/
Текст
ВЫХОДИТ РАЗ В ДВЕ НЕДЕЛИ
Рекомендуем>ч рознитая цен?:^79 руб.
Розничная ценя 49,90 рн. 990тенге
аакаасательные
ГОЛОВОЛОМКИ
КОЛЛЕКЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИГР ОТ IXAGOSTINI
21
Цифровой пазл
занимательные
«ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ»
Издание выходит раз в две недели
Выпуск №21,2012
РОССИЯ
ГОЛОВОЛОМКИ
КОЛЛЕКЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИГР ОТ D3AGOST1N!
В этом выпуске:
ИЗДАТЕЛЬ, УЧРЕДИТЕЛЬ, РЕДАКЦИЯ:
ООО*Де Агостини* Россия
ЮРИДИЧЕСКИЙ АДРЕС: 105 066, г Москва,
ул. Александра Лукьянова, дЗ, стр,1
Письма читателей по данному адресу не принимаются.
ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР- Николаем: Скнлакис
ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР: Анастасия Жаркова
ФИНАНСОВЫЙ ДИРЕКТОР: Наталия Василенко
КОММЕРЧЕСКИЙ ДИРЕКТОР: Александр Якутов
МЕНЕДЖЕР ПО МАРКЕТИНГУ: Михаил Ткачук
МЛАДШИЙ МЕНЕДЖЕР ПО ПРОДУКТУ:
Любовь Мартынова
Свидетельство о регистрации средства массовой
информации в Федеральной службе по надзору в
сфере связи, информационных технологий и массовых
коммуникаций {Роскомнадзор) ПИ №ФС77-433Ю
от 28.12.2О1Ог.
Для заказа пропущенных номеров
и по всем вопросам, касающимся информации
о коллекции, заходите на сайт
www.deagostini.ru
по остальным вопросам обращайтесь по телефону
бесплатной «горячей ли н ии » в Росси и:
С 8-800-200-02-01
Телефон «горячей пинии» для читателей Москвы:
С 8-495-660-02-02
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ:
Россия, 170100, г. Тверь, Почтамт, а/я 245,
*Де Агостини», «Занимательные головоломки»
РАСПРОСТРАНЕНИЕ:
ООО «Бурда Дистрибьюшен Сер в и сиз
УКРАИНА
ИЗДАТЕЛЬ И УЧРЕДИТЕЛЬ:
ООО Де Агостини Паблишинг», Украина
ЮРИДИЧЕСКИЙ АДРЕС: 01032, Украина,
г. Киев, ул. Сакса ганского, д. 119
ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР: Екатерина Клименко
Свидетельство о государственной регистрации
печатного СМИ Министерства юстиции Украины
КВ № 17502-62S2P от01.03,2011
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ:
Украина, 01033, г. Киев, a/я «Де Агостинио,
«Занимательные головоломки»
Украина, 01033, м. КиГв, а/с «Де ArocriHi*
Для заказа пропущенных номеров
и по всем вопросам, касающимся информации
о коллекции, заходите на сайт
www.deagostini.ua
по остальным вопросам обращайтесь по телефону
бесплатной (горячей линии» в Украине:
С 0-800-500-8-40
БЕЛАРУСЬ
ИМПОРТЕР И ДИСТРИБЬЮТОР В РБ: ООО «Росчерк»,
220037, г, Минск, ул. Авангардная, д. 48а, литер 8/к,
тел./факс: +375 17 2-999-260
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ: Республика
Беларусь, 220040, г. Минск, а/я 224, ОСО «Росчерк»,
*Де Агостини*. Занимательные голе во ломкие
КАЗАХСТАН
РАСПРОСТРАНЕНИЕ: ТОО «КГП дБурда-Агатау-Пресс.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ РОЗНИЧНАЯ ЦЕН А: 279 руб
РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА: 49,90 грн, 990 тенге
ОТПЕЧАТАНО 8 ТИПОГРАФИИ: G. Canale & С. 5.р.А.
Sos. Cernica 47, Bucuresti, Panielimon - llfov, Romania
ТИРАЖ 68000ЭКЗ.
Издатель оставляет за собой право изменять
последовательность номеров и их содержание.
Издатель оставляет за собой право увеличить
рекомендуемую цену выпусков.
Неотъемлемой частью каждого выпуска
является приложение.
© ООО «Де Агостини», 2012
© RBA Cofetdonables, 2011
ISSN 2225-1782
ДАТА ВЫХОДА В РОССИИ: 20.11.2012
Математик ская вселенная
Прелесть абстрактной алгебры Математики подобно поэтам
иногда интуитивно чувствуют неожиданные связи между объекта-
ми из самых отдаленных сфер. Часто подобные догадки оказывают-
ся верными. Это произошло и с гипотезой, сначала получившей на-
звание «монструозная бессмыслица», которую доказал математик
Ричард Борчсрдс с помощью физико-математической теории струн
в 26-мсрном пространстве.
Блистательные умы
Дуэль на рассвете Непокорность академизму, глубина работ и не-
связные формулировки молодого математика привели к тому, что тео-
рия Эвариста Галуа долгое время игнорировалась. Лишь в 1846 году
Жозеф Лиувилль опубликовал исследования Галуа в математическом
журнале, после чего новизна и оригинальность его работ были при-
знаны научным сообществом. Так появился новый раздел математи-
ки — теория групп.
Математика на каждый Д*НЪ
Клтящиеся треугольники Чтобы переместить груз на треугольных
колесах, просверлить квадратное отверстие и даже посмотреть ста-
рую кинопленку, нам потребуются кривые постоянной ширины. Хо-
тя они известны с древних времен, впервые их изучил инженер и ма-
тематик Франц Рёло, выполнивший исследование всех механизмов,
построенных на основе этих кривых. В 1912 году в Дании ему был
поставлен памятник.
Математические аадачки
Лучшее от Сэма Лойда Поэт Генри Лонгфелло был хорошим мате-
матиком и считал, что задачи следует излагать красивым и образном
языком, чтобы пробудить фантазию ученика, а не использовав сухие
фразы из учебников. Головоломки Сэма Лойда, без сомнения, весьма
поэтичны и занимательны. На этот раз чам предстоит разобраться
с озерами, реками и мостами.
Головоломки
Цифровой еюзл Эти цифры не нужно умножать или делить; сегод-
ня мы займемся их сложением — сложением в коробку 4 х 5 в опре-
деленном порядке. Может показаться, что верно расположить десять
частей несложно, однако не слишком опытный игрок может потратить
на разгадку головоломки несколько часов.
Теория групп — одна из наиболее значимых и объединяющих теории в математике. Группы как
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ОСНОВАНЫ НА ПРОСТЫХ ПОНЯТИЯХ; ТЕМ НЕ МЕНЕЕ, ОНИ СТАЛИ МОЩНЫМ
ИНСТРУМЕНТОМ КЛАССИФИКАЦИИ В МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ.
Группы
Прелесть абстрактной алгебры
Общие алгебраические струкгеры, подобные
группе, определяются путем выделения
определенных характеристик, общих для
различных конкретных операций. 11рнвычные
▼ Рубика имеет
43252003274489 856 000
возможных со/ тоянин. При
каждом ходе происходит
Определить операцию на множестве означа-
ет присвоить определенный объект каждой паре
элементов этого множества. Например, в случае
с умножением натуральных чисел мы устанввли
операции, например сложение или умножение,
имеют определенные общие свойс гва. К примеру,
ноль в сложении и единица в умножении играют
одинаковую роль. Поэтому немудрено, что можно
опреде шть алгебраические структуры в которых
отражены подобные схожие черты. После опре-
деления подобных структур природа алгсбраиче-
ju одного состояния
в другое- Множество таких
ходок к алгебре называется
группой. Теория групп в на-
t толще? время является од-
ним nt важнейшихразделов
мате иатики.
ваем следующее соответствие:
(2, 8)-> 16;
(15, 3)->45;
(1,374)^374.
Числа можно брать не только попарно, но
и тройками или четверками. Далее мы будем рас-
ских операций, лежащих в их основе, уходит на
второй план, уступая место абстракции.
Чтобы читатель смог прочувствовать
прелесть абстрактной алгебры, позна-
комим его с понятием группы, что по-
может прояснить многие неясные мо-
мент ы. Группа —- это множество G, на
котором определена операция •, удовлет-
воряющая трем следующим условиям:
сматривать только операции, называемые бинар
ними, которые связывают определенное значе-
ние с каждой парой элементов множества.
В принципе, ничто не мешает нам
определить на множестве натуральных
чисел такую операцию:
1) эта операция является ассоциатив-
ной, го есть для любых трех элементов
множества справедливо соотношение
а • (Ь * с) = (а * Ь) * с;
2) существует неймра ц,ный элемент множе-
ства, такой, что
е • а = а* с = а;
3) для каждо! о элемента а множества G суще-
ствует обратный элемент а'1, также принадлежа-
щий множеству G. для которого справедливо
а • а1 = а1 • а = с.
11иже мы разъясним эти соотношения и в пер-
вую очередь расскажем о том, что означает фунда-
ментальное понятие внутренней операции.
Внутренняя операция
Когда мы складываем два любых числа (напри-
мер, 2 и 3) и получаем результат (5), то группиру-
ем числа по два и связываем с ними третье число.
Мы можем записать сумму чисел в следующем,
пусть и не совсем удобном виде:
(2,8)-> 10,
(15,3)-» 18,
(1,374)^375.
► Л/ы не обращаем на .»по
внимания, но часы на /дог*
ферблате образуют группу
из J2 элементов (в алгебре
записывается как Zt£). Эле-
ментами группы являются
часы, а внутренней операци-
ей — «ссумчл киов». Это
простая арыфметиче/ кая
су и №1, г по нощью которой
мы расчитываем интер-
валы по 12 часов, то есть
определяем, что 1 — то
же, что и 13, а 11 — то же,
что и 23.
(2,8) -> А;
(15,3)-»©;
(1.374)-»#
при условии, что подобный объект бу-
дет однозначно определен для каждой
пары элементов. Говорят, что операция
определена корректно, если каждой парс
111
элементов множества ставится в соответствие
единственный объект.
Рассмотрим, что означает понятие вну гренней
операции на множестве. В двух первых примерах
результатом действия с двумя натуральными чне-
ламп являются натуральные числа. В третьем при-
мере это нс так. Если результатом операции над
лвумя элементами множества является элемент
этого же множества, то подобная операция на-
зывается внутренней. Например, сложение и ум-
ножение целых чисел являются внутренними
операциями, так как результатом сложения и^и
умножения целых чисел всегда будет целое число.
Внутренняя операция не обязательно выпол-
няется только над числами. В принципе, ничто
не мешает спреде лить внутреннюю опер щию
над произвольными объектами при условии со-
блюдения вышеуказанных правил. Рассмотрим
в качестве примера множество G — множество
всех возможных вращений на плоскости с цен-
тром в заданной точке О. Повернем произволь-
ную точку Р на 45е и получим точку Р’. Затем по-
вернем Р’ на 90г и получим новую точку Р”:
Мы могли бы получить точку Р с помощью од-
ного поворота на 135°. Эту операцию можно за-
писал так:
G«» (Р) = Р’; Gw (Р‘) = Р”; Giss' (Р) = Р"
Этому соответствует операция над вращения-
ми на плоскости с центром в точке О, которую
можно обозначить зн lkom *. Тогда
G450 * Gso- = G13S°.
Так как для каждой пары вращений результат
этой операции определяется однозначно и также
является операцией вращения, операция * явля-
ется внуп ренней.
Когда операция определяется на сравнитель-
но небо/П шом множестве элементов, наилучшим
способом будет определить се с помощью табли-
цы, похожей на всем известную таблицу умно-
жения. Попробуем «изобрести» внутреннюю
операцию на множестве символов А = {а, Ь, с}.
Обозначим эту операцию знаком *.
* а Ь с
а ь с а
Ь с а ь
с а ь с
Теперь, когда нам нужно узнать результат опе-
рации, мы всегда сможем найти его в таблице, на-
пример: а • Ь = с.
Ассоциаты внэсть
То, что внутренняя операция является бинарной,
не означает, что ее нельзя „рименить к произволь-
ному числу элементов. Сложение целых чисел —-
бинарная операция, но ничто не мешает нам вы-
числить сумму вида
5 + 2 + 7.
Как это сделать? Очень просто. Сначала нуж-
но выполнить операцию 5+2. Прибавив к ее ре-
зультату 7, получим 7 + 7=14. Теперь перед нами
стоит следующий вопрос: можно ли сначала вы-
числить сумму 2 + 7, после чего добавить к ее ре-
зультату 5? Да, поскольку 2 + 7 = 9и5 + 9= 14.
Подобный способ основан на ассоциации (сочета-
нии 1 чисел В первом случае речь идет о (5 + 2) + 7,
во втором — о сочетании 5 + (2 + 7). Мы можем
беспрепятственно выбрать любой из этих вари-
антов, поскольку абсолютно точно знаем, что ре-
зультат будет одинаков. Однако в действительно-
сти это возможно благодаря тому, что сложение
целых чисел обладает асащиатш нссгпьн) — свой-
ством, которое гласит, что для любых трех эле-
ментов множества а, Ь, с определена операция ►
такая, что
а • (Ь • с) = 1а * Ь) * с.
Очевидно, что свойство ассоциативности —
первое из свойств, которым должна обладать опе-
рация, пригодная к использованию
Нейтральный элемент
При сложении целых чисел выделяется один эле-
мент, обладающий уникальным свойством: он не
изменяет сумму чисел. Этот элемент — 0.
3 + 0=0 + 3 = 3.
При сложении нуля с любым числом резуль-
татом сложения всегда будет это же число. Ана-
логичным свойством обладает операция умно-
жения: в этом случае аналогичными свойствами
обладает 1.
3 -х 1 = 1 -х 3 = 3.
Элемент с подобными свойствами наз: [вае- ся
нейтральным элементом операции. Весьма под-
ходящее название. Так, для операции сложения
целых чисел нейтральным элементом является 0,
для операции умножения — 1. В общем случае д.ся
множества G, на котором определена операция *,
112
Прелесть абстрактной алгебры
Группа квадрата и группа почтовой марки
«Группу квадрата» образуют преобразования плоскости, которые не из-
меняют данный квадрат. Они представлены ниже: это четыре операции
вращения и четыре операции симметрии.
Эти преобразования можно проиллюстрировать изменениями положений
рисунка на почтовой марке:
элемент е является нейтральным для операции, ес-
ли для любого элемента а множества G выполня-
ется равенство а* е = е * а = а.
Посмотрим, существует ли элемент, который
можно было бы назвать нейтральным, для опера-
ции, определенной с помощью нашей таблицы:
* а Ь с
а Ь С а
ь с а ь
с а Ь с
Операцией группы является композиция преобразований плоскости. Ее
таблица (множество результатов всех возможных операций) получается
путем выполнения преобразований, обозначенных в строке, а затем —
преобразований, обозначенных в столбце. Мы можем назвать «группой
почтовой марки» множество, состоящее только из операций вращения, так
как операции симметрии зеркально отображают марку, после чего текст
на ней нельзя прочитать. Подобное множество, таблица для которого обо-
значена розовым цветом в таблице для группы квадрата, также является
группой, так
как удовлет- воряет всем требуемым °1 ог Втор: ©3 № опер 04 >ация Ti т2 Тз Тд
аксиомам. О1 01 О2 Оз Од Ti тг Тз Тд
Часть группы, „ которая также g 02 Оз 04 ©1 Тг Тз Тд L
является труп « О3 0з 04 01 О2 Тз т4 Ti т2
пой, называет- с „ „ ° Од ся подгруппой. Е Од 01 02 Оз Тд Ti Т2 Тз
Следовательно, g- Т, Ti Т4 т3 Т2 ©1 Од О3 ©2
«группа по- “ у чтогей марки» г т2 Ti т4 Тз 02 01 Од Оз
является под- Т3 Тз Т2 Ti т4 Оз 02 Ci Од
группой «груп- т |д пы квадрата». ——J Тд Тз т2 Ь Од Оз °2 Oi
Для этого (начения в одной из строк не долж-
ны изменяться. Это выполняется для элемента с:
c*a = a»c = a;c»b = b*c = b;c*c = c
Отсюда следует, что с является нейтра иьным
элементом операции ».
Обратный элемент
До этого мы говорили только о сложении чисел,
ни разу не упомянув вычитание. Фактически вы-
читание можно считать сложением двух чисел, од-
но из которых является отрицательным Напри-
мер, 7-2 аналогично 7 + (- 2). Введение обратных
элементов — возможно, наиболее сложная часть
наших рассуждений. Говорят, что элемент явля-
ется обратным другому, если операция, произве-
денная над этими элементами, имеет результатом
нейтральный элемент. Например, - 2 является об-
ратным элементом для 2 при сложении целых чи-
сел, так как 2 + (-2) = 0.
Обратные элементы являются взаимно обрат-
ными, то есть если -2 является обратным для 2,
то 2 является обратным для -2. Нейтральным эле-
ментом операции умножения является 1, следо-
вательно, один элемент будет обратным другому,
если при перемножении эти элементы дадут еди-
ницу. Например, 1/4 обратно 4:
4 х 1/4= 1.
В нашем примере с воображаемой операцией
над символами а, Ь, с мы показали, что нейтраль-
ным элементом является с. Чтобы найти обрат-
ный элемент для произвольного элемента, нужно
обратиться к таблице и найги элемент, который
при выполнении операции с выбранным элемен-
том дает с. Например, обратным элементом для а
является Ь, так как а * Ь = с.
Группа
Теперь мы можем понять общее определение
группы, данное в самом начале. Группа — это
множество G с определенной на нем внугреь
ней операцией *, для которой выполняются сле-
дующие аксиомы: ассоциативность, наличие
нейтрального элемента и наличие обратного эле-
мента. Следовательно, когда речь идет о группах,
Группы
113
4 Двойниковый KpUCVKUA
флюорита —минерала,
который кристаллизуется
в форме кубов w октаэдров.
Теория групп найма важное
при ченение в кристаллогра-
фии, так как с ее помощью
стало возможным класси-
филировать вес существую-
щие формы трех черных
4 и мметричных кристл 1 toe
и выделить 230различных
типов. Теорию групп к этой
задаче впервые применил
Огюст Браве в 1849 году.
Видим, что а • b = с, поэтому а является обрат-
ным для b, b является обратным для а. В свою оче-
редь с является обратным для самого себя, что спра-
ведливо для нейтрального элемента любой группы.
История групп
Перестановка на множестве элементов означает
изменение их порядка. В графическом виде пере-
становки трех элементов (круга, звезды и листа
клевера) выглядят так:
всегда нужно обратить внимание на множество G
и операцию, определенную на нем, которая обла-
дает определенными свойствами. Обычно группа
обозначается в виде (G, •).
Мы увидели, что множество целых чисел Z
с операцией сложения образует группу (Z, +).
Вспомним, что целые числа — это натуральные
числа плюс отрицательные числа и ноль. Поэтому
множество натуральных чисел 1,2,3,4... не обра-
зует группу по отношению к операции сложения,
так как отсутствует нейтральный элемент 0 и об-
ратные элементы, которыми для этой операции
будут отрицательные числа. По этой же причине
множество целых чисел не образует группу по от-
ношению к операции умножения. Это множсс.ъо
содержит нейтральный элемент 1, но не содержит
обратных элементов: например, обратным эле-
ментом для 2 является 1/2, что не является целым
числом. Напротив, множество рациональных чи-
сел Q, содержащее все дроби, образует группу от-
носительно операции умножения и обозначает-
ся (Q, х).
Как уже говорилось выше, группы не обяза-
тельно могут быть образованы числами. Снова об-
ратимся к операции », которую мы определили на
множестве {а, Ь, с}, и попробуем с помощью табли-
цы определить, образует ли это множество группу.
Объясним, как выполняется «умножение»
перестановок. Возьмем две перестановки, напри-
мер, Р2 и Р3. «Умножение» означает выполнение
этих перестановок одной за другой:
* а b с
а b С а
ь с а ь
с а ь с
Сначала докажем, что эта операция обладает
свойством ассоциативности:
а * (Ь * с) = а ‘ Ь = с,
(а. Ь) * с = с * с = с.
Это доказывает, что а • (Ь • с) = (а • Ь) * с.
Аналогично можно доказать ассоциативность
для трех элементов, расположенных в другом по-
рядке, а также для любой тройки повторяющих-
ся элементов.
Мы уже показали, что с является нейтраль-
ным элементом для этой операции. Таким обра-
зом, нам осталось доказать, что для каждого эле-
мента имеется обратный.
пп
Прелесть абстрактной алгебры
Таблица « умножения» для этой операции вы-
глядит следующим образом:
< Pl Р; Рз ₽< р5 Ре
Р1 р2 ?3 Ре Р5 Ре ₽1 Рг Рз Ре Р5 ре Р2 Pi Рб Р5 Ре Рз Рз Р5 Рз Р6 Рг Р« Ре Р6 Р5 Р1 Рз Р2 Рз Рз Р« Р2 Р6 Рз Р6 Ре Р2 Рз Рз ₽5
Эта операция на данном множестве образует
группу перестановок или симметрическую груп-
пу. Жозеф Луи Лагранж (1736—1813) первым из-
учил структуры подобного типа, применив опе-
рацию перестановки к корням многочлена. Это
направление впоследствии развил Эварист Галуа
(1811—1832), который первым использовал тер-
мин «группа» в современном значении.
Мы рассмотрели примеры групп на множе
ствах чисел и пример абстрактной группы, для
которой была приведена таблица операций. Мы
рассмотрели вращения на плоскости — пример
группы, не образованной множеством чисел. Не-
которые из этих геометрических преобразований,
к которым следует добавить преобразования сим-
метрии, образуют группы, таблицы операций для
которых построить непросто. Немецкий матема-
тик Феликс Клейн посвятил большую часть жиз-
ни изучению подобных групп. Результаты своей
работы он изложил в знаменитой «Эрлангенской
программе», в которой классифицировал суще-
ствовавшие в то время геометрические теории
в соответствии с группами преобразований, ха-
рактерных для той или иной геометрии.
Всевозможные расположе-
ния лошадей на финише ска-
чек — это все перестановки
участников, вышедших на
линию старта Понятие
перестановки, кажущееся
совершенно обыденным,
не только тесно связано
с таким абстрактным
понятием, как группа, но
и сыграло основную роль в его
развитии.
Гиганты и карлики
Множество, образованное нейтральным элемен-
том, например, единицей для операции умноже-
ния, образует группу: свойство ассоциативности
выполняется автоматически, так как элемент яв-
ляется единственным; также множество содержит
нейтральный и обратный элементы, которые со-
впадают между собой. Очевидно, что это наимень-
шая из возможных групп. Эта группа не отличается
какими-либо интересн! ши свойств тми. и матема-
тики называют ее «тривиальной группой», чтобы
показать, что она не содержит каких-то таинствен-
ных особенностей. Наименьшая нетривиальная
группа содержит всего два элемента. Таблица опе-
рации этой группы приведена ниже:
А Жозеф Луи Лагранж, от-
личавшийся <п тры и « про-
ницательным умом, в свое
время внес вклад в бесчис-
ленное множество научных
дисциплин, в особенности
в алгебру. Его работа о кор-
нях уравнений , читается
важнуЯицй из всех, положен-
ных в основу теории групп.
* а Ь
а а Ь
b b а
Эта операция определена корректно. Свой-
ство ассоциативности выполняется автомати-
чески, так как элемента всего два. Нейтральным
элементом является а, обратным элементом для
каждого элемента яв.сяется он сам. Может по-
казаться, что эта группа нс имеет практического
смысла, но это не так. Если мы заменим а и Ь на
Он 1, то получим таблицу сложения в двоичной
системе счисления.
* | 0 | 1
С I
1 | 1 I О
Двоичная логика, включающая «нулевой
бит» и «единичный бит», повсеместно приме-
няется в информатике. Здесь мы не будем рассма-
тривать этот вопрос подробно.
Эта группа чрезвычайно мала. С другой сто-
роны, существует чрезвычайно большая группа,
называемая «группа-монстр» — это наибольшая
простая конечная группа из существующих. Она
была построена одновременно немецким матема-
тиком Фишером и американцем Грейсом и содер-
жит порядка 1054 элементов. Это число записы-
вается как единица с 54 нулями. Точное число ее
элементов равно
N = 808017424794512875886459904961710757
005754368000000000 =
= 2* х з20 х 5’ х 76 х и1 х 133 х 17 X
х 19 х 23 х 29 х 31 х 41 х 47 X 59 х 71.
Таблица, задающая операцию этой 1руппы,
имеет 101оя элементов. Для построения этой та-
блицы будет недостаточно всей Вселенной, ко-
торая хоть и бесконечна, но для элементов этой
таблицы в ней не хватит протонов и нейтронов,
ведь их во всей Вселенной насчитывается 10 .
Группы
115
Загадки Альгамбры
В рисунках на стенах Альгамбры можно заметить повторяющиеся узо-
ры. Подобные украшения использовались арабами на протяжении всей
истории, и Альгамбра — один из наиболее примечательных примеров.
Что могут математики сказать о них? Каждый узор определяется группой
геометрических преобразований, в частности, параллельных переносов,
вращений и симметрии. Геометрические преобразования являются инва-
риантными, то есть не изменяют сам узор.
ЛО ЮК410
Л Эти вогтичные у лоры алзёдл И. Блкши г по.чыцъю
комиывтерной прогрлччы ArtLmAm. кижёыы у лор соот-
мпктвусГя одной из 117 групп .ии.чегарии на плоскыгнп.
Несмотря на то, что существует бесконечное множество узоров, число
групп, различных с точки зрения математики, ограничено. Как показали
Евграф Федоров в конце XIX и Дьёрдь Пойа в начале XX века, это число
равно 17. Любопытно, что это было известно еще художникам Альгамбры
в древние времена, хотя доказательство этого утверждения достаточно
нетривиально. До сравнительно недавнего времени считалось, что узоры
Альгамбры содержат лишь 13 этих групп, но в 1987 было показано, что
также использовались и остальные. Художники современности, например
Мауриц Эшер, в изображаемых замощениях также используют все возмож-
ные группы симметрии на плоскости.
। Грейс расположил «группу-монстра»
в 196883-мерном пространстве. Звучит со-
вершенно невероятно, но эта фраза взята не из
научно-фантастического романа. Это коррект-
ная математическая формулировка.
I Сегодня, в начале XX' века, во всем мире на-
считывается не более полудюжины людей,
способных охватить целиком сложную логику
доказательства теоремы о классификации про-
стых конечных групп.
। Пгч стая группа М, называемая группой-мон-
стром — удивительный объект с точки зрения
алгебры, причем не только благодаря своим
непостижимым размерам. В1978 году с исполь-
зованием группы-монстра было сформулиро-
вано несколько математических гипотез столь
неожиданных, что им было присвоено название
1 he monstruous moonshine (*монстр’ озная
бессмыслица»). В1998 году Ричард Борчердс
получил Филдсовскую премию, гпешую награду
в математике, за доказательство этой ги. ютезы
Оказалось, она вовсе не бессмысленна. Но до-
казать ее было определенно не просто. Бор-
черд^у удалось сделать это с помощью физи-
ко-математической теории струн в 26-мерном
пространстве. Одним из ведущих исследова-
телей теории струн является Эдвард Виттен —
лауреат Филдсовской премии 1990 года.
Теорема о классификации
простых конечных групп
Ранее мы упомянули группу-монстр, указав, что
это простая конечная группа. Однако мы не зна-
ем, что значит «простая» применительно к груп-
пам. Термин < простая» очень важен, но доста-
точно сложен, чтобы подробно описать его здесь.
Постараемся дать общее представление о том, что
он означает. Простые конечные группы — это
группы, которые нельзя разделить на меньшие.
Говоря математическим языком, они нс содержат
нормальных подгрупп. Они подобны наимень-
шим во зможным элементам, из которых можно
составить все остальные группы. Их часто сравни-
вают с элементарными частицами в физике, и не
только потому, что из элементарных частиц состо-
ит вся известная материя, но и потому, что изуче-
ние простых групп и элементарных частиц про-
исходило похожим образом. Подобно тому как
существование некоторых частиц сначала было
предсказано на бумаге и только потом они были
обнаружены экспериментально, так и существо-
вание элементарных групп и их свойства были
► Л/д?»? иатики подобно
поэтам иногда интуитивно
чувствуют неожиданные
связи между объектами из
самых отдаленных сфер.
И очень частно подобные до-
гадки оказываюгш ч верными,
как мроизошло и t гиньте ч>й,
сначала получившей на-
юани е « « от труозн. ъя бес-
смыслица», которую доказал
млтематик Ричард Bop4Cpdt
(на фотографии).
определены задолго до того, как удалось найти
первую подобную группу.
Математики занимались решением задачи
о классификации всех возможных простых ко-
нечных групп в 1950—1980-е годы. Она легла
в основу так называемой «теоремы о классифи-
кации простых конечных групп ». По состоянию
на 2008 год доказательство этой теоремы все еще
уточняется. Итоговая работа, состоящая из не-
скольких тысяч страниц, все еще редактируется,
однако ведутся разговоры о публикации нового
менее объемного доказательства.
«Несчастья Эвариста Галуа нужно увековечить в памятнике, воздвигнутом всеми самоуверенными
ПЕДАГОГАМИ, БЕССОВЕСТНЫМИ ПОЛИТИКАМИ И УЧЕНЫМИ, БЕСКОНЕЧНО УВЕРЕННЫМИ В СОБСТВЕННОЙ
мудрости». Эрик Темпл Белл.
Удивительные способ-
ности Эварилпа /алул
(1811 —1832) были задав-
лены непониманием иузко-
чыелш. ч его чзвременников.
Его короткая жизнь прошла
в беспрестанной борьбе
с трудностями.
* мая 1832 года Галуа написал открытое
Я письмо «всем республиканцам •>, в ко-
тором есть такие слова: «Я умираю
жертвой подлой кокс гки ». В этом же письме он
просит не упрекать его за то, что отдал жизнь не
на благо своей страны. В другом письме от того
же дня, адресованном друзьям, он объясняет, что
не мог отказаться от дуэли, которая состоится на
рассвете следующего дня. Он пишет, что не может
сообщить имя своего противника. Оставшиеся
несколько часов последней ночи своей жизни он
посвятил редактированию своего завещания. Га-
луа завещал единственное, что у него было: свою
математическую теорию, гениальную рукопись,
в которой торопливым почерком между формул
повторяется одна и га же фраза, пронизанная
зловещим предчувствием: «Нет времени, у меня
нет времени ». Он отправил письмо своему другу
Огюсту Шевалье, попросив передать рукопись Га-
уссу и Якоби — единственным математикам, ко-
торые, по его мнению, были способны ее понять.
На заре следующею дня он упал, сраженный
пулей с близкого расстояния. Несколько часов Га-
луа лежал, брошенный на произвол судьбы, пока
какой-то крестьянин нс подобрал его и нс отвез
в больницу. Его брат Альфред, узнав печальную
новость, тут же помчался проведать Галуа. Увидев,
что брат плачет, Эварист сказал: «Не плачь. Мне
нужно все мое мужество, чтобы умереть в двад-
цать лет».
Дуэль на рассвете
Эварист Галуа
Затем его работы были преданы забвению. Ни-
кто не обратил на них внимания. Лишь в 1846 го-
ду Жозеф Лиувилль опубликовал исследования
Галуа в математическом журнале, и только тогда
были признаны новизна и оригинальность его ра-
бот. Г 1х значение трудно переоценить: работы Га-
луа дали начало новому разделу математики, из-
вестному сейчас под названием «теория групп».
Призвание и образование
Эварист Галуа родился 25 октября 1811 года в де-
ревне Бур-ля-Рене близ Парижа. В 12 лет он по-
ст упил в лицей Людовика Великого. Три года спу-
стя директор лицея несправедливо заставил его
повторить курс, так как считал, что Галуа еще не-
достаточно взрослый и не готов к получению выс-
шего образования. Одновременно с этим у Эвари-
ста сменился преподаватель, и ему в руки попала
новая книга — « Начала геометрии » Лежандра,
которая пробудила в Галуа подлинный интерес
А Филате '.исты не забыли
о Галуа. На эт«й марке, вы
пущенной на родине матема-
тика, он назван «революцио-
нером и геометром».
к науке. Эта книга была рассчитана на
два учебных года, но, как гласит леген-
да, Галуа прочитал ее всего за два дня.
После этого он уделял все свое время
и внимание математике.
В июне 1828 года он сдает вступи-
тельные экзамены в Политехническую
школу, важнейшее учебное заведение
► Рукописи 1алуа выгалдят
беспорядочными и непонят-
ными. Такими же казались
его теории для матема-
тиков той эпохи, пока их
заново не открыл Жозеф
Лиувилль.
Галуа (1811—1832)
39
Дуэль или политическое
убийство?
Обстоятельства смести Галуа до сих
пор не ясны. Возможно, дуэль была
вызвана любовными интригами,
хотя слова «подлая кокетка» за-
ставляют усомниться, что речь идет
о Стефани, которая была любовью
всей его жизни. Если он имел
в виду другую женщину, то ничего
неизвестно ни о том, кто была эта
дама, ни о том, какие отношения их
связывали. Из-за своей революци-
онной деятельности Галуа дважды
оказы вался в тюрьме. В первый раз
он оказался в заключении за то, что
попытался приблизиться к королю
Луи Филиппу I, угрожающе разма-
хивая ножом. Это дает основания
А Сценл Июлыкоиреволюции 1830 годя
в Париже, в которой, вне водких тине-
ним, участвовал мятежный Га iya.
подозревать, что он мог быть убит по политическим причинам, что попыта-
лись скрыть грубо сработанной инсценировкой дуэли. Говорят, что дуэль-
ный пистолет Галуа не был заряжен. О его недоброжелателе практически
ничего не известно. Мы лишь знаем, что его звали Пеше дЭрбинвиль, слу-
жил он в Национальной гвардии, и ему не было предъявлено обвинение
в смерти Галуа. В ту эпоху дуэли не встречали противодействия властей.
того времени, но про-
валивается. Чтобы под-
готовп гься к экзаменам,
следующей осенью он
возвращается в лицей,
где знакомится с про-
фессором Ришаром. Тот
первым из преподавате-
лей оценил талант Галуа.
С его помощью Галуа
уда лось на следующий
год поступить в Поли-
техническую школу без
<1 Л1лте.иатическпе труды
Галуа, в которых он ие-
нолыпвал современные
теыатические обозначения,
умещаются в совсем неболь-
шой книге, но именно эта
работа дала начало разделу
математики, который оно-
следствии tma J известен как
теория групп.
экзаменов. Уже в 18 лет он полностью сосредота-
чивает свой интерес на изучении уравнений и пу-
бликует несколько статей в престижных журналах.
В его голове бурлили идеи о новом методе, кото-
рый должен был произвести подлинную револю-
цию в алгебре- Галуа открыл группы, подгруппы,
инварианты и транзитивность.
К сожалению, математика была не единствен-
ным его увлечением. Его волновали политические
идеи той эпохи: они давали ему возможность ьы
разить желаемый протест по отношению к окру-
жающему миру. Из-за своей политической дея-
тельности он дважды попадал в тюрьму.
Галуа и его уравнения
О чем шла речь в бумагах, которые Галуа передал
Огюсту Шевалье и которые принесли ему славу
после смерти? В них поистине гениально пзлата-
ется понятие группы и на его основе раскрывается
суть одной из ф* ндаментальных загадок математи-
ки о разрешимости или неразрешимости уравне-
ний в радикалах. Попробуем объяснить суть это-
го метода.
Уравнение — это выражение ни да .г2 + .v - 2 = 0.
Чтобы решить уравнение, нужно найти значение
неизвестной л\ которое удовлетворяет уравнению.
В нашем конкретном случае таким значением бу
дет.е = 1, так как 1* + 1-2 = 0 (решением также
является х = -2). Степень уравнения — это мак-
симальная степень, в которую возводится неиз-
вестная .V. Например,
д- + 2 = 0 — уравнение первой степени,
.V5 + 2.Г + 1=0 — уравнение третьей степени.
Решить уравнение первой степени очень про-
сто: достаточно выполнить сложение, вычита
ние, умножение или деление. Уравнения второй
степени решаются с помощью формулы, прекрас-
но известной любому школьнику. Для решения
подобных уравнений помимо четырех основных
арифметических операций также требуется извле-
чение квадратного корня. Ме годы решения урав-
нений третьей и четвертой степени несколько
более сложные. В целом если для решения урав-
нения достаточно операций сложения, вычита-
ния s умножения, деления и извлечения квадрат-
ного корня, причем степень корня нс превышает
степень уравнения, то говорят, что уравнение раз-
рент ио в радикалах. Такоаыми яв ляютья уравне-
ния первой, второй, третьей и четвертой степе-
ней. Уравнения пятой степени в течение mhoi их
веков вызывали множество трудностей, пока ма-
тематик Нильс Хенрик Абель не доказал, что
уравнение пятой степени в общем виде нераз-
решимо в радикалах. Одним из наиболее значи-
тельных достижений Галуа в области уравнений
является определения общих условий, при кото-
рых уравнения пятой степени и выше разреши-
мы в радикалах.
Преподавание математики
Непокорность академизму, а также тот факт, что теория Галуа была чересчур
глубокой, новаторской и сформулирована несколько несвязно, привели
к тому, что его работы долгое время игнорировались. В своей теории Галуа
использовал странные формулировки (например, «покажите мне решения
уравнений, и я скажу, в какой области вы находитесь»), что раздражало
сторонников классической математики. История 1алуа возобновила споры
о методах преподавания. Если образование ученика строго и методично, то
он будет излагать свои мысли уверенно и четко. Этого не хватало Галуа, из-за
чего его не понимали. Но этот метод обучения может погасить творческие
спосоОчости учеников .задавив их излишним формализмом. Напротив,
система образования, которая стимулирует интуицию и фантазию, более
полезна для творческих людей.
40
Может показаться необычным, что тяжелый камень катится по валам некруглой формы,
НО ОКРУЖНОСТИ — НЕ ЕДИНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ, ИМЕЮЩИЕ ПОСТОЯННУЮ ШИРИНУ В ЛЮБОМ
НАГРАБЛЕНИИ.
Кривые постоянной ширины
Катящиеся треугольники
▼ С помощью штангенцир-
куля нетрудно убедиться,
«ля сфера имеет одина-
ковую ширину е любом на-
правлении. Аналогичным
способом можно пока iamb,
что существует множество
други v ху>лбьдг г мним же
свойством: например, этот
интересный треугольник
Колесо — это предмет, как правило, круглой
формы, служащий для передачи или регули-
рования движения. Использование колес
для перемещения грузов по плоским поверхно-
стям возможно благодаря тому, что все радиусы
окружности имеют одинаковую длину, так как
окружность — это геометрическое место точек,
равноудаленных от центра. Поэтому если ось вра-
щення колеса проходит через его центр, то она не
поднимается и не опускается, а только перемеща-
но, но окружность не единственная кривая посто-
янной ширины. Существует бесконечное множе-
ство подобных кривых, которые подчас имеют
причудлив} ео форму.
ет? скругленными * торонами,
который называется треу-
гольником Рель.
ется вперед или назад, при этом высота над по-
верхностью остается неизменной. Существует
и другой способ перемещения грузов, в котором
Треугольник Рёло
Пусть дан равносторонний треугольник с верши-
нами А. В и С. Возьмем циркуль и проведем дугу
окружности с центром в точке А через вершины
В и С. Затем проведем дугу окружности с цен-
тром в точке В. Дуга пройдет через вершины С
и А. После этого выполним аналогичные дей-
ствия для вершины С.
вместо колес используются валы. Все мы не раз
видели на картинках, как огромный каменный
,1'1 ----------1------1
блок стоит на
нескольких валах и его толкаю-, или тя-
нут веревками. Это возможно благодаря еше од-
ному свойству окружностей, которое не имеет ни-
чего общего с тем, о чем мы только что говорили.
Колеса могут иметь только круглую форму, в то
время как форма валов может быть различной.
Свойство, благодаря которому действуют ва-
лы. связано не с расположением центра окружно-
сти, а с шириной круга, которая постоянна в лю-
бом направлении. Рассмотрим в качестве примера
эллипс Ширина эллипса вдоль большой оси оче-
видно больше, чем вдоль малой оси. Нетрудно
представить, что произойдет, если мы подложим
под камень валы в форме эллипса.
Камень при движении будет перемещаться
вверх-вниз, пока не упадет на землю. Любопыт-
Полученная фигура называется треугольником
Рёло п является кривой постоянной ширины. Ес-
ли использовать вал подобной формы, он ничем
не будет отличаться от круглого вала. При враще-
нии треугольник Рёло всегда соприкасается с по-
верхностью земли и блока, поскольку он всегда
вращается вокруг одной из вершин, а расстояние
► В отшаеаа круглого
колеса, колесо в форме эл-
липса совершенно не при-
способлено для перемещения
предметов на постоянном
расстоянии от поверхности.
Очевидно, что ширина эл-
липса меняется от наи игяь-
шей (равной малой оси) до
наибольшей (равной большой
оси эллипса).
59
от нее до дуги окружности является постоянной
величиной:
Вершины треугольника Рели могут быть скру-
гленными, и при этом он по-прежнему будет об-
ладать постоянной шириной. Чтобы построить
такой треугольник, достаточно продлить его сто-
роны на произвольное расстояние, затем, зафик-
сировав центр окружности с помощью циркуля
в одной из вершин, соединить концы продлен-
ных сторон дугами, как показано на рисунке.
► Построение кривой посто-
янней ширины на основе не-
правил ъного семиугольника.
Проведем дугу окружности
радиуса р/ с центром в точке
Л. Эта дуга пройдет через
вершины Ви С. Проведем
другую дугу окружности
радиуса d, на зтот раз
с центром в точке С. Эта
окружность пройдет через
вершины А и D. Дугк СЕ
и DF строятся аналогично.
Проведем еще две дуги: одна
дуга окружности с центром
в точке F пройдет через
точку Е, дуга другой окруж-
ности с центром в точке В
пройдет через точку Э. Они
пересекутся в точке G, ис-
пользуя которую в качестве
центра, построим дугу FB.
Заметим, что проведенные дуги являются ча-
стью окружности радиуса d + $, равного сумме
длины стороны d и длины ее продолжения s.
Треугольник Рёло — лишь одна из бесконеч-
ного множества (в буквальном смысле) возмож-
ных кривых постоянной ширины. Аналохичным
образом кривую постоянной ширины можно по-
строить на основе любого правильного много-
угольника, но тогда и только тогда, когда число
его сторон нечетное.
► Для построения кривой
постоянной ширины на
основе правильного много-
угольника противопи. 'йжные
вершины соединяются от-
резками. Далее проводят. I
дуги окружностей с цен-
трами в каждой вершине
и радиусами, равными длине
этих отрезков. Каждая
такая дуга пройдет через две
соседние вершины.
Похожим образом можно построить подоб-
ные кривые для неправильных многоугольников.
Они будут иметь такую форму, что любой, кто по-
смотрит на них, скажет, что по ним не получится
плавно катить камечъ.
Все вышесказанное можно обобщить и для
трех измерений, то есть м^жно построить гео-
метрические тела постоянной ширины, подоб-
ные сфере. Простейшее из них можно получить
вращением треугольника Рёло вокруг одной из
его осей симметрии. Еще одно геометрическое
тело можно получить, проведя аналогичные по-
строения, но в пространстве: за основу берется
пирамида, а не треугольник, и поверх ее граней
строятся части сферы. Полученное тело будет вра-
щаться в пространстве аналогично треугольнику
на плоскости.
► Геометрические тела по-
стоянной ширины: слева —
тело, полученное вращением
треугольника справа —
тетраэдр с закругленными
сторонами.
Катящиеся треугольники
Применение
Классические кинопроекторы всегда издают ха-
рактерный стрекочущий звук. Он возникает
из-за использования треугольников Рёло в меха-
низме проектора. При показе фильма на экране
на очень короткий промежу гок времени (1/24 се-
кунды) показывается кадр, после чего кинопленку
необходимо провернуть, чтобы показать на экра-
не следующий кадр. В этот момент затвор должен
быть закрыт, чтобы на экране не было расплыв-
чатого изображения. Получается, что движение
ленты должно чередоваться с остановками. Это
достигается путем равномерного вращения грсу-
гольника Рёло вокруг одной из его вершин. Тре-
угольник Рело находится внутри прямоугольной
рамки, которая поднимается и опускается. Как
показано на рисунках, рамка остается неподвиж-
ной половину периода вращения треугольника,
после чего перемещается в новое положение, где
остается неподвижной такое же время. Затем весь
цикл повторяется.
Другое важное применение кривых постоян-
ной ширины основано на возможности построе-
ния выпуклой кривой, внутри которой треуголь-
ник Рёло может перемещаться так, чтобы все его
вершины постоянно соприкасались с этой кри-
вой. Благодаря этому свойству немецкий инженер
► При вращении треуголь-
ника Рёло вокруг одной из его
вершин деревянная рамка по-
переменно находится в двух
разных положениях. Этот
механизм управляет затво-
ром кинопроекторов.
Любопытные свойства
Кривые постоянной ширины
обладают некоторыми при-
мечательными свойствами.
Рассмотрим, например,
простой треугольник Рёло
и вычислим его периметр.
Он состоит из трех равных
круговых секторов с углом 60°
и радиусом d, равным длине
стороны треугольника. 1ак
как 60° — это одна шестая
часть от 360°, длина дуги L для
каждого сектора равна ше-
стой части длины всей окруж-
Феликс Вапкелт в 192ч году спроектировал ротор-
ный двигатель, в котором поршни были заменены
ротором в форме треугольника Рёло. Ротор враща-
ется внутри кривой необходимых размеров, точ-
но подобранных для корректной работы четырех-
тактного двигателя внутреннего сгорания. Первый
прототип под названием DKM был изготовлен
в 1957 году, но результат оставлял желать лучшего
из-за сильной вибрации на малой скорости, боль-
ности С. Иными словами,
t=1/6xC=1/6x2nd = 1/3nd.
Общий периметр Р получается сложением длин дуг трех круговых
секторов. Имеем
P = 3x(1/3nd) = nd.
Это в точности совпадает с периметром окружности диаметра d, кото-
рая также является кривой постоянной ширины, равной d. Самым при-
мечательным является тот факт, что это не случайное совпадение, а общий
результат, одинаковый для всех подобных кривых. Можно показать, что
все крисые равной постоянной ширины вне зависимости от формы имеют
равный периметр.
Площадь этих кривых, даже если их ширина совпадает, изменяется в за-
висимости от формы фигуры. Однако треугольник Рёло занимает особое
место. Его ппощадв. примерно равная 0,705 d2, является минимально
возможной.
ИШ
Хотя кривые постоянной ширины известны
с древних времен треугольники Рёло впер
вые изучил инженер и математик Франц Рёло
(1829—1905), преподаватель Берлинской
королевской технической академии. Он вы-
полнил исследование всех механизмов, имев-
ших большое значение в различные моменты
истории. В1912 году в Дании ему был постав-
лен памятник.
Кухонные кастрюли могли бы имел квадрат-
ную форму, так их было бы намного удобнее
хранить в шкафах Однако их преимущества
чтим бы и ограничились поскольку их было
бы сложнее протирать изнутри, тепло не рас-
пределялось бы равномерно, а квадратные
крышки проваливались бы внутрь кастрюль,
что невозможно для круглых крышек.
Кривые постоянной ширины
61
Как сверлить квадратные отверстия
Можно ли просверлить квадратное отверстие? Здравый смысл подсказывает, что нет, но на самом деле это возможно. В этом нам
помогут кривые постоянной ширины. Представим себе окружность, вписанную в квадрат. При вращении она всегда касается всех
его сторон, причем точки касания всегда располагаются на серединах сторон. При вращении треугольник Рёло нужных размеров
также может постоянно касаться всех сторон квадрата, но в разных точках, так как его ширина постоянна. Каждая вершина треу
гольника опишет квадрат со скругленными углами. В начале XX века это свойство натолкнуло британского инженера Гарри Джейм-
са Уоттса на мысль о возможности сверления квадратных отверстий. Добавим, что этот же принцип позволяет сверлить отверстия
в форме любых многоугольников с четным числом сторон.
В сверлильном станке Уоттса центр вращения треугольника Рёло не фиксирован. Описываемая замкнутая кривая выглядит как
идеальный квадрат, но в действительности представляет собой более сложную кривую, образованную четырьмя дугами эллипса.
Скругленные углы квадратного отверстия также являются дугами эллипса.
► На рисунке изображены
четыре такта в двигателе
Ванкеля, где на сиену порш-
ню пришел элемент в форме
треугольника Рёло. При
вращении все его вершины
непрерывно соприкасают-
ся с внутренней стенкой
камеры сгорания особой
формы (показана на рисунке
справа).
того расхода масла н невысокого момента. Сейчас
применяется уже третье поколение подобных дви-
гателей (Кх-Ч их объем доведен до I 308 кубиче-
ских сантиметров, мощность атмосферного двига-
теля при 8 200 об/мин составляет 237 лошадиных
сил. Классический поршневой двигатель тон же
мощности будет иметь шесть цилиндров и объем
более трех литров.
62
Лучшее от Сэма Лойда
Озера, реки и мосты
Л Какова глубина озера?
1. Задача о ледяных лилиях
Поэт Генри Лонгфелло был хорошим математи-
ком и считал, что задачи следует излагать краси-
вым и обр гзным языком, чтобы пробудить фан
тазию ученика, а нс использовать сухие фразы из
учебников.
Задача о водяных лилиях — одна из многих,
представленных Лонгфелло в сю романе «Кава-
на». Она очень проста. Любой сможет решить
се, даже нс обладая знаниями математики или ге-
ометрии, но в згой задаче используется важный
геометрический закон, который вы обязатель-
но запомните. Не cmoi у дословно воспроизвести
рассказ самого Лонгфелло, но речь шла о водяной
лилии, растущей в озере. Цветок находится в од-
ной пяди от поверхности воды, и ко1да ветерок
наклоняет сто, он касается воды на расстоянии
двух локтей. Зная только эти данные, можно рас-
считать глубину озера.
Допустим, что, как показано на рисунке, лилия
возвышается над поверхностью воды на 10 дюй-
мов. Если наклонить цветок t сторону так, чтобы
он скрылся под водой, то его верхушка бу лет от-
стоять от исходной точки на 21 дюйм.
какова глубина озера?
2. Задача о кенигсбергских мостах
Эта занимательная задача интересна не только по-
тому, что на ней основана целая математическая
теория, но и потому, чго это очень старая зада-
ча и с ней связана одна любопытная история Ке-
нигсберг, вторая столица Пруссии, был ра >делен
рекой Прегель на четыре района, включая остров
тлнайпхоф, так, как показано на рисунке. Части
города соединены восемью мостами. С этими мо-
стами и связана задача, над которой 200 лет би-
лись жители Кенигсберга.
Молодежь всегда любила прогулки по кениг-
сбергским мостам. В старинных рассказах в том
или ином виде упоминается задача обхода всех
мостов. Считалось, что обойти все мосты, не про-
ходя ни по одному из них дважды, невозможно.
Достоверно известно, что группа молодых лю-
дей в 1735 году обратилась к математику Леонар-
ду Эйлеру, чтобы тот помог им решить задачу. Год
спустя Эйлер представил объемный труд в Петер-
бургскую академию наук.
В нем он доказывал, что задача не имеет реше-
ния. Об этом говорится в бюллетене Академии
наук за 1741 год, гом 8. Труд Эйлера был опубли
кован известными математиками на английском
и французском языках, но в нем изначально идет
речь о задаче с любым числом мостов.
Профессор Тринити-колледжа Вальтер Ви-
льям Роуз Болл рассказывает о достоинствах
этой старинной задачи в своей книге «Матема-
тические развлечения». Он ошибочно приписы-
вает авторство задачи Эйлеру, датируя ее 1736 го-
дом, и вносит важное уточнение: в Кенигсберге
было (и сейчас есть, если верит ь путеводителю Бе-
декера) семь мостов. В архивах упоминае гея во-
семь мостов, и на нашей карте приведена схема
из исправленного путеводителя Бедекера, где го-
ворится о восьми мостах. В l^SS году Эйлер был
еще очень молод, а известность пришла к нему
почти 50 лет спустя. Возможно, этим объясняют-
ся и другие неточности в задаче. Так, по условию
задачи совершенно нс обязательно возвращаться
в исходную точку. Нужно лишь доказать возмож-
ность обойти 1 ород, пройдя по каждому из мо-
стов только один раз.
От читателя требуется определить, сколькими
способами это можно сделать и какой путь явля-
ется кратчайшим.
▼ Сколько всего путей и ка-
кой ui них кратчайший?
39
3. Четверо беглецов
Разумеется, всем любителям головоломок знако-
ма старинная задача о волке, козе и капусте, ко-
торых нужно перевезти на другую сторону реки,
причем за один раз в лодке могут поместиться
только два из названных персонажей. История
четырех беглецов столь же старинная и основана
на том же принципе, но настолько запутанна, что
правильный ответ, кажется, упустили из виду все
математики, занимавшиеся этой задачей.
Согласно условию, четверо мужчин сбежали
со своими любовницами, но по пути им потребо-
валось перебраться через реку. В лодке могли раз-
меститься только два человека. Посередине реки,
как показано на рисунке, находится небольшой
остров. Все молодые люди были очень ревнивы:
они не могли допустить, чтобы их любимая даже
на мгновение осталась без них в обществе друго-
го мужчины или нескольких мужчин. Ни один из
них также не мог сесть в лодку, если на берегу или
на острове оставалась в одиночестве девушка, ко-
торая при этом не была их возлюбленной. Это за-
ставляет нас предполагать, что девушки были нс
менее ревнивы и подозревали, что их любовники
сбегут с другой при первой же возможности. Суть
▲ По могите четырем ревни-
вым карам переправиться
через реку
задачи — помочь беглецам как можно быстрее Пе-
реправиться через реку- Предположим, что река
имеет 200 ярдов в ширину, а на острове посереди-
не реки могут поместиться все беглецы. Сколько
раз лодка должна пересечь реку, чтобы все бегле-
цы переправились на другой берег?
Решения
1. Евклид писал: «Когда две хорды дуги
пересекаются внутри круга, произве-
дение частей одной хорды равно про-
изведению частей другой». На рисунке
повеохность воды представляет собой
хорду дуги. Так как части этой хорды
равны 21 дюйму, то их произведение
равно 441 дюйму. Лилия образует
другую хорду. Часть цветка, которая
возвышается над водой, является ча-
стью хорды. Следовательно, эта часть
длиной в 10 дюймов при умножении на
другую часть этой хорды должна давать
441 дюйм. Разделив 441 на 10, получим
длину второй части хорды —44,1 дюй-
ма. Сложив 10 и 44,1, получим 54,1 —
длину хорды AF, которая является диа-
метром круга. Чтобы юлучить радиус,
нужно разделить этот отрезок пополам
Получим 27,05 дюйма. Так как цветок
возвышается над поверхностью воды на
10 дюимоа, нужно вычесть эти 10 дюй-
мов из радиуса, чтобы узнать глубину
озера. Она равна 17,05 дюйма.
2. Существует 416 возможных решений
этой задачи. Кратчайшим путем явля-
ется О-P, D-C, E-F, H-G, l-J, L-K, N-M и А-В
(или наоборот). Так как существует не-
сколько миллионов неверных решений,
эти 416 вариантов было легко упустить
из виду.
(Читателю не стоит вое |ринимать
всерьез комментарии Лойда в адрес
Эйлера. Лойд прекрасно знал, что Эйлер
занимался решением задачи о семи мо
стах, и в его знаменитой работе содер-
жалось решение первой топологической
задачи.)
3. Задачу можно решить за 17 ходов.
Обозначим мужчин буквами ABCD,
девушек — abed. Изначально все они
находятся на берегу. Решение приведено
в таблице и не требует пояснений.
Берег Остров Другой берег
1. ABCDcd 0 ab
2. ABCDbed 0 a
3. ABCDd be a
4, ABCDcd b a
(Мужчины начинают переправляться через реку)
Берег Остров Другой берег
5. CDcd b AB a
6. 8C Dcd b Aa
7. BCD bed Aa
8. BCDd be Aa
9. Dd be ABCa
10. Dd a be ABC
11. Dd b ABCac
12. BDd b ACac
13. d b ABC Dae
14. d be ABCDa
15. d 0 ABC Da be
16. cd 0 ABCDab
17. 0 0 ABCDabed
40
Части этого цифрового пазла нужно расставить в прямоугольной коробке в правильном порядке.
Кажется, что верно расположить десять частей несложно, но не слишком опытный игрок может
ПОТРАТИТЬ НА РАЗГАДКУ ГОЛОВОЛОМКИ НЕСКОЛЬКО ЧАСОВ.
Расставляем цифры в коробке
Цифровой пазл
Каждый элемент головоломки может состоять
не более чем из семи сегментов.
Среди всех возможных сочетаний сегментов
для этой головоломки были выбраны элементы
в форме цифр от 0 до 9.
Разминка
Существует несколько вариантов исходной за-
дачи. Перед гем как приступить к решению паз-
ла, стоит потренироваться на прямоугольниках
поменьше.
Прямоугольник 2x1.
Это наименьший из возможных прямоуголь-
ников, и решение находится сразу же: очевидно.
что им являс гея цифра 8.
На этот раз мы предлагаем вам двухмерную
головоломку. Задача — расставить эле-
менты различной формы внутри прямоу-
гольной коробки в правильном порядке. Десять
частей, которые можно переворачивать, представ-
ляют собой цифры от 0 до 9, составленные из пря-
моугольных сегментов.
Части головоломки нужно расположить вну-
три прямоугольника размерами 4x5 клеток.
▲ Элементы цифрового
пазла могут быть располо-
жены множеством разных
способов, е том числе в за-
висимости от раз меров
прямоугольника, в котором
их нужно разместите
Квадрат 2x2:
Прямоугольник 2x3:
Прямоугольник 2x4:
Составные части
Полимино, а также фигуры, cot гавлснные из
равносторонних треугольников или шести-
угольников, образованы путем соединения
равных геометрических фигур по их сторо-
нам. Элементы этой головоломки состав-
лены из «сегментов», которые образуют
между собой углы в 90 или 180°. Длина
сегментов равна длине стороны клетки,
а полученные фигуры можно начертить
на сторонах костяшек домино.
Прямоугольник 2x5:
67
Прямоугольник 2x6:
Квадрат 3x3:
Это интересно
Один квадрат образуют 4 сегмента, но два
квадрата с одной общей стороной можно со-
ставить всего из 7 сегментов:
Добавив еще 3 сегмента, получим три
квадрата, которые можно соединит* двумя
разными способами:
Для четырех квадрат в, составленных в фор-
ме большого квадрата, нужно12 сегментов
Продолжив построение, обнаружим, что
для прямоугольника 4x5 квадр, *ов нужно
49 сегментов.
10 цифр в нашей головоломке в сумме как
раз содержат 49 сегментов. Это совпадение
и лежит в основе цифрового лазла.
68
D^AGOSTINI ПРЕДСТАВЛЯЕТ
Пропустили выпуск -
любимой коллекции?
на сайте
www.deagostini.ru
Для украинских читателей — по телефону горячей линии 0-800-500-8-40
В следующем выпуске через 2 недели
Спрашивайте
Игральный кубик
Уравнения
Искусство нахождения неизвестных
Два математика — одна судьба
Кардано и Тарталья
Природа и хаос
Открытие непредсказуемого мира
Лучшее от Генри Э. Дьюдени
Задачи о деньгах