/
Автор: Юшкевич А.П.
Теги: алгебра математика дифференциальные уравнения естественные науки история математики
Год: 1986
Текст
ИСТОРИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
Выпуск
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ИНСТИТУТ ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
И ТЕХНИКИ
историко-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
Выпуск
XXX
Ответственный редактор
доктор физико-математических наук
А. П. ЮШКЕВИЧ
8
МОСКВА
«Н А У К А»
1986
УДК 512(091)
Историко-математические исследования: Сб. ста-
тей.— М.: Наука, 1986. Вып. 30.
В настоящем издании рассматриваются история
формирования концепции предела от Ньютона до Ко-
ши, возникновение теории дифференциальных урав-
нений с частными производными, формула Эйлера—
Маклорена, архивные материалы.
Рассчитано на историков науки, специалистов, ма-
тематиков.
Рецензенты:
доктор физико-математических наук
И. И. Кузнецов,
кандидат физико-математических наук
В. П. Визгни
Редакционная коллегия
С. С. Демидов, А. П. Паршин, А. Д. Соловьев,
Е. И. Славутпн (секретарь редакции)
, 1702020000-518 „
И 042(02)-86 95-86—IV
О Издательство «Наука», 1986 г.
СОДЕРЖАНИЕ
От редакции.............................................. 7
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
А. И. Юшкевич (Москва). Развитие понятия предела до
К. Вейерштрасса................................ ... Н
Л. В. Коновалова (Ленинград). Даламбер и общая теория
линейных обыкновенных дифференциальных уравнений 81
Н. С. Ермолаева (Ленинград). Русский перевод «Алгебраи-
ческого анализа» О. Коши с дополнениями А. А. Ильина 87
Л. И. Брылевская (Ленинград). К истории проблемы меры в
первой половине XX века................................. 97
Г. И. Синкевпч (Ленинград). Открытие В. Серпинсклм двой-
ственности между мерой и категорией.................... 113
ИЗ РАННЕЙ ИСТОРИИ
МОСКОВСКОЙ ШКОЛЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
С. С. Демидов (Москва). Из ранней истории Московской
школы теории функции................................... 124
Ф. А. Медведев (Москва). О курсе лекций Б. К. Млодзеев-
ского по теории функций действительного переменного, про-
читанных осенью 1902 г. в Московском университете . . . 130
С. М. Половинкин (Москва). О студенческом математи-
ческом кружке при Московском математическом обществе в
1902—1903 гг........................................... 148
П. А. Флоренский. Введение к диссертации «Идея прерыв-
ности как элемент миросозерцания». (Публикация и при-
мечания С. С. Демидова и А. Н. Паршина)................ 159
П. Н. Лузин [О рестрикторах]. (Публикация и примечания
С. С. Демидова)................"....................... 177
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
И. Г. Башмакова (Москва). О роли интерпретаций в исто-
рии математики......................................... 182
Б. А. Розенфельд (Москва). ГПгверсия относительно окруж-
ности и инверсия относительно эллипса, гиперболы и пара-
болы в «Конических сечениях» Аполлония................. 195
3
A. E. Малых (Пермь). Решение и развитие Эйлером комби-
наторных задач, относящихся к перечислению и располо-
жению элементов........................................ 199
И. А. Головинский (Москва). К обоснованию метода наимень-
ших квадратов у П. Л. Чебышева......................... 224
С. Г. Гиндикин (Москва). Идеи Плюккера в современной
математической физике.................................. 248
В. В. Мадер (Нижний Тагил). О логико-арифметической
концепции Готлоба Фреге................................ 261
ПУБЛИКАЦИИ
Н. Ф. Канунов (Владимир). Труд Ф. Э. Молина «Об инвариан-
тах групп линейных подстановок»........................ 306
Ф. Э. Молин. Об инвариантах групп линейных подстановок.
(Перевод |Э. Ф. Молиной]. Примечания Н. Ф. Канунова) 322
В. К. Жаров (Ташкент). О двух задачах трактата «Девять
книг по математике» Цинь Цзюшао........................ 338
Трактат выдающегося шейха Абу Сахла Виджана ибн Рус-
тама ал-Кухи о построении равностороннего пятиугольни-
ка в известном квадрате. (Перевод и примечания Б. А. Ро-
зенфельда и Р. С. Сафарова)............................ 343
Список опубликованных работ А. П. Юшкевича............. 352
Указатель пмен (сост. А. Ф. Лапко)..................... 358
SOMMAIRE
Editorial...................................................... 7
HISTOIRE DE L’ANALYSE MATHEMAT1QUE
A. P. Youschkevitch (Moscou). Le developpement de la notion
de limite jusqu’a 1’epoque de Weierstrass..................... 11
L. V. Konovalova (Leningrad). D’Alembert ct la theorie gene-
rale des equations differ entielles ordinaiies linear res .... 81
N. S. Ermolaeva (Leningrad). La traduction russe de Г «Analyse
algebrique» de A. Cauchy avec les supplements de Il’in . . . . 87
L.I. Brylevskaya (Leningrad). Pour 1’histoire du probleme
de la mesure dans le courant du premier moi Lie de XXе sifecle 97
G. I. Sinkevitch (Leningrad). Le decouverte par W. Sierpinski
de la dualite des notions de mesure et de categorie.......... 113
SUR LES DEBUTS DE L’ECOLE
DE LA THEORIE DES FONCTIONS DE MOSCOU
S. S. Demidov (Moscou). Surles debuts de 1’Ecole de la theorie
des fonctions de Moscou...................................... 124
F. A. Medvedev (Moscou). Sur les lemons de В. K. Mlodzeevski
sur la theorie des fonctions d’une variable rtelle doimees en
automne 1902 a i’Universite de Moscou........................ 130
S. M. Polovinkine (Moscou). Le cercle des etudiants mathemati-
ciens aupres de la Societe Mathematique de Moscou en 1902—
1903 ........................................................ 148
P. A. Florenski. Introduction a la lh( se «L’idee de ^discontinuity
comme un element de la conception du monde» (publie et an-
note par S. S. Demidov et A. N. Parchine).................... 159
N. N. Lusin. Sur les restricteurs (publie et annote par S. S. De-
midov) ...................................................... 177
VARIA
I. G. Bachniakova (Moscou). La valeur des interpretations dans
les lecherches sur 1’histoire des mathematiques.............. 182
B_- A. Rosenfeld (Moscou). L’inversion en circonference et
Г inversion en ellipse, hyperbole et parabole dans les «Coniques»
d’Apollonius................................................. 195
5
Л. Е. Malykh (Perm'). I.. Eulei ct la solution de divers problems
concernaul I’enunieration et I'anangement de quelconques
elements...................................................... 199
I. A. Golovinski (Moscou). Sur les fondements de la methode
de moindres canes de P. L. Tchebychev......................... 224
S. G. Guindikine (Moscou). Les idees de Pliicker et la physique
mathematique contemporaine.................................... 248
V. V. Mader (Nijni Taguil). Sur la conception logico-arithme-
tique de G. Frege............................................. 261
PUBLICATIONS
N. F. Kanounov (Vladimir). Sur I'ouvrage «Uber die Invari-
anten der linearen Substitutionsgruppen» de F. E. Molien . 306
F. E. Molien Uber die Invarianetu der linearen Substitutions-
gruppen (traduit d’allemand par |e. F. Molina|; conunentaires
de N. F. Kanounov)............................................ 322
V. K. Jarov (Tachkent). A propos de deux problimes des «Ma-
thematiques en neuf livies» de Ch’in Chiu-shao................ 338
Al-Kuhi. Traite sur la construction d’un pentagone regulier
inscrit dans un carre donne (traduit d’arabe et annote pal-
в. A. Rosenfeld et R. S. Safarov)............................. 343
Index des ouvrages publies de A. P. Youschkevitch . . . 352
Index des noms (A. Ph. Lapko)........................... ... 358
ОТ РЕДАКЦИИ
В 1948 году по инициативе и под редакцией Г. Ф. Рыб-
кина и А. И. Юшкевича вышел в свет первый выпуск «Ис-
торико-математических исследований», ставших к настоя-
щему времени одним из самых авторитетных в своей об-
ласти изданий в мире.
В 30 опубликованных выпусках было напечатано, вклю-
чая публикации, около 600 работ более чем 250 авторов
из многих городов СССР и целого ряда других стран. Сре-
ди них такпе известные математики, как П. С. Александ-
ров, Н. И. Ахиезер, Б. Л. Ван дер Варден, Б. В. Гнеден-
ко, В. В. Голубев, Ж. Дьёдонне, А. Н. Колмогоров,
X. Кох, Б. Л. Лаптев, П. Левп, Л. А. Люстерник,
А. И. Маркушевич, Д. Е. Меньшов, С. X. Сираждпнов,
В. И. Смирнов, В. В. Степанов, Хуа Ло-гэн, а также круп-
ные историки науки И. Г. Башмакова, К.-Р. Бирман,
А. Н. Боголюбов, Э. М. Брёйнс, Г. Вуссинг, М. Я. Вы-
годский, А. Т. Григорьян, В. П. Зубов, Э. Кноблох,
П. Костабель, Г. П. Матвиевская, Л. Нови, И. Б. Пог-
ребысский, К. А. Рыбников, А. Сабо, Р. Татон, К. Фо-
гель, С. А. Яновская. На страницах «Историко-математи-
ческих исследований» увидели свет многие важные для
истории науки материалы из архивов крупнейших матема-
тиков прошлого — Л. Эйлера, М. В. Остроградского,
Н. И. Лобачевского, П. Л. Чебышева, С. В. Ковалев-
ской, А. Пуанкаре, А. М. Ляпунова, Д. Ф. Егорова,
Н. Н. Лузина и др. Портфель редакции не оскудевает, и это
позволяет надеяться на успешное продолжение серии.
В очередном XXX выпуске «Историко-математических
исследований» помещены 19 статей и публикаций, распре-
7
деленных по четырем разделам. Многие из них непосредст-
венно примыкают к работам, опубликованным в предыду-
щих выпусках этого издания.
Первый раздел содержит 5 статей по истории математи-
ческого анализа. Он открывается статьей о развитии одно-
го из основных понятий исчисления бесконечно малых —
понятия предела, по направлению близкой трем статьям
о развитии понятия функции, напечатанным в XVII, XIX
и XX выпусках. В построении анализа на базе теории
пределов большую роль сыграли лекции и курсы О. Ко-
ши; в одной из статей раздела охарактеризован русский
перевод’классического «Алгебраического анализа» Коши,
изданный группой петербургских математиков в 1864 г.
и содержащий интересные дополнения одного из них,
А. А. Ильина. Обширная серия статей по истории теории
дифференциальных уравнений, имеющихся во многих
более ранних выпусках, продолжена работой о вкладе
Ж. Даламбера в общую теорию линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений. Две последние статьи раз-
дела также посвящены кругу вопросов, традиционному
для данной серии и вообще для изысканий советской шко-
лы историков математики — теории функций действитель-
ного переменного.
Завершающие статьи первого раздела тематически свя-
заны со статьями и публикациями второго раздела, вклю-
чающего 3 статьи и две публикации. История Московской
математической школы и специально школы теории функ-
ций действительного переменного была постоянным пред-
метом изысканий многих участников нашего издания на-
чиная с его первого выпуска, который открывала работа
П. С. Александрова, Б. В. Гнеденко и В. В. Степанова
«Математика в Московском университете в XX в. (до
1940 г.)». В настоящем выпуске речь идет о ранних исто-
ках Московской школы теории функций.
До недавнего времени принято было думать, что толчок
исследованиям московских математиков начала XX в.—
прежде всего Д. Ф. Егорова и затем Н. Н. Лузина — со-
8
общило исключительно ознакомление с трудами Г. Кан-
тора и таких представителей французской школы, как
Р. Бэр, Э. Борель, А. Лебег и др. Это обстоятельство, без
сомнения, сыграло решающую роль. Вместе с тем еще ра-
нее в Москве создались благоприятные условия для при-
влечения интереса к теории функций, bi частности различ-
ного рода разрывных функций. В этом отношении пред-
ставляют интерес воззрения выдающегося деятеля Москов-
ского университета проф. Н. В. Бугаева, которые были
охарактеризованы в одной из статей XXIX выпуска.
Цикл работ, собранных в настоящем выпуске, проливает
новый свет на, так сказать, предысторию Московской шко-
лы теории функций. Вслед за вводной статьей помещен
подробный разбор первого курса лекций по теории функ_
ций, прочитанного осенью 1902 г. коллегой Бугаева проф.
Б. К. Млодзеевским; далее описана ранее совершенно не-
известная деятельность студенческого кружка при Москов-
ском математическом обществе в 1902—1903 гг., одним
из руководителей и покровителей которого был проф.
Н. Е. Жуковский, а наиболее активным участником —
II. А. Флоренский, на некоторое время ставший одним
из энергичных пропагандистов теории множеств и теории
функций. Как выяснилось, П. А. Флоренский оказал из-
вестное влияние на формирование интересов Н. Н. Лузи-
на, научным руководителем которого в данной, основной,
области его занятий вскоре стал профессор Д. Ф. Его-
ров. Частичные публикации двух работ Флоренского
н Лузина служат иллюстрацией их математической актив-
ности в самом начале нашего столетия.
Группа из 6 статей различного содержания начинает-
ся с работы, в которой обсуждается проблема интерпрета-
ции в историко-математических изысканиях, интерпрета-
ции, без которой невозможно само развитие истории мате-
матики как науки. Проблема эта спорная; историку науки
всегда приходится остерегаться как неправомерной модер-
низации, так и бесплодной архаизации идей и открытий
ученых прошлых времен. Из остальных статей этого
9
раздела отметим, например, работы об идеях Влюккера
в современной математической физике и о логико-арифме-
тической концепции Г. Фреге, а среди публикаций —
комментированный перевод важной работы Ф. Э. Молина
«Об инвариантах групп линейных подстановок», по-немец-
ки напечатанной в трудах Берлинской академии наук в
1897 г.
Редакция с прискорбием извещает, что во врел-я
подготовки данного сборника скончались два постоянных
наших автора: Абрам Борисович Штыкан (21.6. 1906 —
6.10. 1985) и Владимир Николаевич Молодшпй (1.3. 1906—
2.4. 19S6).
А. П. Юшкевич
ИЗ ИСТОРИИ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА
ДО К. ВЕЙЕРШТРАССА 1
А. П. Юшкевич
1. Историю теории пределов изучали многие исследо-
ватели. Суммарное изложение вопроса от древности до
«строгой формулировки» в школе К. Вейерштрасса имеет-
ся в американской книге Карла Б. Бойера, впервые из-
данной в 1949 г. [1], а также в коллективной «Истории
математики», вышедшей на русском языке в 1970—1972 гг.
[2], где, впрочем, изложение доведено лишь до начала
XIX в. Специально развитию понятия предела посвящена
статья итальянского математика У. Кассины, напечатан-
ная в 1961 г. [3]; она содержит отдельные интересные под-
робности, особенно об идеях итальянских ученых XVII в.
Вместе с тем во всей имеющейся по этому вопросу литера-
туре, довольно обширной, остается немало пробелов и не-
точностей. В данной статье я постараюсь восполнить пер-
вые и исправить вторые. В ней рассмотрена преимуществен-
но история самого понятия предела, увязанная с общим
развитием математического анализа и, естественно, с по-
нятиями бесконечно малой величины и непрерывности,
хотя последним двум отведено только подчиненное место.
Практика предельных переходов восходит к античнос-
ти, но понятие предела и самый термин выделяются много
позднее, во второй половине XVII в. Затем в течение поч-
ти 150 лет метод пределов используется почти исключи-
тельно для устранения логических трудностей, присущих
основным приемам дифференциального и интегрального
исчисления, но в очень малой мере для построения некото-
рой общей теории. При этом метод пределов большей
частью противопоставляется исчислению бесконечно ма-
лых. Только в эпоху становления классического математи-
ческого анализа — от Гаусса, Больцано и Коши до Вейер-
1 Рукопись статьи прочитали Ф. Л. Медведев и Е. II. Славутпн,
сделавшие несколько полезных замечаний, принятых автором
во внимание.
И
штрасса и других его знаменитых современников — метод
пределов, слитый в единое целое с методом бесконечно ма-
лых, становится во всех областях анализа эффективным
и необходимым средством новых теоретических исследо-
ваний. Руководства Коши 1821—1823 гг. сыграли особен-
но большую роль в радикальной и даже революционной
перестройке как оснований, так и всей структуры матема-
тического анализа. Для этого, естественно, потребовалась
более глубокая разработка самой теории пределов. В 60—
70-е годы XIX в. вся доступная строгость обоснования ма-
тематического анализа, казалось, была достигнута раз
и навсегда. Представлялось, что вслед за революционными
потрясениями наступали идиллические времена, когда
созданным аналитическим аппаратом можно было уверен-
но пользоваться для решения конкретных задач чистой
и прикладной математики. Вскоре, однако, оказалось,
что достигнутая идиллия иллюзорна. В рамках самого
классического анализа возникает и бурно развивается
теория функций действительного переменного, а вместе
с ней теория множеств, подготовившие кризис оснований
анализа, который начался уже на рубеже XIX и XX вв.
Подоспевшее к этому времени развитие математической
логики в глазах некоторых выдающихся ученых позволи-
ло или, по крайней мере, должно было позволить преодо-
леть обнаруживавшиеся логические трудности. На самом
деле трудности лежали гораздо глубже, чем казалось ра-
нее; сама математическая логика, совершенствуясь, и дос-
тавляла решение одних вопросов и ставила новые, еще
более сложные.
Впрочем, затронутые только что проблемы оснований
математики выходят за границы вопроса, составляющего
предмет настоящей статьи. Здесь необходимо лишь доба-
вить, что успехи теории функций множеств повлекли за
собой перестройку классической теории пределов перемен-
ных величин на новой, стационарной, основе. Элементар-
ное изложение теоретико-множественной теории пределов
читатель может найти неоригинальном руководстве по тео-
рии функций Н. Н. Лузина [4], а краткие сведения о раз-
личных обобщениях'понятия предела — в содержательной,
хотя и не всеобъемлющей, статье Л. Д. Кудрявцева [5].
2. Античный метод неделимых и метод исчерпывания.
Первые известные нам инфинитезимальные приемы мате-
матики, необходимые для вычисления ряда площадей и объ-
емов, а позднее для проведения касательных, решения не-
которых задач статики и некоторых других задач, появи-
12
лись в древней Греции в VI—V вв. до н. э. Рассмотрение
связи этих приемов с начавшимися тогда же дискуссиями
о природе актуальной и потенциальной бесконечности,
непрерывности и дискретности в данном случае излишне,
но следует сказать, что эти дискуссии, а также размышле-
ния о природе соизмеримых и несоизмеримых однородных
величин, сыграли важную роль в формировании античных
критериев «аналитической строгости» и в судьбе двух пред-
ложенных греками инфинитезимальных методов, так на-
зываемых метода неделимых и метода исчерпывания.
Метод неделимых применялся в решении задач на квадра-
туры и кубатуры, по крайней мере, со времен Демокрита
(460?—370?) и вплоть до Паппа (ок. 320). Первый подход
к методу исчерпывания, в основе которого лежит сколь
угодно точное приближение к искомой величине с помощью
сходящихся к ней сверху и снизу последовательностей
известных величин, был предложен также не позднее эпо-
хи Демокрита. Такой подход намечается уже в тщетных
попытках решить задачу о квадратуре круга Антифоном
и несколько по-иному — Бризоном, которые пользовались
вписанными в круг или описанными около него правиль-
ными многоугольниками со все возрастающим числом сто-
рон. В период расцвета, в V—III вв. до н. э., греческая
математика развивалась стремительно. Стандартная фор-
ма доказательств по методу исчерпывания считается тво-
рением Евдокса (408?—355?), так же как необходимая
в нем общая теория отношений, в некоторой мере, хотя
и не полностью, предвосхищавшая «теорию сечений».
Р. Дедекинда, и, наконец, формулировка «аксиомы Ев-
докса—Архимеда», исключающая актуально бесконечно
малые величины. Первые дошедшие до нас доказательства
по методу исчерпывания содержатся в «Началах» Евкли-
да, написанных на рубеже IV и III вв. до н. э.; таким об-
разом, здесь выведены теоремы о площадях поверхностей
и объемов ряда элементарных геометрических фигур. Вско-
ре Архимед (287—212) использовал тот же метод для квад-
ратуры эллипса, параболы, носящей его имя спирали,
приближенного измерения квадратуры круга, кубатуры
ряда тел, ограниченных поверхностями 2-го порядка, и
для решения некоторых важных задач статики и гидро-
статики. Примечательно, что Архимед свободно владел
и методом неделимых. Многие результаты он получил
сначала с помощью последнего, чтобы затем передоказать
их по методу исчерпывания, так как выводы с применением
неделимых считались недоказательными. Многие откры-
13
тия он сделал, комбинируя чисто математические приемы
с принципом рычага.
Ни в одном античном сочинении общая схема метода
исчерпывания не описана. С нашей точки зрения, устано-
вившейся, впрочем, еще в XVIII в., это был метод пре-
дельного перехода. Применительно к условиям задачи
для вычисления искомой величины х составлялись две
монотонные последовательности, сходящиеся снизу и свер-
ху к х и одновременно к известной величине Л; вслед затем
от противного доказывалось, что каждое из неравенств
х А и х А противоречиво, так что х = А. Однако в
древности не было сформулировано понятие предела, а
единственную общую теорему, постоянно применявшуюся
при предельных переходах (она есть у Евклида) в наших
обозначениях можно записать так: если (положительные)
величины ап 'С 1/2«Хп-1Для всех п, то lim (04, а2, . . . а„) —
Н-*оо
= 0. Каждое доказательство по методу исчерпывания бы-
ло, с нашей точки зрения, доказательством единственнос-
ти предела ограниченных монотонно убывающих и возрас-
тающих последовательностей, сходящихся к искомой ве-
личине х. И так как общие понятия и их свойства и даже
понятия переменной величины и функции сформулирова-
ны не были, то всякий раз приходилось полностью про-
водить все рассуждение, повторяя его и при решении ана-
литически тождественных задач. Сказанное относится,
в частности, к вычислению пределов сумм, которые мы те-
перь называем интегральными, а именно интегралов вида
а а
§xdx и §x2dx В такой же манере метод исчерпывания
о о
применяли некоторые ученые арабского мира и средневе-
ковой Европы до конца XVI в. [6].
Не были сформулированы и общие принципы метода
неделимых, хотя, возможно, Архимеду был ясен так на-
зываемый принцип Кавальери. Это предположение осно-
вано, во-первых, на частом применении им метода недели-
мых, а во-вторых, на IV теореме сочинения «О коноидах
и сфероидах», в которой эллипс рассматривается как ре-
зультат равномерного сжатия круга. Любопытно заме-
тить, что формулировка принципа Кавальери впервые
встречается не в античной греческой литературе, а в ки-
тайской математике II—V вв. в связи с измерением объ-
ема шара иодного тета, которые-рассматривал ранее Ар-
химед.
14
Европейские ученые XIII—XIV вв. высказали нема-
ло интересных идеи в области инфинитезимальной мате-
матики. Они умели суммировать сходящиеся бесконечные
геометрические прогрессии, по существу известные и гре-
кам, которые, однако, в известных нам трудах никогда не
писали о бесконечных прогрессиях, а также некоторые дру-
гие несложные бесконечные ряды. Теорию пределов ма-
тематики средневековой Европы не обогатили. Существен-
ное значение имели разрабатывавшиеся в Оксфордском
и Парижском университетах кинематико-математические
теории. Не входя в подробности, нужно все же отметить
введение понятия о неравномерно «текущей величине»
(quantitas fluens), о «мгновенной скорости» (velocitas ins-
tantanea) и мгновенном ускорении, а также изучение
в чисто абстрактном плане нескольких частных случаев
неравномерного движения, например равномерно уско-
ренного. Эти идеи через некоторые посредствующие звенья
оказали влияние на теорию логарифмов Дж. Непера, ди-
намику Г. Галилея и концепцию анализа И. Ньютона.
В Англии это направление исследований получило назва-
ние «калькуляций», т. е. вычислений, во Франции — тео-
рии конфигурации качеств (или теории широт форм).
Тесно связанные, обе эти теории представляли собой свое-
образное выражение программы математизации миропо-
знания, вновь выдвинутой вслед за античными пифагорей-
цами влиятельными натурфилософами средневековой
Европы [7, с. 387 и сл.1. Однако в то время эта ма-
тематизация почти не связывалась с реальным естество-
знанием.
3. Теория и практика предельных переходов в XVII в.
до Ньютона. «Начала» Евклида в полном объеме становят-
ся известными ведущим европейским математикам и натур-
философам с XII в. в латинском переводе сначала с их
арабского перевода, а затем и с греческих рукописей.
(С изобретением книгопечатания они неоднократно изда-
ются).
Почти одновременно в Европу возвращается и архиме-
дова традиция. В XVI в. интерес к Архимеду резко воз-
растает, и его сочинения издаются в трех различных
переводах почти исключительно в Италии. Такие выдаю-
щиеся переводчики, как Ф. Мавролико и Ф. Комманди-
но, полностью овладевают методом исчерпывания (руко-
пись сочинения Архимеда, в котором он применил неде-
лимые, была найдена только в начале XX в.) и успешно
применяют его в 50—60-е годы XVI в. в отдельных задачах
15
на определение центра тяжести твердых тел. Несколько
позднее С. Стевин (1548—1620) в труде по гидростатике
(1586), вычисляя^давление воды р на боковую стенку за-
полненного ею куба со стороной 1 фут, несколько упроща-
ет схему античного метода [2, т. 2, с. 134—135] Подраз-
деляя боковую стенку на неограниченно возрастающее
число п все сужающихся горизонтальных полос и оцени-
вая снизу и сверху давление на каждую полосу, а затем
суммируя полученные неравенства, он заключает искомое
давление р между значениями 1/2 — 1/2и и г/2 + 1/2ге,
после чего доказывает равенство р = не пользуясь
приведением к нелепости каждого из неравенств р <
< Ч2 и р > 1/2, фактически оперируя модулем разности
| х/2 — 1/2п |. В начале XVII в. И. Кеплер (1571—1630)
при выводе второго закона площадей для планетных ор-
бит (1609) вообще пренебрегает классическими критерия-
ми строгости и нужные ему интеграции (квадратуры) про-
водит на числовом материале. Его вычисления можно
трактовать в одних случаях, как предельные переходы,
а в других — как инфинитезимальные. Позднее в сочине-
нии, посвященном главным образом измерению некоторых
новых объемов (1615), Кеплер прямо заявляет, что дока-
зательства Архимеда и Паппа весьма остроумны, но труд-
ны для понимания, и на простом примере площади круга,
рассматриваемого как сумма бесконечно многих беско-
нечно малых треугольников, стремится выявить их инфи-
нитезимальную сущность [2, т. 2, с. 166 и сл.]. Впрочем,
такие инфинитезимальные идеи стали проникать в мате-
матику XVI в. еще до Кеплера: в своей широко известной
тогда алгебре 1544 г. М. Штифель писал, что математиче-
ский круг правильно рассматривать как многоугольник
с бесконечным числом сторон [8, с. 224].
Бурный рост интереса к трудам Архимеда в XVI в.
явился одним из проявлений радикальных изменений,
происходивших в математике. Научная революция нового
времени, основной этап которой ограничивают обычно
датами выхода в свет классических произведений о системе
мира Н. Коперника (1543) и II. Ньютона (1687) и которая
распространилась прежде всего на астрономию, механи-
ку и оптику, была невозможна без адекватного математи-
ческого аппарата, именно без анализа бесконечно малых.
Здесь не место подробно описывать процесс становления
дифференциального и интегрального исчисления в его
двух вариантах — И. Ньютона и Г. В. Лейбница, но сле-
дует упомянуть некоторые важнейшие математические
16
предпосылки этого процесса. К ним относятся ставшее
необходимым в алгебре и вычислительной математике
обобщение понятия числа, формирование новой символи-
ческой алгебры и новых приемов приближенных вычисле-
ний, особенно открытие логарифмов, теория которых тот-
час переплелась с инфинитезимальной математикой, на-
конец, прогресс тригонометрии. На протяжении XVI
и XVII в. революция в математике прошла две фазы —
алгебраическую и затем аналитическую. Успехи теории
алгебраических уравнений были столь впечатляющи, что
некоторые мыслители, как Р. Декарт, усмотрели в ней
«универсальную математику», единственный алгоритм ре-
шения всех задач, поддающихся регулярному решению.
В этом, правда, пришлось вскоре разубедиться, и были
найдены если не универсальные, то весьма мощные при-
емы решения трансцендентных задач, число которых быст-
ро возрастало. На основе новой алгебры возникла коор-
динатная аналитическая геометрия, в которой централь-
ными тотчас стали идеи переменной величины и функции
(сперва, впрочем, в объеме, соответствующем плоским ал-
гебраическим кривым). Обе эти идеи выступали в анали-
тической геометрии Р. Декарта (1637) и П. Ферма (руко-
пись того же времени) вполне отчетливо, хотя термины
«переменная» и «функция» ввел позднее Лейбниц. Выра-
жение «аналитическая геометрия» в данном смысле пустил
в оборот С. Ф. Лакруа (см. далее).
Задачи, поставленные перед математическим анализом
XVII в. естествознанием и отчасти техникой, а также воз-
никавшие в нем самом, можно разделить на две группы:
задачи на дифференцирование функций и задачи на интег-
рирование функций одного переменного и обыкновенных
дифференциальных уравнений. Как было сказано, клас-
сические формы метода исчерпывания, да и средства вы-
числений, унаследованные от прошлых времен, совершен-
но не удовлетворяли новым запросам.
На протяжении первых шести или семи десятилетий
XVII в. большое число первоклассных математиков раз-
работали несколько вариантов инфинитезимальных при-
емов, подготовивших почву для их синтеза, осуществлен-
ного независимо друг от друга в 60-е годы И. Ньютоном
(1643—1727) в его методе флюксий, а в 70-е — Г. В. Лейб-
ницем (1646—1716) в дифференциальном и интегральном
исчислении. Важнейшее значение при этом имела выра-
ботка новых понятий и операций. Системы математическо-
го анализа этих ученых отличались терминологией, сим-
17
воликой п некоторыми идейными установками. Обе они
представляли собой сплавы идеи и приемов, частью тож-
дественных или очень близких, частью различных, причем
идей, которые они сами выражали далеко не однозначно
и определенно, так что их интерпретировали и продолжают
интерпретировать до сих пор по-разному. Античные кри-
терии строгости были практически отвергнуты, новые кри-
терии не были еще установлены. Но о строгости и, по край-
ней мере, достаточной убедительности для современников
обеих систем заботились уже сами их творцы. В своем
творчестве они с должной осмотрительностью пользова-
лись как бесконечно малыми различных порядков, так
и предельными переходами. Однако Ньютон усматривал
основание анализа в методе пределов, с помощью которо-
го находятся флюксии — наши производные, понимаемые
как «последние отношения исчезающих величин» (или
«первые отношения зарождающихся величин»). Между
тем Лейбниц строил исчисление бесконечно малых вели-
чин (которые он истолковывал в разных случаях по-раз-
ному) на постулате опущения в дифференциальных выра-
жениях слагаемых высшего порядка малости, чем основ-
ная бесконечно малая,— в простейшем случае отбрасыва-
ния бесконечно малых слагаемых при наличии конечных
(ср.: [9]).
Далее речь пойдет о развитии начал метода пределов,
но предварительно следует отметить два обстоятельства.
Во-первых, метод флюксий нередко противопоставляют
как неалгоритмический дифференциальному исчислению
Лейбница. Это ошибочно, и, в частности, все те простей-
шие правила дифференцирования, которые сам Лейбниц
назвал алгоритмом своего исчисления, были известны Нью-
тону [10, с. 167—168]. Оба они стремились выработать
если не единый алгоритм анализа, то общие принципы
его алгоритмизации, в полном объеме недостижимей [2,
т. 2, с. 277; И].
Во-вторых, иногда полагают, что метод пределов Нью-
тона был строже исчисления бесконечно малых Лейбница.
Это неверно даже с точки зрения классического анализа
XIX в.; впрочем, еще в конце XVIII в. на это указал
Л. Карно (см. далее). Кроме того, исчисление актуально
бесконечно малых Лейбница (один из вариантов его кон-
цепции) можно точно истолковать с точки зрения современ-
ного нестандартного анализа.
Возвращаясь к методу исчерпывания, как его пони-
мали математики на рубеже XVI и XVII вв., следует преж-
18
де всего отдать должное римскому математику Луке Ва-
лерио (1552—1618), который в труде об определении цент-
ров тяжести, изданном в 1604 г. [12], высказал намерение
придать этому античному методу большую простоту и общ-
ность. С этой целью Валерио раз навсегда доказывает,
что разность между площадями фигур, вписанных в сег-
мент гладкой выпуклой плоской кривой, и фигур, описан-
ных около него, составленных из параллелограммов, мо-
жет быть сделана меньшей «любой данной площади», ес-
ли взять их общую высоту достаточно малой, и то же от-
носится к разности между этими площадями и площадью
самого сегмента [12, с. 13—14]. В несколько иной форме
зто предложение появится позднее у Дж. Валлиса и пе-
рейдет к Ньютону. Однако определения понятия «предел»
у Валерио не было, или, лучше сказать, оно имелось у
него, как и у древних, на интуитивном уровне, притом
только для монотонно возрастающих или убывающих по-
следовательностей. Одна теорема Валерио несколько раз-
лично понимается историками математики. Выражаясь
на принятом теперь языке, в ней речь идет о том, что если
две монотонные переменные, имеющие пределы а и с =/= 0,
находятся в постоянном отношении bld, то и ale = bld.
Некоторые исследователи полагают, что Валерио имел
в виду непрерывные функции, но, по-видимому, речь у
него шла о последовательностях [3, с. 168]. Книга Вале-
рио повлияла на математиков ближайшего времени.
Четверть века спустя в книге бельгийского ученого
Григория из Сен Винцента (1584—1667) 2, обучавшегося
в Риме, появился и первый термин для обозначения поня-
тия предела. Книга эта, законченная в 1629 г., но напе-
чатанная лишь в 1647 г., глубока по содержанию, несмот-
ря на ошибочную попытку решить задачу о квадратуре
круга [13]. Отметим только два пункта: описание процес-
са кубатуры тел как исчерпания (от глагола exhaurire —
исчерпывать и пошло выражение «метод исчерпывания»)
объема с помощью все возрастающего числа все более уз-
ких вписанных в него параллелепипедов и употребление
слова terminatio — граница, предел, конец — в связи
с суммированием бесконечной убывающей геометрической
прогрессии. Что частичная сумма такой прогрессии
sn= q\ 0<д<1,
_____1=0
2 Фамилия этого ученого неизвестна. Его имя на титульном листе
книги Gregorius a Sanclo Vincentio дказывает, вероятно, на связь
с неким религиозным учреждением, имени св. Винцента.
19
при достаточно большом п сколь угодно мало отличается
от а/(1 — д), показал (на примере случая д = 1/4) еще
Архимед, использовавший этот факт в одном из приемов
квадратуры сегмента параболы. Но ввести понятие суммы
бесконечной сходящейся прогрессии препятствовал гре-
кам отказ от формулировки при употреблении метода
исчерпывания явно инфинитезимальных понятий. Мысли-
телей средневековой Европы бесконечное не отпугивало,
и, например, крупнейший представитель теории конфигу-
рации качеств Н. Орем (ум. в 1382 г.) рассматривал прог-
со
рессию V, ад* как целое (totum), равное а/(1 — д) [14,
Л‘—о
с. 5]; разумеется, этот результат был высказан Оремом
в совершенно другой математической терминологии.
Ф. Виет (1540—1603), просуммировав конечную прогрес-
сию, наименьший член которой обозначает х, получает
результат для бесконечной прогрессии, когда «величины
непрерывно пропорциональны до бесконечности и х об-
ращается в ничто (ababit х in nihilum)» [15, с. 39]. В этой
связи он вспоминает о квадратуре параболы Архимеда
и употребляет глагол evanescere (исчезать), которым впо-
следствии пользовались и другие математики, в том числе
Ньютон.
При рассмотрении геометрической прогрессии Григо-
рий исходил из данного отрезка АК, разделенного точка-
ми В, С, . . . на отрезки АВ, ВС, . . ., образующие гео-
метрическую прогрессию, причем точки В, С, . . . под-
ходят к точке К сколь угодно близко. Величина АК ока-
зывается равной «величине всей прогрессии», продолжен-
ной до бесконечности. Такой подход, при котором исход-
ным является деление данной конечной величины на про-
порциональные части, имелся и у Орема. Саму точку К
Григорий называл границей и концом ряда (terminus
progressionis est seriei finis) [13, c. 55], которого прог-
рессия не достигает, даже будучи продолженной до бес-
конечности, но к которому может приблизиться более
чем на любой данный промежуток. С нашей точки зрения
точка К — предельная для последовательности точек А,
В, С, . . ., соответствующих частичным суммам прогрес-
сии-.
Основываясь на суммировании бесконечной убываю-
щей геометрической прогрессии, Григорий предложил свое
объяснение античного парадокса об Ахиллесе и черепахе;
в этом за ним последовали многие ученые. Хотя такая
20
прогрессия — ряд весьма элементарный (математики уме-
ли суммировать более сложные ряды, впрочем к ней при-
водящиеся), значение его в истории анализа XVII в. было
значительно. Достаточно сказать, что с его помощью
П. Ферма около 1642 г. произвел квадратуру кривых
у = аЛ для всех рациональных показателей, отличных
от —1, применив двойной предельный переход (опубл,
в 1679 г.).
Результаты Валерио и Григория из Сен-Винцента бы-
ли использованы в труде 1651 г. бельгийца А. Таке
(1612—1660) о кубатуре цилиндрических сегментов
и кольцеобразных тел, который сжато описал метод ис-
черпывания в следующих словах: «Говорят, что какая-
либо величина исчерпывается вписанными в нее вели-
чинами, если вписанные величины могут отличаться от
нее меньше, чем на данную величину, т. е. сколь угодно
мало» [16, с. 448]. Сходно характеризуются сходящиеся
к искомой величине последовательности описанных вели-
чин. В «Арифметике» Таке 1656 г. при суммировании
геометрической бесконечной убывающей прогрессии ис-
пользуется термин transitus (переход) от суммы конечной
прогрессии к бесконечной, при котором наименьший член
исчезает — minimus terminus evanescat [17, с. 475]. Тру-
ды Таке были популярны долгое время. В частности, на
русском языке вышло в 1739 и 1745 гг. в двух книгах
с общей пагинацией адаптированное Таке (1654) изложе-
ние I—VI и XI—XII книг «Начал» Евклида и некоторых
элементарных теорем Архимеда с некоторыми отступле-
ниями от оригинала [18]. Этот перевод — первое на рус-
ском языке описание предельного перехода: «Величины
в некоторой фигуре написанные или описанные или фигу-
ры меншпе или болшие на фигуру окончатися глаголются
[in figuram desinere dicuntur], егда наконец от оные раз-
нитися могут количеством меншим каково нибудь данно-
го, или коликим нибудь малым» [18а, с. 259—260].
Первоначально итальянская линия подготовки теории
пределов завершается «Началами видовой геометрии»
(1659) болонского профессора П. Менголп (1625—1686),
ученика Б. Кавальери, где этой теории отведена вся третья
книга [19, с. 95—150]. Менголи принадлежат вообще
крупные открытия в математическом анализе [2, т. 2,
с. 158—161], но его вклад в метод пределов, изучавшийся
почти только итальянскими специалистами, мало знаком
Другим историкам математики и, например, вовсе не упо-
мянут в [1]. Оценить влияние Менголи с его специфиче-
21
ской терминологией и громоздкими формулировками на
современников затруднительно; по-видимому, оно было
незначительным. И хотя некоторые результаты Менголи
стали известны в Англии, когда в 1668 г. туда вернулся
из поездки в Италию Дж. Грегори (см. далее), но вряд ли
это могло иметь значение для Ньютона. Во всяком случае
несомненно оказавшая влияние на Ньютона «Арифмети-
ка бесконечных» Дж. Валлиса вышла еще в 1655 г. Прав-
да, имя Менголи упоминается в двух письмах к Ньютону
начала 1670-х годов, но в другой связи.
У. Кассина расценивает упомянутую книгу Менголи
как весьма развитую общую теорию пределов. Я ограни-
чусь примерами нескольких основных определений, а так-
же примерами терминологии Менголи. Его «определимое
неопределенное отношение» — ratio indeterminate deter-
minabilis — соответствует понятию (положительной)
функции и называется квазибесконечным (quasi-in-
finita), если может стать больше любой данной величины,
и квазинулевым (quasi-nulla), если может стать меньше
любой данной величины. Выражение «то, к чему может
быть более близко» (propior) соответствует пределу3;
кроме того, имеются понятия квазиравенства двух вели-
чин, постоянной и переменной или двух переменных, ког-
да величины могут быть ближе к равенству, чем к любо-
му данному неравенству. Аналогично определяется квази-
одинаковость отношений. Молчаливо предполагая единст-
венность предела, Менголи доказывает рефлективность,
симметричность и транзитивность введенных соотноше-
ний. Кассина усматривает в совокупности таких дефини-
ций и свойств так называемое определение предела
величины и отношения через абстракцию, признавая, что
прямой явной дефиниции предела у Менголи не было; он
добавляет, что у Менголи имелись теоремы о пределе произ-
ведения, частного, сулемы и разности, и излагает некото-
рые доказательства [3, с. 171 —185]. Несомненно, что Мен-
голи разработал обширную, включающую 6 определений
и 61 предложение, своеобразную теорию пределов. Но
столь же несомненно, что конструкция Менголи была
весьма громоздкой и далекой от практики предельных пе-
реходов XVII в., поэтому вывод Кассина, согласно кото-
рому важность вклада Ньютона в теорию пределов умень-
шается в свете предлагаемой им переоценки трудов Ва-
3 Кассина при переводе на итальянский несколько усиливает ла-
тинское выражение Менголп: «то, к чему может больше всего при-
близиться (maggiormente)» [3, с. 172].
22
лерио и Менголи [3, с. 1851, совершенно неправомерен.
Н многие леммы о пределах Ньютона, о которых речь впе-
реди, стали реальным отправным пунктом теории преде-
лов XVIII—XIX вв., архаичная по стилю изложения
и сложная теория Менголи была обречена на долгое заб-
вение, пока ее не исследовали итальянские ученые XX в.
Первый импульс развитию метода пределов в собствен-
ном смысле слова сообщили работы английских ученых.
Нарушая хронологическую последовательность, прежде
всего следует сказать несколько слов об одном сочинении
Дж. Грегори (1638—1675), напечатанном им во время
пребывания в Италии в 1667 г. [20]. Целью Грегори было
показать, что площадь произвольного сектора круга и дру-
гих центральных конических сечений нельзя, вообще го-
воря, точно выразить с помощью пяти элементарных опе-
раций, включая извлечение корней, или, как он выражал-
ся, «аналитически». Для этого Грегори строил двойные
последовательности, сколь угодно точно аппроксимирую-
щие снизу и сверху площадь рассматриваемого сектора.
Оставляя в стороне основное содержание этого богатого
идеями труда, в котором впервые была сделана попытка
доказать неразрешимость одной из классических задач,
восходящих к античности (см.: [21]), следует подчеркнуть,
что Грегори впервые ввел как равноправную с основными
пятью действиями, названными им «аналитическими» (впо-
следствии это слово приобрело более широкое значение),
новую операцию — определение величин с помощью схо-
дящихся бесконечных последовательностей, которым он
и присвоил только что приведенное название — series
convergent.es. Главным средством исследования у него бы-
ли сходящиеся двойные последовательности, образуемые
монотонно возрастающей п1 < а2 < . . . и монотонно убы-
вающей Ьг Ь2 . последовательностями, Ьп > ап,
п = 1, 2, 3, . . ., и подчиненные тому условию, что Ъп —
— «и стремится к нулю при п —> оо, т. е. двойные после-
довательности, имеющие общий предел. Этого термина
у Грегори еще не было, вместо того он писал, подобно
Григорию из Сен-Винцента, terminatio и, скажем, в пре-
дисловии к своей книге характеризовал круг как «оконча-
ние» последовательности сходящихся многоугольников
[20, с. 15-16].
Возвращаясь во времени несколько назад, следует осо-
бо остановиться на изданной в 1655 г. «Арифметике бес-
конечных» [22] Дж. Валлиса (Уоллиса, 1616—1703). Од-
ним из замечательнейших достижений этого ученого яви-
23
лось знаменитое представление числа л в виде бесконеч-
ного произведения, полученное с помощью остроумных
и смелых интерполяций, но вполне убедительно обоснован-
ное с помощью системы неограниченно сближающихся не-
равенств. Здесь, однако, существенны гораздо более эле-
ментарные переходы к пределу, связанные с квадратурой
парабол у = хп, где п — натуральное число. Отправным
пунктом Валлиса послужил метод неделимых Б. Кавалье-
ри (1635, 1647), который оп облек в чисто арифметическую
форму и тем самым чрезвычайно упростил: архаичная ма-
нера изложения Кавальери не отвечала уровню алгебраи-
зации математики, достигнутому к середине XVII в. В об-
щем случае квадратура сводилась к вычислению предела
т
отношения У кп/{т -f- 1) тп при ш -> оо, предела, равного
С=0
l/(n + 1). Сам Кавальери провел вычисление для значе-
ний п от 2 до 9 (его метод распространим и на произволь-
ные натуральные показатели). Валлис также ограничился
несколькими первыми значенпями показателя, именно от
2 до 6, и общий результат сформулировал по неполной
индукции. Вместе с тем для приведенных значений пока-
зателя он проводит рассуждение с достаточной полнотой,
причем для п = 2ип = 3в два зтапа. В случае п = 2
он сначала выявляет на числовых примерах, что отноше-
т
ние 2! №Цт + 1) т2 при наличии в числителе, кроме ну-
/.=0
ля, т членов, где к = 1, 2, 3, 4, 5, 6, превосходит 1/3
на избыток 1/(6т), и, пользуясь таким «рассмотрением
по методу индукции», мы бы сказали, неполной индукции,
заключает, что с ростом числа слагаемых избыток непрес-
танно убывает. Но этим Валлис ограничивается и, зная
общее алгебраическое выражение суммы произвольного
числа натуральных квадратов, переходит к пределу в об-
щем случае: избыток 1/(6т) над 1/3 с ростом числа членов
«наконец делается меньшим любого заданного (числа.—
А. Ю.) и, значит, если продолжать бесконечно, совершен-
но исчезает» [22, с. 373—374]. Совершенно аналогично он
поступает в случае п = 3 [Там же, с. 382], в случаях же
п = 4, 5, 6 приводит соответствующие формулы сумми-
рования, добавляя: «и также для последующих, как тому
учит предл. 182» [Там же, с. 383—384 и 455—457]. Эти
формулы Валлиса не были новыми; для всех таких сумм
т
ВПЛОТЬ ДО Ел17 их опубликовал немецкий математик
1
24
И. Фаульгабер в одном латинском сочинении 1631 г. Об-
щий метод суммирования для любых натуральных показа-
телей сообщил Я. Бернулли в своем классическом труде
по теории вероятностей, посмертно изданном в 1713 г.
Вычисления Валлиса рассмотрены здесь с некоторой
подробностью, так как его труд оказал очевидное влияние
на трактовку предельных переходов у Ньютона. В этой
связи заслуживают внимания и другие особенности инфи-
нитезимальной математики Валлиса, описанные также
в «Трактате о конических сочинениях, изложенных новым
методом», который вышел почти в одно время с «Арифме-
тикой бесконечных» [23]. В этом отношении заслуживает
внимания начало только что названного трактата [23,
с. 297], где он со ссылкой на Кавальери говорит, что рас-
сматривает площади плоских фигур как составленные из
бесконечно многих параллельных линий или скорее из
равновысоких параллелограммов с высотой, представляю-
щей собой бесконечно малую часть общей высоты фигуры,
обозначаемую 1/оо (он тут же вводит знак «бесконечного
числа» оо). При этом бесконечно малое количество то отож-
дествляется с нулевым и лишенным количественности, то
параллелограммы бесконечно малой высоты объявляются
«вряд ли чем-либо иным, нежели линия»; кроме того, та-
кие высоты называются «бесконечно крохотными» (infi-
nite-exiguae) или просто крохотными и т. д. Все эти опи-
сания не сопровождаются какими-либо определениями.
Особо следует отметить описание общего приема измере-
ния плоских площадей с помощью фигур, составленных
из вписанных или описанных параллелограммов одинако-
вой высоты, и доказательство того, что при бесконечном
увеличении числа параллелограммов разность между все-
ми этими площадями исчезает — evanescet. Рассуждения
Валлиса многословны [23, с. 452—454], но позднее они
в переработанной и улучшенной форме войдут в состав
лемм Ньютона о пределах, так же как и мимоходом сде-
ланное замечание об эквивалентности бесконечно малой
дуги окружности, стягивающей ее хорды и соответствую-
щего отрезка касательной. Наилучший анализ «Арифме-
тики бесконечных» произвел Ф. Д. Крамар [24].
4. Леммы о пределах И. Ньютона. С самого начала
своих исследований по математическому анализу, т. е.
в 1664—1665 гг., Ньютон вслед за своими предшествен-
никами широко пользовался бесконечно малыми и прин-
ципом отбрасывания слагаемых, бесконечно малых в срав-
нении с другими членами выражений. Под разными паи-
25
мелованиями он применял бесконечно малые на протяже-
нии всех последующих занятий проблемами анализа, в
том числе и в своем методе пределов,— обойтись без этого
было невозможно. II опять-таки с самого начала основные
понятия и общие задачи анализа Ньютон трактовал фи-
зически, или, лучше сказать, кинематически. Еще в 1665 г.
он именовал нашу производную по-английски motion
(движением) и затем velocity (скоростью). Систематизируя
богатые результаты своих исследований в латинских ру-
кописях 1669—1671 гг., напечатанных в силу ряда обстоя-
тельств много позднее, он следовал той же идейной ли-
нии. Предметом анализа являются переменные, или,
как он выражался, текущие величин — флюенты, непре-
рывные функции универсального аргумента, именуемого
временем, причем имеется в виду не время в общеприня-
том смысле, но абстрактная величина, равномерное тече-
ние которой измеряет настоящее время. Флюенты изме-
няются с различной скоростью, и в анализе они изучают-
ся во взаимосвязях с этими скоростями — флюксиями.
Можно представить себе флюенты как проходимые точкой
пути, тогда эти две общие задачи, находящиеся во взаим-
нообратной связи, можно сформулировать так: 1) найти
соотношение между флюксиями по данному соотношению
между флюентами (т. е. дифференцирование), 2) найти со-
отношение между флюентами по данному уравнению меж-
ду флюксиями, которое может включать и флюенты (т. е.
интегрирование функций и дифференциальных уравне-
ний) 4 *. Как отметил А. Н. Колмогоров, понятие (мгновен-
ной) скорости было для Ньютона ясным и потребности в
его формальном определении он не испытывал [25, с. 37],
хотя сам прием вычислений флюксий, т. е. производных,
подразумевал их восприятие в том пли ином инфинитези-
мальном смысле. Вычисления же эти требуют применения
неограниченно малых приращений флюент, именуемых
моментами и соответствующих бесконечно малым диффе-
ренциалам Лейбница. Размышляя над сутью инфините-
зимальных процедур, Ньютон пришел к убеждению в не-
обходимости прочно обосновать постоянно применяемые
в них предельные переходы и, значит, принцип отбрасы-
вания бесконечно малых слагаемых. Такое обоснование
он усмотрел в методе, который резюмировал в небольшом
4 Здесь оставлено в стороне применение разложений данных и
искомых функций в бесконечные степенные ряды, со времени
Ньютона п Лейбница приобретающее первостепенное значение
в анализе.
26
чпсле лемм, приведенные в 1-м отделе I книги знамени
тых «Математических начал натуральной философии» под
названием «О методе первых и последних отношений, при
помощи которых последующее доказывается» [26, с. 57—
701 5; в этом отделе несколько далее наряду с выражения-
ми «первые и последние отношения» появляется и слово
«предел» — limes. Всего здесь И лемм, но во II книге
вводится еще 12-я лемма о моменте произведения двух ве-
личин, которая обобщается па произвольные рациональ-
ные степени [26, с. 331—3331 и, следовательно, на момент
частного. Вопрос о влиянии на формирование метода пре-
делов Ньютона трудов не только Валлиса, но и других
ученых, таких, как Ферма, Дж. Грегори, приходится ос-
тавить в стороне, так как точными сведениями мы не рас-
полагаем. Во всяком случае, Ньютон впервые представил
учение о предельных переходах в обобщенной форме,
правда, далеко еще не развитой.
Вот формулировка и доказательство I леммы:
«Количества, а также отношения количеств, которые
в продолжение любого конечного времени постоянно стре-
мятся к равенству и ранее конца этого времени прибли-
зятся друг к другу ближе, нежели на любую заданную раз-
ность, будут напоследок равны.
Если это отрицать, то пусть они напоследок будут не-
равны и их последняя разность пусть будет D, следова-
тельно, они не могут ближе подойти к равенству, как до
этой разности D, в противность предположению» [26,
с. 57].
Как видно, Ньютон различает здесь непрерывные пе-
ременные величины и отношения величин, т. е. числовые
переменные, ибо общее понятие действительного положи-
тельного числа он определял как произвольное отноше-
ние двух однородных величин 6. 11 величины, и отноше-
ния рассматриваются в области своей непрерывности (изо-
лированные точки бесконечного разрыва Ньютону, разу-
6 В дальнейшем здесь приходится отступать от перевода А. Н. Кры-
лова, впервые опубликованного в 1915 г. и в педагогических
целях несколько модернизированного. Существует современное
издание оригинала «Математических пачал» [27]. содержащее
разночтения всех трех прижизненных изданий, иногда довольно
существенные,! правда, не в интересующем нас разделе.
6 В своем труде по алгебре Ньютон ппсал: «Под числом мы пони-
маем... отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой
величине того же рода, принятой нами за единицу», причем он
различает числа целые, дробные и иррациональные [28, с. 8].
27
меется, были известны). Кроме того, из всех текстов сле-
дует, что имеются в виду монотонные или, по крайней ме-
ре, кусочно-монотонные флюенты, хотя в данной лемме
зто не оговорено. В привычной терминологии можно пе-
редать содержание леммы следующим образом: если на
конечном отрезке [О, £0] определены две непрерывные
функции Д (t), /а (4), причем при t -> t0 разность | /а (ж) —
— А I становится меньше любого данного положитель-
ного числа, то
1 im /2 (ж) = 1 im Л (ж).
Первая лемма Ньютона издавна толковалась по-раз-
ному, и разногласия не прекратились даже в наши дни.
У. Кассина в формулировке леммы усматривает, правда,
в несколько неясной форме, определение предела через
абстракцию [3, с. 186]. Однако такое понимание леммы
не согласуется с приводимым Ньютоном ее доказательст-
вом: ведь определения исходных понятий не подлежат
доказательству. И ни один последователь Ньютона не
видел в I лемме определения предела; напротив, все они
полагали, что система положений Ньютона должна быть
дополнена определением основного ее понятия. А. Н. Кол-
могоров с полным основанием подчеркивает: «Понятие
предела (как и понятие скорости) является для Ньютона
одним из исходных понятий, не подлежащих в силу их
примитивного характера и интуитивной ясности прямо-
му определению. Однако во всех своих утверждениях о
свойствах пределов и способов их нахождения Ньютон
вполне точен и ни в чем не расходится с нашими современ-
ными представлениями» [25, с. 35]. Быть может, к этим
словам можно было бы добавить, что между идеями ско-
рости и предела у Ньютона есть своеобразная взаимоза-
висимость. С одной стороны, скорость (мгновенная) вы-
числяется как предел отношения «исчезающих» величин.
С другой же — существование (мгновенной) скорости в
момент остановки тела свидетельствует, согласно Нью-
тону, о существовании такого предела (см. далее).
С I леммой Ньютона связана оживленно обсуждавшая-
ся в XVIII в. проблема: достигают ли переменные вели-
чины пли отношения своих пределов? Исследователи на-
шего времени не пришли в этом вопросе к единому пони-
манию взглядов Ньютона. Н. Н. Лузин, расценивая во-
обще теорию пределов Ньютона как задуманную тоньше
и осторожнее, чем теория пределов Коши, считал, что в
28
ней переменные мыслятся как не достигающие своих пре-
делов. При этом Н. Н. Лузин критиковал [29, с. 60—64]
С. А. Богомолова и Д. Д. Мордухай-Болтовского,
державшихся противоположного мнения. А. Н. Колмого-
ров подчеркнул то важное обстоятельство, что Ньютон,
вообще говоря, рассматривал функции, непрерывные и мо-
нотонные (или кусочно-монотонные) на конечном отрез-
ке, так что функция достигает своего предела в одном
из концов отрезка, смотря по тому, возрастает она или
убывает [25, с. 36]. Следует добавить, что Д. Д. Морду-
хай-Болтовской указал еще третий аспект идеи предела
в XVII—XVIII вв., именно «предела формы» [30, с. 109],
который можно усмотреть и в некоторых леммах Ньютона
и добавлениях к ним.
Во II лемме Ньютона речь идет о равенстве «последних
отношений» площадей, вписанных в криволинейную фи-
гуру, ограниченную сторонами прямого угла а также
гладкой монотонной кривой, и площадей описанных око-
ло нее многоугольников, составленных из прямоугольни-
ков с основаниями одинаковой ширины, а также площади
самой криволинейной фигуры, когда ширина зта умень-
шается с увеличением числа параллелограммов до бес-
конечности. Оценка разности вписанной и описанной пло-
щадей, совершенно элементарная, показывает, что раз-
ность может быть сделана меньше любого данного прямо-
угольника, что согласно I лемме и доказывает утвержде-
ние. В III лемме этот результат распространяется на слу-
чай, когда основания прямоугольников неравны, при ус-
ловии, что наибольшее из них умаляется неограниченно.
В этих двух леммах, менее четко высказанных Валли-
сом, Ньютон в общем виде и коротко резюмировал методы
квадратуры многих своих предшественников. Здесь мож-
но усмотреть и геометрический прообраз теоремы сущест-
вования интеграла непрерывной монотонной функции.
Однако, ссылаясь в ходе доказательства II и III леммы
на I лемму, Ньютон совершает фактически некоторый ска-
чок мысли. В I лемме речь идет о непрерывной функции,
заданной на конечном отрезке аргумента — времени, тог-
да как в леммах II и III вписанная и описанная площади
выступают как последовательности интегральных сумм.
Между тем, если с помощью понятия последовательности
(которого Ньютон в I лемме не ввел) можно определить
предел функции и, разумеется, предел интегральных
сумм, то последний не содержится в понятии предела
функции [5, с. 558—561]. Соответствующее обобщение
29
понятия предела, охватывающее ооа случая, во времена
Ньютона, разумеется, отсутствовало, и допущенный им
логический скачок был вполне естественным. Упомянем,
что в одном из следствий леммы III впервые используется
слово «предел».
В IV лемме говорится о пределе отношения величин
хп : */zu « = 1, 2, 3, . . ., в том специальном случае, когда
хн : уа постоянно для всех п; она восходит к Л. Валерио '.
VII лемма, относящаяся к кривым непрерывной кривиз-
ны, гласит, что последнее отношение исчезающих дуг кри
вой, ее хорды и соответствующего отрезка касательной
равно 1. В одном из следствий добавлено, что в любых
рассуждениях о последних отношениях эти (бесконечно
малые) линии можно брать одни вместо других. В более
общей форме это свойство эквивалентных малых Ньютон
выразил еще ранее, в труде о .методе флюксий и бесконеч-
ных рядов, написанном в 1670—1671 гг., но изданном уже
после его смерти [31, с. 101].
В «Поучении», следующем за леммами, Ньютон пи-
шет, что привел их краткий вывод, дабы, с одной стороны,
избежать утомительных и длинных доказательств с по-
мощью приведения к нелепости на манер древних, а с дру-
< гой — обойтись без более краткого, но «несколько грубо-
го» и потому почитаемого менее геометрическим метода
неделимых. В дальнейшем он намерен с помощью этих
лемм сводить нужные доказательства «к первым и послед-
ним суммам и отношениям зарождающихся и исчезающих
количеств, т. е. к пределам сумм и отношений» [26, с. 68].
Если Ньютон в дальнейшем и рассматривает какие-либо
величины как составленные из постоянных частиц или
маленькие кривые линии — как прямые, то на самом де-
ле всегда имеет в виду не неделимые, а делимые исчезаю-
щие величины и не суммы и отношения определенных час-
тей, но пределы сумм и отношений.
Значительная часть «Поучения» посвящена разъяс-
нению сомнений, которые могут возникнуть в связи с эти-
ми зарождающимися и исчезающими количествами (quan-
titates nascentes et evanescentes) и их первыми пли послед-
ними отношениями (rationes priinae vel nltimae). Вопрос
о понимании этих количеств и отношений стал предметом
споров, продолжавшихся десятилетия и, как говорилось,
по-раэному толкуется и теперь; важность его объясня-
7 По какому-то недоразумению в [26, с. 59] сказано, что IV лемма
составляет «в теперешнем изложении основную теорему пнтег-
р ального исчисления».
30
лась тем, что флюксии, т. е. производные, вычисляются
как пределы отношений. Несомненно, что в научных кру-
гах уже тогда, да и ранее, существовали сомнения в этом
вопросе; достаточно сослаться на рассуждения в «Ариф-
метике бесконечных» Валлиса о соотношении между по-
нятиями неделимого (линии) и бесконечно малого или
ничтожно узкого параллелограмма.
«Возражают,— писал Ньютон,— что не существует
последнее отношение исчезающих величин, ибо отноше-
ние величин до того, как они исчезли, не есть последнее,
а если они исчезли, то нет отношения». И несколько далее:
«Под последним отношением исчезающих величин нужно
понимать отношение величин не до и не после их исчез-
новения, но отношение, с которым они исчезают (quacum
evanescunt). Подобным же образом первое отношение за-
рождающихся величин есть то, с которым они начинают
существовать, а первая или последняя сумма есть та, с
которой они начинают и перестают существовать (пли уве-
личиваться либо уменьшаться)» [26, с. 69]. Для большей
убедительности Ньютон прибегает к кинематической ана-
логии: с таким же основанием можно было бы утверж-
дать, что у движущегося тела в момент его остановки нет
последней скорости: ведь до остановки скорость не пос-
ледняя, а когда опо остановилось, скорости нет. Между
тем ответ прост: последняя скорость есть та, с которой те-
ло достигает своего последнего места, когда движение
прекращается. Это предел, который скорость в конце дви-
жения может достичь, но не может превзойти.
Приведенные пояснения Ньютон дополняет другими.
Могут еще сказать, что раз имеются последние отношения
исчезающих количеств, то имеются и последние величины
таковых и, значит, всякое количество состоит из недели-
мые вопреки доказанному Евклидом в X книге его «На-
чал». Ньютон разъясняет, что последние отношения ис-
чезающих количеств вовсе не суть отношения Последних
величин, но пределы, «к которым все время приближаются
отношения беспредельно (sine liniite) уменьшающихся ко-
личеств и к которым они могут подойти ближе. Чем на лю-
°ую данную разность, хотя и не могут превзойти их, ни
Достигнуть их прежде, чем количества уменьшатся
бесконечно» [26, с. 70]. Суть дела, добавляет он, можно
лучше понять, прибегнув к бесконечно большим. Так, ес-
ли два количества бесконечно возрастают, причем раз-
пость их остается постоянной, то имеется их последнее
отношение, именно отношение равенства (т. е. 1), но нет
31
самих последних или наибольших количеств, обладающих
таким последним отношением. Между прочим, этот пос-
ледний пример играет важную роль в упомянутой ранее
аргументации Н. Н. Лузина [29, с. 63].
Выше было сказано, что ньютоновы флюенты, а зна-
чит, и их флюксии непрерывны и потому принимают свои
предельные значения. С нашей точки зрения, рассужде-
ния Ньютона можно передать таким образом. Если за-
данная тем или иным аналитическим выражением на ка-
ком-либо конечном или бесконечном интервале функция
не определена при некотором исключительном изолиро-
ванном конечном или бесконечном значении аргумента,
то наряду с ней рассматривается другая функция, совпа-
дающая с первой для всех значений аргумента, кроме
изолированного, а для последнего доопределенная по не-
прерывности. В частности, при вычислении производной
функции / (х) наряду с функцией
/ (х, h) = [f(x + h)^f (ж)]//г,
непрерывной в окрестности значения h = 0 (х играет
здесь роль произвольного параметра), но неопределенной
при h = 0, рассматривается функция F (х, h), равная
/ (ж, h) в любой малой окрестности h и ее предельному зна-
чению f (х) при h = 0. Такое понимание дела, вполне
адекватное вычислительным процедурам Ньютона, пред-
ложил А. Н. Колмогоров [25, с. 36]: Ньютон фактически
оперирует функцией, которая здесь обозначена F (х, h)
и значение которой при А. = 0 есть /' (ж). Эйлер пришел ।
к аналогичной трактовке производных как особого рода
отношений нулей (см. далее).
Только что приведенное истолкование, вполне рацио- 11
нальное, вводит в круг идей, близких нам, но далеких
от мышления математиков XVII да и XVIII в. Природа
исчезающих величин, «все время беспредельно (sine li-
mite) уменьшающихся» [26, с. 70], вновь обсуждается в
«Математических началах» в связи с леммой о моменте — J
дифференциале произведения двух переменных. Тут по- I
является само слово momentum как мгновенное (momen-
tanea) приращение или уменьшение неопределенных и не- I
постоянных возрастающих или убывающих количеств, |
как бы порождаемых беспрерывным движением или тече-
нием. Эти моменты не следует рассматривать как конечные
частицы, которые сами порождаются моментами, и их
надлежит понимать «как вот-вот (jamjam) зарождающие-
ся начала конечных величин. И в этой лемме рассматри-
32
вается не величина моментов, но первое отношение [их
как] зарождающихся» [26, с. 332]. Ньютон избегает трак-
товки моментов как переменных, имеющих пределом нуль.
Это соответствовало бы его общей концепции непрерыв-
ных величин, достигающих своего конечного предела,
но потребовало бы выяснения смысла деления нуля на
нуль.
Издатель предварительной рукописи «Математических
начал», датируемой приблизительно 1684—1685 г.,
Д. Т. Уайтсайд полагает, что не следует особенно под-
черкивать оригинальность лемм Ньютона, ибо он про-
должал традицию П. Ферма, Б. Паскаля, X. Гюйгенса,
Дж. Грегори, Дж. Барроу, можно было бы добавить имя
Валлиса и др. [32, с. 109] 8. Однако не следует и пре-
уменьшать заслугу Ньютоиа, создавшего впервые систему
лемм, которая стала отправным пунктом дальнейшего раз-
вития метода пределов, хотя в ней недоставало еще мно-
гого — определения предела, леммы о единственности,
лемм о пределе суммы, разности и т. д. По-видимому, у
английских современников Ньютона эти леммы не вызы-
вали возражений (во всяком случае о них не говорится
в переписке с Ньютоном Р. Коутса, готовившего второе
издание «Математических начал»); с другой стороны, при
жизни Ньютона никто не продолжил разработку метода
пределов. Па континенте Европы, где разрабатывали диф-
ференциальное и интегральное исчисление Лейбница,
леммы также не привлекли в то время внимания. В извест-
ном «Математическом словаре» Хр. Вольфа (1716), содер-
жащем статьи о многих понятиях и методах анализа Лейб-
ница и Ньютона [34], термин «предел» в математическом
его смысле отсутствует, точнее, в нем имеются статьи о
пределах (границах) корней уравнений.
5. «Аналист» Дж. Беркли и первые определения по-
нятия «предел» [35]. В своей не раз цитированной статье
о развитии понятия предела У. Кассина от Ньютона сра-
зу переходит к Больцано и затем Коши, заявляя, что
8 В одной из рукописей Ди;. Грегори имеются II, IV, V, VII п IX
леммы Ньютона, который, скорее всего, об этом ничего не знал.
Рукопись Грегори до сих пор не опубликована, п его формулиров-
ки лемм неизвестны. Тёрнболл, сообщивший об этой рукописи,
содержащей 8 страниц и озаглавленной (по-латыни) «Некоторые
общие предложения геометрии», изложил ее содержание менее чем
на одпои странице. Странным образом он пишет при этом об «ин-
теграле Римана» [33, с. 445—446]. Возможно, что предложения
I регорп, о которых идет речь, явплпсь следствием его знаком-
ства с книгой Менголп 1659 г. [19].
2 Заказ JSS 2674
33
«XVIII столетие не представляет ничего заслуживающего
внимания в этом историческом обзоре» [3, с. 137]. Это не-
верно: в XVIII в. была подготовлена почва для классиче-
ской теории пределов XIX в.
Первая треть XVIII в. не принесла в этом отношении
ничего нового. Более того, второстепенные математики не
только мало интересовались вопросами обоснования ана-
лиза, но и довольно плохо разбирались в различных кон-
цепциях Ньютона. Свидетельством тому служит путаница
в терминологии, например смешение понятий флюксии
и дифференциала, встречающееся в целом ряде сочинений
начала XVIII в. [36, с. 36—56] да и позднее.
Ситуация круто переменилась, когда вышел памфлет
«Аналист» (1734) выдающегося философа идеалиста
Дж. Беркли (1685—1783). Памфлет содержал резкую
критику как исчисления бесконечно малых школы Лейб-
ница, так и метода первых и последних отношений Нью-
тона [35]. Беркли характеризовал как двусмысленные
и неясные понятия момента и исчезающего или зарождаю-
щегося приращения, как неверный принцип отбрасывания
бесконечно малых, усматривал логические противоречия
в самой процедуре вычисления флюксий и т. д. Многие
♦ его упреки были справедливы, а замечания остроумны.
Правильность результатов, получаемых с помощью анали-
за бесконечно малых, Беркли объяснял тем, что при ре-
шении задач допускают две взаимнопогашающиеся ошиб-
ки, например при нахождении подкасательной к парабо-
ле, при выводе выражения для подкасательной и при
вычислении дифференциала по уравнению кривой. Впро-
чем, идея компенсации погрешностей не имела в глазах
Беркли особого значения и служила только для объясне-
ния того парадокса, что правильное значение подкасатель-
ной найдено с помощью неверных вычислений.
Сторонники Ньютона ответили на выступление Берк-
ли немедленно, и в 1734—1737 гг. развернулась дискус-
сия, в которой принял участие и автор «Аналиста»; меж-
ду его оппонентами также имелись некоторые несогласия.
В ходе этого спора были впервые сформулированы два
определения понятия предела, оба в 1735 г. Их дали люби-
тели математики Дж. Джюрин (1684—1750), врач, зани-
мавший пост секретаря Королевского общества в Лондо-
не, президентом которого последние 25 лет жизни был
Ньютон, и Б. Робинс (1707—1751), позднее прославив-
шийся выдающимся трудом по баллистике (1742), пере-
веденным на немецкий язык Л. Эйлером, прпсоедпнив-
34
п1йм к переводу собственные ценные дополнения (1745).
В довольно объемистом «Рассуждении о природе и досто-
верности методов флюксий, а также первых и последних
отношений сэра Исаака Ньютона» [37] Робинс сформули-
ровал отдельно определения предела переменной величи-
ны и переменного отношения, причем в первом случае
ссылался на попытки изложения вопроса, сделанные
Л. Валорно и А. Таке, второе же определение связывал
с именем одного Ньютона. «Мы,— писал он,— ... опреде-
ляем последнюю величину как предел, к которому пере-
менная величина (varying magnitude) может приблизить-
ся с любой степенью близости, хотя и никогда не может
стать абсолютно ей равной» [36, с. 97] 9. Далее следует
теорема, совпадающая с IV леммой Ньютона, и предложе-
ние о единственности предела переменной величины. Оп-
ределение «последнего отношения» непрерывных и моно-
тонных количеств очень пространное, и воспроизводить
его нет необходимости; здесь опять-таки утверждается
единственность «последнего отношения» [Там же, с. 98].
Заслуживает внимания, однако, что в примыкающей тео-
реме поясняется, что самый термин «последнее отношение»
следует понимать как то «определенное отношение», о ко-
тором говорится в дефиниции, т. е. понимать чисто фигу-
рально. Кроме того, здесь же дополнительно указано, что
ньютоново определение моментов как мгновенных при-
ращений пли уменьшений переменных количеств «может
показаться неясным» [Там же, с. 99]. Моментом является,
собственно говоря, лишь та часть приращения, которая
необходима для выражения «последнего отношения». При-
меняя обозначения самого Ньютона, Робинс говорит, что
моментом произведения двух величин АВ является не все
приращение АЬ + Ba + ab, где а и Ъ суть моменты при-
ращения А и В, но только АЬ + Ва, мы бы сказали, глав-
ная линейная часть приращения. В более общей форме
такое определение дифференциала вновь сформулирует,
пользуясь другой терминологией, португалец Ж. А. да
Кунья (1744—1787) в 179U г. [2, т. 3, с. 291—292]. Ниже
будет показано, что определение Робинса вскоре было
повторено французскими математиками, а затем и другими.
Существенным элементом определения предела у Ро-
оинса явилась его недостижимость; такое ограничение
снимало в некотором смысле трудности, возникающие при
Сочинения Джюрина и Робинса цитируются по книге Ф. Кэд-
жорп 136J. г
2*
35
вычислении флюксий. Джюрин занял другую позицию:
предел переменного количества или отношения может дос-
тигаться в одних случаях и не достигаться в других, толь-
ко в силу предполагаемой монотонности исключается ко-
лебание в окрестности предельного значения. Не приво-
дя самой дефиниции предела у Джюрина, данного в «Раз-
мышлениях о некоторых пассажах, содержащихся в двух
письмах к автору Аналиста» [38], следует процитировать
замечания, относящиеся к вопросу о достижимости пли
недостижимости предела: «Достигает ли количество или
отношение предела или нет, полностью зависит от пред-
положения, которое мы делаем относительно времени,
в продолжение которого количество или отношение пред-
ставляется постоянно стремящимся или приближающим-
ся к пределу» [36, с. 105]. Если это время конечное, то
предел достигается, в противном случае он не достигает-
ся. Поскольку в анализе Ньютона время есть просто уни-
версальная незавпсимая переменная, то речь идет о конеч-
ном или бесконечном интервале значений аргумента. Трак-
товка вопроса Джюрина, насколько известно, не получила
р аспр остр анения.
Попутно можно упомянуть, что в одной работе 1739 г.
♦ Робинс весьма резко отозвался о применении бесконечно
малых в знаменитом труде по механике Эйлера (1736),
который, как писал Робинс, в этом строго следовал прин-
ципам своего «вульгарного (inelegant) ... руководителя»
[36, с. 139—140],— имелся в виду Пог. Бернулли-стар-
ший.
«Аналист» Беркли стимулировал также глубокие ис-
следования К. Маклорена (1698—1746), одного из круп-
нейших математиков XVIII в. Под непосредственным
влиянием вспыхнувшей в Англии дискуссии Маклорен
написал некоторые разделы своего обширного «Трактата
о флюксиях» [39], в предисловии к которому он кратко
описал и эту дискуссию. Книга, изданная в 1742 г., пе-
чаталась долго: значительная часть ее была набрана уже
в 1737 г., и автор включил в нее вслед за разделами, по-
священными основаниям анализа, оригинальные открытия,
гораздо более важные, чем его общая методологическая
концепция. Маклорен выбрал пИой путь защиты метода
флюксий, чем его непосредственные предшественники. Он
прежде всего весьма обстоятельно доказывает основные
предложения анализа по методу исчерпывания, широко
пользуясь при этом геометрико-кинематическими пред-
ставлениями и терминологией, роднящими его с Оксфорд
36
{•Кими «калькуляторами» Xl\ в. Попутно он выводи!
несколько новых общих теорем дифференциального и ин-
тегрального исчисления, содержание которых маскирует-
ся его словесными рассуждениями. Поскольку эти теоре-
мы не имеют прямого отношения к теме данной статьи,
их приходится, как они ни любопытны, оставить в сторо-
не (см.: 1401). Теорию пределов как таковую ЛТаклорен
не строил, и на протяжении введения и первой главы об
основаниях метода флюксий слово «предел» в ньютоно-
вом смысле встречается крайне редко, например в XIV
теореме, где выясняется, что скорость движения есть,
по выражению Ньютона, предел переменного отношения
приращения пути к приращению времени [39, с. 101].
Определения понятия предела Маклорен не дает. Но
из всего изложения ясно, что он понимает предел так же,
как Робинс, а сверх того опирается на него при рассмот-
рении площадей между ветвью гипербол высших порядков
и асимптотой, которые мы записываем несобственным ин-
тегралом , п 1 [39, с. 43], или же при первом
почти современном определении суммы (сходящегося)
бесконечного ряда — здесь слова «предел суммы ряда»
набраны курсивом [39, с. 289]. Значительно дальше Макло
рен отводит несколько параграфов описанию метода пре-
делов или же первых либо последних отношений Ньюто-
на, защищая его при этом от упрека (Беркли) в мнимом
противоречип, состоящем в том, что при выводе флюксии
функции х2 сначала допускают, что приращение аргумен-
/х ~ h)2________________________________________х&
та отлично от нуля, а затем, после деления -------=
~2x-l~h, полагают в частном h —0 [39, с. 420—423].
Впрочем, обосновав строгость метода флюксий, Мак-
лорен признает вполне допустимым употреблять и весьма
удобное на практике исчисление бесконечно малых.
Попытка Маклорена построить математический анализ
с помощью сложного синтеза античных процедур и геомет-
рик о-мехэпических идей не соответствовала общему ал-
георо-арпфметическому направлению его развития,
и трудно сказать,- в какой мере его слишком пространное
изложение содействовало прогрессу .метода пределов, раз-
витие которого шло по более короткому пути.
Y\ztt ^етад пределов Даламбера. Как известно, в Англии
AV11I в. математический анализ развивался главным
о разом в направлении, намеченном Ньютоном, а на конти-
37
Ненте Европы — в Направлении, указанном Лейбницем и ею
ближайшими учениками — старшими братьями Бернулли.
Спор о приоритете между обоими великими учеными, ко-
торый вышел за пределы личном распри и перерос в спор
между двумя научными школами, усилил отчу, денне
между островными и континентальными математиками
и отрицательно сказался на прогрессе математического
анализа в Англии, несмотря на успехи отдельных вы-
дающихся аналистов, таких, как Р. Коутс, А. Муавр,
Дж. Стирлинг, К. Маклорен, Э. Баринг и др. Тем не ме-
нее идейный обмен через Ламанш продолжался. Лучшие
труды представителей обеих школ довольно быстро при-
обретали мировую известность: А. Клеро переписывался
с К. Маклореном, Л. Эйлер — с Дж. Стирлингом, неко-
торые труды английских ученых выходили во француз-
ских переводах, а известный курс дифференциального ис-
числения Г. Ф. де Лопиталя был переведен с французско-
го на английский. Положение дел в области математики
напоминало ситуацию в сфере физики и механики, где так-
же велась борьба ньютонианства с картезианством, за-
вершившаяся в середине XVIII в. победой первого, осо-
бенно благодаря трудам А. Клеро, Ж. Даламбера и
Л. Эйлера по небесной механике, а также результатам
экспедиций, организованных Парижской академией наук
для измерения формы Земли.
Исчисление бесконечно малых Лейбница вызвало воз-
ражения еще раньше, чем метод флюксий Ньютона: на
рубеже XVI1 и XVIII вв. Лейбницу пришлось вести дис-
куссию с Б. Ньёвентейтом, а последователям Лейбница
П. Вариньону и Ж. Сорену — с М. Роллем [2, т. 2,
с. 281—283] 10. Затем на некоторое время споры затихли,
но вскоре после выхода «Авалиста» французские матема-
тики вновь заинтересовались вопросами обоснования ана-
лиза. Конечно, аналитические открытия и методологиче-
ские установки Ньютона были им известны и ранее по ла-
тинскому оригиналу «Математических начал», трижды
10 Довольно подробный, хотя не вполне беспристрастный, рассказ
о споре, разгоревшемся в Парижской академии наук, дал много
лет спустя историк математики Ж. Ф. Монтюкла [41, с. 110—116].
Согласно Монтюкла, Ролль, как впоследствии Беркли, объяснял
правильность результатов, получаемых с помощью исчисления
бесконечно малых, взаимной компенсацией ошибок [Там же,
с. 117J. Впоследствии эту мысль высказывали Л. Эйлер п
Ж. Л. Лагранж, а подробно развил Л. Карно (см. далее). Мон-
тюкла отвел три страницы и дискуссии, вызванной «Апалпстом»
Беркли [Там же, с. 116—119].
38
издававшихся при жизни автора, а также латинскому тек-
сту его трактата о квадратуре кривых, опубликованному
в 1704 г. Но характерно, что труды Ньютона, а также Мак-
лорена появляются и во французских переводах. Объ-
емистый, хотя и не вполне завершенный, «Метод флюксий
и бесконечных рядов» Ньютона, написанный в 1670—
1671 гг. на латыни, но впервые увидевший свет в англий-
ском переводе только в 1736 г. и, в 1740 г. издается и на
французском языке. В 1749 г. публикуется и француз-
ский перевод «Метода флюксий» Маклорена. В середине
40-х годов маркиза Г. Э. дю Шатле, женщина обширных
научных знаний и большого дарования, переводит на фран-
цузский язык «Математические начала», в чем ей помогает
Клеро (этот перевод был издан только в 1759 г., через
10 лет после смерти дю Шатле). Привлекает внимание уче-
ных и дискуссия, вызванная «Аналистом» Беркли. Первое
публичное упоминание о ней во Франции встречается в
предисловии знаменитого естествоиспытателя Ж. Л. де
Бюффона (1707—1788) к его переводу «Метода флюксий»
Маклорена: «Все было спокойно в течение нескольких лет,
как вдруг в самой Англии'нашелся враг науки, объявив-
ший войну математикам... И он заявляет нам, что исчис-
ление бесконечного ошибочно, ложно, подозрительно не-
ясно, что принципы его недостоверны и что оно приводит
к цели только случайным образом» [42, с. XXV—XXVI].
Бюффон не счел нужным назвать Беркчп по имени.
Не сделал этого и Эйлер, вообще внимательно следивший
за всей математической литературой и тем более заинте-
ресованный английской дискуссией, что Робинс (как уже
говорилось) упрекнул его в применении исчисления бес-
конечно малых в памфлете, в названии которого привел
фамилию Эйлера [36, с. 139]. В предисловии к своему
«Дифференциальному исчислению» (1755) Эйлер писал,
что если дифференциальное исчисление не приводит к
ошибкам, когда пренебрегают бесконечно малыми, «то
скорее нужно было бы приписать это несовершенству ис-
числения. в котором одни ошибки компенсируются други-
ми, чем снять с самого исчисления подозрение в ошибоч-
ности» [43, рус. пер. 11а, с. 401. Безошибочность дифферен-
циального исчисления Эйлер теперь объяснял тем, что
Ньютон нс дописал целый ряд заключительных разделов этого
сочипеппя, так как не сумел в свое время найти издателя. Ори-
иаГД1ппл,,пь,а латппскпп текст был напечатан только в 1744 г.
•э.тось и далее сочинения, указанные в литературе на языке
оригинала и в русском переводе, цитируются по переводу.
39
«количества, которыми мы пренебрегаем, мы должны счи-
тать совершенно и абсолютно равными нулю» [Там же,
с. 40—41]. Подробнее Эйлер изложил свое понимание
бесконечно малых как абсолютных нулей в 3-й и 4-й гла-
вах I части «Дифференциального исчисления»; его проце-
дуру вычисления требуемого в анализе значения неопре-
деленного выражения dyldx 0/0 можно рационально
истолковать в духе теории пределов, чего он сам не гово-
рит (ср.: [44]), впрочем, возможно и другое истолкование
концепции Эйлера [45]. Во всяком случае, последователь-
но реализовать свою концепцию Эйлер не мог и успеха
у современников и потомства она не имела. Далее придет-
ся еще упомянуть о ней, поскольку она сопрпкасалась с
развитием метода пределов в XVIII в.
Во Франции уже в 40-е годы, а затем и позднее несколь-
ко ученых стали активными сторонниками теории преде-
лов Ньютона, внеся в нее отдельные изменения и дополне-
ния. Позднее к ним присоединились математики других
стран: Швейцарии, Германии; Италии, России. Первым
выступил Ж. Даламбер (1717—1783). В своем «Трактате
по динамике», опубликованном в 1743 г., он, проводя
одно доказательство с помощью бесконечно малых, кото-
рые позволяют сильно сократить рассуждения, писал:
«Метод бесконечно малых имеет то неудобство, что начи-
нающие. которые не всегда схватывают его суть, могут
привыкнуть к тому, чтобы рассматривать эти бесконечно
малые как реальности; это ошибка, против которой сле-
дует быть тем более настороже, что в нее впадали и вели-
кие люди и что она дала повод для некоторых скверных
книг, направленных против достоверности Геометрии.
Метод бесконечно малых есть не что иное, как метод пер-
вых и последних отношений, другими словами, отношений
рождающихся или исчезающих величии» [46. с. 36]. Та-
ким образом, Даламбер стал приверженцем теории преде-
лов задолго до появления его получивших широкую из-
вестность статей в знаменитой «Энциклопедии», начавшей
выходить в 1751 г. 12; историки анализа не обратили вни-
12 Многотомная «Энциклопедия, пли толковый словарь наук, ис-
кусств и ремесел» печаталась с 1751 г. по 1780 г., причем перво-
начально под редакцией Д. Дидро и Даламбера. который отка-
зался от редакционного, но пе авторского участия в 1758 г.; здесь,
несомненно, сыграло роль опасение преследованпй со стороны
властей и церкви.
История этого труда, статьи тля которого писали мпогпе
крупнейшие ученые и философы Франции и которое, получив
40
мания на приведенную цитату, вероятно, потому, что она
содержится в сочинении по механике. «Великих людей»
Даламбер не назвал, но ясно, что это были представители
традиционного дифференциального исчисления; сквер-
ной же книгой являлся, конечно, «Аналист». Во втором
издании «Трактата по динамике», вышедшем в 1758 г.,
т. е. после появления некоторых статей автора в «Энцик-
лопедии», цитированный только что пассаж несколько пе-
реработан и дополнен двумя примечаниями. В первом
прямо назван «Аналист», а во втором сделана отсылка к
статьям Даламбера «Дифференциал» и «Флюксия», тогда
уже напечатанным.
Тем временем метод пределов был кратко изложен
и применен в «Основаниях геометрии» аббата де ла Ша-
пелля 13 (1710—1792), королевского цензора в Париже,
хорошо знакомого с Даламбером. Ла Шапелль не был
крупным ученым и сам рассматривал себя только как че-
ловека, распространяющего открытия, сделанные други-
ми. Его «Основания геометрии» [48] и руководство по тео-
рии конических сеченпй и некоторых других плоских
кривых (1750) пользовались известностью и несколько раз
переиздавались. Вычисляя во втором томе «Оснований» не-
которые площади и объемы, ла Шапелль применяет чисто
инфинитезимальные приемы и «неделимые», но потом го-
ворит, что всегда считал истинные принципы дифферен-
циального исчисления независимыми от метода недели
мых, приводя некоторые выдержки из «Математических
начал» Ньютона и «Трактата по динамике» Даламбера.
Далее следует «подтверждение» метода исчерпывания, ко-
торый ла Шапелль рассматривает как метод пределов. Для
этого выводятся два предложения, которых, по мнению
автора, достаточно для неоспоримого обоснования метода
исчерпывания,— именно теоремы о единственности преде-
ла и о пределе произведения двух пли нескольких пере-
менных количеств. Вторая теорема используется для бо-
лее строгого доказательства равенства площади круга про-
изведению полуокружности на длину радиуса — равен-
ства, перед тем доказанного путем инфинитезимальных
самое широкое распространение во всех культурных странах, ока-
зало мощное влияние на духовный прогресс человечества и рас-
пространение свободомыслия, хорошо изложена в статье А. Горн-
фельда, опубликованной в начале нашего века [47].
13 Некоторые сведения о де ла Шапелле приводит М. Кавгтор, ко-
торый, впрочем. «Основания геометрии» не видел [49, т. 3, с. 531
и 841].
41
рассмотрений. И здесь же в подстрочном примечании оп-
ределяется используемое в обеих теоремах понятие преде-
ла: «Говорят, что одна величина является пределом другой
величины, если вторая может приблизиться к первой бли-
же, чем на любую данную величину, сколь бы малой ее
не предположить. Таким образом, разность между вели-
чиной и ее пределом абсолютно неопределима (inassignab-
1е)» 148, т. 2, с. 322]. Это определение принято связывать
с именем Даламбера, так как оно с небольшой вставкой
будет повторено почти через 20 лет в соответствующей
статье «Энциклопедии», написанной Даламбером вместе
с ла Шапеллем, соавторство которого там указано. По су-
ществу, это определение не отличается от определения
предела величины Робинса, напечатанного в 1735 г.;
впрочем, у ла Шапелля нет отдельного определения пре-
дела отношения и есть теорема о пределе произведения.
Мы не знаем, читал ли ла Шапелль труды Робинса. Не
знаем мы и того, какую роль сыграло знакомство де ла
Шапелля с Даламбером, который читал или, по крайней
мере, просматривал рукопись «Оснований геометрии» —
книга была издана с одобрения Парижской академии наук
по отзыву, написанному 15 января 1746 г. астрономом
П. Ш. Лемоннье п Даламбером.
Если ла Шапелль написал книгу, в которой впервые
на континенте Европы было приведено определение пре-
дела, то вдохновителем ученых, развивавших или рас-
пространявших далее метод пределов, вплоть до самого
О. Коши, стал Даламбер, посвятивший основаниям ана-
лиза серию блестящих статей в «Энциклопедии»: «Диффе-
ренциал» (Differentiel, 1754), «Флюксия» (Fluxion, 1756),
«Бесконечно малое» (Infiniment petit, 1759), «Предел»
(Limite, 1765) и др. Высокие качества этих статей в со-
четании со славой «Энциклопедии» содействовали рас-
пространению метода пределов; к тому же все математиче-
ские статьи были перепечатаны в «Методической энцик-
лопедии, расположенной по порядку предметов», неодно-
кратно издававшейся начиная с 1782 г. (цпт. по: [50]).
Свои идеи Даламбер излагал и в других статьях, печатав-
шихся в различных собраниях его сочинений, например
в «Разъяснении метафизических начал исчисления беско-
нечно малых» [51]. Выражение «метафизика исчисления
бесконечно малых» Даламбер пустил в ход в статье «Диф-
ференциал», и с тех пор оно стало общеупотребительным
в течение многих десятилетий. Эта статья носила в неко-
тором роде программный характер. В ней мы читаем:
42
«Здесь нам важнее всего заняться метафизикой диффе-
ренциального исчисления. Эта метафизика, о которой
столько писали, еще важнее, и ее, быть может, еще труд-
нее развить, чем сами правила этого исчисления...» —
последние слова оказались пророческими. И далее:
«Г. Лейбниц, смущенный возражениями, которые, как
он чувствовал, можно было бы сделать по поводу бесконеч-
но малых, как их рассматривает дифференциальное исчис-
ление, предпочел трактовать бесконечно малые только
как несравнимые, что подорвало бы геометрическую точ-
ность... Ньютон исходил из другого принципа, и можно
сказать, что метафизика этого великого математика в его
исчислении флюксий очень точна и ясна, хотя он ограни-
чился тем, что лишь бегло ее очертил.
Он никогда не считал дифференциальное исчисление
исчислением бесконечно малых количеств, а видел в нем
метод первых и последних отношений,’т. е. метод отыс-
кания пределов отношений. Этот знаменитый ученый по-
этому никогда не^дифференцпровал количества, а только
уравнения, ибо всякое уравнение заключает в себе отно-
шение между двумя переменными, и дифференцирование
уравнений состоиттолько в отыскании пределов отноше-
ний между конечными разностями содержащихся в урав-
нении двух переменных...» [50, т. 1, с. 524—525]. Вообще
в дифференциальном исчислении’речь идет не о бесконеч-
но малых, а о пределах конечных величин, и словами
«бесконечно малые» пользуются лишь для сокращения
выражений.
Опуская пространные рассуждения в”статье «Диффе-
ренциал» о бесконечно малых, которым Даламбер посвя-
тил специальную статью, следует заметить, что его харак-
теристика анализа Ньютона не вполне точна: Ньютону
неизбежно приходилось оперировать «исчезающими»
и «зарождающимися» величинами, а также дифференци-
ровать не только уравнения, но и сами переменные вели-
чины, так же как, впрочем, и Дяламберу в его различных
исследованиях. В статье же «Бесконечно малое» Даламбер
писал: «Так в”геометрии называют количества, которые
рассматривают как меньшие, чем любая величина. Под
словом'«дифференциал» мы в достаточной мере разъясни-
ли, что это’за так называемые (pretenchis) количества, и гы
показали, что на самом деле они не существуют ни в прп-
роде, ни"в допущениях геометров» Г50, т. 2. с. 210].
В статье о дифференциале Даламбер выдвинул как ос-
новное понятие дифференциального псчисления не диф-
43
ференциал. как это делалп Лейбниц и его ближайшие по-
следователи, но производную функцию. Одновременно
так же поступил Эйлер, хотя он и не отказывался от
применения (нулевых) дифференциалов. В цитированном
ранее предисловии к «Дифференциальному исчислению»
он писал, что оно представляет собой «метод определения
отношения исчезающих приращений, получаемых функ-
циями, когда переменному количеству, функциями кото-
рого они являются, дается исчезающее приращение»
[43, с. 39]. Поясняя затем процесс вычисления произ-
водной на примере функции у = ж2, Эйлер пользовался
и термином предел: когда приращения, о которых идет
речь, становятся все меньшими и меньшими, «их отношение
все более и более приближается к некоторому определен-
ному пределу, которого они, однако, достигают лишь тог-
да, когда полностью обращаются в нуль. Этот предел...
и является истинным объектом дифференциального ис-
числения» [Там же, с. 411.
Однако Эйлер вовсе не имел в виду разрабатывать
метод пределов и даже не привел дефиниции этого по-
нятия.
В одном пункте Даламбер вовсе отклонился от кине-
матической концепции Ньютона, именно от признания по-
нятия флюксий первичным. Анализ XVIII в. приобретал
со временем все более и более алгебраический характер,
отходя от наглядной кинематической и геометрической
интерпретации своих основных понятий, хотя к ней час-
то прибегали вплоть до эпохи Коши да и позднее. В статье
«Флюксия» сказано: «Вводить здесь движение — значит
вводить идею чуждую и вовсе не требующуюся для дока-
зательства; ведь мы не имеем четкой идеи о том, что та-
кое скорость тела в каждое мгновение, когда зта скорость
переменная... Когда скорость равномерная, это отношение
пути ко времени... Но когда движение переменное... это
отношение дифференциала пути к дифференциалу вре-
мени, отношение, о котором нельзя дать ясной идеи иначе,
как с помощью предела. Таким образом, необходимо об-
ратиться к последней, чтобы получить четкую идею флюк-
сии» [43, т. 2. с. 781.
Не все математики XVIII в. заняли в этом вопросе ту
же позицию, -что и Даламбер, и. например, птальянец
Т. В. ди Калузо (1737—1815), бывший также астрономом
и ориенталистом, выступил в 1788 г. как прямой последо-
ватель метода флюксий Ньютона [521. Позднее, в начале
XIX в., Л. Карно с характерной для него тенденцией сбли-
44
зить между собой и оправдать различные концепции ана-
лиза во втором издании своих «Размышлений о метафизике
исчисления бесконечно малых» (1813) утверждал, что воз-
ражение против введения в чистую математику как основ-
ного понятия скорости, принадлежащего к математике
прикладной, «недостаточно основательно», ибо наша клас-
сификация наук, помещающая математику впереди ме-
ханики, «в достаточной мере произвольна». Подобно дру-
гим инфинитезимальным методам, «метод флюксий есть
тот же метод бесконечно малых и, следовательно, метод
исчерпывания, рассматриваемый с новой точки зрения»,
так что предпочтение следует отдать тому методу, кото-
рый удобнее и проще (53. с. 246—247]. Впрочем, Карно
полемизировал здесь не с Даламбером, а с Ж. Л. Лагран-
жем, который в предисловии к своей «Теории аналитичес-
ких функций» 1797 г. [54] высказался о введении в анализ,
предметом которого являются лишь алгебраические коли-
чества, понятия скорости в духе Даламбера, заодно под-
черкнув трудность выводов в «Трактате о флюксиях»
Маклорена.
В последней статье рассматриваемого цикла «Предел»,
написанной Даламбером совместно с ла Шапеллем, дано
определение этого понятия с некоторыми добавле-
ниями.
В 1-й части статьи, написанной ла Шапеллем, повто-
рено определение, данное им в учебнике 1746 г. Посколь-
ку оно содержит небольшую, но существенную вставку
(выделена мной курсивом — А. Ю.), к тому же дополнен-
ную в части, принадлежащей Даламберу, его следует при-
вести: «Говорят, что одна величина является пределом
другой величины, если вторая может приблизиться к пер-
вой ближе, чем на любую данную величину, сколь бы ма-
лой ее ни предположить, без того, однако, чтобы прибли-
жающаяся величина могла когда-нибудь превзойти величи-
ну, к которой она приближается', таким образом, разность
между такой величиной и ее пределом абсолютно неопре-
делима» [25, т. 2, с. 311—312].
За этим определением следуют теоремы о единственно-
сти предела о и пределе произведения двух величин со
ссылкой на доказательство в «Основаниях геометрии» ла
ТПапелля и приведенное там же «строгое доказательство»
теоремы о площади круга.
В части, написанной Даламбером, прежде всего
подчеркивается, что «теория пределов есть основание
истинной метафизикп дифференциального исчисления».
45
и дается отсылка к уже названным ранее статьям «Эн-
циклопедии» и еще к небольшой статье «Исчерпание»
(Exhaustion), автором которой был ла Шапелль [50, т. 1,
с. 703—704]. Далее мы читаем: «Собственно говоря, пре-
дел никогда не совпадает или же никогда не оказывается
равным количеству, пределом которого является...» [Там
же]. Точно так понимал дело Робинс. В качестве примера
приводится круг, никогда не совпадающий с приближаю-
щимися к нему до бесконечности вписанными и описан-
ными многоугольниками, и добавлено, что понятие преде-
ла может служить для объяснения некоторых математи-
ческих предложений. Так, говорят, что сумма убывающей
геометрической прогрессии, первый член которой есть а
и второй — Ъ, есть а2/(а — Ъ). На самом деле речь здесь
идет не о сумме прогрессии, но о ее недостижимом пределе.
Данный предел напоминает трактовку того же вопроса
Маклореном; рядам посвящены еще две статьи «Энцикло-
педии».
Даламбер обобщил понятие предела и на бесконечно
большие величины. В упомянутой ранее статье о метафи-
зических началах исчисления бесконечно малых 1759 г.
сказано: «Бесконечность, рассматриваемая в анализе,
есть собственно предел конечного, т. е. граница, к которой
всегда стремится конечное, никогда к ней не приходя, но
о которой можно предположить, что конечное приближает-
ся к ней все ближе и ближе, хотя и никогда не достигает»
[51, с. 346]. Этой формулировке, непригодной, если рас-
сматривать предел как понятие количественное, можно
придать смысл порядкового понятия. Канторово карди-
нальное число Косеть предел последовательности карди-
нальных чисел 1, 2, 3,.. ., п, . . ., хотя численная раз-
ность между Ко и любым конечным кардинальным числом
неизменно бесконечна. Именно Ко есть предел конечных
чисел в том смысле, что следует в числовой последователь-
ности 1, 2, 3,. . . непосредственно вслед за ними. Но это
уже не количественное, а порядковое отношение. Такую
точку зрения высказал Б. Рассел [55, гл. 10], а позднее —
Д. Д. Мордухай-Болтовский [30, с. 117].
Историки науки оценивают метод пределов в изложении
Даламбера по-разному. В 1960 г. Н. Бурбакп писал, что
в статьях «Дифференциал» и «Предел», а также [5] Далам-
бер «очень ясно определил понятия предела и производных
и с большой силой отстаивал мнение, что в этом в сущности
и заключается вся «метафизика» исчисления бесконечно
малых» [56, с. 206]. Напротив, Ж. Л. Оверти Ж. Ж. Сан-
46
сю считают, что «попытка Даламбера совершенно недос-
таточна, так как не в состоянии нп объяснить главные ре,
зультаты, нп, тем более, находить новые, ни, наконец-
создать связную терминологию (langage). Приложение
к понятиям геометрии (касательные...) и механики (скоро-
сти...) туманно... В общем, у Даламбера отчетливо видно
стремление к строгости, но оно остается на уровне бла-
гих пожеланий» [57, с. 120—1211. Эти авторы имеют в
виду, что касательную, например, Даламбер рассматри-
вал в геометрическом плане, как предельное положение
секущей, две точки пересечения которой сливаются в од-
ну. Между тем понятие предела требует однородности об-
ласти изменения рассматриваемых величин и полного све-
дения пределов, используемых в геометрии и механике,
к числовым пределам (что сделал Коши). Совсем недавно
М. Клайн высказал мнение, что «Даламбер не развил
свою идею о пределе применительно к обоснованию ана-
лиза, и его современники не смогли оценить ее по достоин-
ству» [58, с. 203].
Приведенные оценки не столь противоречивы, как это
может показаться на первый взгляд. Как будет показано,
в глазах многих ученых второй половины XVIII в. поня-
тие предела в смысле Даламбера представлялось ясным,
во всяком случае, более ясным, чем понятие бесконечно
малого, хотя оно и расплывчато с точки зрения развитого
классического анализа XIX в. Разумеется, определение
Даламбера, или, лучше сказать, Робинса—Даламбера,
далеко от эпсилонтики, но ее придется ждать еще долго,
более ста лет. Далее неясно, имеется ли в виду предел
функции в области ее непрерывности или предел бесконеч-
ной сходящейся последовательности; по-видимому, судя
по примерам в статье «Предел», имеются в виду последо-
вательности. Пропущено указание, что под пределом (за
исключением бесконечных пределов) понимается постоян-
ная величина, на что позднее указал русский представи-
тель теории пределов С. Е. Гурьев (1764—1813), о чем см.
далее. По-прежнему рассматриваются односторонние пре-
делы монотонных последовательностей, что затрудняет
дело, так как даже при почленном сложении возрастаю-
щей и убывающей последовательностей возникает, вооб-
ще говоря, немонотонная последовательность. И в самом
деле, с помощью метода пределов, каким он являлся в се-
редине XVIII в., новых результатов получено не было;
систематически теория пределов была почти не развита,
а важнейший критерий сходимости последовательности
47
был отчетливо сформулирован и впервые использован
только Б. Больцано и О. Коши 14.
7. Распространение идеи Даламбера. К. Бойер пишет,
что в течение 30 лет после начала появления статей Да-
ламбера в «Энциклопедии» большинство учебников ана-
лиза писалось в манере школы Лейбница. Он подсчитал,
что за 30 лет, с 1754 по 1784 г., из 28 руководств таких
было 15, а между тем как основанных на идее предела —
всего 6 [1, с. 2501. Вероятно, эти данные близки к точной
статистике, которуя я не имел возможности проверить.
Следует, однако, иметь в виду, что положение дел суще-
ственно' меняется в последующие годы и количество сочи-
нений, авторы которых последовали за Даламбером, ста-
ло заметно возрастать. В этих сочинениях появляются
отдельные уточнения понятий и новые теоремы. Далее
рассмотрены только некоторые из них, наиболее приме-
чательные, которые подготовляли реформу анализа, на-
чавшуюся уже в XIX в.
Первым учебным курсом, в котором математический
анализ был построен с помощью метода пределов, были,
по-видимому, «Начальные основания анализа бесконеч-
ного» гёттингенского профессора А. Г. Кестнера, впер-
вые вышедшие в 1761 г. и не раз переиздававшиеся. Кест-
нер не был крупным математиком, но был выдающимся
педагогом; его лекции слушали великий К. Ф. Гаусс и
М. Ф. Бартельс, ставший впоследствии учителем Н. И. Ло-
бачевского, его руководства высоко ценил Б. Больца-
но. В предисловии Кестнер писал, что следует методу пер-
вых и последних отношений Ньютона, применяя вместе
с тем терминологию и приемы дифференциального исчис-
ления. Тут же он, отвергая актуальную бесконечность,
трактовал потенциально бесконечную величину в духе
Даламбера как предел (Grenze) или «последнее» (letzte)
состояние постоянно увеличивающейся величины, «хотя
такое последнее состояние не существует» [59, изд. 2-е,
с. 1—3]. Кестнер дает определения предела и производной,
которую называет «отношением дифференциалов» [Там же,
с. 101. Я приведу соответствующие цитаты по их очень
близкому переводу или изложению в «Новой алгебре»
(1797) [60] магистра философии и свободных наук Москов-
ского университета А. Д. Барсова, явившегося одним из
14 Некоторые авторы XIX—XX вв. усматривают наличие крите-
рия Больцано—Коши в одной, статье Эйлера о гармонических
рядах, напечатанной в 1740 г. Соответствующие высказывания
Эйлера недостаточно определенные (ср.: [2, т. 3, с. 302—303]).
48
первых сторонников метода пределов в России и, во вся-
ком случае, первым автором, изложившим его у нас в пе-
чати/труд С. Е. Гурьева, упомянутый ранее, вышел в свет
несколько позднее). Вслед за Кестнером, на которого
Барсов неоднократно ссылается, он писал: «Количество
приближается к другому количеству до бесконечности,
когда разность между оными учиниться может меньше
всякого определенного количества. Другое количество
в сем случае называется пределом первого. Таким же об-
разом содержание 15 может быть пределом другого содер-
жания» [60, с. 82—83]. II далее: «Положим, что переменное
количество Z определяется переменным же количеством z
и постоянными или неизменными величинами, пли что Z
есть функция количества z. Еще положим, что Z + Е
есть такая же функция количества z + е ... Если потом
количество е будет уменьшаться до бесконечности, то со-
держание Е : е до бесконечности приближаться будет
к другому какому-нибудь содержанию так, как к своему
пределу, и сей предел называется дифференциальным со-
держанием, или содержанием дифференциалов количеств
Е и е, и бесконечно малые количества Е и е называются
дифференциалами количеств Z и г» [60, с. 85]. Однако ни
у Кестнера, ни у Барсова теория пределов как таковая
развития не получила. Чтобы у читателя не было ошибоч-
ного представления о книге Барсова, следует сказать, что
материал для нее автор черпал не только из руководств
Кестнера, но также из трудов Эйлера и других выдаю-
щихся ученых XVIII в.
Сторонником метода пределов одновременно с Даламбе-
ром и де ла Шапеллем выступил Л. А. де Бугенвилль
(1729—1811) (более извесжный как географ и мореплава-
тель). В предисловии к 1-й части «Трактата по интеграль-
ному исчислению», который был задуман как продолжение
известного «Анализа бесконечно малых» Г. Ф. де Ло-
питаля (1696), изданной в один год со статьей «Дифферен-
циал» Даламбера, т. е. в 1754 г. 16, он писал, что «исчис-
ление бесконечно малых Ньютона не зависит от реально-
сти бесконечно малых количеств... Их допущение у него
является лишь кратковременной (momentanee) гипотезой,
предназначенной для сокращения и упрощения образа
10 Содержанием двух количеств называли в то время их отношение.
16 В IV томе лекцпй М. Кантора, в главе, написанной Э. Нетто (см.:
[49, т. 4, с. 310]); выход книги Бугенвплля датирован ошибочно
1752 г., на самом деле она была издана в 1754—1756 гг., вторая
часть ее посвящена дифференциальным уравнениям.
49
Действий. Он только применяет исчисление К методу исчер-
пывания древних, т. е. к методу отыскания пределов от-
ношений» [61, ч. 1, с. VIII]. Следующая за этой цитатой
фраза настолько близка к соответствующему тексту статьи
«Дифференциал», что знакомство автора с этой статьей
еще до ее публикации не вызывает никакого сомнения.
Более того, «Выдержка из протоколов Королевской ака-
демии наук от 17 января 1753 г.», подписанная Ф. Нико-
лем и Даламбером и помещенная вслед за предисловием,
показывает, что и названная статья, и книга Бугенвилля
имелись в рукописи уже в 1752 г. Здесь мы, между прочим,
читаем: «В предисловии автор дает краткую историю диф-
ференциального и интегрального исчисления и принци-
пов, на которых покоится метафизика этого исчисления,
метафизику, которую многие авторы уразумели плохо»
[61, т. 1, с. XIX]. Но Бугенвилль не развил метод преде-
лов и даже неумело применил его в разделе 1 части,
посвященной бесконечным рядам и вычислению с их по-
мощью неопределенных интегралов.
Не обогатил теорию пределов и курс дифференциаль-
ного и интегрального исчисления парижского академика
Ж. А. Кузена (1739—1800), вышедший в 1777 г. и пере
изданный под несколько иным названием в 1796 г. [62],
а также переведенный на русский язык с некоторыми до-
полнениями С. Е. Гурьевым (СПб., 1801). В довольно
пространном «Вступительном слове», содержащем, как
было тогда нередко, исторический обзор успехов анализа
за истекшее время, Кузен присоединился к концепции
метода пределов в изложении Даламбера, не добавив
чего-либо своего. Некоторые новые элементы привнес за-
то швейцарец С. Люилье (1750—1840), чье «Элементар-
ное изложение начал высших исчислений» получило пре-
мию на конкурсе Берлинской академии наук, объявлен-
ном в 1784 г., и было напечатано в 1786 г. [63].
Инициатором конкурса был Ж. Л. Лагранж, в то вре-
ся директор математического класса Берлинской акаде-
мии, издавна интересовавшийся основаниями анализа.
В одной коротенькой «Заметке о метафизике исчисления
бесконечно малых», появившейся в «Записках Туринской
академии наук» за 1760—1761 гг., он, быть может, под
влиянием Беркли высказал убеждение, что «неизменная
точность результатов этого исчисления объясняется тем,
что оно вообще само исправляет принимаемые в нем лож-
ные допущения» [64, с. 598], например допущение, что
касательная есть продолженная сторона отождествляемого
50
с кривой многоугольника с бесконечно малыми сторонами
и принцип отбрасывания бесконечно малых. Такое пони-
мание дела, однако, не удовлетворило Лагранжа, и позд-
нее он выдвинул другую идею: основать весь анализ чис-
то алгебраически на формальном представлении функций
их разложениями в бесконечные степенные ряды и на не-
которых свойствах таких разложений. Впервые эту мысль
он высказал в статье, помещенной в томе «Записок» Бер-
линской академии, изданном в 1774 г. [65]; затем в 1778—
1782 гг. ее попытался в несколько иной форме развить
М. Ж. А. де Кондорсе (1743—1794), прервавший, однако,
свою работу, хотя начало рукописи было уже набрано, и,
наконец, Лагранж детально разработал лишь намеченную
им программу в «Теории аналитических функций» (1797),
к которой придется еще вернуться. В промежутке Лагранж
был очень занят исследованиями по теории чисел, меха-
нике и т. д. и решил привлечь к изученпю проблемы дру-
гих ученых. От участников берлинского конкурса требо-
валось дать «ясную и точную теорию того, что в мате-
матике называется бесконечным», объяснить, как из
«противоречивого допущения, каким является допущение
бесконечного количества, было выведено столько верных
теорем, и указать взамен бесконечного верный и ясный, но
вместе с тем удобный в приложениях принцип» [66, с. 140—
141].
Рассмотрев более 20 присланных на конкурс сочине-
ний, берлинские математики, несомненно следуя мнению
Лагранжа, решили, что ни одно не дает полного ответа на
поставленный вопрос, но ближе других подошел к цели
автор рукописи, представленной под девизом «Бесконеч-
ность есть бездна, поглощающая наши мысли» (конкурс
был анонимный, и фамилии авторов были приложены в за-
печатанных конвертах). Этим автором и был Люи лье,
который, по его собственным словам, предложил «разви-
тпе^мыслей... которые г. Даламбер лишь наметил» [63,
с. 167] и, кроме начал дифференциального и интеграль-
ного исчисления, показал их основные приложения к’гео-
метрип п механике. В определении предела Люилье поч-
ти полностью следует за свои мп предшественниками, до-
полнив только определение указанием на то, что имеется
в виду стремление к постоянной величине илп отношению.
Как и' ранее, у Люилье речь идет об односторонних и
недостижимых пределах монотонных величин и монотон-
пыхТотношений. Кое в чем Люилье все же сделал шаг
вперед. Он доказывает теорему о пределе частпого
51
[Там же, с. 24], впервые применяет специальный знак
предела lim и пишет, что, как он выражается, «диф-
ференциальное отношение» (rapport differentiel), т. е.
«lim (АР/Аа;), или dPldx означают одно и то же», причем
последний символ не следует рассматривать как дробь
[Там же, с. 31]. Кроме того, Люилье уже в первой главе
вводит «переменное количество, не имеющее предела ма-
лости (или такое, которое может быть сделано меньшим,
чем любое указанное количество)» [Там же, с. 21]. Эта
формулировка неудачна, ибо предел малости здесь суще-
ствует и равен нулю — это сказано в другом конкурсном
сочинении (см. о нем далее). Относительно бесконечно ма-
лых доказана общая теорема, которую мы можем сформу-
лировать следующим образом: любой целый алгебраичес-
кий многочлен относительно бесконечно малой величины
сам бесконечно мал. Отсутствие специального термина
для бесконечного и бесконечно малого оказалось неудоб-
ным, и значительно дальше Люилье предложил новые
термины — infinible и infiniblement petit [Там же, с. 147],
которые, по его мнению, лучше выражают незавершен-
ность процесса увеличения или уменьшения, между тем
как слово infini характеризует завершенность процесса.
Это новшество не имело успеха, автор на него и не рас-
считывал. Довольно большую главу [Там же, с. 121—176]
Люилье отвел критике теории актуальных инфинитези-
мальных величин, которые в одном сочинении 1727 г.
пропагандировал непременный секретарь Парижской
академии наук Б. де Фонтенель (1657—1757), популяри»
затор науки и автор красноречивых «похвальных словя
умершим академикам. Маклорен также в свое времп
подверг критике Фонтенеля. Здесь не место для оценко
концепции Фонтенеля, которая заслуживает отдельног.
рассмотрения.
В латинское издание своей книги, вышедшей в 1795 г.
Люилье внес некоторые полезные изменения п добавления.
Особенно интересна более широкая трактовка самого поня-
тия предела: «Если переменное отношение может стано-
виться то больше, то меньше данного отношения, но из-
меняется так, что может подойти к данному отношению
ближе, чем к нему подходит любое другое предложенное
отношение, большее или меньшее, чем первое данное от-
ношение, то данное отношение называется пределом пере-
менного отношения. Здесь мы имеем дело с пределом как
возрастающего, так и убывающего отношения. То же са-
мое может иметь место для пределов переменных велп-
52
чпн » [67, с. 17]. Так, частные суммы прогрессип 1 — р 4~
р2 — р3 4- . . ., О < р < 1, попеременно больше
п меньше своего предела 1/(1 + р). На это определение
Люилье в наше время впервые обратила внимание
Е. С. Шатунова [68].
Книга Люилье повлияла на современников. Автор
наиболее полного и авторитетного «Трактата по диффе-
ренциальному и интегральному исчислению», изданного
на рубеже XVIII и XIX вв., С. Ф. Лакруа в литературе
к параграфам введения, в которых разъясняются понятия
предела, бесконечных и бесконечно малых количеств,
привел в 1810 г., кроме статей «Дифференциал» и «Предел»
Даламбера, еще только книгу Люилье. причем именно гла-
ву 1 ее латинского текста [69, т. 1, с. XLIX, Ы]. К руко-
водствам Лакруа еще предстоит возвратиться. Здесь же
мы рассмотрим представленное на конкурс Берлинской
академии наук весьма интересное сочинение, которое жю-
ри, т. е. фактически Лагранжем, не было одобрено. Речь
идет о «Рассуждении о теории математического бесконеч-
ного» Л. Карно (1753—1823), рукопись которого долгое
время хранилась в Архиве АН ГДР и впервые была опуб-
ликована факсимильно только в 1971 г. и переиздана в
1979 г. [70]. В переработанном виде этот труд Карно
издал в 1797 г. и с существеннымп дополнениями —
в 1813 г. [53]. Книга Карно, написанная доступно и увле-
кательно, имела большой успех, выдержала много фран-
цузских изданий, неоднократно переводилась на другие
языки и оказала немалое влияние на учебную литературу
своего времени. Целью Карно было обосновать традицион-
ное исчисление бесконечно малых на принципе компен-
сации ошибок, доказав общим образом, что такая компен-
сация обязательно имеет место. По существу, Карно
развивал мысль, высказанную в упомянутой заметке
Лагранжа 1762 г. Однако к тому времени, когда состоялся
берлинский конкурс, Лагранж проникся идеей, как он пи-
сал в статье (1772) 1774 г., построить анализ независимо
«от всякой метафизики и всякой теории бесконечно малых
или исчезающих количеств» [65, с. 443] 17.
Оставляя в стороне саму теорию компенсации ошибок
Карно, а также его соображения о глубоких связях меж-
ду различными концепциями анализа в принципе равно-
17 Много лет спустя в предисловии к «Теории аналитических функ-
ций» 1813 г. [54] Лагранж писал, что доказать общим образом тео-
рию компенсации ошибок, по-видимому, затруднительно.
53
правными, подчеркнем, что прп обосновании этой теории
автор использовал метод пределов. Уже в примечании
к вводному тексту, предшествующему «Рассуждению»,
говорится, что «в действительности нет ничего проще точ-
ного понятия бесконечного. Оно непосредственно опирает-
ся на понятие пределов и первых и последних отношений,
которые никогда не вызывали затруднений и которые гео-
метры считают столь ясными, что обыкновенно не дают
себе труда их определить» [70, с. 251]. Определения пре-
дела величины, отношения, функции не представляют ин-
тереса и выдержаны в прежней манере; впрочем, в них
нет ограничения случаями монотонности, как и в латин-
ском издании книги Люилье. Существенно установление
в первых же параграфах связи между понятием перемен-
ной бесконечно малой и предела: «...бесконечно малыми
называются те инфинитезимальные количества, предел
пли последнее значение которых есть 0» [70, с. 256] 18.
С помощью понятия предела вводятся также «несовер-
шенные уравнения» (equations imparfaites), играющие
важную роль в конструкции теории Карно; это уравне-
ния, которые мы могли бы записать в виде приближенных
равенств А — В, л пределе совершенно точных, так что
последнее отношение A/В есть отношение равенства
[Там же, с. 209]. При этом постоянно подразумевается
непрерывность рассматриваемых величин пли отношений,
которые по какому-либо закону приближаются к своим
пределам «нечувствительными степенями» (par degres
insensibles) [Там же, с. 253]. Это, согласно Карно, при-
дает смысл последнему отношению двух бесконечно малых,
так что для них выражение 0/0 получает одно-единственное
значение, определяемое «законом непрерывности» (loi
de continuite) [Там же. с. 255]. Тот же смысл, как говори-
лось, придавал отношению бесконечно малых или же пу-
левых дифференциалов Эйлер.
Среди свойств пределов в «Рассуждении» имеется тео-
рема о пределе постоянного количества; в те времена это
не было тривиальностью, ибо постоянные не считались
частным случаем' переменных. Есть, как и у Люилье,
теорема о пределе частного, распространяемая на случай
бесконечно малых числителей и знаменателя, как разъ-
яснено выше. Подобно Люилье, Карно вводит и знак пре-
дела в виде одной буквы L, причем тут же использует
18 Другая категория инфинитезимальных величин—это бесконеч-
но большие, предел которых есть 1/0 (ср. сказанное ранее об ана-
логичной трактовке этого понятия'Даламбером).
54
его для обозначения производной L , именуемой «диф-
ференциальным моментом» (moment difftrentiel) [Там же,
с. 264], который обозначает также D (дифференциал
Карно не отличал от бесконечно малого приращения) 18 19.
Особый интерес в «Рассуждении» представляет идея
объединить метод пределов с исчислением бесконечно ма-
лых. С точки зрения многих тогдашних приверженцев
метода пределов, в нем исключалось применение изолиро-
ванных бесконечно малых. Противники метода пределов
считали это важнейшим его недостатком, указывая, что
и его сторонники на практике постоянно нарушают нало-
женный ими самими запрет. Сравнивая метод пределов
с традиционным исчислением бесконечно малых, Карно
отдавал теоретическое преимущество первому, поскольку
он оперирует «истинными и ощутимыми количествами»
и «следует всегда верным и строго точным путем», между
тем как второе имеет дело с «химерическими» количествами
и для достижения истины «проходит, так сказать, всю
страну ошибок» [Там же, с. 267]. С другой стороны, «ме-
тоду пределов присуща трудность, которой нет в анализе
бесконечно малых; именно в нем нельзя отделять, как
в другом, одни бесконечно малые количества от других;
всегда требуется, чтобы они встречались попарно, что
мешает производить в уравнениях, в которых они содер-
жатся, все преобразования, служащие их исключению,
как это нужно делать..» [Там же, с. 287—288]. Есть сред-
ство, по мнению Карно, устранить это неудобство метода
пределов и сообщить характеристике D свойства обыкно-
венных бесконечно малых дифференциалов. Тут-то и ока-
зываются нужными упомянутые теоремы о пределах,
включая свойство единственности.
Попытка Карно, о которой идет речь, не удалась, и
он, очевидно, сам был ею не удовлетворен, ибо исключил
ii3 печатных текстов обоих изданий «Размышлений» всю
аргументацию вместе с заключительным выводом: «Та-
ким образом, не только метод пределов становится столь
же простым, как исчисление бесконечно малых, не теряя
при этом ничего в строгости, но также процедуры обоих
методов становятся абсолютно тождественными...» [Там
же, с. 289—290]. Реализовал зтот замысел Карно; о нем,
18 Знак оператора D несколько раз употребил в переписке с Лейб-
ницем 1698 г. Йог. Бернулли, позднее его систематически исполь-
зовал Арбогаст (1800).
55
очевидно, и не подозревал Кошп; но для этого потребова-
лась радикальная реформа оснований анализа.
Как упоминалось, теория пределов нашла сторонников
и в России. Об одном из них, А. Д. Барсове, уже говори-
лось. Упоминался и академик С. Е. Гурьев, выступивший
одновременно с Барсовым с обширным трудом, в котором
применил теорию пределов Даламбера к соответствующим
разделам элементарной геометрии. Это сочинение, факти-
чески изданное в ноябре 1797 г., но на титульном листе
датированное 1798 г. [71], составляло часть более обшир-
ной рукописи, которую автор представил Петербургской
академии наук в январе 1797 г., по из которой исключил,
по настоянию своих коллег, критические замечания в ад-
рес Ойлера. Само изложение метода пределов у Гурьева
почти не отличается от данного во французской «Энцик-
лопедии»; он лишь подчеркнул, как уже говорилось, что
в определении предела у Даламбера пропущено указа-
ние на то обстоятельство, что предел есть величина «не-
пременная» [71, с. 34]. Но Гурьев сохраняет предположе-
ние монотонности приближения к пределу, хотя в упо-
мянутой рукописи говорится о сходящихся знакочере-
дующих прогрессиях [72, с. 245].
Как видно из одной статьи Гурьева 1797 г., напечатан-
ной в 1802 г., ему были хорошо известны простейшие
теоремы о пределе суммы, разности и т. д.— всего 12
(см. [72, с. 227]); они имелись и в ненапечатанной
рукописи. В 1811 г. Гурьев выпустил в свет объеми-
стый курс дифференциального исчисления [73]. Концеп-
ция предела, обозначаемого буквой П, здесь та же, что
в книге 1798 г., ряд теорем о пределах доказан, основным
объектом дифференциального исчисления принимается
производная, существование которой в общем случае для
Гурьева следует из существования касательной к (пред-
полагаемой непрерывной) кривой [72. с. 248—2501. Узкое
определение предела влечет здесь за собой излишние длин-
ноты и теоремы и обрекает выводы на неполноту. Так, от-
дельно выводится, что
1 iш (X 4 В) = 1 im X -]- В,
lini(X — К) = lim X — В,
1 ini (X -]- }') = 1 i in А' 4- lim Y,
притом особо для случаев, когда X, Y возрастают, убывают
или меняются в различных направлениях; Гурьев пола-
56
гает, что и в последнем случае сумма X + Y будет моно-
тонной.
К Гурьеву во многом примкнул, хотя кое в чем с ним
и разошелся, одаренный любитель математики П. А. Рах-
манов (ум. в 1813 г.), издавший в 1803 г. небольшую книгу
по теории отношений [74], которой отведена и значитель-
ная часть «Опыта» Гурьева. Расхождение касалось имен-
но теории отношений и пропорций: Гурьев отвергал реаль-
ность иррациональных чисел и, отвергая общую теорию
пропорций Евклида, предложил другую, впрочем, не-
оригинальную. Рахманов последовал в данном вопросе за
Кестнером и Барсовым, считая, в частности, что иррацио-
нальные числа суть пределы рациональных десятичных
дробей. Поэтому Рахманов прежде всего излагает теорию
пределов, следуя Гурьеву, причем выводит 12 теорем,
упомянутых без доказательства в одной статье Гурьева.
Теоремы зти относятся к элементарным операциям, до
извлечения корней включительно, выводы их неполно-
ценны, и любопытно в них, пожалуй, первое известное
мне в литературе употребление буквы е для обознач иия
произвольно малого данного положительного числа 20.
Впоследствии Рахманов опубликовал немало работ, глав-
ным образом популяризовавших новые идеи и резуль-
таты современных парижских математиков, с которыми
он и лично познакомился во время одной поездки [72,
с. 254—2631.
С конца XVIII в. и в первую треть XIX в. центром ма-
тематической жизни Европы становится Париж (если не
считать Гёттингена, где с 1807 г. почти в одиночку рабо-
тал К. Ф. Гаусс) с его рожденными французской револю-
цией новыми высшими учебными заведениями: Политех-
нической школой, Высшей нормальной школой и рефор-
мированным университетом — Сорбонной, где появляется
факультет наук. Эти и другие высшие учебные заведения,
а также реорганизованная Парижская академия наук
воспитали новое поколение ученых и стали базой новой
научной математической школы, известной под именем
Политехнической. Уровень преподавания математики
резко повышается, лекции читают ведущие ученые, соз-
дающие на основе своих лекционных курсов первоклас-
сную учебную литературу. Все это отразилось и на пре-
подавании оснований анализа, в частности разработке
20 Коши нередко применяет букву е в своем курсе алгебраического
анализа 1821 г. (см. далее).
57
метода пределов, потребность в которой диктовалась и
собственными задачами чпстой и прикладной математики.
Наиболее значительным событием конца XVIII в.
явилось издание в 1797 г. уже упомянутой «Теории ана-
литических функций» Лагранжа, второе переработанное
издание которой вышло в 1813 г. [54]. Развивая идеи,
высказанные еще в статье 1772 (1774) г. [65], Лагранж
поставил целью построить систему анализа и его прило-
жений к геометрии и механике на алгебраической осно-
ве, без рассмотрения пределов и бесконечно малых, что
отражено в полном названии его фундаментальной работы
«Теория аналитических функций, содержащая начала
дифференциального исчисления, освобоженные от всякого
рассмотрения бесконечно малых, исчезающих, пределов
и флюксий п сведенные к алгебраическому анализу конеч-
ных величин». Здесь не место для разбора системы Лагран-
жа, оказавшей глубокое влияние на прогресс анализа и его
оснований, несмотря на принципиальную невозможность
реализации его основного замысла [2. т. 3, с. 282—291].
Достаточно сказать, что она нашла и критиков, утверж-
давших, что, по существу, Лагранж не сумел обойтись без
бесконечно малых и пределов, и сторонников. К развитию
принципов теории пределов как таковой эта теория имела
только косвенное отношение.
В том же 1797 г. вышел первый том фундаментального
трактата по анализу преподававшего в различных выс-
ших школах С. Ф. Лакруа (1765—1843), а затем в 1798
и 1800 г.— два следующих; это сочинение было затем пе-
реиздано в 1810—1819 гг. [69]. Обширное предисловие
ко второму изданию содержит интересные исторические
сведенпя 21 и изложение общих установок автора, к ко-
торым мы сейчас обратимся. Но данное руководство пред-
назначалось для специалистов. Кроме него и множества
других учебников, Лакруа выпустил в 1802 г. более крат-
кий, двухтомный, курс дифференциального исчисления
[75], получивший широкое распространение во Франции
(9-е издание вышло еще в 1881 г.) п переведенный на анг-
лийский (1816, 1830—1831) н немецкий языки.
Лакруа, не будучи творческим математиком, обладал
колоссальной эрудицией, и его трактат использовался
некоторое время' как ценное энциклопедическое издание.
В вопросах обоснования анализа целью Лакруа было сбли-
21 Между прочим. Лакруа еще в первом падании ввел термин «ана-
литическая геометрия» по аналогии с «аналитической механикой»
Лагранжа [69, т. 1, с. XXXVII].
58
Жение различных методов, которое в письме к нему одоб-
рял и П. С. Лаплас [69, т. 1, с. XIX] и которое, как гово-
рилось, было характерно и для Карно. В своем большом
трактате Лакруа занял эклектическую позицию, между
тем как в более элементарном курсе пспользовал теорию
пределов, «которая ... лучше всего сочетает краткость
с точностью рассуждений» [Там же, с. XXXV]. Во введе-
нии к трехтомнику Лакруа довольно долго разъясняет
понятие предела, ограничиваясь при этом теоремами о
единственности и о гцеделе частного, затем на примере
Нт*
частного двух многочленов ----------------? ' "— вводит
А’ха + B'x'-‘ + ...
при различных условиях, накладываемых на значения
показателей а, Р, . . ., а, Р', . . . и на поведение х, беско-
нечно малые и большие величины, а также принцип отбра-
сывания инфинитезимальных величин [Там же, с. 13—19],
после чего переходит к разложениям в степенные ряды
важнейших элементарных функций. В 1-й главе 1-го
тома, озаглавленной «Аналитическое изложение начал
дифференциального исчисления», он без доказательства
рассматривает приращение функции и по степеням при-
ращения аргумента h в впде
и — и = ph + qh* -]- rh3 + . . .
и говорит, что отношение (и' — и)/р при очевидном пре-
дельном переходе (h —> 0) стремится к пределу р [там
же, с. 145—1471. Несколько далее он даже предлагает
«доказательство» существования такого предела, следуя
Ж. Бпне (1786—1856) 22. Так вводилась функция р в эле-
ментарном курсе 1802 г. Здесь же Лакруа, следуя Лагран-
жу, рассматривает функцию р просто как коэффициент
при первой степени h, а член du — ph, составляющий часть
разности и' — и, называет дифференциалом; весьма про-
стые соображения позволяют заменить h на dx, и коэф-
фициент р или du/dx получает наименование дифференци-
ального коэффициента (этот термин употреблял еще
К. Вецерштрасс в лекциях 1861 г., когда уже в обиход
давно вошел и термин «производная», принадлежащий
Лагранжу). Глава заканчивается общими «размышления-
ми о метафизике и обозначениях дифференциального ис-
числения» [Там же, с. 237—248].
22 Несколько ранее, в 1806 г., «доказательство» утверждения, что
всякая функцп анализа, вообще говоря, дифференцир ?ма,
опубликовал А. М. Ампер (1775—1836) (подробно см.: [76, с. 203—
208]). «Доказательство» Бпне в [76] не рассмотрено.
59
Курсы Лакруа оказали несомненное влияние па сои
ременников и авторов последующ! х руководств, в том
числена таких ученых, как Б. Больцано и О. Коши, вместе
с К. Ф. Гауссом открывших новый этап в развитии осно-
ваний анализа. Однако математическое мышление самого
Лакруа принадлежало еще XVIII в.
8. Понятие предела у,К. Ф. Гаусса, Б. Больцано и
О. Коши. XIX столетие явилось временем оформления
классического анализа. Развитие шло в направлении, ко-
торое обнаруживается прежде всего в трудах К. Ф. Гаус-
са (1777—1855), Б. Больцано (1781—1848) и О. Коши
(1789—1857), а завершение получило у К. Вейерштрасса
(1815—1897 ) и его ближайших последователей. Впрочем,
уже около 1830 г. в рукописях Больцано, ставших изве-
стными почти сто лет спустя, намечается развитие тео-
рии функций действительного переменного, которая вме-
сте с теорией множеств становится затем фундаментом
анализа, но также источником новых логических трудно-
стей, дискуссии по которым продолжаются и в наши дни.
Арифметическая теория пределов оказывается одним из
разделов теории функций, границы которой вообще не
вполне определены и которую можно трактовать как
«просто расширенный, углубленный и обобщенный мате-
матический анализ», за исключением некоторых более
специальных аналитических дисциплин вроде теории диф-
ференциальных уравнений [76, с. 9]. Рассмотрение ариф-
метической теории пределов в рамках теории функций не
входит в предмет данной статьи, и здесь место вернуться
к началу XIX в.
Каждый из трех названных пионеров классического
анализа XIX в. внес свой особый вклад в разработку
теории пределов, определявшуюся характером его науч-
ной деятельности. Гаусс, владевший методом пределов
в весьма утонченной форме, не попытался дать система-
тическое изложение своих мыслей по этому вопросу; он
был занят множеством других проблем, по его мнению,
более актуальных; кроме того, по роду деятельности ему
никогда не приходилось читать лекции по анализу. Боль-
цано также не был профессором математики, но, чрез-
вычайно интересуясь основаниями этой науки, опублико-
вал несколько замечательных работ, а другие, не менее
замечательные, оставил в рукописи, не доведя их до
конца. Коши, чрезвычайно плодовитый ученый, являл-
ся профессором Политехнической школы и Коллеж де
Франс, а потом и Сорбонны, учителем многих выдающих-
60
ся математиков и автором руководств, получивших самую
широкую известность. Это и определило его решающую
роль в распространении теории пределов.
С самого начала XIX в. теория пределов выдвигается
на первый план как основной и необходимый метод иссле-
дования аналитических проблем. Теория аналитических
функций Лагранжа, базировавшаяся на несостоятельном
выводе недоказуемого предложения о представимости
в общем случае любой функции анализа ее рядом Тейлора,
не могла долго конкурировать с теорией пределов, хотя
многие результаты Лагранжа вошли в основной фонд
анализа (остаточный член формулы Тейлора, теорема о
среднем дифференциального исчисления и др.) 23. Прибли-
зительно к 1800 г. относится и единственная статья
Гаусса по теории пределов «Основные понятия учения
о рядах», мы бы сказали теперь — о последовательностях.
Поскольку сохранилось только несколько начальных
страниц рукописи этой статьи, опубликованной к тому
же лишь в 1917 г. [77], здесь можно ограничиться самым
кратким резюме их содержания, отсылая за некоторыми
подробностями к работе 178, с. 188—189]. Подход Гаусса
к понятию предела последовательности очень близок к со-
временному. Сперва вводятся понятия верхней и нижней
границ, затем в другой терминологии — верхнего и ниж-
него пределов ограниченной последовательности; если два
последних равны, то их общее значение называется абсо-
лютной границей (absolute Grenze) последовательности,
т. е., по-нашему, ее пределом. В конце рукописи сформу-
лирована теорема о пределе последовательности, состав-
ленной почленным сложением двух последовательностей,
имеющих пределы.
23 Любопытно, что три английских математика, именно Ч. Беб-
бидж (1792—1871), Дж. Гершель (1792—1871) и Дж. Пикок (1791
1858), которые в начале XIX в. предприняли попытку пересадить
па родную почву аналитические направления, успешно разви-
вавшиеся в Европе, в предисловии к изданному в 1817 г. англий-
скому переводу малого курса анализа Лакруа 1802 г. отдали
принципиальное преимущество «наиболее правильному и есте-
ственному методу Лагранжа», который Лакруа применил в большом
трактате. С их точки зрения анализ следовало развивать как
продолжение алгебры, между тем теория пределов отделяет
принципы анализа от алгебры (см. об этом: [58, с. 174].) Извест-
но, что в целом успехи алгебраического н математико-логического
направления в Англии XIX- в. были значительны, чем собствен
но аналитического.
61
Из ранних опубликованных работ Больцано (все они
недавно переизданы в [79]) следует остановиться на его
доказательстве теоремы о промежуточных значениях не-
прерывной функции. Эта небольшая брошюра, изданная
в 1817 г. в Праге [80], содержала замечательные общие идеи
и чистые результаты. Прежде всего Больцано критикует
различные более ранние доказательства этой давно из-
вестной теоремы как основанные только на наглядных
геометрических или механических представлениях, а ме-
жду тем «понятие времени, а также движения столь же
чужеродно в общей математике, как и понятие прост-
ранства» [80, с. 95]. Такие представления могут быть ис-
пользованы для пояснения теоремы, но не для доказатель-
ства согласно с основными принцпами чистой или общей
математики, к которой Больцано относил арифметику,
алгебру. Целью Больцано было «чисто аналитическое до-
казательство» — этими словами начинается длинное на-
звание брошюры [80]. Понятие предела здесь не форму-
лируется, и этот термпн не употребляется, так же как и
термин бесконечно малая величина, хотя автор, естествен-
но, оперирует переменными «величинами, которые могут
стать меньшими, чем любая данная», и для их обозначения
применяет, как и в более ранней брошюре 1816 г., посвя-
щенной выводу биномиальной теоремы, греческие буквы со
и Q [80, с. 283] 24. Вместе с тем понятия предела функции
и предела последовательности в смысле развитого клас-
сического анализа XIX в. в «Чисто аналитическом доказа-
тельстве» явно подразумеваются при определении непре-
рывности функции одного действительного переменного,
а также в формулировке и выводе необходимого и доста-
точного критерия сходимости бесконечной последователь-
ности (критерия Больцано—Коши); правда, терминоло-
гия Больцано здесь непривычная, а вывод далек от пол-
ноты. Особенно интересна формулировка определения не-
прерывной функции: «.. под выражением, что функция
/ (.zj изменяется по закону непрерывности для всех зна-
чений х, которые лежат внутри или вне известных гра-
ниц, понимают лишь то, что если х есть какое-нибудь нз
этих значений, то разность / (х -]- со) — / (х) может быть
сделана меньше, чем любая данная величина, если можно
принять ы столь малым, сколь угодно, или пусть будет
24 Эти обозначения Больцано заимствовал из первого доказатель-
ства Гаусса основной теоремы алгебры (1799), которое, как и два
последующих гауссовых доказательства (1816), он тонко анализи-
рует в начале своей брошюры.
62
./ (г +<о)=/ (лг) + £2» (80, с. 427—428]. Здесь, конеч-
но, имеется в виду абсолютное значение разности / (х +
0)) — f (.i), а смысл знаков си, Q был разъяснен выше.
Как видно, цитированное определение выдержано впол-
не в манере современной «эпсплоитпки», только вместо 6
н е у Больцано стоят о> и Q.
Брошюра 1817 г. явилась последней из пяти прижиз-
ненных публикаций Больцано по математике, но он про-
должал исследования в области анализа и далее. Около
1830 г. он получил далеко опережавшие его эпоху резуль-
таты в теории функций, а в 1832—1835 гг. предпринял
попытку построения теории действительного числа, осо-
знав, вероятно, что такая теория необходима для пол-
ноты выводов в его «Чисто аналитическом обосновании».
«Учение о функциях» (Fuiiktioiienlelire) Больцано про-
никнуто новаторским теоретико-функциональным духом,
не свойственным даже самым выдающимся аналистам его
времени. Ярким примером этого является конструкция
непрерывной на отрезке функции, не являющейся моно-
тонной ни в одном сколь угодно малом промежутке этого
отрезка и не дифференцируемой на плотном в себе мно-
жестве его точек (Больцано не знал, что его функция ни-
где не дифференцируема в области своего задания; это
доказал в 1922 г. изучавший рукопись «Учения о функ-
циях» К. Рыхлпк). Первые же примеры непрерывных
нигде не дифференцируемых функций были построены
К. Вейерштрассом и независимо Г. Дарбу (1875). Боль-
цано показал также, что свойство непрерывных на отрез-
ке функций принимать все промежуточные значения
необратимо и дал пример всюду разрывной функции, об-
ладающей указанным свойством. Впрочем, рукопись уче-
ния о функциях содержит некоторые ошибочные пли не-
полные выводы. Набросок Больцано общей теории дейст-
вительных чисел вообще не был им развит последователь-
но. К мысли о необходимости такой теории вновь пришли
Р. Дедекинд (1858) и несколько позднее К. Вейерштрасс
и другие математики (III. Мерз, Г. Кантор), которые по-
строили около 1870 г. ее различные варианты. Но каковы
бы ни были недостатки теории числа Больцано, он и в этой
области самостоятельно сделал первый шаг в направлении,
как в 1872 г. выразился Дедекинд, «чисто арифметичес-
кого» основания начал математического анализа.
Незавершенные рукописи Больцано увидели свет
только соответственно в 1930 и 1902 г. Больше повезло его
«Парадоксам бесконечного» |81], написанным незадолго
63
до смерти в 1847—1848 гг. и изданным в 1851 г. В этом
сочинении предвосхищены некоторые идеи теории мно-
жеств. Здесь мы укажем лишь на трактовку Больцано
понятия переменной величины. «То, что математики на-
зывают переменной величиной.— писал он.— на самом
деле не есть величина, а только понятие представления
о величине, и при том такое представление, которое зак-
лючает в себе не одну величину, а бесконечное множество
различающихся по своим значениям величин...» [81,
с. 14]. Но в середине XIX в. перестройка анализа, и в
частности теории пределов, «стационарным образом» (вы-
ражение Н. Н. Лузина) была еще впереди. Оригинальное
изложение теории пределов без введения понятия пере-
менной величины имеется в руководстве Н. Н. Лузина [4,
гл. III].
Ни «Чисто аналитическое доказательство», ни другие
брошюры Больцано не привлекли большого внимания его
современников, быть может, потому, что имя автора не
пользовалось известностью среди математиков — в то
время он был профессором философии религии Пражского
университета, откуда в 1820 г. был уволен за свободомы-
слие и далее не служил. Все же о трудах Больцано знали
отдельные выдающиеся современники: Н. И. Лобачев-
ский купил для библиотеки Казанского университета
его «Чисто аналитическое доказательство» в 1821 г.;
несколько позднее о нем с похвалой отзывался Н. X. Абель.
Нет доказательств того, что брошюру 1817 г. прочитал
в начале своей педагогической карьеры, начатой в 1816 г.,
О. Коши, хотя такая возможность не исключена. Бли-
зость некоторых определений (непрерывности, критерия
сходимости рядов) в «Чисто аналитическом доказатель-
стве» и в первом руководстве по анализу Коши, вышед-
шем в 1821 г., дала повод высказать в 1970 г. мнение
о прямой зависимости Коши от Больцано и обвинить Ко-
ши в частичном плагиате [82]. Приведенная в пользу
этого мнения аргументация была вскоре подвергнута
убедительной критике [83]. Конечно, не исключено, что
Коши прочитал брошюру Больцано 1817 г., но если даже
он с ней и познакомился до составления его знаменитых
руководств 1821—1823 гг., то не это знакомство опреде-
лило характер радикальной реформы или революции
в анализе, обусловленной назревшими потребностями
математического анализа в целом, в том числе собствен-
ными исследованиями Коши, изложенными в его извест-
ном мемуаре 1814 г. об определенных интегралах. О том,
64
что Коши независимо от Больцано разработал важней-
шие элементы новой системы анализа, с полной несом-
ненностью свидетельствует программа его первого курса
лекций в Политехнической школе, намеченного на 1816 г.,
хранящаяся в Архиве Академии наук в Париже. В этой
программе говорится о «различии между непрерывными
и разрывными функциями» и о «правилах сходимости
рядов». Что при этом речь идет о непрерывности в смысле
Коши (и Больцано), а не совершенно другом смысле, ка-
кое этому термину придавал Эйлер, свидетельствует и
только что упомянутый мемуар 1814 г. (ср.: [83, с. 380]).
Вообще Коши явился непосредственным продолжателем
французской школы анализа, складывавшейся в XVIII и
начале XIX в., в том числе Даламбера, Лагранжа, Кар-
но, Лакруа; к этим именам следует добавить имя С. Д. Пу-
ассона. Вместе с тем Коши, так же как и Гаусс, и Боль-
цано, придал аналитическим исследованиям то новое на-
правление, которое впоследствии получило название
«арифметизации», впрочем, не совсем в том смысле, в ко-
тором это слово употребил, по-видимому, впервые в одной
статье 1887 г. Л. Кронекер.
Для развития теории пределов в XIX в. решающее
значение имели два руководства О. Коши — по алгебраи-
ческому анализу 1821 г. [84], а затем по дифференциаль-
ному и интегральному исчислению 1823 г. [85]. Оба они
имеются в русском переводе. Первое из них перевели воспи-
танники Петербургского университета, впоследствии вид-
ные педагоги Ф. Ф. Эвальд (1813—1879), В. В. Григорьев
(1824—1892) и А. А. Ильин (1839—1879), приложившие
к переводу почти 250 страниц дополнений, а второе —
академик В. Я. Буняковский (1804—1889), в молодые го-
ды слушавший в Париже лекции самого Коши.
В предисловиях к обоим названным трудам, из которых
первый должен был служить введением ко второму,
Коши сформулировал общую концепцию анализа. «Что
касается методов,— писал он в курсе алгебраического
анализа,— то я стремился придать нм всю строгость, тре-
буемую в геометрии 26, с тем чтобы никогда не прибегать
к доводам, исходящим из общности алгебры. Хотя доводы
такого рода обыкновенно допускаются, особенно при пере-
ходе от сходящихся рядов к расходящимся и от действи-
тельных количеств к мнимым выражениям, но я думаю,
что в них можно видеть только индуктивные приемы,
26 Геометрией часто называли топа и позднее математику в целом.
3 Заказ Ki 2674
65
позволяющие иногда предчувствовать истину, но плохо
согласующиеся с хваленой точностью математических на-
ук. Следует также заметить, что им присуща тенденция
присвоить алгебраическим формулам неопределенный
простор, между тем как в действительности большинство
этих формул имеет силу только при некоторых условиях
и для некоторых значений входящих в них количеств.
Определяя эти условия и эти значения, я устраняю вся-
кую неопределенность; и тогда различные формулы пред-
ставляют лишь соотношения между действительными
количествами, соотношения, которые всегда легко про-
верить, подставляя числа вместо самих количеств. Прав-
да, чтобы постоянно оставаться верным этим принципам,
я вынужден был допустить многие предложения, кото-
рые, быть может, сперва покажутся несколько жесткими»
[84, с. II—ПП, например, что расходящийся ряд не имеет
суммы.
Возражая против доводов, исходящих из «общности ал-
гебры», Коши имел в виду столь частую в XVIII в. прак-
тику формального переноса свойств конечных математи-
ческих объектов на родственные им бесконечные: конечных
величин — на бесконечно малые, обыкновенных целых
многочленов — на бесконечные степенные ряды, рядов
сходящихся — на расходящиеся и т. п. При этом от
ошибочных выводов, как правило, предохраняло чутье,
а не соблюдение каких-либо явно высказанных правил
предосторожности. Так поступал Эйлер 26 и даже Ла-
гранж.
Важнейшую часть курса алгебраического анализа
образуют рассмотрение свойств бесконечно малых, на ко-
торых основаны дифференциальное п интегральное исчис-
ление, а также впервые систематически разработанная
самим Коши теория сходимости бесконечных числовых
и функциональных рядов с действительными или комплекс-
ными членами. При этом Коши ограничивается рассмотре-
нием класса функций, непрерывных в области своего оп-
ределения, за исключением, быть может, изолированных
точек разрыва; точно так же в продолжении своего курса
он рассматривает функции, вообще говоря, дифференци-
руемые.
Понятие переменной бесконечно малой величины яв- 28
28 Впрочем, чтобы оправдать употребление расходящихся рядов,
Эйлер предложил обобщение попятил суммы ряда и приемы сум-
мирования, уточненные в общей теорип суммирования рядов,
созданной в конце XIX и в XX в.
66
дялось в глазах Коши важнейшим в анализе, и в этом воп-
росе он был, несомненно, близок к Карно, хотя и не при-
нял его теорию компенсации ошибок. Сближает обоих
ученых и установление непосредственной связи между
методом пределов и методом бесконечно малых. Можно
сказать, что Коши удалось реализовать замысел синтеза
обоих методов, возникший у Карно, когда он писал свое
конкурсное «Рассуждение» 1785 г., о существовании кото-
рого Коши, скорее всего, даже не подозревал. В предис-
ловии к руководству по дифференциальному и интеграль-
ному исчислению 1823 г. Коши, частью повторяя, ча-
стью дополняя положения, высказанные двумя годами ра-
нее, писал: «Методы, которым я следовал, отличны в не-
которых отношениях от тех, какие излагаются в сочине-
ниях этого рода. Главной целью моей было примирить
строгость, которую я поставил себе правилом в моем
«Курсе анализа», с простотой, вытекающей из непосред-
ственного рассмотрения бесконечно малых величин» [85,
с. 9]. И прямо выступая против Лагранжа, он подчерки-
вал, что принципы дифференциального исчисления и его
наиболее важные приложения можно легко изложить без
привлечения рядов.
Здесь придется оставить в стороне богатое содержание
курса 1823 г., с тем чтобы рассмотреть концепцию преде-
ла, бесконечно малой и бесконечно большой величин,
содержащуюся в руководстве 1821 г.
«Если,— читаем мы,— значения, последовательно при-
писываемые одной и той же переменной, неограниченно
(indeliniment) приближаются к фиксированному значе-
нию таким образом, чтобы в конце концов отличаться от
него сколь угодно мало, то последнее называют пределом
всех остальных» [84, с. 19]. В качестве примеров приво-
дятся иррациональное число, понимаемое как предел
различных все более и более близких к нему рациональ-
ных дробей, а также площадь круга, как предел площадей
вписанных многоугольников при постоянном возрастании
числа их сторон. Затем определяется бесконечно малая
как переменная, последовательные численные значения 27
которой становятся меньше любого данного (положитель-
ного) числа — «переменная такого рода имеет пределом
нуль» [Там же], а также положительная и отрицательная
бесконечные величины.
27 «Численное значение» величины у Коши соответствует нашей «аб-
солютной величине».
3*
67
Как видно, определение предела у Коши практически
не отличается от определения у его предшественников, да
и примеры его не новы. Правда, он не предполагает моно-
тонности переменной и не отвергает возможности совпа-
дения каких-либо значений переменной с ее пределом, но
и это не было новым по сравнению, скажем, с курсом
Лакруа. Вообще Копш здесь далек от «эпсилонтики»,
в которой не испытывает внутренней потребности и ко-
торая, кроме того, была бы невозможна в курсе тогдашней
Политической школы. Этого вопроса придется еще кос-
нуться далее. Сверх того, процитированное определение
относится только к пределу последовательности, о пре-
деле же функции ничего не сказано, хотя несколько далее,
познакомив читателя со знаком lim, Коши рассматривает
предел функций у многих независимых переменных и да-
же целые классы пределов, что «в некоторых случаях,
когда одна или несколько переменных стремятся к фик-
сированным пределам, выражение, содержащее эти пере-
менные, стремится к нескольким различным между собою
пределам» [Там же, с. 26]. В качестве одного из примеров
указана функция sin (1/х), которая в зависимости от ха-
рактера изменения аргумента может стремиться к раз-
личным пределам, заключенным между —1 и +1. Между
прочим, в только что цитированном замечании Коши го-
ворится пока о «выражении, содержащем переменные»
т. е. о некоторой формуле, а не о функции. Это объясняет-
ся тем, что только что указанные определения фигури-
руют во введении к курсу, а понятие и термин «функция»
впервые появляются (если не считать предисловия) да-
лее, в I главе, где даются сведения о классификации функ-
ций. Весь этот круг вопросов здесь можно оставить в сто-
роне. Во II главе рассмотрены некоторые нужные затем
свойства бесконечно малых величин и для функции, од-
нозначной и конечной между двумя пределами значений
независимой переменной, дается определение непрерыв-
ности. Обозначая бесконечно малое приращение аргумен-
та х буквой а, Коши формулирует свое определение дваж-
ды.
«Функция / (х) будет между двумя указанными преде-
лами переменной х непрерывной функцией этой перемен-
ной, если для всякого значения х, промежуточного ме-
жду этими пределами, численное значение разности
/ (х + а) — / (х) неограниченно убывает вместе со зна-
чением а. Другими словами, функция / (х) остается не-
прерывной относительно х между данными пределами,
68
если между этими пределами бесконечно малое приращение
переменной вызывает всегда бесконечно малое приращение
самой функции». 11 далее: «Говорят также, что функция
есть непрерывная функция переменной х в соседстве
с каким-либо ее частным значением, если она непрерывна
между двумя пределами х, заключающими эти значения,
как бы ни были близки эти пределы. Если же она пере-
стает быть непрерывной в соседстве с х, то говорят, что
функция становится разрывной и что для этого частного
значения х имеет место разрыв непрерывности» [Там же,
с. 43].
Определение непрерывности у Коши столь же далеко
от «зпсилонтики», как и его определение предела, и в этом
смысле невыгодно отличается от определения Больцано.
Это отмечал и" Касспна [3, с. 194] 28 29. Параграф о непре-
рывности функций заканчивается теоремой о промежуточ-
ном значении, и чтобы убедить читателя в ее справедли-
вости, Коти прибегает к наглядным геометрическим со-
ображениям, отсылая желающих за чисто аналитическим
доказательством к одному из прибавлений, написанных
для тех, кто хочет специально изучать анализ. В данном
случае, кажется, Коши единственный раз на протяжении
всего курса прибегает к геометрической наглядности.
Коши не останавливается на простейших свойствах
пределов, зато приводит несколько теорем о бесконечно
малых различных порядков2®. Особо выделяет Коши об-
щий критерий сходимости бесконечной последовательности
и ряда, который формулирует в начале VI гл. о сходимости
рядов с действительными членами. Он приводит рассуж-
дения, убеждающие читателя в необходимости этого кри-
терия, но не пытается доказать его достаточность, что
в то время было невозможно [Там же, с. 114—116]; как
отмечалось, попытка полного доказательства, естествен-
но, не удалась и Больцано. При формулировке критерия
сходимости ряда Хип с положительными членами, осно-
28 В своем знаменитом труде по теории интегрирования А. Лебег
почему-то приписывает Коши определение непрерывности функ-
ции в точке, сформулированное в терминах «эпсилонтпки» начала
XX в., и характеризует это определенпе как классическое [86,
с. 43]. Это один из многих примеров того, как модернизуют выска-
зывания авторов прежних времен даже столь крупные математи-
ки, каким был А. Лебег.
29 Элементарные теоремы о пределах суммы, произведения и т. д.,
которые Коши не счел нужным сформулировать, привел в осо-
бом примечании один из переводчиков «Алгебраического анали-
за» А. А. Ильин [84, с. 3—7]. (См. с. 87—96.)
69
банного На рассмотрении у ип, Коши использует понятие
«верхнего предела» [Там же, с. 235].
Вообще, слитая с усовершенствованным исчислением
бесконечно малых, теория пределов Коши впервые стала
в названных двух руководствах действенным средством
исследования и краеугольным камнем радикального,
или, если угодно, революционного (ср.: [87]), преобразо-
вания математического анализа, между тем как ранее ме-
тод пределов привлекался преимущественно для убеди-
тельного объяснения логических трудностей, присущих
принципам и приемам традиционного исчисления беско-
нечно малых. Новые методы получили эффективное при-
менение в теории рядов, построения дифференциального
исчисления 30, теории интеграла, теории дифференциаль-
ных уравнений и т. д.; с их развитием встали многочис-
ленные «проблемы существования», прежде игравшие
весьма скромную роль в прогрессе математики. Одним из
проявлений этого процесса явилось установление новых
критериев математической строгости, хотя математики
и в дальнейшем при изложении своих открытий далеко
не всегда руководствовались этими критериями, доверяя
интуиции, которая, впрочем, сама претерпела сущест-
венные изменения. Так поступал и Коши.
Заканчивая раздел, посвященный главным образом
Больцано и Коши, естественно сравнить их вклад в раз-
витие теории пределов. При этом следует учесть несколь-
ко обстоятельств. Конечно, определение непрерывности
у Больцано имеет с точки зрения развитого классического
анализа преимущества перед определением Коши. В 30-е
годы XIX в. Больцано далеко продвинулся в теоретико-
функциональном направлении и поставил задачу построе-
ния теории действительного числа. Коши теоретико-функ-
циональное направление само по себе не интересовало,
30 Характерно, что не только производную функцию для / (г), но
и ее дифференциал Копш определяет первоначально как предел
отношения
I (^ + 0 — I (а) / (г + afe) — / (г)
i ah
при ah—* 0, где h—конечная величина. Только после этого,
обозначив дифференциал dy или df (г), он получает равенство
df (г) = hf (г), а поскольку при / (г) = х имеет место dx = h,
то df (г) = f (г) dx, или dy = y’dx', «поэтому производную функ-
цию иногда называют дифференциальным коэффициентом» [85,
с. 27—28].
70
п только что упомянутая задача у него, вероятно, не воз-
никала; как исследователь, он разрабатывал гораздо более
широкую область анализа и его приложений, чем Боль-
цано. Но что касается исходных определений и теорем,
то нельзя забывать, что в своих лекциях и руководствах
Коши должен был сообразовываться с реальными ус-
ловиями педагогической работы в Политехнической шко-
ле. Подготовка ее слушателей была в то время очень скром-
ной, а цели школы, предназначенной прежде; всего для
формирования гражданских и военных инженеров, тре-
бовали возможно более элементарного изложения мате-
матического анализа. Лекции Коши были по тому време-
ни весьма трудными, а его печатные курсы просто недо-
ступными для большинства слушателей. Эпсилонтика бы-
ла бы здесь совершенно не к месту, да к ней Коши и не
испытывал влечения. Теперь стало известно, как трудно
складывались отношения Коши в Политехнической школе
и с плохо понимавшей его аудиторией, и с некоторыми
влиятельными коллегами (в том числе с П. С. Лапласом),
и с администрацией школы 31. Недаром он смог издать
только первый том лекций по исчислению бесконечно ма-
лых, а печатание второго, который по его замыслу дол-
жен был выйти следом, остановилось на 13-м листе (здесь,
между прочим, он дал первое доказательство существо-
вания .решения обыкновенных дифференциальных урав-
нений первого порядка при некоторых условиях — дока-
зательство, обобщенное впоследствии Р. Липшицем).
Вместе с тем, когда Коши хотел, он проводил доказатель-
ства на уровне строгости не менее высоком, чем Больца-
но. Так, сообщив сначала наглядно-геометрическое обо-
снование теоремы о промежуточном значении непрерыв-
ной функции, оп в прибавлении, посвященном численному
решению уравнений, доказал ее чпето аналитически,
по-иному, чем Больцано, но с неменьшей строгостью [88,
с. 378-3801.
Аналитический вывод теоремы о промежуточном зна-
чении в курсе алгебраического анализа отнюдь не един-
ственный пример рассуждений, в которых Коши прибли-
жался к уровню строгости, характерному для развитого
классического анализа последних десятилетий XIX в.
Другим примером может служить доказательство теоремы
о среднем, т. е. формулы Лагранжа, в курсе днфферен-
31 Эти трудности описаны в новейшей биографии Коши, опирающей"
ся на архивные материалы [88, с. 78—92].
71
циального п интегрального исчисления 1823 г.; в угол до-
казательстве Коши впервые применил 6-,е-технику диф-
ференциальных неравенств, т. е. так называемую эпсп-
лонтику [85, с. 44—45] 32.
9. Понятие предела в развитом классическом анализе.
Руководства и труды Кошп оказали мощное влияние на
развитие анализа во многих направлениях. Все же оп-
ределение предела, типичное для классического анализа,
заставило себя ждать: последовательное распространение
аналитической концепции требовало времени. Молодое
поколение математиков подхватило его идеи без промедле-
ния, но было больше занято различного рода конкрет-
ными исследованиями в области как чистой, так п при-
кладной математики, чем дальнейшим уточнением основ-
ных понятий исчисления бесконечно малых. Ближайшей
по времени к двум не раз упомянутым руководствам Ко-
ши в интересующем нас направлении явилась небольшая,
но фундаментальная по значимости статья молодого
Н. X. Абеля (1802—1829) о биномиальном ряде, опубли-
кованная в 1826 г. [901. Путеводной нитью в теории ря-
дов, как писал Абель, для него служил «превосходный»
курс алгебраического анализа Коши, «который должен
быть прочитан каждым аналистом, любящим строгость
в математическом исследовании» [90, с. 5]. Из всего бога-
того содержания этой статьи, в которой среди прочего бы-
ла исправлена одна ошибка, допущенная Коши33, мы
приведем пассаж, в котором впервые была четко сформу-
лирована взаимная связь между понятиями непрерывно-
сти в точке и предела: «Функция / (х) называется непре-
рывной функцией х между пределами х а и х = Ъ.
если для любого значения между этими пределами вели-
чина / (х — Р) при постоянно убывающих значениях
Р сколь угодно приближается к пределу / (а)» [90, с. 7].
Правда, здесь речь идет о непрерывности справа, но при
произвольном знаке р можно записать привычное нам
32 Вопрос о связи между идеями Коши и Лагранжа, а также
А. М. Ампера и о различии концепций анализа этих ученых здесь
приходится оставить в стороне (об этом см.: [89]).
33 В «Алгебраическом анализе» Коши высказал теорему, согласно
которой сумма сходящегося ряда непрерывных функции есть
функция непрерывная (что справедливо только в случае равно-
мерной сходимости), понятие которой было в печати явно выска-
зано независимо друг от друга Ф. Л. Зейделем и Дж. Стоксом
(1847). Позднее, в 1853 г., Коти сам исправил допущенную пч
неточность [76, с. 80—84]. Вейергптрасс владел этим понятием еще
в 1842 г.
72
теперь равенство
lim/faH fi)-f(x).
о
Однако авторы многих позднейших руководств не
чувствовали потребности в уточнении основных понятий.
Более того, у них встречаются весьма неаккуратные или
по крайней мере нечеткие определения. Так, профессор
Политехнической школы Ж. М. К. Дюамель (1798—
1872), известный своими работами по математической фи-
зике, в двухтомном курсе анализа писал: «Пределом пере-
менного количества называется фиксированное количе-
ство, к которому оно приближается неограниченно, т. е.
так, что их разность может стать меньше всякой данной
величины, однако никогда по приводясь к нулю» [91,
с. 6],— требование, совершенно неоправданное. Пример-
но в это же время В. Я. Буняковский, переведший, как
упоминалось, курс анализа Коши 1823 г., в 1-м томе
своего математического лексикона, изданном в 1839 г.
[92] 34, излагая дифференциальное исчисление, предлагал
двоякое понимание понятия предела. Сначала речь идет
о недостижимом пределе последовательности, а затем,
при введении понятия производной, термин «предел»
принимается «в другом, несколько отличном значении,
от чего не произойдет никакого двусмыслия», а именно:
«Итак, выражение
пред. +
будет означать частную величину дроби
/ (z -р Z) — / (z)
для i 0» [91, с. 396—397]. Дифференциал функции у —
= / (.т) Буняковский определяет двояко: сначала как
часть приращения Дг/ = / (х + h) — f (х), содержащую
[ / (х eh) — f (z) 1
только первую степень, а затем как пред. 1—51---—->,
где е — бесконечно мало; он предполагает, что разность,
стоящая в числителе, разлагается в ряд по степеням ей
и что, таким образом, эти два определения эквивалентны
[Там же, с. 401—402]. Такой же эклектизм, напоми-
34 Буняковский выпустил только один том своего «Лексикона» от
буквы А до буквы D (термины расположены в алфавитном поряд-
ке их французских названий).
73
нающий о курсе Лакруа, проявляется и в определении
непрерывности; Буняковскпй счел целесообразным доба-
вить к условию Коши предположение, что функция зада-
ется «посредством одних и тех же действий» [Там же
с. 246], т. е. «непрерывна» в смысле, какой придавал этому
слову Эйлер. Для обозначения же непрерывности в смысле
Коши Буняковскпй предложил употреблять термин
«непрерывающаяся, сплошная функция» (function соп-
tigu§), предложенный Л. Ф. А. Арбогастом (1759—1803)
в сочинении, посвященном анализу спора о природе про-
извольных функций, входящих в интегралы уравнений
с частными производными (1791). Определяя «сплош-
ность», Буняковскпй говорит не о бесконечно малом,
а просто о «весьма малом изменении» аргумента и функции,
причем теперь функции «не подчинена везде одному за-
кону» [Там же, с. 244].
Только в 60—70-е годы XIX в. система основных
понятий исчисления бесконечно малых приобретает вид,
характерный для развитого классического анализа. Ска-
занное относится к понятиям предела, непрерывности
и др. Особенно значительную роль в этом сыграли бер-
линские лекции К. Вейерштрасса, который, однако, сам
не опубликовал каких-либо курсов, предоставив это дело
своим ученикам и последователям, преимущественно немец-
ким, а также представителям нарождавшейся итальянской
математической школы. Впрочем, ближайший по времени
к эпохе Больцано и Коши пример использования эпси-
лонтики в определении непрерывной функции встречает-
ся, насколько известно, в лекциях по теории определен-
ных интегралов, которые читал в Берлинском универси-
тете в летнем семестре 1854 г. П. Г. Лежен-Дирпхле
(1805—1859) [93]. Неизвестно, был ли знаком Дирихле
с брошюрой Больцано 1817 г.; возможно, эта концепция
непрерывности стала известна Вейерштрассу, побывав-
шему в Берлине в 1844 гг. и познакомившемуся там
с Дирихле лично [94, с. 7]. Сам Вейерштрасс тогда жил
еще в провинции, а в Берлине обосновался в 1856 г. Поня-
тие о непрерывности функции, притом равномерной, упо-
мянуто, впрочем, в названных лекциях Дирихле мимо-
ходом. Как бы там ни было, наиболее ранние известные
нам определения непрерывности и бесконечно малой,
принадлежащие Вейерштрассу, содержатся в конспекте
лекций по дифференциальному исчислению, читанных им
в Берлинском ремесленном институте в летнем семестре
1861 г. Конспект был составлен слушателем и учеником
74
Вейерштрасса Г. А. Шварцем (1843—1921), впоследствии
профессором в Цюрихе, Гёттингене и Берлине. Когда
Щварц составлял этот конспект, ему было всего 18 лет,
и за все недостатки рукописи, как сказано в специальном
замечании к ней Шварца, он брал ответственность на се-
бя. Рукопись Шварца была сравнительно недавно час-
тично опубликована и прокомментирована П. Дюгаком
[94, 95]. Здесь достаточно привести нижеследующий от-
рывок, несомненно достаточно близко передающий слова
самого Вейерштрасса:
«Если / (.т) есть функция х и х определенное значение,
то при переходе от х и х h функция изменится и станет
/ (х + h)... Если возможно определить для h такую раз-
ницу 6, что для всех значений h, по абсолютному значению
еще меньших, чем б, / (х + h) — f (х) будет меньше, чем
какая-либо сколь угодно малая величина е, то говорят,
что бесконечно малым изменениям аргумента соответству-
ют бесконечно малые изменения функции. Ибо говорят,
что величина может стать бесконечно малой, если ее аб-
солютное значение может стать меньше какой-либо про-
извольно взятой малой величины. Если некоторая функ-
ция такова, что бесконечно малым изменениям аргумента
соответствуют бесконечно малые изменения функции,
то говорят, что она непрерывная функция аргумента или
что она непрерывно изменяется вместе с этим аргументом»
[94, с. 119—120]. Хотя слово «предел» здесь не встречает-
ся, но определение этого понятия, по существу, содержит-
ся в цитированном отрывке. Несколько далее доказывает-
ся теорема о промежуточных значениях непрерывной
функции.
Мы не знаем, была ли в то время уже известна Вейер-
штрассу брошюра Больцано 1817 г., но курсы Коши 1821
и 1823 г. Вейергптрасс, разумеется, читал и, вполне ве-
роятно, обратил при этом внимание на упомянутый выше
вывод Коши теоремы о среднем дифференциального ис-
числения и употребление при этом символов 6 и е. Тен-
денция к более корректному изложению оснований ана-
лиза с большой силой начинает проявляться в ту эпоху
и во Франции. При этом, еслп в .лекционном плане пер-
венство безусловно принадлежало К. Вейерштрассу,
влияние которого вообще явилось преобладающим, то
первое определение предела в манере классической
эпсилонтпки опубликовал в статье 1871 г. о непрерывно-
сти корней алгебраического уравнения II. О. Бонне
(1819—1892), профессор Политехнической и Нормальной
75
школ, особенно известный своими работами по диффе-
ренциальной геометрии. Это определение гласит: «Если
дана вполне определенная действительная или мнимая
функция <р (и) действительного или мнимого переменного
и, то говорят: 1) что эта функция стремится к конечному
и определенному пределу А по мере того, как стремится
к частному значению и 35, если после того, как произволь-
но зафиксировано сколь угодно малое действительное и
положительное число е, можно найти такое другое дейст-
вительное и положительное число h, что для любого зна-
чения и, модуль разности которого с и' отличен от нуля,
но меньше h, соответствующая разность между <р (и) и А
заключена по модулю между нулем и е; если <р (и) стре-
мится к бесконечности...» [93, с. 215]. Мы оборвем на этом
слишком длинную цитату; впоследствии стали выражать-
ся короче. В данном определении явно используется уже
эпсилонтика дифференциальных неравенств, хотя и с не-
которыми отличиями в обозначениях от символики
Вейерштрасса.
Определением Бонне данная статья завершается. Когда
оно появилось в печати, в Германии, Италии и Франции
уже началось все усиливающееся развитие теории функ-
ций действительного переменного, а также теории мно-
жеств, естественно отразившееся и па дальнейших судь-
бах теории пределов и самого понятия предела.
В заключение — несколько добавлений о символике
метода пределов. Запись под знаком предела соответствую-
щего предельного значения аргумента восходит, по-ви-
димому, к Вейерштрассу, писавшему, например, в 1854 г.
lim рп = оо (опубл, в 1856) и У. Р. Гамильтону (1853).
Ряд английских математиков начала XX в. заменили знак
равенства под символом предела стрелкой. Еще ранее
(1837) Дирихле применял обозначения пределов слева
и справа: / (х + 0) и / (-с — 0). Класс предельных значений,
которыми обладает, например, функция sin (1/х) при
х -> 0, Коши обозначал в 1821 г. ((sin Дж- Пеано
в 1903 г. предложил знак Lm. Другие подробности см. в
[96, с. 254—255]. Трудно поручиться за исчерпывающую
полноту сообщаемых в [96] сведений: литература вопро-
са необозрима, а книга эта вышла более полувека назад.
36 Мы предполагаем и’ конечным; еелп и’ = оо, то следовало бы
полоядать и — i/v и, рассматривая функцию как зависящую от ч,
устремить v к нулю. (Примеч. Бонне).
76
ЛИТЕРАТУРА
1. Boyer С. В. The concepts of the calculus: A critical and histori-
cal discussion of the derivative and integral. Hafner publ. co.,
1949.
2. История математики с древнейших времен до начала XIX сто-
летия /Под ред. А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1970—1972. Т. 1 —
3.
3. Cassina U. Storia del concetto di limite // Dalia geometria egi-
ziana alia mathematics moderna. Roma, 1961. P. 142—214.
4. Лузин H. H. Теория функций действительного переменного.
2-е изд. М.: Учпедгиз, 1948.
5. Кудрявцев Л. Д. Предел И Мат. энцикл. 1972. Т. 4, С. 556—563.
6. Юшкевич А. Л. О методе исчерпывания древних математиков И
Тр. Совещ. по пстории естествознания. М.; Л.: Изд-во АН СССР,
1948. С. 173—182.
7. Юшкевич А. Л. Исторпя математики в средние века. М.: Физмат-
гиз, 1961.
8. Stifel М. Arithmetica Integra. Norimbergae, 1544.
9. Youchkevitch A. P. Comparaison des conceptions de Leibniz et
de Newton sur le calcul infinitesimal // Leibniz a Paris. Wies-
baden, 1978. T. 1. P. 69—80.
10. Юшкевич А. П. О математических рукописях Ньютона // Исто-
рико-математические исследования. М.: Наука, 1977. Вып. 22.
С. 27—192.
11. Рыбников К. А. О роли алгоритмов в истории обоснования мате-
матического анализа // Тр. пп-та истории естествознания н
техники. 1957. Т. 17. С. 287—299.
12. Valerio L. De centro gravitatis solidorum libri tres. Romae.
1604.
13. Gregorius a Sancto Vincentio. Opus geometricum quadraturae cir-
culi et sectionum coni. Antverpiae, 1647.
14. Oresme N. Quaestiones super geometriam Euclidis/Ed. Busard
H. L. L. Leiden, 1961.
15. Viete F. Opera mathematics. Hildesheim; N. Y., 1970.
16. Tacquet A. Cylindricorum et snnulsrium, lib. IV (1651)//Tac-
quet, Opers mathematics. Antverpise, 1707.
17. Tacquet A. Arithmeticse theoria et praxis. Lovanii, 1656.
18. Tacquet A. Elements geometries planae et solidse. Quibus ac-
cedunt selecta ex Archimede theoremata. Antverpiae, 1654.
Рус. пер.: Эвклидовы элементы... СПб., 1739; Архимедовы тео-
ремы... СПб., 1745.
19. Mengoli Р. Geometriae speciosae elements. Bononiae, 1659.
20. Gregory J. Vera circuli et hyperbolae quadrature. Patavii, 1667.
21. Scriba C. J. James Gregory’s friihe Schriften zur Infinitesimal-
rechnung. Hessen. 1957.
22. Wallis J. Arithmetica infinitorum, 1655 // Wallis J. Opera mat-
hematics. I. Hildesheim; N. Y., 1972.
23. Wallis J. De sectionibus conicis... tractatus, 1655//Wallis J.
Opera mathematics. I. Hildeshein: N. Y., 1972.
24. Крамар Ф. Д. Вопросы обоснования анализа в трудах Валлиса
и Ньютона // Историко-математические исследования. М.:
Изд-во АН СССР, 1950. Выл. 3. С. 486—508.
25. Колмогоров А. Н. Ньютон и современное математическое мышле-
ние // Московский университет — памяти Исаака Ньютона.
М.: Изд-во МГУ, 1946. С. 27—42,
77
26. Крылов А. Н. Собрание трудов. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 193ь
Т. 7.
27. Newton I. Philosophiae naturalis principia mathematica / Ed
A. Koyre and J. B. Cohen. Cambridge, 1972. Vol. 1—2.
28. Ньютон II. Всеобщая арифметика / Пер. А. П. Юшкевича М •
Изд-во АН СССР, 1948.
29. Лузин Н. II. Ньютонова теория пределов И Исаак Ньютон /
Под ред. С. И. Вавилова. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1943. С. 53—
74.
30. Мордухай-Болтовский Д. Д. Генезис и история теории преде-
лов И Изв. Сев.-кавказ. гос. ун-та, 1928. С. 103—117.
31. Ньютон И. Математические работы / Пер. Д. Д. Мордухай-
Болтовского. М/, Л.: ГОНТИ, 1937.
32. The mathematical papers of Isaac Newton I Ed. by D. T. White-
side. Cambridge, 1974. Vol. 6.
33. Gregory J. Tercentenary memorial volume... / Ed. H. W. Turn-
ball. L., 1939.
34. Wolff Ch. Mathematisches lexicon. Leipzig, 1716; Hildesheim,
1965.
35. Berkeley G. The Analyst: or a discourse adressed to an infidel mathe-
matician. L., 1734 //Works. Oxford, 1901. Vol. 3.
36. Cajory F. A history of the conceptions of limits and fluxions in
Great Britain from Newton to Woodhouse. Chicago; L., 1919.
37. Robins B. A discourse concerning the nature and certainty of
Sir Isaac Newton’s methods of fluxion, and of prime and ultimate
rations. L., 1735.
38. Philalethes Cantabrigiensis (Jurin J A. Considerations upon some
passages cor tained in two letters to the author of the Analyst //
Bepublick of letters. Nowember, 1735.
39. Maclaurin C. A. Treatise of fluxions in two books. Edinburgh,
1742.
40. Коренцова M. M. Кинематико-геометрическая модель анализа
в «Трактате о флюксиях» К. Маклорена // Историко-математи-
ческие исследования. М.: Наука, 1977. Выл. 22. С. 9—33.
41. Montucla J. F. Histoire des mathematiques / Nouv. ed. T. 3.
P.. an X (1802).
42. Maclaurin C. A. La methode des fluxions. P., 1740.
43. Euler L. Institutiones calculi differentials (1755).— Pyc. nep.:
Эйлег> Л. Дифференциальное исчисление: В 2 т. М., Л.: Гостех-
издат, 1949.
44. Yuschkevitsch А. Р, Euler und Lagrange uber die Gnmdlagen der
Analysis // Sammelband z-i Eulers 250. Geburtstag. B., 1959.
S. 224—244.
45. Laupwitz D. Die Nichtstandard-Analysis: Eine Wiederaufnahme
der Tdeen und Methoden von Leibniz und Euler//Leonhard Euler.
1707—1783. Gedenkband; Basel, 1983. S. 185—197.
46. D'Alembert J. Traite de dynamique. P., 1743; 2е ed.. 1758. Pyc.
пер.: Даламбер IK. Динамика. M.; Л.: Гостехтеориздат, 1950.
47. Горнфельд А. Энциклопедия //Энцикл. словарь / Брокгауз и
Ефрон. 1904. Т. 10. С. 877—882.
48. De la Chapelle. Institutions de geometric. P., 1746, Vol. 1—2.
49. Cantor M. Vorlesungen fiber Geschichte des Mathematik.
Leipzig, 1900, 2. AufL, Bd. 3; Leipz.ig, 1908. Bd. 4.
50. Encyclopedic methodiqne on par ordre do matiiircs* mathemati-
nues. Nouv. ed. Padono, 1787—1790. T. 1—2.
51. Eclaircisgenjent sur les principes metaphysique du calcul infi-
78
nitesimal (1759) //D 'A lemliert J. Oeuvres philosopbiques, histo-
riques et litteraires. P., XIII, 1805. T. 2.
52. Caluso T. Г. di. Des difl'erentes manieres de trailer cette partie
des mathematiques que les uns appellent calcul differentiel et les
autres methode des fluxions И Mem. Acad. Turin (1786—1787),
1788. P. 489—590.
53. Carnot L. N. M. Reflexions sur la metaphysique du calcul infi-
nitesimal. P., 1797; 2е ed., 1813. Рус. nep.: Карно Л. Размышле-
ния о метафизике исчисления бесконечно малых. 2-е изд. М.;
Л.: ОНТИ, 1936.
54 Lagrange J. L. Theorie des fonctions analytiques. P., 1797; 2е
’ ed., 1813; Oeuvres. P., 1881. T. 9.
55. Russell B. Introduction to mathematical philosophy. L., 1919.
56. Bourbaki N. Elements d’histoire des mathematiques. P., 1960.
Рус. пер.: Бурбаки H. Очерки ио истории математики. М.:
Изд-во, иностр, лит., 1963.
57. Ovaert J. L., Sansuc J. J. Introduction aux travaux d’Euler et
de Lagrange en analyse // Houzel Chr., Ovaert J. L., Raymond P.,
Sansuc J. J. Philosophic et calcul de Г infini. P., 1976. P. 103—
122.
58. Kline M. Mathematics. The loss of certainty. N. Y., 1980. Pyc.
пер.: Клайн M. Математика: Утрата определенности. M.:
Мир, 1984.
59. Kastner A. G. Anfangsgriinde der Analysis des Unendlichen.
Halle, 1 Aufl., 1761; 2. Aufl., 1770.
60. Барсов А. Д. Новая алгебра, содержащая в себе не только про-
стую аналитику, но также дифференциальное, интегральное
и вариационное исчисления. М., 1797.
61. De Bougainville L. A. Traite du calcul integral pour servir de
suite a (’analyse de M. le marquis de 1’Hospitas, P., 1754—1756.
pt. 1—2.
62. Cousin J. A. J. Traite du calcul differential et du calcul integral.
P., 1796.
63. Lhuilier S. Exposition elementaire des principes des calculs su-
perieurs. B., 1786.
64. Lagrange J. L. Note sur la metaphysique du calcul infinitesimal//
// Oeuvres. P., 1887. T. 7.
65. Lagrange J. L. Sur une nouvelle espece du calcul reiatif a la dif-
ferentiation et a 1’integration des quantites variables // Oeuvres.
P., 1869. T. 3. P. 441—476.
66. Юшкевич A. II. Л. Карно и конкурс Берлинской академии наук
1786 г. на тему о математической теории бесконечного Н Истори-
ко-математические исследования. М.: Наука, 1979. Выл. 18.
С. 132—149.
67. L'Huilier S. Principiorum calculi differentialis et integralis
expositio elementaris. Tubingae, 1795.
68. Шатунова E. С. Теория пределов Симона Люилье / Историко-
математические исследования. М.: Наука, 1966. Выл. 17.
С. 325—331.
69. Lacroix S. F. Traite du calcul differentiel et du calcul integral.
2е ed. P., 1810—1819. T. 1—г. _
70. Carnot L. Dissertation sur la theorie de 1’infini mathematique//
Gillispie Ch. C., Youschkevitch A. P. Lazare Carnot savant et sa
contribution a la theorie de 1’infini mathematique. P., 1979.
P. 249—303.
79
71. Гурьев С. Е. Опыт о усовершенпи елемедтов геометрии. СПб
1798.
72. Юшкевич А. Л. Академик С. Е. Гурьев и его роль в развитии
русской науки // Тр. Ин-та истории естествознания. М.; Л :
Изд-во АН СССР, 1947. Т. 1. С. 219—268.
73. Гур ее С. Е. Основания дифференциального и интегрального
исчисления с приложениями оного к аналитике. СПб., 1811.
74. Рахманов Л. А. Новая теория содержания и пропорции геомет-
рической соизмеримых и несоизмеримых количеств, и в послед-
ней! случае основанпая на способе пределов. М., 1803.
75. Lacroix S. F. Traite elementaire du calcul differential et du cal-
cul integral. P., 1802. T. 1—2.
76. Медведев Ф. А. Очерки истории теории функции действитель-
ного переменного. М.: Наука, 1975.
77. Gauss К. Е. Grundbegriffe der Lehre von der Reihen // Werke.
Leipzig; B., 1917. Bd. X/1. S. 300—394.
78. Маркушевич А. Л. Работы Гаусса по математическому анализу//
Карл Фридрих Гаусс. М.: Изд-во АН СССР, 1956. С. 145—
216.
79. Bolzano В. Early mathematical works. Prague, 1981.
80. Bolzano В. Rein analytisches Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen
je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewahren,
wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege. (Prag, 1817) //
Bernard Bolzano (1781—1848) Bicentenary. Early mathematical
works. Prague, 1981. P. 417—476.
81. Bolzano B. Paradoxien des Unendlichen. Leipzig, 1851. Pyc.
пер.: Больцано Б. Парадоксы бесконечного. Одесса, Матезпс,
1911.
82. Grattan-Guinness J. Bolzano, Cauchy and the new analysis of
early Nineteenth century//Arch. Hist. Exact. Sci., 1970. Vol. 6.
P. 372—400.
83. Freudenthal H. Did Cauchy glagiarize Bolzano? // Arch. Hist.
Exact. Sci., 1971. Vol. 7. P. 375—392.
84. Cauchy A. L. Cours d’analyse de 1’Ecole Royale Polytechniquv.
lre pt: Analyse algebrique (1821)//Oeuvres, 2е ser. III. P.,
1894. Рус. пер.: Коши О. Л. Алгебраический анализ. Лейппиг,
1864.
85. Cauchy A. L. Resume des lemons donnees a 1’Ecole Royale Poly-
technique sur le Calcul infinitesimal (1823) = Oeuvres, 2е ser.,
IV. P., 1899. Рус. пер.: Коши О. Краткое изложение дифферен-
циального и интегрального исчислении. СПб., 1831.
86. Lebesgue Л. Lemons sur 1’integration et la recherche des fonctions.
primitives. P., 1904. Рус. пер.: Лебег А. Интегрирование и
отыскание примитивных функций. М.; Л.: Гостехтеориздат, 1934.
87. Молодший В. Л. О. Коши и революция в математическом ана-
лизе первой четверти XIX века // Историко гатематические ис-
следования. М.: Наука, 1978. Вып. 23. С. 32—55.
88. Belhost В. Cauchy 1789—1857. Р., 1985.
89. Grabiner J. V. The origins of Cauchy's theory of the derivative //
Hist, math., 1970. Vol. 5. P. 379—409.
90. Abel N. Л. Untersuchungen uber die Reine:
, m m (m — 1) m (m — 1) (m — 2)
* + — * +-------iT2---x +---------ГГЗ—1— * +• • •
(1826). Leipzig: Ostwald’s Klassiker, 1921.
80
01. Duhamel J. M. C. Cours d’analyse. 1840. T. 1. 2е ed. P., 1847.
о-.’ Бунякоеский В. Я. Лексикон чистой и прикладной математики.
СПб., 1839. Т. 1.
93. Dirichlet Р. G. Vorlesungen fiber die Lehre von der einfachen mehr-
fachen hestimmten Integralen. Braunschweig, 1904.
94. Dugac P. Problemes de 1’histoire del’analyse mathematique en
XIX-eme siecle cas de Karl Weierstrass et de Richard Dedekind //
Hist, math., 1976. Vol. 3. P. 5—19.
95. Dugac P. Elements de 1’analyse de Karl Weierstrass // Arch,
hist, exact sci., 1973. Vol. 10. P. 41—176.
96. Cajory F. A history of mathematical notations. Chicago. 1929.
Vol. 2.
ДАЛАМБЕР И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
ЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Л. В. Коновалова
Среди математиков XVIII в., разрабатывавших общую
теорию линейных дифференциальных уравнений, одно из
первых мест наряду с Л. Эйлером и Ж. Лагранжем при-
надлежит Ж. Даламберу. И хотя об отдельных его дости-
жениях в этой области можно найти краткие сведения или
упоминания в историко-математической литературе (см.,
например: [1; 2; 3, с. 382—385; 4]), сколько-нибудь пол-
ное и систематическое изложение соответствующих его
результатов отсутствует.
В частности, из имеющейся литературы нельзя понять,
в какой из его работ и в какой форме появился знамени-
тый его результат, что общее решение неоднородного ли-
нейного уравнения представимо суммой любого его част-
ного решения и общего решения соответствующего одно-
родного уравнения. Цель настоящей статьи — заполнить
этот пробел, что позволит составить более адекватное
представление о развитии теории в XVIII в.
В 1767 г. в «Мемуарах» Парижской академии наук
[5] Даламбер сформулировал ряд важных теорем общей
теории линейных дифференциальных уравнений, а спустя
два года в том же журнале привел их доказательства.
Исследуемое уравнение в обозначениях автора имеет вид
d"0 + Zdn-i0 d£ + Уйп-20 d£2 + . .. + F dg1 = 0, (1)
где Z, Y,. . ., F — некоторые функции £.
81
Отметим, Что в этой работе Даламбер впервые указы-
вает на необходимость наложения ограничений на част-
ные решения однородного уравнения
dne + Zd'^B d£ -f- Ydn~”-B dt? + . .. + ?0 = 0, (1')
используемые для построения общего решения неодно-
родного уравнения (1). Обратиться к этой проблеме Да-
ламбера побудило его собственное решение задачи Лагран-
жа об интегрировании уравнения (1) при условии, что из-
вестны п — 1 частных решений уравнения (Г), изложенное
им в письме к Лагранжу (см.: [4]) и опубликованное в
III томе «Мемуаров» Туринской академии наук [6]. Схема
решения Даламбера такова: произведя замену искомой
функции 6 = z^ V d'Q, где z— известное частное решение,
он преобразует уравнение (1) к уравнению п — 1-го по-
рядка того же типа, при этом сохраняется условие, что
известны п — 2 частных решений однородного уравне-
ния, соответствующего преобразованному. Применяя
этот метод последовательно п — 1 раз, Даламбер прихо-
дит к линейному неоднородному уравнению первого поряд-
ка, интегрирование которого хорошо известно. Никаких
ограничений на рассматриваемые частные решения он не
накладывал, так же как и Лагранж, решивший задачу
другим способом (см.: [4]).
Итак, в связи с этим результатом Даламбер утверж-
дает: «Теорема, которую г. де Лагранж и я доказали
в III томе туринских «Мемуаров», страницы 179 и 381,
нуждается в дополнительном условии: значения 6, удо-
влетворяющие рассматриваемому уравнению без члена
F d£n, должны быть таковы, чтобы их отношения не были
константами, т. е. чтобы эти частные решения не были вида
А6', Вв', Св',. . ., каковыми они быть могут, а выража-
лись различными переменными, представленными раз-
личными функциями £» [5, с.584—585]. Справедливость
своего утверждения Даламбер обосновывает тем, что
его метод замены искомой функции неприменим для ре-
шения поставленной задачи в случае, когда частные реше-
ния имеют вид Ав', Вв', Св’,. . ., где А, В, С,. . . — по-
стоянные. Однако такой способ рассуждений доказатель-
ством не является.
Приведенная теорема представляет собой первую по-
пытку определения условий, которым должны удовлет-
ворять рассматриваемые частные решения однородного
уравнения. Полное решение этой проблемы, связанное.
82
с понятием линейной независимости частных решений и
использованием аппарата теории определителей, было
получено лишь в 1858 г. Э. Б. Кристоффелем (см.: 17]).
Разумеется, Даламбер не мог, исходя из современного ему
уровня развития математических теорий, дать достаточно
полного решения затронутой проблемы. Наложенное им
на частные решения уравнения (Г) условие сводится,
пользуясь современной терминологией, к их попарной ли-
нейной независимости, и, следовательно, условие Далам-
бера эквивалентно линейной независимости двух данных
частных решений только для уравнения третьего порядка.
Далее Даламбер приводит две фундаментальные теоре-
мы о структуре общего решения линейного однородного и
линейного неоднородного уравнений. Причем высказан-
ных им в предыдущей теореме требований относительно
частных решений однородного уравнения он не оговари-
вает ни в одной из них. Формулировка Даламбера пер-
вой теоремы, которую Вессио в своей энциклопедической
статье [8, с. 110] ошибочно приписывает Лагранжу, отли-
чается от принятой в настоящее время лишь отсутствием
в ней условия линейной независимости частных решений.
«Если имеем п значений 0, которые удовлетворяют урав-
нению
d"0 + Zd”-i0 dt, + ... 4- FdZn = 0,
исключая последний член FdV\ и эти значения есть 0',
0", О"',. . то общий и полный интеграл этого уравнения
будет иметь вид
0 = Л0' + ВО" + С0"'+ . . .,
где А, В, С,. . . — произвольные постоянные» [5, с. 585].
Строгого доказательства теоремы Даламбер не дает. Он
применяет метод неполной индукции: установив справед-
ливость своего утверждения для уравнений первого, вто-
рого и третьего порядков, Даламбер заключает: «Очевид-
но, это доказательство распространяется и на уравнения
высших порядков» [9, с. 98]. Доказательство для уравнения
первого порядка dp = Gpdoc он проводит следующим обра-
зом: применяя свой метод, Даламбер ищет общее решение
в виде р = р'к, где р' — некоторое частное решение, к —
новая неизвестная функция. Подставляя выражение для
р в исходное уравнение, он получает равенство p’dk = 0,
из которого следует, что к — константа.' Следователь-
но, общее решение имеет искомый вид Ар’. Б случае
83
(3)
уравнения второго порядка
<Ри + Fdudx + Xudx2 = 0, (2)
для которого известны два частных решения и' и и", Да-
ламбер применяет тот ;ке метод. При помощи замены
и — zu он приводит уравнение (2) к уравнению
di г л =
Поскольку d (u"/u')/dx есть частное решение уравнения
(3), то по доказанному его общее решение будет
dz __ . d (и"/и’)
dx dx ’
При этом Даламбер молчаливо предполагает выполнение
своего условия и"!и =/= const. Из последнего равенства
следует z = АиЧи + В или и = Аи" + Ви', что и тре-
бовалось доказать. Аналогично он доказывает справед-
ливость теоремы для уравнения третьего порядка.
Формулировка Даламбера теоремы о структуре общего
решения линейного неоднородного уравнения отлична от
ныне принятой. «Если восстанавливая член Fdt?, имеем
п + 1 значений функции 0: й, 0', 0", 0'”,. . ., удовлет-
воряющих уравнению, то общий и полный интеграл будет
иметь вид
0 = fl + А - 0') + В (й — 0") 4- С (й - 0") +...,
где А, В, С,. . . — произвольные постоянные» [5, с. 585].
Для доказательства Даламбер вводит новую неизвестную
функцию со, полагая 0 = й 4~ со, которая, очевидно, удо-
влетворяет соответствующему однородному уравнению.
Поскольку функции й — 0', й — 0", й — О'7' ,. . . пред-
ставляют собой п частных решений однородного урав-
нения, то по предыдущей теореме общий вид функции со
есть А (й — 0') + В (й — 0") + . . ., из чего следует, что
0 = fl + А (й - 0') + В (й - 0") 4- С (й - О'”) 4--..
В условии этой теоремы Даламбер требует знания п 4-
+1 частных решений исходного уравнения, вероятно,
лишь для аналогии с условием первой теоремы, поскольку
из его доказательства да и из самого вида решения сле-
дует. что достаточно знать одно частное решение неодно-
родного уравнения и п (линейно независимых) частных
решений соответствующего однородного, что, впрочем,
эквивалентно требованию Даламбера,
Очевидным следствием из решения задачи Лагранжа
является условие, при выполнении которого общее ре-
шение уравнения (1) может быть получено в квадратурах.
Даламбер формулирует его в виде следующей теоремы:
«Если имеем п или п — 1 функций 0, удовлетворяющих
уравнению dn0 + . . . = О без последнего члена Ed£'1,
то общее и полное интегрирование уравнения, содержаще-
го последний член, завпсит от интегрирования уравнения
вида
du + uZdl + FZ'dt, О,
где Z, Z' — известные функции £. Если число функций
равно п, то легко получить общее решение уравнения
du + uZdt ~ 0.
Пусть это будет й, тогда я утверждаю, что общее решение
и уравнения
du + uZdt, 4- FZ'dt, 0
будет дано равенством
и.4 , С AFZ' dt г, и , С Z'FdZ
лг + J—(T~=R ™ -» + J—ir-=D'
где D — некоторая константа» [5, с. 585—586].
Это утверждение, доказанное в упомянутом уже III то-
ме туринских «Мемуаров», Даламбер лишь дополнил в
данной работе выражением общего решения линейного
неоднородного уравнения первого попядка.
В заключение, следуя Лагранжу [10], Даламбер при-
водит достаточно простой метод построения общего реше-
ния неоднородного уравнения второго порядка в предпо-
ложении, что известны два (линейно независимых) част-
ных решения соответствующего однородного уравнения.
Метод состоит в следующем: пусть 0' и 0" — два частных
решения уравнения
d20 + ZdQt, + У0йГг = 0.
Производя в исходном уравнении замену 0 = 0'<о, Далам-
бер получает для определения новой неизвестной функции
со уравнение
d2w + da> +Zd^ + -LJL =0,
которое имеет первый порядок относительно ее производ-
ной dw/d^. Тогда по предыдущей теореме общее решение
85
уравнения относительно dtaldt, будет
Л,:> г, d(e"/e') d(07e') f Fdf
-^ = D~di------------
Интегрируя полученное равенство, Даламбер приходит
к следующему выражению для функции со:
- А Д_ Г) 6" 0''С Fd^ I С FdZ.G1'
“ — А и е' 6' j е' а (670') + j е'd (676') 0' •
Следовательно, общее и полное решение исходного урав-
нения представляется в виде
е=ле + ле — е 0, de„ _ d0, + е е, dQ„ _ 0„ de,.
Этот метод построения общего решения, как отмечает Да-
ламбер, легко может быть обобщен на линейные уравне-
ния высших порядков. Для этого достаточно применить
данный им метод замены искомой функции и использо-
вать его теорему о виде общего решения линейного одно-
родного уравнения.
Б заключение автор выражает глубокую благодарность
С. С. Демидову за внимание к работе и за полезные заме-
чания и советы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины
XIX столетия. 2-е изд. М.: Наука, 1966.
2. Юшкевич А. Л. Исторический очерк// Степанов В. В. Курс
дифференциальных уравнений. 6-е изд. М.: Гостехтеориздат,
1953. С. 428—458.
3. История математики с древнейших времен до начала XIX сто-
летия / Под ред. А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1972. Т. 3.
4. Демидов С. С. К истории теории линейных дифференциальных
уравнений // Историко-математические исследования, 1985.
Вып. 28. С. 78—97.
5. D’Alembert J. L. Recherches sur le calcul integral // Histoire de
(’Academic royale des sciences. P., 1767. P. 573—587.
6. D'Alembert J. L. Extrait de differentes lettres de M. D’Alembert
a M. De la Grange ecrites pendant les annees 1764 and 1765 //
Misc. Taurinensia, 1762—1765 (1766). Vol. 3. P. 381—396.
7. Коновалова Л. В. К истории понятия линейной независимости
частных решений линейных однородных дифференциальных
уравнений // Историко-математические исследования, 1985.
Вып. 29. С. 77—87.
8. I essiot Е. Methodes d ’integration elementaire: Etude des equa-
tions differentielles ordinaires au point de vue formel // Encycl.
sci. math, pures et appl. P.; Leipzig, 1910. T. 2, vol, 3, fasc.l.
P. 58—170.
86
9. D'Alembert J. L. Recherches sur le calcul integral / Histoire do
rAcademie royale des sciences. P.. 1769. P. 73—146.
10. Lagrange J. L. Solution de different- problemes du calcul integral
Misc. Taurinensia. 1762—1765 (1766). Vol. 3. P. 179—380; Oeuv-
res. P., 1867. Vol. P. 471—668.
РУССКИЙ ПЕРЕВОД
«АЛГЕБРАИЧЕСКОГО АНАЛИЗА» О. КОШИ
С ДОПОЛНЕНИЯМИ А. А. ИЛЬИНА*
Н. С. Ермолаева
Распространению идей французского математика
О. Коши в России существенно способствовало издание
его курсов анализа на русском языке.
Первым появилось «Краткое изложение уроков о диф-
ференциальном и интегральном исчислении» Коши в пере-
воде и с примечаниями академика В. Я. Буняковского
(СПб., 1831) по французскому изданию 1823 г. В предис-
ловии Буняковский пишет, что он перевел этот труд Коши
еще несколько лет тому назад, и сообщает о своем намере-
нии издать и продолжение этого курса, включающее ин-
тегральное исчисление, которое еще не издано во Фран-
ции, но рукопись которого у него есть г.
Вторым широко распространенным в России курсом
стал «Алгебраический анализ» 2 [2], опубликованный в
1864 г. в Лейпциге в переводе Ф. Эвальда, В. Григорьева
и А. Ильина с обширными дополнениями последнего. Это
издание н сведения об авторах перевода представляют ин-
терес для истории отечественной математики.
Первым среди переводчиков на титульном листе ука-
зан Ф. Эвальд, старший и по возрасту, и по положению.
Федор Федорович Эвальд (15 ноября 1813 г.—3 ок-
тября 1879 г.3) сразу после окончания в 1832 г. 3-й Пе-
* Автор выражает благодарность А. П. Юшкевичу, по совету ко-
торого была паппсана эта статья.
1 Вероятно, Буняковский имел в виду разделы курса Коши, по-
священные интегрированию дифференциальных уравнений, со-
хранилась корректура начала этих разделов, напечатанная
в 1981 г. [1].
2 На титульном листе стоит название «Алгебриическпй анализ»
от французского слова «algi brique».
3 Все даты приводятся по старому стилю.
87
тербургской гимназии поступил на физико-математиче-
ский факультет Петербургского университета, который
окончил в 1835 г. со степенью кандидата 4. После оконча-
ния университета 44 года своей жизни он отдал педагоги-
ческой и общественной деятельности. Эвальд преподавал
во 2-й Петербургской гимназии и различных военно-учеб-
ных заведениях. В 1839 г. он читал курс физики в Петер-
бургском практическом технологическом институте. С
1860 по 1873 г. он был учителем детей Александра II. Ор-
ганизованное в 1859 г. по инициативе профессора
П. Г. Редкина Петербургское педагогическое собрание
(преобразованное в 1869 г. в Педагогическое общество)
избрало Эвальда своим вице-президентом. На заседаниях
общества Эвальд сделал ряд докладов: «Обзор методов
преподавания арифметики», «Введение в историю мате-
матики» и др. [3]. Он активно участвовал в работе комис-
сий, которые создавались для решения научно-педагоги-
ческих вопросов, ратовал за правильную подготовку учи-
телей для начальных народных школ. Последние годы
своей жизни Эвальд посвятил общественной деятель-
ности.
В 1865 г. он был избран в выборные городской думы,
в 1868 г. становится гласным думы, в 1876 г. исполняет
должность члена городской управы. Наряду с этим он
продолжает возглавлять или входить в различные комис-
сии — от технически-инспекторского надзора за построй-
кой второго постоянного моста через Неву или создания
медико-статистического бюро до разработки вопроса о
введении всеобщего обязательного обучения. За два года
его председательствования в комиссии для принятия в ве-
дение города начальных училищ (1877—1879) число школ
утроилось, существенно увеличилась заработная плата
учителей, были улучшены школьные помещения, появи-
лось много новых учебных пособий. Благодаря поддержке
и инициативе Эвальда в Петербурге были открыты четыре
вечерние и две воскресные школы. Он стремился и к ос-
нованию ремесленных классов на базе начальных школ.
Однако ему не удалось увидеть осуществления многих
своих планов. Эвальд скончался внезапно 3 октября
1879 г., возвращаясь с заседания Физического общест-
ва [4].
4 До 1917 г. степень кандидата присваивалась студентам, сдавшим
все экзамены и получившим положительный отзыв за дипломную
работу (так называемую кандидатскую диссертацию).
88
Из трудов Эвальда известны «Первые уроки из физики.
Методическое руководство к качественному исследованию
физических явлений» с приложением «Атласа из 130 ори-
гинальных чертежей и рисунков» (СПб., 1872), «Проект
общего положения о военно-учебных заведениях» (СПб.,
1863) и несколько статей по физике в «Журнале Русского
химического общества».
Второй автор перевода — Василий Васильевич Гри-
горьев (1824—28 октября 1892), окончив в 1844 г. с зо-
лотой медалью 4-ю (Ларинскую) Петербургскую гимна-
зию 8, поступил на физико-математический факультет Пе-
тербургского университета. По окончании Григорьев пре-
подавал математику в Гатчинском уездном училище, за-
тем в Олонецкой гимназии, а с 1857 г. по 1862 г.— в Ла-
ринской. В 1862 г. он был назначен инспектором Ларин-
ской гимназии, а затем с 1871 по 1873 г.— директором
Коллегии Павла Галагана 6 в Киеве.
Уход Григорьева из Коллегии был вызван разногла-
сиями в педагогических взглядах с попечителями. Более
полугода он оставался без должности, пока не получил в
августе 1874 г. пост директора народных училищ в Там-
бовской губернии. В 1875 г. он вышел в отставку в связи
с болезнью, вернулся в Петербург, где почти до самой смер-
ти был экспертом комиссии городских школ.
Григорьев, как и Эвальд, был членом Петербургского
педагогического собрания, выступал на нем с докладами,
принимал участие в обсуждении гимназических программ
по физике и математике [3, 5].
Более интересна деятельность А. А. Ильина, вклад
которого в перевод и издание «Алгебраического анализа»
был несомненно самым значительным.
Александр Александрович Ильин (1839—1879) окончил
с золотой медалью Ларинскую гимназию, в которой учил-
ся с 1848 г. по 1855 г., и поступил, как Эвальд и Григорьев,
на физико-математический факультет Петербургского уни-
верситета. В это время в университете преподавали
О. И. Сомов, В. Я. Буняковский и П. Л. Чебышев.
В 1859 г. Ильин, студент 4-го курса, получил золотую
медаль за конкурсное сочинение на тему, предложенную
ь----
Эта гпмназпя получила название Ларинской по фамилии купца
П. Д. Ларина (1735—1778), на средства которого она была по-
строена.
6 Коллегия Галагана — закрытое среднее учебное заведение, ос-
нованное Григорием Павловичем Галаганом (181!)—1888) на свои
средства в память скончавшегося сына Павла.
89
факультетом по кафедре прикладной математики: «Изло-
жить общую теорию притягательных сил, действующих об-
ратно пропорционально квадратам расстояний» [61.
Ильин окончил университет в 1859 г. со степенью кан-
дидата и вернулся в Ларинскую гимназию, где работал
с 1860 по 1862 г. старшим учителем математики.
С 1862 по 1864 г. Ильин был командирован Министер-
ством народного просвещения за границу для подготовки
к преподаванию чистой математики [3]. В конце июня
1862 г. Ильин приехал в Париж с намерением слушать лек-
ции Эрмита, Серре и Ламе. Однако лекции на Факультете
наук уже закончились, и он использовал лето для подго-
товки к магистерским экзаменам, которые собирался сда-
вать по возвращении из-за границы. Занимался он пре-
имущественно геометрией, изучая труды Гаусса, Серре
и Бертрана, а также анализом. Литература, которой Иль-
ин пользовался при изучении анализа, включала иссле-
дования Эйлера, Пуассона, Коши, Лежен-Дирихле,
А. Мейера, Клаузена. Его особенно привлекла теория
эйлеровых интегралов, которую он изучал в основном
по мемуару Серре 1860 г. Впоследствии эйлеровы интег-
ралы нередко служили темой кандидатских диссертаций
в Петербургском университете.
С ноября 1862 г. начались лекции в Сорбонне и в Кол-
леж де Франс. Ильин решил посещать лекции Ж. Лиувил-
ля (разбор всех доказательств существования корней ал-
гебраических уравнений) и Ж. Бертрана (интегрирование
дифференциальных уравнений 1-го порядка по Якоби).
В это же время в Париже находился А. Н. Коркин, кото-
рый окончил университет вместе с Ильиным и который
тоже слушал лекции Лиувилля. Одновременно Ильин са-
мостоятельно изучал вопросы интегрирования дифферен-
циальных уравнений по мемуарам Коши, Пуассона, Фурье,
Якоби, а также теорию определителей, которая была ему
нужна при чтении трудов последнего.
Уехав из Парижа в марте 1863 г., Ильин отправился
в Лейпциг, но по дороге пробыл месяц в Люттихе (Льеж),
чтобы использовать время между концом зимнего семест-
ра во Франции и началом летнего — в Германии, так как
в Бельгии лекции читались почти без перерыва и универ-
ситетская библиотека была открыта для посетителей. Иль-
ин слушал лекции профессоров де Гипера по высшей ал-
гебре и аналитической механике и Шаара по высшему ана-
лизу. Самостоятельно Ильин продолжал изучать теорию
определителей (по Бальцеру) и мемуар Якоби об интегри-
90
ровании дифференциальных’ уравнений в частных произ-
водных. Приехав в Лейпциг, Ильин стал посещать лекции
Мёбиуса по теории чисел и Шейбнера по теории определен-
ных интегралов, самостоятельно изучал теорию квадра-
тичных форм по Гауссу п Шварцу.
Идея перевода на русский язык «Алгебраического ана-
лиза» Коши возникла еще до заграничной командировки
Ильина. Выбор для перевода именно этого сочинения Иль-
ин объяснял отсутствием подобной книги на русском язы-
ке и его пользой для научных и учебных целей. Он отме-
чал важность учения о рядах, строгость изложения и в то
же время доступность книги для начинающих изучение
высшего анализа. Свою аргументацию Ильин подкрепил
цитатой из сочинений Абеля, который писал, что «это —
великолепная работа, которая должна быть прочитана
каждым аналитиком, любящим строгость в математических
исследованиях» [7]. Но поскольку прошло много лет со
времени выхода в свет этого сочинения Коши, Ильин ре-
шил снабдить книгу примечаниями, которые, с одной сто-
роны, дополняли бы ее, а с другой — не выходили за рам-
ки тематики Коши и в методическом плане соответствовали
духу учебника. Эти примечания заняли 250 отдельно ну-
мерованных страниц и по объему составили почти 50%
текста Коши. При составлении примечаний Ильин осно-
вывался как на классических трудах Эйлера, Гаусса, Лаг-
ранжа и Абеля, так и на последних работах 1860—1863 гг.
Бальцера, Каталана, Дюамеля, Шлёмильха и др. Ильин
надеялся, что в октябре 1863 г. книга выйдет из печати,
но издание было задержано до 1864 г. Поэтому его перво-
начальные планы продолжить образование в Берлине не
осуществились, и он остался в Лейпциге, где продолжал
слушать лекции профессора Шейбнера по теории эллип-
тических функций. Шейбнер был учеником Якоби и читал
этот курс, основываясь на общих исследованиях периоди-
ческих функций с учетом результатов Борхардта и Эрми-
та. (Заметим, что в Петербургском университете Ильин
прослушал курс теории эллиптических функций, читав-
шийся тогда Сомовым и Чебышевым). Кроме того, Ильин
ездил в Галле, где слушал лекции Гейне о гипергеометри-
ческих рядах. Это было ему нужно, так как Шейбнер в
своих лекциях ссылался на работы Гейне. В Германии
Ильин познакомился с последними книжными новинка-
ми, в частности с книгами Шелльбаха по теории эллип-
тических интегралов, Салмона — по теории линейных пре-
образований, М. Кантора — по истории математики и др.
91
В июле 1864 г. Ильин вернулся в Россию. О последую-
щей его деятельности известно мало. По-видпмому, не
представив и не защитив магистерскую диссертацию, он
не мог сразу претендовать на работу в высшем учебном за-
ведении, тем более, что требования к преподавателям в
них были повышены, а учебных и научных центров в Рос-
сии тогда было еще очень мало.
Сначала он работал репетитором в Николаевском ка-
валерийском училище и во 2-й прогпмназип. 19 сентября
1864 г. он был выбран в члены Петербургского педагоги-
ческого собрания и стал членом комиссии, обсуждавшей
программы и учебники народных школ и гимназий. Эта
комиссия была создана в связи с составлением нового ус-
тава гимназий. Председателем предметной комиссии ио
математике был И. Ф. Кнорринг, директор (с 1862) Ла-
ринской гимназии, выпускник (1848) 2-го отделения фило-
софского факультета Петербургского университета. В Ко-
миссию, кроме Ильина, входил также В. В. Григорьев.
С 1 сентября 1868 г. Ильин стал преподавателем стати-
ки и математики в Технологическом институте. Осенью
1877 г. он отправился лечиться за границу и уже в инсти-
тут не вернулся. Он умер 28 августа 1879 г. в возрасте
40 лет [8].
Из научного наследия Ильина, кроме перевода и допол-
нений «Алгебраического анализа», известна его статья «За-
метки об интегрировании дифференциального уравнения
вида Mdx 4- Ndy -р Pdz = 0», появившаяся в 1877 в 1-м
томе журнала «Известия технологического института», ко-
торый был создан по инициативе назначенного тогда же
директором Петербургского технологического института
проф. И. В. Вышнеградского. В этой статье Ильин, срав-
нивая методы Эйлера и Дюбуа-Реймона интегрирования
уравнения Пфаффа, отмечает, что способ Дюбуа-Реймона,
«столь изящный в теории, в применениях к частным слу-
чаям далеко не представляет удобств» [9], и поэтому пред-
лагает видоизмененный метод Эйлера, с помощью которого
решает конкретные уравнения.
Кроме того, были напечатаны или литографированы
различные курсы лекций Ильина по динамике и математи-
ке (аналитической геометрии, высшей алгебре, интеграль-
ному исчислению и элементарной математике) для студен-
тов Технологического института.
Дополнения А. А. Ильина к курсу Коши «Алгебраиче-
ский анализ» состоят из двух частей: примечаний к тексту
Коши (причем в самом тексте помещены сноски, адресую-
92
nine читателя к нужному пункту примечаний Плыша)
и Приложения, составляющего большую (124 с.) главу о
непрерывных дробях.
В примечании (а) Ильин излагает простейшие предло-
жения о свойствах пределов, отсутствующие в курсе Ко-
ши. Подчеркивая, что теорема о пределе суммы справедли-
ва только для конечного числа слагаемых, Ильин приво-
дит пример выражения
s —1 + (т +
/ (1 - 1/п) (1 — 2/п) 3 \
+ ---------Ь^З------- + ^,) ‘ +
, / (1 - 1/n) (1 - 2/п) . . . (1 _ - 1)/п)
\ l-2-З...п
которое при вычислении его как суммы пределов членов,
заключенных в скобках, дает ряд
1 4 4
lim S = 1 -И -р + -рр + р2з- + • • -.
а представленное в виде
с_4 । 1 । 1 —1/n (1 — 1/п) (1 — 2/п)
д =1 + т —гг 1 ггз-----------+ •
+ i + +
дает другое значение:
lim = 1 + 4" + -Ь Т.^З + • • • + ~2~ •
В примечании (Ь) к главе VI о рядах Ильин приводит
несколько общих теорем и признаки сходимости Дюаме-
ля, Раабе, Гаусса, Оливье, а также разбирает на конкрет-
ных примерах несколько случаев, когда о сходимости ряда
нельзя сделать заключения с помощью признаков сходи-
мости, данных Коши. Далее он приводит способ усиления
сходимости рядов, рассматривает вопрос о перестановке
членов в рядах, которые теперь принято называть условно
сходящимися, дает прием суммирования ряда с общим чле-
ном вида
_______________Р________________
(п 4- а) (п -р а + 1) . . . (п -р а -р т — 1) ’
где а — постоянная, Р — постоянная или многочлен сте-
пени не выше т — 2. Кроме того, он приводит доказатель-
ство иррациональности числа е.
93
В этом же примечании Ильин рассматривает пример
Абеля
sin х — VgSin 2х + 1/3 sin Зх — . .
который показывает неточность утверждения Коши о том,
что сумма сходящегося ряда с непрерывными членами всег-
да будет непрерывной функцией. Более подробно этот при-
мер он разбирает в примечании о рядах в комплексной об-
ласти.
В примечании (с) к главе IX о рядах с комплексными
членами Ильин предлагает читателям другой вывод сум-
мы биномиального ряда на основании теоремы Абеля, тог-
да как вывод Коши основывался на теореме о непрерыв-
ности суммы сходящегося ряда, необщность которой Иль-
ин отметил в предыдущем примечании.
Примечание (d) к главе X содержит другое доказатель-
ство (Гаусса) теоремы о существовании и числе корней ал-
гебраического уравнения, основанное на геометрическом
представлении функций комплексного переменного. Это
доказательство Ильин слышал на лекциях Лиувилля в
Париже в 1862 г.
В примечании (е)к главе XII о возвратных (рекуррент-
ных) степенных рядах Ильин, дополняя Коши, рассмат-
ривает несколько задач на разложение данной рациональ-
ной дроби в возвратный ряд, на нахождение суммы данно-
го возвратного ряда и его общего члена, а также на опре-
деление того, является ли заданный ряд возвратным.
В Приложении Ильин довольно подробно излагает те-
орию непрерывных дробей, мотивируя это тем, что посколь-
ку Коши рассматривает ряды и бесконечные произведения
как обобщение сложения и умножения, то уместно рас-
смотреть и непрерывные дроби как результат бесконечного
деления.
В этом Приложении Ильин вводит определение как
конечной, так и бесконечной непрерывной дроби и пока-
зывает, что к этому понятию можно прийти в случае, «ког-
да требуется выразить в приближенных числах количест-
ва дробные или иррациональные».
Отметив возможность использования непрерывных дро-
бей для приближенных вычислений выражаемых ими ве-
личин, Ильин дает два способа перехода от конечной не-
прерывной дроби к тождественному ей выражению, причем
второй способ приводит к вычислению суммы возвратного
полинома. При рассмотрении бесконечной непрерывной
дроби он показывает, как из нее можно получить эквива-
94
лентный ей рядили бесконечное произведение, что целесо-
образно, так как свойства этих последних выражений бо-
лее изучены. После этого выводятся признаки сходимости
непрерывной дроби и предлагаются два способа обращения
данного ряда в непрерывную дробь, причем теория иллюст-
рируется на примерах.
Ильин обращает внимание на то, что непрерывные дро-
би, получаемые из бесконечных произведений, можно лег-
ко возводить в степень. Ввиду отсутствия общих правил
суммирования бесконечных непрерывных дробей он изла-
гает частный прием суммирования дробей вида
п
т +
п -|- а
т -|- 2а -|-
т -|- а
п -|- За
т 4- За . . .
(здесь т, п, а — целые, положительные; п т + а
и п1а — целое число), идея которого состоит в преобразо-
вании данной дроби в конечную рациональную дробь.
Последний параграф Приложения Ильин отводит по-
лучению непрерывных дробей из гипергеометрических ря-
дов Гаусса, т. е. рядов вида
F(a, р, т, г) = 1 + + + • • •
Прежде всего он показывает, что отношение двух гипер-
геометрических рядов может быть представлено в виде од-
ной непрерывной дроби
F(g, Р + 1, у +1, л-) = 1
F (а, Р, у, х) аах ’
~~~t а'х
1 — . . .
где
__ + п) (у +1 — Р)
2,1 ~ (у + 2п)(у + 2п + 1) ’
______ (Р + п + 1)(у + п+ 1 —<^)
*пЛ (у + 2n -|- 1) (У -р 2n -J- 2) ’
и в частности дает разложение для F (а, 1, у, х).
Из этпх представлений гипергеометрических рядов
Ильин получает представление для tg z, т. е.
1
95
и использует этот пример дли доказательства иррациональ-
ности чисел л ил2.
Известно, что теория непрерывных дробей в то время
находилась в поле зрения петербургских математиков.
Укажем для примера, что еще в 1855 г. появилась статья
П. Л. Чебышева «О непрерывных дробях», а позднее (в
1868 и в 1873 гг.) Ю. В. Сохоцкпй в своих исследованиях
также применял аппарат непрерывных дробей. Что ка-
сается Приложения Ильина, то в нем впервые на русском
языке были систематически изложены основы этой тео-
рии.
Перевод «Алгебраического анализа» Коши с дополне-
ниями А. А. Ильина широко использовался учащимися
и преподавателями вплоть до начала XX в. Его издание
укрепило уже давно возникшую и до сих пор сохранившую-
ся у нас традицию перевода трудов зарубежных авторов
вместе с новыми содержательными примечаниями и су-
щественными дополнениями.
ЛИТЕРАТУРА
1. Cauchy A. L. Equations differentielles. cours inedit (fragment).
P.: Etudes vivantes. 1981.
2. Коши О. Л. Алгебрпическпё анализ / Пер. с франц. Ф. -Чвальд,
В. Григорьев, А. Пили. Лейпциг, 1864.
3. Журнал Министерства народного просвещения. СПб.. 1864.
Ч. 121.
4. Русский биографический словарь. СПб.. 1912. Т. 25.
5. Двадцатипятилетие коллегии Павла Галагана в Киеве Под
ред. Степовича А. И. Киев, 1896.
6. Годичный торжественный акт в С.-Петербургском университете
8 февраля 1859 г. СПб, 1859.
7. Извлечение из отчетов лиц, отправленных министерством народ-
ного просвещения за границу для приготовления к профессор-
скому званию. СПб, 1864. Ч. I—IV.
8. Федоров И. Ф. Семидесятплетнпй юбилей С.-Петербургского
практического технологического института. СПб., 1903.
9. Известия С.-Петербургского практического технологического
института. СПб., 1877. Т. 1.
96
К ИСТОРИИ ПРОБЛЕМЫ МЕРЫ
В ПЕРВОЙ ПОЛОВИНЕ XX ВЕКА
Л. И. Брылевская
Проблема меры была сформулирована А. Лебегом в его
«Лекциях об интегрировании и отыскании примитивных
функций» в 1904 г.
«Мы ставим себе целью связать с каждым ограничен-
ным множеством Е, состоящим из точек оси ОХ, некоторое
число, положительное1 или равное нулю, тЕ, которое мы
называем мерой Е и которое удовлетворяет следующим ус-
ловиям:
1'. Два равных множества имеют одну и ту же меру.
2'. Множество, являющееся суммой конечного или
счетного числа множеств попарно без общих точек, имеет
своей мерой сумму мер слагаемых.
3'. Мера множества всех точек интервала (0, 1) равна
единице» [1, с. 103; 2, с. 95].
Решение проблемы меры должно было послужить от-
ветом на вопрос о существовании неизмеримых, по Лебегу,
множеств. Иными словами, требуется выяснить, можно ли
в классе всех ограниченных подмножеств евклидовой пря-
мой задать счетно-аддитивную инвариантную относительно
группы движений прямой меру х.
Спустя год после выхода в свет книги Лебега [1].
Дж. Витали, используя аксиому Цермело, показал, что
мера, удовлетворяющая условиям 1'—3', не может быть
задана даже на прямой. Чтобы доказать это, Витали пред-
положил, что такая мера существует, и пришел к проти-
воречию [3, с. 59—60]. При этом Витали рассматривал
разбиение действительной прямой R на множества =
= {* 4~ 7 | 7 fE Q}, где i (Е R, Q — множество рациональ-
ных чисел. Два класса, определяемые различными числами
Ч и t2, либо совпадают, либо не пересекаются, и, таким об-
разом, для любого t Е R найдется единственное множество
У/, его содержащее. Выбирая в соответствии с аксиомой
выбора по одной точке из каждого такого класса, Витали
1 Два множества А и В равны (конгруэнтны), если иайпется изо-
метрическое преобразование <р, для которого выполняется равен-
ство ф (Л).= В. В случае евклидовой прямой группа изометриче-
ских преобразований (движений) состоит из симметрий и переносов.
4 Заказ Kt 2674
97
построил ограниченное множество на R, неизмеримое
в смысле Лебега2.
В книгах [3, с. 60; 4, с. 92—93] отмечается, что, так
как не удается положительно решить проблему меры в фор-
мулировке Лебега, имеет смысл рассмотреть ту же про-
блему, заменив какое-нибудь из условий 1'—3' менее
жестким. Напрпмер, условие 2' заменить условием 2" ко-
нечной аддитивности меры.
Модифицированная таким образом проблема меры
была отрицательно решена Ф. Хаусдорфом в 1914 г. [5,
с. 469—4721. Хаусдорф изучает проблему меры не на пря-
мой, как это требуется в формулировке Лебега, а в евкли-
довых пространствах трех и большего числа измерений.
В доказательстве Хаусдорфа развиваются идеи, лежа-
щие в основе конструкции Витали. Оно основано на воз-
можности разбиения сферы К положительного радиуса на
такие четыре попарно не пересекающиеся множества А, В,
C,D, что А В, В^.С, С 7= Л, Л = 7? |J с и D -
счетное множество. Хаусдорф показывает, что мера, об-
ладающая свойствами 1', 2", непременно обращается в
нуль на D, причем существенно используется положитель-
ность меры. Если бы проблема меры в этом случае допус-
кала положительное решение, то мера множества Л гпА
по свойству 1' должна быть равна одновременно 1/2шК
и г/3тК, что невозможно для меры, не являющейся тож-
дественно равной нулю. Это разбиение сферы по инициа-
тиве Э. Бореля получило название «парадокса Хаусдорфа».
Для осуществления разбиения Хаусдорф использует
повороты ф и ф соответственно на 180° и 120° относительно
разных осей, проходящих через центр сферы К. Эти по-
вороты образуют группу вращений G (групповой опера-
цией служит композиция поворотов), а по сути дела по-
следняя является свободной группой с двумя образующими.
Точки множества D являются неподвижными относительно
элементов группы G.
Затем доказывается, что любой элемент а группы пред-
ставим единственным образом в виде следующего произ-
ведения:
ф*1ф’П1(р*гф’»Ч . . . ф^Лф^’^ф7 п*’1,
где и к,1+1 равны 0 или 1, Aj = 1, i — 2, . . п; mi рав-
ны 1 или 2 ,i = 1, 2, . . ., п. Хаусдорф разбивает группу
поворотов на три класса А', В', С' таким образом, что из
2 Этот пример приводится в кпиге [4, с. 89—91].
98
двух различных поворотов р и рф один принадлежит А',
другой — В’ U С', а из трех поворотов р, рф, рф3 один
принадлежит А', другой — В', третий — С'. Если такое
распределение возможно для произведения п множителей,
то оно оказывается возможным и для произведения п + 1
множителей из G.
Обозначив через D счетное множество неподвижных то-
чек — полюсов вращения (Drehungspole), как их называ-
ет Хаусдорф, получим следующее разбиение сферы К
на два множества К = Р (J D, где Р = К \ D. Для каж-
дой точки х Р определяется множество ее образов Рх
относительно всех элементов группы G. Два множества
Рх и Ру либо совпадают, лпбо не пересекаются. Так мы
получаем разбиение точек поверхности сферы на непере-
секающиеся классы.
Пусть М — множество представителей различных клас-
сов Рх, его существование обеспечивается аксиомой Цер-
мело. Тогда Р есть объединение образов множества If от-
носительно всех элементов группы G. Поскольку все эле-
менты группы G распределены по трем множествам, то
можно представить множество Р в следующем виде:
Р = А и В и с,
где .1-= U gCV), В= U Р(М), U <7(Ю- По
geA' В' q^C
построению ф (Л) = В (J С, ф (Л) = В, ф- (Л) = С,
т. е. Л, В, С, В J С, конгруэнтны.
Завершая доказательство, Хаусдорф указывает, что
из решения вопроса в трехмерном пространстве следует,
что в пространствах большего числа измерений проблема
меры допускает такое же решение. Он также отмечает, что
в приведенной конструкции можно рассматривать кони-
ческие тела, определяемые множествами разбиения, что
впоследствии послужило основой для конструкции Бана-
ха—Тарского. Кроме того, Хаусдорф подчеркивает, что
Для прямой и плоскости вопрос остается открытым, по-
скольку в этпх случаях метод оказывается непригодным.
Причину этого Хаусдорф видит в структуре группы дви-
жений в пространствах R п R2. Замечание это, как мы уви-
дим, имело значение для последующего. Хаусдорф уже
тогда понимал, что трудности, возникающие при попытках
решить проблему меры в случае R и R2, носят не чисто
технический, а принципиальный характер, в силу чего за-
дача не может быть решена методами, применявшимися
в этпх целях ранее.
4*
99
В случае прямой и плоскости проблема меры долгое
время оставалась нерешенной. Только в 1923 г. в статье
«О проблеме меры» [6] Стефан Банах доказал возможность
задания меры, причем не единственным образом, конечно-
аддитивной инвариантной относительно группы движений
в классе всех ограниченных подмножеств R и R2, и тем
самым проблема меры Хаусдорфа была решена оконча-
тельно. Сведя стоявшую перед ним проблему к вопросу
о продолжении линейного функционала, Банах построил
продолжение интеграла Лебега на класс всех ограничен-
ных функций, заданных на отрезке или квадрате [6, с. 23].
Кроме того, ему удалось доказать существование такого
продолжения интеграла Римана на класс всех ограничен-
ных функций, которое удовлетворяет всем условиям оп-
ределения интеграла Лебега [1, с. 98—99], за исключе-
нием свойства предельного перехода под знаком интегра-
ла, и не совпадает с интегралом Лебега в пространстве сум-
мируемых ограниченных функций [С, с. 301. В своей рабо-
те Банах, помимо аксиомы Цермело, пользовался транс-
финитной индукцией.
Этот результат послужил ответом на сомнения Лебега
в независимости свойства предельного перехода под зна-
ком интеграла от других его свойств, а потому сыграл
определенную роль в обосновании «дескриптивного опре-
деления интеграла Лебега», что отмечается во втором из-
дании «Лекций об интегрировании...»: «Ст. Банах изучал
вопрос, поставленный в таком виде в первом издании; он
пришел к заключению, что все шесть условий проблемы
интегрирования являются независимыми (Fund. Math.,
t. IV)» [2, 92, сн. 2]. Так была решена так называемая
«проблема интегрирования», поставленная Лебегом также
в 1904 г. [1, с. 99).
Мера, удовлетворяющая условиям проблемы меры
Хаусдорфа и заданная в классе всех ограниченных под-
множеств R и R2, определяется как интеграл Банаха от
характеристической функции множества.
Любопытно, что даже во втором издании своих «Лекций
об интегрировании...», опубликованных в 1928 г., Лебег
формулирует как проблему меры, так и проблему интег-
рирования. И если, пусть очень осторожно, но он все-таки
ссылается на статью Банаха 12, с. 92], то результаты Ви-
тали и Хаусдорфа нигде не упоминает. В отношении Лебе-
га к проблеме меры очень ярко проявилась противоречи-
вость его позиции по отношению к аксиоме Цермело, что
отмечается в книге Ф. А. Медведева «Ранняя история ак-
100
сломы выбора» [7, с. 206—2081 и в статье Г. Мура (81.
Работа Банаха, казалось бы, должна была вызвать вдвой-
не отрицательную реакцию, так как в ней, помимо аксио-
Цермело, используется и трансфинитная индукция.
Но по сравнению с конструкциями Витали и Хаусдорфа
аксиома выбора в ней выступает не столь рельефно, и Ба-
нах на аксиому Цермело явно не ссылается.
Для построения своего интеграла Банах рассматривает
разбиение пространства F ограниченных функций, за-
данных на ограниченных подмножествах R и R2, на клас-
сы эквивалентности, и аксиома Цермело необходима ему
для выбора представителей в классах.
Следует также отметить, что для математического ана-
лиза имеет значение не только сам факт решения Банахом
проблемы меры, но и метод, который он при этом исполь-
зовал. Суть методов, применяемых его предшественника-
ми, заключалась в построении неизмеримых множеств, что
не позволяло решить проблему меры Хаусдорфа для R
и R2. Необходим был совсем иной подход к рассматривае-
мому вопросу, и такой подход был найден Банахом.
Метод Банаха оказался полезным при решении целого
ряда вопросов теории меры, например при решении в R
и R2 задачи о существовании инвариантной относительно
группы движений пространства Rn меры в классе всех
ограниченных подмножеств R'1, удовлетворяющих свой-
ству Бэра, а также задачи С. Рузевича о возможности за-
дания инвариантной относительно группы движений меры,
не совпадающей с мерой Лебега в классе всех измеримых
по Лебегу подмножеств в случае прямой и плоскости [9,
т. 1, с. 319—320]. При п> 2 эти проблемы остаются от-
крытыми до настоящего времени.
В определении упомянутой выше эквивалентности Ба-
нах использует «средние величины» вида
п
л=1
где / F, a GE R для i = 1, 2, . . ., п. Введение банахо-
вых средних оказалось исключительно плодотворным.
Идея усреднения была подхвачена в работах Дж. фон
Неймана и А. Вейля, посвященных вопросам существова-
ния и единственности инвариантных мер для компактных
и локально компактных групп [10, 11]. Банаховы сред-
ние нашли широкое применение в современном функцио-
нальном анализе, особенно в теории топологических групп.
101
Поначалу они иногда «рассматривались как математиче-
ские курьезы. Однако в последнее время было показано
что некоторые замечательные свойства локально компакт-
ных групп зависят от существования банахового инва-
риантного среднего на подходящем инвариантном относи-
тельно сдвигов пространстве функций» [12, с. 7].
Работа Банаха [6] послужила основой для возникнове-
ния целого направления в теории меры: разного рода обоб-
щений и приложений банаховых (или универсальных)
мер, тесно связанных с классической теоремой Хана—Ба-
наха и ее обобщениями (см., например; [9, т. 1, с. 318—
322]).
Решение вопроса о продолжении линейного функциона-
ла в частном случае и исследования в области теории ли-
нейных операторов привели Банаха к попеку решения
общей проблемы продолжения линейного функционала
и появлению теоремы, являющейся одним из основных
принципов линейного анализа. Банах возвращается к ре-
шению проблемы меры в своей книге «Теория линейных
операторов» [9, т. 2, с. 45—47]3, используя при этом тео-
рему о продолжении линейного функционала и введенные
им средние. Так, в приложении к параграфу о продолже-
нии линейного функционала появляются понятия обоб-
щенного интеграла, меры и предела, носящие ныне имя
Банаха.
Существенная разница в решении проблемы меры Хаус-
дорфа в пространствах двух и трех измерений дала пищу
для размышлений многим математикам. Со времени ее
выявления исследования по проблеме меры идут сразу
в двух направлениях. Это, с одной стороны, осознание
причин такого различия, а с другой — попытки обобще-
ния полученных результатов.
Вопросы, связанные с проблемой меры, не перестава-
ли интересовать Банаха. В 1924 г. появилась совместная
статья С. Банаха и А. Тарского «О разложении множеств
точек на соответственно конгруэнтные части» [14]. В этой
работе авторы вводят понятия эквивалентности множеств
при конечном и счетном разбиении в метрическом прост-
ранстве.
«Два множества метрического пространства называют-
ся эквивалентными при конечном (или счетном) разбиении,
когда они могут быть разбиты на конечное и равное число
3 Имеется перевод этой книги на украинский язык [13].
102
(или счетное множество) непересекающихся соответствен-
но конгруэнтных частей» [14, с. 244]. Это, по сути дела,
обобщение отношения равносоставленности, известного
из элементарной геометрии. По аналогии с проблемой ме-
ры изучаются изменения свойств этих понятий при пере-
ходе от евклидовой плоскости к трехмерному евклидову
пространству.
Опираясь на рассмотренные выше результаты Хаус-
дорфа, Витали, Банаха по проблеме меры, Банах и Тар-
ский получили несколько денных результатов, подчас
противоречащих нашей интуиции, например известный па-
радокс Банаха—Тарского, который является обобщением
парадокса Хаусдорфа: всякий шар может быть разбит
на два множества так, что из каждого можно скомбиниро-
вать шар того же радпуса (пли, что то же самое, каждое
из нпх эквивалентно при конечном разбиении исходному
шару) [14, с. 260—262].
Если в конструкции Витали и в разложении Хаусдор-
фа свойство неотрицательности меры играет принципиаль-
ную роль, то для парадоксального разложения Банаха —
Тарского это свойство несущественно. Результаты статьи
основаны на свойствах отношения эквивалентности при
конечном и счетном разбиениях, изучению которых посвя-
щен § 1. В § 2 содержатся основные теоремы об эквива-
лентности при конечном разложении.
Авторы доказали, что необходимым условием эквива-
лентности при конечном разбиении L-измеримых ограни-
ченных линейных или плоских множеств А и В является
равенство их лебеговых мер [14, с. 257]. Однако доказа-
тельство этого утверждения опирается на существование
меры, полученной Банахом в 1923 г. при решении пробле-
мы меры Хаусдорфа в классе всех ограниченных подмно-
жеств R и В2. Таким образом, здесь фактически показано,
что равенство мер, в данном случае банаховых, есть необ-
ходимое условие эквивалентности прп конечном разбие-
нии любых ограниченных подмножеств прямой и плоскос-
ти. Но это условие, вообще говоря, не является достаточ-
ным, хотя в случае многоугольников имеет место следую-
щая теорема: «Для того чтобы два многоугольника были
эквивалентны при конечном разбиении, необходимо и дос-
таточно, чтобы они имели одинаковую площадь» [14,
с. 260]. В пространствах же большего числа измерений
(и 3) два произвольных ограниченных множества, со-
держащие внутренние точки, эквивалентны при конечном
разбиении.
103
При получении результатов как в случае R”, п 3
так и в случае R и R2 использовалась аксиома выбора, и ав-
торы подчеркивают, что она играет значительную роль в
доказательствах их утверждений. Не знали они и о том
как без этой аксиомы доказывать теорему об эквивалент-
ности многоугольников [14, с. 245]. Но впоследствии уда-
лось показать, что в данном случае можно обойтись без
использования аксиомы Цермело [8, с. 146].
В свойствах отношения эквивалентности при конечном
разбиении проявилось то же различие, что и в решении
проблемы меры. Если в R" (п 2) два любых ограничен-
ных множества, содержащих внутренние точки, эквива-
лентны и для поверхности сферы это утверждение еще со-
храняет силу, то на прямой и па плоскости оно уже не име-
ет места.
Но если рассматривать разбиение не па конечное, а па
счетное число частей, то в евклидовом пространстве про-
извольного числа измерений любые (ограниченные или
нет) множества, содержащие внутренние точки, оказыва-
ются эквивалентными [14, с. 270]. Частный случай этого
утверждения был найден В. Серпинским еще в 1918 г. в
статье «Аксиома выбора и ее роль в теории множеств и ана-
лизе», где было указано, что с помощью аксиомы выбора
можно разложить квадрат на счетное число множеств, из
которых можно составить квадрат (при подходящем отоб-
ражении каждого множества), больший, чем исходный
[15, с. 142].
Разложения на конечное и счетное число частей приме-
нял также Хаусдорф. Общая теорема Банаха—Тарского
об эквивалентности при разбиении на счетное число час-
тей опирается па лемму, в доказательстве которой исполь-
зуется результат Хаусдорфа: любой полуинтервал можно
разложить на счетное число непересекающихся подмно-
жеств, попарно эквивалентных при конечном разложении.
На таком разложении основано решение проблемы меры
Лебега, несколько отличное от предложенного Витали.
В результатах, обеспечиваемых основными теоремами
статьи [15], важную роль играют неизмеримые множества.
Естественно возникает вопрос о разложении на Ь-измери-
мые множества. Из теорем § 2, 3 статьи следует, что необ-
ходимым условием эквивалентности A-измеримых мно-
жеств при конечном и счетном разбиениях па L-измерпмые
множества является равенство лебеговых мер этих мно-
жеств. Но это условие не является достаточным. Однако
Банах и Тарский показывают, как, несколько видоизме-
104
нпв определение эквивалентности при счетном разбиении,
можно добиться того, чтобы условие равенства лебеговых
мер стало и достаточным. Для этого вводится понятие поч-
ти эквивалентности.
«Множества А и В называют почти эквивалентными
при счетном разбиении, если существуют множества Alf
Ач, В1 п В2 такие, что
1. А = Аг [J -З2, = U -^2> (] А2 — BL
п в2 = 0-
2. Множества А± и Вг эквивалентны при счетном раз-
биении.
3. А2 и В2 L-измеримы и тА2 = тВ2—0» [14, с. 270].
В определения всех видов эквивалентности, рассмат-
риваемых в статье, входит понятие конгруэнтности, что
неизбежно приводит к использованию в доказательствах
результатов, касающихся взаимно однозначных преобра-
зований (например: [16, с. 253; 17]). Для получения сво-
его результата Банаху понадобилась вспомогательная тео-
рема о взаимно однозначных преобразованиях, являющих-
ся обобщением теоремы Кантора—Бернштейна о равенст-
ве мощностей двух множеств. Анализируя различные до-
казательства этой теоремы, Банах пришел к заключению,
что в них неявно используют некую общую теорему о взаим-
но однозначных преобразованиях. В работе «Одна теоре-
ма о взаимно однозначных преобразованиях» [17] Банах
выделяет два свойства произвольного отношения R.
1. Отношение R удовлетворяет условию (а), если
а) это отношение определено между множествами,
б) условие ARB влечет существование функции <р,
которая преобразует взаимно однозначно А в В, так что
XRq, (X) для любого подмножества X CZ А. (Запись ARB
означает, что между множествами А и В установлено от-
ношение R.)
2. Отношение R удовлетворяет свойству (0), если
а) это отношение определено только для множеств,
б) из условий Аг R Вг, А.,ВВ2 и Аг f] А2 = Вг (~|
П в2 = JZ) следует, что (Aj^ [J А2) R (Вг [J В2).
Теорема Банаха формулируется следующим образом
[17, с. 239]: «Пусть отношение R удовлетворяет условиям
аир. Если Аг (~~ А, В± CZ В, АВВг, АгВВ, то ARB».
Применяя эту теорему к отношению равенства мощно-
стей произвольных множеств, сразу же получим теорему
Кантора—Бернштейна. В частности, условиям а и 0 удов-
летворяет и отношение равенства при конечном и счетном
разбпенпи множеств метрического пространства, что и ис-
105
пользуется при изучении свойств отношений эквивалент-
ности при конечном и счетном разбиениях.
Статья [14] вызвала широкий резонанс. Тот факт, что
столь неожиданные п парадоксальные результаты были
получены с использованием аксиомы выбора, лишь под-
лил масла в огонь споров, разгоревшихся по поводу этой
аксиомы. К. Куратовскпй в статье «50 томов Fundamenta
mathematical» отмечает статью Банаха и Тарского в чис-
ле самых значительных работ, опубликованных в этом
журнале за время его существования, и характеризует
ее как содержащую «один из самых парадоксальных резуль-
татов современной математики» [18, с. 14—15]. Но это не
просто математический курьез, парадоксальные разложе-
ния послужили основой для появления новых интересных
и содержательных результатов.
В работе «К общей теории меры» [19] фон Нейман глу-
боко анализирует результаты, полученные Хаусдорфом,
Банахом и Тарским. При этом он использует совсем иной
подход к проблеме меры, опираясь на теоретико-группо-
вые соображения. В итоге ему удается установить, что
причина различного решения проблемы меры в случае
тг = 2 и тг 3 заключается не в различии преобразований
пространств К'! указанной размерности, а в определенном
теоретико-групповом своеобразии группы вращений этпх
пространств.
Фон Нейман обобщает проблему меры следующим об-
разом. Пусть М — абстрактное множество, W GE М, G —
группа взаимно однозначных отображений М на себя.
Каждому (необязательно ограниченному) подмножеству
N множества Л/ требуется поставить в соответствие дей-
ствительное число р (А’) 0, удовлетворяющее следую-
щим условиям:
а) еслп N (J Р — то р (N (J Р) = И (Лг) + р (Р),
Ь) если о G, то р (N) =; р (oN), где oN — образ
множества А при отображении о,
с) и (Ж) = 1 [19, с. 78].
До фон Неймана в качестве Л/ брали пространство В’1
пли /г-мерный шар К", в качестве группы G — группу изо-
метрических преобразований. Аналогично обобщается по-
нятие эквивалентности при конечном разбиении на слу-
чай абстрактных множеств и произвольной группы вза-
имно однозначных отображений исходного множества Л/
па себя.
Фон Нейман задается целью выяснить, какими свой-
ствами должны обладать М, W и G, чтобы существовала
106
[M, W, GJ-мера в его обозначениях. Автор показывает,
что если [G, G, С]-мера существует, то можно указать прос-
тое необходимое и достаточное условие существования
[Л/, W, С]-меры. Существование [G, G, Gl-меры рассмат-
ривается как свойство абстрактной группы G. В случае,
когда [G, G, С]-мера существует, G называют измеримой
группой. Фон Нейман выделяет несколько условий, до-
статочных для измеримости группы G [19, с. 79]. В том
числе следующие:
А. Любая абелева группа измерима.
В. Если группа G обладает измеримым нормальным де-
лителем II и измеримой фактор-группой G/Н, то G также
измерима.
Эти условия объясняют с теоретико-групповых пози-
ций возможность положительного решения проблемы ме-
ры в случае прямой и плоскости, так как группа перемеще-
ний прямой является абелевой; группа преобразований
плоскости имеет абелев нормальный делитель и абелеву
фактор-группу. Таким образом, в обоих случаях группа
преобразований является измеримой. При этом она не со-
держит свободной подгруппы с двумя образующими. Одна-
ко, если группа G содержит свободную подгруппу с двумя
образующими без неподвижных точек — именно такую
группу мы имеем в случае Rn, п > 3,— то G неизмерима
и [М, W, С]-меру определить невозможно.
В статье показано, что парадоксальные результаты
Хаусдорфа, Банаха и Тарского можно распространить па
прямую и плоскость, подобрав соответствующим образом
группу G. На плоскости для этого достаточно заменить
группу изометрических преобразований группой преоб-
разований, сохраняющих площадь, которая содержит
свободную подгруппу с двумя образующимп. Чтобы по-
строить подобный парадокс, на прямой, фон Нейман вво-
дит новое отношение [19, с. 85—86].
Пусть N и Р — два линейных множества; будем гово-
рить, что N меньше Р, если найдется взаимно однозначное
отображение ср N в Р, при котором для какнх-лпбо то-
чек А. В из N выполняется неравенство
р (А, В) < р (<f (4), ср (В)),
где р (А, В) — расстояние между точками А и В.
Множество N меньше Р прп конечном разбиении, если
найдутся два следующих разбиения этих множеств:
N = Ni [J ^2 U • • • U П Nn= 0, т =# п,
107
P2U---и А-> РтПЛ,= 0, m^r,,
где Л\ < Plt N2<P2, . . ., Nk < Pt.
Результаты фон Неймана имеют большое значение нс
только потому, что из них со всей определенностью яв-
ствует, что причина различного решения проблемы меры
Хаусдорфа кроется в алгебраических свойствах группы G,
но и потому, что они явились очередным шагом на пути
к объединению теории групп п теории меры, оказавшему-
ся столь плодотворным. Работа «К общей теории меры»,
опубликованная в журнале «Fundamenta mathematicae»,
содержала много глубоких, перспективных идей и потому
не могла остаться незамеченной.
Из списка литературы, помещенного в конце этой
статьи, видно, что с момента опубликования работы Ба-
наха [6] большинство статей, относящихся к рассматривае-
мой тематике, было опубликовано на страницах только что
названного журнала, который, по сути дела, стал центром
дискуссии по проблеме меры. Он давал возможность по-
стоянно следить за развитием этого направления и при-
влекал внимание математиков к рассматриваемым вопро-
сам.
С 1927 г. к группе львовских математиков, сплотив-
шихся вокруг Банаха, присоединился Куратовский, пе-
реехавший из Варшавы во Львов. Банах привлекает Ку-
ратовского к работе над проблемой меры. Результатом их
сотрудничества в этом направлении явилась совместная
статья, посвященная решению обобщенной проблемы ме-
ры [20], формулировка которой получается из формули-
ровки проблемы меры Лебега упразднением условия 1'
и добавлением следующего условия: 1". Если множество
X состоит из одной точки, то тХ = 0.
Если условие 1' придает проблеме меры геометрический
оттенок, так как здесь используется понятие равенства
(конгруэнтности) множеств, то замена его условием 1"
переводит проблему меры в область абстрактной теории
меры. В формулировке проблемы меры Лебега условие 1"
вытекает из инвариантности и счетной аддитивности меры.
Обобщенная проблема меры была сформулирована Ба-
нахом как раз в этой совместной с Куратовским статье.
При этом он пытался выяснить, может ли счетная адди-
тивность проблемы меры Лебега быть каким-либо образом
восстановлена. В статье получена теорема, являющаяся
обобщением результата Витали: не существует никакой
функции т(Х), которая ставила бы в соответствие любо-
108
му множеству X CZ Е действительное число т(Х), так,
что выполняются следующие условия:
1) если X одноточечное множество, то т (X) = О,
2) т (X) счетно-аддитивна,
3) т (X) не равна тождественно нулю [20, с. 128],
здесь Е есть интервал (0,1) или произвольное ограниченное
подмножество R мощности континуума. Таким образом,
обобщенная проблема меры, так же как и проблема меры
Лебега, не может быть решена положительно.
Банаху удалось свести эту теорему к теореме, доказа-
тельство которой оба автора получили одновременно и не-
зависимо, ио до этого не опубликовали: если справедлива
гипотеза континуума, то существует такая двойная после-
довательность подмножеств А>; множества Е, где i и к —
натуральные числа, что:
1) для любого i Е N Е = (J Л‘,
FeN
2) для любого I ЕЕ N А\ (~) Ап = 0, к^= п,
3) для любой последовательности натуральных чисел
къ к2, ..., kt, . .. пересечение П (Л[ [J Ло U • • • U
ieN
не более чем счетно [20, с. 128].
Так же как конструкция Витали приводит к неизме-
римым по Лебегу множествам, теорема о разложении Ба-
наха—Куратовского приводит к довольно интересным по-
следовательностям множеств {/?„}, удовлетворяющих так
называемому (о)-свойству.
Как было отмечено позднее, авторы в ходе доказатель-
ства получили, хотя и не сформулировали явно, еще один
важный результат: существование последовательности
{Еп} подмножеств множества X мощности континуума,
которая допускает несчетное число непустых «атомов» 4.
Эта последовательность удовлетворяет свойству (о): лю-
бая счетно-аддитивная мера, заданная на наименьшем
счетно-аддитивном теле, имеющем Еп своими элементами,
обращается в 0 тождественно, когда она обращается в 0
на каждом «атоме» последовательности {Е„} [9, т. 1,
с. 291]. Последовательности, обладающие (о)-свойством,
впоследствии изучались Банахом в опубликованной по-
4 «Атомами» последовательности называют множества, кото-
рые являются значениями функции F (у) = {х | с (х) = у}, где
с (z) =2- — » сп (х) — характеристическая функция мно-
71=1
жества A'?i, х е X,
109
смертно работе «О последовательностях множеств, исклю-
чающих существование меры» [21].
Обобщенная проблема меры возбудила живой инте-
рес. Из ее решения сразу же вытекает, что вопрос о су-
ществовании счетно-аддитивной функции множества имеет
смысл решать не для всех подмножеств пространства,
а лишь на определенном классе множеств, называемых из-
меримыми. Этот факт используется не только в теории
меры, но и в самых разнообразных направлениях матема-
тики.
В 1930 г. Банах [22] ввел более общее понятие меры:
в множестве Е задана аддитивная функция множества, ес-
ли каждому подмножеству G множества Е поставлено в со-
ответствие число | G |, которое удовлетворяет следующим
условиям:
1) существует G CZ Е такое что | G | #= О,
2) |G, U G2 | = | G, | + | G2 |,
3) если G состоит из единственного элемента множест-
ва Е, то | G | = 0 [22, с. 97-98].
Как упоминалось выше, теорема Банаха—Куратов-
ского о несуществовании меры была получена с помощью
гипотезы континуума. Теперь же Банах связывает иссле-
дования по проблеме меры с обобщенной гипотезой конти-
нуума, т. е. с предположением
и с недостижимыми кардинальными числами 6. Назвав
меру «аддитивной с мощностью ^е», если для непересе-
кающихся множеств Gn выполняется равенство
13 Gn | = 31 Gi\ I (0 <С Ч <С юч)>
в ч
и мерой типа если она аддитивна с любой мощностью,
меньшей но не с мощностью Банах доказал теорему:
«Если в некотором множестве Е задана мера типа
то недостижимое кардинальное число» [22, с. 98].
Таким образом, обобщенная проблема меры послужила
отправным пунктом для исследований по теории неизме-
римых кардинальных чисел.
Изучением этих вопросов занимался также С. Улам.
В статье «К теорпп меры в общей теорпп множеств» [23],
6 Кардинальное чпсло называется недостижимым, если £ —
порядковое чпсло второго рода. Хе>Х0 п Хе не является
суммой кардпнальпых чисел, меньшпх причем мощность
множества слагаемых в сумме меньше [5, с. 131].
НО
где дается характеристика класса неизмеримых карди-
нальных чисел 6, Улам показывает, что теорема Банаха
[22, с. 98] может быть доказана без использования обоб-
щенной континуум-гппотезы (в доказательстве Улам при-
меняет индукцию).
Кроме того, ему удается усилить результат Банаха—
Куратовского. Он показывает, что обобщенная проблема
меры может быть решена в предположении более слабой
гипотезы, чем гипотеза континуума: среди кардинальных
чисел, которые меньше либо равны с (с — мощность кон-
тинуума) нет недостижимых [23, с. 141].
В этой же статье Улам попутно выявил связь между
существованием меры, удовлетворяющей условиям 1",
2', 3' обобщенной проблемы меры, и существованием дву-
значной меры с множеством значений {0, 1}. Это позво-
лило позднее определить измеримые кардинальные числа
через существование двузначной меры, обладающей теми
же свойствами, что и мера из формулировки обобщенной
проблемы меры [24, с. 724].
Вряд ли Лебег в 1904 г. мог предположить, что сформу-
лированная им проблема приобретет такое количество мо-
дификаций и обобщений и приведет к столь парадоксаль-
ным результатам. В настоящее время под решением «проб-
лемы меры» подразумевают целый комплекс результатов,
появившихся на различных этапах эволюции проблемы
меры Лебега. Проблема меры интересна и тем, что, помимо
получения новых и перспективных результатов, она по-
зволила глубже проникнуть в некоторые вопросы, свя-
занные с основаниями анализа и геометрии.
В большинстве рассуждений использовались некон-
структивные методы: привлекалась аксиома выбора, ги-
потеза континуума, трансфинитная индукция. Поэтому
в классическом смысле проблема меры Лебега до сих пор
не решена, да и не может быть решена. Хотя полученные
результаты подчас немало удивляли и не воспринимались
всерьез, но со временем отношение к ним изменилось. На-
правление, начало которому положила проблема меры
Лебега, продолжает развиваться и по сей день. Проблема
меры дала жизнь новым направлениям теории множеств,
теории меры, функционального анализа, часть из которых
упомянута в данной статье. Многие задачи, возникшие в
ходе ее обсуждения, еще ждут своего решения.
6 Кардинальное число а неизмеримо, если в классе всех иодмно"
жсств множества А мощности а нельзя определить никакую функ“
цпю, удовлетворяющую условиям обобщенной проблемы меры-
111
ЛИТЕРАТУРА
1. Lebesgue Н. Lemons sur Pintigration et la recherche des fonctions
primitives. P., 1904.
2. Lebesgue H. Lemons sur Г integration et la recherche des fonctions
primitives. P., 1928. Рус. пер.: Лебег А. Интегрирование л отыс-
кание примитивных функций Пер. И. К. Бари. М.; Л.; Гостех-
теориздат, 1934.
3. Vitali G.t Sansone G. Moderna theoiia delle funzioni di variahile
reale. 2‘‘ ed. Bologna, 1905. Pt 1.
4. Натансон 11. 11. Теория функций вещественной переменной.
М.: Гостехтеориздат, 1957.
5. Hausdorff F. Grundzuge der Mengenlehre. В., 1914.
6. Banach S. Sur le probleme de la mesure//Fund. Math., 1923
Vol. 4. P. 7—33.
7. Медведев Ф. А. Ранняя история акспомы выбора. М.: Наука
1982. 304 с.
8. Moore G. Н. Lebesgue’s measure problem and Zermelo’s axiom
of choice: The mathematical effects of a philosophical dispute //
Ann. N. Y. Acad. Sci., 1983. Vol. 142. P. 129—154.
9. Banach S. Oeuvres avec des commentaires. Warszawa, 1967—
1979. Vol. 1—2.
10. Фон Нейман. О мере Хаара в топологических группах / Усп.
мат. наук. 1936. Вып. 2. С. 168—176.
11. Вейлъ А. Интегрирование на топологических группах и его при-
менение. М.: Изд-во иностр, лит., 1950.
12. Гринлиф Ф. Инвариантные средние на топологических группах.
М.: Мир, 1973.
13. Банах С. Курс функцтнального анализу (л ini uni операци).
Ки1в: Рад. шк., 1948.
14. Banach S., Tarski A. Sur la decomposition des ensembles de po-
ints en parties respectivement congruent//Fund, math., 1924.
Vol. 6. P. 244—277.
15. Sierpinski И7. L’axiome deM. Zermelo et son role dans la theorie
des ensembles et Panalyse // Bull, intern, de Acad, des Sci. de
Cracovie, ser. A, 1918. Vol. 4—5. P. 97—152.
16. Kuratowski K. line propriete des correspondances biunivoques
II Fund, math., 1924. Vol. 6. P. 240— 243.
17. Banach S. Un theor me sur les tr usformations biunivoques //
Fund, math., 1924. Vol. 6. P. 236—239.
18. Kuratowski K. Pigcdziesiat tomow «Fundamenta Mathematicae»
// Wiad. Mat. Ser. 2, 1963. vol. 7, N 1. S. 9—17.
19. Neumann J. von. Zur allgemeinen Theorie des Masses // Fund.
Math., 1929. Vol. 13. S. 73—116.
20. Banach S., Kuratowski K. Sur une generalisation du probleme
de la mesure // Fund. Math., 1929. Vol. 14. P. 127—131.
21. Banach S. Sur les suites d'ensembles excluant 1'existence d'une
mesure// Coll iq. math., 1948. Vol. 1. P. 103—108.
22. Banach S. Uber additive Massfunktionen in abstracten Mengen
II Fund, math., 1930. Bd. 15. S. 97—101.
23. Ulam S. Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre // Fund.
Math., 1930. Bd. 16. S. 140—150.
24. Математическая энциклопедия. 1982. T. 3.
112
ОТКРЫТИЕ В. СЕРШ1НСКИМ ДВОЙСТВЕННОСТИ
МЕЖДУ МЕРОЙ II КАТЕГОРИЕЙ
Г. И. Спнкевич
В, Серпинский (1882 — 1969) был одним из основате-
лей и ;лидером варшавской школы теории множеств. Та-
лант ученого, научного руководителя, организатора де-
лают его деятельность и творческое наследие неотдели-
мыми от истории варшавской школы.
В 20-х годах в рамках общего культурного подъема в
Польше сложилась сильная математическая школа, в ко-
торой первоначально выделились три основных направ-
ления — теория множеств, топология (Варшава), функ-
циональный анализ (Львов).
Истоками варшавской математической школы послу-
жили: 1) многовековые традиции польской науки; 2) тес-
ные связи математиков Польши с учеными России и друе
гих стран Европы; 3) ассимиляция научных школ, произо-
шедшая в результате воссоединения Польши; 4) наличие
сильной группы талантливых математиков и организато-
ров, сделавших теорию множеств и основания математи-
ки тем основным направлением, которое позволило спло-
тить разрозненных исследователей, и создание специали-
зированного журнала, посвященного этому направлению.
Остановимся на каждом из этих пунктов отдельно.
Научные традиции Польши восходят к XIII в., к трак-
тату Вптело «Перспектива». С1364 г. существует Ягеллон-
ский университет в Кракове, старейший в Польше. На
шестнадцатое столетие падает деятельность великого Ко-
перника. В XIX в. расширяются университеты в Крако-
ве и Вильно, в 1816 г. основывается Варшавский универ-
ситет (в 1832 г. был закрыт, с 1862 по 1869 г. существовал
как Главная школа, затем преобразован в Университет
с преподаванием на русском языке). В 180U г. основывает-
ся Общество любителей наук в Варшаве, в 1816 г. — Кра-
ковское научное общество, которое в 1870-е годы преобра-
зуется в Академию знаний. В конце XIX в. польский ме-
ценат Я. Мяновский основывает Кассу Мяновского —
научное сообщество, оказывающее материальную под-
держку своим членам и помогающее публиковать их труды.
В последнее 20-летие XIX в. начинают издаваться физико-
математические периодические издания и журналы: «Bib-
lioteka matematyki i fiziki», «Brace Matematyczno-Fizicz-
113
пе», «Wiadomosci Matematyczne», «Dziela i Rozprawy Ata-
tematyziio-Fiziczne» (три последних основаны С. Дик-
штейном, математиком и историком математики, многое
сделавшим для организации науки в этот период). Среди
польских математиков конца XIX в., работавших не толь-
ко в Польше, но и за ее пределами, назовем К. Жоравско-
го, С. Зарембу, Й. Пузыну, Ю. Сохоцкого, II. Л. Пташпц-
кого, Я. Слепшнского, С. Дикштейпа, VI. Баранецкого.
В. Госьевского, Ч. Слонимского.
Традиционны связи Польши с другими странами Ев-
ропы. Издавна поляки отправлялись на обучение в круп-
нейшие университеты Италии, Франции, Германии. В Па-
риже и Риме с XIX в. существовали научные станции, где
постоянно работали польские ученые. В их функции вхо-
дило приглашение в Польшу для выступлений с лекциями
иностранных ученых, обмен научной информацией. За
пределами Польши постоянно находилось значительное
количество эмигрантов и людей польского происхожде-
ния, не прерывавших связей со своей страной и способ-
ствовавших обмену научной информацией со странами Ев-
ропы и Америки. Велика была роль русского университе-
та в Варшаве, оспованного на базе Главной школы в
1869 г. (в 1915 г. он в связи с военными действиями был
перебазирован в Ростов-на-Дону и с тех пор существует
как Ростовский университет). В нем работали М. А. Ан-
дреевский, Н. Н. Алексеев, Н. Я. Сонин, Г. Ф. Воро-
ной, Н. Н. Зинин, В. А. Анисимов, Д. Д. Мордухай-
Болтовской (подробнее см.: [1]). Они, особенно Н. Я. Со-
нин и Г. Ф. Вороной, вводили молодежь Польши в рус-
ло русской математической мысли, чему способствовала
также деятельность ученика П. Л. Чебышева Ю. В. Со-
хоцкого и контакты В. Серпинского с Д. Ф. Егоровым и
Н. Н. Лузиным. С XX в. регулярно проходят конгрес-
сы ученых польского происхождения 12]. Таким образом,
польская наука активно воспринимала все зарубежные
научные достижения.
До 1918 г. Польша была разделена на части, принадле-
жавшие различным государствам. В русской части Поль-
ши с центром в Варшаве был одпн университет, в котором
преподавание велось на русском языке преимущественно
русскими преподавателями (то же и в государственных
гимназиях). Политика национального угнетения вызы-
вала студенческие волнения и бойкоты, в силу чего универ-
ситет неоднократно закрывался царским правительством.
Многие поляки предпочитали частные гимназии, обучение
114
за границей, а для менее состоятельных людей, детей ра-
бочих, существовали неофициальные школы, где вели за-
нятия учителя и ученики старших классов гимназий, из-
давались пособия для самообразования. В то же время в
университете, как указывалось, преподавали талантливые
математики, благодаря которым основные достижения
русской математической мысли становились известными
и стимулировали творчество молодых польских ученых.
В частности, В. Серпинский, который был учеником про-
фессора Г. Ф. Вороного, на всю жизнь сохранил в иссле-
дованиях черты петербургской математической школы —
четкую постановку задачи, подробно, «алгоритмически»
обоснованное решение, конкретный результат, удобный
для дальнейшего применения. С другой стороны, москов-
ская школа также оказала огромное влияние на направле-
ние дальнейших исследований Серпинского. Он провел в
Москве около трех лет (1915—1918) в атмосфере интен-
сивного развития идей школы теории функций действи-
тельного переменного.
Наука в Австро-Венгерской части Польши.находилась
в более благоприятных условиях. Польских университетов
было два — Ягеллонскпй в Кракове и университет Яна
Казимира во Львове. Преподавание велось на польском
языке; хотя развитие науки не финансировалось, но вла-
сти не препятствовали деятельности научных обществ.
Значительным были масштабы научной работы в Вене,
Будапеште, Праге. Во второй половине XIX в. сформи-
ровалась венгерская математическая школа во главе с
Д. Кёнигом (1849—1913). В 1891 г. было основано Вен-
герское математическое общество, выпускавшее два жур-
нала. В Чехии с начала XIX в. существовало Чешское ко-
ролевское общество наук, в Праге работали такие силь-
ные математики, как Ф. Й. Студничка, Ф. Тильшер,
Ч. Яролимек и др. Происходило взаимодействие этих
школ.
В прусской части Польши с центром в Познани разви-
тие науки не поощрялось и эти районы страны влияния
на формирование польской математики в дальнейшем не
оказали.
Итак, в результате воссоединения Польши в 1918 г.
ассимилировались идеи различных школ, что, как извест-
но, дает мощный толчок развитию науки. Примером может
служить развитие математики XIX в. в Пталпи после ее
объединения. Это же обстоятельство стимулировало и раз-
витие математики в Польше.
115
В 1917 г. правление Кассы Мяновского разослало ан-
кету с вопросами о потребностях науки в Польше, и в виде
ответа на нее появилась статья одного из будущих органи-
заторов Варшавской математической школы в области
топологии 3. Янишевского «О потребностях математики
в Польше» [3]. В статье содержались конструктивные идеи
о потребностях математики в целом и отдельных ее нап-
равлений. В частности, в теории множеств особое внима-
ние уделялось ее основаниям и проблеме континуума,
в топологии — проблеме неподвижной точки, а также под-
черкивалась роль оснований и математической логики.
Обсуждая выдвинутый им проект специального журнала,
который впоследствии воплотился в «Fundamenta mathe-
maticae», Янишевский отмечает необходимость наличия
журналов, посвященных одной области, что позволит
подписчикам иметь большую часть нужной литературы по
данной теме. Статьи в таком журнале предполагалось пе-
чатать на французском, немецком, английском языках.
Этим достигалась большая популярность журнала, а вы-
пуск такого журнала в Польше позволял польской мате-
матике занять самостоятельную позицию. Выбор теории
множеств как основного направления польской матема-
тики давал возможность сплотить математиков, работав-
ших изолированно. Теория множеств не требовала пред-
варительной специализации, а занятие общими темами
способствовало созданию атмосферы научного творчест-
ва, формированию научного коллектива, научной школы.
Эта статья стала программным документом будущей ма-
тематической школы. Ретроспективно можно восхищаться
смелостью идей Янишевского. С одной стороны, теория
множеств позволяла без многолетнего штудирования вклю-
чаться в решение многих проблем математики, что увели-
чивало число ее приверженцев среди молодых ученых.
С другой стороны, теория множеств как наука еще не за-
няла должного места на страницах академических журна-
лов и большая часть информации между учеными шла че-
рез переписку. Специализированный журнал был необ-
ходим. Тогда это было необычным и встретило нескрывае-
мый скептицизм многих математиков. А. Лебег в письме,
адресованном Серппнскому в связи с выходом в свет 1-го
тома журнала (1920), наряду со многими похвальными от-
зывами выражал’"глубокое сомнение, будет ли достаточ-
ным~приток'*материала в столь сильно специализирован-
ный журнал, чтобы можно было продлить его существова-
ние [4, с. 24]. Но эти опасения не оправдались, В 1-м томе
116
были опубликованы работы только польских авторов, что
диктовалось стремлением показать наличие в Польше
сильной группы математиков, способных взять на себя
ответственность за организацию и ведение периодического
издания столь четко очерченного характера. Но «Funda-
menta mathematicae» предполагался и международным
журналом. С 1920 по 1939 г. вышло 32 номера, где было
напечатано 972 работы 216 авторов. Среди иностранных
авторов журнала были Н. Н. Лузин, П. С. Александров,
Э. Борель, А. Лебег, А. Данжуа, Ф. Хаусдорф. Основное
направление журнала — теория множеств и ее приложе-
ния к геометрии (топология), теории функций и анализу.
До 1929 г. значительное место на страницах журнала уде-
лялось функциональному анализу, но затем эту тематику
в качестве основной принял новый журнал — «Studia
mathematicae». В этот период во Львове формируется силь-
ный научный коллектив математиков, чьи исследования
были посвящены проблемам функционального анализа,
а ведущими учеными были С. Банах, С. Мазур, В. Орлич
и Ю. Шаудер.
Итак, выбор теории множеств как основного направле-
ния современной математики, объединившего польских
математиков, и создание журнала как важнейшего цент-
ра публикаций послужило еще одним фактором развития
школы. Вокруг журнала сплотились такие молодые та-
лантливые математики, как С. Банах, В. Вилькош, К. Ку-
ратовский, С. Лесьпевский, Я. Лукасевич, С. Мазурке-
вич, С. Рузевич, В. Серпинскпй, Г. Штейнгауз, 3. Яни-
шевский. Основными организаторами деятельности вар-
шавской школы были 3. Янишевский, С. Мазуркевич —
в области топологии и В. Серпинский — в области теории
множеств. Позднее как самостоятельное направление вы-
делилась математическая логика; у истоков организации
этого направления были С. Лесьневский и Я. Лукасевич,
затем А. Тарский и А. Мостовский. С 1920 по 1963 г. глав-
ным редактором журнала был В. Серпинский. Большое
количество собственных открытий, умение увидеть и поста-
вить проблему (что он делал в конце очень многих своих
статей п в разделе «Проблемы» журнала «Fundamenta ma-
thematicae»), талант организатора сделали его ведущим
ученым варшавской школы.
В начале XX в. в работах Бореля и Лебега возникает
теория меры, а в работах Бэра — теория категорий. Оба
этпх раздела развивались независимо друг от друга, но
постепенно в работах Берлинского и других математиков
117
польской школы, прежде всего Марчевского, стали на-
капливаться факты, свидетельствовавшие об аналогии
между теоремами теории меры и теории категории.
Множество меры нуль определяется таким образом:
пусть | J | — длина интервала. А С В называется мно-
жеством меры нуль, если для Ус 0 существует такая
последовательность интервалов Jn, что Л GZ U Jn и
п
X | Jn | < с. Множество называется плотным в J, если оно
имеет непустое пересечение с любым интервалом из J.
Нигде не плотное множество не является плотным ни в
одном интервале. Еслп множество можно представить в
виде конечного или счетного обт>едпненпя нигде не плот-
ных множеств, то оно называется множеством первой ка-
тегории, в противном случае — второй категории.
В. Серпинский с 1907 г. заинтересовался проблемами
теории множеств. С 1909 г. он читает полный курс теории
множеств во Львовском университете. В дальнейшем ос-
новное место в огромном объеме его исследований (свыше
700 работ) занимает именно теория множеств, а в ней —
исследование вопроса о двойственности между мерой и
категорией. Первым результатом, легшим в основу иссле-
дования, была работа 1924 г. «О гипотезе континуума» [5].
Здесь Серпинский построил несчетное множество дей-
ствительных чисел, все части которого меры нуль и счетны.
Аналогичным является результат Лузина 1914 г. [6] —
построение множеста, каждая часть которого первой ка-
тегории и счетна. Заметим, что годы, проведенные в Моск-
ве, и сотрудничество с Лузиным были очень плодотвор-
ными для Серпинского. Многие статьи, о которых будет
говориться ниже, написаны благодаря постановкам про-
блем, сделанных Лузиным: либо навеяны беседами и по-
следующей перепиской, либо являются ответами на его
статьи. Хартман [7] непосредственно связывает назван-
ные результаты Лузина и Серпинского с последовавшим
через 10 лет открытием Серпинского двойственности меж-
ду мерой и категорией.
Серппнским и Лузиным совместно написана работа
«О некоторых свойствах ^-множеств» |8|. Доказав теоре-
му о существовании несчетного множества, переходящего
во множество меры нуль при любом взаимно однозначном
и непрерывном отображении интервала, авторы замечают:
«Таким образом, это свойство ни в коей мере не является
характеристическим для счетных множеств» [8. с. 280].
Это позволяет предположить, что еще в 1918 г. они обра-
118
щалпсь к возможному соответствию между множествами
меры нуль и счетными. Прямым продолжением мысли,
высказанной в замечании, можно назвать работу Серпин-
ского «О несчетном множестве, любой непрерывный образ
которого первой категории» 19J. Здесь при помощи резуль-
тата из [5| доказывается следующая теорема: если верна
гипотеза континуума, то существует линейное множество,
любой непрерывный образ которого будет первой катего-
рии па любом совершенном множестве. Этим множеством
и является множество из [5]. Аналогом этой работы яв-
ляется [101 — «Несчетное множество, любой непрерывный
образ которого имеет меру нуль». В этой работе рассмат-
ривается множество, построенное Лузиным в [5],— такое
линейное множество Е мощности континуум, что любое
неплотное совершенное множество содержит не более чем
счетное множество точек множества Е. М. А. Лаврентьев
в 1924 г. в [11J доказал, что любое линейное множество,
гомеоморфное названному, имеет меру нуль. Серппнский
показывает, что любой непрерывный образ названного
множества есть множество меры нуль.
К проблеме возможности взаимо однозначного соот-
ветствия между множествами меры нуль и множествами
первой категории Серпинский подходил с двух сторон: во-
первых, доказывая теоремы, аналогичные или сходные
для обоих классов множеств; во-вторых, анализируя ха-
рактер функций, осуществляющих отображение между
множествами обоих классов, причем здесь им получены
значительные результаты относительно функций, обла-
дающих свойством Бэра, измеримых и непрерывных. От-
несем сюда еще его же работу «Свойство Бэра функций и
их образов» [12]; она является ответом на проблему, по-
ставленную Лузиным (в том же номере журнала, с. 308,
пробл. 14).
Исследование множеств, построенных Лузиным в [6],
Серпинский продолжает в заметке «Функция, переводящая
любое несчетное множество во множество второй катего-
рии» [13]. В предположении гипотезы континуума он до-
казывает существование такой функции, а также сущест-
вование функции, преобразующей любое несчетное мно-
жество во множестве, неизмеримое по Лебегу. В другой
заметке. «Об одном несчетном множестве, которое преоб-
разуется во множество меры нуль любой функцией Бэра»
[14], Серпинский доказывает существование такого множе-
ства и с помощью множества Лузина из [6]. Здесь же Сер-
пннский отмечает, что если верна гипотеза континуума,
119
то не существует никакого линейного несчетного множе-
ства, которое преобразуется во множество меры нуль с
помощью любой измеримой функции.
Начиная с работы «О сдвигах линейных множеств» [15],
Серпинский подчеркивает возможность формулировки не-
которых теорем как для множеств меры нуль, так и для
множеств первой категории. В предположении гипотезы
континуума он доказывает существование линейного не-
счетного множества меры нуль (соответственно первой
категории), которое каждым сдвигом преобразуется в се-
бя, если пренебречь не более чем счетным множеством
точек.
В 1934 г. Серпинским была написана работа, зани-
мающая центральное место среди исследований этого
цикла. Она носит название «Дуальность между первой
категорией и мерой нуль» [16]. Постановка вопроса тако-
ва. Известно много теорем о множестве первой категории,
которые остаются верными и для множества меры нуль,
и наоборот. С помощью гипотезы континуума доказывает-
ся теорема, объясняющая эту двойственность: если верна
гипотеза континуума, то существует такое взаимно одно-
значное отображение / (х) множества X всех действитель-
ных чисел на себя, что когда Е есть подмножество множе-
ства X первой категории, тогда / (Е) есть множество меры
нуль; когда же Е есть подмножество множества X меры
нуль, тогда /-1 (Е) будет множеством первой категории.
Серпинский отмечает, что остается открытым следующий
вопрос: существует ли преобразование / (X), которое
удовлетворяет условиям теоремы и такое, что если Е —
множество меры нуль из X, то / (Е) будет первой катего-
рии, а если Е — множество первой категории из X, то
Д1 (£) — множество меры нуль? Иными словами, сущест-
вует ли взаимно однозначное отображение прямой на се-
бя, которое переводит все множества первой категории во
все множества меры нуль и все множества меры нуль во
все множества первой категории? Серпинский приложил
немало усилий для решения этого вопроса, но окончатель-
ный ответ на него дал венгерский математик II. Эрдёш.
Серпинский первым привел случай неприменимости
теоремы о двойственности в статье «Замечание о двойных
последовательностях непрерывных функций» [17]. Здесь
рассматривается теорема Фреше: если {/” (z)} — двойная
последовательность непрерывных действительных функ-
ций и если /(z)=lim (lim (х)), то существуют две та-
7П-—со П—оо
120
кие возрастающие последовательности индексов {т/,} и
что /(#) = lim/nfcfr(х), если пренебречь множеством
меры нуль. С. Браун поставила проблему, возможно ли
заменить в этой теореме слова «пренебречь множеством
меры нуль» на слова «пренебречь множеством первой ка-
тегории». Серпинский показал, что это невозможно.
Позднее Хаусдорф выделил пространства, где эта двой-
ственность имеет место, назвав их пространствами меры,
согласованной с категорией.
Зависимости теоремы дуальности от гипотезы конти-
нуума и характера функций, осуществляющей это пре-
образование, посвящена работа Серпинского «О некоторых
взаимно однозначных преобразованиях прямой на себя»
[18]. Серпинский утверждает, что функция, осуществляю-
щая указанную связь, не может быть измеримой. С по-
мощью множества Лузина из [6] и множеств, названных
позднее множествами Серпинского из [5], он формулирует
следующую теорему: «В предположении гипотезы конти-
нуума существует функция f (х), которая преобразует
взаимно однозначным образом прямую на себя и одновре-
менно преобразует множество меры пуль во множество
первой категории и каждое множество первой категории
во множество меры нуль. Тем не менее, отмечает здесь же
Серпинский, даже допуская гипотезу континуума, пока
невозможно решить проблему существования функции,
преобразующей взаимно однозначно прямую на себя, об-
ратная к которой преобразует каждое множество первой
категории во множество меры нуль и каждое множество
меры нуль во множество первой категории.
В 1943 г. венгерский математик П. Эрдеш опубликовал
статью «Некоторые замечания по поводу теории множеств»
1191, первая часть которой посвящена доказательству ука-
занной теоремы. Наложив условие на функцпю f (х), Эр-
дёш получает требуемое утверждение.
Дж. Окстобп в своей книге «Мера и категории» [20],
высоко оценивая значение этой теоремы, пишет, что Эр-
дёш лишь слегка усовершенствовал доказательство Сер-
пинского, и предлагает такой вариант теоремы (теперь
она носит название теоремы Серпинского—Эрдёша): пусть
Р — утверждение, в которое входят лишь понятия множе-
ства меры нуль, множества первой категории и понятия
чистой теорпп множеств. Пусть Р* — утверждение, по-
лученное из взаимной замены всех терминов «нуль-мно-
жество» и «множество первой категории». Тогда каждое
121
из утверждений Р и Р* следует одно пз другого прн усло-
вии, что справедлива гипотеза континуума [20, с. 128|.
Итак, мы видим, что, несмотря на то, что окончатель-
ный варпант результата принадлежит Эрдёшу, Серппн-
ский сделал большую часть исследования: поставил и ре-
шил проблему одностороннего отображения, поставил
проблему одновременного отображения, охарактеризовал
функцию, осуществляющую отображение, рассмотрел за-
висимость теоремы от гипотезы континуума, а также пока-
зал ограниченность действия теоремы.
В польской школе работы Серппнского по методу ка-
тегорий были развиты К. Куратовским, С. Банахом,
Э. Марчевскпм, В. Орличем и др.
Приведенный нами пример открытия принципа двой-
ственности подтверждает отмеченное выше преимущество
теоретико-множественного подхода перед конструктивным
в доказательствах существования. Использование этого
метода не требует никаких построений. Хартман [7] от-
мечает ту особенность теории категории и меры, что она
позволяет доказать чисто теоретико-множественные тео-
ремы о несуществовании универсальной меры; эта про-
блема разрабатывалась затем Э. Марчевскпм, С. Банахом,
К. Куратовским и С. Уламом, и она характерна для вар-
шавской математической школы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Белозеров С. Е. Математика в Ростовском университете // Ис-
торико-математические исследования, 1953. Вып. 6. С. 247—
352.
2. Лябуда Г. Вклад ученых польского происхождения и польских
ученых на чужбине в развитие мировой науки // Журн. Пол.
академии наук. 1980. № 1/2. С. 105—121.
3. Janiszeiuski Z. О potrebach matematyki w Polsce//Nauka pol.
1919. W. 1. S. 15—18.
4. Куратовский К. Пятьдесят томов «Fundamenta mathematicae» //
Журн. Пол. академии наук. 1963. Т. 8, вып. 2 (30), С. 21—26.
5. Slerpinski И’. Sur I’hypothese du continu (2Кг = JSi) П Fund,
math., 1924. Vol. 5. P. 177—187.
6. Лузин H. H. Об одной проблеме Бэра (1914)//Собр. соч. М.:
Изд-во АН СССР, 1958. Т. 2. С. 683—685.
7. Hartman S. Mesure et categorie. Congruence des ensembles //
W. Slerpinski. Oeuvre choisies. Warszawa, 1975. Vol. 2. P. 20—
25.
8. Лузин H. H., Серпинский В. О некоторых свойствах А-мпожеств
(1918) И Лузин Н. Н. Собр. соч. М.: Пзд-во АН СССР, 1958.
Т. 2. С. 273— 284.
9. Slerpinski W. Sur un ensemble non denombrablc dont toute ima-
ge continue est de 1-re categorie // Biul. Pol. Acad. Umiej^tnosci.
1?2
Krakow. Classe des sci. math, et nat. Ser. A. Sci. math., 1928.
P. 455—458.
10. Sierpinski W. '•'Ur un ensemble non denombrable dont toute ima-
ge continue est de mesure nulle // Fund, math., 1928, Vol. 11.
P. 302—304.
11. Lawrentjew M. Contribution a la theorie des ensembles homeo-
morphes//Fund. math., 1924. Vol. 6. P. 154—155.
Sierpinski W. La propiiete de Baire de fonctions et de leurs ima-
‘ ges// Fund, math., 1928. Vol. 11. P. 305—307.
13. Sierpinski IV. Sur line function transformant tout ensemble non
denombrable en un ensemble de deuxieme categoric Comp. rend.
Acad. sci. P., 1929. Vol. 188. P. 613 614.
14. Sierpinski IV. Sur un ensemble non denombrable qui est transfor-
me en un ensemble de mesure nulle par toute fonction de Baire //
Mathematica (Cluj), 1929. Vol. 1. P. 115—116.
15. Sierpinski IV. Sur les transformations des ensembles lineaircs //
Fund, math., 1932. Vol. 19. P. 22—28.
16. Sierpinski IV. Sur la dualite entre la premiere categoric et la me-
sure nulle // Fund, math., 1934. Vol. 22. P. 276—280.
17. Sterpi ski W. Remarque sur les suites doubles de fonctions conti-
nues // Fund, math., 1939. Vol. 32. P. 1—2.
18. Sierpinski W. Sur quelques transformations biunivoques de la
droite en elle meme//Fund, math., 1939. Vol.*32, P. 253—258.
19. Erdos P. Some remarks on set theory / Ann. of math., 1943.
Vol. 44. N 4. P. 643—646.
20. Oxtoby J. C. Measure and category. N. Y.; Heidelberg; B.: Sprin-
ger. 1971. Окстоби Дж. Мера и категория. И.: Мир, 1974.
ИЗ РАННЕЙ ИСТОРИИ
МОСКОВСКОЙ ШКОЛЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
ИЗ РАННЕЙ ИСТОРИИ
МОСКОВСКОЙ ШКОЛЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ *
С. С. Демидов
Годом рождения Московской школы теории функций
действительного переменного принято считать 1911 г.,
когда в «Докладах» Парижской академии наук была опуб-
ликована работа Д. Ф. Егорова «О последовательности
измеримых функций» [1], содержащая известную теорему,
носящую теперь его имя.
Этому предшествовал сравнительно короткий, но чрез-
вычайно насыщенный событиями период принятия и ак-
климатизации на московской почве идей новой теории,
успешно разрабатывавшейся в то время преимущественно
во Франции.
Начало периода отмечено прочитанным в Московском
университете осенью 1900 г. Б. К. Млодзеевским курсом
по теории функций действительного переменного, кото-
рый он повторил затем осенью 1902 1 и 1904 гг. и весной
1907 г. В 1904 г. в журнале «Новый путь» была опублико-
вана статья выпускника физико-математического факуль-
тета Московского университета П. А. Флоренского «О сим-
волах бесконечного» [2], содержавшая первый на рус-
ском языке очерк основных идей теории множеств Г. Кан-
тора. В 1907 г. вышла книга И. И. Жегалкина «Транс-
финитные числа» [3], защищенная в 1908 г. в университете
в качестве магистерской диссертации. И хотя этот период
ранней истории школы или, лучше сказать, ее предыстории
♦ Автор этой заметки, а также авторы публикуемых ниже статей
данного раздела (Ф. А. Медведев, 4. Н. Паршин и С. М. Поло-
винкин) благодарят внуков Флоренского — А. С. Трубачева
и П. В. Флоренского за предоставленные архивные материалы.
Все цитированные письма П. А. Флоренского подготовлены
А. А. Санчесом и П. В. Флоренским.
1 Медведев Ф. А. О курсе лекций Б. К. Млодзеевского по теории
функций действительного переменного, прочитанных осенью
1902 г. в Московском университете.— Наст. изд.
124
цсследовался основательно (см., например; (41, где воп-
рос рассматривается в общем контексте развития мате-
матики, а также работу [5], содержащую наиболее полную
информацию о начале исследований по теории множеств
и функций в нашей стране), многое остается неясным,
фактически неизученной представляется проблема влия-
ния старой тематики, культивировавшейся москвичами
в конце прошлого века, на тематику новой школы: имеет
ли здесь место чистый разрыв или же наблюдается некая
идейная преемственность? До самого последнего времени
молчаливо предполагалось, что такой преемственности
нет, что исследования москвичей, в том числе крупнейшего
московского математика конца XIX в. Н. В. Бугаева
(1837—1903), никоим образом не связаны с тематикой но-
вой школы. Однако внимательное прочтение трудов Бу-
гаева дает основания для предположения (см.: [6, 7]),
что некоторые аспекты его творчества (рассмотрение им
математики в широком философском контексте, понима-
ние математики как теории функций по преимуществу,
а также особый и проповедовавшийся им интерес к тео-
рии разрывных функций — аритмологии) могли оказать
некоторое влияние на выбор его учениками (Б. К. Млод-
зеевским, Д. Ф. Егоровым, П. А. Флоренским, Н. Н. Лу-
зиным) новой проблематики. И хотя имелись косвенные
доводы, позволявшие предполагать более тесные преем-
ственные связи между новыми идеями и бугаевской проб-
лематикой, однако прямые данные, подтверждающие их
наличие, отсутствовали. Такие данные содержатся в бу-
магах естествоиспытателя и философа Павла Александ-
ровича Флоренского (1882—1943), хранящихся в его
семье. Эти бумаги проливают новый свет на предысторию
Московской школы теории функций.
Несколько слов о студенческих годах П. А. Флорен-
ского а.
В 1900 г. Флоренский поступает на математическое от-
деление физико-математического факультета Московского
университета. Среди его преподавателей — Н. В. Бугаев
Н. Е. Жуковский, К. А. Андреев, В. В. Бобынин,
Б. К. Млодзеевский, Л. К. Лахтпн, А. К. Власов.
Любовь к математике проявилась у Флоренского еще
в гимназии. Уже тогда его внимание привлек вопрос о пре-
рывности и разрывности в математике и в естествознании.
2 О его жизни и творчестве см. [8—11]; критику его философских
воззрений читатель найдет в [12].
125
Поэтому естественным был тот интерес, который пробу-
дили в молодом Флоренском мысли Бугаева о математике
прерывных функции — об арптмологпи, о значении этого
раздела математики для формирования подхода к пробле-
мам естествознания, отвечающего духу современной науки
(см.: [6, 7]).
Идеи Бугаева становятся для Флоренского отправной
точкой собственных изысканий. Он самостоятельно выби-
рает тему исследования, которую позднее сформулирует
так: «Идея прерывности, как элемент миросозерцания»,
и напряженно работает над этой темой на протяжении
всех студенческих лет, изучая огромную литературу по
математике, физике, химии, биологии, философии. По
целому ряду возникающих в связи с этим чтением и соб-
ственными размышлениями вопросов он проводит иссле-
дования. Вся эта работа ведется им в высшей степени са-
мостоятельно. Сколь-нибудь тесных контактов с самим
Бугаевым у него, судя по всему, не было. Роль научного
руководителя, выражаясь современным языком, выполнял
Л. К. Лахтин. Однако руководство Лахтина, судя по пись-
мам П. А. Флоренского, свелось к нескольким беседам
относительно литературы вопроса и чтению окончатель-
ного текста.
В декабре 1902 г. он пишет родителям: «Она (работа.—
С. Д.) похожа на дракона: чем больше я суживаю тему,
тем более нарастает мелких подробностей и тем более гро-
зит разрастись она». Рукопись все более увеличивается
в объеме, с еще большей скоростью растет число собран-
ных для нее материалов. По совету Л. К. Лахтина, Фло-
ренский подает в качестве зачетного сочинения на степень
кандидата первую часть работы «Об особенностях плос-
ких кривых, как местах нарушения их непрерывности.
Часть первая: об особенностях кривых алгебраических».
Работа датирована 1900—1903 гг. и была оценена 31 марта
(ст. ст.) 1904 г. Л. К. Лахтиным высшим баллом: «весьма
удовлетворительно». (Предисловие к ней, дающее пред-
ставление о ее замысле в целом, публикуется в данной
книге.)
Для нас эта работа Флоренского представляет особый
интерес. В ней бугаевская тема — изучение прерывности —
становится в связь с канторовской теорией множеств и
с новейшими исследованиями французской школы теории
функций действительного переменного. Зародившиеся
еще в 60-е годы идеи Бугаева о прерывности, о зна-
чении разрывных функций для самой математики, для есте-
126
ствознанпя и социальных наук наряду 1) с теоретико-
множественными результатами Г. Кантора, возведшего,
по словам Флоренского (см. публикуемое ниже предисло-
вие к его диссертации), «идею непрерывности на степень
понятия непрерывности», прояснившего теоретико-мно-
жественный смысл идеи континуума, 2) а также с послед-
ними исследованиями французских математиков по тео-
рии разрывных функций действительного переменного
составляют тот материал, исходя из которого и привле-
кая данные из физики, химии, биологии и философии,
П. А. Флоренский ищет вслед за Бугаевым пути преодо-
ления односторонности подхода, господствовавшего в есте-
ствознании XIX в. и покоившегося на идее непрерывности.
«Мы, видевшие зарю «нового искусства», стоим на пороге
и «новой науки»,— напишет Флоренский в 1904 г. [13,
с. 36].
В материалах к незаконченному второму тому, в кото-
ром Флоренский предполагал дать подробное изложение
теоретико-множественных идей Кантора, а также целого
ряда исследований по теорпп множеств и функций дей-
ствительного переменного, содержатся многочисленные
выписки из работ Г. Кантора, Дж. Пеано (в том числе
о знаменитой кривой Пеано), Э. Бореля. Некоторые из них
помечены январем 1901 г.
Таким образом, кроме факта прочтения Б. К. Млод-
зеевскпм осенью 1900 г. курса по теории функций дей-
ствительного переменного, мы имеем также документаль-
ное свидетельство тому, что уже в начале 1901 г. в Москве
П. А. Флоренский внимательно изучал работы по теории
множеств и новой теории функций. Конечно, это мог-
ло бы рассматриваться только как деталь научной био-
графии самого Флоренского, если бы не его активность
в годы студенчества. Он явился организатором и душой
студенческих внеочередных заседаний Московского мате-
матического общества3, председателем которых стал
Н. Е. Жуковский. На этих заседаниях Флоренский про-
читал целый ряд докладов, в том числе и по новой теоре-
тико-множественной тематике. Наряду со студентами на
заседаниях бывали и преподаватели — сам Н. Е. Жуков-
ский, а также Л. К. Лахтин, Б. К. Млодзеевскпй, И. И. Же-
галкин и др.
3 См. об этом: Половинкин С. М. О студенческом математическом
кружке при Московском математическом обществе в 1902—
1903 гг.— Наст. изд.
127
Среди участников студенческих заседаний Московского
математического общества был и Н. Н. Лузин. Он был
на год моложе Флоренского и по возрасту, и по курсу.
Между Флоренским и Лузиным установились дружеские
отношения, которые сохранились и в дальнейшем (на
письменном столе Лузина стояла фотографическая кар-
точка молодого Флоренского). В бумагах П. А. Флорен-
ского (в материалах ко второму тому упомянутого выше
студенческого сочинения) сохранился написанный Лузи-
ным листок 4, содержащий ряд выкладок и являющийся,
судя по всему, репликой на доклад П. А. Флоренского
«К вопросу о функциях постоянных внутри данного
контура», прочитанный на первом студенческом заседании
Московского математического общества 26 ноября (ст. ст.)
1902 г. Представляется вероятным, что более начитанный
Флоренский с его интересом к теоретико-множественной
и теоретико-функциональной тематике оказал некоторое
влияние на молодого Лузина.
Конечно, говоря о влиянии Флоренского на Лузина,
следует постоянно иметь в виду разницу в характере их
дарований и устремлений. Если первый по преимуществу
философ, то второй — математик. Флоренского не прель-
щает перспектива заняться конкретными математическими
исследованиями (это, очевидно, было и одной из основ-
ных причин Б, почему он не остался на факультете для,
как тогда говорили, подготовки к профессорскому зва-
нию, несмотря на лестное предложение Н. Е. Жуковского
и Л. К. Лахтина; математика ему нужна как основообра-
зующее начало для выработки собственного подхода к ми-
ропониманию, и вопросы, волнующие его в связи с мате-
матикой, это проблемы скорее философского порядка).
Математические задачи, которыми он занимается, напри-
мер построения в теории рестрикторов (см. примеч.
к публикуемым ниже рукописям П. А. Флоренского
и Н. Н. Лузина), диктуются у него не конкретной мате-
4 Лузин Н. Н. [О рестрикторах].— Наст. изд.
ь Из письма матери от 26 марта (по ст. стилю) 1904 г.: «Но я с несом-
ненностью убедился, что в Университете мне делать нечего. Если
бы я мог сделать что, так это читать лекции общего характера,
так называемые «ненаучные», с обобщениями, отступлениями,
словом, наполовину лирические. К этому я стремился и стрем-
люсь до известной степени, но в Университете теперь этого нико-
му не нужно и таких лекцпй никто слушать не станет. Некому
читать. Все заняты отметкамп, экзаменами и т. и. или ничего не
делают. Если даже есть интересующиеся более бескорыстно, то
они цепляются за какую-нибудь специальность...».
128
матической практикой, но философскими его интересами.
Лузина также волнуют философские вопросы — это вид-
но и из его последующих работ, и из его переписки.
В частности, в его переписке с Егоровым обсуждаются
вопросы, поднятые Флоренским в его магистерской диссер-
тации 1914 г. [14, с. 355]. На философский дух творчест-
ва Лузина указывали его современники, в частности
А. Н. Крылов [15] и А. Лебег [16]. Но все же в первую
очередь Лузин всегда был и оставался математиком. Воз-
действие на него теоретико-множественных и теоретико-
функциональных занятий Флоренского имело поэтому
скорее значение для создания определенного интереса
к этим вопросам. Решительный поворот к исследованию
этой тематики, понимание тех специальных задач, которые
ставили зти теории, произошел у Лузина, скорее всего,
под влиянием его учителя Д. Ф. Егорова (летом 1903 г.
вернувшегося из годичной заграничной командировки)
и собственной поездки во Францию 1905—1906 гг. О ха-
рактере руководства занятиями Лузина, осуществляв-
шегося Егоровым, можно составить частичное представ-
ление по опубликованным недавно [14] его письмам
к Н. Н. Лузину. По приезде в Москву Лузин погружает-
ся в исследования по теории множеств и функций. 1 мая
1907 г. он выступает на заседании математического обще-
ства с докладом «О канторианских антиномиях», а в 1912 г,
в докладах Парижской академии наук появляется его
классическая работа о С-свойстве. Вместе с упоминав-
шейся выше работой Егорова 1911 г. они уже принадле-
жат не предыстории Московской школы теории функций,
но знаменуют начало ее истории.
ЛИТЕРАТУРА
1. Егоров Д.Ф. О последовательностях измеримых функций//
Успехи мат. наук. 1971. Т. 26, вып. 5. С. 207—208.
2. Флоренский П. А. О символах бесконечного//Новый путь.
1904. Т. 2. С. 173—235.
3. Жегалкин И. И. Трансфинитные числа. М.: Изд-во МГУ, 1907.
4. Юшкевич А. П. История математики в России. М.: Наука, 1968.
5. Медведев Ф. А. Подготовка теоретико-множественных и теоре-
тико-функциональных исследований в России И Очерки исто-
рии математики и механики. М.: Изд-во АН СССР, 1963.
С. 45—66.
6. Demidov S. S. N. V. Bougaiev et la creation de 1’ecole de Moscou
de la theorie des fonctions d’une variable reelle//Boethius, 1985.
T. 12. P. 651—673.
7. Демидов С. С. H. В. Бугаев и возникновение Московской шко-
лы теории функций действительного переменного И Исторпко-
5
Заказ 2674
129
математические исследования. М.: Наука, 1985. Вып
С. 113—124. ‘ •
8. Флоренский П. К. О работах П. А. Флоренского // Труды
знаковым системам. Тарту, 1967. Т. 3. С. 501—503.
9. Флоренский Павел Александрович // фплос. тнцпкл. 1Ч7С1
Т. 5. С. 377—379.
10. Хоружий С. С. Флоренский Павел Александрович//БСЭ 3Р
изд., 1977. Т. 27. С. 496.
11. Лихачев Д. С. Об авторе: Введение к публикации статьи
П. А. Флоренского «Анализ пространственности в художест-
венно-изобразительных произведениях» // Декор. искусство
СССР. 1982. № 1. С. 25-29.
12. Воронова Л. П. Идеалистическая сущность культурологии
П. А. Флоренского // Фплос. науки. 1984. № 4. С. 80—87.
13. Флоренский IT. А. Об одной предпосылке мировоззрения//
Весы. 1904. № 9. С. 24—35.
14. Письма Д. Ф. Егорова к Н. Н. Лузину / Предисл. П. С. Алек-
сандрова; Публ. и прпмеч. Ф. А. Медведева при участии
А. П. Юшкевича И Историко-математические псследования. М.:
Наука, 1980. Вып. 25. С. 335—361.
15. Крылов А. Н. Записка об ученых трудах проф. Н. Н. Лузина //
Николай Пико, аевич Лузин/ Сост. П. И. Кузнецов. М.: Зна-
ние, 1983. С. 27 —33.
16. Лебег А. Предисловие [к книге Н. Н. Лузина «Лекции об ана-
литических множествах п их приложениях»] И Успехи мат. на-
ук. 1985. Т. 40, вып. 3. С. 9—14.
О КУРСЕ ЛЕКЦИЙ Б. К. МЛОДЗЕЕВСКОГО
ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО,
ПРОЧИТАННЫХ ОСЕНЬЮ 1902 Г.
В МОСКОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ *
Ф. А. Медведев
Первым проявлением интереса московских математи-
ков к теории функций действительного переменного, ак-
тивно разрабатывавшейся в последней четверти XIX в.
и начавшей на рубеже XIX—XX вв. превращаться в од-
ну из центральных математических дисциплин, принято
считать курс лекций с таким наименованием, прочитан-
ных осенью 1900 г. в Московском университете профессо-
ром Б. К. Млодзеевским [1, с. 9—10; 2, с. 52; 3, с. 563].
Этот курс был повторен им в осенних семестрах 1902/03,
• Идея написания статьп принадлежит С. С. Демидову.
130
1904/05 гг. и в весеннем семестре 1907/08 г. П,о недавнего
времени о содержании этих лекций судить было трудно:
в «Обозрениях преподавания на физико-математическом
факультете императорского Московского университета»
за соответствующие годы отмечалось не все: только
факт чтения лекций, отводимое на них время и рекомен-
дуемая литература. Что касается последней, то по кур-
су 1900 г. рекомендовались лишь немецкий перевод
книги У. Дини «Основы теории функций действитель-
ного переменного» [4] и «Введение в теорию функций с од-
ной переменною» Ж. Таннери [5] \ в курсах 1902 и 1904 гг.
к ним были добавлены книги О. Штольца и И. А. Гмай-
нера [6] и О. Штольца [7], а в курсе 1908 г.— «Collection
de monographies sur la theorie des fonctions. Paris», 1898—
1906. 2 Других сведений относительно содержания на-
званных лекций, кроме одного факта, сообщенного
Н. Н. Лузиным, о котором будет сказано в заключение
статьи, практически не имелось.
Выйти из области предположений и догадок, по край-
ней мере в отношении курса 1902 г., позволяют обнаружен-
ные недавно С. С. Демидовым в бумагах П. А. Флорен-
ского, хранящихся отчасти у наследников последнего,
а отчасти в Центральном государственном историческом
архиве (далее — ЦГИА) 3, записи лекций Б. К. Млодзеев-
ского осеннего семестра 1902 г. Сохранилось четыре тет-
ради. Две из них — тетради по 36 страниц каждая в си-
них обложках, на обложке первой написано: «I. Теория
функций действительного перемен.[ного]. Лекции проф.
[ессора] Б. К. Млодзеевского. Записаны стДудентом]
матДематического] фДакультета] 5 сДеместра] П. Флорен-
ским. 1902. IX.» На обложке второй тетради после рим-
ской цифры III, означающей номер тетради,— такая же
надпись, но отсутствует дата; в эту тетрадь дополнитель-
но вложены 22 страницы такого же формата, на которых
продолжены записи лекций (две страницы чистые), а на
последней из этих дополнительных страниц помещен отры-
вок выкладок, сделанных, по-видимому, Млодзеевскпм,
Русского перевода под таким названием тогда еще не было — он
появился только в 1912 г., и Млодзеевскип указывал первоначаль-
а ное издание 1886 г.
1- е. книги Э. Бореля, А. Лебега и Р. Бэра, указанные в [2, с. 53]
з и изданные в серии монографий, основанной Борелем.
Д°мер фонда в ЦГИА, в котором находятся эти материалы, указал
Б. Демидов.
5* 131
так как тут же красным карандашом рукой П. Л. фло.
ренского написано: «Автограф Б. К. Млодзеевского
Москва 19 j. j 02ч>. Тетрадь с номером II, содержащая сере-
дину курса, отсутствует.
Еще одна тетрадь в твердом картонном переплете со-
держит 200 страниц, из которых в разных местах под-
клеено 19 отдельных листков, и хранится она в ЦГИД
(ф. № 418, оп. № 513, ед. хр. № 9109). Она озаглавлена:
«Теория функций действительного переменного. Лекции
проф.[ессора] Б. К. Млодзеевского, читанные осенним
семестром 1902 г. в Московском университете. Составлено
П. Флоренским, студентом 5 семестра математического фа-
культета. Москва 1902». Если две тетради содержат не-
посредственные записи лекций, выполненные скорописью,
с массой сокращений и дополнений, то третья — это ак-
куратно переписанная рукой П. А. Флоренского, отре-
дактированная, разбитая на части, главы и параграфы
версия. Она начинается со «Вступления» и содержит три
части: «Число», «Аргументы», «Учение о функции». Эти
части содержат главы (их здесь семь, причем отдельным
из них присвоено название, а некоторым — нет) и пара-
графы со сквозной нумерацией, большая часть из которых
носит самостоятельные наименования. Тетрадь заканчи-
вается § 47 «Функции прерывные».
Непосредственным продолжением последней является
такого же типа тетрадь, хранящаяся у наследников
П. А. Флоренского. В ней 100 страниц, из которых 41 за-
полнена, а остальные остались неиспользованными. Она
начинается с главы VIII «Учение о производной» и § 48
с названием «Основные понятия», а завершается незакон-
ченным § 52 «Общие соображения о функциях без произ-
водной».
Судя по всему, зту версию лекций готовили для лито-
графированного издания курса, осуществить которое по-
мешали какие-то внешние обстоятельства. Она полностью
охватывает содержание первой тетради с непосредствен-
ными записями лекций, а содержание незаконченной гла-
вы VIII отражено в аналогичных записях лекций XV—
XIX второй из охарактеризованных здесь тетрадей. Судя
по последней же, заключительная, IV часть курса была
посвящена теории интегрирования, но в обработанной
версии ее нет, хотя она представлена непосредственными
записями лекций в тетради III.
Согласно сохранившимся записям весь курс состоял
132
не менее чем пз 29 лекций. Некоторые из них датированы:
я____ 18 сентября, 7-я — 25 сентября, 9-я — 2 октября,
______31 октября, 22-я — 27 ноября. Как видно, лекции
читались неравномерно. Наибольшая плотность прихо-
дится на начало сентября — лекции читались три раза
в неделю, как об этом сообщалось и в «Обозрении препо-
давания...» за 1902/03 учебный год. Скорее всего, курс
заканчивался 29-й леакцией, посвященной несобственным
интегралам. Во всяком случае, максимальное число лек-
ций, которые могли быть прочитаны при условии, что
после последней датированной лекции они читались три
раза в неделю, 33, ибо в конце декабря начинались рож-
дественские каникулы.
Перейдем теперь к характеристике курса лекций
Б. К. Млодзеевского, отметив с самого начала то его свое-
образие, что лекции не были простым пересказом какого-
либо одного изложения предмета, вроде содержавшегося
в упомянутых книгах У. Дини [4] или Ж. Таннери [5].
Это был вполне самостоятельный курс, обдуманный в це-
лом и в деталях. Такое заключение основывается как на
фактическом содержании, так и на использованной
Б. К. Млодзеевским литературе. Остановимся сначала на
втором пункте.
В тетрадях, содержащих непосредственные записи
лекций, ссылок на используемую литературу очень мало,
они неполны. Зато в обработанном варианте такие ссылки
довольно многочисленны и разнообразны. Использова-
лись и обзорные статьи Г. Г. Шуберта «Основания ариф-
метики» [8], А. Прингсгейма «Иррациональные числа и
сходимость бесконечных процессов» [9], А. М. Шёнфлиса
«Теория множеств» [10], помещенные в незадолго до этого
начавшей издаваться немецкой «Энциклопедии математи-
ческих наук и их приложений» (первая часть первого тома,
где содержались указанные статьи, вышла в 1899 г.),
и учебно-монографическая литература, вроде «Элементар-
ного трактата по теории функций и исчислению бесконеч-
но малых» А. А. Курно [11], «Очерка теории комплексных
Функций» И. Г. Томэ [12], «Общей теории функций»
П. Дюбуа-Реймона [13], «Лекций по общей арифметике»
О. Штольца [14], упомянутой выше книги Ж. Таннери [5]
и третьего тома семитомного «Трактата по анализу»
г • Лорана с подзаголовком «Интегральное исчисление.
пределенные и неопределенные интегралы» [15], и пере-
работ Р. Дедекинда [16], Г. Гельмгольца [17] и
• Кронекера [18]. Привлекались важные статьи Э. Гейне
133
«Начала теории функций» [19] и Г. Дарбу «Мемуар о раз-
рывных функциях» [20], а также научно-популярные и ме-
тодические статьи П. Таннери «Научная концепция кон-
тинуума. Зенон Элейский и Георг Кантор» [21], А. Принг-
сгейма «О понятии числа и предела в преподавании»
[22] и Г. Вольмана «Обзор важнейших учебников по исчис-
лению бесконечно малых от Эйлера до сегодняшних дней»
[23]. Из трудов отечественных ученых названы вступитель-
ная лекция 1892 г. Л. К. Лахтина «О направлениях в со-
временной математике», литографированные лекции по
интегральному исчислению Н. Я. Сонина [24], статьи
Н. В. Бугаева «Геометрия произвольных величин» [25]
и «Прерывная геометрия» [26]. Солиден багаж и философ-
ской литературы: «Переписка Бенедикта де Спинозы» [27],
второй том трехтомной «Истории индуктивных наук»
В. Уэвелла [28], «Научно-популярные очерки» Э. Маха
[29], а также только что тогда появившийся первый полу-
том восьмого тома «Истории новой философии» К. Фишера
[30], посвященной Г. В. Ф. Гегелю, и «Наука и гипотеза»
А. Пуанкаре [31] (русский перевод появился только
в 1906 г.). Если к названной литературе добавить «Начала»
Евклида [32], «Первые шаги древнегреческой науки»
П. Таннери [33], «Лекции истории математики» В. В. Бо-
бынина [34], «Математический словарь» Г. С. Клюгеля
[35], а кроме того, отдельные как математические, так и
околоматематические работы, упомянутые в лекциях по
случайным поводам, да принять во внимание, что чистовой
вариант лекций не закончен, то определенно создается
внушительное впечатление о том фундаменте, на котором
строил свой курс Млодзеевский.
Вместе с тем в приведенном перечне отсутствуют мно-
гие работы, которые, как теперь известно, оказались суще-
ственными для развития теории функций действительного
переменного. Прежде всего Млодзеевский, по-видимому,
не был в то время непосредственно знаком с трудами
Г. Кантора. Фамилия последнего и многочисленные при-
надлежащие ему теоретико-множественные и теоретико-
функциональные результаты упоминаются в лекциях не-
однократно. Но судя по характеру этих упоминаний (от-
сутствие прямых ссылок на канторовские работы, указа-
ния, что те или иные соображения излагаются по одной из
перечисленных выше работ п т. д.), правдоподобно пред-
положение, что к 1902 г. Б. К. Млодзеевский знал о трудах
Кантора изм вторых рук, главным образом по работам
П. Таннери [21], Ж. Таннери [5] и А. Шёнфлиса [10].
134
ХОтя книга Р. Дедекинда [36] один раз упомянута4
s 10 чистового варианта лекций (ЦГИА, ф. № 418, оп.
№513, ед. хр. № 9109, л. 22 об.), но явно неуместно, так
как в этом параграфе речь идет о дедекиндовской теории
действительных чисел, изложенной в [16]. Несколько
непонятна ситуация с книгой У. Дини [4]: она, как отме-
чалось, обычно указывалась в списке рекомендуемой ли-
тературы, чего она, несомненно, заслуживала, особенно
после добавлений к ней при переводе на немецкий язык
в 1892 г., но в самих лекциях каких-либо ссылок на нее
не имеется. Отсутствуют ссылки на «Курс анализа»
К. Жордана, второе издание которого 1893—1896 гг. [37],
особенно первый том, было бы полезно для улучшения со-
держания курса. Остались, по-видимому, неизвестными
Б. К. Млодзеевскому книга Д. Пеано «Геометрические
приложения исчисления бесконечно малых» [38] и важная
статья К. Жордана 1892 г. «Замечания об определенных
интегралах» [39]. Наверное, к 1902 г. он еще не успел озна-
комиться с книгой Э. Бореля 1898 г. «Лекции по теории
функций» [40], с диссертацией Р. Бэра 1899 г. «О функциях
действительного переменного» [41] и обзором А. Шён-
флиса 1900 г. «Развитие учения о точечных многообрази-
ях» [42]. Вне его поля зрения остались и многие дру-
гие работы, в частности весь цикл исследований по тео-
рии тригонометрических рядов. Все это накладывает на
лекции Млодзеевского тот отпечаток, что их приходится
отнести, если воспользоваться нашей периодизацией раз-
вития теории функций действительного переменного [43,
с. 5—6], к ее первому периоду, хотя упомянутые работы
Э. Бореля и Р. Бэра, а также недавно начавшиеся иссле-
дования А. Лебега (с 1898 г.) знаменовали собой начало
второго периода. Более того, это вынуждает характеризо-
вать лекции как недостаточно полные даже для первого
периода; с этим же, как мы увидим, связаны некоторые
недочеты рассматриваемого курса.
Перейдем теперь к более подробному разбору содержа-
ния самих лекций. Как было только что сказано, их мож-
но охарактеризовать как относящиеся к первому периоду
развития теории функций действительного переменного,
когда она еще не выделилась в относительно самостоятель-
ную математическую дисциплину и исследования в этой
области тесно переплетались с изысканиями в классичес-
----—.
В- К. Млодзеевский указал немецкое издание 1888 г. Перевод
а русский язык появился только в 1905 г.
135
ком анализе 5. Именно об этом говорит и сам Б. К. Л1лод-
зеевский во «Вступлении» к своим лекциям. Перечислив
здесь ряд задач, которыми занимаются в теории функций
действительного переменного (углубленное изучение аргу-
мента функций, обоснование понятий предела и непре-
рывности, нахождение критериев дифференцируемости,
определение понятия интеграла и т. д.), он завершает
«Вступление» словами: «Теория функций, таким образом,
как видно из этой программы, представляет собой пере-
смотр, критику основ анализа и обоснование их» (ЦГИА,
ф. № 418, оп. № 513, ед. хр. № 9109, л. 3) °.
Курс в целом делился на следующие части: Вступле-
ние. Часть I — число. Часть II — аргументы. Часть III —
учение о функциях. Часть IV — теория интегрирования.
Наименование части IV — условно (остальные — по пе-
реписанному тексту) и передает название 20-й лекции
по непосредственным записям. Кроме того, весь курс де-
лился на главы и параграфы, каждые в сплошной нуме-
рации.
Во «Вступлении», составленном, как указано в приме-
чании к нему, по упомянутой выше лекции Л. К. Лах-
тина, после небольшого эссе о теории функций комплекс-
ного переменного с подчеркиванием ее важной роли в ма-
тематике XIX в. Б. К. Млодзеевский, по-видимому, в про-
тивовес направленности лекции Л. К. Лахтина говорит,
что в приложениях анализа «мы почти всегда имеем дело
с действительным переменным; никаких предположений
о компл.[ексной] области, когда дело идет о реальном ми-
ре, мы не имеем, а если случайно получается истолкова-
ние комплексных результатов, то это частный случай.
Ввиду этого нам необходимо сузить область изменения ар-
гумента, ограничиться действительными значениями пе-
ременного. Тут мы теряем в шпроте области, ио зато мо-
жем глубже [изолировать] [слово неразборчиво] объект
с уменьшенным содержанием. Область изменения теперь
узка; широта изменения вознаграждается глубиною про-
никновения в сущность математических идей» (л. 1 об.).
Оправдав таким образом необходимость изучения
свойств функций действительного переменного и отметив,
что эта «ветвь анализа» развивалась параллельно теории
функций комплексного переменного (л. 2), Б. К. Млод- 6
6 О соотношении между классическим анализом и теорией функций
действительного переменного см. [43, с. 9—12].
• Так как другие архивные материалы нс использовались, то далее
будут указываться лишь листы.
136
зеевскпй после указанного Перечисления задач этой нау-
ки приступает к первой части.
Здесь рассмотрены последовательные обобщения поня-
тия числа, начиная с системы натуральных чисел и кончая
разными теориями действительных чисел. После построе-
ния начал арифметики натуральных чисел, основанного,
как отмечено в лекциях (л. 5 об.), на идеях Г. Гельм-
гольца и Л. Кронекера 7, Б. К. Млодзеевский переходит
к другим видам чисел. При этом он руководствуется прин-
ципом перманентности («принципом постоянства» в его
терминологии), излагая содержание принципа по упоми-
навшейся выше статье Г. Г. Шуберта [8], но в отличие от
последнего придавая самому принципу неподходящее, на
наш взгляд, философское толкование, связывая его с ма-
ховским принципом «экономии мышления» и даже с геге-
левской триадой «тезис—антитезис—синтез», ссылаясь
при этом на книги 3. Маха [29] и К. Фишера [301. Да и
в чисто математическом плане названный принцип не имеет
того универсального значения, которое усматривал в нем
Б. К. Млодзеевский вслед за чересчур рьяными его про-
поведниками, особенно Г. Ганкелем 8. В какой-то мере это
понимал и Б. К. Млодзеевский, отметив (л. 7 об.), что,
помимо формально-символического способа введения но-
вых чисел в соответствии с принципом перманентности,
их можно вводить на основании других соображений, на-
пример как отношения величин.
Затем, после рассмотрения различных операций над
числами и описания операций более высоких ступеней, чем
возведение в степень и логарифмирование (по статье
Г. Г. Шуберта [8]), Млодзеевский переходит к действитель-
ным числам. Он более детально, чем это делается обычно
в математической литературе на русском языке, изложил
канторовскую 'теорию действительных чисел, по не сов-
сем в том виде, в каком ее представил Кантор, отказавшись
от введения' фундаментальных последовательностей ра-
циональных чисел различных порядков, что упрощало
саму теорию. Возможно, как раз в этой, II главе «Ирра-
циональное число» он воспользовался упоминавшимся
немецким переводом книги Дини [4], так как именно там
излагалась канторовская теория в аналогичном виде вза-
' Их работы в данном месте не называются; очевидно, имеются
в виду статьи [17] и [18], переведенные на русский язык в 1893 г.
8 По этому вопросу можно отослать читателя к интересной работе
А. П. Огурцова [44] и к критическим замечаниям М. Клайна [45,
с. 184—186], быть может излишне категоричным.
137
мен дедекиндовской теории, содержавшейся в оригиналь-
ном издании {4]. Следующая глава лекций посвящена
краткому описанию других теорий действительные чисел
(К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда, Ш. Мерз, Д. Асколи).
Несколько неожиданно в этой главе появляется и «Теория
Кронекера» (л. 51—51 об.). Ей посвящен § 22 главы III,
и к заголовку дается примечание: «Заимствуется изло-
жение из «Лекций интегрального исчисления, читанДных]
на Высших женскДих] курсах в СПБ» академиком
Н. Я. Сониным. Ч. 1. (1898), рр. 1—VII. См. Poincare.
La Science et 1’Hypothese» (л. 51). На самом деле Л. Кро-
некер, как известно, был вообще противником теорий дей-
ствительных чисел и какой-либо такой его теории не из-
вестно. В указанном Б. К. Млодзеевским месте лекций Со-
нина [24] действительно коротко описывается теория дей-
ствительных чисел, представляющая собой очень упро-
щенный вариант канторовской, но фамилия Кронекера
(или какая-либо другая) там вообще не упоминается. Млод-
зеевского, наверное, ввел в заблуждение А. Пуанкаре,
приписавший такую концепцию действительного числа
Л. Кронекеру [31, с. 26—27 русского перевода].
В лекциях Б. К. Млодзеевского своеобразно представ-
лена теория множеств. Ей посвящены две главы второй
части (л. 60—76), в которых сообщены сведения об ос-
новных понятиях теории множеств, изложенные, как ука-
зывалось в примечаниях (л. 61 об., 74 об.), по статьям
П. Таннери [21], А. Шёнфлиса [10] и книге Ж. Таннери
[5]. Однако в отличпе от названных авторов, особенно
А. Шёнфлиса, теория множеств выступает у Млодзеев-
ского не как самостоятельная наука, в некотором роде
предшествующая остальной математике, какой ее хотели
видеть Р. Дедекинд и Г. Кантор, а как некое вспомога-
тельное учение об аргументе функции. В соответствии
с этим основное внимание в лекциях уделяется точеч-
ным множествам, посколько далее рассматриваются
действительнозначные функции, заданные на точечных
множествах (преимущественно на прямой и отрезках пря-
мой). Вводятся понятия предельной точки и прои вод-
ного множества («группы» в терминологии Б. К. Млодзе-
евского); бесконечные точечные множества разделяются
на множества первого и второго рода 9; в качестве важной
» Множество первого рода — это такое точечное множество Р, что
его производное р(п> конечного порядка п пусто; остальные то-
чечные множества отнесены ко второму роду.
138
теоремы формулируется и доказывается (л. 65 об. — 66)
утверждение, которое на современном языке можно выска-
зать как утверждение о равенстве нулю меры множества
первого рода и которое лектор обещает использовать в тео-
рии интегрирования; вводятся также понятия верхней и
нижней граней (верхнего и нижнего предела, как чаще
говорили тогда) точечного множества и доказывается суще-
ствование их (л. 71—72). Другие сведения из теории мно-
жеств или приводятся без доказательств и относительно
точных определений, или просто упоминаются. В целом
объем этих сведений достаточно большой: здесь и поня-
тие о мощности множеств, и выделение счетных («счето-
вых») множеств, и упоминание теорем о счетности множеств
рациональных и алгебраических чисел, о равномощности
континуумов разного числа измерений, о счетности счет-
ной суммы счетных множеств, о несчетности континуума
(с упоминанием гипотезы континуума); несколько слов
сказано о совершенных множествах, о понятиях порядко-
вого типа «(породы») и вполне упорядоченного множества
(«благоустроенной группы») о подобии упорядоченных
множеств, о порядковых трансфинитных числах и але-
фах. Однако в последующем изложении мало что из этих
сведений используется.
Казалось бы, что при взгляде на теорию множеств
как на учение об аргументе функции, естественно возни-
кала мысль о понятии функции, задаваемой на точечном
множестве, отличном от отрезка. Такая мысль действи-
тельно появляется в лекциях, но довольно причудливым
образом. После краткой исторической справки о понятии
функции, включая определение этого понятия по Дирих-
ле, и примеров довольно сложных функций (л. 87 об.—
88 об.) Б. К. Млодзеевский переходит к вопросу о клас-
сификации функций действительного переменного: «Са-
мый существенный вопрос — классифицировать функ-
ции. В этом отношении особенно замечательная класси-
фикация функций профЛессора] Бугаева» (л. 88 об.).
Ссылаясь на лекции Н. В. Бугаева и на его статьи [25. 26],
Б. К. Млодзеевский разбивает все функции действитель-
ного переменного на три класса: к первому относятся
функции, задаваемые на множествах действительных чи-
сел, не образующих промежутков («числовые функции»
в терминологии Бугаева, принимаемой и Б. К. Млодзеев-
ским); ко второму — разрывные функции, задаваемые
на целом промежутке («полуаналитические или полуне-
прерывные»), и, наконец, к третьему — непрерывные
139
функции, задаваемые опять-таки на целом промежутке.
Б. К. Млодзеевский даже бросает критическое замечание
в адрес определения функции по Дирихле, утверждая, что
функции первого класса «не входят в определение Di-
richlet, но такая узость определения объясняется тем, что
тогда числовые функции были не изучены» (л. 89). В этом,
несомненно, сказалось, во-первых, некритическое отно-
шение Млодзеевского к отдельным не всегда корректным
соображениям своего учителя, известного московского
математика и философа Н. В. Бугаева 10. Во-вторых,
здесь проявилось как недостаточное знание лектором су-
ществовавшей тогда литературы по теории функций, так
и не очень внимательное прочтение отдельных цитирован-
ных им работ.
Даже если отбросить числовые последовательности,
давно рассматривавшиеся как функции натурального ар-
гумента, а тем самым выступавшие как «числовые функ-
ции» в терминологии Бугаева—Млодзеевского, или неко-
торые экзотические функции, вроде эйлеровской у =
— (—1)ж [3, с. 132], можно утверждать, что идея рассмот-
рения функций, заданных на множествах, отличных от це-
лых промежутков, зародилась чуть ли не с первых шагов
в построении теории множеств, и уже в первом издании
1878 г. книги У. Дини [4] такие функции в общем виде
входят в формулировки ряда его теорем. Эта идея «ра-
ботала» в трудах многих математиков XIX в., и особенно
у Д. Пеано [381 и К. Жордана [37, 39]. Общее же определе-
ние понятия функции у Р. Дедекинда [36] как однознач-
ного соответствия между элементами двух произвольных
множеств (1888 г.) лишало какой-либо разумной основы
сам принцип «классификации» Бугаева—Млодзеевского.
Лишь до некоторой степени ее оправдывает тот факт, что
подавляющее большинство примеров конкретных функций
в литературе того времени относилось именно к функциям,
заданным на целых промежутках.
Более корректной является другая классификация,
намеченная Млодзеевским в § 47 (л. 118—118 об.). Он вы-
делил непрерывные функции, затем функции с конечным
числом точек разрыва («функции непрерывные частями»),
далее функции с таким бесконечным множеством Р точек
разрыва, что это Р имеет лишь конечное число предельных
10 О Н. В. Бугаеве, его философской ориентации и энергично!! про-
паганде им идеи разрывности, в том числе в теории функций
(см.: [46]).
140
точек; наконец,последний класс у него образуют функции,
множество Р точек разрыва которых имеет бесконечно мно-
го предельных точек («существенно прерывные функции»).
Эта классификация, по-видимому, придумана самим Млод-
зеевским, но он недостаточно осмыслил ее. Во-первых,
зная о производных множествах различных порядков
(л. 62—64 об.), он мог бы продолжить довольно естествен-
но напрашивающееся выделение классов разрывных
функций, у которых множества Р точек разрыва являются
множествами первого рода, получив тем самым бесконеч-
ное число классов разрывных функций. Во-вторых, зная
о трансфинитных порядковых числах Кантора, он мог бы
продолжить эту классификацию по всем трансфинитам
второго числового класса. Наконец, подобную класси-
фикацию завершили бы функции, разрывные в каждой
точке, о которых Млодзеевский знает, но почему-то не
включает в свою классификацию. Но даже при таком
уточнении последняя вряд ли оказалась бы особенно
полезной. Между тем в 1898 г. Р. Бэр предложил важную
классификацию разрывных функций п, но она пока оста-
валась неизвестной Млодзеевскому.
Вряд ли есть необходимость в подробном описании тео-
ретико-функционального содержания рассматриваемого
курса лекций. В них излагались уже достаточно известные
к тому времени понятия и теоремы классического анализа
лишь с незначительным привлечением теоретико-множе-
ственных знаний: понятия предела (включая верхний и
нижний пределы), непрерывности функции (включая не-
прерывность в точке справа и слева), колебания функ-
ции на промежутке, монотонности функции и т. д.; дока-
зывались теорема Больцано—Вейерштрасса о существова-
нии предельной точки у ограниченного бесконечного то-
чечного множества, теоремы Вейерштрасса о верхней
(нижней) грани значений непрерывной функции, о проме-
жуточном значении, об определении значений непрерыв-
ной функции на промежутке по ее значениям в точках
всюду плотного множества точек этого промежутка 11 12
и т. д.
То же самое можно сказать и о заключительной (неза-
конченной) главе VIII «Учение о производной» в чистовом
варианте, где вводятся понятия правой, левой и просто
11 О ней см., например: [43, с. 147—158].
12 Млодзеевский предпочитает термин П. Дюбуа-Реймона «панта-
хическое множество», беря его за основной, однако тут же
в скобках (л. 107 об.) называет такое множество всюду плотным.
141
производной функции в точке и доказывается ряд теорем-
мы остановимся лишь на двух.
Б. К. Млодзеевский хочет обобщить классическую тео-
рему анализа о том, что если в каждой точке промежутка
f (ж) = 0. то / (ж) = const. Он формулирует обобщение
в таком виде: «Если в данном промежутке а — р Функция
конечна и непрерывна и если во всех точках промежутка,
за исключением некоторой счетовой группы точек 13, про-
изводная постоянна и равна нулю, то мы можем утвер-
ждать, что производная равна нулю и в этой счетовой
группе, а сама функция всюду постоянна» (с. 13 второй из
тетрадей чистового варианта; пагинации здесь не имеется).
Доказывает он ее, опираясь на изложенные ранее све-
дения о производных различных порядков. Сначала уста-
навливается справедливость теоремы для случая, когда
порядок производного множества у множества исключи-
тельных точек равен нулю, т. е. когда последнее конечно.
Затем, сделав индуктивное предположение о справедливо-
сти утверждения для множества исключительных точек,
производное которого порядка п конечно, он показывает,
что теорема будет верна и для множества исключительных
точек, у которого конечно производное порядка п + 1.
Тем самым теорема корректно доказана для множеств иск-
лючительных точек, названных выше множествами пер-
вого рода. На этом его доказательство и заканчивается.
Однако фактически теорема в той ее общей формулировке,
которую ей придал Б. К. Млодзеевский, доказана лишь
для частного случая счетных множеств, и, например, все
приводимые множества с трансфинитными индексами (они
тоже счетны) его рассуждением не охватываются; чтобы
продолжить его рассуждение, потребовалась бы транс-
финитная индукция, о которой он, по-видимому, тогда не
знал. Но даже и тогда теорема не была бы доказана пол-
ностью. Она между тем справедлива, как это следует из
оставшихся неизвестными Млодзеевскому результатов
Л. Шеффера 1884 г. [47], но требует для своего доказатель-
ства рассуждений, связанных с понятием меры множеств,
которым Млодзеевский не владел в нужном объеме.
Доказательство следующей теоремы о том, что если на
1а, Ь] функции / {х) и <р (х) конечны и непрерывны, а их
производные совпадают всюду на [а, Ь], за исключением
счетного множества точек, то / (х) = <р (х) 4- const, Млод-
зеевский осуществляет через введение функции ф (х) =
3 Т. е. счетного множества точек.
142
__ у (.z) — q? (z) и привлечение предыдущей теоремы.
Вследствие отмеченной недоказанности последней столь
же не доказана и эта теорема Шеффера, имевшая у послед-
него, впрочем, даже более общий вид (она относилась
к производным числам и к исключительным множествам
меры нуль).
В названной главе много внимания уделяется взаимо-
отношениям между непрерывностью и дифференцируе-
мостью функций, критикуются распространенное в XIX в.
представление о дифференцируемости непрерывной функ-
ции всюду, за возможным исключением конечного множе-
ства значений аргумента, геометрические и механические
соображения, привлекавшиеся для подтверждения такого
представления. Б. К. Млодзеевский отмечает наличие не-
прерывных функций без производных, разделяя их на два
класса: функции, не имеющие производной на всюду
плотном множестве («пантахичной группе») и функции,
не обладающие производной в каждой точке. В связи
с тем что такие функции строились при помощи
бесконечных рядов, он в § 51 «Функции, представляе-
мые рядами» доказывает ряд теорем о числовых и фун-
кциональных рядах. Эта глава завершается незакончен-
ным в чистовом варианте § 52 «Общие соображения о
функциях без производных». Здесь должен был бы со-
держаться материал лекций XVIII—XIX непосредст-
венных записей (тетрадь III), в которых, с одной сто-
роны, приводились некоторые общие соображения о по-
строении непрерывных функций без производных14,
а с другой — подробно описывался известный пример
К. Вейерштрасса такой функции, т. е. функции
оо
f(x)= У ап cos (Ьплх),
П=1
где Ь — нечетное целое, большее единицы, 0 < а < 1
и аЬ > 1 4- 3/2л, не имеющей конечной производной ни
в одной точке. Этот пример К. Вейерштрасс предложил
на заседании Берлинской академии наук 18 июля 1872 г.,
а опубликован он был П. Дюбуа-Реймоном в 1875 г.
Начиная с лекции XX «Теория интегрирования функ-
ций действительного переменного» и до конца курса,
Млодзеевский рассматривает отдельные вопросы интег-
рирования функций одного переменного. Определение
14 Они изложены в лекции XVIII непосредственных записей очень
неясно и практически не поддаются реконструкции.
143
интеграла по Риману обычное — в виде предела
р п—1
$ / (х) dx — 1 im 2 / (^-i + °Л)
где xs — точки деления, 6S — длины промежутков, 06
удовлетворяет условию 0 < 06 < 1, а X — максимальная
длина 68 (Млодзеевский берет предел при т? —> оо, но
оговаривает, что число промежутков «беспредельно уве-
личивается» и «притом так, чтобы каждый б был меньше
всякой данной величины»). Для определенного таким
образом интеграла доказываются обычные теоремы, вроде
независимости предела от выбора точек деления, приз-
нака существования интеграла и т. д. В теоретико-функ-
циональном смысле эта часть лекций наименее интересна,
так как соображения из теории множеств здесь не при-
влекались, хотя при изложении последней в главе V
после упоминавшейся выше теоремы о равенстве нулю
меры множества первого рода он писал: «Эта теорема
впоследствии понадобится вам для теории интегралов,
когда функция, интегрируемая в пределах интеграла,
претерпевает скачки» (л. 66). Однако в соответствующем
месте курса он ограничился лишь функциями с конечным
числом точек разрыва. Как мы говорили в начале статьи,
в последнюю из черновых тетрадей вложены дополнитель-
ные листы, и не исключено, что часть из них, на которых
характеризовались и интегрируемые функции с беско-
нечными множествами точек разрыва, не сохранилась.
Сохранившиеся же записи последней (незанумерованной)
лекции посвящены отдельным сведениям о несобственных
интегралах.
Изложенное выше могло бы создать впечатление, что
рассмотренный курс лекций Б. К. Млодзеевского не за-
служивает особого внимания как вследствие его уста-
релости, так и недостаточной продуманности. Однако
такой взгляд на этот курс лекций был грубой историче-
ской ошибкой.
Отставание содержания курса лекций в высших учеб-
ных заведениях от уровня развития науки — вполне ес-
тественное явление. Оно оправдано и временем, необхо-
димым для утверждения новой теории, и временем, тре-
бующимся для дидактической обработки соответствую-
щего материала, составляя обычно от четверти до полу-
века, а то и более. Бывают, разумеется, и курсы лекций,
в которых излагаются самые последние достижения, даже
144
личные результаты лекторов, еще порой пе опубликован-
ные, но рассчитаны эти лекции, как правило, лишь на
избранную группу слушателей — будущих исследовате-
лей в соответствующей области. Подобные исключения
только подтверждают общее правило.
Хронологически лекции Б. М. Млодзеевского в отно-
шении содержащихся в них теоретико-множественных и
теоретико-функциональных идей предшествовали анало-
гичным курсам не только в России, но и в некоторых дру-
гих странах. Из работы [2, с. 49—51] видно, насколько
лекции Млодзеевского были богаче их по содержанию.
Лишь книги И. И. Жегалкпна [48] и В. Л. Некрасова
149] 1907 г. в их совокупности по содержанию значительно
превзошли лекции Млодзеевского. Что касается других
стран, то, например, в Англии с введением в препода-
вание идей теории множеств и функций в то время дело
обстояло хуже [50, с. 72—91; 51, с. 373—375], и лишь
книги У. Г. и Г. Ч. Юнгов [52] 1906 г. и Э. У. Гобсона
153] 1907 г. исправили положение.
Как известно, научные интересы Б. К. Млодзеевского
относились к области, а именно дифференциальной гео-
метрии [3, с. 515—517], достаточно далеко отстоявшей
тогда от теории множеств и функций. Его обращение
к новой области и желание приобщить к ней молодое
поколение, да еще в условиях известной недоброжела-
тельности по отношению к своеобразной математической
дисциплине, потребовало от него большого труда и ре-
шительности. Рассмотренные лекции читались студен-
там 3-го курса математического факультета, притом в
течение одного семестра. Только эти два обстоятельства
достаточны для объяснения известной неполноты курса.
А если учесть, что слушатели Б. К. Млодзеевского были
приучены к другим канонам математического мышления,
то трудностей у него было более чем достаточно.
К сожалению, мы располагаем данными лишь об одном
курсе лекций Млодзеевского по теории функций дейст-
вительного переменного из четырех прочтенных. Судя
по рекомендуемой им литературе, содержание курса эво-
люционировало в сторону еще большего привлечения
новых идей. Но он не только привлекал чужие идеи,
но и вносил своп. Так, Н. Н. Лузин сообщил [54, с. 146],
что в лекциях 1904 г. Б. К. Млодзеевский поставил за-
дачу обобщения понятия производной в такой общности,
в какой ее сформулировал Э. Борель только в 1912 г.
Во всяком случае, он стал зачинателем того течения
145
математической работы в Московском университете, ко-
торое вскоре привело к созданию Московской школы
теории множеств и функций.
литература;"
1. Российский С. Д. Болеслав Корнелиевич Млодзеевский. М.:
Изд-во МГУ, 1950.
[2. Медведев Ф. А. Подготовка теоретико-множественных и теоре-
тико-функциональных исследований в России И Очерки исто-
рии математики и механики. М.: Изд-во АН СССР, 1963. С. 45—
66.
3. Юшкевич А. П. История математики в России. М.: Наука; Физ-
матгиз, 1968.
4. Dini U. Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili rea-
li. Pisa: Nistri, 1878. Grundlagen fiir eine Theorie der Functionen
einer veranderlichen reellen Grosse: Mit Genehmigung des Ver-
fassers deutsch bearbeitet von Jacob Liiroth und Adolf Schepp.
Leipzig: Teubner, 1892.
5. Tannery J. Introduction a la theorie des fonctions d’une variable.
P.: Hermann, 1886; 2е ed., 1910. Рус. пер.: Таннери Ж. Введе-
ние в теорию функций с одной переменною/Пер. А. Безрукова.
М.: Типо-лит. т-ва И. Н. Купшерева и К°, 1912. Т. 1—2.
6. Stolz О., GmeinerJ.A. Theoretische Arithmetik. Leipzig: Teub-
ner, 1902. Bd. 1—2.
7. Stolz O. Grundziige der Differential- und Integralrechnung. Leip-
zig: Teubner, 1893.
8. Schubert H. Grundlagen der Arithmetik.— Encykl. der math.
Wiss. Leipzig: Teubner, 1898—1904. Bd. 1. T. 1. S. 1—27.
9. Prlngsheim A. Irrationalzahlen und Konvergenz Unendlichen Pro-
zesse // Ibid., S. 47—146.
10. Schoenflies A. Mengenlehre//Ibid., S. 185—207.
11. Cournot A. A. Traite elementaire de la theorie des fonctions et
du calcul infinitesimal. P.: Hachette, 1841. T. 1.
12. Thomae J. H. Abriss einer Theorie der komplexen Functionen. 2.
verm. Aufl. Halle: Nebert, 1873.
13. Du Bois Reymond P. Die allgemeine Funktionenlehre. Tubingen:
Laupp, 1882.
14. Stolz O. Vorlesungen liber allgemeine Arithmetik. Leipzig: Teub-
ner, 1885. Bd. 1—2.
15. Laurent H. Traite d’analyse. V. 3: Calcul integral. Integrates
definie et indefinies. P.: Gauthier-Villars, 1888.
16. Дедекинд P. Непрерывность и иррациональные числа I Пер.
С. О. Шатуновского. Одесса: Mathesis, 1894.
17. Гельмгольц Г. Счет и измерение / Пер. А. В. Васильева. Казань,
1893.
18. КронекерЛ. Понятие о числе/ Пер. А. В. Васильева. Казань,
1893.
19. Heine Е. Die Elemente der Functionenlehre // J. fur die reine und
angew. Math., 1872. Bd. 74. S. 172—188.
20. Darboux G. Memoire sur les fonctions discontinues // Ann. sci. de
ГЕс. Norm. Sup.,ser. 2, 1875. Vol. 4. P. 57—112.
21. Tannery P. Le concept scientific du continu. Zenon d’Elee et Ge-
org Cantor//Rev. philos. de la France et de I'Etranger, 1885.
Vol. 20. P. 385—416.
146
22. Pringsheim A. Ober Zahl- and Grenzbegriff im Unterricht//
Jahresber. Dtsch. Math. Ver., 1899. Bd. 6. S. 73—83.
23. Bohlman G. Dbcrsicht fiber die wichtigsten Lehrbiicher der Infi-
nitesimalrechnung von Euler bis auf heutigeZeit//Jahresber.
Dtsch. Math. Ver., 1899. Bd. 6. S. 91—110. /1J
24. Сонин H. Я. Лекции интегрального^ исчисления, читанные на
С.-Петербургских высших женских курсах. СПб., 1898. Ч. 1.
25. Бугаев Н. В. Геометрия произвольных величин И Мат. сб. 1888.
Т. 14. С. 394—409. »
26. Бугаев Н. В. Прерывная геометрия И Мат. сб. 1890. Т. 15,
С. 600—607.
27. Переписка Бенедикта де Спинозы / Пер. Л. Я. Гуревич. СПб.,
1891.
28. У эвелл В. История индуктивных наук от древнейшего и до нас-
тоящего времени: В 3 т./Пер. М. А. Антоновича, А. Н. Пыпина.
СПб.: Рус. кн. торговля, 1867—1869.
29. Мах Э. Научно-популярные очерки / Пер. А. А. Мейера. М.,
1901. Вып. 1—2.
30. Фишер К. История новой философии. Т. 8: Гегель, его жизнь,
сочинения и учение, полутом 1: Жизнь и сочинения; учение:
феноменология, логика, философия природы, философия духа'
Пер. Н. О. Лосского. СПб., 1902.
31. Poincare Н. Science et hypothese. Р.: Flammarion, 1902; Рус. пер.:
Пуанкаре А. Наука и гипотеза//Анри Пуанкаре о науке/
Под ред. Л. С. Понтрягина. М.: Наука, 1983. С. 5—152.
32. «Начала» Евклида с пояснительным введением и толкованиями /
Пер. М. Е. Ващенко-Захарченко. Киев: Изд-во Киев, ун-та,
1880. р &
33. Таннери *П. Первые шаги древнегреческой науки / Пер.
Н. Н. Полыновой, С. И. Церетели и др.*СПб., 1902.
34. Бобынин В. В. Лекции по истории математики И Физ.-мат. нау-
ки в их настоящем и прошедшем, 1890—1897. Т. 9—13. #
35. Kliigel G. S. Mathematisches Vorterbuch oder Erklarung der Be-
griffe, Lehrsatze, Aufgaben und Methoden der Mathematik mit
[den notigen Beweisen und literarische Nachrichten begleitet in
alphabetische Ordnung. 1. Abteilung. Die reine Mathematik. Bd.
1—5. Leipzig: Schwickert, 1803—1831.
36. Dedekind B. Was sind und was sollen die Zahlen? Braunschweig:
Vieweg, 1888.
37. Jordan C. Cours d’analyse de I’Ecole polytechnique. P.: Gaut-
hier-Vinal's, 1893—1896. T. 1—3.
38. Peano G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale.
Torino: Восса, 1887.
39. Jordan C. Remarques sur les integrates definies // J. de math., 4
ser., 1892. Vol. 8. P. 69—94.
40. Borel E. Lefons sur la theorie des fonctions. P.: Gauthier-Vinal's,
1898.
41. Ba re B. Sur les fonctions de variables reelles // Ann. mat. pura
ed appl., ser. 3, 1899. Vol. 3. P. 1—123.
42. Schoenflies A. Die Entwicklung der Lehre von den Punktmannig-
faltigkeiten//J ahresber. Dtsch. Math. Ver., 1900. Vol. 8. N 2.
43. Медведев Ф. А. Очерки истории теории функций действитель-
ного переменного. М.: Наука, 1975.
44. Огурцов А. П. Из предыстории принципа соответствия:
XIX век И Принцип соответствия: Историко-методологический
анализ / Отв. ред. Б. М. Кедров, Н. Ф. Овчинников. М.: Нау-
ка, 1979. С. 233—262.
147
45. Клайн М. Математика. Утрата определенности / Пер.
Ю. А. Данилова под ред. И. М. Яглома. М.: Мир, 1984.
46. Демидов С. С. Н. В. Бугаев и возникновение Московской школы
теории функций действительного переменного // Истор ко-ма-
тематические исследования. М.: Наука, 1985. Вып. 29. С. ИЗ—
124.
47. Scheffer L. Zur Theorie der stetigen Funktionen einer reellenVer-
anderlichen//Acta math., 1884. Bd. 5. S. 183—194, 279—296.
48. Жег алкин И. И. Трансфпнптные чпсла. М.: Изд-во Моск, ун-та,
1907.
49. Некрасов В. Л. Строение и мера линейных точечных областей.
Томск: Изд-во Том. ун-та, 1907.
50. Литтлвуд Дж. Математическая смесь. М.: Наука, 1965.
51. Grattan-Guinness I. University mathematics at the turn of the
century: Unpublished recollections of W. H. Young//.Ann. Sci.,
1972. Vol. 28. P. 369—384.
52. Young IV . H., Young G. Ch. The theory of sets of points. Cambridge:
Univ. Press, 1906.
53. Hobson E. W. The theory of functions of a real variable and the
theory of Fourier series. Cambridge: Univ. Press, 1907.
54. Лузин H. H. Интеграл и тригонометрический ряд // Собр. соч.
М.: Изд-во АН СССР, 1953. Т. 1. С. 48—212.
О СТУДЕНЧЕСКОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ КРУЖКЕ
ПРИ МОСКОВСКОМ
МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБЩЕСТВЕ
В 1902—1903 гг.
С. М. Половинкин
Традиция студенческих математических обществ из-
давна существовала в Московском университете. Первое
известное общество такого типа возникло в 1810 г. по
инициативе студента М. Н. Муравьева (1796—1866). Из
студентов и кандидатов было образовано «Общество ма-
тематиков», целью которого было распространение мате-
матических знаний посредством переводов, сочинений,
преподавания в основном среди военных, т. е. цель про-
светительская U
В Московском университете существовало студенче-
ское математическое общество и в конце XIX в., что бу-
дет явствовать из цитируемых ниже писем.
Сохранившиеся в архиве семьи Флоренских письма
философа и естествоиспытателя П. А. Флоренского (1882—
1943) и другие материалы (см. статью С. С. Демидова
в наст, изд.) помогают воссоздать историю студенческого
148
математического общества в Московском университете
при Московском математическом обществе в 1902—1903 гг.
Важность этой страницы в истории математики в России
обусловлена тем, что со студенческим математическим
обществом в эти годы были так или иначе связаны многие
ученые, составившие потом славу Московской школы
теории функций. Настоящая заметка основана главным
образом на письмах Флоренского к отцу, инженеру-
путейцу, Александру Ивановичу Флоренскому и матери
Ольге Павловне.
Об идее создания «математико-физического кружка»
П. А. Флоренский, тогда студент III курса физико-мате-
матического факультета Московского университета, сооб-
щает в письме матери 28 октября 1902 г. (даты всюду
приведены по старому стилю): «Нас несколько человек
с математического факультета подумывают устроить себе
математико-физический кружок, а потом, когда он уже
будет устроен, присоединить его к обществу в виде сек-
ции — главным образом, собственно, настаиваю на этом
я, да и идея моя. Мне кажется, это совершенно необхо-
димо, так как решительно не с кем бывает сказать мате-
матического слова, а к профессору слишком часто под-
ходить неудобно, так как все они заняты, спешат. Тут
же, если профессор захочет председательствовать, то он
уже добровольно будет сидеть с нами и разговаривать,
да и притом, все-таки, в награду за время ему лишний
титул «председателя»».
Листок с объявлением о создании студенческого «фи-
зико-математического общества» был пущен по аудитории
в конце октября 1902 г.: «В ближайшем будущем пред-
полагается открытие студенческого общества при нашем
факультете: цель его — занятия по всем отделам теоре-
тической и прикладной математики (механики, астроно-
мии, физики и т. п.). Посещать собрания общества могут
студенты всех факультетов. Так как условием скорейшего
открытия собраний общества является наличность из-
вестного количества рефератов (около семи), то все, на-
деющиеся в скором времени представить сообщения, при-
глашаются подписываться и обозначать крайний срок,
когда они могут сделать сообщения. За справками обра-
щаться к студентам 3-го курса Флоренскому и Успен-
скому»2. На этом же листке записались:
«Деринг 3 к. (Декабрь?)
Семенников3 3 к.(Декабрь?)
Фридман4 3 к. (ноябрь половина)
149
Тавридзе 3 к. (Декабрь)
Люботович (Декабрь)
Трегулов (Декабрь)
[Костицын]5 (второй семестр)
Бюшгенс® («Ур-ния объемов и площадей, как геомет-
рических мест точек» 10 мин)»
Инициатор создания общества П. А. Флоренский под-
готовил «План речи», которую он хотел произнести при
открытии общества. Вот фрагмент из этой непроизнесен-
ной речи:
«Это так: этим отвлечением математика действительно
беспредельно расширяет возможность своего царства, но...
она не царит de facto, и мы должны признаться в этом.
Ее власть, ее сила остается на бумаге; она владеет доку-
ментами, дающими ей права на царство, но она забывает,
что без подданных, над которыми она должна царство-
вать. и без страны, которая была бы покорна ей, она
только будет пустой возможностью, схемой без схемати-
зируемого, символом без символизируемого, правом без
силы провести это право. Я знаю, что мне сейчас начнут
говорить о коническом луче преломления Гамильтона,
об Нептуне и т. п. Нет сомнения,что и это есть некоторый
уголок царства математики. Но это только некоторый
уголок.
Если математические законы — законы космоса, пони-
мая его в самом широком смысле, то идеи законов этих
должны быть руководящими принципами, путеводными
нитями нашего представления о космосе. Я не о науках,
подобных теоретической физике, говорю. Там математика
только средство. Но она должна и может быть основою
мировоззрения; тут дело идет не о затемнении конкрет-
ной наглядности физики символами, а о конкретизиро-
вании, наполнении содержанием символов математики.
Есть минерал гидрофан. Он представляет собой некра-
сивую непрозрачную массу. Но если его смочить водой,
то он делается прозрачным.
Не будем же математику уподоблять сухому гидро-
фану. Напитаем ее влагой конкретности. Основа, тончай-
шая структура, останется прежняя, точность и глубина
сохранится, но из чисто внешней и воспринимаемой
формально-рассудочно системы символов получится на-
сквозь пронизываемая разумом масса.
Тогда мы перестанем скользить безразличным взором
по поверхности математики, а увидим ее всю внутреннюю
структуру.
150
Форш ла не может и не должна оставаться формулой
только. Она есть формула чего-нибудь, п чем богаче те
ассоциации, которые у нас соединяются с формулой, чем
многостороннее ее реальное содержание, тем мы лучше
ее понимаем и тем стройнее объединяются ассоциирован-
ные конкретные явления в жизненный организм идей —
мировоззрение.
В настоящее время говорят о том, что наука, а в осо-
бенности математика, не имеет жизненного значения.
Понятное дело, не может она [его] иметь, если мы станем
заниматься коллекционированием скелетов. Пусть это по-
ле костей покроется тем, что дает им возможность за-
двигаться и действовать, пусть формулы не будут форму-
лами в возможности, а станут формулами в действитель-
ности, формулами чего-нибудь, пусть они свяжутся между
собою с конкретностью, пусть они перестанут быть пустым
единством без множества, которое они должны объеди-
нять, и тогда посмотрим, есть ли математика —«сухая
наука», «кабинетная мудрость».
Тогда математика займет принадлежащее ей место
«царицы наук», центра мировоззрения. Но если она не
хочет конкретизировать своих данных, облекать тени
плотью и кровью, тогда загоняется она чуть ли не вся-
ким элементом мировоззрения в темный угол кабинета.
Интересно сказать несколько слов о причинах тако-
го положения математики в обществе. Для меня не
составляет сомнения, что наши учителя, по крайней мере
некоторые, и среди них я не могу не указать Н. В. Бу-
гаева, что они в значительной мере обладают таким цель-
ным мировоззрением, в центре которого стоит математи-
ка...»7.
В письме отцу от 17 октября 19U0 г. Флоренский
дает интересную характеристику Бугаеву-лектору: «Дей-
ствительно хороший профессор у нас — зто Бугаев, до-
вольно известный своими трудами. Он перемежает свои
лекции остротами, афоризмами, сравнениями, залезает
и в психологию, и в философию, и в этику, но все это
делается так уместно, что только дает возможность яснее
понимать его объяснения. Читает он введение в анализ
и дифференциальное исчисление, и мне очень приятно,
что этот предмет, для меня из нашего теперешнего самый
интересный, я буду знать сносно».
Первое заседание студенческого математического об-
щества состоялось где-то между 28 октября и 1 ноября
1902 г. В письмах оно отражено так: «Первое заседание
151
Нашего Математического общества прошло благополучно,
хотя прошли только 1/2 предполагавшегося материала,
т. к. Жуковский8 торопился на какое-то заседание, где
он должен был читать речь. Свой реферат я прочел, и,
насколько мне известно, им остались довольны, даже
профессора, к моему удивлению, т. к. я в нем уже начал
издалека подходить к мировоззрению в моем духе»9
(из письма матери от 2 ноября 1902 г.).
На 3 ноября 1902 г. предполагалось второе заседание:
«Завтра у нас будет 2 собрания. Хотя читать там ничего
не буду, но кое-что расскажу, вероятно, по поводу ре-
ферата «о кинетической теории газов». Ты писала о спе-
циальности тем; но ведь иначе нам придется пустосло-
вить, т. к. мы не можем (да это и не желательно) захва-
тывать слишком широкие области даже сколько-нибудь
самостоятельно. Конечно, не всякий реферат все поймут,
т. к. у нас бывают со всех 4-х курсов, то и невозможно
угодить на всех, т. к. если читать всегда и только всем
доступное, то это будет большей частью слишком знакомо
и скучно» (из письма матери от 2 ноября 1902 г.).
Студенческое математическое общество находит под-
держку со стороны Московского математического общест-
ва10, особенно со стороны Н. Е. Жуковского: «За послед-
нюю неделю наше «математическое общество» совсем на-
ладилось, главным образом потому, что я никому не
давал покою. На днях проф. Жуковский заявил в настоя-
щем «математическом обществе» при нашем университете
о желании студентов возобновить собрания и, и мы будем
собираться по вторникам после этого заявления. Хотя
студенты в общем относятся к нему скептически, но тем
не менее многие обещали мне рефераты, и материал,
по крайней мере на первое время, уж обеспечен. Лично
у меня тем есть сколько угодно, отчасти еще из гимнази-
ческих работ, отчасти новые, и в ближайшем будущем
думаю представить несколько работ: 1) о расширении
области конкретных образов в аналитической гёометрии
(это та интерпретация мнимых величин, о которой я тебе
говорил ранее, но значительно развитая), 2) о земном
магнетизме, 3) заметка о музыкальной функции, 4) при-
борчик для воспроизведения туманных пятен и др. Мне
это общество нужно в том отношении, что заставит при-
няться более энергично за некоторые полуобдуманные
темы, как-то применение теории векторов к одному воп-
росу физиологической оптики, особый метод изучения
152
особых точек, трансцендентных кривых и др.» (из письма
отцу, написанного в ноябре 1902 г.)12.
П. А. Флоренский писал о Н. Е. Жуковском: «Были
мы вчера, как собирались, в Мытищах. Там я видел до-
вольно много интересного, а главное, интересно было
побыть с Жуковским. Он замечательно милый человек,
очень добрый и простой. Кроме механики, чистой и при-
кладной, он ни о чем не думает, и поэтому интересно
послушать его, так же как интересно бывает на лекциях:
чувствуется в каждом слове его, что это действительно
знаток дела и, главное, относящийся к нему с любовью.
Ему не наскучит выводить одно и то же, т. к. каждый
раз он заново обдумывает, видит новое, изменяет по тем
или другим соображениям. Но т. к. на лекциях он всегда
думает, то всегда почти путается, причем приходится сту-
дентам делать ему подсказки об ошибках, рассуждает
сам с собою, и поэтому любителей до его лекций весьма
немного, иногда бывает человека 4, а то и менее того»
(из письма П. А. Флоренского матери от 28 октября
1902 г.). И еще: «В очень многих отношениях Жуковский
напоминает тебя, только он беспредельно добродушен и
никогда не острит, хотя на его лекциях часто смеешься,
именно благодаря его истинным остротам, которые он
говорит, сам того не замечая. Мне в нем то нравится,
что он никогда не ограничивает нас, а наоборот, с чем
бы к нему ни прийти, он сейчас же начинает так отно-
ситься, как будто иначе быть не могло, но требует зато
основательности» (из письма отцу от 18 ноября 1902 г.).
В архиве семьи Флоренских сохранплся черновик
объявления одного из заседаний студенческого математи-
ческого общества, состоявшегося 26 ноября 1902 г.:
«Возобновление заседания студенческого общества
состоится при Московском математическом обществе.
1-е заседание имеет быть во вторник 26 ноября в 7г/-г ча-
сов вечера.
Предмет заседания:
1) Сообщение Н- Е. Жуковского «О движении под-
почвенных вод».
2) Сообщение В. Фридмана «Опыты [Белопольско-
го 13 по принципу Доплера».
3) Сообщение Флоренского «К вопросу о функциях
постоянных внутри данных контуров» 14.
4) Сообщение Н. А. Семенникова «Теория плани-
метров».
153
Студенты, желающие быть на заседании, приглаша-
ются в математическую аудиторию».
В письме П. А. Флоренского отцу от 18 ноября вы-
являются подробности предстоящего заседания: «Через
неделю у нас состоится собрание математического обще-
ства. Предполагаются такие работы: 1) Сообщение Жу-
ковского «О движении подпочвенных вод». Он говорил,
что набрал по этому вопросу такое количество материа-
ла, что уж справиться почти не может; говорил также,
что работает над сочинением по этому вопросу 15. 2) «Об
опытах Белопольского по принципу Доплера». Первое
экспериментальное доказательство существования тако-
го принципа для света; теоретического же, в сущности
говоря, пока вовсе нет, т. к. все доказательства из со-
вершенно произвольных предположений. 3) «Теория пла-
ниметров». 4) Мое сообщение «О функциях, постоян-
ных внутри данного контура». Сообщения 2) и 3) сде-
лают тоже студенты». В письме П. А. Флоренского к отцу
и матери от 24 ноября описан визит к А. К. Власову,
тогда приват-доценту физико-математического факуль-
тета Московского университета16, по поводу предстоя-
щего заседания: «Последние несколько дней мне при-
ходится вести очень уж быструю жизнь и волноваться
порядочно: к' открытию нашего математического обще-
ства приходится устраивать всякие мелочи, а кроме
того, я сидел, например, вчера целый вечер и строчил
реферат. По поводу него пошел я к одному из наших
приват-доцентов, Власову. Он предложил мне несколь-
ко книжек, а кроме того, с ним надо было поговорить
относительно самого общества, т. к. оно функциониро-
вало, как раскрылось теперь, еще когда он был студен-
том 17. Вот по его-то совету придется завтра ходить по
профессорам и просить к нам на заседание, т. к. иначе,
как говорил он, они могут несколько обидеться. Хоро-
шо то, что те профессора, которых я считаю нужным
приглашать сам, все очень почтенные во всех смыслах,
и я действительно буду очень доволен, если они при-
дут».
Небольшая апатия главного организатора общества
не мешает ему продолжать начатое дело: «С самого на-
чала она (практическая деятельность. — С. П.) сама по
себе мне внушала легкое отвращение, и заранее я чув-
ствовал апатию; но т. к. я считаю общество наше нуж-
ным, то, несмотря ни на что, буду поддерживать его
и не отстранюсь, пока только будут желающие послу-
154
шать его собрания. Но дело До этого еще очень далеко,
т к. на втором собрании присутствовало много студен-
тов и даже несмотря на то, что мы пересолили, в один
дух дав 4 реферата и 2 отдельных замечания, несмотря на
это до 12 часов ночи все же оставалось еще порядочно
человек. Понятное дело, что подобной глупости мы более
не сделаем и уж более 2 рефератов назначать не ста-
нем, если только они не очень малы» (из письма матери
от 9 декабря 1902 г.).
Рождественские каникулы прервали заседания об-
щества, но решимость продолжать их была велика.
В письме матери от 21 января 1903 г. сообщается о намере-
нии возобновить прерванные каникулами собрания и о
большом потоке рефератов. Хотят выступить и профессора:
«Собираемся в скором времени устроить заседание на-
шего математического общества. Дела его, видимо,
оживились, т. к. не хватает места для рефератов, да,
кроме того, некоторые профессора хотят делать неболь-
шие сообщения. Так, например, Лахтин18 собирался
сделать сообщение по геометрии, но его сообщение так
разрослось, что часть его будет прочитана на заседании
математического общества, а другая, демонстративная,
у нас 19; я-то услышу обе, т. к. последнее время посещаю
заседания математического общества при Университете.
Написал я небольшой реферат по геометрии положения,
но читать его буду на следующем (через одно) заседании;
Жуковский нашел его интересным. Придется только го-
товить для него диапозитивы, т. к. некоторые чертежи
играют роль картинок и должны быть красиво выпол-
ненными».
Л. К. Лахтин и выступил на одном из заседаний:
«У нас было на днях заседание общества, о котором ты
уже знаешь, и заседание это сошло интересно, тем более,
что проф. Лахтин сделал сообщение о своей работе, ка-
сающееся таких поверхностей, у которых имеется толь-
ко одна сторона. Вообще дела общества идут довольно
оживленно, и для рефератов даже не хватает времени,
т. к. мы собираемся не более двух раз в 1 месяц» (из пи-
сьма П. А. Флоренского к матери от 31 января 1903 г.).
В письме к матери от 19 сентября 1901 г. содержится
характеристика Лахтина-лектора: «Из профессоров у
нас читал пока только один новый — Лахтин, его лек-
ции мне нравятся и кажутся интересными. Он читает
приложения диф. исчисления к геометрии. Его привле-
кательная сторона — это то, что он постоянно делает
155
отступления, сообщая многое такое, что редко где встре-
тишь. Затем мне очень нравится, что он, доказав что-
нибудь со всею строгостью, затем показывает то же
самое, делает до осязаемости наглядным и удобно пред-
ставимым целым рядом аналогий, метафорических выра-
жений и почти поэтических сравнений. .
Дальнейшая деятельность общества в письмах осве-
щена слабо. В письме матери 4 марта 1903 г. сообщается,
что автор писем только что вернулся «с нашего матема-
тического собрания». В письме от 21 сентября 1903 г.
матери П. А. Флоренский пишет о том, что общество
«скоро начнет свои заседания». Есть известие, что
25 ноября 1903 г. состоялось еще одно собрание: «Вчера
у нас было математическое собрание, по сошло средне,
хотя выяснилось, что в общем рефераты читаются че-
ресчур хитрые, так что большинству они непонятны и
скучны. Как раз сегодня имел по поводу этого большой
разговор с проф. Млодзеевскнм 20. Я обратился к нему
с вопросом, а оп пригласил к себе и встретил очень лю-
безно, так что два часа мы говорили о разных математи-
ческих и нематематических вопросах» (из письма матери
от 26 ноября 1903 г.).
Млодзеевский охарактеризован в письме отцу от
17 октября 1900 г. следующим образом: «Аналитическую
геометрию читает Млодзеевский, талантливый лектор,
но как человек он мне почему-то внушает антипатию.
Все какие-то необычайно плавные телодвижения, дек-
ламаторский тон. Можно подумать, что он готовится
поступать на сцену. Вдруг ни с того ни с сего трагиче-
ский голос, потом — глубокая нежность п т. д. Но чи-
тает он хорошо. . .».
Других сведений о деятельности студенческого мате-
матического общества в письмах П. А. Флоренского не
найдено. Известно, однако, что оно продолжало функ-
ционировать, по крайней мере до весеннего семестра
1905 г. Некоторое время секретарем общества был
И. Н. Лузин 21.
Примечания
1 См.: Юшкевич А. II. История математики в России до 1917 го-
да. М.: Наука, 1968, с. 316.
2 Об Успенском, Деринге, Тавридзе, Люботовиче и Трегулове
сведений у публикаторов не имеется.
3 Семенников Н. А. — однокашник П. А. Флоренского по 2-й
Тпфлисской гимназии и по университету.
156
4 Фридман В. Г.— однокашник П. А. Флоренского по универ-
ситету. в дальнейшем преподаватель университета, автор книги
«Теория относительности и антирелигиозная пропаганда» (М.,
1932).
6 фамилия написана неразборчиво. Вероятно, имеется в виду
В. А. Костицын (1882—1963) — математик, ученик Д. Ф. Егорова.
Под влиянием В. И. Вернадского занимался математическими зада-
чами геофизики и геохимии. Сотрудник В. Вольтерра (1860—1940),
под влиянием которого стал заниматься проблемами экологии и ма-
тематическим описанием эволюции биологических макросистем
(см.: Костицын Б. А. Эволюция атмосферы, биосферы и климата.
М.: Наука, 1984).
6 Бюшгенс С. С. (1882—1963) — математик, впоследствии про-
фессор МГУ и других московских высших учебных заведений. Из-
вестен работами по дифференциальной геометрии (см.: УМН, 1953,
т. 8, вып. 4, с. 185—192). В период, о котором идет речь, он был сек-
ретарем студенческого математического общества.
7 О взглядах Бугаева и их влиянии на П. А. Флоренского см.:
Демидов С. С. «Из ранней истории Московской теории функций»,
а также примечания к статье П. А. Флоренского «Введение к дис-
сертации „Идея прерывности как элемент миросозерцания"» (наст,
изд.).
8 Имеется в виду выдающийся русский механик Николаи Его-
рович Жуковский (1847—1921).
9 Мировоззрение, о котором говорит П. А. Флоренский, было
построено па основе аритмологии. В это время он пишет работу
«Идея прерывности как элемент миросозерцания», предисловие
к которой публикуется в настоящем сборнике, где вслед за Н. В. Бу-
гаевым полагает, что на смену аналитическп-непрерывным миро-
воззрениям XIX в. следует аритмологпческп прерывное мировоз-
зрение XX в.
10 Речь идет об основанном в 1867 г. Московском математиче-
ском обществе, президентом которого в те годы (1891 —1903) был
Н. В. Бугаев.
11 Из извлечений из протоколов заседания Московского мате-
матического общества от 19 ноября 1902 г. (см.: Мат. сб., 1903,
т. 24, с. 693): «Н. Е. Жуковский заявил, что студенты математичес-
кого отделения просили его взять на себя руководство неочередны-
ми заседаниями Общества с тем, чтобы студенты, участвующие в этих
заседаниях, образовали особый студенческий кружок при Матема-
тическом обществе. Определено просить Н. Е. Жуковского взять
на себя руководство студенческими собраниями и заявить факуль-
тету о согласии Общества на учреждение при нем студенческого
кружка».
12 Работа «О расшпреппп области конкретных образов в анали-
тической геометрии» — это § 1—7 книги: JI. А. Флоренский. Мни-
мости в геометрии. Расширение области двухмерных образов гео-
метрии: (Опыт нового истолкования мнимостей). М., 1922. В духе
идей аритмологии П. А. Флоренский пытался построить «числовую
музыкальную функцию»: «Найти общий вид „числовой музыкаль-
ной функции", как я хотел ее назвать,— иными словами положить
начало математической эстетике. В идее-то простое: всякая музы-
ка, музыкальное произведение отличается характером числовой
прерывной функции...» (Изписьма П. А. Флоренского отцу от 23 ян-
варя 1902 г.)
157
13 Речь идет об опытах известного астрофизика академика
А. А. Белопольского (1854—1934).
14 Конспект этого сообщения сохранился в бумагах Флорен-
ского (см. опубликованную в настоящем сборнике работу Флорен-
ского, примем. 31 и фрагмент из наследия Н. Н. Лузина, примем. 1).
15 Задачей о движении подпочвенных вод Н. Е. Жуковский
интересовался уже давно. С докладом «Теоретическое исследование
о движении подпочвенных вод» он выступил 1 декабря 1888 г. па
заседании Политехнического общества при Московском техничес-
ком училище. Доклад опубликован в журнале Русского физико-тех-
нического общества (часть физ., 1889, т. 21, отд. 1, вып. 1, с. 1—20;
см.: Жуковский И. Е. Собрание сочинении. Т. 3,М.;Л.: Гостехтеор-
издат, 1949, с. 184—206). Другие его публикации по этому вопросу
неизвестны.
16 А. К. Власов (1868—1922) — позднее профессор МГУ. Из-
вестен работами по геометрии (см.: Мат. сб., 1925, т. 32, вып. 2,
с. 273—275).
17 Это общество продолжало существовать еще в 1895 г. Упоми-
нание о пем удалось найти во 2(32) книге журнала «Вопросы филосо-
фии и психологии» за 1896 г. В разделе хроники сообщается, что
на заседании Московского математического общества 9 декабря
профессор II. В. Бугаев рассказал об устройстве математического
студенческого кружка при Московском математическом обществе.
18 Л. К. Лахтин (1853—1927) — ученик Н. В. Бугаева, в 1892 -
1906 гг.— профессор в Юрьевском университете, а затем в МГУ;
работал в области алгебры, теории вероятности, геометрии (см.:
Юшкевич А. П. История математики в России. М.: Наука, 1968.
С. 540).
19 Речь идет о сообщении Лахтина «Заметка об односторонних
поверхностях», сделанном 21 января 1903 г. на заседании Москов-
ского математического общества (опубл, в.: Мат. сб., 1903, т. 24.
с. 178—193).
20 Б. К. Млодзеевский (1858—1923) — известный геометр,
с 1885 г. приват-доцент и с 1892 г. профессор МГУ, с 1891 секре-
тарь, с 1906 вице-президент и затем президент Московского мате-
матического общества. Первым в Московском университете начал
чтение курса по теории функций действительного переменного (см.:
Медведев Ф. А.— наст, изд.; Российский С. Д. Б. К. Млодзеевский.
М.: Изд-во МГУ, 1950).
21 См. биографический очерк: Голубев В. В., Бари Н. К. Био-
графия Н. II. Лузина.— В кн.: Лузин Н. Н. Интеграл и тригоно-
метрический ряд. М.; Л.: Гостехтеориздат, 1951, с. 11—31.
ВВЕДЕНИЕ К ДИССЕРТАЦИИ
«ИДЕЯ ПРЕРЫВНОСТИ КАК ЭЛЕМЕНТ
МИРОСОЗЕРЦАНИЯ» 1
IT. А. Флоренский
Публикация и примечания
С. С. Демидова и А. Н. Паршина
I
«Пифагор за изобретение одного геометрического пра-
вила Зевсу принес на жертву сто волов. Но ежели бы за
найденные в нынешние времена от остроумных матема-
тиков правила по суеверной его ревности поступать,
то едва ли в целом свете столько рогатого скота осталось.
Словом, в новейшие времена науки столько возросли,
что не токмо за тысячу, но и за сто лет жившие едва могли
того надеяться». Так писал еще в 1746 г. «Михайло» Ло-
моносов 2. Но что же делать теперь? Борясь с узостью,
приходится волей-неволей быть поверхностным. Однако
делать обзор, хотя бы и преисполненный промахов и
ошибок, совершенно необходимо, и я попытаюсь сде-
лать его.
Сделаем попытку фиксировать неопределенное и ко-
леблющееся представление об общем в умственных по-
строениях XIX в., поищем, как покороче нам можно было
бы объяснить отличительные черты духовных движений
этой эпохи, указать характернейший признак характер-
нейшего из мировоззрений — мировоззрения XIX сто-
летия. Если бы это потребовалось, то нельзя, думается,
сделать это удачнее, как сказав одно только слово — «не-
прерывность», или, выражаясь в терминах школьной
философии «поп transiri posse ab uno extreme ad alterurn
extremum fine medio» *т, как говорится в одной из ма-
сонских рукописей Румянцевского музея («Золотая
цепь Гомера»). Этот лаконический ответ можно, конечно,
развивать в длинные предложения, растягивать на мно-
готомные сочинения, по основная мысль есть и останется
той же, что и в одном слове; идея непрерывности есть ха-
рактернейшая пдея этого мировоззрения. Тут я предна-
меренно говорю идея, а не понятие, и в этом — вся беда.
*1 Нельзя перейти от одной крайности к другой, минуя промежу-
точное (лат.)
159
Проводя идею непрерывности более или менее сознате-
льно, с большею или меньшею отчетливостью, более
или менее чисто по всем отраслям знания, XIX
ст [олетие] создало общую концепцию, грандиозную систе-
му, если угодно, которая, несмотря на пестроту во многом
другом, удивительно однообразно окрашена в этот цвет.
Каждое столетие пользовалось многовидными материалами
своих предшественников; не избежало, конечно, этой
участи и XIX ст., но, если пестрота мировоззрения одно-
го столетия существенно не разнилась от пестроты ми-
ровоззрений другого, то этого решительно нельзя ска-
зать о XIX в. Тут эта цементирующая идея непрерывности
соединила все материалы в один исполинский монолит.—
Однако идея непрерывности вовсе не составляет при-
обретения, какой-либо собственности XIX в.; это — одна
из древнейших идей философии. Что же, собственно, сде-
лало философские терпи гы «непрерывность», «непрерыв-
ный» банальными словами, известными всем и каждому?
Необходимо указать на источник, откуда вытекла эта
идея в широкую публику и сделал&сь столь распро-
страненной. Нет никакого сомнения, что таким перво-
источником является открытие анализа бесконечных,
и, говоря определеннее, мы можем утверждать, что Лейб-
ниц как математик и философ ввел в общественное соз-
нание идею непрерывности; мы можем даже сказать, что
система Лейбница есть почти вся целиком коррелят его
работ по анализу, гениальная транспонировка самим
изобретателем математических данных на философский
язык3. Наибольшее влияние и впечатление, вероятно,
произвели чисто практические последствия открытых
Лейбницем методов. Дифференцирование применимо толь-
ко к непрерывным функциям; интегрирование, по тог-
дашним воззрениям, до обобщения понятия интеграла
Риманом, тоже. Но плодотворные методы потрясли об-
щество, и все были так захвачены ими, что незаметно
для себя устранялись от задач, не подлежащих решению
при помощи таких именно, хотя и общих, но все-таки
специальных методов, и, сами выбирая себе задачи, где
действительно имела место непрерывность, по край-
ней мере в известных пределах, своим подбором внуши-
ли себе, что только и есть такие задачи; конечно, не за-
мечать задач, где имеется очевидная прерывность, было
нельзя, но их игнорировали, рассматривая как курьез,
иногда, впрочем, весьма досадный и служащий помехой
для решения.
160
От чистого анализа привычка к непрерывности, при-
вычка все рассматривать в таком направлении, разли-
лась широко, хотя часто весьма мелко, в обществе и при-
том по двум различным руслам. Первым из них была
группа наук физико-механических, куда идея непрерыв-
ности главнейшим образом попала через геометрию,
вторым руслом послужили науки биологические; идея
непрерывности была занесена туда впервые, кажется,
Бюффоном, который, кроме зоологии и т. д., занимался
также математикой. «Идея о непрерывной связи между
живыми существами. — говорит Перье, — (Э. Перье. Ос-
новные идеи зоологии)4, из которой следует изменяе-
мость видов, эта идея больше всякой другой соответство-
вала общей философии Бюффона. Во всей природе он
видит непрерывность', он не признает даже пограничной
черты между животными и растениями. . .» «Мы сказа-
ли, — говорит Бюффон, — что развитие природы со-
вершается путем переходов, постепенных и часто неза-
метных; также незаметно переходит она от животного
к растениям; но от растения к минералу переход резок» б.
Опираясь на этот факт, Бюффон делает заключение,
что окажется посредник между «миром органических
существ и миром минералов». Другими словами, факти-
чески данная прерывность заставляет Бюффона посту-
лировать наполнение этого разрыва, до такой степени
глубоко он верит во всеобщность legis continuitatis *2;
вот как было живо сознание непрерывности у перевод-
чика ньютоновской «теории флюксий» ®. После этого рас-
сматриваемая математическая идея быстро пустила кор-
ни в биологии и других областях естествознания и, пре-
терпевая видоизменения, дала пышные цветы в виде
учений Лайеля и Дарвина, через которые проникла с
другой стороны в сознание общества и быстро вульга-
ризировалась до такой степени 7, что многие, видя меж-
ду двумя формами третью, промежуточную, не могут
понять логического различия этих форм и готовы серьезно,
как это делается на карикатурах, все производить от
всего или в области сравнительного языкознания,
как смеялся один филолог, каждую гласную заставлять
эволюционировать в каждую гласную и каждую соглас-
ную — в каждую согласную. Идеи геологии и биологии,
развивавшиеся в таком направлении, т. е. в цвет «не-
прерывности», произвели воздействие на историю, пси-
*‘2 Закона н"прорывностц (лат.).
6 Заказ 2674
161
хологпю п социологию и т. д_; так что идея непрерыв-
ности, совершив этот путь, овладела всеми дисциплинами
от богословия до механики, и, казалось, что протесто-
вать против ее захватов значило впасть в ересь. Но впол-
не естественно было ожидать, что виновница такого соб-
лазна — математика — захочет поправить односторон-
ность, которую она вызвала, хотя и не преднамеренно.
Если математика подчеркнула идею непрерывности и
конкретизация этой идеи вызвала однобокость миросо-
зерцания и вместе с тем ряд поучительных диссонансов
и даже глубоко фальшивых пот, то можно было ждать,
что критика такой идеи уничтожит односторонность, если
она незаконна, и санкционирует ее, если она необходима8.
II
Действительно, критика не заставила себя ждать и
и была тончайшим образом произведена в 80-х годах
XIX в. Георгом Кантором ®; этот математик возвел идею
непрерывности на степень понятия непрерывности, ска-
зав, что continuum*3 есть связная и совершенная
группа 10 точек 1Х. Правда, в этом определении что ни сло-
во, то термин, на определение которого надо потратить
немало времени. Но иного и ждать ничего было нельзя,
т. к. понятие непрерывного вовсе не есть что-нибудь
первоначальное и простое; оно по существу своему весь-
ма сложно; но, несмотря на это, Кантором дано опре-
деление безукоризненно строгое и точное 12. Этим
Г. Кантор дал возможность критически отнестись к ми-
ровоззрению XIX в., а не догматически принимать его
или отвергать, что волей-неволей приходилось делать
до появления его работ. Дело в том, что Кантор дал не-
прерывное в качестве понятия, а не в качестве какой-то
«непосредственной», на самом деле мнимо непо-
средственной, очевидности, и этим сразу был решен
вопрос о смысле и ценности такого понятия для общего
мировоззрения. Оказалось, что continuum, столь таин-
ственный и неуловимый до тех [пор], подводится под об-
щее понятие группы (объединенного множества); толь-
ко при весьма специальных определениях группа будет
непрерывной, образует continuum; вообще же говоря,
она лишена свойства непрерывности, она — прерывна.
♦8 Континуум (лат.).
162
А отсюда прямо следует, что если мы строим общее мм
ровоззрение, исходя из понятий, то мы не имеем ника-
ких оснований останавливаться на непрерывности как
на основном признаке бытия, всюду предвзято предпо-
лагать пресловутый lex continuitatis *4, а наоборот,
должны считать бытие прерывным, равно как и функци-
ональные соотношения явлений, пока не будет произве-
ден пересмотр эмпирического материала, опытных дан-
ных, которые бы склонили нас к признанию того или дру-
гого специального вида прерывности, среди бесчислен-
ного множества которых (т. е. модификаций прерыв-
ности) одним только является непрерывность. У нас в
урне — трансфинитное множество черных шаров и
один белый. Этот грубый пример, сравнение не совсем
точное, поясняет, что было бы безумием держать пари
за вынутие белого шара. У нас нет никаких оснований
ожидать, чтобы все явления оказались непрерывными,
потому что это — крайне невероятно, и наоборот, есть
чисто фактические данные, помимо отвлеченных, указы-
вающие на прерывность многих сторон действительно-
сти 13. Указать, в чем они заключаются — вот задача
настоящего сочинения. Помимо изучения групп, целая
плеяда математиков занялась изучением функций, и ока-
залось, что тут также, а это и быть, впрочем, не могло
иначе, господствует прерывность, и только при соедине-
нии очень хитрых и искусственных требований, нала-
гающих множество условий на функцию, она окажется
непрерывной. Теория групп — «молекулярная теория
математических законов», по счастливому выражению
Шёнфлиса 14, — достаточно уяснила внутреннюю струк-
туру функций 1Б, и будем ли мы говорить о том, что тео-
рия прерывных функций есть патология функций, а не-
прерывных — физиология, или наоборот, мы не можем
упускать из виду, что мощность непрерывных функций
но известной теореме Бореля 16 есть С, где С — мощ-
ность continuum’а, тогда как мощность всех функций —
Сс, причем Сс С, потому что Шёнфлис доказал 17, что
вообще для трансфинитных мощностей ® имеет место не-
равенство > SR. Если кому угодно видеть в непре-
рывных функциях какое-то «совершенство» и т. п., это —
его дело, хотя нельзя не заметить, что все совершен-
ство их в большей изученности и в большей легкости рас-
смотрения, как круг изучается легче, чем эллипс, пото-
*4 Закон непрерывности (лат.).
6* 1G3
му что на круг наложены стеснения. По считаться с фак-
тическим преобладанием мощности прерывных функций
и прерывных групп приходится всякому1Ь.
III
Итак, нам необходимо перейти от возможного к дей-
ствительному, необходимо перебрать свой архив фак-
тического сырого материала и посмотреть, не попало ли
туда фальшивых документов и не сделались ли неко-
торые за давностью уже негодными. Уже много лет зовет
нас к такому пересмотру Н. В. Бугаев, на лекциях своих
и в статьях указывающий значение прерывности как эле-
мента мировоззрения 19. Само собой понятно, что на ра-
боты Кантора, как и на работы Бугаева, почти не обра-
щали внимания. Но смерть прервала исполненный веры
призыв Бугаева как раз в то время, когда его идеи,
или идеи, подобные его идеям, начали пробиваться из-
под камней в разных закоулках науки. Пока они бледны,
скромны и не развернулись, так что их можно еще
при желании игнорировать. Но стоит только вспомнить
«теорию мутаций» Фриза 20 в биологии, «гетерогенезис»
Коржинского21 и факты, их подтверждающие, работы
.Таммана 22 по термодинамике и молекулярной физике,
быстро накопляющийся материал по психофизике, изу-
чение сублиминального сознания и творчества в психо-
логии (Du-Prel 23; Myers 24 и др.), вопросы о психической
жизни в целом 25 и т. д. и т. д., чтобы согласиться с этим.
Да и само общество, по-видимому, склонно к тем же
идеям, или, точнее, к тем же настроениям. Может быть,
господствующий индивидуализм, начинающееся общее
преклонение перед личностью (ср. «культ героев» у Кар-
лейля 26) и т. п. являются ничем иным, как зарею ново-
го, прерывного миросозерцания, хотя часто и в кари-
катурно-искаженной форме.
IV
Чтобы уяснить себе вопросы, связанные с этой сто-
роной мировоззрения, я предпринял эту работу, вполне
компилятивного характера по материалу и неоригиналь-
ную по идее; она — перепевы бугаевских тем. В ней я
хотел представить в систематизированном виде факты,
которые показывают на наличность прерывности в «дей-
ствительности», данной теперешнему сознанию, не все
факты, разумеется, а только некоторые, типичные. Их
164
я намерен заимствовать пз области разных наук. В свя-
зи с подробным изложением работ Кантора и с некоторым
историческим обзором они представят собой содержа-
ние 2-й книги этого сочинения. 1-я же книга имеет
значенпе приготовительное 27. В ней я хочу системати-
чески изложить факты первой из реальных наук — гео-
метрии — о прерывном и некоторые из методов для его
изучения. Такой план имеет троякий'смысл. Во-первых,
изложение подействует убеждающим образом, когда
подавляющая совокупность фактов покажет, что даже
в последней крепости непрерывного, даже в непрерыв-
ном по преимуществу — пространстве, на почве которо-
го и была создана Зеноном и Парменидом идея непрерыв-
ного, даже в геометрических образах находит себе место
прерывность. Факты эти, бесспорно, все известны, но
их часто замалчивают, говоря о непрерывности прост-
ранственных образований. Убедить — таково возмож-
ное значение этой книги; говорю «убедить», потому что
доказывать тут нечего, все доказано и показано. Во-
вторых, прежде чем приступать к очень отвлеченному
учению Кантора, необходимо подготовить конкретную
почву, наглядные представления о прерывности. Иначе
работы Кантора не могут иметь достаточной жизненности.
В-третьих, подробное изучение геометрических образов
позволит раз навсегда и сразу изучить многое из того,
что пришлось бы изучать много раз сряду. В самом деле,
мы тут рассматриваем графики явлений и, следовательно,
о всяком явлении сможем повторять mntatis mutandis *Б то,
что сказано о соответствующей ему графике. Кроме
того, тут будут изложены методы изучения таких график,
и это в дальнейшем окажется постоянно нужным.
V
Проследить, как закрадывается в непрерывный до-
толе образ прерывность одного из его свойств, будет ли то
число касательных, радиус кривизны или что другое, как
затем число таких «особенных» точек кривой возрастает,
как они образуют точку накопления, как группа особен-
ностей повышает свой вид, как становится группою
второго рода и как, наконец, кривая распадается, раз-
лезается по всей плоскости, — все это составляет не-
° С изменением того, что подлежит изменению (лат.) (т. е. с соот-
ветствующей поправкой.— С. Д. it А. И.).
165
посредственную задачу первой книги. Одним словом —
я хочу рассмотреть дезинтеграцию кривой, разрушение
полной ее непрерывности и тем сделать прерывность бо-
лее удобно воспринимаемой, более убедительной психо-
логически. Вся первая книга распадается на две части.
В первой рассматриваются с некоторою подробностью
особенности алгебраических кривых как типичных пред-
ставителей кривых с имеющимися у них особенностями;
подробное изложение тут тем более важно, что впослед-
ствии приходится вопрос о кратных точках и т. п. транс-
цендентных кривых только слегка наметить, да и по-
учительно, что непрерывные из непрерывных — алгеб-
раические кривые — все-таки в некотором смысле пре-
рывны и не могут не быть таковыми. Дав, таким образом,
обзор особенностей, общих для трансцендентных и алгеб-
раических кривых, я во второй части рассматриваю спе-
циальные особенности трансцендентных кривых. По-
нятно, что эта часть не может не состоять из перечисле-
ния отдельных случаев и примеров, почему-либо пред-
ставляющих непосредственный и преимущественный
интерес, в каком-нибудь отношении типичных.
Одним словом, основная мысль первой книги заклю-
чается в том, что даже в continuum’e по преимуществу —
пространстве — возможны прерывные образования. При
этом рассматривается только двухмерное пространство,
плоскость, потому что оно дает достаточно разнообразия
в образованиях и они сравнительно легко обозре-
ваемы 28.
VI
Тут, однако, является интересное соображение, пока-
зывающее, что, помимо возможности тех конкретных
прерывных образований, о которых идет речь, помимо
них, пространство может иметь всюду плотную группу
нарушений непрерывности. «Если вообще, — говорит
Дедекинд (Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональ-
ные числа, § 3, с. 15) 29, — пространство имеет реальное
бытие, то ему нет надобности быть непрерывных!. Бес-
численные его свойства оставались бы теми же, если
бы оно было разрывным. И если бы мы знали наверно,
что пространство не обладает непрерывностью, то при же-
лании нам все-таки ничто не могло бы помешать сделать
его непрерывным через мысленное заполнение пробелов его.
Это заполнение должно было бы состоять в создании но-
1С6
вых точек и осуществлялось бы сообразно упомянутому
признаку». Утверждение, что пространство непрерывно,
есть утверждение о полном соответствии арифметиче-
ского contiiiuum’a трех измерений и геометрического
его изображения, пространства — формы созерцания.
Другими словами, этим мы утверждаем, что каждой
тройке (г, у, z) любых действительных чисел г, у, z, из-
меняющихся независимо друг от друга, соответствует
точка трехмерного пространства. Однако это утвержде-
ние есть простое предположение. Это явствует из следу-
ющего. Реальное пространство мы считаем непрерыв-
ным по причине того, что в нем возможны непрерывные
формы, например непрерывные линии; а главным осно-
ванием обыкновенно представляется возможность в про-
странстве непрерывных движений точки, т. е. таких,
что траектория точки является непрерывной кривой.
Но, признавая наличность того и другого, мы вовсе не
обязаны заключить от него к непрерывности простран-
ства, т. к. существует одна замечательная — «удивитель-
ная», по выражению Kerry 30, — теорема Кантора {Can-
tor G. Sur les ensembles infinis et lineaires des points.—Acta
Mathematica, 1883, 2:4, p. 367) 31, показывающая, что
непрерывность пространства не является вовсе необхо-
димым следствием непрерывности некоторых образова-
ний в нем 32. Теорема заключается в следующем: пусть
имеется некоторый и-размерный continuum Gn и сче-
товая33 группа Л/, пантахичная 34 на всем протяжении
GH. Тогда, отнимая от Gn группу М, мы получаем неко-
торый semi-continuum *®, полунепрерывную группу А,
имеющую на всем своем протяжении пантахическую группу
изъянов, перерывов. Однако А обладает тем свойством,
что если п 2, то две любые точки N и N' группы А
могут всегда быть соединены непрерывной и даже анали-
тической кривой, и притом бесчисленным множест-
вом способов. На этой кривой лежат только те точки,
которые не принадлежат к М, так что наша кривая обой-
дет все изъяны группы А. Доказательство этой теоре-
мы Кантор дает довольно сложное и не совсем полное.
Но оказывается, что его легко упростить и дать ему всю
широту. Кроме того, можно дать теоремы, аналогичные кан-
торовской, но более широкие. Именно, можно доказать,
что если в n-размерном continuum’e Gn выделить счето-
вую всюду плотную группу fc-размерпых континуумов С?6>
*® Полуконтинуум (лат.).
167
где О к п — 2, то в оставшемся полуконтинууме
возможны непрерывные движения; далее можно дока'
зать, что, выделяя из С„счетовую группу точек Л/, всюду
плотную, мы получим полунепрерывную группу, где
возможны А-размерные континуумы С^- тут 0 к
п — 1 ит. п. «Гипотеза непрерывности пространства,—'
говорит Кантор, — есть, следовательно, не более как
предположение, само по себе произвольное, о полном
однозначном и взаимном соответствии между чисто ариф-
метическим континуумом трех измерений (х‘, у\ z) и про-
странством, которое служит основанием мира явлений.
Мы легко можем сделать мыслью абстракцию от изоли-
рованных точек в пространстве, даже когда они густы в
каждом протяжении, и примкнуть к понятию прерывного
пространства А трех измерений при условиях, описанных
выше (в теореме). Что же касается до представляющегося
тогда вопроса, именно решить, можно ли также вообра-
зить непрерывное движение в так непрерывных про-
странствах, то нужно, по предыдущему, ответить на него
утвердительно и абсолютным образом... Итак, мы при-
ходим к замечательному выводу, что нельзя ничего за-
ключать непосредственно из одного факта непрерывного
движения к общей непрерывности пространства трех
измерений (или двух) к такой непрерывности, какой мы
ее представляем себе, чтобы объяснить явление движения.
Значит, можно предпринять опыт изменения механики,
приложимый к пространствам той же породы, что и
А...» 35
1903
Примечания
1 Публикуемый текст — предисловие к работе «Идея прерыв-
ности как элемент миросозерцания», начатой П. А. Флоренским
в 1900 г., когда он был студентом первого курса математического
отделения физико-математического факультета Московского уни-
верситета. Предисловие датировано 1903 г. В это время Флорен-
ский готовил первую часть работы к представлению на степень кан-
дидата: «Книга первая. Об особенностях плоских кривых как местах
нарушения се непрерывности. Часть первая.—-Об особенностях
кривых алгебраических». Тема исследования была выбрана Флорен-
ским самостоятельно. Основанием для выбора послужили его глу-
бокий интерес к проблеме прерывного в естествознании, пробудив-
шийся еще в гимназии, с одной стороны, и влияние пдей одного из
его учителей по университету проф. Н. В. Бу’гаева — с другой. Не-
которые вопросы, связанные с работой, в частности литературу
вопроса, Флоренский обсуждал с проф. Л. К. Лахтппым, рукою
которого на полях рукописи первой части сделан ряд карандашных
168
пометок, а на титульном листе фиолетовыми чернилами написано:.
<,Весьма удовлетворительно. 31 марта 1904 года. Л. Лахтин».
рукопись первого тома насчитывает 409 страниц, заполненных убо-
ристым почерком Флоренского (чернила черные). Она переплетена
п содержит великолепно сделанные чертежи.
В письме матерп от 16 апреля 1904 г. (ст.ст.) Флоренский пи-
сал: «Лахтпн первую часть моего сочинения прочел и „содержание
оного одобрил". Он все поговаривает о том, что то п то надо будет
видоизменить, когда я буду печатать сочинение, но, попятное дело,
такой глупости я вовек не сделаю. И без того книжный рынок за-
вален книгами, которые не читает никто, кроме автора, наборщика
л корректоров». Вторая часть так и осталась незавершенной. Судя
по всему, Флоренский никогда не оставлял намерения закончить
этот труд п подготовить его к печати. Приведенная выше, данная
самйм Флоренским негативная оценка первой части объясняется
тем, что взятая сама по себе, она даже не дает представления о за-
мысле работы. Цели, поставленные в ней автором, не только не рас-
крываются, но даже пе памечаются. Лишь написанное в конце
1903 г. и публикуемое нами предисловие дает представление о за-
мысле работы в целом.
2 См.: Ломоносов М. В. Поли. собр. соч. М.; Л.: Изд-во АН
СССР, 1950, т. 1, с. 424.
3 О том, что взгляды позднего Лейбница на идею непрерывно-
сти сформировались под сильным влиянием его математических
идей, лучше всего сказал сам Лейбниц, который так писал об этом
в 80-е годы XVII в.: «Так как я еще не был искушен в геометрии,
я убеждал себя, что континуум состоит из точек, а более медленное
движение прерывается более продолжительными состояниями по-
коя... Став геометром, я отбросил это мнение». (Цпт. по: Зубов В. П.
Ломоносов и Славяно-греко-латинская академия.— В кн.: Тр.
ИИЕиТ АН СССР. М.: 1954, т. 1, с. 52).
Лейбниц пытался также применить идеи непрерывности и бес-
конечно малых элементов в психологии. Он создал обширное и
стройное учение о бессознательном, в котором бессознательное
состоит из введенных им малых пли смутных впечатлений пли пред-
ставлений (психологические аналоги бесконечно малых пз анали-
за). «Лтп малые представления и составляют как бы основной мате-
риал и первичные элементы наших страданий и удовольствий;
они обусловливают те мелкпе раздражения, пружины и побудитель-
ные причины, которые образуют сильные, чувствуемые намп влече-
ния, и лежат в основе того беспокойства, которое никогда пас не
покидает в жизни» (см.: Фейербах Л. История философии. М.:
Мысль, 1974, т. 2, с. 297). Известные исследования Лейбница о все-
общей характеристике (см.: Лейбниц Г. В. Сочинения. М.: Мысль,
1984. Т. 3) могут быть интерпретированы как попытка представить
содержимое бессознательного в виде некоторого математического
континуума введением в него подходящих числовых координат (см.
также прпмеч. 18). Итог своих работ в этом направлении Лейбниц
подвел в письме Н. Ремону от 14 марта 1714 г. (Лейбниц Г. В. Со-
чинения. М.: Мысль, 1982, т. 1, с. 533). Дальнейшее развитие этих
идеи было сдслапо уже в XIX в. психологами И. Ф. Гербартом и
Г. Т. Фехпером, а также математиком Б. Риманом. По мнению
Гербарта, именно наличие бессознательного делает возможным при-
•енение математики к психологии (см. содержательный анализ
Г- Гефдинга в его книге «Очерки психологии, основанной на опыте».
СПб., 1896, гл. 3 «Сознательное и бессознательное»).
169
чаев вновь оказалось в центре теорпп дифференциальных уравне-
ний, что привело к изменению всей «идеологии» теории.
9 О работах Г. Кантора по теорпп множеств см.: Медведев Ф. А.
Развитие теории множеств в XIX веке. М.: Наука, 1965. Сами ра-
боты Г. Кантора см.: Кантор Г. Труды по теории множеств / Изд.
подгот. А. Н. Колмогоров, Ф. А. Медведев, А. П. Юшкевпч. Отв.
ред. А. Н. Колмогоров. L П. Юшкевпч. М.: Наука, 1985.
10 Т. е. связное, совершенное множество. Термин «группа»
(в смысле — множество) мы находим и в курсе Б. К. Млодзеевского
по теории функций действительного переменного 1902 г. (см. статью
Ф. А. Медведева, помещенную в настоящем сборнике), он исполь-
зуется Флоренским и в его статье «О ст волах бесконечного» (Но-
вый путь, 1904, № 9, с. 207—208). Флоренский употребляет ниже
и термин «объединенное множество».
11 Первое строгое определение континуума как совершенного
и связного множества было дано Г. Кантором в работе «Основы об-
щего учения о многообразиях» (Grundlagen einer Mannigfaltigkeits-
lehre. Leipzig. 1883; рус. пер.: П. С. Юшкевича, см.: Новые пдеп
в математике, СПб., 1914, № 6). Об этом см. на с. 124 книги Ф. А. Мед-
ведева, упомянутой в примеч. 9.
12 Подвергшиеся, однако, глубокой критике представителями
интуиционизма и конструктивизма (см.: Weyl Н. Philosophy of
mathematics and natural science. Princeton, 1949; Вейль Г. Избр..
труди / Изд. подгот. В. И. Арнольд, А. Н. Паршин. Отв. ред.
В. И. Арнольд. М.: Наука, 1984, с. 266—269, 274, 336).
13 В материалах ко второму тому работы П. А. Флоренского
собрано большое количество такого рода данных из различных об-
ластей естествознания — физики, химии, бпологни, а также из пси-
хологии. Из числа физических примеров, приводимых Флоренским,
упомянем данные из теорпп газов Больцмана (его /7-кривые), из
теорпп броуновского движения, из теории атома Бора, из теории
квантов Планка.
14 Schoenflies A. Die Entwicklung der Lehre von Punktmannig-
faltigkeiten. Leipzig, 1900. Bd. 1. S. 11.3.
16 Речь идет здесь уже об изучении функций действительного
переменного, основанном на теории множеств, т. е. о новой теории
функций действительного переменного, развиваемой в 90 е годы
французскими математиками Р. Бэром, Э. Борелем, А. Лебегом и их
последователями.
16 Это утверждение было высказано еще Г. Кантором в 1883 г.
в работе «Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre»
(рус. пер. см.: Кантор Г. Труды по теории множеств. М.: Наука,
1985, с. 104).
17 На самом деле эта теорема была доказана Г. Кантором в 1891 г.
в работе «Ober eine Elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre»
(рус. пер.: Кантор Г. Труды по теории множеств. М.: Наука, 1985,
с. 170—172).
18 Дальнейшее! развитие математики и физики показало всю
сложность подобных прогнозов. Значительное число современных
математических дисциплин (в частности, комплексный анализ и
алгебраическая геометрия) ограничивают круг своего изучения не
только непрерывными, но даже аналитическими или алгебраичес-
кими функциями, давая примеры поразительного богатства возни-
кающих при таких ограничениях структур. Можно привести много
примеров в пользу и противоположной точки зрения (см. примеч. 27).
Неоднократно делавшиеся попытки отказаться от использования
172
континуума в физике не привели вплоть до настоящего времени
к сколько-нибудь убедительным результатам. Так, в 1912 г. А. Пу-
анкаре писал: «Физические явления, по-видимому, перестают под-
чиняться законам, которые можно выразить с помощью дифферен-
циальных уравнении, п это, вероятно, самое большое и самое глу-
бокое потрясение, которое испытала физика со времени Ньютона»
(Пуанкаре А. Избранные труды / Под ред. Н. Н. Боголюбова,
В. И. Арнольда. И. Б. Погребысского. М.: Наука, 1974, т. 3, с. 521).
Спустя четырнадцать лет появилось, однако, уравнение Шрёдин-
гера, позволившее описывать квантово-механические процессы
с помощью привычного физикам аппарата дифференциальных урав-
нений. Впрочем, Пуанкаре прекрасно отдавал себе отчет в одно-
сторонности тех пли пных точек зрения в этом вопросе. В своей
книге «Последние мысли» он указывал: «Наука всегда обречена пе-
риодически переходить от атомизма к непрерывности, от механи-
цизма к динамизму и обратно, и ... эти колебания никогда не пре-
кратятся». (Пуанкаре А. О пауке. М.: Наука, 1984, с. 491). Пре-
красной I ллюстрацпей этих слов Пуанкаре и мыслей Флоренского
о соотношенпи непрерывного и дискретного в естествознании слу-
жат известные дискуссии между Н. Бором, В. Гейзенбергом (соз-
давшим дискретный, матричный вариант квантовой механики),
с одной стороны, и Э. Шрёдингером — с другой, по поводу так на-
зываемых «квантовых скачков» (см. диалоги Гейзенберга: Heisen-
berg W. Physics and beyond. New York, 1972, ch. 6). В конце жизни
Шрёдингер снова вернулся к этим проблемам (см.: Шрёдингер Э.
Избранные труды по квантовой механике. М.: Наука, 1976, с. 261—
284). На этот раз его оппонентом был Борн (см.: Борн М. Физика
в жизни моего поколения. М.: Изд-во иностр, лит., 1963, с. 252—266).
В качестве другого примера можно указать на неоднократные по-
пытки построения дискретных (решетчатых) аналогов пространства-
времени с целью избавиться от расходимостей в квантовой теории
поля (см. их историю в книге: Вяльцев А. Н. Дискретное простран-
ство-время. М.: Наука, 1965).
В связи с этим следует указать на одну возможность «примире-
ния» противоположных точек зрения — на соотношение непрерыв-
ного и дискретного в окружающем нас мире, появившуюся в связи
с недавними успехами в изучении р адическпх аналогов многих
разделов классической («непрерывной и вещественной или комплек-
сной») математики (мы имеем в виду р-аднческпй анализ, теорию
р-адпческих групп Лп, основы Брюа—Титса, униформизацию по
Мамфорду и др.). В подготовительных материалах ко второму то-
му П. А. Флоренский уделяет много места так называемым рестрик-
торам (характеристическим функциям' интервалов вещественной
прямой) и близким к ним разрывны г функциям (см. публикуемый
ниже отрывок [О рестрикторах] Н. Н. Лузина и примечания к не-
му). Этот интерес возник под влиянием работ Н. В. Бугаева, где по-
добные функции пмели теоретико-числовое происхождение. В ка-
честве характерного пр мера можно указать на функции Радемахе-
ра, являющиеся коэффициентами двоичных разложений вещест-
венных чисел (см., например: Кац М. Статистическая независимость
в теории вероятностей, анализе и теории чисел. М.: Мир, 1963.
гл. 1). функпии Радемахера разрывны как функции вещественной
переменной, но будучи ограниченными на множество рациональных
чисел, становятся непрерывными п даже аналитическими в 2-ади-
ческоп топологии. Возникающие в этой ситуации 2- и вообще р-ади-
Ческие континуумы и являются одним из основных объектов упомя-
173
нутых выше теорий. Возможная пх роль в естествознании или в пси-
хологии, кажется, еще серьезно не анализировалась. Исключением
являются замечания Г. Вейля в его работе «Ober den Symbolismus
der Mathematik und mathematischen Physik» (Studium Generale,
1953, vol. 6, p. 219—228): «...то, что имеет значение в магии чисел,—
это их теоретико-числовые свойства; то, что имеет значение в естест-
вознании,— их свойства в качестве величин», и далее: «...одно из
наиболее фундаментальных обстоятельств,’’которому Лейбниц пы-
тался найти выражение в своем принципе непрерывности, состоит
в том, что числа входят в объяснение природы благодаря тому, что
они имеют характер величин, а не благодаря своим теоретико-чис-
ловым свойствам. Современный алгебраист сказал бы, что ситуа-
ция определяется не конечными, а бесконечными точками рацио-
нальных числовых полей. Было бы, может быть, очень забавно,
если бы дела обстояли иначе, но они именно таковы» (перевод
А. В. Ахутпна). Упоминаемые здесь теоретико-числовые свойства —
это свойства делимости чисел, связанные с р адическими пополне-
ниями (конечными точками) поля рациональных чисел. Интересно,
что упомянутой в примеч. 3 всеобщей характеристике Лейбница
может быть придан точный математический смысл именно с помощью
перехода к р-адичсскому пополнению (речь об этом шла в докладе
А. Н. Паршина, прочитанном в сентябре 1984 г. на 2-й Всесоюзной
школе по псторпи математики в Одессе).
19 См. примеч. 8.
20 Гуго де Фриз (1848—1935) — голландский биолог, создатель
теории мутаций.
21 Коржинский С. И. (1861—1900) — ботанико-географ, систе-
матик и биолог. В работе 1899 г. «Гетерогенезис и эволюция. К тео-
рии происхождения видов» (СПб) изложил идеи, сходные с теорией
мутаций де Фриза.
22 Тамман Г. (1861—1938) — немецкий физико-химик. Основ-
ные работы относятся к неорганической и физической химии. Разра-
ботал (1897—1902) теорию кристаллизации.
23 Дю-Прель Карл — немецкий психолог конца XIX в. (о его
работах см.: Ибервег Ф., Гейнце М. История новой философии. СПб.,
1890, с. 433).
24 Майерс Фредерик Уильям Генри (1843—1901) — английский
психолог, поэт и эссеист.
28 См., в частности, книгу Г. Гефдинга, цитированную в при-
меч. 3.
26 Карлейль Томас (1795—1881) — английский историк и пи-
сатель, видевший в героях главных творцов истории (см. его «Герои
и героическое в истории», СПб., 1898).
27 Первая книга носит название «Об особенностях плоских кри-
вых как местах нарушения их непрерывности». Подзаголовок:
«Часть первая: об особенностях кривых алгебраических». Эта книга,
по мысли автора, «имеет значение приготовительное». Изложенные
факты должны показать, что «даже... в геометрических образах на-
ходит себе место прерывность». «Проследить, как закрадывается
в непрерывный дотоле образ прерывность одного из его свойств,
будет ли то число касательных, радиус кривизны или что другое,
как затем число таких „особенных" точек кривой возрастает, как
они образуют точку накопления, как группа особенностей повышает
свой вид, как становится группой второго рода и как, наконец, кри-
вая распадается, разлезается по всей плоскости'— все это.— пишет
пиже автор,— составляет непосредственную задачу первой книги».
174
Первая глава «Общие замечания, предварительные» начинается
с рассказа о подходах математиков Х\ 111—XIX вв. к понятию
особой точки кривой: «...в большинстве трактатов,— пишет Флорен-
ский,— нельзя найти удовлетворительного определения... особой,
точки». Старые авторы, как правило, «не дают себе полного отчета,
за что собственно, хотят они называть точку „особой11, „замечатель-
ной11 и т. п. Что до авторов новейших, то они попросту избегают да-
вать определение и, приведя примеры, обыкновенно заявляют: „та-
кие-то и такие-то точки мы будем называть особыми11, хотя остается
совершенно неясным, на каком основании все эти различные обра-
зования сваливаются в одну кучу под общий ярлык». «Под особой
точкой мы будем разуметь всякую такую точку, где либо сама кри-
вая, либо графика какого-либо из вспомогательных параметров, ха-
рактеризующих ее свойства,] имеют нарушение непрерывности. Та-
ковы, например, будут: изменение скачком числа касательных, из-
менение скачком радиуса кривизны и т. д. и т. д.» (см. нримеч. 28).
Эти слова также не представляются вполне ясными, и автор тут же
добавляет: «Впоследствии это определение мы сделаем более точным
и несколько расширим».
Далее автор переходит к обсуждению некоторых свойств алгеб-
раических кривых и их особых точек. Вторая глава посвящена спо-
собам исследования кратных точек: методам поляр, «алгебраиче-
ского треугольника», де Га де Мальва и Ньютона—Крамера. Особое
внимание уделяется анализу сочинения Ж. П. де Га де Мальва «При-
менение анализа Декарта для нахождения без помощи дифферен-
циального исчисления главных свойств или особенностей геометри-
ческих линий всех порядков» (1740), в котором вводится сам термин
«особая точка» (об этом мемуаре см.: История математики с древней-
ших времен до начала XIX столетия/Под ред. А. П. Юшкевича.
М.: Наука, 1972, т. 3. с. 159—160). Третья глава — кратные точки
в бесконечности. В ней рассматривается применение методов Нью-
тона—Крамера и де Га де Мальва к исследованию таких точек, а
также излагается метод Пэнвэна. Глава четвертая — «Характер-
ное для алгебраических кривых». Речь в ней идет о числе особеннос-
тей у алгебраических кривых, о влиянии рода кривой на ее свойст-
ва и о числе двойных касательных. Пятая глава — «Влияние осо-
бенностей на другие свойства кривой». В ней рассматриваются во-
просы пересечения алгебраических кривых, теорема М. Нетера, по-
ляры, Шестая, заключительная глава первой книги — «Алгебраиче-
ская кривая, как цельный образ» — посвящена принципу двойст-
венности и соотношениям между числами особенностей, задаваемы-
ми формулами Плюккера.
Второй том, как уже говорилось выше, так и не был завершен.
Судя по сохранившимся материалам, седьмая глава должна была
быть посвящена особенностям трансцендентных кривых и их класси-
фикации, восьмая — общим методам изучения кратных точек транс-
цендентпых кривых, девятая — интерсцендентным кривым (в мате-
риалах к девятой главе мы находим выписку из книги Г. Крамера:
Cramer Н. Introduction a 1’analyse des lignes courbes algebriques.
Geneve. 1750 — ch. 1, § 9, p. 8), речь в которой идет о кривых,
«которые можно отнести к роду, промежуточному между экспонен-
циальными кривыми и кривыми „алгебраическими11, который госпо-
дин Лейбниц, называет родом кривых интерсцендентных (interscen-
dentes). Это кривые, в уравнения которых входит несколько членов
с иррациональными показателями, как в уравнении у1^2 + у = &>•
175
В десятой главе речь должна была идти о точках Плато. Впрочем I
в материалах сохранились две стопки бумаг, помеченных как глава
X. Вторая из таких стопок озаглавлена: <<Об аналитических п геомет-
рических разрывах различных порядков. Примеры на построение кри-
вых с разрывами». Глава XI тесно связана с бугаевской тематикой.
Она посвящена рестрикторам (в современной терминологии — характе-
ристическим функциям интервалов действительной прямой) и по-
строению с их помощью некоторых функции (см. публикуемый ниже
фрагмент (О рестрпкторах] Н. Н. Лузина). Глава XII трактует об
образовании точками разрыва множеств различного вида и порядка
и о накоплении особенностей по Г. Кантору — так в изложение вхо-
дят идеи канторовской теории множеств. В главе XIII речь должна
была идти о свойствах непрерывных кривых, не имеющих производ-
ных ни в одной точке; в частности, автор предполагал особо остано-
виться на Л-кривых Больцмана. XIV глава — исследование функ-
ции Вейерштрасса. В XV главе автор обращался к исследованию
символа Бугаева (а, Ь) и его приложениям, в XVI главе — к по-
строению функций, постоянных внутри данного контура (см. при-
мечания к помещенному ниже отрывку [О рестрпкторах] Н. Н. Лу-
зина). XVII глава должна была содержать историческую справку
и заключение. Отдельные из перечислепных глав целиком пли час-
тично наш сапы. К другим лишь собраны материалы — многочис-
ленные библиографические справки, конспекты статей по различным
вопросам математики и математического естествознания, в частности
по теории множеств, теории функций действительного переменного.
Среди материалов имеется конспект доклада Флоренского «К во-
просу о функциях, постоянных внутри данного контура», прочитан-
ного на студенческом внеочередном заседании Московского матема-
тического общества 26 ноября (ст. ст.) 1902 г.
Большая часть бумаг относится ко времени до конца 1903 г.
Однако целый ряд материалов был добавлен позднее. В частности,
добавлялись многочисленные библиографические справки (некото-
рая их часть относится к литературе по квантовой механике), конс-
пекты его докладов о принципе прерывности как основе научного
миропонимания, читанных на заседаниях Всероссийской ассоциа-
ции инженеров 10 мая 1921 г. и 27 июня 1922 г.
28 В этом пассаже, а также в соответствующих главах (см. при-
меч. 31) диссертации высказаны идеи, созвучные по своей направ-
ленности пдеям активно разрабатываемой в ваше время теории ка-
тастроф (см.: Арнольд В. И. Теория катастроф. М.: Изд-во МГУ,
1983; Thom R. Stabilite structurelie et morphogenese. N. Y., 1972).
29 Дедекинд P. Непрерывность и иррациональность чпсла/ГГер.
С. О. Шатуновского. Одесса, 1894.
30 Имеется в виду обстоятельное изложение идей теории мно-
жеств Кантора, данное Б. Керри, (tlber G. Cantor’s Mannigfaltig-
keitsuntersuchungen.— Vierteljahrschrift fur wissenschaftliche Phi-
losophic. 1885. Bd. 9, 191—232).
31 Рус. лер. см.: Hau mop Г. Труды по теории множеств. M.:
Наука, 1985, с. 54.
3- Подобные плотные множества не являются чисто искусст-
венными образованиями. Похожие объекты возникают независимо
во многих разделах математики и даже физики (предельные множе-
ства клейновых групп дробно-линейных преобразований, множества
Жюлиа, связанные с итерациями рациональных функций, дробные
размерности так называемой фрактальной геометрии, пенистый
пространственно-временной континуум Уилера и многое другое;
176
см.: Mandelbrot В. The fractal geometry ol nature. San Francisco»
1982; Morphologic Komplexen Grenzen. Bonn. 1984). В качестве бо-
лее классического и близкого к мыслям Флоренского примера ука-
жем на роль непрерывных, но нигде не дифференцируемых траекто-
рий стохастических процессов (и, в частности, в теорпп меры Вине-
ра).
33 В такой форме термин «счетное» употребляется в лекциях
Б. К. Млодзеевского (см. статью Ф. А. Медведева, помещенную в
наст, изд.).
34 Т. е. «всюду плотное». Термин «пантахичное», пли «пантахп-
ческое», принадлежавший П. Дюбуа-Реймону, употреблял в свопх
лекциях Б. К. Млодзеевский (см. статью Ф. А. Медведева, поме-
щенную в наст. изд.).
35 Этот фрагмент см. также: Кантор Г. Труды по теории мно-
жеств. М.: Наука, 1985, с. 56.
[О РЕСТРИКТОРАХ] 1
Н. Н. Лузин
Публикация и примечания С. С. Демидова
— dV. 2
о
о
X—
У =
4-i/2 a —Z = 0;
Т
_М; sin-к-
<р
Графика ея 1см. рис. 1].
Т
sin
2 > ____
1 l‘ 1
— \ е
йГ —1 i.
(1)
У =
Ур[авнен]ие (1) изображает клочок прямой, длины 1 от О
До -ф 1 по оси х в положительном] направлении [см.
рис. 2]. Графика Е (х) = у такова [см. рис. 3]. Ур[ав-
нен]ие А-’аго клочка справа оси у будет
р —/с =
1
2_) sin —
2' -------— 1 i.
177
Рис. 1
Рис. 2
Значит, ур!авнен]ие правой лестницы есть
1 1
_И; sin *F -s-
----------df — 1 i 1=0;
П IУ — к —
fe=o 1
Ур[авнен]ие А’аго клочка слева оси у будет
1
x+k+-l)i sin У —
V
<р
d F — 1 i.
у — к =
Ур[авнен]ие левой всей ветки кривой есть
1
е
df—1 i[=0.
Ур[авнен]ие всей кривой
X \у — к —
-Mi sinY 2
\ e k --ф—dF— 1 ijX
1
1 1
; sin Y -9-
—yAd-F-l i
Значит, по-видимому,
П \Е(х)-к-
»=1 *-
1
x^.-LjiSinY-g-
dV— 1 i
Е(х) — к —
У
—оо
178
Рис. 4
Рис. 3
Последнее уравнение есть тожество при всяком действи-
тельном] значении х.
H. Лузин
Еще способ 3.
Рестриктор
¥
1
sin Y -g-
имеет чертеж [см. рис. 4].
Рестриктор же
V— — V ^(x+fr) 4
* л J
Н. Н. Лузин 6
Примечания
1 Публикуемый фрагмент хранится в бумагах П. А. Флорен-
ского — в папке с материалами ко второму незаконченному тому его
работы «Идея прерывности как элемент миросозерцания», среди
материалов к XI главе «О рестрикторах и о построении при помощи
их некоторых функций» (см. примем. 1, 18 и 27 к публикуемому в
настоящем сборнике тексту предисловия Флоренского к его диссер-
тации). Фрагмент представляет собой лист в клеточку из тетради
большого формата, сложенный пополам и заполненный частью чер-
ными чернилами, частью карандашом великолепным лузпнским по-
черком. Заголовок отсутствует.
Судя по всему, публикуемый фрагмент — реплика на доклад
Флоренского «К вопросу о функциях, постоянных внутри данного
179
контура», прочитанный 26 ноября (ст. ст.) 1902 г. на внеочередном
студенческом заседании Московского математического общества.
Поэтому предположительно его можно датировать временем, близ-
ким к дате произнесения доклада. Таким образом, речь идет о наи-
более раннем из известных нам гатематических текстов, наппсавных
Н. Н. Лузиным.
Рестрикторами Флоренский называет функции, заданные на
числовой осп, равные нулю (или едпнпце) на некотором интервале
(а: Р) и соответственно единице (или пулю) вне его. Сегодня такие
функции называют характеристическими функциями интервалов
вещественной прямой.
Такими функциями, заметил в упомянутом докладе Флорен-
ский, занимался О. Коши (см.: С. г. Acad. Sci. Paris, 1848, vol. 27,
p. 537—538; 1849, vol, 28, p. 277—282; 1853, vol. 37, p. 150—162),
который и дал им наименование «restricteur» — ограничитель, рест-
риктор. Ранее их пзучал Г. Либри (J. reine und angew. Math.,
1830, Bd. 6, S. 67—72; 1833, Bd. 10, S. 303—316), оценивший, как
пишет Флоренский, их важность для теории числовых функций
и различных вопросов анализа.
Рестрикторы играли важную роль в построениях Флоренского,
связанных с идеей прерывности. Он пзучал, в частности, вопросы
об аналитических представлениях рестрикторов, об использовании
рестрикторов для построения функции на плоскости, постоянных
внутри заданного контура (что позволяло записать уравнение куека
плоскости, ограниченного заданным контуром —- «плоского лоску-
та» по терминологии Н. В. Бугаева (см.: Мат. сб., 1888. т. 14,
с. 400). Соответствующие вопросы Флоренский затронул в своем док-
ладе. Суля по всему, доклад вызвал интерес. Присутствовавший на
нем Б. К. Млодзеевский предложил пример рестриктора, который
был записан Флоренским на обороте одного пз листочков его докла-
да. Сюда же относится, судя по всему, и публикуемый памп Фраг-
мент.
В публикуемом фрагменте Лузин приводит пример рестриктора,
с его помощью дает аналитическое представление функции Е (х)
(целая часть х) и на основе этого представления выводит для Е (х)
некоторое тождество — все эти построения выполнены в духе Бу-
гаева. Насколько нам известно, к вопросу о рестрикторах Лузин бо-
лее не возвращался. Впрочем, в учебнпке «Теория функций дейст-
вительного переменного» (М.: Учпедгиз, 1940. с. 132—133) Лузин
указывает еще на один пример рестрпктора, не употребляя при этом
самого термина, именно
А (х) = lim —-—йг .
п-*-|-оо 1 е
Это аналитическое выражение при х = 0 имеет значение 1/2, при
х"> 0 равно 1, а прп х <Г 0 равно 0; геометрической образ такой
функции, очевидно, состоит из куска осп абсцисс, точки и куска
прямой у = 1.
В вопросе об аналптпчоскпх представлениях рестрикторов про-
является активный интерес ряда московских математиков к пробле-
ме аналитического представления разрывных функций. Истоки это-
го интереса мы находпм у Бугаева (Геометрия произвольных вели-
чин.— Мат. сб., 1889, т. 14, вып. 3, с. 390—409; Прерывная геомет-
рия.— Мат. сб., 1891, т. 15, вып. 3, с. 600—607), он явно выступает
у Флоренского и находит свое оформление и, в пзвестной мере, за-
180
„рпшение в диссертации Н. Н. Лузина «Интеграл и тригонометриче-
ский ряд» (М„ 1915).
«Имеют ли результаты теории функции существенное значение
для других математических дисциплин, и прежде всего для класси-
ческого анализа?» — спрашивает Лузпн во введении к диссертации
(Лузин Н. Н. Собр. соч. М.: Изд-во АН СССР, 1953, т. 1, с. 49).
[I продолжает: «Нужно иметь в виду, что прп современном состоя-
нии знания метод классического анализа, метол употребления ана-
литических выражении, лежит в основе почтп всякой математиче-
ской дисциплины; поэтому та теория, которая не соприкасается
прямо плп косвенно с аналитическими выражениями, такая теория
неизбежно занимает изолированное положение среди других ветвей
мат матики.
Поэтому, если не хотят, чтобы теория функции действительного
переменного была теорией, замкнутой в себе и неоказывающей влия-
ния на другие математические теории, нужно поставить в связь ана-
литические выражения, с одной стороны, определения и понятия
теории функций действительного переменно, с другой стороны».
2 Эта функция
1 V
_ \ eW(A-a)i
л J
—оо
Ип ЧТ
V
d'V
равна единице, если а — z < a-)~ I, и нулю вне этого интер-
вала. Этот рестриктор был рассмотрен еще Коши (см.: Laurent Н.
Traite d’analyse. Paris, 1888, vol. 3, p. 408). Далее Лузин положил
I = а = Vz.
3 Начиная с этой фразы, текст написан карандашом.
4 Текст обрывается.
5 II. Н. Лузин. — написано рукой Флоренского.
СТАТЬИ
РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
О РОЛИ ИНТЕРПРЕТАЦИЙ
В ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
И. Г. Башмакова
Перед нами текст Евклида: «Если имеются две пря-
мые и одна из них рассечена па сколько угодно отрезков,
то прямоугольник, заключенный между этими двумя
прямыми, равен вместе взятым прямоугольникам, за-
ключенным между нерассеченной прямой и каждым из
отрезков» («Начала» [1, кн. II, предл. 1J).
Чтобы понять его, мы обозначаем один из отрезков
через а, другой — через Ь и предполагаем, что первый
из отрезков рассечен на части я2). . ., ап. Тогда утвер-
ждение Евклида можно записать в виде
ab = (а2 4- fl2 + • • -4~ ап) Ъ = а\Ь 4- а2Ь 4-- • -+ йпЬ,
откуда видно, что в нем устанавливается дистрибутив-
ность умножения по отношению к сложению.
Правильно ли мы поступили? Допустима ли такая
«модернизация» текста, такой «перевод» его с геометри-
ческого языка на привычный нам язык алгебраических
символов? Вот вопросы, которые будут нас здесь зани-
мать. В наше время, когда во всем мире вырос интерес
к истории науки и разрослись исследования в этой об-
ласти, эти по существу «вечные» вопросы стали особенно
актуальны. Появились целые партии, назовем их услов-
но «архаистами» и «модернистами», которые придержи-
ваются диаметрально противоположных взглядов по от-
ношению к пользе и позволительности интерпретаций.
Модернисты смело переводят классические тексты на
язык современной математики, прибегая при этом к
гораздо более тонким и сложным ее разделам, чем тот
простой язык символов, которым мы воспользовались
при трактовке Евклида. Архаисты же заявляют, что
такие интерпретации незаконны, что они искажают текст.
182
вносят в него чуждые методы и понятия J. Кто же из
них прав?
Прежде чем ответить на этот «больной» вопрос, по-
лезно расширить его и взглянуть на него с более общей
точки зрения. Ведь уже не раз бывало, что не поддающая-
ся решению проблема, к которой не было даже подхо-
да, становилась доступной анализу именно благодаря
расширению и обобщению. Так мы постараемся посту-
пить и здесь. Обратим внимание на то, что с проблемой
перевода классического текста на один из современных
литературных языков, часто отстоящих от языка ориги-
нала на сотни и даже тысячи лет, уже давно столкнулись
филологи. Допустима ли такая модификация древних
текстов, куда вносится неизбежным образом интер-
претация переводчика? Приведем слова известного сино-
лога акад. В. М. Алексеева, характеризующие трудно-
сти, связанные с переводами: «Известно, что само понятие
перевода никогда] не бывает вполне определенным, и до-
статочно заглянуть в словарь, чтобы увидеть, как велик
смысловой диапазон этого слова. Я полагаю, что при-
чина такой лексической несообразности в двойном значе-
нии слова „перевод11: как трансплантации — пересадки
и как трансформации — преобразования. Короче, речь
идет о самой возможности перевода, а это — постоянная
борьба оптимистов с пессимистами... Нас упрекают
либо в прилаживании к стилю оригинала, либо в обрат-
ном. Если собрать все эти упреки и составить из них
некий практический синтез, чтобы, руководствуясь им,
совершать свою работу, то сразу станет ясно, что работа
невыполнима и перевода вообще не существует» [3, с. 67].
Но несмотря на колоссальные трудности, особенно при
переводах поэтических или философских произведений,
несмотря на безвозвратные потери и искажения, ко-
торые при этом неизбежны, переводы с одного языка
на другой общеприняты, методика переводов развива-
ется и совершенствуется и переводы выполняют свою
основную функцию: они дают возможность получить
более или менее достаточную информацию о классиче-
ском (пли просто известном) произведении тем лицам,
которые не знают языка подлинника. В случае хорошего
1 Наиболее крайняя точка зрения была выдвинута недавно в книге
Н. И. Кузнецовой [2], в которой утверждается, что символ Дио-
фанта для квадрата неизвестного Д'» нельзя передавать современ-
ным символом х2, т. е. нельзя даже изменить форму символа.
183
перевода читатель может не только воспринять идеи и
образы автора, но и насладиться красотой изложе-
ния.
Перевод, применяемый в истории науки, есть частный
случай переводов с одного языка на другой, поэтому он
обладает теми же достоинствами и недостатками: он не-
обходим для передачи информации, и его нельзя сделать
без известных потерь. Однако у историко-математических
«переводов», пли, несколько шире, интерпретаций, име-
ются и свои, присущие только им достоинства, а наряду
с этим они таят и специфические опасности. На тех и
других мы| сейчас остановимся более подробно.
Основное достоинство интерпретаций в истории нау-
ки и вместе с тем основное их отличие от обычных пере-
водов заключается в том, что без таких интерпретаций
классический текст вообще невозможно понять. Если
человек, хорошо знающий язык подлинника, может
понимать Гомера или Шекспира, не нуждаясь ни в каких
переводах, то математический текст, относящийся к
отдаленной от нас эпохе, невозможно понять без перево-
да его на язык современной математики. У нас нет дру-
гого способа понимания.
«Понять, — писал В. И. Ленин, — значит выразить в
форме понятий» [4, с. 231], т. е. в логике понятий, ко-
торые присущи нашему времени, современной нам науки,
которыми мы пользуемся в наших рассуждениях и рас-
смотрениях научных проблем.
Приведем несколько примеров, подтверждающих наш
тезис.
I. Парадоксы Зенона
Остановимся на’простейшем из них — «дихотомии».
Вот как формулирует его Аристотель: «Перемещающееся
(тело} должно дойти до половины прежде, чем до кон-
ца» [5, кн. 6, гл. 9]. Пусть АВ — отрезок длины 1 и точ-
ка М движется из Л в В. Но прежде чем достичь точки
В, М должна достичь точки Аг — середины отрезка АВ,
затем — точки А2 — середины отрезка А±В и т. д., т. е.
точка М, прежде чем достичь конца В, должна отсчитать
бесконечно много «середин» А1г А2,. . . , Ап, . . , зна-
чит, точка В никогда не будет достигнута,
оо
Этот парадокс вовсе не разрешается тем, что =1.
184
Что дело тут не в суммировании прогрессии, стало ясно
лишь после появления теории множеств Г- Кантора,
а вслед за ней и парадоксов теории множеств.
Г. Вейль, чтобы пояснить, в чем именно здесь со-
стоит трудность, привел такой пример: представим себе,
что мы задумали построить вычислительную машину,
которая производила бы первую операцию в ’/г минуты,
вторую — в ’/4 минуты, третью — в ’/8 минуты и т. д.
Такая машина могла бы к концу первой минуты «пере-
считать» весь натуральный ряд чисел и решить, напри-
мер, «великую» проблему Ферма или любую другую проб-
лему теории чисел, связанную с вопросом существования.
Ясно, что работа над конструкцией такой машины об-
речена на неудачу. Как же объяснить, что существует
движение и что движущиеся тела достигают конца
пути?
Теория множеств Кантора дает формальное решение
парадокса Зенона: если воспользоваться трансфинит-
ными числами то можно сказать, что точка М достигает
точку Аг в момент времени 4, точку А2 — в момент вре-
мени t2, . . ., точку Л„ — в момент t„ и т. Д-, а точку
В — в момент времени /(1), где со — первое число, следую-
щее за всем натуральным рядом. Заметим, что Р. Бэр
в своей книге «Теория разрывных функций» именно с
помощью конструкции Зенона вводит первый трансфи-
нит со, который и является порядковым типом множества
натуральных чисел. Однако с введением теории мно-
жеств и трансфпнптов трудностп, связанные с актуаль-
ной бесконечностью, вовсе не были преодолены, они
переместились только на новый уровень.
Итак, теория множеств помогла нам понять суть
парадоксов Зенона. После создания этой теории возрос
интерес к этим парадоксам.
Еще более глубокую трактовку этих парадоксов пред-
ложили Д. Гильберт и П. Бернайс в своей книге «Осно-
вания математики» (1934). Опираясь на пространствен-
но-временную концепцию современной физики, они пи-
сали о парадоксе «дихотомия»: «Ведь на самом деле мы
вовсе не обязаны считать, что математическое про-
странственно-временное представление о движении яв-
ляется физически осмысленным также и в случае про-
извольно малых пространственных и временных интер-
валов. Более того, у нас есть все основания предпола-
гать. что. стремясь иметь дело с достаточно простыми
понятиями, зта математическая модель экстраполирует
185
факты, взятые из определенной области опыта, а именно
из области движений в пределах того порядка величин,
который еще доступен нашему наблюдению, подобно
тому как совершает определенную экстраполяцию ме-
ханика сплошной среды, которая кладет в основу своих
рассмотрений представленпе о непрерывном заполнении
пространства материей. Подобно тому как при неограни-
ченном пространственном дроблении вода перестает быть
водой, при неограниченном дроблении движения также
возникает нечто такое, что едва ли может быть охаракте-
ризовано как движение. Если мы встанем на такую точ-
ку зрения, то этот парадокс исчезает» [6, с. 40—41].
В настоящее время существуют и многие другие интер-
претации парадоксов Зенона. Содержание их все более
раскрывается по мере того, как современная наука дает
нам все новый и новый материал для интерпретаций.
II. Теория отношений Евдокса—Евклида
Пример этот хорошо известен всем историкам науки,
поэтому я остановлюсь на нем кратко. Общая теория
отношений была построена Евдоксом Книдским в IV в.
до н. э. и дошла до нас в изложении Евклида [1, кн. V].
Она оставалась, по существу, непонятной и считалась
весьма искусственной, пока Р. Дедекинд не построил
в 1870—1871 гг. прошлого века свою теорию сечений,
с помощью которой определил действительные числа.
И тогда все вдруг «поняли» теорию отношений Евдокса,
которая основана на той же конструкции, что и теория
сечений. Первый (разумеется, после самого Дедекинда)
понял это Р. Липшиц, который в одном из писем спро-
сил Дедекинда, что же он сделал нового по сравнению
с древними? Согласившись с тем, что его теория в основ-
ном совпадает с Евдоксовой, Дедекинд отметил и суще-
ственное отличие, заключающееся в отсутствии у древних
аксиомы непрерывности.
III. Диофантовы уравнения
В «Арифметике» Дпофанта, написанной, вероятно,
в середине III в. н. э., было положено начало буквенной
алгебре. Диофант ввел обозначения для шести первых
положительных и шести первых отрицательных степеней
неизвестного, а также для нулевой его степени, знака вы-
читания и знака равенства. Свои методы он, как это было
186
принято у древних, не излагал в оощем виде, а иллю-
стрировал при решении конкретных задач. Чтобы разга-
дать зти методы, уже Франсуа Виет (1540—1603) начал
переводить его задачи и методы их решения на язык бук-
венного исчисления, которое было завершено только в
творчестве самого Виета. Именно здесь были введены
обозначения для произвольных постоянных величин (па-
раметров) и были записаны первые математические фор-
мулы. Такой «перевод» позволил Виету, а вслед за ним
и Ферма выявить первые общие методы, содержащиеся
в «Арифметике». Эти методы относились к решению
неопределенных уравнений и систем в рациональных
числах. Таким путем Виет сформулировал в общем виде
методы решения уравнений второй степени впда
г/2 = ах2 + Ьх 4- с2 и у2 = а2х2 Ьх + с,
а также нашел прием решения уравнения
з? + у3 = а3 — Ь3,
которое, как утверждает Диофант, всегда разрешимо 2.
«Перевод» на язык буквенного исчисления помог,
таким образом, понять первый слой в творчестве Диофан-
та. К сожалению, историки математики вплоть до недав-
него времени не применяли при исследовании «Арифме-
тики» никаких других разделов, кроме элементарной
алгебры и некоторых элементов теории чисел, традиция
применения этих последних также очень давняя — она
восходит к Ферма. Это породило неправильные оценки
Диофанта, непонимание его методов. Так, в «Истории
математики» О. Беккера и И. Гофмана (1957) утвержда-
ется, что «Диофант не дает никакого общего метода, но
применяет, по-видимому, для каждой новой задачи новый
неожиданный искусственный прием, напоминающий вос-
точные» [7, с. 90]. Аналогичное мнение высказывает и
Б. Л. Ван дер Варден: Диофанту «удается так хитро
устроить, чтобы в этом (т. е. результирующем. — И. Б.)
квадратном уравнении выпал член либо с х2, либо по-
стоянная величина, и удалось для х найти рациональное
решение» [8, с. 380]. Только после того как для интерпре-
тации «Арифметики» Диофанта были привлечены по-
нятия и методы алгебраической геометрип, удалось про-
2 Р. Бомбеллп нашел решение этого уравнения для случая а = 4,
Ь = 3.
187
вестп классификацию задач и выявить методы Диофанта.
Это было достигнуто путем «перевода» на другой «язык»
более адекватный методам самого Диофанта. Прп этом
оказалось, что в «Арифметике» полностью исследуются
и решаются неопределенные уравнения, задающие кри-
вые рода 0, т. е. такие, которые допускают униформиза-
цию в рациональных функциях одного параметра. Резуль-
тат Диофанта можно высказать (на современном язы-
ке) так: если на кривой рода 0 лежит рациональная
точка, то на ней имеется бесконечно много рациональных
точек, координаты которых можно выразить как рацио-
нальные функции параметра. Далее, начиная с книги IV,
Диофант рассматривает и кривые рода 1 порядков
3 и 4 и показывает, что если на такой кривой лежит ра-
циональная точка, то, применяя «метод касательной»
или «метод парабол», можно, вообще говоря, найти еще
одну рациональную точку, если же даны две рациональ-
ные точки, то третью можно найти с помощью «метода
секущей» (этот метод применяется Диофантом только
в ситуации, когда одна из заданных точек конечная,
а другая — бесконечно удаленная). Удалось также вы-
делить два существенно различных класса «двойных
равенств», т. е. систем вида
агх2 + Ьгх + сг = I/2,
а2х2 + b2x + с2 = z2.
Первый из них определяет пространственную кривую
рода 0, которую, как показывает Диофант, всегда мож-
но униформизировать, и второй, определяющий прост-
ранственную кривую рода 1, для которой Диофант при-
меняет совершенно иные методы [9].
Аналогичная интерпретация была применена и для
исследования работ по диофантову анализу математиков
арабского Востока. И здесь были получены новые ре-
зультаты. Приведу один из них: Абу Камил (850—930)
в «Книге об алгебре и алмукабале» привел 38 задач, сво-
дящихся к неопределенным уравнениям. При этом за-
дачи, эквивалентные нахождению рациональных точек
на плоских кривых, чередовались с аналогичными за-
дачами для пространственных кривых, так что неясно
было, по какому принципу выбиралась последователь-
ность задач. Е. И. Славутин, применив «перевод» на
язык алгебраической геометрии, установил следующий
замечательный факт: первые 25 задач (как плоских, так
188
п пространственных) посвящены .методам нахождения
рациональных точек на алгебраических кривых рода О,
следующие 13 — на кривых рода 1, т. е. план Абу Ка-
мила был четко восстановлен [9, с. 132—135]. Конечно,
Дбу Камил не владел современным понятием рода алге-
браической кривой, но он понимал различие между дву-
мя классами задач, может быть, в том смысле, что кри-
вые, рассматриваемые в задачах 1—25, могут быть уни
формизированы в рациональных функциях, кривые
же, рассматриваемые в последних 13 задачах, имеют
совсем иную природу: для них нельзя сразу описать
все бесконечное множество рациональных точек, а лишь
дать метод определения по известным рациональным точ-
кам еще одной такой точки. Последнюю мысль, которую
я приписываю Абу Камилу, я опять-таки выражаю на
несвойственном ему языке — на языке геометрии. Ту
же мысль (если она у него была) он должен был выражать
па чисто алгебраическом языке, т. е. говорить не о кри-
вых и точках на них, а о неопределенных уравнениях и
их рациональных решениях.
Заметим, что в вышедшей совсем недавно книге «Те-
ория чисел. От Хаммурапи до Лежандра» [10] Андре
Вейль для пояснения результатов Ферма и Эйлера ин-
терпретировал их с помощью языка алгебраической гео-
метрии, причем широко применял не только понятия
рода, бпрациональной эквивалентности и т. д., но и всю
теорию эллиптических функций.
Приведем еще несколько примеров, демонстрирующих,
насколько необходимы интерпретации для понимания
классических текстов.
IV. «Конические сечения» Аполлония
Хотя изучение этого замечательного произведения
было начато еще Кеплером, Декартом и Ферма, но бо-
лее глубокое понимание его пришло только после построе-
ния аффинной и проективной геометрии, а также тео-
рии инвариантов. Интерпретация «Конических сечений»
на языке этих теорий была осуществлена Г. Г. Цейте-
ном [11].
18»
V. Элементы неевклидовой геометрии в древности
Многие места из произведений Аристотеля остава-
лись совершенно непонятными, пока И. Тот не проин-
терпретировал их с помощью неевклидовой геометрии.
VI. Ньютонова теория света
Ньютонова теория света оставалась неправильно
оцененной вплоть до создания квантовой теории в физи-
ке. Вот что писал академик С. II. Вавилов: «Упорная
тенденция Ньютона сочетать в представлении о свете
корпускулярные и волновые свойства, хотя и в грубой
механической форме и по основаниям, далеко не всегда
справедливым, также неожиданно получила воплощение
в квантовой физике» [12, с. 51].
Эти примеры можно было бы умножить, но и приве-
денных достаточно, чтобы подтвердить тезис о необхо-
димости интерпретации для понимания научных произ-
ведений прошедших веков.
Теперь остановимся на недостатках интерпретаций
и тех опасностях, с которыми неизбежно сталкивается
историк науки. Во-первых, каждая интерпретация —
это схема, значительно отличающаяся от первоначаль-
ного текста. Она дает нам возможность изучить неко-
торые аспекты текста, отвлекаясь от других его аспектов.
В этом она разделяет свойства всех моделей математики,
механики и физики. Интерпретация в истории науки
также отличается от классического произведения, как
любая научная схема от реальной жизни. Она несрав-
ненно беднее, отражает не все стороны текста и нужда-
ется в дальнейших дополнениях, а может быть, и ко-
ренных изменениях.
Во-вторых, объекты и понятия, которые служат ма-
териалом для интерпретации, как правило, несут в со-
временной математике гораздо
большую нагрузку, чем те, ко-
торые интерпретируются. Так,
при переводе определения поверх-
ности шара, данного Архиме-
дом, его формулу о сумме хорд
окружности, соединяющих верши-
ны правильного вписанного 2л-
угольника^ ABCDEFGF^yDjC^Y,
BBt + CCi + DDt -f- EEi + FFi _ BG
AG ~ AB
190
часто передают при помощи равенства
п—1
VI . Лк . л
2Jsin~ = ctg-27r
ITT
(см- рисунок). Этот «перевод» можно применять только
с большими оговорками, так как в современной матема-
тике с функциями sintf и tg<p связано много различных
понятий и соотношений (разложение в ряд, связь
с показательной функцией и т. д.), которых, разумеет-
ся, не было у Архимеда и которыми он не пользовался
[131. Таким образом, при интерпретациях мы, с одной
стороны, многое опускаем, а с другой — можем многое
привнести и приписать древнему автору то, чего у него
не было. Первое неизбежно, второе зависит от нас.
Мы можем и должны избегать такого «приписывания»
наших понятий древним авторам.
Таким образом, наша интерпретация всегда получа-
ется и богаче и беднее оригинала. Но это свойство она
разделяет с любыми интерпретациями вообще.
Итак, первый этап любого историко-математического
исследования состоит в «переводе» изучаемого текста на
язык современной науки. Но это только первый этап.
После уяснения математического содержания текста нас-
тупает второй, более трудный этап работы. Он заключает-
ся в том, что необходимо вложить изучаемое произведение
в контекст науки его времени. Нужно выяснить, каковы
были исследования предшествующих авторов, какие про-
блемы стояли перед наукой того времени, кто и как про-
должил изыскания, содержащиеся в тексте, как понима-
лись те или иные понятия. Например, если дело идет об
общей теории отношений Евдокса—Евклида, то встает
вопрос, как понимали древние соотношение между отно-
шениями и числами, когда и как произошло явное расши-
рение понятия числа, были ли другие определения отно-
шения величин, почему предпочли теорию Евдокса и т. д.
Таким образом, после первой, чисто математической ин-
терпретации текста встает более сложный вопрос о его ис-
торико-математической интерпретации, о месте изучаемого
текста в той модели развития математики, которую мы
строим для данной эпохи (или более короткого отрезка
времени).
Мы могли бы на этом и кончить. Однако интерпрета-
ции приобрели в настоящее время такое значение в науке,
191
что следует остановиться на этом вопросе в более общей
плане.
Если мы рассмотрим развитие математики в целом, то
увидим, что сами математики уже давно делают «перевод»
результатов и методов науки предшествующих эпох на
современный язык. Без такого «перевода» развитие мате-
матики было бы немыслимо. Прошлые исследования не
входили бы как органическая часть в современную науку,
математика разбилась бы на отдельные куски, написан-
ные на различных математических языках. Но этого не
случилось. Мы говорили, что уже математики XVI в.
переводили «Арифметику» Диофанта на язык новой бук-
венной алгебры. Все математики и механики XVII в.,
вплоть до учителя Ньютона — Барроу, занимались пере-
водом Архимеда, стремясь выделить из его сочинений об-
щие методы вычисления площадей и объемов, а также
методы нахождения касательных. Эйлер, Лагранж и Гаусс
построили общую теорию квадратичных форм — ее ос-
новные результаты были «переведены» Куммером, Деде-
киндом, Золотаревым и Кронекером на язык теории полей
алгебраических чисел. Такой «перевод», или вернее, ин-
терпретацию, в Новых терминах мы встречаем в математике
на каждом шагу, т. е. в этом отношении сами математики
являются предшественниками историков науки.
Наконец, построение моделей, интерпретация изучае-
мых объектов и явлений на некоторых других системах
объектов, по своей природе весьма далеких от первона-
чальных, является основным методом всех естественных
наук. С изобретения таких моделей и началась наука в
Древней Греции, стоит только вспомнить крылатые слова
первых натурфилософов: все есть вода, все есть воздух,
все есть огонь. Вслед за этим была сделана попытка по-
строить универсальную модель для всех явлений приро-
ды, а именно математическую модель, нашедшую свое
выражение в знаменитом изречении пифагорейцев: все
есть число. Этим был открыт истинный научный метод в
естествознаннп. Он был продолжен в Новое время, где ему
было суждено пышно расцвести. Вспомним утверждение
Галилея о том, что книга природы написана на языке
математики. Здесь вновь воскресает гениальная догадка
пифагорейцев о том, что среди множества моделей, как
материальных (вода у Фалеса пли эфир у Максвелла), так
и концептуальных, имеется одна особая модель — мате-
матическая, которая в принципе способна отобразить все,
что есть во Вселенной. Эта идея лежит в основе всей тео-
192
оетической физики. Еще Фурье в своей «Аналитической
теории тепла» писал: «Математический анализ столь же
обширен, как и сама природа» [14, с. XXIII]. Сравним это
со словами П. А. Дирака в его «Лекциях по квантовой тео-
рии поля»: «Наша цель — получить единую всеобъемлю-
щую теорию, пригодную для описания всей физики в це-
лом. Теория предположительно должна состоять из не-
которой схемы уравнений и правил приложения и интер-
претации этих уравнений» [15, с. 10]. Таким образом, по
Дираку, теория должна состоять из некоторой математи-
ческой схемы (или модели) и правил соответствия, или пе-
ревода, указывающих, что соответствует математическим
понятиям в физическом мире, т. е. к теории должен быть
добавлен словарь для осуществления перевода.
Но с этой же проблемой перевода и построения моделей
мы сталкиваемся и внутри самой математики. Мы уже
не говорим о том, что идея модели и изоморфизма легла
в основу доказательств непротиворечивости геометрии Ло-
бачевского и геометрии Евклида. Мы хотим обратить вни-
мание на роль этих понятий в теории групп, и особенно
в теории представления групп, которая приобретает в на-
ши дни все большее значение. Что же такое представление
группы? «Под представлением группы G над полем К по-
нимается любой гомоморфизм групп, который каждому
элементу исходной группы а сопоставляет линейное пре-
образование А некоторого «-мерного векторного прост-
ранства над К (или, что по существу равносильно, неко-
торую «-строчную матрицу А)» [16, с. 392]. Таким обра-
зом, при представлении групп происходит перевод с язы-
ка абстрактных групп на язык линейных преобразований
или матриц. Заметим, что первый такой «перевод» осущест-
вил сам Галуа при изучении метациклической группы.
Итак, метод «перевода», или интерпретаций, является
одним из основных методов как математического естество-
знания, так и самой математики.
Резюмируя нашу мысль, можно сказать словами
М. А. Булгакова: «Рукописи не горят». Не горят великие
идеи, развитые в классических трудах прошлого, но язык
их устаревает и требует обновления. С каждым новым
большим открытием в математике, расширяющим возмож-
ности для интерпретаций, мы должны заново перечитывать
классиков нашей науки, чтобы увидеть, что было упущено,
не понято или не замечено, чего мы не смогли выразить
с помощью предшествующих интерпретаций. В этом смыс-
ле великие произведения Архимеда, Аполлония, Дпофан-
7 Заказ № 2674
193
та, Ферма, Эйлера также вечны и бессмертны как поэти-
ческие произведения Гомера, Эсхила, Пушкина. Нужны
ли музыканты-исполнители, которые заново и по-своему
прочитывают партитуру? Конечно нужны! Ведь без них
партитура — это мертвый текст, а ведь мысль и чувства
автора живые. Эту жизнь и доводит до нас исполнитель.
Вот такими же исполнителями научных партитур, воск-
решающими перед нами мысли и чувства их создателя,
и должны быть историки науки.
ЛИТЕРАТУРА
1. ЕвклидУ Начала. Кн. I—VI / Пер. и коммент. Д. Д. Мордухап-
Болтовского. М.; Л.: ОГИЗ, 1948. (Я
2. Кузнецова Н. И. Наука и ее исторпи. М.: Наука, 1982.
3. Алексеев' В. М. Китайская литература. М.: Наука, 1978.
4. Ленин В. И. Философские тетради И Поли. собр. соч. Т. 29.
5. Аристотель. Физика//Сочинения. М.: Мысль, 1981. "Т. 3.
6. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. М.: Наука.
1971.
7. Becker О., Hoffman J. Е. Geschiechte der Mathematik. Bonn,
1957.
ГВ. Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. М.: Физматгиз,
'1959. . ”
9. Башмакова' И. Г., Славу тин Е. И. История диофантова анализа
от Диофанта до Ферма. М.: Наука, 1984.
10. Weil A.’Number theory: An approach through history. From Ilam-
'rmurapi to Legendre. Boston etc.: Birkhiisser. 1983.
11. Zeuthen H. G. Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum. Ko-
penhagen,"'1886. 'Reprografi scher Nachdruck mit einem Vorwort
von. J.’E. Hofmann. Hildesheim,"!966.
12. Вавилов С. 77,'Эфпр, свет и вещество в физике" Ньютона // Исаак
Ньютон. М.; Л.: Изд-во АП СССР, 19437
13. Архимед. О шаре и цилиндре И Соч., предл. XXV / Пер., вступ.
ст. и коммент. И. Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1962.
14. Fourier J. В. Oeuvres. Р., 1888. Т. 1.
15. Дирак П. А. М. Лекции по квантовой теорпп поля. М.: Мир,
1971.J
16 Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.
194
ИНВЕРСИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ОКРУЖНОСТИ
и ИНВЕРСИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ЭЛЛИПСА,
ГИПЕРБОЛЫ И ПАРАБОЛЫ
В «КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЯХ» АПОЛЛОНИЯ
Б. А. Розенфельд
Классические «Конические сечения» Аполлония [1]
были предметом изучения многих историков математи-
ки, наиболее фундаментальными из этих исследований яв-
ляются книга Г. Г. Цейтена [2] и работа О. Нейгебауэра
[3]. Однако интерпретация некоторых предложений тру-
да Аполлония с точки зрения геометрии XIX—XX вв.
ускользнула от внимания его исследователей. Здесь мы
рассмотрим с точки зрения современной геометрии три
предложения «Конических сечений» Аполлония — пред-
ложения 133, 136 И 137.
Предложение 133 гласит: «Если взять на параболе точ-
ку, провести из нее ординату к диаметру и отложить пря-
мую, равную прямой, отсеченной этой последней на диа-
метре в направлении этой прямой от вершины, то прямая,
соединяющая полученную таким образом точку со взятой
точкой, будет касательной к сечению» (1, с. 60]. Аполло-
ний рассматривает параболу с диаметром АВ (рис. 1),
проводит ординату CD точки С параболы к этому диамет-
ру по хорде, сопряженной с ним, до точки D диаметра
и откладывает от «вершины» Е (т. е. точки пересечения
диаметра с параболой) отрезок £А, равный отрезку
ED, тогда прямая АС — касательная к параболе в точ-
ке С.
Предложение I36 [1, с. 64] является обратным
к 133-
Предложение 137 состоит из двух утверждений, из ко-
торых мы рассмотрим первое: «Если прямая, касательная
к гиперболе, эллипсу или окружности круга, встречает
диаметр и если провести из точки касания ординату к это-
му диаметру, то прямая, отсекаемая ординатой [на диамет-
ре] от центра сечения вместе с прямой, отсеченной [на нем]
от центра сечения касательной, охватывает прямоуголь-
ник, равный квадрату на прямой, проведенной из центра»
И, с. 66]. Здесь Аполлоний рассматривает гиперболу
(рис. 2), эллипс (рис. 3) и окружность (рис. 4) с диамет-
ром АВ, причем если в предложении 133 А и В были про-
7*
195
извольнымп точками диаметра (впоследствии А станов
лась точкой его пересечения с касательной к паработе\
то здесь Ли В — «вершины», т. е. точки пересечения дна
метра с кривой. Далее из точки С кривой проводится ка
с диаметром в точке D
сательная к ней до пересечения
и ордината СЕ по хорде, сопряженной с диаметром, до
пересечения с ним в точке Е. Утверждается, что прямо-
угольник, построенный на отрезках GE и GD с общим кон-
цом в центре G кривой, равен квадрату полудиаметра GB,
т. е. на современном языке
GD-GE = GB2. (1)
В предложении 133 доказывается достаточность условия
ЕА = ED для касания прямой DC к параболе в точке С,
в предложении 135 — необходимость этого условия, в
предложении 137 — необходимость условия (1) для каса-
ния прямой CDt к коническому сечению в точке С. Доста-
точное условие касания прямой к коническому сечению до-
казано в предложении I38 [1, с. 69] в другой форме, экви-
валентной условию (1). Необходимость и достаточность
обоих условий видны иэ того, что если обозначить «орДИ'
196
наты» точек конических сечений, рассматриваемые Апол-
ювием, через у, а «абсциссы» (прямые, отсеченные от «вер-
шпн») этих точек — через х, т. е. в предложении Iss х —
_ рц, у = CD, а в предложении I37 х - BE, у = СЕ,
То уравнения параболы, гиперболы и эллипса примут со-
ответственно вид
у2 = 2рх, у2 = 2рх 4-. q2x2, у2 = 2рх — q2x\ (2)
где р — параметр конического сечения. В случае гипер-
болы и эллипса уравнения в системе координат, осями
которых являются диаметр, рассматривавшийся Аполло-
нием, и сопряженный с ним диаметр, имеют вид х21а2 4~
+ уЧЬ2 = 1, р — b2!a, q = b2la2.
Касательные к сечениям (2) в точках С (х0, г/0) являют-
ся соответственно прямыми
УУо = Р I? + ^o)i УУо = р + х0) + q2xx0,
УУо = Р (х + х0) — q2xx0, (3)
и для точек пересечения прямых (3) с диаметром у = О
получаем соответственно
х + х0 = О, р (х + х0) + q2xx0 = О,
р (а; + х0) — q2xx0 = 0. (4)
Последние два соотношения (4) можно переписать в
виде
а (а: + х0) ± хх0 = 0, т. е. (а ± а:) (а + а:0) = а2,
что равносильно (1), и обратно, из соотношений х + х0 =
= 0и (1) можно получить соотношения (3).
Цойтен [2, с. 81—82, 84—85] и Нейгебауэр 13, с. 222—
223] рассматривают предложения Iss и 137 «Конических
сечений» Аполлония как «уравнения касательных» и обра-
щают внимание на то, что эти условия можно сформули-
ровать как условия гармоничности некоторых четверок
точек: в случае параболы прямая CD является полярой
точки А, а в случае гиперболы, эллипса и окружности
прямая СЕ — полярой точки D.
Ь отличие от этих авторов мы обратим внимание на то,
что в указанных предложениях Аполлония всякой точке
плоскости, из которой можно провести касательные к ко-
ническому сечению (точке А в случае параболы и точке D
остальных трех случаях), ставится в соответствие точка
пересечения поляры этой точки с диаметром АВ, и обрат-
но. Такое преобразование аффинной плоскости называ-
ется инверсией относительно конического сечения [4, с. 53].
Простейшим из этих преобразований является инверсия
относительно окружности, определенная в предложении
137. Папп в своем «Математическом собрании» указывает,
что Аполлоний в трактате «О плоских местах» (не дошед-
шем до нас) писал, что если две прямые «проведены из од-
ной точки по одной прямой» и «охватывают данный пря-
моугольник» и «если конец одной из этих прямых описы-
вает плоское место, то конец другой прямой также описы-
вает плоское место того же или другого рода» [5, с. 663—
665] (см. также: [6, с. 111]). Так как под «прямой» греки
понимали прямолинейный отрезок, под «плоским мес-
том» — линию, которую можно провести на плоскости
с помощью линейки или циркуля, т. е. прямую или ок-
ружность, а под «прямыми, охватывающими данный пря-
моугольник» — отрезки, произведение которых постоян-
но, ясно, что здесь описана инверсия относительно окруж-
ности и что Аполлонию было известно, что при такой ин-
версии прямая может, перейти в прямую или окружность
и окружность может перейти в окружность или прямую.
Как инверсия относительно окружности, так и инвер-
сия относительно эллипса, гиперболы и параболы являют-
ся квадратичными бирациональными преобразованиями
плоскости, т. е. такими квадратичными рациональными
преобразованиями плоскости, для которых обратные пре-
образования являются такими же преобразованиями; лег-
ко видеть, что все эти преобразования в аффинных коор-
динатах записываются с помощью квадратичных рацио-
нальных функций, бирациональность же этих преобразо-
ваний вытекает из их инволютивности (каждое из этих
преобразований совпадает с обратным к нему) [4, с. 53].
Поэтому если раньше считалось, что первыми бирацио-
нальными преобразованиями, кроме инверсии относитель-
но окружности, были «гиперболизмы конических сечений»,
с помощью которых Ньютон в своем «Перечислении ли-
ний третьего порядка» получал кривые третьего порядка
из конических сечений (см.: [6, с. 137]), то теперь мы ви-
дим, что широкий класс таких преобразований, по суще-
ству, имелся уже у Аполлония.
198
ЛИТЕРАТУРА
1. Les Coniques d’Apollonius de Perge / Trad. P. Ver Eecke. P.:
Blanchard, 1959.
2. Zeuthen H. G. Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum. 2
Aufl. Hildesheim: Olm, 1966.
3. Neugebauer O. Apollonius-Studien // Quell, und Stud, fiir Ge-
schichtc der Math., Astron, und Phys. Bd. 2. Abt. В, B. 1934,
S. 215—254. *
4. Hudson H. Cremona transformations in plane and space. Camb-
ridge: Univ. Press, 1927.
5. Pappi Alexandrini Collectiones quae supersunt / Ed. F. Hultsch.
Berolini, 1877. T. 2.
6. Розенфельд Б. А. История неевклидовой геометрии. M.: Наука,
1976.
РЕШЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ЭЙЛЕРОМ
КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ,
ОТНОСЯЩИХСЯ К ПЕРЕЧИСЛЕНИЮ
И РАСПОЛОЖЕНИЮ ЭЛЕМЕНТОВ
4. Е. Малых
I
Деятельность Эйлера сыграла определяющую роль
в развитии комбинаторного анализа. Он либо решил,
либо сформулировал и тем значительно продвинул разви-
тие большинства так называемых «классических комбина-
торных задач», под которыми понимают выборки и распо-
ложения элементов конечного дискретного множества сог-
ласно некоторым правилам. Несмотря на простоту форму-
лировок, они продолжительное время не поддавались ре-
шению и явились исходными при становлении ряда на-
правлений современной математики.
Эйлер исследовал соотношения между биномиальными
коэффициентами; ему принадлежит постановка и решение
задачи о кёнигсбергских мостах, о' числе разбиений
«-угольника диагоналями на многоугольники. Принци-
пиальных"успехов~ ученый достиг в решении задач о'раз-
биениях целых неотрицательных чисел на такие же сла-
гаемые. Проблема нахождения множества целочисленных
J т
решений неопределенного уравнения вида а^х^ — п
А=1
сводится, как показал в ряде своих работ Эйлер, к разбие-
199
нию натурального числа п на слагаемые. Результаты, ка-
сающиеся вопросов разбиения \ положили начало теории
производящих функций, а также метода включения и иск-
лючения. Они вызвали появление таких новых комбина-
торных понятий, как сочетания и размещения элементов
конечных дискретных множеств, имеющих определенную
сумму. Однако эта сторона деятельности ученого уже осве-
щена в историко-математической литературе. Изучен так-
же его вклад и в комбинаторную теорию латинских квад-
ратов [1].
В статье рассмотрены вопросы, касающиеся изучения
и разработки Эйлером методов составления магических
квадратов; показан вклад в решение большой группы за-
дач, связанных с классической «задачей о встречах», дан
анализ различных ее интерпретаций, предложенных уче-
ным в ряде своих работ; установлен его приоритет в полу-
чении математических результатов одного из вопросов,
относящихся к расположению, и в решении ряда задач
на шахматной доске.
II
Часть материала о магических квадратах находится в
«записных книжках» Эйлера-1 2. В первой (1725—1727)
19-летний Эйлер интересуется построением квадратов,
элементами которых являются члены арифметической
прогрессии, причем на исходные данные накладываются
дополнительные ограничения. Магические квадраты он
делит на совершенные и несовершенные. В последних усло-
вие магичности не сохраняется для двух диагоналей.
В качестве теоремы и ее следствия Эйлер формулирует
два утверждения:
— из любой арифметической прогрессии можно соста-
вить магический квадрат и притом совершенный;
— если последовательность первых девяти чисел об-
разует магический квадрат, то четные числа должны на-
ходиться в его вершинах.
Затем Эйлер строит магический квадрат (М. К.) по-
рядка 3, который в дальнейшем’будет играть роль основно-
го при заполнении его ячеек членами арифметической
1 См.: Эйлер Л. Введение в анализ бесконечных. М., 1961. Т. 1,
гл. 166.
2 Имеются в виду 12 больших переплетенных тетрадей общпм объе-
мом около 4000 страниц, псппсанных большей частью мелким по-
черком,— научные дневники полувековой деятельности Эйлера.
По традиции за ними сохранилось названпе «записных книжек».
200
прогрессии (см. М. К. (1)). После этого он решает две за-
дачи. В первой нужно построить квадрат с магической
постоянной b и разностью арифметической прогрессии
d. Члены прогрессии Эйлер последовательно представляет
в виде х + у, 2х + у, Зх + у, . . ., где х = d, а у —
некоторое добавочное число, позволяющее определить
х у. Так как сумма всех чисел, составляющих квадрат,
равна d 4~ 2d -j- . . . ~Т Qd -j- Qy = ^i5d 4- Qy, to b =
= 15d 4- Зг/, откуда у = b/3 — 5d. Зная d и b, можно
найти у, после чего составить арифметическую прогрес-
сию с ал = d + у. Девять ее членов записываются в ячей-
ки основного квадрата согласно расположению чисел на-
турального ряда. Взяв, в частности, d = 4, b = 36, Эй-
лер находит значения у (у = 36/3—5-4 = —8), d 4- у
(d 4- У = 4 — 8 = —4), определяет девять членов ариф-
метической прогрессии (—4, 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28) и в
соответствии 4 3 8 9 5 1 2 7 6 (1) ' с (1) строит магический квадрат (2); 8 4 24 23 18 43 28 12 —4 48 28 8 0 20 16 13 38 33 (2) (3)
Во второй задаче нужно построить квадрат с магиче-
ской постоянной Ь, элементами которого являются члены
арифметической прогрессии и известен первый ее член
аг. Для ее решения нужно найти х. По условию х 4- у =
= а±. Кроме того, ЗЪ = 9а1 + 36ж или b = 3(Zj 4- 12а?
и х = fe/12 — fl^/4. Так как у = аг — х, то у = аг —
— Ь/12 4- л1/4 = 5^/4 — Ь/12. В качестве примера Эй-
лер взял значения аг — 8 и b = 84. Тогда х = 84/12 —
— 8/4 = 7 — 2 = 5, у — 5-8/4 =10 — 7 = 3, а члена-
ми прогрессии являются 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48.
Магический квадрат имеет вид (М. К. (3)).
Заметим, что магические квадраты, составленные из
членов прогрессий, были обобщены в ряде работ ученых
XIX—XX вв. Так, Коккоз изучал магические квадраты
из треугольных чисел, Лафитт — неотрицательных,
а Жерардин — из простых.
Как видим, при построении квадратов Эйлер исполь-
зовал алгебраический аппарат. Еще в большей степени
он применил его спустя полвека в мемуаре «О магических
квадратах» (1776) [2]. Числа 1,2, . . ., х2, Эйлер представ-
ляет в виде тх + л (т = 0, х — 1; п = 1 — х)\ первое
слагаемое заменяет буквами латинского алфавита, вто-
201
рое — греческими и формулирует условия, при которых
происходит заполнение квадрата:
а) в каждую ячейку вписываются латинские буквы,
так, чтобы их «сумма» по всем столбцам и строкам была
одинаковой;
б) аналогичным образом вписываются х греческих
букв;
в) каждая латинская буква должна сочетаться с каж-
дой греческой;
г) никакая пара букв не должна встретиться дважды.
Требование в) указывает на наличие в магическом
квадрате всех чисел от 1 до х2, аг) — не допускает их по-
вторения.
Все дальнейшие параграфы имеют одинаковую струк-
туру: вначале с учетом а)—г) составляются две вспомо-
гательные таблицы (латинская и греческая), выясняются
правила заполнения ячеек буквами, после чего находит-
ся множество их допустимых значений и «оставляется ре-
зультирующая таблица. Затем приводятся многочислен-
ные примеры магических квадратов, которые попутно
отождествляются или различаются. Например, при х = 3
Эйлер составляет две вспомогательные таблицы так, что-
бы на одной диагонали были все буквы. Используя усло-
вие магпчности для каждой из диагоналей, он получает
основные соотношения, необходимые для определения
множества М допустимых значений букв:
а Ь с
Ъ с а (4)
cab
а, Ь, с CZ {0, 3, 6}, у р а а, р, у С {1, 2, 3),
а 4* b с = Зс, аур а + b 4- с = Зс, G)
a -J- b = 2с; Р а у а b - 2с;
со О II II О СО II II с = 3; е = 3; я Я II II 5° "СО то II II СО -в II II № *
При наложении (4) и (5) получается результирующая таб-
лица (М. К. (6)).
су Ьр са 2 9 4
6а су ар 7 5 3
cP аа by 6 18
(<•) (7)
202
Найдя сумму соответствующих допустимых значений букв
для каждой из ячеек, Эйлер записывает искомый магиче-
ский квадрат, который для случая(*) имеет вид (М. К. (7)).
Следует заметить, что методы заполнения ячеек буква-
ми у Эйлера различны и зависят от порядка, причем для
каждого х он пытается дать несколько, по его мнению,
наиболее простых. Так, одним из них для случая х = 5
является следующий: в ячейки среднего столбца и средней
строки таблицы размера 5x5 записываются в лексико-
графическом порядке латинские буквы. Начиная со сред-
ней, в каждую предшествующую строку помещаются цик-
лические подстановки этих букв, смещенных на одну вле-
во, причем считается, что первой строке непосредственно
предшествует последняя. Результатом заполнения явля-
ется латинская таблица (М.К.(8)).
Затем к каждой латинской букве средней строки припи-
сывается соответствующая греческая8. В последующие
строки записываются циклические подстановки зтих
букв, причем всякий раз происходит смещение на одну
букву влево и считается, что за последней строкой непо-
средственно следует первая. Результирующая таблица
имеет вид (М. К. (9)).
С b d с е d а е ъ а cb. be dz са еа dp ар су by аб 14 10 20 11 21 17 2 23 8 4
а b с d е Т аа ь₽ су йб es 1 1 7 13 19 25
е а Ъ с d е₽ ау Ьб eg da 22 3 9 15 16
d е а (8) Ъ с dy ед ае (9) ba cP 18 24 5 (10) 6 12
Вычислив некоторые допустимые значения букв,
Эйлер составляет магические квадраты. В частности, при
d = 15, 5 = 5, а = 0, с = 10, е = 20 и а = 1, р = 2,
у = 3, 6=4, е = 5 квадрат имеет вид (М. К. (10)).
Анализ мемуара [2] показывает, что в нем осуществлен
переход от арифметической прогрессии к буквенным вы-
ражениям; сформулированы правила расстановки букв
в таблицах, в неявном виде дающие определение латин-
ского квадрата; указаны методы построения квадратов
порядка х (х = 3, 6) и затронут вопрос подсчета их числа.
Следует заметить, что составление квадратов при по-
мощи двух вспомогательных таблиц было известно еще
3 Две буквы считаются соответствующими, если в записи букв
латинского и греческого алфавитов в лексико-графическом поряд-
ке они занимают одинаковые места.
203
Нарайяне (XIII в.) и де Лагиру (XVII в.). Однако они
составляли числовые вспомогательные таблицы. Эйлер су-
щественно обобщил процедуру построения, заполнив все
таблицы буквами, которые лишь в конце, в результате ал-
гебраических вычислений, принимали конкретные число-
вые значения. Далее, де Лагир стремился получать маги-
ческие квадраты уже на первых этапах работы, в то вре-
мя как Эйлер мог при желании найти их в самом конце,
причем гораздо проще и в большем числе.
В работе 1779 г. «Исследование магического квадрата
нового типа» [3] знания о таких квадратах расширяются
и углубляются. Мемуар посвящен решению известной
задачи о 36 офицерах, равносильной составлению резуль-
тирующей таблицы, которую Эйлер здесь назвал греко-
латинским квадратом. Он показал, как при помощи по-
лудиагональных, диагональных и пандиагональных гре-
ко-латинских квадратов строить полумагические, магиче-
ские и панмагические, и отметил также, что из всякого
греко-латинского квадрата можно построить магический,
обратное же выполнимо не всегда.
Магические квадраты второй степени Эйлер изучал
в сочинении 407 [4]. Он построил их для порядков 8, 9,
10, 14 и 16, отметив при этом, что для х = 3 и 4 таких
квадратов нет.
III
Интересовался Эйлер также задачами, относящимися
к расположению, и в частности наиболее древней о 15 тур-
ках и 15 христианах, суть которой заключается в следую-
щем 4: «На одном судне находились*'!5 христиан'и 15 ту-
рок. Когда’началасъ сильная буря и судно уже'было об-
речено на гибель, капитан сказал, что если за борт будут
выброшены 15 человек из 30, находившихся на судне,
то можно спасти’его и оставшихся 15 человек.’Путешест-
венники согласились, чтобы те 15, которым придется по-
жертвовать собой, были отобраны так: все 30 человек
должны выстроиться в ряд, затем следует считать от"*1
до'9. Всякий, на кого упадет'число'9, должен’быть’брошен
за"борт. Спрашивается, какие места должны занять 15
христиан, чтобы все они могли остаться в живых?».
г'"’ Истоки этой задачи восходят к I в. и. э. 5 С тех пор
4 В таком виде она была сформулировала Батпе до Мезпрпаком во
втором издании ого книги [5].
8 История задачи и некоторые ее разновидности освещены в кппгах
Аренса [6] и Смита [7].
204
было найдено множество частных решений, предложен
яд мнемонических правил. Тем не менее математическое
решение задачи долгое время отсутствовало. В ряде работ
конца XIX в. немецкий математик Шуберт (см., например:
[8]) отмечал, что ему принадлежит приоритет в ее мате-
матическом исследовании. Однако основные выводы, пол-
ностью совпадающие с результатами Шуберта, были по-
лучены Эйлером еще в 1775 г. и опубликованы в сочине-
нии «Наблюдения над новым особым родом прогрессий»
[9], начинавшемся словами: «Часто среди предметов, ко-
торые кажутся недостойными нашего внимания, встреча-
ются такие, которые требуют довольно глубокого иссле-
дования и дают повод для весьма сложных рассмотрений».
Ученый исследовал две разновидности задачи: если из v
человек, находящихся на судне, за борт должен быть вы-
брошен каждый n-й, то:
Как определить порядок последовательно выбрасы-
ваемых?
Кто останется последним?
На конкретном примере Эйлер знакомит с аппаратом,
используемом в дальнейшем. Он занумеровывает последо-
вательность чисел, соответствующую расставленным лю-
дям. Тогда числа, помещенные под каждым номером, по-
казывают «порядок выброса». Эйлер, поменяв местами две
строки, называет вторую последовательность выбросов
(табл. 1).
Таблица 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
9 18 27 6 16 26 7 19 30 12 24 8 22 5 23
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
11 29 17 10 2 28 25 1 4 15 13 14 3 20 21
Он обращает внимание на то, что, дойдя до конца, нуме-
рация продолжится и будет такой же, как и первоначаль-
ная: если номер некоторого знака ттг, то с ним совпадают
также номера т 4- 30fc, к — No.
В самой же последовательности выбросов А никакой
закономерности уловить нельзя: первые четыре члена воз-
растают в арифметической прогрессии с d = 9, пятый
и шестой больше своих предшествующих на 10 п т. д.,
причем это изменение, которое Эйлер называет скачком,
непрерывно возрастает, так как перескакивание пропсхо-
205
Таблица 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2 1
1 3 2
4 1 3
4 3 5
4 2 1
4 1 6
4 8 5
4 8 3
4 8 2
4 8 1
4 8 12
2
2 1
6 3 5
5 7 3
2 1 3
9 6 5
7 3 10
6 И 7
5 10 3
2
7 6
7 2 1
9 16
3 2 5
11 7 6
дит через все большее и большее количество ранее уничто-
женных знаков.
Указав, что А определяется числом знаков v и нуме-
ратором п, Эйлер поставил более общую задачу: для дан-
ных v и п определить А. Решение начинается с рассмотре-
ния частных случаев. При п = 1 А является последова-
тельностью v первых натуральных чисел. Поэтому послед-
нее ее число вместе с тем будет и последним из всех выбро-
шенных. Далее Эйлер составляет таблицы для конкретных
п и v (п = 2, 4; v = 1, 12) (табл. 2).
В результате анализа таблиц Эйлер подметил следующие
закономерности: а) в каждой строке i расположены все
натуральные числа от 1 до включительно; б) последние
члены каждой из At образуют арифметическую прогрес-
сию с d = п, причем если очередной ее член нг > v, то
вместо него записывается а, — v; в) аналогичным свойст-
вом обладают и все члены, равноудаленные от последних.
Из б) и в) ясно, что последовательности можно сколь
угодно продолжить, а так как при v = 1 последний выб-
расываемый знак z равен 1, то всегда могут быть составле-
ны таблицы для различных значений п.
Задачу в общем виде Эйлер не решил, олиако найден-
ные закономерности позволили ему определить при по-
мощи рекуррентного соотношения знак, выбрасываемый
206
последним, без предварительного знания порядка выбра-
сывания'. если для данных п и v известен последний выбро-
шенный знак z, то для v + 1 таким знаком будет:
a) z + п, если z + п v + 1,
или
б) z + п — k (n + 1), к е N, если z + п >• v + 1,
т. е. номером последнего выбрасываемого знака является
остаток от деления z + п на п 4* 1, причем вместо остат-
ка, равного нулю, пишется v + 1. По поводу этого прави-
ла Эйлер писал: «Оно заслуженно должно рассматривать-
ся как важная теорема, и постараться найти ее доказа-
тельство будет делом, стоящим труда». В работе предла-
гается ход доказательства. Далее Эйлер указывает, что
саму последовательность выбросов в общем виде предста-
вить нельзя, так как ни один из ее членов не определяется
только предыдущим: приходится принимать во внимание
сразу несколько условий.
Определенный научный интерес представляет тот факт,
что для частных случаев Эйлер нашел способ определе-
ния сколь угодно удаленных членов А с помощью скачков,
т. е. когда не нужно получать все промежуточные члены.
Вначале (для первых п членов из т) он определяет каждый
член в отдельности, после чего с помощью скачков пере-
ходит к номерам, большим нумератора. Процесс нахожде-
ния искомого члена х состоит в следующем: число v — А
(а Л) делят на п — 1, увеличивая при этом на единицу
значение частного. Тогда эта сумма даст х — член для
номера v + х; разность между п — 1 и остатком ai+x
(щ+х = (п — 1) х — vt + О;) является искомым членом
последовательности А для номера v + х. В качестве при-
мера Эйлер рассматривает последовательность выбросов
для п = 9, доведя ее до числа членов с номерами, превы-
шающими 5000 (табл. 3).
Указав, что правило может с успехом применяться
для нахождения сколь угодно удаленных членов последо-
вательности, состоящей из последних отбрасываемых чле-
нов, Эйлер отмечает, что не видит никакого другого пути
для нахождения ее определенного члена. Правда, он вы-
числил, что номера членов, возрастающих на скачки,
приблизительно увеличиваются в геометрической прог-
рессии со знаменателем, равным 9/8.
Из табл. 3 Эйлер формулирует правило нахождения
знака, выбрасываемого последним: в последовательности,
207
Таблица 3
I II III 1 1 1 1 1 1
1 1 2 2 3 2 4 3 5 2 6 5
I 1 1 1 1 1 1
II 7 8 9 10 11 12
III 7 8 8 7 5 2
I 1 1 1 1 1 2
II 13 14 15 16 17 18
III 11 6 15 8 17 8
I 2 3 3 4 4 4
II 20 22 25 28 32 36
III 6 2 4 3 7 7
I 5 6 6 7 8 9
II 40 45 51 57 64 72
III 3 3 6 3 2 2
I 10 12 13 14 16 19
II 81 91 103 116 130 146
III 2 1 6 7 3 1
I 20 23 26 30 33 37
II 165 185 208 234 264 297
III 7 2 1 1 7 7
I 42 47 52 60 67 75
II 334 376 423 475 535 602
III 6 8 8 1 6 7
I 85 95 107 120 136 152
II 677 762 857 964 1084 1220
III 5 8 6 5 1 5
I 172 193 217 244 275 309
II 1372 1544 1737 1954 2198 2473
III 1 5 5 4 2 4
I 348 391 440 495 557 . • .
II 2782 3130 3521 3961 4456 5013 * •.
III 2 5 3 2 1 1
Пр имечание. I - скачки, II - -v, III - а.
полученной при помощи скачков, находится член, соот-
ветствующий номеру, равному числу знаков. Затем бе-
рется ближайший меньший номер и от него до искомого
составляется арифметическая прогрессия с d — 9. Полу-
ченное правило Эйлер иллюстрирует на пяти примерах.
В первом требуется найти сотый член последовательности.
Ближайшему к нему через скачок меньшему номеру, рав-
ному 91, соответствует член 1. От него до сотого — де-
вять мест, поэтому, прибавляя к 1 девять раз по 9, т. е.
81, получают, что сотый член равен 82.
Эйлер писал, что изучение последовательностей тако-
го рода «по-видимому, может оказаться полезным в более
плодотворном изучении природы чисел», а саму задачу
он считал «прекрасной и достойной всяческого внимания».
IV
Исследования Эйлера оказали существенное влияние
и на развитие теории перечисления — основной части
комбинаторного анализа. Истоки ее относятся ко второй
половине XVII в. и связаны с проблемой, известной в нас-
тоящее время как «задача о встречах». Ойа является уси-
ленной формулировкой «китайских церемоний», упомя-
нутых еще Тартальей в «Трактате о числе и мере» [10].
В «задаче о встречах» нужно отыскать число перестановок
из и элементов, в которых ровно к (к = 0, п) не сохраняют
своих позиций. Первые исследования Эйлера находятся
в пятой и шестой «записных книжках» (1749—1757).
В последней она имеет формулировку: «Пусть числа 1,
2, . . ., п размещены в ячейках I, II, III, . . . Требуется
заполнить ячейки числами всевозможными способами так,
чтобы точно одно или два, или три и т. д. не занимали
первой ячейки». При этом предполагается, что остальные
числа не меняют своих позиций. Эйлер нашел чпсло N
всех исходов для к = 0,5 и произвольного п (табл. 4).
Здесь а, Ъ, с, . . . — всевозможные комбинации внутри
тройки, четверки и пятерки чисел. Затем он определяет
значения для конкретных п (п = 3,8); а = 2; Ъ = 3 (а Н-
4- 1); с = 4 (а 4- b); d = 5 (b 4- с); е = 6 (с 4- d); / =
7 (d 4- е); . . ., поместив результаты в табл. 5.
В заключительной части мемуара он представил две
таблпцы (табл. 6, 7). В первой число N элементов, сохра-
няющих позиции, связано с числом Р всевозможных ис-
ходов, удовлетворяющих условию «задачи о встречах».
209
n
n — 1
n—2
n — 3
n — 4|
n — 5
1
п (п — 1)
n(n_l)(l_l+l/2) •
n(n-l)(n-2) (l-l + i/2_i/e)
n (n — 1) (n — 2) (n — 3) (1 — 1 +1/2 — J/e + Чы)
n (n _ 1) („ - 2) (n - 3) (n - 4) (1 - 1 + 1/2 - Ve + V24 -V120)
Нетрудно заметить, что последний множитель каждой
строки представляет числовой ряд и может быть заменен
соответственно выражениями
а 2 Ъ 9 _ с 44
“зГ=='зГ ; '4Г==^Г; ~5Г ~ТГ ’ ’ ’’
Во второй его таблице даны решения «задачи о встре-
чах» для конкретных кип (табл. 7).
Заметим, что в ней приведены и частные решения задачи
о полном смещении элементов (когда к = п), предложен-
ной Монмором в 1708 г. и заключавшейся в отыскании
числа перестановок, в которых ни один из элементов не
сохраняет позиции. В комбинаторном анализе она извест-
на как задача о парных картах. К ее решению Эйлер обра-
щался неоднократно, и впервые — в 1751 г. в мемуары
«Вычисление вероятности в игре „встреча"» [10], который
начинался словами: «Игра „встреча" является азартной
игрой, в которой два игрока, имеющие по полной колоде
карт, извлекают одновременно карты одну за другой Д°
тех пор, пока они извлекут одинаковую карту, и тогда одня
из игроков выигрывает. А если такая встреча не произой-
дет вовсе, тогда выигрывает второй игрок. При этих пра-
вилах отыскивается вероятность выигрыша каждого я3
этих двух игроков» [11, с. 11].
Для облегчения дальнейших рассуждения Эйлер за'
нумеровал карты игроков числами от 1 до и и, предп°л°'
1’10
Таблица 7
жив, что А берет их в естественном порядке, отметил, что
он выигрывает, если В на i-м ходу извлекает карту с но-
мером i. В'противном случае выигрывает В. Вероятность
выигрыша зависит от числа карт в колоде: «Задача состоит
в определении вероятности, которую будут иметь как Л,
так и В на выигрыш ставки, каково бы ни было число
карт или нумерованных билетов. С первого взгляда вид-
но, что это определение изменяется в зависимости от числа
билетов, и оно становится тем более сложным, чем боль-
ше число билетов. Следовательно,
необходимо начать это исследова-
Таблица 8
ние с наименьших чисел билетов,
переходя затем к большим чис-
лам» [11, с. 121. Рассмотрение
начинается со случая, когда у А
и В по одной карте. Тогда вероят-
ность выигрыша А равна 1. При
п = 2 В может вытянуть их в по-
рядке 1, 2 и 2, 1, но так как эти
12 3 4 5 6
1 1 1 2 2 3 3
2 2 3 1 3 2 1
3 3 2 3 1 1 2
исходы равновозможны, то каж-
Дыи игрок может претендовать на
половину взноса. Если п = 3 и А тянет их в порядке 1,
,3, то для В найдется шесть различных’способов извле-
чения (табл. 8). Из них четыре являются благоприятными
Для А и два — для В, а поэтому надежды на выигрыш от-
носятся как 2 к 1.
„Для колоды из четырех карт таблица будет иметь дру-
гой вид (табл. 9).
211
Таблица 9
____________В____________
‘4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
1 111111222222333333444444
2 223344334411441122112233
3 344223411343122414233112
4 432432143134214241321321
Нетрудно проверить, что шансы на выигрыш у А и В
относятся как 5 к 3.
При извлечении карт до пяти число различных вариан-
тов извлечения карт игроком В, при условии, что А тя-
нет их в естественном порядке, достигает 120. В связи с
этим Эйлер пишет: «Еще большее число карт сделало бы
это представление совершенно неосуществимым. Впрочем
такой действительный подсчет мало бы послужил для оп-
ределения в общем надежд обоих игроков А и В, как ве-
лико бы ни было число карт, если нам уже известны ве-
роятности для меньшего числа» [11, с. 14].
Поэтому оставшиеся 35 параграфов посвящены отыс-
канию нового рекуррентного соотношения. Число различ-
ных возможных расположений в колоде из т карт равно
т\ = М. Среди них М/т = (т — 1)! случаев, когда пер-
вой картой, извлеченной В, являются 2 или 3, . . ., или т.
Если же игра продолжится и после встречи одинаковых
карт, то найдутся М/т случаев, в которых второй картой,
вытянутой В, будет 2, или 3, . . ., т, т. е. у А найдется
М!т возможностей выиграть на I, II, . . . ходу. Но в
действительности из этого числа нужно исключить те,
которые привели А к победе в предыдущих ходах.
Для решения вопроса о выигрыше А в г-м ходе без
учета выигрышей в предыдущих Эйлер связал число встреч
в каждом ходе с их числом в том же ходе, но другой игры,
когда колода содержит на одну карту меньше. С этой
целью он обозначил через а, Ь, с, d, е, . . . число случаев,
в которых А выигрывает соответственно в I, II, III, . . .
ходах игры из т карт. Для первого из них а = М'т, для
всех остальных величины Ь, с, d, . . . принимают другие
значения. Далее, из колоды, содержащей т + 1 карт, иг-
рок В может извлечь их М' = (т + 1) М способами.
Обозначив через а', Ь', с', . . . количество возможных
212
Таблица 10
, = Г И III IV V VI VII VIII IX i = X
m 1
1 1 1 2 6 24 120 720 5040 40320 362880
2 0 1 4 18 96 600 4320 35280 322560
3 1 3 14 78 504 3720 30960 287280
4 2 И 64 426 3216 27240 256320
5 9 53 362 2790 24024 229080
6 44 309 2428 21234 205056
7 265 2119 18806 183822
8 1854 16687 165016
9 14833 148329
10 13349-
выигрышей А соответственно в I, II, III, . . . ходах этой
игры, Эйлер получает для них значения: а' = М'(т +
+ 1) = М- Ъ’ = М — а6; с' = М — a —b; d' = М —
— а — Ь — с.
Следовательно, зная значения а, Ъ, с, . . . для игры
из т карт, легко находятся а', Ъ', с', . . . для колоды
из пг + 1 карт. В качестве примера Эйлер рассмотрел за-
дачу для случая четырех карт, нашел число выигрышей
А при т = 1, 4, после чего составил таблицу (табл. 10)
числа выигрышей А для большего количества карт.
Сходство этих результатов с помещенными в шестой «за-
писной книжке» указывает на тесную связь между задача-
ми о перестановках и о выигрыше в игре «встреча».
Эйлер подметил следующую особенность чисел, распо-
ложенных в приведенной выше таблице: если р ид — чис-
ло выигрышей А в t-м и (г + 1)-м ходах игры из т карт,
а г — число выигрышей А в (г + 1)-м ходе игры из
т + 1 карт, то г = q — р. Используя найденную зако-
номерность, нетрудно составить таблицу выигрышей А
Для произвольных i и т. Обозначив через Р = р!М~,
~----
Так как М является одновременно и числом выигрышей А в 1-м
ходе, и числом различных вариантов извлечения карты игроком
В в случае колоды из m карт, то из М нужно вычесть те, которые
привели бы к победе в первом ходе для этой колоды, а число их
равно а.
213
Таблица ti
i Вероятность выигрыша
1
2
3
4
5
6
1
п
1 1
п. п (п — 1)
1 2 1
п п(п — 1) п (п— 1) (п—2)
13 3 1
п (п — 1) п ~^п(п— 1) (п — 2) п (п — 1) (га — 2) (п — 3)
14 6 4
п п(п — 1) п (п—1) (п — 2) п (п — 1) (п — 2)(п — 3) +
1
+ п(п — 1). ..(п — 4)
1 5 ( 10 10
п п (п — 1) п (п — 1) (п — 2) п (п. — — 3) +
5 1
л_--------—_________—
• п_ (п — 4) п_(п — 5)
Q = q/M (т + 1); R = (д — р)/М (т + 1) вероятность
выигрыша А в каждом из перечисленных выше ходов,
он составил таблицу вероятностей выигрыша А в i-м ходе
для колоды из п карт (табл. 11).
Как видим, в каждой строке i числителям алгебраи-
ческих сумм являются коэффициенты разложения бинома
степени i — 1.
Таблица вероятностей выигрыша А за всю игру при
п = 1,6 принимает вид табл. 12.
Эйлер отметил, что вероятность выигрыша А макси-
мальна в случае одной карты, минимальна — в случае
двух карт и при нечетном числе карт надежда на выигрыш
у него увеличивается.
В конце статьи Эйлер приходит к выводу: «Если бы
число карт было бесконечным, то надежда А выразилась бы
следующим бесконечным рядом: 1 — х/2 + х/в — 1/2t +
-г х/120 — х/720 + . . ., а надежда В — следующим рядом:
1 — 1 + х/2 — х/6 + х/24 — Vian + х/?2о — . - . Мы зна-
ем, что этот последний ряд выражается через 1/е. Значит,
для случая]'-'п —надежда А будет равна 1 — 1/е,
а надежда В= Me . . . И это отношение будет правильным,
214
Таблица 12
1 1
1
2 1-Т2
1 . 1
3 1~’Г2+ 1-2-3
1 1 1
4 1 - Г2 + ГТз ~ 1-2-3-4
1 . 1 1 1
5 ! —172 + ПГЗ~ 1-2-3-4+1-2-3-4-5
11 1 1 1
6 1 ~ Ьз + ТТТз- 1-2-3-4+ 1-2-3-4-5- 1-2.3-4-5-6
как только число карт будет больше 20; вследствие этого
оно будет очень точным для этой игры, в которую играют,
обычно употребляя полную колоду в 52 карты» [11, с. 25].
Заметим, что в мемуаре ясно прослеживается прием,
которым часто пользовался Эйлер: вначале рассматрива-
ются простейшие частные случаи, затем они усложняются
и после этого переходят к
решению задачи, сформу-
лированной в общем виде.
В 1776 г. гк задаче о
парных картах Эйлер об-
ращался дважды. В мему-
аре «Исследование .маги-
ческого квадрата нового
типа» [3] он изучал воп-
росы, связанные с подсче-
том латинских квадратов
данного порядка, сформу-
лировав в качестве ис-
ходной задачу: «Скольки-
ми способами при задан-
ной первой строке можно
варьировать вторую для
конкретного п?», которая
Таблица 13
N
1 0
2 1=1-1 4-0-0
3 3=2-1 4-1-1
5 11=3-3 4-2-1
6 53=4-11 4-3-3
7 309=5-53 4-4-11
8 2119=6-309 4-5-53
9 16687=7-2119 4-6-309
10 148329 =8-166874-7-2119
сводится к нахождению чис-
ла' N латинских (2 X н)-прямоугольников. Он составил
таблицу 13.
Общей формулы Эйлер не получил, но нашел алгеб-
раическим путем две рекуррентные зависимости. В одной
215
Таблица 14
it: 1 л: 2 л: 3 л:4 л:5 л: 6 л:7 л:8 л:9 л: 10
0 1 2 9 44 265 1854 14833 133496 1334961
каждый член X определяется тремя предыдущими: Р, Q,R:
X — 2R + Q + (R2 - Q2)/(P - Q),
а в другой — лишь одним
R = (п - 1) (п + 2) Р ± 1,
где верхний индекс берется при нечетном п, нижний —
при четном, а Р, Q, R, S — соответственно число латин-
ских 2 X га-, 2 X (га 1)-, 2 X (га + 2)-, 2 X (п + 3)-
пр ямоугол ьников.
Спустя полгода Эйлер представил доклад: «Решение
любопытного вопроса из учения о сочетаниях» [12], в ко-
тором вновь обратился к задаче о полном смещении эле-
ментов, придав ей вид: «...дана последовательность букв
а, Ъ, с, d, - . ., га. Найти, сколькими способами можно из- I
менять их порядок, чтобы ни одна не оказалась на том же
месте, которое она занимала вначале» [12, с. 435].
Отыскав число способов N для небольшого количест- |
ва букв (га = 1,5), Эйлер перешел к нахождению общего
решения. С этой целью он ввел символ л: га, обозначаю-
щий число комбинаций из га букв, и попытался выразить
его через л : (га — 1) и л : (га — 2), рассмотрев число
комбинаций с Ь на первом месте и используя правило про-
изведения. Полученный результат дал л : п. С другой сто- '
роны, все комбинации с Ъ на первом месте распадаются на
два класса: с а на втором и не на втором местах. В первый
класс входят возможные комбинации из га — 2 букв, т. е.
л : (га — 2), во второй — из га — 1 букв, т. е. л : (га — 1).
Тогда по правилу суммы число комбинаций с Ь на первом
месте равно л : (га — 2) + л : (п — 1), а общее их число
л : га = (га — 1) (л : (га — 2) + л (га — 1)). (11)
Используя эту рекуррентную зависимость, Эйлер нашел
значения для некоторых л : п (га = 3, 10) и записал их
под своими индексами (табл. 14). Эйлер подметил, что
каждое из л : га является кратным предыдущему, уве-
216
лпченному или уменьшенному на единицу:
л : п = пл : {п — 1) + 1.
(12)
и показал справедливость этого свойства на конкретных
примерах, установив тем самым зависимость между фор-
мулами (11) и (12), см. (М. К. (13)).
Таблица 15
2 3-1 — 1,
9 = 4-2-|-1,
44 = 5-9 — 1,
265 = 6-44 + 1,
1854=7-265- 1,
14833 = 8-1854 + 1,
133496 = 9-14833 — 1.
(13)
12 3 4
Частный случай «задачи о встречах» еще раз появляет-
ся в записях Эйлера, но сформулирован он уже в терми-
нах шахматной игры: расставить п ладей на доске п X п
на взаимно неатакующих позициях, кроме того, запре-
щено располагать фигуры на главной диагонали. Такую
интерпретацию Эйлер дал неслучайно: в различных ком
бинаторных задачах доски служат для изображения ог-
раничений на позиции элементов и представляют табли-
цы, в которых переставляемые элементы отличаются но-
мерами столбцов, а позиции — номерами строк. Крес-
тик, стоящий на пересечении строки и столбца, означает
соответствующее ограничение. Такие таблицы называют
еще «схемами ограничений». Так, задача о полном смеще-
нии элементов для случая п - 4 имеет схему ограниче-
ний (табл. 15).
Эйлеру так и не удалось найти общее решение «задачи о
встречах», хотя результаты исследований в его шестой
«записной книжке» (см. с. 12) показывают, что он вплот-
ную подошел к нему.
Развитие теории определителей заставило ряд видных
математиков второй половины XIX в. вновь обратиться
к этой задаче. Почти одновременно решение частного слу-
чая было найдено И. Вейраухом [13] и С. Кантором [14]:
">(4-4+4—•+<-v4)=»>ZJl!:-
г=2
Из нее в [13] по индукции получено общее решение
217
«задачи о встречах»:
где т — число несмещенных элементов. В 1890 г., зани-
маясь подсчетом латинских квадратов, А. Кэли также на-
шел общее решение задачи о полном смещении элементов
[15], которое впоследствии было обобщено и имело вид
где (и — X) — число несмещенных элементов.
V
Особенной популярностью среди ученых XVII —
XIX вв. пользовались такие комбинаторные задачи, до-
пускающие интерпретацию на шахматной доске, как за-
дачи хода ладьи, офицера и коня. Истоки последней отно-
сятся к первой половине XIV в. В ней нужно пройти ко-
нем все клетки половины шахматной доски, начиная с
произвольно выбранной, не проходя дважды через одну
и ту же. Естественным ее обобщением явилась задача об-
хода конем всех клеток доски. К началу XVIII в. она при-
обрела особую популярность. Было получено большое
количество частных решений (Монмор, Муавр, Меран и
др.), однако общих теоретических подходов не было раз-
работано [6].
Задача хода коня привлекла внимание Эйлера случай-
но во время наблюдения эа шахматной игрой, когда один
из игроков демонстрировал умение пройти все клетки шах-
матной доски, выбирая в качестве начальной любую.
В результате исследований, длившихся почти два го-
да, Эйлер написал большой мемуар «Решение любопытно-
го вопроса, который не поддается никакому анализу»
(1766) [161. Успешному решению задачи предшествовала
его переписка с Гольдбахом и Бертраном. Последний вы-
сказал идею, сыгравшую важную роль в исследованиях
Эйлера. После многочисленных попыток ему удалось
найти одно из частных решений, названное «открытым
ходом», так как конь не может попасть из последней, 64-й
218
клетки в первую см. (М. К. (14)) 1.
42 59 44 9 40 21 16 7 42 57 4:4 9 40 21 46 7
61 10 41 58 45 8 39 20 55 10 41 58 45 8 39 20
12 43 60 55 22 57 6 47 12 43 56 61 22 59 6 47
53 62 И 30 25 28 19 38 63 54 11 30 25 28 19 38
32 13 54 27 56 23 48 5 32 13 62 27 60 23 48 5
63 52 31 24 29 26 37 18 53 64 31 24 29 26 37 18
14 33 2 51 16 35 4 49 14 33 2 51 16 35 4 49
1 64 15 34 3 50 17 36 1 52 15 34 3 50 17 36
(Г.)
(15)
Оно дает еще 16 решений (8 в результате поворотов и сим-
метрий и каждое порождает обратное). Однако ни из од-
ного из них нельзя получить другие, начиная ход с дру-
гой клетки. Поэтому Эйлер стал искать такие ходы, в ко-
торых последняя клетка была удалена бы от первой на
шаг коня. Их он назвал «входящими в себя»,т. е.замкну-
тыми. В этом случае игру можно начинать с любой клетки
шахматной доски, см. (М. К. (15)).
Следующим приближением явилась разработка общей
методики нахождения замкнутого хода. Он указал прием,
позволяющий найти большое число таких ходов, если из-
вестен хотя бы один открытый.
Затем Эйлер исследовал общий случай', не пользуясь
частным решением, заполнить шахматную доску, начиная
с любой клетки. Он предложил, произвольно выбрав пер-
вую клетку, проделать наибольшее число возможных хо-
дов, а клетки, оставшиеся свободными, заполнить бук-
вами. Эйлеру удалось довести число ходов до 62, а в две
пустые клетки он поместил буквы а и Ъ, см. (М. К. (16)).
34 21 54 9 32 19 48 7 40 27 60 9 38 25 54 7
55 10 33 20 53 8 31 18 61 16 39 26 59 8 37 24
22 35 62 а 40 49 6 47 28 41 10 15 46 55 6 53
11 56 41 50 59 52 17 30 17 62 47 56 13 58 23 36
36 23 58 61 42 39 46 5 42 29 14 11 48 45 52 5
57 12 25 38 51 60 29 16 63 18 31 44 57 12 35 22
24 37 2 43 14 27 4 45 30 43 2 49 20 33 4 51
1 b 13 26 3 44 15 28 ’ 1 64 19 32 3 50 21 34
(1 6) (1 7)
’ Числа в клетках обозначают последовательность хода коня,
219
Найдя последовательно, Начиная с клетки 62, коды
включающие а и Ь. он после переобозначения номеров
клеток, ходя в естественном порядке, получил открытое
решение, см. (М. К. (17)).
Далее Эйлер изучал частные условия задачи: ходом
коня расставить числа 1, 2, 3, . . ., 32 так, чтобы они ока-
зались соответственно симметричными числам 33, 34,
35, . . ., 64 относительно центра доски. Ему удалось та-
ким образом разместить все числа, за исключением 12.
В пустые клетки он записал буквы, см. (М. К. (18)).
10 29 48 35 8 31 46 33 14 59 42 35 16 31 54 33
49 36 9 30 47 34 7 58 41 36 15 58 55 34 17 30
28 И А С / 45 32 19 60 13 56 43 18 53 32 7
37 50 В D е 6 59 44 37 40 19 12 57 6 29 52
12 27 38 Е d Ь 18 5 20 61 38 25 44 51 8 5
51 64 13 F с а 43 60 39 64 21 50 11 24 45 28
26 39 2 15 62 41 4 17 62 19 2 23 26 47 4 9
1 14 63 40 3 16 (18) 61 42 1 22 63 48 (19) 3 10 27 46
Для последующей их замены соответствующими числами
Эйлер рассмотрел все возможные преобразования в двух
взаимно определяющих сериях хода коня. Результатом
явился замкнутый ход, см. (М. К. (19)).
В предыдущую задачу Эйлер добавил условие: числа
от 1 до 32 должны заполнить только одну половину доски.
Линию раздела доски Эйлер обозначил через ар и указал,
что в этом случае 1 нужно поместить в любую клетку у
ар, для того чтобы ее в дальнейшем соединить ходом ко-
ня с числом 64. После этого положение 33 однозначно оп-
ределено. Эйлеру удалось найти серию ходов до числа
28 включительно, а пустые клетки он заполнил буквами
а, Ъ, с, d, после чего получил ход, удовлетворяющий усло-
вию задачи (М. К. (20)).
Положение чисел во второй половине доски определя-
лось условием симметричного расположения чисел: так
как 14 — последнее в только что записанном ходе, то оно
определяет положение 64 так же, как число 1 — положе-
ние 33. Аналогичным образом находятся другие решения.
Выполняя преобразования над одним из них, можно
найти большое число новых, таких, например, как (М. К.
(21)).
220
37 62 43 56 35 60 41 50
44 55 36 61 42 49 34 59
63 38 53 46 57 40 51 48
54 45 64 39 52 47 58 33
------------------------------ Р а-----------------------------------' Р
1 а b 28 7 14 19 16 1 26 15 20 7 32 13 22
24 27 8 с 20 17 6 13 16 19 8 25 14 21 б 31
9 2 25 22 11 4 15 18 27 2 17 10 29 4 23 12
26 23 10 3 d 21 12 5 18 9 28 3 24 II 30 5
1 8,23,22,21,18,19,20,6, (21)
24 ...,28,17,16,15,d,c,a,9, ...
14.
(20)
23 18 5 10 25 30 41 46 37 32 53 60 67 72 55
6 11 24 19 14 47 36 31 40 45 68 73 54 61 66
17 22 4 9 42 29 38 33 50 59 52 63 56 71
12 7 2 15 20 35 48 27 44 39 74 69 58 65 62
1 16 21 8 3 28 43 34 19 26 51 64 75 70 57
(22) 7 20 25 14 III 76 99 84 93 78
12 15 8 19 24 89 94 77 98 85
21 6 13 2 9 1100 | 83 88 79 92
16 11 4 23 18 95 90 81 86 97
5 22 17 10j 3 82 87 96 91 80
(23)
Далее Эйлер рассмотрел шахматные доски с числом
клеток, отличным от 64, и показал возможность решения
задачи для всех случаев п (п = 2,6).
Им доказано, что для п = 2, 3, 4 задача хода коня не-
разрешима. При п = 5 — имеет решения, причем соот-
ветствующие ходы всегда открытые, так как четные числа
при этом чередуются. Проверка факта на большом коли-
честве примеров позволила Эйлеру сделать вывод, что в
случае нечетного п ход в решении всегда открытый и дол-
жен начинаться или заканчиваться в угловой клетке.
При исследовании возможных частных решений для п = 5
Эйлер проводил усложнения в том же плане, как и для
описанного выше случая. В частности, он рассмотрел ход,
в котором числа 1, 2, . . ., 12 расположены симметрично
числам 25, 24, . . ., 14 относительно 13, помещенного в
221
центральную клетку доски. В этом случае сумма цент-
рально симметричных чисел равна 26, см. (М. К. (22)).
Интерес Эйлера к исследованию задачи хода коня на
досках 5x5 объясняется, на наш взгляд, тем, что по-
следние могут быть использованы для нахождения реше-
ний в случае 100-клеточной доски. Зная некоторые реше-
ния для п = 5, он составил таблицу 10 X 10, в которой
конь не только последовательно обошел каждую 25-клеточ-
ную доску, но и перешел с последней, сотой клетки в пер-
вую, см. (М. К. (23)).
Эйлер рассмотрел также случай 36-клеточной доски п
получил решение, в котором ход коня замкнутый и сим-
метричный относительно центра доски (М. К. (24)).
С увеличением размеров шахматной доски число ре-
шений довольно быстро увеличивается, однако общий за-
кон, по которому это происходит, до сих пор неизвестен.
Эйлер обобщил задачу хода коня на прямоугольные и
крестообразные доски. В первом случае (т 3,5; п =
= 4,7) он рассмотрел доски вида 3 X и и исследовал воз-
можность получения ходов: для п = 4 он предлоясил не-
сколько решений; для п = 5, 6 указал, не приводя дока-
зательства, на неразрешимость задачи, а для и = 7 —
на то, что решения существуют и всегда дают открытые
ходы.
Рассматривая доски вида 4 X и и учитывая предыду-
щие рассуждения, Эйлер отметил, что при п = 5 решения
всегда существуют и ведут к открытым ходам. Для досок
5 X и Эйлер заметил, что для четного п задача разреши-
ма и привел решение для п = 6.
Все ходы, полученные Эйлером для крестообразных
досок, были замкнутыми (М. К. (25), (26)).
30 21 6 15 28 19 14 19 1 14 7 22
7 16 29 20 5 14 7 12 15 8 21 32 13 24
22 31 8 35 18 27 6 13 20 15 18 11 2 31 26 23 6 19
9 36 17 26 13 4 1 8 5 10 3 16 9 16 29 20 25 12
32 23 2 11 34 25 2 17 30 3 10 27 18 5
1 10 33 24 3 12 9 4 28 17 4 И
(24) (25) (26)
С задачей хода коня тесно связано построение маги-
ческих квадратов ас-Сафой (X в.) и Мосхопулосом (XIII в),
однако эти факты стали известны лишь во второй полови-
не XIX в.
222
* * #
Таким образом, анализ комбинаторных исследований
Эйлера показал, что он не продолжил идей Лейбница
Я. Бернулли по созданию общей системы науки и аппара-
та для теории вероятностей, а исследовал конкретные
«трудные» задачи, для решения которых, как выяснилось
позже, нужны общие математические, и в том числе ком-
бинаторные методы. Придавая разработке таких методов
большое значение, Эйлер тем не менее не стремился выра-
ботать собственный взгляд на центральные проблемы и ос-
новные понятия комбинаторного анализа, что, однако, не
помешало ему создать такие идеи и методы, значение ко-
торых и в настоящее время трудно переоценить.
ЛИТЕРАТУРА
1. Малых А. Е. Создание Эйлером^комбпнаторной теории латин-
ских квадратов // Историко-математические исследования. М.:
Наука, 1983. Вып. 27. С. 102—123.
2. Euler L. De quadratis magicis // Opera Omnia, 1923. Vol. 1—7.
P. 441—457.
3. Euler L. Recherclies sur une nouvelle espece de cartes magiqu-
es // Opera Omnia, 1923. Vol. 1—7. P. 291—392.
4. Euler L. Problema algebraicum ob affectiones prorsus singulares
memorabile// Opera Omnia, 1931. Vol. 1—6. P. 287—315.
5. Bachet de Meziriac. Problemes plaisans et d electables qui se font
par les nombres. 2 ed. Lion, 1624.
6. Ahrens W. Mathematical Vn lethal tungen und Spiele. 1921. Vol. 2.
XV, S. 118—169.
7. Smith D. History of Mathematics, 1958. Vol. 2. P. 541—544.
8. Шуберт Г. Математические развлечения и игры. Одесса, 1911.
9. Euler L. Observatioues circa novum et singulare progressionum
genus / Opera Omnia, 1923. Vol. 1—7. P. 246—261.
10. Tartaglia. Trattato de numeri e misere. Venetia, 1556.
11. Euler L. Calcul de la probability dans le jeu de rencontre //Opera
Omnia, 1923, Vol. 1—7. P. 11—25.
12. Euler L. Solutio quaestionis curiosae ex doctrina combinationum //
Opera Omnia, 1923. Vol. 1—7. P. 435—440.
13. Weyrauch J. J. Zur Theorie der Determiuanten// J. fur der rei-
ne und angew. Math. 1872. Bd. 74, S. 273—276.
4. Kantor C. Permutationen mitbeschrankterstellenbesetzung // Zeit-
schrift fur Math, und Phys., 1883. Bd. 28. S. 379—388.
15. Cayley A. On Latin squares//Messenger of Math., 1890. Vol. 19,
P. 135—137.
16. Euler L. Solution d’une question curieuse qui ne paroit soumise
a aucune analyse // Opera Omnia, 1923. Vol. 1—7. P. 20—56.
223
К ОБОСНОВАНИЮ МЕТОДА
НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ У П. Л. ЧЕБЫШЕВА
И. А. Головинский
Теория наилучшего среднеквадратического приближе-
ния функций многочленами возникла в работах Чебыше-
ва как результат применения метода наименьших квадра-
тов (МНК), появившегося в начале XIX в., к задаче при-
ближения функций многочленами, восходящей, по край-
ней мере, к XVII в. Математик нашего времени едва ли
заподозрит в этом факте что-то необычное. Однако извест-
но, что история часто идет совсем не тем путем, который
впоследствии оказывается логически самым простым для
построения теории. Именно так произошло и в данном слу-
чае. Исходной для Чебышева была вовсе не задача о наилуч-
шем среднеквадратическом приближении. Начинал он с
другого — с того, что теперь называют статистическим
оцениванием, а в то время называлось наплучшей комби-
нацией наблюдений. Такой подход был предопределен
традицией, установившейся благодаря исследованиям Лап-
ласа и Гаусса по обоснованию метода наименьших квад-
ратов. Чтобы представить себе ситуацию, проследим
хотя бы бегло основные этапы развития теории наимень-
ших квадратов до Чебышева.
1. Метод наименьших квадратов впервые был опубли-
кован Лежандром в 1806 г. в «Приложении» (Appendice)
к работе «Новые методы определения орбит комет» [1].
Принцип наименьших квадратов у Лежандра состоял в
том, что если дана избыточная несовместная система ли-
нейных уравнений *
V a,xf = т]у, j A~N (N>n),
i=l
где Xj , т]7- — данные числа, а, — неизвестные, то наилуч-
шие оценки at неизвестных а, определяются из условия
минимума суммы квадратов уклонений
N п
У| ( У — П;)2 = min.
3=1 i=l
Еще раньше, чем Лежандр, с 1795 г., метод наимень-
ших квадратов применял в астрономических расчетах
1 Здесь и далее при изложении оригинальных работ в целях крат-
кости используются современные символика и термппологпя.
224
payee, о чем он сообщил некоторым астрономам. В 1809 г.
payee опубликовал законченную тремя годами ранее кни-
гу «Теория движения небесных тел, обращающихся во-
круг Солнца по коническим сечениям» [2] 2. В ней он дал
обоснование принципа минимума суммы квадратов укло-
нений, учитывающее случайный характер ошибок наблю-
дений. С чисто математической точки зрения Гаусс рас-
сматривал здесь несколько иную, чем Лежандр, схему.
Имеется линейная функция от п переменных х (1\ . . .
. . z(n)
п
У = <ЧХ<*>,
г=1
коэффициенты которой щ неизвестны. Задана совокуп-
ность из TV (7V > п) наборов значений аргументов
. ., Xjn)), j = 1, 2, . . ., TV. Для каждого из этих
наборов наблюдается с некоторой случайной ошибкой
значение функции у
п
»Ъ = S + ej, 7 = 1 = N.
i=l
Ошибки — это выборочные значения случайных ве-
личин, одинаково распределенных с какой-то плотностью
ср (е) и независимых 3. Требуется построить наилучшие
оценки параметров at, а2, . . ., ап. Гаусс находит их,
основываясь на принципе максимума функций правдо-
подобия:
N п
= П <Р (*]; — S «1*7’) •
7=1 i=l
Но функция плотности распределения ошибок наблю-
дений <р (е), как правило, неизвестна. Для того чтобы од-
нозначно выбрать ее; Гаусс постулировал, что в частном
случае, когда линейная функция у имеет простейший вид—
вид константы, у = аг (для чего достаточно положить
п = 1 и = х(2 = . . . = = 1), оценка макепмаль-
2 Отрывок из нее, посвященный методу наименьших квадратов,
в переводе на русский язык опубликован в книге [3, с. 89—109].
3 Лежандр тоже имел в виду, что наблюдения цу складываются
из точных (но неизвестных) значений наблюдаемой функции у и
случайных ошибок Но никаких предположений о распределении
ошибок F; он не высказывал и не использовал, поэтому задача у не-
го свелась просто к приближенному решению избыточной системы
уравнений.
8 Заказ Л5 2674
225
него правдоподобия этой константы при любой совокуп-
ности ее наблюдений должна совпадать с их средни^
арифметическим:
(1)
Отсюда Гаусс вывел, что тогда плотность распределе-
ния ошибок наблюдений может быть только нормальной:
(р(е)=-А-е-Л!£!.
л
Вот вывод нормального закона, данный Гауссом в
«Теории движения небесных тел». Пусть измеряется не-
кая константа а, и пусть т]г, ц2, . . ., т|.\ — различные ее
наблюдения. Тогда функция правдоподобия такова:
N
£2 (а) = П <Р Ob — а).
Уравнение правдоподобия
-^lnQ(a)=0
da х '
запишется в виде
N
—а) = 0,
3=1
если через ср' (е) обозначить логарифмическую производ-
ную искомой плотности ф (е), т. е.
ф'(е) = _^~1псР(е) ~
При любой совокупности наблюдений (t]j, ц2, . . ., цм)
оценка максимального правдоподобия а должна быть
равной среднему арифметическому наблюдений:
N
3=1
— таков постулат Гаусса. Он подбирает такие значения
наблюдений ц2, . . ., Цн, чтобы уравнение правдоподо-
бия упростилось. А именно: он полагает
Па = Чз = • • •= 4N = П1 — NC,
226
rj^e Л — число наблюдений, С — произвольная констан-
та. Тогда
а = (1/2V) hi + (АГ - 1) hi ~ ВД = П1 — (TV -1) С,
откуда
ill - a = -1) с
и
П2 ~ “ = Ъ ~ « = • • •
... - f]N — а = ц1 — NC — а = —С.
Уравнение правдоподобия теперь становится таким:
ср' [(^ - 1) С] = (N - 1) Ф' (- С) = О
или
ф' [(TV - 1) C]/(N - 1) С = ф' (-С)/(-С).
Но так как С — любое действительное число, Л —
любое натуральное, а функция ф (е) подразумевается не-
прерывной, то из последнего равенства следует, что отно-
шение ф' (е)/е должно быть постоянной величиной для лю-
бого действительного е. Поэтому ф' (е) = ке,, т. е.
-^-1п<р(е)=Л-е,
откуда
Ф (е) = Ае^2.
Учитывая, что к может быть только отрицательным, и под-
бирая нормирующий множитель А, Гаусс приходит к тре-
буемой формуле:
Ф(е) = -^е“№’.
]/ л
Но если ошибки распределены по такому закону, то
функция правдоподобия приобретает вид
Q (а) = hNn~N/2exp [—/г2 (t]j — У ,
3=1 1=1
и максимум ее достигается при минимизации суммы квад-
ратов уклонений вычисленных значений функции у от
измеренных
N п
2 (ill— s^0)2.
j—1 i=l
8* 227
Здесь же Гаусс предлагает рассматривать параметр }г
как меру точности наблюдений, ошибки в которых рас-
пределены по нормальному закону (1). Это позволяет ему
обобщить задачу на случай наблюдений неодинаковой
точности.
Такое же обоснование метода наименьших квадратов
на год раньше Гаусса опубликовал Р. Эдрейн. Нормаль-
ный закон Эдрейн вывел, однако, иначе, чем Гаусс [4; 5;
6, с. 176—178]. Результаты Эдрейна остались в то время
мало кому известны.
2. Иначе к вероятностному обоснованию метода наи-
меньших квадратов подошел Лаплас. В «Мемуаре об опре-
деленных интегралах и об их применении к вероятностям
и специально к нахождению среднего, которое нужно
выбирать между результатами наблюдений» [7], опубли-
кованном в 1811 г., он рассмотрел следующую схему наб-
людений:
Л/ = S ай1> + е;> / = 1 -е-TV (7V > и),
i=l
отличавшуюся от гауссовской тем, что независимые слу-
чайные ошибки е; могли иметь какое угодно распределе-
ние с четной функцией плотности, конечной дисперсией
и одинаковое для всех наблюдений 4. Главным новшест-
вом в подходе Лапласа было то, что качество оценок пара-
метров at измерялось не отклонением вычисленных зна-
чений
п
Уз — 3 <Мг)
г=1
от измеренных (как, например, в методе максимально-
го правдоподобия), а отклонением самой оценки ai от ис-
тинного значения параметра at. То обстоятельство, что
истинное значение параметра нельзя точно найти по
наблюдениям т)х, т]г, . . ., rj v, не мешает строить его наи-
лучшую оценку
Что же понимал Лаплас под наилучшей оценкой пара-
метра аг?
Зафиксируем номер оцениваемого параметра i = к
и найдем какую-нибудь систему N чисел af'\ j =
* Впоследствии, в работе 1820 г., Лаплас освободился от требова-
ния четности функции плотности распределения [8].
228
= 1, 2, . . ., Л', удовлетворяющую системе п уравнений:
' ‘ (2)
a,j^Xjl)= 0 прп i =/= к.
7=i
Если N п, то эта система имеет бесконечно много ре-
шений.
Пусть уг, у2, . . р,у — точные значения функции
У = 3
1=1
для N наборов значений аргументов ^а>, . .
/ = 1, 2, . . ., N. Из системы уравнений
у}j=i~N, (3)
i=l
можно выразить параметр а*, исключив все остальные па-
раметры at при i к. Для этого достаточно для каждого
7 = 1,2, ...,7V умножить j-e уравнение системы (3) на
и все полученные уравнения сложить. Тогда будет
N
afc — 3 «7%- (4)
7=1
Если теперь вместо точных значений уг, у2, . . ., yN,
которые неизвестны, подставить в линейную форму (4)
наблюдения ц1, ц2, . . ., Цу, то получится линейная несме-
щенная оценка параметра aft:
«fc= 3 afS- (5)
7=1
Несмещенность ее следует из того, что математическое
ожидание случайной величины tjj равно у;. Обратно,
всякая линейная несмещенная оценка параметра ак имеет
вид (5), где коэффициенты должны удовлетворять си-
стеме уравнений (2).
Среди этого бесконечного множества линейных несме-
щенных оценок параметра а* надлежит выбрать ту, ко-
торая имеет наименьшую, как говорит Лаплас, «ожидаемую
ошибку» (или «среднюю ошибку, которой следует опа-
саться»,— «1а valeurmoyenne de Геггепг a craindre»). Ошиб-
229
на оценки параметра а* равна разности — ац и являет-1
ся случайной величиной, как и сама оценка а^. Под «ожц-|
даемой ошибкой» Лаплас понимает математическое ожи-1
дание абсолютной величины этой разности
4-00
§ lzjq>(z)dz,
—со
где z = а* — ак — ошибка оценки, ср (z) — ее плотность
распределения.
Согласно одному из вариантов открытой им предель-
ной теоремы, функция <р (z) стремится к плотности нор-
мального распределения (в каждой точке), если чпсло на-
блюдений N неограниченно растет и если порядок вели-
чины всех одинаков. При этом в пределе при N —» эо
дисперсия этой нормальной плотности оказывается в та-
кои зависимости от известных величин и х} , что мини-
мум написанного выше интеграла («ожидаемой ошибки»)
достигается при тех значениях коэффициентов afz,),
«2А), . . ., a®’ при которых линейная оценка (5) совпа-
дает с оценкой наилучшей в смысле первоначальной
N
версии МНК, т. е. в смысле минимума суммы 21 (Л/ — Уз)2-
j=i
Таково было обоснование метода наименьших квадра-
тов у Лапласа. Обоснование Лапласа было предпочти-
тельнее первого обоснования Гаусса в том отношении,
что оно в минимальной степени зависело от гипотез о за-
коне распределения ошибок наблюдений, как правило,
неизвестном. Однако оставалось совершенно неясным,
насколько метод наименьших квадратов пригоден при
малом числе наблюдений, если распределение их ошибок
отличается от нормального. Ответ был дан Гауссом в его
втором обосновании МНК.
3. В «Теории комбинации наблюдений, подверженной
наименьшим ошибкам» [9] Б, опубликованной в 1823 г.,
Гаусс рассмотрел схему наблюдений, еще более общую,
чем схема Лапласа. Ошибки наблюдений он предполагал
независимыми, с нулевыми средними значениями и ко-
нечными дисперсиями, число наблюдений N он освобо-
дил от требования быть достаточно большим (разумеется,
оно должно было оставаться не меньше числа неизвест-
ных п), а коэффициенты xjl) могли быть какими угодно.
6 Русский перевод [3, с. 17—87].
230
Наилучшей в классе линейных несмещенных оценок не-
известного параметра at Гаусс здесь принял, по определе-
нию, ту, которая имела наименьшую дисперсию. Тем са-
мым теперь Гаусс, как и Лаплас, измерял качество оценки
не отклонением вычисленных значений функции у от из-
меренных, как было в первоначальном принципе наимень-
ших квадратов, а отклонением оценки параметра яг от его
истинного значения яг. Искомая оценка оказалась совпа-
дающей с оценкой по методу наименьших квадратов в его
первоначальном понимании. Таково было второе обосно-
вание МНИ у Гаусса 6.
Спустя пять лет, в 1828 г., было опубликовано «Допол-
нение» Гаусса к «Теории комбинации наблюдений, под-
верженной наименьшим ошибкам» [14] 7. Основной его
предмет составляла задача построения линейной несме-
щенной оценки с минимальной дисперсией для значения
произвольной линейной функции от наблюдений, связан-
ных между собой некоторыми дополнительными урав-
нениями. Число уравнений предполагалось меньшим чис-
ла наблюдений.
Математическая схема здесь такова. Даны п линейных
уравнений, связывающих N величин ylt у2, . . ., у^:
N
^\ёиУ} = 1ъ, i = . (6)
причем п N. Коэффициенты gl} и ht известны. Точные
значения величин у1, у2, . . у^ неизвестны. В экспери-
менте они наблюдаются с некоторыми случайными ошиб-
ками е1, е2, . . e/у, -так что известны наблюдения ц1г
Пг» • n.v
Ъ’ = У! + еЬ 7 = 1 н- 7V,
которые, вообще говоря, системе уравнений (6) не удов-
летворяют. Ошибки — это выборочные значения слу-
чайных величин, предполагаемых независимыми, имеющи-
ми нулевые средние значения и известные конечные дис-
персии d17 d2, . . ., d/у.
Сдвигом переменных у2, . . ., у у можно сделать все
ht равными нулю, т. е. все уравнения (6) — однородными,
что и будет предполагаться далее. Гаусс рассматривает
6 Более подробно история метода наименьших квадратов до этого
пункта включительно освещена в работах Плаккета [10], Эйзен-
харта [11] и Шейнина [12, 13].
7 Русский перевод [3, с. 59—87].
231
именно этот случай, что не уменьшает общности. Будем
предполагать, что ранг матрицы || gtj || равен п.
Вместе с уравнениями (6) дана также линейная одно-
родная функция от величин уг, у2, . . ., Уы<
N
L' (yi, у*..., уц) = ^У} (7)
j=i
с известными коэффициентами Xj. Так как величины ylt
у2, . . ., г/у связаны между собой линейными уравнениями
(6), то они образуют линейное пространство YN~n размер-
ности N — n^N. Значение линейной функции L' (tlt
t2, . . ., iy) нас интересует не на всем TV-мерном простран-
стве всевозможных наборов из TV чисел (ix, t2, . . tN),
а только на его подпространстве Уу'п. Существует беско-
нечно много таких линейных функций L, определенных
на RN, значения которых на YN~n совпадают с L' (уг,
у2, . . yN), но не совпадают на всем пространстве RN.
Обозначим множество всех таких функций через X, X =
= {£}. Таким образом, на подпространстве YN'~n опреде-
лена линейная функция 2, которая может быть представ-
лена любой из линейных форм L ЕЕ X.
Пусть у = (уг, у2, . . ., г/у) — какая-нибудь точка под-
пространства YN~n, ц — (rji, ц2, . . ., цу) — совокупность
наблюдений величин г/х, у2, . . ., i/у. Тогда для всякой
функции L ЕЕ X выражение
L 011 > Т)2, • • • , t]N) = S (8)
i=i
есть линейная несмещенная оценка величины £ (у). Несме-
щенность ее следует из того, что математическое ожидание
случайной величины т); равно у; при каждом j — 1,
2, . . ., TV. Обратно, всякая линейная несмещенная оценка
величины 2 (г/) имеет вид (8), где L ЕЕ X.
Основную задачу, которую Гаусс решает в «Дополне-
нии к теории комбинации наблюдений», можно соформу-
лировать так: в классе линейных оценок величины £ (у)
найти эффективную оценку, т. е. несмещенную и с наи-
меньшей дисперсией. Это значит, что в классе линейных
функций X (= {£} нужно найти такую функцию L*(y),
для которой сумма
N
Ji dj7?j
i=i
будет минимальной.
232
Принцип наименьших квадратов применительно к рас-
сматриваемой схеме формулируется следующий! образом:
найти такую систему поправок elt ег, . . еу к наблюде-
ниям T)lt Ч2, • • -, ’In, чтобы исправленные наблюдения
= ’ll + ei, Па = "Ча + еа» • • ч ‘In = ’In + e.N
удовлетворяли системе уравнений (6):
N
3=1
и чтобы при этом была минимальной сумма квадратов по-
правок ег, еа, . . e.v, умноженных на веса наблюдений.
Беса наблюдений обратны дисперсиям: 1/di, l/d2, . . .
. . 1/d.v, так что требуется минимизировать сумму
М-
3=1
Один из основных результатов «Дополнения к теории
комбинации наблюдений» Гаусса связывает сформулиро-
ванную выше задачу о наилучшей оценке значения ли-
нейной функции с принципом наименьших квадратов.
Этот результат можно выразить так: значение наилучшей
линейной формы L* от данных наблюдений i'll, т1в,- • ., Hn
равно значению любой формы й Б Ж от исправленных на-
блюдений8 Т)!, "rig, . . ., Длг:
L* (’ll, Па, • ., t]v) = Ь (rjj, ТЬ . . ., 1ру). (9)
Постановку задачи мы изложили здесь значительно
подробнее, чем это сделал Гаусс, писавший очень сжато.
8 У Гаусса это записано несколько иначе — формулой
К = к — It: — IV — IV — ...
В ней К обозначает значение наилучшей линейной формы L* от
наблюдений т]1, т]2, . . т]Л,; к — значение исходной формы L1
от тех же наблюдений; I, I', I", ... — коэффициенты в линейной
форме L' при аргументах т^, т]2, . . —е, —е', —в", ... —
наилучшие поправки к наблюдениям гд, Ц2, . . (эти поправ-
ки мы обозначили через е1э е2, е3, . . .). Вообще говоря, Гаусс
рассматривает нелинейные уравнения связи между наблюдения-
ми, и оценку у него требуется построить для нелинейной функ-
ции от наблюдений. Но так как вес функции молчаливо предпо-
лагаются гладкими, а ошибки наблюдений предполагаются дос-
таточно малыми, вследствие чего малыми оказываются и иско-
мые поправки к наблюдениям, то задача у него сводится к линей-
ной.
233
Никаких геометрических иллюстраций при помощи много-
мерного линейного пространства у него нет.
В принципе теория, изложенная в «Дополнении...»
[14], эквивалентна той, которая содержится в «Теории
комбинации наблюдений» [9] 1823 г. Их можно считать дву-
мя версиями одной теории. Для ряда приложений новая
версия была удобнее, ее базисная схема лучше подходила
к некоторым практическим задачам. Хотя сам Гаусс, ви-
димо, понимал равносильность двух версий, специально
на этом вопросе он не останавливался, построив вторую
независимо от первой. Утверждение же об их эквивалент-
ности для читателя его работ, написанных весьма лако-
нично, было бы само по себе совсем не очевидно.
Эквивалентность двух версий второй теории Гаусса
состоит прежде всего в том, что любая частная задача,
разрешимая в одной из них, разрешима и в другой. Бо-
лее того, любую из двух версий можно свести к другой
без решения задачи на экстремум. Вот вывод первой вер-
сии из второй.
Пусть имеется линейная функция
У = 2 а&М.
i=l
Тогда для N наборов значений аргументов х(1), х(2) , . . .
. . ., имеют место N равенств
у}<=%а^>, i=l-r-N. (10)
i=l
Зафиксируем какой-нибудь один из номеров 1, 2, . . ., п
и обозначим его к. Пусть «2 , . . ., — любая
совокупность чисел, удовлетворяющая системе уравнений
N »
31 (11^
=0, 1 = 1,2,... ,к — 1,к +
j=i
Тогда
Ofc = 1J ^Уг (12)
3=1
Предположим, что ранг матрицы || х™ N равен
п, п <Z N. Будем считать числа х^ фиксированными,
234
а «, п, следовательно, уj — переменными. Тогда множество
всех наборов (ylt у2, . f у^), определяемых равенствами
(10), образует линейное пространство размерности п.
Назовем его У".
Равенство (12) показывает, что есть линейная функ-
ция от вектора у = (уг, у2, . . ., у к), определенная на ли-
нейном пространстве У11. Так как размерность простран-
ства У", равная п, меньше размерности пространства все-
возможных наборов из N чисел, то эта линейная функция,
рассматриваемая только на Уп, может быть представлена
бесчисленным множеством линейных форм вида (12). Каж-
дая из форм определеляется каким-то набором коэффи-
циентов а), а2 , . . , удовлетворяющим системе
уравнений (11).
Пусть Tjj, ц2, . . ., цх — наблюдения величин ylt yit . . .
. • ., Ух-
Ш = У) + j = 1 -Ь N,
где Ej — выборочные значения случайных величин с ну-
левыми средними и конечными дисперсиями dj. Тогда
функция от наблюдений а}:, определяемая формулой
N
ак= 3 «ГЧ (13)
есть линейная несмещенная оценка величины а^. Обрат-
но, всякая линейная несмещенная оценка величины а%
имеет вид (13), причем коэффициенты должны удовлет-
ворять системе уравнений (11).
Чтобы выбрать из класса линейных несмещенных
оценок величины наилучшую по Гауссу, т. е. ту, ко-
торая имеет наименьшую дисперсию, нужно взять такую
совокупность коэффициентов которая обращает
в минимум сумму
Но в силу вышеприведенной теоремы Гаусса о наилуч-
шей оценке линейной функции тот же результат получит-
ся, если в формуле (13) взять любую допустимую сово-
купность коэффициентов (т. е. удовлетворяющую
системе уравнений (И)), но вместо наблюдений т]7- подста-
вить уравненные их значения Т)7, т. е. те, совокупность
которых образует вектор, принадлежащий У”, и которые
233
обращают в минимум сумму квадратов взвешенных укло-
нений
N
5=1 1
А это как раз и будет означать, что принцип минимума
дисперсии линейной несмещенной оценки величины ак
дает тот же результат, что и принцип минимума суммы
квадратов уклонений уравненных наблюдений от факти-
ческих.
Приведенное рассуждение показывает, что первую
версию второй теории Гаусса можно свести ко второй ее
версии — в том смысле, что при этом не требуется снова
решать задачу на экстремум. В таком же смысле первая
теория наименьших квадратов Гаусса вытекает из вто-
рой его теории — но не наоборот. Можно также из вто-
рой версии второй теории вывести первую ее версию —
без решения экстремальной задачи. Однако этот вывод
более длинный и искусственный.
В историко-математических работах «Дополнение
к теории комбинации наблюдений» Гаусса иногда недо-
оценивается. Но если отвлечься от приложений, то раз-
витый в нем подход следует признать более совершенным,
чем в первой версии. Тому есть два основания. Во-пер-
вых, постановка задачи в «Дополнении...» не содержит
ничего «лишнего», а именно аргументов х(р. Ведь уравни-
вание наблюдений г]^, по сути дела, не зависит от того,
какой базис выбирается в пространстве Y71: важны толь-
ко связи между наблюдаемыми величинами pi, у2,. . .
. . ., ух, а связи эти проще всего задать неявными урав-
нениями (6). Во-вторых, в более поздней версии строит-
ся наилучшая оценка произвольной линейной функции
от наблюдений, тогда как в ранней версии строятся оцен-
ки лишь коэффициентов разложения по некоторому ба-
зису. В принципе всегда можно выбрать базис так, чтобы
заданная линейная функция от наблюдений была бы ка-
ким-нибудь коэффициентом в разложении по нему век-
тора наблюдаемых величин (pi, р2,. . ., ух), так что эти
две задачи эквивалентны. Но в поздней версии задача
сразу ставится и проще, и шире.
Вместе обе версии теории Гаусса образовали тот фун-
дамент, на который до сих пор опираются основные ме-
тоды уравнивания наблюдений, прежде всего в геодезии
и астрономии. Прямым продолжением этих работ Гаус-
236
са явились исследования астрономов и геодезистов
ф. В. Бесселя, П. А. Ганзена, Ф. Р. Гельмерта, Т. Н. Ти-
ле и ДР- С нынешним состоянием данных методов можно
познакомиться, например, по книгам Линника [15] и
Мазмшпвили [16].
4. Совершенно новое направление в теории наимень-
ших квадратов открыл П. Л. Чебышев в своей работе
«О непрерывных дробях» [17], опубликованной в 1855 г.
Здесь соприкоснулись две линии развития: с одной сто-
роны — теория наименьших квадратов, о которой шла
речь выше, а с другой — теория интерполяции функций,
создававшаяся трудами Ньютона, Лагранжа, Лапласа,
Гаусса, Коши и других математиков. В результате этого
соприкосновения возникла теория наилучшего средне-
квадратического приближения функций многочленами,
начало которой было положено рядом работ Чебышева
[17—23]. Эти же работы явились одним из источников об-
щей теории ортогональных систем функций.
Сказанный! объясняется тот особенный интерес, кото-
рый представляет момент, когда произошло ответвление
новой, чебышевской, теории наименьших квадратов от
прежней, гауссовской. Рассмотрим это более детально.
Вот что писал Чебышев в мемуаре «О непрерывных
дробях»: «Началом наших изысканий будет решение* сле-
дующей задачи:
Известны значения F (х) при п 4- 1 различных величи-
нах переменной х — ж0, a?i, ж2, . . ., жп; найти значение
этой функции при х = X, предполагая, что она выражает-
ся такою формулою-.
а -]- Ьх 4~ схй +...-[- gxm~1 -|- hxm,
где т не превосходит п, и притом так, чтобы погрешности
значений F (ж0), F (a?i), F (х2), . . ., F (хп) имели наимень-
шее влияние на искомую величину F (X)» [17, с. 103] ®.
Далее Чебышев сразу приступает к аналитическим
преобразованиям: «Выражения F (х) при х = ж0, Xi,
х2,. . ., хп дают нам такой ряд уравнений:
X (ж0) = а + Ьх0 + схд 4- ... 4* gx^ 1 4- hx™,
F (хг) = а 4- Ьх\ 4- cxj 4- • • 4- + hx™,
F (х2) = а 4- Ъхе 4- cxf 4- . . . 4- gx™~1 4- hx™ >
F (хп) = а + bxn + сх2п + . . . + gxn-1 4- hxn
9 Номера страниц в ссылках на работы Чебышева, Лапласа и Гаус-
са относятся к их собраниям сочинений,
237
Чтобы вывести отсюда значение F (X), мы умножаем эти
уравнения на неопределенные множители Хо, Хх, Х2, . .1
. . "кп и потом берем их сумму:
XoZ* (Хо) -J- ’KyF (xi) -J- "k^F (х2) 4~ • • • 4" (хп) =
= а (Хо 4- Xi -J- ^-2 4- ^п) 4"
4- Ь (XqXq 4- Zi.zi 4~ ^-2X2 4-... 4- ?.!1х„) 4~
4- С (Х0Хо 4- XjXj 4- ^2X2 4~ • • • + ^ЧгХп) 4-
4- S (^ох™ 1 4" MxJ” 1 4 ^гх2 1 4 • • • 4 ^пхп х) 4
4- h М 4 МГ 4- 4 ... 4 Мп)-
Сличая это с величиною F (X) = а 4- ЪХ 4 сХ2|- ...
. . . 4~ gXm~1 4- 1гХт, мы находим, что для равенства
F (X) = \F (х„) 4 М (хт) 4 Z2 F (х2) 4- • •
- • • 4 М (хп)
множители Хо, Xi, Z2,. . ., Хп должны удовлетворять та-
ким уравнениям;
^-о 4 4 ^-2 4" • • • 4 4, —
^oX’o 4~ Mi 4- ^2X2 4* • • • 4“ ^'пхп — -X»
^oXq 4 ^iXi 4 42х^ 4* • • • 4" ^пхпс= -Х4
МГ14- МГ1 + Ъъ1-14-... 4- Кхп -1 = Х”-1,
4- МГ 4- ^2хГ 4- • • • 4- Мп = Хт.
Этими уравнениями вполне определяются значения
множителей 10, Xj, Х2, . . ., Хп, если т ~ п\ ибо тогда чис-
ло их равно числу уравнений, и в этом случае для коэф-
фициентов формулы
F (X) = l0F (х0) + UF [(хх) 4- М (х2) + ••
• • • 4- М (хп),
определяющей значение F (X), возможна одна только си-
стема величин 10, Л1, 12<- • ч ^п- В противном случае,
если т <2 п, эти уравнения могут быть удовлетворены бес-
конечным множеством различных величин 10, Xi, Z2,. . .
. . ., 1П и каждая система таких величин по формуле
F (X) = l0F (х0) 4- KF (хх) 4- М (х2) 4- • •
• • • 4 М (х„)
238
нам доставит особенное выражение величины F (X). Но
цо условию задачи из этих различных выражений вели-
чины F (X) мы должны выбрать ту, в которой погрешно-
сти значений F (х0), F (зд), F (т2),. • F (а:и) имели бы
наименее влияния на искомую величину F (X); а для это-
го, как известно пз теорпп вероятностей, значения Хо,
Xi,’ Х2,- . ., кп в формуле
F (X) = k0F (х0) + XtF (Л1) + 7.2F (х2) + . . .
• • • 4~ knF (хп)
должны быть выбраны под условием наименьшей величи-
ны суммы
^1^-1 4" ^2^2 + • • • +
где через к%, к±, к%,. . кп означаем количества, пропор-
циональные средним величинам квадратов погрешностей
значений F (ж0), F(xi), Х(ж2),..., F (хп)» [17, с. 104—105].
Поясним задачу Чебышева и вышеприведенные его вы-
кладки. Будем рассматривать полиномы над каким угод-
но базисом, не обязательно етепенным, это не внесет ни-
каких усложнений.
Пусть дана последовательность п вещественных ли-
нейно независимых функций {<рг (ж)}", определенных на
каком угодно множестве, содержащем не менее N различ-
ных точек, где N п. Эта последовательность называет-
ся базисом. Полиномом (порядка п) над данным базисом
называется любая линейная комбинация входящих в него
функций:
Р(х)= Зщ<р{(х). (14)
i l
Пусть г/i = Р (xi), у% ~ Р (ж2),. ... yN = Р (xjy) —
значения полинома Р (х) в точках х = xi, х2,. . ., xN.
Запишем полином Р (х) как функцию его значений г/х,
у%,. • •, Z/n- Для этого рассмотрим N уравнений
Р fa) = S i = 1 -ь (15)
j=i
вместе с уравнением (14) как систему уравнений относи-
тельно неизвестных а2,. . ., ап. Так как число уравне-
ний в полученной системе, равное N + 1, больше числа
неизвестных п и так как эта система всегда (при каждом ж)
совместна, то уравнение (14) должно быть следствием урав-
нений (15). Это значит, что при каждом х существует та-
239
кая совокупность величин Zi (.т), л2 (ж),. . Х\ (л), ЧТц
имеют место равенства
N
Р(х)=^(х)Р(х}) (16)
И
N
<Pi fc) = S МЖ) *Рг 1 = 14-??. (17)
3=1
В силу (14) равенство (16) есть следствие равенств (17).
Представление полинома Р (х) в виде (16) справедли-
во для тех и только тех наборов функций Xi (х), Х2 (х),. . .
. . (х), которые удовлетворяют системе уравнений
(17). При N п таких наборов существует бесконечно
много.
Из соотношений (17) вытекает также, что для любого
полинома П (х) над базисом {<рг (а:)}" будет справедливо
равенство
N
П(1)=^^(а:)П(х/), . (18)
j=i
если только функции Xj (х) удовлетворяют этим соотно-
шениям. В последней формуле функции Ху (а?) всегда одни
и те же: они не зависят от полинома П (т), а зависят толь-
ко от базиса {<р{ (я)}.?
Предположим, что значения у±, у2,- -, Ум полинома
Р (х) измеряются со случайными погрешностями, так что
сами они остаются неизвестными, а известны их наблю-
дения
= У1 + ei, Цг = Уч + е2,- 4v = У\- + ev.
Случайные ошибки ei, е2,. ( ., еЛ- предполагаются незави-
симыми, имеющими нулевые средние значения и конечные
дисперсии di, <72,. . ., соответственно. Благодаря тому
что приближенные значения полинома даны в количестве,
превосходящем число неизвестных его коэффициентов, эти
значения можно комбинировать между собой так, чтобы
привести к минимуму среднюю ожидаемую ошибку опре-
деления величины Р (х).
Рассмотрим полином порядка п по базису {<рг (ж)}":
я(г)=2МФЬ> <19)
j=i
где Ху (а:) — какие угодно функции, удовлетворяющие
240
системе уравнений (17). При каждом фиксированном X
полином л (ж) является линейной (относительно наблюде-
ний t|j) несмещенной оценкой величины Р (ж). Обратно,
всякая линейная несмещенная оценка величины Р (ж)
имеет вид (19), где набор функций {X, (ж)}^ должен удовлет-
ворять системе уравнений (17). Из этого класса линейных
оценок необходимо выбрать ту, которая дает наименьшую
дисперсию. Иначе говоря, из множества наборов {Zj (ж)}^,
удовлетворяющих системе уравнений (17), нужно выб-
рать тот, который обращает в минимум сумму
(20)
j=i
Таково содержание задачи Чебышева. Сам он не делает
различия между многочленом Р (ж) (в его обозначениях
F (ж)), который неизвестен и значения которого Р (ж,)
даны со случайными ошибками, и оценкой этого многочле-
на (ее мы обозначили л (ж)), которую необходимо построить
и которая сама должна быть многочленом той же степени.
Эти два многочлена, вообще говоря, не совпадают. Осо-
бенность изложения Чебышева несколько затемняет смысл
задачи.
Своеобразие чебышевского подхода прежде всего в том,
что в отличие от первоначального принципа наименьших
квадратов Лежандра—Гаусса, где качество оценки изме-
рялось отклонением вычисленных значений линейной
функции от измеренных, а также в отличие от обоснования
Лапласа и второго обоснования Гаусса, в которых каче-
ство оценки неизвестного параметра линейной функции
измерялось по отклонению ее самой от истинного значения
параметра, у Чебышева качество оценки измеряется от-
клонением вычисленного значения многочлена от истин-
ного. Удивительное свойство метода наименьших квадра-
тов состоит в том, что все эти подходы приводили к одной
и той же оценке. Этот факт иногда затрудняет осознание
того обстоятельства, что в принципе все они различны:
при других критериях (например, при минимаксных) со-
ответствующие оценки получились бы несовпадающими.
Поставленную экстремальную задачу с ограничениями
Чебышев решает методом неопределенных множителей
Лагранжа. Он получает систему линейных уравнений,
которую решает не прямо, а обходным путем, используя
методы непрерывных дробей. Посредст вом довольно слож-
ных рассуждений Чебышев строит последовательность
241
Многочленов степени 0, 1, 2,. . п, ортогональных на мно-
жестве точек хй, хх,. . ., хп с весами I /г^, 1//4,. ... 1 Я
в этих точках. Искомый многочлен F (X) он представляет
суммой ряда по этой ортогональной системе. Лишь в са-
мом конце мемуара «О непрерывных дробях» доказывает-
ся, что этот многочлен одновременно приводит к мини-
муму сумму квадратов его уклонений от тех же самых
значений F (х}), содержащих случайные ошибки, с учетом
весов 1//cq, i/kl. . ., l/kn.
Таким образом, к ортогональным многочленам и к мно-
гочленам, наименее уклоняющимся от данной совокуп-
ности значений в смысле суммы квадратов, Чебышев при-
шел от задачи о наплучшей комбинации наблюдений. Этот
ход мысли был совсем не таким, какой впоследствии стал
расцениваться как наиболее простой и естественный. Про-
ще было бы начать прямо с наилучшего приближения
в среднеквадратической метрике или с построения систе-
мы ортогональных многочленов. Кстати, в работе «Об
интерполировании» [22], опубликованной в 1864 г., Че-
бышев исходил уже непосредственно из соотношений ор-
тогональности, строя нужную ему ортогональную после-
довательность многочленов возрастающих степеней и за-
тем выражая через нее многочлены, наименее уклоняю-
щиеся от данных значений в смысле суммы квадратов.
Тот факт, что исходной для исследований Чебышева
была задача о наилучшей комбинации наблюдений, весь-
ма знаменателен. Такой подход преобладал в то время.
«Отыскание наиболее выгодной комбинации [наблюде-
ний] есть одна из самых полезных задач теории вероятно-
стей, и она заслуживает внимания как геометров, так
и наблюдателей»,— писал Лаплас в упоминавшемся вы-
ше мемуаре [7, с. 402]. Ему вторил Гаусс: «Выбрать из та-
кого [бесконечного] разнообразия комбинаций наиболее
подходящие к делу, т. е. те, которые доставляют значе-
ния неизвестных, несущие наименьшие ошибки,— это
поистине самая важная задача в приложении математики
к натуральной философии» [9, с. 18].
Вместе с тем задача Чебышева достаточно оригиналь-
на- До него, по-видимому, никто столь прямо не ставил
вопрос о наилучшей комбинации наблюдений примени-
тельно к многочленам: по значениям многочлена, содер-
жащим случайные ошибки, построить для каждого зна-
чения аргумента такую оценку значения многочлена, ко-
торая при каждом аргументе имела бы наименьшую дис-
персию. Правда, еще Коши в работах 1835—1853 гг. за-
242
нимался наилучшими комбинациями наблюдений для
построения оценок полиномов над произвольным базисом,
но он оценивал непосредственно не значения полинома,
а его коэффициенты (см.: [24]).
5. Существенно ли в интересующем нас аспекте то об-
стоятельство, что Чебышев рассматривает только алгеб-
раические многочлены? А как обстояло бы дело с наилуч-
шей комбинацией наблюдений и с наилучшим приближе-
нием в случае полиномов по базису, отличному от степен-
ного базиса {х*-1}"? Оказывается, в отношении этих двух
задач ограничение степенным базисом никакой роли не
играет. Связь между ними имеет более общую природу.
Из имеющейся у Чебышева в статье «О непрерывных
дробях» смеси предложений, справедливых, по сути дела,
для любого базиса, с предложениями, имеющими смысл
только для степенного базиса, можно было бы выделить
первые и доказать их для произвольного базиса. Тем са-
мым была бы установлена эквивалентность двух задач
в случае произвольного базиса. И тогда оказалось бы, что
чебышевский подход по своей природе является столь же
общим, как и теория наилучшей комбинации наблюдений
Гаусса, и его можно было бы тоже считать своеобразным
вероятностным обоснованием метода наименьших квадра-
тов 10.
Для этого можно было бы по аналогии с выкладками
Чебышева искать минимум суммы (20) при ограничениях
(17) методом множителей Лагранжа. Функция Лагранжа
в этом общем случае такова:
N
3<ЧМ®)Г-
n N
— 3 2|A (Д 3 <*) <Pi (xy) — <pf (x)].
t=l 3=1
Здесь 2p,z- (x) — неопределенные множители Лагранжа.
Они зависят от х, поскольку можно считать, что задача
решается для каждого значенпя х. Если приравнять нулю
частные производные функции Лагранжа по %i, %2,. . .
..., 7w, то получим уравнения
dj^ (х) = 3 Pi (х) <Pi (хД 7 — 1 ч- TV. (21)
10 Мы не касаемся в этой статье другого, связанного с центральной
предельной теоремой обоснования МНК, излагавшегося Чебы-
шевым в лекциях по теории вероятностей, которые он читал в
Петербургском унивецситете в 1879—1-880 гг: [25].
243
Эти N уравнений вместе с п уравнениями (17) однозначно
определят N функций (ж), Х2 (ж),. . (ж) и п функций
pi (ж), р2 (х),. . ., рп (х).
Если решить полученную систему, содержащую N
+ п уравнений (вычисления удобно выполнять в матрич-
ной форме), и если найденные выражения функций
X; (х) подставить в (19), то тогда в качестве л (х) получится
тот же самый полином, который получился бы из условия
минимума суммы квадратов уклонений (с учетом весов)
N
Это рассуждение отличается от обычно излагаемого
МНК (см., например: [26, с. 296; 27, с. 272—273]) тем,
что в нем минимизируется дисперсия оценки значения
многочлена Р (х) при каждом х, а не его коэффициентов,
как делается обычно. Таким образом, получилось бы обоб-
щение схемы Чебышева на случай произвольного базиса,
не зависящее от результатов Гаусса.
Полное изложение намеченного рассуждения заняло
бы несколько страниц, и мы его опустим. Гораздо короче
и проще тот же результат выводится из теоремы Гаусса
о наилучшей оценке линейной функции. Причем вывод
этот не содержит решения экстремальной задачи.
Вывод таков. Числа у\, у2,- . ., y.v, будучи значениями
полинома порядка п при N > п не независимы один от
другого. Они удовлетворяют N — п линейным однород-
ным уравнениям. Совокупность всевозможных таких на-
боров (yi, у2,. . ., у^) образует линейное пространство
Уп размерности п. Прп каждом фиксированном х формула
Р(х)= J ^(х)У1
3=1
определяет линейную однородную функцию величин ух,
у2,. Ук- Две линейные функции такого вида совпадают
на У” тогда и только тогда, когда наборы их коэффициен-
тов {X,- (я)}Г удовлетворяют одной и той же системе урав-
нений (17).
Наилучшая оценка этой линейной функции, по наблю-
дениям
N
л (ж) = 2J Л; (22)
3=1
244
рсТЬ та, для которой обращается в минимум сумма
N
j=i
Относительно х функция л (х) есть полином порядка п
по базису {<рг (ж)}”. Он является решением обобщенной
(на случай произвольного базиса) задачи Чебышева о наи-
лучшей оценке значения полинома.
В силу теоремы Гаусса то же самое значение наилуч-
шей оценки линейной функции получится при любом на-
боре {Xj удовлетворяющем системе уравнений (17),
если вместо фактических наблюдений взять уравнен-
ные наблюдения, т. е. совокупность чисел (т]1, ц2,. . ., т]Л-).
принадлежащую пространству У” и обращающую в ми-
нимум сумму квадратов уклонений (с учетом весов)
Так как вектор (>]1,Ц2,. • • , Tv) принадлежит простран-
ству У11, то он представляет собой набор значений какого-
то полинома порядка п. Обозначим этот полином через
Л1 (х). Для него будет иметь место формула (18), причем
Л1 (Xj) — rjj. Равенство
N
Л1(а:)= S Х;(х)1]7 (23)
i=i
будет выполняться при любом наборе {X; (ж)}/, удовлет-
воряющем системе уравнений (17). Поскольку полином
Л1 (ж) обращает в минимум сумму квадратов взвешенных
уклонений
N
У, -4
3=1 1
то он является решением обобщенной (на случай произ-
вольного базиса) второй задачи Чебышева — задачи
о наилучшем среднеквадратическом приближении поли-
номом.
В силу теоремы Гаусса пфгиномы л (х) и Я1 (х) тожде-
ственно совпадают, что и требовалось доказать.
Таким образом, решения задачи о наилучшей комби-
нации наблюдений и о наилучшем среднеквадратическом
245
приближении совпадают для полиномов над любым бази-
сом. Отсюда следует, что задача о наилучшей комбинации
наблюдений, с которой сам Чебышев начинал свои изы-
скания, будучи обобщена на случай произвольного ба-
зиса, может служить для теории ортогональных разло-
жений таким же (эквивалентным) исходным пунктом, как
и задача о наилучшем среднеквадратическом прибли-
жении.
Изложенный анализ касается лишь самого общего ас-
пекта работы Чебышева «О непрерывных дробях» [17].
Пожалуй, большая часть результатов, полученных Че-
бышевым в работах по наилучшему среднеквадратичес-
кому приближению многочленами, связана со специфи-
кой алгебраических многочленов и не допускает распро-
странения на полиномы по произвольному базису. Ис-
следование этой части осталось за пределами настоящей
статьи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Legendre А. М. Nouvelles methodes pour la determination des
orbites des cometes. P., 1806.
2. Gauss C. F. Theoria motus corporum coelestium in sectionibus
conicis solem ambientium. Hamburg!, 1809.— Gauss C. F. Werke-
Gottingen, 1871. Bd. 7.
3. Гаусс К. Ф. Избранные геодезические сочинения: Способ наи-
меньших квадратов. М.: Геодезиздат, 1957. Т. 1.
4. A drain JR. Research concerning the probabilities of the errors
which happen in making observations // Anal. math, museum.
Philadelphia, 1808. Vol. 1. N 4. P. 93—109.
5. Шейнин О. Б. О работах Роберта Эдрепна по теории ошибок и
ее приложениям // Историко-математические исследования. М.:
Наука, 1965. Вып. 16. С. 325—336.
6. Майстров Л. Е. Теория вероятностей: Исторический очерк.
М.: Наука, 1967.
7. Laplace Р. S. Memoire suf les integrates definies et lent applica-
tion aux probabilites, et specialement a la recherche du milieu
qu’il faut choisir entre les resultats des observations // Mem. Acad.
P., lre ser., 1811, T. 11, pt 1 (1810). Idem. Oeuvres. P., 1898,1.12,
p. 357—412.
8. Laplace P. S. Theorie analytique des probabilites. Supplement
premier. 3 ed. P., 1820. Idem. Oeuvres. P. 1886. T. 7. P. 497—530.
9. Gauss C. F. Theoria combinationis observationum erroribus mi-
nimis obnoxiae // Comment, soc. sci. Gottingensis recentiores,
1823. Vol. 5. Idem. Werke. Gottingen, 1873, Bd. 4. S. 1—53.
10. Plackett R. L. The discovery of the method of least squares //.Bio-
metrika, 1972. Vol. 59. P. 239Д-251. Studies in the history of pro-
bability and statistics/Ed. by Kendall M. G. and Plackett R. L.
L., 1977. Vol. 2. P. 279—291.;
11. Eisenhart Ch. The meaning of «least» in least squares// J. Wash,
acad. sci., 1964, Vol. 54. P. 24—33.
246
io Shevnin О. В. Laplace's theory of errors//Arch. Hist. Exact Sei.
’ 1977. Vol. 17, N 1, P. 1—61.
<3. Sheyntn О. В. C. F. Gauss and the theory of errors.— Archive
for hist, of exact sciences, 1979, vol. 20, N 1, p. 21—72.
14. Gauss C. F. Supplemcntum theoriae combinationis observationum
erroribus minimis obnoxiae // Comment, soc. sci. Gottingensis
recentiores, 1828. Vol. 6. Idem. Gauss C. F. Werke. Gottingen,
1873. Bd. 4. S. 55—93.
15. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы матема-
тико-статистической теории обработки наблюдении. 2-е изд. М.:
Физматгиз, 1962.
16. Мазмишвили А. II. Способ наименьших квадратов. М.: Недра,
1968.
17. Чебышев II. Л. О непрерывных дробях // Учен. зап. Академии
наук. 1855. Вып. 3. С. 636—664; Чебышев П. Л. Поли. собр. соч.
М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1947, Т. 2. С. 103 -126.
18. Чебышев II. Л. Об одной формуле аналпза И Bull. Classe Phys.-
Math. Acad. Sci. St.-Petersbourg, 1854, вып. 13, c. 210. Чебы-
шев П. Л. Поли. собр. соч. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1947. Т. 2.
С. 99—100.
19. Чебышев II. Л. Sur le developpment des fonctions a uno seule
variable // Bull. Classe Phys.-Math. Acad. Sci. St.-Petersbourg,
1859. Vol. 1. P. 193—200; Чебышев Л. Л. О разложении функ-
ций одном переменной И Поли. собр. соч. М.; Л.: Изд-во АН
СССР. 1947. Т. 2. С. 335—341.
20. Чебышев П. Л. Sur 1’interpolation par la methode des moindres
cartes. Mem. Acad. Imp. Sci. St.- Petersbourg, VII ser., 1859.
Vol. 1, N 15, p. 1—24; Чебышев П. Л. Об интеполировании no
способу наименьших квадратов//Поли. собр. соч. М.; Л.: Изд-
во АН СССР, 1947. Т. 2. С. 314—334.
21. Чебышев Л. Л. Sur une nouvelle serie// Bull. Classe Phys.-Math.
Acad. Sci. St.-Petersbourg, 1858. Vol. 18. P. 257—261. Чебы-
шев П. Л. Об одном повом ряде И Поли. собр. соч. М.; Л.:
Изд-во АН СССР, 1947. Т. 2. С. 236—238. -
22. Чебышев Л. Л. Об интерполировании И Зап. Академии наук.
1864. Т. IV, № 5. Приложение. Чебышев Л. Л. Поли. собр. соч.
М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1947. Т. 2. С. 357-374.
23. Чебышев П. Л. Об интерполировании величин равноотстоя-
щих И Зап. Академии наук. 1875. Т. 25, № 5. Приложение; Че-
бышев Л. Л. Полн. собр. соч. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1948.
Т. 3. С. 66—87.
24. Головинский И. А. О методе интерполяции О. Л. Коши//Ис-
торико-математические исследования. М.: Наука, 1985. Вып. 28.
С. 26—77.
25. Чебышев П. Л. Теория вероятностей: Лекции 1879:—1880 гг./
Изданы А. Н. Крыловым по записям А. М. Ляпунова. М.; Л.:
Изд-во АН СССР, 1936.
26. Уилкс С. Математическая статистика. М.: Наука, 1967.
27. Климов Г. П. Теория вероятностей п математическая статисти-
ка. М.: Изд-во МГУ, 1983.
247
ИДЕИ ПЛЮККЕРА
в современной математической физике
С. Г. Гиндикин
В последнее время в математической физике стала no-
популярной идея твисторов Пенроуза [1, 2]. Ее исходным
пунктом является предложение рассматривать точки че-
тырехмерного пространства-времени как комплексные
прямые в трехмерном комплексном проективном простран-
стве. Твисторная программа возвращает нас к появив-
шейся немногим более ста лет назад работе Плюккера [3],
в которой впервые рассматривалось многообразие, точ-
ками которого являются прямые. В разработке идей
Плюккера приняли самое активное участие Клейн, Ли,
в известном смысле Э. Картан, но давно уже ими факти-
чески интересуется лишь сравнительно узкий круг спе-
циалистов. Почему так получилось?
Здесь уместно сказать несколько слов о судьбе проек-
тивной геометрии. В математику XX в. прочно вошел ее
элементарный концентр да некоторые общие положения
«Эрлангенской программы» Клейна. Однако ее высшие
разделы, которые несомненно составили одну из самых
ярких страниц математики XIX в., оказались на перифе-
рии современной математики. Надо сказать, что вообще
история проективной геометрии является уникальной по
своей драматичности. Достаточно сказать, что в течение
ста лет не вспоминали о пионерских работах Дезарга и
Паскаля, и даже Лейбниц, грезивший о новой геометрии
(«геометрии положения»), по-видимому, не оценил в дол-
жной степени геометрическое наследие Паскаля, А в ка-
кой еще области математики происходило нечто подобное
войне «аналитиков» и «синтетиков» в немецкой геометрии
XIX в. [4]? В нашем сегодняшнем восприятии геометрии
XIX в. мы склонны переоценивать место в ней неевкли-
довой геометрии. Безусловно, это было одно из величайших
открытий в истории математики, но оно в значительной
степени относилось к основаниям математики а не к соб-
ственно геометрии, и не случайно большинство крупных
геометров XIX в. не были вовлечены в разработку не-
евклидовой геометрии, а ее окончательное признание
связано с включением ее в рамки проективной геометрии
(интерпретация Кзли—Клейна).
248
Вехами генеральной линии развития проективной гео-
метрии являются не отдельные яркие результаты, но по-
явление новых видов геометрического видения: проектив-
ное мышление, включая принцип двойственности; выход
в комплексную область в вещественных задачах; неде-
фпнитные метрики и изотропные объекты (получение ре-
зультатов «по воздуху», как говорил Ли [4, с. 182]); пе-
реход к другой вещественной форме задачи, имеющей ту
же комплексную форму и т. д. Как можно судить по вы-
сказываниям Клейна, уже к концу века многие глубокие
проблемы перестают занимать геометров. Его беспокоит
судьба работ Ли по геометрии прямых: «Спрашивается,
наконец, почему существование этих исключительно бо-
гатых мыслями работ Ли не дало до сих пор желаемых
последствий; основание к этому можно видеть только в том,
что в них рассматриваются наряду друг с другом такие
разнородные вещи, как геометрия прямых линий, геомет-
рия сфер, дифференциальные уравнения. Всеми этими об-
ластями надо одинаково хорошо владеть, чтобы эти ра-
боты могли быть вполне понятны; постоянный переход
от одной области к другой требует известной опытности,
которой обладают только немногие математики» [5, с. 258].
Нам кажется, трудность, о которой говорит Клейн, со-
хранила злободневность: серьезные занятия геометрией
требуют широкого общематематпческого кругозора.
Современные математики нередко вспоминают те
или иные результаты классической проективной геомет-
рии. Можно вспомнить про вариации Гриффитса на тему
одной теоремы Понселе [6]. Очень популярна теорема о
существовании 27 прямых на кубической поверхности
в трехмерном проективном комплексном пространстве
С^3. Характерно, что Мамфорд, выбирая эту теорему
в качестве вершины, в нервом томе своей алгебраической
геометрии [7] называет ее «одной из жемчужин, спрятан-
ных в тряпье проективной геометрии». Е. М. Полищук
Г81 отмечает, что Ли всегда восторженно отзывался о Пон-
селе и Плюккере 1 и считает эти оценки несколько за-
вышенными (с. 149). Думается, что геометр по началу на-
учной деятельности, сохранивший интерес к геометрии на
всю жизнь, Софус Ли хорошо понимал цену двум, быть
может, самым самобытным геометрам XIX в., решительно
1 «Я с признательностью вспоминаю Плюккера, которому я осо-
бенно обязан развитием моего геометрического мышления»,—
Из письма Ли Клейну (цит. по: [8, с. 103]).
249
преобразовавшим геометрическую интуицию. Скорее,
сегодня мы забываем о многом, сделанном ими. Часто не-
оправданным кажется интерес классиков к частным зада-
чам геометрии на фоне нынешнего увлечения общими по-
становками.
Несколько слов о цитировавшейся работе Плюккера
[3] и ее влиянии на современную математику. К сожале-
нию, мы не имеем возможности останавливаться на дру-
гих достижениях Плюккера, среди которых введение од-
нородных проективных координат (возможно, первое рас-
смотрение расслоения!), аналитическое доказательство
принципа двойственности, теория алгебраических кри-
вых (формула Плюккера).
Итак, в проективном пространстве Р3 вводятся одно-
родные координаты (.т0; хр, х2\ я3) и рассматривается множе-
ство всех прямых. Задача состоит во введении глобальных
координат в этом множестве. Прямая характеризуется
парой точек х, у, которые различны, т. е. (х0;. . .; х3),
(уд- . . .; у3) не пропорциональны. Чтобы избавиться от
произвола в выборе точек х, у, рассматриваются выраже-
ния
Ра = ЪУ; — xfl/t, 0 < i, j < 3. (1)
Имеем ptj = — Ра, в частности pti = 0. Будем брать
Pij, г < Й пх шесть. Пропорциональные наборы {p,j} и
{bp,;} отвечают одной и той же прямой, а все рц не могут
одновременно обратиться в нуль. Наконец, имеется соот-
ношение
Ро1Ргз Р02Р13 “Ь Р03Р12 = Di (2)
и всякий ненулевой набор {р;;}, удовлетворяющий (2), яв-
ляется координатами некоторой прямой. Координаты рц
называются плюккеровыми.
Сегодня естественно воспринимать {p;j} как однородные
координаты точки в пятимерном проективном простран-
стве Р5, и тогда прямым в Р3 отвечают точки на квадри-
ке (2) в Р5. Эта квадрика имеет сигнатуру (3,3). Возмож-
но. это первый нетривиальный пример изоморфизма суще-
ственно различных геометрических структур (не случай-
но на это неоднократно обращали внимание 'математики,
близкие к Н. Бурбаки).
Уместно сказать, что зто высказывание является модер-
низацией результата Плюккера: такой формулировки не
только нет в [3], но она, по-видимому, противоречит его
идеологии.
250
У Плюккера многомерные Многообразия появляются
как многообразия различных однотипных геометрических
элементов в Р3. В зависимости от выбора основного эле-
мента получается та или иная размерность: три, если вы-
брать точки или плоскости, четыре, если — прямые,
восемь, если — кривые 2-го порядка. По Плюккеру, воз-
никают различные версии одной п той же проективной
геометрии, причем никакой геометрический элемент не
имеет преимущественного нрава быть выбранным за ос-
новной. С некоторой натяжкой можно сказать, что Плюк-
кер не различает геометрии (однородные многообразия)
с одной и той же группой движений (в данной ситуации
группы проективных преобразований пространства).
Роль стационарной подгруппы однородного пространства
выявил лишь Клейн. Плюккер не был склонен рассмат-
ривать многомерные пространства непосредственно («Пред-
ставление об n-мерном пространстве точек он считал,
как это выяснилось в одном случайном разговоре, „слиш-
ком метафизичным11» 14, с. 210)). По-видимому, Плюккер
еще не был готов полностью оторваться от трехмерия.
Для Клейна, ученика Плюккера, утверждение об изо-
морфизме уже достаточно органично, и он воспринимает
его как комбинацию идей Плюккера с более абстрактными
алгебраическими идеями Грассмана [5, с. 124]. Еще раз
подчеркнем, что все необходимое для теоремы об изо-
морфизме имеется в мемуаре Плюккера.
Проследим далее связи результатов Плюккера с сов-
ременной математикой. Если посмотреть как действуют
проективные преобразования Р3 (в однородных коорди-
натах их можно отождествить с элементами группы
5L(4; R) — матриц 4-го порядка с определителем 1),
то получатся проективные преобразования, сохраняющие
квадрику (2), т. е. ортогональная группа SO (3, 3) отно-
сительно формы с тремя плюсами и тремя минусами.
Итак, группы SL (4; R) и SO (3, 3) изоморфны (строго
говоря, с точностью до конечного центра). Это — один
из первых примеров изоморфизма маломерных клас-
сических групп в математике (другой важный пример —
изоморфизм групп 50(2, 1) и SL (2, R) движений плос-
кости Лобачевского в интерпретации Клейна и Пуанкаре
соответственно)1.
1 Этот изоморфизм естественно воспринимать также в рамках прин-
ципа перенесения Гессе [5, с. 200], предложенного в 1866 г. (т. е.
примерно в то же время, когда Плюккер завершал свою теорию).
Отправляясь от отображения проективной прямой Р1 на кониче-
251
Продолжим обсуждение изоморфизма. Мы ясно пони-
маем сегодня, что необходимо выявить те структуры
относительно которых мы имеем изоморфизм. Одно не-
сомненно: за сто лет мы научились говорить более инва-
риантно (достаточно посмотреть тексты старых геомет-
ров!). Итак, можно говорить об изоморфизме однородных
многообразий, но есть и другая возможность. Мы опять-
таки будем произносить слова, которых не было у Плюк-
кера, но будем лишь интерпретировать его формулы.
Плюккер записывает в плюккеровых координатах усло-
вие, что пара прямых р, р' пересекается, это условие
имеет вид L(p, р') = О (L — билинейная форма). Тогда
на многообразии прямых можно рассмотреть индуциро-
ванную конформную структуру (метрика с точностью до
функционального множителя), которая будет иметь сиг-
натуру (2,2) (многообразие четырехмерно), и прямые
будут пересекаться тогда и только тогда, когда они будут
находиться на нулевом расстоянии относительно этой
конформной метрики. В конформной геометрии инвариан-
тами являются углы между кривыми и отношения длин
инфинитезимальных отрезков.
На квадрике (2) конформная метрика имеет простой
геометрический смысл. Метрика (конформная) сигнатуры
(2, 2) полностью задается конусом изотропии в каждой
точке р: множеством р', находящихся на нулевом рас-
стоянии от р. Конус Vj, совпадает с пересечением квад-
рики с касательной плоскостью в р. Итак, имеется изо-
морфизм многообразия прямых в Р3 и (3, 3)-квадрики
в Р5 относительно канонических конформных структур
на них. Можно показать, что это многообразие явля-
ется конформно-плоским. Так что наше многообразие
можно характеризовать как компактное конформно-плос-
кое четырехмерное многообразие с сигнатурой (2, 2), и
этим оно полностью характеризуется.
Выявление конформной структуры на многообразии
прямых дает возможность вернуться к рассмотрению
проективных преобразований с точки зрения геометрии
прямых. Проективные преобразования в точности совпа_
скос сечение на проективной плоскости Р2 (по существу, восхо-
дящее к Дпофанту), Гессе вкладывает группу SL (2) проективных
преобразовании Р1 в группу SL (3) проективных преобразований
плоскости Р2 в виде подгруппы, сохраняющей коническое сече-
ние (которая изоморфна SO (2,1)). Конструкция Гессе, как и кон-
струкция Плюккера, представляется очень важной в исторической
перспективе как пионерская работа по использованию изомор-
физма в геометрии.
252
дают с конформными преобразованиями относительно
введенной канонической структуры. Это несколько не-
ожиданная характеризация проективной группы, по-ви-
димому, до конца не осознавалась в XIX в.; необходимо
было перейти от привычной конформной структуры для
знакоопределенной метрики к сигнатуре (2,2). Все же
Клейн с его рассмотрением полисферическпх координат
[5, с. 195] был, несомненно, близок к такому пониманию.
Теперь можно вспомнить про теорему Лиувилля (1850 г.)
о том, что в трехмерном пространстве локальные конформ-
ные преобразования совпадают с глобальными. Клейн
отмечал, что она справедлива в любой размерности,
большей двух, а мы можем добавить к этому, что утверж-
дение не зависит от сигнатуры метрики. Поэтому про-
ективные преобразования на многообразии прямых до-
пускают локальную характеризацию: их достаточно задать
в малой области на многообразии прямых и потребовать
лишь, чтобы они сохраняли конформную структуру (от-
ношение пересечения). Это одно из доказательств эф-
фективности принятия прямой за основной элемент (по
Плюккеру) в проективной геометрии.
Сегодня мы видим, что ряд важных математических
открытий того времени можно интерпретировать как ва-
риации на тему теоремы Лиувилля: теорему Дарбу о
геометрической характеризации проективных преобразо-
ваний можно рассматривать как аналог теоремы Лиувил-
ля для естественного обобщения конформной структуры
на пространство флагов (точка и проходящая через нее
прямая), и аналогично обстоит дело с теоремой Пуан-
каре о принудительном продолжении до глобальных би-
голоморфных отображений двумерного комплексного ша-
ра, заданных в окрестности точки границы. Однако
осознание общности и важности «лиувиллевских» ситуа-
ций в геометрии приходится лишь на самое последнее
время.
Заканчивая обзор собственно результатов Плюккера,
необходимо подчеркнуть, что они органически связаны
с аналитическим взглядом на геометрию. Онп возникли
из задачи о глобальных координатах на многообразии
прямых, и в дальнейшем Плюккер исходил из гипотезы,
что объекты, задаваемые в его координатах простыми
уравнениями (линейными или квадратичными), должны
иметь геометрический смысл.
Дальнейшее развитие геометрии прямых Плюккера
в значительной степени связано с переходом к другим
253
вещественным формам задачи. Здесь можно стартовать
с достаточно наивного вопроса. Поскольку геометрия пря-
мых в Р3 связана с квадрикой сигнатуры (3,3) в рь
нет ли содержательных геометрических задач, связанных
с другими сигнатурами — (4,2) или (5,1)? Ответ на этот
вопрос дали Клейн и Ли — непосредственные продолжа-
тели Плюккера. Клейн связал с квадрикой (5,1) гек-
сасферические координаты [5, с. 109]. Удивительно яркой
оказалась интерпретация Ли квадрики сигнатуры (4,2).
Оказалось, что если на четырехмерном многообразии сфер
в трехмерном пространстве естественным образом ввести
шесть однородных координат, то возможные значения
координат в точности заполнят (4,2)-квадрику [5, с. 110].
Более того, на многообразии сфер можно ввести такую
конформную метрику, что «расстояние» между сферами
будет равняться нулю тогда и только тогда, когда сферы
касаются друг друга. Эта четырехмерная метрика имеет
сигнатуру (3,1), т. е. сигнатуру Минковского. Конусы
изотропии (световые конусы!) совпадают с пересечениями
квадрики с касательными плоскостями. •
Однако мы забежали вперед, а Ли занимала анало-
гия между геометрией прямых Плюккера и его собствен-
ной геометрией сфер 19]. Возникает совершенно новый
способ получать геометрические утверждения. Переход
от одной квадрики к другой происходит при помощи
умножения одной из координат на i, но совсем непросто
научиться систематически преобразовывать при этом гео-
метрические утверждения на вещественном языке. Наи-
более яркий результат Ли, полученный из этих сооб-
ражений, состоит в том, что асимптотические линии и
линии кривизны на поверхности можно записать одина-
ковыми формулами, но первые связаны с геометрией
прямых, а вторые — с геометрией сфер. «Это предложе-
ние надо рассматривать как одно из самых блестящих
открытий дифференциальной геометрии за последнее вре-
мя» [5, с. 114]. По словам Э. Картапа, «одного этого от-
крытия было бы достаточно, чтобы обессмертить имя Ли»
(цит. по: [8, с. 55]). Я не могу согласиться с Е. М. По-
лищуком ]8], что эти оценки преувеличены. Другое дело,
что нам сегодня непросто восстановить перспективу, в
которой виделась Клейну и Э. Картану работа Ли.
Твисторная программа Пенроуза по существу исхо-
дит из той же проблематики, что и интерпретации Клей-
на — Ли вещественных форм четырехмерия Плюккера. Со-
гласно концепции Эйнштейна—Минковского пространст-
254
во-время отождествляется с плоской 4-метрикой сигна-
туры (3,1). Движения в этой метрике составляют группу
Пуанкаре, в которой аналогом подгруппы вращения яв-
ляется группа Лоренца. Часто физические уравнения
инвариантны не только относительно группы Пуанкаре,
но и относительно более широкой конформной группы
для метрики Минковского. В соответствии с этим воз-
никает конформная компактификация пространства Мин-
ковского; оно получается приклеиванием на бесконеч-
ности светового конуса (напомним, что при конформной
компактификации евклидового пространства на бесконеч-
ности добавляется одна точка). Оказывается, что кон-
формная группа — это 50(4, 2), а конформная компак-
тификация пространства Минковского — это квадрика
сигнатуры (4.2) в Ръ.
Можно пытаться связать эту компактификацию с гео-
метрией сфер Ли, но Пенроуз выбирает другой, более
прямолинейный, но, как оказалось, более плодотвор-
ный путь2. В то время как Клейн и Ли стремились
интерпретировать вещественные формы геометрии Плюк-
кера при помощи чисто вещественных геометрических
объектов, Пенроуз работает, не выходя из комплексного
пространства. Поучительно, что хотя геометры во вто-
рой половине XIX в. ясно понимали важность комплекс-
ных конструкций в вещественной геометрии, по воз-
можности они предпочитали обходиться вещественными
объектами.
Итак, задача «окомплексивается». Рассматриваются
прямые в трехмерном комплексном проективном простран-
стве СР3, и для них по (1) определяются комплексные
плюккеровы координаты рц, которые заполняют квадри-
ку Q CZ СР® (2). В комплексном пространстве все невы-
рожденные квадрики эквивалентны. Вещественные фор-
мы Qn квадрики Q мы получим, пересекая Q различными
подпространствами RP®. Пусть в пересечении получи-
лась квадрика Q4,2 сигнатуры (4,2). Поскольку точки
(?412 — это некоторые точки Q, нм, как п всем точкам
Q, отвечают комплексные прямые в СР3. В результате
Qотвечает семейство прямых в СР3, зависящее от
четырех вещественных параметров (пробегающих (Д,г).
2 Основные геометрические конструкции Пенроуза не выходят за
пределы теории симметрических пространств 3. Картава. Прин-
ципиальным является их использование в анализе.
255
Оказывается (см.: [2]), что всегда можно выбрать коор-
динаты так, что зто множество состоит из всех прямых
лежащих на поверхности | zo |2 + | |2 — | z2 |2 — | z312
= 0 (z0, zt, z2, z3 — однородные координаты в СР3). Это
единственная с точностью до проективных преобразова-
ний поверхность, на которой лежит семейство комплекс-
ных прямых, зависящее от четырех вещественных пара-
метров. В общем положении такое семейство заполняет
область в СР3. Так выглядит реализация Пенроуза кон-
формной компактификации пространства Минковского в
виде комплексных прямых во вспомогательном прост-
ранстве СР3, которое называют твисторным пространст-
вом. Подчеркнем, что эта конструкция принципиально
комплексна. Конформный класс метрики Минковского
полностью характеризуется тем, что «расстояние» между
прямыми равно нулю тогда и только тогда, когда они
пересекаются.
Аналогично можно рассмотреть вещественное сечение
()511 сигнатуры (5,1). Индуцированная на ней метрика
имеет сигнатуру (4,0), т. е. мы имеем плоскую конформно-
евклидову 4-метрику (a можно отождествить со сфе-
рой S'4). Это многообразие играет важную роль в евкли-
довой теории поля. Оказывается (выкладки можно найти
в [2]), что прямые, отвечающие точкам Q5 ь задают раз-
биение СР3 на непересекающиеся прямые. В подходя-
щих координатах это прямые, соединяющие пары точек
вида (zo, zlf z3, z3), (zt. —?o,—z3, z2). Они отвечают извест-
ному расслоению Хопфа СР3 над вещественной сферой
S'4 размерности 4. Другая интерпретация состоит в отоб-
ражении СР3 на одномерную кватернионную проектив-
ную прямую HP1 (эта реализация конформной 4-геомет-
рии была предложена Штуди в 1923 г.).
Мы видим, что к твисторным реализациям 4-метрик
ведет достаточно прямолинейный путь от геометрии Плюк-
кера. Можно только удивляться, что он был так поздно
реализован. Что же дает подход Пенроуза, кроме неко-
торых красивых геометрических интерпретаций? Для
этого нужно обсудить аналитическую сторону твисторной
программы.
В общих чертах она исходит из того, что различные
физические объекты на четырехмерном пространстве-вре-
мени имеют своих «двойников» на трехмерном твисторном
многообразии, причем твпсторная реализация проще. Эта
идеология восходит к работе Йона [10], который рассмот-
рел интегралы функции / (z1? хй, х3) на R3 по прямым
256
== atx3 + Рц — «г-^з Н- Рг'
/(ai, Pi! «а. Ра) = $/(«1*з + Pi, «2*з + Ра, *зМ*з • (3)
р результате функции от трех переменных ставится
в соответствие функция от четырех переменных. Для
дналитика понятно, что не могут получиться все функ-
ции от четырех переменных, и действительно, /, как
проверяется непосредственно, удовлетворяет уравнению
52//5cti6p2 — d2f!daidf>1 = 0. (4)
Йон показал, что всякое решение (4) представляется в
виде (3). Твисторная теория исходит из предположения,
что целый ряд уравнений математической физики полу-
чается просто как дополнительные соотношения, возни-
кающие при перенесении объектов, заданных на трехмер-
ном многообразии тввсторов, на четырехмерное прост-
ранство-время, подобно тому как (4) возникает при ин-
тегральном преобразовании /->/ (3).
Пенроуз показал, что таким образом могут быть ин-
терпретированы уравнения безмассовых полей (в зависи-
мости от спина это или волновое уравнение, или урав-
нение Дирака—Вейля, или уравнение Максвелла, или
линеаризованное уравнение Эйнштейна). В результате
можно получить интегральное представление для решений
безмассовых уравнений, аналогичное представлению Йо-
на (3). Об этом стоит сказать подробнее. Уравнение
(4) — это ультрагиперболическое уравнение, которое лег-
ко приводится к виду (d2/(d*/j)2 + дг/(ду2}2 — д2/((9у3)2 —
— д2/(ду4)2)и = 0. Это лапласиан, связанный с мет-
рикой сигнатуры (2,2), и это согласуется с тем, что на
многообразии прямых, как мы видели, имеется кано-
ническая метрика сигнатуры (2,2). Перед Пенроузом
стояла на аналитическом уровне задача, которая когда-то
на геометрическом уровне стояла перед Клейном и Ли:
перейти к другим сигнатурам — (3,1) и (4,0). Для этого
оказались удобными его комплексные интерпретации мет-
рик. Итак, надо научиться в построении Йона «умно-
жать на i».
Это оказалось сделать непросто. Довольно ясно, что
надо интегрировать по комплексным прямым. Но нетри-
виальным”’оказался выбор объекта ^для интегрирова-
ния. Интегрировать вместо функций’надо одномерные
д-когомологпп (когомологии Коши—Римана), и безмас-
совые уравнения оказались эквивалентными некоторым
9 Заказ № 2674
257
вариантам уравнений Коши—Римана на твисторном мВо
гообразии (подробнее см. [И]). Стоит отметить, что соо/
ветствующая техника была разработана в рамках много-
мерного комплексного анализа лишь в самое последнее
время.
Результаты о линейных безмассовых уравнениях все
же носили характер новых интересных интерпретаций
известных результатов. Интерес к твпсторам усилился
когда выяснилось, что при их помощи можно представ-
лять решения не только линейных, но и некоторых не-
линейных уравнений математической физики. В 1977 г.
Уорд [12] заметил, что при помощи твисторов задача
об описании инстантонов — автодуальных решений урав-
нения Янга—Миллса — может быть сведена к более
традиционной задаче о векторных расслоениях на (твп-
сторном) проективном пространстве СР3. Как нельзя кста-
ти, в последнее время стало известно многое о таких
расслоениях, кое-что пришлось доделать, но уже через
год была получена конструкция всех инстантонов (тео-
рема Атьи—Дрннфельда—Манина—Хнтчина). Число ра-
бот о твисторах резко возросло. Появились большие вве-
дения в теорию, в которых иногда вспоминали и Плюк-
кера. Физики изучали необходимую математическую
технику.
Сейчас период бурного увлечения твисторамп у фи-
зиков прошел; самые далекие планы реализовать не
удалось (не удалось, например, получить эффективную
параметризацию инстантонов, необходимую для кванто-
вания полей Янга—Миллса, хотя недавно доказано До-
нальдсоном существование рациональной параметризации,
не удалось эффективно строить решения полного урав-
нения Янга—Миллса). Но несмотря на скептицизм ряда
физиков, твисторы остаются респектабельным техниче-
ским средством в математической и теоретической физике.
При их помощи удалось построить монопольные реше-
ния (решения уравнения Богомольного), они оказались
полезны в супергравитацип.
Если для физиков остаются какие-то сомнения, то
для математиков значимость результатов, полученных при
помощи твисторного подхода, бесспорна. Возникли по-
становки” задач нового типа, оживившие некоторые раз-
делы алгебраической геометрии и многомерного комплекс-
ного анализа. Но наиболее удивительными являются
применения' твисторов к трудным задачам четырехмер-
ной топологии, полученные в 1983 г. Дональдсоном.
258
Наиболее эффектный результат Дональдсона состоит
в существовании нетривиальной гладкой структуры на R4.
Нам кажется, что идейные связи твпсторной програм-
мы Пенроуза с геометрией Плюккера не ограничиваются
реализацией плоского пространства-времени как много-
образия прямых. Фундаментальные результаты Пенроуза
относятся к искривленному пространству-времени, к по-
строению решений уравнения Эйнштейна [13]. Пенроуз
предлагает строить такие решения, искривляя твистор-
нос пространство и рассматривая в нем 4-параметричес-
кие семейства кривых. Деликатный вопрос — выбрать
кривые так, чтобы условие их пересечения было квад-
ратичным и индуцировало на многообразии кривых мет-
рику, как в случае плюккеровского многообразия пря-
мых. Эти условия записываются в виде системы нели-
нейных дифференциальных уравнений. Каждая индиви-
дуальная кривая должна быть прямой (рациональной
кривой), и в инфинитезимальной окрестности каждой
кривой семейство должно быть устроено как семейство
прямых. И. Н. Бернштейн и автор данной статьи пред-
ложили конструкцию таких семейств (решений уравне-
ния Эйнштейна), находящуюся в круге идей геомет-
рии Плюккера. Рассматривается восьмимерное многооб-
разие конических сечений в С/33 (как сказал бы Плюккер,
за основной элемент выбирается кривая 2-го порядка).
Условие пересечения таких кривых имеет степень во-
семь. Но оказывается, что можно описать четырехмерные
подмногообразия, на которых условия сводятся к квад-
ратичному, и так получается целый ряд явных решений
уравнения Эйнштейна [14, 15]. Идея Плюккера — ограни-
чиваться многообразиями реальных геометрических об-
разов,— которая, несомненно, ограничивала его кругозор,
сегодня оказывается эффективной при построении явных
решений нелинейных уравнений. Интерес к этим вопро-
сам способствует переносу центра тяжести с максимально
общих рассмотрений к частным ситуациям, в которых
возможен явный ответ, что так занимало математи-
ков XIX в.
Когда знакомишься с методами работы великих гео-
метров, трудно избежать ностальгии по их умению от-
крывать геометрические факты. Невольно хочется на со-
временном материале опробовать их способы рассуждать.
Мы закончим небольшим этюдом в стиле Плюккера.
Его содержание навеяно теоремой Гротендика о струк-
туре векторных расслоений на проективной прямой и
9*
259
связанной с ней вопросом о рациональных кривых
грассмановом многообразии.
Напомним, что через каждые трп прямые в Р3 Пр0
ходит единственный однополостный гиперболоид, на ко-
тором они принадлежат одному семейству образующих
Отметим, что наши рассмотрения проективны и гипербо-
лический параболоид эквивалентен однополостиому ги-
перболоиду. Пусть в пятимерном проективном простран
стве Р3 имеются четыре 3-плоскости в общем положении.
Тогда прямые пересечения каждой плоскости с тремя
другими порождают однополостный гиперболоид иа ней.
Получается четверка гиперболоидов в Р3, согласовано
сцепленных попарно по образующим. Согласованность
означает, что прямые пересечения принадлежат одному
семейству образующих. Пусть теперь имеется пятая плос-
кость, которая пересекает два из гиперболоидов по обра-
зующим из того же семейства (таких плоскостей имеется
двухпараметрическое семейство). Оказывается, что тогда
плоскость обязательно пересечет два других гиперболои-
да по образующим, причем все четыре прямые пересе-
чения будут лежать на одном гиперболоиде. Возникает
пятимерная конфигурация из пяти сцепленных гипербо-
лоидов и десяти прямых пересечения.
Я не понимаю, как можно доказать такое утверждение
синтетически, но можно предложить аналитическое рас-
суждение, несколько напоминающее рассуждения Плюк-
кера по геометрии алгебраических кривых. Пятерку плос-
костей можно, причем единственным образом, включить
в квадратичную кривую на грассманиане 3-плоскостеи
в Р3. Непосредственно проверяется, что каждая плоскость
из кривой пересекается с остальными по прямым, запол-
няющим гиперболоид. Одновременно получается усиле-
ние теоремы: пятерка гиперболоидов включается в од-
нопараметрическое семейство попарно сцепленных г» пер-
болоидов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Penrose R. Twister theory, its aims and achievements, in «Quan-
tum Gravity», Oxford symposium. Oxford: Clarendon press, 1975-
2. Gindikin S. G. The complexe universe of Roger Penrose // Math.
intellingencer. 1983. Vol. 5. N 1. P. 27—35.
3. Pliicker J. Neue Geometric des Raumes, gegriindet auf die Bctra-
chtung der geraden Linie als Raumelement. Leipzig, 1968—1969.
Bd. 1—2.
4. Ф. Клейн. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.;
Л.: ОПТП, 1937. Ч. 1.
260
5. Ф. Клейн. Высшая геометрия. М.; Л.: Гостехтеорлздат, 1939.
b" Grifjilhs Ph. A. Variations оп а theorem of Abel П Invent, math.,
1976. Vol. 35. P. 321—389.
7 Д. Мамфорд. Алгебраическая геометрия. 1: Комплексные про
ективные многообразия. М.: Мир, 1979. 256 с.
8. Е. М. Полищук. Софус Ли. Л.: Наука, 1983. 213 с.
9. Lie S. Uber complexe, insbesondere Linien und Kugel-Complexe,
mit Andwendung auf die Theorie partieller Differentialglei-
chungen 1 Ordming// Math, aim., 1872, Vol. 5. P. 145—256.
11) . John F. The ultrahyperbolic differential equation with four in-
dependent variables. Duke Math., J., 1938. Vol. 4. P. 300—322.
11. Гиндикин С. Г., Хенкин Г. M. Преобразование Пенроуза и
комплексная интегральная геометрия. М.: ВИНИТИ, 1981.
С. 57 112. (Соврем, пробл. математики, Т. 17.)
12. Ward П. On. self-dual gauge fields Ц Phys. Lett., 1977. Vol.
67 A. P. 81—82.
13. Penrose 11. Nonlinear gravitons and curved twistor theory H Gen.
rel. grav. 1976. Vol. 7. P. 31—52.
14. Gindikin S. G. Integral geometry and twistors H Leet, notes
Math., 1980. Vol. 970. P. 2-42.
15. Гиндикин С. Г. Пучки дифференциальных форм n уравнение
Эйнштейна И Ядер, физика. 1982. Т. 36, № 2(8). С. 537—548.
О ЛОГИКО-АРИФМЕТИЧЕСКОЙ КОНЦЕПЦИИ
ГОТЛОБА ФРЕГЕ
В. В. Мадер
Фридрих Людвиг Готлоб Фреге (1848—1925) — выдаю-
щийся немецкий логик и математик — является одним
из создателей современной математической логики. Вклад
Фреге в науку настолько весом, что и в настоящее время
интерес к логнко-математическим, семантическим и фило-
софским идеям Фреге не ослабевает. Напротив, в по-
следние два десятилетия наблюдается даже определен-
ное повышение интереса к теоретическому наследию Фре-
ге. Возник так называемый «фрегевский ренессанс». Уве-
личилось и продолжает лавинообразно нарастать число
публикаций, посвященных концепциям Фреге. Стали про-
водиться международные фрегевские конференции. Та-
ковы, например, симпозиум в Бад-Гомбурге в 1973 г.,
конференция в Пене в 1979 г., конференция в Шверине
в 1984 г. и др.
Фреге был ярким мыслителем, страстным критиком
субъективизма, эмпиризма и психологизма в логике и
математике. Он был глубоким исследователем исходных
логико-математических понятий. Он явился также осно-
261
воположниКом логической семантики. Он первым в щ..
тории математики и логики построил исчисление пре-
дикатов с равенством и был первым, кто пытался фак-
тически реализовать программу логицизма, состоявшую
в сведении арифметики (а затем и всей математики) к
логике. При этом Фреге постоянно вел острые научные
дискуссии с современниками, имел переписку с видней-
шими математиками и логиками своего времени, подвер-
гал критическому анализу научные концепции своих оп-
понентов, оказывал заметное влияние на Дж. Пеано,
Б. Рассела. Д. Гильберта, Э. Гуссерля и др.
Фреге считал, что одна из важнейших задач как фи-
лософии, так и математики и логики состоит в выяснении
природы первичных понятий. Он писал: «Науке свойст-
венно стремление доказывать все, что вообще может быть
доказано, не останавливаясь до тех пор, пока она не
наткнется на нечто недоказуемое. Наука должна стре-
миться сузить — насколько зто возможно — круг первич-
ных истин, так как именно в них, как в ростке, содер-
жится вся математика... И пока не будут выделены п
узнаны зтп первичные истины, не удастся выяснить, что,
собственно, представляет собой математика... Поэтому
недопустимо построение математики на базе таких рас-
плывчатых и по-разному понимаемых понятий, как „мно-
жество" и „число". Выяснение природы понятия числа —
важнейшая задача философии и математики» [1, с. 221].
II в самом деле, история математики показала, что
одного интуитивного убеждения в корректности матема-
тических конструкций, основанного на успешных их при-
менениях, далеко не достаточно. С течением времени
всегда возникает потребность в обосновании таких утвер-
ждений, которые раньше воспринимались как само собой
разумеющиеся. Возрастает уровень строгости и обна-
руживаются проблемы, которые до этого не осознава-
лись. Фреге писал по этому поводу следующее: «Если
некоторым мыслителям понятие натурального числа ка-
жется элементарным п достаточно ясным, то это следст-
вие того, что не учитывается необходимое условие всякого
познания: знание о незнании» [2, с. III]. Йо именно проб-
лемы, связанные с выяснением природы натуральных
чисел, Фреге представлял себе достаточно ясно. С его
точки зрения дело сводилось к решению следующих слож-
нейших задач.
1. Построить искусственный, символический язык, сво-
бодный от всех неточностей, неясностей, двусмысленно-
262
стей и противоречий, свойственных обиходному разговор-
яОлу языку. Ятот язык, который Фреге назвал понятий-
jjbiM письмом — Begriffsschvift, он представлял себе в фор-
ле логического исчисления (исчисления предикатов с
равенством).
2. Проанализировать различные попытки определения
натуральных чисел, вскрыть допущенные при этом ло-
гические ошибки, обосновать правомерность собственной
концепции, в которой арифметика рассматривалась как
ветвь логики.
3. Уточнить семантику языка, выяснить, что явля-
ется смыслом и значением имен и предложений, иссле-
довать природу понятий, обобщить понятие функции,
т. е. надо было создать то, что составило его знаменитую
теорию смысла.
4. Наконец, чисто логическим путем построить нату-
ральный ряд, опираясь на систему содержательно истин-
ных аксиом, обеспечить при этом семантическую замкну-
тость множества выводимых формул и тем самым обосно-
вать непротиворечивость этого построения.
При решении каждой из этих задач Фреге был перво-
проходцем, пробивающимся в неизведанную область. Но
Фреге не отступил п осуществил свой грандиозный за-
мысел. Основные работы, в которых, как ему казалось,
достаточно полно были решены все вышеперечисленные
задачи, были написаны им в период с 1879 г. по 1904 г.
Приведем перечень этих работ.
1879 1. Понятийное письмо (Begriffssclirift). 2. Фор-
мульный язык чистого мышления, построенный по об-
разцу арифметического [31. (Название работы [3] пере-
водится иногда и как «Исчисление понятий» или «Записи
в понятиях».)
1884 3. Основания арифметики: Логико-математиче-
ское исследование понятия числа [2].
1891 4. Функция и понятие.
1892 5. О смысле и значении. В. О понятии и пред-
мете.
1904 7. Н то такое функция. (Последние четыре ста-
тьи позднее были пзданы в одной книге под общим на-
званием «Функция, понятие, значение» [4]).
1893 8. Основные законы арифметики. Том 1. [5].
1903 9. Основные законы арифметики. Том 2. [6].
В работе [31, положившей начало «теории доказа-
тельств», Фреге впервые в истории науки построил ис-
кусственный язык в форме исчисления предикатов с ра-
263
1 я
а=>в
V л Яfa:) Рис. 1
fl fa;) 1 V^l fl fa), m.e. 3 j; fl fa)
B 3 Я^В, m.e. flV В
Я
В
3 ffl =>3 В), m.e. fl & 8
fl
Я
8
(fl=>B)=>(~\B^~\flJ
В
fl
Рис. 2
венством. Во введении Фреге пишет, что потребность
в корректном обосновании понятия числа и недостаточная
приспособленность естественного языка к этой цели при-
вели его к необходимости разработки искусственного
языка, лишенного расплывчатости, неясности и всех дру-
гих недостатков обиходного языка. Его целью было по-
строение языка, способного обеспечить ясность и чет-
кость цепочки умозаключений таким образом, чтобы не
было пробелов и не могли вкрасться незамеченные пред-
посылки. Это, по существу, частичное осуществление идей
Лейбница.
При построении этого языка в качестве основных ло-
гических связок Фреге выбрал импликацию и отрицание.
Из кванторных операторов он ограничился квантором
общности. Кроме того, он ввел «черту содержательно-
сти» — горизонтальную черточку, которая ставилась пе-
ред формулой и обозначала, что формула выражает не-
которое высказывание, т. е. обладает определенным со-
держанием. Если же высказывание, выраженное форму-
лой, ~ утверждалось, т. е. утверждалось, что это выска-
зывание истинно, то к горизоптальноп’черте слева’’до-
бавлялась еще вертикальная черточка. Например, запись
264
Л» означала, что высказывание, выраженное формулой
1. истинно. Для выражения логических операций Фреге
придумал своеобразную символику (рис. 1). Приведем
несколько примеров формул, имеющих более сложную
конструкцию (рис. 2).
Достоинства символики Фреге: двумерность, обозри-
мость, отсутствие скобок. Недостатки: отсутствие специаль-
ных символов для дизъюнкции, конъюнкции и квантора
существования, затрудняющее понимание смысла отдель-
ных формул, а также непривычность и громоздкость
записей.
Введя необходимую символику, Фреге выписывает сис-
тему аксиом:
«2Э(^2Э«),
(a Z3 (Ь ZD с)) ZD ((a ZD Ь) ZD (a ZD с)),
(aZJ(bZJ с)) Э (6 J (a Z) с)),
(aO&)Z>G&Z)»,
Т1а ZD а,
а
а = а,
(G = fc)ZD(P(«)ZDP(fc)),
VzZ* (х) Z3 Р (а).
Затем Фреге приводит правила вывода:
Л В, А Л^>Р(х)
В ' -1 ZD VxP (ж) ’
доказывает ряд теорем, т. е. строит то, что ныне назы-
вается классическим исчислением предикатов с равен-
ством.} Прп этом аксиомы не постулируются, а обос-
новываются как необходимые законы логики. Приводятся
содержательные рассуждения, показывающие, что пред-
положение о нарушении того или иного закона неизменно
ведет к противоречию. Чтобы оценить значимость этого
тРУДа Фреге, достаточно сопоставить его с работами его
предшественников и современников. Если Дж. Буль и
Э. Шрёдер при разработке алгебры логики пытались при-
способить математические методы к логике, с тем чтобы
создать своеобразный аппарат «логических уравнений»,
и достигли при этом, по выражению Э. Гуссерля, «только
блестящей арифметической техники и ничего более» [7,
S. 39], то Фреге, напротив, стремился добиться безупреч-
ной строгости в математике через посредство строго фор-
265
мализованнои логики и впервые в истории науки дейст-
вительно построил такое исчисление. К столетнему юбц
лею выхода в свет этого труда Фреге в Пене состоялась
конференция, материалы которой опубликованы в [8].
Па русском языке вышла статья [9], написанная участ-
ником этой конференции Б. В. Бирюковым совместно с
С. Н. Гоншореком и С. Б. Макаркиной.
Более усовершенствованный вариант «формульного язы-
ка чистого мышления» Фреге разработал в 1893 г. в ра-
боте [5, 6]. Этот вариант мы в дальнейшем н рассмотрим
подробнее.
Вторая чрезвычайно интересная работа Фреге — это
«Основания арифметики: Логико-математическое иссле-
дование понятия числа» [2]. Во введении Фреге обосно-
вывает необходимость именно логического анализа поня-
тия числа и показывает несостоятельность психологиче-
ского, прагматического и генетического подходов. Пере-
дадим ход мыслей Фреге в несколько сокращенном
виде.
Хотя понятие натурального числа как будто бы яв-
ляется общим у всех людей, но на самом деле даже среди
математиков существуют большие разногласия в вопро-
се о природе этих чисел. Это является дополнительным
стимулом к анализу понятия числа. Задача точного опре-
деления понятия числа является общей для математики
и философии, ио не имеет никакого отношения к психо-
логии, так как психологические факторы — чувства,
восприятия и представления — являются субъектпвны1-
ми, неопределенными, расплывчатыми и не могут слу-
жить основой для формирования точных, ясных и вполне
определенных математических понятий. Несостоятелен
и прагматический подход. «Если некоторое определение
оказывается удобным в применении, если нигде не воз-
никают противоречия, если удается раскрыть скрытые
связи и обнаружить закономерности более высокого по-
рядка, то считают это определение достаточно надеж-
ным и не пнтересуются его логическим оправданием. . .
И в самом деле, всякое определение должно оправды-
ваться своей продуктивностью и приспособленностью к
проведению доказательств. Но следует обратить внима-
ние и на то, что строгость доказательства будет лишь
кажущейся (даже если цепочка умозаключений не имеет
пробелов), если исходные определения оправданы лишь
тем, что не встретилось противоречия. Таким образом,
не может быть достигнута полная надежность, и надо
266
быть готовым в конце концов все же наткнуться на про-
тиворечие. которое способно разрушить все здание»
|2. С. 1X1.
Несостоятелен и генетический подход. Конечно, по-
нятие числа имеет свою историю, свое развитие, и рас-
смотрение этих аспектов вполне оправдано: это история
осмысления и уточнения понятий. Но эти рассмотрения
ие могут подменить логического анализа понятия, веду-
щего к точному его определению. Возврат в историческое
прошлое может помочь уяснить только истоки понятий,
когда они были неотчетливыми и расплывчатыми. Тем
ие менее когда хотят определить понятия, не будучи в
состоянии сделать это, то стараются, по крайней мере,
описать те психологические факторы, которые приводят
к соответствующим представлениям и которые иногда
воспринимаются как естественные генетические опре-
деления. Но в дальнейшем, при проведении доказа-
тельств, эти пояснения оказываются совершенно бесполез-
ными и нигде не используются. Поэтому задача не в том,
чтобы добиться «естественности» вводимых определений,
а в том, чтобы эти определения раскрывали существо
дела и были бы логически верными.
Если при точном определении математических поня-
тий психологические, прагматические и генетические
аспекты не имеют значения, то тесная связь с логикой
неоспорима: проверка и оправдание корректности опре-
делений и правомерности основанных на них доказа-
тельств — должны быть логически безупречными [2, с. XI].
Но Фреге ограничивается тем, что указывает на необхо-
димость логического анализа понятия числа, он пыта-
ется доказать более сильный тезис, а именно, что ариф-
метика может быть сведена к логике. Фреге приводит,
например, следующее рассуждение: «Арифметика имеет
дело со всем, что может быть сосчитано, т. е. она приложима
не только к реальному,' не только к представимому, но
и вообще ко всему, что может быть предметом мысли.
Не говорит ли зто о том, что законы чисел и законы мыш-
ления теснейшим образом связаны между собой?» 12, с.21].
Затем Фреге показывает, что все другие концепции,
основанные на эмпирическом, психологическом пли субъ-
ективно-идеалистическом подходе, обречены на неудачу.
Эмпирической точки зрения придерживались мно-
гие математики. Г. Кантор, не будучи эмпириком,
тем не менее считал, что натуральные числа возникли в
результате абстракции от предметов реальной действи-
267
тельности. Э. Шрёдер рассматривал числа как свойства
вещей, аналогичных таким свойствам, как цвет и форма.
Дж. Ст. Милль считал, что натуральные числа отражают
эмпирически наблюдаемые факты; п имя числа обозна-
чает свойство совокупности предметов, которое характе-
ризует способ членения этой совокупности на части. По
поводу этих точек зрения надо сделать одно важное за-
мечание. Кантор, Шрёдер и Милль считали, что мно-
жества эмпирически наблюдаемых предметов сами тоже
являются вполне реальными предметами. Поэтому они
воспринимали числа как абстракции от этих предметов.
Фреге же вообще не признавал множеств, считая это по-
нятие слишком неясным и неопределенным. Он пришел
к убеждению, что понятие числа не может быть получено
путем эмпирической абстракции от реальных предметов,
а является результатом абстракции более высокого по-
рядка. Чтобы показать ошибочность эмпирических кон-
цепций. он приводит, например, такое рассуждение.
Число не может быть свойством предмета, аналогичным
форме и цвету, так как цвет и форма предмета однознач-
но определены самим предметом, а вопрос о численности,
приписываемой предмету, может быть истолкован по-
разному и не имеет однозначного ответа. Например, на
вопрос «Какова численность некоторого набора карт из
карточной колоды?» нельзя ответить, так как не ясно,
что имеется в виду число карт или суммарное число
очков на этих картах. Эмпирический подход непригоден
и потому, что понятие об очень больших числах, например
о числе Ю10”, потребовало бы наблюдения соответству-
ющей огромной совокупности предметов, что вряд ли
возможно. И, наконец, если числа были бы абстракциями
от предметов реальной действительности, то было бы не-
понятно, каким образом они (без изменения их смысла)
могут оказаться пригодными для счета идеальных
предметов. Ведь для других абстракций от реаль-
ной действительности, таких, например, как «соленый»,
«голубой», «твердый», такой перенос просто невозможен.
Нельзя говорить о соленых понятиях, голубых словах
нли твердых умозаключениях. Фреге приводит еще и
ряд других доводов против эмпирической концепции.
Главная его мысль заключается в том, что эмпирики пу-
тают арифметические утверждения с их приложениями,
отождествляя арифметические истины с эмпирически наб-
людаемыми фактами. Но приложения могут .быть раз-
личными, а искусственное и неправомерное связывание
268
арифметических утверждений с частными ситуациями
лишает их всеобщности.
Затем он показывает, что и психологический подход
несостоятелен. Он приводит слова Шлёмильха, который
считал, что числа — суть представления об определен-
ных местах в числовом ряду. Опровергая его, Фреге
пишет, что представления субъективны, а значит, раз-
личны у всех людей, и, кроме того, человеческие возмож-
ности в выработке представлений весьма ограничены,
п поэтому их не хватило бы для фиксации всех чисел.
Несостоятельны и идеалистические концепции, сво-
дящие познание к непосредственному, «внутреннему»,
созерцанию. II. Кант, например, считал натуральные
числа синтетическими априорными понятиями, а так как
в этом случае опора на опыт исключена, то основой по-
знания Кант вынужден был признать «чисто созерцание».
Но с возможностью чистого созерцания такого, например,
числа, как 100 000, трудно согласиться. И вообще, за-
мечает Фреге, «слишком часто ссылаются на внутреннее
созерцание, когда не удается указать другого основа-
ния» [2, с. 19].
Фреге довольно подробно рассматривает и традици-
онную точку зрения, восходящую еще к Евклиду и
трактующую число как множество единиц. Фреге пока-
зывает, что этой точки зрения по существу придержива-
лись Г. В. Лейбниц, Т. Гоббс, Д. Локк, Э. Шрёдер,
Дж. Ст. Милль и многие другие, в том числе и И. Томэ,
который был коллегой Фреге по Йенскому университе-
ту. При таком подходе каждая из сосчитываемых вещей
принимается за «единицу». Однако, как показывает Фре-
ге, «быть единицей» не означает ничего другого, как
«быть вещью», — это просто тавтология. Кроме того,
возникает противоречие. С одной стороны, сосчитывае-
мые вещи должны различаться. На это указывали мно-
гие. Шрёдер, например, писал, что задача сосчитать
предметы может быть разумным образом поставлена лишь
при условии, что подлежащие счету предметы различны.
Р. Декарт тоже указывал, что множественность вещей
происходит из их различий. Но если предметы различны,
замечает Фреге, то путем абстракции получить понятие
численности нельзя. Ошибочна, например, точка зре-
ния Томэ, который утверждал, что абстракция от осо-
бенностей и признаков элементов, по которым они отли-
чаются друг от друга, якобы приводит к понятию чис-
ленности множества рассматриваемых вещей. На самом
269
деле это не так: при такой абстракции возникает нечто
другое — возникает общее понятие, под которое подпа-
дают все предметы из этого множества. Значит, если
сосчитываемые вещи считать различными, то путем абст-
ракции понятие численности получить нельзя. Но, с дру.
гой стороны, считать предметы равными тоже нельзя.
На уровне понятийного мышления это просто невозмож-
но, а если бы это все же удалось, то вследствие неразли-
чимости мы имели бы только один предмет. Не помо-
гают и такие уловки, как предложение рассмотреть
абсолютно одинаковые предметы, различающиеся только
своим положением в пространстве или во времени.
В этом случае, рассматривая, например, различно распо-
ложенные три точки, мы имели бы разные объекты и по-
лучили бы целый набор различных «троек», которые
выражали бы фигурные характеристики, а не количе-
ственные. Не спасает и предложение У. С. Джевонса
воспользоваться еще и абстракцией от характера раз-
личия, так как таким путем нельзя получить понятпе
числа 1 и числа 0; а то, что не подходит для 0 и 1, не может
быть общим и существенным для всех чисел.
Подводя итог, Фреге пишет: «Если мы хотим связать
понятие числа с множеством различных предметов, то
мы получаем совокупность, в которой содержатся эти
различающиеся друг от друга предметы, а зто не есть
понятие числа. Если же мы хотим получить понятие чис-
ла в результате объединения одинаковых, неразличи-
мых предметов, то в виду неразличимости все эти пред-
меты сливаются в одно и множественность исчезает»
[2, с. 50]. А это значит, что во всех концепциях, где число
трактуется как множество единиц, мы имеем только иллю-
зию корректного рассуждения.
Э. Шрёдер предлагает1 оригинальный выход из поло-
жения: вместо того, чтобы сами сосчитываемые предме-
ты неоправданно считать равными друг другу единицами,
он предлагает поставить в соответствие каждому из этих
предметов один и тот же знак 1, записать столько 1,
сколько имеется сосчитываемых предметов, поставить
между этими знаками знак «4 » и полученное выраже-
ние (вида 1 4- 1 + 1 4- 1)> по определению, называть
«числом, выражающим число сосчитанных ^предметов».
Фреге, однако, замечает, что в этом случае .понятие чис-
ленности не определяется, а просто подменяется опреде-
ленным знаком. Кроме того, выражение, что этот знак
«выражает число сосчитанных предметов» лишено смыс-
270
5а так как понятие «числа предметов» не определено.
Критическому анализу Фреге подверг п конщ пцпю
Г. Грассмана, считая, что в ней отсутствует содержательное
определение понятия числа, и указывая, что конструктив-
ные определения суммы и произведения (с помощью соот-
ветствующих рекурсивных схем) недостаточно обоснованы,
так как конструктивность не обеспечивает еще однознач-
ность результатов вычислений. В работа [10] Бирюковы
высказывают мысль, что в данном случае мнение Фреге
тоже недостаточно обосновано.
Критика, которой Фреге подверг существовавшие в
то время ’концепции, безусловно, во многом правильна.
Во всех рассмотренных им попытках определения поня-
тия числа было немало ошибочного и незрелого. Масса раз-
личных точек зрения показывает, насколько сложен и
труден был путь познания — путь осмысления понятия
натурального числа.
В то же время следует отметить, что в ряде концеп-
ций содержались рациональные зерна, и со временем
именно эти ростки дали современные теории. Так, мысль
Шрёдера, что сосчитываемому множеству надо сопоста-
вить некоторое знакосочетание из единиц, при дальней-
шем развитии приводит к идее, что сначала надо кон-
структивным путем построить натуральный ряд как
последовательность наборов из единиц (т. е. сначала
ввести порядковые натуральные числа), а затем уже дока-
зать, что при любом пересчете сосчитываемого множества
счет всегда заканчивается на одном и том же числе, ко-
торое вследствие этого и может быть сопоставлено мно-
жеству в качестве его количественной характеристики.
В таком виде эта концепция изложена, например,
Д. Гильбертом [11]. В несколько ином варианте, когда
натуральный ряд задан не конструктивно, а аксиомати-
чески, эта концепция изложена В. Мадером [12].
Вернемся, однако, к Фреге. Пытаясь раскрыть при-
роду понятия числа, он обращает внимание на то, что
в отличие от эмпирических абстракций, основанных на
чувственных восприятиях, понятие числа связано с оп-
ределенной установкой. Например, «одна пара сапог»
может также рассматриваться и как «два сапога», и,
значит, соответствующая численность не есть нечто, на-
ходящееся в вещах, присущее им, являющееся их свой-
ством, а зависит от установки, под углом зрения которой
эти вещи рассматриваются, т. е. зависит от того понятия,
под которое они подводятся. Если понятие таково, что
271
подпадающие под него предметы четко разграничены ц
неделимы, то этому понятию соответствует определенная
численность. Например, понятие «буква слова ЧИСЛО»
имеет численность 5, понятие «спутник^ планеты Вене-
ра» имеет численность 0 (так как у этой планеты спут-
ников нет), понятие «диагональ квадрата» имеет числен-
ность 2, и т. д. Если же под понятие подпадают как пред-
меты, так и их частп п эти предметы, таким образом, мо-
гут быть произвольно разграничены, допускают про-
извольное деление, не индивидуализированы, то такому
понятию либо вообще никакой численности приписать
нельзя, либо можно условно приписать численность «оо».
Таково, например, понятие «красный».
Фреге замечает, что аналогичная точка зрения была
у Б. Спинозы, который писал, что понятия могут быть
получены не только абстракцией от предметов, но могут
возникнуть и как результат абстракции более высоко-
го уровня. Таково, например, понятие численности, ко-
торое не является свойством вещей, а является свойством
того абстрактного понятия, под которое они подведены.
Следует отметить, что эта концепция допускает и дру-
гую интерпретацию: численность можно понимать не толь-
ко как свойство понятия, но и как свойство множества
предметов, обладающих этим свойством. Ведь «множе-
ства» реально не существуют — это такая же абстрактная
идея, как и идея «понятия», под которую подпадают
предметы из множества. Но Фреге избегал употребления
термина «множество» как недостаточно ясного и рассмат-
ривал численность как свойство понятия. Кантор же,
исходивший из наивных теоретико-множественных со-
ображений, рассматривал множества как вполне кон-
кретные предметы и считал численность (пли мощность)
свойством множества. ‘
Установив, что численность есть свойство понятия,
Фреге переходит к определению численности, вернее,
он пытается уточнить смысл этого понятия. Он рассмат-
ривает три варианта и, показав несостоятельность пер-
вых двух, останавливается на третьем.
Первый вариант таков: численность 0 приписывается
пустому понятию.
Численность 1 приписывается непустому понятию
Р, удовлетворяющему условию Va, b (Р (а) & Р (b) Z)
ZZ) а = Ь).
Далее по индукции: численность п 1 приписыва-
ется понятию Р, если можно указать конкретный пред-
272
ует а, подпадающий под это понятие, и, кроме того, по-
нятие «обладать свойством Р. но не совпадать с а» имеет
численность п.
Это определение имеет целый ряд недостатков. Фреге
указывает следующие.
1. Численность определяется через посредство пред-
метов (чисел), которые «приписываются» понятию. Но
численность — это свойство понятия, а число — это пред-
мет, это мера численности. Значит, сначала надо иметь
эти загадочные предметы, а о них как раз ничего не из-
вестно. Даже о числах 0 и 1 мы не знаем, что они собой
представляют. Неизвестно, существуют ли вообще такие
предметы.
2. Неизвестно, будет ли это «приписывание» одно-
значным. Если, например, некоторое понятие имеет чис-
ленность а и оно же имеет численность Ь, то из опреде-
ления не следует, что а = Ъ, и это доказать нельзя.
3. Неизвестно даже, можно ли вообще говорить о
«равенстве» абстрактных предметов, приписываемых по-
нятию, если природа этих предметов неизвестна. Фреге
указывает, что для этого было бы достаточно убедиться
в выполнимости условий, выдвинутых еще Лейбницем
в качестве определения равенства:
I. а = а.
II. (а = b) (Р (a) ZD Р (Ь)) для любого Р.
Эти условия, по существу, выражают требование взаимо-
заменимости различных имен одного и того же предмета.
Но приведенное определение численности не позволяет
проверить это требование.
4. Неизвестен критерий распознаваемости предметов,
могущих служить мерами численности. Из определения
нельзя узнать, является некоторый предмет а числом
или нет.
Кроме недостатков, указанных Фреге, следует отме-
тить, что некорректно и рассуждение по индукции, так
как при этом используется операция прибавления еди-
ницы, которая не определена, и, кроме того, не обо-
снована сама правомерность использования принципа
индукции, так как этот принцип является одной из основ-
ных характеристик натурального ряда, а он только еще
должен быть построен.
Проведенный анализ показывает, что природа числа
должна быть как-то конкретизирована. Но числа не об-
ладают ни пространственной, ни временной определен-
273
ностью. «И если мы все-такп используем какие-то пред-
ставления, так как безобразное мышление вряд ли воз-
можно, то этп представления лишь произвольны и услов-
ны» [2, с. 711. Как же могут быть заданы числа, если они
не связаны с представлениями и восприятиями? Фреге
показывает, что это и не нужно. Надо иметь только кри-
терий распознаваемости чисел; достаточно даже иметь
только критерий для распознаваемости равенства чисел.
Для достижения этой цели пужеп другой вариант опре-
деления численности. Этот второй вариант Фреге строит
с помощью так называемых «определений через абстрак-
цию». (Следует отметить, что явное использование «прин-
ципа абстракции» для введения новых абстрактных пред-
метов является одной из заслуг Фреге.) Идея таких опре-
делений состоит в том, чтобы от отношения эквивалентно-
сти перейти к равенству вновь вводимых предметов.
Например, отношение подобия треугольников можно
истолковать как равенство «форм» этих треугольников:
А АВС со А'В'С' *-> (форма А АВС) (форме ДЛ'Й'С').
Точно так же отношение параллельности прямых
приводит к равенству «направлений» этих прямых:
а || b <-+ (напр. а) = (напр. Ь).
Следуя этой схеме, можно ввести сначала отношение рав-
ночисленности: два понятия равночисленны, если между
предметами, подпадающими под эти понятия, можно
установить взаимно однозначное соответствие. Затем
от отношения равночисленности, являющегося отноше-
нием эквивалентности, можно перейти к равенству но-
вых предметов — «численностей» этих понятий. Например,
если Р и Q равночисленные понятия, т. е. Р со Q, то
получим:
Р со Q «-> (числен. Р) = (числен. Q).
Хотя понятие «численности» при таком подходе все еще
остается неясным, но по сравнению с первым вариантом
прогресс заключается в том, что теперь имеется критерий
равенства численностей, вытекающий из самого опре-
деления: для того чтобы убедиться в равенстве численнос-
тей, приписываемых двум понятиям Р и Q, достаточно
проверить, что эти понятия равночисленны, т. е. Р со Q.
Все остальные дефекты, которыми страдал первый ва-
риант, к сожалению, имеются и во втором.
Фреге указывает, что для дальнейшего совершенство-
27 \
вания этой концепции понятие численности должно быть
еще больше конкретизировано: должен быть точно ука-
зан носитель этого понятия.
Это Фреге делает в третьем, окончательном варианте
определения численности. Он приводит такое определе-
ние: численность понятия Р есть объем понятия «быть
понятием, равночисленным понятию /’». (При этом Фреге
поясняет, что значение слов «объем понятия» предпола-
гается известным.) Если перевестп это определение на
теоретико-множественный язык, то станет ясным, что
под численностью понятия Р Фреге понимал класс всех
тех множеств, которые представляют собой объемы по-
нятий, равночисленных понятию Р. Но так как Фреге
не хочет пользоваться понятиями теорпп множеств,
то термин «объем понятий» остается неопределенным.
Поэтому приведенное разъяснение термина «численность»
на самом деле не является определением в строгом фор-
мально-логическом смысле. Речь идет только об интер-
претации этого понятия.
Фреге показывает, что при указанной интерпретации
понятие численности уже не обладает теми дефектами,
которые обсуждались вначале. В самом деле: 1. Числен-
ность является теперь некоторым предметом, который,
правда, формально не определен (известен только крите-
рий равенства), но интуитивно обладает достаточной
ясностью. 2. Из самого определения следует его одно-
значность (конечно, в предположении, что термин «объем
понятия» понимается однозначно). 3. Чтобы убедиться,
что о равенстве численностей можно говорить в обычном
смысле, надо проверить условие взаимозаменимости рав-
ных численностей в высказываниях о них. Какие же вы-
сказывания могут быть о численностях, если учесть, что
они являются объемами понятий (т. е. множествами)?
Это могут быть только высказывания о равенстве или
о включении. Фреге рассматривает оба случая.
Если объем понятия «быть равночисленны i понятию
Р» равен объему понятия «быть равночисленным поня-
тию Q». то, по принятому определению. численность Р
равна численности Q. Кроме того, отсюда следует, что
и сами понятия Р и Q равночисленны, а значит, условие
взаимозаменимости выполнено. Второй же случай, ко-
торый мог бы привести к осложнениям, просто невоз-
можен. Для большей наглядности рассмотрим этот слу-
чай в теоретико-множественной интерпретации. Для удоб-
ства вместо «равночисленностц понятий» будем говорить
275
о «равночисленности объемов этих понятий». Допустим,
что этот случай все же имеет место, т. е. класс множеств,
равночисленных объему понятия Р, составляет часть
класса множеств, равночисленных объему понятия Q
(т. е. включен в него). Тогда объем понятия Р, будучи
элементом первого класса, должен принадлежать и вто-
рому классу, все элементы которого равночисленны объ-
ему понятия Q. Значит, объемы понятий Р и Q равночис-
ленны. Следовательно, они должны принадлежать одному
и тому же классу, что, однако, невозможно, так как по
предположению первый класс есть только часть второго.
4. Имеется критерий распознаваемости предметов, мо-
гущих быть численностями понятий. Эти предметы дол-
жны быть классами равночисленных понятий (т. е. клас-
сами эквивалентности, порожденными отношением рав-
ночисленности) .
Следует заметить, что все эти объяснения основаны
на отождествлении «численностей» с интуитивными пред-
ставлениями об «объемах понятий». На самом же деле
это только одна из возможных интерпретаций «численно-
стей». Единственное, что действительно известно об этпх
объектах, это то, что если они равны, то соответствующие
понятия равночисленны. Значит, Фреге доказал только
то, что при данной интерпретации численностей сомне-
ния 1 — 4 снимаются.
Позже, в работе [5, 6], при фактическом построении
своей теории Фреге рассуждает уже вполне корректно,
используя только то, что следует из формального опре-
деления численностей, и оставляя за интерпретацией
лишь роль определенного способа «видения», опреде-
ленного способа «понимания» своих построений.
Определив общее понятие численности, Фреге при-
водит определения некоторых конкретных численно-
стей: «О» есть численность понятия «не равняться само-
му себе» (т. е. численность пустого понятия); «1» есть
численность понятия «быть равным нулю». В отличие
от первого варианта, когда численности 0 и 1 просто «при-
писывались» соответствующим понятиям, но природа
этих численностей оставалась неизвестной, сейчас из-
вестно (по крайней мере на интуитивном уровне), что
представляют собой эти численности.
Затем Фреге определяет понятие «непосредственного
следования»: численность п непосредственно следует за
численностью к, если существует понятие Р численности
п, существует предмет а, подпадающий под это понятие
276
р, и новое понятие — «подпадать под понятие Р, но не
совпадать с а» — имеет численность к.
Пользуясь этим определением, можно заключить,
что 1 непосредственно следует за 0. После этого Фреге
доказывает ряд теорем, но мы не будем на этом останав-
ливаться, так как в работе 15, 6] он разработал более
усовершенствованный вариант своей концепции. Заме-
тим только, что выражение «объем понятия» осталось
неопределенным — было только сказано, что оно «счи-
тается известным».
Фреге прекрасно понимал, что все выражения не мо-
гут быть определены. Он считал, что значения первич-
ных выражений некоторой теории устанавливаются за-
ранее вне этой теории: это происходит в метатеории с
привлечением метаязыка, выполняющего объяснитель-
ную функцию. П хотя Фреге не употребляет терминов
«метаязык», «метатеория», но, по существу, он выражает
именно эту мысль. Отнеся выражения «понятие», «объем
понятия» к первичным, Фреге тем не менее продолжал
размышлять над их природой. Он заметил, что каждое
понятие может быть истолковано как некоторая функция,
которая тем предметам, которые под это понятие подпа-
дают, ставит в соответствие «истину», а всем остальным—
«ложь», т. е. Фреге был первым, кто истолковал по-
нятия как логические, или истинностнозначные, функ-
ции. С другой стороны, это привело Фреге к вопросу о
природе «истины». Он считал, что мысль пе зависит от
способа ее выражения, и пришел к выводу, что истина,
заключенная в мысли, является чем-то первоначаль-
ным, логически простым, неопределяемым. Объектив-
ность, определенность и однозначность истины не вызы-
вала у него никаких сомнений. Более того, анализ чув-
ственно-языкового проявления логически истинного
привел его к пониманию истины как феномена объектив-
но существующего даже независимо от мысли.
Он писал: «Истинность суждения не зависит от того,
является ли это суждение предметом мысли. И даже
если все разумные существа погрузятся одновременно
в зимнюю спячку, то истина в течение этого времени не
исчезнет, а будет продолжать существовать, и ничто это-
му не помешает» (2. с. 91]. При этом, утверждал Фреге,
если мы считаем, что устанавливаемые истины носят
объективный, необходимый характер, то приходится до-
пускать и существование объективных логических за-
конов — законов бытия истины. Даже заключение по
277
индукции, используемое эмпириками, нельзя считать
надежным способом, позволяющим поверить в истинность
индуктивно установленного утверждения без допущения
объективного, общезначимого характера этого вида умо-
заключений.
Поэтому Фреге стал рассматривать логику как объ-
ективную науку об универсальных, неизменных и са-
мых общих законах «бытия истины», которые, по его
мнению, покоятся на вечном основании [1, с. 139]. Далее
Фреге постулировал существование двух идеальных пред-
метов: «истина» и «ложь». Но самостоятельное существо-
вание Фреге приписывал не только абстрактным пред-
метам «истина» и «ложь», но и всему, что могло бы слу-
жить предметом бытия истины. Он писал: «Математик не
может создавать произвольные объекты, он может только
открыть то, что существует, и назвать его» [2, с. 115].
Таким образом, философские взгляды Фреге можно оха-
рактеризовать как «математический платонизм», несов-
местимый с субъективизмом, психологизмом и эмпириз-
мом. Широкое понимание логики как науки о законах
бытия истины и стремление к выявлению «значений»
употребляемых в языке имен явились теми факторами,
которые определили платонистский характер мировоз-
зрения Фреге. Английский логик Даммет, исследовавший
философские взгляды Фреге, пишет по этому поводу сле-
дующее: «Если логика рассматривается в широком смысле
слова, как охватывающая теорию значения и как ветвь
философии, тогда идея о логике, не имеющей никакого онто-
логического содержания, есть иллюзия» [13, 431]. По-
этому Даммет, как и большинство фрегеведов считает
Фреге платонистом в математике. В то же время Даммет
отмечает, что иногда философские взгляды Фреге ха-
рактеризуют как преимущественно идеалистические, про-
должающие традиции Лейбница и в особенности Канта
[13, 344]. Г. Рузавин тоже отмечает, что «несмотря на
ясность самих сочинений Фреге, о принципах его фило-
софии в западной литературе существует множество раз-
личных, причем зачастую взаимоисключающих точек
зрения» [14, с. 33].
На русском языке имеется работа Б. В. Бирюкова
[15], в которой философские взгляды Фреге исследованы
весьма полно.
Истолкование «понятия» как истинностнозпачпой
функции привело Фреге к анализу самого понятия функ-
ции . Согласно разработанной им концепции, функция
278
не может быть конкретным пре, метом, а представляет со-
бою некоторую вещь, лишенную предметного содержания,
так как математическое выражение, описывающее эту
функцию, содержит переменные и вследствие этого имеет
незавершенный, неопределенный, «ненасыщенный» харак-
тер. Однако каждой функции может быть поставлен в со-
ответствие некоторый предмет — «пробег значений» этой
функции (Wertl'erlauf). Природу этого предмета Фреге
не разъясняет, но если воспользоваться теоретико-мно-
жественной интерпретацией (которую сам Фреге не при-
знавал), то можно сказать, что под «пробегом значений»
Фреге, по-видимому, понимал график функции. Для обо-
значения перехода от выражения, задающего функцию,
к ее пробегу значений (т. е. к графику) .мы в дальнейшем
при анализе текстов Фреге будем пользоваться ^.-операто-
ром Чёрча. Так, например, если / (ж) — выражение, за-
дающее некоторую функцию, то Лж/ (х) — предмет, яв-
ляющийся пробегом значений этой функции. Фреге отдель-
но рассматривает случай, когда функция Р (ж) есть поня-
тие. Пользуясь современной терминологией, можно пе-
редать мысль Фреге следующим образом. Если / (.г) —
термальная форма, определяющая функцию, то Кж/ (а) —
пробег значений этой функции, т. е. некоторый предмет,
который однозначно не определен, но может быть понят
как график функции. Если же Р (х) — высказывательная
форма, определяющая понятие (а, значит, в понимании
Фреге, частный случай функции), то /.ХР (х) — пробег
значений, соответствующий этому понятию. II тогда в силу
неопределенности термина «пробег значений» его удобнее
интерпретировать как объем понятия Р.
Стремясь к дальнейшему совершенствованию своей
концепции, изложенной в работах [3] и 12], Фреге стал
размышлять и над семантическими категориями разрабо-
танного им искусственного языка. Он занялся изучением
отношении между обозначающим и обозначаемым — меж-
ду именем и именуемым предметом. Это привело Фреге
к его знаменитой «теории смысла». Основная идея этой
теории состоит в том, что имя каждого предмета имеет
два значенмя: смысловое и предметное. Смысл имени есть
то, что понято, когда произнесено это имя, или, вернее,
то, что составляет содержание определения этого имени.
А предметное значение жизни — это сам предмет, нося-
щий это имя.
Фреге предпринял далее очень интересное обобщение
этой концепции. Он стал рассматривать предложения
279
как имена определенного рода, а именно как имена соот-
ветствующих высказываний. Тогда смыслом предложе-
ния оказывалась выраженная в нем мысль, а предметным
значением — соответствующее истинностное значение, т. е.
цетина или ложь. Все эти исследования были настолько
весомы, что Фреге по праву можно считать основополож-
ником логической семантики. Результаты его размышле-
ний о природе истины, о смысле и значении, о функции
и о понятии были изложены Фреге в отдельных статьях
и докладах, объединенных в работе [4]. Более подробно
мы их не будем анализировать, так как на русском языке
это сделано в работах Б, В. Бирюкова [16, 171. Более
современное и очень тщательное изложение теории смысла
Фреге с учетом некоторых идей Дж. Ст. Милля имеется
в русском переводе книги Чёрча [18].
Завершив в [3, 2, 4] всю подготовительную работу,
Фреге приступил к написанию своего основного фунда-
ментального сочинения «Основные законы арифметики»
[5, 6], в котором в усовершенствованной, окончательной,
форме изложена его логико-математическая концепция
основ арифметики. При написании этой работы, как
и раньше, Фреге исходил из принципа, что математика
должна быть содержательной, что истина — нечто объек-
тивное, независимое от мнения отдельных людей, что за-
коны логики - суть законы бытия истины [5, с. XVI].
Далее Фреге указывает на необходимость признания су-
ществовании особой области объективного, но недействи-
тельного, т. е. идеального, независимого от времени, мес-
та и субъективных представлений отдельных людей. Та-
кими объектами являются, например, числа и абстракт-
ные предметы — «истина» и «ложь». Затем Фреге указы-
вает, что основной его задачей является показ, что ариф-
метика — ветвь логики, не нуждающаяся для своего
обоснования ни в опыте, ни в созерцаниях психологиче-
ского характера. Он ссылается, в частности, и на Р. Де-
декинда, который тоже считал, что арифметика — часть
логики [5, с. VIII]. После этих предварительных замеча-
ний Фреге приступает к детальному изложению своей
концепции. Он начинает с введения основных понятий
и функций.
1. Фреге снова использует «черту содержательности»,
но уже в новом качестве. Если в работе [3| Фреге исполь-
зовал ее для обозначения того факта, что после этой чер-
ты стоит предложение, выражающее некоторое высказы-
вание, то теперь эта черта используется для обозначения
280
— д=
«понятия содержательности», т. е. некоторой функции:
И, если А — имя предмета,
имеющего значение II,
Л — в противном случае.
Здесь И и Л означают соответственно «истина» и «ложь».
Фреге поясняет, что значениями аргументов всех вводи-
мых им функций могут быть только предметы, а именами
этих предметов могут быть предложения, имеющие значе-
ние И или Л, пробеги значений рассматриваемых им функ-
ций, а позже и числа. Значит, понятие содержательности,
т. е. «—А», есть понятие, под которое подпадает истина,
и только она. Другими словами, —А А тогда и только
тогда, когда А есть предложение и притом истинное. На-
пример: — (22 = 4) = И; — (22 = 5) = Л; - (2) = Л.
2. Вводится понятие отрицания
(Л, если — А —И,
ТД= п
[И — в противном случае.
Например:
Т(22 = 5) = И, так как—(22 = 5) = Л,
Д~(2) = П, так как —(2) = Л.
В современных обозначениях X означает
3. Вводится отношение тождества
И, если ж и у —
имена одного и того же предмета,
Л — в противном случае.
4. Вводится понятие общности
,11, если функция / (являющаяся понятием)
х ffx)= для всех значений переменной ж прини-
мает значение II,
Л — в противном случае.
На самом деле Фреге здесь вводит квантор общности.
В современных обозначениях
(ж=у)=
~“\_у “ Pfa) означает ЧхР(х),
1”^-^"] Pfx) означает 1 \х 1 Pfx), т.е. ЗхРрг).
281
Специального квантора существования Фреге не вводит.
5. Вводится функция, вернее, оператор, порождающий
пробеги значений. Для записи этой функции воспользу-
емся, как уже было сказано, Х-оператором Чёрча. В отли-
чие от первых трех функций (функций первой ступени),
где значениями аргументов могли служить только пред-
меты, эта функция другого рода. Она, как и функция
VzP (т), является функцией второй ступени, и значения-
ми ее аргумента могут быть только функции первой сту-
пени, но не предметы. Функция NxP (х) ставит в соответ-
ствие каждой функции Р первой ступени (каждому поня-
тию) один из двух предметов: И или Л. А функция Хж/ (х)
ставит в соответствие каждой функции / (х) первой ступе-
ни ее пробег значений Ха/ (х). При этом имеется критерий,
позволяющий устанавливать равенство двух пробегов
значений:
dpf
Kvf (?) = Vp (х) <-> Vx (f (х) = <р (х)).
(1)
Если функция f (х) есть понятие, то ее пробег значений
Хх/ (х) может быть истолкован, как уже говорилось, как
объем понятия /. Например, Хж (х? = 1) есть объем поня-
тия «быть числом, квадрат которого равен 1», т. е. это есть
множество {1; -О-
Фреге подчеркивает, что предмет Хж/ (х) определен
только условием (1), которое не обеспечивает однознач-
ность. Если, например, F (t) — обратимая функция, осу-
ществляющая взаимно однозначное соответствие, то полу-
чим
F (М И) = F (z)) <-> lxf (х) =
= z*q И Vx (/ (х) = <р (х)).
А это значит, что в качестве пробегов значений можно
взять как Хж/ (х), так и F (Хж/ (х)), и в обоих случаях ус-
ловие (1) будет выполнено. Трудности, возникающие в
связи с этим, будут обсуждены позже.
6. Вводится еще одна функция первой ступени, кото-
рую Фреге называет опознавательной функцией
А, если существует предмет А такой,
чтб х - Х( (t = А),
х — в противном случае.
X —
В дальнейшем эта функция нужна только для образова-
ния суперпозиции: \ХЖР (х), которая является уже функ-
282
дней второй ступени. Определение этой функции 6уДС1
выглядеть следующим образом:
Д, если под понятие Р подпадает
только один-единственный предмет Д,
^хР — в противном случае.
Фреге приводит следующие примеры:
\ (£ + 3 5) — 2,
так как под понятие «удовлетворять условию х + 3 = 5»
подпадает только число 2;
\Zx(z2 1) -Лх(х2=1),
так как под понятие «удовлетворять условию xz = 1» под-
падают два числа, а не одно-едпнственное;
"^\ ^-х (*Г •Р) ^-х ?
гак как под понятие «не равняться самому себе» не подпа-
дают вообще никакие предметы;
\ 7,х (х 4- 3) Zx (х + 3),
так как функция, заданная выражением х -ф 3, не явля-
ется понятием.
Рассматривая функцию \ ZXP (х) с современных пози-
ции, можно заметить, что она, по существу, является обоб-
щением оператора дескрипции (т-оператора). Оператор
дескрипции обычно определяется только для понятий,
под которые подпадает один-единственный предмет. Если,
например, Р (х) есть условие, которому удовлетворяет
только один предмет, то rx Р (х) — есть «тот самый един-
ственный предмет, который удовлетворяет условию Р».
Теперь определение функции \ "кхР (х) можно запи-
сать так:
тхР (х), если под понятие Р подпадает
\2.ХР (х)±=
один-единственный предмет,
Л.ХР (х) — в противном случае.
Таким образом, эта функция ставит в соответствие каждо-
му понятию Р либо единственный предмет, подпадающий
под это понятие, либо, если условие единственности не
выполнено, обьем этого понятия (г. е. предмет лЛ.Р (.г)).
283
Назначение этой функций, следовательно, в том, чТ(1
она позволяет из имен понятий образовать имена предме-
тов.
7. Вводится последняя функция первой ступени —.
импликация, которую Фреге обозначает следующим
образом:
1-- У г-
| , что в современных обозначениях
(х^)у) =
означает х Z) у. Эта функция определяется так:
Л, если х = И, а у И,
И — в противном случае.
Таким образом, Фреге ввел пять функций первой сту-
пени и две функции второй ступени. Фреге рассматривает
и две функции третьей ступени, значениями аргументов
которых являются функции второй ступени, но в дальней-
шем эти функции не используются. Фреге указывает, что
можно было бы рассматривать и разноступенчатые функ-
ции, как, например, ф (х), где имеются аргументные мес-
та двух сортов: х — для предметов, ф — для функций
первой ступени, но такие функции в дальнейшем тоже не
нужны. Затем Фреге замечает, что более сложные функции
второй ступени широко применяются в математике, к ним
относятся, например, производная и интеграл. Часто встре-
чаются и понятия второй ступени. Например:
Зх Р(х) — быть непустым понятием,
Эя, у ф (х, у) — быть непустым отношением,
Эа: [</ (х) & \'у (ф (у) Z3 у = а:)] — быть понятием, под
которое подпадает один и только один предмет.
Однако для построений своей теории Фреге нужны
только семь перечисленных выше функций. Следует от-
метить, что синтаксис символического языка, которым
пользуется Фреге, весьма сложен. В нем используются,
например, готические, латинские и греческие буквы, раз-
личаются различные виды переменных и т. д. При обра-
щении к текстам Фреге мы не будем воспроизводить эти
тонкости, а воспользуемся по мере возможности совре-
менными обозначениями.
Введя семь основных функций и завершив построение
символического языка, Фреге формулирует свои «основ-
ные законы»:
I. A 2D (В 2D 4), Л ZD А.
284
11. Va: P(x) ZD P (а), где P — понятие первой ступени.
Фреге формулирует этот закон и для понятий второй
ступени:
VfM?, (f ((3)) ZD Л/р (<р ((3)), где индекс (3 означает свя-
зывание квантором.
III. Vcp (а — Ъ ZD (<р (a) ZD <р (6)).
Фреге формулирует этот закон даже в более общем
виде:
g {а = Ъ) ZD g (V<p (<F (a) ZD <₽ (6))).
IV. ~| (Л И В) ZD (Л = В).
Для Фреге предложения Л и В, выражающие некото-
рые высказывания, являются именами предметов И и Л,
и поэтому он пользуется знаком равенства. Но, следуя
канонам современной классической логики, этот закон
следовало бы записать так:
| (Л | В) ) (Л -<-> В) (<-> — знак эквиваленсии).
V- W (х) = /.*</ (х) \х (J (х) q (х)).
VI. \АХ (х = а) — а.
Эти законы играют в концепции Фреге роль того ядра
(Кеги), из которого выводится вся арифметика. Это, по
существу, исходные аксиомы. Но Фреге не пользуется
этим термином, так как его основные законы не являются
произвольными высказываниями, принятыми без допол-
нительного обоснования в качестве аксиом (как это дела-
ется в формальных теориях), а являются содержательно
истинными суждениями.
Затем Фреге формулирует основные правила вывода,
корректность которых также следует из содержательных
соображений:
/1 Р (х)
В ’ Х.сР (х) •
Доказывается ряд вспомогательных правил вывода,
например
AZjB 4D(BZ)C) ОЬ.ВэС
-\BZJ~]А ’ b-Zj(AD)C) ’ 1-дС
и ряд других.
Следует заметить, что если в работе 13j Фреге построил
исчисление предикатов с равенством, т. е. построил язык
285
Первого порядка, то в работе [5, 6], которая сейчас рас-
сматривается, он, по существу, построил уже язык второго
порядка, так как использовал кванторы по предикатным
переменным (см. законы II и III). На самом же деле с по-
мощью незначительных модификаций можно в дальней-
ших построениях обходиться и без кванторов по предикат-
ным переменным. Поэтому вопрос о том, какое исчисле-
ние — первого или второго порядка — лежит в основе
логико-математической концепции Фреге, является спор-
ным.
Казалось бы, в построенном исчислении все хорошо:
исходные основные законы (аксиомы) содержательно-ис-
тинны, правила вывода сохраняют истинность, а следова-
тельно, и все выводимые утверждения тоже будут содер-
жательно-истинны. Но дело в том, что без предварительно-
го тщательного анализа нельзя утверждать, что все встре-
чающиеся в теории предложения при любых значениях
переменных действительно имеют определенные истинност-
ные значения, т. е. являются осмысленными высказыва-
ниями, а тем более, что они истинны. Возможность же ус-
тановления этого обстоятельства всецело зависит от кор-
ректности введенных определений, которая, по мнению
Фреге, может быть обеспечена с помощью «принципа пол-
ноты» [6, § 56]. Этот принцип требовал, чтобы определе-
ние каждого понятия было таким, чтобы для каждого
предмета существовала возможность установления, под-
падает он под данное понятие млн нет.
Поэтому Фреге приступает к решению следующей за-
дачи: исследовать универсум, на котором определены все
введенные им функции, убедиться, что все имена предме-
тов из универсума имеют значение и показать, что при
любых значениях переменных из этого универсума введен-
ные функции каждый раз тоже принимают определенные
значения. Другими словами, Фреге пытается доказать се-
мантическую замкнутость построенной им системы.
Для этой цели он сначала дает точные определения.
1. Имя функции первой ступени с одним аргументным
местом имеет значение, если при заполнении аргументного
места именем предмета, имеющим значение, всякий раз
образуется имя, также имеющее значение.
2. Имя предмета имеет значение, если всякий раз при
подстановке этого имени в аргументные места функций
первой ступени, имеющих значение, образуется имя,
также имеющее значение.
2Ё6
Для функций первой ступени с двумя аргументными
местами, а также для функции второй ступени определе-
ния аналогичны. Из определений видно, что вопросы о на-
личии значений у предметов и функции взаимосвязаны,
что значительно осложняет анализ.
Фреге поступает следующим образом: сначала он рас-
сматривает только два предмета из универсума, а именно
И и Л. Для этих предметов все пять функций первой сту-
пени (—х, Д' х, \х, х TDy, х ~у) имеют значение, что лег-
ко проверить, пользуясь определениями этих функций,
приведенными выше. Функция второй ступени Vrr<[ (х)
тоже имеет значение, так как аргументное место (обозна-
ченное буквой <р) может быть заполнено только пятью
функциями первой ступени, которые, как установлено,
имеют значение, а тогда из определения самой функции
V.zcp (х) сразу следует, что она имеет значение.
Осталась еще одна функция второй ступени — 7.xf (х).
Эта функция порождает новые предметы — пробеги зна-
чений. Значит, универсум расширился, и поэтому надо
проверить, что имена этих новых предметов, имеющих
форму пробегов значений, имеют значение, т. е. ими могут
быть заполнены аргументные места первых пяти функций.
Фреге замечает, что функция имеет значение, ес-
ли имеет значение функция —х (что следует из определе-
ния этой функции). А функция —х может быть сведена к
отношению тождества: (—х) <->• [т = (х а-)|. Значит, что-
бы эти три функции имели значение, достаточно прове-
рить, что имеет значение функция х - у. Но тут могут
быть три случая: 1) оба аргументных места функции х = у
заполнены именами предметов И, Л; 2) оба аргументных
места заполнены именами предметов, имеющих форму про-
бегов значений; 3) одно аргументное место заполнено
именем истинностного значения, а другое — именем пред-
мета в форме пробега-значения.
В первых двух случаях легко проверить, имеет место
равенство или нет, а это значит, что функция х = у име-
ет значение. Третий случай кажется абсолютно неразре-
шимым, так как пробеги значений определены неоднознач-
но; конкретно не известно, что это за предметы, а тем бо-
лее не известно, могут ли опп иметь форму истинностных
значений. Но Фреге находит остроумный выход.
Прежде всего Фреге напоминает, что если f и <р — две
любые, имеющие значение функции первой ступени,
7.J (х) и Zx(p (х) — их пробеги значений, a F — некоторая
функция, осуществляющая взаимно однозначное соответ-
287
ствпе, то выражения F (Ах/ (.с)) и F (Хяф (л-)) также могут
служить именами пробегов значений функций / и ф. В са-
мом деле, пусть F (Хя/ (л)) F (7.хф (гг)). Тогда, так как
F взаимно однозначное соответствие, то (я) = >.хф (х).
А в силу V основного закона это равносильно утвержде-
нию Vt (/ (х) = <р (л:)), которое поддается проверке, так
как / и <р по условию имеют значение. Следовательно,
р (М (*)) = р (*)) *->(/ (ж) = ф 0*0),
а это и означает, что F (лх/ (л)) и F (Ххф (л:)) являются име-
нами пробегов значений. Обозначим F (Хх/ (л)) = Z'xf (л:),
F (Хжф (л)) = Т^ф (л). Пусть теперь а (0 и (3 (Z) — две про-
извольные функции, удовлетворяющие лишь тому усло-
вию, что они различны, т. е. zlf (a (i) р (£)). С помощью
этих функций аир Фреге конструирует следующую функ-
цию F'.
Л1, если х-= Ata (t),
X;a (t), если г=И.
л, если х = ZJ3 (Z),
М (0, если х= Л,
.х — во всех эстальиых случаях
Из определения F видно, что эта функция осуществляет
взаимно однозначное соответствие и притом F (£)) =
= И, F (Z«P (i)) — Л. С учетом введенного выше обозна-
чения имеем
Zja (t) = И, Xjp (t) = Л,
т. е. удалось И и Л представить в виде пробегов значений
некоторых произвольно выбранных функций аир, удов-
летворяющих только тому условию, что они различны.
Удобно теперь выбрать1 а и р таким образом, чтобы И
была бы пробегом значений (т. е. объемом) тождественно
истинного понятия, а Л — объемом тождественно ложного
понятия. Фреге делает это так:
И = Zi (-л), Л = Кс (х = ~]Vf (t = t)).
Таким образом, Фреге установил, что его универсум об-
ладает той особенностью, что имена всех предметов, вклю-
чая II п Л, могут быть выражены в форме пробегов
значений. А это значит, что и в третьем случае
функция х = у имеет значение, так как третий случай
сводится теперь ко второму. Осталось рассмотреть две
функции первой ступени: \я, х у. Пз определения этих
288
функций с учетом представимости II, Л в виде пробегов
значений следует, что они тоже имеют значение. Значит,
все пять функций первой ступени, а следовательно, и пх
суперпозиции, имеют значение. Поэтому аргументные
места функций второй ступени V хер (х) и >.х<[ (х) будут все
время заполняться функциями первой ступени, имеющими
значение, а тогда из определений этих функций следует,
что они тоже будут иметь значение.
Таким образом, семантическая замкнутость системы,
построенной Фреге, как будто бы была обеспечена. Так,
по крайней мере, казалось самому Фреге. На самом же
деле в этой системе осталась открытой одна хитрая лазей-
ка, через которую в нее могло проникнуть противоречие.
Но об этом речь пойдет позже.
Следующий шаг, который предпринимает Фреге,—
это введение одного вспомогательного определения, поз-
воляющего сводить функции второй ступени к функциям
первой ступени. Фреге рассуждает следующим образом.
Рассмотрим функцию второй ступени Vx<p (х). Аргумен-
том здесь служит функция первой ступени <р. Надо эту
функцию ф заменить ее пробегом значений (х), т. е.
предметом, тогда функция V.rtp (х) превратится в функцию
первой ступени. Это можно выразить с помощью следую-
щего обозначения: A f~| Zx([ (х) О' (А). Но для сохране-
ния общности надо теперь функцию х f] у определить
вполне корректно:
х П у = \^Яф (у = М1 (0 & <р (а-) = z).
Это определение можно записать так:
ф (а:), если у = ^ф (t),
Л — в противном случае.
Из этого определения следует, что функция х у имеет
значение. Теперь видно, что Уа:ф (х) *-*¥х (х у), но
при условии, что у = Ххф (х), т. е. функцию второй сту-
пени Уагф(.т) действительно удалось заменить функцией
первой ступени \тх (х П у).
Затем Фреге рассматривает ряд примеров. Он начинает
с рассмотрения выражения Vx, у (ф (х) & <р (у) ~Z) х = у),
которое задает свойство понятия ф, заключающееся в том,
что его объем состоит не более чем из одного предмета.
Используя новые обозначения, можно записать
У«, У (ф (х)&(р(у)^х = у)^
^\тх,у(х Qt&y (~]tZ)x^=y).
х П У =
ю Заказ м 2674
289
Справа с помощью функции первой ступени удалось выра_
зить это же свойство.
Далее Фреге рассматривает функцию Vx, у q (х, у)
Поступая, как и раньше, он вводит обозначение
а П (& Л <Р (х, у)) = q (а, Ь).
Тогда
Ух, УЧ (ху) Ух, у (х П {У Л 0)>
где t = XXi!/<p (х, у). Для удобства введем в дальнейшем
правило опускания скобок:
яЛуП^Л^ПО.
Возникает вопрос: для чего Фреге вводит функцию
(х Л у)? Зачем ему понадобилось сводить функции второй
ступени к функциям первой ступени? Ведь это неизбежно
приводит к усложнениям. На этот вопрос в работе Фреге
явного ответа нет. Но если вдуматься в концепцию Фреге,
то становится ясно, что такая замена просто необходима.
В самом деле: осуществляя замысел, изложенный в работе
[2], Фреге собирался определить численность понятия Р
как объем понятия:«быть понятием, равночисленным по-
нятию Р>>. Но тогда численность п нятия Р должна запи-
сываться в форме кх (X сс Р), где X уже не предметная,
а предикатная переменная, пробегающая множество всех
понятий, а знак оо обозначает равночисленность. Теперь
видно, что X ее Р есть функция второй ступени, и, зна-
чит, кх {X оо Р) есть пробег значений функции второй сту-
пени, т. е. предмет совершенно нового вида (до сих пор
встречались только пробеги значений функций первой
ступени!). Значит, универсум расширяется, и для вновь
появившихся имен предтйетов надо снова проверять, что
они имеют значение, т. е. что их можно подставлять в ар-
гументные места имеющихся функций. Чтобы избежать
этих ужасных усложнений, Фреге и вводит функцию
{х Л У)-
Следующий шаг построения теории состоит в введе-
нии ряда специальных функций. Фреге рассматривает
следующее понятие (функцию) второй ступени (аргумен-
том служит ф):
Ух, у, z (<р (х, у) & ф (х, z) ZD У = г).
Это понятие выражает свойство быть функциональным
(т. е. однозначным) отношением. Фреге заменяет ее функ-
290
цпей первой ступени п обозначает Y (t):
у (jf) det z ((х П У П t) & (х П Z П t) ZD у = z).
Если теперь <р (х, у) — функциональное отношение по у,
У (кх, y(f (х, у)) = И.
Затем Фреге рассматривает трехместное отношение вто-
рой ступени, которое выражает условие, что объем понятия
Р отображается в объем понятия Q с помощью соответст-
вия (бинарного отношения) F. Это условие означает, что
если некоторый предмет х подпадает под понятие Р (т. е.
выполняется Р (х)) и если у есть его образ при соответст-
вии F (т. е. выполняется F (х, у)), то у подпадает под по-
нятие Q (выполняется Q (у)), т. е.
V.T, у (Р (х) & F (х, у) ZD Q (У))-
Теперь надо перейти к функциям первой ступени. Для это-
го вводятся обозначения
кхР (ж) = Р. т. е. Р (х) <-> х П р,
KiQ (У) = У, 1- е. Q (у) ~ у П 9,
К,уР (ж, у) = Ф, Т. е. F (х, у) х р у р ф-
Трехместное отношение, записанное выше, примет вид
Уж, у ((ж П Р) & (ж П У П Ф) =3 (У Р У)).
Добавим еще требование, чтобы соответствие F с графиком
было однозначным. Мы получим трехместное отношение
первой ступени. Обозначим его
А (р, q,tp)™Y (<р) & Уж, у ((ж П Р) & (ж П У П ф) ZD
=>(урд)).
Это отношение выражает условие, что объем р понятия Р
отображается в объем д понятия Q с помощью однознач-
ного соответствия F, имеющего график <р.
Теперь надо составить выражение, которое дает второе
условие, а именно, что обратное соответствие тоже одно-
значно и отображает q в р.
Пусть F есть обращение отношения F, т. е. F (ж, у)
<-> F (у, ж), или в других терминах: ж ["] у ("] Ф-^у П
п ж П ф. Тогда второе условие запишется так: А. (д, р, ф),
где
А(д, р, 4>) = Y (ф)& Yy,x((y П д)&
10* 291
& {у А х А ф) =) А р))-
Теперь ясно, что двухместное отношение И<р (Л (р, q, ср) &
& A (q, р, ср)) выражает условие, что между объемами по-
нятий Р и Q существует взаимно однозначное соответствие,
т. е. эти понятия равночисленны.
Зафиксируем теперь q, а вместо р поставим переменную
х, тогда получим выражение Яср (А (х, д, ср) & A (q, х, ср)),
которое задает понятие «быть объемом понятия, рав-
ночисленного понятию Q». Но объем этого понятия Фреге
как раз и принимает за численность понятия Q. Поэтому,
обозначив численность понятия Q через пч, он дает следую-
щее определение:
nq = Zx(H(p (А (х, q, ср) & A (q, х, ср))).
•Затем Фреге рассматривает отдельные конкретные числен-
шости. Например, численность есть объем понятия
«быть равночисленным пустому понятию». По определе-
нию, это есть 0. Численность есть объем понятия
«быть равночисленным понятию, объем которого состоит
из одного единственного числа нуль». По определению, это
есть 1. Отмечается также, что функция Ир (пр = х) вы-
ражает свойство «быть численностью некоторого понятия».
Следующий шаг, который предпринимает Фреге, со-
стоит в определении понятия «непосредственного следова-
ния». Это значит, что нужно построить отношение первой
ступени а (а, 0), которое выражает свойство, что 0 непо-
средственно следует за а. т. е. 0 должно быть численностью
некоторого понятия Р, имеющего объем р, должен сущест-
вовать некоторый предмет х, подпадающий под понятие Р
(и следовательно, удовлетворяющий условию х А р}> и,
наконец, а должно быть численностью понятия «подпадать
под понятие Р, но не совпадать с предметом х».
Это отношение записывается так:
о (а, 0) = АхАр ((пр 0) & (х А р) &
def
Если ввести обозначение s = (к, 0), то условие
-«0 непосредственно следует за а» запишется совсем просто:
•а А 0 A s- После этого Фреге доказывает ряд теорем:
1. (0 П х A s)Z3(.T=l).
2. («₽= l)Z)3a;(a; А ₽)•
3. (пр = 1)&(хС]р)&(у Ар)=И*=*/)-
1292
4. Va;,z/[(a; П p)&(z/ Ap)=^ = 2/]&
&Я2(2Г|Р)^(ИР=1).
5. Яр (np — a) & (a =/= 0) Z) ЯР (P A a A s).
6. (^^О)3^хЭхР(Х).
7. Vz“](z A p)ZD(rcp = 0).
8. (0 n X П s) ZD “I (X A X П s).
Подытожим теперь, что уже сделано: введено общее по-
нятие численности, введено отношение непосредственного
следования, введены начальные численности 0 и 1. Но на-
туральный ряд нельзя еще считать построенным. Во-пер-
вых, нет еще понятия натурального числа, так как чис-
ленности нельзя отождествить с натуральными числами.
Например, численность понятия, под которое подпадает
бесчисленное множество предметов, очевидно, не будет
натуральным числом. Еще хуже обстоит дело с числен-
ностью понятия «красный» (если вообще этому понятию
может быть приписана какая-нибудь численность). Значит,
прежде всего должны быть определены и выделены конеч-
ные численности, которые и будут натуральными числами,
а что такое «конечные» численности тоже далеко не ясно.
Во-вторых, нет еще аксиомы индукции — этой основной
характеристики натурального ряда. В-третьих, вообще еще
неясно, будут ли натуральные числа, определенные как
конечные численности, укладываться в ряд, не будут ли
в этом ряду петли, разветвления, срастания?
Фреге об этом не писал, но он, конечно, все это хоро-
шо понимал. Поэтому следующий шаг, который он пред-
принял, заключался в том, чтобы получить критерий ко-
нечной численности. При этом путь, которым он пошел,
весь.ма оригинален и чрезвычайно интересен.
Фреге сначала вводит отношение «меньше», используя
при этом идею индукции. Это определение выглядит сле-
дующим образом. Пусть а и b — численности, а Р — не-
которое произвольное свойство. Задаются два условия:
1) численность, непосредственно следующая за а, обладает
свойством Р; 2) свойство Р сохраняется при переходе от
каждой численности к непосредственно следующей за ней.
Если из того, что условия 1) и 2) выполнены, следует, что
численность b тоже обладает свойством Р, то по определе-
нию считается, что а < Ь. Это определение можно запи-
сать так:
{а < b) VP [ Ух ((а А * П «) =3 Р (*))&
& V х, у ((х А У A s) & Р (я) Z) Р (у)) ZD Р (&)]-
2*.«
Из определения видно, что «я < Ь» является двуместным
отношением первой ступени. Обозначим пробег значений,
т. е. область истинности этого отношения:
ш^Ха,ь(а<й).
Тогда, пользуясь символикой Фреге, вместо а < b можно
писать а П Ь П ш.
Теперь Фреге вводит понятие «конечной численности»,
т. е. понятие «числа» (имеются в виду неотрицательные це-
лые числа):
(п — чпсло) *-> (п — численность) & (п 0).
В символике Фреге это можно записать так:
(п— чпсло) == Яр (пр = п) & [(0 Р| п Р| п>)\/(я —0)].
Отступим теперь от Фреге и попытаемся глубже вник-
нуть в смысл его определений.
Ботее наглядно условие а < b можно проинтерпрети-
ровать так: если число, следующее за а, обладает свойст-
вом Р и если, отправившись от этого числа и двигаясь от
каждого числа к следующему (будучи при этом уверенным,
что свойство Р сохраняется), можно достичь числа Ь, то
a <Z Ь. Назвав описанную процедуру движения индукцией,
можно сказать совсем коротко: если индукцией, начинаю-
щейся с а, можно достичь Ь, то а < b. С помощью этой
терминологии понятие числа (именно в фрегевском толко-
вании) сформулируется совсем просто: b — число, если
оно достижимо индукцией, начинающейся с нуля.
Вернемся теперь к Фреге. Приведя определенпе числа,
он доказывает ряд теорем. Вот некоторые из них:
1. —1(«<0).
2. И («<«)•
3. =
4. (0 < х) & (х П у П s) ZD {У =
5. (а < Ь) & (fe < с) ZD (« < с)-
6. (а =# fe) Z) (а < Ь) V < «)•
7. (й<Ь)&(сГ]ЬП8)1)(в<с).
Теоремы 2, 5, 6 означают, что порядок, индуцированный
отношением «О, линейный, т. е. ряд не имеет ни петель,
ни разветвлений, ни срастаний. Теорема 1 означает, что
294
число 0 не имеет предшественников и, следовательно, яв-
ляется началом ряда.
Но ниоткуда не следует, что этот ряд нигде не оборвет-
ся. Это условие приходится постулировать: \а Яй (a Q
Р b П s). Смысл этого утверждения в том, что для каж-
дого числа существует число, непосредственно следующее
за ним. А это есть аксиома бесконечности.
Закончив рассмотрение чисел, т. е. конечных чис-
ленностей, Фреге рассматривает численность понятия
«быть конечным числом». Под это понятие подпадают все
введенные числа, а их бесконечно много. Поэтому со-
вершенно естественно, что Фреге обозначает численность
этого нового понятия через «оо». Его определение выгля-
дит так:
Построение множества натуральных чисел шло у Фре-
ге в следующей последовательности: сначала общее по-
нятие численности, затем конкретные численности 0 и 1,
отношение непосредственного следования, отношение «О,
понятие числа, установление наличия линейного порядка
п. наконец, «оо» — как численность понятия, под кото-
рое подпадают все числа из натурального ряда.
Закончив это построение, Фреге доказывает теоре-
му более общего характера, а именно: любое понятие,
если только оно таково, что подпадающие под него пред-
меты могут быть упорядочены подобно натуральным чис-
лам, то численность этого понятия тоже есть оо.
Эту теорему Фреге формулирует следующим образом:
«Если понятие таково, что для всех предметов, подпадаю-
щих под это понятие, можно ввести однозначное отно-
шение непосредственного следования так, что ни один
предмет не следует сам за собой, для каждого предмета
С5ществует непосредственно следующий, обращение сле-
дования однозначно и существует предмет, не имеющий
предшествующего, то численность этого понятия есть оо».
Затем Фреге доказывает ряд теорем о численности оо,
например:
1) (оо Р| оо Q s), т. е. оо следует сама за собой;
2) *~| (0 оо), т. е. неверно, что оо является конеч-
ной численностью.
Если вспомнить, в каком смысле Фреге понимал от-
ношение «<». то эта теорема означает, что оо не может
быть достигнута индукцией, начинающейся с нуля.
295
Построив натуральный ряд, Фреге тем самым построил
систему порядковых натуральных чисел. Чтобы пока-
зать, что эти же числа могут служить и количественными
характеристиками множеств, т. е. одновременно являют-
ся и количественными числами, Фреге вводит понятие
начального отрезка натурального ряда, а затем доказы-
вает теорему, смысл которой заключается в том, что лю-
бое данное множество конечно тогда и только тогда, ког-
да оно может быть сосчитано с помощью чисел из соот-
ветствующего этому множеству начального отрезка на-
турального ряда.
Начальный отрезок натурального ряда, оканчиваю-
щийся числом/г, определяется как понятие «быть больше
или равно нулю, но меньше или равно п».
Теорема формулируется так: «Численность понятия Р
конечна тогда и только тогда, когда существует такое
натуральное число п, что между предметами, подпадаю-
щими под понятие Р, и предметами, подпадающими под
понятие начального отрезка натурального ряда, окан-
чивающегося числом п, можно установить взаимно одно-
значное соответствие».
На этом мы в основном закончили рассмотрение ра-
боты [5, 6], остается еще несколько вопросов, которые
тоже должны быть обсуждены. Начнем с вопроса о том,
удалось ли Фреге в работе [5, 6] избежать тех четырех
недостатков, о которых речь шла в работе [2]. Там вы-
сказывалась мысль, что природа понятия «численности»
недостаточно ясна. Фреге определил теперь численность
как пробег значений некоторой функции, а о пробегах
значений известно только то, что сказано в основном за-
коне V. Казалось бы, действительно имеет место некото-
рая неопределенность. Но на самом деле нам и не надо
знать, какова «природа»* численностей. Единственное,
что нужно при построении теории, это уверенность в том,
что пробеги значений рассматриваемых там функции
имеют значение, а это Фреге проверил, когда он доказы-
вал семантическую замкнутость своей системы.
Второе сомнение касалось неоднозначности понятия
численности, так как оно допускает различные интер-
претации. Но это опять же касается только способа «по-
нимания» теории, в самой же теории нужно только, чтобы
численности имели значения, а с этим все в порядке.
Далее вызывало беспокойство отсутствие критерия
для распознавания предметов, являющихся численнос-
тями. Это могло бы в некоторых случаях привести к не-
296
разрешимости равенства. Но Фреге показал, что это опа-
сение безосновательно, так как все предметы из универ-
сума его теории могут быть представлены в форме про-
бегов значений. II это опять же делалось, чтобы добиться
семантической замкнутости построенной системы.
Теперь ясно, что, доказывая семантическую замкну-
тость своей системы, Фреге таким образом снял все те
сомнения, о которых говорил в работе [2].
Следующий вопрос, который должен быть еще обсуж-
ден,— это вопрос о том, действительно лп безупречно
доказательство семантической замкнутости построенной
системы. Мы уже упомянули, что в этой системе оказа-
лась незамеченная Фреге лазейка, с помощью которой
могло быть осуществлено одно довольно искусственное
построение, приводящее к противоречию. История об-
наружения этого обстоятельства такова. Весной 1902 г.,
когда Фреге закончил работу над трудом 15, 6], он по-
лучил письмо Рассела от 16 июня 1902 г. [7, с. 59]. В этом
письме Рассел сообщает Фреге об открытой им антиномии
и указывает, что эта же антиномия возникает и во фре-
гевской формализованной системе, изложенной в ра-
боте [5]. Это бЫл так называемый парадокс Рассела. В от-
ветном письме Расселу от 22 июня 1902 г. Фреге пишет:
«Обнаруженное Вами противоречие было величайшей
неожиданностью для меня, и я даже почти мог бы ска-
зать, что оно меня потрясло, так как оно явилось при-
чиной того, что были поколеблены основания, на кото-
рых я пытался построить арифметику» 17, с. 61]. Затем
между Фреге и Расселом возникла переписка, в ходе ко-
торой обсуждались методологические и философские ас-
пекты этой антиномии, а также и возможные пути ее
преодоления. Окончательного решения не было найдено.
(Его не существует и в настоящее время.) В ходе этой
переписки обсуждалась и мысль о необходимости разли-
чения математических объектов различных ступеней.
Именно на этом пути Рассел затем и пришел к теории ти-
пов, позволившей ему при формализации арифметики из-
бежать антиномии рассматриваемого вида.
Парадокс Рассела строится так. Рассматриваются .мно-
жества, не являющиеся элементами самих себя, т. е.
множества, удовлетворяющие условию х х. Все эти
множества объединяются в новое множество R. Тогда
R = {х | х х}. Критерий принадлежности множеству
R будет иметь вид Vx (х €Е R х €Е х). При х = R
получим R ЕВ R «-> R R, а это противоречие!
297
Одно из возможных объяснений этого парадокса сос-
тоит в том, что обращается внимание на использованный
принцип, согласно которому для каждого понятия Р су-
ществует соответствующее множество {х | Р (ж)}. Тогда
выход может быть найден путем ограничения принципа
образования множеств, как это делается, например,
в аксиоматической теории множеств.
Смысл рассматриваемого принципа в том, что с его
помощью порождаются абстрактные предметы. Его мож-
но было бы назвать «принципом опредмечивания». Легко
заметить, что в фреге-спстеме есть такой же принцип оп-
редмечивания. Это функция Zx<f (ж), порождающая аб-
страктные предметы — «пробеги значений», причем про-
беги значений интерпретируются как объемы понятий,
т. е. тоже как множества. Отсюда нетрудно прийти к мыс-
ли, что корень зла в принципе опредмечивания, и усом-
ниться в его правомерности. Так думал, в частности,
и сам Фреге.
Другое объяснение парадокса состоит в том, что об-
ращается внимание на парадоксальность отношения
я(£ж, лежащего в его основе. В самом деле, это по мень-
шей мере странное свойство «не быть элементом самого
себя» выражает нечто, что можно было бы назвать «само-
прпменимостыо».
Известен парадокс Гре.ъдинга, родственный парадоксу
Рассела, но использующий «самоприменимость» в более
явной форме. Этот парадокс строится следующим обра-
зом. Пусть р — прилагательное, а Р — свойство, вы-
раженное этим прилагательным. Тогда Р (р) означает, что
прилагательное р само обладает тем же свойством Р,
которое оно выражает, а Р (р) означает, что р не об-
ладает тем свойством Р, которое оно выражает. Прила-
гательные, удовлетворяющие второму из этпх условий,
назовем «гетерологическими». Тем самым мы ввели новое
прилагательное «гетерологический». Обозначим его через
g, а свойство, которое оно выражает,— через G. Запишем
введенное определение: Vp (G (р) *-> ~\Р (р)). При р = g
получим G (g) <—> \G (gj, а это противоречие! Возмож-
ность самоприменпмостп приводит к противоречию и в
фреге-спстеме. Покажем это. Рассмотрим функцию ж Г] у.
Фреге показал, что она имеет значение (по крайней ме-
ре, он сам был в этом уверен). Тогда имеет значение и
частный случай этой функции ж (~| ж. Добавим отрица-
ние и обозначим полученную функцию гр (ж) = |(ж Q ж).
Мы получили функцию первой ступени, имеющую зна-
298
ченпе. Следовательно, при заполнении аргументного мес-
та именем любого предмета получится имя, имеющее зна-
чение. В качестве такого предмета можно взять, напри-
мер, пробег значений этой же функции. Пусть в самом
деле х = Х(<р (t). (В этом месте возникает самопримене-
ние.) Сделав подстановку, получим
ф (Кч> (0) = И (М (0 П М (0) •
Вспомним теперь, что введение функции х А у было свя-
зано с условием а A Z/tp (t) = ср (а). Используя это ус-
ловие, получим
(0 А Кч> (0 = Ф (^Ф (0)-
Тогда приведенное выше равенство преобразуется к виду
ф(М>(0)=~1ф(^ф(0)>
а это противоречие! Приведенный пример противоре-
чия принадлежит автору настоящей статьи. В работе
Хр. Тиля [19] указан другой, более сложный пример,
который тоже основан на самопримененпп.
Значит, в формализованной фреге-системе действи-
тельно возникает противоречие, а лазейка, позволяющая
осуществить искусственное построение, приводящее к
противоречию, это — самоприменимость.
Следует отметить, что самоприменимостыо грешит в
все построение фрегевского универсума. Действительно,
вводя некоторую функцию (р (х), надо проверить, что она
имеет значение для всех значений аргумента х, в том чис-
ле и для х = /./<j (t). Значит, сначала надо иметь Л(<р (t).
Но пробег значений )чц> (t) порождается самой функцией.
Значит, надо сначала иметь функцию. Получается то же,
что в проблеме «курица и яйцо»: каждое предполагает
наличие другого.
Кроме того, при принятом у Фреге построении уни-
версума введение пробегов значений носит весьма пара-
доксальный характер. В самом деле, сначала вводятся
только пять функций первой ступени п с помощью функ-
ции Хх<р (х) порождаются пробеги значений этих функ-
ций. Затем образование всевозможных суперпозиций ис
ходных функций приводит к возникновению бесконеч-
ного множества новых функций и соответствующих им
новых пробегов значений. Универсум бесконечно рас-
ширяется!
Вспомним теперь, что у Фреге есть функция х А
А /.др (t), которая по пробегу значений (t) и любому
299
значению х вычисляет <р (ж). Но это возможно только в том
случае, если в пробеге значений уже заранее содержится
информация о всех образах, соответствующих предметам
из универсума. И получается, что пробеги значений пяти
исходных функций, которые вводятся вначале и нужны
для последующего построения универсума, уже заранее
должны содержать в себе полную информацию о том са-
мом универсуме, который еще должен быть построен.
К тому же пробеги значений, которые должны быть но-
сителями огромной информации, характеризуются в фре-
ге-формализме весьма скудно с помощью одного только
основного закона V. Вероятно, Фреге все это тоже сму-
щало. Во всяком случае, уже во введении к работе [5] он
пишет; «Насколько я вижу, спорным может показаться
только основной закон V, касающийся пробегов значе-
ний... Во всяком случае, я указываю на это место, как
на место, от которого зависит окончательное решение»
(5, с. VII].
Когда же Фреге получил письмо Рассела и понял, что
его опасения были не напрасны, он написал в послесловии
к работе [6]: «Ученому после завершения большого тру-
да вряд ли может встретиться что-нибудь более нежела-
тельное, чем обнаружение факта, сотрясающего одну из
основ его творения. Но именно в это положение меня по-
ставило письмо господина Рассела. Дело касается моего
основного закона V. Я не скрывал, что этот закон не об-
ладает такой убедительностью, как другие, и даже ука-
зал на это в предисловии. Я бы охотно отказался от этого
закона, если бы я мог его чем-нибудь заменить. И даже
сейчас я не вижу, каким образом можно было бы научно
обосновать арифметику, каким образом можно было бы
схватить и ввести понятие числа как некоторого логи-
ческого предмета, не прибегая при этом к переходу от
понятия к его объему» (6, с. 253].
Несмотря на изъян, обнаруженный в его системе,
Фреге сначала считал, что в принципе он все же прав.
В том же послесловии оп пишет: «В качестве первоначаль-
ной, исходной, фундаментальной проблемы арифметики
можно рассматривать вопрос: как мы схватываем логи-
ческие предметы, п в особенности числа? Благодаря чему
мы имеем право признать в числах определенные пред-
меты? Если эта проблема и не решена в той степени, как
мне казалось, когда я приступал к написанию этой кни-
ги, то я все же не сомневаюсь, что путь к решению най-
ден» [6, с. 265],
300
Обсуждению истоков противоречий, возникающих в
фреге-системе, посвящена обширная литература. Наи-
более полно этот вопрос рассмотрен в работах известного
фрегеведа Хр. Тиля [19—21]. На русском языке есть ин-
тересная работа Б. В. Бирюкова [22].
Перейдем теперь к обсуждению еще одного вопроса,
касающегося отношения Фреге к проблеме взаимоотноше-
ния истинности и непротиворечивости. Эта проблема об-
суждалась в переписке между Фреге и Гильбертом. Фре-
ге исходил из принципа, что математика должна быть со-
держательной. Поэтому он считал непротиворечивость
своей формальной системы естественным следствием ее
содержательной истинности, а содержательную истин-
ность всех предложений, выводимых в его формализме,
он доказывал, опираясь на семантическую замкнутость
своей системы, на содержательную истинность исходных
аксиом и на присущее правилам вывода свойство — сох-
ранять истинность. Гильберт же придерживался совсем
другой точки зрения. Он утверждал: «Если произвольно
заданные аксиомы не протпворечат друг другу через свои
следствия, тогда они истпнны, тогда объекты, определяе-
мые этими аксиомами, существуют. Это для меня — кри-
терий истины и существования» [23, с. 56].
Фреге возражал, что пз непротиворечивости системы
аксиом еще не следует существование соответствующей
системы содержательно определенных предметов. Так,
например, пз системы непротиворечивых предложений,
описывающих свойства бога, еще не следует существо-
вания самого бога. Кроме того, Фреге категорически воз-
ражал против мнения Гильберта, что система аксиом оп-
ределяет исходную систему объектов.
Аналогию с системой уравнений, которую приводил
Гильберт в оправдание своей точки зренпя, Фреге считал
фикцией, напоминающей нереальные измышления Мюн-
хгаузена. Фреге убедительно показал, что система аксиом
определяет не первичные понятия, а лишь отношения
между ними. Гильберт был вынужден признать это. Он
предложил компромиссное толкование, что аксиомы оп-
ределяют не понятия, а лишь «схемы понятий».
Эта переппска была чрезвычайно интересна и поучи-
тельна. Фреге предложил Гильберту опубликовать ее,
но тот отклонил это предложение. В настоящее время
эта переписка опубликована [7]. Там же имеются под-
робные комментарии составителей. На русском языке
вышла рецензия Б. В. Бирюкова и С. Б. Макаркиной
301
на эту книгу [24]. В рецензии сказано, что главное рас-
хождение между Фреге и Гильбертом было в ответе на
вопрос, что считать для математической теории первич-
ным — ее непротиворечивость пли содержательный смысл.
Далее отмечается, что хотя подход Гильберта получил
широкое признание, но в последнее десятилетие все более
крепнет убеждение, что понятие существования все же
предшествует понятию непротиворечивости. Значит, по-
видимому, Фреге был прав. Вообще в новейшей литературе
постоянно отмечается, что этому выдающемуся мысли-
телю принадлежат многие чрезвычайно глубокие идеи.
В связи с этим интересно было бы проследить, как пов-
лияло открытое Расселом противоречие на мировоззре-
ние Фреге. Отвечая на этот вопрос, следует прежде всего
отметить, что хотя после выхода книги [5. 6] никаких
новых печатных статей не появилось, Фреге продолжал
работу. Примерно в 1917 г. он вышел на пенсию, но своп
логико-математические исследования и после этого про-
должал с прежним энтузиазмом. Все его исследования
касались теперь главной проблемы: каким должен быть
тот фундамент, который мог бы послужить надежным
основанием арифметики? Как свидетельствуют послед-
ние работы Фреге, написанные в 1924—1925 гг. и опуб-
ликованные недавно в «Наследии Фреге» [1], все своп на
дежды в обосновании математики Фреге возлагал теперь
на геометрию. Об этом свидетельствуют, например, ра-
боты «Познавательные источники математики и матема-
тического естествознания», «Числа и арифметика», «Но-
вая попытка обоснования арифметики» (см.: [1, 25]). Во
взглядах Фреге, таким образом, произошла определен-
ная эволюция. Если он раньше считал логику единст-
венным познавательным источником и абсолютизировал
логические законы, считая их законами бытия истины,
то в последних работах он склонился к мнению, что этим
источником является геометрия.
Ф. Каульбах, один из исследователей наследия Фреге,
высказал мысль, что это, по-видимому, произошло под
влиянием идей Канта, философии которого Фреге в по-
следние годы уделял много внимания. Во всяком случае
новый тезис Фреге о большей надежности геометриче-
ского источника познания может быть обоснован разве
лишь предположением о его связи с чувственным созер-
цанием априорного характера, о котором говорит Кант
]1, с. XXXI]. В пользу этого предположения, пишет
Каульбах, говорит и то, что логика, имеющая дело с
302
формами, не может произвести предметы. Для этого нуж-
но непосредственное созерцание [1, с. XXXI—XXXIII].
Если раньше Фреге абсолютизировал логику и считал
ее единственным надежным источником познания, то
после отказа от логицистской концепции он был склонен
излишне преувеличивать значение геометрического ис-
точника познания, считая его независимым как от чув-
ственного восприятия, так и от логики [1, с. 299]. Но,
конечно, такая абсолютизация была неправомерной. Не-
правомерность абсолютизации логики особенно отчет-
ливо заметна с современных позиций, когда разрабаты-
ваются и сосуществуют различные логики и когда поня-
тие «истинности» суждения не является чем-то абсолют-
ным, а зависит от принятого «мировоззрения». (Так, на-
пример, в конструктивной математике истинность зави-
сит от средств ее установления, а в классической мате-
матике — нет). Точно так же неправомерна и абсолюти-
зация геометрии. Интересный анализ эволюции взгля-
дов Фреге на роль логики в познании проведен в докладе
Б. В. Бирюкова на конференции в Пене [26]. Этот ана-
лиз показал, что в конце своего творческого пути Фреге
отказался от логицизма и все более и более обращался к
психологическим и гносеологическим вопросам и аргу-
ментам. Б. В. Бирюков отмечает также, что поворот Фре-
ге от логики к теории познания показывает, что он пред-
восхитил ту тенденцию к синтетическому рассмотрению
логических, семиотических и психологических феноменов,
которая ныне явственно прослеживается в сфере киберне-
тического моделирования интеллектуальных процессов.
В заключение автор благодарит Б. В. Бирюкова, вни-
мательно прочитавшего рукопись данной статьи и сде-
лавшего ряд полезных замечаний.
ЛИТЕРАТУРА
1. Frege G. Nachgelassene Schriften und wissenschaftlichcr Brief-
wechsel (Hrsg. von Hermes, Kambartel, Kaulbach). Hamburg:
Nachgelassene Schriften, 1969. Bd. 1.
2. Frege G. Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch-mathema-
tische Untersuchung fiber den Begriff derZahl. Hildersheim: Olm.
1961.
3. Frege G. Begriffsschrift. Eine der arithmetischen nachgebildete
Formelsprache des reinen Denkens. Halle, 1879.
4. Frege G. Funktion. Begriff. Bedeutung. Fiinf logiscbe Studien.
Gottingen, 1962.
5. Frege G. Grundgesetze der Arithmetik. Jena, 1893. Bd. 1.
6. Frege G. Grundgesetze der Arithmetik. Jena, 1903. Bd. 2.
303
7. Gottlob Freges Briefwechsel mit D. Hilbert, E. Husserl, B. Rus-
sel, so wie ausgewiihlte Einzelbriefe Freges/Hrsg. von Gabriel,
Kambartel, Thiel. Hamburg: Felix Meiner' Verlag, 1980.
8. «Begriffsschrift» — Jenaer Frege-Konferenz. Jena: Friedrich
Schiller Eniversitat, 1979.
9. Бирюков Б. В., Гоншорек С. Н., Макаркина С. Б. Столетие
«Записи в понятиях»: Междунар. конф., посвящ. 100-летнему
юбилею основополагающего математико-логического труда Гот-
лоба Фреге // Информационные материалы: Кибернетика. М
1981, № 6(115).
10. Бирюков Б. В., Бирюкова Л. Г. Учение о формах (величинах)
Германа и Роберта Грассманов как предвосхищение конструк-
тивного направления в мат матике И Вопросы кибернетики —
кибернетика и логическая формализация: Аспекты истории и
методологии. М., 1982. Ч. 1.
11. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики: логические
исчисления и формализация арифметики. М.: Наука, 1979.
12. Мадер В. В. О методике введения понятия мощности конечных
множеств // Пробт емы подготовки учителя математики в пед-
институтах. М., 1977.
13. Dummet М. The Interpretation of Freges Philosophy. L.: Duck-
worth, 1981.
14. Рузавин Г. [Рецензия] И Новые кн. за рубежом по обществ,
наукам. 1982. № 10. Рец. на кн.: Dummet М. The Interpretation
of Freges Philosophy. L.: Duckworth, 1981.
15. Бирюков Б. В. О работе Фреге по философским вопросам мате-
матики Философские вопросы естествознания. М.: Изд-во
МГУ, 1959. Вып. 2.
16. Бирюков Б. В. Теория смысла Готлоба Фреге И Применение
логики в науке и технике. М.: Изд-во АН СССР, 1960.
17. Бирюков Б. В. О взглядах Г. Фреге на роль знаков и исчисле-
ния в познании // Логическая структура научного знания. М.,
1965.
18. Чёрч А. Введение в математическую логику. М.: Изд-во иностр,
лит., 1960.
19. Thiel Ch. Sinn und Bedeutung in der Logik Freges. Hain: Meisen-
heim am Gian, 1965.
20. Frege und die moderne Grundlagenforschung: Symposium, gehal-
ten in Bad Homburg 1973» Hain: Meisenheim am Gian, 1975.
21. Thiel Ch. Bedeutungsvollstandigkeit und verwandte Eigen-
schaften der logischen Systeme Freges // «Begriffsschrift» —
Jenaer Frege-Konferenz. Jena: Friedrich Schiller Universitat,
1979.
22. Бирюков Б. В. Крушение метафизической концепции универ-
сальности предметной области в логике. М.: Высш. шк. 1963.
23. Meschkoieski В. Hundert Jahre Mengenlehre. Munchen: Deut-
scher Taschenbuch Verlag, 1973.
24. Бирюков Б. В., Макаркина С. Б. [Рецензия] И Новые кн. за
рубежом по обществ, наукам. 1981. № 12. Рец. на кн.: Freges G.
Briefwechsel mit D. Hilbert, E. Husserl, B. Russel, so wie ausge-
wahlte Einzelbriefe Freges. Hamburg, 1980.
25. Frege G. Nachgelassene Schriften und wissenschaftlicher Brief-
wechs I, Hrsg. von Hermes, Kambartel, Kaulbach. Bd. 2: Wis-
senschaftlicher Briefwechsel. Hamburg, 1976.
26. Бирюков Б. В. К эволюции фрегевскоп трактовки логических
304
средств познания. И «Begriffsschrift» — Jenaer Frege — Konfe-
renz. Jena: Friedrich Schiller Universitat, 1979.
27. Frege G. Logische Untersuchungen. Gottingen, 1966.
28. Frege G. Schriften zur Logik und Sprachphilosophie. Aus dem
Nachlass, Hamburg, 1971.
29. Frege Gt Schriften zur Logik. Aus dem Nachlass. Miteiner Einlei-
tung von L. Kreiser. B.: Akad. Verlag, 1973.
30. Bartlett I. Funktion und Gegenstand. Miinchen, 1961.
31. Friedrich Ludwig Gottlob Frege — Zur Aktualitatseines Werkes.
Wissenschaftliche Beitrage der Friedrich Schiller Univer-
sitat, Jena, 1976.
32. Studien zu Frege. Bd. 1: Logik und Philosophic der Mathematik.
Bad Canstatt, 1976.
33. Studien zu Frege. Bd. 2. Logik und Sprachphilosophie. Bad Can-
statt, 1976.
34. Studien zu Frege. Bd. 3. Logik und Semantik. Bad Canstatt, 1976.
35. Follesdal Dagjin. Husserl und Frege. Ein Beitrag zur Beleuchtung
der Entstehung der phanomenologischen Philosophie. Oslo, 1958.
36. Бирюков Б. В. Фреге // Филос. энцикл., 1970. Т. 5.
11 Заказ М 2674
ПУБЛИКАЦИИ
ТРУД Ф. Э. МОЛИНА
«ОБ ИНВАРИАНТАХ ГРУПП
ЛИНЕЙНЫХ ПОДСТАНОВОК»
Н. Ф. Канунов
11 сентября (29 августа ст. ст.г) 1986 г. исполнится
125 лет со дня рождения выдающегося русского алгеб-
раиста Федора Эдуардовича Молина, труды которого по
теории линейных ассоциативных алгебр над полем С,
теории линейных представлений конечных групп и их
инвариантов следует считать классическими. Они высо-
ко оцениваются в современной историко-математической
литературе (см., например: [1,2] 1 2). Настоящая статья
посвящена последнему из написанных в дерптский пе-
риод жизни Ф. Э. Молина труду «Об инвариантах групп
линейных подстановок» [3]. Перевод самого труда, вы-
полненный его дочерью Э. Ф. Молиной, помещен ниже.
Предыстория выхода в свет [3] в 52-м томе «Sitzungs-
berichte» Берлинской академии за 1897 г., по представ-
лению ее действительного члена Г. Фробениуса (1849—
1918), вкратце состояла в следующем. Докторская дис-
сертация [4] Молина, опубликованная в 1893 г., была пер-
вым научным очерком общей теории линейных ассоциа-
тивных алгебр над полем С и содержала в различной сте-
пени завершенности все »три основные структурные тео-
ремы, метод регулярных и матричных представлений
вместе с развитой теорией уравнений алгебр. В 1897 г.
вышли две его работы [5, 6], содержащие теорию пред-
ставлений конечных групп посредством групповой ал-
гебры (гиперкомплексный аспект теории представлений
групп, повсеместно принятый в наше время) и теорию
характеров 3. Фробениус лишь на несколько месяцев ра-
нее в 1896 г. и иным методом «группового детерминанта»
1 Далее даты, относящиеся к событиям XIX в., даются по старому
стилю.
2 Литература помещена после статьи Ф. Э. Молина.
2 См. отзыв Фробениуса о трудах Молина ]7, с. 99].
306
разработал теорию представлении и характеров конеч-
ных групп. Резко отрицательно относясь к работам шко-
лы С. Ли и считая Молина последователем последнего^
Фробениус сначала не обратил внимания на труды [4, 5].
Но по рекомендации Э. Штудп, прочитав в осенние ка-
никулы (сентябрь-октябрь) 1897 г. докторскую диссер-
тацию Молина, он к своему удивлению обнаружил в ней
часть своих результатов. Эти совпадения лишь умно-
жились после изучения Фробениусом работ [5. 6]. При
этом он признал совершенную самостоятельность и не-
зависимость полученных Молпным результатов (подроб-
нее о [5, 6] см.: 18J). В ноябре 1897 г. Фробениус первым
посылает Молину оттиск одной из своих работ 1896 г.
В ответном письме Молин благодарит Фробениуса за от-
тиск и посылает ему свою новую работу [3| с просьбой
о представлении ее к напечатанию в «Sitzungsbericlite»
Берлинской академии. Этот журнал обычно не помещал
работ молодых ученых-иностранцев, и исключение из это-
го правила означало особое отличие и признание ценности
работы. В ответ на просьбу Молина 14 декабря 1897 г.
Фробениус пишет: «С величайшим удовольствием я сог-
лашаюсь выполнить Вашу просьбу — рекомендовать Ва-
шу работу Академии» [9, с. 63].
Как известно, Д. Гильберт, занимавшийся в 1884—
1892 гг. теорией инвариантов, провел часть 1885 г. в
Лейпциге, где стал участником математического семи-
нара Ф. Клейна, у которого в то же время учился
Ф. Э. Молин. Последний, по-видимому, ознакомился с
теорией инвариантов уже тогда. Классическая или ал-
гебраическая теория инвариантов, возникшая в 40-х го-
дах XIX в. в Англия, вскоре стала важным направлением
математических исследований. Предметом ее изучения
были алгебраические выражения и их изменения опре-
деленного вида при невырожденных линейных преобра-
зованиях переменных. Такими выражениями могли быть:
многочлены, рациональные функции, их системы, но
преимущественным объектом теории инвариантов были
многочлены от коэффициентов форм. Многочлен J от ко-
эффициентов н-арной формы / называется (целым) отно-
сительным инвариантом, если он после невырожденных
линейных преобразований переменных с определителем
А 0 преобразуется в многочлен J' = A' J, где р —
целое неотрицательное число. Если А = 1, то J назы-
вается (абсолютным) инвариантом. При этом ставились
задачи вычисления всех инвариантов данной формы, опи-
11*
307
сания их, классификации. Позже вместо невырожден-
ных линейных преобразований стали рассматривать груп
пу невырожденных линейных преобразовании. В 1890 г.
Гильберт доказал, что инварианты имею'г конечную систе-
му базисных инвариантов, через которую в виде много-
члена выражается любой инвариант (первая основная тео-
рема). Инварианты не обязательно независимы, т. е. меж-
ду ними возможны соотношения. Гильберт доказал, что
число соотношений между базисными инвариантами ко-
нечно (вторая основная теорема).
Молин в [3] опирается на обе эти теоремы. Вместо тер-
мина «невырожденные линейные преобразования пере-
менных» он употребляет термин «группа линейных под-
становок». Здесь Молин связывает понятие инварианта
с понятиями представления и характера группы. Клас-
сическим результатом Молина является формула (12),
позволяющая найти число инвариантов любой степени,
и формула (11) для числа относительных инвариантов.
При этом, говоря привычным нам современным языком,
рассматриваются кольцо многочленов R = С [xn .. .,xm]t
G — группа невырожденных линейных преобразований
m
(« =L0, 1,. . ., g— 1), заменяющих х, на
fr=l
и изоморфная ей группа невырожденных комплексных
матриц («ifr^m (а = 0, 1,. . ., g — 1). Действие Sa или
матрицы Л(а) = на многочлен / (х) — f (хп . .., хт)
определяется так: Saf (х) = Л(а) / (х) = / (xia>, •. х™*).
Отсюда для любых таких матриц A,Bt В (Af (х))=(АВ) f(x)t
форма / (х) — инвариант, если Af (х) = / (х) для любой
матрицы группы, изоморфной G. Если ad — число не-
зависимых однородных инвариантов степени d группы G
со
и Fg (X) = У| — степенной ряд разложения по сте-
d=0
пеням X, то смысл формулы (12) в том, что FG (X) есть
среднее по группе G от обратной величины характеристи-
ческого определителя, т. е.
<12>
а=о
Здесь g — порядок группы G, I — единичная матрица
порядка т, 4<а) — матрица, соответствующая элементу
Sat пробегающему G. Пусть X (G) — множество непри-
308
водимых (линейных) характеров группы G; % (А(е^) —
характер А(а). Тогда / = / (х) = f (а\,. . хт) ER =
= С [xiu.. xm] называется относительным (полу, ^ин-
вариантом группы G, если А(а)/ = х (А“) / для всех
Л(а). Сохраняя для ad указанное обозначение, рас-
оо
смотрим степенной ряд Fg, г (Х)= adXd относительно X.
Тогда смысл формулы (11) в том, что
(11)
а=0
где для комплексно-значных характеров, как известно,
X (Л(а>) = х (Л(к>)~г. Впоследствии Г. Вейль распростра-
нил формулу (12) на случай бесконечной группы (см.:
[10, с. 2521).
Современная теория инвариантов 4 по сравнению с
классической сильно расширила круг своих задач и наш-
ла новые области применений: алгебраическую геомет-
рию, физику, теорию кодов, комбинаторику и др. Форму-
лы Молина (11) и (12) вновь передоказываются многими
авторами в соответствии с изменением ситуации, в кото-
рой приходится их использовать. Но и при новых усло-
виях остаются неизменными чрезвычайная их важность
и полезность. Все эти авторы (Дьёдонне Ж., Шепард Дж.
К., Стенли Р. П., Слоан Н. Д. А. и др.) высоко оцени-
вают труд Молина [3] и найденные им формулы. Идеям
работы [3] суждено еще долго «работать» в коммутативной
алгебре и ряде других разделов наук.
Для лучшего понимания дальнейшего кратко опишем
результаты докторской диссертации [4] Молина, которые
он положил в основу рассматриваемой работы [3]. В ней
он с самого начала использует и затем глубоко развивает
метод регулярного и матричного представления алгебры,
идея которого восходит к А. Кэли. Общему элементу
к = алгебры А ранга п с базой elf.. .,'еп над полем
г
К = С [uj,..., unl, полученным присоединением парамет-
ров иг,...,ип к полю С, он сопоставляет матрицу
соответствующую линейному преобразованию
з
4 Подробную характеристику современной теории инвариантов
см. в [11, т. 2, с. 542—544].
309
U : x='^ixel —>х' = хи = У
i, i, t
(j, j, t = 1, . . . , n),
t ,
где dij являются n-структурными константами, удовлетво-
ряющими известным соотношениям ассоциативности.
Образ представления он берет в виде билинейных форм
xt= У a\jXiUjet (i, j, t = l, . . н), называя их урав-
i, i
нениями произведений «системы» (алгебры.— Н. К.). Ли-
нейное преобразование U в представлении н U берется
обратимым. Следовательно, считается, что det | У a^Uj)п
з
и det (У ttijXi)n тождественно не равны 0. Отсюда дока-
г
зывается существование единицы в рассматриваемой сис-
теме (алгебре) А. Задание уравнений произведений с н3
постоянными, удовлетворяющими условиям ассоциатив-
ности, вместе с известными правилами сложения, вычи-
тания и умножения на числа С гиперкомплексных чисел
определяют, по Молину, числовую систему (алгебру)
А над К. Переход от одной базы А к другой он считает
равнозначным неособенному линейному преобразованию.
Алгебры, у которых уравнения произведений одинаковы
или становятся такими после перехода к новой базе, счи-
таются одинаковыми, «если не имеется категорических
указаний на другие различия» [4, § 1]. Итак, создание
теории числовых алгебр Молин начинает с определения
правого регулярного представления А. Далее вводится
важнейшее в теории Молина понятие сопровождающей:
если базу е1г. . .,е,.,...,еп системы А над К обратимым
линейным преобразованием = (i, A = l, ..., п)
4 fr
можно выбрать такой, что в новой базе уравнения произ-
ведений системы распадутся на г уравнений произве-
дений
Xi= У ahxlsul (i, к, I — 1, ..., г)
и п — г уравнений
xr+i= ^a^XjtUi (i = l,...,n — г; к, I = 1, .. ., л),
ц i
то первые г уравнений с условиями ассоциативности для
г3 их структурных констант и однозначной разрешимости
относительно обеих систем переменных arlf . . ., хг и
иг, . . ., иг определяют подсистему ранга г системы А, на-
310
зываемую сопровождающей последнюю. По существу, он
требует, чтобы А, рассматриваемая в качестве модуля
представления, имела такую базу е), . . .,ег, е'г+1, . . .,еп,
относительно которой в А существует инвариантный под-
модуль (двухсторонний идеал) J с базой ег+1, . . ., ей та-
кой, чтобы в А существовала подалгебра (сопровождаю-
щая А) ранга г, изоморфная фактор-алгебра AIJ с базой
J + ег,. . J + е„ общий элемент которой определяет
подпредставление с матрицей Однако на пер-
" I
вый план Молин выдвигает пон!тие сопровождающей.
Гиперкомплексные числа, отличающиеся на идеал, он
отождествляет. Понятие сопровождающей Молина свя-
зано с понятием приводимости регулярного представле-
ния в, поскольку после перехода к названному выше ба-
зису матрица (Зад.м*-)п правого представления прини-
/ \ fee О \
мает вид Z-1 f У ) Т = I ),
п \Р Т/
где Т — матрица перехода к новому базису
® - (3 ^pq^g)rt О-----(®)l'X(n-r),
9
Р == (S ®г+д, qUq)(n-r)Xr,
9
У (S r+q^r+q)n—r •
9
Молин заложил основание теории ассоциативных ал-
гебр, и все вновь получаемые им результаты тесно свя-
заны с одновременным развитием теории их представле-
ний: сначала регулярных (первые две главы диссерта-
ции), затем любых (последние главы). Очевидно: сопро-
вождающая сопровождающей вновь сопровождающая, и
во множестве всех сопровождающих имеется такая, ко-
торая никакой алгебры, кроме себя, не сопровождает.
Такую алгебру (систему) Молин назвал первоначаль-
ной. Позже Э. Картан, затем Дж. Веддербери назвали ее
простой. Молин описал процесс отыскания всех перво-
начальных, сопровождающих алгебру, алгебр, эквива-
лентный процессу убывающего идеального ряда алгеб-
ры А, что заметил еще Веддербери. Первая половина дис-
сертации (I, II главы) содержит наиболее полный и но-
5 Поело прочтения работ Молина Фробениус вводит в употребле-
ние термины: «представление», «приводимое», «неприводимое».
311
вый для начала 90-х годов XIX в. очерк теории полупро-
стых алгебр над С. В частности, рассматривая тензорное
произведение двух представлений, Молин нашел крите-
рий полупростоты: если для алгебры А ранга п дискри-
минант det (2 flgrflsjjn =# 0, то алгебра полупростая; ес-
р, г
ли же он равен нулю и дефект дискриминантной алгебры
равен п — г, то она имеет сопровождающую ранга г.
При п = г алгебра первоначальная (простая). Этот кри-
терий также достаточен. Сам Молин формулирует его
в терминах билинейных форм: А полупростая тогда и
только тогда, когда билинейная форма /i (uv) = J! ^qr^s/Д gP я
P, т
неособенная.
Кроме указанных, нам понадобятся лишь следующие
полученные Молиным результаты. 1. Ранг (размерность)
первоначальной (простой) системы Xs равен квадрату
ml целого числа ots. 2. Всякая первоначальная система
As ранга ml изоморфна кольцу матриц порядка ms над К
(так называемая 3-я структурная теорема Веддербер-
на). 3. Уравнения произведений первоначальной системы
As ранга ini имеют вид Xik = ^и^х^ (z, j, k = 1,. . .
i
. . ms). 4. ml линейно независимых элементов epa (p, q —
= 1,- . ., от.) с таблицей умножения ewers = 0 при q =/=
r, emer° = ep„ при q = г могут быть взяты в качестве
(канонического) базиса (базы) первоначальной системы
над полем К. Такая база называется канонической.
5. Ранговый многочлен rAg первоначальной Ms ранга от? —
неприводимый над К многочлен степени ms. Характери-
стический многочлен первоначальной М5 ранга от? равен
m *
Гдв и есть делитель характеристического многочлена всей
системы А, подсистемой которой является Ms. 6. Различ-
ными неприводимыми делителями характеристического
многочлена hA системы А являются только ранговые мно-
гочлены гд всех первоначальных Мк, сопровождающих
А. 7. Характеристический многочлен hi делится на ха-
рактеристический многочлен hAs любой Ms сопровож-
дающей А. 8. Точным (изоморфизмом), неприводимым ре-
гулярным представлением As является представление
с матрицей (Щ})т , все ms элементов которой линейно
независимы. 9. Характеристический многочлен регуляр-
ного представления (полупростой) системы А ранга п
312
над К имеет вид hA = det (J, afft — ®6if) = . г™?,
где р — ранг центра А. Ю. В соответствии с этим А =
= ylj ф . . . б Лр, где ф — знак прямой суммы, р —
ранг центра А. База А может быть составлена как объе-
динение канонических баз слагаемых Лц. . Лр; назо-
вем такую базу канонической базой А. 11. Ранг системы Л
равен сумме рангов первоначальных составляющих
Лр . . Лр, т. е. п = ml + . . . + т'(1. 12. Регулярное
представление системы Л вполне приводимо над К, т. е.
после перехода к канонической базе матрица регулярного
представления (2 ahuk)n системы будет эквивалентна
t
блочно-диагональной матрице, в которой матрица
регулярного представления повторится ms раз для
каждого 5=1,.. ., р. Иначе говоря, (^j подобна
' к
аддитивно записанной матрице
mi . + тр (и^)тр.
Это краткое перечисление нужных для понимания даль-
нейшего результатов далеко не исчерпывает содержание
докторской диссертации Ф. Э. Молина [4].
Подготавливая рассматриваемый нами труд [3], 36-лет-
ний Молин не знал, что волею судьбы это его последняя
работа в данной области, после которой он как алгебраист
не выступит в печати несколько десятков лет. Но он, по-
видимому, был еще полон надежд и замыслов. Приведен-
ные выше результаты докторской диссертации по теории
линейных ассоциативных алгебр, обобщенные Эли Кар-
тавом и Дж. Веддерберном, и теории представления их,
вместе с гиперкомплексным аспектом теории представле-
ний конечных групп, продолженные Г. Фробениусом,
И. Шуром, С. Брауэром, Э. Нетер п многими другими, ста-
ли классическими и встречаются во всех университетских
курсах алгебры, монографиях по общей алгебре. С другой
стороны, в описываемой работе, как мы видели, Молин
касается теории инвариантов конечных групп, и выраже-
ния (И) и (12) работы [3] до сих пор играют важную роль
в разделе коммутативной алгебры, именуемой теорией ин-
вариантов конечных групп. Эти выражения и другие ре-
зультаты Молина используются также в алгебраической
геометрии, алгебраической теории кодирования, совре-
менной комбинаторике, физике, квантовой механике, фи-
зической химии, и часто без упоминания его имени.
313
К сожалению, Молин и его труды в оригинале почти
не знакомы молодому поколению советских математиков.
Его имя исчезло со страниц БСЭ последнего издания, хотя
упоминалось в предыдущем. Оно не отмечается ни в одной
из статей математической энциклопедии, трактующих
о теориях, в которых результаты Молина были осново-
полагающими. Ему не нашлось места в недавно вышедшем
справочнике «Математики. Механики» А. Н. Боголюбова
и ни в одном учебнике высшей алгебры.
Еще хуже до недавнего времени обстояло дело с при-
знанием приоритета Молина в работах зарубежных авто-
ров. Работа В. М. Скотта [12], в которой с незначительным
обобщением поля С до алгебраически замкнутого резуль-
таты докторской диссертации Молина повторяются до-
словно без ссылки на его имя,— не единственная в этом
роде. Теорема о полупростоте групповой алгебры конеч-
ной группы, впервые доказанная Молиным в [5], назы-
вается теоремой Машке. Целый ряд важных результатов
Молина по теории представлений приписывается Бёрн-
сайду. Хокинс, исследовавший творчество Бёрнсайда,
пишет: «Также структурные теоремы Молина 1893 г.
и Картана 1898 г. были кем-то объявлены открытиями,
сделанными Бёрнсайдом» [2]. Талант Молина быстротечно
промелькнул в математике. Все пять основных работ его
вышли в свет за пятилетие 1899—1903 гг. Последующие
перипетии его жизни пресекли возможности создания им
трудов такого же значения. Это и ряд других причин соз-
дали путаницу в оценке его достижений. Именно по по-
воду оценки результатов Молина разными авторами
К. Фейс пишет: «В вопросах истории большинство мате-
матиков стоит на нетвердой, хотя и освященной земле.
За пределами устных преданий и собственных ограничен-
ных познаний лежит малоизвестный мир действительности,
вымысла и фантазии... Лишь малодушные или очень бла-
горазумные люди способны отказаться внести свою долю
в царящую здесь всеобщую неразбериху» ИЗ, с. 236].
Ошибочная точка зрения на историю создания теории
представлений и алгебр содержится во многих моногра-
фиях, трактующих эти вопросы. Она, за редким исклю-
чением, пока бытует и в историко-математической лите-
ратуре.
Все зто наталкивает на необходимость краткого обзора
математических работ, вышедших за последние три десяти-
летия, где используются результаты рассматриваемой
нами работы Молина. При этом ограничимся теорией пн-
314
вариантов конечных групп, где часто используются упо-
мянутые выражения (11) и (12) работы [3].
Пусть V комплексное от-мерное векторное простран-
ство, GL (V) — группа линейных преобразований V,
G CZ GL (V) — конечная группа порядка | G |. Элемент
g fE G называется отражением, если точно | G | — 1 его
собственных значений равны 1 и существует база V,
состоящая из собственных векторов преобразования.
Группа G линейных преобразований от т переменных, ос-
тавляющая инвариантной положительно определенную
эрмитову форму подходящей заменой переменных, есть
группа унитарных преобразований в унитарном прост-
ранстве (Jm размерности т. В случае вещественного V
группа G будет группой ортогональных преобразований
в евклидовом пространстве Ет. Пусть В = С [а^,. . .
. . ., а?т] — кольцо многочленов от жг,. . ., хт, тогда
/ Е= В называется инвариантом группы G, если gf = /
для всех g G. Множество BG = {/ | / ЕЕ В, gf = f,
Vg GE G}, очевидно, является подалгеброй многочленов
В. При этом алгебра над С — это одновременно векторное
пространство над С и ассоциативное кольцо.
Напомним известную теорему Гильберта: конечная
линейная группа G от т переменных имеет систему т
алгебраически независимых инвариантов. Иначе говоря,
BG — кольцо многочленов от Д,. . ., fm. В статье [14]
1954 г. Дж. К. Шепард и Дж. А. Тодд важную в их тео-
рии теорему о том, что каждая конечная группа унитар-
ных преобразований от т переменных, обладающая мно-
жеством базисных вариантов Д,. . ., /т, является уни-
тарной группой, порожденной отражениями, доказывают
применением формулы Молина (12) или разложения
У. °’7gT det (Z - sA) =
0 8
IV? 1 6
где ar обозначает число линейно независимых инвариант-
ных форм, степени сщ,..., — характеристические кор-
ни s Е= G. В 60-х годах эта формула, обобщенная и «безы-
мянная», встречается в работах различных авторов, из
• Здесь п в дальнейшем тождественное линейное преобразование,
в частности под знаком детерминанта, будет обозначаться симво-
лом 1 или I.
315
которых следует отметить вышедшую в 1968 г. книгу
Н. Бурбаки [15]. В этой работе [15, с. 138] она дается в
виде соотношения
5 Тг (s™) Тп = (det (1 — sT))'1
n=0
в кольце К [[Т1]] степенных рядов переменной Т над по-
лем К, где s — эндоморфизм конечномерного векторного
пространства V над К, s11 — его п-я симметрическая сте-
пень [15, с. 138].
В обобщенном виде формула Молина используется
также Р. Стейнбергом (1967) (рус. пер. [16]). Л. Соломон
в работе 1977 г. [17], посвященной тождествам и инвариан-
там конечных групп, для объяснения коэффициентов
важнейших тождеств использует формулу Молина в
виде А (х, g) = det (1 — arg)-1. Здесь А — С [ж1т . . ., хр] —•
алгебра многочленов от а^,. . ., хр; g— элемент конечной
группы G; А (х, g) — символ разложения в степенной
ряд относительно переменного х. Затем даются различ-
ные применения названной формулы.
Особо рассмотрим работы Р. Стенли второй половины
70-х годов [18—20]. В работе 1977 г. [18], посвященной
относительным инвариантам конечных групп, порожден-
ных псевдоотражениями, рассматриваются: V, яг-мерное
векторное пространство над С с базой xt,. . ., xm; GL (F) —
группа обратимых линейных преобразований V; G —
конечная подгруппа GL (F); R = С [а^,. . ., хт] — коль-
цо многочленов от хи . . ., хт’, RG — определенная выше
алгебра, или кольцо инвариантов группы G. Более общо,
если х — линейный характер G, А — автоморфизм R,
определенный посредством
Af (-^li • •> ^т) ~ / (Аз?!,. • -1 -Ахт) = /,
где / (= R, то определяется множество
RG = {/ GE R | Af = % (A) f для всех A GE G}
инвариантов относительно x- Элементы последнего назы-
ваются относительными (х~, полу-) инвариантами. RG
имеет структуру градуированного кольца, т. е. RG =
= Ro + Ri + R% + . . ., где Rn обозначает пространство
всех однородных многочленов из RG степени п. Очевидно
также Я® = (7?х)о + (^x)i + (^х)г + • • • Автор заяв-
ляет: «Фундаментальным средством в нашем исследовании
будет результат Молина» [18, с. 135]. Далее определяется
316
формально-степенной ряд Молина
FZ(G, Х)= 5 dimc (R°)n Г,
п~0
где X — неопределенное, и доказывается теорема: если G
конечная подгруппа GL (У) и % — линейный характер G,
то
F (G, >-) = | G |-i S х (Л)’1 det (1 - К Л)"1.
AeG
Не касаясь многих мест работы [18], где Стенли сущест-
венно использует эту формулу, упомянем его работу
1978 г. [19], посвященную функции Гильберта градуиро-
ванных алгебр. Пусть К нётерово коммутативное кольцо
с единицей, т. е. кольцо, любой идеал которого конечно
порожден. R неотрицательно градуирован, что равно-
значно R = Ro + + /?2 + . . ., где 1 е Ro, RiRj CZ
CZ Rt+j- Если R является алгеброй над полем к, т. е.
R является fc-алгеброй, будем говорить: R есть G-алгебра
в том смысле, что R конечно порождено, как алгебра над к
и каждое R„ конечномерное векторное пространство над
к. Функцию Гильберта определим посредством Н (R, п) =
= dim;,- Rn для неотрицательного целого п. В частности,
Н (R, 0) = 1. Пусть поле к характеристики 0, GL (т, к) —
группа линейных преобразований т-мерного векторного
пространства V с базой х1г. . ., хт и Н— конечная под-
группа GL (т, к), действующая на кольцо многочленов,
R = k [я,,. . ., хт] обозначает фиксированное кольцо.
С помощью формулы Молина доказывается сильный кри-
терий горенштейновости RH, определять которую здесь
не будем 7. Пусть X — неизвестное, тогда RH горенштей-
ново тогда и только тогда, когда в поле к (X) выполняет-
ся следующее тождество:
У, det (1 — hky1 = k 'r J det h det (1 — /гХ)-1,
лен /ish
где r — число псевдоотражений в H. Элемент h ЕЕ Н
называется псевдоотражением, если только одно его соб-
ственное значение 1.
Работа Стенли 1979 г. [20] посвящена инвариантам ко-
нечных групп «с упором на их связь с комбинаторикой»
[20, с. 475]. В ней автор сохраняет обозначения прежних
7 Кольцо Горенштейна — коммутативное нётерово локальное коль-
цо, имеющее конечную пнъектпвную размерность [11, т. 1,
317
своих работ, но более широко использует теорию пред-
ставлений. Если X = X (G) — множество неприводимых
комплексных характеров G, число которых, согласно Мо-
лину, равно числу классов, сопряженных в G, действие G
на В равно прямой сумме неприводимых представлений,
т. е. В --= ф Т, где Т — инвариантные относительно G
подпространства В. Очевидно, здесь Т определены неод-
нозначно. Если для % EF: X через BG обозначена прямая
сумма тех Т, которые соответствуют характеру х, то
порождены однородными многочленами степени, не пре-
вышающей порядка группы G, и определены однозначно
в В = ф BG- В § 2, озаглавленном «Теоремы Молина»,
Стенли рассматривает ряд Молина Eg,x (X) — X П)
• Е(/?х, X) пары (G, х) относительно X, где обозначено
со
F (BG, X) = Fg (X) = S dim BGKn,
если x тривиально. По Молину, х (1) — степень неприво-
димого представления G. Следовательно, коэффициент
при Хп в Ео.х (X) равен кратности характера х в Дейст-
вии G на Вп. Он доказывает названную им классической
теорему Молина: пусть G конечная подгруппа GL (F)
порядка | G | и х СЕ X (G). Тогда последовательность
Fg, х (X) дается формулой
Fg, х 00 = IG I'1 S x (M) det (I - X.W)-\
MeG
где I— тождественное преобразование, x — комплексно-
сопряженный с x характер, функцию Молина Стенли рас-
сматривает как производящую функцию (в смысле комби-
наторики) для степеней неприводимых представлений.
Имеется достаточно физических проблем, для которых
оказалась важной теория представлений или определение
инвариантных многочленов конечной группы. В частно-
сти, теория Л. Д. Ландау фазовых переходов в кристал-
лах требует знания базиса целостности инвариантов.
В силу важности функции Молина при решении таких
задач М. Ярич и Дж. Бирман в вышедших в 1978 г. рабо-
тах [21] и [22] осветили ряд новых связей производящей
функции Молина. Для конечной группы G она является
производящей кратных сп, с которыми] тождественное
представление Г° содержится в //-степени представления Г
318
группы G. Функцию Молина они обозначают
М (Г, G; z) = § cnzn = | G Г X det (1 - гГ (g)p
n=0 g~G
и дают два новых вида ее:
М (Г, G-,z) = \G Г X exp X =6. (g)' Z'1;
g^G 1=1
Р
И (Г, G; z) = IG Г1 X п [1 - zb (g)]"6;
g£G з=1
в терминах производящих функций, где обозначения в
первой ясны; обозначения второй: р — порядок элемен-
та gEzG, образующего циклическую подгруппу A CZ G;
Уз (ё) — неприводимый характер в представлении Г
группы А; 6, — частота характера циклической подгруп-
пы, z — переменное.
Отметим еще примененпе формул Молина в теории ко-
дирования в работах [23; 24]. Столь широкое применение
формулы Молина во многих разделах самых различных
наук, естественно, требует знания явного вида рядов,
выражающих левую часть формулы Молина для различ-
ных групп. С разрешения Л. М. Коганова ниже приводятся
вычисления разложений Молина, проведенные им для сим-
метрической группы Sn и знакопеременной Лп; п > 2.
Если Sn действует как группа линейных подстановок
или же матриц порядка п в кольце Q [a?i, . . ., а?п1 от
#1, . . ., хп над Q, то оЕ Sn представится матрицей вида
Ао — (бг, o-*(j))n, где — символ Кронекера, а дей-
ствие а определяется посредством (xi, . . ., xn)tc =
= (a:o(i)> • • •> ^o(n))t„, где t0 — знак транспонирования.
Для циклического типа а вида (1“>, . . ., п“п) диагональ
det (I — Act) дает (1 — t)“*. В член определителя цикл
входит целиком, либо не входит вообще. Цикл длины г
имеет знак (—1)г-1, таких циклов входят со знаком
(—Следовательно,
(1 — t \
—f i. j —
1/n—а,
(— 1 t \
* ~1 . I
' — 1 / n—a.
319
поскольку элементы —i составляют подстановку о \ 1<ч.
Комбинаторной классификацией циклов в членах разло-
жения последнего определителя получается основное со-
отношение
det(I — Aot)= ft (1 —tfc)“fc.
s=i
Используя известное соотношение
1+3 (z”/n!) 3 ti' • • = exp ( 3 tfczft/fc),
n>l OeSn fr=1
автор находит, что
(1/nl) 2 det (I — Hot)-1 = coefгп Ц 1/(1 — t’z) =
ceSn i=o
n
=1/11(1-**),
fr=l
поскольку среднее выражение есть производящая функ-
ции разбиений натуральных чисел на не более чем п
произвольных слагаемых или же разбиений на слагае-
мые, не превосходящие п. Действительно, база инвариант-
ных форм степени р есть
i п
{О1...О"} ^ki/c = p.
fc=i
Более общий результат иным способом получен Стенли
в [20, с. 492—4931. С помощью указанного разложения
определителя Л. М. Коганов вычисляет ряд Молина
для знакопеременной группы — группы Ап. Сначала он
замечает, что порядок [ Ап | знакопеременной группы
равен и!/2, затем использует формулу (35) [25, с. 94—
95] в комбинации с формулами (2), (За) [25, с. 83—84].
Экспонента индикаторов Ап есть
1 + 3 (zn/n\) 3 t?.. л“п = ('/ъ) (exp 3 z^/k +
n=l
оо
+ exp 3 (—
t=i
320
При я > 2 имеем
(l/|Al|)JTdet(I-4g0-1 =
= - jrCOefzn/n! L/2 [6XP+
i>i
+ ехрУ(-1),-1Д/7'| , =
= coef2„[exp(. . .)] + coefzn X
X exp [ln(l + z) + У In (1 + z/*)] =
fc>i
= 1 I П (1 — tk) + СОеЬг П (1 + zt*)-
' A=1 fc=0
Используя разложение Эйлера [25, с. 136, (13) — (16)], где
вместо а подставляется at~l для второго слагаемого, при-
ходим к разложению Молина (1 + £' 2 j / П (1 — ^)- Дей-
ствительно, базисом инвариантных форм степени р при
действии Ап в кольце Q [Ж1,..., х„] является объединение
{о/ ... On”) п (J {°i* • • °ппИ] п ,
Г-J г=1
где 2) = ~ — биномиальный коэффициент,
V = U(«i — Xj)—определитель Вандермонда степени/ % )
«з 4 '
относительно неизвестных xi,..., хп; о1}_, стп— основные
симметрические многочлены.
Явный вид разложения det (7 — Ло£) на множители
для случая симметрической группы подстановок ст GE Sn
дали без доказательства также Л. Алберт и И. Веле
в работе [26] от 1984 г. в приведенной ими теореме Каме-
рона. Они же использовали формулу Молина в следующих
условиях. Пусть Г = {Ра} — конечная группа комплекс-
ных матриц Ра порядка т, / (г) G С [жц . . ., хт] —
произвольный многочлен от т переменных жг, . . ., хт,
записанный в виде / (жг, . . ., хт) = j (х), где х = (хг, . . .
321
. . хт). Действие Г на многочлены / (х) определяется
(хЛ
: I • Инварианты Г образуют
хт/
конечномерное линейное подпространство (пространства
С [arlt. . zm]) Js линейных однородных многочленов
степени s. Если сь — размерность Js над С, то
F(z)=^ cj?
— производящая функция Молина, ч формула Молина
запишется в виде
F(z)=-|lr Z det(i-^).
РаеГ
где | Г | — порядок Г.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ОБ ИНВАРИАНТАХ ГРУПП
ЛИНЕЙНЫХ ПОДСТАНОВОК
Ф. Э. Молин
Перевод I Э. Ф. Молиной I, примечания Н. Ф. Канунова
В двух заметках х, которые я опубликовал в «Отчетах
о заседаниях Дерптского общества естествоиспытателей»,
из общей теории числовых систем с некоммутативными
единицами 2 я получил заключение о свойствах групп под-
становок3. Мои наблюдения по содержанию оказались
близкородственными с выводами г. Фробениуса в статьях
«О групповых характерах» и «О простых множителях
группового определителя»4, опубликованных в отчетах
о заседаниях * от января 1896 г. и его последней работе
«О представлении конечных групп линейными подстанов-
ками» Б. Однако я в моей первой заметке обращал главное
внимание на обратимость теорем 6. Исследования г. Фро-
бениуса при любезном содействии автора впервые только
что доведены до моего сведения 7.
* Берлинской академии наук. (Примеч. П. К.)
322
Я здесь намереваюсь основываться на одном дальней-
шем пункте теории групп подстановок, а именно на числе
представлений переменных неприводимой группы подста-
новок через однородные функции переменных некоторой
другой группы, с которой первая изоморфна 8.
Эту проблему удается решить простым относительно
способом с помощью характеристических уравнений
групп подстановок.
Я называю уравнения
= , ип-1)хк (i, к~1, ..., т) (1)
k
кратко уравнениями линейной группы подстановок G,
если п систем **
С -У — V ‘ ’ “п-1) „
(2)
в которых н0, . . un-i должны быть независимыми, об-
разуют группу подстановок9. Характеристическое урав-
нение подстановки 5Л я пишу в виде
. о (“О’ • - • ’ “п-1) л 1Ч\
Ch (to) — ^гк — to------fa-------- ---0. (3)
Величина
В(и) = 2Ы«) (4)
i
г. Фробениусом была названа характером группы; я при-
нимаю здесь это название 10. Эта величина является так-
же коэффициентом при первой степени со в
2i ukCh (®). (5)
h
В качестве рациональной функции характеров группы
я называю следующее построение: если
В (и) = Ъ0и0 + . . . + bn-iun-i,
** Везде в дальнейшем: индексы х\, yh, z\,. .(и) = (u0,. . .
. . пробегают значения 1, . . т; у к/,, S;,, С\ принима-
ют значения 0, . . ., п — 1; y/j, 7.;, £=!,<. , р. (Примеч. Н. К.)
323
то
7? (В (u)) — R (£>0) ио + R (Ьх) их + . . . + 7? (7>n_x) wa_x.
(6)
Группа (1) вообще может быть и приводимой; тогда она
разлагается на ее неприводимые части. Из р возможных
неприводимых групп, которые составляют (2) или изо-
морфную ей, каждая может многократно повторяться.
Если групповые характеры неприводимых групп суть
/х (и),. . /р (и), то групповой характер (2) следует из
ее аддитивного состава:
В (и) = Х^ («) + ...+ Хр/р (и), (7)
где ХХ1. . Хр являются целыми положительными, вклю-
чая 0, числами и. Для групповых характеров неприводи-
мых групп существуют известные соотношения. Если
fl (и) — обратный к fa (и) групповой характер, то 12
1 df; (и) &fi- (“)
9№.W=-£-^;------------^~ = ^- (8)
Если это соотношение применить к (7), то непосредствен-
но получим
0 (Л, В) = ъ. (9)
Операция О, следовательно, способствует разложению
группы (1) на ее неприводимые составные части 13; поэ-
тому я мог бы ее назвать анализатором группы. К смыслу
(8) и (9) я возвращусь после.
2
Если для данной группы взять р независимых друг от
друга систем переменных х', у', z',. . . и х, у, z,. . . и
из каждой системы (2) образовать всевозможные произ-
ведения x'iyizi, то последние станут линейными фор-
мами от всевозможных произведений Xjij^zi 14. Следова-
тельно, этим путем получается группа линейных под-
становок Gp, число переменных которой тр. Эта группа,
если отвлечься от известного специального случая15,
всегда приводима 1в. Прежде всего установим Вр (и) —
характер этой группы. Он тотчас найдется из того заме-
чания, что корни характеристического уравнения Gp
являются произведениями соответствующих корней ха-
рактеристических уравнений группы С, взятых с р пов-
324
горениями и перестановками. После ссылки на (5) и опре-
деление (6) отсюда следует 17:
Характер группы Gp равен р-й степени характера
группы G. Частный случай х — у = z можно вывести из
общего, собирая те члены, которые получаются друг из
друга перестановкой х, у, z,. . . Корнями характеристи-
ческого уравнения будут произведения корней для G
с повторениями, но без учета перестановочности 18. Сум-
му корней получают, разлагая 1/Сп (со) по возрастающим
степеням со и беря коэффициент при сор. В этом легко убе-
диться, развертывая разложение 19
1/(1 — <охсо) ... (1 — сотсо).
Как и ранее, получаем одинаковое заключение:
Характер группы, образованной всеми независимыми
целыми рациональными функциями степени р от пере-
менных линейной группы, есть коэффициент при <ор
в разложении
<10>
п
по возрастающим степеням со.
3
Я перехожу к анализу группы, образованной из рацио-
нальных функций переменных. Анализатор
п
и коэффициент при степени <ор в разложении 0 непосред-
ственно дают, как часто группа с характером (и) пред-
ставима через рациональные функции р-й степени пере-
менных данной группы20. В частности, среди групп,
гомоморфных с данной, всегда найдется единичная, ха-
рактер которой равен
3 uh-
h
Но существование такой группы среди неприводимых ча-
стей равнозначно существованию инварианта 21.
В соответствии с этим
<12>
225
— выражение, которое дает число инвариантов для каж-
дой степени. Осталось только показать, что анализатор
(11) тождественно не равен нулю; но когда 50 — тожде-
ственная группа подстановок (2),
Со (о) = (1 - со)"1
и никакое другое характеристическое уравнение не со-
держит 1 — со в равной степени; далее df'ifduo равно по-
рядку группы с характером /г (w) 22. Следовательно, сум-
ма (11) содержит слагаемые, которые при возможном сок-
ращении не могут исключиться, и, следовательно, значе-
ние анализатора тождественно не равно нулю.
4
В качестве простейшего примера я выбираю группу
икосаэдра 23 от трех переменных. Характеристическими
уравнениями являются: для тождественной подстановки —
(1 — со)3 = 0, для 15 подстановок степени 2 — (1 — со)-
• (1 + со)2 = 0, для 20 подстановок степени 3 — (1 — со3)=
= 0, для каждой из 12 и 12-й подстановок степени 5
(1 - со) (1 + со 4- со2) =0.
Анализатор для числа инвариантов
0 =_________1+^__________
(1 — со2) (1 — со’)(1 — со“) •
Анализатор для представления данной группы
Р)__________<о + <о7_____
(1— С02)(1 — w»)(l -со5) ’
для сопряженной группы ‘
©=__________________
(1 — со2)2 (1 — со5) ’
группы от 4 переменных
е=_.________.____________
47 (1 — со) (1 — со3) (1 — со5) ’
и группы от 5 переменных
© = —-Л-----------—
(1 — со2)2 (1 — со3) •
Чтобы точно установить число представлений, нужно все
эти выражения разложить по степеням со. Заметим
326
только, что так найдутся все представления требуемого
рода, но не линейно независимые представления, хотя
первой формулой существование 4 инвариантов с квадра-
тичными соотношениями кажется предсказанным.
5
Я перейду еще к классу групп, переменные которых
представляются как определители переменных
данной группы24. Характеристические уравнения их
имеют своими корнями только произведения различных
корней соответствующих характеристических уравнений
данной группы. Число различных групп такого рода
только конечно. Групповыми характерами, очевидно,
являются коэффициент при <о в
2ипСп(ш). (5)
Эти группы чаще всего постольку интересны, поскольку
спрашивается, какова кратность линейных инвариантов
неприводимых групп; так например, «однородная» груп-
па икосаэдра от 4 переменных и от 6 переменных обладает
билинейным инвариантом формы, о которой шла речь 25.
Аналогичным образом можно также говорить о частных
инвариантах названных групп; уравнения (8) и (9) могли
бы в этом смысле называться частноинвариантными ана-
лизаторами 26.
27 января 1898.
Примечания
1 Имеются в виду работы [5, 6], выполненные Молиным в апре-
ле п сентябре 1897 г. В первой из них «Замечание к теории однород-
ных групп подстановок» Молин рассматривает дискретную группу
S с элементами s0, . . ., sn_r где s0 — единица, и групповую алгебру
определяемую уравнениями произведении
xh = “Aft1!" (Ч
/г, I
где структурные постоянные = 1, если s^s/ = и = О,
если s/tsi =f= Sh. Одновременно уравнения (1) определяют матрицу
г(“) = (,г’ А> 1 = 0.п — 1).
' к
Образ левого регулярного представления Г общего элемен-
та и = ^1ья. ({ = 0, . . ., п — 1) алгебры над полем К =
327
= C (w0, . . wn_1). Придавая в (1) одному пз параметров ив, . . .
. . un_x значение 1, а остальным 0, например wj- = 1, ив = и± — ,
. . . = ик_г = П) +1 = . . . = un-i = 0> Молин получает множе-
ство линейных подстановок (преобразований) вида
xh=^akixi {h,k,l = O, (2)
I
образующих группу Т — ({?’<,, . . ., ^п_1}) линейных подстановок,
изоморфную S при соответствии —• Т^- Здесь т(|. . . хп } рас-
сматриваются как свободные. а0, . . — как зависимые (от
первых) переменные; ип, . . ип х — параметры. Произведение пре-
образований х —» х' = их, х' —» х" = их' или
*8=3 “LVm- xh =
I, m г, s
где h, I, m, s = 0, . . ., n — 1, определяет группу
“з = S (М, « = 0........п — 1)
fr, I
(3)
параметров группы S. При этом
det (3“^^) -
t! I
считаются тождественно неравными 0. С точностью до обозначения
переменных группа (1), замечает Молин, совпадает с группой пара
метров (3). Возможны и другие группы линейных преобразований
с большим или меньшим, чем п, числом переменных, имеющих ту же
группу параметров, что и группа (1). Например, изоморфная (1)
группа
(i, Л = 1, ...,m), (4)
А’
где
bik (м) = Jibikui (i, k, 1=^0, .. ., n-1).
i
Далее Молин подсчитал дискриминант As, доказав, что
det( 2 “пХ'пл) =±«
Л, к
Поэтому согласно его критерию (см. описание докторской диссерта
ции Молина в помещенной выше статье Н. Ф. Канунова) полу-
простая и разложима в прямую сумму первоначальных (простых)
алгебр 4Х, . . ., А . Регулярное представление 71 s вполне приводи-
мо, и в соответствии с разложением = гА*, . . . характерно-
тпческого многочлена hA в произведение неприводимых (ранговых)
многочленов гА , . . гА (степеней mlt . . ., mp) первоначальных
слагаемых^!,. . ., Др оно распадается в систему неприводимых пред-
ставлений или уравнения произведений (1) и «только одним сущест-
венно способом» [5, с. 266] (однозначно.— Н. К.) представляется
328
в виде системы уравнений произведений
=Х“чЧ* = 1,. • •, 'ш), •.
1 (5)
a;i?) = y)Ki?4-ft (i./>Л = 1....тр}
з
первоначальных (простых) систем (алгебр). При этом, очевидно,
п = mJ + . . . + m’] **, где р число неэквивалентных неприводимых
представлений Ля. Иначе говоря, матрица X“fr<“/f) порядка п
регулярного представления общего элемента и = ие. (i = О, ...
г
. . ., п — 1) над полем К после перехода к некоторому базису ==
= Аг ф . . . ф Лр примет вид блочно-диагональной матрицы
mi (“ij^m, “Ь "Ь mp записанной аддитивно. При этом
все mj? элементов блока (к;1?)™ (к = 1, . . ., р; г, z = 1, . . zzi.)
/, X IJ l'ft ' 7 » ' 7 / 1 I fJS
линейно независимы над С. Так описывает Молин свою теорию
представлений группы S порядка п через представленпе групповой
алгебры Лч. Если на равенства (5) смотреть как на полученные
из (1) определенным линейным преобразованием, их лучше записать
в виде
= X(“°’ • • ’ “n-Рхзк (Й. «0.
3
...................................................... (6)
= X <“»’ • • - “п-1) xjk (Ч i,k = i, ... тр),
3
где (и0, • • -, мп_1), t = l...р; i, ] = i, . . ., mt —
линейные формы параметров н0, . . ., ип_г. Беря по одному из каж-
дого zzifc (к = 1, . . ., р) раз повторяющегося неприводимого пред- .
ставления илп отбрасывая вторые индексы в силу пх несуществен-
ности, получим вместо п всего тг -|- . . . + тр уравнений произве-
дений
xin X (“°’ • • ’ “п-1* хз (Б / = !’ • > то1)>
з
...................................................... (7)
х1? = Х^ (“О’ • • • ’ “п-1) xj (Б 7= !’ • • • , тр),
з
которые имеют ту же группу параметров, что и (1). Здесь р равно
числу классов сопряженных элементов группы S, что доказывается
!* Заметим, что открытие этого соотношения вместе с утвержде-
ниями: «Каждое неприводимое представленпе конечной группы
содержится в регулярном с кратностью к, равной его размернос-
ти» (1-я теорема Бёрнсайда), «Число р равно числу классов соп-
ряженных (в S) элементов» до спх пор [27] ошибочно приписы-
ваются У. Бёрнсайду.
329
в работе [6]. Указывается еще группа подстановок
(1) _ у <(ио,...,к(г_г)
Xi — / ди. xj (г, , wi),
=. ' h
з
......................................................... (8)
,(₽) . у
‘ ~ duh X3 ™р),
3
изоморфная группе T, следовательно, группе S. Каждая отдельная
неприводимая группа системы (8) определяет группу, гомоморфную
S, если последняя не простая. Здесь доказывается, что любое ли-
нейное представление содержится в регулярном представлении
группы 5.
В работе [6] «О числе переменных неприводимых групп под-
становок», или, говоря современным языком, о числе неприводимых
представлений, Молин рассмотрел множество центральных функций
на группе, характеры, их свойства, кронекерово (тензорное) произ-
ведение представлений и другие вопросы. Молин рассматривает ли-
нейные коэффициенты (следы)
Xi (и) — (» = 1, . . . , mi), . . . ,
(9)
Хр(«)=У1Ь({?) (» = 1.......mp)
характеристических уравнений линейных преобразований (7). Они
линейно зависят от параметров и0, . . ., ип_г и линейно независимы.
«Поэтому достаточно задать эти коэффициенты, когда нужно ука-
зать определенную неприводимую группу ряда (7)» [6]. Характеры
неприводимых представлений (9) можно записать еще в виде
Xi (w) = J1- Чци}, . . . , хр (и) = vpjUj. (10)
3 3
Далее доказывается, что коэффициенты (i = 1, . . ., р, / = 0, . . .
. . ., п — 1) являются целыми алгебраическими числами, и коэф-
фициент vfr„ (к — 1, . . ., р) лрй w0 в каждом ^к (“) указывает на
число переменны группы [степень неприводимого представления.—
Н. Я.]. Обращаясь к характеристическим уравнениям
( VI \
det | у ) = (t = 1, . . . , р; г, / = 0, . . . , п — 1)
i, з h
группы (8), изоморфной Т. Молин находит, что
(u)/duh = vih (i = l, ...,р; Л = 0, — 1) (11)
«являются линеиными коэффициентам характеристических урав-
нений подстановок в (8), т. е. = х; (s/i)» [6]. Единице s0 груп-
пы 5 соответствует тождественное линейное преобразование =
= ц (г = 1, . . ., Mj) и характеристическое уравнение (<о— l)™1 =
= 0, следовательно, Xi G’o) = vio = mi, если рассмотреть первую
330
неприводимую группу подстановок. П также получается (s„) =
= Vfco = для всех к — 1, . . р. Поэтому соотношения (10) пе-
репишутся в виде
Xi (“) = «1^0 + Xi («1) “1 + • • • + Xi («п_i) «п-р
..................................................... (12)
Хр (“) = 4- Хр (si) «1 + - - + Хр (sn-i) “„-г
След % (и) всей группы S представится в форме
X (») = С1Х1 (“) + • • - +“рХр (“) (13)
с натуральными aY, .... ар. Далее, если
A' m
— матрицы представления, соответствующие элементам н, и из Лд,
то тензорное произведение представлений имеет матрицу
( 2
т, г
Следом последней является билинейная форма
5 asfc“r„Aura (А,/п, г, s = 0.........п-1). (14)
А*, ?п, Г, 8
Иначе говоря, это — след дискриминантной матрицы регулярно-
го представления Затем доказывается, что число р попарно-не-
эквивалентных представлений 4S равно числу а классов, сопряжен-
ных в S (теорема, называемая 2-й теоремой Бёрнсайда). Далее вы-
водятся соотношения ортогональности между характерами непри-
водимых представлений и теорема о том, что степень неприводимо-
го представления группы S является делптелем порядка группы.
2 Единицы — элементы базиса алгебры. Молин имеет в виду
общую теорию числовых алгебр над полем С, изложенную им в его
диссертации [4].
3 Групп линейных преобразований (конечномерных векторных
пространств).
4 Имеются в виду статьи Фробениуса [28, 29], написанные им
до знакомства с работами Молина и за несколько месяцев до опуб-
ликования последних. Подход Фробениуса к созданию теории пред-
ставлений конечных групп был в некотором смысле обратным мето-
ду Молина. В работе [28] Фробениус рассматривает характеры
Хю • • -, Хп—1 как ФункЦии всех к классов сопряженных элементов
группы Н, отвечающие, по существу, неприводимому представле-
нию, но в форме весьма общей, не зависящей от понятия представ-
ления группы. Во второй части работы он рассматривает характеры
как функции элементов А, В, С, . . . группы Н и обозначает их % (А),
X (В), у (С), . . . Если все h элементов ВТ употребить как индексы для
h независимых переменных хА, хв, хс, .... так, что L = MN вле-
чет xL = xMfl, и образовать матрицу (x₽q) = (xPq-i) от h2 элементов,
в которой номера строк и столбцов указаны соответственно индек-
сами Р и Q, пробегающими В, то в силу группового свойства ин-
дексов в каждой пз h строк п /1 столбцов матрицы находятся все h
331
переменных и среди /г2 элементов (xPq-i) имеется только к различ-
ных. Определитель det (xPq_i) Фробениус называет групповым де-
терминантом. Матрице (х^-,) соответствует матрица aitiui)
групповой алгебры А у Молина, т. е. Фробениус и Молин оба изу-
чают, по существу, регулярное представление группы. Однако Фро-
бениус начинает с изучения свойств характеров и затем следующую
работу [29] посвящает разложению группового детерминанта
det (xpQ-i) на неприводимые над С множители, и лишь в третьей
работе [30], написанной после знакомства с работами Молина, Фро-
бениус рассматривает регулярное представление групп, восприняв
и лишь несколько видоизменив некоторые термины и понятия Мо-
лина. Молин же, как мы видели, начинает с понятия регулярного
представления («уравнений произведений») и лишь в последних ра-
ботах [5, 6] переходит к линейным коэффициентам (характерам)
представлений.
® Т. е. через неособенные линейные преобразования.
6 «Обратимость теорем» — по-видимому, обратный ход изло-
жения теорем, указанный в конце примеч. 4.
7 Этим Молин подчеркивает независимость своих результатов
от аналогичных результатов Фробениуса. Последний не только со-
глашался с этим, но в ряде своих работ и отзывов восторженно оце-
нивал независимость и значимость результатов Молина.
8 Изоморфизм в то время — понятие, равносильное современ-
ному гомоморфизму. «Изоморфизм» тогда подразделялся на «голо-
эдрический изоморфизм» — изоморфизм в нашем понимании и «ме-
роэдрическин изоморфизм» — гомоморфизм в современном смысле.
8 Иначе говоря, элементами группы G, определяемой неосо-
бенными линейными преобразованиями (1), являются неособенные
лпнейные преобразования s0, . . ., sn-1, где s0 — единичное преоб-
разование. Таким образом, порядок дискретной группы G равен п.
С другой стороны, G рассматривается как образ регулярного пред-
ставления степени m-групповой алгебры ранга и.
10 Характеристическое уравнение (3) получается из харак-
теристического уравнения
[ дЬ.- \
det I 7 -~г — сой. I = 0
duh гз) *
i, з
(см. примеч. 1) с заменой в нем неизвестного со на 1/<о. В диссерта-
ции [4] и работах [5, 6] Молин след представления называл линей-
ным коэффициентом и лишь в описываемой работе принимает тер-
мин Фробениуса «характер».
11 См. формулы (10) — (13) и соответствующие объяснения к
ним в примеч. 1. Здесь (и) = Xi (“)> • /р (“) = Хр (“) —база
пространства центральных функций, составленная из характеров
неприводимых представлений; т^, . . ., тр — степени этих пред-
ставлений. В (и) = х (и) обозначает характер всей группы S.
12 Если а,, . . ., а_ — корни характеристического уравнения
7 i
i-ro представления, то характеры (u) = Xi (и) = ai + - • • + ат ,
f'i (“) = ft (»-1) = 7.i(“~l) = «1 -1- • • • + am. = х» (“) называются
332
взаимно обратными. Для общего элемети и = ил. групповой
i
алгебры /1g Молин взаимно обратные характеры обозначает fi (и) =
= %! (и) и Д (и) = fi (п-1) = Xi (“~1)- Согласно формуле (12)
примеч. 1
fi (“) = Х4 (“) = 3 ^i (М “ft (i = 1, . - - , p; к = 0, . . . , n — 1).
A-
Следовательно,
fi (“) = Xi (“-1) = Xi (Sft) “ft,
A
где Xi Й-) = Xi (Sft1) = Xi (sft)"1 и коэффициенты при- ив
Xi (so) = vi0 = mi (i = 1......p)
суть степени неприводимых представлений. Следовательно,
df'iW . ______ dfk(u)
~du, = Xi (s/i) — Xi (®Л), gu = ХГ: (5Л)
h n
(i, к = 1, . . . , p; h — 0, . . . , n — 1).
1 V -----------
Выражение 9 (гр, ф) = — / t tp (g) Ф (g), где n. — порядок группы S,
гр, Ф — функции, заданные на S, введенное в теорию характеров Мо-
линым и названное им анализатором, именуется в современном из-
ложении теории представлений групп скалярным произведением
на группе. 6 (fi, /ft) = 6;ft (символ Кронекера) — теорема, выражаю-
щая второе соотношение ортогональности характеров.
В работах [4, 5, 6] формула, аналогичная (8), не выводится.
13 Формула (9) выражает известную теорему о том, сколько раз
неприводимое представление содержится в регулярном пред-
ставлении Г группы G.
14 Это p-я кронекеровская степень группы G. Обозначим в (2)
b/ft (щ>, .... Ип.р = Ь(?Ч + . . . + где Ъ$> (h = 0, . . .
. . ., п\ I, к = 1, . . ., т) — числа из С. Тогда образы приводимого
представления элементов «0, . . ., sn-1 группы, изоморфной пред-
ставляемой группе порядка п, суть соответственно
*i = Sbu4 (1, fc = l, ...,т),
А
где — символ Кронекера;
Уц = S b$yl (к,1 = 1, т),
I
z'l = ^b{Szs (s = l,
и т. д. Процесс, описапнып в [5], состоит в том, что рассматриваются
всевозможные произведения ... по р множителей
333
в каждом или соответственно произведения
(Мчнмчимч)
ft I 3
Очевидно, что число переменных, от которых зависят эти произве-
дения, равно чпслу размещении т переменных по р в каждом раз-
мещении с повторениями, т. е. оно равно тр. Таков порядок линей-
ной группы, порожденной однородными одночленами степени р.
Иначе говоря, было взято неприводимое представление Г и состав-
лена его p-я кронекеровская степень Г ' Г X ... X Г, являющаяся
р раз
представлением измерения тр.
15 Случая, когда G - группа тождественного преобразования.
16 Поскольку G по указанному выше в работе предположению —
приводимая группа, ее p-я кронекерова степень приводима.
17 Этим лаконично выражена идея доказательства теоремы
о характере p-ii кронекеровой степени представления.
18 Это следует из рассуждении, помещенных после теоремы (13),
гл. II диссертации Молина [4].
19 Характеристическое уравнение (3) имеет модуль свободного
члена 1 и получается из обычно употребляемого Молпным харак-
теристического уравнения
det
(Цр, • • . un_t)
duh
степени т общего элемента группы (1) заменой в нем переменной со
на 1/со. Поэтому, если соц . . ., сот — корни последнего уравнения,
1/сох, . . ., 1/сот — корнп уравнения (3). При любом фиксированном
и произведение l/(colt со2 . . . со,п) = +1. Поэтому с точностью до
знака Ch = (1 — cocoj) ... (1 — соыт) и разложение
ОО
Г^сосоГ = ‘ =
1 ft,-o
приводит к разложению
( 1 - соси) ... (1 - СОСО ) = ‘JB
..............................
(къ . . . , кт-Л\ 1...)
с учетом, конечно, условий сходимости.
20 Согласно формуле (9).
21 Пусть Я = С [хц .... хт] — кольцо многочленов от пере-
менных хг, . . ., хт группы G. Многочлен / е Я называется инва-
риантом, если gf = / для всех g е G. Если множество всех ин-
вариантов, то существование тождественной группы I среди непри-
водимых частей, как показал Молин, равносильно тождественному
неравенству нулю формулы (11) работы [3]. Откуда следует RG =f=
#= 0-
22 Так как из ft (u) = miu0 + (sj щ + . . . -ф- yvi (Srt_x) ип_±
следует, что dft (и)/ди0 = пц — порядок группы с характером
Xi (“)•
334
23 Группа J самосовмещенип икосаэдра изоморфна знакопере-
менной группе Л6 порядка 5! = 60. J — простая группа, она ин-
тенсивно изучалась в конце XIX в. (см.: [31]). J получается в ре-
зультате самосовмещений вращений вокруг : 1) 6 диагоналей, со-
единяющих вершины, на угол + 2л/5 (5 циклов); 2) 10 отрезков,
соединяющих центры противоположных граней, на угол +2л/3 (3 цик-
ла); 3) 15 медиан, соединяющих противоположные ребра, на угол +л
(2 цикла). Обозначив 1, 2, 3, 4, 5 переходящие друг в друга вершины
пятиугольника сечения, перпендикулярного оси вращения, найдем
образующие (см. [32]) циклических подгрупп J соответственно:
1) 6 групп порядка 5; 2) 10 групп порядка 3; 3) 15 групп порядка 2.
Молин рассматривает представления в трехмерном евклидовом про-
странстве линепнымп подстановками вида х' = х cos ср — у sin ср,
у' = х sin + у cos ср, z' = z соответствующими вращению на угол
ср вокруг оси OZ. Всего получается 5 классов представлений соот-
ветственно: (I) тождественному преобразованию с характеристи-
ческими корнями 1, 1, 1; случаю 1), распадающемуся (II) на
12 вращении
х' = х cos (2л/5) — у sin (2л/5),
у' = х sin (2л'5) + у cos (2л/5), z' = z
с характеристическим многочленом, равным
[(cos (2л/5) — со)2 -J- sin 2 (2л/5)](1 — со) =
— [1 — 2со cos (2л/5) со2] (1 — со)
и корнями 1, Т], ц1 и (III) на 12 вращений
х' = х cos (4л/5) — у sin (4л/5),
у' = х sin (4л/5) + у cos (4л/5), z' = z
с характеристическим многочленом
(1 — 2 со cos (4л/5) + со2) (1 — со)
и корнями 1, ц2, ?Г2, где г] — первообразный корень из 1 степени 5
(у Молина для обоих случаев отмечено «... по 12 и 12 . . .»); (IV)
случаю 2)
х' = х cos (2л/3) — у sin (2л/3),
у = х sin (2л/3) -[- у cos (2л/3), z' = z
с характеристическим многочленом
(1 — 2со cos (2л/3) + со2) (1 — со) = 1 — со3
и корнями 1, е, е~1, где е — первообразный корень из 1 степени 3;
(V) случаю х' = х cos л — у sin л, у' = х sin л -[- у cos л, z' = z
или х' = —х, у' = —у, z' = z с характеристическим многочленом
(1 — со) (1 + со)2 = 0 и корнями 1, —1, — 1. По формуле (12) ра-
боты [3] получается формула анализатора числа инвариантов груп-
пы. Последующие формулы анализаторов / даются соответственно
для четырехмерного и пятимерного представлений.
24 С начала пункта 5 речь идет о следующем: пз подстановки (1),
являющейся общим элементом дапной группы лпиейных преобразо-
ваний, кратко обозначив (и0, . . ., п,^), i, к = 1, . . ., т,
335
образуем и различных (линейных) подстановок:
= Zz = »//r’ ••• <а>
Г q г
Из тп независимых переменных х-, у 'к, ... получаются С'^п — к
определителей Dt, . . Dk, если считать п т. Также соответст-
венно определяем к определителей Dx, . . ., Dk из соответствующих
к переменных хр, yq, zr, ... В силу (а) и способа образования
Dr, . . ., Dk линейно выражаются через Dx, . . Dk с коэффициен-
тами, выбираемыми из Л2 миноров порядка и матрицы (bjj)m. Так по-
лучается линейная подстановка (преобразованпе) В степени (раз-
мерности) к, «переменные которой образуются из переменных (ж£, у^
zg, . . .— Н. К.) данной группы как определители xt, ух, z\, . . .»
[3, с. 1156]. В соответствует матрице (b,j)m. Единичной матрице
G>ifc)m, гДе б;/>- — символ Кронекера, очевидно, соответствует тож-
дественная подстановка I. Еслп для каждой матрицы линейной
подстановки данной группы построим соответствующую ей подста-
новку С определителей переменных, полученное множество {/, В,
С, . . .} таких подстановок, очевидно, замкнуто по умножению, по-
скольку (bjfc)m = • В,
влечет ВС = £>, т. е. названное множество — полугруппа с едини-
цей по умножению. Ясно, что корни характеристического много-
члена любой В суть произведения любых корней pj, . . ., матри-
цы (bjfc)m по и в каждом произведении. I, В, С, . . . можно склады-
вать и умножать на числа. Тем самым Молин рассмотрел, по сущест-
ву, ассоциативную алгебру Ixj + Вхв -|- Схс + . . ., натянутую
на I, В, С, ... По-видимому, пдея произведения представлений
рассматриваемой работы Молина явилась побудительной причиной
работы Фробениуса 1899 г. [33].
25 Билинейным инвариантом группы вращения икосаэдра в ев-
клидовом четырехмерном пространстве будет форма
(х, у) =y,xiyi, 1 = 1,2, 3,4
i
й в шестимерном пространстве — форма
(т, У) = 1 -- •* • - 6>
i
выражающие скалярные произведения в ортонормированной базе.
28 «Частпый инвариант» — понятие, равносильное относитель-
ному инварианту (полуинварианту).
ЛИТЕРАТУРА
1. Abrege d’histoire des Mathematiques 1700—1900; Sous la direc.
de Jean Dieudonne. P. Hermann, 1978. Vol. 2.
2. Hawkins T. Hypercomplex numbers, Lie groups, and the creation
of group representation theory.— Arch. Hist. Exact. Sci., 1972.
Vol. 8. P, 243—287.
3. Molten T. Cber die Invariant™ der linearen Substitutionsgrup
336
pen П Sitzungsber. Akad. Wiss. Berlin, 1897. Bd. 52. S. 1152—
1156.
4. Molien T. Uber Systeme hoherer complexer Zahlen // Math. Ann.,
1893. Bd. 41. S. 83—156.
5. Molien T. Eine Bemerkung zur Theorie der homogenen Substitu-
tionsgruppen // Sitzungsber. d. Naturforsch. Gesellsch. Dorpat,
1896—1898. S. 259—274.
6. Molien T. Uber Anzahl der Variabeln einer irreductibelen Sub-
stitutionsgruppe // Sitzungsber. d. Naturforsch. Gesellsch. Dor-
pat, 1896—1898. S. 278—288.
7. Канунов H. Ф. Федор Эдуардович Молин, 1861—1941. M.:
Наука, 1983. С. 31—35.
8. Канунов Н. Ф. О работах Ф. Э. Молина по теории представле-
ний конечных групп: Историко-математические исследования.
М.: Наука, 1966. Вып. 17. С. 57—88.
9. Канунов Н. Ф. Письма Фробениуса к Ф. Э. Молину и А. Кне-
зеру // История и методология естественных наук. М.: Изд-во
МГУ, 1971. Вып. 11. С. 56—68,
10. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления.
М.: Изд-во иностр, лит., 1947.
11. Мат. энцикл., 1977—1985. Т. 1—5.
12. Scott W. М. On matrix algebras over an algebraically closed
field // Ann. Math., 1942. Vol. 43.
13. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории, 1. М.: Мир, 1977.
236 с.
14. Shepard G. С., Todd J. Л. Finite unitary reflection groups // Can.
J. Math., 1954, Vol. 6. P. 274—304.
15. Бурбаки H. Группы и алгебры Ли. М.: Мир, 1972. С. 138—141.
16. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. М.: Мир, 1975.
17. Solomon L. Partition identities and of finite groups // J. Combin.
Theory A, 1977. Vol. 23. P. 147—175.
18. Stanely R. P. Relative invariants of finite groups generated by
pseudoreflections // J. Algebra, 1977. Vol. 49. P. 134—148.
19. Stanely R. P. Hilbert functions of graded algebras // Adv. in
Math., 1978. Vol. 28. P. 57—83.
20. Stanely R. P. Invariants of finite groups and their applications to
combinatorics // Bull. Amer. Math. Soc. (New series), 1979. Vol.
1. N 3. P. 475—511.
21. Jaric M. V., Biermann I. L. New algorithms the Molien generating,
function // J. Math. Phys., 1977. Vol. 18, N 7. P. 1456—1458.
22. JariS M. V., Biermann I. L. Calculation of the Molien generating
function for.invariants of space groups//!. Math. Phys., 1977.
Vol. 18. N 7. P. 1459—1465.
23. Sloan N. J. Errors correcting codes and invariant theory: new
applications of a nineteenth-century technique I I Amer. J. Math.,
1977. Vol. 2. P. 84—107.
24. Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоан И. Дж. Теория кодов, исправляю-
щих ошибки.1 М.: Связь, 1979.
25. Риордан' Дж. Введение в комбинаторный анализ. М.: Изд-во
иностр, лит., 1963.
26. Albert L., Wells J. Even signings, signed switching classes and
(—1. 1У matrices.— J. Combin. Theory, 1984. Vol.36. P. 194—
212.
27. Желобенко Д. П., Штерн A. Л. Представления групп Лп. М.:
Наука, 1983.
28. Фробениус Г. О групповых характерах (1896) И Фробениус Г.
12 Заказ К. 2674
337
Теория характеров п представлений групп. Харьков, 1937
С. 21—64.
29. Фробениус Г. О простых множителях группового детерминанта
(1896) // Там же. С. 21—64.
30. Фробениус Г. О представлении конечных групп через линейные
подстановки (1897) // Там же. М. 106—128.
31. Klein F. Vorlesungen uber das Ikosaeder und Auflosung derGlei-
chungen von fflnften Grade. Leipzig, 1884.
32. Граве Д. А. Трактат по алгебраическому анализу: (Историче-
ский обзор). Киев: Изд-во АН УССР, 1939. Т. II. С. 68—73.
33. Фробениус Г. О композиции характеров группы, 1899 // Г. Фро-
бениус. Теория характеров и представлений групп. Харьков,
1937. С.’ 142—152.
О ДВУХ ЗАДАЧАХ ТРАКТАТА
«ДЕВЯТЬ КНИГ ПО МАТЕМАТИКЕ»
ЦИНЬ ЦЗЮШАО
В. К. Жаров
Трактат «Девять книг по математике» Цинь Цзюшао
(см.: [1]), впервые изданный в 1247 г., до сих пор полно-
стью не переведен ни на один европейский язык, хотя был
весьма подробно проанализирован У. Либбрехтом [2],
а методы решения отдельных задач освещались другими
авторами [3—6].
В настоящей статье предлагается реконструкция ре-
шения задачи 1 свитка V и задачи 2 свитка VI трактата Ч
Задача 1 св. V описывалась У. Либбрехтом; ее перевод и
реконструкция решения имеются в книге Э. И. Березки-
ной [6, с. 232—236] (рис. 1). Дадим перевод задачи 2 св.
VI, которая, насколько нам известно, на европейские
языки еще не переводилась 2.
Перевод
Имеются три поля: кольцевое, большое круглое и ма-
лое [круглое] поле. Внешний обвод кольца 30 бу. Диа-
1 Каждая из девяти книг трактата состоит из двух свитков (цзю-
аней) и содержит в сумме девять задач. Кроме условия и ответа,
они снабжены «способом» (алгоритмом) решения и «расчетом»;
в некоторых задачах имеются также «таблицы», которые пред-
ставляют собой подробные выкладки с комментариями к ним, со-
провождающие особо трудные задачи (к числу которых относят-
ся и рассмотренные нами).
2 В квадратных скобках записаны слова, добавленные нами для
связности перевода; в круглых скобках дан перевод примечаний,
набранных в китайском издании более мелким шрифтом.
338
метр пустого 3 8 бу. Диаметр большого круглого поля 10 бу.
Обвод малого круглого поля 30 бу.
Найти площади трех полей; а также внутренний об-
вод кольца, доведенный диаметр 4 и [поперечник] непу-
стого 5, обвод большого круглого [поля], диаметр малого
круглого [поля] (рис. 2).
Ответ: площадь кольцевого поля 20 бу ([и еще]
1 298 025/2 362 256 бу), доведенный диаметр 9 бу ([и
еще] 9/19 бу), поперечник непустого 1 бу ([и еще] 9/19 бу),
внутренний обвод кольца 25 бу ([и еще] 5/17 бу), площадь
большого круглого поля 79 бу ([и еще] 3/53 бу) и его об-
вод 31 бу ([и еще] 13/21 бу), площадь малого круглого по-
ля 71 бу ([и еще] 43/286 бу) и его диаметр 9 бу ([и еще]
9/19 бу).
Способ [решения]: вычислять [площадь методами]
фан тянь 6 7 и шао гуан ’, изменяя коэффициенты. Уста-
3 Диаметр внутренней окружности кольца.
4 Диаметр внешней окружности кольца.
6 Удвоенная ширина кольца.
® Фан тянь — название первого раздела «Математики в девяти
книгах» [7], посвященного вычислению площадей различных фи-
гур, в том числе круга и кольца.
7 Шао гуан — название четвертого раздела «Математики в девяти
книгах», в которой решаются задачи на квадратные и кубические
12*
339
повить * для каждого [поля] умноженные на себя диамет-
ры: [диаметр большого] круглого [поля] и [внутренний
диаметр] кольца, [это] будут [их] квадраты. [Полученное]
передвинуть [на счетной доске] вперед [на одну] позицию,
[это] будет ши в. Взять 1, [это] будет юй. Извлечь квад-
ратный корень, получатся обводы. Установить для каж-
дого [поля] умноженный на себя обвод: [внешний обвод]
кольца и [обвод малого] круглого [поля], [это] будут [их]
квадраты. [Полученное] передвинуть [на счетной доске]
назад на одну позицию, [это] будет ши. Взять 1, [это] будет
юй. Извлечь квадратный корень, получатся диаметры. Взять
квадрат обвода или квадрат диаметра и умножить на ши
каждого [из них]. Полученное сократить на 16, [это]
будет ши. [Взять] 1, [это] будет юй. Извлечь квадратный
корень, получатся площади круглых [полей]. Установить
квадрат обвода кольца, умножить на ши [вычисленное
при получении] диаметра. [Результат] сократить на 16,
[это] будет большим коэффициентом. Установить квадрат
диаметра пустого [места], умножить на ши [вычисленное
при получении] внутреннего обвода. [Результат] сократить
на 16, [это] будет малым коэффициентом. Взять [эти]
два коэффициента, вычесть один из другого. [Их] разность
умножить на себя, [это] будет ши. [Сложить] два
коэффициента, [полученное] удвоить. [Результатом] будет
цзун шан лянъ 10. [Взять] 1, [это] будет и юй и. Извлечь
корень, трижды умножая на фан 12, получится площадь
кольца. Установить обвод кольца, умноженный на себя,
[передвинуть это] назад на одну позицию, [это] будет ши.
[Взять] 1, [это] будет юй. Извлечь квадратный корень,
получится доведенный диаметр. Вычесть из доведенного
уравнения (частного вида). Цоиск корней уравнения по указан-
ному там методу (аналогичному методу Руффини—Горнера) по-
лучил в китайской математике название «метод шао гуан» [7,
с. 531—546; 6, с. 237].
8 Установить — значит представить число на счетной доске (суань
панъ) с помощью счетных палочек.
8 Ши — свободный член уравнения.
10 Цзун шан лянь — коэффициент при второй степени переменной
в биквадратном уравнении.
11 И юй — коэффициент, здесь равный 1, при четвертой степени пе-
ременной в биквадратном уравнении.
12 Фан — коэффициент при первой степени переменной; кроме наз-
ванных выше коэффициентов (фан, ши, цзун шан лянь, и юй) на
счетной доске между цзун шан лянъ и и юй устанавливался также
коэффициент ся лянь, являющийся коэффициентом при третьей
степени переменной.
340
диаметра диаметр пустого, разность будет поперечником
непустого. [Если] корень точно не извлекается,^сократив,
установить [приближенное дробное значение].
Реконструкция
Рекомендуемый Цинь Цзюшао способ^решенияЗ зада-
чи в современных обозначениях запишется следующим
образом:
Cl = /10 di, Сй == /10 П2,
Di = t?i//10, Б3 = С3//10,
/10 Dl S3 = 74 /10 Cl
ши = (S{ — si)2,
цзун шан лянъ = 2 (Si + si)2, и юй = 1,
после чего необходимо решить соответствующее биквад-
ратное уравнение. Здесь Sx, D1 и Сх — площадь, диаметр
и периметр внешнего круга кольца, sx, dlt сг — внутрен-
него; St, Dt и Ct — площадь, диаметр и окружность г-го
поля (i = 2, 3).
Для отыскания площади четырехугольника в зада-
че 1 св. V и кольца в задаче 2 св. VI Цинь Цзюшао ре-
шает одно и то же биквадратное уравнение (мы записы-
ваем его с положительным коэффициентом при старшем
члене): S4 — 2 (Sf + si) S2 + (Si — si)2 = 0 (для задачи 1
св. V Sx и sx — площади большего и меньшего треуголь-
ников, при этом S = Sx + Si (см.: [6, с. 232 и сл.]); для
задачи 2 св. VI S = Sx — sj.
Мы предлагаем реконструкцию, отличную от прове-
денной У. Либбрехтом и Э. И. Березкиной и кажущуюся
нам более естественной. Переобозначив для однородно-
сти записи S2 = Si, имеем
В задаче 1 св. V
S - Si + Sv,
S2 = 51 + 2SiS2 + S2,
S4 = S4(S2 + 52) + 2SiS2). j
В задаче 2 св. VI
S ~ Si — S2,
S‘ = Sf — 2S1S, + S2,
Sl = 5® ((S2 + S2) - 25^).
Воспользовавшись соотношениями
2SXS2 = (Si + S22) - (Si - S2)2, (A)
2SxS2 = (Si + S2)2 - (Si + Si), (Б)
341
получаем
в первом случае S4 — S2((Si 4- Si) 4* 2SjS2) =
= S2 (Si 4- Sl) + S2 (St + Si) - S2 (St - S2)2 =
= 2S2 (Si 4- si) — (Si - si)2 или S4 — 2 (Sl 4-
4- Sl)S2 4- (Si - S22)2 = 0,
во втором случае Sl = S2 ((Si + Si) — (Sx 4- S2)2 4-
+ (Si 4- Sl)) = 2S2 (Si 4- Sl) - (St - Sa)2(Sx 4-
4- S2)2 = 2S2 (Si 4- Si) - (Sl - S?)2 или S4 -
- 2 (Sl 4- Si) S2 4- (Si - Sl)2 = 0.
Известно, что в древнем Китае знали формулу полного
квадрата; в вавилонской и античной математике она исполь-
зовалась для составления тождеств типа (А) и (Б). При-
менение тождества (а 4* Ъ)2 = (а — Ь)2 4- 4а Ь, анало-
гичного (А) и (Б), встречается у одного из современников
Цинь Цзюшао, Ян Хуэя [8, с. 130].
Решение обеих задач кажется непоследовательным:
для вычисления площади кольца, которую естественно бы-
ло бы определить как разность между Sj и S2, автором
составляется биквадратное уравнение; в первой задаче
такое же уравнение решается для вычисления площади
S = Si 4- S2 при известных Sj и S2.
В первой задаче в качестве длин боковых сторон рав-
нобедренных треугольников и общей их стороны выбраны
числа (39, 25, 30). Их выбор, видимо, был обусловлен
предварительным построением пифагоровых треуголь-
ников со сторонами (3-13, 3-12, 3-5) и (5-5, 5-4, 5-3),
пары которых составляют больший и меньший «клинья».
Поэтому мы можем предполагать, что при составлении
задачи предварительно решалась некоторая обратная за-
дача (использовался так называемый принцип обраще-
ния [4, 9—12]). Использование единого алгоритма для
составления задач, видимо, и обусловило сходство Пред-
ложенных методов их решения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Цинь Цаюшао. Шу шу цзю чжан: (Девять книг по математике).
Шанхай, 1937.
2. Libbrecht U. Chinese mathematics in the thirteenth century. The
Shu-shu chiu-chang of Ch’in Chiu-shao. Cambridge (Mass.); L.:
MIT Press, 1973.
3. Needham J. Science and civilization in China. / with collab. of
Wang Ling / Cambridge, 1959. Vol. 3.
342
4. Юшкевич А. П. История математики в средние века. М.: Фпз-
матгиз, 1961.
5. Цянь Баоцун. Чжунго шусюэ ши: (История китайской матема-
тики). Пекин, 1964.
6. Березкина Э. И. Математика древнего Китая. М.: Наука, 1980.
7. Березкина Э. И. Примечания к «Математике в девяти книгах»//
Историко-математические исследования. М.: Наука, 1957.
Вып. 10. С. 514—584.
8. Ли Цзиминъ. Исследование пифагорейских троек у Лю Хуэя //
Кэцзи ши вэньцзи: (Сборник статей по истории науки и техники).
Шанхай, 1982. № 8. С. 51—53.
9. Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М.: На-
ука, 1967.
10. Славутин Е. И. О математических методах древних: (Принцип
обращения) И История и методология естественных наук. М.,
1974. Вып. 16.
11. Башмакова И. Г., Славутин Е. И. История диофантова анали-
за от Диофанта до Ферма. М.: Наука, 1984.
12. Юшкевич А. П. Исследования по истории математики в древнем
Китае // Вопр. истории естествознания и техники. 1982. № 2.
С. 125—137.
ТРАКТАТ ВЫДАЮЩЕГОСЯ ШЕЙХА
АБУ САХЛА ВИДЖАНА
ИБН РУСТАМА АЛ-КУХИ
О ПОСТРОЕНИИ РАВНОСТОРОННЕГО
ПЯТИУГОЛЬНИКА В ИЗВЕСТНОМ КВАДРАТЕ
Перевод и примечания
Б. А. Розенфельда и Р. С. Сафарова
(1) Мы хотим построить в квадрате ABCD равно-
сторонний пятиугольник с неравными углами, пять
углов которого — на сторонах квадрата, как по-
казано на чертеже. Применяя анализ, допустим,
что в квадрате ABCD — равносторонний пятиуголь-
ник EGFKL (рис. 1) и линия ЕМ перпендикуляр-
на к линии DC. Тогда она делит [линию] DC попо-
лам, а также делит пополам линию FK. Поэтому
линия FK — удвоенная линия FM. Каждая из ли-
ний EG и GF равна линии FK, поэтому каждая из
линий EG и GF — удвоенная линия FM. Поэтому
необходимо провести в половине квадрата ABCD
такие две линии, как линии EG и GF, чтобы каждая
из них [была] удвоенной линией FM. Это то, что
мы хотим сделать.
343
(2) Мы хотим провести в плоской фигуре ABCD
(рис. 2), т. е. в половине известного квадрата, та-
кие две линии, как линии АЕ и EG, так чтобы каж-
дая из них была удвоенной линией GD. Допустим,
что каждая из линий АЕ и EG — удвоенная линия
169 GD, и проведем линию ЕЕ параллельно [ линии
АВ, а линию DK — параллельно линии EG. Тогда
линия DK равна линии EG, а линия ЕК равна ли-
нии DG, так что плоская фигура EKDG — парал-
лелограмм. Поэтому каждая из линий АЕ и DK —
удвоенная линия ЕК. Необходимо провести в пло-
ской фигуре ABCD, т. е. в половине известного
квадрата, такие три линии, как DK, ЕК и ЕА, так
чтобы каждая из линий АЕ и DK была удвоенной
линией ЕК и чтобы линия ЕК была параллельна
линии АВ х.
(3) Поэтому мы хотим провести в плоской фигу-
ре ABCD, т. е. в половине известного квадрата,
такие две линии, как линии АЕ и DK, чтобы каж-
дая из них была удвоенной линией ЕК и чтобы ли-
ния ЕК была параллельна линии АВ.
Применяя анализ, допустим, что каждая иэ ли-
ний АЕ и DK — удвоенная линия ЕК и что линия
ЕК 2 параллельна линии АВ. Соединим линией
А, С (рис. 3). Так как линия АЕ — удвоенная ли-
ния ЕК, квадрат линии АЕ — учетверенный квад-
рат линии ЕК. Но квадрат линии АЕ равен квад-
ратам линий АВ и BE, так как угол АВЕ прямой 3.
Линия BE равна линии KL. Поэтому квадраты ли-
ний АВ и KL [вместе] — учетверенный квадрат
линии ЕК, т. е. квадрат линии АЕ.
344
Квадрат АВ — учетверенный квадрат BN, если
АВ разделена пополам в точке N. Оставшийся квад-
рат [линии] KL — учетверенная плоская фигура
XL на LN 4, если линия ХВ равна линии BN.
Поэтому точка К [находится] на обводе гипербо-
лы Б, ось 6 которой XN известна по величине и по
положению, так как каждая из точек X и N известна,
вершина которой — известная точка N, а прямая
сторона7 которой — учетверенная линия XN, т. е.
также известна. Поэтому обвод этой гиперболы,
т. е. гиперболы NK, известен по положению. Таким
образом, так как линия DK — удвоенная линия
КЕ, а линия КЕ равна линии МС, линия DK —
удвоенная линия МС. Пусть ОМ относится
к МС, как AD к DC, a AD — удвоенная DC. По-
этому каждая из линий DK и ОМ — удвоенная
линия МС и линия DK равна линии ОМ, а квадрат
линии DK равен квадрату линии ОМ. Квадрат ли-
нии DK равен квадратам линий DM и МК, а квад-
рат линии ОМ равен плоской фигуре UO на ОК вме-
сте с квадратом КМ, если линия UM равна линии
КМ. Если мы отнимем от них'общий для них квад-
рат КМ, останется: квадрат DM равен плоской
фигуре UO на ОК 8. Отложим [на AC] | CZ — по-
ловину ZA и проведем ZP параллельно AD и КМ.
Тогда линия DP будет удвоенной линией PC и ZP —
удвоенной линией PC. Поэтому точка Р будет
169
об.
345
известна, и квадрат DM, т. е плоская фигура UO на
ОК, относится к квадрату DA как квадрат DP, т. е.
квадрат PZ, к квадрату ZA. Потому точка К будет
на обводе [конического] сечения, касающегося ли-
ний AZ и ZP в точках А и Р и проходящего через
точку U, так как DP — удвоенная PC ®. Поэтому
линия DC, т. е. FC — утроенная линия СР, и точно
так же линия FD — утроенная линия DP. Поэтому
FD относится к DP как FC к СР. Поэтому это [ко-
ническое] сечение — гипербола, ось которой линия
FP, так как квадрат AD относится к плоской фигу-
ре FD на FP как FP, являющаяся боковым диамет-
ром 10, к ее прямой стороне. [Половина] квадрата
AD — утроенная плоская фигура FC на DP и,
так как линии AD и DF равны. Поэтому прямая
сторона — утроенный диаметр FP 12. Поэтому об-
вод гиперболы АК известен по положению. Ее
вершина — в точке Р, она известна. Ее прямая сто-
рона известна, так как она — утроенный известный
диаметр FP. Поэтому точка К известна, так как это
точка пересечения двух известных по положению
линпй, являющихся гиперболами. Поэтому линия
КЕ известна по положению и точка Е известна.
Поэтому АК известна. Это и есть то, что мы хотели
доказать.
(4) Синтез этого. Плоская фигура ABCD — по-
ловина квадрата AGFD (рис. 4). Мы хотим провести
в плоской фигуре ABCD две линии так, как мы опи-
сали в анализе. Разделим каждую из линий АВ и
BG пополам в точках N и X. Сделаем линию DP
удвоенной линией PC и построим на оси NX гипер-
болу, прямая сторона которой будет равна удво-
енной линии AG. Тогда она будет учетверенной ли-
нией NX, т. е. боковым диаметром. Пусть это будет
гипербола NKI. Построим также на оси PF гипер-
болу, прямая сторона которой равна | удвоенной
линии DF, тогда она будет утроенной линией PF,
170 являющейся боковым диаметром. Пусть это будет
гипербола РКА. Проведем из точки К, в которой
пересекаются обе гиперболы, линию параллельно
линии АВ, и пусть это будет КЕ. Соединим АЕ и
DK. Я утверждаю, что каждая из линий AEmDK —
удвоенная линия ЕК.
Доказательство этого. Соединим линией А, С
и проведем линию LKM параллельно линии AD, а
346
акже линию PZ так, чтобы она была касательной
иперболы. Поскольку прямая сторона гиперболы
NK — учетверенный боковой диаметр, т. е. NX,
то квадрат KL — учетверенная плоская фигура
XL на LN. Квадрат АВ — также учетверенный
квадрат BN. Поэтому квадраты KL и АВ [вместе] —
учетверенная плоская фигура XL на LN вместе
с квадратом BN, т. е. квадрат BL 13. Поэтому квад-
раты KL и АВ, т. е. квадраты ЕВ и АВ [вместе]—
учетверенный квадрат BL, т. е. квадрат КЕ. Поэто-
му квадраты линий ЕВ и АВ, т. е. квадрат КЕ, так
как угол АВЕ прямой, а это — учетверенный квад-
рат ЕК. Поэтому линия АЕ — удвоенная линия ЕК.
Далее, так как линия DP — две трети DC, ли-
ния DP — треть линии FD, так как линия FD —
удвоенная линия DC. Поэтому квадрат [линии]
AD, т. е. стороны известного квадрата, — удво-
енная плоская фигура FD на DP. Но квадрат [ли-
нии] DA, т. е. линии, оканчивающейся на гипер-
боле, — утроенная плоская фигура FD на DP, так
как прямая сторона — утроенный боковой диаметр.
Поэтому гипербола РК14 проходит в точности че-
рез точку А. Далее, так как линия DC, т. е. линия
FC, — утроенная линия СР, а линия FD — утро-
енная линия DP, линия С А — касательная к ги-
перболе РКА в точке А 15. Далее, так как ZP отно-
сится к PC, как AD к DC, и [поэтому] AD — удво-
енная DC, линия ZP — удвоенная линия PC. Ли-
ния DP — также удвоенная линия PC. Поэтому
линия DP равна линии PZ. Квадрат PZ относится к
квадрату С А, как плоская фигура UO на ОК к квад-
рату ОА, поэтому каждая из линий AZ и ZP касает-
ся гиперболы [соответственно] в точках А и Р 16. Но
квадрат AZ относится к квадрату DP, как квадрат
АО к квадрату DM, так как линии IAD, ОМ и ZP]
в треугольнике ACD параллельны. По равенству
[отношений]17 отношение квадрата PZ к квадрату
PD будет таким же, как отношение плоской фигу-
ры UO на ОК к квадрату DM. Квадрат ZP равен
квадрату PD, так как линии ZP и PD равны. По-
этому плоская фигура UO на ОК равна квадрату
DM. Прибавляя к ним общий квадрат | МК, по-
лучим, что плоская фигура UO на ОК вместе с квад-
ратом МК, т. е. квадратом ОМ, равна квадрату
DM вместе с квадратом МК, т. е. квадрату DK. Цо-
770
об.
S47
этому квадрат линии ОК равен квадрату линии DK
и линия DK равна линии ОМ. Но линия ОМ — удво-
енная линия МС, так как AD — удвоенная DС. Поэто-
му линия DK — удвоенная линия МС. Линия МС
равна линии КЕ, а линия DK — удвоенная линия
КЕ. Поэтому каждая из линий АЕ и DK — удво-
енная линия КЕ. Это и есть то, что мы хотели дока-
зать.
(5) Мы хотим провести в плоской фигуре ABCD
(рис. 5), т. е. в половине известного квадрата, две
линии АЕ и EG так, чтобы каждая из них была удво-
енной линией GD. Сделаем каждую иэ линий АЕ
и DF удвоенной линией EF. Линия EF параллель-
на линии АВ, как мы показали ранее. Проведем
линию EG параллельно линии DF. Я утверждаю,
что каждая из линий А Ен EG — удвоенная линия GD.
Доказательство этого. Линия EG равна линии
DF, а линия GD равна линии EF, так как плоская
фигура EFDG — параллелограмм. Каждая из ли-
ний АС и DF — удвоенная линия EF, поэтому
каждая из линий АЕ и EG — удвоенная линия GD.
Это и есть то, что мы хотели доказать.
(6) Мы хотим построить в известном* квадрате
ABCD (рис. 6) равносторонний пятиугольник с
неравными углами. Разделим каждую из линий
АВ и CD пополам в точках Е и* G. Соединим ли-
нией Е, G и проведем в плоской фигуре BCGE, т. е.
в половине квадрата ABCD такие две линии, как
EF и FK, так, чтобы каждая из них была удвоенной
линией GK. Это^мы показали раньше. Линия GL
равна линии GK, а линия DM равна линии FC.
348
Соединим линиями М L, и М, Е. | Я утверждаю,
что пятиугольник EFKLM, построенный в квад- 171
рате ABCD, равносторонний.
Доказательство этого. Каждая из линий EF,
FK и KL — удвоенная линия KG, поэтому они рав-
ны. Так как каждая из линий LG и DM равна ли-
ниям KG и CF, а угол LDM равен углу KCF, по-
скольку каждый из них прямой, сторона ML равна
стороне KF. Таким же образом линия ЕМ равна
линии EF. Поэтому линии EF, FK, KL, LM, ME
равны и пятиугольник EFKLM — равносторон-
ний, он построен в известном квадрате ABCD. Это
и есть то, что мы хотели доказать.
Примечания
«Трактат выдающегося шейха Абу Сахла Виджана ибн Руста-
ма ал-Кухп о построении равностороннего пятиугольника в извест-
ном квадрате» переведен с фотокопии рукописи 4830 стамбульской
библиотеки Айя София *. В переводе приведена пагинация по этой
рукописи. Этот трактат интересен тем, что здесь задача о построении
равностороннего, но не равноугольного пятиугольника, вписанного
в квадрат, сводящаяся к алгебраическому уравнению 4-й степени,
решается с помощью пересечения двух гипербол, не являющихся
равносторонними, как это обычно делалось при решении кубических
уравнений, например, в трактате Омара Хайяма [2]. В этом трак-
тате ал-Кухи опирается на чрезвычайно интересное предложение
13? «Конических сечений» Аполлония, которое специально рассмат-
ривается в статье Розенфельда «Инверсия относительно окружности
и инверсии относительно эллипса, гиперболы и параболы в „Кони-
ческих сечениях" Аполлония» (см. наст. изд.). Переводчики весьма
благодарны Е. И. Славутину, который обратил их внимание на то,
что построение, описанное в этом трактате ал-Кухи, равносильно ре-
шению алгебраического уравнения 4-й степени.
Абу Сахл Виджан ибн Рустам ал-Кухи — иранский матема-
тик X—XI вв., работавший в Багдаде. О нем и его трудах см. [1,
т. 2, с. 189—193].
х Задача сводится к построению точки К. Если мы направим
положительные оси Ох и Оу по лучам В А и ВС и обозначим сторону
известного квадрата ВС через 2а, то координаты х, у точки К удов-
летворяют условиям
4г2 — у2 = а2 (1)
(а — я)2 + (2а — у)2 = 4a:2, (2)
* Эта рукопись содержит 8 трактатов ал-Кухи: в обозначениях [1]
М14, М19, М17 (данный трактат), трактат, отождествляемый в
[1] с М15, М4, Mel, Al и М10. 4-й трактат не совпадает сМ15,
так как содержит две геометрические задачи, а не 12, как Ml5.
Следует отметить, что одна из этих двух задач — задачд о по-
строении окружности гомотетичной данной*
349
представляющим собой записи теоремы Пифагора для прямоуголь-
ных треугольников АВЕ и KFD. Условие (2) можно записать так-
же в виде
За:2 — у2 + 2ах -|- iay = 5а2. (3)
Исключая из уравнений (1) и (3) у, мы получим уравнение чет-
вертой степени
а:4 — 4аа? — 52а2а? — 16а3а: + 32а4 = 0. (4)
Уравнения (1) и (3) представляют собой уравнения гипербол
х2/(а/2)2 — у2! а2 = 1 (5)
и
(а: + а/3)2/(2а/3)2 - (у - 2а)2/(2а//3)2 =1. (6)
2 В рукописи вместо ЕК в первом случае написано EF, а во
втором случае — А К.
3 Здесь применяется теорема Пифагора.
4 «Плоская фигура XL на LA'» — прямоугольник, построенный
на отрезках XL и LN.
6 Гипербола (букв, «избыточное сечение»), перевод аполлониев-
ского термина hyperbole — «избыток», от которого происходит
наше название этой кривой. Словом «обвод» переведен термин
мухит, буквально обозначающий окружность.
3 «Ось» (букв, «стрела») — действительная ось гиперболы,
в случае гиперболы (5) равная а.
7 «Прямая сторона» — аполлониевскип термин, обозначающий
удвоенный параметр гиперболы, т. е. ее фокальную хорду, перпен-
дикулярную действительной оси. Для гиперболы а:2/а2 — y2fb2 =
= 1 «прямая сторона» равна 2Ь2/а; в частности, для гиперболы (5)
она равна 4а. Ал-Кухи записывает условие принадлежности точки
К гиперболе (5) в виде равенства KL2 = KXL-LN, т. е. в наших
обозначениях у2 = 4 (х -|- а/2) (х — а/2).
8 Точка U — точка, симметричная точке К относительно пря-
мой CD. Равенство ОМ2 = UO-OK можно записать в виде
(х — а)2 = (2а — у -|- 2а:) (2а — у — 2a:), т. е. в виде уравнения ги-
перболы (6).
8 Гипербола (6) касается в своей вершине Р прямой ZP, пер-
пендикулярной ее действительной оси FP. То, что она касается в
точке А прямой AZ,— следствие'предложения Гп «Конических се-
чений» Аполлония [3, с. 66], о котором мы говорили выше. На рис. 3
положительные осп координат Ох и Оу направлены по лучам ВА
и СВ. В этой системе координат касательная к гиперболе (6) в точке
А (а, 0) — прямая 2а: + у = 2а, т. е. прямая АС. Вершина Р ги-
перболы имеет координаты (а/3; 2а). Проходя через точку К (х; у), ги-
пербола проходит и через симметричную ей точку U (а:; 4а — у).
10 «Боковой диаметр» — то же, что «ось» гиперболы (см. при-
меч. 6), для гиперболы (6) он равен 4а/3. Это название, по-видимо-
му, объясняется тем, что в средние века, как и в древности, рассмат-
ривали только одну ветвь гиперболы, и «боковой диаметр», соединяю-
щий вершины гиперболы, лежащие на ее различных ветвях, при
рассмотрении только одной ветви изображался сбоку от кривой
(Хайям [2] вслед за Аполлонием называл этот диаметр «поперечной
стороной»),
11 l/2AD2 = 2а2 = “AFC-DP = За-2/3а.
12 «Прямая сторона» гипепболы (6) равна 2-4/3а2 : 2/3а = 4а,
350
что в 3 раза больше ее «бокового диаметра». Фокальное расстояние
этой гиперболы равно |/ */<,«'- -j- 4/3а2 = 4/3«, т. о. фокусом этой ги-
перболы является точка D, поэтому отрезок AD является половиной
фокальной хорды, т. е, «прямой стороны».
13 KL2 + АВ2 = у2 + а2 = 4а" = 4BZ? = 4 (XL-LN + BN2) =
= 4 [(a: -J- а/2) (х — а/2) -f- а2/4].
14 В рукописи GK.
15 В силу предложения 13? «Конических сечении» Аполлония.
13 В силу доказанного выше.
17 «По равенству7 отношений» — переход от пропорций А/В =
— DIE и В/С — Е/F к пропорции А/С = DIF, термин Евклида
(17 определение V книги «Начал»).
ЛИТЕРАТУРА
1. Матеиееская Г. П., Розенфельд Б. А. Математики и астрономы
мусульманского средневековья и их труды (VIII—XVII вв.).
М.: Наука, 1983. Т. 1—3.
2. Хайам Омар. Трактаты / Пер. В. А. Розенфельда под ред.
В. С. Сегаля, А. П. Юшкевича. М.: Изд-во вост, лит., 1961.
3. Les Coniques d’Apollonius de Perge / Trad. P. Ver Eecke. P.:
Blanchard, 1959.
СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ
А. П. ЮШКЕВИЧА1
Некоторые сокращения
ИМИ — Историко-математические исследования.
ВИЕТ — Вопросы истории естествознания и техники.
У МН — Успехи математических наук.
МШ — Математика в школе.
DSB — Dictionary of Scientific Biography, I—XVI, N. Y.: Scribner’s
Sons, 1970—1980.
Scienza e teen.— Scienziati e tecnology dalle origini al 1875; Milano:
Ed. Mondadori, 1975.
RHS — Revue d’Histoire des Sciences.
А. Статьи и книги
220. Cebysev P. L.— Scienz. e teen., I, p. 292—294.
221. Gjunter N. M.— Ibid., II, p. 17—18.
222. LexellA. J.— Ibid., p. 289.
223. Minding G. F.— Ibid., p. 397—398 (совм. с A. T. Григорья-
ном).
224. Ostrogradskij M. V.— Ibid., p. 469—471.
225. Peterson К. M.— Ibid., p. 518.
226. SoninN. Ya.— Ibid., Ill, p. 133—134.
227. Steklov V. A.— Ibid., p. 151—152.
228. Steklov V. A.— DSB, 1976, XIII, p. 25—28.
229. Stepanov V. V.— Ibid., p. 35—36.
230. Zubov V. P.— Ibid., 1976, XLV, p. 636 (совм. с A. T. Григорья-
ном).
231. Les mathematiques arabes. P.: Vrin-, 1976.
232. The concept of function up to the middle of the 19th century.
Archive for history of exact science, 1976, XVI, N 1, p. 37—85
(франц, nep.: Fragments d’histoire des mathematiques. P., 1871,
p. 7—68).
233. Из студенческих воспоминаний (1923—1929).— В кн.: Матема-
тика: Сб. науч.-метод. ст. М., 1976, № 6, с. 99—112.
234. О математических рукописях И. Ньютона.— ИМИ, 1977,
вып. 22, с. 127—192.
235. Становление Ньютона как математика.— Природа, 1977, № 7,
с. 18—29.
1 Продолжение списка, опубликованного в «Историко-математи-
ческих исследованиях», 1976, вып. 21, с. 312—327.
352
236. Бернгард Риман.— МШ, 1977, № 4, с. 30—34 (совм. с С. С. Де-
мидовым).
237. _О ранней истории теории кратных интегралов.— ВИЕТ, 1977,
"вып. 3/4 (56/57), с. 30—34.
238. Sur trois ouvrage sovietiques recents concernant 1’histoire des
mathematiques.— RHS, 1977, vol. 30, N 4, p. 337—359 (совм.
с П. Дюгаком и P. Татоном).
239. Rosenfeld В. A. On the 60th anniversary of his birthday.— HM,
1977, vol. 4, N 4, p. 411—414.
240. Математика.— В кн.: Развитие естествознания в России. М.:
Наука, 1977, с. 47—66, 150—170, 260—295 (совм. с Б. А. Ро-
зенфельдом). й-5
241. Концепции исчисления бесконечно малых Ньютона и Лейбни-
ца.— ИМИ, 1978, вып. 23, с. 11—31 (Пер. на фр. в кн.: Leibniz
a Paris. Wiesbaden, 1978, Bd. 1, S. 69—80).
242. Bernstein S. N.— DSB, 1978, vol. 16, p. 22—24.
243. Da Cunha J. A.— Ibid., p. 98—99.
244. Советские исследования по истории математики за шестьдесят
лет (1917—1967).— ИМИ, 1979, вып. 24, с. 9—87 (пер. на англ,
в кн.: Acta historiae rerum naturalium пес non technicarum.
Prague, 1982, vol. 18, p. 9—113).
245. К. Ф. Гаусс и Ж. А. да Кунья.— ИМИ, 1979, вып. 24, с. 186—
191 (пер. на фр. в журн.: RHS, 1978, vol. 31, N 4, р. 327—332).
246. Lazare Carnot savant et sa contribution a la theorie mathematique
de I’infini. P.: Vrin, 1979 (совм. с Ч. К. Гиллиспи).
247. И. Г. Ламберт: (К 250-летию со дня рождения).— МШ, 1979,
№ 5, с. 69—72 (совм. с Б. Л. Лаптевым).
248. И. Г. Ламберт и Л. Эйлер.— ИМИ, 1980, вып. 25, с. 189—217
(пер. на фр. в кн.: Colloque international Jean-Henri Lambert.
P., 1979, p. 211—224).
248a. Опыт истории математики нового времени.— ВИЕТ, 1980,
№ 3, с. 137—144 (совм. с другими).
249. Investigaciones sovieticas en el campo de las matem&ticas у de la
mecanica: Estudios sobre historia de la ciencia arabe. Barcelo-
na, 1980, p. 11—37 (совм. с A. T. Григорьяном; нем. пер. 1980).
250. Investigaciones sovieticas sobre la historia de las matematicas
arabes. Ibid., p. 41—60.
251. Письма А. Данжуа к H. H. Лузину.— ИМИ, 1980, вып. 25,
с. '362—368.
252. Историко-математические исследования в СССР в 1977—
1981 гг,— ВИЕТ, 1981, № 2, с. 16—24 (совм. с другими).
253. Бернард Больцано: (К 200-летию со дня рождения).— ВИЕТ,
1981, № 4, с. 117—126.
254. О творчестве Ж. Фурье.— МШ, 1981, № 5, с. 63—65 (совм. с
С. С. Демидовым).
255. Башмакова Изабелла Григорьевна: (К шестидесятилетию со
дня рождения).— УМН, 1981, т. 36, № 5, с. 211—213 (срвм.
с другими).
256. . Poisson et la theorie de I’integration.— In: Simeon-Denis Poisson
et la science de son temps. P., 1981, p. 183—208.
257. Sur les origines de la methode Cauchy-Lipschitz dans la theorie
des equations differentielles.— RHS, 1981, vol. 34., N 3—4,
p. 209—215.
258. Nouvelles recherches sur 1’histoire des mathematiques chinoi-
ses.— RHS, 1982, vol. 35, N 2, p. 97—110.
353
259. Представления к избранию немецких математиков в Академию
наук СССР.— ИМИ, 1982, vol. 26, р. 294 325 (пер. иа нем.
в кн.: Mathematical Perspectives. N. Y.: Pergamon press, 1984
p. 247—258).
260. Леонард Эйлер. M.: Знание, 1982.
261. Даниил Бернулли.— Природа, 1982, № 3, с. 76—85 (совм. с
другими).
262. Из переписки Л. Эйлера с Д. Бернулли.— Природа, 1982, № 5
с. 100—108.
263. Исследования по истории математики в Древнем Китае.—
ВИЕТ, 1982, № 3, с. 125—136.
264. Международная конференция по истории математических наук
в ФРГ.— ВИЕТ, 1982, № 2, с. 161—162 (совм. с А. Т. Гри-
горяном).
265. Об архивном наследии Леонарда Эйлера.— Там же, с. 141.
266. Призвание мастера.— В кн.: Женщины — революционеры и
ученые. М.: Наука, 1982, с. 108—111.
267. Христиан Гольдбах. М.: Наука, 1983 (совм. с Ю. Е. Копеле-
вич).
268. О неопубликованной рукописи Л. Эйлера «Дифференциальное
исчисление».— ИМИ, 1983, вып. 27, с. 79—87 (пер. на англ,
в кн.: Leonhard Euler. Beitrage zu Leben und Werk. Basel,
1983, p. 161—170).
269. Из истории научных связей математиков СССР и Гёттингена.—
Там же, с. 293—298.
270. Письмо Н. Н. Лузина к М. Фреше.— Там же, с. 298—300.
271. А. Н. Колмогоров о предмете математики и ее истории: (К 80-
летию со дня рождения А. Н. Колмогорова).— ВИЕТ, 1983,
№ 3, с. 67—74.
272. Леонард Эйлер и математическое просвещение в России.— МШ,
1983, № 5, с. 71—74.
273. Теория параллельных линий на Средневековом Востоке. М.:
Наука, 1983 (совм. с Б. А. Розенфельдом).
274. Ал-Хорезми и происхождение латинского алгоритма.— В кн.:
Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми. М.: Наука, 1983, с. 17—52.—
То же в кн.: Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми: Математические
трактаты. Ташкент: Фан, 1983, с. 150—202. Примеч. к ариф-
мет. трактату ал-Хорезми, с. 109—118 (совм. с Б. А. Розен-
фельдом).
275. Историко-математические исследования.— В кн.: Очерки раз-
вития математики в СССР. Киев: Наук, думка, 1983, с. 514—535
(совм. с А. Н. Боголюбовым).
276. F. A. Medvedev et son Apport a 1’histoire de la theorie des
fonctions.— Hist. Math., 1983, vol. 10, N 4, p. 397—398 (совм.
с С. С. Демидовым и П. Дюгаком).
277. Einfuhrung. Zur Sammlung von Aufsatzen L. Eulers zur Theo-
rie der Funktionen komplexer Variabler.— In: Leonhard Euler.
Zur Theorie Komplexer Funktionen. Leipzig, 1983 (см. Б.
N XXVIII), 8—48; Anm. 240—262.
278. История математики в трудах Н. Н. Лузина.— ВИЕТ, 1984,
№ 1, с. 98—106.
279. Жизнь и творчество Леонарда Эйлера.— Вести. АН СССР,
1984, № 5, с. 106—115.
280. Л. Г. Шнирельман в Гёттингене.— ИМИ, 1985, вып. 28,
с. 287—292.
354
281. О трудах П. С. Александрова по истории математики.— ИМИ,
1985, вып. 29, с. 125—137.
282. Переписка А. М. Ляпунова с А. Пуанкаре и П. Дювмом.—
Там же, с. 265—284 (совм. с В. И. Смирновым).
283. О курсе истории математики в педагогических институтах.—
ВИЕТ, 1985, № 2, с. 136—141 (совм. с С. С. Демидовым).
284. Из истории создания математического анализа. М.: Знание,
1985.
285. Послесловие.— В кн.: Георг Кантор. Труды по теории множеств.
М.: Наука, 1985, с. 373—381 (совм. с А. Н. Колмогоровым).
Б. Издания классиков науки, переводы,
редактирование, комментарии
XXIV. Хрестоматия по истории математики: Арифметика и
алгебра. Теория чисел. Геометрия. М.: Просвещение,
1976 (редакция, предисловие).— То же. Математический
анализ. Теория вероятностей. М.: Просвещение, 1977
(редакция, составительская работа, комментарии).
XXV. Развитие естествознания в России (XVIII — начало
XX века). М.: Наука, 1977 (редакция, совм. с С. Р. Ми-
кулинским).
XXVI. Математика XIX века: Математическая логика. Алгеб-
ра. Теория чисел. Теория вероятностей. М.: Наука,
1978 (редакция, совм. с А. Н. Колмогоровым).
XXVII. Ожигова Е. П. Математика в Петербургской академии
наук в конце XVIII — первой половине XIX века. Л.:
Наука, 1980 (отв. редактор).
XXVIII. Leonhard Euler. Opera omnia. Ser. Quarta A. Commercium
epistolicum, vol. V. Correspondance de Leonhard Euler
avec A. C. Clairaut, J. d’Alembert et J. L. Lagrange /
Publiee par A. P. Juskevic et R. Taton. Basel: Birkhau-
ser VerL, 1980 (Introduction, 1—63).
XXIX. Математика XIX века: Геометрия. Теория аналитичес-
ких функций. М.: Наука, 1981] (редакция, совм. с
А. Н. Колмогоровым).
XXX. Zur Theorie Komplexer Funktionen. Arbeiten von Leon-
hard Euler.— Ostwalds Klassiker der exakten Wissen-
schaften, 261. Leipzig: Akad. VerL, 1983.
XXXI. Очерки развития математики в СССР. Киев.: Наук,
думка, 1983 (зам. отв. редактора).
XXXII. Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми: К 1200-летию со дня
рождения. М.: Наука, 1983 (отв. редактор).
XXXIII. Матеиееская Г. П., Розенфельд Б. А. Математики и
астрономы мусульманского средневековья и их труды
(VII—XVII вв.). М.: Наука. Главная редакция восточной
литературы, 1983. Кн. 1—3 (отв. редактор, соавтор
вступительной статьи, с. 11—99).
XXXIV. Переписка С. В. Ковалевской и Г. Митта г-Леффлер а.
М.: Наука, 1984 (отв. редактор).
XXXV. Сабит ибн Корра. Математические трактаты. М.: Нау-
ка, 1984 (отв. редактор).
XXXVI. Койре А. Очерки истории философской мысли. М.: Прог-
ресс, 1985 (редакция и предисловие).
XXXVII. Георг Кантор. Труды по теории множеств. М.: Наука,
355
1985 (отв. редактор и автор послесловия, совм. с А. Н.
Колмогоровым).
XXXVIII. Историко-математические исследования, 1948—1986
1—30 (отв. редактор, до вып. 17 — совм. с Г. Ф. Рыб-
киным).
В. Рецензии
47. Лейбниц Г. В. Математическая естественнонаучная и техничес-
кая переписка.— ВИЕТ, 1977, № 1 (58), с. 117—118.
48. Диофант Александрийский. Арифметика п книга о многоуголь-
ных числах.— УМН, 1977, т. 5, с. 224—227.
49. Лобачевский И. И. Научно-педагогическое наследие. Руковод-
ство Казанским университетом: Фрагменты. Письма.— УМН
1-978, т. 33, вып. 3, с. 217—221.
50. Лейбниц Г. В. Диалог о введении в арифметику и алгебру.—
УМН, 1978, т. 33, вып. 4, с. 241—244.
51. Новые материалы о жизни и творчестве И. Ньютона.— ВИЕТ,
1980, № 1, с. 146—149.
52. Abrege d’histoire des mathematiques, 1700—1900.— Hist. Math.,
1982, vol. 9, N 4, p. 346—360 (совм. с другими).
53. Окончание издания «Математические рукописи» и «Переписка»
И. Ньютона.— ВИЕТ, 198.3, № 1, с. 153—158.
Г. Литература об А. П. Юшкевиче
6. Башмакова И. Г., Григорьян А. Т., Колмогоров А. Н., Марку-
шевич А. И., Медведев Ф. А., Розенфельд Б. А. Юшкевич Адольф
Павлович: (К семидесятилетию со дня рождения).— УМН, 1977,
т. 32, вып. 3, с. 197—202.
7. Башмакова И. Г., Медведев Ф. А., Розенфельд В. А. Адольф
Павлович Юшкевич: К 70-летию со дня рождения.— МШ, № 3,
с. 86—87.
8. Bashmakova I. G., Grigoryan А. Т., Markushevich A. I., Medve-
dev F. A., Bosenfeld В. A. Adolf Р. Yushkevich: On the occasi-
on of his 70th birthday.— Hist. Math., 1976, vol. 3, p. 259—279.
9. Scriba С. I. Adolf Pawlowitsch Yuschkevitsch 75 Jahre — Nach-
richtenbl. Dt. Ges. Geschichte Med., Naturwiss. Techn., 1981,
N 3, p. 132—134.
Д. Основные рецензии на книги А. П. ДОшкевича
8. Вернет X. А. П. Юшкевпч. Арабская математика (VIII—
XV вв.) / Пер. М. Казнава, К. Джауиша; Предисл. Рене
Татона. Париж, 1976,— ВИЕТ, 1977, 2 (59), 88.
9. J. Dieudonne. Leonhard Euler, Opera Omnia, Ser. Quarta A:
Commercium Epistolicum, vol. V, Correspondance de Leonhard
Euler avec A. C. Clairaut, J. d’Alembert et J. L. Lagrange / Re-
dige par A. JusTevic et R. Taton. Basel; Boston; Stuttgart, 1980;
RHS.’XXV, 1982, vol. 2, p. 173—174.
Hoffmann P. A. P. Juskevic, Ju. Ch. Kopelevic, Christian Gol’dbach
1690—1764. Moskau: Nauka, 1983.— Jahrbuch fiir Geschichte
der sozialistischen Lander Europ., B., 1985, Bd. 29, S. 333—336.
356
Дополнения и поправки к списку в ИМИ, вып. 21
19.57.— Волг. пер. в кн.: Рене Декарт: Геометрия с комментариями.
А. П. Юткевич. С.: Наука и изкусство, 1985, с. 169—246.
114. Добавление: чешс. пер. 1977, венг. пер. 1982.
140а. Академик В. Я. Струве.— ВИЕТ, 1967, № 22, с. 126 (совм.
с И. М. Дьяконовым).
1406. М. Я. Выгодский.— Там же, с. 12б—127.
143. В этом издании опубликованы: Материалы об избрании русских
и советских ученых в Парижскую академию наук, с. 15—82;
Л. Эйлер и Ж. Н. Делиль в их переписке, 1735—1765,
с. 129—281 (совм. с другими).
177а. L’heritage scientifique de Leonard de Vinci dans les travaux
des savants sovietiques. Organon, 1971, vol. 8 (совм. c
другими) (под № 204 указан более поздний русский пере-
вод).
183а. Георгий Федорович Рыбкин.— УМН, 1972, т. 27, вып. 5 (167),
с. 223—225 (совм. с другими).
XIПа. Леонард Эйлер: Сб. статей в честь 250-летия со дня рождения.
М.: Изд-во АН СССР, 1958 (редакция, совм. с другими).
XVIIa. Михаил Васильевич Остроградский. 1 января 1862 — 1 ян-
варя 1962. Педагогическое наследие: Документы. М.: Физ-
матгиз, 1961 (редакция совм. с И. Б. Погребысским).
' -t
1985 (отв. редактор и автор послесловия, совм. с А. Н.
Колмогоровым).
XXXVIII. Историко-математические исследования, 1948—1986,
1—30 (отв. редактор, до вып. 17 — совм. с Г. Ф. Рыб-
киным).
В. Рецензии
47. Лейбниц Г. В. Математическая естественнонаучная и техничес-
кая переписка.— ВИЕТ, 1977, JV« 1 (58), с. 117—118.
48. Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоуголь-
ных числах.— УМН, 1977, т. 5, с. 224—227.
49. Лобачевский Н. И. Научно-педагогическое наследие. Руковод-
ство Казанским университетом: Фрагменты. Письма.— УМН,
1-978, т. 33, вып. 3, с. 217—221.
50. Лейбниц Г. В. Диалог о введении в арифметику и алгебру.—
УМН, 1978, т. 33, вып. 4, с. 241—244.
51. Новые материалы о жизни и творчестве И. Ньютона.— ВИЕТ,
1980, № 1, с. 146—149.
52. Abrege d’histoire des mathematiques, 1700—1900.— Hist. Math.,
1982, vol. 9, N 4, p. 346—360 (совм. с другими).
53. Окончание издания «Математические рукописи» и «Переписка»
И. Ньютона.— ВИЕТ, 1983, № 1, с. 153—158.
Г. Литература об А. П. Юшкевиче
6. Башмакова И. Г., Григорьян А. Т., Колмогоров А. Н., Марку-
шевич А. И., Медведев Ф. А., Розенфельд Б. А. Юшкевич Адольф
Павлович: (К семидесятилетию со дня рождения).— УМН, 1977,
т. 32, вып. 3, с. 197—202.
7. Башмакова И. Г., Медведев Ф. А., Розенфельд Б. А. Адольф
Павлович Юшкевич: К 70-летию со дня рождения.— МШ, № 3,
с. 86—87.
8. Bashmakova I. G., Grigoryan А. Т., Markushevich A. I., Medve-
dev F. А., Hosenfeld В. A. Adolf Р. Yushkevich: On the occasi-
on of his 70th birthday.— Hist. Math., 1976, vol. 3, p. 259—279.
9. Scriba С. I. Adolf Pawlowitsch Yuschkevitsch 75 Jahre.— Nach-
richtenbl. Dt. Ges. Geschichte Med., Naturwiss. Techn., 1981,
N 3, p. 132—134.
Д. Основные рецензии на книги А. П. /Ошкевнча
8. Вернет X. А. П. Юпгкевпч. Арабская математика (VIII—
XV вв.) / Пер. М. Казнава, К. Джауиша; Предпсл. Рене
Татона. Париж, 1976.— ВИЕТ, 1977, 2 (59), 88.
9. J. Dieudonne. Leonhard Euler, Opera Omnia, Ser. Quarta A:
Commercium Epistolicum, vol. V, Correspondance de Leonhard
Euler avec A. C. Clairaut, J. d’Alembert et J. L. Lagrange / Re-
dige par A. JusTevic et R. Taton. Basel; Boston; Stuttgart, 1980;
RHS/XXV, 1982, vol. 2, p. 173—174.
Hoffmann P. A. P. Juskevic, Ju. Ch. Kopelevic, Christian Gol'dbach
1690—1764. Moskau: Nauka, 1983.— Jahrbuch fiir Geschichte
der sozialistischen Lander Europ., B., 1985, Bd. 29, S. 333—336.
356
Дополнения и поправки к списку в ИМИ, вып. 21
19.57.— Болг. пер. в кн.: Рене Декарт: Геометрия с комментариями.
А. П. Юшкевич. С.: Наука и изкусство, 1985, с. 169—246.
114. Добавление: чешс. пер. 1977, венг. пер. 1982.
140а. Академик В. Я. Струве.— ВИЕТ, 1967, № 22, с. 126 (совм.
с И. М. Дьяконовым).
1406. М. Я. Выгодский.— Там же, с. 126—127.
143. В этом издании опубликованы: Материалы об избрании русских
и советских ученых в Парижскую академию наук, с. 15—82;
Л. Эйлер и Ml. Н. Делиль в пх переписке, 1735—1765,
с. 129—281 (совм. с другими).
177а. L’heritage scientifique de Leonard de Vinci dans les travaux
des savants sovietiques. Organon, 1971, vol. 8 (совм. c
другими) (под № 204 указан более поздний русский пере-
вод).
183а. Георгий Федорович Рыбкин.— УМН, 1972, т. 27, вып. 5 (167),
с. 223—225 (совм. с другими).
ХШа. Леонард Эйлер:.Сб. статей в честь 250-летия со дня рождения.
М.: Изд-во АН СССР, 1958 (редакция, совм. с другими).
XVIIa. Михаил Васильевич Остроградский. 1 января 1862 — 1 ян-
варя 1962. Педагогическое наследие: Документы. М.: Физ-
матгиз, 1961 (редакция совм. с И. В. Погребысским).
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
Абель Н. X. (Abel N. Н) 64, 72,
80, 91, 94, 261
Абу Камил Шуджа ибн Аслам
ибн Мухаммед ал-Хасиб ал-
Мисри 188, 189
Алберт Л. (Albert L.) 321, 337
Александр II 88
Александров П. С. 7, 8, 117, 130,
346
Алексеев В. М. 184, 194
Алексеев Н. М. 114
Ампер А. М. (Ampere А. М.)
59, 72
Андреев К. А. 125
Андреевский М. А. (Andreev-
skij М. А.) 114
Анисимов В. А. 114
Антифон 13
Антонович М. А. 147
Аполлоний 189, 193, 195, 199
Арбогаст Л. Ф. A, (Arbogast
L. F. А.) 55, 74
Аренс В. (Ahrens W.) 204, 223
Аристотель 184, 190, 194
Арнольд В. И. 172, 173, 176
Архимед 13-16, 20, 21, 77, 191.
192, 194
Асколи Дж. (Ascoli G.) 138
Атья М. Ф. (Atiyah М. F.) 2581
Ахиезер Н. И. 7
Ахутин А. В. 174
Ашетт Ж. Н. П. (Hachette
J. N. Р.) 146
Бакунин М. А. 170
Бальцер Г. Р. (Baltzer Н. R.)
90, 91
Банах С. (Banach S.) 99-112,
117, 122
Баранецкип М. (Baraniecki
М. А.) 114
Бари Н. К. 112, 158
Барроу И. (Barrow I.) 33, 192
Барсов А. Д. 18, 49, 56, 57,
79
Бартельс М. Ф. (Bartels J. М.
Ch.) 48
Бартлетт И. (Bartlett I.) 305
Баше де Мезириак К. Г. (Bachet
de Meziriac С. G.) 204, 223
Башмакова И. Г. 7, 182, 194, 343,
345, 348
Беббидж Ч. (Babbage Ch.) 61
Безруков А. 146
Беккер О. (Becker О.) 187, 194
Белозеров С. Е. 122
Белопольский А. А. 154, 158
Вельост Б. (Belhoste В.) 80
Берг Л. С. 170
Березкина Э. И. 338, 341, 343
Беркли Дж. (Berkeley G.) 33,
34, 36-39. 50. 78
Бернайс П. (Bernays R.) 185,
194, 304
Бернулли Д. (Bernoulli D.) 346
Бернулли И. (Bernoulli J.) 36,
38, 54
Бернулли Н. (Bernoulli N.) 347
Бернулли Я. (Bernoulli J.) 25,
38, 223, 347
Бернштейн И. Н. 259
Бернштейн С. Н. 345
Бернштейн Ф. (Bernstein F.)
105
Бертран Ж. Л. Ф. (Bertrand
J. L. F.) 90, 218
Бессель Ф. В. (Bessel F. W.) 237
Бёрнсайд У. (Burnside W.) 314,
329 331
Бине Ж. Ф. М. (Binet J. Ph. М.)
59
Бирман Дж. (Biermann I. L.)
318, 337
Бирман К. Р. (Biermann К. R.)
Бирюков Б. Ё. 266, 271, 278,
286, 301, 303-305
Бирюкова Л. Г. 271, 304
Бобынин В. В. 125, 134, 147
Боголюбов А. Н. 314, 346
Боголюбов Н. Н. 173
Богомолов С. А. 29
Богомольный Е. И. 258
Бойер К. Б. (Boyer С. В.) 11, 48,
77
Бокка (Восса) 147
Больман Г. (Bohlman G.) 134,
147
Больцано Б. (Bolzano В.) 11, 33,
48, 60, 62-65, 69-71, 74, 75,
80, 141. 315
Больцман Л. (Boltzmann L.)
172, 176
Бомбелли Р. (Bombclli В.) 187
Бонне П. О. (Bonnet Р. О.) 75,
76
Бор Н. (Bohr N.) 172, 173
Борель Э. (Borel Ё.) 9, 98. 117,
127, 131, 135, 145, 147, 163, 172
Борн М. (Born М.) 173
Борхард К. В. (Borchardt К. W.)
91
Браун С. (Braun S.) 121
Брауэр С. (Brouwer S.) 313
Брёйнс Э. М. (Bruins Е. М.) 7
Бризон 13
Брокгауз Ф. A. (Brockhaus
F. А.) 78
Брылевская Л. И. 97
Брюа Ф. (Bruhat F.) 173
Брюнетьер Ф. (Brunetiere F.)
170
Бугаев Н. В. 9, 125-127, 129,
134, 139. 140. 147, 148, 151, 157,
158, 164, 168, 170, 171, 173,
176, 183
Бугенвилль Л. A. (Bougainvil-
le L. А.) 49, 50, 79
Булафф Р. К. (Bullough R. К.)
171
Булгаков М. А. 193
Буль Дж. (Boole G.) 265
Буняковскпй В. Я. 65, 73, 74, 81,
87. 89
Бурбаки Н. (Bourhaki N.) 46,
79. 250. 316. 337
Бусард X. (Busard Н.) 77
Бэр Р. (Baire В.) 9, 101, 117,
119. 122, 123, 131, 135, 141,
147, 172, 185
Бюффон Ж. Л. Л. де (Buffon
G. L. L. de) 39, 161
Бюшгенс С. С. 150, 157
Вавилов С. И. 78, 190, 194
Валерио Л. (Valerio L.) 19, 21,
22, 30, 35, 77
Валлис Дж. (Уоллис, Wallis J.)
19. 22. 23-25. 27, 29, 33, 77
Ван дер Варден Б. Л. (Van der
Waerden В. L.) 7. 187, 194
Вандермонд А. Т. (Vandermon-
de А. Т.) 321
Вань Линь 342
Варипг Э. (Уэринг, Waring Е.)
38
Вариньон П. де (Varignon Р. de)
38
Васильев А. В. 146
Ващенко-Захарченко М. Е. 147
Веддербери Дж. (Wedderbern J.)
311-313
Вейерштрасс К. Т. В. (Weier-
strass К. Th. W.) 11, 59, 60, 63,
74-76, 81, 138, 141, 143, 176
Вейль A. (Weil А.) 101, 112,
189. 194
Вейль Г. (Weyl Н.) 172. 174, 185,
257. 309, 337
Вейраух И. (Weyrauch J. J.)
217 223
Веле'И. (Wells J.) 321, 337
Вернадский В. И. 157
Вернет X. (Vernet Н.) 349
Веселовский И. Н. 194
Вессио Э. (Vessiot Е.) 86
Виет Ф. (Виета, Viete F., Vieta)
20, 77, 187
Вилейтер Г. (Wieleither Н.) 86
Вилькош В. (Wilkosz W.) 117
Винер Н. (Wiener N.) 177
Винтер Е. (Winter Е.) 348
Винчи Л. да (Vinci L. de) 349
Витали Дж. (Vitali G.) 97, 88,
100, 101, 103, 104, 108, 109,
112
Витело (Vitelo, Witelo, Wite-
lon) 113
Власов А. К. 125, 154, 158
Вольтерра В. (Volterra V.) 157
Вольф Хр. (Wolff Ch.) 33, 78
Воронова Л. П. 130
Вороной Г. Ф. 114, 115
Вудхауз Р. (Woodhouse R.) 78
Вуссинг Г. (Wussing Н.) 7
359
Выгодский М. Я. 7, 343, 349
Вышнеградский И. В. 92
Вяльцев А. Н. 173
Га де Мальва Ж. П. де (Gua de
Malves J. P. de) 175
Габриель Г. (Gabriel G.) 304
Галаган Г. П. 89
Галаган П. Г. 89, 96
Галилей Г. (Galilei G.) 15, 192
Галуа Э. (Galois Ё.) 193
Гамильтон У. Р. (Hamilton
W. R.) 76, 150
Ганзен П. A. (Hansen Р. А.)
237
Ганкель Г. (Hankel Н.) 137
Гаусс К. Ф. (Gauss С. F.) И,
48, 57, 60-62, 65, 80, 90, 91,
93-95, 192, 224-228, 230-237,
241-247, 345
Гегель Г. В. Ф. (Hegel G. W. F.)
134, 147
Гейзенберг В. (Heisenberg W.)
173
Гейне Г. Э. (Heine Н. Е.) 91,
133, 146
Гейнце М. 174
Гельмгольц Г. фон (Helmholtz
Н. von) 133, 137, 146
Гельмерт Ф. Р. (Helmert F. В.)
237
Гербарт И. Ф. (Herbart J. F.)
169
Герман (Hermann) 146, 336
Гермес Г. (Hermes Н.) 303, 304
Гершель Дж. Ф. В. (Herschel
J. F- W.) 61
Гессе Л. О. (Hesse L. О.) 251,
252
Гёфдинг Г. (Hoffding Н.) 169, ,
174
Гиллиспи Ш. К. (Gillispie Ch. С.)
79, 345
Гильберт Д. (Hilbert D.) 185,
194, 262, 271, 301, 302, 304, 307,
308, 315, 317, 337
Гиндикин С. Г. 248, 260, 261
Гипер де (Guyper de) 90
Гмайнер И. A. (Gmeiner J. А.)
131, 146
Гнеденко Б. В. 7, 8
Гоббс Т. (Hobbes Th.) 269
Гобсон Э. У. (Hobson Е. W.)
145, 148
Головипекий И. А. 224, 247
Голубев В. В. 7, 158
Гольдбах Хр. (Goldbach Ch.)
218, 346, 349
Гомер 159, 184, 194
Гоншорек С. Н. 266, 304
Горенштейп Д. (Gorenstein D.)
317
Горнер В. Г. (Horner W. G.)
340
Горнфельд А. 41, 78
Госьевский В. (Gosiexvski W.)
114
Готье-Вилларе Л. (Gauthier-Vil-
lars L.) 146, 147
Гофман И. Э. (Hoffmann J. Е.)
187, 194
Гофман П. (Hoffmann Р.) 349
Грабинер Ю. (Grabiner J. V.)
80
Граве Д. А. 338
Грассман Г. Г. (Grassmann
Н. G.) 251. 271, 304
Грассман Р. (Grassmann R.)
304
Граттен-Гюиннес И. (Gratten-
Guinnes I.) 80, 148
Грегори Дж. (Gregory J.) 22,
23, 27, 33, 77, 78
Греллинг К. (Grelling К.) 298
Григорий из Сен Винцента (Gre-
gorius a Sancto Vincentio)
19-21, 23, 77
Григорьев В. В. 65, 87, 89, 92,
96
Григорьян А. Т. 7, 344—346, 348
Гринлиф Ф. П. (Greenleaf F. Р.)
112
Гриффитс Ф. A. (Griffiths
Ph. А.) 249, 261
Гротендик A. (Grothendieck А.)
259
Гуревич Л. Я. 147
Гурьев С. Е. 47, 49, 50; 56, 57,
80
Гуссерль Э. (Husserl Е.) 262.
265, 304, 305
Гюйгепс X. (Huygens Ch.) 33
Гюнтер Н. М. 344
Даламбер Ж. Р. (D’Alembert J.
le R.) 8. 37, 38, 40-51, 53, 54,
56, 65, 78, 79, 81-87, 347, 349
Даммет М. (Dummet М.) 278,
304
Данжуа A. (Denjoy А.) 117, 345
360
Данилов Ю. А. 148
Дарбу Г. (Darboux G.) 63, 134,
146, 253
Дарвин Ч. (Darwin Ch.) 161,
170
Дедекинд Ю. В. Р. (Dedekind
J. W. R.) 13, 63, 81, 133, 135,
137, 138, 140, 146, 147, 166, 176.
186, 192, 280
Дезарг Ж. (Desargues G.) 248
Декарт Р. (Descartes R.) 17, 86,
175, 189, 269, 349
Делиль Ж. Н. (De 1’Isle J. N.)
349
Демидов С. С. 86, 124, 129-131,
148, 157, 159, 170, 177, 344-
346
Демокрит 13
Деринг 149
Джауиш К, (Jaouiche К.) 349
Джевонс У. С. (Jevons W. S.)
270
Джюрин Дж. (Jurin J., Phila-
lethes Cantobrigiensis) 34—36,
78
Дидро Д. (Diderot D.) 40
Дикштепп C. (Dickstein S.) 114
Дини У. (Dini U.) 131, 133, 135,
137, 140, 146
Диофант Александрийский 183,
186—188, 192, 194, 252, 343,
348
Дирак П. А. М. (Dirac Р. А. М.)
193, 194, 257
Дирихле см. Лежен-Дирихле
Допальдсоп С. (Donaldson S.)
258. 259
Допплер Хр. (Doppler Ch.) 153,
154
Дринфельд В. Г. 258
Дьёдонне Ж. A. (Dieudonne
J. А.) 7, 309, 336, 349
Дьяконов И. М. 349
Дюамель Ж. М. К. (Duhamel
.1. М. С.) 73, 81, 91, 93
Дюбуа-Реймоп П. (Du Bois Rey-
mond Р.) 92, 133, 141, 143, 146,
177
Дюгак П. (Dugac Р.) 75, 81, 345,
346
Дю-Прель К. (Du Prel С.) 164,
174
Дюйм П. (Dnhcm Р.) 346
Евдокс Книдский 13, 186, 191
Евклид 13-15, 21. 31, 57, 77, 134,
147, 182, 186, 191, 193, 194. 269
Егоров Д. Ф. 7-9, 114, 124, 125,
129, 130, 157
Ермолаева Н. С. 69, 87
Ефрон И. A. (Efron J. А.) 78
Жаров В. К. 338
Жегалкпн И. И. 124, 127, 129,
145, 148
Желобенко Д. П. 337
Жерар дин A. (Gerardin А.) 201
Жоравский К. (Zorawski К.)
114
Жордан К. (Jordan С.) 135, 140,
147
Жуковский Н. Е. 9, 125, 127.
128, 152-155, 157, 158
Жюлиа Г. М. (Julia G. М.) 176
Заремба С. (Zaremba S.) 114
Зейдель Ф. Л. (Seidel F. L.) 72
Зенон Элейский 134, 146. 165,
184-186
Зинин Н. Н. 114
Золотарёв Е. И. 192
Зубов В. П. 7, 169, 344
Ибервег Ф. (tlberweg F.) 174
Ибн Корра Абу-л Хасан Сабит
ас-Саби ал-Харрани 348
Ильин А. А. 8, 65, 69, 87. 89—96
Поп Ф. (John F.) 256, 257, 261
Кавальери Б. (Cavalieri В.) 14,
21, 24, 25
Казнав М. (Cazenave М.) 349
Калузо Т. В. ди (Caluso Т. V.
di) 44, 79
Камбартель Ф. (Kambartel F.)
303, 304
Камерон П. Дж. (Cameron Р. J.)
341
Канеев И. И. 170
Кант II. (Kant I.) 269. 278, 302
Кантор Г. (Cantor G.) 9, 63, 105,
124. 127, 134. 137. 138, 141,
146, 162, 165, 167, 168, 172,
176, 177, 185, 267, 268, 272, 347,
348
Кантор М. Б. (Cantor М. В.) 41,
49, 78. 91
Кантор С. (Kantor С.) 217, 223
Канунов Н. Ф. 306, 322, 328,
337
361
Карлейль Т. (Carlyle Th.) 164,
174
Карно Л. Н. М. (Carnot L. N. М.)
18, 38, 44, 45, 53-55, 59, 65,
67. 79. 345
Картан Э. (Cartan Ё.) 248, 254,
255.311. 313. 314
Кассина У. (Cassina U.) И. 22.
28. 33. 69. 77
Каталан Э. Ш. (Catalan Е. Ch.)
91
Каульбах Ф. (Kaulbach F.)
302-304
Кац М. (Кас М.) 173
Кедров Б. М. 147
Кендалл М. Д. (Kendall М. G.)
246
Кеплер И. (Kepler J.) 16, 189
Керри Б. (Kerry В.) 167, 176
Кестнер А. Г. (Kastner A. G.)
48, 49, 53. 79
Кёниг Д. (Konig G.) 115
Клайн М. (Kline М.) 47, 79. 137.
148
Клаузен Т. (Clausen Т.) 90
Клейн Ф. Хр. (Klein F. Ch.)
248, 249, 251, 253—255, 257,
260. 261, 307, 338
Клеро А. К. (Clairaut А. С.) 38,
39. 347, 349
Климов Г. II. 247
Клюгель Г. С. (Kliigel G. S.)
134, 147
Кнезер A. (Kneser А.) 337
Кноблох Э. (Knobloch Е.) 7
Кпорринг И. Ф. 92
Ковалевская С. В. 7. 348
Ковалевский А. О. 170
Коганов Л. М. 319, 320
Кодри Ф. (Caudrey Ph. J.) 171
Коен И. Б. (Cohen .1. В.) 78 ‘
Койре А. (Коуте А.) 78, 348
Кокков В. (Coccoz V.) 201
Колмогоров А. Н. 7, 26, 28, 29,
32, 77, 172. 346-348
Коммандино Ф. (Commandi-
iio F.) 15
Кондорсе М. Ж. А. Н. де Кари-
те де (Condorset М. J. A. N. do
Caritat de) 51
Коновалова Л. В. 81, 86
Копелевич Ю. Е. 346, 349
Коперник Н. (Kopernik М.) 16,
113
Коренцова М. М. 78
Коржинский С. И. 164, 174
Коркин А. Н. 90
Костабель П. (Costabel Р.) 7.
348
Костицын В. А. 150, 157
Коутс Р. (Котес, Cotes В.) 33,
38
Кох X. (Koch Н.) 7
Копш О. A. (Cauchy A. L.) 8,
И, 12, 28, 34, 42, 44, 47, 48,
56, 57, 60, 62, 64-76, 80, 87,
90-94, 96, 180, 181, 237, 242,
247, 257, 258, 345
Крамар Ф. Д. 25, 77
Крамер Г. (Cramer Н.) 175
Кристоффель Э. Б. (Christof-
fel Е. В.) S3
Кронекер Л. (Kronecker L.) 65,
133, 137, 138, 146, 192, 319,
333, 336
Крылов А. Н. 27, 78, 129, 130,
247
Кудрявцев Л. Д. 12, 77
Кузен Ж. A. (Cousin J. A. J.)
50, 79
Кузнецов П. И. 130
Кузнецова Н. И. 184. 194
Куммер Э. Э. (Kummer Е. Е.)
192
Кунья Ж. А. да (Cunha J. А.
da) 35, 345
Куратовский К. (Kuratowski К.)
106, 108-112, 117, 122
Курно A. A. (Cournot А. А.)
133, 146
Кушнерев И. Н. 146
Кэджори Ф. A. (Cajory F. А.)
35, 78, 81
Кэли A. (Cayley А.) 218, 223,
248, 309
Лаврентьев М. А. 119, 123
Лагир Ф. де (La Hire Ph. de)
204
Лагранж Ж. Л. (Lagrange J. L.)
38, 45, 50, 51, 53, 58, 59, 61,
65-67, 71, 72, 78, 79, 81-87.
91, 192. 237. 241, 242, 347, 349
Лайель 4. (Lyell Ch.) 161
Лакруа С. Ф. (Lacroix S. F.)
17, 53, 58-61, 65, 67, 74, 79,
80
Ламберт И. Г. (Lambert J. Н.)
345
Ламе Г. (Lame G.) 90
362
Ландау Л. Д. 318
Лаплас П. С. (Laplace Р. S.)
59, 71, 224, 228-251, 237, 241,
242, 246, 247
Лаптев Б. Л. 7, 345
Ларин П. Д. 89
Лаугвиц Д. (Laugwitz D.) 78
Лафитт П. де (Lafitte Р. de)
201
Лггхтин Л. К. 125-128. 131, 136,
155, 158, 168, 169
Лебег A. (Lebesgue Н.) 9, 69,
80, 97, 98, 100-104, 108—112,
116—119, 129—131. 135, 172
Леви П. (Levy Р.) 7
Лежандр А. М. (Legendre А. М.)
189, 194, 224, 225, 241, 246
Лежен-Дирихле И. П. Г. (Lejeu-
ne Diriclilet J. Р. G.) 74, 76,
81, 90, 139, 140
Лейбниц Г. В. (Leibniz G. W.)
16-18, 26, 33, 34, 38, 43, 48,
55, 77, 160, 169, 174, 175, 223,
248, 264, 269, 273, 278, 345, 348
Лексель А. И. (Lexell A. J.) 344
Лемоннье П. Ш. (Le Monnjer
Р. Ch.) 42
Лепин В. И. 184, 194
Лесьневский С. (Lesniewski St.)
117
Ли С. (Lie S.) 173, 248, 249,
254, 255, 257, 261, 307, 336, 337
Ли Цзиминь 343
Либбрехт У. (Libbrecht U.) 338,
341, 342
Либри Г. (Libri G.) 180
Линник Ю. В. 237, 247
Липшиц Р. (Lipschitz В.) 71,
186, 345
Литтлвуд Дж. Э. (Littlewood
J. Е.) 148
Лиувилль Ж. (Liouville J.) 90,
94, 253
Лихачев Д. С. 130
Лобачевский Н. И. 7, 48, 64,
193, 251, 348
Локк Д. (Lock J.) 269
Ломоносов М. В. 159, 169
Лопиталь Г. Ф. А. де (1’Hopital
G. F. A. de) 38, 49, 79
Лопп (Laupp) 146
Лоран Г. (Laurent Н.) 133, 146,
181
Лоренц И. Ф. (Lorenz J. F.) 255
Лосский Н. О. 147
Лузин Н. Н. 7-9, 12. 28, 29, 32,
64. 77. 78. 11'к 117-119, 121,
122, 125, 127-131, 145, 148,
156, 158, 173, 176, 177, 179-181,
345
Лукасевич Я. (Lukasiewicz J.)
117
Лю Хуэй 343
Любищев А. А. 170
Люботович 150, 156
Люилье С. (L’Huilier S, A. J.)
50-54, 79
Люрот Я. (Liiroth J.) 146
Люстерник Л. А. 7
Лябуда Г. (Labuda G.) 122
Ляпунов А. М. 7, 247, 346
Мавролико Ф. (Maurolico F.) 15
Мадер В. В. 261, 271, 304
Мазмишвили А. И. 237, 247
Мазур С. (Mazur S.) 117
Мазуркевич С. (Mazurkiewicz S.)
117
Майерс Ф. У. Г. (Myers F. W.
Н.) 164, 174
Майстеров Л. Е. 246
Мак Вильямс Ф. Дж. (Мас
Williams F. J.) 337
Макаркина С. Б. 266, 301, 304
Маклбрен К. (Мёклорин, Мас-
laurin С.) 36—39. 45, 46, 52, 78
Максвелл Дж. К. (Maxwell J. С.)
192 257
Малых А. Е. 199, 223
Мамфорд Д. (Mumford D.) 173.
219, 261
Мандельброт Б. (Mandelbrot В.)
177
Манин Ю. И. 258
Маркушевич А. И. 7, 80, 348
Марчевский Э. (Шпильрайп,
Marczewski Е., Szpilrajn) 118,
122
Матвиевская Г. П. 7, 348
Мах Э. (Mach Е.) 134, 137, 147
Машке X. (Maschke Н.) 314
Медведев Ф. А. 11, 80, 100, 112,
124, 129, 130, 146. 147, 158, 172,
177, 346, 348
Мейер А. А. 147
Мейер A. (Meyer А.) 90
Менголи П. (Mengoli Р.) 21—
23, 33, 77
Меньшов Д. Е. 7
Меран (Мегап) 218
363
Мерз Ш. (Meray Ch.) 63. 138
Мешковский Г. (Meschkow
ski Н.) 304
Мёбиус А. Ф. (Mobius A. F.) 91
Мпкулинский С. Р. 347
Миллс Р. (Mills R.) 258
Милль Дж. С. (Mill J. St.) 268,
269, 280
Миндпнг Г. Ф. (Minding G. F.)
344
Минковский Г. (Minkowski Н.)
254-256
Миттаг-Леффлер М. Г. (Mittag-
Leffler М. G.) 248
Млодзеевский Б. К. 9, 124, 125,
127, 130-146, 156, 158, 172, 177,
180
Молин Ф. Э. 10, 306-322, 327-
337
Молина Э. Ф. 306, 322
Молодшип В. Н. 10, 80
Монмор П. Р. де (Montmort
Р. R. de) 210, 218
Монтюкла Ж. Ф. (Montucla
J. F.) 38, 78
Мопертюп П. Л. М. де (Маирег-
tuis Р. L. М. de) 348
Мордухай-Болтовской Д. Д. 29,
46, 78, 114, 194
Мостовский A. (Mostowski А.)
117
Мосхопулос М. 222
Муавр А. де (Moivre A. de) 38,
218
Мур Г. (Moore G. Н.) 101, 112
Муравьев М. Н. 148
Мяновский Я. (Mianowski J.)
ИЗ, 116
Нарайяна (Narayana) 204
Натансон И. П. 112
Неберт (Nebert) 146
Нейгебауэр О. (Neugebauer О.)
195, 197, 199
Нейман Дж. фон (Neumann J.
von) 101, 106-108, 112
Некрасов В. Л. 145, 148
Непер Дж. (Нейпьер, Neper J.,
Napier) 15
Нетто Э. (Netto Е.) 49
Нетер М. (Noether М.) 175
Нётер Э. (Noether Е.) 313
Нидем Дж. (Needham .Т.) 342
Николь Ф. (Nicole F.) 50
Нови Л. (Novy L.) 7
Ньёвентейп Б. (Njeuwentijt В.)
38
Ньютон II. (Newton I.) 15—19,
22, 23, 25-41, 43, 44. 48, 49,
77, 78, 173, 175, 190, 192, 194,
198, 237, 344, 345, 348
Оверт Ж. Л. (Ovaert J. L.) 46,
79
Овчинников Н. Ф. 147
Огурцов А. П. 137, 147
Ожигова Е. П. 347
Окстоби Дж. (Oxtoby J. С.) 121,
123
Оливье Т. (Olivier Т.) 93
Орем Н. (Oresme N.) 20, 27
Орлич В. (Orlicz W.) 117, 122
Остроградский М. В. 7, 344, 349
Папп Александрийский 13, 16,
198, 199
Парменид 165
Паршин А. Н. 124, 159, 172, 174
Паскаль Б. (Pascal В.) 33, 248
Пеано Дж. (Peano G.) 76, 127,
135, 140, 147, 262
Пенроуз Р. (Penrose R.) 248,
254- 257, 259-261
Перье Э. (Peries Е.) 161, 170
Петерсон К. М. (Peterson К. М.)
344
Пикок Дж. (Peacock G.) 61
Пифагор 159
Плаккет Р. Л. (Plackett R. L.),
231, 246
Планк М. (Planck М.) 172
Плато Ж. А. Ф. (Plateau J. A. F.)
176
Плюккер Ю. (Plucker J.) 10,
175, 248-256, 258-260
Погребысский И. Б. 7, 173, 349
Полищук Е. М. 249, 254, 261
Половинкин С. М. 124, 127, 148
Полынова Н. Н. 147
Понселе Ж. В. (Poncelet J. V.)
249
Понтрягин Л. С. 147
Прингсгейм A. (Pringsheim А.)
133, 134, 146, 147
Пташицкий И. Л. (Ptaczycki
J. L.) 114
Пуанкаре A. (Poincare Н.) 7,134,
138, 147, 173, 251, 253, 255,
346
364
Пуассон С. Д. (Poisson S. D.)
65, 90, 345
Пузына Й. (Puzyna J.) 114
Пушкин А. С. 194
Пфафф И. Ф. (Pfaff J. F.) 92
Пыпин А. Н. 147
Пэнвэн (Painvin) 175
Раабе И. Л. (Raabe J. L.) 93
Радемахер Г. (Rademacher Н.)
173
Раймон П. (Raymond Р.) 79
Рассел Б. (Russell В.) 46, 79,
262, 297, 298, 300, 302, 304
Рахманов П. А. 57, 80
Редкин П. Г. 88
Ремон Н. (Remond N.) 169
Риман Г. Ф. Б. (Riemann G. F. В.)
33, 100, 144, 160, 169, 257, 344
Риордан Дж. (Riordan J.) 337
Робинс Б. (Robins В.) 34—37,
39, 42, 46, 47, 78
Розенфельд Б. А. 199, 345, 346,
348
Ролль М. (Rolle М.) 38
Российский С. Д. 146, 158
Рузавин Г. И. 278, 304
Рузевич С. (Ruziewicz St.) 101,
117
Руффини П. (Ruffini Р.) 340
Рыбкин Г. Ф. 7, 348, 349
Рыбников К. А. 7, 77
Рыхлик К. (Ryclilik К.) 63
Сабо A. (Szabo А.) 7
Салмон Дж. (Salmon G.) 51
Сансопе Дж. (Sansone G.) 112
Санею Ж. Ж. (Sansuc J. J.) 46,
79
Санчес А. А. 124
Семенников Н. А. 149, 153, 156
Серпинский В. (Sierpinski W.)
104. 112-123
Серре Ж. A. (Secret J. А.) 90
Симпсон Г. (Simpson Н.) 170
Синкевич Г. И. ИЗ
Сираждинов С. X. 7
Скотт В. М. (Scott W. М.) 314,
337
Скриба Кр. (Scriba С. I.) 77,
349
Славутин Е. И. И, 189, 194
Слешинскпй Я. (Sleczynski J.)
114
Слоан Н. Дж. A. (Sloan N. J. А.)
309, 337
Слонимскии Ч. (S'onimski Ch.)
114
Смирнов В. И. 7, 346
Смит Д. (Smith D.) 204, 223
Соболев Д. Н. 170
Соломон Л. (Solomon L.) 316,
337
Сомов О. И. 89, 91
Сонин Н. Я. 114, 134, 138, 147,
344
Сорен Ж. (Saurin J.) 38
Сохоцкий Ю. В. 96, 114
Спиноза Б. де (Spinoza В. de)
134. 147, 272
Стевин С. (Stevin S.) 16
Стейнберг Р. 316, 337
Стеклов В. А. 344
Стенли Р. П. (Stanely R. Р.)
309, 316-318, 320, 327
Степанов В. В. 7, 8, 86, 344
Степович А. И. 96
Стирлинг Дж. (Stirling J.) 38
Стокс Дж. Г. (Stokes G. G.) 72
Струве В. Я. 349
Студничка Ф. Й. (Sttudnicka
F. J.) 115
Тавридзе 150, 156
Таке A. (Tacquet А.) 21, 35, 77
Тамман Г. (Tamman G.) 164,
174
Таннери Ж. (Tannery J.) 131,
133, 134, 138, 146
Таннери П. (Tannery Р.) 134,
138, 146, 147
Тарский A. (Tarski А.) 99, 102—
104, 106, 107, 112, 117
Тарталья Н. (Tartaglia N.) 209,
223
Татон Р. (Taton R.) 7, 345, 347,
349
Тейлор Б. (Taylor В.) 61
Тейбнер Б. Г. (Teubner В. G.)
146
Тёрнболл Г. У. (Turnball Н. W.)
33, 78
Тиле Т. Н. (Thiele Т. N.) 237
Тиль Хр. (Thiel Ch.) 301, 304
Тилыпер Ф. (Tilser F.) 115
Титс Ж. (Tits J.) 173
Годд Дж. A. (Todd J. А.) 315,
337
Том Р. (Thom R.) 176
36Б
Томэ И. Г. (Thomae J. Н.) 133.
1/16. 269
Тот И. (Toth I.) 190
Трегулов 150, 156
Трубачев А. С. 124
Уайтсайд Д. Т. (Whiteside D. Т.)
33, 78
Узель К. (Houzel Ch.) 79
Уилер Дж. (Wheeler J.) 176
Уилкс С. (Wilks S.) 247
Улам С. (Ulam S.) 111. 112, 122
Уорд Р. (Ward R.) 258, 261
Успенский 149, 156
Уэвелл В. (Whewell W.) 134,
147
Фалес 192
Фаульгабер И. (Faulhaber J.)
25
Фейербах Л. (Feuerbach L.) 169
Фейс К. (Faith С.) 314, 337
Фер Экке П. (Ver Eecke Р.) 199
Ферма П. де (Fermat Р. de) 17,
21, 27. 33, 185, 187, 188, 194,
343
Фехиер Г. Т. (Fechner G. Т.)
169
Фёдоров И. Ф. 96
Фивег Ф. (Vieweg F.) 147
Фишер К. (Fischer К.) 134, 137,
142
Фламмарион К. (Flammarion С.)
147
Флоренская О. П. 149
Флоренский А. И. 149
Флоренский П. А. 9, 124—132,
148-151, 153-159, 168-173,
175-177, 179-181
Флоренский П. В. 124
Флоренский П. К. 130
Фогель К. (Vogel К.) 7
Фонтенель Б. де (Fontenell В.
de) 52
Фреге Г. Ф. Л. (Frege G. F. L.)
10, 261-305
Фрейденталь Г. (Freudenthal Н.)
80
Фреше М. (Frechet М.) 120,
346
Фридман В. Г. 149, 153, 157
Фриз Г. де (Vries G. de) 164,
174
Фробениус Ф. Г. (Frobenius
F. G.) 306, 307, 311, 313, 322,
.323, 331. 332, 336, 338
Фурье Ж. Б. Ж. (Fourier J. В. J.)
90, 148, 193,194, 345
Хаар А. (Паат А.) 112
Хадсон X. (Hudson Н.) 199
Хаммурапи 189, 194
Хан Г. (Hahn Н.) 102
Хартман С. (Hartman S.) 118,
122
Хаусдорф Ф. (Hausdorff F.) 98-
104, 106-108, 112, 117, 121
Хенкин Г. М. 261
Хитчин Н. (Hitchin N. J.) 258
Хокинс Т. (Hawkins Th.) 314,
336
Хопф X. (Hopf Н.) 256
ал-Хорезми, Мухаммад иби
Муса 346, 348
Хоружий С. С. 130
Хуа Логэн 7
Хульч Ф. (Hultsch F.) 199
Цептен Г. Г. (Zeuthen Н. G.)
189. 194. 195. 197, 199
Церетели С. И. 147
Цермело М. (Zermelo М.) 97,
99-101, 104, 112
Ципь Цзюшао 338, 341. 342
Цянь Баодун 343
Чебышев П. Л. 7, 89. 91, 96, 114,
224, 237, 239, 241-247. 344
Чёрч A. (Church А.) 279, 280,
282, 304
Шаар М. (Schaar М.) 90
Шапелль де ла (ChapeНе de la)
41, 42, 45, 46, 49, 78
Шатле Г. Э. дю (Chatelet Е. du)
39
Шатунова Е. С. 53. 79
Шатуновский С. О. 146, 176
Шаудер Ю. (Schauder J.) 117
Шварц К. Г. A. (Schwarz
С. Н. А.) 75, 91
Швикерт (Schwikert) 147
Шевалле К. (chevalley С.) 337
Шейбнер В. (Scheubner W.)
91
Шейнин О. Б. 231, 246, 247
Шекспир У. (Skakespeare W. Н.
I.) 184
Шелльбах X. (Schellbach Ch.)
91
366
Шенард Дж. К. (Shepard G. С.)
309, 315, 337
Шепп A. (Schepp А.) 146
Шеффер Л. (Scheffer L.) 142,
143, 148
Шёнфлис А. М. (Schoenfliess
М.) 133-135, 138, 146, 147,
163, 172
Шлёмильх О. (Schlomilch О.)
91. 260
Шнирельман Л. Г. 346
Шприпгер (Springer) 123
Шрёдер Э. (Schroder Е.) 265,
268-271
Шрёдингер Э. (Schrodinger Е.)
173
Штейнгауз Г. (Steinhaus Н.)
117
Штерн А. И. 337
Штифель М. (Stifel М.) 16. 77
Штольц О. (Stolz О.) 131, 133,
146
Штуди Э. (Study Е.) 256, 307
Штыкан А. Б. 10
Шуберт Г. Г. (Schubert Н.) 133,
137, 146, 205. 223
Шур II. (Schur I.) 313
Эвальд Ф. Ф. 65, 86-89, 96
Эдрейн Р. (Adrain R.) 228, 246
Эйзенхарт X. (Eisenhart Ch.)
231, 246
Эйлер Л. (Euler L.) 7. 32, 34,
36. 38- 10. 44. 48. 49, 54, 56,
65, 66, 74, 78, 79. 81, 90-92,
134, 147, 189, 192, 194. 199—
207, 209, 210, 212-223, 321,
345-349
Эйнштейн A. (Einstein А.)
254, 257, 259, 261
Эрдёш П. (Erdos Р.) 120, 121,
123
Эрмит Ш. (Hermite Ch.) 90, 91
Эсхил 194
Юнг Г. Ч. (Young G. Ch.) 145,
148
Юнг У. Г. (Young W. Н.) 145,
148
Юшкевич А. П. 7, 10, 11. 77—
80. 86, 87, 129. 130. 146, 156,
158, 172. 175, 343. 344. 347-
349
Юшкевич П. С. 172
Яглом И. М. 148
Якоби К. Г. Я. (Jacobi С. G, J.)
90, 91
Ян Казимир 115
Ян Хуэй 342
Янг Ч. (Y’ang Ch.) 258
Янпшевский 3. (Janiszewski Z.)
116. 117, 122
Яновская С. А. 7
Ярич М. В. (Jaric М. V.) 318,
337
Яролпмек Ч. (Jarolimek С.) 115
Историко-математические
исследования
Выпуск XXX
Утверждено к печати
Институтом истории естествознания и техники
Академии наук СССР
Редактор А. Ф. Лапко
Редактор издательства И. М. Столярова
Художник А. Г. Кобрин
Художественный редактор С. А. Литвак
Технический редактор Н. Н. Кокина
Корректоры
Н. Б. Габасова, Н. И. Казарина, Л. В. Лукичева
ИБ № 35253
Сдано в набор 11.0S.86
Подписано к печати 20.10.86
Т-21235. Формат 84x168’/,.
Бумага типографская .№ 1
Гарнитура обыкновенная новая
Печать высокая
Усл. неч. л. 19,32. Усл. кр. отт- 19,32
Уч.-изд. л. 21,6
Тираж 1250 экз. Тип. зак. 2671
Цена 3 р. 70 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Наука»
117864, ГСП-7, Москва В-485,
Профсоюзная ул., 90
2-я типография издательства «Наука»
121099, Москва, Г-99, Кубинский пер., 6