Строительная механика - Довнар Е.П., Коршун Л.И.

Автор: Довнар Е.П. Коршун Л.И.

Теги: строительство строительные материалы строительно-монтажные работы теоретические основы строительства механика

Год: 1986

Похожие

Технология строительного производства. Курсовое и дипломное проектирование

Пневматические строительные конструкции

Строительные башенные краны

Строительные машины. Практические упражнения

Текст

ьпдоендр
Л И. КОРШУН
МЕХАНИКА
ЕПДОВНАР
Л.И.КОРШУН
СТРОИТЕЛЬНАЯ
МЕХАНИКА
Допущено Министерством высшего и среднего специального
образования БССР в качестве учебника для студентов вузов,
обучающихся по специальности «Строительство»
МИНСК
"ВЫШЭЙШАЯ ШКОЛА"
1986
ББК 38.112я73
Д58
УДК 69.04(075.8)
Рецензенты: кафедра «Строительная механика» ЛИСИ; А. Н. Раевский,
д-р техн, наук, профессор, зав. кафедрой «Строительная механика» Пензенского
инженерно-строительного института
Довнар Е. П., Коршун Л. И.
Д 58 Строительная механика: Учебник для вузов по спец. «Стр-во».—
M.H.: Выш. шк., 1986.— 310 с.: ил.
Изложены методы расчета статически определимых и статически неопределимых стерж-
невых систем на неподвижную и подвижную нагрузки. Даны основы расчета конструкций
по несущей способности; рассмотрены вопросы динамики и устойчивости сооружений.
2105000000—077
Д----------------31—86
М304(05)—86
ББК 38.112я73
2105000000—077
Д-----------------31—86
М 304(05)—86
© Издательство «Вышэйшая школа», 1986.
ОТ АВТОРОВ
Настоящий учебник написан в соответствии с програм-
мой для студентов инженерно-педагогических факультетов
вузов, обучающихся по специальности 1219 «Строительство».
При этом учтены как широкий профиль специальности, так и
сфера будущей трудовой деятельности инженер а-педагога-
строителя.
Авторы стремились излагать материал курса в простой и
доступной форме, переходя от простого к сложному.
В первом и втором разделах приведены методы расчета при
действии неподвижных и подвижных нагрузок статически опре-
делимых и статически неопределимых стержневых систем. Да-
ны краткие сведения о матрицах, используемых при решении
задач строительной механики. Определение перемещений, а
также расчеты наиболее распространенных стержневых систем
изложены в обычной и матричной формах.
В третьем разделе рассматриваются основные вопросы устой-
чивости и динамики сооружений, которые наиболее часто
встречаются в практике инженера-строителя. При изложении
этих вопросов авторы ограничились изложением устойчивости
стержней и стержневых систем в упругой стадии работы мате-
риала и динамическими расчетами систем при действии вибра-
ционной нагрузки.
Учебник может быть использован студентами и других строи-
тельных специальностей вузов, а также инженерами, занимаю-
щимися расчетом и проектированием строительных конструкций.
Главы 1, 3—7, 9—13, 16, 17, 20, 21 написаны канд. техн, наук
Е. П. Довнаром, а введение и главы 2, 8, 14, 15, 18, 19 — канд.
техн, наук Л. И. Коршуном.
Авторы выражают благодарность рецензентам — коллекти-
ву кафедры Ленинградского инженерно-строительного институ-
3
та, возглавляемой проф. А. М. Масленниковым, и проф. А. Н.
Раевскому за ценные советы и критические замечания, которые
способствовали улучшению содержания и структуры учебника.
Замечания и пожелания просим направлять по адресу:
220048, Минск, проспект Машерова, 11, издательство «Вышэй-
шая школа».
ВВЕДЕНИЕ
Строительная механика — одна из общеинженерных наук,
изучающая принципы и методы расчета различных сооружений
на прочность, жесткость и устойчивость. В широкой трактовке
строительная механика включает такие дисциплины, как сопро-
тивление материалов, строительная механика стержневых си-
стем, строительная механика пластин и оболочек, теория упру-
гости, теория пластичности и теория ползучести. При изложе-
нии настоящего курса в понятие строительной механики вкла-
дывается более узкий смысл: строительная механика стержне-
вых систем.
В этом понимании строительная механика отличается от со-
противления материалов тем, что в ней рассматриваются рас-
четы не отдельных элементов, а систем стержней (сооружений
или конструкций), частными случаями которых могут являться
балки, стержни с криволинейной осью (арки), гибкие стержни
(ванты) и т. д.
В теориях упругости, пластичности и ползучести расчет кон-
струкций ведется в более точной постановке, чем в сопротивле-
нии материалов и строительной механике. При этом в теории
упругости рассматриваются случаи работы материала только в
упругой области, а в теории пластичности — при пластических
деформациях. В теории ползучести учитывается развитие упру-
гопластических деформаций во времени. В то же время четко
разграничить задачи, решаемые в той или иной из упомянутых
дисциплин трудно.
Строительная механика включает следующие разделы: ста-
тику сооружений (расчет на прочность при действии статиче-
ской нагрузки); теорию устойчивости сооружений (методы рас-
чета на устойчивость); динамику сооружений (определение ди-
намических характеристик и расчет на прочность и жесткость
при действии динамических нагрузок).
Строительная механика тесно связана с. такими науками,
как математика, физика, теоретическая механика и сопротивле-
ние материалов. Кроме того, теоретические методы строитель-
ной механики широко используют результаты испытаний соору-
жений (как на моделях, так и в натуре), а также результаты
продолжительных наблюдений за ними в период эксплуатации.
5
Следовательно, она является наукой экспериментально-теорети-
ческой. Строительная механика служит теоретической базой
для освоения курсов строительных конструкций (металлических,
железобетонных, деревянных и других), мостов, дорог.
Данное выше определение строительной механики как науки
однозначно определяет ее общую задачу. В то же время следует
выделить и частные слагаемые этой задачи.
Одной из частных задач является определение усилий в эле-
ментах конструкций при действии как статической, так и дина-
мической нагрузок, другой — определение деформаций и пере-
мещений элементов и конструкции в целом. Решение ее обеспе-
чивает выполнение требований жесткости конструкций.
При современных масштабах капитального строительства
особое значение приобретает снижение материалоемкости и
стоимости сооружений при соблюдении требований к их надеж-
ности в период эксплуатации. Строительная механика вместе с
другими науками дает теоретическую базу для создания и ис-
пользования в проектной практике методов и алгоритмов рас-
чета и проектирования оптимальных строительных конструкций,
т. е. строительных конструкций, удовлетворяющих заданным
критериям оптимальности. Это быстро развивающееся научное
направление в скором будущем займет должное место в курсах
строительной механики.
Методы строительной механики базируются на ряде принци-
пов и допущений. Наибольшее распространение в связи с ши-
роким использованием ЭВМ находят точные, аналитические
методы расчета. К ним относятся так называемые классические
методы расчета статически неопределимых систем: метод сил,
метод перемещений и смешанный метод.
Остановимся на основных этапах развития строительной ме-
ханики как науки. В начальный период развития (XV—XVI вв.)
она была неотделима от общей механики, основоположником
которой по праву считается великий художник, мыслитель и ин-
женер Леонардо да Винчи (1452—1519).
Начало развития строительной механики связывается с име-
нем знаменитого физика, астронома и математика Галилео Га-
лилея (1564—1642). В 1638 г. им были опубликованы «Беседы
и математические доказательства, касающиеся двух новых от-
раслей науки», где заложены основы новых наук о прочности
и динамике.
Плодотворно работали в этой области М. В. Ломоносов
(1711—1765) и Л. Эйлер (1707—1783), И. П. Кулибин (1735—
1818), а также известные зарубежные ученые Р. Гук, Я. Бер-
нулли, Ш. Кулон, Ж.-Л. Лагранж, позже — К- Кульман, Б. Сен-
Венан, Д. К. Максвелл, Б. П. Клапейрон, О. Мор, Е. Бетти,
А. Кастильяно и др. Как самостоятельная наука строительная
механика стала развиваться в первой половине XIX в., когда
6
началось интенсивное строительство железных дорог и мостов,
промышленных предприятий, что повлекло за собой необходи-
мость расчета и возведения различных строительных конструк-
ций достаточно больших размеров, подверженных действию
разнообразных силовых и других факторов.
Значительные достижения строительной механики связаны
с именами русских ученых и инженеров. Так, Д. И. Журавский
(1821—1891) впервые разработал теорию расчета мостовых
ферм как шарнирно-стержневых систем и создал теорию каса-
тельных напряжений при изгибе, Ф. С. Ясинский (1856—
1899) — основы расчета стержней на устойчивость и простран-
ственных ферм. Существенное развитие теория расчета ферм
получила в трудах ученых и выдающихся инженеров-мостови-
ков Н. А. Белелюбского (1845—1922) и Л. Д. Проскурякова
(1858—1926).
Большую роль в развитии отдельных разделов строительной
механики (графостатики, основ теории статически неопредели-
мых систем, теории упругого подобия и др.) сыграли работы
талантливого педагога и ученого В. Л. Кирпичева (1845—1913).
В истории отечественной науки и техники видное место за-
нимает инженер-изобретатель В. Г. Шухов (1853—1939). Он
внес большой вклад в решение многих проблем строительной
механики, в том числе обосновал методику расчета и разрабо-
тал конструкции сетчатых и сводчатых покрытий.
Дальнейшее развитие строительной механики, как и всей
отечественной науки, началось после победы Великой Октябрь-
ской социалистической революции,
В этот период значительное развитие получила теория расче-
та сложных статически неопределимых систем в трудах П. Л.
Пастернака, И. П. Прокофьева, А. А. Гвоздева, С. А. Бернштей-
на, Б. Н. Жемочкина, Н. И. Безухова, Б. Н. Горбунова, И. М.
Рабиновича, А. А. Уманского, П. Ф. Попковича, Н.С. Стрелец-
кого, В. А. Киселева, Н. К. Снитко, А. П. Филина и др.
Ценный вклад в создание и развитие .теории устойчивости
сооружений внесли И. Г. Бубнов, С. П. Тимошенко, А. Н. Дин-
ник, Н. В. Корноухое, С. Д. Лейтес, А. Ф. Смирнов, А. Р. Ржа-
ницын, Н. К- Снитко, А. С. Вольмир, Ю. Н. Роботнов, А. В. Гем-
мерлинг, Р. Р. Матевосян.
Существенное развитие получили теория колебаний дефор-
мируемых тел и методы динамического расчета сооружений в
трудах И. М. Рабиновича, К. С. Завриева, А. П. Синицына,
Я. Г. Пановко, Б. Г. Коренева, А. Ю. Ишлинского, В. В. Боло-
тина, О. В. Лужина и др.
Началу широкого использования ЭВМ и матричных алгорит-
мов при расчете конструкций способствовали труды А. Ф.
Смирнова, А. П. Филина, А. А. Чираса, А. М. Масленникова
и др.
7
Ведущее место занимают советские ученые в вопросах раз-
работки и применения вероятностных методов в строительной
механике и исследования надежности конструкций (Н. С. Стре-
лецкий, А. Р. Ржаницын, В. В. Болотин и др.).
Развитие в настоящее время теории оптимизации в строи-
тельной механике во многом определяется также работами со-
ветских ученых (К. М. Хуберян, Ю. А. Радциг, А. И. Виногра-
дов, А. А. Чирас, Д. А. Мацюлявичюс, А. П. Чижас, А. Н. Ра-
евский и др.).
Перспективным и важным является также новое направле-
ние строительной механики, в котором расчет сооружений осу-
ществляется с учетом вероятностного характера изменения тех
или иных парамеров (нагрузок, свойств материалов и др.) [8].
Одним из новых, с точки зрения эффективного использования
ЭВМ, методов расчета сложных конструкций является метод
конечных элементов [1.8].
В решение многочисленных проблем строительной механики
большой вклад вносят советские ученые.
Раздел первый
СТАТИЧЕСКИ
ОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
Глава 1
РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ.
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
СООРУЖЕНИЙ
1.1. ПОНЯТИЕ О РАСЧЕТНОЙ
СХЕМЕ СООРУЖЕНИЯ
При расчете сооружений с целью
его упрощения действительные со-
оружения заменяют их расчетны-
ми схемами — упрощенным изобра-
жением реального сооружения. При-
менение этих схем обусловлено тем,
что расчет самых простых конст-
рукций при полном учете всех
факторов, оказывающих влияние на
их напряженное состояние, может
оказаться непригодным практиче-
ски из-за громоздкости.
На рис. 1.1, а показана пример-
ная конструктивная схема свободно
опертой балки, уложенной на опор-
ные подушки. Полная длина балки
обозначена L, а расстояние между
линиями опорных реакций (расчет-
ный пролет) — I. Расчетная схема
однопролетной балки с шарнирны-
ми опорами приведена на рис. 1.1, б.
На опорах принимаются идеаль-
ные шарниры, обеспечивающие сво-
бодный поворот опорных сечений
балки, что позволяет при определе-
нии усилий пренебречь силами тре-
ния в опорных частях.
В расчетной схеме свободно опер-
той плоской фермы (рис. 1.2) ее
стержни заменяются их геометриче-
скими осями. Считается, что внеш-
ние нагрузки и все стержни нахо-
дятся в одной плоскости, а оси
стержней в узлах пересекаются в
одной точке — центре узла. Пред-
полагается идеальное шарнирное
соединение стержней в узлах. Не-
подвижная и подвижная опоры при-
нимаются также идеально шарнир-
ными. Силами трения в шарнирах
пренебрегают.
Выбор расчетной схемы — важ-
ный и ответственный этап расчета.
Пренебрегая второстепенными фак-
торами, необходимо выделить ос-
новные, которые являются опреде-
ляющими в работе данного соору-
жения. В целом расчетную схему
выбирают так, чтобы была обеспе-
чена простота расчета и в то же
время не искажался действитель-
ный характер работы элементов
проектируемого сооружения.
При расчете сложных сооруже-
ний может быть применено несколь-
ко расчетных схем. Вначале прини-
мают простую схему, по которой оп-
ределяют усилия для предваритель-
ного подбора сечений, а затем более
сложную и точную для оконча-
тельного расчета сооружения.
Расчетные схемы тех или иных
сооружений нельзя рассматривать
как нечто неизменное. Они являются
показателем уровня развития строи-
тельной механики. Внедрение в ра-
счетную практику ЭВМ позволяет
пересматривать принимавшиеся ра-
9
Рис. 1.2
нее расчетные схемы, более полно
учитывать факторы, влияющие на
распределение усилий в элементах.
1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ РАСЧЕТНЫХ
СХЕМ
По геометрическому признаку
сооружения разделяются на три ос-
новные группы.
Стержневые системы —
это сооружения, образованные из
взаимосвязанных между собой эле-
ментов, у которых длина значитель-
но превышает размеры поперечных
сечений. Примером простейшей
стержневой системы является од-
нопролетная балка. В зависимости
от характера структуры стержневые
системы могут рассматриваться как
плоские или пространственные. Пло-
скими называются такие системы,
в которых оси всех стержней, вклю-
чая опорные, и линии действия
внешних сил лежат строго в одной
плоскости (рис. 1.3). К пространст-
венным относятся системы, в кото-
рых это условие не соблюдается
(рис. 1.4).
Плиты, пластинки, обо-
лочки характеризуются тем, что
длина и ширина элемента значи-
тельно превышают его толщину
(рис. 1.5).
Массивы, блоки — это те-
ла, имеющие примерно одинаковые
размеры по всем трем направле-
ниям.
По кинематическому признаку
может быть выделено четыре типа
сооружений.
ю
Геометрически неизме-
няемые, статически опре-
делимые системы содержат
минимально необходимое число ки-
нематических связей, обеспечиваю-
щих неподвижность системы. В них
изменение формы возможно только
вследствие деформаций материала.
Геометрически неизме-
няемые, статически неоп-
ределимые системы име-
ют избыточные (лишние) связи
сверх минимально необходимых,
обеспечивающих геометрическую
неизменяемость системы.
Различают также геометри-
чески изменяемые (меха-
низмы) и мгновенно изме-
няемые системы.
Стержневые сооружения — гео-
метрически неизменяемые системы.
В зависимости от характера со-
единения элементов различают с о -
оружения с шарнирными
узлами (рис. 1.2), с жестки-
ми узлами (рис. 1.3) и ком-
бинированные (рис. 1.6).
По направлению опорных реак-
ций могут быть сооружения
безраспорные и распор-
ные. Безраспорными называют
системы,' в которых при вертикаль-
ной нагрузке возникают только вер-
тикальные реакции. К распорным
относятся системы, в которых при
действии вертикальной нагрузки
возникают горизонтальные состав-
ляющие опорных реакций.
1.3. ОПОРЫ плоских
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Опорами называют устройства, с
помощью которых передаются на-
грузки на другие конструкции или
на основание. Как правило, опоры
являются пространственными кон-
струкциями. В случаях, когда по ха-
рактеру работы сооружения рас-
сматриваются как плоские систе-
мы, плоскими считаются и опоры,
так как составляющие опорных ре-
акций лежат в одной плоскости,
совпадающей с плоскостью системы.
Шарнирно-подвижная опора (на
рис. 1.7 показаны конструктивная
(а) - и расчетная (б) схемы) вклю-
чает верхний и нижний балансиры,
между которыми находится цилинд-
рический шарнир С. Нижний балан-
сир опирается на катки и может пе-
ремещаться линейно по опорной
плоскости в направлении М—N.
Опора обеспечивает свободный по-
ворот системы вокруг оси цилинд-
рического шарнира, линейное пе-
ремещение в направлении М—N и
препятствует поступательному пе-
ремещению по нормали к опорной
плоскости. При расчете силами
трения на поверхностях цилиндри-
ческого шарнира С и катков обыч-
но пренебрегают. Поэтому опорная
реакция будет проходить через
центр шарнира С перпендикулярно
к верхней плоскости опорной по-
душки.
Расчетную схему опоры принима-
ют в виде стержня с двумя идеаль-
ными шарнирами, в которых отсут-
11
Рис. 1.7
Верхний
балансир
нижний
балансир
Цилиндрический
\ шарнир г-—
Рис. 13
ствуют силы трения. Стержень АВ
расположен в плоскости системы
перпендикулярно к опорной подуш-
ке и допускает поворот системы во-
круг шарнира В, а также поступа-
тельное ее перемещение по дуге
окружности вследствие поворота
стержня АВ вокруг шарнира А. Так
как линейные перемещения незначи-
тельны, то бесконечно малый эле-
мент окружности можно рассматри-
вать как прямую, и принятая схема
будет полностью отображать усло-
вия, в которых находится действи-
тельная опора. Шарнирно-подвиж-
ные опоры называются также ци-
линдрическими подвижными.
Шарнирно - неподвижная
опора, конструктивная и расчет-
ная схемы которой показаны на
рис. 1.8, а, б, отличается от подвиж-
ной тем, что нижний балансир жест-
ко скреплен с основанием. Она не
допускает линейных перемещений
по направлению М—N и по норма-
ли к плоскости М—N, а лишь обес-
печивает возможность поворота си-
стемы вокруг оси цилиндрического
шарнира С. Такую опору называют
иначе цилиндрической неподвиж-
ной. Опорная реакция R проходит
через центр шарнира С и может
иметь любое направление. При ра-
счетах ее заменяют двумя состав-
ляющими, одна из которых V на-
правлена по вертикали, а вторая
Н — по горизонтали.
Расчетную схему шарнирно-не-
подвижной опоры принимают в виде
двух опорных стержней, которые
препятствуют линейному перемеще-
нию системы и вместе с тем допу-
скают поворот ее вокруг центра
шарнира Л (рис. 1.8,6).
Обычные конструкции в боль-
шинстве случаев укладываются на
неподвижные опорные подушки. Ес-
12
Рйс. 1.9
ли опорные сечения могут повора-
чиваться при изгибе конструкции,
опоры принимают цилиндриче-
скими.
Защемляющая неподвиж-
ная опора (заделка) выполняет-
ся путем плотного защемления
опорной части конструкции и не до-
пускает ни ее линейных перемеще-
ний, ни поворота (рис. 1.9, а). Услов-
но такую опору показывают, как на
рис. 1.9, б.
Расчетная схема опоры может
быть представлена тремя стержня-
ми (рис. 1.9, в), которые соответст-
вуют трем неизвестным составля-
ющим опорной реакции: Va, Vb, Н.
В практических расчетах за неизве-
стные удобно принимать сосредото-
ченные силы Н, V= VB—Va и сосре-
доточенный момент М = VaQ>.
На рис. 1.9, г изображены кон-
структивная и расчетная схемы ред-
ко используемой в строительной
практике защемляющей подвижной
опоры.
1.4. ВИДЫ НАГРУЗОК
По продолжительности воздейст-
вия на сооружение различают п о -
стоянные и временные
нагрузки. Постоянной является на-
грузка от собственного веса кон-
струкции, а также от веса других
конструкций, опирающихся на дан-
ную. К временным относятся на-
грузки, которые действуют только
в определенный период времени (на-
грузка от ветра, снега и др.).
По характеру действия во време-
ни нагрузки бывают статиче-
ские и д и н а м и.ч е с к и е. На-
грузку считают статической, если ее
13
значение, место приложения и на-
правление изменяются очень мед-
ленно, т. е. эта нагрузка передается
на сооружение плавно, без толчков
и вибраций. Динамические нагруз-
ки быстро изменяют свое значение,
а часто направление и место при-
ложения, вызывая толчки и колеба-
ния систем.
Нагрузки бывают неподвиж-
ные и подвижные. Подвиж-
ные (поезд, автомобиль и др.), как
правило, являются динамическими.
Все действующие на сооружения
нагрузки нормированы строитель-
ными нормами и правилами.
Расчет отдельных элементов и со-
оружений в целом выполняется при
наиболее невыгодном сочетании по-
стоянных и временных нагрузок.
Усилия в элементах могут быть
вызваны не только воздействием
внешней нагрузки, но и другими)
факторами: изменением температу-
ры, осадкой опор, усадкой бетона,
предварительным натяжением арма-
туры и др. Первые два фактора
можно отнести к временным воздей-
ствиям, последние — к постоянным.
1.5. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
СООРУЖЕНИИ
Цель анализа. Прежде чем при-
ступить к расчету, необходимо уста-
новить, является ли рассматривае-
мая система геометрически неизме-
няемой, что характеризуется
неизменяемостью ее формы и не-
подвижностью относительно осно-
вания.
На рис. 1.10 показаны две анало-
гичные по форме системы. Переме-
щения системы а обусловлены
только наличием деформаций эле-
ментов. Кинематических перемеще-
ний (перемещений ее как механиз-
ма) она не имеет, что обеспечивает-
ся достаточным количеством свя-
зей и их правильной расстановкой.
Следовательно, система а геометри-
чески неизменяема. Система б под
действием нагрузки придет в дви-
жение и может существенно изме-
нить свою форму при отсутствии де-
формаций элементов. Объясняется
это тем, что в ней нет достаточного
количества связей. Следовательно,
система б геометрически изменяе-
мая (механизм).
Кроме того, кинематический ана-
лиз позволяет установить, определи-
ма или неопределима статически
рассматриваемая система, выявить
характер образования ее структуры,
дать оценку значимости отдель-
ных элементов в работе соору-
жения.
Степень свободы плоской стерж-
невой системы. Расчетные схемы
многих сооружений могут быть
представлены в виде системы гео-
метрически неизменяемых плоских
тел (дисков), соединенных между
собой и с основанием связями. Роль
диска может выполнять отдельный
стержень или геометрически неиз-
меняемая система.
Предположим, что диск может
свободно перемещаться в плоскости
(рис. 1.11). Его положение относи-
тельно произвольной неподвижной
системы координат определяется
тремя независимыми переменными,
например координатами х и у ка-
кой-либо точки А и углом наклона
а некоторой прямой, проходящей
через эту точку.
Количество независимых гео-
метрических параметров, определя-
ющих положение тела или системы
тел в плоскости или пространстве,
называют числом степеней свободы
тела или системы.
14
Таким образом, плоский диск име-
ет три степени свободы. Если со-
единить его с основанием тремя
опорными стержнями, он лишится
подвижности (рис. 1.12). Значит,
каждый опорный стержень соответ-
ствует одной кинематической свя-
зи, а минимально необходимое чи-
сло опорных стержней для закреп-
ления плоского диска равно трем.
Соединяющие диски шарниры
препятствуют их перемещению и то-
же являются кинематическими свя-
зями. Два диска, соединенные ци-
линдрическим шарниром В (рис.
1.13), не могут перемещаться ли-
нейно независимо друг от друга.
Диск 2 может только поворачивать-
ся вокруг шарнира независимо от
диска 1. Если бы диски не были
связаны шарниром, их общее чис-
ло степеней свободы 2-3=6, а при
наличии шарнира 3+1=4. Из этого
следует, что шарнир, соединяющий
два диска, исключает две степени
свободы (6—4) =2 и является оди-
ночным, или простым.
Шарниры, соединяющие несколь-
ко дисков, называются сложными
или кратными. Сложные шарниры
рассматриваются как соответствую-
щее количество простых шарниров.
На рис. 1.14 показано соединение
одним шарниром трех дисков. Если
принять, что диск 1 перемещается
линейно и поворачивается вокруг
шарнира, то диски 2 и 3, независи-
мо от диска 1, могут только пово-
рачиваться. Число степеней свобо-
ды 3+1+ 1 = 5. Число степеней сво-
боды, уничтоженное шарниром,
3-3—5 = 4. Это двойной шарнир.
Он эквивалентен двум простым
шарнирам. Кратность шарнира на
единицу меньше числа соединяемых
дисков (в нашем случае 3—1 = 2).
На основании изложенного мож-
Р и с. 1.10
Рис. 1.13
15
Рис. 1.14
но получить формулу для опреде-
ления числа степеней свободы пло-
ской системы. Обозначим число ди-
сков в системе Д, число шарниров,
соединяющих диски, Ш, число опор-
ных стержней Соп. Общее число
степеней свободы всех дисков без
учета связей будет ЗД, так как
плоский диск имеет три степени
свободы. Каждый простой шарнир
эквивалентен двум кинематическим
связям, и число степеней свободы
системы уменьшится на 2Ш. Каж-
дый опорный стержень даст одну
кинематическую связь, и число сте-
пеней свободы уменьшится на Соп.
Таким образом, число степеней сво-
боды системы, составленной из ди-
п=ЗД — 2Ш—Соп. (1.1)
Число степеней свободы является
важным показателем, позволяющим
установить, обеспечивается ли гео-
метрическая неизменяемость систе-
мы: если п>0, система геометриче-
ски изменяема (механизм); п=0 —
система содержит минимально не-
обходимое число связей для обес-
печения ее геометрической неизме-
няемости; п<0 — система имеет
лишние связи сверх минимально
необходимых.
Геометрически неизменяемые и
неподвижные системы должны удов-
летворять условию:
ЗД-2Ш-СОП = 0, (1.2)
или
ЗД — 2Ш — Соп < 0. (1.3)
Для удобства пользования форму-
лой (1.3) обозначим число лишних
связей Л.
Так как Л=—п, то, согласно фор-
муле (1.1),
Л=2Ш + СОП-ЗД. (1.4)
Если система не имеет опорных
стержней, то число степеней свобо-
ды характеризует взаимную подвиж-
ность элементов (ЗД—2Ш) и по-
движность системы в плоскости как
диска. Необходимыми условиями
геометрической неизменяемости та-
ких систем на основании формул
(1.2) и (1.3) являются:
для систем, не имеющих лишних
связей,
ЗД — 2Ш — 3 = 0; (1.5)
для систем с лишними связями
ЗД-2Ш — 3<0. (1.6)
Пример 1. Установить число степеней
свободы балки, приведенной на рис. 1.15:
Д=4; Ш=3; Соп=6.
Решение. По формуле (1.1)
п = 3-4 —2-3 —6 = 0.
Система обладает минимально необходи-
мым числом связей.
Пример 2. Найти число степеней свобо-
ды рамы, приведенной на рис. 1.16: Д=2;
Ш=1; Соп = 6.
Решение.
п = 3-2 —2-1 — 6 = —2 < 0.
Система имеет лишние связи: Л=2.
Пример 3. На рис. 1.17 изображена ком-
бинированная система. Необходимо устано-
вить степень ее подвижности tip и Д=8;
Ш=12; Соп=3 (цифры на схеме указыва-
ют кратность шарниров).
Решение.
и = 3-8 — 2-12 — 3 = —3 < 0.
Система содержит лишние связи: Л=3.
Степень свободы шарнирно-стерж-
невой плоской системы. Шарнир-
но-стержневыми называются си-
16
стемы, соединение элементов в узлах
которых осуществляется посредст-
вом сквозных (полных) шарниров.
Число степеней свободы таких си-
стем можно определить по форму-
лам (1.1) — (1.6), но практически
удобнее пользоваться другими.
Положение точки А в плоскости
определено, если известны две ее
координаты х и у (см. рис. 1.11).
Следовательно, согласно данному
ранее определению, материальная
точка в плоскости обладает двумя
степенями свободы.
На рис. 1.18 показана шарнирно-
стержневая система. Если считать
центры шарниров отдельными точ-
ками, не связанными друг с другом
стержнями, то каждая из них бу-
дет иметь в плоскости две степени
свободы. Стержень С, соединяю-
щий узлы А и В, обеспечивает со-
хранение между ними постоянного
расстояния, т. е. он эквивалентен
одной кинематической связи. Если
обозначить число узлов системы У,
то общее число степеней свободы
всех узлов, не связанных между
собой стержнями, рарно 2 У. Каж-
дый стержень системы, включая
опорные, уменьшает число степеней
свободы на единицу. Таким обра-
зом, общее число кинематических
связей равно С+Соп и формула для
определения числа степеней сво-
боды шарнирно-стержневой систе-
мы имеет вид
п=2У-С-Соп. (1.7)
Если система содержит лишь ми-
нимально необходимое число свя-
зей для обеспечения ее неизменяе-
мости и неподвижности относитель-
но основания, то
п = 2У —С—Соп= О, (1.8)
или
С + С0Л = 2У. (1.9)
2. Зак. 1840
Рис. 1.16
Количество лишних связей сверх
минимально необходимых
Л=С+СОП-2У. (1.10)
Если система не имеет опорных
закреплений, то число степеней сво-
боды характеризует взаимную под-
вижность элементов (2У—С) и под-
вижность системы в целом в ее пло-
скости как диска. Для систем, не|
имеющих лишних связей, на осно-
вании формулы (1.8)
2Y — С — 3=0; (1.11)
для систем с лишними связями
2Y — С — 3<0. (1.12)
Образование геометрически не-
изменяемых плоских систем. При-
веденные выше формулы для оп^е-
. „БЕЛМ2С .7 ' ' .
Рис. 1.19
Рис. 1.21
Л
Рис. 1.22
деления числа степеней свободы
систем выражают лишь необходи-
мые условия обеспечения их гео-
метрической неизменяемости. Эти
условия необходимы, но недостаточ-
ны. Окончательно судить о неизме-
няемости системы можно только
после анализа ее структуры, выяв-
ления характера соединений от-
дельных дисков, установления ко-
личества и расположения опорных
стержней. Системы, изображенные
на рис. 1.19 и 1.20, имеют одинако-
вое число дисков, шарниров и опор-
ных стержней, т. е. Д=3, Ш=2,
Соп=5. По формуле (1.1) п=3-3—
—2-2—5 = 0. Анализ же показы-
вает, что первая система геометри-
чески неизменяема и вполне
пригодна для практического приме-
нения, в то время как вторая гео-
метрически изменяема и, следова-
тельно, неприменима в качестве
инженерного сооружения.
Ниже приведены простейшие спо-
собы образования геометрически не-
изменяемых плоских систем.
К геометрически неизменяемой
системе или диску (рис. 1.21) при
помощи двух стержней 1 и 2 может
быть присоединен узел А. При этом
шарниры А, В и С не должны ле-
жать на одной прямой.
Если к геометрически изменяе-
мой системе из двух дисков 1 и 2,
соединенных шарниром А, при по-
мощи шарниров присоединяется
диск ВС, прямая ВС не должна
проходить через шарнир А (рис.
1.22). Два диска 1 и 2 соединяются
между собой тремя стержнями, оси
которых не должны пересекаться в
одной точке (рис. 1.23). ч
При невыполнении указанных ус-
ловий соединения дисков образуе-
мые системы могут оказаться мгно-
венно изменяемыми (см. с. 20).
Рис. 1.24
18
К геометрически изменяемой си-
стеме из двух дисков 1 и 2, имею-
щей одну степень свободы, при по-
мощи трех стержней шарнирно при-
соединяется узел А. При этом шар-
ниры В, С и D не должны принад-
лежать одному и тому же диску
(рис. 1.24).
Таким образом, проверка гео-
метрической неизменяемости систе-
мы включает два этапа: 1) опреде-
ление числа степеней свободы си-
стемы; 2) определение способа об-
разования структуры системы и ана-
лиз условий опорных закреплений.
Проведем анализ геометрической
структуры некоторых систем, число
степеней свободы которых равно
нулю.
Система на рис. 1.25, а имеет
сравнительно простую геометриче-
скую структуру. Способ ее образо-
вания можно установить, мысленно
расчленив балку в промежуточных
шарнирах, т. е. в точках В, D и
F. Консоль АВ остается неподвиж-
ной, в то время как остальные эле-
менты могут поворачиваться во-
круг своих опорных стержней. Зна-
чит, консоль АВ является основным
несущим элементом, на который
опирается примыкающая балочка
BCD, на ее консоль опирается сле-
дующая и т. д. На рис. 1.25, б по-
казана схема образования балки.
На рис. 1.26, а изображена трех-
пролетная рама, средняя часть ко-
торой BEFKC является геометри-
чески неизменяемой и неподвижной,
а крайние диски АЕ и DK опира-
ются на нее. В этом легко убедить-
ся, если расчленить раму в шарни-
рах Е и К. Рама BEFKC останется
неподвижной, а диски АЕ и DK
придут в движение. Расчленив си-
стему сечением в шарнире Г, полу-
чим две геометрически изменяемые
Рис. 1.27
системы. Схема образования рас-
сматриваемой рамы показана на
рис. 1.26, б.
В шарнирно-стержневой системе
(рис. 1.27) диски AFC и ВСК обра-
зованы путем присоединения к гео-
метрически неизменяемой фигуре,
2*
19
Рис. 1.28
например треугольнику AFD, но-
вых узлов при помощи двух стерж-
ней, не лежащих на одной прямой.
Схема образования — соединение
двух дисков шарниром С и диском
DE, ось которого не проходит через
точку С.
Мгновенно изменяемые системы.
Системы, которые, обладая геоме-
трической структурой и числом
связей, обеспечивающими их гео-
метрическую неизменяемость и не-
подвижность, допускают бесконечно
малые перемещения при отсутствии
деформаций элементов, носят на-
звание мгновенно изменяемых.
Под действием нагрузки переме-
щения мгновенно изменяемых си-
стем могут оказаться намного боль-
ше перемещений, обусловленных
деформациями материала в обыч-
ных неизменяемых системах. Уси-
лия в элементах мгновенно изме-
няемой системы теоретически
могут быть равны бесконечности
или неопределенными при конечных
значениях нагрузок. Поэтому мгно-
венно изменяемые системы непри-
менимы в качестве инженерных
строительных сооружений. Не реко-
мендуется применять также систе-
мы, близкие к мгновенно изменяе-
мым, или, как их иначе называют,
«почти мгновенно изменяемые».
Система может стать мгновенно
изменяемой, если в геометрически
неизменяемой системе изменять
длину каких-либо элементов или
направление опорных стержней.
Проследим это на примере прос-
тейшей двухстержневой системы
(рис. 1.28, а). В общем случае эта
система геометрически неизменяема
и неподвижна. Если мысленно разъе-
динить стержни в шарнире С, то при
повороте вокруг шарниров А и В
их концы будут описывать окруж-
ности. Эти окружности пересекают-
ся, но общая точка С не может одно-
временно перемещаться по двум
окружностям. Перемещение узла С
по вертикали под действием нагруз-
ки возможно только в случае дефор-
мации материала стержней АС и ВС.
Продольные усилия в стержнях АС
и ВС можно получить аналитичес-
ки, вырезая узел и составляя урав-
нения проекций: 2Х=0 и 2У=0, или
графически, разложив нагрузку на
составляющие по двум известным
направлениям (рис. 1.28, в). При
заданной нагрузке получим конеч-
ные значения усилий NAc и Nbc-
Если одинаково уменьшать длину
стержней, шарнир С будет пере-
мещаться вниз, изменится наклон
стержней и усилия в стержнях воз-
растут при неизменной нагрузке
(показано штриховыми линиями на
рис. 1.28, айв). Наконец, наступит
момент, когда шарниры А, С и В
окажутся на одной прямой (рис.
1.28, б). В этом случае обе окруж-
20
ности имеют бесконечно малый эле-
мент касания, и шарнир С сможет
сместиться (соскользнуть) по вер-
тикали на некоторую малую величи-
ну. При конечном значении нагрузки
Р продольные усилия в стержнях
АС и ВС стремятся к бесконечности,
что видно из рис. 1.28, в.
Определим опорную реакцию Ив
недеформируемой рамы, изображен-
ной на рис. 1.29. Для этого составим
уравнение моментов всех сил отно-
сительно точки А:
^МА = <У, Ра — НвЬ = Ь,
откуда
Я, = ^-=оо.
Если принять, что линия действия
силы Р проходит через точку А, то
A п и ро 0
а = 0, и тогда Ив = —— =
Анализ расположения опорных
стержней показывает, что при бес-
конечно малом перемещении опоры
В рама займет новое положение
(на рисунке показано штриховой ли-
нией), повернувшись относительно
опоры А. Следовательно, система
мгновенно изменяема.
Для выявления мгновенной изме-
няемости систем используются ста-
тические и кинематические призна-
ки. В геометрически и мгновенно не-
изменяемой системе усилия, вы-
званные произвольной конечной на-
грузкой, всегда имеют определенное
конечное значение. Появление в
стержнях системы усилий, равных
бесконечности или неопределенно-
сти, является статическим призна-
ком мгновенной изменяемости си-
стемы. Для выявления мгновенной
изменяемости ферм часто исполь-
зуется способ нулевой нагрузки
(см. § 7.3).
Кинематическим признаком мгно-
венной изменяемости системы слу-
жит наличие мгновенного центра ее
вращения. Мгновенный центр вра-
щения рамы (см. рис. 1.29) совпа-
дает с шарниром на опоре А, так
как в этой точке пересекаются ли-
нии действия всех трех опорных ре-
акций.
Таким образом, система мгновен-
но изменяема, если направления
опорных реакций пересекаются в од-
21
ной точке. На основании этого мож-
но утверждать, что системы на рис.
1.30 мгновенно изменяемы. Каж-
дая из этих систем имеет мгновен-
ный центр вращения. В случае,
изображенном на рис. 1.30, а, мгно-
венный центр вращения системы О
лежит на пересечении направлений
опорных реакций, и она может со-
вершить бесконечно малые переме-
щения относительно основания. На
рис. 1.30, б бесконечно малое сме-
щение относительно основания так-
же возможно, так как оси парал-
лельных опорных стержней пересев
каются в бесконечности. На схеме
1.30, в роль крайних опорных стерж-
ней играют криволинейные диски
1 и 2. Здесь мы имеем случай пере-
сечения трех опорных реакций в од-
ной точке, и, следовательно, систе-
ма мгновенно изменяема.
Глава 2
ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ
В ЗАДАЧАХ СТРОИТЕЛЬНОЙ
МЕХАНИКИ
2.1. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ
ЭВМ И МАТРИЧНЫХ АЛГОРИТМОВ
ПРИ РАСЧЕТЕ СООРУЖЕНИИ
Решение многих задач строитель-
ной механики ведется с помощью
математического аппарата линей-
ной алгебры. Известны следующие
формы представления и выполнения
линейных преобразований: скаляр-
ная и матричная (векторно-матрич-
ная).
Скалярная форма способствует
сохранению физической сущности
решаемой задачи на всех этапах
расчета, что является немаловаж-
ным фактором при ручном счете.
Матричная же форма расчета по-
зволяет существенно упростить за-
пись промежуточных преобразова-
ний, осуществляемых в общем виде,
и представить в компактной форме
алгоритмы расчета, приспособлен-
ные к расчету на ЭВМ.
Электронно-вычислительные ма-
шины подразделяются на две груп-
пы: электрические (электронные)
аналоговые вычислительные модели
и устройства непрерывного дейст-
вия (АВМ) типа ЭМСС (ЭМСС-
7М, ЭМСС-8) и электронные циф-
ровые вычислительные машины
(ЭЦВМ) типа СМ, «Минск», БЭСМ,
М-220, ЕС ЭВМ.
Машины первой группы имеют ог-
раниченные по сравнению с ЭЦВМ
возможности для решения сложных
задач. В то же время АВМ могут
оказаться более эффективными при
решении ряда частных задач нели-
нейной строительной механики.
ЭВМ второй группы используют-
ся для решения практически любых
задач статики, динамики и устой-
чивости сооружений, а также задач
оптимизации конструкций. Харак-
терными особенностями этих машин
являются быстродействие, про-
граммная управляемость. В совре-
менной литературе под ЭВМ под-
разумеваются, как правило, вычис-
лительные машины второй группы.
Программы составляются, как
правило, на формализованных, так
называемых алгоритмических язы-
ках типа АЛГОЛ, ФОРТРАН, КО-
БОЛ, ПЛ-1 и др. В настоящее вре-
мя разработаны и широко исполь-
зуются достаточно эффективные по
точности расчета и затратам ма-
шинного времени стандартные про-
граммы как чисто математических
операций и методов, составляющие
математическое обеспечение ЭВМ,
22
так и специализированные про-
граммы расчета широкого класса
конструкций.
Применение в расчетной практи-
ке современных ЭВМ позволило
не только значительно облегчить
труд инженеров и исследователей
при решении сложных задач строи-
тельной механики, но и открыло
возможности расчета сооружений по
уточненным расчетным схемам, с
более полным и точным учетом осо-
бенностей их работы и физико-ме-
ханических свойств материалов.
Если раньше основные трудности
расчета многократно статически не-
определимых систем носили мате-
матический характер (решение си-
стем уравнений высокого порядка),
то при использовании ЭВМ основ-
ное внимание уделяется выработке
предпосылок и гипотез, направлен-
ных на повышение точности и до-
стоверности конечных результатов
расчета, подготовке и составлению
исходных данных.
Использование в инженерных ра-
счетах ЭВМ обусловило широкое
применение и развитие методов чи-
сленного анализа, в частности ли-
нейной алгебры, для решения задач
строительной механики. Практика
показала, что матричный аппарат
является наиболее удобным для
подготовки и введения в машину ис-
ходных данных, компактного по-
строения алгоритмов, программ и
выполнения необходимых вычисле-
ний.
2.2. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ
НАД НИМИ
Основные понятия. Числовой мат-
рицей А называется прямоугольная
таблица чисел, состоящая из т
строк и п столбцов:
# 11 #12 #13 * * * #1П
# 21 #22 #23 * * ’ #2п
# 31 #32 #33 * ’ ’ #ЗП
• « .....................
- #ml #т2 #тз * * * #mn _
Числа тип. характеризуют по-
рядок матрицы. Для краткого обо-
значения матрицы будем использо-
вать запись
А = [#f,-] (i =1, 2, 3, ... , /п;
/= 1, 2, 3, ... , п),
где —элементы матрицы А.
Различают прямоугольные матри-
цы порядка /пх#; квадратные по-
рядка и; матрицы-строки (при
т=1):
Л = [ап а12 а13 • • • #in]
и матрицы-столбцы (при п=1)
#и
#21
#31
Л =
— [#11 #21 #31 • • • #mi]’>
#mi_
где знак транспонирования «т» оз-
начает замену строк на столбцы.
В общем случае а
матрица [#я]т носит название
транспонированной.
В зависимости от значений и ра-
сположения элементов могут быть
нулевые матрицы, где все #ij=0;
диагональные квадратные
“#и 0 0 ... О "
О #22 0 • • • О
= 0 0 #32 • • • 0 »
_0 0 0 • • • #пп-
23
у которых главные элементы, рас-
положенные на нисходящей (глав-
ной) диагонали, i=j, а по-
бочные йо = 0, i=/; единичные
-1 0 0 • О’
О 1 о ... О
Е = О О 1 • • • о
.0 О О • • • 1.
играющие роль единицы в матрич-
ной алгебре; симметричные квад-
ратные, где а^=а^\ ленточные, ха-
рактеризующиеся ненулевыми эле-
ментами, расположенными в местах,
ограниченных линиями, параллель-
ными главной диагонали; треуголь-
ные матрицы, у которых все эле-
менты, расположенные по одну сто-
рону от главной диагонали, равны
нулю.
Элементами матриц, называемых
блочными, являются в свою очередь
матрицы. Например, матрица А
(порядка 4X5) может быть разбита
на блоки:
0Ц ^2 I «13 014 °15
А =
Oil Оц I 023 024 Оц
I
<*31 082 I 033 034 035
041 042 | 043 044 045
Введя обозначения
В = [Оц а12]; С — [о^3
£=[“» °24 °“1; 0=[аи а^-,
[033 034 035 J .
К = [043 044 04б]»
матрицу
блочной:
А можно записать в виде
гв С1
А = D F
G К
С каждой квадратной матрицей А
связана вполне определенная число-
вая характеристика (число) — опре-
делитель, или детерминант:
0ц 012 013 ••• Ош
021 022 023 * " * От
det А —
031 032 0зз * * * 0зп
Ojnl omi отз • • • omn
Правила вычисления определите-
лей описаны в курсах линейной ал-
гебры. Если определитель числовой
матрицы отличен от нуля, матрица
называется неособенной (несингу-
лярной).
Операции над матрицами. Матри-
цы А и В называются равными (А =
=В), если равны соответствующие
элементы этих матриц, т. е. о^=
= Ьц.
Операции сложения (вычитания)
можно производить только для мат-
риц одинаковых порядков. Суммой
С=А + В двух матриц и
В=[Ьц] называется матрица С=
=i[Cij], у которой Cij=aij+bif, i—
= 1, 2, 3, ..., m; /=1, 2, 3, ..., п.
Аналогично Ь=А—В, где D=
= [dij], причем dn=aij—Ьц.
Пример 1. Даны матрицы:
Найти матрицу С = А + В.
24
Решение. По определению найдем
с Г 4-7 9 + 3 6 + 4]
[—5 + 2 3 + 0 1 +5]
_ Г—3 12 101
“ [—3 3 6]
Произведением В = аА числа а на
матрицу А = [a«j] (или матрицы А
на число а) называется матрица
В=[М, в которой все Ь^=аа^.
Произведением С=АВ матрицы
А=[а^] на матрицу В=[6^] на-
зывается такая матрица С(с^), эле-
мент Cij которой, стоящий в i-й
строке и /-м столбце, равен сумме
произведений элементов i-й строки
матрицы А на соответствующие эле-
менты /-го столбца матрицы В:
CU — aH^U + ^2^2/ + + • • • +
п
+ Qinbni — 2
Следует иметь в виду, что произ-
ведение АВ имеет смысл (осуще-
ствимо) лишь в том случае, если
матрица А согласована с матрицей
В, т. е. если число столбцов п мат-
рицы А равно числу строк матрицы
В. Матрица С будет иметь порядок
riixl, где т — число строк матрицы
А, а I — число столбцов матрицы В.
Существование произведения АВ
еще не означает возможность полу-
чения произведения ВА. В общем
случае АВ#=ВА. Если АВ = ВА, мат-
рицы называются перестановочными
или коммутативными.
Пример 2. Даны матрицы:
, Г 1 21 о Г-10 3]
[—3 4J’ [° 2 —5]
Найти матрицу С = АВ.
Решение. В соответствии с определе-
нием
с Г !•(-1)+20 1-0 + 2-2
1(-3)-(-1)+30 (-3)-0+4-2
1.3 +2-(-5) ] Г1 4 -71
(_3).3+4-(-5)J |7 8 -29j*
Если матрица А согласована с
В, а матрица АВ согласована с С,
то под произведением АВС понима-
ется матрица полученная после-
довательным умножением данных
матриц: D=ABC= (АВ)С=А(ВС).
Аналогично определяется произве-
дение k матриц (&>3).
Из определения операции умно-
жения матриц следует, что АЕ=
=ЕА=А, А0=0А = 0.
Одной из основных матричных
операций является обращение ква-
дратных матриц (нахождение об-
ратных матриц). Матрица, обратная
матрице А, обычно обозначается
А-1.
Матрица А~1 называется обрат-
ной матрице А, если выполняется
условие АА~1=А-1А=Е. Из опре-
деления следует, что А-1 может су-
ществовать только для квадратной
неособенной матрицы.
Существует ряд способов полу-
чения обратной матрицы. Один из
них состоит в том, что элементы об-
ратной матрицы можно получить
делением всех элементов присоеди-
ненной (союзной) матрицы С на
определитель исходной матрицы:
д-* = —-— с = —!— х
det A det А
Аи Ai -^31 • • * Ani
А12
-А1з
А 22 А 32
А23 А33
Ап2
Апз
_Ajn А2п А3п
•^ПП —
25
где Ац — алгебраическое дополне-
ние элемента ац матрицы А: Ац =
= (—ly+iMji', Mij — минор элемен-
та ац, равный определителю матри-
цы, полученной из матрицы А вы-
черкиванием t-й строки и /-го столб-
ца. В матрице С алгебраические
дополнения элементов i-й строки
матрицы А расположены в /-м
столбце, т. е. транспонированы.
При нахождении обратной мат-
рицы произведения нескольких
квадратных матриц имеет место со-
отношение (АвсЬу-'—о-^с-'в-1'
•А-1.
Пример 3. Дана матрица
Найти обратную ей матрицу Л-1.
Решение. Определитель матрицы Л:
3 5 —2
det Л = 1 —3 2 = 10 #= 0.
6 7 —3
Следовательно, матрица Л неособенная, и
Л-1 существует. Находим алгебраические до-
полнения Ац элементов матрицы Л:
“—0,5 0,1
1,5 0,3
2.5 0.9
Тогда
1 4“
3 —8 =
9 —14.
0,4 "
—0,8 .
—1,4 _
Описанный способ обращения
матриц удобен лишь при неболь-
ших значениях п. В настоящее вре-
мя обращение матриц высокого по-
рядка производится с помощью
ЭВМ по стандартным программам.
Рассмотренные типы матриц и
операции над ними не исчерпывают
матричный аппарат, используемый
в курсе строительной механики.
2.3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
УСИЛИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ
Решение многих задач строитель-
ной механики связано с решением
систем линейных уравнений высо-
кого порядка, в которых одни пара-
метры линейно выражаются через
Другие:
йцХ14-а12Х2+а1з^з+• • •+flin^n=di;
+ ^23X3 -f-.. • +fl2nXn— dz',
ОвЛ4“ fl32-^2 + Я33Х3 + • • • + a3n^n = ^3» I
4“йппХп— dn.
(2.1)
26
Система (2.1) может быть пред-
ставлена матричным уравнением
АХ = 3,
(2.2)
где А‘= [ац] — квадратная матрица
коэффициентов уравнений системы
(2.1); X = [Хг Х2 Х3 ... Хп]т —
матрица-столбец неизвестных пара-
метров; D = [dx d2 d3 ••• dn]T
матрица-столбец свободных членов
уравнений системы.
Систему (2.1) часто приходится
решать многократно при постоян-1
ных значениях aij и т вариантах
свободных членов. В этом случае т
систем уравнений (2.1) записыва-
ются также в виде одного матрич-
ного уравнения:
АХ = D, (2.3)
где X = [ХхХ2Х3 ... Хт] =
Хц Хц Х13 • • • Х1т
Х2Х х22 х23 • • • Х2т
Х31 Хз2 Х33 • • • Х3т
_ХпХ Хп2 Хп3 • • • Хпт_
матрица неизвестных параметров по-
рядка п х т;
D = [DxD2D3 • • • =
^11 ^12 ^13 * * •
^21 ^22 ^23 * ’ ‘ ^2m
^31 ^32 ^зз ‘ * * ^зт
^n2 dn3 • • • dnm_
матрица свободных членов порядка
п х т.
Решение матричных уравнений
(2.2) и (2.3), т. е. определение не-
известных X и X, сводится к вычис-
лению матрицы А-1 и может быть
представлено в виде
X = A~lD и X = A~iD. (2.4)
При решении наиболее распрост-
раненной в строительной механике
задачи отыскания усилий и переме-
щений в сечениях (точках) конст-
рукции при действии внешних фак-
торов (нагрузок, температур, сме-
щений узлов) используется линей-
ный оператор — матрица влияния,
структура которой зависит от вида
конструкции, количества рассматри-
ваемых сечений, природы исследуе-
мых (определяемых) факторов и
природы внешних воздействий.
Покажем формирование матрицы
влияния усилий (моментов, попе-
речных или продольных сил), воз-
никающих в элементах конструкции
при действии внешней нагрузки. На
основании принципа независимости
действия сил запишем аналитиче-
ские выражения для п внутренних
силовых факторов в заранее наме-
ченных сечениях конструкции:
51 = $цРХ + $12^2 + • • • + S^Pj +
+ • • • + SXfePfe*,
52 = S2XPX + S22P2 + . . . + S2jP] +
+ . • . +
5j = sfxPx + sl2P2 + ... + StfPj 4-
+ • • • + SikPh',
Sn = SnXPx 4- Sn2P2 + • . + SnjPj +
+ • • • + SnkPk-
27
Здесь Sij — искомое усилие в i-м
сечении (точке) конструкции от си-
лы Pj=l, приложенной в /-м сече-
нии (точке) конструкции; Sr—сум-
марное значение искомого усилия в
i-м сечении от действия всех внеш-
них сил; Pj — полная внешняя сила,
приложенная в /-м сечении.
В матричной форме записи
5 = ЛЛ (2.5)
где S = [ЗхЗгЗз ... sn]T — вектор ис-
комых усилий; Р = [Р1Р2Р3 ... Pfe]T —
вектор внешних сил; La — матрица
влияния силового фактора S:
S11 S12 - • • S1J • • *
$21 S22 • • • ^2/ • • • $2fe
Ls= ........................... ‘ •
Sji Sft ... S}j ... Sik
$nl $n2 • • • $nJ • • •
(2.6)
Аналогично формируются любые
другие матрицы влияния.
Для т внешних загружений ис-
комые усилия определяются из мат-
ричного уравнения
S = LsP, (2.7)
где <S=[siz] — матрица искомых
усилий порядка пХ/и; Р= [Рц] —
матрица внешних сил порядка k$(m.
Каждый столбец матриц S и Р
представляет соответственно иско-
мые усилия и внешние силы при од-
ном загружении.
2.4. ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ ВЛИЯНИЯ
УСИЛИЙ ДЛЯ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ
ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
Рассмотрим формирование мат-
риц влияния и их использование
при построении эпюр внутренних сил
статически определимых систем на
примерах однопролетной балки и
простой рамы (полагаем, что рас-
чет этих систем в скалярной форме
известен читателю из курса «Со-
противление материалов»).
Пример 1. Для однопролетной балки
(рис. 2.1, а) с помощью матрицы влияния
построить эпюру изгибающих моментов для
указанной комбинации внешних нагрузок.
Решение. Для построения матрицы
влияния изгибающих моментов, последова-
тельно загружаем балку единичными сила-
ми в местах приложения внешних нагрузок
(точки 1, 2, 3, 4) и строим соответствующие
эпюры М (рис. 2.1, б—д).
Из ординат этих эпюр, соответствующих
точкам приложения внешних сил, на основа-
нии выражения (2.6) формируем матрицу
влияния изгибающих моментов LMt
тц т12 т13 mu
LM — т21 т33 т23 т34 =
m3i т32 т33 т34
mi3 т4з ти-
25 1 25 * 25 1 25
Az JL, A
25 25 25 25
Az A_z A_z A
25 25 25 25
-l_z -А/ -Az A
25 25 25 25
Матрица-столбец внешних сил имеет вид
Р = [Р1Р2Р3Р4]Т.
Из уравнения (2.5) изгибающие моменты
в характерных сечениях балки
28
Рис. 2.1
25 1 25 1 25 1 25
-A_z JLZ_L
25 25 25 25
25 25 25 25
J-/ ._2_z_^z^_
25 25 25 25
"РГ
P2
X =
Рз
_P4„
^-(4Р1 + ЗР2+2Рз + Р4)
2d
-^-(ЗР1 + 6Р2 + 4Рз+2Р4)
_±_(2Р1 + 4Р2 + 6Рз + ЗР4)
(Pt +2P2 + ЗРз + 4P4)
В частном случае, когда = Р2 = Р3 =
[ 2 3 3 2 1т
ТТТТ •
О О О О J
Эпюра изгибающих моментов приведена на
рис. 2.1, е.
Из рассмотренного примера вид-
но, что матрицы влияния имеют не-
посредственную связь с эпюрами
усилий от единичных сил: каждый
столбец матрицы влияния является
дискретным аналогом эпюры соот-
ветствующего усилия от единичной
силы, приложенной в определенном
месте конструкции.
Если из решения одного матрич-
ного уравнения нужно получить ор-
динаты эпюр усилий при всех рас-
сматриваемых загружениях, число
элементов матриц-столбцов внеш-
них сил для всех загружений долж-
но быть одинаковым. Следователь-
но, нумерация сечений, в которых
приложены внешние силы; должна
быть единой для всех загружений.
Если же при каком-то загружении в-
намеченном сечении внешняя сила
отсутствует, то соответствующий
элемент матрицы-столбца внешних
сил принимается равным нулю.
В общем случае количество сече-
ний, где определяются усилия, от-
личается от числа сечений, в кото-
рых прикладываются единичные си-
лы, и эти сечения могут не совпа-
дать. Этому случаю соответствуют
прямоугольные матрицы влияния.
Если сечения совпадают (см. при-
мер 1), матрицы влияния — квад-
ратные. При формировании матриц
влияния в число рассматриваемых
сечений включаются и сечения, в-
которых не приложены внешние си-
лы, но усилия в которых необходи-
мо найти. В то же время могут
исключаться сечения, в которых
приложены внешние силы, но уси-
лия всегда равны нулю.
Такой анализ выделяемых сече-
ний проводят с целью уменьшения
порядка матриц влияния при руч-
ном счете или использовании малой
вычислительной техники (клавиш-
ных вычислительных машин). При
применении ЭВМ матрицы влияния
формируются чаще квадратными,
что способствует стандартизации и
облегчению реализации матричных
алгоритмов.
Загружение конструкций в общем
случае может включать сосредото-
ченные силы Pj, равномерно рас-
пределенные на участках нагрузки
qjf сосредоточенные моменты Mj и
т. д. Учет этих силовых факторов
может осуществляться в двух фор-
мах: непосредственного их учета
30
без преобразования или же путем
приведения всех силовых факторов
к сосредоточенным силам.
Так, сосредоточенный момент мо-
жно заменить парой сил, находя-
щихся на достаточно малом рас-
стоянии друг от друга. Распреде-
ленная нагрузка заменяется равно-
действующей исходя из того, что
эффекты действия распределенной
на малом участке нагрузки и ее рав-
нодействующей равноценны (прин-
цип Сен-Венана). При этом загру-
женный распределенной нагрузкой
элемент конструкции делится на
ряд участков и на их границах при-
кладываются сосредоточенные си-
лы, равные равнодействующим на-
грузки, действующей на половине
длины примыкающих к этой точке
участков. При действии на балку
равномерно распределенной нагруз-
ки достаточную для практических)
расчетов точность в определении
усилий дает разбивка длины балки
на 4 и более участков. При этом
точные значения изгибающих мо-
ментов получаются в сечениях, где
приложены внешние силы, а точные
значения поперечных сил — по се-
редине участков.
Пример 2. Для рамы, загружаемой дву-
мя разновременными комбинациями внеш-
них нагрузок (на рис. 2.2, а силовые факто-
ры первого загружения имеют индекс I, вто-
рого—!!), с помощью матриц влияния по-
строить эпюры моментов и поперечных сил.
Решение. При формировании матри-
цы влияния изгибающих моментов равно-
мерно распределенную нагрузку, действую-
щую на ригель, заменяем сосредоточенными
силами. Нумерация этих сил и, следователь-
но, точек приложения единичных сил (/=1,
2, ..., 5) показана с наружной стороны от
осевой линии рамы, а нумерация сечений
(i=l, 2, ..., 6), в которых необходимо оп-
ределить моменты,— с внутренней (рис.
2,2, б). Силы, действующие в узлах ригеля
вдоль стоек, в расчет не принимаются, так
как они не влияют на эпюру моментов. Эпю-
ры моментов от единичных сил изображены
на рис. 2.2, в.
“ 3 0 0 0 —3“
3 0 0 0 —G
2,25 1,5 1 0,5 —5
1,5 1 2 1 — 4
0,75 0,5 1 1,5 —3
. 0 0 0 0 — 3.
“40 0“
40 40
40 40
40 40
0 20.
Находим матрицу изгибающих моментов
(кНм)
“120
—60“
120 —120
M = LMP= 210 15
220 70
150 45
. 0 —60.
По элементам этой матрицы строим эпю-
ры моментов для двух загружений (рис.
2.2, г).
При формировании матрицы влияния по-
перечных сил в связи с тем, что их эпюра в
ригеле изменяется по линейному закону,
проще внешнюю нагрузку не видоизменять
(рис. 2.3, а).
Матрица внешних сил для двух загру-
жений имеет вид
31
Р^ОкН
Мйпгн / pW
Рис. 2.2
Эпюры поперечных сил от единичных на-
грузок показаны на рис. 2.3, б. В соответ-
ствии с этими эпюрами формируем матрицу
влияния поперечных сил:
~ 1 0 —1
0 0 —1
Lq- —0,375 4 0,375
—0,375 —4 0,375
3. Зак. 1840 _ 0 0 +1 _
Перемножая и Р, получаем матрицу
поперечных сид при двух загружениях!
“ 40 0 —20 “ —20
Q = £qP= 65 87,5
—95 —72,5
0 +20
Соответствующие эпюры Q изображены ~на
рис. 2.3, в.
33
Использование изложенного спо-
соба определения усилий в статиче-
ски определимых системах с по-
мощью матриц влияния оказывает-
ся недостаточно эффективным при
использовании ЭВМ. Основные тре-
бования к машинным алгоритмам —
универсальность (возможность при-
менения для широкого круга задач)
и стандартность подготовки исход-
ных данных при минимуме исходной
информации. Имеются матричные
алгоритмы, удовлетворяющие этим
требованиям. Исходными данными
при их использовании являются,
кроме матрицы внешних силовых
факторов, структурная матрица,
определяющая структуру системы,
матрица-столбец координат всех уз-
лов и сведения об условиях сопряже-
ния элементов и опирания системы.
Глава 3
ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ
ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
3.1. СВОЙСТВА СТАТИЧЕСКИ
ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
Системы, усилия во всех сечениях
элементов которых могут быть опре-
делены при помощи уравнений ста-
тического равновесия твердого тела,
Рис. 3.1
носят название статически опреде-
лимых. Будем считать, что опорные
стержни также относятся к элемен-
там системы, а внешней нагрузкой
может быть любая статическая на-
грузка.
Называя систему статически опре-
делимой или статически неопредели-
мой, имеют в виду, являются ли ста-
тически определимыми или неопре-
делимыми те усилия, которые пред-
определяют работу элементов и
системы в целом.
Отметим основные свойства ста-
тически определимых систем, не при-
водя их подробных доказательств.
Усилия в элементах статически
определимых систем не зависят от
размеров поперечных сечений эле-
ментов и упругих свойств материа-
лов. Действительно, если система
содержит лишь минимально необхо-
димое число связей для обеспечения
ее геометрической неизменяемости
и неподвижности, то опорные реак-
ции, изгибающие моменты, попереч-
ные и продольные силы в любом се-
чении можно определить по уравне-
ниям статики.
Исследуем систему, приведенную
на рис. 3.1. Опорные реакции най-
дем, рассматривая равновесие сис-
темы в целом. Составим уравнение
моментов относительно опор А и В:
SMA=0; — VBl + Px = 0\
2MB = 0; VAl — P(l~ x) = 0,
откуда вертикальные составляющие
Px
опорных реакций VB = —-— ; VA =
= P(/-x)
I
Горизонтальные составляющие
реакций На и Нв получим из урав-
нений моментов относительно шар-
34
нира С для левой и правой частей
рамы:
ZMc = 0;
V ~
Уа 2
W" = 0; — VB ~ = 0,
= 0;
0,5Ил 1 — Р (0,5/ — х)
----------h-----------и
откуда НА =
н - Q>5Vb1
НВ - h
Уравнения моментов и выражения
опорных реакций не содержат пара-
метров, характеризующих размеры
или форму поперечных сечений
стержней, а также упругость мате-
риала. Из этого вытекает справедли-
вость отмеченного свойства.
Если система геометрически и
мгновенно неизменяема и не содер-
жит лишних связей, это является не-
обходимым и достаточным призна-
ком ее статической определимости.
В предыдущем примере при за-
данных нагрузке Р и пролете I по-
лучим вполне определенные и един-
ственные значения реакций, удов-
летворяющие условию равновесия
системы. Это и является признаком
статической определимости системы.
Статически определимые системы
обладают свойством единственности
решения. В такой системе каждой
конечной внешней нагрузке соответ-
ствуют вполне определенные и ко-
нечные значения усилий. Иначе
говоря, при заданной нагрузке рас-
пределение и значения усилий един-
ственны.
3.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ
В ОСНОВНЫХ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ
ЭЛЕМЕНТАХ СИСТЕМЫ
В структуре многих статически
определимых систем можно выде-
лить основные геометрически неиз-
Рис. 3.2
меняемые неподвижные элементы и
дополнительные, которые самостоя-
тельно существовать не могут.
Примером такой системы может
служить рама (рис. 3.2, а), которая
состоит из основного элемента BCD
и дополнительных элементов АВ и
СЕ, прикрепленных к основному
шарнирами В и С. Если мысленно
разъединить систему в шарнирах
В и С, элемент BCD (основной диск)
останется неподвижным, в то время
как элементы АВ и СЕ смогут пово-
рачиваться вокруг опорных шарни-
ров А и Е. Это дополнительные дис-
ки, опирающиеся на основной в точ-
ках В и С (рис. 3.2, б).
В общем случае основными дис-
ками могут быть не только отдель-
ные элементы, но и геометрически
неизменяемые и неподвижные сис-
темы, к которым прикрепляются
дополнительные диски или системы.
В системах, включающих основ-
ные и дополнительные элементы,
загружение только основной части
системы вызывает появление уси-
лия в элементах лишь этой части,
а загружение дополнительных дис-
ков — в элементах дополнительных
з*
35
Рис. 3.3
и тех дисков, на которые они опи-
раются. Например, сила Р2 вызы-
вает усилия только в элементах ос-
новного диска BCD, а силы Р\ и Р3
соответственно в элементах допол-
нительных дисков АВ и СЕ и в эле-
ментах основного диска BCD (рис.
3.2, б).
Такие системы обычно рассчиты-
вают путем членения их на отдель-
ные части. Вначале рассчитывают
дополнительные элементы системы,
которые не являются опорами для
других (при этом учитываются
внешние нагрузки, приложенные
непосредственно к рассматриваемой
части системы), затем дополнитель-
ные и основные, воспринимающие
нагрузку от опирающихся на них
элементов или систем (в этом слу-
чае учитываются внешняя нагрузка,
непосредственно к ним приложенная,
и давление от вышележащих эле-
ментов, передаваемое через проме-
жуточные шарниры). Порядок рас-
чета многодисковых систем, таким
образом, будет обратным порядку
их образования.
При определенном расположении
нагрузки усилия в некоторых эле-
ментах статически определимой сис-
темы могут оказаться равными ну-
лю. Такие элементы называют нера-
ботающими или нулевыми. Они
могут быть как в основной, так и в
дополнительной части системы. При-
мером может служить ферма, изо-
браженная на рис. 3.3. Консоли фер-
мы можно рассматривать как допол-
нительные части по отношению к
основной ABFC. При указанной на-
грузке усилия во всех стержнях кон-
солей равны нулю (показаны тон-
кой линией). Кроме того, усилия в
стержнях АН, DE и КВ также рав-
ны нулю, хотя эти стержни входят
в основную часть системы.
3.3. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСИЛИЙ
Для определения усилий в эле-
ментах стержневых систем исполь-
зуют аналитические, графические
и графоаналитические методы.
Рассмотрим аналитические мето-
ды, так как они наиболее широко
применяются в расчетной практике.
Основой статического ме-
тода является использование урав-
нений статического равновесия твер-
дого тела. Для плоских систем эти
уравнения имеют вид: SM = 0; SX=
= 0; £У=0 и могут использоваться
в различных комбинациях (напри-
мер, два уравнения моментов и одно
уравнение проекции и т. д.).
Для пространственных систем
= 0; SAL = 0; SMZ = 0;
SX = 0; SF =0; SZ = 0. Стати-
ческий метод включает способы вы-
резания узлов, простых сечений и их
комбинации.
Сущность метода замены
стержней состоит в том, что за-
данную систему заменяют более про-
стой путем перестановки стержней.
Вновь установленные стержни при-
нято называть «заменяющими», а
выбрасываемые — «заменяемыми».
Перестановка стержней должна
осуществляться так, чтобы вновь
полученная система оставалась гео-
36
метрически неизменяемой, поддава-
лась простому расчету.
Проследим применение этого ме-
тода на примере фермы, представ-
ленной на рис. 3.4, а. Определить
усилия в стержнях системы, напри-
мер, вырезанием узлов невозможно,
так как во всех узлах сходятся бо-
лее двух стержней. Преобразуем
систему, удалив стержень BD, и вме-
сто него поставим стержень АВ
(на рис. 3.4, б показан штриховой
линией). Полученная система удов-
летворяет требованиям неизменяе-
мости и отличается простотой струк-
туры. Загрузим преобразованную
систему внешней нагрузкой и опре-
делим усилия во всех, стержнях.
Усилие в заменяющем стержне АВ,
вызванное внешней нагрузкой, обо-
значим N^B> а усилие в любом
стержне от той же нагрузки N? , где
i — порядковый номер стержня. Ис-
ходная система содержит стержень
BD, в нем от внешней нагрузки воз-
никает усилие. Примем его равным
единице и загрузим преобразован-
ную систему единичными силами,
приложенными в узлах В и D, на-
правленными по оси стержня BD.
Усилие от этой нагрузки в заменя-
ющем стержне АВ обозначим через
Nab, а в любом другом стерж-
не — Ni.
Чтобы окончательные усилия в
заданной и преобразованной систе-
мах были одинаковыми, необходимо
преобразованную систему загрузить
внешней нагрузкой, а к узлам В и
D приложить усилие в стержне BD.
Обозначим это усилие X. Заменя-
ющий стержень АВ не оказывает
влияния на усилия в остальных эле-
ментах системы, если суммарное
усилие в нем будет равно нулю.
В этом случае должно соблюдаться
условие:
NabX+Npab= О* J (3.1)
откуда X =-----
nab
Затем определяют усилия во всех
остальных стержнях.
Окончательные усилия можно
также определить по формуле
JV( = Atf + tyX. (3.2)
Если в заданной системе заме-
няется несколько стержней, то со-
ставляются соответствующие урав-
нения, подобные (3.1), и фактиче-
ские значения усилий в заменяемых
стержнях находятся путем решения
системы уравнений.
В основу кинематического
метода положен принцип воз-
можных перемещений. В геометри-
чески неизменяемой системе уда-
ляется та связь, реакцию которой
необходимо определить. Система
37
Рис. 3.5
превращается в механизм с одной
степенью свободы. Она загружается
внешней нагрузкой и неизвестной
пока реакцией отброшенной связи.
Составляется уравнение возможных
работ, из которого находят действи-
тельное значение усилия в отбро-
шенной связи. Поскольку рассматри-
ваются системы с одной степенью
свободы, то уравнения работ всегда
содержат только одно неизвестное,
в чем и состоит достоинство этого
метода.
Применение кинематического ме-
тода покажем на примере балки
(рис. 3.5, а). Пусть необходимо
найти реакцию Ра опоры А при за-
гружении балки силой Р. Отбросим
опорный стержень опоры А, прило-
жим к полученному механизму реак-
цию Ra и внешнюю нагрузку Р
(рис. 3.5, б). Обозначив возможные
перемещения свободного конца бал-
ки по направлению реакции Ra че-
рез Да (от силы Ra) и Др (от силы
Р), получим уравнение работ
/?ЛДЛ — РДр = О,
откуда
Ra = P-^- (3.3)
Очевидно, что
Ал = Z tg (Жр); Др = (/ — х) tg (dq>)
Подставив выражения Дл и Др в
формулу (3.3), получаем:
Р = р = р ~х> tg =
А ДЛ I tg (dtp)
= (3.4)
Глава 4
МНОГОПРОЛЕТНЫЕ
СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ
БАЛКИ
4.1. ХАРАКТЕРИСТИКА
МНОГОПРОЛЕТНЫХ ШАРНИРНЫХ
БАЛОК
Многопролетными статически оп-
ределимыми (шарнирными) балка-
ми называют совокупность однопро-
летных балок, соединенных между
собой шарнирами.
На рис. 4.1 изображено три типа
балок: из однопролетных балок, со-
единенных шарнирами на опорах
(а); неразрезная балка (б); балка
с шарнирами в пролетах (в), Там же
показан общий вид эпюр изгиба-
ющих моментов при действии
сплошной равномерно распределен-
ной нагрузки q. В неразрезной бал-
ке моменты в пролетах меньше, чем
в балке с шарнирами на опорах.
В связи с этим необходимые разме-
ры поперечных сечений неразрезной
балки меньше, она более экономич-
на по расходу материала по срав-
нению с однопролетными шарнир-
ными бесконсольными балками. Не-
38
достатком ее является то, что при.
неравномерной осадке опор в сече-
ниях возникают дополнительные
изгибающие моменты и поперечные
силы. ;
По распределению изгибающих
моментов балка с шарнирами в про-
летах может быть близка к нераз-
резной, если удачно расположены
шарниры. Кроме того, в шарнирных
балках не возникают дополнитель-
ные усилия при неравномерной
осадке опор, так как промежуточ-
ные шарниры обеспечивают свобод-
ный поворот каждого ее звена. Та-
ким образом, балки с шарнирами в
пролетах сочетают положительные
качества неразрезных (статически
неопределимых) и статически опре-
делимых балок.
На практике применяются много-
пролетные шарнирные балки, со-
стоящие из чередующихся двухкон-
сольных и простых балок (подвесок)
(рис. 4.2, а) или же из одноконсоль-
ных элементов (рис. 4.2, б). Воз-.'
можны также смешанные системы,
включающие двухконсольные, одно-
консольные балки и подвески.
Необходимое число промежуточ-
ных шарниров, при котором обеспе-
чиваются геометрическая неизме-
няемость и статическая определи-
мость системы, можно получить из
условия (1.1). Так как число эле-
ментов балки больше числа проме-
жуточных шарниров на единицу,
то, приняв Д=Ш+\, получим
3(Ш+1) = 2Ш+СОП, откуда
Ш = С0П-3. (4.1)
Условие (4.1) является необходи-
мым при формировании системы.
Шарниры следует располагать так,
чтобы система была геометрически
неизменяемой.
Рис. 4.1
39
4.2. РАСЧЕТ МНОГОПРОЛЕТНОЯ БАЛКИ
НА НЕПОДВИЖНУЮ НАГРУЗКУ
Для балки, загруженной нагруз-
кой (рис. 4.3, а), требуется опреде-
лить изгибающие моменты и попе-
речные силы в любом сечении всех
элементов.
Расчленив балку в местах распо-
ложения шарниров В, D и Е, выде-
лим основные АВ и FG и дополни-
тельные — BD и DE элементы. Из
схемы образования балки (рис.
4.3, б) видно, что расчет может быть
выполнен путем последовательного
рассмотрения балок, составляющих
шарнирную. Сначала необходимо
рассчитать подвеску DE на действие
нагрузки, приложенной непосредст-
венно к ней, затем дополнительную
балку BD и основные АВ и FG на
внешние нагрузки, приложенные к
ним, и давления от дополнительных
балок, передаваемые через шарни-
ры В, D и Е. Опуская конкретные
выкладки, связанные с расчетом от-
дельных балок, детально рассмот-
ренным в курсе сопротивления ма-
териалов, приведем лишь результаты
расчета.
ЦкГ1м
; ^1!
-R=4kH
ры изгибающих моментов М и попе-
речных сил Q для отдельных балок.
Окончательные эпюры моментов и
поперечных сил для всей многопро-
летной балки получаются из сово-
купности эпюр для отдельных балок
(рис. 4.3, е, ж).
Этот способ построения эпюр из-
гибающих моментов и поперечных
сил в многопролетной шарнирной
балке применяют, если она состоит
из большого числа отдельных балок.
При небольшом числе элементов
можно использовать такой прием:
не расчленяя балку, составляют
уравнения моментов относительно
всех промежуточных шарниров и
,кМ
кНм
>И1
W
и«
НИН!!!

40
Рис. 4.3
определяют опорные реакции; изги-
бающие моменты и поперечные силы
определяют, как в простой балке.
4.3. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ
И ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ
В ПРОИЗВОЛЬНОМ ПРОЛЕТЕ БАЛКИ
Изгибающие моменты М и попе-
речные силы Q в любом сечении
многопролетной шарнирной балки
можно определить, пользуясь изве-
стным способом сечений. Если бал-
ка имеет большое число пролетов и
загружена сложными нагрузками,
этот способ неудобен из-за громозд-
кости. Кроме того, может возник»
нуть необходимость найти усилие
в дополнительном сечении балки.
Ниже приводятся формулы, с по-
мощью которых получают нужное
усилие в обозначенном сечении,
рассматривая только один пролет
балки.
Выделим произвольный пролет
многопролетной балки, загруженный
равномерно распределенной нагруз-
кой q (нагрузка может быть любой),
а на опорах п—1 и п — опорными
моментами Mn-i и Мп (рис. 4.4, а).
Изгибающий момент в произволь-
ном сечении х определим, используя
принцип независимости действия
сил. Рассматривая действие каждой
из нагрузок в отдельности, построим
эпюры моментов: 2И° — от действия
равномерно распределенной нагруз-
ки q; Mn-i и Мп — соответственно
от левого и правого опорных момен-
тов (рис. 4.4, б, в, г).
Найдя моменты в сечении х при
каждом загружении и просуммиро-
вав их, имеем
Mx=Ai;+'^Mn_l +
*п
+ Мп. (4.2)
*п
а
Рис. 4.4
Выражение для определения по-
перечной силы получается диффе-
ренцированием равенства (4.2) по х:
dMx dMax М„-, мп
* dx dx l„ + ln ’
ИЛИ
= (О)
*n
В формуле (4.3) необходимо учи-
тывать знаки опорных моментов.
Момент принимается положитель-
ным, если вызывает растяжение
нижних волокон, и отрицательным —
при растяжении верхних волокон.
Формулы (4.2) и (4.3) использу-
ются не только при расчете шарнир-
ных балок, но и прямолинейных эле-
ментов как статически определимых,
так и статически неопределимых
систем.
41
4.4. РАСЧЕТ БАЛОК С ОСЬЮ
ЛОМАНОГО ОЧЕРТАНИЯ
Расчет указанных балок выпол-
няется так же, как и прямолиней-
ных. Опорные реакции определяют,
Рис. 4.5
рассматривая равновесие системы
в целом или ее частей. При опреде-
лении изгибающих моментов М, по-
перечных сил Q и продольных сил
N применяют способ сечений.
Пример. Построить эпюры изгибающих
моментов, поперечных и продольных сил
для балки, приведенной на рис. 4.5, а.
Решение. Опорные реакции опреде-
лим, составив уравнения моментов относи-
тельно опор А и В:
аил =-яв1+« 4" • -J- = O;
SMB = ra i - ч -±- (4" + v) = 0.
I I 1
откуда RB = q — - — • ~ = 2-4-2 X
x 4-=2 kH;
О
Проверим правильность найденных значений
реакций:
2У= RA+RB-q-L =6+2 —2-4 = 0.
Способом сечений определяем изгибающие
моменты на участках АС и ВС.
На участке АС:
qx2
мХ1 = ^АхУ.~ —+~ = 6*i~
2х2
— —= 6xt — х2; 0 < xj < 4.
Это уравнение параболы, поэтому для
построения эпюры моментов рассмотрим от-
дельные сечения:
Мх_0 = 0; Мх_^ = 6-1 — I2 = 6 кН-м;
MXi=2'= 6-2 —22 = 8 кН-м;
MXt=3 = 6-3 — 32 = 9 кН-м;
AfXi=4 = 6-4 — 42 = 8 кН-м;
На участке ВС:
Mxt = Rb x2l 0 < х2 < 4.
Следовательно, эпюра моментов ограничи-
вается прямой линией и для ее построения
достаточно знать моменты в двух граничных
сечениях: Мх=о = О; =4=2-4=8 кН-м.
42
Эпюра изгибающих моментов (кН-м)
показана на рис, 4.5, б.
Для определения поперечной силы Q
нужно спроецировать все силы, располо-
женные с одной стороны от сечения, на
нормаль п к оси элемента, а для продоль-
ной силы N — на ось элемента (рис. 4.5, в).
На участке АС:
Qxt — Кдcos а — 9X1 cos а-
3
В нашем случае sin а = ; cos а =
___4_
“ 5 ’
4
QXi=0 = RA cos а = 6 — =4,8 кН;
<г,..4 = 61— 2<7=-1.6 кН;
NXi = — RA sin а -f- qxi sin а;
^,=0 = -6-|- = -3,6кН;
3 3
*«,=> = - 6—+2-4—=1,2 кН;
Ha участке ВС:
4
QXt = — RB cos а = — 2 — = — 1,6 кН;
3
NXt = — RB sina = — 2 — = — 1,2 KH.
Поперечная Q сила постоянна на всем
участке ВС,
Эпюра поперечных сил (кН) показана на
рис. 4.5, г, продольных сил (кН) — на рис.
4.5, <?.
Проверка правильности решения состоит
в следующем. Сумма моментов, приложен-
ных к стержням в промежуточных узлах,
должна быть равна нулю. Стержни отсека-
ются на бесконечно малом расстоянии от
узла, и к ним прикладываются моменты, на-
правление которых должно быть таким, что-
бы расположение растянутых волокон соот-
ветствовало эпюре моментов М. Например,
для случая, указанного на рис. 4.5, е, Мс —
=М %—
К стержням вырезанного узла с учетом
знаков прикладываются поперечные и про-
дольные силы. При этом должно соблюдать-
ся равновесие узла, т. е. удовлетворяться
уравнения SX=0 и 2У=0 (направление
осей можно принять произвольным). На
рис. 4.5, ж:
SX = — Nq cos a — cos a +
-f- sin a + Q"p sin a = — 1,2 —
5
4 3 3
-1,2—+1,6 —+ 1,6—=0.
ООО
ST = — Q£cosa -f-Qn£cos a — A^sincx -f-
4 4
+ AT£psina = — 1,6 -J- 1,6——
5 5
. 3 1,2-3
— 1,2— +-T— = 0.
5 5
В загруженных наклонных стержнях
продольные силы не постоянны и могут из-
менять значение и направление (рис. 4.5,3).
Приведенный способ проверки правиль-
ности расчета справедлив для любых
стержневых систем, в том числе статически
неопределимых.
4.5. РАСЧЕТ МНОГОПРОЛЕТНЫХ
ШАРНИРНЫХ БАЛОК
В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ
Принципы построения матриц
влияния усилий для более сложных
систем те же, что и для простых
систем (см. гл. 2).
Рассмотрим двухпролетную бал-
ку, загруженную равномерно рас-
пределенной нагрузкой и сосредото-
ченными силами (рис. 4.6, а). Тре-
буется построить эпюру изгибающих
моментов М. Равномерно распреде-
ленную нагрузку q заменим сосре-
доточенными силами и отметим во-
семь характерных сечений (рис.
4.6, б). В матричной форме изгиба-
ющие моменты в сечениях балки
можно получить по условию * (2.5).
В этом случае в развернутой фор-
ме матрицы условия (2.5) имеют
вид:
43
ти т12 т13 . • • тт " Pi~
т21 т22 т23 . . - т2п Рг
— m3i т32 т33 • • тзп ; Р = Рз (4.4)
^п2 ^пЗ • • • ^пп _
Для нахождения элементов матрицы
_ Рп _
влияния LM построим эпюры
моментов от сил Р=1 (рис. 4.6, в). Пользуясь каждой из эпюр, полу-
чаем соответствующий столбец матрицы LM. На основании формул (2.5)
и (4.4) имеем:
“ 0 0 0 0 0 0 0 0
м2 0 2 0 —1 —0,667 —0,333 0 0,333
М3 0 0 0 —2 —1,333 —0,667 0 0,667
М. 0 0 0 0 0 0 0 0
М5 0 0 0 0 1,333 0,667 0 —0,667
0 0 0 0 0,667 1,333 0 — 1,333
Л47 0 0 0 0 0 0 0 —2
_М8_ _ 0 0 0 0 0 0 0 0
В результате перемножения матриц
"0“
8
2
4
4
4
2
_4_
получаем
Л41 = /Пц?! + т12Р2 + . . . + т18Р8,
Mi = 0.
Во втором пролете эпюра момен-
Аналогично
Л42= 2 • 8 — 1 • 4 — 0,667 • 4—0,333.4+
тов ограничена ломаной линией, в
действительности же— квадратной
параболой. Очевидно, что при за-
мене распределенной нагрузки со-
средоточенными силами эпюра мо-
ментов будет тем ближе к действи-
тельной, чем больше принято участ-
+ 0,333-4 = 9,332 кН-м;
М3 = — 2-4 — 1,333-4 —0,667-4 +
+ 0,667-4 = — 13,332 кН-м;
Л44 =0; Л45 = 1,333-4 +0,667-4 —
— 0,667-4 = 5,332 кН-м;
Мв = 0,667-4+ 1,333-4 —
— 1,333-4 = 2,668 кН-м;
М7 = — 2-4 = — 8 кН-м; М6 = 0.
Эпюра изгибающих моментов по-
казана на рис. 4.6, г.
ков.
При замене распределенной на-
грузки сосредоточенными силами
необходимо следить, чтобы нагруз-
ка, расположенная на основных эле-
ментах, не передавалась на допол-
нительные балки, так как фактиче-
ски она не влияет на их работу.
Аналогичным образом может быть
построена эпюра поперечных сил.
Для получения матрицы влияния
Lq используются эпюры поперечных
сил от единичных нагрузок. В осталь-
ном ход расчета тот же, что и при
построении эпюры моментов.
44
Рис. 4.6
Глава 5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ
ОТ у ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ
5.1. ВИДЫ ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗОК
И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИХ РАСЧЕТНОГО
ПОЛОЖЕНИЯ
Многие инженерные сооружения
в процессе эксплуатации подверга-
ются воздействию подвижных нагру-
зок. Это движущиеся поезда, авто-
мобили, тракторы, мостовые краны
и т. д. Подвижные нагрузки могут
быть в виде сосредоточенных сил
или же распределенными по длине
сооружения, или ее части. Характер-
ной особенностью подвижных на-
грузок является то, что напряженно-
деформированное состояние конст-
рукций изменяется в зависимости от
положения нагрузки. Например,
значения опорных реакций Ra и RB
простой балки, по которой пере-
мещается равномерно распределен-
ная нагрузка (рис. 5.1), зависят от
положения последней. Если нагруз-
ка q перемещается в сторону опоры
В, реакция RB возрастает, а реакция
jRa убывает.
В некоторых случаях усилия, пе-
ремещения и другие характеристи-
ки, зависящие от положения под-
вижной нагрузки, изменяются по
значению и по знаку.
При расчете сооружений необхо-
димо знать наибольшие по абсо-
лютной величине усилия, напряже-
ния и перемещения, вызываемые
нагрузкой. Если нагрузка подвиж-
ная, необходимо. прежде всего оты-
скать такое ее положение, при ко-
тором усилия, напряжения или
перемещения достигали бы экстре-
мальных значений. Такое положе-
ние нагрузки называют расчетным
или наиболее невыгодным.
45
0
Рис. 5.1
Рис. 5.2
Расчетные положения нагрузок
могут быть найдены различными
методами. Один из них (общий)
состоит в том, что искомую величи-
ну представляют в функциональной
зависимости от положения нагруз-
ки. Определяют численно наиболь-
шее значение искомой величины и
положение нагрузки, соответству-
ющее этому значению.
Рассмотрим этот метод на приме-
ре простой балки, по которой пере-
мещается сплошная равномерно
распределенная нагрузка (рис.
5.2, а). Пусть длина загруженного
участка равна а. Построим график
изменения опорной реакции RB в
зависимости от положения нагрузки:
при Q^x^a RB=—; при a^x^l
Rb = ~(2x—а). Следовательно, иско-
мый график состоит из двух кусоч-
но-гладких функций.
На рис. 5.2, б изображен график
изменения реакции RB в предполо-
жении, что а=1/2, и расчетное поло-
жение нагрузки, соответствующее
наибольшему значению реакции RB.
Описанный метод пригоден только
для простых систем и нагрузок.
В других случаях этот метод ста-
новится громоздким и редко приме-
няется на практике.
5.2. ПОНЯТИЕ О ЛИНИЯХ ВЛИЯНИЯ
При расчете сооружений на под-
вижные нагрузки используют гра-
фики, у которых абсциссы соответ-
ствуют положению груза, а ордина-
ты непосредственно дают значения
искомой величины (опорной реак-
ции, изгибающего момента и т. д.).
Для того чтобы этими графиками
можно было пользоваться при лю-
бых нагрузках, их строят обычно,
рассматривая сооружение под дей-
ствием простейшей нагрузки — со-
средоточенной силы Р=1.
График, выражающий закон из-
менения силового или иного факто-
ра в определенном сечении соору-
жения в зависимости от положения
подвижного груза Р=1 постоянного
направления, называют линией
влияния.
Линия влияния (сокращенно —
л. в.) дает возможность определять
искомую величину, пользуясь прин-
ципом независимости действия сил.
при любых комбинациях сосредото-
ченных грузов, параллельных силе
Р=1.
Линии влияния отличаются от
эпюр усилий. Эпюры изгибающих
46
моментов, поперечных сил соответ-
ствуют фиксированному положению
внешней нагрузки, их ординаты
выражают усилия во всех сечениях
по длине стержня. Линии влияния
строятся в предположении, что име-
ется только одна подвижная сила
Р=1. Все ординаты какой-либо ли-
нии влияния показывают усилие
только в том сечении, для которого
она построена. Поясним это на при-
мере простой балки (рис. 5.3, а).
Пусть на балку действует непод-
вижная сила Р, приложенная в точ-
ке С. Эпюра изгибающих моментов
показана на рис. 5.3, б. Любая орди-
ната эпюры непосредственно дает
изгибающий момент в соответству-
ющем сечении балки, т. е. этот гра-
фик охватывает все сечения по дли-
не балки. Ординаты линии влияния
изгибающего момента в сечении С
(рис. 5.3, в) — изгибающие моменты
в сечении С при соответствующем
положении груза Р=1. Например,
ордината У показывает изгибающий
момент в сечении С, когда груз Р= 1
находится над сечением, совпада-
ющим с этой ординатой, и т. д. Если
нас интересует изменение изгиба-
ющего момента в другом сечении,
необходимо построить соответству-
ющую линию влияния (например,
для сечения D л. в. MD показана
штриховой линией).
Уравнение линии влияния получают,
приняв Р = 1. Поэтому размерность
размерность искомой величины
ординат Л. В размерность силы Р
Если опорные реакции, попереч-
ные силы и сила Р даются в одина-
ковых единицах, то ординаты ли-
ний влияния опорных реакций и по-
перечных сил будут отвлеченными
числами, а ординаты линий
ния изгибающих моментов
жаться в единицах длины.
влия-
выра-
5.3. СТАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ влияния
Общие положения. Статический
метод построения линий влияния
основан на использовании известных
уравнений статики. Груз Р=1 уста-
навливается на сооружении в про-
извольном месте. Выбирается про-
извольная система координат и
обозначается абсцисса точки прило-
жения груза. При фиксированном
положении груза находится анали-
тически выражение искомой величи-
ны. Абсцисса точки приложения
груза принимается переменной и
строится график, который называют
линией влияния. При составлении
уравнений равновесия необходимо
стремиться к тому, чтобы они со-
держали одно неизвестное — иско-
мую величину.
Кроме статического имеются и
другие методы построения линий
влияния (метод замены связей, ки-
нематический), однако в подавля-
ющем большинстве случаев пользу-
ются статическим методом.
Простая балка. Рассмотрим, как
изменяются опорные реакции Ra и
Rb балки (рис. 5.4, а) в зависимости
47
от положения нагрузки. Примем
систему координат, начало которой
совпадает с опорой А. Установим
груз Р=1 произвольно — на рас-
стоянии х от опоры А и I—х от опо-
ры В.
Для определения опорной реакции
Ra составим уравнение моментов
всех сил относительно опоры В:
ZMB = RAl-P(l-x) = Q,
откуда
= (5.1)
Выражение (5.1)—уравнение
прямой линии, для построения ко-
торой достаточно найти две точки:
при х=0 /?а=1; при x=l Ra=Q.
Примем следующее правило зна-
ков: реакции, направленные вверх,
считаем положительными; положи-
тельные значения усилий на графи-
ке будем откладывать вверх от осно-
вания линии влияния.
Линия влияния Ra (рис. 5.4, б)
показывает, что реакция RA равна
единице, когда груз Р=1 находится
над опорой А и уменьшается по ли-
нейному закону до нуля по мере
приближения груза к опоре В. Все
ординаты этого графика (например
у г) выражают значение реакции Ra
при определенных положениях на-
грузки Р=1 (в точке 0, а линия
влияния в целом — закон изменения
реакции Ra при перемещении груза
Р=1 в пределах пролета балки.
Уравнение моментов всех сил от-
носительно опоры А имеет вид
ZMA = —RBl+Px = 0,
откуда
= = (5.2)
Как видно из выражения (5.2),
линия влияния RB также представ-
ляет собой прямую линию (рис.
5.4, в).
Отметим на балке произвольное
сечение С на расстояниях а от опо-
ры А и b от опоры В, для которого
построим линию влияния изгиба-
ющего момента. Момент будем счи-
тать положительным, если он вызы-
вает растяжение нижних волокон
балки. Предположим, груз Р=\ на-
ходится справа от сечения С (х^а).
Рассматривая левую часть балки,
получим
Mc=RAa=-«^-a. (5.3)
Следовательно, при расположении
груза справа от сечения С ордина-
ты линии влияния изгибающего мо-
мента в нем пропорциональны орди-
натам линии влияния опорной реак-
ции Ra и отличаются множителем а
(рис. 5.4, г).
48
Переместив груз Р=1 на левую
часть балки (х<а) и рассматривая
правую ее часть, получим
Mc = RBb = ^-b. (5.4)
Из формулы (5.4) следует, что
при расположении груза слева от
сечения С ординаты линии влияния
изгибающего момента в нем про-
порциональны ординатам линии
влияния опорной реакции RB (рис.
5.4, г). Линию влияния Мс можно
получить, отложив ординату ab/l на
расстоянии х=а от правой опоры,
что соответствует расположению
груза Р=1 над сечением С.
Таким образом, ординаты линии
влияния Мс выражают значение мо-
мента в сечении С, когда груз Р=1
поочередно находится над каждым
сечением балки. Например, ордина-
та YK показывает изгибающий мо-
мент в сечении С, если груз Р=1
расположен над сечением К.
Построим линию влияния попе-
речной силы для сечения С. Устано-
вим груз Р=1 правее сечения С.
Спроецировав все силы, приложен-
ные к левой части балки, на ось Y,
имеем
Qc = /?x = ^. (5.5)
Равенство (5.5) показывает, что
линия влияния поперечной силы на
участке СВ совпадает с линией влия-
ния опорной реакции Ra (рис. 5.4, д).
Расположив груз Р=1 слева от
сечения С и рассматривая правую
часть балки, имеем:
Qc = -RB = -±’ (5-6)
т. е. для построения линии влияния
поперечной силы на участке АС
Ряс. 5.5
нужно изменить знак ординат линии
влияния опорной реакции RB. Окон-
чательная линия влияния Qc пока-
зана на рис. 5.4, д.
Таким образом, линия влияния
поперечной силы в простой балке
состоит из двух участков, ограни-
ченных параллельными прямыми.
Вертикальную прямую cd, совпада-
ющую с сечением С, называют со-
единительной прямой.
Консольная балка. Выделим три
участка двухконсольной балки, на
которых может находиться груз Р=
= 1 (рис. 5.5, а). Начало координат
примем на опоре А. Расстояние от
начала координат до силы Р обо-
значим через х. При расположении
груза Р=1 в пролете справедливы
выражения опорных реакций (5.1)
и (5.2).
Линии влияния Ra (рис. 5.5, б) и
RB (рис. 5.5, в) представляют собой
прямые линии, которые необходимо
продлить на участки консолей, так
4. Зак. 1840
49
Рис. 5.6
как при х>1 Ra<Q, Яв>1; при ж<0
Ra>1,Rb<G.
Линии влияния Ra и Rb имеют
участки с отрицательными ордина-
тами. При расположении нагрузки
на соответствующих (консольных)
участках балки опорные реакции
будут отрицательными, т. е. направ-
лены вниз.
Для сечений, находящихся внут-
ри пролета, построение линий влия-
ния изгибающих моментов в кон-
сольной балке выполняется так же,
как и в обычной. Линия влияния
момента в сечении С показана на
рис. 5.6, б. Она включает положи-
тельный и отрицательные участки,
а это значит, что при перемещении
груза по балке изгибающий мо-
мент в сечении С будет изменять и
знак.
Некоторую особенность имеют ли-
нии влияния для сечений консольных
частей балки. Поскольку система
координат выбирается произволь-
но, то можно принять начало коор-
динат в этих сечениях. При раз-
мещении груза Р=1 на консоли вы-
ражение для изгибающего момента,
например, в сечении D будет: MD=
= — PXi==—1 -Xi. При Xi = 0 MD=0;
при xt = c MD——с. Линия влияния
MD показана на рис. 5.6, в.
Для сечения Е, расположенного
внутри пролета бесконечно близко
от опоры В, линия влияния изгиба-
ющего момента (рис. 5.6, г) может
быть построена так же, как и линия
влияния Мс. Устанавливая груз
справа от сечения Е на консоли бал-
ки и отложив на опоре А ординату
а~1, получим правую прямую л. в.
МЕ на консольном участке балки.
Ордината л. в. МЕ в точке К равна
длине консоли. При расположении
груза слева от сечения Е на опоре
В ординаты линии влияния состав-
ляют бесконечно малую величину,
т. е. левая часть л. в. МЕ совпадает
с осью абсцисс.
Построение линий влияния попе-
речных сил для сечений на различ-
ных участках балки (рис. 5.7) вы-
полняется так же, как и линий
влияния изгибающих моментов.
Многопролетная шарнирная бал-
ка. Необходимо построить линии
влияния опорной реакции Ra, изги-
бающих моментов и поперечных сил
в сечениях К и L многопролетной
балки, изображенной на рис. 5.8, а.
Прежде всего следует установить
структуру балки и выявить, какие
ее элементы являются основными,
а какие — дополнительными. Вна-
чале строят линию влияния в пре-
делах той части балки, которой при-
надлежит заданное сечение, как в
однопролетных балках. Затем уста-
навливают груз Р=1 на балках,
примыкающих слева и справа, и
учитывают его влияние на искомое
усилие.
50
В нашем случае многопролетная
балка состоит из четырех консоль-
ных балок (рис. 5.8, б). Балка АЕ
является основной, а балки EF, GF
и GH — дополнительными соответ-
ствующего порядка. Нагрузка, рас-
положенная на любой дополнитель-
ной балке, будет влиять на работу
основной балки АЕ, в то время как
загружение дополнительной балки
низшего порядка не влияет на ра-
боту балок, расположенных выше.
Опора А принадлежит основной
балке АЕ. При любых положениях
груза Р=1 в пределах балки АЕ
вертикальная реакция RA останется
постоянной, будет направлена вверх
и равна единице. Поэтому на участ-
ке ДЕ л. в. Ra имеет вид прямоуголь-
ника. Если груз находится на балке
EF, то на балку АЕ передается дав-
ление и будет возникать реакция
Ra- При расположении груза над
опорой В реакция на опоре Е равна
нулю и давление на балку АЕ не
передается. Получены две ординаты
линии влияния в пределах дополни-
тельной балки EF: в сечении Е —
равная единице, в сечении В — нулю.
Через эти две точки в пределах до-
полнительной балки EF проводим
прямую линию. Перемещая далее
груз на балки FG и GH, строим ли-
нию влияния на этих участках, ну-
левые ординаты ее будут в опорных
сечениях С и D. Окончательная ли-
ния влияния Ra показана на рис.
5.8, в.
Линии влияния изгибающих мо-
ментов и поперечных сил в сечениях
К, L построены тем же приемом.
Линии влияния Мк и QK вначале
построены на участке балки FG как
для обычной одноконсольной балки,
а затем при перемещении груза Р =
= 1 влево и вправо от балки FG
(рис. 5.8, г, д). При построении ли-
Р и с. 5.7
Рис. 5.8

51
нии влияния MLt Ql сначала распо-
лагаем груз на балке АЕ и строим
л. в. для защемленной консоли.
Окончательные линии влияния пока-
заны на рис. 5.8, е, ж.
5.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ
ПО ЛИНИЯМ влияния
Загружение сосредоточенными си-
лами. На рис. 5.9 показан участок
сооружения с неподвижной нагруз-
кой Р в точке К и часть линии влия-
ния некоторого усилия S.
Поскольку усилие S прямо про-
порционально действующей нагруз-
ке, то
S = Рук. (5.7)
Если сооружение загружено не-
сколькими сосредоточенными сила-
ми (рис. 5.10), то на основании
принципа независимости действия
сил
s = <5 * *-8)
г=1
т. е. при действии системы сосредо-
точенных сил усилие равно алгеб-
раической сумме произведений каж-
дой силы на ординату линии влия-
ния под ней. При этом для нагрузок,
направление которых совпадает с
направлением силы Р=1, знак сла-
гаемого принимается по знаку орди-
наты линии влияния.
Загружение распределенной на-
грузкой. Пусть на некотором участ-
ке АВ к сооружению приложена
сплошная неподвижная нагрузка
интенсивностью qx=f(x) (рис. 5.11).
Выделим бесконечно малый элемент
dx и заменим на нем сплошную на-
грузку элементарной сосредоточен-
ной силой qxdx. Усилие S от этой
силы будет (qxdx) ух. Для всех эле-
ментарных сил на участке АВ полу-
чим
в
S = J qxydx. (5.9)
А
Из формулы (5.9) следует, что
под интегралом необходимо запи-
сать функцию изменения интенсив-
ности нагрузки и линии влияния.
Обычно эти функции просты и инте-
грирование не вызывает существен-
ных затруднений. В противном слу-
чае нагрузку можно разделить на
участки и воспользоваться формулой
(5.8).
В расчетной практике часто встре-
чаются случаи загружения участка
элемента равномерно распределен-
ной нагрузкой (рис. 5.12). В этом
случае на основании формулы (5.9)
в в
Этот интеграл численно равен
площади о линии влияния в преде-
лах загруженного участка АВ:
S = q&). (5.10)
Если равномерно распределенная
нагрузка расположена на несколь-
ких участках сооружения, то
S = S?(o, (5.11)
52
где знак каждого слагаемого опре-
деляется знаком <j>.
Загружение сосредоточенными мо*
ментами. Заменим заданный момент
М двумя противоположными сила-
ми Р с плечом а (рис. 5.13). На
основании формулы (5.8) усилие S
при действии этих сил
S = P(Yt — Fj) = М Г,~Г1 . (5.12)
а
Итак,
S = М tg а, (5.13)
где а — угол наклона линии влия-
ния к оси абсцисс.
Момент считается положитель-
ным, если действует по ходу часо-
вой стрелки; тангенс угла наклона
положителен, если линия влияния
восходящая к оси абсцисс (при ус-
ловии, что положительные ординаты
линии влияния отложены вверх).
При действии нескольких сосредо-
точенных моментов
S = SMitgai. (5.14)
Приведенные формулы для опре-
деления усилий по линиям влияния
при нагрузках различного вида яв-
ляются универсальными. Если на
систему действуют одновременно
различные нагрузки, то результи-
рующее значение определяемой ве-
личины находят путем суммирова-
ния результатов при действии каж-
дой нагрузки в отдельности по фор-
мулам (5.8), (5.11), (5.14).
Определение усилий по линиям
влияния покажем на примере мно-
гопролетной балки. Необходимо
определить опорную реакцию RF,
изгибающий момент и поперечную
силу в сечении К под силой Р%. Схе-
ма балки, действующие на нее внеш-
ние нагрузки и л. в. RF, и Qk по-
казаны на рис. 5.14.
Рис. 5.10
Рис. 5.11
53
Рис. 5.14
Согласно формулам (5.8), (5.11) определении , например, рас-
И (5.14), сматривается сечение, бесконечно
! 14-4 близкое слева к точке приложения
Rf = 6 — 4- 2---------- силы Р2, а сила Р2 считается нахо-
2 2 3 дящейся над положительной орди-
j натой л. в. Qk- При определении
— 2 — =8 кН; QJJP, наоборот, полагают, что сила
Р2 расположена бесконечно близко
3 1 слева к сечению К. Тогда
Л4„ = 6-----2 —1-4 —
к 2 2
— 2 —= 4 кН-м.
2
На эпюре Qk под силой Р2 имеют-
ся два значения поперечной силы,
слева и справа QJP от сечения.
Определим по линии влияния зна-
чения этих поперечных сил. При
— 2 — = 4 кН;
6
Q^=-6-i- + 2-l-. --
— 2 _L = — 2 кН.
6
54
В правильности полученных ре-
зультатов можно убедиться, сопо-
ставив их с аналитическим расче-
том балки (§ 4.2).
Линии влияния могут быть эффек-
тивно использованы при расчете
сооружений, находящихся под воз-
действием как подвижных, так и
неподвижных нагрузок.
5.5. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ПРИ УЗЛОВОЙ
ПЕРЕДАЧЕ НАГРУЗКИ
Возможны случаи, когда нагруз-
ка передается на конструкцию не
непосредственно, а через промежу-
точные элементы. Например, дав-
Л8МС
Рис. 5.15
Рис. 5.16
55
ление на основные балки пролет-
ных строений мостов от' нагрузки,
расположенной на проезжей части,
передается через второстепенные
балки в местах их опирания на ос-
новные. Такая передача нагрузки
называется узловой. Построение ли-
ний влияния при узловой передаче
нагрузки рассмотрим на примере
простой балки (рис. 5.15).
При перемещении груза Р=1
давление на основную балку АВ
передается в узлах 1 и 2. Если груз
в средней панели находится на рас-
стоянии х от узла 1, давления на
опоры 1 и 2
Pi=d-^-', Рг = (5-15)
а а
равны опорным реакциям простой
балки пролетом d.
Согласно формуле (5.8),
Л1с = ^Л + -уй- (5-16)
а а
Выражение (5.16) показывает,
что л. в. Мс на участке средней па-
нели — прямая линия, соединяющая
вершины ординат у\ и у%.
Таким образом, порядок построе-
ния линий влияния при узловой пе-
редаче нагрузки следующий: необ-
ходимо построить линию влияния
при непосредственной передаче на-
грузки и вершины соответствующих
ординат л. в. соединить прямыми
линиями.
На рис. 5.16 показано построение
линий влияния в многопролетной
шарнирной балке при узловой пере-
даче нагрузки. Штриховой линией
отмечены их участки при непосред-
ственной передаче нагрузки.
5.6. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ влияния
Этот метод основан на известном
из теоретической механики принципе
возможных перемещений, который
состоит в том, что при любом воз-
можном бесконечно малом пере-
мещении системы, находящейся в
равновесии, сумма работ всех сил,
действующих на эту систему, равна
нулю. Геометрически неизменяемые
и статически определимые системы
содержат минимально необходимое
число кинематических связей, обес-
печивающих их неподвижность. По-
этому, чтобы система имела воз-
можность переместиться, необходи-
мо удалить ту или иную связь. Уда-
лив в статически определимой сис-
теме связь, получим механизм с од-
ной степенью свободы, к которому
может быть применен принцип воз-
можных перемещений.
Построение линий влияния кине-
матическим методом рассмотрим
на примере простой балки (рис.
5.17, а). Пусть груз Р=1 действует
перпендикулярно к оси балки в се-
чении, расположенном на расстоя-
нии х от опоры А. Балка находится
в равновесии под действием трех
сил: опорной реакции силы Р= 1
и опорной реакции RB- Зафиксируем
положение нагрузки и определим
значение Ra на основе принципа
возможных перемещений. Для этого
удалим опорный стержень на опоре
А и заменим его действие силой, рав-
ной Ra (рис. 5.17, б). Таким обра-
зом, получен механизм с одной сте-
пенью свободы, который будет в
равновесии при одном вполне опре-
деленном значении Ra-
Перемещение балки АВ как абсо*
лютно жесткого элемента — поворот
вокруг опорного шарнира В. Допус-
тим, что балка повернулась по ча-
совой стрелке на некоторый малый
угол а. Точки приложения опорной
реакции Ra и силы Р будут пере-
мещаться по окружностям радиуса-
ми I и I—х. Ввиду малости угла а
бесконечно малые элементы дуг
можно считать прямолинейными
элементами, перпендикулярными к
оси балки АВ.
На основании принципа возмож-
ных перемещений
откуда
<5Л7>
При Р = 1
«Л = -Г-- <5-18)
Так как 6а постоянно, 6р при раз-
личных положениях груза выражают
в определенном масштабе реакцию
Ра. Поэтому эпюра вертикальных
перемещений является моделью ли-
нии влияния опорной реакции RA.
Чтобы получить линию влияния RAt
необходимо все ординаты этой эпю-
ры разделить на 6а-
При расположении груза над опо-
рой А 6р=6а и 7?а=1, а если груз
находится над опорой В, 6Р=0 и
Ra = 0. Линия влияния RA показана
на рис. 5.17, в.
Формула (5.18) может быть пред-
ставлена в другом виде. Согласно
рис. 5.17, 6Л = Ztga; 6р = (Z—x)tga.
Ввиду малости угла а 6Л = Za и
6р = (Z — х) а. Подставив выражения
6р и 6Л в формулу (5.18), получим
а
Рис. 5.17
Такое же выражение для RA по-
лучено при построении линии влия-
57
Рис. 5.19
ния этой реакции статическим ме-
тодом (§ 5.3).
Рассмотренный прием построения
линии влияния опорной реакции
применим для любых других уси-
лий. Удаляется из системы связь,
воспринимающая усилие, линию
влияния которого необходимо пост-
роить. Для полученного механизма
с одной степенью свободы строится
эпюра вертикальных перемещений,
которая по своей форме является
моделью линии влияния этого уси-
лия.
Для построения линии влияния
изгибающего момента в сечении С
однопролетной балки необходимо
в этом сечении удалить связь, пре-
пятствующую взаимному повороту
ее левой и правой частей (рис.
5.18, а). Свободный поворот их бу-
дет обеспечен, если в этом сечении
поставить шарнир. Действие отбро-
шенной связи на левую и правую
части балки возместим загружением
их парами сил. Дадим возможное
перемещение изменяемой системе
по направлению действия этих пар.
Левая и правая части балки повер-
нутся соответственно на углы ал и
аПр, а шарнир С займет положение
Ci {рис. 5.18, б).
Уравнение работ будет: Рпу +
+ РирУ — ^Р = 0, или
Мс Мс о
-^У + -^У-Р6р = 0.
При Р = 1 из последнего равенства
имеем
М =_________-______
С tg ал + tg апр *
т. е. ординаты эпюры вертикальных
перемещений бР будут ординатами
л. в. Мс при tgan+tganp=b//+
58
+ a// = (a+6)/Z= 1. Поэтому на опо-
рах А и В нужно отложить соответ-
ственно отрезки а и Ь, что согласует-
ся с результатами, полученными
в § 5.3.
При построении линии влияния
поперечной силы в сечении С долж-
на быть удалена связь, препятству-
ющая взаимному сдвигу частей бал-
ки относительно друг друга. Взаим-
ный сдвиг сечений без их поворота
может быть обеспечен, если в сече-
нии С разрезанные части балки со-
единить двумя шарнирными стерж-
нями бесконечно малой длины, па-
раллельными оси балки (рис.
5.18, в). Полученному механизму
дадим перемещение по направле-
нию действия поперечных сил. Ле-
вая часть балки повернется вокруг
точки,Л, а правая — вокруг точки В
на один и тот же угол. При этом
прямые АС и ВС останутся парал-
лельными. Так как длина шарнир-
ных стержней бесконечно мала,
можно принять, что перемещения
левой и правой частей бл и бп₽ ле-
жат на одной вертикали, совпада-
ющей с сечением С.
На основании принципа возмож-
ных перемещений
QA + QAp- Р6Р = °,
откуда
бр
бя + ^пр
Ординаты эпюры вертикальных
перемещений бр будут являться
ординатами линии влияния Qc при
бл + бпр=1. Следовательно, суммар-
ная ордината л. в. Qc в сечении С
равна единице, а так как прямые
АС и ВС параллельны, то на опорах
Л и В ординаты линии влияния так-
же равны единице. На рис. 5.18, г
показана линия влияния поперечной
силы в сечении С.
На рис. 5.19 приведены примеры
построения линий влияния усилий
кинематическим методом в много-
пролетной шарнирной балке.
5.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАСЧЕТНОГО
ПОЛОЖЕНИЯ ПОДВИЖНОЙ
СИСТЕМЫ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ СИЛ
Общие положения. Значительная
часть сооружений в процессе' экс-
плуатации подвергается воздейст-
вию подвижных нагрузок в виде
системы сосредоточенных сил. Рас-
стояния между отдельными силами
обычно остаются постоянными, в то
время как нагрузка в целом может
занимать на сооружении любое по-
ложение. При наличии такого вида
нагрузок приходится отыскивать их
расчетные положения для выявле-
ния наиболее невыгодного сочета-
ния постоянных и временных нагру-
зок. В этом случае могут быть
успешно использованы заранее по-
строенные линии влияния искомых
усилий.
Расчетное положение нагрузки со-
ответствует максимуму или мини-
муму искомой величины S=f(x).
В общем случае искомая величина
может иметь несколько значений
максимумов и минимумов. В тех
случаях, когда функция S=f(x) и
ее первая п^юизводная непрерывны,
из условия — =0 можно найти по-
dx
ложение нагрузки, при котором
функция S=f(x) достигает экстре-
мума. При расчете реальных конст-
рукций такие случаи редки. Функ-
ция S=f(x), как правило, разрывная
или с разрывной первой произ-
59
водной. Поэтому для нахождения
экстремальных значений функции
S часто используют способ пробных
установок нагрузки. Рассмотрим
применение этого способа для не-
которых случаев, часто встреча-
ющихся в расчетной практике.
Загружение прямолинейной ли-
нии влияния. На рис. 5.20 показана
прямолинейная линия влияния не-
которого усилия S. Подвижная на-
грузка в виде группы сосредоточен-
ных сил, расстояние между которы-
ми остается постоянным, может пе-
ремещаться по сооружению. Поло-
жение нагрузки относительно неко-
торой неподвижной точки будем
характеризовать координатой х в
произвольной неподвижной системе
координат. При фиксированном по-
ложении нагрузки на сооружении,
согласно формуле (5.8),
*5 = Р1У1 + Р2У2 + РзУз + РкУ^
По мере смещения системы гру-
зов вправо значение S возрастает.
На рис. 5.21 показан примерный
график изменения S в зависимости
от положения нагрузки на сооруже-
нии. Как видно из графика, макси-
мальное значение S примет только
тогда, когда один из грузов нахо-
дится над вершиной линии влияния.
Эта закономерность справедлива
для всех линий влияния, имеющих
ломаное очертание и любое число
вершин.
Для определения расчетного по-
ложения системы сил ее пере-
мещают так, чтобы каждый из гру-
зов поочередно оказался над вер-
шиной линии влияния. При каждой
установке нагрузки по формуле
(5.8) находят значение S и по полу-
ченным результатам выявляют рас-
четное положение нагрузки.
Тот груз, который находится над
вершиной линии влияния при рас-
четном положении нагрузки, приня-
то называть критическим. Под кри-
тическим положением нагрузки по-
нимают расчетное ее положение.
Загружение треугольной линии
влияния. Согласно (рис. 5.22), при
любом расположении нагрузки
S — Р1У1+ ^2^2+ • * • Л~РпУп
и
= -------------------------
dx dx dx
-+Pn^.
dx
Если -^->0, то на рассматри-
ваемом участке S возрастает, a
при _Ц- < 0— убывает. Экстремаль-
60
ному значению функции S соответст-
вует такое положение нагрузки, при
котором ее первая производная изме-
няет свой знак на противоположный.
Выше показано, что в этом случае
один из грузов проходит над верши-
ной линии влияния.
Будем считать груз Р4 критическим.
Тогда при бесконечно малом смеще-
нии нагрузки влево он окажется на
бесконечно малом расстоянии слева от
вершины линии влияния и должно
соблюдаться условие > 0. При
dx
аналогичном смещении вправо
——-<С0. На левом участке л. в.
dx
= tga, а на правом участке
dx
Тогда
Р2+ ^з+ Лкр) —
-tgp(P5+--- + Pn)>0;
tga(Pi+P2+P3)-
—tg₽(P«p+P6+---+Pn)<0.
Возможны также частные случаи,
когда одно из неравенств превраща-
ется в равенство. Подставив в выра-
жения (5.19) tga = c/a, tg р = с[Ъ и
обозначив все силы, расположенные
слева от Ркр, через 2РЛ, а справа от
Ркр— получаем:
Ркр пр
а b *
(5.20)
ЕРл < Ркр+ SPnp
а b
Критический груз выявляют пу-
тем пробных установок нагрузки
с проверкой условий (5.20). Его
устанавливают над вершиной линии
влияния, чем и определяется рас-
Р и с. 5.22
четное положение связанной систе-
мы грузов. Экстремальное значение
S определяют по формуле (5.8).
При установке нагрузки в расчет-
ное положение некоторые грузы мо-
гут оказаться за пределами линии
влияния. В этом случае необходимо
проверить, выполняются ли условия
(5.20) без учета этих грузов. Если
условия (5.20) не выполняются, то
необходимо продолжить поиск кри-
тического груза. Аналогичным об-
разом следует поступить, если один
из грузов находится над нулевой
ординатой линии влияния.
5.8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАСЧЕТНОГО
ПОЛОЖЕНИЯ подвижной
РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ
НАГРУЗКИ
На рис. 5.23 показаны линии вли-
яния усилий Si и S2. При подвижной
нагрузке q, распределенной на уча-
стке, длина которого превышает
длину линии влияния, согласно фор-
муле (5.10), S = q&. Если линия вли-
яния имеет участки с разными зна-
ками (рис. 5.24), S = (формула
(5.11)). Перемещения нагрузки, при
которых обеспечивается полное за-
гружение линии влияния, не вызо-
вут изменения S. Если нагрузка рас-
положена только над участком ли-
нии влияния площадью ©i, S дости-
гает некоторого максимума. При
61
Рис. 5.23
дальнейшем перемещении нагрузки
вправо S уменьшается. Когда на-
грузка находится над участками ли-
нии влияния сея и ©2, *5 минимальна.
Перемещая таким образом нагрузку
и сопоставляя результаты всех за-
гружений, устанавливают расчетное
положение нагрузки.
Рассмотрим случай, когда очерта-
ние линии влияния криволинейно и
ординаты ее удовлетворяют функ-
ции y=f(x), а база нагрузки а мень-
ше длины линии влияния (рис. 5.25).
Зафиксируем положение нагрузки, и
ординаты линии влияния начала и
конца соединим хордой АВ. При пе-
ремещении нагрузки вправо на dx
хорда АВ займет положение А'В'.
Во втором случае площадь загру-
женной линии влияния уменьшится
на tjAdx и увеличится на yBdx. Так
как функция S=f(x) и ее первая
производная непрерывны, то рас-
четное положение нагрузки может
dS d®
быть найдено из условия— =q— =
dx dx
= 0. При смещении нагрузки прира-
щение площади загруженной линии
влияния (Ua=(yB—Уа)Лх. Поэтому
из исходного уравнения следует, что
У(Ув—Уа) = & Так как q=£0, то ув—
—Уа — 0, откуда Уб=Уа-
Таким образом, расчетное поло-
жение равномерно распределенной
62
glJjJIJIJJJIJ
Загружение на
S max
Рис. 5.27
нагрузки, покрывающей часть ли-
нии влияния, будет при одинаковых
ординатах линии влияния, соответ-
ствующих началу и концу нагрузки.
В этом случае хорда, соединяющая
вершины ординат линии влияния,
параллельна основанию линии влия-
ния.
Расчетное положение нагрузки,
распределенной на участке, длина
которого меньше длины линии влия-
ния, отыскивается просто, если ли-
ния влияния состоит только из пря-
молинейных участков. В этом случае
удобно воспользоваться графиче-
ским построением. Рассмотрим тре-
угольную линию влияния (рис. 5.26).
Пусть база равномерно распределен-
ной нагрузки q равна а. Отложив
на основании линии влияния от точ-
ки А отрезок AD, равный а, прове-
дем прямую DE, параллельную АС,
а затем из точки Е — прямую EF,
параллельную AD. Точки Е и F дают
границы расчетного положения на-
грузки.
В общем случае распределенная
нагрузка может иметь разрывы и
произвольное расположение. При-
мером может служить снеговая на-
грузка. Если линия влияния одного
знака, то самым неблагоприятным
(расчетным) будет загружение ее
по всей длине. Если линия влияния
имеет участки с разными знаками,
то нагрузку располагают над всеми
положительными участками и нахо-
дят Smax, а при расположении над
отрицательными участками — Smto
(рис. 5.27).
5.9. ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦ ВЛИЯНИЯ
УСИЛИИ ПО ЛИНИЯМ
влияния
Рассмотрим простую балку (рис.
5.28, а). Обозначим изгибающий
момент в i-м сечении при действии
нагрузки Р=1, приложенной в се-
чении k по направлению силы Ph,
через mik. Тогда моменты в сечениях
1, 2, ..., п могут быть найдены из
равенств:
М1=/ПцР1+/П12Р2Н---\-т1пРп\
М^т^+тъР^----------\-пцпРп\.
Л1п = /ИП1Р^-}-7ПП2Ра+ • • ‘ ~\~t^nnFn‘
(5.22)
В матричной форме выражение
(5.22) можно записать:
м= lJp.
В развернутом виде указанные мат
рицы имеют вид:
63
^nl^n,2 * * * ’ * ^n_n
Формирование матрицы LM на ос-
нове эпюр моментов от единичных
сил показано в § 2.5. Элементы этой
матрицы могут быть получены так-
же по линиям влияния, что видно из
сопоставления элементов строк мат-
рицы влияния и ординат линий вли-
яния (рис. 5.28,6, в, г). Элементы
каждой строки матрицы влияния вы-
ражают изгибающий момент в сече-
нии при расположении нагрузки Р =
= 1 поочередно в каждом из отме-
ченных сечений балки. Такой же фи-
зический смысл имеют ординаты ли-
ний влияния изгибающих моментов.
Пользуясь линией влияния Л4Ь по-
лучим элементы первой строки мат-
рицы влияния LM, а элементы вто-
рой строки соответствуют ординатам
линии влияния М2 и т. д.
Таким образом, матрицу влияния
моментов LM можно получить, поль-
зуясь эпюрами или линиями влия-
ния. В первом случае она формиру-
ется по столбцам, во втором — по
строкам. По такому же принципу
могут быть сформированы матрицы
влияния и других усилий.
Глава 6
ТРЕХШАРНИРНЫЕ АРКИ
И РАМЫ
6.1. ПОНЯТИЕ ОБ АРКАХ
Аркой называют кривой брус, об-
ращенный выпуклостью в сторону,
противоположную направлению дей-
ствия основной нагрузки, у которо-
го вертикальная нагрузка вызывает
наклонные опорные реакции. При
выполнении расчетов в аналитиче-
ской форме наклонные опорные ре-
акции обычно заменяют вертикаль-
ными и горизонтальными составля-
ющими. Горизонтальные составляю-
щие опорных реакций носят назва-
ние распора, который принято обо-
значать буквой И. Основным отли-
чием арочной системы от балочной
является наличие распора. На рис.
6.1 приведен пример арочной систе-
мы. При действии вертикальной на-
грузки опорные реакции направле-
ны под углом к горизонту. Система
64
находится в равновесии под действи-
ем трех сил, а именно: силы Р и
опорных реакций RA и RB-
На рис. 6.2 изображен криволи-
нейный брус, по очертанию анало-
гичный арке. Однако по характеру
работы это криволинейная балка,
так как вертикальная нагрузка вы-
зывает только вертикальные реак-
ции в опорах.
Если выпуклость арочной систе-
мы совпадает с направлением дейст-
вия нагрузки, то распор будет на-
правлен наружу. Такие распорные
системы носят название висячих
(рис. 6.3).
В зависимости от характера опор-
ных закреплений и наличия проме-
жуточных шарниров различают бес-
шарнирные арки (рис. 6.4), двух-
шарнирные {рис. 6.5) и трехшар-
нирные (рис. 6.6).
Бесшарнирная и двухшарнирная
арки — системы статически неопре-
делимые (см. гл. 14). Трехшарнир-
ная арка является статически опре-
делимой системой, так как число
лишних связей (формула (1.4)
Л=2-1 + 4—3-2=0.
Трехшарнирная арка составлена
из двух криволинейных элементов,
шарнирно соединенных с основани-
ем и между собой. Опоры Ли В при-
нято называть пятами, шарнир С —
ключом арки, расстояние от прямой,
соединяющей опоры, до ключевого
шарнира — стрелой подъема (f), а
расстояние между опорами А и В —
пролетом арки (I). В зависимости
от очертания полуарок и расположе-
ния промежуточного шарнира С
трехшарнирные арки бывают сим-
метричными или несимметричными.
Опоры арки могут располагаться
на одном или на разных уровнях.
В последнем случае арку называют
ползучей (рис. 6.7).
5. Зак. 1840
65
Распор арки обычно восприни-
мается сооружениями, на которые
опирается арка (береговые устои
моста и т. д.). Когда поддержива-
ющие арку конструкции не способ-
ны воспринять распор, вводят допол-
нительный стержень (затяжку), со-
единяющий обе полуарки (рис. 6.8).
Затяжка может быть расположена
на уровне опор арки, выше или ни-
же их. В трехшарнирных арках с
затяжками достаточно одной шар-
нирно-неподвижной опоры для обес-
печения неподвижности системы в
горизонтальном направлении. По-
этому вторая опора принимается
шарнирно-подвижной. Распор вос-
принимается затяжкой. На поддер-
живающие арку конструкции будут
передаваться давления, равные вер-
тикальным опорным реакциям, как
в случае простой балки. В этом одно
из преимуществ арки с затяжкой.
В трехшарнирных арках полуарки
могут быть со сплошной или сквоз-
ной стенкой. В первом случае каж-
дая полуарка представляет собой
сплошной брус, а во втором — фер-
му (рис. 6.9). Трехшарнирные арки
со сквозными полуарками называют
также трехшарнирными фермами.
По характеру работы и особеннос-
тям расчета трехшарнирная арка
близка к трехшарнирной раме (рис.
6.10). Очертание трехшарнирных
рам разнообразно и зависит от на-
значения сооружения и других фак-
торов.
6.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПОРНЫХ
РЕАКЦИИ
Арка с опорами, расположенными
в одном уровне. Схема арки, ее за-
гружение, а также все необходимые
обозначения показаны на рис. 6.11.
66
Реакции опор А и В определяются
из уравнений равновесия:
ЯМа = Pl<h + ^2fl2+ • • • пап—
— VBl=0;
^MB=VAl-Pib1-P2b2-------
--------------Pnbn= о,
откуда
Установим зависимость между го-
ризонтальными составляющими
опорных реакций на опорах А и В:
ИХ=НА—НВ=О, НА = НВ. Поэтому
при вертикальной нагрузке распор
обычно обозначают Н без индексов.
Так как изгибающий момент в
шарнире С равен нулю, сумма мо-
ментов относительно него всех сил,
приложенных, например, к левой
полуарке,
--рА--------ax') —
2 Ц 2 )
Рис. 6.12
Обозначив
(Мв — изгибающий момент в сечении
С простой балки), можно записать
м?— Hf =о,
откуда
Н= M°cf. (6.3)
Анализ выражений (6.1) — (6.3)
показывает, что вертикальные со-
ставляющие опорных реакций в арке
равны опорным реакциям простой
балки того же пролета; распор, рав-
ный частному от деления изгиба-
ющего момента в сечении С простой
балки на стрелу подъема арки, за-
висит от расположения шарниров
4, В и С и не зависит от очертания
ее оси. Поэтому формулы (6.1) —
(6.3) справедливы при любом очер-
тании оси арки.
Арка с затяжкой. Из анализа схе-
мы арки, загруженной вертикальной
нагрузкой (рис. 6.12), видно, что
горизонтальная составляющая ре-
акции на опоре А равна нулю. Вер-
тикальные составляющие опорных
реакций на опорах А и В равны
5*
67
опорным реакциям простой балки
того же пролета и определяются за-
висимостями (6.1) и (6.2).
Усилие в затяжке АВ (распор) по-
лучим, расчленив арку сквозным се-
чением /—I и рассматривая равно-
весие левой или правой полуарки:
7V3aT=Af °/Д Таким образом, уси-
лие в затяжке равно распору в обыч-
ной трехшарнирной арке бей за-
тяжки.
6.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИИ
И ПОСТРОЕНИЕ ИХ ЭПЮР
Рассмотрим арку, изображенную
на рис. 6.13, а. Очертание оси арки
будем считать заданным в принятой
системе координат, начало которой
совпадает с опорой А. При действии
вертикальной нагрузки в арке воз-
никают изгибающие моменты М, по-
перечные Q и продольные Я силы.
Определим их, пользуясь методом
сечений.
Произвольно выберем сечение К,
перпендикулярное к оси арки. По-
ложение сечения характеризуется
тремя параметрами: координатами
х, у и углом наклона сечения к го-
ризонту. Вертикальные составля-
ющие опорных реакций и распор
арки будем считать известными.
Рассечем арку в сечении К и рас-
смотрим равновесие одной из отсе-
ченных ее частей, например левой.
Имеем:
Va x—Pi (х — Oi) — Р2 (х — —
-Hy-MX=Q.
Первые три слагаемых этого вы-
ражения представляют изгибающий
момент в сечении простой балки,
расположенном на расстоянии х от
левой опоры (рис. 6.13,6). Обозна-
чив его получим
(6.4)
Из формулы (6.4) следует, что
изгибающий момент в любом сече-
нии арки равен алгебраической сум-
ме изгибающего момента в простой
балке и момента, вызываемого рас-
пором арки.
Для определения поперечной си-
лы в сечении К проецируем все на-
грузки и реакции, расположенные
слева от сечения, на нормаль к оси
арки (рис. 6.14):
Qx= У a cos <р — Pi cos ф —
— Р2 cos ф — Я sin ф,
или
Qx = (УА —Р1— Р2)С05ф —ЯэШф.
Обозначив Vа — Pi— Pz= QJ, по-
лучим:
Фх=Ф°С05ф — ЯзШф, (6.5)
где Qx—поперечная сила в сечении
соответствующей простой балки, рас-
положенном на расстоянии х от ле-
вой опоры.
Продольную силу в сечении К по-
лучим, спроецировав все нагрузки и
реакции, расположенные слева от
сечения, на перпендикуляр к плос-
кости сечения. Напомним, что про-
дольную силу считаем положитель-
ной, если она растягивает элемент,
т. е. направлена в сторону отбро-
шенной части конструкции. Из
уравнения проекций всех левых сил
на касательную к оси арки в сече-
нии имеем:
Ях=— (Уд — Pi — Р2) sin ф — Н cos ф,
или
Nx= — Q? зшф — Ясозф. (6.6)
68
Построение эпюр усилий рассмот-
рим на примере арки, нагруженной
одной сосредоточенной силой (рис.
6.15, а). Согласно формуле (6.4),
эпюру изгибающих моментов М
можно получить, суммируя алгеб-
раически ординаты эпюры изгиба-
ющих моментов в простой балке Л4°
и эпюры моментов, вызываемых рас-
пором арки. Очертание эпюры Л4°
зависит от внешней нагрузки. При
сосредоточенных нагрузках эпюра
М° имеет ломаное очертание, при
распределенных — криволинейное. В
каждом конкретном случае распор
Н — величина постоянная, а у — пе-
ременная. Следовательно, эпюра мо-
ментов Ну всегда будет криволи-
нейной.
Суммируя криволинейную эпюру
с любой другой, можно получить
эпюру только криволинейного очер-
тания. Поэтому для более точного
выявления характера эпюры изгиба-
ющих моментов в арке необходимо
определять их в достаточном числе
сечений. В каждом принятом сече-
нии определяют значения и Ну
и находят их алгебраическую сум-
му. Для более точного построения
эпюр усилий расчетные сечения сле-
дует назначать также в точках, где
эпюры имеют характерные особен-
ности (изломы, перепады), напри-
мер в точках приложения сосредото-
ченных нагрузок. Обычно расчет
арок ведут в табличной форме.
На рис. 6.15, б показана эпюра мо-
ментов в арке, полученная суммиро-
ванием ординат эпюр М° и Ну гра-
фическим способом. Эпюра Л4° имеет
вид треугольника с положительны-
ми ординатами, а эпюра Ну — кри-
волинейная с отрицательными орди-
натами. В сечениях, совпадающих
с шарнирами А, В и С, ординаты
эпюр Л4° и Ну должны быть одина-
Р и с. 6.14
новыми, так как в шарнирах момен-
ты равны нулю. На рис. 6.15, в по-
казана та же эпюра моментов в
арке, где все ординаты отложены
от горизонтали.
Эпюры поперечных и продольных
сил в арке также криволинейного
очертания. Это видно из формул
(6.5) и (6.6), в которых сомножите-
лями слагаемых являются sin <р и
cos<p. Примерный вид эпюр Q и N
показан на рис. 6.15, г, д.
69
Рис. 6.15
В трехшарнирной арке с затяжкой
изгибающие моменты, поперечные и
продольные силы определяются то-
же по формулам (6.4) — (6.6). При
этом распором является усилие в
затяжке, определяемое по формуле
(6.3).
В принятой системе координат
cos ф положителен для всех сечений;
sin ф положителен для сечений ле-
вой полуарки и отрицателен для
сечений правой полуарки.
6.4. ВЫБОР РАЦИОНАЛЬНОГО
ОЧЕРТАНИЯ ОСИ АРКИ
Рациональным считают такое
очертание оси арки, при котором
расход материала на ее сооружение
минимален. В этом случае размеры
поперечных сечений арки будут наи-
меньшими. Это условие обеспечива-
ется, когда отсутствуют изгибающие
моменты во всех сечениях арки.
Если найдено такое очертание оси
арки, при котором изгибающие мо-
менты во всех сечениях равны нулю,
/лч dM.
то и поперечные силы (Q = —) во
dx
всех сечениях также равны нулю и
во всех сечениях арки действуют
только продольные силы.
Таким образом, в арке с рацио-
нальным очертанием оси должно
выполняться, согласно формуле
(6.4), условие
Мх= М°х—Ну=0,
откуда
у = М°/Н (6.7)
или при 1/H = k y = kM°. (6.8)
Из равенства (6.8) следует, что
в рассматриваемой арке ординаты
всех точек на ее оси пропорциональ-
ны изгибающим моментам в простой
балке. Таким образом, заменив арку
простой балкой того же пролета,
загруженной той же нагрузкой, сле-
дует построить эпюру изгибающих
моментов в ней, которая по форме
будет соответствовать рациональ-
ному очертанию оси арки.
Рассмотрим некоторые примеры.
На рис. 6.16, а показана арка, загру-
женная сплошной равномерно рас-
пределенной нагрузкой, а на рис.
6.16,6 — заменяющая ее балка.
Опорные реакции в балке Va — Vb =
= ql!2. Изгибающий момент в про-
извольном ее сечении
Мх — VAx— 0,5qx2=Q,5qlx — 0,5gx2-
Изгибающий момент в середине
пролета балки равен qPfc. Тогда
70
Рис. 6.16
H=ql2[(Sf) и, согласно формуле
(6.7),
</ = —ж).
№
Таким образом, при загружении
трехшарнирной арки сплошной рав-
номерно распределенной нагрузкой
рациональное очертание ее оси удов-
летворяет уравнению квадратной
параболы.
Рассмотрим случай, когда к арке
пролетом I на одинаковых расстоя-
ниях от опор А и В приложены две
равные сосредоточенные силы Р
(рис. 6.17, а). Опорные реакции в
заменяющей простой балке (рис.
6.17,6) =V° =Р, эпюра изгиба-
ющих моментов в ней показана на
рис. 6.17,в. В рассматриваемом слу-
чае рациональной системой будет не
арка с криволинейным очертанием
оси, а трехшарнирная рама (рис.
6.17, г).
Рассмотренные примеры показы-
вают, что рациональное очертание
Рис. 6.17
оси распорной системы определя-
ется характером внешних нагрузок.
Если по архитектурным или другим
соображениям арка, воспринима-
ющая нагрузку общего вида, долж-
на быть криволинейного очертания,
форма ее оси может быть только
близкой к рациональной.
При действии на арку постоянной
гидростатической нагрузки рацио-
нальное очертание ее оси — окруж-
ность.
71
6.5. РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ РАМ
Трехшарнирную раму можно рас-
сматривать как частный случай
трехшарнирной арки. Поэтому все
полученные выше зависимости, от-
носящиеся к трехшарнирным аркам,
остаются справедливыми и для
трехшарнирных рам.
Определение изгибающих момен-
тов, поперечных и продольных сил,
а также построение их эпюр в трех-
шарнирной раме рассмотрим на
примере рамы, изображенной на
рис. 6.18, а. Рассматривая равнове-
сие рамы в целом, ввиду симметрии
ее и нагрузки получим:
VA = VB = 0,5<?Z = 0,5.2-8=86#;
2Х = #д—#в=0; НА=НВ\
^млс=уА^— —
— На Л=8-4—2-4-2—Нл 4=0;
На — Нв= ^=^^4kH.
4
Для построения эпюр усилий вос-
пользуемся методом сечений.
Для элемента AD
MX1^QHAXi, Л4Х1=0; МХ1=4 = 16 кН-м;
QX1~—Ha=—4 кН.
В элементе DE
м„,= УаХь-^—На*.
ЛЪ,=0=—4-4=—16 кН-м;
М.,=2=8-2— —4-4=—4 кН-м;
МЖ1=4=8.4--^--4-4=0;
ЛЬ _8=8.8———4-4=—16кН-м;
2 2
Рис. 6.18
72
Qx2= Va — qx2\
Qx,-=o = va = 8 кН; Qx2=8=8—2 • 8=
=—8 кН.
В элементе BE
MXa = НвХ$, Mjcs=o=O;
Л/х,=4=4‘4= 16 kH-m;
Qx = HB =4 кН.
Эпюры изгибающих моментов и
поперечных сил показаны на рис.
6.18, б, в.
Эпюру продольных сил (рис.
6.18, г) получим, проецируя на ось
каждого из элементов рамы реакции
и заданную нагрузку, расположен-
ные с одной стороны от рассматри-
ваемого сечения.
6.6. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
РАБОТЫ ТРЕХШАРНИРНОЙ АРКИ
И ПРОСТОЙ БАЛКИ
Арка по сравнению с простой бал-
кой обладает определенными пре-
имуществами. При одинаковом про-
лете и нагрузках во всех сечениях
арки изгибающие моменты меньше,
чем в простой балке. Следовательно,
при прочих равных условиях попе-
речные сечения арки будут меньши-
ми и конструкция в целом может
быть более экономичной по рас-
ходу материалов. В трехшарнирных
арках существенное уменьшение из-
гибающих моментов имеет место в
средней части пролета (формула
(6.4)), где в балках, как правило,
изгибающие моменты достигают
наибольших значений. Анализ фор-
мулы (6.5) показывает, что в сече-
ниях арки поперечные силы также
меньше, чем в простой балке. Умень-
шение изгибающих моментов и по-
перечных сил в арках обусловлено
наличием распора. В то же время
в сечениях арки возникают про-
дольные усилия, вызывающие де-
формации сжатия. Наиболее эконо-
мичными являются арки с рацио-
нальным очертанием оси, в которых
все сечения работают в условиях
центрального сжатия.
Это не значит, что во всех случа-
ях трехшарнирная арка будет более
рациональна, чем балка. Восприя-
тие распора в арках обеспечивается
соответствующей конструкцией опор,
что связано, как правило, с удоро-
жанием строительства. Поэтому вы-
бор типа системы в каждом конкрет-
ном случае производится на основе
всестороннего экономического ана-
лиза.
6.7. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ И УСИЛИЙ.
Вертикальные составляющие опор-
ных реакций в трехшарнирной арке
равны опорным реакциям соответ-
ствующей простой балки (§ 6.2).
Их линии влияния, построенные со-
гласно формулам (5.1) и (5.2), при-
ведены на рис. 6.19, б, в.
Из формулы (6.3) следует, что ли-
ния влияния распора по форме ана-
логична линии влияния изгибающе-
го момента простой балки в сечении,
совпадающем с шарниром С. Для
получения линии влияния распора
необходимо лишь разделить все ор-
динаты линии влияния М^на посто-
янную величину f (рис. 6.19, г).
Согласно формуле (6.4), линия
влияния изгибающего момента в лю-
бом сечении арки может быть полу-
чена алгебраическим суммировани-
ем ординат линии влияния изгиба-
ющего момента простой балки и
ординат линии влияния распора,
73

умноженных на ординату точки,
принадлежащей оси арки в том же
сечении.
Рассмотрим, например, сечение /С
левой полуарки. Линии влияния
и Нук прямолинейны (рис. 6.19, д).
Поэтому на всех участках линия
влияния Мк будет ограничена пря-
мыми (рис. 6.19, ё).
Результирующую линию влияния
Qk (рис. 6.19, ж, з) получим, про-
суммировав ординаты л. в. Q °. , ум-
ноженные на соэфк, и ординаты л.в.
Я, умноженные на sincpjc (см. фор-
мулу (6.5)).
Аналогично на основании форму-
лы (6.6) построена линия влияния
Nk (рис. 6.19, и, к).
Рассмотренный порядок построе-
ния линий влияния усилий в трех-
шарнирных арках справедлив при
любом очертании оси арки, в том
числе и для трехшарнирных рам.
Это вытекает из формул (6.3) —
(6.6), не зависящих ог формы оси
распорной системы. Построение ли-
ний влияния усилий в арках сза-
тяжкой остается таким же.
Глава 7
БЕЗРАСПОРНЫЕ ПЛОСКИЕ
ФЕРМЫ
7.1. ПОНЯТИЕ О ФЕРМАХ И ВЫБОР
ИХ РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ
Фермой называется стержневая
система, в элементах которой пре-
обладающими являются продоль-
ные усилия. Ее расчетная схема,
как правило, выбирается в виде
шарнирно-стержневой системы, со-
единение элементов в узлах которой
принимается в виде сквозных (пол-
ных) шарниров (рис. 7.1).
Рис. 6.19
74
Хотя узлы в действительных кон-
струкциях жесткие, возможность их
замены в расчетных схемах на шар-
нирные объясняется тем, что в фер-
мах, особенно металлических, раз-
меры поперечных сечений стержней
существенно меньше их длины. По-
этому напряжения в элементах кон-
струкции от изгибающих моментов
значительно меньше напряжений,
вызываемых продольными усилия-
ми, и ими можно пренебречь. В этом
случае шарнирно-стержневая рас-
четная схема достаточно точно от-
ражает действительную работу эле-
ментов системы.
В то же время следует иметь в
виду, что в ряде случаев (например,
в железобетонных фермах) расчет
осуществляется с учетом жесткости
узлов, так как при игнорировании
влияния изгибающих моментов воз-
можны существенные погрешности
в определении напряженного состоя-
ния массивных элементов. При этом
ферма по характеру работы прибли-
жается к рамным конструкциям.
В зависимости от характера
структуры фермы разделяют на
плоские и пространственные. В дан-
ной главе рассматриваются плоские
фермы. Сведения о пространствен-
ных фермах приведены в гл. 9.
Элементы (стержни), ограничи-
вающие ферму сверху и снизу, со-
ставляют в совокупности ее верхний
и нижний пояса. Элементы, связы-
вающие между собой пояса фермы,
относятся к решетке, которая может
включать вертикальные элементы
(стойки) и наклонные (раскосы).
Часть фермы, расположенная между
смежными узлами пояса, называет-
ся панелью, а расстояние между
этими узлами пояса — длиной пане-
ли d, наибольшее расстояние между
поясами — высотой фермы h, а рас-
стояние между центрами опорных
узлов — ее пролетом I.
Передача нагрузки на ферму
осуществляется только в узлах, а
все элементы фермы выполняют
прямолинейными. В этом случае они
работают на центральное сжатие
или растяжение, напряжения во
всех волокнах сечения стержня оди-
наковы. Это позволяет рационально
использовать материал и получать
более легкие конструкции. В этом
преимущества ферм перед балками.
Поэтому они широко используются
в промышленном и гражданском
строительстве при проектировании
большепролетных конструкций.
В некоторых случаях, особенно
при реконструкции существующих
сооружений, может оказаться, что
кроме узловой неизбежна внеузло-
вая нагрузка. При таком загруже-
нии расчет включает два этапа.
Внеузловую нагрузку приводят к
узловой, пользуясь правилом рыча-
га, и находят усилия в стержнях
при действии только узловой на-
грузки. Во втором этапе расчета
учитывают изгиб стержней, рас-
сматривая их как балки с шарнир-
ными опорами. Таким образом,
стержни, воспринимающие внеузло-
вую нагрузку, будут испытывать
изгиб с растяжением или сжатием.
75
7.2. КЛАССИФИКАЦИЯ ФЕРМ
Фермы могут быть классифициро-
ваны по нескольким признакам.
По назначению: мостовые
фермы (пролетные строения мос-
тов); стропильные, используемые в
качестве несущих конструкций по-
крытий промышленных и граждан-
ских зданий; фермы башенных, авто-
мобильных и других кранов; фермы-
мачты линий электропередач; фер-
мы-башни радиостанций и др.
По направлению опор-
ных реакций, вызываемых вер-
тикальной нагрузкой: безраспорные
фермы (балочные) и распорные.
Балочные фермы могут быть бескон-
сольные, консольно-балочные и кон-
сольные (рис. 7.2, а, б, в).
По очертанию поясов:
фермы с параллельными поясами
(см. рис. 7.2); треугольные (рис.
7.3, а); с криволинейным одним или
обоими поясами (рис. 7.3, б) (в фер-
мах с криволинейными поясами на
той или иной кривой лежат узлы
фермы, а стержни пояса остаются
прямолинейными), трапециевидного
очертания (рис. 7.3, в). В зависи-
мости от очертания кривой, на кото-
рой лежат узлы пояса фермы, фер-
Рис. 7.4
а
Рис. 7.5
Р и с. 7.2
мы называются параболическими,
круговыми и т. д.
По системе решетки: фер-
мы с простой и сложной решеткой.
К первым относятся фермы с тре-
угольной (см. рис. 7.2, а) и раскос-
ной (см. рис. 7.2, б) решеткой. Рас-
косы могут быть нисходящими или
76
восходящими к середине пролета.
Возможна полураскосная решетка,
получаемая из раскосной путем за-
мены каждого раскоса двумя полу-
раскосами (рис. 7.4). К простой от-
носится также треугольная решетка
с дополнительными стойками (рис.
7.3, в).
Сложными решетками называют-
ся такие, которые получаются нало-
жением друг на друга двух и более
простых раскосных или треугольных
решеток. В зависимости от числа
простых решеток образуемые ими
сложные решетки называются двух-
раскосными (рис. 7.5, а), двухрешет-
чатыми (рис. 7.5, б) и т. д.
7.3. ПРОВЕРКА НЕИЗМЕНЯЕМОСТИ
И СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ ФЕРМ
Необходимое условие геометри-
ческой неизменяемости и статиче-
ской определимости шарнирно-
стержневой системы — число ее сте-
пеней свободы, определяемое по
формуле (1.7), должно быть равно
нулю. Для фермы, отделенной от ее
опор, необходимое условие геомет-
рической неизменяемости опреде-
ляется формулой (1.11).
Проверка мгновенной неизменяе-
мости ферм выполняется способами,
рассмотренными в § 1.5. Один
из них — способ нулевой нагрузки,
основанный на статическом призна-
ке мгновенной изменяемости. При-
менение его рассмотрим на примере
ферм, изображенных на рис. 7.6.
Обе фермы имеют одинаковое коли-
чество узлов и стержней, выполняет-
ся необходимое условие (1.7) их гео-
метрической неизменяемости (п=
= 2 У—С— Соп=2 • 6—9—3=0).
Так как внешняя нагрузка отсут-
ствует, то реакции опор А и В
фермы (рис. 7.6, а) равны нулю.
Рис. 7.6
Установим, возможны ли усилия в
стержнях этой фермы, при которых
сохранялось бы равновесие ее узлов.
Примем, например, что в стержне
1—2 есть продольное сжимающее
усилце N 1—2 , направление которо-
го показано стрелочками. Вырезая
последовательно узлы 1 и 2, из урав-
нений равновесия SX = 0 и 2У=0
получим, что стержни 1—3 и 2—4
также сжаты, а стержни 1—А и 2—В
растянуты. Из условий равновесия
узлов А и В находим, что стержни
А—3, В—4 и А—В сжаты. Наконец,
вырезав узлы 3 и 4, найдем усилие
в растянутом стержне 3—4. Таким
образом, при произвольном усилии
в стержне 1—2 определены усилия
во всех остальных стержнях. При
этом выполняются условия равнове-
сия всех узлов. Можно принять про-
извольно усилие в любом другом
стержне и аналогично найти усилия
во всех остальных стержнях. Следо-
вательно, по характеру структуры
система допускает наличие усилий в
стержнях при отсутствии внешних
нагрузок, причем возможно беско-
77
Рис. 7.9
Рис. 7.10
нечное множество вариантов усло-
вий равновесия системы. Это явля-
ется признаком мгновенной изменяе-
мости системы, изображенной на
рис. 7.6, а, что видно и из анализа ее
структуры. Две геометрически неиз-
меняемые фигуры 1—3—А и 2—4—В
соединены тремя параллельными
стержнями 1—2, 3—4, А—В, а это
признак мгновенной изменяемости
системы (см. § 1.5).
Рассматривая равновесие узлов
фермы, показанной на рис. 7.6, б,
убеждаемся, что при отсутствии
внешней нагрузки в элементах сис-
темы не может быть усилий, отлич-
ных от нуля, при которых обеспечи-
валось бы равновесие ее узлов.
Единственное условие, при котором
соблюдается равновесие узлов,—
равенство нулю усилий во всех
стержнях. Из анализа структуры
системы видно, что она образована
по способу треугольников, является
геометрически и мгновенно неизме-
няемой.
Соотношения между количеством
стержней и узлов шарнирно-стерж-
невых систем, определяемые выра-
жениями (1.7) и (1.11), являются
необходимыми, но недостаточными
условиями. Может оказаться, что
система содержит необходимое или
даже избыточное число стержней,
но они расположены так, что в одной
части системы поставлены с избыт-
ком, а в другой части их недоста-
точно для обеспечения геометриче-
ской неизменяемости. Поэтому пос-
ле проверки по формулам необходи-
мо провести анализ геометрической
структуры фермы с целью выявле-
ния способа ее образования. Про-
стейшие способы образованиягео-
метрически неизменяемых стержне-
вых систем изложены ранее (см.
§ 1.5). Рассмотрим применение их
для шарнирно-стержневых систем.
Способ треугольника со-
стоит в том, что к основному тре-
угольнику — фигуре геометрически
неизменяемой, присоединяются но-
вые узлы при помощи двух стерж-
ней, не лежащих на одной прямой.
На рис. 7.7 показан пример образо-
вания фермы этим способом. К ос-
78
новному треугольнику abc присоеди-
няются последовательно узлы 1, 2, 3.
Сущность способа трех свя-
зей — две геометрически неизме-
няемые части фермы объединяются
в одно целое при помощи трех свя-
зей. Этот способ имеет разновид-
ности. На рис. 7.8, а, б приведен
пример варианта способа трех свя-
зей* когда две геометрически неиз-
меняемые части фермы соединяются
общим шарниром и стержнем, ось
которого не проходит через этот
шарнир. Две неизменяемые части
фермы могут быть соединены общим
шарниром А, а к полученному ме-
ханизму с одной степенью свободы
добавлен новый узел В при помощи
трех стержней (рис. 7.9), или тремя
стержнями, оси которых не пересе-
каются в одной точке (рис. 7.10).
Способы треугольника и трех свя-
зей наиболее распространены для
ферм, применяемых в промышлен-
ном и гражданском строительстве.
В геометрически неизменяемой
ферме, имеющей лишь необходимое
число кинематических связей, уда-
ляют один из стержней и к получен-
ному механизму с одной степенью
свободы добавляют при помощи трех
стержней новый узел. Этот способ
носит название способа заме-
ны стержней. На рис. 7.11, а
показана ферма, образованная по
способу треугольника. К основному
треугольнику abc последовательно с
помощью двух стержней присоеди-
нены узлы 1, 2, 3. Удалим в этой сис-
теме какой-нибудь стержень, напри-
мер 1—С. К полученному механиз-
му добавим новый узел А с помощью
стержней 4, 5, 6 (рис. 7.11, б). Вновь
образованная фигура также геомет-
рически неизменяема и не содержит
лишних связей, что видно из анали-
за ее структуры.
Рис. 7.11
Возможны также другие, более
сложные способы образования ферм,
основанные на сочетании изложен-
ных простейших способов.
7.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ
В СТЕРЖНЯХ ФЕРМ СТАТИЧЕСКИМ
МЕТОДОМ
Способ вырезания узлов. Он за-
ключается в том, что последователь-
но рассматривается равновесие вы-
резанных узлов фермы под дейст-
вием приложенных внешних нагру-
зок и усилий в перерезанных стерж-
нях.
Усилия в стержнях рассматривае-
мого узла неизвестны. Для их опре-
деления используются уравнения
равновесия SX=0 и 2У=0. При этом
направления осей координат выби-
рают так, чтобы в каждое уравнение
входило одно неизвестное усилие.
Может быть использовано также
уравнение равновесия, отражающее
равенство нулю суммы моментов от-
носительно любой точки в плоскости
системы. Для каждого рассматрива-
емого узла можно использовать из
трех уравнений статики только два,
так как все стержни узла сходятся в
одной точке и любые два из трех
уравнений будут тождественны. Та-
79
Рис. 7.12
ким образом, указанный способ при-
меним для тех узлов, которые содер-
жат не более двух неизвестных уси-
лий. Этим руководствуются, опреде-
ляя последовательность вырезания
узлов фермы.
Применение способа вырезания
узлов рассмотрим на примере ба-
лочной фермы (рис. 7.12, а). Из
уравнений моментов SMA = 0 и
2Мв = 0 находим Ra=Rb = 1,5Р.
Вырежем сечением I—I опорный
узел А и рассмотрим его равновесие
(рис. 7.12, б). Полагаем, что в обоих
стержнях растягивающие усилия.
Начало системы координат примем
на опоре А. Тогда
2 У = Ra + Na-2 sin а=О,
и
Na-2 = —Ra /sin а = — 1,5P/sin а.
Усилие в стержне А—2 со знаком
минус, а это значит, что он не рас-
тянут, как предполагалось вначале,
а сжат. В дальнейших расчетах бу-
дем учитывать действительное на-
правление этого усилия:
SX = — Na-2 cos а + NA-i = О,
Na-i = Na-2 cos а = 1,5P/sin a cos а=
= 1,5P ctga.
Значит, стержень A—1 растянут.
Усилия Na— i и Na—2 в дальнейшем
используем как известные величины.
Рассмотрим равновесие узла 1, в ко-
тором сходятся два стержня, усилия
в которых неизвестны (рис. 7.12, в).
Выделим его сечением 11—II и при-
мем положительным направление уси-
лий в стержнях 1—2 и 1—4. Тогда
SX =—N/_д-j- N1___4 = 0;
= —Р 4~ Nj—2=0,
откуда Nt_4= Nj-A\ N = P.
При известных усилиях N2-a и
N2—1 можем рассматривать равновесие
узла 2, затем узла 3 и т. д. На схе-
ме фермы номера узлов указывают
последовательность их рассмотрения.
Основной недостаток способа вы-
резания узлов состоит в том, что
искомое усилие в стержне выра-
жается через усилия в ранее рас-
смотренных стержнях. Поэтому мо-
жет происходить накапливание по-
грешности получаемых результатов.
В некоторых случаях усилия в
стержнях фермы могут быть най-
дены без предварительного опреде-
ления опорных реакций. Например,
для консольной фермы, изображен-
ной на рис. 7.13, можно определить
усилия во всех стержнях, пере-
мещаясь от свободного конца кон-
80
соли к операм. Последовательность
вырезания узлов обозначена циф-
рами.
Частные случаи равновесия узлов.
Может оказаться, что в некоторых
стержнях ферм усилия равны нулю.
Такие стержни принято называть
нулевыми. Своевременное выявле-
ние нулевых стержней способствует
упрощению определения усилий в
других стержнях фермы. Рассмот-
рим некоторые частные случаи рав-
новесия узлов.
Двухстержневой нена-
груженный узел показан на
рис. 7.14. Проецируем все силы, при-
ложенные к узлу, на оси П\ и п#.
2цх= A^cosa =0; cosa=j*=0; ^=0;
2722=^2 cos р=0; cos0=#=O; X2=0-
Следовательно, в двухстержневом
ненагруженном узле усилия в обоих
стержнях равны нулю.
Трехстержневой йена-
груженный узел (рис. 7.15):
SF = ЛГ3 cos a =0; Af3=0;
2Х = —^+^=0; Nk=N2.
В трехстержневом ненагруженном
узле усилие в одиночном стержне
равно нулю, а усилия в двух других
стержнях, лежащих на одной пря-
мой, равны между собой.
Двухстержневой нагру-
женный узел (рис. 7.16):
Ztix = N2 cos a = 0; N2 — 0;
^«2= P + ^i-O; У1=— P.
Если двухстержневой узел загру-
жен вдоль одного из стержней, то
усилие в этом стержне равно на-
грузке с обратным знаком, а усилие
вектором стержне равно нулю.
Рис. 7.15
6. Зак. 1840
81
Рис. 7.18
Трехстержневой нагру-
женный узел (рис. 7.17):
SF — Р cos ос — 2V1cosa=0; —Р\
SX = — Р sin a + Ыг sin a — N2+
+#3=0; #2=#3.
Если трехстержневой узел загру-
жен вдоль одиночного стержня, то
усилие в этом стержне равно нагруз-
ке с обратным знаком, а усилия в
двух других стержнях, лежащих на
одной прямой, равны между собой.
Если в четырехстержневом нена-
груженном узле оси стержней лежат
на двух прямых, то усилия в стерж-
нях, лежащих на одной прямой,
также равны между собой.
Пример. Определить нулевые стержни в
ферме, изображенной на рис. 7.18, а.
Решение. На опорах А и В реакции
считаем известными. Трехстержнёвой узел 1
не нагружен, и усилие в стержне 1—2 рав-
но нулю. Исключив неработающий стержень
1—2, рассматриваем равновесие трехстерж-
невого ненагруженного узла 2. Усилие в
стержне 2—3 равно нулю. На рис. 7.18,6
нулевые стержни показаны штриховой ли-
нией. При заданной нагрузке усилия будут
возникать только в элементах верхнего и
нижнего поясов фермы.
Так называемые нулевые стерж-
ни в ферме нельзя рассматривать
как ненужные элементы. Во-первых,
они необходимы для обеспечения
геометрической неизменяемости сис-
темы. Во-вторых, усилия в этих
стержнях равны нулю при данном
загружении фермы. При другом рас-
положении нагрузки нулевыми мо-
гут оказаться совершенно другие
стержни или же их может не быть
вообще.
Способ сечений. Этот способ поз-
воляет определить усилия во многих
стержнях фермы, независимо от то-
го, известны ли усилия в других
стержнях. Порядок расчета следу-
ющий. Определяются опорные реак-
ции из рассмотрения равновесия
фермы в целом. Ферма расчленяет-
ся сквозным сечением на две части
так, чтобы в нем находилось не бо-
лее трех стержней с неизвестными
усилиями. Удаляется одна часть
фермы, и ее действие на оставшуюся
часть заменяется усилиями в пере-
резанных стержнях. Для оставшейся
части фермы составляются уравне-
ния равновесия, чаще всего в форме
уравнений моментов. За моментные
точки принимаются точки пересе-
чения направлений усилий в перере-
82
занных стержнях. В случае невоз-
можности применения уравнений
моментов пользуются уравнениями
Проекций.
Для фермы, изображенной на рис.
7.19, а, опорные реакции определим
из уравнений моментов относитель-
но опор А и В, рассматривая равно-
весие фермы в целом: 7?а = ЗР; Rb=
=ЗР.
Чтобы найти усилие в стержне
2—3, расчленим ферму сквозным
сечением I—I. В число перерезан-
ных стержней войдет и стержень
2—3. Отбросим одну из частей фер-
мы, например правую, и рассмотрим
левую часть (обычно рассматривают
ту часть фермы, для которой урав-
нения равновесия получаются более
простыми), которая находится в
равновесии под действием внешних
нагрузок, реакции RA и усилий в пе-
ререзанных стержнях 2—3, 2—5 и
4—5 (рис. 7.19, б). Усилия в этих
стержнях примем положительными
(растягивающими). Точка пересече-
ния направлений усилий Уг-5 и
У 4—5 совпадает с узлом фермы 5,
уравнение моментов относительно
которой
SM5= Ra 3d —0,3P3d — P2d —
—Pd'+Vh-3ti=0,
откуда Nz-ъ =—4,5 Pd[h.
Усилие Уг—з получено со знаком
минус. Значит, стержень 2—3 не рас-
тянут, как предполагалось ранее,
а сжат.
Для определения усилия в стерж-
не 4—5 составим уравнение момен-
тов относительно узла фермы 2, где
пересекаются линии действия уси-
лий Уг-з и N 2-5:
%M2=R 12d—0,5P2d—Pd—N4_5h=0;
N4_5=4Pd/h.
Рис. 7.19
Следовательно, стержень 4—5
растянут.
Чтобы правильно определить зна-
ки усилий в стержнях, необходимо
придерживаться следующего прави-
ла. Усилия в перерезанных стерж-
нях принимают растягивающими,
т. е. направленными от узлов той
части фермы, равновесие которой
рассматривается. Слагаемые в урав-
нении моментов записываются с од-
ним знаком (например со знаком
плюс, если соответствуют вращению
относительно моментной точки по
часовой стрелке, и с обратным зна-
ком — если против часовой стрел-
ки).
Усилие в стержне 2—5 нельзя оп-
ределить из уравнения моментов,
так как линии действия усилий в
6*
83
О 1,5Р
Рис. 7.20
стержнях 2—3 и 4—5 параллельны
(моментная точка теоретически
существует, но она находится в бес-
конечности) . Независимое уравне-
ние равновесия получим, составив
уравнение проекций:
TY = Ra— 0,5Р — Р— Р—
— N2-5 COS а =0,
откуда N2—5=0,5P/cosa.
Аналогично, расчленяя ферму со-
ответствующими сечениями и рас-
сматривая равновесие той или иной
ее части, можно найти усилия в дру-
гих стержнях. Например, для опре-
деления усилия в стержне 1—2 нуж-
но сделать сечение II—II и соста-
вить уравнение моментов относи-
тельно узла 4. Из уравнения проек-
ций на вертикальную ось, мржет
быть найдено усилие в стержне
2—4.
В некоторых случаях и усилия в
элементах решетки удобнее опреде-
лять, пользуясь уравнениями момен-
тов. При определении усилий в поя-
сах фермы, приведенной на рис.
7.20, а, независимые уравнения мо-
ментов можно составить относи-
тельно узлов верхнего и нижнего
поясов. Из уравнений моментов
определяются усилия в раскосах и
стойках (кроме стойки 1—3). Рас-
членим ферму сечением I—I и рас-
смотрим равновесие правой ее части
(рис. 7.20, б). Продлив линии дейст-
вия УСИЛИЙ N1-2 И #4-3 до точки
их пересечения, составим уравнение
моментов относительно этой точки:
RB b — 0,5РЬ — Р (Ь + d) —
— Р (b +2d) — N2—зГ2—з—О,
где Г2-з — перпендикуляр, опущен-
ный из моментной точки О на линию
действия усилия #2-3*
Из полученного уравнения с од-
ним неизвестным определяется уси-
лие #2-з. Аналогично определяют-
ся усилия в других раскосах и стой-
ках. Проведя сечение II—II и соста-
вив уравнение моментов относитель-
но той же моментной точки, опре-
делим усилие в стержне 2—4 и т. д.
Частные случаи. Хотя способ се-
чений обладает определенными пре-
имуществами перед способом выре-
84
зания узлов, в практических рас-
четах усилия определяют тем спосо-
бом; который более удобен в каждом
конкретном случае. Кроме того, мо-
жет оказаться, что в некоторых
стержнях невозможно определить
усилие ни одним из указанных спо-
собов. В этих случаях искомое уси-
лие выражают через усилие в дру-
гом :стержне, применяя последова-
тельно способы сечений и вырезания
узлов. Например, провести сечение
так, чтобы оно перерезало не более
трех стержней с неизвестными уси-
лиями и в том числе стержень 1—3,
не представляется возможным (см.
рис. 7.20, а). Поэтому предваритель-
но можно определить усилие в
стержне 1—2, проведя сечение /—/
и составив уравнение моментов от-
носительно узла 3. Затем, вырезав
узел 1 сечением III—III и составив
уравнение проекций на ось п, пер-
пендикулярную к оси стержня 1—5,
получим уравнение, в котором не-
известным будет усилие в стержне
1—3 (рис. 7.20, в):
= N }—2 cos р — 1,5Р cos а —
— N 1-з cos а =0,
откуда находим усилие W /_з.
При изложении порядка расчета
ферм способом сечений отмечалось,
что вначале следует определить
опорные реакции, рассматривая рав-
новесие системы в целом. Этот этап
расчета необходим в тех случаях,
когда невозможно составить урав-
нения равновесия, не содержащие
опорные реакции. Если такие урав-
нения могут быть получены, то уси-
лия в стержнях фермы обычно на-
ходят, не определяя опорных реак-
ций. Например, усилия в консольных
фермах определяют, рассматривая
Рис. 7.21
равновесие отсеченной части кон-
соли.
Выше было показано применение
способа сечений в тех случаях, ког-
да сечением перерезается не более
трех стержней. В частных случаях
одним сечением может быть пере-
резано сколько угодно стержней.
Важно только, чтобы можно было
составить уравнение равновесия, со-
держащее одно неизвестное усилие.
Для определения усилий в поясах
полураскосной фермы (рис. 7.21, а)
проведем сечение I—I. Хотя сечени-
ем перерезано четыре стержня, пред-
ставляется возможность получить
независимые уравнения моментов,
содержащие по одному неизвестно-
му усилию. Отбросив правую часть
фермы и рассматривая равновесие
левой ее части (рис. 7.21,6), мож-
но составить уравнения:
Ra 2d—0,5P2d—Pd—N2—4h=0',
85
Рис. 7.22
что она состоит из двух треугольни-
ков 1—2—В и А—3—4, соединен-
ных стержнями А—1, 2—3 и 4—В.
Выделим из фермы один из тре-
угольников, например А—3—4, зам-
кнутым сечением и рассмотрим его
равновесие. При этом одни стержни
перерезаны один раз (А—1, 2—3,
4—В), а другие два (1—В и 2—В).
Выбирая моментные точки и состав-
ляя уравнения моментов, можем по-
лучить независимые уравнения, каж-
дое из которых будет содержать од-
но неизвестное усилие. Усилия
стержней, перерезанных два раза,
равны по абсолютной величине и об-
ратны по знаку и поэтому могут
быть исключены из уравнений рав-
новесия. Например, для определения
усилия в стержне 4—В составим
уравнение моментов относительно
точки 01, расположенной на пересе-
чении направлений усилий N г-з и
N i—A (рис. 7.22, б):
7>2t/-|-0,5P3tZ-|-iV4—N2—в?2—в—
—N 2—ВТ 2—вА~№ 1—ВГ1—В—
—N 1—вГ 1—в=®-
SM2=#4 2d—0,5P2d—Pd+N1-3h=0.
Имея в виду, что Ra = Rb=3P, по-
лучим
N2_4=4Pd/h\ tf/_3=-4P<
Если требуется определить уси-
лия во всех стержнях фермы с по-
лураскосной решеткой, то последо-
вательность расчета обычно следу-
ющая: вначале находят усилия в
стержнях верхнего и нижнего по-
ясов, а затем, вырезая узлы поясов
и рассматривая их равновесие,—
усилия в элементах решетки.
Из анализа структуры фермы,
изображенной на рис. 7.22, а, видно,
Последние четыре слагаемых
уравнения исключаются, и в резуль-
тате в нем остается одно неизвестное
N4—b .
Составив уравнение моментов от-
носительно точки 02, найдем усилие
в стержне 1—А, а затем из уравне-
ния моментов относительно точки
В — усилие в стержне 2—3. При из-
вестных усилиях в указанных стер-
жнях, последовательно вырезая уз-
лы, можно определить усилия в ос-
тальных стержнях.
Из приведенного примера видно,
что при замкнутых сечениях неиз-
вестными в уравнениях равновесия
будут усилия в стержнях, перере-
86
занных нечетное число раз. Стерж-
ни, перерезанные четное число раз,
можно не принимать во внимание.
7.5. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ УСИЛИЙ
В СТЕРЖНЯХ БАЛОЧНЫХ ФЕРМ
При расчете ферм на действие по-
движных нагрузок используются ли-
нии влияния усилий в их элементах.
Фермы, как правило, содержат зна-
чительное количество элементов,
для которых приходится отыскивать
расчетное положение подвижной на-
грузки. С помощью линий влияния
решение этой задачи значительно
упрощается.
Рассмотрим ферму с параллель-
ными поясами и раскосной решеткой
(рис. 7.23, а). Требуется построить
линии влияния опорных реакций Ra,
Rb и усилий в стержнях 1—2, 3—4
и 1—4 при условии, что груз Р=1
перемещается по нижнему поясу
фермы.
Опорные реакции в балочной фер-
ме равны опорным реакциям соот-
ветствующей простой балки. Следо-
вательно, и линии влияния опорных
реакций в рассматриваемой ферме
будут такие же, как в этой балке.
На рис. 7.23,6, в показаны линии
влияния опорных реакций Ra и Rb.
Расчленим ферму сквозным сече-
нием I—I и поочередно рассмотрим
равновесие ее левой и правой частей
при перемещении подвижного груза
Р=1 по отбрасываемой части фер-
мы.
Усилие в стержне 1—2 определя-
ется из уравнения моментов относи-
тельно узла 4, где пересекаются оси
двух других стержней. Пусть груз
Р=1 находится справа от рассечен-
ной панели (в любом узле правой
части фермы на участке 4—В). Рас-
сматривая равновесие левой части
^-5
Рис. 7.23
фермы и полагая, что стержень 1—
2 растянут, получим:
SM4= PA3d+W/-2/i=0;
W t-2=—RA^dth.
Следовательно, при расположении
подвижного груза Р=1 справа от
рассеченной панели ординаты линии
влияния усилия в стержне 1—2 рав-
87
ны ординатам линии влияния опор-
ной реакции RA с обратным знаком,
умноженным на постоянный множи-
тель 3d/h. Отложим " отрезок 3d/h
вниз по вертикали под опорой А и
построим скорректированную линию
влияния опорной реакции. Наиболее
близкое к рассеченной панели рас-
положение нагрузки на грузовом по-
ясе фермы справа — в узле 4. Поэто-
му, проецируя узел 4 на линию вли-
яния, получаем правую часть линии
влияния усилия N i-2 на участке
4—В. При перемещении груза в ле-
вой части фермы имеем:
2М4= — RB 3d — Ni_2h=0;
N i—2=— Rb 3d/h.
Строим скорректированную линию
влияния Rb, ординаты которой ум-
ножены на —3d/h, и выделяем ле-
вую часть линии влияния N i-2 . Так
как закон изменения усилия N 1—2
линейный, то в пределах рассечен-
ной панели проводим прямую, со-
единяющую вершины ординат у3 и
У4. Окончательная линия влияния
усилия в стержне 1—2 показана на
рис. 7.23, г.
Для определения усилия в стерж-
не 3—4 составим уравнение момен-
тов относительно моментной точки,
совпадающей с узлом 1. Располагая
груз Р=1 справа от рассеченной па-
нели и рассматривая равновесие ле-
вой части фермы, имеем:
2Mr = RA2d — N3_Ji= 0;
Л^з-4 = RA^dfh.
Если груз находится в левой части
фермы, то из равновесия правой ее
части
SMi = — Rb 4d -|- = 0;
Af3_4 = RB 4dfh.
Полученные выражения для уси-
лия У3_4 при различных положени-
ях нагрузки показывают, что линия
влияния N 3—4 выражается ордина-
тами линий влияния опорных реак-
ций, умноженными на постоянные
поправочные коэффициенты. Окон-
чательная линия влияния усилия в
стержне 3—4 показана на рис.
7.23, д.
Усилие в раскосе 1—4 определим
из уравнения проекций всех сил на
вертикальную ось. При расположе-
нии нагрузки справа
2 У = Ra — Ni-4 cos а = 0; ^_4 =
= RaI cos а.
Если нагрузка находится в левой
части фермы,
2 У = RB 4- ЛГХ_4 cos а = 0;
_ Rg/ cos а.
Линия влияния усилия в стержне
1—4 показана на рис. 7.23, е.
Обратим внимание, что соедини-
тельная прямая в пределах рассе-
ченной панели может не совпадать
с направлением ветви линии влия-
ния, что характерно для элементов
решетки фермы.
Аналогично можно построить ли-
нии влияния усилий и в других
стержнях фермы, сделав соответст-
вующие сечения. Например, линию
влияния усилия в стойке 1—3 полу-
чим, расчленяя ферму сечением II—
II и составив уравнение проекций
всех сил на вертикальную ось для
левой и правой ее частей (рис. 7.23,
ж).
Однако не во всех случаях нужно
применять сквозные сечения. В каж-
дом конкретном случае следует по-
лучить выражение усилия в стерж-
не наиболее простым способом. Для
88
построения линии влияния усилия в
стержне В—5 удобно вырезать опор-
ный узел В сечением III—III и рас-
смотреть равновесие узла:
SK = Rb + Nb—5 = 0; Ив—5 = — Rb •
Полученное выражение для уси-
лия Ив-5 останется справедливым
при положении нагрузки Р=1 во
всех узлах нижнего пояса фермы,
кроме опорного узла В. Если груз
находится над опорой В, RB=1 и
SF = RB — I+^b-5 = 0; NB-t> = 0.
Окончательная линия влияния уси-
лия Ив-5 показана на рис. 7.23, з.
Может оказаться, что при распо-
ложении нагрузки в любом узле гру-
зового пояса фермы часть ее стерж-
ней вообще не работает, т. е. усилия
в этих стержнях равны нулю. В рас-
сматриваемой ферме такими стерж-
нями (нулевыми) являются А—7,
6—В и 2—4. Линии влияния усилий
в этих стержнях вырождаются в
прямую линию, совпадающую с их
основанием.
Построение линий влияния в
стержнях консольных ферм или в
балочных фермах с консолями име-
ет некоторые особенности.
Для построения линии влияния
усилия в стержне 1—3 консольной
фермы, изображенной на рис. 7.24, а,
рассмотрим равновесие части консо-
ли справа от сечения /—I, полагая,
что на ней находится груз Р=1.
При расположении груза над узлом
9 уравнение моментов относительно
узла 2
ZM2=P4d— = 0, откуда
Hi-з = Id/hi.
Так как усилие N is положитель-
но, то соответствующую ординату
линии влияния откладываем вверх.
При положении груза в узле 3
ЪМ2 = Pd — N^h = 0; = d/h.
При расположении груза Р=1 в
узле 1 и левее от него усилие в стерж-
не 1—3 равно нулю. Окончательная
линия влияния усилия в нем приве-
дена на рис. 7.24, б.
Усилие в стержне 2—4 нижнего
пояса определим из уравнения мо-
ментов относительно узла 3, рас-
сматривая равновесие отсеченной
части консоли. Линия влияния уси-
лия W 2- 4 изображена на рис.
7.24, з.
Для построения линии влияния
усилия в раскосе 3—6 используем
сечение II—II. Будем составлять
уравнения моментов относительно
точки О, находящейся на пересече-
нии осей стержней верхнего и ниж-
него пояса (см. рис. 7.24,а). Если
груз Р=1 приложен к узлу 9, то
2А40 = — Pb -|- гg_g = 0;
Ms-в == Ъ/г з-в»
где г з-в —перпендикуляр, опу-
щенный из моментной точки О на
линию действия усилия Nss-
При расположении груза в узле 5
ZM0 = ~P(b+ 2d) + Ns_9 r3_e = 0;
Из-в = {Ь + 2d) / г3_в.
Устанавливая груз Р=1 в узлах
левее от рассеченной панели, убеж-
даемся, что при нахождении груза
на участке В—3 усилие в стержне
3—6 равно нулю. Результирующая
линия влияния усилия Nз-б показа-
на на рис. 7.24,г. Прямая, соединя-
ющая вершины ее ординат в узлах
5 и 9, пересекается с основанием
этой линии влияния в точке, которая
89
90
лежит на одной вертикали с момент-
ной точкой О.
Аналогично построена линия вли-
яния усилия в раскосе 6—7 (рис.
7.24, д).
Рассматривая равновесие узла /,
вырезанного сечением IV—IV, стро-
им линию влияния усилия в стойке
1—2 (рис. 7.24, е).
90
7.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ
В СТЕРЖНЯХ ШПРЕНГЕЛЬНЫХ ФЕРМ
На рис. 7.25, а приведена шпрен-
гельная ферма, которая образована
из обычной фермы с раскосной ре-
шеткой (рис. 7.25, б) путем замены
прямолинейных стержней нижнего
пояса треугольными фермочками-
шпренгелями (рис. 7.25, в). Таким
образом, в структуре шпренгельной
фермы могут быть выделены основ-
ные элементы, образующие обыч-
ную основную ферму, и вспомога-
тельные, образующие в свою оче-
редь отдельные фермы, опирающие-
ся на узлы основной.
В ферме на рис. 7.26, а шпренге-
лями заменены стержни нижнего
пояса, а в фермах на рис. 7.26, б, в,
г шпренгелями являются стержни
верхних поясов. При этом в первых
трех фермах грузовыми являются
нижние пояса, а в последней—верх-
ний пояс. В совершенно разных по
структуре фермах может быть оди-
наковым характер передачи нагруз-
ки от промежуточных узлов шпрен-
гелей в узлы основной фермы. В фер-
мах на рис. 7.26, а, г шпренгельными
являются стержни грузового пояса,
и нагрузка от шпренгелей передает-
ся в узлы того же пояса. Такие
шпренгели принято называть одно-
ярусными. В фермах на рис. 7.26, б,
в грузовыми являются нижние поя-
са, а нагрузка от промежуточных
узлов шпренгелей передается в узлы
верхнего негрузового пояса основ-
ной фермы. Шпренгели, обеспечива-
ющие передачу нагрузки в узлы
другого пояса основной фермы, на-
зывают двухъярусными. Поэтому
при расчете важно выявить шпрен-
гели и установить характер переда-
чи ими нагрузки в узлы основной
фермы путем анализа схемы обра-
зования шпренгельной фермы.
В шпренгельной ферме могут
быть выделены три типа стержней:
1) стержни, входящие в состав толь-
ко основной фермы. На рис. 7.25, а
в выделенной панели aefc это стой-
ки а—е и f—с, стержень верхнего
пояса е—f и верхняя часть раскоса
е—с, обозначенная b—е. Усилия в
этих стержнях будут возникать от
Рис. 7.25
91
6
Рис. 7.26
нагрузки, приложенной в узлах ос-
новной фермы; 2) шпренгельные
стержни, входящие в состав только
дополнительных фермочек. В рас-
сматриваемой панели к ним отно-
сятся стойка (подвеска) b—d и рас-
кос а—Ь. Ненулевые усилия в этих
стержнях возможны только от мест-
ной нагрузки, приложенной в про-
межуточном узле d; 3) стержни, об-
щие для шпренгеля и основной фер-
мы. В нашем случае это элементы
нижнего пояса а—d и d—с, а также
участок раскоса b—с, работающие
при нагрузке, приложенной как в
узлах грузового пояса основной фер-
мы, так и в промежуточном узле d.
Характер работы элементов
шпренгельных ферм предопределяет
последовательность расчета этих
конструкций. Согласно принципу
независимости действия сил, нагруз-
ки, приложенные в промежуточных
узлах, распределяют в узлы основ-
ной фермы (шпренгели выключают-
ся из работы). Определяют усилия
в стержнях основной фермы. Загру-
жают шпренгели в промежуточных
узлах местной нагрузкой и, полагая,
что они имеют жесткие опоры в уз-
лах основной фермы, определяют
усилия в стержнях, образующих
шпренгели.
В стержнях, общих для основной
фермы и шпренгеля, усилия находят
алгебраическим суммированием уси-
лий, полученных на втором и треть-
ем этапах расчета, т. е. при загру-
жении отдельно основной фермы и
шпренгеля.
7.7. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ УСИЛИИ
В СТЕРЖНЯХ ШПРЕНГЕЛЬНЫХ ФЕРМ
Порядок построения линий влия-
ния усилий в стержнях шпренгель-
ных ферм по существу аналогичен
порядку определения усилий в эле-
ментах этих систем. Линии влияния
усилий в стержнях, входящих в со-
став только основной фермы, стро-
ятся рассмотренными выше приема-
ми как для фермы с простой решет-
кой; линии влияния в стержнях
шпренгелей (подвески; раскосы) —
как для двухопорной фермы* (выре-
занной панели, опирающейся на
узлы основной фермы; при этом груз
Р=1 перемещается в пределах рас-
сматриваемой панели); линии влия-
ния в стержнях, общих для основ-
ной фермы и шпренгеля,— алгебра-
ическим суммированием ординат ли-
ний влияния, одна из которых по-
строена в основной ферме без учета
шпренгеля, а вторая — при рассмот-
рении вырезанной панели.
Покажем это на примере шпрен-
гельной фермы, изображенной на
рис. 7.27, а. Структура фермы сле-
дующая: основную ферму составля-
92
Рис. 7.27
ют верхний и нижний пояса, соеди-
ненные треугольной решеткой с до-
полнительными стойками, нижний
пояс основной фермы заменен фер-
мочками-шпренгелями. Построим
линии влияния усилий в стержнях,
расположенных в пределах панели
1—2—3—4. Для выявления, к како-
му виду относятся стержни рассмат-
риваемой панели, выделим часть
фермы между узлами 1 и 4 и рас-
смотрим ее как самостоятельную
ферму, опирающуюся в этих узлах
грузового пояса основной фермы
(рис. 7.28). Проанализируем рас-
пределение усилий в стержнях вы-
деленной фермы, когда груз Р=1
находится в промежуточном узле 6.
Находим, что усилия в стержнях
1—2, 2—3, 3—5 и 3—4 равны нулю.
Следовательно, усилия в этих стерж-
нях не зависят от загружения про-
межуточного узла шпренгеля и воз-
можны при расположении нагрузки
в узлах основной фермы. Отсюда
вытекает, что указанные стержни
входят только в основную ферму и
линии влияния их строятся как в
ферме с простой решеткой (рис.
7.27, б—г).
Подвеска 5—6 и подкос 5—4 вхо-
дят только в состав шпренгеля, и
усилия в них возникают, когда груз
Р=1 находится в узле 6. При рас-
положении нагрузки в любых дру-
гих узлах фермы усилия в этих
стержнях равны нулю. Вырезав
узел 6 и составив уравнение проек-
ций всех сил на вертикальную ось,
получим, что растягивающее усилие
в подвеске 5—6 равно нагрузке
(единице). Вырезав узел 4, получим
усилие в сжатом подкосе 5—4. Ли-
нии влияния усилий в этих стерж-
нях показаны на рис. 7.27, д, е.
Раскос 1—5, а также стержни
нижнего пояса 1—6 и 6—4 входят
одновременно в состав основной
фермы и шпренгеля (на рис. 7.27, а
отмечены штриховой линией). Ли-
нии влияния усилий в этих стержнях
(рис. 7.27, ж, з) получены алгебраи-
ческим суммированием ординат
двух линий влияния. Линия влияния
усилия в стержне 1—5 основной ре-
шетки совпадает с линией влияния
стержня 3—5 (рис. 7.27, в). Стерж-
ни 1—5 и 5—3 являются частями од-
ного и того же раскоса 1—3 основ-
94
ной фермы. Для получения линии
влияния в стержне 1—5 необходимо
откорректировать линию влияния
раскоса 1—3, построенную для ос-
новной фермы, загрузив промежу-
точный узел 6 (рис. 7.29, а). Рас-
сматривая шпренгель как самостоя-
тельную двухопорную ферму, по-
строим линию влияния в стержне
1—5. Для узла 1
SK = 0,5 + 2Vf_5 cos а = 0;
Д7“-5 = — 1/(2 cos а) .
При расположении нагрузки в уз-
лах 1 и 4 усилие в стержне 1—5 рав-
но нулю. Линия влияния усилия в
стержне 1—5 шпренгеля показана
на рис. 7.29, б. Результирующая ли-
ния влияния усилия в стержне 1—5
шпренгельной фермы л. в. N is =
=л. в. N!-3 +л. в. N™_5.
На линии влияния усилия в стерж-
не 1—3 основной фермы отклады-
ваем под узлом 6 с учетом знаков
ординату, равную —l/(2cosa), и,
соединив прямыми линиями ее вер-
шину с вершинами ординат у\ и у$,
получим результирующую линию
влияния усилия в стержне 1—5 (рис.
7.27, ж).
Аналогично строится линия влия-
ния усилия в стержне 1—6. Линия
влияния для стержня 1—4 основной
фермы имеет вид треугольника с
вершиной под моментной точкой 3
(рис. 7.27, з).
7.8. РАСЧЕТ ФЕРМ В МАТРИЧНОЙ
ФОРМЕ
Примем, что в п узлах фермы при-
ложены соответственно внешние на-
грузки Рь Р2, Рп. Усилие в неко-
Р и с. 7.30
тором i-м стержне можно предста-
вить в виде
Nt = Ntl Рх + Ni2P2 + ... + Nin Рп,
(7.1)
где Nik — усилие, вызываемое силой
Р=1, приложенной в k-м узле.
Выражения, аналогичные (7.1),
можно записать для всех стержней
фермы.
В матричной форме для всех
стержней фермы
N=LnP, (7.2)
где N — вектор усилий в стержнях
фермы; Ln — матрица влияния, эле-
ментами которой являются усилия в
стержнях, вызванные силами Р=1,
приложенными в соответствующих
узлах; Р — вектор внешних нагру-
зок.
95
Пример. Дана ферма с приложенными к
ней внешними нагрузками (рис. 7.30,а).
Определить усилия во всех стержнях фер-
мы.
Решение. Матрицы равенства (7.2) в
развернутом виде имеют вид
N =
#х "
N2
Ns
Ni
N&
N.
*7-
Ln =
Nu Nii
#21
N31 #32
Nn Nil
Nil #52
N61 #62
-Nn #7, _
Определим усилия во всех стержнях от
сил Р=1, приложенных поочередно в узлах
1 и_2 (рис. 7.30, б, в). При загружении узла
£#и=—1,061, #22=0,75^ #з1=—0J54,
#41=—0,5, #51=0,354, #ei=0,25, #п=
=—0,054; при загружении узла 2 #^2 =
=—0,354, _#22=0,25, #32=0,354, #42=
=—0,5, #52=—0,354, #62=0,75, #72=
=—1,601.
После формирования матрицы Ln и векто-
ра Р находим усилия во всех стержнях рас-
сматриваемой фермы:
Глава 8
РАСПОРНЫЕ ФЕРМЫ,
КОМБИНИРОВАННЫЕ
И ВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
8.1. РАСПОРНЫЕ ФЕРМЫ
Общие положения. Распорными
называются фермы, в опорах кото-
рых при действии вертикальной на-
грузки, кроме вертикальных, возни-
кают и горизонтальные составляю-
щие опорных реакций (распор).
В зависимости от типа опорных за-
креплений и наличия ключевого
шарнира различают балочные фер-
мы с наклонным опорным стержнем
в шарнирно-подвижной опоре (рис.
8.1, а) и трехшарнирные фермы
(рис. 8.1,6).
Распорные фермы по очертанию
поясов и типу решетки классифици-
руются так же, как и балочные фер-
мы (см. § 7.2).
Если основание не может воспри-
нимать горизонтальные силы (рас-
пор), то одна из опор трехшарнир-
ной фермы выполняется шарнирно-
подвижной, а между полуфермами
ставится затяжка. Такие фермы но-
сят название трехшарнирных ферм
с затяжками, или трехшарнирных
ферм с воспринятым распором
(рис. 8.2).
Определение опорных реакций и
-#1 - “—1,061 —0,354“ - —14,15 “
#2 0,75 0,25 10
#3 —0,354 0,354 Г 101 0
#4 — -0,5 —0,5 L10J —10
N& 0,354 —0,354 0
#6 0,25 0,75 10
_#7 _ 0,354 —1,061 _ _ —14,15 _
96
усилий в стержнях. Проиллюстриру-
ем применение статического метода
на примере фермы, изображенной
на рис. 8.1, б.
Из уравнения ZMB = 0 находим
Ул = -у- (Р1Ы + Ps4d + P„3d +
+ A2d)=VL (8.1)
а из уравнения ЕМд = О
V в — ~~j— + ^2 2^ + Рs3d +
+ P44d)=VS, (8.2)
где V° и Vb — опорные реакции про-
стой балки.
Решая уравнения моментов сил,
расположенных слева и справа от
шарнира С, получаем
и Va 3d —P^d— P^l мс
НА =-------Tl-------- ----.
„ iVB3d-Pid М°
Яв=------— =—• 1
Из уравнения SX = 0 находим, что
при вертикальной нагрузке
ддО
НА = Нв = Н-------, (8.3)
где Мс — изгибающий момент в се-
чении С соответствующей простой
балки.
Сечением /—1, проходящим через
стержни с искомыми усилиями Ni и
N2f рассекаем ферму на две части
(см. рис. 8.1,6) и рассматриваем рав-
новесие одной из них, например ле-
вой (рис. 8.3). Действие отброшен-
ной части заменяется неизвестными
усилиями в перерезанных стержнях.
Рис. 8.1
Из уравнения
= Ул 2d — P1d+A\r=О
7. Зак. 1840
97
находим
Nt = (-V4 2d + Pid)—+
Г
+ W2L = _^ + WJL.
3r r 3r
где Л/к — балочный момент в сече-
нии К.
Уравнение проекций сил на ось V,
перпендикулярную поясным стержням,
2V = Уд cos а — Pj cos а — Я sin а —
— Я2 sin а = О,
откуда
Я2 = (VA-P) cosa -Я =
sin а
= Q°ctga —Я,
где Q о — поперечная сила в сечении
/—/ соответствующей простой балки.
Аналогично определяются усилия
во всех других стержнях фермы.
Следовательно, усилие в стержне
арочной фермы во многих случаях
можно представить разностью уси-
лия в соответствующем стержне без-
распорной (балочной) фермы и уси-
лия в нем от распора. Усилия в та-
ких стержнях меньше усилий в со-
ответствующих стержнях балочных
ферм. В то же время в арочные фер-
мы могут входить стержни, усилия в
которых не зависят от распора и оп-
ределяются, как правило, способом
вырезания узлов.
Построение линий влияния уси-
лий. Ограничимся иллюстрацией
применения статического метода на
примере одной из распорных ферм
(рис. 8.4,а).
Линии влияния опорных реакций
распорных ферм не отличаются от
аналогичных линий влияния трех-
шарнирных арок (см. формулы
(8.1) — (8.3)). Они изображены на
рис. 8.4, б.
Для построения линии влияния
усилия в стержне 2—3 проведем се-
чение /—/, пересекающее стержни с
усилиями N\, Nz, N3. Предполагая,
что груз Р=1 находится на правой
отсеченной части фермы, рассмат-
риваем равновесие левой ее части:
+ VA3d — Ну3> =0,
откуда
Nl= -VA — + H-^- =
Г1 Г!
= +н^-, (8-4)
Г1 rt
где Ml' — момент в соогветствующем
сечении простой балки.
Согласно выражению (8.4), стро-
им правую часть линии влияния пу-
тем наложения двух линий влияния:
л. в. VA с множителем —3d/ri (или
л. в. М ° с множителем —1/п) ил. в.
И с множителем y'Jri (рис. 8.4, в).
Если груз Р=1 находится на ле*
98
Рис. 8.4
вой отсеченной части фермы, рас-
сматриваем правую часть:
= —М1Г1 — УВЫ+ Ну3> = О
и
= — VB -У- + Н-^- =
Г1 Г!
=---------. (8.5)
fi fi
По выражению (8.5) строим ле-
вую часть линии влияния путем на-
ложения двух линий влияния: л. в.
Vb с множителем —StZ/rj (или л. в.
М3, с множителем —I/h) и л. в. Н
с множителем г/з'Ль которая по-
строена на рис. 8.4, в.
Завершается построение линии
влияния соединением ординат, рас-
положенных под узлами разрезан-
ной панели грузового пояса. На
участке панели соединительные пря-
мые совпадают с соответствующими
ветвями составляющих линий влия-
ния. В практических расчетах удоб-
нее пользоваться спрямленной л. в.
Ni (рис. 8.4, в).
Аналогично строятся линии влия-
ния усилий в других стержнях фер-
мы, например л. в. N2 (рис. 8.4, г).
8.2. КОМБИНИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ
Общие положения. Комбиниро-
ванными называются системы, пред-
ставляющие собой сочетания про-
стых систем (балок, арок, ферм) и
дополнительных элементов. Все эти
элементы и системы являются не-
сущими.
Расчетные схемы некоторых ста-
тически определимых комбиниро-
ванных систем приведены на рис.
8.5 (элементы комбинированных си-
стем, работающие на изгиб, изобра-
жены двойной линией).
Системы, изображенные на рис.
8.5, а, б, являются внешне распор-
ными и представляют собой сочета-
ние элементов гибкой арки, подве-
сок и стоек, работающих на цент-
ральное растяжение или сжатие, с
балочными элементами (балками
жесткости), работающими на изгиб,
а на рис. 8.5, в, г — комбинирован-
ные системы с воспринятым распо-
ром: рис. 8.5, в — сочетание балки
жесткости с гибкой аркой и подвес-
ками, рис. 8.5, г — шпренгельная
балка (элементы нижнего пояса си-
стемы составляют шпренгель).
Элементы комбинированных си-
стем могут выполняться из различ-
ных материалов: например, балоч-
ные элементы, работающие в основ-
ном на изгиб или сжатие,— из же-
лезобетона, а центрально-растяну-
тые элементы — из металла. Это оп-
ределяет экономичность и широкое
использование комбинированных си-
стем, особенно в мостовом строи-
тельстве.
Расчет простейших систем. Рассмо-
трим шпренгельную балку, изображен-
ную на рис. 8.6, а. Опорные реак-
ции в ней Va= Va = ql, Vb =
= Vв = —ql- Для определения уси-
лия Н в затяжке проводим сечение
/—/ и рассматриваем равновесие од-
ной из частей системы с учетом не-
известных усилий в рассеченных эле-
ментах.
Из уравнения SAIc = 0 получаем
2/ 8/ 16/
Н = . (8.6)
Следовательно, усилие в затяжке
шпренгельной балки определяется
100
так же, как и для арочных систем.
Из уравнения ЁХЛ = О находим про-
дольное усилие в сечении С балки:
Nc=—Н. Продольные усилия в на-
клонных элементах шпренгеля и
стойках получаем, вырезая узел D
или G (рис. 8.6, б) и составляя урав-
нения 2Х=0 и 2У=0:
Т-----U = —Htga. (8.7)
cos а
Чтобы определить усилия М, Q и
N в балке жесткости, можно отсечь
от нее гибкие элементы, заменив их
действие внешними силами, и рас-
считать ее как простую балку с уче-
том действия внешней нагрузки, ре-
акций VA и VB и сил Т и U (рис.
8.6,в). Можно поступить и иначе:
сечением II—II отсечь часть шпрен-
гельной балки и из условий ее рав-
новесия с учетом усилий в рассечен-
ных элементах (рис. 8.6, а) получить
аналитические выражения неизвест-
ных усилий.
Для любого сечения, находящего-
ся на расстоянии х от левой опоры,
изгибающий момент
Мх = VAx------q-j--Hy, т. е.
101
Рис. 8.6
Мх = М° — Ну. (8.8)
Из уравнений SF = 0 и SX = О на-
ходим '
Qx = VA — qx— Higa, т. e.
Qx = Q?-Htgax; (8.9)
Nx = H. (8.10)
На участках балки AE и FB ax=a,
y=y(x), а на участке EF ax = 0,
y=f.
По выражениям (8.8) — (8.10)
можно построить эпюры М, Q и N
(рис. 8.6, д).
8.3. ВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
Общие положения. Вантовыми на-
зываются системы, основными несу-
щими элементами которых являют-
ся гибкие элементы (ванты), рабо-
тающие при любом расчетном со-
четании нагрузок на растяжение.
Роль вант могут играть тросы,
стержни с поперечным сечением раз-
личной формы и т. д. Если при шар-
нирно-стержневой расчетной схеме
вантовая система является геомет-
рически неизменяемой, то она отно-
сится к вантовым (висячим) фер-
мам. Затраты материалов на их из-
готовление обычно меньше, чем для
ферм, элементы которых могут ра-
ботать как на растяжение, так и на
сжатие.
На рис. 8.7 приведены схемы ван-
товых ферм. При конструировании
и любом видоизменении вантовых
ферм определяющим является усло-
вие работы каждого элемента на
растяжение. Кроме того, все узлы
внешнего грузового контура долж-
ны быть загружаемыми.
Вантовые фермы применяются в
качестве основных несущих систем
в мостовых и трубопроводных пере-
ходах, реже в висячих покрытиях
гражданских сооружений. В послед-
ние годы широкое распространение
получили вантовые геометрически
изменяемые стержневые системы.
На рис. 8.8, а показана шарнирно-
стержневая вантовая система, со-
стоящая из каната и подвесок. Си-
стема геометрически изменяемая,
п=4. На рис. 8.8, б изображена ван-
товая система, представляющая со-
бой один канат. Система геометри-
чески изменяемая, п = со. Сплошной
линией показано равновесное со-
стояние систем при равномерно рас-
пределенной нагрузке по всему про-
лету, пунктирной — при односторон-
ней нагрузке.
Достоинства вантовых геометри-
чески изменяемых систем: малая
материалоемкость несущих конст-
рукций (легкость сооружения, осо-
бенно желательная при перекрытии
больших пролетов), что достигается
за счет полного использования проч-
ностных свойств материала, работа-
ющего на растяжение; экономич-
ность (применяемые тросы в 4—6
раз прочнее обычной сортаментной
строительной стали и лишь в 2—2,5
раза дороже ее); удобство и просто-
та транспортирования и монтажа
элементов; высокие эстетические ка-
чества.
Вантовым геометрически изменяе-
мым системам присущи и некоторые
конструктивные недостатки. Основ-
ной из них — повышенная деформа-
тивность систем, обусловленная на-
личием, во-первых, кинематических
перемещений вследствие геометри-
ческой изменяемости, во-вторых,
значительных упругих деформаций
при больших напряжениях в эле-
ментах и малых модулях упругости,
характерных для высокопрочных
тросов. Уменьшения кинематических
103
Рис. 8.7
перемещений достигают введением,
например, стабилизирующих эле-
ментов (оттяжек, тросов) для созда-
ния предварительного напряжения
вантовой системы (растягивающих
напряжений в несущем тросе при
отсутствии нагрузки).
Расчет. При расчете гибкой нити
с неподвижными опорами, располо-
женными в одном уровне (рис. 8.9),
принимаются те же допущения, что
и при расчете стержневых геометри-
чески неизменяемых систем: мате-
риал считается однородным, изо-
тропным и идеально линейно упру-
гим; деформации растяжения не
учитываются, т. е. нить предполага-
ется нерастяжимой. Последнее до-
пущение приводит к завышению
расчетного усилия в нити и может
быть использовано в приближенных
расчетах при стрелке провисания
Из уравнений ZMb = 0 и S/Ид =
= 0 получаем Уд = Уд и Vb= Vb ,
где Уд и Vb — опорные реакции про-
стой балки, а из уравнения 2Л4"= О
или 2Л4"₽ = 0 определяем
гг МС
Н = —^-=—(8.11)
у f
где Мх — балочный момент в произ-
вольном сечении нити; у — ордината
этого сечения.
Так как Уд и Я — составляющие
Та, то 7д = Я/cos фд = Уд/эшфд ;
Тв = Я/cos фв = Ув/ sin фв .
При равномерно распределенной
нагрузке на нить, направленной
перпендикулярно к хорде, соединяю-
щей опорные точки,
(8.12)
104
в случае параллельного расположе-
ния вант и
Н = -^Г (8ЛЗ)
в случае их радиального располо-
жения.
В этих формулах q — интенсив-
ность равномерно распределенной
нагрузки на одну нить.
Рассмотрим гибкую пологую уп-
ругую нить с несмещающимися опо-
рами, расположенными в одном
уровне. Зависимости (8.12), (8.13)
могут быть использованы лишь при
известном значении /, тогда как при
учете деформаций растяжения нити
f является неизвестной величиной и
зависит от Н. Для решения задачи
необходимо иметь дополнительное
уравнение, связывающее геометри-
ческие параметры упругой нити с
силовыми факторами. Используем
выражение для длины дуги нити, ко-
торое затем упростим (данное упро-
щение можно считать справедливым
при f/l^ 1/8):
': к1«
Из выражения (8.11)' следует, что
где7<2° —'поперечная сила в сечении х
простой балки.
.шжпшшпшппшшнпш

Рис. 8.9
105
Подставляя выражение (8.15) в
формулу (8.14) и учитывая действие
первоначальной нагрузки qo(x), по-
лучим
Ц = I + “У <Й> dx. (8.16)
С учетом действия дополнительной
временной нагрузки р(х) аналогич-
но получаем
L=l+-^<&d*- <817)
При дополнительном нагружении
распор изменяется на И—Но, а дли-
на нити на Д£ = £—Lq. Для пологих
нитей (f/Z^l/8) можно приближен-
но принимать
W-JL4L
EF
где EF — жесткость нити при растя-
жении.
С учетом этого выражения и за-
висимости (8.16)
£=£,+Д£ f Q?, dx +
+ (8.18)
Приравняв правые части выраже-
ний (8.17) и (8.18) и выполнив ал-
гебраические преобразования, полу-
чим неполное кубическое уравнение
для определения Н от нагрузки
qQ(x)+p(x):
из । ( EFDq EFD
H + V = — •
где Do = У Qx,dx, D = У Qx dx co-
ответственно параметры нагрузок g0(x)
и q0 (х) + р (р); Но — распор в нити
от начальной нагрузки q0(x), опреде-
ляемый по зависимости (8.11) при за-
данной начальной стрелке провисания
/о, соответствующей этой же нагрузке.
Первоначальную длину нити
(длину заготовки), обеспечиваю-
щую заданную fQ, определяют, учи-
тывая приведенные выше формулы:
£8 = Л0-Д£ «1+
Яр/
EF *
Глава 0
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ
9.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Плоских ферм в буквальном
смысле этого слова не существует.
При расположении строго в одной
плоскости осей всех стержней фер-
мы и действующих нагрузок систе-
ма не обладает пространственной
устойчивостью и не может сущест-
вовать изолированно от других кон-
струкций. Для обеспечения прост-
ранственной устойчивости плоские
фермы с помощью связей, не лежа-
щих в их плоскостях, объединяются
в блоки. Роль связей выполняют и
элементы покрытий, перекрытий
зданий, проезжей части мостов, со-
единяющие фермы их пролетных
строений и т. д. Таким образом,
плоские фермы с примыкающими к
ним связями образуют пространст-
венные конструкции.
При определенных структуре фер-
мы и характере действующих на нее
внешних нагрузок в целях упроще-
ния расчета представляется возмож-
ным из пространственных выделять
плоские фермы. Расчленение про-
странственной фермы на плоские
вносит относительно небольшие по-
грешности в результаты расчета (в
сторону увеличения запаса прочнос-
ти конструкции). Но этот прием не
может быть распространен на все
разновидности пространственных
106
ферм. В промышленном и граждан-
ском строительстве применяются
фермы, являющиеся несущими кон-
струкциями куполов и оболочек с
криволинейной поверхностью. В этих
случаях структура фермы носит
явно выраженный пространственный
характер и выделить из нее плос-
кие фермы, исключая грубое при-
ближение, не представляется воз-
можным.
Пространственными будем назы-
вать фермы, у которых оси всех
стержней, включая опорные, не ле-
жат в одной плоскости.
Расчетная схема пространствен-
ной фермы принимается, как прави-
ло, шарнирно-стержневой, т. е. счи-
тается, что все элементы в узлах
соединены шаровыми шарнирами
(шаровыми называются шарниры,
обеспечивающие свободный поворот
относительно любых трех осей, про-
ходящих через центр шарнира).
В этом случае при узловой внешней
нагрузке во всех стержнях фермы
возникают только растягивающие
или сжимающие усилия. При опре-
делении усилий используют уравне-
ния статического равновесия тела в
пространстве: уравнения моментов
относительно осей координат 2Л4Х=
= 0, 2Л4у=0, SAfz=O и уравнения
проекций всех сил на те же оси:
2Х=*0, 2У=0, 2Z=0.
9.2. ОПОРЫ
Для обеспечения неподвижности
пространственных ферм используют
опорные устройства трех типов.
На рис. 9.1, а изображена условно
конструктивная схема подвиж-
ной шаровой опоры. Опор-
ная часть конструкции установлена
на шар, и предполагается, что она
не может перемещаться в верти-
кальном направлении. При этом
обеспечиваются свободный поворот
опорной части вокруг трех взаимно
перпендикулярных осей и линейные
перемещения по любому направле-
нию параллельно опорной плите АВ.
Таким образом, подвижная шаровая
опора имеет пять степеней свободы
и одну кинематическую связь. Рас-
четная схема опоры в виде одного
стержня приведена на рис. 9.1,6.
Под действием нагрузки возникает
одна вертикальная реакция 7?z, про-
ходящая через центр шарового шар-
нира перпендикулярно к опорной
плите.
Линейно-подвижная ша-
ровая опора допускает линей-
ное перемещение опорной части кон-
струкции только по одному направ-
лению и свободный ее поворот отно-
сительно трех осей (рис. 9,2,а, б).
Опора имеет четыре степени свободы
и две кинематические связи. Ее рас-
четная схема представлена двумя
стержнями соответственно возмож-
ности появления двух составляю-
щих и l?z опорной реакции (рис.
9.2, б). Составляющие опорной ре-
акции проходят через центр шаро-
вого шарнира и лежат в плоскости,
перпендикулярной к плоскости ли-
нейного перемещения.,
Неподвижная шаровая
опора обеспечивает свободный
поворот опорной части конструкции
вокруг трех осей, пересекающихся в
центре шара, и не допускает ника-
ких ее линейных перемещений (рис.
9.3, а). Обладает тремя степенями
свободы и имеет три кинематичес-
кие связи. Расчетная схема этой
опоры в виде трех стержней показа-
на на рис. 9.3, б. Три составляющие
опорной реакции проходят через
центр шарового шарнира.
Как известно, свободное тело в
107
Рис. 9.2
Рис. 9.4
пространстве имеет шесть степеней
свободы, и, следовательно, для обес-
печения его неподвижности необхо-
димо ввести шесть кинематических
связей. Если рассматривать геомет-
рически неизменяемую пространст-
венную ферму как одно тело (диск),
то это требование распространяется
и на нее. В приведенных выше опо-
рах оно удовлетворяется. Наряду с
этим для обеспечения неподвижнос-
ти тела в пространстве число опор-
ных точек должно быть не менее
трех и они не должны лежать на од-
ной прямой, а опорные стержни не
108
должны находиться в параллель-
ных плоскостях. На рис. 9.4 показан
возможный вариант расположения
опор в простейшей пространствен-
ной ферме.
Составляющие опорных реакций
могут быть определены с помощью
уравнений статики (см. § 9.1).
9.3. АНАЛИЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ
НЕИЗМЕНЯЕМОСТИ
Условие геометрической неизме-
няемости. Это условие определяется
числом степеней свободы фермы.
Если рассматривать узел простран-
ственной фермы как точку, то ее по-
ложение в пространстве определяет-
ся тремя координатами х, у, zt т. е.
она обладает тремя степенями сво-
боды. Стержни фермы, а также
опорные стержни являются кинема-
тическими связями, и каждый из
них уменьшает число степеней сво-
боды системы на единицу. Анало-
гично формуле (1.7) для простран-
ственных ферм
и = ЗУ —С —Соп. (9.1)
Геометрически неизменяемая и
статически определимая ферма
должна удовлетворять условию
п=0. Тогда из формулы (9.1) полу-
чаем
ЗУ—С—Соп = 0,
или
ЗУ = С + Соп. (9.2)
Если и>0, в системе недостаточ-
но стержней для обеспечения гео-
метрической неизменяемости струк-
туры или неподвижности относи-
тельно основания. Если п<0, то си-
стема содержит избыточные (лиш-
ние) связи сверх минимально необ-
ходимых. Обозначив число лишних
связей Л и имея в виду, что Л=—п,
из условия (9.1) получаем
Л = С + СОП-ЗУ. (9.3)
При отсутствии опорных закреп-
лений число степеней свободы ха-
рактеризуется взаимной подвиж-
ностью элементов (ЗУ—С) и под-
вижностью фермы в пространстве
как единого тела (диска). Так как
число степеней свободы диска в про-
странстве равно шести, то по фор-
муле (9.1)
и=ЗУ —С —6, (9.4)
или для геометрически неизменяе-
мых и статически определимых
ферм
С = ЗУ — 6. (9.5)
Зависимости (9.1) — (9.5) являют-
ся необходимыми, но недостаточны-
ми условиями для обеспечения неиз-
меняемости системы. Проверки по
формулам следует рассматривать
как первый необходимый этап ана-
лиза геометрической неизменяемос-
ти. Затем следует исследовать спо-
соб образования системы, устано-
вить количество и расположение
опорных стержней.
Способы образования геометри-
чески неизменяемых ферм. Про-
стейший способ СОСТОИТ в том,
что к исходному плоскому треуголь-
нику присоединяются последова-
тельно новые узлы при помощи трех
стержней, не лежащих в одной
плоскости. Полученные фермы на-
зывают простейшими (рис. 9.5).
К плоскому исходному треугольни-
ку abc присоединены узлы 1, 2, 3.
По способу замены
стержней — в геометрически не-
109
a
2 с 3
с
Рис. 9.6
Рис. 9.7
изменяемой ферме удаляется один
из стержней, а в другом месте уста-
навливается новый. Такие фермы
называют преобразованными. Но-
вые (заменяющие) стержни необхо-
димо устанавливать так, чтобы
вновь полученная преобразованная
система была геометрически неиз-
меняемой. Заменяющие стержни мо-
гут быть введены в структуру фер-
мы или же играть роль опорных
стержней. На рис. 9.6, а показана
простейшая ферма, а на рис. 9.6, б—
преобразованная.
Способ соединения про-
стейших систем состоит в том,
что отдельные простейшие фермы
объединяются в одну систему при
помощи шести стержней, не лежа-
щих в одной или параллельных пло-
скостях. На рис. 9.7 приведены две
простейшие фермы abed и a\b\C\dy
соединенные в одну пространствен-
ную ферму шестью стержнями (обо-
значены цифрами).
Пространственные фермы, имею-
щие вид многогранника с-треуголь-
ными гранями, ограничивающими
замкнутое пространство, называют-
ся сетчатыми. Особенность этих си-
стем заключается в том, что все
стержни расположены на поверхно-
сти многогранника. Так как каждая
грань сетчатой системы образована
тремя стержнями и каждый стер-
жень относится одновременно к
двум граням, то общее число стерж-
ней системы
С = ЗГ/2,
где Г — число граней в системе.
Сетчатые системы всегда геомет-
рически неизменяемы и статически
определимы.
Для выявления возможности
мгновенной изменяемости простран-
ственных ферм могут быть примене-
ны те же способы, что и для плоских
ферм (см. § 1.5, 7.3).
НО
9.4. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ РАВНОВЕСИЯ
УЗЛОВ
Рассмотрим трехстержневой нена-
груженный узел, стержни которого
не лежат в одной плоскости (рис.
9.8). Так как оси стержней пересе-
каются в одной точке, то два из них
всегда находятся в одной плоскости.
Предположим, что в плоскости W
лежат стержни 2 и 3. Из центра узла
проводим линию, перпендикулярную
к плоскости W, и проецируем на нее
все силы, приложенные к узлу: 2п=
= AGcosa=0. Но cosa^=0, следова-
тельно W1 = 0.
Аналогично получим М3=0 и N2=
= 0.
Из этого следует, что если в трех-
стержневом ненагруженном узле
оси всех стержней не лежат в одной
плоскости, то усилия во всех стерж-
нях равны нулю.
Если же все три стержня находят-
ся в одной плоскости, определить
усилия в них из условий равновесия
данного узла невозможно (незави-
симых уравнений статики два, а не-
известных три).
На рис. 9.9 показан ненагружен-
ный узел, все стержни которого, кро-
ме одного, лежат в плоскости W.
Проецируя все усилия на перпенди-
куляр к плоскости W, из условия
Sn=0 получим Л^=0.
Следовательно, если в ненагру-
женном узле все стержни, кроме од-
ного, лежат в одной плоскости, то
усилие в одиночном стержне равно
нулю.
Если в ненагруженном узле оси
двух стержней, не лежащих в одной
плоскости с остальными стержнями,
находятся на одной прямой, анало-
гично предыдущему можно дока-
зать, что усилия в этих стержнях
одинаковы (рис. 9.10).
111
На рис. 9.11 изображен узел, на-
груженный силой Р, направленной
вдоль одиночного стержня /, а все
остальные стержни узла лежат в
плоскости W. Усилие Ni в одиноч-
ном стержне Ni=—Р.
9.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЯ
В СТЕРЖНЯХ
Общие сведения. В пространст-
венных фермах число опорных
стержней, как правило, больше шес-
ти и опорные реакции невозможно
найти, пользуясь уравнениями ста-
тики. В таких случаях сначала оп-
ределяют усилия в стержнях фер-
мы, а потом опорные реакции, рас-
сматривая равновесие опорных уз-
лов и считая усилия в примыкаю-
щих к узлу стержнях известными.
Усилия в стержнях пространст-
венных ферм обычно находят с по-
мощью статического метода, вклю-
чающего способ вырезания узлов,
способ сечений (уравнения проекций,
уравнения моментов относительно
осей), способом разложения прост-
ранственной фермы на плоские или
методом замены стержней.
Способ вырезания узлов. Сущ-
ность способа та же, что и в случае
плоских ферм (см. § 7.4). Рассмат-
риваются условия равновесия выре-
занных узлов фермы под действием
внешних нагрузок и неизвестных
усилий в перерезанных стержнях.
Для определения последних исполь-
зуются три уравнения проекций сил
на оси координат 2Х=0; 2У=0;
SZ = 0, чем определяется последова-
тельность вырезания узлов. Расчет
начинают с рассмотрения узла, в
котором имеется не более трех
стержней с неизвестными усилиями
и оси этих стержней не лежат в од-
ной плоскости. В дальнейшем после
определения этих усилий рассматри-
вается новый узел с тремя неизвест-
ными усилиями и т. д. Желательно
выбирать оси проекций так, чтобы в
каждое уравнение входило одно не-
известное усилие.
Возможность определения усилий
во всех стержнях фермы способом
вырезания узлов зависит от струк-
туры фермы. Основной недостаток
этого способа в том, что последую-
щие усилия выражаются через уси-
лия в ранее рассмотренных стерж-
нях, что может приводить к накоп-
лению погрешности результатов рас-
чета.
Способ разложения пространст-
венной фермы на плоские. Этот спо-
соб применяется в тех случаях, ког-
да выделяемые из пространственной
плоские фермы остаются в своих
плоскостях геометритескй неизменя-
емыми и неподвижными. Внешняя
нагрузка, приложенная к узлам,
раскладывается на составляющие,
лежащие в плоскостях граней про-
странственной фермы. Используя
результаты анализа частных случа-
ев равновесия узлов (см. § 9.4),
можно исключить нулевые стержни
и выявить плоские фермы. Опреде-
ляются усилия в стержнях плоских
ферм от нагрузок, действующих в
их плоскости. Для стержней, входя-
щих в состав одной плоской фермы,
найденные усилия будут оконча-
тельными. Если стержень располо-
жен на ребре грани пространствен-
ной фермы (одновременно входит в
состав двух плоских ферм), то ре-
зультирующее усилие в нем равно
алгебраической сумме усилий, най-
денных для каждой плоской фермы
отдельно.
Применение этого способа рас-
смотрим на примере пространствен-
ной фермы, изображенной на рис.
112
Р и с. 9.12
9.12, а. К узлу 1 приложена внешняя
нагрузка Р. Разложим ее на три со-
ставляющие: Pi — по направлению
1—9; Р2 — по направлению 1—4 и
р3—/—2. Исключим нулевые стерж-
ни.
В ненагруженном узле 2 три
стержня 2—3, 2—7 и 2—6 лежат в
одной плоскости. Стержень 2—1 не
лежит в этой плоскости, следова-
тельно, усилие в нем равно нулю.
Рассматривая узлы 3 и 4 и рассуж-
дая аналогичным образом, получаем,
что усилия в стержнях 3—2 и 3—4
также равны нулю (нулевые стерж-
ни перечеркнуты). После исключе-
ния нулевых стержней узлы 2 и 3
представляют собой двухстержне-
вые ненагруженные узлы. Из част-
ных случаев равновесия узлов плос-
ких ферм (см. § 7.4) получаем, что
усилия в стержнях 2—6, 2—7, 3—7
и 3—8 равны нулю. Отбрасывая ну-
левые стержни и рассматривая рав-
новесие узлов 7, 6 и 8, устанавлива-
ем, что нулевыми также будут
стержни 7—6, 6—11, 8—7, 7—И и
7—12. Таким образом, в пространст-
венной ферме оказались работаю-
щими лишь две плоские фермы, ле-
жащие в плоскостях 1—4—12—9 и
/—2—10—9 (рис. 9.12,6). Усилия в
стержнях этих плоских ферм нахо-
дятся любым известным способом.
Составляющая внешней нагрузки
Pi может быть отнесена к любой из
двух ферм. Так как стержни 1—5 и
5—9 общие для обеих ферм, оконча-
тельные усилия в них получим ал-
гебраическим суммированием уси-
лий, найденных для каждой фермы
в отдельности.
Метод замены стержней. Этот ме-
тод применяется в тех случаях, ког-
да пространственную ферму нельзя
разложить на плоские и невозможно
определить усилия в ее стержнях
способом вырезания узлов или спо-
собом сечений. Сущность данного
метола и последовательность расче-
та ферм рассмотрены в § 3.3.
Глава 10
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ПЕРЕМЕЩЕНИЙ УПРУГИХ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
10.1. ОСНОВНЫЕ понятия
От внешних воздействий элементы
упругой системы деформируются,
поэтому и элементы и система в це-
лом могут перемещаться. В стерж-
невых системах перемещения, вы-
званные деформацией материала,
8. Зак. 1840
113
малы по сравнению с длинами эле-
ментов. Тем не менее может ока-
заться, что перемещения, не опас-
ные для работы конструкции, недо-
пустимы по условиям нормальной
ее эксплуатации. Поэтому переме-
щения находят для проверки жест-
кости конструкций. Кроме того, оп-
ределение перемещений является
одной из основных задач при выпол-
нении расчетов статически неопре-
делимых систем, а также в расчетах
на устойчивость и динамические воз-
действия.
Деформации в системе имеют мес-
то в любой стадии работы материа-
ла: упругой, упруго-пластической,
пластической. Ограничимся изуче-
нием деформаций в системах, со-
ставленных из идеально упругих и
линейно деформируемых тел.
Идеально упругими называются
тела, в которых отсутствуют оста-
точные деформации, и после удале-
ния нагрузки они возвращаются в
первоначальное положение (пружи-
нят). При этом работа материала
подчиняется закону Гука. Линейно
деформируемыми являются тела, у
которых напряжения, деформации,
перемещения прямо пропорциональ-
ны действующей нагрузке. К таким
телам применим принцип независи-
мости действия сил.
Если система составлена из иде-
ально упругих и линейно деформи-
руемых тел, то при расчете ее по не-
деформированной схеме можно счи-
тать, что свойствами упругости и
линейной -деформируемости облада-
ет и система в целом. Ниже рассмат-
риваются только линейно деформи-
руемые системы, которые с извест-
ным приближением отражают рабо-
ту реальных конструкций. Основные
строительные материалы не являют-
ся идеально упругими. Но при на-
пряжениях, не превышающих пре-
дела упругости, их принимают иде-
ально упругими. Силами трения в
опорных закреплениях конструкций,
шарнирных соединениях элементов
пренебрегают.
Перемещения системы происходят
под влиянием различных внешних
воздействий: нагрузки, смещения
опор или связей, изменения темпе-
ратуры по сравнению с начальной.
Введем обозначения: А — переме-
щения от внешних воздействий; б —
перемещения, вызываемые единич-
ными (равными единице) силой или
сосредоточенным моментом. Обычно
А и б имеют два индекса. Первый
указывает место и направление пе-
ремещения, второй — фактор, вы-
звавший перемещение. Например,
Агр — перемещение точки i по на-
правлению i, вызванное задаиаей
нагрузкой Р.
10.2. РАБОТА ВНЕШНИХ СИЛ
Рассмотрим равновесие плоского
тела, в точке А которого приложена
внешняя сосредоточенная нагрузка
Р (рис. 10.1). Предположим, что от
какого-либо воздействия точка А пе-
реместилась в положение А'. Проек-
цию полного перемещения на линию
действия силы Р обозначим А, а угол
между прямой АА' и линией дейст-
вия силы — а. Работа, выполненная
силой Р, Т=Р АА"=Р AA'cosa=
= РА, т. е. работа сосредоточенной
силы равна произведению этой силы
на перемещение по линии ее дейст-
вия.
Работу считают положительной,
если направление перемещения сов-
падает с направлением действия си-
лы.
На рис. 10.2 показано тело, к ко-
торому приложена пара сил. При
114
линейных перемещениях тела в лю-
бом направлении работа этой пары
сил равна нулю. Если в результате
какого-либо воздействия тело пово-
рачивается в плоскости относитель-
но произвольной точки О на некото-
рый угол dq>, работа, совершаемая
парой сил,
Т= Pb sin dtp — P(b—d) sin dtp =
= Pa sin dtp.
Ввиду малости угла dcp можно при-
нять sindcpж dtp: T=Padq>, или T=
=Mdtp.
Следовательно, сосредоточенные
моменты совершают работу только
при угловых перемещениях. .
Пусть балка, к.которой приложе-
на сплошная равномерно распреде-
лённая нагрузка, изогнулась, как
показано на рис. 10.3. Выделим бес-
конечно малый элемент балки дли-
ной dx. Равнодействующая внешней
нагрузки на участке dx равна qdx и
приложена в середине этого участка.
Прогиб оси балки в точке приложе-
ния силы qdx обозначим у. Элемен-
тарная работа, выполненная нагруз-
кой, расположенной в пределах эле-
мента dx, будет dT=qdxy. Суммируя
элементарные работы по всей длине
балки и переходя к пределу, полу-
чаем
Т = J qydx = q J ydx = q®,
о 0
где © — площадь эпюры прогибов.
В приведенных примерах нагруз-
ка при перемещении тела остается
постоянной и выполняемая работа
изменяется пропорционально пере-
мещению. В этом случае работа
внешней силы Р возрастает с увели-
чением перемещения Л, а суммарная
работа
л д
Т = [PdA =Р у dA = РД. (10.1)
о о
Инженерные сооружения часто
подвергаются воздействию нагрузок,
которые увеличиваются постепенно.
8*
115
Рис. 10.4
Такие нагрузки принято называть
статическими. Нарастание деформа-
ций и перемещений в этом случае
будет также плавным, и в уравнения
равновесия можно не включать силы
инерции перемещающихся масс, так
как они ничтожно малы по сравне-
нию с действующими внешними на-
грузками. Поэтому не только в со-
стоянии покоя, но и во время нара-
стания деформаций будет соблю-
даться равновесие между внешними
нагрузками и внутренними силами в
системе.
Пусть идеально упругий, защем-
ленный одним концом стержень, к
которому приложена статическая
нагрузка Р, центрально растянут
(рис. 10.4). Увеличение нагрузки
приводит к пропорциональному воз-
растанию деформации (рис. 10.5).
При Р=0 А = 0. С увеличением си-
лы на dP перемещение возрастает
на dA. Элементарная работа выра-
зится площадью трапеции abed, а
полная работа, равная сумме эле-
ментарных работ,— площадью тре-
угольника ОАВ. Таким образом, ра-
бота, выполняемая статической на-
грузкой,
Т = 0,5РА. (10.2)
Формула (10.2) справедлива при
действии любых статических нагру-
зок. Например, если в опорном сече-
нии однопролетной шарнирной бал-
ки приложен статический сбсрёдотд-
ченный момент, работа этого мо-
мента Т=0,5ЛШф, где б/ф — угол по-
ворота опорного сечения балки.
Таким образом, при статическом
действии силы на упругую систему
работа равна половине произведе-
ния конечного значения этой силы
на окончательное значение переме-
щения. Работа статической силы на
перемещении, вызванном в процес-
се деформирования тела этой же си-
лой, носит название действительной
работы.
В дальнейшем под термином «си-
ла» будем понимать «обобщенную
силу», т. е. любое воздействие (со-
средоточенную силу, сосредоточен-
ный момент, распределенную на-
грузку) и любое сочетание этих воз-
действий. Перемещение также бу-
дем считать «обобщенным», если на
нем производит работу обобщенная
сила.
Если на систему действует обоб-
щенная сила, то ее работа на осно-
116
вании принципа независимости дей-
ствия сил
Т = 0,5 2 (10.3)
1=1
где Ру Р2, ..., Рп — статические на-
грузки, действующие на сооружение
одновременно; Аь А2, Ап — сум-
марные перемещения по направле-
ниям действия сил, каждое из кото-
рых вызвано всеми внешними на-
грузками.
10.3. РАБОТА ВНУТРЕННИХ СИЛ.
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
Общие положения. При действии
на систему статических нагрузок в
элементах системы возникают внут-
ренние силы сопротивления дефор-
мации, которые возрастают с ростом
внешних нагрузок. Эти силы на со-
ответствующих перемещениях про-
изводят работу, и эта работа долж-
на быть равна работе внешних сил
по абсолютной величине, но проти-
воположна по знаку. В противном
случае не будет соблюдаться равно-
весие упругой системы.
Рассмотрим раму, изображенную
на рис. 10.6, а, к которой приложены
статические нагрузки. Выделим дву-
мя сечениями, перпендикулярными
к оси стержня, бесконечно малый
элемент длиной ds. Так как система
в целом находится в равновесии,
должны соблюдаться и условия рав-
новесия элемента ds. Действие от-
брошенных частей рамы на элемент
ds эквивалентно действию продель-
ной силы АГ, поперечной Q и изгиба-
ющего момента М по граням эле-
мента (рис. 10.6,6). По отношению
к элементу ds они являются внешни-
ми силами, вызывающими его де-
формацию.
Работа продольных сил. Растяги-
ds
Рис. 10.6
вающие продольные силы N вызо-
вут удлинение элемента на некото-
рую величину As (рис. 10.7). Воз-
никшие при этом усилия будут рав-
ны по значению внешним силам и
обратны им по знаку.
Центрально приложенная про-
дольная сила N вызывает удлинение
элемента
где Е — модуль упругости материа-
ла первого рода; F — площадь по-
перечного сечения стержня.
Элементарная работа внутренних
117
продольных сил для бесконечно ма-
лого элемента
1 ХГА 1 АГ Nds
2 2 EF
_ N2ds
2EF ’
Работа продольных сил для одного
s
стержня — J N2ds /(2EF), а для всех
о
S
элементов системы — S J N2dsj (2EF).
о
Работа поперечных сил. Попереч-
ные силы Q, приложенные в плоско-
стях граней элемента длиной ds
(рис. 10.8), вызовут взаимный сдвиг
этих плоскостей на некоторый угол
у. Если смещение каждой из плос-
костей произошло на Аа, элементар-
ная работа, выполненная попереч-
ной силой, равна —0,5Q2Ae.
Из рис. 10.8, ввиду малости угла
у, имеем 2As/ds=tgy«y. Тогда вы-
ражение элементарной работы при-
нимает вид —0,5Qyds.
Из'курса сопротивления материа-
лов известно, что касательные на-
пряжения в плоскостях элемента
т = yG,
где у — угол сдвига; G — модуль
упругости материала второго рода.
Поэтому
где р — коэффициент, зависящий от
формы поперечного сечеиия и учи-
тывающий неравномерность рас-
пределения касательных напряже-
ний по сечению.
Тогда элементарная работа попе-
речных сил
----L. Qyds ------— Q ds =
2 2 GF
_ pQ2ds
2GF ’
или для всех элементов системы
— 2 J nQads/(2GF).
о
Работа изгибающих моментов.
Под действием изгибающих момен-
тов произойдет взаимный поворот
плоскостей элемента (рис. 10.9).
Обозначим угол между плоскостями
повернутых граней элемента dtp, а
радиус кривизны р.
Сосредоточенные моменты выпол-
няют работу на угловых перемеще-
ниях, равную — О,5Лк/<р.
Используя известную из курса со-
118
Противления материалов зависи-
мость \lp=M[(EI) (М — изгибаю-
щий момент в поперечном сечении
элемента; р — радиус кривизны эле-
мента; / — момент инерции рассмат-
риваемого сечения), для бесконечно
малого элемента получим
dq> = — = — М.
Р EI
Тогда элементарная работа мо-
ментов
—!_Лйф =---------=
2 2 EI
= M*ds
2EI ’
или для всех элементов системы
- 2 j M2ds/(2£/).
о
Суммарная работа, выполняемая
внутренними силами в плоской
стержневой системе,
у _ _ f M2ds ________2 С _________
J 2EI J 2GF
о о
— S f (]0.4)
J 2EF 4 '
Так как материал обладает иде-
альной упругостью, то после снятия
нагрузки система вернется в на-
чальное положение и все элементы
восстановят свою начальную форму.
При этом внутренние силы совершат
работу, которая будет положитель-
ной, поскольку направления дейст-
вия внутренних сил совпадают с на-
правлением перемещений:
и =S [ ^.4-3 Г
.) 2EI J 2GF
о о
+ (10.5)
Работа внутренних сил при пере-
ходе упругой стержневой системы из
деформированного состояния в ис-
ходное численно равна потенциаль-
ной энергии системы.
10.4. ПРИНЦИП возможных
ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Суть принципа возможных пере-
мещений (принципа Лагранжа) со-
стоит в следующем: для заданной
системы, находящейся в равно-
весии, суммарная работа всех сил,
действующих на систему при любом
возможно бесконечно малом ее пе-
ремещении, равна нулю. Работа, со-
вершаемая силами на возможных
перемещениях, называется возмож-
ной (виртуальной) работой. Отличие
возможной работы от действитель-
ной состоит в том, что перемещение
по направлению той или иной силы
вызывается другими силовыми фак-
торами или причинами. Поэтому
полная работа силы на возможном
перемещении определяется так же,
как и работа внешних сил, не изме-
няющихся в процессе перемещения
системы (см. формулу (10.1)).
В качестве примера рассмотрим
балку (рис. 10.10), на которую дей-
ствует статическая нагрузка Рь
С увеличением нагрузки возрастают
деформации балки, и при конечном
значении силы Pi прогиб ее в месте
приложения нагрузки достигает Д1Р.
Работа статически приложенной си-
лы Pi равна 0,5РД1Р. Это действи-
тельная работа силы Pi, обусловлен-
ная упругим деформированием бал-
ки. Предположим, что после наступ-
ления покоя опора балки сместилась
на с. Вместе с балкой на Д1С переме-
стилась и сила Pi. Следовательно,
сила Pi совершила работу Р1Дю но
119
Рис. 10.10
при этом она оставалась постоянной
в процессе перемещения, вызванного
смещением опоры. Аналогично мож-
но анализировать возможную рабо-
ту внутренних сил.
Принцип возможных перемеще-
ний распространяется на системы,
для которых в качестве возможных
могут быть приняты упругие пере-
мещения. Последние для реальных
систем имеют конечные значения, но
весьма малые по сравнению с раз-
мерами элементов. Это позволяет
делать допущение о том, что направ-
ления упругих перемещений совпа-
дают с направлениями действия сил.
Поскольку система идеально упруга
и линейно деформируема, то работа
всех внешних сил полностью затра-
чивается на ее деформирование, а
возможная работа всех внешних и
внутренних сил, как и в случае бес-
конечно малых перемещений, будет
зависеть только от начального и ко-
нечного состояния системы.
На основании принятых допуще-
ний принцип возможных перемеще-
ний применительно к упругим систе-
мам может быть сформулирован
так: в упругой системе, находящей-
ся в равновесии под действием внеш-
них сил, сумма работ ее внешних и
внутренних сил на возможных пере-
мещениях равна нулю, т. е. Tik+
+ Vife = 0. Принцип возможных пере-
мещений является справедливым
для всех упругих систем, допускаю-
щих бесконечно малые перемещения.
10.5. ТЕОРЕМА О ВЗАИМНОСТИ РАБОТ
Рассмотрим два состояния одной
и той же упругой балки. В первом
случае в точке 1 балки приложена
сила Pi (рис. 10.11, а), а во вто-
ром — в точке 2 сила Р2 (рис.
10.11,6).
Предположим, что на балку сна-
чала действует статическая нагруз-
ка Рь вследствие чего балка дефор-
мируется и точка приложения силы
Pi перемещается на Ац (рис.
10.11, в). После прекращения дефор-
мации в точке 2 приложим статиче-
скую нагрузку Р2. Под действием
этой нагрузки также произойдет де-
формация балки и точки приложе-
ния сил Pi и Р2 переместятся соот-
ветственно на А12 и Д22. При этом на
перемещении AJ2 сила Pi оставалась
постоянной. Суммарная работа обе-
их сил
Т' = 0,5Р1Дц 4~ 0,5Р2Д22 4~ ЛА12-
(10.6)
Загрузим балку теми же силами,
но в обратной последовательности
(рис. 10.11, г). Перемещение точки
приложения статической силы Р2 по
линии ее действия равно Д22. После
прекращения деформации балки
приложим статически силу Пере-
мещение Д21 соответствует постоян-
ной силе Р2. Суммарная работа сил
при этом загружении
Т* — 0,5 Р2 Д22 4- 0,5 Ди 4" Pt A2j.
(Ю.7)
В обоих случаях загружения сум-
марная работа внешних сил равна
работе внутренних сил с обратным
знаком (см. § 10.3). В свою очередь
работа внутренних сил не зависит от
последовательности загружения, а
только от начального и конечного
состояния системы. Начальное неза-
120
груженное состояние рассматривае-
мой балки в обоих случаях одно и то
же, а в конечном состоянии прило-
жены две одинаковые нагрузки. Зна-
чит, суммарная работа при первом и
втором загружениях должна быть
одинаковой. Приравняв выражения
(10.7) и (10.6), получим:
Р1Д12= Р2Д21. (10.8)
Соотношение (10.8) выражает те-
орему о взаимности работ: возмож-
ная работа внешних сил первого со-
стояния на перемещениях, вызван-
ных силами второго состояния, рав-
на возможной работе сил второго
состояния на перемещениях, вызван-
ных силами первого состояния.
Формула (10.8) справедлива при
определении возможной работы как
внешних, так и внутренних сил для
всех упругих стержневых систем, к
которым применим принцип незави-
симости действия сил. В общем слу-
чае теорему о взаимности работ
можно записать в виде
Т12 = Т21, (10.9)
где Т12 и T2i — возможная работа в
каждом состоянии системы.
Для уяснения физического смысла
теоремы о взаимности работ рас-
смотрим раму, изображенную на
рис. 10.12. В первом состоянии (рис.
10.12, а) в точках 1, 2 и 3 к раме
приложены внешние нагрузки Р/,
Рг, Рз. Во втором состоянии (рис.
10.12,6) в точке k приложена толь-
ко одна внешняя нагрузка Pk. Пере-
мещение точки k по линии действия
силы Pk в состоянии / обозначим
Дьь а перемещения точек приложе-
ния сил Pi, Рз, Рзпо направлению
их действия в состоянии II —
Д 2П , Д зп .
Рис. 10.11
В соответствии с формулой (10.9)
Pi Ди/ + Р2Дг// + Р3Дз// = Pk
121
10.6. ТЕОРЕМА О ВЗАИМНОСТИ
ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
В частном случае, когда в первом
и втором состояниях системы прило-
жено по одной сосредоточенной си-
ле, теорема о взаимности работ вы-
ражается соотношением (10.8). Если
в обоих состояниях системы силы
Pi и Р2 равны единице, из него мож-
но получить соотношение для пере-
мещений, вызываемых единичными
факторами, 612=621 или в общем
виде
= бм- (Ю.Ю)
Равенство (10.10) выражает тео-
рему о взаимности перемещений:
перемещение точки приложения еди-
ничной силы одного (первого) со-
стояния по ее направлению, вызван-
ное единичной силой другого (вто-
рого) состояния, равно перемеще-
нию точки приложения силы второго
состояния, вызванному действием
единичной силы первого состояния.
Размерность этих перемещений так-
же одинакова.
10.7. ТЕОРЕМА О ВЗАИМНОСТИ
РЕАКЦИЙ
Рассмотрим линейно деформируе-
мую неразрезную балку. Предполо-
жим, в первом состоянии произошло
I состояние
Рис. 10.13
смещение опоры i по направлению
опорной связи на единицу, в резуль-
тате чего балка изогнулась. В опор-
ных связях, в том числе на опорах i
и К, возникли опорные реакции Гц
и гм (рис. 10.13,а). Сместив на еди-
ницу опору К (второе состояние),
получим реакции и ггл (рис.
10.13,6). В этих обозначениях пер-
вый индекс указывает порядковый
номер связи, в которой возникла ре-
акция, второй — фактор, вызвавший
эту реакцию (номер сместившейся
связи). На основании теоремы о вза-
имности работ приравняем суммар-
ную возможную работу сил первого
состояния системы на перемещени-
ях во втором состоянии к возможной
работе сил второго состояния балки
на перемещениях в первом состоя-
нии. При этом опорные реакции
рассматриваемых опор можно
принять за внешние нагрузки. Вво-
дить в уравнения работ реакции
других опор не имет смысла, так как
перемещения по их направлению
равны нулю. Получаем
Гц® + + Gftl»
или
rik = rki. (10.11)
Равенство (10.11) отражает тео-
рему о взаимности реакций: реакция
связи i, вызванная перемещением
связи k на единицу по направлению
реакции этой связи, равна реакции
связи k, вызванной перемещением
связи i на единицу по направлению
ее реакции.
10.8. ТЕОРЕМА О ВЗАИМНОСТИ
РЕАКЦИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Рассмотрим два состояния нераз-
резной балки, приведенной на рис.
10.14. Допустим, что в первом состо-
янии в некоторой точке К, располо-
122
Состояние
Рис. 10.14
женной в пролете балки, приложена
внешняя нагрузка Р=1 (рис.
10.14, а). Реакцию от этой нагрузки
на опоре i обозначим г^. Во втором
состоянии балки внешние нагрузки
отсутствуют, но опора i сместилась
на единицу (рис. 10.14, б). На осно-
вании теоремы о взаимности работ
— rik 1 — P$ki = Т * Д ]
откуда
= (10.12)
Из формулы (10.12) следует: ре-
акция связи I от силы Р=1, прило-
женной в точке k, равна перемеще-
нию точки k по направлению дейст-
вия силы и обратна ему по знаку.
10.9. ОБЩАЯ ФОРМУЛА
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИИ
ПЛОСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Рассмотрим раму, которая дефор-
мируется под действием внешней на-
грузки, изменении температуры и
смещении одной из опор (рис.
10.15,а). Допустим, что некоторая
точка i переместилась в положение
Г. Требуется определить проекцию
Дгй ее полного перемещения i—i' на
ось I.
Рассмотрим два состояния систе-
мы: действительное (заданное) /г-е
Рис. 10.15
состояние и некоторое возможное
i-e состояние (рис. 10.15,6), которое
выбрано специально. Согласно тео-
реме о взаимности работ, Тм—Tik.
Примем состояние / за действитель-
ное (заданное), а состояние k будем
считать возможным и определим ра-
боту всех сил i-ro состояния на пе-
ремещениях &-го состояния. В со-
стоянии i действует только одна
внешняя нагрузка Р=1, и выпол-
ненная ею возможная работа будет
равна 1-Atfe. Согласно принципу воз-
можных перемещений, для упругой
системы, находящейся в равновесии,
сумма возможных работ всех внеш-
них и внутренних сил должна быть
равна нулю:
1Д/Ь 4- V 4- ZRc = 0,
откуда
Д^ = -У--2Рс, (Ю.13)
123
Состояние t
Состояние к
где V — работа изгибающих момен-
тов, поперечных и продольных сил
состояния i на перемещениях со-
стояния k\ ZPc— работа опорных
реакций состояния t на перемеще-
ниях состояния k.
Поскольку перемещение ДгА вы-
звано совокупностью различных
факторов, то необходимо определить
работу внутренних сил, вызываемых
действием всех этих факторов.
Для определения возможной ра-
боты внутренних сил V рассмотрим
бесконечно малый элемент длиной
ds в одном и другом состояниях си-
стемы (рис. 10.16). Перемещения по
направлению каждой из внутренних
сил вследствие деформации элемен-
та под действием внешних нагрузок,
известны (см. § 10.3) .
Тогда на перемещениях состояния k
изгибающими моментами выполняется
работа —MiMbdsKEiy, поперечными
силами— QiiiQkdsKGF)-, продольными
силами— NiNhds/(EF). _
В этих выражениях "Mit Qh —
соответственно изгибающий момент,
поперечная и продольная силы, вы-
званные внешней нагрузкой Р = 1, ко-
торые умножаются на перемещения^ в
состоянии k по направлению Qf,
Для всех элементов системы рабо-
та выразится суммой интегралов
элементарных работ изгибающих
моментов, поперечных и продольных
сил.
Определим работу внутренних сил
на перемещениях, вызванных изме-
нением температуры. Будем считать,
что перемещения произошли вслед-
ствие различия положительных тем-
ператур на внешнем и внутреннем
контурах рамы, причем по высоте
сечения стержня она изменяется по
линейному закону. Рассмотрим эле-
мент ds при условии, что ti>t2 (рис.
10.17). Волокна на нижней грани
элемента получат большие удлине-
ния, чем нижние, произойдет пово-
рот граней элемента на некоторый
угол dq>t. При принятом температур-
ном режиме взаимного смещения
граней по вертикали не будет, и ра-
124
бота поперечных сил равна нулю.
Изгибающие моменты на соответст-
вующих перемещениях совершают
работу —а продольные силы
—Ni&tcvds.
Ввиду малости угла dqt можно
записать
tgdTt«d<₽(=
п,
at'ds
h
где а — коэффициет линейного рас-
ширения материала; Г = 4 —t2—раз-
ность температур в крайних волокнах
сечения.
Подставив выражение полной ра-
боты внутренних сил, выполняемой
ими на перемещениях, вызванных
внешней нагрузкой и изменением
температуры, в формулу (10.13), по-
лучим общую формулу для опреде-
ления перемещений (формулу Мо-
ра):
д = s р MtMhds +
j] EI
I 2 f I 2 f NjNfids .
J GF "Г" J EF
। 2 f Mtocfds
о h
+S.\Niai<.^s — 'ZRc, (10.14)
где 4ф=0,5 (4 + 4)—средняя тем-
пература (температура на середине
высоты сечения стержня).
Формула (10.14) позволяет нахо-
дить как линейные, так и угловые
перемещения для плоских упругих
геометрически неизменяемых си-
стем, как статически определимых,
так и статически неопределимых.
Универсальность формулы Мора об-
условлена тем, что в основу ее по-
ложен принцип возможных переме-
щений, который справедлив для лю-
бых упругих систем. Эта формула
неприменима в том случае, если де-
формации системы нельзя рассмат-
ривать как бесконечно малые (они
сопоставимы с размерами элемен-
тов).
Заметим, что при выводе формулы
(10.14) рассматривалось два состоя-
ния одной и той же системы, одно из
которых было заданным, а второе
(вспомогательное) принято по на-
шему усмотрению. Возникает во-
прос: можно ли при определении
конкретных перемещений вспомога-
тельное состояние принимать произ-
вольно? Анализ последовательности
вывода формулы Мора показывает,
что каждому виду перемещения со-
ответствует определенное вспомога-
тельное состояние системы. При оп-
ределении линейного перемещения
во вспомогательном состоянии силу
Р=1 прикладывают в направлении
предполагаемого перемещения. Если
по формуле (10.14) перемещение по-
лучено со знаком минус, то это зна-
чит, что в действительности точка
переместилась в обратную сторону.
При определении взаимного сближе-
ния или расхождения двух точек в
них прикладываются обратные по
направлению силы Р=1, лежащие
на прямой, соединяющей точки. Для
определения угла поворота сечения
в нем следует приложить сосредото-
ченный момент М=1. Если требу-
ется определить взаимный угол по-
ворота двух сечений, в этих сечениях
нужно приложить два момента М =
= 1, противоположные по знаку.
Для рамы, изображенной на рис.
10.18, а, приведены вспомогательные
125
Рис. 10.18
состояния при определении следую-
щих перемещений: вертикального
точки 4 — рис. 10.18, б; горизонталь-
ного точки В — рис. 10.18, в\ взаим-
ного сближения точек С и D — рис.
10.18, г; угла поворота сечения на
опоре Е — рис. 10.18, <Э; взаимного
угла поворота сечений, примыкаю-
щих к шарниру F — рис. 10.18, е.
10.10. ФОРМУЛА МОРА ДЛЯ ЧАСТНЫХ
СЛУЧАЕВ
Перемещения, вызываемые внеш-
ней нагрузкой. В этом случае точная
формула, учитывающая влияние из-
гибающих моментов, поперечных н
продольных сил, имеет вид
АгР = 2 J Я^5/(Е/)+.
о
+.2 J (1QiQpds/(GF) +
4-S j NiNfdsKEF). (10.15)
о
В стержневых системах, элементы
которых работают преимущественно
на изгиб, последние два слагаемых
формулы (10.15) малы (в среднем
около 3%’ полного перемещения).
Поэтому на практике при определе-
нии перемещений в балках, рамах
(и довольно часто в арках) пользу-
ются приближенной формулой
Д,р = 2 J MiMpdsKEI). (10.16)
В этих формулах усилия с индек-
сом i относятся к вспомогательному,
а с индексом р— к грузовому (за-
данному) состоянию системы.
Приближенные формулы для оп-
126
ределения единичных перемещений
имеют такой вид:
6« = 2 j MiMfdsKElY, (10.17)
о
6(i= 2 J M\dsl(EI). (10.18)
0
Если в стержнях системы возмож-
ны только продольные усилия, то пе-
ремещения, вызываемые внешней
нагрузкой,
Д1р =2 [ NtNpdsKEF). (10.19)
о
В частном случае, когда жест-
кость и продольные усилия не изме-
няются по длине стержней,
Aip= 2NtNps/(EF). (10.20
Формулы единичных перемещений
в этом случае имеют вид:
6гА = 2ЛГгад(ЕГ); (10.21)
= 2ДГ? s/(EI). (10.22)
При определении перемещений не-
обходимо соблюдать следующее пра-
вило знаков: подынтегральное вы-
ражение принимается положитель-
ным, если в обоих состояниях систе-
мы эпюры моментов расположены с
одной стороны от оси стержня; сла-
гаемое в формуле (10.20) положи-
тельно, если в заданном и вспомога-
тельном состояниях усилие в стерж-
не имеет один и тот же знак.
Перемещения, вызываемые изме-
нением температуры. Если переме-
щения происходят только вследст-
вие изменения температуры, то
Д„ = 2 С + 2 f Niat ds.
Й Л о’ (10.23)
Если допустить, что сечение стерж-
ня, разность температур крайних во-
локон t' и коэффициент линейного
расширения материала по его длине
одинаковы, формулу (10.23) можно
преобразовать:
Д« = 2 f Ailds + 2aZC0 j Ntds,
0 0
или
Aif = , (Ю.24)
где (им — площадь эпюры моментов;
(№ — то же, продольных сил.
Правило знаков: слагаемое
а/иоъг/й принимается положитель-
ным, если при температуре f и дей-
ствии момента Mi во вспомогатель-
ном состоянии стержень искривля-
ется в одну и ту же сторону. Слагае-
мое atcptoN) положительно, если при
температуре /Ор в заданном и дейст-
вии продольной силы Ni во вспомо-
гательном состоянии деформации
стержня одного и того же знака.
В шарнирно-стержневых системах
перемещение, вызываемое изменени-
ем температуры,
Aif = Sa^s. (10.25)
Правило знаков то же, что и для
второго слагаемого формулы (10.24).
Перемещения, вызываемые сме-
щением опор. В формуле (10.14)
влияние смещения опор учитывает-
ся слагаемым
Дг-С = — ZRc, (10.26)
где с — смещение опорных связей;
R — реакции в сместившихся опор-
ных связях по направлению задан-
ных смещений во вспомогательном
состоянии системы.
Правило знаков: произведение Rc
положительно, если направление ре-
акции во вспомогательном состоя-
127
Рис. 10.19
нии совпадает с направлением сме-
щения с.
Пример. Определить вертикальное пере-
мещение сечения k балки (рис. 10.19, а),
вызванное смещением опоры В по вертика-
ли на величину с.
Решение. Определим опорную реак-
цию Rb во вспомогательном состоянии от
вертикально приложенной силы Р=1 в се-
чении k (рис. 10.19, б). Составив выражение
момента относительно шарнира D для пра-
вой части балки и приравняв его нулю, по-
лучим:
По формуле
5
=----с.
4
5
Кв = —•
(10.26) Дйс = -(-₽вс) =
10.11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИИ
ОТ ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКИ
Непосредственное интегрирование.
Для систем, элементы которых рабо-
тают преимущественно на изгиб, ис-
пользуется приближенная формула
(10.16). В этой формуле под знаком
интеграла необходимо записать ана-
литические выражения обоих момен-
тов и жесткости, а затем выполнить
интегрирование. Во многих случаях
в пределах длины стержня жест-
кость постоянна, и разбивка на уча-
стки интегрирования диктуется ха-
рактером эпюр Mi и Мр. Если эти
эпюры моментов в пределах длины
элемента имеют особенности (изло-
мы, скачки и т. д.), то интегрирова-
ние выполняется на соответствую-
щем участке в отдельности.
На практике способ непосредст-
венного интегрирования применяют
сравнительно редко. Как правило,
на систему действуют самые разно-
образные нагрузки и этот способ
становится громоздким.
Наиболее просто определяются
перемещения в фермах, если их рас-
четная схема и характеристики по-
зволяют использовать формулу
(10.20). В этом случае интегрирова-
ние заменяется суммированием и
расчет удобно выполнять в таблич-
ной форме.
Пример. Требуется определить верти-
кальное перемещение узла k фермы (рис.
10.20, а), если d=4 м; й = 3 м; по длине все
стержни постоянного сечения; площадь по-
перечных сечений стержней, кроме стоек,
равна F, а площадь поперечных сечений
стоек—1,5 F; модуль упругости материала
Е для всех стержней одинаков; действую-
щая нагрузка Р=5 кН.
Решение. Примем вспомогательное
состояние системы, показанное на рис.
10.20, б.
Составив уравнения моментов относительно
опор А и В для заданного состояния фермы,
имеем Ra = RB = 5 кН. Во вспомогательном
состоянии Ra = RB = — 0,5.
При заданных условиях перемещение
точки k по направлению силы Р определя-
ется по формуле (10.20). Пронумеруем уз-
лы и определим усилия во всех стержнях
фермы в заданном и вспомогательном со-
стояниях (табл. 10.1).
128
Разделив алгебраическую сумму членов
последнего столбца табл. 10.1 на модуль
упругости Е, получим вертикальное пере-
мещение (см) узла k заданной фермы:
Aftp=6249,558/(EF).
Приближенное интегрирование.
Сущность способа состоит в том, что
элементы системы разбиваются на
достаточно большое число участков,
в пределах которых все переменные
величины принимаются постоянны-
ми. Интегрирование заменяется чис-
ленным суммированием конечного
числа слагаемых. Чаще всего этот
способ применяется при расчете ста-
тически неопределимых арок (см.
гл. 14).
Перемножение эпюр (способ Ве-
рещагина). Рассмотрим стержень
или участок стержня, на котором
эпюра моментов в состоянии k си-
стемы имеет произвольное очерта-
ние, а во втором состоянии i прямо-
линейна (рис. 10.21). Полагаем, что
жесткость стержня на участке АВ
постоянна. Пусть требуется вычис-
лить интеграл вида
В лл # < в
1 г
е/ = е, ;
MiMkdx.
Продолжим линию, ограничиваю-
щую прямолинейную эпюру момен-
тов, до пересечения с осью абсцисс,
и точку пересечения О примем за
начало координат. Выделим на эпю-
ре Mk на растоянии х от начала ко-
ординат бесконечно малый элемент
длиной dx. Ординаты эпюр Mh и Mi
в этом сечении обозначим уь и yt.
Тогда
в в
J MtMhdx = J ytyhdx ==
в в
= £ xtgayhdx = tga f xyhdx =
A A
= tg a J xd®.
io
Рис. 10.20
dx
Рис. 10.21
Интеграл fxda представляет co-
со
бой статический момент площади
эпюры Mh относительно оси У. По-
скольку fxd(d = (dxo (© — площадь
со
эпюры Мь; х0 — расстояние от цент-
ра тяжести площади © до оси У), то
в
J MtMhdx = tg ax0© = блуо,
А
или
EI / (10.27)
129
Таблица 10.1
Наименование стержня S, CM F, cm’ Np , кН Nh F
А—1 300 1,5F —5,000 —0,500 500,000 F
Л — k 400 F 0 0 0
1—2 400 F —3,333 —0,667 889,244 F
1 — k 500 F 4,167 0,833 1735,555 F
2 —fe 300 1,5F —5,000 0 0
2-3 400 F —3,333 —0,667 889,244 F
3 — k 500 F 4,167 0,833 1735,555 F
3 — B 300 1,5F —5,000 —0,500 500,000 F
B — k 400 F 0 0 0
S 6249,558 F
гць Уо — ордината прямолинейной
эпюры Mi, расположенная под цент-
ром тяжести площади эпюры Mk.
Следовательно, если один из мо-
ментов подчиняется линейному за-
кону, интегрирование можно заме-
нить перемножением эпюр. Интег-
рал $MiMkdx вычисляется как про-
о
изведение площади криволинейной
эпюры на ординату прямолинейной
эпюры t/o, взятую под центром тяже-
сти криволинейной эпюры.
Используя способ перемножения
130
№ йх-ищ + ш
fMlMKdx = ищ - и>гу2

JMiMKdx^u)lyl-Kv2y2-tu)3y1
Рис. 10.22
эпюр, необходимо соблюдать прави-
ло знаков. Знак произведения coz/o
принимается положительным, если
обе эпюры расположены с одной сто-
роны от оси элемента, и отрицатель-
ным, если это условие не соблюда-
ется.
Для упрощения вычислений слож-
ные эпюры приводятся к более про-
стым. На рис. 10.22, а—г приведены
131
Таблица 102
некоторые практические приемы пе-
ремножения эпюр способом Вереща-
гина.
Формула для определения переме-
щений системы от внешней нагрузки
способом перемножения эпюр
Дгр = 2с =2o>w(£/)-
о ™
(10.28)
Для сокращения объема вычисле-
ний можно воспользоваться готовы-
ми решениями. В табл. 10.2 приведе-
ны выражения площадей и абсциссы
центров тяжести наиболее часто
встречающихся эпюр, а в табл.
10.3 — формулы для вычисления ин-
теграла Мора.
Пример. На рис. 10.23, а изображена ра-
ма, находящаяся под действием сплошной
равномерно распределенной нагрузки, при-
ложенной к стойке. Требуется определить
горизонтальное перемещение опоры В и
угол взаимного поворота сечений ригеля,
примыкающих к шарниру С.
Решение. Эпюра изгибающих момен-
тов МР от заданной нагрузки показана на
рис. 10.23,6, эпюры во вспомогательных со-
стояниях— на рис. 10.23, в, г.
Горизонтальное перемещение опоры В
1 MBMpdx &у0
Дв₽~2 J El EI ~
о
1
EI
3 1
— 4 + —X
4 4
Х ~2~ 8 4 “Г 4'2+8'4'6+
Угол взаимного поворота сечений, примы-
кающих к шарниру,
[—Г,4"8-4-Г 1 +
132
Таблица 105
Эпюра Мк | Эпюра Mi |
м8 d k
U £ J М~м 3EI А *
ТГРЛЛЛ
"Л 1% +мам6*мвма)
"Л''' -мЛрмл)
квадратная / парабола
квадратная парабола 1 I".
квадратная паровала / 2421 s (м +м ) 2Ш{ А
10.12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ
Ограничимся рассмотрением пере-
мещений, вызываемых внешними на-
грузками в статически определимых
системах. Если по условиям задачи
для плоской стержневой системы
можно применить формулу (10.20),
то ее можно записать в матричной
форме:
Aip=jvl6tfp, (10.29)
где А/Г — транспонированная мат-
рица-столбец (вектор), элементами
которой являются усилия в стерж-
нях фермы, вызванные силой PsfI;
133
Рис. 10.24
Np — матрица-столбец (вектор) уси-
лий в стержнях от заданной нагруз-
ки; б — диагональная матрица по-
датливости (матрица сопряжений).
Если число стержней фермы рав-
но т, то указанные матрицы имеют
вид:
1 i ; NP = ~Nlp~ W3P

_Umi_
“6, 0 0 ... 0 -
0 62 0 ... 0
6 = 0 0 63 ... 0
_0 0 0 ... бт_
где элементы матрицы б выражают
податливость отдельных стержней
фермы. Податливость некоторого
k-VQ стержня §k=lkl(EFb) —удлине-
ние стержня, вызванное действием
приложенной к нему единичной си-
лы. Перемножив матрицы, получим
перемещение точки i по направле-
нию приложенной к ней силы Р=1.
Для систем, элементы которых ра-
ботают преимущественно на изгиб,
используется приближенная форму-
ла Мора (10.16). Рассмотрим вы-
числение интеграла Мора на участ-
ке стержня АВ (рис. 10.24). Эпюры
изгибающих моментов в заданном
(рис. 10.24, а) и вспомогательном
(рис. 10.24,6) состояниях считаем
известными, а жесткость стержня в
пределах участка примем постоян-
ной. Пусть в заданном состоянии
криволинейная эпюра моментов
очерчена по квадратной параболе со
стрелой подъема f. Способом пере-
множения эпюр получаем
д L
+ 4- (Mbi - ЛЫ] + 4- • 4- S/ х
О J С/ О
X
I--2---J+ ЕГХ
х 4- s ри*+4 <Мв‘ ~М «)]•
После преобразования
f = 4- (2МЛ, + MBi) МАр+
у с I ozi i
А
+ 4- (2MAl + 2MBl)f +
6Е1
+ -L-.(MAi+2MBi) MBp.
Полученное выражение можно пред-
ставить как произведение матрицы-
строки на матрицу-столбец:
( ^- = ^7 1(2Яи + MBi) x
J cl uCl
A
X (2M4£ +2MBi) x
134
'Мар~
x[(MAt +2MBi)] f
LMBp-
В свою очередь матрицу-строку
можно рассматривать как резуль-
тат перемножения матрицы-строки,
элементами которой являются мо-
менты Л7а£ и Мвъ и прямоугольной
матрицы, элементами которой явля-
ются числа 1 и 2, расположенные в
определенном порядке.
Следовательно,
s — —
El ЬЕ1 Mbi] X

2 1
2 2
рИл/
j f
1-Мвр
. (10.30)
В общем случае в системе коли-
чество участков интегрирования оп-
ределяется характером эпюр и преж-
де 'всего эпюры моментов от внеш-
ней нагрузки. Поэтому для всей си-
стемы
A.p = S
п ”
ИЛИ
Д/р= MTiDpMp, (10.31)
Мн”
Mt= ......
Мп—[, i
.Mrri ‘ _
мр=
h
М2р
Мп—1,р
fm
Мпр
В этих матрицах п — число приня-
тых сечений при разбиении системы
на участки, т — число участков.
Общее число элементов матрицы Mi
равно 2п—-2. Элемент матрицы
например M2i, объединяет в общей
записи два значения моментов, один
из которых относится к концу пер-
вого участка, а второй — к началу
второго. На тех участках, где эпюра
Мр является квадратной параболой,
каждому участку будут соответство-
вать три элемента матрицы Мр (два
значения мдмента и стрела подъема
параболы f). В структуре матрицы
Dp (матрицы податливости) долж-
ны быть учтены особенности каждо-
го участка (жесткость, длина).
Таким ойразом, матричное урав-
нение (10.31) в развернутом виде
^ip— 1Л^1г ^2г • • • ^nil X
о о
135
Если в пределах участка АВ обе
эпюры прямолинейны (рис. 10.25),
то, перемножив их, получим
Д(к= f S (2Л1лг +
bl bbl
4- Mbi) Маъ. + —г +2Мв/) Л4вл.
Интеграл Мора в матричной фор-
ме
11 рИлл!
2J [Мвь.1 ’
(10.32)
Выполнив интегрирование на всех
участках, получим
A« = S( =
О
(10.33)
где Mi — транспонированная матри-
ца-столбец, элементами которой яв-
ляются ординаты эпюры в приня-
тых сечениях; D — матрица сопряже-
ний; Mh— матрица-столбец, элемента-
ми которой являются ординаты эпюры
Mk в принятых сечениях.
В развернутом виде матричное
уравнение (10.33) имеет вид:
136
~Mlk
M2h
X л>г
Mn-i,k
_^nk
Рассмотрим известную формулу
Симпсона для отдельного участка
стержня длиной s с постоянной жест-
костью (рис. 10.26):
С (мAiMAp +
J EI 6EI v р
А
+ 4Ма МСР + MBi МВр). (10.34)
Можно записать в матричной форме
Aip = Mj6Mpt (10.35)
где Мр — транспонированная матрица-
столбец, элементами которой являются
изгибающие моменты состояния i в
принятых сечениях; Мр — матрица-
столбец, элементами которой являются
изгибающие ' моменты состояния Р;
6 — диагональная матрица податливос-
ти отдельных участков, элементы ко-
торой определяются в зависимости от
положения сечения на участке: если
сечение k находится в начале первого
или на конце последнего участка п,
6ft = %/(6^/1); 6ft = sn/(6£/n); если се-
чение К находится в середине участ-
ка i, 6ft = 4si/(6£/i); если сечение К
разделяет участки i и j, 6ft =
= sf/(6£/f) + s;/(6£/j).
Пример 1. Определить горизонтальное
перемещение узла k рамы, изображенной на
рис. 10.27, а.
Решение. Искомое перемещение
найдем, пользуясь выражениями (10.30) и
Рис. 10.26
(10.32). Эпюры изгибающих моментов в за-
данном Мр и вспомогательном Мк состоя-
ниях показаны на рис._10.27, б, в. Учитывая
характер эпюр Мр и Мь, выделим на раме
два участка и обозначим характерные се-
чения, как показано на рис. 10.27, г. Будем
считать изгибающие моменты положитель-
ными, если растянутые волокна находятся
на внутреннем контуре рамы, и отрицатель-
ными — если на внешнем. Для первого уча-
стка в соответствии с формулой (10.30):
м»=№ = Г °1;
1—4]’
Ор = _*_Г2 2 >1 =
Р 6£/х [12 2]
4 Г2 2 1 1 1 [8 8 41
6£/ [1 2 2 J б£/ [4 8 8 J’
Перемножая матрицы, получим
= 7“ (-16 -32-32];
137
Ь=4м
Рис. 10.27
4.=dr(-16 -32 -32J
Г oi
4
16.
640
6£/
На втором участке в соответствии с фор-
мулой (10.32):
8___ Г2 11_____1_ Г4 21
6-4£/ [1 2j — 6£/ |_2 4J ;
= ^я = ^-(-4<Чтх
Полное перемещение
! п 640 256
д*р-ДАр+ДАр б£/ — &Е1 -
149,33
“ EI *
Пример 2. Найти горизонтальное пере-
мещение узла k рамы, рассмотренной в пре-
дыдущем примере, пользуясь формулой
Симпсона.
Решение. Номера участков, сечений
и знаки изгибающих моментов примем, как
показано на рис. 10.27, д. Воспользуемся
формулой (10.35):
-"0
—2 Л4гр
мк = мак —4 »Л4р = ЛГзр =
Mik —2 Afip
- M5k — _0 _Л15р _
138
AftP=^f[° -2 -4 —2 0]тХ
«х= —
4
___________2 .
6Е/х~6Е/ ~ ЗЕ/ ’
х л S1
Оо 4
2 6ЕЛ
_4 4 _ 8 6 S1 I
6£Zx ЗЕ/ ’ 3 6ЕЛ "Г
s2 _ 4 8 1 ф
6Е72 б£/ + 6-4EI EI ’
л _ 4 S2 _ 4 &_______4
4“ 6Е/2 “ 6-4EZ ~ЗЕ1 ’
О “
12
16
8
О _
149,33
Е/
д _ $2_______8________J__
5~ 6£/2 “6-4EZ ~ЗЕ/ ’
Определение перемещений в мат-
ричной форме целесообразно прово-
дить с помощью ЭВМ.
Раздел второй
СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ
СИСТЕМЫ
Глава 11
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
МЕТОДОМ СИЛ
11.1. ПОНЯТИЕ О СТАТИЧЕСКОЙ
НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ
К статически неопределимым от-
носятся системы, во всех сечениях
элементов которых для определения
изгибающих моментов, поперечных
и продольных сил недостаточно
уравнений статического равновесия
твердого тела. Характерной особен-
ностью рассматриваемых систем яв-
ляется то, что они содержат допол-
Рис. 11.1
нительные связи сверх минимально
необходимых, обеспечивающих гео-
метрическую неизменяемость и не-
подвижность системы. Наибольшее
число лишних связей, которое мож-
но удалить из системы без наруше-
ния ее геометрической неизменяе-
мости и неподвижности, называют
степенью ее статической неопреде-
лимости.
Например, для балки, изображен-
ной на рис. 11.1, а, число опорных
стержней равно пяти, в то время как
минимальное число опорных стерж-
ней, необходимых для закрепле-
ния тела в плоскости, равно трем.
Следовательно, балка содержит два
лишних опорных стержня и степень
ее статической неопределимости
равна двум. Отбрасывая два опор-
ных стержня (рис. 11.1, б, в), пре-
вращаем заданную трехпролетную
балку в обычную однопролетную.
Можно удалить и другие две верти-
кальные связи. Значит ли это, что,
установив степень статической не-
определимости системы, можно от-
брасывать любые связи? Оставим на
местах все вертикальные стержни
(2, 3, 4, 5) и отбросим лишь один
горизонтальный (1). В результате
получим изменяемую систему, так
как диск (балка) соединен с осно-
ванием параллельными друг другу
стержнями, и при отсутствии опор-
ного стержня 1 возможно переме-
щение системы в горизонтальном
направлении.
Поэтому следует различать связи
условно необходимые, которые мо-
гут быть или не быть в системе, и
абсолютно необходимые, без кото-
рых невозможно существование си-
стемы (в рассмотренном случае
опорный стержень 1 является аб-
солютно необходимой связью).
Наличие лишних связей характе-
140
ризует систему и в статическом
отношении. Расчет статически не-
определимых систем принципиаль-
но отличается от расчета статически
определимых систем. Число лишних
связей, или степень статической
неопределимости, является важ-
нейшей характеристикой, которая
предопределяет дальнейший расчет
системы.
11.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА ЛИШНИХ
СВЯЗЕЙ
Для систем, составленных из ди-
сков, число лишних связей может
быть найдено по формуле (1-4).
Для рам, изображенных на рис.
11.2, а—в, оно составляет соответ-
ственно: Л=2-1 + 6—3-2=2; Л=
=2-1 + 6—3-1 = 5; Л=2-0+6—ЗХ
Х1=3.
В последнем случае (рис. 11.2, в)
рама представляет собой бесшар-
нирный замкнутый контур и содер-
жит три лишние связи. В этом мож-
но убедиться, отбросив одну из
опор рамы, например левую, как
показано (рис. 11.2, г). В результа-
те получим геометрически неизме-
няемую и неподвижную систему.
Формулой (1.4) целесообразно
пользоваться в тех случаях, когда
ни один из дисков системы не содер-
жит лишних связей. В противном
случае необходимо учитывать ста-
тическую неопределимость дисков.
Например, для рам, изображенных
на рис. 11.3, а, б, по формуле (1.4)
Л=2-0+3—3-1 = 0, но это не озна-
чает, что система не содержит лиш-
них связей. Предположим, что нуж-
но определить усилия в элементах
рам. Сечением I—I разрежем два
элемента. В каждом из них будет
по три неизвестных усилия, которые
не могут быть определены из трех
Рис. 11.2
141
уравнений статики. Поэтому рас-
сматриваемые рамы являются ста-
тически неопределимыми (содер-
жат по три лишние связи).
Таким образом, каждый бесшар-
нирный замкнутый контур, незави-
симо от его формы и расположения
в системе, обладает тремя лишними
связями, и число лишних связей в
раме, не имеющей шарниров, равно
ЗК (К — число замкнутых контуров
в системе). Если в контуре имеются
шарниры, уничтожающие некоторое
число связей,
Л = ЗК — Ш, (11.1)
где Ш — количество шарниров в
системе с учетом их кратности.
Поясним применение формулы
(11.1) на примерах. Для рам, изоб-
раженных на рис. 11.2, ей 11.3
(римскими цифрами обозначены
номера контуров), имеем Л=3-1—
—0=3. Для рамы на рис. 11.2, б
Л=3-2—1=5, что совпадает с по-
лученным ранее результатом.
В раме, показанной на рис. 11.2, а,
имеется шарнир, соединяющий ди-
ски и шарнирные опоры различных
типов. Полагая, что опоры А, В, С
и D защемляющие и шарнир Е от-
сутствует, имеем три бесшарнирных
контура I, II и III. Как известно,
защемляющая опора содержит три
связи, а каждый простой шарнир
уменьшает число связей на едини-
цу. Тогда шарнирно-неподвижные
опоры А и В, имеющие по два опор-
ных стержня, можно получить вве-
дением простого шарнира в защем-
ляющую опору с тремя стержнями.
В формуле (11.1) опорные закреп-
ления такого типа учитываются оди-
ночными (простыми) шарнирами.
Опоры С и D являются шарнирно-
подвижными (имеют по одному
опорному стержню). Значит, на
каждой их этих опор удалено по две
связи, что равносильно введению
двойных шарниров. Кратность опор-
ных шарниров относительно полного
защемления обозначена цифрами.
Кратность шарниров в сечениях
контура, не совпадающих с опор-
ными, равна числу соединяемых ди-
сков за вычетом единицы (см. § 1.5).
В нашем случае кратность шарни-
ра Е равна единице. Поэтому для
рассматриваемой рамы Л=3-3—7=
= 2. Для определения числа лиш-
них связей в рамах формула (11.1)
является предпочтительной.
В фермах число лишних связей
можно определить по формуле
(1.10). Для фермы, приведенной на
рис. 11.4, Л= 16+3-2-8=3.
11.3. СВОЙСТВА СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ.
МЕТОДЫ РАСЧЕТА
Свойства статически неопреде-
лимых систем оказывают сущест-
венное влияние на распределение
усилий в этих системах. Рассмот-
рим основные из них.
Усилия в элементах статически
неопределимых систем в общем слу-
чае зависят от соотношения геомет-
рических характеристик попереч-
ных сечений и модулей упругости
материала этих элементов (в част-
ном случае, когда на систему дей-
ствует только внешняя нагрузка и
материал всех элементов одинаков,
усилия от модуля упругости мате-
риала не зависят). Следовательно,
142
прежде чем рассчитывать статиче-
ски неопределимую систему, необ-
ходимо назначить соотношения гео-
метрических характеристик попе-
речных сечений всех элементов.
В статически неопределимых си-
стемах могут возникать дополни-
тельные усилия, вызываемые изме-
нением температуры, осадкой опор,
неточностью изготовления и сборки
элементов.
Пусть в стержне ВС статически
неопределимой рамы с двумя лиш-
ними связями температура увеличи-
лась на t (рис. 11.5). При этом тем-
пература с обеих сторон от оси
стержня одинакова. При отсутствии
опоры А стержень ломаного очерта-
ния АВС был бы статически опреде-
лим и после повышения температу-
ры занял бы положение А'В'С', а
точка А сместилась на Да* (рис.
11.6). Поскольку в заданной системе
точка А свободно перемещаться не
может, на опоре А возникают опор-
ные реакции НА и Va, и, следова-
тельно, в элементах возникают уси-
лия М, Q, N.
На рис. 11.7 показана статически
неопределимая балка с одной лиш-
ней связью, у которой опора А сме-
стилась по вертикали на Дас. Пере-
мещение опорного сечения балки А
в положение А' вызывает появление
изгибающих моментов и поперечных
сил в ее сечениях.
Для сравнения на рис. 11.8 изо-
бражена статически определимая
балка, у которой опора А сместилась
по вертикали тоже на Дас. Так как
сечение на опоре В может свободно
поворачиваться, балка займет поло-
жение А'В, оставаясь прямолиней-
ной. В сечениях, в том числе опор-
ных, никаких усилий не возникнет.
Статически неопределимые систе-
мы обладают большей взаимосвя-
Р и с. 11.9
занностью элементов и надеж-
ностью в эксплуатации по сравне-
нию со статически определимыми.
Если число условно необходимых
связей, выключаемых из работы,
равно степени статической неопре-
143
делимости системы, сна останется
геометрически неизменяемой и мо-
жет работать как статически опре-
делимая система. Исключив стер-
жень 1—2 в статически определи-
мой ферме (рис. 11.9), получаем
механизм, так как правая часть
фермы может свободно поворачи-
ваться относительно узла С.
В статически неопределимой си-
стеме деформации и перемещения,
как правило, меньше, чем в анало-
гичной статически определимой. Это
обусловлено тем, что дополнитель-
ные (лишние) связи повышают же-
сткость системы.
Задача расчета статически не-
определимых систем при заданных
расчетных схемах и нагрузках со-
стоит в следующем: необходимо
найти такие размеры поперечных
сечений всех элементов, чтобы были
обеспечены условия прочности и
жесткости при одновременном со-
блюдении некоторых других требо-
ваний, например требования эконо-
мичности конструкции (минимума
приведенной стоимости ее или ми-
нимума затрат материалов). В об-
щей постановке указанная задача
еще не имеет решения.
В расчетной практике широко
применяются методы решения сле-
дующей, более узкой задачи: при
заданных расчетной схеме, нагруз-
ках (или других воздействиях) и
размерах сечений элементов нахо-
дят усилия во всех элементах и де-
формации системы (поверочный
расчет). Если найденные по усилиям
размеры сечений элементов сущест-
венно отличаются от первоначаль-
ных, расчет повторяют, принимая за
исходные полученные ранее резуль-
таты. В общем случае получить ре-
шение, удовлетворяющее требовани-
ям экономичности, таким путем
нельзя, так как результаты во мно-
гом зависят от интуиции инже-
нера.
Для поверочного расчета стати-
чески неопределимых систем ис-
пользуют следующие основные ана-
литические методы: метод сил; ме-
тод перемещений (деформаций);
смешанный; комбинированный. Ме-
тод сил и метод перемещений явля-
ются основными, классическими ме-
тодами, на основе которых разра-
ботана большая группа приближен-
ных методов расчета статически не-
определимых систем.
11.4. РАСЧЕТ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ.
КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Сущность метода. Метод сил ши-
роко применяется для расчета раз-
нообразных систем, является осно-
вой для создания многих прибли-
женных методов. Рассмотрим после-
довательность расчета статически
неопределимых систем этим мето-
дом.
Определяется степень статической
неопределимости системы, т. е.
устанавливается число лишних свя-
зей (см. § 11.2).
Выбирается основная си-
стема. Обычно она принимается
ститически определимой, которая
получается из заданной путем от-
брасывания лишних связей. Дейст-
вие отброшенных связей заменяется
внешними силами, соответствующи-
ми усилиям в связях. Связи могут
отбрасываться любые, но основная
система должна быть геометрически
и мгновенно неизменяемой. При
этом неизменяемость должна быть
обеспечена как системы в целом, так
и отдельных ее частей.
Для одной и той же заданной си-
стемы можно отыскать множество
144
вариантов основной системы, удов-
летворяющей указанным выше тре-
бованиям. На рис. 11.10, а приведе-
на рама с одной лишней связью, а
на рис. 11.10, б—г некоторые воз-
можные для этой рамы основные
системы, в которых действие от-
брошенной связи заменено силой.
Силы, заменяющие действие от-
брошенных лишних связей, прини-
маются за основные неизвестные
метода сил.
Основные (лишние) неизвестные
определяются из условия равенства
перемещений в заданной системе от
внешних воздействий перемещениям
в основной системе, вызванным той
же нагрузкой и силами, заменяю-
щими действие отброшенных свя-
зей. После их определения расчет
заданной системы сводится к рас-
чету статически определимой си-
стемы.
Канонические уравнения метода
сил. Каноническими называются
уравнения, построенные по опреде-
ленному закону и обладающие
свойством взаимности коэффициен-
тов.
Рассмотрим простейшую стати-
чески неопределимую балку с одной
лишней связью (рис. 11.11, а). Вы-
берем основную систему, отбросив
опорный стержень и заменив дейст-
вие отброшенной лишней связи си-
лой, равной опорной реакции Xi
(рис. 11.11, б).
Внешняя нагрузка Р вызовет из-
гиб балки в основной системе, и
точка приложения силы Xi переме-
стится на Д1Р (рис. 11.10, в). От
действия силы Xi балка также изо-
гнется и точка 1 переместится вверх.
Пусть при JG='l перемещение точки
ее приложения составляет 6ц (рис.
11.11, г). Тогда вызываемое силой
Х{ перемещение этой точки бу-
Рис. 11.10
дет Х[ 6ц. Суммарное же перемеще-
ние точки приложения силы Xi в
основной системе по направлению
этой силы, вызванное силами Р и Xi,
должно быть равно нулю, так как в
заданной системе перемещение точ-
145
Рис. 11.12
ки 1 по вертикали невозможно
(имеется опорная связь):
6цХ1 + А1Р=0, (11.2)
откуда
Х1 = -Д1р/611. (11.3)
Найденную опорную реакцию счи-
таем известной нагрузкой на балку
в основной системе и определяем
все необходимые усилия в ней.
Уравнение, аналогичное условию
(11.2), можно записать для любых
систем с одной лишней связью, в том
числе для рамы, изображенной на
рис. 11.12, а. Отличие лишь в том,
что приравнивается нулю суммар-
ное горизонтальное перемещение по
направлению действия силы Xi в
основной системе (рис. 11.12, б).
Перемещения Д1Р и 6ц могут быть
найдены по формулам (10.16) и
(10.18), из которых видно, что зна-
чения реакции Xi и усилий в раме
зависят от соотношения жесткостей
ее элементов.
На рис. 11.13, а показана стати-
чески неопределимая рама с двумя
лишними связями, а на рис.
11.13, б — принятая основная си-
стема для этой рамы. В качестве
основных неизвестных приняты
опорная реакция Xi и изгибающий
момент Х2 на правом ригеле в се-
чении, примыкающем к жесткому
узлу рамы. Канонические уравне-
ния в этом случае будут иметь вид:
8цХ1 + 612X3 4- &ip = 0;|
621X1 + 62гХ2 + Д2р =0,|
где 6ц — перемещение точки при-
ложения силы Xi по направлению
этой силы, вызванное действием
силы Xi=l; 612 — перемещение точ-
ки приложения силы-Xi по направ-
лению силы Xi, вызванное дейст-
вием изгибающего момента Х2=1;
Д1Р — перемещение точки приложе-
ния силы Xi по направлению этой
силы, вызванное совокупностью всех
внешних нагрузок.
Первое уравнение отражает усло-
вие равенства нулю вертикального
перемещения крайнего левого (опор-
ного) сечения рамы, а второе —
446
отсутствие взаимного поворота се-
чений ригеля, примыкающих к шар-
ниру слева и справа.
Для статически неопределимой
системы с п лишними связями кано-
нические уравнения метода сил име-
ют вид:
61Л + ^12^2 + 613X3 +
+ • • • + &1пХп 4~ Aip — О’»
$21X1 г 622X2 + 623X3 +
4- ... 4- + А2р = 0;
бщХ, + 6п2Х2 + 6п3Х3 4-
+ • • • + ^ППХП 4- Дпр = 0.
(П.4)
Поскольку слагаемые уравнений
системы (11.4) выражают состав-
ляющие перемещений, то канониче-
ские уравнения метода сил являют-
ся кинематическими уравнениями.
На главной диагонали матрицы
коэффициентов при неизвестных в
уравнениях (11.4) располагаются
так называемые главные коэффи-
циенты (перемещения), которые
всегда положительны и не равны
нулю (это непосредственно вытекает
из формулы (10.18)). Все осталь-
ные коэффициенты при неизвестных
канонических уравнений носят на-
звание побочных. Они обладают
свойством взаимности (&ik=&ki) и
определяются по формуле (10.17).
Перемещения, вызываемые внеш-
ними заданными нагрузками (сво-
бодные члены уравнений) находятся
по формуле (10.16).
Из формул (10.16) и (10.17) вид-
но, что свободные члены и побочные
коэффициенты при неизвестных ка-
нонических уравнений могут быть
как положительными, так и отрица-
тельными, а в частном случае рав-
ными нулю.
Проверка правильности опреде-
ления коэффициентов и свободных
членов канонических уравнений.
Решив систему уравнений (11.4),
получим основные (лишние) неиз-
вестные Xi, Х2, Хп. Результаты
расчета зависят от того, насколько
точно определены коэффициенты
этих уравнений. Поэтому большое
значение, особенно для систем, со-
держащих значительное количество
лишних связей, имеет контроль
правильности определе-
ния коэффициентов при не-
известных и свободных членов кано-
нических уравнений.
Для системы с п лишними связя-
ми ординаты эпюры моментов М3 в
основной системе от действия всех
единичных сил Хь Х2, Хп, заме-
няющих действие лишних связей,
равны сумме ординат соответствую-
147
щих единичных эпюр Л72, ...» Мп
в том же сечении:
Я = Ж+Я+ ... +л*п.
Найдем сумму коэффициентов при
неизвестных первого уравнения си-
стемы (11.4):
®1в = 6ц + 612 + 613 + ••• + 61П,
или
61S = 2 С М, +
о Е/
+ 2 С Я ds +
•/ JtZ
о
+ ... +2 С =
= S J Adj (Afj 4~ Л12 4~ М3 4~
+ ... +мп)-£.=
£Z
_ 2 С ds
J EI
о
Таким образом, результат пере-
множения единичной эпюры и
суммарной единичной эпюры дол-
жен быть равен алгебраической сум-
ме коэффициентов при неизвестных
первого канонического уравнения.
Сумма коэффициентов при неиз-
вестных второго канонического урав-
нения
®2s = 621 4~ 622 4~ ^23 4- • • • + бгп =
v с M2M8ds
Аналогичные равенства можно
записать для остальных канониче-
ских уравнений. Такие проверки на-
зывают построчными.
Если система уравнений невысо-
кого порядка, обычно пользуются
универсальной проверкой, при кото-
рой результат умножения суммар-
ной единичной эпюры саму на себя
дблжен быть равен алгебраической
сумме коэффициентов при неизвест-
ных всех уравнений системы.
Для системы уравнений л-го по-
рядка
S С (i, k = 1,
0 EI
2, 3, ..., л).
Однако при большом числе коэф-
фициентов после установления пу-
тем универсальной проверки нали-
чия ошибки требуется еще выпол-
нить дополнительную работу для
выявления того, какой из коэффи-
циентов содержит эту ошибку, т. е.
делать построчные проверки.
Проверка свободных членов кано-
нических уравнений производится
также с использованием суммарной
единичной эпюры Алгебраиче-
ская сумма свободных членов долж-
на быть равна результату, получен-
ному перемножением эпюры М8 на
эпюру моментов от заданной нагруз-
ки в основной системе:
у д, -2 С .
Канонические уравнения при рас-
чете систем на температурные воз-
действия и смещение опор. Если
система с п лишними связями пре-
терпевает только температурные
воздействия, система канонических
уравнений имеет вид:
148
611^1 + 6i2X2 4“ 6] 3X3 +
+ ... д1пХп + Дк = 0;
®2i-Vi “I- 622X2 4“ 623X3 4-
4~ • • • 62nXn + Д2* = 0;
бпЛ + 6п2Х2 4“ 6„3Х3 4~
4- • • • 6ППХП 4~ &nt = 0.
(11.5)
Кинематический смысл каждого
уравнения тот же, что и при дейст-
вии внешних нагрузок. Перемеще-
ния да, dik определяются по форму-
лам, указанным в гл. 10. Переме-
щения Дп в основной системе опре-
деляются по формуле (10.23) или
(10.24). В данном случае они явля-
ются перемещениями системы по
направлению основных неизвестных.
При смещениях опор канониче-
ские уравнения метода сил по ана-
логии с уравнениями (11.4) и (11.5)
можно представить в виде:
«iiXi 4~ 612Х2 4~ б13Х3 4~
4- • • • 4- 61ПХП 4- Д1с = 0;
621^14~ 622Х2 4~ 623Х3 4-
4- ... 4~ 62пХп 4~ Дгс =

6ПЛ 4“ 6n2Xg 4" 6п3Х3 4“
4- •• • 4- &ппХп 4~ Д»с =0-.
(11.6)
R?-1
Перемещения ДгС в основной си-
стеме могут быть определены по
формуле (10.26).
Приведем примеры определения
перемещений Д,с при расчете стати-
чески неопределимых систем. На
рис. 11.14, а показана рама проле-
том I и высотой Л, правая опора В
которой сместилась по горизонтали
на ci, а по вертикали — на с% и по-
вернулась на некоторый угол <р.
149
Рис. 11.14
Заданная рама содержит три лиш-
ние связи, и для ее расчета необхо-
димо составить три канонических
уравнения. Примем основную систе-
му, показанную на рис. 11.14, б. Ре-
акции в сместившейся опоре В, вы-
зываемые единичными силами: го-
ризонтальная Ri, вертикальная R2,
сосредоточенный момент 7?3 (рис.
11.14, в—д). По формуле (10.26)
Дю = — (—= — (—IcJ = Cf,
А2с = --(^2С2 4~ /?8<Р) =
= — (1С2 — 1/ф) = /ф — с2\
Азе = — (— ₽3ф) = — (— 1 • ф) = ф.
Тогда система уравнений (11.6) при-
нимает вид:
6цХ1 4“ 612Х2 4“ 613X3 4- С1 = 0‘,
®21^1 4- ®22-^2 4“ 623X3 4“
+ (/ф — с2) = 0;
631X1 4- б32Х2 -|- 633X3 4~ ф = 0.
(И.7)
Решив систему уравнений (11.7),
найдем усилия в лишних связях.
Следует иметь в виду, что свобод-
ные члены уравнений (11.6), так же
как и коэффициенты при неизвест-
ных, зависят от типа основной си-
стемы. В рассмотренном примере
примем основную систему, в кото-
рой неизвестными являются опор-
ные реакции на сместившейся опо-
ре В (рис. 11.14, е). В основной си-
стеме на опоре А возникнут опор-
ные реакции от действия единичных
сил Хь Х2, Х3. Но на опоре А пере-
мещений нет, и в формуле (10.26)
соответствующие слагаемые равны
нулю. Неизвестные Хь Х2, Х3 выбра-
ны так, что перемещения точки В
в основной системе по направлению
каждого из них будут равны за-
данным смещениям опоры В. В этом
случае канонические уравнения бу-
дут иметь вид:
6цХ1 4- 612X2 4- 613X3 = — Ci;
621X1 4- 622X2 4- 623X3 = с2\
631X1 4- 632X2 4- 633X3 = — ф.
(Н.8)
Уравнения (11.6) применяются
для расчета статически неопреде-
лимых систем не только при задан-
ных смещениях опор, но и заданных
перемещениях по направлению лю-
бой другой связи.
11.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИИ
При определении перемещений,
вызываемых внешней нагрузкой, ис-
пользуется формула (10.15), кото-
рая справедлива для любой геомет-
рически неизменяемой плоской си-
стемы независимо от того, содержит
эта система лишние связи или нет.
Для определения перемещения
статически неопределимой системы
нужно рассчитать ее в грузовом со-
стоянии и построить результирую-
щие эпюры моментов Мр, попереч-
ных сил Qp и продольных сил Np.
Выбрав вспомогательное состояние,
отвечающее характеру искомого пе-
ремещения, необходимо повторно
произвести расчет системы для по-
лучения эпюр Mt, Qi и Ni. Принци-
пиально такой путь возможен, но в
большинстве случаев расчет будет
громоздким и неудобным.
Рассмотрим простейшую статиче-
ски неопределимую систему —
однопролетную балку, изобра-
женную на рис. 11.15, а. Пусть тре-
буется определить вертикальное пе-
150
Рис. 11.15
ремещение точки k, в которой при-
ложена сила Р. Строим эпюру
изгибающих моментов Мр (рис.
11.15, а). Примем вспомогательное
состояние балки, показанное на рис.
11.15, а', и построим эпюру изгибаю-
щих моментов Mk. Считая жесткость
балки постоянной, по формуле
(10.16) найдем вертикальное пере-
мещение точки k:
J £/ Li \
2 2 Х
5 2 5,1
Х 32 Р 3 ’ 32 + 2 Х
5,52 5 1
Х 22 1 32 3 ‘ 32 ** 2 Х
3 3 2
х— 1^Р1~
1
EI
+
I 25РР 125Р/3
\ 6-32-32 + 3-22-32-32
216PZ3 \ 7 Pl3
3-22-32-32 J768EI ’
Все усилия, в частности изгибаю-
щие моменты, во всех сечениях бал-
ки и опорные реакции известны. Ес-
ли теперь отбросить в системе какие-
либо связи и заменить их действие
найденными силами, эпюра Мр не
изменится. Например, на рис.
10.15, б опора В заменена силой Рь,
а на рис. 10.15, в защемление—шар-
нирно-неподвижной опорой, где при-
ложен сосредоточенный момент
МА= — Р1.
16
Во всех трех случаях эпюра из-
гибающих моментов Мр одна и та
151
же. Однако в случае, изображенном
на рис. 11.15, а, балка статически
неопределима, а в двух других
(рис. 11.15, б и в) — статически
определима, для которой во вспомо-
гательном состоянии эпюры момен-
тов построить довольно просто
(рис. 11.15, б', в'). Конечный ре-
зультат, т. е. искомое перемещение
точки k, для всех рассмотренных
случаев одинаков, так как в задан-
ных состояниях эпюра изгибающих
моментов одна и та же.
Перемещение точки k в балке,
изображенной на рис. 11.15, б (вспо-
могательное состояние показано на
рис. 11.15, б'),
д 2 х
Р J EI EI к 2
5 n, I 1 I \ 7Р/’
32 2 3 2 ) 768EI *
т. е. расчет существенно упро-
стился.
Тот же результат получим, рас-
сматривая балку, приведенную на
рис. 11.15, в.
Итак, при определении переме-
щений в статически неопределимой
системе в качестве вспомогательного
может быть рассмотрено любое со-
стояние геометрически неизменяе-
мой системы, получаемой из задан-
ной путем удаления лишних связей.
Однако чаще всего она выбирается
статически определимой, в которой
проще строить эпюры от единичных
воздействий и осуществлять пере-
множение эпюр.
Глава 12
РАСЧЕТ ПЛОСКИХ РАМ
МЕТОДОМ СИЛ
12.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
Рама — стержневая система,
стержни которой во всех или неко-
торых узлах жестко соединены меж-
ду собой.
На рис. 12.1, а изображена одно-
пролетная рама и примерный вид
эпюры изгибающих моментов в ри-
геле от сосредоточенной нагрузки,
а на рис. 12.1, б — свободно опер-
тая балка, имеющая тот же пролет,
и эпюра моментов в этой балке. Из
сопоставления приведенных эпюр
видно, что максимальный изгибаю-
щий момент в пролете ригеля мень-
ше, чем в соответствующей одно-
пролетной шарнирно опертой балке
при одинаковых пролетах и нагруз-
ках. Поэтому требуемые размеры
поперечного сечения ригеля мень-
ше, чем балки.
В жестких узлах углы между ося-
ми ригелей и стоек не изменяются
при деформировании системы. Для
обеспечения геометрической неизме-
няемости рамных систем с жестки-
ми узлами требуется меньшее коли-
чество стержней в их структуре,
чем для систем с шарнирными узла-
ми. Например, геометрически неиз-
меняемая рама (рис. 12.2, а) пре-
вращается в механизм, если все ее
узлы принять шарнирными. Для
обеспечения неизменяемости этой
шарнирно-стержневой системы нуж-
но добавить два стержня, например
1 и 2 (рис. 12.2, б). Но, обеспечивая
таким образом геометрическую не-
изменяемость системы, в то же вре-
мя снижаем эксплуатационные ка-
чества конструкции.
152
Рис. 12.1
Рис. 12.2
На практике реализовать в узлах
жесткое соединение значительно
проще, чем идеальный шарнир. По-
этому рамные конструкции с жест-
кими узлами широко применяются
в промышленном и гражданском
строительстве, мостостроении и т. д.
В зависимости от характера
структуры рамы разделяются на
пространственные и плоские.
Они могут быть одноэтажными
(рис. 12.1, а), многоэтажными
(рис. 12.3, а), однопролетными
(рис. 12.3, б), многопролетными
(рис. 12.3, в) и т. д. Конфигурация
рам выбирается в зависимости от
назначения сооружения, а харак-
тер узловых соединений элемен-
тов — от ряда факторов, в том чис-
ле и условий возведения сооруже-
ния.
12.2. РАСЧЕТ ПРОСТЫХ РАМ
Последовательность расчета по-
кажем на примере простейшей ра-
мы с одной лишней связью (рис.
12.4, а).
Расчет начинаем с выявления
степени статической неопределимо-
сти системы. Число лишних связей
определим по формуле (11.1): Л=
= 3-1—2=1.
Основную систему выбираем, ру-
ководствуясь правилами, приведен-
ными в § 11.4. Она приведена на
рис. 12.4, б.
153
При вычислении перемещений 6ц
и Д1р будем учитывать только изги-
бающие моменты, считая влияние
других факторов несущественным.
Эпюры Л1р и Mi, построенные в ста-
тически определимой раме (основ-
ной системе) от действия заданной
нагрузки q и силы А\=1, приведены
на рис. 12.4, в, г.
Вычисляем интегралы Мора спо-
собом перемножения эпюр:
fin-2
Afjds
EI
1
EI
Х4-4-2 + -Ц.в-й = ;
3 4 ) ЗЕ/
16кН-м
Рис. 12.4
Для системы с одной лишней
связью каноническое уравнение ме-
тода сил имеет вид (11.2), 6цХ1 +
+ Д1р = 0.
Д„=2 С м^. =
b EI
= 1 28-16-4 = 256
“ 4EI 3 3EI
Подставив значения 6ц и ДХр в
уравнение (11.2), получаем
Х1 =---=
Оц
= . _3£L= 1,143 кН.
Результирующие эпюры М, Q и N
могут быть получены двумя спосо-
бами.
Считая статически определимую
раму в основной системе загружен-
ной заданной внешней нагрузкой q
и горизонтальной силой Xi на опоре
В, с помощью уравнений статики
2Ма=0, 2Мв=0, 2Х=0 определя-
ем остальные реакции и строим тре-
буемые эпюры усилий (рис. 12.5).
Но такой путь целесообразен толь-
ко при расчете простых рам.
Для сложных рам с п лишними
связями эпюру изгибающих момен-
154
тов можно получить алгебраическим
суммированием ординат эпюры мо-
ментов в основной системе от внеш-
ней нагрузки и усилий в лишних
связях:
М= Мр +ЯХ1+Л«2Х2+ • • • + мпхп.
(12.1)
В рассматриваемом случае
М = МР + М1Х1,
где Мр — изгибающий момент в дан-
ном сечении элемента основной
системы от внешней нагрузки;
— момент в том же сечении от
силы Х[.
Построение результирующей эпю-
ры моментов показано на рис. 12.6.
Эпюру Q строят непосредственно
по результирующей эпюре момен-
тов. На тех участках рамы, где эпю-
ра моментов имеет прямолинейное
очертание, поперечные силы опре-
деляются на основании зависимости
Д. И. Журавского:
л dM .
Q= — = tga,
где a — угол наклона линии, огра-
ничивающей эпюру моментов, к
оси элемента.
Поперечные силы можно также
определить по формуле (4.3), рас-
сматривая элементы рамы как про-
стые однопролетные балки в экви-
валентном состоянии. Эту формулу
применяют в тех случаях, когда на
стержне или на участке стержня
эпюра моментов имеет криволиней-
ное очертание.
Определим поперечные силы в се-
чениях элементов рассматриваемой
рамы (рис. 12.6, в):
в левой стойке
Л dM 4,572 1 u
=-------=-!.!« кН,
9 =2кН м
С D
Рис. 12.5
155
Рис. 12.6
т. е. поперечная сила во всех сече-
ниях стойки одинакова, поскольку
эпюра изгибающих моментов ли-
нейна;
в ригеле:
Л М D — мс
QC = Q?+ -т-- =
lCD
= 8+-^572-<-4-572> =8 кН;
Qz> = Q& + 0 = -8 кН.
Результирующая эпюра попереч-
ных сил Q в раме показана на
рис. 12.5, в.
Продольные силы в элементах ра-
мы могут быть найдены из рассмот-
рения условий равновесия узлов
(см. § 4.4). Окончательная эпюра
продольных сил в элементах рамы
показана на рис. 12.5, г.
12.3. ПРОВЕРКА ПРАВИЛЬНОСТИ
ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР М, Q И N
При указанной в предыдущем па-
раграфе последовательности по-
строения эпюр усилий в раме эпю-
ра изгибающих моментов является
исходной. Поэтому от точности ее
построения зависит и точность по-
строения эпюр поперечных и про-
дольных сил. Возможны статическая
и кинематическая проверки пра-
вильности построения эпюры мо-
ментов.
При статической провер-
ке анализируются условия равно-
весия узлов рамы под действием
узловых моментов. С этой целью
вырезаются узлы и прикладываются
моменты к ним со стороны отбро-
шенных стержней в направлении от
растянутых волокон стержня. Сум-
ма моментов в каждом узле рамы
должна быть равна нулю.
Статическая проверка является
необходимой, но недостаточной, так
как в статически неопределимых си-
стемах распределение усилий, удов-
летворяющих условиям равновесия,
не является единственным.
При кинематической (де-
формационной) проверке
эпюры моментов определяются пе-
ремещения по направлениям лиш-
них неизвестных — эти перемеще-
ния должны быть равны нулю.
В этом случае результат перемно-
156
жения результирующей эпюры мо-
ментов на соответствующую еди-
ничную эпюру в любой основной
системе должен быть равен нулю:
S j MiMdsKEI) = 0.
о
Это соотношение не выполняется
при температурных воздействиях на
статически неопределимую систему
и при смещении ее опор.
Если система содержит п лишних
связей, можно использовать суммар-
ную единичную эпюру Мs (Ms=Мх+
+ М2н------\-Мп). Тогда
2 j M/lds/(E/) = 0.
о
Это выражение отражает условие
равенства нулю суммы перемеще-
ний, вызываемых всеми силами,
действующими на систему, по на-
правлению всех лишних связей.
Выполним кинематическую про-
верку правильности построения эпю-
ры моментов в рассмотренном выше
примере. Результирующая эпюра
моментов показана на рис. 12.6, в,
а единичная — на рис. 12.4, г.
SlMiMdslEr) =(—4,572-4 — 4-2+
о ' 2 3
+ —4,572-8-4------!----8-16-4)/
4 4 3 '
/(El) = (+ 85,344 — 85,333)/(£7) ~ 0.
Относительная погрешность вычи-
слений составляет (0,011/85,333) X
X 100=0,011%. Для простых систем
относительная погрешность вычис-
лений допускается не более 3%,
для сложных — не более 5%.
Правильность построения эпюр
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
поперечных и продольных сил уста-
навливается проверкой равенства
нулю суммы вертикальных и суммы
горизонтальных проекций всех сил,
действующих на систему. При этом
значения опорных реакций могут
быть взяты на эпюрах поперечных
и продольных сил. Для рамы, изоб-
раженной на рис. 12.5, а,
SV=8+8— 2-8 = 0;
1,143— 1,143 = 0.
В сложных рамах проверки пра-
вильности построения эпюр Q и N
выполняют, рассматривая равнове-
сия отдельных частей и рамы в це-
лом. Например, раму, представлен-
ную на рис. 12.7, можно было бы
расчленить горизонтальным сечени-
ем I—I и с помощью уравнений 2Х=
=0, 2У=0 проверить равновесие
отсеченной верхней части, затем рас-
членить раму сечением II—II и вы-
полнить то же самое для всей выше-
лежащей части рамы и т. д.
12.4. УПРОЩЕНИЕ РАСЧЕТА
ПРОСТЫХ СИММЕТРИЧНЫХ РАМ
Статически неопределимые сим-
метричные системы можно считать
полностью симметричными только
157
в том случае, когда и жесткости
симметрично расположенных эле-
ментов одинаковы.
Рассмотрим четыре варианта ос-
новной системы для симметричной
рамы, нагруженной сосредоточен-
ной внешней нагрузкой (рис. 12.8).
Заданная система содержит три
лишние связи.
Вариант 1. Основная система
получена отбрасыванием опоры В и
заменой ее действия вертикальной
силой Хь горизонтальной Х2 и мо-
ментом Хз (рис. 12.9, а). Канониче-
ские уравнения имеют вид:
^11Л1 + ^12^2 4" ^3X3 + Д1р = О',
^21^1 + 622Х2 + 623Х3 + Д2р = 0;
бзЛ + 632Х2 Ц- 633X3 Ц- Дзр = 0.,
Коэффициенты при неизвестных
(перемещения) 6ц, 622 и 633 не мо-
гут быть равными нулю. Поэтому
упростить систему уравнений мож-
но путем обращения в нуль всех или
ЧаСТИ ПОбоЧНЫХ КОЭффиЦИеНТОВ 6ife,
определяемых по формуле (10.17).
Эпюры изгибающих моментов в
основной системе от неизвестных
Хь Х2 и Х3, равных единице, приве-
дены на рис. 12.9, б, в, г. Для того
чтобы получить 6гл=0, нужно в ре-
зультате перемножения эпюр иметь
два слагаемых, одинаковых по абсо-
лютной величине и обратных по зна-
ку. Из_анализа единичных эпюр
М2 и М3 видно, что 612 и 613 будут
отрицательными, 623— положитель-
ным, но ни одна пара эпюр не дает
слагаемые разных знаков. Поэтому
ни один из побочных коэффициентов
при неизвестных не будет равным
нулю. Значит, принятая основная си-
стема является нерациональной.
Вариант 2 (использова-
ние симметрии системы).
Примем основную систему, разре-
зав ригель рамы по оси симметрии
(рис. 12.10, а). В сечении ригеля к
каждой полураме будут приложены
поперечная сила Хь продольная Х2,
изгибающий момент Х3.
Эпюры изгибающих моментов от
Хь Х2 и Х3, равных единице, приве-
дены на рис. 12.10, б, в, г. Анализи-
руя их, видим, что перемещения
6i2=62i = 0 и 6i3=63i = 0 (результат
перемножения симметричной эпюры
на обратносимметричную равен ну-
лю). Система канонических уравне-
ний принимает вид:
6цХ1 + Ajp = 0;
622Х2 + 623Х3 -J- Д2р = 0;
6згХ2 4~ 633Х3 4“ Д3р = 0.
Рассматриваемая основная систе-
ма более рациональна, чем первая.
Вариант 3 (введение бес-
конечно жестких консо-
лей). Замена заданной системы
эквивалентной может быть произ-
ведена путем рассечения элемента
рамы с введением в месте рассече-
ния бесконечно жестких элементов,
связанных тремя не пересекающи-
мися в одной точке стержнями (см.
§ 1.5). Это не оказывает влияния на
распределение усилий в элементах
рамы, так как сечения в месте раз-
реза жестко соединены между собой
158
Рис. 12.10
и не перемещаются друг относитель-
но друга. Поэтому усилия во всех
элементах рамы останутся такими
же, как и в заданной системе.
Три связи между полурамами
обеспечиваются шарниром на уров-
не ригеля и стержнем между шар-
нирами на конце консолей (рис.
12.11, а). Длину бесконечно жест-
ких консолей примем равной 2h/3.
159
Рис. 12.11
Тогда расстояние от опор до конца
консолей будет А/3. Конец консолей
принято называть упругим центром
системы.
Основную систему выберем, раз-
резав связи, соединяющие бесконеч-
но жесткие консоли, а усилия в этих
связях примем за лишние неизвест-
ные Хи Х2 и Х3 (рис. 12.11, б). Эпю-
ры изгибающих моментов в приня-
той основной системе от сил Xh Х2
и Х3, равных единице, показаны на
рис. 12.11, в, г, д. Поскольку резуль-
тат перемножения симметричной
эпюры на обратносимметричную ра-
вен нулю, б12=б21=0, б13=631=0.
Эпюры М2 и Л?3 симметричны, но в
результате их перемножения также
получается нуль (площадь тре-
угольной эпюры Л12 умножается на
нулевую ординату эпюры Л73 на
уровне центра тяжести эпюры Л?2).
Все побочные коэффициенты при
неизвестных равны нулю, и канони-
ческие уравнения имеют вид:
+ &ip= 0;
^22-^2 4“ ^2р = 0» ’
633X3 “Ь Дзр == 0.,
Основная система третьего вари-
анта является наиболее рациональ-
ной.
Бесконечно жесткие консоли и
стержни, соединяющие эти консоли,
могут быть расположены по-разно-
му, но их расположение должно
быть подчинено требованию обра-
щения в нуль наибольшего числа
коэффициентов канонических урав-
нений.
Вариант 4 (преобразова-
ние нагрузки). Основная систе-
ма может быть выбрана одним из
указанных выше путей в сочетании
с преобразованием нагрузки общего
вида — разложением ее так, чтобы
160
их алгебраическая сумма равнялась
заданной нагрузке.
Для рассматриваемой рамы ис-
пользуем третий вариант основной
системы. На рис. 12.12, а показана
симметричная, а на рис. 12.12, б—
обратносимметричная нагрузки.
Эпюра изгибающих моментов ЛГР
от действия симметричной нагрузки
показана на рис. 12.12, в. Лишние
неизвестные и соответствующие им
эпюры показаны на рис. 12.11, б, в,
г, д.
Из сопоставления эпюры Мр с
эпюрами Мъ М2 и М3 видно, что
Д1Р=0, так как эпюра Мр симметрич-
на, а эпюра Mj_ обратносимметрична.
В то же время Дгр =/= О и ДзР 0.
Следовательно, Хг = 0. Система кано-
нических уравнений имеет вид:
$22^2 + ^2р = 0» 1
^зз-^з + Дзр= 0- j
Эпюра изгибающих моментов Мр ,
вызванных действием обратносимме-
тричной нагрузки, приведена на рис.
12Л2, г. Так как эпюра Мр обратно-
симметрична, а единичные эпюры М2 и
М3 симметричны, то Д2Р=0иДзР=0.
Перемещение Д^р=/=0.
Из системы канонических J уравне-
ний
8цЯ1 -|- Д1Р = 0;
^22-^2 =
бззХз = 0
получаем Х2 = 0, Х3 = 0.
При преобразовании нагрузки
лишние неизвестные целесообразно
располагать на оси симметрии си-
стемы. В этом случае при действии
на симметричную систему симмет-
ричной нагрузки обратносимметрич-
ные неизвестные будут равны нулю,
Рис. 12.12
161
а при действии на симметричную
систему обратносимметричной на-
грузки симметричные неизвестные
равны нулю.
Результирующая эпюра моментов
получается путем алгебраического
суммирования ординат двух эпюр:
М = М' + М”,
где М' и М"—результирующие эпю-
ры изгибающих моментов от дей-
ствия соответственно симметричной
и обратносимметричной нагрузки.
12.5. УПРОЩЕНИЯ РАСЧЕТА
СЛОЖНЫХ РАМ
Использование симметрии рамы.
Рассмотрим случай, когда заданная
система симметрична и не содержит
стержней, расположенных по оси ее
симметрии. Рама на рис. 12.13, а
содержит шесть лишних связей, и
для определения лишних неизвест-
ных нужно составить и решить си-
стему из шести канонических урав-
нений. Примем основную систему,
отбросив левую защемляющую опо-
ру и расчленив ригель второго эта-
жа на некотором расстоянии справа
от оси симметрии рамы (рис.
12.13, б). Ни один из побочных ко-
эффициентов канонических уравне-
ний не будет равным нулю (нет сим-
метричных и обратносимметричных
единичных эпюр), и каждое уравне-
ние будет включать все шесть не-
известных.
Выберем второй вариант основной
системы, расчленив оба ригеля по
оси симметрии рамы (рис. 12.13, в).
Все шесть неизвестных в этом слу-
чае расположены по оси симметрии
рамы. В принятой основной системе
от действия неизвестных Xi и Х$ по-
лучим обратносимметричные эпюры
изгибающих моментов, а от всех
остальных неизвестных эпюры мо-
ментов будут симметричными. Так
как результат взаимного перемно-
жения симметричных и обратносим-
метричных эпюр равен нулю, то и
побочные коэффициенты канониче-
ских уравнений, определяемые эти-
ми эпюрами, также будут равны
нулю. На рис. 12.14 показан общий
вид эпюр изгибающих моментов в
основной системе от неизвестных,
равных единице.
В общем случае при наличии ше-
сти лишних связей канонические
уравнения метода сил имеют вид:
6цХ1 + 612Хг + 6i3X3 + 614X4 +
+ 615Х5 4- 613Х6 + Д1р = 0;
621X1 + 622X3*+„633X3’+ 624X4 +
+ 625X5+623X5 + Д2р — О>
631X1 + 6^X2 + 633Х3 + 634X4 +
+ 635X5 + 636Х6 + Дзр = 0;
641X1 + 642X2 + 643X3 + 644X4 +
+ 645X5 + 643X3 + Д4р = 0;
651X1 + 652Х2 + 653X3 + 654X4 +
+ 655X5 + 653X3 + Д5р = 0;
6eiXi + 633X2 + 633X3 + 634X4 +
+ 635X5 + 633X3 + Двр = 0.
Сопоставляя эпюры моментов от
единичных значений неизвестных,
приведенные на рис. 12.14, имеем:
612 = 62i = 0; 61з = 631 = 0; 615 =
= 651 = 0; 613 = 631 = 0;
634 = 642 = 0; 634 = 643 = 0",
645 = 654= 0; 643 = 664 = 0.
Отбрасывая в уравнениях слагае-
мые, равные нулю, получим более
162
простые уравнения. При этом ис-
ходная система уравнений распада-
ется на две независимые системы:
6цХ1 4- 614X4 + Aip — $ 1
641X14~ 644X4. + Д4р = 0; J
622X2+623Х3+625Х54- 62вХв 4- Д2р=0;
6згХ2 4~ 633X34- 635X5 4- 633X3 4~ А зр=О’»
652X3 4- 653Х34- 655X5 4- 653X34- А5р=0;
6в2Х2 4~ 633X34- 6з§Х 5+633X3 4- Авр=0.
В первую группу уравнений вхо-
дят только обратносимметричные
неизвестные, а во вторую — симмет-
ричные.
Таким образом, для рассматри-
ваемой рамы второй вариант основ-
ной системы более рационален.
Приняв для заданной симметрич-
ной рамы симметричную основную
систему, мы упростили не только
канонические уравнения, но и реше-
ние исходной системы уравнений.
Однако это не значит, что любая
произвольно выбранная симметрич-
ная основная система приведет к
упрощению расчета. Примером мо-
жет служить симметричная основная
система (рис. 12.15, б) для рамы с
тремя лишними связями (рис.
12.15, а). В этом случае ни один
из побочных коэффициентов ка-
нонических уравнений не ра-
вен нулю. Поэтому при расчете
симметричных рам нужно выбирать
такую основную систему, которая
обеспечивала бы наличие симмет-
ричных и обратносимметричных
эпюр изгибающих моментов. В слу-
чае однопролетных бесшарнирных
рам какой угодно этажности или
при расположении шарниров толь-
ко в ригелях по осй симметрии рамы
для этого достаточно расчленить
раму по оси симметрии и принять в
качестве основных неизвестных уси-
лия в сечениях ригелей рамы.
Группировка неизвестных. На
рис. 12.16 показана симметричная
двухпролетная рама с четырьмя
лишними связями, средняя стойка
которой находится на оси симмет-
рии рамы. Расположить все неиз-
вестные в сечении на оси симметрии
системы невозможно. Упрощение
расчета достигается тем, что в сим-
метричной системе в качестве лиш-
них неизвестных принимаются не
отдельные силы, а группы сил, на-
зываемые групповыми неизвестны-
ми. Групповые неизвестные подби-
163
Рис. 12.14
рают таким образом, чтобы единич-
ные эпюры моментов в основной
системе в одних случаях были сим-
метричными, а в других — обрат-
носимметричными.
Для рамы, изображенной на рис.
12.16, в основной системе (рис.
12.17, а) вертикальные и гори-
зонтальные реакции заменим соот-
ветственно парами симметричных и
обратносимметричных сил. Эпюры
изгибающих моментов от действия
каждой пары сил показаны на
рис. 12.17, б, в, г, д. Сопоставляя
эпюры моментов от групповых не-
известных, равных единице, полу-
чаем: 612 = 621 = 6; 614=641 =0; 623 =
=6з2=0; 634=643=0. Исходная си-
стема канонических уравнений с че-
тырьмя неизвестными преобразует-
ся в две независимые системы, каж-
дая из которых включает лишь два
неизвестных (первая — симметрич-
ных, вторая — обратносимметрич-
ных):
6цХх 613X3 + Aip = 0;
631X1 4- 633X3 + Л3р = 0;
622X2 4- 624X4 4- Агр = 0;
642X2 4" 644X4 + Д4Р = 0.
Дальнейший расчет системы обыч-
ный. Результирующую эпюру изги-
бающих моментов можно получить
по формуле (12.1).
При необходимости опорные реак-
ции можно получить алгебраическим
суммированием найденных групповых
сил по каждому из направлений: Х?=
= х, + Х2; Х§ = Х2 —Х2 и т. д.
В качестве групповых неизвест-
ных могут быть приняты любые уси-
лия. Например, для рассмотренной
рамы основной системой может
164
быть показанная на рис. 12.17, е,
где групповыми неизвестными явля-
ются горизонтальные опорные реак-
ции и изгибающие моменты в риге-
лях рамы.
Расчленение рам. Приведенные
выше упрощения расчета могут быть
осуществлены при условии, что за-
данная рама симметрична. Тем не
менее ими можно и полезно восполь-
165
Рис. 12.17
Рис. 12.18
зоваться, удачно располагая неиз-
вестные в отдельных частях несим-
метричной рамы, включающей сим-
метричные части.
Для несимметричной рамы с де-
сятью лишними связями (рис.
12.18, а) примем основную систему,
как показано на рис. 12.18, б. Ос-
новными неизвестными будут опор-
ные реакции Хь Х2, Х3, XlQ. Из
сопоставления единичных эпюр Л?1 и
Л?9 (рис. 12.18, в, г) видно, что пере-
мещение 619=691=7^0. Аналогичным
образом можно убедиться, что все
побочные коэффициенты при неиз-
вестных в канонических уравнениях
не равны нулю. При такой основной
системе каждое из канонических
уравнений будет содержать все де-
сять неизвестных. Таким образом,
выбранная основная система нера-
циональна.
Во втором варианте основной сис-
темы для этой же рамы (рис.
12.19, а) все ригели разрезаны в се-
редине каждого пролёта. В этом
случае единичные эпюры моментов
от каждого неизвестного располага-
ются только в том контуре, которо-
му принадлежит данное неизвест-
ное. Поэтому при перемножении, на-
пример, эпюр Mi и М9 получим, что
619=691=0 (рис. 12.19, б, г). Ана-
логично 617=671=0; 618=681=0;
627=672=0; 628=682=0; 629=692=0;
637=673=0; 6з8=6вз=0; 639=693=0.
Реакция Хю вызовет перемещения
16G
по направлению неизвестных Хъ Х8
и Хд, а перемещения по направлению
остальных неизвестных будут равны
нулю.
Поэтому по сравнению с рассмот-
ренной выше данная основная си-
стема более рациональна.
12.6. РАСЧЕТ РАМ НА ТЕМПЕРАТУРНОЕ
ВОЗДЕЙСТВИЕ И СМЕЩЕНИЕ ОПОР
Температурное воздействие. При
изменении температуры среды (вре-
менное воздействие) в статически
неопределимых системах возникают
дополнительные усилия. Только с
учетом дополнительных усилий
представляется возможным выявить
наиболее невыгодное сочетание воз-
действий и определить Экстремаль-
ные значения усилий в сечениях
элементов системы. Канонические
уравнения метода сил в этом случае
имеют вид (11.5). В этих уравне-
ниях коэффициенты при неизвест-
ных имеют тот же смысл, как и при
расчете на действие внешних нагру-
зок. Свободные члены уравнений
находятся по формулам (10.23) или
(10.24).
Решив систему уравнений (11.5),
получим значения неизвестных Хи
Х2, ..., Хп. Результирующая эпюра
моментов находится по соотношению
(12.1).
Из уравнений (11.5) следует, что
суммарное перемещение в основной
системе по направлению какого-
либо неизвестного, вызванное дей-
ствием остальных неизвестных,
должно быть равно перемещению
по тому же направлению вследст-
вие изменения температуры (с об-
ратным знаком). Таким образом,
результат перемножения любой еди-
ничной эпюры на результирующую
эпюру моментов не будет равным
нулю. Для произвольного неизвест-
ного Xi
2 [Л1|Л1Л/(£/) = — Дг„
О
где Aif — перемещение по направ-
лению Xi в основной системе вслед-
ствие изменения температуры.
Если кинематическая проверка
правильности построения эпюр мо-
ментов производится с использова-
167
a
11Б,667х.
Рис. 12.21
нием суммарной единичной эпюры
М8, должно соблюдаться условие
2 jM/lds/(£/) = —2Л„.
Пример. Требуется определить изгибаю-
щие моменты в сечениях стержней рамы
(рис. 12.20, а) при следующих данных: 1=
= 6 м; высота сечений ригелей и стойки по-
стоянны по длине — &с=0,3 м; 6р=0,6 м;
поперечные сечения стержней симметричны
относительно их осей; перепад температуры
по длине каждого стержня постоянен; тем-
пература t3 постоянна, а /1 и изменились
по сравнению с начальными и составляют
соответственно 10 и 15 °C.
Решение. Рама содержит одну лиш-
нюю связь. Каноническое уравнение бцХ1+
+Дп=0.
Основная система, единичные эпюры мо-
ментов и продольных сил показаны на рис.
12.20, б, в, г. В основной системе:
2 M*ds
au = 2J^- =
•в-в А6*
3 EI
=2-------• —
8EI 2
л - *1 — ^3
Ait = а----------
Ор
юм + “ ам +
10-(-20)f 1 \
-------- 26'6)+
, а~г»2
+а~Г~ 0.6
, 25-(-20) / 1
“Г" ОС Л I
0,6 \ 2
+ а —(2-6)=а(9004-1050-(-150)=2100а.
Подставив найденные значения перемещений
в каноническое уравнение, получаем: £^^1+
4-2100а=0, откуда Хх = — 116,667а£/.
Эпюра изгибающих моментов
приведена на рис. 12.21, а, а эпюры попе-
речных и продольных сил на рис. 12.21,6, в.
Кинематическая проверка правильности
построения результирующей эпюры момен-
тов \
Л р MrMds п — 1 12
2 —--------=2------» —6-6— 700а£7=
J EI 8£/ 2 3
о
= — 2100а = — Ди •
Смещение опор. Канонические
уравнения метода сил в этом случае
имеют вид (11.6). Свободные члены
уравнений определяются по форму-
ле (10.26).
Последовательность расчета та
же, что и при расчете на действие
внешних нагрузок. Кинематическая
проверка правильности построения
эпюры моментов предполагает со-
блюдение условия
2 \MtMdsl(EI) = — Aic.
о
168
12.7. РАСЧЕТ РАМ МЕТОДОМ СИЛ
В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ
Рассмотрим статически неопределимую
раму с тремя лишними связями (рис.
12.22, а). Сечения стоек и ригелей постоян-
ны в пределах их длины, а их жесткости
равны соответственно EI и 6EI. Выберем
основную систему (рис. 12.22,6). На эле-
ментах рамы в основной системе арабскими
цифрами отмечены характерные сечения, а
римскими — участки между сечениями.
В кружках указаны принятые знаки изги-
бающих моментов. На рис. 12.22, в, г, д, е
приведены эпюры изгибающих моментов в
основной системе от заданных нагрузок и
единичных сил Xi, Хз, Хз-
Система канонических уравнений в мат-
ричной форме может быть представлена в
виде
РбХ = -Др, (12.2)
где
6ц 612
62I
63I
<^22
632
Ril

613 '
62З
633 _
; Др =
&ip
^2Р
_ Азр.
Матрицы и Др могут [быть
соответственно из условий:
получены
= Мт DeM;
(12.3)
Др = Мт Dp Мр ,
(12.4)
где М—матрица, элементами которой 'явля-
ются изгибающие моменты в сечениях стерж-
ней в^основной системе, вызванные силами
X^Xi и Хз, равными единице; Л1т —транс-
понированная матрица М; Мр—матрица-стол-
бец, элементами которой являются моменты
в сечениях основной системы от заданных
нагрузок; De, Dp—матрицы податливости.
Для рассматриваемого случая
а $ =20 кН м
169
Р с. 12.22
170
и по формуле (12.3)
О О
—4 —8
3 3
1,5 3 3 0 0 О'
—3 —3 0 0 8 4
0,75 0,75 0,5 0,25 0 0
2_ ’ 36 — 18 7,5“
—18 88 —18
3EI .7,5 — 18 8
EI
Матрицы
податливости Dp для отдельных участков:
Для этих же участков:
О О
О —4
О —4
6 —4
6 О
О О
О 4
О О
Ч"=
~ —360 “
+ 120
_11 °-
«чч
171
Для второго и третьего участков:
По формуле (12.4)

2 1
2 2
1
6£/
’ 6
—12
3
12 12“
—16 —12
4 3.
6Е/
12 121Г О"
—16 —12 90
4 3_]|_—360.
__1_
6£/
“—3240
2880
_ —720
______1_
~ 6Е/
9 61
0 0 I
1,5 1J
1
QEI
“—3240“
0
_ —540.
172
д’ л"II I I111 =
Ар=др + др
1
&EI
3240+(—3240)’
2880+ 0
_ —720+ (—540) _
1
6Е/
—6480"
2880
—1260
Элементы вектора Др можно получить, перемножив
матрицы для системы в целом:
0 6
6 0"
о о X
1 0_

1
6EI
6 12 12 12 9 6'
—12 —16 —12 000
3 4 3 2 1,5 1.
12 9 6“1
О О О X
2 1,5 1.
О
90
—360
—360
120
О
"—6480“
2880
_—1260_
что соответствует полученному выше результату.
Решение системы (12.2) можно представить в виде
где Dq 1— обратная матрица коэффициентов при неизвестных.
173
Рис. 12.23
Элементы обратной матрицы можно найти
из выражения
«й - (- /£».
где i, k —порядковый номер соответственно
строки и столбца, в которых находится эле-
мент fyk матрицы D — определитель ма-
трицы Dd; Akt — алгебраическое дополнение
элемента матрицы Dfl.
Находим элементы матрицы
1 / 176 ' 16 \ 168,8888
D\ 3 3 ‘ 2/ D
«7.’
_ 149,3333
D
^21 — в12* = ’ ^22I==
1 228
бГз = - p-[24(- »2) + 12-5] = -p- ;
H -_r 149,3333 . J A_r 228
631 = 613 =-----------; 632‘ =623!=-^-;
1
D
^33*
176 '
24 — — 12-12
1264
D
Итак,

“168,8888 4 —149,3333“
X 4 103 228
—149,3333 228 1264
Вектор неизвестных
" 168,8888 4 —149,3333т
4 103 228 |x
149,3333 228 1264 J
Г—64801
X 2880
_—1260.
1
D
“(—182399,9+1920+3135,99)'
(—4320+49440—47880)
(161279,9—109440—265440) _
— 149119,9
—2760
5279,9
При вычисленном D=3258,667 Xi=45,761;
X2 = 0,847; X3 = — 1,6203.
Окончательные значения изгибающих мо-
ментов в принятых сечениях получим из вы-
ражения М = Мр + MX:
~мг~ ~ 0“
м2 0
м3 0
м4 —360
м = М5 = —360 +
ма 0
м7 0
_м8 _ 0
174
О О 1
О —4 1
О —4 1
’ 45,7610"
0,8470 =
1,6203
О 0 6
0. . 4 О
О 0 0
1,6203“
—5,0082
—5,0082
—90,4420
—87,0541
О
3,3879
О
В соответствии с М построена эпюра мо-
ментов, изображенная на рис. 12.23.
Глава 13
НЕРАЗРЕЗНЫЕ БАЛКИ
13.1. РАСЧЕТ МЕТОДОМ СИЛ
Общие положения. Неразрезной
называется сплошная балка, пере-
крывающая ряд пролетов и нераз-
рывно связанная с опорами. Нераз-
резные балки широко применяются
в промышленном и гражданском
строительстве, в мостостроении, а
также во многих других областях
строительства. Неразрезные балки
более экономичны по сравнению с
однопролетными шарнирными бал-
ками, поскольку изгибающие момен-
ты в них меньше.
Недостаток неразрезных балок,
как и других статически неопреде-
лимых систем состоит в том, что в
них могут возникать дополнитель-
ные усилия, например, при нерав-
номерных осадке опор, изменении
температуры.
В неразрезных балках загруже-
ние одного пролета вызывает ее из-
гиб во всех остальных пролетах.
При этом упругая ось балки очер-
чивается по плавной кривой.
Степень статической неопреде-
лимости неразрезной балки может
Рис. 13.1
быть установлена по формуле (1.4).
Так как неразрезная балка пред-
ставляет собой один диск, для за-
крепления которого в плоскости не-
обходимо и достаточно трех стерж-
ней, то количество лишних связей
Л=С0П—3, где Л и Соп — соответ-
ственно число лишних связей и чис-
ло опорных стержней.
Выбор основной системы. Рас-
смотрим несколько вариантов ос-
новной системы для балки с тремя
лишними связями (рис. 13.1, а).
Примем основную систему, как по-
казано на рис. 13.1, б. Можно со-
ставить систему из трех канониче-
ских уравнений, первое из которых
^ii^i + ^12^2 + 613Х3 4- А1р = 0
определяет условие равенства нулю
суммарного перемещения по на-
правлению силы Xi. На рис. 13.1, в
штриховой линией показана ось де-
формированной балки в основной
системе и обозначены перемещения
175
по направлению основных неизвест-
ных, вызванные действием силы
Xi= 1. Так как 6ц, 612 и 613 не равны
нулю, исходное уравнение упростить
нельзя. Очевидно, что и во второе, и
в третье уравнения входят ненуле-
вые перемещения.
На рис. 13.1, г показана основная
система, где в качестве основных
неизвестных приняты опорные реак-
ции на промежуточных опорах и со-
средоточенный момент в защемле-
нии на крайней левой опоре. Под
действием силы Xi=l балка дефор-
мируется (рис. 13.1, д). Нетрудно
показать, что в каждое канониче-
ское уравнение войдут все неизвест-
ные. Поэтому рассмотренные основ-
ные системы выбраны неудачно.
Разрежем балку на промежуточ-
ных опорах и введем шарниры в
опорных сечениях (рис. 13.1, е).
Лишними неизвестными в данном
случае будут опорные моменты.
Структура канонических уравнений
останется без изменения, но смысл
их будет иной. Например, второе
уравнение будет отражать условие
равенства нулю суммарного угла
взаимного поворота сечений, при-
мыкающих к шарниру В балки в
основной системе. С точки зрения
рациональности принятая основная
система будет более выгодной по
сравнению с предыдущими. На
рис. 13.1, ж показано, что под дей-
ствием момента Xi=l изгиб балки
имеет место только в левом крайнем
пролете, чему соответствуют нену-
левые перемещения 6ц и 621. По-
скольку взаимного поворота сечений
на третьей опоре нет, 631 = 0. Таким
образом, систему канонических урав-
нений можно значительно упростить,
рассмотрев последовательно каждый
пролет и выявив нулевые единичные
перемещения.
Уравнение трех моментов. Рас-
смотрим неразрезную балку с лиш-
ними связями, нагруженную про-
извольной внешней нагрузкой.
Каноническое уравнение, выра-
жающее условие равенства нулю
перемещения по направлению неиз-
вестного Хп, имеет вид
W1 + 6п2А2 + ^ПЗ^З + • • •
• . • + Sn,n—lXfi—l + 6nnXn +
+6n,n4-lXi4-l + • • • +8nmXn+Anp=0-
Основную систему получим путем
введения шарниров в опорные се-
чения балки. Неизвестными в урав-
нениях будут изгибающие моменты
на промежуточных опорах (рис.
13.2, а). Для n-й промежуточной
опоры суммарный угол взаимного
поворота сечений определяется дей-
ствием трех опорных моментов:
Mn-i„ МпиМп^:
б/i,л— 1МЯ_1 + 6ПП2ИП +
+ 6п>пц_1Л1л4.1 + Апр = 0. (13.1)
Уравнение (13.1) называется
уравнением трех момен-
тов. Оно выражает условие нераз-
резности балки на n-й опоре (отсут-
ствия взаимного поворота сечений
балки, примыкающих к этой опоре).
Аналогичные уравнения можно
составить для всех промежуточных
опор балки и каждое из этих урав-
нений в общем случае будет содер-
жать три неизвестные.
Коэффициенты при неизвестных в
уравнении (13.1) будем определять
по формулам (10.17) и (10.18). При
этом влиянием поперечных сил бу-
дем пренебрегать. Эпюры изгибаю-
щих моментов в основной системе
от действия моментов Мп-ъ Мп и
Мп+ъ равных единице, изображены
соответственно на рис. 13.2, б, в, г.
176
Рис. 13.2
Очевидно, что результат умножения
эпюры Мп на эпюру Mn-i или Мп+1
отличен от нуля. Умножение эпюры
Мп на любую другую единичную
эпюру в других пролетах балки дает
нуль (эпюры не имеют общих участ-
ков). Тогда, если жесткость балки в
пределах каждого пролета постоян-
на,

1
^П+1
1 1 7 2
• — 1-Z^1 —1 =
I 6l+l
ЗЕ1п ЗЕ1п+1
X . . __у Г MnMn+1ds
0П.Л+1 -2 J -----------
= S С МпМп-^ _
J Е,
------- !•?„—1 = -^-;
Е1п 2 3 6EZn
1
Ып+1

^П41
6£/п+1 ‘
Свободный член уравнения (13.1) оп-
ределяется по формуле (10.16)
А„р = S [
о
1
---— ®пУп +
Е1п
MnMpds _
1
—-----(Ол+1*/л+1 ,
^п+1
12. Зак. 1840
177
или
Л_________1 ЮдДп
"Р Е1п ' Z„
1 On+lfrn+1
Eln+x ln+i
где con и con+i — площади эпюр мо-
ментов от внешней нагрузки в про-
летах разрезной балки; ап и bn+i—
расстояние от центров тяжести этих
эпюр соответственно до (п—1)-й и
(п+1)-й опор (рис. 13.2, д).
Выражения тпапЦп=Вп и сол+1Ьл+1/
//л+1 = An+i принято трактовать фик-
тивными реакциями в разрезной балке
(соответственно на правой опоре в
n-м пролете и левой опоре в (п + 1)-м
пролете, загруженной эпюрой момен-
тов Мр).
Подставив выражения перемеще-
ний в уравнение (13.1), имеем
Ып+1 -3
Умножив левую и правую части
этого уравнения на &EIQ, где 10 —
произвольный момент инерции (на-
пример, момент инерции сечения бал-
ки в любом пролете), введя обозна-
чения приведенной длины пролетов
Inlofln ~ п-\-\ = ^«4-1, ПОЛу-
ЧИМ
/лЛТЛ4_1+2(/л+/Л4-1) 2ИП+/«4-1^44 =
= _б(А-В* +-А_л*+Л (13.2)
\ ln 'П+1 /
Для балки постоянной жесткости
уравнение (13.2) принимает вид
1пМп—1+2 (1п-\-1п+\) Мп + /n4-iAfn4-i =
= - 6 (В* + Л*+1). (13.3)
Для расчета неразрезной балки
необходимо составить столько урав-
нений (13.2), сколько лишних свя-
зей содержит балка.
Формулы для определения фик-
тивных опорных реакций для наи-
более типичных случаев загруже-
ния балок приведены в табл. 13.1.
При других сочетаниях нагрузок
фиктивные опорные реакции можно
найти исходя из принципа незави-
симости действия сил.
Если крайняя опора неразрезной
балки защемляющая, то при со-
ставлении уравнения трех момен-
тов для этой опоры вводится допол-
нительный фиктивный пролет 10.
При /0->0 переходим к абсолютно
жесткому защемлению. Например,
для крайней левой опоры балки по-
стоянной жесткости, изображенной
на рис. 13.3, уравнение трех момен-
тов будет
2(4+/1)М0+/11И1 = -6Л?,
или 24Л40 + kMr = — 6Л?.
Если неразрезная балка в край-
нем пролете имеет нагруженную
консоль, то действие нагрузки на
консоли заменяется изгибающим мо-
ментом на крайней опоре с соответ-
ствующим знаком.
Решив систему уравнений, состав-
ленных по формуле (13.3), получа-
ем значения опорных моментов и
находим усилия в балке. Изгибаю-
щий момент в любом сечении нераз-
резной балки может быть найден
по формуле (4.2).
Окончательную эпюру изгибаю-
щих моментов в неразрезной балке
можно получить следующим обра-
178
Рис. 13.3
Рис. 13.4
зом. Над опорами надо отложить в
выбранном масштабе значения
опорных моментов и концы этих от-
резков соединить линией. От этой
линии, ограничивающей эпюру опор-
ных моментов, в том же масштабе
откладываются значения моментов
от заданной нагрузки в каждом про-
лете разрезной балки (т. е. произ-
водится сложение двух эпюр).
Поперечная сила в любом сече-
нии неразрезной балки определяет-
ся по формуле (4.3).
Реакции опор, направленные вверх,
будем считать положительными. От
внешней нагрузки на n-й опоре раз-
резной балки (основная система) pe-
in*
179
акция" = Bn + Л°+1 (рис. 13.4)-
Суммируя ее с реакцией, обусловлен-
ной действием опорных моментов, по-
лучаем
In
+ мп+1-м„ р34)
fn+1
При определении опорных реак-
ций по формуле (13.4) опорный мо-
мент принимается положительным,
если растягивает нижние волокна
балки.
Проверка правильности построе-
ния эпюр усилий в неразрезной
балке выполняется так же, как и
при расчете рам методом сил.
13.2. МОМЕНТНЫЕ ФОКУСЫ
И МОМЕНТНЫЕ ФОКУСНЫЕ
ОТНОШЕНИЯ
Если внешняя нагрузка прило-
жена в одном из пролетов неразрез-
ной балки (остальные пролеты не
загружены), в деформированном со-
стоянии ось балки очерчивается
плавной кривой, кривизна которой
уменьшается по мере удаления от
загруженного пролета. Аналогичный
характер имеет в этом случае и
эпюра изгибающих моментов в бал-
ке (рис. 13.5). Характерной особен-
ностью ее является то, что в каждом
незагруженном пролете она ограни-
чена прямой линией, пересекающей-
ся с осью балки. Эти точки пересе-
чения — нулевые точки на эпюре
моментов — в пролетах слева от
загруженного располагаются ближе
к левым опорам, а в пролетах спра-
ва от загруженного — к правым.
Эти точки носят название м о-
ментных фокусов, или ф о-
кусных точек.
Нулевые точки эпюры моментов
в незагруженных пролетах, распо-
ложенных слева (справа) от загру-
женного пролета, называются левы-
ми (правыми) моментными фокуса-
ми. На рис. 13.5 левые фокусные
точки обозначены Fb F2 и Г3, а пра-
вые F'&, F'6, F'7 . Фокусные точки
Fi и F'7 совпадают соответственно с
крайними шарнирными опорами не-
разрезной балки. Не каждая нуле-
вая точка на эпюре моментов явля-
ется моментным фокусом (напри-
мер, точки i и k в загруженном про-
лете).
Положение фокусных точек на
неразрезной балке не зависит от
характера и интенсивности нагруз-
ки в загруженном пролете. Допу-
стим, что нагрузка на балку, изоб-
раженную на рис. 13.5, увеличилась
вдвое. Тогда в силу линейной зави-
симости между нагрузкой и усилия-
ми все ординаты эпюры моментов
(в том числе опорных) увеличатся
в два раза, и положение фокусных
точек не изменится.
Рассмотрим незагруженный л-й
пролет неразрезной балки, полагая,
что нагрузка расположена в неко-
тором пролете справа от рассмат-
риваемого (рис. 13.6). Эпюра мо-
ментов ограничена прямой линией,
пересекающейся с осью балки в фо-
кусной точке Fn. Очевидно, что от-
ношение моментов в двух произ-
вольно взятых сечениях балки по-
стоянно, а их значения зависят толь-
ко от опорных моментов. То же
можно сказать и о соотношении по-
перечных сил, прогибов и других
характеристик в этих сечениях.
Величину, определяемую абсолют-
ным значением отношения большого
опорного момента к меньшему в
незагруженном пролете, принято
180
Рис. 13.5
Рис. 13.6
(13.5)
называть моментным фокус-
ным отношением:
TS _____Мп_____In -ап
71 “ Mn_x “ ап
Различают левые и правые мо-
ментные фокусные отношения в за-
висимости от того, какими фокусны-
ми точками они определяются.
Формула (13.5) определяет левое фо-
кусное отношение. При расположе-
нии нагрузки слева от n-го пролета
эпюра моментов имеет вид, изобра-
женный на рис. 13.7, и правое мо-
ментное фокусное отношение
К'п = -
ln-i_ = In.=.Оп^ /13 6)
Мп Ьп ’
Если фокусное отношение и один
из опорных моментов известны, по
формулам (13.5), (13.6) можно
определить и второй опорный мо-
мент в рассматриваемом пролете
балки.
Определим левое моментное фо-
кусное отношение в среднем проле-
те балки, считая жесткость ее в
пределах каждого пролета постоян-
ной.
Уравнение трех моментов для
(п—1)-й опоры неразрезной балки
(рис. 13.6) имеет вид
ln—lMn—2 + 2(Z„_i +
+ U) М.п— 1 + InM-n = 0.
Разделив обе части уравнения на
Mn-i и раскрыв скобки, получаем
ln— 2/AU-1 + 2Zn—i +
+ 2/л -|- 1пМп1 Мп_х = 0.
Из равенства (13.5) следует, что
Мп1Мп—\ = —Кп, 'Мп—2/Мп—1='— 1/
Поэтому —Z^_1/(K‘„_i)+2Z'_i+
+ 2l'n — 1пКп = 0, откуда
К„ = 2 + -^ (2 — —Y (13.7)
ln \ Kn-lJ
181
Рис. 13.7
Для крайнего левого пролета шар-
нирно опертой неразрезной балки
по формуле (13.5) получаем =
= —MjMo = со, а по формуле (13.7)
К2= 2 + (Z;^)(2- 1/оо)=2(1+ВД)
и т. д.
Таким образом, зная моментное
фокусное отношение в крайнем ле-
вом пролете балки и, перемещаясь
слева направо, по формуле (13.7)
можно определить левые моментные
фокусные отношения во всех осталь-
ных пролетах.
Для крайнего пролета в случае
жесткой заделки конца Zo=0 балки
и Ki = 2, т. е. фокусная точка рас-
положена от нее на расстоянии, рав-
ном 1/3 пролета. При шарнирном
опирании конца балки, а также при
наличии консоли фокусная точка
совпадает с опорным сечением.
Следовательно, в любом пролете
расстояние от фокусной точки до
близлежащей опоры находится в
пределах 0<an<Zn/3.
Правые моментные фокусные от-
ношения определяются аналогично.
Согласно рис. 13.7, из уравнения
трех моментов для л-й опоры полу-
чаем
к; = 2 +(2--J-1 (13.8)
1п \ ^п+1 /
Kn+i — правое моментное фокус-
ное отношение для (и+1)-го пролета.
Все изложенное для левых мо-
ментных фокусных отношений спра-
ведливо и для правых.
Для балки постоянной жесткости
формулы (13.7) и (13.8) принимают
вид:
Кп-1Г
Кп = 2 +
13.3. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР МОМЕНТОВ
С ПОМОЩЬЮ МОМЕНТНЫХ
ФОКУСНЫХ ОТНОШЕНИИ
Нагрузка на консоли. Для опре-
деления опорных моментов доста-
точно знать моментные фокусные
отношения в пролетах, полученные
по формулам (13.7) и (13.8). Со-
гласно рис. 13.8, момент на крайней
правой опоре можно найти из усло-
вия равновесия консоли: Af4=—Pb.
Из формулы (13.5) следует, что
Мп-1=—Мп/Кп. Поэтому
Mi Pb
М3 =-------- =---;
К, К.
.. м* РЬ
М2 -------- ---------И т. д.
Кз КзК4
Нагрузка в среднем пролете бал-
ки. Выделим участок неразрезной
балки, в и-м пролете которого при-
ложена внешняя нагрузка q(x)
(рис. 13.9, а). Уравнения трех мо-
ментов для (п—1)-й и и-й опор:
182
Рис. 13.9
In—1Мп—2+ 2 (ln—i + In) Mn—i +
+ />п = -6-£-Л*;
•*n
/ЛЛ1Л_1 + 2 (/л + /я+1) Мп +
+ /;+1<и„+1—б-^-в|,
или с учетом зависимостей (13.5) и
(13.6):
+l'n) +]
Ап-1
+ /;мп = -6-^-Л?;
‘п
1пМп^ -|- 2 (1п -|- /Л4-1) Мп —
/' Мп С Л) пФ
— 1п+1 ---= — б — Вп .
дл+1 zn
Поскольку /0//п = /л//п, после пре-
образований iBtteew
(—TL'-r_+2'Vk+2)x
\ 1п Кп-1 1п 1
---6 А Л?;
*п
1^, +(2 + 2------
---7^-}1»М„ = -6-^-В*.
*пКп+1 /
В первом и втором уравнениях вы-
ражения в скобках соответственно
равны Кп и Кл. Разделив левую и
183
Рис. 13.10
правую части уравнений на Гп, полу-
чаем:
KnMn_i+Mn = -6A*/ln-,]
Mn_l + K'„Mn = -6B*/ln,]
откуда
/п(Кп<-1) ’
6(В^П-ДФ)
1п(КпК'п-1)
(13.9)
Дальнейшее построение эпюры
моментов в незагруженных проле-
тах балки не вызывает затрудне-
ний. Слева от загруженного пролета
опорные моменты в балке находят-
ся с помощью левых моментных фо-
кусных отношений, а в правой —
правых.
Формулы (13.9) используются и
для определения опорных моментов
крайнего загруженного пролета бал-
ки, одна из опор которого защем-
ляющая.
Нагрузка в крайнем пролете с
шарнирными опорами. В данном
случае (рис. 13.10), чтобы построить
эпюру моментов в загруженном про-
лете, достаточно определить опор-
ный момент на первой промежу-
точной опоре 1. По формулам (13.9)
= -бв?/(/Х).
Опорные моменты в незагружен-
ных пролетах балки М2 =—
М3=М2/К'зп т. д.
При расположении нагрузки в
n-м крайнем правом шарнирно опер-
том пролете:
м^ = -бА*/(1пКпУ,
Мп—2 = — Мп—1/Кп—2',
Мп-з = — Мп-2/Кп-З И Т. Д.
13.4. ПОСТРОЕНИЕ ОГИБАЮЩИХ
ЭПЮР УСИЛИЙ
При проектировании неразрезных
балок необходимо знать наиболь-
шие и наименьшие усилия во всех
сечениях балки от воздействия по-
стоянной и временных нагрузок.
Построение огибающих эпюр из-
гибающих моментов рассмотрим на
184
Рис. 13.11
примере неразрезной балки, пока-
занной на рис. 13.11, а, б. Времен-
ная нагрузка неподвижна.
Составив и решив систему урав-
нений трех моментов, построим эпю-
ру изгибающих моментов от посто-
янной нагрузки (рис. 13.11, в), а
рассматривая загружение каждого
пролета в отдельности временной
нагрузкой — эпюры моментов от
этих нагрузок (рис. 13.11, г—ж).
Выделим сечение 1 в первом про-
лете балки. Суммируя алгебраиче-
ски изгибающий момент в сечении
от постоянной нагрузки с положи-
тельными моментами в этом же се-
чении от временных нагрузок, по-
лучим Мшах. Суммированием изги-
бающего момента от постоянной
нагрузки с отрицательными момен-
тами в том же сечении от времен-
ных нагрузок определяется Минь
Mr max = Ml + All + Afl";
Mr min = Ml + (- < + (- Af‘iv).
Аналогично можно определить
максимальные и минимальные из-
гибающие моменты во всех сечени-
ях балки. Отложив соответствую-
щие отрезки на эпюре и соединив их
концы линией, получим эпюры
Мшах и Mrnin (рис. 13.11, з), которые
носят название огибающих эпюр из-
гибающих моментов. Так же строят-
ся и огибающие эпюры других уси-
лий.
По огибающим эпюрам находят
расчетные значения усилий в сече-
ниях балки для проверки ее прочно-
сти и жесткости.
13.5. РАСЧЕТ НА ОСАДКУ ОПОР
При неравномерной осадке опор в
неразрезной балке возникают до-
полнительные усилия, влияющие на
распределение усилий от внешней
нагрузки.
При расчете неразрезных балок
на осадку опор канонические урав-
нения метода сил записываются в
форме уравнений трех моментов.
Допустим, что некоторые опоры
балки (рис. 13.12, а) сместились по
вертикали. В результате ось балки
займет новое положение. В основ-
ной системе участки балки в преде-
лах каждого пролета остаются при
этом прямолинейными, но повер-
нутся в опорных шарнирах на неко-
торые углы (рис. 13.12, б). Уравне-
185
Рис. 13.12
ние трех моментов для n-й опоры
имеет вид
InM-n— 1+ 2 (In + ln+l)Mn +
+ ln+iMn+i = —6Е10кпе. (13.10)
Левая часть равенства (13.10)
есть угол взаимного поворота сече-
ний, примыкающих к n-й опоре, вы-
зываемого моментами Mn-i, Мп и
Mn+i, а правая часть — тот же угол,
обусловленный смещением опор. Из
рис. 13.12 следует, что 0П =
= (Уп Уп—1)/1п! 0п+1 = (Уп+1 Уп)/
/ln+i (угол поворота пролета поло-
жителен, если направлен по часовой
стрелке).
Угол взаимного поворота сечений
на n-й опоре
Дпс = 0л+1-0п. (13.11)
Тогда уравнение трех моментов
для балки постоянной жесткости
примет вид
/пЛ!л_1+2(/п + /л+1)Л1п+ (13.12)
4~ = — ЬЕ1 (0л+1 0п)*
Из уравнений (13.10) и (13.12)
следует, что чем больше жесткость
балки, тем большие изгибающие мо-
менты возникают в неразрезной
балке при осадке опор.
Решив систему уравнений, най-
дем моменты на опорах неразрез-
ной балки. Дальнейшее построение
эпюры изгибающих моментов оста-
ется обычным. Используя эпюру
изгибающих моментов, строим эпю-
ру поперечных сил.
13.6. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
УСИЛИЙ
Линии влияния опорных момен-
тов. Рассмотрим статический ме-
тод построения линий влияния.
Опорные моменты в загруженном
пролете определяются по формулам
(13.9). Фиктивные реакции А* и
изменяются в зависимости от
положения нагрузки. Формулы для
их определения приведены в табл.
13.1 и при Р=1 имеют вид:
лф _ аЬ (/ + &) . пФ _ rab (I + а)
Ап 61 ' п 6/
При изменяющемся положении
груза в пролете удобно принять
an = aZn, &п = 0/п, где аир — коэф-
фициенты, причем а+р=1. Тогда
186
Рис. 13.13
4 = a₽d(l + ₽)/6;
B? = a₽Z»(l +a)/6,
з по формулам (13.9)
Л4„_1=-—-X (13.13)
ЛпЛл — 1
.Х[а₽(1+₽И;-а₽(1+а)];
=---г Л Т~ Х <Ш4>
ЛпЛд — 1
X [оф(1+а)Кп-а₽(1 + ₽)].
Изформул (13.13) и (13.14) вид-
но, что опорные моменты являются
функциями а3, в чем нетрудно убе-
диться, заменив в этих выражениях
0 на 1—а. Поэтому для выявления
действительного характера очерта-
ния криволинейной линии влияния
(кубической параболы) в каждом
из пролетов балки необходимо
принимать достаточное число сече-
ний. В этих сечениях последователь-
но устанавливается груз Р=1 и
находятся ординаты искомой линии
влияния.
В качестве примера построим ли-
нию влияния опорного момента
М3 для пятипролетной балки по-
стоянного сечения (рис. 13.13, а).
На рис. 13.13, б показан общий вид
эпюры моментов при расположении
груза Р=1 в первом пролете. Мо-
мент М3 легко может быть найден,
если известен опорный момент
определяемый по формуле (13.14).
Принимая последовательно различ-
ные значения а (например, а=0;
0,1; 0,2; ...; 1) и ₽=1—а (соответ-
ственно 1; 0,9; 0,8; ...; 0), получим
значения момента Mi при любом
расположении груза Р==1 в первом
пролете.
Исходя из зависимости (13.6) для
правого моментного фокусного от-
ношения определяем М2=—Мх/К'2,
М3=—М2/К'. Полученные значе-
ния опорного момента М3 являются
ординатами линии влияния в пер-
вом пролете.
Если груз находится во втором
пролете, для определения М3 доста-
точно знать опорный момент ко-
торый находится также по формуле
(13.14). Принимая различные зна-
187
Рис. 13.14
чения а, получим опорный момент
М2 для каждого положения нагруз-
ки Р=1 во втором пролете. По фор-
муле М3=—М2/К з определяются
ординаты линии влияния М3 во вто-
ром пролете.
Аналогичные процедуры выпол-
няются при расположении нагрузки
в третьем и четвертом пролетах
балки.
При расположении груза в пятом
пролете вначале необходимо по
формуле (13.13) определить момент
на четвертой опоре ТИ4, а затем с
а 0 0,1 0,2 0,3 0,4
р 1 0,9 0,8 0,7 0,6
оф (1 + а) 0 0,099 0,192 0,273 0,336
ар(1+р) 0 0,171 0,288 0,357 0,384
помощью левого моментного фокус-
ного отношения (формула (13.5))
момент М3. Поскольку /<5 = 00, то
Л14=----£-[а₽(1+₽)] и М,-----
Примерный вид линии влияния
опорного момента М3 изображен на
рис. 13.13, в.
При определении ординат линий
влияния опорных моментов можно
использовать следующие вспомога-
тельные данные:
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
0,375 0,384 0,357 0,288 0,171 0
0,375 0,336 0,273 0,192 0,049 0
188
Рис. 13.15
Линии влияния изгибающих мо-
ментов в пролете балки. Для нераз-
резной балки, изображенной на
рис. 13.14, а, требуется построить
линию влияния момента в сечении
С, расположенном в третьем проле-
те. Расстояния от второй (левой) и
третьей (правой) опор до сечения С
обозначим соответственно а и Ь.
Исходя из формулы (4.2), можно
записать:
л. в. Мс = л. в. Мс +
+ л. в. Л£2“7- + л. в. ТИз-у-.
*3 *3
На рис. 13.14, б показана приня-
тая основная система и линия влия-
ния М ° в однопролетной балке про-
летом Z3. На рис. 13.14, в, г приведен
общий вид линии влияния М2 и М3,
ординаты которых умножены соот-
ветственно на Ь/13 и а/13. Результи-
рующую линию влияния полу-
чим алгебраическим суммированием
ординат этих линий влияния (рис.
13.14, д). В третьем пролете орди-
наты линии влияния Мс равны ал-
гебраической сумме трех ординат, а
во всех остальных пролетах — двух.
Линии влияния поперечных сил и
опорных реакций. Поперечная сила
в любом сечении балки определяет-
ся по формуле (4.3), согласно кото-
рой
л. в. фс = л. в. Qc +
+ Л. в. Мп у----л. в. Мп-\ -J-.
*П In
Порядок построения линий влия-
ния поперечных сил такой же, как
189
Рис. 13.16
и линий влияния изгибающих мо-
ментов, и показан для сечения С
пятипролетной балки на рис. 13.15.
Опорные реакции в неразрезной
балке можно определить по форму-
ле (13.4), а ординаты их линий
влияния
л. в. Rn = л. в. Й+л. B.'Mi-l -7--
*п
—л. в. Мп (у- + —!—') +
\ 1п *П+1 /
+ Л. В. Mn+1 .
*П+1
Примерный вид линии влияния Яз
для рассмотренной выше балки при-
веден на рис. 13.16.
Построение линий влияния кине-
матическим методом. Линии влия-
ния усилий можно построить, ис-
пользуя эпюры вертикальных пере-
мещений (см. § 5.6). Для этого в
заданной системе следует удалить
ту связь, линию влияния усилия в
которой необходимо построить, и
затем изобразить эпюру вертикаль-
ных перемещений в полученной си-
стеме. Эта эпюра и будет моделью
искомой линии влияния.
Рассмотрим порядок построения
линий влияния опорной реакции на
опоре 2, изгибающего момента и по-
перечной силы в сечении С нераз-
резной балки, изображенной на рис.
13.17, а.
190
Рис. 13.17
Отбросим опорный стержень на
опоре 2 и заменим его действие на
балку силой При некотором ма-
лом перемещении 6я по направле-
нию этой силы ось балки примет
криволинейное очертание (рис. 13.17,
б).
Пусть сила Р=1 находится в чет-
вертом пролете. По направлению
этой силы перемещение балки со-
ставит 6р. Из уравнения работ для
деформированного состояния балки
R£r — Р$р= о
следует, что
= &p/$R •
Следовательно, эпюра вертикаль-
ных перемещений отражает измене-
ние опорной реакции в зависимости
от положения нагрузки. При 6д=1
эпюра вертикальных перемещений
будет одновременно и линией влия-
ния опорной реакции Rz.
Для построения линии влияния
изгибающего момента в сечении С
нужно ввести в нем сквозной шар-
нир и заменить действие отброшен-
ной связи двумя моментами, прило-
женными слева и справа от шарни-
ра (рис. 13.17, в). Угол поворота се-
чения слева от шарнира С обозна-
чим 6" а справа 6£р. Угол взаимного
поворота сечений, примыкающих к
шарниру С, 6м=6м+6мР- Составим
191
уравнение работ
АТсвЦ-Л/свУ — 1в„ = О,
откуда
^С = бр/(6м+6^)=6р/6,
а при 6М = 1 Мс = 6Р.
Чтобы построить линию влияния
поперечной силы в сечении'С, уда-
лим в этом сечении связь, препятст-
вующую взаимному вертикальному
смещению сечений, примыкающих к
шарниру (см. рис. 13.17, г). Пусть
произошло взаимное смещение этих
сечений на 6=1. По аналогии с пре-
дыдущим случаем имеем:
Qc&q + QcSq*- 16р = 0;
Qc == Sp/&Q = 8р.
Общий вид линий влияния изги-
бающего момента и поперечной си-
лы в сечении балки С показан на
рис. 13.17, в, г.
Глава 14
СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ АРКИ
14.1. ХАРАКТЕРИСТИКА СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ АРОК.
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ РАСЧЕТА
Статически неопределимые арки
в отличие от статически определи-
мых содержат избыточные (лиш-
ние) связи, усилия в которых не
могут быть найдены с помощью
уравнений статического равнове-
сия.
В зависимости от количества лиш-
них связей (степени статической
неопределимости) различают сле-
дующие основные виды статически
неопределимых арок: одношарнир-
ные (рис. 14.1, а), характеризую-
щиеся наличием одного, как прави-
ло, ключевого шарнира и содержа-
щие две лишние связи; двухшар-
нирные (рис. 14.1, б), содержащие
два, как правило, опорных (пято-
вых) шарнира и имеющие одну
лишнюю связь; бесшарнирные
(рис. 14.1, в), представляющие собой
трижды статически неопределимый
замкнутый бесшарнирный контур.
Статически неопределимые арки,
так же как и статически определи-
мые, могут быть с затяжками (рис.
14.2, а), с затяжками и подвесками
(рис. 14.2, б—г), а также с надароч-
ным строением (рис. 14.2, д).
Двухшарнирные арки выполня-
ются из различных материалов (ме-
талл, железобетон, дерево) и ис-
пользуются чаще в мостовом строи-
тельстве и для перекрытия больших
пролетов зрелищных залов, ангаров,
спортивных сооружений и др. Бес-
шарнирные арки в основном выпол-
няются из железобетона и приме-
няются в мостовом, а также гидро-
техническом (арочные плотины)
строительстве.
Расчет статически неопределимых
арок осуществляется, как правило,
методом сил. Так как распределе-
ние усилий в арке зависит от гео-
метрических характеристик попе-
речных сечений и очертания ее оси,
то сначала устанавливается (на-
значается) закон изменения площа-
ди и момента инерции поперечных
сечений арки, а также задается
уравнение кривой, по которой очер-
чивается ее ось. Выбор этих харак-
теристик определяется рядом тех-
нико-экономических требований: ми-
нимальный расход материалов;
снижение стоимости сооружения;
технологичность конструкций; эсте-
тические качества их и т. д.
192
Ось арки может быть очерчена по
дуге окружности или эллипса и дру-
гим кривым. К числу наиболее рас-
пространенных относятся арки, ось
которых очерчена по квадратной
параболе.
Наиболее простой закон измене-
ния момента инерции поперечных
сечений следующий:
для двухшарнирной арки
7 = 70созлф; (14.1)
для бесшарнирной
7 = 70/созлф, (14.2)
где 70 — момент инерции ключевого
сечения арки; ф — угол наклона ка-
сательной оси арки в рассматривае-
мом сечении к горизонтали; п —
число, принимаемое из ряда простых
чисел. При п=0 7=70=const. Из
зависимостей (14.1) и (14.2) можно
получить и законы изменения пло-
щади поперечных сечений арки F.
При определении перемещений в
арках следует учитывать, что сте-
пень влияния на них продольных и
поперечных сил зависит от ряда
факторов, в частности от вида арки
(в бесшарнирной арке она, как пра-
вило, больше, чем в двухшарнир-
ной) ; от вида действующей нагрузки
и таких геометрических параметров
арки, как отношение стрелы подъ-
ема к пролету (f/l), отношение вы-
соты поперечного сечения в ключе
арки к пролету (h/l), очертание
оси арки. В общем случае часто
учитывают влияние всех силовых
факторов. При выполнении прибли-
Ж
Рис. 14.2
193
женных расчетов влиянием продоль-
ных и поперечных сил можно пре-
небречь, если соблюдаются условия:
для двухшарнирной арки
для бесшарнирной
арки h^.l/30. Но это воз-
можно лишь в том случае, если при
рассматриваемом загружении ось
арки не является рациональной или
близкой к ней.
14.2. ДВУХШАРНИРНЫЕ АРКИ
Расчет на неподвижную нагрузку.
Рассмотрим симметричную двух-
шарнирную арку с затяжкой
(рис. 14.3, а). Данная арка являет-
ся однократно статически неопре-
делимой, и каноническое уравнение
метода сил имеет вид
61Л + Д1Р = О. (14.3)
За лишнее неизвестное удобно
принять усилие в затяжке Х\ = Н
(распор). Из уравнения (14.3) сле-
дует, что
X, = И = — -Ф2-- (14.4)
Оц
Для определения перемещения 6ц
рассчитаем основную систему (рис.
14.3, б) на действие силы Xi=l.
Проводим разрез через произволь-
ное сечение k и, рассматривая рав-
новесие левой отсеченной части ар-
ки (рис. 14.3, в), из уравнений ста-
тики получаем:
Mhl = — yk; Nhl = — cos фй;
Qki = — sin<pA. (14.5)
Эпюры Mlt Nlf Qi изображены на>
рис. 14.3, г. Усилие в затяжке равно
действующей силе: N3= 1 (рис. 14.3, д):
Рассчитывая основную систему на
действие внешней нагрузки (рис;
14.4, а), из тех же уравнений ста-
тики получаем:
Mhp = Ml, yftp = -Qbinq)ft;
= cos <pfe, (14.6)
где QX — изгибающий момент и
поперечная сила в соответствующем
сечении простой балки.
Усилие в перерезанной затяжке
от внешней нагрузки равно нулю.
Эпюры усилий Мр, Np, QP изобра-
жены на рис. 14.4, б.
При использовании формул (14.5),
(14.6) следует учитывать знаки три-
гонометрических функций. Для се-
чений левой полуарки sinqp, cosqp
положительны, для сечений правой
полуарки cosq) положителен, a sincp
отрицателен.
Перемещения определяются по
формуле Мора (см. § 10.9):
Е1<£п = J У2 -yds + f cos2 ф -у ds +
о о
+ fsin4^ds + -^H;(14.7)
•J иг £з~з
Е/0Д1р = -2 у№-Ь-ds +
о
s ', •
+ 2 f sin ф cos ф* ds —
0 *
— 2 f рф°5тфсо5ф —^-ds. (14.8)
J GF
о
Непосредственное интегрирование
слагаемых, входящих в выражения
(14.7) и (14.8), возможно лишь в
частных случаях, когда они приво-
дятся к табличным интегралам.
В приближенных расчетах можно
пользоваться правилом перемноже-
194
ния эпюр (см. § 10.12). При этом
ось арки заменяется ломаной лини-
ей и р пределах каждого её участка
перемножаемые эпюры считаются
линейными. В большинстве случаев
используются приближенные мето-
ды вычисления интеграла, напри-
мер численные. Для этого арка раз-
бивается на достаточно большое
число одинаковых в горизонтальной
проекции участков (12—18). Все
переменные параметры, входящие в
выражения под интегралами, счита-
ются постоянными на протяжении
каждого участка и равными их зна-
чениям в его середине.
Если арка без затяжки (см. рис.
14.1, б), за лишнее неизвестное при-
нимается распор арки Х\ = Н. Он
определяется так же, как и усилие в
затяжке, но в выражении (14.7) не
будет последнего слагаемого, отра-
жающего влияние деформации за-
тяжки на перемещение бц. Как сле-
дует из выражений (14.4), (14.7),
(14.8), распор в арке без затяжки
больше, чем усилие в затяжке ана-
логичной арки.
Для выявления зависимости уси-
лия в затяжке от ее жесткости за-
пишем выражение (14.4) с учетом
(14.7) и (14.8) в виде
X, = Н =-----—--------, (14.9)
В + СЦЕ3Е„) ' ’
где А, В, С — постоянные величины.
Из формулы (14.9) вытекает, что
при изменении жесткости затяжки
от нуля до беспонечности усилие в
затяжке меняется от нуля до конеч-
ного значения Н=А/В, равного
распору аналогичной арки без за-
тяжки.
После определения распора рас-
чет двухшарнирной арки ничем'не
отличается от расчета статически
определимой трехшарнирной арки
(см. § 6.3). Согласно принципу не-
|нп11111^пт11111П111шИ
Рис. 14.3
зависимости действия сил, с учетом
выражений_(14.5) и (14.6):
М = Мр + МД = М° — Ну,
Q = QP + QiX1 =
= Q° cos ф — Н sin ф;
(14.10)
N = Np + ХЛ =
= — (Q° sin ф + H cos ф).
195
Рис. 14.4
Общий вид эпюр окончательных
усилий для арки с затяжкой (см.
рис. 14.3, а) показан на рис. 14.4, в.
Линии влияния усилий. Построе-
ние линии влияния распора или
усилия в затяжке статическим ме-
тодом осуществляется на основе
зависимости (14.4), которую можно
представить в виде
____ EI^tp
EI 06ц
где EIq&ip — переменная величина,
зависящая от положения на арке
Рис. 14.5
груза Р=1 и определяемая по за-
висимости (14.8); f/обц — постоян-
ная величина, определяемая по фор-
муле (14.7).
Количество фиксированных поло-
жений груза Р= 1 равно числу иско-
мых ординат линии влияния. Линия
влияния Н для арки без затяжки
изображена на рис. 14.5, б.
Для определения ординат линий
влияния усилий в любом сечении
арки необходимо, кроме линии влия-
ния Я, иметь линии влияния
тех же усилий в простой балке,
построение которых было рассмот-
рено в § 5.4. Общий вид линий влия-
ния усилий в произвольном сечении
k арки приведен на рис. 14.5, а.
Определение расчетных положе-
ний подвижной нагрузки выполня-
ется так же, как и для статически
определимых систем (см. гл. 5).
196
14.3. РАСЧЕТ БЕСШАРНИРНОЙ АРКИ
НА НЕПОДВИЖНУЮ НАГРУЗКУ
Канонические уравнения метода
сил для бесшарнирной арки (рис.
14.6, а) имеют вид:
6цХх+6i2X2+613X3+Д1 р=0;
621X1+622X2 + 623X3+Д 2 р=0;
6з1Хх-|-632X2+633X3+Дзр=0.
(14.И)
При использовании средств малой
вычислительной техники важным
является выбор такой основной си-
стемы, при которой все побочные
коэффициенты в уравнениях обра-
щаются в нуль. Два варианта ра-
циональной основной системы по-
казаны на рис. 14.6, б, в. Положе-
ние упругого центра (точки С) на-
ходится из условия обращения в
нуль побочных коэффициентов в
уравнениях (14.11).
В основной системе, представлен-
ной на рис. 14.6, б, с целью получе-
ния симметричных и кососимметрич-
ных эпюр от единичных неизвестных
разрез арки и постановку абсолют-
но жестких консолей осуществим
по оси ее симметрии. Основные не-
известные сосредоточены в упругом
центре.
Чтобы определить перемещения,
входящие в систему канонических
уравнений (14.11), найдем усилия
в основной системе от действия
каждого единичного неизвестного.
В произвольном сечении k сила
Xi=l (рис. 14.7, а) вызывает уси-
лия:
Mhl = xk-t Qfti=cos<pft;
Xftl = sin<pft, (14.12)
Рис. 14.7
197
Рис. 14.9
эпюры их в арке изображены на
рис. 14.7, б.
От действия сил Х2=1 (рис.
14.8, а):
Mft2 = — Уъ, Qk2 = sin (pft;
#ft2 = —cos<pft, (14.13)
а соответствующие эпюры показаны
на рис. 14.8, б.
От действия моментов Лз=1
(рис. 14.9, а) :
Мм = -1- &з = 0; Nk3= 0. (14.14)
Эпюра моментов изображена на
рис. 14.9, б.
Эпюры усилий в основной систе-
ме от действия внешней нагрузки
(рис. 14.10, а) показаны на рис.
14.10, б.
Анализ эпюр показывает, что
613=631 = 0 и 612=621=0, так как они
находятся перемножением симмет-
ричных эпюр на кососимметричные.
Последний побочный коэффи-
циент
623 = S32 = J MiMtdsKEI) (14.15)
о
может быть положительным, отри-
цательным, равным нулю в зависи-
мости от длины жестких консолей.
Следовательно, целесообразно при-
нимать в расчете такую длину кон-
солей ус, при 'которой удовлетворя-
ется условие ‘
623 = f = (14.16)
о ы
или £70623 = J — Af2A43ds = 0.
о
Из рис. 14.11 следует, что ордина-
та любой точки на оси арки
У = Ус — У1. (14.17)
Тогда с учетом выражений
(14.12) — (14.14), (14.17) условие
(14.16) принимает вид
( -~(Ус — yi)ds =
О
= 2f° A(yc-y1)ds = o,
А '
откуда
Ус = IVi-j-ds / J Ads, (14.18)
198
где у\ — ординаты точек на оси
арки в системе координатных осей
Х1ЙУ1.
Таким образом, при выбранной
основной системе (см. рис. 14.6, б),
в которой длина жестких консо-
лей определена по формуле (14.18),
все побочные коэффициенты кано-
нических уравнений (14.11) обра-
щаются в нуль и
*! = -Х,= — -Alt;
6ц 622
х3=-4£- <1419)
Озз
Основные коэффициенты и свобод-
ные члены, входящие в выражения
(14.19), определяются по формуле
Мора. С учетом выражений (4.12) —
(4.14) формулы для определения
этих перемещений принимают вид:
EIAi= +
о 7
+ Г — sin?q>d$4-
0 F
+ f -7—P-cos2<pds;
J GF
0
= If.ds +
0
+ f — cos2 <pds +
+ f -^-l*sinMs:
£/„633 = f ±ds.
Рис. 14.10
(14.20)
Рис. 14.11
199
EZ0Alp = Ej-yxMp^ +
o
s
+ 2 J ~ Xpsincprfs +
о
+ 2 Jgf HQpCosf’ds;
0
£7qA2P = J j yMpdS
0
s z
— 2 J Np cos q>ds +
о
s E
+ 2 J-^7 HQpsin<Pds>
0
S J
ЕЦ&зр = — 2 J j Mpds.
о *
(14.21)
При расчете необходимо учиты-
вать, что coscp положителен для всех
сечений арки, sin<p положителен для
сечений правой полуарки и отрица-
телен для сечений левой полуарки.
Вычисление интегралов, входя-
щих в выражения (14.20) и (14.21),
осуществляется так же, как и при
определении перемещений в двух-
шарнирных арках: в частных слу-
чаях непосредственным интегриро-
ванием, в большинстве практических
случаев — численным суммирова-
нием конечного числа слагаемых.
После определения по формулам
(14.19) основных неизвестных на
основе принципа независимости дей-
ствия сил находятся усилия в лю-
бом сечении арки. Для сечения k,
например:
= Afftp -|- xkXr — УьХ2 — Х3;
Qk = QhP + cos фЛ + sin фйХ2;
Nk = Nhp + sin — cos <pftX2.
Для рассмотренной выше арки,
показанной на рис. 14.6, а, вид эпюр
окончательных усилий представлен
на рис. 14.10, в.
Проверка расчета та же, что и
для статически неопределимых рам
(см. гл. 12). В связи с особенностя-
ми структуры арок и малым количе-
ством коэффициентов и свободных
членов канонических уравнений для
них, как правило, выполняется лишь
кинематическая проверка.
При использовании средств ма-
лой вычислительной техники расчет
статически неопределимых арок
удобно выполнять в табличной фор-
ме.
Глава 15
СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ ФЕРМЫ
И КОМБИНИРОВАННЫЕ
СИСТЕМЫ
15.1. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ
Общие положения. Статически не-
определимые фермы содержат из-
быточные (лишние) связи, усилия в
которых невозможно определить с
помощью уравнений статического
равновесия. При этом избыточным
может быть либо число стержней не-
посредственно фермы, либо ее опор-
ных закреплений. Лишние связи в
узловых соединениях реальных
ферм, как правило, не учитываются,
так как в качестве расчетной модели
статически неопределимых ферм,
так же как и статически определи-
мых, используется шарнирно-стерж-
200
невая система. Однако в случаях,
когда жесткостью узлов нельзя пре-
небрегать, рассматривается другой
класс конструкций — рамы или ком-
бинированные системы.
Статически неопределимые фер-
мы обладают достоинствами, прису-
щими всему классу ферм (работа
элементов на центральное сжатие
или растяжение), и благодаря доста-
точной простоте их изготовления и
монтажа получили широкое распро-
странение в различных областях
строительства.
На рис. 15.1 изображены расчет-
ные схемы некоторых ферм: а —
двухпролетной стропильной; б —
трехпролетной неразрезной мостово-
го типа; в — двухрешетчатой со
стойками и параллельными поясами;
г — со шпренгелем; д — фермы-
мачты.
Степень статической неопредели-
мости ферм определяется по форму-
ле (1.10).
Для рассмотренных ферм степень
статической неопределимости приве-
дена на рисунке.
Расчет статически неопределимых
ферм, как правило, производится
методом сил.
Расчет ферм с одной лишней
связью на неподвижную нагрузку.
Предполагается, что известны жест-
кости EF элементов фермы и нужно
найти усилия в них. Для фермы, изо-
браженной на рис. 15.1, г, основную
систему выбираем, разрезая один из
условно необходимых стержней, на-
пример стержень АВ, и приклады-
вая в сечении стержня неизвестное
усилие (рис. 15.2). Каноническое
уравнение метода сил имеет вид
бцХ1 + Д1р = 0.
Рассчитываем основную систему
как статически определимую ферму
на действие внешней нагрузки и си-
лы А\=1. В результате находим
усилия Np во всех стержнях основ-
ной системы от заданной нагрузки и
усилия от Xi = l. Затем вычисля-
ем перемещения:
_ _ N\s
611 = 2 ~Hf
* zNpN1S
21 EF
где s — длина каждого стержня,
и находим
v Д1Р
Х1 би “
n*s
2 EF ^2 EF *
Если все стержни выполнены из
одного материала, модуль упругости
Е выносится за знак сумм и сокра-
щается. Окончательные усилия в
элементах ферм определяются по
зависимости N=Np-\-NiXi.
После этого выполняется дефор-
мационная (кинематическая) про-
верка
Все вычисления удобно вести в таб-
личной форме (табл. 15.1).
Выбор основной системы при рас-
чете сложных ферм. В случае мно-
гократной статической неопредели-
мости фермы при ее расчете мето-
дом сил приходится решать систему
канонических уравнений. При выбо-
ре рациональной основной системы
могут быть использованы те же спо-
собы, которые изложены выше при-
менительно к рамным конструкциям:
использование симметрии системы;
преобразование нагрузки; группи-
ровка неизвестных.
Проиллюстрируем выбор основ-
ной системы для симметричной фер-
201
Рис. 15.1
мы, изображенной на рис. 15.3, а.
Ферма содержит четыре лишние свя-
зи, причем все эти связи условно
необходимы. Поэтому основную си-
стему можно получать, разрезая
любые четыре стержня, но в такой
комбинации, при которой обеспечи-
вается геометрическая неизменяе-
мость ее отдельных частей.
Разрежем, например, четыре сим-
метричные стойки (рис. 15.3, б). Ра-
ботающие стержни при действии
А*=1 (i=l,2) изображены жирны-
ми линиями. Анализ работы этой ос-
новной системы при действии всех
Х|=1 (i=l, ..., 4) показывает, что
ни один из побочных коэффициен-
тов канонических уравнений не об-
ращается в нуль.
Во втором варианте основной сис-
темы разрезаны четыре поясных
стержня (рис. 15.3, г). Жирными ли-
ниями изображены стержни, рабо-
тающие при действии Х<=1, i=l, 3.
Поскольку распределение усилий
при действии Xi=l, i=l, ..., 4 имеет
локальный характер (в пределах од-
ной панели), матрица коэффициен-
тов при неизвестных канонических
уравнений имеет вид
$11 $12 । О О
g __ $21 $22 $23 О
О $32 $88 $34
О 0 643 $44
Рис. 15.2
Система уравнений будет неполной,
однако совместной. Следовательно,
второй вариант основной системы
более рационален.
Симметричная ферма, изображен-
ная на рис. 15.4, а, имеет три лиш-
ние связи. В данном случае можно
выбрать симметричную основную
систему с расположением всех неиз-
вестных по оси симметрии фермы
(рис. 15.4, б). При этом распределе-
ние усилий от Xj = l, Х3= 1 будет
симметричным, а от Х2=1 — косо-
симметричным. Следовательно, мат-
рица коэффициентов при неизвест-
ных имеет вид
6 =
$н
О
_ $81
О
$22
О
$13
О
$33
и система уравнений метода сил бу-
дет включать систему из двух урав-
нений с симметричными неизвестны-
ми Xlf Х3 и одно уравнение с косо-
симметричным неизвестным Х2.
При расчете статически неопреде-
лимых ферм с использованием ЭВМ
Таблица 15.1
Номер стержня Ni Np, кН о s м, • м 1 1 F (кНм-1) tf=.Vp + 4-2V1X», кН NNt — F

Si = S2 £Дгр
203
S3 = 0
Рис. 15.3
выбор основной системы предопре-
делен в силу универсальности про-
грамм для всего класса рассматри-
ваемых конструкций.
Построение линий влияния усилий.
При определении усилий в стержнях
статически неопределимых ферм от
подвижной нагрузки, а также ее рас-
четного (наиболее невыгодного) по-
ложения используются линии влия-
ния. Построение их, как правило,
осуществляется статическим мето-
дом. Предварительно строятся ли-
нии влияния лишних неизвестных, а
затем линии влияния усилий в
стержнях.
Рассмотрим двухпролетную сим-
метричную балочную мостовую фер-
му с нижним грузовым поясом (рис.
15.5, а). Основную систему получа-
ем путем отбрасывания промежуточ-
ной опорной связи (рис. 15.5, б).
При любом положении единично-
го сосредоточенного груза основное
неизвестное определяется из канони-
ческого уравнения метода сил по
формуле (15.1).
Для построения линии влияния X!
необходимо располагать груз Р=1
поочередно во всех узлах грузового
пояса, при каждом положении груза
рассчитывать ферму и определять
61р (бц постоянно). Процесс этот
трудоемкий, так как приходится по-
вторять расчет основной системы
столько раз, сколько узлов в грузо-
вом поясе, за исключением опорных.
При построении линии влияния
можно использовать теорему о вза-
имности перемещений. Тогда
Xi = -6pi/6n, (15.2)
где 6Р1— прогиб точки приложения
груза Р=1 от неподвижной силы
Х1=1.
Так как бц— постоянная величи-
на, то из равенства (15.2) следует,
что для получения ординат линии
влияния Хг необходимо ординаты
графика прогибов узлов грузового
пояса разделить на бц (рис. 15.5, в).
204
Линия влияния любого усилия по-
лучается в результате алгебраиче-
ского сложения ординат линии влия-
ния этого усилия в основной системе
(статически определимой ферме) и
ординат л. в. Xi, умноженных на по-
стоянный множитель—усилие в рас-
сматриваемом стержне от Xi=l.
Построенные таким образом л. в.
Ni и N2 изображены на рис. 15.5,
г, д.
Расчет статически неопределимых
ферм в матричной форме. Расчет
статически неопределимых ферм мо-
жет быть основан на использовании
матриц влияния продольных усилий,
элементы которых определяются в
скалярной форме из уравнений рав-
новесия для статически определимых
систем. Такой расчет включает все
элементы метода сил (определение
количества лишних связей, выбор и
расчет основной системы, определе-
ние окончательных усилий в элемен-
тах системы) и предполагает ис-
пользование стандартных программ
для реализации матричных операций
на ЭВМ.
Порядок и особенности составле-
ния исходных матриц покажем на
примере шарнирно-стержневой сис-
темы, изображенной на рис. 15.6, а.
Формируется диагональная матри-
ца податливости элементов, элемен-
тами которой являются абсолютные
продольные деформации элементов
от единичных сил:
Рис. 15.4
Исходными являются также мат-
рица продольных усилий в стерж-
нях основной системы от внешней
нагрузки (от единичных внешних
сил) Np и от лишних неизвестных
(от единичных^ неизвестных) Nx.
В матрице Np число строк соот-
ветствует числу стержней фермы, а
число столбцов — числу внешних
сил одного загружения. Если в од-
ном и том же узле в различных за-
гружениях приложены силы разных
направлений, то по направлению
каждой из них прикладывается еди-
ничная сила. Для основной системы
0 0 0 0 0
0 s2/(£F2) 0 0 0 0
0 0 М^8) 0 0 0
D = 0 0 0 sd(EFb) 0 0
0 0 0 0 s5/(EF5) 0
0 0 0 0 0 s</(EF6)
205
Рис. 15.5
рассматриваемой фермы (рис. 15.6, Первый столбец включает усилия
б) (Nil) во всех стержнях от Pi=l
лгп лг12 ~ 0 0 “
ЛГ21 ЛГ22 ^21 0
^3i N92 0 n32
= лг41 0
#51 Д2 0 0
_ A^ei М>2_ 0 n92
206
(рис. 15.6, в), а Второй — от Р2=1
(рис. 15.6, г).
В матрице Nx число строк соот-
ветствует также числу стержней, а
число столбцов — числу лишних не-
известных. Для рассматриваемой
конструкции
#11 #12
#21
#81 #82
#41 #42
#51 #52
#61 #62
#н О
#21 #22
О #32
#41 #42
О #52
О
Здесь #и — усилия в стержнях от
%i = l (рис. 15.6, д), а #<2— усилия
от Х2= 1 (рис. 15.6, е).
Матрица Р внешних сил, число
строк которой равно количеству сил
в каждом загружении, а число
столбцов — числу загружений, в
данном случае имеет вид
Г Pi
о
р11
Р11 О
Р21 Р22
Вначале расчет ведется на еди-
ничные внешние силы и определяет-
ся соответствующая матрица неиз-
вестных усилий X. Предварительно
находятся матрицы единичных пере-
207
мещений 6 и А, входящие в систему
канонических уравнений метода сил
6Х4-Д = 0, (15.3)
т. е.
6 = ^1)^; & = NXDNP.
Решение матричного уравнения
(15.3) можно представить в виде
X = — (Nx DN х)~*Хтх DN р. (15.4)
Матрица окончательных усилий в
стержнях от единичных внешних сил
N = ~NP - Nx (NXDNX)~^NXDNP.
Деформационная проверка сводится
к проверке условия
(DNxfN = 0.
Окончательные усилия в стержнях
фермы от полных значений внешних
сил всех загружений
N=NP,
где N — матрица влияния продоль-
ных усилий в стержнях от единич-
ных внешних нагрузок для задан-
ной статически неопределимой си-
стемы.
15.2. РАСЧЕТ КОМБИНИРОВАННЫХ
СИСТЕМ
Комбинированные системы рас-
сматривались в § 8.2. Особенностью
статически неопределимых комбини-
рованных систем является наличие у
них лишних связей. Степень стати-
ческой неопределимости комбиниро-
ванных систем определяется по фор-
муле (1.4).
На рис. 15.7 изображены расчет-
ные схемы двух систем. Первая (рис.
15.7, а) представляет сочетание трех-
пролетной арки с двумя балками,
соединенных посредством шарнир-
ных стоек. Шарнирно-неподвижно
верхняя балка соединяется с аркой
лишь в центре системы. Одна из ба-
лок играет и роль затяжки. Эта сис-
тема 29 раз статически неопредели-
ма. Вторая (рис. 15.7, б) — семи-
кратно статически неопределимая
решетчатая комбинированная систе-
ма.
Расчет статически неопределимых
комбинированных систем методом
сил на неподвижную нагрузку прин-
ципиально не отличается от расчета
других конструкций. Особенностью
его является то, что в зависимости
от условий работы элемента (цент-
ральное растяжение или сжатие, из-
гиб, растяжение или сжатие с изги-
бом) при определении перемещений
учитываются соответствующие сла-
гаемые формулы Мора.
Проиллюстрируем порядок и осо-
бенности расчета на примере шпрен-
гельной балки с одной лишней
связью (рис. 15.8, а). Изгибную
Е010 и продольную EqFq жесткости
балки, а также продольные жестко-
сти EF остальных элементов счита-
ем известными.
Основную систему получаем пу-
тем разрезания затяжки (рис. 15.8,
б). Для определения неизвестного
используем метод сил. Рассчиты-
ваем основную систему отдельно на
действие внешней нагрузки и силы
Х1=1. От внешней нагрузки усилия
возникают лишь в балке, работаю-
щей на изгиб (рис. 15.8, в). Про-
дольные усилия во всех элементах
NP=Q. При действии Xi = l возни-
кают изгибающие моменты в балке
(All) и продольные усилия в балке
208
Noi и элементах шпренгеля Nu. Со-
ответствующие эпюры изображены
на рис. 15.8, г. Влиянием попереч-
ных сил в балке на перемещения
можно пренебречь.
Перемещения и в уравне-
нии (15.1) определяются по формуле
Мора:
р ~M\ds AW
611 = 2 J ад + E0F0 +
мостям:
М = Мр + М1Х1,
N = NtX.
Поперечные силы в балке нахо-
дятся по эпюре моментов в ней.
Окончательные эпюры усилий в рас-
сматриваемой системе изображены
на рис. 15.8, д.
Достаточна деформационная про-
верка расчета, т. е. проверка условия
v (• MMrfs ( Xi/
2 J “ад н "адГ +
MpMvds
EqI о
Окончательные усилия во всех
элементах определяются по зависи-
14. Зак. 1840
209
8SI
Глава 16
РАСЧЕТ РАМ МЕТОДОМ
ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
16.1. СУЩНОСТЬ МЕТОДА
ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Общие положения. Метод переме-
щений (деформаций) широко ис-
пользуется для расчета сложных
рамных каркасов, ферм с жесткими
узлами и многих других статически
неопределимых систем. Он применя-
ется при решении задач устойчивос-
ти и динамики сооружений, явился
основой для разработки многих при-
ближенных способов расчета стати-
чески неопределимых систем. Основ-
ные положения метода перемещений
использованы в быстро развиваю-
щемся методе конечных элементов.
В методе сил в качестве основных
неизвестных принимаются усилия в
лишних связях и для отыскания этих
усилий используются уравнения со-
вместности деформаций. В методе
перемещений основными неизвест-
ными являются перемещения и отыс-
киваются они с помощью уравнений
равновесия.
В настоящее время метод пере-
мещений применяется в разверну-
той и канонической формах. Ниже
этот метод излагается в канониче-
ской форме, которая способствует
лучшему усвоению его сущности.
Степень кинематической неопреде-
лимости рамы. При расчете рам учи-
тывают лишь деформации изгиба,
при этом считается, что хорды, со-
единяющие концы стержней после
деформации, равны первоначальной
длине этих стержней.
Учитывая это, установим, какую
подвижность могут иметь узлы рамы
под действием внешней нагрузки.
Например, в узлах 1, 2, 3 рамы, по-
казанной на рис. 16.1, стержни жест-
ко связаны между собой, и изгиб
среднего ригеля неизбежно повле-
чет за собой изгиб остальных стерж-
ней рамы. В каждом из узлов каса-
тельные к упругим линиям стержней
повернутся на один и тот же угол
(на рисунке углы поворота обозна-
чены соответственно буквой), кото-
рый называется углом поворота уз-
ла. Степень угловой подвижности
рамы % или какой-либо другой сис-
темы равна числу жестких узлов.
Например, для рассматриваемой ра-
мы Лу=3.
Узлы рамы могут перемещаться
также линейно. В раме, приведенной
..на рис. 16.1, узлы 1, 2 и 3 перемес-
титься по вертикали не могут, так
как стержни приняты нерастяжимы-
ми. В горизонтальном направлении
расстояния между узлами 1, 2 и 2,3
также останутся постоянными на ос-
новании принятых ограничений. Пе-
ремещение по горизонтали рамы в
целом за счет изгиба стоек невоз-
можно. Этому препятствует горизон-
тальный опорный стержень на край-
ней правой опоре. Значит, в данном
случае рама не имеет линейной по-
движности узлов.
Рассмотрим раму, изображенную
на рис. 16.2, а. Под действием на-
грузки ее узлы 1, 2, 3 по вертикали
переместиться не смогут, так как это-
му препятствуют стойки рамы. Одна-
ко стойки могут изогнуться, и рама
в целом сместится по горизонтали на
-А. При этом все узлы рамы сместят-
ся на ту же величину. Узлы рамы 1,
2, 3 займут соответственно новое по-
ложение 1', 2', 3'. В результате хор-
ды А — 1', В — 2' и С — 3' составят
с первоначальными упругими линия-
ми стоек некоторый угол ф. Для оп-
ределения линейных перемещений
узлов рамы можно воспользоваться
14*
211
ее шарнирной схемой (рис. 16.2, б).
Число степеней свободы полученно-
го механизма равно числу линейных
перемещений узлов рамы пл=ЗД—
—2Ш—Соп=3 • 5—2 • 4—6 = 1. Для
устранения этого перемещения до-
статочно поставить дополнительный
опорный стержень (рис. 16.2, в).
Шарнирная схема и смещения уз-
лов рамы, представленной на рис.
16.3, а, показаны на рис. 16.3, б.
Число степеней свободы механизма
пл=3-6—2-5—6=2. Стержни 1, 2
обеспечивают линейную неподвиж-
ность узлов (рис. 16.3, в).
Степень упругой подвижности уз-
лов рамы п=пУ4-пл, включающую
количество независимых угловых и
линейных перемещений всех узлов,
называют степенью кинематической
неопределимости системы.
Для рамы, изображенной на рис.
16.2, п=3+1=4, а на рис. 16.3 —
л = 3+2=5.
Канонические уравнения метода
перемещений. В методе перемещений
за основные неизвестные принима-
ются углы поворота и независимые
линейные перемещения узлов. Зная
эти перемещения, можно найти необ-
ходимые усилия в элементах систе-
мы.
Рама, показанная на рис. 16.4, а,
содержит четыре лишние связи. Для
расчета ее по методу сил нужно ре-
шить систему уравнений с четырьмя
неизвестными. По методу перемеще-
ний необходимо найти только одно
неизвестное — угол поворота узла 1.
Определив его, можно построить
эпюру моментов, а затем эпюры по-
перечных и продольных сил во всех
элементах рамы.
В процессе расчета методом пере-
мещений пользуются основной систе-
мой, которая получается путем вве-
дения дополнительных связей, пре-
пятствующих возможным перемеще-
ниям узлов рамы. Эта основная сис-
тема статически неопределима. Бо-
лее того, дополнительные связи уве-
личивают степень статической неоп-
ределимости заданной системы.
Если ввести защемление в узле 1
(рис. 16.4, б), рама будет состоять
из ряда самостоятельных статически
неопределимых элементов — одно-
пролетных балок с определенными
опорными закреплениями. Будем
иметь в виду, что защемление в узле
1 не эквивалентно защемляющей
неподвижной опоре. Оно препятству-
ет только повороту узла, но не ли-
шает его возможности перемещаться
линейно.
От заданной нагрузки изогнется
212
только левый ригель рамы основной
системы, а два других стержня оста-
нутся прямолинейными. Эпюра из-
гибающих моментов в основной сис-
теме показана на рис. 16.4, в. Возни-
кающий в защемлении узла 1 реак-
тивный момент обозначим Rlp, где
первый индекс указывает место воз-
никновения усилия, а второй — фак-
тор, вызывающий появление этого
усилия. Запись RiP читается так: ре-
активный момент в дополнительно
поставленной связи 1, вызванный
внешней нагрузкой.
В заданной раме защемления в
узле / нет, и сосредоточенный мо-
мент к этому узлу не приложен. Ес-
ли поворачивать защемляющую
связь вместе с узлом 1, реактивный
момент будет изменяться. Нужно
подобрать угол поворота так, чтобы
в дополнительно поставленном за-
щемлении суммарный реактивный
момент был равен нулю. Это усло-
вие эквивалентно отсутствию за-
щемляющей связи в узле 1 заданной
системы.
Для определения угла поворота
освободим раму от внешней нагруз-
ки и повернем узел 1 на угол Zi — 1
(рис. 16.4,г). Стержни рамы изогнут-
ся, и в их сечениях возникнут изги-
бающие моменты (рис. 16.4, д).
В защемлении узла появится реак-
тивный момент Гц (первый индекс
указывает номер связи, а второй —
фактор, вызывающий появление ре-
активного момента—поворот узла 1
на угол, равный единице). Если Zj
отличен от нуля, реактивный момент
будет rnZi.
Суммарный реактивный момент в
дополнительной защемляющей свя-
зи от действия нагрузки и поворота
узла
fiA + ^p-O. (16.1)
а
Рис. 16.2
Из уравнения (16.1) находим Zb
Умножив ординаты единичной эпю-
ры Mi (рис. 16.4, д) на Zj, получим
окончательную эпюру изгибающих
моментов для заданной рамы (рис.
16.4, е): M^Mp+MiZi.
В дальнейшем все неизвестные по
методу перемещений будем обозна-
чать Z.
В общем случае при степени ки-
нематической неопределимости сис-
темы п требуется составить и решить
систему канонических уравнений с
п неизвестными:
213
a
Рис. 16.3
r 11^1 4"г 12^2 + г 18Z3 4- • • •
• • • 4- 4- Rip = 0;
r 21^1 4" Г22^2 4- Г28^3 4" • • •
• • • 4" r2n^n 4" R%p~ 0;
r^l 4“ ^32^2 4“ ^33^3 4“ • • •
• • • 4- r3nZn 4- Rsp = 0;
ГnlA 4- f n2^2 4" f n3^3 4“ • • •
• • • + rnn%n 4- Rnp = 0-
(16.2)
Коэффициенты при неизвестных в
этих уравнениях обладают тем же
свойством, что и при неизвестных
канонических уравнений метода сил:
коэффициенты n-j, расположенные на
главной диагонали, положительны и
не равны нулю; побочные коэффи-
циенты обладают свойством взаим-
ности, т. е. rik=rhi (теорему о вза-
имности реакций см. в § 10.7).
Каждое из уравнений системы
(16.2) выражает условие равенства
нулю суммарной реакции в допол-
нительно поставленной связи, вы-
званной внешней нагрузкой и пере-
мещениями Zit Z2, Zn, поскольку
в заданной системе эта связь отсут-
ствует. Это уравнения равновесия, и
для их составления используются
известные уравнения статики. По-
этому канонические уравнения мето-
да перемещений являются статиче-
скими уравнениями, в отличие от ки-
нематических уравнений метода сил.
Коэффициенты при неизвестных
канонических уравнений метода пе-
ремещений могут быть найдены так-
же путем перемножения единичных
эпюр, как это делается при опреде-
лении перемещений в расчете по ме-
тоду сил. Можно записать:
р М ? dx __ __
JMi Mkdx ____ _
Но статический способ более прос-
той и удобный. Его чаще всего ис-
пользуют при выполнении расчетов
рам с вертикальными стойками. Ес-
ли же стойки рамы наклонные, то в
уравнения равновесия войдут как
поперечные, так и продольные силы,
что значительно усложняет задачу.
В этом случае удобнее находить ко-
эффициенты метода перемещений
способом перемножения эпюр.
Проверка правильности определе-
ния коэффициентов при неизвестных
в уравнениях аналогична той, кото-
рая выполняется в уравнениях ме-
тода сил. Для этого используется
214
суммарная единичная эпюра момен-
тов
М8 = Ml + М2 + • • • + Мп,
где Mlt М2, . . . , Мп — единичные
эпюры изгибающих моментов в основ-
ной системе метода перемещений.
Могут быть произведены построч-
ные и универсальная проверки. По-
строчная состоит в проверке суммы
коэффициентов при неизвестных от-
дельных уравнений. В этом случае
результат перемножения Ms на еди-
ничную эпюру, например Mk, дол-
жен быть равен сумме коэффициен-
тов при неизвестных k-ro уравне-
ния. При универсальной проверке
находится одновременно сумма ко-
эффициентов всех уравнений,- кото-
рая должна удовлетворять условию:
2гг.А=Л?2 (7=1, 2, .... п; k=l, 2, ...,
«)•
Свободные члены уравнений мо-
гут быть также найдены путем пере-
множения эпюр:
р MiMpdx
= —2 j £7
= — MtM$,
где Mi — единичная эпюра изгибаю-
щих моментов в основной системе
по методу перемещений; Мр— эпю-
ра изгибающих моментов от внеш-
ней нагрузки в основной системе по
методу сил.
После определения из уравнений
(16.2) перемещений Zb Z2, Zn
строится окончательная эпюра мо-
ментов
М — Мр -|- MlZl -И M2Z2
... + Mnzn, (16.3)
где Мр — ординаты эпюры изгибаю-
щих моментов в основной системе
от заданной нагрузки; М2, ....
215
Мп — ординаты эпюр изгибающих
моментов в основной системе от
единичных перемещений.
Построение эпюр поперечных и
продольных сил и их проверка вы-
полняются так же, как и при рас-
чете рамы по методу сил. Результи-
рующая эпюра изгибающих момен-
тов должна удовлетворять статиче-
ской и кинематической проверкам.
При выполнении кинематической
проверки единичные эпюры или же
суммарная единичная эпюра момен-
тов могут быть приняты в любой ос-
новной системе метода сил. Для
проверок эпюр поперечных и про-
дольных сил используются уравне-
ния равновесия SX=0 и 2У=0 для
рамы в целом или для ее отсечен-
ных частей.
16.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИИ
В ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ связях
Формулы для определения опор-
ных реакций от внешней нагрузки в
балках постоянного сечения с двумя
защемленными или же с одним за-
щемленным и вторым шарнирно
опертым концами легко выводятся
путем расчета их методом сил и при-
ведены ниже.
Введем следующее правило зна-
ков: углы поворота и реактивные
опорные моменты положительны, ес-
ли они соответствуют повороту узла
по часовой стрелке; реакции от
внешних нагрузок положительны, ес-
ли их направление совпадает с на-
правлением единичных перемеще-
ний; линейные перемещения всегда
положительны; реакции, вызванные
линейным перемещением, положи-
тельны, если их направление совпа-
дает с направлением перемещения.
Для стержня с жестко защемлен-
ными концами найдем реактивные
усилия, возникающие при повороте
опорных сечений и линейном смеще-
нии опор относительно друг друга
(рис. 16.5, а). На рис. 16.5, б пока-
зан стержень АВ, деформированный
в результате поворота опорных сече-
ний Л и В и линейного смещения
опоры В по вертикали на А.
Рассмотрим заданное состояние
(рис. 16.5, б) и два вспомогательных
состояния балки (рис. 16.5, в, г), в
которых она загружена единичными
моментами на опорах.
На основании теоремы о взаимно-
сти работ (см. § 10.5):
ЬллМл- 6влА1в = <рл1 - -р;
ex^-6BA = ^(-’) + TA-
где коэффициенты 6 определяются
путем перемножения единичных
эпюр (рис. 16.5, д, е):
^аа = $вв = U х
2______
Х 3 1 — 3EI '
&АВ = &ВА ~ ’ 2
Х ~ 1 ~ 6EZ *
Следовательно,
EI / Д\
EI
Ма-2Мв = —^-г X
х(фв-т)’
216
Таблица 151
Схема сюепжня Эпюра мпменгппв РеактиЗ\ Опорные ные моАреокции менты |
с|р1№^’'л^р ,5|~>
Я. --.£J 'Зк'ф sb
6 ^1*4. «^к>
Р Ж Т-'Ь
С|^1жг,р ^4”
"и—j CfWlIIHF^) х-Ч-
X: 11-^ о?
*4^4 •nl’M
у- чЧ ^ГШПШТПТПтпптпп^^ »п|ь. 4.
е=±===; 1 А?, и J 1чцрр^ V W
Wl>| ln|«o T’l’o
: Ц_.УЛ аМ^' s а ЗЁ* Й
Рис. 16.5
откуда
Л1Л = 11 (2<рд + фв — 3 -£-);
Мв = й(<рл + 2<рв-3-^-), (16.4)
где EI/1—i — погонная жесткость
балки.
Вертикальные опорные реакции на
опорах
После подстановки значений опор-
ных моментов
6£ / д \
*л = Rb = — (’л + 1>в-2т) •
(16.5)
Для балки с одним защемленным
и вторым шарнирно опертым концом
217
формулы для определения опорного
момента и реакций имеют вид:
= 3/ Фл — ~Y~) ;
Лл = Лв = -7-(фл—г)- (16-6)
Реакции в опорных закреплениях
стержней определяются от какого-
либо одного перемещения, равного
единице, а все остальные перемеще-
ния полагаются равными нулю.
Формулы (16.4) — (16.6) позволяют
получить решения для частных слу-
чаев. Например, если опорное сече-
ние А стержня, защемленного на
обоих концах, повернулось по часо-
вой стрелке на угол фл=1, по фор-.
мулам (16.4) и (16.5): ;
МА = 2/2-1 = 4/; Мв = 2/1 =2/;' -
6i . 6i
Ra = ~ Т~ = 1~ ’
Для удобства проведения расче-
тов в табл. 16.1 приведены формулы
для расчета различных стержней, а
также эпюры моментов от наиболее
часто встречающихся воздействий.
16.3. ПРИМЕР РАСЧЕТА РАМЫ
МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИИ
Степень кинематической неопределимос-
ти рамы, показанной на рис. 16.6, а, равна
трем. Для образования основной системы
введем защемляющие связи в узлах 1, 2 и
горизонтальную связь в узле 3 (рис. 16.6, б).
Канонические уравнения метода переме-
щений имеют вид:
нА + ri2Z2 + Г1з£з + Rip = 0;
г 21^1 + Г 22Z2 + г 2gZg + R2p = 0;
г31^1 + r22Z2 + Гзз^з Rap = 0.
Для определения коэффициентов при не-
известных и свободных членов уравнений,
пользуясь табл. 16.1, строим эпюры изгиба-
ющих моментов от заданной нагрузки и
единичных перемещений Zi, Z2 и Z3 (рис.
16.6, в—е)._
Эпюра ЛГ1 соответствует повороту узла
1 на угол, равный единице. Два других узла
остаются при этом неподвижными. Анало-
гично строится эпюра М2. Реактивные мо-
менты Гц и г22 равны сумме моментов, воз-
никающих в опорных сечениях 1 и 2 при по-
вороте примыкающих стержней. Для по-
строения эпюры Мз узлам рамы 1, 2 и 3
сообщается линейное перемещение, равное
единице (Z3 = l). При этом узлы 1 и 2
тоже линейно перемещаются, но не пово-
рачиваются.
Так как в деформированной системе уси-
лия распределяются пропорционально жест-
костям стержней, то жесткость одного из
них можно принять и выразить через нее
жесткости остальных стержней. В нашем
случае удобно принять Ё1=6. Тогда погон-
ные жесткости стержней 1-6/4= 1,5;
t2=Y3=6-6/6=6.
Вырезая узлы 1 и 2, а также отсекая
стойки рамы у опор, по* эпюре Mt из урав-
нений равновесия найдем Гц, r2i и r3i (рис.
16.6, г):
2Mi = — 4t! — 4i2 4- m = 0;
гц = 4-1,5 4-4-6 = 30;
2Л12 ~—2i24-r2i = 0; r2i=4-6=24;
SX = 6/1//1 4“ Г31 = 0;
r31 = —6-1,5/4 = —2,25.
По эпюре Л42 (рис. 16.6, д) получаем:
П2 = 12; г2а = 46,5; г32 =^_— 1,125. Реакции:
определяемые по эпюре /И3 (рис. 16.6, е),
Из = —2,25;-Ггз = 1,125; г23 = 1,406.
Свободные члены уравнений определя-
ются йо эпюре Мр (рис. 16.6, в); /?1Р=—60;
/?2р=60—90=—30; /?зр =0.
Подставив значения коэффициентов при
неизвестных и свободных членов в канони-
ческие уравнения, получим:
30Zi 4- 12Z2 — 2,25Z3 — 60 = 0;
12Zi 4- 46,5Za — 1,125Z3 — 30 = 0;
—2,25Zi — 1,125Za 4- 1,406Z3 = 0,
откуда Zj=2,21; Z2=0,164; Z3=3,666.
По формуле (16.3) определяются орди-
наты результирующей эпюры изгибающих
моментов (рие. 16.7, а). По эпюре моментов
218
Рис. 16.7
построена эпюра поперечных сил (рис.
16.7, б), а затем —эпюра продольных сил
(рис. 16.7, в). .
Для рассматриваемой рамы способом пе-
ремножения эпюр, например:
2 112
Х T3i, + ~2~ ’ — % +
Рис. 16.6
219
= Гз (/4)2/4 + ~Т~ 3 (/з)2/э +
Ы 1_ о
1 32 , 1
+ —— (>2)2<2 + — X
X ~~ (ч)2^2 = 3i. + 3/, + 4t2;
получены те же результаты, что и статиче-
ским способом.
16.4. УПРОЩЕНИЯ ПРИ РАСЧЕТАХ РАМ
МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИИ
Использование симметрии. Если
на симметричную систему действует
симметричная нагрузка, линейные
перемещения в определенных случа-
ях равны нулю. Кроме того, углы
поворота симметрично расположен-
ных узлов равны и обратны по зна-
ку. В некоторых симметричных ра-
мах, нагруженных симметричной на-
грузкой, допустимо рассматривать
только часть ее, расположенную с
одной стороны от оси симметрии.
Это позволяет упростить канониче-
ские уравнения или сократить их
число. Расчет упрощается также,
если несимметричную (произволь-
ную) нагрузку на симметричную ра-
му заменить эквивалентными сим-
метричной и обратносимметричной.
Степень кинематической неопреде-
лимости рамы, изображенной на рис.
16.8, а, п=8 (шесть углов поворота
и два линейных смещения узлов).
Основная система изображена на
рис. 16.8, б. Если на заданную раму
действует симметричная нагрузка,
то линейные перемещения равны
нулю и соответствующие канониче-
ские уравнения не составляются.
Кроме того, ввиду симметрии систе-
мы и нагрузки углы поворота 1-го и
5-го, а также 2-го и 6-го узлов рав-
ны, но обратны по знаку. Углы по-
ворота узлов 3 и 4 равны нулю. Та-
ким образом, Zi=—Z5, Z2=—Z6,
Z3=Z4=Z7=Z8=0. В итоге остает-
ся два канонических уравнения с
двумя неизвестными.
Расчет симметрично загруженной
рамы еще более упрощается, если
принять во внимание следующее: уз-
лы 3 и 4 не поворачиваются и не
перемещаются линейно. Вертикаль-
ные перемещения их также отсутст-
вуют в силу допущения о нерастя-
жимости стержней. В результате за-
щемления в узлах 3 и 4 эквивалент-
ны обычным опорным защемлени-
ям. К расчету может быть принята
левая или правая часть рамы (рис.
16.8, в). Стойки, расположенные по
оси симметрии рамы, работают на
центральное сжатие.
Симметричная рама, изображен-
ная на рис. 16.9, а, имеет шесть угло-
вых и два линейных независимых
перемещения. В общем случае необ-
ходимо составить и восемь канони-
ческих уравнений метода перемеще-
ний. Основная система изображена
на рис. 16.9, б. При симметричной
нагрузке Z1=—Z6, Z2=— Z5, Z3=
=—Z4, Z7=Z8=0, т. e. в системе
уравнений остается три неизвестных.
Поскольку рама и нагрузка сим-
метричны, то в процессе расчета
можно рассматривать половину ра-
мы, расположенную с одной сторо-
ны от оси симметрии. В данном слу-
чае, расчленив раму по' оси сим-
метрии, нельзя принять обычные за-
щемления в сечениях на этой оси,
как это было в предыдущем случае.
Сечения k, т ригелей рамы, лежа-
щие на оси симметрии, могут пере-
220
мещаться линейно (по вертикали) и
в них будут возникать изгибающие
моменты. Поэтому в сечениях k и т
надо принять защемляющие по-
движные связи (рис. 16.9, в). Затем
строят единичные эпюры. В_ид эпю-
ры изгибающих моментов М2 изоб-
ражен на рис. 16.9, г. Результирую-
щая эпюра моментов для всей рамы
получается с учетом ее симметрии.
Группировка неизвестных. Пере-
мещения симметрично расположен-
ных узлов можно объединять в
групповые неизвестные, которые под-
бираются так, чтобы единичные
эпюры были симметричными или ко-
сосимметричными. Рассмотрим ра-
му, изображенную на рис. 16.10, а.
Степень кинематической неопреде-
лимости ее равна пяти. Основная си-
стема показана на рис. 16.10, б. Если
выполнять расчет без учета симмет-
рии рамы, нужно определить коэф-
фициенты при неизвестных и решить
систему из пяти канонических урав-
нений.
Теперь рассмотрим основную сис-
тему (рис. 16.10, в), где на основа-
нии симметрии заданной рамы неиз-
вестные углы поворота сгруппиро-
ваны следующим образом. Угол по-
ворота узла 1 представлен как сум-
ма двух углов поворота Zi и Z2, а
угол поворота узла 2, симметрично-
го узлу 1,— как разность и Z2.
Аналогично представлены углы по-
ворота узлов 3 и 4 (рис. 16.10, в).
Горизонтальное перемещение связи
5 (одновременно и узлов 1, 2) явля-
ется кососимметричным неизвест-
ным, и эпюра изгибающих моментов,
вызываемых этим перемещением, бу*
дет кососимметричной.
Единичные эпюры изгибающих
моментов, возникающих вследствие
поворота узлов и линейного переме-
щения Z5=l, изображены на рис.
16.10, г, д, е, ж, з. Эпюра Afj полу-
чена в предположении одновремен-
ного поворота узлов 1 и 2 на угол,
равный единице, причем узел 1 по-
ворачивается по часовой стрелке, а
узел 2 — против. При условии пово-
рота узлов 1 и 2 в одну сторону (по
часовой стрелке) получается эпюра
М2. Аналогично построены эпюры
Л?з и ЛГ4 (рис. 16.10, е, ж). Эпюра
Ms отражает изгибающие моменты
в раме, возникающие при единич-
221
Рис. 16.9
ном перемещении по направлению
связи 5.
Поскольку эпюры Л?1, Я3 симмет-
ричны, эпюры Я2, Л?4, Л?5 кососим-
метричны, то, определяя коэффици-
енты rtk системы канонических урав-
нений способом перемножения эпюр,
получим: Г12=г21=0; ги=г41=0;
г15=г51=0; г2з=г32=0; г34=г43=
=0; г35=г5з=0.
Определим коэффициенты гг& ста-
тическим способом. Погонные жест-
кости всех стержней примем одина-
ковыми. Реактивные моменты в
защемлениях получим из условия ра-
венства нулю моментов в добавлен-
ной связи, а реакцию в связи 5— из
условия SX=0 для отсеченной
верхней части рамы. Согласно рис.
16.10 и табл. 16.1, rn=6i4-6i=12i;
Г}2= 10t—10i=0j r13=2t+2f=4i;
ri4=2t—2t=0; Г15=—6j//i-f-6i//i=
=0 и т. д.
Свободные члены канонических
уравнений Rip определяются с по-
мощью единичных эпюр и эпюры из-
гибающих моментов в основной сис-
теме от заданной нагрузки Мр (рис.
16.10, и). В случае групповых неиз-
вестных каждый из этих членов
включает два слагаемых, которые
находят по табл. 16.1:
р _ pl , ( рп_ р/ .
pi pi
R*P----8 + 8 =0;
ql* ~ я&
Rzp= — + 0 = 8 ;
0/2 л/2
^чр = “g—h 0 = —g— ; R5p = 0.
Исключив в исходной системе
уравнений слагаемые, равные нулю,
и сгруппировав уравнения, получим:
г11^1 + г+ ^ip = 0; 1
Г31^1 + гзз^з + Язр = 0. J
Г 22^2 4“ Г24^4 4“ Г25^5 4“ ^2р =
^42^2 4“ ^44^4 4“ ^45^5 4“ ^4р ~ О’,
^52^2 4“ Г5к%к 4“ Г55^5 4" ^5р = 0.
Это две независимые системы
уравнений, в одну из которых входят
симметричные неизвестные, а во
вторую — кососимметричные.
Ординаты эпюры окончательных
изгибающих моментов определяются
согласно формуле (16.3).
222
Рис. 16.10
16.5. РАСЧЕТ РАМ МЕТОДОМ
ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В МАТРИЧНОЙ
ФОРМЕ
Для системы с п неизвестными
канонические уравнения метода пе-
ремещений выражаются равенства-
ми (16.2). В матричной форме эти
уравнения можно представить в виде
DrZ = -Rp, (16.7)
где Dr — квадратная матрица, эле-
ментами которой являются коэффи-
циенты при неизвестных в уравне-
ниях; Z — матрица-столбец неизве-
стных перемещений; R — матрица-
столбец реактивных сил в дополни-
тельных связях от внешних воздей-
ствий.
В развернутой форме
Dr Г11Г12Г13 • • • г21г22Г23 • • • Г31Г32Г33 • • • Г1п ^2n r3n
^п1^п2^п3‘ • • Гпп
Zx - z2 ъ 23 3 3
= II to? 1 . » " Й NJ . NJ Rsp RnP
Коэффициенты при неизвестных и
свободные члены канонических урав-
нений определяют статическим спо-
собом или же перемножением эпюр
(см. § 16.1).
Формируется матрица изгибающих
моментов в рассматриваемых сече-
ниях от единичных воздействий.
В общем случае (число неизвестных
п, число сечений т) она имеет вид
М =
Мн М12... М1п
м21 м22...м2п
М31 М32... Л43п
_ Мт]Л4т2 .. .Л4 mn
Решение матричного уравнения
(16.7)
Z = —D~'RP, (16.8)
где D-1 — матрица, обратная Dr.
Элементы вектора RP— изгибаю-
щие моменты в соответствующих
сечениях основной системы от внеш-
них воздействий (нагрузки), опре-
деляемые по эпюре изгибающих мо-
ментов от заданной нагрузки в ос-
новной системе метода сил М*.
Результирующую эпюру изгибаю-
щих моментов получают из условия
(16.3), представленного в матрич-
ной форме,
М = Мр + MZ. (16.9)
Равенство (16.8) можно записать в
виде
z = — (Мт SM)-1(MT S М*),
тогда определится равенство:
М = М * — М(МТ &Й)-* (Мт дМЦ.
По полученной эпюре изгибающих
моментов строятся эпюры попереч-
ных и продольных сил.
Проверка правильности построе-
ния эпюр М, Q и N осуществляется
так же, как и в расчетах, методом
сил. Кинематическая проверка пра-
вильности построения эпюры изги-
бающих моментов может быть вы-
полнена в обычной или матричной
форме.
224
Глава 17
КОМБИНИРОВАННЫЙ СПОСОБ
РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ.
СМЕШАННЫЙ МЕТОД
17.1. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ анализ
МЕТОДА СИЛ И МЕТОДА
ПЕРЕМЕЩЕНИИ
В расчетах статически неопреде-
лимых систем методом сил и мето-
дом перемещений можно выделить
качественно одинаковые этапы.
Установление степени статической
неопределимости системы в методе
сил и ее кинематической неопреде-
лимости в методе перемещений по
трудоемкости практически одинако-
во. Оба метода предполагают ис-
пользование основной системы.
В расчетах методом сил основную
систему принимают, как правило,
статически определимой путем уда-
ления в системе лишних связей.
При этом для одной и той же
системы можно получить множе-
ство вариантов основной системы,
удовлетворяющих всем необходи-
мым требованиям. Поэтому выбор
рациональной основной системы —
одна из задач, решаемых в расчетах
методом сил. В расчетах методом
перемещений основную систему по-
лучают путем введения в заданную
систему дополнительных связей, ко-
торые увеличивают степень ее ста-
тической неопределимости. Однако
здесь сформировать основную систе-
му значительно проще, так как она
практически единственная и для
многих рамных каркасов позволяет
получить неполные канонические
уравнения и тем самым упростить
расчет.
По структуре канонические урав-
нения метода сил и метода переме-
щений одинаковы. Отличие лишь в
физическом смысле этих уравнений.
В обоих методах в основной сис-
теме строятся единичные эпюры из-
гибающих моментов и их эпюра от
заданной нагрузки. В методе пере-
мещений построение этих эпюр зна-
чительно проще, так как можно ис-
пользовать табличные решения. Ко-
эффициенты при неизвестных и сво-
бодные члены канонических уравне-
ний метода перемещений могут
быть найдены из уравнений статики,
что проще, нежели определение их
перемножением эпюр в расчетах ме-
тодом сил. Приемы построения окон-
чательных эпюр изгибающих момен-
тов, поперечных и продольных сил в
обоих методах идентичны.
Приведенный краткий анализ двух
основных методов расчета статиче-
ски неопределимых систем показы-
вает, что метод перемещений обла-
дает определенными преимущества-
ми. Это не значит, что метод пере-
мещений более рационален для всех
статически неопределимых систем.
Например, при расчете ферм пред-
почтителен метод сил. Метод пере-
мещений утрачивает свои преимуще-
ства в тех случаях, когда необходи-
мо учитывать продольные деформа-
ции элементов систем. Если же огра-
ничений на выбор метода расчета
нет, предпочтение отдается тому ме-
тоду, где число основных неизвест-
ных (количество канонических урав-
нений) меньше и соответственно
меньше объем вычислительных ра-
бот.
Рассмотрим раму, показанную на
рис. 17.1, а. Она содержит только
одну лишнюю связь (Л=1) и обла-
дает значительной упругой подвиж-
ностью узлов (п—Ъ). Основная сис-
15. Зак. 1840
225
Рис. 17.2
Рис. 17.1
данной рамы рационально вести ме-
тодом сил.
Степень статической неопредели-
мости рамы, изображенной на рис.
17.2, «77=9. Степень ее кинематиче-
ской неопределимости, т. е. число
угловых перемещений узлов, п—3.
Линейная подвижность узлов рамы
отсутствует. Следовательно, для рас-
чета рассматриваемой рамы более
рациональным является метод пере-
мещений, поскольку основными не-
известными будут углы поворота уз-
лов 1, 2, и 3.
Рассмотренные примеры показы-
вают, что в каждом конкретном слу-
чае на основании анализа заданной
системы нужно выбрать тот метод
ее расчета, который позволяет полу-
чить более простое решение. При
одинаковом количестве неизвестных
многие расчетные операции метода
перемещений проще, чем метода сил.
тема при расчете методом сил может
быть принята, как показано на рис.
17.1, б. В этом случае нужно решить
лишь одно уравнение относительно
неизвестного Х\. Для расчета мето-
дом перемещений основная система
получается из заданной введением
пяти дополнительных связей (рис.
17.1, в). Решение задачи сводится к
решению системы из пяти канониче-
ских уравнений. Поэтому расчет за-
17.2. КОМБИНИРОВАННЫЙ СПОСОБ
При расчете симметричных рам на
действие несимметричной нагрузки
может оказаться более удобной ком-
бинация метода сил и метода пере-
мещений. Заданная нагрузка заме-
няется эквивалентными симметрич-
ной и обратносимметричной. При
симметричном загружении систему
рассчитывают методом перемеще-
226
нии, а кососимметричном—методом
сил. Окончательные изгибающие мо-
менты в сечениях
Af = Л4С -|- Л1КС,
где 2ИС и AfKC— изгибающий момент
в сечении, вызываемый соответствен-
но симметричной и кососимметрич-
ной нагрузками.
Способ, при котором последова-
тельно используются метод сил и ме-
тод перемещений, носит название
комбинированного.
Комбинированный способ расчета
симметричных систем предполагает
решение двух самостоятельных си-
стем канонических уравнений и мо-
жет оказаться более целесообраз-
ным, чем метод сил или метод пере-
мещений.
Рассмотрим симметричную раму
(рис. 17.3, а), нагруженную несим-
метричной нагрузкой q. Степень ее
статической неопределимости Л—
= 6, степень кинематической неопре-
делимости п=6. Расчет заданной
рамы методом сил или методом пе-
ремещений сводится к решению си-
стемы канонических уравнений с
шестью неизвестными. Для выявле-
ния возможности применения ком-
бинированного способа расчета пре-
образуем заданную нагрузку, заме-
нив ее симметричной и обратносим-
метричной, и выберем при каждом
виде загружения рациональный ме-
тод расчета рамы.
В случае действия симметричной
нагрузки из анализа основной систе-
мы при расчете методом сил
(рис. 17.3, в) следует, что количест-
во основных неизвестных равно че-
тырем, так как обратносимметрич-
ные неизвестные Xi и Х4 равны нулю
(см. § 12.4). Если расчет вести ме-
тодом перемещений, неизвестными
будут углы поворота узлов Zi и Z2
15* 227
Рис. 17.3
(рис. 17.3, б). Линейных перемеще-
ний узлов нет, а в силу симметрии
системы Zi = —Z4 и Z2=—Z3. Поэто-
му в данном случае рационально
выполнять расчет рамы методом пе-
ремещений.
При расчете рамы на кососиммет-
ричную нагрузку методом перемеще-
ний необходимо определить четыре
неизвестных перемещения в основ-
ной системе (два горизонтальных
линейных и два угла поворота уз-
лов). Два других неизвестных связа-
ны зависимостью Zi = Z4 и Z2=Z3.
Если воспользоваться методом сил,
неизвестными будут силы Xi и Х4
(рис. 17.3, г). Все симметричные не-
известные в этом случае равны ну-
лю, поэтому при данном загружении
расчет рамы целесообразно выпол-
нять методом сил.
17.3. СМЕШАННЫЙ МЕТОД
Одна часть статически неопреде-
лимой системы может содержать
значительное число лишних связей и
обладать малой упругой подвиж-
ностью узлов, а вторая — при малом
числе лишних связей иметь значи-
тельную подвижность узлов. В этих
случаях эффективен смешанный ме-
тод расчета. Основную систему фор-
мируют также смешанной, в которой
основными неизвестными являются
одновременно силы и перемещения.
Структура канонических уравнений
остается обычной, однако в одно и то
же уравнение могут входить неизве-
стные метода сил и метода переме-
щений.
Применение смешанного метода
поясним на примере рамы, изобра-
женной на рис. 17.4, а. Для расчета
ее методом сил потребуется соста-
вить восемь уравнений, а методом
перемещений — семь. Но левая часть
рамы ABCD содержит две лишние
связи; ее узлы имеют пять независи-
мых перемещений (три угловых и
два линейных). В правой части
DEFG шесть лишних связей и воз-
можен поворот узлов D и К. Поэто-
му левую часть рамы целесообразно
рассчитывать методом сил, а пра-
вую — методом перемещений.
В основной системе (рис. 17.4, б)
действие отброшенных опорных
стержней на опоре А заменено сила-
ми Xi и Х2, а в узлах D, К введены
дополнительные защемляющие свя-
зи 3, 4, препятствующие повороту
этих узлов. На рис. 17.4, в, г пока-
заны единичные_эпюры изгибающих
моментов Mi и М2 в основной систе-
ме, вызванных силами Xi и Х2, рав-
ными единице, а на рис. 17.4, д, е—
единичные эпюры Af3 и ЛГ4, вызван-,
ных поворотом узлов 3 и 4 на угол,
равный единице. На рис. 17.4, ж
изображена эпюра изгибающих мо-
ментов в принятой основной систе-
ме от заданных внешних нагрузок.
Канонические уравнения смешан-
ного метода в рассматриваемом слу-
чае имеют вид:
+ ^12^2 + 613Z8 + 1
+ ^14^4 + Aip ~ 0">
^21^1 + ^22^2 + 823Z3 +
+ ^24Z4 + д2р = 0; (17.1)
^31^1 + Г32^2 + г33%3 +
+ Г34^4 + *зр =
г' jXi + г 42Х2 + r43Z3 +
+ ^44^4 + ^4р — 0- J
Неизвестными в уравнениях (17.1)
являются силы Xi, Х2 и перемещения
Z3, Z4. Первое и второе уравнения —
канонические уравнения метода сил,
228

а два других — метода перемеще-
ний. В первом уравнении, например,
выражено условие равенства нулю
суммарного перемещения точки при-
ложения силы Xi по направлению
этой силы, вызванного силами Х{ и
Х2, поворотом узлов 3, 4 и внешней
нагрузкой, так как в заданной систе-
ме по направлению этого перемеще-
ния имеется связь. Аналогичное ус-
ловие относительно перемещения
точки приложения силы Х2 отража-
ет второе каноническое уравнение.
Третье и четвертое уравнения явля-
ются условиями отсутствия в узлах
3 и 4 реактивных моментов, так как
в этих узлах заданной системы нет
защемляющих связей.
Коэффициенты 6 и г при неизве-
стных в уравнениях (17.1), свобод-
ные члены их вычисляются способа-
ми, указанными при изложении ме-
тода сил и метода перемещений.
Коэффициент 6'ft — перемещение
точки приложения i-ro неизвестного
по его направлению, вызванное пере-
мещением на единицу связи k; r'ki —
реакция, возникающая в дополнитель-
но поставленной связи k под дей-
ствием силы Xi = 1 (см. рис. 17,4, в,
г). Перемещения б.'й можно опреде-
лить исходя из геометрических соот-
ношений (рис. 17.4, д). Однако про-
ще их вычислять следующим образом.
Согласно теореме о взаимности реак-
ций и перемещений (см. § 10.8) 6'ft=
= —г'.. В нашем случае
$13 = ГЗГ $23 ~ Г32’
$14 = Г41 = $24 = г42 = 0-
Решив систему уравнений (17.1),
т. е. определив Хи Х2, Z3 и Z4, мож-
но найти результирующие изгибаю-
щие моменты в заданных сечениях
рамы:
М = AfiXi -|- М2Х2 +
+ M3Z3 + 2W4Z4.
Проверка правильности построе-
ния окончательной эпюры моментов
осуществляется способами, изло-
женными ранее при рассмотрении
основных методов расчета статиче-
ски неопределимых систем. По эпю-
ре моментов строятся эпюры попе-
речных и продольных сил.
Пример. Построить эпюры изгибающих
моментов, поперечных и продольных сил в
раме, изображенной на рис. 17.5, а.
Решение. Примем основную систему,
отбросив опорный стержень в узле 1 и за-
менив его силой Xi и поставив защемляю-
щие связи в узлах 2 и 3 (рис. 17.5,6). Ка-
нонические уравнения смешанного метода в
данном случае имеют вид:
6цХ1 + 612Z2 + 613Z3 + Д1р=0»
Г21^1 4" Г22^2 + ^23^3 + /?2Р=0» -
г31^1 + Г32^2 + г3з2з + /?зр=0-
Для определения коэффициентов при
неизвестных и свободных членов уравнений
строим единичные эпюры изгибающих мо-
ментов и эпюру их от заданной нагрузки в
основной системе (рис. 17.5, (б—д). В при-
нятой основной системе левая часть рамы
статически определима и эпюры Afi и Л1Р в
этой части рамы построены, как в обычной
статически определимой системе. В правой
статически неопределимой части рамы на
участке 2—4—5—6 единичные эпюры мето-
да перемещений Al3 и Al4, а также грузовая
эпюра Мр построены с помощью табл. 16.1.
При определении погонных жесткостей при-
мем Е/ = 1. _
Е/бц —Е/2 fj^ = _l_8.82-8 +
J El * &
+24~ • 4"8-4-г8+
1 ,8+12\ 1 1 л
+ — 8-4т+— •—4х
230
тег
, e z z , f
+ 8 —fr-091— • — 5 + 8— 8X
x 09i = J3— Gzz a = dlvia
;o=^-=ei9
Zl = (zi~)— = = S!§
•‘Z999‘8^ = (t- — +8J X
\ 3 /
SZI -3Hd
+ -^-160 4 10+ -j- 4~16°X
x4^8+-|-4 j =9173,3333;
r 22 = 4*25 + 4*23=4 —4-
4
2
4-4—— = 2,3333;
6
2
^23 = Г32 = 2*23 =2 ~ = 0,6667;
6
ГЗЗ = 4*23 + 4*зв 4" 3*34 =
2 1 2
=4-----4- 4---4- 3---= 3,3333;
6 4 6
R2p = — 320 — 60 = —380;
R3p = 60 — 90 = —30.
После подстановки значений коэффици-
ентов при неизвестных и свободных членов
канонические уравнения принимают вид:
458.6667ХХ4- 12Z2 4-9173,3333 = 0; 1
— 12Xi 4- 2,3333Z24-0,6667Z3—380=0;
0,6667Z2 4- 3,3333Z3 — 30 = 0, j
откуда Xj = —21,3945; Z, = 53,3025; Z3 =
= —1,6611.
Окончательная эпюра изгибающих момен-
тов, полученная по формуле
М = Л4р 4- AfjXj 4- A42Z2 4~ Af3Z3,
изображена на рис. 17.5, е. По эпюре изги-
бающих моментов построены эпюры попе-
речных и продольных сил (рис. 17.5, ж, з).
Глава 18
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАМЫ
18.1. ХАРАКТЕРИСТИКА
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РАМ
Общие положения. Пространствен-
ные рамы — стержневые системы,
элементы которых работают в усло-
виях сложного напряженного состоя-
ния. Они, как правило, многократно
статически и кинематически неопре-
делимы. Различают два вида про-
странственных рам: пространствен-
ной конфигурации, все несущие эле-
менты которых и действующие на-
грузки не находятся в одной или
параллельных плоскостях (рис. 18.1,
а, б); плоские, работающие на на-
грузку, действующую вне плоскости
системы (рис. 18.1, в).
Методы расчета пространственных
рам те же, что и для плоских стати-
чески неопределимых рам. В то же
время расчет пространственных рам
значительно сложнее, так как число
основных неизвестных значительно
больше, а также больше, по сравне-
нию с плоскими рамами, и количест-
во силовых факторов, действующих
в элементах пространственных рам,
что обусловливает повышение тру-
доемкости определения перемещений
для этих систем.
В ряде случаев при расчете про-
странственную раму заменяют не-
сколькими плоскими рамами. Это
осуществимо, если основные несущие
стержни и действующие нагрузки
находятся в параллельных плоскос-
тях.
Усилия в элементах пространст-
венных рам. В общем случае число
неизвестных усилий в сечении эле-
мента пространственной рамы соот-
ветствует количеству кинематичес-
ких связей в нем. В системе коорди-
нат, образуемой центральной про-
дольной осью стержня и двумя
главными центральными осями его
сечения (рис. 18.2), это продольная
сила Nx, поперечные силы Qv и Qz,
крутящий момент Мх и изгибающие
моменты Му и Мг. Момент считается
положительным, если при взгляде из
начала координат вдоль оси момент
направлен по часовой стрелке. Зна-
232
ки продольной и поперечных сил
устанавливаются так же, как и для
плоской системы.
В частных случаях некоторые уси-
лия в сечениях элементов могут быть
равны нулю. Характерна в этом от-
ношении плоская рама с нагрузкой,
перпендикулярной к ее плоскости
(рис. 18.3). В этом случае в рас-
сматриваемом сечении Afx=O; Qy = 0;
MZ=Q.
Для доказательства отсутствия про-
дольной силы.в стержне предполо-
жим, что по направлению соответст-
вующей оси расположена кинемати-
ческая связь k, предотвращающая
перемещение системы в этом направ-
лении. Усилие в этой связи, равное
продольной силе в стержне Nx от
Р = 1, обозначим r'hp. Из теоремы о
взаимности реакций и перемещений
следует, что r'hp = —6^й, где 6'й —
перемещение точки приложения силы
Р = 1 по ее направлению, вызванное
единичным перемещением связи k
вдоль продольной оси стержня. Так
как 6' = О, то и r'=Nx = 0. Ана-
логично доказываются равенства Qy=
= 0 и Mz = 0.
Определение степени статической
неопределимости. Суммарное число
степеней свободы разъединенных уз-
лов рамы, рассматриваемых как
пространственные тела, равно 6Y,
где У — число узлов системы. Сум-
марное число кинематических свя-
зей, накладываемых на эти узлы в
процессе образования рамы и ее за-
крепления в основании, составляет
6С+Соп (С — число стержней, со-
единяющих узлы, Сол — количество
опорных связей). Отсюда число сте-
пеней свободы и степень статической
неопределимости пространственной
рамы будут определяться соотноше-
ниями:
Рис. 18.1
Рис. 18.3
233
n=6Y-6C-Coa-
Л = —n = 6C + Соп —6У. (18.1)
Для бесшарнирных пространст-
венных рам с защемляющими опора-
ми степень их статической неопреде-
лимости проще определять по коли-
честву разрезов т, которые необхо-
димо произвести, чтобы превратить
пространственную раму в набор ста-
тически определимых консолей:
Л=6т. (18.2)
В соответствии с формулами
(18.1) и (18.2) для рамы, показан-
ной на рис. 18.1, а, Л=48, а на
рис. 18.1, б — Л = 90.
18.2. РАСЧЕТ МЕТОДОМ СИЛ
Основная система при расчете
пространственных рам выбирается
так же, как и для плоских, т. е. пу-
тем удаления лишних связей в сече-
ниях элементов или на опорах. При
этом могут быть использованы все
изложенные ранее приемы выбора
рациональной основной системы,
приводящие к обращению в нуль по-
бочных коэффициентов канониче-
ских уравнений.
Канонические уравнения метода
сил при расчете на внешнюю на-
грузку имеют тот же вид (11.4).
Коэффициенты при неизвестных и
свободные члены уравнений опреде-
ляются по формуле Мора:
+ у +
EIv
। J MziMzkds ।
&ip
yi Г NXjNxkds
' J EF "1-
I 2 J |
-4- V f . ц8 3)
MXjMXpds ,
GTX "Г
J MyjMypds
о
E/j,
MziMzpds
Elz
NXjNxpds .
EF
[lyQyiQypds ।
GF
&&ziQzpds (18.4)
где GTX — жесткость стержня при
кручении; Т — полярный момент
инерции сечения.
Во многих случаях влиянием
продольных и поперечных сил на пе-
ремещения пространственных рам
можно пренебречь.
Определение окончательных зна-
чений моментов и построение эпюр
Мх, Му, М2 осуществляется на осно-
вании принципа независимости дей-
ствия силовых факторов:
Мх = Мхр + Мх1Хг + ... 4-MxnXn;
Му = Мур + Му1Х1 ^-МупХп',
Mz — Mzp + MziXt + ... + MznXn.
(18.5)
234
a
Для нахождения окончательных
поперечных сил в элементах рамы
обычно используются дифференци-
альные зависимости:
Q, = -^-; Qz = -^- (18.6)
dx dx
Окончательные продольные силы
находятся из условия равновесия от-
дельных узлов. Их следует вырезать
в такой последовательности, чтобы в
каждом было не более трех неизве-
стных продольных сил в сходящихся
в узле стержнях.
При расчете пространственных
рам осуществляются проверки на
всех его этапах. Основной и доста-
точной проверкой правильности по-
235
строения окончательных эпюр мо-
ментов является кинематическая
(деформационная).
Пример. Необходимо построить эпюры М
и Q для рамы, изображенной на рис. 18.4, а
при ЕЦвТ=\
Решение. Основную систему получа-
ем, разрезая ригель по оси симметрии (рис.
18.4,6). Так как нагрузка перпендикулярна
к плоскости рамы, то ЛГЖ=О, Qv=0 и Мг=
= 0. В силу симметрии основной системы в
месте разреза /Ия=0 и Qz=0, так как эти
усилия кососимметричны. Таким образом,
для решения задачи необходимо определить
одно лишнее неизвестное Му.
Каноническое уравнение метода сил при
Х^—Му имеет вид бцХ1+Д1Р = 0. Для опре-
деления перемещений бц и Д1Р строим эпю-
ры изгибающих моментов в основной систе-
ме, вызываемых действием внешней нагруз-
ки и момента Xi = l (рис. 18.4, в, г). Пере-
множая соответствующие эпюры (см. фор-
мулы (18.3) и (18.4)), получаем:
s
Е16и = 2 f +
О
s
+ ds=b41 + 2141 =
= 12;
Е/Д1р= +
S EJ .
+2 J ds=2-^_4o-2-i+
4-2.40-4-1 = 373,3.
Лишнее неизвестное Xi = —373,3/12 =
= —31,11 кН.
Суммируя ординаты эпюр Мр и AfiXi
согласно (18.5), получаем окончательную
эпюру изгибающих моментов (рис. 18.4,6).
По эпюре М строим эпюру Q (рис. 18.4, е).
18.3. РАСЧЕТ МЕТОДОМ
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
При расчете пространственных
рам методом перемещений за основ-
ные неизвестные принимаются, так
же как и для плоских рам, угловые
перемещения жестких узлов и неза-
висимые линейные перемещения уз-
лов системы.
При определении количества ос-
новных неизвестных (степени кине-
матической неопределимости) следу-
ет иметь в виду, что каждый узел
пространственной рамы может
иметь шесть перемещений: поворот
относительно трех координатных
осей и линейные перемещения по
направлениям этих осей. Таким об-
разом, число неизвестных угловых
перемещений равно утроенному ко-
личеству жестких узлов рамы ЗУ.
Число независимых линейных пере-
мещений, как известно, равно числу
степеней свободы п шарнирно-стер-
жневой системы, получаемой введе-
нием сквозных шаровых шарниров
во все узлы рамы (включая опор-
ные). Таким образом, степень кине-
матической неопределимости систе-
мы составит ЗУ+и.
Для получения основной системы
в жесткие узлы заданной рамы не-
обходимо ввести пространственные
защемляющие линейно-подвижные
связи, препятствующие повороту уз-
лов относительно трех осей, и шар-
нирные опорные стержни, не допус-
кающие линейных перемещений
узлов. В общем случае в защемляю-
щих линейно-подвижных связях воз-
можно возникновение трех реактив-
ных моментов, а в шарнирных опор-
ных связях — трех реактивных сил.
Степень кинематической неопреде-
лимости рамы, изображенной на
рис. 18.5, а, 3-4 + 4=16. Основная
23в
Рис. 18.5
система для этой рамы представле-
на на рис. 18.5, б.
Канонические уравнения метода
перемещений при расчете на внеш-
нюю нагрузку те же, что и для плос-
ких систем.
Для определения коэффициентов
при неизвестных и свободных членов
канонических уравнений строятся
эпюры моментов в основной системе
при единичных значениях основных
неизвестных и эпюра моментов от
237
Рис. 18.6
внешней нагрузки. При этом необхо-
димо учитывать, что стержни могут
работать и на изгиб, и на кручение.
Построение эпюр изгибающих мо-
ментов осуществляется на основе го-
товых решений для отдельных стер-
жней с различными условиями за-
крепления, указанных ранее для
плоских рам (см. § 16.2).
Построение единичных эпюр кру-
тящих моментов основано на извест-
ной из курса сопротивления мате-
риалов зависимости угла закручива-
ния стержня ф от крутящего мо-
мента:
GT
где I — длина стержня.
При ф=1
,, л7 GT GT ;
Мх — Afx — —-— — —-— i,
I cl
где i — погонная изгибная жест-
кость стержня: 1=Е1/1.
Для рассмотренной рамы эпюры
моментов в основной системе от
внешней нагрузки и от одного из уг-
ловых и линейных смещений показа-
ны соответственно на рис. 18.5,
в—д.
Окончательные эпюры Мх, Му, Mz
строятся на основании зависимос-
тей:
2Иа = Мхр + 2ИЖ1^1 + • • • + MxaZn',
Му — Мур + AfyxZi + ... -f- Муп Zn‘,
Mz = Mzp + MziZx + . .. + Mzn Zn.
Построение окончательных эпюр
поперечных и продольных сил осу-
ществляется так же, как и при рас-
чете пространственных рам методом
сил. На отдельных этапах расчета
выполняются те же проверки, что и
для плоских рам, рассчитываемых
методом перемещений. Основной и
достаточной является статическая
проверка.
Пример. Построить эпюры усилий для
рамы, изображенной на рис. 18.6, а, при
&Т/(Е/)=0,5 и IV=IZ=I. Защемляющая
правая опора 2 ригеля подвижна в горизон-
тальном направлении.
Решение. Определяем число лишних
неизвестных. Узел 1 не имеет линейных пе-
ремещений и при произвольной нагрузке
имеет три независимых угловых перемеще-
ния. При заданной нагрузке он может по-
ворачиваться лишь в вертикальной плоскос-
ти. Поэтому составляется только одно ка-
ноническое уравнение
гп%1 + Rip = О
для основной системы, показанной на рнс.
18.6, б.
Погонные жесткости элементов при Е1=
= 10: А = 3, 6 = 5, 6 = 2, 6=8.
Строим эпюры изгибающих моментов в
основной системе от внешней нагрузки (рис.
18.6, в) и от Zi=l (рис. 18.6,г). Из условий
равновесия узла 1 RiP =—pl[8=—0,5P,
Г11= 12+20+8+4=44.
Из канонического уравнения получаем
Zl=—(_ 0,5/744) =Р/88.
Эпюра M\Z изображена на рис. 18.6, д,
а окончательная эпюра изгибающих момен-
тов — на рис. 18.6, е. По эпюре М построе-
на эпюра Q (рис. 18.6, эк), а по ней — эпю-
ра N (рис. 18.6, з). Все статические провер-
ки правильности построения эпюр удовле-
творяются.
Глава 19
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ПО НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
19.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕТОДА
ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
Предельные состояния сооруже-
ния. Согласно действующим строи-
тельным нормам и правилам
(СНиП), расчет строительных конст-
239
Рис. 19.2
рукций осуществляется по методу
предельных состояний. Это состоя-
ния, при которых конструкция пере-
стает удовлетворять строительным и
эксплуатационным требованиям, оп-
ределяемым СТ СЭВ 384—76
«Строительные конструкции и осно-
вания. Основные положения по рас-
чету».
Различают две группы предель-
ных состояний: 1) потерю несущей
способности сооружения или непри-
годность его к эксплуатации; 2) на-
рушение условий нормальной экс-
плуатации сооружения.
Потеря несущей способности со-
оружения может быть обусловлена
появлением текучести и ползучести
материала, сдвигов в соединениях,
усталостным разрушением конструк-
ций и т. п. Эксплуатация сооруже-
ния становится невозможной при по-
тере устойчивости формы или поло-
жения.
Условия нормальной эксплуата-
ции сооружения нарушаются при по-
явлении недопустимых перемещений
(прогибов, углов поворота, осадок),
колебаний, чрезмерном раскрытии
трещин, даже тогда, когда ни одно
из предельных состояний первой
группы не имеет места.
Расчет конструкций по предель-
ным состояниям способствует зна-
чительной экономии материалов, так
как учитывает «предельные возмож-
ности» работы материала и конст-
рукции в целом. Так, при проверке
прочности (определение несущей
способности) конструкций учитыва-
ют пластические свойства материа-
ла. Такой расчет осуществляется ме-
тодом предельного равновесия (ме-
тодом разрушающих, или предель-
ных нагрузок).
Определение несущей способности
сечений элементов и конструкций.
При расчете конструкций методом
предельного равновесия действи-
тельная диаграмма работы материа-
ла в координатах напряжение — де-
формация заменяется диаграммой
работы идеально упругопластиче-
ского тела (диаграммой Прандтля)
(рис. 19.1). Эта диаграмма в облас-
тях растяжения и сжатия имеет два
участка. Первый (наклонный) —со-
ответствует упругой работе материа-
ла с модулем упругости Е, второй
(горизонтальный — площадка теку-
чести) характеризует пластическую
стадию работы материала. Площад-
ка текучести характеризуется тем,
что напряжения в материале равны
пределу текучести * от, и принимает-
ся неограниченной (упрочнение ма-
териала не учитывается). Такая ди-
аграмма лишь приближенно отража-
ет действительную работу некоторых
* По новым СНиП предел текучести стали
обозначается Ryn-
240
Рис. 19.3
материалов (строительной стали,
для которой характерно пластиче-
ское разрушение; бетона, в котором
этот вид разрушения проявляется не
столь ярко, и некоторых других ма-
териалов).
Рассмотрим центрально растяну-
тый элемент (рис. 19.2, а). В любом
сечении элемента площадью F эпю-
ра нормальных напряжений имеет
вид прямоугольника (рис. 19.2,6).
По мере возрастания силы Р нор-
мальные напряжения увеличиваются
и будут вначале меньше от, а при
некотором Р=РПр становятся рав-
ными от (рис. 19.2, б) т. е.
Рпр^^тпр = птР. (19.1)
Выражение (19.1) определяет пре-
дельную нагрузку (несущую способ-
ность сечения) при одноосном на-
пряженном состоянии элемента.
Характерным в данном случае явля-
ется то, что при постоянном попереч-
ном сечении элемента пластические
деформации возникают одновремен-
но во всех сечениях и во всех волок-
нах стержня.
Рассмотрим случай чистого изги-
ба элемента (рис. 19.3, а). Попереч-
ное сечение элемента (рис. 19.3, б)
симметрично относительно верти-
кальной центральной оси у—у. Эпю-
ра нормальных напряжений при
упругой стадии работы материала
показана на рис. 19.3, в. При увели-
чении внешнего момента в какой-то
момент времени напряжения в край-
нем, наиболее удаленном от центра
тяжести сечения волокне элемента
достигают предела текучести
(рис. 19.3, г). По мере дальнейшего
увеличения момента пластические
деформации развиваются в глубь
сжатой зоны сечения и появляются
в крайних волокнах растянутой зоны
(рис. 19.3, д). При этом нейтральная
ось сечения смещается вниз, так как
ее положение определяется услови-
ем равновесия равнодействующих
нормальных напряжений в растяну-
той и сжатой зонах сечения. Часть
сечения высотой h0, находящаяся в
упругой стадии работы, носит на-
звание упругого ядра. Когда пласти-
ческие деформации распространя-
ются по всему сечению, изгибающий
момент достигает предельного зна-
чения Л4пр (рис. 19.3, е), а нейтраль-
ной осью сечение делится на две
равновеликие по площади части
(Fc = FP).
16. Зак. 1840
241
При напряжениях во всех точках
сечения, равных от, элемент стано-
вится геометрически изменяемым,
так как в рассматриваемом сечении
появляется так называемый пласти-
ческий шарнир, изгибающий момент
в котором равен 7Ипр. Это состояние
и является предельным для рассмат-
риваемого элемента.
Предельный изгибающий момент
7ИПр определяется как равнодейству-
ющий' момент всех элементарных сил
oTdF относительно оси z—z:
Мпр = J G^yidF + f GTy2dF =
fp Fc
= oT(Sp + Sc), (19.2)
где Sp, Sc — статические моменты
соответственно растянутой и сжа-
той зон поперечного сечения относи-
тельно оси z—z.
Выражение (19.2) можно предста-
вить следующим образом:
Мпр = <^пл, (19-3)
где ТГпл = 5с + 5р — пластический
момент сопротивления сечения.
Формула (19.3) определяет несу-
щую способность сечения при чистом
изгибе. Она определяет одновремен-
но и несущую способность всего эле-
мента, так как предельное состояние
наступает одновременно во всех се-
чениях.
Пластический момент сопротивле-
ния можно выразить через упругий
момент сопротивления сечения W:
W^=aW. (19.4)
Коэффициент а зависит от формы
поперечного сечения: например, для
круга а=1,7; для прямоугольника —
1,5; для тонкостенного кольца —
1,27; для двутавра — 1,15.
Общий случай изгиба элемента
характеризуется наличием в нем и
продольных и поперечных сил. Если
поперечное сечение элемента сим-
метрично относительно плоскости, в
которой действуют внешние силы,
предельный изгибающий момент
7ИПР = orTIFnJ1v, (19.5)
где от — предел текучести материа-
ла при растяжении; у — коэффи-
циент, учитывающий влияние про-
дольных и поперечных сил на несу-
щую способность сечения при из-
гибе.
Коэффициент v зависит от формы
поперечного сечения элемента и от
соотношения между пределами теку-
чести материала при сжатии и рас-
тяжении. Если продольная и попе-
речная силы в сечении пренебрежи-
мо малы, а пределы текучести мате-
риала на растяжение и сжатие оди-
наковы, можно принимать v = l.
В общем случае потеря несущей
способности сечения (элемента) не
означает потерю несущей способно-
сти конструкции. Если конструкция
статически определима, то, как пра-
вило, эти понятия однозначны. Если
же конструкция статически неопре-
делима, потеря несущей способности
некоторых сечений (элементов)
обычно не вызывает разрушения
конструкции в целом. При последо-
вательном исчерпании несущей спо-
собности сечений (элементов) сте-
пень статической неопределимости
системы каждый раз уменьшается на
единицу, пока система не станет ста-
тически определимой, а затем обра-
тится в механизм. Если степень ста-
тической неопределимости системы
равна п, предельное равновесие ее
имеет место, когда Ь предельном со-
стоянии находятся п+1 сечений
(элементов). В то же время не ис-
242
ключена возможность разрушения
конструкции при выходе из строя
меньшего или большего числа свя-
зей. Такое разрушение носит назва-
ние соответственно частичного или
избыточного. При частичном разру-
шении конструкция не имеет ни од-
ной степени свободы, а при избыточ-
ном число ее степеней свободы
больше единицы. Примеры полного,
частичного и избыточного разруше-
ний неразрезной балки показаны на
рис. 19.4, а—в. Возможны случаи
одновременного проявления указан-
ных видов разрушения.
Расчет конструкций методом пре-
дельного равновесия предполагает
решение одной из двух задач: опре-
деление предельной нагрузки при
известной несущей способности эле-
ментов либо подбор сечений по пре-
дельной нагрузке, которая принима-
ется за расчетную.
Методы определения предельной
нагрузки для статически неопреде-
лимых стержневых систем. Различа-
ют прямой, а также статический и
кинематический методы определе-
ния предельной нагрузки для таких
систем.
Прямой метод состоит в последо-
вательном расчете ряда упругих си-
стем, получаемых из заданной путем
последовательного исключения тех
связей, которые переходят в пласти-
ческое состояние. Вначале заданная
система рассчитывается на дейст-
вующую нагрузку и определяется
наиболее напряженная связь. Затем
производится расчет упругой систе-
мы, полученной из заданной путем
замены перешедшей в пластическое
состояние связи, предельным усили-
ем в ней. Выявляется следующая
наиболее напряженная связь, и рас-
чет повторяется для новой упругой
системы, из которой исключена эта
Рис. 19.4
связь, и т. д. Аналогичные процеду-
ры выполняются до превращения за-
данной системы в механизм.
Статический метод основан на
следующем экстремальном принци-
пе: из возможных распределений
усилий в системе, удовлетворяющих
условиям равновесия, действитель-
ным будет то распределение, при ко-
тором предельная нагрузка наиболь-
шая. Сложностью данного метода
является необходимость выявления
того равновесного распределения
усилий в рассматриваемой системе,
которое соответствует состоянию ее
предельного равновесия. В общем
случае сделать это практически не-
возможно. Поэтому максимальная
предельная нагрузка, соответствую-
щая одному из рассматриваемых
равновесных состояний системы, да-
ет, как правило, лишь нижнюю
оценку истинной предельной нагруз-
ки.
В основе кинематического метода
лежит другой экстремальный прин-
цип: из всех кинематически возмож-
ных схем разрушения системы дей-
ствительной будет та, при которой
предельная нагрузка наименьшая.
Выявляются кинематически возмож-
ные схемы разрушения системы, при
этом предполагается, что в состоя-
16*
243
ние текучести переходит столько свя-
зей, сколько необходимо для пре-
вращения ее в механизм. Для каж-
дой схемы разрушения из условий ее
равновесия с учетом действующей
нагрузки и предельных усилий в на-
рушенных связях определяется пре-
дельная нагрузка. Предельные на-
грузки могут быть найдены также из
уравнений работ внешних и внутрен-
них сил на перемещениях, возмож-
ных для рассматриваемых механиз-
мов. Минимальное из найденных
значений предельных нагрузок бу-
дет нижней оценкой истинной пре-
дельной нагрузки. При этом истин-
ное ее значение может быть найдено,
если известна действительная схема
разрушения конструкции, получен-
ная, например, ’экспериментально.
При определении предельных на-
грузок предполагается, что положе-
ние, направление и соотношение на-
грузок в процессе загружения не из-
меняются. Следовательно, можно
считать, что все они пропорциональ-
ны одному параметру, предельное
значение которого и определяется.
Такое загружение носит название
простого или однократного загруже-
ния.
19.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ
НАГРУЗКИ ДЛЯ СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ
СИСТЕМ
Однопролетные балки. Рассмот-
рим однопролетную балку, изобра-
женную на рис. 19.5, а. Поперечные
сечения примем постоянными по ее
длине. Результаты расчета упругой
балки показывают (рис. 19.5, б), что
появление двух пластических шар-
ниров возможно лишь в сечениях А
и С. Картина разрушения представ-
лена на рис. 19.5, в. В момент пре-
дельного равновесия конструкции
Мс=МА=МПр и
Л4с — А1пр = P-Rpl/A Afnp/2 или
42Ипр = Рпр/ — 2Afnp,
откуда
Рпр = 62Ипр// = 6oTFnJI//.
Неразрезные балки. Возможной
формой частичного разрушения не-
разрезной балки является обращение
ее в механизм в пределах любого
пролета при образовании трех пла-
стических шарниров, а в крайних
пролетах при их шарнирном опира-
нии— двух пластических шарниров.
Избыточное разрушение имеет мес-
то, когда, например, механизмы об-
разуются во всех пролетах балки.
Практически важно выявить несу-
щую способность балки при разру-
шении ее в пролете, работающем в
самых невыгодных условиях.
При расчете неразрезных балок
постоянного поперечного сечения,
учитывая явление выравнивания мо-
ментов в опасных сечениях в пре-
дельном состоянии, определяют пре-
дельный момент для сечений балки
и строятся эпюры несущих способно-
стей сечений балки. В рассматривае-
мом случае это будут две параллель-
ные оси балки линии, расположен-
ные сверху и снизу от нее на рас-
стоянии Afnp. В эту эпюру вписыва-
ются эпюры изгибающих моментов
в простых балках от внешней на-
грузки (рис. 19.6). При шарнирном
опирании крайнего пролета ордина-
ты эпюры в этом пролете отклады-
ваются от линии опорных моментов.
Из соотношений предельных мо-
ментов и изгибающих моментов про-
стых балок определяется предельная
нагрузка для каждого пролета. При
простом загружении предельная на-
244
грузка для всей балки принимается
равной минимальной из найденных
для каждого пролета.
Если поперечное сечение балки из-
меняется от пролета к пролету, отли-
чия расчета будут состоять в следу-
ющем: для каждого пролета необхо-
димо построить эпюру несущих спо-
собностей сечений, несущую способ-
ность опорных сечений принять по
меньшему предельному моменту в
примыкающих сечениях; ординаты
эпюры изгибающих моментов в про-
стых балках откладывать вниз от
линии меньших предельных опорных
моментов (рис. 19.7).
Рамы. Определение предельной
нагрузки для рам является задачей
более сложной. Объясняется это
тем, что количество кинематически
допустимых механизмов разрушения
рам (особенно многократно статиче-
ски неопределимых) больше, чем
для балок. Кроме того, не всегда
можно установить точно места появ-
ления пластических шарниров (опас-
ных сечений). В практических рас-
четах рам с учетом пластических де-
формаций влиянием поперечных сил
на положение пластических шарни-
ров, как правило, пренебрегают.
Влияние продольных сил не учиты-
вается в тех случаях, когда расчет
ведется по недеформированной схе-
ме (без учета возникновения допол-
нительных изгибающих моментов от
продольных сил в момент предельно-
го равновесия). При таких допуще-
ниях приближенно (а иногда и точ-
но) положение пластических шарни-
ров определяется по эпюре момен-
тов, построенной для упругой систе-
мы. Поэтому можно считать, что
опасные сечения будут в местах при-
ложения внешних сосредоточенных
силовых факторов (распределенная
нагрузка может быть заменена со-
а
средоточенными силами), а также в
узловых соединениях элементов.
При выявлении кинематически
возможных механизмов разрушения
следует учитывать, что пластические
шарниры односторонние, поэтому
они должны чередоваться по харак-
теру раскрытия. Так, например, если
какой-то шарнир в элементе рас-
крылся внутрь рамы, то расположен-
ный рядом (слева или справа) шар-
нир должен раскрыться наружу.
Если направление действия изгиба-
ющего момента в сечении не соответ-
ствует принятому характеру раскры-
тия шарнира, то рассматриваемая
схема разрушения кинематически не-
возможна.
Найдем предельную нагрузку для
двухшарнирной рамы с одинаковой
несущей способностью сечений эле-
ментов, загруженной как показано
на рис. 19.8, а. Общий вид эпюры
изгибающих моментов в раме при
245
Рис. 19.6
Рис. 19.7
упругой работе материала приведен
на рис. 19.8, б. Опасными являются
сечения /, 2, 3. Минимальное коли-
чество пластических шарниров, со-
ответствующее предельному равно-
весию рамы, равно двум. Схема
разрушения, представленная на
рис. 19.8, в, кинематически невоз-
можна, так как характер раскрытия
пластического шарнира 2 не соот-
ветствует направлению действия из-
гибающего момента в этом сечении.
В качестве возможных будем рас-
сматривать две другие схемы разру-
шения (рис. 19.8, г, д).
На схеме разрушения (рис. 19.8,
г) в пластических шарнирах 2 и 3
изгибающие моменты равны пре-
дельному Мпр=от1Гпл. Составим
уравнения равновесия рамы для это-
го случая (рис. 19.8, е):
= Ил I- Рю1/2 - Мпр = О,
откуда следует, что
Нл = Рав12 + Мпр//; (19.6)
^МТ = Нв1-Мт= о,
откуда
Яв = Мпр//; (19.7)
~с учетом выражений (19.6) и (19.7)
SX=Pnp—Рар/2 - Мпр// - Мпр// = 0.
246
Рис. 19.8
Из последнего уравнения получа-
ем
Plp = 4Mm/l. (19.8)
Составим уравнения равновесия
для второй схемы разрушения
(рис. 19.8, д), где в пластических
шарнирах 1 и 3 действуют Рпр и Mnv
(рис. 19.8, з).
Из уравнения
^Mi = HAl/2-MnB= О
получаем
На = 2Л4пр//; (19.9)
:2^зр = Яв/-Мир = 0,
откуда
Яв=Мпр//. (19.10)
С учетом формул (19.9) и (19.10)
2 X = Рпр - 2МтЦ - МтЦ = 0
Pop = (19.11)
247
Действительным предельным зна-
чением нагрузки для рассматривае-
мой рамы является
Рпр = min {Pjp, Pl') =
(19.12)
Эпюра изгибающих моментов, со-
ответствующая действительной схе-
ме разрушения рамы, показана на
рис. 19.8, ж. Используя зависимость
(19.12), можно решить обратную
задачу: по известной предельной
нагрузке, принимаемой за расчет-
ную, определить 1ГПЛ поперечных
сечений и подобрать их размеры.
Фермы. Не приводя примеров рас-
чета по предельному равновесию
статически неопределимых ферм,
укажем на некоторые особенности
решения этих задач.
При определении предельной на-
грузки для ферм несущая способ-
ность каждого элемента определя-
ется по зависимости (F —
площадь поперечного сечения эле-
мента). В связи с тем что статиче-
ски неопределимые фермы, как пра-
вило, имеют много элементов, зада-
ча значительно усложняется из-за
необходимости рассматривать мно-
жество возможных схем разруше-
ния. Поэтому при расчете ферм ча-
ще используется прямой метод рас-
чета, который обеспечивает анализ
работы фермы на промежуточных
стадиях до наступления предельно-
го равновесия.
Раздел третий
ОСНОВЫ УСТОЙЧИВОСТИ
И ДИНАМИКИ
СООРУЖЕНИЙ
Глава 20
УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
20.1. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ПОТЕРИ
УСТОЙЧИВОСТИ. КРИТИЧЕСКАЯ
НАГРУЗКА И КРИТИЧЕСКОЕ
СОСТОЯНИЕ СООРУЖЕНИЯ
Под действием статической внеш-
ней нагрузки система может быть
в устойчивом или же неустойчивом
состоянии равновесия. Если нагруз-
ки достигают некоторых предель-
ных значений, наступает момент,
когда равновесие системы становит-
ся неустойчивым. Малейшее откло-
нение от состояния равновесия мо-
жет явиться причиной перехода си-
стемы в новое, отличное от началь-
ного, состояние.
Различают потерю устойчивости
первоначального положения, когда
система без изменения геометриче-
ской формы занимает новое поло-
жение, и потерю устойчивости пер-
воначальной формы деформации
(равновесия).
Рассмотрим плоский сплошной
диск ABCD (рис. 20.1), свободно
опирающийся в точках А и В на
опорные подушки. К узлу С прило-
жена статическая нагрузка Р. Бу-
дем полагать, что диск не может
сдвигаться в горизонтальном на-
правлении. Нагрузка Р создает
опрокидывающий момент Ph отно-
сительно опоры А, которому проти-
водействует удерживающий момент
GZ/2 (G — сила тяжести диска).
При Ph=Gl!e2 положение диска
становится неустойчивым, и малей-
шее увеличение нагрузки или какие-
либо другие возмущения могут вы-
звать нарушение его равновесия и
потерю устойчивости первоначаль-
ного положения.
Второй вид потери устойчивости
проявляется в том, что при некото-
рых значениях внешних нагрузок
первоначальная форма деформации
системы изменяется и при малей-
шем приращении нагрузки или дру-
гом внешнем возмущении система
переходит в новое равновесное де-
формированное состояние. При этом
деформации могут быть недопусти-
мо большими, существенно возра-
стать при незначительном увеличе-
нии внешней нагрузки или ' даже
без увеличения последней. Рассмат-
риваемый вид потери устойчивости
системы обычно связывают с ее де-
формациями, но это явление обу-
словлено и нарушением равновесия
внешних и внутренних сил в систе-
ме. Поэтому равновесие упругой
системы может быть устойчивым
или же неустойчивым, граничное со-
стояние между которыми называют
безразличным состоянием системы.
В качестве примера рассмотрим
центрально-сжатый упругий стер-
жень (рис. 20.2, а). Если при неко-
тором значении Р' монотонно воз-
растающей нагрузки дать свобод-
ному концу стержня весьма малое
перемещение и удалить затем воз-
249
1/2 1/2
Рис. 20.1
а 6 в г
Рис. 20.2
мущающее воздействие, внешняя
нагрузка будет стремиться удер-
жать стержень в деформированном
состоянии, а внутренние силы —
вернуть его в исходное состояние.
При устойчивом равновесии стер-
жень вернется в первоначальное
состояние (центральное сжатие)
(рис. 20.2, б). На рис. 20.2, в изо-
бражено безразличное состояние
стержня, когда нагрузка увеличи-
лась до Р". Стержень перешел в
новое равновесное деформированное
состояние. При удалении посторон-
него возмущения форма равновесия
стержня не изменяется. Внутренние
упругие силы уже неспособны вер-
нуть его в начальное положение, но
внешняя нагрузка еще не достигла
такого значения, при котором воз-
можно дальнейшее приращение де-
формаций. При некоторой нагрузке
Р'" стержень перейдет в состояние
неустойчивого равновесия. Даль-
нейшее увеличение нагрузки или
другое внешнее возмущение вызо-
вет переход стержня в новое состоя-
ние, характеризуемое интенсивным
ростом деформаций и дальнейшим
отклонением его от начального по-
ложения. Таким образом, произой-
дет потеря устойчивости первона-
чальной формы деформации систе-
мы (рис. 20.2, г).
Наибольшая нагрузка, при кото-
рой система еще способна сохра-
нять первоначальную форму равно-
весия, называется . критической
(Ркр), а состояние системы под дей-
ствием критической нагрузки — кри-
тическим состоянием.
Из курса сопротивления материа-
лов известно, что для одного и того
же стержня может быть найдено не-
сколько значений критической силы,
соответствующих определенной фор-
ме изогнутой оси стержня. На рис.
20.3, а—в показано, как возрастает
критическая сила в зависимости от
формы деформированного состояния
шарнирно опертой центрально сжа-
той стойки. При решении практиче-
ских задач находят наименьшие
значения критических нагрузок, ко-
торым соответствуют наиболее про-
стые формы изгиба стержней.
При потере устойчивости переход
системы в новое деформированное
состояние происходит • практически
мгновенно и сопровождается увели-
чением деформаций и перераспре-
делением усилий в ней. В результа-
те, как правило, конструкция пере-
ходит в аварийное состояние. По-
250
этому при проектировании сооруже-
ния расчеты на прочность дополня-
ют проверкой его устойчивости, при
которой находят наименьшие значе-
ния критических нагрузок.
Различают (условно) потерю
устойчивости первого и второго ро-
да. Первая характеризуется качест-
венным изменением формы дефор-
маций — возникают и интенсивно
развиваются деформации нового ви-
да. Сюда относится потеря устойчи-
вости центрального сжатия, плоской
формы изгиба. Так, в сечениях цен-1
трально сжатого стержня (см. рис?
20.2) при нагрузке Р'<РКр возни-
кают только деформации сжатия, а
при Р'"=РК$ и деформации изгиба.
Потеря устойчивости первого рода
характерна, например, для верхних
сжатых поясов фермы (рис. 20.4),
параболической арки постоянного
сечения, нагруженной сплошной
равномерно распределенной нагруз-
кой (рис. 20.5). Защемленная тон-
кая полоса при определенном
значении вертикальной внешней на-
грузки отклоняется от первоначаль-
ного положения, происходит допол-
нительный изгиб консоли в горизон-
тальной плоскости и ее закручива-
ние (рис. 20.6).
При потере устойчивости второго
рода деформации качественно оста-
ются теми же, что и в начальный
момент загружения, но они интен-
сивно развиваются. Примерами мо-
гут служить внецентренно нагру-
женная стойка (рис. 20.7), трехшар-
нирная арка, на которую действует
сосредоточенная нагрузка (рис.
20.8).
Потеря устойчивости может иметь
место как в упругой, так и упруго-
пластической стадиях работы ма-
териала конструкции.
В реальных конструкциях имеет
а
Рис. 20.3
место, как правило, потеря устойчи-
вости второго рода в силу неизбеж-
ного отклонения нагрузок от про-
ектного положения (эксцентрисите-
ты), неоднородности материала и
др. В результате, например, сжатые
элементы стержневых систем еще до
251
Рис. 20.4
/
потери устойчивости являются сжа-
то-изогнутыми. Потеря устойчивости
второго рода обычно происходит
при нагрузках, меньших, чем при
потере устойчивости первого рода.
Тем не менее для оценки несущей
способности, определения гибкости
Рис. 20.8
сжато-изогнутых стержней нужно
знать критические силы, соответст-
вующие потере устойчивости перво-
го рода. Ниже рассматриваются не-
которые простейшие задачи иссле-
дования потери устойчивости перво-
го рода плоских упругих систем.
20.2. ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
И ФОРМЫ НЕУСТОЙЧИВОГО
РАВНОВЕСИЯ
Количество возможных форм не-
устойчивого равновесия и соответ-
ствующих этим формам критиче-
ских сил характеризуется числом
степеней свободы системы. Число
степеней свободы — количество не-
зависимых геометрических парамет-
ров, определяющих положение всех
точек деформированной системы.
252
Реальная упругая система облада-
ет бесконечным множеством степе-
ней свободы и форм неустойчивого
равновесия. С целью упрощения
расчета упругая система может
быть заменена более простой, име-
ющей конечное число степеней сво-
боды. Это позволяет дифференци-
альные уравнения изгиба заменить
алгебраическими и упростить реше-
ние.
Например, для системы, изобра-
женной на рис. 20.9, а, считая стерж-
ни АВ, ВС и BD абсолютно жест-
кими, расчетную схему можно при-
нять, как показано на рис. 20.9, б.
В результате получим систему с
одной степенью свободы. Опреде-
лим критическую силу, приравняв
нулю сумму работ внешних и вну-
тренних сил, выполняемых ими при
переходе системы из прямолинейно-
го в деформированное состояние.
Обозначим жесткость упругой опо-
ры, характеризуемую силой, необ-
ходимой для удлинения пружины
на единицу, С. Работа внутренних
сил при перемещении упругой опо-
ры на у
—0,5Суу = —0,5Су2.
Из рисунка у = I tg а = /а (ввиду
малости угла а). Тогда —0,5С«/2 =
= —0,5CZ2a2. Работа внешних сил
равна РкрД, где
Д = 2 (Z — Z cos a) = 2Z (1 — cos а) =
= 2Z 2 sin2 -у- = 41 (-у.у = 1а?.
Уравнение работ имеет вид:
PKpZa2 — 0,5CZ2a2 = 0, откуда
Pw = CZ/2. (20.1)
Реакцию С можно определить,
воспользовавшись табл. 16.1: С=
= ЗЕЦ/Р.
253
По формуле (20.1) получаем
Ркр = CZ/2 = 3EIJ13 4/2 =
В рассмотренном примере воз-
можна только одна форма потери
устойчивости, которой соответствует
найденное значение критической
силы.
20.3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
УСТОЙЧИВОСТИ
Статический метод. При исполь-
зовании этого (точного) метода за-
данной упругой системе дают бес-
конечно малые перемещения, обес-
печивающие качественно новое де-
формированное состояние системы.
Для элементов системы в возму-
щенном состоянии составляют и ре-
шают дифференциальные уравнения
равновесия. С учетом граничных
условий формируется система ли-
нейных однородных уравнений, ко-
личество которых равно числу не-
известных постоянных после инте-
грирования уравнений равновесия.
Новое деформированное состояние
системы будет обеспечено, если по-
стоянные в системе однородных ли-
нейных уравнений отличны от нуля.
В этом случае определитель, со-
ставленный из коэффициентов k при
постоянных,
D(&) = 0. (20.2)
Равенство (20.2) называется ха-
рактеристическим уравнением (урав-
нением устойчивости), решением ко-
торого находят критические силы
или критические параметры.
Рассмотрим центрально сжатый
стержень постоянного сечения (рис.
20.10). При бесконечно малых пере-
мещениях положение изогнутой оси
стержня описывается приближенно
дифференциальным уравнением
±Е1 = Мх.
dx2
Изгибающий момент в произволь-
ном сечении
Мх = -Рту + Rb(1— X).
С учетом принятого направления
координатных осей дифференциаль-
ное уравнение изгиба получаем в
виде:
EIy- + PKBy = RB(l-xy,
Обозначив п = УРкр/(Е1) и решив
уравнение, имеем
у = A sin (пх) + В cos (пх) + С (I — х),
(20.3)
где А и В — постоянные интегриро-
вания; С = RB/(EI).
Поскольку
Ркр = п2Е1, (20.4)
критическая нагрузка может быть
найдена, если известен параметр п.
Для определения неизвестных А,
В и С в уравнении (20.3) использу-
ем граничные условия.
При х=0 у=0 и у=А-0+1-В+
+ С4=0.
При х=0 у' = 0, тогда
у' = An cos (пх) — Bn sin (пх) — С =
= АпЛ—В-0 — СЛ = 0.
При х — 1у=0, тогда
у = A sin(nZ) + В cos (nl) 4- С- 0 = 0.
Итак, получена система однород-
ных линейных уравнений:
254
В + Cl = 0;
Ап — С = 0;
A sin (nZ) + В cos (nZ) = 0.
(20.5)
Уравнения (20.5) удовлетворяют-
ся при A = B = C = 0. В этом случае
они характеризуют недеформиро-
ванный стержень (прогибов нет).
Если А, В и С отличны от нуля,
должно выполняться равенство
(20.2), что соответствует неопреде-
ленному значению постоянных и
безразличному состоянию системы.
Таким образом, уравнение устой-
чивости имеет вид:
0 1 Z
D = п 0 —1=0.
sin (nZ) cos (nZ) 0
Раскрыв определитель, получаем
nl cos (nZ) — Isin (nZ) = 0, или
tg(nZ) = nZ. (20.6)
Чтобы найти наименьшее (отлич-
ное от нуля) значение критической
силы, нужно отыскать наименьший
(отличный от нуля) корень уравне-
ния (20.6). Путем подбора находим
= 4.493. Тогда п = 4.493/1, и по
формуле (20.4) получаем РКр=
= л2Е/=20,19 E//Z2.
Статический метод исследования
устойчивости имеет разновидности:
непосредственное интегрирование
дифференциальных уравнений упру-
гой линии сжато-изогнутых стерж-
ней; использование метода сил или
метода перемещений; интегрирова-
ние уравнений в конечных разно-
стях; нахождение решения способом
последовательных приближений и
т. д.
Энергетический метод. Являясь
Рис. 20.11
приближенным, этот метод широко
применяется при определении кри-
тических нагрузок как для отдель-
ных стержней, так ’ и для сложных
систем. В основе его лежат энерге-
тические признаки равновесия, со-
гласно которым потенциальная
энергия системы в состоянии устой-
чивого равновесия имеет минималь-
ное значение, в состоянии неустой-
чивого равновесия — максимальное,
а в случае безразличного состояния
системы — остается постоянной.
Это положение можно подтвер-
255
дить на примере шарика, помещен-
ного на различных поверхностях
(рис. 20.11). Шарик, находящийся
на вогнутой сферической поверхно-
сти, располагается в самой низкой
ее точке (рис. 20.11, а), обладает
минимальной потенциальной энер-
гией и находится в состоянии устой-
чивого равновесия. Шарик в верх-
ней точке выпуклой сферической по-
верхности обладает максимальной
потенциальной энергией и находит-
ся в неустойчивом положении (рис.
20.11, б), а при малейших отклоне-
ниях начнет двигаться, и энергия
его будет уменьшаться, пока он не
займет положение устойчивого рав-
новесия. Если шарик находится на
горизонтальной плоскости (рис.
20.11, в), то при любых перемеще-
ниях в этой плоскости его потенци-
альная энергия не изменяется (он
находится в безразличном состоя-
нии).
Полная потенциальная энергия
упругой системы численно равна
работе внешних и внутренних сил,
совершаемой при переходе системы
из одного положения равновесия в
другое. Поэтому приращение потен-
циальной энергии
MI = MJ — АТ,
где А£/, АТ — элементарная работа
соответственно внутренних и внеш-
них сил при отклонении системы от
исходного состояния равновесия.
В состоянии устойчивого равнове-
сия системы &П=&и—АТ>0; при
неустойчивом равновесии \n=MJ—
—\Т<$\ в безразличном состоянии
&П=&и—АТ—0, или
U = T. (20.7)
Расчет систем на устойчивость
энергетическим методом состоит в
следующем. Обеспечивается беско-
нечно малое отклонение системы от
начальной формы равновесия и оп-
ределяется работа внутренних сил
и внешних нагрузок. Если при этом
А£/>АТ, то система устойчива. Из
равенства (20.7) можно найти зна-
чения внешних нагрузок, при кото-
рых становится возможной потеря
устойчивости первоначальной фор-
мы равновесия.
Потенциальная энергия для пло-
ской стержневой системы опреде-
ляется по формуле (10.5).
Для систем из элементов сплош-
ного сечения, пренебрегая работой
поперечных и продольных сил, по-
лучаем
и = у Г ^Здх-.
A J 2EI
Поскольку Ely" = М,
и =^-^^El(y’ydx. (20.8)
*0
Работа внешних нагрузок
т=5/>6’ (20,9)
где б — перемещение точки прило-
жения внешней силы по ее направ-
лению.
Рассмотрим стержень, нагружен-
ный силой Р (рис. 20.12, а). При пе-
реходе стержня в деформированное
состояние сила Р переместится по
вертикали на б, а ось стержня изо-
гнется. Выделим бесконечно малый
элемент dx стержня и определим^
вертикальное смещение Аб его кон-
ца, вызванное поворотом элемента
dx на бесконечно малый угол dtp
(рис. 20.12, б):
Аб = dx — dx cos dtp =
= (1 — cos dtp) dx = 2 sin2 -y— dx.
256
Вследствие малости угла t/ф мож-
но принять
--j-w.
4
Тогда
Ы = 2-!-(уУ<1х = -1-(у’Г<1х
4 2
И
6 = -±-jWdx. (20.10)
Для рассматриваемого стержня
работа внешних сил
г = Р6 = Р -i- j (у')2 dx. (20.11)
Приравняв правые части формул
(20.8) и (20.11) и решив получен-
ное уравнение относительно Р,
имеем
i
J EI (Л2 dx
. Рк» = ---------• (20.12)
J (/)’ dx
о
Формула (20.12) справедлива при
любых закреплениях концов
стержня.
Для стержневой системы, в кото-
рой нагружено несколько стержней,
критическая нагрузка находится
так же, т. е. путем приравнивания
правых частей равенств (20.8) и
(20.9). Но предварительно внешние
силы необходимо выразить через
одну из них (статические нагрузки
можно считать пропорциональными
одному параметру).
Чтобы определить критическую
Рис. 20.12
нагрузку по формуле (20.12), не-
обходимо знать уравнения упругих
линий отдельных стержней в дефор-
мированном состоянии системы. По-
скольку истинная форма деформа-
ции системы в момент потери устой-
чивости, как правило, неизвестна,
то ее принимают приближенно, что
и обусловливает приближенный ха-
рактер рассматриваемого метода.
Недостатком энергетического ме-
тода является также то, что нельзя
оценить степень точности получен-
ного результата. Кроме того, он
дает завышенные значения крити-
ческих сил.
Рассмотрим ход решения задачи энерге-
тическим методом на примере прямолиней-
ного шарнирно опертого стержня (рис.
20.13). Уравнение упругой линии стержня
в деформированном состоянии примем в
виде
У = Уо sin (лж)//,
где уо — прогиб стержня в середине про-
лета.
В нашем случае
„ л3 . пх
У" = -S'0-^-sm-j—;
17. Зак. 1840
257
Рис. 20.13
Числитель в выражении (20.12)
I 4 1
J EI (Л2 dx = EIy2Q -у J sin2 -р- dx =
о о
знаменатель
[ (y')2dx = y2fT£- J* cos2 -p- dx =
b о
критическая нагрузка
D г5.-,2 я4 21 Я*Е/
2Л • у2п2 - /2 •
Это точное решение, так как действи-
тельная форма деформации стержня в мо-
мент потери устойчивости характеризуется
тем, что его упругая линия описывается си-
нусоидой.
Имеются и другие точные и при-
ближенные методы исследования
устойчивости упругих стержней и
стержневых систем. Основными яв-
ляются статический и энергетиче-
ский методы, которыми воспользу-
емся в дальнейшем.
20.4. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ
СТЕРЖНЕЙ С ЖЕСТКИМИ ОПОРАМИ
Стержень постоянного сечения с
неподвижными опорами. Задача о
потере устойчивости прямолиней-
ной формы сжатого стержня впер-
вые решена Л. Эйлером. Формула
Эйлера для определения критиче-
ской сжимающей нагрузки на стер-
жень с шарнирно-опертыми конца-
ми имеет вид
Ркр = п*ЕЦР. (20.13)
Для стержней с различными за-
креплениями концов критическая
сила может быть определена по об-
щей формуле
Ркр = ^Е1Ц2 = ^EHW,
где /о — приведенная (расчетная)
длина сжатого стержня: /0=р/; И—
коэффициент расчетной длины.
В табл. 20.1 даны формулы для
определения критических сил и рас-
четные длины центрально нагружен-
ных стержней с различными усло-
виями опирания.
Для стержней с консолью (рис.
20.14)
Ркр = k2EI/l2.
где I — полная длина стержня,
включая консоль; k — коэффици-
ент, зависящий от отношения Ц/1.
При расчетах могут быть приняты
следующие значения k:
Ц1 0 0,1 0,2 0,3 0,4
k 0 1,58 1,64 1,85 2,12
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
2,35 2,58 2,80 2,96 3,07 3,14
258
Стержень постоянного сечения,
загруженный несколькими силами.
Решение задачи для стержня с од-
ним защемленным и вторым сво-
бодным концом (рис. 20.15, а) в
случае действия двух сил выполним
статическим методом. Составим
дифференциальные уравнения рав-
новесия для каждого из участков
стержня. В произвольно принятых
сечениях с абсциссами Xi и х2 от-
клонения оси стержня обозначим
соответственно yi и у2, а переме-
щения точек приложения сил Pi и
Р2— 61 и 62 (рис. 20.15, б).
Изгибающий момент на первом
участке
Учитывая, что Л1 = Elif, и обозна-
чив Mi = V Р11{ЕГ) , последнее ра-
венство после преобразований пред-
ставим в виде
У\ + «1 У1 = п 161.
Решение этого уравнения
yt = At sin (nxx) + Bi cos (n^x) + 6V
(20.14)
Изгибающий момент на втором
участке
М2 = Pi (6Х — у2} + Р2 (62 — у2).
Тогда дифференциальное уравнение
17*
259
упругой линии стержня на этом
участке будет
EIy2 4- (Pi + Р2) У2 = Р161 + Р262.
Разделив все слагаемые на EI и обоз-
начив п2 = У (Pt + Р^!(Е1) , полу-
чим
У2 4- «2 У2 = я? 6i 4—62.
Выразим Р2 через параметры п2 и
Р2 -- п|Е/ — Рх = n^EI — п\Е1 =
Тогда
У 2 4“ П2У2 = И161 + (п.2 — П?) 62,
а решение этого уравнения
Уг = Л2 sin (п2х) + В2 cos (п2х) +
+ • (2015)
“г * 2
Постоянные в уравнениях (20.14)
и (20.15) найдем, используя гранич-
ные условия: 1) сечение в защемле-
нии не, может поворачиваться — при
х = 0 #2 = 0; 2) при х = I yr = 6р
3) углы поворота сечения на границе
участков, получаемые по уравнениям
(20.14) и (20.15), должны быть оди-
наковы — при х = Z2 у[ = у'2\ 4) в том
же сечении должны быть одинаковы-
ми и изгибающие моменты, получае-
мые из тех же уравнений, —при
X = z2 y'i = y"t.
Поскольку
у\ = Atnt cos (ntx) —sin (пре);
у\ = —Atnj sin (пре) — B^l cos (nix);
у 2 = Л2п2 cos (n2x) —B2n2 sin (npe);
у2 = —Л2п| sin (n2x) — B2n22 cos (nx),
из первого условия получаем:
у 2 = Л2п21 — В2п20 = 0, откуда
Л2 = 0.
Второе условие дает у1=Л15тп^4-
+ Bi cos ntl 4- = dp Используя
третье и четвертое условия, получа-
ем:
Л!«! cos (nrl2) — Bj/h sin (пД) =
= —B2n2sin(naZ2); -
—Л pi* sin (nil2) — Bin\ cos (п^2) =
= —B2n| cos (n2Z2).
Таким образом, имеем систему линей-
ных уравнений:
At sin (njl) 4- Bi cos (nxZ) + 0 = 0;
Atnt cos (nrl2) — Bi«i sin (n^) +
+ B2n2sin(n2Z2) = 0;
A^ sin (riiZ2) 4- Binf cos (niZ2) —
— B2n| cos (n2Z2) = 0,
для которой должно соблюдаться ус-
ловие (20.2):
sin (riiZ)
«1 cos (ntZ2)
nJ sin (niZ2)
D =
cos (nxZ)
—nt si^njZ^
nJ cos (niZ2)
0
n2sin(n2Z2) = 0.
—n| cos (п^2)
Разделив элементы второй строки
определителя на пъ а третьей — на
nf, раскрыв определитель и умножив
все слагаемые на njn^ и l/[cos(n2Z2)],
после преобразований получаем:
260
tg(M,) X
X sin («10 cos («1*2) — cos («10 sin (nj2) __
sin («10 sin (щ/2) + cos (щ/2) cos (nx/2)
= -2*-, (20.16)
«1
ИЛИ tg(/21Z1) tg(/z2Z2) = Л2/«1-
Решается уравнение (20.16) при
заданных отношениях Р^Р\ и Z2/Zi
путем подбора.
Пример. Определить критические сжима-
ющие нагрузки для стойки, изображенной
на рис. 20.15, при P2=2Pi, 12=1\=1/2.
Решение.
- - К -ТГ •
По формуле (20.16) получаем: tg =
tg (0,5щ/) tg (0,865щ0 = 1,73.
Путем подбора находим значение nJ, при
котором удовлетворяется последнее равен-
ство: nj= 1,337; П1 = 1,337//.
Критические сжимающие силы:
Р1кр = п\Е1 = (1,337//)2£/ = j WEIH*-,
Р гкр = 2Р 1кр = 3,58£///2.
С увеличением числа нагрузок ре-
шение задачи статическим методом
усложняется. В таких случаях ис-
пользуют приближенные способы.
Способ проф. А. П. Коро-
бов а для защемленного стержня
состоит в том, что все нагрузки пере-
носятся в сечение на его свободном
конце и рассматривается устойчи-
вость стержня под действием одной
силы. Критические силы определя-
ются в предположении, что задан-
ное и принятое состояния стержня
должны быть равноустойчивы. По-
ясним это на примерах.
6
Рис. 20.16
Если нагрузка Р приложена к
стойке на расстоянии 10 от защем-
ления (рис. 20.16, а), то верхнюю
(ненагруженную) часть стержня
можно не учитывать (она не участ-
вует в работе стержня). По форму-
ле Эйлера
Ркр = л2£//(41§).
Критическая сила для стержня,
загруженного на свободном конце^
Р% = л*Е1/(4Р).
Очевидно, что Ркр < Ркр- Из усло-
вия равноустойчивости обоих слу-
чаев можно записать: Р"? = аРкр или
261
an2EII(4lo) = я?Е1[(4Р), откуда а —
= (V02-
В случае действия одной силы по-
лучим точное решение
рпр_Л_ Д2£/ Д2£/
К₽ /2 ’ 4/2 4/2
Если на стержень действуют п
сил (рис. 20.17),
(20.17)
где ркр — критический параметр за-
данной группы сил.
Из равенства (20.17)
(20.18)
3 7>гкр=Ркр7>г (i— 1, 2, ..., fl).
Способ Коробова может быть
применен также и для стойки с
шарнирно опертыми концами, если
нагрузка приложена в середине
пролета (рис. 20.18, а). Если а=
= 0,5, то Р«р = 0,5 Р. Прикладывая
нагрузку в верхнем конце стойки,
найдем критическую силу для этого
вида загружения (рис. 20.18, б):
Р/2 = я2Е1Ц\ или Ркр = 19,72Е///2.
По сравнению с точным решением
Т’кр = 1S.66E//P. Относительная по-
грешность способа составляет 5,68%.
С увеличением числа нагрузок
погрешность нарастает, так как к
задачам на устойчивость неприме-
ним принцип независимости дейст-
вия сил. Более близкие к точным
значения критических сил будут по-
лучены, если в формуле (20.18) при-
нимать (Ц/1)2'2 вместо (li/l)2-
Стержень переменного сечения.
Рассмотрим стойку с кусочно-
постоянным сечением (рис.
20.19, а). Деформированное состоя-
ние стержня изображено на рис.
20.19, б.
Решение задачи статическим ме-
тодом выполняется так же, как и
для защемленного стержня посто-
янного сечения под действием двух
сил. По аналогии с этим рассмот-
ренным выше случаем дифференци-
альное уравнение упругой линии
сжато-изогнутого стержня на пер-
вом участке будет
У\ + = «X
где = ~VPI(EI^ .
Изгибающий момент на втором
участке
м2 = Р(б-г/2),
а уравнение равновесия для этого
участка
Уъ + nly2 = п1б,
где n2 = Ур/(Е72) .
262
Решение дифференциальных урав-
нений запишем в виде:
Ух = А± sin (rtjx) + Bi cos (rtjx) + 6;
y2 = A2 sin (n2x) + B2 cos (n2x) 4- 6.
Используем граничные условия:
1) при х = 0 у'2 = 0; 3) при х—12
У[ = У2>
2) при х = I ух =6; 4) при х = Z2
„ п\ »
У\ ~ 2 ^2*
П2
Последнее (четвертое) граничное
условие отражает равенство в сече-
нии с абсциссой х = 12 изгибающих
моментов со стороны обоих участ-
ков, т. е.
ЕЦу} = Е12у2, откуда
£2/1 П2
Выполнив преобразования, как и
в случае стержня постоянного се-
чения, загруженного двумя силами,
получим систему линейных уравне-
ний:
Ах sin (nxZ) 4- Вх cos (nxZ) 4-0 = 0',
Axfix cos (fti4) — ВхПх sin (nxZ2) 4-
4- В2п2 sin (n2Z2) = 0;
Axn\ sin (nxl2) Bjrt i cos (rtiZ2) —
— B2n 1 'cos (n2Z2) = 0.
Разделив второе уравнение Ha nlt
а третье на nJ, из условия (20.2)
имеем уравнение устойчивости
которое после раскрытия определителя
дает
ctg (njZj) ctg (n2Z2) = n2/nx, или
(20.19)
tgWi)tg(n2Z2) = n1/n2.
Уравнение (20.19) решается при
заданных отношениях ЕЩ(Е12) и
1\/12 путем подбора.
sin (rtjZ) cos (nxZ)
D = cos (nxZ2) — sin (nxZ2)
sin (nxZ2) cos (nxZ2)
0
-^-sin(n^)
Cnl
— cos(n2Z2)
= 0,
263
Рис. 20.20
Аналогичное уравнение может
быть получено для того же стерж-
ня, загруженного двумя силами, од-
на из которых приложена на сво-
бодном конце стержня, а вторая —
на уровне уступа:
tg(«i/x)‘g(«A)=
Ид П
Здесь
«х = У/>х/(£/х), ла= У(Р1+Л)/(£4).
На рис. 20.20 изображена стойка
с плавно-переменным се-
чением. Дифференциальное урав-
нение равновесия стойки в дефор-
мированном состоянии
EI(x)tf = — М(х). (20.20)
Решение задач устойчивости
стержней плавно-переменного сече-
ния сводится к интегрированию
дифференциальных уравнений с пе-
ременными коэффициентами при у"
и может быть получено с помощью
специальных функций (например,
функций Бесселя). Чаще же ис-
пользуют численные методы. Реше-
ния получены для ряда частных
случаев, а для облегчения вычисле-
ния критических сил составлены
таблицы, имеющиеся в справочни-
ках'и специальных курсах строи-
тельной механики.
Для рассматриваемой стойки (см.
рис. 20.20) примем, что момент
инерции сечения изменяется по
квадратной параболе:
/(*) = /,[-£- (/-*)],
где /о — момент инерции в середи-
не высоты стойки.
Полагая, что искривление оси
стержня в момент потери устойчи-
вости произошло в направлении оси
у, записываем уравнение (20.20) в
виде
[4г(l -*)]»’=-(2о-21>
где у — отклонение оси стержня в
произвольном сечении с абсцис-
сой х.
Равенство (20.21) обеспечивает-
ся, если упругая линия стержня в
деформированном состоянии тоже
описывается квадратной параболой:
У = — X).
Подставляя выражения у и у" в
равенство (20.21), получаем
=-р[4-х('-4
откуда Р^=^ЕЩ12.
Приближенные значения критиче-
ских сил для стоек плавно-перемен-
ного сечения могут быть получены
путем замены их соответствующи-
ми стойками кусочно-постоянного
сечения с использованием имею-
щихся точных или приближенных
решений.
264
20.5. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ
СТЕРЖНЕЙ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ
С УПРУГИМИ ОПОРАМИ
Стержень с шарнирным и упруго-
опертым концами. Рассмотрим
стойку с шарнирными опорами, вхо-
дящую в состав системы (рис.
20.21, а). Верхняя опора стойки АВ
может линейно перемещаться в го-
ризонтальном направлении в резуль-
тате упругого изгиба стержня CD.
Опорные закрепления такого харак-
тера (линейно-упругие опоры) на
расчетных схемах обозначаются в
виде пружины, обеспечивающей по-
датливость опоры (рис. 20.21, б).
Упругой опорой может быть один
стержень, несколько взаимосвязан-
ных одиночных стержней или же
часть системы, к которой примыка-
ет нагруженный стержень.
В рассматриваемом случае воз-
можна одна из двух форм потери
устойчивости, соответствующая наи-
меньшему* значению критической
силы. При большой жесткости упру-
гой опоры (пружины) и малой
жесткости сжатого стержня АВ по-
теря его устойчивости может про-
изойти в форме изгиба без откло-
нения верхнего конца. Тогда кри-
тическая сила определяется по фор-
муле Эйлера (20.13). При малой
жесткости (большой податливости)
упругой опоры и большой жестко-
сти нагруженного стержня он мо-
жет П9терять устойчивость, повора-
чиваясь в шарнире А, но оставаясь
при этом прямолинейным. Рассмот-
рим эту форму потери устойчивости.
Для решения задачи используем
энергетический метод. Пусть при
потере устойчивости стержень АВ
повернулся на угол dcp и занял но-
вое положение (рис. 20.21, в).
Определим работу внутренних и
внешних сил, выполненную ими при
переходе системы в новое деформи-
рованное состояние.
Жесткость упругой опоры (пружи-
ны), определяемую силой, необхо-
димой для перемещения этой опоры
на единицу, обозначим С. Работа
внутренних сил
265
Рис. 20.22
U = 0,5Cff = 0,5Cf2,
где Cf — сила, необходимая для
удлинения пружины на f.
Работа, выполненная внешней си-
лой (формула (20.9)), 7’=Ркрб.
На основании зависимости (20.10)
6 = -~ J tg2d<pdx =
о
Т = Ркр6 = Рй/У(2/).
По условию (20.7) Cf2/2=-PKpf2/2l,
откуда
Рйр = С1. (20.22)
Поскольку действительная форма
потери устойчивости заранее не из-
вестна, по формулам (20.13) и
(20.22) определяют критические
силы и в качестве расчетной прини-
мают меньшую из них.
Для определения критической си-
лы по формуле (20.22) необходимо
определить жесткость упругой опо-
ры.
Эпюры изгибающих моментов в
стержне CD от силы С и во вспомо-
гательнОхМ состоянии от Р=1 пока-
заны соответственно на рис. 20.22,
а, б. Перемещение шарнира С в го-
ризонтальном направлении находим
перемножением эпюр:
р МсШх 1
J EIt
о
ЕЛ
х—ад, — = -EL..
2 3 ЗЕ/!
Из условия С/1/(ЗЕЛ) = 1 получаем
С = 3EIill\ и по формуле (20.22)
находим
PKD = C/=-^-Z. (20.23)
Если в рассмотренной задаче li = l
и ЕЦ = 2Е1, то
р _ Qi _ 3-2Е1 . _
_ 6EI n2EI
~ I2 I2 '
В данном случае расчетной будет
критическая сила, найденная по
формуле (20.23), а форма потери
устойчивости стержня показана на
рис. 20.23.
Формула (20.23) может быть полу-
чена другим путем. Поскольку
fP=lC = 1 (fp=i — перемещение упру-
гой опоры, вызванное силой Р = 1),
то С = 1//р=1 и = l/fp_v
Согласно эпюре Af (рис. 20.22, б),
получаем:
M2dx _ 1
ЕЛ “ ЕЛ
XJ_V12_Z1=JL;
2 11 3 1 ЗЕЛ
р____1 1 _ ЗЕЛ
гкр— f 1
I.
266
Стержень с жестко защемленным
и упругоопертым концами. В этом
случае стержень не может перейти
в деформированное состояние, оста-
ваясь прямолинейным, так как при
линейном перемещении шарнирной
опоры стержень изгибается (рис.
20.24, а).
Решение задачи найдем статиче-
ским методом, используя диффе-
ренциальное уравнение равновесия
Е1у"=М. В деформированном со-
стоянии стержень находится под
действием критической нагрузки
РКр и силы со стороны упругой опо-
ры Cf (рис. 20.24, б). Изгибающий
момент в произвольном сечении
Мх = PK»(f-у) - Cf (Z-x) = Eltf.
Тогда
W + PKp^=PKp/-C/(Z-x).
Разделив'’полученное уравнение на
EI и обозначив п = Уркр/(Е/),
получим
/ + = f (/-ж)].
Решение этого уравнения имеет
вид
у = A sin (пх) + В cos (пх) 4-
Для определения А, В, f исполь-
зуем граничные условия: 1) при
х = 0 #=0; 2) при х—1 у —Г, 3) при
х=0 ./ = 0.
Из первого условия
^ = Л-0 + В.1+/(-1^)=0;
из второго
у = A sin (nl) 4- В cos (nl) 4- f '= /;
из третьего
у' = An cos (nx) — Bn sin (nx) 4-
+ f = o.
' п*Е1
Полученная система линейных
уравнений имеет вид:
A sin (nl) 4- В cos (nl) =0;
Лп-|—— f = 0.
п*Е1 '
267
Выявим границы, в пределах ко-
торых находятся значения nl и
Ркр. При С=0 tg(nZ) =—оо, nl =
= —л/2, n=—si/(2l) и Ркр=
= n2E//(4Z2). Это случай стойки с
нижним защемленным и верхним
свободным концами. При С=оо
tg(7iZ)=nZ, nZ=4,493 и Ркр=
= 20,19£7/Z2, что соответствует слу-
чаю, когда нижний конец стойки
защемлен, а верхний шарнирно
оперт. Итак, 1,57 ^«Z^ 4,493,
n2E//(4Z2) ^Р1ф^20,19Е///2.
Из условия (20.2) получаем ха-
рактеристическое уравнение
0
1
D =
sin (nZ)
п
cos (и/)
0
0
С
п2Е1
Раскрыв определитель, имеем
--£-^(„0 = 0,
или после преобразований
tg(nl) = nl---(20.24)
Решение уравнения (20.24), как
правило, ведется путем подбора та-
кого значения nl, при котором удов-
летворяется равенство его левой и
правой частей. Если такое значение
nl найдено, то
Ркр = п2Е1. (20.25)
Пример. Требуется определить критиче-
скую силу для средней стойки системы, изо-
браженной на рис. 20.25.
Решение. Для упругой опоры в виде
одной стойки C=3EIfl3. В рассматриваемом
случае ее роль играют две крайние стойки.
Поэтому жесткость упругой опоры С=
—2-3E//Z3—6E//Z3.
Подставив значение С в равенство
(20.24), получаем
1 л f (nZ)3EZ
tg (nZ) = nZ- =
, (nZ)3l,8EZZ3
~П ~~ 6 Ell3
или tg (nZ) = nZ — 0,3 (nZ)3. (20.26)
Последнее равенство удовлетворяется
при nl=2,25. По формуле (20.25) Рк₽=
п2Е1=Ь№ЕЦР.
Возможная форма потери устойчивости
изображена на рисунке.
Если жесткость упругой опоры
выразить через перемещение от си-
лы Р=1, формула (20.24) принима-
ет вид
tg (nl) = nl — (nlfEIfp=l/P.
Если примыкающая к нагружен-
ной стойке часть системы статиче-
ски неопределима, то жесткость
упругой опоры или ее перемещение
от силы Р=1 определяются как в
статически неопределимой системе.
Рассмотренные выше решения
268
задачи устойчивости стержней с
упругими опорами являются част-
ными, которые можно получить из
формулы по определению критиче-
ской силы для общего случая
стержня с одной упруго защемлен-
ной, а второй шарнирной упругой
опорой. Такое решение имеется в
рекомендованной литературе.
20.6. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКИХ РАМ
Общие положения. С целью упро-
щения расчета рам на устойчи-
вость принимаются следующие до-
пущения: рассматривается только
центрально приложенная узловая
нагрузка; предполагается, что кри-
тическое состояние рамы достигает-
ся при одновременном пропорцио-
нальном возрастании всех узловых
нагрузок; стержни рамы принима-
ются абсолютно прямыми, соединен-
ными между собою жестко или
шарнирно, несжимаемыми и нерас-
тягиваемыми; считается, что хорда,
стягивающая концы изогнутого
стержня, равна длине стержня в
недеформированном состоянии; не
учитывается изменение продоль-
ных и поперечных сил в стержнях в
момент потери устойчивости. Пер-
вое допущение принято в силу того,
что рассматривается потеря устой-
чивости первого рода, остальные —
так как считается, что в момент по-
тери устойчивости деформации си-
стемы малы вследствие бесконечно
малых перемещений исходной си-
стемы.
Нц рис. 20.26 изображена рама,
в которой сосредоточенная нагрузка
Р приложена только в одном узле.
В данном случае критическую на-
грузку можно было бы находить
для нагруженной стойки с упругой
опорой. Однако этот прием неэф-
фективен, так как критическая сила
зависит от углового и линейного пе-
ремещений упругой опоры. Опреде-
ление характеристик упругой опоры
более громоздко, чем исследование
устойчивости системы в целом. Кро-
ме того, в подавляющем большин-
стве случаев нагрузки приложены
во всех узлах рамы и условия зада-
чи требуют исследования устойчи-
вости системы в целом.
Расчет на устойчивость рам мо-
жет быть выполнен методом сил
или методом перемещений. Выбор
метода зависит от вида системы.
Обычно более удобным является
метод перемещений.
Метод перемещений. Ход расчета
на устойчивость методом перемеще-
ний тот же, что и при расчетах рам
на прочность. Как обычно, устанав-
ливается степень кинематической
неопределимости системы и выбира-
ется основная система. Поскольку
нагрузка приложена в узлах рамы,
изгибающих моментов в связях ос-
новной системы она не вызывает.
Единичные эпюры моментов для
незагруженных стержней строятся
с использованием табл. 16.1. Эпюп
ры изгибающих моментов в нагру-
женных стержнях имеют криволи-
нейное очертание, причем влияние
269
Рис. 20.27
сжимающих сил в стержнях учиты-
вается путем введения поправочных
множителей. Вычисление опорных
реакций с поправочными множите-
лями в сжатых стержнях от еди-
ничных угловых и линейных пере-
мещений опор осуществляется на
основе интегрирования дифферен-
циального уравнения упругой линии
сжато-изогнутого стержня.
При узловой нагрузке на раму си-
стема канонических уравнений в
общем случае имеет вид:
Г 11^1 + Г 12^2 + • • • + Г 1п^п = 0;
Г21^1 + Г22^2 + • • • +
ГП1А + Гп2^2 + ’ ’ ’ + ГПП%П = 0*
(20.27)
Уравнения (20.27) удовлетворяют-
ся, если принять все неизвестные
равными нулю. В этом случае рама
находится в устойчивом состоянии
равновесия. При потере устойчиво-
сти первоначальной формы равнове-
сия неизвестные Zi должны быть
отличны от нуля. В этом случае
уравнение (20.27) удовлетворяется
при
г 11 г>2 • • • Г1П
Г22 • • • г2п
= О, (20.28)
D =
^nl ^п2 ’ * * ^пп
где D — определитель, составлен-
ный из коэффициентов при неизвест-
ных уравнений (20.27).
Из уравнения (20.28) находят
критические параметры, а затем
критические нагрузки.
Применение метода перемещений
покажем на примере рамы, изобра-
женной на рис. 20.27, а. Основная'
система приведена на рис. 20.27, б.
Канонические уравнения имеют вид;
г + г 12^2 = 0;
Г21^1 + Г22%2 = 0-
270
Единичные эпюры Л71 (рис. 20.27,
в) и Л?2 в ригелях (рис. 20.27, г)
строятся так же, как и при расчете
на прочность. Особенность имеет
эпюра моментов сжатой стойки. Она
криволинейна, так как построена с
учетом дополнительных моментов,
возникающих от силы Р при сжа-
тии стойки. Учтем влияние продоль-
ной силы функцией ф2(у), где v=
—tyP/(EI). Момент в сечении стой-
ки, примыкающем к узлу 2, равен
4f3(p2(v). Таким образом:
Гц = 4ii + 4t2j Г12 — Г21 = 2^2^
г22 = 4/2 + 4г4 + 4г3ф2 (v).
Согласно условию (20.28),
D= |Г11 Г12| =
I Г21 Г22 I
= |(4i1 + 4>a) 21, 1=0.
I 2г2 4г24-444-413ф2^)|
Раскрыв определитель, получим
уравнение с одним неизвестным
ф2(у). По найденному значению
Ф2(т) найдем численное значение
параметра v, а затем критическую
силу
Ркр = v2E7//2. (20.29)
Если уравнение (20.28) содер-
жит несколько неизвестных, то оно
решается, как правило, путем под-
бора.
Реакции для сжато-изогнутых
стержней с различными опорными
закреплениями приведены в табл.
20.2. В практических расчетах мож-
но пользоваться таблицей (табл.
20.3), где при промежуточных зна-
чениях v линейной интерполяцией
находят искомые значения величин:
Ф1(v) =
V2 tg V
3 (tgv — v)
<p2(v)=—v^v-v> ч ;
8tgv(tg —j
4 sin v^tg
ф4 (v) = Ф1
i \ v3
’11М = 3-(5ГГ^_
th(v) = V=Z'K-EF-
Пример 1. Определить критические силы
для рамы, изображенной на рис. 20.28, а.
Решение. Основная система и единич-
ные эпюры приведены на рис. 20.28, б—а.
Система канонических уравнений метода
перемещений относительно двух неизвест-
ных углов поворота имеет вид:
rii^i + ri2Z2 = 0:
r2iZi + r22Z2 -0,|
а ее определитель
D = I Г" I .
I Г21 Г22 I
Погонные жесткости стержней рамы
обозначены на рис. 20.28,6 (принято Е1 = 1).
Реактивные моменты от Zi = l и Z2 = l
находим с помощью табл. 20.2:
Гц = 4:’з + 4Z4 + 4z1qp2 (v) = 24 -f- 4ф2 (v);
fi2 = r2j = 2Z4 = 6;
г2г = 4f4 -f- 4/2ф2 (v) = 12 4- 4ф2 (v).
Согласно условию (20.28), уравнение
устойчивости рамы
124 + 4ф2(у) 6
I 6 12 + 4ф2 (v)
откуда получаем: ф|^)-|-9ф2(у) + 15,75 = 0,
Ф2(у) = - 4,5 + 2,12; [ф2 (v)Jx = - 2,38;
Гфя (v)]2 = — 6,62.
Наименьшее значение параметра v, со-
гласно табл. 20.3, vmin = 5,74 при ф2М =
=—2,38. По формуле (20.29)
Ркр = (5,74)2E//Z2.
271
Таблииа 20.2
Схема стержня Эпюра изгибающих момен- тов и реакции Значения опорных моментов и реакций
L_А р ^мл Здесь и ниже -.
Л- р л^у==. ra МА=^1 ^2(у)’ ме= 21 %(»),
\ / W в Ш V w ^MA
' j? ip, 1 j\ MA
р г J\ Ra МА-Т^; М8=Т^’ Ra = Rs 1г 4e(v)-
I i p 1_ ^7У-
Таблица 20.3
V <P1(V) <p2(v) <P»(v) <₽4<V) Tll(V) n2(v)
0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0
0,2 0,9973 0,9980 1,0009 0,9992 0,9840 0,9959
0,4 0,9895 0,9945 1,0026 0,9973 0,9362 0,9840
0,6 0,9856 0,9881 1,0061 0,9941 0,8557 0,9641
0,8 0,9566 0,9787 1,0111 0,9895 0,7432 0,9362
1 0,9313 0,9662 1,0172 0,9832 0,5980 0,8999
1,2 0,8998 0,9511 1,0251 0,9751 0,4198 0,8557
1,4 0,8613 0,9329 1,0348 0,9669 0,2080 0,8035
1,6 0,8153 0,9116 1,0463 0,9566 —0,0380 0,7432
1,8 0,7609 0,8871 1,0600 0,9448 —0,3191 0,6747
2,0 0,6961 0,8590 1,0760 0,9313 —0,6372 0,5980
2,2 0,6202 0,8273 1,0946 0,9164 —0,9931 0,5131
2,4 0,5304 0,7915 1,1164 0,8998 —1,3895 0,4198
2,6 0,4234 0,7513 1,1417 0,8814 — 1,8299 0,3181
2,8 0,2944 0,7064 1,1712 0,8613 —2,3189 0,2080
3,0 0,1361 0,6560 1,2057 0,8393 —2,8639 0,0893
3,2 —0,0635 0,5997 1,2463 0,8153 —3,4768 —0,0380
3,4 —0,3248 0,5366 1,2940 0,7891 —4,1781 —0,1742
3,6 —0,6862 0,4656 1,3508 0,7609 —5,0062 —0,3191
3,8 —1,2303 0,3850 1,4191 0,7297 —6,0436 —0,4736
4,0 —2,1726 0,2933 1,5018 0,6961 —7,5058 —0,6372
' 4,2 —4,3155 0,1877 1,6036 0,6597 —10,196 —0,8103
4,4 — 15,330 0,0648 1,7310 0,6202 —27,781 —0,9931
4,6 14,669 —0,0808 1,8933 0,5772 7,6160 —1,1861
4,8 5,4020 —0,2572 2,1056 0,5304 —2,2777 —1,3895
5 3,3615 —0,4772 2,3924 0,4793 —4,9718 —1,6040
5,2 2,3986 —1,7630 2,7961 0,4234 —6,6147 —1,8299
5,4 1,7884 — 1,1563 3,3989 0,3621 —7,9316 —2,0679
5,6 1,3265 —1,7481 4,3794 0,2944 —9,1268 —2,3189
5,8 0,9302 —2,7777 6,2140 0,2195 — 10,283 —2,5838
6 0,5551 —5,1589 10,727 0,1361 —11,445 —2,8639
6,2 0,1700 —18,591 37,338 0,0424 —12,643 —3,1609
2л 0 —00 +00 0 —13,033 —3,2898
Пример 2. Определить критические силы
для рамы, рассмотренной в предыдущем
примере, при Р2 = ЗРь
Решение. Введем обозначения:
v1 = /VP1/(E/)=v;
v2 = I УР2/(Р/) =7 V3Pi/(£/) = l,73v.
Единичные эпюры Мг и Mi можно при-
нять по рис. 20.28, в, г. Значения моментов
Гц, Г12 и г22 определены в предыдущем при-
мере. Реактивный момент г22 = 12 +
+ 4ф2 (l,73v).
Уравнение устойчивости
О=124 + ^М 6 |
| 6 12 4-4<ри (1.73V) |
откуда <р2 (v) <р2 (1,73v) + 3<р2 (v) 4.
+ 6ф2 (1,73v) + 15,75 = 0.
Найдем подбором значение параметра v,
при котором удовлетворяется это равенство.
Для облегчения этой процедуры целесооб-
разно установить, в каких пределах нахо-
дится искомое численное значение пара-
метра V. Максимальное значение его опре-
делим, считая узлы 1 и 2 не поворачиваю-
18. Зак. 1840
273
L2
щимися. Тогда для отдельной сжатой стой-
ки с защемляющими опорами по табл. 20.1
4л2Е7
= (2л)2
EI
т. е. vmQV = 6,28.
max
Минимальное значение v найдем из соотно-
шения v2 = l,73v: vmin = 6,28/1,73 = 3,63.
Если в узлах 1 и 2 устранить связи, пре-
пятствующие их свободному повороту, по-
лучим стойки с верхним шарнирно опертым
и нижним защемленным концами. Для та-
кой стойки (см. табл. 20.1)
20,19E/ EI
р™ =-----— =(МЭ),
Рис. 20.28
т- е' vmax = 4’49>
a vmln = 4,49/1,73 = 2,59.
Таким образом, искомое значение пара-
метра v находится в пределах 2,59<v<
<3,63. С помощью табл. 20.3 подбором на-
ходим v=3,34, удовлетворяющее уравнению
устойчивости.
По формуле (20.29)
9 Е1 (3,34)2 Е/ 11,6Е/
Р1К° ~ /2 ~ /2 — /2 ’
9 EI EI 34.8FI
P^l — - U.73V)* — = .
В результате получили Р2кр = ЗР1кр>
что соответствует отношению нагрузок по
условию задачи.
Упрощения расчета. Расчеты на
устойчивость можно упростить, если
рама полностью симметрична и за-
гружена при этом симметричными
силами. В отличие от расчетов на
прочность произвольную нагрузку
нельзя приводить к симметричной и
обратносимметричной, так как на
расчеты по устойчивости не распро-
страняется принцип независимости
действия сил. В то же время произ-
вольную нагрузку в ряде случаев
можно привести путем ее перерас-
пределения к симметричной.
274
В теории устойчивости строго до-
казана теорема, согласно которой
симметричная система под действи-
ем симметричной нагрузки может
иметь одну из двух форм потери
устойчивости: симметричную или
кососимметричную. Заранее уста-
новить, какой форме потери устой-
чивости соответствует наименьшая
критическая нагрузка, в общем
случае невозможно. Поэтому,
исследуя устойчивость симметрич-
ной системы, рассматривают
и симметричную и кососимметрич-
ную формы потери устойчивости. В
качестве расчетной принимают мень-
шую критическую нагрузку, соответ-
ствующую одной из них.
На рис. 20.29, а, б изображены
одноэтажная симметричная рама с
симметричной нагрузкой и основная
система для этой рамы, устойчи-
вость которой исследуется по мето-
ду перемещений. Количество основ-
ных неизвестных при произвольной
нагрузке равно трем.
На рис. 20.29, в показана симмет-
ричная форма потери устойчивости
рамы. В этом случае Z\ = —Z2, Z3=0
и необходимо решить одно уравне-
ние с одним неизвестным.
При кососимметричной форме по-
тери устойчивости (рис. 20.29, а)
Zi=Z2, Z3=/=0. Канонические урав-
нения будут включать два неизвест-
ных перемещения.
Двухэтажная симметричная рама
с линейной подвижностью узлов
(рис. 20.30, а) может иметь симмет-
ричную и кососимметричную формы
потери устойчивости. Установлено,
что для многоэтажных рам меньшей
критической нагрузке соответству-
ет кососимметричная форма потери
устойчивости (рис. 20.30, б). Решая
задачу методом перемещений, име-
ем четыре неизвестных. Расчет
можно упростить, если учесть, что
ригели рамы изгибаются по двум
полуволнам с точкой перегиба в се-
редине пролета. В этих сечениях
можно ввести шарнирно-подвиж-
ные опоры и рассматривать только
половину рамы. При потере рамой
устойчивости суммарные горизон-
тальные реакции в стойках в преде-
лах каждого этажа будут равны
нулю. Это вытекает из условия рав-
новесия системы. Поэтому горизон-
18*
275
тальные линейные смещения узлов
можно не вводить в канонические
уравнения. В результате получаем
основную систему, приведенную на
рис. 20.30, в. В данном случае по-
правочные множители к коэффици-
ентам Гц, гщ будут вида v/tgv,
v/sin v.
Метод сил. Определение количе-
ства основных неизвестных и со-
ставление канонических уравнений
выполняются так же, как и при ра-
счетах на прочность. В качестве ос-
новной системы может быть взята
любая геометрически неизменяе-
мая система. Наиболее простые за-
висимости для перемещений б по-
лучаются в тех случаях, когда на-
груженные элементы рамы в основ-
ной системе имеют шарнирные не-
смещающиеся опоры или же одну
защемляющую опору, а второй ко-
нец свободный. Поэтому основную
систему рекомендуется выбирать
таким образом, чтобы она включа-
ла стержни указанного типа.
При узловой нагрузке изгибаю-
щих моментов в стержнях основной
системы от внешней нагрузки нет, и
система канонических уравнений в
общем случае имеет вид:
$11 + $12^2 + • • • + \п*п =
$21^1 + $22 Xi + • • • + $2n^Cl =
бпЛ + $п2^2 + • • • + $ппХп — 0.
(20.30)
Случай Х1=Х2=... = Хп = ® соот-
ветствует отсутствию изгиба стерж-
ней и устойчивому, равновесию ра-
мы. Потеря устойчивости первона-
чальной формы равновесия обус-
ловлена изгибом элементов систе-
мы, и неизвестные Хи Х2, ..., Хп не
276
могут быть равными нулю. В этом
случае определитель
$11 $12 • • • $1п
$21 $22 • • • $2П
$П1 $П2 ... $П„ (20.31)
Из характеристического уравне-
ния (20.31) находятся критические
силы или же значения критических
параметров этих сил.
Как и в методе перемещений, при
интегрировании дифференциальногд
уравнения изгиба стержня учитыва-
ется действие продольной силы.
Критическая сила определяется по
формуле (20.29). При перемноже-
нии криволинейных эпюр в зависи-
мости от характера опорных за-
креплений стержней вводятся по-
правочные коэффициенты, таблицы
которых приведены в рекомендуе-
мой литературе.
Расчеты сложных рамных систем
на устойчивость ввиду их чрезвьь
чайной громоздкости осуществляют-
ся с применением ЭВМ.
Глава 21
ОСНОВЫ ДИНАМИКИ
СООРУЖЕНИЙ
21.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Динамика сооружений — часть
курса строительной механики, где
рассматриваются методы расчета
сооружений на динамические на-
грузки.
Динамические нагрузки в отличие
от статических изменяются по зна-
чению, направлению или положе-
нию в относительно малые проме-
жутки времени. Они сообщают мас-
сам сооружения ускорения, что обл
условливает появление инерционных
сил. Если последние малы по срав-
нению с самими нагрузками, то та-
кие нагрузки приближенно счита-
ются статическими.
Напряжения, деформации и пере-
мещения в системе, вызываемые ди-
намической нагрузкой, перемен-
ны во времени (т. е. характеристики
напряженно-деформированного со-
стояния системы являются функция-
ми времени).
Различают следующие основные
виды динамических нагрузок.
Вибрационная нагуз-
ка — это нагрузка, значение кото-
рой изменяется периодически по
определенному закону. Она может
быть непрерывной или прерывной.
Вибрационные воздействия на кон-
струкции сооружений создаются за
счет инерционных сил, возникающих
при вращательном и вращательно-
поступательном движении неурав-
новешенных частей машин и меха-
низмов. Для сооружений вибраци-
онные нагрузки представляют осо-
бую опасность, так как вызываемые
ими напряжения и деформации за-
висят не только от амплитуды на-
грузки, но и от частоты ее воздей-
ствия. Небольшая вибрационная на-,
грузка может вызвать значительные
перемещения и усилия в системе.
Ударная нагрузка (удар
в определенном месте сооружения)
характерна резким изменением ско-
рости ударяемого тела в короткий
отрезок времени. Она может быть
неподвижной и подвижной, хаотич-
ной и периодической.
Подвижная нагрузка—
нагрузка, положение которой на со-
оружении меняется (поезда, автомо-
били, краны и др.). Действие по-
движных нагрузок сопровождается,
277
Рис. 21.1
Рис. 21.2
как правило, колебаниями и уда-
рами.
Кратковременная на-
грузка (импульсы) характеризу-
ется практически мгновенным дей-
ствием (взрыв). Они быстро разви-
ваются и так же быстро исчезают.
Сейсмическая нагруз-
ка — результат беспорядочного
движения почвы, толчков, ударов и
колебаний при землетрясении.
Для решения задач динамики со-
оружений применяется статический'
метод (точный) и приближенные!
способы. Статический метод осно-
ван на использовании уравнений ди-
намического равновесия, в которые
включаются динамические нагрузки
и силы инерции перемещающихся
масс. Применение статического ме-
тода для систем с большим числом
степеней свободы связано со значи-
тельными трудностями ввиду гро-
моздкости вычислений. Поэтому при
расчете сложных систем часто ис-
пользуют приближенные способы, к
которым относятся энергетический,
способ замены распределенных по
длине элементов масс сосредоточен-
ными массами; способ приведения
нескольких масс к одной сосредо-
точенной массе; способ последова-
тельных приближений, замена кон-
струкций их аналогами, близкими по
характеру работы, и другие. При
использовании этих способов основ-
ная задача состоит в отыскании та-
кого деформированного состояния
системы, которое наиболее близко
по форме к действительному ее со-
стоянию при колебаниях. Прибли-
женные способы позволяют полу-
чить удовлетворительные результа-
ты при вычислении первой (наи-
меньшей) частоты колебаний, од-
нако могут быть значительные по-
грешности при определении высших
частот.
’ Колебания систем, вызываемые
динамическими нагрузками, подраз-
деляются на свободные (собствен-
ные) и вынужденные.
Если упругую систему каким-либо
динамическим воздействием вывести
из состояния равновесия, а затем
удалить нагрузку, то массы системы
получат ускорения и система будет
совершать колебания около устой-
чивого положения равновесия. Та-
кие колебания называются свобод-
ными (собственными).
Вынужденные колебания вызы-
ваются постоянно действующей на
систему динамической нагрузкой.
По виду вызываемых деформаций
различают изгибные,. или попереч-
ные, колебания (в направлении,
перпендикулярном к продольной оси
стержня); продольные (вдоль про-
дольной оси стержня); крутильные;
278
изгибно-крутильные, сопровождаю-
щиеся появлением деформаций из-
гиба и кручения, и др.
Колебания могут быть линейными
и нелинейными. При линейных коле-
баниях усилия и перемещения си-
стемы являются линейными функ-
циями внешних возмущений.
Ниже рассматриваются попереч-
ные колебания систем, наиболее ха-
рактерные для строительных кон-
струкций. Полагается, что иссле-
дуемые системы находятся в упру-
гой стадии работы и претерпевают
лишь линейные колебания.
В динамике сооружений основной
характеристикой систем является
число степеней их свободы — коли-
чество параметров, определяющих
положение всех масс при любых де-
формациях системы. С увеличением
числа степеней свободы расчет си-
стем усложняется. С целью упро-
щения расчета обычно пренебрега-
ют угловыми перемещениями масс
(тогда каждая масса имеет в пло-
скости две степени свободы). Кроме
того, можно не учитывать некото-
рые весьма малые перемещения
масс, которые не являются опреде-
ляющими при данном виде колеба-
ний. Например, при произвольном
динамическом воздействии (колеба-
тельном процессе) в невесомом уп-
ругом стержне с массой, сконцент-
рированной в его вершине (рис.
21.1), в общем случае имеют место
деформации трех видов — продоль-
ные, деформации сдвига и изгиб-
ные. Если рассматриваются попе-
речные колебания стержня, то де-
формациями сдвига и продольными
можно пренебречь, равно как и вер-
тикальным смещением массы, обус-
ловленным изгибом стержня. Полу-
чится система с одной степенью сво-
боды — положение массы опреде-
ляется одним параметром у.
Рис. 21.4
На рис. 21.2 приведена система с
двумя, а на рис. 21.3 — с четырьмя
степенями свободы. При учете соб-
ственной массы стержней упругой
системы число степеней свободы
любой из них равно бесконечности
(например, как для однопролетной
балки, находящейся под действием
собственного веса — рис. 21.4, а);
разбив эту балку на участки и заме-
нив в пределах каждого участка
распределенную массу сосредото-
ченной, получим систему с конеч-
ным числом степеней свободы —
рис. 21.4, б.
21.2. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ
СВОБОДЫ
Дифференциальное уравнение сво-
бодных колебаний без учета сил
сопротивления. Рассмотрим невесо-
279
мую однопролетную балку, масса
которой сосредоточена в середине
лролета (рис. 21.5). В любой мо-
мент времени амплитуда колебаний
у зависит от силы упругости S, с
которой балка действует на массу,
и силы инерции движущейся мас-
сы /т:
Jm = — m = —ту",
at2
где у"— ускорение массы (знак
«минус» указывает, что сила инер-
ции действует от линии статическо-
го равновесия в сторону, противопо-
ложную направлению ускорения).
Сила упругости балки S всегда
направлена к линии статического
равновесия и пропорциональна от-
клонению массы от начального по-
ложения: S = Cy, где С — жест-
кость балки в точке сосредоточения
массы (сила упругости, соответст-
вующая единичному перемещению
этой точки); у — перемещение этой
точки.
Для любого момента времени из
условия равновесия системы
S — Jm = 0, или mtf + Су = 0.
В это уравнение динамического
равновесия не входит сила тяжести
массы, так как она уравновешива-
ется соответствующими опорными
реакциями.
Разделив слагаемые на т и введя
обозначение
ю = /С/щ, (21.1)
получаем уравнение собственных
колебаний системы с одной сте-
пенью свободы без учета сил сопро-
тивления
Y” + со2У = 0.
Интеграл этого однородного урав-
нения приводится к виду
у = A sin (at 4- 1),
где А и X — постоянные интегриро-
вания.
Постоянные интегрирования оп-
ределяются из граничных условий.
Поскольку при t=Q у=уо=О, то
г/о=ЛзтХ=О. Так как Л#=Ь (при
Л = 0 нет прогиба, т. е. нет отклоне-
ния от линии равновесия), то
sin 1=0 и 1 = 0.
Уравнение колебаний принимает
вид
у = Л sin (21.2)
Равенство (21.2) показывает, что
колебания совершаются по сину-
соидальному закону: при sin (to/) =
= 0 */mln = 0; При sin (to/) =1 £/max =
=Л. Таким образом, Л — наиболь-
шее отклонение массы от линии
равновесия (амплитуда колебаний).
Из второго условия — при t = 0
v = и0 (ц, — начальная скорость) —
получаем и0 = у'=Лео cos (to/) или и0=
= Лео, откуда Л = ио/со. Тогда
у = sin (to/). (21.3)
(О
Итак, перемещение массы —
функция времени, график зависимо-
сти (21.3) приведен на рис. 21.6.
Удвоенная амплитуда колебаний
280
называется размахом колеблющей-
ся массы.
Рассмотрим, как изменяется по-
тенциальная и кинетическая энер-
гия системы в процессе ее колеба-
ния. При отклонении массы от по-
ложения статического равновесия ее
перемещению противодействует си-
ла упругости, замедляя движение
массы. В момент наибольшего от-
клонения скорость массы и ее кине-
тическая энергия равны нулю, но
потенциальная энергия достигает
своего максимального значения,
что обусловливает движение мас-
сы с ускорением к линии статиче-
ского равновесия. К моменту под-
хода к положению статического
равновесия потенциальная энергия
убывает до нуля, а кинетическая
энергия достигает максимума, и
масса продолжает движение от ли-
нии равновесия и т. д. Таким обра-
зом, колебательный процесс систе-.
мы сопровождается переходом од-
ного вида энергии в другой.
Время, за которое масса совер-
шает один полный цикл колебаний,
называется периодом колебаний.
Из рис. 21.6
Т = 2л/(о. (21.4)
Частота колебаний — отношение
числа полных циклов колебаний ко
времени их совершения. Из равен-
ства (21.4) имеем
ш = 2л/Т. (21.5)
Число полных циклов колебаний
в течение 2л с носит название кру-
говой или циклической частоты.
Единицей частоты колебаний в
Международной системе единиц яв-
ляется герц (с-1).
В практических расчетах поль-
зуются так называемой техниче-
ской частотой — числом полных
Рис. 21.6
циклов колебаний в одну минуту:
п = 60/Т=60(о/ (2л). Преобразуем
последнее выражение с учетом со-
отношения (21.1).
Статический прогиб, вызываемый
силой Р, уст = Р1С, откуда С=
= P/yCT-=mglyc-[i где g — ускорение
свободного падения. Тогда
о = 1/C/in = ~Vmgl(myCT) = Vg///CT.
Приняв £«(10л)2, получаем
п = 60/2л Юл V 1/1/ст = 300 / 1Л/ст >
где п — техническая частота коле-
баний, мин-1; усч—статический про-
гиб, см.
Как известно, жесткость упругого
стержня 1/6ц, где бц—переме-
щение точки приложения силы, рав-
ной единице, по направлению этой
силы. Тогда формула (21.1) прини-
мает вид
ш = VC/m = 1/1/ (шбц). (21.6)
Из формул (21.4) и (21.5) следу-
ет, что период и частота свободных
колебаний определяются только
свойствами системы и не зависят от
начальных условий или причин, вы-
звавших движение массы. Они яв-
ляются постоянными для каждой
системы и называются основными
динамическими характеристиками.
Приведенные формулы справедли-
вы для любых упругих систем с од-
ной степенью свободы — как стати-
281
чески определимых, так и неопре-
делимых.
Дифференциальное уравнение
свободных колебаний с учетом сил
сопротивления. Из графика, приве-
денного на рис. 21.6, следует, что
если массу вывести из состояния
равновесия, ее колебания с посто-
янной амплитудой будут совер-
шаться неограниченное время. В
реальных условиях колебательный
процесс протекает иначе, так как
на систему действуют силы сопро-
тивления, препятствующие свобод-
ному перемещению массы. Это со-
противление внешней среды (напри-
мер, воздуха); трение в опорных,
устройствах системы; внутренее тре-
ние частиц материала в процессе
деформирования системы и др. При
наличии сил сопротивления часть
энергии системы расходуется (не-
обратимо) на их преодоление, что
приводит к постепенному затуха-
нию процесса колебаний. Влияние
сил сопротивления на колеблющую-
ся систему учитывается в предпо-
ложении, что они пропорциональны
скорости колебания системы.
Рассмотрим упругую невесомую
балку с сосредоточенной массой т
(рис. 21.7). На выведенную из со-
стояния равновесия массу т в об-
щем случае действуют: сила инер-
ции Jт=ту"; сила упругости S=^Cy
ц сила сопротивления R = fiy' (здесь
и ниже полагается, что она пропор-
циональна скорости движения мас-
сы, р — коэффициент, характери-
зующий конструкцию).
Сила R всегда направлена про-
тив движения массы.
Уравнение динамического равно-
весия системы будет иметь вид
S±R—Jm= 0 или Су=0’
Разделив все слагаемые послед-
него равенства на т, учитывая соот-
ношение (21.1) и обозначив $/т =
= 2/е, получаем
у" + 2kyf + tfy = 0. (21.7)
Решение дифференциального
уравнения (21.7)
у = e~kt A sin (Усо2 — k2 t + X)
(21.8)
(Л и X — постоянные интегрирова-
ния) справедливо при (d2>Zs2.
Постоянные интегрирования опре-
делим из граничных условий: при
t=0 У=Уо=О', при t=0 v = vQ, где
у0 и v0 соответственно начальное пе-
ремещение и начальная скорость
движения массы.
Из первого условия уо=А sinX=
= 0 следует, что Х=0.
Из второго условия
v = у' = — ke~MA sin(V(D2 — k2t} +
+ ё~м A cos (У (о2 — Л21) У to2— k2
получаем и0 = А У(о2 — k2, откуда
д = *>
Уй)2_£2 '
Уравнение (21.8) принимает вид
у = е~м . Р°.^ sin (У^=^)-
(21.9)
282
При sin (Vo2— k2t) = 1 максималь-
ные значения прогибов
Функция (21.9) имеет нулевые ор-
динаты при / = 0; t = nf Уш2—/г2; t=
= 2л / У©2 — k2 ит. д.
Уравнение (21.9) показывает, что
амплитуда колебаний уменьшается
с течением времени и колебания за-
тухают. График таких свободных
колебаний показан на рис. 21.8. В
этом случае период и круговая ча-
стота свободных колебаний:
Тс= , 2я .... (21.11)
° Уш2—f '
<ос = V®2 — кг. (21.12)
Таким образом, при наличии сил
сопротивления движению массы
свободные колебания ее имеют за-
тухающий характер и амплитуда
колебаний уменьшается до нуля;
частота и период колебаний при по-
стоянных силе сопротивления и
массе остаются постоянными.
Для большинства инженерных со-
оружений коэффициент k мал по
сравнению с частотой свободных
колебаний со. Поэтому в практиче-
ских расчетах обычно пренебрегают
силами сопротивления и определя-
ют период и частоту свободных ко-
лебаний по формулам (21.4) и
(21.5).
Наиболее часто в качестве меры
затухания колебаний используют
так называемый логарифмический
декремент колебаний.
В моменты времени tn и
(см. рис. 21.8) по формуле (21.10)
получаем амплитуды:
Уп+ = e~htn+1 .
у n+1 У<о2—А2
Отношение этих амплитуд
Уп/Уп+i — ?<'»+*-'»>= екто.
Прологарифмировав левую и пра-
вую части последнего равенства, по-
лучаем
In (Уп/Уп+t) = kTc = const, или
У = ЩУп/Уп+i) = kTQ.
Безразмерная постоянная вели-
чина у, характеризующая скорость
затухания колебаний, и носит на-
звание логарифмического декремен-
та колебаний. Он зависит от многих
факторов (материала и типа соору-
жения, характера сил сопротивле-
ния, амплитуды инерционных сил и
др.) и принимается по таблицам,
имеющимся в справочной литера-
туре.
21.3. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ
СВОБОДЫ
Дифференциальное уравнение вы-
нужденных колебаний без учета сил
сопротивления. Рассмотрим балку,
изображенную на рис. 21.9. Вибра-
ционную нагрузку на нее будем
283
считать изменяющейся по синусои-
дальному закону:
Р (0 = Р sin (00,
где Р и 0 — соответственно ампли-
туда и круговая частота возмущаю-
щей силы.
Приняв, что направление переме-
щения массы т совпадает с на-
правлением действия силы P(t), со-
ставим уравнение динамического
равновесия:
— Р (0 — Jm 4- S = 0 или
mif -\-Су = Р sin (00.
Разделив слагаемые на т и обозна-
чив о = VС/т, получаем
+ — sin(0f). (21.13)
tn
Решение уравнения (21.13) имеет
вид
у=Аsin(o/4-X) 4- т((й2Р_дау sin(00,
(21.14)
где первым слагаемым описываются
свободные колебания системы, а
вторым — вынужденные колебания
ее без учета сил сопротивления дви-
жению.
Из равенства (21.14) следует: вы-
нужденные колебания совершаются
с той же частотой, которую имеет
возмущающая сила; амплитуда вы-
нужденных колебаний зависит от
амплитуды возмущающей силы и
соотношения частот свободных и
вынужденных колебаний.
Амплитуда вынужденных калеба-
ний — динамический прогиб:
— р
Уд™ ~ т(®з —00
Тогда
У = A sin (of 4- М 4- 1/дмн sin (00.
(21.15)
Динамический прогиб можно
представить в виде
д т©2(1— 02/©2)
__________р____________р_х
— С ~ г Х
т (1 — 02/(О2) G
т
Х (1 — 02/0)2) ~ УСТ (1 — 02/©2) “ ^СТ^’
(21.16)
где ц — динамический коэффициент:
(2117)
Уст— статический прогиб, т. е. про-
гиб, вызываемый статической на-
грузкой Р.
График изменения динамического
коэффициента представлен на рис.
21.10. Если 0>(о, то р отрицателен
и правая кривая располагается ни-
же оси 0/(о (на рисунке показана
пунктирной линией). Если в выра-
жении (21.17) знаменатель учиты-
вается по абсолютной величине, она
располагается выше оси 0/со (на
рис. 21.10 она показана сплошной
линией).
Из формулы (21.17) видно, что с
приближением частоты возмущаю-
284
щей силы к частоте свободных коле-
баний динамический коэффициент
стремительно возрастает, равно как
и динамический прогиб. При равен-
стве 6 и со динамический коэффици-
ент равен бесконечности. Это явле-
ние носит название резонанса. При
резонансе перемещения, усилия и
напряжения в элементах системы
достигают недопустимо больших
значений, что нередко приводит к
разрушению инженерных сооруже-
ний. Во избежание этого обеспечи-
вается условие, чтобы частота сво-
бодных колебаний системы отлича-
лась от частоты вынужденных ко-
лебаний на 25—30%.
Дифференциальное уравнение вы-
нужденных колебаний с учетом сил
сопротивления. Рассмотрим пример
невесомой балки (рис. 21.11). Силы
сопротивления будем считать про-
порциональными скорости движения
массы. Возмущающую силу примем
изменяющейся по закону P(t) =
= Psin (Of).
Уравнение динамического равнове-
сия:
S + Я — Jm — Psin(00 = 0,
или
mtf + fry' + Су = Р sin (Of).
Разделив слагаемые на т и обоз-
начив р//п= 2k, (D^~VC/m, получаем
у” + 2ky' 4- (д2у = — sin (Of).
т
(21.18)
Решение уравнения (21.18) имеет
вид ______
у = e-w A sin ( Vfi>2—k*1 + X) +
+------------p------------------->
m [(co2 _ 02) 402^2 ((q2 _
* 02)sin0/—20fccos0/] ’
где первым слагаемым описывают-
ся свободные колебания, а вторым—
вынужденные колебания системы
при наличии сил сопротивления
движению.
Это решение справедливо при
малых сопротивлениях (<о2>&2).
Свободные колебания быстро зату-
хают, и колебательный процесс
принимает установившийся харак-
тер и определяется вторым слагае-
мым уравнения (21.19), которое
после преобразований принимает
вид
У = Улян sin (0/ — е), (21.20)
где
____________Р__________
тУ(Ш2 __ 02)2_|_ 402/J2
285
0,5 1 1,5 2
Рис. 21.12
Рис. 21.13
Из выражения (21.20) следует,
что силы сопротивления не влияют
на частоту вынужденных колебаний.
В этом случае, как и при отсутствии
сил сопротивления, частота вынуж-
денных колебаний совпадает с ча-
стотой возмущающей силы, но ко-
лебания происходят со сдвигом фа-
зы е относительно возмущающей
силы.
Имея в виду, что у =
= КТ (2/С=2у/Т=у(о/л), амплиту-
ду вынужденных колебаний можно
представить в виде:
Д тД/(ш2 —02)2 _|_ 492/22 =
= _р________________1______________
С V( 1 — 02/(02)2 02/(02. ?2/д2 ’
ИЛИ //дин = //стЩ
где
1
Ц =...... .......................—
' \ СО2 ) ©2 Л2
На рис. 21.12 изображен график
изменения ц с учетом сил сопро-
тивления движению. В случае ре-
зонанса (0 = (о) динамический ко-
эффициент не обращается в беско-
нечность, а имеет значение ц=л/у
(т^о) •
Для реальных конструкций аб-
солютная величина декремента ко-
лебаний у значительно меньше еди-
ницы. Например, для металлических
конструкций 7=0,02—0,15. Поэто-
му в зоне резонанса ц принимает
недопустимо большие значения.
Пример. Двигатель весом G=28 кН
установлен на консоли балки (рис. 21.13,а).
Частота вращения двигателя п=300 об/мин.
Максимальная вертикальная составляющая
центробежной силы Р=7 кН. Определить
динамический коэффициент и максимальный
прогиб конца консоли при 1=6 м, /=
= 39727-IO”8 м4, Е=2,06-105 МПа, прене-
брегая силами сопротивления. Установить
возможность явления резонанса.
Решение. Эпюры изгибающих момен-
тов в балке от действия силы G(MP) и во
вспомогательном состоянии от силы Р=
= 1 (Л?) приведены на рис. 21.13,6, в.
286
Круговую частоту свободных колебаний
определим по формуле
со = Vcjm = Vmg/(myCT) = Vg/yCr,
где g — ускорение свободного падения; усТ=
_ у J MMpdx
Перемножив эпюры, получаем
37G/3
Уст ~ 729EI ~
___________37-28000-63___________
~ 729-2,06-105-39727-IO-8-10в -
= 375-10-5 м.
Круговая частота свободных колебаний
Круговая Частота вынужденных колеба-
ний
п п 300
0=^2Л=“6Г2-3’14=31ЛО с“-
Поскольку со существенно (на 38 %) боль-
ше 0, явления резонанса не будет.
Максимальный прогиб
^тах = ^ст(С) 4“ ^ст(Р)М'»
где yCT(G) и Уст(Р) — статический прогиб,
вызванный действием соответственно сил
G и Р.
^CT(G) = 375- 10-5 М; УСГ(Р) = -TJ- C/CT(G) =
= — 375-Ю-8 = 93,75-10-6 м, а по фор-
муле (21.17):
М ~ 1 —(31,4)2/(51,15)2 = 1’605-
Тогда
ушах = 375-10-5 +93,75-10-5.1,605 =
= 525,47-10-5 м.
21.4. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ
СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ
СВОБОДЫ
Дифференциальное уравнение
свободных колебаний без учета сил
сопротивления. Рассмотрим балку с
п сосредоточенными массами (рис.
21.14). Система обладает п
степенями свободы, которым со-
ответствуют частоты свободных
колебаний сог, ©з, —, ©п. Полные
перемещения масс под действием
инерционных СИЛ Jmt , Ли,, Jmt , ...»
Jmn можно представить в виде:
У1 = +
+ + • • • +
Уъ = +
+ ^Jma + ’ * * +
(21.21)
yn - + ^Jmt +
+ Wm,+ - • • + ^nnJmni
где 6H, 6ift — соответственно переме-
щения точек приложения масс, вы-
званные силами Р= 1; Jm. — силы
инерции масс.
Так как Jmi =[—гщу1, уравнения
(21.21) можно записать следующим
образом:
^11т1У1 + $121ЩУ2 + 613/П3у3 + . •.
• • • + &1птпуп 4- = 0;
621/П1У1 + 622^2^/2 + бгз^з^/з + • • •
• • • 4- &2птпУп + У2 = 0;
^п1т1У1 4- бга2т2у2 + бга3т3уз4- • • •
• • • 4“ ^пп^-пУп 4“ Уп. = 0-
(21.22)
287
Рис. 21.14
Система уравнений (21.22) имеет
частные решения:
= Аг sin (&t + X);
y2 = Л2 sin (at + X);
yn = An sin + X),
вторые производные которых имеют
вид:
y"i = —©2Л1 sin (о/ + X);
у "2 = —(о2Л2 sin ((ot + X);
уп = — ©2ЛП sin (со/ + X).
Подставив выражения у\, у%, ...,
уп и их вторых производных в урав-
нения (21.22), получаем:
(бцШ^со2 — 1) Л1 -|- 612т2о>2Л2 -}-...
... + 61птпш2Лп = 0;
®21^1®2Л1 4” (622/И2<Й2 — 1) Л2 .
... + 62птпш2Лп = 0;
+ 6п2т2й)2Л2 + ...
... + (6nnmn<o2 — 1) Лга = 0.
Эти уравнения будут удовлетво-
ряться, если принять амплитуды
Л1, Л2, ..., Ап равными нулю. Коле-
бательный процесс возможен, если
амплитуды Аг не равны нулю. Тогда
определитель из коэффициентов при
этих амплитудах в уравнениях
(21.22) должен быть равен нулю.
Разделив все слагаемые уравнений
на со2 и обозначив 1/(о2 = Х, получаем
уравнение частот, называемое ве-
ковым уравнением:
D =
611^!—X 612/П2 ... 6lnmn
= 621тг 622m2—X ... 62пшп =
... ^ппГПп—X
= 0. (21.23)
Раскрыв определитель (21.23), по-
лучим уравнение n-й степени относи-
тельно X. Решением его находятся п
корней Xf и определяются частоты
свободных колебаний cof = К1/Х/.
Совокупность всех частот собст-
венных колебаний системы, распо-
ложенных в порядке возрастания их
числовых значений, называется
спектром частот. Самая низкая ча-
стота называется основной. Значе-
ния корней Х» характеристического
уравнения (21.23) носят название
собственных (характеристических)
чисел.
Определение спектра частот сво-
бодных колебаний систем в общем
случае представляет сложную зада-
чу, решение которой эффективно
осуществлять на ЭВМ.
В практических расчетах систем
иногда достаточно найти основную
частоту их собственных колебаний,
так как именно при ней наиболее
опасно возникновение явления резо-
нанса при наличии вынужденных
колебаний системы. При проектиро-
вании конструкции стремятся обес-
печить превышение наименьшей ча-
стоты собственных колебаний над
288
частотой внужденных колебаний,
чтобы избежать их совпадения в пе-
риод работы оборудования.
Если начальные условия движе-
ния системы таковы, что колебания
всех масс происходят с одной ча-
стотой, то соответствующая форма
колебаний называется главной.
Это будет иметь место и в том слу-
чае, когда побочные коэффициенты
$ik, входящие в уравнение (21.23),
обращаются в нуль, и уравнение
частот распадается на отдельные
уравнения, содержащие только глав-
ные коэффициенты 6ц. Главные
формы колебаний взаимно ортого-
нальны — возможная работа сил
первой формы на перемещениях
для второй формы (и наоборот)
равна нулю. Количество главных
форм колебаний равно числу частот
свободных колебаний системы, т. е.
числу ее степеней свободы.
Пример. Определить частоты свободных
колебаний балки постоянной жесткости с
двумя одинаковыми сосредоточенными на
консолях массами (рис. 21.15, а). Собствен-
ной массой балки пренебречь.
Решение. Система обладает двумя
степенями свободы. Уравнение частот
(21.23) после раскрытия определителя с
учетом того, что бц = б22 н л»1 = т2, прини-
мает вид
Х2 — 26umX 4- (б| j — 6^2) m = 0. (21.24)
Рис. 21.15 *
Эпюры изгибающих моментов от единич-
ных сил, приложенных в точках 1 и 2, при-
ведены на рис. 21.15,6, в. Найдем переме-
щения б путем переменожения эпюр:

M\dx
EI
1 / 1 1 1 2 1
EZ \ 2 4 4 3 4 +
1 / 2 _/_\ _ 5/3
2 ’ 4 1 3 ’ 4 )~ 192EI ’
6i, = ea=2J —еГ~=
И 1 / 1 / ___/8
“____________________________EI ' 2 ‘ 4 1 3 ’ 4 “ 96EZ 1
в е 5/3
22- 11 - 192£/ •
Решение уравнения (21.24) дает:
^•1 = (6ц + б12) т =
_ I 513 13 \ _ 7/3 m
\ 192EZ + 96EZ / = 192EZ ’
39. Зак. 1840
289
Х2 = (6ц — 612) т =
/ 5/з /з \ _ 3/з/п
= \ 192EZ “ 96£/ / т ~ 192£/
_____________ 5,24 ,_______
<01 = Д/1/Хх = —— 1/£//(/т);
.____ 8 ,________
®2 = У1/х2 = — !/£//(/«).
На рис. 21.15, г, д показаны фор-
мы колебаний, соответствующие пер-
вой ((01) и второй ((о2) частотам.
Упрощения при расчете симмет-
ричных систем. Для симметричной
системы с симметрично располо-
женными одинаковыми массами
расчет можно упростить. Достига-
ется это группировкой единичных
сил инерции, подобно тому как груп-
пируются неизвестные при расчете
систем на статическую нагрузку ме-
тодом сил. Направления групповых
единичных сил подбираются так;
чтобы обеспечивалась симметричная
или кососимметричная форма де-
формации системы. Строятся еди-
ничные эпюры изгибающих момен-
тов от действия групповых симмет-
ричных и кососимметричных
единичных сил и отыскиваются
обобщенные перемещения. Так как
обобщенное перемещение б вызвано
воздействием двух сил, массы /и» в
соответствующих элементах опреде-
лителя (21.23) принимаются с коэф-
фициентом 0,5.
Применение групповых единичных
сил позволяет расчленить систему
дифференциальных уравнений
(21.22) на две независимые систе-
мы, в одной из которых уравнения
содержат только симметричные
инерционные силы, а во второй —
кососимметричные. Уравнение ча-
стот (21.23) также распадается на
две независимые системы, содер-
жащие соответственно частоты сим-
метричных и кососимметричных ко-
лебаний.
Если единичные силы приняты
так, что все побочные коэффициен-
ты уравнения (21.23) равны нулю,
оно принимает вид
(6цШ1 — Х)(622^2 X.) . . .
...(бпп^п —^) = 0-
Это уравнение распадается на ряд
независимых уравнений типа —
—Хг=О. Соответствующие частотам
©г формы колебаний будут глав-
ными.
Пример. Найти частоты собственных ко-
лебаний для балки, изображенной на рис.
21.15, а, с учетом симметрии системы.
Решение. Эпюры изгибающих момен-
тов от действия групповых симметричных
(Л?1) и кососимметричных (Л?2) сил приве-
дены на рис. 21.15, е, ж. Так как эпюра Mi
симметрична, а Л?2 кососимметрична, 6i2 =
= б21=0. Учитывая, что массы одинаковы
и перемещения бц и б22 вызваны парными
единичными силами, уравнение (21.23) мож-
но записать
0 I
| 0 ОЛОмга—М
откуда
(0,5бц/п — X)(0,5622m — X) = 0. (21.25)
Перемножением эпюр Mi и Л12 находим:
_ Vi е ^2idx ™ .
611 EI 9GEI ’
—, л M2dx З/з
EI ~96ЕГ
Из уравнения (21.25) получаем:
0,5бц/и — А,х — 0; Xi = 0,56ц/п =
0,5-7/зщ 7/з/п
= 96£/ = 192£/ ’
0,5622т Х2 ^=- 0; Х2 = 0,5622/п =
0,5-3/з/п З/3/n
= 96£/ = 192£/ ’
290
Без учета симметрии балки получен тот
же результат. Однако в рассматриваемом
случае решение получается более простым
способом. Характеристические числа М и %2
в обоих случаях одинаковы, а значит оди-
наковы и частоты (01 и <о2.
21.5. ПРИБЛИЖЕННЫЕ СПОСОБЫ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТ
СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИИ
БАЛОК И РАМ
Энергетический способ. В основе
этого способа лежит закон сохра-
нения энергии: в любой момент вре-
мени энергия колеблющейся систе-
мы остается постоянной:
+ const, (21.26)
где U, V — соответственно потенци-
альная и кинетическая энергия.
Поскольку £7min= Vmin = 0, ТО ИЗ
условия (21.26) следует
ym»x=Vmax. (21.27)
Рассмотрим колебания однопро-
летной балки переменной жесткости,
с распределенной массой т(х), из-
меняющейся по любому закону
(рис. 21.16). Уравнением упругой
линии балки в процессе колебаний
будем считать
у (х, t) = у (х) sin (ot + X), (21.28/
где у(х) — амплитуда колебаний.
Без учета работы поперечных и
продольных сил потенциальная
энергия балки эквивалентна работе
изгибающих моментов:
Uf M2dx
2EI (х) •
Так как Е1у''(х)=Мх (у"(х) —
вторая производная амплитуды ко-
лебаний по х), то
= (21.29)
*4
Рис. 21.16
Подставляя выражение второй
производной уравнения колебаний
(21.28) по х
У"(х, t) = /(x)sin(of + X)
в равенство (21.29), имеем
U = sin2 (ш/ + X) х
(21.30)
X JEIx\tf (x)]2dx.
о
Потенциальная энергия системы
будет максимальной при sin2(wf+
+ Х) = 1:
U^=~\EIx[if(xWdx. (21.31)
о
Кинетическая энергия
= — (О2 cos2 (of + X) х (21.32)
i
X f m (x) y2 (x) dx.
о
Кинетическая энергия максималь-
на при cos2((of+X) = 1:
Knax = у-®2 [ m (x) y2 (x) dx. (21.33)
19*
291
Приравняв выражения (21.31) и
(21.33), находим
<>• = Л----------------------------
/
[ т (х) у2 (х) dx
(21.34)
Из формулы (21.34) видно, что
наименьшая частота колебаний си-
стемы может быть найдена рас-
сматриваемым способом, если из-
вестно уравнение упругой линии
балки. В общем случае им задают-
ся исходя из условий закрепления
на опорах. Поэтому энергетическим
способом точное решение можно
получить, если известна действи-
тельная форма изогнутой оси стерж-
ня в процессе колебаний.
Пример. Определить наименьшую часто-
ту свободных колебаний балки постоянной
жесткости (см. рис. 21.16) с равномерно
распределенной массой т.
Решение. Примем, что отклонения
всех точек оси балки во время колебаний
определяются уравнением
six
У (х) = у0 sin -у-,
где Уо — амплитуда колебаний в середине
пролета.
Частоту колебаний определим по форму-
ле (21.34). Вторая производная
, . . л2 . six
У(х) = —— у0 sin~
Так как жесткость балки постоянна, ее
потенциальная энергия
j[/(x)]Mx =
1 л4 2 Р . „ SIX
= — Е‘— SI”» —dx =
_ 1 Eln'yl
~ 2 ' 21?
Кинетическая энергия
-у- §my*(x)dx =
1 2 С • . Пх j 1
= — WoJSIn2 — dx = T— .
Согласно формуле (21.34),
EIs^y% 4 п4£/
со2 =---——.-----5- =----— , откуда
4/з rnygl ml4
со = зт2//2 f/EZ/m.
(21.35)
Выражение (21.35) соответствует точно-
му решению задачи, так как было принято
действительное уравнение изогнутой оси
балки при ее колебаниях, полученное ста-
тическим методом.
Если уравнение упругой линии
балки при колебаниях неизвестно,
его можно принимать приближенно
совпадающим с соответствующим
уравнением при статическом дейст-
вии приложенных нагрузок.
Выразим потенциальную энергию
системы через работу внешних сил.
Для балки, изображенной на рис.
21.16, элементарная сила, действую-
щая на бесконечно малом элементе
длиной dx, равна m(x)gdx. Из со-
отношения (21.27) следует, что
[7Шах И Vmax МОГуТ быть НЭЙДвНЫ ПО
формуле (21.34), тогда
/
J m(x)gy(x)dx
со2 = . (21.36)
J т (х) у2 (х) dx
о
Если на балке только сосредото-
ченные массы, формула (21.36) при-
нимает вид
о? = , (2| 37)
292
где уг— наибольшие перемещения
точек сосредоточения масс.
Способ приведения масс. При ис-
пользовании этого способа систему
с бесконечным числом степеней сво-
боды заменяют системой с одной
степенью свободы. Частота свобод-
ных колебаний находится по фор-
муле (21.1) или (21.6), в которые
вводится масса М, заменяющая все
заданные массы системы. Масса М
называется приведенной массой си-
стемы.
Чтобы заданная и преобразован-
ная системы были равнозначны,
нужно, чтобы в системе с приведен-
ной массой частота колебаний была
близка к наименьшей частоте коле-
баний системы в заданном состоя-
нии. Приведенная масса находится
из условия равенства кинетической
энергии заданной и преобразован-
ной системы.
Применение способа рассмотрим
на примере простой балки со сплош-
ной распределенной массой т(х)
(рис. 21.17, а). Уравнение колеба-
ний примем, как и прежде, в виде
(21.28).
Кинетическая энергия заданной
системы определяется формулой
(21.32)
Va = -у (О2 cos2 (cat + 1) X
i
X J m(x)y*(x)dx.
о
Преобразованную систему при-
мем, как показано на рис. 21.17, б.
Уравнение колебаний представим в
виде
#(х, 0 = уа sin (со/ + X),
где уа— амплитуда колебаний точ-
ки сосредоточения массы М.
Рис. 21.17
Кинетическая энергия преобразо-
ванной системы
V^ = ±-M{y'(x, /)]« =
= -у- Муа <02 COS2 (в>/ 4- %).
Тогда из условия У3=УП
i
J m(x)z/2(x)dx
М = -----2-------. (21.38)
У а
Из выражения (21.38) следует,
что для определения М нужно знать
уравнение колебаний балки в за-
данном состоянии и амплитуду уа
колебаний массы М для балки в
преобразованном состоянии. Функ-
цию у(х, t) принимают приближен-
но, пользуясь приемами, изложен-
ными выше.
Наиболее простые решения полу-
чаются, если прогибы у(х, t) выра-
жены через уа. В этом случае не
нужно определять действительный
прогиб уа, а достаточно знать пере-
мещение точки сосредоточения мас-
сы М от действия силы Р = 1, дейст-
вующей в той же точке. Если же
функция у(х, t) принята произволь-
но, уа можно принять равным стати-
293
ческому прогибу точки а от задан-
ной нагрузки.
Пример. Определить наименьшую часто-
ту свободных колебаний одиопролетной
балки постоянной жесткости (см. рис.
21.17, а), считая ее массу равномерно рас-
пределенной.
Решение. Уравнение упругой линии
заданной балки при колебаниях примем в
виде
у(х, 1) = уаsin (лх/Z),
где уа — амплитуда колебаний в середине
пролета.
Числитель в формуле (21.38)
I
J т (х) i/2 (х) dx =
о
= т ( У2а^-^~ dx = my2a^- .
о 1 2
Приведенная масса
М = тУ2а V
2 Уа
Прогиб балки в середине пролета от дей-
ствия сосредоточенной силы, приложенной
там же, уа = Р13Ц43Е1), или, заменяя Р на
С, получаем ya = Cl3/(48EI) = 1, откуда С=
= 48£///3.
Тогда частота колебаний по формуле
(21-6)
со = Vc/M = V48£///з.2/(т/) =
9,8 ,_____
= —^—УЕ1!т.
Точное решение: М — 0,493ml; со =
9,87 ____
= —VEI/m.
Погрешность определения частоты коле-
баний составляет менее 1%.
Способ замены распределенных
масс сосредоточенными массами.
Система с бесконечно большим чис-
лом степеней свободы заменяется
системой с одной или малым числом
степеней свободы, а распределенные
по длине элемента массы — масса-
ми, сосредоточенными в определен-
ных точках. Чем больше принима-
ется число сосредоточенных масс,
тем ближе будут значения вычис-
ляемых частот к действительным их
значениям при колебаниях заданной
системы.
Для замены распределенных масс
сосредоточенными используются два
приема: элементы систем с распре-
деленной массой разбиваются на,
участки и в середине каждого участ-
ка сосредоточивается эквивалентная
масса; массы сосредоточиваются на
границах участков. Выбор точек со-
средоточения масс производится
так, чтобы они, перемещаясь в од-
ном или разных направлениях, обес-
печивали простейшую форму изгиба
стержня, соответствующую наи-
меньшей частоте свободных коле-
баний.
Рассмотрим однопролетную балку
постоянного сечения с равномерно
распределенной массой т (рис.
21.18, а). Сопоставим значения пер-
вой и второй частот колебаний при
замене распределенной массы со-
средоточенными массами, прило-
женными на границах выделенных
участков (рис. 21.18, б).
Точное решение для заданной
балки: ___ _____________
л2 if EI 9,87 if £/
0)1 — “72~ V ~~in ~ I* V ~~m~ ’
4л2 i/"£T 39,48 lf~ET
V — —— V —
Для системы с двумя степенями
свободы, используя формулу
(21.35), имеем: ____
9,86 if EI
= -if- V ~m^
38,18 if EI
v—•
294
Погрешность определения первой
(низшей) частоты ел составляет
всего 0,1%, в то время как погреш-
ность второй частоты со2 — 3,29%.
Приняв большое количество сосре-
доточенных масс, получим значения
частот, еще более близкие к точным.
Для практических целей достаточ-
но знать наименьшую частоту сво-
бодных колебаний системы.
Способ замены неразрезной бал-
ки однопролетными балками. Час-
тота свободных колебаний нераз-
резной балки может быть найдена
точными методами, как это делает-
ся при статическом расчете этих ба-
лок. Например, неизвестными в
уравнениях трех моментов будут
опорные моменты M(t), изменяю-
щиеся во времени с той же часто-
той, с которой происходят колеба-
ния балки.
Ниже приводится приближенный
способ определения наименьшей
частоты свободных колебаний си-
стемы с бесконечным множеством
степеней свободы, который обеспе-
чивает достаточную точность расче-
тов для неразрезных балок посто-
янной жесткости с равными проле-
тами, одинаковыми массами в про-
летах и нагрузкой в них.
Рассмотрим неразрезную балку,
изображенную на рис. 21.19, а. Ис-
следуем простейшие формы ее ко-f
лебаний.
Самой простой форме упругой
линии изогнутой балки соответст-
вует наименьшая частота свободных
колебаний. Эта форма колебаний
будет обеспечена, если массы в
смежных пролетах перемещаются в
разные стороны (рис. 21.19, б).
В этом случае на промежуточных
опорах балки обеспечивается сво-
бодный или близкий к нему поворот
сечений, что эквивалентно введению
Рис. 21.19
в опорных сечениях шарниров.
В результате неразрезная балка
может быть представлена рядом
простых однопролетных балок (рис.
21.19, в), и наименьшую частоту
колебаний любой из них можно оп-
ределить точными или приближен-
ными способами.
Вторая форма колебания нераз-
резной балки (рис. 21.19, а) имеет
место, когда массы в смежных про-
летах перемещаются в одну сторо-
ну. Полагая, что углы поворота про-
межуточных опорных сечений рав-
ны нулю, неразрезную балку тоже
можно представить рядом однопро-
летных балок с определенными
295
опорными закреплениями (рис.
21.19, д). Для однопролетных ба-
лок такого типа имеются решения
по определению наименьшей часто-
ты свободных колебаний.
Аналогично можно приближенно’
определять наименьшую частоту
свободных колебаний неразрезной
балки с сосредоточенными массами.
Задачи о свободных колебаниях
рам чаще всего решают приближен-
ными способами, вводя следующие
упрощения: распределенные подли-
не элементов массы заменяют со-
средоточенными массами (задан-
ная система заменяется системой с
конечным числом степеней свобо-
ды); ригели многопролетной рамы
рассматриваются как отдельные не-
разрезные балки и др.
Рассмотрим раму с сосредоточен-
ной в середине ригеля массой т
(рис. 21.20). Если масса элементов
рамы пренебрежимо мала, система
имеет две степени свободы. Так как
рама симметрична, возможны сим-
метричная и кососимметричная фор-
мы ее колебаний. Приближенность
способа состоит и в том, что верти-
кальные и горизонтальные колеба-
ния рассматриваются независимо
друг от друга в системе с одной сте-
пенью свободы. Частоту колебаний
можно найти, например, по форму-
ле (21.6). Если массой ригеля и
стоек пренебрегать нельзя, то при-
веденная масса при вертикальных
колебаниях M = m+0,45 тр; гори-
зонтальных — М = ш + /пр+0,3 тСч,
тр — масса ригеля; /иСт —
суммарная масса стоек.
21.6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ СПОСОБЫ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСНОВНОЙ
ЧАСТОТЫ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ
ФЕРМ
Общие положения. При опреде-
лении основной частоты свободных
колебаний ферм полагается, что
стержни фермы остаются прямоли-
нейными, а массы стержней сосре-
доточены в узлы фермы. Внешние
нагрузки будем также считать при-
ложенными в узлах фермы. Таким
образом, колебания отдельных
стержней не учитываются и рас-
сматривается как бы невесомая
ферма—система с бесконечно боль-
шим числом степеней свободы пре-
образуется в систему с конечным
числом степеней свободы. Каждая
масса в узле фермы, как точка в
плоскости, обладает двумя степеня-
ми свободы. Общее число степеней
свободы системы равно удвоенному
числу масс (сосредоточенные массы
в опорных узлах не учитываются).
Частоты колебаний фермы могут
быть найдены точным методом с по-
мощью уравнения (21.23). Отличие
будет в том, что перемещения 6ц и
6ik нужно находить в шарнирно-
стержневой системе, прикладывая
нагрузку Р=1 в ее узлах. Ниже
приведены приближенные способы,
основанные на аналогии колебаний
фермы и простой балки.
Энергетический способ. Рас-
смотрим ферму, в узлах которой со-
средоточены массы (рис. 21.21).
296
Пусть Xi(i) — горизонтальное пере-
мещение массы ггц; yt(t) — верти-
кальное. По аналогии с простой
балкой примем уравнения колеба-
ний масс в виде:
Xi (0 = xt sin (wt + X);
yi(t)=tJi sin (©/-J-%),
где Xi, tji — амплитуды колебаний.
Кинетическая энергия сосредото-
ченных масс
V = -i-Sml{[x;wr + [y('(0]‘} =
= -i- ф2 cos2 (at + X) (xi 4- yi )
Максимальная кинетическая энер-
гия при cos ((о/+Х) = 1
Потенциальную энергию выразим
через работу внешних сил
1/ = -^-2т^г(0 =
= sin (со/ 4- Л) Zmigyi-
Наибольшая потенциальная энер-
гия при sin ((о/+%) = 1
= ё^тгУ1'
Согласно условию (21.27),
й2 = gZ m‘Vl-----. (21.39)
+Vi)
В случае действия только верти-
кальных нагрузок перемещениями
Xi обычно пренебрегают ввиду их
малости по сравнению с Тогда
формула (21.39) принимает вид
со2 = gZmi^ . (21.40)
Рис. 21.21
Рис. 21.22
В формулах (21.39) и (21.40) Xi
и yi — наибольшие перемещения
(амплитуды колебаний) масс — мо-
гут быть найдены приближенно из
расчета фермы на статические на-
грузки любым известным способом.
Способ замены фермы эквива-
лентной балкой. Способ состоит в
том, что заданную ферму заменяют
балкой постоянной жесткости с
равномерно распределенной массой.
Жесткость заменяющей балки EI
находится из условия, что макси-
мальные прогибы заданной фермы
и заменяющей балки должны быть
одинаковы.
Рассмотрим ферму, изображен-
ную на рис. 21.22, а. Заменяющая
балка показана на рис. 21.22, б.
Прогиб балки в середине пролета от
сплошной равномерно распределен-
ной нагрузки Дб = 5 т^/4/(384£/б),
а жесткость заменяющей балки
pj _ 5mgl* _ bmgl*
6 384Дб 384Дф
Наименьшая частота колебаний
297
заменяющей балки (формула
(21.35)) _______ __________
m - — 1/ 1 13 1/g
/2 V 384Афт -1’13 Г дф’
Максимальный прогиб Аф от дей-
ствия статической нагрузки, прило-
женной в узлах фермы, может быть
найден любым известным спосо-
бом.
21.7. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ
СВОБОДЫ
Будем полагать, что все действу-
ющие на систему возмущающие си-
лы имеют одну и ту же частоту и
подчиняются закону Pi(t) =
— Pi sin (Gt), а силы сопротивления
движению отсутствуют. Перемеще-
ния масс, силы инерции этих масс,
усилия в системе и ее перемещения
также будут функциями времени,
изменяясь в соответствии с законом
изменения нагрузки. При этом уси-
лия в сечениях системы и переме-
щения всех ее точек будут дости-
гать своих амплитудных значений в
одно и то же время.
Рассмотрим балку с п сосредото-
ченными массами и вибрационными
нагрузками Pi sin (0/) (рис. 21.23).
На основании принципа независи-
мости действия сил перемещения
точек приложения масс в любой
момент времени /:
1/1 (t) = бц/Х (0 + 612Z2 (0 + • • •
----М1П/ п (0 + Д1р (0;
й(0 = 6н/1(Г) + 6224(0+"-
• ••+Мп(0 + а.р(0;
где бгк — перемещение точки сосре-
доточения i-й массы от действия
единичной силы, приложенной в
ife-й точке; &ip(t) — перемещение
i-й массы, вызванное динамической
нагрузкой:
= Ajpsin(0Z), (21.42)
Aip — перемещение i-й массы при
действии статических нагрузок, рав-
ных максимальным динамическим
нагрузкам.
Поскольку в соответствии с при-
нятыми допущениями
ft(O = ^sin(et),
то сила инерции i-й массы
Ji (0 = — (0 = ггцУ& sin (00,
откуда
Таким образом,
Уравнения (21.41) после подста-
новки выражений iji(t) и группи-
ровки слагаемых принимают вид:
(«И----!тг)Л(0 + 612Л(0 + -"
• ••+«!„/„ (О + Д1р(0=0;
&21J 1 (0 + ^22 Изб2") '
• ••+W»(0 + A.p(0=0;
0„(O = 6„1/1(t) + 6n2MO+ •••
•••+6nn/n(/) + A„p(t),
(21.41)
6nA(n + W2(0 + •••
•••+К-~гУп(о+Дпр(о=о.
\ Иц’2 /
298
Рис. 21.23
Так как инерционные силы явля-
ются периодическими функциями
Jt (t) = Ji sin (0/), с учетом соотноше-
ния (21.42) при 6ff—l/(mf02) =6*ь по-
лучаем:
8*1 А+ 8иЛ+ 813J3 + • • •
• • • 4-8щ^п+ Aip =Ф
бгхАЧ- 822*^2 Ч- 823/3+ • • •
• * ’ + 82nJn+A2p=0;
(21.43)
8п1Л+8п2Л+ 8n3J3+* • •
• • • +б*п/п+ Лпр=0-
Решением системы уравнений
(21.43) находятся максимальные
инерционные силы, соответствую-
щие определенной частоте вынуж-
денных колебаний системы.
Уравнения (21.43) по своей струк-
туре аналогичны каноническим
уравнениям метода сил и носят на-
звание канонических уравнений для
определения максимальных инерци-
онных сил. Они справедливы для
любой стержневой системы (в том
числе шарнирно-стержневой): как
статически определимой, так и ста-
тически неопределимой.
Перемещения бгг и Aip находятся
способами, изложенными в гл. 10.
В системах, элементы которых ра-
ботают преимущественно на изгиб,
эти перемещения могут быть найде-
ны, например, путем перемножения
эпюр.
Если рассматриваемая система
статически неопределима, то при
определении перемещений dik либо
все эпюры изгибающих моментов от
сил Р=1 строятся в заданной ста-
тически неопределимой системе,
или же одна из них может быть по-
строена в любой основной системе
метода сил. Для определения пере-
мещения Дгр находится эпюра из-
гибающих моментов в заданной ста-
тически неопределимой системе от
статических нагрузок, равных ам-
плитудным значениям динамиче-
ских нагрузок.
Для систем со многими степеня-
ми свободы, находящихся под дей-
ствием вибрационной нагрузки, яв-
ление резонанса имеет место, когда
частота возмущающей силы совпа-
дает с какой-либо из частот собст-
венных колебаний (см. § 21.8).
21.8. ДИНАМИЧЕСКИИ РАСЧЕТ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Основные задачи динамического
расчета стержневой системы состо-
ят в определении амплитудных зна-
299
чений усилий и перемещений, а так-
же в сопоставлении частоты свобод-
ных колебаний системы с частотой
ее вынужденных колебаний для
предупреждения появления явления
резонанса при эксплуатации соору-
жений.
Максимальный изгибающий мо-
мент в любом сечении, вызванный
действием динамической нагрузки,
М гд= МнАЧ- • • •
(21.44)
где М1Р—изгибающий момент в i-м
сечении от статической нагрузки, рав-
ной амплитудным значениям дина-
мических нагрузок; Milt ~Mi2,.. .,44fn—
моменты в сечении заданной системы
от сил Plt Р2, ..., Рп, равных еди-
нице и приложенных в точках со-
средоточения масс; Jlt J2, ..., Jn—
максимальные инерционные силы,
получаемые решением системы урав-
нений (21.43).
Эпюры динамических моментов
строятся по тому же принципу, что
и окончательные эпюры моментов
при расчете статически неопредели-
мых систем методом сил. По эпюре
динамических моментов 2ИД строит-
ся эпюра поперечных сил Q& а за-
тем эпюра продольных сил ЛГД. Про-
верки правильности построения
эпюр динамических усилий в стати-
чески определимых и статически
неопределимых системах остаются
обычными.
Пример. Задана невесомая рама, на ри-
гелях которой расположены массы mt и т2
(рис. 21.24, а). На раму действует сосредо-
точенная вибрационная нагрузка Psin(0/),
приложенная в точке сосредоточения массы
т2; 1=8 м; Л=4 м; mi=800 кг; т2 =
400 кг; максимальная вертикальная состав-
ляющая центробежной силы Р=2 кН. Ча-
стота вынужденных колебаний должна со-
ставлять 60% наименьшей частоты свобод-
ных колебаний.
Требуется построить эпюру динамических
моментов.
Решение. Рассматриваемая система
обладает двумя степенями свободы.
Эпюры изгибающих моментов в задан-
ной системе (рис. 21.24,6, в) от силы Pi=l
и Р2=1, приложенных поочередно в точках
1 и 2, построим, пользуясь методом переме-
щений.
В результате перемножения эпюр Mi и
-М2 находим:
6„=zf M'dx
J EI ~
1,767
EI ’
622=2f^I = _LZ6L;
У EI EI
612=621=qC = °±.
J EI EI
0.
Частоты свободных колебаний определим из
уравнения (21.23)
I 611^1— Л, 612^2 I
Р>= |=|
I Sal'll b22tn2—X I
Раскрыв определитель, получаем:
(6ц/И1— X) (622-^2— X) — б|2/П1/п2=0,
откуда с учетом того, что mi=2m2 и 6П =
= 622, после преобразований
Х^—36ц/ц2Х-{- (61 J-—612) 2т2:=0.
Решив это уравнение относительно X,
имеем:
Xj 12=0,5 (5,301 ±2,451) m2/(£Z).
Характеристические числа и частоты сво-
бодных колебаний:
Х1=3,876-^-; Х2= 1,425-^т-;
EI EI
©i=0,508 V El!m2, ®2=0,838/ El/m*
Частота вынужденных колебаний
0=0,6® min=0,6®1=0,6.0,508/EIIm2=
=0,305 1/£77^Г2.
300
Максимальные инерционные силы опре-
деляются из уравнений (21.43), которые в
рассматриваемом случае принимают вид:
6*1/1+б12/2+^1р==0! 1
612Л4_б22*^24_^2р==0;)
б* _ 1,767 _____________1_______=
11 EI 800 (0,305 V£7/m;)2
3,608 я . 0,6
1,767 ________1____________
°22~ EI ~ 400 (0,305 УЁТ/щ^ “
_ 8.983
EI '
Эпюра изгибающих моментов Мр (рис.
21.24, г) может быть получена из условия
МР=М2Р. Эпюры моментов Mi и М2 для
вспомогательных состояний построены в ос-
новной системе метода сил (рис. 21.24,5, е).
Свободные члены уравнений:
- 1,2
Aip—МрМ±—— El ;
3,533
Д2р= МрМ2— •
Получаем систему уравнений:
—3,608/1—0,6Z2—1.2=0; |
—0,671—8,983Z2+3,533=0, J
откуда
Zi=—0,399; Z2=0,417.
Эпюру динамических моментов Мд полу-
чим шо формуле (21.44). Результирующая
эпюра динамических моментов приведена
на рис. 21.24, ж.
При динамических расчетах слож-
ных статически неопределимых си-
стем используются основные (клас-
сические) методы их статического
расчета; метод сил и метод переме-
щений. Отметим их основные осо-
бенности.
В расчете методом сил за основ-
Рис. 21.24
ные неизвестные принимаются ди-
намические реакции в отброшенных
связях, а канонические уравнения
составляются из условий равенства
нулю полных динамических переме-
щений по направлению отброшен-
ных связей.
Основными неизвестными в рас-
чете методом перемещений являют-
ся динамические перемещения уз-
лов системы (независимые угловые
и линейные), а канонические урав-
нения составляются из условий от-
сутствия во введенных связях дина-
мических реакций.
Выполнение сложных динамиче-
ских расчетов в настоящее время
осуществляется на ЭВМ с использо-
ванием специально разработанных
программ.
21.9. СПОСОБЫ БОРЬБЫ С ВИБРАЦИЕЙ
Вибрация несущих конструкций
может оказывать вредное влияние
как на людей, так и на технологиче-
ское оборудование. Особенно чув-
ствительны к вибрации измеритель-
ные приборы. Поэтому если при вы-
полнении требований прочности,
жесткости и устойчивости несущих
конструкций не обеспечиваются ус-
ловия безопасного труда людей и
нормальной эксплуатации оборудо-
вания, необходимо принимать меры
по защите от вибрации.
Наиболее простым средством сни-
жения или устранения вредного
действия вибрации является вибро-
изоляция (активная и пассивная).
При активной виброизоляции умень-
шают динамические нагрузки от
оборудования. Пассивная вибро-
изоляция состоит в защите от коле-
баний несущих конструкций, обору-
дования и мест работы людей. Ак-
тивная виброизоляция осуществляв
ется постановкой между машиной и
несущей конструкцией различных
амортизаторов (пружин, рессор,
прокладок). Эффективной вибро-
изоляция будет в том случае, если
отношение частоты возмущающей
силы к частоте свободных колеба-
ний подрессоренной массы будет не
меньше 4.
В ряде случаев эффективно из-
менение режима работы оборудова-
ния, например изменение частоты
вращения деталей машин с целью
уменьшения динамического воздей-
ствия, уравновешивание движущих-
ся масс при вращательном и воз-
вратно-поступательном движении.
Иногда для уменьшения динами-
ческих прогибов несущих конструк-
ций достаточно изменить расстановч
ку машин, являющихся источником
колебаний. Например, сместить ма-
шины ближе к опорам несущих ба-
лок или так их разместить, чтобы в
направлении действия инерционных
сил была обеспечена большая жест-
кость конструкций.
Повышения частоты собственных
колебаний конструкций и, следова-
тельно, снижения динамического
воздействия можно достичь также
путем увеличения размеров попе-
речных сечений элементов конст-
рукций, уменьшения пролетов, из-
менения конструктивной схемы со-
оружения.
Часто прибегают к устройству
виброгасителей, которые представ-
ляют собой дополнительную систе-
му, устанавливаемую на несущей
конструкции с целью нейтрализации
действия возмущающей нагрузки.
ЛИТЕРАТУРА
Киселев В. А. Строительная механика.— М.: Стройиздат, 1976.— 511 с.
Киселев В. А. Строительная механика. Специальный курс.— М.: Строй-
издат, 1969.—431 с.
Масленников А. М. Расчет статически неопределимых ситем в матричной
форме.— Л.: Стройиздат, 1970.— 128 с.
Рабинович И. М. Основы строительной механики стержневых систем.—
М.: I960.— 519 с.
Раевский А. И. Основы расчета сооружений на устойчивость.— М.: Высш,
шк., 1962.— 160 с.
Ржаницын А. Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств ма-
териала.— М.: Госстройиздат, 1954.— 287 с.
Ржаницын А. Р. Строительная механика.— М.: Высш, шк., 1982.— 400 с.
Снитко Н. К. Строительная механика.— М.: Высш, шк., 1980.— 430 с.
Строительная механика. Стержневые системы / В. Ф. Смирнов, А. В. Алек-
сандров, Б. Я. Лащенников и.др — М.: Стройиздат, 1981.—512 с.
Строительная механика / А. В. Дарков, Г. К. Клейн, В. И. Кузнецов
и др.—М.: Высш, шк., 1976 —596 с.
Филин А. П. Матрицы в статике стержневых систем и некоторые элемен-
ты использования ЭЦВМ.— Л.; М.: Стройиздат, 1966.— 437 с.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Арка 64 — бесшарнирная 65, 197—200 — двухшарнирная 65, 194—196 — трехшарнирная 65 с затяжкой 66—67 Балка 47—49 — многопролетная (шарнирная) 38—40 неразрезная 175—192 Взаимность перемещений 122 — реакций 122 и перемещений 122—123 Колебания 278 — вынужденные 278, 283—287, 298—301 — свободные (собственные) 278—283, 287— 298 Линии влияния в балке 46—47 многопролетной шарнирной 50—52, 58 простой 47—50 Матрица 23 — влияния 28, 44, 64, 95 — податливости (сопряжений) 133, 135— 137, 169, 205 Нагрузка временная 13 — динамическая 14, 277 вибрационная 277 кратковременная 278 подвижная 277 сейсмическая 278 Ударная 277 — критическая 250 — неподвижная 14 —постоянная 13 — предельная 244—248 — статическая 13, 116 Операции над матрицами 24—26 Опора системы плоской 11 — шарнирно(-неподвижная цилиндрик ческая 12—13 — шарнирно-подвижная цилиндриче- ская 11—12 защемляющая неподвижная 13 пространственной 106—107 линейно-подвижная шаровая 107 неподвижная шаровая 107—108 подвижная шаровая 107 Принципы возможных перемещений 119— 120 Работа 114—116 — действительная 116—119 — возможная (виртуальная) 119—121 Рама 152—153 — плоская 72, 152, 269—276 — пространственная 152, 232—239 Расчетное положение подвижной нагрузки распределенной 61—63 сосредоточенных сил 59—61 Система 10 —безраспорная 11 — геометрически изменяемая 11, 16 неизменяемая 11, 16—17 статически неопределимая 11 определимая 11 — комбинированная 100—103 вантовая 103—106 стержневая 100—102, 208—210 Состояние системы 120 безразличное 249—251 вспомогательное 121—126 'заданное 121—126
304
----неустойчивое 249—251
----предельное 239—244
----устойчивое 249—251
Степень неопределимости 140
----кинематической 211 —212
----статической 140—142
Схема расчетная 9
Упрощение расчета рам 157
-------методом перемещений 220—223
-------сил J58—166
Уравнения канонические 142—144
----метода перемещений 212—215
----сил 144—150
----смешанного 228—230
Устойчивость 249—252
— отдельных стержней 253—268
— плоских рам 269—277
Ферма 74
— плоская безраспорная 74—94, 200—208
----распорная 96—100, 200—208
—пространственная 106—113
Формула Мора 123—128
Число степеней свободы 14, 252, 279
Энергия потенциальная 119
— кинетическая 291, 293, 297
СОДЕРЖАНИЕ
От авторов 3
Введение 5
Раздел первый
СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
Глава 1. Расчетные схемы. Кинематический анализ сооружений 9
1.1. Понятие о расчетной схеме сооружения 9
1.2. Классификация расчетных схем 10
1.3. Опоры плоских стержневых систем И
1.4. Виды нагрузок 13
1.5. Кинематический анализ сооружений 14
Глава 2. Применение матриц в задачах строительной механики 22
2.1. Эффективность применения ЭВМ и матричных алгоритмов при расчете
сооружений 22
2.2. Матрицы и операции над ними 23
2.3. Решение систем линейных уравнений. Определение усилий и перемеще-
ний в матричной форме 26
2.4. Применение матриц влияния усилий для расчета статически определи-
мых систем ' 28
Глава 3. Особенности статически определимых систем 34
3.1. Свойства статически определимых систем 34
3.2. Распределение усилий в основных и дополнительных элементах системы 35
3.3. Методы определения усилий 36
Глава 4. Многопролетные статически определимые балки 38
4.1. Характеристика многопролетных шарнирных балок 38
4.2. Расчет многопролетной балки на неподвижную нагрузку 40
4.3. Формулы для определения изгибающих моментов и поперечных сил в
306
произвольном пролете балки 41
4.4. Расчет балок с осью ломаного очертания 42
4.5. Расчет многопролетных шарнирных балок в матричной форме 43
Глава 5. Определение усилий от подвижной нагрузки 45
5.1. Виды подвижных нагрузок и определение их расчетного положения 45
5.2. Понятие о линиях влияния 46
5.3. Статический метод построения линий влияния 47
5.4. Определение усилий по линиям влияния 52
5.5. Линии влияния при узловой передаче нагрузки 55
5.6. Кинематический метод построения линий влияния 56
5.7. Определение расчетного положения подвижной системы сосредоточен-
ных сил 59
5.8. Определение расчетного положения подвижной равномерно распреде-
ленной нагрузки 61
5.9. Построение матриц влияния усилий по линиям влияния 63
Глава 6. Трехшарнирные арки и рамы 64
6.1. Понятие об арках 64
6.2. Определение опорных реакций 66
6.3. Определение усилий и построение их эпюр • 68
6.4. Выбор рационального очертания оси арки 70
6.5. Расчет трехшарнирных рам 72
6.6. Сравнительный анализ работы трехшарнирной арки и простой балки 73
6.7. Построение линий влияния опорных реакций и усилий 73
Глава 7. Безраспорные плоские фермы 74
7.1. Понятие о фермах и выбор их расчетной схемы 74
7.2. Классификация ферм 76
7.3. Проверка неизменяемости и способы образования ферм 77
7.4. Определение усилий в стержнях ферм статическим методом 79
7.5. Линии влияния усилий в стержнях балочных ферм 87
7.6. Определение усилий в стержнях шпренгельных ферм 91
7.7. Линии влияния усилий в стержнях шпренгельных ферм 92
7.8. Расчет ферм в матричной форме 95
Глава 8. Распорные фермы, комбинированные и вантовые системы 96
8.1. Распорные фермы 96
8.2. Комбинированные системы Ю0
8.3. Вантовые системы ЮЗ
Глава 9. Пространственные фермы Ю6
9.1. Общие сведения Ю6
9.2. Опоры Ю7
307
9.3. Анализ геометрической неизменяемости 109
9.4. Частные случаи равновесия узлов 111
9.5. Определение усилий в стержнях 112
Глава 10. Определение перемещений упругих стержневых систем ИЗ
10.1. Основные понятия 113
10.2. Работа внешних сил 114
10.3. Работа внутренних сил. Потенциальная энергия 117
10.4. Принцип возможных перемещений 119
10.5. Теорема о взаимности работ 120
10.6. Теорема о взаимности перемещений 122
10.7. Теорема о взаимности реакций 122
10.8. Теорема о взаимности реакций и перемещений 122
10.9. Общая формула для определения перемещений плоских стержневых
систем 123
10.10. Формула Мора для частных случаев 126
10.11. Определение перемещений от внешней нагрузки 128
10.12. Определение перемещений в матричной форме 133
Раздел второй
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
Глава 11. Основные положения расчета статически неопределимых систем
методом сил 140
11.1. Понятие о статической неопределимости 140
11.2. Определение числа лишних связей 141
11.3. Свойства статически неопределимых систем. Методы расчета 142
11.4. Расчет систем методом сил. Канонические уравнения 144
11.5. Определение перемещений 150
Глава 12. Расчет плоских рам методом сил 152
12.1. Общая характеристика 152
12.2. Расчет простых рам 153
12.3. Проверка правильности построения М, Q и N 156
12.4. Упрощения расчета простых симметричных рам 157
12.5. Упрощения расчета сложных рам 162
12.6. Расчет рам на температурное воздействие и смещение опор 167
12.7. Расчет рам методом сил в матричной форме 169
Глава 13. Неразрезные балки 175
13.1. Расчет методом сил 175
13.2. Моментные фокусы и моментные фокусные отношения 180
13.3. Построение эпюр моментов с помощью моментных фокусных отно-
шений 182
13.4. Построение огибающих эпюр усилий 184
308
13.5, Расчет на осадку опор 185
13.6. Построение линий влияния усилий 186
Глава 14. Статически неопределимые арки 192
14.1. Характеристика статически неопределимых арок. Общие положения
расчета 192
14.2. Двухшарнирные арки 194
14.3. Расчет бесшарнирной арки на неподвижную нагрузку 197
Глава 15. Статически неопределимые фермы и комбинированные системы 200
15.1. Расчет статически неопределимых ферм 200
15.2. Расчет комбинированных систем 208
Глава 16. Расчет рам методом перемещений 211
16.1. Сущность метода перемещений 211
16.2. Определение реакций в дополнительных связях 216
16.3. Пример расчета рамы методом перемещений 218
16.4. Упрощения при расчетах рам методом перемещений 220
16.5. Расчет рам методом перемещений в матричной форме 224
Глава 17. Комбинированный способ расчета статически неопределимых
систем. Смешанный метод 225
17.1. Сравнительный анализ метода сил и метода перемещений 225
17.2. Комбинированный способ 226
17.3. Смешанный метод 228
Глава 18. Пространственные рамы 232
18.1. Характеристика пространственных рам 232
18.2. Расчет методом сил 234
18.3. Расчет методом перемещений 236
Глава 19. Расчет статически неопределимых стержневых систем по не-
сущей способности 239
19.1. Основные положения метода предельного равновесия 239
19.2. Определение предельной нагрузки для статически неопределимых
стержневых систем 244
Раздел третий
ОСНОВЫ УСТОЙЧИВОСТИ И ДИНАМИКИ
СООРУЖЕНИИ
Глава 20. Устойчивость упругих стержневых систем 249
20.1. Основные виды потери устойчивости. Критическая нагрузка и крити-
ческое состояние сооружения 249
20.2. Число степеней свободы и формы неустойчивого равновесия 252
309
20.3. Методы решения задач устойчивости 254
20.4. Устойчивость сжатых стержней с жесткими опорами 258
20.5. Устойчивость сжатых стержней постоянного сечения с упругими
опорами 265
20.6. Устойчивость плоских рам 269
Глава 21. Основы динамики сооружений 277
21.1. Общие положения 277
21.2. Свободные колебания системы с одной степенью свободы 279
21.3. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы 283
21.4. Свободные колебания систем со многими степенями свободы 287
21.5. Приближенные способы определения частот свободных колебаний
балок и рам 291
21.6. Приближенные способы определения основной частоты свободных ко-
лебаний ферм 296
21.7. Вынужденные колебания систем со многими степенями свободы 298
21.8. Динамический расчет стержневых систем 299
21.9. Способы борьбы с вибрацией 302
Литература 303
Предметный указатель 304
Евгений Петрович Довнар, Леонард Иванович Коршун
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
Зав. редакцией В. Г. Самарина
Редактор Л. Н. Базулько
Мл. редакторы А. П. Берлина, Н. В. Валишева
Оформление и худож. редактирование И. А. Демковского
Техн, редактор Г. М. Романчук
Корректор Р. К. Логинова
ИБ № 2273
Сдано в набор 09.09.85. Подписано в печать 16.05.86.
АТ 13685. Формат 70X90'/ie. Бумага тнп. № 1. Гарнитура
литературная. Высокая печать. Усл. печ. л. 22,81. Усл.
кр.-отт. 22,81. Уч.-изд. л. 22,08. Тираж 5400 экз. Зак. № 1840.
Цена 1 р. 20 к.
Издательство «Вышэйшая школа» Государственного коми-
тета БССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. 220048. Минск, проспект Машерова, Ц.
Типография им. Франциска (Георгия) Скорнны издатель-
ства «Наука и техника». 220600, Минск, Ленинский пр., 68.