарь сообщил о получении книг от
Боде и в том же заседании прочел письмо от Цаха, прис-
ланное в ответ на сообщение об отмене запрета на ввоз
иностранных книг.
Франц Ксавер Цах (1754—1832) был директором об-
серватории близ Готы. Его учениками были многие из-
вестные астрономы того времени. Он вел обширную пере-
писку с учеными разных стран, в 1798 г. основал журнал
«Географические эфемериды» (Geographische Ephemeriden),
в 1800 г.—«Ежемесячную корреспонденцию» (Monatliche
Correspondenz). Цах был центром, к которому стягивались
нити от всех астрономических обсерваторий того периода.
Переписывался он и с Петербургской Академией наук
и с ее членами, в первую очередь с С. Я. Румовским.
В первом томе его «Ежемесячной корреспонденции» была
напечатана статья о С. Я. Румовском с портретом этого
русского ученого [9].
В упомянутом выше письме Цах, в свою очередь, со-
общил об открытии новой кометы, которую он считал пла-
нетой. Он добавил некоторые подробности об этой звезде
в письме к С. Я. Румовскому от 25 мая (н. ст.). Цах писал
о том, что существование новой планеты было предсказано
еще Ламбертом, и сообщал о плане систематических поис-
ков этой планеты, которую предполагали существующей,
хотя ее никто не видел. План был подготовлен еще в 1800 г.
Ассоциацией астрономов, которые собирались у астронома
Шретера (Иоганн Шретер, 1745—1816) в Лилиентале близ
Бремена.
275
Вскоре С. Я. Румовский написал Цаху письмо, содер-
жавшее просьбу рекомендовать Академии какого-нибудь
хорошего астронома, который согласился бы принять пред-
ложение Академии. Цах рекомендовал пять человек, но,
по-видимому, ни с одним из них Академия не смогла до-
говориться или сочла эти кандидатуры малопригодными
для замещения вакансии астронома-наблюдателя. Цах со-
общил также, что отправил все книги, находившиеся у
него во время запрета. Он снова писал об открытой Пиацци
новой планете и вместе с письмом прислал корректуру
своей заметки о ней.
21 июня 1801 г. секретарь Академии прочел небольшой
мемуар по геометрии «Ubersicht der Griiiide der Coiistruc-
tibilitat des Siebenzehneckes» 1 («Пояснение возможности
построения семнадцатиугольника»), который прислал ему
Гаусс из Брауншвейга для представления Академии, как
образец, способный дать идею его сочинения «Ариф-
метические исследования».
В конце своей заметки Гаусс писал, что он пользовал-
ся в ней совершенно другими приемами, чем в книге, так
как не хотел использовать ничего лишнего. Но что по су-
ществу основа доказательства та же самая. Он послал этот
небольшой мемуар, чтобы Академия могла заранее со-
ставить себе выгодное впечатление о его труде «Арифмети-
ческие исследования», в седьмом разделе которого эта
теория развивается с наибольшей полнотой.
Дальше в протоколах много раз говорилось о письмах
и посылках Циммермана, Боде и Цаха. Боде и Цах писали,
что безрезультатно искали новую планету Пиацци.
18 ноября 1801 г. были получены от цензуры ящики с
книгами, присланные Боде и Циммерманом. В числе прис-
ланных книг оказались «Арифметические исследования»
Гаусса [10] и его работа «Новое доказательство теоремы:
всякая целая алгебраическая функция одной переменной
может быть разложена на вещественные множители пер-
вой или второй степени» [11].
Вскоре пришло письмо от Гаусса от И декабря 1801 г.
(н. ст.) Секретарь прочел это письмо 20 декабря. В нем со-
держались элементы новой планеты Пиацци, названной
Церерой, вычисленные в соответствии с первоначальными
наблюдениями Пиацци. Гаусс объяснил, что четыре раза
1 Так написано в оригинале.
276
выполнил вычисление орбиты этой планеты: три раза по
данным о наблюдениях Пиацци, опубликованным в сен-
тябрьском номере журнала Цаха, а четвертый раз — по
первоначальным наблюдениям самого Пиацци. Последние
вычисления, по его словам, были самыми точными. Гаусс
заметил, что места, вычисленные по этим элементам, от-
личаются от наблюдаемых мест самое большее на 5*,
будь то широта или долгота.
Свои вычисления Гаусс передал Цаху, и они были напе-
чатаны в декабрьском номере того же журнала. На осно-
вании их Гаусс указал эллиптическую орбиту, соответст-
вовавшую наблюдениям Пиацци и позволившую через нес-
колько дней обнаружить долгожданную звезду. Ее увидел
Ольберс в Бремене, затем Боде в Берлине.
Боде сообщил о своих наблюдениях Петербургской ака-
демии наук, заметив, что они стали возможными благо-
даря указанной Гауссом орбите. Письмо было прочитано
31 января 1802 г. Автор письма подчеркнул, что эллипс
доктора Гаусса дает и сейчас положения этой планеты с
удивительной точностью. В соответствии с этим эллипсом
скоро Церера станет почти неподвижной, а затем получит
попятное движение. К середине марта она окажется в про-
тивоположном положении, затем снова будет совершать
попятное движение до начала мая и т. д.
Вторичное обнаружение Цереры прославило молодого
Гаусса как астронома. До этого его только что узнали как
математика, благодаря его первым трудам, посвященным
алгебре и теории чисел. Слава Гаусса, по-видимому, ока-
зала влияние на президента Академии наук. Во всяком
случае, следующий параграф протокола (§ 33) посвящен
важному событию: секретарь с согласия президента пред-
ложил принять в члены-корреспонденты Академии док-
тора Карла Фридриха Гаусса из Брауншвейга, известного
с самой лучшей стороны своими трудами по анализу,
представленными Академии, а с недавнего времени — сво-
ими вычислениями для новой планеты Цереры, которым
главным образом астрономы обязаны ее отысканию. 31 ян-
варя 1802 г. Гаусс был единогласно избран членом-кор-
респондентом Петербургской академии наук.
Астронома-наблюдателя в Академии все еще не было.
21 апреля 1802 г. президент обратился к академикам с
просьбой предлагать кандидатуры ученых, имеющих хо-
рошую репутацию и таких, о которых можно предполо-
277
жйть, что они согласятся принять приглашение за-
нять места ординарных академиков и способны будут с
честью выполнять свои обязанности. Секретарь предложил
для замещения вакансии астронома двух ученых, поль-
зующихся прекрасной репутацией и расположенных за-
пять место в Академии: 1) доктора Карла Фридриха Гаус-
са, известного Академии с наилучшей стороны своими
«Disquisitiones arithmeticae», и в то же время законченно-
го астронома-теоретика, как показали его трудные и точ-
ные вычисления орбиты Цереры; 2) г. Солднера, астро-
нома, связанного с Берлинской обсерваторией, ученика
и помощника Боде, человека, который, по мнению его
учителя, является знатоком наблюдений и астрономических
вычислений и который к тому же уже известен несколь-
кими заслуживающими внимания мемуарами, напечатан-
ными в «Астрономическом ежегоднике».
Затем секретарь прочел письма от профессора Пфаффа
из Гельмштедта и от профессора Боде из Берлина, в кото-
рых Гаусс и Солднер усиленно рекомендовались как очень
способные молодые ученые, могущие во всех отношениях
оправдать надежды Академии. Большинство Конферен-
ции сочло эти кандидатуры весьма достойными быть
включенными в список кандидатов на должность акаде-
мика по астрономии, когда дело дойдет до замещения ва-
кансий ординарных академиков.
Но сам факт приглашения в Академию иностранных
ученых вызвал неудовольствие некоторых академиков.
25 апреля 1802 г. академик С. Е. Гурьев передал письмен-
ное заявление относительно выбора нового астронома.
В его заявлении говорилось, что: 1) приглашение иност-
ранного ученого для замещения места в Академии запре-
щено 36-й статьей Регламента 2; 2) согласно представлению,
сделанному некогда С. Я. Румовским П. П. Бакунину 3 * * * * 8,
2 § 36 Регламента 1747 г. гласил: «Россия не может еще тем до-
вольствоваться, чтоб только иметь людей ученых, которые уже
плоды науками своими приносят, но чтобы всегда на их места
заблаговременно наставлять в пауках молодых людей, а особливо,
что за первый случай учреждение академическое не может быть
сочинено инако, как из иностранных по большой части людей; а
впредь должно оно состоять из природных российских. Того ради
к Академии другая ее часть присоединяется — университет»
[12, стр. 49].
8 П. П. Бакунин — занял место • директора Академии после
Е. Р. Дашковой в 1794 г.
278
теперешняя обсерватория построена таким образом, что
наблюдения, которые там производятся, неспособны обо-
гатить и усовершенствовать науку, что нужна, следова-
тельно, новая обсерватория и что, прежде чем она будет
построена, бесполезен астроном, а в ожидании этой новой
обсерватории можно было бы подготовить отечественных
молодых людей по практической астрономии; 3) если речь
идет о том, чтобы найти способных молодых людей, под-
готовленных к такому обучению, то он мог бы предложить
нескольких, чьи достоинства и усердие ему известны, а
именно корреспондента Академии В. И. Висковатова, Ива-
на Разу Мишина, Опацкого.
Секретарь запросил мнение других академиков мате-
матического класса об этом предложении С. Е. Гурьева,
В. Л. Крафт и Ф. И. Шуберт, к мнению которых присое-
динился секретарь Н. И. Фусс, заявили, что, хотя обсер-
ватория и имеет существенные недостатки, они не помеша-
ли в течение свыше 60 лет проводить там бесчисленные
наблюдения, которые ни в точности, пи в интересе не ус-
тупают наблюдениям самых лучших европейских обсер-
ваторий, поскольку хороший астроном может извлечь
многое из самых скромных средств; что было бы стыдно
для Академии и предосудительно для прогресса науки,
которую опа должна культивировать по самому своему
назначению, отложить замещение вакансии астронома до
появления новой обсерватории и оставаться в течение не-
скольких лет без наблюдателя, когда имеется обсервато-
рия с многочисленными специальными инструментами,
в то время когда астрономы всех стран заняты изучением
неба и большими открытиями, которые следуют одно за
другим с удивительной быстротой; что предложение
С. Е. Гурьева воспитать молодых людей из своего отечест-
ва может и должно быть принято к исполнению и это явит-
ся еще одной причиной пригласить молодого, опытного и
энергичного астронома.
И. И. Фусс добавил, что упомянутая статья Регламента
говорит о том, что Академия должна будет состоять из
русских академиков, когда университет, который уже бо-
лее сорока лет перестал существовать, приведет ее к
возможности обойтись без иностранцев, что все возрастаю-
щее число отечественных академиков доказывает толь-
ко, что пе прекращается приближение к этой великой це-
ли, но что даже само предложение г. Гурьева доказывает,
279
что в настоящее время Академия еще не в состоянии обой-
тись без иностранцев, так как невозможно предложить
отечественного ученого, имеющего все качества, нужные
для того, чтобы достойно заместить вакансию академика
по астрономии.
Возможно, что случай с обсуждением замещения ва-
кансии астронома послужил причиной новой формулиров-
ки соответствующей статьи 23 нового Регламента 1803 г.
Она была более осторожной 4 *.
Тем временем, 26 мая 1802 г. секретарь прочел новое
письмо от Гаусса, благодарившего Академию за избрание
его членом-корреспондентом. Гаусс сообщал также опи-
сание трех попыток, предпринятых им для определения
элементов еще одной новой планеты — Паллады, от-
крытой Ольберсом в Бремене 28 марта 1802 г. Гаусс писал,
что метод, которым он пользовался, чтобы рассчитать,
орбиту Паллады, тот же самый, какой он использовал
6 месяцев назад для вычисления орбиты Цереры, что ме-
тод не содержит ничего гипотетического, а трактует оп-
ределение этих элементов как математическую задачу,
решение которой должно дать истинную орбиту настолько
точно, насколько позволяет природа данных и правиль-
ность наблюдений. Сначала он считал орбиту круговой
на основании наблюдений Ольберса, но сразу же понял,
что это невозможно. Ольберс тоже пробовал брать в ка-
честве орбиты круг и параболу, но бесплодно. Три попыт-
ки, предпринятые Гауссом, должны показать, что орбита
Паллады есть эллипс, эксцентриситет которого не на мно-
го превышает эксцентриситет Меркурия, что ее место
между Марсом и Юпитером и т. д.
В следующем письме Гаусс сообщил третьи элементы
Паллады, рассчитанные им по данным наблюдений анг-
лийского астронома Маскелина, сделанных с 23 апреля
по*16 мая. Эти элементы настолько хорошо соответство-
вали последним наблюдениям июля месяца, что ошибка
не превосходила 24" в прямом восхождении и нескольких
секунд в склонении. В письмах Боде, адресованных Ака-
4 В § 23 Регламента Академии 1803 г. было сказано: «Мы предо-
ставляем Академии право избрания на открывшееся место ака-
демика или адъюнкта, будучи уверены, что собственная честь
побудит академиков делать выбор, достойный их самих и первого
ученого общества в империи. При равных достоинствах ученый
российский предпочитается иноземцу» [12, стр. 68].
280
Дёмии, также говорилось о наблюдениях Паллады, сделан*
ных им и другими астрономами, и об идее Гершеля наз-
вать класс малых планет, представительницами которого
являются Церера и Паллада, астероидами. Гауссу, как
и Боде, это предложение не понравилось.
Профессор Циммерман в письме от 1 августа с восхи-
щением говорил об удивительном искусстве, какое зна-
менитый Гаусс в столь короткое время успел приобрести
в практической астрономии и благодаря которому он за-
нял среди астрономов-наблюдателей столь же высокий
ранг, какой он занимает среди астрономов-теоретиков
благодаря своему глубокому знанию небесной механики.
После письма Циммермана президент Академии
А. Л. Николаи заявил, что только сомнения относитель-
но расположения Гаусса заниматься практической аст-
рономией помешали Академии предложить ему место, ва-
кантное со времени отъезда аббата Анри 5, прежде чем
будут выяснены его намерения по этому поводу через про-
фессора Пфаффа 6. Узнав же из писем Циммермана и самого
доктора Гаусса, что последний не колебался бы расстать-
ся со своим отечеством, если бы получил место, соответст-
вующее его наклонностям, где- имел бы возможность
отдаться изучению астрономо-математических наук, прези-
дент высказал мнение, что надо без промедления восполь-
зоваться этим, чтобы Академия могла сделать столь цен-
ное приобретение.
Академики, присутствовавшие па заседании, поддер-
жали это мнение. Конференция поручила секретарю на-
писать Гауссу и предложить ему вакантное место астро-
нома на тех же условиях, какими пользовался аббат Анри.
Секретарь написал письмо 5 сентября. 20 октября 1802 г.
г. Гаусс ответил [1, стр. 219—221]. Он обдумал это пред-
ложение, соглашался на место астронома-паблюдателя и
считал, что после некоторой практики на какой-либо боль-
шой обсерватории, например обсерватории Цаха, сможет
быть достаточно подготовленным для этой работы. Но он
6 Анри (Ганри) Морис (М. Henry, 1763—1825) — ординарный ака-
демик в 1796—1800 гг., почетный член Академии в 1795—1796
и 1800—1825 гг.
6 Пфафф Иоганн Фридрих (1765—1825) — профессор математики
университета в Гельмштедте, член Берлинской академии наук
и литературы, почетный член Петербургской академии наук
е 1794 г.
281
связан обязательствами перед своим герцогом. Условия жё,
предлагаемые Академией, в сущности, незначительно пре-
восходят его обеспечение в настоящее время. Поэтому он
не решается оставить свое отечество и место, если не смо-
жет при этом значительно улучшить свое материальное
положение.
Действительно, предлагаемая ему ставка (1000 рублей
в год) не была достаточной. Секретарь понимал это. Он
обратился к министру и после переговоров с пим послал
Гауссу новое письмо, в котором предлагал оклад в 1200
рублей и квартиру. Но за это время и герцог Брауншвейг-
ский успел узнать, что его молодой «протеже» стал зна-
менитостью. Герцог удвоил его содержание и, главное,
приказал построить специально для Гаусса новую обсер-
ваторию в Брауншвейге.
Гаусс, проникнутый признательностью за честь, ока-
занную ему Академией, выразил в ответе свое большое со-
жаление, что не имеет возможности принять столь почет-
ное назначение, которое он рассматривал бы как свое самое
большое счастье, если бы его признательность своему мо-
нарху, удвоившему его содержание, не принудила его
считать своим долгом оставаться па службе и отказаться
от всяких мыслей об устройстве за пределами своего оте-
чества. В этом и в нескольких других письмах Гаусс про-
должал сообщать результаты вычисления элементов ор-
бит новых планет, которые очень хорошо согласовывались
с наблюдениями.
О своих чувствах, вызванных невозможностью прие-
хать в Петербург, Гаусс сообщил Ф. И. Шуберту в пись-
ме от 20 января 1803 г. Он писал, что понимает, как мно-
го теряет от того, что при теперешних обстоятельствах
не сможет воспользоваться этим счастьем: «Я издавна пи-
тал особое пристрастие к Петербургу, месту, над которым
витает тень Эйлера; я уже давно имею сильную склонность
к практической астрономии, итак, что могло быть для
меня более желательно, чем лестный призыв, которым ме-
ня почтила Академия? Правда, здесь были распростране-
ны преувеличенные слухи о тамошней дороговизне, по
Ваши заверения меня вполне успокоили на этот счет, ко-
рыстолюбие не в моем характере, и я уверен, что я очень
легко договорился бы с Академией относительно условий,
тем более, что согласно официальным сообщениям уже
последовало императорское утверждение штатов, с чем
282
я Вас сердечно поздравляю... Но ввиду теперешних обсто-
ятельств мне не суждено найти на этих путях свое счастье»
[2, стр. 786-787].
Узнав о том, что Гаусс отказался занять должность
астронома, президент Академии паук попросил берлин-
ского академика Боде пригласить на службу в Академию
в качестве астронома-наблюдателя его ученика Винцента
Вишневского (протокол 15 мая 1803 г.). 19 июня Боде со-
общил, что Вишневский с радостью принял это предло-
жение. Летом того же года он приехал в Петербург и прис-
тупил к выполнению своих обязанностей. Руководство
же академической обсерваторией было поручено Ф. И. Шу-
берту, считавшемуся в 1803 г. академиком по астрономии.
Вопрос о приглашении Гаусса в Академию снова воз-
ник в 1805 г. По сведениям, имевшимся в распоряжении
историка математики В. В. Бобынина [13], во время пре-
бывания герцога Брауншвейгского в Петербурге с ним ве-
лись переговоры о том, чтобы оп отпустил Гаусса в Рос-
сию, но они оказались безрезультатными. Вскоре герцог
Карл Вильгельм Фердинанд Брауншвейгский был раней
в бою и умер 10 ноября 1806 г. Гаусс остался без службы,
потерял своего покровителя и с женой и маленьким ре-
бенком на руках должен был вновь искать место. Гаусс
написал несколько писем непременному секретарю, из
них дошло только одно (от 20 октября 1806 г.), по-видимо-
му, с большим опозданием. Во всяком случае, оно не было
представлено, как это обычно делалось, Конференции.
Военные действия, происходившие в это время в Европе,
помешали письмам Гаусса попасть по назначению.
В письме, представленном Академии 16 декабря 1807 г.,
а отправленном 10 октября 1807 г. с профессором Бар-
тельсом, который ехал в Россию, Гаусс сообщил, что он
принял предложение занять место профессора астрономии
в Гёттингенском университете и главного директора
Гёттингенской обсерватории. С грустью он писал о том,
что во время оккупации Брауншвейга французскими вой-
сками стены строящейся обсерватории (обещанной ему
герцогом) сравняли с землей. Гаусс заверил, что с удоволь-
ствием будет продолжать переписку с Петербургом и об-
мениваться своими наблюдениями, вычислениями и ново-
стями с петербургскими астрономами [1, стр. 228—229].
В 1824 г. Гаусс был избран иностранным почетным чле-
ном Академии наук по представлению, подписанному
283
Ф. И. Шубертом. Н. И. Фуссом и В. Вишневским и про-
читанному Конференции 24 марта 1824 г.
«С согласия его превосходительства г. президента мы
предлагаем вниманию Конференции избрать в почетные
члены Академии корреспондента нашей Академии, с дав-
них пор прославленного многими важными открытиями
и превосходными трудами геометра Гаусса.
Ф. И. Шуберт, Николай Фусс, Винцент Вишневский»
(Архив АН, ф. 1, оп. 2—1824, ед. хран. 11, § 103, л. 1]).
Гаусс поблагодарил за избрание его в почетные члены
(§178, 2 июня 1824 г.) и в том же письме сообщил о пред-
принимаемой в Германии триангуляционной съемке. Под-
робнее сообщил об этом предприятии астроном из Аль-
тоны Г. X. Шумахер. Упоминания о Гауссе встречаются
и в других местах протоколов Конференции. Некоторые
письма Гаусса, Циммермана и других корреспондентов,
которые упоминаются в протоколах, пока не обнаружены.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Письма К. Ф. Гаусса в С. -Петербургскую академию наук.
Труды Ин-та истории науки и техники, серия 1, вып. 3. Л.,
1934, стр. 209—238.
2.	Из переписки П. С. Лапласа, К. Ф. Гаусса, Ф. В. Бесселя и
других с академиком Ф. И. Шубертом. Научное наследство.
Естеств.-научн. серия, т. I. М. — Л., Изд-во АН СССР,1948.
3.	Неопубликованное письмо К. Ф. Гаусса. Вестн. АН СССР,
1955, вып. 4, 109—111.
4.	Э. Я. Колъман. Неопубликованное письмо Гаусса. Труды
Ин-та истории естеств. и техники, 1955, т. 5, 385—394.
5.	М. И. Радовский. Гаусс и его связи с Россией. Природа, 1964,
№ 8, 108—109.
6.	Заседание, посвященное Гауссу. Вестн. АН СССР, 1948, вып. 1,
7.	Протоколы заседаний Конференции имп. Академии наук,
т. IV, 1786—1803. СПб., 1911.
8.	Протоколы заседаний Конференции имп. Академии наук.
Архив АН СССР, ф. 1, оп. 1-а.
9.	Stephan von Rumovski. Monatliche Correspondenz, Bd. 1. Gotha,
1800, 281—291.
IQ. Disquisitiones arithmeticae. Auctore C. F. Gauss. Sectio 1,
Brunsvick, 1801.
11.	Demonstratio nova theorematis: omnem functionem algebrai-
cam integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi
gradus resolvi posse. Auctore C. F. Gauss. Helmstadii, 1799.
12.	Регламент Академии наук, 1747 г. В кн.: «Уставы Академии
наук СССР». М., 1974.
13.	В. В. Бобынин. Карл Фридрих Гаусс. Очерк его жизни и де-
ятельн�