Б81.5 Г70
ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
Б. И. ГОРОШКОВ
АВТОМАТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ
6Z1.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ1 ИНСТИТУТ РАЗВИТИЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Б. И. ГОРОШКОВ
АВТОМАТИЧЕСКОЕ
УПРАВЛЕНИЕ
Допущено
Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования, обучающихся по специальности 2101 «Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям)»
Москва
2003
ACADEMA
4*
ИРПО
УДК 65.011.56
ББК 32.965я723
Г703
Федеральная программа книгоиздания России
Рецензенты:
проф. кафедры «Технология производства приборов и систем управления летательных аппаратов» МАТИ-РГТУ им. К. Э. Циолковского, канд. техн, наук В. Ю. Шишмарев', преподаватель высшей категории Московского технического колледжа им. И. Ф. Павлова М. Н. Маковкин
Горошков Б. И.
Г703 Автоматическое управление: Учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / Борис Иванович Горошков. — М.: ИРПО: Издательский центр «Академия», 2003. — 304 с.
ISBN 5-8222-0107-5 (ИРПО)
ISBN 5-7695-1637-2 (Изд. центр «Академия»)
Изложены основы систем автоматического регулирования. Рассмотрены вопросы устойчивости и определения качества систем, даны основы расчета переходных процессов в линейных и нелинейных системах регулирования. Приведены методы настройки динамических характеристик промышленных регуляторов. Описаны вопросы организации систем управления на основе ЭВМ.
Для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования, обучающихся по специальности 2101 «Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям)», может быть полезен специалистам, работающим в области автоматизации различных технологических процессов.
‘	УДК 65.011.56
,	Учебное издание	ББК 32.965я723
. Горошков Борне Иванович Автоматическое управление Учебник
Редактор В. Г. Гатагогу
Технический редактор Н. И. Горбачева Компьютерная верстка: О. Н. Макаренко Корректоры Е. В. Соловьева, С. Ю. Свиридова
Изд. № УИРПО-6. Подписано в печать 23.09.2003. Формат 60 х 90/16.
Гарнитура «Таймс». Печать офсетная. Бумага тип. № 2. Усл. печ. л. 19,0.
Тираж 5 000 экз. Заказ №12484.
Лицензия ИД № 02025 от 13.06.2000. Издательский центр «Академия».
Санитарно-эпидемиологическое заключение № 77.99.02.953.Д.003903.06.03 от 05.06.2003.
117342, Москва, ул. Бутлерова, 17-Б, к. 223. Тел./факс: (095) 330-1092, 334-8337.
Отпечатано на Саратовском полиграфическом комбинате.
410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59.
© Горошков Б. И., 2003
ISBN 5-8222-0107-5	© Институт развития профессионального образования, 2003
ISBN 5-7695-1637-2	© Оформление. Издательский центр «Академия», 2003
ВВЕДЕНИЕ
Теория автоматического управления — одна из важнейших технических наук общего применения. Она дает теоретическую базу для исследования и практического применения любых автоматизированных систем во всех областях техники.
Управление — целенаправленное изменение (поддержание) состояния (параметров) технического объекта в соответствии с имеющимся алгоритмом функционирования.
Объектами управления могут быть различные процессы: технологические, энергетические, транспортные, информационные. Управление объектом достигается путем воздействий, оказываемых на него либо непосредственно человеком, либо автоматическим управляющим устройством (в том числе ЭВМ) по заданной программе, составленной на основании информации о целях и задачах управления. —
Автоматическое управление — под держание нормального функционирования управляемого объекта в соответствии с заданным алгоритмом без непосредственного участия человека. Осуществляется с помощью технических средств, обеспечивающих автоматический сбор, хранение, передачу и обработку информации, а также формирование управляющих воздействий на объект управления.
Автоматизированные системы управления — совокупность человеческих возможностей и механических средств, обеспечивающих рациональное управление сложным объектом (процессом) в соответствии с заданной целью.
При управлении всегда происходит преобразование одного вида энергии в другой или изменение потока энергии к объекту. При этом на само управление расходуется лишь незначительная часть от потока энергии, участвующей в технологическом процессе.
Качественный скачок в развитии автоматического управления был совершен, когда в системы стали включать быстродействующие ЭВМ. Развитие вычислительной техники привело к созданию больших автоматических систем для управления сложными производственными процессами и целыми отраслями промышленности.
Автоматизация производственных процессов — одно из основных направлений технического прогресса, основа повышения производительности труда, так как позволяет увеличивать произво
3
дительность технологического оборудования и работоспособность обслуживающего персонала, улучшает качество продукции, повышает безопасность работы, а также позволяет осуществлять новые высокоинтенсивные процессы, не допустимые при ручном управлении.
Автоматизация производственных процессов развивалась по пути замены тяжелого физического труда человека работой механизмов. Механизация ручных операций на производственных предприятиях создала предпосылки для передачи техническим регуляторам операций по управлению производственными Процессами.
Автоматизация является качественно новым этапом в совершенствовании производства. Основные обязанности человека в зуом случае — наблюдение за параметрами процесса и выполнение йе-штатных операций1. Применение средств автоматизации позволяет увеличить число агрегатов и механизмов, обслуживаемых Одним человеком. Основные операции, которые выполняет человек в этом процессе, — включение и отключение агрегатов, а в случае возникновения нештатных ситуаций отключение регулятора и принятие на себя функции регулирования. Для этого он пользуется средствами дистанционного управления механизированными приводами различных регулирующих органов. Применение средств технологической защиты, блокировки и автоматического включения резервных механизмов позволяет автоматизировать и сам процесс ликвидации аварийных положений.
При автоматизации одной области промышленности возникает потребность в перестройке технологии, аппаратуры и организации в смежной области. Автоматизация приносит наибольший эффект в тех случаях, когда технологи, конструкторы, специалисты по организации и планированию работают в тесном контакте со специалистами по автоматизации. Такая совместная работа предполагает их взаимопонимание, которое может быть достигнуто лишь в том случае, если специалисты различных профилей будут иметь общие представления об автоматизации производственных процессов.
Таким образом, автоматизация работы оборудования включает:
•	механизацию тяжелых работ и трудоемких процессов при оснащении агрегатов механизмами, заменяющими ручную работу персонала;
•	дистанционное управление, т.е. пуск, останов и управление работой механизмов на расстоянии с пульта, на котором сосредоточены средства управления основными регулирующими органами агрегатов. Дистанционное управление обычно осуществля
1 Нештатные операции — операции, не предусмотренные математическим алгоритмом работы.
4
ется электрическим приводом, реже применяются пневматические или гидравлические приводы;
•	автоматизацию непрерывно протекающих процессов при нормальной работе оборудования, т.е. замену действий персонала по управлению механизмами работой автоматических регуляторов;
•	автоматическое управление по заданной программе (в том числе пуском агрегатов).
К функциям контроля за состоянием объекта относятся:
•	технологическая защита, автоматически предотвращающая и ликвидирующая нештатные ситуации, возникающие при работе оборудования. Защита осуществляет останов агрегатов или снижение их нагрузки, или производит различные локальные операции, предохраняющие агрегат от поломки;
•	блокировка, выполняющая в определенной последовательности ряд операций в случае возникновения начальной команды от устройств технологической защиты или со щита управления- В- результате агрегат переводится из одного состояния в другое;
•	автоматическое включение резерва1 — устройств, пускающих в работу резервные элементы2, не нарушая нормального протекания технологического процесса, в случае останова по какой-либо причине работающих механизмов.
•	технологическая сигнализация, автоматически подающая световой или звуковой сигнал при отклонении от нормы того или иного параметра. .
Сигнализация автоматически подает сигнал при срабатывании защиты, блокировки,' а также при включении резерва и служит для привлечения внимания дежурного персонала к месту возникновения неисправности.
Контролем за состоянием объекта управления называется процесс получения информации о большом числе контролируемых параметров технологического процесса. Основной задачей системы автоматического контроля является измерение параметров объекта управления и сравнение текущих значений с допустимыми, регистрация значений параметров и их текущих отклонений от заданных, сигнализация возникновения нештатных ситуаций. Системы автоматического контроля классифицируют по следующим признакам:
•	числу точек контроля;
•	характеру контролируемых параметров;
•	точности измерения параметров;
1 Резерв — совокупность дополнительных средств и/или возможностей, используемых для резервирования.
2 Резервный элемент элемент объекта, предназначенный для выполнения функции основного в случае отказа последнего.
5
•	быстродействию;
•	способу выбора точек контроля;
•	расстоянию от объекта до системы контроля;
•	видам обрабатываемых сигналов;
•	наличию встроенных микропроцессорных средств.
По числу точек контроля выделяют одноточечные и многоточечные системы контроля. Одноточечные системы контроля применяют для простых объектов, а полученное значение параметра в текущий момент времени выводится на приборы без дополнительной обработки.
Приборы одноточечной системы контроля — автоматические регистрирующие устройства, которые регистрируют текущий параметр на твердом носителе. Этот носитель является документом поведения объекта во времени.
Многоточечные системы контроля используют для анализа текущих параметров сложных объектов. Характерной особенностью таких систем является наличие средств обработки поступающих данных и вывода на приборы систем автоматизации усредненных значений и отклонений. Примером может служить система контроля отделения первой ступени ракеты после запуска. В этом случае регистрируются параметры отделения отработавшей ступени и включения двигателя следующей ступени. По согласованности работы этих двух точек контроля можно судить о поведении ракеты в полете.
По характеру контролируемых параметров выделяются специализированные и универсальные системы автоматизации. Специализированные системы обеспечивают контроль одной или нескольких заранее обусловленных физических величин. Универсальные системы контроля строятся по модульному принципу и содержат модули обработки сигналов, управления выбором контролируемого параметра, преобразования и нормирования входных сигналов, ряд датчиков, которые могут быть подключены к объекту управления.
Быстродействие систем контроля зависит от скорости изменения характеристик объекта управления и числа точек контроля. Для быстропротекающих процессов необходимо производить повышенную частоту опроса выходных сигналов датчика.
По способам выбора точек контроля выделим системы с циклическим и адаптивным контролем. В системах с циклическим контролем последовательность контролируемых величин заранее обусловлена, и на каждом этапе контроля осуществляется последовательное измерение, вывод на прибор регистрации текущих значений параметров. Системы с адаптивным контролем обеспечивают измерение, вывод и регистрацию тех параметров, которые в данный момент являются активными или определяются диспетчером, в соответствии с условиями поведения объекта.
6
По расстоянию от объекта до средств автоматического контроля системы бывают сосредоточенного, дистанционного и телемеханического контроля. Системы сосредоточенного контроля размещают в непосредственной близости от объекта управления. Они являются наиболее экономичными и наименее подвержены помехам. Системы дистанционного контроля размещают на определенном расстоянии от объекта управления, они содержат специальные средства предварительной обработки для передачи контролируемых параметров по линиям связи. Дистанционные системы значительно дороже сосредоточенных, их применяют при необходимости концентрации всей информации в диспетчерских пунктах.
Системы телемеханического контроля содержат дорогостоящую аппаратуру передачи данных, обеспечивают беспроводную связь средств контроля, установленных на объекте управления, и диспетчерского пункта.
_ Ло видам обрабатываемых сигналов выделяют аналоговые, дискретные и цифровые системы автоматического контроля. Аналоговые системы обрабатывают сигналы, которые проходят от датчика через преобразователь и устройство нормализации измеряемой величины к аналоговому измерительному и регистрирующему прибору. Дискретные системы обрабатывают сигналы, которые определяют одно из фиксированных состояний объекта управления (включено-выключено).
Цифровые системы контроля обрабатывают аналоговые сигналы и представляют их в числовой форме для отображения на цифровом индикаторе, передачи в ЭВМ или цифровой регистрации текущих значений.
Применение отдельных видов автоматизации не освобождает персонал от выполнения ряда ручных операций и не позволяет сократить численность персонала до возможного минимума. Поэтому полный эффект от автоматизации достигается лишь при комплексном использовании всех ее средств в разумном сочетании.
В процессе производства в силу различных причин значения параметров технологического процесса могут изменяться, вызывая отклонение процесса от нормального режима. Нарушенный режим должен восстановиться и под держиваться около заданного значения путем воздействия на технологический процесс через органы управления. Поддержание параметров технологического процесса в диапазоне заданных значений выполняет система автоматического регулирования (САР).
Система, предназначенная для поддержания некоторой величины в техническом объекте (производственном процессе) на заданном уровне и обладающая структурой, приведенной на рис. В.1, а, называется системой автоматического регулирования.
7
Энергия | Вещество
а
0616X7	— Работа
регулирования
Задатчик
Датчик
Усилитель (преобразователь)
Рис. В.1. Структурные схемы систем управления: а — замкнутая одноконтурная система автоматического регулирования; б — разомкнутая система автоматического регулирования; в — многоконтурная система автоматического регулирования; ИМ1, ИМ2 — исполнительные механизмы; Pl, Р2 — регулирующие органы; ОР — объект регулирования; 31, 32 — задатчики; Д1, Д2 — датчики; Х{, Х2 и Yt, Y2 — входные и выходные параметры
Эта система представляет собой замкнутую цепь воздействий: объект воздействует на датчик, датчик — на регулятор, имеющий второй вход, куда подается заданное значение. В регуляторе сравниваются два воздействия. Образуется разностная величина, которая воздействует на исполнительный механизм. Исполнительный механизм воздействует снова на объект. Поскольку задачей системы автоматического регулирования является управление объектом, то такая система называется замкнутой системой автоматического управления.
8
Кроме замкнутых систем в промышленности применяются разомкнутые системы. В этих системах управляющее устройство может состоять из нескольких звеньев. Каждое звено имеет вход, на который подается воздействие извне, и выход, который передает воздействие вовне. Каждое звено преобразует воздействие, подаваемое на его вход, по физической природе или по численному значению. Один элемент, например, преобразует изменение температуры в изменение давления, другой — изменение давления в перемещение рабочего органа. Направление воздействия от одного звена к другому указывают стрелками на структурной схеме. Эта схема показана на рис. В. 1, 6. По этой схеме работают различные манипуляторы, электроприводы.
Для разомкнутых автоматических систем входом является задающее воздействие и нагрузка, а выходом — управляемая величина (работа).
Параметр технологического процесса, который поддерживается-постоянным или закономерно меняющимся, называется регулируемой величиной. Значение регулируемой величины, которое следует поддерживать в данный момент, называется заданным значением. Устройство, осуществляющее автоматическое регулирова-ние, т.е. автоматически поддерживающее заданное значение параметра, называется регулятором. Задача автоматического регулирования состоит в том, чтобы автоматически с помощью регулятора поддерживать в объекте регулирования требуемые условия протекания процесса, восстанавливать их каждый раз, когда они бывают нарушены.
Под влиянием внешних условий регулируемая величина может отклоняться от заданного значения. Разность между заданным и текущим значениями называется рассогласованием (отклонением). Внешнее воздействие на систему, вызывающее отклонения регулируемой величины от заданного значения, называется возмущающим воздействием (возмущением). Воздействие, прикладываемое к объекту со стороны регулятора, называется регулирующим воздействием. Регулирующее воздействие может вырабатываться в автоматической системе в результате возникновения ошибки регулирования, а также поступающего извне изменения управляющего воздействия, называемого задающим воздействием.
Система, в которой заданное значение регулируемой величины поддерживается постоянным, называется системой стабилизации. Система, в которой заданное значение регулируемой величины изменяется по заранее установленной программе, называется программной. Система, в которой заданное значение регулируемой величины не установлено и определяется какой-нибудь другой величиной, изменяющейся во времени по случайному закону, называется следящей.
9
Во всех системах, работающих по принципу отклонения контролируемого параметра, измеряется разность между текущим и заданным значениями регулируемой величины. Затем в зависимости от величины и знака рассогласования формируется регулирующее воздействие, устанавливающее это рассогласование. В результате образуется контур регулирования. Если в системе несколько регулируемых величин, то образуется многоконтурная система регулирования.
В этих системах существуют несколько обратных связей. Среди всех обратных связей можно выделить одну или две главные обратные связи, а остальные — дополнительные, местные обратные связи. При наличии местных обратных связей система обладает многоконтурным регулированием.
Примером многоконтурного регулирования может служить структурная схема (рис. В.1, в). Для регулирования выходного параметра Yi применяются элементы: датчик Д1, регулятор Р1, исполнительный механизм ИМ1. Состояние параметра Yi определяет задатчик 31. Для регулирования выходного параметра У2 применяются элементы: датчик Д2, регулятор Р2, исполнительный механизм ИМ2. Эти элементы образуют вторую обратную связь в системе. Кроме того, для стабилизации параметров датчика и регулятора применяются местные обратные связи. Состояние выходного параметра определяет задатчик 32.
Ранее описаны системы автоматического регулирования, функции которых сводятся к поддержанию некоторых величин на заданном уровне или изменению их по заданному закону. Современные автоматические системы решают более сложные задачи оптимизации технологического процесса, например обеспечение максимального КПД объекта регулирования, ведение процесса при минимуме расхода топлива и т. п. При этом обычно необходимо иметь ряд датчиков и исполнительных механизмов, а функция управляющего органа включает вычислительные операции, производимые с величинами, получаемыми от датчиков, и выработку сигналов для воздействия на исполнительные механизмы. Такие системы являются самонастраивающимися, автоматически приспосабливающимися к свойствам регулируемого процесса. Они обладают более сложной структурой. Современные системы управления строятся преимущественно на базе ЭВМ, которые выполняют вычислительные и управляющие функции, успевая производить коррекцию передаточных функций датчиков и исполнительных механизмов.
Автоматическая система управления — это совокупность одного или нескольких объектов регулирования и автоматических управляющих устройств, взаимодействующих между собой. Автоматические системы можно классифицировать по ряду признаков.
10
По продолжительности воздействия управляющего устройства на объект различают автоматические системы дискретного и непрерывного действия.
Системы дискретного действия подразделяют по четырем признакам: одноразовые, релейные, импульсные и цифровые.
В релейных системах регулирующий орган перемещается скачком всякий раз, когда регулируемый параметр принимает определенные значения, называемые пороговыми.
Импульсные системы содержат импульсный элемент, преобразующий непрерывное изменение входного параметра в ряд импульсов, следующих друг за другом через определенные интервалы времени. Эти импульсы могут отличаться амплитудой, длительностью и знаком.
Цифровые системы строятся на базе ЭВМ, которые для своей работы используют двоичные коды при управлении устройствами.
В системах непрерывного действия непрерывному изменению регулируемого параметра соответствует непрерывное перемещение регулирующего органа. Между входной и выходной величинами существует непрерывная функциональная зависимость. К системам этого типа относятся все системы прямого действия, гидравлические и пневматические. У этих систем при изменении регулируемого параметра регулирующий орган приходит в действие непосредственно от усилий, возникающих в чувствительном элементе без использования вспомогательной энергии. Они просты по принципу действия, надежны в работе и требуют незначительных эксплуатационных расходов. Однако они обладают невысокой чувствительностью и развивают незначительные усилия для перемещения регулирующих органов. Их применяют в тех случаях, когда чувствительный элемент развивает достаточное усилие для непосредственного перемещения регулирующего органа.
У систем непрямого действия для перемещения регулирующего органа при изменении регулируемого параметра используется энергия внешнего источника. В этих системах при изменении регулируемой величины усилие (энергия), возникающее в чувствительном элементе, приводит в действие вспомогательное устройство, перемещающее регулирующий орган за счет энергии постороннего источника (электрического тока, жидкости под давлением, сжатого воздуха). Они обладают высокой чувствительностью, развивают большое усилие и позволяют осуществить дистанционное управление регулирующим органом. В зависимости от вида используемой энергии системы непрямого действия делятся на электрические, гидравлические, пневматические и комбинированные. Электрические системы управления компактны (имеют малые массы и габаритные размеры), применяемые в них сигналы можно усиливать, преобразовывать и передавать на значительные расстояния. Основными недостатками этих систем являются высокая
11
стоимость, сложность исполнительных механизмов электрического тока. Гидравлические системы характеризуются надежностью в работе. Исполнительные двигатели развивают значительные усилия при большом быстродействии. Однако при применении масел в качестве рабочей жидкости они пожароопасны, а при применении воды они быстро изнашиваются из-за коррозии. Пневматические системы управления в сравнении с электрическими взрывобезопасны, но для их применения необходимы громоздкие и дорогие компрессорные установки и тщательная очистка воздуха.
В процессе совершенствования систем автоматического управления появились комбинированные системы, у которых измерительная часть выполняется электрической, а исполнительные механизмы — гидравлическими или пневматическими.
Классифицировать системы автоматического управления можно по методу управления и функциональному признаку. По методу управления все системы делятся на два больших класса: адаптивные и неадаптивные (обыкновенные). Неадаптивные системы, относящиеся к категории простых, не изменяют своей структуры в процессе управления. Они наиболее разработаны и широко применяются в различных отраслях промышленности. Эти системы подразделяются на три типа: разомкнутые, замкнутые и комбинированные.
У замкнутой и разомкнутой систем входом считают задающее воздействие, а выходом регулируемый параметр. Основной цепью воздействия называют цепь, идущую от входа к выходу.
Применение разомкнутой системы управления обычно требует участия человека, который должен наблюдать за результатом управления и соответственно изменять задающее воздействие. В качестве примера можно привести работу водителя автомашины. Для оперативного контроля за результатом управления применяют разомкнутую измерительную систему, которая повышает точность управления. Основным звеном в этих системах является человек. Цепь, преобразующая изменение регулируемого параметра в контрольный сигнал, подаваемый на вход управляющего устройства, называют обратной связью.
Автоматические системы управления, в которых управляющее воздействие вырабатывается в результате сравнения истинного значения управляемой величины с заданным, имеют обратную связь, по которой информация о состоянии регулируемого параметра передается на вход. Эти системы предназначены для выполнения стабилизирующей, программной и следящей функций. Стабилизирующие системы наиболее распространены, они поддерживают регулируемый параметр около некоторого постоянного заданного значения.
У программных систем при помощи специальных программных задатчиков регулируемый параметр изменяется во времени
12
по заранее заданной программе или закону, определяемому технологическим процессом в объекте регулирования.
Следящие системы изменяют значение регулируемого параметра во времени в соответствии с изменениями какой-либо величины, воздействующей на задатчик.
Адаптивные системы построены таким образом, что в зависимости от состояния регулируемого параметра может меняться структура системы управления. Здесь можно привести пример поведения измерительного комплекса, установленного на борту спутника. Когда спутник находится в зоне действия солнечного излучения, адаптивная система управления включает измерительные датчики, предназначенные для получения информации о состоянии околоземного пространства, облучаемого солнцем. При перемещении спутника в теневую область околоземного пространства необходимо изменить набор измерительных датчиков. В этом случае адаптивная система по командам солнечного датчика перена-- страивает измерительную систему.
ГЛАВА 1
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
1.1. Основные свойства объектов регулирования
Различные устройства для осуществления производственных процессов, энергетические и силовые установки, летательные аппараты и транспортные механизмы, специальные установки и устройства, в которых осуществляется регулирование определенных физических величин по заданным законам управления, называются объектами регулирования. Проектирование систем автоматического регулирования начинается с детального изучения свойств и характеристик объектов регулирования.
Объект регулирования является основным элементом в любой автоматической системе регулирования. На процесс регулирования оказывают влияние как свойства регулирующей части системы, так и свойства самого объекта регулирования.
Любое устройство характеризуется количеством энергии или количеством вещества, проходящего через это устройство. Это в полцой мере относится к объектам регулирования. Режим работы объекта регулирования определяется внутренними процессами, на характер которых влияют внешние воздействия. В системе автоматического управления часть внешних воздействий дает ей информацию о задачах регулирования. Поэтому их называют полезными (регулирующими) воздействиями. Они либо вырабатываются регулятором, либо задаются оператором. Воздействия на объект, не связанные с задачей регулирования, — возмущающие. Именно из-за существования возмущений возникает необходимость регулирования. Природа возмущений всегда носит случайный характер.
В каждом объекте регулирования имеется определенное число физических величин, которые в своей совокупности полностью определяют режим его работы в соответствии с требуемым законом управления по энергетическим и экономическим показателям. К энергетическим показателям, характеризуемым количеством энергии, относятся: мощность, сила тяги, количество теплоты и другие величины, которые в ряде случаев могут быть выбраны как регулируемые величины. К экономическим показателям относит
14
ся количество рабочего вещества, проходящего через объект регулирования. В ряде случаев непосредственное определение энергетических и экономических показателей в процессе автоматического регулирования затруднено, поэтому управление объектом регулирования ведут, учитывая физические величины, которые косвенно характеризуют состояние объекта регулирования по энергетическим и экономическим показателям. К таким косвенным параметрам относятся величины с различной физической природой, которые в совокупности полностью или частично определяют свойства объекта регулирования. Поэтому в практике автоматизации производственных процессов и различных устройств в основном встречаются объекты регулирования с несколькими регулируемыми величинами, которые связаны между собой так, что с изменением одной величины вследствие изменения свойств объекта регулирования изменяются и другие регулируемые величины.
“ Так как количество энергии и количество вещества полностью определяют состояние объекта регулирования, то, используя уравнения механики, основанные на законе сохранения вещества и энергии, изменение каждой регулируемой величины можно описать определенным дифференциальным уравнением. Для объекта регулирования с несколькими регулируемыми величинами получим систему нелинейных дифференциальных уравнений, которая характеризует статические и динамические свойства рассматриваемого объекта регулирования. При составлении дифференциальных уравнений неизбежна определенная идеализация изучаемых процессов в объекте регулирования, причем идеализация связана с учетом существенных явлений и связей в объектах регулирования и оценкой влияния несущественных явлений и связей, которыми пренебрегают. При этом учитываются основные регулируемые величины, а также регулирующие, управляющие и возмущающие воздействия.
Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих динамические свойства объекта и системы регулирования, затруднено. Это усложняет решение задачи объединения (синтеза) систем регулирования. Однако в ряде случаев при малых отклонениях физических величин возможна определенная идеализация при оценке динамических свойств объекта регулирования, выражающаяся в пренебрежении несущественными связями и возможности использования линеаризации дифференциальных уравнений. Подобную линеаризацию допускает широкий класс объектов регулирования.
Работа большинства объектов регулирования заключается в преобразовании по определенному закону материальных или энергетических потоков. Рассмотрим основные свойства объекта регулирования с одной регулируемой величиной.
15
Свойства объекта регулирования можно разделить на статические и динамические. Статические свойства определяют способность объекта сохранять состояние равновесия и связь между различными состояниями его равновесия. Эта связь выражается различными статическими характеристиками объекта, представляющими собой зависимость между входной и выходной величинами в установившемся режиме. Эта зависимость может быть как линейной, так и нелинейной.
Динамические свойства объекта регулирования обусловливают характер протекания его переходного процесса, т. е. процесса переходов объекта из одного состояния равновесия в другое.
Статические и динамические свойства объектов оцениваются аналитически по результатам решения дифференциальных уравнений, составленных на основании материального и энергетического балансов объектов, или экспериментально по снятым с объектов характеристикам.
Подавляющее большинство объектов обладают способностью постепенно уменьшать отклонение выходной величины от первоначального значения, т. е. в них вновь устанавливается равновесие. Однако это будет уже новое установившееся состояние: равновесие наступит при изменившихся расходах энергии и других параметров, а также при новом значении выходной величины объекта.
Свойство объектов восстанавливать нарушенное равновесие называется свойством самовыравнивания, а объекты такого рода — статическими (устойчивыми) объектами. Простейшим примером статического объекта регулирования может служить напорный бак (рис. 1.1, а). Жидкость поступает в него по трубе /через клапан 2и свободно вытекает по сливной трубе 3. Входным параметром для этого объекта является расход жидкости Qm через вентиль 2, а выходным параметром — уровень Н. Если поступление и расход жидкости равны, то количество жидкости в баке остается постоянным и ее уровень не изменяется. Это статический режим работы объекта, который описывается уравнением материального баланса
Свх — 2вых = О,
где Qm и 0ВЬИ — расход жидкости на входе и выходе объекта регулирования.
Этот объект обладает свойством самовыравнивания. Если увеличивается расход жидкости то увеличивается высота уровня в баке. С увеличением уровня повышается напор жидкости, что, в свою очередь, приводит к увеличению объема вытекающей жидкости. В результате, уровень жидкости в баке стабилизируется на новом значении. Самбвыравнивание — это, по существу, автоматическое регулирование, заложенное в конструкции объекта.
16
1	2
Рис. 1.1. Типы объектов регулирования:
а — статический одноемкостный объект; б — статический двухъемкостный объект; в — астатический одноемкостный объект; 1,3— входная и сливная трубы; 2, 4 — вентили
Статические объекты всегда представляют собой последовательное соединение различных физических емкостей и сопротивлений для поступления энергии или рабочего вещества. Число пар сопротивление — емкость определяет характер динамических характеристик объекта. В зависимости от их числа принято различать одноемкостные и многоемкостные объекты. К подобным объектам относятся сообщающиеся сосуды, разделенные вентилем 4 (рис. 1.1, б). С увеличением сопротивления вентиля разность между уровнями Н\ и Н2 возрастает.
Наибольший интерес представляет зависимость выходного параметра объекта от входного. Это связано с тем, что при соединении элементов автоматики с объектом выходная величина подается на вход последующего звена. Поэтому можно говорить о передаче сигнала в системе. Режим работы, при котором входной и выходной параметры постоянны, называется статическим (установившимся) режимом. Характеристики, описывающие этот режим, называются статическими.
Статическими характеристиками обладают все элементы автоматической системы. Все характеристики можно разделить на: линейные и нелинейные. Линейные характеристики бывают двух видов, которые можно описать аналитическими выражениями
Y^KXh Y = -KX + B, где X, Y — входной и выходной параметры ния; К — коэффициент преобразования; В чина.
Они связывают значения входной ве
выходной величины Y. Основным параме является статический коэффициент преобр
и
(1.1)   грегулирова-вели-
17/
циент преобразования может быть определен экспериментально. Для этого устанавливают определенное значение входного параметра Xi и измеряют соответствующее ему выходное значение У]. По результатам нескольких опытов может быть построена статическая характеристика. В этой характеристике отсутствует зависимость коэффициента преобразования от входной величины. Если эта зависимость существует, то статическая характеристика становится нелинейной (рис. 1.2, а).
Пологий участок этой характеристики соответствует величине насыщения 1^. Кроме этой характеристики существуют другие, которые имеют следующие особенности:
•	зону нечувствительности Хн (рис. 1.2, б)\
•	зону нечувствительности Хл и насыщения УНас (рис. 1.2, е);
•	ступеньку (рис. 1.2, г);
•	люфт (рис. 1.2, д)\
•	люфт с ограничением (рис. 1.2, е);
•	релейность (рис. 1.2, ж);
•	релейность с зоной неоднозначности (рис. 1.2, з);
•	релейность с зоной нечувствительности (рис. 1.2, «);
•	релейность с зонами нечувствительности и неоднозначности (рис. 1.2, к).
Выходной параметр равен нулю для характеристик с зоной нечувствительности при малых значениях входного параметра. Только при Х> Хн начинается изменение выходного параметра. В этом случае значение X-Хн называют порогом чувствительности.
Объекты, в которых изменение выходной величины при возмущении происходит неограниченно и устанавливается лишь постоянная скорость ее изменения, т. е. объекты, не обладающие свойством самовыравнивания, называются астатическими объектами. В качестве астатического объекта может служить бак, на выходе которого установлен насос с подачей Q (см. рис. 1.1, в). Если приток жидкости в бак будет больше подачи насоса, т.е. Qm > Q, то уровень жидкости будет подниматься с постоянной скоростью за счет разности
AC = Qbx-Q-
Таким образом, в зависимости от того, имеет или не имеет система ошибку регулирования в установившемся состоянии при внешних воздействиях, удовлетворяющих определенным условиям, системы делятся на статические и астатические.
Система автоматического регулирования называется статической, если при воздействии, величина которого с течением времени стремится к некоторому установившемуся постоянному значению, ошибка регулирования также стремится к постоянному значению, зависящему от величины воздействия.
18	.
з	и
Рис. 1.2. Статические характеристики звеньев системы:
а — с уровнем насыщения; б — с зоной нечувствительности; в — с уровнем насыщения и зоной нечувствительности; г — со ступенькой; д — с люфтом; е — люфт с ограничением; ж — релейная; з — с зоной неоднозначности; и — релейная с зоной нечувствительности; к — релейная с зоной нечувствительности и неоднозначности
о Xi J2 х
к
Статическая система регулирования обладает следующими характерными особенностями:
•	равновесие системы может быть при различных значениях регулируемой величины;	,
•	каждому значению регулируемой величины соответствует единственное значение регулирующего органа;
19
•	контур регулирования системы должен состоять из статических звеньев, осуществляющих функциональную связь между значениями входного и выходного параметров.
Система автоматического регулирования называется астатической, если при воздействии выходная величина с течением времени не стремится к некоторому установившемуся значению.
Характерные особенности астатической системы регулирования:
•	равновесие системы астатического регулирования наступает при единственном значении регулируемой величины, равном заданному;
•	регулирующий орган в астатической системе должен иметь возможность занимать различные положения при одном и том же значении регулируемой величины.
Следует различать системы статические и астатические по отношению к возмущающему и управляющему воздействиям. В системах, статических по отношению к возмуЩающим воздействиям, не одинаковым по постоянной величине, возмущающим воздействиям соответствует различное значение регулируемой величины.
В системах, астатических по отношению к возмущающим воздействиям, значение регулируемой величины не зависит от величины возмущающего воздействия. Значение регулируемой величины остается постоянным, равным заданному.
В системах, статических по отношению К управляющим воздействиям, постоянным значениям этого воздействия соответствует постоянная ошибка системы, значение которой зависит от величины управляющего воздействия.
В системах, астатических по отношению к управляющим воздействиям, после окончания переходного процесса ошибка равна нулю.
Переход системы из одного установившегося режима в другой с иными значениями входного и выходного параметров называется динамическим режимом (переходным процессом). В динамическом режиме отношение выходной величины к входной может быть не равно коэффициенту преобразования. Поведение объекта или других звеньев системы в переходном процессе может быть описано с помощью переходных функций. Переходной функцией называют зависимость выходного параметра от времени при скачкообразном изменении входного сигнала.
Динамические свойства объектов проявляются, когда возникают возмущающие воздействия на объект. Эти воздействия бывают двух видов: управляемые и неуправляемые. К управляемым возмущениям относятся воздействия, вызванные изменением режима работы объекта, к неуправляемым — все остальные, которые не контролируются системой: изменение окружающей среды, пульсации
20
питающего напряжения, изменение свойств горючих веществ и др. Чтобы определить динамические свойства объекта, рассматривают зависимости изменения регулируемой величины при типовых возмущениях. Обычно пользуются функциями разгона.
Кривой разгона объекта называется функция изменения во времени выходного параметра переходного процесса, вызванного однократным ступенчатым возмущением на входе. На рис. 1.3 представлены функции разгона, соответствующие параметрам на выходах статического (рис. 1.3, а) и астатического (рис. 1.3, б) объектов. Возмущение КХ поступает по управляющему каналу.
Поведение статического объекта в переходном режиме описывается дифференциальным уравнением
T^- + Y~KX, dt
где Т— постоянная времени объекта; Y— выходной параметр; К— _ коэффициент усиления; X — входной параметр.
Решением этого дифференциального уравнения является выражение
У = У3(1-ехр(-//Г)),
где ехр( - t/T) = е~,/т и е = 2,718 — основание натурального логарифма; t — текущее время; Т — постоянная времени объекта.
Для описания переходных процессов в астатическом объекте применяется дифференциальное уравнение
T~~Y^KX. dt
Решением этого дифференциального уравнения является выражение
У = ЛГехр(//Г).
Для статического объекта выходное значение никогда не достигает заданного значения Y3. Практически приняли, что процесс считается установившимся, когда выходной параметр достигает значений 95 % Y3. Разницу между значениями выходного параметра в динамическом и установившемся режимах называют динамической погрешностью. Для ее уменьшения стремятся снизить постоянную времени Т. Обычно на практике считают, что за время t = (3... 5) Твыходной параметр достигает нового установившегося значения Y3.
Эта функция разгона имеет некоторые особенности поведения. Если провести касательную прямую в начальной точке (0,0), то она пересечет уровень Y3 в точке А (см. рис. 1.3, а). Опустим перпендикуляр из этой точки на ось t, получим момент времени Г, который является постоянной времени процесса. По пути этот пер-
21
Рис. 1.3. Функции разгона переходного процесса одноемкостных объектов:
а — для статического объекта; б — для астатического объекта; в — колебательного типа при ступенчатом возмущении; г — колебательного типа при импульсном возмущении; д — с запаздыванием для статических объектов; е — с запаздыванием для астатических объектов
22
пендикуляр пересечет кривую переходного процесса в точке В. Из этой точки проведем горизонтальную прямую, которая пересечет ось Y в точке 0,63 У3. Инерционность переходного процесса характеризуется значением постоянной времени Т, выраженной в секундах. За время Т выходной параметр достигает 63 % от своего нового установившегося значения.
Во время переходного процесса могут возникнуть колебания выходного параметра. График колебательного затухающего переходного процесса показан на рис. 1.3, в. Эти процессы возникают в сложных объектах, которые описываются дифференциальными уравнениями второго порядка. Как видно из этого графика, изменение выходного параметра происходит относительно значения У3. Амплитуда этих колебаний постепенно уменьшается, затухает. Для количественной оценки этого процесса вводят понятие коэффициента затухания, который определяется выражением
Т = 1-АН
ДГ/
где ДУ] и ДУ3 — соседние амплитуды колебания выходного параметра.
При незатухающем колебательном процессе коэффициент затухания равен нулю.’Если же коэффициент затухания стремится к единице, то переходный процесс будет апериодическим (при этом формируется функция разгона).
Другим параметром переходного процесса является перерегулирование, которое определяется выражением
о = АН 100.
-*3
Основным показателем, характеризующим качество регулирования в установившемся режиме, является точность, с которой поддерживается постоянство регулируемого параметра. Когда амплитуда колебательного процесса достигнет величины 5 % Y3, то считается, что процесс установился. Этот отрезок времени определяет время регулирования или время переходного процесса.
Все предыдущие рассуждения касались переходного процесса от управляющего воздействия, однако на объект регулирования воздействуют импульсные помехи, которые дестабилизируют состояние объекта. На рис. 1.3, г приведен переходный процесс при импульсном воздействии на объект. Для этого переходного процесса существуют те же Параметры, что описаны ранее, за исключением перерегулирования, которое определяется выражением
о = АИю0.
А У]
23
Время завершения переходного процесса определяется значением амплитуды колебания выходного параметра. Это значение описывается выражением
ДУ£ = Д^е/а, где ДУС — действительное значение отклонения выходного параметра.
Процесс считается удовлетворительным, если а > 20 %.
Колебательность переходного процесса N характеризуется числом колебаний выходного параметра за время регулирования Т^. Процесс, у которого N= 1... 2 называется слабоколебательным. Обычно допустимо N= 2...3. При N> 3 система требует коррекции.
При ступенчатом изменении нагрузки в объектах с самовырав-ниванием устанавливается новое значение регулирующего параметра. Этот процесс происходит не мгновенно, а с некоторым запаздыванием; чтобы определить время перехода из одного установившегося состояния в другое надо знать переходную функцию объекта. На рис. 1.3, д приведена переходная функция, которая имеет временное запаздывание. Для статических объектов по характеристике определяется точка перегиба. Из этой точки проводится касательная, которая пересекает горизонтальную (пунктирную) линию, соответствующую уровню У3, и ось t. В результате на временной оси образуются два отрезка, которые определяют время запаздывания 7^, и постоянную времени Т. Для астатического объекта (рис. 1.3, е) определяется наклон функции переходного процесса. Если продолжить эту характеристику до оси времени, то получим точку — время запаздывания.
Для анализа переходных функций с запаздыванием необходимо разложить исходную функцию на две составляющие (рис. 1.4, а). Первая составляющая (рис. 1.4, б) характеризует изменение времени появления ступенчатого сигнала на входе — он сдвинут на Т^. Вторая составляющая представляет собой функцию разгона (рис. 1.4, в) статического объекта без запаздывания, которая описывается ранее приведенными дифференциальными уравнениями.
Рис. 1.4. Разложение переходной функции с запаздыванием на две составляющие: а — переходная функция с запаздыванием; б — ступенчатая функция с запаздыванием; в — функция разгона
24
В настоящее время в промышленности широко применяют различные системы автоматического регулирования, в которых используются ЭВМ. Это привело к тому, что появилось огромное число разнообразных схем автоматических систем регулирования. Поэтому дать законченную классификацию всех систем в условиях, когда создаются все новые и новые системы, достаточно трудно.
Контрольные вопросы
1.	Что называется объектом управления?
2.	Как влияет емкость объекта на процесс регулирования?
3.	Что такое время запаздывания и как оно влияет на процесс регулирования?
4.	Что называется статической и динамической характеристиками элемента?
5.	Чем отличаются статические и астатические объекты?
6.	Перечислите основные свойства статических объектов.
7.	Что понимается под управляющим и внешним воздействиями?
8.	Назовите основные параметры функции разгона.
9.	Перечислите основные параметры переходной функции колебательного вида.
10.	Как раскладывается переходная функция на д ве составляющие?
1.2. Статический режим работы системы
Любая автоматическая система состоит из отдельных связанных между собой элементов. С точки зрения функциональных задач, выполняемых элементами в системе, их можно разделить на воспринимающие, задающие, сравнивающие, преобразующие, исполнительные и корректирующие. Структурная схема системы представлена на рис. 1.5, а.
Воспринимающие элементы (датчики) Д измеряют физические параметры объекта и преобразуют их в электрический сигнал.
Задающие элементы или задатчики 3 служат для задания требуемого значения регулируемого параметра. Сравнивающие элементы СЭ сопоставляют заданное значение управляемой величины с действительным значением параметра ОР (объекта регулирования). Полученный на выходе сравнивающего устройства сигнал рассогласования передается через усилитель У на исполнительный механизм ИМ, который, в свою очередь, управляет регулирующим органом РО. Этот орган управляет состоянием объекта. Исполнительный механизм и регулирующий орган изменяют количество энергии (вещества), подводимой к объекту или отводимой от объекта.
Корректирующие элементы К служат для улучшения качества процесса управления. Эти элементы могут устанавливаться как после усилителя, так и после датчика.
25
в
д
Рис. 1.5. Структурные схемы и статические характеристики: а — детальная структурная схема системы автоматического регулирования; б — 4-элементная структурная схема; в — 2-элементная структурная схема (ОР — объект регулирования; ОС — обратная связь); г — последовательное включение двух элементов; д — результирующая статическая характеристика для двух последовательно включенных элементов; е — структурная схема включения трех элементов; ж — система координат со статическими характеристиками
Кроме этой подробной структурной схемы системы в автоматике применяется упрощенная схема, которая состоит из крупных функциональных блоков. Наиболее крупным блоком является
26
регулятор, который объединил сравнивающее устройство, усилитель и корректирующие элементы. Можно объединить исполнительный механизм с регулирующим органом и возложить на него функции управления объектом. Новая структурная схема приведена на рис. 1.5, б.
Все элементы автоматики независимо от их назначения обладают определенной совокупностью характеристик и параметров, которые определяют их эксплуатационные и технологические особенности. Основной характеристикой является статическая характеристика элемента. Она представляет собой зависимость выходной величины Y от входной X в установившемся режиме, т.е. Y = f(X). Если исключить из рассмотрения все нелинейности, присущие этим характеристикам, то можно описать элементы автоматики линейными характеристиками (1.1).
Основной параметр этих характеристик — коэффициент передачи К. В большинстве случаев статический коэффициент передачи именуется коэффициентом усиления — в усилителях, коэффициентом редукции в редукторах, коэффициентом трансформации — в трансформаторах.
Для элементов с нелинейной характеристикой используют дифференциальный коэффициент передачи Ктф = кХ^/ЬХ^.
Относительный коэффициент передачи Кт равен отношению относительного изменения выходной величины элемента к относительному изменению входной величины
ВЫХ
Кт Мш/Хш •
Этот коэффициент является безразмерной величиной и удобен при сравнении элементов, различных по конструкции и принципу действия.
Особенностью автоматических замкнутых систем, в которых используется принцип управления по отклонению, является наличие обратной связи. Обратная связь бывает положительной и отрицательной, жесткой и гибкой, главной и дополнительной. При положительной обратной связи совпадают знаки воздействия обратной связи и задающего воздействия. В противном случае обратную связь называют отрицательной. Если передаваемое воздействие зависит только от значения регулируемого параметра, т. е. не зависит от времени, то такую связь считают жесткой. Жесткая обратная связь действует как в установившемся, так и в переходном режимах. Гибкая обратная связь действует только в переходном режиме. Гибкая обратная связь характеризуется первой или второй производной от изменения управляемой величины по времени. У гибкой обратной связи сигнал на выходе существует только тогда, когда управляемая величина изменяется во времени.
27
Главная обратная связь соединяет выход' системы управления с ее входом, т. е. связывает управляемую величину с задающим устройством. Остальные обратные связи считают дополнительными (местными). Дополнительные обратные связи передают сигнал воздействия с выхода какого-либо элемента системы на вход любого предыдущего элемента. Они используются для улучшения свойств и характеристик отдельных элементов.
Для дальнейшего исследования автоматической системы с обратной связью упростим ее структурную схему до вида, представленного на рис. 1.5, в. Будем считать, что объект имеет коэффициент передачи К^, а коэффициент передачи обратной связи М. В этом случае можно написать два уравнения: для объекта Y -= Х'обА’об, а для обратной связи Л>.с = ЛЛС Если обратная связь положительная, то существует связь Х& = X+Хо с. Для отрицательной связи имеем Х& = X- Х^л.
Проведем преобразования, в результате получим
У = K(X + MY).
Отсюда
Y = ХК/(\- КМ).
Обозначим через коэффициент усиления системы с обратной связью, получим
„ Y К
ое X 1-КМ' /	"	(L2)
Из этого выражения следует, что введение положительной обратной связи увеличивает коэффициент, усиления системы цепи обратной связи.
При отрицательной обратной связи на входе системы образуется разностный сигнал. В этом случае полупим выражение
Кос = К/(1 +КМ).	(1.3)
Из этого выражения можно сделать вывод, что введение отрицательной обратной связи уменьшает коэффициент усиления системы цепи обратной связи.
Поскольку на практике приходится считаться с непостоянством коэффициента передачи системы без обратной связи, то рассмотрим влияние изменений К на величину коэффициента усиления при наличии обратной связи Ко,с. Для этой цели определим относительную чувствительность $ч коэффициента Ко.с к Изменению коэффициента К, считая коэффициент обратной связи величиной постоянной:
,^К0Л/К0Л dK/dKp^
4 &к/к	км/к..
(1.4)
28
Эта величина показывает, во сколько раз относительная статическая ошибка коэффициента передачи с обратной связью отличается от относительной статической ошибки коэффициента передачи без обратной связи. Дифференцируя выражение (1.2) и подставляя результат в выражение (1.4), получим для положительной обратной связи
j4 = l/(l-A3f).	(1.5)
Аналогично, дифференцируя выражение (1.3) и подставляя его в (1.4), получим для случая отрицательной обратной связи
лч = 1/(1 +АЖ).	(1.6)
Сравнивая выражения (1.5) с (1.2) и (1.6) с (1.3), находим
Ко.с
Из рассмотренного процесса следует важный вывод: введение - обратной связи изменяет относительную статическую ошибку системы во столько же раз, во сколько раз изменяется коэффициент передачи. Поэтому введение положительной обратной связи увеличивает коэффициент передачи, но увеличивает и статическую ошибку системы. Отрицательная обратная связь уменьшает статическую ошибку системы, но уменьшает и коэффициент передачи.
Пусть, например, коэффициент передачи без обратной связи К- 6 и статическая ошибка его вследствие колебания напряжения питания, температуры и прочего к. К/К =5%. Введем обратную связь с коэффициентом М= 0,15. Коэффициент передачи с обратной связью будет равен
ос \-КМ 1-60,15’ ос 1 + КМ 1 + 6-0,15* Относительная статическая ошибка составит АКО,С АК/К_ 5 ДКО.С АК/К 5 Кол = 5’1-АЖ ~ 1-6 0,15’ АГас Ч1 + АМ 1 + 6-0,15* Введение положительной обратной связи увеличивает коэффициент передачи и статическую ошибку в 10 раз, получим К^л -= 60 и ДА^/А^. = 50 %. Введение отрицательной обратной связи уменьшает коэффициент передачи И статическую ошибку в 1,9 раза, получим Кос = 3,16 и ДА^/А^» 2,6 %.
Необходимо отметить, что при положительной обратной связи возникает опасность неустойчивой работы системы, она переходит в релейный режим работы.
Таким образом, ацализируя коэффициент передачи системы с обратной связью, все элементы обратной связи заменили одним эквивалентным элементом. При этом новый элемент должен об
29
ладать определенной статической характеристикой. Возникает естественный вопрос: какой вид имеет эта характеристика? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим процесс формирования статической характеристики двух последовательно включенных элементов. Эта статическая характеристика определяется двумя способами: аналитическим и графическим. Пусть первый элемент Э] имеет статическую характеристику, которая описывается уравнением У] = АГ|ЛГь.ддя второго элемента Э2 имеем У2 = -К2Х2 + В. Схема включения элементов показана на рис. 1.5, г, а статические характеристики двух элементов показаны на рис. 1.5, д.
Из рис. 1.5, д следует, что значения переменной Yx равняются значениям переменной Х2 (У! = Х2). Отсюда следует, если уравнение, описывающее статическую характеристику первого элемента, подставить в уравнение, описывающее, статическую характеристику второго элемента, то получим общее уравнение для двух элементов
Y2 = -К2(КхХх) + В или Y2 = -КхК2Хх + В, где В — максимальное значение выходного параметра.
Графически это представляется в следующем виде (см. рис. 1.5, д'): строится система координат Yx-Хх. Вдоль оси проводится ось Х2 и перпендикулярно этой оси строится ось Y2. Оси Хх и У2 лежат на одной прямой. Повернем ось Хх на 90° вниз, и она займет положение оси Х'х. Оси Хх и Yx (Х2) лежат на одной прямой.
Разделим ось Хх на равные отрезки, которые отмечены цифрами 1,2,3 и т. д. Ось Xi будет иметь аналогичную шкалу. Из точек 1, 2,3,... п проводятся вертикальные линии, которые пересекают функцию в точках Ах, Вх, Сх,... Из этих точек приводятся горизонтальные прямые, которые пересекают вторую функцию в точках Л2, В2, С2,... Из этих точек проводятся вертикальные прямые, которые проходят в системе координат У20Х1. Из точек 1', 2', 3',... проводятся горизонтальные линии. Эти линии пересекают вертикальные линии. Точки пересечения имеют маркировку А3, В3, С3,... В результате образуются замкнутые контуры: 1 -Ах-А2-А3- Г - 1; 2 - Вх - В2 - В3 - 2' - 2 и т.д. Соединим точки А3, В3, С3,... Эта линия будет статической характеристикой двух последовательно включенных элементов. Аналогичным образом можно построить общую статическую характеристику для трех элементов (рис. 1.5, е). Этот процесс позволяет определить общую статическую характеристику для трех основных элементов системы автоматического регулирования: датчика, регулятора и исполнительного механизма с регулирующим органом. Этот процесс приведен на рис. 1.5, ж. При практическрй. реализации этого метода определения общей статической характеристики необходимо обращать внимание на равенство масштабов совмещенных осей (см. рис. 1.5, ж).
30
Таким образом, систему автоматического регулирования можно представить в виде двух элементов (звеньев): объекта регулирования и регулятора. Эти два звена включены встречно-параллельно. Каждое звено имеет свою статическую характеристику. Эти характеристики должны взаимодействовать друг с другом таким образом, чтобы получилась рабочая точка системы. Оптимальное взаимодействие характеристик возможно только при их пересечении, как показано на рис. 1.6, а. Если прямая 2 является характеристикой объекта, то прямая 1 — характеристикой регулятора. Положим объект имеет линейную передаточную характеристику с коэффициентом К1г тогда
Y^B-K^X + X^).
Передаточная функция регулятора также линейна и описывается уравнением	.
Xper = K2Y.
Подставим второе уравнение в первое и получим выражение
Y = В- КхХ- KXK2Y или
Y Г-В-ЬХ _ в _ Kix ". 1 + KiKi ~ l + KtK2 1 + КхК2'
где В — максимальное значение выходного параметра Y.
В этой формуле существует линейная связь между входными и выходными величинами.
А теперь рассмотрим другой случай, когда объект описывается уравнением
У = ЛГ1(Х + Хрег), а характеристика регулятора описывается выражением
X^-B-ftY.
Подставим это выражение в предыдущее и получим
или
у	К'В КхХ
1 +-К\К2	1 + KtK2 1 + К\К2
В этом выражении также существует линейная зависимость между входной и выходной- величинами.
Полученные выражения дают основание утверждать, что для анализа системы неважно, какие характеристики имеют объект и регулятор. Важно то, что эти характеристики должны пересекатъ-
31
Рис. 1.6. Статические характеристики объекта и регулятора: а — взаимно-перпендикулярное положение статических характеристик объекта и цепи обратной связи; б — взаимодействие статических характеристик объекта (О) и обратной связи (Р); в — аппроксимация нелинейных статических характеристик; г — характеристики объекта и регулятора; рабочая точка и динамический диапазон
ся в одной точке. Эта точка является рабочей. Задатчик (см. рис. 1.6, а), подключенный к регулятору, управляет положением рабочей точки, перемещая ее по статической характеристике объекта. Это перемещение возможно только за счет изменения угла наклона статической характеристики регулятора.
При пересечении характеристик образуется угол, близкий к прямому. Это идеальный случай. Система имеет максимальную статическую стабильность. Если угол находится в диапазоне 90... 60 °, то стабильность хорошая, в диапазоне 60...30° — удовлетворительная. При плохой стабильности угол находится в диапазоне 30...0 °.
Ранее были приведены статические характеристики, имеющие разные углы наклона к осям координат. Такое положение характеристики не является обязательным условием стабильности рабочей точки. Можно получить удовлетворительные результаты, когда характеристики имеют одинаковые углы наклона (рис. 1.6, б).
32
Эти характеристики также пересекаются. Если характеристика объекта описывается выражением
Y = Kx(X + X^, а характеристика регулятора описывается выражением
X^ = K2Y-B,
их пересечение даст уравнение вида
у КхХ В \-КхК2 1-КхК2'
В этом случае нормальная работа системы зависит от произведения КХК2, оно должно быть меньше единицы КХК2< 1. При КХК2= 1 получим У= оо, что невозможно. Система не будет устойчивой.
А теперь рассмотрим случай взаимодействия объекта и цепи обратной связи (регулятора) с нелинейными характеристиками. Пусть объект имеет статическую характеристику, которая отображается в первом квадранте (рис. 1.6, в) и описывается выражением
Y«=Kx(X^/2.
Входным параметром объекта является Х&. Регулятор имеет статическую характеристику, которая отображается в четвертом квадранте (см. рис. 1.6, в) и описывается выражением
Х„г = K2Y2
Входным параметром регулятора является Y^. Причем - У^ = = Y&. Оси Хм и Хрег совпадают. Если повернуть координатные оси характеристики регулятора на 90° относительно начала координат, то ось Хф совпадет с осью Y&, а ось 1^г — с осью Х^. Отображая эти характеристики в единой системе координат (рис. 1.6, г), У -f (X) получим две статические характеристики, которые пересекаются в рабочей точке А. В этом случае статическая характеристика регулятора будет описываться выражением
У =
а статическая характеристика объекта — выражением
У = Кг(Х)Ч2.
Если составить уравнение вида
К2(Х)'/2 - КхХ2 =0,
то можно определить значение координаты ХА рабочей точки
К2Х = АГ,2Х4 или Хл = (К2К1)'/\
2 Горошков
33
Координата YA рабочей точки определяется выражением =ад2/^)1/3 или YA
При управлении объектом рабочая точка регулятора А" (см. рис. 1.6, в) перемещается по статической характеристике. Линейный участок этой характеристики лежит в диапазоне значений АУреГ = = I'permax- ^permin- Точка В” = - Kpermin определяется пересечением двух касательных (касательной к линейному участку и касательной, которая проводится из начала координат). Точка С" = max определяет максимально допустимое значение регулятора. Следует заметить, что при определении линейного участка по статической характеристике объекта можно получить точку В'. Линейный участок статической характеристики объекта более длинный, чем у регулятора. Однако он не полностью используется с целью регулирования. Динамический участок работы объекта равен AL = Y^m„~ ~ Пб min-
В результате можно составить выражение
D = А	/ АУреГ.
Динамический коэффициент В может меняться в широком диапазоне значений В < 1 и В > 1. В идеальном случае В = 1. Поскольку можно принять, что А Коб = А^ДХоб)I/2, a ДУреГ = Я^АА^, крутизна каждой из этих характеристик определяется коэффициентами Kt и АГ2. В результате получим
В = КАЬХ^/{Кг^.
Меняя в этом выражении отношение коэффициентов Кх/К2, можно регулировать величину В и тем самым получить значение В- 1. Если при расчетах динамического диапазона получается значение В, не равное единице, то целесообразно в цепь между датчиком и регулятором поставить усилительное звено с коэффициентом К^, что приведет к выравниванию значения коэффициента D:
Л^ДГоб/ДУре^.
Коэффициент Кус может принимать значения < 1 и К^ > 1.
Контрольные вопросы
1.	Перечислите и охарактеризуйте основные элементы системы.
2.	Какие основные функции выполняет элемент управления?
3.	Что такое обратная связь?
4.	Что такое жесткая и гибкая обратные связи?
5.	В чем состоит принцип построения общей статической характеристики для двух, трех элементов?
6.	Определите рабочую точку системы по статическим харакгеристи- , кам объекта и регулятора.
7.	Назовите условия статической устойчивости системы.
34
1.3. Динамический режим работы системы
Для решения любой задачи, связанной с расчетом автоматической системы управления, необходимо прежде всего дать математическое описание исследуемой системы с помощью алгебраических и дифференциальных уравнений. Различают два рода уравнений: уравнения статики, или уравнения установившихся режимов, и уравнения динамики, или уравнения переходных процессов.
. Уравнения статики, при которых возмущающие и задающие воздействия принимаются постоянными, обычно являются алгебраическими уравнениями. Уравнения динамики Обычно являются дифференциальными. Они определяют поведение системы в переходном процессе при действии возмущающих сил или после прекращения их действия. Для составления уравнений динамики автоматическую систему разбивают на элемента! (звенья), и для каждого из них составляют соответствующее уравнение на основании того физического закона, который определяет процесс, происходящий в данном звене. Совокупность уравнений динамики, составленных для всех звеньев автоматической системы, определяет процесс автоматического управления.
Составление уравнений динамики звеньев автоматической системы управления на основе физических законов является, пожалуй, самой ответственной задачей при расчете автоматической системы, поскольку неточность в исходных предпосылках может свести на нет результаты последующих расчетов. Процессы, протекающие в промышленных установках, очень многообразны, поэтому дать какие-либо общие рекомендации (кроме уже упомянутых) по составлению уравнений динамики звеньев не представляется возможным. В каждом случае необходим индивидуальный подход к конкретной промышленной установке поэтому, как правило, уравнения динамики промышленных объектов зависят от умения исследователя.
Общее уравнение современных систем является сложным дифференциальным уравнением высокого порядка и часто нелинейным. Анализ такого уравнения является трудоемкой математической задачей, поэтому стремятся его упростить, пренебрегая некоторыми величинами, влияние которых значительно меньше остальных. Нелинейные уравнения заменяют приближенными линейными уравнениями, пользуясь при этом чаще всего методом отклонений. Идея малости отклонений не противоречит, а соответствует принципу работы замкнутой системы. В этом случае в уравнения процесса регулирования вводят не абсолютные значения величин, а их отклонения. Анализ таких уравнений значительно упрощается, так как Становится возможным применение принципа наложения. Точность расчета страдает при этом незначительно, если исходить из движения системы в пределах малых отклонений от состояния
35
равновесия. Это позволяет переходить от уравнений звеньев в частных производных к обыкновенным линейным уравнениям с постоянными коэффициентами. При разработке математической модели системы намечают обобщенные коэффициенты, выбирают начало и направление отсчета. При этом руководствуются тем, что уравнение системы составляется в приращениях, а за начало отсчета выбирают равновесное состояние системы. Для составления уравнений^ используя метод отклонений, прежде всего необходимо получить зависимость между обобщенными координатами для состояния равновесия системы. После этого считают равновесие нарушенным и составляют уравнение переходного режима. Для этого вычитают из уравнения динамики уравнение статики, получают уравнение переходного режима.
Составление уравнений системы — ответственный и сложный процесс. Задача составления уравнений динамики значительно уп
рощается при использовании типовых динамических звеньев, которые описаны дифференциальными уравнениями, передаточными функциями и всеми необходимыми характеристиками.
Если при составлении дифференциальных уравнений системы управления принимаются во внимание все факторы, влияющие на динамику процесса регулирования, то уравнения получаются сложными, в большинстве случаев нелинейными. Поэтому для аналитического решения задач в общем виде иногда приходится заменять нелинейные уравнения приближенными линейными. Такая операция называется линеаризацией.
Основой линеаризации уравнений является предположение, что
в течение всего процесса регулирования имеют место лишь доста-

точно малые отклонения всех изменяющихся переменных от их «установившихся значений. Вводя в нелинейные уравнения процесса управления не абсолютные значения переменных, а их отклонения, удается перейти к линейным уравнениям в прираще
ниях.
Линеаризация уравнений и запись их в приращениях позволяет получить нулевые начальные условия, которые необходимы при решении дифференциальных уравнений.
При линеаризации уравнений движения элементов системы управления рабочая точка должна соответствовать установившемуся режиму. В этом режиме есть только постоянная составляющая, а все производные У(п) = 0, т.е. все отклонения первого, второго и прочих порядков равны нулю. В устойчивых системах
автоматического управления отклонения переменных достаточно малы, и ими можно пренебречь. По этой причине для инженерных расчетов систем управления используются дифференциальные уравнения не выше второго порядка.
Метод малых отклонений неприменим для линеаризации исходного дифференциального уравнения, если функция Y имеет
36
разрывы непрерывности или неоднозначность по какой-либо из переменных.
Необходимость подобной линеаризации возникает в тех случаях, когда в автоматической системе управления применяются элементы с нелинейными статическими характеристиками. Эти элементы, как правило, работают в определенной рабочей точке. Предположим, что при действии входного параметра его величина изменяется в пределах Х^п < X < Х^, если Х^ - Xmin = дХ — мало, то на этом участке статическая характеристика с достаточной точностью может быть аппроксимирована прямой. Эта прямая может быть принята за статическую характеристику. Следовательно, приближенно можно считать У = XX. Такую простую линеаризацию — метод усреднения — используют в инженерной практике, когда на рабочем участке характеристика достаточно гладкая.
Чаще используют метод малых отклонений, который позволяет линеаризировать как нелинейные статические характеристики, таки нелинейные дифференциальные уравнения. Это связано с тем, что динамические свойства реальных элементов систем регулирования иногда выражаются весьма сложными дифференциальными уравнениями.
Свойства такого простого элемента, как термопара, описываются дифференциальным уравнением третьего порядка. Порядок дифференциального уравнения системы регулирования, состоящей из замкнутого контура последовательно включенных звеньев, равен сумме порядков дифференциальных уравнений звеньев. Анализ системы регулирования будет затруднен, а порой невозможен, если путем упрощающих допущений не удастся понизить порядок уравнений, описывающих звенья.
Один из методов понижения порядка дифференциальных уравнений состоит в том, что в уравнении, описывающем звено, отбрасывается член, содержащий высшую производную, и члены с производными следующего (более низкого) порядка. Эта операция допустима, если коэффициенты, стоящие при этих производных, значительно меньше всех остальных коэффициентов. Пренебрегать членами, содержащими производные промежуточных порядков, нельзя, так как это приводит к большим погрешностям.
Рассмотрим пример. Дифференциальное уравнение термопары имеет вид
У<3> + зоу(2> + 201У <*) + 8У = 0,04Х.
Термопара является заведомо устойчивым элементом. Коэффициенты при У^ и У(2) значительно меньше коэффициента при У(1), отбросив два первых слагаемых, получим приближенное уравнение
201У<*> ч-8У = 0,04Х.
37
Решение точного дифференциального уравнения при единичном ступенчатом воздействии и нулевых начальных условиях имеет вид
У = - 0,005ехр( - 0,004г)+
+ 4 • ИГ* ехр( - ЮГ) - Ю 6ехр( - 20?) + 0,005.
Вторая и третья составляющие переходного процесса ничтожны по величине и убывают во времени значительно быстрее, чем основная составляющая Y Основная составляющая /решения точного уравнения близка к решению приближенного уравнения, полученному для тех же условий
Y = - 0,005ехр( - 0,004?) + 0,005.
Второй способ понижения порядка уравнения состоит в том, что точными или приближенными методами определяются корни дифференциального уравнения. Из множества корней, отбрасываются те, которые значительно превосходят по абсолютной величине остальные. По оставшимся корням составляют приближенное дифференциальное уравнение звена.
Рассмотрим пример. Упростить путем приближения дифференциальное уравнение, описывающее звено,
У<4> + 6,1У <3> +11,6У<2> + 0,5У + 7,2 = 0.
Корни этого уравнения следующие: р, = -0,1, р2 = -1, р3 = = -2, Р4 = -3.
Отбросив корни р2, рз, р4, получим следующее уравнение первого порядка:
У(1)+0,1У = 0.
Существуют и другие способы упрощения дифференциальных уравнений. В любом случае при использовании этих способов нужно оценивать возникающую в результате упрощения погрешность. Для этого можно построить, например, амплитудно-фазовые характеристики по точному и упрощенному дифференциальным уравнениям и определить допустимость приближения и возможное влияние этой операции на результаты анализа системы регулирования.
Допуская упрощения в дифференциальных уравнениях, описывающих звенья, получаем сравнительно ограниченное число видов дифференциальных уравнений. Таким образом, различные процессы могут приближенно описываться дифференциальными уравнениями одного вида. Это положение, в частности, является одной из основ теории моделирования. Благодаря общности динамических свойств звеньев одного типа возникла возможность построения теоретических основ автоматического управления, по
38
зволяющих однйми и теми же методами исследовать различные процессы в системах автоматического управления.
При составлении дифференциальных уравнений динамики любой автоматической системы последнюю разделяют на отдельные звенья и записывают уравнение каждого звена в отдельности. Уравнения всех звеньев образуют единую систему, которую можно преобразовывать к одному уравнению путем исключения промежуточных переменных.
Уравнение звена должно быть составлено так, чтобы оно выражало зависимость между теми величинами, которые в схеме исследуемой системы указаны на входе и выходе данного звена. Классификация звеньев производится по виду дифференциальных уравнений. В звеньях позиционного типа линейной зависимостью Y- КХ связаны входная и выходная величины в установившемся режиме. В звеньях цнтегрирующего типа линейной зависимостью У(1)= КХсвязаны производная выходной величины и вход-- ная величина в установившемся режиме. В звеньях дифференцирующего типа линейной зависимостью^ Y = КХт связаны в установившемся режиме выходная величина и производная входной величины.
Несмотря на большие трудности по составлению дифференциальных уравнений для каждого звена, можно с некоторым допущением предположить, что эти уравнения имеют порядок не выше второго. Уравнения второго порядка для описания различных объектов и звеньев являются наиболее распространенными. Они содержат необходимое число динамических параметров — ускорение и скорость изменения исследуемого процесса.
На рис. 1.7, а приведена структурная схема системы автоматического регулирования, где указаны все переменные, которые определяют динамический режим работы системы. Положим, что датчик можно описать дифференциальным уравнением
,, „ d2Y „ dY „
М - Л2 —х- + Л\ -z- + Д), dr dt
где ^7 — коэффициент уравнения.
Работу регулятора можно описать дифференциальным уравнением
Я-Б21Р+Б11Г+Ба-
Работу исполнительного механизма можно описать дифференциальным уравнением
7 с <PY dY z-C1~dfl"c4d+C'^
39
Рис. 1.7. Формирователи импульсных сигналов:
а — структурная схема со звеньями, преобразующими параметры; б — формирование импульсного возмущения с помощью двух ступенчатых воздействий; в — формирование 3-уровневого сигнала возмущения; г — формирование сложных функций; М, R, Y, Z — функциональные параметры
Для объекта имеем дифференциальное уравнение
У = Л^^ + Д1^. + До;
X« = X-Z.
Подставим уравнение для датчика в выражение для регулятора. Полученный результат необходимо подставить в уравнение для исполнительного механизма.
В результате будет получено дифференциальное уравнение цепи обратной связи системы. Суммируя два последних выражения, получим общее дифференциальное уравнение для всей системы.
40
„ d‘Y . Г „ _ _ d!X rdX
Вывод этого выражения дан в приложении (с. 271).
Из этого выражения можно сделать вывод, что, имея диффе
ренциальные уравнения второго порядка, описывающие звенья, после преобразований получаем общее дифференциальное уравнение восьмого порядка.
Для решения этого уравнения применяется операторный метод — преобразование Лапласа.
Операторный метод заключается в том, что из области функций действительного переменного решение дифференциального уравнения переносится в область функций комплексного переменного, где операции принимают более простой вид. После выполнения операций над функциями комплексного переменного производится обратный переход в область действительного переменного.
- Сущность преобразования Лапласа состоит в том, что вместо переменной X(t) рассматривается переменная Др), где р — оператор комплексной переменной. Функция Др) является изображением оригинала функции ДО- Переход от Д/) к Др) осуществляется интегральным преобразованием вида
ЛГ(р) = f.¥(/) ехр(-рГ>7/.
о
В символьной форме это представляется в виде Др) = £[Д/)].
Обратный переход от изображения Др) к оригиналу ДО в символьной форме имеет вид
Х(О = Г'[Д(Р)].
Этот переход связан с громоздкими вычислениями в области комплексного переменного. Поэтому на практике применяют табличные формы обратного перехода, когда по оригиналу находится изображение. Для практического применения преобразования Лапласа необходимо знать наиболее важные свойства:
•	линейность оригиналов и изображений
X(f) <-> Х(р); АХ(О о АХ(р); X(t) + Y(f) о Х(р) + Y(р);
•	интегрируемость
jX(f)dt Х(р)/р;
•	дифференцируемость dX(f) V( . dnX(f) nV. .
-i-4opX(p); —^ep’I(p); dt	dt
•	запаздывание
X(t - t) <-> exp(-pT)A"(p).
41
Наиболее распространенные функции имеют следующие преобразования Лапласа:
1	; ехр( + а?) <-> ——;	ехр( - а/) <-> ——;
р	p-а р2	р + а
2	1	1
t2 -г; 1 - ехр(щ) о —-------; ехр(Щ) -1 о —----;
Р3	Р(Р + Д)	Р(р-а)
w	p
sin wt <-> —=-=-; coswt <->  ь - 4.
p2 +vr	p2 + ur
Переходные процессы в любом звене и в системе в целом наиболее ярко проявляются при поступлении на вход сигналов ступенчатого или импульсного вида. В общем виде реакция системы определяется выражением
Г(Р) = ИЧР)Х(Р).
Если известна передаточная функция звена или системы >F(p), то, зная изображение входного воздействия, можно определить изображение выходной величины, а затем перейти к временной функции переходного процесса через обратное преобразование Лапласа.
Следовательно, определение переходного процесса сводится к определению изображения входного воздействия. Приведем несколько примеров изображений входного воздействия ступенчатого вида.
Одиночное ступенчатое воздействие описывается выражением
1 при ?>0
О при /<0.
График этой функции показан на рис. 1.7, б.
Изображение этой функции описывается выражением
/1(Р)«1/Р.
Изображение ступенчатой функции, смещенной относительно начала координат, описывается выражением
Г2(р) = ехр(-/,р)/р.
Сложим две ступенчатые функции и получим выражение для импульсной функции
А(0-/1(0+/2(0.
Изображение импульсной функции имеет вид
л.<р) - Л(р> и- W л -	.1 -.ЦфКР).
р р	р
Z(0 =
42
А теперь определим изображение сложной ступенчатой функции, которая представлена на рис. 1.7, в. На этом рисунке представлены все одиночные ступенчатые составляющие функции сложного сигнала. Изображение первого сигнала описывается выражением
Fj(p) = 4/p.
Изображения второго и третьего сигналов имеют вид
Жр) = 4«фНзр). w = .4«ф(^эр) р	р
Изображение суммы трех сигналов имеет вид
г/ч г/ а	г/ а 4 + 4 ехр(-/2р) - 4 ехр(-/3р)
Л (Р) = (Р) + Fi (р) + F3 (р) = -3-2——— 	•
Р
Для определения изображения ступенчатой функции (рис. 1.7, г) разложим ее на составляющие, которые имеют одинаковые ампли-_туды- Все составляющие будут сдвинуты относительно друг друга на равные временные интервалы. Можно сразу написать выражение для изображения этого сигнала:
Л(Р) = (1 / Р) [ 1 + ехр( - ДГ р) + ехр( - 2Д/ р) +
+ ехр( - ЗД/ р) +... + ехр( - лД/ р)].
Заменим ряд геометрической прогрессии на его сумму и получим
р[1-ехр(-ДГр)]’
Для сигнала прямоугольной формы изображение определяется выражением
F(p) = 0 / Р)[ 1 - 2ехр( - ДГ р) + 2ехр( - 2ДГ р) -
-2ехр(-ЗД/р) +... - 2ехр(-лД/р)]
или
F(p) =------?------1.
р[1 + ехр(~/ р)] р
После определения основных выражений в преобразованиях Лапласа можно приступить к решению дифференциального уравнения. Для этого необходимо воспользоваться формулой замены производных временных функций изображениями преобразований Лапласа
№X(t)	.	/1
^V«P-%(P).	(1.7)
Эта замена позволяет получить алгебраическое уравнение вида
43
Sip’Hp) + ^р7Г(р) + 56Р6Г(Р) + 35Р5Г(Р) + ^Г(р) +	8)
+^р3У(р) + 52р2У(р) + 51РУ(р) + 50 = *2Р2Х(Р) + *1РЛГ(р).
Из левой части уравнения можно вынести за скобки У(р), а в правой части — А(р):
¥ (р)(58р8 + SyP7 + *$бР6 + *Sjp5 + <$4р4 + 5зР3 + +52р2 + 5ip + 50) = *(р)(*2Р2 + *1Р).
Преобразуем это выражение к виду
Г(р) *2р2 + *,р
АГ(р) 5gp8 + S7p7 +... + <$о
В результате получаем передаточную функцию системы
W(p) = Y(p)/X(p).
Если подходить к передаточной функции с общих позиций, не накладывая никаких ограничений на порядок дифференциального уравнения каждого элемента системы, то можно написать выражение передаточной функции в виде
ч_Д,рл + ... + 4)
Можно утверждать, что передаточными функциями обладают любые другие элементы системы управления. А если существуют передаточные функции звеньев, из которых состоит система, то можно определить передаточную функцию системы. Для этого необходимо знать двойства преобразования передаточных функций.
Последовательное соединение звеньев. При последовательном соединении звеньев (рис. 1.8, а) выходная величина предыдущего звена является входной величиной последующего звена. Передаточная функция системы последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:
И/с(р) = ^,(р)1Г2(р)1Г3(р).
Параллельное соединение звеньев. Входная величина системы, состоящей из параллельно соединенных звеньев (рис. 1.8. б), од-
Рис. 1.8. Типы преобразований структурных схем: а — преобразование передаточных функций последовательного включения трех звеньев в передаточную функцию одного эквивалентного звена; б — преобразование передаточных функций параллельного включения трех звеньев в передаточную функцию одного эквивалентного звена; в — преобразование передаточных функций встречно-параллельного включения двух звеньев в передаточную функцию одного звена; г — перемещение внешнего воздействия из середины схемы на вход; д — перемещение внешнего воздействия со входа в середину схемы; е — перемещение выходного сигнала из середины схемы на вход; ж — перемещение выходного сигнала со входа в середину схемы
44
е
45
повременно подается на входы всех звеньев, а ее выходная величина равна сумме выходных величин отдельных звеньев. Передаточная функция системы, состоящей из параллельно соединенных звеньев, равна сумме передаточных функций этих звеньев:
ИЛс(Р) = ИЛ1(Р) + ИЛ2(Р) + ^(Р).
Встречно-параллельное соединение звеньев. При встречно-параллельном соединении звеньев на вход соединения одновременно с входной величиной системы подается ее выходная величина, прошедшая через звено обратной связи с передаточной функцией Ио.с(р) (рис. 1.8, в). Передаточная функция системы определяется выражением
И'об(р)
^^(рЖДр)'
и;(р)=
В знаменателе знак «+» относится к отрицательной обратной связи, знак «-» — к положительной обратной связи. В промышленных системах в основном применяется отрицательная обрат
ная связь.
Таким образом, разбивка дифференциального уравнения, on- 1 ределяющего процесс автоматического управления в системе, на | дифференциальные уравнения элементарных звеньев в общем слу- 1 чае может быть выполнена различными способами. Следователь- 1 но, один и тот же процесс управления может быть осуществлен с | помощью систем, расчлененных на различное число элементар- | ных звеньев с различными структурными связями между ними. | Имея в качестве исходной какую-либо одну из таких систем и | определив передаточные функции всех ее элементарных звеньев, I можно в дальнейшем упростить структурную схему системы пу- I тем ее эквивалентных преобразований. Во всех различных струк- ] турных схемах, полученных в результате эквивалентных преобра- | зований первоначальной схемы, передаточная функция системы 1 в целом не изменяется и не зависит от того, на сколько и на 1 какие элементарные звенья разделена система и какие структур- J ные связи имеются между ее звеньями.	I
К уже приведенным преобразованиям структурных схем можно I добавить следующие преобразования. Внешнее воздействие F, при- | ложенное к выходу звена с передаточной функцией (рис. 1.8, г), 1 можно перенести на его вход, поместив между воздействием и вхо- 1 дом звена дополнительное звено с передаточной функцией l/FKp 1 Внешнее воздействие F, приложенное ко входу звена с передаточ- 1 ной функцией Жь можно перевести на его выход (рис. 1.8, д), 1 поместив между воздействием и выходом звена дополнительное 1 звено с той же передаточной функцией Ж,. Точку присоединения 1 любой структурной связи к выходу звена, имеющего передаточ- I ную функцию можно перемести на его вход, включив в эту I
46
связь дополнительное звено с той же Передаточной функцией H'i (рис. 1.8, е). Точку присоединения любой структурной связи ко входу звена с передаточной функцией (рис. 1.8, ж) можно перевести на его выход, включив в эту связь дополнительное звено с передаточной функцией 1/ЯИр
С помощью перечисленных правил структурные схемы с перекрестными связями можно преобразовать в структурные схемы без перекрестных связей, заменить многоконтурные автоматические системы управления одноконтурными, а также выделить линейную часть в нелинейных автоматических системах управления.
Эти правила лучше всего пояснить на примерах. На рис. 1.9, а показана исходная структурная схема системы, имеющая проме-
а
Рис. 1.9. Преобразования структурной схемы: а — исходная схема; б — образование второй цепи обратной связи с передаточными функциями IPj и Ws; в — встречно-параллельное включение звеньев в эквивалентной структурной схеме; г — преобразования структурной схемы с обратной связью; д — перемещение действия обратной связи с первого звена из середины схемы на вход
47
жуточную связь. Эту систему можно преобразовать к виду, показанному на рис. 1.9, б, что позволяет использовать полученные ранее соотношения. Преобразованная структурная схема имеет две обратные связи, одна из которых, включающая звенья с передаточными функциями и W5, охватывает звено с передаточной функцией ЙИ2, а вторая, состоящая из звеньев с передаточными функциями Из и WA, образует главную обратную связь. Следовательно, звено с передаточной функцией вошло в структурную схему дважды. Применяя далее правила вычисления эквивалентных передаточных функций, приходим к простой структурной схеме одноконтурной системы автоматического регулирования (рис. 1.9, в), в прямой цепи которой находится звено с передаточной функцией
И; =	/{\ + W2W3W3),	(1.9)
а в цепи обратной связи
»;.c = W-	(1-Ю)
Следует заметить, что при достаточном опыте можно установить наличие таких обратных связей без построения структурной схемы, показанной на рис. 1.9, б.
Преобразование структурных схем систем автоматического регулирования, имеющих перекрестные обратные связи, приводит, как правило, к введению в преобразованную структурную схему звеньев с обратными передаточными функциями. Так, структурную схему системы с такими обратными связями (рис. 1.9, г) можно преобразовать к виду, показанному на рис. 1.9, д. Из этого рисунка видно, что главная обратная связь этой системы имеет звено с передаточной функцией 1/ После такого преобразования систему регулирования можно свести к одноконтурной (см. рис. 1.9, в). Передаточная функция звена в прямой цепи определяется как
а в цепи обратной связи
^5/Hl-
Применение правил преобразования структурных схем систем автоматического регулирования и определения эквивалентных передаточных функций значительно упрощает анализ таких систем. Однако при экспериментальных исследованиях динамических систем часто возникает обратная задача — отыскание передаточной функции звена, когда известны передаточные функции системы в целом и остальных входящих в нее звеньев. Такая задача решается с помощью рассмотренных ранее правил.
48
Пусть, например, известна передаточная функция W системы, структурная схема которой изображена на рис 1.9, г, и необходимо определить передаточную функцию Пользуясь рис. 1.9, в и соотношением, определенным на основании выражений (1.9) и (1.10), получим
<1Л1>
откуда
2 Wx - WW^Wt - Ws) ’
Необходимо отметить, что практическое применение такого способа определения передаточных функций звеньев связано со значительными трудностями, так как передаточная функция системы в целом может быть определена экспериментально только приближенно, что исключает возможность упрощения выражения (1.11).
Контрольные вопросы
1.	Какими уравнениями описывается динамический режим работы системы?
2.	Каково назначение преобразования Лапласа?
3.	Перечислите свойства преобразования Лапласа.
4.	Что такое коэффициент передачи звеньев и системы?
5.	Чем отличаются последовательное, параллельное и встречно-параллельное включения звеньев и их коэффициенты передачи?
1.4.	Законы регулирования
Основная задача управления объектом состоит в автоматическом поддержании условий, при которых обеспечен нормальный ход технологического процесса. На поведение объекта воздействуют различные внешние или внутренние факторы, влияние которых выражается в изменении переменных процесса. По управлению все переменные параметры процесса можно разделить на три группы:
•	управляемые — выходные или регулируемые параметры, из которых один или несколько полностью определяют состояние системы;
•	неуправляемые переменные — возмущения, вызывающие отклонение выходных параметров от заданных значений;
•	управляемые переменные — регулирующие воздействия или входные параметры, которые используются для компенсации воз
49
мущений и поддержания выходных параметров в требуемых пределах.
Для правильного протекания производственного процесса требуется, чтобы управляемые зависимые параметры, определяющие его состояние, поддерживались в заданных пределах или изменялись по определенному закону. Их отклонение от заданного значения из-за действия возмущений должно постоянно компенсироваться внутренними связями. Это может осуществляться с помощью ручного управления или автоматически (с помощью регуляторов). Правильный выбор характера и величины воздействия регуляторов позволяет полностью устранить влияние внешних возмущений на регулируемую величину.
Внешние связи, вводимые в регулятор, существенным образом отличаются от внутренних связей объекта по физической природе и по своему воздействию. Они обладают большей эффективностью и гибкостью, так как охватывают большее число переменных процесса и не зависят от механизма процесса, благодаря чему дают возможность реализовать различные виды зависимостей между переменными объекта.
Внешние связи более стабильны, так как регуляторы работают обычно на низком энергетическом уровне. Таким образом, присоединение регуляторов позволяет повысить коэффициент са-мовыравнивания объекта (способность объекта самостоятельно компенсировать возмущения), т.е. его статическую точность, уменьшить динамические отклонения, т.е. повысить динамическую точность.
Основные требования к автоматическим регуляторам определяются задачами, которые должны выполнять регуляторы при работе с объектами регулирования. Тип регулятора и схему взаимодействия регулятора с объектом выбирают, учитывая прежде всего, особенности регулируемого объекта:
•	характер технологического процесса, проходящего в объекте регулирования — его физика, статика и динамика;
•	параметры технологического процесса — их природа, предельные значения, требуемая точность поддержания в переходных и установившихся режимах;
•	конструктивные особенности оборудования, участвующего в производственном процессе и подлежащего автоматическому регулированию;
•	условия эксплуатации оборудования и регуляторов;
•	экономическую эффективность, получаемую в результате автоматизации объекта.
Основное свойство регулятора —• реагирование на изменение регулируемого параметра, характеризующего технологический процесс, и управление этим процессом с целью поддержания заданного значения регулируемого параметра или изменения его
50
по заданному закону. В зависимости от качества протекания технологического процесса в регуляторе применяются разные законы воздействия на объект регулирования. В зависимости от свойств объекта регулирования регулятор по-разному управляет им. Это управление определяется определенным набором законов регулирования. Если объект проявляет все признаки статичности, а таких объектов большинство, то для управления применяется пропорциональный закон регулирования. Это основной закон регулирования. По этому закону выходная величина регулятора будет прямо пропорциональна отклонению регулируемого параметра
ЛГп=*реГЛГ,	(1.12)
где Хп — выходной параметр П-регулятора и входной параметр объекта регулирования; К^т — статический коэффициент передачи регулятора; ДУ — отклонение регулируемой величины.
- Передаточная функция этого регулятора определяется выражением
Ил(р) = АГрег,
где АГрег — коэффициент пропорциональности.
Регуляторы, работающие по закону пропорционального регулирования, называют пропорциональными, или сокращенно П-ре-гуляторами.
Взаимодействие регулятора и объекта дает переходную характеристику на выходе объекта, которая именуется функцией разгона (рис. 1.10, о). Между управляющим воздействием регулятора и текущим значением выходного параметра существует ошибка рассогласования, которая определяется выражением.
е = У0бехр(-//70б),
где Тоб — постоянная времени статического объекта; — заданное значение.
Проанализировав последнюю формулу, можно сделать вывод, что ошибка регулирования имеет максимальное значение при t = 0. С увеличением текущего времени с момента действия регулирующего воздействия ошибка уменьшается. Как уже было установлено ранее, при значениях е = 5 % от заданного значения процесс регулирования считается законченным. Из этого следует, что в пропорциональном законе заложено существование ошибок регулирования. Эти ошибки во время регулирования могут накапливаться, что усложняет управление сложными технологическими процессами. Это существенный недостаток П-регуля-торов.
При создании систем управления обычно стремятся, чтобы используемые в них регуляторы отрабатывали идеальные типовые
51
52
Рис. 1.10. Переходные функции и структурные схемы: а — функция П-закона регулирования; б — структурная схема П-регулятора; в — функция И-закона регулирования; г — структурная схема И-регулятора; д — функция ПИ-закона регулирования; е — структурная схема ПИ-регулятора с апериодической обратной связью; ж — структурная схема ПИ-регулятора с гибкой обратной связью; з — переходная функция ПД-закона регулирования (7, 2 — переходные функции П- и ПД-законов регулирования); и — переходная функция ПИД-закона регулирования; к — структурная схема ПИД-регулятора; л — .	переходный процесс при ПИ-законе регулирования
законы регулирования. Однако практически это не всегда возможно по техническим и конструктивным соображениям.
Реальные промышленные регуляторы вносят в идеальные законы регулирования погрешности, которые необходимо учитывать при исследовании систем. Рассмотрим структурную схему промышленного регулятора, которая представлена на рис. 1.10, б. Если исполнительный механизм системы регулирования можно представить в виде пропорционального (усилительного) звена, то получение П-закона регулирования не представляет трудностей. Однако в системе целесообразно использовать исполнительный механизм, в динамическом отношении представляющий собой интегрирующее звено
И/ил<(Р) = 1/(7’и.мР).
В этом случаеЛ-закон регулирования с достаточной точностью можно получить с помощью охвата отрицательной обратной связью усилительного звена с передаточной функцией ЙИ2(р) = К? и исполнительного механизма. Передаточная функция регулятора имеет вид
М/(Ги.мР) .-/Грег,
1 + адх/(Ги.мр) 1 + 7ф’
где Ki /К0Л = АГреГ = ЙИп(р)и Т = Ги.м/(АГ2АГ0.с); Th m - постоянная времени исполнительного механизма.	,
Отсюда видно, что передаточная функция реального П-регулято-ра может быть представлена в виде последовательного соединения двух звеньев: пропорционального с передаточной функцией Ип(р) и апериодического 1Цр) с постоянной времени Т. При увеличении постоянной времени Г увеличивается погрешность в отработке идеального П-закона регулирования. Уменьшение постоянной времени может быть достигнуто за счет увеличения коэффициента усиления цепи обратной связи Ко с и за счет применения исполнительных механизмов с малой величиной постоянной времени Ти м.
Для устранения этого недостатка к П-закону регулирования добавляется интегральная составляющая, которая описывается выражением
^инт
где Гинт — постоянная времени интегрирования.
53
На рис. 1.10, в показана переходная характеристика И-закона регулирования.
Функция ошибки для этого закона регулирования определяется выражением
а = Х3 ~ *иЛ
где Ки — скорость нарастания переходной характеристики И-за-кона.
Из этого выражения следует, что существует момент времени, когда ошибка будет равна нулю. Произойдет точное совпадение значений выходного параметра с заданным значением.
Передаточная функции И-регулятора определяется выражением
^(Р) = ^и/Р-
Продифференцируем исходное выражение и получим
Т Д^ИНГ _ д у
* ИНТ J. — •** • at
Отсюда следует, что скорость перемещения регулирующего органа у интегральных регуляторов пропорциональна отклонению регулируемого параметра Y. Чем больше величина входного сигнала ДУ, тем больше скорость изменения выходного сигнала регулятора.
Особенностью интегральных регуляторов является то, что в установившемся режиме одному и тому же положению регулирующего органа может в различное время соответствовать различное значение регулируемой величины. Это — положительная особенность И-регулятора, так как регулируемый параметр поддерживается нВ заданном значении независимо от нагрузки объекта регулирования, слёдовательно, интегральные регуляторы не имеют статической неравномерности и поэтому их называют астатическими.
Для интегральных регуляторов характерна медленная перестановка регулирующего органа как бы ни было мало отклонение регулируемого параметра от заданного значения. Это перемещение будет продолжаться до тех пор, пока текущее значение регулируемого параметра не превысит заданное значение. В этот момент изменяется направление движения регулирующего органа.
Реализацию реального И-закона регулирования можно осуществить с помощью структурной схемы, показанной на рис. 1.10, г. В этой схеме усилительное звено с коэффициентом передачи FHp) = = К2 и промежуточное интегрирующее звено W2(p) = 1/ТиигР охвачены жесткой отрицательной обратной связью Передаточная функция такого регулятора описывается выражением
IV	/(УингР) _	1
1 + *Хс/(Тингр) Т^ра + Тр)’
где Т^нт = КОЛТЛМ / К\ и Т = Тинт /(К2КОЛ), 1Ри.м(Р)= 1/(^и.мР)-
54
Из этого выражения видно, что передаточная функция реального И-регулятора может быть представлена как последовательное соединение звена идеального И-регулятора Ии(р) и апериодического звена W(p) с постоянной времени Т. Для получения И-закона регулирования, близкого к идеальному, следует стремиться к уменьшению постоянной времени Т. Этого можно достичь за счет увеличения коэффициента передачи в цепи обратной связи.
Совместное действие двух законов регулирования образуют пропорционально-интегральный регулятор или ПИ-регулятор. Уравнение ПИ-закона регулирования описывается выражением
*пи = ^рег(АГ+ (1/Гинг)/дУЛ).	(1.13)
Передаточная функция ПИ-регулятора имеет вид
»Ъи(р) = ^%^.
— -	* интР
При отработке ПИ-закона регулирования сначала начинает работать пропорциональная, а затем астатическая составляющие регудятора. Пропорциональная составляющая будет «стараться догнать» и остановить изменения регулируемого параметра, а астатическая составляющая будет продолжать работать. Когда измеряемый параметр будет равен первоначальному заданному значению, пропорциональная составляющая прекратит свое воздействие на регулирующий орган, который займет положение, отличающееся от исходного из-за остаточного отклонения величины параметра. В это время астатическая составляющая продолжает воздействовать на регулирующий орган, вследствие чего он займет положение, исключающее остаточное отклонение величины.
На рис. 1.10, д показан переходный процесс при действии ПИ-закона регулирования. Переходный процесс описывается деформированной экспонентой, которая стремится достичь интегральной составляющей ПИ-закона. В момент времени Т^т произойдет встреча кривой переходной функции с заданным значением выходной величины.
Ошибка регулирования описывается выражением
е = ЛГ3(ехрН/Г)-АГи/),
где Т — постоянная времени апериодического процесса.
Для определения времени регулирования необходимо произвести замену ехр(ч / Т) =» Т /(Т + /). Для получения е = 0 время регулирования определяется выражением
В ПИ-регуляторе пропорциональное воздействие осуществляется жесткой обратной связью, а изодромное воздействие — уп
55
ругой обратной связью. Изодромная (упругая) обратная связь характеризуется тем, что передаваемое ею воздействие существует только в переходных режимах, по окончании которых перестает действовать. Действие изодромной обратной связи характеризуется скоростью и временем изодрома.
Скорость изодрома — это скорость, с которой регулирующий орган перемещается под действием астатической составляющей регулятора. Скорость изодрома определяется скоростью перемещения регулирующего органа и выражается в процентах его хода в минуту после предварительного мгновенного перемещения регулирующего органа, вызванного действием пропорциональной составляющей.
Время изодрома Тт — время, в течение которого интегральная составляющая регулирующего воздействия достигнет величины, равной пропорциональной составляющей, т.е.
X = 2K^r\Y.
Соответственно этому сигналу регулирующее воздействие ПИ-регулятора в результате действия упругой обратной связи за время t = Tm удвоится по сравнению с выходным сигналом пропорциональной составляющей. В связи с этим постоянную Тиз иногда называют временем удвоения.
Коэффициент передачи и время изодрома Тю являются параметрами настройки ПИ-регулятора. Время изодрома для разных регуляторов может изменяться в интервале 0,1 ...50 и 0,5... 100 мин и выше. Малому времени изодрома соответствует большая скорость регулирования, а большому времени изодрома — малая. При большом значении ПИ-регулятор может работать достаточно успешно с малоинерционными объектами. При малом значении ПИ-регулятор позволяет обеспечить хорошее качество регулирования при работе с объектами, имеющими существенное запаздывание.
На рис. 1.10, е, ж приведены структурные схемы ПИ-регулято-ров с интегрирующими исполнительными механизмами. Рассмотрим структурную схему ПИ-регулятора с апериодической обратной связью (см. рис. 1.10, е). Усилительное звено (пропорциональная часть) регулятора охвачено инерционной обратной отрицательной связью
ИлАи(Р) = »Ъи(Р)Ил(Р) =
И'Йи
АГ1ВД 1 + 1/(Гюр)	.
ТИ.М(1 + К2КО.С) Tip(l + K2KO.C) + 1’
 ГизР + 1
регГИзР(1 + 71»’
где = KiK2T\ /(Гим(1 + К2КМ));Т = Т, /(1 + К2Колу,Тт =
56
Из полученной передаточной функции видно, что реальный ПИ-регулятор может быть представлен как последовательное соединение идеального ПИ-звена с передаточной функцией 1Кпи(р) и апериодического с передаточной функцией W(p) с постоянной времени Т.
В регуляторе, изображенном на рис. 1.10, ж, пропорциональное звено и исполнительный механизм (интегрирующее звено) охвачены гибкой обратной связью. Передаточная функция такого регулятора представляет собой последовательное включение апериодического и идеального ПИ-звеньев:
yr (D\ _ КХК2ТХ 1 + Tip ________________1___________.
ги.м + ^2ад г1Р (\+тхт^р)/{ткм + к2кмтху
WWp) = *per
1 + Тизр тизр(1+ТрУ
Кхк2тх
где Яре,	T = r KM ; T = Tm.
* и.м "** "2**ox-* 1	•* и.м **2-**o.c-* 1
Увеличение коэффициентов усиления в прямой цепи и в цепи отрицательной обратной связи приближает указанные регуляторы к идеальному ПИ-регулятору.
Из приведенных передаточных функций реальных ПИ-регуля-торов следует, что время изодрома Тю и коэффициент усиления ХреГ взаимосвязаны, что заставляет каждый раз при изменении времени изодрома подстраивать коэффициент передачи К^г статической части регулятора.
Недостатком статических объектов является существование времени запаздывания реакции объекта на входное возмущение. Устранить этот недостаток переходной характеристики можно только за счет увеличения входного воздействия. В этом случае выходной параметр стремится к увеличенному значению входной ступеньки. У этих регуляторов выходная величина пропорциональна отклонению входной величины и ее первой производной по времени.
ПД- закон регулирования представляет собой сумму воздействий пропорциональной и дифференциальной составляющих и записывается в виде
Х = АГрег(У + Тд^),
где Тд — время предварения.
Сочетание в ПД-регуляторе пропорционального воздействия по величине Ус дополнительным воздействием по производной делает его менее инерционным по сравнению с пропорциональным регулятором, что хорошо видно на рис. 1.10, з. Это подтверждается тем, что функция переходного процесса 2 под действием управляющей составляющей Хи быстро достигает значения выходного па
57
раметра Х3. В тот момент времени, когда она достигает значения Х3, входное воздействие уменьшается до заданного значения. В результате переходный процесс прекращается (это идеальный случай). Практически получить совпадение значений переходного процесса с заданным очень трудно. Приходится довольствоваться режимом, когда переходный процесс не доходит до заданного уровня.
Из-за предваряющего воздействия иногда ПД-регуляторы называют статическими регуляторами с предварением. Коэффициент усиления Лр„ и время предварения Тд являются параметрами настройки ПД-регуляторов. В промышленных регуляторах это время находится в пределах 0,1... 30 мин.
Опережение выходного сигнала в ПД-регуляторе по сравнению с пропорциональным регулятором является положительным свойством при регулировании объектов, обладающих существенным запаздыванием. К числу недостатков ПД-регуляторов следует отнести наличие в них статической неравномерности в установившемся режиме.
В тех случаях, когда требуется избавиться от запаздывания реакции объекта и добиться высокой точности установки значений выходного параметра, применяют ПИД-закон регулирования. У этих регуляторов выходная величина пропорциональна отклонению входной величины, интегралу и производной по времени от этого отклонения. ПИД-закон регулирования представляет собой сумму воздействий пропорциональной, интегральной и дифференциальной составляющих и описывается уравнением
X = АГреГ(Г + (1 / TM)J Ydt + Ta(dY/df)).
На рис. 1.10, и показано взаимодействие всех трех составляющих закона регулирования и переходный процесс. Этот закон регулирования устраняет все недостатки статического объекта и делает время регулирования наиболее коротким.
Передаточная функция ПИД-регулятора описывается выраже-' нием	:
ГщцСр) - Т'Т"р2Т+ ÔР+ ‘ 
1 изР
Коэффициент усиления	время изодрома Тт и время пред-
варения ТЛ являются параметрами настройки ПИД-регулятора.
При практической реализации этого закона приходится учитывать передаточную функцию исполнительного механизма. На рис. 1.16, к приведена структурная схема ПИД-регулятора с интегрирующим исполнительным механизмом. В этом регуляторе; предваряющее воздействие вводится путем охвата пропорциональной части регулятора гибкой обратной связью, в цепь которой , входят два инерционных звена. Передаточная функция реального ПИД-регулятора состоит из последовательного соединения иде-, ального ПИД-звена и апериодического звена второго порядка:
58
пид Р ГимР  I + к2кол /((Т1Р+1)(г2р+D) ’
^пвд(р) = Крег(1 + Гдр+ !/(?,„ р))(1/(77р2 + TJP + 1));
^пид(р) = И'оддФУГф),
где = КХК2(Т\ + Т2)/(ТИ.М(1+«О.С)); 7ИЗ = Тх + Т2, Тд = =	+ Т2); Т{ = (Ту + Т2)/(1 + К2Косу, Т2 = ТуТ2/
/(1 + ЗДД
Возможности настройки такого ПИД-регулятора ограничены, так как из-за влияния одного из настроенных параметров происходит разбалансировка остальных. Обычно отношение Т{/Т2< 2. При 7’i/72= 1 величина отношения постоянной времени предварения к постоянной времени изодрома имеет максимальное значение Гд/Т» = 0,25.
В заключение произведем расчет параметров переходного процесса системы при действии пропорционального и Интегрального законов регулирования.
На вход объекта поступает управляющее воздействие, имеющее пропорциональную и интегральную составляющие (рис. 1.10, л). Постоянная времени объекта Т = 2 с, пропорциональная составляющая Y3 = 1. Определить время регулирования и сравнить его с временем регулирования при отсутствии интегральной составляющей.
Значение выходного параметра описывается выражением
Гвых=(П+ВД-ехр(-//Г)], где k = arctg а.
Время регулирования определяется временем, когда Увых = = Y3 или
У3=(Уз+ВД-ехр(-Г/7)].
Произведем замену exp(-t/T) = t/(t +0,16Т) и получим
Гз»(Гэ+^/(^+0,167).
Отсюда
V = £/2
*з Л*рег*
Тогда = (У3- 0,167/fc)l/2. При к = 0,1 и Y3 = 1 получим
Грег = (0,16-2/0,1)1/2 = 1,7 с.
При отсутствии интегральной составляющей переходный процесс будет определяться выражением
У„ых = г,[1 - ехр(-г / 7)] или Увых = Yj^t^ + 0,167).
Отсюда получим /реГ = 37= 3 • 2 = 6 с.
59
Контрольные вопросы
1.	Какие существуют законы регулирования, их цередаточные функ- з ции?	, 5
2.	Перечислите параметры законов регулирования.	«
3.	Что такое время предварения?	i
4.	Назовите области применения законов регулирования.	|
и
1.5.	Типовые звенья и их параметры	j
Система автоматического регулирования и отдельные ее эле-1 менты все время работают в переходных режимах, поэтому необ-1 ходимо знать их динамические свойства. Системы регулирования ? описываются дифференциальными уравнениями, которые во мно-1 гих случаях можно линеаризовать и свести к линейным диффе- 5 ренциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Не-! смотря на огромнбё разнообразие конструктивных форм отдель- s ных элементов и выполняемых ими функций, многие из них описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями. По- ? этому можно произвести унификацию отдельных элементов по их 1 динамическим свойствам и представить их с помощью типовых; звеньев систем автоматического регулирования. Типовым линейным звеном называют такое устройство, динамические свойства кото- < рого характеризуются дифференциальными уравнениями не выше. второго порядка.	••
Более сложные звенья, Описываемые дифференциальными уравнениями третьего порядка и выше, могут быть сведены к комбинациям типовых звеньев. Представление системы регулирования иди отдельных ее элементов в виде соответствующей комбинации: типовых звеньев позволяет просто подходить к задачам анализа и синтеза этих систем.
Исследуя различные элементы систем автоматического регулирования, можно видеть, что независимо от конструкции элемента, принципа его действия и физических Процессов, протекающих в нем, динамические свойства таких элементов могут быть описаны некоторым числом типов дифференциальных уравнений порядка не выше второго. Для разомкнутой динамической цепи, состоящей из звеньев, соединенных последовательно, представим передаточную функцию в виде выражения
П(Р+Р/) П^П^р+1)П(^р2+г/Р+1) /»1 ________________________________
П (р + р7) П (Г/Р+ОП (W+tjv+1) y«i
60
где Th Tj, р/ и py — корни полиномов передаточной функции.
Можно показать, что эта передаточная функция состоит из произведения некоторого числа элементарных передаточных функций:
Wl(jp) = K-, fr2(p) = l/p; И$(р) = -1-; Ж4.(р) = 7Ь + 1;
7р +1
^(p)^V^7t>+.;^(P)-rV+‘i71)+1.
где s — коэффициент колебательности.
К элементарным передаточным функциям относится также передаточная функция запаздывания
1Г7(р) = ехрС-ТзапР),
где Тдап — время запаздывания.
Рассмотрим свойства каждого типового звена и способы определения их параметров по динамическим характеристикам.
' Усилительное звено. Это звено имеет передаточную функцию
и передает сигнал без искажения и сдвига во времени, но измененным в А" раз. Закон изменения его выходной координаты на Всех режимах работы, описывается алгебраическим уравнением
Y = КХ,
что свидетельствует об отсутствии переходного процесса в этом звене. Реальные звенья могут быть отнесены к такому типу только условно, так как все рни обладают инерционностью, которая проявляется при более или менее высоких скоростях изменения входной величины. Однако переходный процесс в некоторых элементах протекает за время пренебрежимо малое по сравнению со временем переходного процесса системы автоматического регулирования в целом, а поэтому практически не оказывает на него влияния.
Электронные усилители в системах автоматического регулирования передают сигнал без искажения до частот порядка килогерц или десяткрв килогерц, поэтому даже в тех случаях, когда полоса Пропускания частот системы составляет десятки герц, инерционность усилителей не оказывает заметного влияния на динамические свойства системы.
Динамический параметр К усилительного звена называется коэффициентом усиления. Переходная функция этого звена при различных величинах К показана на рис. 1.11, а.
Апериодическое звено. Это звено имеет передаточную функцию
Ж(р)=1/(7Ь + 1),
где Т — постоянная времени звена.
61
В переходном режиме звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка
T^- + Y^X.
dt
62
Рис. 1.11. Графики переходных функций: а — усилительного звена; б — апериодического звена с касательными, проведенными в разных точках характеристики; в — астатического звена; г — интегрирующего звена (входное воздействие и переходная функция); д — дифференцирующего звена (входное воздействие и переходная функция); е — колебательного звена (апериодический процесс); ж — колебательного звена (быстрозатухающий процесс); з — колебательного звена (медленнозатухающий процесс); и — интегродифференцирующего звена (электрическая схема); к — интегродифференцирующего звена (частотная характеристика); л — экспериментальная и теорети-ческая характеристики статического объекта
Переходная функция апериодического звена (рис. 1.11,6) описывается выражением
У = У,(1-ехр(-//7)).
Динамический параметр Т имеет определенный физический смысл — это время, за которое выходная величина достигла бы своего конечного значения, если бы она изменялась со скоростью, равной скорости в момент t = 0. Переходная функция апериодического звена представляет собой экспоненту, проходящую через начало координат и постепенно приближающуюся к заданной величине. Теоретически процесс устанавливается бесконечно деЙЮ»; Практически в качестве времени переходного процесса 7^ прИМем время, за которое разность между фактическим значением выходной величины и ее установившимся значением Y3 станет меньше величины е:
У3 - Y < е.
Если принять У3 = 1, то е = ехр^У^/У), где — время регулирования.
Принимая е=0,05, получим время переходного процесса 7^ = = 37.
Экспонента обладает тем свойством, что если из любой ее точки провести касательную до пересечения с прямой, проведенной на уровне нового установившегося значения, то проекция отрезка этой касательной на ось времени равна постоянной времени 7, (см. рис. 1.11,6).
Пользуясь этим свойством, легко определить постоянную времени апериодического звена, если известна его переходная функция, заданная графически. В этом случае нужно провести прямую на уровне установившегося значения, затем провести несколько касательных в разных точках переходной характеристики и определить длины проекций. Эти проекции должны равняться друг другу.
Пользуясь этим свойством, можно определить, на сколько изменится выходная величина за время 7 от начала переходного процесса:
63
Y = 0,632У3.
Таким образом, за время Т отклонение выходной величины достигнет 63,2 % от заданного значения.
Изучив поведение апериодического устойчивого звена, перейдем к рассмотрению переходных характеристик неустойчивого апериодического звена. Оно описывается дифференциальным уравнением вида
Переходная функция этого звена описывается выражением (рис. 1.11, в).
Y(t)~exp(f/T).
Интегрирующее звено. Это звено имеет передаточную функцию вида
^(Р)=1/Р-
Его динамические свойства описываются дифференциальным уравнением
ИНТ = -Л-Л J at
где Тинт — постоянная времени интегрирования.
В результате решения этого уравнения получаем выражение переходной функции
Y-Kt/T^,
которая изображается графически в виде наклонной прямой, проходящей через начало координат (рис. 1.11, г). Скорость изменения выходной величины пропорциональна входной величине. Выходная величина интегрирующего звена может неограниченно увеличиваться, но все же ограничения возникают, что определяется статической характеристикой соответствующего элемента системы. В отличие от апериодического звена в интегрирующем звене нет определенного соотношения между установившимися значениями входной и выходной величин, а есть лишь определенное соотношение между значениями входной величины и скоростью изменения выходной величины.
Это звено имеет все признаки астатичности. Такое звено иногда называют астатическим.
На этом свойстве астатических звеньев основано действие астатических систем регулирования, в которых необходимо, чтобы изменение регулирующего воздействия имело место при отсутствии рассогласования. Чтобы система автоматического регу-
64
лирования работала как астатическая в замкнутой цепи, должен быть хотя бы один интегрирующий элемент для обеспечения неравного нулю воздействия при равном нулю рассогласовании.
Дифференцирующее звено. Это звено может быть выполнено в двух видах. Одно звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка, а второе звено — дифференциальным уравнением второго порядка.
Дифференцирующее звено первого порядка описывается передаточной функцией вида
^(Р) = РГднф,
где Таиф — постоянная дифференцирования.
Выходная величина этого звена определяется не только значением входной величины, но и скоростью ее изменения. Уравнение, описывающее это звено, имеет вид
Y = TW^ + X.
При скачкообразном изменении входной величины на выходе дифференцирующего звена формируется мгновенный импульс с бесконечно большой амплитудой, соответствующей бесконечно большой скорости изменения входной величины в момент скачка (рис. 1.11, Э).
К дифференцирующим звеньям первого порядка относится звено, у которого отсутствует входное воздействие. В этом случае дифференциальное звено можно описать уравнением вида
у — т dX
Переходная функция этого звена будет иметь вид 5-функции:
Y = 6(t).
Дифференцирующее звено второго порядка описывается дифференциальным уравнением вида
Y * Т2 + 2sT^. + X. dt2 dt
Из этого выражения следует, что выходная величина звена определяется не только входной его величиной, но и первой, и второй ее производными.
Передаточная функция этого звена имеет вид
^(р) = 7^фР2 + 2^7;ифр + 1.
Колебательное звено. Колебательным звеном называется простейшая составная часть структурной схемы системы автоматического регулирования с передаточной функцией вида
3 Горошков
65
r(p)erK2p2 + ^tp+i’
где Тк — постоянная времени колебательного звена; s — коэффициент колебательности.
Передаточная функция неустойчивого колебательного звена имеет вид
1К(р) = ..fL-------7-
Тк2р2 - 2уТкр +1
В соответствии с уравнением передаточной функции устойчивого колебательного звена динамические свойства описываются дифференциальным уравнением второго порядка
Т2 + Т № + Y - КХ
Все характеристики и свойства колебательного звена определяются тремя параметрами: постоянными времени Ть Т2п коэффициентом передачи
Передаточная функция колебательного звена определяется выражением
^<Р>°Т2пуЛтп4.Г
/jР + 2/|Р +1
Рассмотрим поведение переходной функции в зависимости от основных параметров. Для этого приравняем Характеристическое уравнение нулю:
Т/р2 + 7]р + 1 = 0.
Определим корни уравнения
-Т1±(Г12-4Т,2)1/2
Р1.2-	2Т2
В зависимости от значений дискриминанта корни могут принимать разные значения, а это существенно влияет на вид переходной функции. Рассмотрим несколько случаев.
1-й случай: 7]2 - 4Т’22 > 0.
Корни равны
-Ti + TiV, -TX-TXV
P,S 2Т2 ’ ₽2 = 2Т22 ’ гдек = <^>,/2.
66
Корни действительные, отрицательные и разные. Это звено апериодическое. Общее решение для переходного процесса имеет вид
У(0 = Ci exp(pjO + С2 exp(p2z).
График переходной функции показан на рис. 1.11, е.
2-й случай-. Т? -	= 0.
Корни равны
Ри=-Г1/(2Т2).
Корни действительные, отрицательные и одинаковые. Общее решение имеет вид
Y(t) = exp(p/)(Ci + C2t).
График переходной функции показан на рис. 1.11, ж:
3-й случай: Т? < 4Т1.
Получим два комплексных корня
-----	П
Pi,2	2Г22
Обозначим и = 7]/(2Г22), w0=t/Tx. Получим переходную функцию, которая описывается выражением
Y(0 «4- [1 + (wg / и)] ехр(-Ш) sin(w0'* + g), где g = arctg (гц,/и).
График этой переходной функции показан на рис. 1.11, з.
С учетом исходной передаточной функции можно все три случая объед инить и описать од ним уравнением переходного процесса
= j ехр(-зГ/Г2)	Г(1-^)1/2 J
w (i-s2)*'2	[ т2	а/
где а = arctg[( 1 - з2)/^].
Интегродифференцирующее звено. Это звено не относится к классу элементарных (рис. 1.11, и), так как сочетает свойства двух важных звеньев. Это звено очень часто применяется для создания устойчивой работы системы. Оно включается в цепь регулятора для ослабления сигналов на определенной частоте wQ. Частотная характеристика звена представлена на рис. 1.11, к.
Передаточная функция звена описывается выражением
цг(n\ _ (1 + 2Г1Р>(1 + Г2р) . а+ада+ад’
где 7] = /iiQ; Т2 ?= R2C2,	= Т\Т2, Т\ + Т\= 7j + T2+R\C2.
Динамические параметры объекта. Для определения основных свойств объекта используются следующие методы: переходных функций (кривых разгона), импульсных возмущений (прямоуголь
Т2
67
ных импульсов)».частотный, статистический. Все перечисленные методы, кроме последнего, основаны на изучении поведения объекта при различного вида возмущениях. Наиболее широко применяется метод переходных функций. После соответствующего анализа и обработки кривой разгона можно определить время запаз
дывания и природу его происхождения, постоянную времени.
Это можно сделать сравнительно просто для одноемкостных статических и астатических объектов. Однако экспериментальные переходные функции точно никогда не описываются теоретическими кривыми. Приходится решать компромиссные задачи. На рис. 1.11, л приведена экспериментальная кривая разгона объекта. Если провести касательную к экспериментальной кривой разгона из начала координат до пересечения с асимптотой, как показано
на рисунке, и опустить из точки их пересечения перпендикуляр на временную ось, то определим время Ть но перпендикуляр не пересечет графика переходного процесса в точке, соответствующей значению 0,63Y3. На оси Уна уровне 0,63У3 проведем горизонтальную прямую, которая пересечет трафик переходного процесса в точке В. Из этой точки опускаем перпендикуляр на временную ось, получаем время Т2. Истинное значение постоянной времени находится в интервале от 7\ до Г2. Проверяется первая точка 7’12= (Т1 + Т^/2. Она находится в середине интервала. Значение Ti2 подставляется в аналитическое выражение, описывающее функцию разгона:
У = Уэ[1-ехрН/Т12)1.
По этому выражению строится теоретическая переходная функция. Теоретическая кривая не будет совпадать с экспериментальной. Несовпадение этих переходных процессов оценивается функцией ошибки
е(0 = У,-Ут.
Она имеет двухполярное значение. Для оценки ошибки согласования переходных функций можно использовать два критерия
Грег	Грег
(А = (Г/ГреГ) J (е(0|Л; 01 «(1/Грег) J е2т о	о
В зависимости от назначения объекта и от требований к точно-
сти описания экспериментальной характеристики можно задать разные числовые значения Ot и О2. Чем меньше эти величины, тем точнее теоретическая кривая совпадает с экспериментальной. К оценке функции ошибки можно подойти с интегральных позиций: можно добиться равенства площадей положительных и отрицательных значений функции ошибки.
Если при выбранном значении У12 точность неудовлетворительная, то необходимо выбрать новое значение постоянной времени
68
в середине участков Т( — Т\2 или Тп — Т2. Здесь также вычисляется величина ТН2« (Tt + Г12)/2 или Т122 = (Ti2 + Т2)/1. В результате двух-трех итераций можно найти удовлетворительное значение постоянной времени.
Для многоемкостных статических объектов процесс определения основных параметров сильно усложняется. Для одноемкостного объекта передаточная функция описывается выражением
ЙИ(р) = 1/(Т1Р + 1)>
а для двухъемкостного — выражением
(TjP + lXTip + l)'
Переходная функция для этого объекта показана на рис. 1.12, а.
Переходная функция определяется выражением
Y(t) - 1 - ехР(~* / ^1) + ^2 ехр(~/ / Т2)
v	Т\-Т2	Ti-T2
Рис. 1.12. Переходные функции объектов управления: а — двухъемкостного статического объекта; 6 — статического объекта с запаздыванием; в — одноемкостного астатического объекта; г — двухъемкостного астатического объекта; д — внешнее воздействие и переходная функция идеального звена запаздывания
69
Эта функция представляет собой монотонную кривую, характерной точкой которой является точка перегиба А. Для переходных процессов выполняется равенство
Ti exp(-z01Т2) = Т2 ехрНо / Г,).
Постоянные времени TJ и Т2 могут быть вычислены несколькими способами. Один из наиболее распространенных — определение этих параметров по графику, при этом следует учитывать, что
7\ /(Ti + Т2) = 0,5 + [(£/а2) - 0,75]'/2.
Процесс определения постоянных времени сводится к следующему: проводим касательную из точки перегиба А и определяем сумму постоянных времени, равную по своей величине проекции отрезка касательной на временной оси. Далее находится величина Ь, равная динамической ошибке в момент времени 2/0-В результате определяются два значения Т\ и Т2. Подставим эти значения в теоретическое выражение, описывающее переходный процесс. По этому выражению построим переходную функцию. Теоретическая кривая не будет совпадать с экспериментальной. Строим функцию ошибки и оцениваем степень совпадения. При неудовлетворительном совпадении определяем новое положение касательной. И процесс повторяется. В этом случае приходится производить многочисленные вычисления. Без ЭВМ здесь не обойтись.
Для определения параметров переходной функции трехъемкостного объекта рекомендуется его переходную функцию представлять в виде одноемкостных с временным запаздыванием. Значение постоянной времени определяется по ранее приведенной методике. Как показано на рис. 1.12, б, время запаздывания определяется в точке Гзап. Эта точка образуется от пересечения касательной, проведенной в точке перегиба переходной функции с временной осью. Для определения постоянной времени необходимо условно перенести вертикальную ось в положение Y', от этой оси определять величину постоянной времени.
Наряду со статическими объектами в промышленности встречаются объекты с астатическими переходными функциями. Эти объекты, как правило, представляют собой последовательно соединенные апериодическое и интегрирующее звенья. Передаточная функция такого объекта описывается выражением
1Г(р) = 1/(7ф + 1)р.
Решая дифференциальное уравнение, получаем выражение переходной функции, которая показана на рис. 1.12, в,
Г = Г-Т[1-ехр(-Г/Г)].
70
По истечении достаточно большого времени величина exp(-Z/T) становится пренебрежимо малой, и изменение выходной величины звена будет происходить по закону •
Y = t - Т.
Таким образом, параметр Т апериодического звена будет определяться величиной горизонтального отрезка между касательной к линейному участку переходной функции и параллельной ей прямой, проходящей через начало координат.
Существование у астатического объекта двух апериодических звеньев приводит к таким изменениям переходной функции, которые может определить только специалист. Основным и ярко выраженным признаком наличия двух апериодических звеньев является то, что кривая переходного процесса имеет точку касания с линейно изменяющейся функцией в вершине А динамического диапазона изменения выходной величины. Для одного апериоди--  чеекого звевд ЭТ? точка находится в начале кривой переходной функции.
Передаточная функция определяется выражением
(7]р + 1)(Т2р +1)‘
Переходная функция описывается уравнением вида
Y = t _ Tfll-expH/T,)] T22exp(-f/T2) Ti-T2	Tx-T2
Кривая переходной функции асимптотически приближается к прямой
Y = Z-(7i + Т2).
Асимптота отсекает на временной оси отрезок, равный по величине сумме постоянных времени апериодических звеньев (рис. 1.12, г). '
Определим площадь S, ограниченную временной осью, асимптотой и кривой переходной функции. Величина этой площади будет равна
5 =	+2Гг)2 -
В результате получим
Т2=(я/2)-[5-(«2 /4)]1'2.
Запаздывающее звено. Это звено, в котором выходная величина идеально повторяет входную, но с отставанием на постоян-
71
ный отрезок времени Т^п- Уравнение переходной функции такого звена описывается выражением
К = ^-7,зап).
График переходной функции приведен на рис. 1.12, д.
Передаточная функция запаздывающего звена описывается выражением
1У(р) = ехр(-Тзап/р).
Передаточное звено не описывается дифференциальным уравнением. Его передаточная функция получается преобразованием Лапласа.
В чистом виде запаздывание, как правило, возникает в объектах, где транспортируется рабочее вещество.
Объект — как звено автоматической системы. Объекты регулирования обладают разнообразной устойчивостью. Различают три основных вида объектов: устойчивые, неустойчивые и нейтральные. Устойчивые объекты регулирования не отличаются по своим динамическим свойствам от рассмотренных ранее звеньев. Нейтральные объекты отличаются тем, что при одних и тех же условиях они могут иметь бесконечное множество установившихся состояний. Примерами нейтральных объектов являются самолет при боковом его движении и шар на ровной поверхности. Примером устойчивого объекта может служить шар в яме, а неустойчивого — шар на вершине (рис. 1.13, о).
Неустойчивые объекты будучи однажды выведены из состояния равновесия, не возвращаются к нему, а удаляются от него. К числу таких объектов относится, например, дизельная силовая установка. Определение динамических свойств неустойчивых объектов возможно только при условии обеспечения устойчивости их работы теми или иными средствами.
Динамические свойства энергетического объекта можно отобразить кривыми, отражающими зависимости располагаемой и отдаваемой энергии от изменения режима работы объекта. На рис. 1.13, б показано возможное расположение этих кривых для устойчивого и неустойчивого объектов в зависимости от некоторой переменной X, характеризующей режим их работы.
Если устойчивый объект регулирования вывести каким-либо путем из состояния равновесия и предоставить его самому себе, то он обязательно возвратится к прежнему состоянию равновесия. Действительно, допустим, что стало выполняться условие Х> Х& Тогда располагаемая энергия ЭруП будет меньше отдаваемой (см. рис. 1.13, б), и это обязательно приведет к Изменению режима работа в сторону уменьшения переменной Хдо значения Хо.
Для неустойчивого объекта, как это видно из рис. 1.13, в, в результате отклонения переменной X > Ха располагаемая энергия 72
Рис. 1.13. Состояния объектов управления: а — модель трех состояний объекта: нейтрального, устойчивого, неустойчивого; б — изменение располагаемой и отдаваемой энергии для устойчивого объекта от управляющего воздействия; в — то же для неустойчивого объекта; г — график функции переходного процесса неустойчивого объекта
становится больше отдаваемой, и переменная X будет непрерывно возрастать, все более удаляясь от Хй, соответствующего положению равновесия.
Нейтральный объект отличается тем, что его располагаемая и отдаваемая энергии равны при любом значении переменной. У энергетических объектов такое расположение зависимостей 3^,, и Эотд встречается довольно редко и не во всем диапазоне изменения переменной.
Неустойчивый объект регулирования первого порядка описывается дифференциальным уравнением
У<» - Y = КХ.
Решением этого уравнения является выражение
Y = Ха - [Хо - (*о - ДХ0)]ехр(// Т).
73
Рис. 1.14. Модель двухъемкостного объекта: а — электрическая схема; б — переходная характеристика
Из выражения видно, что при t -> оо У-> - со (рис. 1.13, г). Если неустойчивый объект обеспечить жесткой отрицательной обратной связью с коэффициентом К> 1, получим устойчивую систему, имеющую свойства апериодического звена.
В заключение рассмотрим пример для определения времени запаздывания двухъемкостного объекта.
Расчет будем производить при постоянных времени Т\ = 2 с и Т2- 3 с. Для решения этого примера рассмотрим модель объекта с двумя апериодическими звеньями, разделенными усилительным звеном с коэффициентом передачи К= 1 (рис. 1.14, а). Здесь имеем Т\ = и 7j = Л2С2.
Сигнал на выходе первого R{ СГфильтра определяется выражением
Z = X[l-expH/T1)].
Сигнал на выходе второго R2C2-фильтра определяется выражением
r = Z[l-expH/T2)].
В результате связь между входным и выходным параметрами двухъемкостного объекта будет определяться выражением
Y = Х[1 - ехр(-/ / Л)][1 - ехр(-/ / Т2)].
Положим, на входе действует ступенчатый сигнал единичного значения Х= 1(0- Далее произведем эквивалентную замену
1 - ехр(-/ / )] = / /(/ + 0,16Т)-
В результате получим
У = [Г /(Г + 0,167])] [Г /(/ + 0,16Т2)].
или
У[/2 + 0,16/(7] + Т2) + 0,02567,7]] = t2.
74
Ддя практических случаев при 7\ > 1 и Т2 > 1, и принимая 7117,2> t(TiT2), получим
Y(t2 + TiT2) = t2 или JTiTz = Г2(1 - У).
Поскольку время запаздывания определяется при 5 %-ном значении входного воздействия (рис. 1.14, б), то У = 0,05, тогда YT\T2 = = zLi или
^п=ОТТ2)1/2=0,22(Г1Т2)'/2.
Контрольные вопросы
1.	Какие бывают типовые звенья системы регулирования?
2.	Назовите свойства типовых звеньев.
3.	Перечислите основные параметры звеньев.
4.	Напишите передаточную функцию типовых звеньев.
1.6.	Спектральный метод анализа передаточных функций звеньев и системы
Важную роль при описании линейных систем играют частотные характеристики,- характеризующие реакцию объекта или звеньев на гармонический сигнал.
Входная величина произвольной формы X(t) методами гармонического преобразования может быть представлена в виде суммы бесконечного числа синусоидальных колебаний, отличающихся амплитудами, частотой и фазой. Если система линейна, то по принципу суперпозиции выходная величина У(0 равна сумме гармонических колебаний, каждое из которых является реакцией системы на соответствующую гармонику на входе. Прохождение гармонических колебаний через линейную систему характеризует поведение ее при воздействиях любой формы сигнала. Если исследуемое звено системы линейно и устойчиво, то на выходе через некоторое время установятся незатухающие вынужденные колебания той же частоты. Функции частот, описывающие изменения амплитуды и фазы гармонических колебаний при прохождении через линейную систему, называются частотными характеристиками системы.
Амплитудно-частотная характеристика — зависимость отношения амплитуды на выходе к амплитуде колебаний на входе. Фазочастотная характеристика — функция, выражающая зависимость разности фаз между выходными и входными гармоническими колебаниями от частоты.
В основу спектрального анализа положено преобразование Фурье, которое описывается выражением
75
TOO
F(iw) = J f(t)exp(-iwt)dt.
В этом преобразовании любой функции ДО ставится в соответствие спектральная функция.
Обратное преобразование Фурье позволяет перейти от спектральной функции F(iw) к временной функцииДг) через преобразование
+оо
/(О = J F(iw)exp(iwt)dw.
Свойства преобразования Фурье:
•	взаимозаменяемость независимых переменных F(iw) <-> /(0;
•	дифференцирование функции времени
<-> iwF(iw)', at
•	интегрирование функции времени
........**''"	 ' i	'	'	- <
F(iw)/(iw);
о
•	дифференцирование спектральной функции
dw
•	интегрирование спектральной функции
J F(iw)w <-> fit)/(-it); —00
•	изменение масштаба независимого переменного
/С
•	смещение функции времени
f(t ± т) <-> F(iw) exp(±rw).
На рис. 1.15 приведены наиболее распространенные спектры сигналов и функции переходных процессов.
Спектры наиболее широко применяемых сигналов показывают, что прямоугольный спектр имеет переходный процесс й(0 с перерегулированием 20 % (рис. 1.15, а). На рис. 1.15, б изображен треугольный спектр, который дает переходный процесс, образованный двумя составляющими — апериодической и колебательной. Причем колебательная составляющая в некоторые моменты
времени достигает заданного уровня, постепенно стремясь к нему.
76
1.15. Наиболее распространенные спектры сигналов и их переходные функции:
а — переходный процесс для прямоугольной спектральной характеристики; б — переходный процесс для треугольной спектральной характеристики
Исходя из этого можно как по трафарету определять основные параметры других аналогичных переходных процессов.
Особое внимание необходимо уделить спектру ступенчатой и импульсной функций. Они определяют все переходные процессы. Для ступенчатой функции, которая задается в виде (рис. 1.16, о) т- *при™;
О при /<0, спектр функции определяется выражением F(iw) = I /(iw).
График этой функции показан на рис. 1.16, б, фазочастотная характеристика — на рис. 1.16, в.
Если спектр импульсного сигнала определять как сумму двух ступенчатых сигналов, то получим сигнал, который изображен на рис. 1.16, г. Спектр этого сигнала определяется выражением
F(iw) я	ехр(-ад/2).
77
Рис. 1.16. Типы возмущающих сигналов и их характеристики: а — сигнал ступенчатого вида; б — амплитудно-частотная характеристика ступенчатого сигнала; в — фазочастотная характеристика ступенчатого сигнала; г — одиночный импульсный сигнал; д — симметричный импульсный сигнал; е — амплитудно-частотный спектр симметричного импульсного сигнала
Если импульсный сигнал расположен симметрично относительно оси ординат (рис. 1.16, д), то спектр сигнала описывается выражением
r(M-r,sin<“ffi/2).
щТи/2
Здесь отсутствует фазовый множитель. Все спектральные составляющие имеют нулевую фазу. Эта спектральная характеристика показана на рис. 1.16, е.
Спектральная передаточная функция системы. Вернемся к исходному дифференциальному уравнению системы (1.7).
Пусть на входе присутствует гармоническое (комплексное) колебание
X(t) = A e,xp(iwt + <ра), а на выходе
Y(t) = В exp(iwt + <рв).
78
Отношение этих величин даст частотную передаточную функцию системы
У(0 _ Дехрр’иЛ+ фв)
X (0 A exp(iwt + фа)
Слагаемые исходного дифференциального уравнения можно представить для входного сигнала в виде
dX (0 /dt = Aiw exp(iwt) = iwX (0;
d2X(t) / dt2 = A(iw)2 exp(iwf) = (iw)2 X(0.
В общем виде
dmX(t)/dtm ~(iw)mX(t);
для выходного сигнала получим
dY(f)/dt = B(iw) exp(w0 = iwY;
d2Y(f)/dt2 = B(iw)2 exp(iwt) = (iw)2Y(t).
В общем виде
d-y(0/rfr" =(/«/)" У(0.
Подставим эти выражения в исходное дифференциальное уравнение
У(0(4,(М- +... + 4>] = X(t)[Bm(iwF +... + Д];
W(iw) =
Bm(iw)m + - + Д
An(iw)n +... + Ao ’
Числитель и знаменатель состоят из действительных и мнимых членов. При т и п — нечетных составляющие полиномов являются мнимыми значениями, поскольку (О* ₽ (0" = (±)». При четных т ил получим действительные значения. В этом случае можно написать
Fr(/w) = (4+i4)/(B2+jA).
Выделим в этом комплексном числе действительную и мнимую части. Для этого умножим числитель на комплексно-сопряженное значение знаменателя
Wliw} -	* WOb ~	- 4Д +4Д • 4 Д ~ 4 Д
k '~(4+*Д)(Д-/Д)“ В2+В?	В}+В2 '
Это выражение можно представить в виде двух слагаемых
W(ju>) = Re(w) + i Im(w).
В последнем выражении для передаточной функции можно выделить действительную Re(w) и мнимую — Im(w) части. Эти
79
слагаемые можно объединить в одно уравнение, если определить модуль и фазу для каждой спектральной составляющей:
W(iw) = M(w)exp[cp(w)],
где M(w) = [Re2(iw) + Im2(w)],/2, <p(w) = arctg [Im(w) / Re(w)J.
Построим кривую на комплексной плоскости, которая описывается двумя функциями Re(w) и Im(w) при значениях w от 0 до <ю. Каждому значению w на комплексной плоскости соответствует точка, координаты которой определяют положение вектора М. Конец вектора функции W (iw) при изменении независимого переменного от 0 до да опишет кривую, которая называется годографом. На рис. 1.17,а показана частотная характеристика для статического объекта, а на рис. 1.17,5— частотная характеристика для астатического объекта.
Если прологарифмировать передаточную функцию, то получим логарифмическую частотную характеристику:
In W (iw) = In М (w) + /<p(w).
Натуральный логарифм частотной характеристики имеет две составляющие. В практических целях вместо натурального логарифма удобнее использовать десятичный логарифм Mx(w) = = 201gAf(u>)- Коэффициент 20 используется для получения результата в децибелах. Связь между M(w) и M^(w) следующая:
M(w)..........0,01	0,1	0,2	1	2	10	100	1000
M}(w), дБ...-40	- 20	- 6	0	6	20	40	60
Характеристики ЛАЧХ и ЛФЧХ строятся следующим образом: по оси абсцисс в логарифмическом масштабе откладывается частота w, а по оси ординат в линейном масштабе — отношение
Рис. 1.17. Годографы объектов: а — статического; б — астатического
80
амплитуд M(w) (в децибелах) и фаз (в градусах). Частота в логарифмическом масштабе измеряется в декадах. Декада представляет собой диапазон частот, в пределах которого частота изменяется в 10 раз, т.е.
IglOw-lgw = IglO + lgw-lgw = lg 10 = 1 декада.
Найдя десятичный логарифм от данной частоты в логарифмическом масштабе, получим октаву, имеющую диапазон частот от w до 2w и равную примерно 0,3 декады, так как
lg 2w - Igw = lg 2 = 1 октава = 0,3 декады.
Логарифмические частотные характеристики — эффективное средство анализа и синтеза систем автоматического регулирования. Они определяют сравнительно простую связь между динамическими характеристиками отдельных элементов и системы в целом, особенно при исследованиях разомкнутых систем автомати-"ческбго регулирования с последовательно соединенными звеньями. Для вычисления логарифмической частотной характеристики такой системы используется выражение ее амплитудно-фазовой частотной характеристики в векторной форме:
М (w) exp[«p(w)] = A/i(w)A/2(tz/)...A/n(w)exp[/<(>i(w) + q>2(w) +...
~~	... + J<p„(w)],
где M(w) — амплитудно-частотная характеристика системы; <p(w) — фазочастотная характеристика системы; Mi(w)...Mn(w) — модули амплитудно-частотных характеристик звеньев; <p1(w)...<p„(w) — фазочастотные характеристики звеньев. Прологарифмировав исходное выражение, получим
In M(w) exp[j<p(/)] =
= In Mi + In M2 +... + In M„ + i[<Pi(w) + q>2(w) + ••• + <₽»(«>)].
Итак амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики разомкнутой системы с последовательно соединенными звеньями представляют собой сумму соответственно логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик звеньев системы, что очень удобно при их вычислении, особенно графическим способом.
Рассмотрим спектральные характеристики звеньев системы автоматического регулирования.
Усилительное звено. Передаточная функция этого звена имеет вид
W(iw)» К.
На рис. 1.18, а представлена амплитудно-фазовая характеристика в виде точки (годограф). Амплитудно-частотная характеристика описывается выражением M(w) = К, она показана на рис. 1.18, б. Фазочастотная характеристика определяется выражением
81
ми
L&) 201g К
w
Im
w е [0,®] Re а
о
О
u> u	IgM»
«	г
1.18. Характеристики усилительного звена: а — годограф; б — амплитудно-частотная; в — фазочастотная; г — логарифмическая частотная
ф(ш) = arctg (0 / К) = 0,
она показана на рис.1.18, в. Логарифмическая характеристика Z(w) -= 201gM(u») » 201g£ показана на рис 1.18, г.
Апериодическое звено первого порядка. Передаточная функция этого звена имеет вид
uz/. ч К К . wTK
где Т — постоянная времени.
Амплитудно-фазовая характеристика (годограф) показана на рис. 1.19,а
Амплитудно-частотная характеристика определяется выражением
M(w) = [---...................]‘/2
W l(l + w2T2)2 (l + w2T2)2j ‘
Преобразовав это выражение, получим
M(w) = К/(\ + w2T2){f2.
График этой функции показан на рис. 1.19, б. Фазочастотная характеристика определяется выражением
<p(w) =* -arctgwT.
1.19. Характеристики апериодического звена:
а — годограф; б — амплитудно-частотная; в — фаэочастотная; г — логарифмическая частотная
82
График этой функции показан на рис. 1.19, в.,
Это звено создает отставание фазы выходного сигнала на угол, возрастающий с частотой, но не превышающий 90°. Логарифмическая характеристика показана на рис. 1.19, г.
Интегрирующее звено. Это звено имеет передаточную функцию
iwT wT
Амплитудно-фазовая характеристика (годограф) показана на рис. 1.20, а и имеет вид S-функции,	;
Амплитудно-частотная характеристика показана на рис. 1.20, б.
Она описывается выражением	; .
M(w) = К/(wT).
Фазочастотная характеристика показана на рис. 1.20, в. Эта характеристика описывается выражением
<p(w) = arctg (-Х /0) = arctg (-оо); <р(и») = -к/2.
Логарифмическая характеристика показана на рис. 1.20, г. Она описывается выражением
L(w) * 201g К -20 lg wT.
Идеальное дифференцирующее звено. Это звено имеет спектральную характеристику, которая описывается выражением
W (iw) = iu>KH,
где Ки — коэффициент наклона частотной характеристики.
Амплитудно-фазовая характеристика представлена на рис. 1.21, а.
Амплитудно-частотный спектр описывается выражением
M(w) = wKH.
Рис. 1.20. Характеристики интегрирующего звена: а — годограф; б — амплитудно-частотная; в — фазочастотная; г — логарифмическая частотная
83
Рис. 1.21. Характеристики идеального дифференцирующего звена: а — годограф; б — амплитудно-частотная; в — фазочастотная; г — логарифмическая Частотная
Он показан на рис. 1.21, б. Фазочастотный спектр описывается выражением
(p(w) = arctg(wATH /0); <p(w) = л/2.
Спектр этой функции показан на рис. 1.21, в.
Логарифмическая характеристика определяется выражением
L(w) = 20 lg Кн - 20 lg w,
она показана на рис. 1.21, г.
Реальное дифференцирующее звено. Спектральная характеристика этого звена определяется выражением
hzz- \ iwKH w2KHT . и>Кя
1 + iwKnT 1 + итТ2 1 + иг™
Амплитудно-фазовая характеристика (годограф) изображена на рис. 1.22, а.
Амплитудно-частотный спектр определяется выражением
M(w)-wKH/{\ + w2T2).
График этой функции изображен на рис. 1.22, б.
Фазочастотная характеристика описывается выражением
ф(щ) = arctg (1 /wT).
График этой функции изображен на рис. 1.22, в.
Рис. 1.22. Характеристики реального дифференцирующего звена: а — годограф; б — амплитудно-частотная; в — фазочастотная; г — логарифмическая частотная
84
На рис. 1.22, г изображена логарифмическая характеристика, которая описывается выражением
L(w) ~ 201g КИТ - 20lg(l + w2T2).
Интегродифференцирующее звено. Спектральная функция этого звена имеет вид
W(iw) = *н(1 + /w7i)/(l + iwT2).
Амплитудно-частотная характеристика определяется выражением
M(w) = KK
(l + w2^2)1/2
(l + w2T2)l/2
График этой функции показан на рис. 1.23, а.
Для определения амплитудно-фазовой характеристики приведем спектральную функцию к виду
W(iw) *
-(1 + w2TxT2) . wT2 - wT\
l + w2T} +l \ + w2T2. ‘
График амплитудно-фазовой характеристики (годограф) показан на рис. 1.23, 6.
Запаздывающее звено. Спектральная функция этого звена описывается выражением
W(iw) = exp(-zwr).
Амплитудно-частотная характеристика определяется выражением (рис. 1.24, а).
M(w) = 1.
Фазочастотная характеристика, описываемая выражением L (w) * - ип, представлена на рис. 1.24, б. Амплитудно-фазовая характеристика (годограф) изображена на рис. 1.24, в.
а — амплитудно-частотная; б — годограф
85
M(w)
Рис. 1.24. Характеристики запаздывающего звена: а — амплитудно-частотная; б — фазочастотная; в — годограф
Колебательное звено. Спектральная характеристика этого звена описывается выражением
WQw) = Tic Л*- т 1 = Л тЛч ; т
T^(iwy + iwTx +1 (1 - T^w1) + iwTx
или
.	KK(1-T2w2)	wTx
(,W) (l-T^w2)-w2T2 l(l-w2T2)-w2Tx2'
Амплитудно-частотная характеристика определяется выражением
M{W) [(l-w2T2)2\w2T2r2'
Эта функция изображена на рис. 1.25, а. Фазочастотная характеристика определяется выражением
<p(w) = arctg
-wTx
\-w2T2'
График этой функции представлен на рис. 1.25, б.
Амплитудно-фазовая характеристика (годограф) представлена на рис. 1.25, в.
Рис. 1.25. Характеристики колебательного звена: а — амплитудно-частотная; б — фазочастотная; в — годограф
86
Аналитическое выражение переходного процесса описывается уравнением
У (0 = АГН[1 - 4, exp(-at) sin (w^-hp)],
где 4> = (1 - W]2 /а2)1/2; а = Т2 /(2Tf); ср = arctgw! /а.
Вид частотных характеристик колебательного звена определяется величиной отношения постоянных времени 7V7y Чем больше это отношение, тем меньше колебательность звена. При 7\/7\ > 2 колебательное звено превращается в соединение из двух апериодических звеньев (см. рис. 1.25, а).
При уменьшении отношения T\f Т2 АЧХ увеличивается, увеличивается и значение частоты, при котором наступает этот максимум, приближаясь к собственной частоте колебаний = 1/Ть Это можно видеть из выражения
w^w0(X-Ti/^)r2.
Обозначим постоянную затухания через ш = Tz/(27\), тогда получим
wx = w0(l + nt2')l/2.
Период колебаний определяется выражением
Тк =2jc/u>i =^n/w0(l + ffl2)l/2.
Уравнение огибающей переходной функции имеет вид (рис. 1.26, а).
f(t) = 1 ± exp (-fflwoO, где знак «+» относится к верхней, а «-» — к нижней огибающей. Чем больше произведение mwo (т.е. чем больше постоянная затухания), тем круче идут экспоненты (рис. 1.26, б), тем быстрее затухает переходный процесс.
Важным показателем быстроты затухания переходной функции является декремент затухания d, равный отношению двух следующих друг за другом максимальных отклонений:
rf = 4/4.
Амплитуда колебания определяется разностью между выходной величиной в точке максимума и установившимся значением выходной величины Уо- Два соседних максимума отстоят друг от друга на время Тк и находятся в точках и tx + Тк. В этих точках
4 = АГ(1 + /и2)1/2 exp (-/nw0A);
Az = Х(1 + m2)l/2 exp (-mw0(ti + TK)).
Отсюда декремент затухания равен
d = exp(mw0TK).
87
Рис. 1.26. Функциональные зависимости колебательного звена: а — переходная функция; б — огибающие переходных процессов для различных постоянных затухания; в — зависимость декремента затухания от коэффициента затухания; г — переходные функции для колебательных звеньев с одной н той же частотой, но различными коэффициентами затухания; д — зависимость величины максимального выброса от коэффициента затухания; е — зависимость относительной частоты колебаний от коэффициента затухания
Подставим сюда выражение для Тк и получим d = ехр[2лти /(1 + /п2)]1/2.
Иногда применяют логарифмический коэффициент затухания, равный натуральному логарифму обычного Декремента. Логарифмический декремент определяется выражением
88
In J = 2nm /(l + m2)1/2.
Декремент затухания показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда колебания за один период, и поэтому является показателем скорости затухания переходного процесса. Зависимость декремента затухания от коэффициента затухания показана на рис. 1.26, в. На рис. 1.26, г показаны переходные функции для колебательных звеньев с одной и той же частотой, но разными коэффициентами затухания. Хорошо видно, что колебательность переходного процесса уменьшается с ростом коэффициента затухания. Одновременно уменьшается максимальная величина на выходе звена, соответствующая первому максимуму переходной функции. Зависимость величины отклонения функции переходного процесса от коэффициента затухания приведена на рис. 1.26, д. На этом графике величина выброса приведена в долях установившегося значения выходной величины. Видно, что относительная величина максимального выброса убывает с ростом коэффициента затухания.
На рис. 1.26, е приведена зависимость относительной частоты колебаний от коэффициента затухания, т.е. отношения частоты wj колебаний выходной величины к собственной частоте звена Wg. Этот график показывает, что при т = 0 частота колебаний совпадает с собственной частотой звена. С ростом коэффициента затухания частота колебаний уменьшается, и при т = 1 она равна нулю. Величина коэффициента затухания характеризует степень колебательности звена. Чем меньше коэффициент затухания, тем ярче выражен колебательный характер переходной функции, тем выше частота колебаний и больше их амплитуда. При отсутствии затухания переходная функция представляет собой гармоническое колебание.
Логарифмическая характеристика колебательного звена определяется выражением
L(w) = 201gК - 20lg[(l - w2T22)2 + w2T2]1/2.
Эта функция изображена на рис. 1.27.
На рис. 1.27 для различных значений отношений Т\1Тг приведены ЛАЧХ звена в относительных величинах, при низких частотах логарифмическая амплитудно-частотная характеристика приближается к асимптоте, совпадающей с действительной осью, а при высоких частотах — к асимптоте в виде прямой с углом наклона -40 дБ/дек.
Рис. 1.27. Логарифмическая частотная характеристика колебательного звена
89
Контрольные вопросы
1.	В чем назначение Фурье-преобразования?
2.	Назовите свойства Фурье-преобразования.
3.	Какими спектральными характеристиками обладают типовые звенья?
4.	Как определяется спектральная характеристика системы?
5.	Как определяются АЧХ и ФЧХ типовых звеньев?
6.	Что такое логарифмическая частотная характеристика?
1.7. Построение годографов переходных функций объектов
Для одноемкостных статических объектов с передаточной функцией
1Г(р) = 1/(Л> + 1), где Т— постоянная времени, построение годографа начинается с замены р на ± iw. Получим частотную передаточную функцию
W(iw) = l/(iwT + l).
Умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное значение знаменателя и получим
4 (l + iwT)(l-iwT)
Выделим в этом выражении действительную и мнимую составляющие
wz- \	1 WT
,Г('"')=ПРг-'й^г'
Отсюда получим
Построение годографа для статического объекта следует начинать с определения положения двух крайних точек w = 0 и w = оо. При w = 0 Re(0) = 1, а 1т(0) = 0. Получим точку А на действительной оси Re (рис. 1.28, а). При w = оо получим Re(oo) = 0. Значение мнимой составляющей определяется исходя из того, что wT равняется большому числу, например wT - 100, тогда Im = wT/(w2T2) = 0,01. При увеличении значения wTмнимая составляющая стремится к нулю. В результате получим вторую точку В.
Для определения следующей точки положим wT = 1, тогда Re = 0,5 и Im = 0,5. Получим точку С, где частота равна w = 1/Т. Теперь положим Re = 0,25, тогда
90
a — статического; б — статического с запаздыванием; в — астатического; г — астатического с запаздыванием
----Ц— = 0,25 или 1 = 0,25 + 0,25w2T2, или 0,75 = 0,25w2T2.
1 + w2T2
Получим wT = 1,7, подставим это значение в выражение для Im, получим
-1 7 1т(ю) = -Ц = -0,42.
1 + 3
Получим точку D. Теперь положим Re = 0,75, тогда wT = 0,57. Подставим это значение в выражение для Im. Здесь также Im=- 0,42. Получим точку Е.
Если соединить эти и другие точки, рассчитанные по изложенному методу, то получим полуокружность.
При построении годографа для статического объекта с запаздыванием передаточная функция имеет вид
91
jyfn'i =	( Р^зап)	I
x	7i>+i ’	1
Произведем замену p = iw и, учитывая выражение Эйлера i exp(-zwZ3an) = cosw/зап - i sinw/3an, получим две составляющие
„ . . COSW/зап т , . -Sinw/jan	1
fo(w) = 47^; Im(w) = T7^r 
Определим при каких условиях Re(w) = 0. Это возможно тог- 1 да, когда cosw/ип = 0, т.е. wt^n = л/2, Зл/2, 5л/2 и т.д. При этом I sinwZjan =1.	I
Отсюда определим значения wn = л/(2гзап); w12 = 3^/(2^), j w13 = Зл/р/зап), w14 = 7л/(2/зап). Если подставить эти значения в 1 Im, то получим Im(wn), Im(w12), Im(w13), Im(w14) и т.д. Следу- 1 ет обратить внимание на то, что для частоты wn функция I sinw/зап = 1, НО ДЛЯ ЧаСТОТЫ W12 получим sinw/зап = - 1.	|
Для других значений знак перед Im будет периодически ме- 1 няться. По рассчитанным значениям получим точки At, Bt, Сь 1 и другие на мнимой оси системы координат (рис. 1.28, б).	|
Теперь примем условие Im(w) = 0, т.е. smu^ = 0, a cosu^ =1, | И получим W/зап = 0> п> 2я, Зя, 4л,..., «Л. Здесь получим Wn = 0, | Wj2 = "Лзап, ^23= ЗлДзап, w24 = ЗлДап- Подставим эти значения в 1 Re(w) и получим Re(it^i), Re(w22), Re (w^), Re(wi<) и т.д. На Я действительной оси определяются точки А2 = 1, В2, С2, Di и т.д. I Поскольку частота шц = 0, то начнем соединять точки в после- | довательности A2->Ai->Bi->Bi ^C2-+Ci-*D2-+Di-+.	|
В результате образуется спираль, которая при w -> 00 стремится | к началу координат.	I
Теперь построим годограф астатического объекта, у которого | частотные составляющие определяются выражениями	I
-Т	-1	1
Re(w) = -  - im(w) = —--------—,	1
l + w2T2	w(l + wzTz)	1
где Т— постоянная времени.	|
Здесь так же как для статического объекта вначале принимают- 1 ся два крайних значения для w = 0 и w = 00. При w = 0 получим ] Re(0) = -Т и 1ш(0) = -00. Эта точка находится в бесконечности. 1 Для w = оо получим Re(oo) = 0 и Im (00) = 0. Получим точку в начале 1 координат.	|
Примем wT = 1, тогда Re(l/T) = -Т/2, a Im(l/T) = - l/2w = | = -Т/2. Получим точку А. Далее сравнительно просто провести | годограф, соединяя последовательно все точки (рис. 1.28, в). з
Построим годограф для астатического объекта с запаздывани- | ем, у которого спектральные составляющие описываются выра- 1 жениями	|
92
г» / \ -Г COS «/(зап т , , sinw/зап
Построим годограф для реальных значений при Т = 2 с и /зап = = 0,5 с.
_ . .	-2cos0,5w т , , sin0,5w
Re(w) =--------—;Im(w)=	’.
l + W*	w(l + ur)
При условии Re(w) = 0 имеем cos 0,5w = 0, получим 0,5w = л/2, Зл/2, 5л/2,
Отсюда следует wn = л, wl2 = Зя, wI3 = 5л, w14 = 7л и т.д.
Подставим эти значения в выражение для Im и получим
1т(л) = 1/л(1 + л2) = 3 -10-2; 1т(3л) =-10’3; 1т(5л) = 2,5 • ЮЛ
Теперь при условии 1т(«/) = 0 имеем sin 0,5w = 0 или 0,5w = 0, л, 2л, Зя,...,ля.
- В результате получим u^i - 0, w22 s= 2л, w2j = 4л, w24 = 6л, u/ц = = 8л, ...
Подставим эти значения в выражение для Re и получим
Re(0) = -2, Re(2n) = 5 • 102, Re (4 л) = -1,3 IO-2, Re(6re) = = 610-3.
В результате получим годограф, изображенный на рис. 1.28, г.
Контрольные вопросы
1.	Что такое годограф?
2.	В чем состоит принцип построения годографа?
3.	Назовите рациональные методы построения годографа.
4.	Чем отличаются годографы статических и астатических объектов?
5.	Что влияет на периодичность поведения годографа?
1.8.	Построение переходных функций по передаточным функциям
Процесс построения переходных функций системы регулирования по передаточным функциям имеет в теории управления важное значение. По этим характеристикам определяются все параметры системы и качество регулирования.
Для решения этого вопроса необходимо применять обратное преобразование Лапласа или воспользоваться табличными значениями преобразования. Чтобы осуществить это обратное преобразование, необходимо сложную передаточную функцию заменить суммой нескольких простых функций. Рассмотрим это на простом примере:
93
^(р)= 2Др + Д>. •	(1-14)
р2 + л,р + Л
Найдем.корни квадратного уравнения знаменателя, т.е. р2 +
+ -Др + Aq ~ 0:
-Д ±(42-4Ло)1/2
Р1.2 =---------------•
В зависимости от значения дискриминанта D = Д2 - 4 Д возможны три случая: D > 0; D = 0; D < 0.
В случае D > 0 получим два разных корня с действительными значениями - р, и - р2. В этом случае р2 + Др + Д = (р + Pi) (р + р2) и тогда
ИЧР)=,	v
(Р + Pi)(P + Рг)
Заменим это выражение суммой двух составляющих
Др+ Bq , _ А + Bq
(Р + Р1ХР + Р2) P + Pl Р + Р2'
Коэффициенты А и В неизвестны и должны быть определены.
Приведем к общему знаменателю эти два слагаемых:
W( } = Л(р-р2) + Л(р-Р1) = Лр + Лр2 + В0 + В0!
(p + PiXp + Pa) (P + PiXp.+ Pj)
или
= (Л + В)р + (Лр2 +В0!> (Р + Р1ХР + Р2)
Сравнивая числители в выражениях (1.14) и (1.15), можно написать
А + В = Д;
(Лр2 + 500 = Во.
Эту систему уравнений необходимо решить относительно А и В. Определим А = В\ - В и подставим во второе уравнение
(Д - В)р2 + Bpi=Bq или Др2 - Вр2 + Бр1 = Bq
или -B(pi-p2) = Д-Др2.
Получим
g _ Д - Др2
Р1 — Р2 и тогда
^4 = д _ Д ~	_ Дрг+ Др» ~ Д + Дрг _ Д + Др1
Pi _ Р2	Pi _ Р2	Pi - Рг
94
Определив коэффициенты Л и 5, получим две составляющие ^(Р) = -7-; $2(р)«—
По таблице обратных преобразований Лапласа находим
—— => Л ехр( - pi/) = 51(0; —— => В ехр( - р20 = S2(t).
Р + Pl	Р + р2
Переходный процесс будет определяться суммой этих составляющих
Г(0 = 5'1(0 + 52(0. Рассмотрим числовой пример. Имеем передаточную функцию
^(р)=	
р2 + 5р + 6
- Определим корни уравнения р2 + 5р + 6 = О, получим р2 + 5р + 6 = (р + 3) (р + 2);
. 2р + 1 А В
W(p)*-— ох  ? +-----------о
(р + 3)(р + 2) р + 3 р + 2
или
рр.,, Л(р + 2) + 5(р + 3) Лр + 2Л + 5р + 35 (Р + 3)(р + 2)	= (р + 3)(р + 2) ’
или
(Л + 5)р + 2Л + 35 (р + 3)(р + 2) Отсюда получим систему уравнений
(А + В = 2;
[2Л + 35 = 1, решая которую, получим значения А и В (А = 2-В, [2(2-В) + 35 = 1;
4-25 + 35 = 1;
5 = -3; Л = 2 + 3 = 5.
Подставим значения Ли В в уравнение передаточной функции 5	3
IF(p) = -i-—Ц.
Р+3 р+2
95
Заменим
5	3
-i-	=> 5ехр(-30 = SM; -At=> Зехр(-20 = S2(t).
p+3	P+2
Общее решение будет описываться выражением
Y(t) = 5 ехр(-30 - 3 ехр(-20.
Построим график этой функции (рис. 1.29, а). При t- 0 получим У = 2, так как разность двух составляющих даст 5-3 = 2. Определим максимум этой функции через производную К(1) = 0:
Г(,) = -3 • 5ехр(-3/) + 2 • Зехр(-20 = 0.
Получим ехр(г) = 2,5 или « 0,95. Подставим это значение в исходное уравнение и получим
/„их = 5 ехр(-З) - 3 ехр(-2) = -0,15.
На рис. 1.29, а получим точку А. Если взять значение t = 2 /тах, то получим 7(2^) =-0,043.
Этот результат можно предсказать исходя из «того, что функция Si(f) имеет максимальное значение 5, больше чем у функции 52(0, но степень экспоненты у нее больше и она быстрее затухает. Значит, в области значений t, близких к нулю, будет доминировать функция ^(О, и переходный процесс будет принимать положительные значения. При больших значениях / функция 52(/) быстро затухает, и функция 52(/) становится доминирующей. Поэтому значения характеристики переходного процесса смещаются в отрицательную область, образуют максимум в точке А и далее стремятся к нулевым значениям.
В случае D = 0 корни совпадают по значению Pi = Рз = р*. Передаточную функцию представим в виде двух составляющих
^(Р) = ^(Р) + ^2(Р),
где ^(р)= Д|Р ; ИЗД*
(P + Pt)2	(P + Pt)2
Обратное преобразование передаточных функций приводит к временным выражениям
Рис. 1.29. Переходные функции:
а — для разных действительных корней характеристического уравнения; б — для одинаковых действительных корней характеристического уравнения; в — параметры синусоидального колебания; г — для комплексных корней характеристического уравнения; д — построение переходного процесса от импульсного воздействия; е — построение переходного процесса от трапецеидального и постоянного сигналов; ж — построение переходного процесса от входного возмущающего воздействия трапецеидальной формы; з — построение колебательного переходного процесса от импульсного входного воздействия
96
4 Горошков
97
(	й => ДФ - рК/2]ехр(-р*0 = ГКО;
(Р + Р*Г
— ту => Д)' ехр(-р*О = Г2 (О-
(Р + Р*)
Суммарная переходная функция будет описываться выражением
Г(О»ГКО + Г2(О.
Получим
Г(0 »(Дt - Др*/2 / 2 + Д/)ехр(-р*О
или
Г(0 = [/(Д + ДО-Дрк2/2]ехр(-рк).
Рассмотрим числовой пример. Имеем передаточную функцию
JF(p) = (2p + l)/(p + 2)2.
Переходный процесс будет описываться выражением
Г(0 = Pf - 4/2 / 2]ехр(-2/) = 3t ехр(-2г) - 2/2 ехр(-2/).
Определим экстремальные точки этой функции при условии Yw = 0. В результате получим
(3 - 40 ехр(-20 - 2(3/ - 2/2) ехр(-2/) = 0 или
/2- 2, St + 0,75 = 0.
Решим квадратное уравнение и получим два значения t} = 2,15 и t2 = 0,375. Определим значение функции Ц/) при h и t2. Получим 1(2,15) =-0,036 и 1(0,375) = 0,75. Результаты расчетов представлены на рис. 1.29, б.
В случае D < 0, корни являются комплексными величинами р = = а ± ib.
Эти корни определяются выражением
_	-4 ±(Д2 -4Лр)1/2
А ,2  -----2--------'
Здесь 2Д) > 42 • Исходя из этого можно написать
Pi = (-0,54 +0»МК) и р2 = (-0,54 -0,540.
где 4 =(44-42)1/2.
Разложим передаточную функцию на составляющие:
1Г(р) = 2^a+B°a = — +—.
р2+4р+4 p-pi р-р2
98
После несложных преобразований получим
А -	~ ДР» • д _ ~Д> + Др?
₽2 ~ Pl	₽2 “ Р1
Вычислим промежуточный результат
р2 - pi = -0,5Д - 0,54» + 0,5-4- 0.54’ - -Aki.
Определим значения коэффициентов А и В'.
В « 0,5Д +	= Со + iCi;
Ак
А = 0,5Д - i	= Со - iCt.
Ак
Обратное преобразование составляющих переходного процесса даст следующие выражения:
А
------=> Лехр(р10 = Лехр(-0,5/V)exp(-/0,547);
p-Pi
В
—•— =>. В ехр(рЛ) = В ехр(-0,5 Ait) ехр(-/0,540-
Р-Р2 -
Переходная функц ия описывается выражением
Y(t) = ехр(-0,54?)[Л ехр(гО,5Л?) + 5ехр(-/0,5Л/)].
Подставим в это выражение уравнения для А и В:
Y(t) = ехр(-О,5Д/)[(Со - /С1)ехр(/0,540 + (Со + ’Ci)exp(-iO,540]-
Раскроем скобки с коэффициентами С и получим
Y(t) ® ехр(-0,540(G) ехр(/0,540 - iC\ ехр(»0,540 +
+С0 ехр(-/0,5ДьО + iCi ехрО’0,5Дь/))-
Объединим слагаемые таким образом, чтобы в дальнейшем применить выражения Эйлера для преобразования функции
Y(t) = ехр(-0,5Д0[0) {exp(fO,5-4tO +
+exp(-tO, 5 Ак 0} - /CJexpO’0,5-40+ехр(/0,5 401] •
Произведем замену
ехр(,'0,54» + ехр<-,0,540 _
exp(,Q.54>)-exp<-W,540 _ ^54,).
В результате получим
99
У(/) = ехр(-О,54?)[2Со cos(0,54t0 + 2Q sin(0,5Akt);
Y(t) - 2ехр(-О,5ДО[Со cos(0,5^?) + Q sin(O,54tOL Заменим две гармонические функции одной при условии, что
М = (С02 + С,2)'/2 и <р = arctg(- С,/Со),
sinx =
и получим
У(/) = 2 ехр(-0,5А{ f)M sin(0,5А/А + <p).
Для того чтобы построить эту функцию необходимо вычислить реперные точки гармонической функции. Эти точки определяются выражением (рис. 1.29, в)
1 прих = л/2, 5л/2,...,(4л-3)л/2;
О при х = л, 2л,..., лл;
-1 при х = Зл/2, 7л/2,..., (4л- 1)л/2.
Определим число радиан в фазовом угле, составив пропорцию
180° — л
<р— R
и решив ее относительно. R
R = л<р/180’.
Для определения момента времени ti, когда гармоническая функция равна нулю (см. рис. 1.29, в), решается равенство
O,54Z, + R = л или = (л-Л)/(0,5Л)-
Второй момент времени определяется выражением
6=(2л-Я)/(0,5Л).
Аналогичным образом определяются и следующие моменты времени. Момент времени, когда гармоническая функция имеет максимальное отрицательное значение, определяется выражением Z12 = (f, + h)/2.
Момент времени, когда гармоническая функция имеет максимальное положительное значение, определяется выражением <oi = ~ 6 ~ ^12-
Аналогичным образом можно определить все моменты времени, когда гармоническая функция принимает максимальные значения. Зная эти моменты времени, подставим их в функцию, представляющую экспоненту, которая определяет амплитуду гармонической функции. Эти моменты времени подставляются в выражения ехр(-0,5Л*Г01) и exp(-0,5/Vu) и т.д.
Далее строится гармоническая функция с различными значениями амплитуд в различные моменты времени.
100
Рассмотрим числовой пример.
Имеем передаточную функцию
^(р) = —2-^-+1  р2 + 4р + 5
Из этого выражения следует, что Вх = 2, 2?0 = 1, At = 4, А^ = 5. Произведем все промежуточные расчеты:
Ак= (16 - 20)1/2 = 2; Со= 0,551= 0,5 • 2 = 1;
Ct = (1 - 0,5 • 2 • 4)/2 =-1,5;
М = (12+1,52)1/2 = 1,8; tg<p = -1,5/1 =-1,5, <р = -67°.
Переходный процесс описывается выражением
Y(t) = 3,6 ехр(-2?) sin(T - 67°).
Вычисляем параметры для построения гармонической функции
R = 67 -3,14/180= 1; А = (3,14 - 1)/2 • 0,5 = 2,14;
Z2 = (2 • 3,14 - 1)/1 = 5,28; Z12 = (2,14 + 5,28)/2 = 3,71; fa =3,71 -2,14= 1,57.
Определим амплитуды гармонического колебания в разные моменты времени. Для fa = 1,57 получим ехр(-0,5  2 • 1,57) = 0,2; для /12= 3,71 получим ехр(-0,5  2 • 3,71) = 0,02.
По этим данным построим график, изображенный на рис. 1.29, г. Из рисунка видно, что переходная функция, описывающая процесс системы при Z «0 равна 3,16, а затем стремится к нулевому значению. При этом относительно временной оси переходный процесс совершает колебательные движения. Для этого процесса перерегулирование составляет
а = 0,02 -100/3,6 = 0,06 %.
Эта цифра получена на основании того, что при /12 значение переходной функции равно 0,02, а 5% от исходного значения составляет величину 0,18, что меньше величины 0,2. Время регулирования при этом равно «рег= 2,14 с.
Построение переходной функции от импульсного воздействия графическим способом. Для определения динамических параметров объекта от импульсного возмущения необходимо воспользоваться функцией переходного процесса от ступенчатого воздействия. Этот процесс представлен на рис. 1.29, д. Переходную функцию разделяют на N равных участков Д«, каждый из которых равен продолжительности импульса. На участке Л?| ход переходной кривой совпадает с обычной кривой разгона. На следующем участке Д«2 ординаты переходной кривой представляют собой разность ординат обычной кривой разгона и соответствующих по времени ординат
101
переходной кривой на первом участке Новое возмущение равно по величине первоначальному, но направлено в противоположную сторону.
Суммируя соответствующие ординаты первого и второго участков разбиения, можно получить искомые ординаты обычной кривой разгона для участка A?2 и так для всех последующих участков разбиения, пока не будет отмечено новое установившееся состояние.
Таким образом, если ординаты переходной функции на участке ty обозначить последовательно а, б, в, г,...,л, на участке t2 соответственно — а', б’, в', г',..., ж’, то ординаты обычной кривой разгона на участке t2 будут равны: а + а'-, б + б'1, в + в' н так до нового установившегося значения.
Если кроме импульсного возмущения имеет место и постоянно действующее возмущающее воздействие, приводящее в ходе опыта к смещению первоначального установившегося состояния, то с достаточной для практики точностью можно отсчитывать ординаты при перестроении от наклонной линии QA, по которой происходит перемещение (рис. 1.29, е). Подобное явление может происходить при определении обычной кривой разгона, когда кроме ступенчатого возмущения, имеется еще и постоянная составляющая.
В таких случаях следует определить скорость изменения выходной величины, вызванной этой составляющей, и произвести перестроение экспериментальной кривой, соответственно уменьшив (увеличив) ее ординаты.
Если входное возмущающее воздействие имеет трапецеидальную форму, то по описанному методу можно построить переходную функцию системы (рис. 1.29, ж). Больше того, если известна переходная функция колебательного вида от воздействия ступенчатого сигнала, то можно построить сложную характеристику колебательного процесса системы (рис. 1.29, з).
Контрольные вопросы
1.	Чем выражается связь передаточной функции с переходным процессом?
2.	Что определяет сложность переходного процесса?
3.	При каких условиях существует апериодический переходный процесс?
4.	При каких условиях существует колебательный переходный процесс?
5.	Чем определяется рациональный способ построения переходных процессов?
6.	Как определяются параметры системы по расчетным переходным процессам?
102
1.9. Построение переходной функции по частотным спектрам системы
Поскольку существует прямая связь между преобразованиями Лапласа и Фурье, то существует и возможность построения переходных процессов системы по частотным характеристикам звеньев и системы в целом. Идея приближенного вычисления переходной функции заключается в возможности представления действительной частотной характеристики в виде конечной суммы типовых трапецеидальных частотных характеристик. Положим, что система имеет передаточную функцию W (iw). Импульсная переходная функция может быть вычислена с помощью обратного преобразования Фурье, которое принимает вид
H(t) = (1 / 2л) J W(iw) exp(iwt)dw =
-со
со
= (1 / 2л) J W(zw)(cos wt + i sin wt)dw.
-<x>
В этом случае, когда действительная часть IV(iw) — четная функция w, а мнимая — нечетная, получим
И (0 = (1 / л) J Re W(iw) cos wtdw - (11 л) J Im W(iw) sin wtdw.
-co	-co
При отрицательных значениях времени оригинал тождественно равен нулю. Так как sin wt — нечетная функция времени,- то
H(-f) = (1 / л) jRe W(iw) cos wtdw + (1 / л) Jim W(iw) sin wtdw = 0; о	о
co	co
jReWz(zu?)coswZdu? = - JlmIF(iu;)sin wtdw.
о	0
В окончательном виде оригинал запишется выражением
Н (f) = (2 / it) j Re W(iw) cos wtdw	(1.16)
о
или эквивалентным соотношением
Я(0 =-(2/л) JImIF(iw)sinwit/w.
о
Пусть изображение переходной функции задано в виде
У(р) = ^(р)/р,
103
тогда оригинал переходной функции можно определить, интегрируя выражение (1.16),
У (О - J[(2/n) jRelK(/w)cos wtdw]dt. о о
Изменив порядок интегрирования, вычислим вначале интеграл по времени
У(0 = (2/л) jRelK(Zw)(sin wt/w)dw. о
Это выражение является основой приближенного метода. Поскольку точное определение интегрального выражения сопряжено с большими вычислительными трудностями, то этот интеграл вычисляется приближенно, аппроксимируя частотную характеристику кусочно-ломаной функцией. Для этого действительную частотную характеристику заменяют ломаной линией ABCDEFG (рис. 1.30, а). Спроектируем точки излома на ось ординат и рассмотрим три образовавшиеся трапеции. Легко видеть, что сложение ординат указанных трапеций с учетом их знака, показанное на рисунке, дает спектр ломаной линии. Следовательно, действительная частотная характеристика может быть представлена конечной суммой трапецеидальных характеристик. Чтобы найти переходную функцию, необходимо знать составляющие переходного процесса, обусловленные трапецеидальными характеристиками.
Трапецеидальные характеристики определяются тремя параметрами: высотой, частотой и коэффициентом наклона п = wjwj (рис. 1.30, б). Так как определение переходной функции сводится к вычислению табличных функций, то при наличии трех измеряемых параметров трапецеидальных характеристик объем таблиц может получиться слишком большим. Чтобы уменьшить объем таблиц, вводят понятие единичной трапеции с переходной характеристикой, у которой высота и частота принимаются равными единице, а коэффициент наклона п = гц.
Рис. 1.30. Построение переходного процесса для частотного спектра: а — разложение исходного частотного спектра на трапецеидальные составляющие; б — параметры трапецеидальной частотной характеристики; в — переходные функции от трапецеидальных частотных спектров; г — суммарная переходная функция; д — частотный спектр исходного переходного процесса; е — частотный спектр центральной составляющей; ж — частотные спектры колебательных составляющих; з — переходная функция от частотного спектра центральной составляющей; и — переходная функция от частотного спектра с центральной частотой wt; к — переходная функция от частотного спектра с центральной частотой W2, л — суммарная переходная функция; м — амплитудно-частотная характеристика
104
105
Пользуясь понятием единичной трапеции, можно вычислить переходную функцию, соответствующую этой трапеции, а затем на основании свойств изменения масштаба перейти к процессу, который будет соответствовать исходной трапеции.
На рис. 1.30, в показаны составляющие переходного процесса от трех трапецеидальных характеристик. Если их просуммировать, то получим общий переходный процесс, представленный на рис. 1.30, г. Рассмотренный трапецеидальный способ построения переходного процесса по частотной характеристике имеет ряд существенных недостатков, которые ограничивают его возможности. Для формирования переходного процесса приходится учитывать составляющие, которые образованы апериодической и колебательной функциями. До образования общей переходной функции нельзя определить ни один параметр.
Для упрощения всей процедуры перехода от частотной характеристики к переходной функции необходимо исходную АЧХ разделить на составляющие, имеющие колоколообразную форму. Принятый к рассмотрению частотный спектр, симметричный относительно оси ординат, можно представить в виде трех составляющих (рис. 1.30, д). Первый спектр расположен симметрично относительно оси ординат и имеет центральную частоту w = 0 (рис. 1.30, е). Второй и третий спектры располагаются симметрично относительно частот и>}, (рис. 1.30, ж).
Первый спектр отвечает за апериодическую составляющую переходного процесса, два других спектра — за переменную составляющую. Ширина каждого спектра несет информацию о параметрах переходного процесса. Ширина спектра частотной характеристики с центральной частотой w = 0 определяет скорость нарастания апериодической части переходного процесса. Ширина полосы частот спектральных характеристик с центральными частотами и>1 и «ъ определяет скорость затухания колебаний с частотами wi и В результате апериодическая составляющая определяет время переходного процесса, а две другие — перерегулирование и колебательность.
Амплитудно-частотная характеристика с центральной частотой w = 0 описывается выражением
S0(w) = Т /(l + w2T2),/2,
где Т = 1/Д1Ц).
Переходный процесс описывается выражением
Го(О = РОехр(-И/Г).
Описание частотных характеристик двух других составляющих можно представить как
51!(w) = Pi exp(-w7]) sin W\t; S2(w) P2 exp(-wT2) sin w2t,
где 7\ = 1/Д1У1; T2 = 1/Диъ-
106
На рис. 1.30, з показана переходная функция спектра Уо(0, на рис. 1.30, и — переходная функция от спектра Yt(t) и на рис. 1.30, к — переходная функция от спектра У2(О- На рис. 1.30, л изображена суммарная переходная функция.
В заключение рассмотрим пример расчета параметров переходного процесса по частотной характеристике.
Необходимо определить перерегулирование и время переходного процесса для вещественной частотной характеристики, представленной на рис. 1.30, м.
Перерегулирование определяется выражением
1,184^-74(0) 1,181,2-1 Л„
ст = _2—	= -2---2---= о, 41 или ст = 41%.
Л(0)	1
Время переходного процесса равно
t = л/wcp = 3,14/50 = 0,0628 с.
Контрольные вопросы
1.	Чем определяется связь спектральной характеристики системы с переходным процессом?
2.	Какие существуют способы разложения исходной спектральной характеристики на составляющие?
3.	При каких условиях частотный спектр раскладывается на колоколо-образные составляющие?
4.	При каких условиях частотный спектр раскладывается на трапецеидальные составляющие?
5.	Как аппроксимировать колоколообразную частотную характеристику?,
1.10. Устойчивость системы управления
При проектировании и эксплуатации систем управления одним из основных требований, предъявляемых к ним, является требование устойчивости системы. Система автоматического управления считается устойчивой, если она, будучи выведена из состояния установившегося движения некоторым воздействием, возвращается в исходное состояние после прекращения этого воздействия.
Устойчивость линейных систем не зависит от величины возмущения. Если система устойчива при малых возмущениях, то она будет устойчивой и при больших возмущениях. Поэтому для суждения об устойчивости систем достаточно исследовать и определить устойчивость в малом, т.е. найти устойчивость, описываемую дифференциальными уравнениями в форме приращений. Если динамика системы точно описывается линейным дифференци
107
альным уравнением с постоянными коэффициентами, то устойчивость в малом обеспечивает неограниченную устойчивость системы.
Нелинейные системы, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями, могут быть устойчивыми при малых возмущениях и неустойчивыми при больших. Процессы, происходящие в большей, части сложных реальных систем, описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, которые для упрощения исследования могут быть линеаризованы, тогда исследование реальной системы заменится исследованием линеаризованной системы. Таким образом, устойчивую систему можно определить как систему, переходные процессы в которой являются затухающими. Выходная величина имеет ограничение, которое определяется входным воздействием.
С помощью критериев устойчивости не только устанавливается факт устойчивости или неустойчивости системы, но и оценивается влияние тех или иных параметров и структурных изменений в системе на ее устойчивость.
Наиболее распространенными методами расчета устойчивости системы являются алгебраический и частотный.
Алгебраический метод. Если система линейна, то под влиянием воздействия НО на входе изменение выходной переменной ИО во времени можно определить решением линейного дифференциального уравнения
МЯЛО Ж" + + <^Г(0) = М"АГ(О /(Лда + - + bmX(t)), где af и — постоянные коэффициенты; я, т — порядок производных.
Функция ИО зависит от величины коэффициентов а и Ь, от вида функции НО, от величины начальных значений У и ее (п-- 1)-х производных, от воздействия НО и ее (т-1)-й производной. Если в некоторый момент времени воздействия НО на систему перестанут действовать, система будет предоставлена самой себе и изменение переменной ИО будет решением уравнения
(*dnY(t)/(dtn + ... + алУ(О) = 0.	(1.17)
Согласно принятому определению, система является устойчивой, если У(0 при t -+ оо стремится к своему начальному значению, которое ИО имела до приложения воздействия НО, и является неустойчивой, если ИО не стремится к своему начальному значению. Описанный вид устойчивости часто называют устойчивостью по Ляпунову.
Решение уравнения (1.17) может быть трех видов
Yl=Ae^t-	(1.18)
108
У2 = (Bt + Bit +... + Bktk~l)Ae~pt',	(1.19)
Уз =Ce-p'sin(wf + a),	(1.20)
где А, В, С— коэффициенты, зависящие от величины параметров системы и от величины У и ее (л - 1)-х производных в момент времени При решении уравнения (1.17) имеют место слагаемые вида (1.18), если корни характеристического уравнения вещественные (действительные) и различны:
Z>(p) = <%РЯ + ОоР"-1 + - + ап = 0.
Решение вида (1.19) имеет корни вещественные, но кратные. Решение вида (1.20) имеет корни комплексно-сопряженные и равные (а + iw) и (a - iw).
Из выражений (1.18), (1.19), (1.20) видно, что Y(t) при t-+<x> будет стремиться ,к своему начальному значению, которое У(0 имела до приложения воздействия, только в том случае, если все вещественные корни и все вещественные части комплексных корней являются отрицательными величинами. Система будет неустойчивой, если имеется хотя бы один положительный вещественный корень или хотя бы один комплексный корень с положительным значением вещественной части. В зависимости от значений действительной й мнимой частей корней существуют разные переходные функции. Это показано на рис. 1.31, а—е, где р*. = а + iw.
Если обозначить корни на комплексной плоскости, то корни (рис. 1.31, ж) характеризуют устойчивую систему, а корни (рис. 1.31, з) — неустойчивую систему.
Необходимым, но недостаточным условием устойчивости системы является отсутствие нулевых и отрицательных коэффициентов характеристического уравнения. Действительно, если характеристическое уравнение записать в виде
<%(P-P1)(P-P2) - (Р~РИ) = О,
где р,- — корни характеристического уравнения, то очевидно, что условию отрицательности вещественных частей всех корней отвечает условие отсутствия нулевых и отрицательных коэффициентов характеристического уравнения.
Таким образом, для определения устойчивости системы необходимо решить алгебраическое уравнение степени л и определить корни. Однако задача точного определения корней характеристического уравнения, начиная с четвертой степени и.выше, трудноразрешима.
Поэтому возникает потребность в отыскании таких косвенных способов, которые позволяли бы избежать трудоемкий процесс определения корней уравнения системы.
109
по
Рис. 1.31. Переходные процессы в зависимости от степени удаленности корней характеристического уравнения:
а — корень лежит на действительной отрицательной оси; б — корень лежит в точке начала координат; в — корень лежит на действительной положительной оси; г — корень лежит на отрицательной комплексной полуплоскости с отрицательной действительной частью и положительной мнимой; д — корень лежит на мнимой оси; е — корень лежит в положительной комплексной полуплоскости с положительной действительной частью; ж — корни характеристического уравнения устойчивой системы; з — то же для неустойчивой системы; и — положение годографа и значения частот на нем; к — положение годографов для устойчивых систем при различных порядках характеристического уравнения; л — функции Re, Im для системы шестого порядка; м — то же для системы седьмого порядка; н — то же для неустойчивой системы; о — положение характеристической кривой при различных коэффициентах передачи
Учитывая связь коэффициентов а, с корнями уравнения, можно определить требования к этим коэффициентам для устойчивых систем. Гурвиц сформулировал условия в виде неравенств, составленных из коэффициентов уравнения, при соблюдении которых все вещественные корни и вещественные части комплексных корней уравнения любого порядка будут отрицательны. По критерию Гурвица необходимо составить матрицу из коэффициентов исследуемого уравнения
в|	ву	д$	Л)	...	О
Цд	32	а*	...	О
О	Д]	Д3	37	...	О
О	дь	а2	з4	...	О
............... О
О	0	0	0	...	а„
Для составления этой матрицы коэффициентов необходимо:
• выписать по диагонали матрицы все коэффициенты уравнения;
• Заполнить строки коэффициентами так, чтобы их номера возрастали слева направо.
Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при а„ > 0 все N определителей, составленных из л строк и п столбцов, были положительны. В результате должно быть
Д1 = 3| > 0; Дз
а\
До
> 0; Д3 = дь
«з
з2
а* *
а3
>0.
В общем виде Ди =
Ill
Достоинства критерия Гурвица:
•	простота использования для уравнений не выше шестого порядка;
•	наличие аналитической связи между параметрами системы и условиями устойчивости.
Недостатки критерия Гурвица:
•	громоздкость исследования сложных систем;
•	трудоемкость оценки влияния отдельных параметров на устойчивость системы;
•	трудность оценки качества работы системы.
Вследствие этих причин критерий Гурвица применяется для определения устойчивости сравнительно несложных систем.
Частотные методы. Основное преимущество частотных методов заключается в их большой наглядности, обусловленной тем, что задача исследования сводится к изучению плоской кривой, которая может быть получена либо аналитически, либо экспериментально.
Экспериментальный метод получения частотных характеристик системы или ее отдельных элементов позволяет провести исследование системы, у которой неизвестны дифференциальные уравнения.
Частотные критерии устойчивости можно разделить на две группы. Первая группа характеризует устойчивость замкнутой системы. Вторая группа характеризует устойчивость разомкнутой системы. Частотные критерии являются графоаналитическими и обеспечивают наглядность инженерных расчетов. Они позволяют определить устойчивость замкнутой системы при отсутствии характеристического уравнения и передаточных функций системы, используя экспериментально полученные частотные характеристики звеньев и разомкнутой системы в целом.
В характеристическом уравнении системы сделаем замену р = = iw и получим
D(iw) = a0(iw')n + a^iw)"'1 +... + ап = Re(w) + Im(w),
где Re(w) = woq - w2a2 +	-... + w2na2n\ Im(w)=a,u; -u?a3 + u?as -
- ... +
Задавая различные значения w и откладывая Re(w) По горизонтальной, a Im(w) по вертикальной осям системы координат, можно построить кривую, называемую годографом характеристического вектора или кривой Михайлова.
Поскольку в состав Re входят лишь четные степени w, то кривая симметрична относительно оси Re. Чтобы составить представление о других свойствах кривой Михайлова, определим Точки пересечения ее с осями, возможные максимумы и минимумы, предельные значения при w > 0.
112
Пусть w = 0. Тогда членами, содержащими w в степени выше второй, можно пренебречь и считать Re(w) = а0 - а2м? и Im(u>) = = axw. Так как а, > 0, то кривая Михайлова при w = 0 берет начало на вещественной оси в точке (а0; 0) и далее идет вверх и влево. Пусть w -> оо. В этом случае малыми членами можно пренебречь и считать
Re(w) = anwn(i)n и Im(w) = 4,-1 и»"-1 (О""4 при п четном;
Re(w) = a„_lwn~l(i)n-1 и Im(w) = anwn(i)n при п нечетном.
Для всех случаев при w -> оо Re -> ±<ю и Im ->± оо.
Чтобы сказать, в каком квадранте кривая уходит в бесконечность, достаточно определить знаки Re и Im. Точки пересечения кривой с осями координат будут найдены из уравнений Re = 0 и Im = 0.
Число корней этих уравнений равно степени характеристического уравнения, а сама кривая Михайлова последовательно пересекает квадранты п раз, где п — степень уравнения. Точки экстремумов являются корнями уравнений
d Re/dw = 0; d Im/dw = 0.
В результате можно сформулировать критерий Михайлова: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы характеристический вектор при изменении частоты от 0 до » повернулся в положительном направлении (начиная с положительной вещественной оси) на число квадрантов, равное порядку исходного уравнения.
Рассмотрим пример. Дано характеристическое уравнение
Д(р) = 0,0016р3 + 0,0632р2 + 0,62р + 7 = 0.
Подставим р = iw и выделим вещественную и мнимую части:
Re = 7- 0,632 w2 и Im = 0,62w - 0,0016 w3.
Определим точки пересечения годографа Михайлова с осями Re и Im.
Годограф пересекает ось Re в точках wi = 0 и = 19,7 и ось Im в точке = 10,5 (рис. 1.31, и). Определим предельные значения и точки максимума и минимума.
При w -> оо Im -» оо (третий квадрант), dRe/dw = -0,1264 w, dlm/dw = 0,62 - 0,0048u^ и получим tflm/t/Re = (0,0048u? -- 0,62)/0,1264ил
При w = 11,4 максимум Re =- 1,14 и Im = 4,7. Определим промежуточные значения для w = 5 и w = 15. Re(5) = 5,42, Im(5) = 2,9 и Re(15) = -7,27, Im(15) = 3,9. По полученным данным построим кривую (рис. 1.31, к). Анализируя вид кривой, можно сделать вывод, что система устойчива.
113
Свойство чередования нулей наблюдается, если построить графики функций Re(w) и Im(w), точки пересечения этих графиков с осью w в устойчивой системе должны чередоваться. Иначе говоря, чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы нули уравнений для Re и Im чередовались и были вещественными и чтобы Re(0) > 0 и dim(w)/dw > 0 при w = 0.
На рис. 1.31, л приведены графики функций Re(w) и Im(w) системы шестого порядка, на рис. 1.31, м — седьмого порядка. Эти системы устойчивы. На рис. 1.31, и приведены те же графики, но для неустойчивой системы.
Рассмотрим второй пример. Дано характеристическое уравнение
Р(р) * 0,00064р4 + 0,0272р3 + 0,32р2 + р + кпост.
Заменим р = iw и выделим вещественную и мнимую части
Re = 0,00064i? - 0,32u? + Im = -0,0272г? + w.
При Im = 0 получим ц = 0 и = 6,1. При Re = 0 для Лпост ~ = 20 имеем w{ = 8,7, W2 = 18,9; для к^п =11 имеем wt = 6,1,	=
= 21,5; для кпоп = 5 имеем w{ = 4,2; wz = 22,7. График изменения Re и Im от частоты показан на рис. 1.31, о.
При 5 система устойчива, так как нули функций Re и Im чередуФ^^ри £пост = 20 система неустойчива и при fcnoCT = = 11 система Находится на границе устойчивости.
Критерий Михайлова целесообразен при исследовании сложных многоконтурных систем управления, когда необходимо выяснить влияние изменений структуры системы и средств стабилизации на ее устойчивость.
Вторым частотным критерием устойчивости является критерий Найквиста. В основу этого критерия положен коэффициент передачи замкнутой системы
»Ис(р) = ^об(Р)/[1 + И*об(Р) ^рег(Р)],
где И^б, IKper — коэффициенты передачи объекта и системы управления.
Согласно этому критерию система будет неустойчивой, если Wc = оо. Это условие возникает, когда 1 + И^.г = 0 или = = -1. Поскольку произведение двух функций есть характеристическое уравнение передаточной функции системы, то получим
D(p) = - 1 или ТХр) + 1=0.
Произведем замену р = iw в характеристическом уравнении. Разделим действительную и мнимую части характеристического уравнения и получим
Re(w) + Im(w) =-1.
114
Отсюда следует, что, если система устойчивая в разомкнутом состоянии, то в замкнутом состоянии система будет устойчивой, если годограф Найквиста не охватывает точки с координатами (-1; /0). На рис. 1.32, а показан годограф неустойчивой системы. Кривая годографа и положительная ось Re образуют область, куда попала точка (-1; Ю). На рис. 1.32, б, в показаны годографы, которые образуют области с осью Re, куда не попала точка (-1; Ю). Следовательно, эти системы устойчивы.
Рис. 1.32. Положение годографа и логарифмические характеристики для различных состояний системы:
а, д — система неустойчива; б, в, г — система устойчива; е — область устойчивости системы; ж — определение .запасов устойчивости системы по годографу; з — логарифмическая и фазовая характеристики разомкнутой системы; и — определение устойчивости системы по логарифмической и фазовой характеристикам; к — определение степени устойчивости и коэффициента затухания для системы
115
Критерий Найквиста целесообразно применять при исследовании сложных систем управления, где объекты имеют существенное запаздывание. Он позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы. Критерий Найквиста формулируется по-разному в зависимости от того, устойчива разомкнутая система или нет: замкнутая система будет устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от нуля до бесконечности не охватывает точку с координатами (-1, Ю).
Этот критерий применим только тогда, когда часть (или все) характеристики отдельных элементов системы заданы экспериментально. Он применим при анализе систем, описываемых аналитическими передаточными функциями. Он графически нагляден и позволяет оценить запасы устойчивости.
Критерий позволяет легко оценивать влияние параметров отдельных звеньев на устойчивость системы. Особенно это относится к системам одноконтурным, т. е. к таким, в которых все звенья соединены последовательно, образуя единую замкнутую цепь. Общий передаточный коэффициент такой системы в разомкнутом состоянии равен простому произведению передаточных коэффициентов ее отдельных звеньев. При этом модуль общего передаточного коэффициента равен произведению модулей передаточных звеньев, а фаза райна сумме фаз передаточных коэффициентов звеньев.
Критерий не только отвечает на вопрос об устойчивости системы, но й позволяет оценить характер переходного процесса. С некоторыми изменениями метод может быть применен для анализа устойчивости систем, в которые входят не только линейные, но и нелинейные звенья.
Рассмотрим пример расчета устойчивости системы по характеристическому уравнению
Y = 0,1р4 + 0,1р3 + 0,8р2 + О,3р + 1 = 0.
Произведем замену р = iw в этом уравнении и получим
0,1(/а>)4 + 0,1(/и>)3 + 0,8(«z>)2 + 0,3(/и») + 1 = 0 или
0,lw4 -0,hw3 -0,8w2 + 0,3/w + l = 0.
Разделим это выражение на действительную и мнимую составляющие:
Re(w) = 0,1и>4 -0,8и>2 +1; Im(w)» -0,lw3 +0,3w.
Положим Im = 0, тогда - 0,1 w3 + 0,3w=0. Решим это уравнение и получим корни W) = 0 и w? = 1,7. Подставим значения этих корней в действительную часть характеристического уравнения. По
116
лучим Re(O) = 1, a Re(l,7) =- 0,5. Эти значения отобразим на рис. 1.32, г точками А и В.
Теперь приравняем Re(w) = 0, т.е. 0,1 ш4 - 0,8w2 +1 = 0 или w4 - 8w2 + 10 = 0. Это биквадратное уравнение решим методом замены х = w2 и получим х2-8х + 10 = 0. Решим это уравнение и определим корни Xj = 6,5 и х2 = 1,5. Отсюда определим частоты w{ = - 2,54, u>2 = 1,22.
Подставим значения этих частот в мнимую составляющую характеристического уравнения и получим Im(2,54) = -0,88, Im(l,22) = = 0,34. Эти значения отобразим на рисунке точками С и D. Соединим все точки в порядке возрастания частоты. После точки С необходимо определить направление движения годографа. Для этого в действительную и мнимую части характеристического уравнения подставляем значение частоты w = 10. В результате получим Re(10) = 993, Im(10) =-97. Из этого следует, что годограф располагается вдоль оси Re. Обращая внимание на положение точки В, можно сделать вывод, что система находится в устойчивом состоянии, поскольку годограф не заходит за точку (-1; Ю).
А теперь рассмотрим систему, которая имеет характеристическое уравнение вида
Y = 0,2р4 + 0, Ip3 +1,6р2 + 0,4р + 2
Произведем замену р = iw и выделим действительную и мнимую составляющие характеристического уравнения:
Re(w) = 0,2и>4 -1,6w2 +2 = 0; Im(w) = - 0,1 w3 + 0,4u> = 0.
При Re(w) = 0 получим корни ад = 1,2, ад = 2,5. Для Im(l,2) = = - 0,3; Im(2,5) ж 0,5. 'Теперь при Im(w) = 0 получим корни ад = = 0, ад = 2. Для Re(0)=2, Re(2) = -1,2. Все точки определяются на осях и, соединяя их общей линией, получим годограф, который устремляется в первый квадрант вдоль действительной оси, поскольку при w = 10 получим Re( 10) = 1838, Im(10) = 96.
По годографу (рИС. 1.32, д) видно, что система неустойчива; годограф пересекает действительную отрицательную ось (Re) в точке В(-1,2; Ю), где частота w = 2. Для перевода этой системы в устойчивое состояние необходимо после датчика поставить последовательно два интегродифференцирующих звена. Каждое звено на резонансной частоте ослабляет сигнал в 0,7 раз. Значение амплитудно-фазовой характеристики в точке В равно -0,6. Этого вполне достаточно для устойчивой системы.
Области устойчивости. Критерии устойчивости позволяют выяснить устойчива или неустойчива система. При этом предполагается, что все параметры системы заданы. Однако часто задача ставится таюви образом, что из всех параметров системы заданы все, кроме одного или двух. Необходимо установить, при каких значениях этого параметра система будет устойчива. Ставится задача
117
выделения области устойчивости по одному или двум параметрам.
Положим, что нас интересует влияние на устойчивость системы параметра s, который входит в характеристическое уравнение
&4(р) + 5(р) = 0.
Отсюда получим
т = -5(р)/Л(р).
Подставим р ₽ iw и получим
s = -B(iw)/ A(iw) = N(w) + iM(w).
Функция N(w) является четной, а функция M(w) — нечетной. Давая значения -<» < w < +90, получим кривую годографа, (рис. 1.32, е). Комплексная плоскость разделится на три области. Устойчивую область отметим штриховкой вдоль линии годографа. Из рисунка видно, что претендентом на область устойчивости является область 1. Отрезок устойчивости [а, ЭД — область изменения параметра s. Для проверки области устойчивости берется любое значение з в этой области и, пользуясь одним из критериев, осуществляется проверка устойчивости системы.
Запас устойчивости. Определение устойчивости систем по рассмотренному критерию для заданных параметров, а также выбор некоторых параметров после построения областей устойчивости, должны производиться с учетом запаса устойчивости. Определенный запас устойчивости системы необходим по следующим причинам:
•	при составлении уравнений звеньев системы допускается некоторая идеализация реального явления (берется самое главное и отбрасывается масса второстепенных факторов);
•	при линеаризации уравнения становятся еще более приближенными, параметры системы, входящие в коэффициенты уравнений, определяются со значительной погрешностью, что зависит от методов измерения и применяемых приборов;
•	при пользовании экспериментально снятыми характеристиками неизбежны погрешности в методике и в технике проведения эксперимента в обработке результатов;
•	в системах управления, имеющих одинаковую структурную схему, параметры однотипных образцов не могут быть совершенно одинаковыми (всегда имеется случайный разброс параметров вследствие технологических допусков на изготовление деталей и других причин, что указывает на приближенность расчета, производимого по параметрам какого-либо эталонного образца, по сравнению с серийным);
•	в процессе работы каждого образца возможны изменения параметров, имеющие случайный характер — температурные изменения, деформация и т.д.
118
Следовательно, при определении устойчивости системы нет гарантий, что реальной системе будет соответствовать точно та точка области устойчивости, которая была найдена расчетным путем. Так, если расчетное состояние было слишком близко к границе устойчивости, то по указанным причинам реальная система может оказаться неустойчивой.
Запас устойчивости определяется величиной отклонения расчетных параметров системы от значений, соответствующих границе устойчивости.
Этот запас устойчивости обеспечивает работу реальной системы в области устойчивости с заданным качеством переходного процесса.
Формулировка запаса устойчивости системы зависит от того, какой критерий устойчивости применяется. При использовании критерия Найквиста устойчивость определяется относительно критической точки с координатами (-1; /0). Очевидно, что запас устойчивости будет тем больше, чем дальше располагается кривая годографа от этой точки. Определяя запас устойчивости, обычно вводят понятия о запасе устойчивости по фазе и по модулю вектора. Оба эти запаса рассматриваются одновременно. Запасам устойчивости по модулю вектора называется величина, показывающая, во сколько раз необходимо увеличить или уменьшить передаточный коэффициент системы при неизменных значениях всех остальных ее параметров, чтобы устойчивая система оказалась на границе устойчивости.
Таким образом, если обозначить через К3 заданное значение передаточного коэффициента устойчивой системы, а через Ккр — его критическое значение, т. е. такое значение, при котором система находится на границе устойчивости, то величина запаса устойчивости Дал (рис. 1.32, ж) по амплитуде равна
ЬК = К^/К3.
Поскольку а - K,Re(w), a KKpRe(w) = 1, то &К = 1/а.
Запасом устойчивости по фазе называется величина, показывающая, на сколько нужно уменьшить (увеличить) фазу, не изменяя амплитуды, чтобы устойчивая прежде система оказалась на границе устойчивости. Если обозначить р значение фазы, при которой амплитуда годографа равна единице, то запас устойчивости по фазе равен др = 180 °- р.
Критерий Найквиста можно сформулировать и для логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы. Такая возможность осНована на однозначной связи ЛЧХ и АФХ передаточной функции разомкнутой системы.
Эту связь покажем на примере астатической следящей системы первого порядка, Имеющей в разомкнутом состоянии передаточную функцию
119
p(7]p + l)(T2p + 1)
АФХ и ЛЧХ этой системы представлены на рис 1.32, з.
Частота wcp, при которой АФХ передаточной функции пересекает окружность одиночного радиуса, называется частотой среза. При частоте среза АЧХ равна единице, т.е. W(iw) = 1. Следовательно, L(Wcp) = 201gA(wcp).
Это означает, что при частоте среза ЛАЧХ пересекает ось частот и меняет знак.
Частоту, при которой АФХ передаточной функции пересекает отрицательную действительную полуось, обозначают обычно и^.. Значение фазовой характеристики при этой частоте равно -180°, т.е.
cpCwRe) = aigirf/wRe) = -180°.
Согласно критерию Найквиста замкнутая система устойчива, если АФХ передаточной функции не охватывает точки с координатами (-1; Ю). Это возможно, если АФХ передаточной функции пересекает отрицательную действительную полуось на участке (0,-1). Следовательно, фазовый сдвиг, равный -180 °, должен быть при модулях, меньших единицы, т.е. Л(«^е) < 1.
В этом случае
£(wRe) = го^д/и^е) < 0.
Исходя из изложенного можно сформулировать условие устойчивости замкнутой системы д ля случая наличия одинаковых значений wcp и wng. Замкнутая система устойчива, если при достижении фазовой характеристики значения -180 ° логарифмическая ам-литудно-частотная характеристика отрицательна. Это же условие можно сформулировать и в другом виде. Замкнутая система устойчива, если wcp < ivrc. Если wcp = wRe, то система находится на границе устойчивости, если wcp > w^., то система неустойчива. Для случая, когда ЛФЧХ неоднократно пересекает линию -180°, число переходов вверх обеспечивает устойчивость в диапазоне частот, где ЛАЧХ положительна (рис. 1.32, и).
Для тех систем, где запас устойчивости определяется по расположению корней характеристического уравнения вводятся два параметра: степень устойчивости ц и угол а, определяющий кривую удовлетворительного затухания а. Степенью устойчивости называется величина, равная расстоянию от мнимой оси комплексной плоскости до ближайшего корня характеристического уравнения (рис. 1.32, к). Коэффициентом затухания называется величина = tg а, где а — наибольший угол между отрицательной частью вещественной оси и комплексным корнем уравнения.
120
Определение степени устойчивости. Если ближайший к мнимой оси корень является вещественным, то степень устойчивости называется апериодической, так как процесс определяется апериодической составляющей.
Если ближайший к мнимой оси корень является комплексным, то степень устойчивости называется колебательной, так как процесс определяется колебательной составляющей. Если рассматривать уменьшение основной составляющей переходного процесса, характеризуемой степенью устойчивости, до е от первоначального значения, равного единице, то можно записать
е = ехр(-ао/рег), откуда получим /рег = - In е / а0.
Значение степени фазовой устойчивости oto используется для приближенного нахождения времени переходного процесса /рег = = 3/а0. Степень фазовой устойчивости а0 является косвенной мерой быстроты затухания переходного процесса. Величину оо можно вычислить и другими способами.
Контрольные вопросы
1.	Какая система считается устойчивой?
2.	Каковы методы-анализа устойчивости систем?
3.	Что положено в основу критериев устойчивости Ляпунова, Гурвица, Михайлова и Найквиста?
4.	Как рассчитывается устойчивость системы по перечисленным критериям?
5.	Где применяются критерии устойчивости?
6.	Как определяется область устойчивости системы?
7.	Что влияет на запас устойчивости системы?
1.11. Фазовая плоскость — портрет поведения системы
Среди методов анализа систем метод, основанный на понятии фазового пространства, отличается геометрической наглядностью и возможностью получения полного представления о характере возможных движений в системе.
Этот метод применяется для анализа систем, которые описываются дифференциальными уравнениями не выше третьего порядка. Однако он иногда полезен и для проверки различных приближенных методов, применимых к системам более высокого порядка.
Сущность этого метода заключается в том, что состояние системы, имеющей N степеней свободы, т. е. описываемой дифференциальным уравнением порядка 2N, задается 2N числами. Эти числа можно рассматривать как задание некоторой точки в
121
2?/-мерном пространстве, причем каждой точке этого пространства будет соответствовать одно определенное состояние системы. Поэтому такое пространство называется фазовым пространством. Для систем, описываемых дифференциальным уравнением второго порядка, фазовое пространство является двухмерным и в частном случае превращается в фазовую плоскость.
Для пояснения идеи фазового представления процесса регулирования рассмотрим вначале пример линейного уравнения второго порядка
Х<2> + 2ЬХт + w2X = 0.	(1.21)
Рассмотрим случай, когда самовыравнивание отсутствует, b = = 0, и дифференциальное уравнение примет вид
X™ + w2X = 0.
Решение этого уравнения имеет вид
X = v4sinuV;
Y = Aw0 cos wot, где Y= X™
Для того чтобы получить изображение переходного процесса на плоскости (АО У), необходимо исключить время из уравнений (1.23). Преобразуем эти уравнения к виду
(1.22)
(1.23)
sinw^t = X/А\ coswot = Y/(Aw0).
Возведем в квадрат и просуммируем обе части этих выражений, и получим
X2 Y2
A2 A2Wq
(1.24)
На плоскости (ЮК) это уравнение представляет семейство подобных эллипсов с полуосями Л и Ащ> (рис. 1.33, а).
Для момента t - tt состояние системы характеризуется отклонением Xi и У[. Эти значения однозначно определяют на фазовой
Рис. 1.33. Фазовые траектории систем:
а — фазовая диаграмма консервативной системы, особая точка — центр; б — фазовая диаграмма системы с самовыравниванием (колебательный режим), особая точка — устойчивый фокус; в — фазовая диаграмма системы с самовыравниванием (апериодический режим), особая точка — устойчивый узел; г — фазовая диаграмма системы с отрицательным самовыравниванием (колебательный режим), особая точка — неустойчивый фокус; д — фазовая диаграмма системы с отрицательным самовыравниванием (апериодический режим), особая точка — неустойчивый узел; е — фазовая диаграмма системы двухрежимного состояния, особая точка — седло
122
плоскости точку Мъ которая называется изображающей точкой. | Каждой точке фазовой плоскости соответствует одно определен- 1 ное состояние системы, характеризуемое отклонениями Хи К Если j с течением времени состояние системы, т. е. ее отклонения изме- ] нятся, то изображающая точка перемещается по некоторой кри- i вой, называемой фазовой траекторией системы. Фазовая плоскость с изображенными на ней фазовыми траекториями системы называется фазовой диаграммой. Для системы, описываемой уравнением движения (1.22), фазовыми траекториями являются эллипсы, опи- j сываемые уравнениями (1.24).	?
Обозначим на траектории точку М\. Движение изображающей f точки Mi с течением времени будет происходить в направлении 1 часовой стрелки. Пока значение координаты Yположительно, т. е. ] изображающая точка находится в верхней полуплоскости, откло-нение Xувеличивается. Следовательно, Изображающая точка дви- * жется слева направо. Если же Y < 0, т. е. изображающая точка на- ] ходится в нижней полуплоскости, то X уменьшается, т. е. точка перемещается справа налево. Из рис. 1.33, а легко сделать выводы ] о поведении системы регулирования, описываемой уравнением i (1.22) или уравнением (1.21) при b = 0.	;
Вся фазовая плоскость состоит из эллипсов, входящих друг И друга. Каждой замкнутой кривой на фазовой плоскости соответ- I ствует некоторое периодическое движение в регулируемой систе- J ме. Пусть в некоторый момент времени t - tx система имеет откло- ] нение Х( и скорость С возрастанием времени изображающая I точка будет перемещаться по фазовой траектории и через некото- J рый конечный промежуток времени А/ снова придет в точку с ! координатами (Xb К,). Начиная с момента времени t = tx + Д/, движение точки будет в точности повторять предыдущее движение, j через промежуток времени Д/ с момента времени t = tx + 2Д/ дви- ’ жение снова будет повторяться и так до бесконечности.	;
Поскольку фазовая плоскость, описываемая уравнением (1.22), j заполнена бесчисленным множеством замкнутых кривых, то в системе, описываемой исходным уравнением (1.21), возможно бес- ' численное множество различных периодических движений. Систе- ! мы, в которых возможно бесчисленное множество периодических движений, непрерывно переходящих одно в другое, называются * консервативными. В таких системах характер движения зависит от ] начальных условий, и однажды начавшиеся колебания уже не пре- | кращаются, хотя и не нарастают. Поэтому практически система ' регулирования, для которой фазовая диаграмма имеет вид, графи- j чески изображенный на рис 1.33, а, является неустойчивой. По- ] добный характер движения получился потому, что положили b = 0. 5
Теперь рассмотрим фазовую диаграмму системы ретулирова- j ния для случая Ь* 0. Решение уравнения (1.21) в этом случае при j Wq> b2 имеет вид	|
124
X = Л exp(-/>Z)cos
(1.25)
где u>i = (wjj-Z>2),/2.
Дифференцируя это уравнение, получим
Xw = Y = -Ab exp(-bt) cos Wit-Aw{ exp(-W)sin W\t. (1.26)
Эти два уравнения представляют параметрические уравнения фазовых траекторий с параметром t. Исключим время из этих уравнений. Умножая уравнение (1.25) на b и складывая с уравнением (1.26), получим
Y+ ЬХ = -Awi cxp(-bt)s\awit.	(1-27)
Уравнение (1.25) преобразуем к виду
W\X = Awi exp(-bt) cos wtt.	(1.28)
Возведем в квадрат обе части уравнений и сложим (1.27) и (1.28), получим
(Y + bX)2+w2X2 = Л2»2 exp2 (-260-	(1.29)
В этом уравнении необходимо выразить время t через X и Y. Для этого делим уравнение (1.27) на (1.28):
Y+ ЬХ . .
.	t	• Г	:
J t = - (l/wi)arctg? + yV .	(1.31)
Подставим уравнение (1.30) в (1.31), получим
Y + bX + w2X2 = Сехр(5),
где С = A2w2 exp(2b/ wi)‘, В = (2b/iyj)arctg[(K + ЬХ)/(wjX)],
В результате получено искомое уравнение фазовой траектории. Это семейство спиралей, накручивающихся на начало координат (рис. 1.33, б). Произведем в уравнении (1.31) линейное преобразование координат и = wtXn v=bX+Y. В результате получим
и2 + v2 = С ехр(В).
Теперь перейдем к полярной системе координат г, ф. Произведем замену:
и = гсо8ф; v = -rsnKp.
Эта подстановка даст выражение
г = Сехр (-/>ф/и>().	(1.32)
125
Это уравнение является уравнением логарифмической спирали в полярных координатах. Фазовый угол возрастает с течением времени, так как
tg<p = -v I и - -(ЬХ + Y)/ WiX = tguV или ср = W[t.
Отсюда получим
г = Ci ехр(-д/).	(1.33)
Следовательно, с увеличением t длина г радиуса-вектора, вращающегося по часовой стрелке, убывает, и изображающая точка неограниченно приближается к началу координат. Указанное обстоятельство легко усмотреть также из уравнения (1.29). С увеличением t правая, а следовательно, и левая частй должны неограниченно стремиться к нулю, что может иметь место лишь при неограниченном убывании абсолютных величин Хп Y. Если в момент t заданы отклонения Xt и то им на фазовой плоскости соответствует вполне определенная точка Мх (см. рис. 1.33, б). С течением времени изображающая точка М\, двигаясь по фазовой траектории, неограниченно приближается к началу координат Х= У= 0, которое соответствует равновесному режиму системы регулирования. Из рисунка следует, что в рассматриваемой системе регулирования, представляемой уравнением (1.21), все возникающие отклонения от равновесного режима с течением времени затухают. Следовательно, система регулирования является асимптотически устойчивой.
Теперь рассмотрим случай, когда < Ь2, затухание будет апериодическим. На рис. 1.33, б изображена фазовая диаграмма для этого случая. Из этой диаграммы видно, что любое отклонение системы от равновесного режима делается равным нулю не более чем за полтора полуколебания. Следовательно, фазовая плоскость позволяет сразу определить характер возможных движений в рассматриваемой системе.
Таким образом, рассмотрены процессы формирования фазовых характеристик системы управления. Однако для построения фазовой плоскости нет необходимости решать исходное дифференциальное уравнение второго порядка. Можно найти уравнения фазовых траекторий, интегрируя дифференциальное уравнение первого порядка, что является значительно более простой задачей. Смысл введения фазовой плоскости в значительной мере в том и заключался, что она позволила выяснить вопрос о возможных движениях в динамических системах, в частности в системах регулирования, не решая полностью исходного уравнения, а ограничиваясь его первым интегралом.
Уравнение (1.21) можно записать в виде двух уравнений первого порядка
Хт = y- Г» = -2bY - wlX.
126
Разделим второе уравнение на первое и получим дифференциальное уравнение первого порядка, в котором исключено время:
dY/dX = -2b-w%(X/Y).	(1.34)
Получим дифференциальное уравнение интегральных кривых на фазовой плоскости. Проинтегрировав это уравнение, получим уравнение интегральных кривых в конечной форме. В случае b = О интегральные кривые совпадают с фазовыми траекториями. Однако такое совпадение не является обязательным, интегральная кривая может определять не одну, а несколько фазовых траекторий. Это объясняется тем, что под фазовой траекторией понимается дуга кривой, по которой изображающая точка перемещается в интервале времени-<ю< t < <ю, и эта дуга может, вообще говоря, составлять лишь часть интегральной кривой. Уравнение (1.34) определяет тангенс угла наклона касательной к интегральной кривой. Из уравнения (1.34) следует, что в каждой точке фазовой плос-- кости имеется единственная касательная к интегральной кривой, так как каждой паре значений X и Y соответствует только одно значение dY/dX. Исключение составляет точка при Х= 0 и Y = 0.
Следовательно, через каждую точку фазовой плоскости проходит только одна интегральная кривая, а следовательно, одна фазовая траектория.
Через точку, где Х= 0 и У= 0, т. е. где одновременно обращаются в нуль Х(1) и У(1), может проходить одновременно несколько кривых, следовательно, в этих точках фазовые кривые будут пересекаться. Точки, в которых dY/dX = 0/0, называются особыми точками дифференциального уравнения интегральных кривых. Если в системе второго порядка У(1) = 0 и Х(1) = 0, то система находится в равновесии. Следовательно, особым точкам на фазовой плоскости соответствуют состояния равновесия в реальной системе регулирования.
Теперь посмотрим, какие особые точки и какие фазовые траектории возможны на фазовой плоскости, а также выясним, каким движениям исходной системы они соответствуют.
В случае b = 0 фазовая плоскость заполнена вложенными друг в друга замкнутыми траекториями, каждой замкнутой кривой на фазовой плоскости соответствует периодическое движение исходной системы. Следовательно, в этом случае в исходной системе имеется бесчисленное множество периодических движений, причем переход от одного периодического движения к другому совершается при изменении начальных условий.
С учетом уравнения (1.21) дифференциальное уравнение (1.34) имеет единственную особую точку X- 0 и У = 0. Если b = 0, то эта особая точка является отдельной интегральной кривой. Такая изолированная особая точка, охватываемая замкнутыми, вложенными друг в друга фазовыми траекториями, называется центром.
127
При b * 0 имеется одна особая точка X = 0 и Y = 0. Однако характер фазовых траекторий существенно отличен от предыдущего случая. На фазовой плоскости нет ни одной замкнутой траектории. Вся плоскость заполнена семейством спиралей, накру- ! чивающихся на особую точку и неограниченно к ней приближающихся. Иными словами, особая точка является асимптотической ' точкой семейства фазовых траекторий. Такая особая точка называ- 1 ется фокусом. При b > 0 все фазовые траектории накручиваются на особую точку, с увеличением времени неограниченно приближаясь к ней. В рассмотренном случае фокус называется устойчивым. Для устойчивого фокуса все отклонения от равновесного режима с течением времени затухают, при этом в системе регулирования будут иметь место затухающие колебания. Таким образом, система, положению равновесия которой на фазовой плоскости соответствует устойчивый фокус, является асимптотически устойчивой.
А теперь перейдем к рассмотрению случая b < 0, тогда показатель степени в уравнении (1.32) положителен. Поэтому при увеличении радиуса-вектора изображающая точка, двигаясь по фазовой траектории, будет неограниченно удаляться от начала координат. Фазовая плоскость примет вид, изображенный на рис. 1.33, г. В данном случае начало координат, как и раньше, является особой точкой дифференциального уравнения (1.34). Эта особая точка также служит асимптотической точкой семейства фазовых траекторий, представляющих спирали, которые уже не накручиваются на особую точку, а расходятся от нее.
Эта особая точка называется неустойчивым фокусом. Если в начальный момент система находится в равновесном режиме, т.е. X = 0 и У = 0, то Ci - 0, и система будет находиться в равновесии сколь угодно долго, если на систему не действуют никакие возму- ' щающие силы. Однако достаточно любого сколь угодно малого возмущения, чтобы в системе начались колебательные движения, 1 амплитуда которых будет неограниченно возрастать; такая система будет неустойчивой.
Теперь положим, что Ь2 > и%, в этом случае движения в систе- ( ме будут уже не колебательными, а апериодическими. Фазовая плоскость в этом случае имеет вид, изображенный на рис. 1.33, в. Эта плоскость заполнена семейством интегральных кривых параболического типа. Каждая интегральная кривая состоит из трех фазовых траекторий. Одной из них является состояние равновесия, а двум остальным, представляющим полуветви парабол за вычетом нулевой точки, соответствуют движения, неограниченно приближающиеся к состоянию равновесия.
Все интегральные кривые за исключением прямой
У = Н>-(*2-^)1/21
128
касаются в начале'координат прямой
Y = [-6 + (62-w2)1/2]X.
Таким образом, через особую точку проходят все интегральные кривые, каждая из которых представляет три фазовые траектории, все изображающие точки с течением времени неограниченно приближаются к началу координат. Особая точка такого типа называется устойчивым узлом.
Случаю устойчивого узла соответствует апериодическая устойчивость реальной системы. Тогда (см. рис. 1.33, в) при любых начальных отклонениях система не более чем за 1,5 полуколебания достигнет равновесного режима. Необходимо подчеркнуть, что (так же как и в случае фокуса) время движения изображающей точки по фазовой траектории равно времени прихода системы к равновесию.
Если d2 > t$, но b < 0, характер фазовой плоскости принимает влд, графически изображенный на рис. 1.33, д. Особая точка в этом случае является неустойчивым узлом. Легко видеть, что система регулирования при этом будет неустойчивой.
Теперь положим, что в системе регулирования исполнительный механизм включен таким образом, что возникающие отклонения от равновесного режима не уменьшаются, а возрастают. В этом случае дифференциальное уравнением будет иметь вид
X^+2bX^-w2X = 0.
Для этого уравнения получаем выражение для интегральных кривых в виде
dY w$X-2b
dX~ Y
Если b = 0, то это уравнение принимает вид
dY 2Х
dX °Y
Интегрируя это уравнение, получим выражение
Y2 X2
A2Wq А2
В результате получено уравнение семейства равносторонних гипербол, отнесенное к главным осям. Принимая А = 0, получим уравнения двух прямых
Y = wqX-, Y = -w0X,
которые являются асимптотами семейства гипербол. Фазовая плоскость для этого случая показана на рис. 1.33, е. Из этого рисунка видно, что через особую точку Y« 0 и X = 0 проходят две интег
5 Горошков
129
ральные кривые — асимптоты. Каждая из асимптот состоит из трех фазовых траекторий. Все остальные интегральные кривые составляют одну фазовую траекторию. Особая точка такого вида называется седлом. Из рассмотрения фазовой плоскости легко установить характер возможных движений в системе. Если начальные условия таковы, что изображающая точка лежит точно на асимптоте, то эта точка апериодически движется к началу координат. По всем остальным фазовым траекториям изображающая точка движется таким образом, что по истечении достаточно большого промежутка времени она на сколь угодно далекое расстояние отойдет от
положения равновесия.
Особая точка такого типа (седло) соответствует положению неустойчивого равновесия. Достаточно сколь угодно малого толчка, чтобы началось удаление от него. Так как в реальной системе всегда имеются случайные малые возмущения, то система, имеющая такую особую точку, неустойчива.
Контрольные вопросы
V. Каково назначение фазовой плоскости?
2.	Опишите принцип построения фазовой плоскости.
3.	Произведите разложение исходного дифференциального уравнения на две составляющие.
4.	Какие системы имеют фазовые траектории эллиптического типа?
5.	Что характеризуют спиральные фазовые траектории?
6.	Что характеризуют точки фокус, узел, седло?
1.12. Качество регулирования
К автоматическим системам регулирования предъявляются требования не только относительно ее устойчивости. Факт устойчивости или неустойчивости системы говорит о том, что переход-
ная составляющая процесса регулирования с течением времени уменьшается (затухает) или увеличивается. Однако ответа на такие важные для практики вопросы, как быстрота затухания переходных процессов в системе, форма кривой процесса регулирования и прочее, теория устойчивости систем не дает. Кроме того, в
теории устойчивости линейных систем не учитываются все внешние воздействия — управляющие и возмущающие. Так как любая система находится в процессе работы под непрерывным влиянием внешних воздействий, то это обязательно должно быть учтено при расчете любой системы автоматического регулирования.
Устойчивость является необходимым, но не достаточным условием пригодности системы. Для работоспособности системы не менее необходимо, чтобы процесс регулирования осуществлялся
130
при обеспечении определенных качественных показателей как в установившемся, так и в переходном режимах, т.е. обеспечивал определенное качество регулирования.
Динамические свойства системы и, следовательно, качество процесса регулирования оценивают количественными критериями. Так как переходные процессы зависят не только от структуры системы, но и от характера изменения воздействий, приложенных к ней, то для оценки качества процесса регулирования и выявления динамических свойств системы в рассмотрение, вводят типовые воздействия, которые являются среди всех возможных воздействий наиболее неблагоприятными или наиболее характерными.
В случае, когда воздействие, являясь случайным процессом, не может быть заменено типовым сигналом в виде известной функции времени, для оценки качества применяют вероятностные методы, определяя динамическую точность системы по величине среднеквадратичной ошибки или среднеквадратичного отклонения регулируемой величины.
Качество системы характеризует точность, с которой выдерживается значение выходного параметра. Исчерпывающее представление о качестве системы можно получить» располагая функцией изменения во времени ошибки в переходном режиме. В реальных системах кривая функции ошибки может быть получена экспериментально. При проектировании функцию ошибки системы приходится вычислять теоретически. Здесь возникает трудность принципиального характера, которая заключается в том, что реальные законы изменения внешних воздействий заранее, как правило, неизвестны. В связи с этим при теоретическом построении кривой процесса регулирования приходится ориентироваться на так называемые типовые законы изменения внешних воздействий, в качестве которых принимают наиболее вероятные, либо наиболее неблагоприятные законы изменения управляющего и возмущающих воздействий.
Наиболее часто применяемые типовые законы изменения управляющего и возмущающих воздействий показаны на рис. 1.34. Ступенчатое воздействие (рис. 1.34, а), обычно используется для оценки качества систем автоматической стабилизации и соответствует перенастройке системы на другое значение регулируемой величины.
Воздействия в виде линейной и квадратичной функций времени (рис. 1.34, б, в) обычно применяются в теории следящих систем воспроизведения угла рассогласовывания. Гармонический закон изменения управляющего воздействия (рис. 1.34, г) характерен для систем регулирования и следящих систем, работающих в условиях периодической качки (авиационные и корабельные системы). Однако он широко применяется и для оценки свойств дру-
131
Рис. 1.34. Типы внешних управляющих воздействий и показатели качества регулирования:
а — ступенчатое; б — линейное; в — квадратичное; г — гармоническое; д — функция ошибок апериодического переходного процесса; е, ж — низкочастотный и высокочастотный колебательные процессы; з — наибольшее отклонение переходного процесса; и — три типа оптимальных переходных процессов регулирования; к — положение корней характеристического уравнения для определения параметров переходного процесса; л — переходные процессы в колебательном звене при различных значениях Tt/T2; м, н — положение площади корней характеристического уравнения при ограничениях высокочастотных составляющих переходного процесса и при ограничениях величины перерегулирования;
о — частотные характеристики
132
гих систем, так как позволяет весьма полно оценить динамические свойства систем.
Требования к качеству процесса регулирования для конкретной системы могут быть самыми разнообразными. Качество процесса регулирования для стабилизирующих систем обычно оценивают по переходной функции по отношению к единичному ступенчатому возмущающему воздействию. Можно выделить несколько прямых показателей качества регулирования: время регулирования, перерегулирование, колебательность и установившаяся ошибка. Прямые показатели качества удобно использовать в тех случаях, когда имеется график переходного процесса, который может быть получен экспериментально в реальной системе регулирования или путем моделирования на ЭВМ.
Статическая ошибка регулирования определяется как разность между установившимся значением регулируемой величины и ее заданным значением:
а(О = Г3-У(0.
На рис. 1.34, д показана кривая функции ошибки для переходного процесса без перерегулирования, а на рис. 1.34, е — такая же кривая, но с перерегулированием. Анализируя эти функции, можно сделать вывод, что чем меньше площадь, ограниченная кривой ошибки, тем быстрее ликвидируется динамическая ошибка. Следовательно, величина этой площади (см. рис. 1.34, д) может служить мерой качества систем регулирования с монотонными и апериодическими переходными процессами. Для оценки качества регулирования системы с колебательными переходными процессами применяется функция ошибки (см. рис. 1.34, е), которая характеризует медленно меняющиеся процессы. Если переходный процесс имеет большую колебательность (рис. 1.34, ж), которая может вывести из строя механические регулирующие органы, то при оценке качества следует учитывать частоту колебательного процесса.
Динамическая ошибка регулирования определяется как наибольшее отклонение 1^ин регулируемой величины от ее установившегося значения. Этот параметр показан на рис. 1.34, з.
Время регулирования, за которое разность между текущим значением регулирующей величины и ее заданным значением становится меньше 5 % от заданного значения Y3.
Степень колебательности используется для оценки качества системы.
Практически колебательность удобно характеризовать числом периодов переходного процесса за время регулирования. Процессы, у которых колебательность составляет 1...2 периода, называются слабоколебательными. Обычно в системе допустимо иметь 2... 3 периода колебаний в переходном процессе. При числе периодов больше трех система требует коррекции.
133
Перерегулирование, измеряемое в процентах, равно отношению амплитуды первого максимального отклонения регулируемой величины к установившемуся (заданному) значению:
Уз
Качество регулирования считается удовлетворительным, если перерегулирование не превышает 30...40%, а хорошим, если превышает 20%.
Степень затухания, измеряемая в процентах/служит количественной оценкой интенсивности затухания колебательных процессов и определяется как отношение разности первой и третьей амплитуд к первой амплитуде переходного процесса:
(У1-Уз)Ю0
У1
Интенсивность затухания колебаний в системе считается удовлетворительной, если степень затухания составляет 75 % и выше. В некоторых случаях допускается около 60 %.
В конкретных условиях к качеству регулирования могут предъявляться и другие требования например максимальная скорость изменения значения регулируемой величины, основная частота ее колебаний. В некоторых случаях качество регулирования зад ается не отдельными показателями, а определенной функцией переходного процесса в целом. В общем случае рекомендуются три типа оптимальных переходных процессов регулирования, изображенных на рис. 1.34, и:
•	апериодический с минимальным временем регулирования (кривая 7), отсутствием перерегулирования и минимальным регулирующим воздействием;
•	с 20 %-ным перерегулированием (кривая 2) и минимальным временем первого полупериода колебаний; рекомендуется в тех случаях, когда допустима известная величина перерегулирования;
•	с минимальной квадратичной площадью регулирования (кривая 3); характеризуется наибольшим перерегулированием (приблизительно 40...45%) и временем регулирования, наибольшим регулирующим воздействием.
Показатели качества системы регулирования можно определить непосредственно из графика переходного процесса. График процесса можно получить экспериментально или решить дифференциальное уравнение системы для построения этого графика. Численное решение дифференциального уравнения является трудоемкой задачей, а проведение эксперимента связано с некоторыми трудностями: не всегда возможно по условиям технологии и требует наличия специальной аппаратуры. Кроме того, наличие графика переходного процесса только для одного режима еще не
134
дает возможности выявить связи между параметрами системы и характером переходного процесса. В связи с этим кроме определения показателей качества регулирования по кривой переходного процесса на практике находят широкое применение косвенные оценки качества. Косвенными оценками называются некоторые величины, в той или иной мере характеризующие отдельные особенности переходного процесса. Эти величины можно определить сравнительно просто без выполнения трудоемкой работы по построению графика переходного процесса. К числу косвенных оценок относятся степень удаленности корней характеристического уравнения от мнимой оси, частотные и интегральные.
Оценка качества регулирования степенью удаленности корней характеристического уравнения. Передаточная функция замкнутой системы может быть описана дифференциальным уравнением, которое через прямое преобразование Лапласа переводится в алгебраическое уравнение. Это уравнение можно представить в виде совокупности корней характеристического уравнения. Присутствие среди корней характеристического уравнения комплексно-сопряженных корней обусловливает в переходном процессе наличие колебательной составляющей, которая затухает по экспоненциальному закону.
Показателями качества устойчивости системы является степень удаленности корней характеристического уравнения замкнутой системы, лежащих в левой комплексной полуплоскости, от мнимой оси (рис. 1.34, к). Расстояние ближайшего корня от мнимой оси характеризует запас устойчивости т) и называется степенью устойчивости системы. Эта степень устойчивости определяется действительной частью корня, ближайшего к мнимой оси. Второй показатель качества устойчивости системы определяется наиболее удаленной мнимой частью корня от действительной оси. Наибольший угол, образованный отрицательной действительной осью и лучом, соединяющих начало координат и значение мнимой составляющей корня, характеризует колебательность системы.
Степень колебательности, или коэффициент затухания колебаний, определяется углом, величину которого можно определить из выражения
. Im(w)
,гф= ад'
Сопряженные комплексные корни (при максимальном угле <р) дадут составляющую колебательного переходного процесса, имеющую наименьшее затухание.
Следует обратить внимание на то, что корень Pi определяет время регулирования. Чем ближе корень располагается к мнимой оси, тем медленнее Црдтекают переходные процессы
У(0 = К3[1-ехр(-р]/)].
135
Величина l/pi = Т— постоянная времени переходного процесса. Время регулирования в этом случае равно ТреГ = ЗТ.
На практике стремятся добиться такого состояния переходного процесса систем, когда время регулирования минимально. Значит корень pi должен быть как можно дальше удален от мнимой оси. Например, для корня р3 переходный процесс заканчивается очень быстро. Если провести прямую CD, которая ограничит область возможных значений корней, определяющих поведение системы в переходном режиме, то появится большое перерегулирование. Это можно обнаружить при различных значениях отношений постоянных времени колебательного процесса. Переходные процессы колебательного звена в зависимости от отношения Тх/Т2 представлены на рис. 1.34, и. Чем больше это отношение, тем меньше колебательность переходного процесса. При Тх/Т2 > 1 колебательное звено по своим свойствам подходит к соединению из двух апериодических звеньев. При Тх/Т2 = 0 или при Тх = 0 действительная и мнимая составляющие корней характеристического уравнения будут равны нулю и w = 1/Т2. Если подставить эти значения в выражение переходного процесса колебательного звена, то получим незатухающее гармоническое колебание.
Таким образом, чем больше Тх и меньше Т2, тем больше степень затухания переходного процесса. Следовательно, для уменьшения колебательности системы регулирования необходимо увеличить постоянную времени Тх и уменьшить Т2. Однако это целесообразно делать лишь в определенных пределах, так как при чрезмерном увеличении отношения Тх/Т2 переходный процесс затягивается и время регулирования увеличивается.
Таким образом, можно показать наиболее применяемые площади распределения корней характеристического уравнения. Кроме трапеции (см. рис. 1.34, к), можно отобразить эту площадь в виде прямоугольника ABCD, у которого стороны параллельны координатным осям (рис. 1.34, м). Сторона СР прямоугольника ограничивает амплитуду высокочастотных колебаний в системе и тем самым уменьшает первую максимальную амплитуду колебаний переходного процесса, определяющую перерегулирование.
На рис. 1.34, и показана площадь распределения корней характеристического уравнения, которые определяют переходные процессы с незначительным перерегулированием. В этих процессах отсутствуют высокочастотные составляющие, влияющие на скорость протекания переходного процесса. Подтверждением этому является импульсное регулирование, при котором функция переходного процесса имеет пилообразную форму.
Таким образом, при оценке качества системы по расположению корней характеристического уравнения следует учитывать, что переходный процесс в основном определяется ближайшим к
136
мнимой оси действительным корнем (или ближайшей к мнимой оси парой сопряженных комплексных корней):
е(/) = У3 ехр(-а/).
Решив это уравнение, можно найти допустимое значение степени устойчивости с учетом желаемого времени регулирования ТреГ, по истечении которого отклонение регулируемой величины уменьшится в N раз относительно начального отклонения Y3:
в = InAT/T^.
Так, если £(7^,) = 0,05 У3, то	20 и это выражение принима-
ет вид
*=3/7^.
Если требуется, чтобы при колебательном переходном процессе амплитуда каждого последующего отклонения регулируемой - величины уменьшалась в п раз по отношению к амплитуде предыдущего отклонения, то требуемая степень затухания будет равна
Т = 1-1/и,
, а постоянная затухания определяется выражением
— т = In п /(2л).
Если же по условиям требуется, чтобы каждая последующая амплитуда колебаний переходного процесса уменьшалась в 10 раз по сравнению с предыдущей, то в этом случае п = 10, степень затухания Т = 0,9, а степень колебательности равна
т = In 10 /(2л) = 0,336.
Частотные методы оценки качества регулирования. В инженерной практике широко используются частотные методы исследования систем управления. Математической основой частотного метода анализа качества систем регулирования является преобразование Фурье, которое позволяет получить некоторые действительные функции, называемые обобщенными частотными характеристиками. Эта частотная характеристика переходного процесса, сводящаяся в простейшем случае к обычным частотным характеристикам системы, так же как и преобразование Лапласа для исходного переходного процесса, полностью его определяет.
Одно из основных различий между прямым методом оценки качества, основанном на обратном преобразовании Лапласа, и частотным методом оценки качества заключается в том, что первый является аналитическим, требующим вычисления корней характеристического уравнения системы, а второй — графоаналитическим, не требующим вычисления корней. Существенная особенность частотного метода оценки качества, составляющая одно
137
из его основных преимуществ, заключается в том, что исходными данными для него могут служить те же самые частотные характеристики, которые применяются при анализе устойчивости.
Частотный метод оценки качества представляет собой естественное продолжение и развитие частотного метода оценки устойчивости и образует вместе с ним единый метод оценки динамики систем автоматического регулирования в отличие, например, от алгебраических методов оценки устойчивости, не требующих вычисления корней и имеющих мало общего с прямым методом оценки качества, требующим знания корней.
Частотный метод оценки качества систем автоматического регулирования основывается на рассмотрении Действительной, а не амплитудной и фазовой частотных характеристик.
Предпочтение, оказываемое в обычных методах расчета электрических цепей амплитудной и фазовой частотным характеристикам (по сравнению с действительной и мнимой частотными характеристиками), заключается в том, что они имеют более простой физический смысл и обычно легко могут быть определены экспериментально. Однако при оценке переходных процессов с помощью этих характеристик сталкиваются со следующей проблемой: в общем случае невозможно представить в достаточно удобной для оценки форме связь между переходным процессом и одной из частотных характеристик (амплитудной или фазовой), а необходимо одновременное введение в рассмотрение обеих характеристик.
Спектр переходного процесса определяется выражением
т
Y (iw) = (1 / Т) |У (Г) exp(-iwt)dt.
о
Эта спектральная характеристика образована действительной и мнимой составляющими:
У (iw) = Re(w) + i Im(w).
Если переходный процесс задан этими составляющими, то возможен обратный переход
У1 (0 = (1 / я) f Re(w) cos wtdt\ -co
У2(0 = (1 / л) J Im(it') sin wtdt.
Общий переходный процесс будет определяться выражением
У(0 = ^(f) + У2(/).
Из этих преобразований видно, что для образования переходного процесса применяют одновременно как амплитудную, так и
138
фазовую частотные характеристики. Каждое из этих выражений содержит одну частотную характеристику — действительную или мнимую и является более удобным для оценки.
При исследовании устойчивости систем автоматического регулирования обычно исходят из частотных характеристик системы в разомкнутом состоянии. При полном анализе динамических свойств систем в качестве исходных данных пользуются амплитудной и фазовой частотными характеристиками разомкнутой системы. Для проверки результатов, получающихся при том или ином выборе указанных характеристик, пользуются действительной частотной характеристикой замкнутой системы.
Взаимосвязь формы амплитудно-частотного спектра с основными параметрами переходной характеристики можно проследить на стандартных спектрах, которые приведены в разд. 1.6.
Используя однозначные связи между частотными характеристиками и переходными функциями, можно установить ряд правил, позволяющих приближенно оценивать прямые показатели качества (перерегулирование и время регулирования по виду частотных характеристик):
•	если характеристика Re(w) непрерывная положительная функция w с отрицательной, монотонно убывающей производной dRe,(w)/dw (кривая А на рис. 1.34, о), то перерегулирование в системе отсутствует.
Длительность переходного процесса в этом случае заведомо больше, чем 4n/Wcp, т.е.
Т„ >4n/wcp,
где wcp— частота среза частотной характеристики на уровне 0,1;
•	если характеристика Re(w) положительная невозрастающая функция (кривая 2 на рис. 1.34, о), то для упрощения расчетов прямых показателей качества системы заменим площадь, ограниченную спектральной кривой, площадью трапеции, при этом перерегулирование не превышает 20 %. Длительность переходного процесса, соответствующего трапеции с частотой среза wcp, находится в пределах
л/шср <
2рег <4л/и>ср;
•	если характеристика Re(w) имеет максимум (кривая 3 на рис. 1.34, о), то приближенно может быть представлена в виде суммы площадей двух трапеций с высотами Re(0) = Re^ и Re(w) = = - [R-emax - Re(0>], при этом перерегулирование в системе заведомо больше 20 %:
_	_ 1,2 Re,^ Re(0). __
-------МО) 10°-
139
Длительность переходного процесса, вычисленная как сумма 1 площадей двух трапеций, находится в пределах	1
Зк < Т’рег Зя/Wcp.	|
Более точно эти параметры для данного случая можно оценить I по специальным номограммам.	|
Чем выше пик частотной характеристики, тем больше колеба- | тельность системы. Если эта характеристика имеет разрыв и обра- | щается в бесконечность, то система находится на границе устойчивости. Поскольку большинство реальных систем регулирования обладает колебательными свойствами, то характеристическое урав- | нение колебательной системы имеет по меньшей мере одну пару 1 комплексных корней, а ее амплитудная частотная характеристика | на частоте	имеет резонансный пик. Главным параметром этой I
замкнутой системы является показатель колебательности т и ре- | зонансная частота w^, а главными параметрами разомкнутой 1 системы — частота среза Wq, и наименьшая сопрягающая частота 1 t^conp. Чем больше показатель колебательности, т. е. максимум амп- 1 литудно-частотной характеристики, тем больше колебательность. |
Правила оценки качества по амплшудным частотным характерис- ] такам. Ранее были приведены основные параметры частотной ха- ] ракгеристики, которые влияют на качество системы регулирования. 1 Были указаны диапазоны изменения этих параметров. Здесь будут ] приведены основные выражения, по которым можно определять | значения параметров, характеризующих качество регулирования.
Показатель колебательности т связан с относительным коэффициентом демпфирования соотношением	]
т‘ЛЛт	при/>„,< 0,707,
а резонансная частота звена равна
»рез = «'max = «'ср(1 ~ 22>^,)1/2.
Колебательная переходная функция затухает по экспоненциальной огибающей
y/t\ _ у ехр( ДзтнШсрГ)	J
() 3 (1-Д^)1/2 •
Будем считать переходный процесс закончившимся, когда огибающая достигнет значения У(Трег) = 0,95У3.
Используя приведетаые выражения, можно установить зави- | сймбсть между длительностью переходного процесса Т^, резо- | нансной частотой и показателем т. При значениях т > 1,1 эта | зависимость достаточно хорошо аппроксимируется выражением
«'резГрег = 3,8 + 7,8(?Я-1).
140
Эта зависимость приведена на рис. 1.35, а.
Более грубо длительность переходного процесса системы можно оценить через время достижения первого максимума с помощью выражения
т.е. равно половине периода колебательной составляющей переходного процесса. Полагая, что переходный процесс в системе заканчивается за 1... 2 периода колебания, длительность процесса можно выразить через резонансную частоту
2рег = (1 ••• 2)2я/№рез.
Перерегулирование в системе определяется выражением o^expC-n^/d-^y/^lOO.
Связь перерегулирования с колебательностью определяется выражением (см. рис. 1.35, а)
сг = 12 + 36(м -1).	J''
Рассмотрим на примере влияние динамических свойств системы от формы и параметров частотной характеристики разомкнутого контура. Простейший разомкнутый контур, при помощи которого можно образовать колебательную систему, имеет передаточную функцию
И^(Р) = -Д-А—.
W р(7Ь + 1)
Передаточная функция замкнутой системы будет описываться выражением (рис. 1.35, б)
^зам(Р) = ^2 К--у-
7р2 + р + К
Если разделить числитель и знаменатель на коэффициент К и ввести обозначения Т\ = Т/К; 2ВО1„Т{ = 1/К; 2)отн = 1/(2 (А7),/2), то она примет вид
^(р)=Г2р2+22)(т17’1р + Г
Когда постоянная времени 7=0, разомкнутый контур вырождается в идеальное интегрирующее звено. ЛАЧХ контура (рис. 1.35, в) представляет собой прямую, проходящую с наклоном -20 дБ/дек через точку с координатами (20 IgK; w = 1) или (L(w) = 0; u»cp = К). Система в этом случае эквивалентна инерционному звену перво-
141
142
Рис. 1.35. Характеристики колебательной системы:
а — график -зависимостей Т^г и а от показателя колебательности; б — упрощенная структурная схема колебательной системы; в — связь апериодического процесса с логарифмической частотной характеристикой; г — связь колебательного переходного процесса с логарифмической частотной характеристикой при интегрирующем звене системы при < 0,5; д — при D^, = 0,5; е — при D„„ > 0,5
го порядка с постоянной времени Тж = 1/Wq>. Длительность переходного процесса равна
2рег = лТэи = n/lPq,.
При Т * 0 разомкнутый контур представляет собой реальное интегрирующее звено. ЛАЧХ контура состоит из двух прямых с наклоном -20 и -40 дБ/дек, которые сопрягаются при частоте Wconpi = 1/Т(рис. 1.35, г). В зависимости от соотношения параметров КтлТх возможны следующие три случая:
•	КТ> 1, при этом Wconp! < wcp < К и Вин < 0,5 (см. рис. 1.35, г);
•	КТ* 1, при этом Wconpi = о'ср = Хи Dam* 0,5 (рис. 1.35, д);
•	КТ < 1, при этом utonpi > Wap = К и Dam > 0,5 (рис. 1.35, е).
Частное значение КТ = 0,5 соответствует = 2»^ и Dam = = 0,7, т. е. апериодическому переходному процессу.
Из приведенных соотношений и графиков L(w) и К(/) следуют важные для практических расчетов выводы:
•	система обладает удовлетворительным затуханием (0,5 < Dam < < 0,7), если ее ЛАЧХ имеет при частоте наклон -20 дБ/дек;
•	переходный процесс в системе будет апериодическим (Dam > > 0,7), если наименьшая сопрягающая частота i^conpi превышает частоту среза Wcp в 2 раза и более; длительность переходного процесса при этом Гре,. = n/Wcp',
•	переходная функция системы тем ближе к экспоненте с постоянной времени Тэк * 1/гЦр, чем больше отношение t^conpi/^cp-
Интегральные оценки качества. Каждый из рассмотренных в предыдущем разделе показателей качества характеризует лишь одно какое-либо свойство системы. Причем все показатели связаны с настроечными параметрами системы сложными зависимостями, имеющими, как правило, противоречивый характер: изменение параметра приводит к улучшению одних показателей и к ухудшению других. Эго обстоятельство существенно затрудняет выбор параметров системы. Поэтому в инженерной практике широко используются интегральные показатели качества. Представление о каком-либо процессе, очевидно, достигается в том случае, когда этот процесс можно охарактеризовать одним числом, значение которого достаточно полно отражает протекание процесса в заданном интервале времени.
143
В основу интегральных методов оценки качества положены три выражения:
Л*г	Трет
= (1 /Грег) J	12 = (1/Трег) J е2(ОЛ;
о	о
Грег
1з =(1/^) J {e2(t) + T2[de(t)/dt]2}dt, о
где е(/) — функция ошибки регулирования; — время регулирования; Т — постоянная времени экспоненты, по которой желательно изменение переходного процесса для данной системы. Качество системы регулирования устанавливается по минимуму интегральной оценки. Различают линейные и квадратичные интегральные оценки. Первый интеграл является линейной оценкой, а второй и третий интегралы — квадратичными. Первый интеграл применяется для апериодических процессов.
Минимизируя указанные интегралы, можно получить те значения параметров, которые обеспечивают наибольшее быстродействие системы. Первый интеграл определяет алгебраическую сумму площадей, ограниченных кривой переходного процесса. Поэтому он может быть применен только для оценки неколебатель-ных монотонных процессов (см. рис. 1.35, д). Качество колебательного переходного процесса (см. рис. 1.35, е) лучше оценивать вторым интегралом. Это связано с тем, что применение первого интеграла для оценки колебательных переходных процессов дает неправильные результаты. Алгебраическая сумма за счет отрицательных составляющих переходного процесса будет уменьшаться, что и приводит к ошибке.
В колебательном переходном процессе важное место занимает частота переменной составляющей. От величины этой частоты будет зависеть значение второго интеграла 12, и; следовательно, она будет вносить погрешности при определении показателя качества. Для оценки переходных процессов с разными частотами колебания переходного процесса служит третий интеграл 13, поскольку слагаемое с производной от функции ошибки прямо пропорционально частоте колебательного процесса. На рис. 1.35, в, г показаны два колебательных процесса, которые оцениваются вторым и третьим интегралами. Разность между интегралами характеризует частоту двух колебательных процессов.
Контрольные вопросы
1.	Что характеризует качество системы?
2.	Как оценивается качество системы?
3.	Какими параметрами характеризуется качество системы?
144
4.	Что такое показатели качества?
5.	Как определяются показатели качества?
6.	Охарактеризуйте связь между показателем качества и положением корней на комплексной плоскости.
7.	Перечислите частотные методы анализа показателя качества.
8.	Как связаны показатель качества с логарифмической частотной характеристикой?
9.	Каково назначение интегральных оценок показателя качества?
1.13. корректирующие устройства
Решение задач по обеспечению устойчивости и качества процесса регулирования является первостепенным при проектировании автоматических систем. При одновременном решении этих задач можно выявить их противоречия: удовлетворительное решение первой задачи» соответствующее нужному запасу устойчивости, может привести к неудовлетворительным характеристикам в переходном процессе или в установившемся режиме. Возможен и противоположный случай, когда реализация требуемых характеристик качества, нацример связанная с повышением точности в установившемся типовом режиме, сопровождается чрезмерным понижением запаса устойчивости. Противоречие между двумя задачами особенно наглядно проявляется, если делается попытка решить их одним и тем же способом. Например, уменьшение ошибок в установившемся режиме методом повышении коэффициента усиления в разомкнутой системе, как правило, приводит к уменьшению запаса устойчивости. Метод, используемый для повышения статической точности, — повышения порядка астатиз-ма — также неблагоприятно сказывается на устойчивости, уменьшая запас устойчивости и увеличивая колебательность процесса.
Удовлетворительное решение задачи реализации как требуемой устойчивости, так и качества процесса регулирования может быть достигнуто при одновременном использовании упомянутых методов и изменении структуры системы или включении корректирующих устройств в прямую цепь либо цепь внутренней обратной связи. Основное назначение корректирующего устройства — изменение динамических свойств системы для достижения желаемых характеристик, что проявляется в изменении усиления отдельных гармоник или только в той области частот, которая оказывается существенной для формирования той или иной динамической характеристики. Влияние корректирующего устройства на динамические свойства системы проявляется также и в изменении фазовой характеристики.
Использование корректирующих устройств, изменение коэффициента усиления в разомкнутой цепи и изменение порядка ас-
145
татизма приводят в итоге к деформации частотных характеристик, что и определяет коррекцию динамических свойств системы.
Физическая основа коррекции состоит в следующем: динамические свойства системы необходимо изменить с помощью корректирующих устройств таким образом, чтобы приблизить их к желаемым. В этом случае обеспечиваются условия, при которых исполнительный механизм с помощью управляющего звена вырабатывает сигнал управления. Составляющие этого сигнала оказывают влияние на те или иные качественные показатели процесса регулирования. Так, например, применение дифференцирующих корректирующих устройств в прямой цепи системы позволяет осуществить дифференцирование сигнала ошибки и получить составляющую вращающего момента исполнительного механизма, пропорциональную скорости изменения рассогласования. Эта составляющая оказывает стабилизирующее действие на колебания переходного процесса. Использование в прямой цепи интегрирующих корректирующих устройств приводит к интегрированию сигнала ошибки и получению составляющей вращающего момента исполнительного механизма, пропорциональной интегралу ошибки. Эта интегральная составляющая момента действует на ошибку в установившемся режиме в направлении ее уменьшения до нуля. При ошибке, отличной от нуля, интегральная составляющая момента с течением времени будет возрастать, что вызовет ускорение выходного звена системы и уменьшение ошибки.
Таким образом, система автоматического регулирования, состоящая только из функционально необходимых элементов, обычно не обладает требуемыми показателями качества управления. В этом случае с целью обеспечения заданных динамических свойств в систему управления вводят специальные корректирующие устройства. Корректирующие устройства могут включаться либо последовательно с основными элементами системы, либо параллельно им. По способу включения в систему корректирующие устройства делятся на последовательные, параллельные и смешанные.
Последовательная коррекция* При последовательной коррекции дополнительное устройство включается последовательно с элементом системы. Оно включается в основном после измерительного датчика или предварительного усилителя.
На рис. 1.36, а изображена структурная схема системы с последовательным корректирующий устройством.
Применение последовательных корректирующих устройств наиболее удобно в системах, у которых сигнал управления представляет собой напряжение постоянного тока. В качестве последовательного корректирующего устройства чаще всего используются:
• форсирующее (дифференцирующее) звено, сигнал на выходе которого содержит составляющие, пропорциональные входному сигналу и производной от него.
146
Рис. 1.36. Корректирующее звено: а — последовательное включение корректирующего звена (1 — усилительное звено при К= 1; Кр— дифференцирующее звено); б — включение дифференцирующего корректирующего звена; в — функция ошибки регулирования;, г — параллельное включение корректирующего звена; д — встречно-параллельное Включение корректирующего звена
В качестве форсирующих устройств могут применяться: идеальное дифференцирующее звено с передаточной функцией
^кор(Р) = 7дифР>
где Тдаф — постоянная времени дифференцирующего звена; идеальное дифференцирующее звено с совместным введением производной и отклонения с передаточной функцией
И'кор(р) = *(W + 1), где К — коэффициент передачи;
147
инерционное дифференцирующее звено с передаточной функцией
нл /п\ _ % (^дифР + 1) , , кор(Р) ХТднфР + 1 ’
•	интегрирующее звено, дающее на выходе сигнал, пропорциональный интегралу входного сигнала, — идеальное интегрирующее звено с передаточной функцией
»Up) = 1/(W), инерционное интегрирующее звено с передаточной функцией 1 ^кор(р) ~ 1/(^дифР(^дифР+!))•	I
Использование корректирующего звена с передаточной функ- j цией идеального дифференцирующего звена ведет к потере ин- 1 формации о величине отклонения регулируемой величины. Если 1 необходимо учитывать как само отклонение, так и его произвол- 1 ную, то следует применять дифференцирующее звено (рис. 1.36, б). | Однако на практике осуществить идеальное дифференцирование ! очень трудно, поэтому передаточная функция корректирующего I устройства должна быть подобна передаточной функции реально- | го дифференцирующего звена (рис. 1.36, в);	|
•	интегродифференцирующее звено, сигнал которого на выхо- 1 де содержит составляющие, пропорциональные входному сигна- j лу, а также производную и интеграл от них.
Форсирующие звенья применяются с целью обеспечения устойчивости и заданных запасов устойчивости, улучшения каче- I ства переходного процесса. Интегрирующие звенья повышают 1 порядок астатизма системы и, следовательно, точность в установ- | ленном режиме.	I
Включение форсирующего звена соответствует введению в ал- 1 горитм управления производной от сигнала ошибки (рис. 1.36, г). ] При этом управляющее устройство функционирует как ПД-регу- I лятор, а управляющее воздействие равно сумме основной и диф- I ференцирующей составляющих сигнала ошибки. Чем больше ко- 1 эффициент воздействия по производной, тем больше опережаю- | щий сдвиг и тем самым сильнее, как правило, корректирующее 1 действие форсирующего звена.	I
Полезное корректирующее влияние форсирующего звена можно I пояснить также на временных функциях (см. рис. 1.36, в). На ри- | сунке показаны кривые изменения сигнала ошибки и его произ- I водной в некоторой инерционной системе управления. В моменты | времени 6 и /2 значения сигнала ошибки одинаковы, но в момент | система удаляется от заданного положения, а в момент t2 — при- | ближается к нему. В нескорректированной системе управляющее | воздействие в моменты времени 6 и t2 одинаково, что нерацио- 1
148
нально. Система будет функционировать более гибко и «умно», если в момент времени управляющее воздействие будет сильнее, чем в момент времени t2. Именно так функционирует система с форсирующим звеном, реагирующая на сумму составляющих: сигнала ошибки и его производной. В момент производная положительна и сумма больше, чем в момент /2, когда производная отрицательна.
Подбором коэффициента К можно добиться преобладания дифференциальной составляющей в некоторые моменты времени. Тогда, в момент /2 управляющее воздействие будет даже отрицательным и благодаря этому замедлять подход системы к заданному состоянию.
Если коэффициент К выбран с учетом инерционности неизменной части системы, то можно полностью исключить явление перерегулирования, т. е. существенно улучшить качество системы. Уменьшение перерегулирования происходит благодаря тому, что управляющее устройство с дифференцирующим звеном упреждает изменение управляемой величины в ближайшие моменты времени.
Введение в закон регулирования производных второго и более высокого порядков дает возможность более точного прогноза изменения управляемой величины. Однако технически изготовление дифференцирующих звеньев всегда связано с большими трудностями^
А теперь рассмотрим более подробно свойства интегродифференцирующего звена, у которого передаточная функция описывается выражением
/2р + 1
где 71 = /?1Сь Т2 «= R2C2.
Это звено может в равной степени проявлять дифференцирующие и интегрирующие свойства в зависимости от соотношения Т( и Т2. При Т2 > Tt проявляются интегрирующие свойства. В этом случае звено используется для коррекции высокочастотной часта частотной характеристики — для подавления высоких частот. При включении звена в контур амплитудная частотная характеристика в области высоких частот уменьшается. Эго позволяет уменьшить частоту среза, не изменяя общий передаточный коэффициент контура, или наоборот, увеличить коэффициент, не изменяя частоту среза.
Достоинством данного способа коррекции является также уменьшение ошибок, вызываемых высокочастотными помехами. Недостатки способа — снижение полосы пропускания системы и, как следствие, ухудшение быстродействия. Поэтому способ может использоваться лишь в тех случаях, когда допустимо снижение быстродействия системы.
149
С этими характеристиками звено создает в определенной области частот дополнительное отставание по фазе. Чтобы это отставание не ухудшало запас устойчивости системы, сопрягающие частоты устройства wi = 1/7J и а>2 = 1/Т2 должны находиться значительно левее частоты среза скорректированной системы. Соответственно постоянные времени устройства целесообразно выбирать из условий
Тх «(10... 20)/^; Т2 «(1О...2О)А^/«^,
где Лр К — требуемый по условию точности общий передаточный коэффициент разомкнутого контура.
Пассивное интегродифференцирующее звено с передаточной функцией
при *<1 г2р+1
с преобладанием дифференцирующих свойств (при Т\ > Т2) подавляет низкие частоты и уменьшает общий передаточный коэффициент контура. Так как обычно по условию точности нельзя допускать уменьшение общего коэффициента, то приходится одновременно с включением в контур пассивного звена обеспечить сохранение коэффициента на заданном уровне. Это достигается с помощью увеличения коэффициента усиления внутреннего усилителя. Тогда звено может быть использовано для увеличения амплитуд высокочастотных составляющих АЧХ. кроме того, рассматриваемое устройство, как и форсирующее звено, создает в определенной области частот опережение по фазе. Достоинство коррекции с помощью рассматриваемого звена состоит в том, что наряду с увеличением общего передаточного коэффициента удается увеличить и частоту среза, т.е. одновременно улучшить и точность, и быстродействие системы. Недостатки данного способа коррекции: необходимость дополнительного усиления, ухудшение помехозащищенности в области высоких частот.
Фазоопережающие свойства звена тем сильнее, чем больше отношение его постоянных времени 1\/Т2. Но это отношение нельзя выбирать очень большим, так как это ведет к существенному ослаблению сигнала при прохождении через корректирующее устройство. Ведь передаточный коэффициент К у рассматриваемой RC-цепи обратно пропорционален указанному отношению К = = 7^^. Поэтому на практике принимают
Тх/Т2 = 10...50 или К= 0,1...0,02.
Соответственно приходится обеспечивать дополнительное усиление с коэффициентом Каоа = 10...50.
Постоянную времени Тх корректирующего звена выбирают приблизительно равной наибольшей постоянной времени Гтах неизменяемой части системы (Т, = 7^).
150
При параллельной коррекции устройство включается параллельно или встречно-параллельно одному или нескольким основным элементам системы. Последний вариант применяется наиболее часто. При этом возможна коррекция двух видов: упреждающая, или прямая связь (см. рис. 1.36, г), и обратная связь (см. рис. 1.36, д). В этом случае параллельное корректирующее звено образует местную (локальную) обратную связь. Обратная связь является эффективным средством получения требуемых динамических характеристик системы. На практике чаще всего используют отрицательную обратную связь.
Эти параллельные корректирующие устройства для одной группы элементов системы включены параллельно, по отношению к другим элементам — встречно-параллельно. Так (см. рис. 1.36, г) корректирующее звено показано как параллельное включение к звену Для звеньев и Из это включение является встречнопараллельным.
В качестве параллельных корректирующих устройств чаще всего используются:
•	усилительное звено, сигнал которого пропорционален входному сигналу. Это звено осуществляет жесткую обетную связь с передаточной функцией
^кор(Р)=^
•	инерционная жесткая обратная связь с передаточной функцией
M)s№ + D:
•	идеальное дифференцирующее звено, сигнал которого на выходе пропорционален производной входного сигнала, осуществляет гибкую обратную связь. Передаточная функция этого звена описывается выражением
^кор(Р) ~ ^ЛифР,
•	инерционная гибкая обратная связь с передаточной функцией ^кор(Р) =^Р/(^о.сР + 1);
•	инерционная корректирующая обратная связь (астатическая коррекция) с передаточной функцией
W<o₽(p)
Контрольные вопросы
1.	Каково назначение корректирующих устройств?
2.	Где применяются последовательные и параллельные типы коррекции?
151
3.	Как связаны типы коррекции с законом регулирования?
4.	Какие параметры переходной функции можно изменять корректирующими устройствами?
1.14. Практические регуляторы
В соответствии с применяемым законом регулирования автоматические регуляторы непрерывного действия разделяются на пропорциональные, интегральные, пропорционально-интегральные, пропорционально-дифференциальные и пропорционально-интегродифференциальные.
В П-регуляторах перемещение регулирующего органа пропорционально отклонению регулируемой величины от заданного значения. Эти регуляторы также называются статическими, потому что в процессе регулирования они все время стремятся к заданному значению регулируемой величины. Для П-регуляторов диапазон регулируемой величины, в пределах которого происходит перемещение регулирующего органа из одного крайнего положения в другое, называется пределом пропорциональности. Предел пропорциональности регулятора является величиной, обратной его чувствительности. Чем больше предел пропорциональности регулятора, тем меньше его чувствительность, и наоборот.
Закон, реализуемый П-регулятором, описывается выражением (1.12).
Разность между минимальными и максимальными установившимися значениями регулируемой величины называют абсолютной статической неравномерностью. Ее наличие у П-регуляторов приводит к тому, что регулируемая величина изменяется по мере изменения нагрузки.
Основными преимуществами П-регулятора являются их быстродействие и высокая устойчивость процесса регулирования. Недостатком его является наличие остаточного отклонения регулируемой величины, что снижает точность регулирования. П-регу-ляторы применяются на объектах с малым самовыравниванием и без него, когда изменение нагрузки незначительно.
Интегральные регуляторы характеризуются перемещением регулирующего органа пропорционально интегралу отклонения регулируемой величины от заданного значения. Иначе говоря, регулирующий орган перемещается со скоростью, пропорциональной отклонению регулируемой величины:
dX/dt = bY/Tm
или
Х = (1/Тиз)/дУЛ,
152
где Тт — время изодрома, представляющее собой время, за которое регулирующий орган переместится из одного крайнего положения в другое при максимальном отклонении регулируемой величины от заданного значения. Оно является параметром настройки И-регулятора. Эти регуляторы строятся на базе усилительных и интегрирующих звеньев.
Применение И-регуляторов исключает остаточное отклонение регулируемой величины при изменениях нагрузки. Эти регуляторы работают тем лучше, чем больше степень самовыравнивания и меньше время запаздывания.
Пропорционально-интегральные регуляторы называются изод-ромными, или регуляторами с упругой обратной связью. ПИ-ре-гуляторы представляют собой совокупность пропорционального и интегрального регуляторов. Реализуемый им закон описывается выражением (1.13). Статический коэффициент усиления и время изодрома Тиз являются параметрами настройки регулятора. - Регулирующий орган в ПИ-регуЛяторах при наличии отклонения регулируемой величины сначала перемещается быстро (пропорционально отклонению), а затем продолжает свое перемещение в результате интегрального воздействия (медленно). В результате совместного действия двух законов регулирования регулиру-ющйй орган займет такое положение, при котором статическая ошибка будет ликвидирована. В результате наличие в регуляторе пропорционального воздействия убыстряет процесс стабилизации регулируемой величины, а интегральное воздействие снимает остаточное отклонение.
ПИ-регуляторы могут поддерживать в установившемся режиме постоянное значение регулируемой величины независимо от нагрузки и положения регулирующего органа. Эти регуляторы способны работать на объектах с различными свойствами.
Пропорционально-дифференциальные регуляторы обеспечивают перемещение регулирующего органа как пропорционально отклонению регулируемой величины, так и пропорционально скорости отклонения. Подобные регуляторы еще при подходе регулируемой величины к заданному значению осуществляют действия, препятствующие переходу величины за пределы заданного значения. В начальный момент рассогласования скорость отклонения регулируемой величины проявляется более значительно, чем изменение величины регулирующего параметра. Поэтому в закон регулирования ПД-регулятора вводят предваряющее воздействие, что эффективно сказывается на качестве регулирования. Закон регулирования ПД-регуляторов описывается уравнением
K[bY± Tad(&Y)/dt], где Та — время предварения. Знак плюс или минус указывает на то, что предварение может быть положительным или отрицатель
153
ным. Поскольку скорость изменения регулируемой величины есть первая производная ее изменения во времени, то такие регуляторы называют регуляторами по первой производной. Они применяются при регулировании быстропротекающих процессов.
Пропорционально-интегродифференциальные регуляторы (ПИД-регуляторы) часто называют изодромными с предварением. В ПИД-регуляторах регулирующий орган перемещается пропорционально величине отклонения, интегралу и скорости отклонения регулируемой величины. Работу этих регуляторов можно рассматривать как совместное действие статического и астатического регуляторов с учетом скорости изменения регулируемой величины. Закон регулирования ПИД-регуляторов выражается дифференциальным уравнением
X » *[АУ + (1 /Тиз)/ ДУЛ ± T^d(^Y)/dt].
Параметрами настройки ПИД-регулятора служат статический коэффициент передачи К, время изодрома Тт и время предварения — Тдйф. Приставка предварения вырабатывает сигнал, который заставляет регулирующий орган перемещаться с некоторым временным опережением, возрастающим с увеличением скорости изменения регулируемой величины. Предварение может осуществляться с помощью подключенных на вход регулятора элементов, измеряющих скорость изменения регулируемой величины или введением дополнительной обратной связи.
ПИД-регуляторы сочетают свойства всех уже рассмотренных регуляторов. Они удовлетворяют наиболее трудным условиям и требованиям регулирования.
Условия выбора регуляторов. Применение регуляторов с различными характеристиками для одного и того же объекта приводит к разным результатам. Поэтому тип регулятора необходимо выбирать с учетом свойств объектов. Если отсутствуют сведения о динамических свойствах объекта, то регуляторы необходимо выбирать по аналогии с действующими объектами или на основании предположительных сведений о свойствах объекта. Выбор регулятора обычно начинают с определения характера действия объекта регулирования: непрерывный, позиционный и импульсный.
Для объектов с известными основными свойствами регулятор выбирается следующим образом:
•	по кривой разгона определяются основные динамические параметры объекта (время полного запаздывания /^п, постоянная времени объекта Т, максимальное возмущение
•	по этим данным определяется характеристика объекта
Если эта величина меньше единицы < 1), то применяют непрерывный регулятор, при t^„/T < 0,2 применяют релейный
154
или импульсный регулятор, при > 1 применяют импульсный регулятор;
•	задаются оптимальным характером переходного процесса. Рекомендуется задавать апериодический процесс, когда требуется исключить влияние регулирующего воздействия данной системы на другие регулируемые величины сложного объекта регулирования. Колебательный переходный процесс применяется в тех случаях, когда технологический процесс объекта допускает перерегулирование контролируемой величины;
•	исходя из условий протекания технологического процесса, задаются динамическим отклонением Yt регулируемой величины и допустимым остаточным ее отклонением Уст по окончании переходного процесса;
•	определяется динамический коэффициент регулирования /?дин, который характеризует степень воздействия регулятора на отклонение регулируемой величины (при отсутствии регулятора):
R^Yi/KJ^Y^Y^-YJ,
тли Ко — коэффициент передачи объекта; УкоН, Y3 — конечное и заданное значения регулируемой величины; 2тах — максимальное возмущающее воздействие в процентах от хода регулятора;
 «по кривым, приведенным на рис. 1.37, выбирают тип регулятора непрерывного действия. На рис. 1.37, а представлена зависимость динамического коэффициента регулирования при апериодических процессах для различных регуляторов. На рис. 1.37, б изображена зависимость Ra при 20%-ном перерегулировании. На рис. 1.37, в изображена зависимость при процессах с минимальной средней квадратической ошибкой;
• для выбранного типа регулятора по кривым (рис. 1,37, ж) определяют остаточное отклонение е в процентах, а затем рассчитывают ДУост в единицах регулируемой величины по формуле
& УсТ ~
и сравнивают его с допустимым значением. Если Л Уст превышает допустимое значение, то следует выбрать другой тип регулятора.
Выбрав соответствующий тип регулятора, который обеспечивает его успешную работу в системе автоматического регулирования, приступают к определению оптимальных значений параметров настройки регулятора.
Для регуляторов П- и И-типа параметром настройки является только коэффициент передачи регулятора К^, для ПИ-регулято-ра в качестве второго параметра добавляется время изодрома ТУ, для ПИД-регулятора учитывается еще третий параметр — время предварения (дифференцирования) ТУф.
Оптимальные значения параметров настройки можно определять различными методами: с помощью расчета по приближен-
155
Рис. 1.37. Изменение динамического коэффициента регулирования от отношения времени запаздывания к постоянной времени: а — для апериодических процессов; б — для процессов с 20 %-ным перерегулированием; в — для процессов с минимальной средней квадратической ошибкой; г — для П-регулятора; д — для И-регулятора; е — для ПИД-регулятора (/ — апериодический процесс; 2 — 20%-ное перерегулирование; 3 — минимальная средняя квадратическая ошибка); ж — остаточное отклонение при регулировании (/ — апериодический процесс; 2— 20 %-ное перерегулирование; 5 — минимальная средняя квадратическая ошибка); з— время регулирования для И-регулятора (1 — апериодический процесс; 2 — 20 %-ное перерегулирование; 3 — минимальная средняя квадратическая ошибка)
156
ным формулам, по графическим зависимостям, путем экспериментального поиска. Рассчитать оптимальные значения параметров настройки можно, если известны конкретные величины свойств объекта регулирования: постоянная времени Т, время запаздывания /зап, коэффициент передачи К„. Для различных регуляторов формулы расчета приведены в табл. 1.1.
Таблица 1.1
Тип регулятора	Формулы для определения параметров настройки регуляторов		
	с апериодическим переходным процессом	с 20 %-ным перерегулированием переходного процесса	с минимальной средней квадратической ошибкой переходного процесса
И	Г -	1 ₽еГ 4,5КОТ	к 1— 1,7 К0Т	g -	1 рег 1,7 К^/Т
П	0,3 ‘ K^ = Kt IT Ло,зап//	0,7 Kper~Kot3m/T	Y	0>9
ПИ	к - °’6 рег Гиэ=0,8гзап+0,5Т	г	°»7 АЮà = к t IT Гиз=Гзап+0,ЗТ	Крег = к01ж/т Гиз = (зап + (MST
ПИД	г	°’95 Р*1 F / /Т Ло,зап/-< Тиз — 2,4/^ Тдиф ~ 0,4/зап	К - u РеГ  ^зап/Г Гиз = 2/зап Тдиф = 0,4/здп	к - 1>4 **Г ^зап/Г 7^3 = 1, 3/зод ?диф 0» 5/зал
Таблица 1.2
Тип регулятора	Значения отношения	для регуляторов		
	с апериодическим переходным процессом	с 20 %-ным перерегулированием переходного процесса	с минимальной средней квадратической ошибкой переходного процесса
П	4,5	6,5	9
ПИ	' 8	12	16
ПИД	5,5	7	10
157
Время регулирования. Относительное время регулирования Урег/^зап для регуляторов всех типов зависит от характера типового оптимального процесса регулирования. Минимальное время регулирования для всех четырех законов регулирования достигается при граничных апериодических процессах.
Изменение времени в трех режимах работы (процессы) для И-регулятора показано на рис. 1.37, з. Для остальных регуляторов это время практически является постоянной величиной. Эти значения для отношения приведены в табл. 1.2.
Контрольные вопросы
1.	Каково назначение регуляторов?
2.	Перечислите типы регуляторов.
3.	Сформулируйте условия выбора регулятора.
4.	Какие параметры настройки имеют регуляторы?
5.	Какие существуют режимы работы регуляторов?
ГЛАВА 2
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
2.1. Типовые нелинейности автоматических систем
Нелинейной системой автоматического регулирования называется динамическая система, хотя бы один элемент которой описывается нелинейным дифференциальным уравнением или имеет нелинейную статическую характеристику. Нелинейная система не обладает свойствами суперпозиции и пропорциональности. Для нелинейных систем характерно то, что процессы в этих системах и собственные их движения гораздо разнообразнее и сложнее процессов и движений в линейных системах. Регулируемая координата в статике не пропорциональна входному воздействию. Реакция такой системы на произвольное входное воздействие не может быть найдена как сумма реакций на отдельные составляющие входного воздействия. Показатели качества переходного процесса, полученные в нелинейной системе управления при ступенчатом входном воздействии, не позволяют сделать заключение о характере переходного процесса системы.
Нелинейные системы могут обладать качественными особенностями, которые не свойственны линейным системам, например возникновение периодических колебаний, наличие нескольких равновесных состояний, Только часть которых устойчива, переход системы из одного установившегося движения в другое под действием внешних сил. Появление и установление того или иного вида периодического режима зависят от начальных условий. В нелинейной системе сам характер собственных движений (гармонические колебания, затухающие или нарастающие колебания, апериодический процесс) зависит от начальных условий. Одна и та же система при различных начальных условиях может совершать различные по своему характеру движения.
При периодическом внешнем входном возмущении в нелинейной системе могут наблюдаться резонансы, несвойственные линейным системам и характеризующиеся неоднозначной зависимостью амплитуды вынужденных колебаний от частоты. Резонанс в нелинейной системе возможен и на дробной частоте, т.е. на частоте, равной некоторой доле частоты входного возмущения.
159
Наконец, некоторым нелинейным системам свойственны явления параметрического возбуждения и резонанса, заключающиеся в том, что в системе возникают колебания при периодическом изменении какого-либо ее параметра.
Особые свойства нелинейных систем широко используются в технике. На этих свойствах основано генерирование электрических колебаний, выпрямление переменного тока, умножение и деление частот и другие процессы. Существует большое число нелинейных автоматических систем, в которых рационально используются нелинейные характеристики отдельных элементов, и на этой основе получаются хорошие практические результаты. По динамическим качествам нелинейные автоматические системы во многих случаях превосходят линейные Системы.
Однако в некоторых случаях нелинейности характеристик являются вредными факторами. Их надо либо устранять, либо выбирать режимы работы таким образом, чтобы нелинейности не оказывали существенного влияния на процессы в системе.
Особенности поведения нелинейных систем и многообразие процессов в них затрудняют их точное математическое описание. Несмотря на это, задачи исследования нелинейных систем (несравненно более трудные, чем задачи исследования линейных систем) в современной технике становятся все более актуальными. Можно выделить две основные проблемы теории нелинейных систем. Первая проблема — исследование влияния нелинейных характеристик некоторых реальных элементов на процессы в системах, которые являются линейными и проектируются как линейные. В этих случаях наличие нелинейных зависимостей изменяет только количественные характеристики процессов в системах. Необходимо учесть их влияние или спроектировать систему так, чтобы процессы в ней не выходили из границ линейности характеристик элементов. Вторая проблема — исследование принципиально нелинейных систем, имеющих в своем составе нелинейные элементы, которые определяют характерные особенности динамических процессов в таких системах. Для решения этой проблемы следует рассмотреть задачи анализа процессов в нелинейных системах и синтеза систем, обладающих заданными динамическими характеристиками.
Существует такое многообразие нелинейных систем, что практически трудно говорить о «классах» нелинейных систем вообще. Можно только с большим допущением произвести разделение между гладкими нелинейностями и нелинейностями с разрывами.
Рассмотрим распространенные в системах автоматического регулирования нелинейные системы, характеризуемые следующими особенностями:
• систему можно представить в виде соединения из двух частей — линейной части, описываемой линейными дифференциальными
160
уравнениями с постоянными коэффициентами, и нелинейного элемента (рис. 2.1, а);
• нелинейный элемент является безынерционным, и его входная и выходная величины связаны между собой нелинейными алгебраическими уравнениями.
Нелинейность рассматриваемых систем обусловлена нелинейностью статической характеристики одного из ее элементов. Если система содержит несколько нелинейных элементов, то следует заменить нелинейные элементы одним элементом с результирующей статической характеристикой. Если и дальше обобщать особенности нелинейных систем, то следует признать, что реальные элементы автоматических систем, строго говоря, в большинстве случаев нелинейны, и лишь в определенных пределах можно считать их линейными. Так, например, закон Ома дает линейную зависимость падения напряжения на сопротивлении от тока. Однако в действительности сопротивление проводника зависит от его - температуры, которая в свою очередь зависит от протекающего по проводнику тока. Вследствие этого зависимость падения напряжения от тока получается значительно более сложной и не совсем линейной. И лишь при допущении, что она изменяется в достаточно малом диапазоне, чтобы можно было пренебречь изменением сопротивления, можно принять зависимость падения напряжения от тока в проводнике линейной. Точно так же зависимость напряжения на выходе потенциометра от перемещения ползуна лишь приближенно можно считать линейной. В действительности напряжение на выходе потенциометра мало изменяется при перемещении движка до тех пор, пока имеется контакт движка с витком, и быстро изменяется при разрыве контакта с данным витком и вхождении ползуна в контакт с новым витком. Вследствие этого действительная зависимость напряжения на выходе потенциометра от перемещения движка близка к ступенчатой, и лишь при достаточно малой толщине проволоки можно считать зависимость плавной.
Таким образом, практически любая автоматическая система является нелинейной и лишь приближенно может считаться линейной. Однако нелинейности такого характера оказывают пренебрежимо малое влияние на свойства системы. Теория линейных систем, изложенная в предыдущей главе, дает хорошие результаты в решении практических задач с подобными нелинейностями.
Как было уже отмечено, в состав автоматических систем часто входят нелинейные элементы, которые изменяют характер системы и придают ей такие свойства, которые никак не могут быть исследованы в рамках линейной теории. Среди нелинейных элементов автоматических систем особую роль играют так называемые безынерционные нелинейности, не обладающие заметным запаздыванием. Можно назвать элементарным безынерционным
6 Горошков
161
162
Рис. 2.1. Структурные схемы и статические характеристики нелинейных элементов:
а — встречно-параллельное включение линейного (ЛЭ) и нелинейного (НЭ) элементов системы; б — нелинейная характеристика усилителя; в — соединение двух нелинейных элементов и построение результирующей статической характеристики; г — соединение трех нелинейных элементов и построение результирующей статической характеристики; д — определение статической характеристики нелинейного элемента с целью получения результирующей линейной статической характеристики; е — определение статической характеристики нелинейного элемента, включенного последовательно к двум нелинейным элементам; ж — нелинейная статическая характеристика 5-типа; з — нелинейная статическая характеристика Л-типа; и — схема включения параллельного звена (усилителя) к нелинейному элементу с характеристикой ЛГ-типа; к — построение результирующей статической характеристики; л — схема включения параллельного звена к нелинейному элементу с характеристикой 5-типа; м — построение результирующей статической характеристики
звеном любую систему, выходная переменная которой в каждый данный момент времени зависит только от значения входной переменной в тот же момент времени и не зависит от того, как изменялась входная переменная до данного момента. Таким образом, зависимость между входной и выходной переменными элементарного безынерционного звена является обычной функциональной связью.
Безынерционные усилители, входящие в состав линейных систем, являются звеньями с линейными характеристиками. В практических задачах обычно всегда удается все нелинейные свойства системы отнести к безынерционным звеньям, т. е. считать с достаточной точностью любую систему состоящей из ряда линейных систем и элементарных нелинейных безынерционных звеньев, соединенных различными связями.
К первой группе относятся такие нелинейные характеристики, которые при малом диапазоне изменения входного параметра или при малом его отклонении от изменяющегося среднего значения могут быть заменены линейными. Отклонение от линейной зависимости между входным и выходным параметрами у таких элементов объясняется влиянием особенностей их устройства, естественным ограничением мощности источников энергии или насыщением. Такие характеристики можно аппроксимировать полиномами или выразить через однозначные аналитические функции. На рис. 2.1, б приведена типовая характеристика усилителя с насыщением. Насыщение наступает постепенно при больших значениях входного сигнала. Наличие подобных нелинейностей в системе обычно мало сказывается на ее динамике, а именно при малых значениях входных сигналов таких нелинейностей система ведет себя как линейная, и только при больших входных сигналах
163
проявляются ее нелинейные свойства, которые необходимо учитывать.
Вторая группа нелинейных характеристик нелинейные функции с разрывами. Зависимость между входной и выходной переменными для таких элементов чаще всего может быть приближенно представлена в виде кусочно-линейных функций.
Нелинейности второй группы чрезвычайно разнообразны, а элементы с такими характеристиками имеют широкое применение в автоматических системах. Преобразование любого входного сигнала с этими нелинейными элементами всегда нелинейное. Типовые характеристики элементарных нелинейных звеньев приведены в разд. 1.2.
Одна и та же нелинейность может выражать зависимость между входным и выходным сигналами для ряда типовых нелинейных элементов, основанных на различных физических принципах. Иными словами, одна и та же нелинейность может характеризовать функциональные свойства различных реальных элементов. Пользуясь характеристиками нелинейных звеньев, можно определить выходную переменную звеньев, если входная переменная задана как функция времени.
Однако при теоретических, а иногда и при экспериментальных исследованиях нелинейных систем не всегда удобно пользоваться реальными характеристиками нелинейных звеньев. Во многих случаях целесообразно заменить реальные нелинейности некоторыми приближенными зависимостями между входной и выходной переменными. Довольно широкое распространение получили различные методы линеаризации нелинейностей, основанные на замен® действительных зависимостей между входными и выходными переменными приближенными линейными зависимостями. Линеаризацию необходимо производить так, чтобы учесть хотя бы приближенно (в среднем) нелинейные свойства элементов.
На рис. 2.1, в приведена схема соединения элементов с гладкими нелинейностями и построена результирующая характеристика двух последовательно включенных нелинейных элементов. В первом квадранте построена статическая характеристика I звена, во втором квадранте — характеристика II звена, но так, что ее оси повернуты на 90° (ось абсцисс II звена совпадает с осью ординат характеристики / звена, а ось ординат //звена направлена по отрицательной полуоси абсцисс). Зададим некоторое значение на оси X] (точка /). Восстановим перпендикуляр в этой точке до пересечения с характеристикой /, получим точку 2. Из точки 2 проведем линию, параллельную горизонтальной оси, до пересечения с характеристикой II. Получим точку 3. Отрезок 0а от начала координат до основания перпендикуляра, опущенного из точки 3 на ось абсцисс, равен искомому значению У2. Но удобнее построить характеристику III в четвертом квадранте, поэтому перенесем точку
164
3 с помощью биссектрисы квадратурного угла ОЛ. Для этого из точки 3 проведем вертикальную линию 3— 4 до пересечения с ОЛ. Получим точку 4 и из этой точки проведем горизонтальную линию 4—5 до встречи с продолжением перпендикуляра 1—2, и получим точку 5. Точка 5 принадлежит статической характеристике III эквивалентного звена. Найдем аналогичным способом ряд точек, соединив их плавной кривой, получим результирующую характеристику III.
Наиболее просто строится характеристика последовательного соединения трех звеньев. Характеристики II и III располагаются, как и в предыдущем случае, в первом и втором квадрантах, характеристика III — в третьем квадранте (с соответствующим поворотом осей) (рис. 2.1, г). В результате такого построения можно три нелинейных элемента заменить одним эквивалентным, что значительно упрощает процесс анализа структурных схем системы.
Поскольку известен способ построения результирующей характеристики двух нелинейных элементов, возникает вопрос, какой нелинейный элемент необходимо поставить последовательно с основным (первым) элементом, чтобы общая характеристика была линейной. Для решения этого вопроса воспользуемся графическим методом решения задачи. К элементу с нелинейной характеристикой подключается последовательно второй нелинейный элемент, статическая характеристика которого имеет зеркальное отображение характеристики основного нелинейного элемента. Второй нелинейный элемент компенсирует нелинейность первого элемента.
Поместим в первый квадрант исходную характеристику нелинейного элемента (рис. 2.1, д). В третьем квадранте под любым заданным углом проводится прямая. Это результирующая общая характеристика, которую необходимо получить в результате соединения двух звеньев. Как и в предыдущих случаях, на оси Х} выбирается точка Д. Проводится перпендикуляр из этой точки до пересечения его с характеристикой I. Получим точку At. Из этой точки проводится горизонтальная прямая, которая проходит во второй квадрант. Точка Д переносится на ось Х{ (получаем Д'). Из точки Д проводим горизонтальную прямую до пересечения с линейной статической характеристикой в точке Аг. Из точки Л2 проводится вертикальная прямая, которая проходит во второй квадрант, где встречается с горизонтальной прямой в точке А3. Если на оси ОД выделить несколько исходных точек, то можно построить искомую нелинейную характеристику. Положение этой характеристики в системе координат можно регулировать, меняя углы наклона результирующей прямой линии. Таким образом, если последовательно с основным нелинейным элементом поставить дополнительный нелинейный элемент, то при совместном действии этих элементов получим эквивалентный элемент с линейной характеристикой.
165
С помощью этого метода можно исправить общую нелинейность двух, трех и более элементов, включенных в цепь управления. На рис. 2.1, е показан принцип компенсации нелинейностей двух элементов. Здесь также можно получить линейную характеристику с любым углом наклона к осям координат.
Описанный метод может быть распространен на большее число нелинейных элементов в системе при условии, что последовательно с каждым основным нелинейным элементом подключается дополнительный нелинейный элемент. Важно не создавать массового подключения нелинейных элементов, следующих друг за другом и параллельных друг другу, которые могут сформировать статические характеристики при ЛУ7(ДА') < 0.
В этом случае приходится решать более сложную задачу по устранению нелинейности в передаточных функциях. Участок с отрицательным значением ЛУ/ЧЛХ) значительно усложняет процесс подбора необходимой нелинейности для получения общей линейной статической характеристики. Существование в системе элементов с такими характеристиками приводит к возникновению колебательного режима в системе, что чревато неприятными последствиями. Эти нелинейности могут быть двух типов 5и N, Нелинейность 5-типа показана на рис. 2.1, ж, а нелинейность У-типа — на рис. 2.1, з.
Для устранения нелинейности У-типа необходимо параллельно нелинейному элементу (НЭ) поставить усилительное звено (У) с коэффициентом передачи К (рис. 2.1, и). Коэффициент передачи усилительного звена определяется при совместном взаимодействии двух статических характеристик элементов, которые изображены на рис. 2.1, к. На этом рисунке характеристика нелинейного элемента имеет две точки А и В, где происходит изменение знака коэффициента передачи характеристики нелинейного элемента. Из точки А проведем горизонтальную прямую. Из точки В опустим перпендикуляр к оси абсцисс. Этот перпендикуляр пересечет горизонтальную линию в точке D. Через эту точку и начало координат проведем прямую, которая является статической характеристикой усилительного звена. От точки D по горизонтали отложим значение ординаты нелинейного элемента ВС. В результате получим точку Mpcj. Суммируя ординаты линейной характеристики с ординатами нелинейной характеристики, получим общую статическую характеристику этих двух элементов. Она является также нелинейной. Однако эта нелинейность может устраняться ранее описанным методом, что может привести к линейности в системе управления объектом.
Устранение нелинейностей 5-типа осуществляется также с помощью усилительного звена, включенного в отрицательную обратную связь нелинейного элемента по схеме встречно-параллельного включения (рис. 2.1, л). Процесс взаимодействия двух
166
статических характеристик этих элементов показан на рис. 2.1, м. В первом квадранте построена характеристика нелинейного звена. Во втором квадранте должна располагаться линейная характеристика усилительного звена. Чтобы определить ее положение, необходимо из точки А провести вертикальную прямую. Через точку В проведем горизонтальную прямую, которая пересечет ось ординат в точке С, и через точку D — вертикальную прямую. Соединим точку D с началом координат и получим прямую, которая является характеристикой усилительного звена. Эту характеристику строим во втором квадранте. К отрезку CD прибавим отрезок СВ. В результате получим точку М^. Эта точка принадлежит результирующей характеристике двух элементов. Соединяя аналогичным образом остальные значения ординат двух характеристик, можно получить и другие точки результирующей характеристики. В итоге получается нелинейная характеристика, у которой отсутствуем участок с отрицательным значением коэффициента передачи. Эта нелинейность сравнительно простым способом устраняется с помощью ранее описанного метода.
Таким образом, описанные методы устранения гладких нелинейностей в статических характеристиках элементов позволяют значительно расширить область применения линейной теории автоматического управления.
Контрольные вопросы
1. Какие системы являются нелинейными?
• 2. Кто определяет нелинейность элемента?
3.	Постройте общую статическую характеристику для двух, трех последовательно включенных нелинейных элементов.
4.	Какие требуются условия для преобразования статической характеристики нелинейного элемента в линейную?
5.	Перечислите нелинейности N- и 5-типа и способы включения корректирующих элементов с целью получения эквивалентной статической характеристики линейного типа.
2.2. Математическое описание гладких нелинейных характеристик
Распространение аналитических методов анализа системы управления в сильной степени зависит от математического описания статических характеристик элементов, входящих в систему. Если к этому вопросу подходить с общих позиций, то здесь необходимо применять уравнения полиномов шестой и более степеней:
Y= AtX+ А2Х2 + А3Х3 + АаХ4 + AiX5 + А^6.
167
Степень этого уравнения определяется числом реперных точек нелинейной характеристики Л^-типа (рис. 2.2). Характеристики нелинейных элементов, где отсутствует участок с отрицательными значениями коэффициента передачи, могут описываться полиномом четвертой степени. В этом случае возникают большие погрешности, поэтому в дальнейших вычислениях будем пользоваться полиномом шестой степени.
Точки 7, 2, 3, 4, 5, 6 характеристики принадлежат кривой, описываемой этим полиномом. Если подставить в уравнение полинома значение Хь то получим значение Y2. Это относится и к остальным реперным точкам характеристики. В результате можно написать систему уравнений
У2 = АхХх + А2Х* + АХ3 + 4»х,4 + Л5Х1 + 4Х,6;
Y3 = А,Х2 + А2Х* + А3Х% +	+ А5Х2 + 4Х26;
Y2 = АхХ3 + Л2Х32 + А3Х2 + 4»Х34 + 4*з + АбХ^; Yt = 4X4 + А2Х? + А3Х* + Л4Х44 + 4X4 + АвХ$', Y2 = 4X5 + 4Х2 + А3Х1 + ЛХ54 + 4Х55 + 4Х5б; Y3 = АхХ6 + А2Х> + 4Х63,+ 4X64 + 4ЛГ| + 4Хвб.
Для упрощения решения этих полиномов здесь только три значения ординат реперных точек Уь У2и Y3. Это не обязательно соблюдать, каждая точка может иметь свои координатные значения. Они также подставляются в полином, и получается система уравнений. В этой системе уравнений неизвестными являются значения коэффициентов А. Имеем шесть неизвестных и Шесть уравнений. Систему можно решить (целесообразно методом Гаусса) и определить все шесть неизвестных.
Полином с шестью членами довольно подробно описывает характеристику нелинейного элемента. Однако при аналитическом преобразовании этого выражения можно натолкнуться на некоторые трудности по определению корней уравнения, когда необходимо определить координаты экстремальных точек. В этом случае требуется определить корни уравнения пятой степени. Эта задача непросто решается. Для преобразования аналитического выражения нелинейной характеристики целесообразно сократить порядок этого уравнения до трех:
У = 4Х +4Х2 + 4Х3.
Чтобы показать применение метода Гаусса для решения подобных систем уравнений, приведем пример
Рис. 2.2. Положение реперных точек для определения коэффициентов аналитического выражения
168
2At + 4Л2 + 8/43 = 8;
ЗАг + 9А2 + 27Л3 = 3; 4At + 16Л2 + 64Л3 = 8.
Составим матрицу
2 4 8 8
3 9 27 3
4 16 64 8.
Первую строку разделим на 2, вторую строку — на 3, третью строку — на 4.
Получим 1
1
1
4 9 16
4
3 2.
Первую строку вычтем из второй и третьей: 1 2 4 О 1 5 О 2 12
Вторую строку умножим на 2 и вычтем из третьей:
2 2 5.
12 4 2
0 15-3
0 0 2-2.
Разделим третью строку на 2:
12 4 4
0 1 5-3
0 0 1-1.
Умножим третью строку на 5 и вычтем из второй:
12 4 4 0 10-3 0 0 12.
Умножим третью строку на 4 и вычтем из первой:
12 0-4 0 1 0-1 0 0 12.
2
3
4
169
Умножим вторую строку на 2 и вычтем из первой:
1 0 0 18 О 1 0-13 0 0 12.
В результате получим At = 18, А2 = -13, А3 = 2.
Для определения параметров характеристики усилительного звена необходимо знать координаты точек А и В (см. рис. 2.1, к) нелинейной характеристики. Для этого определяются экстремальные точки нелинейной характеристики через производную dY/dX= = 0. Получим
0 = At + 2А2Х+ ЗАуХ2 или
6JT - 26Х+ 18 = 0; X2 - 4,ЗХ+ 3 = 0.
Решим это уравнение и получим корни
X, = 2,9; Х2 = 0,9.
Выбираем максимальное значение корня, который характеризует положение минимума нелинейной характеристики. Подставим это значение корня в исходное уравнение и получим ординату точки В Ye w -1. Если подставить второй корень в исходное уравнение, то получим ординату точки A YA = - 8,66. В результате можно определить коэффициент передачи усилительного звена ,
К= YA/YB = 1/8,66 = 0,11.
Контрольные вопросы
1.	какими уравнениями описываются нелинейные элементы У-типа?
2.	Каким методом определяются коэффициенты математического уравнения?
3.	Назовите способ составления матрицы для определения коэффициентов полинома.
2.3.	Параметры нелинейных характеристик с разрывами
Этот класс нелинейных характеристик описывает большое множество практических устройств. Характеристики этих устройств не могут быть линеаризованы в требуемом диапазоне изменения входной величины либо представляются функциями, которые не
170
могут быть разложены в ряд Тейлора. Отличительная черта таких характеристик — наличие разрывов первой, второй и более высоких степеней производных данной функции по входной координате.
На рис. 2.3 приведены наиболее встречающиеся характеристики нелинейных элементов. Характеристика, изображенная на рис. 2.3, а, имеет зону нечувствительности. Если на вход системы или ее элементов, обладающих зоной нечувствительности, подать сигнал, то пока величина этого сигнала не превысит некоторого определенного значения, на выходе системы не возникнет никакого ответного сигнала. Это пороговое значение входного сигнала определяет величину нечувствительности данного устройства. Пороговые значения входных сигналов разных знаков определяют величину зоны нечувствительности. Для выявления зоны нечувствительности снимается статическая характеристика системы или ее элементов, представляющая зависимость выходного сигнала от входного. Зона нечувствительности ДГН отражена некоторым участком статической характеристики, расположенным по оси абсцисс с ординатой, равной нулю.
Появление зон нечувствительности в характеристиках различных элементов системы может вызываться различными причинами, зависящими от конструктивного выполнения данного устройства, его типа, вида вспомогательной энергии и т.д. Следует заметить, что и природа нечувствительности, и характер элемента системы, в котором имеется зона нечувствительности (датчик, усилитель, исполнительный механизм), различно влияют на динамику систем регулирования. В одних случаях наличие зоны нечувствительности может вызвать неустойчивость системы или ее автоколебания, в других — способствовать ее устойчивости и подавлению автоколебаний.
Нечувствительность систем может вызываться, например, перекрыванием механических передаточных функций в управляющих элементах (типа сопло-заслонка), что может вызываться предварительной затяжкой корректирующих пружин, устанавливающих ре
Рис. 2.3. Статические характеристики нелинейных элементов: а — с зоной нечувствительности; б — с зоной насыщения; в — с релейностью
171
гулирующий орган в исходное положение, сухим трением в подвижных частях различных элементов системы, внешней нагрузкой постоянного действия, зазорами в шарнирах и зубчатых соединениях, зазорами между контактами электрического устройства, контактным давлением в реле, определяющим ток срабатывания и т.п.
На рис. 2.3, б приведена нелинейная характеристика с зоной насыщения. В зонах насыщения выходная величина системы регулирования не меняется с изменением входной величины. В характеристике это отражается наличием участка, параллельного оси абсцисс. В этой характеристике отсутствует зона нечувствительности. Вслед за линейной зоной в характеристике начинается участок насыщения. Если на линейном участке передаточный коэффициент остается постоянным, то по мере вхождения в зону Насыщения значение передаточного коэффициента будет уменьшаться, т.е. передаточный коэффициент такой нелинейной характеристики всегда будет меньше, чем линейной. В системе автоматического регулирования с такой нелинейной характеристикой возникают нарастающие колебания, при перемещении рабочей точки в нелинейную зону передаточный коэффициент будет уменьшаться, и в системе могут установиться стационарные колебания.
Наличие зон насыщения в характеристиках систем автоматического регулирования объясняется ограничениями мощностей вспомогательных источников энергии и размеров элементов и устройств.
При разработке тех или иных устройств стремятся повысить передаточный коэффициент, с тем чтобы получить возможно большее быстродействие системы. Однако выдерживать во всем необходимом диапазоне изменения входного параметра требуемый передаточный коэффициент часто конструктивно весьма сложно, так как это может привести к резкому увеличению потребляемой мощности, а также габаритных размеров, массы. Поскольку устойчивость обеспечивается малыми отклонениями относительно заданного состояния, достаточно иметь узкий диапазон линейности характеристики. Наличие же регулируемого диапазона насыщения способствует быстрому возвращению регулируемого параметра системы к заданному состоянию, что повышает качество регулирования и стабилизации.
Примером устройства, имеющего теоретически наибольшее быстродействие, является система регулирования с релейной характеристикой включения энергии (рис. 2.3, в). Однако получить при такой характеристике устойчивую систему — непростое дело. Если не применяются специальные стабилизирующие средства, которые в конечном счете приводят к искусственному введению линейного участка в характеристику системы, устойчивость процесса при таких нелинейных характеристиках можно получить лишь
172
путем «затруднения» системы, т.е. путем увеличения зоны нечувствительности системы.
Контрольные вопросы
1.	Перечислите статические характеристики нелинейных элементов.
2.	Определите зоны нечувствительности и насыщения в нелинейных характеристиках.
3.	Постройте выходной сигнал релейного элемента, если на входе присутствует гармонический сигнал.
2.4.	Метод гармонической линеаризации
Для определения основных свойств метода рассмотрим элемент с линейной характеристикой, для которого справедливо выраже-_ ние
Др) = »Др)Др).
Для частотной области исследований величина X представляет синусоидальную функцию времени с амплитудой А и частотой w, символически онаможет быть представлена в виде
X(iw) = Aexp(iwt).
Выходное значение определяется выражением
Д/щ) = W(jw)Aexp(jwt).
Согласно этому уравнению на выходе элемента получается гармоническое колебание, в общем случае отличающееся по амплитуде и фазе от входного сигнала. Это отличие в амплитуде и фазе целиком определяется коэффициентом передачи
W{iw) = | IK(<«>)|exp[i<p(w)].
Модуль | IK(/w)| показывает, во сколько раз амплитуда на выходе больше амплитуды на входе, аргумент <p(w) определяет разность фаз между выходным и входным сигналами.
Для линейного элемента модуль и аргумент комплексного коэффициента передачи являются в общем случае некоторой функцией частоты и не зависят от величины амплитуды входного гармонического параметра.
Рассмотрим характеристику нелинейного элемента. Выходной и входной параметры будут связаны между собой некоторой нелинейной зависимостью
У=ЛХ).
173
Предположим, что выходная величина зависит только от входной. Предположим также, что при изменении X по синусоидальному закону среднее значение Y за период равно нулю.
Вид нелинейных зависимостей, описываемых предыдущим уравнением, может быть весьма разнообразным. Однако в системах регулирования наиболее часто встречаются нелинейные зависимости, приводящиеся к виду, показанному на рис. 2.4, а — г.
Пусть на вход нелинейного элемента подано синусоидальное колебание амплитуды А и частоты w, тогда на выходе нелинейного элемента получится периодическое колебание, которое в общем случае будет содержать весь спектр гармоник. Это хорошо видно на рис. 2.4, д, где отображено прохождение гармонического колебания через релейную характеристику. В результате на выходе будет прямоугольный периодический сигнал, который содержит бесчисленное множество спектральных составляющих. В спектре прямоугольного сигнала содержатся все нечетные спектральные составляющие: 1,3,5,7 и т.д. Амплитуда этих составляющих уменьшается согласно частоте: 1, 1/3, 1/5, 1/7 и т.д.
Для дальнейшего рассмотрения таких преобразований будем считать, что выходной параметр имеет только одну первую гармонику. Она по амплитуде наибольшая. В этом случае имеем
Д|) = flAsxnwt) « A[c(A)sinwt + X-4)cosurf].
Величины Ас(А) и Л$(Л) определяются выражениями
т
Ас(А) = (2 / Г) jW(A sin wt) sin wtdf, о
- , т
As(A) = (2/T) jlK(Jsinw/)coswft//, о
где T = 2n/w.
Учитывая выражение
Т	2к
J W(A sin wf)dt = (1 / w) | W(A sin <р)г/<р, о	0
Рис. 2.4. Статические характеристики нелинейных элементов: а — с зоной нечувствительности и с уровнем насыщения; б — с релейностью и зонами нечувствительности и неоднозначности; в — с люфтом; г — с гистерезисом; д — с гармонической линеаризацией выходных колебаний звена с релейной статической характеристикой; е — с параметрами нелинейного преобразования амплитудной характеристики; ж — с частотной характеристикой; з — с формированием выходного сигнала нелинейного элемента с релейной характеристикой и зоной нечувствительности; и — с зависимостью эквивалентного коэффициента передачи от отношения амплитуды сигнала к параметрам характеристики нелинейного элемента; к — с линеаризацией релейных характеристик; л — с изменением эквивалентного коэффициента передачи от отношения А/Ь для различных релейных характеристик
174
175
получим
2х
с(А) = (1/(лЛ)) j IK(>4sin<p)sHi<pJ<p; 0	
2я	j
s(A) = (1 / (лЛ)) j IF (A sin <p) cos <pd<p.	j
0	;
Выражение для 5(Л) можно преобразовать к виду
5(Л) = (1/(лЛ)) jlPfA8Шф)С08ф4/ф = (1/(лЛ2)) ||К(Л 81Пф)</($1Пф).	'
О	0	!
Поскольку входная величина может быть представлена в виде
X = Лвшф, то интеграл, определяющий функцию «(Л), можно ! представить в виде четырех слагаемых:	5
А	О	-А	О
5(Л) = (l/(nA2))[^(X)dX + ffP(X)dX + J W(X)dX + J W(X)dX].
0	A	0	-A	|
Это выражение можно записать в более компактной форме ] 5(Л) = S/кА2.
Значение s равно площади петли, образованной характеристи- j кой нелинейного элемента. Если нелинейная характеристика при- 1 нимает однозначные значения, то с(Л) = 0.	а
Составим функцию	1
J(A) = с(Л) + й(Л),	|
которая называется эквивалентным комплексным коэффициентом | передачи нелинейного звена.	|
Модуль этого комплексного коэффициента передачи опреде- 1 ляется выражением	1
/М(Л) = (с2 + ?)1/2,	I
он показывает, во сколько раз первая гармоника на выходе нели- 1 нейного элемента больше амплитуды Л входного сигнала синусо- | идальной формы. Аргумент этого коэффициента передачи опреде- . | ляется выражением	|
Ф = arctg(Vc).	I
Он определяет разность фаз между первой гармоникой на выходе I нелинейного элемента и синусоидальным входным сигналом. Из | этих уравнений следует, что эквивалентный комплексный коэф- 1 фициент усиления нелинейного элемента зависит от амплитуды 1 входного сигнала и не зависит от его частоты (рис. 2.4, е, ж).	1
176	|
Таким образом, эквивалентный комплексный коэффициент передачи не учитывает высшие гармоники. Однако в силу фильтрующего действия линейной части системы регулирования, не пропускающей высшие гармоники, ошибка, возникающая при этом, в большинстве случаев лежит в допустимых пределах.
Учитывая комплексный коэффициент передачи, можно написать
У= ДА)Х, предполагая при этом, что параметры Y и X меняются по гармоническому закону. Это уравнение по внешней форме очень напоминает уравнение для линейного элемента.
В качестве примера рассмотрим вычисление ДА) для релейной характеристики без гистерезиса, представленной на рис. 2.4, з. Так как характеристика однозначна, то с(Л) = 0. Эквивалентный ком-_ плексный коэффициент передачи определяется как
«/2
J(A) = s(A) = (4 /(лЛ)) j 5sin<p5<p = (45/(тгЛ)) cos а, а
где а=arcsin(d/H). Представим амплитуду в долях зоны нечувствительности:	___
J(A /Ь) = s(A /Ь) = (4В /пА)[\-(Ь/ А)2]1/2 = NJ0(A / b),
где N = 5/а; Д(А/Ь) =
tlA/d
Величина Jo называется нормированным эквивалентным комплексным коэффициентом передачи нелинейного элемента. Это понятие относится не только к рассматриваемому примеру. Значение N в каждом случае вычисляется просто. График функции /0 показан на рис. 2.4, и. Максимальное значение Jo равно 2/л « 0,637 и имеет место при А/b = (2)1/2. Если А/b -> », Jo -> 0. При неограниченном увеличении амплитуды А входного сигнала амплитуда первой гармоники на выходе будет стремиться к конечному значению 45/л, а это означает, что коэффициент передачи стремится к нулю.
Графически результаты вычисления эквивалентного комплексного коэффициента передачи для некоторых форм нелинейных характеристик показаны на рис. 2.4, л.
В дальнейших расчетах необходимо пользоваться годографом вектора Jo, которой определяется при наличии действительной и мнимой составляющих. По этому годографу можно определить амплитуду и фазу первой гармоники на выходе нелинейного элемента. Переменным параметром для годографа является отношение (Л/d). По этой причине подобные годографы называются амплитудными характеристиками нелинейного элемента.
177
Для расчета основных параметров передачи нелинейного элемента можно воспользоваться упрощенными формулами, которые получаются при следующих преобразованиях. Так для входного сигнала X Asinwt имеем siniztf = Х/А. Производная входного сигнала равна dX]dt « Aw cos wt.
Откуда получим cosurf = (l/(Aw))dX/dt.
Для однозначных релейных характеристик первую гармонику определяют по выражению
У; = AtX/A,
где Ai — амплитуда первой гармоники входного сигнала.
Для релейных характеристик с петлей гистерезиса применяют выражение
AtdX Awdt
Выражение Y\ = f(X) можно пояснить примером. Задана однозначная релейная характеристика, представленная на рис. 2.4, к. Если входная величина изменяется по синусоидальному закону, то первая гармоника выходной величины будет такой, как если бы вместо релейной характеристики была бы линейная зависимость, определяемая прямой 1. Угол наклона этой характеристики определяется отношением AJA.
Следовательно, при определении первой гармоники Yt периодических колебаний на выходе релейного звена при синусоидальной входной величине и отсутствии гистерезиса релейное звено можно заменить идеальным звеном
У= КХ
с коэффициентом передачи К = AJA.
В случае характеристики с гистерезисом в том же режиме колебаний релейное звено можно заменить идеальным линейным звеном с введением производной
Y = KX + ^^-, wdt где Ki = В/А.
Для характеристик с гистерезисом величина всегда получается отрицательной, т.е. производную вводят в уравнение с отрицательным коэффициентом. Эта производная дает запаздывание в работе звена.
Таким образом, ограничиваясь первой гармоникой на выходе релейного звена при синусоидальных колебаниях входной величины, нелинейное уравнение релейного звена заменяют линейными уравнениями. Такую линеаризацию называют гармонической линеаризацией нелинейных зависимостей. В этом случае
178
происходит замена нелинейной характеристики прямой линией, крутизна которой К зависит от величины амплитуды входного сигнала.
Гармоническая линеаризация позволяет методами линейной теории автоматического регулирования определять свойства нелинейных систем.
Для идеальной релейной характеристики гармонический коэффициент передачи описывается выражением
К= 4В/(пА),
а для релейной характеристики с зоной нечувствительности коэффициент передачи равен
v 4В(\-Ь2/А2^2
К = —1-----!--— при А > Ь.
nA
Для двухпозиционной релейной характеристики с петлей гистерезиса коэффициенты гармонической линеаризации определяются выражением
К =	; К, = -4ВЬ/(ю42).
nA
Для трехпозиционной релейной характеристики с петлей гистерезиса
„ 2ВЦ1-%/А2у'г+(1-#/лг)>'г). „
к  .....	"—-м------------'----' к'=	—
Гармонический коэффициент передачи А" уменьшается q увеличением амплитуды А, начиная со значения А = Ь(2)1/2. Это оправдано физически, так как выходная величина реле Y = В остается неизменной при увеличении входной величины Х> Ь. Коэффициент Кх, характеризующий запаздывание, вследствие наличия Петли гистерезиса по абсолютной величине уменьшается с увеличением амплитуды. Коэффициенты К и Кх для всех типов релейных звеньев при больших амплитудах сближаются друг с Другом, так как влияние зоны нечувствительности и петли гистерезиса с увеличением амплитуды становится менее заметным.
В заключение рассмотрим пример.
Определить амплитуду колебаний температуры электронагревателя, управляемого поляризованным реле, если на вход реле подается гармонический сигнал с частотой и, - 0,2 с-1. Коэффициент передачи равен 2 ’С/В. Постоянная времени Т= 10 с.
Реле двухпозиционное без зоны нечувствительности, с напряжением на выходе 24 В. Передаточная функция нагревателя описывается выражением
Ж(р) = г0/(7Ь+1).'
179
Частотная характеристика нагревателя описывается выражением
Л(и>) = Ко /(1 + иЛГ2)1'2 = 2/(1 + 100w2)‘/2.
Амплитуда первой гармоники на выходе реле равна
Гьж-АХнэ.
Для выбранного реле Кил = 4В/(пХ), тогда
К1вых = *4*/W = 4В / к = 4 • 24 / 3,1 4 = 30,6.
При заданной частоте амплитуда изменения температуры равна
Y =	/(1 + и>2Т2)1/2 = 30,6 • 2/(1 + 0,22 • Ю2)1'2 = 27 °C.
Контрольные вопросы
1.	Какие спектральные составляющие содержит выходной сигнал элемента с релейной характеристикой?
2.	Каково назначение метода гармонической линеаризации?
3.	В чем заключается отличие преобразования для характеристик нелинейных элементов с зоной неоднозначности и без Нее?
4.	К каким погрешностям приводит метод гармонической линеаризации?
2.5. Фазовая плоскость для нелинейных систем регулирования
Рассмотрим систему с релейной характеристикой. Уравнение динамики объекта регулирования (рис. 2.5, а) представляет собой выражение
(7р + 1)х = -KiXt, где Т— постоянная времени; Кх — коэффициент передачи, а уравнение регулятора
P*i = -F(x),
где Дх) — релейная характеристика (рис. 2.5, б).
Общее уравнение динамики системы можно определить, если продифференцировать исходное уравнение, описывающее объект регулирования, и затем подставить его в уравнение регулятора. В результате получим выражение
d2x dx
которое можно представить в виде
180
Дх)
О Z>i Ъг X
Рис. 2.5. Статические характеристики и фазовые траектории нелинейных элементов:
а — двухэлементная структурная схема регулирования (Р — регулятор, ОР — объект регулирования) с нелинейной передаточной функцией; б — с зоной нечувствительности и с зоной неоднозначности; в — фазовая траектория системы; г — колебательный процесс системы; д — статическая характеристика релейного элемента; е — фазовая траектория релейной системы с петлей гистерезиса
Л
У dY Y ВД*) ~ dt’ dt ~ Т Т '
Отсюда получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий	’
181
dY _ 1 KiF(x) dt T TY ’
(2.1)
Как видно из заданной характеристики (рис. 2.5, б), нелинейную функцию Дх) можно описать в следующем виде:
•	если Y = dx/dt > 0, то
/(х) =
—С прих<- ii, О при -Ь\ <x<bi, С при х > bf,
•	если Y = dx/dt < 0, то
Лх) =
С при х >
О при -bi < х < bi, -С при х < -bi.
В связи с этим на фазовой плоскости можно выделить три области: Ф Дх) ’»= -С; ф Дх) = 0; ф F (х) = С. Эти три области разделены штриховыми линиями (рис. 2.5, в), которые называются линиями переключения. Такая фазовая плоскость называется многолистной. На каждом листе ф, ф, ф получится свой вид фазовых траекторий, по линиям переключения эти листы «сшиваются». Фазовые траектории непрерывно переходят с одного листа на другой. В области ф уравнение (2.1) принимает вид
dY	1 Ki
=: — — + -...
dt	Т TY
Проинтегрируем это выражение и получим уравнение фазовых траекторий В области ф:
X = -К/СТ In |Г - Ki С| - TY + const.	(2.2)
фазовые траектории имеют асимптоту У= KiC, к которой они стремятся при неограниченном увеличении х. Такие фазовые траектории изображены в области ф.
В области ф уравнение (2.1) примет вид
dY/dx = -\/Т, Y = -х/Т+ const.
Фазовые траектории — прямые линии.
В области ф уравнение (2.1) имеет вид
1 KjC dx ~ Т TY ' Проинтегрируем это выражение. В результате получим уравнение фазовых траекторий
182
х = KiCT 1g\Y + К C| - TY + const.	(2.3)
Фазовые траектории в области (3) стремятся к асимптоте Y -
= -К\ С при уменьшении х
В целом фазовые траектории принимают спиралевидную форму. Это соответствует затухающим колебательным процессам. Однако колебательный процесс затухает не до нуля, а до некоторого произвольного значения в интервале -Ьх < х < дь
В результате, вместо особой точки получается отрезок, соответствующий равновесным состояниям, на рисунке показан толстой линией. По какой из фазовых траекторий пойдет переходный процесс в системе, определяется начальными условиями для К(/о) и Х&).
Рассмотрим частный случай. В случае релейной характеристики с зоной нечувствительности без петель гистерезиса (рис. 2.5, д) картина фазовых траекторий будет аналогична изображенной на рис* е, С той разницей, что теперь d, = d2 = b, т. е. линии переключения будут прямыми без излома на оси X.
Для релейной характеристики с петлей гистерезиса в картине фазовых траекторий будет отсутствовать область ©. Для У= dx/dt > О имеем уравнение
Л*)»
-С при х < Ь, С при х > Ь,
а для Y = dx/dt < 0 имеем уравнение
Лх) =
С при х > -Ь,
-С при х < —Ь.
Этим определяются линий переключения (штриховые линии) на рис. 2.5, е. Слева от них строятся фазовые траекторий по уравнению (2.2), а справа — по уравнению (2.3). Поскольку снаружи фазовые траектории образуют сходящиеся спирали, а изнутри — расходящиеся, то где-то среди них должен быть предельный цикл’, к которому они все сходятся (он выделен двойной Линией). Это устойчивый предельный цикл, отвечающий автоколебаниям. Амплитуда их определяется точкой пересечения предельного цикла с осью X. Автоколебания происходят около зоны нечувствительности статической характеристики с амплитудой, несколько превышающей половину ширины этой зоны Ь.
Установившийся режим работы такой системы автоматического регулирования является автоколебательным-
1 Замкнутые фазовые траектории, соответствующие возможным периодическим колебаниям, называются предельными циклами.
183
Контрольные вопросы
1.	Расскажите, из каких этапов состоит процесс построения фазовых траекторий для нелинейных элементов.
2.	Что меняется в фазовом портрете нелинейного элемента при умень-  шении (увеличении) зоны неоднозначности?
3.	Чем определяется автоколебательный режим системы с нелинейным элементом?
4.	Перечислите условия устойчивости системы с нелинейными элементами.
2.6. Методы импульсного регулирования
Импульсное и позиционное регулирование относятся к дискретным системам управления. Дискретными системами автоматического управления называются системы, в которых сигнал управления является дискретным (прерывистым). Различают дискретность сигнала по уровню и дискретность по времени. Сигнал, дискретный по уровню (по амплитуде), может принимать лишь два или несколько дискретных значений. Сигнал, дискретный по времени, претерпевает скачкообразные изменения через заданные промежутки времени или представляет собой последовательность импульсов. Преобразование непрерывного сигнала в дискретный называют квантованием сигнала. При этом различают квантование по уровню и квантование по времени. Примером систем, где имеет место дискретность или квантование по уровню, могут служить релейные системы автоматического регулирования. Системы с дискретностью по уровню всегда нелинейны.
Системы с квантованием сигнала по времени называются импульсными системами. Импульсные системы могут быть как линейными, так и нелинейными. В линейных импульсных системах уровни величин, взятые в дискретные моменты времени, связаны линейными соотношениями. Представление какой-либо непрерывной функции в виде последовательности импульсов означает модуляцию импульсов, т.е. изменение какого-либо параметра импульса в зависимости от соответствующей ординаты функции.
Таким образом, д искретные системы, в которых контур управления замыкается только на определенные промежутки времени, осуществляют воздействие на исполнительный механизм. В Системах дискретного управления через равноотстоящие друг от друга моменты времени исполнительным механизмом осуществляется управление прямоугольными импульсами, параметры которых зависят от значений отклонения регулируемой величины в диофет-ные моменты времени. Физически это представляется следующим образом. В системах дискретного регулирования цепь регулирования подвергается принужденному периодическому размыканию.
184
Это обстоятельство позволяет весьма просто осуществить многоточечное регулирование и в ряде случаев получить более благоприятный характер процесса регулирования. Многие из таких дискретных систем состоят из одного нелинейного и линейного элементов.
Из-за принужденного периодического размыкания цепи регулирования, являющегося характерным свойством систем дискретного регулирования, не представляется возможным описать процессы в них одними и теми же дифференциальными уравнениями, как это имело место, например, для систем непрерывного регулирования, поэтому исследование систем дискретного регулирования требует несколько иного подхода.
В зависимости от того, какие параметры импульсов изменяются, системы импульсного регулирования можно подразделить на три типа.
К первому типу относятся системы с импульсным элементом, преобразующим входную величину в последовательность импульсов, высота которых пропорциональна значениям его входной величины в моменты измерения (рис. 2.6, о). Длительность импульсов называется рабочим интервалом, так как в течение этого промежутка времени импульсы воздействуют на исполнительный механизм. В этих системах существует амплитудная модуляция импульсных сигналов. В этом преобразовании имеем амплитуду А = = var, период следования импульсов Т„ = const, длительность импульсов Т„ = const. При амплитудно-импульсной модуляции образуются узкие импульсные сигналы постоянной длительности, которые следуют один за другим с постоянным периодом. Огибающая этих импульсов представляет собой входной сигнал.
При использовании этого вида импульсного регулирования следует большое внимание уделять переменной составляющей входного воздействия. Если на систему импульсного регулирования действует периодическое возмущение, полупериод которого кратен интервалу регулирования, то может оказаться, что регулятор не будет реагировать на изменения регулируемой величины, вызванные этим возмущением (рис. 2.6, г). Предположим, что в моменты измерения высокочастотная составляющая (ВС) входного воздействия пересекает низкочастотную составляющую. В этом случае регулятор не будет отслеживать изменения входного воздействия. По этой причине период следования регулирующих импульсов должен быть изменен на столько, чтобы отслеживать ВС, т. е. период следования регулирующих импульсов должен быть уменьшен.
Однако это не всегда следует выполнять, поскольку входное воздействие может иметь ВС, которые являются помехами в регулировании. В этом случае возникает возможность фильтрации нежелательных помех.
185
импульсной модуляции и двухэлементная структурная схема:
а — амплитудно-импульсная модуляция (АИМ); б— широтно-импульсная модуляция (ШИМ); в — время-импульсная модуляция (ВИМ); г — импульсное отслеживание сигнала управления (НС — низкочастотная составляющая, ВС — высокочастотная составляющая); д — двухэлементная структурная схема системы с двухпозиционным регулированием
д
Ко второму типу относятся системы с импульсным элементом, преобразующим входную переменную в последовательность импульсов, длительность которых пропорциональна значениям его входной величины в моменты измерения (рис. 2.6, б). В этом преобразовании имеем А - const, Т„ = const,. Тп » var. Этот вид модуляции является широтным. Огибающая этих импульсов представляет собой входной сигнал. При широтно-импульсной модуляции на выходе импульсного устройства в тактовые моменты времени формируются импульсы, ширина которых изменяется в зависимости от значения входного сигнала.
Если на эту систему воздействует единичное ступенчатое возмущение, то регулируемая величина в установившемся режиме в системах с астатическим исполнительным устройством будет постоянной в любой момент времени, а системы со статическим исполнительным механизмом будут испытывать колебания с периодом, равным интервалу регулирования. Это следует из того, что в установившемся режиме в первом случае жесткая связь меж
186
ду величиной управляющего сигнала и положением регулирующего органа отсутствует, а во втором случае существует.
К третьему типу относятся системы с импульсным элементом, преобразующим входную величину в последовательность импульсов с переменным периодом следования (рис. 2.6, в). Для этого вида импульсного управления имеем А = const, Ги = const, Гп = var. Для этого вида модуляции характерным является постоянная ширина импульса и переменная величина периодов квантования по времени. Чем больше амплитуда входного сигнала, тем меньше период следования импульсов с постоянной амплитудой.
Эти три типа импульсного регулирования объединяет одно общее свойство — интегральное значение импульсной функции равняется аналоговому входному воздействию, т.е.
X(t) = \l(t-nTn)dt,
где I — импульсный сигнал; Т„ — период импульсного сигнала.
Устройства импульсного управления в системе могут быть самыми разными, наиболее часто встречается схема, которая изображена на рис. 2.6, д.
Контрольные вопросы
1.	Перечислите методы импульсной модуляции аналогового сигнала.
2.	В чем отличие одного метода импульсной модуляции от другого?
3.	Что называется длительностью импульса?
4.	Что называется периодом следования импульсов?
2.7. Методы позиционного регулирования
Позиционное (релейное) регулирование — это вид управления, когда регулирующий орган может занимать определенное число положений. Существуют два вида позиционного регулирования: двух- и трехпозиционное.
В двухпозиционных регуляторах исполнительный механизм может занимать только два положения: больше — меньше, включено — выключено или открыто — закрыто. Количество энергии или вещества, подводимое к объекту или отводимое от объекта при установке регулятора в положение «больше», будет превышать среднюю потребность, а в положении «меньше» будет не дотягивать до средней потребности. Например, при регулировании температуры в электрической печи регулятор при значении регулируемой величины ниже заданного значения включает нагревательные элементы, а при превышении — выключает. Отклонения температуры от заданного значения оказывают влияние на длительность включения и выключения нагревательных элемен
187
тов. При таком способе регулируемая величина колеблется относительно заданного значения.
Изменение мощности и регулируемой величины во времени при двухпозиционном регулировании показано ла рис. 2.7, а. Значения У] и У2 определяют возможные стабильные значения выходного параметра, соответствующие длительному включению исполнительного механизма для подачи энергии соответственно. Значения энергии выбраны таким образом, чтобы заданный выходной параметр Yo находился в интервале У и Y2.
Основные параметры такого процесса могут быть определены приближенным выражением
у+ в у (Л~	;
’ « + Д)7”
где У+ — отклонение выходного параметра от заданного значения Y3; Р\ и Р2 — подводимая мощность к объекту; — время запаздывания; Т— постоянная времени объекта. Как видно из выражения, колебания выходного параметра уменьшаются при уменьшении регулируемой мощности Р] - А, времени запаздывания Уап и увеличении постоянной времени объекта Т.
Уменьшение регулируемой мощности Р| - Р2 вызывает сближение значений У и У2 до заданного значения у. 1
В тех случаях, когда не требуется высокая точность регулирования, мощность Р2 можно принять равной нулю, а мощность Р, — равной максимальной мощности, т. е. регулировать но принципу включено — выключено.
Колебания выходного параметра уменьшаются при уменьшении времени запаздывания. Здесь под запаздыванием принимается не только время запаздывания объекта, но и время запаздывания самого регулятора. Следовательно, колебания выходного параметра могут быть уменьшены путем выбора регулятора с меньшим диапазоном нечувствительности 2ДУН.
Колебания выходного параметра уменьшаются при увеличении постоянной времени объекта. Поэтому, чем больше постоянная времени объекта регулирования, тем легче осуществляется двухпозиционное регулирование.
Одним из основных недостатков двухпозиционного регулирования является невозможность сочетания быстрого нарастания значения выходного параметра (для этого требуется большая подводимая мощность) с высокой точностью регулирования, для которой требуется небольшая избыточная мощность.
Рассмотрим переходные процессы в системе Двухпозиционного регулирования. Положим, что объект не имеет самовыравнивания. Передаточная функция описывается выражением
МР) = ад.
188
ж
Рис. 2.7. Переходный процесс при двухпозиционном регулировании: а — выходной параметр и входная мощ-,	ность; б — переходный процесс в систе-
ме с двухпозиционным регулированием для объекта без самовыравнивания, регулируемая величина; в — переходный процесс на выходе объекта; г — статическая характеристика регулятора; д — переходный процесс системы; е — переходный процесс в регуляторе; ж — переходный процесс в системе с объектом с самовыраВниванием; з переходный процесс в системе с объектом самовырав-
нивания и запаздыванием
При поступлении на вход объекта (рис. 2.7, д) от двухпозиционного регулятора регулирующей величины = В регулируемая величина Убудет, изменяться по прямой стангенсом угла наклона tg q> = KjВ. Уравнение этой прямой будет описываться выражением
Y= K3Bt.
189
При симметричной статической характеристике двухпозици- | онного регулятора его переключение будет происходить при до- | стижении регулируемой величиной граничных значений зоны не- ] однозначности (рис. 2.7, г, д). В установившемся режиме такой I системы появляются симметричные автоколебания регулируемой | величины относительно заданного значения. Диапазон этих коле- | баний Y= 2b. Длительность положительного импульса it в услано- 1 вившемся режиме равна длительности отрицательного t2 и полу- | периоду колебаний:	|
6=/2=2А/да.	1
Период колебаний	|
Тк = 4Ь/(КВ).	|
Частота переключений равна	|
F = KB/(4b).	I
Таким образом, уменьшение диапазона колебаний регулируе- 1 мой величины приводит к увеличению частоты переключения ре- 1 гулятора. В то же время уменьшение диапазона колебаний регули- | руемой величины возможно только за счет уменьшения зоны не- 1 однозначности регулятора.	’	1
А теперь рассмотрим переходный процесс на выходе объекта с 1 самовыравниванием. Передаточная функция апериодического звена 1 (объекта) имеет вид	t	J
МР) = m + 1),
где Т — постоянная времени; К3 — коэффициент передачи. 1 При подаче на вход объекта ступенчатого воздействия регули- i руемая величина будет изменяться по экспоненте:	1
У= Аз(1 - ехр(-//Т)].
На рис. 2.7, ж приведены процессы колебания регулируемой 1 величины Y и регулирующего воздействия X. Как видно из рйсун- I ка, установившийся процесс на выходе систему симметричен от- 1 носительно заданного значения, и, следовательно, длительности 1 положительного и отрицательного импульсов равны. Диапазон 1 колебаний равен	i
ДГ= 2b(K3B + />)[1 - ехр(-//Т)].
После логарифмирования этого выражения и соответствующих преобразований находим длительность импульсов регулятора 
гр. К3В + ь
190
Период установившихся колебаний равен гк=2Пп^|4-Кгв — Ь
Частота переключений регулятора равна F- 2/Тк.
Из полученных соотношений видно, что если объект описывается апериодической функцией, то уменьшение зоны неоднозначности приводит к уменьшению периода колебаний и увеличению числа переключений регулятора. Увеличение постоянной времени Т объекта также увеличивает период колебаний.
Если зона неоднозначности равна нулю, то число переключений стремится к бесконечности. Поэтому в системах с самовыравниванием, но без запаздывания двухпозиционные регуляторы без зоны неоднозначности работают ненадежно.
Рассмотрим поведение объекта с самовыравниванием и запаздыванием. Передаточная функция такого объекта описывается выражением
-с ^зеХР( ^запР)
Л>+1
Установившийся процесс регулирования при симметричной статической характеристике двухпозиционного регулятора с зоной неоднозначности имеет вид, показанный на рис. 2.7, з. Длительность положительного и отрицательного импульсов определяется выражением
, _ , _ , + т In 2К'В - ^В - *>ехР< “ 'зап/П
А - 6 - /зап + Г1П-------^-b	.
Период колебаний Тк = 2/j = 2t2.
Диапазон колебаний определяется выражением
Y~ 2{K3B[l - ехр(- UT)1 + Ь ехр(-4ап/П}.
Колебания регулируемой величины симметричны относительно заданного значения.
Усовершенствование позиционного регулирования осуществляется в двух направлениях: улучшение свойств двухпозиционного регулирования и переход на трехпозиционное регулирование. Первое направление обеспечивается созданием так называемого прерывистого двухпозиционного регулирования, т.е. введением дополнительных импульсов по первой и второй производным от выходного сигнала и применением экспоненциальных обратных связей. При введении трехпозиционного регулирования колебания регулируемого параметра уменьшаются на 20...30 % по сравнению с колебаниями при двухпозиционном регулировании.
В трехпозиционном регулировании регулирующий орган может занимать среднее положение, обеспечивающее подачу энер-
191
гии или вещества в объект в количествах, соответствующих его потреблению при нормальной нагрузке и заданном значении регулируемой величины. Таким образом, в трехпозиционном регулировании включение и выключение мощности осуществляются также ступенчато, но имеется некоторая зависимость между отклонением регулируемой величины от заданного значения и включаемой мощностью. Трехпозиционное регулирование способно ; вести регулирование более качественно, чем двухпозиционное.
Позиционное регулирование применяется главным образом для регулирования температуры.
Контрольные вопросы
1.	Что такое позиционное регулирование?
2.	Двух- и трехпозициоиное регулирование, их отличие между собой.
3.	Перечислите достоинства и недостатки двух- и трехпозиционного регулирования.
4.	Что такое переходный процесс При позиционном регулировании?
ГЛАВА 3
ВОЗДЕЙСТВИЕ НА СИСТЕМУ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
3.1. Стационарный процесс. Эргодическое свойство
Физические процессы (вследствие многообразия изменений во времени различных физических величин), с которыми можно встретиться в повседневной жизни, можно разделить на два класса.
" К первому классу относятся процессы, течение которых во времени можно заранее предсказать, имея некоторые предварительные сведений* Например, известно, что генератор вырабатывает гармоническое колебание с определенными амплитудой, частотой И фазой. В этом случае заранее известно мгновенное значение сигнала на клеммах генератора в любой момент времени. Подобные процессы называются детерминированными. Таким образом, детерминированный физический процесс может быть задан математически некоторой определенной функцией времени. Однако, строго говоря, в природе нет и не может быть чисто Детерминированных процессов. Такие процессы могли бы возникнуть в полностью изолированных физических системах. Так, полная изоляция системы предполагалась в приведенном примере детерминированного процесса, где не учитывалось влияние окружающей среды на работу генератора гармонического сигнала. Поэтому реальный физический процесс может считаться детерминированным и, следовательно, описываться вполне определенной функцией времени лишь приближенно. Сложные причинно-следственные связи, присущие всем физическим явлениям, приводят к тому, что невозможно учесть эволюцию реальных физических факторов. Однако совокупное воздействие этих факторов, как правило, подчиняется устойчивым закономерностям, поддающимся изучению методами современной теории вероятности. Закономерности эти называются статистическими. Знание их позволяет плодотворно изучать различные случайные процессы, а также их взаимосвязь в окружающей нас природе. Успешное применение теоретико-вероятностных метров привело к возникновению целого ряда статистических теорий.
К второму классу можно отнести процессы, течение которых не может быть описано регулярной функцией времени. В каждый
7 Горошков
193
данный момент процесс с некоторой вероятностью может принять то или иное количественное значение из множества возможных. Известно, что даже при постоянном напряжении сети отмечается хаотическое изменение сетевого напряжения. Это связано с тем, что на его величину влияет множество потребителей, которые не связаны между собой. В зависимости от их нагрузки на сеть происходит изменение выходного напряжения. В этом случае заранее невозможно описать ход процесса детерминированной функцией времени. Можно только указать для каждого момента времени распределение вероятностей значений процесса.
Все случайные процессы, независимо от их происхождения, по форме разделяются на импульсные, флюктуационные и периодические. Помеха называется импульсной, если она состоит из коротких импульсов, следующих друг за другом через промежутки времени, при которых нестационарный процесс от одного импульса успевает закончиться до появления следующего импульса помехи. Это условие выполняется, если время нестационарного процесса меньше среднего интервала между импульсами. Простейшей типичной формой элементарных импульсных помех является апериодический случайный процесс (рис. 3.1, а), описываемый уравнениями
X(f) = 0 при t < 0;
X(f) = Xoexp(-st) при t > 0,
и элементарный полупериодический случайный процесс (рис. 3.1, б), для которого
Х(0 = 0 при t < 0;
X(f) ~ AJ>exp(-s/) sin wt при t > 0.
Спектры частот апериодического и полупериодического случайных процессов приведены на рис. 3.1, в.
Рис. 3.1. Характеристики случайного процесса и функции распределения:
а — элементарный апериодический случайный процесс; б — элементарный полупериодический случайный процесс; в — частотный спектр элементарных случайных процессов (7 — апериодического, 2 — полупериодического); г — флюктуационный случайный процесс; д — совокупность реализаций случайных процессов; е — равномерная функция распределения; ж — экспоненциальная функция распределения; з — нормальная функция распределения; и — случайный процесс с постоянной составляющей; к — случайный процесс без постоянной составляющей; л — первая эргодическая случайная реализация;'м — вторая эргодическая случайная реализация; н — функция распределения для первой эргодической случайной реализации; о — функция распределения для второй эргодической случайной реализации
194
195
Реальные импульсные помехи — это сумма различных простейших помех, обычно имеющих случайные амплитуду, длительность и моменты возникновения импульсов. Форма простейших импульсов, как правило, более сложная, чем форма рассматриваемых
импульсов.
Флюктуационные случайные процессы (помехи) в отличие от импульсных имеют форму хаотически изменяющегося непрерывного колебания (рис. 3.1, г). Для флюктуационных помех характерно отсутствие выбросов, отличающихся от среднего уровня более чем в 3...4 раза. При этом нестационарный процесс от каждого первичного импульса помехи не успевает закончиться, как возникает новый импульс помехи и т.д.
Случайным можно назвать процесс, эволюция которого зависит не только от времени, но и от случайных факторов. Случайный процесс обозначим случайной функцией X(f), значения ко-
торой в любой заданный момент времени не могут быть точно предсказаны, т. е. являются случайными величинами. Определенный вид х(0, принятой случайной функции X(fy в результате опыта, называют реализацией случайного процесса {см. рис. 3.1, г).
Под эдтыт^ или испытанием понимается, например, однократное включение источника случайного процесса на некоторое определенное время с соответствующей записью колебания. В результате многократного повторения опыта с данным источником можно получить множество реализаций процесса, внешне совершенно не похожих одна на другую. Для получения реализаций процесса таким путем необходима повторяемость условий испытаний. В. некоторых случаях повторяемость условий испытаний единственного источника не может быть соблюдена, например когда с течением времени параметры источника необратимо изменяются либо когда реальный источник случайного процесса предназначен для однократного использования. Очевидно также, что повторяемость условий испытаний невыполнима, если необходимо получить реализацию процесса неограниченной продолжительности. При таких наиболее общих условиях следует оперировать понятием не единственного источника, а их множества. В результате опыта получается множество реализаций. При этом источники могут быть неидентичными. Их параметры могут иметь разброс, вызванный, например, технологическими причинами. Параметры каж
дого из источников могут по-разному меняться во времени или
оставаться постоянными.
Случайный процесс характеризуется бесконечным множеством реализаций, образующих совокупность. Понятием совокупности, бесконечно большого или конечного, но достаточно большого числа реализаций (рис. 3.1, д) удобно пользоваться при установлении статистических закономерностей, свойственных случайным процессам. Сумма' мгновенных значений случайного процесса,
196
заданного совокупностью реализаций, в произвольный момент времени называют сечением случайного процесса.
Если зафиксировать произвольный момент времени tx, т.е. получить сечение случайного процесса, то для этого сечения может быть вычислено распределение вероятности Р непрерывной случайной величины X(tx):
P(x,tx) = lim п/N,	(3.1)
где n — число значений величины X (tx), удовлетворяющих условию X(tx) < х; N — общее число реализаций x(t).
Отношение n/N теории вероятностей называют частотой наступления события. Приближенно при достаточно большом N можно считать
Дх,0 = n/N.
Плотность вероятности случайной величины X(tx) по опреде--лению в теории вероятности выражается как
р(х,/О = lim Р[х < X(tx) < х + Дх]
ДХ-»а> '	t ,
и является производной по х функции (3.1). Это вЫражёйие статистически полностыд характеризует значения случайной функции X{t) в заданный момент времени tx и выражает ее одномерный закон распределен!®. Если момент времени tx выбирать пркэ-вольно, то в соответствии с приведенными йыражениями мох&о Получить одномерный закон распределения в виде зависимости от времени P(x,f) или p(x,fl.
Если закон распределения зависит от рассматриваемого момента времени, то говорят о нестационарности случайного процесса, о неоднородности его протекания во времени. Необходимым условием стационарности процесса является независимость одномерного закона распределения от времени.
Одномерные законы распределения удовлетворяют условию
Р(да) = J p{x)dx = 1,
отражающему достоверность того, что величина X(tx) обязательно примет одно из значений, находящихся в интервале от - да до + да. В теории автоматического управления наибольшее распространение Получили три закона: равномерный, экспоненциальный и нормальный. Для равномерного закона распределения имеем
р(х) = 1/(2а) при (-а < х < а)
и р(х) « 0 при х > а и х < а;
Дх) = (х t а)/(2а) при (-а < х < а), Р(х) = 0 при х < -а, Р(х) = 1 при х > а.
197
Эти функции представлены на рис. 3.1, е.
Для экспоненциального закона распределения имеем
р(х) = (1/а)ехр(-х/«) при х > 0, Дх) = 0 при х < 0;
Дх) = 1 - ехр (-х/«) при х > 0, Дх) = 0 при х < 0.
Эти функции представлены на рис. 3.1, ж.
Для нормального закона распределения имеем
X*) = [1/(о(2л)1/2)]ехр(-х2/(2<т2));
Дх) = 1 - Ф(х/а),
где Ф(х/ст) = —7=fe 2a2dx— интеграл вероятностей, его значе-ст>/2л о
ния находят из таблиц.
Эти функции представлены на рис. 3.1, з.
Наряду с вероятностными характеристиками случайной величины могут рассматриваться ее числовые характеристики, или моменты случайной величины.
Среднее значение случайной величины, или момент первого порядка ‘
Х(П = М[Х(Г1)], называется математическим ожиданием случайной величины. Прямая черта над АД) означает операцию усреднения случайной величины АД() по совокупности реализаций. По определению момент первого порядка выражается следующим образом:
ЛДЖ = J xp(x,ti)dt.
Среднее значение квадрата случайной величины, или момент второго порядка
ХДа) = М2[Х(О1, представляет собой в широком смысле мощность колебания сигнала. Эта мощность, выделенная на сопротивлении 1 Ом, характеризует интенсивность сигнала. По определению момент второго порядка выражают формулой математического ожидания квадрата случайной величины
М2[Х(А)1= f х2р(х,'1)Л.
Вычитая из случайной величины АДО ее среднее значение, получим новую, так называемую центральную случайную величину
198
откуда
М[ВД-ад] = 0.
Среднее значение квадрата центральной случайной величины называют дисперсией*.
Л/2[Х°(Г1)] = а2[Х(Г1)] = п2(/1).
Она характеризует мощность отклонений случайной величины, выделяемой на единичной нагрузке, от ее среднего значения. Нетрудно установить, что
ст2(/1) =
Дисперсия случайной величины X(tx), численно равная моменту второго порядка центральной случайной величины может быть вычислена по формуле
о2(А)= |х2/>(Ло,Г1)Л,
-00
где — плотность вероятности случайной величины Х°(0.
Заметим, что AVi) отличается от X°(fi) на неслучайную величину X(tx). Поэтому законы распределения и отличаются лишь смещением по оси X.
Случайные процессы можно разделить на стационарные и не-стационарные. Стационарным называется процесс, у которого законы распределения вероятностей (любого порядка) и соответственно все другие вероятностные характеристики не зависят от начала отсчета времени.
Это определение, в частности, означает, что одномерный закон распределения вероятностей у стационарного процесса одинаков для любого момента времени, двухмерный закон зависит только от интервала между двумя произвольно выбранными моментами, трехмерный — от двух интервалов между тремя моментами времени и т.д. Соответственно этому дисперсия и среднее значение стационарного процесса одинаковы для всех его «сечений», т. е. для всех моментов времени. Среднее значение и дисперсия превращаются в некоторые определенные числовые характеристики всего случайного процесса, не зависящие от времени.
Стационарность процесса указывает на его статистическую однородность во времени; предполагается, что стационарный процесс не имеет начала и длится бесконечно долго. На практике обычно приходится иметь дело не с совокупностью, а с отдельными реализациями случайного процесса, продолжительность ко-
1 Дисперсия — мера рассеяния значений случайной величины около ее среднего значения.
199
торых может быть большой, но, конечно, лишь условно равной бесконечности.
Напишем выражения для некоторых важных параметров одной реализации стационарного случайного процесса, полагая, что имеем дело с некоторым электрическим колебанием сложной формы. Для определенности будем обозначать мгновенные значения через x(Z). Первый параметр — постоянная составляющая — определяется известным выражением
т
Эта величина представляет собой среднее значение, причем усреднение производится по времени. Пример реализации флюктуационного процесса с постоянной составляющей показан на рис. 3.1, и. В частном случае постоянная составляющая может быть равна нулю (рис. 3.1, к).
Постоянная составляющая обычно ничего не добавляет к «мешающему» действию помехи, если только полезный сигнал сам не представляет собой постоянного напряжения или тока. Ее легко отфильтровать известными средствами, а математически — исключить из рассмотрения путем вычитания из процесса. Мешающее действие помехи определяется обычно мощностью переменной составляющей процесса.
Обширная категория стационарных случайных процессов обладает так называемым эргодическим свойством, сущность которого заключается в том, что любая вероятностная характеристика процесса, полученная путем усреднения по совокупности реализаций, равна (с вероятностью, сколь угодно близкой к единице) аналогичной характеристике, полученной на одной единственной реализации процесса путем усреднения по времени за достаточно большой промежуток времени.
Из эргддического свойства, в частности, вытекает, что постоянная составляющая процесса равна среднему значению, которое может быть вычислено, исходя из закона распределения вероятностей. Дисперсия идентична среднему квадрату переменной составляющей и, следовательно, пропорциональна мощности переменной составляющей реализации процесса.
В дальнейшем часто будем использовать выражение дисперсии как мощности переменной составляющей процесса, хотя следует иметь в виду, что эти величины имеют различную размерность. Дисперсия численно равна мощности в том случае, когда напряжение или ток действуют на сопротивлении в 1 Ом.
Эргодическое свойство имеет большое практическое и теоретическое значение. В зависимости от задачи можно с одинаковым результатом пользоваться любой схемой множества реализаций, или одной реализацией процесса. На практике, измерив эффек
200
тивное напряжение или мощность помехи на одной реализации (или определив путем статистической обработки те или иные ее вероятностные характеристики), находят характеристики всего процесса при уверенности в том, что при повторных измерениях других реализаций будут получены практически те же результаты.
Это свойство проявляется при сравнении двух реализаций, например представленных на рис. 3.1, л, м. Эти реализации по внешнему виду разные, но их основные статистические параметры совпадают. На рис. 3.1, и, о представлены их функции распределения. Из этих распределений видно, что среднее значение этих реализаций Xq = 5, а дисперсии о = 4. Если подсчитать моменты более высокого порядка, то и здесь наблюдается их совпадение.
Математическое условие эргодичности заключается в том, что функция корреляции процесса с исключенной постоянной составляющей, определяющая связь между двумя его значениями, разделенными интервалом времени, убывает до нуля при стремлении интервала к бесконечности.
контрольные вопросы
1.	Какой процесс называется случайным?
2.	Какие процессы называются стационарными и нестационарными?
3.	В чем заключается эргодическое свойство?
4.	Какие бывают законы распределения?
5.	Что такое удельная плотность распределения?
6.	Перечислите моменты случайного процесса.
7.	Определите среднее значение случайного процесса.
8.	Что называется дисперсией?
3.2. Энергетический спектр случайного процесса
Флюктуационная помеха как всякое реальное колебание обладает определенным частотным спектром, хотя понятие спектра здесьлесколько отличается от того, с которым приходится иметь дело при анализе неслучайных процессов.
Из гармонического анализа известно, что все регулярные периодические процессы имеют линейчатый спектр с частотными составляющими (гармониками), кратными основной частоте процесса, а нерегулярные — сплошной спектр (или линейчатый с частотными составляющими, не кратными друг другу). Флюктуационная помеха обладает сплошным спектром. Такой спектр можно охарактеризовать тем, как распределена мощность помехи по частотному диапазону, для чего вводят понятие спектральной плотности мощности.
201
Спектральная плотность мощности G(w) в некотором небольшом частотном диапазоне Ди; определяется как отношение мощности процесса, соответствующего этому участку, к ширине участка. Для того чтобы можно было говорить о плотности мощности в некоторой «точке» частотного диапазона, необходимо, чтобы участок Ди; стремился к йулю (при этом Ди; следует заменить на dw).
Бесконечно малая мощность на этом элементарном участке частот выражается через спектральную плотность б(М следующим образом:
dW= G(w)dw.
Общая мощность процесса равна сумме мощностей элементарных участков частотного диапазона, занимаемого помехой (в общем случае от 0 до «), и может быть определена по формуле
W = ]dW = ]G(w)du>. о о
Можно дать дополнительное, более строгое определение понятия спектральной плотности мощности G(u;), связав его одновременно с привычным из гармонического анализа спектральным представлением функций времени. Рассмотрим стационарный эргодический случайный процесс, каждая реализация которого по определению длится бесконечно долго. Выделим на одной из реализаций участок достаточно большой протяженности, рассмотрим его изолированно от правого и левого продолжений (рис. 3.2). Такой отрезок как некоторую функцию времени можно В принципе представить в виде интеграла Фурье, который запишем в комплексной форме
ЛГ(/) = (1 /(2 л:)) | S(w)exp(iwt)dw,
где S(w) — спектральная плотность амплитуды (спектральная функция), которая является преобразованием Фурье от функции времени:
т___„
Л/М1
3.2. Одна реализация для определения спектра случайного процесса
5(u;) = J X(t)exp(-iwt)dt.
-оо
В теории интеграла Фурье доказывается (теорема Парсеваля), что общая энергия процесса, представляемого в виде интеграла Фурье, выражается через модуль спектральной плотности амплитуды равенством
202
|Х2(Г)Л = (1/(2я)) ]|S(w)|2rfu>.
Величина |5( w)\2dw/it в подынтегральном выражении в правой части равенства представляет собой энергию процесса в элементарной полосе частот dw. Иногда интегрирование формально распространяют в область отрицательных частот, пользуясь тем, что |ЭД|2 представляет собой четную функцию частоты. Разделив всю энергию процесса (правую и левую части уравнения) на время действия процесса Т и устремляя Т к бесконечности, получим среднюю мощность процесса (т.е. его дисперсию):
X2 = Um(l / Т) J X2(t)dt = Um(l / Т) f |^(u?)|2 dw.
-со	-со
Перепишем теперь данное выражение для средней мощности - процесса применительно к дисперсии, полагая, что помеха действует на сопротивлении 1 Ом, а дисперсия численно равна мощности:	j
X2 = W = jG(w)dw = a2. ' —	о
Спектральная плотность мощности процесса равна
C(w)=limrni.
г->« пТ
Имея в распоряжении выражение для спектра флюктуационной помехи, можно найти ее мощность (дисперсию) по формуле. В том случае, когда ширина спектра ограничена некоторыми частотами, эта формула может быть записана в виде
ст2 = J G(w)dw.
о	•
Геометрически это означает, что мощность флюктуаций численно равна площади, заключенной между функцией спектральной плотности и осью абсцисс.
Из последнего вытекает, что чем больше ширина спектра помехи (при одинаковой спектральной плотности), тем больше ее мощность.
Спёктр помехи определяется теоретически по ее статистическим характеристикам или по данным электрических цепей, в которых она формируется.
Для измерений существуют специальные Приборы (спектро-анализаторы).
203
Контрольные вопросы
1.	Что такое энергетический спектр случайного процесса?
2.	Каким спектром обладает флюктуационная помеха?
3.	Как определяется дисперсия по энергетическбму спектру?
4.	Как определяется постоянная составляющая случайного процесса?
3.3.	Случайный процесс с нормальным законом распределения
Значительное число известных источников генерирует флюктуационную помеху, которая подчиняется нормальному закону распределения, или закону Гаусса. В силу широкого распространения этого типа флюктуаций рассмотрим помеху с нормальным законом распределения особо.
Одномерная плотность вероятности для случайной величины, подчиняющейся нормальному закону распределения, определяется выражением
'Я Р(х) » [1/(27го)1/2]ехрН^-Л)2/(2о2)],
где о2 — дисцерсия случайной величины; X — среднее значение.
Для случая, когда среднее значение XQ = 0, выражение принимает вид >
Лх) = [1/(2ла)1/2]ехр[-х2/(2а2)].
На рис. 3.3, а показаны две функции распределения при различных значениях дисперсии (мощности случайного процесса). На рис. 3.3, б приведены две функции распределения постоянной составляющей.
График функции р(х) определяет значение плотности вероятности для различных возможных значениях X. Если взять некоторый уровень отсчёта Хъ то плотность вероятности для этого уровня определится значением р{Х\) большим, чем для уровня Хг, где плотность вероятности равна р(Л2). Это означает, что вероятность того, что флюктуационное значение в некоторый момент времени / примет значение, лежащее в; окрестности уровня Х2, меньше, чем для уровня Х{. Под окрестностью следует понимать некоторую небольшую область возможных значений X, прилегающую к данному уровню и одинаковую для всех уровней отсчета. Если взять уровень отсчета на большем удалении от нуля, где плотность вероятности мала и близка к нулю (например Х3), то и вероятность того, что величина сигнала помехи в какой-либо момент времени / окажется в окрестности этой точки, будет также мала. Очевидно, что чем больше плотность вероятнос-
204
Рис. 3.3. Законы распределения:
а — нормальный закон распределения без постоянной составляющей; б — нормальный закон распределения с постоянной составляющей; в -т взаимосвязь функции распределения со значениями сигнала случайного процесса (физический смысл кривой распределения)
ти и соответственно вероятность попадания сигнала помехи в окрестности точки, расположенной на определенном уровне, тем чаще величина сигнала в процессе флюктуаций будет принимать соответствующие значения и тем, следовательно, большее время в среднем величина сигнала будет находиться в окрестности этого уровня (рис. 3.3, в).
Все сказанное относительно связи между плотностью вероятности и флюктуационным процессом применительно к нормальному закону распределения вероятностей справедливо для Любой формы кривой распределения.
Если подать флюктуационное напряжение на вертикально отклоняющие пластины электронного осциллографа и выключить
205
горизонтальную развертку (свернуть), то на экране будет видна вертикальная прямая линия. Распределение яркости вдоль линии будет соответствовать кривой распределения плотности вероятности. Последнее становится ясным, если учесть, что яркость свечения в каждой точке экрана пропорциональна среднему времени пребывания пятна в этой точке. Измеряя распределение яркости вдоль линии на экране осциллографа, можно экспериментально получить кривую распределения плотности вероятности флюктуационного процесса.
Из выражения для нормального закона распределения следует, что плотность вероятности становится равной нулю только при X -> да. Это означает, что теоретически возможны любые по величине флюктуационные выбросы.
Контрольные вопрос^
1.	Приведите график одномерной плотности вероятности с нормальным законом распределения для случайного процесса.
2.	Определите постоянную составляющую и дисперсию по графику одномерной плотности.
3.	Изобразите две одномерные плотности вероятности с нормальным законом распределения, с разными постоянными составляющими и дисперсиями.
4.	Изобразите на одном графике две одномерные плотности вероятностей с одинаковыми постоянными составляющими, но с разными дисперсиями.
3.4.	Функция корреляции
Хотя флюктуационное значение сигнала представляет собой случайный процесс, это не означает, что одни мгновенные значения сигнала могут самым произвольным образом переходить в другие. Между мгновенными значениями сигнала существует определенная связь, объяснить которую можно исходя из того, что переменная величина X обычно действует в некоторой реальной цепи, обладающей инерционными свойствами, ограничивающими скорость изменения X
По этой причине одни значения флюктуационного сигнала в какой-то мере предопределяют ближайшие следующие. Вследствие случайного характера возмущений, образующих флюктуации, связь между отдельными значениями величины Xносит не строго определенный, а вероятностный характер.
Для оценки степени связи между мгновенными значениями какого-либо флуктуационного процесса прибегают к понятию функции корреляций (автокорреляции).
206
Рассмотрим совокупность реализаций случайного процесса (рис. 3.4, а) и выделим два момента времени и /2. Будем обозначать возможные значения переменной Хв момент через Х{ и в момент t2 через Х2. Функцией корреляции (от латинского correlatio — соотношение) между величинами Xj и Х2 называется величина, равная среднему значению произведения Xt на Х2, вычисленному с учетом всех вероятных значений переменной X в моменты и t2. Обозначая функцию корреляции через Л(т), запишем
где черта сверху обозначает усреднение (в данном случае по совокупности реализаций).
На основании эргодической теоремы можно определить функцию корреляции (исходя из одной реализации) по формуле
т
R(z) = Um(l/ Т) jX(t)X(t - т) dt.
Эта формула представляет собой запись среднего по времени произведения двух текущих флюктуационных значений, разделен
Рис. 3.4. Корреляционная функция:
а — совокупность случайных процессов при определении функции корреляции; б — процесс определения функции корреляции; в — функция корреляции случайного процесса
207
ных интервалом т (рис. 3.4, б). В соответствии с эргодической теоремой среднее по времени и среднее по совокупности реализаций приводят к одинаковому результату. Приведенное выражение указывает на возможность практического определения функции корреляции в случае, когда имеется запись случайного процесса во времени. Для этого необходимо сместить один процесс относительно другого на величину т и перемножить попарно ординаты двух кривых, измеренных через одинаковые интервалы времени, произведения сложить и разделить на число слагаемых. Такое графическое интегрирование и усреднение не могут быть произведены на бесконечно большом интервале времени, как требует выражение. Однако результат может быть получен вполне близким к действительности, если взять отрезок времени достаточно большим.
Функция корреляции в случае стационарного эргодического процесса не зависит от выбора началу отсчета времени, а зависит только от интервала т. Это значит, что функция корреляции не меняется, если вместо значения -т подставить +г, т. е. перемещать вторую реализацию в другую сторону по сравнению с предыдущим случаем.
Это означает, что функция корреляции стационарного процесса четная, она симметрична относительно оси ординат.
Для уяснения того, как функция корреляции характеризует связь между мгновенными значениями случайного процесса, проследим за значениями этой функции при некоторых крайних значениях интервала т. Положим сначала, что т = 0. В этом случае связь между значениями случайного процесса максимальная, так как каждому значению X первой реализации соответствует точно такое же значение X второй реализации. Функция корреляции при этом равна
т.е. равна квадрату среднего значения случайного процесса или мощности процесса.
Увеличиваем интервал до значения т -> оо. При таком интервале мгновенные значения процесса можно считать независимыми, поскольку исключено их взаимное влияние. Исходя из известного положения теории вероятностей, которое гласит, что среднее значение произведения двух независимых величин равно произведению средних значений этих величин, можем написать
Если процесс стационарный и не имеет постоянной составляющей, т. е. среднее значение равно нулю, то функция корреляции при т -> оо будет стремиться к нулю (7?(оо) s= 0).
208
Иначе говоря, функция корреляции процесса без постоянной составляющей с увеличением т стремится к нулю. При промежуточных значениях т функция корреляции случайного процесса может иметь как положительные, так и отрицательные значения, заключенные по абсолютной величине между Я(0) и нулем.
На рис. 3.4, в показана типичная корреляционная функция стационарного случайного процесса при увеличении т. Однако приближение R к нулю не всегда происходит монотонно. В ряде случаев значения функции колеблются около нулевого значения, приближаясь к нему при увеличении т. Отрицательные значения корреляционной функции означают, что при соответствующем интервале между мгновенными значениями наиболее вероятны разные по знаку величины X. Чем быстрее процесс и чем чаще происходит перемена знака, тем меньший интервал времени отделяет положительные и отрицательные максимумы функции корреляции.
Если процесс имеет постоянную составляющую, т.е. среднее значение не равно нулю, то корреляционная функция стремится не к нулю, а к квадрату постоянной составляющей процесса.
Отсюда следует, что в случае процесса с постоянной составляющей можно при известной функции корреляции найти мощность переменной составляющей (дисперсии), которая равна полной мощности случайного процесса минус мощность постоянной составляющей:
о2 = /?(0) - /?(<ю).
Функцию корреляции в том виде, как она определена, называют функцией автокорреляции, так как она характеризует связь между сдвинутыми во времени мгновенными значениями одного и того же процесса. В общем случае функция корреляции может служить мерой связи двух различных случайных процессов, ее называют функцией взаимной корреляции или взаимокорреляционной функцией. В случае двух случайных процессов X(f) и У(/) она определяется как
т
/?в(г) = ит(1/7’)/Х(0Г(/-г)Л.
Г-но 0
Известно, что взаимокорреляционная функция независимых случайных процессов равна нулю, если хотя бы у одного из процессов среднее значение равно нулю.
В практических исследованиях часто вместо корреляционной функции используют коэффйциент корреляции, который представляет собой отношение функции корреляции к ее значению при т = 0 и обозначается через
р(т) = /?(т)/(/?(0)).
209
Функция корреляции играет важную роль в теории случайных процессов. Это объясняется тем, что, зная ее, можно определить другие важные характеристики процесса и в первую очередь спектр процесса.
Для получения информации о случайном сигнале в частотной области применяют преобразование Фурье к корреляционной функции, полученный при этом результат называют спектральной плотностью
S(iu) = |Л(т)езф(-/»т>/т.
-СО
Корреляционную функцию, выраженную через спектральную плотность с помощью интеграла Фурье, можно представить выражением
Л(т) = (1 /(2 л)) J S(w) exp(iwx)du>.	(3.2)
-во
Между спектральной плотностью и корреляционной функцией в системах, находящихся под воздействием случайных процессов, существует связь, подобная связи в системах с детерминированными сигналами между частотными характеристиками и импульсной переходной функцией.
Заменяя в исходном выражении показательную функцию тригонометрическим выражением, получим
S(w) = j Л(т) cos wxdx -1 J А(т) sin wxdx.
-во	-co
Учитывая, что второе слагаемое этого выражения является интегралом от нечетной функции с бесконечными пределами и вследствие этого равно нулю, найдем
S(w) = J R(x) cos wxdx = 2 j /?(t)coswt</t.
-CO	-«
В этом выражении подынтегральная функция четная относительно х, поэтому спектральная плотность обладает свойством
S[-w) = S(w).
Эго выражение показывает также, что спектральная плотность — действительная функция.
Аналогичные преобразования Для выражения (3.2) дают результат
R(x) = (1 / л) j5(jy) cos wxdx.
о
210
Если в выражении (3.2) для корреляционной функции положить т = 0, то можно написать следующее выражение:
т
X2 = Я(0) = Ит(1 /(2я)) J X2(f)dt	(3.3)
или
X2 = ад = (1 /(2л)) f S(w)dw = (1 / я)J S(w)dw.	(3.4)
-GO	О
Уравнение (3.3) можно использовать для определения энергетических показателей случайного процесса. Действительно, рассматривая процесс Д/), интеграл под знаком Предела характеризует энергию;’которая выделяется в течение времени наблюдения 2Т. Разделив этот интеграл на интервал времени 2Т, получим среднюю мощность процесса. Таким образом, правая часть уравнения (3.3) может быть истолкована как средняя мощность процесса. Уравнение (3.4) определяет ту же величину средней мощности процесса, но только выраженную через спектральную плотность; оно показывает, что средняя мощность процесса характеризуется площадью под кривой спектральной плотности, спектральная плотность определяет распределение мощности сигнала по частотам.
Контрольные вопросы
1. Что такое корреляция?
2. Что такое автокорреляционная и взаимокорреляционная функции? 3. Изобразите корреляционную функцию двух импульсных процессов. 4. Изобразите корреляционную функцию двух треугольных процессов. 5. Как определяется мощность процесса по автокорреляционной функции?	;
6. Если процесс имеет постоянную составляющую, к чему стремится автокорреляционная функция?
3.5. Свойства корреляционной функции
Функция корреляции — наиболее распространенная характеристика случайных процессов, одним указанием которой часто ограничиваются для его описания. Рассмотрим связь этой функции со спектром и некоторые характерные черты функции корреляции, позволяющие судить по ним о характере процесса.
Рассмотрим процесс с наиболее простой формой частотного спектра (прямоугольный) и определим для него функцию корреляции при различной ширине спектра и различном положении спектра на шкале чаСтоТ. Положим, что случайный процесс имеет
211
спектр прямоугольной формы, изображенный на рис. 3.5, а, с шириной равной ;
.	ДИ? = W2 -и>1, ,	(
где и>2 — верхняя и u?r— нижняя частоты спектра.
Спектральная плотность процесса G(w) в данном случае постоянная в пределах указанной полосы, обозначим ее через Go. Очевидно, что
(?о = о2 / Ди?, где о2 — мощность (дисперсия) процесса.
Обозначим среднюю частоту спектра процесса через
u?o ~(w2 + u?,)/2.
Будем полагать, что спектр процесса является узкополосным, т.е, лежит в области достаточно высоких частот, и его средняя частота много больше ширины спектра, т.е. иь > Ди?. Подставим значение спектральной плотности процесса в выражениедля функции корреляции. Заменим-одновременно пределы интегрирования крайними значениями частоты и и, выполняя интегрирование, получим	<
/?(т) = I Go cos wdw *= 2G	cos[(u?2 - u?i )t / 2].
От этого выражения можно перейти к другому
и, .	, sin(Aun / 2)
Л(т) = О2 iCOS Wgl.
kun 12
Положима2 = 1, поскольку эта величина в данном случае не имеет принципиального значения. График Полученной функции корреляции изображен на рис. 3.5, б.
ЯМ

X I
V
б
а
Рис. 3.5. Характеристики случайного сигнала: а — спектральная плотность случайного процесса; б — корреляционная функция случайного процесса
212
Как видно из последнего выражения и из рис. 3.5, б, функция корреляции носит затухающий колебательный характер, причем форма ее определяется двумя величинами Aw и щ>- Величина соответствует средней частоте спектра процесса. Изменения функции корреляции, связанные с этой частотой, происходят относительно быстро, поскольку было предположено, что лежит в области высоких частот. Вторая величина представляет ширину спектра и, поскольку Aw < щ,, обусловленные ею изменения функции корреляции происходят относительно медленно. Представим полученную функцию корреляции в виде
/?(т) = г(т) COSW0T,
. . sin(Awx/2) _	. л.
где г(т)» —1— огибающая корреляционной функции.
Awe/2
Из выражения для корреляционной функции видно, что она имеет косинусоидальное колебание с частотой с медленным изменением амплитуды (огибающей). Такой характер функции корреляции типичен для узкополосного процесса и имеет место не только при прямоугольной форме частотного спектра, но и при любой другой его форме, симметричной относительно средней частоты. Разница заключается только в форме огибающей г(г).
Следует заметить, что огибающая г(т), служащая множителем при coswc, является функцией корреляции процесса, который можно получить из исходного путем перемещения его спектра к началу координат (в область низких частот). В этом можно убедиться, если принять иь = 0, при этом
Л(г) = г(т).
Функция г(т), зависящая от ширины спектра Aw, определяет степень затухания функции корреляции. Для выяснения влияния ширины спектра На степень затухания огибающей г(т) рассмотрим два крайних случая Aw -> 0 и Aw -> оо применительно к процессу с прямоугольной формой частотного спектра. При Aw -> 0 и ст2 = 1 имеем г(т) = 1 и
7?(т) = cosufeT.
В этом случае функция корреляции превращается в незатухающую периодическую функцию, т.е. процесс становится гармонически колебательным. Это легко понять, если предположить, что спектр случайного процесса формируется с помощью колебательного звена, на вход которого подано шумовое воздействие. При сужении полосы пропускания колебательного звена все меньшее число частотных составляющих достигает выхода, и процесс все более приближается к одиночному синусоидальному колебанию.
213
Положим теперь Дш -> О (белый шум1)- Функция корреляции в этом случае будет определяться выражением
А(т) = f cos wtdw.
о
Значение интеграла равно
со
jcoswxrfw = л8(т).
о
Эта функция называется 8-функцией, которая обладает тем свойством, что она равна нулю при всех значениях аргумента т, кроме т = 0, где она равна бесконечности; 8-функцию можно рассматривать как предельный случай прямоугольника с основанием Дт и высотой 1/Дт при Дт -> 0. Площадь его равна
р(т)с?т = 1.
-оо
Стягивание функции корреляции в одну линию к началу координат свидетельствует о полной взаимной независимости мгновенных значений процесса при т * О, что характерно для процесса с равномерным бесконечно широким Спектром (белый шум). В противоположность рассмотренному процессу с узкой полосой частот в случае белого шума существует «мгновенное» затухание функции корреляции. При промежуточных значениях Aw функция корреляции будет иметь более или менее затухающий характер.
Таким образом, функция корреляции несет на себе следы всех проявлений процесса, определяющих его частотный спектр. Колебания функции корреляции, совершаемые с определенной частотой, указывают на среднюю частоту спектра случайного процесса и соответственно на положение его на оси частот. Затухание колебаний характеризует ширину спектра случайного процесса. Форма огибающей связана с формой частотного спектра.
Для количественной оценки взаимной связи между мгновенными значениями случайного процесса часто пользуются понятием времени корреляции. Временем корреляции называют такой интервал времени, по истечении которого функция корреляции затухает до некоторого пренебрежимо малого значения (например, 10 % от максимального значения). Мгновенные значения случайного процесса, разделенные промежутком, равным времени корреляции, полагают независимыми, т.е. не связанными между собой ни по знаку, ни по величине.
1 Белый шум — случайный процесс с равномерным спектром частот.
214
Иногда время корреляции определяют несколько иначе, а именно как основание прямоугольника, имеющего площадь, равную площади, заключенной под кривой функции корреляции (в положительной области значений), и высоту, равную максимальному значению А(0). Математически это записывается выражением
j R(x)dx
Т° = А(0) ‘
Контрольные вопросы
1.	Какую форму имеет корреляционная функция при наличии равномерного спектра у случайного процесса?
2.	Что влияет на форму огибающей корреляционной функции?
3.	Что такое белый шум?
4.	Какими параметрами характеризуется 5-функция?
3.6. Прохождение случайного процесса через линейные звенья
Для определения спектра случайного процесса на выходе линейного звена с постоянными параметрами при заданном спектре на входе должна быть известна частотная характеристика звена, под которой понимается зависимость модуля коэффициента передачи звена от частоты. Фазовые соотношения у частотных составляющих на входе и выходе звена при определении энергетического спектра роли не играют и не учитываются.
Определение спектра на выходе звена основывается на том, что через звено проходят лишь те частотные составляющие, которые лежат в полосе пропускания звена, с усилением, пропорциональным коэффициенту усиления на каждой данной частоте. В соответствии с этим связь между энергетическим спектром на входе и на выходе линейной системы может быть записана в виде
G^wy^wfG^w).
В этом выражении фигурирует квадрат модуля коэффициента передачи звена по амплитуде выходного сигнала (напряжение или ток), так как речь идет о преобразовании спектральной плотности мощности, а передача звена по мощности пропорциональна квадрату напряжения или тока.
Если на вход звена, имеющего частотную характеристику W(ш) (рис. 3.6), подается случайный процесс с равномерным спектром частот Gm(w) (белый шум), то спектр на выходе GBta(w) в этом
215

Рис. 3.6. Изменение спектра частот при прохождении через линейное звено
случае будет повторять по своей форме частотную характеристику звена.
Преобразование спектра случайного процесса в линейных звеньях заключается только в усилении или ослаблении различных частотных составляющих. Новые частотные составляющие при линейных преобразованиях случайного процесса не появляются.
В общем случае при действии на входе звена случайного процесса с постоянной спектральной плотностью Go мощность процесса на выходе находится по формуле
Q2«(^/(2x))J|FF(w)|2dw.
о
Гораздо сложнее по сравнению с определением частотного спектра обстоит дело, когда необходимо решить вопрос о законе распределения вероятностей на выходе линейного звена при известных параметрах звена и распределения вероятностей на входе.
Если закон распределения вероятностей случайного процесса на входе нормальный, то он и остается нормальным независимо от ширины и формы частотной характеристики звена или нескольких последовательно соединенных звеньев, через Которые проходит случайный процесс. Изменяются только следующие параметры: дисперсия, функция корреляции.
Если закон распределения случайного процесса на входе не является нормальным, то процесс на выходе в общем случае также не подчинен нормальному закону распределения. Однако в одном практически важном случае имеет место явление нормализации закона распределения случайного процесса при прохождении через линейное звено. Оно заключается в том, что процесс на выходе подчинен нормальному закону распределения вероятностей в то время, когда процесс на входе отличается от нормального. Это явление может быть в том случае, когда ширина спектра частот процесса на входе линейного звена существенно превосходит полосу пропускания звена. Это можно объяснить тем, что отдельные возмущения, вызываемые относительно быстро возникающими выбросами случайного процесса, не успевают затухать от одного выброса к другому. В процессе наложения на выходе они образуют свой собственный закон распределения, независимый от закона
216
распределения на входе. Вследствие хаотичности процесса наложения закон распределения в сумме может оказаться нормальным. Последнее утверждение основывается на так называемой центральной предельной теореме вероятностей. Согласно этой теореме закон распределения суммы независимых случайных величин при большом числе соизмеримых между собой слагаемых стремится к стандартному нормальному закону распределения.
Для нормализации процесса необходимо превышение ширины спектра частот случайного процесса над полосой пропускания звена, это зависит от степени отклонения закона распределения на входе от нормального.
Достаточно хорошее приближение на выходе к нормальному распределению получается при отношении ширины спектра частот к полосе пропускания, равном 4... 6.
Контрольные вопросы
1.	Чем определяется спектр частот на выходе линейного звена?
2.	Как меняется закон вероятности на выходе линейного звена, если на входе он является нормальным?
3.	К чему приводит уменьшение ширины спектра частот линейного звена по сравнению со спектром случайного процесса на входе?
3.7.	Прохождение случайного процесса через нелинейные элементы
Случайный процесс, поступающий на вход нелинейного элемента, вследствие нелинейности его статической характеристики изменяется по своей структуре. Изменение процесса в нелинейном элементе сопровождается появлением новых частотных составляющих. Это бывает всегда при нелинейных преобразованиях. Процесс на входе нелинейного элемента обозначим X, а на выходе — У и положим, что закон распределения на входе р(х) известен и известна также характеристика нелинейного элемента Y=f(x), показывающая, по какому закону «деформируется» кривая входного воздействия нелинейного элемента.
Будем искать закон распределения вероятностей для величины Y с учетом деформации в нелинейном элементе. Определим обратную зависимость нелинейного элемента X=Ду).
Поставленная задача решается на основании известного в теории вероятностей правила перехода от одной случайной переменной к другой, которое можно вывести на основании следующих рассуждений. Пусть величины Хи Усвязаны некоторой зависимостью, которая графически изображена на рис. 3.7, а. Вероятность того, что новая случайная величина У примет значение, находя-
217
Рис. 3.7. Преобразование случайного сигнала: а преобразование закона распределения вероятностей С нелинейным элементом — однозначная зависимость; б — преобразование закона распределения ве-роятностей с нелинейным элементом — двухзначная зависимость; в — закон распределения вероятностей на выходе нелинейного элемента
щееся в пределах между У и У + dY, равна вероятности того, что величина X примет значение, лежащее между Хи Х+ dX. Это можно записать в виде
P<y)dy = P(x)dx,
где Ху) — искомая плотность вероятности величины Y. Отсюда можно получить выражение
ХУ) • p(x)dx/dy.
В это выражение следует подставить вместо х и dx/dy его значения, которые можно определить по характеристике, представленной на рис. 3.7, б.
В некоторых случаях применяются двухсторонние нелинейные характеристики, когда одному значению У соответствуют два значения Xi и Xi- В этом случае
Ху)Ф = X*i)^i + Х*^Фь
и выражение для плотности вероятности ХУ) описывается уравнением
Ху) = Х*1)<&1/Ф + p(b)dxjdy.
Воспользуемся полученными выражениями и определим закон распределения вероятностей для случайного процесса на выходе нелинейного элемента с квадратичной характеристикой (см. рис. 3.7, а). Нелинейный элемент имеет статическую характеристику, описываемую выражением
У=АХ2, где К — коэффициент пропорциональности.
218
Будем считать, что случайный процесс имеет нормальный закон распределения
р(х) = [1/(о(2л)1/2)]ехр(-х2/(2о2)).
На выходе нелинейного элемента формируется случайный процесс, ограниченный с одной стороны. Поэтому в той области, где процесс на выходе не формируется, плотность вероятности величины У равна нулю (р(у) - О).
В области, где У* 0 (т. е. где Х> 0 и У > 0), плотность вероятности определяется следующим образом. Имеем %= (Y/K}x/1. Получим dX/dY= (У/ЛЭ1/2- Результирующая плотность вероятности описывается выражением
Ху) = {1/(а(2л^У)1/2ехр(-У/(2Аа2)).
График этой функции показан на рис. 3.7, в.
По известным законам распределения вероятностей случайно-- го процесса на выходе нелинейного элемента можно определить:
•	уровень постоянной составляющей случайного процесса;
•	общую мощность процесса (вместе с постоянной составляющей);
•	суммарную мощность переменных составляющих.
Выражение дляпостоянной составляющей на выходе нелинейного элемента можно записать в следующем виде:
у=]1ХуЖ.
-со
Определение постоянной составляющей можно осуществить с помощью выражения
У= ]/(х)Х*)<&.	
Аналогичным образом можно определить полную мощность (дисперсию) процесса на выходе нелинейного элемента:
F = J Y2p(y)dy, У2 = J |/(x)|2 p(x)dx.
Контрольные вопросы
1.	Что происходит со случайным процессом, если он проходит нелинейный элемент?
2.	Нарисуйте закон распределения случайного процесса на выходе нелинейного элемента.
3.	Что можно определить на выходе нелинейного элемента по известным законам распределения вероятностей случайного процесса?
219
3.8. Частотный спектр на выходе нелинейного элемента
Преобразование частотного спектра в нелинейном элементе сопровождается появлением новых частотных составляющих вследствие того, что изменяется первоначальная форма кривой случайного процесса. Процесс преобразования спектра можно рассматривать как процесс перемножения частотных составляющих. В результате этого возникают суммарные (высокочастотные) и разностные по частоте (низкочастотные) составляющие. Суммарные составляющие располагаются выше частот исходного спектра, а низкочастотные составляющие приближаются по частоте к началу координат. Это можно наблюдать на рис. 3.8, б.

и>0 2ийи> б
Рис. 3.8. Спектр случайного процесса на выходе нелинейного элемента: а — колоколообразная форма спектра на входе; б — частотный спектр на выходе нелинейного элемента
Математическая задача определения спектра на выходе нелинейного элемента весьма сложная, если ее поставить в общем виде, вне зависимости от характера случайного процесса, формы спектра, статических характеристик нелинейных элементов и т.д.
Контрольные вопросы
1. Как преобразуется частотный спектр входного сигнала?
2. Какие частотные составляющие появляются в выходном сигнале?
ГЛАВА 4
СЛОЖНЫЕ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
4.1. Оптимальные системы управления
Важным классификационным признаком систем является их сложность. Сложность систем определяется числом и разнообразием связей и неопределенностью их поведения. По сложности системы подразделяются на элементарные (простые), сложные и очень сложные. Элементарные системы являются совокупностью конечного числа объектов, объединенных для выполнения простейших и единичных задач. Отличительная особенность этого класса — полная детерминированность числа элементов и связей внутри системы, а также основных связей системы с внешней средой.
Сложные системы представляют собой совокупность большого, не всегда ограниченного числа объектов, объединенных выполнением комплексных задач. Их отличительной особенностью является недетерминированность связей, число которых в процессе выполнения задач может меняться как внутри системы, так и во внешней среде. Характер связей, а также изменение их числа в таких системах зависит от случайных процессов, а поведение самих систем описывается вероятностными моделями, достоверность которых зависит в первую очередь от массива исходной статистической информации по аналогам таких систем.
Признак сложности является условным. Простыми считаются системы, не имеющие разветвленной структуры, с небольшим числом взаимосвязанных и взаимодействующих элементов. Эти системы могут содержать от 10 до 103 элементов. В простых системах отсутствуют иерархические уровни. К сложным системам относятся системы с развитой иерархической структурой, эти системы имеют от 104 до 107 элементов. К сложным и большим системам управления следует отнести прежде всего системы управления движущимися объектами, оптимальные и адаптивные системы.
Дальнейшее развитие теории и практики автоматических систем связано с выявлением предельных возможностей систем и построением наилучших (оптимальных) систем по какому-либо технико-экономическому показателю. Оптимальная система — это система, которая по совокупности выходных параметров объекта
221
определяет режим работы самого объекта. Автоматическая система, которая обеспечивает наилучшие показатели качества при заданных реальных условиях работы и ограничениях, называется оптимальной. Система управления работает в режиме экстремального поиска, который задается целью управления.
Адаптивные системы — это системы, которые по совокупности внешних воздействий определяют режим работы объекта. Система управления работает в режиме самонастраивания.
Задачи об улучшении статических и динамических характеристик автоматических систем ставились на протяжении всей истории развития теории автоматического управления. Однако проблема создания оптимальных систем достаточно строго и четко была сформулирована только после того, как было точно определено понятие критерия оптимальности, характеризующего качество системы.
При синтезе систем автоматического управления показатели качества процесса задаются не в виде точных числовых значений или характеристик, а в виде области, внутри которой они должны располагаться. Это предопределило многозначность решения задачи синтеза. Возможность выбора из множества вероятных решений, с одной стороны, облегчает задачу инженера, позволяя находить более простое конструктивное решение, но, с другой стороны, и затрудняет задачу, создавая неопределенность поиска наиболее удачной структуры.
Так возникла задача об оптимальности, т. е. найлучшем управлении — таком управляющем воздействии, которое, решая основную задачу, было бы одновременно оптимальным и обеспечивало бы Наилучший показатель качества.
При постановке задачи об оптимальности управления прежде всего Нужно точно сформулировать критерий оптимальности, или, как его часто называют, целевую функцию. Один из возможных способов его формирования состоит в том, что показатель качества выражают в виде функции координат системы, которая имела бы экстремум в рабочей области.
Критерий оптимальности должен удовлетворять ряду условий. В простейших оптимальных системах обеспечивается заданный критерий качества при детерминированных воздействиях и неизменных параметрах объекта. Системы, в которых заданный критерий качества обеспечивается автоматически посредством изменения их параметров или структуры, являются самонастраивающимися. Самонастраивающуюся систему следует рассматривать как составную часть оптимальной системы, способную к дальнейшему развитию.
В качестве критерия оптимальности могут быть приняты различные технические и Экономические показатели и оценки. Например, он может отражать экономическую выгоду (производи
222
тельность, КПД, прибыль), тогда оптимальное управление должно обеспечивать максимум критерия оптимальности. Он может выражать также потери (расход энергии, топлива, средств и т.д.). В этом случае оптимальное управление должно обеспечивать минимум потерь.
Основными критериями качества автоматических систем являются стоимость разработки, изготовления и эксплуатации систем, качество функционирования, надежность, потребляемая энергия, вес, объем, внешние условия нормального функционирования. Каждый из этих критериев является некоторой функцией нескольких переменных.
Выбор критерия оптимальности — это инженерная или инженерно-экономическая задача, которая решается путем глубокого и всестороннего изучения управляемого процесса. Трудности выбора критерия оптимальности объясняются тем, что требования, предъявляемые к работе системы, часто оказываются противоречивыми. Например, желательно всегда иметь максимально надежную, простую и дешевую систему. Однако повышение надежности связано с усложнением и увеличением стоимости, а упрощение — с ухудшением некоторых показателей качества. Кроме того, трудность выбора критерия оптимальности связана с тем, что сложность решения задачизависит от сложности формулировки критерия.
Если показатель качества отражает большинство требований, то найти структуру и оптимальные параметры системы можно только численными методами для какой-либо частной задая^Бсли же требуется найти решение в явной форме, то долж^ЙЙпъ использованы точные показатели качества, которые не могут отразить многие требования.
При проектировании автоматических систем один из указанных критериев будет иметь доминирующее значение, а другие — второстепенное. При этом возможны различные подходы к решению задачи построения оптимальной системы: например, какой-либо из критериев принимает экстремальное значение, а остальные выходят из области допустимых значений. При таком подходе, сравнивая конкурирующие системы, нельзя получить однозначного ответа. Кроме того, в этом случае не используются все возможности улучшения системы по неосновным критериям.
От этих недостатков в принципе свободен интегральный критерий, который объединяет максимальное число критериев со своими весовыми коэффициентами. Достижение максимального (или минимального) значения этого критерия указывает на оптимальное поведение системы в динамике либо на наилучшие показатели в установившихся режимах. При этом наиболее часто рассматривают задачи обеспечения минимума отклонений переменных за время переходного процесса при единичном входном воздействии, обеспечения минимума времени переходного процесса
223
и обеспечения минимума средней квадратической ошибки при заданных или случайных сигналах.
Не затрагивая вопроса обоснования выбора критерия оптимальности, укажем некоторые его типы, подразделяя критерии оптимальности в зависимости от их принадлежности к переходному или установившемуся режимам работы системы.
В качестве критерия оптимальности могут быть применены интегральные оценки качества переходного процесса при единичном входном воздействии. При использовании, например, квадратичной интегральной оценки система будет оптимальной, если обеспечивается минимум интеграла
1 = |дУ2А = тш.
Этот критерий оптимальности характеризует суммарную ошибку автоматической системы за время переходного процесса и минимальные отклонения выходной переменной. Если рассматривается критерий минимума времени переходного процесса при единичном воздействии и заданных ограничениях для Некоторых координат, то полученная система является оптимальной по быстродействию.	*
Для обеспечения минимума ошибки автоматических систем при случайных сигналах может быть использована средняя квадратическая ошибка системы. В этом случае критерий оптимальности используется при определении параметров системы и оптимальной передаточной функции из условия минимума средней квадратической ошибки.
Чтобы определить оптимальную систему по критериям минимума вероятности ошибочного решения, необходимо знать распределения случайного сигнала и входной случайной функции, однако в случае нормального закона распределения, наиболее часто встречающегося на практике, для упрощения задачи приходится ограничиваться определением оптимальной системы по критерию минимума ошибки. При нормальном законе распределения сигнала и помех эта система оказывается оптимальной.
В тех случаях, когда необходимо обеспечить наилучшую работу системы в наихудших возможных условиях, используется критерий оптимальности, называемый минимаксным. Такой критерий рассматривается, например, при получении минимального значения наибольшего (максимального) отклонения (перерегулирования) управляемой переменной от некоторой заданной функции времени.
Нельзя ставить зад ачу одновременного обеспечения оптимума двух и более функций одной или нескольких переменных. Можно ставить лишь задачу получения оптимума одной функции или интегрального критерия, но при этом накладывать дополнительные условия об ограничении других функций или интегральных критериев. В связи с
224
этим иногда применяют комбинированные критерии, с помощью которых устанавливают в пространстве некоторого вектора допустимую область, за пределы которой нельзя выходить.
Встречаются типы задач по определению оптимальных решений, когда имеются две стороны, интересы которых противоположны, и каждая сторона стремится получить максимальную выгоду для себя. Эти задачи являются предметом сравнительно нового раздела теории вероятности, так называемой теории игр, которая пока еще недостаточно разработана.
Контрольные вопросы
1.	Что такое сложные системы?
2.	Что такое оптимальные системы?
3.	В чем заключается качество многопараметрических систем?
4.	Что такое критерий оптимальности?
5.	Каким условиям должен удовлетворять критерий оптимальности?
6.	Как выбрать критерий оптимальности?
4.2.	Классификация оптимальных систем
В простейшем случае оптимальные системы классифицируются по виду критерия оптимальности: по характеристикам управляемых объектов, по требованиям, предъявляемым к объектам, по характеру информации об объекте, поступающей в управляющее устройство (регулятор).
По характеристикам объектов оптимальные системы могут быть разделены на линейные и нелинейные, а также на непрерывные и дискретные. При этом учитываются различные ограничения (по величине регулирующего воздействия, нагреву, механической прочности). Сюда можно отнести также характеристики возмущающего воздействия, прикладываемого к объекту.
По требованию, предъявляемому к объекту, устанавливается цель управления. Это позволяет классифицировать оптимальные системы в зависимости от типа критерия оптимальности:
•	равномерно-оптимальные системы (каждый отдельный процесс является оптимальным);
•	статистически оптимальные системы, когда невозможно (или не требуется) обеспечить наилучшее поведение системы в каждом отдельном процессе, а критерий оптимальности имеет статистический характер из-за случайных воздействий — такие системы должны быть наилучшими в среднем;
•	минимаксно-оптимальные системы, когда какой-либо наихудший результат лучше, чем подобный результат в любой другой системе.
8 Горошков
225
В зависимости от стабильности экстремальных характеристик эти экстремальные системы управления подразделяются на статические и динамические. В статических системах экстремальная характеристика стабильна, оптимальное управление в них, соответствующее экстремуму показателя качества, осуществляется при неизменном значении координат управления, установленных для заданного экстремума. Такие экстремальные системы подобны обычным системам стабилизации выходной переменной, специфика их определяется лишь назначением и выбранным экстремальным критерием оптимальности. В динамических системах экстремальная характеристика нестабильна, но ее изменение в зависимости от некоторого параметра либо известно, либо неизвестно, и имеется случайная зависимость экстремальной характеристики от многих факторов. В первом случае, когда зависимость изменения экстремальной характеристики известна, экстремальная система может иметь программное управление. Во вторбм случае, когда зависимость неизвестна, система должна иметь устройство автоматического поиска экстремума. Например, имеется одномерный объект с экстремальной зависимостью показателя качества 5 от выходной координаты объекта У в статических режимах. Если характеристика 5=/(У) имеет переменное экстремальное значение параметра 5 при неизменном значении экстремальной координаты Y3KC (рис. 4.1, а), то достаточно один раз определить положение экстремума, чтобы затем использовать обычную систему автоматического управления стабилизации выходной величины объекта при фиксированной координате Уэкс.
Если же характеристика 5 = /(У) изменяется произвольно (рис. 4.1, б), то следует применить экстремальное управление, которое обеспечит слежение системы управления за экстремумом. Предположим, что вначале поддерживался экстремальный режим рабочей точки 1 с координатами У1экс и 51экс на характеристике А.
Рис. 4.1. Положение экстремальных точек: а — изменение значения экстремальной точки; б — изменение положения экстремальной точки в пространстве признака
226
При воздействии возмущения на объект экстремальная характеристика S=f(Y) изменится и примет вид кривой В, экстремальная точка 1 переместится в точку 2 с координатами У2э1а. и З^. Тогда при старом значении координат У1ЭКС показатель качества ухудшится 5'1 экс > <$2экс- Система окажется в точке 3. Экстремальное управление должно обеспечивать определение нового положения экстремума в рабочей точке 2. Это достигается изменением координаты объекта У|экс до значения У2экс, которое остается постоянным до нового изменения положения статической характеристики S=f(Y) в виде кривых С, D и т.д. (см. рис. 4.1, б).
Если известен закон перемещения статической характеристики 3=/( У), то можно воспользоваться программным управлением. Например, если перемещение экстремальных характеристик известно во времени, то алгоритм программного управления У7) можно представить в виде графика (рис. 4.2, а). На практике воз-
Сигналы поиска 6
в
Рис. 4.2. Система экстремального регулирования: а — изменение значений экстремальной точки во времени; б — характеристика изменения регулируемой величины при подаче сигнала поиска; в — структурная схема системы экстремального регулирования; HP — настройка регулятора; Р — регулятор; Д1, Д2 — датчики; ОР — объект регулирования; ФД — фазочувствительный детектор; 1 — параметр настройки регулятора меньше оптимального; 2 — равен оптимальному; 3 — больше оптимального
227
можны самые разнообразные случаи программного управления экстремальными режимами.
Если закон изменения экстремальной характеристики неизвестен, применяются системы с автоматическим поиском экстремума с последующим слежением за экстремумом. Работа этих систем осуществляется в два этапа. На первом этапе происходит поиск соотношения между исходным значением показателя качества и его экстремальным значением, на втором — отрабатывается найденное значение изменения настройки системы с целью сохранения экстремума показателя качества. Рассмотрим поиск минимума экстремальной системы, когда 5 зависит только от одной координаты Y В начальном положении Y= Y0.B результате измерения настройки системы получим Yi = Yo + А К Если	<
< S(Y0), то приращение получаем в сторону минимума функции. Если же 5(Ki) > S( 1q), то необходимо изменить направление изменений координаты У. В случае = 5(К0) настройка системы находится вблизи экстремального значения. Аналогично определяется и максимум экстремальной характеристики. При определении движения к экстремуму следует учитывать положение начальной точки относительно экстремума.
Таким образом, поиск экстремума сводится к определению производной в данной точке экстремальной характеристики. В точке экстремума 5Э1СС = 0. Существуют и другие способы поиска экстремума, напримербез дополнительного или с дополнительным поисковым сигналом.
Рассмотрим принцип работы экстремального регулятора с дополнительным поисковым сигналом. Эта система экстремального регулирования состоит из основного контура регулирования, к которому добавлен контур экстремального поиска. Этот второй контур, как правило, вмешивается в процесс не непосредственно, а воздействуя на настройку основного регулятора.
Пусть зависимость регулируемой величины от настройки регулятора имеет вид, показанный на рис. 4.2, б. Если бы поставленную задачу решал человек, то он постепенно менял бы настройку и, наблюдая за изменениями регулируемой величины, определял на глаз, когда прибор, измеряющий регулируемую величину, дает максимальные значения. Увеличив слишком сильно сигнал настройки и увидев, что регулируемая величина достигла максимума, человек уменьшит сигнал настройки. Если под влиянием внешних воздействий положение максимума регулируемой величины может все время смещаться, то человеку придется все время «пробовать» систему, меняя настройку то в одном, то в другом направлении, следя за тем, как изменяется регулируемая величина.
Экстремальные регуляторы, которые применяют для замены человека устроены так, чтобы выполнять тот же порядок действий, которые выполнял человек. Регулятор должен непрерывно менять
228
настройку системы в узких пределах и сопоставлять эти изменения с результатом, т.е. с изменениями регулируемой величины. Такой режим непрерывного изменения настройки системы называется режимом поиска. Создаваемое регулятором изменение параметров называется поисковым сигналом. На рис. 4.2, б показаны три случая изменения регулируемой величины при подаче сигнала поиска: изменяемый параметр настройки регулятора меньше оптимального значения (У); равен ему (2); больше его (5). При отклонениях от оптимума колебания выходной величины имеют форму, близкую к синусоиде, причем их фаза меняется на обратную в зависимости от того, в какую сторону режим работы системы отклонился от оптимального. Сравнив колебания регулируемой величины с поисковым сигналом, следует изменить настройку, чтобы приблизиться к оптимальному режиму.
Структурная схема системы, построенная по такому принципу, показана на рис. 4.2, в. В нее входят два замкнутых контура регулирования. Первый контур является основным. Он состоит из объекта регулирования (ОР), датчика (Д1) и регулятора, включающего в себя нуль-орган, задатчик, усилитель и исполнительный механизм. Второй контур является контуром экстремального регулирования. В него входят: генератор сигнала поиска, датчик (Д2), фазочувствительный детектор (ФД) и устройство изменения настройки основного регулятора (HP).
Генератор сигнала поиска меняет настройку основного регулятора по периодическому закону. Это приводит к изменению регулируемой величины также по периодическому закону. Эти изменения фиксируются датчиком Д2 и подаются на фазочувствительный set-текгор. Одновременно на фазочувствительный детектор от генератора сигнала поиска подается опорный сигнал, совпадающий по фазе с сигналом поиска. Фазочувствительный детектор по принципу действия реагирует только на те изменения регулируемой величины, которые имеют частоту сигналов поиска. На выходе получается положительный или отрицательный сигнал в зависимости от того, как происходит изменение регулируемой величины — в фазе или противофазе с сигналом поиска. При поддержании оптимального процесса сигнал на выходе фазочувствительного детектора равен нуЛю.
По сигналу фазочувствительного детектора (сигнал перестройки) работает устройство, меняющее настройку основного регулятора.
Частота сигнала поиска должна быть значительно выше частоты основных процессов в системе, с тем чтобы не вызывать ее чрезмерной раскачки. По тем же причинам скорость действия устройства изменения настройки должна быть тем меньше, чем инерционнее сам объект. В то же время она должна быть достаточно большой, чтобы успеть за изменениями внешних условий, требующих производить перенастройку системы.
229
Могут встречаться такие объекты и системы регулирования, у которых для поддержания оптимального режима необходимо менять несколько настроек. В таких случаях применима система экстремального регулирования, в которой сигналы от нескольких генераторов поиска (с разными частотами) поступают в разные звенья системы, меняя их настройку. При этом требуется иметь в системе соответствующее число датчиков, фазочувствительных детекторов и устройств изменения настройки.
Как показало описание ранее приведенных устройств экстремального регулирования, выбор структуры экстремальной системы зависит от принятого способа поиска экстремума. В соответствии с этим основным признаком экстремальные системы можно классифицировать на следующие типы: с запоминанием экстремума, шагового типа, с определением производной, с модулирующим поисковым сигналом. По характеру воздействия исполнительного. механизма на объект регулирования экстремальные системы могут быть непрерывного или дискретного действия, в которых воздействия поступают через определенные промежутки времени. На практике часто применяют экстремальные системы смешанного типа, соединяющие в себе свойства различных систем приведенной классификации.
Контрольные вопросы
1.	Как классифицируются системы по виду критерия оптимальности?
2.	Как классифицируются системы по характеристикам объектов?
3.	Чем,различаются оптимальные экстремальные системы?
4‘. Как классифицируются экстремальные системы?
5. Как осуществляется процесс поиска экстремума?
4.3. Адаптивные системы управления
Дальнейшее совершенствование производственных и технологических процессов обусловлено усложнением задач управления. Специфическая особенность этих усложнений заключается в практической невозможности подробного изучения и описания процессов, протекающих в системе управления. По мере усложнения задач, возлагаемых на системы управления, появляются трудности в обеспечении заданного качества управления из-за уменьшения объема предварительной информации об объекте регулирования, а также недостаточных сведений о функции цели, ограничениях, случайных факторах, действующих на него. Кроме того, современный этап развития теории и практики управления характеризуется повышением требований к системам управления, усложнением объектов регулирования, высокими темпами про
230
актирования и ввода в действие систем. Эти обстоятельства приводят, как правило, к тому, что имеющаяся начальная информация оказывается недостаточной для построения систем с высокими показателями качества, и приходится восполнять информацию в процессе функционирования системы.
Поскольку комплекс алгоритмов и программ, необходимый для решения практических задач, должен постоянно корректироваться в связи с изменением и вводом новых технологических процессов и оборудования, изменениями структуры организации производства, появляется необходимость построения разнообразных адаптивных систем, способных в процессе функционирования улучшать свои рабочие характеристики. Потребность в построении обучающихся систем возникает не только в производственных сферах, но и в других областях деятельности человека (медицина, социология, биология и т.д.).
По существу, речь идет о подходах к построению обучающихся систем, адекватных объему исходной информации об исследуемом объекте.
Адаптивные системы в настоящее время все больше применяют для управления объектами и процессами в условиях неопределенности. Расширение области применения адаптивных систем объясняется прежде всего экономическими причинами. По мере совершенствования и удешевления средств микроэлектроники и вычислительной техники оказывается все более выгодным поручать системе управление сбором и обработкой недостающей информации в процессе функционирования, а не получать эту информацию заранее путем постановки специальных экспериментов с участием человека и применения дорогостоящей измерительной аппаратуры. Кроме того, в ряде случаев собрать необходимую информацию заранее невозможно. Наконец, адаптивный подход к построению систем управления оказывается оправданным в условиях нестационарности (дрейфа) характеристик объекта регулирования и окружающей среды. Реализация достаточно сложных алгоритмов адаптивного управления осуществляется в управляющих ЭВМ.
Если собрана полная информация об исследуемом процессе, то задача вообще не является стохастической: не требуется ни обучения, ни даже обратной связи. Когда информация об исследуемом объекте регулирования неполная, то уже можно применять адаптивную систему, поскольку процесс обучения (адаптации) необходим, он состоит в последовательном повороте модели или/и управляющего устройства в пространстве входных-выходных переменных. В большей степени адаптивной является система, построенная в условиях параметрической неопределенности, поскольку здесь в отличие от оптимальных систем необходимо дополнительно адаптироваться к влиянию помех, плотности вероятностей ко
231
торых неизвестны. Обучение в этом случае также состоит в повороте модели или/и управляющего устройства в результате последовательного оценивания параметров, входящих в них. В еще большей степени адаптивными являются непараметрические системы, поскольку объем предварительных сведений, заложенный при их создании, наименьший. В таких системах для управления необходима информация, получаемая при обучении.
Таким образом, адаптация состоит в восполнении той информации, которой не располагают при формулировке задачи, т.е. адаптивную систему отличает от системы с полной информацией степень самоприспосабливаемости. Восполнение информации осуществляется в процессе соответствующей обработки результатов наблюдения входных и выходных параметров объекта. Каждому уровню предварительной информации соответствует та или иная
методология построения систем управления, в том числе оптимальных. Средством достижения оптимальности является процесс адаптации, или обучения.
Адаптивное управление есть стратегия, которая приводит к цели
управления объект регулирования и систему управления за определенное время. Адаптивное управление не является стационарной стратегией. Правила выбора действий подбираются в ходе управления, их перебор осуществляется на основании информации,
Рис. 4.3. Структурная схема адаптивной системы:
ОР — объект регулирования; Р — регулирующий орган; U— вектор, управляющий параметрами OP; V — вектор, управляющий параметрами Р
поступающей от объекта регулирования и внешней среды. Таким образом, значения параметров процесса, текущие и прошлые, порождают не только действия системы управления, но и смену правил выбора. В реальных ситуациях управляемый случайный процесс нередко не поддается прямой регистрации и измерениям. Более того, существуют такие явления, в которых не вполне ясно, каково фазовое пространство, а это на практике приводит к тому, что неизвестно, какие измерительные устройства необходимы.
Структурная схема адаптивной системы приведена на рис. 4.3. Поведение объекта зависит от ряда неизвестных параметров, совокупность которых обозначим через F. Задана также цель управления, определяющая желаемое поведение объекта, требуется определить алгоритм вычисления управляющих воздействий Vi использующих измеряемые величины, не за
232
висящие от F и обеспечивающие для любого F достижение заданной цели управления. _
Вектор неизвестных параметров F обычно состоит из коэффициентов уравнений, составляющих математическое описание объекта регулирования, а также из коэффициентов, определяющих изменение внешних воздействий. Точные значения этих коэффициентов могут быть недоступны измерению, или их измерение может требовать значительных затрат времени и средств. Кроме того, вектор F может содержать абстрактные параметры, описывающие неизмеряемые возмущения, обусловленные неточнос,-тью описания объекта регулирования. Во всех случаях вектор F считается квазистационарным: постоянным или медленно меняющимся. Описанная задача является задачей управления в условиях неопределенности. Ее можно было бы решать поэтапно: вначале изучить объект регулирования с целью определения неизвестных параметров, а затем, используя полученную информацию, одним из традиционных методов найти алгоритм управления. Однако такая стратегия управления требует дополнительного времени на изучение объекта регулирования, что приводит к запаздыванию в принятии решений. Кроме того, поэтапная стратегия неприменима в нестационарных условиях: во время проведения экспериментов и тем более впоследствии параметры объекта регулирования и среды могут измениться, а качество построенной системы может нарушиться. Адаптивная стратегия управления в этом случае является наиболее подходящей, когда одновременно изучается объект регулирования и осуществляется управление им. При адаптивном подходе правило определения управляющих воздействий автоматически изменяется в процессе работы. Общий алгоритм адаптивного управления имеет двухуровневую структуру. Алгоритм первого уровня — алгоритм регулирования или алгоритм основного контура — .зависит от вектора параметров U. При каждом значении вектора F он должен обеспечивать достижение цели управления. Алгоритм второго уровня.— алгоритм адаптации — должен изменять (настраивать) вектор V таким образом, .чтобы обеспечить достижение цели управления при неизвестных F. Совокупность алгоритмов регулирования и адаптации будет называться алгоритмами адаптации управления.
Задачи адаптивного управления можно разделить на два класса. В одном случае вид алгоритмов регулирования задан заранее с точностью до параметров, и требуется определить лишь алгоритм адаптации. В другом случае вид алгоритма регулирования также подлежит определению. Вторая задача более сложная, чем первая. Решение этой задачи связано с большими теоретическими трудностями.
По характеру информации об объекте регулирования, поступающей в управляющее устройство, адаптивные системы подраз
233
деляются на системы с полной и неполной информацией. Информация об объекте регулирования складывается из информации о зависимости между входными и выходными переменными объекта, возмущающем воздействии, состоянии объекта, цели управления. Фактически в любых системах автоматического управления информацию об объекте нельзя считать полной, т. е. абсолютно точной, часто отсутствие информации того или иного вида имеет существенное значение. В ряде случаев это требует применения статистических методов при решении поставленной задачи и сложных видов управления объектом. Неполная информация об объекте требует изучения его во время процесса управления с целью обеспечения режима самонастраивания. При неполной информации автоматическая система должна обладать свойством приспо-сабливаемости (адаптивности или самонастройки) и учитывать изменения информации об объекте.
Самонастраивающиеся автоматические системы — более сложные, они отражают дальнейшее развитие оптимальных систем.
Контрольные вопросы
1. Что такое адаптация?
2. В чем заключается отличие адаптивной системы от обучающейся? 3. В .чем заключается процесс адаптации?
4. Назовите задачи адаптивного управления.
ГЛАВА 5
ЭЛЕКТРОННО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
5.1.	Структурная схема системы управления
Современная научно-техническая революция началась с появлением микроэлектроники и электронных вычислительных машин, использование которых в системах автоматического управления -обеспечивает качественные изменения их возможностей и свойств. Это связано не только с повышением точностных характеристик, повышением надежности и безотказности1, обеспечением стабильности функционирования, но и с приданием системам автоматического управления принципиально новых свойств, таких, как гибкость и перестраиваемость структуры, адаптивность, способность решать вычислительные и логические задачи, самоконтроль и др.
Особо эффективным оказывается использование в автоматических системах микропроцессоров и построенных на их основе цифровых устройств. Решение проблемы автоматизации производства и исследование объектов регулирования немыслимы без микропроцессорных автоматизированных систем управления.
Назначение таких автоматических систем управления определяет их сложную иерархическую структуру, включающую целый комплекс измерительных, обрабатывающих и управляющих систем. Автоматические системы управления представляют специфический класс человекомашинных систем с неполной функцией автоматизации, которая возникает вследствие сложности объектов регулирования, необходимости принятия нестандартных решений. Все это делает решение проблемы создания автоматических систем управления чрезвычайно сложным и дорогостоящим.
Увеличение сложности объектов контроля и управления и неуклонное совершенствование производственных процессов привели к тому, что современные комплексы измерения и управления должны производиться в режиме реального времени, а воз
1 Безотказность — свойство объекта сохранять работоспособное состояние в течение некоторого времени или некоторой наработки.
235
росшие требования к производительности комплексов обусловили необходимость высокой степени автоматизации. Технические средства для реализации автоматизированных комплексов должны строиться на цифровых методах сбора и обработки информации.
Управление реальным объектом накладывает определенные требования на вычислительные средства. Основным таким требованием является необходимость строгой временной согласованности работы ЭВМ с функционированием объекта. Объект задает режим работы вычислительных средств. Именно поэтому вычислительные системы, обслуживающие работу реального объекта в процессе управления, и называют вычислительными системами реального времени.
В первом случае, собрав информацию о состоянии технологического объекта, внешней среде и располагая моделью объекта, ЭВМ может вычислить функцию управления. Од нако для этого ей нужно определить цель, т.е. указать, каким должен быть технологический процесс. Такой целью является выполнение заданных требований к готовой продукции. Этих целей может быть много, так как каждая из них накладывает ограничения на разные свойства управляемого процесса.
В этих системах управления ЭВМ может работать в режиме советчика и исполнителя. Работая в режиме советчика, ЭВМ, рассчитав с помощью модели отдельные значения параметров процесса, предлагает их реализовать в объекте, это предложение поступает в виде текста на экран монитора. Оператор должен ознакомиться с этой информацией и принять решение: согласиться с предложенным управлением или искать собственное. >
Второй случай связан с тем, что решение ЭВМ не учитывает какие-то обстоятельства, известные человеку, и ему приходится корректировать решение ЭВМ. И вины в этом машины нет, так как была плохая система сбора информации об объекте регулирования, его среде или плохая модель объекта.
Очень часто ЭВМ перерабатывает столь большой объем информации по столь сложной программе, что оценить качество ее совета человек уже не может. В этом случае оператор безропотно следует советам ЭВМ. Однако такой режим можно использовать в очень медленных и неответственных системах управления. Человек исполняет команды машины медленно, неточно и неохотно. В сложных условиях управление самолетом доверяют автопилоту. Но при взлете и посадке, при полете в «болтанке» летчик управляет сам. По этой причине в этих системах желательно заменить человека автоматом.
В результате возникает замкнутая система управления: от состояния процесса через ЭВМ к управляемым параметрам объекта. Эта замкнутая система должна функционировать в очень жестком
236
режиме. Малейшее изменение среды и свойств процесса должно немедленно отрабатываться системой управления и соответствующим образом изменять управляемые параметры процесса, с тем чтобы не нарушать выполнение процессом заданных целевых требований. Управляемый технологический процесс не может ждать, когда ЭВМ сможет найти функцию управления — она должна быть тогда, когда нужно процессу. От ЭВМ, работающей в режиме реального времени, в системе управления требуются: большое быстродействие при выполнении логических операций, большая надежность, чрезвычайная оперативность при принятии решений.
Рассмотрим пример — использование ЭВМ в процессах лечения больных, находящихся в тяжелом состоянии. Сложность ситуации заключается в том, что такое состояние может длиться долго, что затрудняет постоянное врачебное наблюдение. Это и заставляет создавать так называемые мониторинговые системы, предназначенные для непрерывного слежения за состоянием больного и для -выдачи сигнала тревоги, когда состояние становится опасным.
Монитор подключается к больному с помощью системы датчиков* измеряющих характеристики (электрокардиограмму, энцефалограмму и т.д.) и параметры его состояния (пульс, ритм дыхания, температуру и т.д.). Эти данные непрерывно вводятся в ЭВМ, задача ЭВМ проста — сравнивать параметры больного с критическими и вызывать врача, когда хотя бы один из этих параметров превысит критический порог.
Такими системами снабжены все палаты интенсивной терапии. В этой ситуации ЭВМ выступает в роли советчика. Лечение осуществляет врач. Критические ситуации возникают каждый раз, когда происходит отклонение любого параметра. Однако в некоторых критических ситуациях можно обойтись без врача. Например, при повышении сахара в крови необходимо ввести инсулин, а при возбуждении по энцефалограмме — успокаивающие средства.,
В таких штатных ситуациях врач не нужен, медсестра может самостоятельно принимать решение. Лишь в нештатных ситуациях, когда выбор лекарств должен быть сделан нестандартным образом, с учетом других обстоятельств состояния больного, следует вызывать врача. Отсюда следует, что действия медсестры можно возложить на систему управления, особенно тогда, когда лекарства следует принимать быстро (мгновенно).
Именно эти ситуации записываются в память ЭВМ. Как только она распознает одну из таких ситуаций, она принимает решение самостоятельно. Эта система выполняет свои функции более оперативно и точнее, чем это делает медсестра.
Другой пример — управление экспериментом. В эксперименте воссоздается ситуация, которую естественным образом наблюдать или трудно, или вообще нельзя. Эксперимент позволяет выделить изучаемое явление из массы других, взаимодействующих с ним,
237
и получить необходимую информацию. Эта информация собирается системой датчиков. А поскольку эксперимент связан с получением максимального количества информации, то на объект регулирования устанавливают максимальное число датчиков. При этом в процессе эксперимента появляется огромное количество информации. Показания датчиков записывают в память ЭВМ. Поток этой информации может быть настолько большим, что разобраться в нем очень трудно.
Этот поток информации надо обрабатывать, чтобы контролировать состояние объекта. Так возникла проблема обработки экспериментальной информации во время ее поступления, т.е. в реальном масштабе времени. Для этого следует воспользоваться вычислительной системой, которая справлялась бы с потоком информации и была достаточно надежной в работе. Сбой в работе этой системы может привести к потере информации, которую восстановить уже нельзя.
Это одна сторона проблемы получения экспериментальной информации, другая связана со спецификой эксперимента. Ценность экспериментальной информации прямо зависит от ее неожиданности. Если показания датчиков предсказуемы, то ценность информации невелика. Ценно то, что не укладывается в рамки имеющихся предсказаний, что неожиданно.
В результате складывается противоречивая ситуация: исследователь ставит .эксперимент, ориентируясь на получение каких-то определенных результатов, а ценными для него будут неожиданные результаты. Поскольку неожиданные результаты предсказать нельзя, он, естественно, не настраивает свой эксперимент на это. Для преодоления этого парадокса нужно иметь возможность управлять экспериментом во время его проведения в зависимости от полученных, результатов.
В этой ситуации необходима ЭВМ. Она обеспечивает не только обработку потока информации, но и изменения условий проведения эксперимента. Эту возможность можно осуществить в системах реального времени. Такая система, фиксируя результаты эксперимента и обрабатывая их, изменяет параметры установки так, чтобы получить именно тот результат, который запрограммирован исследователем. В таком режиме работают вычислительные системы, связанные с ускорителями частиц и с другими физическими экспериментами.
Следующий пример — космические исследования Земли. Вычислительные системы реального времени используются в аэрокосмических исследованиях Земли с помощью искусственных спут- < ников. На борту спутника, в частности «Метеор — Природа», были установлены специальные приборы, которые контролировали поверхность Земли в видимом спектре излучения 0,5 ...0,6; 0,6... 0,7;
0,7...0,8; 0,8... 1,2 мкм с разными разрешениями:
238
•	малое разрешение — полоса захвата на поверхности Земли равна 1800 км с разрешением 1 км;
•	среднее разрешение — полоса захвата равна 1300 км с разрешением 250 м;
•	высокое разрешение — полоса захвата равна 45 км с разрешением 50 м.
Период обращения спутника вокруг Земли составляет 97 мин. Условное смещение орбиты равно 24,3е- По этим данным можно рассчитать общий объем информации, который поступает со спутника на наземные станции. В наземных станциях информация записывается, и до прихода следующего сеанса связи со спутником она должна быть обработана и выдана потребителю. В течение 97 мин общий объем информации 5 • 1О10 бит должен быть обработан по сложному алгоритму. Эта цифра объема информации вынуждает создавать мощные вычислительные системы с большой производительностью. С помощью спутниковой информации ре-шаются такие важные вопросы, как определение мест возможного весеннего затопления, возникновения пожаров в лесных массивах, контроль за созреванием полезных культур, загрязнение городов и т.д.
Многообразие технологических процессов, их физическая специфика, особенности методов управления и контроля породили множество вариантов технологических схем и систем управления этими процессами. Необходимость создания систем управления технологическими процессами заставляет искать общие закономерности в управлении различными процессами и на основе этих закономерностей разрабатывать единые подходы к проблеме построения автоматических систем управления.
Проблема поиска и использования единых подходов в построении автоматических систем управления для различных по своей природе технологических процессов становится особенно актуальной в настоящее время. Развитие технических средств вычислительной техники, появление компактных (малогабаритных) и надежных устройств качественно изменили подход к проблеме управления.
Автоматические системы управления в настоящее время представляют собой сложные технические средства, которые в наиболее общем случае осуществляют управление состоянием контролируемого объекта, изменение совокупности его первичных параметров, обработку измерительной информации и регистрацию результатов измерений.
Целью измерений является получение достоверной информации о состоянии или качестве объекта регулирования. Истинное качество или состояние объекта определяется совокупностью контролируемых параметров. Практически в ряде комплексных измерений ограничиваются не полной оценкой всех свойств объекта,
239
а только тех его свойств, которые наиболее важны для планирования поведения.
По этой причине при определении структуры автоматических систем управления нет необходимости знать их основные цели и задачи, а рассматривать только общие детали всех комплексов, поэтому приведем самую общую структуру автоматической системы управления, которая состоит из двух блоков (рис. 5.1, а).
Управление исследуемым объектом регулирования осуществляется от автоматизированной системы по сигналам датчиков. На исследуемый объект действует непредсказуемое внешнее воздействие. Задачи автоматической системы управления заключаются в стабилизации состояния исследуемого объекта. Состояние объекта контролирует оператор по монитору, отображая наиболее характерные параметры объекта. Эта структурная схема применяется для управления несложными объектами с небольшим числом датчиков.
С увеличением сложности объекта необходимо увеличивать число информационных датчиков и увеличивать число каналов управления объектом. Эти усложнения требуют использование автономных систем обработки информации от датчиков (рис. 5.1, б). Сложность исследуемого объекта определяет аппаратно-технические характеристики автоматической системы управления. Сложность технических средств значительно увеличивается, когда требуется получить документированное подтверждение поведения исследуемого объекта. Регистрационная аппаратура в этом случае должна работать в режиме реального времени.
Наращивание средств вычислительной техники приводит к большой степени автоматизации решения отдельных функциональных задач автоматической системой управления.
Внешнее воздействие	Внешнее воздействие
б
5.1. Структурные схемы систем управления на ЭВМ: а — упрощенная структурная схема управления на базе ЭВМ; б — детализация структурной схемы управления
240
Развитие вычислительных средств и средств передачи информации превращают автоматическую систему управления в сложную сеть, состоящую из нескольких иерархических уровней.
На нижнем уровне этой сети находятся датчики, контролирующие состояние объекта, преобразователи сигналов, системы микропроцессоров и мини-ЭВМ, непосредственно управляющие отдельными фазами технологического процесса. Далее следует уровень человекомашинной системы, которая работает в интерактивном режиме.
В процессе своей работы каждый уровень вычислительной сети обрабатывает информацию, необходимую для обеспечения оптимального функционирования всех устройств.
Процесс управления объектом на любом уровне иерархии можно разделить на три основных этапа:
•	получение информации об объекте регулирования;
•	обработка информации;
. • формирование и реализация управляющих воздействий.
Эти три этапа практически всегда выполняются последовательно во времени независимо от того, что является объектом регулирования. Так, при реализации процесса управления с помощью регулирующих систем, построенных по известным принципам теории автоматического управления, получение информации о состоянии объекта осуществляется системой датчиков, определяющих положение, скорость, давление, температуру, концентрацию вещества и другие параметры технологического процесса. Полученные параметры преобразуются в сигналы той природы, которые воспринимаются регулятором. Регулятор по заданному закону (П, И, Д, ПИД) вырабатывает управляющее воздействие.
Суть процесса управления в этом случае — компенсация отклонений от выбранной модели процесса. На компенсацию этих отклонений регулятор затрачивает определенное время. Нарушение временного баланса управления приводит к потери качества регулирования, устойчивости и соответственно управляемости процесса. Поэтому при реализации любой системы управления заданное управляющее воздействие необходимо сформировать за такое время, в течение которого не теряются качественные и количественные показатели управляемого процесса.
Необходимость автоматизации все более сложных процессов приводит к необходимости конструировать все более сложные управляющие системы со сложной иерархией. В этих системах управления начинают циркулировать большие потоки информации, возникают сложные взаимодействия отдельных устройств между собой. Всем этим процессом следует синхронно управлять и выдавать результаты обработки информации исполнительным механизмам.
При управлении большими потоками информации в управляющей системе возникает масса проблем. Для решения этих проблем
9 Горошков
241
необходимы единые методы и единые подходы к анализу функционирования различных по уровням и функциям систем в единой сети автоматического управления. Такой единый подход может быть разработан на основе анализа временных ситуаций, возникающих в сети системы автоматического управления при реализации процесса управления. Для анализа используется обобщенная схема автоматической системы управления, начав с самого нижнего уровня иерархии — с датчиков, расположенных в местах, обеспечивающих получение необходимой информации об объекте.
Прежде чем детально рассматривать аппаратные средства сбора информации, необходимо сформировать основные физические свойства исследуемых объектов исходя из общих позиций. Иначе говоря, необходимо рассматривать модель исследуемых объектов, которая позволила бы решить наибольший круг вопросов для перечисленных ранее автоматических систем управления.
Контрольные вопросы
1.	Что такое структурная схема системы?
2.	Какова роль оператора в вычислительном комплексе управления?
3.	Назовите процессы сбора и обработки информации в вычислительных комплексах.
4.	Перечислите основные этапы процесса управления объектом.
5.2.	Система сбора информации
Информационные системы сбора являются связующим звеном между исследуемым объектом и системой обработки информации. Эти системы могут иметь различную функциональную организацию, зависящую от особенностей подключения комплекса обработки к объекту, от потоков измерительной информации и от других факторов.
Основные проблемы информационных систем связаны со сбором и передачей информации. Информация в том смысле, в котором здесь используется этот термин, представляет собой неопределенность при измерении величины параметра. При этом подразумевается, что измерение проводится в определенное время и с определенной точностью.
Точность измерения оказывает влияние на количество информации. Измерение, проводимое с более высокой точностью, содержит большее количество информации. На количество информации влияет также частота измерений. Если из-за неопределенности изменения величины параметра его необходимо измерять более часто, то по каналам приходится передавать большое число данных.
242
На общее количество информации, подлежащей передаче с помощью информационной системы, оказывает влияние число одновременно измеряемых параметров. В тех случаях, когда желательно измерять величину переменного параметра непрерывно, всегда имеем дело с определенной скоростью изменения параметра. Эта скорость может быть представлена частотой дискретных измерений.
Дискретные измерения (выборки данных) теоретически могут производиться с такой частотой, которая достаточна для воспроизведения любого физического процесса с требуемой точностью. Аналоговый сигнал не может передавать информацию о процессах, происходящих со скоростью, которая лежит за предедами ширины полосы частот пропускания информационной системы.
Таким образом, пропускную способность дискретного или непрерывного канала можно оценить благодаря точности и частоте опроса. Зависимость между частотой опроса и шириной полосы частот исходного сигнала датчика можно выразить уравнением F ~Jc^Fc, где F — частота опроса; ДГС — ширина полосы частот сигнала датчика (или максимальная скорость изменения параметра); к — постоянная квантования (обычно к = 5). Это связано с надежной передачей гармонических составляющих с максимальной частотой и с минимальной точностью (рис. 5.2, о). Это означает, что при максимальной скорости изменения параметра в каждом полном цикле изменения параметра будет пять выборок. В тех случаях, когда необходимо обеспечить повышенную точность, выбирают к > 13 (рис. 5.2, б).
Процесс выбора информационной системы можно разделить на несколько этапов, связанных с определением скорости передачи информации. Первым этапом определения скорости передачи информации является нахождение максимальной скорости изменения каждого параметра, который должен измеряться информационной системой. С помощью предыдущего уравнения для каждого параметра рассчитывается частота опроса. На этом этапе для каждого параметра находится эквивалентная скорость передачи информации.
Второй этап заключается в определении точности измерений, которая необходима, чтобы знать величину каждой переменной. Количество информации, заключенное в одном отсчете, определяется точностью измерения. Пусть выходной сигнал датчика ме-
Рис. 5.2. Положение измерительных отсчетов: а — точки измерительных отсчетов для верхней граничной частоты сигнала датчика с минимальной точностью; б — то же с высокой точностью
243
няется в пределах 0... 3 В. Точность измерений составляет	0,1 %.
Величина неопределенности изменения параметра составляет
ДЕ =	= ^77^ = 30 мВ
100	100
Количество информации в одном отсчете принято характеризовать числом двоичных значений в коде. Для нашего случая число двоичных единиц равно
ЛГ= ДпахДАГ) = 3 В/30 мВ = 100, принимаем ^= 128.
Третий этап — после определения необходимой для каждой переменной величины точности рассчитывается общая скорость передачи информации. Эта скорость передачи информации определяет необход имую пропускную способность информационной системы.
Четвертый этап — это определение возможностей различных систем с точки зрения наилучшего их использования по скорости передачи информации. На практике не удается достичь идеального согласования Источников информации с информационной системой, так как большинство систем применяется для измерения различных параметров, каждый из которых имеет свою полосу частот при требуемой точности.
Существующие методы на практике не всегда позволяют получить заданную точность измерения или частоту опроса для каждого параметра. Это связано с тем, что исследуемый Объект до конца не изучен, и, следовательно, возможны случаи появления высоких частотных составляющих в измеряемом параметре. По этой причине чаще всего приходится использовать излишне широкую полосу частот или значительно большую скорость Передачи информации. Степень соответствия информационной системы предъявляемым требованиям определяется эффективностью использования ее пропускной способности для решения конкретной задачи.
Контрольные вопросы
1.	Каково назначение системы сбора информации?
2.	Что влияет на количество собираемой информации?
3.	От чего зависит точность измеряемой информации?
5.3.	Формирование структуры сбора информации в системе
В зависимости от свойств исследуемого объекта информационные системы могут строиться по двум структурным схемам: с циклическим опросом и с произвольной выборкой. Комплекс с циклическим опросом проще в изготовлении. В целях экономии аппа
244
ратуры рационально измерять все параметры поочередно (или программно, по заданному алгоритму) с помощью одного и того же измерительного преобразователя — аналого-цифрового преобразователя (АЦП). Поочередное подключение выходных сигналов датчика к цифровому преобразователю осуществляется с помощью аналогового коммутатора. Структурная схема измерительной системы показана на рис. 5.3, а. Она состоит из следующих аппаратных средств:
•	датчиков — преобразователей физического параметра в электрический сигнал;
•	аналого-цифрового преобразователя для ввода информации в вычислительные средства;
•	аналогового коммутирующего устройства.
Сигналы с датчиков подаются через усилители на входы аналогового коммутатора. Управляется аналоговый коммутатор двоичным кодом, который поступает из ЭВМ. Для каждого двоичного кода управления на выход коммутатора подается аналоговый сигнал определенного датчика. Этот сигнал поступает на вход АЦП. На выходе АЦП формируется двоичный код — эквивалент аналогового сигнала. Далее двоичный код подается в оперативную Память ЭВМ, где он хранится. В результате от ЭВМ поступают в определенной последовательности управляющие коды, которые
Рис. 5.3. Структурная схема системы сбора информации:
ИМ1 — ИМ7 — исполнительные механизмы; Д1 — Д7 — датчики; ОЗУ — оперативное запоминающее устройство; АЛУ — арифметико-логическое устройство
245
поочередно (или в любой последовательности) кодируют аналоговые сигналы датчиков. Коды этих сигналов хранятся в оперативной памяти, откуда они поступают в процессор для обработки.
При практической реализации системы сбора информации необходимо решить ряд проблем. Одна из этих проблем -у составление циклограммы работы коммутирующего устройства. Циклограмма является графическим изображением работы оборудования во времени.
Построение циклограммы начинается с того, что из всего набора датчиков, подключенных к исследуемому объекту, выбирается такой, который имеет минимальную частоту опроса или максимальную длительность периода следования импульсов опроса, т.е. Fmin или Ттах при 7^ = 1/7^. Например, существуют 10 датчиков. Датчик 1 имеет максимальный период 7\ следования импульсов опроса. Примем время импульса опроса равным t. Отсюда скважность1 сигнала равна Q = T/t.
Обратная величина скважности К = t/T — коэффициент опроса. Коэффициент К всегда меньше единицы. Для датчика 10, у которого частота опроса в 10 раз больше, коэффициент опроса АГю = ЮХ|. Для остальных датчиков К2 = 2АГЬ АГ3 = ЗК{ и т.д. При формировании циклограммы все импульсы опроса датчиков будут следовать друг за другом, образуя непрерывный ряд. В пределе сумма всех коэффициентов опроса должна быть такой, чтобы образовать равенство
ю (t/T^K^ 1, 1=1
где t — время импульса опроса; Т — период следования импульсов; К -г- коэффициент опроса.
Поскольку параметр t определяет быстродействие АЦП и его значение для системы опроса является постоянным, то получим
10	10
Ti = t^K, или 7] = tK0, где Ко = ^Kh z=i	/=1
Из этого выражения следует, что при tKQ/T{ > 1 существующий набор датчиков выдает такое число измерений, что они не укладываются в интервал Тх. Период следования опросных импульсов первого датчика необходимо увеличить настолько, чтобы выполнялось равенство 7\ = tKQ.
Можно пойти и по другому пути. Необходимо уменьшить частоту опроса тех датчиков, информация которых не столь критична в определении состояния объекта. Можно пойти и по пути полного сокращения числа датчиков. Наиболее приемлемый путь получения указанного равенства — увеличение периода следования
1 Скважность — отношение периода следования (повторения) электрических импульсов к их длительности.
246
опросных сигналов 7\. Однако увеличение этого периода влечет за собой увеличение времени запаздывания управляющего воздействия на объект. Таким образом, приняв расчетные значения Ть исходя из информационности датчиков, необходимо проверить систему управления на запаздывание обратной связи (на устойчивость).
При большом числе датчиков, которые на выходе имеют индивидуальные АЦП, необходимо осуществить управление очередностью опроса каждого датчика, выдавая им адреса и признаки режимов работы в соответствии с участием этих датчиков в общем алгоритме измерений. Преимущество рассматриваемого варианта коммутации заключается в том, что он не предъявляет жестких требований к выходным параметрам цифровых измерительных приборов. К цифровому коммутатору могут подключаться любые измерительные приборы, имеющие на выходе параллельный цифровой код измеряемой величины, способный формировать синхроимпульсы для синхронизации момента установления выходного кода.
При цифровом способе сбора информации, когда датчик становится автономным устройством, с помощью общей шины можно организовать режимы управления передаточной функцией датчика. С помощью цифровых кодов меняется чувствительность датчика, полоса пропускания и другие технические параметры. В этом случае аппаратные средства (устройства согласования с системой) датчика могут включать в себя процессорные элементы. Выходы таких датчиков целесообразно считать как выходы измерительных систем более высокого уровня. В общем виде это может быть выход определенной автономной группы системы датчиков со своей структурой опроса.
Рассмотренные способы построения информационных систем относятся к разным классам автоматических систем управления реального времени. Первый способ имеет жесткий (регламентный) режим работы. Второй способ принадлежит системам с быстрой степенью реакции. Класс применяемых автоматических систем управления определяется скоростью изменения управляемого процесса. Качество функционирования автоматических систем управления и эффективность управления определяются временем реакции системы и временем, в течение которого изменяется состояние объекта.
Время реакции системы определяется временем обработки информации, принятием решения и доведением этого решения до исполнительных механизмов. Чем меньше время реакции системы и меньше величина отклонений измеряемых параметров, тем выше качество и эффективность автоматических систем. На эффективность автоматических систем управления влияет точность фиксирования состояния объекта. Минимальная величина ошибки из
247
меряемого параметра может служить в качестве предсказания поведения параметров объекта. Она позволяет управлять не в момент появления больших отклонений, а предсказывать появления отклонений.
При проектировании предсказывающих автоматических систем управления предъявляются более жесткие требования к техническим средствам и математическому обеспечению, они обладают специфическими свойствами, отличающими их от других автоматических систем.
Контрольные вопросы
1.	Назовите два принципа построения систем сбора информации.
2.	Каково назначение аналогового коммутатора?
3.	Каково назначение аналого-цифрового преобразователя?
4.	В чем заключается принцип построения циклограммы?
5.4. Адаптивные системы сбора информации
Помимо циклического способа сбора информации существуют системы, в которых осуществляется свободный (произвольный) алгоритм опроса датчиков. Для реализации этого алгоритма опроса необходимо усложнить согласующие устройства и обеспечить выдачу сигнала каждого датчика в цифровом коде. В таком построении каждый датчик можно рассматривать как внешнее устройство с цифровым управлением. Все датчики подключаются к шине связей. Все цифровые выходы датчиков (источники информации) и входы устройств (приемники информации) соединены параллельно с общей шиной. Подключение нужного приемника и ис
точника осуществляется специальными командами синхронизации. В шинной структуре источник постоянно воздействует на входы нескольких устройств, находящихся в дежурном режиме. Преимущество шинной системы состоит в том, что один источник может
Рис. 5.4. Структурная схема системы сбора информации с общей шиной
работать одновременно на несколько приемников (рис. 5.4).
На рисунке обозначено: Д — датчики, подключенные к общей магистрали (ОШ — общая шина); БУ — блок управления, который формирует адреса опрашиваемых датчиков и приемников информации, куда она должна поступать; ПР — приемники информации.
В этом режиме работы измерительной системы быстродействие
248
снижается вдвое, так как должен вырабатываться сигнал завершения измерения в канале. В системах сбора информации с общей шиной можно подключать большое число измеряемых датчиков. При непрерывном одновременном действии всех датчиков объем получаемой информации такой, что его практически невозможно передать по каналу в систему обработки. Возникает ситуация, когда общий объем информации значительно превышает технические возможности системы передачи и обработки.
Для уменьшения количества передаваемой информации при ограниченной пропускной способности канала связи можно понизить скорость передачи информации путем снижения точности передаваемых данных, полосы частот, уменьшения частоты опроса и, наконец, сокращения числа измеряемых параметров.
Второй метод снижения требований к информационной системе с учетом пропускной способности заключается в определении способа испытаний, обеспечивающего получение большого процента полезной информации.
В этом случае необходимо знать цель испытаний. Может оказаться, что все параметры представляют одинаковый интерес, ни один из них нельзя исключить, и для каждого из параметров требуется отдельный канал, но, с другой стороны, нет необходимости получать информацию о всех параметрах одновременно. Так, в некоторых экспериментах определенные параметры могут Представлять интерес только во время начальной фазы испытаний, после чего отпадает необходимость полного использования пропускной способности системы для этого параметра. Далее достаточно производить редкие измерения этого параметра. При Этом в соответствии с программой хода испытаний от измерения одних параметров можно переходить к измерениям других параметров, которые представляют интерес.
Другой способ уменьшения числа измеряемых данных заключается в изучении взаимосвязи измеряемых параметров. Может оказаться, что один параметр является постоянной функцией одного или нескольких других параметров.
Еще один способ сокращения числа передаваемых данных, который особенно применим для широкого диапазона скоростей передачи информации, основан на понимании физики явлений и критической оценке того, что в действительности ожидается или что необходимо получить в результате эксперимента. В этих случаях на первое место выдвигаются адаптивные методы сбора информации. В этих системах точность измерений и частота опроса каналов зависят от информации, которая поступает от приоритетного канала или каналов. В зависимости от значений параметров каналов частота отдельных (вторичных) датчиков может повышаться. После уменьшения величины сигнала приоритетного датчика частота опроса одних вторичных датчиков уменьшается,
249
а других — увеличивается. Несмотря на перспективность адаптивных систем, они очень сложны в изготовлении. Они применяются лишь на частично исследуемых объектах, где обнаружена некоторая закономерность в поведении различных параметров.
Контрольные вопросы
1.	Что такое адаптивные системы сбора информации?
2.	Когда применяются адаптивные системы сбора информации?
3.	Перечислите достоинства и недостатки адаптивных систем сбора информации по сравнению с циклическими.
5.5.	Согласующие устройства
Под согласованием понимается любая операция, выполняемая над сигналом, который находится между датчиком и кодирующим устройством. Наиболее распространенной формой согласования является простое линейное усиление, хотя иногда необходимы и другие операции, например логарифмическое усиление и др. Регулировка уровня сигнала нужна для того, чтобы все они находились в одном диапазоне, что позволяло бы использовать одно кодирующее устройство.
Устройства согласования можно классифицировать по трем критериям в зависимости от характера сигнала и от того, используется ли согласующее устройство только в одном канале или в нескольких каналах (при временном разделении). По первому критерию согласующие устройства можно классифицировать следующим образом:
•	согласование сигналов высокого и низкого уровней;
•	несимметричные и дифференциальные;
•	предкоммутационные и послекоммутационные.
Сигналы высокого уровня изменяются в диапазоне 0... 3 В. Сигналы низкого уровня лежат в диапазоне 0...50 мВ. Второй критерий деления согласующих устройств предусматривает сигналы, получаемые от мостовых схем. Они, как правило, являются дифференциальными, их следует привести к несимметричным сигналам высокого уровня. Третий критерий указывает, где включено согласующее устройство.
Первый критерий предусматривает включение его в каждом канале перед коммутатором, второй — после коммутатора, когда один усилитель используется для нескольких каналов. Схема включения усилителя перед коммутатором позволяет коммутировать сигналы высокого уровня. В этом случае точность коммутации увеличивается.
При одном усилителе на несколько каналов возникают жесткие требования к точности работы коммутатора на малых сигна
250
лах. Полоса пропускания усилителя должна быть шире полосы частот усилителя, включенного в один канал.
Кроме усиления сигналы датчиков должны быть отфильтрованы для ограничения ширины полосы частот. В соответствии с теорией дискретизации требуется, чтобы сигналы производились с частотой, по крайней мере в двое превышающей наибольшую частоту исходного сигнала. Если частоты входного сигнала выше половины частоты опроса каналов, то возникает погрешность кодирования. Операция фильтрации выполняется до коммутатора. Фильтр имеет равномерную амплитудно-частотную характеристику.
К параметрам, которые влияют на конструкцию согласующего устройства относятся:
•	высокое входное сопротивление, чтобы не допускать появления погрешностей;
*	точность и стабильность усиления;
. • низкий уровень шумов;
•	предупреждение переходных искажений.
Необходимость первых трех требований очевидна. Методы их выполнения для сигналов низкого и высокого уровней одинаковы. Здесь в основном применяются дифференциальные усилители.
Описанные согласующие устройства применяются в двух системах сбора информации: в циклических и с произвольным опросом. Для систем с произвольным опросом согласующее устройство должно содержать элементы, которые обеспечивают линейность передаточной функции датчика. Поскольку нелинейности могут быть семи типов, то и способы коррекции передаточных функций являются индивидуальными для каждого датчика. Эти функции приведены на рис. 5.5, а.
Такое разнообразие статических характеристик датчиков с линейными участками, применяемых в системах управления, требует индивидуальных согласующих устройств. Кроме того, даже линейные характеристики имеют разнообразие в своем проявлении (рис. 5.5, д). Эти характеристики необходимо привести к единой линейной статической характеристике, которая исходит из начала координат. Эту операцию можно осуществить в каждом канале или в системе экспресс-анализа в интерактивном режиме для всех каналов одновременно.
Все нелинейные преобразования статических характеристик необходимо делать с большой точностью. Их аналоговый сигнал кодируется персональным АЦП. Из-за нелинейностей в передаточной функции согласующего устройства необходимо увеличить число разрядов в АЦП, а эта процедура требует существенных средств.
В результате необходимых преобразований аналогового сигнала в согласующем устройстве на выходе формируется двоичный код, который передается в линию связи по команде, поступаю-
251
О	х О
а
Рис. 5.5. Типы статических характеристик измерительных датчиков: а — линейная; б— с зоной нечувствительности; в — с уровнем насыщения; г — ступенчатая с уровнем насыщения; д — взаимное положение статических линейных характеристик
щей по адресной шине. По этой шине поступает код того датчика, который должен выдать информацию. Код адреса дешифрируется в согласующем устройстве, и формируется импульс выдачи. Код адреса датчиков действует одновременно на входы согласующих устройств всех датчиков. Отвечает на этот код только тот датчик, который имеет указанный номер. Импульс выдачи опрашивает выходы АЦП, и информационный код посылается в линию связи.
Контрольные вопросы
1.	Назначение согласующих устройств.
2.	Положение согласующих устройств в системе.
3.	Параметры датчиков, влияющие на сложность согласующих устройств.
5.6.	Погрешности цифровых вычислений
При цифровом управлении необходимо использовать такие программы, которые дают погрешность не более рассчитанной. Вычислительный процесс вносит ряд взаимосвязанных погрешностей, влияние которых можно сократить до, требуемого уровня, выбирая метод и оптимальную схему вычислений.
Основные погрешности делятся на два класса: методические и инструментальные. Методические погрешности связаны с использованием численных методов. Для интегродифференциальных операций характерны погрешности из-за закона приближения сум
252
марно-разностными уравнениями, квантования сигнала по времени и запаздывания, вносимого ЭВМ в контур управления.
Методические ошибки возникают и в том случае, если операция является нелинейной функцией. Для вычисления нелинейных воздействий используются приближенные численные методы. В этом случае применяются разложения функций в степенной ряд, для которого разработаны способы оценки ошибки вычислений.
Инструментальная погрешность появляется за счет округления результатов операций, выполненных в формулах с конечным числом членов. Методика оценки погрешности вычислений с учетом погрешностей исходных данных и их изменений в процессе обработки приведена в виде вычислительного графа (рис. 5.6, а):
Г = (Х1+Х2)(Х3 + Х4)/Х5.
Для каждой вычислительной операции известна относительная погрешность с учетом округления. В большинстве случаев можно пользоваться формулами для расчета, которые приведены ниже:
Операция	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность
(Л + ДЛ) ±(8 + ДЯ) (Л + ДЛ)(5 + ДЙ) (Л +ДЛ)/(5 + Д5) (Л+ДЛ)" 1п(Л + ДЛ)	ДЛ+Ав АВА + ЬАВ (Д5Л + ДЛД)/Л(В +Дй) лДЛ ДЛ	(ДЛ + д/?)/(л+ В) (&А/А) + (ДВ/В) [ДВ/(5 + Д5)} + (ДЛ/Л) лДЛ/Л ДЛ/А
В таблице приведены наиболее существенные погрешности, связанные с вычислительными операциями. Но это не все погрешности. К оставшимся без внимания погрешностям следует отнести те, которые связаны с приведением результатов вычисдений к
а — вычислительный граф; б — 3-этап-а	нал схема вычислителя
253
заданному формату чисел. В заданном формате основную погрешность дает операция умножения, при которой в два раза увеличивается число разрядов. Эти погрешности следует скорее отнести к тому классу вычислительных средств, который используется в системе управления. Вычислители с фиксированной запятой имеют большую погрешность, чем вычислители с плавающей запятой.
Общий коэффициент передачи, например, трех этапов преобразования, равен Ко = КХК2К3.
Чувствительность каждого этапа преобразования определяет общую точность выходной информации (рис. 5.6, б):
5O = W3,
где S2, 53 — чувствительности элементов системы на разных этапах ее преобразования.
Логарифмируем это выражение:
1п5о = ln5i + 1п52 + 1п53.
Дифференцируем это выражение:
dSo/So = dSx/Sx + dS^Si + dS3/S3.
Заменим дифференциалы приращениями:
Д&/ 50 = Д51/5j +	5j + ^S3/S3.
Положим Д5/5 — V — относительная погрешность, тогда
ИО=И1+И2+И3.
В результате общая относительная погрешность определяется суммой относительных погрешностей каждой секции преобразования.
При наличии в передаточном звене обратной (отрицательной) связи коэффициент передачи определяется выражением
К = КМ + К^Ко.о),
где К& — коэффициент передачи объекта регулирования; А^ с — коэффициент передачи цепи обратной связи.
Переходя от коэффициента передачи к чувствительности системы, имеем
5 = 5^/(1 + 5050с).
Логарифмируем это выражение:
1п5=1п50-1п(1 + 505о.с).
Заменим 1п(1 + 5050с) * 5О5ОС - 5О25О2С / 2! +...
Ограничимся первым членом разложения логарифмической функции.
254
В результате имеем
In 5 = 1п50 — SOSOC.
Дифференцируем это выражение:
dS/S^dSJSo- SodSoc / 2 - S0jedSo / 2.
Заменим дифференциалы на приращения и получим
Д5 / 5 = Д5О / 50 - 5ОД5О.С / 2 - 5ОСД5О / 2.
Преобразуем это выражение к виду
Д5 / S = Д5О / 5О - 5О5О.СД5ОС / 25О.С - 5О5ОСД5О / 25О.
Учитывая относительную погрешность, получим
Г = Ко-5од5ос(Кох + Ко)/2.
Отсюда следует, что вследствие отрицательной обратной связи погрешность передачи сигнала уменьшается на величину
Д = 5о5ос(Иос + Ко)/2.
Приведенные расчеты показывают, что наличие отрицательной обратной связи может значительно уменьшить общую Погрешность системы. ""
Рассмотрим ряд практических примеров вычисления погрешностей при сложных арифметических и функциональных преобразованиях. Положим А1 — точное значение числа, А — приближенное значение числа. Тогда е(Л) = (Л1 - А) — абсолютная погрешность. Относительная погрешность равна .
»(Л) = (Л,-Л)/Л = в(Л)/Л.
Положим
Л = 3,5, а Л* = 4, тогда е(Л) = 4 - 3,5 - 0,5 и г(Л) = 0,5/4 = 0,125,
отсюда имеем 4 (1 - 0,125) £ Л 4(1 + 0,125).
При определении предельной погрешности для произведения чисел и деления чисел следует исходить из того, что
e(XtX2) = Х16(Х2) + Х2Е(Х{), тогда
1<ад) = £( xo/i хн + £( х2т.
Если Xi = 1 и s(Ai) = 0,05, а Х2 = 2 и е(А2) = 0,1, то произведение чисел даст абсолютную погрешность e(XtX2) «-1 *0,1+2 • 0,05 = = 0,2 и относительную погрешность v(AiX2) = 0,05/1 + 0,1/2 = 0,1.
255
При делении чисел имеем
еШ) = (2 • 0,05 + 1 • 0,1)/4 = 0,05;
ДО2) = 0,05/1 + 0,1/2 = 0,1.
При сложении нескольких приближенных чисел рекомендуется выделить среди них наименее точное, остальные числа определить по образцу выделенного, сохраняя на одну значащую цифру больше. Провести расчеты и полученный результат сравнить с образцом наименее точного числа.
Произведем действия с приближенными числами:
У= 5,7 + 81,37 + 3,3811 + 32,778142.
Абсолютные предельные погрешности слагаемых составляют
0,05; 0,005; 0,00005; 0,0000005.
Наименее точное число 5,7 с погрешностью 0,05. Округляем остальные числа и получаем
У= 5,7 + 81,37 + 3,38 + 32,78 = 116,47.
Теперь следует округлить полученный результат по образцу наименее точной цифры 5,7, т.е. Y= 116,5. Следует помнить, если округлить близкие по значению числа и произвести вычитание, то может оказаться число, близкое к нулю или даже равное нулю. При делении на эту разность любого числа можно получить очень большую погрешность. По этой причине такие расчета необходимо делать очень осторожно.
А теперь рассмотрим погрешность одномерной функции Y = =Дх). Здесь получим абсолютную погрешность, определяемую функцией
£(Г) = |е(хМГ /dx\, и относительную погрешность
v(Y) = \[е(х)/f(x)][df(x)/dx^.
Максимальная абсолютная погрешность будет тогда, когда dY/dx = max, т.е. при d2Yld£ = 0. Из этого условия определяется значение X.
Положим Y = -X2 при Х= 2 и (х) = 0,1, получим dY/dx = 2Х, и тогда s(Y) = |-0,1  2J|x-2 = 4 • 0,1 = 0,4 и v(Y) = |-2Х0,l/-X2fx.2 = = 0,1.
Точное значение функции равно Y = Д2) = -4 и находится в пределах -4,4 < Д2) < -3,6.
Погрешность двухмерной функции Y = X] + Х^Х2 определяется при условии Х} = 1, и получим e(Ai) = 0,2, а для е(Х2) = 0,1.
256
Определим значение/(1;2). Предельная абсолютная погрешность функции равна
Л
е(Г) = £|5Г/5Х/|е(Х/); v(Y) = е(Г)/|Г|.
Определим е(Г) = |2Ii + X2|e(*i) + l*i|e(X2) или е(Г) = 4 • 0,2 + + 1 • 0,1 = 0,9.
Относительная погрешность равняется
£(Х1) + jW8™-
Af + Л1Л2	А, + Л1Л2
Контрольные вопросы
1.	Дайте классификацию погрешностей, связанных с обработкой цифровой информации.
2.	Чему равна погрешность при сложении, вычитании, умножении, делении, возведении в степень и логарифмировании цифровых данных?
3.	Произведите действия с разноразрядными десятичными дробными числами.
5.7.	Свойства и основные характеристики однопроцессорных ЭВМ
Быстрое развитие элементной базы вычислительной техники и разработка микросхемных процессоров создали предпосылки к появлению большого разнообразия вычислительных средств. На сегодняшний день микропроцессоры являются основой простых и сложных цифровых систем. В основе этих систем лежат четыре класса ЭВМ:
•	однопроцессорные;
•	многопроцессорные;
•	конвейерные;
•	матричные.
Однако однопроцессорные ЭВМ занимают ведущее место в различных устройствах. Решение задач на однопроцессорных ЭВМ может быть организовано следующим образом. Программа загружается в оперативное запоминающее устройство (ОЗУ). После чего ЭВМ начинает исполнять эту программу до получения команды на прекращение работы. Режим работы, при котором ЭВМ выполняет только одну программу, называется однопрограммным. Структурная схема ЭВМ представлена на рис. 5.7, а. Она состоит из АЛУ (арифметико-логического устройства), ОЗУ (оперативного запоминающего устройства), УУ (устройства управления). По этой структурной схеме строились все вычислительные машины раннего производства.
257
Регистр команд
15р 14р 13р 12р	11р 10р 9р	8р 7р 6р	5р 4р Зр	2р 1р Ор
Код	Адрес	Адрес	Адрес	Адрес
операций	первого	второго	третьего	следующей
	операнда	операнда	операнда	команды
б
Т1 _О___________________________
Т2 ________П____________________
ТЗ ______________□______________
Т4 ___________________Г~1
Т5 Г~1 Г~1_______________________
Тб ________П_____________________
Т7 ___________________Г~1
Т8	Г~1	Г~1__________________
T9 ______________П_______________
Т10	I I________________________
Т11________□_____________________
в
Рис. 5.7. Однопроцессорные ЭВМ: а — структурная схема процессора; б — формат командного слова; в — управляющие тактовые импульсы Т1 — Т11; И — логический элемент
258
Эта схема отображает электрическую и логическую связи регистра команд и процесса тактового управления выполнением программы. На рис. 5.7, б показан формат командного слова. Команда состоит из первого кода операций, указывающего действие, которое должен сделать процессор (сложение, вычитание и другие логические операции). Далее следует адрес двух операндов1 в запоминающем устройстве, затем адрес ячейки памяти, в которую должен помещаться результат действия АЛУ и потом адрес следующей команды.
После записи информации в регистр команд, устройство управления начинает формировать служебные тактовые импульсы. На рис. 5.7, в показана очередность действия тактовых сигналов. Первым тактовым сигналом одновременно формируются сигналы Т1, Т5, Т8, Т10, которые обеспечивают пересылку данных из памяти и запись в аккумулятор. Второй такт формирует сигналы Т2, Т5, Тб, Т11. Эти сигналы принимают информацию из памяти, - подают данные в АЛУ. Третий такт формирует сигналы ТЗ, T9. В результате информация из аккумулятора записывается в память. Четвертый такт формирует сигналы Т4 и Т7 и осуществляет перепись информации из памяти в регистр команд очередной программы.
Таким образом, процессор осуществляет все свои операции с оперативной памятью, где должна находиться вся необходимая информация. Для смены программы работы процессора по общей шине по команде процессора происходит запись другой программы. Новая программа записана в другой оперативной Памяти (например, на диске). Эта память рассчитывается на большое число микропрограмм. Они поочередно записываются в ОЗУ процессора, и он ведет обработку данных, которые поступают в ОЗУ от другого источника. Этим источником может служить также оперативная память.
В описанной структурной схеме существует индивидуальная связь между блоками вычислителя. Эта связь хорошо отображает функциональную особенность работы вычислительной машины. В настоящее время эта связь имеет ограниченное применение. В подавляющем большинстве случаев в современных ЭВМ применяется магистральная связь (общая шина). Эта шина позволяет создать автономные модули различного назначения, эти модули устанавливаются на «материнскую» плату, где проходит общая шина. Связь между модулями осуществляется адресно с помощью дешифраторов. Такой принцип построения вычислительных устройств позволяет усовершенствовать, модернизировать каждый модуль независимо друг от друга. Кроме того, узкая специализация модуля
1 Операнд — величина, представляющая собой объект операцийгреализуе-мой ЭВМ в ходе выполнения программы.
259
позволяет усовершенствовать технологию его изготовления. Применяя различные модули, можно строить вычислительные машины для применения в различных отраслях промышленности.
К машинным единицам информации, участвующим в цифровых и логических преобразованиях, относятся бит, байт, слово, запись, блок и файл. К натуральным единицам информации относятся разряд, символ, поле, запись и массив.
Бит — наименьшая единица информации, один разряд машинного слова, состоит из двоичных разрядов. Бит может принимать значения 1 или 0.
Байт — основная единица информации. Она содержит восемь двоичных разрядов (8 бит). Восьмиразрядный машинный код служит для представления алфавитно-цифровой информации и позволяет закодировать до 256 различных символов.
Слово — последовательность символов или импульсов, представляющих эти символы. Машинным словом называется специальная последовательность символов, которая может быть прочитана и интерпретирована данным типом ЭВМ. Машинное слово может представлять константу, переменную величину или команду.
Запись — совокупность нескольких слов переменной длины, рассматриваемых как одно целое, т.е. объединенных единым смыслом.
Блок компактно расположенная по носителю внешнего запоминающего устройства группа записей, считываемая и записываемая в оперативную память машины одной командой.
Файл — последовательная группа данных, состоящая из нескольких блоков, объединенных общим смысловым признаком. Файлы могут иметь различную длину. Для правильной обработки файлов различной длины и структуры на носителе внутреннего запоминающего устройства помимо основной информации записывается служебная информация (метка).
Символ ~~ графический знак, изображающий букву, цифру.
Пале — двоичный слог в слове или смежные последовательные знаки в записи, имеющие функционально самостоятельное значение и обрабатываемые за одну операцию. Содержащиеся в таблице числа называют элементами поля.
Массив — пакет или блок данных, пересылаемых в машине как целое. Массив является единицей информации, объединяющей несколько записей с общим смысловым признаком.
Контрольные вопросы
1.	Опишите работу однопроцессорной ЭВМ.
2.	Определите основные функции следующих узлов ЭВМ: командного регистра, блока управления, АЛУ, ОЗУ.
3.	Что такое бит, байт, слово, запись, блох, файл, символ, поле, массив?
260
5.8.	Многопроцессорные и конвейерные ЭВМ
Непрерывное увеличение вычислительной мощности микропроцессора привело к тому, что стали рассматривать этот элемент как универсальное базовое устройство для построения сложных вычислительных и управляющих систем. Минимальным автономным блоком является микропроцессорный модуль, который состоит из:
•	процессора;
•	блоков памяти ВЗУ (внешнее запоминающее устройство) и ОЗУ для хранения программ и данных;
•	внутреннего системного интерфейса, предназначенного для обмена информацией между микропроцессорами;
•	устройства ввода-вывода.
В подавляющем большинстве случаев связь между блоками микропроцессора построена на магистральном принципе. Она осуществляется с помощью внутренней общей шины.
С помощью универсальных микропроцессоров можно создать многопроцессорную вычислительную машину. Структурная схема многопроцессорной ЭВМ показана на рис. 5.8, а.
Здесь одновременно работают П„ процессоров. Все устройства машины связаны общей шиной. Эта вычислительная система позволяет:	~
•	повысить производительность благодаря параллельному выполнению независимых задач или частей одной задачи;
•	повысить надежность системы путем резервирования, реконфигурации ее структуры и перераспределения задач между процессорами при отказе некоторых из них в целях сохранения работоспособности системы в целом;
•	обеспечить высокую гибкость системы, возможность изменения ее конфигурации для получения различных алгоритмов одними и теми же аппаратными средствами.
Многопроцессорные ЭВМ изготавливаются с индивидуальной и общей оперативной памятью. ЭВМ с общей памятью, в которой размещаются все программы и данные, типичны для управляющих систем.
Общая оперативная память позволяет выполнять любую программу на любом процессоре. Любой процессор может принять на обслуживание любую задачу. Этот режим работы называется режимом разделения нагрузки. В этом режиме каждый из П„ процессоров принимает на обслуживание п-ю часть заявок. Процесс обслуживания заявок в режиме разделения нагрузки можно рассматривать как процесс функционирования одной многоканальной системы массового обслуживания с заданной интенсивностью входящего потока, общей очередью, заявки из которой выбираются в порядке поступления их в систему, и средней длительностью
261
Шина адреса
а
Шина коэффициентов
•	б
	Рис. 5.8. Многопроцессорные ЭВМ:
а — простая структурная схема многопроцессорной системы; б — структурная схема конвейерного процессора: П, — П„ — процессоры; R| — R» — регистры; So — S4 — сумматоры; М! — М4 — умножители; А, — Д5 — коэффициенты полинома
обслуживания заявки каждым из процессоров. Заявка, поступившая в систему при наличии хотя бы одного свободного процессора, немедленно принимается на обслуживание. Если все процессоры заняты, заявка размещается в очереди.
Если в многопроцессорной ЭВМ (МП ЭВМ) оперативная память подключается к индивидуальному процессору, то мы имеем многомашинную вычислительную систему. Для каждого процессора в его оперативной памяти находятся все данные и алгоритмы для решения определенной задачи. Каждый процессор настраивается на заданную задачу. На этих ЭВМ удобно решать малые задачи в больщом количестве.
С построением МП ЭВМ связано преодоление определенных трудностей, вызванных необходимостью решения таких проблем, как распределение задач:
262
•	организации взаимодействия процессоров в системе;
•	организации обмена данными между вычислительными модулями;
• построения эффективной системы связи между модулями.
Под распределением задач понимается независимость или связанность вычислительных процессов. Распределение задач может быть статическим и динамическим. При статическом распределении каждый процессор реализует свой вычислительный процесс, в соответствии с заранее установленной программой. Работает процессор по фиксированной программе. Динамическое распределение предусматривает возможность изменения программы работы процессора. Изменения происходят в течение вычислительного процесса.
Обладая большой скоростью обработки информации, в МП ЭВМ существуют четыре способа подачи данных и команд обработки:
SISD — системы с одним потоком команд и одним потоком - данных;
SISM — системы с одним потоком команд и множеством потоков данных;
MISD — системы с множеством потоков команд и одним потоком данных;
MIMD — системы с множеством потоков команд и множеством потоков данных.
К первому типу относятся все однопроцессорные ЭВМ.
К второму типу относятся системы, где процессоры соединены между собой в заданной последовательности. Они одновременно выполняют однотипные команды над разными потоками данных. Поток команд генерируется единым центральным блоком управления. По этому принципу построены матричные процессоры. Эти процессоры имеют высокую производительность при решении задач, где возможна высокая степень параллельности вычислений.
К недостаткам этих систем относятся фиксированные связи между соседними вычислительными ячейками, большая избыточность при решении нетипичных задач и ограниченное число операций.
К третьему типу относятся системы конвейерной обработки. В этих системах существует цепь последовательно соединенных микропроцессоров. Каждый процессор получает данные от своего предшественника и выдает результат своему последователю. В этой системе каждый процессор работает по своей программе. Все процессоры работают одновременно. Поток данных от процессора к процессору преобразуется, и на выходе формируется результат.
К четвертому типу относятся системы, где процессоры выполняют разные программы, обрабатывая разные потоки данных. Поток данных может поступать по одному каналу или по разным каналам.
263
Сосредоточенные MIMD-системы могут строиться с динамическим и фиксированным распределениями задач. В этих системах существует единая операционная система. Увеличение числа процессоров, присоединенных к одной шине, вызывает возрастание вероятности конфликтных ситуаций и, как следствие, ухудшение использования каждого процессора и снижение производительности системы. Вследствие этого число активных модулей, присоединенных к одной шине, ограничено. Сложные системы такого типа реализуются в виде иерархической структуры. Системы MIMD с фиксированным распределением задач называются распределенными системами. В этих системах может отсутствовать единая операционная система. Каждый процессор имеет собственную память и собственную управляющую программу.
Фиксированное распределение задач позволяет разработать для каждого процессора простые эффективные управляющие программы. Специализация процессоров приводит к эффективному выполнению своих задач, что влечет за собой повышение производительности всей системы. Однако эти системы обладают следующими недостатками:
•	нагрузка системы должна быть распределена между процессорами во время проектирования и не может перераспределяться динамически в реальном масштабе времени;
•	добавление новых задач приводит к изменению структуры многопроцессорной системы и программного обеспечения;
•	специализация моделей системы и отсутствие динамического распределения задач уменьшает возможности для обеспечения реконфигурации свойств (перестройки структурной схемы) системы при отказе ее компонентов.
Разработанные архитектурные принципы синтеза многопроцессорных вычислительных систем позволили добиться существенных результатов в деле повышения вычислительной мощности и скорости работы систем, обеспечили простоту и эффективность их управления и функционирования. Эти системы позволили решить многие задачи, которые до этого решались с большим трудом на однопроцессорных ЭВМ или не могли быть практически решены.
К классу многопроцессорных вычислительных средств относятся конвейерные ЭВМ. Для решения задач природно-ресурсной тематики необходимо иметь вычислительные системы очень большой производительности. Для этих целей применяется конвейерная обработка данных.
Конвейерный процесс предусматривает разбиение сложного процесса на отдельные элементарные операции, которые выполняются отдельными участками системы, мимо которых движется конвейер. Чем меньше элементарная операция, тем более производителен конвейер.
264
В конвейере время затрачивается на выполнение элементарной операции на движение конвейера от участка к участку. Поэтому элементарные операции должны быть очень простыми, а скорость движения конвейера — высокой. В каждом участке существует процессор. Каждый процессор предназначен для реализации на уровне команд определенных действий над данными (сложение, умножение, логические операции) или на уровне макрокоманд — сдвиг, пересылка и т. д.
Каждый процессор выполняет операции с блоком данных, после чего передает его процессору (приемнику) и принимает от процессора (предшественника) на обработку новый блок данных. Обработка данных в каждом процессоре осуществляется под управлением местного устройства управления. Общее устройство управления формирует множественный поток команд, каждый из которых направляется на выполнение программы в соответствующий процессор.
Для организации конвейерной обработки требуются существенные затраты на синхронизацию процессов обработки данных в цепи процессоров, на буферы для промежуточного хранения команд, находящихся на различных стадиях выполнения, на связи между буферами, на дополнительные схемы декодирования команд в буферах. Поэтому такой вид обработки реализуется в больших ЭВМ.
Максимальное быстродействие конвейерных ЭВМ определяется тактовой частотой работы электронных компонентов. Длительность одного такта составляет 25... 100 нс, что соответствует быстродействию 107... 5 • 107 оп./с. Для приближенной оценки быстродействия конвейерных ЭВМ примем, что выполнение команды осуществляется в среднем за К машинных тактов длительностью t. При последовательной обработке в каждый момент времени в процессоре обрабатывается одна команда. Продолжительность ее обработки составляет Т = Kt единиц времени. Быстродействие В = 1/7. В результате предельное быстродействие конвейерной обработки превышает быстродействие последовательной обработки в К раз.
Однако приведенные оценки быстродействия ЭВМ с конвейерной обработкой команд являются предельными и реализуются лишь в случае обработки непрерывного потока команд. При выполнении команд переходов быстродействие может снизиться до уровня быстродействия одиночного процессора.
Рассмотренные оценки быстродействия конвейера применимы к синхронным методам обработки, когда длительность такта выбирается с учетом продолжительности этапа обработки команд. Эта обработка применяется в машинах IBM 360/75 и ЕС1047. При асинхронной конвейерной обработке используется переменная длительность такта. Это приводит к сокращению простоев.
265
Для ясного представления режима работы конвейерного процессора рассмотрим упрощенную структурную схему, приведенную на рис. 5.8, б, где R — регистры; S — сумматоры; М — умножители; А — коэффициенты полинома.
Для анализа работы конвейерного процессора рассмотрим вычислительный процесс, связанный с обработкой степенного полинома пятой степени:
Y= До + А,У+ А2У2 + АзУ3 + АфУ4 + А^5.
По шине коэффициентов записываются в регистры значения Ао—А5. Эти коэффициенты закладываются перед работой процессора. По шине данных следуют Хь Х2,..., Х„. Они переписываются из регистра в регистр. Первым тактом данное Xi записывается в регистр Rp По второму такту данное Xt переписывается в регистр R2, а в регистр Ri записывается данное Х2. С третьим тактом данное Xi переписывается в R3, данное Х2 — в R2, а данное Х3— в R3 и т.д.
Следовательно, за время первого такта производится операция умножения A5J4. Результат появляется на выходе умножителя Мь В сумматоре St образуется результат — А4 + А^.
Со вторым тактом данное Xt переписывается в регистр R2. В умножителе М2 образуется результат Х3 (А4 + A3Jf,) и т.д.
Рассмотренная структурная схема является специализированным вычислителем. Для использования конвейерного принципа работы при вычислении широкого круга алгоритмов целесообразно результаты вычислений после каждого этапа записывать нё в отдельные регистры, а в оперативную память. Для этого потребуются каждый раз два дополнительных такта (запись, считывание). В результате весь процесс конвейерной обработки строится на оперативной памяти.
Обмен информацией между процессорами происходит благодаря оперативной памяти, а управляющая программа вычислительной системы определяет ее конфигурацию путем изменения адреса, по которому должна поступать пришедшая информация. Просто перепрограммируются процессоры — их программы хранятся в памяти системы, и по команде управляющей программы любой алгоритм может быть реализован в любом из процессоров. Эта гибкость вычислительной системы дает возможность чрезвычайно быстро обрабатывать информацию любого вида. В этом случае получается система с перестраиваемой структурой. Для каждой решаемой задачи создается оптимальная структура обработки. Таким способом были достигнуты скорости обработки 300... 800 млн операций в секунду.
Вычислительные системы с перестраиваемой структурой являются одним из этапов создания адаптивных систем. Перестройка структуры вычислительной системы связана с типом решаемой
266
задачи. А тип решаемой задачи определяется состоянием исследуемого объекта. Таким образом, перестройка структуры вычислительной системы диктуется поведением исследуемого объекта.
Однако перестройкой структуры реализуется первый этап адаптации системы. В результате этого повышается быстродействие системы, она обрабатывает все данные, которые поступают на ее вход, не делает различий в возможности повторяемости данных (не анализирует данные на повторяемость), не контролирует избыточность информационных потоков.
Контрольные вопросы
1.	Каково назначение многопроцессорной ЭВМ?
2.	Дайте классификацию многопроцессорных ЭВМ.
3.	В чем состоит принцип работы конвейерной ЭВМ?
4.	Что такое быстродействие многопроцессорных и конвейерных ЭВМ?
5.9.	Локальные вычислительные сети системы
Рассмотренные в предыдущих разделах принципы построения ЭВМ позволяют поднять вычислительную мощность до 1 млрд операций в секунду. Им подвластен широкий круг задач. Любая многопроцессорная вычислительная система всегда имеет пределы по быстродействию, памяти и надежности, которые достаточно высоки. Можно найти задачи, которые они не решают. Нарастающий объем информации в промышленности требует дальнейшего увеличения быстродействия ЭВМ. Кроме того, любая ЭВМ не предоставляет возможность доступа к информации, хранящейся в других ЭВМ. Эти трудности могут быть преодолены с помощью вычислительной сети, где ЭВМ соединены между собой каналами связи (коммутационными каналами). Эти системы называются системами с распределенной обработкой информации. По сети можно обращаться к памяти других ЭВМ, где может находиться ценная информация или справочные данные. Можно решать задачу на своей ЭВМ, а требуемая для нее информация запрашивается из чужих банков данных.
Вычислительные сети бывают:
•	локальными;
•	территориальными;
•	региональными;
•	национальными;
•	международными.
Классификацию сети можно проводить и по другим параметрам: по топологической структуре, целевому назначению, составу ЭВМ сети, характеристикам системы передачи данных и кана-
267
a
б
ЭВМ
в
268
г
д
Рис. 5.9. Локальные вычислительные сети: а ~ шинная топология1 вычислительной сети; б г- кольцевая топология вычислительной сети; в — иерархическая топология вычислительной сети; г — звездообразная топология вычислительной сети; д — смешанная топология вычислительной сети; R|—R« — регистры; УК — узел Коммутации; Т,—Тщ — терминалы
1 Топология — раздел математики, изучающий наиболее общие свойства геометрических фигур (свойства, не изменяющиеся при любых непрерывных преобразованиях фигур)
269
лов связи, используемых в сети, по универсальности обработки информации и степени полноты вычислительного и информационно-справочного обслуживания пользователей сети ЭВМ и по другим признакам.
Вычислительные сети различаются также по назначению, режимам работы, способу управления, типам ЭВМ:
•	по назначению — универсальные и специализированные;
•	по режимам работы сети — централизованные и децентрализованные;
•	по типам ЭВМ — однородные и неоднородные;
•	по территориальному признаку — локальные, региональные;
•	по способу передачи информации — телефонные, телеграфные, кабельные, световодные и др.
Вычислительные сети различаются конфигурацией, характером обмена сообщениями, назначением, а также требованиями, предъявляемыми к ним абонентами. Сеть считается малой, если она имеет не более десяти ЭВМ; средней, если она объединяет до тридцати ЭВМ, большой, если число ЭВМ превышает тридцать.
По своему составу сети считаются однородными, если они объединяют программно-совместимые ЭВМ, и неоднородными, если ЭВМ несовместимы.
Вычислительные сети бывают универсальными и специализированными, с малой, средней и высокой производительностью.
По выполняемым функциям сети делятся на вычислительные и информационные.
Локальная сеть представляет собой систему передачи данных, которая позволяет независимым устройствам взаимодействовать между собой.
Основная трудность при создании сети — разноязычность ЭВМ. Каждый тип ЭВМ имеет свой собственный внутренний язык (язык машинных кодов), разработанный специально для этого типа ЭВМ. Поэтому соединение двух разнотипных ЭВМ требует специальной аппаратуры и программы их согласования, которая играет роль переводчика с одного машинного языка на другой. На сегодняшний день существует более 1000 типов ЭВМ. Объединить однотипные ЭВМ в сеть нетрудно, но это будет система, а не сеть. Сеть должна объединять любые ЭВМ.
Топология сети определяется способом соединения ее узлов каналами связи. На практике используются пять базовых топологий:
•	шинная (рис. 5.9, а);
•	кольцевая (рис. 5.9, б);
•	древовидная — иерархическая (рис. 5.9, в);
•	звездная (рис. 5.9, г);
•	смешанная (рис. 5.9, д).
270
Топология сети влияет на такие ее показатели, как надежность, расширяемость, стоимость, запаздывание и пропускная способность. Запаздывание сети — это время передачи информации между абонентами. Пропускная способность — это максимальное число битов в секунду, передаваемое между абонентами.
Контрольные вопросы
1.	В чем состоит назначение локальной вычислительной сети?
2.	Дайте классификацию локальных сетей.
3.	Что такое однородные и неоднородные локальные сети?
4.	Что такое топология локальных сетей?
ПРИЛОЖЕНИЕ
1. Вывод общего дифференциального уравнения системы
Даны четыре дифференциальных уравнения второго порядка, которые описывают следующие звенья системы: датчик, регулятор, исполнительный механизм, объект регулирования:
М = Л2У(2) + At Y™ + 4>;	(П.1)
R = ВгМ^ + ВхМт +	(П.2)
Z= Q£<2> + С1Я<‘> + Q;	(П.З)
Y=D7X^+D}X^ + D0.	(П.4)
Регулирующий орган описывается уравнением X0 = X-Z.	(П.5)
Определим первую и вторую производные (с сохранением постоянства коэффициентов) для уравнения (П.1) и получим
А/<‘> = Я2У<3) + Л(У<2>; М® = Л2У<4> + A1Y&.
Подставим эти производные в уравнение (П.2) и получим R = Й2Л2У<4> + Д^У*3» + BtA2Y^ + B^Y^ +
или
R = A24Y™ + Л23У<3> + Я22У<2* + Л21, где Л24 = В2А2, А23 = В^х + В\А2, Л22 = BjAjj A2i = Вд.
Определим первую и вторую производные от этого уравнения и получим
Я(1> = A24Y^ + Я23У<4> + Л22У(3);
Я<2> = AUY^ + Л23У(5) + Л22У(4).
Подставим эти уравнения в выражение (П.З) и получим Z = С2Л24У<6>+ CiA23Y^+C2A22Y^ + C^24y<J> + Ср423У<4> + + С,Я22У<3> +С0;
Z= Д26У<6> + BkY^ + Д24У‘4> + Д23У<3> + Вг2, где
Дгв = С^А^', В23 = СгЛ23 +0^^; В24 = СгАп + CjA23;
272
Аз = Cj>422; В22 = Co-
Определим первую и вторую производные от последней функции Z<‘> = Ae^7’ + Аз^6* + Ал^5’ + Аз^*4’;
Z<2> = B^Y™ +	+ B^Y*® + B^Y™
Подставим уравнение (П.5) в (П.4) и получим
У = А*(2) - А^2’ + DxXm -	+ Do
или
У = D2X™ + DiX^ - DtZ™ - A-?(,) + д.
Подставим первую и вторую производные от параметра Z и получим
У = А^(2) + DxXm -	- DibsY™ - DiB^Y*® - DiB^Y™ -
- DtBxY™ - DiBuY^ - D^Y™ - DiB23Yw + Do.
Объединяя члены перед производными одного порядка, получим у= а*(2) + А*(1) - с28у<8) - c27y^ - c26y^ - c2Jy<J) - С24У<4>, где
С28 = AAs; С27 - AAs + А А«; С26 = АА4 + AAs;
С25 = ААз + А Ви', с24 = А Аз; Сзз = А-
Перенесем переменную У в левую часть равенства:
с28г<8> + С27У<7> + С26У<® + С23У<5> + С24У<4> + У = А^<2) + А*'1’.
Применим преобразование Лапласа в виде
У<") = р"^р) и получим
С28р8У(р) + С27р7У(р) + С26р6У(р) + С25р3У(р) + С24р4У(р) + У = = Др2/(р) + Ар^(р)-
В результате получим выражение для передаточной функции системы
У(р) _____________Ар2 + Ар______________
У(р) С28р8 + С&Р7 + СиР6 + С28р5 + С24р4 +1
Это выражение передаточной функции самое простое для систем автоматического регулирования.
Задание 1. Преобразовать исходные структурные схемы (рис. П.1 — П.10) к одному блоку, определив его передаточную функцию. Знаки в 10 Горошков	273
Рис. П.1	Рис. П.2
274
Рис. П.8
Рис. П.9
275
Рис. П.10
кружочках определяют вид обратной связи (положительная или отрицательная).
Задание 2. Используя структурные схемы предыдущего задания, получить Передаточную функцию системы при условии
W^i = —» Л>; »; = К.
1 7р + 1	+ 1
Задание 3. Графическим и аналитическим способами определить общую статическую характеристику обратной связи, состоящей из датчика, регулятора и исполнительного механизма, определить рабочую точку системы, используя статическую характеристику объекта. Определить динамический коэффициент
1	. УД = 2А; УР = ЗА; Уим = 4-А; Y0 = X.
2	. Уд = 2А2; Yp = 4А; Уим = 5 - A; Yo = 2А.
3	. Уд = 3 -X; Гр = ЗА2; УИЛ1 = 2А; Уо = 1.5JK
4	. Уд = 2(A)1/2; Ур = 4 -X, Y„M = 2А2; Уо = 0.5(A)1/2.
Задание 4. Построить переходные процессы по следующим передаточным функциям:
действительные корни 2р +1 р2 + 6р + 5 ’	комплексные корни 2р + 1 р2 + 2р + 5 ’
2р + 2 р2 + 9р + 20’	2р + 2 р2 + 4р + 20 ’
р + 1 3' р2 + 5р + 4 ’	Р + 1 . р2 + 4р + 5 ’
р + 2 4‘ р2 +8р + 15’	р + 2 р2+4р + 6’
р + 3 5р2 + 10р + 20’	р+з р2 + 2р +17 ’
276
Зр + 1	Зр +1
р2 + 11р + 30’	р2 + 2р + 26 ’
Зр + 2	Зр + 2
к р2 + 15р + 50 ’	р2 + 4р + 30 ’
Зр + З	Зр + З
р2 +1 Зр + 40 ’	р2 + 4р + 40 ’
4р + 1	4р + 1
х р2 + Зр + 2 ’	р2 + 6р + 25 ’
4р + 2	4р + 2
10ф р2 + 6р + 8’	р2 + 6р + 34
Задание 5. Определитьустойчивость системы с помощью, критерия Найквиста по характеристическому уравнению
2р4+ 0,1р3 + бр2+»О,Зр + 1 =? 0;
Зр4 + 0,7р3 + 4р2 + 0,8р + 1 = 0;
0,5р4 + О,2р3 +>0,9р2 + Д1р + 0,2 = 0;
р4 + О,Зр3 + 1,1р2 + 0,2р + 0,2 = 0;
2р4 + 0,2р3 + Зр2Т2,5р + 0,5 = 0;	,
0,1р4 + 0,Зр3 + О.Тр2 + 0,4р + 1,2 = 0;
0,7р4 + 0,1р3 + Зр2 + О,3р + 2 = 0;
0,8р4 + 0,2р3 + 2р2 + 0,4р +1 = 0;
1	,2р4+ 0,5р3 + 2,6р2 + 0,7р + 0,9 = 0;
1	,3р4 + 0,6р3 + 2,7р2 + 0,8р + 0,7 = 0;
1	,5р4 + 0,7р3 + 2,8р2 + 0,9р + 0,6 = 0;
1	,5р4 + 0,8р3 + 2,9р2+ р + 0,5 = 0.
2. Макет курсового проекта
Цель проекта. Закрепление студентами знаний по курсу «Автоматическое управление» и приобретение навыков по расчету основных элементов системы. Создаваемая система должна состоять из объекта управления, датчика, регулятора и исполнительного механизма. Элементы системы заданы статическими и передаточными функциями, которые пред-
ставлены на с. 278, 279. Из предложенного набора датчиков, регуляторов и исполнительных механизмов студент должен выбрать те, которые смогут обеспечить стабильную рабочую точку системы в статическом режиме. Для обеспечения работы системы в динамическом режиме студент должен выбрать такое дополнительное корректирующее звено, чтобы оно обеспечивало основные параметры переходного процесса в следующих пре-
277
делах: перерегулирование — 20%, затухание — 0,5, колебательность — 2... 3 периода.
Общие исходные требования к проекту. В курсовом проекте должны быть выполнены следующие задания.
•	Построить статические характеристики устройств системы управления.
•	Определить графическим методом общую статическую характеристику цепи обратной связи — ДРИМ.
•	Построить статические характеристики объекта регулирования и системы управления.
•	Определить на графиках рабочую точку и угол между статическими характеристиками.
•	Рассчитать динамический коэффициент регулирования D = &Y/bX и определить коэффициент для цепи обратной связи с целью выравнивания масштабов.
•	Определить аналитическое выражение регулирующей системы — ДРИМ.
•	По аналитическому выражению построить график статической характеристики — ДРИМ.
•	Найти аналитическим способом рабочую точку — пересечение статических характеристик ДРИМ и объекта.
•	Выбрать передаточные функции элементов системы.
•	Определить передаточную функцию системы.
•	Найти временную функцию переходного процесса.
•	Определить основные параметры переходного процесса.
•	Определить два коэффициента качества системы регулирования.
•	Построить частотные характеристики устройств: объекта регулирования, датчика, регулятора, исполнительного механизма, ДРИМ, всей системы.
•	Определить параметры устойчивости системы.
•	Построить годограф.
Примечание. Объект регулирования студенты выбирают в соответствии с их номерами (четными или нечетными) в журнале. Необходимо из «Справочных данных элементов системы» выбрать по одному устройству.
Содержание курсового проекта. В пояснительной записке курсового проекта должны быть отражены перечисленные ранее вопросы. Изложение каждого вопроса должно быть объяснено и обосновано согласно общей теории автоматического управления. Число страниц рукописного материала должно быть не менее 50 с.
Графическая часть должна содержать структурную схему, статические характеристики выбранных узлов системы, отражать взаимосвязь статических характеристик и рабочей точки, график переходного процесса с корректирующим звеном и без него.
Методические указания по выполнению курсового проекта. Как следует из задания на курсовой проект, его выполнение базируется на знаниях, полученных студентами при изучении курса «Автоматическое управление». Новым, пожалуй, самым трудным в курсовом проекте является логическое обоснование выбранных решений.
278
Выполнение курсового проекта следует начинать с подбора статических характеристик основных звеньев системы. Здесь необходимо по возможности построить несколько подходящих статических характеристик для каждого звена и методом проб и ошибок выбрать такие характеристики, которые составляли бы со статической характеристикой объекта в точке пересечения угол, близкий к 90’. Если в результате подборов обнаружится несогласованность масштабов, то следует в цепь обратной связи включить усилительное или ослабительное звено, это приводит к согласованности масштабов по осям системы координат.
При вычислении переходной функции следует стремиться к уменьшению колебательности этого процесса. Особенно следует уменьшать перерегулирование. Неудачный выбор передаточной функции звена может привести к большим отклонениям основных параметров системы от удовлетворительных показателей. Здесь можно решить задачу двумя способами:
•	подобрать другую передаточную функцию;
♦	самостоятельно в цепь обратной связи включить такое звено, чтобы оно обеспечивало удовлетворительные параметры переходного процесса.
Объекты регулирования описываются следующими статическими 'Характеристиками:
~ 1) Y= N - X, 2) Y= X/N.
Передаточная функция для двух объектов регулирования описывается выражением
W (nV- N2+l ^₽(Р)-(ЛГ2+4)р-
Справочные данные элементов системы Регуляторы
Статическая	Передаточная
характеристика	функция
Y = Nx/2X,	И'(р) = P + 1 ; р + ЛГ/2
Y = (N + l)t/2X /N,	>F(p)= P + 2 ; W p+N/3
Y = (2N + 1)U2X/N1'2,	p + zv/3
Y = (N + 1)'/2X,	ru-g; 4Np
279
У = (4Х + 1),/2Х/^/2,	^(Р) = ~^д; р + Лу4 ’
Y = Ni/2(X +1),	»Чр)=-~~; p + N/5
y = (AT/2)'/2(J + 2),	^(Р)“~ р + Луо
Датчики	
Статическая характеристика	Передаточная функция
Y = (N + l)l'2X,	
Y = (N + \)42X/N,	JK(p) = Pt2- ; (p/N)~l
Y = (N2+i)'^2X/N,	
Y ~{2N-V)'/2X,	
Y = (IN-2У'2Х,	W(p)^ -2p + 1 ; w р + 2/У
Y = Ni/2-X,	^(P)= -2p + 2; P + 4/2V
Y = (N/2)'/2-X,	^(p)a -4y ? ; p + 5 / N
Y = (3N)}/2~X,	>y(p)= -5VAz-р + 5/W
Исполнительные механизмы
Статическая характеристика	Передаточная функция
Y = X/N1'2,	
Y = X/(N + 1^2,	4 2 + N 2N, ’
280
Y = NX/(N2 + l)1'2,	^(P) =
Y = NX KN2 +2)V\	»4p) =
Y = NX/(N2+4),	И/(р) =
3 + ЛГ. 3Np ’
4 + У .
4Ур ’
Afr + l
2N ‘
По заданию курсового проекта необходимо разработать систему автоматического регулирования, структурная схема которой представлена на рис, П-11- На рис. П.11 обозначено: ОР — объект регулирования; Д — датчик; К — усилитель; Р — регулятор; 3 — задатчик; ИМ — исполнительный механизм.
Рис. П.11
• В соответствии с заданием курсового проекта имеем статическую характеристику объекта регулирования, которая описывается уравнением
Y =~ ° N’
где N— номер студента в журнале (в данном случае N= 22).
Для построения статической характеристики объекта необходимо давать текущие значения для Хт. Здесь достаточно определить две точки, чтобы построить характеристику. Положим Хо=0 и получим Yo = 0, положим Ха = 5 и получим Yo = 0,23. По этим двум точкам построена прямая, показанная на рис. П.12.
Согласно заданию студенту необходимо выбрать из справочных данных элементы, которые образуют цепь обратной связи в системе автоматического регулирования. На основе этих элементов он должен определить статическую характеристику цепи обратной связи.
Для определения статической характеристики цепи обратной свяди выбираются статические характеристики датчика, регулятора и исполнительного механизма.
Статическая характеристика датчика описывается уравнением
Y^jN-X^.
281
Для построения этой статической характеристики даны следующие значения:
Хл..........О 12	3	4
Уд..........4,4	3,4	2,4	1,4	0,4
По этим значениям строим статическую характеристику датчика. Как видно из рис. ПЛЗ. Эта характеристика является нелинейной. Для дальнейшего ее применения аппроксимируем ее прямой линией, которая показана на рисунке.
Статическая характеристика регулятора описывается уравнением
„ /4УТТ ₽ = V N Лр'
Эта характеристика также относится к классу нелинейных. Для ее построения достаточно взять две точки Хр = 0, Ур = 0, и для Ур = 2 получим Кр = 4,02.
Статическая характеристика регулятора приведена на рис. П.14. Заменим эту характеристику прямой линией, которая показана на рисунке.
Статическая характеристика исполнительного механизма описывается уравнением
Y - NX™
Для построения этой линейной статической характеристики достаточно дать Хим два значения. При Хи„ = 0 получим Уи м = 0, а для Хи м = 5 имеем Уи.м = 5. Эти цифры дают основания провести прямую, которая отображается на рис. П.15.
282
Рис. П.17
•	Для определения общей статической характеристики цепи обратной связи (ДРИМ) изобразим статические характеристики этих звеньев на общей плоскости. В первом квадранте находится статическая характеристика датчика, во втором — регулятора, в третьем — исполнительного механизма (рис. П.16). Для определения результирующей статической характеристики разбиваем ось Хл на равные отрезки 0—1, 1—2, 2—3 и т. д. Из точек 1, 2, 3 и т.д. проводим перпендикуляры до пересечения с линейной статической характеристикой датчика. Получаем точки 4 Д, Ци т.д. Из этих точек проводимгоризонтали до пересечения с линейной статической характеристикой регулятора в точках А2, В2, С2 и т. д. Из этих точек опускаем перпендикуляры. Горизонтальное положение оси Хр меняется навертикальное. Из новых точек проводятся горизонтали до пресечения с соответствующими перпендикулярами в точках А3, В3, С3 и т.д.
Соединяя эти точки, получим результирующую статическую характеристику обратной связи — ДРИМ.
•	Для определения взаимосвязи между статическими характеристиками объекта и ДРИМ изобразим их в одной системе координат. В результате эти две статические характеристики пересекутся в точке А (рис. П. 17). Эта точка называется рабочей. Угол пересечения этих двух статических характеристик равен 87°.
Из теории автоматического регулирования известно: при пересечении двух статических характеристик под углом 60...90° система характеризуется хорошей устойчивостью.
•	Для расчета динамического коэффициента регулирования обратимся к рис. П.17. На этом рисунке по одной из характеристик определяется возможный диапазон изменений входного параметра. Фиксируются две точки этого диапазона. Далее эти две точки переносятся на вторую статическую характеристику, и с помощью этой характеристики определяется диапазон изменения выходного параметра. В результате по статической характеристике ДРИМ определим ДХЮ = 4,58, по статической характеристике объекта получим ДК= 0,21. Подставим эти зна-
Y
чения Д К и ДХЮ в выражение D = —— (при D = 1 система имеет опти-ДЛЮ
283
мальную передачу сигнала в замкнутом контуре; при D > 1 в цепь обратной связи следует включить ослабитель сигнала; при D < 1 в цепь j обратной связи следует включить усилительный элемент):	'
d = -^21 =	-0,05.
ДХИ 4,58	’
Так как нам нужен динамический коэффициент, равный единице, в цепь обратной связи включен усилительный элемент с коэффициентом передачи К- 20. Включение усилительного звена в цепь обратной связи показано на рис. П. 11.
• Для определения аналитического выражения работы регулирующей системы осуществим преобразования статических характеристик датчика регулятора и исполнительного механизма.
Уравнение для объекта регулирования Уо w —7-N
Уравнение для датчика
Уравнение для регулятора
г l^+lv
P = V N Хр
NX
Уравнение для исполнительного механизма Ки.м =	'
Из структурной Схемы системы следует, что Кл == Хр, Yp = Х„м.
Подставим уравнение датчика в уравнение для регулятора. Результирующее уравнение подставим в уравнение для исполнительного механизма:
Р =	(V22 - Хя) = 9,4 - 2ХД;
'и.м “
и.м
ЛУР -. 22 -У = 94-2Хд	j
Wi Ж1 ’	’	д	j
В результате получено выражение	5
= 9,4-2*д.	|
Это выражение является статической характеристикой цепи обратной связи, полученной аналитическим способом. Оно также описывает 3 статическую характеристику цепи обратной связи, полученную ранее графическим способом.	j
Рис. П.18
284
1 Для определения координат рабочей точки системы приведем структурную схему в виде двух элементов с целью определения взаимосвязи регулирующих параметров (рис. П. 18).
Поскольку статические характеристики представляются прямыми линиями, то необходимо найти точку пересечения двух прямых линий. Эти линии задаются уравнениями
У„.м = 9,4-2Х;
V ___ ~^0.р
Го ₽ " 22 •
Обозначим Хт = X и Хвых = Y, в результате получим
IY = 9,4-2Х;
[К = 0,045Х.
Решим систему уравнений
0.045Х •» 9,4 - 2Х;
2,045Х = 9,4.
Определим координаты рабочей точки
Х= 4,6; У= 0,207;
А (4,6; 0,207).
• А теперь перейдём к расчету динамических параметров системы.
Для определения передаточной функции всей системы необходимо по справочным данным выбрать передаточные функции датчика, регулятора и исполнительного механизма.
Передаточная функция объекта регулирования дана в задании и определяется выражением
№ + 1	(222 +1)	485
а₽(р) ~ (№ + 4)р = (222 + 4)р 488р’ /₽’
По справочным данным выбираем передаточные функции.
Передаточная функция датчика
ил Ы = 2р + 2 - 2р + 2 = 2Р + 2 р + 4/№ (р + 4/22) р + 0,18’
Передаточная функция регулятора
. р + 4	.	....	22.	р + 4
»р(р) = ни = (Р + 4)/(Р + -Г> = ё <• р + А/4	4 р + 5,5
Передаточная функция исполнительного механизма
w .. (2 + N) (2 + N) (2 + 22) 0,55 ^“(Р) = “W = ~2NT = Т22Г
Для определения передаточной функции обратной связи (И^,.е) необходимо воспользоваться формулой
ИМР) = ^д(Р) • ^р(Р) • ИЪ.м(Р)-
2&5
Подставив выражение передаточной функции в эту формулу, получим
(2р + 2) р + 4 0,55 ос^-(р + 0,18)'р + 5,5 р
(2р2+8р + 2р + 8)0,55	1,1р2 + 5,5р + 4,4
(р2 + 5,5р + 0,18р + 0,99)р р3 + 5,68р2 + 0,99р ’
Для определения передаточной функции системы воспользуемся выражением
^(Р) = И"аР(р)/[1 + ^o.p(P)^ac(p)].
Подставим сюда все составляющие передаточные функции и преобразуем результирующее выражение:
И/' fn) ^о.р(Р)	Р	_
= 1 + ^о.₽(р) ^ое(Р) = 1 1 1,1р2 + 5,5р +4,4 "
р р3+5,68р2+0,99р
^iXp3+S.68P2+ 0,99р)	р3+ 5,68р2+0,99р
р4 + 6,68р3 + 2,09р2 + 5,5р + 4,4 р4 +6,68р3 + 2,09р2 +5,5р + 4,4’
Передаточная функция системы описывается выражением
W (пУ = р3+5,68р2+0,99р
* р4+ 6,68р3 + 2,09р2+ 5,5р + 4,4‘
• Для нахождения временной функции переходного процесса необходимо упростить это выражение. Для студентов учреждений среднего профессионального образования целесообразно исключить из выражения передаточной функции в числителе р3 + 5,68р2, а в знаменателе р4 + 6,68р3. Для дальнейшего исследования передаточная функция будет иметь вид
цг (п) -______0,99р_________ 0,99р______________
пе₽	2) 09₽2 + 5> 5р + 4) 4 2,09(р2 + 2,63р + 2,1)
0,47р р2 + 2,63р + 2,1
Для определения переходной функции представим общее выражение в виде двух слагаемых. Эти слагаемые можно получить, если определить корни характеристического уравнения
где pi и р2 — значения корней характеристического уравнения.
286
Для определения корней характеристического уравнения приравняем к нулю знаменатель:
р2 + 2,63р +2,1 = 0.
Найдем дискриминант уравнения
D = Jb'-tac = а/2,632 -4 1-2,1 = ^45 = 1,2i;
„	-2,63 + 1,2/	_ , ».
Р1.2  ---r-j----= -1,3 ± 1,2/,
i	21
Pt =-1,3 + 1,27 = 1,3-1,2/; р2 =-1,3-1,2/= 1,3+ 1,2/.
Подставим значения характеристического уравнения р( и р2 в выражение й^пер(р) и таким образом определим коэффициенты Лий
А В	А	В
.... + ....s ......   1	"Л11 + "	....... = р-Pi р-^р2 р + (1,3 +1,27) р + (1,3-1,27)
= (А + 5)р + Л(1,3-1,27) + В(1,3 + 1,27);
Л + 5 = 1 ~-<1,з-1,2/)л+(1,3+1,27)5=о:
Подставляем А = 1 - В во второе уравнение и решаем относительно В.
(1,3 -1,27)(1 - В) + (1,3 +1,2i)B = 1,3 -1,35 -1,2/ +1,2/5 +1,35 +1,2/5 = = 1,3-1,2/+ 2,4/5 = 0; 2,4/5 = -1,3 + 1,?/; В = (1,3 +1,2/) / 2,4/ = 0,5 + 0,557; А = 0,5 - 0,55/.
Для определения функций времени необходимо воспользоваться обратным преобразованием Лапласа:
А , л В . л ----— = exp(-pt/); ----= ехр(-р2/).
Р - Pi	Р - Р2
Далее определяем переходную функцию системы, которая определяется выражением
й(/) = А ехр(-1,3 +1,2)/ + 5 ехр(-1,3-1,2/)/.
Преобразуем это выражение к виду
й(7) = А ехр(-1,3/) + А ехр(+1,2//) + 5 ехр(-1, Зг) + В ехр(-1,2U) или
й(/) = ехр(-1, Зг)[ А ехр(1,2/7) + 5 ехр(-1,2/7)].
Подставим значения А и В:
287
h(t) = exp(-l, 3/)[(0,5-0,55/) exp(l, lit) + (0,5 + 0,55/) exp(-l, lit)]
или
h(t) = exp(-l, 3/)[0,5 exp(l, lit) - iO, 55 exp(l, 2/Г) +
+ 0,5 exp(-l, lit) + /0,55 exp(-l, 2/r)].
Сгруппируем слагаемые в квадратных скобках таким образом, чтобы формировать уравнения Эйлера:
h(t) = ехр(-1,3t) х
х[о 5  2ехр(1’2,7) + ехр(~1’2,г) _ о 55  2/£ХР^’ ~ ехР*"1’ W ’	”	’	2/
2
В результате получим
h(t) = exp(-l,3/)[cosl,2/ +1, Isin 1, It].
Две гармонические функции можно заменить одной, если определить модуль и фазу результирующего колебания.
Определим модуль а = 1; b ® 1,1; М = (а1 + d2)*^ = 1;
tg а = b/а = 1,1; а® 45’.
В результате получим выражение
й(/) = ехр(-1,3/) sin(l,2r + 45’).
Переведем величину угла в градусах в радианы и получим
h(t) = exp(-l,3/)sin(l,2r + 0,8).
Для построения этой функции рассчитаем характерные точки гармонической функции.
Построение графика данной функции осуществляется с учетом того, что
Рис. П.19
288
sinx =
+1 при л/2; 5л/2, О при л; 2л; Зя, -1 при Зл/2; 7л/2.
Определение основных параметров системы следует производить с учетом построенного графика й(/) (рис. П. 19).
В нашем случае согласно построенному графику время регулирования равно 1^= 3,26.
• Для определения коэффициентов качества системы необходимо воспользоваться аналитическим выражением
1 'т
‘per о
где h(f) — функция ошибки.
Чтобы упростил» вычисления интеграла, площадь, ограниченную функцией й(г), заменим площадью трех треугольников 5b 5г> S3 (рис. П.20).
S = £S„ =S|+S2+S3; 5 = 0,835;
К = — = 0,835/3,26=0,26.
Zper
• Приступим к определению амплитудно-частотных характеристик звеньев и системы в целом. Для определениячастотной характеристики объекта регулирования произведем замену в передаточной функции объекта
р = пи.
(№ + ]’> 1
Имеем 1К_(р) = -S-=---— « —, сделав замену р = iw, получим час-
*	(N2 + 4)р р
тотную характеристику объекта регулирования (рис. П.21)
^о.р(М = Л = --
IW W
Рис. П.20
289
Рис. П.21	Рис. П.22	Рис. П.23
Определим частотную функцию датчика
И'д(Р)
2р + 2 2р + 2 2iw + 2 р + 4/22 р + 0,18 ш + 0,18'
Для выделения действительного и мнимого значений умножаем числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное значение знаменателя:
W . 2  (1 + /»)р 0,18 -1»	2(0,18 - iw + 0,181» + »2)
л lW 0,18 + iw 0,18- iw 0,182 -0,181» + 0,181» + w2
2(0,18-0,821»+ »2)	0,18 + »2	1(0,82»)
0,182 + »2	0,182 + »2 0,182 + »2"
В результате получим действительную и мнимую части; Далее определим модуль, полагая, что
0,18 + »2	0,82»	, .. .	/-j—ту
’„+--г = а; —^5------г = о; A(w) = ча2 + о2.
0,182 + »2	0,182 + »2
|fO,18 + »2V f 0,82» V _ If 0,82» A f 0,82» V
(W)	182 + »2 J + (о, 182 + »2 J	Vl°, 182 + »2 J + (о, 182 + »2 J
2^/0,182 + 0,36»2 + »4 + 0,82Й? 2^0,182 +1,18»2 + w*
0,182+»2	0,182 + »2
2y]w* +1,18»2 + 0,182 2yl(w2')2 + 2 0,6»2 + 0,62 -0,62 + 0,18
0,182 + »2	:	0.0324 + »2	1	"
2j(w2 + 0,6)2 • 0,18 = 2(»2 + 0,6) I 1-0,18 0,0324 + »2	“ 0,0324 + »2 \(»2 + 0,6)2
2(»2+0,6) V 0,0324 + »2J
где K= [1 + 0,12/(u^ + 0,6)2]1/2. Если в это выражение подставить текущие значения », то получим К » 1.
290
Дал<	;е строим график, зная, что .. . 2(а»2+0,6) ,	„ Л(а») =	, (рис.П.22). 0,0324 + w2 *
Опр низма	еделим спектральную характеристику исполнительного меха- Tiz z \ 0.55 И^И.м(Р)	• р
Про	изведем замену в передаточной функции регулятора: w .. . 0,55 . . . 0,55 И'и.мОаО =	; А..м(») - ——  IW	W
Здес КОГО Mi (рис. П. Опр Пер	;ь для построения спектральной характеристики исполнитель-еханизма даются текущие значения w и определяется Лим(а/) .23). еделим спектральную характеристику регулятора. сдаточная функция имеет вид r,(p>— ₽	р + 22/4 р + 5,5
При	мем р = iw и получим . iw + 4 lTp(zw) = -	 iw + 5,5
Для литель нателя:	выделения действительного и мнимого значений умножим чис-и знаменатель на комплексно-сопряженное выражение знаме- w _ iw + 4 iw -5,5 _ i2w2 + 4iw - 5,5iw - 22 _ ₽ lW iw + 5,5 iw -5,5	i2w2 - 30,25 _ i2w2 -1,5iw - 22 _ 22 + w2 + 1,5/a; i2w2 - 30,25	30,25 + w2
Выд	елим действительную и мнимую части: „,.. .	22 + w2	1,5iw = ,л чс	2 +	2 • 30,25 + w2 30,25 + w2
Опр	22 + w2	l,5iw , еделим модуль, полагая, что	, = а; „ ,	, = Ь; 30,25 + w2	30,25 + w2
A(w) = 7a2 + b2;
. ( . f 22 +а/2 У ( l,5w У /22 + w2 + (1,5a/)2 AAU')\l430,25 + a/2J +1.30,25 + w2 j	(30,25 + w2)2
y/(22 + w2)2 + (1,Sap2 + 44a>2 + a>4 + 1,5a;2
30,25 +a/2	~	30,25 +a;2
291
V(w2)2 + 2-22,75u»2 + 22,752 - 22,752 + 484
30,25 + w2
V(w2 + 22,75)2 -33,5 w2 + 22,75 30,25 +a/2	~ 30,25 +а?)
„ Г. 33,5	,	,
1 _	33>5	= а/2+ 22,75
(w2 + 22,75)2 w2 + 30,25
Далее строим график (рис. П.24) с учетом выражения
Л(и>) =
ц>2 +22,75 а»2+30,25
Определим частотную характеристику цепи обратной связи ДРИМ. Имеем передаточную функцию
ил гм - <2Р + 2) Р + 4 0,55
o cW (р + 0,18) р + 5,5 р
(2р2 + 8р + 2р + 8) • 0,55	1,1р2 + 5,5р + 4,4
(р2 + 5,5р + 0,18р + 0,99)р р3 + 5,68р2 + 0,99р ‘
Для определения спектральной характеристики цепи обратной связи — ДРИМ — воспользуемся выражением
ЛМО.С ж 4,(1У)^(и>)Д,.м(и>).
Здесь необходимо для каждого текущего значения w определять ординаты в частотных характеристиках датчика, регулятора и исполнительного механизма и перемножать их. В результате этого действия получим следующие значения:
w........0,5	1	2	3	4	5	6	7
А.........2,1	0,8	0,4	0,25	0,21	0,18	0,15	0,12
По этим значениям строится частотный спектр цепи обратной связи (рис. П.25).
292
Рис. П.27
Частотную характеристику всей системы можно записать выражением
W (xi\ =	р3+5,68р3+0,99р
cV р4 + 5,68р3 + 2,09р2 + 5,5р + 4,4 ‘
Здесь также очень сложные аналитические преобразования.
Для построения частотной характеристики всей системы следует учитывать функциональную связь
l + 4)(w)4,(w)-
Подставим текущие значения частоты в это выражение и определим значения ординаъспектральной характеристики системы:
w.......О	1	2	3	4	5	6
А....... 1	0,55	0,4	0,33	0,25	0,2	0,18
По этим значениям строится частотная характеристика всей системы (рис. П.26).
• Устойчивость системы можно определить двумя способами:
по положению корней pi и р2 из уравнения 2,09р2 + 5,5р + 4,4 = = 0 на координатной плоскости;
по кривой годографа.
Определение устойчивости системы по положению корней pi и р2:
2,09р2 + 5,5р + 4,4 = 0;
Pi = -1,3 + 1,21;
р2 =-1,3-1,21.
По критерию Ляпунова, если два значения находятся в отрицательной плоскости относительно оси Im, система устойчива (рис. П.27).
Следовательно, наша система устойчива.
Определение устойчивости системы по кривой годографа.
Для этого воспользуемся выражением передаточной функции всей системы
W lol = р3+5,68р3+0,99р с W р4 + 5,68р3 + 2,09р2 + 5,5р + 4,4 ’
Устойчивость системы будем определять по критерию Найквиста.
293
В выражении р4 + 5,68р3 + 2,09р2 + 5,5р + 4,4 заменим р на iw.
Y  (iw)4 + 5,63(iw)3 + 2,09(iw)2 + 5,5(iw) + 4,4;
Y = w4 -5,68/w3 -2,O9w2 + 5,5iw + 4,4.
Разделим это уравнение на действительную и мнимую части:
Re(w) = 4,4 - 2,09 w2 + w4;
Im(w) = 5,5w - 5,68w\
Для определения реперных точек годографа приравняем мнимую часть к нулю и определим частоты:
Im(w) = 0;
5,5w - 5,68w3 = 0;
w(5,5 - 5,68w2) = 5,5w - 5,68w2 = 0;
5,68w2 = 5,5;
w2 = 0,97;
wj,3 = ,/+0,97; w2 = +0,98; w3 = -,/0,97.
Подставим значение этих частот в выражение действительной части:
Re(0,98) = 4,4 - 2,09 • 0,982 = 2,4;
Re(0) = 4,4.
Теперь определим частоты при условии, что действительная часть равна нулю:
ш4-2ш2 + 4,4 = 0.
Введем новую переменную w2 - х и получим квадратное уравнение х2 - 2х + 4,4 = 0.
При решении этого уравнения убедимся, что оно имеет мнимые корни. Эго значит, что годограф не пересекает мнимую ось. Для определения других реперных точек определим максимальные значения годографа по условиям dlm/dw=0 и dRs/dw = 0. В первом случае имеем 3 w2 - 0,9 =
294
= 0, во втором случае — 4u? -4w«= 0. Для первого случая получим частоту и»= 0,55, а для второго случая — две частоты и? = 0 и Wj = 1. Частоту и>=0,55 подставим в мнимую составляющую годографа и получим Im(0,55) = 1,6. Две другие частоты подставим в действительную составляющую годографа Re(0) = 4,4; Re(l) = 3,4.
Теперь определим поведение годографа при частотах w > 1. Возьмем значение частоты w= 2. В результате получим Re(2) = 12,4 и Im (2) = -34,6.
Все определенные точки нанесены на рис. П.28.
На плоскости системы координат устанавливаем найденные точки с указанием, к какой частоте они принадлежат. Соединяем реперные точки, двигаясь в сторону увеличения частоты. Таким образом получается кривая годографа. Согласно критерию Найквиста кривая не должна пересекать ось Re в отрицательной полуплоскости за пределами точки (-1,1'0). Из этого критерия следует, что наща система устойчива.
По результатам расчетов система является устойчивой. И такой технический параметр, как время регулирования, говорит о том, что элементы цепи обратной связи в системе выбраны оптимальным образом и создают благоприятные условия для работы системы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Воронов А. А., Титов В. К., Новогранов В. Н. Основы теории автоматического регулирования и управления. — М.: Высш, шк., 1977. — 519 с.
2.	Зайцев Г.Ф., Коапюк В. И., Чинаев IT. И. Основы автоматического управления и регулирования. — Киев: Техника, 1977. — 472 с.
3.	Лукас В. А. Основы теории автоматического управления. — М.: Недра, 1977. - 376 с.
4.	Гузенко А. И. Основы теории автоматического регулирования. — М.: Высш, шк., 1967. — 425 с.
5.	Основы автоматического управДения/Под ред. В. С. Пугачева. — М.: Наука, 1979. - 720 с.
6.	Теория автоматического управления/Под ред. А. В. Нетушила. — М.: Высш, шк., 1976. — 400 с.
7.	Цыпкин Я.З. Основы теории автоматического управления. — М.: Высш, шк., 1982. — 570 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение......................................................3
Глава 1. Линейные системы автоматического управления
1.1.	Основные свойства объектов регулирования................14
1.2.	Статический режим работы системы........................25
1.3.	Динамический режим работы системы.......................35
1.4.	Законы регулирования....................................49
1.5:	Типовые звенья и их параметры...........................60
1.6.	Спектральный метод анализа передаточных функций звеньев и системы............................................75
1.7.	Построение годографов переходных функций объектов.......90
1.8.	Построение переходных функций по передаточным функциям.....................................................93
1.9.	Построение переходной функции по частотным спектрам системы.............................................ЮЗ
1.10.	Устойчивость системы управления.......................107
1.11.	Фазовая плоскость — портрет поведения системы.........121
1.12.	Качество регулирования................................130
1.13.	Корректирующие устройства.............................145
1.14.	Практические регуляторы...............................152
Глава 2. Нелинейные системы автоматического управления
2.1.	Типовые нелинейности автоматических систем.............159
2.2.	Математическое описание гладких нелинейных характеристик 167
2.3.	Параметры нелинейных характеристик с разрывами.................................................170
2.4.	Метод гармонической линеаризации.......................173
2.5.	Фазовая плоскость для нелинейных систем регулирования..180
2.6.	Методы импульсного регулирования.......................184
2.7.	Методы позиционного регулирования......................187
Глава 3. Воздействие на систему автоматического регулирования случайных возмущений
3.1.	Стационарный процесс. Эргодическое свойство............193
3.2.	Энергетический спектр случайного процесса..............201
3.3.	Случайный процесс с нормальным законом распределения...204
3.4.	Функция корреляции.....................................206
3.5.	Свойства корреляционной функции........................211
3.6.	Прохождение случайного процесса через линейные звенья..215
297
3.7.	Прохождение случайного процесса через нелинейные элементы...................................................217
3.8.	Частотный спектр на выходе нелинейного элемента......220
Глава 4. Сложные многопараметрические системы
4.1.	Оптимальные системы управления......................221
4.2.	Классификация оптимальных систем....................225
4.3.	Адаптивные системы управления.......................230
Глава 5. Электронно-вычислительные системы управления
5.1.	Структурная схема системы управления................235
5.2.	Система сбора информации............................242
5.3.	Формирование структуры сбора информации в системе...244
5.4.	Адаптивные системы сбора информации.................248
5.5.	Согласующие устройства..............................250
5.6.	Погрешности цифровых вычислений.....................252
5.7.	Свойства и основные характеристики однопроцессорных ЭВМ .... 257
5.8.	Многопроцессорные и конвейерные ЭВМ.................261
5.9.	Локальные вычислительные сети системы...............267
Приложение...............................................272
Список литературы........................................296
Книги издательства в розницу можно приобрести в магазине по адресу:
Москва, ул. Черняховского, 9 (в здании Института развития профессионального образования).
Часы работы: понедельник — пятница с 10.00 до 19.00.
Тел.: (095)152-2271, факс: 152-1878.
Отдел оптовой торговли:
1. Москва, ул. Бутлерова, 17-Б, к. 223.
Тел./факс: (095)330-1092, 334-8337.
E-mail: academph@rol.ni
2. Москва, ул. 2-я Фрезерная, 14, к. 402.
Тел./факс: (095)234-0855, 273-1608.
E-mail: academia@online.ru
Издательство имеет возможность отправлять заказанную литературу железнодорожными контейнерами, почтово-багажными вагонами и почтовыми отправлениями.