/
Текст
ВЫХОДИТ РАЗ В ДВЕ НЕДЕЛИ
Рекомендуемая розничная цена: 279 руб.
Розничная цена: 49,90 грн, 990 тенге
занимательные
ГОЛОВОЛОМКИ
КОЛЛЕКЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИГР ОТ D4AGOSTINI
Игральный кубик
занимательные
«ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ»
Издание выходит раз в две ньдели
Выпуск №22,2012
РОССИЯ
ГОЛОВОЛОМКИ
КОЛЛЕКЦИЯ ЛО1 ИЧЕСКИХ ИГР ОТ D4AGOSTINL
В этом выпуске:
ИЗДАТЕЛЬ. УЧРЕДИТЕЛЬ, РЕДАКЦИЯ:
ООО «Др Агостини», Россия
ЮРИДИЧЕСКИЙ АДРЕС: 105 066, г. Москва,
ул Александра Лукьяном, д.З, стр. 1
Письма читателем по данному адресу не принимаются.
ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР: НмколаоС Скилакис
ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР: Анастасия Жаркова
ФИНАНСОВЫЙ ДИРЕКТОР; Наталия Василенко
КОММЕРЧЕСКИЙ ДИРЕКТОР: Александр Якутов
МЕНЕДЖЕР ПО МАРКЕТИНГУ: Михаил Ткачук
МЛАДШИЙ МЕНЕДЖЕР ПО ПРОДУКТУ:
Любовь Мартынова
Свидетельства о регистрации средства массовой
информации в Федеральной службе по надзору в
сфере связи, информационны^ технологии и массовых
коммуникаций (Роскомнадзор} ПИ №ФС77-433Ю
от 28.12.2010 г
Для заказа пропущенных номеров
и по всем вопросам, касающимся информации
о коллекции, заходите кд сайт
v/ww-deagostini.ru
По остальным вол росам обращайтесь по телефону
бесплатном «горячей г^нии в России;
С 8-800-200-02-01
Телефон «горячей линии- для читателей Москвы:
С 8-495-660-02-02
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ;
Россия, 170100, г Тверь, почтамт, а/я 245,
*Де Агостини*, Занимательные головоломки»
РАСПРОСТРАНЕНИЕ;
ООО 1 Бурда Дистрибьюшен Сервис из»
УКРАИНА
ИЗДАТЕЛЬ И УЧРЕДИТЕЛЬ:
ООО -«Де Агостини Паблишингв, Украина
ЮРИДИЧЕСКИЙ АДРЕС; 01032. Украина,
г. Киев. ул. Саксаганского, д. 119
ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР: Екатерина Клименко
Свидетельство о государственной регистрации
печатного СМИ Министерства юстиции Украины
КВ № 17502-6252РОТ01.03.2011
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ:
Украина, 01033, г Киев, a/я чДе Агостини*.
«Занимательные головоломки^
Укратна, 01033, м Км& а/с «Де А гост ни
Для заказа пропущенных номеров
и по всем вопросам, касающимся информации
о коллекции, заходите на сайт
www deagostrni.ua
По остальным вопросам обращайтесь по телефону
бесплатной -Горячей Лмниид в Украине,
СО-800-500-8-40
БЕЛАРУСЬ
ИМПОРТЕР И ДИСТРИБЬЮТОР 6 РБ: ООО Росчерк.
220037. г. Минск, ул. Авангардная, д. 48а, литер В/к,
тел./факс; +375 17 2-999-260
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ Республика
Беларусь. 220040, г. Минск, а/я 224, ООО «Росчерк*.
Де Агостини», «Занимательные головоломки»
КАЗАХСТАН
РАСПРОСТРАНЕНИЕ: ТОО -КГП -Бурда Алатау Пресс»
РЕКОМЕНДУЕМАЯ РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА: 279 руб.
РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА; 49,90 грн, 990 тенге
ОТПЕЧАТАНО В ТИПОГРАФИИ: G. CacaleM. Sp-A
Sos Сетка 47. Bucuresti, Pantehmcn - llfov, Romania.
ТИРАЖ: 68 000 iK3.
Издатель оставляет м собой право изменять
последовательность номеров и ик содержание
Издатель оставляет за собой право увеличить
рекомендуемую цену выпусков.
Неотъемлемой частью каждого выпуска
является приложение-
С ООО *Де Агостини», 2012
RBA Colecoonabtes, 2011
ISSN 2225-1782
ДАТА ВЫХОДА В РОССИИ: 04.12.2012
Математическая вселенная
Искусство нахождения неизвестных Уравнения, неизменно появ-
ляющиеся в задачах, требующих найти некую величину, могут Ныть
простейшими, с которыми справится младший школьник, а могут
оказаться не под силу солидному ученому. Из материала вы узнаете
о видах уравнений, способах их решений и правилах игры на поле
уравнений, чго, несомненно, поможет вам при решении задачек из
Этого же номера.
lea математика — одна судьоа Одним из важнейших дос гмжений
математики XVI века "ыло решение уравнений третьей и четвертой
степеней. Главные герои этой необычной и Увлекательной истории —
два незаурядных ученых, две выдающиеся личности — Кардано
п Тарталья. 1 .х противостояние было ожесточенным п непримири-
мым, а его ре культа! как ito часто бывает, — несправедливым.
Математика на каждый день
Открытие непредсказуемого мира «Хаотичная система» — какое
противоречивое сочетание! То, что мы нриныкли называть хаосом, на
самом деле подчиняется собственным внутренним законам, которые
хоть и просты, но сильно зависят от начальных условий. Именно по-
этому их поведение становится очень трудно предсказат ь, а со стсро
ны оно кажется хаотическим. По-настоящему примечательно то, что
хаос в природе не исключение, а правило.
lyutueeот Тенра3. {/.юдени Сегодня вы наконец сможете решить
задачу, занимающую умы большинства женщин на планете. Вам не ка-
жется, что му ж должен полнот-ю доверять же нс во всем что касается
денег? Многие женщины согласятся с этим, но беда ь том, ч го супруг
никогда не говорит, насколько выросли его доходы. Хотите это уз-
нать? Теперь вам будсг уостаточно мимолетного в иляда на страницы
его записной книжки, чтобы вычислить всю нужную информацию.
Головоломки
Игральный кубик Если вы страстный поклонник забав с использо-
ванием игральных костей, любите сразиться в нарды или «Монопо
лию», то вам будет трудно пройти мимо сегодняшней головоломки.
Игральный кубик можно не только бросать, но и собирать Как вы
считаете, с колькими способами у вас полу чится это сделать?
Сложность РАЗНООБРАЗНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ РЕШЕНИЙ МОЖЕТ СЕРЬЕЗНО РАЗЛИЧАТЬСЯ. ВОТ ПОЧЕМУ
УРАВНЕНИЯ НЕ ТОЛЬКО ИЗУЧАЮТСЯ В ШКОЛАХ И УНИВЕРСИТЕТАХ, НО И НА ПРОТЯЖЕНИИ МНОГИХ ЛЕТ
ПРИКОВЫВАЮТ ПОВЫШЕННОЕ ВНИМАНИЕ КРУПНЫХ V4LHblX.
Уравнения
Искусство нахождения неизвестных
Как правило. уравнения появляются в зада-
ча у, я которых требуется пяцти некую вс
дичину. Уравнение позволяет сформу упре-
вать задачу на языке аиебры. Решив уравнение,
мы полечим значенп нужной величины, которая
называется неизвестной. «У Андрея в кошельке
Несколько рубле*!. Если умножить это число н„
2, а затем вычесть 5, получится 1(1. Сколько денш
у Андрея?» Обозначим неизвестную сумму денег
за х и запишем уравнение:
2v-5 = Ю.
J jtUfWfWH.ir Нию/ихнко
нрнменяютлм up eicwj-
момиыя ойысгнчх нарки
н техники, где задачи можно
ирорму шррватъ в числсн-
нич виде. Помимо прочелг,
< их помощью решаются
А икныелыте иатические
ыдачн оптими с щин. нл-
пример при управлении
ценными &унлглмн.
Чтобы говорить о способах решения уравне
ний, сначала ну к но опрсде шть основные поня-
тия и познакомиться с общеириня! ыми обозначь
ниями. Для разных типов уравнений существуют
различные ампритмы их решения. Проще все-
го решаются уравнения первой степени с одной
нсизве. гной. Многим со школы знакома форму-
ла для решения квадратных уравнений. Приемы
высшеи M.iTCM.lTiif и помогут решить уравнения
более высокого порядка. Множество чисел, на ко-
торых определено уравнение, тесно связано с сто
решениями. Также интересна взчимосаязь между
уравнениями н графиками функции, так как пред-
ставление у равнений в графическом виде велико-
лспно помогает н их решении.
Описание
Уравнение — это
математическое
равенство с од-
ной или несколь-
кими НСИЗВСС тцн-
ми величинами;
2л + 3> = О.
Выражения по обе
стороны знака равен-
ства называются усвой
и правой частями урав-
нения. Буквами латин-
ского алфавита обозна-
чаются цензе- 'стные. Хотя
число неизвестных мож'ет
быть любым, далее мы рас-
скажем только об уравнепн
ях с одной неизвестней, ко-
торую будем обозначать за
▼ Теория сравнении и лл
решении р.г teiteatat ь по-
етененно. одновременно
г ылтемажнк&й в целом
Некотирьн И т/гилтнкл
tf л ЙСГ tfp't/J» близки
к тому, чшины 1пнгршнть
решите зьнын прорыв в лной
oOMi ти Гм., Рлфлзьсь Бои-
веллн (1 ^26—J 572} первым
оцени f по коми iriu ям.*
чте1 при решении >д«нг-
ний идн. 1 иг его книг итира-
мена н. t рш ywwr
Степень уравнения — это мак .ома сьная степень,
в ьотор ю возводится неизвестная. Например,
ту4 т 6.v - 1 = 0 — уравнение четвертой степени,
л- - 4л— + 6л- =8 — уравнение второй с геиенн.
Числа, на которые умножается неизвестная,
на >ывак>тся коэффициентами. В предыдущем
примере неизвестная в чегвергой степени имеет
коэффициент 5. Если при замене у на это число
выполняется 1аданное равенство, то говорят, что
это число удовлетворяет у равнению. Оно на 'ыва
етсярешением уравн, ния, или его корнем. Напри
мер. 3 является корнем, или решением, уравнения
2л + 8 — 14, так как 2-3 + 8 — 6 + 8 = 14.
Решение уравнений
Допустим, что мы хотим решить уравнение
2л + 5 = 11-
Можно подставить в нею какое-нибудь значе-
ние с, например л* — 2. Заменим л’ на 2 и получим
2-2 + 5 = 415 = 9.
Здесь что то нс гак, потому что в правой чйс ги
уравнения мы должны были получить 11. Попро-
буем .у = 3:
2-3 + 5 = 6 + 5=11.
Отвез верный. Получается, что если неизвест-
ная прпнимас г значение 3, то рагспство выполня-
ет ся. Следовательно, мы показали, что число 3 яв-
ляется решением уравнения.
Способ, который мы использовали для ре-
шения этого уравнения, называется методом
подбора. Очевидно, что он неудобен в исполь
лощении. Более тоги, его даже нельзя назьать
777
методом. Чтобы ) бсдиться р этом, достаточно по-
пробовать применить его к уравнению вида
л- - 5.*1 + 16 = 2365.
Пра млознаков
Для решения уравнений обязательно нужно знать следующие правила,
которым подчиняются элементарные арифметические операции.
Методы решения
При решении т равней'ы су щест ас ют так на !ывас
мыс «правила игры», с которыми будет полезно
ознакомиться. Наша цель — определит! значение
неизвестной, которое удовлетворяет уравнению.
I [оэфому Н! жно каким-либо способом выделить
неизвестную. Для этого необходимо перенести
члены уравнения и.з одной его части в уругую.
Первое правило решения уравнений таково
1.11рп переносе члена уравнения из одной ча-
сти в другую его знак меняется на противополож-
ный : плюс меняется на минус и наоборот Рассмо-
трим в качестве примера уравнение
2л, + 5 = 11.
1кренссем 5 пз левой части в прану ю:
Zr = 11-5.
Уравнение примет вид
2е = 6.
1к'рейдем ко второму правилу.
2. Обе части уравнения можно умножать и де-
лить на число, не равное нулю. Применим это пра-
вило к нашему уравнению:
6
л- =--=3.
2
В левой части равенства осталась только неиз-
весгнач л, следовательно, мы нашли ее значение
и решили уравнение.
Мы только чго рассмотрели простейшую за-
дачку — линейное уравнение с одной неизвест-
ном. 5 равнения этого типа всегда имени решение,
йолее того, ил всегда можно pt. шть с помощью
простейших операций: сложения, вычшанпя, ум-
ножения и деления. Увы, не все уравнения столь
же просты. Более того, степень их сложности ноз-
растаег очень быстро. Например, уравнения вто-
рой степени легко решит любой ученик средней
школы, но способы решения систем линейных
уравнений пли уравнении высших степеней изу-
чаются только в старших классах.
Уравнения второй стопени
Существуют ли методы решения уравнений лю-
Оого типа? Краткий ответ: нет, их не существу-
ет. Подробный ответ гаимст несколько томов,
в которых также будет и слагался история мате-
матики, так как решение ’.равнении было и про-
дол кает оставаться одним из важнейших стиму-
лов развития этой науки. Далее мы поговорим об
+ — + (плюс на плюс дает плюс) 2-3 = 6.
— = — (плюс на минус дает минус) 2-(-3) = -6.
(минус на плюс дает минус) (-2) 3 = -6.
- = + (минус на минус дает плюс) (-2П (-3) -6.
Зги правила знаков справедливы также и для деления. Хотя они знако-
Mt । ка.кдому школьнику, не следует думать, что речь идет о чем-то эле-
ментарном: потребовалось много веков, "тобь четко сформулировать эти
соотношения.
у равнениях, известных каждому школьнику. Для
их решения су ществует алгоритм и даже конкрет-
ная формула. Уравнение второй степени — это
уравнение вида
ii-v1 + Ьх + с = 0.
Египтянам удалось решить некоторые особые
случаи подобных уравнений. 11х заметно пре-
взошли вавилоняне, которые умели решать боль-
шннстьо видов квадратных уравнений. Греки ис-
пользовали геометрические методы Четвертая
теорема книги II евклидовых «Начал» описыва-
ет геометрический метод решени.. уравнении вто-
рой степени. Общий метод решения квадратных
уравнений встречается ч книге Миха муя Штткрсля
Aritmcnca inregra — одном пз важнейших трууов
► ( р, гое ковач миниатю-
ра. на которой ишоражгн
Евкаиё), погруженный в иу-
ченш .тиярян. Этот
великий гречееШей мгете-
иатнк также занимался
ре tutнаем второй
t w t И АШ. / fpfd i VJAXNH Ы f if И
и ли? современника ии СИЛЙ-
ьы оы-лн преимущественно
геомгтриха
Искусства нахождении неизвестных
ио алгебре, написанном в XVl веке. В этой кни-
ге уже ikiioalзуютея знаки + и а также упомы
наются корни из отрицательных чисел, хотя сам
НГгпфсль называл их nuinc-ri abxurdi — абсурдны-
ми числами.
Формула, позволяющая напряли ю найти реше-
ния уравнения шорой степени, вьнлядит следх ю
щнм обратом:
Так, например, корнями уравнения V1 + 2л -
-8 = 0 будут
Знак ±, который использован в числителе,
применяется для одновременной записи двух ре-
шений. Чтобы получи и, одно решение, мы долж-
ны сложить выражения в числителе, а д ся нахож
дсния второго корня — вычислить их разность.
Если мы обозначим одно решение уравнения >а
С), а дрг гос за Л], го по сучим:
Уравнения второй степени могут иметь два
разных решения (как в предыдущем случае
или одно решение, как, например, уравне
нне х1 - 6х + 9 = 0:
б ± \/<?~ 4 1 9
2 1
6 ± л/36 - 36 6 ± 0
-----------------=---------= 3.
> 1
В этом случае говорят, что уравнение iinici
кратный корень. У равнение так же может нс им ст ь
решеии . если лея нахождения сто корней ну дно
вычислить квадратный Корень из огрицаг \ь
ното числа, как в елх чае с уравнением Зл’ + 2х
+ 1 = 0. Его решениями являются
-2 ± Д?4 - 12
6
Важно отмстить, что в последнем слхчас, ког-
да мы говорим, что сравнение нс- имеет решений,
мы имеем в виду отсутствие вещественных кор-
ней. В действительности уравнение имеет два
комплексных решения, которые не рассматрива-
ются в этой главе.
Уравнения и функции
Графическое представление функций может ока-
заться полезным при решении уравнений. С его
помощью нс всегда получится найти точные ре-
йв ния, ио можно определит! количссз во корней
и примерный интервал, в котором они распола-
гаются Рассмотрим простейший случай — ли-
нейное уравнение, например v —3 = 0. Ему бу-
дет соответствовать функция /(.у) = х — 3. Это
уравнение прямой. Точка, в которой эта пря-
мая пересекает ось X. х = 3, является решени-
ем уравнения
Если мы представим у равнение графически,
его решениями будут точки, в которых график
пересекает ось абсцисс. Например, если мы по-
с 1 роим график функции/(.v) = ,vJ + л1 + Л" + 1, то
уиц дим, что [рафик пересекает ось абсцисс все-
то в одной точке л = — 1 Jro значение являет-
ся решением уравнения хд + v1 + х + 1 = 0. Так
как графи:, функции нс пересекает ось абсцисс
и дру тих точках, у] аннение имеет единственное
Уравнения второй степени и параболы
Графическое представление уравнений можно использовать при изучении уравнений второй степени. Графиком
функции вида Г(х) = + Ьх + с всегда является пагабола Ее форма будет зависеть от значений а, b и с. Знак параметра
а определяет, куда направлен! i вг'ви парабо-
лы, вверх или вниз.
Существует всего три возможных располо-
жения параболы. Если она пересекает ось X
в двух точках, это означает, что уравнение
имеет два решения. Если она пересекает ось X
в одной точке, то есть касается оси, в этом слу
чае уравнение имеет один корень. Наконец,
если парабола не пересекает ось X, то уравне-
ние не имеет вещественных решений.
Роль уравнений в развитии
математики
Рассмотрим несколько простых уравнений, на-
Т Пятая книга < Ариф-
метики Диофанта
Александрийского, "днот из
не представляло трудностей и решалось по мето-
ду, который мы уже объясняли:
хождение решение каждого из которых станови-
лось важной вехой в истории ма.ематики. Урав-
нение вида
л + 1 =0
не имеет решения для тех, кто не
знает о существовании отрицатель-
ных чисел, так как единственным
корнем уравнения является х = — 1.
Если же счи гать, что это уравнение
определено на множестве целых чи-
сел Z (положительных и отрицатель-
ных), то мы ле1 ко сможем найти ре-
шение. В данном случае х = — 1. Тем
не менее для древних подобные рас-
суждения были не столь просты.
Например Диофант отрицал су-
ществование отрицательных чисел,
а вместе с ними и все уравнения, ко-
торые имели отрицательные корни.
В культуре Древней Индии, которую
можно считать очень развитой в ма-
тематическом отношении, отрица-
тельные числа впервые упоминаются
лишь в 628 году. Но даже тогда они
использовались только для обозна-
чения долгов, причем с многочислен
нымп оговорками. Уравнение вида
2л-4 = 0
везиких чатгиатиков Ан-
тичности. Диофантовыми
называютсяуравнения, до-
пускающие решения только
Однако уравнение
« целых числах..
Г
1 Д I ОФ ANTOT
А Л F. Н A N а Р I £1 L
ArtOUHTtKQN t
DJOPHANT1 ALEXANDRIA
AR.1THM ETICORVM
L IBEX <^yiNT VS.
QVaESTIO L
jundraxMii tilo Efl
ып jronxtrx* рпэрогоо-
в!ам, ем Mfr* fab «-
rftrprt (омеяеи* baiwT ж-
ЛЭмй “ "f-7»»*.
itf". /I
Й1 Л^Л>4,1Ж| * СяД T
*№ faokfai fcefl
Пгм
e»kir nF-
on MoJHti ET.fxriN -C
, barer Immulh frwifii*
fe.f-M Ъый
4
2х=4;л =--= 2.
2
2x- 1 =0
не имеет решении на множестве целых
чисел, так как его корень х = 1/2 не
принадлежит к множеству Z
Для решения этой задачи нужно
допустить существование множества
рациональных чисел Q, (Напомним,
что рациональное число можно пред-
ставить в вид< дроби с целым числи-
телем и на! уральным знаменателем.)
Любопытно, что дробные числа, бо-
лее сложные, чем отрицательные, бы-
ли известны уже в Древнем Египте,
Вавилонии и Греции, где использо-
вались без каких-либо затруднений.
Неприятие отрицательных корней
уравнений лежит больше на психо-
логическом уровне, чем на понятий-
ном. Это не должно удивлять. Любой
из нас может провести небольшой
эксперимент и спросить знакомых,
сколько будет 4 минус 7. Вы убеди-
тесь, что заметная часть населения не
знает о существовании отрицатель-
ных чисел.
Искусство нахождения неизвестных
Экзотические кривые:
суперэллипс
Математикам нравится изучать новое. Что прои-
зойдет, если слегка изменить условие задачи?
Например, пусть некое уравнение определяет
кривую или семейство кривых. Какая кривая
будет графиком видоизмененного уравнения?
Возьмем например, уравнение эллипса, которое
в декартовых координатах имеет вид
№ у1
— + — = 1.
а1 Ь2
Заменим показатель степени 2 на другое
число, г.
X V yV
—+ —=1
о I t>
Это уравнение определяет множество кри-
вых, форма которых зависит от г. Впервые их
изучил французский математик Габриель Ламе
СуперЭЛЛипсы
Уравнения и иррациональные числа
На след! ющем ^тапс развития математики нача-
лось из) ченпе уравнений вида
л-2- 2 = 0.
Перенеся двойку в правою часть уравнения,
мы получим № = 2. Для решения этого уравнения
нам недостаточно четырех арифметических дей-
ствий (сложения, вычитания, умножения и деле-
ния), которыми мы иоле ювались до этого. Здесь
требуется извлечь корень, в данном случае квз
дратный, чтобы получить решение:
Вспомним, что квадратным корнем числа на-
зывается такое число, которое при возведении
в кьадраг дает исходное число. Например. \ i = 2.
так как 22 = 2 • 2 = 4. Аналогично \ If = 4. Для
в 1818 году. При изменении г в интервале от 1 до
2 кривая будет постепенно превращаться из
криволинейного ромба в эллипс. Для значений
г, превышающих 2, кривая примет форму супе-
рэллипса. Эти фигуры, которые подробно изучил
датский математик Пит Хейн, являются разно-
видностью «прямоугольников с закругленными
краями» и имеют высокую декоративную и эсте-
тическую ценность. При вращении вдоль оси
симметрии эллипс образует эллипсоид вращения
(именно такую форму имеет мяч для регби), а су-
пери .липе образует суперъяйцо, которое может
вертикально стоять на плоской поверхности.
▼ Суяерммтсы часто
становятся источников
вдохновения для дизайнеров.
Такую фор nj ц чеют не
только сто и подносы, но
даже футбольные стадионы.
Н. J рис у нке изображен ста-
дион вблизи Парижа, откры
тын в 1998 году.
решения нашего уравнения нам нужно найти чис-
ло. которое при возведении в квадрат дало бы 2.
Здесь происходит качественный скачок, ведь ни
одно из рациональных чисел не превращается в 2,
будучи возведенным в квадрат. Этот факт, обна-
руженный еще учениками пифагорейской шко-
лы. привел к введению понятия иррациональных
чисел, одним из которых является \ 2. Рацио-
нальные числа вкупе с иррациональными состав-
ляют R — множество вещественных чисел. Урав-
нения, подобные привеченному выше» имеют
решения на этом множестве.
Уравнения
121
Софистические корни
Джероламо Кардано сформулировал задачу о нахождении двух чисел,
сумма которых равна 10, а произведение — 40. В ходе решения получается
уравнение второй степени. Если обозначить одно из искомых чисел за х, из
▼ Фронтнепне книгн
Ичишпа МмЬетМнт
RetenvtiHf рп jJlgebrjm
Nozam (I 646) Иоанна
jKmemwfj. Среди ujW’
rifptffrii пешчины
KjpdjNl) N tOflpLWfH Mfp.VJf
£ rj/Wrf/f, p y^0.V C f’ffJUf Ц
первого условия задачи следует что второе
число равно (10 - х), так как их сумма равна
10. Второе условие задачи выражается в виде
(10-х) х 40.
Решив это уравнение, мы получим требуе-
мый ответ. Раскрыв скобки, имеем
10х-х2 -40.
Перенесем все члены уравнения в одну
часть и получим
х2- 10х + 40 = 0
Решениями этого уравнения второй
степени будут
Здесь Кардано столкнулся с квадратным
корнем из отрицательного числа.
Числа, получаемые в результате извлече-
ния такого корня, он назвал софистическими.
ЦИОНЛЛЬНЫС
то есть «мудреными*. Кардано считал, что
гдля осуществления таких действий нужна была бы новая арифметика.
II
четыре основных арифметиче-
ских действия. Несмотря на это,
подобные решения начали при-
знавать лишь спустя несколько
сто сети 11. \ажс Декарт отрицал
существование мнимых корней
уравнений Боссе того, он пер
вым назвал такие чисел «вооб-
ражаемыми». Ньютон также
не придавал нм особого значе-
ния. Тем не менее корни уравне-
ний подобного типа существу
ют и называются мнимыми, или
комплексными. Только благ одаря
работам Гамильтона. Гаусса и Ар-
гана комплексные числа стали
считаться полноценными числа-
ми. Множество С — множество
комплексных чисел — включа-
ет в себя все прочие множества
чисел натуральные, целые ра-
вещеетвенньк . Если бы математи-
которая была бы столь же утонченной, сколь бесполезной». Несмотря на
это, ему следует отдать дань уважения, так как он не проигнорировал эти
1 н не о 1 ноеил|и ь с иодолрением к «закрытым»
гемам, можно было бы скаэать, что у этой исто-
числа и увидел, что за ними может скрываться что-то «мудреное».
Нерешаемое уравнение
Располагая огромным множеством веществен-
ных чисел R, мы можем поду мать, чт о на нем бу де г
иметь решение любое уравнение. Увы, лоне так:
существуют уравнения, от которых долгое время
математики бежали как от огня Простейшим из
них является
л-: +1=0.
Чтобы лучше понять причину подобных за-
труднений, сделаем небольшое оз с \ пленит. Су-
ществует прэчи \о шаков, которое гласит: «ми-
нус на минус дает пмое», то есть нропзведение
отрицательиы\ чисел вешда будет похожизеи,-
НЫМ. Например, (-3) • (-2) = 6. Следовательно.
лю( ос число при умножении на само себя никое
,а не даст отрицательный результат. Если исход
ное число положительное, например 3, его ква-
дратом б^дет 9- Если оно oipitum хыюе, то все
равно (-3) • (-3) = 9. По згой причине утверж-
\алось, что I ва \ратны.х корней ira отрицательных
чисел нс существует, следовательно, уравнение
л2 + 1 = 0 не имеет решен ни Джероламо Карда-
но (1501 —1576) прсдчувс гвовя.л, что за подоб-
ными корнями уравнений скрывается нечто важ-
ное. Затем Рафаэль Бомбелли (1526—1572) стал
рассматривать их как числа и определил для них
рии счастливый конец, так как доказано, что лю-
бое I равнение с комплексными коффицш-нтамп
A /Gr/u Фркдрнх Глуп едино
£ЛШ ffo i VffWAt'Wi.W tithiUV Ц1
tint иим unit нт н \ чмнемл-
mith.ve ллс времен и народов.
On Hputie.t иинамщи четыре
i.iracf ытвл оеновмой
теоремы алгебры.
«мест решение на множестве Ст Так утверждает-
ся а теореме, носящей пышный титул «Основная
теорема алгебры ». Ее доказал в своей докторской
диссертации «принц .математиков» (лат. Princcps
matheiiiatkorimi) Карх Фридрих Гаусс в 199 го-
ду, когда ему было 22 года. Теорема приобрела ши-
рокую известность в математическом мире.
)Т0 шюто
• В современной терминологии до сих пор
остались свидетельстве того, что в свое время
геометрия преобладала над алгеброй Мы
называем вторую степень квадратом тре-
тью — 1,убом, также мм говорим о квадратных
и кубических корнях. Связь с геометрическими
фигурами очевидна.
। В науке об уравнениях, которая сформирова-
лась в арабском мире и получала развитие
в эпоху Возрождения, неизвестную обозначали
res (отлэт. чвещьг). Букву л первым использо-
вал Декарт.
В эпоху Возрождения одновременно с изобретением книгопечатания появились две
противоречивые фигуры — Тарталья и Кардано, главные герои одного из ожесточеннейших
ПРОТИВОСТОЯНИЙ ЗА ВСЮ ИСТОРИЮ математики.
Два математика — одна судьба
Кардано и Тарталья
Одним из главных до-
стижений математи-
ки XVI века было
решение уравнений тре-
тьей и четвертой степеней.
История этого откры-
тия весьма незаурядна:
она напоминает увлека-
тельный роман и не ли-
шена интриги. Главные
герои «той истории —
два незаурядных уче-
ных, две выдающиеся
личности — Кардано
и Тарталья.
Кардано
Джероламо Кардано родился в Павии
24 сентября 1501 года. Его отец был адвокатом
п занимал достаточно высокий пост, чтобы опла-
тить образование сына в родном городе. Кардано
изучал медицину и в 1524 году получил диплом
врача в Падуе Однако любоп ы гство заставило ш о
начать изучение астрологии и математики. Так на-
чался неспокойный период его жизни, в котором
сочетались преподавание математики и заняшя
астрологией. Он прожил год в Шотландии, где
был личным врачом архиепископа Гамильтона,
который покровительствовал Кардано. Всрнув-
шись в Италию, он стал преподавать в Болонском
университете, но в октябре 1570 года был аресто-
ван по обвинению в ереси. Он был освобожден
при условии, что нс будет »анима гься черной ма-
гией на территории Папской области Именно
тогда Кардано вернулся к занятиям медициной.
В 1571 году он переехал в Рим и заручился благо-
склонностью Папы Римского, который назначил
ему пожизненную пенсию в награду за труды по
астрологии. Кардано умер 21 сентября 1576 года.
Тарталья
О жизни Тарталья (его настоящее имя — Никко-
ло Фонтана) мы знаем немного, Известно, что он
родился в Брешии примерно в 1500 году. Никко-
ло был еще совсем маленьким, когда его отец умер,
не оставив наследства. 11з за недостатка средств
Тарталья с ранних лет начал учиться самостоя-
тельно. Он сам выучился читать, писать и «раз-
мышлять о трудах умерших». Помимо прочего,
< Кардано был не только
выдающимся математиком,
но и очень. северным челове-
ком, Кроме того, его отлича-
ла склонность к азартны и
играм. На put унке изобр гже-
нытиы) юные ..исты двух
его книг, одна из которых,
Jtrs Magna (- Великое ис-
кусство^), гЧитается
основным трудом Карда-
но. Нл титчльнач листе
но чещен портрет
авгчор к
он также занимал-
ся преподаванием в Веро-
не, Мантуе и Венеции. В Венеции он и умер
13 декабря 1557 года. Из-за бедности он нс смог
изучить латынь и все свои труды писал на про-
стонародном итальянском языке той эпохи. Но
наиболее выдающиеся результаты его работы не
упоминаются в книгах. Это знание он ревност-
но охранял, так как оно преумножало не только
его ум, но и кошелек. Речь идет об умении решать
уравнения.
Кубическое уравнение
Считается, что куоическое уравнение, в частности уравнение вида
№ + ах=Ь, первым смог решить Сципион дель Ферро '1465—1526), пре-
подаватель математики из университета Болоньи. Он никогда не публи-
ковал свое решение и передал его в завещании своему ученику Антонио
Марио Фиоре, который не отличался особым талантом. Точно неизвестно,
удалось ли Тартанье разгадать тайну дель Ферро или он нашел собствен-
ное решение, только к 1541 году ему уже оыл известен способ решения
кубических уравнений. Более того, он расширил этот способ и смог приме-
нить его для уравнений вида х3 + ах* = Ь. Решение Тартальи для уравнений
вкда х3 н ах = b в том виде, в каком оно дотла до нас в «Великом искус-
стве» Кардано, выглядит так:
Кардано (1501—15~6) и 1 арпшлья (1500—155~) КЗ
Противостояние
2 января 1539 года Тарта
ЛЬЯ ПОЛУЧИЛ ПИСЬМО, ПОД'
писанное Кардано,в ко-
тором тот сообщал, что
пишет книгу по алгебре
и хотел бы упомянуть
о Тарталье и сто методе
решения кубических у рав-
нений. Таргалья был не
готов раскрывать свои се-
креты и отказался. Карда-
но продолжал настаивать,
перейдя в последующих
письмах от рассерженно-
го к примирите дьному то-
ну. 1J марта того же года
Кардано пригласи л Тар та-
лью в свой дом в Милане
с обещанием представить
его маркизу дель Вас го,
который был покровите-
лем и защитником Кар
дано. Тарталья, который
был готов ухватиться за
любое пред ложенне, что-
REGOL^I G Efr'ER^LE SP-
levarb'con RACtONE e MISVRA
no(ofamftcogniaffond i Naue'.mauna
7 'оттг Soft da di Mtttallu
Tfemudj. Nkoh) Tiruglb fdt1le Aliiptine МмЪсгпик» irnitore
inilrolau b.
TRAVAGHATA IN V(-NT[ONE.
JnBcme сб un irri&ciofo mode di pocer a.ndn-tt& fhrc plogo tfpo Cot
to acqVM Ic mittrk aflbndaic,& in toco prefundo.
Cicnicuianrhorvn iMUrj.tli fcgni ddlc muiailoiiidcirArh.oucr di
(fpl,iTDHrU no №cn uriktclic псгсСГапа^ N auigimiT5u afrit
бы выбиться из нужды, в конце концов принял
приглашение. Кардано неоднократно обещал за-
шифровать метод способами тогдашней крип-
тографии, чтобы сохранить его и тайне. В ито-
ге Тарталья сдался и объяснил Кардано способ
решения уравнении третьей степени. Так нача-
лось одно из сильнейших противостояний за
нею историю математики. Кардано присвоил
авторство себе и опубликовал алгори i м в сво-
ей книге «Великое искусство», лишь мельком
упомянув о Тарталье. С того момента Карда-
но и Тарталья в переписке почти не касались
математических тем и по большей части обме-
нивались оскорблениями. Кардано неизменно
A Нартрет Никко to Фон-
там,! (I'jpm.Libu) в одной ил
его кии; L.t Nuova S.ie»li.t,
опубликованной в 15-ffi году
и гилекящентш 6.1 i.iiii тике.
Гил лип ни чмть времени
Тарт. алия носе чтиtне ими-
елнию книг, .г yt.tauuto я ма-
те игтичел кик турнирах.
Ь-ыгодарч шини.чм и опыту
ему удаоалт t. побеждать
в Kuuxypt.ix. Наградой ему
были неболышм суммы денег
или рвекотный обед.
ЛО И41ТЕРК41О »
। Астрология играла важную роль во многие
моменты жизни Кардано. Так, он был заточен
в тюрьму за то, что составил гороскоп Христа
По легенде, он предсказал дату своей смерти
и совершил самоубийство, чтобы предсказание
сбылось.
По-видимому, безумие Кардано передалось
его потомкам: его старшего сына казнили за
то, что он отравил свою жену, а преступления
младшего сына были столь велики, что его отец
не осмеливался рассказывать о них, но лично
отрезал сыну уши перед тем как того заключи
ли в тюрьму.
В1512 году Брешия, родной город Тарталья,
был захвачен французами. Солдат, вооружен-
ный мечом, ворвался в дом Тартальи, и его
мать, чтобы защитить маленького Никколо, об-
хватила его руками Тем не менее удар пришел-
ся ему в лицо. От перенесенного потрясения,
а может, от полученной травмы Тарталья начал
заикаться. После этого его прозвали «заикой»
(в переводе с итальянского tartaglia означает
«заика»).
отвечал отказом на все предложения Тартальи
воротиться при свидетелях и разрешить спор.
В итоге политическое влияние Кардано оказа-
лось сильнее, и Таргалья был вынужден поки-
нуть сцену. I ктория оказалась несправедливой:
алгоритм решения кубических уравнений, кото-
рый, несомненно, принадлежи г Тарталье, изве-
стен как формула Кардано.
Переправа через реку
Известно множество вариантов этой задачи. В самом извест-
ном из них говорится о волке, козе и капусте, которых некоему
крестьянину нужно в целости и сохранности перевезти через
реку. Но в лодке вместе с крестьянином может находиться или
волк, или коза, или капуста. Тарталья придумал интересный
вариант этой задачи. В нем речь идет о трех прекрасных девуш
ках и их ревнивых возлюбленных, которым нужно перебраться
через озеро. У берега есть лодка, в которой могут поместиться
только двое. Сколько переправ нужно совершить, чтобы пере-
везти всех через озеро при условии, что ни одна из девушек не
должна оставаться в компании другого мужчины, если побли
зости нет ее возлюбленного7 Для трех пар нужно 11 поездок,
для двух пар — 5. Любопытно, но для четырех пар и более
задача не имеет решения.
42
М« ?ЕМя । ИМА
Привлекательность частичных систем вызвана не только интересом ко всему новому.
I lo-НАСТПНЩЕМУ примечательно, что хаос в природе не исключение, а правило.
Природа и хаос
Открытие непредсказуемого мира
Хаос всегда ассоциируется
с беспорядком, с чем-то пло-
хим. Согле.но этимило!ичс
скому словарю, слово «хаос» про-
исходит от древни реческою слова,
означавшею «расселина, мрачная
бедна бесконечное пространство,
су шествовавшее до сотворения ми-
ра >. Следовательно, система называется хаотич-
ной, если мы не можем се конгролировлт ь, но не
потому, что нам неизвестны се законы, а пото-
му, что их нет. Хаотичная система в математике
определяется несколько иначе. В частности, в ней
присутствует определенный порядок, гак как ха-
отичные системы строю подчиняются законам
природы и в эюы смысле ЯВЛЯЮ 1СЯ полностью
детерминированными Говоря простым языком,
в них происходит не все что у одно, а 1 о, что долж-
но происходить. Однако подобные системы столь
сложны, что их поведение нельзя предсказать даже
с помощью многочисленных и сложных математи-
ческих уравнений. Только в этом смысле эти си-
стемы являются непредсказуемыми и случайными.
Проше говоря, хаотичные системы являются п[>п-
сгны.чЛ, чувствиям чвмыми и определенными. Они
просты, так как описываются прос тыми ф- нкция-
ми, но их поведение может оказаться неожиданно
сложным. Они чувствительны к начальным усло-
виям, так как малейшее их изменение полностью
меняет поведение таких систем. Наконец, они яв-
ляются опрс уеденными, так как подчиняются пра-
во лам, законам. )iи законы описываются функци-
ями. которые определяют такие системы.
Двойной маятник
Сконструировать простой маятник несложно.
Достаточно найти основание, подвес и груз, ко-
торып Ьудст раскачиваться в разные стороны.
Столь простое устройство поможет нам изучит ь
колебания маятника. Поднимем труз на опреде
ленную высоту, затем отпустим его и понаблю-
даем за его движением. Маятник б' дет возвра-
щаться не в ту же точку 1де мы его отпусти .и,
а немного ниже. Если мы повторим этот экспери-
мент. всякий pas поднимая маятник на одну и гу
же высоту, то нам быстро наскучит это делать: ре-
зультаты опыта будут крайне пред-
сказуемыми. Хотя, как бы мы пи
старались, мы нс сможем постоян-
но отпускать маятник точно из од-
ной п той же точки, ио столь малые
изменения начальных условий экс-
перимента едва ли ощу гимо повли-
яют на результат.
Изменим форму маятника
и сконструируем так называемый
двойной маятник. Его очень просто
аитсиы чоляются v.wjjwv-
«ЦЖ УйМ WHhtHf MtAltA Hf-
бесносо mtu, тем быстрее
она деичсени ч. Вр< метлам
нримгисумак, на котором
движение нежных тел ста-
HOOitWt fl KfUpfdt КМ. tyfMI4.it,
t ot мм. i чет око to 20 *lw
мет Дг а крупных планет
и примерно </.идмлет th.v
малых. Однако ww wumw
нре& ка нег/et -
мы\ адег. юдемтыхтутннку
Сатурна Гппсрнону. более
чем на нгско и>ко чачю ниергд.
илоговить нз подручных материалов.
Повторим эксперимент. Подни-
мем маятник на определенную высо-
ту и отпустим. Нас сразу же удивит
траектория его движения — со-
всем нс такая гармоничная, как
траектория простого маятни-
ка. Движение маятника будет
странным и хаотнч*
Как извлечь пользу из хаоса
Интересным практическим применением теории
хаоса является акустический анализ. Предста-
вим, что мы хотим записать разговор двух людей
в номере старого отеля, где шум кондиционера
смешивается с голосами, и в итоге мы не можем
разобрать ни слова. Проанализируем запись
в лаборатории. Будем считать, что шум кондици-
онера — это звук, а голоса — шум, от которого
мы хотим избавиться. Шум кондиционера — от-
личный пример хаотичной системы, созданной
в нелинейной электрической цепи Мы знаем
ее законы, следовательно, мы можем опреде-
лить эту гистему и отделить шум от всех прочих
звуков, то есть от голосов. Теперь нам остается
только подавить определенные нами шумы,
и мы получим отчетливую запись разговора.
таковым оно прсдс гаст лишь из-за особенностей
нашего восприятия. Возможно, для какого-нн
будь экзотического насекомого в колебаниях
двойного маятника сокрыта некая г армоиня, не-
ведомая нам. Но мы несколько отвлеклись от те-
мы Было бы интересно заснять движение такого
маятника, а затем повтори п. эксперимент, под-
няв двойной маятник на ту же высоту. Мы мо-
жем измерить положение маятника, температуру
и вла иость воздуха в комнате и повторить экс-
перимент в то же самое время. Однако траекто-
рия маятника бкдет абсолютно непредсказуемой.
Если мы заснимем движение маятника и в этот
раз, то позу ченпые записи будут полностью раз-
личны, поскольку малейшее отклонение п начал;,
ных условиях имеет существенные последствия
для поведения системы. Это нельзя назвать опре-
деляющим признаком хаотичных систем, но тем
нс менее таким свойством обладают все хаотич-
ные системы На нем основан знаменитый «эф-
фект бабочки», который гласит, что взмах крыла
бабочки на охнем краю земли молст создать ци-
клон за тысячи километров от этого места.
Аттракторы
Несмотря на то, что хаотическое движение явля-
ется полностью непредсказуемым, оно подчиня-
ется детерминированным законам 11наче говоря,
движение может быть любым, но в определенных
рамках. С ксдоватсльно. существуют определен
ные зоны, куда стремятся траектории элементов
системы. Внутри этих зон. которые называются
аттракторами. находятся очаги си льнов нсста-
t>r зьности, где царствует хаос, но попадание ча-
стиц в эти зоны предсказуемо. Как бы ни бы хи
запутаны траектории движения частиц, они ни-
когда не пересекают сами себя и всегда заключе-
ны в границах аттрактора.
LA CONVERSE JON
4 Th* Caiivara-Btion I
GENE HACKMAN
John Cazale - Aten Garfigkj - Gndy Wtams
director FRANCIS FORD COPPOLA
Ч’ОвОр» вднн WJ
лучших фильмов Франсиса
Форда Коцполы. Вису
р,и< называется история
специалиста по npociy-
шквлннци ч уетройстс^м,
который запнсывл w д ю-
говор о парке и нс ыожет
ошдешто голоса от шума
на фоне. //арадехса зьно, но
при решении мной задачи
хаотичная природа шума
будет1 корсе помогать, чем
мешать.
PALMA DE CROodtl hn*r rccon.1 de CANNES
technicolor
Рагв-псхюг
▼ 1раекторпи в хаоти-
ческой системе непредска-
зуемые, но в до досрочной
перс пси тиле окальаиюшея
•амкнфными в границах
определенныхзон, называе-
мых аттракторами, На ри-
сунке изобра ViCH аттрактор
Ресслера, которы й обладает
нешнейная система, очень
Похожая на ту, что ксно »#*-
т метеоролог Эдвард
,/оренц при шс ледованни
Л.ЮПШЧНЫА CftCW&t. СМСЮС-
ма уравнений, мин ыа еющая
мпу систему, очень простая.
Ъно доказывает, чтохь/с
не является порождением
к,ttux-mo м. imcuamu чески
с южных процессов.
де
Открытие непредсказуемого мира
Английский матсма/и, 11эн Стюарт предло-
жил прекрасный пример, который помогает по-
нять природу аттракторов. Представьте себе
шарик для настольного тенниса, погруженный
в бурное морс на определенную глубину. Как
только мы отпустим шарик, он начнет всплывать
на поверл посты Затем он подпрыгнет над во-
дой и под действием силы тяготения снова опу-
стится на поверхность воды. Как только мы от-
пустили шарпь на него сразу начали действовать
всевозможные морские течения, под влиянием
которых его траектория изменялась. Когда шарик
подпрыгнл л над водой и начал снижаться, на не-
го стали оказывать воздействие различные пото-
ки воздуха. Траектория спуска н подъема не будет
прямолинейной, а окажется во многом непред-
сказуемой, но мы точно знаем, чем завершится
движение шарика, он будет плавать на поверхно-
сти воды, то есть в зоне аттрактора. Это не озна-
чает, что в пределах аттрактора движение шарика
будет предсказуемым. Шарпг будет хаотично дви-
гаться под действием волн и ветра, но не покинет
пределов аттрактора, которым является поверх-
ность воды. По i равнению с bi личиной шарика
поверхность моря («з трактора) имеет колоссаль-
ные размеры. В действительности это нс всегда
так, н размеры аттракторов могут быть намного
меньше.
Странный аттрактор
Можно сказать, что аттракторы в некотором
смысле представляют геометрию хаоса. В целом
существует три типа аттракторов: точка, окруж-
ность и тор (геометрическое тело в форме бубли-
ка). I1нымп словами, Tpaei тории частиц будут за-
► Законы рвстл папул чции
ручном хрущаку подробно
ИЗУ ченные группами маю -
гов, в 1997 году смыли mevou
зна ш нитон сюлтыл s жур-
нале Science (*Нлукл»}.
В статье ноказыаа госъ,
что законы его размноже-
ния хаотичны, но нчеют
аттрактор, которым яв-
ляется фракгмаюм. Зто ис-
следование в шутку пазка tu
Beeilemania (от анг шйского
Reet/e — .. н ул ». З.-ию ;и.ч
на Бе itlenuHia — « Битло-
илниям, вмооы, к группе ГЬе
Bellies).
ключены внутри одного из этих геометрических
тел. В теории хаоса их называют классическими
аттракторами. Однако существуют системы с ат-
тракторами других типов, которые имеют бо-
лее сложную форму и получили название стран-
ных аттракторов. Различие между классическим
и странным аттрактором в том. чгО последний
предстаг хяст собой фрактал. Вспомним, что
фрактал — это Структура, обладающая свойством
самоподобия, то сеть составленная из несколь-
ких частей каждая из которых подобна всей фи
гуре целиком. Например,окрлжнооь не обладает
-Я Затухающие вынужден-
ные xoiediHux начтнихл —
то колебании, вызываемые
внешней периодической си юй
и птухающие код деймеи-
ем сивы mpfuu. 1. Подобные
движения хаотичны, а их
лтгпряктор приставлен
н-iptu гнк. lx. H i рисунке
справа —увеличенное изо-
йрлженне и икитряции не
ва. Впадины аттр сктори,
покачнныг различными
цве’плми, разделены <6рак
таенными границами.
Цриродл и v.wr
65
подобным свойством: если взять произвольную
дугу и начать увеличивать ее, в какой-то момент
она станет больше похожа на отрезок прямой»
чем на дугу. Странные аттракторы были открыты,
когда при решении сложных дифференциальных
уравнений начали использоваться численные ре-
шения» найденные с помощью компьютеров. Они
появились столь неожиданно» что когда Лоренц
обнаружил первый странный аттрактор, то снача-
ла посчитал его ошибкой компьютера.
Со временем было обнаружено, что в стран-
ных аттракторах нет ничего « странного» в том
смысле, что они очень часто встречаются в при
роде. Поэтому их стали называть фрдкшальнымн
л мтра к шор. *мн.
Открытие аттракторов пробудило огром-
ный интерес к ним в научном мире. Аттракто-
ры стали предметом пристальною изучения нс
только в математике, но и в прикладных науках.
О них написано множество исследований, как
серьезных, так и имеющих сомнительную науч-
ную ценность. Темы подобных работ варьиру-
ются от возможности обнаружения аттракторов
в непредсказуемых биржевых системах до поис-
ка аттракторов среди номеров выигрышных лоте-
рейных билетов. Очень часто, как и в последнем
примере, многие путают хаотичные и полностью
случай н ые сне гем ы.
Вездесущий хаос
Первым математиком, который столкнулся с хао-
тичными процессами, скорее всего, был Анри
Пуанкаре (1854—1912), который занимался
решением задачи трех тел, взаимодействующих
согласно закону тяготения. Намного позже Эд-
вард Лоренц повторно открыл этот феномен, на
этот раз применительно к метсоролопш. По-
мимо этого он сформировал теоретическую ба-
зу и открыл для математиков своеобразную но-
вую территорию, которая с тех пор непрерывно
)Т0 H4IW4I0 »
► На электрокардиограм-
мах были обнаружены резкие
изменения сигналу которые
считаются прахе. 1сНи.чмн
хаоса. Подобные и ц/енекал»
которые моеуШ мгалтЛ
фатальными Jj.v пациента,
монсно также использовать
в терапевтических целях:
речи идет о так называемом
«хлогинческо и управлении
Сердце человека — хаотичная система. Ка-
залось бы с одной сгороны, это позволяет
сердцу возвращаться в нормальное состоя
ние после каких-либо изменений (например
вслед! гвие испуга) Однако г другой стороны,
это может стать причиной аритмии фибрнлля
ции и даже остановки сердца.
▼ В нашей Move также
проис кодят хюйнпные со-
бытия. Бы to доказано, что
они ингуш стать причиной
энтетин. В настоящее
время существуют способы
визуализации активности
мозга при выполнения
определенных действий и ш
во вре и.ч болезни. Ззпм дм
изображения были по сучены
i ко мощью позитронно-
»мйлионной зпоиогр,ирии:
слева — нор мяльный
справа — vflA’ больного эпи-
лепсией во время приступа.
Оборудование для смешивания красок проек
тируется так, чтобы движения его механизмов
были случайными. Так можно гарантировать,
что жидкость будет размешана полностью.
исследуется. Однако хаотичные системы встре-
чаются и в других естественных науках. Хаос —
отличительны и признак нелинейных сие гем.
Эти системы до недавнего времени считались
тяжеловесными и неинтересными, но теперь их
рассматривают в качестве моделей природных
процессов. Они встречаются повсюду. Так, ха-
ос можно найти в турбулентном течении жид-
костей, в расколе Кении ас героидов Солнечной
системы, в закономерностях роста популяции
насекомых, утечке воды из кр<ша, метаболизме
клеток, в химической реакции или колебани-
ях в электрических цепях. Также известно, что
поведение нашею мозга нс всегда описывается
линейной системой. Есть гипотеза, что лоннс*
скос мыш сенис. подчиняющееся причинно-след-
ственным связям, является сознательным выра-
жением механизма, который до этого управлялся
законами хаоса. Эта теория успешно использует-
ся при проектировании искусственных нейрон-
Лучшее от Генри Э. Дьюдени
Задачи о деньгах
1. На рынке
Н основывай. вою уверенность на деньгах,
а гучше храни кх в надежно» юн те.
Оливер Узндслл Холмс
Трос крестьян встретились на рынке, куда приш-
ли продавать скот,
— Смотри. — сказал Хода Дженксу. — я дам
тебе шесть моих свиней за одну из твоих лоша-
дей. и v тебя станет в дна раза больше животных,
чем у меня.
— Если ты хочешь вести дс то так — сказал
Дюрант Ходжу, — я дам тебе четырнадцать овец
за одну лошадь. н у тебя ока кется в три раза боль-
ше животных, чем у .меня.
— Я не остановлюсь на атом. — сказал Джейкс
Дюран 1 — Я лам тебе четырех коров за одну ло-
шадь. и у тебя будет в шесть раз больше живот-
ных, чем у меня.
Несомненно, это очень примитивный спое.,б
торговли, но было бы интересно узнать, сколько
же животных изначально было у Джейкса, Ход-
жа и Дюрннта.
2. Китайские деньги
Китайцы — странный наро\: многое они дела-
ют наоборот. Говорят, что они нс надавливают на
пилу, как мы. а пилят с нижней стороны и тянут
пилу вверх, и что они работают рубанком не «от
себя», а « к себе». Еще говорят, что сначала сип
сооружают крышу, а1 ж потом достраивают снизу
дом. Китайские деньги называются «лян». и их
ценность постоянно меняется. Лян с каждым ра-
зом становился все тоньше, п в итоге стопка из
A Сколько мивомныл. чрн-
веш н.1 рынок,J^eitKi, ХпЛж
и, 1юрлнгн?
2000 ляп стала иметь в высоту меньше грех дюй-
мов. В обращении находят! я монеты разной тол-
щины с круглыми, квадратными или треугольны-
ми дырками посередине, как показано на рисунке.
Их надевают па нить, как пуговицы. До-
плстим, что 11 монет с круглой дырой стоят
15 чин. чангов, 11 монете квадратной дырой сто-
ят 16 чинг-чангов, a 11 монет с треугольной ды-
рой стоят 17 чинг-чангов. Как я могу разменять
30 пенсов, используя только монеты зтих трех ви-
дов- Одни Ч1П1Т-ЧЛИГ стоит ровно 2 пенса и четы-
ре пятна уцатых чппг-чанга.
3. Домашняя бухгалтерия
Юная госпожа Перкинс Патин написала мне:
«Я была бы очень признательна, если бы вы по-
могли мне решить одну задачу, которая в послед-
нее время очень беспокоит меня. Мы с мужем не-
давно обвен'галпсь. Спустя хва года после того как
мы поселили, ь в нашем доме, муж сказал, что ис-
тратил треть годового дохода на арендную плату,
взносы и налоги, половину — на домашние рас
ходы, а хсвятл ю часть — на другие расходы. У не-
го осталось 190 фунтов в банке. 11оследнее я знаю
точно. Как го раз он забыл дома свою ianисную
книжку п я мельз зм взглянула в нее. Разве вам не
кажется, что муж должен полносз ью дов< рятк же-
не во всем, что касается двнег? Я считан., что дол-
жен. но сколь бы невероятным зто ни казалось, он
никогда нс говорил мне, насколько выросли его
доходы. Естес твенно. я хочу зто проверить. Мо-
жет! ли вы объяснить мне. как выросли его дохо-
ды. зная цифры, которые я вам сообщила?»
Разумеется. д!Ш11ь к, указанных госпожой Пер-
кинс, вполне достаточно, чтобы решить задачу.
11 почти все мои читатели, <?с .и будут дс йство-
вать невнимательно, назовут мне число, во мно-
го ра.з превышающее верный ответ.
41
4. Покупка яблок
Покупать яблоки понемногу всегда непросто,
и мне кажется уместным привести некоторые на-
блюдения по этому поводу. Все мы знаем историю
о смышленом парнишке, который, узнав, что тор-
говка продаст четыре яблока затри пенни, сказал:
« Вот ’то да! Четыре яблока за три пении! Значит,
три отдают за два пенни, два яблока — за одно од-
но — бесплатно. Возьму одно!»
Это не единственный случай, который может
сбить вас с толку. Например, как-то раз ребенок
взял яблоко ценой в один пенни, но когда узнал,
что груши идут по той же цене, поменял яблоко
на грушу и собрался уходить.
— Постой! — сказала ему торговка. — Ты нс
заплатил за грушу!
— Конечно же нс г, — oibl тн i мальчик. — Вза-
мен я дал вам яблоко.
— Ноты не заплатил з [яблоко!
— Боже мои! Вы хогигс, чтобы я заплатил
п за яблоко, и за грушу?
11 пика пожилая торговка пыталась
вникнуть во все эти хигросплегения,
мальчик исчез.
В нашей -адачс некий человек дал маль-
чику шесть пенсов и пообещал да гь еще, ес-
ли тог превратит шесть пенсов в девять. Ма
лыш вернулся спустя пять минут.
— У меня получилось превратить шесть неп-
сов в девять, — сказал ои протягивая три пенса
своему блат одетслю.
— Как у тебя это вышло? — спросил ом,
— Я купил яблок на три пенса.
— Но откуда же у тебя появилось девять
пенсов?
— Очень просто, — ответил ребенок. — Тор-
говка яблоками пол} ила три пенса, верно? У ме-
ня есть яблоки ценой в три пенса, и я только что
дал вам еще три пенса. Разве в сумме не получа-
ется девять?
Малыша опредс сеино следует научить пра-
вильно покупать яблоки. Я предлагаю читателю
Просту ю задачу на эту же тему
Торговка продавала яблоки грех сортов:
одчо яблоко первого сорта за 1 пенни, два
яблока второго сорта за 1 пенни и три
яблока третьего сорта за 1 пенни. Разу-
меется, два яблока второго сорта и три
яблока грегьыо сорта были равны по раз-
мерам одному яблоку первого сорта. Некий
джентльмен, у которого было норови, сыновей
н дочерей, дал им семь пенсов, чтобы они ку лили
яблок на всех. Н', кно разделить купленные ябло-
ки поровну между всеми детьми Как праы ,ьно
нот ратин, семь непсов, и сколько всего детей бы-
ло у джентльмена?
Решения
1. У Джейкса было 7 животных, у Ход-
жа — 11, у Дюранта — 21. Всего
39 животных.
2. Так как один чинг-чанг стоит ровно
2 пенса и четыре пятнадцатых чинг-
чанга, одиннадцать пятнадцатых чинг-
чанга должны стоить 2 пенса. Значит,
11 чинг-чангов стоят ровно 30 пенсов.
Для размена понадобится семь монет
с круглым отверстием и одна монета
с квадратным отверстием. Заметим, что
7 монет с круглым отверстием стоят семь
одиннадцатых от 15 чинг-чангов, а одна
монета с квадратным отверстием стоит
одну одиннадцатую от 16 чинг-чангов.
Получается, что 77 монет с круглыми
отверстиями равны 105 чинг-чангам,
а 11 монет с квадратными отверстия-
ми равны 16 чинг-чангам. Значит, 77
. круглых» монет плюс 11 < квадратна*
равны 121 чинг-чангу; 7 «круглых» монет
плюс 1 «квадратная» равны 11 чинг-
чангам, или 30 пенсам. На практике эти
расчеты куда проще, чем может пока-
заться из наших объяснений.
3. Если бы я не оговорил это особо, чита-
тели единогласно ска >али бы, что доходы
господина Перкинса равны 1710 фун-
там что совершенно неверно. Госпожа
Перкинс пишет: «Мы потратили грето его
годового дохода на аренду и прочее»,
то есть за два года они потратили некую
сумму, равную трети его годового дохо-
да. Обратите внимание: она говорит, что
эта сумма тратилась не ежегодно, а за
два года бели внимательно прочитать ее
объяснения, то мы получим единствен-
но возможнъ й ответ: доходы ее мужа
составляли 180 фунтов. Так, траты за два
года, в течение которых доход мужа воз-
рос до 360 фунтов, составили 60 фунтов
на аренду и прочее, 90 — на домашние
расходы, 20 — на остальное, и в банке
осталось 190 фунтов.
4. Так как у джентл! .мена было поровну
сыновей и дочерей, очевидно, что число
детей четное. В зависимости оттого,
насколько внимательно мы прочитаем
текст задачи, возможны три разных
ответа. Детей могло быть 2,6 или 14.
В первом случае яблоки можно купить
десятью разными способами. Но в этом
случае в задаче не говорилось бы о «сы-
новьях и дочерях», потому «то про сына
и дочь нельзя сказать «сыновья и доче-
ри». Поэтому такой вариант исключается.
Если детей четырнадцать то единствен-
но возможный способ — дать каждому
яблоко ценой в половину пенни. Но каж-
дый ребенок должен получить поровну
«яблок», то есто яблок, очевидно, было
несколько. Таким образом, этот вариант
также исключается. Вернемся к третьему
случаю, который удовлетворяет всем
заданным условиям Три мальчика и три
девочки получат по 1 яблоку ценой
в половину пенни и по 2 яблока ценой
в треть пенни. Стоимость этих 3 яблок
равна одному и одной шестой пенни.
Умножив это число на шесть, мы полу
чим семь пенсов Следовательно, ответ
будет таким: шестеро детей, три мальчи-
ка и три девочки
42
Существует множество шестигранных кубиков, но настоящими считаются только те, сумма чисел
на противоположных гранях которых равна семи. Головоломка, которую мы представляем в этом
ВЫПУСКЕ, ОЧЕНЬ ПОХОЖА НА ЭТИ КУБИКИ. СКОЛЬКИМИ РАЗНЫМИ CI1ОСОБАМИ МОЖНО ЕЕ СОБРАТЬ?
Жребий брошен
Игральный кубик
A куоик^ —
один П.1 Вариантов KdMfU-
hcikou гониюмики. пред
став генной американцем
.1н^ЖСС0 Гырф.КЛНОН в КОНЦе
Г/Д'нгк,!. [ругая похожая
eotueo whk.i 6t*aaсанами н-
тована примерно в 1900 го-
ду под названием Spoi puzzle,
что переводе. английского
о нлчает « Го шлоломка
< точками *.
Сколькими разными способами можно упо-
рядочить числа на гранях кубика? Допу-
стим мы хотим расположить числа от 1 до
6 на шести гранях кубика. Сра.-п же становится
понятно: м \а бы мы ни поместили число 1. мы
всегда можем развернуть кубик так. что это число
окажется на верхней грани. Если теперь мы рас-
положим на нижней грани 2, то остальные числа
можно расставить шестью разными способами.
Если же на нижней грани будет 3. подучим еще
шесть возможных вариантов. Аналогично и для
чисел 4, 5 и 6. Всего существует 30 возможных
способов расположения чисел от 1 \о 6 на гранях
кубика. Рассмотрим варианты расположения для
случая, когда на верхней грани находится число 1,
а на нижней — 2:
Однако числа на гранях кубика располагают-
ся не случайным образом. Как правило, сумма чи-
сел на противоположных гранях должна равнять-
ся 7. Таким образом, 1 и 6, 2 и 5, 3 и -4 должны
располагаться на противоположных гранях. Если
следовать этому правилу, то из 30 возможных ва-
риантов останутся только два, изображенные на
рисунке справа В первом случае грани с числами
1, 2,3 будут иметь общую вершину и располагать-
ся против часовой стр< лки. В другом случае грани
с числами 1. 2,3 также буду г иметь общую верши-
ну. но располагаться по часовой стрелке.
М ногогра нн ые
игральные кости
Мы привыкли, что игральная кость имеет
форму куба. Но куб — это лишь один из
многогранников. Существует множество
многогранников, любой из которых
можно использовать в качестве игральной кости, про-
нумеровав его грани. В ролевых играх обычно использу
ются игральные кости в форме правильных многогран-
ников. Правильных многогранников всего пять: тетраэдр
(с четырьмя гранями), куб (с шестью гранями), октаэдр
(с восемью гранями), додекаэдр (с 12 гранями) и икосаэдр
(с 20 гранями). Игральные кости в форме правильных -лногогран
ников имеют неоспоримое преимущество: любое число может выпасть
с одинаковой вероятностью, если кубик однородный и не имеет дефектов.
Шестигранные игральные кости —лишь частный случай игральных ко-
стей, для которых вероятность выпадения чисел на всех гранях одинакова.
В ролевых играх используются десятигранные кости, также обладающие
этим свойством, но они имеют форму не правильного многоугольника,
а пятиугольной бипирамиды.
Однако все возможные варианты на этом hl ia-
;.лнчпвак>1ся. Числа на гранях кубика представле-
ны точками, и 2 точки можно расположить вдоль
раинах диагоналей, равно как и S или 6 точек.
А я каждого из этих чисел существуют два во.:
модных расположения. Следовательно, для каж
доги из 30 вариантов расположения чисел суще
стиуег также 8 способов расположения точек на
кубике, го ecu. общее число вариантов равно 2 10.
Ес хи сумма чисел на противоположных гранях
должна равняться ”, то имеем 2 • 8 = 16 вариантов.
Рассмотрим эти 8 вариантов для кубика, в ко-
тором грани с числами 1, 2, 3 имеют общую вер-
шину и расположены против часовой стрелки
(эти частные случаи нашей 1 оловоломки на ри-
су нке выделены красным
цве том •
+3 + 4 + 5 + 6), то эле-
менты головоломки нуж
но расположить гак что-
бы все точки оказались
на внешних гранях. Каж-
дый элемент можно раз
местить 27 разными спо-
собами. Нужно, чтобы
точки на элементах го-
ловоломки повторя-
ли расположение точек
на настоящем играль-
ном кубике. Учитывая
эти ограничения, нетруд-
но видеть, что элемен-
ты 6 и 9 можно поместить единственным спосо-
бом: так. как показано на рисунке выше 11о этой
же- причине элемент” также можно расположить
единственным образом:
Решение
Прону меру см элсменгы t иловоломки ио числу то-
чек на них, от меньшего к большему
Подсчитав общее число точек на элементах го-
ловоломки, мы увидим, что их 21. Поскольку сум-
ма точек на гранях кубика также равна 21 1 + 2 +
11озиции остальных элементов также опреде-
ляются однозначно. Сл< довательно, головоломка
«Игральныйку бик» име-
ет только одно решение:
70
х
D^AGOSTINI представляет
Пропустили выпуск
любимой коллекции?
О Просто закажите его
на сайте
www.dea20stini.ru
Для украинских читателей — по телефону горячей линии 0-800-500-8-40
в киосках
Спрашивайте
Математика в навигации
Широта и долгота
Последний универсальный математик
Анри Пуанкаре
Льюис Кэрролл
Запутанный рассказ
В следующем выпуске через 2 недели
Шкатулка с секретом
* Топология
* Резиновая геометрия