Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений Кн.1 - Уманский А.А.

Автор: Уманский А.А.
Теги: строительство справочник проектирование издательство литературы по строительству
Год: 1972
Похожие
Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружении. Расчетно-теоретический
Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений
Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Основания и фундаменты
Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Каменные и армокаменные конструкции
Текст
                    СПРАВОЧНИК
ПРОЕКТИРОВЩИКА
ПРОМЫШЛЕННЫХ, жилых
И ОБЩЕСТВЕННЫХ
ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ
РАСЧЕТНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ
Под редакцией
д-ра техн, наук, проф. А. А. УМАНСКОГО
Рассмотрено и одобрено
Центральным научно-всследовательским институтом. строительных кЛьструкь
им. В. А. Кучеренко
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
В ДВУХ КНИГАХ
КНИГА 1
ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛИТЕРАТУРЫ по строительств:
Москва — 1972
Сяртеочен , проектировщика промышленных, жилых и общественных ЗданиЛи вооД$цййни|, Расчет-
но-теоретический. В 2-х кн. Кн. 1. Под ред. А. А. Уманского. Изд. 2Ф, пере|1швй|.дЛ»ВД., Строй-
издат, 1972. 600 с.
: В книге содержатся справочные данные по математике, строительной механике стержней и стерж-
невых систем. Освещены вопросы применения ЭВМ, матричных методов расчета. Даны таблицы для
расчета балок, рам, арок и колец. Уделено внимание материалам для строительных конструкций
и нормативам расчета.
Предназначена для проектировщиков, научных работников и студенток вузов.
Табл. 183, ил. 452, список лит. 482 назв.
РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ СПРАВОЧНИКА
В. М, Броуде, д-р* техн, наук; А. В. Геммерлинв, д-р техн, наук, проф.; Б. Г. Коренев, д-р техн, наук,
проф.; Я1 В. Никитин, д-р техн, наук; С. В. Поляков, д-р техн, наук, проф.; А. Р. Ржаницын, д-р техн,
наук, проф.; А Ф. Смирнов, д-р техн, наук, проф.; Р. И. Трепененков, канд. техн, наук, доц.; А. А. Уманский,
д-р техн, наук, проф.
АВТОРЫ
В. Л. Агамиров, д-р техн, наук; А. Я. Александров, д-р техн, наук, проф,; С. А. Алексеев, д-р техн,
наук, проф.; М, X Ахметзянов, д-р техн, наук; М Бернштейн, канд. техн, наук, доц.; Д. В. Вайнберг,
д-р техн, наук, проф,; IJ. М. Варвак, д-р техн, наук, проф.; М. С. Волчегорский, инж.; А. С. Воль-
мир, д-р техн, наук, проф.; А. В.рцммерланг,Д-р техн, наук, проф,; В. Б. Геронимус, канд, техн, .наук,
доп.; И. И. Гольденблат, д-р техн, наук, проф.; РО.Л. Григорьев, канд. техн, наук, доц.; В,М. Даревский,
д-р физ.-мат. наук, проф.; С. 3. Данкевич, канд. техн, наук;; 10. М. Иванов, д-р техн, наук, проф.;
А, Г. И ямерман, канд. техн, наук; К. А. Дитовер, канд, техн, надк, доц,; Г. К, Клейн, д-р техн. наук,
проф.; Л, В. Клепиков, канд. техн, наук; А. И. Коданев, канд. тех паук, доц,? Д. А, Копнов', 'канд. техн,
наук, доц.; Б, Г. Коренев, д-р техн, наук, -вррф.; Э.„,Нж Кузнецов, д-р техн, наук; С. ДпЛейтес, кайд.
техн, наук И. А. Лукаш, д-р техн, наук, проф.; Я--Б. Львин, д-р Техн. наук, пфоф.; Р. Н. Мацелинский,
канд. техн, наук; И. Е. Милейковский, д-р техн, наук, проф.; А. В, ШзргаевскйД д-р техн, наук, проф.;
В. В. Новицкий, д-р техн, наук, проф.; В. А. Отставное, канд,. техф наук; К. Д, Панферов, канд, техн,
наук? Л. В. Пицкель, канд. техн, наук; I Т. А. Попова канд. тех*. науку доц.; А. М. Проценко, канд.
тфхн. наук, доц.; О.	ВтРб&инко, инж,	С А	Сенгнцов,	д-р техн, наук, проф.; А.	П. Синицын, д-р	техн,
наук, проф.; С. М.	Сойбельман, канд’.	техн, наук;	В. И.	Сысоев, кайд. техн; наук;	С. В. Тарановский, д-р
техн. наук,, проф;	И. И. Трапезан,	д-р	тёФй.	наук, проф.; М. №. Трогун. инж.; А. И, Тюленев,	кавд.
tea;; наук, доц.;	А. А. Уманский,	д-р	техн,	наук,	проф.; А, П. Филин, д-р техн.	наук,
т*роф., В. Г, Чернашкин, канд. техн, наук; Г. М. Чувакин, д-р техн. !наук; В. Г. Чудновский, д-р техн,
наук,; проф.; Д, Л. Шапиро, канд. техн. наук.
Рецензенты
М. С. Бернштейн, канд. техн, наук; А. Г, Иммерман, канд. техн, наук; Р, Р. Матевосян, д-р техн, наук;
В В. Пастушихин, д-р техн, наук, проф.; А. А, Петропавловский, д-р „ техн, наук, проф.;
Р А Р-зников канд. техн, наук; А. Г, Раздольский, инж.; М. И. Сканави, канд, физ.-мат. наук, доц.;
Р. Г: ШшиШм, инж.
Научные редакторы
Н. И Вайсфельд, доц.; Б. Ф. Васильев, инж.; Б,,П, Вольфсон, кацд. техн, наук; Р. Ф. Габбасов, канд,
техн, наук, доц.; Г. В. Зубарев, канд. техн, вафк; А. Г, И мм а ан ла д re ь чаук; И. В, Киселева,
канд. техн, наук, доц., М, В, Малышев, д-р техн, наук; В, И. По тушит ’ ц д-р техн- наук, проф.;
А1. И, Рейтман, канд, техи; наук; О. В. Родинка, й«Ж.; Ю.М. Стругацкий, йанд. техн. наук; А. И. Цейтлин,
д-д техн, наук; В, М. Шусторович, канд, техн, наук; редактор о ршц, канд. техн, наук, доц,
Р, И, Трепененков.		.	=
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к первому изданию
Предисловие ко второму изданию
РАЗДЕЛ 1
МАТЕМАТИКА
Стр.
9
10
В. М. Даревский
1.1.	Алгебра	к . < . . .	11
1.1.1.	Степени и корни .............................  JJ
1.1.2.	Логарифмы * s	,.........
1.1.3,	Прогрессии	- . -  
1.1.4,	Факториал s
1,1.5.	Соединения
1.1.6.	Бином Ньютона ...................	Ь
1.1.7.	Определители (детерминанты)	Ч
1.1.8.	Линейные уравнения ............	I3
L1.9.	Уравнения высших степеней . . \ ......	14
1.1.10.	Приближенное решение уравнений ......	Ь
1,2.	Геометрия	•., . . . . .	16
1.2.1.	Плоские фигуры * * * . »............... . .	16
1.2.2,	Тела  ........................................ 17
1,3.	Тригонометрия	19
1.3.1.	Измерение углов	я •«	i	».	к	«	*
1.3.2.	Тригонометрические	функции k « , .	д	,	,	.	.	19
1.3.3,	Тригонометрические' функции от суммы-'и разно-
сти углов, кратных	углов и половинного	угла	.	«	20
1,3.4.	Квадраты и кубы синуса и косинуса .	.	.	,	*	>	21
1,3.5.	Приведение к виду, удобному для логарифмиро-
ваний ...... ? .... . . .. ......	21
1.3.6,	Зависимости между тригонометрическими функ-
циями трех углов <х9 & и у, сумма которых рав-
на 180э	7	.	,	. ?	.	.	.	.	.	21
1,3.7.	Зависимости между обратным! ’-ришнюметрнче-
скими функциями	....	.	*	.	.	.	21
1.3,8,	Формулы, применяемые при решении треугольников	2~
1.3.9.	Гиперболические функции	,	,	,	s	s	а	®	22
1.4.	Аналитическая геометрия	s ,	23
1,4.1.	Точка на плоскости , » ,	. * а о .	23
1.4.2.	Прямая линия . е » , > » . . * Г . » . . а	24
1.4.3.	Окружность „айв о. *	<	24
1.4.4,	Парабола	24
1.4.5,	Эллипс и гипербола ......... * . . .	25
1,4.6.	Построение конических сечений .......	2о
1.4.7.	Цепная линия. Циклоида. Спираль ......	26
1.4.8.	Точка в пространстве » а	.	26
1.4.9.	Плоскость :  „ .. . , „ с в . . . . - а / ,	,	27
1.4.10,	Прямая в пространстве ...... а -.. .	27
1.4.	П.	Поверхности второго порядка .	......	27
1.5.	Дифференциальная геометрия ......	28
1,5,1.	Плоские кривые	. .	»	*	>	.	.	.	v	*	.	*	28
1.5.2.	Пространственные	кривые	а	.	.	.	.	е	.	.	.	»	29
1.5.3.	Поверхности ......... .	31
1.6.	Дифференциальное исчисление	.	.	, . 7 «	33
1 u 1 1>ун1'ция, гоы 1	и ^ог’-ы	ш	ь	*	«	„	9	33
1.6.2.	Поо4Шг^тшя л д’«ФФ >оснциа	.	.	» . . . »	33
1 ) г Раскрыта» н’огредер^чносгеб	,	,	.....	35
i.o.'i, иеслеловаиие функций . i. .	.	., ./<	......	35
Т.6.5, Функция двух переменных	.	,	...	35
1.7. Интегральное исчисление .. . .	...... . ,	36
1.7Ш Неопределенный; интеграл „ . . < ......	36
1,7.2. Интегрирование рациональны функций . , . , ,	37
1 ’ - Интсгряргзахге —радд-нальНых функций . * .	37
Стр,
1.7.4.	Интегрирование трансцендентных	функций л	д	а	38
1.7,5.	Определенный интеграл	„	.	......	„	а	40
1.7.6.	Кратные интегралы	41
1.7.7.	Криволинейные интегралы	й	 ................	♦	42
1.8,	Ряды . , . . s э , и	.	п	= „ , ,	.	,	42
1.8.1.	Числовые ряды *-.* 0	3 ..»»	*	42
1,8.2.	Степенные ряды . . в » . ...................  »	43
1,8.3.	Разложение функций в степенные ряды . . .	,	43
1.9.	Дифференциальные уравнения  ........................ 45
1.9.1.	Основные понятия .. а 9 4 .......	.	45
1.9.2.	Уравнения первого порядка	»	46
1.9.3.	Уравнения второго порядка	»	46
1.9.4.	Линейные уравнения второго порядка . . , .	.	47
J .9.5. Линейные уравнения высших порядков с постоян-
ными коэффициентами .	.	47
1.9.6.	Метод начальных параметров ......	.	48
1.9.7.	Общие решения дифференциального уравнения
четвертого порядка с биквадратным характеристи-
ческим уравнением (А. И. Тюленев)	.	.	.	s	„	«	49
1,9.8,	Приближенные методы .....	s	в	.	а	а	я	49
1.9.9.	Уравнения математической физики .	4	»	.	.	.	,	53
1.10.	Функции комплексной переменной . . « а 55
'1.10,1. Комплексные числа 7 s я 9 . .	.	.	.	я	*	55
1.10.2.	Комплексные функции 4	о	®	55
1,10.3.	Конформные отображения	.	.	.	,	.	.	i-	>	.	,	56
1.11.	Вариационное исчисление . ........................  57
1.11.1.	Общие сведения ч я в #	»	.	*	.	»	.	„	,	3	э	57
1.11.2.	Основные случаи аоа..	57
1,11.3.	Прямые методы * w , .	*	ч	.	<	57
1.12.	Разностное исчисление	58
1.12,1.	Определение разностей/ » а а .	. у ...	58
1.12.2.	Разностные уравнения . . s	.	59
1.13,	Интегральные уравнения	.	59
I 13.1, Уравнения	Фредгольма	.	%	.	.	.	. . * а	.	59
1.13.2.	Уравнения	Вольтерра второго ряда	......	50
1.13.3.	Уравнения	Абеля . . „	.	^	/.	.	......	7	5Д
1.13,4.	Сингулярные уравнения	,	0	<	»	.	61
1.14.	Специальные, функции	 ......................... 61
1.14,1.	Полиномы Лежандра s й »	61
1.14.2.	Полиномы Чебышева /щ у * ...... ч a 61
1.14.3.	Гамма-функция	62
1,14,4.	Функция Бесселя s >	i . .........	62
1.15.	Операционное исчисление.......................... ®
1.15.1.	Преобразование Лапласа . . . . ............... 62
1.15.2.	Применение операционного исчисления ....	63
1.16.	Вштдрноё и тензорное исчисления . . . .
1,16.1.	Векторная алгебра	а З' д	> >	с	й/	.	«	. ..	а	64
1,16.2.	Векторный анализ	а . >	д	.	4	.	„	д	....	64
1.16.3.	Тензоры	?	я / . *	>	<	.	»	-	.	. » ,	в	65
1.17.	Приближенные вычисления	65
1.17.1.	Общие положения	У - г	s	........	,	65
1.17.2,	Приближенные формулы	я У . *	66
1.18.	Номография	:	: .	67
1.18,1.	Функциональная шкала .	. в .	.	.	о . . .	67
1.18.2.	Номограммы из выравненных точек	.	.	у/ УтУш	67
1,18,3.	Сетчатые номограммы , а „ , „ .	*	*	... й	67
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
1.18.4.	Ноиограмиы для уравнений с числом перемен-
них более трех ............................ » «	°'
1.19.	Приближенное представление функций . . .	68
1.19.1,	Постановка задачи , * . « ♦ а # « - » , . «	^8
L19.2. Интерполяционные формулы . . . ........
1.19.3,	Приближение функций по методу наименьших
квадратов
1.19,4.	Приближенное вычисление определенных интег-
ралов	70
1.20.	Ряды Фурье .............	п
1,20,1.	Разложение функций в ряд	Ф}рье	.	.	.	.	.	9	71
1,20.2,	Интеграл Фурье	*	<	<	-	.	.	•
1.20.3.	Приближенный гармонический анализ	.	.	.	.	.
1.21.	Теория вероятностей . e в	е ,	а	«	.	.	.	76
1,21.1.	События и вероятность	76
1.21.2.	Случайные величины и их характеристические
числа . , . . ........ 3 , . >. . -	7;
1.21,3,	Задача математической статистики п а й ₽ * »	78
1.21.4.	Основы теории корреляции ,>..»•»»»*	79
1.22.	Основные сведения о линейном программиро-
вании (А, М. Проценко) ........	79
1.22	1. Задача математического программирования ? »	79
1.22.2	, Формулировка задач линейного программирова-
ния	. .... . . . . -
1.22.3	. Двойственные задачи линейного программирова-
ния , к ........ -......................  о
1,22,4	. Преобразования задач к различным формам « .>	81
1,22.5	. Вычислительные методы ........ » «	82
1.23.	Основы применения электронных цифровых
вычислительных машин (А. П. Филин,
С. 3. Динкевич) ...........	82
1.23,1.	Некоторые принципы действия ЭЦВМ . . . . *	82
1.23.2.	Краткое описание устройства ЭЦВМ	84
1,23.3.	Особенности решения задач на ЭЦВМ . . . « «	86
1,23.4.	Некоторые приемы программирования .....	88
1.23.5.	Автоматизация программирования. Алгоритмиче-
ские языки, АЛГОЛ—60	88
1.23,6.	Некоторые рекомендации по использованию ЭЦВМ	90
1.24.	Таблицы элементарных функций	91
Литература	93
РАЗДЕЛ 2
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Т. А, Попова
2.1.	Общая часть ... ж	. 9о
2.1.1.	Основные понятия , . . - ,....... . .	95
2.1.2,	Основные законы	97
2.1.3,	Системы единиц измерения	97
2.2.	Геометрическая статика . . » . .	. . .	93
2.2.1.	Действия с силами	98
2,2,2.	Действия с моментами	99
2.2.3.	Произвольная система сил	.......	,	.	.	190
2.2.4.	Частные случаи расположения сил	.......	101
2.2.5.	Условия равновесия тел н	систем	тел... 102
2.2.6.	Правила прикрепления твердого тела .......	Ю2
2,2.7.	Системы с трением . я e	а s	•	Ю4
2,2.8.	Центр масс . « .	« « .	• . . -	.	.	-	J05
2.3.	Графические приемы ..........	107
2.3.1,	Применение графических методов к решению не-
которых частных задач ...........	107
2.3.2.	Определение усилий в стержнях плоской стати-
чески определимой фермы е в э « в « я о о э 1°9
2.4.	Кинематика точки ...........	109
2.4.1.	Задание движения точки	109
2,4.2.	Пройденный путь. Графики движения . . , . .	111
2.4.3.	Частные случаи	Ш
2.4.4.	Сложное, движение точки ...........	112
2.5.	Кинематика твердого тела ........	112
2.5.1.	Поступательное движение твердого тела . . . ,	112
2.5.2,	Вращение вокруг неподвижной оси ......	112
дифференциальных уравнений
2.5.3.	Винтовое движение
2.5.4.	Плоско-параллельное движение ........
2.5.5.	Сферическое движение тела .........
2.5.6.	Общий случай движения твердого тела . . . .
2.5.7.	Сложение мгновенных движений твердого тела
2.5.8, Элементы кинематики механизмов . , „ „  . .
2.6.	Динамика точки ............
2.6.1.	Дифференциальные уравнения движения мате-
риальной точки ....................	. . . ,
2.6.2.	Интегрирование
движения точки..................
2.6.3.	Частные случаи интегрирования ........
2,6,4.	Относительное движение точки
2.7.	Динамика системы ...........
2.7.1,	Основные понятия динамики «ж	,
2.7.2.	Основные теоремы динамики.......... . .
2.7.3.	Кинетостатика. Принцип Даламбера ......
2.8.	Динамика твердого тела .........
2.8.1.	Теория моментов инерции . „ , s . . я „
2.8,2.	Вращательное движение твердого тела . . . . ,
2.8,3, Физический и математический маятник . . , .
2,8.4.	Давление вращающегося твердого тела на опоры
2	8.5, Плоско-параллельное движение	„
2.9.	Элементарная теория удара
2.9	.1.
2.9	2.
2,9.3.
2,9.4.
2.9.5,
2,9.6.
m
Оснозные положения...........
Основные теоремы динамики ярн ударе . . . .
Удар тела о неподвижную поверхность , . « .
Прямой центральный удар двух тел . . . , »
Применение элементарной теории удара . . .
Действие удара на тело, закрепленное на непод-
вижной оси . й	я «... й
2.10.	Аналитическая механика .......
2Д0.1.	. ..... ...	_________ __________ .
2.10.2.	Основные приложения НВП к расчету конструкций
2,10,3. Принцип Даламбера—Лагранжа (общее уравне
Начало (принцип) возможных перемещений .
ине динамики) ........
Уравнения Лагранжа 2-го рода .
Интегральные принципы механики
2.10 4.
2.10.5.
Литература
Стр.
из
П6
117
118
118
118
119
119
121
122
122
122
125
125
127
127
127
127
128
128
129
129
129
139
130
130
130
131
131
РАЗДЕЛ 3
НАПРЯЖЕНИЯ, ДЕФОРМАЦИИ,
ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ
И, И. Трапезин
ЗЛ. Напряжения ........... й ,	132
3.1.1.	Основные понятия	13^
3,1,2.	Одноосное напряженное состояние	.......	132
3.1,3,	Плоское напряженное состояние	.......	13«
3.1.4.	Объемное напряженное состояние	.......	134
3.1.5,	Преобразование компонентов напряжения к но-
вым осям координат	135
3.1.6.	Интенсивность напряжений в данной точке . . »	136
3.1.7,	КрУГй Мора мвиэгоавоя.»***»	13^
3.2.	Деформации .............	137
3.2.1.	Компоненты деформаций	137
3,2.2,	Определение деформаций и величин главных уд-
линений по удлинениям в трех направлениях а
случае плоской деформации а » « . в я » 9 »	137
3.2.3,	Интенсивность деформаций . 3 о в й	*	138
3.3.	Зависимости между напряжениями и дефор-
мациями в пределах упругости	133
3.3.1.	Закон Гука для изотропного тела в	в	s	а	в	э	в	138
3.3.2.	Закон Гука для анизотропного тела	......	МО
3.3.3.	Плоскость симметрии в отношении упругих
свойств . * . . ,	* « а * л	.	.	„	я	«	МО
3.3.4.	Ортотропное упругое тело . т я »	»	„	.	*	,	*	НО
3.3.5,	Потенциальная энергия упругого тела	.	-	-	.	.	Н1
3.4.	Связь между напряжениями я. деформациями
за пределами упругости . а ...... .	141
3.4.1.	Условия пластичности йвв9.-»**,а»
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
Стр.
Стр.
ЗЛ.2. Напряжения и деформации при простом магруже-
нии и при разгрузке
3.4.3.	Диаграммы растяжения < ,	» я в й
3.4.4.	Схематизация диаграмм растяжения ......
3.4.5.	Построение кривой зависимости б—е s . .	.	„
3.5.	Прочность материалов (А. Я. Коданев)	.	.	из
3.5.1.	Упругость, пластичность и разрушение . . .	.	»	^3
3.5,2.	Влияние характера напряжеиного состояния	,	«
3.5,3.	Влияние температуры \ .< у. .
3.5.4.	Влияние	длительности нагружения	»	s	»	,	.	»	147
3.5.5.	Влияние	переменности нагрузки . а	.	»	.	.	.	,	147
3.5.6.	Влияние	концентрации ^напряжений	149
3.5.7.	Влияние	скорости приложения нагрузки	.	.	.	.	1-*9
Литература Р в в в в »...»•• » иэ
РАЗДЕЛ 4
МАТЕРИАЛЫДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ
КОНСТРУКЦИИ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
Ю. М. Ивш-юв, Л, В. Клепиков, В. А, Отставное,
К В Шаферов, Л, Н, Пицкель, С. А. Семенцоя,
С. В. Тарановский, В. Г. Чернашкин
4.1.	Стали (В, Г. Чернашкин) . й „ . . . в 150
4.1.1.	Общие данные ь . » , „ « в а	» -	150
4.1,2	Углеродистые стали , . ,	.	151
4.1.3.	Стали низколегированные и высокой прочности .	155
4.1.4,	Сталь для арматуры железобетонных конструкций	160
4.2.	Алюминиевые сплавы (С. В. Таранооский) . ,	161
4.3.	Бетон (С. А. Семенцов) . . . . ь ₽ в ,	165
4А Каменные материалы и растворы.................... 170
4.5.	Каменная кладка ...........	172
4.6.	Армированные материалы (Л. Я, Пицкель) ,	174
4.6.L	Общие данные ,ef>eeaan.». а » 9 s	174
4.6,2.	Железобетон ..0<9 #♦».--..*»?	175
4.6,3	Армоцемеят	ь	178
4.6.4.	Армированные каменные конезрукции . . . . .	179
4,6,5.	Армированный асбестоцемент . , я л о „ , . □	179
4.7.	Дрезесйна (Ю. М. Иванов} о о . . . ,	180
4.7.1. Общие сведения в<89е?{1аваз,8аяа 180
4.7 2 Механические свойства а в ........ s 181
4.8.	Пластмассы (К, В. Панферов}.................... 182
4.9.	Методы расчета конструкций (Л. В. Клепиков,
В. АС :Отставн03)-.	iso
Литература , 0 в	„ 1эз
Р А 3 Д Е Л 5
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО
СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
А. А. Уманский
5.1.	Основные положения технической теории стер-
жня "9 ' S Э .	г «;.,> . . . .	196
5,1.1.	Определения . ♦ «	’ > »	«	.	а	.	.	.	и	^9S
5.1,2.	Основные факторы работй стержня. Статико-ки-
нематическая аналогия . .	.. . «	.	г	<	.	.	.	«	196
5.1.3.	Интегральные соотношения	между	напряжениями
а усилиями и поперечных сечениях	„	«	.	.	»	*	198
5.1.4.	Соответствующие силы й перемещения, усилия и
сосредоточенные деформации	198
5.1.5.	Начальная, : температурная и упругая распреде-
ленные дешормац ч .	8	,	199
5.1,6.	/ Ре /е/’гоа.ы (.г,	/ ПТНТ1У ОСеР /Грч.-ОГО СТерЖ-
чт с негч iMeiD’HHbJM се^енчем ***$&***	200
и!7 /другое основание , v .	200
5/1К Плоский : неразветвленный упругий -стержень.
Ооойщеяс’ия < ех^ьо-кинематическая аналогия „	2С1
5.2.	Определение нормальных напряжений , <, . »	203
5.2.1.	Геометрические характеристики поперечных сече-
ний стержней	• . » - -	203
5.2.2.	Определение моментов инерции относительно ис-
ходных осей	1 ... •	2СМ
5.2.3.	Редуцирование площадей нри вычислении момен-
тов инерции ......... »	.	2С4
5,2.4.	Общая формула нормального напряжения при
растяженпи-сжатии и изгибе. Нейтральная линия	206
5.2.5.	Максимальные нормальные напряжения а b « й	207
5,2.6.	Ядро сечения « . .	,^»й9§9йОЧЗ,	207
5,2.7.	Случай переменного модуля Е , а . , . . „ ч	208
5.2.8.	Пользование центральными неглавными осями ,	'203
5,3,	Определение касательных напряжений и де-
формаций в стержнях. Особенности тонкостен-
ных сечений	в ,	,	208
5,3.1.	Расчет на срез (сдвиг) » » .	. s 9 в	209
5.3.2.	Расчет на направленный срез (сдвиг) , . 4 . .	209
5.3.3.	Касательные напряжения при изгибе. Центр изги-
ба i ’» i •, л	#	211
5.3.4.	Деформации сдвига при изгибе стержней с мас-
сивным сечением и двутавровых балок . > . *	213
5,3,5.	Касательные напряжения при изгибе и центр из-
гиба открытых тонкостенных сечений . . . » »	213
5.3.6.	Касательные напряжения при изгибе и центр из-
гиба замкнутых тонкостенных сечений , . » « .	216
5.3,7,	Касательные напряжения и относительный угол
закручивания при свободном кручении. Геометри-
ческие характеристики , . , ... ь , .	s	®	«	а	,	219
5.3.8.	Дёпланапия йрй свободном кручении	3	s	э	а	s	219
5.3.9»	Стесящшое кручение , » > . . . ..	а	в	<	.	.	220
5.3.10,	Сложное сопротйвлеяие тонкостенных стержней.
Приведение нагрузок к типам усилий	.	«	„	.	в	223
5.4.	Классификация стержневых систем и общие
методы строшельиой механики , е , s ,	2^
5.4.1.	Основные определения ese<re®ass«» 223
5,4.2.	Виды систем ; : . , * * ® ч » * , , * , . »	£24
5.4.3,	Статический метод определения перемещений
и кинематический метод определения усилий'на
примере балкн. Линии и	? поверхности	влияния	227
5,4.4,	Метод потенциальной	энергий	в д *	-	э § * »	230
5.5.	Балки e S я ; ;	№	/ л	;	к i 4	233
5.5,'L	Определение усилий и перемещений и построение
ЧОр В б_;Ч4л UU	О^\	Hdta	чНс А	Р^.-ШОВ	5S3
BJSJL Абсолютно жесткая балка на упругом основании
и обыкновенная балка е аашемлённымщлебнйамн 24G
5,5,3.	Приемы, упрощающие построение эпюрой линий
злияния статически определимых балок ....	242
5,5.4<	Рэвн-щсо-€.!„ре 'ые б i
©пооах ?/'^тгц бе	ост^овл?- гр	.	244
5.5.5.	Раннопролетные неразрезные балки яосгоканого
сечения на упруго оседающих опорах , . , . ,	246
5.5.6.	Балга р«	(bmi	о ) хчозщт ,	249
5.5.7.	Обш.чй метод, рагч^ча неразре^щ^х балок на же-
гткнх опорах. Уравнение rorv впзр.щх мо^енг^в 257
5.5,8.	Решение систем	ю$1®н об
щих трехчленных уравнений ; . / У , \ . . У 258
5,5.9,	Нерсщпецач нт }.nojiэ осщ а опорах.
Уравнение пяти опорных молхеагов « . > * 9 й 265
3.0. Арки и простые рамы . » , ,	, , , ,	266
5.6.1.	Общие иолежения .	□	®	9 ,	s .	»	266
5,6.2.	Трехщаряирнай арка :-	.	я	я	,	»	,	,	.	267
5.6.3,	Статически неопределимые	арки	»	э	а	.	,	,	.	270
5 6 4 Дзу^ шар/гфь_зЯ ар а	......	,	0	а	.	273
5,6.5.	Упрощенный расчет: двухшарнирных и бесшар-
НИрЬЫХ Ш Р-боТ1	JiiuA ...»	s 274
5.6,6.	Од эко^туп ’ щ	/~зо ”лс» оамы	г	.	.	.	.	в	276
5„6.7» Беешарнярные арки н рамы йод : нагрузкой, пер-
пзндчкулярчпн	? л шппгс.ч	в	.	я	„	.	в а	,	279
5.7.	Сложные-рамы .	я ,	, а : , 6	280
5.7,1.	Класгификацпя	методов , ,	.-гУЛгЛ	2S0
5.7.2.	Рчсч paAj	?.'io Tpev ч	цг	bije> м ”	> чт	г	281
5J 3 Ме^од I	.	»	286
5.7.4.	Распределение моменгоа	о ’ледовадель-
ных приближений (/М. С. Сойбельман, ЕЕ В. Тро~
гда) .... .	gi
5,7,5.	Метод СИЛ * « 9 & а в а ч * » эа я ч » » ч ®	29а
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
5.8.	Пространственные рамы (В. Г. Чудновский)	зоо
5 8 1 Рамы с взаимно перпендикулярными стержнями	300
5 8 2 Рамы с наклонными стойками .»»,»»,«	303
5.9.	Циклические симметричные рамы , . . ; .	305
5.10.	Тонкостенные стержни (А А. Уманский) . .	зю
5 10 1 Прямые тонкостенные стержни с жестким попе-
речным сечением я пренебрежимо малой жест-
костью свободного кручения .........	310
5 10 2 Тонкостенные стержни с жестким поперечным се-
чением и конечной жесткостью свободного кру-
чения ..................... ............	311
5 10 3 Кривые тонкостенные стержни и арки с жестким
поперечным сечением	314
5.11.	Конструкции типа составных стержней ...	313
5.12. О расчете стержневых систем на ЭВМ
(О Н РоОинко) ...........	318
Литература ...............	ззо
раздел s
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ
АЛГЕБРЫ. МАТРИЦЫ В СТРОИТЕЛЬНОЙ
МЕХАНИКЕ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Л П Филин С. 3. Динкевич
6,1. Некоторые сведения из теории матриц ...	32?
6 1 \	Матрицы. и вх еиды, опрсд-гчители и миноры . s	322
€ 1 2	Алгебраические операции над матрицами . , .	323
6 5 3	Обратная матрица Ортогональная матрица . „ .	325
6 I 4	Норма матрицы .......	,	, .	.	326
6 1 5	Представление квадратной матрицы в виде произ
ведения дв}х треугольных , „	. .	.	32о
6 1 6	Собственные значения ч собственные векторы
квадратной матрицы................ ,	. , . .
617 Квадратичная форм-a, Пучок квадратичных форм 329
6.2. Некоторые сведения по численным методам
линейной алгебры . . , . « о . . . . .	332
6 2 1 Общие вопросы решения систем линейных алге
бранческих уравнений . « ?	# в , . . .	332
6 2 2 Метод исключении	332
62 3 Схемы обращения матрицы, использующие разло
женме ее на треугольные множители . . . . й 335
62 4 Итерационные методы решения систем сравнений 335
62а Об устойчивости решения систем линейных алге
бранческих уравнений . » , . а ...... ,	337
62 6 О методах решения проблемы собственных зна-
чении	337
6.3. Матрицы в статике стержневых систем ...	338
6 3 1, Матрицы податливостей и жесткостей. Потен
циальная энергия ..............	338
632 Механическая интерпретация гауссовой схемы ме-
тода исключений . ... ......... .	339
6.3 3. Матричная форма метода сил .........	340
6.3 4 Матричные формы метода перемещений , . . ,	343
6 3.5. Матричная форма смешанного метода . » »  >	345
6.4. Матрицы в теории колебаний и устойчивости
стержневых систем ...........	345
641 Свободные колебания систем с конечным числом
степеней свободы ..............	345
642 Вынужденные колебания консервативной дискрет-
ной системы .........	..... .	347
6 4,3 Свободные колебания и статическая устойчивость
статически (кинематически) неопределимых стерж-
невых систем с бесконечным числом степеней
свободы . . . . . . , .......... *	347
64 4 Вычисление реактивных усилий ........	354
Литература	ЗБ4
Стр,
РАЗДЕЛ 7
ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ
В. В Новицкий
7.1. Геометрические характеристики при растяже-
нии — сжатии и изгибе , . ,	. , . . .	356
7.2.	Приближенные значения радиусов инерции . .	367
7.3.	Геометрические характеристики сдвига при из-
гибе (направленные площади Fv) .	.	368
7.4,	Положение центра изгиба некоторых сечений
(ц — коэффициент Пуассона) ......	369
7.5.	Геометрические характеристики при кручении	371
Литература	374
РАЗДЕЛ 8
ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК,
РАМ И АРОК
М. С. Волчегорский, Д. Л, Шапиро
8.1. Балки ...............	375
81 1 Консоль Опорные реакции, моменты, прогибы
и углы поворота сечений ...........	375
8 1 2 Простая балка Опорные, реакции, изгибающие
моменты, прогибы, углы поворота опорных се-
чений . ... я	,	377
81 3 Однопролетчая балка с одним защемленным и
другим шарнирно опертым концом Опорные ре-
акции и опорные моменты .......	384
8 1 4 Однолролетная балка с обоими защемленными
концами Опорные реакции и опорные моменты 387
8 1 3 Однопролегпэя балка с одним защемленным и
другим шарнирно опертым концом и с обоими
защемленными концами Прогибы .......	390
8 1 6 Коэффициенты приведения нагрузки к эквпва
леитной равномерно распределенной интенсив
ностью pJK для определения опорных моментов
в неразрезяых балках .. s	,	391
8J 7 Неразрезные равнопяолетные балки Изгибающие
моменты, поперечные силы и опорные реакции
от различных нагрузок ...........	392
8 1 8 Неразрезные равнопролетные балки Опорные мо-
менты при осадке опор . » » ч ...... . ЗУ9
8 I 9 Неразрезные балки с неравными пролетами. Дан
ные для определения опорных моментов от на
грузок н осадок опор методом фокусов . » . .	400
81 10 Грузовые члены вео.к.. .......	402
8 1 11 Двух- и трехпролетные балки с неравными про
летами. Изгибающие моменты ........	405
8 1 12 Неразрезные равнопролетные балки, Орлинагы
линий влияния изгибающих шшеятов и попе
речных сил	408
8 1 13 Однолролетные подкрановые балки. Данные для
расчета .s4®s..ese»..Bss».	410
8 1 М Перекрытия с перекрестными балками (кессонные
перекрытия) Данные для расчета . » . , « а 412
Схемы распределения нагрузки в перскрп-тгь х
балках (412) Нагрузки и изгибающие моменты
в перекрестных балках при квадратных в плане
перекрытиях (413)
8 1 15 Усилия в элементах шпренгельной балки ....	414
8 1 16 Балки с ломаной или криволинейной (круговой)
в плане осью. Данные для расчета ,	.	41b
Балка с ломаной в плане осью (416). Балка с изо
гнутой в плане по дуге круга осью (419),
ОГЛАВЛЕНИЕ
Ж
Стр.
8.2.	Рамы	о ... х .... .	422
<S'.2.L Моменты в Г-образнсй раме с горизон 1 альным
или наклонным ригелем .............................	422
8.2.2.	Моменты в Г-образной раме с горизонтальным
или наклонным защемленным ригелем и затем-
ленной стойкой ..............	425
8,2,3,	Моменты в Т-образной раме с шарнирно опертым
ригелем и защемленной стойкой . . , . 4 » .	427
8.2.4.	Моменты в Т-образной раме с защемленными ри-
гелем и стойкой . . , , , > . „ . . . . . .	429
8.2.5.	Моменты в Г-образной раме со ступенчатой за-
щемленной стойкой и горизонтальным или на-
нлоняый шарчьпно ояюо-гымригелем . . , . ,	43}
8.2,6,	Моменты в Г-образной раме со ступенчатой за-
щемленной стойкой и горизонтальным или на-
клонным защемленным ригелем	433
8,2,7,	Моменты в Т-образной раме со ступенчатой за-
щемленной стойкой и шарнирно опертым ригелем 435
8	2.8. Моменты : в Т-образной раме со ступенчатой за-
щемленной стойкой и защемленным ригелем » .	437
8.2.9,	Моменты и распоры в П-образной раме со стой-
ками постоянного сечения . .	.	.	. . . . >	.	44Q
Стойки шарнирно оперты. Стейки	защемлены .	.	44Q
8.2,1ь.	Моменты в П-образной раме	со	ступенчаты ми
стойка мн . . . . . . . . .	,	.	. . ...	,	445
8.2.11.	Моменты и реакции П-образной рамы с абсо-
лютно жестким ригелем и стойками постоянного
сечения или ступенчатого очертания . ......... 44g
С шарнирно прикрепленным ригелем <449)’. С жест-
ко прикрепленным ригелем (451),
8f2j2, Расчет одноэтажных многопролетных рам с шар-
нирно опертыми абсолютно жесткими ригелями
и ступенчатыми защемленными стойками ......	453
8,2.п.	Расчет одноэтажных многопролетных рам с абсо-
лютно жесткими ригелями н ступенчатыми за-
щемленными стойками . . , » а s й . » „ .	455
8,2.14.	Расчет одноэтажных многопролетных рам со сту-
пенчатыми защемленными стойками ..»*»»	455
8,2.15.	Примеры расчета сложных одноэтажных рам ме-
тодом расчленения с применением таблиц гото-
вых формул	s .. .	45|
8.2.16,	Рамы’со стойками, имеющими два уступа (двух-
ступенчатые). Указания по расчету с использо-
ванием таблиц . . 5	.	457
8.2.17.	Многопролетные одноэтажные и многоэтажные
рамы. Изгибающие моменты от вертикальной,
горизонтальной нагрузок и осадок опор ....
а) Двухиро.тетные рамы (468). б) Трехпролетмые
рамы (470). в) Четырехпролетные рамы (472)
г) Примеры (477)
8,2,18.	Коэффициенты й0 для определения в ступенчатых
стойках перемещений от единичной силы и реак-
ций Rfr or взаимного смещения опор и поворота
нижнего сечения	479
8.2.19,	Ступенчатая стойка с защемленным нижним и
шарнирно опертым верхним концом. Реакции
верхних опор при различных пи X, . . . . . .	479
а) Формулы для определения реакций R& от раз-
личных нагрузок (479). б) Реакция от дей-
ствия горизонтальной равномерно распределенной
нагрузки по всей высоте стойки (481) в) Реакция
Rtf от действия горизонтальной равномерно рас-
пределенной нагрузки на верхний участок стойки
(482), г) Реакция от действия горизонтальной
силы ня верхний участок стойки (483). д) Реак-
ция от действия момента на верхний участок
стойки (484).
8.2.20. Моменты и реакции стойки с двумя уступами
с защемленным нижним, и шарнирно опертым
верхним концом а *	.	485
8.2.21 Ступенчатая стойка- £ защемленными концами.
Моменты защемления ш реакции верхних опор
при различных п и X, * * , , а ,	.	,	,	,	.	487
8.2.22	Моменты я реакции стойки1-с двумя	уступами	и
обоими защемленными концами-^ , .	.	*	>.	л	*	499
8.2.23.	Формулы для подсчета интеграложзМора	>	q	,	а	49^
8.3.	Арки . я	»	498
8.3.1,	Геометрические данные осей параболической и
круговой арок ....	.....................
а) Параболическая арка (498). б) Круговая арка
(500). в) Длина и центр тяжести половины дуги
8.3.2.	Симметричные трехшарнирные арки любого очер-
тания, Изгибающие моменты, распоры и опорные
реакции от различных нагрузок , м а 8 а . 0	501
Стр.
8.3.3.	Трехшарнирные круговые и параболические арки.
Опорные реакции, изгибающие моменты, попереч-
ные и продельные силы от равномерно распреде-
ленной нагрузки .V . и „ „ а „ « . е . . s »	503
8.3,4,	Трехшарнирная параболическая арка. Изгибаю-
щие моменты, опорные реакции и распоры от
сосредоточенного груза . s . а , . « , . э 505
8.3,5.	Трехшарнирная параболическая арка. Изгибаю-
щие моменты, опорные реакции и распоры от
односторонней частичной равномерно распреде-
ленной нагрузки , < . а . , а . , » , . в 505
8.3.6.	Трехшарнирная параболическая арка. Изгибаю-
щие моменты, опорные реакции и распоры от
симметричной частичной равномерно распреде-
ленной нагрузки s	, < , „ а *	506
8.3.7.	Двухшарнирная параболическая арка. Изгибаю-
щие моменты, распоры и спорные реакции от
различных нагрузок а	50^
8.3.8.	Двукшарнирная параболическая арка. Изгибаю-
щие моменты, распоры и опорные реакции от
сосредоточенного груза	s 509
8.3.9.	Двухшарнирная параболическая арка. Изгибаю-
щие моменты, распоры н опорные реакция ог ча-
стичной равномерно распределенной нагрузки . .	510
8.3.10.	Двухшарннрная круговая арка. Изгибающие мо-
менты и распоры от сосредоточенного груза . .	513
8,3.15.	Двухшарнирная круговая арка. Изгибающие мо-
менты и распоры от частичной равномерно рас-
пределенной нагрузки . . . « 5 ...... »	513
8,3.12.	Б&сшарнирные параболические арки, Изгибаю-
щие моменты, распоры и опорные реакции от
различных нагрузок »вв<я«о.»*ойв
Литература	9	л	•	5I?
Р А £ Д ЕЛ 9
СТЕРЖНИ, ОЧЕРЧЕННЫЕ ПО ДУГЕ КРУГА.
И КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА
Ю„ П. Григорьев
9,1. Круговые стержни . s - -£ я в в л „ „	518
Основные обозначения и общие указания
(стр. 518). Общие формулы для усилий и пере-
мещений (51S). Монорельс на трех и на четырех
равноотстоящих опорах (стр. 524). Стержень мас-
сийного поперечного сечения (стр. 526;, Усилия
в ключевом сечении тонкостенного стержня, за-
щемленного двумя концами и нагруженного пер-
гендикулярно плоскости кривизны (арочная бал-
ка, эркер) (стр. 532). Массивный ичегжень, за шум-
ленный двумя концами (стр. 537).
9.2. Круговые кольца ...........	539
Общие формулы для определения усилий и пере-
мещений колец, нагруженных сосредоточенными
силовыми факторам?! (стр. 53^!. Кольцо с тонко-
стенным или массивным сечением, нагруженное
силами и моментами перпендикулярно плоскости
кривизны (стр. 551). Кольцо массивного асиммет-
ричного сечения, нагруженное произвольными си-
лами и моментами (стр. 551). Напряжение в кель-
нях, вызванное наличьем сосредоточенных дефор-
маций (стр. 551). Кольцо на упругом оснований
(стр. 552).
Литература	в	.	555
РАЗДЕЛ Ю
ФЕРМЫ
А. Г. Иммермсп/
1СЛ. Плоские фермы ..... 0 ?. i ... 2	556
10.1.1,	Основные положения расчета ........	556
10.1.2.	Определение усилий в статически определимых
при неподвижной нагрузке	556
Установление неработающих стержней и стерж-
ней, усилия в которых определяю!ей местной на-
груэкхэй (556). Аналитическое определение усилий
(;>57). Графическое определение усилий (658). Рас-
чет ферм на внеузловую нагрузку (558). Расчет
ферм с криволинейным поясом (558). Расчет со-
ставных ферм (558). Способ замены стержней (558),
ЖсШпОС'генные фермы ]31] (558), Распорные и ком-
оШфиааиныу фермы (559).
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
10.1.3.	Перемещения узлов статически определимых
Ферм	559
10.1.4.	Линии влияния усилий и перемещений в стати-
чески определимых фермах . . . ......	560
Статический способ построения линий влияния
усилий (560). Кинематический способ построения
линий влияния усилий (561). Линия влияния пере-
мещения (561), Невыгодная установка грузов на
линии влияния (562).
10.1,5,	Определение усилий в статически неопредели-
мых фермах при неподвижной нагрузке . . . .	562
Метод сил (562), Фермы с иецентрированными уз-
лами (562). Учет защемления ферм, жестко свя-
занных с колоннами (563). Работа «нулевых»
стержней (563).
10,1.6.	Учет жесткости узлов, Расчет ферм на ЭВМ ,	563
10.1,7.	©пределеняе перемещений в/ статически неопре-
делимы?: фермах . * . . v /7 2 > ......	563
16.1.6.	Линии влияния усилий в статически неопредели-
мых фермах . . . . . .: , .........	563
10.1.9.	Предварительно напряженные фермы. Основные
положения расчета и конструирования . » , «	564
•Фермыпредварительно напряженными отдель-
ными стержнями (564/. Предварительно напряжен-
ные ч^ермы с затяжками (565),
W.L10. Отыскание оптимальных ферм * , » , в « я 566
10,2. Пространстмейные фермы	566
10.2,1,	Основные положения образования и расчета 9 .	566
10.2,2.	_ «р'-оды определения усилий............. 566
10.2.3,	Банши и мачты . , , . . ...... 9 ч ,	567
10,2.4.	Стержневые пластины — структурные конструк-
ции	а 568
10,2.3.	Стержневые: купола . « . * v г . а . , . . ,	569
10.2.6.	Тонкостенные ребристые циклически симметрич-
ные купола (В. Г. Чудпо&ский} , . й „ 4 » й	575
Безмоментная расчетная схема (575)
Литература	577
Стр.
РАЗДЕЛ Н
ВАНТОВЫЕ И ШЕШАТИЧЕОКШ
консткдш
С. А. Алексеев., Э. И. Кузнецов, Р. Н. Мацелинский
И.1. Гибкие нити (А Н. Мацелинский) .	,.	579
11,1.1	. Общие сведения  .............,	. . 9 s. .	579
11.1.2	. Определение величины распора нерастяжимой
нити .	,	580
11.1.3	. Определение распора упругой нити 9 . . . „ „
11.1.4	. Вычисление длины нити ..........
11.1.5	. Расчет струны	в
11.2.	Вантовые системы (Э. Н, Кузнецов) . , а
11.2,1.	Общие сведения 9
11.2.2.	Особенности расчета и общие расчетные пред-
посылки	а а
112 3. Двухпоясные вантовые системы
11.2	4, Вантовые сети	я ........ .
11.2.5,	Контурное кольцо « s	«
11,3.	Пневматические конструкции (С. А, Алексеев)
11.3.1.	Основные сведения .............
11,3,2.	Особенности расчета пневматических конструкций
11.3.3.	Расчет мягких оболочек	. «	. .	я ,	я ч	о я
11.3.4,	Расчет пневмостержней ,	. „	. e	s а	, в	» ,
11.3.5,	Ветровые нагрузки ......................
11.3.6.	Материалы для пневматических конструкций
(Г. Н. Зубарев) а а в а	в
§ § s®s§ § Sass® s ®
Литература .................................
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Расчетно-теоретический том «Справочника проекти-
ровщика» содержит результативные формулы современ-
ных методов расчета конструкций на прочность, жест-
кость и устойчивость, а также необходимые сведения по
элементарной и высшей математике, теоретической меха-
нике и числовые таблицы функций, входящих в более
сложные расчетные формулы, нормы нагрузок и габа-
риты. Данные, связанные с подбором сечений элементов
из конкретных материалов, за некоторыми исключения-
ми, отнесены к конструктивным томам «Справочника
проектировщика» и в данный том не включены. Наряду
с этим в настоящем томе справочника помещен раздел,
посвященный механическим свойствам важнейших стро-
ительных материалов; это должно дать возможность
проектировщику, пользующемуся схематизированными
расчетными методами, скорректировать в случае надоб-
ности свои расчеты на основе учета действительных
свойств материалов, исходя из работы конструкции в уп-
ругой или упруго-пластической стадии.
По характеру изложения даннып справочник близок
к Расчетно-теоретическому тому «Справочника инжене-
ра-проектировщика», изданному в 1934 г. и до сих пор
пользующемуся заслуженной популярностью у проекти-
ровщиков.
Перед коллективом авторов нового справочника бы-
ла поставлена задача отразить результаты быстрого по-
ступательного движения советской стрбнтелыюй техни-
ки и науки о прочности, содействовать внедрению но-
вых прогрессивных методов расчета, разработанных за
последние десятилетия в научно-исследовательских ин-
ститутах, вузах и проектных организациях, привлекая
также результаты, полученные в других отраслях про-
мышленности — машиностроении, авиастроении, судо-
строении. Решение этой задачи привело к полной пере-
стройке и расширению программы справочника по срав-
нению с предшествующим, к устранению нескольких,
редко используемых, разделов и к более широкому при-
менению метода ссылок — рекомендаций взамен изло-
жения деталей вопроса. При этом большую помощь ав-
торам оказал вышедший в 1957 г. обзорный труд «Стро-
ительная механика в СССР» *, содержащий исчерпы-
вающие библиографические данные по методам расчета
сооружений.
При распределении объема учтены важнейшие новые
направления и тенденции строительной техники. Значи-
тельное внимание уделено тонкостенным конструкциям,
плитам и оболочкам. Индустриализация строительства,
широкое применение сборного железобетона потребова-
ли более подробных данных по расчету равнопролетных
конструкций, брусьев и арок, очерченных по дуге круга.
Важное значение, которое приобрели в настоящее время
предварительно напряженные конструкции, получило от-
ражение в более широкой разработке расчета стержне-
вых систем на действие наперед заданных деформаций.
Прогрессирующее применение легких сплавов в строи-
тельстве привело к необходимости расширить разделы,
посвященные устойчивости и расчету конструкций по
деформированной схеме. Большое внимание уделено
практическим вопросам теории пластичности и ползуче-
сти, позволяющим более обоснованно применять приня-
тые в СССР методы расчета конструкций пс расчетным
предельным состояниям.
Основное назначение данного справочника — помочь
в работе инженерам-строителям, проектирующим про-
мышленные и гражданские здания и сооружения. На-
ряду с этим справочник может быть использован инже-
нерами-конструкторами и расчетчиками другого про-
филя, а также студентами, аспирантами и преподавате-
лями вузов.
Все замечания и пожелания относительно содержа-
ния справочника просим направлять в адрес издатель-
ства: Москва, Кузнецкий мост, 9, Стройиздат.
А, А. Уманский
’ Строительная механика в СССР. 1917—1957, иод редакцией
чл.-корр. АН СССР, действ. вл, АСнА СССР И. М, Рабиновича,
М.. Госстройиздат, 1957,
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
При состав пении втопого изд ания Справочника мы
воспользовались советом многих читателей—разделить
содержащийся в Справочнике обширный материал па
две книги, облегчив тем самым пользование им
В первую книгу вошли раздеты
1	Математика
2	Теоретическая механика
3	Напряжения деформации про’- ность материалов
4	Материалы для строительных конструкции Мето
ды расчета
5	Строительная механика упругого стержня и стерж
невых систем
6	Численные методы линейной алгебры Матрицы в
строительной механике стержневых систем
7	Таблицы геометрических характеристик сечений
стержней
8	Таблицы и фопчулы дчя распета балок рам и арок
9	Стеожни, очередные по дуге круга и круговые
кольца
10	Фермы
11	Вантовые и пневиатнчес! не конструкции
Во вторую книгу вошли разде 1ы
12	Уравнения к формулы теории упругости, п^астич
ности и ползучести
13	Упругие тонкие пластины (плиты и балки стены)
14	Оболочки
15	Метод сеток в приложении к расчету пластин и
оболочек
16	Моделирование
17	Устойчивость стержневых систем
18	Устойчивость пластинок н оболочек Расчет гиб-
ких пластинок
19	Расчет сооружений, взаимодействующих с грун-
том
20	Динамика сооружении
21	Расчет конструкций (стержневых пластинок а
оболочек) по предельному равновесию и учет ползуче-
сти
Первая книга наряду со Строительными нормами и
правилами (СНиП), а также со специа щзированными
томами «Справочника проектировщика» должна
удовлетворять практическую потребность инженеров
занятых расчетом прежде всего стержневых конструк
ций Вторая книга предназначена для инженеров ре
тающих более сложные задачи, в частности по расчету
оболочек
Разделы 6, 11, 15, 16 — новые написанные специа ль
по для второго издания Разделы 17 и 21 коренным об
разом переработаны по сравнению с соответствующими
разделами первого издания Остальные разделы пере
работали частично и допо тени краткими сведениями
о расчетных методах, развитых в последнее десятилетие
Раздел «Нормы нагрузок и габаритов» исключен, как
дублирующий официальные нормативные издания
РАЗДЕЛ 1
МАТЕМАТИКА’
1.1.	АЛГЕБРА
1.1 1. Степени и корни
Степень числа а определяется при п натуральном
равенством ап —аа ... а, где число миожителей равно л.
Корень степени л определяется равенством(|/Г а) = а.
При положительном рациональном r — nijn (m, п —
П /-----------------------------------
натуральные числа) принимается <А = У ат ,
Если v — положительное иррациональное число, то
o.v определяется как такое действительное число а, для
которого выполняется условие
а-р<а<а'?, когда а>1,
или :
аЧ<а<.ар, когда 0<д<1
при любых положительных рациональных р, р, между
которыми заключено v, p<v<q (можно доказать, что
такое число существует и единственно). Если а=1, при-
нимается а9 =1.
При любом положительном п по определению а~”~
= 1)а 1 и <Г = 1, если о¥=0.
Пни любых показателях справедливы следующие
формулы:
аи.йв=а”1+'1; ат:ап =ат~п-, (ат)п = а™;
Формулы сокращенного умножения и деления:
(а -±- Ь)Ъ = О- ± 2аЬ + б2;
(о ± ^)3 — fl3 ± За2й + Зоб=4;&3;
(а + Ь) (с — b) — а2 — &г;
(с ± Ь) (а2 ^ab-ф &2) = а3 ± &3;
= а^+а^Ь-фа'^'Ь2-]--------фаЬп~~+Ьл~\
1 Матрицы и решение линейных уравнений см. в разд. 6.
д2п-Ц+6Зп+1
иф-Ь
=а2я-~в2и—16Да2'''~2 б2 —  + i2n;
Ь2 — »-- Ь2"-1.
о + b
Примечание. В приведенных формулах предпо-
лагается, что знаменатели отличны от нуля, а иррацио-
нальные величины являются действительными числами.
1.1.2.	Логарифмы
Если an—N, где а>0 и а#=1, то показатель п назы-
вается логарифмом числа N при основании а, обозначе-
ние: n=logaJV. Всякое положительное число имеет ло-
гарифм.
Основные формулы:
toga 1 = О’, toga а = 1;
toga (Ах A2) = toga А, + toga As;
At
loga —- = loga Aj — loga Ab
As
loga (Nk) = A loga N; loga N = ~ logu A.
Широко используются две системы логарифмов: де-
сятичные, для них основанием служит число 10 (обозна-
чение !gA); натуральные, для них основанием служит
число е (обозначение In А),
. / ' *\®
е=Иш 1 + —	=2,71828...
«->ОО \	/
При основании а>1 имеют место следующие свой-
ства:
большему числу соответствует больший логарифм;
логарифмы чисел, меньших единицы, отрицательны;
логарифмы чисел, больших единицы, положительны;
toga N -> •}- са при А -> оо;
log,, А -> — со при А -* 0.
График логарифмической функции при а>1 дан на
рис. 1.1.
Десятичный логарифм числа состоит из целой части,
12	РАЗДЕЛ 1. математика
называемой характеристикой, и дробной части, называе-
мой мантиссой. Характеристика числа, большего едини-
цы, на единицу меньше числа его цифр, стоящих левее
запятой; характеристика числа, меньшего единицы, отри-
цательна и равна по модулю, т. е. по абсолютному значе-
нию числу нулей, стоящих ле-
вее первой значащей цифры,
включая нуль целых. Напри-
мер, характеристика логариф-
ма числа 25,3 равна 1, а числа
0,00253 равна —3. Мантиссы
десятичных логарифмов см.
[1.23.3], Натуральные логариф-
мы даны в табл. 1,33.
Логарифмы числа при двух
различных основаниях связа-
ны соотношением
logs, N =
loga N
logo b ’
в частности, logs a !og0 6 = 1;
число 1 /logs b называется модулем перехода от основа-
ния а к основанию Ъ. Между десятичными и натураль-
ными логарифмами существует соотношение:
lg N
1пА = л—« 2,30259 IgA;
Ige
In A’
lgA = :-----« 0,43429 In A.
°	„ in ’
1.1.3.	Прогрессии
Арифметической прогрессией называется последова-
тельность чисел, в которой каждое последующее число
получается прибавлением к предыдущему одного и того
же числа d, называемого разностью прогрессии. Геомет-
рической прогрессией называется последовательность
чисел, в которой каждое последующее число получает-
ся умножением предыдущего на одно н то же число <?,
называемое знаменателем прогрессии. Числа ср, а2..., об-
разующие прогрессию, называются ее членами.
Формулы для л-го члена прогрессий:
арифметической ап = а,4-д(п—1);
геометрической ==Я1.7Г‘~1.
Формулы для суммы п членов прогрессий:
арифметической
п	. и
Sn — (a-t ф- а„)	= [2aj 4- d (n — 1)]
геометрической
„ ___ac q — Ф
On '
у — 1
gj (<f- - - i)
Я~ 1
Если модуль знаменателя геометрической прогрессии
менее единицы (I q | < 1), то прогрессия называется убы-
вающей. Если при этом число членов безгранично воз-
растает (п-->оо), то
S = limSn = —.
И-4-оа	1 —- У
во факториала (п-ф 1)! — и! (яф 1). Понятие факториала
распространяется на число О, а именно: принимают 01 —
= 1; при этом остается в силе основное свойство:
(04-1)1=01(0-4-1). При больших п приближенные зна-
чения факториалов могут быть найдены с практически
достаточной точностью по формуле Стирлинга:
п! см У 2лп I — 1 .
1.1.5.	Соединения
Группы элементов, отличающиеся одна от другой пли
порядком этих элементов, или самими элементами, на-
зываются соединениями.
Размещениями из п элементов по /п при m п на-
зываются соединения, из которых каждое содержит m
элементов из заданных п и которые различаются или
самими элементами, или их порядком. Число размеще-
ний из п элементов по т;
4”= я (я —-1) (я2)- • • [я — (m - 1)] =  ---
(п — аг)!
Перестановками из п элементов называются соеди-
нения, из которых каждое содержит все п элементов и
которые различаются только порядком элементов. Число
перестановок из я элементов:
Р„=С = я!.
Сочетаниями из я элементов по m при т^п назы-
ваются соединения, из которых каждое содержит т эле-
ментов из заданных п и которые различаются, по край-
ней мере, одним элементом. Число сочетания из п эле-
ментов по от:
ст _ я(я~О-•[?!--(м—- 1)] _ л!
” Рт	ml	ml (л—яг)! ’
Свойство сочетаний:
Ст  /~>п—т	_f-ifn ;	—1
п	’ '^п	i с/7-4 •
Вместо обозначения С™ используется также символ
О-
1.1.6.	Бином Ньютона
При я натуральном
(а 4- 6)" = аи 4- Д an~x b 4- С; а^ Ь~ ф
• ••4- C^an~kbll-H--- + bn.
Свойства биномиальных коэффициентов:
коэффициенты членов, равноотстоящих от концов,
равны между собой;
сумма всех коэффициентов равна 2";
сумма коэффициентов членов, стоящих на нечетных
местах, равна сумме коэффициентов членов, стоящих на
четных местах.
Формула бинома может быть распространена на от-
рицательные и дробные показатели; при этом получается
в правой части равенства бесконечный ряд (см, 1.8.2).
1.1.4. Факториал
Факториал натурального числа п обозначается п! и
определяется равенством пГ—1-2... п. Основное свойст-
1.1.7.	Определители (детерминанты)
Определителем второго порядка называется выраже-
ние D, образованное из четырех величин (элементов),
1,1. АЛГЕБРА
13
расположенных в квадратную таблицу, и определяемое
по формуле
О == I	= «ц CJ2 — dis a«t.
I аП аИ I
Определителем n-го порядка называется выражение
D, образованное иа га2 величин (элементов), расположен-
ных в квадратную таблицу
«11	а12‘ ’ '«In
^21	Й2? ' ’ 1^2/Z
ал1	° 'atm
и определяемое следующим образом: D равно алгебраи-
ческой сумме п! членов, каждый из которых является
произведением га элементов определителя, взятых по од-
ному из каждой строки и каждого столбца; произведе-
ние берется со знаком плюс или минус в зависимости от
того, чётно или нечетно число инверсий в перестановке
из вторых индексов перемножаемых элементов, если пер-
вые индексы расположены в возрастающем порядке (в
перестановке числа А и / составляют инверсию, если
]<Л, но / стоит s этой перестановке после г). Например,
для определителя третьего порядка
а11 а1з
а» ада а23 = «л flss aS3 — «ц «и «3s4"ai2 «и «at—
°31 a33 a33 : “ alS aEl aS3 + «13 a‘Zl a32—a13 a22 «31
число слагаемых равно 3’, т, е. 6; первые индексы сле-
дуют в порядке 1, 2, 3; во вторых индексах имеется
шесть перестановок; в первом слагаемом нет инверсий,
во втором есть одна инверсия (32), в третьем — две ин-
версии (21 и 31) и т. д.
Свойства определителей:
1)	при замене строк столбцами величина определи-
теля не меняется;
2)	при перестановке двух столбцов или строк опре-
делитель меняет знак;
3)	определитель с двумя одинаковыми столбцами
(или строками) равен нулю;
4)	множитель, общий для элементов некоторого
столбца или строки, можно вынести за знак определи-
теля;
5)	величина определителя не изменится, если к эле-
ментам некоторого столбца или строки прибавить эле-
менты параллельного столбца или строки, предваритель-
но умножив эти последние на один и тот же произволь-
ный множитель 1.
Вычисление определителя можно свести к вычисле-
нию определителей порядка на единипу ниже. Назовем
минором элемента определитель, получаемый вычер-
киванием Z-й строки и fe-ro столбца данного определите-
ля. Назовем адъюнктой (ми алгебраическим дополне-
нием) элемента его минор, умноженный на (—1 i
обозначим адъюнкту элемента «,л через А,*.. Тогда
еправедливы равенства:
D = «д 4д Д- «« Ai3 -}-• 4- а=п Арр,
D = a-ik .41я + a^h Asp. 4-... 4- «чд Ank,
t. e от-ретелитель равен сумме произведений элементов
какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраиче-
ские .дополнения. Эти равенства называются разложе-
ниями определители соответственно по элементам i-ii
строки и й-го столбца.
Пример 1,1:
Я11 «1'2 «13
«21	«22	«23 — «11 4ц 4- «12 412 «ц 41з
«31 «32 аЭЗ I
а22 «ЯЗ	I а21 «S3	,	«21 «22
= «11	— «12	+ «13
I «32 «S3 I	I «31 «33 I	I «31 «32
Вычисление определителя fi-.ro порядка требует вы-
числения п определителей порядка я—1, (Ножно, однако,
пользуясь свойствами определителей, свести задачу к
вычислению лишь одного определителя порядка га—1;
с этой целью преобразуют данный определитель так, что-
бы в какой-либо строке (или столбце) обратились в нуль
все элементы, кроме одного.
Пример 1.2:
3—2 1	5
6	4 2 —1
—3	0 1	4
—2—37	2
Обратим в нули элементы второго столбца, для чего
умножим элементы первой строки иа 2 и прибавим их
ко второй строке; затем умножим элементы первой стро-
ки иа —1,5 и прибавим их к четвертой строке (от гтих
операций определитель не изменит своей величины);
3—215
12	0	4	9
—3	014"
—6,5	0 5,5 —5,5
Теперь разложим определитель
столбца:
по элементам второго
О = (—	2). -3	1	4
1—6,5 5,5 —5,5
остается вычислить определитель третьего порядка.
В теории линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами находит применение сле-
дующий определитель, называемый определителем Ван-
дермонда и вычисляемый по формуле
1 хг
*2 Х~ Х’2 = (х2—хА хД- • -(х„—xt) (х3—
1 4:
Необходимым и достаточным условием неравенства
этого определителя нулю является отсутствие одинако-
вых чисел в последовательности *г, хп.
1.1.8.	Линейные уравнения
Дана система трех линейных уравнений:
«и х + «и у + «13 г == bt;
«81 х 4- а№ у	«2з г — &2;
«31 х "Т «32 У	агз г — ^з-
Обозначим определитель, составленный из коэффициен-
тов при неизвестных, через 5, а определитель, получен-
14
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
ный заменой г-го столбца определителя D столбцом сво-
бодных членов, через Di, i— 1, 2, 3:
	aV2		6j a12 ai3
D =	&21!	$22	A =	«22	«23
	«SI «32	«33		«3	«32	«33
	а11	«13		«11	a12
	a2i ^2 «Й	; л3 =	G21 «22 ^2
	G3i	«33		«31	«32	^3
Если D^O, то имеется единственное решение;
Если D=0, но хотя бы один из определителей Dlt
D3, Ds отличен от нуля, то корней нет, система несов-
местна.
Если D=0 и Л1 = Рг==Ра = 0, то система либо несов-
местна, либо неопределенна (имеет бесконечное множе-
ство корней). Система несовместна тогда, когда все
миноры определителя D равны нулю, а хотя бы один
определитель второго порядка из таблицы
ап ам в1з ^1
а-п аю °зз i’a
а31 °32 я33 Ь3
не равен нулю. Система неопределенна в двух случаях:
1) если хотя бы один из миноров определителя D не
равен нулю; тогда система сводится к двум уравнениям,
из коэффициентов которых образован такой минор;
2) если все определители второго порядка из указанной
таблицы равны пулю; тогда система сводится к одному
уравнению.
Если свебодные члены равны нулю (&i = &a=fea=0),
то система уравнений называется однородной. В этом
случае Dj=D2=Ds=0, однако несовместность невоз-
можна, поскольку система имеет нулевые корня х = у =
— г—О, каковы бы ни были коэффициенты уравнения;
если /)#=0, то имеются только нулевые корни; если
D—Q, то имеется бесчисленное множество корней.
Приведенные рассуждения распространяются на си-
стемы линейных уравнений с числом неизвестных, отлич-
ным от трех.
Определители применяются для исследования линей-
ных уравнений. Что касается вычисления корней, то при
большом числе неизвестных пользуются приближенны-
ми методами (см. раздел 6). В настоящее время приме-
нение счетных машин дает возможность решать (и при-
том достаточно быстро) системы линейных уравнений с
большим числом неизвестных.
1.1.9.	Уравнения высших степеней
Уравнение второй степени: xs~l~px-^-q~Q, Корни
Xi, хг, вычисляются по формуле
«1,2	~ ±
р3
Выражение D = — —q называемся дискриминантом
уравнения. Если О>0, то корни действительные, раз-
личные; если D — 0, то корни действительные, равные;
если .D<0, то корни комплексные, сопряженные. Свой-
ства корней: xi-4-xt — —-р; XiXt—q. Квадратный трехчлен
x^+px-\-q разлагается на множители: x24-px-}-§ =
= (х—xt) (х—х2).
Уравнение третьей степени x3-j-ex2-J-ix+c==0 при-
водится подстановкой х~у—а]3 к виду у3+ру+у==0,
где
а3 2,1
р ~ b — —; q = ~ а3- — -— ab 4-е.
3	27	3
Дискриминант уравнения: Д=^г/4+р3/27. При D>0
уравнение имеет один действительный и два сопряжен-
ных комплексных корня:
где
При D=0 уравнение имеет три действительных корня,
из которых два равны:
з
3 Д —
и/ ?
= уя = V — .
При Д<0 уравнение имеет действительные корни; их
удобно вычислять по формулам
У1 = Уз V|р| cos ф;
г/. = ~j~ Уз Уй cos (<р + 120’);
Уз = "Г" Уз У|р| cos (ф — 120е),
и
I	—зУз<?
— агссоз--
3 2рУ
Возвратное уравнение третьей степени xs4-ax*4-ax-}-
1 =0 решается разложением на множители: :
х3 + ах^ + ах + I = (х + I) [х^ + (а~ 1) х + I];
Биквадратное уравнение х44-рх2+<7=0 приводится к
квадратному уравнению подстановкой x2=z.
Возвратное уравнение четвертой степени. x6-f.axs+
+&х2+ах4-1 =0 приводится к квадратному уравнению
y34-ay4rb—2—0 подстановкой x+Ux—tp
1,1. АЛГЕБРА
15
Другие уравнения четвертой степени, хотя и могут
быть решены по общей формуле в радикалах, в практи-
ческих приложениях при численных коэффициентах ре-
шаются приближейными методами. Корни уравнений об-
щего вида ,более высоких степеней отыскиваются также
приближенными методами.
1.1.10. Приближенное решение уравнений
Действительные корни уравнения f(x) = 0 (как ал-
гебраического, так и трансцендентного) можно прибли-
женно найти графически или посредством отделения
корней. Для графического решения уравнения )(х)=0
строят график функции у =
~f(x); абсциссы точек пересе-
у	чения и точек касания графи-
v.	/ ка с осью абсцисс являются
/j корнями уравнения. Метод от-
ф о	। , деления корней состоит в том,
'Vfуффмь что находят таких два числа
'	а и Ь, при которых функция
Рис. 1,2	f(x), предполагаемая непре-
рывной, имеет различные
знаки — в этом случае между
а и Ъ заключен, по крайней мере, один корень; если
производная ф(х) сохраняет знак в интервале от а до 6
и, значит, f(x) — монотонная функция, то этот корень
единственный (рис. 1.2),
Более совершенными приемами, позволяющими найти
корень с любой точностью, являются следующие. Пусть
найдены такие два значения аргумента х — а, х — Ъ
(а<Ь), что на концах интервала [а, й] функция f(x) при-
нимает значения разных знаков, а внутри этого интер-
вала производные f (x) и f"(x) не изменяют своих зна-
ков; предполагается, что в интервале [а, Ь] существует
непрерывная вторая производная f"(x).
По способу хорд: значение корня x-i уравнения f(x) —
= 0 в интервале [й, Ь] в первом приближении находится
по формуле
(b — a)f(a)
X1 ° f (6) — f (а) ’
Затем выбирается тот из интервалов [я, х+ [хц Ь], на
концах которого значения /(х) имеют различные знаки
и находится корень х2 во втором приближении по той
же формуле, но с заменой числа xi на Xi, а числа b тлли
а на Xi (в зависимости от того, взят ли интервал [a, xt]
или [xi, &]). Аналогично находятся последующие при-
ближения (рис. 1.3).
По способу касательных (или способу Ньютона) рас-
сматривают тот из концов интервала [а, Ь], где f{x) и
Г(х) имеют одинаковые знаки (рис. 1.4). В зависимости
от того, выполняется ли это условие на конце х — а или
на Конце х—Ъ, значение корня xj в первом приближении
определяется по одной из формул
f +)
-И = а — —- или х5 = £> — т
/И)	/
Затем рассматривается интервал [xt, b] (если была ис-
пользована первая из указанных формул) или [a, Xi]
(если была использована вторая формула) и аналогич-
ным путем находится значение корня х» по второму при-
ближению и т. д.
Совместное применение способа хорд и способа каса-
тельных заключается в следующем. Устанавливают, на
каком конце интервала [а, А] величины f(x) я f"(x) име-
ют одинаковые знаки. Для этого конца интервала при-
меняют соответственно одну из формул способа каса-
тельных, получая значение xj. Применяя для одного из
интервалов [a, xj, [щ, 6] формулу по способу хорд, по-
лучают значение хг. Затем таким же образом проводят
вычисления для интервала [xi, х2] и т. д.
Пример 1.3: y—f (к) =х3ф-2х—6 = 0 Путем проб на-
ходим 1,4<х< 1,5. Определяем корень по способу хорд;
й=1,4; f (я) =—0,456; 6=1,5, Дй) =0,375.
Первое приближение:
%1 = 1,4
ОД (—0,456)
0,375+0,456
= 1,455.
Повторяем операцию, заменяя значения a, j(a) на
х:= 1,455; /++=—0,010.
Второе приближение:
х2= 1,455
0,045 (—0,010)
—------------------ । 4gg н т _
0,375 + 0,010	4
Пример 1.4: х—1,5 cosx —0. Первое приближение на-
ходим с помощью табл. 1,35: если задаться Xi — 0,‘32, то
cos Xi—0,60582 и 0,92 а; 1,5-0,61. Уточняем корень по спо-
собу касательных: у' —1 + 1,5 sin х; у" —1,5 cos х. По
Toil же таблице имеем:
sin 0,92 = 0,79560;
1/1 = 0,92— 1,5-0,60582 = 0,0113 > 0;
у\ = 1 + 1,5-0,79560=2,1934; у” = 1,5-0,6058 > 0.
Окончательно
х. = 0,92 —
0,0113
2,19
= 0,9143.
К приближенным приемам решения уравнений отно-
сится также способ итераций У Он состоит в том, что
каким-либо способом уравнение приводится к виду х —
= ф(х). Найдя приближенно Xi, подставляют найден-
ное значение в правую часть уравнения и находят уточ-
ненные приближенные значения X2 = <p(Xi), х3 = ф(хг)
и т. д.; числа Аг, х3, ... приближаются к искомому корню
(процесс сходится), если |ф'(х)|<1.
Пример 1,-5: найти корпи уравнения x = tg х по спо-
собу итераций.
Для нахождения первых приближений к корням по-
строим графики двух линий — у=х и z/ = tgx (рис. 1.5);
точки пересечения этих ли-
ний дадут значения х, удов-
летворяющие заданному
уравнению. Как видим, гру-
бо приближенные значения
корней будут
Зл	Зл 5л
—----; 0; --; --; ... ;
2	2	2
2fl — 1
2
! См. раздел
16
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
Учтя, что (tg х)'—scc2x>l, перепишем уравнение	х3 — arctg ад = arctg 4,БОЗЗ = 4,4938;
в следующем виде: x=arctgx. Положим х() =	, тогда	х3 = arctg х3 = atetg 4,4938 = 4,4935.
2п	‘	Нетрудно убедиться, что подстановка значения х —
Xi = arctg “ =4,5033 (см. табл. 1.36);	=4,4935 в заданное уравнение x=tgx обращает его
2	в тождество (в пределах заданной точности).
1.2. ГЕОМЕТРИЯ
В этом разделе даются формулы для вычисления
плошадеи плоских Фигур, объемов тел и др. Обозна-
чения: F, f—площади фигур и поверхностей, /—пери-
метр, V — объем.
1.2Л. Плоские фигуры
Правильный п-угольник (R — радиус описанной
окружности, г—радиус вписанной окружности). Сто-
рона а = 2 УR-—И. Угол, под которым сторона видна
из центра: ф — ЗбО’/я.
1	гр 1	ср
F =   ддЗ cfg   = ng2 sin ф— пгЧ fg   
4	^22	° 2
®	ся
I = па = 2лй? sin — = 2nr tg —.
2	2
Тела вращения (теоремы Гюльдена) Поверхность
тела, полученного вращением плоской линии вокруг
оси, лежащей в плоскости этой линии и ее не пересе-
кающей, равна длине этой линии, умноженной на дли-
ну дуги, описанной ее центром тяжести.
Объем тела, полученного вращением плоской замк-
нутой фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости этой
фигуры и ее не пересекающей, равен произведению пло-
щади этой фигуры на длину дуги, описанной ее цен-
тром тяжести.
Призматоид~тело, основания которого параллель-
ны, а боковые поверхности представляют собой плоско-
сти (рис. 1.35). Объем призматоида
V = 4- h (F+4F0 Ш
о
где F и f—площади основания;
Fn—площадь среднего сечечия;
h— высота.
Пример призматоида — насыпь дороги (рис. 1.36).
Таблица 1.1
1.2, ГЕОМЕТРИЯ
Эллипс
Площади, ограниченные кривыми второго порядка
'Г а б л и ц а 1,3
J Эллиптический сегмент | Гиперболический сегмент | Параболический сегмент
У* = 2рх
Т а б л и ц а 1.4
Значение 5 в зависимости от 9/«
b/a	j	0,1 j	0,2 I	0,3	| 0,4	| 0,5	|	0,6	|	0,7 j 0,8	|	0,9	|
s	]	4,0640 I	4,2020 I	4-3B6° I	4,6016 j	4,8442 j	5,1054 |	5,3024 J 5,6723 J 5,3732
1.2.2. Тела
Тела, ограниченные плоскостями
Треугольная усеченная врнзш
V = Fh
V 2- Fh
3
Та б л И ц g j.5
2—1303
18
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
Цилиндр и конус
Таблица Гб
Цилиндр с парал- лельными основа- ниями	Прямой круговой цилиндр	Усеченный прямой круговой цилиндр	Прямой круговой конус	Прямой круговой усеченный конус
Рис, 1,23	I XX । ы Рис. 1.24	s /Тх^х 1 у । \\\ s \Xl W\	ж / / и\ /АД к J Рис. 1.26	/XX Д/ U \ / Нр\ Рис. 1 27
Й—кратчайшее расстояние между осно- ваниями		Нг и h2— наименьшее и на- ибольшее расстояния между контурами есноеании	1 = У г* + №	р = 2- (R /•), 7 = У (Ц —	4- /р
V — Ph	II ’ll 8 to to S Ч a 3?	у = А- ЯГ= (й, 4- ft2); F, = яг (ht + й.)	V = ~ ttr^h,	* 3	1 F3 —	nrl — ж A'z2 4-	№	j	P = ^-(R! + ^4-&); F; — 2 по 1
Шар и его части
Шар	Шаровой сегмент	Шаровой пояс	Шаровой сектор
Т /ХКХ « । । и 1 в I '	1 Й 1 \ 1 / / £ I \ \ / /	Дг л" Рис. 1 29	Рис 1 30	Рис 1 31
d = 2r	а2 т= h (2г—h)	3	, , /о2 — Ьг — h" \2 rs =s аи 4“ I  	—	 \	2h	J	а2 = h (2г — К)
V = А ягз===4д89 3 = ™ ясГ — 0,5236 zP 6	V = '^(3a‘+ h1} = 6	V	(Зй3-у з&34-а2) 6	V — -Ц- лг2Д 3
F ™ 4лг3 = па	F — 2 nrh — л (аг 4- h®)	F == 2r.hr	F = nr (2h 4- й)
I, ТРИГОНОМЕТРИЯ
19
Некоторые другие тела
Таблица К8
У =2 л2	] 9,74J?z?".
F™4«W=39,48/?r
Примечание, Тор получается вращением круга
вокруг осн, лежащей s его плоскости и не пересекаю-
щей его.
Рис. 1.36
1.3.	ТРИГОНОМЕТРИЯ
1.3.1.	Измерение углов
За единицу измерения угла принимается 1° и I рад.
Центральный угол, дуга которого равна 1/360 длины
окружности, называется градусом, и обозначается 1°.
Центральный, угол, дуга которого равна радиусу, назы-
вается радианом, и обозначается 1 рад. 1/год в 1° равен
в радианной:'мере я./180;:: йриЙлйженно -'0,017453; угол
в 1 рад равен в градусной мере 180°/я, приближенно
57“ 17'48,8". Перевод градусной: меры угла всрадианиую
и обратно см. в табл. 1.35.
1,3.2.	Тригонометрические функции
Каждому углу соответствует шесть чисел, рассмат-
риваемых как отношения отрезков, связанных с углом
(рис. 1.37) и определяемых следующим образом:
ВС	OB	AD
sina=~—; cosa= — tg®=—;
А	а	X
£F	OD	OF
ctg a = —; sec a — —; cosec a = —.
S R	R	R
Этим числам присваивается знак, как указано s
табл. 1.9.
С изменением угла изменяются значения рассматривае-
мых отношений, так что эти отношения являются функ-
циями угла;; графика этих функция даны на рис. 1.38
и 1.39. В табл. 1.10 приведены значения тригонометря-
2*
Т а б в и ж а 1.9
Конец дуга	sina	cosa	tg-a.	stga	teca	coseca
I четверть 11	э 1П	» ]V	»	1 I++	+ 1 1 +	~h ±	+ i	+ f 1 4-	i l-H-
ческих функций для некоторых
значений аргумента.
Тригонометрические функ-
ции — функции периодичес-
кие; период синуса и косинуса
равен 2л, период тангенса и
котангенса равен я:
sin (а -ф- 2пт) = since;
cos (а -ф 2лот)= cos а;
tg (a-f-я m) = tg a; etg (а + пт) = etg а;
т — целое число.
Значения тригонометрических функций углов от О
до 90° см. табл. 1.34., а углов в радианной мере
табл. 1.35. Тригонометрические функции углов, больших
20
РАЗДЕЛ 1 МАТЕМАТИКА
Таблица I.IO
Угол s град	0	90	180	270	360	30	45	60
Угол в рад	o,oom	— « 1,5708	Л«3, 1116	-|- я« 4,7124	2л«6,2832	— «0,5236 о	— «0,7854 4	— « 1,0472 3
sin а	0	4-1	0	—1	0	А- =0,5000 2	J-—L =0,7071	F 3 		 =0,8660 2
cos t%	+1	0	—1	0	4-1	1^ -	 =0,8660 2	у/ 2 2— =0,7071 2	— =0,5000 2
tgra	0	±°°*	0	-р РО*	0	=0,5774 3	1	У3 =1,7321
ctg a * Знак s таблице	|	0 J ±C ± означает, что 1е;й(или ctg a) c верхний знак относится к углач.			a тремится к 00 меньшим рассм	ерш прн стремле атриваемогс	У 3 =1,7321 |	1 нии угла к соответствующему знач<? , нижнии знак—к углам, большим р		=0,5774 3 нию, указанному ассматриваемого.
90°, а также отрицательных равны соответственно взя-
тым функциям острых углов согласно формулам при-
ведения (табл. 1.11).
Рис. 1.39
При операциях над тригонометрическими функциями
находят применение формулы, данные в табл/1.11—1.12,
Таблица 1.11
Ф	—ci	90° + a	180°±a	270°±k	360"—a
sin (р	—sw a	H-cos a	^sin a	—cos a	— sin a
cos ф	4-cos a	4-" sin a	— cos a	4- sin a	— cos a
tg ср	— tg a	4 ctg a	± tg a.	4 ctg а	— tg a
ctg q>	—ctg a	Ф tg a	± ctg a	ф tg os	— ctg a.
1.3.3.	Тригонометрические функции
от суммы и разности углов,
кратных углов и половинного угла
sin (а 4- р) = sin а cos ft ф- cos « sin р;
cos (« +- Р) = cos а cos р tp sin ® sin р;
tg (а ± Й =
tg« + tgj3
1 У tg a tg Р ’
ctg(a± ft =
etg a etg В ф- I
etg Р У etg « ’
Между тригонометрическими функциями любого уг-
ла существует пять основных соотношений:
sin a	cos а
sta“ а 4- cos3 а = 1; tg а = --ctg а = -------;
cos а	sma
1 1
sec а — ——; cosec а = -------.
cos a	sin а
Из этих соот! ошений выводятся дополнительные со-
отношения;
tg actg а = 1; tg3 а -ф 1 = sec2 а; cig3 а -f- 1 = cosec2 а.
sin 2а = 2 sin a cos a; cos 2а = cos3 а — sin2 а;
etg 2a =
etg® a — 1
2 etg a
tg 2а =
2 tg а
1 — tg2 « ’
sin 3a=3 sin a — 4 sin® a;
cos 3a = 4 cos3 a — 3 cos a;
3 tg a — tg3 a	etg3 a — 3 etg a
tg 3a =	.—ь__. ctg 3a =  ------------7-
s 1 — 3 tg2 a	3 ctg- a — 1
!.3. ТРИГОНОМЕТРИЯ
21

sin а
1+ cos а
2
а
etg
sm а
1 — cos а
sin а
1 + СО3 а
sin а
1 + cos а
1 — cos а
— cos а
4- cos а
1 — cos а
2
а	а
2^Т
-------— ; cos а— 		
а------------------а
1+tgS-y	1+tg2--
Знаки перед радикалами берутся в зависимости от
того, к какой четверти относится угол а/2.
1.3,4.	Квадраты и кубы синуса и косинуса
1 — cos 2а	1 4- cos 2®
sin3 а —--------— ; cos3 а = —————— .
2	2
3 sin а — sin За	3 cos а 4-cos За
sin3 а —------------ ; cos4 а ~ -------- ,
4	4
1.3.6. Зависимости между
тригонометрическими функциями трех углов
а, р и у, сумма которых равна 180°
а В 7
sin о. 4- sin р 4- 51'п У =- 4 cos -7— cos —- cos ;
а В 7
sin а 4- sin В — sin у = 4 sin — sin — cos — -:
г	2	2	2
а В V
cos а cos р 4- cos у == 4 sin -gg- sin — sin j- 1;
а р . у
cos а + cos Р — cos у = 4 cos — cos - sm -...- ..- 1;
'	2	2	2
sin3 a -t- sin3 P 4- sin2 у -- 2 cos я cos p cos 7 }- 2;
sin3 a 4" sin3 p — sin3 7 =- 2 sin a, sin f> cos y;
sin 2а 4" sin 2P 4“ sin 2y -= 4 sin a sin ₽> sin 7,
sin 2а 4 sin 2P — sin 2y =- 4 cos a cos |5 sin 7;
tg a 4 tg P + tg У = tg a tg P tg y-
а	6	v	а	6	7
etg --	4- Ctg J2	+ etg у	= Ctg -- cig	и	Mg -2...;
etg a ctg p 4- ctg a ctg 7 4- ctg f> ctg у = 1.
1.3.5. Приведение, к виду, удобному
для логарифмирования
В порядке упрощения тригонометрических выраже-
ний нередко полезно преобразование сумм и разностей
в произведения;
а + ₽	а — Р
sin а 4~ Рsin	COS 2
	а — р
sin а sin р — 2 cos	sin	:
;	1	2	2 '
cos а ф- cos р = 2 cos -—^-4- cos —-—;
в 4- ₽ Р — я
cos а — cos в — 2 sin--------- sin —~;
2	2
tg а ± tg р=
sin (а * Р)
cos a cos Р
etg а -ж etg р =
sin (Р а)
sin a sin р
ЙЙ а —	sin3 р -- cos3 р — cos3 а = sin (а 4“	Р) s’n (°	—	3);
cos® а —	sin3 р = cos3 р — sin3 а = cos (в 4-	Р) cos (а	—	Р);
cos (а — р) — cos (а + Р) = 2 sin a	sin Р;
cos (а — р) 4" cos (® + Р) — 2 cos я	cos Р;
sin (а 4-: Р) 4- sin (<х — Р) = 2 sin в cos Р;
cos а + sin а = ]/”2 sin (45е 4- а);
cos а — sin а = ]/ 2 cos (45’ 4- «)•
1.3.7. Зависимости между обратными
тригонометрическими функциями
Тригопомет-	Обратные три-	
рические	гояометричег-	Область измекркия х а у
функции	кие функции	
		-,	х	л
х =. s?n У	у=arcsin х	— TOsigt; —-ыды —
X ~ cos у	y=arccos х	— 1 < х < 7 я > «> <1 ,
		Л	л
* -=~- 1g и	j=arctg х	—	— — < у < —
X =ctg у	у—arcctg х	OQ <_ х < со; % > tl > 0
т /	14
arcsin и = arccos у 1 — и? ~ arctg —-------------
V I - и-
я
— — arccos и:
2
arccos и = arcs! п У 1 — их = arctg-------
и
— —- — arcsin и:
2
и	1
arctg и = arcsin —-— = arccos ——-—
Kl+Й ' у 14-Й
1
== arcctg —;
до и
22
РАЗДЕЛ 1 МАТЕМАТИКА
arcsin и ± arcsin v — arcsin («И 1 — а2 rt о У 1 — и2
= arccos (У1 — й2 У1 — v2 цс uv
arccos и dz arccos v — arcsin \v У 1
«2±:«У1 - У =
— arccos (uv ср У1 — и? У1 — и2
и ± v
arctg и -±. arctg v = arctg ------
1 ср ио
1.3.8. Формулы, применяемые
при решении треугольников
(рис. 1.40)
Формулы для площади
„1,1	a2 sin 8 sin у
f = — aha =• — ab sin у = —----------—
2	2	2 sin a
обе
=	= 2°s sin « sin P sin у —
= Ур (p — a)(p — b)(p — c)=pr
(r— радиус вписанного круга).
Соотношения в прямоугольной треугольнике:
а = с si п а; Ь — с cos a; а = b tg a; b = a ctg a;
с	b 4- с — а
а2 4- Ь2 = с2; й= — ; г =  -----------—•
2	2
(с — гипотенуза; а и b — катеты; a — угол, противоле-
жащий катету а).
Между элементами треугольника можно установить
также дифференциальные зависимости, вытекающие из
приведенных выше формул.
В прямоугольном треугольнике
ada 4- bdb = cdc,
(R — радиус описанного круга).
Теорема синусов:
а	&	с
sine sin р sin у
----__-----_р_ cj-g q^a.	tg ас[Ь 	_
a c--------sm 2a
В косоугольном треугольнике
da 4- dp 4- dy — 0;
da	db	de
•---—' ctg ada =. -— — ctg pdp = -— — ctg ydy;
а	о	c
Теорема косинусов:
а2 — Ь2 с2 — 2bc cos а. = (Ь 4- с)2 —
— 4bc cos3 — = (Ь — с)2 + 4&с sin3 .
ada - (b — c cos a) db 4- (c — t> cos a) de 4- be sin ada;
c cos p da ady — — sin » db -{- sin p de.
Эти формулы можно считать практически точными,
если дифференциалы сторон da, db, de, а также углов
da, dp, dy будут соответственно заменены малыми при-
ращениями Aa, ЛЬ, Ла и Ла, ЛР, Лу.
Теорема тангенсов:
tg°^
с 4-6 __	2
а — Ь а — 8
tg^
Формулы .Мольвейде:
р — ?
COS-----
Ь 4- с	2	Ъ — с
а	а ’ а
sin —
2
1.3.9. Гиперболические функции
. Р — У
sin--------
2
Некоторую аналогию с тригонометрическими функ-
циями представляют гиперболические функции. Триго-
нометрические функции имеют аргументом угол; можно
было бы, однако, считать аргументом площадь кругово-
го сектора с центральным углом, равным 2х. Аналогич-
но этому можно рассмотреть гиперболический сектор и,
приняв его площадь за аргумент, дать геометрическое
определение гиперболических функций. Можно также
определить эти функции аналитически следующими ра-
венствами:
Выражение углов треугольника через его стороны:
«	, / (Р — Ь) (Р — с) ,
g 2 ”|/ р(р-а) ;
sin а = — Ур (р — а)(р — 6)(р — s),
be
ех —е х	ех х	ех—е"
sh х= — -----— ; ch х = ---------------; th х = —г--------
2	2	ех -у-е
cth х =-----------; , х ф= 0.
ех — е“Л
где
р= (а + Ь 4- с) — 4R cos cos cos
Между четырьмя функциями имеются три основных
соотношения:
sh х , ch х
ch2 х — sh2 .x = 1; th x — —— ; cth x =	.
ch x	sn x
я
COS----
2
У
2
1.4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Z3
Графики гиперболических функций даны иа рис. 1.4!,
а значения в табл. 1.35. При действительных значениях
аргумента chx>l; Ith х\<1; lcthxl>l между гипербо-
ch х ф- sh х ~ сх\
лическими функциями име-
ют место соотношения, мно-
гие из которых аналогичны
соответствующим соотноше-
ниям между круговыми
функциями:
Рис. 1.41
ch х — sh л- = е~~х;
thxcthx=l; sh (—х) =—sh х; ch (—х) = ch х;
th (—х) —— th х; cth (—х) = — cth х;
sh (а ± Р) — sh a ch р ± ch а sh 8:
ch (а at р) = ch а ch р at sh а sh р;
„ th а th fi
th (a ct fi) =--------------;
H 1 * th a th P
1 cfc cth a cth 8
cth (a ch fi) =  -----------—- .
cth a. -ix cth p
sh 2a = 2 sh a ch a;
ch 2a = chs а ф- sh1 2 a = 2 shs а ф-1 = 2 ch2 a — 1;
2 th a
th 2a	;
1 ф- th2 a
1 ф- cth2 a
cth 2a =--------;-----;
2 cth a
знак плюс при a>0, знак минус’при a<C;
a
ch -—' =ф-
2
-j /” ch а ф- 1
У 2
а ± 6 а — Р
sh a ±: sh fi = 2 sh---ch----------
2	2
a 4- f> a — fi
ch a ф- ch 8 = 2 ch------ch---------;
H	2	2
, „	, a 4- fi a — P
ch a — ch В = 2 sh-------sh------—
2	2
(ch a ch sh a)n — ch na ztz sh na.
Обратные гиперболические функции обозначаются
следующим образом: если х—sny, то <y=Arsh (чита-
ется ареасинус), аналогично имеем Arch х, A.-th х,
Arcth х. Эти функции определяются аналитически фор-
мулами
Arsh и = In («4- lAr2 - ф 1);
Arch и = In {u-*z jAz2 — 1) ; и > I',
1	1 л- и
Arth a = —— In ------; [«]<!;
2	1 — и	1
1	«4-1
Arcth и =1— In-------; I и | > 1,,
2	«— 1	1 1
О зависимостях между обратными тригонометриче-
скими, гиперболическими и показательными функциями
в комплексной области см. 1.10.1,
1.4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1.4.1. Точка на плоскости
Положение точки иа плоскости определяется двумя
числами; в декартовых координатах абсциссой х и ор-
динатой у. в полярных координатах радиусом-вектором,
р и полярным углом ср (<р и р могут принимать любые
значения; радиусу-вектору приписывается положитель-
ное значение, если ои откладывается в положительном
направлении оси, составляющей угол <р с полярной
осью; если же ои откладывается в противоположном
направлении, то р считается отрицательным). Между
декартовыми и полярными координатами существуют
следующие зависимости (полюс совпадает с началом
координат, а полярная ось с осью абсцисс):
х — р cos <р; р =yh УУ2 4- У“ ;
У
y — psinqr, tgfp = —
х
(четверть, к которой относится угол <р, определяется
знаками хи у).
Расстояние d между точками (хь у) и (х2, у*):
dr== У(xt -— ха)2 4- {уi — у?.)- •
Координаты точки М(х, у), делящей направленный
отрезок АВ [A(xi, уф —начало отрезка, В(х2, у2) —его
конец] в отношении Х=АЛ! : М.В (А>0— внутреннее де-
ление; Х<0 — внешнее деление), определяются по фор-
мулам
А 4	,	__ Ут 4- Ху»
1 4- X ’ у ~~ 1 4- X
Площадь треугольника с вершинами в точках
У У, (хг, у2), (Ж у3) дается формулой
s=4lAl,
где

хрУ1 1
ха у. 1
Хз Уз 1
Формулы преобразования
координат: при параллель-
24
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
йом переносе осей х — х'+а, у—у’А-Ь', при повороте осей
иа угол а против часовой стрелки
х — xr cos а — у' sin а;
х — х' sin а ф-у' cos а.
1.4.2. Прямая линия
Всякая прямая на плоскости выражается уравнением
первой степени относительно координат; обратно, вся-
кое уравнение первой степени с двумя переменными вы-
ражает на плоскости прямую линию. Общее уравнение
прямой; Ах-фВу + С = 0, где хотя бы один из коэффици-
ентов А, В отличен от нуля.
Частные случаи общего уравнения в зависимости от
тех геометрических элементов, которыми прямая за-
дана:
1)	уравнение прямой с угловым коэффициентом
(если прямая не параллельна оси у): y = kx-\-b, где
A = tga; а— угол наклона прямой к оси х (Oyja<n);
b — ордината точки пересечения прямой с осью У; част-
ным случаем k^O является уравнение прямой, парал-
лельной оси X: у — Ь;
2)	уравнение прямой, параллельной оси У: х=>а;
3)	уравнение прямой по точке и направлению
У — У1 = k (х — Xi);
4)	уравнение прямой по двум точкам:
У — Уз _ х — хг
Уъ — Ут хг--х1
где x2^xu у2^УВ
Б) уравнение прямой в отрезках:
х	У
—	=	б^0, й=4-0;
а	о
в) нормальное уравнение прямой:
х cos ф + у sin ф — р -= О,
где р—длина перпендикуляра, опущенного из начала
координат на прямую;
Ф— угол между этим перпендикуляром и осью х;
0=£д₽<2.1.
Общее уравнение прямой может быть приведено
к нормальному виду умножением иа нормирующий мно-
житель:
зультате совместного решения их уравнений; возможны
следующие три случая:
-—существует единственная общая точка,
прямые пересекаются;
AilA2,~BilBi^CilC2~o6'a.Tix точек нет, прямые парал-
лельны;
Д1/Дг=В1/В2 = С1/Са— общих точек бесчисленное мно-
жество, прямые совпадают.
Условие расположения трех точек на одной прямой
в соответствии с формулой для площади треугольника
по координатам его вершин:
Xi У1 1
х2 Ун 1
==0.
xs Уз 1
Условие прохождения трех прямых через одну точку:
A Bt Ci
А-2 В% С %
А Дз Дз
= 0.,
1.4.3. Окружность
Уравнение окружности с центром в точке (а, Ь) и
радиусом Д: (х—а)2+(у—частный случай
(центр окружности в начале координат): х2 + .у2 = Ж
Окружность выражается сравнением второй степени
и, значит, является линией второго порядка. Уравнение
второй степени относительно координат выражает ок-
ружность лишь в том случае, если равны коэффициен-
ты при квадратах переменных и отсутствует произведе-
ние переменных. Окружность может быть задана также
параметрически, к —афДсоя/; у-b + R sin А
Уравнение касательной к окружности в точке (Ха,
Уо):
(ха — а) (х — хс) + (У0 — А) (У — Уо) А5-
1.4.4. Парабола
Парабола есть геометрическое место точек плоско-
сти, равноудаленных от данной точки, называемой фо-
кусом, и от данной прямой, называемой директрисой.
щ Удз-s2
причем знак перед корнем должен быть противополо-
жен знаку С.
Расстояние точки (xt, yi) от прямой ДхфВуф-С=0;
1 Xx-i ф- Byi ф- С |
a =--------------- .
F д= + вз
Угол между двумя прямыми определяется из ра-
венств
tg? =
fel —
1 ф- fel k.
либо
Л| В2 — А% Bi
At Л2 ф- Bi В2
Признак параллельности прямых: Д = (г2 либо
Ai/Az—Bi/Bz; признак перпендикулярности прямых:
Д43=—I либо ДфПф-ДВа-О.
Точка пересечения двух прямых отыскивается в ре-
Уравнение параболы, симметричной относительно оси
X, с вершиной в начале координат (каноническое урав-
нение): у2 = 2рх (р— параметр); О — вершина; F — фо-
кус; LL — директриса; £О=ОВ=р/2; ордината FF’ в
1,4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
25
фокусе равна р (рис. 1.42). Полярное уравнение (В—
полюс, FO — полярная ось);
Р
р __ -------- #
1 + cos ф
Прямая, параллельная оси X, является диаметром
параболы; диаметр параболы делит пополам хорды, па-
раллельные касательной, проведенной в точке пересече-
ния параболы с диаметром. Если угловой коэффициент
хорд равен k, то уравнение соответствующего диамет-
ра есть y — p/k.
Уравнение касательной в точке Л10(Хо, у0);
«Й=р(х4-хо).
Уравнение нормали в точке (х0, уа):
Но .	.
у — Ув — — ~~ (Х — Хс).
Радиус кривизны в точке (х0; г/о):
относятся к эллипсу (рис. 1.44), нижние — к гиперболе
(рис. 1.45); оси симметрии совпадают с осями коор-
динат.
Каноническое уравнение
ж2 Уг_
а® ~ Ь~
а и b — полуоси.
Рис, 1.44	Рис. 1.45
где р — полярный радиус.
Эволюта параболы (геометрическое место центров
кривизны параболы)—полукубическая парабола:
8
у3 = — (х — р)3.
у 27pv
Уравнение параболы с осью симметрии, параллель-
ной оси У;
у = ах® + Ьх + е,
Пример; уравнение параболической арки (рис. 1.43)
4/
г/ = -^х(/-х).
Фокусные расстояния OFi, OF? и эксцентрицитет е:
OFt == OFv = с = Ха3 ± Ь'2; е = ~;
а
для эллипса 8<1, для гиперболы в>1.
Уравнения касательной и нормали в точке (х0, у0):
ах0 , ууй j х — хв у — уц
аг Ь® ’ й3ха а®у()
Уравнение равнобочной гиперболы (а—Ь): относи-
тельно осей симметрия х2—-у3=а2; относительно асимп-
тот ху = а2/2.
Радиус кривизны в точке (х0, у£):
Вершина параболы у—ах^+Ьх + с находится в точке
/ b 4ас — Ь® \
\ 2а 4а J ’
если а>0, парабола направлена вогнутостью вверх, ес-
ли а<0 — вогнутостью вниз,
1.4.5. Эллипс и гипербола
Эллипс (гипербола) есть геометрическое место точек
плоскости, сумма (разность) расстояний которых от
двух данных;точек есть величина постоянная. В при-
веденных ниже формулах и равенствах верхние знака
Полярное уравнение (полюс в левом фокусе):
р	Ь®
Р	, где р = — .
1 ф- е cos ср	а
Геометрическим местом середин параллельных хорд
конического сечения служит прямая линия, называемая
диаметром, Два диаметра называются сопряженными,
если каждый из них делит пополам хорды, параллель-
ные другому. Угловые коэффициенты сопряженных диа-
,	Ъ"‘
метров удовлетворяют соотношению kk' = тр—; .
Приближенное значение длины эллипса:
/ а 4- Ь , / Л
s — п (3 —~—— у аЪ] .
Уравнения в параметрической форме:
эллипса х~а cos ф y — b sin ф
гиперболы х—а sec ф у — Ъ tg I.
1.4.6. Построение конических сечений
Построение эллипса по полуосям а и b (рис. 1.46),
Из центра О описывают окружности радиусами а и Ь;
из точек пересечения А и В произвольного луча с ок-
ружностями проводят прямые, параллельные координат-
ным осям (из А параллельно оси X, из В параллельно
26
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
оси У); точка пересечения С этих прямых есть точка
эллипса. Имеется другой прием построения эллипса
(этот прием дает возможность сконструировать эллип-
тический циркуль),' если отрезок длиной а + b движется
так, что его концы скользят по осям декартовых коор-
динат, то точка D опишет эллипс с центром в начале
координат (рис. 1.47).
1.4.7. Цепная линия. Циклоида. Спираль
Цепная линия (рис. 1.51) является линией провиса-
ния гибкой нерастяжимой нити, закрепленной на кон-
цах; ее уравнение
Построение параболы по вершине О, оси ОХ и точ-
ке М: проводят ОА _1_ ОХ, А М||ОХ; делят ОА и AM на
одно и то же число равных частей (рис. 1.48); получен-
Ратиус кривизны г—уЦа-, длинах ==ash
Циклоида — кривая, описываемая точкой окружно-
сти, катящейся без скольжения по прямой (рис. 1,52);
ее уравнение
х — а (а — sin а); у — а (1 — cos а).
ные точки нумеруют, как указано на чертеже. Из точек
на ОЛ проводят параллели оси ОХ, каждую точку на
AM соединяют с О прямыми — пересечение этих пря-
мых с соответствующими параллелями даст точки па-
раболы.
Построение параболы по вершине О, оси X и точ-
кам Л?1 и М2, лежащим на
ОА и ОВ—- произвольные
параболе: проводят ОУМОХ,
прямые (рис. 1.49); через Ж,
и Mj проводят паралле-
ли к ОХ и ОУ, причем
между ОХ и ОА, а так-
же между ОУ и ОВ об-
разуются трапеции, в ко-
торых CD и ЕР — диаго-
нали; параллельно по-
следним в каждом из
углов АОХ и ВОУ про-
водят зигзагообразную
линию; полученные точ-
ки на ОХ и ОУ являют-
Длина одной арки циклоиды: 1==Ъа\ площадь, ограни-
ченная одной аркой и осью X: Р = 3лау
Спирали и’ их уравнения: архимедова р-=шр
(рис. 1.53); гиперболическая р = я/ф (рис. 1.54), лога-
рифмическая р—ae'i (рис. 1.55), где а>0
Рис. 1 55
Рис. 1.56
ся абсциссами и ордина-
тами параболы.
Построение гиперболы по полуосям а и b (рис. 1,50):
из центра О списывают окружности радиусами а и о.
Проводят произвольный луч, а также касательные к ок-
ружностям в точках С и D; находят пересечение К и L
первой касательной с лучом и второй касательной с
осью х; из найденных точек проводят прямые, парал-
лельные осям, — точка их пересечения М является точ-
кой гиперболы.
1.4.8. Точка в пространстве
Положение точки в пространстве можно определить
тремя декартовыми координатами: абсциссой х, ордина-
той у, аппликатой г (рис, 1.56)*. Расстояние d между
* Цнлиндри^и-кие и сферические координаты см 1 7 6,
1.4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
27
двумя точками (хц Уъ zt) и (х2, у2, г2) (рис. 1.57) оп-
ределяется по формуле
d — У (x-t - - х2)2 A (yt — у Ар A (Zj — 22)2.
1,4.9. Плоскость
Всякая плоскость задается уравнением первой сте-
пени относительно текущих координат; обратно, всякое
уравнение первой степени с тремя переменными опре-
деляет плоскость. Общее уравнение плоскости:
4х А Ву А Сг фО = О,
где хотя бы одни из коэффициентов А, В, С отличен от
нуля.
Применяются различные частные случаи общего
уравнения в зависимости от тех геометрических элемен-
тов, которыми плоскость задана.
1.	Уравнение плоскости, проходящей через три дан-
ные точки:
х — У —Ут
х2 — хг у2 — у у
х3 — -<т Уз — 41
г — гх
4 —И
Z3 2i
= 0.
2.	Уравнение плоскости в отрезках:
(а, Ь, с—величины направленных отрезков, отсекаемых
плоскостью на осях координат),
3.	Нормальное уравнение плоскости:
х cos а А У cos Р А г cos у — р = О
(а, (3, у — направляющие утлы перпендикуляра, опу-
щенного из начала координат на плоскость, так что
cos2 a4cos2f54cos2 у= 1; р — длина этого перпендику-
ляра).
Расстояние d точки (х0, Уо, го) от плоскости Дх +
+ By~yCz + D = Q:
, I clx'i) 1~ ВУо 7' Сгв ф D |
a =----------------------------
VЛ2 4- В- 4- с«
Угол <р между двумя плоскостями определяется из
равенства
АА -4 В.В., + С,С.
cos (р = ±---------г---J—i J Щ-  -----------_
У Ат 4- Д“ 4. с’) А2 4	4- Ci;
Условие параллельности двух плоскостей: AJA^ —
— ВрВ^СуС,, условие перпендикулярности: «МА
A-8iA + CiA = (j.
1.4.10. Прямая в пространстве
Прямая в пространстве задается как линия пересе-
чении двух плоскостей:
Арх 4" Вву A Cyz А — 0; А2х -у- В%у А СА А 74 ™ 0.
Если выбрать плоскости, проектирующие прямую на
координатные плоскости, то получим канонические
уравнения прямой:
х — а у — Ь г— с
I пг п '
где (а, Ь, с) —-данная Да прямой точка; I, пг, п— проек-
ции из оси координат какого-либо вектора, параллель-
ного данной прямой; числа I, пг, п пропорциональны
направляющим косинусам прямой:
I
cos я = ---------;
ct Vfl 4- т2 А п3
m
дс Р 4- гп“ + п“
п
cosy = -----------------
У 4 А т“ А п1
(знак перед корнями может быть взят любой, но оди-
наковый во всех трех равенствах; а, 4 у — углы между
прямой и осями координат).
Угол <р между двумя прямыми отыскивается из ра-
венства
cos ф = cos ax cos a2 A cos Pi cos (4 4" cos Yi cos Ta-
Условие параллельности двух прямых:	—	—
— njris. Условие перпендикулярности: /1/2А/я1/я2 + гг1/г2 —
= 0.
Условие параллельности прямой и плоскости: 41 +
+ Вт + Сп = 0. Условие перпендикулярности прямой и
плоскости: All — Bjm = Cln.
cos р
1.4.11.	Поверхности второго порядка
Уравнение сферы с центром в точке (а, Ь, с) и ра-
диусом R:
[х а'1) А (4 — 5)2 A (z — с)2 = В2.
Рис. 1.59
t
28
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
Канонические уравнении поверхностей второго по-
ряона Эллипсоид (рис, 1 58):
Однополостпый гиперболоид (рис, 159):
Дву.тпо.тастгый гиперболоид (рис. 1.60):
Z
Рис 1 60
Э-мипг;гм.мй параболоид (рис. 1.61):
Эллиптический цилиндр (рис. 1.64):
Рис. 1,65
Гиперболический параболоид (рис. I 62):
X2	у-
а2	Ь2
Конус второго порядка (рис. 1.63):
л2 l/a г2
~Т + фТ — Г — 0.
а1 Ь- с-
Параболический цилиндр (рис. 1,66):
Рис. 1.66
Гиперболический цилиндр (рис. 1.65);
у =- сх2.
1.5.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1.5.1.	Плоские кривые
Крик*: на плоскости может быть задана в декарто-
вых координатах одним уравнением Г (х, у)=-0 ила у —
—Цх), а так/ле двумя уравнениями x=x(i),
где t — переменная величина, называемая параметром.
В частности, в качестве параметра может быть выбра-
на длила дуги s между фиксированной (начальной) и
текущей точками кривой, тогда x—x(s}, y — y(s). В по-
лярных координатах кривая определяется уравнением
Р=/(ф).
Для дифференциала длины дуги ds справедливы ра-
венства
ds = V dx- Д dy2; ds = 'j/'l + y'“dx;
ds = Ф' xt -f- <jt lU, ds =. I' (бфр'2^.
Угол « между осью X я касательной (рис. 1.67) оп-
ределяется по одной из формул
, dy	dx . dy
tga = -— — уros®=—; sm a =— .
dx	ds	ds
Касательная считается направленной в сторону воз-
растания х (первая формула) или в сторону "возраста-
1.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
29
ния s (вторая и третья формулы). Для угла ф между
касательной и полярным радиусом (рис. 1.68) имеем
dp	рЛр	, , dtp
cos 'Ф = — ; sin ф = -----; rg ф = р ~~ .
ds	as	dp
Уравнения касательной и нормали к кривой в ее
точке приведены в табл. 1.13.
Таблица 1.13
Геометрические элементы	Уравнения линии	
	в основном виде W (я)	в параметрическом виде х—х	У~У (?)
Уравнение ка- сательной	у — у, = 9' (х,)Х Х(х — X,)	(ч — у») х' (to = ~К <Ф) (х — х,)
Уравнение нор- мали	у1 (*о) — xQ — X	(У ~ Уд У’ Кд == = хг (ф) (х„ — X)
Длина подкаса- тельной РТ (рис. 1,69)	йм'у' (л, И	1У„х' tity.y' (ф)|
Длина поднор- мали PN	|щг/' <х»)1	1у»д' <Ф):х' (ф)|
		
Длина дуги з	з = j К 1+й'2Дх	-1 V
Радиус кривиз- ны R и коорди- наты	Л цент- ра кривизны ЛИ- НИН	(1+д'Р% /<_ 	 if е=л. О+к2)»’ “	у” , 1+4 V=y + —jr--	х' у" — х’ у' у (4+4)
		X’ у"-х" у' х' у’— х" у'
Дуга кривой называется вогнутой (выпуклой), если
она лежит выше (ниже) касательной а любой точке
этой дуги. Точка, отделяющая вогнутый участок кри-
вой от ее выпуклого участка, называется тачкой пере-
гиба, Если кривая задана уравнением y~f(x) и для
всех значений х из данного интервала у">0 (г/"<0), то
дуга кривой, соответствующая данному интервалу, вог-
нута (выпукла).
Точка перегиба ЛЦх0, уй) кривой у — у(х) находится
на основании какого-либо из двух условий:
1)	у"(хо)=О (иля при х=хв функция у(х) не имеет
конечной второй производной), а при переходе через
значение хв величина у"(х) изменяет знак:
2)	{/"(хо) =0, а наинизшая из производных д'",
которая при х = х0 отлична от нуля, имеет не-
четный порядок.
Кривизной линии в точке М называется величина
lim
М^М
4-1.
ммг  .
где От-угол между направленными касательными в
точках М, данной линии, a MMi — длина
дуги.
Величина К=1/К называется радиусом кривизны.
Пусть через точку Л1 личин проведена в сторону ее
вогнутости нормаль; точка С нормали, находящаяся на
расстоянии R, от М, называется центром кривизны линии
(соответствующим точке М). Формулы для определения
радиуса кривизны и координат центра кривизны даны
в табл. 1.13,
Эволюта кривой — геометрическое место ее центров
•кривизны (рис 1.70); исходная кривая по отношению
к своей эволюте называется эвольвентной (инволютой,
разверткой). Касательные к эволюте являются норма-
лями к эвольвенте; длина дуги между двумя точками
эволюты равна разности радиусов кривизны в соответ-
ствующих точках эвольвенты. Эти свойства позволяют
рассматривать эвольвенту как кривую, получающуюся
из эволюты разматыванием натянутой на нее нити.
Если координаты g, р любой точки эволюты заданы как
функции дуги s эволюты, то уравнение эвольвенты на-
ходится из соотношений
x = g —(s —se) -y-; г/ = Л —(s —s0)~-.
ds	ds
Здесь s0— значение параметра s для точки эволюты,
где начинается развертывание кривой.
Огибающей называется линия, касающаяся а каж-
дой своей точке какой-либо из кривых семейства
F(x, у, р)=0, зависящего от одного параметра р, и име-
ющая точку касания с каждой кривой этого семейства.
Уравнение огибающей находится в результате исключе-
ния р иэ двух уравнений:
(х, у, р)
др
— 0; F\х, у, р) = 0.
Ортогональной траекторией семейства; кривых F(x,
у, р) —0 называется линия, пересекающая все кривые
этого семейства под прямым углом. Для получения
дифференциального уравнения ортогональной траекто-
рии исключают р из уравнений
dy _	_ dF
dx dy дх
F ==(х, уу р) = 0.
1.5,2.	Пространственные кривые
Кривая в пространстве моШет быть задана как пе-
ресечение двух поверхностей ЕДх, у, г) — 0, F3(x, у,
г) ~ 0 или в параметрическом виде тремя уравнениями
x=x(f), y=y(t), г~г(1) (t — параметр). Кривая может
быть определена также одним векторным уравнением
7(t) = x(t)r+y(t)i + z(t)k,
где г—• радиус-вектор произвольной точки кривой;
i, J, k — единичные векторы s направлении
осей X, Y, Z.
30
РАЗДЕЛ J, МАТЕМАТИКА
Дифференциал длины дуги ds и длина дуги s опреде-
ляются по формулам
ds = ]/'dxs + dy" ф- da2 —
'dxV (
,dt j ^\dt) + \dj ’
i
(фиксированное значение соответствует начальной
точке дуги; конечной точке дуги соответствует произ-
вольное значение t).
Если параметром является длина дуги s, т. е. если
x = x(s), y — y(s), z=z(s), то для углов а, (5, у между
касательной к кривой в точке (х, у, г) и осями коорди-
нат X, Y, Z имеют место соотношения cos a — dxlds,
cos p = dy/ds, cos y — dzjds.
Плоскость, проходящая через точку Al пространст-
венной линии и перпендикулярная касательной в точ-
ке А1, называется нормальной плоскостью. Плоскость,
проведенная через три точки кривой М, Ми М2, при
Mi и	стремится принять положение плоскости,
которая называется соприкасающейся плоскостью к кри-
вой в точке М. Плоскость проходящая через точку М.
и перпендикулярная нормальной и соприкасающейся
плоскостям, называется спрямляющей плоскостью.
Таблица L14
Элементы трехгран- ника	Уравнения		
Нормальная плос- кость	х’ (X—X) Щ у’ (Y—y) -У г		(Z — 2) = 0
Соприкасающаяся плоскость	1 (X — х	) -у m (У — У) -у л	(Z - 2) = 0
Спрямляющая плоскость		3 м а т .		А	0
Касательная	X — х _ ¥ — у 2 хг	у’		— z 2^
	X	У-у	2
Главная нормаль	|</ Im	1 н 1 j N С :	I ml
Бинормаль	X	~ 11 i a 11 IN	— 2 n !
Кривизной пространственной линии в точке М назы-
вается величина
Рис, 1,71
где
К — Игл
Ату
ММг
Ату— приращение вектора
ки М к точке All.
d-ct
ds
т, при переходе от точ-
Кривизну можно определить по формуле
Три указанные плоскости образуют так называемый
сопровождающий трехгранник пространственной линии
(рис. 1.71). Его элементы даны в табл. 1.14, В этой
таблице х, у, г—координаты вершины М трехгранника;
X, У, Z — текущие координаты элемента трехгранника;
Радиус кривизны R определяется как величина, об-
ратная К, R — IIK, Точка С, лежащая на главной нор-
мали к кривой в точке М, для которой CM — R, назы-
вается центром! кривизны (направление от С к М соот-
ветствует вогнутости кривой). Координаты хс, у с, г8
центра кривизны, соответствующего точке М (х, у, г)
кривой, определяются по формулам
ХС = X ф- (s); ys^=y + RRf (s);
zc = z ф- R"z“ {&).
производные берутся по параметру t и вычисляются
при значении I, соответствующем точке М (х,у,г).
Нормаль к кривой, лежащая в соприкасающейся
плоскости (линия пересечения нормальной и соприка-
сающейся плоскостей), называется главной нормалью.
Нормаль, лежащая в спрямляющей плоскости (линия
пересечения нормальной и спрямляющей плоскостей),
называется бинормалью.
Единичный вектор касательной -щ определяется ра-
венством
Круг в соприкасающейся плоскости, описанный ра-
диусом R из центра кривизны, называется кругом, кри-
визны, или соприкасающимся кругом.
Кручением кривой в ее точке М называется вели-
чина
Т = -ф Нтп
Л1щ AI
Ар,
ММх
ds j
где AS; — приращение единичного вектора бинормали
pi при переходе от точки М к точке Mt
(знак минус берется, если направление век-
Т1 = — = х' (S) Гф- у' (s)f — z' (s) k.
аз
тора “— совпадает с направлением парал-
а’з
l.o. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
31
drj
дельного ему вектора-----, а знак плюс —
..	ds
в противоположном случае). Кручение мож-
но определить по формуле
Т =
х’ (s) у' (s) z' (s\
х" (s) у” (s) г" (s)
X"’ (з) у’" (s) г"’ (s)
Для плоских кривых Г=0.
Пример 1.6. Винтовая линия: х—a cos ф; y = asin<p;
г = сф, где а — радиус цилиндра; ф— угол доворота
прямой; с — коэффициент пропорциональности.
Шаг винта й = 2яс; подъем винта
h	с
tg а —---- = —,
2яа	а
где а — угол между касательной к кривой я плос-
костью XY.
Длина дуги
з== Va- 4- с2 Ф =	;
cos а
длина дуги одного витка 2л У а? + са.
Кривизна в произвольной точке
а
а- + С"
кручение
1.5.3.	Поверхности
Поверхность может быть задана одним уравнением
Ф(.х, у, г) =0,	(I)
или
2 = 1(х,у),	(П)
а также в параметрическом виде тремя уравнениями
х = х (а, Р); у = у (а, р); г = г (а, £}, (III)
гае а, р-—параметры. Эти уравнения можно заменить
одним векторным уравнением
г (а, р) = х(а, Р) г + у (а, (3) J ф- г (а, р) k, (IV)
где г — радиус-вектор точки поверхности.
Линия на поверхности, заданной параметрически,
дается этими же уравнениями, если аир — функции
одного параметра. Линии a=const, p=const образуют
на поверхности сеть криволинейных координат.' Квад-
рат дифференциала ds длины дуги линии на поверхно-
сти можно представить в виде
ds2 = dx"- 4- dy2 + dz" = Eda? + 2 Fdadfi 4- Gdp,
где
„ I dx \s l ду V / de
£ = j-— 4- / -j ф. /
\	da	)	\	da	/	\	da
_	дх	дх	ди	ди	dz	dz
p = —— . ------ _L —— . -— I --- . --- •
da	dp	да	д$	da	dp
! dx \3	/ du \2 f dz V
G = ----i 4- —V-	> ----
! UV 1 Up /
— коэффициенты Гаусса.
Выражение Eda2-]-2Fdoui$-FGd$2 называется первой,
квадратичной формой поверхности.
Если поверхность задана уравнением (I) или (П),
то уравнение касательной плоскости соответственно
будет
Фх(Х ~ х)-рФу(У — у) ф-ф'г(2 — г) = О
или
Z — г — fx(X — х) ф- fy (Y — у).
Если же поверхность задана уравнениями (Ш) или
уравнением (IV), то уравнение касательной плоскости
Х — хY—yZ—г
ха	Уа	г'а
х$	у$	г0
= 0,
где М {х,у,г) — точка касания; X, Y, Z — текущие коор-
динаты касательной плоскости.
Уравнение нормали к поверхности, заданной урав-
нением (I), имеет вид
Х—х Y— у _ Z—г
U ~~ Ч ~ Ф2 ’
Дифференциал площади поверхности da опреде-
ляется по формуле
du = (Фг)~’ УU* + ФГ + U dxdy=
= 'К3 + f’x + fy dxdy или da =	dadfi^
Пусть поверхность задана уравнением (IV), а гч.
Та — единичные векторы (орты), касательные к линиям
a(P=const), (3(a=const) и направленные в стороны
возрастания параметров а, р, (Ti, Та совпадают по на-
правлению с векторами га, г$). Обозначим через п еди-
ничный вектор нормали к поверхности, направленный
в каждой ее точке так, что орты п, Та, я образуют пра-
вую систему.	s
Рассмотрим какую-либо линию Ei, проведенную на
поверхности через ее точку Afi. Пусть К —кривизна
линии в точке Ж, ат — единичный вектор главной
нормали к этой линии в точке Му, направленный в сто-
рону вогнутости; линии. Проекция врктора кривизны
Ку на направление вектора п в точке 44 называется
нормальной кривизной линий £i в точке Линия на
поверхности, у которой в каждой точке нормальная
кривизна равна нулю, называется ;Ефтж1тоти,ческой ли-
нией.
Если через точку Лф. поверхности провести нормаль-
ное сечение (плоскостью, проходящей через нормаль
к поверхности в точке Мф. то получится плоская ли-
ния, у которой в точке Afi вектор главной нормали v
совпадает с вектором п или противоположен ему. Поэ-
тому кривизна нормального сечения совпадает или от-
личается только знаком от нормальной кривизны Кп
этого сечения. Величина Кп определяется яо формуле
_ Ма" + 2 Mdad$ 4- Nd$\
а'"'" ЕЛаХф2РаЛ$ + 0Л$‘ ’
32
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
где
L VeG^-T'1 =- [г.7У 7«а =
4 у’а
х?>
хоса #сса
4
4 =
М VEG — Е-"
nVeg-e2 = 44] ?133 =
ТО Уа
4 У?,
4jJ УаЦ
ха Уа
А'р У(Ь
х№ У?щ
га
гЭ ' :
гЩ5
4
г3 
г№
Выражение Айа2 + 2ЛМа^рч-Ж<Ур2 называется второй
квадратичной формой поверхности. Знак величины Л»
определяется знаком второй квадратичной формы (по-
скольку первая квадратичная форма равна d.s2 и, сле-
довательно, положительна).
Центр кривизны наклонного сечения поверхности
совпадает с проекцией на его плоскость центра кри-
визны нормального сечения, имеющего общую касатель-
ную с наклонным сечением. Если R — радиус кривизны
нормального сечения, то радиус кривизны р наклон-
ного сечения можно определить из равенства p = /?cosX
X(v, п), где v — единичный вектор главной нормали ли-
нии, образованной наклонным сечением, ап — единичный
вектор нормали к поверхности (у и п берутся в той
точке поверхности, через которую проведены оба се-
чения) .
Среди всевозможных нормальных сечений поверх-
ности, проходящих, через ее точку М, имеются два се-
чения, образованных взаимно перпендикулярными плос-
костями, для которых Кп принимает наибольшее и наи-
меньшее значения. Эти два сечения называются глав-
шши нормальными сечениями, а соответствующие им
значения Кп называются главными кривизнами поверх-
ности и обозначаются Ki, Км Величины
= 1/ЛЭ. называются глазными, радиусами кривизны по-
верхности. Величины Ай, Лг находятся как корни квад-
ратного уравнения
(EG — Я) № + (2FM — EN — GL) К + LN — /И2 = 0.
Направления касательных к главным нормальным
сечениям поверхности называются главными направле-
ниями на поверхности. Линия на поверхности, в каждой
точке которой касательная имеет главное направление,
называется линией кривизны. Через каждую точку по-
верхности проходят две взаимно ортогональные линии
кривизны. Поэтому удобно выбирать криволинейные
координат!.: а, Р так, чтобы линии а, р были бы линия-
ми кривизны. Величины
Я =
1
называется средней и гауссовой (тюаюи) кривизнами
поверхност л.
Точка поверхности, з которой Kt и /С2 имеют оди-
наковые знаки (/С>0) называется эллиптической-, в этой
точке LN— ЛР>-0. В более частном случае, когда в
точке поверхности Кл~Кг, эта точка называется омби-
лической, а когда Ki—Ks,=Q—точкой уплощения. Точка
поверхности, в которой Кг я Кг имеют разные знаки
(К<0), называется гиперболической; в этой точке
LN — ЛР<0. Точка, в которой одна из величин Ki, Кг
равна нулю (/6=0), называется параболической; в ней
LV —М2=0.
Через каждую точку поверхности в любом направ-
лении проходит геодезическая линия, которая опреде-
ляется тем, что в каждой ее точке главная нормаль
этой линии совпадает с нормалью к поверхности. Гео-
дезическая линия на поверхности обладает свойством
прямой линии на плоскости: из всевозможных линий
на поверхности, проходящих через две произвольные
точки, кратчайшую дугу, соединяющую эти точки, имеет
геодезическая линия.
Многие строительные конструкции имеют очертания
поверхностей вращения или поверхностей переноса.
Поверхность вращения образуется вращением плос-
кой линии (образующей или меридиана) вокруг оси.
Линия пересечения поверхности вращения с плоскостью,
перпендикулярной оси вращения, есть окружность,
называемая параллелью. Пусть ось вращения принята
за координатную ось Z. Если меридиан, расположенный
в плоскости XOZ, задан уравнениями х=х(а), z=z(a),
где в—длина дуги меридиана, отсчитываемая от вы-
бранной начальной точки, то сама поверхность враще-
ния определяется уравнениями x=S(a)cosp, у —
=/?(а) sin Р, ? = г(а). В этих уравнениях: R(a) = х(с.) —
радиус параллели, проходящей через точку М (х, у, г)
данной поверхности, а (3 —угол между плоскостью XOZ
и плоскостью, проходящей через ось Z и точку М. Когда
поверхность вращения задана указанными уравнениями,
имеем
dsa = da'2 + R (a) <ip2;
E= 1, F=0, G = /?’*’ (a).
Поверхностью переноса называется поверхность, опи-
сываемая линией (производящей), которая перемещает-
ся в пространстве, оставаясь параллельной самой себе
(два положения линии называются параллельными, если
одно из них получается из другого в результате сме-
щения каждой точки линии на один и тот же вектор —•
вектор переноса). При перемещении производящей лю-
бая ее фиксированная точка Мо вычерчивает линию.
Поэтому можно считать, что производящая, переме-
щаясь в пространстве, опирается своей точкой ЛЕ на
некоторую линию, называемую направляющей.
Пусть
г — а (а) = ax(s)7 + ау (а) 7 + аг (a) k;
г = S (р) = Ьх (₽)7 4- by (Р) Г+ Ьг (р) k
— векторные уравнения соответственно производящей
и направляющей поверхности переноса. Тогда уравне-
ние самой поверхности переноса с точностью до посто-
янного вектора будет
г = в (а) Ир)
или в другом виде
7= х (а, P)7J- у (а, В)7ф-г(а, Р) k,
где х (а, Р) = ах (а) + Ьх (р), и (а, Р) = ау (а) + Ъу (р);
г (а, Р) = а2 (а)-фЬ2(^).
1,6 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1.6.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1.6.1.	Функция, предел, непрерывность
Если каждому рассматриваемому значению одной
переменной соответствует определенное значение другой
переменной, то вторая переменная есть функция первой.
Совокупность рассматриваемых значений аргумента на-
зывается областью определения (или областью суще-
ствования) функции.
Если существует такое число Д, от которого функ-
ция отличается сколь угодно мало в достаточно малой
окрестности точки а, т. е. если	при всех
значениях х-р-а, для которых |х—а] <6, где е— как
угодно малое произвольное положительное число, a
Ь — положительное число, зависящее от е, то говорят,
что функции имеет в точке а предел, равный А; обо-
значение: limj (х) — А. Понятие предела вводится и для
случая, когда jf(.v)—Л|-Сб при достаточно больших
по абсолютной величине значениях аргумента; обозна-
чение: :im/(x)=/l п lim)'(x)—А. К этому случаю от-
X -р М	х -* — ГЛ
носится понятие предела последовательности, т. е. функ-
ции, определенной лишь для натуральных значений ар-
гумента. Функция, которая стремится к пределу, рав-
ному нулю, называется бесконечно малой.
При вычислении пределов применяются теоремы
о пределах.
1.	Предел постоянной величины; Йш а —а.
2.	Предел алгебраической суммы нескольких функ-
ций ц(х), v(x), .. ю(х), каждая ? из которых имеет
предел в точке а:
lim (и -j- о +...ф-ш) = lim и =t 1йп	lim w.
х—a	х --а ты	ч
3,	Предел произведения нескольких функций, каж-
дая из которых имеет предел в точке и:
lim (m. ..&’) = lim и linw.. . lim w.
x--a	; х-лт x-*-a
4.	Предел отношения двух функций, каждая из ко-
торых имеет предел в точке а, причем предел знамена-
теля отличен от нуги::
lira и
и х--а>
1 СПС - —-------- .
х-то О 11П1О
5.	Если А (х)	(х) и lirrrfi (х) = Нт /2 (х) А,
я а	лх-а
ТО
Нт и =- А1,
х—а
Некоторые пределы:
sin.v
b m — = 0; Ит--------=- 1;
л- a:, til	х-ш X
'	1 V	--
lim | 1 + — ! = Иш (1 л-то-.-е;
Х — ~ж •, XI	а —II
Пределу к которому стремится функция, когда х
стремится к а, принимая только значения, меньшие
3—1303
(большие) а, называется левым (правым) пределом
функции в точке а.
Если для любого положительного числа ЛЗ сущест-
вует такое положительное число б, что при всех значе-
ниях хФ=а. для которых |х—а\<й, выполняется усло-
вие |/(х) | ;>М, то говорят, что функция f [х) стремится
к бесконечному пределу при к-'ил, обозначение
lim /(.-г) = « ,
а -г а
Функция /Ег) называется непрерывной в точке а,
если она определена в злой точке п в некоторой ее
Рис. 1.72
окрестности и если lim/(х) ==f(а), т. е. если значение
-функции в точке а является пределом функции, когда
х стремится к и. Из этого определения следует, что ес-
ли функция непрерывна, то бесконечно малому прира-
щению аргумента Ах соответствует бесконечно малое
приращение функции Ay: lim Д</=0. Элементарные
АтоО
функции непрерывны в каждой точке, где они существу-
ют. Точки, в которых функция не является непрерывной,
носит название точек разрыва.
Если в точке ’а функция имеет конечные, но различ-
ные левый и правый пределы, или если эти пределы
одинаковые, по в точке а функция не определена или
имеет значение, отличное от указанных пределов, то
точка а называется точкой разрыва первого рода. Все
прочие точки разрыва называются точками разрыва вто-
рого рода. К ним, в частности, относятся точки, в кото-
рых функция имеет бесконечный левый или правый
предел. На рис. 1.72 показана функция, имеющая две
точки разрыва дне первого рода (в точке с функция
не определена) и точку разрыва b второго рода (в этой
точке левый и правые пределы функции бесконечны).
1.6.2.	Производная и дифференциал
Производной функции </ = f(x) называется функция
ф(х), равная пределу отношения приращения функция
j (х) к приращению аргумента, когда последнее произ-
вольным образом стремится к пулю;
[' (х) = lull
Д.тоО
Пфт Ax)^f(x)
Ах
где Ах — приращение аргумента х.
Производная функция у обозначается также через у'
dy
и-----,
dx
Если функция у=-ф(х) изображается кривой в де-
картовых координатах, то у' при рассматриваемом зна-
чении аргумента выражает угловой коэффициент каса-
34
РАЗДЕЛ I, МАТЕМАТИКА
тельной к ьриьой в соотостствующет точке, т. е. у'~
=tga, где и — угол наклона касательной к оси X. Про-
изводная имеет не то гы, о в ометрическоо толкование,
она выражает скорость изменения функции относитель-
но аргумента, например скорость движения, интенсив-
ность нагрузки, силу тока, теплоемкость и т. п.
Если функция имеет в рассматриваемой точке про-
изводную, то она в этой точке непрерывна; таким обра-
зом, непрерывность является необходимым условием
существования производной, по это условие не явля-
ется достаточным, так как непрерывность не гаранти-
рует существования производной,
Общие правила дифференцирования (а — константа,
и и с— функции ог л) см. в табл. 1,15.
Таблица 1 15
И	у	ц	У?	)
аи	яи/	— , о . 0 V	я  J'г Ъ !
Кути,У	тип		Fiu), гд? и—U (хГ )	du : du dx
{	irj		—	
Производные основных элементарных функций при-
ведены в тайл. 1.15.
Пусть з окрестности фиксированной точки х при пе-
реходе от этой точки к тобой другой точке х-р4х при-
ращение Ху функции у(х) можно представить в виде
Ау=ЛД.¥-фйЛх, где Л — постоянное (соответствующее
фиксированному значению х), a a — бесконечно малая
величина при Дх->0; тогда величина А&х называется
дифференциалом функции у в точке х.
Дифференциал функции есть главная часть ее при-
ращения, пропорциональная приращению независимого
иеремеиного.
Если функция у(Х) имеет з данной точке х диффе-
ренциал, то она имеет в этой точке производную у’ и на-
оборот, причем Л = у'. Дифференциал независимого пе-
ременного х разы: но определению приращению dx.
Дифференциалы величин у и х обозначаются через dy
и dx. Дифференциал Функции выражается формулой
Дифференциал dy эквивалентен приращению функ-
ции бу, т."е.
г	s
lim------ = Г,
Лх-та dy
поэтому при малых приращениях Лх можно пользовать-
ся приближенным равенством
Производная ог производной называется второй про-
изводной от данной функции; вообще производной по-
рядка п называется производная от производной поряд-
ка л—1; ойозначеаня: у", у'’’,.... у1‘п’> либо
ЕД 7-у dny
d:A ’ d:fi ’'' " dxn *
-Аналогично определяются дифферепдчалы высших по-
рядков; обозначения: сРи, ару,.., dnу. Формула для дыр-
..щрешщз.та порядка п: d‘‘ у = - yin> йх". В табл. 1.17 при-
ведены цуом ,зоднью порядка п для некоте.рнл функций,
l.iK'-KC Д.Ж	двух функции.
Т а б д и ц 1 I 1С
i	?/			1	4"
a	! °	ax 4- b	|	a
xa	1	J	FT	] 1 1	2 f x
n Fx	i 1 ; л	pc	j Iх
	ax Inc	In X	A X
i oga X	1 _ д in a	sin x	:	COS X
:	COS X	—	tgx	| 1 __ i	cos2X
:	ctg л	J sin-’ x	j	arcsin x	1 41—z‘
arccos x	! /1-4 f	arctg x	1	 1 X-	I
arcctg x	t	) 1-Й X-	j	sh x	ch x
ehx	sh x	lh x	1 _ ch11 x
cth x	_ _1_	j At- x	|	Arsh x	/1 +
	1 )		1
Arch x	I	Arth x j	1 — x- :
Arc th .r '	VXF" J	—	
Таблица 1,17
j	d	,J я j 4	
1 !	H 1	e%	|	e^x-	fc/l e&x
hi x	ВЛ X J	sin	„ j
	co, ; c— j }	(m — 1)... im—X Xx^!““n
	; ?7 n C_1_	j	-/ _L ( -А— г ( j	Ц- \n~~l i	} и(«-Ф и'Аь
В последней формуле табт. 1.17 правая часть полу-
чайся, если разложить (и-Ро)" по правилу бинома
Ньютона и заменить t rent ни ирои.щодными гоо.щтствта
ЮЩЧ.Х .'Л 'В, ПрН*. ! II	1Л '
1 В. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
35
1.6.3.	Раскрытие неопределенностей
...Может случиться, что вычисление пределов право
вида
Если f (х)——-------.причем числитель и знаменатель
Ф (с)
стремится при х~*-а (или при л'-ь-Дс») оба к нулю
или оба к бесконечности (неопределенность вида <)/(>
или <*.•/<» ), и неопределенность может быть раскры-
та ио правилу Лоииталя:
lim
т»±“
<₽Uj ... ф' (X)
------- _ ----------
Фи) х->а ф'(.г-)
) U- + ~)
если выполнены условия: 1) в некоторой окрестности
точки к—а, за исключением, быть может, самой этой
точки (или вне некоторой окрестности точки х=0, если
х-ь-±оо), функции <Р(а), ф(х) имеют конечные произ-
водные, причем ф'U)#=0; 2) отношение производных
q;'(x), ф'(х) стремится к конечному или бесконечному
пределу при х а (или х -> ± ооф
Когда отношение производных не имеет предела, то
отношение функции все же может иметь предел, ио
его надо находить каким .’шйо иным способом.
Если Цх) ==®(.с)ф(х), причем при х — а, (иди при
х->оо), один из множителей стремится к нулю, а
другой — к бесконечности (неопределенность вида
О- оо), то задача сводится к предыдущему случаю по-
средством преобразования произведения в частное:
Ф (х) ф (х) ---ср (х):
_____1_
W)
Если f(x)=ff(x)—ф(к), причем при х-* а (или при
х—щ оо), обе функции стремятся к бесконечности од-
ного д того асе знака (неопределенность айда ю— ои),
то полагают
I	I
а (Х) =	; v (х) — —— ,
ф (х)	ф (л)
О
после чего получается неопределенность вида
а(х) — а (х)
f(x)=-..... .. 2-. .. ....^.г. .
и (х) V (X)
Если f(х) =ф(л)при х -> а (или при х - > ± х)
принимает одну из форм 0°,	1~, то логарифми-
руют функцию и ищут сначала lim 1п/(х) по выше-
х^-а
указанным правилам, а затем lim/(x).
1.6.4.	Исследование функций
функция иадывается возрастающей в некоторой точ-
ке, если ее значение в этой точке больше, чем в левой
г ч ’	, и ) окрестности стой точки, а меньше, чей
to определяется убывание
признаки возрастания и
ь 1 ж । " t	1 в испытуемой точке по.то-
' г ” то функция возрастает; если производная ст-
он	.. то функция1 убывает.
i (минимум) в точке х~а,
этой точке больше (меньше), чем
ЗНД| '11' точках некоторой о • < <ности точки
3*
а. Функция может иметь экстремум (т. е. максимум или
минимум) лишь в такой точке, где производная либо
равна пулю, либо ле существует (необходимое условие).
Функция действительно имеет в такой точке экстремум,
если при переходе через испытуемое значение (соответ-
ствующем увеличению х) производная меняет знак (до-
статочное условие), а именно; сели производная пере-
ходит от положительного значения к отрицательному,
го функция имеет максимум; если от отрицательного
к положительному, то функция имеет минимум.
В точке, и ко горой у' = 0 и существуют производные
высших порядков, можно применить другое достаточное
услотше, а именно: если
f' (а) = 0, /" (а) = 0,..., }{,г-ц (а) = 0,	(а) + 0,
то, если п—четное число, функция имеет максимум
при (а)<0 я минимум при /(и) (а) >0; если п—не-
четное число, то экстремума нет в испытуемой точке,—
функция возрастает при (а)>0 и убывает при
/^’(в)<0.
1.6.5.	Функция двух переменных
Понятие функции двух переменных, а также поня-
тия ее предела и непрерывности устанавливаются ана-
логично тому, как это делается для функции одного пе-
ременного) Частные производные функции z=--/'(x, у) оп-
ределяются равенствами
дг А ст дг	А „г
---=lim —— ;	— = 1пп -ф— ,
дх д,е->0 Ах ду	Ау
где Дст и А„г —частные приращения функции, получа-
емые ею, когда изменяется лишь один из аргументов.
Частные производные по каждому переменному отыски-
ваются по правилам, известным для функции одного ар-
гумента, поскольку другой аргумент остается постоян-
ным. Частные дифференциалы выражаются формулами
дг	дг	т
dxz =——- dx-, d,s —----dy, где dx. -- Ax, dy = Дг/.
ox - dy	'
Полное приращение функции: Az=f(x+Ax; ,н+Ау)—
—fix, у). Пусть в окрестности фиксированной точки
(х, у) при переходе, от нее к любой другой точке
('х-фАх, у+Ау) полное приращение Аг функция
г—jfx, у) можно представить в виде
Az = Л Ах -ф Bevy -ф аДх + рДу,
где А и В — постоянйыё (соРШетствукйцие) фиксирован-
ной точке), а а, р — бесконечно. малые, при, Ах, Ду->-0;
тогда величина АДг \В'у iitobthc,, по щст с шфе-
ренциалом функции г в точке.'(ф, у)	че-
рез дг. Полный ц ой реши» тот;дт« - с - л и щть ее
ПОЛНОГО Прирсцц ,ЧО ‘ , 1 1 Я •' ’ 1'и е bij ш ч
щений Ах, Ау ш	и у г । li> > . ,
&у верно под' сто л. 1ст ,э о).
ЩШД ВОВ.е'И ПО!' 4J рйгтощг! I II д
существование нзе г. щш , ж о с, i пт )
, дг -э рд
t д: ==	,
дх	ду
поэтому
дг	дг
(1г ь= --- dlfXM ~~-Х:уу_
дх	ду
Достаточное условие существования полного диффе-
ренциала дг в точке (х. у) ‘ функция г .имеет в окрест-
н№» ТОчкЯ (х, у) частные производные^ дгддх, дгрду.
3G
РАЗДЕЛ I. МАТГМАШКА.
непрерывные в самой точке (х, у). Функция, имеющая
в данной точке полный дифференциал, называется диф-
ференцируемой в зтой точке.
Производные вылиих порлдков определяются так.
же, как для функции одного переменного. Производных
второго .порядка имеется четыре.
дгг д-:: д'-г д-г
дх- дхду ' Оудх ' ду~
но если смешанные производные непрерывны, то они ле
д-z
зависят от порядка дифференцирования, т. е. ~- -=
д-г
= -----, так что остается лишь той различных пронз-
оудх
водных. Различных производных третьего порядка ока-
зывается четыре:
б3г о3г Ф3г д3г
о.г3 ’ дх"ду ’ дхду* " ду3
Вообще различных производных порядка п имеется
п + 1. Если г=((й, с), где к=<р(х, у), ц=ф(х, у), т. е.
если г есть сложная функция от х, у, причем все эти
функции дифференцируемы в рассматриваемой точке, то
частные производные огыскиваютс/i ко формулам
дг	дг	ди	_	дг	до
дх	ди	дх	Г	до	дх
дг	дг	ди	;	дг
ду	ди	ду	до	ду
Если г—*(«, о), где и —ф((), о = ф(.>'), т. е, если г
есть сложная фенкцил одного аргумента I, to производ-
ная от г ио г отыскивается ио формуле
аг	дг	du	дг	do
di	ди	di	до	di
Из формулы для полного дифференциала видно, что
dz = Р(х, у) dx + Q(x, У) dy,
дг	дг
где Р (х, у) = — s Q (х, у) = --- .
Однако не всякое выражение такого вида является пол-
ным дифференциалом некоторой функции, но лишь та-
кое. в котором выполняется условие dPldy = dQJdx.
Функция }(х, у} имеет максимум или минимум
в точке (Х|, уд), ест в этой точке выполняются ус-
ловия
<>Нх-У)	0. Of(x,y)	о.
их	ъ’ ду
РУ (Х, у) Т__а'У (А, Ф) ’ б2/(х, у) 0
L дхду ] дх-	ду*
п	д-f d~f
При этом частные производные ------------ и ----
дх- оу-
имеют одинаковые знака: если обе они отрицательны,
функция имеет максимум; если обе они положительны,
функция имеет минимум. Функция двух переменных
может иметь экстремум и в такой точке, где частные
производные не существуют.
Если требуется найти максимум или минимум функ-
ции f(x, у), причем х и у связаны соотношением
ср(х, у}—О, то вводится неопределенный множитель X
и рассматривается экстремум функции F(x, у, ?.) —
= ](х, у}-\-мр(х, У}, так что для определения экстре-
мальных точек и X имеются три уравнения:
др	дР
0.	= 0; qp = О
дх	ду
причем эти равенства выражают лишь необходимые ус-
ловия максимума или минимума.
Можно установить понятие функции также трех
и более переменных, ее частных производных и диффе-
ренциалов. Полный дифференциал функции трех пере-
менных выражается формулой
ди.	ди	ди
du = — dx dy 4- — - dz.
дх	ду	дг
Выражение вида Р(х, у, z)dx^-Q(x, у, z)dy+
+Р(х, у, z)dz лишь в том случае является полным диф-
ференциалом некоторой функции, если выполняются ус-
ловия
_4Р_ _	„ /ЗД __ дР
ду дх ’ дг ду ' дх дг
1.7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1,7.1. Неопределенный интеграл
Первообразной от данной функции называется функ-
ция, производная которой равна данной функции, т. е.
г(х) есть первообразная от fix}, если F'(x) —f(лф. Если,
функция непрерывна в замкнутом интервале, io она
имеет первообразную в каждой точке этого интервала
и притом не одну, а бесчисленное множество, но все
они отличаются одна от другой лишь той или иной по-
стоянной. Общее выражение первообразной функции сг
t(x), т. е. а функция вида Е(х)-фС, где С—произвольная
постоянная, называется неопределенным интегралом ц
обозначается так: ^f(x)dx. Таким образом, ]((л)Ед =
=Г(х)+С, если Р'(х) =((х).
Свойства неопределенного интеграла выражены сле-
дующими равенствами, в которых и а о-—функция от
г, а — постоянная:
J аи’дх—а j и dx,
{(a -j- v) dx — | и dx 4- j о dx;
j и do — ио— j о Фи (интегрирование по частям);
j f (х) dx = J / [ф (у)] ф' (у) dy; х = ф (у) (способ
подстановки);
\х, a.)dx=-
df(x, а)
да.
dx
(дифференцирование под знаком интеграла); формула
справедлива, если f(x, а) и fa(+ а) непрерывны как
функции двух переменных х и «.
Ниже приводятся основный формулы интегрирова-
ния функций, получаемые обращением формул диффе-
ренцирования функций, а также некоторые обобщения
основных формул.
Основные формулы интегрирования:
x+ix =	4- С, п ф - I;
а +1
17. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
37
dx
dx
1г. и
sin xdx — •— cos X Jf- С",
cos xdx — sin x -i- C;
dx
-------= ----- С{<7 x ,_y Q
sin8 x
dx
COS8 X
ch x -ф C;
1 ch xdx — sh x -ф C;
dx
sh8 x
Г dx
= th x C;
= — cth x j- C;1
= arctg x + C = ~ arcctg x + C;
= arcsin a -A
C	1
emx dx — emx -a C;
J	m
C	i
I sin mx dx = — — cos mx 4* C;
J	m
C	1
I cos mxdx — — sin mx: -ф- C;
J	m
dx	1	x
---_ _ — arc ft? —
4~ x'“	a	a
dx
~TE= = arcsin — -j- C = — arccos— -}- Сф.
I/ „>	a	a
— — arcctg —
a	a
1.7.2. Интегрирование рациональных
функций
Интегрирование дробно-рациональных функций вы-
полняется посредством предварительного разложения
подйнтегральной функции на сумму многочлена и эле-
ментарных дробей, номе чего интегрирование всегда
чы) > в элементарных функциях. Ниже приводят-
ся	от некоторых дроино-рациональвых
1
___	_____ _ __	jn 1	..р j
а -ф Ьх 1>
---	 Arth х 1/ — | j С, есдпаЬ > 0;
1--.--у	у	и J
ab	4	'	8
В последующих формулах введено обозначение
a -j- 2bx ф- сх- X; А — ас — ор
11 о -у- сх
---~ arctg--~~ + A при А > О’,
У А У А
1	] ' — А — b — сх )
---7=Г In -==--------------1 + С ==
У. = 1 2 V- А У - А + b у сх
А	1 h + сх
—-— Anti —-— ф С при А с 0;
У—А У—А
1
--------_L Q п,|{( Д — ,) •
Ь -ф сх
f dx	1 b -ф сх (2р — 3) с f dx
J АА ~2Д(р—1)’Лр'“1 +2Д(р— !)J А^1 ’
Г j£.+У1Уф____В , .у., ас ~	f .
J А	2с "Г'"" + с	,! А ’
Г (а + Рх) dx	р 1
J Х-!Г 2с(р^1')' Х.^1 +
ас — 1% С dx
+ ^— ) Т=С =
x"'~l (я -ф- bxf dx =
xn~Xa + 6x)'A-l
\rn -г n) b
{m —
na
.ni-
(a + bxf'-'1 dx ф C.
1,7.3. Интегрирование иррациональных
функций
Интегралы от иррациональных функций в общем
случае не выражаются в элементарных функциях. Ни-
же приводятся интегралы от некоторых иррациональ-
ных функций
а -ф Ьх d г
dx
’ф а Ьх
^А- (У ,7 _ф 11ХГ ф С;
“ У а Ф Ьх ф. С;
ь
РАЗДЕЛ !.
f, уащ	~ А - lycyAf+с.
J	ЬЬ-	3 ]
гг]х	-и Г — -
——— = —- (Ьх — 2a) у а Д- Ьх Д- С;
1 У 1 , УУ
У a А Ьх
Д ,г-------- t Г х'Чх
\ хп у a А Ъх dx: I —ДЕЛЛ—;
J	J Г' а Д Ьх
(указание: применить подстановку у— еДйх);
f !‘Х
J (а А Ьх) Vа А У х
(указание: применить подстановку
у -= и А ох);
~ In | д ,д ф у A cm j + С;
F X* ± А
- х'- dx — — ф о- — А А — arcsin — А С
2	2	2
j V х" А X dx — lz .А — А А
i ДА- ~о 1;; а2 А а'-- А А:
Г Ъ А сх ас — 1А f dx
j Xdx = x + J '“T + e’
f г PA’^ 'ul“’ —	— ca^ ’x J_
j X!i	(b-1 — ас) X
где f в ф -целые функции (указание: применить под-
становку
« ------,
у -= У а Д- Ьх} 
В последующих формулах введено обозначение
1.7.4. Интегрирование трансцендентных
функций
Интегралы от трансцендентных функций в общем
случае не выражаются в элементарных функциях. Ниже
приводятся интегралы от некоторых трансцендентных
функций:
| х’1 ех dx --= ех |дЛ — пх"^ 1 А п (п — D хп ' ~ —
— . . . А (- 1)'; И] А С;
У а Д- 2&л Д- с.У X: ас — У == А;
|	_L... Q^_
----Arsh—Д С при с 1-0, А > 0;
VI	Гл
I	Ъ Д- с,г
----- дгср —- д_ С, при с > О, Л .. и;
Vc	уС-д
! Р ~с И — А
(а Д- ,Вж) dx ,В t ас — fib (‘ dx
J X с ' ' с J А
j А ~ тс	тс J X
1)Ь f y^)dx
т с J А
(* Л(ьД- ад + атА А , . А апхп
д ------------.-------------ух
3	X
In xdx х 1л х
j (In х')п dx~-.n (1пх)п — п j (In x)"' 1 dx AC, n -A — 1;
i xn In xax = In X -	AC, nA. - 1;
J	яА ДД1Р
f In Л-	1
j-----dx = —- (In :v)a Д- C;
Гфп.А'1 1 „n
(------dx =--------(In x) rl A С, n У — I;
J x n A I
i —;— — In I In x I A C;
J X In Л- 1	 1
r	1	1
j мп- x de = — -— sin 2.t A ~ x -с C;
ц-	4
r	1	I
\ cos2 x dx ~— sin 2x -- — x A C:
i	4	7
sin
И.т dx
cos mx
sin rnx
= (А, А Ад А Ад® А
dx
X
sin mx cos ?« dx
(указание: для	Л)Ь ,4Ь Л2,....
А»-), А	равенства и сравни-
те	•.):
>s {m [- я) x
2 Im Д- n)

40	___
РАЗДЕЛ 1. MATEMATl ТКА
-з
I еах cos bxdx
l)
a cos bx -f- b sin bx
bz
J arcsin xdx -= x arcsin x	V 1 — x- -j- C;
arccos xdx — л arccos x — F I — x- -| C;
| arctg xdx ~ x arctg x — ~д~ In (1 -f- x2) -} C;
Г	3
l arcctg xdx = x arcctg x ----- In (1	x1) -ф C;
j sin л sh x dx -= (sin x ch x — cos x sh x) -I- C;
f	1
I sin x ch x dx — (sin x sh x — cos x ch x) -{- C:
f	1
cos x ch x dx = — (cos x sh x sin x ch x) + C;
J	2
j cos X sii л dx = 4" Kos x x + sin;v stl '•'l + О
i sin ax sh bx dx —
J
-----TC s_jn ax c|] t]x — a ux s|] gX) ,L Q
d‘^b-
j sin ax ch hx dx —
—	-----(b sin ax sli bx — a cos ax sh Ml 4- C;
в2-фМ '
I cos ax sh bx dx =
J
—--------	(h cos ax eh bx -}- osin ax sh bx) J- C;
a- + 4
t cos ax ch bx dx =
---------------- (ф cos ax Sl-J ijX a sjn ax clj l)Xy J._ gy
n‘" o-
ь
j f (х) dx == F (Ь) — F (а), где F’ (х) =- f (х).
и
Средним. значением функции }(х) на отрезке [a,
называется отношение
ь
j Z (.v) dx
a
b • - a
если функция Цх) непрерывна на этом отрезке, го су-
ществует такое значение х~р, a<Fp<b, что
Определенным интегралом могут быть выражены
площадь плоской фигуры, длина плоской кривой, объем
тела вращения н площадь поверхности вращения во-
круг одной из осей координат, равнодействующая на-
грузки, действующей па балку, момент этой нагрузки,
момент инерции поперечного сечения балки, работа си-
лы, длина пути, количество тепла п т. п.
Понятие определенного inneipa.aa можно распростра-
нить на случай бесконечного интервала, а также на слу-
чай разрыва непрерывности подынтегральной функции.
Такие интегралы называются несобстаеннылш. Если
функция непрерывна и задана при и-щг<у-тс, то
Щоо	Ь
i f[x)dx~ lim \f(x)dx',
U	р — л-оо 'a
если этот предел (конечный) существует, в этом слу-
чае говорят: несобственный интеграл существует {схо-
дится)-, если конечного предела нет. то несобственный
интеграл не существует (расходится), Диалогично
b	b
j f (х) dx — lim jp(x)d.v,
— CKj	1X3 й
Если функция задана на конечном отрезке и имеет
P-i3j)h(B в точке с з'1 ого отрезка, то несобственный ин-
ь
тетрил ) f(x)dx определяется формулой
а
b	С-—Х	b
>f(x)dx= lim j j:(x)dx-F lim j Цх) dx;
i	«-Ч-o ’a	S-4-Ощ.р
1.7.5. Определенный интеграл
Определенным интегралом функции /(х) на отрезке
(а, Ь] называется предел интегральной суммы вида
и
когда длина наибольшего из частичных ни-
<=и
терпалов стремится к нулю, т е.
л	а
j / (х) =lirn S f (ё ) Дх ; х «ф £ < хл
р максАх	‘	‘	1
&.Х. — х. — х. хг — а, х = Ь.
’• I L — 1	0	п
Если функция непрерывна на отрезке [«, Ь], то опреде-
ленный интеграл существует, Имеет место формула
Ньютона — Лейбница:
если оба предела существуют при а и р, стремящихся
к нулю независимо друг от друга, то интеграл сходит-
ся; если же хотя бы один из пределов не существует, тс
интеграл расходится. Может случиться, что интеграл
расходится, но существует предел
Г с—7.	Ь
lira | f(x)dx -\- | f (x) dx
этот предел называется главным значением интеграла.
Значепля некоторых определенных интегралов;
1 <»
dx (’	dx д
j й” Х“ J а“ х4 4
1.7, ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Встречаются определенные интегралы, в которых
подынтегральная функция fix, а) и пределы интегриро-
вания с (а), Ъ(а) зависят от параметра а. Пусть при
функции а(а), й(о.) непрерывны и х1гфа(а),
й(а)гфВ; если в прямоугольной области АщЩЩГЯ,
с, тфа.дда- функции ,г(х, а) и ф, (х, а) непрерывны (как
функции двух независимых переменных х, а), то при
значениях а из интервала сцчфячфаз имеем
Ь1м	blai
d Г	f 5/ (х, а)
—	\ fix, a] dx = I -------г-----dx ф-
da	J	J	да
a(a)	add
Если а и >n не зависят от параметра я, то последние
.ва слагаемых обращаются в нуль.
1.7.6.	Кратные интегралы
Аналогично определенному интегралу двойные. и
тройные интегралы определяются как пределы интег-
ральных сумм:
п
\\f(x, y}d(s= lim s /(I;, гр)Дсг;,
f-	MrihC 1— *
где /(x.P)—функция, заданная в плоской области С;
Ажкс—наибольший из диаметров частичных об-
ластей, па которые разбита область С;
Доу—площадь Ай частичной области, а ф, гр —
координаты произвольной точки в этой об-
ласти.
Аналогично
п
П |/(:г5 у, г} dv — lim К/(щ, гр, щ) Аог.
О	Какс '=1
где fix, у, г) — функция, заданная в пространственной
области G.
Если .подынтегральная функция непрерывна в обла-
сти интегрирования (эта. область считается замкнутой,
т. е рассматривается вместе со своей границей), то ин-
тегралы сущее гвуют.
Вычисление двойного (тройного) интеграла при не-
которых ограничениях, налагаемых на границу области,
сводится к вычислению двух (трех) определенных ин-
тегралов:
&
\\f(x, tj)do—\dx J f(x, y)dy;
С	а 'Ъ(х)
РАЗДЕЛ 1 МАТЕМАТИКА
р ФА/О
у, z)dD— \‘dx {’ dy j' f(x, у, z)dz,
'в'	a 4iU) 1,1X4/')
где линии x=a, x—b, y = <pi(x), y^=<.y>(x} ограничиваюr
область С или проекцию на плоскость XOY области G
(если имеется в виду тройной интеграл), a z==^i(x, у),
z —ф«(х, у}—поверхности, ограничивающие область G.
Вычисление интегралов во многих случаях упроща-
ется посредством замены переменных. Если х и у связа-
ны с новыми переменными и и о соотношениями х~
= ф(и,О),	V}, ТО
Г Г	(V	D(x, и}
Цх, t/)dx dy ==	/1Ф(и, V), ф(«, И] GG--Т dudij
J.J	D(u,v)
с	с
	дх	дх	
D (х, и(	ди	dv	
D (и, v)	ду	А	(определитель Якоби)
	ди	dv	
замена переменных может быть истол-
Юбразовапие координат: тогда модуль оп-
>' < > । г i г jj <обк выражает коэффициент искажения
иди при переходе or системы (х, у} к
I. Например, при переходе к полярным
х = рсозф, p^psinq:} имеем
D(x, и) cos гр —р sin гр !
------:— _	I — р;
D(p,cp) I sin ф	p	cos ф I
i i f (x,	&’) dx dy = i i f [p cos	Ф,	p sin rp]	pd рбф.
"c	‘c
Аналогично истолковывается замена переменных в трой-
ном интеграле. При переходе, например, от декартовых
координат к сферическим (x = p sin 0 cos ф, щ~
=--р sin 0 sin (p, z—р cos 0) имеем
; D (x, y, ?,}
D (<>, 0, qj)
sin 0 COS ф p cos 0 COS <p —psin0sintf
sin 0 sin ф p cos 6 sin ip
cos 0
..p sin 0
p sin 0 cos ty
0
1.7.7. Криволинейные интегралы
I /Vhno д it i fb f i	jt i	f i
дел интегральной суммы, причем функция пред по-
де гея заданной на отрезке .пинии, плоской иле про-
анстве-нпой. Различают криволинейные интегралы не
е, координатам и составной:
I f{x,y,z)ds~ lim S /<|д Т]р б.) As,:
лв	аакс лг; -о (
ио координатам
| f(x, у, г) dx --- lim S / (g;, n,, ф,j Axp
AB	макс Жа/--1) /_.[
аналогично 1 f(x,y,z)du и j f (x, у, г) dz;
4B	AB
составной
f P (x, у, z) dx 4- Q (x, у, c) dud- P(x. и. г) dz.
AB
Вычисление криволинейных интегралов сводится к
вычислению определенных интегралов.
Сх r< inn I ч |- 11 । । и к 11	- im । I’ j 1
только от положения точек .4 и В при том и только том
условии, если подынтегральное выражение является пол-
ным дифференциалом некоторой функции, т. е. если
ДР	а<2 сШ	J)P
ду дх ’ дг ду ’ дх дг
В случае плоской кривой должно выполняться лишь од-
но равенство:
SfL А?
ду дх
Можно, наконец, установить понятие поверхностного
интеграла для функции, данной на куске некоторой по-
верхности, Между интегралами различных видов (двой-
ным, тройным, криволинейным, поверхностным) имеются
зависимости, выраженные теоремами Грина, Остроград-
ского— Гаусса, Стокса.
1.8. РЯДЫ
1.8.1. Числовые ряды
Пусть дана бесконечная последовательность чисел
«а и& «„, ... Выражение И|+йг+-+;/«+-- называет-
ся числовым, рядом. Выражение, определяющее ип как
л, называется общим членом ряда; п-й
частичной суммой ряда называется сумма первых его п
членов, sn =«(-{-иг-}-,.,4-«я. Ряд называется сходящим-
ся, если существует конечный предел ® = Пшзя, а число
П~'- ехэ
s называется сущиой ряда; если же lim хя бесконечен
П~>-со
или не существует, ряд называется расходящимся.
Исследование ряда на сходимость путем непосред-
ственного 1	> удается далеко не всегда, так
что требуются косвенные признаки,
паками сходимости.
Необходимый признак: если ряд сходится, то его об-
щий член Un стремится к нулю при л->». Этот признак
недостаточен, т. е. если общий член ряда стремится к
пулю, то сходимость ряда еще не установлена. Достаточ-
ный признак расходимости ряда: общий член его не
стремится к пулю.
Дзя рядов, члены которых положигельиы. имеется
несколько достаточных признаков; здесь даются неко-
торые in них.
Признак, основанный на сравнении рядов: если щф-
-biin-(~...-pu,и У)+о24-...-' " ' числовые ряды е
положительными членами и, i с некоторого значе-
ния п, выполняется усги	гь втс-
1,8. РЯДЫ
43
рого ряда влечет за сроон сходимость первого, а расхо-
димость первого влечет за собой расходимость второго.
- 11
Признак сходимости Далалбера: если lim--------~~k,
то ряд сходится при k<\ и расходится при яр>4; при
k— 1 вопрос остается открытым,
е. ,----------------------------------------
Признак сходимости Коши: если lini / ип —= (г, то
расходится ia — произвольное число; Нх) — непрерыв-
ная положительная убивающая функция в интервале
а дс г < -у по),
Ряд называется знакопеременным, если он содержит
бесконечное множество как положительных, так и отри-
цательных членов. Знакопеременный ряд называется
знакочередующимся, если за каждым положительным
членом следует отрицательный и за каждым отрицатель-
ным следует положительный. Для знакочередующихся
рядов имеется достаточный признак сходимости Дейр,
ница: если в знакочередующемся ряде члены убывают
по абсолютной величине и общий член стремится к нулю,
то ряд сходится. Для общего случая знакопеременных
рядов имеется следующий достаточный признак; если
сходится ряд из абсолютных величин членов данного ря-
да. то сходится в данный ряд; в атом случае сходимость
называют абсолютной. Приведенный признак не явля-
ется необходимым, т. е. из сходимости знакопеременного
ряда не следует сходимомь ряда из абсолютных вели-
чин. Сходимость знакопеременного ряда называется
условной, если этот ряд сходится, а ряд, составленный
из абсолютных величии его членов, расходится. Абсо-
лютно сходяшпеся ряды обладают тем свойством, что
над ними можно совершать операции, аналогичные
операциям над конечными суммами, некщ-орые из этих
операций к условно сходящимся рядам не применимы.
1.8.2. Степенные ряды
Выражение ^i(x)+«2(.t)+...-i-Hfl(.r)+..., где функ-
ции ифх), us(x), .... Unix), ... образуют бесконечную пос-
ледовательность функций, называется функциональным
рядом. Ряд сходится в точке л = Х||, если сходится чис-
ловой ряд llliXe} +иДХ!,1 +...+«Е (Л'о) +... Совокупность
точек сходимости называется областью сходимости
функционального ряда.. Так как каждой точке области
сходимости соответствует определенное число (сумма
соответствующего числового рядя), то функциональный
ряд выражает некоторую функцию в области сходимо-
сти; эта функция называется суммой ряда. Обозначения:
Hi (-Ото- О (а) -г ш 1х) -ф......к ;1/, (.ф;
s (х) = ГЦ (.V) I и., (х) ’ ...1	иг! (к) !  • 
в < 1 ж любого б>0 может О т	акое нату-
ральное число .V, общее для всех .г, лежащих в облает
(, что |х(х)—• х„ (х) | се пои псП, го ряд
Кто
21 ;Дг(х) называется равномерно	ц
то 1
° '	1 С г j ,] , । ' 'то Д' в I • го ряд СХО-
ДИТСЯ в области неравномерна. Сумма ряда из непре-
рывных функций, равномерно сходящегося в некоторой
области, есть функция непрерывная в этой области.
Равномерно сходящийся в интервале [а, Ь] ряд
Ui (А) +'ы (х) +	(х) +.... —/’(д'), у которого члены яв-
ляются непрерывными на отрезке [п, Ь] трункцпягш, мож-
но почленно интегрировав в пределах от а до Ь, т. е.
ряд, полученный в результате интегрирования, сходит-
ся и
b	b	ь
/ f (х) dx = J*щ (х) dx -с 1' д« (х) dx -f-
а	а	«
b
-j-. - . -I- j ип (д) dx + • • •
а
Если члены сходящегося па отрезке [а, Ъ] ряда
ицх!—и2(л-) +...-НЙЛ fx)-4... = /4x) имеют в интервале
{а. й] конечные производные и если ряд, составленный
кз этих производных «j (х) ф-то (А) | ... J ип (.т) рав-
номерно сходится в интервале [а, 6], то исходный ряд
можно почленно дифференцировать в интервале [д, Ь],
т. е. в этом интервале /’'(А) = и [ (х) 4 щ (.г)	-фи,, (А)---
Одним из видов функциональных рядов является
степенной, ряд ав+ц)х+йях2~... + а„х”+.,., где ап, с,
.... ап, ... — заданная последовательность чисел. В зави-
симости от коэффициентов ряда указанного вида могут
иметь место лишь следующие три случая; 1) ряд схо-
дится только при .г — 0; 2) ряд абсолютно сходится при
всех значениях .г; 3) ряд абсолютно сходится внутри не-
которого интервала с центром в нуле и расходится вне
сто. Такой интервал называется интервалом сходимости.
степенного ряда, а полудлииа этого интервала — радиу-
сом сходимости.
Степенной ряд обладает свойством равномерной схо-
димости, так что его сумма есть непрерывная функция,
и он допускает почленное интегрирование и дифферен-
цирование в любом интервале, внутреннем по отношению
к интервалу сход.имо<'тщ выражаемая им функция имеет
производные любых порядков в области сходимости.
1.8.3, Разложение функций
в степенные ряды
Если и некоторой окрестности гочкн х — ц функция
f{x) имеет конечные производные f'lx), ,("(*), ..........
П + ”(Л'), т!, для каждою значения х из этой окрестно-
сти справедлива формула Тейлора;
л- — а	(х — а}-
f (х) = / 'а) ж /' 4) ж	f" (U) +. .. ж.
T CCL ,И _
п'.
(х — д)п+-:
(я + 1)!
fdc 1)	,
где а<Ё<.г или х<£<«. В частном случае, когда
эта формула называется формулой Маклоэеня.
Если последшш член в формуле Тейлора (остаточный
член) стремится к нулю при и-э-со. то в данной окрест-
ности точки л —и функция f(х) может быть представ-
лена рядом Тейлора 'при д==о он называется рядом
Маклореиа);
х -- а	(х — ар
/ (X) = f (U) -н -р— г (а) 4- —— г W 4- • • 4-

44
РАЗДЕЛ 1, МАТЕМАТИК
В частности, такое представление функции fix) спра-
ведливо, если в рассматриваемой окрестности точки
х—а выполняется условие
(.т)) < Al — const
при любом натуральном п (М не зависит от п). Это
есть достаточное условие для того, чтобы остаточный
член в формуле Тейлора стремился к нулю,
Степенные ряды дают возможность заменить данную
функцию приближенно равной ей суммой некоторого
числа первых членов ряда, т. е. многочленом; для при-
ложений важны ряды, сходящиеся быстро, т. с, такие,
в которых сумма небольшого числа первых членов даст
приближение с желаемой точностью. Ниже приводятся
некоторые из примечательных степенных рядов.
Б и и о м и а л ьн ый ряд
т (т — i){rn — 2)
3!
с интервалом сходимости—1<х<1. При т натураль-
ном ряд превращается в многочлен степени т (разло-
жение бинома Ньютона). При «>0 ряд сходится так-
же на границах интервала сходимости, т. е. при. x = ±l;
при —'1<т<0 ряд сходится на правой границе и рас-
ходится на левой; при т<—1 ряд расходится на обеих
границах.
Частные случаи биномиального ряда:
*—б—, ___. । рр; % ф. д'- ф-   •
Последние два ряда сходятся медленно, а потому
неудобны для вычисления логарифмов; кроме того, при
значениях х из интервала сходимости этих рядов (—1,1)
получаются лишь логарифмы чисел, меньших единицы.
Вычитая последний ряд из предыдущего, получаем бо-
лее быстро сходящийся ряд:
1 ф х	I	Xs	х5	\
;-----= 2 j л 4- — + — ф- - • , ........... 1 < м < 1
1 — х	\	3	5	j
ппичем величина А' =-----
1—х
тельные значения, когда
(—1,1). Таким образом, для
принимает любые положп-
х изменяется в интервале
любого Л’>0 имеем
1-3-5-7
2-4-6-8
*2 г		———	т	т (т — п}
У(1фх);" =1	! п	; 		! п • 2п
I	, т m (т ф я)
~~ j __	д	дН
я  -------_.	п	п.<2п
У (1 ф х),п
т (т ф п}(т ф 2 л)
п-2п-Зп
Ряди для некоторых трансцендентных функций:
(х ta дф
4!	61
;— оз < х < сс
t.9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
45
Некоторые специальные ряды, встречающиеся в тео-
рии балок на упругом основании (интервал сходимости
— ооЩх-С-фсо) :
ch х cos х — 1 -
Л'2
sh х sin х — 2 -р^-
ch х sin x = x + 2
sh x cos x — x — 2
1
— (ch x sin x -y
sh x cos x) = л —
1	x „„ x- X»’
----(ch x sin x — sli	,i: cos x)	== —	— xx —	-x 24 —	—
4 v	J 3!	7!	11!
A	.4	.4
___OS__________OS-------_L, pa ----- Д O.l------Ш , 
“4!	5!	’ ' 71	! «I '	’
X	-	X'^
e~ “cos x ~= 1 — - -4-2 — — 2-’ — 4-
1!	3!	4!
,c4 x7 xh
,jl os     оз   a 04 — -  ,,,.
’ “ 5!	“	7! ’ “ 8!
X2	X3	r5
e  (cos л + sin x) == 1 — 2 — 4- 22 — - 22 -- -
e '‘(cos x —• sin x) = 1
1.9.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1.9.1.	Основные понятия
Уравнение называется дифференциальным, если оно
содержит какую-либо производную от неизвестной (ис-
комой) функции (или дифференциал от этой функции).
Если искомая функция зависит от одного аргумента, то
дифференциальное уравнение называется обыкновен-
ным', если же искомая функция зависит от нескольких
аргументов, то дифференциальное уравнение называется
уравнением в частных производных. Лорлдком диффе-
ренциального уравнения называется порядок наивысшей
производной от неизвестной функции, входящей в урав-
нение. Решением дифференциального уравнения называ-
ется функция, которая, будучи подставлена вместо не-
известной функции в уравнение, обращает его з тожде-
ство; приемы отыскания решений называются
интегрированием уравнения. График решения обыкно-
венного дифференциального уравнения называется инте-
гральной. кривой. Дифференциальные уравнения допус-
кают бесконечное множество решений (решение обык-
новенного дифференциального уравнения может
зависеть от нескольких произвольных постоянных, а ре-
шение уравнения в частных производных — от несколь-
ких произвольных функций).
Ч задачах, приводящих к дифференциальным урав-
нениям, на искомую функцию накладываются дополни-
тельные условия, называемые начальными и граничными.
При этих условиях искомое решение может оказаться
единственным. Для обыкновенного дифференциального
уравнения л-го порядка начальные условия состоят в
том, чтобы в заданной точке х — х, неизвестная функция
у и ее производные у', у",	у»-'1 принимали заданные
значения у0, у0,.„, Отыскание решения уравне-
ния, удовлетворяющего заданным начальным условиям,
называется задачей Коши, Если на концах интервала
(л'Г, хф заданы те или иные из величин у, у’, ..., у<л~Ч
то такие условия (общим числом п) являются гранич-
ными, а отыскание решения, удовлетворяющего этим
уелоииям, называется краевой, задачей.
Достаточным условием того, чтобы уравнение yt®J —
=4(х, у, у',..., имело единственное решение, удов-
летворяющее начальным условиям у(х«)~уо, у'(хф =
~uls,..., у'п~":''	является непрерывность
Функции 1(х, у, у',..., ?ф»-ч) и ее частных производных
ио аргументам у, у',	у1-”-') в окрестности точки (хв,
Рсшение дифференциального уравнения, зависящее
ог пщшзвольных постоянных, число которых равно по-
рядку уравнения и значения которых можно выбрать
так. чтобы удовлетворить начальным условиям, допуска-
ющим едшк-твешюе решение, называется общим реше-
нием дифференциального уравнения. Геометрически оно
изображается семейством интегральных кривых. Любое
решение дифференциального уравнения, зависящее толь-
ко от аргумента, можно назвать частным, решением. Ес-
ли в общем решении дать определенные .значения произ-
вольным постоянным, то получится частное решение.
46
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
Если частное или общее решение получено в виде неяв-
ной функции, то оно называется интегралом. уравнения
(частным или обжим).
Обратимся к обыкновенному дифференциальному
уравнению первого порядка. Точка (х<>, щ) называется
особой точкой по отношению к указанному уравнению,
если через нее не проходит пи одна интегральная кривая
этого уравнения или проходят по меньше» мере две
интегральные кривые. Решение дифференциального урав-
нения называется особым, если соответствующая ему
интегральная кривая состоит только из особых точек
(через каждую точку этой кривой проходит по меньшей
мере еще одна интегральная кривая). Особое решение,
вообще говоря, не получается из общего решения ни при
каких значениях произвольных постоянных, его график
является огибающей семейства интегральных кривых, со-
ответствующих общему решению.
1.9.2.	Уравнения первого порядка
Уравнения, с разделяющимися переменными. Если
дифференциальное уравнение приводится к виду
q>(x)dx=ty(y)dy, то общее решение в явном или не-
явном виде найдется из уравнения
J ф (х) dx= j ф (у) dy + С.
Здесь и ниже (пп, 1.9.2—1.9.4) символ неопределенного
интеграла используется для обозначения какой-либо
первообразной от подынтегральной функции.
Уравнение в полных дифференциалах. Если уравне-
ние приводится к виду Р(х, y)dx+Q(x, y)dy=Q, причем
дР 9Q	'
~> т0 одгцИй И!1теграл будет
ду дх
j Р (х, у) dx ф- [	(*. У}~ j	dy = С3.
ИЛИ
Q (х, у} dx, ф- j” рР (*, у)— dy j dx = С2.
Однородное дифференциальное уравнение у' ~ f\ ~ j.
\ -К /
Подстановка y~xt приводит это уравнение к урав-
нению с разделяющимися переменными.
Линейное дифференциальное уравнение у'ф-р(х)уЩ.
4-ф(х)=0 имеет общее решение
у = е~ f [c-q (x)J P^dx] .
Дифференциальное уравнение Бернулли
у‘ Др(х)у + у{х)уя = й, пф!
подстановкой г = у5-» приводится к линейному.
Дифференциальное уравнение Клера у — хл/фщ (у’)
имеет"-Общее решение у—Сх+ЦС), изображаемое се-
мейством- прямых. Особый интеграл уравнения Клеро вы-
ражает огибающую этого семейства и получается исклю-
чением постоянной С из уравнений
у =Сх4-НС), Jy = x + r(C)=O,
что приводит к уравнениям огибающей в параметриче-
ской форме
х у (#); у = — uf' (а) + f (и),
где и — переменный параметр.
1.9.3.	Уравнения второго порядка
У равнение вида у"-ф(х).
Общий интеграл
У = \ dx j f (х) dx 4- Сто -J- C2j
отсюда интегрированием по частям получаем
у ~ х J у (yr) dx j xf (,r) dx 4- дщ; -p C
или
У = | (a — Л f (t) dl-y- Сщ С{|.
Эта формула, в частности, выражает зависимость между
изгибающим моментом М и нагрузкой р на балку:
4ЗД
Pi М — Qax + Д — ( (х — I) р (() dt,
где Мл,—-изгибающий момент, a Q(i — перерезывающая
сила в сечснип балки х~0.
Для случая дифференциального уравнения «-го по-
рядка — Дх) результат обобщается следующим об-
разом:
х
у =	Ц-- j ( „, _ Д-1 f {t} di + Cg + C1X ж
(n—O J
0
Уравнение вида у" —Ду).
Общий интеграл
С Ф/___________	,
х~~ I --------------.-- 4’02-
J ]/Д + 2 J / (У) dy
Уравнение вида у"—Ду').
Полагаем j’=z, у"—г'; тогда
f dz	С zdz.
х = I-------- 4- Ci и и = j-------
J Иг) r ' J f (г)
Эти равенства дают решение в параметрической
форме (z-параметр); исключив из этих уравнений г,
получим решение в форме F (х, у, Сь G?) =0.
Уравнение вида у" = Дх,у').
Положив г/=г, получаем дифференциальное урав-
нение первого порядка: z'=f(z, х), интегрирование ко-
торого дает г как функцию от х и С); затем получим
У = J г (х) dx 4- Cs,
Уравнение вида	у').
dz
Полагая г/=г, у —г—, получаем дифференциаль-
Уу
ное уравнение первого порядка, иитегрпрование кото-
рого дает г как функцию от у и Ср затем получим
f <2 , г
х — , ~ . ,, ~г С®,»
J г(у,С1)
1.9 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
47
1.9.4.	Линейные уравнении
второго порядка
У" + Р W У' + У (х) у = F (х).
Это уравнение —неоднородное линейное; если f(x) =
=0, то уравнение называется однородным линейным.
Общее решение неоднородного уравнения равно
сумме общего решения однородного уравнения и какого-
либо частного решения неоднородного уравнения. Об-
щее решение однородного уравнения имеет вид г/ =
= Cit)i — С:у2, где Ci,Сг — постоянные; — линейно
независимые решения уравнения (две функции назы-
ваются линейно независимыми, если их отношение не
является постоянной). Такие решения ip и уг образуют
так называемую фундаментальную систему решений.
Если известно только одно частное решение одно-
родного уравнения yit то другое находится ло фор-
муле
у» с Ут
е-1 р<к
У1
dx,
где С — постоянная.
Если коэффициенты р(х), q(x) и F(x} разлагаются
в сходящиеся ряды по степеням х—хв в некоторой ок-
рестности точки хя, то решения ищут также в форме
рядов по степеням х—хя, сходящихся в той же окрест-
ности. Коэффициенты разложения находятся приравни-
ванием коэффициентов при одинаковых степенях раз-
ности X—х0.
Задача отыскания решений однородного уравнения
значительно упрощается, если коэффициенты дифферен-
циального уравнения постоянны:
аоу" ф- ару’ + а2у == F (х),
где ая, ср, а?, — данные числа. Решения уравнения зави-
сят от корней характеристического уравнения вай*4-
4~аф+я^=0. В табл. 148 даны результаты в зависи-
мости от дискриминанта
D — aj — 4а0 а.-,.
Т а б л и ц а 1Л 8
D > 0	/3^ л	D < 0
—	4- Та„		а-	Ъ 8 -щ К | К ii
1/ = cD^F 4 cs	<f (х)	у = (С, + МС.х) е1гх ф + ф и)	у =^. еРх >С< ski qx + -j- с? СОФ ЦК) 4- Ф (х) --Z тс- Di	cos (qx 4-	4- 4- ф (.к).
В табл. 1,18 функция <р(х) есть частное решение
неоднородного уравнения; оно может быть найдено по
способу неопределенных коэффициентов, если правая
часть дифференциального уравнения имеет следующую
структуру;
F (х) = е'-х [Pj (х) cos р.т + Р« (х) sin Рх],
где Рфх) и Petx) —mormnewi.
В общем же случае применяют вариацию произволь-
ных постоянных а именно: заменяют постоянные С4
и функциями Ci(x) и (72(х); производные этих функ-
ций должны удовлетворять системе алгебраических ли-
нейных уравнений;
С) ?/j ~г (д.,У2 — 0;
С{у{ + Сяу’2== F(,x).
Найдя Сг v. С,у, получают
<4 (х) = J Cj (х) dx  )  Dy
С2 (х) = J С2 (х) dx + В3>
где Di а В2 — произвольные постоянные,
Уравнение вида х2у"+хр(х)у'+у(х)у=Ф) в той слу-
чае, если р(х) и у(х) разлагается в сходящиеся ряды
по степеням х, имеет решение
где k определяется из уравнения
k(k~~ 1) + р(0) k -ф(0) = О,
а коэффициенты -я0, ад, ... находят методом неопределен-
ных коэффициентов.
Пример 1.7. Уравнение Эйлера:
Х“У" + a-ixy' 4- йгу = 0.
В этом случае
k{k — 1) 4- а’Дгф- а,г = 0,
и решение имеет вид
у = СфФ 4- cD’-
Пример 1.S, Уравнение Бесселя:
хду" ч- ху' 4- (х2 — у3) у 0-
Для я получается
k (k — i) 4- k — ip = о,
откуда &=±у. Два решения имеют вид
й. = х-’ S ар хР; у2 = х~у S архР.
Определение аР с помощью метола неопределенных
коэффициентов приводит к функциям Бесселя
рем. 1.144).
1.9.5. Линейные уравнения высших
порядков с постоянными коэффициентами
Интегрирование линейных дифференциальных урав-
нений связано с понятием линейной независимости
функций. Функции yi, Ус, .... Уп называются линейно
зависимыми в данном интервале изменения аргумента х,
сели в этом интервале выполняется тождество Ciyi—
ф-СДщф-—-т'С,яуп = 0. где Ci, С2, .... Сп — постоянные,
из которых хоть одна отлична от нуля. Если же в дан-
ном интервале изменения х указанное тождество выпол-
48
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
няется только тогда, когда все постоянные СД С2, .... С„
равны нулю, то функции iii, yz, .... уп называются линей-
но независимыми в данном интервале.
Необходимое условие линейной зависимости функ-
ции: если функции у-, Jz, . у„ линейно зависимы в дан-
ном интервале изменения аргумента, то определитель
Вронского (вронскиан)
		У1	У 2	° "	У п
		У;	Ус	= " Уп
VZ(tJi, Уг,-	., уя) =		
		уС-С уС^С .	
тождественно равен нулю в этом интервале. Отсюда:
если W(yi, Ум .... уп)й=д, то функции линейно незави-
симы в этом интервале (достаточное условие линейной
независимости функций).
Пусть дано линейное неоднородное дифференциаль-
ное уравнение с постоянными коэффициентами До, fli,
.... ай:
а3 У(п’ + аг у(п-П + • •  + ап у = F (х).
Общее решение имеет вид
у = С-ущ	• • -4- Сп уп + ut;
здесь Ci, Сг, .... Сп •—произвольные постоянные; yi, уг,
Уп— линейно независимые решения соответствующе-
го однородного уравнения (система таких решений на-
зывается фундаментальной);	— какое-либо частное
решение данного неоднородного уравнения.
Для отыскания +, Уг, .... уп следует найти корни
характеристического уравнения:
о-п т а1 1 ~г  ’ • + оп = 0.
Простому действительному корню rm соответствует
решение однородного уравнения —
Действительному корню rm кратности k соответст-
вуют решения
Ут ~е т' > Лч+т"=т' « т‘ ,  •. . Ут i-j—г =
k—l Г х
= х е т .
Если г„, ==«-ф-ф (комплексный корень), то имеется
и сопряженный корень гт~а—ф; этой паре корней со-
ответствуют
У,„ er" cos Р)Х: ут+, = е'м si п Де.
Если г„-~аф-г'р—комплексный корень кратности k,
то имеется и сопряженный корень гот = а—ф той же
кратности й; этой паре корней соответствуют решения
Ут = cos ₽*-,	= хеах cos ₽х,..., ym+tl-i =
= х’^1 еах cos (!>х:
Ут-шщщ == «“sin Рх,ут^к_{ =х c«sin fk.
Пример U. Уравнение изгиба балки на упругом ос-
новании
уд + yiy 0.
Характеристическое уравнение +4-&4 = П имеет корни
Г1 = —	= а ф- гр; г8 = — fi = а — Д; а = р ~ —цд-;
V2
отсюда получаем
У1 = еах cos ах; у„ = erix sin си;
Д = е~ах cos = е~ах sin ах.
Общее решение однородного уравнения
У ~~ С1у1 + С«у3 Д С3у3 + С-2Уц.
Для нахождения частного решения у* неоднородного
уравнения либо применяют способ неопределенных ко-
эффициентов, если правая часть имеет структуру, ука-
занную выше (см. 1.9.4), либо пользуются вариацией
произвольных постоянных. При этом в общем случае
частное решение у.. ищут в форме
У* ~ Ct W Ui +•   + Сп (х) уп.
Производные С, (х) определяют из системы алгебраи-
ческих линейных уравнений, определитель которой есть
определитель Вронского, отличный от нуля в силу ли-
нейной независимости решений yi, уг, уп:
У\ Cj + у 2 С2 ф- • •  ф- уп Сп = 0;
у[ Cj -j- у> С, 4- •  • 4 Уп Сп = 0;
С[ + у^ С2 +• • -4- У^> С’п = 0;
У^ С1 +	4 + • • • +	4 = F (х),
имея С( (х) находят интегрированием СДх).
Наряду с методом вариации произвольных постоян-
ных применяется «символический метод» [1.11.1].
1.9.6. Метод начальных параметров
Преобразование общего решения. Пусть дано, иапрп-
мср, обыкновенное линейное дифференциальное уравне-
ние второго порядка без правой части F(y", у', у, х) —0
и найдено его общее решение, содержащее две произ-
вольные постоянные:
У (Х) = ct Y, (*) 4- С2 Г2 (х);
здесь Yi(x) а Уг(х) —линейно независимые частные ре-
шения уравнения, образующие фундаментальную систе-
му, Дифференцируя, находим
zy' (х)=С1 KJ (x)4-C,r;U).
Прп х = 0 имеем
у (0) = Q Y, (0) + Сг Y2 (0);
у' (0) = Cj ’4(0) + С., 4(0).
Эти два уравнения решаются относительно С\ и С3:
Ci = сu у (0) 4 ci2 У' (0);
С2 = с21 у (0) + с22 у' (0).
Подставив эти выражения в общее решение, полу-
чаем его в виде
у +) = у (0)	(х) + щ (0) Z. (»),
1.9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
49
Произвольные величины у'(1У) называются началь-
ными параметрами, a 7,{х), Z2(x) — функциями влия-
ния. Функции влияния Zi, 7,- представляют собой ли-
нейные комбинации частных решений:
21 (л) = сц Уг (х) + с,3 К» (л:);
Z« (у) = c«i (х) + с22 F, (у).
Аналогично для уравнения четвертого порядка
У (х) — у (0)	(х) -у- у' (0) Z2 (,v) 4- у' (0) Zs (х) 4-
+ Г(0) Ш
Частное решение неоднородного уравнения может
быть получено методом развертывания общего решения
однородного уравнения (см. 5.5.6).
1.9.7. Общие решения
дифференциального уравнения
четвертого порядка с биквадратным
характеристическим уравнением
Большое число задач строительной механики, отно-
сящихся к прямым упругим стержням постоянного се-
чения, приводится к дифференциальным уравнениям ука-
занного вида с постоянными коэффициентами. Имея
общий интеграл однородного уравнения, содержащий
четыре произвольных постоянных, можно получить част-
ные решения, отвечающие произвольной правой части,
используя метод вариации постоянных или метод на-
чальных параметров,
В табл. 1.19 для частных случаев уравнения ,ф4>±
±2flV'±64j/=0 даны формулы линейно независимых
частных решений, образующих общий интеграл однород-
ного уравнения. Эти частные решения даны в трех ва-
риантах в виде функций аргументов ах и fix, где а п
— действительная и мнимая части корней характери-
стических (биквадратных) уравнений.
Уравнения табл. 1.19 соответствуют: 1 — простой бал-
ке постоянного сечения; 2— балке, на упругом основа-
нии; 3 —• колебаниям балки; 4 — сжато-изогнутой балке и
колебаниям упругой системы с одной степенью свободы;
5— растянуто-изогнутой балке, стесненному кручению
тонкостенного стержня, составной балке из двух стерж-
ней; 6—13— статическим и динамическим задачам для
балок с двумя упругими характеристиками самой балки
и ее основания и т. д. Эти же уравиепия находят при-
менение в теории цилиндрических оболочек.
1.9.8. Приближенные методы’
Метод последовательных приближений. Пусть требу-
ется найти решение уравнения у' — /{х, llY удовлетво-
ряющее условию: у-у-> при х~х,_. Вместо данного урав-
нения можно написать
у th 4" j f (х, у) dx.
о
Положим, что в некоторой прямоугольной области из-
менения у с центром и точке (хп, щ) функция )(х, у)
непрерывна и удовлетворяет условию Липшица:
\f {х, Уд, — f (х, уХ X ‘Y \У1 --	,
3 В настоящее время с иинвлеиием эпскгронных счетных ма-
шин развираются спеншпльныс методы приближенного интсгри-
розаяия диффереш’налышх уравнений.,
4—-1303
где .V — постоянная. Тогда последовательность функций
(последовательных приближений)
У1(х)=Уа 4- J f (х, уа) dx, ys(x)=ya 4-
Xn
у j f (x, щ) dx, .... yn (x)= yB + J (x, yn_l) dx,...
л0	Xo
сходится в некоторой окрестности точки х==щ> к функ-
ции у(х), которая является решением данного диффе-
ренциального уравнения и удовлетворяет поставленному
начальному условию. Останавливаясь на одной из функ-
ций ул(х) указанной последовательности, получают при
достаточной большом п приближенное решение с требуе-
мой точностью.
Метод рядов. Допустим, что нужно найти решение
уравнения :/ = Дх, у), удовлетворяющее начальному
условию у(хо)==Уо. При некоторых ограничениях, на-
кладываемых на функцию Цх, у), эту задачу можно ре-
шить следующим образом. Подставляя в правую часть
уравнения вместо х, у их начальные значения Хе, до,
получаем у'(хо)- Затем, последовательно дифференци-
руя уравнение и заменяя в правой части х, у, у', ... их
начальными значениями, определяем шаг за шагом у0 =
=У («о)> Уп = У (хн), ... . Это позволяет представить
решение у в виде ряда Тейлора (см. 1.8.2). Указанный
метод применим к уравнению любого порядка, разре-
шенному относительно старшей производной, если ре-
шается задача Коши.
Численное интегрирование. Требуется найти решение
уравнения ф' —f(x, У. у'), удовлетворяющее начальным
данным у=у0, у = у0 при х = .у;.. Берут ряд последо-
вательных значений Xi, xs, ..., хп аргумента х с постоян-
ным приращением Лх—х»_>—хп и вычисляют значения
функции ly, уо,..., у„ и ее производной щ, у
соответствующие этим значениям аргумента, следующим
образом. Сначала вычисляют
Щ = На0, 7оУ> У^ = Уа + у’0&х’	= Уо + Uh*-
затем
’ Ж ’ 3	-	' , Уо + У1* .
i/p	Vi—р0+	- —Лх
и находят более точно первое приближение:
Уп 4~ У[
ih = У о 4--у— Ах.
Затем псе действия с уже найденными величинами пов-
торяют до получения требуемой точности, переходя от
n-го приближения к «4-1-му следующим образом:
М,=Х{Хч- Уп- y'rd УпМ* = Уч + ,Jn
= Уп + у'п Мр
=	y'n+id
У/t 1 Уп-1-l
un+i	Ув+ ————----------------Ах.
Табл нца 1Д9
Виды общего решения однородного дифференциального уравнения ±&<Л/' 4- Л/ = О
1) у-СЛ (.г) + C£XS (х) + С3Х3 (*) + СЛ (х); 2) у = % (х) + О2У2 (х) + О3У3 р) + П,У4 р);
3) У = У (0)	(х) + у' (0) Хг (х) + у" (0) Z3 (х) + Ут (0)	(х) (метод начальных параметров)!
К й й	Вид уравнения		Корни характери- с т т те с к ого у р а в п е и и я Г1	X.	AT | xs			Xt	F.	Кг	y.	yt	Yl
				zi			z2		zs		2		zi
1	44)=0		г1 =г Г2 =Г5 rs = 0	xi xl	—	—	—	—	I	X	Xе	x-’	Yl
							^3		LVt 2		^F. 6		zi
2	А) _д biy = о		«а «ё	> + ~1 Иэт i в 8 -1 \ i 1!	Я	’ * 1 к 11 1	1	са- 11	11	” 1,	-	в	xl	eax cos a.r	eax sin ax	~^ax e cos ях	e~~ax sin ax	ch ax cos ax	ch ax s in ax	sh ax sin ax	sli ax cos ax	Yi
				zh			- m + rj ,2a		-1- y3 2aE		-4- (V2- У,) 4a'!		z.
3	Д'О— *4и = 0		L ‘ i ГИ  рз Я	X.	gax	e-ax	cos ax	sin ax	ch ax	sh ax	cos ax	sin ax	Yt
				Z. l	± <y3 4- yj 2		2a		X. (rt- r>) 2as		„L (Yt~Yy 2a^		zl Yi z I
4	yW + 2ж‘“/ = 0		I	™	л	л :	«	II	II \	1	О 1	“1	Л	II (	о	II	.9	xi				—	—	X	cos fU	sin	
				zi	F,		Fs		— (Щ- y„)		-1- (pip-yp IF		
5	ДЧ - 2щ/ « 0		1 в о-	II	в 1 И	с U | > 11	Я	II <Т	С	8	xl	—			e—ax		X	ch ax	sh a.x	yi
				zl	Vi		У1		Лт-П) a3		— (У, — ay,)		zi
3	</4) + 2а2у" -|- щ tfyj = 0	I	Ьг > а’-	'"i	G — a + i3; G = -“ G = a —/0:	xl	ea.tcos	sin P.v	e~ax cos	& ' a'v sin J3x	ch ax cos	ch ax sin	sh a.r sin Bx	sli ax cos Bx	Yi
			j ] Ъ в щ M ч ” H T	zi	vi+'fc^ Fb 2a0		_J_p_^_ya + ffl! 4- Ря I 20 2a	/		M. 2a3		1 f1	F, - — rh 2a /	zt Yl
											a1 + |F ( 20		
7 !	<Я + 24/ + + ь*и = о	II Л	<3 в 11 c «X •f И;	xl	—	—	—		cos fU	sin fix	x Sin	X cos fix	
				zl	r, 4- i- ₽F,		-1- (3FS 23	- 3F<)	1 y	i 23 Ь	1		1	( 1 V	V ) ~— 1 -— У. — b 2P3 U '	/'		xi
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
51
8 Стр г
52
РАЗДЕЛ 1, МАТЕМАТИКА
Приближенные методы решения краевых задач. Пусть
дано дифференциальное уравнение, обыкновенное или
в частных производных	где L(w)—диффе-
ренциальный оператор от неизвестной функции ш; 41—
заданная функция от независимых переменных. Поло-
жим, что поставлена краевая задача: найти решение
указанного дифференциального уравнения в области Й,
удовлетворяющее заданным однородным граничным ус-
ловиям иа границе области Весьма общим приближен-
ным методом решения этой задачи является обобщенный
метод Галеркина. Он состоит в следующем.
Выбираем две системы функций: тр1( <р2, фь ф?,
подчиненные следующим требованиям. Функции <pj, «р»,
... удовлетворяют заданным граничным условиям и взя-
тые в любом конечном числе являются линейно незави-
симыми; система ф1, фз, ... полна в пространстве £,’ функ-
ций с интегрируемым квадратом. Это означает, что каж-
дая функция из /Л- может быть с любой точностью ап-
проксимирована полиномом а1ф1-|-а2ф24-.1-+Цпфи при
достаточно большом п (такое требование эквивалентно
условию, чтобы не существовало ненулевой функции из
Z2. ортогональной к каждой функции ф„); см, [1.20.6].
Если ищется решение кщ, приближенное в «среднем» в
том или ином смысле, то соответственным образом сле-
дует трактовать полноту выбираемой системы функции;
см. [1.9.10]—[1.9.12].
Приближенное решение ия, поставленной краевой
задачи ищется в виде
tt'n — Аг фх + А? ф« ф-  • • + Ап фп.
Постоянные коэффициенты Л1, Л=, ..., определяются
из условия, чтобы выражение L(wn)—М было ортого-
нально к каждой из функций фи, ф2,	Это приво-
дит к уравнениям
f [L — Mj ife to 0 (k 1, 2 э я s п),
т. е. получается линейная алгебраическая система отно-
сительно коэффициентов Аг.
S А/ j L (ф/) фу Ав = | Ав (fi = 1, 2, ... , п).
i=i а	я
Таким образом, решение краевой задачи по излагаемо-
му методу сводится к оешению указанной системы для
А,.
Из этого метода как частные случаи получаются дру-
гие приближенные методы решения краевых задач. Этот
метод тесно связан с так называемыми вариационными
методами (его частные формы при некоторых условиях
приводят к тем же уравнениям, что и вариационные
методы).
а)	При фл = <Гл получается метод Галеркина (яти,
как его еще называют, метод Бубнова — Галеркина).
В этом случае система уравнений для А, принимает вид
S At ( L (ф4 срв da = f Мгрц d<i> (6=1,2,..., и).
/=1 Я	<2
Метод Галеркина часто приводит к довольно точно-
му результату даже при небольшом п (см. пример 1.10).
Для задач, в которых решение ш приводит к минимуму
некоторого функционала, этот метод эквивалентен ва-
риационному методу Ритца (см. 1.11.3).
б)	При фо, =Л(ф),),
где Л — какой-либо подходящим образом выбранный
оператор, получается метод моментов В частности, при
он совпадает с методом наименьших квад-
ратов. Последний состоит в том, что коэффициенты Л,-
в выражении шп определяются из условия, что они об-
ращают в минимум интеграл
J = ( [Г ( Е Яду-) -МрАо.
Q г=3
Тогда для At получаются уравнения
d.J
—— == 0 (i = 1, 2, ... , п),
дА,
Рис. 1.73
которые совпадают с вышеуказанны-
ми общими уравнениями для А, при
Пример 1.10. Рассмотрим прямо-
угольную пластинку (рис. 1.73), за-
щемленную по всему контуру и нахо-
дящуюся под действием равномерной
нагрузки q кГ/см2, Уравнение для
прогиба пластинки:
d*w	дАо	дПа	а
.— то 2------у — = ~,
дх&	дх2ду2	dyf>	D
где w — прогиб пластинки;
В—цилиндрическая жёсткость пластинки при из-
гибе.
Граничные условия задачи: при х — ±д и у = ±&
dw dw
ш = — = — — о.
дх ду
Для приближенного решения задачи задаемся линей-
но независимой системой функции, удовлетворяющих
граничным условиям:
®г = (хз _ А)2 (у2 - б2)2; ф2 = (х2 - А)2 (А
Фз = (х2 — а2)3 (у2 — 62)2 и т. д.,
так что	'
и = А, (х2—А)2 (у2 — АДЛ-Лз (х- — А)2 (у2 — АД4- - - .
Для первого приближения ограничимся первым слагае-
мых!, положив ф1 = ф>1; получим
J f61 1Ъ1£ а"^ СУ—&-)=] ,
1 2 ^А'3 ~ а''Е ^У“ " ft3)3l
дх" ду2
то di
(х2 — а2)2 (у2 — б3)2 dx dy
х3 — А)2 (ра — b2) dx dy,
—а —b
Д_______ _
Л1- - 4
128 (б4 Д-у А б2 4- AID
w^A-iWi ==----;----~--------------(А—а-}~ (у2= б-)3-
128^’ 4- уа3 Ь2 А сд\ D
1.9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
.Максимальный прогиб квадратной пластинки
макс = 0,0213
да*
7Г
уравнение теплопроводности
д”&}
— — а2 ~~—
По точному решению получается
кс
0,0202
qa*
D '
уравнение
проводу
распространения электрического тока по
а —
дР
д w
то 26 тор + СИ =,
at
d‘2w
дх'2’
1.9.9. Уравнения математической физики
Во многих приложениях приходится иметь дело с.
дифференциальным уравнением, которое и случае двух
независимых переменных имеет вид
д-w	д'2ш
А------.щ 2В---------
дх2	их ду

cte dw \
у, w, — , — == 0,
Ох ду I
где 4, В, С--функции от х н //, Особенно важен случай,
когда / линейно относительно S', ow/дх, dw/ciy^ в этом
случае уравнение «взывается линейным.
Хирак! ерю. lUKUMii уравнения называкжа Hiicei пиль-
ные кривые обыкновенного дифференциального уравне-
ния
dy _ В + У Д3 - АС
dx	А
Могут иметь место три случая:
В2—.4С>0 — уравнение имеет два семейства дейст-
вительных характеристик и называется уравнением ги-
перболического типа;
В-—ЛС = 0 — уравнение имеет одно семейство дей-
ствительных характеристик и называется уравнением
пира бол и чес кое о типа;
В'1—/1С<0— уравнение не имеет действительных ха-
рактеристик и называется уравнением эллиптического
типа.
Если общие интегралы дифференциального уравне-
ния характеристик имеют вид <р(х, у) =и, ф(.х, у)—с,
то, приняв и и о за новые независимые переменные,
можно привести уравнение к каноническому виду:
для уравнения гиперболического типа
для уравнения параболического типа
г73ш	/	i)w t)w \
—  -f- Р и, V, W, -—, =— 0;
ди2	\	ди	dv I
для уравнения эллиптического типа
д-xi d-w
iAp + Лф
бр /
> д -U у; У] = I {U — £’) .
здесь
Особенно часто встречаются следующие частные слу-
чаи рассматриваемого здесь дифференциального уравне-
ния второго порядка:
уравнение распространения колебаний в однородной
среде
* d^w
——	аг------
dt2 дх2
уравненне теории потенциала
д- д“
Aw = 4лр (х, у)} А = — + —
ох2 ду2
(уравнение Пуассона). При р = 0 это уравнение назы-
вается уравнением Лапласа, или гармоническим уравне-
нием.
Часто приходится встречаться также с уравнениями
более высоких порядков:
уравнение поперечных колебаний балки
d2w д'2 Г
Ч С4’) ДГ то Пф Е! М
at2 ах2 L
где убс) —масса балки на единицу длины; I (х) —мо-
мент инерции поперечного сечения балки;
уравнение изгиба пластинок
о(х,у)	(В Э'1	б«
AAs>==-^~ АД =— -1-2------------7 — ,
D	дх*	дх-ду-	ду*
где у(х, и)—поверхностная нагрузка; D— цилиндри-
ческая жесткость пластинки.
Уравнение плоской задачи теории упругости (бигар-
моническое уравнение)
А Дер =0.
Определяемая дифференциальным уравнением мате-
матической физики функция ш должна удовлетворять
ладанным условиям па границе области интегрирования
Q п в начальный момент времени; эти условия называ-
ются граничными и начальными условиями; им должно
удовлетворять решение уравнения. Наиболее часто встре-
чаются следующие начальные п граничные условия;
в начальный момент времени t = 0 даны значения
искомой функции w(x, t) и ее производной по I:
flw
®=ф(*)>	(х);
д1
на границе области Q [х — x(s), y — y(s)] задана иско-
мая функци я ш (.г, у);
w = <р (s)
пли производная искомой функции по направлению нор-
мали к границе;
дш
то- =ф(ф.
on
При интегрировании линейных уравнений применяют-
ся следующие приемы.
Метод Фурье, {метод разделения переменных) исполь-
зуется для решения линейных уравнений всех трех вы-
шеуказанных типов. Изложим его, обратившись к зада-
че о свободных колебаниях закрепленной на концах
струны. Полагая, что струна расположена па оси X,
имеем для прогиба струны w(x, t) (t — время) уравне-
нецие гиперболического гана:
д-мт	d-w
----=- а2---.
dt2	дх2
54
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
Нужно найти решение этого уравнений, удовлетворяю-
щее граничным условиям w(0, /)—w(Z, ()=0(х=0,
x=l— концевые точки струны) и начальным условиям
/eta 4
ш(х, 0)=((х), |“,7 L () ~ г"е М’ за-
данные функции. Метод Фурье состоит и следующем.
Ищется частное решение уравнения колебании в виде
к- — X(,x)T{t). При подстановке этого выражения в ука-
занное уравнение переменные разделяются, т. е. прихо-
дим к уравнению
где с — постоянная. Нстривиа тыгое решение, удовлетво-
ряющее граничным условиям, получается лишь при с~
=—/4(4=а=0). Тогда
X"-f-й2 X — 0; П"4-43а3Т=0.
Отсюда
Л' — Л], cos kx X Лгз1П kx; Т = Bj_ cos kat -г- Вг sin kaf.
Из граничных условия следует .41 = 0,
пл

-=!, 0, Таким образом, получается частное решение
v р а в н е н и я ко лс б ан и й
/	::м	плд \ пл
®п-лп Тп = I ап cos t 4- bn sin -у- 1I sin —j- х,
удовлетворяющее при любых значениях констант
граничным условиям. Поскольку уравнение колебаний
линейно и однородно, его решением будет также ряд
пола	пла \ , пл
а„ cos -----1 bn sin — t sin — х
I г I	i
(при условии, что его можно два раза поч генно диф-
ференцировать). Коэффициенты ап, Ьп находятся из па-
яла
дальних условий. Из них следует, что а„,	—Ьп долж-
ны быть коэффициентами Фурье (см. 1 20.1) соответст-
венно для функции ф(*) при их разложении в ряды
по синусам, т. е,
(	I
2	n:tx .	2 Г	пах
а„ =. — j f (,r) sin —;— ах, Ь,г —---i (р (л-) sin---dx.
I J	i	пла J	I
a	ft
Метоп Ри.чани применяется для решения следующей
задачи. Дано зинепное уравнение гиперболического типа:
д'-и	ди	да
у- + а (т, у) -у- 4- b (х, у) + с (х, у) и = р (х, у)
дх ду	<)х	ду
г задана линия I уравнением у-~[(х), причем f'(x)M=0-
Ищстся решение и указанною уравнения такое, что во-
йн ди
личины и, — , — принимают на линии I заданные зна-
дх. ду
гения. Метод состоит в том, что определение
значения искомой функции и в произвольной точке
.И(.3'о, гд>) сводится к отысканию вспомогательной функ-
ции и (х, у. Ха, уф (функции Римана), которая должна
удовлетворятьуравнению
<f-v г) (аз) д (hv)
----	.. ---—-------„у. со_0
дх Оу дх Оу
и условиям
у
v (хп? У, хл, — exp J а (,гп, У) dtp
X
о(х, у„, х0, у а) =- екр \'b(x, ye)dx.
Если функция о найдена, то
J	I
Й (х„, у,) = -у (ао)А + (и^ь то
Г I I ди	до "\	1 f f
— — v — — и — ’ auv dy -4- l I pvdxdy.
L 2 v dy	дур	I J r JJ F
&AM3
Здесь AB— дуга линии 1, причем ордината точки ,4
равна уа, а абсцисса точки В равна ху.
В частном случае, когда а--Ь~с~-0, функция Ри-
мана ii=sl, а в случае, когда а = й=0, c=const, имеем
v = 4 [з У с (хп — х) (у0 — у),
где /«— функция Бесселя (см. 1.14 4).
ЛФ’тоо1 Грина. Пусть требуется найти функцию и. ко-
торая внутри области D, ограниченной замкнутой ли-
нией С, удовлетворяет уравнению эллиптического типа:
д-и д-и	ди	ди
+. а	+ ь (А.; дс (Л1 y'jU-=f(x,y),
дх°	ду-	ох	ду
а на контуре С приипмает заданные значения. Для ре-
шения этой задачи ищется функция Грина G(x, у, Хо, Уа)>
удовлетворяющая «сопряженному» уравнению
д'-G d"-G 0 (aG) д (bG)
----..г---—--------—-------- л_ ca^o
dx- dy- dx dy
и имеющая вид
G(x, у, xa, у rd = U (x, у) In г 4- V (с, у).
Здесь (щ, i/n)—произвольная внутренняя точка обла-
сти £>; 1./{х, у), V(x, у)—функции непрерывные вместо
со своими первыми и вторыми частными производными
в области D, причем
v (•’-'о, Уо) =~“ — Д г = I (л- --	4- (у — у0)3-
Кроме тою, функция б(х, »/, х„, щ) должна равняться
нулю на контуре С. Если такая функция найдена, то зна-
чение искомо» функции и в точке (лц>, у->) определяется
по формуле
1 Г 4G	1 (V
д(х0, уф ] иds — Gf dxdy,
2я J dn	2л JJ
с	Р
где dG/dn — производная фгчкцпи G по напр ‘.влеиию
внутренней: нормали к контуру С.
i.io. функции комплексной переменной
1.10. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ .ПЕРЕМЕННОЙ
1.10.1. Комплексные числа
Комплексным числом z называется пара действитель-
ных чисел п и Ь, следующих одно за другим в указан-
ном порядке. Если b ыкцует за а, то .? = (a, b'l, Два
комплексных числа ^i=(oi, К), хг —ЬК) считаются
равными тогда и только тогда, когда <1то=-«г. К— ft2.
Число (а. О; считается равным действительному числу а,
т. е, 1а, 0)=а. Число (0, Ь) называется чисто мнимым
числом и обозначается ib, т. е. (0, b)=ib\ (0, 1)=то—
мнимая единица.
Для комплексных чисел устанавливаются операции
сложения и умножения с помощью следующих равенств.
Пусть zi{ai, ’bi), zz(az, Ь2), тогда Zi-|-Z2 = <,ат+а«, bi+b2),
/определение суммы), ZtZZ— (aiuz—bibz, a^z-j-Utbi) (оп-
ределение произведения).
Вычитание и деление определяются как операции, об-
ратные сложению и умножению. Произведение п одина-
ковых множителей г называется /:1-й степенью г, zn. Ко-
п
рень л-й степени из комплексною числа у г определяет-
ся как такое число Z\, что я" = л.
На основании указанных определений каждое комп-
лексное число z=(a, b) можно нредстанить в виде г =
= й+Д, причем г2 =— 1, /— К —1. Число а называется
действительной частью комплексного числа z=(n, b)—
~ag-ib, я ib — мнимой частью z. Для а и Ъ установлены
обозначения: u==Rez, b = Jmz. Число а—ib называется
сопряженным числу z~a--ib и обозначается z. г—а—Щ,
Полагая a = rcos<f, b-— rsiiicp, можно представить
комплексное число z — a-gib в виде z = r(cos <p-|-/sin ф):
величины г и ср определяются через а и b по формулам
--------------------	а	у
с = J' a2-Kb'1 ; cos о? =--sin и> ~---.
г ’ Г
Число г называете:! модулем комплексного числа г,
-з — нормой; ср — аргументом, С помощью показатель-
ной функции комплексного переменного (см. 1.16.2) комп-
лексное число z представляется в виде z — rKK
Основные формулы:
аг bi i = я» 4- b«i, если щ — а., л о. ~ ft.,;
Д5 -г bi t) + (а2 Д д„ i) — (Д1 -ф. щ (j3l _j_ у
01 + Ьр) (uz -ф 6 ы) = (tit а„ — К Ьг) Ч- (и, К 4- то ly) о
aig-bli	ас i an-I - h, Ь-j, azbt cgb.,
---- -------------,   „j„  ------------,—
az -f- bz i a- j_. yi	a) y-)
(a -J- bi) (a — bi) — a- -J- h";
cos ;p -f- i sin cp = e‘ft; cos Ф — i sin ф — e ~*'е'
(формулы Эйлера);
eK ж р—‘V	,4ф ..... р—ср
со;; (р =- - -..-- т sin <р == -------------------;
1	о	'	<>;	’
1: (cos ф д- i sin <р) = cos ф — i sin ср;
rL I cos ф + i sin (f)	==
== ц r, [cos /ф -f- Ф) J; i sin (Ф.у ip)]:
ri (cos ф 4- i sin Ф!:r; (cos iT — ; sin ф) =
Г;
и-----(cos (ф Ф) 4- l sit! (й Ф)1;
(cos ф Д / sin <(•>'* = cos «<р ТО I sin нф (формула Моавпаф
(и + bi'in == [г (cos ф то ' sin ф)]л = г"- (cos /Пр ;ф i sin Яф)];
". --------- р,--(	/ фф,2Дт	ффтойя/
У п 4 ш = ] У г i • ( cos---------i s;n —----------i
! I / n	n )
(Ф> — в радианах, ft = 0, 1,2, ... , n -1);
sin U =:- I sh x; cos (x -- ch x;
tg ix —- i (h x; cig lx -=: — I .cth x;
ch ix — cos x: sh lx ~ i sin x:
th ix == i tg x; cih ix =~ - - i ctg c;
а/ -	2<b- dim —i
lz 1 cos — i sni a ' ;
и	1
г/----	(2А4-1)л	. (2к[-Пл
|/	—I	----------S]11----------------Ю
?l	n
(«==0,1, 2, ... TOTO- n.
1.10.2. Комплексные
Если в комплексной	fi,
каждой точке которой г = х-[-й/ соответствует комплекс-
ное число иг = и-)-io, то to называют функцией or г, а/ =
.=- ,	)	1 I <	 I IX и ; О! о (I н ,	, . гит
и: функция ]К) дифферен-
цируема в точке г, если существует
hni -----------------
/г И)	Ь
>тпй области.
Ч'ОЧД!' о?.	до 1О1Ю11 .'НИдч:
•Incoii '!Е|л(Г :.'	,< 'HilCI'H (1	!1ТИ-
ФЛОО!1 ФИНН!
I. :'11ИО!то!, т. То
56
РАЗЛЕТ !. МАТЕМАТИКА
Функция ((г), аналитическая в точке Zn, может быть
представлена в некоторой окрестности этой точки сте-
пенным рядом
S Сп(2'—^)П.
п=^
С другой стороны, степенной ряд указанного вида в
своем круге сходимости определяет аналитическую
функцию.
Таким способом определяются (задаются), в частно-
сти, функции:
z3 z5	г2п+1
5in г ¥	+ г т . - -,
1.10.3. Конформные отображения
Аналитическая функция при отображении, сохраняет
углы и переводит бесконечно малый треугольник в по-
добный ему с коэффициентом подобия | f (z) j. Приво-
дим некоторые конформные отображения.
„	.	az -|- Ь
Дрооно-лииейная функция ю =------------преобразует
совокупность кругов и прямых плоскости z в совокуп-
ность кругов и прямых плоскости ш. Две точки, удов-
LIZ + Ь
летворяющие устовию г = --------, остаются пспот,-
сг ф- а
вижиыми.
Линейная функция w — az-Rb, где a = rc:cf, дает сдвиг
на Ь, поворот на угол ц. и растяжение в г раз. Точки
b
----и ос неподвижны,
1 — а
cos г -= 1
Инверсия w~\/z. Точка z с полярными чоордипа-
T,iitn (г, <р) переходит в точку с координатами (1/г, ср).
Точки z —ф-1 и г — —1 —неподвижны;
Интеграл функции комплексной переменной f(z) =
==«4-/о вдоль дуги с определяется гак;
J7(z)dz= Hm Е /(7)(z^r-zJ.
с	максН/г й—г| A-.-I
Вычисление интеграла производится при помощи фор-
мулы
| f (г) с!г — | и dx — v dy -'г I ) и dy + v dx.
Если внутри и на границе области, ограниченной
замкнутым контуром с, ((e) —однозначная аналити-
ческая функция, io \](z)dz = Q (теорема Коши). Если С
лежит на контуре с, а г — внутри области, то
.	1 f Ш ... ,	.
(интеграл Коши).
Формула для п-й производной
а2
w = г 4" — ,
z
где а — действительное число, отображает круги |г] =
= const плоскости z на конфокальные эллипсы плоско-
сти w, если jzj-^a, а круг |z| — а—на участок |д| Д--2а.
Функция w — zn, где целое вещественное чисто,
отображает всю плоскость г на n-кратную плоскость
Римана, состоящую из п частей; точка w — 0 есть га-крат-
ная точка разветвления.
Функция -® = zI,a, где а — действительное число, ото-
бражает область угла ла, вершина которого лежит в
точке г—0 и одна из сторон которого лежит на поло-
жительной оси X, на верхнюю полуплоскость (и/>(>),
а соответствующий сектор единичного круга — на верх-
ний полукруг к> = 4- у 1 —«2.
Функция ш = 1п(г2—1). Прямые n = co.nst, г.> = сопч1
плоскости ш, параллельные осям, являются отображе-
ниями конфокальных лемнискат с фокусами х = ±1 п
равнобочных гипербол, проходящих через те же точка.
Функция
/"(2) = ^.
2 nt
С f G)
J (Ш-г)^1
щ =- С f (С-аг)^”1 (? -	dt. ф- CJ
20
Пример 1.11. Найти гармоническую (удовлетворяю-
щую уравнению Лапласа) в круге радиуса R функцию
по ее значениям на окружности.
Считая в интеграле Коши контур с кругом и перендя
к полярным координатам, найдем
I Г Re‘e -L г
f (г)=№ (0)4- -—1 —------и (R, 0) dQ (формула Шварца).
2л J РеЮ __ г
о
Отделив вещественную часть, получим
(формула Кристоффеля— Шварца) отображает верх-
нюю полуплоскость С на внутреннюю обзасть много-
угольника; здесь а,.л — положительные значения 'внут-
ренних углов многоугольника; ah а2, .... ая — действи-
тельные числа, расположенные в порядке возрастания;
Zi>, С, Сф — комплексные постоянные.
Функция
Г (2—щ )а' '(;--д3)а- 1-.(; — «„)% 1
'	(г — а)2 (г — ц)’2
, I Г	/Л—г-
« (о ф) =- I - ’	'	—---------и (R, 8) dO.
2л J — 2К/cos (4--q.) 4-Л ' ’ ‘
и
отображает верхнюю полуплоскость 2 на внешнюю об-
ласть многоугольника с внешними углами а.л.
1.11, ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1.11. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1.Г1.1. Общие сведения
Задачей вариационного исчисления является отыс-
кание экстремума функционала. Если каждой функции
у(х) из некоторого класса функций соответствует опре-
деленное значение величины и, то и называется функ-
ционалом, зависящим от у(х); [у(х)—аргумент функ-
ционала)]; это записывается так: и = и[у(х)]. Аналогич-
но определяется функционал, зависящий от нескольких
функций, и функционал, зависящий от функций несколь-
ких независимых переменных. Важным примером функ-
ционала является интеграл
Цу(х)] =’| Е(х, у(х), y'(x))dx.
Функции у\х) [линии у — у(х)], которые рассматри-
ваются при отыскании экстремума функционала и[у(.ф]
(они определяются условиями решаемой задачи), назы-
ваются допустимыми функциями (линиями). Если зна-
чение функционала и при г/==уэ(х) больше (меньше),
чем его значение при всех других допустимых функциях
у(х), достаточно близких к г/п(х), то по определению
функционал и имеет максимум (минимум) при у = уфх).
Функции Уи(х), д(х) [линии д=г/э(х), у—у(х)} счита-
ются близкими, если мала величина |у(х)—1/о(х)| (бли-
зость нулевого порядка).
Пусть у(х), У1(х) —две допустимые функции, т. е.
два допустимых значения аргумента функционала. Раз-
ность yi(x)—у(х) называется приращением, или вариа-
цией аргумента функционала но отношению к его рас-
сматриваемому значению ц = р(х). Она обозначается
через бр, 6,У = У1(х)—у(х). Вариацией функционала
д
и[у(х)] называется величина 6и=——и[у{х) абг/]|а=0.
Если при у = ро(х) функционал « = ц[у(х)] имеет
экстрему?*!, то его вариация би при г/ = ро(х) (предпола-
гается, чго она существует) равна нулю, ёи~0. Для
вышеуказанного функционала /[у(х)] необходимое усло-
вие экстремума д/ = 0 приводит к уравнению Эйлера:
F
и
dx F*’
= 0
(если он существует) реализуется экстремалью, для ко-
торой выполняется «щгщтвечное граничное уелоьие»'.
Таким образом, указанные вариационные задачи сво-
дятся к решению соогветствующего дифференциального
уравнения при тех или иных граничных условиях. То же
самое имеет место по отношению к некоторым более
сложным вариационным задачам.
Много задач строительной механики и теории упру-
гости можно привести к задачам вариационного исчис-
ления, а эти последние решить точно (классический при-
мер: решение Эйлера об устойчивости прямолинейного
стержня, к концам которого приложены сжимающие си-
лы) или приближенно (используя так называемые пря-
мые методы вариационного исчисления и их обобщения,
в частности эиерготический метод, метод Бубнова —Га-
леркина и др.).
1.11.2. Основные случаи
Для основных случаев вариационных пооблем реше-
ния путем приведения к дифференциальным уравнениям
даны в табл. 1.20.
Пример 1.12. Найти критическую аилу Р для стержня
длиной I, шарнирно опертого по концам.
Потенциальную энергию стержня можно выразить
так:
Требование минимума V дает уравнение
Э / Ру'1 у'2\ д / Ру-- у'“
ду \2Ё1 ~~ 2 / dx дуГ — ПГ
При £/ = const имеем
у" + -|-1/ = 0; р(0) ==р(/) = 0,
£/
или в развернутом виде
ощуда находим Ркр
у,то При EI переменной уравне-
р — р , — f , и' —- Р , , U" — о
у	‘ уу' У - у'у' у
Этому уравнению должна удовлетворять функция у (х),
реализующая экстремум функционала Цд(х)], Посколь-
ку уравнение Эйлера — второго порядка,его интеграль-
ные кривые образуют семейство у — у(х, Съ С2), завися-
щее от двух параметров—произвольных постоянных С-,
(ф. Эти кривые называются экстремалями. Пусть по отно-
шению к функционалу /[у(.х)] решается вариационная
задача с «неподвижными границами», когда на концах
интервала [хь х»] допустимые линии у — у(х) должны
иметь заданные ординаты: p(.x'i) =</ь il(xP)^=y2. В этом
случае экстремум функционала /[у(х)] (если он суще-
ствует) реализуется экстремалью, удовлетворяющей ука-
занным граничным условиям.
В случае, кщда решается вариационная задача для
Цу\х}~\ с «подвижной границей» (или границами), т. е,
когда на конце интервала [xi, х2] (пусть для определен-
ности на одном конце х = х«) ординаты допустимых ли-
няй произвольны, то экстремум функционала 7[у(х)]
ние получается сложнее и решение его затруднительно.
В этом случае применяют метод Ритца (см. 1.11.3).
1.11.3. Прямые методы
Если интегрирование дифференциал,ьиых уравнений
затруднительно, прибегают к прямым методам вариа-
ционного исчисления. Сущность их заключается й сле-
дующем. Задаются видом искомой функции так, чтобы
она удовлетворяла граничным условиям и содержала
некоторое количество постоянных параметров. Послед-
ние подбирают так, чтобы обратить в минимум искомый
функционал. Чаще всего применяют метод Ритца.
Пусть требуется найти функцию у, реализующую ми-
ь
нимум интеграла Ф — [А(х, у, у', y’’)dx и удовлетво-
а.
ряющую заданным граничным условиям. Искомой функ-
цией задаемся в виде y=UiU\ (х) ф-арл-фх)	(х),
МАТЕМАТИКА

Основной случай	J ~ f 1-' (х, у, у') ах, у (ху = л, U О») = &		F — ---	=• 0 — дифференциальное уравнение второш ' dx порядка отнсуся-гельно у при условиях: У UC 1/ (хЛ ----- Ь
Случай, когда пел жтегралоэл сйдсржнтсл нгорап нрфнсьоднад У1	X = | F (х, у, у', у'р dx, у (х,) = а, и (.с,1 = Ь, у' l x J “ У (х.р «. il		F — ~ F3y Я ““	"	дифференциальное уравнение iix '	dx" че'1Верт мчд порядка огнаеягельно .у при условиях: р ~ а, у (ду) у' U0 ото с, у‘ (уф = d
С 1 _	Д ।	з ~ i F lx, и, и’, г, г'\ Ух, у (х.) =-. а, и (ТО = 1>, е(х.) = с. г (ж) =4		Г —-	Г , =-{), F —-	F..< “(1--систума двух диффе- fix "	Z d): реяциадьпыт; уравнений второго порядка относительно у и с гурд условиях: У (я) — а, у (х3) = Ь, 2 (хф с} г (лд) — d
Случай лэкомий функции, >.;•)- ЕИСИ1Щ-Й Ш’ М У	При ЛГИ ВУЮ	= У Г (Л-, и, и, Ux, и,^ daily ф УСЛОВИИ npOlWWU’HHH ПОВерХПА- у) через заданную кр:>	i)	У у		 р ..—„ р	— уравнение в частных произ- " CIX UX ду иу пторого порядка относительно и при условии; у должно проходить через заданную кривую
УСЛОВНЫЙ ЖСТрСМУМ	J Г с и, у, при УСЛОВИИ Я {х, у} с) - Г) и граничных условиях		ф Я ф , «. 0; ф - . -Г. ф,,ТО; У dx J	dx " (Ф = F ф ?.Н); Н (х, у, z) = 0 1— система трех уравнений относительно трех неиз- | весгнык функций у (Я, с {ху (х)
где iJ-i(x'), нрх}. .... un(>:}—последовательность функ-
ций, которые в интервале [а, Ь'\	 независимы,
имеют непрерывные вторые производные и удовлетво-
ряют граничным условиям. Подставив это выражение в
интеграл Ф, потребуем, чтобы получившаяся после ин-
тегрирования функция ф:=ф(й1, ifc, в,) прлнила
экстремальное значение. Это дает систему уравнений
ЭФ
ту'-=(), 4=1, у, ... , ,ч, из которых определяются все
«г.
Призер 1.18. Найти прогиб консольной балки длиной
I, нагруженной равномерной нагрузкой q. Задача сво-
дится к отысканию функции, обращающей в
потенциальную энергию балки;
I
Г /1	„	\
И = 5 ( — Ely"- - qy \dx.
Г,
Задаемся упругой линией в виде у — all—cos~pp от’
сюда находим
1 п V I /	2 6
V = ---- Е1и? ---- ) --- — qal 1 - ----- .
2	\ '21 ) 2	\ п I
dV	ql*	32 /	2
Условие — = 0 дает а =- — - — 1 — — j. Макси-
од	£/	я4 \	л j
мяльное значение прогиба при х—~1:
qp
Элакс = 0,1194 ~~~,
1 у Л1
чти отличается от точного значении -   — на 4,5%.
8	/- I
Заметим, что в методе Ритца можно не удовлетво-
рять силовым граничным условиям.
1.12.	РАЗНОСТНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1.12.1.	Определение разностей
в ипжвнерно-строительиых рас-
при приближенно»; интегрировании
дпффереициальиых уравнений (например, при расчете
балок-стенок), при использовании интерполяционных
формул, при расчете, статически неопределимых систем
I "Г !	и	< =	,	3 ,р Г
в । ' 	> ,	>|	< _ и = случаев. Диф-
ференциалы заменяют приближенно конечными разно-
стями.
Разность двух значений функции /(х), т. е. ф (х+Дх)—
—Цх), называется конечной разностью первого порядка
или просто разностью п обозначается через АНХ).
Д/(х) = ((х+Дх)-У(х), Точно так же Д/(x-j-Axj—
= Нх-ф2Дх)— f(хф-Дх), Если Дх — бесконечно малая ве-
личина, то Дф(х) есть величина эквивалентная df(x’).
Разностью втироги порядка называется разность от
1,13. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
69
разности первого порядка:
A2 f (л) = А [А/ (х)] =. М (х 4- Ах) - М (х) =
== f (х + 2.V) - 2f (х + Дх) ] f(x).
Аналогичную формулу можно составить для разности
п-ги порядка:
,ХЯ f (х) = f (;>; + п&х) - ~y f Iх + - !> -М v
+ ТГЫ-А { {х + (rt_2) AxJ-------Ь (-1)« f (л-).
Формула для приращенного значения функции
f (х + цАх) = f (х) + у А/ (X) +
4-	-^23-^ A2 f (х) 4-- • + Ая f (х).
Приложение конечных разностей в теории интерполи-
рования см. 1.19.2.
1.12.2.	Разностные уравнения
Уравнения строительной механики часто преобразуют
так, что Дх —1; обозначим еще для краткости j(x) —
=~-УЛ /(х~Н) =Ух + 1 и т. д. Уравнение
F{x,yx, у^, ... , ух+т) =0
называется уравнением в конечных разностях, или раз-
ностным уравнением. Уравнение
АхУх+т + Вх Ух-рп-1 + ' ‘ ‘ + Л'е М = Lx
называется линейным разностным уравнением порядка
т. Известное уравнение трех моментов
Мх^ lx^ + 2Мх + 1Х) + Мх+, 1Х =
/	° г-1	Ь, \
= 6 2, ,------+ Q —-
к г"‘ Ч-i Л Н )
относится к этому типу.
Общее решение линейного разностного уравнения
складывается из общего решении этого уравнения при
Lx=0 и частного решения этого уравнения при задан-
ном Lx. В случае, когда уравнение имеет постоянные
коэффициенты и правая часть его есть также постоян-
ная величина, Ах —A, В-,-—В, К3—К, Lx — L, его ре-
шение имеет вид
Ух Н----------Ь Сmini + С(1>
где щ, |2,	у,,, — корни характеристического уравне-
ния;
ауч~вУ~”1-т---+к = о
(имеется в виду случай, когда все корни простые и дей-
ствительные). Постоянная Со равна ———-----------
.4 -у в =-.. . ф-д
Постоянные Ci, С», Ст определяются из дополнитель-
ных условий (начальных и др.).
1.13.	ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнение, в котором под знаком интеграла содер-
жится неизвестная функция, называется интегральным.
Это уравнение называется линейным, если неизвестная
функция входит в него линейно. Если в линейное инте-
гральнее уравнение неизвестная функция входит только
под знаком интеграла, то уравнение называется линей-
ным интегральным уравнением первого рода-, в против-
ном случае — второго рода
Линейное интегральное уравнение- первого или вто-
рого рода называется уравнением Фредгольма, если ин-
теграл, под знаком которого содержится неизвестная
функция, имеет постоянные пределы; если же верхний
предел этого интеграла переменный, то уравнение назы-
вается уравнением Вольтерра.
К интегральным уравнениям приводятся задачи, в
которых значение искомой величины в той или иной
точке зависит от совокупности значений этой величины
в других точках некоторой области. Эта зависимость
обычно выражается с помощью определенного интегра-
ла. В качестве примера укажем, что перемещение одной
точки соприкосновения балки с упругим основанием, на
котором она находится, запиеит от совокупности пере-
мещений всех других точек ее соприкосновения, вследст-
вие чего определение этих перемещений сводится к ре-
шению некоторого интегрального уравнения.
В строительных задачах интегральные уравнения ис-
пользуются в различных вопросах теории упругости, тео-
рии колебаний и др.
1.13.1.	Уравнения Фредгольма
Интегральное уравнение Фредгольма первого рода
имеет оид
ь
f(x)=n |К(хЛ)ф(фй,
а
Уравнение Фредгольма второго рода записывается так:
i (х) = <р (х) — X J К (х, 0 <р (О at,
а
где Ф(х) — искомая функция;
К(х, ?) — ядро уравнения — непрерывная функция в
прямоугольнике a-six, txA.h-
К - постоянный параметр;
а, &—постоянные пределы интегрирования.
Значения К, при которых однородное уравнение
ь
А | ,К(х,	имеет решения, отличные от
Ct
нуля, называются собственными значениями ядру А'(А'> О
или интегрального уравнения, л соответствующие реше-
ния ц (х) — собственными функциями ядра. При этих
значениях а неоднородное уравнение имеет решение в
том и только в том случае, если
ь
j f (х) Фа w dx = о,
a
60
РАЗДЕЛ L- «МАТЕМАТИКА
где ф(х) — любое решение уравнения
ь
ф(х) =Xj К (t, x)^(i)dt;
fl
это уравнение, отличающееся от данного тем, что в ядре
переменная интегрирования и параметр поменялись ме-
стами, называется сопряженным. При других значениях
X неоднородное уравнение всегда имеет решение.
Методы решения однородного уравнения. Если ядро
Ь
симметрично, т, е, К(х, tf^Kft, х) иД2(х, t'jdt-Moo, то
а
собственное значение и собственную функцию, удовлетво-
ряющую условию j Ф2(х)Дх=1, можно найти методом
а
последовательных приближений (итераций): этим ме-
тодом определяются в результате л-го приближения не-
известные функции фп(х) и соответствующие ей соб-
ственные значения параметров X» но формулам
* 1
О) = ( К (X, I) (/) dt; ф, (х) = ~Щ==- ;
а	у Ь — а
К О) = —умм========;
1/ рРфу1(*)Л
F а
при п ос имеем: <р„(х) = ф(х), X„(,r) = X. Если Х3 —
наименьшее собственное значение ядра, ц у(х)—соот-
ветствующая собственная функция, то величина
Ь 1>
Щ Л' (х, s) ф (я) ф (з) dxdS]
а а
Ъ
при условии | у~ (х) dx — 1 достигает максимума, рав-
а
йог° Ш-
Методы решения неоднородного уравнения, В общем
случае решение имеет вид
У (х) = / (х) -4- 2 J Кт (х, t)f (f) dt;
Кт {х, t) = j Кт_ i (х, s)K(s, t) ds;
K0(x, t) = K(x, t).
Функция
m-x-x-l
называется резольвентой неоднородного уравнения,
С помощью резольвенты решение представляется в виде
ь
:	у(х) = Х^7(/)Г(х, t, + f(x).
G
Если ядро вырождено, т. е.
К(х, ф= 2 а,(х)Ь,:(1),
то решение имеет вид
У (х) — f (х) -[- Л S e&t (х);
с>. определяется из системы алгебраических уравнений
п
Ci— Л 2 aikcp^= fl /-=1,2,..., п,
4=1
где.
ь	ь
aik == J ’К (I) ak (I) di; fi = J' К (i) f (f) di.
a	a
Аппроксимируя заданное ядро вырожденным, получим
приближенное решение интегрального уравнения.
Если ядро К{х, t) непрерывно п симметрично и из-
вестны все С!)бс1веш1Ые зилченцл X; н собственные функ-
ции у, (х) ядра, то ирц любом несобственном значении
X решение имеет вид
У (л) = / (-V) то X V ф; (X),
1=1
где
ь
n-f<₽iW/(0 dt.
й
1.13.2.	Уравнения Вольтерра второго ряда
и(х) = /(х) + Х]'К(х, dt;
а
здесь заданы: нижний предел a--const; параметр Л; яд-
ро К{х, t)=(), действительное и непрерывное в прямо-
угольнике asKxMfb, а-МКМЛ; функция f(x) действитель-
ная и непрерывная в интервале
Решение выражается равномерно и абсолютно схо-
дящимся для всех X рядом
НС-. 2 Х'Уу,(х),
/72—0
где
щ, (х) = f (х); ill (х) ~ j К (х, К иа (0 dt;
а
U,„. н w - J А' (х, t} ut;i (t) dt.
а
Это уравнение пе обладает собственными значениями,
1.13.3.	Уравнения Абеля
Ш)=4	о с и < j.
J (х- Д1
Неизвестная функция и(х)
определяется по формуле
sin пл
И(А.) =
1L Г f^dt
dx J г»_’
1.14. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
61.
а также
, , sinp.it Г f(0)

_______ ь
(а2 - Р2) тй (t — а)1 (I - Й m
1.13.4.	Сингулярные уравнения
Если ядро интегрального уравнения К(х, t) не огра-
ничено при а<х<&, но главное значение интеграла
\ К(х, t)y(t)dt (см. 1.7,5) в правой части этого урав-
нения существует, то уравнение называется сингуляр-
ным. Некоторые сингулярные уравнения имеют решение
в замкнутой форме.
Уравнение вида
2л
if s — t
1 u (s) ctg -у— ds = f (t)
2л J	2
О
2л
при условии j )(s)ds=0 имеет общее решение
о
2л
U (S) = — -±- ( / (0 ctg Ц--- dt -f- С
2л ,)	2
о
(С — произвольная постоянная).
Уравнение вида
6 f <р(о)
а<р (з) + — I-----da = f (s)
т J а — s
L
(где с, Ь — постоянные, а2—й2=40, £ —замкнутый кон-
тур) имеет решение
ф (S) = —р—— f (s) _
а--—д2	(й“ — Ь*} ял J q—~s
L
Если контур L незамкнутый, то общее решение урав-
нения имеет вид
«а —6“
здесь С — постоянная,
1	а 4- b	а А- Ь
m =------. |п-------. q аге----------< 2л;
2 ni	а — b	"а — Ь
аир — начало и конец контура L.
Уравнение *
1
имеет
решение
Р (х) =
Р
dt
—и
где
Р= f p(t)dt.
— а
Если р(х) — постоянная величина, то
Р
Р(х) =-----
Я У й“ — Х“
1 К этому уравнению приводит задача о вдавливании а уп-
ругую полуплоскость жесткого штампа длиной 2с; /(^—функ-
ция. характеризующая очертание штампа и зависящая от упру-
гих постоянных основания (см. С, П, Тимошенко. Теория
упругости, ОНТИ, Л. — М,, 1937; И, Я. Штаерман. Контакт-
ная задача теории упругости. Гостехтеорегиздат, М. — Л.} 1949)в
1.14. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
1.14.1. Полиномы Лежандра
1.14.2. Полиномы Чебышева
Определение:
Определение:
1 dB[(xa—in
PbW = „.^L^
Г„(х) =-~
cos (га arccos х).
Основные свойства: Рп (х) удовлетворяют уравнению
(1 — х2) у" — 2ху' + п (п + I) у = 0;
(л + 1) Рл+1 = (2га + 1) хРп - пРп^-,
(х2 —1^Р‘а—п (хРп - Рп_1);
.^-1
J Р„Лх) Pn(x)dx =
0, m п ;
2
------(да = я).
2m-Н 1
Основные свойства: Тп(х) удовлетворяют уравнению
(1 — х'2) у" — ху' + t-Ру = 0;
~ хТп 4- — Тп__г = О
/	1	1
при п < 2 Ts — xTi + — го = — -у-
\	4	4
и 71 — хТ0 = о);
6>
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
1	I 0. и =>ь и;
->	г! v
функция второго рода порядка v:
Из всех полиномов степени п с коэффициентом при
старшем члене, равном единице. 7',, (х) наименее укло-
яуля в интервале —Ггфх<1.
1.14.3. Гамма-функция
Определение:
о
Основные	х — п, где п — натуральное
число,
Г (п ф 1) = 1-2-3.. .я =- л!
Г (Х О- 1 1 == ХГ (X), Г (л) Г (1 — х) == — " ~ -
МП ЛК
График функции Г(х) дан на рис. 1.74.
1.14.4. Функции Бесселя1
? рода иорядка v:
/ - WMJfe
~ ьдф рЧ
VI \ 2 
JV (х) ..= Ч ,	Г~------р-р
1(1 -р' ~г
k-xxx4j
* Эти функции назымютсй также цилинцрическиый функция-
ми; отдельным аидам их присвоены разные иаимеиодания;
см. литературу 11.14.3 я 1.14.51 В ьтик мошзгркфиях изложены
свойства Бесселевых функций я методы кыклслеиия,
1.15. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1.16.1. Преобразование Лапласа
hреобразоеапием Далласа ipywaxa. fix) называет-
ся -переход от fix) к функции
F (р) = f £-'-р” / (Л dx.
О
Обратнее - »*г>1 1 >ие дается формулой Меллияа
С- ’р-1. 'ха
?(.“)=-ф- j -8»'7Цр)хф,
2Л г	J
Функция fix) называется оригихаяом, функция f(p) —
tx	i табл. 1.21 приведены основные свой-
ства йреобразбваяйя Лапласа.
фащюиного исчисления к задачам
те	знал по изображе-
нию. A ci	,1 и оригиналы даны в
табл. 1.22,
Функции
П (д) =:
Бесселя
•Ц (-’-') cos !!-я ~ 4 W
lim л--------------------С---- .
y.-v	sin их
удовлетворяю г уравнению
Бесселя:
.Ду" р-ху' + (х'-~ №)(/=0-
ГА)
Р1К. 1.74
Общее решение имеет вид (если V— не целое число)
J — C^Jv (х) -ф- C.^J_v (л:);
при х = п (я — целое)
J -- С-JЛ (к) + СаУ п (х).
Основные свойства:
21
A-i Г 4.,щч = -уо Д;
v
Таблица 1.21
Ор йгинал	Изображение
f (X)	Ftp)
с,= Щ)	aF Ip)
(А) 1 \ а У	f (fip)
А	P IF (p)~ HP)l
dn 	— / (X) dxn	„ Г	V 4"’ <0)1 pf{ j k=0
ebx i	! j p \3 Ci 1 i
X f f (X) d.t 0	F ip) p
(' h (X - j) f: (?) <Й	1 (P) ^2 (P)	:
1.15. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
03
Таблица 1.22
Изображение	Оригинал
	
7	. 4	_
п\	
	x~n Г (1-п.)
~'аР	±1/2” 2 Г х
1 и»	е-ах
	1 ₽(₽+*)	1 — а
Р 4- а	х 1 а	<2'л
р — £!р	cos
а	sin ах
Р да — as	ch ах
! Г е с L	ah ах
_	Р Jr i (р 4- ЪУ + <Х	g,~~bx соз
а (р "Ь &У1 4”	e—bx gjj-j ах
1 (р 4- а)"	хп— 1 е—ах (ч— 1)!
р (рл 4- а!)“	i5h,a/
1 J3* 4-	1 F4 (ax) == “7 /ch ax s in ax 4 — sh ax cos ax)
Р	 -J- 4G4	1 Уз (ax) ~ “4" sh ax sin ax
РЭ	 р^ 4- 4^	1 V2 (ax) = (ch ax sir. ax 4- 4 sh ax cos ax)
	7	 Р4 ~j~ 4g4	Fa (gx) — ch ax ax
1.15.2. Применение операционного
исчисления
Применение операционного исчисления к решению
дифференциальных уравнений сводит интегрирование к
алгебраическим преобразованиям. Пусть требуется най-
ти решение уравнения
dnti
7"~ + ---+ад = fW-
Применив преобразования Лапласа, получим
(рга -j- aip^1 +-(-ая) У (р) = г (р) -ф Ф (р),
где f(p) —изображение функции }(х),
ф (р) = (рг/в„3 + •   +ряг/в) ~г
+ Sj (й/п_2+ • • • JrPn 4) +  ’  +G?1—1Р (Уо) •
а — значение А-й производной от f(x) при х = 0.
Полагая £„ (р) =р"4-а1ря-'‘-г...+ап, получим
У(Р)
Р(Р) + Ф(Р)
ь«(р)
Разложив дробь на простейшие и пользуясь таблицей
оригиналов, найдем решение, зависящее от п постоян-
ных, Уо, г/i, .... ул-i. Применение метода удобно, если все
у>— 0 и Ф(р) =0,
Пример 1.14. Расчет балки на упругом основании.
Исходное уравнение
(х) + 4а4у (к) =	.
Применяем преобразование Лапласа:
(Ир)
L (р) =	+ 4 о* F (р) =	;
(2(р) —изображение фуякции q(x)',
Ф (р) = цср’ + ijijfl + йр2 4- уяр;
р1 4- 4а4 ‘ ра 4~ 4а* 1 Г F.I (р'! 4- 4о4)
Пользуясь третьей и седьмой строками табл, 1.21 и че-
тырьмя последними строками табл. 1.22, получаем ори-
гинал:
У = У1Х1 (ах) 4- yiY. (ах) Ц-- - -Ц-
1 Г
~ I У4 (ах^- О q (g) di
Ыал J
о
РАЗДЕЛ Ь МАИг.едШдА
1.16. ВЕКТОРНОЕ И ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
1.16.1. Векторная алгебра
Величина, определяемая только числовым яиачишем,
называется скалярной величиной, или < сил гром. Вели-
чина, определяемая числовым значением и направлением
в пространстве, называется векторной величиной. Она
изображается геометрически отрезком, длина которого
(в принятой единице масштаба) и накрав юппе попа-
дают с числовым значением и направлением векторной
Вектор и может быть задан тремя скалярными ве-
личинами йг, а,,, а.— сто проекциями па координатные
осн. Координатными ортами называются векторы с мо-
дулем, равным единице, направленные вдоль положи-
тельных иаправ.шшш осей Z; они обозиачаюгая
соответственно ], k. Вектор и может быть ирсдстаален
is шде
Скаляоное
представ .епы
том сваи
и -- ах i -В Оу j ф аг k.
и векторное произведения могут быть
в координатной форме следующим обра-
то
а - axi -!- auj u,/k;
b b-c i ф by j 4 fc.. k,
Рис. 1.75	Рис. 1.76
величины. Такой тоанравлсштытХ
отрезок (отрезок, имеющий оире-
С	деленную длину и определенное
направление в пространстве) на-
зывается вектором Длина векто-
/\У	""ю ра называется его модулем. Обыч-
/ но вектор обозначается буквой
/ с верхней! черточкой.
, Сумма нескольких векторов оп-
р , ™	ределяется вектором, замыкающим
1 ИС' *• 1	ломаную, состазлтапмо аз векто-
ров-слагаемых. Частные случаи:
сумма трех векторов изображается диаюпалью парал-
лелепипеда (рис. 1.75), сумма двух векторов изобража-
ется диагональю параллелограмма (рис. 1.76).
Разность векторов а и Ь определяется как вектор (,
который, будучи сложен с вектором Ь, дает вектор и-
а—b = с, если сф Ь = а.
Произведением скаляра а, и вектора и называется
вектор с — аа, направление которого совпадает с а при
а>0 и противоположно ему при и<0, а модуль равен
произведению модуля вектора а на абсо.нотную вели-
чину числа а.
Скалярным произведением векторов а п b [обозна-
чается аЬ или (ab)] называется скаляр, он редел. ииьш по
формуле
ab = ] а [ ji | cos <p,
где ср — угол между направлениями векторов а и Ь.
Векторным произведением векторов а и b (обозна-
чается аХ& или [ай]) называется вектор с, .модуль кото-
рого равен |al|6| sin <р, где <р — угол между векторами,
а_ направление перпендикулярно плоскости векторов а,
Ь и_ притом так, чтобы после совмещения начал векторов
а, & и_с кратчайший поворот ст а к &, если стншдчь с
конца с, казался совершаемым прошв часовой стре :-
ки (рис. 1.77).
Свойства произведений векторов:
ab --= ba; a (ab) — (аа) й;
а (Ь -}- с) — аЬ + ас;
аХЬ ——(ЬХа); а (яхЬ) (ас); Ь;
аХ(Ь -Д с) == ихЪ ф аХс.
ab - ax bx ф a,, bt/ -j- as b,;
o.Cb
i j k
ac ay a:
b, bu by |
1.16.2. Векторный анализ
Есин каждому значению скалярного аргумента t в
некоторой области соответствует)определенный вектор а,
то имеем векторную функцию u(t) скалярного аргумен-
ска-
век-
\а
. At
аа-с	dat!	da 2
и является вектором с проекциями  Ф~ , ——,	—.
dt	dt	dt
Правила дифференцирования векторов:
та т. такая функция определена, если заданы три
лирные функции йх(1), Oy(t), u-(t). Производная
do
торной функции а ...... определяется как lira
d
dt
du
dt
(и — скалярная функция аргумента t);
d	da -	- db
----tab) ------b ф a------;
dt	dt dt
Вектор с, зависящий от положения точки Qjs прост-
ранстве, называется векторной функцией точки, у = о(Q).
Функция и определяется заданием векторною аргумента
г, спреде, шикнет о 1ю..оженти> точки С; о=-о{г) сеть век-
торная функция векторного арен,тента.
Криво.-тинейный интеграл от (функции о (г) вдоль пути
Ab oupiдл.ыется формулой
Г.с.ш
j v (г) dr — lim 11 ту д
ЛЦ	ВЦ. V
г =- с-1 + ои ]	о.; L,
M
dt ’
1,17. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
---—z,,.
ТО
J v (г) dr = f vx dx ф- Vy dy + v2 dz.
AB	AB
Интеграл в правой части есть обычный криволинейный
интеграл вдоль пути АВ. Криволинейный интеграл, взя-
тый по замкнутому контуру, называется циркуляцией
вектора.
Градиентом скалярной функции и(х, у, г) называется
вектор, направленный по нормали к поверхности и(х, у,
z)—const (поверхности уровня) в сторону возрастания и
и модуль которого равен производной от и по направле-
нию нормали; обозначение: grad и. Свойства градиента:
ди - ди — ди _
grad и = —— i ф- j -г- -xr- k;
дх ду дг
grad с = 0; grad ф- и2) = grad иг ф- grad а2’>
grad {иг -иД = Ui grad щ ф- u2 grad ut.
Дивергенция векторной функции v является скаляром,
вычисляемым по формуле
do,	дси	до,
div v - ф- -у- -т- .
дх ду	ог
Свойства дивергенции:
div с — 0; div (щ ф- vs) = ф- div v2;
div (uu) — и div v ф- о grad и.
Ротор (вихрь) векторной функции и есть вектор, вы-
числяемый по формуле
Свойства ротора:
rot с = 0; rot (щ ф-1'2) = rot гц ф- rot o2;
rot (uv) = urotv ф- grad uXv.
1.16.3. Тензоры
Пусть вектор а задан своими координатами at, az, аз
в системе декартовых координат с базисом ец е2, е3 (Pi,
et, е3— орты, направленные по осям координат). В дру-
гой системе прямоугольных декартовых координат с ба-
зисом е1г е.)г е3 координаты вектора а будут
з
а'= S а а. (1 = 1, 2, 3),
k=i lk к
_гЛ
где a.k = cos ( ei , efcJ .
Это позволяет определить вектор как совокупность трех
величин at (i=l, 2, 3), которые определены в каждой
системе декартовых координат и при переходе от одной
из этих систем к другой преобразуются по указанным
формулам. При таком определении вектора а назовем его
тензором (аффинным, ортогональным тензором) первого
ранга а, (по числу индексов в этом обозначении).
Обобщением данного определения вектора является
понятие тензора второго ранга. Если в каждой системе
прямоугольных декартовых координат определена сово-
купность величин Oik (i, й=1, 2, 3), которые при пере-
ходе от системы координат с базисом et, ez, es к системе
координат с базисом ер е2, е3 преобразуются по форму-
лам
з
а'.= S а.т“ь„а„ (г, й = 1,2,3),
ir?l fzn /Лц '	7
m9«==l
то совокупность величин называется аффинным орто-
гональным тензором второго ранга (по числу входящих а
это обозначение индексов).
Аналогично можно определить тензоры третьего, чет-
вертого и т. д. рангов (и не только в трехмерном прост-
ранстве, но и в пространстве любого числа измерений).
Тензор второго ранга можно представить в форме
#11	#12	#13
й£-у —	#2j	#22	#23
#31	#32	#33
Тензор называется симметричным, если ait=a4Ji и
кососимметричным, если сф|Д=Й—адь	У
Всякий тензор второго ранга может быть представлен
в виде суммы симметричного и кососимметричного тензо-
ров но формуле
1 . 1
аи = ~ (аи ф- ац) ф- -—-.(ар- — аи).
Совокупность девяти компонентов напряжения a», ev,
о2,	txz='r2I, Tvz—tzv образует симметричный
тензор второго ранга —*тензор напряжений
f Ш£	тфг
Т = <	°и гуг
lTzx ау'
1.17. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
1.17.1. Общие положения
Для вычислений применяют логарифмические линей-
ки,: .таблицы логарифмов, степеней, корней и специаль-
ных функций, арифмометры, номограммы. В настоящее
время широко используются для различного рода трудо-
емких расчетов и решения сложных уравнений быстро-
действующие электронные вычислительные машины
(ЭВМ). При выполнении инженерных вычислений надо
5—1303
отдавать себе отчет в необходимой для каждого отдель-
ного случая точности и сообразно этому составлять рас-
четные схемы и выбирать вейбйбгательные средства.
Если некоторая величина Л имеет своим приближен-
ным значением число а, то абсолютной погрешностью А
числа а называется абсолютная величина разности чисел
Лиа, А=|Л—а|. Неточность вычислений или измере-
ний лучше характеризуется, относительной погрешностью
S = Aja. Так как абсолютная и относительная погрев-
66
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
нести неизвестны, то вводятся соответствующие предель-
ные погрешности. Наименьшее число Д;(ф), о котором
можно утверждать, что при данном приближенном вы-
числении или измерении абсолютная (относительная) по-
грешность не превосходит А;(ф), называется предельной
абсолютной (относительной) погрешностью.
Влияние относительной погрешности исходных вели-
чии таково:
относительная погрешность алгебраической суммы
заключена между наименьшей и наибольшей относи-
тельными погрешностями слагаемых;
относительная погрешность произведения и частного
равна сумме относительных погрешностей сомножителей
или соответственно делимого и делителя;
относительная погрешность степени равна произве-
дению показателя степени на относительную погреш-
ность основания.
Если &х, Ду — малые абсолютные погрешности, соот-
ветствующие величинам х, у, то погрешность А/ при вы-
числении функции f(x, у] определяется по формуле
аг НПл , ! д? L
I дх I | ду I
в частном случае суммы, произведения и частного
имеем
Д (х 4- у) = Дх 4- Ау; Д (ху) = \у\ Ьх + |х| Ду;
. I X \	|У1 Дх 4- И by
Д   =е — -------------—- .
\ у ! уг
Если в десятичной дроби желают освободиться от
лишних знаков, то пользуются правилом дополнения:
последнюю из остающихся цифр оставляют без измене-
ния, если первая из отбрасываемых цифр меньше пяти;
если же она больше или равна пяти, то последнюю из
остающихся цифр увеличивают на единицу.
При выполнении действий с приближенными числа-
ми придерживаются следующих правил:
при сложении (или вычитании) сохраняют в слагае-
мых столько десятичных знаков, сколько их имеется
в слагаемом с наименьшим числом знаков, а в резуль-
тате одним знаком меньше;
при умножении (или делении) число значащих цифр
в множителях должно быть такое, как у сомножителя
с наименьшим числом значащих цифр, а в результате
одной цифрой меньше;
при возведении во вторую и третью степени или
извлечении корня число значащих цифр результата
должно быть на единицу меньше, чем у числа, над ко-
торым производится соответствующее действие;
результаты промежуточных вычислений должны со-
держать одной верной цифрой больше, чем окончатель-
ный результат; в окончательном результате последняя
цифра отбрасывается,
если имеется возможность, то в исходных данных
надо давать одном верной цифрой больше, чем требу-
ется в результате;
следует избегать вычитания близких друг к другу
чисел; следует по возможности преобразовать форму-
лы так, чтобы в них отсутствовали разности близких
чисел.
1.17.2. Приближенные формулы
При очень малых значениях х применимы прибли-
женные формулы, приведенные в табл, 1.23.
Таблица 123
Приближенные формулы (х в рад)	значения г в град при ошибке 0.1% 1	1%	
SJB х = х	14,4	±И
cos	-12,6	±8.1
Щ X = X	Ф3.1	±101
X-* 1 sin х = х — ~~ о	±35	±59
COS X 1	±22	4-31,2
Х2 tg Х = Х^~	-	±22	^30,5
Применяются также следующие приближенные фор-
мулы:
е'с — 1 4- х;
(1 ± х)т (1 at у)’1 (1 тс г)Р = 1 тс ГЛ'С тс Пу лЦ р2;
2
х — у
V ху < —— при х > у > 0;
это неравенство дает возможность оценить, в каких
'	1/ х + У
случаях можно приближенно положить у ху =—~:
xz 4" Уг ~ 0,960х 4- 0,398р при х > у
(ошибка меньше 4% истинной величины);
Ух~ 4- у2 яа 0,9938х + 0,0708у 4- 0,3567
X
(ошибка меньше 2% истинной величины);
Ух2 + у2 4- г2 S3 0,939.1 4- 0,389у + 0,297г
(при х>г/>2 ошибка меньше 6% истинной величины) 6
Приближенное значение кори;: второй и третьей сте-
пени из положительного чист N можно найти, поль-
зуясь логарифмической линейкой, кооеиь любой степени
можно извлечь с помощью таблиц десятичны?, логариф-
мов, руководствуясь формулой
1g .1'=-^-1g Л'
Если необходимо найти более точное значение корня,
то хорошие оезультаты дает формула
„ (я }. 1)У у (и - 1)ап
у Л/ =----------------------==
(«-- 1)Л' [- (п \)а'\
Г	2(Л’—ия) 1
=а 1+-----------------'----- .
L (га — 1) /V р (п 1) <±‘J
где а — приближенное значение корпя. Например,
т,Г~ Г 2(2 — 1,96)1
У 2 = 1,4 1-4 —-------4~4~ = 1,414.
[ L 2 4- 3-1,96 J
1 Последние три форму :ы получакл я ш теории Чебышева
о функциях, наименее уклони.ощится от нуля.
’ НОМОГРАФИЯ
&7
1,18. НОМОГРАФИЯ
1.18.1. Ф|нкцйойаЛьная шкала
Задачей номографии является графическое представ-
ление уравнений с несколькими иерейенйымй, позволя-
ющее для данных значений независимых перёмёййых
найти соответствующее значение зависимого переменно-
го с точностью, достаточной длй обычных ййженёрных
задач.
Основным понятием в номографии является функ*
ционалъная шкала, т. е. шкала, па которой откладыва-
ются значения функции, а пометки делаются соответ-
ствующими значениями аргумента. Примером может
служить логарйфмйческая шкала счётной линейки.
Шкалы могут быть прямолинейные и Криволинейные,
Для уравнения с двумя переменными F (х, у) =0 приме-
няются иУйограмйьг со сдйбеййбй шкалой (рис; 1.78)..
Рис. 1.78
Рис. 1.79
1.88.2. Номограммы из выравненных
точек
Применяются для решения уравнений с тремя пере-
менными типа 4с₽(й) +-дф(у) —(a + bjyjz). Три парал-
лельные прямые, шкалы отстоят друг от друга на рас-
стояниях а и Ь (рис. 1.79). Начало отсчета — на пря-
мой, перпендикулярной шкалам; На шкалах х, у И г
откладываются (у )х), ф(у) и %(г) в одинаковом равно-
мерном масштабе.
Если уравнение имеет вид
Ф (у) -|- ф (ф) = I (2)
и если ср(х) откладывается в масштабе tn,, а ф(р) -«
в масштабе тд, то y{z) откладывается в масштабе,
определяемом формуйбй
тхту
т~~ ----:--1— .
тх + Пу
Положение средней шкалы получается из Соотношения
1.18	;3. СетчатВЙ Номограммы
Применимы для любого уравнения типа f (х; у) а=г.
Они строятся в виде сетки взаимно перпендикуляряих
прямых (рис. 1.80); по однбйу йаправлёййю в лйбом
масштабе откладываются значения х, по доугому — у.
Давая г поочередно значения zi; z2> гп, сгроят’необ-
хрдимое количество кривых, соответствующих уравне-
ний f(x, y)=^Zi. Зная щ и yh, стооим гощу Л, по ю-
торой ищем гк. Если А не попала ни на одну из кри-
вых zi, za, z„, то значение zb берется по интерполя-
ции. Если известны гт и хм то, очевидно, не представ-
ляет Фруда йаити фя>.
1.18.4.	Номограммы для уравнений
с числом переменных более трех
Рассмотри^ йрбстёйшйй Случай с чёШрьМА пёрёмёй-
ными: F(*i, я>, xg xQ fefl.
Если функцию F можно представить в виде F(Xy xg
ху, х4)=Ф[ср(х], х2), тс3, х4], то для построения Номо-
граммы вводят новое переменное ф = ф(хь xs) и строят
одну номограмму для уравнения Ф(гр,‘ х3, х4)=0 и вто-
рую номограмму для уравнения cp = fp(xi, х2).
Шкала ф является общей для обеих номограмм
и служит шкалой связи.
Подобных! образом можно составлять разнообразные
номограммы с большим числом переменных (рис. 1.81).
_ а
ту Ь '
Зная Xi и у,, соединяют точки, которые им соответству-
ют па шкалах х и у прямой, называемой индексом; точ-
ка пересечения этой прямой со шкалой г дает искомое
значение г,.
Посредством такой номограммы..можно, решать так-
же уравнения вида [ср (*)]2 ['Ф (У)ГИ =17 W1A Для этого
нужно прологарифмировать уравнение и представить
его в виде
I Jg Ф W + т 1g ф (у) = п 1g ф (г).
5*
68
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
1.19	. приближенное представление функции
1.19.1.	Постановка задачи
Вопрос о приближенном представлении функций
(аппроксимации) имеет большое значение. Приведем
примеры.
При обработке наблюдений мы можем получить зна-
чения некоторой функции для соответствующих значе-
ний аргумента; надо построить функцию по этим зна-
чениям. Дана функция, которая имеет сложный вид;
надо представить ее приближенно в более простом ви-
де. Дано дифференциальное уравнение; надо найти при-
ближенное выражение его решения.
С приближенным представлением функции связаны
другие многочисленные задачи, например: вычислить
приближенно площадь, ограниченную данной кривой,
двумя ординатами и осью абсцисс; дана сложная пери-
одическая функция-—представить ее приближенно по-
средством тригонометрических функций (разложить на
гармоники).
Если произвольную функцию z/=f(x) желают выра-
зить в данном интервале посредством заданной функ-
ции yi=F(x, а, р, у, ...), которая зависит от параметров
а, |3, у, ..., то задача сводится к определению этих пара-
метров.
Кривой ошибок называется кривая, заданная урав-
нением у=А(х), где Д(х)-=/(х)—Е(х) (рис. 1.82).
Если абсолютные величины максимумов и миниму-
мов этой кривой равны между собой, то кривая ошибок
называется, согласно Чебышеву, функцией, наименее
уклоняющейся от нуля Однако обычно применяют ни-
жеописанные приемы, так как они приводят к более
простым вычислениям.
1.19.2.	Интерполяционные формулы
Если требуется найти функцию y = F(x), график ко-
торой должен пройти через заданные точки (х0, у0);
(хь I/O; ..; (х-а, уп), то можно пользоваться интерпо-
ляционной формулой Лагранжа:
(х — xjfx — х»). •(х — хп)
F(x) ~ у0-	~	ф-
(«о — Xi)(x0 — х2) • • • (х0 — хп)
(х — хв) (х — хг)---(х — х„)
+ Ут ~	; т~ '	; +
(Х1 —Х0)(Х! — х2)- • -(Хх — хя)
Л- -  Уп ~~ ' " т~,	; ,.... т~ •
(Хл~Х0Ж~Х1)‘--(Хп~Х^1)
Для этой же цели применяется интерполяционная фор-
мула
F (х) = F (х0) -ф (х — Xj) Fi (xj 4-
4- (х —	(t — xx) Лз(х2) 4-
(x - x0)(x - xj  . (X - x„_,) Fn_}
где
% Xq	X '—
При равных разностях h аргумента пользуются фор-
мулой Ньютона:
Л 1! Л2	2!
А” i/о (*-*о)(*
Н Ь hn	п!
разности Куд, А2уо.... вычисляются по формулам
At/о = У1 — г/0; Kyi — уг — уц .. •;
А2 уа --= ЬУ1 — Дг/0...
В табл. I 24 приведена разностная схема.
Таблица 1 24
X	У		Л-у	Л3У	
х0	у0				
х3		Ли,	А!%		
Х2		ЛУ1	Л-У1	Л3и,	Д*г/8
Ад		ЛУг	Л-у.		
а4					
					
					
Интерполяционная формула Ньютона дает точный
результат только в том случае, если в одном из столб-
цов таблиц разностей всюду получается нуль (это име-
ет место, если заданная функция — полином). Если зна-
чения разностей в каком-либо столбце отличны от ну-
ля, но достаточно малы, формула дает приближенный
результат.
х—-х0
Обозначив ——— —и, представляют формулу Нью-
h
тона в виде
и .	«(и — 1) . „
У — Уа + Ai/0 4-	А- у0 4-
А.
п!
Практически сохраняют в правой части формул
столько членов, чтобы при добавлении новых членов
оставались неизменными те десятичные знаки, которые
обеспечивают нужную точность результата. При вычис-
лении значений, относящихся к последним срокам раз-
1.19. ПРИБЛИЖЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
од
костной схемы, применяется вторая интерполяционная
формула Ньютона:
v	v (у -ф- 1)
у = уп + y д^л-1 + —21— Д2	+
»(’ + 1) (и + 2)
+ “------ф—"' д3 Уп-з+ •' ц
01
где	v.	• •	•
о=
п
0.
А5 У-з + А5 У—з	\
4-4--------------- 4-- • • ;
5!	/
f" Uo) = “ (дг У-i “ ~~ А4 У—2 + ~ А8 у_3+ • • у,
1 /A3y_2+A3y_j
Г(х0)=~^----------2----------
30 AS у_3 4- А6 у_2 '	\
5!	2 л- ' ’ -
Формула Стирлинга:
и
у = у0 + --	2
А#0 + дУ-1 ,
2!
2	+
(» + I) и"(и~ 1)
41
1.19.3. Приближение функций
по методу наименьших квадратов
Идея этого метода заключается в том, что заданная
функция f(x') аппроксимируется функцией F[x, a, (3,...),
у которой параметры а, р,... подбираются так, чтобы
интеграл
«3(и3— 1)---[и3 —(я—I)3]
(2л)!
^У-П'
&
4=	— F(x, a, p,...)pdx
х~ х0
где и= ~ и разности соответствуют случаю, когда
заданы значения функций	J/_р Уо, У1, !)%>,
для значений аргумента
••х_2=х0 —2ft; x_^=*x0 — k
ха; xi — xa-j-h\ хз~ .«о + 2Л...
В формулу входят значения функции у, примыкающие
с обеих сторон к уо; поэтому эта формула применяется,
когда аппроксимирующая функция должна давать до-
статочно точные результаты для значения х близко к
значению хо, лежащему в средней части разностной
схемы.
Между разностями и производными имеются при-
водимые здесь зависимости.
Из формулы Ньютона получаем
f (х0) = 4- I Ьу0 — 4- А3 у0 +
п \	2
+ " АЗУо—“ Д4УоН—j;
f" Uo) = ~~ ^Д2 Уч — Д3 Уо + ~“Г д’Уо ~~
5 . 137 . \
— .— Д5 у д_----- Д« у „	;
6	180	0 J J
1 I 3
Г Ы =	^Уо +
7	15	\
+ ~~ А5 Уо + — А« уa 4--- .
4	о	/
получил минимальное значение. Это приводит к таким
уравнениям для определения коэффициентов, а, $,...
Ь
dJ С	„ 3F (х, а,
——=—2 lf(x)~F (х.а.р,,..)]-——^-dx =0;
да J	да
а
 b
dJ С	п 3F (х, а, В...)
-ж =-2	[/ (X) - F (х, а, ₽, ...)]	dx=0;
4р J	ор
Можно указать на соответствие между методами ап-
проксимации функций д . методами строительной меха-
ники. Аппроксимации ио методу функций, наименее
уклоняющихся от нуля, соответствует расчет брусьев
по предельному состоянию (выравнивание моментов);
методу наименьших квадратов — расчет по началу наи-
меньшей работы; методу интерполяции — способ пре-
вращения многопролетной статически неопределимой
балки в статически определимую введением дополни-
тельных шарниров (фиксирование точек с нулевыми мо-
ментами’). Различные методы аппроксимации дают
различную точность.
Пример 1.15. Дана функция /(x)=sinx. Требуется
представить ее приближенно в интервале (0, л) по-
посредством полинома
F{х, а, 0) = ах —- 0х3-
Разлагая sin х в ряд Маклорена и ограничиваясь
первыми двумя членами разложения, получаем при-
ближенно
х3
sin х — х ——— =‘х — 0,167х3.
6
Из формулы Стирлинга получаем
’ h \	2	3!
Да у 2+Дэу!
2
Подбираем а и (J так, чтобы кривая у — ах~(Зх3 имела
/ л \
с кривой y=sinx общие точки (0, 0),	1 )и (л, 0)j
1 См. И. Я. Шта ер м а н. Современные методы аплроксИ’
мации, Известия ОТН АН СССР, К* I, 1939а
70
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
/ JX \	/ зх \
а \Т I ~~ *’ аЯ ~ ^%8 =
Найдя а и (3 и подставив в искомую функцию, получим
Р(х) =0,846 х—0,0866 х3.
Подбираем а и (3 по методу наименьших квадратов:
л
J= J (sin X — ах + Pxs)2 dx-,
и
Приближенное вычисление определенных интегра-
лов можно провести по одной из следующих формул:
b
J f (х) dx	(?/0 +	... Д у^.
а
ь
С	b — а
\ f (x) dx ~~ ~ (i'l + Уч + . . . +
dJ
да
=—2 j (sin х — ах + pz3) xdx = 0;
л
dj С
—— =2 I (sin x — ax + fix3) ~3 dx = 0.
dp J
о
Вычислив интегралы и найдя аир, подучим
F (х) = 0,856s — 0,0934ж3.
Рис. 1.83
На рис. 1.83 показаны синусоида и все три прибли-
женные кривые. Нетрудно убедиться, что разложение
по Маклорену очень точно аппроксимирует функцию
вблизи одного значения аргумента (в данном случае —
начал координат), но по мере удаления от этого зна-
чения бистро теряет в точности. Что же касается ин-
терполяционного метода и метода наименьших квадра-
тов, то они дают хорошую аппроксимацию во всей ин-
тервале разложения; по методу наименьших квадратов
получаются кривые, которые приближаются лучше, чем
по методу интерполяции, но зато вычисления получа-
ются несколько сложнее.
1.19.4.	Приближенное вычисление
определенных интегралов
Правило П. Л. Чебышева для приближенного вычис-
ления длины дуги выпуклой симметричной кривой
(рис. 1.84):
, /	16
s « АО 4- ДВ= 1/ Р + — Й2 .
Это правило дает приемлемые результаты при
h/is^O.o. Для достаточно малых значений hjl это пра-
вило приводит к приближенному равенству
/	8	№
з = I 14- — •—
V 3	Г-
ъ
f	b — а
f(x)dx «----------id .+ У ,,+ + У (формулы
•’	п I Д 2
а	\ 2	2	2/
прямое голышка);
b
J f (х) dx « —п— --------— +у1 + У2+- -  г/„_г j
а
(формула трапеций);
о
Г	b — а
1 f (х) dx т — [jy0 4- уп л- 2 (у2 4- Hi 4- • • • 4-	j)+
J	*~>?1
а
4- 4 (pt 4- у3 + . . . 4- йп__1)1 (формула парабол или
формула Симпсона).
3 этих формулах: а<Ь; п — число равных интервалов,
на которые разбивается интервал [а, Ь] (з формуле
Симпсона п — четное число); хц Xj,хя_|— точки де-
ления интервала [а, Ьф
х0=-а; xn-—b; yi^f(xi) (i =-- 0,1, . . . , п);

Если в интервале (а, Ь) существует непрерывная
вторая производная f"(x) и (х)|^)М, io при вычис-
лении интеграла / по третьей формуле прямоугольников
абсолютная ошибка
Ь — а
A J <-----(Ах)2 М,
'24
а при использовании формулы трапеций
A.J
Ь — а
12
(Ах)2 М.
Если в интервале (а, Ь), функции/(х) имеет непре-
рывную четвертую производную и |фч(л) [ s^A', то при
использовании формулы Симпсона ошибка
1.20. РЯДЫ ФУРЬЕ ...............
71
b — а
1 OU
/	b —a \
во всех этих оценках Дх= —------- .
\ » !
Помещая начало координат посередине интервала
[а, Ь] н выбирая такой масштаб по оси X, чтобы а— — 1,
Ь = 1, можно применить формулу Чебышева:
Ь
j f	(/ (xj + / (z2) -T    + f Ы] ,
a
где значения Хъ х%>xn в зависимости от п даны
в табл. 1.25»
Таблица 1.25
л	X
2	Xi =—*2 = 0,5774
3	Х1 = — *л = 0,7071,	= 0
4	Xi= — **=>0,7947, хг--х8=0,187б
5	*х=™ я9=0,8325г *2=—х4 ^0,3745, ха = 0
1.20. РЯДЫ ФУРЬЕ
1.20.1. Разложение функций
в ряд Фурье
Одним из видов функциональных рядов является
тригонометрический ряд
2
+ dL cos х -ф bx sin x + a3 cos 2x +
+ b2 sin 2x + ... + an cos nx + bn sin nx -J- ...
Ставится задача подобрать коэффициенты ряда так,
чтобы он сходился к заданной в интервале [—л, л]
функции; иначе говоря, требуется разложить данную
функцию в Тригонометрический ряд. Достаточное усло-
вие разрешимости этой задачи состоит в том, чтобы
функция была в интервале f—я, а] кусочно-непрерывна
и кусочно-дифференцируема, т. е. чтобы интервал
[—л, л] мог быть разбит на конечное число частичных
интервалов, в каждом из которых данная функция не-
прерывна и имеет производную (на концах частичных
интервалов функция должна иметь конечные односто-
ронние пределы и односторонние производные, при вы-
числении которых в качестве значения функции в конце
частичного интервала берется ее односторонний пре-
дел). Условие кусочной дифференцируемости может
быть заменено условием кусочной монотонности функ-
ции, т. е. требованием, чтобы в каждом из частичных
интервалов функция была монотонна. Достаточным
условием разложимости функции в интервале [—л, л]
в тригонометрический ряд является также требование,
чтобы в этом интервале функция имела ограниченное
изменение. Ио определению функции )(х) имеет в ин-
тервале [а, Ь] ограниченное изменение, если при любом
разбиении этого интервала на конечное число интер-
валов
[х0.*'11, [-4,х8][хя_!,хв] (х0 = в, лп = 6)
зеличина
п
г=1
ограничена сверху одним и тем же числом.
Именно с такими функциями приходится иметь дело
при решении практических задач.
Ира выполнении любого из трех указанных доста-
точных условий функция f(x) представляется в интер-
вале [—л, я] тригонометрическим рядом, у которого
коэффициенты определяются по формулам
К	тс
e9 = ~ J / (х) dx? ah — f (х) cos fix dx-,
—-т?	—
тс
=~~* J f («) sin kx dx; k— 1,2, 3 .
При таких коэффициентах тригонометрический ряд на-
зывается рядом Фурье. Этот ряд сходится к f(x)
в каждой точке ее непрерывности; в точках разрыва
он сходится к среднему арифметическому левого и пра-
вого предельных значений, т. е. к —[f(x—0) +/(хф-0)],
если х есть точка разрыва (рис. 1.85); на границах от-
резка ряд сходится к “[/(—л4-0) 4-f(л—0)].
Функция, выражаемая рядом Фурье, есть функция
периодическая, а дотому ряд, составленный для фун»
ции, заданной на отрезке [—л, л], сходится вне этого
отрезка ж периодическому- продолжению этой функции
(ркс. 1.86).
72
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
Таблица 1.26
f (х) = b при 0 < X < л; f (х) = — Ь при а < х < 2ге; , , , 4Ь , son х , sin Зх , sin Sx .	\ =	 —р- + Л \ I	3	о	/		"1 Jr	.ZkL
		1	bl 1
/ (х) х при 0 < х < 2л; /sin х . sin 2я , sin Зх .	\ Г"(х)„л-2^-_~ +___ + _—_ + ... j		/	
			0 2^
2bx	л f (x) — 	 при 0 < x < — ; Л	2 ,	2b (Л — x)	Л / (x) —	— при — < x < л; a	2 f (x) = — f (— x) = — / (x 4- л); 8	/sin x sin 3x , sin 5x	\ f (x) =	 У 		 — 				 • • л! \ 1’	3=	5“	)			/К .
		1 > 1 /	
f (x) — x при 0 < x < Л; f (x) = 2л — x при л < x < 2л; л	4 / cos x , cos 3x , cos 5jc ,	\ / U> 			4	4-		 -4- •  } 2	л \ Is	З2	53	J			/Y\ у ( 1 \Z	 0 ft 2Л
bx f (x) ~ -— при 0 < x < a; a f (x) =b при a < x < л — a; Ь(л~ x) f (x) = —i		 ПрИ n -- a < x < л; f (x) —	f sin a sin x 4- sin 3a sin 3x 4—— sin 5a sin 5x 4- - -  \ Iй	3й	52	)	/		УГ~\ О if lA . ° \ Л
f (x) = x (л — x) при 0 < x < л; f (— x) = — f (x) при — n < x < 0; , ,	8 / sin x , sin 3x sin 5x ,	\ f (XI =	 			1	f	1-  • • n \	1’	3'	5s	}	4		
Если рядом Фурье представляется функция f(x), за-
данная в произвольном интервале (<1, а + 2л] длиной 2л,
то коэффициенты ряда а0, а*, bh (коэффициенты Фурье)
можно определить по указанным формулам, в которых
пределы интегрирования заменены на а и <14-2л. Вооб-
ще, поскольку в формулах для ав, a.it, Ьк стоят функции
с периодом 2л, интегрирование можно проводить по лю-
бому интервалу с длиной 2л,
Ряд Фурье может быть использован для прибли-
женного представления функции, а именно: функция
f(x) заменяется приближенно равной ей суммой зя(х)
первых нескольких членов ряда Фурье:
а8
I (х) « sn (х) = -у + at COS X 4- 61 sin X +
+ аг cos 2х 4- 6а sin 2х + ... + ап cos пх + bn sin пх.
Выражение s„(x), где во, at, Ь-я являются коэффициен-
тами Фурье функции /(х), по сравнению с другими вы-
ражениями такого же вида с тем же значением п, но
с другими коэффициентами, приводит к минимальному
среднему квадратичному отклонению sn{x) от f(x), ко-
торое определяется как
В зависимости от рода
им некоторые упрощения.
/(—х)=/(х), то
симметрии функции возмож-
Если функция четная, г, е.
К
аь = — J f (х) cos kx dx 3	™ 0 (£ = 13 2, 3...)
и

[/(х) — sra(x)Pdx.
«О = ~ J / U)
Q
1.20, РЯДЫ ФУРЬЕ

'Таблица 1.27
График функции
cai| 2 С г"1*’*
	"Н	2с	SP	
HINIIIISnilll			наши	Ш1
Ч 2	ск	' 1	ip	
	рьйЬ.	*=3 рГ			
ГгНГПп
£Еб»
Кв. парабола
1suSll
Р । Кб. парабола
i	йиМЕ	ТГПъ^	
		
	Ряд Фурье	п
	«Л а„— — п К vr. , 2р V 1 — —z_ у — s]n а с cos а (х — е) К	К	ап	п 2рс , 4р V3 1	, — + 	 Л — sin Г£„ с	е cos а„ г К	X,	%	п	п	п s2p V1 1 	2j~ s,ncvcfis%* с	п Р . Р V 	1	* , COS а (х — г) 22.	К	п Р , 2Р V 		7 .cos а е cos а, х К	К	п	п Р , jP V’ ' 		\ -V- cos а„ х 2	>- Z_) а2	га п р	V 1 Ш	V — cos а х 1 М Zj а2	п — о 4- У -Ц- (-—l^^cos а х 3	V Z1 к2	" «4-1 32р V 1 , и 2 	/ \ —- (— Ч	cos а. х 7?	а3	п	1,2.3. . . 1,2,3 . . - 1,2.3- . . 1,2,3. . . 1.2,3. . . 1,3,5 . . . 1,3,5. . . 1,2,3 , . . 1,3,5. . .
	График функции			Ряд Фурье	п
	1—	а >	=-* 2с [- ИГЛ-;0		пл %=^- А ~ Э — sin а с sin гхи е sin cz х X Zja	п	п	п п Р , 2г V 1  — + — ? ,— Sin а * 2	X	а	/£ даэ п Р	2Р V 1 , 		ъ — sin а х '2	К	а	п 4®ss* п 2Р V • •	 Д, sin а е sm а„ х	— I, 2, 3...
	1 J^t'	«- е—1 ЛННШ|	"Р		1, 3, 5...
	1ИИ1ИИ1	-р 		ТП		
		1 к			1. 2, 3...
	^Я5-	-®8	„e-J Тптттг-.-,— 1		—i— sin а, х Л Д1«„ п 2Х У -I (-1)»-Hsinc! х 11 Xj»n	'	1 о 3
Р"		'Р	1	-Р		1, 2, 3...
74
РАЗДЕЛ b МАТЕ/ЛАТИКА
и функция разлагается в ряд по косинусам. Если функ-
ция нечетная, т, е. /(—х) =—f(x), то
а„ = 0, а* =0,
2 f
6й = — 1 f (х) sin kxdx (k = 1,2,3...)
0
и функция разлагается в ряд по синусам. Если функ-
ция удовлетворяет условию )(х + л) =—f(x}, т. е. кри-
вая, относящаяся я половине отрезка длиной 2 л, явля-
ется зеркальным отражением другой половины кри-
вой, то
2 f
а2й-р1 = — I / (х) cos (2й + 1) xdx;
о
йА+1 = ” J/ W sin <2Й + Ijxdx',
о
а-г!г —	= 0.
Функция может быть задана не только на отрезке
длиной 2л, но также на отрезке любой длины 21. Если
она на этом отрезке удовлетворяет приведенным выше
условиям, то она разложима в ряд Фурье следующего
вида:
г а0	лх	пх	2лх
/W — -j- + Qi cos —р + b, sin -у- 4- а2 cos —у— ф-
, . 2лх	knx „ kctx
+ Ьъ sin —j— + ... + ak cos —-— + Ьк sin —— -ф
причем коэффициенты ряда вычисляются по формулам
I	I
! f	! f	йлх
о0=—	ад=— jfUJcos—— dx,
—I	~l
I
1 f	kax
bk = ~Y fix} sin —y— dx.
—i
В табл. 1.26 даны разложения некоторых функций.
Тригонометрический ряд можно записать и в таком
виде;
VI knx \
, Rk sin I —у- + фй ).
k=l
где
Ряд Фурье функции f(x) сходится тем скорее, чем
более гладкой является функция. Если функция f(x} и
ее производные	всюду непре-
рывны, a fW(x) допускает лишь точки разрыва 1-го ро-
да в конечном числе, то коэффициенты Фурье ап, Ь„
функции f(x) будут
/ 1 \
Символом о — I обозначается такая величина, что
\ Р 1
/ 1 \
р. О ---I -* 0 при р- ^ оо.
\ р /
Разложение в тригонометрический ряд называют
гармоническим анализом, а тригонометрические функ-
ции, входящие в этот ряд, — гармониками. Вычисление
по составляющим гармоникам называется гармоничес-
ким синтезом
При расчетах конструкций часто приходится разла-
гать в ряд Фурье различные функции, заданные графи-
ками, и прежде всего изображающие нагрузку. В табл.
1.27 и 1.28 дамы разложения для некоторых функций,
характерных для нагрузок, в том числе и ряды, соот-
ветствующие сосредоточенным силам.
1.20.2. Интеграл Фурье
Если функция fix) на .тюбом конечном ттеочзле
удовлетворяет условиям, указанным в 1.20,1, и если при
этом сходится интеграл
сс
f ]f(x}jdx,
—со
то справедлива формула (интеграл Фурье)
f(x} = ~ du | f (0 e~lM di =
— CO	—co
co co
= —— J"du J f(t)e.oiu(t—x)dt.
 > —co
Если f(x)—четная функция, то справедливы соот-
ношения
2 С
f (х) = — н? (и) cos их dx,
л ,)
о
где
g(u) = j f (t) cos uidl
1.
(косинус — преобразование Фурье).
Если ;(х) —нечетная функция, то
2 Г
/ (х) = — g (и) sin их dx,
л ,)
где
СО
g(a) = | f (1} sin utdt
(синус — преобразование Фурье).
В табл. 1.29 па аналогии с табт 1.27 и 1 28 пред-
ставлены в виде интеграла Фурье некоторые функции,
характерные для нагрузок1
1 Табл 1 27, 1 28 и 1 29 взяты из книги Beton — Calender, 1933,
ч II, Veri AV. Ernst,
1,20. РЯДЫ ФУРЬЕ
15
График функции
Интеграл Фурье
Т а б л й д а 1 29
2р
— sin а с cos а (х—£) da
а
4n р 1
—4 — sin а ff cos а е cos а х da
0
2р
sin а с cos ах da
Р С
— I cos а (х — в) da
о
2Р
А
Р
2р р 1
---i ----- (cos ас-}- ас sin а с — 1) cos a xda
пс J сГ
о
1.20.3. Приближенный гармонйчйский анализ
Формулы Чебь1Ш.ева. Во многи» случаях (например,
если вычисление коэффициентов разложения представ-
тет гохдности рс'Ч пу, дц. з j з’ты графически или
в ’аОточной форме) применяют другие приемы разло-
жения в тригонометрический руд. Один из ни? заклю-
чается в замене интегралов суммами.
Пусть период 2л разделен на т равных частей точ-
ками	.,
3 !:Д	- ^=0; Xl,	,-Х/п ~ 2а -
'	2л4	'
Хк = -----для k = 0, 1,2,..,, т
т	
и значенья фччьцчи [ (ст) =я/е заданы чти мртут, быть
измерены. Тсцда для вычисления ксгффшшеитов суммы
=- So + aiCOS х Н-д?.соз 2х + .. - +
+яп_1 oos (п — 1) х + a^cos пх -ф- Ьг sin х +
+ festo 2х ф ... . -J- &л_} sin (g хя 1 } л,.
76
РАЗДЕЛ I МАТЕМАТИКА
содержащей 2п коэффициентов, при т—2п можно
пользоваться следующими формулами:
таа = 2 S fk; тап — Е (— 1)к fk',
k=\
т
map-ilk fkcospxk, л = 1,2,..., n—1;
fe=l
m
mbp = 2 S fk sin pxk, p = 1,2,..., n — 1
fe—1
(формулы Чебышева — Бесселя),
Формулы, по методу наименьших квадратов. При
т>2п, т. е. когда число измерении превышает число ко-
эффициентов, следующие формулы дают наилучшее
приближение по методу наименьших квадратов:
та0 = 2 Е Д; тар = S /а cos pxk;
k	k
mbp = E fk sin pxy, k = 1,2,..., m;
k
p = 1,2,.. -, n; m > 2n
Если ограничиться первыми тремя гармониками и ес-
ли не требуется большая точность, можно вычислить
коэффициенты разложения по следующей схеме:
f (х) = €20-1-0:! cos х -ф я2 cos 2х -ф а3 cos Зх -ф
-ф bi sin х -ф b2 sin 2х -ф b3 sin Зх;
ао — ~ИГ (>fo 4* h-f-fz +•-+ fw+fii);
аз= - (fo— fs-f-fi — fe + fs— fio%
о
b$ = “ (fi — fa +/s “ fi + fa — fiiY,
b
™	(fs ~~~ fs) + ^3?
™	(fof$) ’ ^3=
^2^~(fo™”f3 + fe — fs) >
4
где
/оМ(О):Д = /(-|0 h = f(~l-} ~-dfu =
/И-2п \
“Ц 12 /
Для вычисления i2 разделим период 2л не на 12 час-
тей, как для вычисления других коэффициентов, а на
8 равных частей, допуская, что соответствующие зна-
чения
( 2л \ _	/2Л'3\ _	/ 2л-5
/1 = / -д- ; /з=/ ——; h^fl—T—
\ о ]	\ о ]	\ о
/ 2л-7 \
можно сиять с графика; тогда
Ь% = ~7~ (ft— 7з + h — fi)-
4
Пример 1.16. Найти приближенную формулу для три-
гонометрического ряда, представляющего наблюдения,
приведенные в табл. 1.30.
Таблица 1.30
/» 1		1	f» 1		fs
2,714 |	3,042	2,134 |	1,273	|	0,788	0,495
1	f.	f- 1		fio	h
0,370 |	0,540 |	0,191 |	—0,357	|	—0,437	0,767
Пользуясь приведенными выше формулами, находим
п
в°= ТГ S h = 11 ’500“ПГ = 0>960;
п3 = 0,271; Ь3 = 0,100; fet = 0,915;
аг = 0,901; о2 = 0,542.
Построив график функции f(x) и сняв с него ординаты
/ь fa. fs, fi, получим 463 = fi—f3+fs—/7 = 2,36, откуда
b2 = 0,59 (приближенно).
Таким образом, приближенная формула для искомо-
го ряда Фурье будет
f (х) = 0,96 -ф 0,90 cos х -ф 0,54cos 2х -ф 0,27 cos Зх -ф
-ф 0,92 sin х -ф 0,59 sin 2х -ф 0,10 sin Зх.
Гармонический анализ и синтез можно производить
посредством приборов (гармонических анализаторов и
синтезаторов).
1.21.	ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.21.1.	События и вероятность
В теории вероятностей событием называется резуль-
тат опыта, осуществляемого при заданных условиях.
Событие называется достоверным, если оно неизбежно
происходит при данных условиях Если же при данных
условиях событие заведомо не может произойти, то оно
называется невозможным. Событие называется случай-
ным, если при данных условиях оно может произойти,
а может и не произойти. Для оценки возможности реа-
лизации случайного события каждому событию ставит-
ся в соответствие некоторое число, называемое вероят-
ностью.
Вероятность невозможного события принимается рав-
ной нулю; вероятность достоверного события считает-
ся равной единице. Вероятность любого случайного со-
бытия заключается между нулем и единицей. Она мо-
жет определяться различным образом для разных
классов задач, но в согласии с правилами (аксиомами.)
сложения и умножения вероятностей, которые для ко-
1,21, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
77
вечного числа событий указываются ниже (современная
теория вероятности построена аксиоматическим путем
без конкретизации самого понятия вероятности; см. [1]).
Простейшее (классическое) определение вероятности
Р(Л) события А выражается формулой
л
Р(Л)=Т.
где N — общее число равновозможных и несовместимых
случаев; п — число случаев, благоприятствующих собы-
тию А (случай называется благоприятствующим собы-
тию А, если при реализации этого случая реализуется
и событие А).
Указанная формула может также служить опреде-
лением (статистическим) приближенного значения ве-
роятности события Л, если в результате большого чис-
ла N испытаний событие Л реализуется п раз.
В задачах, где появлению события Л соответствует
попадание точки в часть о области Q, вероятность Р(А)
может быть определена (геометрически) по формуле
(mesto, mes Q— меры областей о a Q; s частности, для
двухмерной области мерой является ее площадь).
Если вероятность события Л меняется в зависимости
от того, произошло ли событие В или нет, то событие
А называется зависящим от события В. Событие А на-
зывается не зависящим от события В, если вероятность
Р(А) не зависит от того, произошло ли событие В или
нет.	:
Вероятность события А, вычисленная при условии,
что произошло событие В, называется условной вероят-
ностью события А и обозначается /’(Л/В).
Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного
из событий А и В, называется суммой событий Л и В
и обозначается Л + В. Событие, состоящее в наступлении
обоих событий А и В, называется их произведением и
обозначается АВ.
Правило сложения вероятностей выражается фор-
мулой
Р(А-'Г В) = Р(Л) + Р(В),
которая обобщается на любое число слагаемых.
Правило умножения вероятностей имеет вид
Р (АВ) = Р (А) Р (В /А).
Это равенство для независимых событий А и В перехо-
дит в следующее:
Р (АВ) = Р (А) Р (В)
и обобщается на любое число сомножителей.
Пусть событие А может осуществляться с одним и
только с одним из п несовместимых событий В], В2, ...,
Вп. Тогда имеет место равенство
Р(Л) = Е P(Bi)P(A/Bi),
I =1
которое называется формулой полной вероятности.
При том же условии относительно события А веро-
ятность события Bi, если событие А произошло, опреде-
ляется по формуле
S P(Bi)P(A/Bi)
г=1
называемой формулой Байеса, или формулой вероятно-
сти гипотез.
Пусть производится п испытаний, каждое из которых
может иметь два исхода — появление и непоявление со-
бытия А. Пусть, кроме того, вероятность р появления
события А при каком-нибудь испытании не зависит от
номера этого испытания и от результатов остальных ис-
пытаний (такие испытания называются независимыми).
Тогда вероятность того, что при m испытаниях событие
А наступает, а при п—m испытаниях не наступает, ес-
ли ее обозначить Р„(А), определяется по формуле
где
я!
.--------------- ,	? = 1 __ р.
ml (п — т)1
Эта формула выражает так называемое биномиальное
распределение вероятностей (название связано с нали-
чием в формуле биномиальных коэффициентов С™ )
1.21.2.	Случайные величины
и их характеристические числа
Случайной называется величина, которая принимает
различные значения в результате повторных опытов.
Если случайная величина X дискретна, т. е. ее значения
могут быть перенумерова-
ны, то она определяется
своими значениями хи х2.„
и их вероятностями рь р2...
Если случайная величина
непрерывна, т. е. заполняет
своими значениями всю
числовую ось или некоторые
ее интервалы, то эта вели-
чина X определяется обла-
стью своих значений и
z
-3-2-1 О I 2 3
рйс ]	функцией : распределения
Р(х), выражающей вероят-
ность того, что X принимает
какое-либо значение (безразлично какое именно}, мень-
шее, чем х, т. е. Е(х)=Р(Д<х). Производная этой
функции F'(x) называется платностью вероятности или
дифференциальной функцией распределения. Если обо-
значить плотность вероятности черезf(x), то
х
Цх)^Б'(х); F(x) = ^f(x)dx.
— СО
Для выражения существенных особенностей распре-
деления случайной величины X йпоцяфхарактеристиче-
ские числа. Основными из них являются так называе-
мые моменты первого и второго порядка, или, иначе,
математическое ожидание М(Х) и дисперсия П(Х). Для
дискретной случайной величина X, принимающей зна-
чения хи Xi, .... х„. с вероятностями Pi, Ръ, .... Рп'.
П	п
М(Х)= XiPf, D(X)= S (xt-m^pi.
i=l	,as
Здесь и ниже для-сокращения записи введено обозна-
чение т=М(Ху. Для" непрерывной случайной величины
X с плотностью вероятности f(i):
М (X) = ] xf(x)dx; О(Хф= J (х— m)-f (х) dx.
78
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
Корень квадратный из дисперсии называется сред-
ним квадратичным отклонением (или стандартом) и
обозначается а, т. е.
a^VD(X).
При изучении непрерывных случайных величин ши-
роко используется нормальное распределение (или рас-
пределение Гаусса), характеризуемое плотностью ве-
роятности

,	_<-r—m}1
—б_. е
о 2л
Этой плотности Цх) соответствует функция распреде-
ления
х
При нормальном распределении математическое ожи-
дание и среднее квадратичное отклонение (стандарт)
оказываются соответственно равными числами m и о из
формулы для /(х). При т=0, о = 1 получается нормиро-
ванная случайная величина X, для которой
D(I) =1 и
е 2 :
"И 2л

Эти функции табулированы (интеграл во втором равен-
стве называется интегралом вероятности, или интегра-
лом Г аусса).
Важное значение в теории вероятности имеет закон
больших чисел. В простейшем варианте (теорема Я. Бер-
нулли) он формулируется следующим образом.
Пусть п — число наступлений события А в N неза-
висимых испытаниях, а р—вероятность наступления
события А в каждом из испытаний, Тогда для любого
фиксированного сколь угодно малого числа г>0 имеем
lim Р
N-+0O
< е = 1.
Если для случайной величины Хн выполняется равен-
ство lim Р (1 X — A j < в |) =а 1, то говорят, что X® схо-
дится к А по вероятности. Теорему Я. Бернулли можно
сформулировать так; частота л/Л/ события А сходится
по вероятности к вероятности р этого события в каж-
дом испытании.
Наряду с одномерными случайными величинами, ко-
торые определяются значениями одной переменной,
встречаются величины, определяемые значениями двух
и белее переменных. Для двухмерной случайной величи-
ны (X, У) вводится функция распределения F(х, у), вы-
ражающая вероятность того, что составляющие случай-
ные величины X и У принимают значения, соответствен-
но меньшие, чем х и у, т. е.
F (х, у) = Р(Х < х, Г < у}.
Плотность вероятности f(x, у) для (л, У) определя-
ется как предел отношения вероятности попадания слу-
чайной величины в бесконечно малый прямоугольник,
примыкающий к точке (х, у), к площади этого прямо-
угольника. Тогда
X и
d"F(x,ip)	f б
f(x, у) = -—---г—; ,Р(щу) =	\ f{x, y)dxd.y.
дхоу	J J
Составляющие X и У двухмерной случайной величи-
ны могут быть либо независимыми друг от друга, либо
находиться в некоторой зависимости, Необходимое и до-
статочное условие их независимости выражается ра-
венством
Их. У) = h(x)f2(y).
Для двухмерной величины с независящими составляю-
щими нормальное распределение характеризуется сле-
дующей плотностью вероятности f(x, у):
(x-:r.xyl
Входящие и это равенство постоянные mr, я>, ока-
зываются равными математическим ожиданиям состав-
ляющих X, У, а <!х, av — их средним квадратичным от-
клонениям (стандартам).
1.21.3.	Задача математической
статистики
Основная задача математической статистики состоит
в установлении распределения реальной случайной ве-
личины или ее числовых характеристик по наблюден-
ным значениям этой величины, причем используя не всю
совокупность возможных значений (генеральную сово-
купность), а лишь часть ее— выборку.
Для решения этой задачи делается предположение о
структуре искомого распределения. Иногда это удается
по теоретическим соображениям, а иногда — по распо-
ложению на чертеже точек, отображающих наблюден-
ные значения случайной величины, число которых долж-
но быть достаточно большим для применимости закона
больших чисел. Если, например, ожидается нормальное
распределение, то искомых параметров два: математи-
ческое ожидание m и среднее квадратичное отклонение
а, Задача ставится не об отыскании точных значений
параметров, а лишь об их вероятных значениях. С этой
целью задаются достаточной (для рассматриваемой
практической проблемы) вероятностью, называемой
доверительной, и находят интервал, называемый дове-
рительным, покрывающий значения искомого парамет-
ра, При этом используют эмпирические параметры, вы-
численные ло наблюденным значениям случайной вели-
чины.
По нахождении параметров устанавливают плот-
ность вероятности согласно заранее сделанному пред-
положению о ее структуре. В более ответственных слу-
чаях требуется сверх того проверка полученного рас-
пределения в целом, что осуществляется с помощью так
называемых критериев согласия.
В настоящее время статистические методы широко
используются при решении многих технических вопро-
сов. В частности, эти методы используются в строитель-
ной механике при исследовании: устойчивости конст-
рукций с учетом возможных отклонений задаваемых ус-
1.22. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЙ О ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ
79
лйвий от реальных; колебаний упругих систем под дей-
ствием случайных нагрузок; накопления повреждений в
результате различных случайных обстоятельств и т. д.
1.21.4.	Основы теории корреляции
Нередко наблюдаются случайные величины, между
'отооы'ш ; чс-тся । ,оторая зависимость. НйприМёр,
прочнос"ь оеточз жд-то зависит от количества воды,
вводимой в бетонную смесь; однако прочность зависит
также от соотношения между количествами цемента и
запо-пипеисп, т >ч что при данном колиЧёствё воды воз-
можны различные прочности. Зависимость такого рода
не функциональное поскольку каждому значению аргу-
мента соответствует некоторое распределение другой
переменной; эта зависимость статистическая.
Допустим, что в табл, 1.31 приведены числёнйые ре-
зультаты наблюдений иад двумя переменными! в ней
даны значения обеих переменных и числа появлений
соответствующих пар значеййй.
Таблица 1.31
По такой таблице могут быть вычислены различные
чистовые -гарант ристикя, используемые в формулах и
уравнениях Теории корреляции. НапрйМёр, полные сред-
ние значения обеих переменных х0, у0 отыскивается по
формулам
Xi п. (лД; уа = J У/ п (yj).
 Непрсредственное изучение статистической таблицы
может дать лишь поверхностное представление о зави-
симости между обеими переменными (даже в преде-
лах наблюденной выборе). Лучшее представление 'мо-
жет дать сопоставление средних значений одной вели-
чины со всеми значениями другой. Такая зависимость
называется порре ’яционнои О структуог э оч зависи-
мости первоначально судят по отображению стдтп'.тиче-
ci ой таблицы ил кортеже.	.
Нередко оказывается, что построенные точки груп-
пируются вдоль некоторой прямой, так что Искомую
связь предполагают линейной. Тогда ищут функцию в
форме у — ахфЬ и подбирают коэффициенты по спосо-
бу Наименьших квадратов, причем оказывается, что ис-
комая прямая проходит через точку (xfi, уф. Линейное
уравнение приводят к виду у—ха), называе-
мому уравнением регрессии у на х; здесь р=^(х<—лгв)
(у,—уфпнфпвх и вычисляется по статистической таб-
лице.
Полезно (даже, если по физическому смыслу пере-
менные неравноправны) составить также уравнение
регрессии * на у. взаимное радпрдрщенир рбсад пря-
мых дает довольно ясное представление о тесноте ли-
нейной ззвчсцмостч. Для уточнения тесноты образуют
выраткенче, симметричное относительно обеих перемен-
ных и называемое коэффициентом корреляции,
Б (х; — хф (yj — уф пр
При г=0 линейной корреляции нет (прямые парал-
лельны координатным осям); при Д|-=1 имеется функ-
циональная зависимость (прямые совпадают); при ОчС
< | г j < 1 есть линейная корреляционная зависйШсУь; с
возрастанием |г| теснота связи возрастает;
При |г| = 0,4 считают линейную связь слабой и ищут
другую связь, о структуре которой заключают по рас-
положению точек, отображающих статистическую таб-
лицу. И в этом случае подбирают коэффициенты наме-
ченной связи по способу наименыИйх квадратов и про-
веряют тесноту связи по корреляционному отношению,
получаемому из той же статистической таблицы.
1.22.	ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ЛИНЕЙНОМ
ПРОГРАММИРОВАНИИ1
1.22.1.	Задача математического
программирования	“
Экстремальное (максимальное или минимальное)
значение функции f (х) = f(хц ..., хп), зависящей от п
переменных х, (i=l, 2, ..., л), если на эти переменные
не наложено никаких ограничений, определяется из ре-
шения® п. в общем случае нелинейных уравнений
df М	г
-1Ф±=0 (4 = 1,2,..., п).	(1)
Дщ
„ Решение такой системы единственно тогда, когда
матрица, составленная из вторых частных производных
L(x’) = [\d2f(х}/дхгдхф[, имеет отличный от нуля опреде-
литель (ранг равен п).
3 Автор й; 1.22s А. М. Проценко.
Точка X' удовлетворякмдая системе (1), есть точка
безусловного экстремума и является точкой максимума
(минимума), если матрица L(x*) строго отрицательно
(положительно) опредслсшгая.
Определение экстремального значения f(x) при до-
полнительных услбййЯх
Фй(х) = 0 (k = 1, 2,..., tn)	(2)
и при условии, что ранг матрицы Ц&фь/дх,-.!| меньше и,
сводится к определению безусдавного экстремума функ-
ции Лагранжа
<(х, Ц = f(x) + Е tfe-W-	(3)
fes=sl
8®
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
Значения множителей Лагранжа Х& (й = 1, 2, т)
выбираются так, чтобы уравнения (2) выполнялись.
Значения (х*, X*), удовлетворяющие (2) и доставляю-
щие (3) экстремальное значение, называются координа-
тами седловой точки функции Лагранжа, а х'4 есть точ-
ка условного экстремума функции /(х) при условиях (2).
Задача математического программирования — опре-
деление максимального значения функции f(x) при ог-
раничениях типа (2) и дополнительных ограничениях в
виде неравенств
£fTW>0 (у = 1, 2,.	s).	(4)
Такие ограничения вносят существенные качествен-
ные изменения в задачу и решение х(, доставляющее
f(x) максимальное значение и удовлетворяющее усло-
виям (2) и (3), называется оптимальным планом за-
дачи.
Наиболее широко исследованы задачи, когда все
функции f(x), фь(х) и gj.(x) выпуклые. Выпуклость не-
которой функции F(x} определяется условием Е(%х'+
+ (l-X)t>KV(x') + (l-4f(x") (0<л<1). Частным
случаем является линейность всех функций f, ф* и .
В таком случае определение максимума f(x) при линей-
ных ограничениях (2) и (3) является задачей линейно-
го программирования.
1.22.2.	Формулировка задач
линейного программирования
Естественной формой задачи линейного программи-
рования является задача об определении максимума ли-
нейной целевой функции, обычно называемой линейной
формой,
f (х)—СА Ц' сах2  •+ сп хп	(5)
при соблюдении т линейных равенств и s линейных не-
равенств
&их1 + бтаХз -f-   • + Ь1п хп ~Ь Pi = 0; 1
..................	(6)
xi 4~ х3 + • • • +&mn хп	рт~0. j
anXi 4~ а1гхг 4- • ’ • + ain хп 4~	> 0;]
........... ...........	(7)
А А + а^х2 4------4 asfl хп 4- ts > 0. J
Значения х, (7 — 1, 2, ., п), удовлетворяющие всем
условиям (6) и (7), называются допустимыми решения-
ми. Значения х; (i=l, 2,	п), являющиеся допусти-
мыми и сообщающие форме (5) максимальное значение,
называются оптимальным планом задачи.
Уравнения (6) при жг<« задают (п—га)-мерное
линейное многообразие в n-мерном пространстве не-
известных х,. Это будет только в том случае, если ранг
матрицы В, составленной из коэффициентов уравнений
(6), максимальный и равен т
Неравенства (7) определяют в га-мерном прост-
ранстве неизвестных х, выпуклый многогранник. Нера-
венство
агД Х1 + вг'»2 xz Н + а1„п ха "Ь 0
называется жестким, если выполнение какой-то группы
неравенств из остальных неравенств (7) превращает (8)
в строгое равенство. В противном случае неравенство
(8) называется нежестким. Например, неравенство
—х4-аУ0 будет жестким, если х—в»0, и неравенство
—х4-а»0 будет нежестким, если х—6 г-0 при &<а.
Неравенство (8) несовместно с остальными нера-
венствами (7), если среди всех х°, удовлетворяющих
s—1 неравенству (7), нет х, удовлетворяющего (8).
В противном случае неравенство (8) совместно с ос-
тальными неравенствами (7).
Многогранник, описанный условиями — неравенства-
ми (7), является выпуклым телом (n-мерным выпу-
клым телом), если ранг матрицы Л, составленной из
коэффициентов при неизвестных в неравенствах, равен
мин (S, ») и среди неравенств (7) нет жестких. Друпы
ми словами, если существуют некоторые значения xt
(г = 1, 2, .... п), при которых все неравенства (7) явля-
ются строгими,
ап х° 4- ai2 х° 4-j- ain х° 4-Z. > 0 (i = 1, 2,... ,п),
то многогранник — выпуклое тело, В двухмерном прост-
ранстве (на плоскости) многогранник (7) — плоский
многоугольник. В трехмерном пространстве это много-
гранник в обычном понимании. В пространствах боль-
шей размерности многогранник (7) — обобщенное по-
нятие, перенесенное из трехмерного представления.
Система неравенств —х-—х%—...—xn-Fl^Q, х,^0
(г'=1, 2, .... п) выделяет «-мерную пирамиду с осно-
ванием в виде гиперповерхности, наклоненной под оди-
наковыми углами ко всем координатным осям, верши-
ной в начале координат (х=0) и длиной каждого реб-
ра, равной единице. Такой многогранник называется
симплексом.
Сечение многогранника, определенного условиями
(7), линейным многообразием, заданным уравнениями
(6), есть множество допустимых решений задачи, кото-
рое в свою очередь есть выпуклый (п—т) —- мерный
многогранник. Координаты вершин этого многогранника
называются множеством опорных планов задачи. Опти-
мальный план находится в этом множестве.
Векторно-матричная формулировка задачи. Вводят-
ся следующие векторы и матрицы: х=(хь х2,	.
вектор неизвестных, с=(сь с2, „., сл)' —вектор цен
(термин из экономической трактовки задачи) или вектор
коэффициентов целевой функции, t2,	—век-
тор в неравенствах и р=(щ, р2, рт)' — вектор в ра-
венствах. Так же вводятся матрицы: В размером тХп,
составленная из коэффициентов при неизвестных в
уравнениях (6) и А размером sX«, составленная из ко-
эффициентов при неизвестных в неравенствах (7). Сим-
вол (') означает транспонирование вектора или мат-
рицы. В таких обозначениях задача о максимуме (5)
при ограничениях (6) и (7) записывается в весьма ком-
пактной форме
Вх-фр = 0, Лх-ф-АО, с'х-> макс. (9)
ЪцЬа . . . bin
ЬцЪг2 • •  Ъ2п
j	. bmn
Нормальная форма задачи. В такой форме среди s
неравенств (7) имеются условия неотрицательности
всех переменных, которые выделяются в отдельную
группу условий
х > 0 или х( > 0 (г = 1,2,..., я).
1.22. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ
№
В нормальной форме отсутствуют уравнения (6), а
задача формулируется только с помощью ограниче-
ний— неравенств	,5
Лх-ф/МО, х > О, с'х -* макс.	(10)
Здесь матрица А не включает условия х>0.
Условие х^О задает так называемые несвободные
переменные в отличие от задачи (9), где все перемен-
ные свободные, т. е. ограничений по знаку нет.
Каноническая форма задачи. В этой форме ограни-
чения записаны только в виде равенств для несвобод-
ных переменных
Вх А~Р = 0, х>0, с'х-* макс. (11)
Переход от нормальной формы к канонической возмо-
жен введением дополнительных s переменных Хп-щ (/ =
= 1, 2, ..., s) —по числу неравенств в нормальной фор-
ме, и расширением матрицы А на s столбцов присоеди-
нением единичной матрицы размером sXS
aiiai2 •	•	• ат	1 0	.	.	.	0
^ai^sa 	*	• asn	0 —1	.	.	.	0
Фч1°53 •	•	 asn	0 0	.	.	.	1
(12)
Считая новые переменные (гаф-s)-мерным вектором
х=(хь х2, ..., х„+а)', приходим к канонической форме
задачи (II), в которой следует считать р = £.
Смешанная форма задачи. Эта форма содержит в
качестве ограничений равенства и неравенства и отли-
чается от естественной формы тем, что все переменные
несвободные
Вх-фр = 0, Дх —7>0, х > 0, с'х-* макс.
Определение минимума целевой функции. В тех слу-
чаях когда вместо максимума линейной формы (о)
требуется определить минимум, тогда вводится обрат-
ная по знаку целевая функция F(x) = ~ f(x) =—с'х, для
которой определяется максимальное значение. В этом
случае— мнн (—с'х) —макс (с'х) при одних и тех же ог-
раничениях задачи.
1.22.3.	Двойственные задачи
линейного программирования
Естественной формулировке прямой задачи (9) соот-
ветствует двойственная задача с m-j-s переменными —
по числу равенств и неравенств прямой задачи. Целе-
сообразно эти переменные разделить на две группы и =
— (iXi, иэ, .... и™)'— m-мерный вектор (по числу ра-
венств) и v —	о2, .... v.y—s-мерный вектор (по
числу неравенств прямой задачи). Целевой функцией
двойственной задачи является линейная форма
г(и, v) = p'n—i'v = ргиг -А-р^А--У-Pm ит —
— yvt ~~isvs-----tsvs.	(13)
Ограничения двойственной задачи следующие
В'и—Л'о+с>0, о > С.	(14)
Здесь переменные ut (7=1, 2.. m)	являются сво-
бодными, а переменные о,>0 (£=1, 2, ..., s)—несво-
бодными.
Если х'*—оптимальный план прямой задачи, а и® и
о® — оптимальный план двойственной задачи, то
/(х*) = г(и*. о*).
6—1303
Нормальной форме прямой задачи соответствует
двойственная задача, заключающаяся в определении ми-
нимума линейной формы
г (г>) = — У а	(15)
при ограничениях только в виде неравенств
— Д'г> -ф с > 0	(16)
несвободных переменных о S-О (у;>0, ( = 1, 2, .... s).
Здесь число неизвестных s равно числу неравенств
в прямой задаче, а число ограничений — неравенств
равно числу неизвестных в прямой задаче. Для опти-
мальных планов прямой и двойственной задач равенст-
во целевых функций будет:
ЦФ)=гф‘).
Канонической фбрме прямой задачи соответствует
задача на минимум линейной формы
г(и)=р'и	(17)
при ограничениях—неравенствах
В'иЦоО	(18)
и всех свободных переменных и, (г —1, 2, .... т).
Для оптимальных планов обеих задач равенство це-
левых функций
/ («*) =г (“*)•
1,22.4.	Преобразования задач
к различным формам =
Практически во всех случаях задача линейного
программирования должна быть приведена к нормаль-
ной, канонической или смешанной форме при несвобод-
ных переменных. Это необходимо в тех случаях, когда
предусматривается решение задачи с помощью ЭВМ.
Естественная форма задачи может быть приведена
к канонической посредством, перехода к двойственной
задаче (13), (14) с последующим преобразованием сво-
бодных переменных по одному из приведенных ниже
приемов.
Заменой переменных —/И;4-х,:, где ЛЦ — достаточ-
но большие положительные числа, можно обеспечить вы-
полнение условий у, А- 0 (у S0) и, учитывая, что х; = у;—
—Мi (i = I, 2, .... п), получается следующая смешанная
форма задачи с несвободными переменными у;>0 (г=1,
2.	п).	" г
Ву + р = 0, ДуД-Тст-О, у S- 0, с'у -ф с0-* макс, (19)
где р = р— Вт, t — Ат, с0 —— с'т,
т = (ЛЦ, М3, ..., А4д)'г
Здесь число неизвестных не изменяется, однако если
—достаточно большие числа* то оптимальный план
может быть определен с большой погрешностью.
Удвоение числа переменных. Каждая переменная
заменяется разностью двух неотрицательных пере-
менных x-i — xi—xt или в векторной форме х = х*—х**,
В этом случае задача (9) записывается
Sx* —Вх**-фр = 0, Дх* — Ах** Д-/ > 0,	(20)
Xй > 0, х** > 0, с'х®— с'х**-* макс.
Такой метод приводит к удвоению числа перемен-
ных, а в вычислительном плане предъявляет повышен-
ные требования к точности Всех вычислений.
82
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
Введение дополнительной переменной ay^sO и пере-
ход к новым переменным по правилу Ец-=хг+и;, yn+i =
= г» приводит к новым (я~Н) переменным, на которые
можно наложить требования неотрицательности г/,^0
(г = 1, 2,..., п+1).
Преобразованная задача выглядит следующим об-
разом:
Дг/ + р = О, Ay-)~t>Q, у>0, с'у-* макс (21)
Здесь В и Л соответственно матрицы от.Х(п+1) и
sX(n+l), образованные из матриц В и А по правилу
В == 1| В, b || , A — ЦА, я || ,
где b= (b\, Ь2,,..,Ьту и а=(й|, а2,аф' — векторы
размерности от и s соответственно и являются дополни-
тельными столбцами в матрицах В и Л
bj = -- Е Ьц ~ 1, 2,..  , т),
i=l
aj^-Saji (/= 1,2,..., s).
i=l
Компоненты этих векторов являются суммой всех
элементов строк матриц В и А, взятых с обратным зна-
ком. Вектор с имеет размерность п+1
(п V
Cj, Cgj’-’s Ц л,	Е С £ 1 .
1=1	/
Оптимальный план преобразованной задачи связан
с оптимальным планом исходной задачи следующим об-
разом:
+ = у} — Уп+\ (г = 1  2,. .., п).
Такой прием выгодно применять, когда ожидается,
что в оптимальном плане исходной задачи все перемен-
ные принимают значения одного порядка,
1.22.5.	Вычислительные методы
Как правило, решение задач линейного программиро-
вания возможно только с помощью ЭВМ, Для этой це-
ли для ЭВМ разработаны стандартные программы ре-
шения задачи линейного программирования. Практиче-
ски все стандартные программы ориентированы на не-
свободные переменные и на какую-нибудь стандартную
форму задачи — нормальную, каноническую и реже
смешанную. Поэтому переход от естественной формы к
стандартной практически всегда необходим.
Вычислительные методы отличаются по своей орга-
низации и используют различные модификации задачи.
Большинство стандартных программ построено на
симплекс-методе или его модификациях. Эти методы яв-
ляются конечными, так как позволяют за конечное чис-
ло вычислительных этапов получить оптимальный план
задачи, если он существует, или установить несовмест-
ность условий задачи или установить, что целевая
функция неограниченна. Решение задачи линейного
программирования ручными методами нерационально.
L23. ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦИФРОВЫХ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН1
В зависимости от способа представления информации
электронные вычислительные машины подразделяются
на машины дискретного и непрерывного действия. Ни-
1 Пользуясь данными настоящего раздела, следует учитывать
быстроту развития этой отрасли знаний. Еще недавно в отече-
ственной практике использовались главным образом вычисли-
тельные машины первого поколения (иа электронных лампах);
программирование выполнялось вручную на языке машины, при-
чем составитель или потребитель программы непосредственно ра-
ботал за пультом машины. Информация об этой системе состав-
ляет основное содержание раздела. На смену машинам такого
рода пришли машины второго поколения (на полупроводниках).
С моментом пх появления совпало начало автоматизации про-
граммирования Программа составляется на специальном алго-
ритмическом языке и с помощью трансляторов автоматически
переводится с этого языка на язык машины. Работа на таких
машинах второго поколения выполняется, как правило, в пакет-
ном режиме: программы объединяются в пакет и специальный
оператор пропускает их последовательно одну за другой. При
этом составитель и потребитель программы уже непосредствен-
но с машиной не общаются. Пакетный режим работы сущест-
венно повышает к. п. д. вычислительной машины.
Для машин третьего поколения характерна работа в режи-
ме с разделением времени, когда одновременно решается не-
сколько задач: поочередно для одной выполняется счет, для
другой — обмен информацией между различными устройствами
машины.
Потребитель программы снова получает возможность непо-
средственно общаться с машиной в режиме диалога, работая
за ее пультом. При этом пультов (терминальных устройств)
уже множество, и они, будучи соединенными с машиной кана-
лами связи, могут быть удалены от нее иа тысячи километров.
Одновременно с машинами существенному совершенствова-
нию подвергаются алгоритмические языки — они становятся бли-
же к человеческому.
Многие из упомянутых вопросов не нашли освещения в дан-
ном разделе. Вместе с тем в настоящее время отпали некото-
рые проблемы, характерные для периода ручного программиро-
вания. Для читателя, незнакомого с вычислительными машинами
и программированием, приводимая здесь информация будет по-
лезной — без нее труднее уяснить современное состояние вопроса.
же рассматриваются основы применения электронных
машин дискретного действия.
Универсальные электронные цифровые вычислитель-
ные машины (ЭЦВМ) с программным управлением
предназначены для решения сложных математических,
логических и экономических задач. Отличительными их
особенностями являются универсальность, автоматизм
работы, быстродействие, программное управление. По-
следнее означает, что все операции, выполняемые
ЭЦВМ для преобразования исходных данных в конеч-
ный результат, осуществляются по определенной про-
грамме, составленной заранее и вводимой в машину
вместе с исходными данными; под программой подра-
зумевается последовательность приказов (команд) на
выполнение тех или иных операций.
1,23,1.	Некоторые принципы
действия ЭЦВМ
Системы счисления. Конструкция ЭЦВМ и процесс
программирования тесно связаны с системами счисле-
ния. Системы счисления подразделяются на позицион-
ные, в которых каждая цифра принимает различное
значение в зависимости от занимаемой ею позиции в
последовательности цифр, образующей число, и непо-
зиционные (например, римская система). Любое число
в позиционной системе счисления с основанием р пред-
ставляется в виде
= апРп + '''+ а1Р +' аоР° +
+ a_t р-1 -р. - • + а-тр ~т,
1,23, ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ ~г Т~ ) щ, ТЩ гэрц - ШТЧСП1П ПпН’т ЧШИН,
83
где а», ал_|,а-™ — цифры р-й системы счисления;
число различных цифр разно основанию системы р.
В подавляющем большинстве случаев в современ-
ных ЭЦВМ используется двоичная система счисления
(в отечественной машине «Проминь» используется де-
сятичная система счисления).
В качестве промежуточного звена для записи про-
грамм на бланках для ЭЦВМ с двоичной системой
счисления используется восьмеричная система счисле-
ния.
Фикеироврнрая и плавающая запятая. При исполь-
зовании ЭЦВМ применяются две формы представления
чисел: с фиксированной и плавающей запятой. Первая
форма представления чисел предусматривает строго оп-
ределенное положение запятой относительно старшего
разряда, В большинстве машин, работающих в форме с
фиксированной запятой, последняя располагается перед
старшим разрядом; поэтому числа с фиксированной за-
пятой являются правильными дробями О OW] < 1 и
изображаются в машине следующим образом: 9а, где
6—знак числа, а — его абсолютное значение. Если
|А'|>1, вводятся специальные масштабные множители
I /V I
1/М, такие, что Н— <1.
I М I
Изображение числа в форме с плавающей зайятой
имеет вид: N — трл, где р— ос«ог,а-ш» сжтемь? счисле-
ния; т — мантисса числа; п — его пдряддк. Ждя ман-
тисса числа представляет собой правильную дробь с
первой значащей цифрой, распо ожеч.юи ь старшем
разряде, to такая фррйа записи числа с плавающей за-
пятой называется нормализованной. Мантиссы нориа-
шзовапчых чисел удовм"в<лряют неравенству
<1, т, е, для десятичных чисел 1/10фт<1, а жя двоич-
ных 1/2<фп<1. Тайм образом, старшая цифра мантис-
сы нормалйзоваййбго двоичного чиста оавна едпп’щс, и
процесс нормализации состоит в сджге разрядов ман-
т го 1 в : во с одювоемг iHLi'i у'^’гьшзн'ем порядка до
тех пор, пока в старшем разряде мантиссы не окажется
'"iron Все , pnibv т.’чоехш ог"П"цц,1 дтя машин, ра-
ботающих в форме с плавающей запятой, совершаются
над поэ тг "’гов-ч1 ьми гог;?ч' п.ючч в Фопмс с пла-
вающей запятой представляются в мащййе в виде
Ощбфп, где 6; — знак щорядка; я — порядок; % — знак
мантиссы (самого числа); пг — мантисса (у разных
ЭЦВМ мантисса, позятог и их знаки могут быть разме-
щены в ячейке в раз тхиной по"-е"0з1трльности относи-
тельно друг Друга).	,
Для изображения числа в каждой ЭЦВМ отводится
копейное число разрядов. Пусть для изображения ман-
тиссы т и порядка п в разрядной сетке отведено соот-
ветственно р и v разрядой. Тогда диапазон представи-
мых в машине нор-малйзозаиных чисел определяется не-
равенством
ф-2'’ С [JVk(1—2M)2V~1-
Диапазон чисел с фиксированной запятой, представи-
мых в машине, значите-п, ю уже Пусть о и т—количе-
ство разрядов, отводимых для изображения целой и
дробной частей, тогда
2~т < |Ц| < 2й—2“т.
Так как s большинстве машин, работающих в форме с
фиксированной запятой, с=0, то
2"т< |Аф < 1-2^.
Например, разрядная сетка машины «Минск-22», рабо-
тающей в обеих формах, равна 37; величины щ v и т
равны соответственно 28, 6 и 36, Пййтому для машины
6*
«Минск-22» диапазон представления чисел в форме с
плавающей запятой (нормализованных) составляет
2~и	(1—2-28)233, а в форме с фиксированной за-
пятой —\N j sj 1- 2~36.
Большинство современных ЭЦВМ работает в обеих
формах — с фиксированной и плавающей запятой.
Из приведенных выше неравенств следует, что для
всякой ЭЦВМ существует максимальнее по абсолютной
величине, число, представимое в машине. Всякое боль-
шее (по абсолютной величине) число является машин-
ной бесконечностью, в появление его в процессе вычис-
лений вызывает переполнение разрядной сетки и ава-
рийный останов (АВОСТ) машины, предусмотрен-
ный на этот случай. С другой стороны, из тех же не-
равенств следует, что для каждой ЭЦВМ в окрестности
нуля существует некоторый интервал чисел, называемый
областью машинных нулей-, машинный нуль может быть
положительным и отрицательным.
Ячейки оперативной памяти машины. Вся вводимая
в машину информация (исходные данные и команды
программы)) а также промежуточные и конечные ре-
зультаты размещаются в специальных запоминающих
устройствах машины: оперативном и внешнем.
Оперативное запоминающее четроче-го машины
{оперртивйая память — ОП) содержит определенное
ч«"ло я'зек Все ячейки занумерованы; порядковый но-
мер ячейки называется ее адресом. Для машин, работа-
ющих в дво’’ гаи спеты.о я«ад гамятп зачугырогаиы
в ,огъ'<ы11юи саг пищ счготешга
Число Ячеек оперативной памяти (емкость ОП) яв-
ляется одним из основных параметров машины; обычно
оно равно степени числа два (211, 212 и т, д.). При за-
писи в ячейку Числа (команды) старое содержимое ее
автоматически стирается, при выборке информации из
ячейки содержимое ее сохраняется. Ячейки состоят из
разрядов, каждый из которых предназначен для записи
очной цифры. Совокупность разрядоз ячейки оператпв-
•"I пг.яп называется разрядной ежзон машины
Команды. Строение команды. Адресность маш.щы.
Работа ЭЦВМ состоит в выпотненаи в некоторой задан-
ной последовательности оппеделенного числа машин-
шж операций, выполняемых по специальным прика-
зам— командам. Все машинные операции занумерова-
ны числами натурального ряда. Номер очеэавдш назы-
вается ее кодом (код операции — КОП). Каждая
ЭЦВМ может выполнять конечное ччепз различье' one
раций, Которым соответствует совокупность команд,
именуемая сист°'<ой ко, анА послщняя различна для
разных машин. Команды состоят чз двух основных ча-
стей: кодовой, содержащей КОП, v адресно I, содержа-
щей адреса тех объектов, над которыми выполняется
операция. По числу адресов, запийываеиьи в одной
команде, ЭЦВМ подразделяются в Основном, .на три ти-
па. одноадресные (например, ЭЦВМ серии «Урал»,
БЭСМ-6), двухадресные (ьапример, «Минск-22») и трех-
адреёные (например, Л1-226). ^Принципиальный вйд
соответственно;	3
j КОП | А | {
КОПр! |А2 | As\
Число разрядов ячейки, отводимых для записи адреса
и кода операции, согласуется..с емкостью оперативной
памяти и числом команд ЭЦВМ
Порядок выпотнекпя и виды команд. Решение зада-
чи на ЭЦВМ выполняется автоматически: команды
программы в определенной последовательности переда-
ются из памяти машины в .«тройство управления,’ рас-
шифровываются п направляются в виде специальных
сигналов в различные устройства машины, которые на
84
РАЗДЕЛ !, МАТЕМАТИКА
(есте-
адрес
основании этих сигналов выполняют соответствующие
операции.
Различают два типа машин: со свободным и задан-
ным порядком выполнения команд. В ЭЦВМ со сво-
бодным порядком выполнения команд в каждой коман-
де указывается адрес следующей выполняемой коман-
ды, т. е. адрес ячейки'Памяти, в которой хранится сле-
дующая команда. В ЭЦВМ с заданным
ственным) порядком выполнения команд
следующей команды, как правило, образуется из адреса
очередной команды путем прибавления к нему едини-
цы. Когда же возникает необходимость нарушить есте-
ственный порядок выполнения команд, переход к следу-
ющей команде осуществляется специальной командой
перехода. Все отечественные и большинство зарубежных
ЭЦВМ относятся к этому типу.
Операции (команды), выполняемые ЭЦВМ, можно
разделить яа четыре основные группы: арифметические
операции, логические операции и операции с парамет-
рами, операции изменения команд, операции управ-
ления.
К арифметическим операциям относятся: сложение,
вычитание, умножение и деление чисел. В некоторых
ЭЦВМ имеются операции вычисления модулей, а также
сложные операции: У~х, 1g х, sin х, tg х, ех и т.п.
Логические операции и операции с параметрами
включают логическое умножение (выделение части ко-
манды или числа), логическое сложение (формирование
команды или числа из нескольких частей), отрицание
равнозначности (сложение по модулю 2), циклическое
сложение, сдвиг и т. п.
Операциями изменения команд являются сложение
и вычитание команд, изменение команд на величину
индексного регистра и т. п.
Наконец, к операциям управления относятся: оста-
нов, условный останов, а также ряд операций сравне-
ния и перехода (передачи управления). При выполне-
нии команды безусловного перехода нарушается естест-
венный порядок выполнения команд—совершается
переход к команде, адрес которой указан в адресной
части команды безусловного перехода. Команда услов-
ного перехода осуществляет передачу управления лишь
при выполнении определенного условия. К операциям
управления относят также очень важные в работе
ЭЦВМ операции печати, обращения к внешним запоми-
нающим устройствам и т. п.
Рис.
1.88
1.23.2.	Краткое описание
устройства ЭЦВМ
ЭЦВМ состоит нз следующих основных устройств:
устройств ввода, запоминающих устройств (ЗУ), ариф-
метического устройства (АУ), устройства управления
(УУ), устройств вывода (рис. 1.88).
Устройства ввода и вывода. Исходная информация и
программа вводятся в машину с перфокарт (ПК), пер-
фоленты (ПЛ) или непосредственным набором кодов
па клавиатуре пульта управления. Скорость ввода ин-
формации с перфолент 50—2000 кодов/сек, с перфокарт
300—700 карт/мин, с помощью клавиатуры 10 кодов/мин.
Последний способ ввода применяется в машинах «Пре-
минь» и «Мир», а в служебных целях используется во
всех ЭЦВМ. Для ввода информации в ЭЦВМ может
быть также использована магнитная лента (МЛ), одна-
ко запись информации на МЛ предварительно произво-
дится с помощью самой ЭЦВМ с какого-либо другого
носителя (ПК или ПЛ),
Результаты вычислений выдаются машиной на пер-
фокарты, перфоленту, а также на узкую бумажную лен-
ту в цифровой форме. Широкое применение получило
алфавитно-цифровое печатающее устройство (АЦПУ).
Для оформления результатов счета на ЭЦВМ могут
быть также использованы чертежно-графические авто-
маты, подключаемые непосредственно к машине или ра-
ботающие от промежуточного носителя информации
(магнитная лента или перфолента).
Запоминающие устройства машины ЗУ предназна-
чены для хранения исходной информации, промежуточ-
ных и конечных результатов, а также самой программы.
В современных ЭЦВМ используется два вида запомина-
ющих устройств: оперативное и внешнее. В зависимо-
сти от мощности машины объем оперативного запоми-
нающего устройства (ОЗУ) может быть самым разно-
образным: от нескольких сотен до сотен тысяч ячеек.
Основными характеристиками ОЗУ являются его ем-
кость я время выборки из ОЗУ содержимого одной
ячейки (от времени выборки в основном зависит быст-
родействие машины), Выборку из ОЗУ можно осущест-
влять из отдельных ячеек в любой последовательности.
Внешние запоминающие устройства выполняются на
магнитных барабанах (МБ), магнитных дисках „(МД)
или магнитных лентах (МЛ). Во всех этих устройствах
время считывания одного числа значительно превышает
время выборки из ОП.
Арифметическое J,
предназначено для выполнения опера-
ций над кодами.
устройство из оперативной памяти по-
ступают исходные числа, а из устройст-
ва управления—указания, какую опе-
рацию необходимо выполнить. Резуль-
тат из АУ поступает в память машины
по указанному адресу. Скорость выпол-
нения операций в серийных ЭЦВМ ко-
леблется от нескольких сотен до милли-
она операций в секунду. Однако уже
существуют машины, выполняющие до
100 миллионов операций в секунду.
Устройство управления (УУ) пред-
назначено для последовательной выбор-
ки команд н управления работой всех
устройств машины. К устройству управ-
ления относится пульт ЭЦВМ, предназ-
наченный для пуска и останова машины,
контроля за работой, ремонтных и спе-
циальных (например, отладочных) ра-
бот.
устройство (АУ)
В арифметическое
Основные технические характеристики некоторых отечественных ЭЦВМ
Таблица 1,32
Название ЭЦВМ	' Средняя скорость вычислений] ; в on] сек i		.	j Адресность	Максимальная емкость оператив- | ной памяти (количество ячеек)	Внешние запоминающие устройства					s Количество двоичных разрядов ; в ячейке	Форма представле- ния чисел		Скорость ввода/вывода перфокарт (количество карт в I мин) !	j Скорость ввода/вывода перфоленты (количество строк в 1 сек) (_		Скорость вывода на узкую печать (количество строк в 1 мин)	Скорость вывода на широкую печать (количество строк в 1 мин)	1 Потребляемая мощность в кет	Площадь размещения машины в мг	Примечание
				на магнитных барабанах		на магнитных лентах												
				j общая емкость (количе- I ство слов)	| скорость обмена (колн-  чество слов в 1 сек)	i максимальное количест- 1 во накопителей	: емкость одной ленты | (количество слов)	\ скорость обмена (коли- i чество слов в 1 сек)		 с плавающей запятой i	 с фиксированной запя- 'ТОЙ							
БЭСМ-6	1 000 000	1	32 768	512 000	50 000	32	1 000 000	10 000	48	Есть	Нет	700/100	1000/20		400	20	200	
М-222 М-220А	25 000 25 000	3 3	32 768 16 384	192 000 65536	17 000 17 000	8 4	4 000 000 4 000 000	10 000 10 000	45 45	9	в	700/100 700/100	1500/80		400 400	10 20	80 70	—1
М-20*	20 000	3	4 096	12300	6 400	4	75 000	3 000	45		»	120/100	«в»	1200		50	150	
БЭСМ-4 БЭСМ-2М*	18 000 10 000	3 3	8 192 2 048	65536 12388	12 000 800	4 4	1 000 000 30 000	5 000 400	45 39	S	о	700/100 120/100			1200 1200	400	8 50	65 170	
«Урал-16»	50 000	1	524 288	1 440000	30 000	24	1 000 000	14 000	48		Есть	700/110	1000/80	—	400	150	150	
«Урал-14»	15 000	1	65 536	1 440 000	60 000	24	1 000 000	28 000	24			700/110	1000/80	-ш-	400	32	80	—>
«Урал-11»	3 000	1	16 384	1 440000	60 000	24	1 000 000	28 000	24		0	700/110	100/80	—-	400	12	40	
«Урал-4*	5 000	1	2 048	65 536	аооо	4	100 000	2 000	40			400/100		1200	300	40	150	
«Урал-2*	5 000	1	2 048	16 384	3 000	1	100 оос	2 000	40			400/100		1200		30	100	—4
«Раздан -3е	20 000	2	32 768	120 000	4 400	16	318 000	4 000	48		Нет	700/100	1000/20	900	400	50	150	
«Минск-32» «Минск-22»*	30 000 5 000	2 2	65 536 8 192		—	8 16	4 000 000 100 000	10 000 2 500	37 37	в	Есть	600/120 300/100	1500/80 800/80	1200	400 400	15 10	80 80	Возможно под- ключение до 136 внешних	уст- ройств
»Минск-2»*	5 000	2	4 096	—-	—U.	4	юо ооо	2 500	37			—	800/20	1200		4	50	
«Мир-2»	300	АЛГОЛ	8 192	—	—	—	—	—	12	г>	в	—	1500/—	10 симв/сек	—	3,5	10	Имеет экран — устройство ото-
«Мир-1»	300	»	4 096	—-		—'	—-	—	12	»	*		1500/-—	10 симв/сек.		1,5	10	бражения на 1024 символа и вывод на пишущую ма- шинку
«Наири-2»	2 000	2	2 048						36				700/80	7 симв/сек	__	1,6	10	Имеет долговре-
«Наири*»	2 000	2	1 024						36	в	а		Ю/10	7 сима]сек		1.6	10	м е н н о е запомина- ющее устройство на 16384 символа и вывод на пи- шущую машинку
«Проминь -2»	500	1	48'0	—		—	—	—	5(деся- тич- ных)	*	Нет	—	—	7 сим8]сек	---	0»5	10	Ввод с пульта (10 чисел) мин)
«Преминь*» * ЭЦВМ	аю снята с п	1 5О1НВОД	200 п-ва.						5 (де- сятич- ных)							0,5	10	
СП
1,23. ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦИФРОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН
86
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
В большинстве ЭЦВМ многие машинные операции,
в частности все арифметические, вырабатывают управ-
ляющий сигнал ву, равный 1 или 0 и характеризующий
некоторые признаки результата операции, например
знак. Значение величины <о является тем условием, ко-
торое определяет передачу управления той или иной
команде по команде условного перехода.
Таким образом, между устройством управления и
арифметическим устройством имеются два вида связи:
а) прямая (управляющая) — УУ выдает команды, кото-
рые выполняет АУ; б) обратная (информационная) —
АУ— выдает УУ управляющий сигнал <и, определяющий
выбор той или иной команды. Кроме сигнала <а выда-
ется сигнал переполнения разрядной сетки ф, сопровож-
даемый остановом машины.
Основные характеристики некоторых серийных оте-
чественных ЭЦВМ представлены в табл. 1.32.
1.23.3.	Особенности решения
задач на ЭЦВМ
Порядок решения задач на ЭЦВМ. Решение задач
На ЭЦВМ включает следующие основные этапы:
1)	выбор или разработку алгоритма;
2)	программирование, т. е. процесс разработки
предписания (программы) для реализации на данной
Машине принятого алгоритма;
3)	отладку программы на машине, т. е. устранение
ошибок, допущенных в процессе разработки алгоритма
и программы;
4)	составление инструкции, т. е. необходимых сведе-
ний об алгоритме, о способе задания исходной информа-
ции, о работе за пультом и о технике расшифровки ко-
нечных результатов;
5)	автоматическое решение задачи на машине;
6)	обработку результатов счета.
Разработка алгоритма. Под алгоритмом решения за-
дачи понимается точное, общепонятное предписание,
определяющее процесс преобразования исходных дан-
ных в искомый результат. Основой для построения ал-
горитма служат обычно методы вычислительной мате-
матики. Однако при выборе численного метода на ос-
нове соображений надежности, быстроты сходимости,
обеспечения требуемой точности, простоты вычислитель-
ной схемы и т. д. учитывают также следующие особен-
ности ЭЦВМ:
а)	высокую скорость выполнения операций над ко-
дами, хранящимися в оперативной памяти;
б)	относительно низкую скорость ввода исходных
данных и вывода результатов;
в)	ограниченную емкость оперативной памяти при
большей емкости внешних запоминающих устройств;
г)	относительно низкую скорость обмена между от-
дельными видами памяти;
д)	ограниченную представимость чисел, в ряде слу-
чаев приводящую к необходимости вычислений с удво-
енной точностью и к масштабированию числовой ин-
формации;
е)	возможность случайных сбоев в процессе работы
машины и необходимость контроля вычислений,
К алгоритму предъявляется требование минималь-
ней связности. Это означает, что общий алгоритм ре-
шения должен распадаться на фрагменты, которые не-
обходимо по возможности сделать автономными с тем,
чтобы превратить всю их совокупность в последователь-
ную цепочку и использовать результаты предыдущего
звена как исходную информацию для последующего.
При решении на ЭЦВМ многих задач строительной
механики возникает ряд специфических задач. К ним
относятся, например, задание информации о конфигу-
рации сооружения, машинное построение основной си-
стемы, особенно при использовании сложных основных
систем, формирование систем канонических уравнений
н т. п. Эти задачи и целый ряд им подобных составля-
ют содержание новой для строительной механики проб-
лемы — проблемы формализации решения.
Все алгоритмы должны удовлетворять требованию
формализации. Решению этой проблемы посвящено
большое число работ.
Программирование. Сущность программирования со-
стоит в представлении алгоритма в виде последователь-
ности элементарных операций (команд), выполняемых
электронной машиной. Процесс составления програм-
мы включает:
1)	разработку логической схемы;
2)	запись программы в содержательных обозначе-
ниях или относительных адресах;
3)	распределение памяти машины;
4)	присвоение командам, константам и ячейкам ра-
бочих массивов истинных адресов (кодирование).
Поскольку при работе машины возможны случайные
сбои, в программе должен быть предусмотрен кроме
реализации алгоритма контроль правильности вычис-
лений. Программа также должна обеспечивать ввод
исходных данных й вывод результатов, обмен информа-
цией между различными видами памяти, останов маши-
ны и т. д.
Различают два основных метода программирования:
непосредственное (ручное) ;i автоматическое. При руч-
ном программировании вся работа, начиная с разработ-
ки общей схемы-программы и кончая кодированием, вы-
полняется непосредственно программистом. При авто-
матическом программировании программист составляет
только схему программы и записывает ее специальным
образом. Вся же техническая работа, связанная с со-
ставлением программы и кодированием ее, выполняется
программным способом.
С целью облегчения программирования перед напи-
санием программы составляется ее логическая схема
в форме блок-схемы или операторной схемы. Блок-схе-
ма программы, представляет собой графическое изобра-
жение последовательности выполняемых вычислений
в виде набора прямоугольников и кружков (блоков),
соединенных стрелками. Каждый блок — это часть про-
граммы, осуществляющая определенную логически за-
конченную процедуру, например счет по формуле, про-
верку логического условия и т. г.. Разбивка программы
на блоки достаточно произвольна.
В больших, сложных в логическом отношении про-
граммах первоначально составляется укрупненная блок-
схема, элементы которой (обобщенные б токи) в свою
очередь представляются в виде блок-схем. Блочная
структура программы обладает следующими достоин-
ствами:
I)	при написании программы каждый блок програм-
мируется отдельно;
2)	разбиение программы на блоки позволяет при
небольшом изменении (уточнении) задания ограничить-
ся переделкой одного или нескольких блоков, не затра-
гивая остальной части программы;
3)	блочная структура облегчает отладку программы,
позволяя вести ее независимо (поблочно) и делая бо-
лее обозримой всю программу;
4)	программа, составленная из блоков, обладает
большей гибкостью, ибо одни и те. же блоки, могут ис-
пользоваться в разных частях программы.
Другой формой изображения логической схемы про-
граммы является операторная схема. При операторном
методе программирования логическая схема представ-
1.23. ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦИФРОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН	gy
ляется последовательностью записанных слева направо
операторов — символов групп команд, объединенных по
определенному признаку. В тех случаях, когда порядок
записи операторов в схеме нс соответствует порядку
их выполнения, применяют специальные знаки перехо-
да. В отличие от блоков все операторы, имеют четкое
функциональное назначение (арифметические и логиче-
ские операторы, операторы переадресации, восстановле-
ния, записи и т. д.) и строятся по определенным прави-
лам. Преимуществом операторного метода является
возможность формального преобразования логических
схем программ пр определенным законам.
После составления логической схемы программы осу-
ществляется программирование в содержательных обоз-
начениях (предложение А. Л. Брулпо) или в относи-
тельных (буквеннощцсловы.х) адресах.
По окошюпчч го''~авд'1’1П "'’"ч программы (или од-
ного из ее обобщенных блоков) производится подсчет
команд, констант, рабочих ячеек и числовых массивов
и осуществляется распределение памяти машины, т, е.
всем этим элементам отводятся определенные места
в запоминающем устройстве, после чего производится
кодирование программы.
В основе програрлййрованнп лежит принцип оптими-
зации (оптимальный объем программгф оптимальное за-
гружена. памяти, оптимальное машинное время и т.п.).
Методы программного контроля. Ошибки, возникаю-
щие при решении задач с помощью ЭЦВМ, подразде-
ляются на две категории: ошибки, не зависящие от ма-
шины, и ошибки, связанные с машиной,
К первой категории относятся ошибки программиро-
вания и кодирования (устраняются в процессе отлад-
ки), ошибки оператора при работе за пультом (для их
предотвращения каждая программа снабжается ин-
струкцией, содержащей указания о работе за пультом
машины), ошибки перфорации (исключаются при пер-
форации в две «руки» с последующей: сверкой на кон-
тропьнр-счптаваюйкм устройстве) и т. д,
Оч.ълто втопо; тсегчршг (•-ашшпыф делятся на
< "сг'мгт’ гол" и г ъ j и щ < С t । "тц. si дне он ” ч и
связана с неисправностью машин (устранений и йредот-
пчащечпе п\ — згт'ча обету "пг? "•щего перегшал").
гтучач.ше ool.oi.ii ('бои) в» лваются различного ро-
Д1 “шиш ми Bo’ii'rn Вс’т вост’ сбоев не чр’пп-
с-вугт рещгч - з ""жиг, ю тцебует контроля правильно-
сти работы ЭЦВМ
В некоторых машинах имеются специальные устрой-
ства, рсущёствлякшлие так называемый приборный
А гм коты -1 р рассматриваются способы
программного контроля, предусматриваемого при про-
ГПЗ’ЮШПОШШПП
1.	Контроль ввода осуществляется двумя способами.
Первый способ, применяемый' преимущественно для
ч о о" ч т юто, ~ » жщ же совпадения контрольной
суммы (вычисляемой машиной в процессе ввода) с из-
вестным ее значением В, вводимым в машину вместе
с программой. Второй способ контроля главным обра-
зом исходных данных предусматривает двойной ввод
исходной информаций и заключается в проверке совпа-
дения значений контрольных сумм, получаемых при
каждом вводе: бф —Этот способ освобождает от
предварительного вычисления значения контрольной
оччн о-пмо он исключает лишь возможность случай-
ЗЫХ ОШ Иок.
2,	Контроль обмена. Прп обмене информацией меж-
ду оазличпыфи запемйпающпми устройствами машины
ВОЗМОГП1 л той вид 1 OL' тбок: ошибки при записи во
тлпым i lion и тощ1 ° ’(тройства, ошибки при считы-
вании в оперативную память и, наконец, искажение ин-
формации в процессе хранения ее на магнитных бара-
банах, лентах илйщисйМ: •’	«
Для устранения первых двух ридов ошибок обмен
информацией сопровождается двчкрттчым вычислением
контрольных сум»фс последующей их ейефкой. Для пре-
дотвращения ошибок, связанных с возможностью иска-
жения информации вб время хранения ее ро внешней
памяти, запись информации на Л15, МЛ или диски со
провождаетоя зас’чпо! туда же зйзрения контрольной
емчмы Э. Опа используется в дальнейшем для контроля
при считьщаййн.
3.	Кпптро'Ь права т,ноете работы ханшны в процес-
се вычислении. Двяисой счет с щп'рольрым суммиро-
вариеч поззотя"? тчтошь случайные ошдбкч в про-
цессе выччеченпй: считается, что получены правильные
результаты если сшч повгопены на машине дважды.
Гювтотоый счет с обповлешшч оперативной памяти
1рточуеты ппи решена» "3454 большой прпго пня
теаыост1’ Пглгпаь'ма и весь чщтовой матери? т засы-
лаются во внешш'-’ запоминающие устройств? машины
I птоет каждым счетом считываются в оперативную па-
мять. Этот способ позволяет выявить искажения в про-
грамме, возникающие вслеаств-е случайного сбоя. До-
стоинство его состоит также в возможности Прервать
работу в любой момент времени с последующим возоб-
ноз'югяем.	, ,,	,
4.	ГР лечение трстрв в решение задачи. В слуне
многопарнантпых задач в, решение периодически Вклю-
чтотся отзатотщн раоиш" исходных дайнйх, для ко-
торого известны результаты ручного счета. Сравнение
может вестись автоматически (по 2) и визуально путем
выдачи результатов на печать,
5.	Контроль выдачи результатов осуществляется
в процессе наладки машины с помощью тест-программ
печати п вывода на перфоратор, а в отдельных случаях
в процессе решения задачи — путем повторения ,печати
результатов
Отладка программы на машине, производится
с делщо выявления и исправления ош'бог, дощшыш-ю
при разработке алгоритма в процессе программирова-
ния. Первоначальная отладка ведется по блокам (авто-
номная отладка). При этом в первую очередь обычно
от о ।1 ватосл арифметические блоки, Каждый арифме
тическн" блок кечатсльнп окашшга»ь отладочной пе-
чатью. Па печать выводятся исходные данные, пооме-
жуточдые и окончательные результаты, 
Посте азточомпои отладки пэистулзют и отладке
логичтокой структуры всей программы (комплексная от-
ладка) Бэзшзшспп отладка гжлютое» тов»ргу ni а
вильнрети пе-ютлчи чпр-’рлр-чя пт бчо’-а к би’,’» и грл-
гильпссль об-> »?а ичфоочациеч мен ду б толами Инфор-
мация, досточлтома'" ко» птсксло, от»адиоч обчч ю
столь велика, что на практике ес получают лишь для
отде |ьиых узлогых точек программы.
Ну шт управления ЭЦВМ содержит системе уст-
ройств, позволяющих использовать при стлалкс про-
граммы ряд эффективных приемов' останов по записи,
чтению и адресу, занесение с пульта команд и констант,
передачу управления с пульта, наконец, работу з режи-
ме одичщшьх команд и т д, Использование зсех этих
возможностей сильно сокращает календарное время от-
ладки, хотя и увеличивает относительно непродуктив-
ное время работы машины.
В целях упрощения отоалтщ составлено большое
число специальных программ отладки (€П0). Они поз-
воляют в гтц у-ловую отладь, и отладке чстодорс про-
крутки, огдт за работой программы ведется непрерыв-
ное наблюдение < выдачей информации о работе каж-
дой команды.
88
РАЗДЕЛ I МАТЕМАТИКА
1.23.4.	Некоторые приемы
программирования
Описываемые ниже приемы программирования дале-
ко не исчерпывают всех возможностей, заложенных в
системах команд современных ЭЦВМ, и представляют
собой лишь отдельные примеры для демонстрации этих
возможностей.
Логические разветвления в программах. Програм-
мирование математических формул, г. е. написание си-
стемы выполняемых последовательно команд арифмети-
ческих и логических операций, является обязательных!
элементом почти всякой программы и представляет со-
бой достаточно простую задачу. Однако при решении
подавляющего большинства задач обычно на некоторой
стадии (стадиях) вычислений естественный порядок вы-
полнения команд должен быть нарушен. Если изменение
порядка выполнения команд не связано с некоторыми
условиями, вырабатывающимися в процессе решения, то
переход к очередной операции выполняется командой
безусловного перехода. Значительно чаще условие пе-
рехода зависит от величины некоторого промежуточно-
го результата. В этих случаях используется команда
условного перехода, а сама программа называется раз-
ветвляющейся.
Примером разветвляющейся программы может слу-
жить программа решения квадратного уравнения ах3+
+ 6хф-с=0. При положительном значении дискриминан-
та корни определяются по формуле х = т+ у р, при
отрицательном — по формуле
т/----	b
x~n±i у — р , где т ~	,
с
р = т2 — — .
а
Блок-схема программы решения квадратного урав-
нения показана на рис. 1.89*. Здесь блок At — вычисле-
ние т и р; блок Рг— распределение управления; в за-
висимости от знака р блок А3 — вычисление веществен-
ных корней х = т+ VР\ блок Л4 — вычисление ком-
плексных корней x~m±iy—р-, блок — останов ма-
шины («стоп»).
Циклы. Возможность многократного использования
одних и тех же команд (циклов) в программах являет-
ся основным фактором, обеспечивающим решение па
ЭЦВМ сложных задач. Использование циклов основа-
но на особенности устройства ЭЦВМ, заключающейся
в принципе адресности- в командах машины указыва-
ются не числа, а их адреса. Над адресами команд мо-
жно выполнять арифметические операции (в форме с
фиксированной запятой). Различают два принципиаль-
ных вида циклов-
а)	цикл с заданной кратностью (заданным числом
повторений), известной из условий задачи или устанав-
ливаемой программным путем к началу выполнения
цикла;
б)	цикл с неизвестной кратностью.
Циклы с заданной кратностью обычно организуются
с помощью счетчика циклов—специально отводимой
ячейки оперативной памяти. Цикл повторяется до тех
пор, пока в счетчике циклов не будет накоплена задан-
ная величина.
* Здесь и далее в целях упрощения показывается не вся
программа решения задачи, а лишь основной фрагмент ее. На-
помним, что полная программа включает ввод в машину поо
граммы и исходных данных, перевод исходных данных из деся-
тичного вида в двоичный (10-*- Я), решение, перевод результатов
из двоичного вида в десятичный (2-> 10), вывод результатов на
печать.
Рис. 1.89	Рис. 1.90
Для многократного использования циклической про-
граммы счетчик циклов необходимо восстановить (при-
вести в исходное положение). Операцию восстановления
счетчика циклов практически удобнее помещать перед
циклической программой. Принципиальная блок-схема
самовосстаиавливаюшейся циклической программы по-
казана на рис. 1.90. Во многих ЭЦВМ имеются спе-
циальный регистр-счетчик циклов или специальные
команды, существенно облегчающие организацию цик-
Рис. 1.92
лических программ.
Примером цикла с не-
известным числом повто-
рений является итераци-
онный цикл. Пусть тре-
буется методом итераций
решить уравнение j (х)—
—х—0 с заданной вели-
чиной погрешности е.
Вычисления организуют-
ся по формуле х,=
= Цхг„|) и продолжают-
ются до тех пор, пока не
выполнится условие
|х,.-—х,._[ j sJb. Принци-
пиальная блок-схема
итерационного цикла по-
казана на рис. 1.91.
Метод подпрограмм.
Использование стандарт-
ных подпрограмм. При
составлении программ
часто встречаются по-
вторяющиеся участки.
1,23. ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦИФРОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН
С целью уменьшения общего объема программы и упро-
щения программирования они выделяются в некоторую
подпрограмму, размещаемую, например, после основной
программы (рис. 1.92). Разбиение программы на основ-
ную и подпрограмму требует специальной организации
входа в подпрограмму и выхода из нее, а также занесе-
ния исходных данных для работы, подпрограммы. Вход
в подпрограмму выполняется командой безусловного пе-
рехода. Выход из подпрограммы можно осуществить
с помощью ячейки возврата, в которую перед входом
в подпрограмму засылается константа возврата на ос-
новную программу. В этом случае в последней команде
подпрограммы записывается команда безусловного пе-
рехода на ячейку возврата, тогда управление на нее
передается естественным путем к концу работы под-
программы.
Во многих ЭЦВМ в системе, команд предусмотрена
специальная организация выхода из подпрограммы. Ес-
ли машина имеет два счетчика команд (например,
БЭСМ-2М), то при использовании для основной про-
граммы первого счетчика, а для подпрограммы второго
вход в подпрограмму выполняется командой безуслов-
ного перехода с автоматическим остановом первого
счетчика и включением второго, а выход из подпро-
граммы— также командой безусловного перехода, при
которой вновь включается первый счетчик с того адре-
са, на котором он был прерван. Машины, снабженные
одним счетчиком (например, «Урал»), в большинстве
случаев содержат команду безусловного перехода с воз-
вратом, в процессе выполнения которой управление пе-
редается на вход в подпрограмму, а в ячейку возврата
автоматически засылается команда возврата на основ-
ную программу.
Исходная информация для подпрограммы (аргумен-
ты подпрограммы) задается в стандартных ячейках,
с которыми работает подпрограмма; результаты вычис-
лений по подпрограмме также выдаются ею в стандарт-
ные ячейки.
Решение задач на ЭЦВМ сопровождается накопле-
нием и систематизацией не только приемов программи-
рования, но также и самих программ (или их фрагмен-
тов), представляющих интерес при решении многих за-
дач. Такие программы (подпрограммы) получили на-
именование стандартных (СП); к составлению их
предъявляется ряд требований, преследующих основную
цель—эффективное их использование. Стандартные
программы (подпрограммы) образуют библиотеку стан-
дартных программ (СП), включающую СП решения
некоторых общематематических задач и вычисления не-
которых функций, СП обслуживания и т. п. Каждая
ЭЦВМ обычно снабжается БСП еще на стадии разра-
ботки машины.
На практике нашли широкое применение интерпре-
тирующие и компилирующие программы. Использование
их позволяет размещать СП в любом месте оператив-
ной памяти, а также предельно упростить обращение
к СП.
1.23.5.	Автоматизация программирования.
Алгоритмические языки, АЛ ГОЛ-60
Под автоматизацией программирования понимается
автоматизация разработки программы по ее логической
схеме. Автоматизация программирования развивается
по двум основным направлениям: использование биб-
лиотеки стандартных программ (метод БСП) л состав-
ление программ заносов с помощью программирующих
программ (метод ПП), называемых обычно гринслято-
S9
рами. При реализации метода ПП логическая схема
формируемой программы составляется на входном язы-
ке машины, в качестве которого используются различ-
иые алгоритмические языки, Получаемая с помощью
ПП программа подлежит отладке, выполняемой обычно
также автоматически.
Развитие вычислительной техники потребовало для
единого, гибкого и однозначного описания алгоритмов
создания специальных алгоритмических языков.
АЛГОЛ-60, ФОРТРАН, КОБОЛ, АЛГЭК, КОМИТ и др.
Алгоритмические языки создавались как универсальные
входные языки, удобные для изложения алгоритмов,
благодаря чему Они оказались хорошим средством об-
мена информацией. Значительную часть наиболее удач-
ных сторон ранее известных языков программирования,
предназначенных для изложения научно-технических за-
дач, сконцентрировал в себе язык АЛГОЛ-60, принятый
на Международной парижской конференции. АЛГОЛ-60
является живым, развивающимся языком, О степени его
распространения свидетельствует тот факт, что в оте-
чественных ЭЦВМ серии «Мир» этот язык заложен
(в несколько измененном виде) непосредственно в логи-
ку машины.
Для различных целей использования предусмотрено
три уровня языка: эталонный, (базисный) язык, язык
публикаций1 и язык конкретного представления (при-
менение эталонного языка к конкретной ЭЦВМ).
В формальном описании языка АЛГОЛ-60 принята
специальная символика — метаязык Бэкуса, использую-
щий металингвистические формулы. Как и обычные ма-
тематические формулы, они содержат левую и правую
части, соединенные символом (: : = ), имеющим смысл
«равно по определению*. Металингвистические форму-
лы строятся с использованием операций перечисления
(для определения более сложных понятий через более
простые) и (или) построения определяющего выраже-
ния по составлению (для рекурсивных определений, в
которых определяемое понятие само участвует в опре-
делении). Примером металингвистической формулы, ис-
пользующей операцию перечисления, может служить
формула
<цифра> :: = 0 ] 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | fi ] 7| 8 | 9 |.
Здесь цифра —- определяемое понятие, s вертикальная
черта — символ операции перечисления: (операции
ИЛИ).	щ
Металингвистическая формула с использованием ре-
курсивного определения имеет, например, такой вид:
< целое без знака > :: ===
==< цифра>]<целое без знаках цифра>
Из этой формулы следует, что целым числом без
знака является как отдельная цифра, так и любая по-
следовательность цифр.	,
Ниже кратко излагаются2 основные понятия языка
АЛГОЛ-60. Законченное описание алгоритма называет-
ся в языке АЛГОЛ-60 программой, Программа обычно
представляет собой блок. Всякий блок, будь-то вся
программа или только ее часть, состоит нз описаний
и операторов. Описания помещаются в начале блока,
операторы — за ними. Описания служат для характери-
стики встречающихся в данном блоке переменных
и других объектов (переключателей и процедур). Все
объекты, используемые в программе, должны быть опи-
саны. Сами по себе описания не предписывают какнх-
1 Многие авторы предпочитают использовать в публикациях
эталонный язык [прим, рев.)..
2 Это изложение заимствовано из работы С. С. Лаврова.
30
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
либо действий в программе; операторы, напротив, явля-
ются указаниями о выполнении определенных действий.
Описания и операторы можно рассматривать как от-
дельные предложения языка. После каждого такого
предложения ставится точка с запятой. Операторы бы-
вают следующих типов.
Оператор присваивания вызывает вычисление значе-
ния некоторого выражения и приписывание этого зна-
чения одной или нескольким переменным.
Оператор перехода прерывает естественный порядок
выполнения операторов и указывает, какой из операто-
ров программы, должен выполняться следующим. Что-
бы такое указание было возможным, перед оператора-
ми могут ставиться метки, к которым и адресуются опе-
раторы перехода. Иногда оператор перехода указывает
нужную метку не непосредственно, а путем обращения
к описанию переключателя. Описание переключателя
задает действия, которые нужно произвести для выбо-
ра такой метки.
Условный оператор проверяет, выполняются ли
в данный момент работы программы некоторые усло-
вия, и в зависимости от результатов проверки застав-
ляет работать один из входящих в его состав опера-
торов.
Оператор цикла, заставляет входящий в его состав
внутренний оператор выполняться несколько раз, при-
чем перед каждым выполнением некоторой неременной
присваивается новое значение.
Оператор процедуры служит для обращения к соот-
ветствующему описанию процедуры. Он заставляет вы-
полняться оператор, входящий в состав описания про-
цедуры и называемый телом процедуры. Предваритель-
но оператор процедуры для некоторых переменных,
фигурирующих в теле процедуры и называемых фор-
мальными параметрами процедуры, либо задает началь-
ные значения, либо указывает, какими выражениями
эти переменные должны быть заменены.
Несколько операторов любого вида и в произволь-
ном количестве могут быть объединены в один состав-
ной оператор. Для этого их заключают в операторные
скобки (начало, конец). В начале составного оператора
могут быть помещены описания, в этом случае он пре-
вращается в блок.
Описания, включенные в блок, имеют силу только
внутри данного блока. Описывать в каждом блоке сле-
дует лишь те объекты, которые используются только
в этом блоке. Наряду с описанными в начале блока
объектами в нем можно использовать другие объекты,
описанные в охватывающих его блоках.
Операторы и описания строятся из более мелких
единиц, называемых выражениями, которые по опреде-
ленным правилам соединяются между собой спе-
циальными символами — ограничителями В качестве
ограничителей используются: во-первых, знаки арифме-
тических и логических операций, знаки равенства и не-
равенств, скобки и небольшое количество специально
введенных знаков; во-вторых, ряд вспомогательных
слов, выделяемых в рукописном и машинописном тексте
подчеркиванием, а в печатном тексте полужирным
шрифтом. Эти же символы служат И для конструирова-
ния выражений.
Для построения выражений используются преимуще-
ственно символы первой группы, т. е. знаки, тогда как
операторы и описания строится из отдельных выраже-
ний с помощью главным образом символов второго ти-
па — выделенных слог. Благодаря этому выражения
имеют почти обычный в математике вид, а запись опе-
ратора также оказывается довольно наглядной.
Выражения строятся из первичных выражений, к ко-
задается описанием
г — ™
Рис. 1.93
торым относятся числа, переменные, указатели функций
и логические значения. Числа записываются в десятич-
ной системе счисления. Для обозначения переменных
н для некоторых других целей служат идентификаторы.
Идентификаторами могут быть просто буквы, как, на-
пример, A, F, п, х, а также группы букв или букв
и цифр, но начинающиеся обязательно с буквы, паирнмер
sin, exp, й!2, Integral, xl7a&t.
Кроме скалярных величин переменными считаются
также компоненты массивов. Такие переменные изобра-
жаются идентификаторами, снабженными индексами.
Идентификатор должен быть одним и тем же для лю-
бой компоненты данного массива. В качестве индексов
могут использоваться любые арифметические выраже-
ния. Значения этих выражений определяют место ком-
поненты в массиве. Указатель функции также изобра-
жается идентификатором, за которым в скобках следу-
ет список аргументов, от которых должна быть вычис-
лена данная функция. Способ вычисления значения
процедуры специального
вида. Указатель функции
служит для обращения к
этому описанию.
Переменные и функ-
ции могут быть различ-
ных типов: целые, веще-
ственные и логические.
Типы задаются описани-
ем переменных и опреде-
ляют свойства значе-
ний этих переменных. Переменные типов целый и ве-
шественный могут принимать соответственно целые или
вещественные числовые значения, а переменные типа
логический. — одно из двух логических значений: истина
или ложь.
В качестве иллюстрации изложенного рассматрива-
ется описание на языке АЛГОЛ-60 элементарной зада-
чи строительной механики — вычисления изгибающего
момента в каждой точке через 0,1 I в однопролетной
балке длиной I со сплошной равномерно распределенной
нагрузкой q (рис. 1.93).
1. Описание на эталонном языке:
begin array /И[0 : 10]; real q, 1‘ integaj”i;
for г: = 0 step 1 until 10 do;
= f 2X1X0.1X(1 — (X0.1)/2; end.
2. Описание на принятом в части отечественной ли-
тературы языке публикаций:
начало массив М [0:10]; вещественный q, I;
целый /;
для г: = 0 шаг 1 до 10 цикл
А1 [г! =~-qXl t 2Xz'X0.1X(I — iX0.l)/2; конец
1.23.6. Некоторые рекомендации
по использованию ЭЦВМ
Для решения различных задач на ЭЦВМ в СССР со-
здано большое количество универсальных и специализи-
рованных программ. Поэтому при необходимости выпол-
нения каких-либо машинных расчетов в большинстве
случаев бывает достаточно найти соответствующую
программу, изучить правила подготовки исходных дан-
ных и произвести счет на машине. Накопление готовых
программ н алгоритмов осуществляется по различным
отраслям специально выделенными головными органи-
зациями. В строительной отрасли такой организацией
1.24. ТАЗЛИНЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

является институт Гипротис (Москва), на который воз-
ложены накопление и публикация «Отраслевого фонда
алгоритмов и программ по строительству», аннотиро-
ванного каталога публикуемых программ и др. При
решении многих задач могут быть использованы также
алгоритмы, публикуемые в изданиях Вычислительного
центра Акадеййи наук СССР и др.
Иногда, особенно йри решении задач небольшого
объема, бывает проще не искать готовую программу,
а составить ее вновь. Такой случай особенно типичен
при И'штцгш ”1 j. ьн ЭЦВМ («Мир», «Напри»,
«Преминь»), Хотя для этих маяйн составлено множест-
во программ, большинство применяющих эти ЭЦВМ
организаций в основном пользуется собственными про-
граммами- Это объясняется, в частности, тем, что про-
граМмйрование. для малых ЭЦВМ отличается относи-
тельной простотой (разумеется, при соблюпенил необхо-
димых ограничений на объем задач). Здесь же следуй!
отметить, что небольшие габариты, простота обслужи-
вания и относительно низкая стоимость малых ЭЦВМ
позволяют иметь их в каждой проектной организации,
При решении задач по готовым программам воз-
можны дйа случая: а) решение задачи не требует ин-
женерной подготовки и б) решение задачи требует ин-
женерной подготовки. В первом случае подготовка
исходных данных является элементарной операцией и
выполняется по достаточно простым правилам, изло-
женным в инструкции к программе. Характерным при-
мером таких Программ являШся, Например, программы
решения систем линейных алгебраических уравнений.
Во втором случае подготовка исходных данных ча-
сто может оказаться серьезной задачей, требующей глу-
боких знаний конструкций, строительной механики
и т. д. Это относится, в частности, ico многим универ-
сальным программам рщяета стержневых систем.
С целью унификации исходных данных к програм-
мам стройтелыюго проектирования .-разработан спе-
циальный язык ВХОД, применение которого позволяет
избежать изучения правил подготовки исходных данных
к каждой конкретной программе. Расйетчикч будет до-
статочно изучить диале(№ языка- ВХ.СЭД, непосредствен-
но относящийся к интересующей его: области (напри-
мер, расчет стержневых систем, расчет железобетонных
конструкций й т-д,). Вжштифровка записи на „языке
ВХОД осуществляется транслятором, который автома-
тически превращает ее в исходные дайные к конкретной
программе. Далее эта программа автоматически вступа-
ет в работу, осуществляя счет и выдачу результатов,
1.24. Таблицы элементарных функций ’
Т а й лица 1.33
Трйгянометричеекие,, показательные и гиперболические функц»и
(аргумент з радианах и градусах!
X в рад	sin х	cos X	tg*	ех	е"~~х	sh х	ch х	1Ц X	х s град
0,00	0,00000	 1,00000	о.ооосз	: 1,00000	1,00000	0,00900	1,00000	-0,90000 0,01000	0,00
0,01	0,01000	0,99995	0,01009	1,0101В	0,99005	0,91000	1,00005		0,57
0,02 0,03	о,|/даи‘ 0,03000	0.99980 0,99955	0,02000 0,03001	1,02020 1,03043	и.ЧЯОЗО 0,9’045	0,02000 0,03000	I,00020 1,00045	0,02000 0,02000	1,15 1,72
0,04	0,03999	99920	0,04002	1,04081	0,96079	0,-04001	1,00080	0,03998	2,29
0,05	0,04998	0,99KB	0.05004	1,05127	0,95123	0,05002	1,00125	0,04996	2,86
0,06	0,05896	0,99820 0,99755	О.ОбЖ	1.06184	0.94176	0,06004	1,00180	0,05993	
0,07	0,08994		0,07011	1,07251	0,93239	0,07004	1,00246	0,06989	4,01
0,08	0,07991	0,99680	0,081117	1,08329	0,92312	0,08009	1,00329	0707983 0,08076	4,оа
0,09	0,08988	oistess-	0,09024	1,09417	0,91393	0,09012	1,00405		5,16
0,10	0,09983	0,99,500	0,ШМ 0,11045	1,10517	0,90484	0,10017	1,00500	' 071W67	5,73
о, и	0,1(1978:	0,99396		1,111Й8	0,89583	0,11022	1,00606	0, 0956	з’й
0,12	0,11971	о, steal:	0,120 >8 0,13074	1,12750	0,88692	0,120-29	1,00721 1,00846	9,11943	5,88 7745
0,13	0,12963:	0 99150		1,13883	0,87810	0,13037		0,12927	
0,14	0,13954	6,99022	0,14092	1,15027	0,86936	0,14046	1,00982	0,13909	8,02
0,15	0,14944	0,98877	0,15114	1,1И®	0,86071	0,15056	1,01127	0,14889	0,59
0,16	0,15832	П.ПП723	0,16138	1,17351	0,85214 0,84366	0,16068	1,01284	0,15865	9,17
0,17	0,16918	(>Д»558	0,17166	1,18530		0,17082	1,01448	0,16838	9,74
0,18	0,17903	Р?^334 0,98200	0,18197	1,19722	0,83527	0,18097	1,01624	0,17808	10,31
0,19	0,18886		0,19232 ,	1,20925	0.82696	0,19115	1,01810	0,13775	10,89
ОДО	0,19867	0,98007	0,20271	1,22140	0,81873	0,20134	1,02097 1,02213	0ДЙ38	11,45
0,21	1	0,97803<	8:1111	1,23368	0,81058	0’21155		0, ПЗЭ7	12.,03
0,22	(	0,97590		1,24608	0,80252	0,22178	1,0248-0	0,21052 0, «!(В	12,61
0,23	' . '2Д'3	9,97387	0,23414	1,25860	0,79453	0,23203	1,02657		13,18
0,24	0,23770	0,97134	0,24472	1,27125	0,78663	0,24231	1.0289-1	0,23550	13,75
0,25	0,24740	0,96891	0,25534	1,23403	0,77880	0,25261	1,03141	Р..И92	14,32
0,26	0,25708	0 96630	0,26602	1,29693	0,77105	0726294	1,03309	0,25430	14,80
0,27	0,26673	0 96377	0,27676	1,30996	9,76333	0,27329	1,03667	п,2631>	15,47
0,28	0,27636-	ж 4)'М1Ш		1.3221 ,	0,75578	Ш28367	1,03943	0,27291	16,04 - 16,62
0,29	0,28595	0,95824	0,29841	1,33643	<0,74826	0,29408		0,28213	
0,30	0,29552	0,95534	0,30904	1,34886	0,74082	0^30452	1,04534	0,29131	17,19
0,31	0,30-505	0,95233	0,32033	1,36343	0,73345	0,31499	1,04844	0,30044	17,76
0,32	0,31457	0,94924	0.33139	1,37713	0,72615	0,3254’	1,05164 1,05495 ' 1,05835	0J®51	1М3
0,33 0,34	0,32404 0,83349	0,94604 0,94279	0,34252 0,35374	1,39097 1,40495	0,71892 0,71177	0,33602 0,34659		0,-31852 0,32748	18,91 19,48
0,35	0-34290	0,93937	0,36503	1,41907	0,70469	0735719	1,06183	0,33638	20,03
0,36	0,35227	0,935»	0,37640 0,38786	1,4-ЖЗ	0,69768	0,36783 -	- 1,06550	0,34521	20.®
0,37	0,36162	0,93233		1,44773	0,69073	0-3785(1	1,06923	0,35339	21,20 21,77
0,38	0,37092	0,92866	0,39941	1,46298	0,68386	0,38921	’ 1,07307	0,36271	
0,39	0,33019	0,92491	0,41105	1,47693	0,67709	(Ц39996	1,07702	0,37136	22,35
92
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
Продолжение табл. 1.33
х в рад	sin х	cos л	tg1 х		е х	sh х	ch х	th t	x в град
0,40	0,38942	0,92106	0,42279	1,49182	0,67032	0,41075	1,08107	0,37995	22,92
0'41	0,39861	0,91712	0,43463	1,50582	0,66365	0,42158	1.08523	0,38847	23,49
0'42	0,40776	0,91309	0,44657	1,52196	0,65705	0,43246	1,08950	0,39693	24.06
0’43	0,41687	0,90897	0,45862	1,53726	0,65051	0,44337	1,09388	0,40532	24,64
0'44	0,42594	0,90475	0,47078	1,55271	0,64404	0,45434	1,09837	0,41364	25,21
0,45	0,43497	0,90045	0,48306	1,56831	0,63763	0,46534	1,10297	0,42190	25,78
0,46	0,44395	0,89605	0,49545	1,58407	0,63128	0,47640	1,10768	0,43008	26,36
0,47	0,45289	0,89157	0,50797	1,59999	0,62500	0,48750	1,11250	0,43820	26,93
0,48	0,46178	0,88699	0,58061	1,61607	0,61878	0,49865	1,11743	0,44624	27,50
0,49	0,47063	0,88233	0,53399	1,63232	0,61263	0,50984	1,12247	0,45422	28,07
0,50	0,47843	0,87758	0,54630	1,64872	0,60653	0,52110	1,12763	0,46212	28,65
0,51	0,48818	0,87274	0,55936	1,66529	0,60050	0,53240	1,13289	0,46995	29,22
0,52	0,4968В	0,86782	0,57256	1,68203	0,59452	0,54375	1,13827	0,47770	29,79
0,53	0,50553	0,86281	0,58592	1,68893	0,58860	0,55516	1,14377	0,48538	30,37
0,54	0,51414	0,85771	0,59943	1,71601	0,58275	0,56663	1,14938	0,49299	30,84
0,55	0,52269	0,85252	0,61311	1,73325	0,57695	0,57815	1,15510	0,50052	31,51
0,56	0,53119	0,84726	0,62695	1,75067	0,57121	0,58973	1,16094	0,50798	32,09
0,57	0,53963	0,84190	0,64097	1,7b827	0,56553	0,60137	1,16690	0,51536	32,66
0,58	0,54802	0,83646	0,65517	1,78604	0,55990	0,61307	1,17297	0,52267	33,23
0,59	0,55636	0,83094	0,66956	1,80399	0,55433	0,62483	1,17916	0,52990	33,80
0,60	0,56464	0,82534	0,68414	1,82212	0,54881	0,63865	1,18547	0,53705	34,38
0,61	0,57287	0,81965	0,69892	1,84043	0,54335	0,64354	1,19189	0,54413	34,95
0,62	0,58104	0,81388	0,71391	1,85893	0,53794	0,66049	1,19844	0,55113	35,52
0,63	0,58914	0,80303	0,72911	1,87761	0,53259	0,67251	1,20510	0,55805	36,10
0,64	0,59720	0,80210	0,74454	1,89648	0,52729	0,68459	1,71189	0,56490	36,67
0,65	0,60590	0,79608	0,76020	1,91554	0,52205	0,69675	1,21879	0,57167	37,24
0,66	0,61312	0,78999	0,77610	1,93479	0,51685	0,70897	1,22582	0,57836	37,82
0,67	0,62099	0,78382	0,79225	1,9й424	<1,51171	0,72126	1,23297	0,58498	38,39
0,68	0,62879	0,77757	0,80866	1,97388	0,40662	0,73363	1,24025	0,59152	38,96
0,69	0,63654	0,77125	0,82534	1,99372	0,50158	0,74607	1,24765	0,59798	39,53
0,70	0,64422	0,76484	0,84229	2,01375	0,49659	0,75853	1,25517	0,60437	40,11
0,71	0,65183	0,75836	0,85953	2,03399	0,49164	0,77117	1,26282	0,61068	40,68
0,72	0,65938	0,75181	0,87707	2,03443	0,48675	0,78384	1,27069	0,61691	41,25
0,73	0,66687	0,74517	0,89492	2,07508	0,48191	0,79659	1,27849	0,62307	41,83
0,74	0,67429	0,73847	0,91309	2,09594	0,47711	0,80941	1,28652	0,62915	42,40
0,75	0,68164	0,73169	0,93160	2,11700	0,47237	0,82232	1,29468	0,63615	42,97
0,76	0,68892	0,72484	0,95045	2,13828	0,46767	0,83530	1,30297	0,64108	43,54
0,77	0,69614	0,71791	0,96967	2,15977	0,46301	0,84838	1,31139	0,64693	44,12
0,78	0,70328	0,71^91	0,98926	2.18147	0,45841	0,86153	1,31994	0,65271	44,69
0,79	0,71035	0,70385	1,00925	2,20340	0,45384	0,87478	1,32862	0,65841	45,26
0,80	0,71736	0,69671	1,02964	2,22554	0,44933	0,88811	1,33743	0,66404	45,84
0,81	0,72429	0,68э6П	1,05043	2,24791	0,44486	0,90152	1,34638	0,66959	4v, 41
0,82	0,73115	0,68222	1,07171	2,27050	0,44043	0,91503	1,35547	0,67507	4o, 98
0,83	0,73793	0,67483	1,09343	2,29332	0,43605	0,92863	1,36468	0.68048	47,5b
0,84	0,74464	0,66746	1,11563	2,31637	0,43171	0,94233	1,37404	0,68581	48,13
0,85	0,75128	0,65998	1,13833	2,33965	0,42741	0,96612	1,38353	0,69107	48,70
0,86	0,75784	0,65244	1,16156	2,36316	0,42316	0,97000	1,39316	0,69626	49,27
0,87	0,76433	0,64483	1,18532	2,38691	0,41895	0,98398	1,40293	0,70137	49,85
0,88	0,77074	0,63715	1,20966	2,41090	0,41478	0,99806	1,41284	0,70642	50,42
0,89	0,77707	0,62941	1,23460	2,43513	0,41066	1,01224	1,42289	0,71139	50,99
0,90	0,78333	0,62161	1,26016	2,45960	0,40657	1,02652	1,43309	0.71630	51,57
0,91	0,78950	0,61675	1,28637	2,48432	0,40252	1,04090	1,44342	0,72113	52,14
0,92	0,79560	0,60582	1,32326	2,50929	0,39852	1,05539	1,45390	0,72590	52,71
0,93	0,80162	0,59783	1,34087	2,53451	0,39455	1,06998	1,46453	0,73059	53,29
0,94	0,80756	0,58979	1,36923	2,55998	0,39063	1,08488	1,47530	0,73522	53,86
0,95	0,81342	0,58168	1,3983В	2,58571	0,38674	1,09948	1,48623	0,73978	54,43
0,96	0,81919	0,57'152	1,42836	2,61170	0,38289	1,11440	1,49729	0,74428	55,00
0,97	0,82489	О 36530	1,45920	2,63794	0,37908	1,12943	1,50851	0,74870	55,58
0,98	0,83050	0,55702	1,49096	2,66446	0,37531	1,14457	1,51988	0,75307	56,15
0,99	0,83603	0,54859	1,52368	2,69123	0,37158	2,15983	1,53141	0,75736	56,72
1,00	0,84147	0,54930	1,55741	2,71828	0,36788	1,17520	1,54308	0,76159	57,30
1,01	0,84683	0,53186	1,59221	2,74560	0,36422	1,19060	1,55491	0,76576	57,87
1,02	0,85211	0,52337	1,62813	2,77319	0,36059	1,20630	1,56689	0,76987	58,44
1,03	0,85730	0,51482	1,66524	2,80107	0,35701	1,22203	1.S7904	0,77391	59,01
1,04	0,86240	0,50622	1,70361	2,82922	0,35345	1,23788	1,59134	0,77739	59,59
1,05	0,86742	0,49757	1,74332	2,85765	0,34994	1,25386	1,60379	0,78181	00,16
1,06	0,87236	0,48887	1,78442	2,88637	0,34646	1,26996	1,61641	0,78566	(>0,73
1,07	0,87720	0,48012	1,82703	2,91533	0,34301	1,28619	I 62919	0,78946	61,31
1,08	0,88196	0,47133	1,87122	2,94468	0,33960	1,30254	1,64214	0,79320	61,88
1,09	0,88663	0,46249	1,91709	2,97427	0,33622	1,31903	1,65525	0,79688	02,45
ЛИТЕРАТУРА
93
Продолжение табл. 1.33
х в рад	sin х	соз х	tg X		<г-х	sh х	ch х	th x	x в град
1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39	0,89121 0,89570 0,90010 0,90441 0,90863 0,91276 0,91680 0,92075 0,92461 0,92837 0,93204 0,93562 0,93910 0,94249 0,94578 0,94898 0,95209 0,95510 0,95802 0,96084 0,96356 0,96618 0,96872 0,97115 0,97348 0,97572 0,97786 0,97991 0,98185 0,98370	0,45360 0,44466 0,43568 0,42666 0,41759 0,40849 0,39934 0,39015 0,38092 0,37166 0,36236 0,35302 0,34365 0,33424 0,32480 0,31532 0,30582 0,29628 0,28072 0,27712 0,26750 0,25785 0,24818 0/23848 0,22875 0,21901 0,20924 0,19945 0,18964 0,17981	I,96476 2,01434 2,06596 2,11975 2,17588 2,23450 2,29580 2,35998 2,42727 2,49790 2,57215 2,65033 2,73275 2,81982 2,91193 3,00957 3,11327 3,22363 3,34135 3,46721 3,60210 3,74708 3,90335 4 07231 4,25562 4,45522 4,67344 4,91306 5,17744 5,47069	3,00417 3,03436 3,06485 3,09566 3,12677 3,15819 3 18993 3,22199 3,25437 3,28708 3,32012 3,35348 3,38719 3,42123 3,45561 3,49034 3 52542 3,56085 3 59664 3,63279 3,6693(1 3,70617 3,74342 3,78104 3,81904 3,85743 3,89619 3,93535 3,97490 4,01485	0,33287 0,32956 0,32628 0,32303 0 31982 0 31664 0,31349 0,31037 0 30728 0,30422 0,30119 0,29820 0,29523 0,29229 0,28938 0,28650 0,28365 0,28083 0,27804 0,27527 0,27253 0,26982 0,26714 0,26448 0,26185 0,25924 0,25666 0,25411 0,25158 0,24908	1,33565 1,35240 1,36929 1,38631 1,40347 1,42078 1,43822 1,45581 1,47355 1,49143 1,51X946 1,52764 1,54598 1,56447 1,58311 1,60192 1,62088 1,64001 1,65930 1,67876 1,69838 1,71818 1,73814 1,75828 1,77860 1,79909 1,81977 1,84062 1,86166 1,88289	1,66852 1,68196 1,69557 1,70934 1,72329 1,73741 1,75171 1,76618 1,78083 1 79565 1,81066 1,82584 1,84121 1,85576 1,87250 1,88842 1,90454 1,92084 1,93734 1,95403 1,97091 1,98800 2,00528 2,02276 2,04044 2,05833 2,07643 2,09473 2,11324 2,13196	0,80050 (',80406 0,80757 0,81102 0,81441 0,81775 0,82104 0,82427 0,82745 0,83058 0,83365 0,8(3668 0,83965 0,84258 0,84548 0,84828 0,85106 0,8.5380 0,85648 0,85913 0,86172 0,86428 0,86678 0,86925 0,87167 0,87405 0,87639 0,87869 0,88095 0,88317	63,03 63,60 64,17 64,74 65,32 65,89 66,45 67,04 67,61 68,18 68,75 69,33 69,90 70,47 71,05 71,62 72,19 72,77 73,34 73,91 74,48 75,06 75,63 76,20 76,78 77,35 77,92 78,50 79,07 79,64
Таблица 1.34
Некоторые постоянные
Величина	73	1g п	Величина	п	1g п	Величина	п	1g п
ц	3,Ш5927	0,497151	|	J'S	2,221442	0,34663	g	9,81	
Л/2	1,5707963	0,19612	/—			£	96,2361	1,93334
л/3	1,0471976	0,02003	-у 2				3,1320919 0,050968	0,49683 0,70730-2
Л/4	0,7853982 9,8696044	0,89509—1 0,99430		2,506628	0,39909	У g i/2g		
А’	31,006277	0,49145	у л:2	1,253314	0,09803	/2g	4,429447	0,64635
1/л 1/лЗ	0,3183099 0,1013212	0,50285—1 0,00570—1	/ 2:л	0,797885	0,90194—1	лА g	9,839757	0,99298
W	0,0322515	0,50856—2	]/" 3:л У 2л	0,977205	0,98998—1	и/ 2g	13,91536	1,14350
У л	1,7724539	0,24857		1,845261	0,26606	л.-уД	1,003033	0,00132
А !. 05 '=*.	1,4645919	0,16572	Упд	1,162447	0,06537	е	0,709252 2,718282 "	0,85080—1 0,43429
Л У ц	5,5683280	0,74572	У я:4	0,922635	0,96503—1	е2	7,389055	0,86859
3 —						1/е	0,367879	0,56571—1
л у л	4,6011511	0,66287	У 2;'л	О,860254	0,93463—1	l/es	0,1353®	0,13141—1
4ц*	39,478418	1,59636					1,648721	
Лэ/4	2,4674011	0,39224	з 		 у 3:л	0,984745	0,99332—1	|/5 3А—		0,21715
л/ 2	4,4428329	0,64767	М~ 1g е	0.4342Н	0,63778—1	У е	/ 1,395612	0,14476
			1:М	2,302585	0,36222			
ЛИТЕРАТУРА
1.1. Алгебра
!. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. ГТТИ, 19/1.
2. Гилов и н г. Л. И. Линейная алгебра и некоторые ее
приложения. «Наука», 1971,
1.4. Аналитическая геометрия
Привалов Н. П. Аналитическая геометрия. «Нау-
ка», I960,
2. Ильин В. А., Позняк Э. Г, Аналитическая геомет-
рия. «Наука», 1971,
L5. Дифференциальная геометрия
1, Рашевский П. К- Курс дифференциальной геомет-
рии. ГТТИ, 1956.
T'TITI И К ° С	Курс дифференциальной геометрии,
3. И орд ев А. П, Теория поверхностей. ГТТИ, 1955.
1.6. и 1.7, Дифференциальное
и интегральное исчисление
1.	Фихтенгольц Г, М. Курс дифференциального и ин-
тегрального исчисления. т. 1 и 2. «Наука», М, —Л., 1959,
2.	Бериант А. Ф. Курс математического анализа, т. I
и II. ГТТИ, 1956.
3.	Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное
исчисления, т, 1 и II, «Наука», 1965,
94
РАЗДЕЛ к МАТЕМАТИКА
1.9. Дифференциальные уравнения
1.	Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений.
Фир.штпн, W53.
2.	Э льсголь ц Л. Э. Дифференциальные уравнения и ва-
ршациояное исчисление. «Наука", 1965
3.	К а м к е Э. Справочник по обыкновенным дифференци-
альным уравнениям. «Наука», !971.
4.	Карман Т. и Био М. Математические методы в ин-
женерном деле. ГТТП, И. — Л., 1956.
5.	Ар а м аяович И. Г., Левин В. II. Уравнения ма-
тематической физики. «Маука», 196k
6.	Тихо нов А. Н , Самарский А. А, Уравнения ма-
тематической физики. ГТТП, 19У?.
7,	Кошляков Н. С. и др. Дифференциальные уравнения
математической физики. Физматгиз, 1967.
8.	Михлин С. Г. Прямые метсды в математической фи-
зике. ГТТ11, М. — Л., 1956.
L10. Функции комплексной переменной
1.	п р ив а лов И. И. Введение в теорию функций комп-
лексного переменного «Наука», 1962.
2.	Л а в р е н т ь е в М. А. Конформные отображении. ГТТП,
М — Л... 1946.
3	Фукс Б. А. и Шабат Б. В. Функции коглпяексного
переменного и некоторые их приложения. «Маука», 1961.
4.	Лаврентьев М. А. и Ш а б а т Б. В. Методы тео-
рии функции комплексного переменного. «Наука». 1965
5.	С в еш г и ков А, Г., Тихонов А. Н. Теория функ-
ции комплексной переменной. «Наука», 1967.
1.11.	Вариационное исчисление
1.	Смирнов Б. II. Курс высшей математики, т. IV. Физ-
матгиз, 1958.
2,	Эльсгольц Л. Э. Вариационное исчисление. ГТТП,
М. — Л ’ 1958.
3.	М и х л и н С. Г. Вариационные методы в математической
физике. «Наука», 1970.
1,12.	Разностное исчисление
I.	Б л ей х Ф. и М слан В. Уравнения в конечных раз-
ностях статики сооружений. ОНТИ, Харьков, Ш36.
2.	Панов Д. Ю. Справочник по численному решению диф-
ференциальных уравнений в частных производных. ГТТИ,
М — Л , 1951.
3	Канторович Л, В., Крылов В, И. Приближенные
методы высшего анализа. ГТТИ. 1949
4.	С а м арск и й А. А. Введение в теорию разностных
схем. «Неука», 197k
1.13.	Интегральные уравнения
1.	Смирнов В. И. Курс высшей математики, т. IV Фнз-
матгиз. 1г>58.
2.	Справо^чся математическая библиотека Интегральные
уравнения, «Паука», 19С8.
3.	Справочная математическая библиотека. Приближенные
методы решения дифференциальных и интегральных уравнений
«Наука», 1965,
1.14.	Специальные функции
1.	Смирнов В, И, Курс высшей математики т. HI
Фязматгиз, 1958.
2.	Лебедев TL Я, Специальные Функции и их приложе-
ния. ГТТИ, 1953.
3,	Справочная математическая библиотека. Высшие транс-
цендентные функции. «Наука», 1965
4.	Коренев Б. Г. Введение в теорию бесселевых Функ-
ций. «Наука», 1971.
1.15.	Операционное исчисление
1.	Лурье А. И. Операционное исчисление и его прило-
жения к задачам механики. ГТТИ, 1939
2.	Д !1тк й й В. А. и Прудников А. П. Операционное
исчисление. «Высшая школа», 1966.
3.	Карслоу Г. и Егер Д. Операционные методы в
прикладной математике. ИЛ., 1948.
1.16,	Векторное и тензорное исчисление
1,Кочип Н. В. Векторное исчисление и начала тензор-
ного исчисления. «Наука», 1965.
2.	Кмльчевскпй П. А. Элементы тензорного исчисле-
ния я его приложения к мечатшке. ГТТИ, М, —Л., 1954.
3.	А к и в и с ГА. 7k., Гольдберг В. В, Тензорное исчис-
ление. «Наука», 1999.
4.	Сокольников И. Тензорный анализ. «Наука», 1971.
1Л& Номография
1. Невский Б. А. Справочная книга по номографии.
ГТТИ, М — Л., 1953.
2, II е и к к о в с к и й М. В.. Номография, ГТТИ, 1949,
1.19, Приближенное представление функций
1. Милн В. Э. Численный анализ. ИЛ., 1951.
2 Хемминг Р. В, Численные методы. «Наука», 1972.
1.20.	Ряды Фурье
1.	Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы,
ИЛ , 1948.
2.	Толстов Г. П. Ряды Фурье ГТТИ, М. — Л , 1951.
3.	Хард и Г. X. и Р о г о з и и с к и и В. В. Ряды Фурье.
Физмапиз, 1932.
1.21,	Теория вероятностей
1.	Гн еден ко Б. В, Курс теории вероятностей. Физмат-
гиз, 1961.
2.	Гн урман В. Е. Введение в теорию вероятностей и ма-
тематическую статистику. «Высшая школа», 1966,
3	Дунин-Барковский И. В. и Смирнов Н В.
Краткий курс математической статистики для технических при-
ложений. Физматгиз, 1959.
4.	Уилкс С, Математическая статистика. «Наука», 1967.
5,	Б о л о т и и В. В. Статистические методы а строительной
механике, Госаройпздат, 1961.
1.22.	Основные сведения о линейном программирозашш
1.	Зуховский С. И,, Авдеев Л. И. Линейное и вы-
пуклое программирование. «Наука», 1967.
2.	Ю д и и Д. Б., Гольштейн Е, Г, Линейное и выпук-
лое ^Р9^Рамми^оваЕ51е (теория и конечные методы). Физмат-
3.	Ю д и н Д, Б., Гольштейн Е. Г. Линейное програм-
мирование (теория, методы и приложения). Физматгиз, 1969.
1.23.	Основы применения электронных
цифровых вычислительных машин (ЭЦВМ)
1.	Алгоритмы. Сборник под общей редакцией М. И. Агеева.
ВЦ АН СССР, М. (публикуется нерегулярно с 1966 г.),
2.	Алгоритмы и алгоритмические языки. Сборник, ВЦ АН
СССР, И. (публикуется нерегулярно с 1967 г.).
3.	Б а з и л ев и ч В. Л„ Базилевич Л, В. Системы
команд и программирование для БЭСМ-2. «Судостроение»,
Л., 1964.
4.	Врудио А. Л. Программирование в содержательных
обозначениях. «Наука», 1965.
5.	Г утер Р. С. и др. Программирование я вычислительная
математика. «Наука», 1965.
6.	До н д ош а нски й В. К. Расчет колебаний упругих
систем на электронных вычислительных машинах. «Машино-
строение», М.—Л., 1965.
7.	Д у к а р с к и й О. М.., Лавитиан В. С. Расчет рам
на электронных машинах. Стройиздач, 1965.
8.	3 у ховл ц кн й С. И., Авдеева В. И. Линейное я вы-
пуклое программирование, Физматгиз. 196k
9.	Кабул оз В. К. Алгоритмизация в теории упругости
п деформационной теории пластичности. Изд. Уз. ССР, Таш-
кент, i960.
10.	Китов А. И., К. ? и и и ц к и н Н. А, Электронные циф-
ровые. машины и программирование. Физматгиз, 1961.
11.	Китов А. И, Программирование информационно-лшп-
чсских задач. «Советское радио*, 1967.
12.	Лавров С, С, Унят реальный язык программирования.
«Наука», 1964,
13.	Резников Р. А. Решение задач строительной меха-
ники На ЭЦМ, 2-е изд. Стройиздат, 1971.
14.	Смирнов А. Ф. и др. Расчет сооружений с приме-
нением вычислительных машин. Сгроймздат, 1964.
15.	Современные методы расчета сложных статически неопре-
делимых систем (составление, общая редакция л дополнения
А. П. Филина). Стдппомгяз, Л.т 1961
16,	Сое ис П. М. Алгоритмический язык АЛГОЛ-59 и его
применение в строительной механике. «Буд1вельник», Киев, 1963.
17.	Справочно-методическое пособие по применению вычис-
лительной техники при проектировании строительных конструк-
ций. 2-е изд. Гппротис. 1969.
18.	Филин А. П. Матрицы в статике стержневых систем.
Стройиздат, 1967
19.	Язык «ВХОД» для описания исходной информации к рас-
четам на ЭВМ Высшие инженерные курсы Госстроя СССР, 19оА
29.	Информация (пер. с англ, под ред. и с предисловием
А Б. Шилейко). «Мкр», 1968.
1,24.	Математические таблицы
1.	Рыжик И М., Град ш т е й и. Таблицы интегралов,
сумм рядов и произведений. ГТТИ, М—Л., 193;.
2,	Янке Е. и др. Специальные функции, формулы, гра-
фики, таблицы. «Наука», 1964.
3,	Б р о н in т о и н II, Н., Семендяев К.. А. Справочник
по математике для инженеров и учащихся втузов, «Наука», ГМ1.
4.	Справочник проектировщика. Расчет по-теоретический. Го-
сударственное тдательегчо литературы не стронтельстЕу, арчи-
ижгуре и строительны ,i материалам, Г9Ы. Раздел 1,
РАЗДЕЛ 2
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
2.1 ОБЩАЯ ЧАСТЬ
2.1.1. Основные тшйятия
меняемая или жесткая
Рис. 2.1
Материальная точка — материальное тело, размера-
ми которого можно пренебречь в рассматриваемой за-
даче. Механическая система — совокупность материаль-
ных точек, движение и положение которых 6 прост-
ранстве взаимосвязано. .Абсолютно твердое тело (неиз-
а) — механическая систе-
ма, расстояние между
точками которой/ не ме-
няется в услойЙяк рас-
сматриваемой задачи.
Сила мера механи-
ческого взаимодействия
материальных теД, зада-
ваемая вектором./ Вектор
силы направлен,й Еторо-
пу действия силы А ра-
вен по величине данной
силе. Силу, приложен-
ную к абсолютно твердо-
му телу, можно перено-
сить вдоль ее линий дей-
ствия, при этой услойиа
движения или равновс’
сия тёДа не меняются, т.'е. сила, приложенная К абсолют-
но твердому телу, рассматривается как сколйяЩий век-
тор.
Векторы сил в текЕТе Обозначаются заглавной бук-
вой с черточкой сверху (в некоторых книгах — жирным
шрифтом). На чертеже .чердака над обозначением век-
тора не ставится. В йроеКЦии па перпендикулярную
плоскость сила изображается кружком с точкой (если
вектор направлен к наблюдателю) или кружком с кре-
стиком (если он направлен от наблюдателя) (рис. /2. [),
Момент силы оМбсиРельнд точки О равен векторно-
му произведению радиус-вектора г точки А линии дей-
ствуя силы па вектор силы (рис. 2.2):
Ж0(Я = гХР.	::	(2.1)
На чертеже момент силы относительно точки изобра-
жается волнистой стрелкой.
Мойент силы—приложенный вектор, численно рав-
ный произведению модуля силы на ее плечо h — крат-
чайшее расстояние от точки до линии, действия силы:
Мо (P)^Ph.
(2.1а)
Направление вектора МО(Р) совпадает с осью вра-
щения, вызываемого „силой, т. е. вектор направлен пер-
пендикулярно плоскости О АВ (см. рис. 2.2), содержа-
щей силу Р и точку О так, чтобы из его конца враще-
ние представлялось происходящим против часовой
стрелки.
Геометрически величина момента силы относительно
Момент силы относительно оси — проекция на эту
ось вектора момента силы относительно'точки О, лей-
ЩРЙ на Оси:		:
МйСР) = примв (Р) Мо (P)mscf. (2.2)
Момент силы относительно оси равен_ произведению
проч .ции силы Р на пгис-осгь Q (cipqP), цещюпдллу-
ляриую оси, иа расстояние А, от точки О дересечшшл
оси с п .эскоетью Q (о тиннр действия пр^Р.
ее
РАЗДЕЛ 2 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
-Mu(P) = ±npQP/iP
(2.3)
Геометрическая величина момента силы относитель-
но оси выражается удвоенной площадью треугольника
ОаЬ (см. рис. 2,2.).
Момент силы относительно оси имеет знак +, если
из конца оси вращение, вызываемое силой, представля-
ется происходят,им против часовой стрелки. Момент
силы относительно оси равен нулю, если сила и ось
компланарны, т. е. сила параллельна осн или пересека*
ет ее.
Рис. 2.3
Момент силы относительно точки (оси) .характери-
зует способность силы сообщать телу вращательное
движение вокруг данной точки (оси).
Парой сил называется силовое воздействие, вызыва-
ющее вращение твердого тела. Пара сил является про-
стейшим силовым воздействием и не может быть заме-
нена одной силой. Пара сил характеризуется векто-
ром— моментом пары М (имеющим размерность
сила-длина), направленным параллельно оси враще-
ния, вызываемого парой, так чтобы это вращение из
конца вектора момента представлялось происходящим
против часовой стрелки. Пара сил может быть пред-
ставлена в виде двух одинаковых антипараллельных
сил Р, лежащих в плоскости, перпендикулярной момен-
ту пары, и расположенных таким образом, чтобы вызы-
ваемое ими вращение с конца вектора момента пары
представлялось происходящим против часовой стрелки
(рис. 2.3, а). Силы Р связаны с моментом пары А1 соот-
ношениями:
М = г X Р; |Л1| = Ph,	(2.4)
где h — плечо пары (расстояние между линиями дей-
ствия сил пары).
Пара без изменения ее действия на абсолютно твер-
дое тело может быть перенесена в любую точку прост-
ранства, т. е. момент пары является свободным векто-
ром. Момент пары изображается на пространственном
чертеже волнистой стрелкой, а на плоском (если плос-
кость проекций перпендикулярна направлению вектора
момента) —дугообразной стрелкой, указывающей на-
правление вращения, вызываемого парой (см.
рис. 2.3, е).
Пары с равными моментами эквивалентны.
Мотор сил (наиболее общий образ силового воздей-
ствия)— совокупность вектора силы Р и вектора мо-
мента пары М. (рис. 2.3,6). Мбтор енл, компоненты ко-
торого коллинеарны, называется динамическим винтом
(дннама, силовой винт) (рис, 2 3, в).
Системы сил —- совокупности силовых воздействий,
приложенных к абсолютно твердому телу. Системы сил,
оказывающие одинаковое действие на движение (или
равновесие) тела, — эквивалентны Равнодействую-
щая— сила, эквивалентная системе сил.
Внешние силы (Ре)—силы, действующие на точки
механической системы со стороны тел, не входящих
в систему.
Внутренние силы (Р1)—сяш взаимодействия меж-
ду точками системы. Внутренние силы попарно равны,
противоположны по направлению и имеют общую ли-
нию действия.
Связи — факторы, ограничивающие свободу переме-
щения материальных тел в пространстве.
Реакция связи—сила (пара, мотор сил), с которой
связь действует на тело. В отличие от реакций связей
все остальные силы, действующие на тело, называются
активными силами. Реакция связи без трения направ-
лена в сторону, противоположную тому перемещению,
которому связь препятствует, я составляет 90° с тем
перемещением, которое связь допускает. Если связь
препятствует поступательному перемещению тела, то ее
реакция — сила, если связь препятствует повороту тела,
то ее реакция — пара сил.
2.1. ОБЩАЯ ЧАСТЬ
97
Некоторые виды связей: односторонние или неудер-
живающие связи: гладкая поверхность (рис. 2.4, а);
гладкая линия или течка (ряс. 2.4,6, в), гибкая нерас-
тяжимая нить (рис. 2.4, г)—эти связи допускают все
перемещения, кроме перемещения з направлении г —
определена_линия действия и направление силы реак-
ции связи Z.
Двусторонние или удерживающие связи: подвижный
шарнир (рис. 2.4, <3), жесткий недьформируе.мый стер-
жень (рис. 2.4, е) — связи допускают любое перемеще-
ние, кроме поступательного вдоль оси г — определена
только линия действия силы реакции связи; плоский
шарнир (рис. 2.4, ж)—допускает поворот вокруг оси
шарнира; сферический шар-
нир (рис. 2.4, з)—допуска-
ет поворот вокруг любой
оси, проходящей через центр
шарнира — определена точ-
ка приложения силы реак-
ции связи.
Защемление или жест-
кая заделка (рис. 2.4, и, к) —
возможность перемещения
тела исключается — харак-
тер связи определяет воз-
никновение не только сил
реакций связей, но и реак-
тивных моментов.
Все виды связей могут
комбинацией некоторого числа
быть осуществлены
стержней. Например, защемление может быть осущест-
влено посредством трех стержней на плоскости или ше-
сти стержней в пространстве (рис. 2.4, л, м).
Скорость точки — вектор о, величина которого рав-
на быстроте изменения положения точки в простран-
стве, а направление совпадает с направлением движе-
ния точки в данный момент.
Ускорение точки—быстрота изменения скорости точ-
ки в данный .момент времени. Ускорение характеризует-
ся вектором w (применяется также обозначение а),
do
равным производной — от скорости по времени в дан-
at
ный момент.
Угловая скорость <п вращения твердого тела вокруг
мгновенной оси и (быстрота изменения угла поворо-
та) — скользящий вектор, направленный вдоль оси вра-
щения так, чтобы, глядя из его конца, вращение пред-
ставлялось происходящим против часовой стрелки
(рис. 2.5).
Угловое ускорение е (быстрота изменения угловой
скорости с течением времени) - - вектор, равный произ-
Ао
водной —— от угловой скорости по времени в данный
at
момент (см, рис, 2.5),
2.1.2. Основные законы
Законы механики справедливы для макротел, дви-
жущихся со скоростями, малыми но сравнению со ско-
ростью света.
Закон инерции (1-й закон Ньютона): материальная
точка, изолированная от действия других материальных
тел (изолированная от действия сил), движется прямо-
линейно и равномерно. Системы отсчета, в которых со-
блюдается этот закон, называются инерциальными,
7—-1303
Закон, изменения движения (2-й закон Ньютона).
Ускорение материальной точки пропорционально прило-
женной к точке силе Р и направлено в сторону дейст-
вия силы:
mw — Р,
(2.5)
где m—масса точки (мера инерции точки, мера инер-
ции твердого тела при поступательном дви-
жении).
Масса точки да связана с ее весом 6 зависимостью
G
да = — ,
g
где g—ускорение силы тяжести (т = 9,80665 м/сек2-^
= 9,81 м[сегЗ для средней широты).
Закон действия и противодействия (3-й закон Нью-
тона). Силы взаимодействия двух тел всегда равны по
величине, противоположны по направлению н имеют об-
щую линию действия.
2.1.3. Системы единиц измерения
В основе измерения всех механических величин ле-
жат три единицы, являющиеся основными; через них
могут быть выражены все прочие единицы, называемые
производными. По выбору основных единиц различают-
ся системы единиц (табл. 2.1). В настоящее время со-
гласно ГОСТ 9867—61 установлено, что система СИ
должна применяться как предпочтительная во всех об-
ластях науки, техники, народного хозяйства, а также
при преподавании. Во всей технической литературе в
области строительства до настоящего времени исполь-
зуется техническая система единиц. В табл. 2.2 приве-
дены размерности физических величин механики в си-
стемах технической и СИ и формулы перехода от тех-
нических единиц к единица;,1 системы СЙ.
Табл и да 2.1
Системы единиц измерения
Наименование системы единиц измерения	Основные	единицы измерения и щенное обозначение		IX сокра-
	длина	время	масса	сила
11 нтернац иональ - ная — СИ (МК)	метр	секунда {сек}	кило- грамм {кг)	—
Техническая	метр (м)	секунда (сек)	—"	кило- грамм- сила. {кГ*}
Система CGS	сантиметр	секунда {сек).	грамм (г)	
* В последующих разделах Справочника килограмм-сила обозначается кГ.				
98
РАЗДЕЛ 2 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Система единиц мехаиичи
Таблица 22
Название ведччшы	Е шпица мзмере шя, ее обозначение и размерность		Техническая единица
и ее обозначение	в системе СИ	s технической системе	выраженная в единицах системы СИ
Длина 1 Время t Масса т?7 С1иа* Давле1 зе** Скорость J Ускорение (а) Угловая скорост! © Узловое ускорение Е Частота V Работа Л и энергия Мощность N Количество движе 1 ия Q и имгутьс си лы S Момент количества движения (кинетиче ский момент) К Момент инерции J * Обозначается л! Обозначаемся лк	метр (м) секунда (сек) килограмм (кг) .	к.Г ц ньютон (ч) 1н - 1 	 сд гс ньютон на квадратный метр (н я2) метр на секунду (исрк) мегр на секунду в квадрате (я cet- ) радиан на секунду (рад сеч) иди (рад cet"~l) рз'ыан на секунду в квадрате (рад с к ) ла 1 (рад са~“) /ерц (оборот на секунру) (гц) джоуль (дъе) 1 дъс == 1 кГм (сеъ? ватт (вт) 1 вт = 1 кГч сек3 1 н сек 1 кГм1сек кГм н м сек — 			 сек обой заглавной латинской буквой (чаще обей прописной латинской буквой (чаще	метр (м) с«к\нда (сек) техническая единица массы (тем) с^к2 1 т е п = ке		 м килограмм сила (кГ) китограмм на квадратный метр (кГМУ le-’-p на секунду (м/сек) метр на секунду в квадрате радиан ня секунду (рад ик) иъ1 (рад сек радиан на секунду в квадрате {рад}сгк2) или (рад сек з герц (оборот на секунду) (гц) килограммометр (кГ и) килограммометр	на	секунду (? Гщсек) кГ сек 1 Гч сек гем X =« кГ v сек2 Р Q) Р Р)	Z 1 т е м = 9 81 кГ I кГ 9 81 н 1 кГ/M2 -=9 81 ч/лР 1 кГ 4 == 9 &1 джоу дей 1 кГм^ек = 9 81 вт 1 кГсек = 9 81 м сек 1 кГм сек = 9 81 н м- сек 1 кГи сек2 = 9 81 кГ /р
2.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СТАТИКА
2.2.1. Действия с силами
Правило параллелограмма сил Равнодействующая
двух см, приложенных к одной точке, изображается
диагональю параллелограмма, построенного на этих си-
лах, как на сторонах (рис 2 6, а) Величина равнодей-
ствующей может быть определена из тригонометрия6
ских соотношении
R = pj -у.	+ 2PjР, cos (а + р) ;
R Pi __ Pi
sin (а 4~ р) sin a sin р
С помощью параллелограмма сил могут быть выполне
ны обратные_задачи а) разложение си ты R на две. со
ставляющие Pt и Рг, направление которых задало (рис
2 6,а), 6) разложение силы R на две составившие, ве
личина которых задана (рис 2 6,6), в) разложение си-
лы R на две составляющие, направление одной из ко-
торых и ветешпа другой заданы (рис 26, д) В слу-
чаях б и е задача имеет два решения.
(2.6)
2.2. ГЁОМЕТРЙЦЁсОЯ СТАТИКА
г -----

Разложение силы по осям декартовых координат.
В прямоугольной системе координат имеет место разло-
жение (рис. 2.7):
Р==Х7ДУ7+2?=Х + УД/, (2.7)
где X, У, Z — компоненты силы (составляющие) по
осям координат;
X, У, / — проекции силы на оси координат;
i, j, к— единичные векторы (орты) осей.
Проекции силы Р (обозначаемые также через Р„., Р„,
Рг) вычисляются либо через углы а, у, образуемые
силой с осями координат, либо через угол у с одной из
осей (г) и угол ср, определяющий положение плоскости,
в которой лежат сила и ось:
Мо (Р)=гХР^
7 k
У 2
У Z
(2.13)
Моменты силы относительно осей
нат X, У, Z-.
декартовых коорди-
L — yZ ~ гУ; М = гХ — xZ; N = хУ — уХ. (2. И)
__ Определение момента силы относительно точки
Ма(Р) по его проекциям Lt, Мь Ny
X = Рх ~ Р cos а = Р sin у cos <р;
У = Ру = Р cos р -= Р sin у sin <р;
Z = рг = р cos у.
cosap-----; cos Др —
(2.8)
Если сила лежит в
плоскости хОу, то
у = 90е, р = 90е — а
и X — Р cos а;
У д= Р sin а;
Z = 0.	(2.9)
Если сила Р задана
ее проекциями X, Y, Z,
то модуль силы
Р = Кхг + У2 + /2 .
Н а п р а вл яющи е коси -
нусы:
cosYp = y. (2.10)
МА (Р) = £./< +
модуль
Л! л (₽) = /"L)4-M]+W52 .
Направляющие косинусы:
cos ад1
/-г
МА (Р)
соз РЛ, =
МА (Р) ’
2.2.2. Действия с моментами
Разложение вектора-момента силы относительно точ-
_ки по осям декартовых координат. Момент силы
Р (X, Y, Z), проходящей через точку М (*, у, г), отно-
сительно точки А (а, Ь, с) (рис. 2.8):
Мл (Р]~АМХР =
i	j	k
х—Й, g—&, г — с
X	У	Z
(2.11)
Проекции вектора МА.(Р) ва оси декартовых коор-
динат (или моменты силы Р относительно осей х>; уу,
щ, проходят,их через точку 4):
Д = mXi = {у — b) Z — (г — с) У;
М} MIJt = (z — с) X — (х — a) Z;
Xi = Mz> = (х— а) У — (у — b) X.
(2.12)
МИмеят ейЛи Р отискиТёльйо начала координат О:
7‘

мА (Р)
(2.15)
Определение линии действия силы по ее проекциям
(X. У, Z) н координатам точки М (х, у, г) на ее линии
действия:
х—xj у—iji г — Zi
X ' У Z
(2.1G)
В случае расположения силы Р й точйй М в плоскости
хОу уравнение линии действия:
х~хА _ g —Я
X ~ У
(2.16а)
Отрезки, отсекаемы» лстпеи действия си ы, ДёЖаЩей в
плоскости хОу на осях координат:
Х1У — у,Х
на оси х: лге = ——т---; на оси у: yt —

1
(2.166)
Определение линии действия силы Р fits ее прбёййй-
ям (X, У, Z) и моменту Жо (7s) (Л, М, N) отйбеительйо
начала коордййат: -к .. ..	и
100
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
L yZ — гУ; М - гХ — xZ; ,<V = xY — yX, (2.17)
где x, у, z—координаты точки па линии действия си-
лы. В случае расположения силы в плоскости хОу
N—xY — уХ.	(2.17а)
Отрезки, отсекаемые линией действия силы на осях
координат:
N	N
на оси х: х0 = —- ; на оси у: у0~ — — • (2.176)
г	Л
Разложение вектора-момента пары М по осям де-
картовых координат. В декартовой системе координат
имеет место разложение:
М = Li + М) 4- Nk; где L = [?Иi cos и(М;
М = |7И| cos N = \М\ cos
Модуль вектора-момента пары:
I М I = V	.
Направляющие косинусы:
L	М
йГ'
“Т”=|Я|'
равен геометрической сумме моментов присоединенных
пар (рис. 2.10):
^0 = 2Ж11рис-ХЖ(?(Р).	(2.21)
Таким образом, при приведении системы сил к данному
центру О последняя заменяется мотором —' совокупно-
стью скользящего вектора —' главного вектора R' и сво-
бодного вектора —' главного момента Мо .
(2. 18
Перемена центра приведения. Инварианты статики.
При переносе центра приведения _из точки О в точку О,
имеют место соотношения: Ro= ROi, т. е., главный век-
тор мотора сил не изменяется (1-й инвариант стати-
ки) ;
2.2.3.	Произвольная система сил

(2.22)
Параллельный перенос силы. Силу Р, не меняя дей-
ствия на тело, можно перенести в любую точку прост-
ранства О, при этом_ добавляется присоединенная па-
ра, момент которой А1прис равен моменту силы относи-
тельно точки О (рис. 2.9):
^прис = Й0(Р).	(2.19)
Приведение системы сил к данному центру в вектор-
ной форме. Выполняется операция параллельного пере-
носа со всеми силами системы. Векторы сил, перенесен-
ных в точку О, посредством построения силового мно-
гоугольника, заменяются главным вектором системы сил
R', равным их геометрической сумме (рис. 2 10):
p' = %Pt.	(2.20)
Моменты присоединенных пар посредством построения
многоугольника моментов заменяются результирующей
парой, момент которой — главный момент системы Mq
главный момент мотора сил — изменяется на величи-
ну момента прежнего главного вектора относительно
нового центра приведения;
R0M0 =	— скалярное произведение главного век-
тора и главного момента мотора сил не зависит от вы-
бора центра приведения (2-й инвариант статики). Гео-
метрическая интерпретация второго инварианта стати-
ки — проекция главного момента на направление
главного вектора не зависит от выбора центра приве-
дения.
Дастные случаи приведения:
1)	7?'=0; Мо =0—равновесие;
2)	Р'=0; Мо 4=0— пара сил;
3)	й'4=0; А1 о=0— система приводится к равнодейст-
вующей, проходящей через центр приведения. В этом
случае имеет место теорема Вариньона: момент равно-
действующей относительно какой-либо точки равен гео-
метрической сумме моментов всех составляющих отно-
сительно той же точки. Момент равнодействующей от-
носительно какой-либо оси равен алгебраической сумме
составляют,их относительно той же оси;
4)	Я'4=0; Мо 4=0; Р'ХМ0 — система приводится к рав-
нодействующей, проходящей от центра приведения на
7Йо
расстоянии , откладываемом по перпендикуляру к
__ _ ”1
R' и А1о (рис. 2.11);
5)	~R'Y=0', Мо 4=0; R' II 7И0—динама, ось которой прохо-
дит^ через центр приведения (см. рис. 2.3, в);
6)	/?'4=0; A4o4=0; IV~X=Mo—система приводится к дина-
ме, ось которой проходит от центра приведения на рас-
2.2, ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СТАТИКА
101
стоянии
Mosin \M0R )
---------, откладываемом по перпенди-
R'
куляру к R' и Мо (рис. 2.12).
Приведение системы сил к центру в аналитической
форме.
Рис. 2.12
Определение главного вектора системы:
проекции на оси координат:
XR = S Xf, Yr = S У); ZR = S ZR (2.23)
модуль
:	(2.23a)
направляющие косинусы:
XR a	V%
cos aR. =---	; cos	; cos yR, =
ZR
(2.236)
Определение главного момента системы:
проекции на оси координат:
L = ZL (Р,); М - 2/И (JR)-, N = Y.N (Pi), (2.24)
где
L(P;) = yiZ;-z,-yr>
> (Л) = Zi Xt — xt Zj)
N (Pt) = xt Yi - у i Xfi
модуль:
Mo = ]/У« + Г + Ж;
направляющие косинусы:
L n M	N
cos а д, =--- cos p ,, =-; cos ?	:
M Mo 1 M Mo Ai U(,
угол между R' и Mo :
X'oL-P У'пМ RZrN
cosW'Mo)^^---------
(2.24a)
(2.246)
(2.25)
линия действия равнодействующей при cos (R'M0) =0:
yZR — гГд = гХп — xZR = xYR — yX'., = 0,	(2.26)
где x, у, z ~ координаты точки на линии действия рав-
нодействующей;	_
уравнение центральной оси динамы (при cos (R'M0) =f=
=А0):
Z. — [yZR —?У M — [zXR — xZR j
y‘r
М-(ХУр~уХ'^
(2.27)
где x, у, z—.координаты точки на оси динамы;
определение момента динамы:
_XRL-i-Y' М-\ Z„N
AJ^MqCos (R1 Мо)^ ------------------; (2.28)
А
условия приведения системы сил к ларе:
2X = 2K = 2Z = 0;	(2.29)
условия приведения системы сил к равнодействующей:
XR L + УR М + ZR N = 0.	(2.30)
2.2.4.	Частные случаи расположения сил
Сходящиеся силы (линии действия всех сил пересе-
каются в точке О), Приняв точку О за центр приведе-
ния, получаем:
L = М =N = 0; Мо s 0.	(2.31)
Система приводится к равнодействующей Л? = УР;, про-
ходящей через точку О схода сил, ее модуль и направ-
ляющие косинусы определяются по формулам (2.23).
Векторное условие равновесия сходящихся сил
2Р;==0.	(2.31а)
Система пар. XR=yR=ZRsQ, Главный вектор систе-
мы равен нулю. Система приводится к паре
M = ZMt,	(2 а 32)
Проекции модуля и направляющие косинусы вектора-
момента А1 определяются по формула::! (2.24).
102
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Векторное условие равновесия
2Мг- = 0.	(2.32а)
Плоская система сил. Приняв плоскость действия
сил за плоскость хОу, получаем
= М (Pi) = 2тИ (Р{) = 0.
Главный вектор системы лежит в плоскости хОу, а
главный момент направлен вдоль оси г. Проекции глав-
ного вектора на осях х и у главного момента на ось
г определяются ио формулам (2.23) и (2.24). Векторные
условия равновесия плоскости системы сил:
R' = 0, Л? = 0.	(2.33)
2.2.5.	Условия равновесия
тел и систем тел
Равновесие двух сил: две силы образуют уравнове-
шенную систему, если они равны по величине, противо-
положны по направлению и имеют общую линию дей-
ствия.
Равновесие трех сил: три силы, лежащие в одной
плоскости, образуют уравновешенную систему, если их
линии действия пересекаются в одной точке и на этих
силах, как на сторонах, можно построить замкнутый
силовой треугольник.
Равновесие произвольной системы сил имеет место,
если главный вектор системы 0 ее главный момент отно-
сительно произвольного полюса О равны нулю.
Этим векторным уравнениям равновесия соответст-
вуют шесть аналитических уравнений равновесия. В том
случае, когда на расположение сил наложены какие-
либо ограничения, число аналитических уравнений рав-
новесия уменьшается. В табл. 2.3 приведены аналити-
ческие уравнения равновесия (и их варианты) для раз-
личных случаев расположения сил.
Равновесие твердого тела осуществляется, если к
нему приложена уравновешенная система сил.
Равновесие изменяемой (деформируемой) системы
под действием сил можно рассматривать как равнове-
сие абсолютно твердого тела, форма которого тождест-
венна форме изменяемой системы после деформации
(аксиома об отвердевании).
Равновесие системы тел (совокупности тел, соеди-
ненных друг с другом и с землей связями). Общее чис-
ло уравнений равновесия для системы тел равно числу
уравнений для каждого из тел в отдельности, умножен-
ному на число тел системы. В общее число уравнений
могут входить уравнения системы в целом, имеющие то
отличие, что в них не входя г внутренние силы.
Понятие о статически определимых и статически не-
определимых задачах (системах). Если число независи-
мых уравнений равновесия для данной системы тел
равно числу неизвестных в задаче, система статиче-
ски определима. Если число уравнений равновесия для
дайной системы меньше числа неизвестных в задаче —
система статически неопределима, г. е. задача ие мо-
жет быть решена методами статики. Если число т
уравнений статики больше числа я неизвестных в зада-
че— система изменяема и может находиться в равнове-
сии только при такой нагрузке, при которой т—п урав-
нений равновесия обращаются в тождества. При реше-
нии подобной задачи в первую очередь необходимо
проверить: обращаются ли при данной нагрузке т—п
уравнений в тождества. Если число неизвестных в зада-
че равио числу оставшихся уравнений — система нахо-
дится в равновесии.
При составлении уравнений равновесия следует стре-
миться посредством рационального выбора осей (и мо-
ментных точек для плоской задачи) расчленить систему
уравнений на отдельные уравнения с одним неизвест-
ным каждое Для этой цели можно использовать ва-
рианты условий равновесия, приведенные в табл. 2.3.
2.2.6.	Правила прикрепления
твердого тела
Свободное твердое тело обладает шестью степенями
свободы перемещения. Для прикрепления твердого тела
к земле необходимо и достаточно иметь шесть связей,
каждая из которых устраняет одну степень свободы,
например шасть стержней.
Рис. 2.13
При правильном расположении связей одновремен-
но устраняется подвижность тела (геометрическая из-
меняемость системы) и обеспечивается статическая оп-
ределимость системы. При неправильном расположе-
нии связей некоторые перемещения оказываются неуст-
рааеяными, а для устранения других перемещений
используется излишнее число связей Поэтому при оцен-
ке возможности решения конкретной задачи методами
статики необходимо кроме сравнения общего числа не-
известных и общего числа уравнений статики для зада-
чи произвести также проверку правильности располо-
жения связей.
Если связи расположены неправильно, то при состав-
лении уравнений равновесия определитель D системы
(см. 1.1,7) обращается в нуль и решение задачи стано-
вится невозможным.
О прикреплении тел см. [12, 15].
Различаются мгновенная и конечная изменяемость
системы. Изменяемость, исчезающая при бесконечно ма-
лом смещении тела, называется мгновенной. Например,
прикрепление балки, показанное на рис. 2.13, а, допус-
кает бесконечно малое перемещение 6 по горизонтали:
при этом опорные стержни перестают быть параллель-
ными и изменяемость исчезает. Прикрепление балки по
рис. 2.13, б допускает конечное перемещение Л, так как
опорные стержни остаются параллельными. Такая из-
меняемость называется конечной.
Пример 2.1. Определить опорные реакции в точках
прикрепления А, 8 и С твердого тела, нагруженного си-
лой Р и парой сил с моментом N (рис. 2 14).
Решение. Тело находится в равновесии под действи-
ем системы сил, произвольно расположенных в прост-
ранстве. Неизвестными в данной задаче являются со-
ставляющие опорных реакций ¥ А, ZA, ZB, Хс, ¥с, Zc.
Число неизвестных (6) равно числу уравнений равнове-
сия для произвольной системы сил в пространстве (6).
Уравнения равновесии следует составлять в такой пос-
2.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СТАТИКА
103
Варианты аналитических уравнений равновесия
Таблица 2.3
Особенности расположения сил	Число уравнений	Варианты уравнений равновесия
1. Силы расположены в одной плоскости		
Система сил, лежащих на одной прямой	1	2Рг = 0
Система сходящихся сил (0 — точка схода)	2	1)	SX. <=0; 2)	SXL — O; 2Л1^ = 0, где АО н е перпендикулярен оси х; 3)	2Мдг- = 0; SJVJqi = 0, где АВО — ломаная
Система параллельных сил	2	1) 2Х. = 0; 2Л1л;=0, где х |[ Рг, 2) 2Л(^^0; ZMqi =0, где АВ не перпендикулярен
Система пар	1	2^ = 0
Произвольная плоская си- стема сил Система сходящихся сил (0 — точка схода)	3 2. (указаны только 3	I)	XX. =0; 2У^=0; ХМл^0; 2)	SA^ —0;	— 0, где АВ не перпендикулярен оси х\ 3)	ЕМд/= 0; 2М^=0;	0, где АВС—ломаная Силы расположены в пространстве наиболее употребительные варианты уравнений) 1) 2^ = 0: 2У. = 0: SZf = 0; 2)	= 0;	0- Мщ - 0, где 1, т, п — произвольные оси, отвечающие условию: через точит О нельзя провести прямую, пересекающую все три осн
Система параллельных сил	3	1) 2А-=0; ХМ.^0; ГЛ7; ~ 0, где х || 2) £Ми = 0;	=0; ZMni = 0, где /, т, п —оси, не пересекающиеся в одной точке, не параллельные силам и не все параллельные между собой
Система пар	3	2Ц = 0; 2М;==0; S.V; = 0
j Произвольная снсзеыа сил		1) 2А == 0; 2У = 0; SZ = 0; XL — 0; ХМ = 0; 2/V = 0; 2) SX ж 0; ХУ — О,’ SL — 0; SM -= 0: Z2V = 0; ХЛ^ = 0, где 1 — ось, не проходящая через начало координат и не параллельная оси Z\ 3) 2Z = 3: SL=^0: SAf == 0; T.N = 0; 2М. = 0; SMт 0, 1	т где /, m — оси, не лежащие обе в плоскости хОу‘ 4)	SMi = 0;	SMn^=0; 0;	0:	=-& где оси должны отвечать тем же требованиям, что и стержни, прикрепляющие твердое тело (см. 2.2.6)
104
РАЗДЕЛ 2 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИК X
2) максимальная сила трения пропорциональ-
на нормальному давлению N соприкасающихся тел
(2.34)
Таблица 2.4
Коэффициент трения скольжения /ст для
некоторых веществ [15]
лс.товательиости, чтобы из каждого уравнения опреде-
лялось одно неизвестное:
Пара веществ	
Бронза—чугун Бронза—железо Сталь—сталь Металл—дуб Дуб—дуб Кожа—дуб Кожа—чугун Камень—камень Камень—железо Камень—дерево Сталь—лед	0,16 0,19 0,15 0,62 f	0,62 вдоль волокон |	0,54 поперек волокон 0,47 0,28 0,50—0,73 0,42—0,49 0,46—0,60 0,027
1)	2£^РС + 2лЛВ = 0; 7,=-—
/123
Рс
2)	2/И = ZABC + ZBBC = 0; 2В=- ZA =	;
Ао
3)	ZN = Ра + Ya ВС + N = 0;
v ~ -Pa-pN
А ВС ’
4)	IX =- Хс = 0; Хс = 0;
5)	ZY = Гл+Кс + Р=0;
6)	22 = 2л+2в+гс = 0;
Zc = 2. А Zs~0,
2.2.7, Системы с трением
Тwmie ч скольжения называется сопротивление, воз-
никающее при попытке сдвинуть тело по шероховатой
поверхности Основными причинами трения являются
силы сцепления неровностей соприкасающихся поверх-
ностей (уменьшаются при улучшении качества обра-
ботки) и силы взаимодействия молекул пограничных
сто в соприкасающихся тел (увеличиваются с улучше-
нием качества обработки). Полное устранение трения
таким образом невозможно.
Наличие трения проявляется в возникновении силы
тпения, приложенной в точке контакта к сдвигаемому
те.п, и направленной в сторону, противоположную на-
1р,>ч:с1тню движения. При этом к поверхности, по ко-
торец происходит движение, со стороны сдвигаемого
те к: прикладывается равная по величине и противопо-
ложная по направлению сила. В первом приближении
силы трения (при сухих и слабо смазанных поверхно-
стях) подчиняются законам Кулона:
1) сила трения не зависит от размеров соприкасаю-
щихся поверхностей;
меняться н в общем случае
где f — коэффициент тре-
ния, зависящий от мате-
риала, качества обработ-
ки и физического состоя-
ния (температура, влаж-
ность) соприкасающихся
поверхностей. Коэффи-
циенты трения опреде-
ляются эксперименталь-
но (табл. 2.4).
В состоянии покоя и
при малых скоростях
движения имеет место
статический коэффициент
трения /ст. При боль-
ших скоростях движе-
ния для некоторых ве-
ществ динамический ко-
эффициент трения fAm
может значительно из-
является функцией от ско-
рости.
Углом трения <рТр называется предельный угол меж-
ду полной реакцией шероховатой поверхности и нор-
малью к ней (рис. 2 15). Угол треиия и коэффициент
трения связаны зависимостью fg<pTp=/. Конус с углом
раствора 2tpTp, ось которого является общей нормалью
соприкасающихся поверхностей, называется конусом
трения. Если соприкасающиеся поверхности неизотроп-
ны (т. е. коэффициент трения при перемещении в раз-
личных направлениях неодинаков), конус трения не яв-
ляется круговым Свойство конуса (угла) трения: пол-
ная реакция шероховатой поверхности в состоянии
покоя проходит в пределах конуса (угла) трения, а при
взаимном движении соприкасающихся тел — по грани-
це конуса (угла) трения. Например, равновесие тела
(см. рис. 2.15) возможно под действием равнодействую-
щей активных сил Pit а не Pi, так как сила Pi может
быть уравновешена реакцией R, лежащей в пределах
угла трения, а опа Р2 нет. Таким образом, при нали-
чии трения возможна некоторая область положений рав-
новесия, в то время как при связях без трения возмож-
но только одно положение равновесия.
2.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СТАТИКА
105
Трением качения называется сопротивление, возни-
кающее при попытке катить колесо но поверхности.
Трение качения проявляется в возникновении момента
трения качения ЛЦР, стремящегося повернуть колесо в
сторону, противоположную движению, В состоянии по-
коя М1р<АЛ/, при движении MTp~WV, где N — нор-
мальная реакция основания, k — коэффициент трения
качения. Коэффициент k определяется эксперименталь-
но н не зависит от радиуса колеса и величины нормаль-
ного давления. Качение возможно только при наличии
между колесом и основанием трепня скольжения, до-
статочного для того, чтобы воспрепятствовать скольже-
нию точки опирания колеса.
На рис. 2.16, а показана система сил, приложенных к
ведущему колесу, получающему вращающий момент М
от двигателя, а на рис. 2.16,6 — система сил, приложен-
ных к ведомому колесу, приводимому в движение силой
тяги Т. Здесь Р — нормальная нагрузка__на колесо, =
~Р— нормальная реакция основания, F—сила трения,
7'1 — сила тяги, развиваемая ведущим колесом. Качение
без проскальзывания возможно при соотношении -Msg
k
<(fe + fP) Л' для ведущего колеса и при (АПф для ве-
л
домого.
2.2.8. Центр масс
Центром масс материальной системы (тела) называ-
ется точка С приложения равнодействующей системы
параллельных сил инерции (см. 2.7.3), приложенных ко
всем точкам системы (тела) и пропорциональных их
массам. Центр тяжести совпадает с центром масс. По-
ложение этой точки, называемой также центром па-
раллельных сил, определяется соотношениями:
Ус
'S.mtyt	SmiZj
ж с м
(2.35)
Itn-i Х{
М
С ~~
или в векторной форме
tm-i Г[
(2.35а)
где т> — масса частицы с_координатамйуг, г< (ра-
диус-вектор г,- г-ii точки г;=х;г + й>7-г-гЦ);	=	—
масса всей системы (тела).
Основные положения:
1.	Если тело (система) имеет центр (ось или плос-
кость) материальной симметрии, то центр масс совпа-
дает с этим центром (лежит на этой оси или плоско-
сти) .
Материальной симметрией называется случай, когда
симметричны не только геометрические размеры, но и
массы отдельных частей тела (системы).
2.	Если центры масс отдельных частей тела (систе-
мы) лежат на одной прямой (плоскости), то и центр
масс лежит на этой прямой (плоскости).
3.	Если тело имеет полости (пустоты), то его можно
рассматривать как систему, состоящую из сплошного
тела и тел в форме пустот, имеющих отрицательную
массу (метод отрицательных масс).
Координаты центра масс однородных тел:
однородный объем V
J xdV	[ ydV	f 7.dV
v	V	v
xc = -y—;	; гс= ,	(2.36)
однородная поверхность S
| xdS j ydS J zdS
*c =	. ,Jc = JL . ?c = A—_ .	(2.36a)
Doo
однородная линия L
J xdL	[ ydL | zdL
xc =	-£	; yc =; zc =	(2.366)
однородная плоская фигура F
J xdF J ydF
(2 36b.)
Положение центра масс некоторых однородных :ел
дано в табл.2 6
Рис. 2.17
Для определения положения центра масс некоторых
тел могут быть полезны теоремы Гюльдена (см, 1.2.2).
Графическое определение положения центра тяжести
плоской фигуры. Разбиваем плоскую фигуру на отдель-
ные части, положение центра тяжести которых из-
вестно. В центре тяжести всех частей прикладываем па-
раллельные силы, пропорциональные их площадям.
Дальнейшее построение тождественно определению по-
ложения следа равнодействующей параллельных сил.
Устойчивость равновесия. Равновесие материальной
системы является устойчивым, если при достаточно ма-
лом отклонении ее от этогр . положения она стремит-
ся вернуться в него (рис. 2.17, а) ; 'если при отклонении
система стремится удалиться от первоначального по-
ложения, равновесие является неустойчивым (лис.
2,17,6); если система нс проявляет тенденции ни к уда-
лению от первоначального положения, ни к возвраще-
нию в него, равновесие является безразличным (рис.
2.17, в).
106
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Придал Торичелли: если при малом отклонении си-
стемы от положения равновесия ее центр тяжести повы-
шается — равновесие устойчиво, если понижается — не-
устойчиво, если остается на прежнем уровне — безраз-
лично.
Устойчивость на опрокидывание. В предельный мо-
мент перед опрокидыванием тело балансирует, опира-
ясь на точку (линию), вокруг которой происходит опро-
кидывание. Определяется момент сил, вызывающих оп-
рокидывание, А1опр и момент сил, удерживающих от оп-
рокидывания, ЖуЛ. Отношение Л1УД к Afonp называется
коэффициентом устойчивости на опрокидывание Аовр.
Пример 2,2. Для плотины, изображенной на рис. 2 18,
опрокидывание возможно поворотом вокруг ребра О.
Коэффициент устойчивости на опрокидывание;
k _ ЖУД _ Qb
°ПР /Испр ' ЛЛ-фРаЛз’
где Рл — давление воды; Р3 — давление земли; Q — вес
Плотины.
Веревочный многоугольник. — построение, сводящее
плоскую систему из п сил к двум силам, направленным
вдоль крайних сторон веревочного многоугольника и
равным крайним лучам силового многоугольника.
Порядок построения: I) нумеруем поля, т. е. участ-
ки плоскости между линиями действия соседних сил
(рис. 2.19, а); 2) строим силовой многоугольник (рис.
2.19,5), обозначая начало и конец каждой силы номера-
ми полей, границей которых оиа является; 3) выбира-
ем полюс 0 и проводим лучи силового многоугольника
1—0, 2—0 и т. д., соединяя его вершины с полюсом;
4) строим веревочный многоугольник, начиная с произ-
вольной точки в поле 1 и проводя сторону О—1 в поле
1, параллельно одноименному лучу силового много-
угольника, сторону 0—2 в поле 2 и т. д., кончая сторо-
ной 0—5 в поле 5 (см. рис. 2.19, в).
Особенности силового и веревочного миогоугольни-
ков в частных случаях
1.	Система сил приводится к равнодействующей. Са-
довой многоугольник незамкнут, крайние стороны вере-
вочного многоугольника пересекаются (см. рис. 219).
Равнодействующая равна замыкающей стороне /—5 си-
лового многоугольника н проходит через точку m пере-
сечения крайних сторон веревочного многоугольника.
Если крайние стороны веревочного многоугольника пере-
секаются за пределами чертежа, равнодействующую
можно определить дополнительным построением, смысл
которого ясен из рис. 2 20.
2.	Система приводится к паре. Силовой многоуголь-
ник замкнут, крайние стороны веревочного многоуголь-
ника параллельны. Момент результирующей пары ра-
вен произведению луча /—0 (он же 0—5) силового мно-
гоугольника на расстояние h между параллельными сто-
ронами веревочного многоугольника (рнс. 2.21).
3.	Система находится в равновесии. Силовой много-
угольник замкнут, веревочный многоугольник сомкнут
(т. е. его крайние стороны совпадают) (рис. 2.22).
2.3. ГРАФИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ
107
• Задача о разложении силы по трем направлениям в
данной плоскости (способ Кульмана). Задача сводится
к двум последовательным разложениям силы на два на-
правления: сначала раскладываем силу Р на составля-
ющие Р[ и Ртп вдоль одной из заданных прямых и
вдоль линии тп, соединяющей точку т пересечения си-
лы с прямой 1 я точку п пересечения двух остальных
прямых. Затем составляющую раскладываем вдоль
линий 2 и 3 (рис. 2.23) на составляющие Р3 и Р3.	_
2.3.	ГРАФИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ
2.3.1.	Применение графических методов
к решению некоторых частных задач
Определение опорных реакций балки (рис. 2.24):
1) обходим вокруг балки по часовой стрелке и нумеруем
поля между силами. Все известные силы должны идти
подряд,' поэтому некоторые из внешних известных сил
ординату ус веревочного многоугольника следует умно-
жить на полюсное расстояние силового многоугольника
d (рис. 2.26, а)
Л4С = dyc .
Случай распределенной нагрузки. Если к балке при-
ложена распределенная вертикальная нагрузка (рис.
2.27)	, то для построения веревочного многоугольника ее
в случае необходимости следует переместить вдоль их
линий действия на другую сторону балки (например, си-
лу Р3 на рис. 2.25 переносим вверх); 2) строим много-
угольник внешних сил,
Рис, 2.25
изображая силы в порядке ну-
мерации полей, выбираем по-
люс и проводим лучи; 3) стро-
им веревочный многоугольник,
начиная с центра А неподвиж-
ного шарнира. Смыкаем вере-
вочный многоугольник, прово-
дя последнюю сторону АС из
конца предпоследней стороны
в начало веревочного много-
угольника, т. е в центр непод-
вижного шарнира; 4) прово-
дим недостающий луч 0—4
раллельно смыкающей
силового многоугольника па-
стороне ДС веревочного много-
угольника и заканчиваем построение силового много-
угольника (рис. 2.24,6). Опорные реакции балки равны
соответствующим сторонам силового многоугольника:
— 3—4; РА — 4—1.
Если балка опирается на три стержня (см. рис. 2.25),
то точку пересечения двух стержней принимаем за
центр неподвижного шарнира А, а после определения
его опорной реакции раскладываем ее на ебставляйЩйе
вдоль стержней, равные усилиям в них (см. рис. 2.6,а).
В частном случае только вертикальной нагрузки
(рис. 2.26), когда направление опорных реакций заранее
известно, построение веревочного многоугольника можно
начинать с любой точки на линии действия, одной из
опорных реакций. Ордината веревочного многоугольни-
ка ус, т. е. расстояние между двумя его точками, ле-
жащими на одной вертикали, в этом случае пропорцио-
нальна изгибающему моменту в дчтюч ^е’’ечии С бал-
ки. Для определения величины изгибЙГОЩегб мбмейта’
Рис. 2,27
следует разбить на ряд участков и загрузить балку со-
срейоточенными силами, прйлр'Женными в центре тяже-
сГй каждого участка и равными равнодействующей на-
грузке этого участка. Получецный веревочный много-
угольник явгяе~ся описаичы- м «огоугольником так
назыйаемой верёвочной кривой, т. е. эпюры изгибающих
моментов, опдшщты кугорог поделены йа пблюсное
расстояние а силбвйго МногоугбЛьника.
108
РАЗДЕЛ 2 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.
Определение опорных реакций трехшарнирной арки.
Од«им кз возможных приемов решения является опре
деление реакций от действия нагрузки яа каждую из
полуарок в отдельности (при этом опорная реакция не-
загруженной полуарки проходит через ключевой шар-
нир С) Например, при определении опорных реакций
Рис 2 28
от действия счды Д и Р2 (рис 2 28) строим два вере-
вочных многоуго•’ьника Akl и Впт и два ситовых мно
гоуголышка 1—2—4' и 2—3—4" (рис 2 28,6) Окон
нательные значения реакции определяются графическим
суммированием, ддя «его_ строится параллелограмм
4"—4—4’—2 (рис 228 6)	Цв=3^4
Многоугольником давлений называется построение,
показывающее положение линии действия равнодейст-
вующей внутренних усилий Двз на каждом участке оси
агжи (линия ApqB на рис 2 28 а) В поле / 7?ВЯ = ДА>
т е стороне 4—1 силового многоугольника (см 2 28 6),
в noiej? Двн=Ди + Д = 4—2, в поле 3 ДВН = Яa+P,+
-\-Рг = Вв=4—3 В соответствии с этим стороны много-
уголыика дав тении параллельны соответствующим сто-
ронах! сигового многоугольника Ар\4—1, pq\4—2,
уВР—3 Многоугольник давлении используется для оп
рсделенпя внутренних усилии в поперечном сечении арки
проекции вектора /?вн на нормаль а касательную к оси
арки в данной точке дают соответственно значения по
перечного Q и продольного N усилия в поперечном се-
чения арки, а произведение ffBH иа расстояние от дан-
ной точки на оси аоки до соответствующей стороны
многоугольника давлении дает значение изгибающего
! омеита н данном сечении
Определение линии действия равнодействующей про-
странственной системы параллельных сил. Пусть силы
Ш'раллельны оси г
На плоскости хОу, перпендикулярной силам (рис
2 29, а), их положение определяется следами С), С2 и
т д Приложим в следах силы, равные данным и на-
правленные параллельно оси у, и определим линию дей-
ствия их равнодействующей АС с помощью силового
(рис 2 29,6) и веревочного многоугольника Повернем
затем все силы на 90°, т е направим их параллельно
оси х V. определим линию действия их равнодействую-
щей ВС (при этом стороны второго веревочного много-
угольника проводятся перпендикулярно одноименным
сторонам первого)
Точка С пересечения прямых АС и ВС является сле-
дом равнодействующей пространственной системы па-
раллельных сил
Если силовой многоугольник окажется замкнутым, а
веревочные сомкнутыми, система приводится к паре
Дтя определения момента пары находим момент Mt
равнодействующей сит, параллельных оси х, и момент
М2 равнодействующей сит пара петьных оси у Пол-
ный момент системы определится как
М -= ЛД i + М21
Разложение си ты на три параллельных направления
в пространстве (рис 2 30)
Пусть точка О—-след силы Р на плоскости, перпен-
дикулярной сиде, а точки А В в С—следы направле-
ний, на которые требуется разложить силу Задача сво-
дится к двум последовательным разложениям силы иа
две параллельные составляющие Сначала раскладываем
силу на составляющие Рс и Рк~(К—точка пересечения
прямых АВ и ОС), затем силу Рк иа составляющие Рд
и Рв При графическом определении составляющих
силе Р придается произвольное направление на плоско-
сти чертежа Смысл графических построении ясен из
чертежа
Разложение силы на три направления в пространстве
Дана сила Q и направления 1, 2, 3, пересекающиеся в
одной точке (рис 2 31, а) Определение вертикальных
составляющих Zit Z2, Z3 (вертикалов) искомых сил эк-
вивалентно разобранной выше (рис 2 30)_задаче о раз-
ложении силы Р, равной вертикалу силы Q и приложен-
ной в точке О на три параллельные составляющие в
точ«ах А, В и С (где О, А, В, С— соответственно точки
пересечения силы Q и направлении 1, 2 и 3 с горизон-
тальной плоскостью).
2.1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
109
Силы Zj, Z2, Z3 могут быть найдены графически (см.
рис. 2,30) или из уравнений равновесия: сила Z, из
уравнения моментов относительно осп ВС, сила Z2 из
уравнения моментов относительно оси АС, сила Z3 из
уравнения моментов относительно оси АВ, По вертика-
лу силы определяется графически ее проекция на вер-
тикальную плоскость V (рис. 2.31,6), а по ней — проек-
ция на горизонтальную плоскость Я. Полная величина
силы определится из формулы

2.3.2,	Определение усилий в стержнях
плоской статически определимой фермы
Число стержней п, включая опорные, и число узлов
т в плоской статически определимой ферме связаны
условием
п = 2щ.	(2.37)
В общее число стержней должно входить не менее
трех опорных стержней, прикрепляющих ферму к земле.
Если число опорных стержней равно трем и л=2от, то
ферма, освобожденная от опор, остается неизменяемой
(такая ферма называется свободной). Если число опоо-
иых стержней больше трех и n=2m, то ферма, освобож-
денная от опор, становится изменяемой системой (такая
ферма называется прикрепленной). Если я>2т или п —
= 2т, но число опорных стержней меньше 3, то ферма
является статически неопределимой (расчет статически
неопределимых ферм см. разд. 10).
Графический метод определения усилий в стержнях
фермы (диаграмма Кремоны — Максвелла). В первую
очередь определяем аналитически или графически опор-
ные реакции фермы. Обходя вокруг фермы в одном из-
бранном направлении (по пли против часовой стрелки),
нумеруем поля между линиями действия соседних внеш-
них сил (рис. 2.32, а). Строим силовой многоугольник
внешних сил, изображая силы в порядке нумерации по-
лей (рис. 2.32,6). Нумеруем поля внутри фермы и стро-
им силовой многоугольник для каждого из узлов фер-
мы, изображая приложенные к узлу силы в том поряд-
ке, в котором они встречаются при обходе вокруг узла
в принятом ранее направлении (см. рис. 2.32,6). Полу-
ченный совмещенный для всех узлов силовой много-
угольник позволяет определить не только величину, но
и знак всех усилий: усилие, направленное от узла, имеет
знак плюс, т. е. данный стержень растянут. Растяжение
на диаграмме обозначается тонкой линией, сжатие —
жирной. Построение диаграммы оказывается невозмож-
ным, если встречается узел, в котором сходятся более
двух неизвестных усилий. В этом случае может оказать-
ся полезным прием: одно или несколько усилий опреде-
ляются аналитически одним из способов, изложенных в
10.1.1, после чего построение диаграммы можно продол-
жать.
2.4.	КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
2.4.1.	Задание движения точки
Векторный способ задания движения точки: положе-
ние точки задается ее радиус-вектором г (рис. 2,33)
r = r(t).	(2.38)
Скорость точки определяется как вектор v—r, на-
правленный по касательной к годографу радиус-вектора
г в направлении движения (рис. 2,33,а).
Ускорение определяется как вектор w~v = r, направ-
ленный по касательной к годографу скорости (рис.
2.33,6).
Координатный способ задания движения точки.
В декартовых координатах положение точки задает-
ся ее координатами (рис. 2.34, а);
110
РАЗДЕЛ 2 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Движение точки в плоскости может быть задано
также и в полярных координатах (рис. 2 34,6):
г — г (i); tp~tp(i).	(2.42)
Скорость точки определяется ее составляющими.
°? = г> % = г Ф'>
модуль скорости:
]о| =	+ nJ) -
(2.42а)
I Ускорение точки определяется составляющими:
w? =: г — г Ф®; ®ф = г Ф + 2г ф; (2.426)
модуль ускорения:
(2.42в)
х = а (0; у ^у (/); г = г (1}.	(2.39)
Скорость точки определяется ее проекциями
координат:
на осн
модуль скорости:
v
vy =	== г;
Естественный способ зада-
ния движения точки. Задается:
а) траектория движения,
т. е. линия в пространстве, с
точками которой последова-
тельно совмещается в своем
движении исследуемая точка:
с траекторией связана естест-
венная система координат,
показанная на рис. 2,35, где
Q — соприкасающаяся плос-
кость, Т— касательная, N—
главная нормаль и И — бинор-
маль к траектории в той ее
точке, в которой находится
движущаяся точка М в данный момент, т, я — орты
осей Т nN-,
б) начало 0 и направление (+, —) отсчета расстоя-
ний вдоль траектории;
в) закон движения s~stt), определяющий расстоя-
ние s от начала отсчета расстояний до положения точки
в данный момент (дуговую координату точки).
Скорость точки определяется своей проекцией на ка-
сательную:
направляющие косинусы:
cos а cos g — —;
V	о
(2.40)
COS у = ----
о
Ускорение определяется его проекциями и а оси коор-
динат:
= vx = х; wy = vy~ у;
модуль ускорения:
® = ]/ш^ + “5 + wi
направляющие косинусы:
wx „ w„
cos а = -—• , cos 0 = —;
w	w
®г
cosy —	,
и
(2 43)
имеющий знак в том случае, когда движение проис-
ходит в направлении отсчета расстояний
Ускорение определяется своими проекциями на оси
естественных координат:
нормальное ускорение
о®
шл = —,	(2.43а)
Р
где р — радиус кривизны траектории в данной точке;
касательное ускорение
= ог = s .	(2.436)
Полное ускорение
w = я4- ©А-	(2.43в)
Нормальное ускорение определяет изменение скорости
цо направлению, а касательное—по величине.
Модуль ускорения:
® ==	(2.43г)
24. КИНЕМАТИО. ТОЧКИ
Ill
Связь векторного способа с координатным ц
веияыи выражается соотношениями:
г = х I 4- у 14- г k;	|
Нвг1 = «Д |	(2-441
W = wx i + wyl+ wz k = wx т -4 wn n, |
Графики двчженчл; величины s, I, v, г» часто изо-
бражаются в виде графиков; иногда графики одной из
этих величин (например, v или s), пр,туренные экспери-
ментально, являются основными исходными данными
задачи. В этом случае графики v а V х по графику s
строятся методами графического дифференцировании
(рис. 2.36, а), а график s
где т — орт касательной к траектории в данной_ точке,
направленный в сторону отсчета расстояний, п — орт
нормали к траектории в данной точке, направленный в
сторону центра кривизны (см. рис. 2.35).
Связь координатного способа с естественным. Урав-
нение траектории /(у, г/) д=г; Ц {х, z}s=y получается из
уравнений движения в координатной форме посредством
исключения времени t. Дополнительным анализом зна-
чений, которые могут принимать координаты точки, оп-
. f(x,y) = z}
ределяется тот участок кривой „ J	?, который
Мх,г) = у\
является траекторией. Например, если движение точки
задано > рав юпия-и; j?==sir4; y=siiig-=g, тр траектори-
ей точки является гот v эсток параболы у = к”, для ко-
торого — Кто’ -fl, 0 у ! Нтоато и наиоав ier»e от-
счета расстоянии выбираются произвольно, этим в да.то-
»₽йш»м О1.редечя»тоя знак скорости и в' личина и знак
начального расстояния so.
Закон движения определяется зависимостью:
t	t
s == sa 4- J v dt = s0,4- f ± |t>| dt —
Рис. 2.37
по графику v — методом
гр афического интегриро-
вания (рис. 2.36,6). Для
построения графика пу-
ти I вместо интегриро-
вания по модулю можно
воспользоваться взаимо-
связью графика I с гра-
s фиком s, которая ясна
из рис 2.37, где 1 — воз-
растающий: участок гра-
фика s; 1’ — параллель-
ный ему участок графи-
ка /;	2— убывающий
участок на графике s;
2' — зеркально-симмет-
ричный ему относительно оси 5 участок на графике /;
3 — экстремум на графике s; 4— точка перегиба с го-
ризонтальной касательной на графике I.
+ v^+v^dt,
(2.45)
знак 4- или — определяется в зависимости от принято-
го направления отсчета расстояний.
2.4.3, Цветные иуяаи
1. Прямолинейное движение. Приняв
движения за ось х, получим:
s ~ х = х (/); :
= з х;
w ~ з — х.
траекторию
(2-47)
24.2. Прейденный путь.
2. Равдедррщрр движение =0):
Графики движения
Путь. Число единиц длины, пройденных точкой с на-
чала движения, называется пройденным путем k
i
l=^№dt,	(2.46)
't.
п = const; a = s0 4-(2.48)
3. Равнопеременное движение (a^scong):
р==у+ж((4- у;
w (I — /Л®
s = so + ^P-g + —4-------•	(2-49)
4 :
Pgp. 2.36
4. Гармоническое колебательное движение
х = цэ1п(й 4-р),	(2.5Q)
частота;
времени, не-
где а — амплитуда холейанпй;
И4-0—-фаза колебаний;
0 — начальная фаза колебаний;
k— кругоаая (угловая, циклическая)
2л
Т~--	— период колебаний (Промежуток
я	
рез который тонка возвращается в то же положение,
двигаясь в том же направлении);’:
1
у У-полупериод; ,
1 k
yz~=— частота колебаний (число колебаний в
/
секунду).
112
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
2.4.4.	Сложное движение точки
Движение точки относительно неподвижной системы
отсчета в ряде случаев полезно рассматривать как со-
вокупность двух движений:
а)	движение точки относительно подвижного тела
отсчета Jpcp (подвижной системы отсчета) (рис.
2 38, а) — относительное движение;
б)	движение подвижного тела отсчета относительно
системы хуг, принятой за неподвижную, — переносное
движение. Скорость и ускорение точки М по отношению
к подвижной системе отсчета называются соответствен-
но относительной скоростью vT и относительным уско-
рением wr, а по отношению к неподвижной системе от-
счета —^абсолютной скоростью и абсолютным уско-
рением wa.
Скорость и ускорение точки, неизменно связанной с
подвижной системой отсчета и совпадающей по поло-
жению в пространстве в данный момент с движущейся
точкой М, называются соответственно переносной ско-
ростью Ve и переносным ускорением а>е точки М. Аб-
солютная скорость точки М равна геометрической сум-
ме переносной и относительной скоростей
va — vr “к
(2.51)
Абсолютное ускорение точки в сложном движении рав-
но геометрической сумме переносного, относительного и
кориолисова (добавочного, поворотного) ускорений:
wa = wr we + wc.	(2.51а)
Кориолисово ускорение
ар, = 2ti>eXvrt
(2.516)
где <яе — угловая скорость переносного движения.
Для определения направления кориолисова ускоре-
ния удобно правило Жуковского (рис. 2.38,6): вектор
относительной скорости проектируется на плоскость, пер-
пендикулярную оси переносного вращения, полученная
«направленная» проекция поворачивается на 90° в сто-
рону переносного вращения.
Кориолисово ускорение обращается в нуль, если:
1)	переносное движение поступательное (<вР = 0);
2)	относительное движение происходят параллельно
оси переносного вращения (sincocnr = 0);
3)	относительное движение имеет мгновенную оста-
новку (ог = 0).
2.5. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
В твердом теле скорости точек распределяются та-
ким образом, что проекции скоростей двух точек на
прямую, их соединяющую, равны между собой (кинема-
тическое определение твердого тела).
Положение твердого тела в общем случае определя-
ется шестью параметрами; в частных случаях, когда на
движение тела наложены ограничения, число парамет-
ров соответственно уменьшается.
2.5.1.	Поступательное движение
твердого тела
Поступательным движением твердого тела называет-
ся такое его движение, при котором всякая прямая, не-
изменно связанная с телом, перемещается параллельно
самой себе. Для этого достаточно, чтобы две непарал-
лельные прямые, связанные с телом, перемещались па-
раллельно самим себе. При поступательном движении
все точки тела описывают одинаковые, параллельно
расположенные траектории и имеют в любой момент
времени одинаковые скорости и ускорения. Таким об-
разом, поступательное движение тела определяется
движением одной его точки О.
2,5.2.	Вращение вокруг неподвижной оси
Вращением вокруг неподвижной оси называется та-
кое движение твердого тела, при котором во все время
движения две его точки остаются неподвижными. Пря-
мая, проходящая через эти точки, называется осью вра-
щения. Все остальные точки тела движутся в плоско-
стях, перпендикулярных оси вращения, по окружностям,
центры которых лежат на оси вращения. Положение
вращающегося твердого тела определяется одним пара-
метром— углом ср между начальным положением
АМВО некоторой плоскости, связанной с телом и про-
ходящей через ось, и ее положением АМО в данный
момент времени (рис. 2,39). Закон вращательного дви-
жения:
<р = <р (t) рад.	(2.52)
Проекция вектора угловой скорости на ось и определя-
ется зависимостью:
&и = <р [ рад/сек].	(2.53)
Угловая скорость ш рад/сек связана с числом оборотов
в минуту я зависимостями:
пп.	30 ш
со = — = 0,10472 n; п =-------= 9,549 ®. (2.53а)
30	я
Проекция вектора угловой скорости на ось и определя-
ется зависимостью
——ср.	(2.536)
Скорость и ускорение точки М вращающегося твердого
тела определяются соотношениями (рис. 2.39):
2.5, КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
113
v =<оXr\ wn = соXv; w, ~= ёХ. г,
или в скалярной форме:
я = <дй; а;а = ши = (о2 й;
= е й; ьу = й ]/в3 ф- <о4 .
(2.54)
(2.54а)
Частные случаи:
1) равномерное вращение (е = 0):
сои = const <р = фо 4- (0ы (t — ф);	(2.55 ')
2) равнопеременное вращение (eu=const):
«и = Оо — е (t — ф);
Ф — Фо _h ®о (t — ^о) Ч- р 	(2.55а)
2.5.3. Винтовое движение
Сочетание вращательного движения твердого тела с
поступательным в направлении оси вращения называет-
ся винтовым движением. Различается правое (рис.
2.40, в) и левое (рис. 2,40, б) винтовое движение. Рас-
Рис, 2.40
стояние h, пройденное проекцией точки М тела на ось
винта при одном обороте, называется шагом винта.
При равномерном винтовом движении подъем винтовой
8—1303
линии (траектории точки М, отстоящей на расстоянии
й от оси винта):
h
I = tg	(2.56)
2л/с
Скорость точки М
°М =	(2,56а)
где и — скорость поступательного движения в направ-
лении оси винта; о — угловая скорость вращения вок-
руг оси винта.
2.5.4» Плоскопараллельное движение
Плоскопараллельным движением твердого тела на-
зывается движение, при котором все точки тела дви-
жутся в плоскостях, параллельных некоторой непод-
вижной плоскости. Это движение определяется движе-
нием плоской фигуры— проекции тела на плоскость, па-
раллельно которой происходит движение (рис. 2.41).
Положение плоской фигуры в плоскости хОу определя-
ется координатами х0, Уо произвольно выбранного по-
люса О и углом поворота <р вокруг полюса.
Уравнения движения:
хо = хо ((); у о = у о (0; ф = ф (0 	(2 • 5?)
Первые два уравнения описывают поступательное дви-
жение вместе с полюсом О, зависящее от выбора по-
люса, последнее — вращение вокруг оси г, проходящей
через полюс, которое от выбора полюса не зависит.
Координаты хА, уА точки А, положение которой
на плоской фигуре определено ее координатами Л
(см. рис. 2.41):
ХА ~ хо+ S с0® Ф ~ Л sin ф;
У А = Уо + 5	Ф + Чсо« Ф- (2.57а)
Распределение скоростей. Скорость ид точки А рав-
на геометрической сумме скорости полюса о0 н скорости
Vqa точки А во вращении плоской фигуры вокруг полю-
са О (см. рис. 2.41):	,
° А ~ °0 + °0А-
(2.576)
114
РАЗДЕЛ 2 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Та точка Р фигуры, скорость которой в данный момент
равна нулю, называется мгновенным центром скоростей,
а совпадающая с ней точка неподвижной плоскости —
мгновенным центром вращения Во всякий момент вре-
мени скорости точек фигуры распределяются так, как
если бы фигура вращалась вокруг мгновенного центра
скоростей (рис. 2 42).
Определение положения мгновенного центра скоро-
стей Р (см_ рис. 2 42): для нахождения положения
Р по to и va производим поворот на 90° от v л в на-
правлении вращения и_иа полученном направлении от-
кладываем расстояние ол/ш. Для нахождения Р по на-
правлениям vA и 1>в продолжаем перпендикуляры к »А
и пв до пересечения. Для определения положения Р по
1’в и vc находим_точку пересечения общего перпенди-
куляра к оз я Ус с прямой, соединяющей концы ©в
и vc- Если точка Р удаляется в бесконечность, то <в=0
и имеет место мгновенно поступательное движение, т. е.
скорости (но не ускорения) всех точек фигуры одина-
ковы.
Центроиды Геометрическое место мгновенных цент-
ров скоростей па движущейся фигуре называется под-
вижной центроидой, а геометрическое место центров
вращения на неподвижной плоскости — неподвижной
центроидой. Плоское движение осуществляется таким
образом, что подвижная центроида катится без сколь-
жения ио неподвижной.
Уравнения движения точки, вычерчивающей непод-
вижную центроиду на плоскости:
х = хв — ~-; у = уп + ~1.	(2.57г)
Ф	ф
Уравнения движения точки, вычерчивающей под-
вижную центроиду на движущейся фигуре:
i0 sin ф — cos ф i0 cos ф-Ьу0 sin <p
। =--------- -------.	= _---------------( (2 Б7д j
Ф	Ф
Распределение ускорений. Ускорение точки А равно
геометрической сумме ускорения w 0 полюса О и уско-
рения точки А во вращении плоской фигуры вок-
руг точки О. Ускорение w 0А состоит из центростреми-
тельной we и вращательной составляющих (рис.
Чд = ®’о + WOA °= WO +	+ «V
wn ~е>г0А, ъц. — гОА.	(2.57е)
Если за полюс при опре,течении ускорений принять точ-
ку К, ускорение которой в данный момент равно нулю
(мгновенный центр ускорений), то ускорения точек оп-
ределяются как при вращении вокруг точки К:
= “и = г ®г	(2.57ж)
2.5.5.	Сферическое движение тела
Сферическим движением (движением тела с одной
закрепленной точкой) называется такое движение тела,
при котором одна его точка О остается неподвижной во
все время движения Все остальные точки тела движут-
ся при этом по траекториям, расположенным на поверх-
ности сфер с центром в неподвижной точке О Положе-
ние тела определяется углами Эйлера (рис. 2.44). углом
прецессии ф, углом нутации 0 и углом собственного вра-
щения ф. Эти углы характеризуют положение коорди-
натного трехгранника осей Ogrji;, связанного с телом, по
отношению к неподвижному трехграннику Охуг. Линия
О¥ пересечения координатных плоскостей Оху и О|т;
называется линией узлов.

2,5. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
115
s===^=s====^-=
Уравнения сферического движения:
* = Ф(П; 0 = 0(0; «₽ = Ч>(0.	(2.58)
Распределение скоростей. Во всякий момент времени
существует проходящая через неподвижную точку О
прямая Ой, Скорости точек которой равны нулю. Это
мгновенная ось вращения. Мгновенная угловая скорость
<о определяется соотношением
го = <р Ц-0-|-Ф,	(2.58а)
где ф, 0, ср — вектовы, численно равные производным
углов Эйлера н направленвые соответственно по осям
г, ON и t. Мгновенная угловая скорость может менять
свое положение в пространстве, описывая коническую
поверхность, поэтому вектор угдррого ускорения
е==ш	(2,586)
в общем случае не совпадает по направлению с е> (рис.
2.45). Скорость т®чк? при сферическом движении тела
о = 0 х г	(2.58з)
или в аналитической форме
(формулы Эйлера):
= ffly г — у;
= ®г х — а>х г,
«г = <ох у — х.
(2.58г)
Ускорение точки складывается из осестремительной
Шоо и вращательной швр составляющих (рис. 2.45):
®ос = ® X v, швр = в X г.	(2.-58д)
2.5.6.	Общий случай движения
твердого тела
Движение твердого тела в общем случае определяет-
ся как сумма двух движений: поступательного вместе
с произвольно выбранным полюсом О и сферического
движения относительно этого полюса.
Уравнения движения:
ф==МП; 0 = 0(0; ч> = *(()•	(2.59)
Первые три уравнения огчеъщгэт то тщ ч 1( тою
часть движения, зависящую от выбора полюса, послед?
8*
ние три — сферическую, не зависящую от выбора
полюса. Скорость и ускорение точки А тела:
Сд = Рпост + Реф = Ср + Щу =	4- <ЙХ
®Л= «пост 4-®сф = ®о+ WOA=W0 +
+ »да+ws₽ = ®o.4-S х?ол+ix® J
2.5.7.	Сложено игваденных движений
твердого тела
.Мгновенное движение твердого тела в общем случае
определяется мотором скоростей, т. е. совокупностью
свободного вектора Оо скорости точки О, принятой за
полюс, и скользящего вектора угловой скорости а. Век-
тор v0 зависит от выбора точки 0, вектор а— не за-
висит.
Если тело одновременно участвует в нескольких
мгновенных движениях, то в результате приведения ско-
ростей Vi и углрвых скоростей ю,- к данному чеитру О
получается результирующий мотор скоростей, компо-
ненты которого определяются формулами:
v0 = S щ ф- 2 ш; >< ОМр ш = S а>(	(2.60)
или в аналитической форме:
~	— 5(0^;	— StDj./;
vx = 'S.vxl -I- Х(<вУ1-г; = аг;уг); (2.60а)
vu =	+ 3 (®щ М ~ ®щ г,);
ог =Sa_,z 4- S (wxi уi — &yt xt).
Сравнивая формулы (2.60) и (2.20), (2 21), (2.23),
(2.24), можно отметить, что операции с моторами сил
и с мотораии щщрщжей (или пропорцконалындми им
бесконечно малыми перемещениями) осуществляются
аналогично, причем аналогия существует между_ сколь-
зящими векторами: силы Р и угловой скорости <о, с од-
ной стороны, и между свободными векторами: Момен-
том пары М и вектором скорости поступательного дви-
жения v, с другой стороны, В этом выражается стати-
сэ кпнечдтичес! а? ап злогчч (см. 6.1,2 и 5,1,8). Пода-
чу з:е потожеыщ даТтр t, в щ-очая графостатику, при-
ложимы к исследованию мгновенного движения тел с
круговой заменой обозначений Р на ш и М на о.
различные случаи. сложения двищенийго
1)	щ=0; ®=0— мгновенная остановка;
2)	Ор¥=0; ®=0 — мгновенное поступательное движение
(тодькр в_отнощенйи скоростей);
3)	о = 0 ш-rO— иг- щ°риое воащтоие во. гуг оси, про-
ходящей через точку О;
4)	а =40; ®4=0;	= 90’ — мгновенное плоскопараллель-
ное движение (мгновенное вращение с угловой скоро-
стью <в вокруг оси, отстоящей от точки О на расстоя-
нии
5)	Оп=40; ®=0: оп® = 0° ити 180° — мгновенное винтовое
движение (кинематический, вййт);
6)	До =40; а =40; про«зво>щчь.й угол — мгновенное
винтовое движение, ось которого не проходит через
точку О.
Некоторые частные случаи.
116
РАЗДЕЛ 2 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИК 4.
Сложение нескольких поступательных движений
аналогия со сложением пар): результирующее движе-
ние— поступательное со скоростью a=So,.
Сложение нескольких вращений относительно осей,
пересекающихся в одной точке О (аналогия со сложе-
нием сходящихся сил): результирующее движение —
мгновенное вращение вокруг оси, проходящей через
точку О, с угловой скоростью ш = 2и>.
Сложение нескольких вращений вокруг параллель-
ных осей (аналогия со сложением параллельных сил):
результирующее движение — вращение с угловой скоро-
стью (0 = 2(0, вокруг оси, положение которой определя-
ется по правилу сложения параллельных сил. Если ы =
=0, то тело либо остается в покое, либо совершает
мгновенное поступательное движение.
Пара вращений — совокупность двух вращений с па-
раллельными, равными н противоположно направленны-
ми угловыми скоростями (аналогия с парой сил); пара
вращений эквивалентна мгновенному поступательному
движению со скоростью: и = <оХЛВ (рис. 2.46). Обрат-
но: мгновенное поступательное движение можно пред-
ставить как пару вращений.
Мотор перемещений. Все сказанное о моторах ско-
ростей относится и к моторам, пропорциональным ско-
ростям бесконечно малых перемещений точек тела. Всю-
ду вместо скорости о следует брать бесконечно малое
перемещение 6г, а вместо угловой скорости а> — беско-
нечно малый вектор поворота Sep, направленный вдоль
оси а, вокруг которой осуществляется поворот.
2.5.8.	Элементы кинематики механизмов
Основные понятия и определения [2]. Подвижное сое-
динение нескольких твердых тел называется кинемати-
ческой цепью. Тела, образующие цепь, называются
звеньями кинематической цепи. Простейшая цепь, со-
стоящая из двух звеньев, называется диадой. Кинемати-
ческая цепь с одним неподвижным звеном (стойкой),
предназначенная-совершать вполне определенные движе-
ния, называется механизмом. Если все точки кинемати-
ческой цепи в их относительном движении могут пере-
мещаться только параллельно некоторой плоскости,
цепь называется плоской-, в противном случае цепь на-
зывается пространственной. Соединение двух звеньев в
кинематической цепи осуществляется посредством кине-
матической пары.
Классификация кинематических пар. Кинематиче-
ские пары делятся на классы в зависимости от числа
условий связи, налагаемых имя на относительное дви-
жение звеньев. Номер класса пары S определяется фор-
мулой
5 = & — И,	(2.61)
где Н — число степеней свободы одного звена пары от-
носительно другого. Наиболее часто встречающиеся па-
ры имеют специальные наименования и условные обоз-
начения (табл. 2.5).
Таблица 2.5
Условное изображение пар
Структура кинематической цепи. Если одно звено
кинематической пары принять за неподвижное, то чис-
ло w степеней свободы цепи относительно этого звена
называется степенью подвижности или степенью изме-
няемости цепи (механизма).
Структурная формула кинематической цепи имеет
вид
2.6. ДИНАМИКА ТОЧКИ
117
w = 6п — 5р5 — 4р4 — Зр3 — 2р3 — рл, (2.61а)
где п — число подвижных звеньев, р, — число пар /-го
класса. Эта формула имеет место для цепей нулевого
семейства, т. е. для таких, на движение звеньев кото-
рых нс наложено каких-либо общих ограничений; в про-
тивном случае уменьшаются коэффициенты при всех
членах правой части. Так, для плоских цепей (формула
Чебышева)
ш = Зп— 2р5 — р4.	(2.616)
Мгновенные центры и угловые скорости относитель-
ного вращения звеньев кинематической цепи. При вся-
ком бесконечно малом перемещении трех звеньев плос-
кой кинематической цепи I, т и п центры их взаимного
поворота Pirn, Pin, Р-тп лежат на одной прямой, ана-
логично точкам приложения двух параллельных сил
и их равнодействующей (теорема Аронгольда—Кеннеди)
(рис. 2.47). При всяком бесконечно малом перемещении
трех звеньев пространственной цепи оси их взаимного
вращения zi-m, zin, гтп пересекают иод прямым углом
одну и ту же прямую (теорема И. М. Рабиновича).
Здесь имеется аналогия с определением равнодействую-
щей или уравновешиванием двух перекрещивающихся
сил в пространстве.
Планы скоростей. Графическое определение скоро-
стей точек плоской кинематической цепи производится
построением плана скоростей (рис. 2.48,6). Если извест-
на скорость va точки А звена АВ и направление скоро-
сти v п другой его точки Я, то для построения плана
скоростей откладываем от произвольно выбранного по-
люса о отрезок оа, равный в принятом масштабе скоро-
сти Va, далее через точку о проводим прямую, парал-
лельную vs, а через точку а—прямую, перпендикулярную
АВ. Фигура oab, выражающая графически зависимость
vв — VA + vав, представляет собой полярный план ско-
ростей звена АВ. Геометрически полярный план скоро-
стей представляет собой фигуру, подобную звену АВ
и повернутую относительно него на 90° в направлении
мгновенного вращения звена. Полюс о плана скоростей
соответствует мгновенному центру скоростей Р звена
АВ, Чтобы найти скорость любой точки С звена АВ,
следует найти подобно расположенную точку с на пла-
не скоростей и соединить ее с полюсом о; Ос = ос. Ко-
эффициентом подобия плана скоростей по отношению
к звену является мгновенная угловая скорость звена
Планы скоростей звеньев кинематической цепи стро-
ят последовательно, переходя от звена к звену.
Неполярный план АСВВХХА). нормальных (или по-
вернутых) скоростей точек звена АВС можно получить
поворотом на 90° скоростей точек звена (-рис. 2.48,в).
Приведенное построение сохраняет силу и для бес-
конечно малых перемещений.
2.6. ДИНАМИКА ТОЧКИ
2.6.1.	Дифференциальные уравнения
движения материальной точки
Векторная форма (2-й закон Ньютона):
mw = P.	(2.62)
Координатная форма (2-й закон Ньютона в проекциях
на оси декартовых координат):
mx = X; ту —У; mz — Z. (2.62а)
Естественная (эйлерова) форма (2-й закон Ньютона
в проекциях на оси естестьенных координат);
V-
mwx — то = Рх 1 т>п — т —~	(2,626)
тшй= Рв ,
где х, у, г—координаты точки массой т-
X, Г, Z—проекции действующей на точку силы
(иля равнодействующей действующих
на точку сил) Р на оси декартовых ко-
ординат;
Рт, Рп, Рв—проекции силы Р на оси естественных
координат: касательную Г, главную
нормаль N и бинормаль В (см.
рис. 2.35).
Если точка является несвободной (на движение точ-
ки наложены связи), в число действующих на точку
сил включаются реакции связей.
Силы, входящие в правую часть дифференциальных
уравнений движения, в общем случае могут являться
функциями от времени t, скорости о и координат х, у,
z точки.
118
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
2.6.2.	Интегрирование дифференциальных
уравнений движения точки
Для определения уравнений движения точки
(см. 2.4.1) двукратно интегрируют дифференциальные
уравнения движения в координатной форме. Постоян-
ные интегрирования определяются из начальных усло-
вий: при t-t0> х=ха, у~ф>, z-zB, x=xs>, у = у$, z~zB,
2.6.3.	Частные случаи интегрирования
1, Правая часть дифференциального уравнения есть
функция времени (например, действие поля переменно-
го тока на заряженную частицу) P — P(t):
t
rnx = Р (t); i=~f =	+ v
mJ
i.
x = j’ ft (0 dt p-x0(t —	+ xn.
A
2.	Правая часть дифференциального уравнения есть
функция скорости (например, сила сопротивления вяз-
кой среды) Р—Р (v):
переменные и интегрируем:
Л; +
с помощью алгебраических преобразований выражаем
х через Р.
::	x^f^ft — У,
интегрируя ио ф получаем
х = j fz (t — A) dt -}- х0.
3.	Правая часть дифференциального уравнения есть
функция перемещения (например, реакция упругой свя-
зи, сила всемирного тяготения) Р = Р(х):
тх = т &L- = Р (х);
a	at
dx
умножая обе части на dx и замечая, что	по-
да
лучим:
х	х.
me d х = Р (х) dx и J mx dx = j Р (х) dx;
"тог ;
интегрируя, получим:
т»-® /НХр,
2	2
отсюда
Ле ™ /1
х = —== у —	— fi(x0)I =h(x),
разделяем переменные и интегрируем;
X	t
^dt я /8(х) — А(х0) = * - #0.
J h(x) ,}
с помощью алгебраических преобразований получаем
окончательно
х=/ао-
Интегрирование дифференциального уравнения дви-
л ечпя той' I- в частном случае действия реакции :упру-
гой' Связи Рупр =—сх см. в рзделе XXIV.
2.6,4, Относительное движение точки1
Движение точки относительно подвижной системы
отсчета описывается дифференциальными уравнениями
относительного движения.
Дифференциальное уравнение относительного дви-
жения точки:
mw — P—mw —raw -P-f-Ф -РФ ,	(2.63)
г	$ о * е 1 а	т
где	Фе=~-m№s— переносная сила инерции (о силах
__	__ инерции см. 2.7.3);	г
Фг=—птс = —2т<аеХ щ — кориолисова	сила
инерции.
Дифференциальные уравнения относительного дви-
жения точки в координатной форме:
mxr = X + X™ + X™ ;
ту? = Y + Уйи + Y™-,
тгг Z + ZjH + Z™ .
(2.63а)
Из уравнений (2.63) и (2,63а) следует, что относи-
тельное движение точки можно изучать как движение
относительно неподвижной системы отсчета, если к чис-
лу действующих на точку сил добавить переносную
й кориолисову силу инерции.
В случае относительного покоя (ог = 0, ®,=0) урав-
нение (2,63) приобретает вид:	’ -
0 = Р + <,	(2-636)
т, е. приложенные к точке силы и переносная сила инер-
ции образуют уравновешенную систему сил.
В случае движения относительно инерционной систе-
мы отсчета, т. е. системы отсчета, движущейся поступа-
тельно, прямолинейно и равномерно, уравнение (2.63)
приобретает вид:
mw? = Р, (2.63в)
не отличающийся от (2.62). Таким образом, никакие на-
блюдения в инерциальной системе отсчета не позволяют
установить факта ее равномерного прямолинейного дви-
жения (принцип относительности классической меха-
ники).
3 См. также 2.4,4.
2,7. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
119
2.7. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
2.7.1. Основные понятия динамики
1 7 k
х у г
Количеством движения Q материальной точки мас-
сой т, движущейся со скоростью у, называется вектор
mv (рис. 2.49), Количеством движения г-й точки систе-
мы называется вектор Qt—rniVi,	_
Количество движения механической системы Q есть
сумма векторов количеств движения ее точек.
Q =	= е. =М»С.	(2.64)
где М— м асса всей системы;
vc— скорость центра масс системы.
Количество движения системы в ее движении отно-
сительно центра масс равно нулю.
K = rXQ =:
Qu Q.z
(2.66)
Моментом количества движения системы относитель-
но центра О называется сумма векторов моментов ко-
личества движения всех точек системы относительно
того же центра:
К = S К,- = 2 г,- X Qi.	(2.66а j
Проекции вектора момента количества движения на
оси декартовых координат (моменты количества движе-
ния относительно осей декартовых координат):
для точки
Кх = т (уг — уг); Кд — т (xz — хг);
Яг = т (ху — ху)-,
для системы
= 2 KSi — (xl г{ — x} ;
Аг — S Кг,~ 2 m, (xl yi —- x. yd)-
(2-666)
Кинетической анергией точки называется скалярная
величина:
Проекция вектора количества движения на оси де-
картовых координат:
для точки
Qx Qy = /пг/; Qz = mz;
для системы
= 2тг i. = Л4хс ; Qg = 2 т. у{ = Мус ;
Q =2т,г, = Мгг .
г г I о
(2.64а)
Т = -у~.	(2.67)
Кинетической энергией системы называется сумма
кинетических энергий ее точек:
т v2( Mv2 mt °r,
=	(2.67')
Импульс силы. Элементарным импульсом dS силы
Р называется величина
где М — масса всей системы;
вс — скорость центра масс системы;
о?. — скорость Дй точки системы в движении отно-
сительно центра масс системы.
dS = Pdt (рис. 2,49).
(2.65)
Кинетическая энергия твердого тела:
Импульсом силы S за конечный промежуток време-
ни	—it называется вектор
Mv~c 1С ю2
(2.67а)

(2.65а)
Импульс суммы сил равен геометрической сумме им-
пульсов каждой из сил в отдельности.
Проекции импульса сил на оси декартовых коорди-
нат:
6,	А
5Л= Sff= 5г== JZztt. (2.656)
«.	I,	f',
Моментом количества движения К -кгчкв А относи-
тельно некоторого центра О называется вектор, равный
векторному произведению радиуса-вектора г точки А на
вектор ее количества движения Q (рис, 2.49):
где М — масса тела;
ос — скорость его центра масс;
<о— угловая скорость тела;
1С — момент инерции тела относительно мгновен-
ной оси вращения, проходящей через центр
масс тела С (см. 2.8.1).
Кинетическая энергия тела в частных случаях:
при поступательном движении
при враще.чии вокруг оси г
я
(2.67в)
120
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Работа. Элементарной работой 6Л силы Р на беско-
нечно малом перемещении dr точки ее приложения на-
зывается скалярное произведение векторов Р и dr:
SA = Pd~r.	(2.68)
Здесь знак 6 следует понимать как обозначение бес-
конечно. малой, величины, а не как знак полного диффе-
ренциала, так как работа в общем случае не является
полным дифференциалом.
Элементарная работа в координатной форме:
t>A=Xdx+ Ydy+2dz,	(2.68 а)
где X, У, X—проекции силы на оси декартовых коор-
динат;
х, у, г— координаты точки приложения силы;
dx, dy, dz— прбёкции элементарного перемещения
точки приложения силы на оси декарто-
вых координат.
Элементарная работа силы в естественной форме:
54 = Р cos a jds|,	(2.686)
где |ds| —элементарное перемещение точки вдоль тра-
ектории; а — угол между силой и элементарным пере-
мещением ds.
Элементарная работа силы Р, приложенной к твер-
дому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси и:
&A = Mu(P}dq.	(2,68в)
Элементарная работа мотора сил Р, М на моторе
элементарных перемещений dr, d<f:
&A = №XTidg>	(2.68г)
или в координатной форме:
6А = Xdx ф- Ydy + Zdz ф- Lda ф- Wg ф- Ndy, (2.68д)
где dtp — элементарный угол поворота, представленный
в виде вектора, отложенного вдоль оси поворота; da,
dp, dy — элементарные углы
f’Casa	поворота вокруг осей коорди-
и ат х, у, z (или проекции век-
тора dtp на оси координат).
дУ/)	Элементарная работа, вы-
раженная через обобщенные
Z22zL___ д координаты системы. Если по-
s>	ложснис точек системы мож-
но полностью определить по-
Рис.	2.50	средством некоторого числа 6
независимых параметров щ,
Ут. .... Ус, то эти параметры называются обобщенными
координатами системы. Перемещения всех точек систе-
мы определяются как функции элементарных прираще-
нии обобщенных координат системы dq, и элементарная
работа сил получает вид:
54 = Qi dqj ф- Qs dq% ф- -  - ф-	dqn. (2.68e)
Коэффициенты Q при приращениях обобщенных коор-
динат носят название обобщенных сил системы.
Работа силы Р на конечном перемещении точки ее
приложения выражается криволинейным интегралом,
взятым по перемещению MX:
А = |.64 = [ Р cos ads = [ (Xdx ф- Ydy ф- Zdz}. (2.68ж)
“мда . -M.v ~ма
Работа суммы сил равна алгебраической сумме ра-
бот, совершаемых каждой из сил в отдельности,
Графически работа изображается площадью графика
Р cos a=f(s) (рис. 2.50).
Работа некоторых видов сил:
1)	сила тяжести P — mg (рис. 2.51, а) производит ра-
боту только на вертикальной составляющей перемеще-
ния:
Л =-- mg (z2 — 2t);
Рис. 2.51
2)	сила всемирного тяготения Р =—6/г2 (рис, 2.51, б)
(г — расстояние между центрами тяготеющих масс)
производит работу при изменении расстояния г между
тяготеющими массами:
1 __1\
Га Г1 '
3)	реакция упругой связи Рупр”—с?ъ пропорцио-
нальная перемещению А точки приложения и направ-
ленная в сторону, противоположную перемещению, про-
изводит работу:
Л=--| (КМ?);
4)	работа силы трения всегда отрицательна:
s,
4——• | Ртр ds;
5)	работа реакций идеальных связей на любом пе-
ремещении, допускаемом связями, равна пулю;
6)	внутренние силы Рг производят работу на взаим-
ном сближении или удалении точек системы
(рис. 2,51, в):
Л':= 1‘р1Фх,
где х—расстояние между точками системы.
Особенность работы сил в потенциальном силовом
поле. Потенциальная энергия. Силовым полем называ-
ется область пространства, в которой проявляется дей-
ствие силы. Потенциальным называется такое силовое
поле, в котором сила есть функция положения точки,
причем имеется функция положения точки координат
U = U(x, у, г), называемая потенциалом и связанная
с проекциями действующей силы зависимостью:
dU	dU	ди
К — --.; Z~—--,
дх	оу	аг
2Л. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
121
В потенциальном силовом поле можно выделить эк-
випотенциальные поверхности, в точках которых U —
= const.
Свойства пот енциального силового поля:
1) элементарная работа силы равна полному диффе-
ренциалу функции U:
4	‘	dU dU
М = Хдл + Ydy + Zdz == '---dx -ф- —~" dy +
дх ду
+ — dz = dl/;
dz
2)	работа силы иа конечном перемещении зависит
только от разности потенциалов начальной 1Д и конеч-
ной U'-, точек:
Л =
3)	работа силы на перемещении между двумя точ-
ками эквипотенциальной поверхности, а также на замк-
нутом перемещении равна нулю;
4)	в потенциальном силовом поле справедлив закон
сохранения механической энергии: сумма потенциальной
П и кинетической Т энергии точки есть величина посто-
янная:
П 4- Т = const.	(2.69)
Потенциальной энергией П называется работа, со-
вершаемая силой при переходе тела из данной точки
с потенциалом U ия поверхность, условно принятую за
поверхность нулевого потенциала Uy.
П = иа — и.
Из числа рассмотренных выше сил потенциальным
силовым полем обладает сила тяжести (U=—mgz), сила
/ сй,2 \
тяготения (П-Дт), реакция упругой связи (У=—-I,
Теорема импульсов (теорема количества движения
в конечной форме).
1. Для точки: изменение количества движения точки
за конечный промежуток времени равно сумме импуль-
сов, приложенных к точке сил (или импульсу равнодей-
ствующей приложенных к точке сил)
А
Q-2 - Qi = 2S = 2 f Р dt,	(2.70г)
б
или в координатной форме:
Cw-Qlx = ^;
Qas-С1г = 25г.	I
2, Для системы: изменение количества движения си-
стемы за конечный промежуток времени равно сумме
импульсов внешних сил:
Q2--(3i = SSe,	(2.70е)
или в координатной форме:
= Q.2y-Qls^^ ]
/	« i j
Q&-Qlz = 2S|.	j
Следствия: при отсутствии внешних сил количество
движения системы есть величина постоянная; если
внешние силы системы перпендикулярны некоторой оси,
то проекция количества движения на эту ось есть ве-
личина постоянная.
Теорема о моменте количества движения
2.7.2. Основные теоремы динамики
1, Для точки:
Производная по времени от момента количества
движения точки относительно некоторого центра (оси)
равна сумме моментов приложенных к точке сил отно-
сительно того же центра (оси):
Теорема количества движения (в дифференциальной
форме),
1. Для точки: производная от количества движения
точки по времени равна равнодействующей приложен-
ных к точке сил R:
00	-	-
— = R -- 2 Р,
dt
или в координатной форме:
dt R	dt -
= ZR= 2Z.
2, Для системы: производная
ния системы по времени равна :
внешних сил системы (векторной сумме внешних
Р”, приложенных к системе):
dQ _
dt
или в координатной форме:
=2Л1();	2Z;	= 2М;1
dt ° dt	dt
(2 70)
д = 2У; “
R	di
(2.70а)
ДВИЖе-
от количества
главному вектору Re
сил
(2.706)
К=2Г;
dt R-
--- = SZe = ZeR.
dt	R-
(2.70b)
2. Для системы:
Производная no времени от момента количества дви-
жения системы относительно некоторого центра (оси)
равна сумме моментов внешних сил системы относи-
тельно того же центра (оси):
= SMed,
dt °
dKx
----- = 2ЛГ
dt
dt
(2,71а)
di
Следствия: если внешние силы системы не дают момен-
та относительно данного центра (оси), то момент ко-
личества движения системы относительно этого центра
(оси) есть величина постоянная.
Если силы, приложенные к точке, не дают момента
относительно данного центра, то момент количества
движения точки относительно этого центра есть величи-
на постоянная и точка описывает плоскую траекторию.
Теорема о кинетической энергии
1, Для точки: изменение кинетической энергии точки
на конечном ее перемещении равно работе приложен-
ных к ней активных сил (касательные составляющие
122
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
реакций неидеальных связей включаются в число актив-
ных сил):
- 73 — Т\ = 2 Ааи‘ = S J Ракт cos ads.	(2.72)
Ч
Для случая относительного движения: изменение
кинетической энергии точки при относительном движе-
нии равно работе 'приложенных к ней активных сил
и переносной силы инерции (см. 2.63):
—Г1 = 2Лакт+2<а.	(2.72а)
Г 2. Для системы: изменение кинетической энергии си-
стемы на некотором перемещении ее точек равно работе
• приложенных к ней внешних активных сил и внутрен-
них сил, приложенных к точкам системы, расстояние
между которыми меняется:
T2-Tj=24kt+S^.	(2.726)
Если система неизменяема (твердое тело), то
2Л’=0 и изменение кинетической энергии равно рабо-
те только внешних активных сил.
Теорема о движении центра масс механической си-
стемы. Центр масс механической системы движется
как точка, масса которой равна массе всей системы
к которой приложены все внешние силы си-
стемы:
М®с=2?,	(2.73)
или в координатной форме:
Mx'c = SXe; Myc^XYe', Akc=.YZe, (2.73а)
где шс, хс, Ус, гс — ускорение центра масс и его про-
екции на оси декартовых коордй-
_	нат;
Ре, Xе, Ye, 2е—внешняя сила и ее проекции на
оси декартовых координат.
Теорема импульсов для системы, выраженная через
движение центра масс.
MvCa - Mvc. = или ц,„ - ое = Ж (2.74)
«Л	«	.1 дз
Изменение скорости центра масс системы за конечный
промежуток времени равно импульсу внешних сил си-
стемы за тот же промежуток времени, деленному на
массу всей системы.
2.7.3.	Кинетостатика
Принцип Даламбера
Силой инерции Фва материальной точки называется
сила, направленная в сторону, противоположную уско-
рению точки, и равная:
Фин = -mw.
(рис. 2.52
®	Силы инерции точек механиче-
ской системы образуют систему
сил инерции.
А®,	Система сил инерции может
_быгь заменена главным вектором
Рис. 2.52 7?ия и главным моментом Мвн
сил инерции. Главный вектор сил
инерции системы равен по вели-
чине массе М системы, умноженной на ускорение цент-
ра масс н направлен в сторону, противоположную
we. Главный момент сил инерции относительно центра
масс системы Мин равен:
Mjh = - 2q X m, wr.,
где Г;—радиус-вектор i-ii точки системы относительно
центра масс;
_ггц — масса i-н точки;
wri — ускорение i-й точки системы в ее движении
относительно центра масс.
Принцип Даламбера. Если к числу сил, действую-
щих на механическую систему (точку), добавить силы
инерции, то образуется уравновешенная система сил,
для которой могут быть составлены уравнения равно-
весия статики (см. табл. 2.3), носящие в этом случае
название уравнений кинетостатики системы (точки).
2.8.	ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
2.8.1,	Теория моментов инерции
Моментом инерции 7 тела относительно точки, оси
или плоскости называется сумма произведений массы
точек тела :?г,- на квадраты их расстояний г, до точки,
оси или плоскости:
/ = Sm^ г/ = j г" dm.	(2.76)
Момент ньсрцик тела относительно оси является ме-
рой инерции тела во вращательном движении вокруг
этой оси
ЛШ, тот и-еут j, г та может быть также выражен
через массу Ч т j m цаРицс инерции г.
I = Л4г2, где г = 1 /	.	(2.76а)
F М
Моменты инерции относительно осей, плоскостей
и начала декартовых координат.
Осевые моменты инерции:
!х = f id" + г2) dnr, 1у = J (Xs + г2) dm,
(x2 + y2)dm.	(2.766)
Моменты инерции относительно плоскостей коор-
динат;
'xOy=U2dm-, IхСгif-dm;, Iуа, = \ х” dm. (2.76в)
Момент инерции относительно начала координат
(полярный момент инерции):
/0 — ( (х'г у2 4- г2) dm.	(2.76г)
2.8. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
123
Таблица 2.6
Моменты икеэиии некоторых тел
Ссеные моменты инерции
ПродаляЕвние табл. Ы
Фигура или тело
я&еальнд тонкий стержень
*	12
/ = — {аг + с«);
У 12
1 =	(а»+ *’)-
г 12
При о -> С получается пря^
моугольная пластина
Центробежные моменты инерции
lxy = f ху dm; 1хг = j' xzdm; iyz = J yzdm .	(2-76д)
Связь между осевыми, плоскостными и полярным
моментами инерции;
!О = !хОу + 4ог + !уОг = ~^ U х + I у + 1 гУ>
\ = 1хОу + ^гОг’	1 у	JxOy + 1уОг*	(2.77)
“ Gos "Г lyOz’
Значения осевых моментов инерции некоторых гео-
метрических тел приведены в табл. 2.6.
Изменение моментов инерция при перемене осей
Момент инерции /И] относительно оси ult параллель-
ной дайной оси и (рис. 2,53):
1и, = >и + М ( I? — I'} = I + Ma2 — 2Ма1,	(2.77а)
1	\ 31	/ и
где /ь—момент инерции-тела относительно оси и;
Ц^)— расстояние от осигц (от оси »i) до параллель-
ной им оси «с, проходящей через центр масс
тела;
а — расстояние между осями и и щ.
Если ось и центральная ()=0), то
=	+ Ма».	(2.776)
124
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
т. е, для любой группы параллеьлных осей момент инер-
ции относительно центральной оси наименьший.
Момент инерции /« относительно оси и, составляю-
щей углы а, р, у с осями декартовых координат х, у, г
(рис. 2.54):
7и = !х cos2 я + lt/ cos2 р -j- /г cos2 у —
— 2 (I хи cos о, cos f> 1 xz cos и cos Т +
+ 1иг cos Р cos у)	(2.77в)
Рис. 2.53	Рис, 2.54
lx1V1 = hu cos 2a + y- (ls — ly} sin 2 a. (2.77e)
Определение положения главных осей инерции. Ось
материальной симметрии тела — главная ось инерции
тела.
Если плоскость хОг является плоскостью мате-
риальной симметрии тела, то любая из осей у — глав-
ная ось инерции тела.
Если положение одной из главных осей 2ГЛ извест-
но, то положение двух других осей хгп и угл определя-
ется поворотом осей х и у вокруг оси ггл на угол ф
(рис. 2.55):
I 4	27 Хд
ф = тагс(§
(2.78)
Эллипсоид и параллелепипед инерции. Эллипсоидом
инерции называется эллипсоид, оси симметрии которого
совпадают с главными центральными осями тела хгл,
утя, zr’-'-, а полуоси ах, av, аг равны соответственно:
Момент инерции относительно оси и, составляющей
углы а, р, у с главными осями инерции х, у, z:
!и = lx cos3 а + cos2 р + /г cos2 у.	(2 77г)
Изменение центробежных моментов инерции при па-
раллельном переносе осей:
7хи — 7хсис *7 Мхс ус.
(2.77д)
где 1хсис —центробежный момент инерции относитель-
но центральных осей хс, у,., параллельных
осям х, у;
/И— масса тела;
х'г, Ус—координаты центра масс в системе осей
х, у.
Изменение центробежного момента инерции при по-
вороте осей, х, у вокруг оси z на угол а в положение
Xii'i (рис. 2.55):
где raoz, гХОг, гхОу — радиусы инерции тела относи-
тельно главных плоскостей инерции.
Параллелепипедом инерции называется параллелепи-
пед, описанный вокруг эллипсоида инерции и имеющий
с ним общие оси симметрии (рис. 2.56).
Рис. 2.56
Редуцирование (замена с целью упрощения расчета)
твердого тела сосредоточенными массами. При вычис-
лении осевых, плоскостных, центрооежяых и полярных
моментов инерции тело массой М можно редуцировать
восемью сосредоточенными массами М/8, расположен-
ными в вершинах параллелепипеда инерции. Моменты
инерции относительно любых осей, плоскостей, полюсов
вычисляются по координатам вершин параллелепипеда
инерции щ, у,, г,- (7 = 1, 2, .,.,8) по формулам:
2.8. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
125
(2.80)
Экспериментальное определение моментов инерции
1.	Определение моментов инерции тел вращения
с использованием дифференциального уравнения враще-
ния— формулы (2.82).
Исследуемое тело закрепляется на горизонтальной
оси х, совпадающей с его осью симметрии, и приводит-
ся во вращение вокруг нее с помощью груза Р, при-
крепленного к гибкой нити, навернутой на исследуемое
тело (рис, 2,57), при этом замеряется время t опуска-
ния груза на высоту h. Для исключения влияния тре-
ния в точках закрепления тела на оси х опыт произво-
дится несколько раз при разных значениях веса груза
Р. При двух опытах с грузами Pi и Р2
/Pt Р2 \ 2hRz
(Pi - PiW - ”7 -	-----
\tl 8
2.	Экспериментальное определение моментов инер-
ции тел посредством изучения колебаний физического
маятника (см. 2.8.3).
Исследуемое тело закрепляют на горизонтальной
оси х (нецентральной) и замеряют период малых ко-
Рис. 2.57
лебаний около этой оси Т. Момент инерции относитель-
но оси х определится по формуле
Та
1х = 4л2РД ’
где Р— вес тела; /0— расстояние от оси вращения до
центра масс С тела.
2.8.2.	Вращательное движение
твердого тела1
Л1омент количества движения твердого тела относи-
тельно оси вращения:
Д2 = /2«2.	(2.81)
Дифференциальное уравнение вращения твердого
тела относительно неподвижной оси
/гф = /2<аг = /2вг = №,	(2.82)
где № — момент внешних сил, приложенных к твердо-
му телу, относительно оси вращения.
Изменение угловой скорости тела за конечный про-
межуток времени
N(Se)
(2.83)
'z
где 7 (3е) — момент импульса внешних сил относитель-
но оси вращения.
2.8.3.	Физический и математический
маятник
Физическим маятником называется твердое тело,
шарнирно закрепленное на горизонтальной оси и дви-
жущееся под действием силы тяжести (рис. 2.58).
1 Ось вращения обозначена z.
126
РАС-ДЕЛ 2 TF0PETiJtfECK-\3 WFXAP.KA :
Точка О нёреерчвнвй' йен вращения л с плоскостью,
проходящей через центр Масс тела и иерпендикулярнбй
оси х, называется точкой подвеса маятййка.
Дйфференциальн de ур а в-
 нёние ДоЛёбаййй фйайвеекд-
го маятника
ОД, sin w
ф + —5—= 0, (2,84)
vpA lt, — OC-—расстояние от
центра масс
С но точки О;
G — вес тела.
Дифференциальное урав-
нение малых колебаний фи-
зического маятника (при
ф™ sin ф)
GL,
ср-ф —-8-<р _.= 0.	(2.84а)
’ж
Кинематическое уравне-
ние малых колебаний физи-
ческого маятника
ф = ф6 cos И -j
«я
-p-sin/W = о sin (Я,	(2.846)
k
где cp0 и «о—начальный угол отклонения от вертикали
и начальная угловая свёрость маятника;
1 / > “о
а == у *?й + “ — амплитуда колебаний;
р = arctg — — печальная фаза;
< Z вф
А= |/	—~-круговая частота физического йаятяййа.
Пои амплитуде а < 8° погрешность при рассмотрении
 олебащщ psiw^c’.niu налтййка как малых составляет
Менее 0,1(4, при айфлифуде а<22°- ногреШйяс4ь Йе-
мен Л %.
Период малых колебаний физического маятника;
Т = Щ = 2Я|/Щ.	12,Мв)
Математический маятник — сосредоточенная масса
на конце гибкой нерастяжимой инти длиной I — являет-
ся частным случаем физического маятника.
Дифференциальное уравнение малых колебаний ма-
темаияеското маятника
торый имеёт одинаковый период колебаний с данным
физическим маятником;
/	d
^=..4-^0 + -*	(2.85)
m/e	/а
где яг— масса тела;
гхс— радиус инерции тела относительно центральной
оси хг, параллельной оси подвеса х.
Точка К, лежащая на рас-
стоянии 1ар ат центра подвеса
О на прямой ОС, называется
центрам качания. Если центр
качания К поменять местами
г центром подвеса О, период
малых колебаний не изме-
нится.
Если менять положение точ-
ки нодиеса О физического ма-
ятника, период колебаний его
может меняться (рис. 2.59) от
оо (при (в=0 и (о -> оо ) до не-
которой минимальной величи-
ны Т-„в при 4 =
2.8.4.	Давление вращающегося твердого
тела иа опоры
При вращении тела (рис. 2.60, а) вокруг неподвиж-
ной оси полные реакции опор слагаются из статических,
определяемых по правилам статики, и динамических,
перпендикулярных оси вращения и вращающихся во-
круг нее вместе с телом. Последние, в свою очередь,
распадаются на реакции NA И Nв, обусловленные глав-
ным вектором сил инерции /?кя, т. е. смещением центра
масс тела с оси вращения, и реакции я .^.обуслов-
ленные главным моментом сил инерции Л!жк, т. е. откло-
нением главной оси инерций тёла от оси вращения:
#нн='«п Уш4-ье3;
гДе	М—ййСса 4ёЛа’
ге— расстояние от центра тяжести тела до оси
вращения;
/уд, /кг—центробежные Мойёнты ййёрции,
 ДйкамИчесййё реакций (рис. 2.60,6):

-- Й2

Я
ф Т- -у ф О-
(2.84г)
Л'д

Ai -I- Л2 ’
Период малых колебаний математического маятника
-	ПГ*=2п~|/	•	(2.8ЗД
Приведенной длиной 1пр- физического маятника на-
зывается длина такого математического маятника, ко-
При вращении вокруг свободной оси динамические
реакции равны нулю. Свободная ось а должна быть
центральной (гс = 0, статичесщя уравновешенность)
к главной /жг=/а5=С — динамическая уравновешен-
ность).
Редуцирование твердого тела восемью точками при
вычислении динамических реакций. Определяются реак-
ции ХЛ, Уд, Хц, }'в от действия сил Фаа восьми точек,
2.9. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРА
127
Рж. 2.60
редуцирующих твердое тело (рйс. 2.60, в, г), для чего
мбжйо применить аппарат статики, а частности графи-
ческое определение опорных реакций балки (си. 2.3.1).
Динамические реакция в Тйчках Айв на оси вра-
щения:
(2.866)
2.8.S.	Плоскйпараллел&йЬе движение
Обозначай (рис. 2.61): К— сечение тела неподвиж-
ной плоскостью, проходящей через центр масс тела С;
Рис. 2.6!
Дд Xе, У", Z‘ —главный
вектор внешних сил и его
проекции на оси декарто-
вых координат; Мес—глав-
ный момент внешних сил
относительно центральной
оси тела, перпендикулярной
плоскости Ко, 1с—момент
инерции тела относительно
этой оси.
Дифференциальные урав-
нения олоснопараллельябго
движения:
да.же = >, myc = Ye-,	(2,87)
2,9.	ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРА
2.0.1. Основные положения
Ударом называется весьма кратковременное взаимо-
действие матйрйайьных тел, при кбТРрЬм их скорости
изменяются на конечную величину, что обусловливает-
ся возникновением при ударе чрезвычайно больших сил
Дуд, называемых мгновенными или ударными. Действие
ударной силы измеряется ударным импульсом или уда-
ром 5 -у д;
Sya=j’PM<	(2.88)
где т— время удара.
Основные допущения при ударе: действием неудар-
ных сил, а также смещением тел за время удара мож-
но пренебречь,
2.9.2. Основные теоремы
динамики при ударе
Теорема количества движения: изменение количест-
ва движения системы при ударе &Q равно геометриче-
ской сумме внешних ударов SSy^, полученных точками
системы при ударе:
А<?=2§;д; Д^=Д^уд;
AQz = SS*w. (2.89)
Теорема о движении центра масс: изменение скоро-
сти центра масс системы Аьс прй ударе равно сумме
внешних ударов 28уД, приложенных к сисТёйё, Д&йн*
ной на массу всея системы М,
as
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

АУС =
&у
Jc м
(2.90)
Теорема моментов количества движения: изменение
при ударе момента количества движения системы отно-
сительно точки (оси) равно сумме моментов внешних
ударов относительно той же точки (оси):
| (231)
ДД.= 2ЛЦ.5Д);	J
2,9.3.	Удар тела о неподвижную
поверхность
Прямой центральный удар. Центр масс тела до уда-
ра лежит на общей нормали п тела и неподвижной ло-
удара направлена по этой
нормали (рис. 2,62, а).
Ударной силой является
мгновенная нормальная
реакция поверхности
jVyn- Удар разделяется
на две фазы:
первая фаза: от мо-
мента прикосновения те-
ла к поверхности до мо-
мента полной остановки
тела в деформированном
состоянии. Ударный и м -
пульс за время первой
фазы:
it ==• mv,	(2.92)
где tn—масса тела;
0<Tj — длительность фазы;
вторая фаза: от конца первой фазы до момента, ког-
да тело, частично восстановившее под действием упру-
гих сил свою форму, отделяется от неподвижной по-
верхности со скоростью п. Ударный импульс за время
второй фазы
S7A= j' У’Д dt = '™•	(2'92а)
где	—длительность фазы;
г— длительность удара,
Для скоростей « и v, а также для импульсов Sy_
и 5 имеет место соотношение
Предельные случаи:
— неупругий удар (вторая фаза удара отсутствует);
А~1— абсолютно упругий удар (тело после улара пол-
ностью восстанавливает свою скорость и форму).
Для реальных веществ	Например, для ста-
ли 5/9) для слоновой кости 8/у, для стекла l5/ie.
Косой удар тела о неподвижную поверхность. Ско-
рость тела до удара v направлена под углом падения а
к общей нормали п тела и поверхности (рис, 2.62,6).
После удара тело отскакивает от неподвижной поверх-
ности со скоростью и под углом отражения (5 к общей
нормали h.
Между скоростями и и v и между углами и и 0 име-
ет место соотношение:
1 -- X
tg 5 = —г— tg а;
К
и у У № 4“ [{1 —- X)2	А,й] sin2 а,
(2.94)
оерхности, скорость v тела до
Рис. 2.62
где X коэффициент мгновенного трения, определяемый
экспериментально (часто полагают л~0),
2.9.4.	Прямой центральный удар двух тел
Скорости тел щ и v2 до удара направлены по их об-
щей нормали, проходящей через их центры масс. Разли-
чают две фазы удара:
первая фаза: от момента соприкосновения тел до мо-
мента, когда все точки соударяющихся тел приобретут
общую скорость и и оба тела получат максимальную
деформацию. Скорость и в конце фазы:
mivi 4
и --ее---------
ttli 4“ ^2
где —масса первого тела; т%— масса второго тела;
вторая фаза: с момента окончания первой фазы до
того момента, когда тела под действием упругих сил
частично восстановят свою форму, приобретут разные
скорости п\ и «2 и разъединятся. Скорости тел после
удара:
(2.95)
и s'
уд
где k — коэффициент восстановления (определяется эк-
спериментально для каждой пары веществ, из которых
изготовлены соударяющиеся тела).
Экспсрчл е-иапвиое определение коэффициента аос-
становления. Шарик из испытуемого вещества роняют
с высоты Д б^з ж	скорости на плиту из тоги
же вещества и замеряют высоту отскока h
та
«1 - »i +--------;-----0 +	(«а — Ю;
ni l 4~ /72 2
u = щ +----------2-----( 1 + k) - п2).
«I "Г тг
(2.95а)
Поеный ударный импульс, полученный каждым из
тел при ударе:
т,т. (га — и.) (1 4- k)
Sn =fc ——------------~ ,	(2.956)
mt — m3
где знак минус берется для первого тела, а знак плюс
для второго.
Кинетическая энергия, потерянная при ударе. При
ударе часть кинетической энергии ударяющихся тел
&Т теряется, т. е. переходит в неыеханические формы:
1 — k
АТ -------
(ill _ 0„p (j а, (2.9б)
:де Г* — кинетическая энергия потерянных скоростей
щ—щ и у<>— д2:
W. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
л .- .....-.---- . - —- -------=.
2	2
туя» (щ — й2)" (1 + А)2
2 {т2 пи)
Частные случаи:
ь={),
т,гп-1 (»! — о»)2
ДГ -- —2  :	----»= "Г*	;
2 (тг -2 т« )
2—!, М.' — 0 (потери энергии не происходит).
2.9.5. Применение элементарной
теории удара
Ковка металла. Пель удара — сообщить телу необ-
ратимые мает:	полез-
ного действия удара ц при ковке
АТ 1 — k‘
Ч И™' = ГУ------Г~~ >
где Тд—кинетическая энергия молота массой ?л> до
удара.
Коэффициент полезного действия при ковке металла
повышается при уменьшении упругости удара, т. е. при
9-И), и при увеличении массы наковальни т2, т.н. при
т,/т2— 0.
Забивка свай. Цель удара—сообщить телу т2 (свая)
после удара максимальную скорость (максимальную ки-
нетическую энергию), избежав, ио возможности, пла-
стических деформаций (разрушения) опмовиика сваи.
Коэффициент полезного действия улара Т| при завивке
спай
ДТ	1 — k"
т = 1	---= I —------------,
То	1 -j- m-iinii
где Т2 — кинетическая эиер-	массой лщ до
улара.
Коэффициент полезного действия при забивке свай
повышается при	ги удара, т. е. при
k-‘ i и увеличении массы молота по, т. е. при т:/ги2-» «.
2.9.6. Действие удара на тело,
закрепленное на неподвижной оси
Изменение угловой скорости тела при ударе А®
равно моменту удара относительно оси вращения
Л(£уд), деленному на момент инерции тела относитель-
но оси вращения /г;
А'(Уущ
А® =. —, (2.98)
У слагая равенства
нулю ударных реакций
тела, в р а ш, а ю щ е г о с л
в о круг о с и г,
1. Ось вращения г должна
быть главной осью инерции
тела.
2. Удар Худ должен быть
нанеси! перпендикулярио плос-
кости, содержащей центр масс
тела С и ось вращения г в
точке К — Петре удара, лежа-
щей на перпендикуляре к оси	«ходящем
через центр масс тела С, я находящейся на расстоянии
I от оси вращения (рис, 2.63):
(2.98а)
где ?„— расстояние	. i до центра масс С
тел а:
г.— радиус инерции т	траль-
ной оси г,., параллельной оси вращения;
гг-— радиус инерции	J-
шш.
Центр удара совпадает с
кого маятника (см. 2.8.3).
2.10. ЯМАЛИ1ИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
2.10.1. то (принцип) возможных
перемещений
Возможным перемещением системы из данного ее
положения называется всякое бесконечно малое переме-
щение ее точек, одшшременпо допускаемое наложенны-
ми на систему	перемещение обоз-
начается о в отличие от действительного перемещения
системы под действием приложенных к ней сил, которое
обозначается cl.
Число «независимых возможных перемещений систе-
мы	J. которое
ъ овощ очередь равно ч	си-
стемы у.
Начало (принцип) возможных перемещений (HBII):
для	, что-
бы сумма элевЧ-нтармых paoot всех приложенных к ей-
стете актипш.!» гид па любом ш?элinicuшил козмижном
9..i 303
перемещении «системы из
лась нулю:
SAAa„=O,	(2.99)
Уравнение НВП в векторной форме
2 Акт бто== К	(2-99а)
в координатной форме
2 (Хакт Ад -( ¥,1Х. оу ф- ZaKj Лф = 0;	(2.996)
в естественной форме
£-₽акт I А | cos (Ца!ПЛф == 0,	(2.99в)
где Iftrj — |(Ъ|.
В'число активных сил при составлении уравнения
HBII кроме внешних нт	ан уп-
ругих связей, силы о, ।	11	।, j связей, а так-
же внутренние силы,
системы, расстояние <	« । г	г
130 .. <	. ... ЭТ 2ДДЛ	____ __=
Практически наибШёе удобный способ определения
независимых возможных перемещений системы состоит
в том, чтобы определять эти перемещения, сообщая бес-
конечно малое приращение &q одной из обобщенных
координат. Уравнение (2.99) в таком случае приобрета-
ет влд;
Е0/б'ф/ —0,	(2.99г)
Коэффициенты Q, носят название обобщенных сил. Так
как независимы друг от друга, НВП может быть
сформулировано следующим образом:,для равновесия
системы необходимо и достаточно, чтобы все обобщен-
ные силы системы бью равны пулю.
2.10.2. Основные приложения НВП
К расчёту конструкций
Рассматриваются два состояния системы:
I, Статачёскй возможное состояние, характеризуемое
нагрузками й соответствующими внутренними усилиями-
П. Кииематйческй возможное состояние, характери-
щч1 одни х фэжаипян1 стержней и соответству-
ющими смёхиенийМХ! точек приложения нагрузок в I
состоянии
Составляется уравнение работ: ппоо’’'-' ос общины
сил I состояния на обобщенных перемещениях II состо-
яния равна нулю.
Для фермы имеем
~РК1 ЛА-1! cos -PM - XACi Afii - 0-	(2- ’00)
где Рк ( —узловая нагрузка в I достоянии в узле К;
— перемещение узла К во И состоянии;
АД— усилия в стержне i в 1 состоянии;
A.-jj — удлинение стержня I во И состоянии.
На использовании уравнения (2.100) основаны:
:) кинематический метод ойрёдёленйя УсплЙя Л’/; ;
2) статический метод определения перемещения узла
АЛ'1'1 
Для определения усилия :V;I в стержне i от дейст-
вия нагрузок РА-т даем только стержню I я состоянии II
малое удлинение, принимаемое равным безразмерной
единице:
Л.„ = 1,
и определяем (безразмерные) перемещения узлов К, не-
сущих нагрузки Рд-| в I состоянии.
Вторая сумма в уравнении (2.100) обращается в Л'п.
Отсюда
?2;П	ЛА11 сов ДА. (2.100а)
Для определения перемещения узла A(rnuo наперед
заданному направлению прикладываем в I СОСТОЯНИЙ по
атому направлению единичную безразмерную силу
Дщ^1. Тогда перемещение ДЛ-ппо этому направлению
выразится су м м о и
ЛЛ.„Щ= 2Л',, Л,.„ .	(2.100В)
Итащ усилие в стержне выражается возможной ра-
ботой внешних сил, перемещение узла — работой. внут-
ренних сил.
2.10.3,	Принцип Далййбёра — Лагранжа
(общее уравнение динамики)
Сумма элементарных работ всех активных' ено
P-j.pt:, приложенных к материальной системе, а также
всех сил инерции (Р ни точек системы на любом воз-
можном перемещении системы из данного ее положе-
ния равна нулю.
2(УДзкт "г	...-	- 0	(2.101)
или в коордййатмой форме
T (	л-г- ) дх. .4. у | у"КТ m,-!/, ) бу, -f-
+ Z ( 2?К‘ — т; гу} бг: =- 0,	(2,101а)
где . У?!’г, Z?KT—проекции активных сил ~Р‘К'Г;
xi> Ус< ?-i — координаты точек их прило-
жения;
т,-, л'1, yi, Si—масса и проекции ускорения
(й точки системы.
В частном случае равновесия системы (х;-=уг = г,=-
—0) уравнение (2.101а) преобразуется в уравйёййё На-
чала возможных перемещений (2.996), называемое так-
ДеАбииш Уравйепиеи стйтйки.
2.10.4.	Уравнения Лагранжа 2-го рода
Пр:, отгесеййй дпчжг-чя .чстеиы к >о< jui ччы
координатам q>. ср, .... qr, уравнения двйженйя Ыгстёмы
нрпобреыюг Рид:
ат
Л;
d / УТ \
dt ' dq, ’
(2 102)
где Т... кипртйчёсййя энергии системы; q> - -обобщен-
ные координаты; q-i— обобщенные скорости и Q(—
обобщенные силы системы.
Эти уравнения являются обыкновенными цифферея
ШП1Л&ПЫМИ урщшепиями второго порядка отпоен ге.тьно
обобщенных координат. Если действующие на систему
силы имеют потенциальное силовое поле (являются
0П
колсёрйатиЩШМи), то 0/ -- — ——, где П— потенципль-
пая энергия системы, и уравнение (2.102) приобретает
вид:
d № ОТ _ дП
dl д'-U	<P}i (Рц
Введя функцию Лагранжа L — T—П л
d ОН
~~~ • ~~ 0, получаем
dl дщ
d	dL	dL
— . _ __ ---------Os
dt	(fc/i	0c?i
(2.102x4)
учитывая, что
(2Л0Й6)
Пример 2-3, Составить дифференциальные уравне-
ния движения математического маятника, состоящего
из сосредоточенной массы т, годвёШенной к концу уп-
ругой нити, длина которой в положении равновесия / я
жесткость с (оис. 2.64),
Р
Решение. Длина нитн р~/-ег=ф4- ——с-, гае
ЛИТЕРАТУРА
131
Z,3 —длина нерастянутои нити; mgfc — статическое удли-
нение нити под действием веса P = mg\ г—удлинение
Рис. 2.64
нити сверх I.
Система имеет две степени
свободы; в качестве обобщен-
ных координат принимаем уд-
линение нити от положения
равновесия z и угол отклоне-
ния нити от вертикали ф, Ско-
рость точки в полярных коор-
динатах см. формулу (2.42а)
А Ь= Г=К
= РФ = (I + гД;
v = У г2 д- (/ + г)3 фг .
d dL
dt дг
dl.
-~g = mz — m(l-g г) 42 +
4- mg (1 — cos tr) 4 — = 0.
rn
2.10.5.	Интегральные принципы механики
Некоторые общие свойства движения, происходящего
за конечный промежуток времени, описываются интег-
ральными принципами (принцип Остроградского — Га-
«йЛьтойа, принцип Мопертюи — Лагранжа) [1].
Кинетическая энергия
ЛИТЕРАТУРА
Т = -у [г3 + (I + г)3 фг ].
Потёицйальйяя энергия (за нулевое положение при-
нято положение статического равновесия)
с Г/	mg
П = »£[/ — (Z4-z)COS<pJ + —	?+------ —
2 L\ с /
_ /mg yi
\ с / J
Функция Лагранжа
m ,.	. ,
L =	[г2 + (I 4- г)2 <y2j — mg [Z — (I 4- г) cos <pj —
Дифференциальные уравнения движения:
di dtf сЛр
+ 2m ll 4- г) фг 4- mg sin 4=0;
1.	Бухгольц Н. И. Основной курс теоретической меха-
ники. Ч. 2. ОНТИ HKTI1 СССР. М.--Л., 1937.
2.	Воронкин И. М. Курс теоретической механики. Изд,
В-е. «Наука» 1966
3.	ГОСТ 9867—61,
4,	Ж v к о в с к и й Н. Е, Полное соор, соч, Лекции, вып.
3—6. НКАП ГИОГ1. 1939.
о.	Кирпичей В. Л. Основания графической статики. Гос.
теор.-тех. изд., 1933.
6.	Л о Й ц янский Л. Г. и Л у р ь е_ А. И. Курс теорети-
ческой механики. Ч. I и 2. Гостехиздат, [9о1.
7.	Николаи Е. Л. Теоретическая механика, Ч. 1 и 2.
Фмзматгиз, 1958,
8.	Рабинович И. М, Строительная механика стержневых
систем, Ч. 1, Стройиздат, 1949.
9.	Справочник машиностроителя, Ч. 2 я 3, Машгн.д 1955.
10,	Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики.
«Наука» , 1966,
Н. Уманский А. А. Пространственные системы. Строй-
издат, 1948.
12,	Уманский А. А, Ст&тика и кинематика ферм. Гос-
стройиздаг, 1957.
13.	Чертов А. Г, Международная система единиц изме-
рения, Росвузиздат, 1963.
14,	Энциклопедический справочник машиностроения, Т. 1.
кн. 2, Машгнз, 1947,
15,	Ata na si u М., .Mecanica fehnica» Editura teh-
nic^i Bucuresti, 1963.
16. Я блок cmi fi А. А.. Никифорова В. ,4.
теоретической механики. Ч, 1 и 2. «Высшая школ<г->, 19бс,
Р А 3 Д Е Л 3
НАПРЯЖЕНИЯ. ДЕФОРМАЦИИ И ПРОЧНОСТЬ
МАТЕРИАЛОВ
ЗЛ. НАПРЯЖЕНИЯ
3,1Л. Основные
Твердое тело, находящееся под воздействием системы
днешнях сил, мысленно разделяется какой-либо поверх-
ностью, например плоскостью, на две части / и Н
(рис. ЗЛ). Эти части чела действуют друг на друга с
Рис 3,1
Касательное напряжение есть проекция рг, на плос-
коеть л.чощадкя Д/д
Т,. ~~ р„ sin (рп, !>.).	(3 ., 3)
Напряжение онределяет интенсяшюсть сил, дейст-
вующих на площадку в точке А. На разных пло-
щадках, проходящих через одну и те же золку, напря-
жения различны.
Главные напряжения. Площадни, на которых каса-
тельное напряжение т-,{ равно нулю, называются глав-
ными. Нормальные напряжения, действующие на глав-
ных площадках, называются главными напряжениями.
Через любую точку проходят три взаимно перпендику-
лярные главные площадки. Главные напряжения обозна-
чаются через щ, (щ сщ пли этом	Главные
напряжения достигают экстремальных значений ио срав-
нению со всеми напряжениями, действующими в рас-
сматриваемой топко. Одно из них оу наибольшее, а дру-
гое <>3 наименьшее но алгебраической величине. По аб-
солютной величине наибольшим напряжением является
яапряжеиие со иля оу,
Свыктно парности касательных напряжений. Если
на площадку I действует касательное напряжение ть то
на площадку //. перпендикулярную вектору Г], действует
касательное напряжение т-.-- гь Векторы щ и ту перпен-
дикулярны линии пересечения плоскостей, в которых
расположены площадки / н II,
силами, распределенными по разделяющей их поверхно-
сти. Обозначим через ДЕ равнодействующую усилил,
приходящихся на площадку .4”. Если ’.ыягивать контур,
ограничивающий шющлдку А/". к точке Л, ?, е. стре-
мить A.F к нулю, то отношение ДР/.А/-' будет стремиться
к некотор-OMv пределу, коюрый называется полным. ни-
напряжением в ючке 4 на площадке ДЕ и обозначает-
ся р.
Вектор полного напряжения в точке А ла площадке
АГ с нормалью п (см. рис. 3.1)
р,г — Пш —— ^кГ/щя2],
AF-Ь Ы-
(3.1)
/Гспмальное напряжение есть проекция вектора пол-
ного НйЛркжннпя на нормаль п:
о,, — pfi cOi (дris и).	\3.2_j
3.1.2. Одноосное напряженное состояние
Напряженное состояние называется одноосным, ес-
ли вектор полного напряжения р,, цше, 3.2) на любой
ц.шшацке параллелен одной и тон же оси, В этом слу-
1 "V f t I 7 О И 7 1	»Ь	-	и ! - г
n-лично от нуля. Примеры растяжение прямого ируса»
Uli. J ШН .Я.-.!. Ш-ч
НАПРЯЖЕНИЯ
Напряжения
де	— напряжташе на п/п
I ч ' <:Т; >п;)	! I О ' н !,! \
напряжение аЕ. от л
Напряжение та считаете
О J Н ч ( J ) f j
1ля говмешения по паиравш
:ыть иовнзиут на 9(Г по час
Наибольшее и наименьш-
"Пикс, МИИ
МНЯ Ъяке. мая
( и -= 45, 1356
действуют на
ным тлощаллам. Ниже (3.1.4)
знак о в для к о та i ои е! г- о в нал р
напряжений на площадках,
координат. Это правили знаке
гости.
Главные напряжения на п.
О Г 01	u I Р Ы и 5

носягся к паклон-
в точке, ж е. для
ндикулярных осям
сто в теории упру-
ля, перпендикуляр-
(Поскольку здесь рассматриваюигя только два ок
напряжении, они обозначены через та и ед, хотя у
оказаться, что т. е, л2 не будет средним из
главных напряжений). Угол та, составляемый норм
к первой главной площадке с осью х. находится и
венства;
3X3. Плоское напряженное состояние
а3 ~
т
Наибольшее и наименьшее касат
/юскости, напряженное таотош
(рис. 3.3)., Иначе: нашжжешюе
Эта напряжения действ
женных под углом -15' к it
1ЦЧД ка м.
Если главные напряжет г	<	1 1 ।
i ч то наибольшее кг	s и и х ш 1
ста лощадке, j та ив , >	1 i ।	f 1
х юлряжта i ।	11	т
Рис, 3,3
ляется плоским, если одно пз грех главных напряжений
равно пулю.
1 \ ! *	1 ' ,	'I в нля-
стине, нагружеппой по ее контуру силами, ртаюдейст-
нуюпше которых.
ста (срединная плоскость—плоскость, делящая пополам
толщину пластины).
Направления напряжений на рис. 3.3 приняты за по-
ложительные Угол и полож	1-
еТСН ОТ ОСИ Л' К 1 ’! ' Т J । । । j f । f ’ Н |	। ъЮ пз
но рмалы!ос и а п р: i жен и е
-f- ту?. sin2cx;	(3.6)
кд та телылж иаирджеяне
тп —: ™|~~ (г	;
при ста 0 та ---так-
Нормальное талштаютню оы	ееля оно
ртами иш'ЮЩне. 1 ’олшюнтельное нипряж-ьнзе т;i поназз•
сп чяетнын случай плоского
В стенках, балка одно мл	it;,
равно юж В этол случае ялнряжииня получатся ко
формулам (3.6), (3.7) и ' о ! ю » i i,
положить
определяется формулой (3.8).
Растйжекие но
134
РАЗДЕЛ 3.
НАПРЯЖЕНИЯ 'I jTOPM Ц.1Я И ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ
ап = _. (О1 + „£) ц_ — <<Т1 „ «,)<-03 2а;
— (<h — O'j) sin 2а.
Пр«1 <!j '> О И О» О фа.<=, май ‘зЬ (°i * СВ)‘
фЖ ф > О -Ч 0’2 •> О
т
Макс,. ш
при iTj. < 0 и па < О
У
Вне. 3.5-
I, л
Тмакс. мия “=’F ~Y~ М °- I > I <М>-
Чистый сдвиг (рис, 3.5)
я«= а — 0; а., = ’(,,,sin 2а;	;
•'	"	}	(3.10)
Т„ = — Т„? COS S3.	J
Ф.2 “ ± ХХ!Р	МИН = ± \}/.	(3.11)
Пример. ом = 300 кГ/см'-'. % — —200 к/фф, -с^ —
—300 кффиф Найта величины и направления главных
напряжений.
Но формуле (3,7) находим:
=-----------+ у у (300 4- 260)3 ф 4-300® =
— 50 ф 3S0;
ff. = 440 .ффемф ст8 — — 340 кГ/сМ-',
440 — 3-00
tg а — -—............
300
= 0,460;
Ф js 25’.
Если смешения точек в направлении одной из коор-
динатных осей равны нулю, то деформации называется
пляской Например, если смещения ш в направлении оси
г равны кулю, то деформация называется плоской.
3.1.4. Объемное напряженное состояние
Если напряжения ва любой площадке, проходящей
через рассматриваемую точку, не параллельны одной и
той же плоскости, то напряженное состояние является
объемным. Это самый Общий вид напряженного состоя-
ния.
Компоненты напряжений в точке. Проекции векто-
ров напряжений рх, Ру, Рс. действующих на площадках,
пепиепдпкуляриых осям координат, на эти оси Называ-
ю гея компонеп гимн иапрюжейий.
Компоненты напряжений на площадках, перпенди-
кулжрныу, осям х, у, г, обозяачаютая соответственно
О - S; <Х , Тяя. i«; Vy. Тху^ T-у’, (Tz, Таь, Тр?.
il >-uli iitj-i с i oi тпл > т какой оси ла-раллелыш
напряуфйне, второй—какой оси перпендикулярна »л«-
.щадкф
Йрзвило знаков для компеиентов напряжения. Если
яапдавффйя ваеишей (по отношению к рассматривав-
лой часта тела) нормали к площадке и параллельной
ей оси совпадают. то положительными направлениями
компейентов напряжений на ьтой площади считаются
направления осей координат. Согласно этому правилу,
нормальное напряжение положительно, если о;1о рпстя-
гнцающее: На рис. 3.6 все компоненты напряжений ио-
ложительны.
В силу парности касательных напряжений:
тл. = пф/ Туг — тгу, т^
Нормальнов напряжение на площадке с нормалью п
ап = аЛ cos" (л,п) ф <зу cos2 (у ф) ф <ф cos2 (г,п) ф
Ф 2-Ти, cos (х,л) cos (у ,п} — 2г,уг cos (у,п) cos (г,я) 4 
4- 2тгг cos(z.ii) cos (.«,«).	(3.12)
Проекции вектора полного напряжения, действую-
щего на .площадку с нормалью п, на оси координат:
Аф -=~ <зх<ж(х,п) ф т.г,у cos {у, ft) фт-сгсоз (г,п);
У« ~: ТуХс.оз(х,п) ф (феоз {y.nj ф ф,г с.оз(2,ф;	(3д3^
•2Я — cos (л- ,п) — cos (у ,п) ф ф, cos (г,я),
Полное напряжение на площадке с нормалью п
=	+		(3,14)
Угол ф между вектором рп и нормалью я определя-
ется равенстве^;
 	о,.
COS Ф ==--.
Главные напряжения в рассматриваемой точке яадя-
ются корнями уравнения
— о; ф ац ф <ф) { cv уог о„ ф ф ф
ф w. а т™, — tL *-	— (ff о л ф
1 2 х -к'-'	9* Z'J \ X i; z !
ф 2г т т, —а тф — <т т", — а. т;, ) = 0, (3.15)
1	ус Су у ус у ЯГ	су}	'
Все три корпя этого уравнения всегда действи-
тельны.
Коэффициенты ~а свободный член уравнения (3.15)
являются инаариинтами нипряшиннига еостачуир [см.
даже формулы (3.20)1.
3,1. НАПРЯ'<Г,НИЗ
13В
Косинусы углов, которые составляет нормаль пх к
главной площадке номера v (v=l, 2, 3) с осями х, у, г
(направляющие косинусы нормали ), определяются из
системы уравнений:
ctokt — 2 (Ki + 4a 4" 4sK
Токт —
(о* — a,.] cos (х,п^ J- т^ cos (у ,п^ 4
4-\г cos (z,nj = 0;
t^cos(x,«v) + (oj — ff^cos [y,nv] 4~
4- т cos (г,= 0;
cos (x,nv) + t2;; cos [y ,nv) 4
4-	cos (г,nv] — 0;
cos® (x,nv) + cos2(J,n,j 4- cos2 [z,nv] = 1.
(3.56)
/°1 4-‘<й+ 4 ~ ai °2~ % as “ °3 °i •	17)
Экстремальные значения касательных напряжений:
°1 - °3	°2 - °3	а1 °2
4 =----------. гг=-----------. гз==-----у—, (о. 18)
Наибольшее напряжение т-, действует на площадке
перпендикулярной второй главной площадке и накло-
ненной 4 первой и третьей главным ялоЩадкам под уг-
лами 45°.	°	:	‘
3.1.5, Преобразование компонентов
напряжения к новым реям координат
Рис. 3.7
Из первых трех уравнений
этой системы независимыми явля-
ются только два.
Октаэдрические напряжения —
напряжения, действующие на пло-
щадке, равнонаклоиенной к трем
главным площадкам (октаэдриче-
ской площадке) (рис. 3,7):
Косинусы углов, которые составляют новые осн коор-
динат х', у', z с осями 4 у, z, заданы таблицей:
Ося	Л		г
х'	у		
। U‘	L	п._	п.,
|	г'	у	пг.	п’ 1
Компоненты напряжения в осях х', у', z': ах,, стч,>, ..
связаны с компонентами напряжения в осях х, у, г соот-
ношениями:
4s- ~ ах ‘1 +	+ °г -I h т\ + 2т/к т\ Я1 + 2т4, lt ni’
aw = ах +°« тс 4- °г 4 + Чщ 4 т, 4- 2т^ т , п, + 2хх, 12 п.,;
°г- =- °4 г5 + 4, т1 + <4 «з + ^х;/ 1Я т-А то 2туг	!зпз'	Нз.	19)
- ах h Ч + % т„ + П1 п, 4- ти (, 4- /2 mJ 4- х(mt п„ 4- и2 л J 4т„	l„+«2 /J;
4,4 =° ах 12 г3 + Я;, 4, Фз +	«3 «3 + тху ( 11 т3 + ‘з	«3 + №з ^+\х	13+^ (J :
тх'Щ = Яг li ‘з + 3^1 тз + пз +	(11тз~ 1з гпд то (И, И3 4- т3 nJ 4 г Z, 4-n, / J.
Инварианты напряженного состояния. Пусть гь, <т7.
—, т,1г — компоненты напряжений в рассматриваемой
точке в осях х, у, z и ог.,<3у.
х,-х‘ — компоненты
напряжений в той же точке в осях х', у', г'.
Величины:
ах av +	+ ау‘ + аг' = °1 + а2 + Пу
aza!t + Яи®г + %	+4/' 4-+4' Зх- -4'щ-~>г'-4х'то
= ст, а3 4~ Oj Оз 4" аз а15
°, ° у az + 2TW v T« < ~ay Xzx -4 <1 =<4- Oy TO 2v Ut	-
(3.20)
сохраняют при переходе от одной системы декартовых
soopi-inai Ч 1/, z) к другой (4, у', - ) игченио" хна
ч-еще, они и шарнайтиы по отношению к преобразова-
нию ГПЯМОНО ьных чря .'<1 гинейио.?. координат
Шаровой тензор и девиатор напряжений. Напряжен-
ное состояние, заданное компояеитамн наврящения
(тензора напряжений)
Тух Тгх\
^хи ° у тгу I (тензор напряжений)
^xz туг Яг J
вожет быть разложено на дра напряженных состояния.
136
РАЗДЕЛ 3. НАПРЯЖЕНИЯ, ДЕФОРМАЦИЯ И ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ
Перво? из них характеризуется компонентами так
называемого шарового тензора
а 0 0 \
О тт 0 । (шаровой тензор),
О О О' /
где
1	1
~ (От + а и + cj -=•	(О1 + <Та + а3).
3	О
Второе напряженное состояние характеризуется ком-
понентами девиатора напряжений, представляющими
гобой разность междр компопейiими зад.-пнюто напря-
женного состояния и компонентами шарового тензора:
'Al, "Az
Му --О’	'^2
Ay А а
(дееиагпьр напряжений).
точки В проводится прямая под углом и к оси о. Кооц
дщц’ТЫ точки D ( оресечеюш згой прямой с окружно-
стью дают напряжения ио наклонной площадке: ОЕ-
Е1)-хп.
Заданы напряжения (я, п.,, тм/ (рис. 3.9’1 Отклады-
ваются отрезки 0Е~я. и 0У^о„ с учетом знаков, Нс
Рис 3.8
точки Е (независимо о г
ее положения) (вклады-
вается отрезок ЕЕ — Тхх!
также с учетом дмы.
Из точки С, делящей от-
резок ЕЕ пополем, как
из центра строится ок-
ружность радиусом Си.
Прямая BD определяет
направление действия
вектора главного напря-
жения аь а абсциссы то-
чек пересечения окруж-
ности с осью о- диют ве-
личины главных напря-
жений: ОА — СЬ ОВ'-Фт
3.1.-6. Интенсивность напряжений
в данной точке
Величина
|/ 2 --------------------------------------
=	— |г (С, — о»,|- -г (I3j — cs)- + (01 — с3)3 =
 -ЖЕ Тозт	(3.21)
У 2
ноепт название интенсивности напряжений.
Эллипсоид напряжений. Концы векторов полных на-
движений, действующих на площадках, проходящих че-
рез ряссматринаемею точку, располагаются на поверх-
ности эллипсоида [24], Уравнение эллипсоида напря-
жений
Здесь /G, У,г, 7,п—'Проекции вектора полного напряже-
ния, действующего нд площадке с нормалью п на оси х,
ц, А Щ, (>2, Оз - главные напряжения в рассматривае-
мой гонке.
ЗЛ.7. Круги Мора
Зависимость напряжений ап и ъп, действующих на
площадку с щщмалыо п, проходящую через рассматри-
ваемую точку, можно нредставигь наглядно графиче-
ски при помощи круговой диаграммы iMoiui (кругов
Мора).
Плоское напряженное состояние. Заданы главные на-
пряжения Оз и ш (см. рис. 3.4). Откладываются отрез-
ки 04—о, г ОН--щ- с счетом знаков (рис. 3.8). На от-
резке ЛД нал на диаметре, строится окружность. Из
Объемное напряженное состояние. Строятся три пс-
луокру жности па отре жах, изображающих разности
главных напряжений Oi—оу, ст^—од, оу—щ, как на диа-
метрах (рцс. ЗЛО). Напряжения <щ л тп гю наклонной
площадке, нормаль к которой образуем углы а, $ и у с
направлениями трех главных напряжений, определяются
путем следующего построения. Проводятся линии 4г
г- ВС соответственно иод углами а н у от вертикали.
Через полученные точки пересечения Е и Е проводятся
дуги радиусами Csc‘ и CJ' до пересечения в точке D,
координаты которой я дают величины щшрижетш <т« и
т;;1 'Гички, изображающие напряженные состояния по
разным площадкам, не выходят из обтадги заключен-
ной между (ремя нилуокружностями (заштряхоьана на
рисунке).
ДЕФОРМАЦИИ
137
3.2. ДЕФОРМАЦИИ
Приведенные ниже соотношения справедливы при ус-
ловии малых перемещений и деформаций.
3.2.1, Компоненты деформаций
В рассматриваемой гочкс «те е,,, и е,— относительные
удлинения (укорочения) линейных элементов, парал-
лельных до деформации соответственно осям х, у и т;
Т-ти> )'« и Ухг — угловые деформации (относительные
сдвиги)1. Например, величина уь-г равна изменению пря-
мого угла между элементами du ц Гт параллельным»
до деформации осями у и г (рис. 3.11), Величины yIS>
Уг/г, рлг считаются положительными при уменьшении
прямых углов в результате деформации.
Компоненты деформации связаны с перемещениями
и, V, w рассматриваемой точки по осям координат х. у.з
соотношениями:
ди	ди	й®
с-х ~t i, -—	, 6-у	,
дх ’ ду	dz
<!v ди	dis dv
!	( "Г 1 '  У иг -:2 1 ” ”Г у
ох ду  ду дг
ritU ди
т...	----л------.
Относительное удлинение в направлении элемента
dr, составляющего с осями х, у, г углы а, (3, у;
в,. =л Тд. cos2 а -j- f.-v cos3 |3 -К ег cos3 у у tll cos а cos 3 4-
4- Уcos В cos у -]- у.с, cos а cos у.	(3.24)
Изменение (в результате деформации) угла между
двумя взаимно перпендикулярными направлениями
г. и г3
у,._ r = 2f cos (Xj cos а, ф 2f, cos fi cos f’>e —
-4- 2e, cos yt cos y3 -j- Ухц (cos cos [4 4- cos a2 cos "j) ~r
Л" У иг (cos Pl cos 4- cos 3s cos у3) ф
4- yr, (cos cq cos ya 4- cos a., cos уд). (3.25)
Здесь щ я <<?. f>: и (К у, и y2 — углы направлении
щ и r„ соответственно с осями х, у и г.
Главные направления деформаций в рассматривае-
мой точке — три таких шаимио перпендикулярных на-
правления, углы между которыми в результате дефор-
мации не изменяются. Линейные леформацни по глав-
ным направлениям называются главными деформациями
или главными удлинениями. Главные деформации обоз-
начаются через щ, ьц при этом в,..? щ
Величины главных удлинении ел (v--l, 2, 3) суть
корни уравнения
Коэффициенты и свободный член ’.равнения (3.26)
являются инвариантами дефпрмироиинноеи гоа пинт.
Инварианты деформированного состояния при
преобразовании координат можно получи гь по форму-
лам (3.20), если в эти формулы вместо п,. о,,. <», по-
ставить е», «щ, в;, а вместо т2Ч, г,,., т-г поставить
11'1	'
ЩфУте, ~-yi,z, —~Y1CZ [см. 11.1,2 выражение (11.6)].
3.2.2. Определение деформаций
и величин главных удлинений
по удлинениям в трех направлениях
в случае плоской деформации
При экспериментальном исслеловэши; напряженного
состояния, имеющего место в точке поверхности детали,
на нее наклеиваются тензодатчики, с помощью ьогорых
измеряются удлинения п окрестности этой точки в трех
направлениях. Ниже приводятся формулы, с помощью
которых, зная три замеренных удлинения, можно найти
компоненты деформаций Вх, вг, й уху н главные удлине-
ния, а й дальнейшем с помощью закона Гука определить
компоненты напряжений и главные напряжения
Оси х, у расположены в плоскости деформаций или
о п.шскосги напряжений.
138
П>’ЧГ1 '	TFOOP’,”;! ’ ПТ'» И Тр .МАТЕРИАЛОВ
А Заданы величины «х, е.„, t.a (е;5 — удлинение в
направлении под углом 45" к оси л) (рис. 3.12):
Ухц “ 2'« — Ю +
1	У 2 ________________________
Чг = ”7 ( % 4 У ~.......Г 1 ( Е,ГЕ4.Л(
2	Гн, - et)	л
fg 4, =, — ---— ;	<f. ,= <р, -L — .
1 К ;
Углы наклона фз и ф2 наплавлений главных удлине-
ний к оси л положительны. если они отсчитываются от
оси а против часовой стрелки.
Рис, 3,13
5) Заданы 8420 (рис. 3.13).*
2	,	_1
’'.у ~	^г>с’ "г --
2 ...
Vry ~	,___ (-60 —
' Уз
1
у к АКа-ГУ-
У 2 ,/--------------------------------------.-
3 ~	(С, —	‘Г’	*
2(е,-~ev)	я
fg g, __ -------— ; ф8 _ (fl 4. ~- .
ixy
в) Заданы ел, tv, F.,.,
где ex — удлинение по оси д;
ъи —удлинение в направлении оси и, расположен-'
1-1ОЙ в плоскости ху и составляющей угол су с
осью х;
удлинение в направлении ш:д с, расположен-
ной в плоскости ху я составляющей угол а2 с
осью х.
Удлинение в направлении оси у, составляющей угол
s 90' с осью х, найдется по формуле
1
~ sin 2а£ — 8г> sin 2^) 4-
с ----------------------------------•'»
sin 04 sin <z2 sin (ctj.а2)
у- !:х COS СО5 a* sin (сх5 -- а?}
sin sin а.2 sin («j — а2)
Деформаций сдвига
cv sin- а3 — ta si|i2 4-
rr5> sin «j sin а2 sin (aj — a2)
-C ev (cos^ 'Xi sir- 7-2 — sin2 o,! cos2 ec2)
sin Wj sin a2 sin (ccf — x2)
3.2.3. Ия1енсивность деформаций
ИнтенсйвностыЬ деформаций называется величина
рю /	'	-
S; - -у" У <fr - Ю2 + (О - Т	Г
3~Л
+ ,, I Ухч + г.да Ттв) =
| г' 2 г	---_____-----------------............	 :
__ —_ у i'.j- еу® _р .,_ g^yj _р ___ £д}2 ,	(3.27)
Относительное изменение объема
6 ел _ц -4- г_, -- €j 4- е2 4" Ез- (3,28)
3.3.	ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ
И ДЕФОРМАЦИЯМИ В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ
3.3,1.	Закон Гука
для Изотропного тела
Упрмг'и’ть шюс;ч( 1- та восстанавливать свои
первоначальные размеры и thoowy после удаления внеш-
них нагрузок. Тело остается упругим, пока напряжения
в нем не превысили некоторых определенных значения.
Тело называется изотропным упругим телом, если его
vnnvnie свойства по всем направлениям пдинакоьы.
Моду.ли упруюсти д,(1я изотропного материала и
связь между ними.
£ — модуль продольной упругости;
’3. ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ
139
G — модуль сдвига.
сила
Размерность модулей Е и G: ———— ;
площадь
ц— коэффициент Пуассона (число отвлеченное);
К — объемный модуль;
к______Е_____	2 _ 1 + ц q
3(1— 2ц)	3 ’ 1—2р.
Одноосное растяжение (рис. 3.14):
Плоская деформация	=
Ком поненты деформ а ций:
1 + Е
ех = —п— [(1 — Ц) ох — цоф;
(рис, 3 16).
1 4- и
4 = —j- [<1	4 ау - il<4];
:ЗД
33)
I
Рис. 3.14
Плоское напряженное состо-
яние (o'z = TzS = T4 = 0)
(рис. 3.15).
Компоненты деформаций:
1
‘-•X — ,, 1Шф1 4 —
с
=	(ж, - роф;
М
ег=—4 оф;
7^=-^-	(3.30)
Относительное изменение
объема
Рис. 3.16
(3.31)
Компоненты н а п р я ж е н и й:

Рис. 3.15
Относительное изменение объема
Компоненты напря женя ft;
____Е______
"ТГ 4 и) (Г-^фл
(1 4- р) (ПЗ 2ц)
о2 = ц(0х 4 оф;
[(1 — р) г, Ж |1ф,};
f(I — ц ) s;/ — игщ] ;
ыд/ r— Eiyx!y.
140
РАЗДЕЛ Д НАПРЯЖЕНИЯ,
.3JJ. Закон Гука
л,.ля аиндотропного тела
Аиитотролное упругое тело обладает различными
пп различным напрявленяям.
Б общем случае тшязотропщ? закон Гука в декартовой
системе координат имеет еид:
е..^а,,а,+э5,а,,-кя..вг4-а14т.. +oI6ti;i+a!5-K:
:» Н-оуя Ду j (3*413
При ЗТЛМ Д;;=8н.
Сравнений (б,Д) шдаржи” Ж жщулшщиентов дефор-
мации а,-, из которых шдькн ЗЛ рающячы ]Ш Коччш-
кеиты напряжений, вь
X 3, X И л од к ость симметр и и
в отношении упругих свойств
Если через каждую точку гелп можно провести что-
сдость, обладающую тем chohcibom. что любые ча-
на . симметричные относительно этой плоскости,
<!ЙО< ЖНТНЫ В ОТШНЧСИИП СИрЮ И О СВОЙСТВ ТрИШ’СШ! >
Д.4Н и <3.42) упрешаютен, В частпозти, когтю ось д
перпендикулярна тонкссы
ХЗл,	щ тело
3.4 СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
14 5
При этом Фщщ = £2(112: £'2(132 = £?.U23'; £’зР1з=£Дэ)-
Преобразование упругих постоянных при повороте
координатных осей и другие виды анизотропии см. [14].
3.3.5, Потенциальная энергия
упругого гела
Приведенные ниже соотношения имеют место только
для изотропных тел. Удельная энергия деформации, т. е.
энергия, рассчитанная на единицу объема и выражен-
ная через компоненты напряжений:
1г»	,
у =	} ау + <Jj + С - 2р. 1ох Оа + оу ах +
+ ах) + 2 Н~г!1) (т;4у "Г Т*2 — тд)] . (3.46)
Удельная энергия деформации, выраженная через
компоненты деформации:
U =. а ( еу + е; л- г; д —№ +
(3 .47)
Удельная энергия, выраженная через главные напря-
жения и главные деформации:
5
2Е
"1 + °2 + Д —	(а1 Д+п2 пз-Hl As) j  <3 •
с(8= + е| + г| + г^Цг Й, (3.49)
\	1 — 2ц )
Величина U может быть разбита на два слагаемых:
одно — энергия, обусловленная изменением объема, а
другое — энергия формоизменения.
Энергия изменения объема
,	1 — 2Ц	,	, ,
До = ср. (од + °2 Н~ Ат)“-	(3.30)
ЬЬ
Энергия формоизменения
1 II
Уф = ф- [(гц у- (о, — <т3)3+(о3 — о3)2]. (3,51)
3.4.	СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ
И ДЕФОРМАЦИЯМИ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
3.4.1. Условия пластичности
Пластичность —способность материала сохранять
полностью или частично деформацию после устранения
сил, ес вызвавших.
Закон Гука теряет свою силу, как только начинают
возникать остаточные (пластические) деформации. Ус-
товие, которому должны удовлетворять напряжения р
рассматриваемой точке тела для того, чтобы в ней поя-
вились первые пластические деформации, называется
условием пластичности.
При простом растяжении условие пластичности
Ас=ят>	(3.52)
В этом случае для малых
будут следующие:
де ф о р и а ц и.й соо тн о ше н и я
2<д,-,	2о,
- с = ^- (fix..........- д).	— 0 “ ни - Д
2’0. .	.	О/
И, — о= цу- 1А - в); тХ11 = у- Ухи;
3s j	За,- -
пф	гъ
А/а - Ъг; Аг =
(3.55;
где <тт — предел текучести.
В общем случае напряженного состояния условие
пластичности:
по Сен -Венану
по Мизесу
(7; — интенсивность
»Tt — ff8 = ay	(3 53)
0i — <тт,	(3.5-1)
напряжений [см. формулу (3.21)].
3.4.2. Напряжения й деформации
при простом нагружении
и при разгрузке
Приводимые «иже формулы, связывающие напря-
жения и деформации, справедливы при условии, что
деформация является активной, т. е. величина интенсив-
ности деформации g, в каждый последующий момент
нагружения больше величины в, во все предыдущие
пометы. Величина од моиоюино возрастает во всех
точках деформируемого гела в том случае, если нагру-
жение является простым, т- е. если псе внешние на-
грузки возрастают пропорционально одному общему иа-
уамтарт. например рремеич.
Здесь:
а, и е,-—величины интен-
сивности напряжений де-
формаций, определяемые
соответстаеппо формулами
(3.21) и (3.27).
В случае разгрузки
(рис. 3.17) зависимость ме-
жду исчезнувшими частями
величин ст» и г< линейная:
А’РаЗГР =	. (3 56)
Рис. 3.17
3.4.3. Диаграммы растяжения
Диаграммы растяжения дают зависимость напряже-
ния от относительного удлинения при простом одшюс-
нолцрастяженни и получаются из опыта.
Нт 1ППП.Ш и у;-.-|<танто дщцраммы растяжения (рас.
142
РАЗДЕЛ 3. НАПРЯЖЕНИЯ. ДЕФОРМАЦИЯ И Ш о ИЮ ТЪ М- »В tjj
3.18). По оси абсцисс откладывается истинное удли-
нение
а) Диаграмма при отсутствии упрочнения (рис. <3.19),
?	"	о? л
В этом случае од-Ее- дрн 0<.^4гт=— (от — пре-
дел текучести: Е— модуль упругости материала).
б) Диаграмма растяжения с линейным "упрочнением
где/о и 1и — начальная длина образна н длина образца
на данной стадии деформирования.
(рис. 3.2£):
£%* При 0 <,ех < 8т — -~г;
Е
~ от при еу <
<7Т -L Ек (гх — Е0) при «X - ®П
Здесь Е\ — модуль упрочнения,
численно равный tg 0. В случае отсу-
тствия Па Диаграмме’ площадки .теку-
чести (рис. 3.21);
(тА.	при 0 <. ех <
По осн ординат откладывается истинное напряжение
где Р — величина растягивающей силы на данной ста-
дии деформи рования;
Еа --площадь сечения образна иа этой ‘.тадин {с
начала образования местного сужения—• шей-
ки— это площадь сечения в месте наибольше-
го сужения).
Иногда вместо eu по оси абсцисс откладывается
- Р и
или относительное сужение в шейхе ф ;
, ♦
или величина 0 ~ ~—у,
1—ф
Здесь F — первоначальная площадь поперечного се-
чения.
Для малых удлинений вместо fct! откладывают ьешь
чину
М
г ,
I
я) Диаграмма ра ни? со степенным упрочнени-
ем (рис, 3.22):
<Т» - г". при sA- < ет;
«jj. — от при вт < г. < г„;
I t'r Г7’
o.I = oI(~i прв^^ес,
Величина, показателя степени ш изменяется в преде-
лах	1она зависит ст’материала.
где А?— гфйрашение длины образца, а I—его перво-
1т'1ат:->ная -.'ичи.
Если
ИНС (Зх,~
оби ординат отложить условное" панряжс-
где Р —- первоначальная площадь попереч-
ного сечения, а по оси абсцисс удлинение
го получим условною диа:раммл растяжения.
3.4.4. Схематизация диаграмм
растяжения
С целью упрощения расчетов диаграммы растяжения
иногда Дхёматйзйруются,
ЗД, ПРОННРСТЬ -^АТЕРИАЛрй

Если площадка текучести отсутствует (рис. 3.23), то
Сж = £вх при 0<е,отвт
/®т\т
С!» —	[	' i При
\ 8Т У
В случае сжатия обычно пользуются такими же диа-
граммами/
3.4.5.	Построение кривой зависимости —е
Такая кривая может быть построена по диаграмме
растяжения [20]. При одноосном растяжении Oi~0x
1 Г	)
8j. = __ 2 (1 4- р) + 3	1
L	cynj
где ₽Пл — остаточное относительное удлинение (пла-
стическая часть деформации);
Суп — упругая часть деформации.
Чтобы разделить полное удлинение е» на пластиче-
ское и упругое удлинение, следует из рассматриваемой
точки М диаграммы провести прямую, параллельную
прямой О А, до пересечения с осью ъх (рис. 3.24).
Яда упрочнений по линейному закону (рис. 3.21);
„	2(1 + Д)
<Т£ — D&i При < 8£т—------------Вт;
о. - от при 8;
Рис. 3.24
+1-.
Здесь D =-----------------= 36 (G — модуль сдвига);
2(1 + р.)
Pi =---------_------------
- 2jil
3.5.	ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ
3.5.1.	Упругость, пластичность и разрушение
Все материалы под действием внешней нагрузки де-
формируются. При действии возрастающей нагрузки на-
блюдаются три условно различающиеся стадии работы
материала: упругая, пластическая и стадия разрушения,
В упругой .стадии материал получает преимущест-
венно упругие деформации. Все материалы на этой ста-
дии с тем или иным приближением рассматриваются при
расчётах как идеально упругие. Основная зависи-
мость—- закон Гука. Эта стадия работы материала яв-
ляется предметом исследования теории упругости (см.
раздел 12). Наряду с упругой различают высбкоэласти-
ческую деформацию, свойственную высокрполимерам,
I вторая может достигать сотен процентов Она возни-
кает под действием нагрузки и исчезает после ее сня-
тия не со скоростью распространения упругой водны
(скорость звука в материале), а гораздо медленнее.
Скорость возникновения в исчезновения вькокрэ ласти-
чес..ой деформации еипьно зависит рт температуры: уве-
гччивастся с ее повышением ч уменьшается при се по-
нижении.
После увеличения нагрузки выше некоторого предела
наряду с упругими начинают появляться пластические
(остаточные) деформации! У одних материалов (напри-
мер, металлов) пластическая деформация может дости-
гать значительной величийы (пластичные материалы), у
других же (пайример, камни) она является весьма ма-
лой (хрупкие материалы). У строительных сталей на-
блюдается так называемое явление текучести — рост
пластической деформации при примерно постоянной на-
грузке; после текучести наступает период упрочнения,
когда для дальнейшего роста пластической деформации
требуется увеличенная нагрузка. Закономерности пове-
дения материала на этой' стадии рассматриваются в
теории пластичности (см. раздел 12). Если упругая де-
формация (при одлокрятпдй'натружений') практически
Йе влияет нг механические свойства материалов, тЬ
пластическая деформация приводит к значительном»,- из-
мерению ЙХ. Например, у сфройтельпых материалов про-
исходит' упрочнение (увелйчейиё ОТ) и снижение пла-
стичности (уменьшение S). Хрупкие материалы' не име-
ют выраженной стадии пластических отформац,» I. Она
практически сливается со стадией раз(
Разрушение является слоясньш- пройессйм, завися-
щим 'как'ОТ самбёб’материала, так и характера нагру-
жения. Исследованье нехчН1Гма разрушения идет по раз-
личйым''направлениям! Одно из направлений, учитыва-
ющее’ молекулярное строение тел, связано с физикой
твердого тела и развивается на основе теории дислока-
ций [9, "15, 18]. Другое направление основывается на ста-
тистических ме готах ч может учитывать поликристал-
личей кое' ййи ' Зернистой 'строение материалов [5, 6, 12].
Третье направление связано с исследованием разруше-
ния, рассматриваемого как результат развйтия микро-
трещий [Г].'Эта йайравлеййя в известной степени взаи-
мосвязаны и Пополняют " Друг друга при исследовании
Процесса разрушёййя в целом. Феноменологический
пбйхбд к вопросу разрушения базируется на следующих
положениях. Разрешение сводится к двум основным ти-
пам: разрушение путем отоыва и разрушение путем
сдвига. Разрушение путем отрыва связывается с дейст-
вием нормальных растаивающих напряжений или удли-
нений, а разрушение путем сдвига — с действием каса-
тельных напряжечт 'J металтоь хруп ст о i ’р’отчпе
обычно связано с отрывом, птгстическое— со Сдвигом.
Отрыв может быте огуиестг, тет Фз предварительной
птащи’гес?ои тетолмаци так как заа'ч т ънч растя-
гивающие напряжения могут возникать при очень ма-
лых'бдйбврем'-н л де штвующих ккп, 1ь,,и\ напряже-
ниях, недостаточных для возникновения пластических
Деформаций. Для разрушения путем сдвига необходимы
значительные касательные напряжения, которые до раз-
рушения морут внзчять развитие плястп’юсь'гс деформа-
ций В кам те соэ типа разрушения происходят, как
ЙраЬНТО, Хру-КЭ
144	РАЗДЕЛ 3. НАПРЯЖЕНИЯ, ДЕФОРМ/
ЗЛ2, Влитше характера
напряженного состояния
Характео напряженного состояния оказывает суще-
ственное влияние на поведение материала |20’. Напри-
мер, при зо'сторсннем равномерном растяжении
^-Д)~-оД>0| лаже дласгические материалы эаззушаюг-
ся хрупко, а при напряженном состоянии, близком к
всестороннему равномерному сжатию (главные напря-
жения близки ло величине друг к другу), даже такой
хруной материал, как мрамор, способен получить зна-
чительные йлпствческие деформации Q7J.
Исележшание влияния напряженного состояния тре-
бует поозеления достаточно большого числа опытов при
различных соотношениях между сц., п2, <?з. Фиксируя при
опытах величины напряжений в момент наступлений; те-
xvmscth (считая,, иапопмер, чго текучесть наступает
•тогда, кст’да остаточная часть интчнсйвмости деформа-
ций достигает определепной величины), а также разву-
шмицие напряжения, можно построить в координатах
ср, с2, сь, предельные позерхноста текучести и разру-
шения. Вид этш ловерхноетей й йх взаимное располо-
жение будут зависеть от типа ^аюриада. Ня рис, 3.25
схемвтйчёски показан виз предельных поверхностей для
стали (J —	текучести: 2 — поверхность
оазрушенйя; .S’—разрушение; ^"—наступление текуче-
сти). Имея предельные поверхности, легко определить
напряжения вызывающие васЗупление текучести или
разрушеное материала
нин. Для этого достаточно деровестн линию ОС (см.
рис. 3.25) изображающую закон роста н.
нагружении тела, й определить координаты течек В и С
пересечения этой линии с предельны кв поверхностями.
Если нагружеяйе является Простам (все внешние силы
растут пропорщюнзлъйо одному параметру) й ,нгт на-
чальных напряжений, то дднкя нагружения будет пря-
мой, вшздяшей из начала
коордикат. Координаты точ-
ки В дадут значения напря-
жений, выз
текучести материала, а ко-
ординаты точки С — значе-
ния разрушающих напряже-
ний. В одних случаях ;на-
гружения (например, по
линии ОС) разрушению бу-
дет ярсдшестьозать пласти-
ческая деформация, в дру-
гих .(когда линия иагруже-
шш близка к прямой ОД,
рашюнаклэнешюй к. осям
координат) будет хрупкое
разрушение.
Однако построение та-
ких предельных поверхно-
стей требует проведения для
каждого материала большо-
го количества довольно сложных экспериментов. Поэтому
на практике используются критерии прочности — упрэ-
''• 	)< >т< наступления текучести яли разруше-
,з состоянии. Они дезво-
•умения текучести зли
состоянии на
ия образное при некрТо-
01	’ '	1	• !	/1) состояниях (обычно—’
Любое сложное напря-
/>- . с г'"с-::ч су, а3, п3 шзлучается < > м
2 ’ < г ’ ? ; -л , I- - к < »здка основных кри-
для эквивалентных аа-
щжжшшй дана д табл,. 3.L
учитываете*; для
I
Рис. 3.27
Условие наступления текучести ллн материалов с
выраженной лзастичнсстью Фтзль. лиграш-З выражается
во критерию наибольших касательных папрнжшшй или
критерию октаэдрических напряжений: сг!}К~<тт. Для ма-
териалов с сгршшчошшй пластичностью используется
кшперий прочности Мора, по которому условие наступ-
ления текучести определяется огабшо.щей больших кру-
гов ншфяжшшй Млиянде сгеднего напряжения л? не
шшряжеядых сошшнлй
фжс. 3.26) текучесть
наступает тогда, ’ког-
да большой круг на-
пряжений для рас-
см а три дае м ого на по я-
жадного с ост о я нп я
коснется этой (ниба-
км ней. В табл. .V. да-
ны Формулы для эк-
-о с жима-
.ош,шс иди растят нм-
ющего напряжений,
получающихся при
самане части пгибаю-
шей прямой линией.
Условие текхчест»
ныра жнется ра веагт-
вдми: (Т^« —(У- или
О а н.п :-с ‘^•бт.сн;	Г1м?-
етеж видоизменениля
теория Мора, г кото-
рой вместо а и т ис-
под ьзуюгея октаэдра-
чесине шшуя/кення
РФ По критериям
Ьл.лзшзша и Миро
Мбо-м условие на-
ступления текучести
имеет такой же гид:
а,^~:аг>
Условие разрушпння (хрупкого) определяется по
дшперик: наибольших шщмлльяых напряжений н кпи»
терию яанбольших относительных удлинений и выража-
ется равенством: скэй^са Цля хрупких материалов е
различным солрпгяпленисм растяжс’ипо и сжатию (чу“
гуж камень) условие оазрушонш определяется по тео-
рии
соотлетстзующих разрушению (рис. 127), й выражается
равенствами.,	или ov;. с;л< ~л.;.ГГ5 По кпитериям
Баландина и Мнролюоова услсшш разрушения имеет
нид; Оэк--’Од.
я прибли-
женно по критерию наибольших касательных напря-
жений.
опре-
состояния
ушс, 3.28), На /	’ятся пре-
ЗА. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ
145
Таблица ЗЛ
Формулы эквивалентных напряжений по различным критериям прочности
	Объемное напряженное состояние	Частный случай плоского напряженного состояния			
КрИ герий ПрПЧЛг.ШТИ	ь и М"Ь(\ 8 -J—е»' 1	б, i 4Ыа<®з 6,	е : 1	I			Примечание
	г3к П1	э* 2	2	о	-т- 4М	Отображают разрушение путем отрыва (разрушение связывается с действием нормальных растягивающих напряжений или удлинений)
Критерий наиболь- уйшеняй рий прочности)	ЬК »Т ~ U ( п2 ст г,з)	п _ 1	11 ст 1 + 81 УЫ	о -К 4- 4т?		
К р я т ери й на и б о,л ь - них касательных на- пряжений ПП крше- пяй прочности)	°э:; 'А — "а	Л стст l/’n- - ЭК	З^т’5		Отображает наступление текучести или разрушение путем сдвига для материа- лов, одинаково сопротивля- ющихся растяжению и сжа- тию
.Кпр.геп,_.й по.я^ _и. ыш;;; кжлтрльяых напряжений (IV урн- герий прочности)						_________		 СТ,,, = -1~ У (СТ,— оДЬСТя.-стрР+Чр-СТМ’ Из	== ж~”			Отображ чет наступление текучести. Применяется для пластичных	материалов, имеющих одинаковый пре- дел текучести при растяже- нии и сжатии
Критерий Мори (4 ЛКЙН ЫЫЫ’НТИОМу раСТНЖ'Ы : НИЮ)	"эк ~ П1 - «Я	1 -Г А Я/ -J	->	(J		4Т'	Отображает наступление <7^ текучести при н —  	’•— ПТ‘ОК П - :т дли н == —			— и разрушс- тт ы НИЗ При X •-== ———— °В/СЖ ^3	’ в ил и				 'в
Отображает наступление
А °т«сж ,,
текучести при л — -------и
Кррт^п-
алсятно
разрушение при = —
Применяется для материа-
лов, имеющих резкое сопро-
тивление растяжению и
сжатию
О—-1303
146
РАЗДЕЛ 3. НАПРЯЖЕНИЯ, ДЕФОРМАЦИЯ И ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ
ПvwW.iwEri'je табл. 3.?
дельные линии: / — сопротивление срезу; 3— предел
т<-тм j то Ь —-спорот пт и отрыву; <уэк определяется
до I или II критерию прочности. Та и же изображается
напряженное состояние тела в виде выходящих из на-
чала координат лучей; 2— сжатие; 4 — кручение; 5 —
растяжение. В правой части диаграммы даются обоб-
щенные кривые деформации. В зависимости от того, ка-
кую предельную линию пересечет луч, устанавливается
характер нарушения прочности (текучесть, разрушение
путем отрыва или сдвига) при данном напряженном
состоянии, что дает возможность выбрать наиболее под-
ходящий для данного случая критерий прочности. Свод-
ка критериев прочности, для изотропных и анизотропных
материалов дана в [7].
3.5.3,	Влияние температуры
Температура сильно влияет на все механические
свойства материалов. Как правило, повышение темпе-
ратуры приводит к уменьшению прочности и повышению
пластичности. Значительное изменение температуры мо-
/*т 1 прелым обэязом изменить свойства хматериала:
шикточныи становится хрупким (при пчзкой темпера-
туре f, а ЧП)П ии — пластичным (при высокой темпе-
ратуре), изменяются прочность и деформативные свой-
ства. При этом некоторые изменения приобретают
неоопатдмьн *арагтор (не восстанавливаются перво-
и мц ьчь = < м^вл nfiv ю возвращения к обычной тем-
проатуре? Это связано с тем, что при изменении тем-
пературы часто происходят сложные физико химические
процессы,
Ботшто'' влияние на ические свойства дефор-
мированныхстроительных металлов (например, холод-
нотянутая проволока) оказывают возникающие, в них
при высоких температурах процессы разупрочнения —
«отдых» (возврат) и рекристаллизация. «Отдых» связан
с частичным снятием искажений кристаллической решет-
ки вследствие деформации в холодном состоянии. Он
проявляется в том, нго свойства деформированного ме-
талла приближаются к первоначальным;’"РМрйсталли-
заиия представляет собой появление в холодподефор.
мированном металле вновь зародившихся кристаллов,
отличающихся- от старых отсутствием упрочнения. Рек-
ристаллизация у углеродистой стали протекает при тем-
пературе выше 400° С, «отдых» —при температуре вы-
ше 20О3 С. В результате этих прошоэв нроистш иг сни-
жение прочности наклепанной стали,
При повышении темнеразуры у углеродистой стали
уменьшаются модуль упругости и предел текучести,
временное сопротивление вначале несколько повышает-
ся, а затем резке падает, В интервале 200—ЗОЮ3 отме-
чается наибольшее увеличение. и уменьшение б,
сталь становится хрупкой (синеломкость); при даль-
нейшем Повышении "температуры ’происходит повыше-
ние пластичности. Ударная вязкость вначале возраста-
ет (в интервале 100—400й), а затем уменьшается (см.
4,1.3). Кроме того, начинают заметно проявляться но-
вые свойства — ползучесть и релаксация (ем. 3.5.4),
которые при комнатной температуре не наблюдаются
или проявляются лишь при высоком уровне напря-
жений.
При низких температурах у металлов, как правило,
наблюдается повышение прочности и снижение пластич-
ности, ударная вязкость уменьшается. Увеличивается
опасность разрушения конструкций, особенно в зоне
концентраш-ш напряжений. При весьма низких темпера-
турах наблюдается переход конструкционных сталей
из вязкого в хрупкое состояние.
3.5. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ
147
Прочность бетона при повышении температуры так-
же уменьшается, что становится заметным \же в ин-
тервале 200—300". Нагрев до 400° С уменьшает проч-
ность примерно в 2 раза, а до 500° С — почти в 3 раза.
Первоначальная прочность бетона после нагрева свы-
ше 200° С уже не восстанавливается при охлаждении.
Нагрев вызывает также увеличение деформатнзности
бетона. Модуль упругости уменьшается, При темпера-
туре 550° С модуль упругости при сжатии уменьшается
почтя в \1 раз.
3.5.4.	Влияние длительности нагружения
Действие длительной нагрузки в ряде случаев су-
щественным образом отличается от действия кратко-
временной нагрузки такой же величины, Достаточно
большое постоянное напряжение, которое при кратко-
временном действии вы-
4	р	зывает только упругие
с/	деформации, при длн-
тельном, действии может
b	вызвать растущие со
sg’"'	временем 'пластические
(jk5	Деформации 1110.13} -гость)
и даже разрушение,
[___________________. Ползучесть может поо-
~	являться не только при
р	„	„ 29	ПОСТОЯННЫХ, но и при
t	ис.	о.дм	убывающих напряжени-
ях. Например, в предва-
рительно напряженных
Железобетонных конструкциях часть упругой деформа-
ЦЙи арматуры с течением времени переходит в пласти-
ческую и Напряжение в ней постепенно снижается) Это
явление называется релакса; иеч напряжении
Ползучесть в бетоне и древесине проявляется при
комнатной температуре, а в "металлах, как "правило, —
при повышенных температурах (у стали' аьнйе 350° С).
У высокопрочной арматурной проволоки ползучесть и
релаксация проявляются и при обычной температуре.
Различают три гериода ползучести (рис. 3,29):
1)	неустановившейся ползучести, когда скорость на-
растания пластической деформации с течением времени
уменьшается (участок ab);
2)	установившейся ползучести, когда скорость на-
растания деформации постоянна (участок fee);
3)	прогрессирующей ползучести, когда скорость
ползучести возрастает (участок cd); этот период пол-
зучести заканчивается разрушением.
Методы расчета на ползучесть даны в разделе 12.
3.5.5.	Влияние переменности нагрузки
Действие многократно изменяющейся во времени
нагрузки (рис."3.30) может ррчгесг г к внезапному
разрушению" материала, носящем. хртогнЗ 1раысч
(устатостное разрушение). Окончательному разруше-
нию предшествует образование трещины усталости.
Излом имеет две зоны: гладкую (зона развития тре-
щин) и грубозернистую (зона окончательного излома).
Для исследования сопротивляемости материала дей-
ствию переменных напряжений строится по данным
экспериментов кривая усталости (рис, 3.31). Кривая
усталости стали имеет горизонтальный участок, начи-
нающийся с 5—10 млн. цикiob. Напряжение, соответ-
ствующее горизонтальному участку, называется пре-
дыом выносливости. Для маториа.юв. не имеющих
горизонтального участка (например, дюраль), опреде-
ляется ограниченный предел выносливости, соответст-
10*
веющий определенному числу циклов (например.
10е, 10Д.
На величину пределл выносливости оказывает влия-
ние целый ряд факторов. Прежде .всего сильно влияют
концентрация напряжений (см. 3.5.6), размеры сечения
элементов конструкций, состояние поверхности и окру-
жающая среда. С увеличением размера сечения предел
выносливости снижается. Поверхностные дефекты (сле-
ды механической обработки, царапины, следы коррозии
Рис. 3.31
б
и др.), являясь концентраторами напряжений, также
снижают предел выносливости. Химически активная
среда (например, морская вода) вызывает резкое" сни-
жение предела выносливости. Предел выносливости за-
висит н от закона изменения напряжений цикла) харак-
теристиками которого являются: наибольшее <эмакг) и
наименьшее <ам,?н напряжения, среднее напряжение
От ==‘/з (Омаие-Амин) И ЯМПЛИТуДЯ НИКЛЯ Па ==
= 72(о-макс—.д1йия), коэффициент асимметрии цикла г =
= Омакг/Омин. Наиболее опасным является симметрич-
ный цикл (омв =—Омаке. г = — 1): предел выносливос-
ти при симметричном цикле является наименьшим.
С увеличением асимметрии цикла (с ростом <гт, г]
предел выносливости увеличивается.
Для изображения зависимости предела выносливос-
ти от асимметрии цикла используются диаграммы двух
типов. На диаграмме первого типа (рис. 3.32, а) пре-
делы вынослив ют' равны ординатам кривой АВ; на
диаграмме второго тийа. (рис. 3.32,6) —сумме абсцис-
сы и ординаты точек кривой Дв.
При сложном перемеийом напряженном состоянии
расчет на прочность ведется на основании критериев
прочности, которые являются обобщением статических
критериев прочности.
Для пластичных А'ттериазоь при симметричном цик-
ле эквивалентные напряжения опреде )яются по крчщ
ржо наибольших касаю.ь ьл нипряжеч’щ пи щ кри-
терию октаэдрических касательных напряжении:
148 _______
где а,й, о'гй, <з3д — амплитуды гл
Коэффициент запаса прочност
формуле
°- I
п ...—.
При совместном растяжении и кручении или изгибе
и кручении
ГДР Т—{ — предел выносливости при кручении;
"а“ амплитуда напряжений.
При неенммегричном цикле частные запасы проч-
ности пп и пу определяются на основании схематизи-
рованной диаграммы (рис. 3,33);
Кривая усталости в логарифмических координатах
схематизируется (рис, 3 35). Схематизированной кривой
сеответствует аналитическая зависимость

Т О 1 е j - ^(ц o-f г
fi - ’ !(г1 41	‘	ГЦ Р~ 7 J]^F т Ог’Г 1
« еи.(иу>1 vr'i ;i.,iuc. ; г
(тогда а-, будет
31 10v ЧГ < ти о
~Т Г И 13 I 7 г 1о Чо! г г
^-/^11 г? —	— 11
7 7р ц41ц I- - jo V Н
[ П 1 т	-' ЭПС п
Т б 1 J К и 1 < 1
и пи fl о( г 0 4
тнетствуюшим базе ЛФ;.
юв без концентрации на-
1 Н ою гр 11
- I
у"-, о	ачч ч ч	ч(
-------S л, с;” = а.
где пт- тт - средние напряжения цикла;
2о , - и	2т , - г
п0 ,т« — пределы пьпюслигости при пулыгируютшж
циклах (напряжения меняются от нуля до
максимума)..
Для малоплаетичкых и хрупкие материалов жппяа-
леитные напряжения определяются по критерию прою
нести Мора
Цэк =- оуа — К<Тда ,
где
1
Р 1 Л Г П П Ч к! С -к ич 7 !’1П	4 р 1 1 I ' * г’
я и ’п т з<_ )tov'<4.. (bi гопа ^с?лл’Я п' r\ t
Д'ч 4 Р 1
ГР  ,t ' тг t л ji т,> мы»; t.rr r rii и, 'it 1Л
чн* гл	я > пи* 1 нч a”ii г щг ; и *г
W>-J7 с 'Т ' ~ 4 I OJ ОП) ютя ж о I ।	। -	1
t-'t'q о >J f)]	,,д(4ПЦ Т vop( tl 12]
i ' Ъ -	, ТГ )бо ] ) 1
у , 77- а,
^=ё=Й j
получаться необоснованно высок
:ТРТ;1!ПИИ..
ЛИТЕРАТУРА
149
3.5.6.	Влияние концентрации напряжений
LIJ-I-LILIM
~Г1
Большие местные напряжения, возникающие в мес-
тах резкого изменения формы или размеров тела, около
выточек, отверстий, вырезов и т. д (концентрация на-
пряжений), оказывают зна-
чительное влияние на проч-
ность. Особенно чувстви-
тельны к KOHiiestTpamiii на-
пряжений хрупкие материа-
лы, прочность которых при
наличии концентраторов на-
пряжений резко снижается.
С повышением пластичности
чувствительность к концен-
трации напряжений обычно
снижается. Пластичные ма-
териалы (малоуглеродистая
сталь) малочувствительны,
так как возникающие под
действием высоких местных
напряжений пластические
деформации смягчают эф-
фект* концентрации напря-
жений. На рис. 3.36 показа-
но распределение напряже-
ний в пластинке о отверстием при растяжении за пре-
мщагосгн [11]. Однако возникающее в зоне кон-
центрации напряжений объемное напряженное состоя-
ние пластических деформа-
ций и вызвать в некоторых случаях хрупкое разрушение
ж растянутой зоне).
Особенно сильно концентрация напряжений сказы-
вается при перемештох напряжениях. Для количествен-
ной (щелкн ее влияния используется эффективный ко-
копцщт граиш; /Ц , равный опюшешио пре-
дела выносливости гладкого образца o~i к пределу
пыиослнвосги образца с концентрацией напряжений
оч.щ
Рис. J.36
импул ген ых (у д а рн ых
Воичины коэффициентов Ас для различных слупл-
штрацни напряжений см. также
раздел 12.
3.5.7.	Влияние скорости
п р is. 1 и же н ня н а г р у з к и
Сопротивление пластическим деформациям и раэру-
цюншо зависит m скорости деформации. Особенно рез-
ко меняет:: я сопротивляемость материала при действии
ншрузик, когда деформация
протекает при больших ско-
ростях. Сопротивляемость
ударным нагрузкам опреде-
ляется энергоемкостью ма-
териала, равной работе, за-
трачиваемой иа разрушение
образца из данного матерп-
а ла.	X р у п ки е м и тс р и а л ы,
обладая малой энергоемко-
стью, плохо сопротивляются
ударным нагрузкам.. Хоро-
шо сопротивляются удар-
ным пагрузкв-м вязкие мате-
риалы, способные поглоигиб
энергию при пластическом де-
формировднш!
Вязкость материала зависит от скорости деформиро-
Рис. 3,37
Гнъ 1 ни 1 у ю .-м е х а ни ч е с к v ю
ваняя. Испытания на растяжение при ударных нагруз-
ках (на копрах) образцов с постоянным сечением из
малоуглеродистой стали показывают увеличение вяз-
кости ио сравнении) с испытаниями при обычных ско-
ростях, При этом заметно увеличиваются предел теку-
чести (до двух раз) а до некоторой степени временное
сопротивление. Закаленные стали получают при ударных
нагрузках значительно меньшее упрочнение.
У некоторых сталей с увеличением скорости дефор-
мации наблюдается склонность к хрупкому разруше-
нию. Переход к хрупкому разрушению поясняется
диаграммой (рис. 3.37), на которой проведены линия
хрупких разрушений АВ п линия вязких разрушений
CD [8]. При увеличении скорости деформирования кри-
вая деформации ОК поднимается выше. Если подъем
кривой будет таким, что опа пересечет линию АВ, то
произойдет хрупкое разрушение.
Для практической оценки способности материала
воспринимать ударные нагрузки производят испытания
иа копрах надрезанных образцов с определением удар-
ной зязкостп (см. 4.1,1). С понижением температуры
ударная вязкость падает, причем при некоторой*темпе-
ратуре, называемой критической температурой хруп-
кости, наблюдается резкое падение ударной вязкости.
Критическая температура хрупкости служит косвенным
показателем склонности материала к хрупкому разру-
шению: чем ниже эта температура, тем меньше склон-
ность к хрупкому разрушению.
Л И Т Е Р А 7 У Р А
1.	Б арен плат? Г. И. ПММ, вып. 3. 4, 5, 1459; вып. 4.
ШД.
2.	Безухов Н, П. Основы теории упругости и пластично-
сти, «Вък'шая школа?. ИНН.
3.	оелчев 11. М. Соирогивление 51а сериалов. ОП13, 1055,
1,	Б е р и hi г с й л С. А. И ’,бранные труды по строительной
Госстройнзда г, ШВ1
а.	Бплотнн В, В. Статистические методы в строительной
механике. Госстройиздат, 1961.
6.	Волков С. Д, Статистическая теория прочности. Маш-
гнз, 1964.
7.	Гол ф лен б л а т Л, И. и Коганов В. А. Критерии
прочности и пластичпости конструкционных материалов, «Ма-
шшюстросяие», 1968
8.	Цавиденкон Н, 1Ь Динамические испытания метал-
лов, ОНШ 1Ж.
п. U и д с и б о м В. Л. О критериях разрушения в дислока-
ционных теориях прочности. ФТТ. г. 3, вып. 7, 1961.
10.	И л ъ ю in и и А. Л. Плнсгичиость. Гостехнздат, ИМЯ,
11,	Кодаков А. Н- Концентрация напряжений в пласти-
ческой области. Труды ВВИЛ нм, Жуковского, вьш. 3,10, Ю19.
12.	К о и I о р о в а Т. А. и Фрр н коль Я. И. Статистиче-
ская теория хрупкой прочности реальных кристаллов. ЖТФ,
т. 11. -М 3, 1941.
]3.	Л е ,й бензон Л. С. Курс теории упругости, ОГИЗ,
1917.
14.	Л е х я и ц к и й С. Г. Теория упругости анизотропного
тела. Гостехиздат, 1950.
15.	Миркин Л. И. Физические основы прочности и пла-
стичности. МГУ, 1968.
16.	М у с л е л и ш в и л и Н. И. Некоторые основные задачи
математической теории упругости Изд. АН СССР, 1949,
17.	Нада 11 А. Пласiичношь и разрушение твердых тел.
ИЛ, 1954.
18.	Одинг И. А. Процесс	металлов как ре-
зультат взаимодействия вислокапий. Ивв АН СССР, ОНТ,
Мет. и топл., № 3, I960.
19.	Папкович П. Ф. Теория упругости. Обороною, 1939.
20.	П о н о м а рев С. 21- и др. Расчеты на прочность в ма-
шиностроении. Машги.з, т. 1, 1956; т. II, 1958,
21.	Работнов Ю, И Сопротивление материалов, Госфиз-
матгпз. 1962,
‘22	. Соколовский В, В. Теория пластичности. Гостех-
теоретизлат, 1950,
23.	Справочник машиностроиголя, т. 3. Машгиз, 1963,
24,	Т й м о ш с и к о С. 11, Теория упругости. ОНТИ—-ГТТ,
1934.
25,	Ф и л о н с н к о - Б о р о л и ч М, М. Теория упруюсти.
Гос тек из д а т, 1917.
26.	Ф р ил м а и Я, Б. Механические. свойства металлов.
Оборонена. 1952.
РАЗДЕЛ 4
МАТЕРИАЛЫ ДО СТРОИТ ЕЛЬНЫХ Щ}НС ТРАКЦИЙ.
МЕТОДЫ РАСЧЕТА
4.1.	СТАЛИ
4,1.	L Общие данные
Для стальных и железобетонных конструкций при-
меняю гея углёродйсгйе и низколегированные стали по-
вьштсписй и высокой прочности. Стали для конструкций
классифицируются по способу выплавки, технологии рас-
кисления, химическому составу, способу упрочнения, ка-
честву и назначению, а также по прочности.
По способу выплавки стали делятся на мартеновские,
кислородно-кояверторные и бессемеровские; по техно-
логин раскисления— на спокойные, полуспокойные и ки-
пящие (в том числе закупоренные кипящие); но способу
улфочненйя — на холоднодёфермированные и термиче-
ски обработанные (терйоупрочненные).
Сталь по назначению подразделяется: на сталь об-
щего назначения—углеродистая горячекатаная обыкно-
венного качества й сталь разных назначений — углеро-
дистая горячекатаная повышенного качества (низколегн-
ровшшая) и вЫсокой прочности.
Установлены следующие классы прочности стали (по
значениям временного сопротивления и предела текуче-
сти): С 38/23, С 44/30. С 46/34, С 52ДО, С 60/45, С 70/60.,
Предел пропорциональности гПц — напряткёнйё: при
котором отступление от линейной зависимости между
иапряжейиями и удлинениями достигает некоторой ’ стй-
(Л ие G1 С 11 14 CKIMs 'СТОВПЯМЙ ИЛИ СЫ1ЧД, ртом
величины (например, уменьшения тангенса угла накло-
на касательной к диаграмме растяжения по отношению
к осп деформаций на 20 или 33% своего первопачалЬ-
СГОЗНЯЩНЩ)
Привел упруги и лупнапряжение, при котором
остаточные удлинения достигают некоторой малой велй-
ш чы, хе аяявтгвщ мое техническими условиями или
тешшаргом I ^пример 0,001; 0,01% йт.д). Ийогда йре-
дс-л угругости обозначается соответственно допуску
гы -Р , Щ- -j. ц < j
Предел текучести ггт для материалов, имеющих пло-
и.адду теючести митотечеродистахЯ сталь), определяет-
' г как -шгояж^ни сегтвептп-чо д с нижней точке пло-
тщдк «ек \гн, пя ч зтериалов, не имеющих площадка
тею ттщ О1 оетелтетея теш вный предел текучести
сы тепряжл цп т” ” < тео; ом остаточное удлинение
образца достегает 0,25%
В^е ю аж с,тролиьлеши-. (предел прочности) с>в —
пэ”ря*ещю, паяно. отношен по наибольшей нагрузки,
пн дш< теговова |Ч о\ ням- v,p ia к первоначаль-
,г 1 п”п цатч сгг,;-ч’ юр ч’а Зр'шнЩ| сопрбтйвле-
нйе можно отождествлять с пределом прочности только
для-Хрупких Материалов, разрушающихся без образова-
ния шейки. Для пластичных материалов это характера-
стйка своеобразной потери устойчивости при растяже-
ний, т. е. характеристика сопротивления значительным
п-аети’-’н-к -м дго ормаз иям.
Относительное удлинение при разрыве б—отношение
(обычно в %) приращения расчетной длины образца пос-
ле разрыва к ее исходной величине. Для длинного круг-
лого образца (/расч — 10Д) —для короткого образ-
ца (/саеч ==:-О<^) -—65.
Относительное сужение при разрыве ф — отношение
\ кч^шеню- п ош-те игм-ньшпа поперечного сечения
образна (после разрыва) к Исходной площади попереч-
ного сечения образца.
Условный предел текучести при изгибе От.» —нор-
мальное напряжение, вычисленное условно по форму-
лам для упругого изгиба, при котором остаточное удли-
нение наиболее напряженного крайнего волокна достига-
ет 0,2% или другой величины того же порядка соответ-
ственно требованиям технических условий.
Вре <енноь сопротивление -(Предел прочности) при аз-
гиде ей—нормальное напряжение, вычисленное услов-
но но формулам для упругого изгиба и соответствующее
наибольшей нагрузке, предшествовавшей излому об-
разца.
Условный предел текучести при кручении Тог:2, те —
касательное напряжение, вычнелёнйбе условно по фор-
'Ц7ЛМ ЛЕЯ упругого р' К ШЯ ПО? гОЮрОМ О< Т ТС-ЩЫг-
деформации \ те!г г чи и ш > ,и, а щ поверх ’ос л об^аа-
(а лтетцгнот 0 э 'о и in те го 1 величины того ж? поряд-
ка соответственно требованиям технических условий.
Временное сопротивление (предел прочности) при
кручении т-{ — касательное напряжение, вычисленное ус-
ловно по формулам для упругого кручения н соответ-
стчтеопп с наибольшему скручивающему моменту, пред-
шеетвовавше.му разрушению образца.
Твердость по Бринеллю НВ — твердость материала,
определяемая путем вдавливания в него стального ша-
рика и вычисляемая как частное от делении нагрузки на
поверхность полученного отпечатка. Для некоторых ма-
териалов существует приблизительно прямая пропорцио-
нальность между твердостью НВ и временным сопротив-
лением; например, для углеродистых сталей су3л;
ъЧ'пНВ
Твердость по Роквеллу HRC, HRB — твердость мате-
риала, определяемая путем вдавливания сгального шари-
4.1. СТАЙИ
151
ка или алмазного конуса стандартных размеров и
измеряемая в условных единицах с помощью разных
шкал по приращению оставшейся глубины погружения
при переходе от малого стандартного груба к большому.
Твердость по Виккерсу HV — твердость материала,
определяемая путем вдавливания алмазной четырехгран-
ной пирамиды стандартных размеров и вычисляемая как
частное от деления стандартной нагрузки на боковую
поверхность полученною отпечатка.
11 редел ползучести (условный) —длительно действу-
ющее напряжение, при котором скорость или деформа-
ция ползучести за определенный промежуток времени
при данной температуре не превышает величины, уста-
новленной техническими условиями.
Предел длительной Прочности — напряжение, вызыва-
ющее разрушение образца после заданного срока его
непрерывного действия при определенной температуре.
Предел выносливости — наибольшее периодически из-
меняющееся напряжение, которое может выдержать .ма-
териал 6& разрушения при большой числе циклов, за
данном, техническими условиями (напоимер, 10й; 10';
10е), Обозначается при симметричном цикле O-i (изгиб),
ff-ip (растяжение-сжатие), T-t (кручение), при пульси-
рующей Цйклё (йапряжения меняются от нуля до макси-
мума) соответственно Сто, Оо? и Со.
Ударная вязкость ак — работа, затраченная на раз-
рушение образца при ударном изгибе, отнесенная к ра-
бочему поперечному сечению образца.
Упругое последействие: прямое — постеленное увели-
чение деформации после быстрого прекращения роста на-
ipy’Mi обратное—соерттенче чти медленное у i-n',j
тие деформ шти после бастрбго снятия нагрузки Или
остановки разгвузки.
Наклёп. — упрочйсние Металла, происходящее благо-
даря пластической деформации при процессах холодной
обработки (холодной прокатке, выгя К’ , волочении)
Старение (механическое) — самопроизвольное дли-
тельное изменение йеханических свойств стали после на-
клепа, вызванное фазовыми Превращениями. Различают
естественное старение, протекающее при комнатной тем-
пературе, и искусственное старение — при повышенных
температурах.
Разрушение стали возможно вязкое (пластичное) —
от сдвига, хрупкое — от отрыва. В обоих случаях раз-
рушение состоит в нарушении целостности, в разрыве.
Нарушение сплошности может возникнуть при условия
накопления энергии, отвечающей величине поверхностной
энергии на поверхностях нарушения целостности, и в со-
ответствии с этим расстояние между атомами должно
достичь критических величин, при которых происходит
нарушение связи между ними.
Работа разрушения — величина всей площади диа-
граммы растяжения образна в координатах Р—А/; упру-
гая работа — площадь упругой части той же диаграммы;
удельная работа — работа, приходящаяся на единицу
объема рабочей части образца п соответствующая пло-
щади диаграммы растяжения в координатах о—е.
Удельный вес в расчётах принимают рМным для ста-
ли 7,85, для чугуна 7,2; удельный вес стали с содержа-
нием 0,1% С — 7.06 (в жидком состоянии).
Модуль упругости Е стали и другие упругие констан-
ты практически не зависят от величины зерна, структуры,
соотношений между объемами феррита и перлита, от
содержания углерода и других легирующих добавок.
Модуль упругости для прокатной стали, литья, горя-
чекатаной арматуры из сталей марок Ст.5 п Ст.З Е —
~2,1 10s кГ/с-мР-, для сталей ЗОХГЭС и 25Г2С £ —
— 2 10е кГ/смУ Для холоднотянутой круглой и перио-
да б.1'1 ц а 4Л
Коэффициент лйНейного расширения a - 10s в град~1
(срёдИй) [0[
Сталь	В рас четах при обычнии !ёйи('ра-1урс	При тсмлературе в			о с
		1W	4(Ю	Ш)	
Углеродистая	12	12,2	13,5	IM	—
Низколегиро- вр иная	12	12,6	13,8	14,2	И,1
дического профиля проволоки, а также для холодно-
сплющенной арматуры Е — 1,8-10-6 кГ/сл2.
Для пучков и прядей высокопрочной проволоки (с
параллельным расположением проволок) £'==
= 2  10й кГ/слР: для канатов стальных спиральных й ка-
натов (тросов) с металлическим сердечником £' =
= 1,5-10“ кГ/см2, для тросов с органическим сердечни-
ком £=1,3-10е кГ/см1.
Для отливок из серого чугуна марок СЧ28-48,
СЧ24-44, СЧ21-40 и СЧ18-36 £= 1  10f кГ/смЕ ::
Модуль сдвига для прокатной стали О = 8,4Х
ХЮ5 кГ/с.М
Коэффициент Пуассона, (коэффициент поперечной де-
формации) (.1 = 0.3,
4.1.	2. Угжродйстьге стаяв
Сталь углеродистая горнч^натони > озылновенного ка-
чества по ГОСТ 381)—71. В зависимости от назначения
и гарантируемый характеристик сталь подразделяется на
три группы:
группа А — поставляемая по механическим свойствам;
группа Б — поставляемая по химическому составу;
группа В—поставляемая по механическим свойствам
и химическому составу.
В зависимости от нормируемых показателей сталь
каждой группы подразделяется на категории;
группь! А — 1, 2, 3;
группы Б — 1, 2;
группы В — 1, 2, 3, 1. 5, 6,
Сталь изготовляется следующих марок:
группы А — Сг.0; СтД; Ст.2; Ст.З: Ст.4; Ст.З: Ст 6;
группы Б — БСт.О, БСт,1, БСт.2, БСт.З. БСг.4, БСт.З,
БСт.6;
группы В — ВСт.2. ВСт.З, ВСт.4. ВСт.5.
Химический состав и механические свойства приведе-
ны в табл. 4.2 й 4.3.
Ударная вязкость стали марок ВСт.Зпс, ВСт.Зсп,
ВСт.ЗГпс, ВСт.Зпс, ВСт.Зсп должна соответствовать
нормам, приведенным в табл, 4.4.
Влияние углерода д механические свойства стали по-
казано iia рис. 4.1. {.Вменение механических свойств уг-
леродистой стали в зависимости от температуры дано
в табл. 4.5 и 4.6 и на рис. 4 2. На рйе, 4.3 показано влия-
ние наклепа на ударную вязкость, а на рис. 4.4 показаны
потери от коррозии углёродйстых сталей. В табл. 4.7
даны пределы выносливости углеродистых сталей.
За нормативное сопротивление растяжению, сжатию
и изгибу углеродистой стали принимается [130] наимень-
шее значение предела текучести, установленное стан-
дартами или техническими условиями.
Проектирование стадыщх конструкций зданий й со-
оружений ведется по СНиП П-В.3-62* [135],
152
РАЗДЕЛ 4. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
Табл и п а 4.2
Нормы химического состава для стали, поставляемой по группе Б (ГОСТ 380—75)
	Содержание элементов в %								
Марка стали				Р	S	С.г	Ni	Си	1 As
	С	Мп	S1						
						•не более			
ЕСт. 1)	Не белее Б9.'3	—			о, 14;	—	—	—		
; БСт, 1кп	0,96—0,12		Не (8/Я.:р () (')?,	1 П1	0.®	fl ,‘J,j	о,зп	(0 30	
:	;-Ст. 1нс	0,06—0,12					0,34	0,30	ЩЗО	
:	ЕСт. Зсп	0,06—0,12				( 1 ' 1: 1	о,зо	0,30	0,30	
о Ст, ?к п	0,00—0,15		Не более 0,07	Н 1Ч..1	0,05	0,30	0,30	п,.--ю	
ЕСт, 2по	0,09-0,15				0.05	0,30	0,30	0,30	
ЕСт. 2с п	0,09—1), 15		И. ; ;			0,05	0,30	0,00	0,30	0,4-	1
ЕСт. Зкп	0,М—0,22		Не более 0 67		9,05	0,30	о.зо	0,30	)
ЬСт. Зле	Г1,14—0,22			1) 11.1.		0,30	0,30	0,30	
ЕСт. Ясп	<>.14—0.22			U ill		0,30	0,30	0,30	(1 1 1?'- I
ЕСт. ЗГпс	0,14—0,22		Не более 0,15			0,30	0,30	0,30	) и
ЕСт. 4нп	0,14-0.27		Нс.более 0,07	0 О'!	II 11-.	0,30	о.зо	0,30	
ЕСт. Дгс	0,18--О 27				। 1 I );,	0,30	0,30	0.30	5». ПН 1
БСт. 4 с п	0,18—0,27					M3L)	0,30	0,30	0,08 j
ЕСт, 5пс	0,28—0,37			0,04	П (!-	0,30	0,30	0 30	0 (Н !
Б Ст ."с п	о, 28—0,37			1 (51		0,30	0,30	0,30	о/й !
БСт. БГпс	0,22—0,30		Не более 0,15	0,04		0,30	0,30	0,30	0 От 1
ЕСт, бпе	0,38—0,49		П.1)го-0 1 /		Л 0	0,30	0,30	3,30	0,08 j
ЕСт. беп	0,33—0,49	0,50—0,8,0		0,04		0,30	0,30	Ц.ЗО	0,08 ’ i
Механические свойства углеродистой стали. поставляемой по группе А (ГОСТ 380—71)
; Мврка стали	Временное еппротивле- вие о н в кГ1мл1'	Предел текучести ст в кГ2мм2 для толщин н ли?				Отвесителыюе удлинение п_ в % для толщин в мм			Изгиб па 18С (а -толщина образ- ца, d—диаметр nnpamai) для толщин до 20^ мм
		до 20	св. 20 до -Ю	с а, 40 ДО 109	св.	до 20	св. 20 до 40	св. 40	
		п>? менее							
Ст. 0	Не гиенее 31		-	-	—	23	22	20	d ~ 2 а
Сг. 1кп	31—40	—	—			35	34	3?	d~0 (без оправки)
Ст, 1пс, Ст. Нп	32—42			-	-	|	34		33	31	
Ст 2нл	23 . дм	2:3	1 1	21	। ’М	1!< I зи			30	^5=0 (без
Ст. 2лщ Ст. 7С П	34—44		99	21	20	{	32		31	29	
Ст. Зкп	37—47		23	22	20	27	26	24	d 0,5 а
1 '; : :• ы	38—49		24	23	21	2(1	25	23	
	33-50	25	24	23	21	26	25	23	
		26	25	24	1		24	22	п
ит. л; я 1	1 С 1!	42~-54 60-М.	27	26		24	24	23	21	
		29	28	27	26	20	19	17	ы з а	’ 1
	.•.< . .<т>	29	28	27			19	17	
	₽, да лм®? 293?'	32	31		зо		14	12	
4,1. СТАЛИ
153
7 я б лица 4,4
Нормы ударной вязкости углеродистой стали
при температуре 20° С, минус 20° С и после
механического старения, поставляемой по ГОСТ 380—71
Марка стали	Вид проката	Располо- жение образца относи- тельно проката	Т ол • щияа Ь MAi	1 Ударная I- КГ-А не мс при тем- перату- ре. VC +20 j —20		после МП- хаиячес- ' й пр Кого ста-	р рения	£
В С/г. Зпс, В Ст. Зсп	.Вистовая сталь Широкопо- лосная сталь Сортовой и фасонный прокат	Поперек Вдоль Вдоль	.5^-9 10~2Ь 26—40 10-25 26 -40 5—9 10—25 26—-40	8 7 5 7 И 10	4 3 -5 3 3	4 3 5 .j 3
ВСт. ЗГпс	Ли сювая сталь Широкопо- лосндя стиль Сортовой и фасонный прокат	Иоперок Вдоль Вдоль	5—9 10-30 Й1—40 о	9 W—30 31—40 5—9 10—30 31—40 	5 10 8 7 11 10 9	4 5 3 5 3	4 5 4, 3
ВСт. ВСт. 4сп	Листовая сталь Сортовой и фасонный ; прока?	Поперек Вдоль	5—9 10—25 26—<) 5—9 10—25 . 26—40 :	7 6 4 10 9 7	1 1 1 N 1	Si 1 1 i ! j
Рие, 4.L Изменение механических свойств угле-
родистой стали в зависимости от содержания
углерода [9]
Рис. 4.2. Ударная вязкость
строительной стали марки Ст.З
в зависимости от температуры
/ — мартеновская сталь спокойная;
У- го же, кипящая- 3 — бессеме-
ровская сталь спокойная; т —• го
же, кипящая [14]
Т аб л н ца 4.5
Механические свойства углеродистой стали при
те-мперагурах от —60 до -f-600° С [9]
(Состав стали: 0,18% С; 0,24% Мп; 0,12% S1; 0,011% S;
0,011% Р)
1 емкери- ту pa ПС- пытаний в ° С	к! ’OrJA'i '	Ж	%, %	%	+„ к/	Е, К! Ши-
—ДО						1,01	
— 50		—-		—.	1,09	—
~~3р	—	—--	—	—		—
— 10			—				
С-20	23,8	40 3	’ ’  ! ’7			
4-160	21.7	37,8				
:	Д-200	25,1	48,5	: , ,  ;			
-{-300	14,9	44,3				
+400	12.9	ЛЬ, 9				
4-450	12,0	30,8				
-T-5UO	Н ? Ч		>ы Ч			
550	ч	+.0				
- 60(1	6,6	11,2				
S0 О 50 1ОО !5О	200' 250 Ж
Температура 6 °C
Рис. 4.3. Изменение ударной вязкости углероди-
стой стали а зависимости от процента наклепа
др и различных температурах (6)
I — аытяжка 2%; 3— вытяжка 6%; 3аытяжкя 10%:
4 — исходное состояние
154
РАЗДЕЛ 4. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
Табл и ц а 4.6
Изменение механических свойств стали марки МСт.З
спокойной, содержащей мышьяк, при различных
температурах [9]
(Состав стали: 0.21 % С; 0,38% Мп; 0,20% -Si; 0,036% S;
0,026 I Р; 0,289% AS)
Таблица 4.S
Марки электродов и порошковой проволоки для сварки
соединений конструкций из малоуглеродистых и
низколегированных сталей
Темпера- тура ис- пытаний в ’С	от, кГ /мм1	кГ/Д-я-	8,. %	4’. %	кГм/смя
-40	31,4	46,5	32,4	61,1	10,8
—20	29,3	45,8	34,7	62.5	13
0	27,4	42,6	40,4	63,5	19,2
4-20	26,1	43	40,1	67,7	20,1
+ юо	24,3	42,9	28,5	60, а	21,8
-4-200	23	52,9	21 +	53. о	
-у 800	18,5	50,9	24,8	60,5	23
+40<>	16,6	46,3	26,9	62,9	15,9
+500	15	25,6	30,6	7'1,9	10,2
лей в атмосфере промышленного города (16]
1 — БСт,3; 2 — МСг.Зсн; 2 — МСг.Зкп
В дабл. 4,8 приведены характеристики сварочных ма -
териалов,: рекомендуемых для сварки элементов "сталь-
ных конструкций.
Сталь углеродистая для мостостроения. Особые усло-
вия paooibi мостовых конструкций, подверженных виб-
рационным н, tpcjKan eo>6u)i 1 пимеиения стали, мало-
чувствительно!! к концг-.'трации напряжений, не склон-
ной 1. сгавению потог ник тепа и имеющей достаточно
низкую температуру перехода в хрупкое состояние. При
выборе стали для сварных мостов к тоим ус швч'то до-
бавляется требование хорошей свариваемости и доста-
точной вя/лощи металла ото к, , bijtoao шва.
•Тип по ГОСТ 9467—60	Марка	Сталь	Механические свойства			Примечание
			Й И о	о/ ‘л '0 9	кГм':СМг При температуре ис- пытания 20° С	
		Электроды				
342	АНО-5	Маломгле-	47	25	14	Для сварки
	АНО-1	родистая	46	28	13	в иижнем положении
342 А	УОНН-13/45 УП-2/45	Мало- углеро- дистая и низколе- гирован- ная	46 4В	26 28	20	Постоянный ток, поляр- ность обрат- ная На постоян- ном и пере- менном токе
	Q3C-2		46	24	18	Постоянный ток, поляр- ность обрат- ная i;
э®	МР-3	Мало- углеро- дистая	48	25	15	
Э-5ОД	УОНИ-13/55	Мало- углеро- дистая и нязкол е-	62	24	20	Постоянный ток, поляр- ность обрат-( зная
	ДСК-50 И	гир 0BJ3H- на я □рршковая	52 1ров	элок	Ж) а	Постоянный и перемен - ный ток
	ЗП С -15	Мало- ут леро- дястая и низко- легяро- паяная			16	Для полу- авт(>матииес- кои сварки соединений с Ь>с ММ в нижнем положении
350А	сп-1 ПП-АНЗ ПП-АН-1 ММ-АЙ8		55 52 53	24 26	15	То же, во всех положениях То же, и ниж- немположе- нии То же, с до- полнительной зашитой СО-2
350	сп+	МаЛо- угЛеро- ,! истая	58	18	8	Тля полуавто- матической сварки без дополннтель- ной защиты
п	р и м е ч а н я е	Для свар}	си к	онст	рукций	возводимых
или эксплуатируемых при температуре о					—40 до —-Sir С, ре-	
j <i -lehivKncs эи-у.тр		оды марки	тони		13'45 я	УОНН-13/55.
4.1. СТАЛИ
155
Т а б л и ц а 4.7
Предел выносливости углеродистой стали марок.
Ст. 1 — Ст.6 [9]
Марка стали	о	г.. • %	X. %	°т	°Т.И	Тт	%	0.)	Т,,	°-1р	<М	-1^1
				в кГ 'мм~								
Ст Л	32—4(1	28	'55	18	')•}	11	г/	19	10	И	14	
Сг.2	34—42	26		21	24	12	18	21	и	13	15	8
Ст.З	38—47	>>	За	22	26	13	21	24	13	14	1/	9
Ст.4	42—52	20	50	24	29	14	22	26	14	15	18	10
Ст. о	50—62	16	45	28	34	17	27	31	17	19		11
Ст .5	60—72	12	45	30	36	18	30	34	18	20	24	13
Т а б л и в а 4.9
Химический состав и механические свойства углеродистой стали для мостовых конструкций (ГОСТ 6713—53)
		Химический состав в		%		Meха шгч е е к и е х а р а к тер истики						
				S	Р			6,»>	34		<0/ ,0	
ЛЛарка стали	с	Мп	S1	не более		О' и	°В' 1 КГ/ЛИС	сортовая и фасон- ная	листовая и широко- полосная	сортовая и (басон- ная	листовая и широко- п опорная	т %
						Нс менее						
М16С	0,12—0.2	0,4—0,7	0,12—0,25	0,45	0Д14	23	38	24	22	28	26	50
Ст.З мост.	0,14—0,22	0,4—0,65	0,15—0,3	0,05	U, 045	24	38	24	22	28	26	50
Материалом для изготовления сварных и клепаных
мостовых конструкций служит спокойная углеродистая
строительная сталь с гарантированными химическим со-
ставом и механическими свойствами по ГОСТ 6713—53:
для сварных мостовых конструкций —сталь марки М16С,
для клепаных — сталь марки Ст. Змост. Химический со-
став и механические свойства сталей этих марок даны
в табл. 4.9 и 4.10.
Таблица 4.10
ную сталь, применяемую в строительстве и машинострое-
нии.
Химический состав и механические свойства стали в
состоянии поставки класса С 46/34 приведены в табл. 4,11
и 4.12, класса С 52/40 — в табл. 4.13.
На рис. 4.5 указаны потери от коррозии некоторых
низколегированных сталей.
Ударная вязкость углеродистой стали для мостовых
конструкций
Профиль проката и расположение образцов	кГм/см*, не менее		
	при ком- | натщш темпе- j ратуре j	i при i —20е С	 : после : старения
Листовая и широкополосная: на продольных образцах - я . э- поперечных	»	. , . Сорговая и фасонная на продоль- ных образцах .........	7 10	4 3,5 4	4 3,5 5
4.1.3. Стали низколегированные
и высокой прочности
Марки и общие технические требования к низколеги-
рованным сталям предусмотрены ГОСТ 5(158— (55*. Этот
ГОСТ распространяется на листовую широкополосную
(универсальную), сортовую и фасонную низколегирован-
Рис, 4.5 Потери от коррозии низколегированной стали
в атмосфере	‘
1 — сталь 15ХСНД; 2 — сталь 10ХНДГ1, 3 — сталь 12.Х.Г; ]—счаль
меде фосфор нс j-ая
156
РАЗДЕЛ 4. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
Нормы химического состава для низколегированной стали (по ГОСТ 5058—бгС)
Химический состав в %
Марка стали	С	51	Мп	Сг	|	Ni	|	Си но более
А. Сталь для металлических конструкций
14Г	0,12—0,18	<17—0,37	0,7—1	0,3	<3	0,3
1SE	0,16—0/22	<17—1/37	0,8—1,15	<3	о/з	
09Г2	<0,12	0,17—0,37	1,4—1Л	<з	9/3	<3
14Г2	0,12—0,18	<17—<37	1,2—1,6	0,3	0,3	0,3
18Г2	0,14—0,2	<25—<55	1,2—1,6	0,3	<3	<3
12ГС	0,09—0,15	0,5—0,3	0,8—1,2	0,3	0,3	0,3
16ГС	0,12—0,18	<4—9,7	0,9—1,2	0/1	0,3	с.з
17ГС	0,14—0/2	()<__<<	1—1 л	0,3	<3	0,3
О9Г2С	<0,12	0,5—9,8	1,3—1/7	<3	о Л	0,3
1ПГ2С1	<0,12	<9—1/2	1,3—1,65	0/1	0,3	3,3
15ГФ	0,12—0,18	<17—0,37	0Д—Д2	0/3	0,3	0,3 (ваиадиЯ 0,
14ХГС	0,11—0,16	0,4-0,7	0,3—<3	0,5—0,8	0,3	0.3
15.ХСНД	0,12—0,13	(’,4—0,7	о Л— о,7	0,6—0,9	0,3—ОЛ	0,2—0
М’ХСНД	<0,12	О—1,1	0,5—0,8	0,6—0,9	0,5—<3	< 4—Jj
Б. Сталь для йршфодашш железобетонных конструкций
загс	0,3—0,37	0.6-0,9	0,8—1,2	0/3	0,3	3.3
18Г2	0,14—<23	0,6—0,9	1,2—1,6	0,3	0,3	0,3
25Г2С	<?,<—« 29	0,6—0,9	1,2—1,6	0,3	о, о	(',3
20ХГ2Ц	0,19—0,26	<	7	1,5—1,9	11,9-1,0	<3	0,3
						(ИнрНОыЯЙ 0/
80G	0,7-4—0,82	0,6—1	(>а5—0,8	0,3	о.з	0/3
	.				J	
В обозначении марок стали двузначные цифры слева			указывают приблизительное соде		окание угл<и	ша в сотых
процента. Буквы обозначают.' Г — марганец, С — кремний.			X — хром, Н —никель, Д- м<		ь, Ц - крю	ИНЙ, Ф — ЕД
цифры после бука указывают приблизительное процентное			содержание соответствую щеги зле		мента с целы	едннлиах.
4,1. СТАЛИ
157
Механические свойства низколегированной стали (ГОСТ 5058—65*)
Марка стали		Толщина проката Й ЛП’4	при растяжении		Мех а н и чес к и е с я о й с т в а				Испытание на загиб в холодном состоянии С—толщина оп- равки; й—толщи- на проката; d—ди?метр стержня
						Ударная ьязкость ak в кГм,:£М* при температуре в °C			
									
			иременное '.’опротаме - кие паврыву СД 0 к/';мм-	предел теку- 'чести <т в кГ/м.н2	относитель- псс удлинение в %				
						J-20	—4и	-70	
			не менее						
				А. Сталь для	металлических	Е^ИСТруНДЙ!			
14Г		4—10	У	29	21			3,5		180° С—'2а
19Г		<1—10		32	22	—	3,5	—	180° С=--2а
ЮГ2		1—20	45	31	21	__			180° С—2а
		21—32	45	11)	21	—	4		
		W	47	34	21	_	3,5		180° С-=2й
14Г2		11—32	4В	53	21	—		—	
18 Г2		з-п>	02	3G	21			4		1.80° С=2а
wrc		4—10	47	38	28	—	—		MJy С'^а
			5о	33	21		4	3	180° С -2п
1			49	32	21	6	3	2,5		
Ш-С |			-Ш	30 29	21 21	г.	2 31	11	
			46	28	21	6	3	2,5	—
17ГС			an	35 34	23 23	—	4Д 3,5	-	180° С=2д
		4—10	50	35	21			4	3,5	1»0= С—2а
			40	33	21	6	2,	3	—
			47	31	21	К	3,5	3	
оуНс		> 8 . -.111 ;	46	Д)	21	6	3 з	3	
		CJ.	45	а	21	6	3,5	3	—_
		Сайте р н)	44	27	21	6	ОМ	3	
		•г  !!'	гр»	:33	2!			4	3	130° С=2а
			М	36	21	6	3	УМ	
10Г2С1		' I . .. :'1	50	35	М	6‘	2	2,5	
			48	34	21	В	3	2,5	•—
									
		J.U ни	46	32	21	6	3	2,5	—
			S3	38	21			4		130° С--^2а
15ГФ		11 '	52	36	21		3		—,
			48	34	21	—	3	—	—-
14ХГС		4—10	50	35	22	—,	4	-	180° С=2я
15.ХСНД		4—32	50	35	21	—	3	3	180° С=2я
		1—10	64	40	19			5		180° С^2а
юхенд •		И—13	м	О	19			4	3	180°
		16—32	54	40	19				5	3	1ЖГ С^2й
		ей- W	52	О	19	—	5	3	
			Б, Сталь для армирований жедвзобс			гонный конструкций			
35ГС		6—40	60	40	14	—	—		90’ С =38
		6—9	60	40	14				.			90° С—3d
i		40—Ш	50	30	14	—	—	—	—
Jul С		6—10	W	40	14							90” C==3d
* \МЦ		10—32	90	60	6	~~			45° C—S/2
!		10	1й	®	60	6	—	—	~~	4п° C--M5d
1Ж
РАЗДЕЛ 4. 1А1'	' Д Л >Я СТРОИТЙЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ, МЕТОД1Яп,,Р^ЧД1Д.
Т а б л и ц а 4,13
Механические свойства сталей классов С Я2/40, С 60/4S, С 70/60, С 85/75
Класс стали (ус- лозное обозна- чение)	Марка с та ли	Вид прока- та	ГОСТ иля ТУ	Толщина проката в мм	Механические свойства			Ударная вяз- кость в кГм!сл? при темп.- ратуре ис- пытания и "С		Состояние поставки
					i предел текучести	| О.г В ftf/W	j	временное сопротив* ' ление разрыву ств । в кГГм^	относительное удли- нение 65 в %			
								—40	—60	
					не менее					
С 52/4) 15ГССФ
10Г2С!
10ХСНД
Сталь повышенной прочности
Листовая	Ч МТУ .,	4—32	40	55	13
	ЦНИИЧМ				
э	ЧИТУ 	„	6Ы-Р1 цниичм	4™-32	40	54	W
Листовая, сортовая,, фа= сонная, ши- рокополосная (универсаль- ная)	ГОСТ 51)58—65’	4—40	40	52	19
Листовая, широкопо- лосная	ЧМТУ 551-61				
	цниичм	4—50	40	55	19
а		Горячекатаная
5	—	Термообрабо- танная (закалкат- 4-отпуск)
5	3 (—70”)	Горячекатаная
4	3	Термообрабо
		данная
Сталь еысокой прочности
С 60/45	16Г2АФ	То же	ЧМ.ТУ I-45-G7	4—«6<1	45	60	20	4	3	То же
	ЬГОАФпс	д	То же	4--б0	45	60	20	4	3	»
	15ХСНД	Листовая	ГОСТ 5058—66’	1.0—32	5U	60	17	4	3 (-70°)	Термообрабо- танная (закал- ка -г ОТПУСК)
	15ХГ2СФР		ЧМТУ	4-20	50		15	3		Горячекатаная
			цниичм							
	15Г2СФ	»	То же	й—32	5G	61)	17	5		Термообрабо- танная (закалка-h 4- отпуск)
С 70/60	14ГСЙФР		ЧУИ У 1-45-67	4—4(1	60	70	12	•>	—	Нормализован- ная
	12ХГ2СФМГ	3	J!TL^ 138ст5 цниичм	4—2!)	60	30	13	3	~~	Горячекатаная
С 85/75	1/15ХПСФМР	»	-2442L. 138.>.е5 ЦНИИЧМ	3—32	70	35	12	4	—	Термообрабо- санная (закал- ки -t отпуск)
П р и..й :е ч а и и е. Класс /тали с буквой Р означает, 4'1 о сталь разупрочняется при сварке.
Т а б л н ц а 4.14
Химический состав и механические свойства сталей повышенной я высокой прочности, применяемых в-строительстве за границей
КлаССИфИКа- ЦИЯ (.'I'dли в СССР	Страна, произво- дящая сталь	Марка стали	Химический состав в %									.Механические свойства			П рнмечанн е
			С	Ми	Si	Р	Сг	Ni	Си	1 другие । элемеигы		л редел гекучест!! <тт в кГ/ЯМ-	временное сопротив- ление о в кГ,’мм~	относи- тельное гдлимение 6 в %	
С 38/23 С 4А/34	США »	А *3’6 А-50 А-55 BSCV-55	ill А i	со	и । 15S °'1	Ч 1 1 Т 3	0,01	—	1 III	—	—	ill 1	25 38 28	44 4) 49	20	Все вилы п р-у к а га
С 5?/<10	» Фраиция	А -50 BSCV-60 B-12IC	0_>>	R4		-	-	С 1	-	о, 1	0.UV	42 40	52,5 58 -57	—	
С 60/45	США ФРГ .Австрия Я иония	А -353. А-55 BSCV-65 ВГ146К FB70 H.SR55 St-5i) Т TEN-60	0,13 (42 032 0,12— 0,18 0,18 0Д6	0,8— 0,9 1,3 1,6 0,83- 1,2 1,5 1,35	0,13— чш 0,45 0,45 0,35— Ц5 0,45 0,55			0,8— I, >	АС । ।	। 1	0.12 0,3 0,3	ОДоП 0,18V 0,15V	45 45 45 45 45 45 4-5 46	63—35,5 53 53—70 60-74 57—74 65 60	22 16-22 26 16	Листы, пла- с гины, стержни
						/> и । । । 0	—								
С 60/45	США ФРГ	1	NE S- 70 N-A-XTRA-76 Wei -Mimix	ЦД— 0,2>	0, 5— 0,'! 0,>- 0,7	ОД- 0,8	0,04	<1.5— 0,7	1,4- 1,0	7,0— 1.5	0, 2— 0,3 UJ- 0,2	0,05- 0, ! 5.Zr	53 53 50	74 65,6 65—,80	51 1	1	
С 60/45	?> А и г лиа	Aidаг 50/65 Маргавцемолиб- ДЛ'НОбЗЯ	0,2 0,2	R5	(1,5 п,3	0,0 5	0,25	(), А,	—	0,15	-	57 57,8	64,5	18	
С 70/61»	Я исиня США & Я полня »	Никельмолибде- ноборнстая Дналлой SUO USST-1 N-A-XTKA-UJO sss*nn H-A-XTRA-IW) H-A-XTRA-УО 'Jli-L'llra	0,15 0,15 0,1 7 0,2 Ф02- 0,2 0,16 9 1 0,io	о,"7 1.5 и,!) 0,5— о,7 0, 4 — о,7 ОС	1 		0,015 0,018 0,0-1 оа Ш 0,15 0,04 о,ш	0,18 0,5- 0,2 1, 1-3 0,5	0,81 2,25 !, 5	Ill IS	ill	0,8 0/5 0,1- Ч !- 0,1 — 0,5 0.2 0,4 0J	1), 04 V 0,05— 0,15Zr P,1V	61,8 65 63,'1-70,1 7и 71,4 65 70	71,8 70 73,7—Ш 84,5 81—94 83 77 80	; 5Й| II	R 1	__ Термически обработана. Все виды про- ката, кроме широкепо- лочного двутавра Лист, плас- тИ)Ш, стер- жень
С 85/75	США »	N-A-XTRA-125 N-A-XTRA-150	с,3 0,3	0А- 0,7 0, 5— 0,7	0,5 — 0, 8 б, 5— 0,8	0,01 (>,')!	0,5— 0.7 0,5— О’, 7	—	-	0,1 — 0.2 0,1 — о.з	—	89,2 111	97,8 116	—	
4.1. СТАЛИ
] go	РАЗДЕЛ ^МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
Механические свойства сталей высокой прочности
(классов С 60/45—С 85/75) даны в табл. 4.13.
За нормативное сопротивление низколегированны',
сталей и сталей высокой прочности принимается мень-
шая из двух величин: наименьший предел текучести или
наименьшее временное сопротивление разрыву, умножен-
ное на коэффициент условий работа материала 0,8.
Проектирование конструкций из низколегированных ста-
лей ведется по СНиП П-В.3-62* [135], из сталей высокой
прочности — по СН 347-66 [1]. Конструкции, работающие
при низких температурах (от —40 до —60“С), проекти-
руют по СН 363-66 [15].
В табл. 4.14 даны характеристики основных марок
сталей, применяемых за рубежом.
К классам А-П. А-Ш « A-IV относится стиль перио-
дического профиля ио ГОСТ 5781--61, она ирши:таились
собой круглые стержни с выступахщ, :гдущнми по трех-
заходной винтовой линии, с двумя продольными ребра-
ми. Основные характеристики стержневой арматуры да-
ны в табл. 4.15.
Высокопрочная проволока. Для армирования пред-
варительно напряженных железобетонных констрдкиий
применяется также высокопрочная проволока круглая
и периодического профиля по ГОСТ 7348—63, ГОСТ
8480-- 63 (табл. 4.16).
Т ail... л и. а I ТО
Основные характеристики сталей для проволочной
арматуры jiff]
4.1.4. Сталь для арматуры
железобетониых конструкций
Сталь арматурная стержневая. По условиям приме-
нения стержневая арматура может быть иенаиригаемой
(класс А-I, А-П, A-HI) —для обычных и предварительно
напряженных конструкций и напрягаемой (класс A-1V,
А-Шв) для предварительно напряженных конструкций.
Т а б л и и а 4.15
Основные характеристики сталей для стержневой арматуры [10]			
Клас с	Вид	Пор матнЕиос с игр огив- лепие R^v кГ /мм- (но пределу текучее!и)	i i Модуль упругости в S фгГ/щГ 10»
	Горячекатаная		
Ad j Adi	Сталь маоки Ст.З, ГОСТ 380-71; 9543-fil); 5781—61	, Сталь марок Ст.5 и Ст.ЗГпс ГОСТ 380—71;	0543—60. 5751—61 , . . .		24 30	2d 2,1
.А-П!	Сталь марок 25Г2С и 35ГС, ГОСТ 50—65*; 5781—61	40	2
AdV	Сталь марок 20XT2LT ВОС и Др., ГОСТ 5058—65*; 5781-61	«1	
	Упрочненная в ы т я ж ко й		
А-Пв Adils	Сталь класса АП; уп- рочненная эь/тяжной до 45 кГ;мм* при удлинении не более 5,5% ....... То же, с удлиненном 6,5% бея контроля усилий . . . Сталь класса А-П1, уп- рочненная вытяжкой до 5» кГ/мм2 при удлинения не более 3,5% для 25Т2С и -1,5% для 35ГС ч, . 		 То же, с удлинением 3,5 или 4.5, но без контроля уд- линений .... s . .	45 55 55	2,1
Проволока стильная куу- !
елдя	для предвари-ельно !
i напряженных
пых	конструкций d'OC/Г '
7348—63) д и а м о г р и м;
B-п з мм . .	152
4	»	,	.	.	.	.	.	,	,	144
5 >	.......	136
6	»	,	.	.	.	,	.	.	.	128
7	.»	=	,	„	,	.	„	s	120
9 »	........	112
Тр-П	То же, периодического профиля (ГОСТ WO—Od /наметром, 3	мм	. . 4	>	........ 5	»	........ 7	»	........ 8 »					14-1 135 12Н 120	 уз П2 134 j 120
П-7	Семшгроьоло'зныс приди диаметром: £1 л?.т/ ........ 12 > 15#	.....	‘	
Рпе, 4.6, Изменение механических свойств выси-
колричшэй проволоки диаметром 5 мм
(ГОСТ 7348—63)
— ьременяос гоиротпнленим (J); яредел текучести ПО;
нреде.'! упругистн
АЛЮМИНИЕВЫЕ СПЛАВЫ
161
Рис. 4.7. Ползучесть высокопрочной прово-
локи при температ'.'ре 18® С. Состав: 0,70% С;
0,48% Мп; 0,16% Si; 0,036% S; 0,022% Р
Марки стали, как указано в стандартах, устанавли-
ваются заводом-изготовителем; требования к проволоке
предъявляются лишь по механическим свойствам.
На рис. 4.6—4.9 показаны изменения механических
свойств проволоки при нагреве, данные о ползучести и
релаксации напряжений.
Рис. 4 8. Релаксация высокопрочной про-
волоки при температуре 18° С. Состав:
0,70% С; 0,48% Мп; 0,16% Si, 0,036% S;
0,022% Р
4.2.	АЛЮМИНИЕВЫЕ СПЛАВЫ
Общие сведения. Особенности алюминиевого сплава
как строительного материала: малый удельный вес, со-
ставляющий около 2,7 Г/см3, т. е. примерно в 3 раза
меньше, чем у стали; широкие пределы изменения проч-
ностных характеристик и высокая относительная проч-
ность некоторых сплавов; повышенная коррозионная
стойкость ряда сплавов; сравнительно низкое значение
модуля продольной упругости — в среднем 710 000 кГ/см3,
т, е. в 3 раза меньше, чем у стали; пониженное по срав-
нению со сталью значение предела выносливости (уста-
лости); высокая технологичность, определяемая возмож-
ностью получения с металлургических заводов полуфаб-
рикатов необходимой формы и размеров; трудность полу-
чения равнопрочных сварных соединений при применении
сплавов с высокими показателями прочности; необходи-
мость бережного обращения с полуфабрикатами, изде-
лиями и конструкциями на всех стадиях хранения, изго-
товления, перевозки, монтажа и эксплуатации; возмож-
ность придания поверхности алюминиевых элементов ка-
честв, обеспечивающих архитектурную выразительность,
путем полирования, анодирования, эмалирования и т. д.;
высокая отражательная способность; сохранение проч-
ностных характеристик при низких температурах; отсут-
ствие жирообразования; отсутствие магнитных качеств.
Из перечисленных особенностей основными являются:
легкость, коррозионная стойкость и технологичность.
Основной недостаток — высокая в настоящее время
стоимость полуфабрикатов и конструкций, что приводит
к технико-экономической целесообразности применения
алюминиевых сплавов только при особых условиях ком-
поновки зданий или сооружений, строительства и экс-
плуатации. Примером могут служить: конструкции, в ко-
торых собственный вес составляет значительную часть
суммарной нагрузки (например, конструкции покрытий
большепролетных зданий, панели стен и покрытий) и его
уменьшение обеспечивает облегчение несущих конструк-
11 — 1303
цмй; здания, возводимые в отдаленных и труднодоступ-
ных районах, предназначаемые для эксплуатации в аг-
рессивных средах, возводимые в районах высокой сей-
смичности; фасады и интерьеры зданий; подвижные,
сборно-разборные конструкции; монтажное оборудование
и приспособления.
Конструкции и элементы из алюминиевых сплавов
удачно сочетаются с другими строительными материа-
лами: сталью, пластмассами, стеклом, деревом и т. д.
Алюминиевые сплавы делятся на деформируемые.,
допускающие прокат и прессование, и литые. Деформи-
руемые алюминиевые сплавы, являющиеся основным ма-
териалом для строительных конструкций, делятся на
упрочняемые и неупрочняемые термической обработкой.
Термическая обработка осуществляется путем закалки
и последующею старения (естественного при комнатной
температуре или искусственного при нагреве) и приводит
к повышению прочностных показателей сплавов и сни-
жению их пластичности. Повышение прочностных пока-
зателей сплавов, не упрочненных термической обработ-
кой, может достигаться с помощью наклева (деформи-
рования в холодном состоянии).
Чистый и технический алюминий обладает высокой
пластичностью, но низкой прочностью, поэтому эти ма-
териалы применяются в ненагруженных иди малонагру-
же.нных конструкциях.
Алюминиевые сплавы опведеллются группой (систе-
мой) в зависимости ог основных пегпрующчх кочпо
негтов, маркой сплава и его состоянием К ч-тоу со-
стояний относятся отожженное (пятое, i, обозначаю, ое
бххвой М, по'уьагартоз„нпое — II, закжечнос -1 тсте-
стпепно .истаренчое — Т, зато ’е'щсщ ц чс. усегвенно го-
старенное — 11.
Расчет алюминиевых1 кочетрщщпй в зны-’тельной
’ По, a	пдйтшз} ’иявдю1	’ ин (ту, • н у? .--и
162.
РАЗДЕЛ 4. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТВЛЬДЫК КОНСТРУКЦИИ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
для строительству (СНиП П-В.5-64)
Таблица 4.17
1 Руппа сплгна	V7’				J	r ШПРОТЫ В %					Механические свойства				
	: и еосюя« : ЙЙГ СЛЛЙ’ ва	| маг- | НИИ	I мар. 1 ганец	кремний	| цинк	медь { прочие		°В’ кГ/мм2	G0,2. кГ/мм3	'СВ- кГ/мм-	в. %	НЬ\ ' кГ/мм11 \
	। ।											
А. Деформируемые сплавы для элементов конструкций												
	|	—	—	—	—		Сумма примесей 0,7%	8	3	5.5	ав	25
												
к К И Я												
												
А л в м лк и й— и арга - lira	| АМц-М		1—4,6	—	—			Ю	5	8	20	30	;
	| АМц-П							15	12		1.0	40	;
Алюми	ай гмагяалкн)	АМг2-М	2, Я	0,2— 0,6*	—	-			17	|	8	12	1(5	45
	АМгЗ-М	в,2- 3,8	о.з—	0,5— 0,8		-		20	'	10	—	15	
	АМгДП АМгЗ-П	:Д~<3 3,2-3,8	i 0,2— 0,6* 0,3—0,6	0,5—0,8	—	1		24	20	15	4	60
	АЖгВ-М	"О-- o,8	0,5- 0,8			—	Титан 0,02—0,1	27	12	—	Э5	65
	АМгб-М	5,8- S.S	0,5— 0,8	—		—	Титан 0,02—0,1	32	16		13	—
		6,1	®,T		7 7Ц~		—	40	24		И	—
ШШ—KpWeilA	АДЗЗ-Т	0,4-- 0,9	—	0,3—0,7				17	8	—	20	—
	АД31-Т1 '							20	15	15	8	80
	ЛДЭЗ-Т АДЗЗ-Т1	0,8- "p;8	—	04—0,8		0,15- u •	о>]бЙ(Ш	23	12	15	8	
								27	24	15	10	
	АД35-Т	0,8— 1,4	0,5— o	0,8^1,2				26	13		—	
	АД35-Т1							30	28	—	10	зо :
	А..В-М		0,15- 0,8	0,-5~"132 :;		0,1-		18	—	8	30	80
	АВ-Т							S0	12	|	16		18	65
	АВ-Т1							30	28	21	10	95	:
1К—•	ВЙ-Т	3,75		—	•2,7S	—	Титан Й,2	36	30	—	20	
АЖ1оИййиЯ-~кеаъ— а"; {Страже»™)		0, 4—-	0Д- 0,8	—	—	3.8M 4,8		38	20	—	Р	95
		'U^ 1,8	’0,3-			3,8- 4,S		44	30	27	10	105 
I p£i~ ф.. бсйГрИЙе-ШАДЬ СТаастА		i,8—	0,3-r n.B ,	—	’ 5W	i;^s	Хром 0,1—0,25	S3	44	40	6	150 
	Б. Дефррмиру©мга	ялч '’'‘грелок и бцлтод jctIq-’ I | !)	J	—-	J — j	|	30								17	W	24	70
	1	> i	~ 1 JS’							40	—		Й0	
4.2. АЛЮМИНИЕВЫЕ СПЛАВЫ
J63
Продолжение табл.. л.П
Мсхаакческие' свойства'
Легсщтацие компоненты в %
Трудна сплава	и состоя- ние епда- sa"	маг- ний	мар- ганец		ДИНК	медь	прочие	кГ/хмй	а0,2- кГ/фц1	ь кГ	в. Ai	НВ, кГ;мя
А л ю м ин и й—ц и н к— магний—^едь	B94-TI	1,2- м	—	—	5.9— 6А	lfR— 2Л	Титан ОДИ—9,08	53	44	29	1	15	1®
28
АлК1Мииий”-111агиий
9,fi-
ll, 5
аа
Г. Сплавы для сварных соединений
Пя 1 .1'1 । 3 j < Г> ч .	’	j » и алюаиниеаык сплавов приициаетея пи ГОСТ 7871—63
'Т'Мартлиец или хром в том же количестве,
'61 Дайн&е — ориентировочные.
Megg сходен < .,и тао i "тпп< © стии’ игн <о
•А> я „ о„( е Р m ПрОДЭ Ц О ии./ЧП’ . та ЩЦ
ч iCTS прнст ч* , i 'Пхсд, .ст ст , ’Оспа систем, в ко-
торых эти осовениос 1 н ст ивляются недостатком, 'напри-
мер мембранные и висячие i с» >р Ы'1 • 1 -1 ' ‘ 1
>1Ы оСеетр шви ci .ст стаю  п та 'стоэ 3 тау, ,л, —
I )1»0 W>r, OlCTlo' , Bpoi-CTU - д Ьс ыпо U I ’<г
Дя1,юёа1ч min, о tCTCT । ч сю общей й местной
устойчивое®. 'Ст --ст
Пр назначению алюминиевые конструкции делятся на
стею ц,г,.. т ,ч группы ' гр.щ ii'w ,	пт	’ окои-
Шст О р И ' । 1, стер ! К , г J Ь С СТС 1 СТ О.	Ст ) ст
ют,, стстщие > ост, о । <>а < 7р, стц "'.Щ’И г г пял-
ли стен и покрытий, прдст'рапствёйные 'конструкции по-
рЬШ , I и Г
Механические свойства алюминиевых сплавов опре-
деляются их химическим составом, состоянием (обработ-
>0’0, нчтстст с_ 1 ера ’ J I о (ч1 сто ’ «о ст и i i и гл
1,ШТ| х л а Ч; <>"( jin ц 1ст ст j г «I т. ст
в табл, 4.17 данные о химической'составе й механических
стрщтггце 111.1 1 нр.стст- с Т-СТ'СТСОСТ 0< )СТ	по
. р СТСТ чи,т <. Tile стт С( > -Р < ' ? 1 г ' ! 1 7] 1 < 1Г1; ммы
растяжения и сжатии разных а'люмйниевых' сплавов
ср ист г юно ’ ст сттмст д та п ;руга, однако в
отличие от стали у них	я;
за условный предел текучее® сплавов принимается обыч-
но 'напряжение при относительном остаточном удлинении
0,2%.
Химический состав и механические характеристики
алюминиевых сплавов для строительства, включенных в
СНиП 1I-B.5-64, приведены в табл. 4.17.
Перечисленные в табл. '4.17 алюминиевые сплавы
предназначаются:
для ограждающих конструкций — АД1-М, АМц-М.
АМг-М и АД31-Т; эти сплавы отличаются выеркрй: кор-
розионной СТОЙКОСТЬЮ И теХДОЛОНЦИЮСТЬЮ’,
СТ< OI стст-ч, 'СТ И ’Щ'Т Ч< ст ITCT.IH)
шие функции (в	।
и коррозионной стойкости!	А,
АМг:ПГАМг5-М, Ш’ЬТ. АДЗЙ'Н, АДЗЗ-Т, АДЗЗ-Т1.
<1 та1 1 А -лиг 3 ’	кота та Al ।
И Д’ ст Ч, > I 40 II- 1 О ’	113 Ч<| 1’ О * ОСТ и и
для несущих сварных конструкций .............АМг5-М,
Ибо ч 7 41 1 1, ' П ’ 1-7 I Ш 7 : 1Ы-СТ-Т - , Ст’ -В И
I I < Ист 17 ,< о 'ИЧ 1 в <о - О КО I г. , J - ст jp / .
нятйя с содержанием меди до 0.1 %';
а а । ..Цо 1 . р.1 и и та щ'струкшш — те
же сплавы, что и для несущих еварнйх конструкций с
добавлением сплавов ДГ-Т, Д16-Т й'В95аИ; одй»о пос-
ледние три' сплава обладают'йойй'женнбв 'коррозионной
стойкостью.	'	'	-
Помимо перечисленных ПНиП П-В.5-64 предусматри-
вает ЙрИМбиёЙР" при соответствующем обосновании И
других марок и состоял irt атата дв,. г т_вов.
Для заклёпок и болтов йЬмя'йЬ указанных и табл. 4.17
могут применяться' йтла'йы' АД1'-М ''(нёЖртойаниие за-
йейки), АМц, АМ'г5п-М („т та и дотом обозначен
сплав для иаготов'лення ip гьо.отку и прутков), АМг,
АДЗЗ-Tl, АВ-Т1'и'др.	'
За нормативное сопротивление' деформируемых алю-
миниевых сплавов растяжению, сжатию и изгибу приня-
1 "I > ЮН ICTi 7, Д1.”Х В 1ЧЦ < 9,7 1Г. 1^ I. --О 3,16-
менного сопротивления.. разрыву, уставов сеяного стан-
дартами или тетййчёскймй' уШовйями, 'йлистусловцый
предел текучести, соответствующий напряжеййю при
та с> г таг । о . стю та» гд; W“ < 1 0’%
. Or, н > I г ”, щ ч таг) I 1 I	г I	) Ст',(,
пределах от 1 ч/ «2 (Ь'Ъ 1щ та б	3_
lib Пределу выносливости ('цсТйлбстй) гичв 1 таи. . rAn!i
П-В.5-64.	"	'
Коэффициент линейного rnj'ifjap-’Hij-’ i« цгзчтаых
силанов а=23-10 ‘ .'ргд 1 е про " рчд гц“ tu.ib-
ше, чем у стали. Однако i иеэ„11р..ын . pi «нчя в
. CTMI IJi'T < । та p/’ 1’H’ !4 1	-»e ,> в ЦП', ст О.Ч-
Clf; U1>	fjtj Г • • ЮП I' Г <1 та ,'ry t Осте', ж
сдвйга G = 270'000 я/фта’у	»
' Приводимые в бНй'П П-В,5-в4-раВчёЖме сопротивле-
ний' соответствуют г .п-*татчр -j.-’in от --4Q до
%-50° С. При понижении	—70? С
раг'чт!’ >ic ”011,ют > ст-”! я те та’яютсд
Пта ювы>ле'ч<ц т,,ч,стр1-упд cbepv хр и 50 -[_1£)0'С
К > < А” та” СТ (<>,'	1 ст ПОСТ । 1ст Ki CTC.ri ча-
эф'фйцйенты 0,5 '*'< в ,татар та та ,,, ,ажл сплава и
условий работы ci pv • i । Пип 1- таретуре свыше
100* С должны it < иита ш бос стз-щ о ’та чя
кг	оирочаие алю-
миниевые СИЛаЙЫ. Л' А стст: ст'
Соединения алюминиевых 'элементов. Широкие пре-
г ы ,* 1 Р'<ч С”т-1Ы, ,iyj> v спгто»н' » . та таи
вых сплавов' ат не сттат Сс.-.и lct ст «то,
приводят » 1 Си от loci । чепл. сзоь^н ’ 1 большого ко-
личества всто- 'ед|нта’ г . опта, 1 и пых, белто-
вых, клеевых и др. В алюминиевых конструкциях пржме-
И11,та -»е виды'"еваряи, ©серены» из которых
являются;	'
1Г
164
РАЗДЕЛ 4. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
а)	механизированная ('автоматическая или полуавто-
матическая) ийи ручная элёктродуговая сварка в защит-
ной среде инертных газов с применением неплавящегося
вольфрамового электрода и присадочной проволоки; -
б)	механизированная электродуговая сварка и защит-
ной среде инертных газов с применением плавящегося
электрода;
в)	электрическая контактная сварка.
Применение сварки в струе инертного газа 'обычно
аргона) препятствует образованию оксидной пленки.
В качестве электродного и присадочного материала
применяются: в конструкциях из сплавов АД1, АМц —
проволока из того же сплава; в конструкциях из магна-
лиев— проволока из основного металла или магналия с
более высоким (по сравнению с основным металлом)
содержанием магния; в конструкциях из сплавов систе-
мы алюминий — магний — кремний — проволока из спла-
вов особого состава; в конструкциях из сплавов 1592—
проволока из того же сплава или из сплава особого со-
става.
Под влиянием нагрева при сварке наблюдается раз-
упрочнение основного металла, особенно сплавов, упроч-
ненных термической: обработкой. Это приводит практи-
чески к отказу от сварки таких сплавов, как дюралю-
мины , Д1-Т иаД16-Т, а также сплава В95-Т1 и учету
значительного разупрочнения, особенно для сплавов си-
стемы алюминий — магний — кремний.
Электрическая контактная сварка применяется: для
соединения тонкостенных элементов.
Заклепочные соединения в алюминиевых конструкци-
ях выполняются с применением холодных:,,заклёпок, из
материалов более пластичных (по сравщ'я,) с о<_ ю >
ным материалом),: чем алюминиевые сплавы, обычна той
же системы.
Болты в соединениях алюминиевых конструкций при-
меняются:	:?	:: , ,	,
а), повышенной и нормальной точности, вылощенные
из алюминии и стали;:- -
б) болты с обжимными-кольцами (лок-болты), состоя-
щие из закладного стержня: с головкой, выполняемого из
алюминиевого -сплава средней и высокой прочности, и
замыкающей:-части (обжимного кольца) из аыгичс-
вых сплавов повышенной пластичности;	-
в) высокопрочные стальные болты.
Во избежание-:контактной коррозии стальные болты
небходимо оцинковывать.
Клеевые соединения -могут применяться как самосто-
ятельно, так и в: сочетании со сварными и болтовыми сое-
динениями, Помимо этого клеевые соединения гф!'1;епэ-
ютря-в-трехслрйных конструкциях, например- при соеди-
нении среднего слоя из пластмасс и наружных слоев-из
-алюминиевых сплавов.
Полуфабрикаты (профили) для конструкций. Алюми-
ниевые полуфабрикаты поставляются металлургическими
заводами в виде гладких я профилированных: листов,
плит, прутков, профилей, труб, поковок, штамповок и
лиовтокн Гтадкие листы небольшой толщины могут
поставляться в рулонах.
А ю чцщевые пс . шабрикаты в ряде случаев,, выпол-
няются  оч| 01 те цып, I, что определяется высокой кор-
розионной стойкостью и технологичностью. Согласно
( НиП h В 5 64 щщ-то ;дьная толщина листов и стенок
просмк щя не уащх конструкций допускается 1,5—
3 мм: для конструкций, ограждающих и совмещающих
lecrtnjr и др тоща ищч-= функции, толщина не лимити-
руется.
Прессованные тооф'«’Ы цзтотовляются различного по-
перечного сечения: сплошные и полые (замкнутые профи-
ли); прессованные профили с утолщениями (бульбами)
и отбортовками; сплошные профили для поясов трехгран-
ных конструкций; профили с очертанием, приспособлен-
ным Аля присоединения стекла, и т. д.
Размеры- поперечного сечения прессованного профиля
(диаметр описанного круга) определяются диаметром
цилиндра пресса, который равен обычно 320 мм, а в от-
дельных случаях 530 мм и более.
Коррозионная стойкость. Высокая коррозионная стой-
кость алюминиевых сплавов определяется образованием
на их поверхности тонкой окисной пленки, которая пре-
пятствует дальнейшему прониканию кислорода и сильно
замедляет процесс окисления. При этом коррозия алю-
миниевых сплавов имеет затухающий во времени харак-
тер. Коррозия алюминиевых сплавов может вызываться
как химическими, так и электрохимическими реакциями.
Химические реакции возникают обычно под влиянием
кислот с водородным показателем pH < 4,8 пли иод
влиянием щелочей с pH>9,5. При этом коррозия алю-
миния, например газовая, может быть и при отсутствии
влаги. Электрохимическая коррозия может проявляться
при, контакте металлов с разными потенциалами и при
наличии электролита, а также при контакте алюминие-
вых -сплавов с некоторыми неметаллическими материа-
ламц из-за содержания агрессивных веществ, например
щелочей, в бетоне.
Коррозионная стойкость алюминиевых сплавов и кон-
струкций из этих материалов зависит от: Характера и
степени агрессивности среды; системы, марок и состоя-
ния сйлава; формы элементов и конструкций; вида кон-
тактов с другими материалами и т. д.
По отношению к алюминиевым сплавам химические
элементы могут быть неагрессивными, агрессивными при
определенных условиях и агрессивными,
ы числу неагрессивных элементов и соединений отно-
сятся: водород, аргон, кислород, озон, жидкий кислород,
сера, азот, углерод, сернистый газ, сероводород, аммиак,
мочевина и др.	'
К числу элементов и соединений, агрессивность кото-
рых, зависит от концентрации, влажности, температуры
и других условий, относятся кислоты: сернистая, серная,
азодная, угольная, борная, фосфорная и др.
Агрессивными по отношению к алюминиевым элемен-
там и соединениям являются фтор, хлор, бром, йод, соля-
ная, кислота, мышьяковистая кислота, карбонат калия
(поташ), карбонат натрия( сода) и др.
Наибольшей коррозионной стойкостью обладают чис-
тый алюминий; технический алюминий АД1 с малым ко-
личеством примесей; сплав алюминий — марганец; маг-
-иалии с относительно невысоким содержанием магния
(до. 4—5%); сплавы систем алюминий — магний—крем-
ний (при отсутствии меди или ограниченным ее содер-
жанием до 0,1%); сплав В92-Т.
Невысокой коррозионной стойкостью обладают спла-
вы Д1-Т, Д16-Т и В95-Т1.
Наклеп обычно несколько снижает коррозионную
стойкость алюминиевых сплавов, неупрочняемых терми-
ческой обработкой. Термическая обработка снижает кор-
розионную стойкость.
Выбор марок и состояний алюминиевых сплавов дол-
жен увязываться с условиями эксплуатации. Например,
при применении алюминиевых конструкций в приморской
среде рекомендуются сплавы системы алюминий — маг-
ний (магналии) и должны исключаться сплавы, содержа-
щие, медь. В целях повышения коррозионной стойкости
следует избегать труднодоступных для осмотра и очист-
ки мест, а также мест скопления воды и пыли.
В целях исключения контактной коррозии следует
применять долговечные прокладки (СНиП П-В.5-64).
4,3. БЕТОН
165
Коррозионная стойкость алюминиевых сплавов может
быть в необходимых случаях повышена в результате:
а)	применения покрытий (плакирования) листов, на-
пример, чистым алюминием во время прокатки листового
материала, что сопряжено, однако, с небольшим: сниже-
нием показателей прочности; при этом плакирование яв-
ляется обязательным для листоп из дюралюминоа и
сплава В95-Т1;
б)	анодирования, как повышающего коррозионную
стойкость, так и улучшающего архитектурные качества
конструкций;
в)	применения лакокрасочных покрытий.
4,3. БЕТОН
Общие сведения. Бетон — искусственный каменный
материал; состоит из цементного камня (или камня, об-
разующегося из других вяжущих материалов), тяжелых
или легких заполнителей (гравия, щебня, керамзита,
шлака, песка и пр.), пор и капилляров, заполненных воз-
духом и водой в жидкой и газообразной фазе.
Основные виды бетонов:
а)	цементный бетон, изготовленный из смеси порт-
ландцемента или цемента других видов, заполнителей
и воды;
б)	силикатный бетон, изготовленный из смеси извести,
воды, тонкомолотой добавки (молотого кварцевого пес-
ка, доменного гранулированного шлака и др.), песка и
других заполнителей; силикатный бетон применяется
преимущественно в изделиях, твердеющих в автоклаве;
в)	ячеистый бетон, имеющий равномерно распреде-
ленные поры с размерами до 3 мм, изготовленный из
смеси вяжущего (цементного, известкового), тонкодис-
лерсного компонента (например, молотого песка) и по-
рообразователя.
По объемному весу бетоны подразделяются:
а)	на обыкновенные (тяжелые) —с объемным весом
более 1800 до 2500 кг/м'3; изготовляются с тяжелыми
заполнителями (обычно с гравием и щебнем тяжелых
горных пород);
б)	легкие — с объемным весом 600—1800 кг/м3;
к ним относятся бетоны с легкими заполнителями (ке-
рамзитом, шлаком, пемзой) и ячеистые бетоны.
Кроме указанных существуют особо тяжелые цемент-
ные бетоны с объемным весом более 2500 кг/м3, применя-
емые для специальных защитных сооружений, и особо
легкие теплоизоляционные бетоны с объемным весом ме-
нее 500 кг/м3.
Более подробную классификацию бетонов см. [31].
Прочность (так же, как деформации и другие свой-
ства) в значительной степени зависит от соотношений и
свойств входящих в состав бетона материалов, методов
укладки и обработки смеси, возраста к моменту загруже-
ния, размеров бетонного элемента, температуры и влаж-
ности среды, в которой находится бетон, и др.
Обобщенные данные о прочности и деформациях бе-
тона в зависимости от различных факторов, а также о
методах испытания, приведены в [23, 24, 26, 27, 29, 30,
32].
Прочность образцов бетона при сжатии зависит от
абсолютных и относительных (отношение высоты образ-
ца Л к его толщине d) размеров образца. Это объясня-
ется действием возникающих при сжатии сил трения
между поверхностями образца и плит пресса. Эти силы
препятствуют поперечным деформациям и увеличивают
разрушающую нагрузку. Влияние сил трепня тем боль-
ше, чем меньше отношение h/d. Например, для образцов,
имеющих одинаковые размеры в плане, но разную высо-
ту, при h/d = 0,5 разрушающая нагрузка составляет
от 1,5Ркуб до 2,5 Ркуб, а при h/d=si — от 0,75
до 0,95 Ркуг,, где P,iyg — разрушающая нагрузка для ку-
ба [h/d. — 1). Влияние сил трения изменяется также с
изменением абсолютных размеров образцов — кубов бе-
тона.
Правила изготовления, условия хранения и методы
испытания образцов бетона различных видов см. [25, 26,
27, 33].
Прочность бетона в конструкциях близка к прочности
бетона, получаемой при испытании призмы, с отношени-
ем h/d = 4-4-8. Предел прочности при сжатии призмы
сечением 20X20 см и высотой 80 с.и называется призмен-
ной прочностью Rap. Она может быть вычислена, поль-
зуясь формулами (а) и (б), с подстановкой в них вме-
сто нормативных сопротивлений — пределов прочности
бетона.
При сжатии бетона образуются микротрещины (раз-
рывы), обнаруживаемые с помощью тензометрических,
ультразвуковых и других методов испытания при срав-
нительно небольших напряжениях 7?т, равных для очень
слабых бетонов 0,3—0,4 /?пр, а для очень прочных 0,65—
0,75 ТЭр [24]. Видимые трещины появляются при напря-
жениях, превышающих 0,7 /?пр.
Влияние длительности приложения нагрузки на проч-
ность зависит главным образом от величины напряже-
ний. Если напряжения в бетоне меньше АС, то дли-
тельное приложение нагрузки не уменьшает (а по
некоторым данным немного увеличивает) предел проч-
ности бетона по сравнению с бетоном, не подвергавшим-
ся длительному загруженшо и испытанным в том же
возрасте. Если же напряжения превышают длительное
сопротивление бетона (?дп =0,8 то длительное дей-
ствие нагрузки вызывает его разрушение.
Повторное приложение нагрузки при большом коли-
честве циклов загружепия приводит к разрушению, если
максимальное напряжение при этой, нагрузке превышает
/?т, т. е. для прочных и высокопрочных бетонов больше
0,5—0,75 «пр.
Различные факторы по-разному влияют на проч-
ность бетона при сжатии R„v, растяжении R/'u срезе
RcTI, поэтому соотношения между этими показателями
прочности бетона изменяются ь шчоом! m дгтах. От-
ношение RnP/R-p находится для разных бетонов в пре-
делах от 5 до 16, причем обычно (но не обязательно)
увеличивается с повышением марки бетона.
Сопротивление бетона растяжению при изгибе при
соизмеримых размерах образцов [35] RS!.a = 1,84-2,2 7?s;
при этом Ар.и вычисляется по ус ювнои (дчя упруго-
пластических тел) формуле соьротив гения материалов
Р».и = Л4 : W. При изгибе бетон ргзэщ’аепя в растяну-
той зоне. Разрушение бетона в сжатой зоне возможно
только в железобетонных балках.
Сопротивление бетона "а^ок гОО — З'Ю срезу 7?с|} =
=0,184-0,27 Апр при длине плбщадбк срёза порядка 15—
20 см; в среднем АРр=0,22 Апр. Подробнее о сопротив-
лении и методах испытания бетона при растяжении и из-
гибе см. [30, 35].
Проектные марки бетбна по прочности на сжатие
и по прочности на растяжение являются характеристи-
ками прочности бетона, назначаемыми при проектиро-
вании. Нормами установлены следующие проектные
марки бетона по прочности на сжатие R: 15, 25, 35,
50, 75, 100, 150, 200, 300, 400, 600, 800. Марки 15—75 от-
носятся только к бетонам на пористых заполнителях, а
166
РАЗДЕЛ 4, МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
марки 400—'800 — только к тяжелым бетонам.
Соответствие фактической прочности бетона его
Про то, г н , д ,,,п }<Г1 Ъ "1 >, ।-,ст ивыжм
в испытаний сдедр-
ет учитывать не только средние пределы прочности бе-
All ист г 1Ю ТО	ст,г я' 1- я
Нормативная кубиковая прочность бетона при сжа-
тии R” назначается с учетом изменчивости прочности
бетона и принимается равной	'
R8
где са —- нормативное значение коэффициента изменчи-
вости, равное для тяжелого бетона и бетона на
легких заполнителях с,, — 0,135, а для авто-
клавного, ячеистого цементного бетона с„ — 0,48.
очность бетона опреде-
ляется по формулам:
и бетонов на пористых запол-
нителях:
Зависимость s и о не однозначна и может быть пред-
стамена полем,, а — в. Пример такой зависимости при
сжатии тяжелого бетона (с постоянной скоростью загру-
__У£_, = 0j8 _ 0,0001 £> > 0j73f
для ячейе'гйх бетонов .
РД
-^- = 0,95-0,0005/?.	(У
Рйс, 4.9. Зависимость деформаций от напряже-
ний
’ Ч" ст В 1'“ 'ст ,4 I ACT- ст -ст I г
пнем его Формативной прйзменг1рй( ,пррчйШтн ( ;йф: круф-
’Ч " ’ ТОТ I 1 Оз W , < бстчто/ п
I	.If 1> 1 п I < ст Ц , П_ II ।	( ст 1 ТЬН1 ,
'СТ СТ nil , ст } р™,™., Т"Я "Я СТ ЧР О ТОН ’Ч
и бетонов на пористых стпоа.по шх p-ir__j я
ячеистых i’i , 1 г „.сттостлыд оето.юв	56.
стп,"'Т' ,'Ы i р-'" 1.IJ CTl'jTT I'TCTCT fjtTO.OA	СТ
.сты . ЭТО) с. ст Ост Ст’гь; ТОТ ' Тотове Cri"ll
Д. :бг Тод. Ылстто.т, я.^гу стгрстстч1 ’ г< о
'• л* > [I is дДя бетона разчи ст То” оатооб i j
рости, ДЛИТГ bl I СТ СТ IC зЧа юг f 1 чпод > то агр
КЙ •' 1, TO-iTO'l ,!Т' -лето бЫСТ О-I f vIHOEei ПОМ ; Ml
у <	’	1 1 I I 7 б >ст .|jf CT CT , v I) ст О ,p- ,
* -СТ толст'. 1 0 i .'Д'СТрН-Л VhJ' ЧТО "ч 10
поста испытаний (от нескольких минут по едкого часа)
'I -н ТО < ipiiini ’ СТО	Г Гуч WIO'CT • -1 I СТ- СТ’
о '’устПСТ тот 1 I =, трст ITO г	а, сто ;
толст И‘ I 1 it то. 1 “ст-ц -с, те, , ли тост д>
'Юз I '1	1,4 од	, I ТО 1ТО Г 1 То', 1 0j,
op д.т> ост, о и- ,,, !, за оста стх ,ст. д затотсил-
То , ' ст . 3--, . ’ то 1“ < On I Н' 1ЯГ ’“.Ост, Г'ГСТЫ'Ь ПО-
СТ	1 , ВДИ1 , ,-стчи-- TO Ч ,г, тог 1 , ле . не
< т Д' " тот, I ер 1 г. „ > rr pi ту , ф ди т и, б₽
СТА	то? У ' ' '	'	” '
То , , , ,	,/г	. о, ТОч ; тот то о Ст. 1 То
yWryeSgnt йбффт быть виражена формулой
Утош “ еупр СТ ®п>
'	'	СТ ,”Т О ' ,7 ТО ' '1 ОТОтоШл, ^О'.ГСТО
' Ю’Т 1 I , сыстро... ноет ijr.i
я -	j 1 । ст , । - in 1 ы .ш .топ,., лрч
11 1 "1 1	'	,	। I -о . л е ч л
T TUllll'lMo
еебтоиУ'Яж'чууфтТйио# /уйругое пбеледейй"-
ЧСТТС11.	?
жения) показан на рис. 4.9 (по данным [41]). Полесг— в
ограничено кривыми; 4 — упругих деформаций; 2 — пре-
” 1Ьлых д/рлр таии t яри длительном загружении;
,?то.: пределов прочности бетона при длительном загру-
жении (длительной прочности).
Деформации сжатия бетона при кратковремеяаом
cie>uiT!Priuu Существующие нормативные документы
>гыо товают зависимость между сие, соответствую-
щую кратковременному загружеаию, длительноси». кото-
[ого не регламентирована, но обычно не превышает
30 мин.
/стДиатрамма о — в при постоянной скорости роста де-
форяадий показана на рис, 4.10. Кривая деформаций
имеет нисходящий участок, соответствующий падению
. агрузди.
г (Вследствие разнообразия свойств бетонов, влияния
размеров образцов, влияния влажности бетона, завйсн-
11 тн тсфоп»,, фи пт < ,олости нагружения и условности
''стр-чия предельной деф р- щи1;, чред и с тощ.
г > осты мю, че> штаты эксйерймеятальйых данных раз-
ных исследователей различны, особенно в части1 опрйде-
лейвя предельной величины дефориааии.
Для установления связи между напряжениями й де-
формамиями вводят величины (рис. 4.10): Е!} — модуль
упругости (начальный модуль деформаций); 5,-—сред-
1 », се. шт) модуль деформаций; Ек — касательный
’.СТГСТЫ
I,|.i6 цтстп'0 Ег. и е можно определять по фориу-
ниищка:
Ек= £ВП -
Знячдяйя начальных	ги при сжатии
~Ер равны отношению нормельйого на'йрй-

\ i,i бфр /
*.3 БЕТОН
167
Рис, 4.10. Зависимость напряжений от де-
формаций при кратковременном .загруже-
е модуле® £и, Еь и ~Еа
Т s б Л и в а 4.13
Начальные модули упругости тяжелого бетона
при сжатий, Ед в кгс/мР
	Проектное марки		по прочности	на сжатие	
150	I ЙО»	1	300	|	4Л()	|		800
ЙОЙ ООО	I Й4Й000	| те	| ЭЗР ООО |	350 009	|	400 ада
Таблица 4.19
Начальные модули упругости ячеистого автоклавного
цементного Жтоиа при сжатии, Ед в кгс/см3
	Проектные марки-	по прочности на	сжатие	
,	15	2S | Х|	50 |	75	* юо	150
j 12 00U	17 000 | 25 (Ир |	38 000 | 50 00»	| 75 000	НЮ 000
жения а к относительной деформации е при величине
asgO,2/?Hp.
Значения Е® для тяжелых бетонов и автоклавных
цементных ячеистых бетонов приведены в табл. 4.18 и
4.19. Для бетонов на пористых заполнителях начальный
модуль упругости при сжатии определяется по формуле
£о=4ООО jZд ?3 + 25000,
где модуль упругости Ед и прочность бетона Е в кеДсм?,
а объемный вес у в Дж3.
Через Ев по формулам, приведенным в СНиП Il-Bal-72
[133], выражается жесткость В бетонных и железобе-
тонных элементов, принимаемая при расчете деформа*
ний й колебаний конструкций. Средний модуль дефор-
маций бетона при значениях напряжений, близких к рас-
четным сопротивлениям, можно принимать равным:
Ед =0,85/да
Доля упругой части еудр полной деформации умень-
шается с ростом напряжений. При напряжениях о <•
=0,5 Д1р упругая деформация составляет обычно более
0,8 полной деформации.
Предельные деформации впр при кратковременном
сжатии бетона, соответствующий /?пр, обычно составляют
от 0,8 до 2,2 мм/м для разных видов бетона. При все-
стороннем сжатии бетона можно получить очень большие
предельные деформации, порядка 10 м.м/м и бйлеё.
Коэффициенты поперечного расширения тяже-
лого бетона при напряжениях а^0,а-г-0,6 ₽ир обыч-
но находятся в пределах у, ='0,1-30,2. При
напряжениях более 0,6 Дир коэффициент g быстро воз-
растает и при напряжениях 0,9 — 0,95 ДПр р — 0,6. Сог-
ласно [130] при отсутствий ойытньи данных принимает-
ся для тяжелого и легкого бетойа ц — 6,15, ,для ячеис-
того бетона ц = 0,2. При одноосном ежами объем
бетона при высоких напряжениях начинает постепенно
увеличиваться по сравнению с объемом, соответствую-
щим более низким напряжениям, йД моменту разруше-
ния превы
развитием мнкротрещий внутри массы бетона,
Деформации сжатия бетона при прерывных и повтор-
ных кратковременных нагрузках. На рис. 4. 11 показана
диаграмма сжатия бетона при прерывной (ступенчатой)
нагрузке и одинаковой длительности выдерживания
Рис. 4.11. Зависимость между деформациями
и: напряжеиияда. -при: прердадар нагрузке и
одч < ц что । т ель г с г । в ' ат ’ .	/
дай- сдуййнй еЯт/руЖД:
' 1 I дой 'ШДИ f.Z'0'З'ч Ито'К КпЖДО'! СТХТОпП нагруз-
то .1 д	‘или <<р/-о то-сет итощадка,
д я’<а тор.л~. ч сто, чт о- дтчто • и г величины на-
грузки С течением зреяенч развпгие деформаций ирек-
уаш'г-тоя lei, бы от |,е', ч,-.л- м"аьше цтирлт сш,- а. При
очейь оо жажд тодрлж.ея.' \ близких, к Sap, деформа-
ция развитоег л • лда жме, ьяичгл» гтол постоянной,
J ЗГ <-г,1 н ;Т1)Ч 7» с ыто ощетоя из-рузш.
Чрч потооряь”*' totototoi v к Зсгу/экто постепенно
увелч'швзю шя ито.о гж; длиортоцто .1 кривая раз-
-i,y-,i ч т нагрузш ю-пря глясгся, толл чапм-пения не
превышают лртото а	тост детокп После не-
скольких циклов нагрузки л разгрузки бетон начинает
работа ь а што. го п* 7г -ед (рис. 4. 12, а). Ес-
ли же пап	Предел выносливости, то
кривые нагрузки после ряда циклов нагружения остают-
ся ш' з ’тоы чы < I, 4 пр« надо/ ',’йй таких испытаний
происходит разрушение - бетона.
168
РАЗДЕЛ 4, МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
На рис. 4.52,6 (первый пикл загрузки и разгрузки)
видно, что в процессе, разгрузки до нулевых напряжений
исчезает yispyi яя часть деформаций еупр. С течением вре-
мени после разгрузки постепенно исчезает еще неболь-
шая часть деформации еу1,р (деформация упругого пос-
ледействия). Остальная часть .деформации еосу является
необратимой (остаточной).
Физические явления, происходящие в бетоне при пов-
торных нагружениях, близки к возникающим при очень
Ряс. 4,12. Диаграмма деформаций
бетона при повторных нагруже-
ниях
а— при напряжении, меньшем пре-
дела выносливости: б — при первом
цикле загруженвя
длительном приложении нагрузки. Поэтому, если напря-
жения при повторных нагрузках не превышают Дт, то
можно ожидать, что с увеличением количества циклов
загружена полные, деформации бетона достигнут пре-
дельных полных деформаций с учетом ползучести бето-
на (см. ниже).
Деформации при растяжении и сдвиге бетона мало
исследованы. При длительном приложении нагрузки об-
наруживаются пластические деформации растяжения,
преимущественно при высоких напряжениях в бетоне.
Более подробные данные о деформациях бетона при ра-
стяжении см. (35].
Согласно [130] модули упругости при растяжении при-
нимаются теми же, что и при сжатии.
Предельная деформация бетона при растяжении при-
мерно в 10 раз меньше, чем при сжатии, и составляет от
0,07 до 0,2 Ущи/л. Растяжимость бетона в большой сте-
пени зависит от вида заполнителя. Для легких бетонов
на щебне из туфа Г. Д. Цискрели [35] получил величину
предельной деформации при растяжении от 0,16 до
0,3 мм/м.
Согласно [130] при отсутствии опытных данных раз-
решается  принимать модуль сдвига бетона Go = 0,4 Eg.
Деформация ползучести при сжатии бетона наблю-
дается даже при сравнительно небольших напряжениях:
с и напряжения не чрезмерно велики, эти деформации
с течением времени затухают. Затухание деформаций
объясняется, с одной стороны, постепенным перераспре-
делением напряжений в бетоне от высокопластичной ге-
левой составляющей на значительно более жесткие за-
полнитель й цементный сросток, а с другой — уменьше-
нием по мере твердения бетона количества геля в пос-
леднем.
Деформации ползучести, в том числе и предельная
(соответствующая i-м-схф. зависят от многих факторов.
Возраст бетона в момент нагружения влияет особенно
сильно в первый период времени после нагружения и в
меньшей степени в дальнейшем. С течением времени
устанавливается одинаковая скорость деформации бе-
тенариагружеппогс в разных возрастах. При относитель-
но небольших напряжениях, не превышающих 0,5 ДПр,
деформации ползучести за определенный промежуток
времени- действия нагрузки, а также и предельные
-	приблизительно пропорциональны ве-
Рис 4,Ь, Номограмма II. Д Улицкого для определения предельной харак-
фтеристики ползучести
личине действующего постоянного на-
пряжения. При напряжениях более
0,5 зависимость между предель-
ной деформацией ползучести и на-
пряжением нелинейна: предельная
деформация растет быстрее напря-
жения. Например, при <т=0;,6/?кр
предельная деформация может быть
-в два раза больше, чем при о —
= 0,5 Дпр. -
Существенно влияют и размеры
сечения испытываемых образцов. По
опытам [39] деформация ползучести
через 500 дней для образцов диамет-
ром 15 см была на 60% больше, чем
для образцов диаметром 25 см. Вли-
яют на деформации ползучести так-
же вид применяемого цемента, со-
став бетона, вид заполнителя, влаж-
ность бетона и среда, в которой он
находится.
Ползучесть при напряжениях, не
превышающих 0,5 ДП1„ характеризу-
ют так называемой мерой ползуче-
сти с (в имДкГ), равной относитель-
4.3. БЕТОН
169
ной деформации ползучести при напряжении 1 кГ/слА.
Мера ползучести является функцией времени и увеличи-
вается с длительностью приложения нагрузки.
Иногда ползучесть определяют не мерой ползучести,
а так называемой характеристикой rpt, равной отноше-
нию деформации ползучести еп к упругой деформации
ЁуПр’
Рис. 4.14. Деформации ползучести [39, 40]. Об-
разцы-цилиндры d =•-10 см, h — '.Vi см. Состав бе-
тона 1:5 по весу. В/Ц-—б/зй
Зависимость между мерой и характеристикой ползу-
чести определяется формулой
I
с = — Sff.
Ей
Деформация ползучести может определяться по фор-
муле
(	— ту/~t—т j
еп = сг спред\1—д	J,
где	/—время, отсчитываемое от момента изготовления
бетона, в годах;
т—возраст бетона в момент нагружения в годах;
п—напряжение в кГ/смб (сщ) 0,5. Длр).
Формула дает хорошие результаты для тяжелых бе-
тонов при коэффициентах т=1,5 и п~2.
По экспериментальным данным [40], соответствую-
щим длительности нагружения бетонных образцов до 7—
1(1 лет, была установлена предельная мера ползучести в
зависимости от вида применяемого цемента — от 0,007
до 0,018 мм/м. Согласно [38, 39] предельная мера пол-
зучести составляла для образцов из тяжелого бетона
на портландцементе, загруженных в возрасте 28 дней,
0,017—0,018 мм/м, а загруженных в возрасте 90 дней,
0,015—0,016 мм/м.
Деформация ползучести развивается в основном в
течение первых двух лет после нагружения бетона; че-
рез год достигает 65—75%, а через 2 года —80—90%
величины предельной деформации. На рис. 4.14 показаны
Деформации ползучести бетона по опытам [39, 40].
У садка бетона происходит вследствие изменений объ-
ема гелевой структуры, вызванных постепенным испа-
рением избыточной воды и погло-
щением ее зернами цемента при
пщратации. При обезвоживании
гель уплотняется, причем остаю-
щаяся в гелевой структуре вода
стягивает частицы геля [36].
Усадку бетона вызывают также
химические процессы, происходя-
щие при его твердении.
В первые дни твердения бетона
при быстром процессе кристалло-
образования и вследствие влия-
ния экзотермии возможно некото-
рое увеличение объема бетона.
В последующем происходят опи-
санные выше процессы, вызываю-
щие усадку бетона. Скорость усад-
ки уменьшается с течением вре-
мени, но прекращение ее иногда
наблюдается только через не-
сколько лет.
Исследования [22] показали,
что при достаточно высокой влаж-
ности бетона высыхание его, свя-
занное с удалением свободной во-
ды из крупных пор, не вызывает
усадки, По достижении некоторой
«критической» влажности бетона
влаги из гелевой структуры и про-
исходит усадка.	-
Величина «критической» влажности в опытах [22] для
тяжелого бетона находилась в пределах 1—2%. По дру
гим данным усадка начинается при более»высокой
влажности бетона. Опыты, проведенные над небольши-
ми образцами затвердевшего бетона, показывают, что
его усадка составляет -обычно от 0,2 до 0,4 мм/м, до-
стигая в некоторых случаях 0,7 мм/м,, (для бетонов,
имевших в начале измерений возраст несколько дней)
При увлажнении прошхочи» ше -шчточе объема бето-
на (набухание). Оно щишш-ы та>>ж₽ посте достиже-
ния некоторой «критической» влажности. Деформации
набухания (отнесенные к 1 % влажности бетона) значи-
тельно меньше деформаций усадки. :
Подробнее о деформациях усадки и набухания н ме-
тодах их определения см. [22, 133].
Коэффициент линшно -у т°чп цкиирно?о расширения
«< не является устойчи он , рни ш ч Топтсит от вида
и состава бето , < "< а ио нч щтя и -о
Величина си, гр; чм	то«тотоатуры конструк-
ции от —50° С до -ф50оС, йрйнимаетей в пределах от
0.7-10~5 в завг с ntac-ч от в; щ и состава бетона, если
влажность бетона близка; к условиям естественного воз-
душно-сухого	? высокой влажности
ц"( но )< х ~ся то 1 Д о 1,5-10~s— при отрица-
тельных температурах и увеличивается на 0,1 •Ю~г’ —
при положительных температурах,	-
Дней
9 >0тт
начинается удаление
170
РАЗДЕЛ 4, МАТЕРИАЛЫ Г Г‘1	1 от, от ‘	‘	" >' '	" >- I » ’ г г
4Л. КАМЕННЫЕ ШкТЮТ' " ' । I '< ТФОРЫ
Общие сведения. Каменные материалы подразделя-
ются	и
грот,, I < г ,	),1 i, -~ч (1тп г,	।
3 Ы 1 1 )Т - 1 V > •-ГЬ’ 1 I 1 >tj < > ОТ’ *1 I ЮТП > >
ый кирпич,
и пустотелые бетрн,-
' И I ’ и , г т,| л, От’ 1 , от,я ч, ,”1< 1Ст OTMi’i,
сырдовыот каменные материалы (сырцовый кирпич, са-
рь-г OTj р>пл	,ч,	, Г Т'’ч ;,т I ии,-
3	материалов>	’ т
о -ГТПТ,  ,т,	„ _ ,	Г,ГА, >>< пт, ,'ОТОТ '
пртссованяя: я - то ж₽, сухого прессования: с — пустотелые ко-
ы > к- « ,м > й -т:т ,	- । . А~
гутлг ь’О с ид “В дч.”,' ’.чт", аот; ’ - tn и”ы г,л(>я < ,, г -
кооетонные еютцгные
мак) к др. Наиболее распространенные типы совремеп-
I, ir'lu'-Tf ,|Т ,от .	' у- 'ОТОТ'11'ОТ 1<	1 1Ь 1
РИЩ„4,1О.::	’
Прирото”  О,0Г т-уут ’«TS- U , Ч( , Т I,
Ь-V Ц -опрзюмм 9< ’’ОТ 1 jo М пр ТИ~Ы1'Щ фот1’ J
л: отюттъ "те  ъ,1 м, "т'	’ оо । <,з > Из >И’ ат
ототот г-еч ,тгчт’<р<от рз -I	гоп'1’> MTVIJ (г
’.г,е>1Р.тол г.|>1 ’1WTT от т от ’ПО -100 t:,rird, — к_,  а
ОТО тхф Щ 4 ’ОТ’’ I ” ОТ ОТ 03 OTSUj от,., рот
ли ’ Кры от и , ’> , - >4, ла >„1 .идо отют, Г >”Ы ;>
’ 'ЮТ t,-,p от ’< Г , ДЛО.ОЧТ ОТ 08'11130”' ТОТ М> р|С-
.viMMi, от А. гги .'е.,ук>о; ы о др а Поп а 4; г.оч [отототч/
1'1	•< ’Т-1	i'4:< 1 Т1. I | 1	1- Оря ГЛО- Т 1, 11',! !>! I ’
'Ю' > 1	> ч I ’’Г'	” ЧЧ'Я р ’ )Л 'ЮТ ОТ' ю ю
ческих и осадочных пород; "Кайень неправильной формы
гняковый бут) полу-
ород всех видов, но прейму-
игествуниррИз идвестияка.
i । г‘пр ill/ г, ' ’,1г1,»х кладок подразделяются:
а) по ддаьемному весу в сухом состоянии — на обыкно-
венные (тяжелые) с объемным весом 1500 кгфи3 и лег-
кие с,объемным весом менее 1500 кг/л3; б) по виду вя-
жущих— на, цементные, Известковые, и смешанные (ие-
:овые. цементно-глиняные). Для зимней
(яются растворы с противоморозными до-
том натрия, поташом и др.
ные данные о каменных материалах и
растворах см. [65].
/(рочютст, Методику испытаний, каменных материа-
" = , ,?rt -я_, { p-к- 7 у '->’—62 [49], Основной вид испы-
(ге па сжатие, па осйбвании которого
xl t.j" за си я марка камня.
яется тблько для кирпи-
ча высотой 65 .ч 88 мм (рис, 4,15),
.стяжай® и на срез ГОСТом
>тся.	/„
, г К >-,! , п 1 I з 1 ' . 1Л’)Ч> и
- । ототри ю |" <ю 1 ipo'i’оетч । 1Ч1,| чя ъ> । ч
> ' г’’	, 1 3’" 1ы ст ’ >уотц. 1я 1 7 10, Is д> Г>, 50,
/ , 00 12. 150. 200, 300, 4&Q, 500 (ДД х')0 <, 0)61
Нрч ОТТ ыс "'Ч1И ПОТОП <! тпч х.ч Г3|> |(1,| порши,! от-
ж 1’"ю' tOT.ii . ; ю ютбр От’.,, ”, ,',,4'0, отЕвоот’,
Ч1Ц от. . ч- г, „ I, г ю ’ р ют Г) > п ,  , 10Ы 'Ю,; ит
1 ( ' ч-чотов одного и того же карьера, йб даже
Табл й/ц а 4.20
Пфедейн прочности на сжатие и Марки природных
OTtf'.OT I IT ПЦОТЮТ горных пород
		Ср к 5		Наиболее
	Объемный	прочности		от раепро-
Материал	вес в	з кГ/см-		странен-
	кз/лг!			ньи’ марки
		от	у TP	камней
Известняк плотный.	20ПГОТ8600			
прочный , ,	а		150	 2(№	200, 300,
				•400, 500
Известняк малой				
прочности (мягкий, пйльйый) тина йй-			150	
и 11 " г	о	1^011—2000	30		35, а0, /о, 11»
				
Мрамор . . v , ,	ЮТ—2800	woo	(‘GOO	woo
Песчаник . . , .	21П0--28(Ю	100	2000	ЗГЮ, 400, 500, 000,
				800
Гранит , * . - .	’500-2800	woo	3200	Ц)(Ю
. . . , . , - , ,	2500—2900	и.	2000 .!«•	1000 >1,14 (
Базалы' .	.	. .	2700—ШЮ	юда	4000	WOO
В ул ф: а л тгч е с к и е ту •• фыс				
улрттгкский , (Ар- мянская ССР) > тедзамекий (Гот-	«да—ибо	<s	йо	35, 75, НХ)
				
зпы.ская. ССР) .	ют	5Q	WO	30, 75, 100
1 • раку-				
.щечникн; „ от.'"!-				
тый Гевпйторяй- .. . . ы и	9у9—-1200.	4	15	4, 7? W
я (ЖОТтеиский)	И00—1400	7	2р	7, ID. 15
ШйСёСйй .	НМОТЖОД	7	15	7, 10. 15
ШМдавекий „ .	!«е—16»	15	so	15, 25
ШОйййшС	ЙВ0—Ы«1		.15	7, 10, ®
;.!;м а	1МЙ—иоо	25	150	
КАМЕННЫЕ МАТЕРИАЛЫ И РАСТВОРЫ
171
4.4
одного и того же пласта породы. Особенно неоднородны
осадочные иороды.
В табл. 4.20 приведены пределы прочности на сжатие
камня наиболее распространенных горных пород [44,
6S—58],
При увлажнении осадочные породы теряют часть
своей прочности. Так, коэффициент потери прочности
при увлажнении плотных известняков равен обычно
0,85—0,65, а мягких известняков — 0,70—0,50. Песчаники
в зависимости от содержания в них глины могут терять
еще большую часть прочности (до 70%). Допускается
применение камней, имеющих коэффициент потери проч-
ности не ниже 0,6, Увлажнение изверженных пород
практически не снижает их прочности.
Установленные ГОСТами [42, 43, 46—48] марки раз-
личных видов кирпича, керамических и бетойнйх кам-
ней приведены в табл, 4.21. В табл. 4.22 даны соотноше-
ний между пределами прочности образцов кирпича при
различных испытаниях,
Т а й л и ц а 4,21
Марки искусственных каменных материалов
1	Материал	Марки, установленные ГОСТом и нормами
глиняный обыкновенный - »	200, 150, 125, ИЮ, 75, 50
силикатный . . . . . о .	200, 150, 125, 100, 75
1	у7 и»1«ыз пустотелый йла- ,	стического прессования . ,	ISO, 125, 100,	75, S9
то же, полусухого прессова- ния . . . .	. Ь а ччи: Керамические пустотелые пластического прессования «	3O0j	7S,	50 75,	SO,	25 150,	12.5,	100,	75,	50
бетонные, легкобетонные и из ячеистого бетона (вклю- чая крупные блоки): сплошные из обыкновенных j	тяжелых бетонов . » * . .	200, ISO, 185, 100, 7S, 50 1«>,	75,	SO,	35
j	то же, пустотелые , » , ,	
1 сплошные из легких бетонов 1	и силикатные автоклавные .	100 ,	75 ,	50 ,	35
то же, пустотелые . . , .	75, SO, 35,	$5
'	сплошные из особо легких |	бетонов	100,	75,	50,	35
; Сырковый кирпич, саман и т. п.	15,	10,	7,	4
Таблица 4.22 Отношение пределов прочности кирпича при изгибе, растяжении и срезе к пределу прочности при сжатии, опред^яе^ому стандартном шпшашш fW}		
Испытание	1 Пределы коле- 1 башзй относи- ) 7'ел.ьной нроч- !	кости	Средняя от- носительная прочность
СЖатйё ИЗГЙ6	, «	а	э	«	*	в Растяжение	<	,	»	.	« Срез » . -	4	»	»	о	s	а j ; .1 : д	a	j	0,09—0,35 .	,	0,02—(J,I .	,	0, 13=0;38	1 0,2 0,06 0,2
Прочность кладйй из кирпича высотой 65 или 88 мм
в ййачйГёлыйй степени зда-дат не то даст от ею <’o1ipo-
1 вгтая сттю, из > ст дада гл дастетеч поччпо
ста, й частно т< от .ж г ст	i тда даю i • > ч-
['	1 г 1' I 1 *' ! ГП 1’1 I - । '	~ >’
марки кирпича также и требования к прочности при из-
гибе! приведенные для основных видов кирпича в
табл. 4.23.
Пределы прочности бетонных камней при сжатии,
изгибе, растяжении и срезе, определяются прочностью
бетона, из которого они изготовлены.
Т s б л и ц а 4.23
Средние значений прёделй првчввсти глиняйого
и снлйквйвгв ййрййча при йзгйбв и кГ/см?
Марка кирпича	ЙС©	1S0	125	ИЮ	75
Предел прочйоети при изгибе (среднее) в кГ^см2	34	28	25	22	18 1
Марки раетвора. принимаемые при проектировании
и харйктерйз’ гл1 ~гп юг, а'сжатие стан-
ызым’	л ГОД 1	- Sir возрасте 28
дней (для по ат < кладкй из панелей и круп-
нах блойвн й для ручной кладей), установлены следу-
ющие; 4, 10, 28s 50, 75» 100, 150 и 2002
Ондарч-чш! ч ;ч ,
Деформации, Деформации природных камней иссле-
дованы сравййтельио мало. По исйытаниям [51] гранит
достаточно блйзвя па свои» механическим свойствам к
идеально упругим материалам. При напряжении 0,8 раз-
рушающего упругие деформации гранита -составляли
85% обшей деформации-
Для гранита с предай» прочности- Н00 кГ/смЕ при
й==0,8Я1 (где Rj — предел прочности образца при сжа-
тии) модуль упругости £===450 000 кГ/сМ1, секущий мо-
дуль (средний модуль пйлннх кратковременных дефор-
маций) Ер =375 0С»‘> гГ/да'-. полная деформация сжатия
0,2 Мм/м, коэффйцйейУ поперечного расширения р.=
=0,08-:-0,1 б.
ПО Лайньш щ01, для 'гдаст’ст'о >, теделом прочно-
сти 500—J000 кГ/слА йредельнне деформаций сжатий
составляки* от 1,4 До 3,4 МШ/м при иаксимальяой упру-
гой деформаций 0,7—2,4 мм/м. (	из-
вестняков Ес == ’ Я(! Гда — 7 Я о О ’У I Г - Hr-j! <
подарен jn ст i. р'щ- ч ~-'j ’ - i - -г । <	i, г
бо 1ЬШ!’Х >П1 НЙД-РЯ’-,’	-М :	:
фесрсщ ><v (йод -г ю- > л* 'll ]-з< = да—1
порцнональиы напряжениям, Модуль упругости кирпича
йыстда о о ио стст <<'<я, j i? ' r = ь < , ’ п дн-
ям кубийбв йлй призму вырезанных да кирпича,, Е =
==2"}0 г Бол^а !иш„ц=,	£ лс.,1«' f " =
образцов мётййёй плотяйсти жда ) да ого
са), имеющих трещины, и слабо
МОР‘, По 1/Г Т I ‘О Т, ’ : •'Ш,	1О,Г’-Г -Г "
ППЦ /'Л ПОГ В in-iro'11 < г,- < п дач л - ,Г-= 0/'
а в н-прэв сдач ! п' и:да '’эн щи-гп- чс -гда-
юз > <да ! - м \ " к
Зависимость между
силикатного кирпича ь	ivrae свойст-
ва з.стп <т а з‘ жчцц ю ; -о I < о- 1 ю-	j ги-
я По да л>:<,нлт да ч'1 прида=0,секу-
шча £0 =350-—
-5-1200 Ro	с
Мпшсрип >енг ^гугг-ре' расширения кирпича
j 0 08 £,)>	ст-чт
Пдадачыая да дар» ! щ >р 1 керамических кам-
я< " [53] iff S—< Ж-"да <’ составляет от 1,1 до
'1 ч Щтто’>= Т 1< Г । =”,'•-> । о	'	< К
от 9 до
172
РАЗДЕЛ 4. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
15 (большая цифра — для более прочной керамики).
Пластические деформаций составляют от 10 до 25%
полной величины деформации. Секущий модуль керами-
ки при /?=20.0то830 кГ1смС Е г =50 000 =80 000 кГ!см~.
Коэффициент поперечного расширения при <1=0,5/?; ра-
вен. ц='0,1; с ростом 'напряжений р увеличивается, до-
стигая к моменту разрушения ц = 0,25.
О деформациях раствора см. [54],
Деформации ползучести обожжённого кирпича пла-
стического прессования"(52) незначительны и составляют
в возрасте 180 дней при «==0,55/?; около 0,12 мм!м. Де-
формации ползучести силикатного кирпича в том же
возрасте при o = 0,3Ei равны 0,59 мм/м.
Усадочные деформации глиняного обожженного кир-
пича при увлажнении и сушке незначительны и в зави-
симости от степени обжига и пористости кирпича нахо-
дятся'в пределах от 0,01 до 0.00 мм)м. Усадка силикат-
ного кирпича, согласно требованиям английского стан-
дарта, может составлять 0,25—0,35 илом.
Коэффициенты линейного расширения каменных ма-
териалов [32}
гранит ..........
известняк .........
сланцы ..........
кирпич ..........
0„8-10—»
0,9-ИЬ»
1,0.10-5
0,45-10—э
4.5. КАМЕННАЯ (ЖАД КА
Прочность. Каменная кладка хорошо сопротивляется
сжатию и относительно плохо — растяжению. Сопротив-
ление кладки растяжению зависит от сцепления раство-
ра с камнем, которое определяется рядом факторов и
колеблется в широких пределах. Проектная прочность
спеиления может быть обеспечена только,.при условии
соблюдения ряда; специальных производственных меро-
приятий, Поэтому кайеиные стены и столбы проектиру-
ют таким образом, чтобы эксцентрицитет не превышал
О.45Л, где h высота сечения; при этом в расчете,неучи-
тывают сопротивление кладки растяжению, и внутрен-
нее продольное усилие уравновешивается напряжениями
одной лишь сжатой зоны.	-
Вследствие местных неровностей и неодинаковой
плотности раствора в швах при сжатии кладки камни;
испытывают, кроме напряжений сжатая, также- напряже-
ния изгиба и среза. Если модуль упругости
камня больше, чем раствора, то в поперечном
направлении в камне возникают напряжения растяже-
ния, ,а в растворе — сжатия. Вертикальные швы, клад-
ки; .вследствие слабого сцепления раствора с камнем
могут рассматриваться как узкие вертикальные щели, у
концов которых возникает концентрация напряжений.
Таким образом, при сжатии кладки ее элементы*нахо-
дятся в весьма сложном напряженном состоянии, .что
является-причиной значительной разницы между проч-
ностью кладки и составляющих ее камня и раствора.
Например, прочность кирпичной кладки на самом проч-
ном растворе составляет обычно лишь 35—40% прочно-
сти кирпича. Наибольшее влияние на прочность /кладки
имеют;
;а) прочность камня; увеличение предела прочности
камня при сжатии в 2 раза, повышает прочность кладки
j I 6—),? pm, прочность кирпичной кладки, кроме того,
зависит в очень большой степени от сопротивления кир-
пича изгибу и срезу;
б); размеры камня; чем больше высота камня,, тем
больше,; момент сопротивления его сечения и, следова-
тетого, тем тоньше влияние сопротивления камня изги-
бу я срезу: с увеличением высоты камня прочность
 прочих равных. условиях, существенно по-
топ.' 12гоя (р/ с 115),
<) форда kj-ief; в кладке из камней неправильной
Рог >ы ;ря .л <тич v еиь велики местные концентрации
юкояж' нал щ i роме того, уменьшается сопротивление
1 тачьл огзп-j по 1 со о перевязанным сечениям; поэто-
му, нллшг'-Г), 1 тад’л из рваного бутового камня высо-
ток проч «ости та ж на прочном растворе имеет предел
nj)'i осте г>< , ьч ’что, 2—6% прочности камня;
— П,п"г пустот в камне; кладка из пустотелых
гтотощ -л, ирапсто с ; гое-, кладки из сплошных кам-
н 1 ,• О' эд о ом < рож ссг' камня вследствие нерав-
номерного распределения напряжений в кладке; степень
этого уменьшения прочности зависит от формы и рас-
положения пустот в кладке и для кладки из оптималь-
ных типов пустотелых камней может быть минималь-
ной; = ,
Рве. 4.16, Зависимость между проделом прочно-
сти кладки Rn и раствора Кг (прочность камня
;	Я) = 100 кГ/см-)
/ — кирпичная кладка; 2 —кладка из сплошных бетон-
ны:х камней; 3 — кладка из пустотелых бетонных кам-
ней; -/— кладка нз крупных блоков из Ш/келого бетона;
5 — то же, из легкого бетона: 6' —кладка из рваного
бута
д) прочность раствора (см. рис. 4.16); ее влияние
значительно и тем больше, чем меньше высота камня;
увеличение прочности раствора с 4 до 100 кГ/см2 повы-
шает прочность обычной кирпичной кладки в 1,8—2 ра-
за; имеет существенное значение также плотность рас-
твора; применение пористых, сильиосжимаемых раство-
ров (например, на легких заполнителях) понижает проч-
ность кладки па 10—30%;
.. е) качество кладки; неровная поверхность п неоди-
наковая плотность раствора в горизонтальных швах,
плохое заполнение швов п т. п. значительно уменьшают
прочность кладки; если принять за 100% установленный
нормами средний предел прочности ручной кирпичной
4.5. КАМЕННАЯ КЛАДКА
173
кладки при обычном ее качестве, то при более низком
качестве прочность кладки составляет всего лишь
80—85%, а при очень высоком—150—160%; вибриро-
вание кирпичной кладки значительно улучшает заполне-
ние швов, что является одной из причин большого повы-
шения прочности виброкирпичиой кладки но сравнению
с обычной; применение жестких, трудноукладываемых
растворов ухудшает качество швов и понижает проч-
ность кладки на 10—15%;
ж) перевязка кладки; имеет весьма существенное
значение при. виецентренном приложении нагрузок, при
действии горизонтальных нагрузок (например, сейсмиче-
ских), при. зимних кладках, выложенных методом замо-
раживания я пр.;
з) сцепление раствора с камнем; имеет решающее
значение в случаях, когда кладка работает на растяже-
ние или на изгиб.
Наиболее вероятные (ожидаемые) пределы прочности
при сжатии кладки среднего качества приведены в
табл, 4.24, Они вычислены по формуле Л. И. Онищики
[65], которая связывает прочность кладки с прочностями
камня и раствора.
Т а Р л и д а 4.24
Пределы прочности при сжатии каменных кладок Я0
Кладка	Марка камня	Значения /?о при проч1?оети раствора В кГ/см-а		
		100	50	25
Кирпичная на тяжелых	150	45	35	30
растворах с добавлением	100	35 30	30	
извести или глины	75		25	22
Из сплошных бетонных	100	45	40	35
камней при высоте ряда	75	37	32	9Q
кладки 200—300 мм	50	30	25	23
Крупноблочная; блоки ив	150	77	77	74
тяжелого бетона	100	54	54	51
То же, из легкого бетона	75 50	42 20	42 29	41 28
Из рваного бута
Ир и м еч а н и с. Пределы прочности бутовой кладки
указаны для возраста 3 мес., для остальных кладок — на
28-Й день.
Внбрированная кладка кирпичных панелей может
иметь прочность в 1,7—2 раза более высокую, чем проч-
ность обычной кладки из тех же материалов.
Влияние длительности приложения нагрузки на со-
противление кладки сжатию зависит от величины напря-
жений, Длительное сопротивление сжатию ориенти-
ровочно равно: для кирпичной кладки на растворах ма-
рок 50 п выше —0,8/?°, марок 10 и 25 — 0,7 R°, для кла-
док на известковом растворе — 0,6 Ra; При напряжени-
ях о<ГдЛ кладка может нести нагрузку неограничен-
ное время. При напряжениях 0,2 R0<о'<ДдЛ прочность
кладки с течением времени даже несколько повышает-
ся (на 5—15%) в результате ее уплотнения под на-
грузкой.
Сцепление раствора с кладкой зависит от прочности
и усадки раствора, скорости поглощения камнем воды,
чистоты поверхности камня, температуры и влажности
воздуха, при которых твердеет кладка, содержания при-
месей в камне и растворе. Различают нормальное (к
плоскости контакта раствора и камня) и касательное
сцепление.
Осевое растяжение н растяжение при изгибе возмож-
но по неиеревязаиным сечениям, например по горизон-
тальному шву (рис. 4,17, а), и ио перевязанным, напри-
мер по ступенчатым или плоским вертикальным сечени-
ям (рис, 4.17, б). Сопротивление растяжению по непере-
Рнс, 4.17. Растяжные кладки
и - неперевязаиныл сечечпй; б — пе'резя-
ааниых сечений; I — ступеичаюе сече-
ние; 3 — плоское сечение
вязанному сечению зависит исключительно от величины
нормального сцепления, а сопротивление по перевязан-
ным сечениям—главным образом от величины каса-
тельного сцепления, а иногда, при малой прочности кам-
ня, от его сопротивления растяжению.
Подробные данные о сцеплении и сопротивлении
кладки растяжению и изгибу приведены в [62, 65|, а
расчетные сопротивления при сжатии и других видах
напряженного состояния — в [134].
При расчете каменных конструкций, работающих
в обычных условиях, разрешается учитывать-только рас-
тяжение по перевязанным сечениям (например, при рас-
чете СИЛОСНЫХ башен); сопротивление кладки по непе-
ревязанным сечениям, принимается в расчет только при
действии сейсмических нагрузок.
Во всех случаях, когда прочность конструкции обес-
печивается се сопротивлением растяжению, должны
приниматься специальные меры при производстве раоот,
обеспечивающие надежное сцепление,
В обычных условиях растяжение ири изгибе по непе-
ревязанным сечениям учитывается только при расчете
на внецентренпое сжатие при балыиих эксцентриците-
тах; в этом случае paerei растяп тоц тса, с учетом
растяжения, является лишь условным методом ограни-
чения раскрытая горизонтальных швов (трещин).
Деформации. Кладка является унруго-пластпческим
телом. Характер зависимости между деформациями и
напряжениями г ш » щл тот i  то и для бетонов
(см. 4.3); изменяются лишь числовые значения характе-
ристик.	;г 7
Абсолютная Д"Фоптачпя xtjtih при сжатии значи-
тельно превышает о а, р-, т к [нпмашно рядов кирпи-
ча и горизонтальных: 'растворных швов, образующих
кладку. Это объясняется смятием раствора в зонах кон-
174
V ’ЦГ 1 '	‘'lH ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ конструкции. МЕТОДЫ РАСЧЕТА _
Т ТО , \ -1'Я И П' СТО; ) Ч ГСТССТ'Ш ЧУ" _ >трыт> >’ ' №3-
дредых пщедедов. гм ед юедедедст всяедствйе не-
ровной поверхности горнзойтальиых швов [54].
ЗедШСТЮ, 1.- > ду оСТрСТСТ Я’|Ч 11 едСедедед; --ед f
ЯЧ ,-гстСЯ ф>СТ1СТ_>- у ц,-, едцедт’1 riiV'IOH'P 1ТЯ СТ1!”’ 1
Й ГССТГ” СТСТЬ трСТСТЛВ'» о ПОТ О'—₽, Г”» СТ; СТ л-
Рис. 4.18. Примерная зависимость между напряжениями
и деформациями для кирпичной кладки на прочном
растворе. К°==80 кГ/лвйф Ец=ЗИЮ кГ1см2, Загрузка
в 28-дневном возрасте
1 — кривая гр’г >1 ст-тост тцг г ’ - то же, длительной прочно-
сти; 3 — -то же, предёльйих дёформадйй при длительной нагру-
жении
Мпбу,г цкчгмп ко ш (в ста едя, >» модуль дефор-
гедедч) I - сттс >дс жстся ио српртр к
„ Л Д = Й?,
где а—упругая х гед-ед |СТ<»> , шедседед- ед т не-
 армированных кладок по табл. 4.25;
(?» = средний предел прочности Оадкй пря сжатии.
Значение среднего -чтедто едоуедстг др т недра/ /-
* седедстсть ,о. ст j пшат истоШоР’ едгр,з> t
/ед.СЗЫ, а про ст прял г ст> бгта.л г, р-.aoj псстст ,
Zl = 0,5 Zig. , I : Г:	;:	: -
Поп ’ едиг'ОБреедЧгЕ г terr ] rr отчедстг стчЬ1 ^ед i р
’ 3 411 ь ГП), Ж >00 Г ' ЦП , спич '15' т едГЪ з )ч< -ед
>ст <]юп о с, икивед в 1 ' ’'оч-м тою едди,-!
""ренг.го’г ?*' ц Г’ стп; ед-р , г ' пи >•>=>,->
>'М г тор-ед ед тег 0 утгтом во”, , >стр но ‘ ТОед;
едадьи) по формуле	, . ,
о
гп л>; ’тт ^1* ю = 11 Г »
ДЙСТ - ,ст/	ед	"
гр. 1)	т " г >,>'4	;б< •< едч > чред г -едст-О
кирпича и из “керамических камней;
г - >- 1 >"	” ’	’ едед ед >’> j tv*
/Ст ш ед; 7ед «ТОГО" I -стчед ч >ед' -
""го йлй силййатйого бйтона;
Г] - ,	I > I ’I 1 5 туедр 'то.едг птч > о
г > "Ш ед ,	1	< ОГО б I 1 t I
от 1 г>< , , ' -г чг)> п<,>1, б шед -ст', ст •>-
ЙЭ автоклавного йчей-
" стого бетона.
Подробнее о деформациях ползучести каменных кла-
1 Жго ' г Ст г Ст! 1 Г СТ г И I о 1 ' ЦОС гетто Г1"Ч ’
<"едст г т о, р • । ед гед ' стстед .р'стедг Д. шот
ст и еда’Л едст ед I ', иг ч • з > > > or и гр" "I ст-
• 10-s, а кладки из различных ийдав бе-
эт 2,5 • 10-i до 3,5  10~4 (подробнее
< ; । />1;
Коэффициент линейного расширешш кладки ЙВ гли-
ст Tie ' грпгча	’ 5 г ст ' ед\ т, ед.едг г, 65/
' Т 1 ' !>й ’	Ст-Ц Г Г -I >70 л(! „;г гчт бгед >'1
г пред, р,г то: еды ; , <iTO')"r’( - 1 . 10 грай ,
••’тодед ед-гро-пЫ’ ।	'< ।—08-13	’Пед-!,
Приведенные выше данные о предкнед ц i-ф ,ед-
тиваых свойствах кладок относятся к условиям возведе-
ния их при нормальных температурах. О выполнении
’ ллдЕИ в "’мнпх ед,товнях и об особенностях её работы
!1	>-О г ед Чу 5 " ' ]
о свойствах кладбк см.
{59—66].	;
Таб л л ц а 4.25
характеристики а
Кладка	упругая характеристика а при марках раствора			
	25 и ЙЬШИ?	Й5	4	I "
Иц кирпича глиняного пла-				
етическбго О!	Ip 1 1 ’ К .о век, легкобе/гбййЬЦс и легких природных камней ... -	1000		500	2D0
Из, кирпича гнликатногн Крупноблочная; блоки нз	750	500		200
i ИЗ ТЯ- I ! 3 i> приподного камня				
(о > :*•'>! ?сг/Лгл) ......	1500	НМЮ	150	Ш)
То же, ш легкого бетона.				
силикатного бетона, аито- кдаяного ячеистого беШяа. легксн’о природного {камня . Из тяжелых природных й	75'1	750	5ГЮ	350 
				
тонных камней Й бута .. в	.	1йШ	100D.	750	аяо
Из глиняного кирппнр по- луеухого прессования обык- новенного и пустотелого . -	500	500	350	200 ।
При м с и а н п е. .Иля кладки на легких растворах				она- |
нения СС i				
4. 6, 4РМИР0ВАННЫ1 МАУПРИАФШ и конструкции
4.6.1, Общие данные	ед,
Згжм едед 'о>ет ед двух различных по своим
шеди’о едед чче ст г с инн.’ед  мат едг чв — бетона и
ста г,1, г-’.гсшюч ед ед ст я ст.стп, -н-бедо (емто г 1 ' ст,.
СТ< то стскедед-	~ пг.-г/, 1г'<” «ар >>ед >, >г,р .
го', 1.1» ед> о -ед >z, стед> 1чед'-н о к । 1ду ар r;i ,ж щ-
< „ ч , - -т - , ,(> г I *д,)гг" < завйейт 6т свойств
, • од ст л п ’ камня и др,), не в; них появля-
ется ря । t то ст ип’1 ы которыми "не обладали состав-
ляющие матерйала,
предел прочности
’ ч ' >ч ' ,i I	'	.'V о । СТ'1' I" । -г г ед г ’> < - (
ЯЙШ1Ш а 1 1” 1 Г	‘ J I КО С!<; С Ц| Н’   1- ,1 р I ,
4 fl. АРМИРОВАННЫЕ МАТЕРИАЛЫ
175
ИбпШэоваййе высокой Прочности при сжатии этих ма-
териалов в элементах конструкций, работающих на из-
гиб или впёцентрёйное сжатие, при значительных экс-
центрицитетах возмоэк® только при усилении растяну-
той зоны сечения арматурой.
Если обычная бётонйая или каменная балка при по-
явлении трещин в растянутой зоне разрушается, то при
армировании растянутой зоны, несмотря на наличие тре-
щин в бетоне или в кладке, нвсущай способность балки
такого же сечения не йечёрйана й нагрузка может воз-
расти по много раз.
В железобетонной пли армокамегшой сжатой колон-
не достижение предела текучести а арматуре еще не оз-
начает исчерпания ее несущей способности. Армирован-
ные конструкции, таким образом, обеспечивают и более
рациональное использование стали. В армированном
элементе арматура всех видов, кроме того, надежно за-
щищена от механических йовреящеинй и коррозии.
Соединение бетона, кладки или асбестоцемента со
стальной арматурой обеспечивается ситами сцепления
между этими материалами; малая разница, в величине
КОчфШ" 1 --ИТОЗ	1)Я-иц ртоИЯ |"Ч7. У.тдтощ
практически исключает внутренние напряжения при из-
менении температурь!.
Работа гдаистругяий яз арксированньа «атдрналда
более сложив, чем работа конструкций из неармирован-
ных материалов; этим обусловлен и более сложный ме-
тод их расчета,	„
Д ы иг что! шчого элемента не может быть приня-
то каких-либо постоянных модулей зависимости напря-
жение — деформация.	„
В,зависимости от назначения конструкции и ведачи-
Ш! ! ТО ЗЯ рю", 11Ы напри, СНЧО yeipOOMUDOBaH-
ных состояний принимаются различные предпосылки
для расчета, установленные в основном эмпирическим
путем.	:
Г.ттоьто методов испьо н> । • р’иров'тоых материа-
лов не установлено. Оценка их прочности может прода-
кл>г О' на о човечь” О'еточ тооч п тд|щл Жч-
ЧТО ОН С.ТЛН ,, С1ЯТ1, I ,тогто Т 'ИД! н штотвор , асб
стог; , ы.гл, ст< клотоаетото Про ностЬ, щес~чоеть я -что
ЩТО У'ТОЧЧОСТО '«здтои чзгэтовт?е''ы\ гродтош люты-
ми ц гото-и чд гп.,1 -розанчь 'чглщог. оцтото 1 'тся
о соответствуимцш ГОСТам
и техническим, условиям.
4.1,2, Ж.елезобеТон
I1'дщтогьж гетто то ч’тотото <v - ( , J дан-
ные об арматуре и бетоне—в 4.1 и 4.3, о расчете —
н [77, 133].
Железобетонные конструкции, в которых отсутству-
ют искусственно созданные начальные напряжения, на-
зываются обычными. Если з процессе изготовления или
возведения железобетонных конструкций в них жкус-
ствто’Щ to-I i.oTC, ч 1"альнйе напряжения. то эти кон-
гртоп I . 11 । л,!», ж, то н пс j we юно tiipiy юныч'1
ll'ITb >' 'И (>Я Л ’II то таю ся ЧТО то юпто ь 10
растйнутой арматурой. Аркатура подвергается , растя-
жению либр до укладки бетою в ои'.'бо лчб^ цо 1е
ус I ТО,И “ Р то II 13, и I nil iWp'.ITOl! О'ДТОЫНС-
го бётойй отдельного элемента, либо же после сборки
конструкции. Иногда предварительно аапчажепные эле-
менты сь-111 используются в качество арматуры при об-
>, tn пин бьто -101ЦНЫХ [железобетоцивщ элементов.
Стадии йапряжёйно-деформирбйанногб состояния.
В процессе нагружения железобетонный элемент испы-
тывает последовательно различные состояния, которые
условно разделяются на три стадии.
На рис. 4.19 показана т
середины Железобетонной 2 й бетонной / балок, на
TOi J '() _ 41, г , д Той ।	1 । ’	।	<	5 то ТО )
В начале загруяййий [стадия /, рис, 4.121 Напряже-
ния в сжатой и ра
дятей в линейной аавйсййости от деформаций, эшбри
напряжений также линейные,	и носят упру-
гий характер. По этой стадии проводится расчет жест-
кости бетонных или слабо	в
которых при эксплуатационной нагрузке нет трещин
в растянутой зоне. Напряжения в растянутой аркатуре
ЕтаВаи 1
Рис. 4.20
не превышают 200—300 кГ!смб. При дал!
чвнии нагрузки эпюра напряжений искривляется и, ког-
да напряжения в растянутой зоне достигамгт предела
прочности, наступает стадия 1а. Бетонная балка в этой
стадии.разрушается,.	,	. . ,
По стадии 1а ведут i	образование трещин
в изги	от их жесткость до
момента пояз.ш-шя трточн
В ।	I трещняы,
и вс” 4 4'111 гтото т> । _ч ' л ривдмаются армату-
1ОЧ Н ' ч 1< -I То 1 , ,1	Ц ,ц	> и । ,1 то < ,
у. арматурой не иаруваетея, и бетой здесь яродгмжает
работать на	ар-
176	РАЗДЕЛ 4. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СЕТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
натуре возникают в местах образования трещин, наи-
меньшие— в средней части участка между трещинами,
Между:нагрузкой на балку и прогибами (см. рис. 4.19)
в стадии II существует криволинейная зависимость —
прогибы .растут; быстрее нагрузки,
В стадии 11а напряжения в растянутой арматуре до-
стигают предела текучести. Напряжения в сжатой зоне
бетона еще йё достигают предела прочности бетона на
сжатие при изгибе. Вследствие текучести арматуры
и увеличения плеча внутренней пары нагрузки в стадии
Па может еще несколько возрастать — до достижения
в сжатой зоне бетона предела прочности его на сжатие
при изгибе, что характеризует уже стадию Ш — разру-
шение.
В этой стадии деформации ползучести распространя-
ются на значительную часть сжатой зоны сечения, эпю-
ра нормальных напряжений резко искривляется. Напря-
жения сжатой арматуры достигают значения предельно-
го сопротивления, напряжения растянутой арматуры
равны или менее величины предельного сопротивления.
По стадии 11 ведется расчет по второму и третьему
предельным состояниям, а также определяются усилия
в статически неопределимых системах с учетом их пе-
рераспределения, вызванного пластическими деформа-
циями. По стадии Ш ведется расчет по первому' пре-
дельному состоянию, при этом криволинейную эпюру
сжатия бетона допускается заменять прямоугольной.
Полностью сжатые или растянутые сечения состав-
ляют частные случаи рассмотренного выше наюряженйо-
деформировашюго состояния. В полностью сжатых - се-
чениях могут быть лишь / и Ш стадии, в полностью
растянутых — все три стадии.	е е -
Если арматуру балки натянуть и создать в бетоне
предварительные напряжения сжатия, то при изгибе та-
кой балки трещины в растянутой зоне появятся только
после исчерпания преЕдварительного напряжения сжатия
и достижения бетоном предельного удлинения. До этого
момента, если в сжатом бетоне не появились пластиче-
ские деформации, конструкция будет работать по ста-
дии 1, т. е. балка будет деформироваться, упруго. После
появления трещин эффект предварительного напряжения
не сказывается?
Сцепление стальной арматуры с, бетоном обеспечива-
ет совместную их работу. Сцепление определяется:
1) механическим зацеплением неровностей на поверхно-
сти арматуры за,„ бетон —- трением стержня, о: бетон ,иод
действием давления от усадки; 2) собственно сцеплени-
ем или «склеиванием» поверхности стержня с бетоном.
Установлено (особенно при применении арматуры-,пе-
рйодического профиля или другой арматуры с негладкой
поверхностно), что решающее значение имеет первый из
указанных факторов [71], „хотя многие исследователи и
считали (основываясь на испытаниях гладкой армату-
ры), что собственно сцепление имеет не меньшее зна-
чение.
Сцепление зависит от вида поверхности арматуры,
состава и свойств бетона, способа хранения конструк-
чч г г в п'т"’ возр1"щ, расположения арматуры в еёче-
<щч, ц'и'тлттч ч .характера прилагаемой нагрузки
। тогш 1 причин, Сцепление относительно вы-
ше при арматуре периодического профиля: и прщарма-
т р"' юг ь ’'а т ы-тое при круглой стали— на 20—
Пф, Дот ь ° ч^' i гл стачп квадратного сечения; наи-
меньшее—при полосовой стали. Сцепление значительно
П'тсыга- .-тог пп.| чогюрж'ьых хомутах и сварных карка-
(’ С" г v’.r в г о'1стр''кч,<я' при статической, нагруз-
1. wl стая от б до 100 кТ1‘ м’, а при пульсирующей
ш-ю ч ’"Hint upe;-T вставляет иногда 2—3 kF/cm2,
Сщч........! ч.....тс тгю стержней обычно колеблет-
ся от 25 до 46 кГ)см2 для бетона марки 100 и выше.
Стандартных испытаний на сцепление нет. При испыта-
нии на выдергивание напряжение сцепления распреде-
ляется неравномерно но длине стержня (рис. 4.21).
Приведенные численные значения сцепления выра-
жают не максимальное значение (Лсц, см, рис. 4.21),
а средние величины в предположении равномерного
рм.редетсння напряжений сцепления по длине стерж-
ня. Усилие* требующееся для выдергивания стержня,
почти не возрастает при увеличении длины заделки I
сверх 25—30 диаметров. Сцепление стальной арматуры
с бетоном близко по величине к пределу прочности бето-
на при сдвиге, который равен примерно 1/5 предела
прочности при сжатии (это отношение уменьшается
с повышением марки бетона). Сцепление растет с воз-
растом бетона.
Усадка в железобетонных конструкциях протекает
несколько иначе, чем в бетонных, вследствие влияния
арйатуры. При усадке бетона часть усилий, возникаю-
щих в бетоне, арматура принимает на себя. Напряже-
ния в'арматуре от усадки бетона могут достигать 600—
700 кГ)см2 и более. По длине стержня напряжения ог
усадйи распределяются неравномерно — в середине дли-
ны ййёржня оно примерно в 2 раза выше, чем у концов,
/ Усадка в железобетоне зависит не только от состава
бетона, но и от количества и расположения арматурных
стержней, а также от условий начального хранения.
При хоанении образцов в воде наблюдается проти-
вочото жнее явление — разбухание железобетона.
На рис. 4.22 приведены примерные данные о нараста-
нии усадки и разбухания со временем для бетонного и
железобетонного образцов. Усадка железобетонных об-
разцов почти в 2 раза меньше бетонных.
В „армированном сечении напряжения от усадки н
разбухания в бетоне концентрируются вблизи стержней
арматуры. Радиус взаимодействия арматуры с бетоном
принимается обычно равным 3—4 диаметрам арматуры.
Рис. 4.22
4,6, АРМИРОВАННЫЕ МАТЕРИАЛЫ И КОНСТРУКЦИИ
177
В элементах железобетонных конструкций усадка
приводит к появлению напряжении двух видов: во-пер-
вых, в арматуре и бетоне возникают напряжения, обус-
ловленные внутренней статической неопределимостью
каждого элемента [32]; во-вторых, возникают напряже-
ния, обусловленные линейными и угловыми деформа-
циями отдельных элементов вследствие статической не-
определимости конструкции в целом. Последние опреде-
ляются методами строительной механики, как и темпе-
ратурные напряжения.
Следует учитывать отрицательное действие усадки
при изгибе и растяжении, так как она ускоряет появле-
ние трещин в бетоне, увеличивая в нем растягивающие
напряжения. В сжатых элементах, усадка разгружает бе.
тон и нагружает арматуру, обычно недогруженную.
Согласно [133] коэффициент линейного расширения
тяжелого бетона при нагреве от 0 до 100° С а —
= 1-10~3 град~1; коэффициент линейной усадки р =
=3 • коэффициент линейного набухания 1)=5-10-3.
Армирование бетона приводит к уменьшению ползу-
чести вследствие того, что арматура деформируется
упруго и тем задерживает деформации ползучести бето-
на. Конечная деформация ползучести в железобетонных
конструкциях может вес же достигать значительных
величии (превышать упругую в два раза п более) [74],
и в некоторых случаях ее надо учитывать.
Ползучесть зависит от возраста бетона к моменту
нагружения. Раннее нагружение резко увеличивает пол-
зучесть (рис. 4.23). Ползучесть значительно уменьшает-
ся при повышении марки бетона.
Уменьшение ползучести достигается не только при-
менением специальных цементов и соответствующим
подбором составов бетона, ио и конструктивными ме-
рами,
Для предварительно напряженных железобетонных
конструкций ползучесть может быть значительно умень-
шена [70], если арматуре предварительно даются напря-
жения в течение короткого срока (несколько дней) на
Время с момента изготовления в днях
Рис. 4.23
10% больше требующихся по расчету. При повышенной
влажности и пониженной температуре ползучесть прек-
ращается. Приближенный расчет на ползучесть приве-
ден в [78].
Предельное удлинение бетона при растяжении (пре-
дельная растяжимость) ер~1  10~*4 и не зависит от ко-
личества арматуры и характера армирования. Однако
многочисленными опытами установлено, что такая оцен-
ка. предельной растяжимости является неточной, так как
размеры и расположение трещин в бетоне зависят ог
величины и характера армирования.
Установлено [72, 73], что в большинстве случаев рас-
Рис. 4,24
178
РАЗДЕЛ 4. М.АТЕРИДЛШ, ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫ» КОНСТРУКЦИЙ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
кр1>Нв®: трещин до flДщщ: неопасно и нс приводит к Кор-
ее 1Ц 1ТЧ,>Т;1ТО Гаю К' Я: Г’ТОЩ m рытйя трещин
гэа 1 П ’ПЯТО то П1"1с1ЬНи IO|«T"V,O, и еслй пре-
oiocn г>,сгныноосгь бетон: о|,еячзать по условиям
раскрытия трещин, то можно считать, что она зависит
от армирования, ,
З.р.пгмр! ВЧОЯВН'Ы ст напряжения в То ин *, 1ч(>ч-
, е- п'жыич чч’-г,' л ч><ыа >рг щшн пчтощ/-
'-п |'1У?ч»>п ягачипч > л > • тр 1>лт 12,
и '-ж сени зв«'<чччз;,ет предельную растяяЫйэстъ
п' -I <= 1 гатору м-чп Чел бо ьше арматг, эы п л-м раз
| стер о । > распред: тощ в бетоне, тем больше ее эФ-
р.щ.дивность [35’1.	'
Тоещниостоь чэсгь кочету /гаяч пвчшчтг с ч т ’•
। м про’,исстг- степ течь i щч гр’1тон(.нч , арматуры
л рч,)ТЧч< С огр птрфига По ГрЩЦП.Ю'ТОЛ ..jrpr у,1>"/-
ра перин чос о о поэфстя примерно в 2 раза эффек-
ri ....'..... :
Предельная сжимаемость железобетона зависит от
характера армирования. Арматура способствует более
равномерному распределению напряжений в бетоне в
предупреждает появление местных перенапряжений. По-
дуыч <ч taf/D. сокращает полети што Мщучацил
бетона и в -тотью ра- щт-жнтиет -тоте । ,нчю д
формацию ж JTl’T (лз-> «ТС 4j > те М “ ТО"т )
4.6.3.	Армоцемент
егтетете-. нт->тебЬ11, ВИД ГОнКЭСТ , ,о>-	< > OOpt
-остпчг.ии нз мелкозергистого (цемее-но-печаио-
го) бетона, насыщенного очень тонкой арматурой — в
м« ie t'chv и 1ч ,в-риыт "ото. я? гвовоты-” дчгиетро”
। ? 37 ч 1.7 с ят“'ч тец (т 6 до 25 "<> ‘nmncpi <'и
<iD"t>pr зстг/е) {отац'те mocotx < м’П»-пя.чв7' эле-
ментов обычно находится в пределах 10—30 той”.
Применяется также вторая разновидность армоце-
мента, в котором вместе с сетками, в наиболее напря-
женных утолщаемых участках конструкции уь'цывяы-
ся арматура в виде стержней различно о аиаме-, >
{комбинированное армирование}. Последняя р’Йзирввд-
ность армоцемента	t физйкр-мёханичё-
ским свойствам, методам расчёта и испытаний иг обыч-
ному железобетону.	,фф" ” - ;
Для армоцемента применяется беки мдрк i 300 и вы-
ше, vi-стадыв еныи вибрационными < п« чяы’Г’ метода-
ми, обеспечивающими получение изделий высокой плот-
ности.
Объемный вес армоцемента 2,5—2.8 г/,и3 (при... расу
четах принимается 2.5 т/.и* при двух гт а .	> о
56 кг)мг на каждую дополнительную сетку). Расхот пе-
ст то < от 400 до 800 «/.«’, а иногда и более. Однако
увеличение расхода цемента нежелательно, так дях это
приводиг к ж » гению усадки ар	-а. Крупность
, топ и- а ц 1/ чз быть не боле ' S/Д —• в пре-
те тя -и >5 ртсхот "a-ч I* i м* армоцемента ко-
леблется, от 150 до 300 кг я больше.
По сравнению с железобетонными конструщ’щмч ар-
моцемеитйые нс требуют общего увеличения расхода це-
мента, ® стали на сооружение, так как объем армоце-
ментных г конструкций в;, 3—4 раза меньше. ,
\П>стц 41-,, 1ЧГТ|И Ш I >if.M чяются для лрос.т-
invi 'те >t io’ г, сборио-иочоантньте .иг рытий промышлен-
ных здип’п средних и больших йррлетов, в виде плит
о ' Н’П.ОЙ ф Ц1’ ы I <я ’ОТОЫТИИ .< ( ерг 1ЩЬ 111	I1. , Ji-
ll n ,1Х ПОТОЧНО-, В ВЩЕ объемных ЭЮ I О, ( Ь” 3 ' I
стеновых. ддьеч.-й дчя нео-лпливаемых зданий. Имеются
* «Указания,:: пптепцоектироваяию армоцементных коиссрук-
цш'Ь> (СИ 366-67). Стройиздат, 1963.
то -> ' п ч> 1 - a it в гидротехнических
( 1,'И)	, я , и .’ill 1	г	1(11	< о
к, V ->!-, Г. г,« , , п .1 к ) г I	, те , О I-тр ,	t г,,, !г1 >
образйва конфигураций to ариоцемента возводятся со-
оручйёййя сломиих архитектурных форм больших про-
летов. Однако, обшая	еще
недостаточна; Поэтому приводимве ниже данные подле-
жат: уточнению, особеняо в части эксплуатационной
стойкости.
Коррозионная стойкость армоиёмеита значительно
ниже, чем железобетона, что объясняется небольшой
толщиной защитного слоя й применением проволоки
неббяйпого диаметра. В условиях нормальной влажно-
ст® Ври: хорошей гидроизоляции допустимая величина
защитного слоя для сеток 4 мм. для стержпевой (про-
волочной) арматуры 8 мм, а в шестах утолщений ребер
10 мм.
’Рационально примеиеийе защитных покрытий, осо-
) в условиях атмосферных воздействий 'и агрессйв-
нвВ вред, в виде нескольких слоев покрасок перхлорви-
>и ог ин, « on,™. >>  нт и а в другими составами
или оклейки пленками. :
>	, < те э и (л ' применяются, как пра-
вишад:при отсутствии агрессявяых воздействий окружа-
юда! ср„ды к бетону. При слабой степени агрессивно-
сти: должна применяться аитикоррозирйная защита.
тейПрй: средней и сильной агрессивности применение
арйечементннх конструкций ие доитскаетсй.
Пп'-льи по ’чностй армоцемента' на сжатие на 10—
15% выше, чем для песчаного бетона (при испытании
арвоиеиентных образцов в виде^ полых цилиндров или
ie при разрушении до-
стигаю^ 2500—2700 Kl'lafi. Предел прочности на растя-
жение определяется яа образцах-пластинах и равен вре-
меииому сопротивлению иа растяжение армирующей
сетки. Примерная величина предела прочности армоце-
мента при растяжении — около 100 кГ/ем2, Предел ироч-
510СТИ: на изгиб и внецентрениое сжатие и растяжение
ся работой сжатой и растянутой зон. В пре-
тите нагрузок'работу армоце-
тег,, ст Э1-” >т, I те, , Г1ТЬ упругой (стадия f
г-щ 1 < о-деб >]>’ I 1) го состояния железобетона)
Рис. 4.25
Характерная кривая зависимости а—а при сжатии
приведена на рис. 4.25, и. Предельные деформации при
нот е„Е=12(>-,10~4 [66], .Зависимость о—е
чгц р-ютч1!'?!»’ч приведена на рис. 4.25,6. Точка А кри-
> с от тщ- г апряжеиням, при которых пачинает-
ш в бетоне [(10 -те 2(1) 10-5]; точка
Р — началу интенсивного роста трешии (условный пре-
дёй текучести), после которого нагрузка почтя не воз-
4.6. ДГ'МИРОВАННЬЩ МАТЕРИДДр! И КОНСТРУКЦИИ,, ,
179
ристает, хотя деформации растут, достигая при разрыве
При поперечном изгибе, при напряжениях около 0,3
предельных остаточные деформации не превышают 5—
7%.	.	, ..
Допустимое раскрытие трещин в у миток-щ-то ”п
должно превышать 0,05—0,1 мм. При таком раскрытии
гн от количества, арма-
туры и размера .сеток деформации составляют, рт
!0- КН до 56- 10-л (до 5 мм на 1 пог. м длины). Если
влажность среды более 75% и даже при любой влаж-
ности воздуха, но при наличии химически агрессивной
среды, раскрытие трещин не допускается.
Ползучесть аргибцемента больше, чем обычного же-
лезобетона,. Например, для	на-
iрузках 6,25—0,3 разрушающих дегр “пйш через -од
в 3 раза превышали кратковременные. Относительно
большая деформируемость отмечается у образцов с ди-
сперсным армированием.
Коэффициент линейного .расширения при	от
0 до 1®°С а =1  1 ) nd 1 г ,nw т <г i >о,
10~2; коэффициент линейного набухания
р-ИКК
Морозостойкость армрдемеита, как правило, превы-
шает 100 циклов. Водонепроницаемость также высокая.
НИИСельстроЙ проводил испытания армодемента тол-
щиной 20 мм на давление 16 ати с положительными
результатами.	,
Огнестойкость армоиементных конструкций ниже,
чем железобетонных.
4.6.4.	Ярййрованные каменные конструкции
’.р-прост! in > > до кладки стальной арматурой
в виде сеток, стержйей или профильного проката прй-
сиосббностй и к йзйёнейию
упругих свойств кладки.
Для армирования применяются, как пнисто ста
и ч щ И) । । о г?! ! н а । стр; Ш'я по-
перечное (сетчатое) [79] и продольное (стержневое).
Арйатуфа в фрмокаменифх конструкциях устанавли-
вается в .растворные швы и покрывается слоем раство-
ра, обеспечивающим соединение ее с i и«ои ((вечность
отепления арматуры с раствором меньше, чем, в железб-
нарушается при достижений наиря-
’ц	ю ’п предельных. При попе-
речном армировании сцепление улучшается благодаря
давлению вышележащей кладки. Однако при небольших
напряжена	шния в резуль-
тате этого фактора незначительно. Сцепление увеличи-
вается	марки раствора,
Оо ' |>ц ,j 1 р ’и ’ьяп <,( I ж при.меняется рас-
также и необходи-
'-1К МО об"СП”г .ля 3.1ЩПИ от коррозии,
Прцтс’шп ,/цмз.мо’ть ярмокаменных столбов
больше, чем иеарйированных, п
достигает < щ > < ст — (20 ч-Зб) ИР4 [69]. Однако об-
щий вид диаграммы сжатия ие меняется (рис. 4.26)
и остается близким к логарифмической зависимости.
В связи с относительно небольшим содержанием стали
в армокамеишйл конструкциях ползучесть последних
может приниматься такой Же, как а неармнроваяных,
О расчете см, [65, 134].
4.6.5.	Бутрос ч’ый <3'бЕхгоцемеит
Асбестоцемент г n- i i ( /ч цементный ка-
мень, армиоонаш	a ir.! —15% по ве-
су цемента), огст»‘ шмат ж-иптсть . ест под
особых свойств. Об- in I ,'Ле г чьи 1.55—
1,9 т/зД пре । про-’-ш-т-; г я ст - will -500 кГ!см‘.
на растяжение 100—140 kf/c»fi, на’йздиб 160—220 кГ/см2
и выше,
Однако тс<д ш о’ и'1’1	। о сттр дивный материал
имеет суш в- ши щ то-то и •. и,и„1я ударная вяз-
кость (1,5—3 кГ-см/см2), относительно низкая прочность
при растяжении (в з - j м >ыг , с при сжатии),
большая дсфорМатйнность -щи измен « а и влажности
(до 200- 10ТО.	ф
Резкое улучшение качества изделий и конструкций
из асбестоцемента достигается при армнровапни их
стальной сеткой, отдельными стержнями, лентами или
же полосами из сто,-дон тост
Армирс з j но ™ щ ст.. i jct ТО п, - я называемо-
му способу накладного армирования [761, либо непо-
средственной укладкой арматуры в . .формуемую массе
на листофор
лее просто осуществить на машинах, работающих на
концентрированных сусгеизьях или же по полусухой
технологии.
«Накладной» способ может применяться при армиро-
вании сырого асбестоцементного, .'ш-' цзч П'Мг -то
отверд пая 6 что,сто < то а, >п-|то^рх пи и.пьют при
формовке изделия в слбе цейёйтно-ассестового раство-
r 1 о fipi I р Л” ”1 ст< д, рею ст’ щ от напряжений для ю> cm in,- каменных
столбов
'ir । т 1 т	। -> । v армирование пг' - г- ।	, .nn,ir <
Г 1	п* "	1 'o' 1 1 1 I i Г Ч 1 i) 1 ’Ч > ' J 1	<1	’ I (КО ’ <)	'	7 -	’	' 'Г >	> 1 IM ) р I
шов П,25%; 6 — армириваийе сетками 0,82'К
|gg	РАЗДЕЛ 4. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ра между двумя слоями свежеотформованного асбесто-
цемента. Затем пакет подвергается прессованию или же
уплотнению катком. Наименьшая толщина армирован-
ного листа 10 мм, наибольшая—не ограничена техно-
логией изготовления. Сырой лист можно также армиро-
вать укладывая арматуру, покрытую слоем цементно-
асбестового раствора, в специально отформовапйыс в
изделии борозды; При армировании по «накладному»
способу отвердевшего Асбестоцемента арматуру уклады-
вают либо в специальные борозды, либо в швы, либо
непосредственно на поверхность изделия, соединяя ее
с ЙТсбестоцементом изделия клеем, обычно эпоксидно-
цементным.
Впервые накладным способом армировали лотковые
утепленные плиты для покрытий промышленных зданий.
Рис. 4.27. Общие характерные диаграммы прогибов
образцов балок, армированных:
а ~~ НйАкоугл^родистой сталью. имеющей площадку текучести;
б — высокопрочной сталью, не имеющей площадки текучести
Стальную арматуру из 4-мм проволоки укладывали в
свежеизготовленный асбестоцементный лоток, составля-
ющий основу плиты, в специально образованные при
формовке борозды и покрывали асбестоцементным рас-
твором. Несущая способность отвердевшей армирован-
ной плиты увеличивалась на 20—25%, исключалось се
хрупкое разрушение.
Таким же способом изготовляли армированные стено-
вые панели. Выпущены также армированные асбестоце-
ментные волнистые листы из концентрированных сус-
пензий. Листы армированы стальными 3-мм стержнями
и сеткой из 0,7-леи проволоки.
Испытаниями установлено, что ударная прочность
листов увеличивалась в 5—7 раз сравнительно с иеар-
мированпыми листами.
Сцепление стальной или стеклошпоночной арматуры
с эпоксидным клеем составляет примерно 6№—70 кГ на
1 сл2 поверхности арматуры. Прочность сцепления эпок-
сидного клея с асбестоцементом составляет 45—
55 кГ/см2.
Предельная сжимаемость асбестоцемента составляет
(30-4-40) IQ-4, предельная растяжимость—(25-4-30) 10
Следовательно, одновременно с использованием несу-
щей способности асбестоцемента в стальной арматуре
достигаются напряжения около 6000 кГ/СМ2, если в ней
не превзойден предел текучести. В этом состоит одно
из- основных отличий'армированного асбестоцемента от
железобетона. Если арматура имеет более низкое значе-
ние предела текучести, то при его достижении произой-
дет разрыв асбестоцемента, но разрушения конструкции
не произойдет (рис. 4.27).
При применении в качестве арматуры высокопрочной
проволоки или стеклошнона (модуль упругости которо-
го небольшой— (44-5) 10s кГ'см-), она предварительно
натягивается Отпуск натяжения производится после от-
верждения клея. Такое армирование применено в плн-
Т I П гК 1661
Плиты ПАК размером 6X1,5 м состоят из плоских
асбестоцементных 10-ж.й листов обшивки, которые эпок-
сидным клеем крепятся к асбестоцементным швеллерам,
образующим каркас плиты. В клеевой шов, соединяю-
щий нижний лист со швеллером, укладывают полосу
стеклошпонной арматуры сечением 0,8X30 мм. В шов
можно укладывать и стальную арматуру.
Ползучесть армированных асбестоцементных конст-
рукций примерно в 2 раза меньше, чем неармирован-
ных [76]. Армированные асбестоцементные конструкции
рассчитываются по общим методам расчета железобе-
тонных конструкций.
4.7.	ДРЕВЕСИНА
4.7.1.	Общие сведения
Древесина представляет собой природный материал
высокомолекулярного состава. Основным веществом ее
является целлюлоза, образующая утолщенные вторич-
ные слои стенок механических волокон. Физико-механи-
ческие свойства древесины обусловлены главным обра-
зом свойствами природной целлюлозы, а также микро-
и макроструктурой древесины, что В целом определяет
неоднородность и анизотропность этого материала.
*1 ) i I >ро<1, э< т‘ зревесниы проявляется в различии
строшия и тсиыь годичных слоев, образующихся в
пан	-юна в зависимости от условий виеш-
! ч гр Ве-цчстви’ анизотропности строения древе-
сины, о-i ~он ’,ис во Юг.о I от строгой параллельности
оси Ствола' (кбйослой) вызывает снижение прочности
крупных элементов'по сравнению с малыми образцами
чистой (без порок0вф7дрёйёсины. Особенно сильно влия-
ние местного отклонения волокон около сучков, кото-
рым и обусловливается снижение прочности конструк-
тивных элементов. Для обеспечения прочности необхо-
дима дополнительная отбраковка материала в соответ-
ствии с качественными категориями рабочих элементов
конструкций по СНиП.
При работе в конструкциях древесина подвергается
растяжению, сжатию и скалыванию вдоль п поперек
волокон, смятию вдоль (в торец) и поперек волокон,
смятию на части поверхности элемента. В тонких обо-
лочках и пластинках учитывается двухосное напряжен-
ное. состояние.
Система анизотропии древесины (для условно мгно-
венных деформаций при быстро прилагаемых небольших
напряжениях) соответствует ортотропному телу с тремя
осями анизотропии по главным структурным направле-
ниям — вдоль и поперек волокон в тангенциальном и
радиальном направлениях. Ввиду малого различия меж-
4.7. ДРЕВЕСИНА
181
ду упругими характеристиками по двум последним на-
правлениям, может быть принята трасверсальная ани-
зотропия древесины с главной осью вдоль волокон.
Поведение древесины при механических воздействи-
ях характеризуется довольно высоким модулем условно
мгновенной деформации порядка 1  105 кГ/см? (вдоль
волокон), равновесным модулем эластической деформа-
ции, соответствующим деформации упругого последей-
ствия при выдержизашш образца под постоянной на-
грузкой до затухания деформации, порядка 5-10-’ кГ!ся2
и небольшой задержанной остаточной деформацией
(в I области деформирования, см. 4,7.2), восстанавли-
ваемой набуханием. По сравнению с древесиной дли-
тельный модуль упругости древесностружечной плиты
весьма мал — всего 4-10*—5-Ю5 кГ[см2 (при изгибе).
Коэффициент поглощения энергии колебаний древе-
сины ф~ 0,074-0,12; он не зависит от скорости деформа-
ции и числа циклов (до предела выносливости); при рас-
четах конструкций принимают ф = 0,304-0,35.
/Механические показатели древесины изменяются с
плотностью (прямая линейная связь) и снижаются с
повышением влажности (до гигроскопической точки
»30%) и температуры; стандартные показатели приво-
дятся к влажности 15% и температуре 4-20° С. Влаж-
ностные деформации хвойной древесины составляют 7—
8% в тангенциальном, 3,5—4% а радиальном и менее
1 % в продольном направлениях (ири изменении влаж-
ности от 0 до 30%), Древесные материалы, изготовляе-
мые с подпрессовкой, дают при увлажнении увеличен-
ное разбухание, например древесностружечные пли-
ты до 16-3-22% (по толщине). Температурные дефор-
мации древесины имеют порядок (3,54-5) Ю”1 поперек
волокон и 4-10~в вдоль волокон на ГС. Коэффициент
теплопроводности воздушно-сухой древесины принима-
ют л4= 0,15 ккал!м-ч-град.
Древесина — диэлектрик, обладает электроизолиру-
ющими свойствами и немагнитна. Химический состав
древесины обусловливает ее долговечность в атмосфере
ряда цехов с химически агрессивной средой. В необхо-
димых случаях древесину защищают в конструкциях от
гниения и возгорания [109].
Основными преимуществами деревянных конструкций
является малый вес и удобство транспортирования,
экономия металла, увеличенные сроки службы в усло-
виях химически агрессивной среды [112j и высокая сей-
смостойкость. Склеивание современными водостойкими
синтетическими клеями позволяет получать необходи-
мые размеры и формы поперечных сечений элементов
требуемой длины, попользовать короткомерный пилома-
териал со стыкованием по длине на зубчатом соедине-
нна, выгодно располагая его в поперчеиом сечении эле-
ментов. С применением современных деревянных кле-
еных конструкций в последнее время осуществлены
арочные покрытия пролетом 100 .и, купольные покрытия
диаметром 62 м. Основными областями эффективного
применения деревянных клееных конструкций являются
покрытия производственных, сельскохозяйственных, об-
щественных, учебных, спортивных зданий, промышлен-
ных. зданий и сооружений с химически агрессивной сре-
дой, строительство автодорожных мостов, морских со-
оружений, градирен, шахтных сооружений, строительст-
во на Крайнем Севере, в необжитых и лесоизбыточных
районах, строительство э сейсмических районах.
4,7.2.	Механические свойства
Древесина обнаруживает эластические деформации,
называемые ползучестью. К эластическим деформациям
относятся в I области деформирования упругое после-
действие и приращение деформаций (остаточных) ири
колебаниях влажности и температуры, а во II области —
вынужденные эластические деформации воздушно-сухой
древесины (преимущественно остаточные) и высокоэла-
стические деформации набухшей древесины (примерно
на */з остаточные).
Развитие эластической деформации (в отличие от
мгновенно устанавливающейся упругой, обусловленной
изменением мсждучастичных расстояний), связано с ре-
лаксационными процессами, происходящими в целлюло-
зе под действием теплового движения; скорость этих
процессов характеризуется временем релаксации. Про-
явление эластических свойств зависит от скорости вы-
нужденной деформации. Если продолжительность сило-
вого воздействия сравнима с временем релаксации и
скорость вынужденной деформации мала, эластические
свойства проявляются полностью; если скорость вынуж-
денной деформации велика, эластические свойства про-
являются частично. Поэтому при быстро прилагаемом
кратковременном силовом воздействии (сейсмические,
ударные, ветровые нагрузки) деформации древесины
уменьшаются, а сопротивление растет. Предел прочно-
сти зависит от скорости нагружения и определяется из
испытаний, проводимых со стандартной скоростью ма-
лых образцов чистой (без пороков) древесины. Наимень-
шее сопротивление длительной нагрузке древесины в
конструкциях принимается равным около 0,5 предела
прочности при кратковременном испытании; наимень-
шее сопротивление фанеры определяется длитель-
ной прочностью древесины продольных шпонов. Дре
весностружечные плиты длительным сопротивленц-
ем не обладают (незатухающая ползучесть при мини-
мальных напряжениях).
Время релаксации зависит от температуры, которая
оказывает влияние на показатели механических свойств
древесины; однако благодаря высокой ориентации мак-
ромолекул целлюлозы древесина не имеет температуры
хрупкости. При увлажнении до —30% и набухании’де-
формации древесины увеличиваются, и сопротивление ее
снижается.
Для древесины характерны две области деформиро-
вания, границей которых является напряжение СГ]_П —
предел пластического течения, представля-ошчи собог
предел вынужденной эластичности воздушно-сухой дре-
весины и начало появления высокоэластических дефор-
маций набухшей древесины. На величину ог__иокаайва-
ет влияние скорость нагружения. В воя тошно < , оч тое-
весине иод действием напряжений ст	гт
нарастание остаточных деформации, кокзэые щто, ,ч пот-
ея задержанными (т. е. невозвратившпмщч щмщ j>
большого времени релаксации) эластическими: деформа-
циями; накопление этих деформаций нё*:являетея пока-
зателем приближающегося разрушения.; Одйовремецно
с развитием остаточных деформаггиигпроиежодит неко-
торое снижение модуля упругости, проявляющееся так-
же при последующих нагруженйях ниже * от-.ti. В на-
сыщенной водой набухшей древесине под действием на-
пряжений	появляются большие высокоэласти-
ческие деформации, достигающие, например, при равно-
мерном сжатии вдоль волокон величины 10% и более.
Две области деформирования отчетливо проявляются
под повторной статической и пульсирующей нагрузкой:
в I области древесина характеризуется постоянным мо-
дулем упругости и пробным сопротовлспием при числе
циклов 30 000 и более, т. е. ведет себя упруго; это поз-
воляет принимать упругую работу древесины при расче-
182	РАЗДЕЛ i. МАТВРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕ	’АСЧ5ТА
те конггрукци” та ыс( ж/пядлоинуф сТаТйчёскуй, а
-е, />е t > пттьснул на"рузь Во II области при дсйст-
г:« усилия вдоль зо".окон ”роисходйг ускорёйнбе фёз-
Pj -пони** древес’ нь..	.	:
Основными характеристиками пслимеолы.: матерла-
лов и древесины, Как природного пми (е,та, ятаяютая
дтаттаная прочность « деформации лотаучдта При
обсчете д<=реврннпи конструкций по м-’тоду пре "-тдныч
состояний исходными для определения расчетных сопро-
тивлений древесины являются минимальные вероятные
поеде-ы прочности, принимаемые за нормативные ёв4
, тз5~еч i-т Дети 1'0С1едн'<е и коэфо),.,. чта" Ч'.'Ч'’-
ьтать- по магония ту утатываышия втачч ю -прота- дта-
веечм, масштабного фактора и дп’зттаыотач дейстдщ
иагрики, получают ра"че!ныс старотичле-’ я Ра.татпьп
«одуть ’прутостч древесины вдоль Волстад пэчг<ц,?’т-
ся одинаковым при сжатии, растяжении ч изгибе и рав-
ным МО5 гГ!сл$ для нормальных тампературио впаж-
костиыч условий службы конструкций.
В несущих конструкциях применяется древесина твой
(ч; птаоо 'щечму.’щг'твенно стена ч та Показ >i\”i
фйзико-механических свойств дреаееййы ирод СССР
Т а б л я п а 4.26
Про щпста ч лефсрчатдрялсть лревесицы отаокчых лопоз.
в С1ГР (средние НОКаЗат<“Т!’ для I мчд-фтиых лбр‘ЗЦО”.
йрй влажности 35а/й j
И о р о д а
(район произрастаийя)
Вариационный
коэОйцйейт й %
Выреза обыкновенная (За-
падная Сйёйрь)
Буй кавказскйй
Дуб (Украинская ССР)
1	1л>,’К тоя-ч н,я (Север
«’ЬРОЖЙ"“'б '14-тр , СГ р;
’ еДйбтвеиййпа Сибирская
(Восточная Сибирь)
Осина (Украинская ССР)
Папа кавказская
табоЫ» обыкновенная (Цен-
1.ра4ы<в1е рай, гы -"D лет,
i -ой ч  -hi СССР1
Тополь белый (ёйрбпёй-
--ач -.„сп, corp)
ааччсЩв----------------чае
*s "та ffi I ’S 3 S i 1 с	Временное сопротивление в кГ}сл?				
	Сжатие вдоль ВОЛОКОН	’	^Поперечный) изгиб |	ср it JJS S3	Скалывс • ние вдоль волокон	
				в радиальнойi ' ПЛОСКОСТИ	!	в тангенцй- алышй плос- кости
10	13	1.5	№	21	19
680	460	917'		йб	99
680	461	9Я8	1091		1.31
720	535	(116	—		из
490	428	747	1295	62	6а
650	553	964	пае	93	-35
.620	401	817	1830	63	87
470	•391	722	1118	77	82
520	439	793	И5Й	69	73
чёо	зов	533 7'	в»	54	71
приведены в табл 4.26. Сойротйвлеййе йестному смя-
гется услов-
ии  Г1/’ ’ 1 Ч " - 1	} '	( ! ' ' гргг для
дуба
<’ т У г 40	" I о о пц чо(»< «та’1’
о > г t I тс ' • [89], а <з стандартных испыта-
ниях [S4 j.
Гтазтаи (а об- и '> ipo-- т t р - aip-eoypciriii
тантаГ , ,Н и’ 7 -	11	' Г,_ >	ПчЧ ПО",
Лов Прочности по i лайкам осям аяйаОтрбДйй (Мол»
и йопёрЖ йолокбн) составляет (для -малЁиг образцов)
: ’As  1/з<з V. при Сжатии (пё Мей пле-
1ИЧГЧ таща,на) 1 'Al  '(2	".’(-er - тгг 1(р,< эазт’.Чб »
«ж яапряк'ч'п о сытая ста чиоя’ ср и работа раз-
-та i дг 'в‘»ги I I о- о различаются. При концерт
ряде ,1-пр <д орр-, по	татар, I)/,’" < е, г;ч
..татагщта -- >tj ч >’и т Юс 1 : сото'П’ и ж -л >ва1 т
при модой ргбо-;- пазрушгног. ндпрчптп, ражж’уто' f
стержень ё йёстййи бславлёййем ряэтустагта с оМз
зог-щщг <родолгi/j“ п, ши касательных к кбН'Гуру
OC4j6WH4 1, С(.ГГО~,|Г та', L Ч чро-П оег’Ч'НЯЧ eng!-, ,
ПО 1’ЮСТЬ’О «СПОЛ О - т? ш , Ж ТО” отсутствии или вос-
пии"гиг о-щы’’" Е’< t -юлтаЧ
дадачеч «Oe»Tpj! у-- ;,1 я с дереве (выбор схемы
лжтии;?' г в'п г>	л.’ ч яь!яе.~
оМтаечеи чо-Ту~,Ч1,5-о аг р, , ,Тп1 г офюруащр,
лтас!”мескогг хаодггер’ по, ре пч-у,-!-у смслбно
с-,,!, ну’ т очя I ъо' з- \ о т ’ I г, jr , г > у 'u-’вчя, а так
АЗ ’’СТОЯ,1' 41 - :Л’И(”1	1 п-’ООТ, , T’CTf у \ I у Д°фо,1-
' яг 1 «чделж тег р", г (< т пу, -м-ома "ьдо ।
-эулорм'’ос'та i -i’i -го* ,л 1 р, т ion 'Ц’ич’ ксл-т
о тио /и; ч»а-ги'- гг' । 1”',"тья»м -чг>м от чине ('ll
СОТМ«Т>" (ИЮР « U ) Д 3 vni> ' СЮСМЫ
Повьтгеиич РеС1,И!»ч «.чп-об юста дэеЛ!1галт в s-,-
еных конструкциях, в кртон ы и 1"срг ,» г-чтоль-тачег
ГОЗ’ЮТС’С тятя >,у юп Ы ЧУ’ВД’ ПОРОЮ"
А УЧ'Ог) С г г-1 “ДО" ' " И riu 3»б’"1’0 ’ СЭ"Д'> 1~3 1Р, ПО Г"
щеидр более прогт-ой у юсе^укь; в рзсчяпу’У’о зову
, у’“Ч’ чз"'б ’ д’ -а ’гг<. Современные синтетиче-
ские КТСЬ И ПАТОМ’ 1Я («1."’!’ ч И обС"Г4 щгсд" ДОЛГО
вечность конструкций. С их ыи ,л щ угту зфф»;,.
Т'газы» "0(314 ня Л <'Ж грс г rpui,rl 4-0 J-ТПЧ огиву fI.
МИ Т, чТЩ'," < _-»	-У,Ы,1 I’” ’1, ч» >07013=4” 10 Ц ПЛЯОТ
массами /нопрпмгр, газеза (Гбо-тоемшпнпс < деро-
, ян-bit (	Ы'1 аГК-СОЙ, ( =г 7» . о ' р >» го£1
JS ,1«,Ж 7 >07 I)
Я1 КО гыр = л= г’1’ о’(,дг ,0Г" (,1 от ПП’ЧЗ--,1чя д-щг
с взаимно йёр-
1 "WHC/ТЯР (,г о его-07' ТГ-! ,чои-гр О 7) те,", «30-
ЧЗ’.ШН ’ М 1 С’<| t 1'1 Till ) ' ' <0 , 0 13 1 о,- =, ,1,1 ,7'13 ЯХI 3
,’74’1' тал г», ("<>’ тта- 1 ° к волокнам в рфбашках)
rinoi-'tia гос >ioo ’ до 1 стаж тайн б'г о J 04:'!
о ег-'Г’таь ои .(такта таз ’" г та чптП», со-стч,"
1 ПОПОВ 10 ,’Т>. I,' Jill 90’, ЭТО СО’ 1*Г11,СЧ,’О КО, НТ
быта ;?,та , д ’ । и? ”
У т,’>а’ета  *1" п’"(’<(’(' г,и ю та»") иатзральной
древесины мбтйёт быть достигнуто Рурёй ёё МШйфйка-
ичп ю”1М₽р'1Г”7 >0» ни ’ ртмта-ч |тантац тд-
>1”’ < )ч I'’» г > Ч' ' ।	1	’ ' |7гта|-гт.|Ч
та.гг- в у-тап и - и, >м '• у ф и Mo’ijvcn,, j
йбётй' при увлаЖйёнйй).
4.8.	ПЛАСТМАССЫ
Общи? сведения. Птастмяиы — 7. агрри.иы га осчо-
чо чысо: татата элярных вежеста (татачщоь) И татао
гтагтароз дажтач, кта путта, го-та-тат и ди-гк
kcmii'14'н ы. п'тата-фч!огеры, нжтанит1’' > г i п На-
личие полимеров в (ост	опивает ряд
<Р ( <|, Г,°", 1 <яи Z ’	’" II' I '
П-1'з’ к о г - • 1"'н - та птата! , >чы
юта та	, та ЦО 1 р -[ гр I - та ’ -
4.8. ПЛАСТМАССЫ
183
реактивные — на основе полимеров е пространственной
структурой Первые при нагревании приобретают пла-
стичность, а при охлаждении вновь возвращаются в ис-
ходное состояние; вторйе, будучи отйерящёиы, при на-
гревании йе переходят в пластическое состояние.
К. пластмассам, применяемым в строительных конст-
рукциях, относятся стеклопластики, оргстекло, вини-
пласты, пенопласты, сотопласты, древесные пластики,
синтетические клеи и др.
К строительный конструкция» с примёйё'ййе-м пласт-
масс относятся: трёхслойныё конструкций (пйоскне па-
нели. складки, оболочки, своды и т. пЛ с обшивками из
высокопрочных листовых Материалов (металла, асбесто-
цемента, фанеры, стеклопластика) и . 'даст i 1 юч из
пенопласта или сотоплйста; трехсЛойййе конструкции
с ребристым средним слоем; однослойный и Многослой-
ные светопрозрачные элементы ограждений (панели,
купола, волнистые лйсты) из полиэфирного стеклопла-
стика, оргстекла и винипласта, пневматические (надув-
ные) и тентовые конструкции из воздухонепроницаемых
гкаией и йлеЙок.
Применение пластмасс в конструкциях яййболее це-
лесообразно в случаях, когда необходимо уменьшите
вес конструкции: при стройтельстйё в райоййх вечно-
мерзлых грунтов, просадочных грунтов, на подрабаты-
ваемых территориях, когда надо сократить объем трайс-
портных и стройтельйо-мойТажйых работ, бсобёнйо при
етронтелвефве в отдаленных и •	райо-
нах, когда требуется облегчить монтаж и демойтаж
сборно-разборных конструкций и уменьшить мощность
подъемйо-транейбртйого оборудования. Целесообразно,
применение конструкций с йсполвзйванйёй пластмасс
для повышения паДеЖйости сооружений йри их эксплуа-
тации в агрессивных средах, районах высокой сейсмич-
ности, а также для исключения влияний магнитных
свойств строительных конструкций и возможности иск-
рообраэовайия. Подробнее о применений конструкций
из пластйасс си. [114; 116].
Стеилопластйкбвьге материалы примеряются в основ-
ном четырех видов: 1) стеклопластик йа полйэфйрном
связующем в рубленом стекловолокне (со светопэопу-
скайиеМ до 80%),	- ; (с
продольной к Поперечной волной) и плоских листов тол-
щиной 1,5—2,3 мм и используемый в
конструкциях; 2) сттестплчетш- ’ л-гро-дои- ,л<
КАСТ-В на модйфйцйроваяйбй фенол’
связующем й стекйоткайй; выгускаейый в виде лйстбв
и Плит толщиной 0,5—ЗБ мк и п
вок трехслойных панелей, в том - г >*i 'м- в
химически агрессивных средах; 3) сте’ тостст ’>; W'
вой СВАМ йа эпокеидйо-фенольном связуйййем й не-
прерывном ориентированном стекловолокне, выпускае-
мый в виде листов толщиной 1—30 мм и применяемый
для изготовления особо прочных вспомогательных изде-
лий и деталей; 4) стеклопласта новый прессовочный ма-
териал АГ-4 (марок В и С) на модифицированном фе-
иоло-фйрИальдегилном связующем я рублевом или не-
прерывном ориентированном стекловолокне, выпуска-
емый в виде брикетов и лент и используемый для изго-
товления вспомогательных конструкционных деталей
для химически агрессивных сред, (гайки, болты, подклад-
ки и т. и,).
Оргайичеекое стейло (оргстекло,
дат), представляющее собой пл®
мер метилового эфира метакриле	эльзу-
ется в Строительных конструкциях в вййе листов и бло-
ков толщиной 0,8—35 мм для созданий ев ачних
ограждающих конструкций (куполйяё элейРйУы и вол-
нистые листы). Достойнствайи оргстекла тете >т< я вы-
сокая свет п •< оащпт}. (д{) и способность про-
пускать до 73% ультрафиолетовых лучей, В строитель-
ных конструкциях применяется стекло органическое
авиационное (сорта специальное, А, В) и поделочное
(сорта ПА и 1"1Б),
Вииййласт листовой, представляющий собой, как
правило, йепластифйцированную поливинилхлоридную
композицию, применяется в виде листов толщиной 2—
20 ям марки ВП (Прозрачный) для свегопрозрачных
ограждающих конструкций (купольные элементы и вол-
нистые листы) и марки ВН (непрозрачный) для обшив-
ки панелей, перегородок и пбдвеснЬа пОтолкоз.
Группа дрейесиих пластике» включает пластмассы,
исходной составляюйей которых является переработан-
ная тем или иным способом древесина—природный по-
лййер. Эти материалы для своего йзготовлёйия требуют
сравнительно небольшого количества добавок синте-
тических ейбл.
Пластики древеспселбистые (сорта ДСП-Б, ДСП-В)
изготовляются из листов -лущеного березового, липово-
го Или букового Й1ЙОНЙ, пропитанных и склеенных меж-
ду собой под давление» смолами резольного типа.
В пластике ДСП-Б каждые 5-—20 слоев с параллельным
направлением вбяокон чередуются е одним слоем, в ко-
тором направление волокон перпендикулярно направле-
пйю их а смежных слоях, В пластике ДСП-В волокна во
всех смежйых сдоях взаимно перпендикулярны. Пласти-
ки в виде листов и плит толщиной 1—60 жж применя-
ются в качестве обрамляющих ребер трехслойных пане-
лей, обйшвок подвесных потолков и внутренних обши-
вок панелей покрытий й efffli.
Фанера бакелйзйровяиная (марок ФБС; ФБСВ) из-
готовляется из листов березового шпона, пропитанных
и склеенный фенЬлб-формаяьдегиднымй спйрто- и иодо-
растворимыми смолами марок СБС-1, СК.С-1, С-1, СЛФ,
СКФ, С1\Б, Фанера клееная березовая (марки ФСФ.
сорта В/ВВ) Изготовляется из березового шпона, скле-
енного фенбло-формальдёгидными клеями (смолами)
марок С-35, С-45, СЛФ. Оба вида фанеры: используются
дйя йзгбтойлёнйя обраййёийя трехслойных панелей и для
чх сттете
Плита древёсйбстрУжечиые марок ПС-1, ПТ-1, П&З,
ПТ-3 нзгоТойляктсся на фёне до Ьгг,мст,~ - > я- jop
вино-меламийовых и »
лат. Плиты тойЩйной 10—25 мм используются для внут-
ренний обшпйбй панелей Покрытий, ебшявой перегоро-
док й подвесных потолков.
Плиты древесно
1ПГЭ1 ( = чц т Я ' г г 1 - ,( - , О 01 ф' Н ’ Ч '
) ОДОСГО! ЧЧ Г’ Г г Ч f , ( Щ-п-,, ;	> f Ц ) ,1 - >1Щ,	|
3—8 мМ примейяйтся в качестве среднего слоя трех-
слойнйх панелей (в виде сот) й обШйвбк панелей, по-
рёгородбй, подвесйых потолков, внутрёйииА ббшйвок
ИСТСТ ’1 ПО; - ,>”! ।	- <
С, дусте'ч , то,/ -шст I пыж - <пст ч> м < - - цли-
твг, применяемые кйк конструкционна®-Жатерйал, долж-
ны быть аитисептированы.
Пенопласты, используемые в качестве среднего слоя
гр’ - Jlfbr > СТЦ I П И -'ЦСЮГОТ Я ЯЯ '	|1| по-
лйстйрольпйх, полйвиййлялбридйых, фййльВых и дру-
гих полимерных композиций.
Полимёрч-! 1онпо’1ции -ып" эст ни" <ться как в
отдёйышх формах, fair и непосредственно в полости
стройтельйШ конструкций;
По	< "'те Приста , тощи т г подпаз-
К бёсйрёсбовым
' “ :о и я -г';-	।	:< I ш-тъ ’,т> П< Г
(|,.Ь j' T' ~ Г - ,"ГЛ,|' , I 1г’ и '> г г !i 1	1
квдий) и	марой ФРП-1 и
184	РАЗДЕЛ 4. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ, МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ФЛ-1. Прессовыми пенопластами являются полистироль-
ные — марок ПС-1, ПС-4 и др,, поливинилхлоридные
ПХВ-1 и др.
Полистирольные пенопласты беспрессовые изготовля-
ются из суспензионного полистирола, а прессовые — из
эмульсионного полистирола, Беспрессовые полистироль-
ные пенопласты ПСБт я ПСБ-Ст изготовляются на ме-
сте, по -методу теплового удара или в поле ТВЧ,
Винильный пенопласт ПХВ-1 изготовляется из поли-
винилхлоридной смолы, Феноло-формальдегидные пено-
пласты ФРП-1 и ФЛ-1 изготовляются на основе резоль-
ных смол марок ФРВ-1 и ВИАМ-Б,
Объемный вес пенопластов, используемых в строи-
тельных конструкциях, составляет: ПСБ, ПСБ-С — 20—
40 кг/м3; ПСБт, ПСБ-Ст—20—60 кг/м3; ПС-1—
100 кг/м3; ПС-4 — 40 кг/м3; ПХВ-1—70-100 кг/м3;
ФРП-1, ФЛ-1 — 60—100 кг/м3.
В качестве среднего слоя применяются также
сотопласты на основе хлопчатобумажной ткани крафт-
бумаги и изоляционно-пропиточной бумаги. Пропитка
сотопластов осуществляется феноло-формальдегидной
или карбамидной смолами и антипиренами. Сотопласты
могут заполняться теплоизолирующими материалами и
вспученным перлитом, вермикулитом или мипорой.
Основным видом соединения конструкций с приме-
нением пластмасс является склеивание. Клеевые сопря-
жения дают возможность соединять разнородные мате-
риалы, уменьшать вес изделий, обеспечивают коррози-
онную стойкость и герметичность швов и т. д.
При выборе клея надо прежде всего иметь в виду,
что для разных конструкций требуются клеи различной
прочности. Так, для плит покрытий, испытывающих воз-
действие относительно больших нагрузок, необходимо
использовать более прочные клеи, чем для навесных сте-
новых панелей. Выбор клеев зависит также и от ком-
бинации склеиваемых материалов,
При изготовлении (склеивании) конструкций приме-
няются клен: эпоксидные, дифенольные, каучуковые, по-
лиэфирные и феноло-формальдегидные.
Клеи на основе эпоксидных смол имеют хорошую ад-
гезию почти ко всем материалам, отверждаются прак-
тически без усадкн я не содержат летучих растворите-
лей, обладают хорошими зазорозаполняющими качест-
вами и допускают относительно большую толщину шва,
весьма прочны, водостойки, удовлетворительно ведут се-
бя при старении. К недостаткам этих клеев следует от-
нести их относительно низкую теплостойкость и жест-
кость большинства марок этих клеев.
Каучуковые клеи обладают эластичностью, что по-
вышает прочность при неравномерном отрыве и позво-
ляет склеивать материалы с разными коэффициентами
усадки и расширения при действии температуры и вла-
ги. В: связи с этим основной областью применения кау-
чуковых клеев являются конструкции, испытывающие
рн лышуатации усилия неравномерного отрыва, в ча-
стности, алюминиевые панели со средним слоем из пс-
впгош топ
Полиэфирные клеи наиболее широко применяют для
 кл-швишя конструкционных элементов из свегопроз-
рачных полиэфирных стеклопластиков. Огвержденные
клеи обладают высокой прочностью при сдвиге, устой-
чивы к действию агрессивных сред и атмосферных фак-
торов. Недостатком ряда полиэфирных клеев является
их неблагоприятное воздействие на некоторые склеива-
емые 'пчерчалы, а также усадка, приводящая к возник-
аю р ж) зч.'штглвщ, р'птрелнйх напряжений.
Механические свойства. Каждый из упомянутых вы-
пи r/iot, погчм-рных -1 it" шалов включает большое
г отичество ра-ноЕидчостсч, обладающих значительным
разнообразием физико-механических и других свойств,
В этом проявляется одно из основных достоинств син-
тетических полимерных материалов, состоящее в iom,
что. комбинируя исходные компоненты и технологию,
можно получать пластмассы, принадлежащие к одному
виду, но обладающие большой, заранее заданной вари-
ацией механических свойств.
Всем пластмассам в значительной стспеии свойствен-
на зависимость механических характеристик от времени.
В связи с этим их. механические свойства должны ха-
рактеризоваться не только кратковременными, по и дли-
тельными показателями
Величины, характеризующие основные механические
и физические показатели пластмасс, перспективных для
применения в строительных конструкциях, приведены
в табл. 4.27. Кратковременные прочностные показатели
при основных видах напряженного состояния представ-
лены нормативными сопротивлениями 7?“, определенны-
ми как пределы прочности в соответствии с требования-
ми технических условий. Расчетные сопротивления
пластмасс для конструкций, защищенных от увлажне-
ния, нагревания и агрессивных воздействий, представ-
лены расчетными кратковременными сопротивлениями
и расчетными длительными сопротивлениями R, по-
лученными при нормальных температурно-влажностных
условиях.
Показатели деформационных характеристик пластмасс
также подразделяются на кратковременные и длитель-
ные. Кратковременные модули упругости и сдвига (£к
и О1’) определены из кратковременных статических ис-
пытаний малых образцов при нормальных температур-
но-влажностных условиях. Таким образом, эти величины
представляют собой модули упругости и сдвига в обыч-
ной трактовке этих терминов. Длительные модули упру-
гости и сдвига (Е и G) определены из длительных ста-
тических испытаний малых образцов при нормальных
температурно-влажностных условиях и при напряжени-
ях, примерно равных расчетным сопротивлениям.
Расчет конструкций на сочетания, включающие толь-
ко кратковременные (с расчетным периодом действия до
1 суток) нагрузки и воздействия, ведется по кратковре-
менным расчетным сопротивлениям и кратковремен-
ным модулям упругости Ек. По длительным расчетным
сопротивлениям 7? и длительным модулям упругости Е
рассчитываются конструкции на сочетания, включающие
только постоянные и временные длительные нагрузки и
воздействия. Подробное подразделение нагрузок и рас-
четных сопротивлений является специфическим для рас-
чета конструкций с применением пластмасс и имеет
своей целью учет особенностей изменения механических
свойств полимерных материалов в зависимости от вре-
мени.
Механические свойства стеклопластиков определяют-
ся прежде всего свойствами стекловолокна, обладающе-
го по сравнению со связующим во много раз большими
прочностью и модулем упругости. Применяя стеклово-
локно. различное по химическому составу (с разным со-
держанием щелочных окислов), и варьируя количество
и расположение стекловолокна в материале, можно по-
лучить стеклопластики, обладающие различными меха-
ническими и другими свойствами. Вид и процентное со-
держание второго компонента смолы также оказывают
большое влияние на свойства стеклопластиков. Связую-
щее в стеклопластиках кроме защитных функций выпол-
няет роль достаточно прочной и жесткой среды, спо-
собной перераспределять п уравновешивать неравно-
мерные усилия, возникающие в массе элементарных
стекловолокон. Последнее обстоятельство особенно важ-
но для тех видов стеклопластиков, в которых стеклово-
4.8, ПЛАСТМАССЫ
185
Таблица 4.27
Нормативные и расчетные характеристики, кратковременные и длительные модули упругости, коэффициенты
Пуассона и линейного расширения
Пластмассы
Прочностные характеристики							!	Деформационные хар а к т е р и с т и к и				Коэффициент Пуассона ц
нормативные сопротивле- ния и кГ/см			расчетные сопротивления в кГ/см2				модуль упругости в кГ/млН		модуль сдвига в кГ/см*		
растяжение м изгиб /?“	сжатие Я с	>>1| срез /?ср	растя - жеяие н	изгиб И	сжа- тие «е	срез Ср	крат ковре- менный Екр	3 X Ввд	кратковре-  менный <7КР L			длительный G	
			С	«и	«с	Яср					
Коэффициент линейного рас-
ширения а-10"“"Ь
Стеклопласты,
оргстекло, винипласт
эфирный	листовой (МРТУ 641-134-69)	. .	600	1300	90и	450	360	780 ТОО	540	270 90	60 000	30 000		—	0,4	25
					150		150							
Сгеклотекстолит КАСТ-В (ГОСТ 10292-62)	23(Д)	1200	050	700	1720	ООО	710	525	240 0(7)	ШО ООП			0,15	1(1
					1100	553	451	Т.Н						
Стеклопластик СВ W	1500		4000	1500	3370	525< ’	3000	1125	285 000	24(0 000			0,13	10
(СТУ 12249—61)	....		/ООО			1600	250(1	1400	500						
Стеклопластик прессо- вочный ДГ-4; марка В (ГОСТ 10087—62)	» . * , .			1000		ш	900	750						0,13	И»
	800				36(1	540	600							
	5000	2500	мио		3750	1876	15оо		180 000	150 000				0,13	10
марка С . s . « * .					2200	Hi 10	900							
Стекло органическое (ГОСТ 10657—63) , „ » s	550	10(Х>	800		410	750	600	450	‘’8 000	14 000						—
					159	250	200	140						
71 и и и п ла ст листовой: ВЯ —• непрозрачный ,			750	400	380	700	525	230	28 000	16 000					
	550	идо			140	200	140	85						
ВП — прозрачный (ГОСТ 9639—61) . .				400	350	63ч	52.5	280	28 000	16 000					
	оОи	90п			130	180	140	85						
Пластики древеснослоистые														
ДСП-Б толщиной 15—	0900		155и	119	1650	1950	1160	105	300 000	150 000					
П() М it	»	» а а- а »	’		2Ы К!			1090	1301)	800	70						
ДСП В толщиной 15-			1200	130	825	1125	900	97 ]						
f 10 ММ	ч я о «	4 я ”		ЬОО			450	600	470	70 (	180 000	70 000	—		—	-
ДСП-Д толщиной 3— 12 ии (ГОСТ 8697—58)	1409	I960	150'7	165	1050	1425	П25	124 1						
					560	760	500	80 1						
Плиты древесноволокнистые														
Сверхтвердые < в . .	ЗОЛ	500	300	170	150	300(225)	150	120(24)	50 (Х)()	12 50U	20 000	5 000		—
					60	100(75)	40	50(10)						
Твердые (ГОСТ 4598 -	200	400	200		120	240(142)	120	90(13)	30 ОШ	7 500	И 0Ш			
6(1) Я ft * Й 0	>9	»					50	100(01))	AJ	35(5)				3 .'Ш		
Плиты древе с н остр уже ч н ы е														
Марки ПС-1, ПС-3 при объемном весе 500—- 650 л г/л?: группа А 9 й »< s	120	170	170			102	102		25 000	10 000				
					29	30	25							
группа Б а 3 ч я	90	130	130					78 19			20 000	8 000	—			
18fi —
РАЗДЕЛ «. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ, .МЕТОДЫ РАСЧЕТА
————————л-т—--—г
П ^одолжение Taf'A,
Пластмасса	Прочностные каржтефйетиил								Деформационные	' характеристик и				j Коэффициент Пуассона ц.
	нормативные сопротивления ь к.Г^мй				расчетные сопротивления в				модуль упру- гое ти в кг/мм*		модуль сдвига в кГ/см"		
	растяжение j п и	! Ъ	1	изгиб (’	i	,-iB ; сидатне ₽с	срез Ур	растя- жеине К	изгиб «S	сжа- тие К «с	срез Дср	кратковрс- ! дзеиный i’ki3 j	длительный Б	кратковре- ; менный GK-J i	«: 3 д дз 1 §о	
					с	Ч		Ур					
Марки;ПТ-К ПТ-3 при соышнйм веса £>50— »50' ды/г: группа А , „ , . .		?1">	215		90	129	Г29						
					36	39	32						
группа Б (ГОСТ 10632— 63 11 ГОСТ 10637-63) . .	120	170	1 7Л		72	102	102						
					29	30	S5						1
Пенопласты													
Полистиро.чышй марки 11СБ объемный весом в кг1я? (ТУ 56-64): 20 ........	U, 7		6,7	С, 7	О		0,3	о	70		25	10	
					0,15		0,16	0/5					
			1,5	1,2	0,9		0,9_	0,72	120	«		15	
40	« 5 « л а > , .					0,3		0,3	0,2					
То же, марки ПСВт объемным весом в дг/мО. 20	0,7	—	0,7	0,7	0,42 0,15	—	__°,3 0/15	0,4.2 0,15	70	ж	25	19	—
40	2	-	2	1,5	1,5 0,4	—	1,2 0,4	0,9 0аЗ	150	50	50	20	—
60 . й ..... .	3		3	5,3	1.8		/8	1,7	/б©	85	Ш		
					o,s		0,6	6,5					
То же, марки ПС-1 объемным несом 1СТУ а-Ш-Ш 100 ке!м* Й . .	Ж5		8	9а5	13		5,6	6 6	750	200	200	Ш	
					ЗЛ		1,6	1,3					
То же, марки ПС-1 объемным весом (СТУ 9-92451) 40	,	4				2,8		1,4	1,4	120		80		
					ол		(),5	0.5					
П о л и х л о₽ в н н н л ов ы й марки ПХВ4 объемным весом	(СТУ 9-90'61) 100 ке/К , . й « s » ,	16	—	7,5	7/3	м_ 3,0		5,2 1,5	5,1 1,4	609	2(70	200	по	—
Фенольные пенопласты марок ФРП-l, ФЛ-1 оиъ- емнымг весом 60 к-/.л/	л ->		/6	1	0,72 V/	—	0/16 У,3	р 0.6 0,2	100	<>	70	80	
Сотопласты													
На основе хлопчагобу- >»и/ ,ф i тг ЯЛ ЦП -> 5 ' ,5 весом 140	.			00	18			28	12,6	1. 0(Ю	809	439	390	
							7	3/1					
На основе крафт-0ума- ?и объемным весом ® /йМ . Ф . , , » ,	—	—	Н)	6	—		/6	4,2 1	430	369	ИО	ио	
На основе'Оцдодяйнон- Ю ’ /1 i 4 И	!	J емйом весе .••' • "•			ч а ? s .	4 "	*		—	3	0,7			2/ 0,5	0,49 0/2	шо	130	ПО	да	
Коэффициент линейгоги рас-
gSSS
2 S' E
— £
 й -л йб и da .i ?	j. а и d а хя в d r x ай н х;
Й		3	3				i!	g»			I s		-Л 3	t	растяжение *p		1	
						,	I						изгиб /?“		й в? ЕС к со	
							1						сжатие		-51 W	а о к
;S		Л		it	К		J	s	5	8 a		s		срез	<₽	tZJ Ь5 ГВ 2* S	а £ л>
			J.	.* да	00	3<	SC	3	>	i L a J? я । an	a	=	a y	S g to	to ОУ St Ui	15 s	io •с	растя-, жеяие «Р S	1э Я>	ЕЗ & Г. О
							1						л	9И.1ЕИ 	£ I® св й о -ч о	S С5 § SJ
							1							a as Г. X Ъ Т5 СО ь>	против^ ’/с.и-	
c-	® a	« я  7o <л	tc	•2	a	* &	Si Я 1я Я C-'l j 01	Ъ1	05	<S <s?	•S to	a fe	S	5© g	Я'Я'о •3 л ф 0 W	К S	
® i	!	VO Ю i	В g	» 8	35 Ш	g i	8	8	g	Й §	ooo se j	8i §	кратковре- менный £ир	W a g 2 “» о	
<	8	03 i	CB 8	s g	I	e  §		Ш	g	I	§	5 8	длительный E	й 2 & ”Й	^"8- «8
i	f	i	да 1	i3 s	i	Й §	8	s	§	1	§	§	краткозре“ менный GKp	В О S Ль ° -г»Й	Sg
i	®	to §	to I	Й	§	о g	&•	a	g	§	8	8	длительный G	•g-s-g к ь> а4	
	e oi	о	о	я	о		8 сл	Cl	01	о	Ts.	»°	Коэффициент	Пуассона	
к	i	8	СЯ to	s	ей	<;£	i	1	f	1	8		Коэффициент линейного рас» ширен ия а-Ю"-43		
188
РАЗДЕЛ 4 МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
.тошно лишено механической связи (например, перепле-
тения) и совместная работа отдельных, зачастую хао-
тически расположенных волокон полностью зависит от
адгезионных и механических свойств связующего. Для
всех стеклопластиков временной фактор оказывает боль-
шее влияние на прочностные, чем на деформационные
показатели.
Для полиэфирных стеклопластиков в табл. 4.27 нор-
мативные и расчетные сопротивления при сдвиге даны
в направлении, перпендикулярном плоскости листа; для
стеклотекстолита К.АСТ-В эти показатели при всех ви-
дах напряженного состояния приведены для усилий,
действующих в направлении основы стеклоткани при
толщине материала до 7 льи; для стеклопластиков
СВАМ и АГ-4 все эти показатели даны для соотношения
продольных и поперечных стекловолокон, равного 1:1,
для усилий действующих в направлении стекловолокон.
Для древеснослоистых пластиков помимо влияния на-
правления расположения шпонов достаточно четко выя-
вилось влияние толщины материала: более тонкие пли-
ты ДСП-В имеют при всех видах напряженного состо-
яния более высокие нормативные сопротивления.
Для древесноволокнистых плит характерны более
высокие показатели прочностных свойств при изгибе по
сравнению с растяжением и сжатием, а также весьма
значительное влияние времени на деформационные ха-
рактеристики.
Прочностные свойства древесностружечных плит всех
используемых в строительных конструкциях видов до-
вольно близки при основных видах напряженного сос-
тояния, Влияние временного фактора больше сказыва-
ется иа прочности, чем на деформативности,
Механические показатели пенопластов зависят от хи-
мической природы полимеров, составляющих их основу,
от ячеистой структуры и способа изготовления. Чем, вы-
ше прочность исходного полимера, тем более высокие
показатели следует ожидать у пенопласта. С повышени-
ем объемного веса прочность и жесткость пенопластов,
как правило, возрастает. Однородность, регулярность
ячеистой структуры, свободной от случайных пустот и
пор, является необходимым условием для получения
конструкционных пенопластов. Степень замкнутости яче-
истой структуры обусловливает показатели деформатив-
ностн, влаго- и водопоглощения и теплоизоляционные
характеристики пенопластов. Пенопласты на основе по-
листирола и поливинилхлорида имеют закрыто-ячеистую
структуру. Для фенольных пенопластов характерна от-
крыто-ячеистая структура. Для всех видов пенопластов
влияние временного фактора на прочностные и деформа-
ционные свойства весьма значительно.
В сотопластах, имеющих, вид пчелиных сот, матери-
ал располагается наиболее экономично. Объемный вес и
прочностные характеристики сотопластов, а также дру-
гие их свойства зависят от материала сот, размеров
ячейки, вида и количества пропитывающей смолы. При-
веденные в табл. 4.27 нормативные и расчетные сопро-
тивления и модули упругости и сдвига сотопластов раз-
ных видов даны для материалов с расстоянием между
парад тельными сторонами шестигранника ячейки сот,
равным 12 мм площади брутто материала, без исключе-
ния пустот. Фактор времени оказывает большое влияние
иа прочностные характеристики и сравнительно мало
отражается то деформационных показателях.
Нормативные я расчетные сопротивления клеевых
соединений г гибл 4 27 даны (исходя из специфики их
работы) только д ы ! 1Я равномерного отрыва (столб-
цы 3 и 7) я сдвига. В таблице отсутствуют расчетные
характеристик „тех кдеедых соединений, для которых
долговечность определяется не прочностью клеевого
шва, а прочностью слабейшего из склеиваемых материа-
лов. Подобное положение наблюдается при склеивания
алюминия с пенопластами ПСБ, ПСБт, IIXB-1, ПС-1,
ПС-4 эпоксидными клеями К-153, К-147, К-134 и с пе-
нопластами ПСБ и ПСБт каучуковыми клеями 88-Н,
88-НП, КС 1, а также алюминия с крафт-бумажным со-
топластом эпоксидными клеями ЭПЦ-l, К-153, К-147,
К-139 и дифенольным клеем ДТ-1, когда прочность сое-
динения определяется расчетными характеристиками пе-
нопластов и сотопласта. При склеивании асбестоцемента
с пенопластами ПС-4, ПСБ, ПСБт днфепольнымн клея-
ми ДТ-1, ДТ-3 и с пенопластом ФРП-1 каучуковыми
клеями 88-Н, 88-НП, КС-1, а также с сотами из ДВП и
с сотопластом иа основе крафт-бумаги эпоксидными
клеями ЭПЦ-1, К-153 и дифенольным клеем ДТ-1 проч-
ность клеевых соединений определяется расчетными со-
противлениями слабейших из склеиваемых материалов.
Аналогичное положение при склеивании полиэфирного
стеклопластика с пенопластами ПСБ, ПСБт, ПХВ 1,
ПС-1, ПС-4 и сотопластом на основе крафт-бумаги фе-
иоло-формальдегидным клеем КБ-3.
Эпоксидные клеи К-147 и К-134, пластифицированные
добавками каучука в больших количествах, обладают
пониженной жесткостью. В зависимости от содержания
эластомера — тиокола — значительно снижается жест-
кость и дифенольных клеев. Весьма низкой жесткостью
обладают все каучуковые клеи. Введение в клеи эла-
стомеров относительно мало отражается на прочност-
ных свойствах клеев.
Более подробные данные о прочности и деформатив-
иости пластмасс [115, 117], о расчете и проектировании
конструкций [119, 120].
Факторы, влияющие на механические свойства. На
прочностные и деформационные свойства пластмасс су-
щественное влияние оказывают температурно-влажност-
ные, атмосферные, химически агрессивные и другие фак-
торы. Поскольку отдельные виды пластмасс значительно
отличаются составом компонентов, микро- и макростро-
ением, технологией изготовления и т. д„ то влияние от-
дельных факторов проявляется для разных видов мате-
риалов в различной степени.
Так, механические свойства термопластов — оргстек-
ла, винипласта, некоторых видов пенопластов весьма
чувствительны к изменениям температуры и в то же
время мало зависят от влажностных факторов. На ме-
ханические свойства древесноволокнистых и древесно-
стружечных плит решающее влияние оказывает влаж-
ностное состояние, а изменение температуры в пределах
обычных эксплуатационных режимов не имеет сущест-
венного влияния. Сотопласты на основе пропитанной
смолами хлопчатобумажной ткани достаточно хорошо
противостоят влажностным воздействиям, в то время
как сотопласты иа бумажной основе чувствительны и к
повышению влажности воздуха. Подобная избиратель-
ная чувствительность разных видов пластмасс к от-
дельным факторам учитывается при назначении пласт-
масс для применения в тех или иных конструкциях.
Коэффициенты условий работы, па которые- следует
умножать расчетные сопротивления и модули упругости
пластмасс, длительное время эксплуатируемых в усло-
виях повышенных температур и влажиостей, приведены
в табл. 4.28.
Коэффициенты условий работы при повышенных тем-
пературах и влажностях для модулей упругости, не сов-
падающие по величине с соответствующими коэффици-
ентами для расчетных сопротивлений, даны в скобках.
При одновременном воздействии влажностных и темпе-
ратурных факторов коэффициенты условий работы еде-
4.8. ПЛАСТМАССЫ
189
Тай ;i и ц а 4.28
Коэффициенты условий работы пластмасс в конструкциях, эксплуатируемых при повышенных температурах и
влажностях
Материал	Темпера 40	тура в С1С	При дли- тельном увлажне- нии в воде	При длительном пребывании в усло- виях повышенной влажности воздуха (порядка 90 % отно- сительной влажности)
С г е к л о а „частик но л и ь ф и р ш >1 й л истовой; при сжатии и растяжении ......	,	, при изгибе		 Стеклопластики КАСТ-В, СВ AM, АГ4	, Стекло органическое .........	*	. Винипласт листовой	. Пластики древеснослоистые марки: ДСП-5 ....................... дсп-в , 		 Древесноволокнистые плиты: сверхтвердые .................... 'твердые ........ „ ............ , Древесностружечные плиты Пенопла ст марок: ПСБ, ПСБ-С, ПСБт, ПСБ-Ст, ПС-4, ПС-1 ПХВ-1 ....................... ФРП-1, ФЛ-1 		 Сотопласты на основе крафт-буматн и изоляционно'Прошиоч- ной бумаги .............. „ ...... . А	_	сссс	oiCio । .<=.=.<= ш	ааыл-0 ОССХСС	С -	- - СП 4U СП	~	-4	СП --J —Щ—'	СП сл	0,65 0,4(0,6) 0,3(0,45) 0,75(0,6) 0,95(0,55) 0,6(0.5) 0,5(0,4) ОД	1 < i 1 III II	сп	с с- о	, е о е о о О 111 -З.ь-сл II ACACOcCj-j •	QI СЛ OS СП Оз сх
дует перемножать. Эксплуатация винипласта при тем-
пературе ниже —10° С не рекомендуется вследствие по-
вышения хрупкости материала.
Коэффициенты условий работы клеевых соединений
при сдвиге приведены в табл. 4.29 как для повышенных,
так и для пониженных температур, поскольку для ряда
клеев расчетные сопротивления при отрицательных тем-
пературах понижаются вследствие увеличения концент-
рации напряжений. Для соединений алюминия с пено-
пластами на эпоксидных клеях ЭПЦ-1 и К-153 и
асбестоцемента с асбестоцементом на клее ДТ-1 темпе-
ратурные коэффициенты условий работы при сдвиге и
равномерном отрыве принимаются по склеиваемым ма-
Таблица 4.29
Коэффициенты условий работы клеевых соединений при
различных температурах при сдвиге
Температура в *С	Эпоксидные клеи				Дифенольные клеи		Каучу- ковые клеи
	ЭПЦ-1	К-153	К-147	К-134	ДТ-1	дт-з	КС-1, 88 -Н, 88-НП
-40	0,5	0,8	1,0	1,2	1,3	1,2	0,5
—20	0,7	0,8	1,0	1,5	1,1	1,0	0,8
Д-20	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0
4-40	0,5	0,9	9,8	0,7	1,0	0,7	0,2
4-80	0,3	0,4	0,5	0,5	1,0	0,5	0,1
териалам и поэтому в табл. 4.30 не вошли; коэффициент
условия работы для каучуковых клеев принят не при
80, а при 60° С.
Из эпоксидных клеев наиболее низкие коэффициен-
ты условий работы при крайних значениях температу-
ры имеет жесткий клей ЭПЦ-1, не содержащий пласти-
фикатора. Остальные марки эпоксидных клеев и днфе-
нольные клеи, содержащие в разных количествах
пластификаторы, имеют при крайних температурах бо-
лее высокие коэффициенты. Каучуковые клен плохо ра-
ботают при повышенных температурах.
Т а б л и ц а 4.30.
Коэффициенты условий работы стеклопластиков,
эксплуатируемых в атмосферных условиях
Материал	Расчетные сопротивления		Модули упру- гости и сдвига	
	в районах средней полосы	в южных районах	в районах средней полосы	в южных районах
Фенольный стекло- текстолит КАСТ-В Стеклопластик по- лиэфирный листовой	0,7 0,75	0,7 0,65	0,8 0,85	0,8 0,8
Стойкость пластмасс в отношении атмосферного ста-
рения различна. Полиэфирные стеклоиластйки, изготов-
ленные, как правило, с недостаточно отвержденным свя-
зующим, претерпевают при воздействии атмосферных
факторов изменения, связанные как со старением стек-
лопластиков, так и с дополнительным отверждением
полиэфирной смолы. Процесс старения ведёт к сниже-
нию механических свойств, доподнитёльное отверждение
связующего приводит к З''а'|'пе”ьному повышению мо-
дуля упругости и в ме	к повышению пре-
дела прочности.
Развитие процессов старения, в фенольном стекло-
текстолите КАСТ-В протекает более монотонно и прояв-
ляется в систематическом снижении начальных значе-
ний предела прочности п модуля упругости. Кроме того,
исследования дозволили выявить зависимость ннтен-
190
РАЗДЕЛ 4. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ ВДНСТРУКДИЙ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
сиёности развития процессов старения и, следовательно,
' ни .дал ' , лч. 'м гео rot де -о ччы у,,.риада
и те , ph и то инов , 1 !гы ' = ми
В	зий работы
косферных усло-
виях,	-• ’ ’
Коэффициенты включают влияние периодического
урлажнеция р нагрева в процессе эксплуатации стекло-
пластиков и даны для материалов толщиной”2—7 мм.
В случае применения материалов толщиной 1—2 мм
приведенные коэффициенты умножаются на 0,8, а при
толщинах, меньших I мм, — иа 0,0,
4.9.	МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ
В 1955 г, в СССР был введен единый ддя всех стро-
ительных,, конструкций метод расчета по предельнмм со-
глояни t д ’о/орде1 жаде iii д trot hhj е ргои,
йрогр<	идеи-расчета по разрушающим нагруз-
кам ф -о- г >, I ,<1 а ч ’ .с го В 1 37 т ( ав), а • ллз i
коэффьчи0 < г ’аиаса заменен сш 	< яде гож юлафп
циейтов (перегрузки, однородности и услоЩ г дебеты,
учитывающих конкретные условия возведения и э-'сгд/-
атации то <п,, ний и характер внешних воздействий.
Это позволило более правильно оценивать надежность
конструкций и способствовало проектированию более
равнопрочных и в целом более экономичных сооружений.
При разработке в 1959—19
Строительных норм и правил принципиальные -’основы
метода расчета по предельным состояниям были сохра-
нены, однако отдельные его положения получила'неко-
торые изменения. Были уточнены определение предель-
ного состояния, нормативных сопротивлений материалов,
i 1 деде де дп i t огоеддее »₽ i гор,дел, порядок учета
дегдеток а давд1 лджда, дегощдеде идаи-го
.роде/- ж >егз я до	:
В псетедиие годы все шире признается, то стати-
стическая природ) па де торов, л<г цсдедегдех псведг
нис конструкций, должна в возможно более полной
форме нахбджь отражение в нормах проектирования
р in .v-r деор. дым Оз да> . свяд ; жтъуде оето-
медеч.,4’1 по прташпшм расчета /ототру де'й, разфабо-
и да дря учаепг’ co/ercioi-i <"п ича иетов междуьа
/тчь । ст iwmjiji.i'n (Вег и тис’ >' ю-детет по бе-
де' , годе д ЧШПДЧД1, Со зет по строительству,
> - д’, - юнг я opt а . .деде i о стандартизации), а так-
е юные top-го прое чгбваййя стран—членов СЭВ;
В .аде < э ।' деде; j ’р„ v эо < стройтелйых норм;
и >:.деви 1 в Сой—1972 го чда.ц > дальнейшее развитие
1 удеод оточета по ппго-гогвьж состояниям, регламен-
г»'р ,v .1ыч <ш юс>/:.!. ы га нормативными документами.
ГЛ
- .Предельным рвлрется такое состоя*’г npi кодер л
несущие конструкции иди основания перестают удовлег-
"оо,тъ , I ч1 /-сит л I I ! -р^оо’ач.юч чпи
предъявляемым к ним при возведении,
шлуатациошюй надежности не обязатель-
о < „о г разрушением конструкции, оно может быть
оугооздещ, и деду и (пя щ аепде’ , в щ ’ гоюр >
ния, вызывающими необходимость ремонта, усиления или
,<|.ины опсп го и '> пго 1 _> * । p.i t т< > а г * 10С1Я
/ , ш го |'|'Ч <1 оде -	,4 Эд о'де, ' ’ । оч <
то UT i ।	। • р,о де о/ ,го ю< 1Ь, дедет’"? щ/жсо
деу/гом. >,i -сет/ ш ’тогого* о, ш .девлмя де-д: г,
г по д. "М । 'Я Ли * я ' то • ’бон, 1Я II г i и
о-.р > а,, /Спо тоде f I'*1/' 1- । ,п т, дешде о предел
то, .'OtTiw.'u ,с о л * >д годе >то,вдю,де
г.ч’ ‘‘I л j, х я > ч , , ’< де <> он t • >.<> юно’, । по оде ./годе
овал дечпеч! цчде. прц прое т годе i it t /
i, ю деде- иоде i то о, , i а т’ '	' того, о ,
Сдедеде ш>, .юли ц де < а I, р,и и ( («1 (>„•	,,
о! дееЩ.деде' ^.'чтчч-и'Л
илц непргд
вторая — по непригодности к нормальной эксплуата-
ции.
К предельным, состояниям первой группы относятся;
потеря устойчивости форуда; потеря устойчивости по-
ложения; хрупкое, вязкое, усталостное или иного харак-
тера разрушение; разрушение под совместным воздейсг-
Рие. 4.28, Статистические функции распределения
и — ГОДОВЫХ: максимумов
1 1Ш ><	1	.	0>П ГОЛ, >	- 1 И г ")
ростй ветра на: открытой равяиийой местноети ino йе-
тИфож	данным ча 20 лет яри четырех набета-
деинях в сутки/
4.9, МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИИ
101
наем силовых факторов и неблагоприятных влияний
внешней среды; каисственное изменение конфигурации,
резонансные колебания,; а также другие состояния, пра
которых возникает необходимость прекращения эксплу-
атации (в результате текучести материала, сдвигов а
соединениях, ползучести или чрезмерною раскрытия
трещин).
Ж предельным состояниям второй группы относятся
состояния, затрудняющие нормальную •• эксплуатацию
конструкций и оснований или снижающие долговечность
их вследствие появления недопустимых перемещений
(прогибов, осадок, углов поворота), колебаний, трещин
и т. п. При этом нормальной считается эксплуатация,
осуществляемая (без ограничений) в соответствий; с
предусмотренными в нормах или заданиях на проекти-
рование технологическими или бытовыми условиями.
Расчет по предельным состояниям имеет цель» пре-
дотвратить наступление предельных состояний при экс-
плуатации в течение всего срока службы конструкции,
здания или сооружения, а также при их возведении.
Поэтому основное требование норм расчета состоит в
том, чтобы величины усилий, напряжений, деформаций,
перемещений, раскрытия трещин или величины от дру-
гих факторов и воздействии не превышали соответству-
ющих предельных значений, устанавливаемых нормами
проектирования конструкций и оснований зданцй и со-
оружений равлияиого назначения.
Важнейшими факторами, от правильности учета ко-
торых при проектировании зависит эксплуатационная
надежность сооружений, являются нагрузки и воздейст-
вия, механические и другие свойства материалов и
грунтов, а также условия эксплуатации и особенности
работа конструкций и оснований.
При расчете по предельным состояниям устанавли-
ваются; два значения нагрузок: нормативные и расчет-
ные.
Основной характеристикой .нагрузок и воздействий
являются их нормативные величиям, принимаемые:
для постоянных нагрузок — по проектным значениям
геометрических и конструктивных параметров и по нор-
мативным значениям объемного веса материалов;
для технологических (от оборудования, складируе-
мых материалов, обстановки, людей и т. и.) и монтаж-
ных нагрузок — по наибольшим значениям для преду-
смотренных условий нормальной эксплуатации или стро-
ительства;
для атмосферных нагрузок и воздействий — по сред-
ним из ежегодных неблагоприятных 'значений или по
неблагоприятным значениям, Фбобветствующим опреде-
ленному периоду их повторения или превышения; ’
для Динамических нагрузок от де hi in--по одл''»-
статистическим значениям параметров, опа дечя-щщ -
динамические нагрузки.
Возможное отклонение нагрузок в неблагоприятную
(большую ИЛИ SieioM’,' стопор от их чштоат зни.
ЗНГ,М1 Я IB,	И Шу Т'1 Юру ,	<11, г Ц id «
иых отступлений от условий нормальной' 'эксплуатации
учитывается коэффициентами перегрузки п, устанавли-
ваемыми-. с учетом назначения зданий и сооружений и
условий их эксплуатации.
Коэффициенты п для расчетов покаждому виду пре-
дельных состояний устанавливаются нормами нагрузок
или нормами проектирования конструкций; нагрузка,
равная произведению нормативной нагрузки на коэф-
фициент перегрузки, называется р а с ч е тно й нагрузкой.
Коэффициенты перегрузки к весу конструкций й тех-
нологическим нагрузкам определяются с учетом имею-
щихся данных о возможных отклонениях фактического
г от нормативного
вследствие неточности подсчета проектного веса, измен-
чивости размеров конструкции и объемного веса мате-
риалов и нарушения условий нормальней эксплуатации
оборудования (например, подъем груза, превышающего
номинальную грузоподъемность крана). При определе-
нии коэффициентов перегрузки для снеговых и ветро-

Предел тжреатш S кГ/мнФ

~:У0 /50 П Ш 210 ЮО 250 27В 290 310 330 ЗзО
ПреЗгг прочности при CWju иГфп*
Рис. 4.29. Гистограммы распределения
а — предела текучести стали марки. Ст.З (so результат
зам	оОЗО образцов), б--пределен пречндгтч
При LAP'.! б ТОЧНЫХ МбОЗ М-ЗиъТ 20J СП ) р.'рм.ии
-	испытаний 3700 образцов)
вых нагрузок используются результаты многолетних
метсогю.югччещцк чаб (юдепий за весол едетового по-
крова и скоростью ветра (рис, 4.28, а, б), при этом вна-
чале определяется уоовень рдеденои пагрдекщ гости.-г
едндедеде деоторсду зари юо выбранному >гц
в течение котят,о’о деб потэегся в трестом од-вд превы-
шение нагрузки 0 зн шо.ветстьу ощи’’ WTO-оде шд н
ной вероятно, то, оцдепзче,, он по отнятоте” ,чо i ча: пн-
случаев го еде шесто а лодемрндеент дер-де , i дет
числяется как дечотдепщ этот уровня г дечаги, о,
нагрузке.	;	) Где Л 7
Однако при яоэ'шроьаьч j коэфФ.шдедеде перегруз-
ки имеющаяся статистическая информация часто оказы-
вается «	> 1’то' ич Ф т' ж -дета ж : шгьздеде
опыт I Tuu Т,. дедто t дест .и .‘Тада.. деоррД ней
I9S
РАЗДЕЛ 4, МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ли® действительных .условий загружения. Например, при
нормировании коэффициента перегрузки для снеговой
нагрузки у шгь а юг 3 чэ вес снегового покрова на по-
эытт' °данч1 (в pciti па всей площади покрытия)
меньше, ч«'ч па то аг, те вдгствие сдувания снега вет-
рей, подтайваяйя снега на отапливаемых зданиях.- и
влйяния других факторов; принималось также во вни-
мание, что при появлении в отдельные годы нагрузок,
близких к расчетным, возможна очистка покрытия от
снега.
Нормированные коэффициенты перегрузки больше
единицы, но для постоянной .нагрузки, когда она может
быть разгружающей,, предусматривается я<1. Значения
нормативных нагрузок и коэффициентов перегрузки
см. П31ф	(	•	)
В отличие от постоянных временные нагрузки вво-
дятся в расчет только в тех.случаях, когда их воздей-
ствие неблагоприятно; при этом расчетные сочетания
времеййьй нагрузок составляются с учетом продбдйги-
тёльиости действий их наибольших значений (по,, этому
пршьн/у ьр ме вы- нагрузки различаются: длйтельно
j. нсгныош',, : пагковремепиые и особые),
В з_зк”,осп: 01 состава учитываемых нагрузок и
воздетоточи разт чают: а) основные сочетания, .состав-
ляемые )й постоянных, длительных и кратковременных
иагрузы и -u)ci"TB’ii 1 б) О'обе е сочетания, состав-
1лемыс чз постоянны',, г,'1И'С|'ь«.ы’<. некоторых кратко-
временный и офноё из особых нагрузок (воздействий).
При расчете конструкций на основные сочетания по-
стоянные й длительные временные наёрузки учитывают-
ся без снижений; величины кратковременных нагрузок
умножаются на коэффициенты сочетаний па (меньше
единицы), учитывающие, что, вероятность одновременно-
го достижения расчетных величин двух и бозее i ратчо
временных нагрузок меныпё вероятности достижения
расчётного значения одной тост, оврто е 1 юн н шр/зточ
Для особого сочетания указанное ' ит ятольщ, - щИ(о
ваегся на основе оценки вероятности возникновения и
учитываемой, величины особого воздействиям,
Сопротивление строительных материалов силовым
воздействиям характеризуется при расчете по предель-
ным состояниям двумя показателями: нормативными и
расчетными сопротивлениями.
Основными параметрами сопротивления материалов
силовым:воздействиям являются нормативные сопротив-
ления К”, устанавливаемые с учетом условий контроля'и
статистической изменчивости сопротивлений. Величина
нормативного сопротивления материала в ряде случаев
(например,- для металла, бетона) принимается равной вё-
лнчшш клир) ь ой или браковочной) характеристики,
устанавливаемой ГОСТами. Нг рчзтцвнто ссгрс г,-те
ния’-Матерйалов, контроль которых не рёглайёнТируётся
государственными стандартами (например, сопротивле-
ние срезу, смятию и др.), устанавливаются в функции
ог контр>nip)ем,)х сопротивлений путем применения
переходных коэффициентов. Обеспеченность значения
норм гюи’ со”р< т:ьтен’ й материалов принимается
не менее 0,95.
Крю;- ноот атчвных сопротивлений, устанавливают-
ся п другие нормативные характеристики материалов
(объемная мд'еа, модули упругости, коэффициенты
сиен те,и<я, аречня, по пх чести, усадки и др.).
Несущая способность оснований фундаментов зади-
ент от ряда свойств грунтов. В соответствии с этим , в
г зч! <тте п ооцоьпьг' лраметров, определяющих несу-
щую способность и деформации оснований фундаментов,
чр адмюто HOpvuTUcMTe ыш<егни прочностных и де-
формационных xapuKiepii' тик грунтов (угла внутренне-
1о щиц, точен, iim.hiva, модуля деформаций,
сопротивлений одноосному сжатию и сдвигу скальных
и мерзлых грунтов и т.п.). При этом за нормативные
значения указанных характеристик принимаются их
среднестатистические значения, устанавливаемые на ос-
нове данных инженерных изысканий (для проектируе-
мого,объекта) или по результатам массовых испытаний.
Вследствие изменчивости механических свойств ма-
териалов (см, рис. 4.29) и проведении при их приемке
только выборочных испытаний не исключена возмож-
ность, изготовления конструкций из материалов с пони-
женными сопротивлениями (по отношению к норматив-
ным). Сопротивление материала в конструкции может
отличаться от нормативного, получаемого путем испы-
тан» стандартных образцов, также вследствие мас-
штабного фактора, неполного соответствия условий ра-
боты;, материала в конструкции условиям его работы в
образцах и вследствие ряда других обстоятельств не-
статистического характера. Аналогичным образом реаль-
ная несущая способность (или деформации) оснований
фундаментов может отличаться от их несущей способ-
ности,, определяемой по нормативным значениям проч-
ностных характеристик грунтов,
: Принимая во внимание указанное, с целью обеспе-
чения требуемой надежности конструкций и оснований
то, нормативным значениям сопротивлений (и другим
характеристикам) материалов и грунтов вводятся в ви-
де Целителя коэффициенты безопасности по материалу
и яфунту k (более единицы). Получаемые таким путем
расчетные сопротивления материала R (расчетные ха-
щ тою ц; г1 то [¥1та) называются расчетными сопротив-
лениями (характеристиками) и устанавливаются норма-
ми фроектировани,я. Для удобства и упрощения расчета
в расчетные сопротивления материалов (расчетные ха-
на гсрпстчки грунта) в необходимых случаях вводятся
коэффициенты условий работы гп и коэффициенты на-
дежности k„ (см. ниже).
АдУстановлениые в, нормах расчетные сопротивления
материалов определены , с учетом указанных обстоя-
тельств. Так, расчетные сопротивления для стали учи-
тывают не только статистическую изменчивость ее ме-
ханических свойств, но и изменчивость размеров сечений
(в соответствии с установленными допусками), для
кладки — качество кладки, зависящее от навыков ка-
меяиика, и т. л. (см. также 4.1 —1.8).
Для расчета деревянных конструкций устанавлива-
ются нормативное временное сопротивление и длитель-
ное сопротивление, соответствующее воздействию нагру-
зок в течение нескольких месяцев. Нормативное времен-
ное сопротивление принято как вероятное минимальное
значение, полученное ио результатам испытаний., малых
образцов чистой (без пороков) древесины; нормативное
дрательное сопротивление, установленное на основе ис-
пытания образцов при длительном нагружении, состав-
ляет ,2/з нормативного временного сопротивления, Коэф-
фициент безопасности по материалу (древесины), учиты-
вает главным образом ее неоднородность в элементах
крупных размеров (масштабный фактор) и влияние по-
роков.
. Коэффициенты условий работы m установлены на
основе анализа условий эксплуатации сосщужений и изу-
чения действительного поведения материалов, соеди-
нений, элементов и конструкций под нагрузкой. Ими
учитываются не отражаемые в расчетах прямым путем
влияния: температуры, влажности и агрессивности сре-
ды, длительности воздействия, его многократной повто-
ряемости н т. д.; приближенности расчетных схем и при-
нятых в расчетах предпосылок; перераспределения си-
лови*,факторов и деформаций.
Степень ответственности и капитальности зданий и
ЛИТЕРАТУРА
1УЗ
сооружений, а также значимость последствий наступле-
ния тех или иных предельных состояний учитываются в
необходимых случаях коэффициентами надежности kn.
Эти коэффициенты вводятся в расчет также при недо-
статочной изученности действительной работы и пре-
дельных, состояний отдельных видов конструкций п ос-
нований. На коэффициенты бн делятся предельные зна-
чения несущей способности, расчетные сопротивления,
допустимые (нормированные) деформации, величины
раскрытия трещин, а в некоторых случаях на них умно-
жаются величины расчетных нагрузок, усилий или иных
воздействий.
Наиболее полное использование прочностных свойств
материалов достигается при расчете по предельным со-
стояниям первой группы в случае, когда усилия от
внешних воздействий и несущая способность сечений оп-
ределяются с учетом неупругих деформаций материа-
лов. Однако методы определения усилий с учетом пла-
стических деформаций материалов разработаны в на-
стоящее время применительно лишь к отдельным кон-
струкциям, и поэтому при расчете статически неопреде-
лимых систем в большинстве случаев усилия от нагру-
зок и воздействий определяются в предположении уп-
ругой работы конструкций. При определенных условиях
перераспределение усилий вследствие иеупругих дефор-
маций учитывается в железобетонных Конструкциях
(плиты, перазрезные балки, рамы и т.п,), в стальных
неразрезных балках постоянного сечения и каркасах
одноэтажных промышленных зданий.
Учет пластических деформаций при определении рас-
четной несущей способности сечения наиболее полно
представлен в нормах проектирования железобетонных
и каменных конструкций. В стальных конструкциях пла-
стическая стадия работы материала учитывается прп
расчете на устойчивость, и с определенный и ограниче-
ниями, при подборе сечений балок и проверке прочности
стержней в некоторых случаях сложного сопротивления
(изгиб с растяжением или сжатием).
ЛИТЕРАТУРА
4.1.	Стали для строительных конструкций
4.3, Бетон
L Временные указания по проектированию стальных конст-
рукций из стали высокой прочности (СН 347-66). Стройиздат,
1967,
2.	ГОСТ 380—71, Сталь углеродистая обыкновенная каче-
ства. Марки и общие технические требования.
3.	ГОСТ 5058—бб*. Сталь низколегированная конструкционная.
Марки н общие технические требования.
4,	ГОС1 6713—53. Сталь углеродистая горячекатаная для
мостостроения,
5.	ГОСТ 7348—63. Проволока стальная круглая для армиро-
вания предварительно напряженных железобетонных конструк-
ций. ГОСТ 848'>—63, Проволока стальная периодического профиля
для армирования предварительно напряженных железобетонных
конструкций,
6.	Ку р аез В. В., Чернашк и н В. Г. Строительные ста-
ли. Стройиздат, 1941.
7.	Лейкин И. М., Чернашкнн В. Г. Низколегиро-
ванные строительные сга-тн. Металлургиздат, 1952.
8.	Лившиц Б. Г. Физические свойства металлов и спла-
вов. Машгиз, 1959,
9.	Металловедение и термическая обработка (справочник)
т. П. Металлургиздат, 1962.
10.	Ратц Э. Г. Железобетон с электротермическим натя-
жением арматуры. Стройиздат, 1967.
И, СНиП 1-13.12-62. Металлы и металлические изделия.
Госстоойиздат, 1962.
12.	' Стрзлецкий Н„ С., Гениев А. Н., Веле-
ня Е, Н. и др. Металлические конструкции. Госстройиз-
дат, 1961,
13.	Стрелецкий Н, С., Белеяя Е. Н. и др. Метал-
лические конструкции. Специальный курс. Стройиздат, 1965,
14.	Труды Научно-технического общества черной металлур-
гии, т. VI, Мсталлургиз.чот, 195G.
15.	Указания по проектированию, изютовлению и монтажу
строительных конструкций, предназначенных для эксплуатации
в условиях низких температур (СН 363-66). Стройиздат, 1967,
16.	Ч е р н а ш к и н В. Г. и др. Исследования по стальным
копт рукциям. Госстройиздат, 19573,
См. также [130, 135].
4,2, Алюминиевые сплавы для строительства
17.	ГОСТ 4784—65. Сплавы алюминиевые деформируемые,
Марки.
18,	ГОСТ 12592—67. .Листы конструкционные из алюминия
и алюминиевых сплавов.
19.	ГОСТ 8617—68. Профили прессованные из алюминия и
алюминиевых сплавов. Технические требования.
20.	Строительные конструкции из алюмпяиевы?< сплавов.
Сборники ЦНИИСК. Под ред. С. В. Тарановского. Стройиздат,
1962, 1963 и 1967. Под ред. С, В. Тараповского и В. И. Трофимо-
ва. Стройиздат, 1970.
21.	Попов С. А. Алюминиевые строительные конструкции.
«Высшая школа», 1969,
См. также [13, 130, 137],
13—1303
22.	Алек с а н л р о в с к и й С. В. Расчет бетонных и же-
лезобетонных конструкций на температурные и влажное гные
воздействия (с учетом ползучести). Стройиздат, 1966.
23.	А леке а н про вс к и й С, В., Таль К. Э, Основные
физико-механические свойства бетона. Справочник проектиров-
щика. «Сборные железобетонные конструкции», глава 2. Гое-
стройиздат, 1959.
24.	Б е р г О. Я. Физические основы теории прочности бе-
тона и желевобеюна. Госстройиздат, 1961,
25.	ГОСТ 8462—62. Материалы стеновые и облицовочные, Ме-
тоды^ определения пределов прочности при сжатии и изгибе.
26.	ГОСТ 10189—67, Бетон тяжелый. Методы определения
прочности.
27,	ГОСТ 11050—44, Бетон легкий на пористых заполнителях,
Методы определения прочности и объемного веса.
28.	ГОС1 12852—67. Бетон ячеистый. Методы испытаний.
29.	Лер мит Р. Проблемы технологии бетона. Госстрой-
издат, 1959,
30.	Скр амтаев Б. Г., Лещинский Ni. Н. Испыта-
ние прочности бетона. Стройиздат, 1964.
31.	СНиП I В.3-62, Бетоны на неорганических вяжущих и за-
полнителях. Госстройиздат, 1962.
32.	Указания по проектированию конструкций и.» тяжелого
силикатного бетона (СН 165-68). Госстройиздат, 1968,
33.	Указания по проектированию конструкций из ячеистых
бетонов СН 287 65, Стройиздат, 1965.
34,	Временные указания по проектированию конструкций из
силикальцита (СН 259-63), Госстройиздат, 1963.
35.	Цискрели Г. Д. Сопротивление растяжению карти-
рованных и армированных бетонов. Госстройиздат, 1954,
36.	Шейнин А. Е. К вопросу прочности, ушм,тости и пла-
стичности бетона. Труды МНИТ, вып. 69. Трансжелдориз-
дат, 1946.
37.	Comity Europeen du Beton. Recommendations pratiques
uniflees pour le calcul et execution des ouvrages .en beton arme.
38.	D a v i s R., Davis H., Brown E.' Plastic flow and
volume change of concrete. ASTM Proceedings, vol. 37, n. П
1937.
39.	D a v I s R., Davis H., Hamilton J. Plastic flow
and volume change of concrete under sustained stress. ASTM Pro-
ceedings, vol. 34, p. II, 1934.
40.	G1 anville W., Thomas F, G. Studies in reinforced
concrete. Department of Scientific and Industrial Research, Tech-
nical paper, № 21, London 1939.
41.	Materialprufungsamt file das Bfiuwesen dor Technisrhen
Hochsch.ti.hle. Mtinchen. Aus nnseren Forschungsarbeiten. Be-
richt 50, Dezember 1963.
См. также [60, 78, 130, 133].
4.4.	Каменные материалы и растворы
42.	ГОСТ 539—71, Кирпич глиняный обыкновенный.
43.	ГОСТ 379—69. Кирпич силикатный.
44.	ГОСТ 4001—66. Камни стеновые из известняков и туфов,
45.	ГОСТ 5802—65. Растворы строительные. Методы' ис-
пытания.
194
РАЗДЕЛ 4, МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ, МЕТОДЫ РАСЧЕТА
46.	ГОС1	т -	1	( i лые, сгсно-
въ
47,	ГОСТ W28--5-L Камня шлакобетонные к бетонные обык^
>к~, шь е,
48.	ГОСТ 7484—69. Кирпич и камни керамические лицевые.
49.	ГОСТ 8462—62. Материалы стеновые шоблицовочные. Ме-
из сжатии и изгибе.
В,:>Йаьянков.!а Н. В. Основные строительные свой-
ггн р и» > J txj и тн' f>4 ' ш о аг а техн, ннфсрм.
НИЙ по строительству Минстроя РСФСР, Ю.
51.	. М (эхоз 3. С. Упругие свойства некоторых видов гор-
I J ш 1	< V черед.	i	н i -) ) - I ма-
териалов и вопросы строительной механики». Гострансиздат,
Ю55.
52,	Поляков ©./В, Длительное сжатие кирпичной клад-
Расчет керамических конструкций,
1\неь, Госстройнздат; 1956.
Й. Сйменцов С. А. Некоторые особенности деформаций
кмрниадо<ткладк,в: при- сжатед » изгибе, В сбл «Исследования
' I I > ь Н Лих . P Ц, Оищцика. СтршЬ
изд ат, 1949.
55,	Семенов С. А. Строительные свойства подмосков-
ных сблйцрвочны^-известняков. В сот «Исшедования.; Камей-
I J Э -Ц	и I ’ - В J
56,	Скрамтаев Б, Г. й др. Строительные материалы,
Госстройиздат, 1953,.
57.	Строительство из естественных каменных материалов.
Сборник ВНИТ'О строителей, Госстройиздат, 1961.
53.	Субботней хМ. И. Строительные свойства крымскр-
I г? известняка •рак^чиочнмка. В сб.: «Исследования. Каменные
конструкции’'. Госстройиздат, 1955.
См, также рЗД 65, 13D, 13-1].
4,5= Каменная кладка
59.	Д м и т р и е в А, €„ СеМеицов С, А. Каменные и
армоклменные конструкции. Горстройиздат, 1965,
АЗО. О и и ш, и к ' Д. И, Прочность и устойчивость каменных
конструкций. ОНТЙ, W37.
ЙЛнйщик Л, И,	Каменные конструкцпи.	Строй-
чздат, 1939,
62.	П о л я к а в С. В, Сцепление в кирпичной кладке.
Ст
63,	Поляков С, В- и фзлев.йч 5, Н. Проектирова-
ние каменных и крупнойан;
64.	Семен ц ©в С. А. Каменщ
из дат, 1955.
65.	Справочник проектнроБЩИка. Том «Каменные конструк-
ции». Стройиздат, 1968.
См. также [52, 54, 130, 1341.
4.6. Армированные материалы! и конструкции
66, Аст а щ к евичер А. П, Д-сбеетоаем-антнач и.0'-'"К'~-
1 "О' П( 1 3D 1ЦГ031 1 С к гопгаг г , 48 у <'<’1 '
НЬЗК покрытий, В	Ппп _ ВО i хбО 'л Ц-Ъ <л
кДМ	54	5/
67. Бо р о в е к и й Т, В., П.окрас Л, Н.
: 68, Б ушков Д. А.' Железобетонные конструкции, Стррй-
-
х. и< - ж мкг- каменных конструкций. Сборник ИНШ1ПС.
1959.
70.	Л е о н г а р д л Ф. Напряженно-ар^йрованный железо-
•гг, 1957.
в К. В. Проволочная арматура для предва-
рительн©/напряженного железобетона. Стройвдат, 1Ж 5-
’ п, и, Трешиноустойчлвость, жесткость- и
М яшетройиздат, < 1959.
"3 '<> hl rf 1 ДТ’П ’•ь ?па 4.КНГ’ Опытно Тг’пр т ЧПТЛ‘
йсследбвайия железоб'
и г. П. Л. и др. Железобетонные едструщ
цт	1961.
' и. Армированный, асбестоцемент, В сб.:
«Йсследррайшь Жамеиные конструкция». ПИИ по стройтельст-
,,; .
76,	H i к ч : э Л, Н. Асбестоцементные дойшвььз плиты,
Госстройг. гл- И52,
77.	- р'з ж пр । тт оовщика. Сборник «/Келезобетонные
койплт
7<	7 । t j г JT , j । к ’ железобетонных арочных и комби-
1г% |Ч,1 v " т” ш 1 । е у1чом длительных процессов. Гос-
т»л.и.;,|-!Т
79.	не каменных коисгруцций.
См, также [Ж Ж Ш/Ш, 134, 138ц
4.7. Древесина
80.	Б е ля н к и я Ф. П., Яценко В. Ф. Дефррматин-
ность и сспротивляемасть древесины как vnpyro-визко-пластич-
ного тела. Изд. АН УССР, 1957.
81.	Б о г д а нови ч А. ф. Деревянные конструкций. Раз-
дел Ш, стр, 152—ЮУ в книге: Ммтреиольский, Овечкин, Алешин-
ский, Богданович, Строительные конструкции. Гострансжелдор-
издат, 1958.	'	?	;	: : '
82.	Богданович А. Ф. Исследование соединений дере-
вянных конструкций на нагелях пол действием статической и
пульсирующей нагрузок. Труды МНИТ, вьщ, 77. Трансжелдор-
из и пт.
» S3. Быковский В. И. Сопротивленце материалов во вре-
мени с учетом статистических факторов. Госстройиздат, 1958.
84.	ГОСТ Ш84—65, ГОСТ Ц499-65, ГОСТ 11602-Ж Древе-
сина. Методы физико-механических испытаний.
  8S, ГОСТ 8697-63, ГОСТ Ш&--63, Пластики древесные.
8ф ГОСТ Н539—65. Фанера бацедмзированная.
87.	ГОСТ 102—49. Фанера березовая.
885ГОСТ 3916—65. Фанера клееная.
89.	Древесина, Показатели физико-механических свойств. Ру-
ководящие технич, материалы, Комитет стандартов. М., 1962.
90.	И в а и о в Ю. М. О предельных состояниях деревянных
элементов, соединений и конструкций, Стройиздат, 1947,
91.	Иванов К). М. Предел пластического течения древе-
сины. Стройиздат, 1948.
92.	Иванов 1О. М. Эластическая деформация древесины.
Коллоидный журнал, т. 19, вып. 3, 293, 1957.
93.	И ванов Ю. М., Линьков И. М.- Прогрессивные
решения клееных деревянных конструкций. «Сельское строитель-
ство», 1971, № 7,
94.	Индустриальные деревянные конструкций. Примеры про-
ектирования. Под ред. Г, Г. Карлсена. Стройиэдят, 1967.
95.	Инсярлкция но изготовлению клееных деревянных конст-
рукций. ЦНИИСК, 197b
Э6.	инструкция по испытанию деревянных конструкций.
ЦНИИСК, 1971.
97,	М а р л с еа Г, Г,, Бол ьш а к о в В. В., К ага и М, Е.,
Свенцицкий Г. В. Курс деревянных конструкций. Гор-
стройпздат, 1962.
98.	Конструкции из дерева и пластмасс. Под ред, В. А, Ива-
нова. Киев, 1979.
99.	Л еонт ье в Н, Л. Упругие деформации древесины.
Гослесбумиздат, 1952.
10П. Методы физико-механических испытаний гдодифициро-
ванной древесины, ЦНИИСКу 1971.
-101. Митинский А. Н_ Упругие постоянные древесины
как ортотропного материала. Труды Лесотехнической академии
им. С М. Кирова, № 63, 1948.
102.	О треш ко А. И. Инженерные конструкции. «Колос®,
1968. 
103.	Рекомендации но контролю качества клеевьи. соединений
деревянных строительных конструкций' и „ е лыан4 i.a 3
' 'Л	по повышению долговечности деревянных
конструкций в птицеводческих и животноводческих/ зданиях.
ЩГНИСК. ЦНИИЭПеельстрой, 1971.
105.	Саму й л л о 3. И., Соболев Ю. С, К вопросу
о постоянных упругости древесины. Труды МЛТИ, 8, 1958.
106.	Свен ц и ц к и й Г, В. Деревянные конструкции (со-
стояние и перспективы развития). Госстройиздат, 1962.
" 107. СНиП I-B.13-62. Лесные материалы, изделия и конструк-
ции из Древесины.
108.	СНиП П-В 4-71 Деревянные конструкции. Нормы проек-
тирования,
109.	СНиП Н1-В7-69. Деревянные конструкции. Правила
производства и приемки работ.
: ИО, С о р о:.к й н f, С. Динамический расчет несущих кон
стп щ । < "ii f ©-'’гэп г - М Ш,(
111, Справочник проектировщика. Деревянные конструкции.
Под рсд/А. И., Стрешзсо. Гс-сстройиздат, 1957.
112, Указания по применению деревянных конструкций в ус-
ловиях химически агрессивной среды. Стройиздаг, 1966.
ПЗ. Хрулев В. М. Оценка долговечности клеевых соеди-
нений при контрольных испытаниях клееных изделий из древе-
сины. Труды 1 Всесоюзной конференции по клеям и технология
склеивания. Таллин. 7966.
См. tphw DM ЭД.
4.8. Пластмассы, применяемые
в строительных конструкциях
114.	Губея.хо А. Б. Строительные конструкции с приме-
нением пластмасс. Стройиздат, 1970,
115.	Исследования конструктивных пластмасс и строитель-
ных конструкций на их основе. Под род. А, Б. Губенко. Гос-
стройиздат, 1962,
ЛИТЕРАТУРА
195
116.	Кл я т и с Г» Я. Несущие конструкции из пластмасс
(зарубежный опыт). Стройиздат,
117,	Прочность и деформатшшость конструкций с .примене-
нием пластмасс. Стройиздат, 1966.
118.	Технология изготовления клееных панелей из пластмасс,
алюминия, асбестоцемента и бетона, Под рад. А, Б, Губенко»
Госстройиздат, 1963.
119.	Указания по проектированию и расчету строительных
конструкций с применением пластмасс. Госстройиздат, 1963.
120.	Рекомендации по проектированию и расчету консгрук*
ций с применением пластмасс. Стройиздат, Ж, 1969,
См. также [94].
4,9. Методы расчета конструкций
121.	Балдин В. А.„ Гольденб^^т И., Коча-
нов В. М. и др. Расчет строительны^ ,	ыии по пре-
дельным состояниям. Под ред„ В. М, Келдыша,' Госстройиздат,
1961.
122.	Болотин В. В. Статистические методы в строитель-
ной механике. Изд. 2-е. Стройиздат, 196'5.
123.	Келдыш В. М- И. Г QЛ р л. $ и б л a T И. И, Некото-
рые вопросы метода предельного состояния. зын. И, Строй-
издат. 1949.
124.	Нормы и технические условия яроскгпровання деревящ
ных конструкций (НиТУ 2-47).
125.	Нормы и технические условия проектирования железо-
бетонных конструкций (НиТУ 349).
126.	Нормы й технические условия проектирования бетон-
ных конструкций (НиТУ 4-49).
127.	Нормы проектирования каменных и армокамемных кон-
струкций (Н 7-49),
12Ь.	Нормы и технические условия проектирования стальных
конструкций (НиТУ 1-46).
129.	Ржййицын А, Р, Расчет сооружений с учетом пла-
стических свойств материалов. I осстройиздат, 1954.
130.	СНиП П-А.10-71. Строительные конструкции и основа-
ния. Основные положения проектирования.
131.	СНиП П-А.11-72, Нагрузки и воздействия. Нормы про-
ектирования.
132.	СНиП П--Б.1-62. Основания зданий и сооружений. Нор-
мы проектирования.
1<г	><n II В } V. Рноням» а жаиадбетопные конструк-
да. Нормы проектирования.
134.	СНп.л Б Iv ценные и армокаменные конструк-
ции. Нормы проектирования.
135,	СНиП П-В.3-62*. Стальные конструкции. Нормы проек-
тирования.
136,	СНиП II-B.4-62. Деревянные конструкции. Нормы проек-
тирования.
137.	СНиП П-В,5-64. Алюминиевые конструкции. Нормы про-
ектирования.
138.	С т р е л е ц к и й Н, С. Основы статистического учета
коэффициента запаса прочности сооружений. Стройиздат, 1947.
РАЗДЕЛ 5
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ
И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
5.1.	ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
СТЕРЖНЯ
5.1.1.	Определения
Стержнем называется тело удлиненной формы, два
размера которого (высота и ширина поперечного сече-
ния) малы по сравнению с третьим размером (длиной).
Стержень условно представляется в виде совокупности
параллельных, или почти параллельных продольных во-
локон. Сечения стержня, нормальные волокнам, называ-
ются поперечными сечениями. По форме волокон разли-
чаю! прямые, ломаные и кривые стержни. Последние
подразделяют па стержни малой и большой кривизны.
В стержнях малой кривизны поперечные сечения, от-
стоящие друг от друга на расстоянии, примерно равном
высоте сечения, рассматриваются как параллельные, де-
формации и напряжения вычисляются по формулам для
прямых стержней. Сюда относится большинство строи-
тельных кривых стержней (брусьев) — арки, арочные
перемычки и ригели рамных конструкций, эркерные бал-
ки, кольцевые фундаменты, кольца жесткости н шпанго-
уты оболочек. Переходные участки (утлы) ломаных
стержней иногда рассматриваются как стержни большой
кривизны. Стержни, у которых смежные поперечные се-
чения повернуты в своих плоскостях одно относительно
другого, называются завитыми (стержни с естественно
закрученной осью). Практическое значение их в строи-
тельных конструкциях невелико. Стержни большой кри-
визны и завитые часто встречаются в машиностроении
и авиастроении.
По относительным размерам в поперечном сечении
различают стержни массивные и тонкостенные. Послед-
ние подразделяются на стержни с открытым и с зам-
кнутым поперечным сечением. По абсолютным размерам
и форме поперечных сечений различают стержни посто-
янного и переменного поперечного сечения. Ломаный
стержень обычно рассматривают как систему связанных
прямых или кривых стержней.
Осью стержня называется линия, соединяющая нача-
ла координат, связанные с отдельными сечениями (гео-
метрическое место начал координат). Обход стержня
наблюдателем обычно противоположен координатной оси
Z в данном сечении, которое идет навстречу наблюдате-
лю. обходящему стержень (рис. 5.1),
5.1.2.	Основные факторы работы стержня
Статико-кинематическая аналогия [83, 87]
Основными факторами работы стержня являются:
1) нагрузки; 2) усилия в сечениях; 3) деформации;
4) перемещения сечений. Весьма существенна аналогия
между нагрузками и деформациями, усилиями и пере-
мещениями. Нагрузки и деформации рассматриваются
ио отношению к усилиям и перемещениям как актив-
ные факторы (причины). Задача определения усилий по
нагрузкам аналогична задаче определения перемещений
по деформациям. При этом заданные перемещения (на-
пример, осадку опоры балки) целесообразно рассматри-
вать так же, как деформации (сосредоточенное укоро-
чение опорного стерженька).
Нагрузки и усилий
Рассматриваются сосредоточенные и распределенные
(погонные) нагрузки и соответственно сосредоточенные
и распределенные (погонные) деформации. Нагрузки мо-
гут быть силовые и моментные, а деформации—вра-
щательные (угловые) и поступательные (линейные).
Пусть из всех нагрузок стержня по одну сторону от
исследуемого сечения действуют сила, изображаемая
скользящим вектором Рн а пара, изображаемая свобод-
ным вектором-моментом Кт (рис. 5.2, а). Усилия в сече-
нии (две поперечные силы и продольная сила, два изги*
5,1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СТЕРЖНЯ
197
бающих момента и крутящий момент), определяются из
условий равновесия отсеченной части стержня или усло-
вий эквивалентности системы нагрузок отсеченной части
и усилий в поперечном сечении оставшейся части по
формулам приведения системы сил к полюсу и коорди-
натным осям (см. 2,1.5). Предполагается, что сил Р, и
моментов Kj имеется несколько. Формулы приведения:
X = 2 X.;
Y = 2 Y,- ;
| Z = 22,;
М = ХМ, + 2 (X. г. -- Z. х.)-,
N = X N, + 2 (iY X - X. у.).
(5.1)
Рис. 5,2
Здесь X,, Y,i, Zi. — проекции сил Pt на координатные
оси; Lj, Aij, Nj — проекции векторов-моментов К, на те
же оси; х,, yt, z,_ — координаты какой-либо точки, взя-
той на линии действия силы Р> (на рис. 5.2 показаны
кружком).
Формулы пригодны и для правой, и для левой си-
стемы координат. Векторы усилий (.¥, У, Z) и векторы-
моменты (L, М, N) а соответствии с правой системой
показаны на рис; 5.2, б. На рис. 5.2, и векторы-моменты
заменены соответствующими им в правой системе ду.
говыми стрелками. На рис. 5.2, г показаны принятые и
строительной механике обозначения усилий и их поло-
жительные направления, отличающиеся от вышеуказан-
ных правил механики. Под Pi и Kj можно подразуме-
вать не только сосредоточенные силы и моменты, ио и
равнодействующие некоторых сосредоточенных или
распределенных нагрузок. Кроме того, заменяя Pi через
pels, а суммирование интегрированием, находят усилия
от распределенной нагрузки с погонной интенсивностью
р. То же относится к распределенной моментной на-
грузке.
Общими формулами (5.1) для вычисления моментов
пользуются при расчете пространственных систем,
В строительной механике плоских систем йбменты вы-
числяются обычно так: все силы проектируются на
плоскость, перпендикулярную оси моментов, и в этой
плоскости определяют моменты проекций-сил относи-
тельно точки, именно — следа оси моментов. Алгебраи-
ческая сумма полученных моментов и равна искомому
моменту.
Деформации и перемещения
Пусть между некоторыми сечениями стержня возни-
кают малые сосредоточенные деформации (сокращен-
но— с. д.) двух типов (иначе дислокации)—относи-
тельные вращения, изображаемые скользящими вектора-
ми Р, и относительные поступательные смещения, изо-
бражаемые свободными векторами К. Подразумеваются
с. д., действующие по одну сторону от исследуемого се-
чения. Тогда перемещения сечения выразятся темп же
формулами (5,1), причем X, У, Z дадут малые углы по-
ворота сечения <рх, ср!(, грг вокруг осей х, у, z, a L, /И,
N — поступательные перемещения сечения в направле-
нии осей х, у, г, или, что то же. полные перемещения
начала координат 0, обозначаемые Хх, Ху, Д2 или «о,
щ, ад.
Статика-кинематическая аналогия
Совпадение формул, определяющих усилия по на-
грузкам, и формул, определяющих перемещения по де-
формациям, коротко называют статико-кинематической
аналогией (см. 2.5.6) При использовании этой аналогии
относительные вращения часто называют фиктивными
нагрузками, а относительные перемещения — фиктивны-
ми моментами и отмечают верхним индексе?,1 «ф».
При использовании формул (5.1) для определения
усилий млн перемещений, следует учитывать граничные
условия в сечении, принятом за начальное, которое не
обязательно должно совпадать с концом стержня, как
на рис. 5,2. В первом случае к нагрузкам надо присое-
динить усилия в начальном сечении, а во втором случае
к с. д. надо присоединить перемещения начального сече-
ния. Поэтому свободный конец при определении усилий
эквивалентен полностью защемленному концу при опре-
делении перемещений.
Под с. д. .Рф и xf можно подразумевать не только
сосредоточенные относительные вращения и смещенья
между сечениями, но и равнодействующие некоторых
групп с. д, или распределенных деформаций. Общеиз-
вестный графо-аналитический метод определения пере-
мещений (прогибов и углов поворота) балок является
простейшей иллюстрацией аналогии. Здесь фиктивной
нагрузкой является площадь эпюры изгибающих момен-
тов с ординатами, уменьшенными в Е1 раз, или, что то
же, площадь эпюры упругой распределенной угловой
деформации.
В’ приложениях статико-кинематической аналогии к
различным задачам по расчету стержневых систем ис-
пользуется теорема замкнутости, выражающая условие
неразрывности деформации.
Если неразветвленный стержневой контур (в част-
ности, плоская или пространственная арка, рама, балка
вместе с опорным телом — «землёй»), испытывающий
малые деформации, остается замкнутым, то совокуп-
ность векторов деформации (иначе — фиктивная на-
грузка) подчинена условиям равновесия твердого тела:
2ХФ =0, 2уф = о, 2гф = о: |
2 £ф = 0, 2 М* = 0, 2 Д'* = 0. j	^5'1
Условия равновесия фиктивной нагрузки постоянно
применяются при проверке окончательных эпюр момен-
тов рамных конструкций.
198	РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
5.1.3.	Интегральные соотношения
между напряжениями и усилиями
в поперечных сечениях
Продольное усилие 2, (рис. 5.1) представляет собой
равнодействующую элементарных нормальных усилий в
сечении (коротко — равнодействующую нормальных на-
пряжений) :
Z = JoJF.	(5.2)
F
Поперечные усилия X и У дают равнодействующие
касательных напряжений в сечении:
Х==	Г==[т^Д.	(5.3)
F	F
Полная равнодействующая касательных напряжений
+	(5.4)
Положение силы Z определяется моментами L и М
нормальных напряжений относительно осей х, у:
L = j оуйР; М = — f csxdF. (5.5)
F	F
Координаты следа силы Z:
М	L
xz " Vz 2'	(5.6)
Положение силы Q определяется моментом N каса-
тельных напряжений т относительно оси г:
Плечо силы Q
N
rQ = -^-.	(5.8)
Усилия Z, L, М (иначе N, Мх, Mv) дают по величи-
не и по положению равнодействующую напряжений а,
усилия X, Y, N (иначе Щ, Qv, Мк) — равнодействую-
щую напряжений т. В технической теории стержней "ос-
новными усилиями определяются не только рава
вукидие, но и детальное распределение основных напря-
жений по сечению, причем от каждого усилия в отделы
ностй.	-
5.1.4.	Соответствующие силы и перемещения,
усилия и сосредоточенные деформации (с. д.)
Работа силы равна произведению силы, перемещения
ю ’ тлил ч in сйлы-и косинуса угла между направ-
ж-пчем счеы и направлением перемещения (ска-7 и! j,
силы и перемещения):	••
n= >Acos(P, Д).
0><-а и щре"то.ечче называются соответствующим^
если И произведение дает непосредственно работу (без
угла):
У с	Л = РХр .
При этом знак зависит от направления стрелок век-
тс’то ' щ . ‘ г-щед цод 1. При одинаковом направле-
ш		люс (У), при различном на-
правлении— знак минус (—). Соответствующие силы, и
перемещения следует понимать в обобщенном смысле
как два множителя, из которых один характеризует
группу сил, а другой — совокупность перемещений, на
которых работают силы, причем произведение выражает
работу сил на перемещениях.
Усилия в стержне также представляют собой группы
рг и противоположно направленных сил и момен-
тов, приложенных к смежным торцам, отделенным раз-
резом. Эти группы совершают возможную работу при
условии, что торцы, отделенные разрезом, сдвигаются
один относительно другого, т. е. возникает сосредото-
ченная деформация.
Таблица 5.1
Усилия (У)
Наименование, обозначение, размерность	Схема
Продольная сила N а кГ	
Поперечная сила Qy в кГ	'‘PacaS	2 ЩИ ь 1
Поперечная сила Qx в кГ	Плак	-Lq « м Y, •
Изгибающий момент в кГ-сAt	Фасад	z М X —
Изгибающий момент Му в кГ - см	НЛЗН	у уу^
Крутящий момент в кГ ’ см	
В табл, 5,1 показаны усилия, которым приписывается
знак (У), а в табл. 5.2 — соответствующие возможные
с, д., которым приписывается знак (У). Для принятого
правила знаков работа положительного усилия па по-
ложительный е. д. получается отрицательной. Вместе с
тем, если е, д. является действительной и вызвана из-
менением размера малой деформируемой вставки меж-
ду сечениями под действием соответствующего усилия,
то она получается того же знака, что и усилие. Напри-
мер, растягивающее усилие вызывает увеличение рас-
стояния между сечениями, т, е. положительную с. д.
В первом столбце рисунков табл. 5,2 с. д. показаны на-
S.I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СТЕРЖНЯ
199
Сосредоточенные деформаций (ф)
Таблица 5.2
Наименование, обозначение, размерность Удлинение Л в см	Схема	j Условное изображение -A	Векторное представление ,Л
Сдвиг в см	facaS	Фасаё IA	__
Сдву.г Гг в см	finan х Г	План -A-	_ г“
Излом 0^ (безразмерная величина)	TicaS	че-	4>а№8	g Прав ==©*=== А Леб
Излом 0^ (безразмерная величина)	(/ДО	План	Мин	& При В ---щуА А Лей 	
Скручивание	(безразмерная вели- чина)		Л,	Прав f ,а Леб
глядно, а во второй столбце даны их условные изобра-
жения на недеформированной схеме стержня. Отрица-
тельные с. д. обозначаются аналогично, но с изменением
направления черточек на обратное. Показаны также век-
торные представления с. д., необходимые при пользова-
нии формулами (5,1) для определения перемещений.
Эти представления соответствуют положительным с. д.,
обходу стержня слева направо. Направление векторов
О зависит от принимаемой при расчете правой или ле-
вой системы винта. Направление векторов Л и Г одно-
значно определяется направлением обхода и характе-
ром с. д.
5.1.5.	Начальная, температурная и
упругая распределенные деформации
Распределенную деформацию можно представить как
бесконечно большое число бесконечно малых (элемен-
тарных) с. д. подобно тому, как распределенная нагруз-
ка представляется бесконечным числом бесконечно ма-
лых сил. Погонная интенсивность распределенной
„ ~ ФА
деформации удлинения равна производной Л = — и гео-
ал
метрически представляет собой относительное удлине-
ние; ногониая интенсивность распределенной деформа-
ции сдвига у =
тельный сдвиг;
аг
— представляет собой средний относи-
сь
ft
в случае излома—кривизна и = —
ds
и т. д. В табл. 5.3 представлено шесть видов распреде-
ленных деформаций, которые могут быть: 1) начальны-
ми (наперед заданными), 2) температурными я 3) Сило-
выми (упругими, а также пластическими).
Из температурных деформаций рассматривается
только случай линейного изменения температуры по вы-
соте и по ширине сечения, что вызывает удлинение Л1 и
кривизны Л1Х и Коэффициент линейного расширения
обозначен а, изменение температуры оси центров тяже-
сти сечений — фр , изменения температур соответственно
нижней, верхней, передней и задней поверхности бру-
са— /д,	1 з ; размер по оси у равен Л, размер по
оси х равен Ь.
Упругие деформации пропорциональны соответству-
ющим усилиям. Все они равны усилиям, деленным на
соответствующую жесткость стержня в данном сечении.
Жесткость стержня из однородного материала равна
произведению модуля упругости на геометрическую ха-
рактеристику сечения, которая имеет размерность сЖ
200	РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
для линейных деформаций и сл4 для угловых деформа-
ций, Характеристики обозначены для линейных дефор-
маций буквой F (для сдвига с индексом), для угловых
деформаций буквой / (с индексом). В последнем столб-
це таблицы приведены геометрические характеристики
для случая прямоугольного сечения (ft —размер по оси
у, Ь— размер по оси х).
Величины, обратные жесткостям, называются габко-
стями. Чаще всего речь идет о жесткости или о гибкости
при изгибе (соответственио Е! или 1/£7). Если гибкость
при изгибе встречается с гибкостью при продольном из-
гибе E—ljr, to рекомендуются термины «обратная жест-
кость», «изгибная податливость».
Жесткостью или гибкостью можно охарактеризовать
также особенности стержня в отдельных сечениях. На-
пример, шарниру соответствует малый участок с нулевой
жесткостью или бесконечной гибкостью иа изгиб. Упру-
гий шарнир характеризуется заданной величиной р.—
произведения жесткости и длины малого участка или за-
данной величиной е —- произведения гибкости и длины
малого участка.
5.1.6.	Две системы координатных осей
упругого стержня с несимметричным сечением
Формулы для упругих деформаций, приведенные з
табл; -5.3, справедливы при условии, что координатные
оси в сечении, к которым приводятся усилия и переме-
щения, совпадают с двумя осями симметрии сечения
(рис. 5.3, а).
При отсутствии симметрии приходится пользоваться
двх'ли системами осей Охуг и Охуг. К первой приводят-
ся усилия N, М~, Му и соответствующие деформации
К О'ж ко второй — усилия Qx> Qy, Мя и соответст-
Таблица 5.3
Наименование, обозначение, размерность	г . ж „	j Температурные {~xeva	деформации						У пругне деформации				П р ям о уг ольи ое сечение
От в о с ит ел ь ное удли- нение % ™ —— (без-						ср	^=25 EF				ем3
											
								Л/ :		У	
размерная величина}											
-Стпгзсительный сдгчг Д==-ЗГ <бгз₽аз- мерная величина''			4 о 4	4 J;		Лг	—	Qn Gr				0,83 F ели
								й j	y.s		
Относительный сдвиг тГ 'безрае.^ мерная величина)						—	О				—	ai‘
										''в.	
Кривизна г	d®x	1 л	is	А ав					х	A'U ж: v -0	/V и СО)			! „ — 	 СЛ14 г 12
•< as	1 1 liC				Uft,» J	СС 4 Т-Г 0 ) М	_Д—Ф_ГО 4/	ъ	р .О u E!U				!а~ 	 ся -ТУ
Кручение 4 ds-	и вtl					—	Л!,, «4	М. J	/М..		1у см- табл. 7.1,4.
											
											
6.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СТЕРЖНЯ
201
вующие деформации ух, уу, fls (рис. 5.3, б—г). Начало
первых осей О совпадает (при однородном материале)
с центром тяжести поперечного сечения (ц. т.), а наклон
осей Ох и Оу в сечении соответствует главным направ-
лениям в центре тяжести	Оси Ох, Оу, а также
Oz называют «нормальными» главными центральными
осями сечения. Начало О вторых осей совпадает с так
Рис. 5.3
называемым центром изгиба сечения (ц. и.), а сами оса
Ох и Оу параллельны осям Ох, Оу за исключением осо-
бого случая очень короткого защемленного стержня.
Вторые оси называются касательными главными цент-
ральными осями.
Соответственно двум системам координатных осей
получаются и две продольные оси бруса — ось центров
тяжести и ось центров изгиба. Общее название «ось
стержня» обычно сохраняется за осью центров тяжести
сечений. На рис. 5.3 представлено несколько характер-
ных случаев: a — две оси симметрии, координатные си-
стемы совпадают; б — одна ось симметрии, оси х и х
совпарат, оси у и у, гиг — не совпадают; в — отсут-
ствие симметрии, оси не совпадают; г — антисимметрич-
ный профиль, оси совпадают. Наибольшее практическое
значение имеют сечения с одной и с двумя осями сим-
метрии.
5.1.7.	Упругое основание
Упругим основанием стержня называется такое ос-
нование, которое реализует распределенную вдоль оси
стержня реакцию с погонной интенсивностью, пропор-
циональной перемещению (прогибу или углу поворота
сечения). Коэффициент пропорциональности называется
отпорностью основания. В общем случае упругое осно-
вание развивает шесть реактивных нагрузок на стер-
жень и характеризуется шестью отпорностями. Интен-
сивности реактивных нагрузок равны:
Рх = — kx и; тх = -- сх фх;
Ру = — ky И ту = ~су Ч’у,
Рг -- k? w> rnz = — Щ фа • .
(5.9)
Знак минус показывает, что реактивная нагрузка на-
правлена противоположно перемещению. Отпориости k
имеют размерность кГ/см • см~кГ/см\ отпорности с —
размерность кГ • с,п/см=кГ (см. 5.5.6).
Величины, обратные отпорностям основания, называ-
ются податливостями основания.
Упругие опоры можно рассматривать как бесконечно
малые участки упругого основания, обладающие, одиа-
ко, конечными, отпорностями и податливостями. Отпор-
ность силовой упругой опоры обозначается %, и имеет
размерность кГ/см, отлорность моментной упругой опо-
ры обозначается щ и имеет размерность кГ • см. Упру-
гое основание очень часто целесообразно рассматривать
как совокупность большого числа сосредоточенных уп-
ругих опор.
5.1,8, Плоский неразветвлеимый упругий
стержень.
Обобщенная статико-кинематическая
аналогия [87]
Наибольшее практическое значение имеют стержня,
обладающие плоскостью симметрии, совпадающей с
плоскостью кривизны оси, Такие стержни называются
плоскими. Оси у, г, связанные с сечением, располагают-
ся в плоскости стержня, ось х—перпендикулярно этой
плоскости. Факторы, характеризующие paoosy плоского
стержня, разбиваются на две группы — симметричную
(в плоскости стержня) и антисимметричную (перпенди-
кулярную его плоскости). Эти факторы могут быть изу-
чены отдельно и независимо, причем расчет разбивает-
ся на два независимых расчета. Между кинематикой и
статикой стержня в своей плоскости и статикой и кине-
матикой стержня из своей плоскости существует опре-
деленная аналогия, которая используется для упрощения
расчетов стержня,
В табл. 5.4 дай полный перечень факторов, характе-
ризующих работу стержня с упругим основанием обще-
го вида, охватывающим также различные или жесткие
опоры. В левой половине таблицы перечислены факто-
ры, относящиеся к работе стержня в своей плоскости,
в правой (в другом порядке) к работе стержня из сво-
ей плоскости. Считается, что оси центров тяжести и
центров изгиба практически совпадают.
Для статически неопределимого стержня усилия, де-
формации и перемещения складываются из двух час-
тей — из факторов, отяссящихся к основной системе
(отмечены нуликом), и факторов, зависящих от лишних
неизвестных (отмечены звездочкой), Благодаря упру-
гому основанию нагрузки также складываются из двух
частейзаданных нагрузок (отмечены нуликом) и ре-
активных нагрузок, зависящих от неизвестны? переме-
щений5.
Обобщенная (в смысле учета упругих свойств и ста-
тической неопределимости) статико-кинематическая ана-
логия состоит в следующем. Два плоских неразветвлен-
ных стержня называются взаимными, если они имеют
одинаковые оси и гибкости одного стержня построчно
численно совпадают с отпорностями основания другого.
Если при этом активные факторы (нагрузки ц деформа-
ции, отмеченные нуликом) одного стержня будут пост-
рочно совпадать с активными факторами (деформация-
ми и нагрузками) другого стержня, то и пассивные фак-
торы (усилия и перемещения) такж*-*' будут построчно
совпадать.
В случае однопролетных и неразрезных прямых ба-
лок взаимные стержни и их нагрузки условно можно
считать лежащими в одной плоскости (см. рис. 5.30).
При криволинейной и ломаной оси важно учитывать
соотношение пространственного расположения взаимных
стержней. (В отдельных случаях путем вращения фик-
тивных нагрузок на 90° удается оперировать с взаим-
1 Основная система обычно является статически определи-
мой, а взаимная с ней — кинематически определимой. Пример:
простая балка и взаимная с ней абсолютно жесткая балка ня
упругом основании и концевых опорах в плоскости свободных
торцов.
Упругие характ ерщ- 1М1 ' СсРЬлНЧ!			Псп- уеи-енпя			Деформации			Усилия			Погонные нагрузки			Упругие характерис- тики основания			Упругие характерис- тики стержня						Работа гг»|„х1я г зю пдодасти (гОу)	Таблица S.4 Ппэс !<’ утругиЧ спохень 1	....	J
ю нёьгз ‘.жэтноа* >idj ЧДООРСЩЩО	Отпорность при позореre селения	1	(?9 Х^	I и odb| ньэЩк 1 -опан дшййюа! 	[ ЬСЕЦ 4bDOHdO3X0	Продольно? пе- ремещение	Угол позорэт а |	ГД — ф| + Фх	’•1 и сфЛ 1а s'S CD tl С га □ О га н -а + е Й-		1 Относительное 1 i и чч-чпм	[ Относительный | ед.виг '	'	Кривизна	. ; р ОС	। Продольная си-1	у N„ ^!а,	>	Поперечная си- да	:	Изгибающий момент	' ।	Моментная	Поперечная	Отпорность при продольном перс- | мощении	Отпорность при повороте сечения	Отпорность . при поперечном; /перемощении ! (ирогибе)		Гибкость на 1 растяжение-ежа- 1 тие	1		Гибкость на j СДВИГ	i		. на из- гиб	’			
i Ci	Л ;		Д 1! Ч-г •«-			Д7 ,J~4- ny=^v 	а	.	!1 4 a I д ф	0 Аб д^Ч + Н- ^х		й\ /Д /К 1	? у <fi = °	у	у	у Vi + !fiV = Vi	® ф —Jd v— za. 4	0	у г	у	у ——~ 1	‘ dt ? — ’ т =;= ш wehjx	°	0	1 Pu^pV'~k‘iB	йг tv		k	xjG- и	hi “Ч	—	С) hi		hi			
КЭ	А	7 s L 2 1	к		П-. ? is?	-te Ч’"? Ч s 2		Ф | -					tva		ф	ф	I см 1 см		д				j кГ ix,V		| Р " JC j ясстд	
ю
о
N3
		у Усилия			агрузки			Перемещения			Деформации			Упругие характеристики стержня					Работа стержня в его плоскости (зОу)
Крутящий мо- мент	j	Поперечная ей? 1 Ф-				-•---.<1 Изгибающий i момент	;	Моментная (крутящая)	Моментная (из гибающая)	Поперечная	; Угол вращения :	I Угол доворота	i Поперечное пе- ремещение (про- гиб) ‘	;	0 йг	-L Кручение	~. & г—-— z	Glk	:	Относительный сдвиг	й;~	1 Л лл — п-, + (г ”	BHEiraad^	Гибкость на кручение		Гибкость на сдвиг	Гибкость на из- гиб		
bJ h S; о + N t-	ч о тг ф -=	i	Э II S кР е	и т лш т — с ф	п л it — Х и ’’ J 1	0	«	G		Й !’ Й + Й 6		7 v — 7Jr	 hpx				С) ф -	Й	— ;	
кГ • CM j		K3-JM	кГ  ся СМ	к/У СМ см	|	£			2		/	g У	кГ • см2		ф|.^	кГ -см-		Размер- ность 1
5.1. ОеНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ технической теории стержня
203
ними стержнями в одной плоскости.) На основании
аналогии и теоремы замкнутости (см. 5.1.2) расчет из-
гибающих моментов одноконтурной плоской рамы без
упругого основания приводится к расчету осадок или
напряжений по подошве абсолютного жесткого стержня
иа упругом основании, нагруженного перпендикулярно
своей плоскости фиктивной нагрузкой, равной деформа-
ции заданной рамы.
Статико-кинематичрсцая аналогия справедлива и для
пространственного стержня, Все положения табл, 5.4
остаются в силе применительно к элементу длиной ds
и к стержню в целом.
5.2.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИИ
Нормальные напряжения в поперечных сечениях од-
нородного упругого стержня (ds) определяются на ос-
нове закона Гука, гипотезы плоских сечений и гипотезы
о ненадавдивании волокон в поперечном направлении
(oI = o,J = 0). При этих условиях нормальные напряже-
ния пропорциональны относительным удлинениям и
подчинены закону плоскости
Расчет начинается с определения «нормальных» гео-
метрических характеристик и усилий N, Л1Х, Mv в сече-
ниях. (При тонкостенном профиле иногда определяют
дополнительные нормальные напряжения — см. ниже
5.10.)
5.2.1. Геометрические характеристики
поперечных сечений стержней
[25, 91, 93 и др.]
Геометрическими характеристиками фигуры попереч-
ного сечения стержня называются следующие интегралы
(рис. 5.4, а):
площадь
Буквами с индексом i обозначены характеристики от-
дельных частей фигуры, на которые разбивается в слу-
чае необходимости сложная фигура сечения, относитель-
но тех же осей х, у.
Через каждую точку можно провести пару осей х, у
так, чтобы =0. Такие оси называются главными ося-
ми для данной точки. Оси, имеющие начало в центре
тяжести фигуры сечения, называются центральными
осями. Для центральных осей 51=5ф=0, Практическое
значение имеют главные центральные оси, для которых
Если фигура имеет ось симметрии, то
эта ось является одной из главных центральных осей.
Достаточно определить лишь положение центра тяже-
сти на этой оси. Другая главная центральная ось прохо-
дит через ц. т. перпендикулярно первой.
Для определения центра тяжести и главных цент-
ральных осей выбирают произвольные исходные оси х,
у. Координаты центра тяжести в исходных осях вычис-
ляют по формулам (см. 2.1.8 и 2.2.2).
F Fjxi_
F ’
Sx
Ус = щы
1F
У-t
Р
(5.10)
F ~ ' dF = Е Pi см°-,
статические моменты относительно осей х, у\
Рис. 5.4
Здесь X;, у., — координаты центров тяжести отдель-
ных фигур.
Центр тяжести принимают за начало произвольных
центральных осей и ищут угол поворота осей, превра-
щающий произвольные центральные оси в главные
центральные оси. Обычно определяют сперва lx, fv, lxv
для исходных осей, а затем находят /хл, /УЦ, Цц.щ
центральных осей, параллельных исходным, пользуясь
формулами:
,xB’^ = /xil-~-Fxo«e.	«Г11)
Далее вычисляют полусумму и полуразность цент-
ральных моментов инерции:
Чс = 7“ (с« + Гар =	"""	
Наибольший и наименьший центральные моменты
инерции, одновременно являющиеся главными централь-
ными момецтамл инерции, вычисляются по формуле
макс = ] +1/ А.
МИН ПС — Г Пр
± 1
(5.12)
моменты инерции относительно осей х, у.
he = f У'~	= S Iи смр lt/= [ x-' dF = £ Iiy сжр„
F	' F
центробежный момент инерции относительно осей
х, У
Остается узнать угол а8 поворота осей хд, у4, изо-
бразить оси хг-4, уг-я и установить, какой из осей отве-
чает /иаво И каКОЙ /ммя.
Если /хп > /ц , то
Цу = f ху dF = £ слР.
!ха ип
tgac = —-----------------.	(5.13)
'макс -
204
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ: Я СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Если же /хц < /, то
tg а„
^п«п

(5.13')
В первом случае /маке отвечает оси хгЛ во вто-
ром — оси гф-Д Угол а» отсчитывается от оси х или у
против часовой стрелки. Расположение осей х, у должно
соответствовать правой системе.
Вместо угла во иногда определяют угол 2«о, пользу-
ясь формулой
Круг Мора1. Формулы (5.12) — (5.13") реализуются
графически (рис, 5,4,6). На оси абсцисс / откладывают-
ся в выбранном масштабе I щи4=«т» см отрезки ОЛ =
— 1гп, ОВ — Гуш по ординатам AM ——Ijx и BN =
— +/ен t/i определяются точки М. и N. Прямая MN пере-
секает ось I в точке С, являющейся центром круга, аб-
сцисса которого равна /лс. Радиус круга равен
У 4р +	У11 • Отрезки:
ое' = /!ИН = /"’.
Угол Л1ВМ'=«о, угол MC.4=2as.
Случай, когда главные оси несимметричного сечения
определяются сразу. 1) Если сечение состоит из двух
одинаковых фигур, повернутых относительно друг дру-
га на 90° (рис. 5.4, в), то одна из главных осей соеди-
няет центры тяжести О> и О2 фигур, а другая перпенди-
кулярна ей в центре тяжести О, очевидно, делящем от-
резок OiC>2 пополам:
/иил ~ /у 4“ />/ “ 6?’
/1мад = 2Е^+ 1р,
где F, /х и — площадь и главные центральные момен-
ты инерции одной фигуры; 1р —полярный момент инер-
ции одной фигуры , 2) Если сечение состоит из двух
(неравных) фигур, каждая из которых имеет одинако-
вые по величине моменты инерции lx = lv (например, из
квадрата и круга, причем меныпая площадь может
быть отрицательной), то одна из главных осей соеди-
няет центры тяжести фигур.
5Ж2. Определение моментов инерции
относительно исходных осей
Обычно сечение удается разбить на отдельные фигу-
ры, для--которых положение главных центральных осей
и величины геометрических характеристик заранее из-
вестны из таблиц пли легко определяются. Используют-
ся формулы перехода от главных центральных осей х,
у к произвольным х', у';
Здесь хв, i/o — координаты нового начала н старых
осях или старого начала в новых осях; a—угол между
осями х и х'. Слагаемые правее вертикальной черты от-
носятся к: случаю, когда оси х, у центральные,- но не
главные и, следовательно, bxv=M0. Включение этих сла-
гаемых дает общие формулы перехода от центральных
осей к произвольным. При а—0 получаются формулы
перехода к параллельным осям.
: В общем случае сечения с криволинейным контуром
пользуются приемами точного или приближенного вы-
числения двойных интегралов. Разбив сечение на узкие
полоски, параллельные оси х (рис. 5 4, г), имеем:
У
у J (4 - 4) d,j =
У
(J j oMly ф рх2 dy, 1ху=^Ьхс ycdtj,
У	У	и
Здесь b, хА] «в, Хс должны быть выражены в функ-
ции от у либо должны задаваться численно (при при-
ближенном вычислении интегралов). Применяется также
графический метод веревочного многоугольника [170].
Круг Мора (рис. 5.4,6) дает возможность определить
моменты инерции относительно произвольно иаклонен-
ныдяосей по главным моментам инерции. Откладывают
QA'—lx, OB'=MV и проводят окружность с центром в
А' А
середине отрезка В'А' и с радиусом ‘~. Проведя
В'М под заданным углом а, определяют точку М. и диа-
метрально противоположную ей точку А'. Абсциссы ОЛ
и ОВ точек М и N дают 1Х> и /у,, ординаты AM и BN
соответственно +4<у> и —/г>у,. Напоминается, что з
5.2.1 отрезок AM был равен не +Ixv-yU, а —
5.2.3. Редуцирование площадей
при вычислении моментов ииерции [85, 4]
Редуцированием (приведением) называется замена
площади F фигуры несколькими сосредоточенными пло-
щадками. При вычислении статических моментов заме-
няют площадь одной площадкой, равной F, сосредото-
ченной в центре тяжести фигуры При вычислении осе-
вых и центробежных моментов инерции, заменяют пло-
щадь F четырьмя площадками, равными каждая F/4 и
расположенными в вершинах прямоугольника инерции.
Оси симметрии прямоугольника инерции совпадают с
главными нейтральными осями х, у фигуры; координаты
вершин его равны радиусам инерции:
>: cos2a4-/.. si!!2 а | — Isin 2a;]
^,=Дх|ф-/ж sin2a+/t cos2 a I + /sin 2a; (5J4)
W =	-h:—sin 2a j Ж	cos 2a.
Сравни ЗЛ ,7ц
причем ординаты вершин равны ±rX) а абсциссы вершин
равны ±га (рис. 5.5, а).
Приблизительные значения радиусов инерции для
некоторых сечений см. табл. 7.2,
Эллипсом инерции называется эллипс с полуосями
г,, и г,., вписанный в прямоугольник инерции.
Моменты инерции относительно любых осей х', у’ вы-
5.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
205
числяются по координг	эльника х щ
yt (i—A, 2, 3, 4) по формулам:
у
(5.16)

щадкам F/12 по углам и к центральной площадке !AF
(рис. 5.5, а).
Площадь узкого прямоугольника редуцируется к
две?,: площадкам Л/6 по концам и одной площадка 2/з/;
посередине (рис. 5.5, о) Этот способ удобен при мно-
гоугольном тонкостенном сечении, состоящем из про-
филей и листов.
Моменты инерции узкой искривленной полосы (по-
перечного сечения тонкой цилиндрической оболочки)
вычисляются как интегралы вдоль линия но формулам
(рис. 5,6, а):
Рис 3.5
(5.17)
Радиусы йнериии прямоугольника с основанием 6 и
высотой h соответственно равны;
' Ыг b
гх = |/ 7777 = —щщ-	,29 Л; г,, «0,29ц.
/ 12 ЙА
Прямоугольник инерции показан на рис, 5.5, б.
В случае очень узкого прямоугольника s'Xf ((< s)
(сечение пластинки, тонкой стенки и т. и.) вершины пря-
моугольника инерции можно считать попарно объеди-
ненными, что эквивалентно пренебрежению собственным
Здесь « — угол наклона элемента (Is к оси О. При
постоянной толщине полосы множители t и I3 выносят-
ся за знаки интеграла.
Вместе вычисления вторых слагаемых в формулах
(5 17) рекомендуется редуцировать сечение к двум лини-
ям, отстоящим от оси на 0,291, и ввести в первые сла-
гаемые формул величину ?/2 вместо 1. Другой вариант
состоит в редуцировании площади к трем линиям —
верхнему краю Ills вместо 1), оси (г/31 вместо 1) а ниж-
нему краю (f/s вместо 1) .
При наличии густо расположенных ребер (рис, 5.6, б, я)
вводятся на единицу дли'и r> ~,i < линия величины
иотонной плошади f~F/a и погонных собственных мо-
ментов инероии in^h/a и 1„ = /я/а (рис. 5.6,г):
моментом инерции относительно продольной главной
оси, В этом случае сосредоточенные площадки равны:
F st
= — (рис.
2
5,5, в). Заменяя отдельные узкие прямо-
угольники парами' площадок, упрощают расчет моментов
инерции тонкостенных профилей При этом бульбы це-
лесообразно заменять одной площадкой.
В качестве прямоугольника инерции можно исполь-
зовать любой подобный ему и подобно псп тооженный
прямоугольник при условии соответствующего подбора
четырех площадок в вершинах и пятой площадки в
центре. Прямоугольное сечение, как подобное своему
прямоугольнику инерции, редуцируется к четырем пло-
(5.18)
!х,у. =	+	j"(7 —4)sin2cxd5.
Обычно ребра имеют виц, показанный на рис, 5.6,6,
и достаточно ввести / и ы, полагая /„«0. В этом случае
20g	РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
можно редуцировать f по fl2 на двух линиях, отстоящих
05 [ А
от оси расстояния радиуса инерцпи rs =	—, и
пользоваться только первыми слагаемыми формул (5.18),
производя вычисление дважды с координатами х', у'
точек первой и второй линий,
Если	та При косом изгибе грузовая
и нейтральная линии неперпендикулярны. Они становят-
ся перпендикулярными при ф=0 или 90° и когда
Графическое построение нейтральной линии по гру-
зовой при помощи прямоугольника инерции показано на
рис, 5,7, б, Через точку С', симметричную точке С от-
5.2.4. Общая формула нормального
напряжения при растяжении-сжатии и
изгибе. Нейтральная линия [91, 93, 100, 85]
Общая формула нормального напряжения о в точке
х, у в главных центральных осях:
(5.19)
Здесь Хя, Уя — координаты следа равнодействующей
продольной силы N (иначе 2) или координаты следа
продольной внешней силы, если речь идет о внецентрен-
Рис. 5.7
ном растяженяи-сжагии;
Л-ft	Ми
N’ XN=- N-
(5.20)
Правило знаков для N (2), ЛЦ Мв соответствует
рис. 5.2, г.
Уравнение нейтральной линии (геометрического мес-
та точек с нулевыми напряжениями) в отрезках на осях
имеет вид:
Отрезки на осях:
*-“Ж
(3,21)
Уклон нейтральной линии к оси х;
tg fi = —
XN rx
Уы r“
My
Mx
h -
(5.22)
Графическое пестреете нейтральной линии АВ, соот-
ветствующей силовой точке N (следу продольной силы
N на поперечном сеченйи), при помощи прямоугольника
инерций показано на рис. 5.7, а. Порядок построения
показан цифрами I, 2, 3, А и Г, 2', 3', В. Это построение
реализует соотношения (5.21).
Косой изгиб (случай Л'=0)
М.:
~ у с
> X
Мд
(5.23)
Нёйтрайьйая линия проходит через начало коорди-
нат (ц.щ.). Уклон к оси х определяется формулой
(р.22). Если плоскость действия нагрузки задана сле-
дом СП (грузовой-линией), то уклон нейтральной линии
АВ к оси х (рис. :5.Г, б)
±е0 = -7^*е-ф»	(5.24)
где ф — угол наклона грузовой линии к оси у.
Еосительио осп у, проводится прямая, параллельная диа-
гонали прямоугольника, до пересечения со стороной
его в точке А, Прямая 40 дае¥ нейтральную линию.
Если продолжить прямую АО до пересечения с другой
стороной прямоугольника в точке В, -то прямая СВ
окажется параллельной другой дйагонали. Построение
основано: 1) на том, что если грузовая линия совпа-
дает с одной диагональю, то нейтральная линия совпа-
дает с другой и 2) на разложении нагрузки по диаго-
налям.
Практическое значение нейтральной линии обуслов-
лено тем, что она представляет собой ось поворота
плоскости сечения при деформации. Плоскость изгиба
и направление перемещения сечения от действия нор-
мальных напряжений перпендикулярны нейтральной ли-
нии. Кроме того, если известна нейтральная линия, то
упрощается определение опасных точек сечения и вы-
числение наибольших напряжений.
Прямой изгиб (случай N=MV —0 или N=M, — 0).
Нормальные напряжения определяются но формуле
М„
о = — — у или а =—- х.	(5.25)
!х	1д
Нейтральная линия совпадает соответственно либо
с главной осью х, либо с главной осью у. Напряжения
следуют линейному закону.
Центральное растяжение-сжатие (ЛЦ = МВ=О)
N
о =	= const.	(5.26)
Г
Множитель в скобках в формуле (5.19) отражает
неравномерность распределения нормальных напряже-
ний в общем случае по сравнению со случаем централь-
ного сжатия.
Определение погонных нормальных усилий. При тон-
костенном сечении часто приходится иметь дело с уси-
лиями на единицу длины средней липни стенки в попе-
5.2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИИ
207
речном сечений—погонной нормальной силой п кГ)см,
погонным моментом, изгибающим стенку относительно
средней линии, я, кГ-см/см, реже — погонным момен-
том, изгибающим стенку относительно нормаль к средней
линии, тп кГ’См.1см. Векторы моментов тч направлены
вдоль ds, векторы моментов тп — вдоль нормали к ds.
I	cos a	MySinuA
«s= —,----------------А— й;
\	Ж	,
I sin a Mu cos a \
ГР-n “ |	:	"4“ Щ j in-
' >X	11/	'
(5.27)
Здесь xB, y,— координаты средней линии в главных
центральных осях Ох, Оу. Обозначения (, г0, 1п —. см.
5.2.3; а — угол элемента ds средней линии с осью Ох.
5.2.5.	Максимальные нормальные
напряжения
Напряжение оИ11Ис получается в одной из точек на-
ружного контура (чаще всего в угловой точке), наибо-
лее удаленных одновременно от оси х и от оси у, Среди
этих точек надо выбрать такую, для которой напряже-
ния от Мх и Mv имеют одинаковый знак с напряжением
от N, Если известна нейтральная линия, то опасная точ-
ка определяется сразу, как точка, наиболее удаленная
от нейтральной линии, т. е. имеющая наибольшее плечо
(длину перпендикуляра) относительно нейтральной ли-
нии. В общем случае о'ианг вычисляют по общей трех-
членной формуле (5.19), подставляя координаты опас-
ной точки.
Общая одночленная. формула имеет вид:
М
<W = ±^-;	(5.28)
М — изгибающий момент; 157 — момент сопротивления.
Формула (5.28) применяется во всех случаях однотип-
но, для чего достаточно под изгибающим моментом
подразумевать момент, подсчитанный относительно ней-
тральной линии, а под моментом сопротивления — вели-
чину
/
«7 = -^-—,	(5.29)
•"'макс
где /—момент инерции относительно нейтральной
линии;
гмакс—плечо опасной точки относительно нейтраль-
ной линии,
При прямом изгибе в плоскости yOz:
М=М:(, Г=Г ,Е	м».
#макс
При прямом изгибе в плоскости хОх
Млакс
Величины Ws и Wv приводятся в таблицах сортамен-
та и справочной таблице 7.1.
Для прямоугольника
для крута
пг3
W =—.
4
При косом изгибе (Л' = 0) и в общем случае прихо-
дится определять нейтральную линию и момент сопро-
тивления относительно нейтральной линии, что, как
правило, сложнее, чем пользование общей формулой
(5.19).
Однако если приходится исследовать влияние боль-
шого числа нагрузок на напряжение в определенной
опасной точке, то целесообразно пользоваться одночлен-
ной формулой (5.28). При этом строится одна специаль-
ная нейтральная линия; считается, что в опасной точке
действует сила, нормальная к сечению [см. форму лы
(5.21)]. Момент сопротивления вычисляется по формуле
/х,
Г = /% = ---.	(5.29')
У
Здесь гя— плечо специальной нейтральной линии от-
носительно центра тяжести сечения; 1Х, — момент инер-
ции относительно центральной оси х', параллельной спе-
циальной нейтральной линии; у' — ордината исследуе-
мой точки в осях х', у'. При пользовании этим спосо-
бом нет необходимости вычислять усилия N, АП, Als,
Достаточно найти момент односторонних сил относи-
тельно специальной нейтральной линии. По существу
дела мы пользуемся здесь поверхностью влияния (ин-
флюентой) для нормального напряжения.
5.2.6.	Ядро сечения [100 и др.]
Ядром сечения называется замкнутый контур, из ко-
торого не должен выходить след продольной силы (си-
ловая точка), чтобы в сечении не возникали напряже-
ния разного знака. Ядро сечения используется для
оценки рациональности проектирования каменных стол-
бов, стен и сводов.
Построение ядра упрощается применением теоремы:
если силовая точка перемещается вдоль прямой (сило-
вой прямой), то соответствующие нейтральные линии
вращаются вокруг точки; эта точка совпадает с силовой
точкой, для которой нейтральной линией является преж-
няя силовая прямая.
Поэтому ядро можно строить как систему силовых
точек, для которых стороны сечения являются нейтраль-
ными линиями, либо как систему нейтральных линяй
для силовых точек, совпадающих с вершинами сечения.
В обоих случаях используются формулы (5.21),.
Фигура сечения должна быть выпуклой. В противном
случае выбираются вершины, принадлежащие выпукло-
му наружному многоугольнику, и ядро строится для
него.
Пользуясь сторонами ядра, упрощают определение
напряжений в вершинах сечейгя (см. 5.2.5). Моменты
М, вычисляемые относительно нейтральных линий, назы-
вают ядровыми моментами.
На рис. 5.8, а показано прямоугольное сечен: bxh
и его ядро, имеюшо (тогото ромМ с диагоналями й/3
(шириной) и h/З (высотой). Верымны сечения и сторо-
ны ядра отмечены большими й малыми буквами. Сторо-
на а совпадает с нейтральной" линйей для вершины А,
Момент сопротивления для точки А
I Ыг
V/ = Ргя — Ьа -------------=----------— слА;
b Уб» + М б У Ь" 4- А*
WA
2Qg	РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
bh
у* =	так как прямоугольник шгерлип в дан-
ном случае подобен контуру сечения (его стороны рав-
b h \
ИЫ —— и -------— , то
/З	yz3 /
F / и* V	b-M	ЕМ
/ * — р—/ —Ц-— 1	----.---- -- --------------
x “ 4 i	" 4.3 b- + IF 6 (fcs 4- hi!)
Здесь модуль Е—Е (х, у) соответствует площадке
(волокну) в точке с координатами х, у. Выражение в
скобках равно относительному удлинению исследуемого
волокна.
Обычно- вместо Е вводят редукционные коэффициен-
ты площадок, равные относительному
Е(х.у}
tp(x,y) = —ф------
‘-'С
модулю;
где Д—-const
Если модуль остается постоянным
пых частей сечения, го
/ N Мх
а — сп-----—
Is % С
Здесь ф,- (г — I, 2, 3,
ты отдельных частей с
пионный коэффициент
в пределах кптгеч-
Подставив значения I * и у* в формулу (5.29), по-
лучаем -прежнее значение Й-:. Па рис. 5.8,6 дани приме-
ры ядер сечения.
5.2.7. Случай переменного модуля Е
Общая формула
(5.19) имеет вид:
нормального напряжения вместо
о= Е
I N
\]EdF
Мг
У“ EdP
Му
J х2 EdF
(5.30)
Л1а
„	, а . v f х .(5.30')
...) — редукционные коэффицпеи-
постоянным модулем; <₽ — редук-
части, которой принадлежит ис-

следуемое волокно х, у.
При определении центра тяжести п главных осей се-
чения переменность модуля также должна быть учтена,
аналогично знаменателям в формулах (5.30'), Редуциро-
ванные статические -моменты и центробежный момент
инерции определяются по формулам:
В случае стержня большой кривизны отдельные во-
локна имеют различную длину. Изменение длины воло-
кон эквивалентно изменению их модуля Е. На этом ос-
нованы расчетные формулы для стержней большой кри-
ийзйн (см. раздел 9).
5.2.8. Пользование центральными
неглавными осями
Общая формула нормальных напряжений (5.19)
остается в силе в центральных неглавных осях х, у при
условии замены Мх на ЛЦ и Му на Му тю формулам:
Мх = _ ----- ;
1 к % п,у
Здесь
Mu + Mxkx
(5.31)

Еса
Е
Пользование неглавными осями удобно, когда сече-
ние разбивается на фигуры с взаимно параллельными
главными центральными осями (пример такого сечения
см. рис. 5.10).
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
И ДЕФОРМАЦИЙ В СТЕРЖНЯХ. ОСОБЕННОСТИ
ТОНКОСТЕННЫХ СЕЧЕНИЙ
Ci 'i-'-to'I'- тщательных напряжений начинается у
шж'>л:ден~я ус”"Щ Q„, (Д, Мк.
щи я в очень коротких стержнях
оц >»" шт”лсч по фп!ш>т1 расчета на срез (см. 5,3.1).
Пр, этом ее гч сс-анч. тонкостенное, то пользуются
формулами направленного среза (см. 5.3.2). Касатель-
ные напряжения, сопровождающие поперечный изгиб
болей-длинных стержйей И балок, определяются в зави-
симости от -тюпефедных сил по формулам касательных
напряжений при изгибе (см. 5.3.3). Для определения
крутящего момента приходится найти центр изгиба, ко-
торый в случае массивного профиля часто считают сов-
падающим с центром тяжести. Если стержень нагружен
крутящими парами (Ql; = Q.-s = 0), то центр изгиба опре-
делять не нужно. Касательные напряжения от кручения
чаще всего определяют по формулам свободного круче-
ния (см. 5.3.7 и табл, 7.4). Учет стеснения при кручении
и дополнительных нормальных напряжений желателен
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НДШ’ЯЖЕШШ И ДЕФОРМАЦИЙ В СТЕРЖНЯХ
209
н первую очередь при открытом тонкостенном профиле
[дпутавр, швеллер), Геометрические характеристики no
перечных сечений при стесненном кручении см. 5.3.9
и табл. 7.5, определение усилий (бимоментов) см. 5,10.
5.3.1. Расчет на срез (сдвиг)
Касательные напряжения в поперечном сечении очень
коротких стержней и соединительных элементов (болты,
заклепки), а также в сварных швах рассчитываются по
условным формулам, основанным: 1) на гипотезе пло-
ских сечений и 2) на гипотезе неизменяемости сечения
в своей плоское"»
Геометрическими характеристиками являются пло-
щадь сечения F и полярный момент инерции сечения от-
носительно его центра тяжести (рис. 5.9):
1р = [ dF = [ у- dF + J зР dF = /х + ly. (5.32)
Г р р
Оси х, у — любые ортогональные центральные оси
(величина 1Р есть инвариант относительно поворота
осей вокруг фиксированного полюса).
Относительный угол закручивания
Glp
(5-33)
Относительный сдвиг в направлении силы Q, прило-
женной в ц. т. сечения,
Q
(5.34)
Касательное напряжение а точке х, у складывается
из двух векторов: параллельного силе Q и перпендику-
лярного радиусу-вектору р:
- Q , Я
г - — д-----р,
Г/р
(5.35)
Удобнее пользоваться составляющими вектора т по
координатным осям:
Qx
М;
-у-у; т„ =
Qij ।
р	у
Г	IР
(5.36)
т = К к) + т) .	(5.37)
При небольшом числе вариантов нагрузки, а также
для выяснения наиболее напряженных точек сложного
14—1303
сечения следует определить нейтральную точку н. т.
(центр вращения) сечения, соответствующую исследуе-
мой нагрузке. Координаты нейтральной точки:
Га — ..
‘р .
F ’
н
Qt/
А1К
(5.38)
р .	(5.40)
Радиус вектор нейтральной точки относительно цен-
тра тяжести О перпендикулярен силе Q и равен:
Q In
ри = ’7Г”^-	(5-39)
Вектор т полного касательного напряжения в точке
-V. у перпендикулярен ее радиусу-вектору р' относитель-
но к. т. Модуль вектора г равен:
Мк
т ==----
О
т-.мкс получается рмакс, т. е. в точках, наиболее удален-
ных от н. т.
При расчете групп заклепок на срез по формулам
(5.37) и (5.40) площади отдельных заклепок считаются
сосредоточенными в их центрах. При расчете сварных
швов на срез их площади считаются сосредоточенными
на осевых линиях швов. Неравномерностью распределе-
ния т по сечению заклепки или по ширине шза прене-
брегают.
5.3.2. Расчет на направленный срез (сдвиг)
[91]
Касательные напряжения и деформации тонкостен-
ных стержней в плоскости жесткого защемления и на
небольшом расстоянии от нее, в том числе и коробок
зданий, часто определяют на основе гипотезы плоских
сечений. При очень тонких стенках векторы касательных
напряжений считают направленными вдоль средней ли-
нии стенки, а сами напряжения—распределенными рав-
номерно по толщине стенки. При стейках значительной
толщины и ребристых учитывают также напряжения,
нормальные к средней линии стенки, а иногда и крутя-
щие моменты в стенке, причем считаются с различной
деформативностью стенки в срединной поверхности и
нормально к ней.
Обозначения:
Рс, Рп. ,пк—погонные касательные усилия и погонный
крутящий момент в стенке;
f.s, fn, ip—погонные площади и погонный полярный
момент инерции сечения стенки;
Gs, G„, Gp— модули сдвига, соответствующие усилиям
Ц Я,
При относительной стенке без ребер толщиной t по-
гонные площади и момент инерции разиы;
t3
G, ip J2 ' '
Чтобы не иметь дела с различными модулями сдви-
га, целесообразно вводить редуцированные погонные
геометрические характеристики:
/Г'- = (s	/Гя = fa ~ = fn <p„;
(5.41)
210
РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Здесь G — постоянный Модуль;
<ps, <Рп> Фд — редукционные коэффициенты.
В дальнейшем верхний индекс «ред» опускается. От-
носительные сдвиги стержня и относительяый__угол за-
кручивания в главных центральных осях Охуг (см.
5.1.6):
0.x	Q-я . п __	.г.
GF.C ’ GFy ’ Gh '	®’"'
Редуцированные геометрические характеристики Рх
и Fv называются направленными площадями; /с— на-
правленным полярным моментом инерции сечения. При
<ЭВ = 6И = ПР—const имеем Еж—/ф =*/•'; K-l-p.
Если стержень образован взаимно перпендикулярны-
ми стенками или платами, то сечение состоит из прямо-
угольников с взаимно параллельными или перпендику-
лярными средними линиями. Главные оси сдвига х, у
имеют тот же наклон — иа рис. 5.10 одна из них гори-
зонтальна, другая вертикальна. Изображая направлен-
ные площади Fs=fss и Fn—fnS горизонтальными я вер-
тикальными векторами, получаем Fx как равнодейству-
ющую горизонтальных векторов, a Fv как равнодей-
ствующую вертикальных:
f х = Еls Fen ф- Fss -f- Рц„;
Fу = Fin + F» + FSn + Fis.
Точка пересечения равнодействующих дает центр сдви-
га О н положение главных центральных осей сдвига
х, у. Направленный полярный момент инерции вычис-
ляетсяЖак сумма моментов инерции направленных пло-
щадей относительно осей х й у.
В общем случае берут произвольные ортогональные
оси х’, у1 и вычисляют величину
{(4 — fn) sin 2а' ds
tg 2а0 = ----------------------,	(5.43)
J (fs — fn) cos 2a' ds
откуда определяют угол a0 (проще всего графически).
На этот угол поворачивают исходные оси. В получен-
ных главных осях сдвига х, у вычисляют направленные
площади:
Fх — J cos2 a fs ds + у sin3 a fn ds;
s	s
Fy J sin2 a fs ds 4- J cos2 a jn ds
s	S
и направленные статические моменты:
Sx = J Fs fs ds + J yn fn ds;
s	s
Sy = f Xs fs ds + J x„ fn ds.
S	5
(5.44)
(5.45)
Здесь через xs, ys и xn, yn обозначены координаты
точек, возле которых на рис. 5,11, а надписаны величи-
ны элементарных площадок fads и fnds.
Координаты центра сдвига (ц. с, или О):
____.	_____$х
'О	р	’	Уо	в
Гу	г х
(5-46)
Перенеся параллельно главные оси так, чтобы нача-
ло их совпадало с центром сдвига, получают систему
главных центральных осей сдвига Оху. Ось г нор-
мальна к площади сечения.
Рис. 5.11
После этого определяют плечи г, и гп и вычисляют
направленный полярный момент инерции:
/е=/5 = J rj f5 ds + J f„ ds +f lp ds. (5.47)
Если сечение состоит из ряда прямоугольников (пло-
ские стенки), интегрирование заменяется суммировани-
ем (рис. 5.11,6). Обозначив f«s==Ea; frtS=-Fn; lp~ips,
находим:
5.3, ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИИ И ДЕФОРМАЦИИ В СТЕРЖНЯХ	211
2 (Fs — F„) sin 2а
in 2а„ =------------------;
ь с 2(FS-Fzi)cos2a
Fx = 2FS cos2 a + ,SF„ sin2 a;
Гi, = SFs sin2 a 4- F.F n cos2 a;
Sx = SFs ys + SFn
0.8-203	.	0,8-28,2’
ж------+ 0,8-28,2-23,35s+ ~
3
12
. (5.48)
0.8-103
+ 0,8-10-18,Is4
Sy	SFs x&	F>Fn
/	p ss \
/C = SF r; + 2(FH	+
12 J
Ниже даны касательные геометрические
стики сечения, очерченного по дуге круга с центральным
углом 2a при постоянных погонных характеристиках
(рис. 5.13):
характери-
Формулами (5 48) пользуются и при криволинейной
средней лишш стенки, заменяя ее ломаной с достаточно
короткими участками.
Уо = 2+1
зуй a
sin 2a ’
Г	sin 2a 1
Fх г цД + i2) a + (4 — /о) —= • |;
[sin 2a 1
(4 + К) a — (4 — • I-.,) —~	I;
lc = 24 r [lr® + Fg) a — 2+o sin a] .
Формулы для погонных касательных усилий
и напряжений
/ ।	। ^У 	।	\ t
[± -у- cos a ±	- sm a + у- rs j Д.
/	Qx	Q,t	MK	\
Уп = + Sin « ± -=+ cos a + rn f.p
\	ax	Fu	lc	]
(5.49)
с.м4.
2
Расчет упрощается при наличии оси симметрии, яв-
ляющейся одной из главных центральных осей сдвига;
другая ось ей перпендикулярна.
Пример 5,1 (рис. 5.12). Дано; Д = 1 c.« = const; /в =
= 0,8 c.«==const; Д=0;
Fx = 2( 1 • 20 • 12, + 1•28,2•0,707» + 0,8-28,2-0,7072 +
+ 0,8-10-+) = 106,8 сл2;
Ff/ = 2 (3-28,2-0,70+ + 1 -10-I2 + 0,8-20-12 4-
+ 0,8-28,2-0,707») = 102,7 слФ,
Sx =2(Ь20-30 4- 1.28,2-25—  0,8-28,2-6 +
+ 0,8-10-5) =2 462 жа3;
2462,6 >
yj = ’'iX = 23 ’1 мг; 1	6 •д СЛ1’
/с = 2 (1-20.6,9s + 1-28,2-19,012 + 1.10-402 +
1.1*
MK
®p — ip
‘S
Для каждой стенки выбирается положительное на-
правление qs и уп. Угла а считаются острыми, cos a>0,
sin a>0. Знаки определяются по смыслу, учитывая на-
правление общего сдвига от сил Qx и Qy, направление
вращения Мк, и также направление плеч. Направление
nip считается совпадающим с положительным направ-
лением Л1К («+» против часовой стрелуи). h. fn и ip
бепутся редуцированные, как и при вычислении Fx,
Fy.h.
Средние напряжения:
/ Qx , Qg . Fl{( \
+ = + щщ- cos a ± — sin a ± rJ <ps;
\	fay	J
I Ox	Qu	\
+ = ± “Щ- sin a +	- cos a ± —— rn Vn.
c'x	Fy	lc /
Краевые напряжения от кручения стенки
Л-1К t
(5.50)
5.3.3. Касательные напряжения при изгибе.
Центр изгиба [91, 93]
При прямоугол:	стержня и поперечном
изгибе в главной плоско	касательные напряжения
в продольном и в попер t сечениях иа уровне y;t
(рис. 5.14, а) определяются по формуле Журавского
212
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Рис. 5.14
о.. / hi Д
т = < (5.52)
Максимальное касательное напряжение на уровне
нейтрально й л s < н и и
Жаке
-г,,,,,,,. = —--- .
..,<к Шх
Поперечная сила, отнесенная к 1 см ширины сечения,
h	b
Поперечная сила делится между отдельными пла-
стинками пропорционально их моментам инерции отно-
сительно ОСИ X.
Равнодействующая касательных усилий в сечениях
отдельных пластинок определяет положение центра из-
гиба О—точки, через которую должна проходить попе-
речная сила, чтобы изгиб ие сопровождался закручива-
нием. Абсцисса Петра изгиба
i h?xdx
*о= —-------- .	(5.53)
ihsdx
к
Положения центра изгиба некоторых сечений см.
табл. 7.5.
Центр изгиба получается как центр тяжести приве-
денного сечения с высотами, равными кубам высот за-
данного сечения.
Более точная формула теории упругости:
сечения, относительно нейтральной линии — главной ней-
тральной оси х. Эпюра т по высоте сечения имеет вид
параболы с максимальной ординатой на уровне ней-
тральной линии (рис. 5.14, а справа):
Формула-Журавского применяется и в случае непря-
моугольного. удлиненного вдоль оси « сечения
(рис. 5.14,6). Постоянная ширина h в этом случае за-
меняется через Ь„ — ширину на уровне продольного се-
чения:
Стержень с поперечным сечением, удлиненным вдоль
с'” , я -стет > т л -за т> -I на вертикальные пластинки
тыквдой г и вы О- ,, й/щ (-шс 5 14, л). Касатель-
ное нал^п тег ,роьм у„ изменяется по ширине
стержня:	;
где й'—-тангенс угла наклона контурной линии к
оси х;
л— коэффициент Пуассона.
Приближенная формула теории упругости для удли-
ненного сечения:
п 1 4 Зр
< ту < + хд.
Обшая формула теории упругости для координат
центра изгиба в главных центральных осях х, у,
Jf (x,y)ydF; Уф ~-=—f(x,y}xdF
Здесь Дх, у} —функция депланации при изгибе. Па-
— Ь2
пример, для эллипса ((х,у) = -----—ху,
ах + о-
В табл. 7.5 даны ординаты центра изгиба некоторых
сечений с одной осью симметрии.
Составное сечение с общей осью симметрии
х отдельных сечений (рис. 5.15). Общий центр изгиба
О лежит на оси симметрии и определяется как центр
тяжести моментов инерции /щ, hx, приложенных в
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИИ И ДЕФОРМАЦИИ В СТЕРЖНЯХ
213
собственных центрах изгиба. На рис. 5.15, а собственные
центры изгиба совпадают с центрами тяжести:
Здесь
/ = / -X J 4- Г00;
X	пх^
Так как 1гх > fix, точка О лежит близко от Оз.
На рис. 5.15,6 предварительно определен центр из-
гиба 01 тавра I, Уравнение моментов для нахождения
плеча точки О составляется относительно любой из то-
чек 01, Оз или Оз.
Правило: центр изгиба швеллера совпадает с зеркаль-
ным отражением от оси стенки центра тяжести, момен-
тов инерции.
5.3.4.	Деформация сдвига при изгибе
стержней с массивным сечением и
двутавровых балок
Касательные геометрические характеристики сдвига
при изгибе Fy и Fx определяются путем осреднения
сдвига по всему сечению, исходя из приравнивания по-
гонных потенциальных энергий:
(5.54)
Аналогично определяется Fx. Для прямоугольника
F.v = .F.T=0,83F (см. табл. 5.3), для круга FB=Fa =
— 0.84F, Иногда Fv определяется исходя из относитель-
ного сдвига на уровне нейтральной линии:
Рис. 5.15
(5.55)
Для сечений типа швеллера способ центра тяжести
моментов инерции может быть использован только пос-
ле предварительной трансформации сечения (рис. 5,16).
Рис. 5.16
Полки смешаются в положение, указанное пунктиром,—
зеркальное по отношению к средней линии стенки:
Ь -1- i,
R этом случае для прямоугольника FB —Fx=0,67 F.
Для двутавровых балок обычно принимается Fy — Fe
(площадь сечения стенки), Fx == 0,674-0,83 Fn, где
Fn — площадь полок.
5.3.5.	Касательные напряжения при изгибе
и центр изгиба открытых тонкостенных
сечений [1, 7, 12, 91, 93]
Принимается, что касательные напряжения в попе-
речном сечении тонкой стенки направлены параллельно
средней линии стенки и распределены равномерно по
толщине стенки. Удобно оперировать с погонным (по
дуге средней линии стенки) касательным уейлием q —
—xt кГ)см. Траектория касательного усилия совпадает
со средней линией стенки При одновременном дей-
dMx ' dMv
ствип поперечных сил ~' и -----------------, паргл-
as	ds
дельных главным осям у, х, усилие q равно алгебраиче-
ской сумме"-.
Qu . Qx t
Q = 4y+ Рх = + /Sx ± 4 Sv. (5.56)
‘ X	1 2 у
Два знака указывают на необходимость определить
течение усилий q-y и q.x.
i Если стержень представляет собой полосу, положенную
плашмя, тс эти допущения" заменяются другими, учитывающими
наличие напряжений т, перпендикулярных средней линии.
2 В обозначениях р у и q индексы указывают на происхож-
дение касательного усилия "от Qx или
214
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Течение в поперечном сечении (см. рис. 5.18) опре-
деляется по направлению усилия в продольном сечении
из условия равновесия отрезка стержня длиной dz, ле-
жащего по одну сторону от продольного сечения. Это
усилие уравновешивает прирашецие нормальных сил,
зависящее от направления силы О. На рис. 5.17 усилие q
в продольном сечении направлено слева направо, поэто-
му в поперечном сечении (по закону парности) оно на-
правлено вверх. Течение q в стенке таких профилей, как
Равнодействующая единичных усилий Sx равна /х>
а равнодействующая единичных усилий SL) равна Они
получаются как геометрические суммы частных равно-
действующих, равных площадям эпюр S’ и Sy, или по
правилам вычисления моментов инерции при условии
пренебрежения собственными моментами инерции стенок
относительно средней линии. Кроме того, tx и /1; опре-
деляются как статические моменты эпюр yt и xt, повер-
Рис. 5.17
Рис. 5.18
двутавр или швеллер, сразу выясняется по направле-
нию силы Q, а в полках — исходя из непрерывности «по-
тока» усилий q. Например, на рис. 5,17 стрелки усилий
q направлены вверх, а в нижней полке от ее свободных
краев, где <? = 0, — к стенке.
Эпюры qv и г?х строят единичные, принимая QV!IX =
и Q«//B = 4-l, а затем умножают ординаты па
значения Qj,//» и ОмШу Ордината единичных эпюр рав-
ны величинам Зх и 8 •—статическим моментам части
поперечного сечения, лежащей по одну сторону от следа
продольного сечения относительно главных центральных
осей х, У'.
S'" = j ydF = f ytds;
F* s*
S’ ~ ( xdF = j xids.
S*
(5.57)
Построение эпюр состоит в последовательном вы-
числении их ординат, начиная рт свободного края, исхо-
дя из определения этих ординат как статических момен-
тов. По другому способу строятся вспомогательные
эпюры у и затем yt, соответственно х и xt. Ординаты
эпюр Зх и S\, равны площщЬш односторонних частей
эпюр yt и xt (считая от свободного края). Знаки на
эпюрах S^. и Sv не ставятся, ио стрелками указывается
течение единичных усилий.	 
нутых нормально к плоскости сечения, относительно осей
М у.
1Л = J yty ds; ly = J ds.
(5.58)
Центр изгиба. Так нарывается точка в сечении, че-
рез которую проходит поперечная сила Q, вызывающая
изгиб без закручивания. При двоякосимметричном сече-
нии ц, и. совпадает с ц. т. При одной оси симметрии
ц. и. лежит на ней, но не совпадает с ц. т. Центр изгиба
является началом координат О второй системы коорди-
натных осей бруса QxyWOxy, Центр изгиба определяет-
ся как точка пересечения равнодействующих касатель-
ных усилий изгиба, соответствующих поперечным силам
Qu и Q.x либо двум другим случаям изгиба. Положение
равнодействующих Qy — l*. и Qi — lv определяется их
плечами относительно произвольного полюса О'. Плечи
равнодействующих одновременно являются координата-
ми центра изгиба в системе координат О'х’у'\\Оху. Иско-
мые плечи-координаты равны мрлчентам касательных
усилий Зх и Sy относительно п.рлюса О', деленным на
модули равнодействующих /» 0 lv;
х-м = ± у- ] S’n ds; у	( Sy ds. (5.59)
>X J	! Ц J
8	5
6.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИИ И ДЕФОРМАЦИИ В СТЕРЖНЯХ
315
Отдельные произведения S*ds и ds умножаются на
их плечи г v, суммируются.
Другой способ вычисления моментов основан
на использовании эпюры секториальных площадей. Каж-
дый элементарный статический момент ydF, где dF —
площадка в точке А, порождает постоянное погонное
усилие dq~yd.F, момент которого, собираемый с дуги
II'А, равен ydFiA. где to' — удвоенная площадь сектора
с полюсом О' и дугой Н'А (рис, 5.18). Полный стати-
ческий момент получается интегрированием элементар-
ных моментов, что дает координаты центра изгиба:
х'- = — ( w'udF ~ I w'yidst
F	s
’Ъ — Т, д J »'««>
F	5
Интегралы выражают статические моменты эпюр ®'
с ординатами, увеличенными в t раз и повернутыми нор-
мально к плоскости сечения, относительно главных цен-
тральных осей х, у. Их можно истолковать так же, как
интегралы Мора — произведения эпюр (мН на у и (At на
х или соответственно эпюр ш' на yt, to' на х/.
Построение эпюры iA. Берутся произвольные по-
люс О' и начальная точка И'. Ординаты эпюры <•/ равны
удвоенным площадям секте	подвижным
радиусом-вектором, конец которого движется вдоль
средней линии тонкостенного сечения. Приращения орди-
нат считаются положительными, если радиус-вектор
вращается против часовой стрелки, отрицательными —
при вращении по часовой стрелке. Если точка И' взята
не на краю стенки, то средняя линия должна быть прой-
дена, начиная от точки И', путем двух- движений конца
радиуса-вектора — один раз от точки Н' влево, другой
раз вправо, что дает не менее чем два участка разного
знака, При наличии разветвлений каждая ветвь должна
быть пройдена особо. В точках разветвления значение
(А для всех ветвей одно и то же.
Использование центральных неглавных осей. Зада-
ваясь осями Ох и Оу и считая их нейтральными линия-
ми изгиба, строят эпюры 3’ и Sy и определяют величину
и положение равнодействующих касательных усилий,
Риц. 5.19
которые в этом случае не равны А, А о параллель-
да осям х, у. Точка пер	их дает
центр изгиба. Оси х, у могут быть неортогональпыми,
но обязательно должны быть центральными осями.
Двутавр. На рис. 5.19 построены эпюры yt и
S’, xt и Sr Ординаты эпюры S’x в точках гп и п равны
заштрихованным площадям эпюры yt. Ордината эпюр:л
Зу в точке m равна заштрихованной площади эпюры xt.
Знаки ординат эпюр S не используются; направление
касательных усилий показывается стрелками. Для полу-
чения фактических погонных усилий qv и ух ординаты
эпюр и Slf умножаются соответственно на Оу/А а
QAA- Для получения касательных напряжений вели-
чины q делятся на толшину стенки t в исследуемом ме-
сте.
Моменты инерции:
h" tyh?
tbb3
6
(5.60)
Т(О =. FdL
ЬМаКС " j Al
(5.61)
то) _ _5i_
макс ' 8
Ввиду наличия двух осей симметрии центр изгиба
совпадает с центром тяжести.
Швеллер. На рис, 5.20 построены эпюры S* и S'v
для швеллера. Для определения центра изгиба О, лежа-
щего на оси симметрии х, определена его абсцисса
Рис. 5.20
(плечо равнодействующей Д) в ^координатных осях
О'х', О'у'. Для подсчета момента найдены частич-
ные равнодействующие касательных усилий в полках и
в стенке, равные площадям соответствующих участков
эпюры Sx. Они выписаны около фигурных скобок.
Здесь стенка берет на себя всю вертикальную попереч-
ную силу А'.
АЫЬ и
А ~
Х° м WF.
b 12 ' 12
3&
(5.62)
Mj,
bib
Другая форма	j;
. А
ЫьА~ Ав ~
(5.62')
216
РАЗДЕЛ б. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
На рис, 5.20 выписаны также максимальные значе-
ния Sx и S” для определения и к^с.
Пример определения центра изгиба с использованием
эпюры ш' (рис. 5.21). Эпюра ©' построена при полюсе
О' и совпадающей с ним начальной точке Н, Угловые
ординаты эпюры + слева от оси симметрии у равны:
0; 50-20=1000; 1000+50-55 = 3750 слЛ
Н/П
Эпюра Н[см^
Рис. 5.21
Вычисляем статический момент эпюры о' с ордина-
тами, умноженными на / = 2 см, повернутыми нормаль-
но к плоскости сечения относительно осн у:
Г 50-1000/2	\
| (o'xtds = — 2-2 ---~---(— 30 + 25j +
s
3750 -р юре 1
+ 50-------------551 = 3065000 слА.
!	о	1
Вычисляем момент инерции сечения:
Г253 *	50
+ = 2-2 — +— (о5‘2 +55-25
v [33
+ 50-55+ =96 100
Ордината центра изгиба
- 3+65 000
96 100
= 31,9 см.
Учет неравномерного распределения напряжений по
толщине стенки. Массивные стенки заменяются густыми
тонкостенными «гребенками», зубья которых имеют на-
правление вероятных траекторий касательных напря-
жений, обыйно параллельных и перпендикулярных
(вис. 5.22, а. б). При конечном числе
зубьев	формулы (5.62). Для учета
бесконечного числа бесконечно тонких зубьев в случае,
показанном на рис. 5.22, а, достаточно редуцировать
площадь полки к двум' линиям с погонной площадью
//2 или к трем линиям с погонной площадью соответст-
венно 7/6,	и оперировать соответ-
ственно с	дольными зубьями. Об-
щие формулы  для' координат: центра изгиба в осях
ОО'у',: параллельных главным центральным осям,
имеют вид:
"о\
(5.63)
Здесь ts=/3/12— погонный момент инерции стенки.
Эпюра а' строится для средней линии стенки. Коор-
динаты хп, уп относятся к точкам, около которых на
рис. 5,22, г надписан элементарный собственный момент
Рис. 5.22
ййёрции стенки igds. Моменты инерции Д, Iv подсчиты-
ваются- с учетом собственных моментов инерции Ф.
Верхний знак в формулах (5.63) относится к непрерыв-
ным зубьям по типу рис. 5 22, а. нижний — к типу по
рис, - 5.22, б. Таким образом, выбор расчетной модели от-
ражается на положении центра изгиба.
Точные решения для распределения касательных иа-
rcx^i-’Mi при изгибе известны для небольшого числа
случаев5. .Исследование показывает, что пр'®тически
важные касательные напряжения в тонких стенках при
- • +а : иаошо оцениваются приближенными методами.
Наряду с этим во входящих углах получается концент-
рация напряжений, не учитываемая приближенными ре-
шениями. :
5.3.6.	Касательные напряжения при изгибе
и центр изгиба замкнутых тонкостенных
сечений [1, 90, 91, ч. II]
Для'Построения эпюры q необходимо знать q — qK в
какой-либо; точке средней линии или знать положение
1 А, С. Боженко. Изгиб (по Сен-Венану) стержней с п-о-
перечным+ сечением из прямоугольных областей при действии
поперечной силы в плоскости симметрии. «.Инженерный сборник
АН СССР*, т. V, рыл. }, 1948,
5.3, ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИИ И ДЕФОРМАЦИИ В СТЕРЖНЯХ
217
точки, в которой q—Q. Если сечение имеет ось симмет-
рии (у) и сила Qv лежит на этой оси, то в точках сред-
ней линии, лежащих на оси у, касательное усилие равно
нулю. Построение эпюры qv в случае прямоугольного
симметричного замкнутого сечения
двух полусечении от действия

выполняется для
как для швеллеров
Здесь Ц—произвольно взятая постоянная толщина;
sK~ ф'~ ds — приведенный периметр средней линии
сечения; при ( = const tc~t: sK = sK—периметр средней
(рис. 5.23, а). Центр изгиба лежит на оси симметрии.
В общем случае + +	где ук — погонное
усилие в воображаемом разрезе, <;и л Цг определяются
по формуле (5.56). Для нахождения qx используется
уравнение моментов относительно центра изгиба D се-
чения с разрезом. Так как усилия ди и qx относительно
ЛИНИН.
Центр изгиба. По первому способу замкнутое сечение
разрезается в произвольной точке _л определяется центр
изгиба В разрезанного сечения. В случае замкнутого
сечения силы if,, и Qx, приложенные в точке D, вызыва-
ют закручивание. Их переносят параллельно, так чтобы
дополнительные крутящие моменты аннулировали закру-
чивание. Это дает следующие плечи переноса (рис.
5.23, в):
Рис. 5.23
(5.70)
момент поперечных
D момента не дают, то крутящий
сил относительно В приравнивается моменту постоян-
ных усилий, равных усилию в разрезе qK:
j q&rds = ЛЦ; = ЛЦ;
Мс
®к
Здесь (йк — удвоенная площадь фигуры, ограничен-
ной замкнутой средней линией сечения. Величина ик не
зависит от положения точки моментов. При Qy=-Qx—0
формула (5.64) дает величину усилия при кручении qK
(рис. 5.23, б).
Касательное напряжение при кручении определяется
по формуле Бредта, вытекающей из (5.64):
Як
1 = — =-----— .
t
Максимальное касательное напряжение
_________Як	ДЦ	_
тмпкс —' . '	—
мин	шк'мии w к
V7 к — ШкЁяии
(5.64)
(5.65)
(5.66)
где
(5.67)
— момент сопротивления замкнутого тонкостенного се-
чения при кручении.
Относительный угол закручивания при замкнутом
сечении выражается общей формулой
, if	if	I .С ds
= — ф yds = ф nfc = ф ?-у . (5.68)
J	и£йк J	G(% J ?
При кручении, когда q — const,
где
“к Г
/к =	— == — 	(5.69)
L JU S
Фт к
Точка пересечения сил Qv и Q* в их новом положении
дает центр изгиба /(, который, как правило, расположен
внутри контура (если ом выпуклый), что избавляет от
выбора знаков. Интегралы в формулах (5.70) вычисля-
ются как площади эпюр Sx и S;< с ординатами, умень-
шенными в i раз.
Второй способ основан на использовании эпюры ш',
связанной с эпюрой о/, относящейся к разрезанному
контуру. Переход от эпюры о/ к эпюре ш' выражается
формулой
а' = ш'—рз'.	(5.71)
Ординаты эпюры <в' получаются путем вычитания,
из ординат эпюры аз' произведения постоянной длины
p~fflK/sK, называемой средним радиусом, на приведен-
ную длину дуги средней линии s'. Эпюра строится
при произвольном полюсе О' и произвольной началь-
ной точке И', которая совмещается с разрезом. Произ-
вол в выборе О и Н отмечается штрихом при (о и ®.
Этот штрих не следует смешивать с обозначением при-
г
ведения дуги ds' = ds ~~~ .
Координаты центра изгиба в осях О'х'у', параллель-
ных главным центральным осям.. Оху, выражаются ана-
логично (5,60);

ф as’xtds. (5.72)
Наглядное построение эпюры а' (рис, 5,24). Строит-
ся эпюра ta' при совмещенных полюсе О', начальной
точке Н' и разрезе (рис. 5,24, а). Вдоль оси абсцисс от-
кладывается развертка приведенного периметра, в со-
ответствуй	которой откладываются ордина-
ты ы' (рис. 6,24, в), Конец последней ординаты И" сое-
218
РАЗДЕЛ Л СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
диняется прямой с исходной начальной точкой Я'. Ук-
лон прямой Н'Н" к оси абсцисс равен р = <ак/д.. Ордина-
ты эпюры <и‘, отсчитанные от наклонной прямой Н'Н",
равны искомым ординатам а'. Эпюра ш' показана па
рис. 5.24,6. В этом примере принято 0 = 1 см.
Рис. 5.24

Рис. 5.25
площади ячеёй; s32, s3j, s:xi—-приведенные ширины про-
межуточных стенок.
Свободные члены первых четырех уравнений равны
площадям эпюр уу и у* в пределах отдельных ячеек,
причем ординаты эпюр разделены на соответствующее
значение t и умножены на C=const:
Qiy + Qix ~~ <fc 4- (6 £ ds it = i, 2,3,4).
I	i
Эпюры qy и yx строят для разрезанного профиля
(основной системы) от поперечных сил Qv и Qx. При
вычислении площадей эпюр их ординатам приписыва-
ется знак плюс ( + ), если погонное усилие имеет то
же направление, что +qi, т. е. вращает данную ячейку
против часовой стрелки. Поэтому в пределах промежу-
точных стенок одна и та же величина у9 входит а смеж-
ные свободные члены с различными знаками. Qv и
Qr — поперечнйе силы, параллельные главным цент-
ральным осям Оху- хи, у и — координаты центра изги-
ба D разрезанного сечения (основной системы); Xq,
Уд —плечи сил Qy и Qx (ем. рис. 5.25); М-л — крутящий
момент, не связанный с поперечными силами Qy и Qx-
Первые четыре уравнения выражают условия нераз-
рывности деформаций — отсутствие взаимных смеще-
ний вдоль продольных краев ячеек в разрезах; послед-
нее уравнение — условие равновесия или условие экви-
валентности крутящих моментов усилий и- -нагрузок.
а) Общий случай. Заданы Qy, Qx, Мк. Составляя и
решая уравнения, определяют неизвестные усилия у;
(7=1, 2, 3, 4) и величину X = G7c'&!i. Строят окончатель-
ную эпюру у, суммируя эпюры qy й ух с постоянными
в пределах, своих ячеек эпюрами уь у,, уз, с/г,..
б) Расчет на кручение. Задан момент Мк. В уравне-
ниях полагают <2a = Q* = 0; QI-!/ = <2-;I=0 (1 = 1, 2, 3; 4).
Единственный не равный нулю свободный член — в пя-
том уравнении Принимая сначала X—1, решают
первые четыре трехчленных уравнения (они отделены
чертами) и получают значения у1? у2, уз, дм обозначен-
ные для этого случая р|; р2( рэ, р4 (размерность их —•
с.«). Действительные значения неизвестных усилий
у; == 24рг (г = 1, 2, 3, 4).	(5.74)
Многосвязное сечение (рис. 5.25). Расчет ведется при
помощи стандартной системы п+1 уравнений, где п —
число ячеек. В случае четырех ячеек система имеет вид:
Подставляя у,- в пятое уравнение, определяют:
1)	pjSj		<?2S12
2)	—	<71512 -г	<Э®2	—	Уз®23
3)	<?2S23 +	Яз$з	—	Я-+з4
4)	—	йзМч Э	;/4s4
А’®! 4- Qig + Qix — 0;
Хоь -f- Qifl + Qjj. = 0;
— Xas -f- QslJ +	= 0;
— Aw4 4~ Qiy -j- Q4x = 0;
откуда
ОД А
G/K ’
(5.75)
5)	4~ Я2&., Уз®э +	—
^%(xq.'~~xd) + Qx(yQ — yD) +	<5-73)
Здесь ут; -уд у3, <7< — неизвестные погонные касатель-
ные усилия в разрезах ячеек; X — Gt<- '&« — увеличенный
в Gt с. раз (/с—произвольная, вводимая для удобства
райчётд толгйина) относительный угол закручивания;
Sp Sg, Sg, s4 —приведенные периметр® ячеек: Д <=
—ф tfs(7-<== 1,2„'Э:3 4у. Эх, (иг, <1>3,	— удвоенные
"ft <
Значения неизвестных усилий
Ж,-
ft = v^-p. () = 1Л, 3,4).
S р,щг
(5.75')
При одной ячейке формула (5.75) совпадает с фор-
мулой (5.64), р = ык/гк.
Промежуточными стенками йри расчете на кручение
часто пренебрегают,
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИИ И ДЕФОРМАЦИИ В СТЕРЖНЯХ
219
в) Определение центра изгиба. Уравнения решают
дважды — один раз, полагая X = MK = Qa;=0; Qi.t = 0
(i=l, 2, 3, 4); Qv = 1, и другой раз, полагая Х=А1К =
= Qv=0; Qiy=0 (: = 1, 2, 3, 4); Qx = l. Значения неизве-
стных усилий из системы трехчленных уравнений в пер-
вом случае обозначаются q,.y (: = 1, 2, 3, 4), во втором
случае qtx (t=i, 2, 3, 4).
Подставляя эти значения в пятое уравнение, полу-
чают плечи сил и Qx, соответствующие аннулирова-
нию угла закручивания йу, или, что то же, координаты
центра изгиба К многосвязного сечения:
4	4
xK = xD+ S у и.; yK^yD- 2 ДДД <’5-76)
1==1	/=1
Попутно получается распределение усилий, соответ-
ствующее силам Q,j и Qi, проходящим через центр из-
гиба.
г) Другой способ определения центра изгиба основан
на использований эпюры й многосвязного сечения в
формулах (5.72). Особенность построения эпюры для
наружных стенок состоит в том, что вместо постоянной
величины р в формуле (5,71) берутся значения рь р2, р;1,
рт, определенные выше, в п. «б». На протяжении проме-
жуточных прямых стенок эпюра и получается в виде
трапеций, которые строятся по концевым ординатам,
равным ординатам в соответствующих узловых точках
ранее построенной эпюры для наружного контура.
5.3.7.	Касательные напряжения
и относительный угол закручивания
при свободном кручении.
Геометрические характеристики
Для кручения характерна система замкнутых траек-
торий касательных напряжений в поперечном сечении,
причем крайняя траектория совпадает с контуром сече-
ния. Форма траекторий отвечает горизонталям мыльной
пленки (мембраны), натянутой на контур сечения и про-
висающей под действием собственного веса (мембранная
аналогия Прандтля). В выступающих углах касательные
напряжения равны нулю, во входящих углах теоретиче-
ски равны бесконечности. Поэтому входящие углы обя-
зательно закругляются. Аппликаты поверхности мембра-
ны дают значения функции напряжений при кручении.
Модуль вектора касательного напряжения в данной
точке равен уклону мембраны к горизонтальной плос-
кости. Там, где уклон мембраны круче, напряжения
больше. Максимального значения напряжения достига-
ют на наружном контуре. Если контур удлиненный, то
опасные точки лежат на длинных сторонах наружного
контура. Узкое кольцо между двумя смежными тра-
екториями аналогично замкнутому тонкостенному сече-
нию. Погонное касательное усилие в кольце является
постоянным, а крутящий момент, создаваемый этим уси-
лием, пропорционален удвоенной площади, охватывае-
мой средней линией кольца. Момент, создаваемый каса-
тельными напряжениями, распределенными по всему се-
чению, пропорционален удвоенному объему, ограничен-
ному провисающей мембраной, иначе — удвоенному объ-
ему «холма напряжений».
Основные формулы:
Мк
Вааке =	>	(о. 77)
здесь WK см3 — момент сопротивления при кручении;
М
•0^-------слС1,	(5-78)
или в градусах
град [см-,	(5.78')
л G1K
здесь 1К емд — момент инерции при кручении.
В отличие от геометрических характеристик при изги-
бе, значения и 1Я лишь в отдельных случаях опреде-
ляются элементарно и, как правило, получаются в резуль-
тате применения точных или приближенных, а также
экспериментальных методов теории упругости.
Справочные данные о величинах 1ЙК и 1К и положе-
нии опасных точек (тНакс) см. в табл. 7.4.
Составное сечение. Момент инерции при кручении
приблизительно равен сумме моментов инерции отдель-
ных сечений (например, полок и стенки двутавра):
Лс = 71к ф-/гк2/;к.	(5.79)
Крутящий момент распределяется пропорционально
моментам инерции:
м 1к = ЛД , ж2к = мк ,..., ж/к = м..А .
’к	* к	* к
Максимальное касательное напряжение
__ Да / 71к	_ Да
w	- w	’
Л. \ 4л / Мало	4V
где момент сопротивления при кручении
----.	(5.80)
) ц£ /макс
Целесообразно заранее, путем сравнения, определить
максимальное значение /щ/К'Х,
5.3.8.	Депланация -при свободном кручении
Основные положения. При свободном кручении плос-
кие поперечные сечения коробятся, депланируют. От-
дельные точки получают перемещения вдоль оси г, до-
полнительные к перемещениям от изгиба. Депланация
(искажение плоскости) пропорциональна относительному
углу закручивания #и и зависит от формы Сечения. Для
данной точки сечения депланация выражается произве-
дением
w —	(х, у).
(5.81)
Здесь f(x, у) —функция положения точки в сечении,
называемая функцией депланации. 'Размерность — см2.
Функции депланации одного и того же сечения при раз-
личных центрах закручивания отличаются линейной
функцией координат Ах+Ву-уС-. при изменении оси за-
кручивания изменяется плоскость отсчета депланации ш.
Если центр закручивания лежит на оси симметрии сече-
ния, то на этой оси депланации равны нулю. Каждая
точка круглого сплошного или кольцевого сечения лежит
на осн симметрии, поэтому функции депланации для
круга, если начало координат совпадает с центром, тож-
дественно равны нулю, Квадрат имеет четыре оси сим-
метрии и соответственно четыре оси нулевой деплана-
ции. В треугольных областях между осями симметрии
депланации попеременно представляют собой выпукло-
220
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
сти и вогнутости. В продолговатом прямоугольнике или
эллипсе две накрест лежащие области — выпуклые,
две — вогнутые, Функция депланации носит ярковыра-
жениый антисимметричный характер.
Сечения с двумя осями симметрии (рис. 5.26). При
закручивании относительно центра симметрии функции
деплаиацли выражаются однотипными формулами:
f(x,y) = f>xy.	(5.82)
Эллипс с полуосями а (вдоль х) и Ь (вдоль у)
(рис. 5.26, а, б);
а2 — Ь2
а2-у Ь2
(5.83)
Рис. 5.26
,.- Прямоугольник (рис. 5.26, в). Принимается то же
значение р в качестве приближенного. Результат тем
точнее, чем более вытянут прямоугольник.
Вытянутые вдоль оси х эллипс, прямоугольник и дру-
гие фигуры, симметричные относительно х. Приближен-
но (5=1. Если фигура вытянута вдоль оси у, то точно
так же Р = 1.
Прямоугольное тонкостенное (коробчатое) сечение
(рисо 5;26, г). Коэффициент, относящийся' к функции
дейланации средней линии стенки,
а' — Ъ'
а' ф- Ь'
(5.84)
Л Ф
Здёйь а	, у' ~ у— —приведенные длины
-	'  г %ф
полуеторон; t — постоянная толщина, вводимая для
г Tauri ьа о т 1
Г р I и —I г гдыя 1 inn сечения не депланируёт.
1щи и'' Ь' щ, е>м £<0); функция депланации меняет
з.1 о лщ х 1 е ’ щп \ г, кт .р эпюры.
т поменять местами знаки « + »
и «—относящие» к ййжйёй стенке.
Тонкостенный двутавр (рис. Б.26, д). Коэффициент
Р=1 (для средней линии). Деформация двутавра состо-
ит во взаимном вращении плоскостей торцов в во вза-
имном- вращении плоскостей полок, что и вызывает де-
планацйю торцовых и всех остальных сечений.
Толстостенный двутавр (рис. 5.26, е). Расчет депла-
нации производится либо путем непосредственного при-
менения формулы (5.82), полагая (5=1 (на рисунке
справа), либо сначала рассматривается тонкостенный
двутавр, образованный средними линиями стенки и по-
лок, после чего к ординатам эпюры деплапации средних
линий, распространенных на всю толщину, добавляются
ординаты эпюр стенки и полок, построенные как для
удлиненных прямоугольников (на рисунке слева). На
/	'	/ Ф ),
рис. 5.26, е вместо в ф-— Ь следует читать I а +~~ 6-
Эпюры единичной депланации при свободном кручении
для тонкостенных сечений
Функция депланации для средней линии тонкостен-
ного сечения изображается в виде эпюры, называемой
эпюрой единичной депланации. Для перехода к факти-
ческой депланации ординаты эпюры умножаются на
В случае открытого (односвязного) сечения эпюра
единичной депланации совпадает с эпюрой векториаль-
ных площадей (о, построенной при полюсе в центре за-
кручивания и начальной точке, в которой продольное
перемещение равно нулю.
В случае замкнутого (двухсвязного или многосвяз-
ного) сечения эпюра единичной депланации совпадает
с эпюрой (о, также построенной при полюсе в центре
закручивания и начальной точке, в которой продольное
перемещение равно нулю.
Эпюры « и (о, использованные при определении
центра изгиба тонкостенного сечения, имеют четкий ме-
ханический смысл — в качестве эпюр единичной депла-
нации при свободном .-кручении.
Среди открытых, сечений недепланирующими явля-
ются сечения типа пучка, состоящие из прямых стенок,
пересекающихся а одной точке, которая совпадает с
центром изгиба (уголок, тавр, крест).
Среди замкнутых сечений не де.чланируют сечения
в форме многоугольника, описанного около окружности
при постоянной толщине стенок, треугольные сечения
при произвольной толщине стенок, прямоугольное сече-
ние при одинаковой приведенной длине стенок (см. вы-
ше) и др.
По толщине стенок незначительная депланация име-
ет место во всех случаях.
5.3.9.	Стесненное кручение [I, 27, 90]
Основные положения. Понятие стесненного кручения
относится к стержням с депланирующим сечением (см.
5.3:8). Различают несколько видов стеснения. Деплапа-
ция при свободном кручении пропорциональна относи-
тельному углу закручивания fh:. Изменение этого угла
вследствие изменения крутящего момента по длине
стержня вызывает приращение длины одних и сокра-
щение длины других продольных волокон и одновре-
менно появление нормальных напряжений в поперечных
сечениях (внутреннее стеснение). Заделка торца или
приварка планки, препятствующей взаимному продоль-
ному смещению продольных краев разрезанной трубы
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИИ И ДЕФОРМАЦИИ В СТЕРЖНЯХ
221
или взаимному вращению полок швеллера или двутавра
при кручении, создает местное стеснение, влияние кото-
рого затухает с удалением от места стеснения. Устрой-
ство решетки или часто расположенных планок, соеди-
няющих ветви или полки, создает непрерывное стеснение,
в известной степени, изменяющее характер поперечного
сечения стержня, превращающее стержень с открытым
сечением как бы в стержень с трубчатым сечением.
Всякое стеснение повышает крутильную жесткость
стержня: со сплошным или с замкнутым сечением — в
малой степени, с открытым сечением — в большой сте-
пени. Несущая способность открытых сечений при уче-
те стеснения возрастает.
Практически стеснение учитывается лишь при круче-
нии стержней с открытым сечением я сильно развитыми
полками (двутаво, швеллер, зетовый профиль), реже —
при расчете стержней с замкнутым, сильно вытянутым
в одном направлении сечением.
Основная гипотеза: нормальные напряжения стеснен-
ного кручения в различных точках сечения пропорцио-
нальны значениям функции депланации f(x, у), в случае
тонкостенного сечения — ординатам эпюры единичной
депланации ш или ®. В дальнейшем формулы записыва-
ются для ®.
Совокупность нормальных усилий стесненного кру-
чения в каждом сечении эквивалентна нулю, т. е. мо-
менты усилий Мх, Му и продольная сила N равны ну-
лю, откуда:
J &ydF ~ 0; j axdF = 0; \adF=0.	(5.85)
F	F	F
Закручивание происходит вокруг центра изгиба, так
как первые две зависимости совпадают с условиями ан-
нулирования крутящих моментов касательных усилий
изгиба относительно центра изгиба [ см. формулы (5.60)
и (5.72)]. Третья зависимость дает начальную точку
эпюры ш.
Эпюра ®, удовлетворяющая требованиям (5.85), на-
зывается главной эпюрой единичной депланации и обоз-
начается ы или ш без штрихов. Опа дает закон распре-
деления нормальных напояжений по сечению. На рис.
5,26 функции депланации и эпюры а и и — главные.
Касательные напряжения или погонные усилия опре-
деляются из условий равновесия аналогично поперечно-
му изгибу. Совокупность касательных 'усилий эквива-
лентна крутящему моменту стесненного кручения /Ик
(другое обозначение Ма ). Последний состав.вдет часть
полного крутящего момента Мк, другая часть которого
равна крутящему моменту свободного кручения Л1Я
(другое обозначение Ма). Если жесткость свободного
кручения очень мала (открытый профиль из тонкого
листового материала), то ЛД-> О и ЛД = ЛД. Этот случай
для расчета является наиболее простым, так как эпюры
усилий строятся элементарно (см, 5.10.1),
Напряжения о'м и усилия определяются по форму-
лам, аналогичным формулам напряжении изгиба от
Мх и Qy.
В	М ..
«а = -- ~~	= ±	, (о  86)
И
где В кГ  см2— бимомент, специальное самоуравнове-
шенное усилие, от которого зависят нормальные напря-
жения5. Производная от бимомента при наличии только
крутящих пар равна крутящему моменту стесненного
кручения. Аналогично зависимости М,_ = Q здесь
В' = МЕ.	(3 87)
Эпюра В представляет собой интегральную кривую
от эпюры АД. Ординаты эпюры В равны площадям по-
зади лежащих частей эпюры М.к плюс начальное зна-
чение В. В случае двутавра (рис. 5,27) бимомент —
не что иное, как момент уравновешенной пары момен-
тов, изгибающих полки в разные стороны в их плос-
костях:
В = Л1ИА.	(5.88)
Бимомент считается положительным, если в точке
с положительной ординатой со он вызывает отрица-
тельное (сжимающее) напряжение. Если смотреть на
верхнюю полку двутавра сверху (рис. 5.27, а) или на
переднюю полку двутавра спереди (рис. 5.30,6), то
правило знаков для бймомента совпадает с правилом
знаков момента, изгибающего полку.
Вычисление усилий В, МИ, ЛД в различных случаях
см. 5.10.
Геометрическая характеристика сечения при стеснен-
ном кручении
= f midp = J ®Ws cms	(5.89)
F	s
называется бимоментом инерции сечения, иначе — векто-
риальным моментом инерции сечения. Для двутавра /ш
равен моменту инерции моментов полок:
Для массивных сечений
yWdxdy, 	(5.91)
Для тонкостенных сечений /ffl вычисляется путем
«перемножения» эпюры <о/ на эпюру со. В случае лома-
ной средней линии эпюра <в (или со) состоит из тра-
пеций:
=	+ ®А		(5.92)
1 Распространен также термин «идгнбно-крутявдй бимо-
мент»,
222 12 отоьд  см	i '/ 13 и деформации в стержнях
Здесь ©4 и ид — коп ,пмр >од'п > ы трапеции; s —дли-
на; Т—толщина уч - 1 I
Максимальное норма юно, заиряжение
... Ж«=~-^9-	<5-93)
й>	шмакс
называется бмжт сяцротизлеция, мначе — е».
ториальным моментом сопротивления.
В формулу (5,86.) величина единичного усилия qа
При ^=1.
ба = f (iidF= [ &t ds: с mF
F* s*
(5.94)
, Знаков на дай риюре ие ставят. Стрелка единич-
ных погонных усилий Sm направляют к краю, если
эпюра © имеет на крае знак «+у, и от края, если эпю-
ра О	-j,-	Г с о 1 с , то ©д', тс Ц, So)
для у!вфердая злак « + ».
Указания к построении? главной эпюры © или <р,
О нахождении центра изгиба Q' при, помощи эпюр со'
или с/ для произвольного полюса СУ и произвольной
Начальной точки Н' см. 5,3.5 и 5.3.6, Взяв полюс О, сно-
ва строят эпюру й" при прежней или новой произволь-
ной ичщщион точке Н". Ординаты эгдары умиодают иа
t и подсчитывают площадь'' Sffl» всей эпюры a>"i. Чтобы
аннулировать Sffl, и тем превратить эпюру &" в глав-
ную, из всех ординат ®" вычитают постоянную величи-
ну (йи. Окончательно:
•	„	« *5®"
и = © «у Ши = —то .	(5.95)
Г
Ординаты полученной главней-эпюры и снова умно-
жаются на t. Эпюра a>i используется для нахождения
1Ы и для поетроеиня эпюры S,.
При наличии: оси симметрии' начальную точку берут
на этой оси, что обеспечивает соблюдение условия Se —
—0. Две оси симметрии сразу дают и центр изгиба, и
несколько начальных точек (см. рис. 5.26).
На рис. 5.28, а, б даны эпюры 10, S® дли двутаврово-
го и швеллерного сечений, на рис. 5.28, в — & для сим-
метричного прямоугольного коробчатого сечения и при-
ведены формулы для геометрических характеристик, ис-
пользуемых в 5.10,
В табл. 7.5 приведены данные для распространенных
типов составных сечений.
В табл. 7.6 приведены геометрические характеристи-
ки стесненного и свободного кручения длц двутавров
и швеллеров.
Рис. 5.2g
ЗЬ
d=
Gi-
Ыъ ’
Ы!г
№ (Р Г	2(6 — d)3 1
—то hi. -ф- 2dL + -да—О t \смм
1 g Л и	о
1,2,
к= V 4+ — Щ
Ci	й
F -=2 '\Ыь + Лф) сл«*;
d	G/r|a
----------------------:	
bttl -j- htb----------El^
fts /г3
-kO
I bth htb\\
6ih + htb J
G 192 to
- • r cm
Fsk
называется статическим бимоментом, иначе — сектори-
> с то 1 1 ото’том. Он равен площади части
эпет ы ом, и 1 чз де" п- отос сторону от исследуемой
точки средней линии; в случае замкнутого сечения — от
то 1 г, гдс 7 —j до .цл-цн । >й точки средней линии.
Зч о тоцу’-то то^тетоть сюру sot и, вычисляя по-
сетдэзатеты ое притоп »т  । j < построить эпюру
2	Gs}TO ft
ft h \
1.
5.4. КЛАССИФИКАЦИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ И ОБЩИЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
223
5.3.10.	Сложное сопротивление тонкостенных
стержней. Приведение нагрузок к типам
усилий [12]
Нормальное напряжение в сечении вычисляется по
четырехчленной формуле
Мх
1Х
УН
(5.96)
N
~F~X— -Г

F
Погонное касательное усилие, сопутствующее нормаль-
ным напряжениям, определяется по формуле
у = %	(5.97)
‘ х	у	®
Здесь у9 —погонное усилие в точке средней линии
сечения, принятой за начальную при вычислении каса-
тельных усилий. При открытом сучении начальная точ-
ка б'ре те на тетеодгом i рад и <д=0. Остальные
обпзначе-чя ы 5 39
Кроме сасате лчых усилий, сопутствующих нор-
мальным, в речении действуют каеательрые напряже-
ния свободного кручения, зависящие от крутящего мо-
мента свободного кручения А1К,
Построение эпюр Л', Мх, Mv, Qy, 0х_.и эпюры сум-
марных крутящих моментов ЛДтеЙк+ЛД делается по
общим правилам. Построение эпюр Йн, Ж и В
см. 5.10,
Построению ЭПЮР предшествует приведение нагру-
зок К тип типе > у, и нт (р ,1 , Му, Qy, Qx, BQ Со-
: сечению, расклады-
вается на тез bo.wo '.и,1. У — в плоскости сечения и
Рг —- перчтепч, яри । юг ости сечения (рис. 5Д29).
Сила Р переносится параллельно в центр изгиба О с
добавлением сосредоточенного крутящего момента
t« = .Pd.	ся иа компоненты
P-и и Рх параллельно главным центральным осям у, х.
ПрЛОД ч- >ч I О И , С' М1ЗДТ0В Lts, Ру, Рх
соответствует ппц,те , i те а те < в эпюрах
Л4В, Qv, Qx. С,п " р чат ₽ птетр тяжести
сечения О с добавлением сосредоточенных моментов
1,х=х—РгУ и L,z — РуХ. Крэме того, сила ₽г вызывает
сосредоточенный 'псыге С- -эю, где «---ордината
главной эпюры ш в точке средней линии, где приложена
сила Рг. Следует иметь в виду, что при нескольких си-
лах Рг ах нельзя аамепцть одной равнодействующей.
Сила Ру может быть приложена и к отростку стенки, и
тогда эпюра ы должна быть продолжена на отросток.
Сосредоточен ,i" ,о-«го и- Р2, Lx, Lv, С считаются
по;,о , пе“ч) 1 , когда их направление соответствует
(прнрдщениям) величин /V,
ЛА, м, в р,( ч’н Щ'1 гпъ " t „р\са
Сосредоточенная растягивающая рила Д на торце
тонкостенного стержня вызывает на этом торце усилия
Л -/У: /У х ээ - Р гУ>
Му = РгХ', В=х—Ргсе.
Пользуясь правилами для сосредоточенной силы, при-
водят в распределенные нагрузки к типам усилий. Так,
погонная растягивающая нагрузка щ(з), распределен-
ная вдоль средней липин свободного торца, дает усилия
на торце:
N н= f pids-, Мх = — J pytds;
MU'=	В в=— J рюШ.
В случае замки то-, щор'< - ш заменяется через щ.
Закручивание вызывают только те те < с-о .щпз-
ся к £и и С или к аналогичным распределенном: на-
грузкам.
5.4. КЛАССИФИКАЦИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИЦТЕЖ i ОБЩИЕ
МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
5.4.1.	Основные определения
Стержневой системой называется неизменяемая
(неподвижная) система < те ржите, ир-'дн юнате те за для
восприятия нагрузки и тергдаш, те на опоры, располо-
женные на большем или мыте и расстоянии друг от
друга. Стержневые систеаь явгятеся расчетным-! схе-
мами многочисленных и разнообразных типов инженер-
ных сооруженья В бо теина тве гоэртеете i можно
выделить главные и вспомогательные, преимущественно
плоские несущие конструкции, с ед”те<'мые в одно про-
странственное целое при помощи спедиальпых связей,
а также вспомогательных балок, прогонов Ж плит. Рас-
стояние между опорами плоской несущей конструкции
называется ее пролетом, Длина консоли называется ее
вылетом.
Система нарывается статически определимой (с. о,),
ес iw vet т’ г, а се’ ей,- сте .	- могут быт- эдчозн юно
опреде ете п/.еч i стете дтеена равтев-сте ча-
стей системы, г лч1,<. вы.иу вазг>е’-"т»т К уси-
лиям здесь протесте отец также веакщи опор, чоторы-
в '’TJtcTM сто or i тез . -ап г-₽па отещсгвтеесьте
ими свтег 1 веете,' могут оытг птедетмстеы г. виде
O-mit'i'J.'V 0,0 _т р те и сщ пдрог, ,{Г1 .есколь-
„я\ tio-.ie’iT.mt связен С. о щетс-те является гепод-
вюкьои огчте,1 е чтегте-,ЧоП дю-бхолимым в до-
статочным) числом связей: уменьшение числа связен
превращает стетея с i течи: те кинематическую
цепь, увел”тенте i те f „,3 , ч ,5 JUu пю т.ж назызаг.
мых	/ статически, неопре-
делимой (с. и.).
Усилия в с. и,, системе : не могут быть определены
224	РАЗДЕЛ 5, СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
из одних только уравнений равновесия, так как число
независимых усилий превышает число независимых
уравнений равновесия на число лишних связей. Напри-
мер, если н, нж<1г. tbift плоский диск прикреплен к
другому дней четырьмя стержнями, то усилия в стерж-
нях не могут быть определены из трех уравнений
равновесия диска — одного уравнения не хватает.
Если хотя бы одним из усилий системы можно задать-
ся произвольно и получить конечные значения осталь-
ных усилий из уравнений равновесия, то система яв-
ляется статически неопределимой. Возможность напря-
женного состояния при отсутствии нагрузки служит
признаком статической неопределимости системы.
Если в системе с минимальным числом связей, кото-
рая должна быть статически определимой, также обна-
руживается возможность самонапряженного состояния,
то система является мгновенно изменяемой и практи-
чески. непригодной. Примеры: вырожденная трехшар-
нирная арка с шарнирами на одном уровне, соединение
трех дисков тремя парами параллельных стержней или
стержней, взаимно пересекающихся в трех точках, ле-
жащих иа одной прямой, и т. п. В мгновенно изменяе-
мой системе возможны перемещения при практически
нулевых деформациях, при некоторых нагрузках возни-
кают огромные усилия.
Основное отличие с, о. системы от с. н. системы со-
стоит в том, что в первой любые малые деформации
стержней являются возможными, нестесненными и неза-
висимыми. С. о. ферму можно собрать при любых ма-
лых ошибках в длинах стержней, но дать стержням
предварительное натяжение невозможно. Усилия в с. о.
системе при заданной схеме и нагрузке не зависят ни
от размеров сечений, ни от деформативных свойств ма-
терйала. В с. н. системе, наоборот, малые деформации
(например, температурные) вызывают усилия, на чем,
в частности, основана возможность использования пред-
варительного натяжения для регулирования напряже-
ний. Малые заданные деформации с. н. системы воз-
можны только совместно с некоторыми дополнительны-
ми (в частности, упругими) деформациями: если считать
стержни не деформирующимися от усилий, то дать с. и.
системе местные деформации невозможно. При ошиб-
ках в длинах стержней собрать с. н, ферму можно толь-
ко при условии обжатия или вытяжки всех или неко-
торых стержней. Усилия в с. н. системе в общем случае
зависят от размеров сечений и свойств материала.
Здесь имеются в виду температурные деформации,
при которых сечения остаются плоскими, что соответст-
вует плоскому закону распределения температуры по
сечению. При другом законе возникают температурные
напряжения, не учитываемые технической теорией
стержней.
Основной системой называется система, положенная
в основу расчета заданной системы. Это понятие при-
меняется как при с. о., так и при с. н. системе. В пер-
вом случае основная система отличается от заданной
расположением связей: преобразованная с. б. система
рассматривается как простейшая основная система с
йереставлепиыми связями. Пример: трехшарпирлую
заменяют балкой путем выключения ключевого
шарнира и перерезания одного из горизонтальных
опорных стерженьков. Усилие в этом стерженьке под-
бнр'ется из условия аннулирования изгибающего мо-
мента « ключе (метод замены связей), В случае с. и.
конструкнии основная система может быть: а) стати-
чески  Определимой, получаемой путем устранения (пе-
ререзания) всех’ лишних связей; неизвестные усилия в
лишних связях определяются из условий аннулирова-
ния перемещений по направлениям лишних связей
(метод сил); б) статически неопределимой с меньшим
числом лишних связей, чем заданная система;., метод
тот же, но с меньшим числом неизвестных усилий;
в) статически неопределимой с большим числом свя-
зей; неизвестными являются перемещения ио направле-
нию дополнительных связей (метод перемещений);
г) смешанной — полученной из заданной системы путем
устранения одних и введения других связей; пример:
свободная рамная эстакада превращается в «ферму»
путем включения шарниров ио всех узлах и введения
горизонтального опорного стерженька на уровне ригеля,
препятствующего смещению ригеля (смешанный метод).
Основная гипотеза расчета достаточно жестких
стержневых систем—принцип сложения действия сил
и малых деформаций. Так как система предполагается
жесткой, геометрическая конфигурация меняется незна-
чительно, то усилия и перемещения определяются как
суммы усилий и перемещений, найденных в результате
рассмотрения раздельного действия факторов на основ-
ную систему. В случае более гибкой системы иногда
приходится вести расчет по деформированной схеме
(см. раздел 16), когда принцип сложения действия сил
частично или полностью нарушается (последнее при
очень гибких конструкциях типа пружин, см. [105]).
При расчете с, н. упругих систем на основе принци-
па сложения действий нахождение лишних неизвест-
ных (усилий, перемещений) приводит к составлению и
решению системы линейных алгебраических уравнений,
число которых равно числу неизвестных, иначе — сте-
пени неопределимости системы. Если неизвестными
являются усилия или реакции (метод сил) и выбира-
ется с. о. основная система, то говорят о степени
статической неопределимости. Если неизвестными яв-
ляются перемещения или деформации связей, то го-
ворят о степени кинематической неопределимости,
5.4.2.	Виды систем
[26, 40, 61, 64, 65, 84, 89].
Балки
Балкой называется стержень, работающий преимуще-
ственно на изгиб.
На рис. 5,30, а показаны однопролетные с. о, бал-
ки — простая балка, консоль и балка с одним шар-
нирно опертым и другим защемленным в отношении
поворота и свободнымдз отношении поступательного
перемещения концом. Последний тип опирания харак-
теризует работу половины простой балки двойного
пролета при симметричной нагрузке. Первая и третья
балки и а рис. 5.30, а ’могут иметь консоли.
На рис. 5.30, б показаны с. н. балки: однократно
с. н. балка с одним защемленным и другим шарнирно-
опертым концом, однократно с. и. балка с одним полно-
стью защемленным и другим защемленным в отношении
поворота и свободным в отношении поступательного пе-
ремещения конном и дважды с. н. балка с обоими за-
щемленными концами (один из концов сохраняет про-
дельную подвижность).
На рис. 5.30, в, г, д показаны мпогопролетные бал-
ки. Все опоры, за исключением одной, — продольно
подвижные. Это делает балку статически определимой
для продольных сил я освобождает ее от температур-
ных напряжений при равномерном нагреве независи-
мо от того, является ли балка в целом статически
определимой или статически неопределимой.
На рис. 5.30, в — с. о, система простых балок; иа
рис. 5.30, г — с. о многопролетная шарнирно-консоль-
ная балка, на рис. 5.30, д—с. н. неразпезная балка.
Обычно в качестве основной системы принимается с. о.
54. КЛАССИФИКАЦИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ И ОБЩИЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
225
балка по рис, 5,30. fl. Лишние неизвестные — опорные
моменты. Число их равно числу включаемых шарни-
ров. Цель применения шарнирно-консольных и неразрез-
ных балок взамен простых — уменьшение расчетных мо-
ментов главным образом от постоянной нагрузки, упро-
щение конструкции опор.
Па рис, 5.30, и', С', в’, г' д' показаны взаимные
(иначе — фиктивные, моделирующие) абсолютно же-
ф) 3——!F__g
37 7|Ъл,1Т~уф 5ггптштлтл| Ехтптттйтп)
£! У	фгРЩиУП-фЦУ;ЪтПТГГПтЧттг!
Ряс. 5,30
едкие балки иа упругом основании, делающие более
наглядным определение перемещений с. о. балок и
усилий с. п. балок на основе статико-кинематической
аналогии. Опоре соответствует шарнир взаимной бал-
ки, шарниру — опора, защемлению при повороте —
опора, допускающая свободное вертикальное смеще-
ние, и, наоборот, полному защемлению конца соответст-
вует свободный конец, свободному концу — полностью
защемленный. Гибкости балки при изгибе соответству-
ет отпорность упругого основания l/EI—k. Степени ста-
тической неопределимости балки соответствует сте-
пень кинематической неопределимости балки взаимной,
и наоборот. При пользовании взаимной балкой для оп-
ределения прогибов с. о. балки по так называемому
графо-аналитическому методу упругое основание можно
не изображать, так как реакция его не возникает. При
определении опорных моментов с. и. балок необходимо
учесть упругое основание взаимной балки.
Кроме жестких опор и защемлений и идеальных
шарниров, встречаются упруго оседающие и упруго по-
ворачивающиеся опоры. Во взаимных балках им со-
ответствуют взаимные опоры соответствующей отпорно-
сти (см. 5.1.8, табл. 5.4). Для перекрестных балок и ба-
лочных клеток (ростверков) статико-кинематическая
аналогия имеет меньшее практическое значение. Здесь
важнее аналогия с работой ортотропных пластинок.
Арки
Аркой называется кривой брус, обращенный выпук-
лостью кверху, имеющий по концам неподвижные опо-
ры, обычно расположенные на одном уровне. Для арок
характерны наклонные, обращенные внутрь реакции при
вертикальной нагрузке. Горизонтальная составляющая
опорной реакции называется ритором. Иногда одну из
опор устраивают продольно подвижной, а распор вос-
принимают затяжкой. Основными усилиями в арке яв-
ляются сжимающие продольные силы, приложенные с
большим или меньшим эксцентрицитетом. При рацио-
нально выбранном очертании оси арки эксцентрицитеты
имеют минимальное значение, и арка работает в более
выгодных условиях.
Рациональная ось арки в первом приближении, ког-
да изменение формы оси от действия нагрузки не учи-
тывается, совпадает с эпюрой моментов балки того же
пролета — с ординатами, умноженными на произвольное
число. При нагрузке, равномерно распределенной вдоль
горизонтальной проекции арки, рациональная ось пред-
ставляет собой параболу второй степени. Распор арки
обратно пропорционален ее высоте (стреле подъема).
Арки конструируются статически определимые и ста-
тически неопределимые. С. о. трехшарнирные арки тре-
буют устройства специальных шарниров. Бесшарнирная
арка (трижды статически неопределимая при нагрузке
в плоскости кривизны) весьма чувствительна к измене-
нию температуры. Промежуточное место занимает один
раз статически неопределимая двухшарнирная арка.
Одношарнирная арка (дважды статически неопредели-
мая) применяется редко. В процессе производства ра-
бот возможны различные типы напряженного состояния
арки, отличные от ее работы в закопченном виде. Иног-
да одиночная арка работает на нагрузку, перпендику-
лярную плоскости кривизны, Подобная нагрузка для
эркерных балок является основной нагрузкой. Степень
статической неопределимости арки под такой нагрузкой
зависит от числа шарниров, оси которых лежат в пло-
скости кривизны. При трех шарнирах арка статически
определима.
На рис. 5,31 в левом столбце показаны схемы арок
и расположение шарниров при работе арки в плоско-
сти кривизны. Степень статической неопределимости
помечена числами в кружках. Нижние шарниры А и В
обычно совпадают с торнами тела арки и называются
пятовыми шарнирами, верхний шарнир С — ключевым
шарнйром. Шарниры А, В, С не должна лежать на од-
Рис. 5.31
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И ^СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ной прямой. При построений схем взаимных абсолютно
жестких стержней на упругом основании (см, 5.1.8) за-
щемления пят отбрасываются, а шарниры заменяются
опорными стержнями вдоль осей шарниров. Трехшар-
нирной арке соответствует стержень на трех опорах А,
В, С; бесШариирной apife — стержень, опертый только
на упругое основание.
В правом столбце рис. 5 31 показаны варианты рас-
положения шарниров при работе арки перпендикулярно
ее плоскости, ОГИ шарниров а, Ь, с не должны пересе-
каться в одной точке, оси шарниров а, Ь не должны сли-
ваться. Здесь взаимные стержни оперта" на упругое ос-
нование и опорные стержни а, Ь, с — в своей плоскости.
Рамы
, -"Рамой называется система стержней, жестко соеди-
ненных в узлах. Обычно рамы состоят из горизонталь-
ных ригелей (балок или пологих арок, иногда ломаного
очертания) и вертикальных стоек (колонн) и могут пе-
рекрывать один или несколько пролетов, иметь один или
несколько этажей.
Мнсгопролетныс и многоэтажные рами, как прайрло,
многократно статически неопределимы. С, о. темы s _
пользуются для предварительных расчетов, а также в
качестве основных систем при расчете с, и. рам по мето-
ду сил. Для превращения плоской и нагруженной в сво-
ей плоскости рамы в статически определимую в каждый
замкнутый контур включают три шарнира. Сквозные
узловые шарниры эквивалентны стольким простым шар-
нирам, сколько стержней сходится в узле, минус едини-
ца. Кроме того, основные системы образуют путем- про-
ведения сквозных разрезов, что рассматривается как
ликвидация трех связей в плоскости или шести связей
в пространстве путем замены шарнирно неподвижных
опор тиарйирно подвижными и т. п.
На рис 5 32, а, б, в показаны простые рамы, эстака-
ды и многоэтажные («этащерочные») рамы как стати-
чески определимые, так и статически неопределимые.
Степень статической неопределимости отмечена цифра-
ми в кружках. Она равна утроенному числу контуров
минус Чйёло простых шарниров.
На " рис. 5.32, г — многопродетная многоэтажная ра-
ма. Как правило, расчет таких рам ведется методом пе-
ремгщ“”,чй, эффы тявность которого обусловлена йрене-
брёЖеййейДйругими деформациями удлинения и сдви-
га. ’Дсп > не’зв.тсьож утсов поворота жестких узлов
о юно j”c»v пзтог (2UJ, число неизвестных линейных
пеэемрщанкй вавьо числу ригелей (5), общая степень
tiitf" г]Ц с,а| -nrt ’шмости, разная 25 (отмечена
цифэтс в кпасрат- меньше степени статической не-
ог	Для анализа многоклеточных рам
полезной оказывается аналогия с работой ортотропных
балок-стенок."
При расчете рам большую роль играет учет симмет-
рии, позволяющий разделить систему уравнений дефор-
мации или равновесия на независимые группы и тем
облегчить трудоемкий процесс решения большого числа
совместных уравнений.
Фермы
Фермой называется стержневая система, остающая-
ся неизменяемой, если все стержни считать шарнирно
соединенными в узлах. При узловой нагрузке в стерж-
нях фермы возникают только продольные (осевые) уси-
лия. Для фермы характерны треугольные поля. Неиз-
меняемость фермы носит геометрический характер, свя-
занный с неизменяемостью плоской сети треугольников
при сохранении длин их сторон и с неизменяемостью
выпуклых многогранников с плоскими гранями при со-
хранении фигур граней в своих плоскостях (теорема
Коши).
Простейшие с. о фермы образуются последователь-
ным присоединением узлов двумя стержнями (плоские
фермы) и последовательным присоединением узлов
тремя стержнями (пространственные фермы).
Преобразовапные с. о. фермы (в том числе в пред-
ставляющие жесткое целое, прикрепленные стержнями к
земле) получаются путем замены (перестановки) стерж-
ней простейших ферм. Таким способом, например, легко
преобразовать ферму-консоль в балочную ферму (одна
перестановка) и в Трехшарнирную арочную ферму (две
перестановки).
Работа плоской фермы имеет много общих черт с ра-
ботой тонкостенной балки двутаврового профиля. Для
удлиненных пространственных трех- и четырехгранных
ферм пролетных строений, башен и стрел кранов и мачт
электропередач существенна аналогия с тонкостенными
стержнями открытого или замкнутого профиля. Бо-
лее сложные пространственные фермы типа купольных
и цилиндрических покрытий имеют своим аналогом без-
моментные оболочки. Анализ ферм часто упрощается
при замене раскосов решетки, тон,кой стенкой в предпо-
ложении, что между стенкой и окаймляющими стерж-
нями (пояса и стойки) возникают только сдвигающие
усилия. В отдельных случаях тонкостенные фермы име-
ют самостоятельное значение, помимо использования их
как расчетной модели (см, [Ш, 158, 167]).
С. н. фермы с лишними опорными связями подраз-
деляются не те же типы, что и балки, арки и рамы.
Внутренние с. и. фермы (например, с перекрестными
раскосами) в настоящее время встречаются редко. Под-
робно о расчете ферм см. раздел 10,
Комбинированные системы
Эти системы (рис. 5.33} содержат стержни, рабо-
тающие на все виды усилий, и стержни, работающие
только на продольную силу. Сюда же относятся ванто-
вые системы со стержнями из тросов, работающих толь-
ко на растяжение, К простым комбинированным систе-
мам относятся балки со шпренгелями и подкосами
(рис. 5.33, в),: рамы с подкосами, заменяющими жесткие
узлы, рамы с решетчатым ригелем (рис. 5.33, в) и сплош-
ными стойками и, наоборот, со сплошным ригелем и ре-
шетчатыми стойками и т. п. Для более сложных комби-
нированных систем характерно наличие жесткой балки
и шарнирно-стержневого полигона (цепи или гибкой
арка), соединенного с балкой стержнями (рис. 5.33, г)
(см. 5.11.2). Цепь или арка имеет самостоятельные опо-
ры, воспринимающие распор, либо передает’ свой распор
балке (рис, 5.33,6). В обоих случаях стержневой поли-
5.4, классификация СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ и общие методы строительной механики
227
гон вызывает в балке отрицательные моменты, пропор-
циональные ординатам полигона, уменьшающие момен-
ты от нагрузки, В случае цепи распор, передающийся
балке, сжимает ее, в случае аркирастягивает. Если
балка не имеет шарниров (с. и. комбинированная систе-
ма), то цепи можно дать предварительное натяжение и
подобрать наиболее выгодное распределение моментов,
В последнее время для покрытий стадионов пред-
ложены вантовые системы с передачей распора на кон-
струкции трибун (рис, 5,33, д]. Для покрытий выставоч-
стержней нри трех горизонтальных делает систему од-
нократно статически неопределимой.
Практически пролетные строения имеют восемь опор-
ных стержней — по три на каждую плоскую ферму в ее
плоскости и два упорных стержня, перпендикулярных
плоскости ферм. При наличии верхних и нижних про-
дольных и торцовых поперечных связей для статической
определимости следует прервать связи в двух местах
ных павильонов проектируются комбинированные арки,
состоящие из дуги-ригеля и четырех стоек (рис. 5.33, ж).
Точки пересечения стоек играют роль пятовых шарни-
ров двухшарнирной арки.
Спаренные плоские системы (биконструкции)
Спаривание при помощи решетки продольных и по-
перечных связей преследует задачи: 1) превращение
двух плоских, жестких только в своих плоскостях си-
стем в одно пространственно неизменяемое целое;
2) приспособление двух опертых плоских несущих кон-
струкций при помощи связей и дополнительных опор-
ных стержней к восприятию нагрузки, не лежащей в их
плоскостях.
На рис. 5.34 показаны иередиие плоские системы
и раскосы связей в виде линий, параллельных поясам.
Черточками отмечен узел привыкания раскоса связей
к передней системе. Предполагается, :что распорки свя-
зей имеются во всех узлах В боковых/проекциях по-
казан левый торцовый раскос связей. При другом на-
правлении раскосов связей пОложенйе черточек соот-
ветствующим образом изменяется.
На рис. 5.34, а показана трехгранная пространствен-
ная ферма с тремя поясами и тремя решетками из рас-
косов и распорок (стоек) в трех гранях', ферму можно
также считать составленной из двух боковых плоских
ферм со слитыми верхними поясами 'й/рещетки нижних
связей. На рис. 5.34, б —две плоские фермы соединены
верхними, нижними и поперечными торцовыми связями.
Неизменяемость торцов может быть =местэ раскосов
обеспечена также жесткими рамами. На : рис, 5.34, в —
две плоские фермы соединены верхними продольными
и поперечными связями во всех узлах. Система анало-
гична тонкостенному швеллеру с нулевой жесткостью
свободного кручения, обладающему одной степенью сво-
боды деформации в виде скручивания. Для неизменяе-
мости добавлен раскос связей, отмеченный буквой т,
эквивалентный планке, препятствующей деплаиаиии,
а значит, и скручиванию. Эти жесткие системы требуют
для с, о. прикрепления шести стержней, причем не бо-
лее трех стержней могут быть вертикальными (и вооб-
ще параллельными). Наличие четырех вертикальных
15*
(удалить два раскоса), обеспечив передачу поперечной
силы в связях на упорные стержни G и Н (рис. 5,34, г).
При наличии только верхних (или нижних) продольных
связей и поперечных связей во всех узлах достаточно
сделать один разрыв в связях (рис. 5.34,6).
На рис. 5.34, е, ж показаны статически определимая
и б раз статически неопределимая бнарки. Неизвестны-
ми во втором случае являются шесть изгибающих мо-
ментов в местах шарниров основной системы и горизон-
тальная поперечная сила в месте разрыва связей. Под-
робно о расчете биконструкций см. [158],
5.4,3.	Статический метод
определения перемещений и кинематический
метод определения усилий на примере балки.
Линии и поверхности влияния
[64, 63, 86, 87]
Методы основаны иа использовании принципа воз-
можных перемещений (см. 2.3,3). Рассматриваются два
не связанных между собой состояния стержневой си-
стемы: одно, удовлетворяющее условиям равновесия
(статически возможное состояние), g другое, удовлетво-
ряющее условиям совместности деформаций (геометри-
чески возможное состояние)1. Так, например, для бал-
ки, нагруженной в своей' плоскости (продольные силы
отсутствуют), первое састояице -характеризуется нагруз-
ками Р, L, р, т и усилиями Q, (И, а второе—деформа-
циями Г, 0, у, Ф и перемещениями о, <р (см. 5,1.4).
В применения к находящейся в равновесии деформи-
руемой системе	перемещений (урав-
нение работ) формулируется так: работа нагрузок пер-
вого состояние на титла второго состоянии,
сложенная с работа > щал>и жрео'о состояния на де-
формациях второго состояния, равна нулю.
1 Речь идет о любых весьма малых деформациях, а Не толь-
ко упругих.
228	РАЗДЕЛ 5, СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Уравнение работ для балки или балочной системы
после переноса работы усилий в правую часть и изме-
нения порядка множителей имеет вид:
S Р! р!! + X L1 фП + f Р1'«П ds 4- f т‘ срп ds =
S	S
= X 0П М1- + X г” Q1 + J М-ds + ( 7П Ql ds. (5.98)
s
Порядок сомножителей в правой части взят соответ-
ствующим статико-кинематической аналогии е левой
частью.
В случае системы общего вида добавляются слагае-
мые, выражающие работу продольных и крутящих уси-
лий на соответствующих деформациях.
Статический метод определения перемещений
в статически определимой системе
Деформации предполагаются известными или заранее
определенными по усилиям, если речь идет о силовых
деформациях. Например, для произвольно нагруженной
М
упругой балки должны быть построены эпюры
Q
и	. Деформированное состояние балки приии-
0'/’ у
мается за второе состояние. Первое состояние, вспомо-
гательное, подбирается так, чтобы левая часть уравне-
ния (5.98) была равна искомому перемещению. Если
требуется найти прогиб о в определенном сечении, то
система нагружается приложенной в этом сечении един-
ственной силой Р, равной безразмерной единице. Уси-
лия от этой воображаемой вспомогательной нагрузки
(так называемые единичные усилия) обозначим М и Q.
Тогда
о = ХвМ + Хпд + рМ*+ f vQds. (5.90)
s	s
Если сосредоточенные деформации (с, д.) отсутствуют
(0=Г=О) и определяется упругий прогиб, то
ГМ— CQ-
v==	I —-~Qds,	(5-100)
J El J GFy
S	S
Это частный случай формулы Максвелла — Мора для
балки.
Этими же формулами определяется угол поворота
сечения ф, но во вспомогательном состоянии вместо
Р— Г берется L=l (сосредоточенный момент, численно
равный безразмерной единице). Размерность усилий
определяется размерностью вспомогательной нагрузки.
Для фермы формула Максвелла — Мора принимает вид
(см. 10:1.4):
=	(5.100')
Кинематический метод определения усилий
: в статически определимой системе
Известные щапрузки и неизвестное усилие относят
к первому состоянию. Во втором, вспомогательном со--
стоянии задаются .единственной с. д„ равной безраз-
мерной единице, соответствующей искомому усилию.
Если требуется найти изгибающий момент /И, то берут
©=1 в исследуемом сечении; если ищут Q, то берут Г = 1
(единичный безразмерный сдвиг). Из геометрических
(кинематических) соображений определяют перемеще-
ния во вспомогательном состоянии ио направлениям
нагрузок действительного состояния. Эти «единичные»
перемещения обозначают о, ф, .... Искомое усилие
М — £ Pv + S Ltp ф- | pod's ф- j «фЭя. (5. 101)
s	s
Усилие равно работе нагрузок на перемещениях, вы-
званных единичной дислокацией, соответствующей иско-
мому -усилию.
На кинематическом методе основано построение так
называемых линий влияния (л. в.) в широком смысле
слова — обобщенных перемещений, позволяющих най-
ти некоторое усилие (или другой фактор) для опре-
деленного класса нагрузок. Например, л. в. усилия в
каком-нибудь стержне фермы для узловых нагрузок
произвольного направления является совокупность век-
торов — полных перемещений узлов от единичного без-
размерного удлинения Л —1 того стержня, усилие в
котором разыскивается. При вертикальных нагрузках
л. в. усилия является совокупность векторов вертикаль-
ных перемещений, В обоих случаях задача решается
построением диаграммы перемещений или плана ско-
ростей.
Статический метод определения перемещений и кине-
матический метод определения усилий применимы и
для упругих с, н. систем, поскольку перемещения явля-
ются достаточно малыми, а значит, системы подчинены
принципу сложения действия сил и малых деформаций.
Здесь единичные усилия М, Q, ... не могут быть
определены из одних только условий равновесия, так
же как и единичные перемещения v, ф, ... не могут быть
найдены только из геометрических соображений, по-
скольку с. д. вызывают упругие деформации всей си-
стемы, Для с. н. систем целесообразно пользоваться
обобщенной теоремой о взаимности работ, охватываю-
щей все особенности напряженного и деформированного
состояния произвольной упругой системы.
Обобщенная теорема о взаимности
работ активных факторов, действующих
на упругую систему
Активными факторами называются нагрузки (сосре-
доточенные и распределенные) и наперед заданные де-
формации (сосредоточенные — с. д. и распределенные,
например, температурные). Силовые упругие распреде-
ленные деформации также могут быть отнесены к актив-
ным факторам, если они подсчитаны для системы с
меньшим числом связей, например для с. о. основной
системы. При введении упругих деформаций в качестве
активных факторов породившие их нагрузки в уравне-
ние не включаются.
Рассматриваются два состояния упругой системы.
Активные факторы, усилия и перемещения (пассивные
факторы) первого состояния отмечаются индексом I,
второго состояния — индексом II. Для балочной системы
2 Р1 н334- S L1 фп 4- [ р3 оп ds +1 m1 <рп ds 4-
+ S б3 Д433 +2 Г3 Qn + J в1 Ми ds + J у1 Qn ds =
s	s
= S PlJ v1 S L11 ф3 J p11 vl ds ф- [ mn ф1 ds 4-
s	s
4- Se13 Л13ф£ rn Q3+ ( «лз Mlds 4-J7U Q3ds. (5.102)
5	S
5.4, КЛАССИФИКАЦИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ И ОБЩИЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ	229
Прр наличии продольных к крутящих усилий п де-
формаций соответствующие слагаемые добавляются но
аналогии. Для фермы теорема записывается так:
X АП Ж X д! д/П V рИ д! + ГдП Д7ф (5.103)
Здесь А — перемещение узла, к которому приложена
сила Р.
Формулы для перемещения в упругой с. н. системе
Второе состояние—действительное, первое состоя-
ние— вспомогательное, Р'1~1 (безразмерная). Опуская
индекс Н для активных факторов действительного со-
стояния и вводя черту Для единичных пассивных фак-
торов вспомогательного состояния, записываем:
v= 2 Pv -ф- S Ltf ф- f p-jds-p Г mtpds ф-
s	s
ф-ЕеМф-ХГф-ф J ФА? dsJyQds. (5.104)
s	я
Перемещение разно сумме «произведений» активных
факторов действительного состояния на соответствую-
щие пассивные факторы (ординаты эпюр) единичного
вспомогательного состояния. Вычисление по этой фор-
муле оправдано при массовых расчетах или при усло-
вии, что значения о. <р (эпюры единичных прогибов и
углов поворота) известны из таблиц или определяются
другим способом например путем интегрирования урав-
нения изгиба балки, методом аналогий.
В общем случае упругая деформация от нагрузок Р,
L, р, т, подсчитанная для основной системы, рассмат-
ривается как активный фактор, первая строка в (5.104)
отпадает:
о = 28 М ф- 2 Г Q ф- j в Mds ф- j yQds ф-
f — f Q° -
ф- -щу- Mds+ у-- Qds. (5.105)
J W J 6/ф
Здесь Af® и Q°— усилия в с, о. основной системе от
заданных нагрузок либо с. и. системе с меньшим чис-
лом связей, чем исследуемая; & и у — температурная и
начальная деформации. Если 0 = Г='0‘=у=О, то
f Ма —	р О0 -
v== Ws+ \^Qd,s.	(5.105')
J £1 J G£y
s	s
Подчеркивается, что эпюры M, Q берутся для дей-
ствительной системы со всеми лишними неизвестными.
При определении упругого перемещения в с. н. си-
стеме из (5.98) с учетом того, что первое (вспомога-
тельное) состояние должно удовлетворять только усло-
виям равновесия, получается другая весьма важная
формула:
A4A4«ds , С QQ° ds
El	GFe
s
(5 106)
Здесь M, Q — усилия в действительной системе со всеми
лишними связями, АР, Q® — усилия в основной системе
от единичной силы по направлению искомого переме-
щения.
Вообще перемещение может быть получено путем
«перемножения» действительной и вспомогательной
эпюр, построенных для двух систем, при условии, что
в совокупности в обеих системах содержатся все связи
заданной с. н. системы. Отдельные связи могут и повто-
ряться. Обе эпюры могут быть построены для заданной
системы.
Формулы для усилия в с. и. системе
Первое состояние — действительное, второе состоя-
ние— вспомогательное, 0П=1. Опуская индекс I для
активных факторов действительного состояния и вводя
двойную черту для пассивных факторов вспомогатель-
ного, записываем:
АЛ = S Pv ф- S L<f ф- J pvds-р J mtfids ф-
S	S
4-S ей ф-Е rQ + J «ж* ф- ^<is.	(5.W7)
S	S
Первая строка может быть опущена, ко тогда в ка-
честве активного фактора должна быть учтена упругая
деформация основной системы:
М = 2 ем 4- 2 гЗ 4- f ®^ds 4- J yQds +
S	5
f M°	f -
+ U—Alds-b	(5.107')
J	J	у
s	s
Если с. д., а также температурные и начальные рас-
пределенные деформации отсутствуют, то
С М° = f =
М*+ -4~ Qds. (5.107")
<J А-1*	а)	у
S	S
Практическое использование формул (5.105) —
(5.107"), дающих перемещения и усилия от произволь-
ных нагрузок, требует предварительного определения
единичных усилий Л4, Q или М, Q в с. н. системе, что
представляет собой более простую задачу, чем опреде-
ление усилий от сложной нагрузки.
Теоремы о взаимности единичных перемещений и
усилий
Оставляя по одному единичному активному фактору
в 1 и II состоянии упругой системы, из (5.102) получа-
ют ряд равенств, связывающих пассивные факторы и яв-
ляющихся основой построения л. в. как эпюр. Для ба-
лок (два перемещения и два усилия в сечении) число
таких равенств равно 16. В общем случае стержневой
системы с массивными стержнями (шесть перемещений
и шесть усилий в сечений) — 144.
Абсцисса неподвижного сечения балки обозначает-
ся а, абсцисса произвольного сечения х; Q^x означает
величину Q в сечении а от действия активного фактора
Р=1 в сечении х; Qxa означает Q в, сечении х от дей-
ствия активного фактора Р = 1 в сечении а. Линия
влияния имеет нижние индексы ах, эпюра имеет иижиие
индексы ха.
На рис. 5.35, а, б показан вид л. в. — эпюр для про-
стой балки и балки с защемленными концами и выписа-
ны теоремы взаимности, дающие связь между л, в. и
эпюрами. Все скачки и все приращения тангенсов углов
наклона численно равны единице. Для простой балки
характерно прямолинейное очертание ветвей л. в. уси-
лий ст действия сил и моментов и нулевые ординаты
тех же л, в. от действия движущихся с. д.
230
РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА- УПРУГОГО СТЕР/КИЯ II СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
а)
&)

мм			
			
©ах^Уха	®ах~Фха	0ах~^ха	<=<
'^иг’Чяг			
			
			L_.ni- степ
			
и^г/й			- 1 !
	иЯ’?>И		L±J
			I, ~ ; 	!
		с=<	Оазг^ха
		LZctZLU	
			1	+	1
		<=<	
			L-.-CT	J <5®X=4? ’
			
			,	_U	!
		Цгх^ха	Lu
В)
х^; 1-х^х’=ё.'1
Рис. 5.35
На рис. 5.35, в, г, д даны л. в краевых факторов
П1ЧСТ 1 t in on i - ст-ш, защент л inn и друы’
шйрнйрно опёртым концом и балки с обоими защем-
ле i n I о<цз « от действия движущегося груза Р—1.
Надписанные на л. в. ординаты через 0,1 Гйепбйьзуют-
сйДля построения л. в. неразрезных балок и рам.
5.4.4. Метод потенциальной энергии1
Ч'аб-мэ, «свершаемая нагрузкой упругой системы на
е:о же вызванных перемещениях (так называемая ffetH-
г'гшгалоаач рвбэщ), накапливается :в системе в виде
потенциальной энергии деформации и может быть реа-
лизована в процессе разгрузки.
Если система является достаточно жесткой и упругие
пер: ведения малы го сравнению с геометрическими
р -юртми сгсж гы, о при условии подчинения ыдейен-
См. также 2.3.2#
тарных деформаций закону Гука система оказывается
линейно деформируемой- для системы в целом как бы
действителен закон Гука о пропорциональности нагру-
зок и вызванных ими перемещений. Для таких систем
действителен! принцип сложения. Потенциальная энер-
гия деформации линейно деформируемой системы мо-
жет быть выражена однородной функцией второй сте-
пени от сосредоточенных нагрузок, погонная энергия
стержней выражается функцией второй степени от уси-
лий или деформаций. Для гибких систем принцип
сложения частично или полностью недействителен: по-
тенциальная деформация перестает быть функцией вто-
рой степени. Ниже имеются в виду жесткие системы,
если не сделано оговорки.
Обобщенными силами и перемещениями называются
такие функции нагрузок и перемещений, произведение
которых численно равно работе. Простейшие примеры —
сосредоточенная сила и прогиб по направлению силы,
сосредоточенный момент и угол поворота сечения, ин-
5.4. КЛАССИФИКАЦИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ И ОБЩИЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
231
тенсивность равномерно распределенной нагрузки и пло-
щадь эпюры прогибов балки на протяжении нагрузки
и т. п.
Выражение энергии деформации
через обобщенные силы и обобщенные перемещения
Условие рассматривается балка, нагруженная тремя
силами (рис. 5.36, а). При больщем числе сил, а также
при распределенной нагрузке формулы развертываются
по аналогии:
У — — Pt Aj ~ Р» Л2 ф- — Р3 Л3.	(5.108)
Рис. 5.36
Здесь Mi есть усилие М от Xj = l, М2 — усилие М от
Х2 = 1 и т. д.
Теорема Кастильяно
Частная производная от энергии деформации, вы-
раженной через независимые силы, взятая по силе, рав-
на перемещению лб направлению этой силы:
dV	dU	dU
дР1 ~ Д1; №, ~ дР3	Аз' (5“
Силы являются независимыми, если каждую из них
можно варьировать, сохраняя величины остальных не-
изменными.
Пример:
—— /ф 6S2 ф- Pi 621 ф- Р3 <?23 = Аз-
01 s
Формула для упругого перемещения,
вытекающая из теоремы Кастильяно
ди(р,хр Г Np
GF у dXt J lx
9N
ds ф-
oAj
—А 4....
dXi

Выражение энергии деформации
через силы и единичные перемещения
(податливости системы см. рис, 5.36,6, в, г)
V— — pj йп ф- ~~~ Р2 S22 + — Йзз -ф
л	-4	£
(5.112)
+ Pi Pt, 612 ф- Рз Р3 би ф- Рз Pi 61?-	(5.109)
При этом
61g==6gt, б»з == 63S, dig == dg-J.
Практически значения 6 заранее не известны, поэто-
му U выражают через усилия.
Практическое использдааиие теоремы Каста.тьяно
для определения щ ремещанин приводит к операциям,
тождественным с операциями при использовании фор-
мулы Максвелла — Мера [см. (5.100) и 5.7.4, формула
(5.312)[. Здесь также приходится рассмотреть действи-
тельное и воображаембе (вспомогательное) состояние
системы от нагрузки обобщенной силой Х» = 1 по на-
правлению искомого перемещения и т. д.
Выражение энергии деформации стержневой системы
через усилия
1 p№ds 1 j’ Q^ds 1
Т J ~ёа~ + Т J + J Е!
Ь	i>	s
L Г ds 1 С
2 J G/.,; + 2 j Ellt
(5.110)
Интегрирование распространяется на все стержни
системы.
Если отдельные стержни имеют упругое основание с
силовой отпорностью k v. моментной отпорностью с, то
к. энергии добавляются члены вида:
Теорема о минимуме энергии деформации
Дана статически неопределимая система. Выбирается
неизменяемая с."®. или с. и, основная система. Послед-
няя нагружается заданными нагрузками и лишними не-
известными Xit Xt, Х8, ...
Теорема утверждает, что, если 'лишние связи не по-
лучают наперед ’заданных деформаций, то неизвестные
Хь Л2,	... имеют величину, обращающую потенциаль-
ную .энергию дщформдпий в минимум.
Реализуя условия экстремума, получают канониче-
ские уравнении метода сил»
ЙЩР, Хп Х2, As)
дХг
или Aj бц ф-
1 ПрРеакт)3	j С (fflpMKT)2
.— 1 --------ds ф-—1--------------ds+«»'	(о.ПО')
2 J k 2 J с	J
3	S
В случае расчета статически неопределимой системы
(или при определении перемещений) усилия выражают-
ся суммами усилий в основной системе от заданных на-
грузок и от неизвестных (или воображаемых) сил, на-
пример
М = Мр ф- Аф Лф ф- Xs +•  •
ф- А2 ф- A3 fija ф- &ip — 0;
дЦ (Р, Xi, Х„Х9) _ 0-
dXt
или Хг йя ф-
+ Ag Sga 4- Xg <5as 4- Д2р = 0у
дЦ (Р,ХъХг, As)
axg
или Xi 6Si ф-
4* ^ss Ч~ d3s 4* A jp = 0.
(5.113)
232
РАЗДЕЛ В. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Обычно сразу пишут уравнения в развернутом виде,
а затем вычисляют коэффициенты и свободные члены.
Случай заданных (температурных или начальных)
деформаций
Теорема Кастильяне и теорема о минимуме потен-
циальной энергии деформации формально остаются а
силе, если заменить U через V*~U—Т, где Т — работа
усилий на заданных деформациях А, уг,
Т =— j Nkds — f	у у ds — [ M x &,( ds —  • •
s	s	s
Наперед заданные деформации могут быть также со-
средоточенными (т. е. являться дислокациями).
В случае осадок опор неразрезной балки
Т =— 2 V,
Здесь Vt — реакция опоры; — осадка опоры.
Выражение энергия деформации
через перемещения или дислокации
Энергия выражается через силы и вызванные ими
перемещения по формуле (5.108). Здесь же перемещения
А рассматриваются как заданные осадки опор или дис-
локации в опорных стерженьках, а силы — как реакции
опор или усилия опорных стерженьков (рис. 5.37, а).
Непосредственно через перемещения энергия выра-
жается в виде:
С7 = ЛА2ри+Л	(5.114)
Здесь Рц представляет собой реакцию опоры 1 от
ее осадки Ai=l, когда осадки опор 2 и 3 равны нулю
(рис 5.37,6j. Соответственно Р22 и Ps3 равны
реакциям опор 2 и 3 ири
А3—0 и
Ai = Aj=0, А3 = 1 (рис.
5.37,ей г). Расчет экви-
валентен нахождению
обратной матрицы кано-
нических уравнений трех-
кратно с. и, неразрезной
балки с неизвестными
реакциями Pi—Xp Р2-
= Х2, PS~X.S.
Величины Рц, Рц,
Рзз — главные коэффи-
циенты обратной матри-
цы. С механической :точ-
р г.	ки зрения они представ-
1-ис. а.о/	ляют собой отлоряости
трижды с. и системы по отношению к осадкам опор.
Следует заметить, что осадка опоры 1 вызывает не
только реакцию опоры 1 (Рц), ио и реакции опор 2 и 3
(соответственно Рг! и PS!).
При этом /’12=/,2Г, А2з = Р32; Р1з = Д1 (теорема вза-
имности реакций).
Групповые обобщенные силы. Как указано, силы Pt,
Р2, Аэ рассматриваются как обобщенные силы, частным
случаем ;жжорых:являются сосредоточенные силы. Груп-
повой; силой называется совокупность обобщенных сил,
связанных у оиределенным соотношением компонентов;
опа характеризуется одним параметром, например вели-
чиной однойиз силйгруппы.
Групповые силы (Р'ц, Рг1, Р31), (Р22, Pi2, Р3р, (А33,
Pts. Слз) обладают, важным свойством ортогональности.
Это значит, что работа одной из групповых сил иа уиру-
пи перемещениях, вызванных другой групповой силой,
равна нулю. При нагрузке система подобными группо-
выми силами энергия деформации выражается в виде
суммы квадратов [так как 6!2=djS=esi =0, члены, со-
держащие произведения сил в выражении (5,109),-про-
падают]. Если принять неизвестные с. н, системы в ви-
де ортогональных групповых сил, канонические уравне-
ния получаются с разделенными неизвестными, и сов-
местного' решения уравнений не требуется. В общем
случае, однако, определение ортогональных групповых
сил по сложности не отличается от решения системы
канонических уравнений. В частных случаях (наличие
симметрии; система, содержащая один замкнутый кон-
тур) ортогонализация упрощается.
Общий прием определения ортогональных групповых
сил состоит в обращении матрицы коэффициентов в.
Теорема о частных производных энергии деформации
по с- д. Частная производная от энергии деформации по
осадке опоры (с. д.) равна спорней реакции (усилию):
аД(А, А3, .)
6Д,;
(5.114')
Случай, когда помимо с. д. действуют нагрузки. Тео-
рема о частных производных остается в силе, если заме-
нить энергию деформации так называемой полной энер-
гией
э-^и — т.
где Т—-работа нагрузок на перемещениях, вызванных
дислокациями.
Теорема об экстремуме полной энергии
Дана упругая система, например простая балка, не-
сущая нагрузку р (рис. 5.38, а). Система дополнена во-
ображаемыми лишними связями, в данном случае —
промежуточными опорами 1. 2, 3, которым даны прину-
дительные перемещения Д(, Л2„ Аз, не зависящие от на-
грузки р. Действительные значения перемещений Дц
A2j А3, которые реализуются в отсутствие лишних опор,
отвечают экстремуму полной энергии.
Разумеется, величины Ab Дг, Дэ могут быть найдены
непосредственно из рассмотрения системы без дополни-
тельно введенных связей. Однако теорема играет важ-
нейшую роль в приближенных (вариационных) методах
расчета, являясь основой вариационного принципа
Лагранжа, метода Ритца—Тимошенко и др.
Пример балки при сложном изгибе. Рассматривается
балка на упругом основании с отпорностью k, нагружен-
ная поперечной нагрузкой р и растягивающей силой N.
Потенциальная энергия деформации
I	1
Рис. 5.38
5.4. КЛАССИФИКАЦИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ И ОБЩИЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
233
Работа нагрузок
pvdx — N
1
1 С ! civ V
— I----------dx.
2 J v dx )
о
Полная потенциальная энергия системы
Здесь o = p(.-<j — прогиб, удовлетворяющий гранич-
ным условиям, но не зависящий от р.
Этот прогиб становится действительным прогибом,
если Э приобретает экстремальное значение, т. е. вариа-
ция 63 при любых вариациях прогиба а обращается в
нуль.
Рассматривая Э как функционал
г
Э = [ F (х, v, v', v") dx,
d'
составляем уравнение Эйлера:
dF d др	др
dv dx dv' dx- dv"
Это дает дифференциальное уравнение сложного из-
гиба балки в виде:
Е1
d4 v
dx&
ds v
N-----+ kv = p.
dx-
Интегрирование уравнения с удовлетворением гра-
ничным условиям балки дает уравнение изогнутой оси
(эпюры прогибов) балки.
Приближенный метод Ритца — Тимошенко состоит в
том, что прогиб аппроксимируется в виде ряда, каждый
член которого удовлетворяет граничным условиям и
пропорционален неизвестному параметру Ар
vn 'а *4'1 Ti + А3 <р2 + Л3 Ф3 -j- • • - 4- Ап ф)г, (5.116)
ф< = <рг(х) —так называемые координаты функции.
Подставляя этот ряд в выражение полной энергии
(5.115), варьируя энергию отдельно по каждому пара-
метру и приравнивая вариации нулю, получаем систему
уравнений:
dU dU	dU
= 0.	= 0; .... --- = 0. (5.116')
Решая эти уравнения, находим Ль Л2, Ап.
Случай нелинейно деформируемой системы,
когда энергия деформации не есть функция
второй степени от нагрузок
При криволинейном законе деформирования, напри-
мер показанном на рис. 5,38, б, соответствующем связи
между нагрузкой Р и перемещением узла, прикреплен-
ного почти вытянутыми в одну прямую стержнями
(рис. 5.38, в), следует уточнить понятие энергии дефор-
мации.
Обычно под U понимают вертикально заштрихован-
ную площадь ДОЛ (рис. 5,38, б):
д
£7= J/Ш.	(5.117)
О
Однако, если выразить эту площадь через Р и взять
производную dU/dP, то она не окажется равной Д. Как
показал Энгессер, в этом случае следует взять площадь
РОА, заштрихованную горизонтально. «Дополнитель-
ная» энергия, выражаемая этой площадью,
Р
j MP ==PA~U.	(5.117')
О
при дифференцировании дает соответствующее переме-
щение
ад
/	(5.117")
При прямолинейной диаграмме деформирования
U—R и применение теоремы Кастнльяно осложнения не
вызывает.
5.5. БАЛКИ
5,3,1. Определение усилий и перемещений
и построение эпюр в балках по методу
начальных параметров [86, 18]
Общие положения
Усилия Q и Л1 определяют с целью расчета балки на
прочность, а эпюры Q и М строят с целью выяснения
опасных сечений. Перемещения v (обычно только иМакс)
определяют с целью расчета балки иа жесткость, а эпю-
ры v и <р строят главным образом от действия единич-
ных факторов — в качестве л. в. усилий.
В практической работе целесообразно пользоваться
в первую очередь готовыми табличными данными (см.
8.1.1) или универсальными -формулами усилий и переме-
щений (уравнениями эпюр), полученными путем инте-
грирования системы дифференциальных уравнений рав-
новесия и совместности деформаций по методу началь-
ных параметров.
Уравнения равновесия
Уравнения совместности
dQ
. =_. р kv.
dx
dM
—— = m-A-Q — «р.
dx
W	=	 M	.
dx	'	El	’
dv	Q
~1 —у	фф- —— .
dx	GF у
(5.118)
Уравнения (5.118) (дифференциальные, зависимости
изгиба) написаны с учетом силовой и моментной реак-
ций упругого основания, моментной нагрузки и дефор-
мации сдвига. Обозначения и правила знаков см. 5.1.4,
5.1.5, 5.1.7. Балка называется обыкновенной, если упру-
гое основание отсутствует, k = c~O.
Следует подчеркнуть, что <р — угол (малый) поворо-
та сечения. Угол наклона касательной к изогнутой оси
к горизонту равен dv/dx. Эти два угла равны, когда
деформация сдвига не учитывается, что практически
всегда имеет место.
234
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Начальными параметрами Qo, Мо, <р0, »о называются
ординаты эпюр Q, М, ср, v в сечении балки О, приня-
том за начальное. Уравнения эпюр, написанные в функ-
ции абсциссы исследуемого сечения, характеризуют
влияние начальных параметров и активных факторов
(нагрузок и наперед заданных деформаций), действую-
щих на участке О—х, т. е. от начального до исследуе-
мого сечения с абсциссой х. Никакие факторы, дейст-
вующие левее начала О и правее сечения х, в уравне-
ния не входят. Множители при начальных параметрах
и активных факторах называются функциями влияния:
они выражают влияние активного фактора в сечении и
(0<и<х) на пассивный фактор (ординату эпюры) в се-
чении х. Важнейшая особенность метода состоит в том,
что влияние начальных параметров и однотипных с шиш
сосредоточенных факторов выражается одними и теми
же функциями влияния, но с изменением аргумента:
вместо «плечи» х вводится плечо х—и, где и — абсцисса
фактора,,
В случае одиопролетной балки начало О следует
выбирать а сечении, где два из четырех параметров за-
ранее известны. Два других определяются из условий
в другом сечении, где снова два параметра известны.
Обычно начало совмещают с левым концом балки.
Тогда:
при свободном конце: I) Qo=0; 2) Ж=0;
при шарнирно опертом конце: I) М8=0; 2) Оо = 0;
при защемленном конце: 1) <ро=0; 2) Ро=0;
при свободно смещающемся, но неповорачивающемся
конце: 1) Qo=O; 2) сро = О.
Аналогично в зависимости от конструкции выража-
ются условия на другом конце балки.
Совмещение начала с левым концом и использование
граничных условий на правом конце не являются обя-
зательными. В случае симметрии балки и нагрузки на-
чало выбирают посередине пролета. Для многопролет-
ных с. о. балок используются условия в сечениях опор
и шарниров; для с. н. балок—условия над промежу-
точными опорами и т. д.
Уравнение каждой из эпюр выписывается в виде че-
тырех столбцов соответственно числу начальных пара-
метров. Первая строка содержит влияние начальных
параметров, вторая—сосредоточенных факторов, третья
и последующие — распределенных факторов. Учитывая
свойства функций влияния и принцип суммирования дей-
ствия сил и малых деформаций по первой строке, всегда
можно получить вторую и третью, В некоторых сдучаяд
число столбцов сокращается.
Обыкновенная балка постоянного сечения
Уравнения эпюр Q, Af, ср содержат сокращенное чис-
ло столбцов. Влияние факторов, распределенных равно-
мерно и по линейному закону (эпюра нагрузки — тре-
угольник), дается в развернутом виде, причем предпо-
лагается, что сечение х лежит в пределах нагрузки или
иного распределенного фактора (на рис. 5.39 под р и
Рис. 5.39
р' следует подоазумевать также и факторы m и ш', у
и у', '0 и #'). Уравнения эпюр Q и М выражают общеиз-
вестный порядок определения поперечной силы и изги-
бающего момента от нагрузок, действующих левее сече-
ния х.
Если исследуемое сечение х лежит правее конца d
нагрузки р (рис. .5.40), то сначала определяют величины
Qm Md, <fd, Vd, а затем, приняв сечение d за начальное,
выражают А1х, <рж, », (принцип переноса начала).
Другой способ состоит в продолжении нагрузки до
сечения хи в вычитании той нагрузки, которая при этом
оказалась добавленной на участке (х—d). При исполь-
Уравнение эпюры Q
Уравнение эпюры М
(6.119)
Мх — Mi) + Qt> х ф
«	X
+ SA
о	о
(х — с)?
4- m (х — с)^-р	+
-
г (я —с,)®	, (X—щ)8
(5,100)
Г	г
4”	(u) du —= р (и) О — и) du.
d7	о'
5.5. БАЛКИ
235
Уравнение эпюра ф
-~ЛД---
° £7
х2
2£/
Ф* = Фо
— •& (х — с)
е, ci)s
2
О
(х — с)2
— т-----------
2Е1
— т'-------:
6£/
(5.121)
(Х C1f
+ Р 24£7
о
	»»ЯДЯ»|>Й	п,«а»?чвяя»«»	а 9	? a s s а д а	да*»		
	X — j* (u) du	1 f — да- | т (и)(х — и) du El J	X	- a)2 du.		
	ь		0			
Уравнение	эпюры У					
«X = oc	"Г фо X	X2 ~~ М° 2Е1	“ Qo {~6Е/	x \ 	 , GFyT		
+Sr 0	X е ~~ 0	0	с. VpH£=2iiL3 [ QEl 0	(x — lip} GFU	1 +	
+ у (x — c)			+ ppyy£t_ L 24Д/	(x — c)s "i		
	2	6Е1	4		2GFy J	~r	 (5.122)
(x — q)2 + T	2			(х —щ)8 — V —		 6	т'	, , Г <x — и)8- ~Г- p 1	™~ L 120E1	(x— q)3"		
		24EI U 4J		6G£,	4-	
Й 1	» a ®	?	» + j 7 («) du	— J (iz)(x — &) du 0	X 1 С — “tz; т («)(х — и)2 du 2.L1 J		(x — u)	1 du.	
			+ JPv4 65/ 0	V GPU		
зовании последней строки уравнений эпюр величина j
о
разбивается на ряд интегралов по числу участков с од-
ним и тем же законом изменения нагрузки.
Как правило, влиянием д	на про-
гиб можно пренебречь по сравнению с в-ияююн кри-
визны [это сделано в формуле (5.123)]. Исключение со-
ставляют сравнительно короткие бадан е тонкой стенкой
(1/й<54-6). В этом случае принимается Fv~FCi (пло-
щадь стенки).
Для случая, показанного на рис. 5.40:
, (^ — q)2
Qx==Qo~P(^~О — р--------pft--;
ЛД = Л1„ + Qox — -Л- [(х =- с)г — (х — d)aJ—
—	{{x-c^-ix-d^-^-c^x-d^,
ь
ял х- X3 р z	(5.123)
Ф„ - Ж £/ - Qv 2- + 6£/ [(х -
— с)8 — (х — d)3]+	[(* Cl)4 — (х —
— d-Cf — 4 (dt — cQ(x — <Д)3];
X2	X3
т 7И0 7-7^ — Qo ~~ 4“
Zc/	btl
236
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
+	~ <1 4-	[(х-
24л^/	i^uzs/	1^3)
— с,)5 — (л — <ф)5 — 5 (dt — ct)(x — di)4].
Пример использования уравнений эпюр. Найти на-
чальные параметры Qc и Л10 к опорные реакции Х( и Д
(+ вверх) трехпролетнсй неразрезной балки постоянно-
го сечения с защемленными концами, находящейся под
действием сплошной нагрузки, распределенной по за-
кону треугольника с уклоном р' (рис. 5.41, а),
Рис. 5.41
Для нахождения неизвестных составляем четыре
уравнения, определяемые условиями закрепления:
прогиб а сечении 1 по формуле (5.122) равен нулю:
4 г? 11
~M°2FJ ~~®°6Е1 +₽ 120£7 ““°"
прогиб в сечении 2 равен нулю:
" ' Q Е±1
6Е1
^'^7
v 21_ , , (h + l^
Л1 6£/ +Р ШЕЕ
(б)
прогиб в концевом сечении 3 равен нулю.?
Р /3 (Ф 4- П)3
- Л41;	- (?,, -уу - Аф	-
2Е1 ЬЫ	ЬЕ1
й 13
;д7- + р'4.д., = °;
угол поворота в концевом сечении 3 по формуле (5.121)
равен нулю:
1 JL. v + й)3
~~Л1° E!'~~Qr>2El ~X1	2Е1
,, 7	, я
~ "Ч2£/ + Р 24Е/ “ °'
Все уравнения можно сократить на ЕЕ Решив по-
лученную систему уравнений, найдем Qa и Мо, А| и Х2,
а следовательно, будем иметь все необходимые данные
для построения эпюр Q, М, у, о по формулам (5.119)-—
(5.122).
Линия влияния изгибающего момента М- строится
как эпюра прогибов от единичной с, д. в, — 1 з сечении г
(рис. 5.41, б). Для использования формулы (5.122) надо
определить Qo, Mr,, X,, АД для чего решить систему
уравнений (а) — (г), заменив в них грузовые, члены со-
ответственно величинами: 0; —(6 + 6—щ);—Q—и,); — 1.
Это следует из вторых строк уравнений (5.122) и (5.121),
з которых содержится слагаемое, выражающее влияние
0 на vx и фж. При построения эпюры учитываются на-
чальные параметры Qo, Л!о, нагрузки X, я X» и с. д.
0s —1.
Линяя влияния реакции Хх (рис. 5.41, в) строится на
основании следующих соображений. Положительная
реакция эквивалентна сжимающему усилию в опорном
стержне. Следовательно, л. в. совпадает с эпюрой про-
гибов от действия единичной с. д. укорочения в опор-
ном стержне (Ai ——1). При этом прогиб балки в се-
чении 1 будет положительным (направлен вниз), of —1.
Для построения эпюры прогибов следует найти Qo, Л10,
X,, Xs, для чего в уравнениях (а)—(г) отбрасывают все
грузовые члены, одновременно заменив нуль в правой
части уравнения (б) на единицу. Затем эпюра строится
по общим правилам от найденных начальных парамет-
ров и нагрузок Xt и Х2.
Обыкновенная балка переменного сечения
Уравнения эпюр Q и М остаются, естественно, без из-
менения такими же, как для балки постоянного сечения.
Уравнение эпюры <р:
Фл — Фо		
0	-SLF^U 0	+ SPS*_a- 0
— &(х — с)		I -P-. /ф _ -л 2 А-Э
_ г (X— st)s 2	2 x“ci	- b	ч
а я л • * • ч		.........
— j 6 (и) du	- Jffi(a) 0	+ J'pS);Lu*J. 0
(5.124)
5.5. БАЛКИ
237
Для вычисления функций влияния строят эпюру гиб-
ко: та балки ---
EJ
(рис. 5,42). Функции влияния пред-
ставляют собой моменты л-го порядка участка эпюры с
основанием х—и относительно оси, совпадающей с на-
чальной ординатой участка. Для первой строки (5,124)
и~(), и моменты вычисляются относительно оси у, про-
ходящей через начало.
Для моментов первых пяти порядков приняты обоз-
начения отдельными буквами, подчеркивающими (для
первых трех) геометрический смысл этих интегралов,
известный из теории моментов инерции площадей:
X	х
= f = и* =	-
площадь эпюры гибкостей на участке ч—и;
ЛСЛ;, - i (а - «) с7ф -	[ м—1 ’ -
статический момент этой площади относительно , вер-
тикальной оси, совпадающей с сечением и;
-= J (.S — и)- dF^ = 7*„г,	-м] —
и
момент инерции гой же площади относительно преж-
ней оси,
лЦЦ = f (s - uf df^1 =	[кГ™1 • см21 —
и
момент третьего порядка при тех же условиях;
М^и = j (S - иу dF3? = £Ц„ [кГ~1 -СХГ-СМ3] —
и
момент четвертого порядка.
Здесь з — вспомогательная переменная абсцисса;
, ds
dF^^.
Значок «Ф» отмечает, что геометрические элементы
являются фиктивными, их размерность отличается от
размерности площади, статического момента и т. д.
В уравнении (5.121) опушены индексы абсцисс со-
средоточенных факторов, как очевидные. Например,
вместо LFy__и написано £Ц_И-
1
При £7=const участок эпюоы —-—прямоугольник:
с/
Е1 > 2£/ »
уф	яф ЩДтЩЬ
Х-И 3£/	> х-и 4Е{	•
подстановка этих значений в выражение (5.124) дает
формулу (5.121).
Для сечения х правее распределеяиой нагрузки (см.
рис. 5.40)
= Ф(, - М, У* ™ Qo Sj + Л- (?ЦС /Ца) +
+ V [<-Н	3 U- и) CJ -	(5.125)
Уравнение эпюры о:
4- Фо X
Лг
l)
+ у (х — с)
, . (Х-сгУ
1 .........
-
-S£<
 лц.
(5.126)
Д j у {a) du
— ( & (u)(x — u) du
— ) m {iyS'l_udu
238	РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Обозначенные жирными буквами моменты F, S, I от-
1
носятся к эпюре гибкостей при сдвиге---.
GFy
Отмеченные «шапкой» величины представляют так
1
называемые комоменты п~го порядка участка эпюры
с основанием х—и, легко выражаемые через моменты:
<"2а = (*-«)
“ F) Рх_и s^a =	;
= и -«) iLu -
= (X- и) к^и - L^u ^-L^u.
При £’/=bcenst
£/»(«++) ’	2.Е/
(5.127)
7*	(х-< ?Ф _
6£7	’ Ах~н 12Й7 ’
у _ (х —ЦЯ
*~и 20EI
Для нагрузки по рис. 5.40 (х>й1)
°х °о + % х “ Мо ^5 ~ Qo +
+Р -у (л*=с - <J + [iLC1 - <
—3 (	.	(5.128)
Пример 5.2 (рис. 5.43). Найти прогиб посередине
пролета стальной балки, нагруженной равномерной на-
грузкой р=1 т/м на , левом полупролете. Моменты
ййерции сечений 7о = 1,5-10-2	10-2 м*.
Начало поместим на левом конце. Тогда Л4о=О; vB=
=0; Q0=V
____ 3 pl
“ 4 ’ 2
а определится из условия ЛД=0; отсюда Qo =
«=3,75 Г.
Неианестиый начальный параметр <р0 определяется
из условия ог=0;
- фс I - Qo Сф + у (к? - <.о, J - о. (ч
Для вычисления комомеитов построена эпюра гибко-
сти с ординатами, увеличенными а Е1С раз, = эпюра
(/=//).
/2Ф= £*/-/* = -у (1,25-10= —0,25.82 + 0,25.22) —
— у (1,25-103 — 0,25-83 + 0,25.2s) =
= 550 — 374,7 = 175,3 л3;
Д'* = /*/—/(♦ = 374,7-10 — у (1,25-10« __
-0,25-84 4-0,25-24) =877
K?_o,s? = -y(1'25'5?~0’25'33)-T(1’25‘54“
— 0,25-3«) = 66 мК
Подстановка в уравнение (4;) дает:
I	л	25,2
фо-1О — 3,75-175,3-4- 1 —(877 — 66)= 0; фв= -гр- .
2	Eic
Искомый прогиб
Г 5
£fc uOj5Z = 25,2-5 — 3,75 у (1 -5а +0,25-2=) —
-4~(1-5s + 0,25-23)
О
1 г 5
+1^ 1--(1.5з+0,25-23)-
- 4- (1 - 5“ + 0,25 • 24)1 = 68;
4
ио	__-
оп = -———у-----------— =21,5-10 м — 2,15 мм.
°-ai 251-10<1,5-10^
«Графо-аналитический» метод определения
перемещений в обыкновенных балках
Этим методом, являющимся следствием статнко-
кинематической аналогии, следует пользоваться, ког-
да под рукой нет справочных таблиц или развернутых
формул метода начальных параметров.
Уравнения эпюр Q и М для случая распределенных
нйгрузок переменной интенсивности р—р(и) н пг=т(и):
QX = QO™ fpdu-,
о
х	х
Мх = Л40 -ф Qa х + j mdu — j p (x — u) du.
(5.129)
5.5. БАЛКИ
239
Уравнения эпюр <р и о:
Г м
ЧУ = То-- j
vх — »о + Фо х4~ f	du —
J 6^
(5.130)
Эти эпюры тождественны эпюрам фиктивных по-
перечных сил Q* и фиктивных изгибающих моментов
MR, если под интенсивностями фиктивных нагрузок по-
нимать приведенные ординаты действительных эпюр Ж
и Q:
Ф М ф Q
Е!	GFy
а начальные перемещения заменять начальными фиктив-
ными усилиями:
Ф0 = Ф »о = ^.
Уравнения эпюр <р и о записываются в виде:
Q*==Q*^j РФ^;
Фиктивная нагрузка считается приложенной к фик-
тивной балке, В случае простой балки действительная
и фиктивная балки совпадают. Вообще же свободному
концу одной балки соответствует жесткое защемЖение
другой, шарниру одной балки—опора другой. Фиктив-
ная балка является частным случаем взаимной балки,
Имеющей упругое Основание (см. 5.4.3). После определе-
ния фиктивной нагрузки и установления опор и шарни-
ров фиктивной балки задача построения эгюр ф и о
сводится к построению эпюр и Л4*.
Отметим, что эпюра прогибов простой балки от сдви-
га имеет форму действительной эпюры моментов балки
в измененном масштабе.
Обычно влиянием деформации ефвига Пренебрегают
(у==да* = 0). Если при этом E/=const, то Принимают
р®=М (фиктивная нагрузка совпадает с эпюрой М).
Перемещения ф и о поту'.аются увеллченн ли в Г! раз.
Если бадана не нагрузка действительной бИйй, Ф пдгбн-
ная интенсивность угловой деформации от ,неравномер-
ного нагрёва th, то рФ = -&г.
Концевые углы поворота сечеиий простой балки
как фиктивные реакции :
Для этих углов (рис, 5.44) принимается специальное
правило знаков и специальные обозначения. Умы пово-
рота сечений <р считаются положительными при поворо-
те по часовой стрелке. Левый концевой угол поворота
обозначается (или та) и также считается положи-
тельным при повороте по часовой стрелке, а правый
обозначается та (или та) и считается положительным
при повороте против часовой стрелки. Умы н та
равны фиктивным реакциям (рис. 5.44, а):
Д4 = Фд=^=^=^'
=^1=^1 =-Л
R^b
~Г~
R*a
I
(5.131)
Рис. 5.44
Здесь — равнодействующая фиктивной нагрузки;
b — плечи равнодействующей относительно опор.
При £7=const !?’>=-—, где й —площадь эпюры М
с!
Концевые углы поворота от опорных моментов (рис.
5.44,6):
а,
МА1%
ХАА~ р ’
A4R/t
VAB
вв- -р
(5.132)
fl
Здесь /^—моменты инерции площади эпюры
гибкости относительно опбрйых йёртйкайей. Величина
/J1B — комомент, аналог центробежного момента инер-
ции; для параллельных осей, совпадающих с концевыми
вертикалями,
=	(5.133)
Здесь S*, Уд — статические моменты площади эпю-
ры гибкости относительно опорных вертикалей.
При Е! = const
М41	МВ1
Мв I	МД I
®АВ =;	•
(5.132')
240
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И С	СИСТЕМ
Очень часто под тал, твв и г'дв = Твл понимают
концевые углы поворота от единичных моментов МА — \
или А1в=-1. Первый'индекс отмечает место перемещения,
второй — вызвавшую его причину.
Концевые углы поворота вызываются также переко-
сом оси балки вследствие неодинаковых осадок опор на
vA и од.
Угол перекоса обозначается -cjp и считается положи-
тельным яри повороте оси балки по часовой стрелке.
Этот угол равен постоянному по длине балки углу по-
ворота сечений <р:
-----= Фл = Фв = const;
Формулы концевых углов используются при расче-
те неразрезных балок и рам. Если рассматривать осад-
ки опор как фиктивные опорные моменты vA =М^,
VB =М* то угол перекоса совпадает с фиктивной по-
М%~М^
перечной силой =  ---------—— .
У р а в it он и. е э и ю рис (осадок)
= Оо + Фс х +	I
о о
+ 7 (х - с) -- У +
i
Ч- j Т (и) du — j б (а) (х — и) du.
О	О	J
Уравнение эп	юры Q (5.136)	
Qz-Qo	+ '»о Fx	+ Фо У г —
- SP	+ S ГР	- -
и	и	
		
— р (х—сх)	+	С	- Y }х^с,
	, т7 .	А'
-Р 		2		2 х~н	— ~~~ Кх^ 2 х -1
5.5.2. Абсолютно жесткая балка
на упругом основании и обыкновенная балка
с защемленными концами [153]
Уравнения эпюр
Если прогибы упруго опертой балки от ее упругого
искривления весьма малы по сравнению с осадками, то
тело балки можно рассматривать как абсолютно жест-
кое. К расчету таких балок сводится расчет общей
прочности понтонов, паромов и дебаркадеров и других
прямостенных плавучих сооружений, а также коротких
и жестких ленточных фундаментов, опертых на грунт,
рассматриваемый как винклеровское упругое основание.
Использование статико-кинематической аналогии с аб-
солютно жесткой балкой упрощает расчет обыкновенных
балок с защемленными концами.
— ( д(и)(х—и) duX^ у (u)Sx_.udu— ] С‘ (н) Sx_txdu.
о	о	‘о
Уравнение эпюры М (5,137)
Уравнение эпюры ф
sx^fiu^rpx^u-
1
Фх — фо 1
-2е-
о
— О (х — с) —

2
(5.134)
— ( Щи) du.
о
В последних двух формулах величины F, S, 3, К —
моменты площади погонной отпориости основании при
осадке k=k„ кГ/сяд [см. 5.1.7, формулы (5,9)]; S, 7, К,
I — соответственно комомеяты этой площади; F, S, I —
моменты площади отпорности при повороте с.
Сопоставление формул (5.134) — (5 137) с (5.119),
(5.120), (5.124), (5.126) показывает, что вторая группа
формул непосредственно следует из первой иа основе
обобщенной статико-кинематической аналогии (см.
5,1,8). Обыкновенная упругая балка и абсолютно жест-
кая балка на упругой основании представляют собой
взаимные брусья. Примеры' см. на рас. 5.30, а, а', б, б'-,
в, в' и т. д.
5.S. БАЛКИ
241
Абсолютно жесткие балки со свободными концами
иа упругом основании
Отпорность основания (погонная) пропорциональна
некоторому коэффициенту, характеризующему упругие
свойства основания, и ширине подошвы балки в дан-
ном сечении. Отпорности выражаются произведениями
k = k0 b', с = ceb.	(5.138)
Здесь fee кГ/см3 — коэффициент отпорности при осадке;
сл кГ/см — коэффициент отпорности при повороте.
Обычно, принимают со==О. Значения см, ниже—•
5.5.6, табл. 5.5. В случае плавающей балки (понтон) по
закону Архимеда Ао равно удельному весу воды: /ф, = у =
= 1 т/л13 = 0,001 к-Г/сл3, Для песчаного основания До =
=0,5 ж- 5 кГ/см3.
Если рассматривается практически наиболее важ-
ный случай силовой нагрузки, наперед заданные дефор-
мации отсутствуют, то напряжения по подошве балки о
и одновременно осадки о определяются по формуле вне-
центренного сжатия:
R	М
Ох = v + V х; Vx	139)
F	i	k9
Здесь F, / — геометрические характеристики подош-
вы балки, рассматриваемой как симметричное сечение
некоторого бруса. При постоянной ширине b = const’
наглядности изображена симметричной относительно
оси х.
Для векторов фиктивных нагрузок используется ле-
вая система координат.
Опорные моменты для случая, когда основная си-
стема взята в виде простой балки:
/Дф Мф \
Д4	~ с ;
н	\ рФ	л	у
г’4R ’—	| ,	-р-	с о	।.
и	I рЧ>	’	^Ф	в	I
(5.142)
Рис. 5,45
При желании учесть отпорность при повороте к ве-
личине / добавляется величина + ~ F-
«о
Угол поворота балки вычисляется по формуле
М
Ф =—~ const.	(5.140)
Этими же формулами можно воспользоваться при
произвольно заданных законах изменения погонных
отпорностей k и с, положив feo=l, со=1. В этом слу-
чае под F и / следует понимать геометрические характе-
ристики площади эпюры k. Добавка к I для учета от-
порности с равна ф-F (площади эпюры).
Обыкновенные балки с защемленными концами
На основе статико-кинематической аналогии построе-
ние эпюры Л4 балки с защемленными концами сводится
к построению эпюры о вдоль иодошвы взаимной
абсолютно жесткой балки со свободными концами.
Уравнение эпюры М записывается в виде:
//?* jW* \
^ = <~Ь₽ + -фН- <5.141)
\ г	Г f
При построении л. в. изгибающего . момента нагруз-
кой взаимной балки явится с, д. 6 = 1 или, что то же,
фиктивный груз РФ=1 в исследуемом сечении.
На рис. 5.45, б показано определение опорных мо-
ментов от принужденных поворотов защемлений на уг-
лы и Фв и осадок опор иа од и vB. Соответствующая
взаимная балка дана внизу. Угол <рА соответствует отри-
цательной дислокации ©л, угол срв—положительной,
поэтому вектор ерд должен быть направлен вверх, вектор
фя — вниз (на рис. 5.45 направление этих векторов сле-
дует изменить па противоположное). Осадки вниз соот-
ветствуют отрицательным опорным моментам:
„	[ са , 1 \	( сАсв
МА = <рД /ф+ ?,ф фЦ~ /ф~
ий - оА
уф
Первое слагаемое — изгибающий момент от задан-
ных нагрузок в основной системе, в данном случае про-
стой балке. Второе слагаемое — изгибающий момент от
лишних неизвестных (опорных моментов или иных
двух лишних неизвестных, например Q и М в любом
1 1	/ J
у,-Ф J-Фв уф+угФ
(5.143)
сечении). Второе слагаемое определяется как напряже-
ние от внецентрепного сжатия подошвы взаимной бал-
ки фиктивной нагрузкой. Подошва имеет в каждом се-
чении ширину	где £/” —гибкость действи-
Поперечная сила
MR-—MA фл <рв
Q = -	Сл	Св +
тельной балки. На рис. 5.45, а эпюра гибкости -„р для
(5.144)
242
РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Для защемленной балки постоянного сечения
<6',4S>
Предыдущие формулы Имеют вйд:
,, й° / 12
xaxj. (5.141)
Здесь 0° — площадь эпюры А1°; ха_ —- абсцисса ее
центра тяжести Относительно середины пролета. При
симметричной нагрузке ха —О,
Опорные моменты от действия нагрузки;
(6 -142')
Формулы (5.143) и (Б. 144) переходят в
Мв== _ Ж + Фл__ з^;
(5.14S')
6 И
С = --^-(Фд + <Рв-2ф).	(5.144')
Эти формулы используются при расчете рам ио ме-
тоду перемещений.
5.5.3.	Приемы, упрощающие построение эпюр
и линий влияния статически определимых,
балок
Введение подвалок (рйс. 5.46). Если нагрузку, прило-
женную Непосредственно к балке (рис. 5.46, а), передать
геоез подба тку (оис 5 46,6), то опорные реакции и эпю-
рЫ за пределами подбалкт остаются без изменения, а в
пределах подбалки эпюра для балки могут быть получе-
ны суммированием эпюр балки и подбалки.
Йа рйС, 5.46, б введена подбалка на участке равномерна
распределенной нагрузки. Эпюры М в Q на уЧасткай
Rb
АС и DB Строят от силы R = pd по реакциям V д~ —
Ra
uVB = Учитывая наличие подбалки, эпюру №
спрямляют на участке CD (см. прямую C'D'). Далее
строят параболическую эп
мальвой ординатой 44"- =
юру для подбалки с макси-
pi2
Параболу пристраивают
О
к прямой CD’, перенося ее ординаты по вертикали. При
pd?
этом Е"п~пЕ'~ —— . На протяжении CD эпюра Q пря-
О
молинейная. Нулевая точка т определяет абсциссу сече-
ния
<& „ da

а
d	А
— д_ е
: 2	)
ре-
2 ’
При построении эпюры М следует учесть, что каса-
тельные к параболе в точках С и D' сливаются с пря-
мыми С'А и D'B (в этих точках нет переломов эпю-
ры М).
Замена связей (рис. 5.47, а, в). Статически определи-
мая консольно-балочная система (рис. 5.47, а) путем пе-
рестановки шарниров из сечений в пролетах в сечения
йад опорамй превращается в систему простых балок
(рис. 5.47,6). Крайняя левая балка имеет консоль, ко-
торая сначала в расчёт не принимается. Для простых
балок строят эпюры №. На рис. 5.47, 6 эти эпюры имеют
вид параболы, треугольника, 4рапёЦйи й нёСйммет'рйчной
криволинейной фигуры. Действительная эп16ра отличает-
ся наличием опорных моментов, дающих в каждом про-
лете дополйителбйую ЛряШлимё&ну!ю (трайёцёшИйьную)
эпюру. Окончательные моменты в сечениях действитель-
ного расположения шарнйррв равны нулю. Опорный мо-
мент Жо=— Рс известен. Прочерчивая начиная от Afg
ломаную через проекции Шарниров (переломы, над опо-
рами), получаем дополнительную, в данном случае отри-
цательную эпюру. Алгебраическое суммирование ординат
происходит автоматически.
Эпюру Q строят сначала для вСех простых балок
(сплошные эпюры на рис. 5.47, в).
Дополнительные эпюры представляют собой прямо-
угольники с высотами, равными уклонам дополнительных
эпюр М к горизонту:
Сайд
I
Для автоматического суммирования дополнительные
прямоугольники (показанные пунктиром на рис. 5.47, в)
пристраиваются в направлении, противоположном их
знаку. Окончательные ординаты Отсчитываются от пунк-
тирных горизонталей. Опорные реакции равны скачкам
над опорамй й эпюре Q.
5.5. БАЛКИ
243
Рис. 5.47
Построение линий влияния кинематическим методом
осуществляется без применения или с применением
взаимной (фиктивной) балки.
На рис. 5.47, г показана л. в. опорной реакции Vi, сов-
падающая с эпюрой вертикальных перемещений ь от
действия укорочения опорного стержня № 1 на А—1.
Отложена ордината щд=-1, далее через ее конец про-
черчена прямая 1—11, затем I—О ж II—Ш, Нулевые
точки ломаной О и 2 соответствуют опорам, точки пере-
лома. I и П —шарнирам. Во взаимной балке опорам
заданной балки соответствуют шарниры, шарнирам —
опоры, свободному концу —- заделка, заделке — свобод-
16*
ный конец. Взаимная баЛйаабсолютно Жесткая, опер-
тая чд /щщгое оегэза^че 547, Нагрузкой взаим-
ной б'алйй р* является пбгйнйй угловая деформация О
заданной балки. Для статически определимых балок уп-
ругое основание взаиийб» балет яйкакой роли не играет
и может быть отброшено. При этом ззаимная балка
называется обычно фиктивною байкой. Эпюра вертикаль-
ных перемещений з^д >н эи 'ал ч г-тронтся как эпюра
изгибающих моментов фиктивной балки от фиктивной
нагрузки. Для построения л- в, М в исследуемом сече-
нии прикладываете» груз-®==ДФ=1 (рис. 5.47, е). Для
построения л; в, Q прикладывается момент Г=£Ф==].
РАЗДЕЛ СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
(рис. 5.47,ж). Для построения л. в. 1Д в шарнире при-
кладываются два равных и противоположно направлен-
ных момента или изгибающий момент o = M® = l (рис.
5.47, з). При этом учтено, что опорная реакция равна
разности поперечных сил справа и слева от опоры.
5.5.4.	Равноиролетные неразрезные балки
на жестких опорах.
Метод бесконечной основной системы
Йолувескоиечпая балка
Балка, нагруженная на левом конце моментом, не
несущая другой нагрузки и простирающаяся вправо
до бесконечности, находится в напряженном состоянии,
изменяющемся от пролета к пролету по закону гео-
метрической прогрессии с отрицательным показателем
(рис. 5.48, а).
вый, соответствующие левой и правой полубесконечным
балкам.
Положение фокусов Ф и Ф' (рис. 5.48, б) совпадает
с положением точек редукции площади эпюры гибко-
сти пролета. Расстояние фокусов от середины пролета
равно радиусу инерции эпюры гибкости:
(5.146)
при £/=const
=----Уд-= 0,289 («0,29:.
2У 3
Меньший и больший фокусные отрезки (расстояния
от концов пролета):
Рис. 5.48
Показатель прогрессии с= — 1/А является общим для
всех одноименных факторов (например, изгибающих
моментов или углов поворота) сходственных сечений в
последовательных пролетах:
е __ ---- __ r f . f _ --- ! рч.
2	'	2
(5.147)
при Е1 = const е — 0,211 I,
f = 0,782 1.
Фокусное отношение (отноше-
ние концевых ординат эпюры дан-
ного пролета, взятое по абсолют-
ной величине)
/ _J + 2r*
е I— 2 Л ’
(5.148)
при Е! = const k = 2 + УЗ = 3,732.
Положение фокусов через фокусные отрезки:
I  I \п	II V.
Ма=Мй — ~~ I ; Фй = Ф« - —
\	« j	\ к )
Отложив опорные факторы в виде ординат и сое-
динив концы их ломаной, получают эпюру опорных
факторов (рис. 5.48,6). Эпюра опорных изгибающих
моментов, в отличие от других эпюр, например углов <р,
непосредственно дает эпюру изгибающих моментов на
всем протяжении балки. Точки нулевого момента Ф'
называются лравыми моментными фокусами при на-
грузке слева. Для правой полубесконечной балки при
нагрузке слева они совпадают, как указано, с фокуса-
ми эпюр других факторов. Для конечных равнопролет-
ных балок и неравнопролетных балок это равенство не
соблюдается (за некоторыми исключениями).
Ачяю.- уч» свойствами обладает левая подубёско-
нечнай баЛиф при нагрузке моментом на правей конце.
Бесконечная балка
1	в
g ~ I —— j—i-----,
k+r	йф-1
Вместо фокусного отношения k иногда
ла влияния одного опорного фактора на
меньший:
- _ 1 „ 1 ~ -
k 1ф-2г^ ’
(5.149)
вводят чне-
следующий
(5.150)
при £/=const с—— (2 —Уз )= —0,268.
Построение линий влияния
На рис. 5.49, а и 5,49, б даны эпюры М от единичных
активных опорных факторов Д = 1 и во=1. Кроме то-
го, показаны эпюры v от тех же факторов. При этом
/ л г I
ЧФЬ “ 0,о I тАА —
(5.151)
Балка,- нагруженная в пределах конечного числа
пролетов; рассматривается слева от нагрузки как ле-
вая Иолубесконечная балка, а справа—-как правая по-
лубёсконечнаЯ; балка, причем концевые моменты этих
балок зарЖее не: известии. В каждом пролете беско-
нечной балки отмечаются два фокуса левый и пра-
/	3	I
если El = const,	= 0,144—,
ДУ = р;	(5.152)
5.5. БАЛКИ
245
если £7 = const,
Уравнения л. в.:
я ИЗ Е!	Е1
< = —]----=—1,73—.
Фо = [(Г—Г3) - (2 - Уз") U- У]
12 Ы
Эпюры моментов одновременно являются л, в. q?i>
и Мп от подвижной фиктивной нагрузки: для получе-
ния фо и А-1о достаточно «загрузить* эти эпюры фиктив-
вольном масштабе эпюры от этих моментов
Рис. 5.49
еыми реакциями тд и Тв отдельных пролетов, рассмат-
риваемых как простые балки под действием заданной
нагрузки. Располагать временную нагрузку следует на
участках одного знака.
Эпюры прогибов дают л. в. фо и АЬ для подвижной
действительной нагрузки. Для двух пролетов, смежных с
опорой 0, эти л. в. приведены на рис. 5.49, в.
но = - В/ -Г3) - (2 - /з ) (g-?)] ~~~ t
о
На других пролетах ординаты получают последова-
тельным делением на k с переменой знака. Для дру-
гих опорных моментов л. в. получают сдвижкой на
1, 2, 3, ... пролета влево и вправо. Определив при помо-
щи л. в. от фиктивной или действительной нагрузки все
опорные моменты, строят эпюру опорных моментов в ви-
де ломаной, которую затем продолжают за пределы
нагрузки через левые и правые фокусы (рис. 5.50, а).
Конечная равнопролетная балка
Пусть балка имеет я пролетов и шарнирно
опертые концы /1, В (рис. 5.50, вверху). Рассматривая
балку как бесконечную, определяют опорные моменты
А!д и M'q. Над опорами прикладывают неизвестные
сосредоточенные моменты Хл и Хв я строят в произ-
(рис. 5.50, б, в), причем находят дополнительные опор-
ные моменты в сечениях А и В. Неизвестные ХА и Хв
определяют из условия обращения изгибающих момен-
тов МА я Мв а нуль. Получают два уравнения:
£4	(	!_
2 + 2

246
1’АЗДЕЛ Ь. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Отсюда
ХА = ~~	4 + МВ );
Левые и правые опорные ординаты эпюры
поперечных сил
С = Q0 -4,; + 4 К + Фо С" - Ма D"n + [Q«[;
ср - С +^щ
(5.155)
(5.153)
/ 1 \п
где Л=фтЬ
Другие граничные условия удовлетворяются ана-
логично. Окончательную эпюру получают путем сум-
мирования эпюры от нагрузок с эпюрами от найден-
ных значений XА и Х_в.
5.5.5.	Равнопролетные неразрезные балки
постоянного сечения
на упруго оседающих опорах [87, 92]
Метод начальных параметров
Концевые опоры могут быть любыми, в том числе
упруго оседающими, упруго поворачивающимися, жест-
ко защемляющими. Промежуточные опоры — упруго
оседающие одинаковой отпориостц.
Отпорностыо опоры и кГ/см называется реакция в
кГ, возникающая при осадке опоры на 1 см. Пролет
между смежными опорами I; жесткость балки £7 =
и/»
— const; с —---— (отвлеченное число). Опорные сече-
65/
ния нумеруются, начиная от левого конца: 0, 1, 2,
i—1, i, i~H, ..., n—1, п, пД-1, ..., s—1, а.
Реакция опоры (положительная направлена вверх)
Пл = -Р„ = ®„,	(5.154)
где vn—прогиб опорного сечения, численно равный
осадке опоры.
Эпюра Q имеет над опорами скачки, определяемые
величиной и направлением Решение по методу на-
чальных параметров дается в виде формул длр опор-
ных ординат четырех эпюр.
Опорные ординаты эпюры прогибов (осадок
опор)
vn = vu -4п 4 Фо Вп — Ма Сп — <20 -Сф-г 
Опорные ординаты эпюры углов поворота
фп = <л;-л4(1.6;^12сс;-дХ+!фчЬ ’ (б-155>
Опорные ординаты эпюры изгибающих
моментов
Лд 4- Q0B/; + д0Сга+ф0 D„4 {А1п].
Штрихи введены, чтобы отличать функции влияния.
Развертывание грузовых членов, взятых в фигурные
скобки, В случае сосредоточенных воздействий Гг, 0,,
£,-, Pf (Кп), приложенных в опорных сечениях
(сила Pi считается приложенной непосредственно спра-
ва от опоры г), развертывание делается по известным
правилам при помощи функций влияния, стоящих при
соответствующих начальных параметрах. Например:
h) = Ti Ап~1 - ez - Ч Сп-4 + Р( Dn^.
Знаки определяются тем, что Г и £ эквивалентны по-
ложительным скачкам соответственно в эпюрах v и М, а
в и Р эквивалентны отрицательным скачкам з эпюрах
<р и Q.
В случае нагрузок и других воздействий между опо-
рами развертывание требует предварительного подсче-
та грузовых членов для балки без упругих опор. Эти гру-
зовые члены обозначаются [в,-], [04. [444- [Q4. и вы-
числяются при помощи вторых и последующих строк
формул (5,119) — (5.122):
(5.156)
Функции влияния даются в зависимости от аргумента
n—I—1, 2, ..., 6. Справа подсчитаны функции влияния
при с==0,1.
Функции влияния для прогибов:
А ~ 1 /отог шщш.е ч 1< да);
Л« == 1 — щ
Д = 1 — 9с 4- с2;
д4 = 1 — 36с + 17с3 — с3;
д. = 1 — 100с + 135с2 — 2бсД 4- ср
А$—1 — 225с 4 965са — 298с3 — ЗЗгФ — с3;
А = 1;
Л.^0,90;
Л3-=0,Н;
Л4 = —2,431;
Д5 аз. — 7,6740;
Л6 = - 12,14471;
5.5. БАЛКИ	
В, ~ 1 (размерность с.«); В2 = 1 (2 — с); В3 = 1 (3 — 10с + с2); В4 = 1 (4 — 46с + 18с2 — с3}: В5 = / (5 — 146с Д 153с3 — 26с3	2); Ве = 1 (6 — 371с •+- 848с3 — 324с3 -'г 34 с* - с5);	to to to to to to E b 1 1 ! | ! <X О 2 «3 o § to g
Z2	, С3	(размерность кГ ); 2Ы	p C1 “ .22/ '
г- Сп =  	(4 — с"\'ч 2Е1 '	Л	P C;. = 3,9 	— ; 22/
р с3 = —ргд (9 — 12с + с2); 2-С/	P c = 7 gi 2E1
Р Ci “ 2еГ 06 ~ 68С + 20с3 ' " С’):	P C, = 9,399 	‘ 2E1
С5 -	(25 - 260г + 191с2 - 2ЯС3 2Е1	P C5 = 0,8821 	; 2Ei
р С 	(36 _ 777с 1 и92с2 — 378с3 + 36с3 - 2£/	P -c5);	C6 = —30,15441 	; 2£/
Р	, А = VB7" (размерность см • к.Г ); 6с/	/3 D, =	; 6EI
/з А = —р— (8 — с); 6С/	P A = 7,9 —— ; 6E!
р Ds = -—г- (27 - 16с + с2); Ой/	P D3 = 25,41 	; 3	6£7
F D = (64 _ пйс + 24£.2 _ с3). 6с/	P 1	6Е/
Р D3 =	О25 ~ 560с + 273с3 — 32с3 4- сД, ос/	P Ds = 71 ,6981 -утт; 6£/
V	р De = —(216 — 2003с + 2000с2 — 492ся Д 40с* — е§); Р6 = 35,21199	. 6г,/	6£/	
П р и в ы ч и с л е н и я х	F можно произвести замену	— ЬЕ1
Функции	влияния для углов поворота;
А., = 1 (отвлеченные числа);	л; = 1;
А2 = 1 — Зс;	А. = 0,7;
Лз = 1 — 18-с + Зс2;	4 = -0,77;
А’4 = 1 — 60с + 42с2 — Зс3;	д'= — 4,583;
А"5 = 1 — 150с + 285с2 — 66с3 + Зс*;	Л( = = 112 157;
Л' = 1 — 315с + 1308с2 — 702с3 + 90с1 — Зс5;	= — 18,11303;
В\ =	(размерность см~!-к,Г—1 . Е1	1
1,5с);	А = 1.85^-;
248	РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
©з =уу (3 — 12с + 1,5 ?);	В'3 = 1,815-у;
д' =_£_ _ 51С + 24? __ J >5Д	д- 0,8б15 J__ .
Ei	*	Ei
В3=~Е-(5— 156с + 1§7,5? — 36?+ 1,5с'1);	В'5 = — 8,76085-у ;
Bg =-у (6 — 388,5с + 984 ? — 420? + 48с1 — 1,5?); В*6 = — 23,425215 -у ,
Функции Cn_i совпадают с функциями Cn__t
	~ 0 (размерность см, "*);	=0;
		Зс _ 1 '	, 1 D, = 0,3y;
	Зс = -у (5 — с);	D' = l,47y ;
D\	=-у-(14 — 13с+?);	1 D4 = 3,813y;
0.5	= у- (30 — 81 с + 21 <? — с3);	,	1 D, = 6,6327 —; 3	I
Об	= у- (55 - 341с + 212с2 — 29с3 + ?);	Dg = 6,89757y .
	Функции влияния	для изгибающих моментов
Е	-1 ~ Ап—1' Ол_г = Вя_г;	
с{	=0(размерность хГ);	Gj = 0;
+	= х(;	Cn = и2;
С3	= х/ (3 — с)1	Cg = 2,9x1;
с\	= х/ (6 — 11 с + ?);	C4 = 4,91x1;
с,;	= + (10 — 57с + 19? — ?);	Q = 4,489x1;
Об	= v.l (15 — 203с + 172? — 27с3 + ?);	C" = —3,6069 mJ.
о;	= 0 (размерность кГ-см^,	D\ = 0:
°2	= х(2;	D3 = x?;
Оз	= х? (4 - с);	D3 = 3,9 xl“;
D,	= и/2 (10 — 12с + о2);	D\ =8,81 zl2;
о;	= х/2 (20 — 69с + 20 с2 — ?);	D3 = 13,299x13
ч	= х/2 (35 — 272с + 192с2 — 28? + ?);	Dg = 9,6921 x?.
	Функции влияния для поперечных сил	
	-1 Ап-В	
Е	= 0;	B" = 0;
Е	= V,-	B“ =x;
Вз	= х(2 — с);	©3 =1,9%;
5.5. БАЛКИ
249
В'ц = х (3 — 10с + с2);
Bj = и (4 — 46с + 18с2 — с3);
В" = х (5 _ 146с + 153с2 - 26с3 + с4);
Сч = c"n-i D^i = Dn~t слМ1 .
< = 2,01 к
= — 0,421 X;
В" = — 8,0959 и;
Пример 5.3. Четырехпролетная балка с про тетями
( = 4 ж оперта на промежуточные раввоупругие опоры
х = 30 Т/м\ отпорность концевых опор Ио—-Xt = 50 Т/м.
Построить snrapv моментов от нагрузки р (рис. 5,51),
£==2-10’ Т/лВ; /’==• 16- 10“э М
3
Ш Ш +x S h] —p-^+
i—l
4-30
Рис. 5.51
pl*
‘24EI
1 =— 7,9p;
3
f=l
n - (4(-W
4~~!' P 24EI
24£7
Подставляя^ находим:
M-0,1 \
---------] =0,053p.
24-32-102/
v0 — 0,002178?: фа — 0,005836?;
Qo=— 0,2089?, Ale=0;
Вычисляем:
х/з	30.43
/- = ——  --------------------—О 1
6£/	6-2-10?-16- 10~°
Начальные параметры: Л40—0; Q0 = x0o0; о0; гря.
Уравнения для определения неизвестных начальных
параметров; 1) /И4—0; 2) Q4 = —адщ
}) х0 °0 б4 +с0 С4 + Фо D4 + {41J = 0»
ИЛИ
о„ [50 (-1,684) + 589,21 + Фо 4228,8 + {MJ = 0;
2) % °0 ^4 +°0 В4 + Фо С4 + 1^4 =
~~ х4 М Л4 + <р0 В4 — х0 v0 Dt) — %4 {Vi},
ЙЛИ
v9 [50 (—2,431) + 60,3 + 50 (—2,431) — 50.50-0,1748] +
+ Фо [589,2 + 50 (-1,684)] + {OJ -4 50 {v4J = 0,
откуда
щ = — 0,0001753 {Mi} 4-0,00147 {Q4} 4- 0,00147-50 {v4};
Фо = —0,0002154 {Mi} —0,0001753 {QJ 4
4- 0,0001753-50 {c4}.
В данном случае:
з
,	.	(41 — О/)2
И J = M] +1' XI	—2— +
i=l
(31 — 21)«
4-30?-----ст-2-! =- 31,6p;
отсюда:
Mt ==— 0,1089p-4 =— 0,4356?:
Л4г =—0,1089?-1,9-4 — 0,002178?-30-4 4-
4- 0,005886?-30-42 = 2,616?;
Ms =—0,1089?-2,0П 4 — 0,002178?-2,9-30-4 4-
42
4-0,005886р.3,9-30-4 —?-— = 4,83?; Mt == 0.
Этими ординатами определяется ломаная эпюра, яв-
ляющаяся окончательной в пролетах 0—1 и 1—2. В про-
летах 2—3 и 3—4 к сторонам ломаной прибавляются
параболические эпюры от местной равномерно распреде-
ленной нагрузки. Имея эпюру моментов, можно получить
эпюру Q и реакции, а по ним и прогибы, (осадки) опор-
ных сечений. На рис. 5,51 показана также л. в. Л1^.( ==
= о®3, построенная как эпюра прогибов от:0е —1.
Подробные таблицы для расчета по методу началь-
ных параметров см. [93]. Случай упруго оседающих и
упруго вращающихся опор см. [157]. Балки перемен-
ного сечения на упругих опорах различных типов см.
[154].
Бесконечная и полубесконечиая балки
Расчет конечных равнопролетных балок по таблицам
для бесконечных балок см. первое издание, стр. 245—
246 и табл. 8.1.19, 8.1.20.
5.5.6. Балка на упругом
(винклеровском) основании
[86, 43, 44, 75]
Общие данные
Предполагается, что сплошное основание развивает
погонную реакцию, пропорциональную прогибу (осадке)
и направленную противоположно прогибу:
250 РАЗДЕЛ 5, СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Рреакт ~(5=161)
Здесь k к.Г]см2 —' отпорность основания при осадке.
Величина А зависит от характера основания.
Отпорность грунтового основания в первом прибли-
жении принимается равной произведению коэффициента
отпорности (коэффициента постели) fee (табл. 5.5) на
ширину подошвы балки Ь:
й = М-	(5.162)
Таблица 5.5
Ориентировочные значения k®
Материал основания	ks, кГ/см'
Плывун, песок свеженасыпанный,, глина мокрая, размягченная Песок слежавшийся, балластный, гравий насып- Песок, гравий, плотно слежавшийся, щебень, глина малой влажности « а э	. Песчано-глинистый грунт, искусственна уплот- ненный, глина твердая . в » в » » » » * „ » Мягкая скала (извествяк, песчаник) « . « .	0,1—0,5 0,5—5 5—10 10—20 20—100
В настоящее время интенсивно развивается также
представление о грунте как основании с двумя коэф-
фициентами отпорности, лучше представляющем физи-
ческие свойства грунта, и соответствующая теория байки
[99 и 100]. Расчет балок, опертых на грунт, представ-
ляемый в виде упругой полуплоскости или полупрост-
ранства, см. раздел 19.
В случае плавающей балки коэффициент отпорности
равен сдельному весу воды: й0=~у=1 Т/м3 или
0,001 кГ/см3.
Если основанием служит большое число сближенных
поперечных балок или поперечин, опертых на грунт, то
й5=зж—,где в— податливость (перемещение от единич-
оа
ной нагрузки} поперечины;, а —расстояние между осями
ивперечии.
Вырезанная вдоль образующей из цилиндрической
оболочки при осесимметричной нагрузке элементарная
балка-полоска по характеру работы является балкой
иа упругом основании.
Если £Z==const, k=const, отпорность при повороте
с — 0, ---= 0, система уравнений равновесия и сов-
GFg
местности деформаций (5.118) принимает вид:
Р + kv-
dx
drp -
dx	El
(5.163)
Гиперболо-круговые функции
dM	dv
——=. Q + m-,	= <p + y.
dx	dx
(5.164)
и приводится к одному дифференциальному уравнению
четвертого порядка для прогиба или к аналогичному
уравнению для изгибающего момента:
£/0JV+fe = iK ±4^2»	(5-165)
я	EI
Характеристикой балка называется длина
4 /~ 4£1
fap : V СЛ*'	(5 '
Таблица 5.6
	Ах	вх	1 €х	D
0	1 1	1	0	0	1 0
0,1 О	1,0000 ода?	0/1000 0/2(Ю0	0,0050 0,0'200	0,00015 0.00135
0,3	0,9987	0,2999	0,0450	0,0045
0,4	0,9957	0,89965	0,0800	0,0107
0,5	0,9805	0,49895	0,1248	0,0208
0,6	0.9784	0,59745	0,17975	0,0360
0,7	0,9600	0,6944	0.24435	0,0571
0,8	0,9318	0,7891	0,31855	0,08515 ;
0,9	0,8931	:	0,88035	0,40205	0,1211
1,0	0,8337	0,96675	0,49445	0,1657
1,1	0,7568	1.04645	0,59515	0,2203
1,2	0,6561	1,1173	0,70345	0,28515
1,3	0,5272	1*1767	0,81825	:	0,3612
1,4	0,3536	1,22165	0,9383	0,4490
1,5	0,1664	1} 24855	1,06195	0,5490
1,6	— 0,0753	1,2535	1,18725	0,66145
1,7	— 0.3644	1,2319	1,3118	0,7864
1,8	— 0,7060	1,17885	1,4326	0,9237
/0	— 1,1049	1,0888 0,95575	1,54635	1,0727
2,0	— 1,5656		1,64895	1,2325
2,1	— 2,0923	0,7735	1,73585	1,4019	
	— 2,6882	0,5351	1.8018	1,57905
2,3	— 3,3562	0.23345	1,84075	1,7614
2,4	— 4,0976	— 0.1386	1,8461	1,94605
2,5	— 4,9128	— 0,5885	1,81045	2,12925
2,6	— 5,8003	— 1,1236	1,72555	2,3065
2= 7	— 6,7565	— 1,7599	1,58265	2,47245
2,8	— 7,7759	— 2,4770	1,3721	2,6208
2,9	— 8 Л 471	— 3,3079	1,08375	2.7443
3,0 3,1	— 9,9669 —11.1119	- 4,24845 — 5,30225	0,70685 0,2303 — 0,3574	2,8346 2,8823
3/2	—32,2656	— 6,47105		2,8769
3,3	—13,4048	— 7,7549	— 1,0678	2.80675
з#4	—14,5008	— 9,15065	— 1,9121	2,6589
3,5	-15,51»	-10,65845	— 2.9014	2.4195
3,6	— 10,4218	—12,25075	— 4,04585	2,0735
3,7	—17, 1522	—13,9315	— 5,35435	1,6(5485
3,8	-17,6875	—16,67605	— 6,8343	0,9969
8., 9	—17,9387	— 17,45985	— 8,4909	0,2321
4,0	—17,8498	—19,25235	—10,3265	— 0,7073
4,1	—17.347'2	—21,0160	—12,3404	— 1,8392
4,2	—16,3505	—22,70545	—14,52735	— 3,1812
4,3	—14,7722	—24,26685	—16,8773	— 4,7501
4,4	—12,5180	—25,63725	—19,37425	— 6,5615
4,5	— 9,4800	—26,74468	—21,9959	— 8,6290
4,6	— о,5И1	—27,50565	—24,71165	—10,9638
4,7	— 0,6312	—27,8274	—27,4823	— 13,57315
4,8	5,3164	-27,60515	—-30,2589	—16,4604
4,9 i	12,5239	—26,72388	—32,9814	—19,6232
5,0	21,0504	—25.05645	—35,57745	—23,0525
5.1	30,9997	—22,46605	—37,96185	—26,7317
5,2	42,4661	—18,8057	—40,0350	—30,6,346
5,3	55,5317	—13,9201	—41,68225	—34,72455
5,4	70,2637	— 7,6440	—42,77265	—38,9524
5,5	86,7044	0,19005	43,15925	—43,2557
5,6	104,8687	9,75435 i	—42,67745	—47,5556
5.7	124,7352	21,2199 !	—41,1 45ф-з	—51,75625
5,8	146,2448	34,7564	—38,32395	—55,74285
5,9	169,2837 .	50,5203	—34,1198	—59,38045
6,0	193,6813	68,65775	—28,2П6	—62,5106
6,1	219,2004	89,29465	—20,3042	—64,9518
6/2	245,5231	112,5249	—10.2356	—66,3981
6,3	272,2487	138,4120 :	2,28885	—66,91745
6,4	298,8909	166,9722	17,5862	—65,9486 —63,31045
6,5	324,7861	198,1637	35,77125	
3,5, БАЛКИ
251
Продолжение табл. 5.6
Е-Т	Ах	®х	Сх	°х
6.6	349,2554	231,88005	57,2528	—58,6895
6,7	371,4244	267,9374	82,2255	—51,74295
6,8	390,2974	306,0558	110,9037	—42,11895
6,9	404,7145	347,34985	143,4927	—30,1819
7,0	413,3762	386,§0715	180,1101	—13,2842
7,1	414,8263	428,2849	220,87175	в,7206
7,2	407,4216	469,4772	265,76635	31,02805
7,3	389,3783	509,41565	314,72645	60,0189
7,4	358,7306	546,93425	367,56875	94,1019
7,5	313,3700	580,67095	423,9858	133,6506
7,6	251,0334	609,0402	483.5233	179 00345
7,7	169,3472	630,22945	545,5557	230,44115
7,8	65,8475	642,1835	609,25955	288,16805
7,9	— 62,0375	642,587[5	673.6057	352,3123
8,0	— 216,8647	628,8779	737,31005	422,8713
8,1	— 401,1674	598,23435	798,81785	499,7008
8,2	— 617,4142	547,5808	856,28775	582,49745
8,3	— 867,9091	478,5993	907,5542	670,7544
8,4	—1154,6587	372,78655	950,11575	763,7226
8,5	—1479,3701	241,41355	981,0984	860,3917
8,6	—1843,2880	75,6088	997,25265	959,44835
8,7	—2247,0402	— 128,68235	994,93765 970,1255	1059,2289
8,8	—2690,4845	— 375,1167		1156,18385
8,9	—3172,6917	— 667,9794	918,36635	1252,35606
9,0	—3691,4815	—1010,87995	834,8607	1340,3007
9,1	—4243,5551	—1407,3690	714,40845	1418,0930
9,2	—4824,0587	—1860,5365	551,49275	1481,76105
9,3	—5426,5154	—2372,94855	340,3091	1526,7834
9,4	—6042,3167	—2946,2708	74,8875	1548,0229
9,5	—6660,9594	--3581,47555	—250,9985	1539,7669
Отношение /Д называется приведенной длиной бал-
ки.	называется приведенной абсциссой.
Уравнения эпюр
Общее решение по методу начальных параметров в
виде уравнений четырех эпюр дается в гиперболо-круго-
вых функциях А, В, С, D (функции Крылова):
Ах = А (§) = ch g cos g;
Sx = B(g) = -y (chgsing + shgcosg). '	(5Л67)
Затухающие функции
Таблица 5.7
“Д			1Д	
0	1	1	0	1
0,1	0,9003	0,8100	0,0903	0,9906
0,2	0,8024	0,6398	0,1627	0,9651
0,3	0,7078	0,4888	0,2189	0,9267
0,4	0,6174	0,3564	0,2610	0.8784
0,5	0,5323	0,2414	0,2968	0,8231
0,6	0,4529	0,1430	0,3099	0,7628
0,7	0,3798	0,0599	0,3699	0,6997
0,8	0,3131	—0,0993	0,3223	0,6353
0,9	0,2527	—0,0658	0,3185	0,5712
1,0	0,1987	—0,1169	0,3096	0,5083
1,1	0.1509	—0,1458	0,2967	0,4476
Продолжение табл. 5.7
S= — А	д	их		
1,2	о, нм	—0,1716	0,2807	0,3898
1,3	(>.0729	—0,1.897	0,2626	0,3355
1,4	0,0419	-0,2011	0,2430	0,2849
1,5	0,0158	-0,2068	0,2226	0,2384
1,6	-Л,(ЮВ9	—0,2077	0,2018	0,1960
1,7	—0,0236	—0,2046	0,1812	0,1576
1,8	—0,0376	—0,1985	0,1610	0,1234
1,9	—0,0484	—0,1899	0,1415	0,0932
2,0	—0,0563	—0,1793	0,1230	0,0667
2,1	—0,0619	—0,1676	0,1057	0,0438
2,2	—0,0652	—0,1547	0,0895	0,0244
2,3	—0,0668	—0,1416	0,0748	0,0080
2,4	—0,0669	—0,1268	0,0613	—0,0056
2,5	—0,0658	—0,1149	0,0492	—0,0166
2,6	—0,0637	—0,1020	0,0383	—0,0254
2,7	—0,0668	—0,0893	0,0287	—0,0320
2,8	—0,0573	—0,0777	0,0'204	—0,0369
2,9	—0.0539	—0,0666	0,0132	—0,0403
3,0	—0,0493	—0,0563	0,0021	—0,0422
3,1	—0,0450	—0,0469	0,0019	—0,0431
3,2	—0,0407	—0,0383	—0,0024	—0,0431
3,3	—0,0365	—0,0306	—0,0058	—0,0422
3,4	—0,0323	—0,0238	-0,0085	—0,0408
3.5	—0,0283	—0,0177	—0,0166	—0,0388
3,6	—0,0245	—0,0124	—0,0121	—0,0366
3,7	-0,0210	-М.ОО79	—0,0131	—0,0341
3,8	—0,0177	—0,0040	-0,0137	—0,0314
3,9	—0,0147	—0,0008	—0,0140	—0,0286
4,0	—0,0120	0,0019	—0,0139	—0,0258
4,1	--0,0096	0,0040	—0,0136	—0,0231
4,2	—0,0074	0,0057	-0,0131	-0,0204
4,3	—0,0055	0,0070	—0,0125	—0,0179
4,4	—0,0038	0.0079	—0,0117	—0,0155 >
4,5	—0,0023	0,0085	—0,0108	—0,0132
4,6	—0,0012	0,0089	—0,0100	—0,0111
4,7	—0,0001	0,0090	—0,0091	—0,0092
4,8	0,0007	0,0089	—0,0082	—0,0075
4,9	0,0014	0.0087	—0,0073	—0,0059
5,0	0,0019	0,0084	—0,0065	—0,0046 '
5,1	0,0023	0 0080	—0,0057	—0,0033
5,2	0,0026	0,0075	-0,0049	—0,0023
5,3	0,0028	0,0069	—0,0042	—0,0014
5,4	0,0029	0,0064	—0,0035	—0,0006
5,5	0,0029	0,0058	—0,0029	0,0000
5,6	0,0029	0,1X152	—0,0029	0,0005
5,7	0,0028	0,0046	—0,0018	0,0009
5,8	0,0027	0,0041	—0,0014	0,0013
5,9	0,0026	0,0036	—0,0010	0,0015
6,0	0,0024	0,0031	—0,0007	0,0017
6,1	0,0022	0,0026	—0,0004	0,0018
6,2	0,00'20	0,0022	—0,0002	0,0019
6,3	0,0019	0,0018	0,0001	0,0019
6,4	0,0017	0,0015	0,0002	0,0018
6,5	0,0018	0,0012	0,0003	0,0018
6,6	0,0015	0,0009	0,0004	0,0017
6,7	о,оо1з	0,0006	0,0005	0,0016
6,8	0,0011	0,0004	0,0006	0,0015
6,9	0,0010	0,0002	0,0006	0,0014
7,0	0,0007	0,0091	0,0006	0,0013
7,1	0,0006	—0,0000	0,0006	0,0012
7,2	0,0005	—0,0001	0,0006	0,0011
7,3	0,0004	—0.0002	0,0006	0,0009
7,4	0,0003	—0,0603	0,0006	0,0008
7,5	0,0002	—0,0003	0,0005	0,0007
7,6	0,0002	—0,0003	0,0005	0, 0007
7,7	0,0002	—0г0004	0,0005	0,0006
7.8	0,®001	—0,0004	0,0005	0,0005
7,3	0,0001	—0,0004	0,0004	0,0004
8,0	0,0001	-Щ1Ю04	0,0004	0,0003
252	РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
C^ = C(5)«^Shgsin|;
Dx = D (g)= — (ch g sin g — sh g cos g).
Формулы дифференцирования функций:			
	dAx	4 	ф.		 О ; dx	A x	dBx	1 dx	A Ax’	
(5.168)	dC,	1 	Ф. = — Bx- dx	A	dDx	1 Cx: dx	A	(5.169)
Функции даны в табл. 5.7. Более подробную таблицу (аргумент через 0,01) см. первое изд. п. 8.4.1.
Уравнение эпюры прогибов (эпюры напряжений по подошве, уменьшенной в k0 раз).
Обозначения нагрузок и дислокаций в формулах (5.170) — (5.173) соответствуют рис. 5.39:
(5.170)
Уравнение эпюры углов поворота (эпюры тангенсов углов наклона эпюры напряжений, уменьшенной в йо
раз) :
(5.171)
Уравнение эпюры изгибающих моментов:
Mx = Mo Ax	4- AQd B:c	4- k).’‘ r,j Cx	+a3 <pu dx д	
+ LAx-u	-A E P3M + Ш S rc^„	—kA3 S eox_u+	
0	0	0	0	(5.172)
d	rf	<1	d	
+ J’ mAx_udu (1	— 7 J pP>,._udu	'/Cx_tldu	—kA3 f -&DM du	
Уравнение эпюры поперечных сил:
Qx — Qq	Сх —	Л10
х	х	X	х
~ У рА*-и + а У У - 4- У i-px_u~
feeal	j£sss)	xassffii	Д j&sbsiH
0	и	о	и
d	a	a	d
— j pAx_uda kA j	- kA'- j #С.(_ЧЛ/— —- | mDx_udti.
(5.173)
5.5. БАЛКИ
253
Интегралы третьих строк раскрываются следующим образом. Функции внешних воздействий р, т, у обоз-
начим в общем виде через f(u) и ее производную — через ['(и).
Интегралы берутся по частям;
«)
d	а‘	d
f (и) Ax_udu к [ f (и) вх.~и	(и) Вх^е
С	с
Точно так же получим:
d	d
J f (U) вх_и^= - X < [/ (ц) Cx_u]dc - j r id) Cx_udu\;
c	c
d	d
J f (u) Cx_u du = - A | [z (u) Dx.~u] dc f j' (u) du;;
c	c
d	d
f(u}DMdU^^ {[/ (д)	j	
c }
(5.174)
Для случая прямоугольной эпюры воздействий Ни) =£—const, f'(и) =0 (например, равномерно распре-
деленная нагрузка) интеграл в скобках отпадает (см. рис, 5.40):
d
f gAx_u du -~= - gl	ДА._С - BXJ}-
(efix~udu =- g?, \cx^ = gk (cM - cx~d>
J gCx_u du = -gk, [Dx^ddc = {D^C - Dx--d) ’
c
^eDMdu = X [A^u]d к I Ax^A^d .
(5.175)
Если воздействие распределено по закону треугольника с основанием (d—с) и уклонов gi, то f(u) =
~§Ци—с), f(u) =g-1==const и формулы будут:
d
f Sj. (и - с) Ах__и du = Slk [х [сх^ - Cx~d} -- (d - с) Bx~d\ >
С
d
У^и-с) вх__и du = gx X [X (D^c -- Dx_d ) - (d - c) CM,|
d
J ег (и - c) Cx_u du =-- gt к [am - Ax~d} + (d
(5.176)
d
j (U - c) Dx„u du =- у [x (Bx_c - Bx^ -- (d - f) Ax_d\ .
=	j
Однопролетная балка
Начало при произвольной нагрузке помещают, как
правило, на левом конце. При симметричной нагрузке и
симметричных опорных условиях — посередине пролета.
Два из четырех начальных параметров заранее известны.
Два других определяются из условий на другом
конце:
1)	при свободном конце Q = 0; Ж = 0;
2)	при шарнирно опертом Л1 = 0; о=0;
3)	при жестко заделанном q?==0; v=0;
254
РАЗДЕЛ 5, СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ II СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
4)	при неповорачивающемся, но допускающем смеще-
ние q)=O;Q=O,
Начальные параметры однопролетной балки всегда
получаются путем решения двух уравнений с двумя
неизвестными. Для балки с обоими, свободными концами
эти уравнения имеют вид:
k^C,v0 + k^D^+ [A1J =0;
м^см + мвгоо+[сг]=о,
откуда
ЙГ“’ +
1 вдм^-xcdQii
kk3 c]~--BiDi
Формулы для других граничных условий см. первое
издание табл. 8.4.2.
Пример 5.4 (рис. 5.52). Пролет балки Z = 20 м, Ши-
рина постели 6 = 1,25 м. Модуль упругости балки (бе-
тон) £=108 Т/м". Момент инерции сечения балки / =
==0,256 Л4. Коэффициент отпорностн основания Ь =
— 3,2 кГ/сл«3=3 200 Т/мб, Нагрузки: Pi=i0 Т, Ш=15 Г,
р=2 Т/пог. м. Абсциссы uj=5 м, и-г=\2 м, с —6 .и,
<7= 16 м.
Вычисляем:
£/=0,256- 10е Тмд; й = Ао 6 = 3 200-1,25 = 4 G00 Г ЦК.
Характеристика
-1 f 4EI J'/ 4-0,256-10»
X 1 /--------— 1 / -------------= 4 м.
У k |/	4 000
Составляем выражения свободных членов в форму-
лах (5.177);
4
УМ = — Bt^Ui — %Р2 Bi_Us — Лр j В;_и diH=
С
----- Bt_u—	— X2 р (С^ — С^уу
[QJ ~ ш — Pg ,и, — Хр (В,_с	В/_ц)-
Выписываем нужные значения функций, входящих в
формулы (5.177), и свободные члены
(5.177)
] Отре- 1 зок	Дли- на в м	Приве- денная абсцис- са §	A U)	В П)	С (И	D (И
Z	20	5		•—25,05645	—35,57745	—23,0525
А-щ	15	3975	—17,4552	—14,79715		—
А-щ	8	2	— 1,5656	0,95575		
1~"С	14	3,5		--10,65245	— 2,9014	
l-d i	4	1		0,96675	0,-19445	
Вычисляем:
[Л/зд ] = — 4 • 10 (— 1-1,79715) — 4  15 (0,95575) —
— 42  2 (— 2,9014 — 0,49445) = 643,2 Тж
[фгф = — 10 (-- 17,4552) — 15 (— 1,5656) —
— 4-2 (— 10,65245 — 0,96675) = 291 Т;
Cfo— Ва, D,u = 688,15,
По формулам (5.177):
1	4 (—23,0525) 291,0—(—35,57745)643,2
о =----------.--------------------------------------- =
0	4000-4а	688,15
= — 0,00008973 м;
______!_ _ (—25,05645)643,2—4(—35,57745)291,0 _
~ 4000-42 ‘	688,15	~
= 0,0001436.
По формуле (5.172) выражаем момент в сечении с
абсциссой х=?/2;
Л101-; = XX2 о0 Со^ + М3 ф0 Р0>5/ — bOp51_Ui -
0,Б1
~РВ
причем по формуле (5.174)
и, 51
j 4),31—г: du ~~ В	~~ Д) = '‘^0.51—0 •
Напряжение грунта, равное прогибу, умноженному
на коэффициент отпорностн основания,
ао,5>. = % К),51 = k0 \v0 Acu5t Н“ В(90 S0,5I +
“Г В1 Вп.П—гн Ж- ф.у Р
0,31
I Джу-лdu - y (Ao,oi~-C - 0-
5.5. БАЛКИ
2Е
Отыскиваем значения функций:
Отре- зок	Дли- на н м	Приве- денная абсцис-	А (5)	В ®	С Ш	O(s)
0,5^	10	2,5	—4,9128	—0,5885	1,81045	2,12925 ’
0,51—u.	5	1,25		1,1486	—	0,32175
0, Ы—с	4	1	0,8337	—	0,49445	—

Подставляем найденные выше величины Оо и <р0 и
значения функций:
Mn,5l = 4000-42 (--0,00008973) 1,81045 +
+ 4000•430,ООО1436•2,12925 — 4•101,1486 —
-~2-42-0,49445 = 6,И Тм;
о0>57 = 3200j — 0,00008973 (— 4,9128) +
4з
+ 4-0,0001436 (—0,5885) +------------ 10-0,32175—
0,256-10"
4“	2	1
_-----------. — (0,8337 — 1) =
0,256-10s	4	J
= 3,16 Т/л2 = 0,316 кГ/сл2.
Для определения опасных сечений следует построить
эпюру напряжений грунта и эпюру поперечных сил.
Нулевые точки эпюры Q указывают сечение с относи-
тельно наибольшими и наименьшими моментами. На
Рис. 5.53
г
о
-0,0123 -0,3335-0,6076-0,.
рис. 5.53 даны эпюры kov, +<p, М и Q.
Свойства балки со свободными концами. Балка, на-
груженная сплошной нагрузкой, распределенной по за-
кону прямой линии рх = ро+р+, ведет себя как абсо-
лютно жесткая: эпюра осадок представляет собой пря-
1
мую	(ро+р'х), а напряжение по подошве равно
=~7“(ро+рД). Усилия во всех сечениях равны нулю
о
Балка, нагруженная на конце силой или парой, де-
формируется в зависимости от ее приведенной длины.
На рис. 5.53 и 5.54 показаны эпюры осадок от £=1 и
Р= 1, одновременно являющиеся л. в. начального угла
поворота фо и начальной осадки (прогиба) vt>. При
>3 = 4 балка практически не отличается от полу-
А
бесконечной.
Если расстояние от конца нагрузки до конца балки
превосходит (3 ~ 4) X. то балку в направлении этого
конца можно рассматривать как бесконечную. Если рас-
стояния от концов нагрузки до ближайших концов
балки превосходят с каждой стороны (3 = 4) X, то бал-
ка рассматривается как бесконечная в обе стороны.
Рис. 5.54
Бесконечная двусторонняя балка
Балка имеет свою систему функций, выражающих
влияние сосредоточенных факторов Р, Ь, О, Г на усилия
и перемещения сечений, расположенных вправо и влево
от фактора.
На рис. 5.55 показаны эпюры v, ф, М, Q от факто-
ра Р, действующего в нулевом сечении.
Функции влияния (затухающие):даны в табл. 5.7.
Тх = ?(«) =	cos	i
Ux = U (s) =	(cos a — sing);!
Vx = V® = +s sin |-
IFx = 47 (g) = (sin *+cos 2).
(5.171
256
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Формулы дифференцирования
dT1 п„ dUx
dx A dx
dVx ~ 1 „
dx A x’ dx
Пусть балка загружена сосредоточенными факторами
9	.	Р, L, 0, Г, равномерной р и треугольной р' нагрузка-
ми на участках от х~с до x~d. Для сечений правее
А '2	всех нагрузок получаем следующие уравнения эпюр.
(5.179)
Уравнение эпюры прогибов:
		1 v == Г — 7 х	2 а<	д	X"	Л3 Х^и + у	+ L Vx^u + Р	+ -	+ Р’ ~~	- Ux_d) - (d - с) 5\_d].			(5-180)
Уравнение эпюры углов поворота:						
		1 W = — 0	 Л	2 А3 -Ж27(Ю_,	А,	А-	1 Т то 1 	и _ р	у ~ г — ГУ	—- > L 4 £/ Ле-ч Р 4Е{ V х-u	2Х х-« ~	- р'	[А (Гм - Т^д) - (£ - с) \УХ^\ 		(5.181)	
Уравнение эпюры изгибающих моментов:						
		1 М = L — х	2 А2	А	£7	£/ Г.м 5- Р -	- Г ЖУ	- 0 Г_и - ~	+ Р' -у [У	~	~ (d — с) Vx^		(5.182)	
Уравнение эпюры поперечных сил:						
		Р---ру А	El	El	1 7	— Г — U	+Й — V — I — W 	 x-u	£:j	А.> Фе-и L2k - их^} + р' Y р (Vx-C - Vx^) 4 (rf - с) ux^d}.			(5 183)
Если нагрузка расположена правее сечения, то ее
действие также необходимо учесть. Действие сосредо-
точенных факторов выражается теми же формулами, но
с переменой знака, когда симметричный фактор {Р, 9)
влияет на антисимметричный [Q(x), ф(х)] или антисим-
метричный фактор (L, Г) влияет «а симметричный
Рис. 5.56
Полубесконечная балка
Формулы для правой полубесконечной балки при раз-
личных граничных условиях на левом конце ем. I изд.
табл. 8.4.4 я 8.4.5.
Использование бесконечной балки для расчета
конечных балок
(Метод компенсирующих нагрузок) [67, 69, 153]
Рассчитывают балку, предполагая, что слева и справа
от фактических концов Л и В она простирается до бес-
конечности.- Прйеэтом получают Л1д, Qx и АЦ, Ов,
пользуясь I изд. табл. 8.4.3 и формулами (5.182) и (5.183).
Вводят неизвестные силы Ул и Ун, моменты ZA я Z в
(рис. 5.56), подбифаемые так, чтобы удовлетворить дей-
ствительным граничным условиям s А и В. При свобод-
ных концах усилия М и Q непосредственно справа от А
и слева от В должны быть равны нулю. Это дает четы-
ре уравнения для определения четырех неизвестных. Це-
лесообразно преобразовать нагрузку в симметричную и
антисимметричную. Уравнения образуют две независи-
мые группы по два уравнения с двумя неизвестными, со-
ответственно Гд == }в, ZA =—Zb и Ул=~Ув, Za=Zs.
Метод целесообразно применять в том случае, когда ре-
шение в начальных параметрах приводит к операциям
с большими значениями функций А, В, С, D и результаты
получаются как малые разности больших величин.
5.5. БАЛКИ
257
Практические указания
Все приведенные выше формулы даны в предполо-
жении, что связь подошвы балки с основанием двусто-
ронняя. Если сопротивление отрыву не обеспечено, то
при расстоянии ближайшего груза от конца более ~рр~
происходит поднятие конца. Если балка нагружена дву-
мя равными грузами по концам, то длина балки должна
быть менее лХ, Если балка нагружена равными грузами
на расстояниях /, то необходимо выполнить условие
/<4,73Х, в противном случае произойдет отрыв подош-
вы от основания и изменение работы балки.
Балка на упругом основании принадлежит к конст-
рукциям, для которых увеличение сечения нс всегда при-
водит к уменьшению напряжений. Поэтому рациональ-
ный подбор сечения балки связан с рядом проб.
Другие виды балок на упругом основании
Сжатая или растянутая балка на упругом основании
см. [90].
Балка переменного сечения на упругом основания
см. [44, 49].
5.5.7. Общим метод расчета неразрезных
балок на жестких опорах.
Уравнение трех опорных моментов
[65, 75, 40]
Равнопролетные неразрезные балки на жестких опо-
рах, как правило, рассчитывают при помощи таблиц
раздела 8.1 При весьма большом числе пролетов и пере-
менном сечении в пределах пролета рекомендуется метод
бесконечной основной системы 5.5.4.
В общем случае опорные моменты получаются путем
решения системы уравнений трех опорных моментов.
Здесь тпвв, 4Я> углы поворота от еди-
ничных моментов. Первый нижний индекс отмечает, как
всегда, «место» поворота, второй — его «причину» (место
приложения единичных воздействий). Верхние индексы —
V —	! | — V
номера пролетов; ж = —4------с—Б м . =_ш _3 
1/2	«	’ аi
1П	Чг-р
углы перекоса, обусловленные осадкой опор; [ 4 ] •
[ 4я] — углы поворота торца В п-й простой балки и
торца А (я+1) -й простой балки от заданной местной
нагрузки этих балок, а также от температурного или
начального искривления.
Уравнение трех опорных моментов выражает равен-
ство
4 + т"+1 = 0
ИЛИ
Мп~\ 4д + Мп + т-f) + 7Ий+1	+
+ 4+1 “ Пф + [4j + [4+1] = °- (5- !84)
Таких уравнений составляется столько, сколько имеет-
ся неизвестных опорных моментов. Опоры и включае-
мые над ними шарниры рекомендуется нумеровать так,
чтобы № 1 имела опора, над которой действует первый
статически неопределимый опорный момент (рис. 5.57,
б, в, г). Поэтому над левой шарнирной опорой или опо-
рой консоли ставится № 0, момент Мо, входящий в урав-
нение № 1, равен нулю или заранее известной величине
(опорному моменту консоли).
При защемленном левом конце балки (рис. 5.57, г)
первое уравнение получается из (5.184), если положить
й=1, 41=41 = [т<р] =0;
Ml ^АА +	41 + ф<2’ + [г],2’] = 0. (5.184')
Если первый конец защемлен, то и последнее урав-
нение записывается аналогично.
Уравнения, связывающие опорные моменты неразрез-
ной балки, являются трехчленными, за исключением пер-
вого и последнего, которые содержат по два неизвестных
момента. При этом предполагается, что углы перекоса ф
равны нулю или наперед заданным величинам, т, е. бал-
ка покоится на опорах, осадки которых, если и имеют
место, то от неизвестных моментов не зависят. См. при-
мер 5.5.
Если изгибная жесткость в пределах отдельных про-
летов постоянная, то уравнение трех моментов имеет вид:
Уравнение выражает условие неразрывности дефор-
мации неразрезной балки над я-й опорой или равенст-
во нулю угла взаимного поворота смежных торцов я-го
и (я-Н)-го пролетов (рис. 5.57, а). Оно дает п-е канони-
ческое уравнение при расчете неразрезной балки по ме-
тоду сил (в качестве основной системы взят ряд про-
стых балок, шарнирно соединенных над опорами, неиз-
вестными являются опорные моменты).
Угол поворота правого торца я-го пролета
4	1 4 л + твв 4 + [4] •
Угол поворота левого торца п+1-го пролета
4я = Мп + Мп+Х + %+1 + [4я] •
17—1303
6£7
\&Е1п	6Е/н+1 (
71+1 6Е/„+1 + ^’л+1 ~~ Я
+ [4] + [4я] =°-	<5Л84а)
Обычно пользуются уравнением, умноженным на 6Е!„
где 7= — произвольно взятый, постоянный для всех
уравнений момент инерции.
Длины ln = ln Ie. , l'n+1 = 1п+{-М— и т. д. называ-
ем	«+1
ют приведенными длинами или приведенными проле-
тами. Тогда
258
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И» СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Мп~1 hl + 2jMre ( l„ Аф1) + Мп+1 h+l +
+ шв (фв+1 - й- 6£/с {[ Хпа ] + [4+1] Н  <5  1846)
Отсюда автоматически получаются первое и послед-
нее уравнения в случае концевых защемлений. Достаточ-
но положить соответствующее 5 = 0.
Если £/=eonst на всем протяжении неразрезной бал-
ки, штрихи опускаю гея. Если моменты инерции сечений в
отдельных пролетах пропорциональны пролетам, ///=
= const, то уравнение будет
6£7
Мп^ +	+ Л4й+1 + (1yt - «у -ф
(5.184в)
Доугие обозначения свободных членов:
И+1=С+а
2)6£/Д^]=£я;
3) 6£/Д4]=^0; бЕ/Дт^1] =ДР0.
(5.185)
Величины я 1? берутся из табл. 8.1.3.
Для балок с вутами уравнение трех моментов запи-
сывается в виде
hi 4b + 2Жп ( hi 4 b + А+1 Аа) +
+ Ащ-1 A(-i hb +SEls (	+ S Рп ln ln tba 4-
Система уравнений
1)	. X-i ац -ф Хя Sjg -ф «1р = 0;
2) Xi ад 4" Xt --J- X з в»з --J- а2р — 0;
(5.187) 	3) Х« «as -ф Ха ass -ф Хц -ф asp — 0; 4) Х8 + Х« Ям -ф Х6 а'4зф а$р = 0;
Цепные з	5) Xi citi 4~ Х-з ви	+ аър 0- а в и с и мости для величин с, А, с', А'
Сверху вниз
(5.189) Си ==———; а11 ЙТз		(5.190) Лг = й1р;		!
		Ла —	а9р 4" Xj Схй	
^23 ~~,ет“в*	aag аЕ1 с12			
	о?,»	—	азр + са=;	i
См —-	азз 4~ ввг с-23			I
Cis~- X	«45	А * =	’ о 4р "5 Xs Css 	
		Г		
+ Ч Ч tb + " Рп4-1 4+1 hi-\-i Чш;+
Рп+1 9 г
+ --7- А+Л+А = 0-	(5.186)
Здесь Рп, Pn + i — сосредоточенные нагрузки в n-м и
(я-НДм пролетах; рп, pn+i — интенсивности сплошных
равномерно распределенных нагрузок в тех же пролетах.
Таблицы коэффициентов t см. первое издание табл. 8.1.18.
Коэффициенты t для балок, высота прямоугольного
сечения которых изменяется по линейному закону, а
также для стоек ступенчатого сечения см. табл. 8.3.5,
8.3.7—8.3.10 и 8.3.12—8.3.16.
В общем случае балок переменного сечения для вы-
числения коэффициентов т в уравнении (5.184) исполь-
зуются формулы (5,131) — (5.133) или метод начальных
параметров,
5.5.8. Решение системы уравнений трех
моментов и общих трехчленных уравнений
[86, 110]
Аналитический способ
Трехчленные уравнения являются важной катего-
рией канонических (т. е. обладающих взаимностью коэф-
фициентов яц = ам) уравнений строительной механики.
Здесь даются расчетные формулы, основанные на встреч-
ном исключении неизвестных, в развернутом виде для
случая пяти уравнений с пятью неизвестными. При дру-
гом числе уравнений и неизвестных решение записы-
вается по аналогии.
Решение
а1Р + Ас21
---- , »
Йи +	&21
xa=- xa =-	cia + ea p~ ^3C32 fl2l C1S + в28 + °S3 C32 ’ 21 г Cg3 -ф aSp -ф Л4 c43		(5.188)
	а3г сгз + °зз + fl3s с4з	
x,4 =- Xt =-	Л3 с34 + °4р + А С54	
	а& С34 + Я« + в4» С54 Ац c4g ф- <г5р £45 Т й55	
Снизу вверх
См —	__ о	£ Xi ~а2р + А с32 ’
	°22 +®23 С32	
	ааа	
с32	й33 +а34 с43	А ~а3р A Xi с@;
^43	аа	, а44 4-®45 с54	А ~а4р А А См1
	См .	
	ам	
	(5.189')	(5.190')
5.5. БАЛКИ
259
Штрихи при коэффициентах с введены с целью под-
черкнуть неравенство сп—р п Д
Коэффициенты с связаны с так называемыми фокус-
ными отношениями
^n.ra—1
1
сп,п—1
(5.191)
Графический способ
На рис. 5.58, а дано графическое определение знаме-
нателей общего решения (5.188) (утолщенные отрезки
Вп СД и на рис. 5,58, б — числителей (утолщенные отрез-
ки М'Д') по так называемому методу делителей или
методу перекрестных фокусов [153].
Для построения эпюры знаменателей на вертикалях
I, И, V в порядке непрерывного зигзага откладыва-
ют коэффициенты уравнений:
1) BjCi — Su; CiSi=fiia; 2) АгВя-ан-аил В^Съ—а^',
СДД — агз, 3) ЛзВа==вз2=агз; В3Са==ваа и т. д. Проведя
прямую BjAa, находят точку бД, проведя прямые
DiGiz и В2А3, находят точку Ога и аналогично — точки
6Д н Gts. Идя обратно от точки С5, определяют точки
Gs4, G43, GS2, G21. Точки G называют делителями или пе-
рекрестными фокусами. Последний термин обусловлен
следующим: если расстояния м„жду вертикалями взять
равными пролетам неразрезной балки, то перекрестные
фокусы 6 будут совпадать с зеркальными отображения-
ми действительных фокусов f.
Построение эпюры числителей.
Откладываются свободные члены
Л/2Л/2=в2р и т. д„ за-
тем проводятся диагонали NiMit
ХДЛз и т. д. На эти диагонали
проектируются делители G. Через
делители проводятся ломайые
мгм’2м'3м'4м5 и ASJV' JV' AC, N\.
Утолщенные отрезки между ло-
маными равны искомым числите-
лям в дробях (5.188).
При достаточно большом раз-
мере чертежа (например, равного
по размеру писчему листу) гра-
фический способ дает хорошую
точность.
Определение чисел влияния
Для построения л. в. и обсле-
дования влияния различных на-
грузок используются числа влия-
ния.
Числом (коэффициентом) вли-
яния Ьц1 называется значение не-
известной Xi, получаемое в пред-
положении, что свободный член
о«р равен единице, а все осталь-
ные свободные члены рдвны ну-
лю. Матрица чисел влияния систе-
мы п уравнений содержит л2 чле-
нов и называется обратной мат-
рицей по отношению к матрице я2
коэффициентов aik. Числа- влия-
ния вида Ьц (при i=k), располо-
женные на главной диагонали, подобно главным коэф-
фициентам ан, называются главными числами, влияния,
все остальные числа вида &«(£#&)•—побочными. При
канонических уравнениях (вг»==вй<)- побочные числа
влияния также обладают свойством взааинрстн: bi}i =
= bin-
Для получения главных чисел влияния системы трех-
членных уравнений (5.187) достаточно в общем решении
(5.188) заменить все числители единицей;
Ьи =- —--------------___ .	(5j92)
«Дг„1 Cj—i.z +аа +д,/4-1	,1
Одновременно с общим решением для заданных зна-
чений свободных членов получаются и все главные числа
влияния.
Подсчитав главные числа влияния, определяют все
побочные числа, пользуясь табл. 5.8.
Контрольные равенства:
(5.193)
° 22	С21
Ко % с® 643854
Механический синел воздействия, соответствующего
единичному свободному чле^У я*4,*=1 при остальных ну-
* Си, 1,1,а.
260
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Таблица 5.8
Определение чисел влияния системы трехчленных
уравнений
X»	I	2	3	4	5
1	ьи			/?14=&24С12	
2	*21=511^21	^22		&24===^а4с28	^23“^аБС23
3	— Ь2)Л’з2		Ь...=		£з05 =&454?34
4	(7 ц—“^01^43		^43“^33^43		
5	ЬИ=Ь41СМ	Z>52—^43^64		Ьм=Ь.цС51	ьм
левых свободных членах, состоит в приложении над Ей
опорой неразрезной балки с. д. 0,= 1. Числа влияния
равны опорным моментам от этой с. д. Эпюра моментов
от в, =J совпадает с л. в. опорного момента Л4,-для фик-
тивной нагрузки. Эпюра прогибов от 0;==1 совпадает с
л. в. Mi для действительной нагрузки. Имеются в виду
натуральные числа влияния, полученные для исходной
системы уравнений. Если же операции производятся с
системой уравнений, полученной из исходной путем умно-
жения на некоторый множитель, например 6£7С, то числа
влияния должны быть подсчитаны не от aiP = I, а от
flip = 6Е/С.
Построение л. в. усилий Q« и в промежуточных
сечениях неразрезной балки и л. в. реакций Vn
Л. в. строят либо на основании принципа сложения—
путем суммирования л. в., построенных для простых ба-
лок (основной системы), с л. в. опорных моментов, пред-
варительно умноженных на коэффициенты, выражаю-
щие влияние .этих моментов на исследуемое усилие или
реакцию, либо непосредственно как эпюры прогибов от
С. д.
Усилия Q« и jM, в пролете п—-1, п зависят от
опорных моментов и М.а. Реакция (давление на
опору) зависит от моментов	и Мп+!;
= (5Л95)
n L — и	и
Ма = мйи +	+ у- Л4а; (5.196)
П = ^ + Т“(^+1-Лу-
гл+1
- у	(5Л97)
гя
Здесь первые слагаемые, отмеченные нуликом,
выражают л. в. для основной системы.
По способу непосредственного построения эпюры
прогибов сначала вычисляются опорные моменты от
соответтзующчх сосредоточенных деформаций Ги> 0В
(см. 5.4.3). Затем строится эпюра моментов, а по ней —•
эпюра прогибов.
Первый способ удобен при серийном построении
л. в., второй — при построении небольшого числа л. в.
Пример 5.5. Схема пятипролетной неразрезной бал-
ки и ее нагрузки показана на рис 5,59. Построить эпю-
ру М от действия постоянной нагрузки и определить
опорные моменты для двух случаев расположения вре-
менной нагрузки, дающих наибольшие положительные
моменты соответственно в нечетных и четных пролетах
балки. Соотношение моментов инерции Ц : 12 :13-. Л :
: /5=3 : 4 : 2 : 1 : 4.
Таблица нагрузок
i Пролет	Постоянная		Временная	
	распреде- ленная £. Т!пог. м	сосредото- ченная G, Т	распреде- ленная р, Т/пог м	сосредото- ченная Р, Т
/		G3=8	Pi=2.B	
2	g2-=1.3	Gn=6,5	р,=2,1	Р2=10
3	3	G.;^9	р^4	Ру=13
4	^4 — 0,3 4.;=в	—	р'=12	
	g3=3,2	—	р5=4,5	—
Приведенные длины пролетов (принимается /с=4)
/4	>	4
I, = 1-^ = 6 5—=8,67 <	/„=8—= 8
1	1 1г 3	‘4
Z3 =10 лц = 16 м\ /5 = 10 м.
Система уравнений трех опорных моментов (5.184,6)
с учетом обозначений (5.185) (вторая строка) имеет
вид;
33,3331,. + 8М2 4- h + Ri = 0;
8М, + 3651» + 10Л43 + С2 + R2 = 0;
10Л12 4- 52Л43 4- 16Ж4 + L3 + У = 0;
16513 4~ 5234^	4~ У 4” У ™ 
Попролетное вычисление компонентов свободных
(грузовых) членов для постоянной и двух вариантов
временной нагрузки дано в таблице к примеру 5.5.
Полученная в численном виде система трехчленных
уравнений сопоставляется с (5.187). Решение для каж-
дой группы свободных членов разыскивается в виде
(5.188). С этой целью при помощи цепных зависимос-
тей (5.189) и (5.189') определяются величины с и с':
8
с12 =—-------- =__ 0,24;
1	33,33
16
=—  -----------— =—. 0,326;
52-10-0,294
5.5. БАЛКИ
Рис. 5.59
262:
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
•	16
с43----- -——0,308;
Об*
„ с	10
[с =— —-------------— = — 0,213;
132	52— 16-0.308
По величинам с при помощи формулы (5,190), опре-
деляются величины А; по величинам с' — величины А'
для каждой группы грузовых членов,
Для постоянной нагрузки:
Лх = 1 027;
Ла = 901,3 -- 1 027-0,24 = 654,3;
Яэ = 696,7 — 654,3-0,294 = 504,7;
Л4 =1139,2;
Л3 = 696,7 — 1139,2-0,308 = 345,7;
Ла = 901,3 —345,7-0,213 = 827,8.
Значения неизвестных для постоянной нагрузки:
1027 + 827,8(—0,236)
Mi = —.---------------------------
33,33-8-0,236
831
----— =—26,46 Тлг;
31,45
-- 1027  0,24 + 901,3 — 345,7 -0,213
---
Л4а =
М.
—8-0,24 + 36 — 10-0,213
580,8
=— _д__ =_ 18 2 Тлг.
31,96
-654,3-0,294 + 696.,7 -- 1139,2-0,308
-10-0,294 + 52 — 16-0,308
153,7
=-- -4- =—3,48 +и;
44,13
—504,7-0,326+ 1139,2
-16-0,326 + 52
975,7
=— —---=— 20,85 Тм.
46,78
Числа влияния определяют по формуле (5.192) и
табл. 58. Главные числа влияния равны величинам, об-
ратным знаменателям общих выражений для неизвест-
ных. Например:
+1 =—	==~ 0,0318 =— 318-10~~4;
31 э4о
bs2 =— +++ =— 313 10~4 и т. д.
31, Уо
Таблица (матрица) чисел влияния, увеличенных в 10s раз
№	1	2	3	4
1	-318	75,1	-16,0	4,92
2	73,1	—313	66,6	—20,55
3	—13,0	66,6	—227	69,8
4	4,92	--—20,55	69,8	—214
Числа влияния дают значение неизвестной непо-
средственно по грузовым членам, минуя определение
Величины А и А1. Например:
Ма = а1р Ьг1 + eS;J + aSp bis + а$р b-2i —
= (-1027-75,1 + 901,3+13 — 696,7-66,6 +
+ 1139,2-20,55) 10~4 =— 18,2 Тм.
Эпюра M с опорными ординатами, равными числам
влйянйя, дает л. в. для подвижной фиктивной нагруз-
ки (см. пунктирную эпюру на рис, 5,59, совмещенную
с л. в. Af2). Если фиктивная нагрузка приведена к опор-
ным сечениям, то вычисление ее действия (установка
на л. в.) совпадает с вычислением М2 по грузовым
членам и числам влияния (см. выше).
Л. в. тИ3 для подвижной действительной нагрузки
строят как эпюру прогибов от пунктирной эпюры мо-
ментов. Общее выражение прогиба от опорных момен-
тов простой балки в сечении с относительной абсциссой
На рис. 5.59 эпюра Mg получена путем алгебраиче-
ского суммирования эпюр Мпа для основной системы
2 ь
простых балок с эпюрой ОТ липших неизвестных =-
опорных моментов.
Аналогично определяются опорные мйменты для
вариантов временной нагрузки. При этом пересчета
значений с и с', а также знаменателей выражений для
неизвестных не требуется. Пересчитываются голый ве-
личины Л и Л', а также числители выражений для не-
известных. Этим путем определено:
I вариант: Л4Г==—19,0 Тм; М.ц——9,18 Тм; М3—
=—1,18 Тм; 21,3 Тм;
И eapaai.i..А1. = —21.6. Тм; М2=—-18,5 Тм; Жз—
=-ЗД4 Тм; '+-—3,29 Тм.
Пример 5.6. Для той же балки определить числа
влчягыд ’ потощать л в опорных моментов Mi и Mt,
усадив Ж.Лз И Qo+j ii опорной реакции +•
имеет вид
Для отдельных пролетов при построении л, в. Л12
это дает:
пролет 1
4" „р. АЖ. _у; _р,р_у) _
=75,1  10~~4-6,5-8,67 (g— Е,3);
пролет 2
if3 =75,l-10-4-8-8( V - V3) —313-Ю“4-8-8(++3);
6.5, БАЛКИ	263
Таблица грузовых членов (к примеру 5,в)
Постоянная нагрузка	j	Временная нагрузка
Пролет	формула	числовое значение в ТЛГ-	грузовые члены в Тмг	формула	I вариант		II вариант	
					числовое значение	грузовые члены	числовое значение	грузовые члены
7	^4,0 0- 4'7 + 3 W1	483,2 543,3 543э8	£,34“^1 = = 1, 027 001,3 £,,;-4-7сз !--т = Ж/ ЕН-/?. - ~ Н3952	М г1 ,	2 . у - j— /j 4-у Aj z} 4	707.0	- = 70730 - •= 494,0 7<i4~-R;j ~- = 494,0 /^4-^, сто ~ 1125,0	8	6.+Я1 = = 868,5 LM-R. = = 868,6 Ь,-№ = = 480,0 ДгНТ = = 480,0
2	к = 72_£ 1 +-G 1 1' 1	4	2 lfl 2 2 2 &>	,	15			.	15 t = -тоЛ. /' + 5 р i V 4	2	16 2 2	0 0		868,5 868,5	
3	So	о 4Ч+/Л!з L = toL® l' + ± G I f J	<5	g	=j J 3	357,5 357,5		<Г	,г° : Н	I! । оиЗ	|	cJti 4“	+ j	от } и	494,0 494,0			
4	R = 1L± i' + ± у 4 г 3	4	4	32	4 4 У Z4 , St	339? 2		м, =~ р', 12 С 32	4	4	4 L, = —р' fl 1' 4	4	4	4	0 0		480,0 480,0	
5	«.-Ah	350,0		n Р5 1 л д = ——  i 4	4	5	1125,0			
Примечание. Попарное равенство грузовых членов от временной нагрузки связано с симметрией нагрузки в пролетах-								
пролет 3
(у — Е'р +
4-60,6-llF'Ta-10 (g — Is);
пролет 4
дИ=66,6-10~4.4-16 (у — g,?j —
—20,55- 10^-16(g — У);
пролет 5
дЯ 20,55-10~'-10.10 (У — У’) .
На рис. 5.59 показаны Построенные таким образом
л. в. Mi и Л12.
Л. в. усилий в промежуточном сечении t|— 0,4/2, g'~
= 0,6 4 построены по формулам:
лЯ4/3 = <44 + °’6М1 + 0-4Я;
Л	-- Д7?!
^0,47, = Qo,4l2 +	Т~0~
Л, в .И® и Q® для простой балки пролетом U пока-
заны на рис. 5.59 пунктиром; главные ординаты их да-
ны в скобках,
Л. в. Vj построена по формуле
/1	1 \	Л42
Л. в. У® для пары простых балок 0—1 н 1—3 пока-
зана пунктиром.
Пример 5.7. Найти грузовые члены для деформаци-
онных воздействий на балку: 1) при построений л. в.
Лф и Qo>< как эпюр йрогибов От ф д. 0 = рФ = 1 и
Г=£Ф = 1; 2) при осадках опор № О, 1, 2, 3, 4, 5 соот-
ветственно на о0, vit V2, os, t)i, os; 3) при неравномерном
нагреве балки на (нижние волокна) и 7® (верхние
волокна).
Свободные члены во всех случаях определяются как
опорные давления смежных пролетов от фиктивных на-
грузок:	
а . = 6Е/.(	•
пр	С \ О 1 A J .га 1 й
1)С. д. 0=1 рассматривается как фиктивный груз
Р* = 1, с. д. Г=1 —как фиктивный мбмейт £* = 1, Уве-
264
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Таблица грузовых членов (к примеру а.
5,5. БАЛКИ
265
личенные в 6£7С раз опорные давления соответственно
равны:
L1=0; R-^GEf.-OM; L2 = GEICM,4; R. =0;
Li = 0;
6Е/С ~
8,0 ’
R2 = 0.
П =
1	8,0 ’
Это дает грузовые члены
dip,— £i ~Ь Ri ™ 6Е7с• 0,61	1\% = GE1,4.
Аналогично:
6£7С	GE1C
8;0 ’ аМ~~ 8>0
Остальные грузовые члены равны нулю. Определив
неизвестные моменты Mi, .. . ,, АП, строим эпюру про-
гибов по указаниям в примере 5.6, При построении
эпюры v в пролете. 1—2 необходимо учесть сосредото-
ченные деформации в сечении 0,4 /2. Практически это
эквивалентно наложению л. в, А{° и Q° для простой
балки,
2) Осадка п-й опоры на рассматривается как
фиктивный изгибающий момент =vn. Этот момент
вызывает в основной системе опорные давления:
v п—1
5.5.9. Неразрезная балка на упруго
оседающих опорах. Уравнение пяти
опорных моментов [65, 87, 88]
Если неразрезная балка (рис. 5.60) покоится на уп-
руго оседающих опорах, например упругих поперечи-
нах, понтонах (наплавной мост) и т. п., то углы пере-
коса пролетов ф непосредственно зависят от нагрузки
балки.
Податливость п-й опоры (осадка от единичного гру-
за, приложенного к опоре) обозначается в„ см/кГ. По-
датливость есть величина, обратная отпорности:
Это дает свободные члены уравнений:
GEfc vn	„„,11	1
an—i,p~~ j	anp=	vn | —j + ~
я	\ n
__ 6£/g
an+i,p I
ln+l
Влияние осадок каждой из шести опор приведено в
таблице к примеру 5.7.
3) Кривизна от неравномерного нагрева рассматри-
вается как погонная фиктивная нагрузка:
Опорные давления
пФ f
И = уФ= НАЛ.
n~i 2
Свободные члены
«ПР = &EIC I +
Рж-щ/п-М
2
Влияние нагрева всех пролетов см. в таблице к при-
меру 5.7. Для расчета на случаи 2 и 3 необходимо иметь
фактическую величину модуля упругости и моментов
инерции, а ве только соотношение жесткостей отдель-
ных пролетов.
Осадка n-й опоры (прогиб над д-й опорой)
<5.198)
Здесь V® — давление на п-к> опору в предположе-
нии шарниров над опорами.
Углы перекоса:
ln+l
ф = — (V — V„
!	\ п n—i;
Разность углов перекоса или дополнительный угол
перелома с. д, над п-й опорой
СЛ = ^+1 - Д =	( Мг+1 -	~
Оп^.	(5.199)
гге
Пользуясь уравнениями (5.184а), (5.198) и (5.199),
можно определить опорные моменты последовательны-
ми приближениями. При весьма податливых опорах в
первом приближении приравнивают нулю опорные мо-
менты и из (5.199) находят фи-ы^-фп, которые подстав-
ляют в (5.184а). При более жестких опорах сначала по-
лагают равными нулю осадки и из (5.184а) находят опор-
ные моменты, которые и подставляются в (5.198) и
(5.199). В последующих приближениях пользуются дан-
266
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ А1ЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ними предыдущего приближения, каждый раз определяя
проги£	:ты из системы (5.184а), при-
чем выражения для мрментов представляются в развер-
нутом виде по формулам (5.188); Можно вводить в
уравнения только поправки (см. раздел 6), Процесс
продолжается до тех пор, тюка последовательные вели-
чины /И или v не будут отличаться незначительно.
Уравнение пяти опорных моментов получается путем
подстановки (5.199) в (5.184) и имеет вид:
%,п +
+ жН,А.«+1 +Ч+2®л,я+2 +0ЙР == 0-	(5.200)
Значения коэффициентов в:

7г—1
(5.2 01)
В случае равнопролетной балки постоянной жестко-
сти уравнение (5.200) имеет вид:
® 4~	1 О ~™ а ба) 4-
6Q„ а„
+ /Ил+1 (1 - 4а) + Ж„+3 а. = -
'п
_а (KL1 „2Й + L В20М
' 6£7в 6Е/
Здесь а — ——; й71, Яв+» — площади эпюр мо-
ы /Зи
ментов от нагрузок, подсчитанные для простых балок с
пролетами я—1, я и п, а+1. Уравнение (5.201а) отли-
&Е1
чается ет «естественного» (5.200) множителем ~. Это
следует учитывать при определении чисел влияния.
В системе пятичленных уравнений первое и послед-
нее уравнения содержат по три неизвестных, второе и
предпоследнее — по четыре, все промежуточные — по
пять. Для решения обычно применяется метод Гаусса,
Другие приемы см. [142].
5.6. АРКИ И ПРОСТЫЕ РАМЫ [58, 95, 64, 61, 39, 87]
5.6.1. Общие положения
л' и” юе назначение арок м црортид (рдндааэитур-
} га-’— (ужать несущрй консто,"’ с: го: у j ,•< ч
» Для арок характерно криволинейное, а для рам
ломаное очертание оси. Полигональные арки могут быть
отнесены кай к аркам, так и к рамам. Для арок и рам
существенно возникновение наклонных реакций опор при
ьеп-.'г... ;ьчоГ1 нагрузке (распора). Это выдвигает до-
чэ;'нотедьно..е требования к грунту и устройству осно-
ваний. Для мостовых сооружений, несущих большую
1 тото I |ую ц в щ’ е* - о нагрузки; важное значение
/мент выбор ’'зштоюгг-о ’ <щ ari, по-.тотаюаг/й
СЗТО"! Г V» ТДЛ 1« .ПГЯблЮП И“ МЭМ'ПТЫ В ТОЧеНТО*-
ар'.д [50, >53, 64] П-рвостепенч-э” значение в.тоьр эапяс-
нальной оси имеет для каменных и бетонных мостов,
В гражданских и промышленных сооружениях очертание
мстато’-четочк и зоб юто ьщ арок, обычно выбирает-
ся по арЮ'тсщ гр'.ы’л н.» про-зчодствеиным соображе»
пчам о соблюди шем Рлл; гш’.нипзз рационалыюсти
формы оси, сводящихся к тому, чтобы изгибающие мо-
менты были как, можно меньше, иначе говоря, чтобы ось
арки была по возможности близка к кривой давления.
Последняя является огибающей равнодействующих
усилий в сечениях арки и имеет форму веревочного
многоугольника для нагрузок арки.
Бесшарнирная арка или рама 3 раза статически не-
определима, Добавление каждого шарнира снижает сте-
пень статической неопределимости на единицу. Чем выше
степень статической неопределимости, тем меньше гиб-
кость арки, тем больше температурные напряжения.
Трехшарнярная статически определимая арка свободна
от температурных и усадочных напряжений, если пред-
положить, что по толщине арки температура или усадка
распределена по линейному закону. В ней не возникают
также напряжения в случае осадки опор.
Расчет арки начинается с вычерчивания оси, опре-
деления нагрузок, реакций и усилий. Далее следует под-
бор сечений и проверка прочности. В конце уточняют
собственный вес и производят окончательный расчет.
5.6. АРКИ И ПРОСТЫЕ РАМЫ
267
5.6.2. Трехшариирная арка
Реакции и усилия при постоянной нагрузке
На рис. 5.61, в показана симметричная, а на рис.
5.61, б —- ползучая арка. Под Рв, Рх> L со значками «л»
и «пр» подразумеваются сосредоточенные нагрузки или
равнодействующие нагрузок левой и правой полуарок.
Рис, 5.61
Реакции пятовых шарниров А и В представлены верти-
кальными компонентами и компонентами; направленны-
ми по прямой АВ, При этих условиях каждый из ком-
понентов определяется самостоятельно из одного урав-
нения равновесия всей арки или полуарки: VA или VA —
из уравнения ВМв — 0; VB или —из уравнения
ЗМл— 0. Эти уравнения составляются для всей арки;
определение реакций V и V' ничем не отличается от
определения реакшй простой балки. ИБ или Нв опре-
деляются из уравнения 2Л1|!р=0 для правой полуарки;
НА или Н А — из уравнения =0 для левой полуар-
ки. Проверкой служат уравнения 2Х==0 и 2У—0, со-
ставленные для арки в целом.
Для ползучей арки по компонентам: реакций V и Н'
(рис. 5.61, б) находят полные вертикальные и горизон-
тальные составляющие реакций:
Ил = Vz + /f^sinT; FB.= V’B — В'в sin Т„
НА^=Н 'А cos у; И В~НВ CPS у .
Усилия в любом сечении т с координатами центра
тяжести хт, ут:
изгибающий момент
^Ахт-Н&ут+Шт].
поперечная сила
Qm = VA cos а п - НА sin ат + [Q J,
продольная сила
й/и VA sin ат - НА cos + pVJ.
(5.202)
Здесь [Мп], [Qm],	— значения усилий для кри-
волинейной консоли Ат со свободным левым и защем-
ленным правым концами; ат — угол наклона оси арки к
оси х в сечении да.
При вертикальной нагрузке:
л	МС
Ул = У в = нА = И в = И = -у;
Мт = НУт- Q-m «S ffsin a,m.
Nm =- Q°m sin am - H cos am.
(5.203)
' Здесь V°A, V°s, M° и Qn- реакции и усилия, подсчи-
танные для простой балки; Л1В — изгибающий момент в
простой балке в сечении ключевого шарнира С; f—•
стрелка арки—плечо ключевого шарнира С по отноше-
нию к прямой АВ.
Имея уравнение оси арки	получают значе-
ния tga—y', а затем
1	М
cos а —---—— , sin а =------——— .
У1 + У'*	/1 + У'*
Эпюра М получается как линейная комбинация эпюр
Л4° и Ну, эпюра Q — как комбинация эпюр Q° cos а и
Н sin а, эпюра N — kw комбинация эпюр Q° sin а и
Ясоза. Эпюру М целесообразно строить в масштабе
Л1В =). Тогда эпюра Ну превращается в эпюру у с ор-
динатами, отложенными -от прямой АВ, совпадающую
с осью арки. Ординаты /эпюры М получаются как раз-
ность между ординатами эпюры М° и ординатами оси
арки (рис. 5.62, а).
В случае параболической архи с уравнением оси
4/
У = ~ х (< — х) == Ж?';
4f
у' = tgа. =—ж- (/—2х);
(5.204)
268
РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
при равномерно распределенной нагрузке получается
параболическая эпюра М° и прямолинейная эпюра Q°:
МО = -j-x(/-x) = -^ Q0 = -J- (I - 2х). (5.205)
х I — х
Здесь § =—; = -—; ординаты эпюр М и
шлются в нуль. Арка работает во всех сечениях
ральное
сжатие. При этом:
pl
А в 2	8/
pl"
Q обра-
на цсит-
N = — Н cos а = —	.
8/21 + tg"«
пологой арки приближенно можно
Фактически в параболической арке при равно-
мерной нагрузке возникают небольшие моменты вслед-
ствие изменения формы арки в связи с обжатием оси.
При равномерном и нормальном к оси арки давлении
р кГ]пог. см длины оси изгибающий момент Мт и рав-
нодействующее усилие Rm
по формулам:
(5.206)
Для
принять
вычисляются
Rm=PPm- (5.207)
Здесь ро —- радиус так называемого узлового круга
[95]. В случае трехшариирной арки узловой круг про-
ходит через три шарнира арки; рт — радиус-вектор ис-
следуемого сечения m (рис. 5.62,6). Усилие Rm перпен-
дикулярно рт. Путем разложения Rm по направлениям
сечения и нормали к нему определяют Qm и Nm. В слу-
чае круговой арки моменты и поперечные силы равны
нулю.
Графическое определение реакций арки см. 2,1.5 и
2.2.2. Построение кривой давления (многоугольника рав-
нодействующих усилий) см, [119, 120].
Данные для построения эпюр в различных случаях
нагружения см. табл. 8.2.2—8.2.6. Данные для вычисле-
ния ординат оси см. табл. 8.2.1.
Кинематический метод (рис. 5,64). Л, в. Mm, Qm,
Nm усилий в сечении m строят как эпюры вертикальных
перемещений соответственно от единичных с, д, От = 1,
Гга=1, Ат = 1. На основе статико-кинематической ана-
логии арка моделируется кривым стержнем (брусом) со
свободными торцами и тремя опорными стержнями в
местах шарниров, перпендикулярными плоскости кри-
Рис. 5.63
Линии влияния
Л. в, VА и Vb не отличаются от л. в. для простой
балки (рис. 5.63). Л. в. Н совпадает с л. в. Мс, но с
ординатами, уменьшенными в / раз (средняя ордината
надписана на рис. 5.63). Л, в, усилий строят па основе
формул (5.203), преобразованных к виду:
Q = sin a fQ0 ctg ос— ff
m \ }n ° rn /’
/V = — cos a'fg а + Я'|.
(5.208)
Сначала строя г л, в, Н, которая без изменений вхо-
дит в другие л. в С ней алгебраически суммируют ба-
лочные т. в. МД ч фда, , множенные на соответствующие
коэффициенты. Затем пес ординаты умножают на мно-
житель, стоящий перед скобками, Этот же способ при-
меняется в случае двухшарнирной арки.
визны. Так как моделирующий брус и опорные стержни
абсолютно жесткие и обеспечивают неподвижность (ки-
нематическую определимость системы), упругого осно-
вания можно не вводить. На рис. 5.64 а, б, в в точках А,
В, С вместо шарниров теперь подразумеваются опоры.
Используется система левого винта. От с. д, 0т = 1
(фиктивного груза, перпендикулярного плоскости черте-
жа) возникают фиктивные реакции опорных стержней
Тд, Тв, Тс, уравновешивающие вт —1 (рис, 5.64, а). Из
уравнений моментов относительно прямой АВ
С f	f
Реакции Тд и Тв теперь определяются из уравнений
2Л-1|=0 и 2А1$=0 относительно вертикальных осей
(в плоскости оси арки), проходящих через Тв и tA.
Найдя тд и имея тс, строят эпюру односторонних (типа
изгибающихJ) моментов относительно вертикальных
3 Их нельзя просто назвать изгибающими, так как верти*
кальные оси не лежат в плоскости сечений бруса.
осей (т. е, осей, параллельных подвижной силе Р)
Практически задача сводится к построению эпюры изги-
бающих моментов для горизонтальной балки — проек-
ции по рис. 5.64, а' от фиктивных сил Р* = 0т = 1 (вниз)
и У* — (вверх). Л. в.
совпадающая с эпюрой
о”т> имеет вид двух треугольников. Аналогично
строят л. в. Q,n и Nm, прикладывая к моделирующему
брусу с. д, Гт=1 и А=1 (рис. 5.64, б, в). В этом слу-
sin am
чае из З.Ллв=0 в С получаются реакции тс =---—
cos «т
и соответственно тс = -— . Ьалка-проекция нагру-
жается в первом случае сосредоточенным фиктивным
,ф	.. .,Ф sinam
моментом L^=cosamH силой иу. =---------, во втором
rd).	.. г rd) соь
случае — моментом L;n =—sinam и силой v,\ = —-—
(рис. 5.64, &, в'}. Эпюры моментов балки-проекции
дают искомые, л. в. Q,„ и Nт.
Указания об использовании л. в. Л. в. используются
наиболее широко при расчете мостовых арок. Помимо
усилий, отнесенных к центрам тяжести сечений здесь
применяются также ядровые моменты и л. в. ядровых
моментов. Момент относительно нижней ядровой точки
дает величину нормального напряжения в крайнем верх-
нем волокне, момент относительно верхней ядровой точ-
ки— в крайнем нижнем, волокне (см. 5.2.6). Л. в. ядро-
вых моментов строят по тем же правилам, что и л. в.
изгибающих моментов, вводя .вместо хт, ут соответ-
ствующие координаты ядровых точек.
Указания о невыгодном загружении трехшарнирных
арок временной нагрузкой см. табл. 8.2.3.
Эпюры углов поворота и прогибов арки
Эти эпюры для любой арки строят как эпюры фик-
тивных поперечных сил и изгибающих моментов бал-
ки-проекции, нагруженной соответствующими сосредото-
ченными и распределенными фиктивными нагрузками.
По сравнению с построением л. в. трехшарнирной арки
здесь в общем случае добавляются фиктивные распреде-
ленные нагрузки: силовая (р*) и моментная (тФ).
Уравнение эпюры углов поворота
о о
(5,209)
Уравнение эпюры прогибов
vx = Л4* = М* -ф (Э*х + S L* - Е рФ (х - «р) +
о о
+ J жФ du — | рФ (х — a) du. (5.210)
Сосредоточенные фиктивные нагрузки выражаются
через с. д, арки:
Р* == Q; L* = rcosa — Asina; (5.211)
распределенные фиктивные нагрузки — через деформа-
ции и усилия арки:
ф ®	М
—------- -----------.
cos a El cos a
=	=	(5.212)
GF у	EF
Построение эпюр, перемещений для арки сводится к
тем же операциям, что и для балки. Если /cosa = /0 =
= const и положить tg a = tg acp = const, то речь идет
о балке постоянного сечения.
В случае трехшарнирной арки угол взаимного пово-
рота сечений в ключевом шарнире (фиктивная, реакция
тс=уФ =_QC) вводится в уравнение прогибов (5.210)
как сила Р4>=—тс. Как и выше, при построении иш
флюент, тс определяется из уравнения моментов фик-
тивных нагрузок арки относительно оси АВ.
Общее выражение угла относительно г0 поворота в
ключе трехшарнирной арки
тс = — ес = у-	©у ф- Г sin a-ф V Л cos а +
4 J д-у ds	+ J Y sin a ds 4 J A cos a ds -J-
s	s	s
CM	f Q
s	s
f N	\
+ "T7C0s®is-	(5.213)
J EF	/
s
270	? и СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Из этой суммы выбираются нужные слагаемые.
Например, в случае воздействия температуры
вводятся только члены, содержащие в и ?., причем Од-™
а (4 — ф)
__---------мх—.	— абур. Остальные члены полагают
"сеч
равными пулю.
Эпюры прогибов арок строят для назначения строи-
тельногЬ подъема, для уточнения расчета путем введе-
ния деформированной оси, при построении л. в. прогиба
ключевого шарнира трехшарниряой арки и главным об-
разом при построении л. в. усйлин в статически неопре-
делимых- арках. Каждая из этих л. в. получается как
эпюра прогибов некоторой балки или, что то же, как
эпюра моментов некоторой фиктивной балки.
5.6.3. Статически неопределимые арки
Универсальные формулы для усилий [871
Расчет арок часто ведется методой сил С йспользо-
ванием упругого центра (вынесения неизвестных при
помощи абсолютно жестких конетлей). Пользуясь этим
решением, получают приводимые ниже формулы, позво-
ляющие представить результат в компактной и нагляд-
ной ферме. Эти формулы получаются также непосред-
ственно на основе етатйко-кйнематйче-скои аналогии
Формулы охватывают определение изгибающих мо-
ментов, поперечных и продольных, сид в любом сенёйии
бесшарнирной (трижды статически неопределимой), од-
ношарпириой (дважды статически неопределимой) и
двухигариираой (однажды статически неопределимой)
упруги, Срэп от I ИСТЛИ С11ЧЗВ >1	 Д iTO^trnie
(риторов (температуры, дйсЛдйаЦйй) с учётом дефор-
маций от изгиба, поперечных и продольных сил.
Обычно расчет ведётся на действие сил (нагрузок).
Предварительно выбирается основная статически опре-
делимая система, например в виде криволинейной балки,
трехшарнир.ной арки или в случае бесшарнирной аркн —-
в виде двух консолей, отделенных сквозным разрезом
в каком-либо сечении арки (чаще всего в ключе). Уси-
лия в бейовной системе оЙозййУйЮтся йИ®, Qe, NB. Убйлия
От дёйствйя лйшиих связей (статически иигогд
усилия) обозначаются №*, Q9, №*. Е
только на действие сосредоточёййых или распр
яыМ деформаций (йапрймёр,- для построения л. а. или
на -воздействие температуры), то устанавливать оейов-
нфК Систему иет необходимости, так как усилия получа*
кжея .независимо от основной системы,
Усилия з сечении бесшарнирной арки произвольного
очертания (х, у — координаты центра тяжести сечеодя
в, главных центральных осях эпюры гибкости арки);
А) =	4- М’ ~ М°
/ Рф L* if
| ----------„---------- .
k
<г^С + С==С,-
44-	4 . к
। —cos а,—Sjn а
X X	*v J
(5.214)
(5,215)
[ 4	4	\
— sin а 4- —— cos а |.	(5.216)
1 /Ф	/Ф	I
\‘х	‘и	J
Здесь а— угол наклона касательной оси арки а сече-
нии к оси х (угол отсчитывается против часовой стрел-
ки от положительного направления оси х к касатель-
ной) .
Статически неопределимая часть усилия 41 (взятая
в скобки) выражается как фиктивное нормальное напря-
жение при сжатии с изгибом (внецентренноМ сжатии),
а статически неопределимые части усилий Q и N — как
уклоны плоскости фиктивных нормальных напряжений
вдоль осей у и х (или как повороты этой плоскости из
горизонтального положения относительно осей х и у).
Характеристики фиктивного профиля
Фиктивный профиль может быть представлен как по-
перечное сечение тонкостенного стержня или как план
пОЖййвы ленточного фундамента. Средняя линия про-
филя совпадает с осью арки. Профиль характеризуется
погонной (вдоль средней линии) площадью (шириной)
= ~~ , погонным собственным моментом инерции
Ы
относительно средней линии if = ~~ я погонным соб-
г.г
ственпьтм моментом инерции относительно нормали к
средней лннйи if	.
ФйКТйвйая площадь (гибкость)
j*-4-= j 1ФЛ. (5.217)
S	S
Фиктивные осевые моменты инерции}
if — J ys 1* ds + if cos2 e ds -j- J if sin2 a ds;
S	S . S	' (5.218)
/* = J x2 f* ds -f- J if sin2 « ds ф- J if cos2 a ds.
S3	s
Центр тяжести площади фиктивного профиля (цента
гибкости) определяется по общим правилам нахождения
центра тяжести плош,ади:
ф JWds	ф	fxi^ds
„	________ , =i = J_______	(5.219)
уф ' уф	’ А»' уф уф	•
Наклон главных центральных осей (в случае отсут-
ствия симметрии, что является редким исключением)
также определяется по общим правилам:
о/ф
tg2a0-(5.220)
-If
Здесь фиктивный центробежный момент инерции
4/=	* ^’4" J( sin2ads. (5.221)
S	8
Если пренебречь деформациями сдвига и удлинения,
то if~if =0 и определение характеристик /J, if, lfg
5.6. АРКИ И ПРОСТЫЕ РАМЫ
271
ничем не отличается от случая тонкостенного профиля
с толщиной стенки /Ф==—г~ (см. рамы) или случая леи-
точного фундамента на чисто вииклсровском упругом
основании (без учета отпорности при повороте и круче-
нии).
Определение факторов Р§,
На рис. 5.G5, а показана (в левой системе) с. д. +9
(излом оси) в виде скользящего вектора, направленного
за чертеж, а также с. д. +Г (сдвиг) и 4-А (удлине-
ние) --в виде свободных векторов-моментов. На
рис. 5.65, б даны соответствующие фиктивная сила
= 0 и фиктивные моменты £* и £Ф. Моменты в фор-
мулах (5.214) — (5.216) считаются положительными при
вращении вокруг оси по часовой стрелке. При переносе
вектора в в центр 0<f добавляются моменты £* =0.1/0
и Ljj1 =—0хе . Проектируя векторы-моменты А и Г на
оси х, у, получаем в соответствии с правилом левого
винта моменты, вращающие как показано на рис. 5.65, б:
£“ = A cos а ф- Г sin а, £* = A sin а —- Г cos а.
При наличии нескольких с. д., а также распределен-
ной деформации, в том числе и упругой:
РФ = V 0 4. J A ds + J М° М ds-,
£* — S Вув -j- S A cos а	ф- S Г sin а ф-
ф- J -&у ds ф- J X cos ads	ф- j у si п а ds ф-
S	S	s
f M° C №	f QO
+ “77 у (ls + 1 "77 cos ® ds + — sin a Av,
J 4*	J E**	J	Lj
s	s	s
£* ==— S вх@ ф- 2 A sin a —-Sr cos « —
— J Ax ds ф- J X sin a ds — J у cos a ds —
(5.222)
Г №	, , f N» .	f O«
i 7 x ds ф- I ---------sin a ds — i--------cos ads.
J bl J EF	<GFV
s	s	s
Выбирая отсюда нужные слагаемые, получают зна-
чения Рф, £ф, £* для любого случая. Найример, для
построения л. в. Al, Q, N, как эпюр прогибов, берут
соответственно 0=1, Г=1 или А = 1, всё остальные чле-
ны полагают равными нулю, В случае равномерного
нагрева берут слагаемое, содержащее X, полагают Х = а/
(а — коэффициент линейного расширения), все осталь-
ные члены отбрасывают. При расчете на действие на-
грузки предварительно определяют усилия М°, Q0, №
в основной системе п вычисляют соответствующие ин-
тегралы, содержащие эти усилия. Остальные слагаемые
отбрасывают:
Определение опорных моментов и опорных реакций
Координаты центров тяжести левого и правого опор-
ных сечений в главных центральных осях эпюры гибко-
сти по абсолютной величине обозначаются через с a, hA
ИэСд, ha.
Рис. 5.65
Опорные моменты равны:
МА =	+ М*Л = МПА -
РФ £*	£*
Мв	+ Ml = М°В~
РФ h
пФ	/ф в /Ф °в
1X	и
(5.223)
Опорные реакции, параллельные осям х, у и направ-
ленные одинаково с ними:
/ ®	/Ф
п 4 п £*
=	из =	- jj-
(5.224)
Если за основную систему принята, шарнирно опер-
тая по концам криволинейная балка с пролетом, парал-
лельным оси х, то М'^=Лф =0. При наличии сим-
метрии сд=св = 1/2.
г о j зео-11,1 I- г <- иг ’з ° г>	= H
Равномерно распределённая Вертикальная нагрузка,
При оперт гпч осп по iiap'Eor.c вщроп с'сгенн в пред-
положении нщгефощшрщмоста ’рки от действия про-
дольной силы то1 1ба“'.ipv ’	ч поперечные силы
равны нулю таи же, Как и в ёлучаё трёхшаряирной ар-
ки. Учет обжаТИя арки даёт дополнительные момента,
которые иногда прйхбдитёя уййтЫйаТь.
Равномерное нбрйальйое давление. Так же как
и в случае трели .р чппэч тощ «згитоющие моменты
получаются при помощи ффлбвого круга по формуле
(5.207).
Радиус узлового круга и координаты его центра в
главных центральных осях гибкости арки вычисляются
по формулам:
J др2 ds
хо = s---------
2/д
(Б. 225)
J yp°‘fids
У а =
2/ф
Здесь р= у хг-Ууг— радиус-вектор точки осп; р0
равен полярному радиусу инерции площади гибкости ра-
мы. Центр узлового круга лежит иа оси симметрии арки.
При выводе этих, формул деформации сдвига и удлине-
ния.не учтены, см. [95].
В случае круговой арки центр узлового круга совпа-
дает с центром осевого круга.
Данные для расчета двухшарнирных и бестариф-
ных параболических арок см. табл. 8.2.7—8.2.11.
 : • Лйнии влияния усилий в бесшарнирной арке
. Ле в, «усилий М, Q, А' в любом сечении арок строят
как эпюры прогибов от с. д. в = 1, Г=1, А=1 в том же
сечении. Этим .способом можно построить все л. в., не-
обходимые для расчета на прочность. Достаточно по-
стрел ть j в дтл лишних, неизвестных, число которых
рог ю с-епенч ;т"тической неопределимости системы,
ост шьчью г г мод получить как линейные комбина-
ции л. з., построенных для статически определимой (ос-
новной) системы и л. в. лишних неизвестных.
1е uap-.ирчая ярка трижды статически неопредели-
ма. Достаточна дрСяфоить три л. в. На рис. 5.66, а, б, в
даны ли: 1) изгибающих моментов АЦ Мв, Мс (ос-
ювлал система - тр. хшгршрп щ арка); 2) усилий Мо,
(jo, М) в сечений" О абсолютно жесткой петли, мысленно
присоединенной к двум торнам, отделенным разрезом
по оси .симметрии (основная система — две консоли);
3) усилий Мо, Qo, No в сечении О мысленно введенной
абсолютно жесткой балки, заменяющей пятовые защем-
ления (устои) арки (основная система — криволинейная
балка 11а двух опорах).
Л, в. строят по уравнению (5.210) исходя из гранич-
ных условий <2^=Л7д=О, Q*=A1‘|=O (свободные кон-
цы фиктивной балки). С. д, задаются, а распределенные
фиктивные нагрузки определяют по усилиям М, Q, N от
с.д., пользуясь формулами (5.214) — (5.216). Эти усилия
наиболее просто определяются для вариантов 1 и 2, так
как координаты хв, и угол а обращаются в нуль.
Преимущество варианта I состоит в том, что все л. в.
МА, Мв, Мс непосредственно используются для расче-
тов прочности.
Под номером 4 показан также вид л. в. Мт, Qm, Nm.
Л. в. Vа см. табл. 8.2.11 в конце.
Данные для построения л. в. параболических, бесшар-
нирных. арок см. табл. 8.2.11.
Использование обших формул для расчета одно-
и двухшарнирной арок
Одношарнирная арка двукратно, а двухшарнирпая
арка однократно статически неопределимы. На рис. 5.67
показаны три арки п надписана степень их статической
неопределимости. Шарнир рассматривается как элемент
арки с бесконечной большой гибкостью на изгиб. Шар-
5.6- АРКИ И ПРОСТЫЕ РАМЫ
273
ниру арки отвечает жесткая опора взаимного бруса.
Центр гибкости совпадает с шарниром, гибкость арки
Fi> = со,
При наличии двух шарниров не только F* = <х>, но
также 1ц = х , поскольку ось х соединяет шарниры.
Формулы (5.214) —(5.216) для бесшарннрной арки
(рис. 5.67, а) справедливы и для одношарнирной арки,
если принять = ю, и для двухшарнирной, если при-
нять F<f = /*=c». В первом случае главные центральные
оси имеют началом шарнир (рис. 5.67.6), во втором
случае практически существенна только ось х, пересека-
ющие оба шарнира (рис. 5.67, в). Формулы для опреде-
ления усилий и реакций соответственно упрощаются. Ха-
рактеристика гибкости бесшарннрной арки F*, Z* ,
используются при расчете одно- и двухшарнирной арки
путем перехода к новым осям.
Упруго защемленная арка
Упруго-податливые опоры рассматриваются как ко-
роткие вертикальные продолжения тела арки с сосредо-
точенными характеристиками гибкости.
Податливостью опоры называется ее перемещение,
соответствующее единичной силе. Податливость опоры
А при действии момента обозначается У* l/кГ см, при
действии опорного давления Z^s см/кГ, при действии
распора /*п см!кГ. Аналогично — для опоры В с пере-
меной индекса А на В, Предполагается, что податливо-
сти опор заранее определены. Величины Fj Fg,	F'Jjs ’
учитываются в качестве сосредоточенных ха-
рактеристик гибкости при вычислении F*, /*, /*.
В остальном метод определения усилий М, Q, N остает-
ся без изменений.
5.6.4. Двухшарнирная арка
Отличают двухшарнирные арки без затяжки
(рис. 5.68, а) и с затяжкой, которая может лежать на
уровне пятовых шарниров или быть повышенной
(рис. 5.68,6). Согласно 5.6.3, общее решение для трех-
кратно статически неопределимой арки с защемленными
пятами пригодно и для однократно статически неопре-
делимой двухшарнирной арки. Достаточно считать осью
х прямую АВ и принять рф=/*=оо.
На основании (5.214)
определяется по формуле (5.218), причем интегриро-
вание ведется по дуге АВ; Z.J определяется по форму-
ле (5.222). При наличии затяжки к величине Z* следует
13
прибавить податливость затяжки -----, а к величине
£3 Вз
—относящиеся к затяжке слагаемые:
Рис. 5.69
Обычно в качестве основной системы выбирают кри-
волинейную балку, получаемую путем перерезания опор-
ного стерженька В (рис. 5.68, а) или самой затяжки
(рис. 5.68,6). При этом Нив =Н=0. Усилие Нв пли И
называется распором и считается положительным при
направлении, указанном на рис. 5.68 (сжатие для опор-
ного стерженька, растяжение для затяжки). Общая
формула для распора
Нв=Н = —~.	(5.227)
В обозначениях метода сил эта формула имеет вид;
Xi = —A13J/Sn. Очевидно,
Расчет начинается с определения распора Н. Даль-
нейший расчет пе отличается от расчета трехшариирной
арки. О расчете па равномерную вертикальную и гидро-
статическую нагрузки см. 5.6.2. Данные для расчета
усилий в параболических двухшариирных арках см.
табл. 8.2.7—8,2.10.
Л. в. распора И получается как эпюра вертикальных
прогибов арки от действия, единичной дислокации Аг = 1,
При этом
Н = --^7.	(5.228)

1й__пт
(5.226)
Эпюра М от Н совпадает по форме с осью арки,
эпюры Q и N совпадают с эпюрами sin а и cos а. Соот-
ветствующая эпюра упругих прогибов, получаемая по

274
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
уравнению (5.210), в отличие от треугольной л. в, рас-
пора трехшарнириой арки, имеет вид плавной кривой.
Л. в. усилий Мт, Qm. Кт получаются путем комби-
нирования Л, В. fi С Л. В.	Л'®.; при помощи фор-
мул (5.208). На рис. 5.69 показаны две л. в. (ср.
с рис. 5.63).
Непосредственное построение л. в. усилий Afm, Qm,
Кт кинематическим методом сводится к построению
эпюр прогиба от действия единичных с. д.
вт-==1, Гта = 1, Ато = 1 в сечении т. Для этого также по-
пользуется уравнение (5.210).
Данные для построении л. в. параболических двух-
шарнирных арок см. табл. 8.2.8.
5.6.5. Упрощенный расчет двухшарнирных
и бестарифных параболических арок
Расчет параболической арки упрощается и сводится
к использованию готовых формул, если момент инерции
сечения следует закону
где h — момент инерции в ключе.
Уравнение оси арки в осях х'у' (рис. 5,70)
4/
У' =~^х(1~-х) = 4р-^.	(5.230)
Тангенс наклона касательной к оси х.
4f I 2х'\
tg®=	<б-231)
Тангенс и косинус угла наклона в пятовом сечении:
1йал=4р,	(5.232)
Я	I
cos®.=------------.(5.233)
гдер = ~-,	(5:234)
Толщина арки в пяте При прямоугольном сечении
йл=^]/'1+16И83
Дс — ТО-ГЩЧН: ЗИТО».
(5.235)
Для указанных законов гибкость получается равной:
р Ф _
S	I
Г ds	С dx I
о о
(5.236)
что соответствует гибкости балки пролетом I с постоян-
ным момеитом инерции сечении равным Д.
Статический момент гибкости относительно оси х' и
расстояние центра гибкости относительно этой оси:
f yds = С yds 2 Л_
J £/ ~ J Е1С 3 ’ ЕЕ ;
5	8
,	3}	2
,рф з С
(5.237)
(5.238)
Дальнейшие упрощения получаются, если наряду с
допущением / cos а=/е пренебречь деформациями удли-
нения и сдвига, положив ££ = G£B = оо,
Моменты инерции гибкости:
*	8 Д3	л, 4 /Я
4 = 77'7Г~;	(5’ 2395	= 77 ' ТГ; ®-24°)
15 Е/с	45 EJC
Р	F
/7 =------; (5.241) /♦=-------;	(5,242)
и 3Els ’	“	12£/г	;
л
Фиктивные грузы Р$ и фиктивные моменты £*, а
следовательно, и фиктивный реакции й Дв и абсцис-
са фиктивных грузов вычисляются как для простой бал-
ки пролетом I и жесткостью ЕЕ. Табл. 8.1.3 пригодны
и для параболической арки. Фиктивные моменты отно-
сительно горизонтальных осей вычисляются по фор-
мулам:
МУ у' ds
~~Ё1
4f
ЕЕ Iя
(5.244)
(5.245)
M° x' (I — x') dx';
Входящие сюда интегралы вычисляются как неслож-
ные комбинации статических моментов и моментов инер-
ции эпюр М° относительно вертикальных осей у' или у.
Эпюры Ж0 строят как для простой балки, откладывая
ординаты по вертикали.
Вместо величин фиктивных моментов и £* удоб-
но пользоваться координатами фиктивного груза ор-
динатой уд и абсциссой Хд. Имея их, определяют
4==^;^ = -^
Частные случаи нагрузок. 1) Вертикальная
сила Р иа расстоянии «==§/ н 1—и = '^1 от опор,
>макс==ЯЙ' (рис. 5.70).
ее. АРКИ И ПРОСТЫЕ РАМЫ
275
Фиктивный груз
^2112
2ЕД
(5 246)
Абсцисса фиктивного груза лу —	, где хр — абс-
цисса силы Р. Ордината фиктивного груза
f/0 = -T ls3(l +3Г) + ГО +ЗбВ (5.247)
О
(5.248)
О
Если сила Р приложена вдоль оси у, то
Р1 ф РР 	5 ,	(
Ммакс ~ 4 ' ’ Р ~ 8£/й" ’ У®~~ 6	6 ’
2) Равномерно распределенная с п л о ш -
в а я вертикальная н а г р у з к а р кГ на 1 пог. .и
PCT'1	р'Р
проекции архи.	; Л4каЕг = — .
Ф рР ,4	2
₽ф = т^;	=	{5-2495
4) Р а в н о и ери ы й нагрев или ох л а ж де-
и и е на ±Р.
Результирующий фиктивный груз равен нулю. По-
этому фиктивные моменты при помощи координат фик-
тивного груза выразить нельзя. В данном случае
£*==а+; ij •—0.	(5.253)
Равномерный нагрев эквивалентен перемещению опо-
ры внутрь по горизонтали на величину ид = аД°
или иё~— а Й°,
Учет обжатия
3) Нагрузка, равномерно pact: р сделен,
на я на части пролета и —-от х’ = с до x'~d.
р*-стг(“й'^пг);	«•*“>
ф pal	£е'(1++)	paJ гд		
ау' ’	6£Д	24£Д ’		
х ЗОЕ!	Г /d-s	с3\ Р		
	с2 \	/ d6 — 4-2 — Р] г \.Д	й ]J’			(5.251)
х®	рф		1 . 2 ’		
У в~~ рЕ	; (?9 =£e -	2 . 3		
Влиянием деформаций сдвига пренебрегают во всех
случаях, за исключением каменных и бетонных мостов
большого пролета. Учет деформаций удлинения (корот-
ко— обжатия) приводят к уменьшеййю распора и уве-
личению изгибающих моментов. Для пологих арок обжа-
тие учитывается при вычие,дении величина и не учи-
тывается при вычислении 7* и грузовых члёнйв £*, L®.
На величины Е® и Р* ни сдвиг, ни обжатие вообще не
влияют,
С учетом обжатия
/5=7?+•
J
(5,254)
Частный случай — нагрузка занимает левый полу-
Здесь через /J обозначено значение 7?
обжатия [см. формулу (5.240)].
Для упрощения выкладок принимается Д
где Рс — площадь сечения арки в ключе.
coss ads I C
j cos2 adx
ЕР
Р	if nl
^aretg-p^
без учета
cos a
(5.255)
пролет:
Значения n следующие?
	1/4	1/5	1/6	1/7	1/8	| 1/9	i/ю	1/15	1/20
п	0,785	0,843	0,881	0,Ш	0,931	0,942 i	0»9Й	0,971	0e999
Для бесшарнирной арки
Для полйгих арок принимают п = 1. Формуле (5.254)
придают вид:
/*=+*(1 + vn);	(5.256)
EPS
х 45	£/s ’ ;fi ; . 4/3 Fc "
(5.257)
276	РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Для двухшарппрной арки
_ .	8	IP
тФ =----. —L- .
х	15	Е!с '
(5.258)
статически определимой (основной) системой, более
удобной в смысле простоты построения эпюры М, в дан-
ном случае — двумя стойками, защемленными нижним
концом, и шарнирно опертым на их верхние концы ри-
гелем. Строят эпюру моментов М° для основной систе-
мы (рис, 5.72, а). Затем вводят неизвестные дополни-
Для двухшариирной арки с затяжкой
15 / /с £/с \
d 8/2 \ Fc Е3 Р3)
(5.259)
Здесь EcS, Fs — модуль упругости материала и пло-
щадь сечения затяжки.
Готовые формулы для различных случаев нагруже-
ния и построения л. в. параболических арок см. табли-
цы раздела 8.2.
5.6.6. Одноконтурные (простые) рамы
[65, 87, 40]
П-образные и замкнутые рамы рассчитываются на
основе общих приемов расчета арок с теми упроще-
ниями, которые вытекают из ломаного очертания оси.
В первую очередь эти упрощения связаны с возмож-
ностью во всех случаях пренебречь упругими перемеще-
ниями от удлинения и сдвига по сравнению с переме-
щениями от изгиба.
9.
Статически определимые рамы
Статически определимые рамы чаще всего встреча-
ются в качестве основных систем при расчете статически
неопределимых рам. Статически определимые рамы мо-
Рис, 5.72
Рис. 5.71
тельные реакции (или другие усилия} МА, VA и На,
которые подбирают так, чтобы окончательные изгибаю-
щие моменты в трех шарнирах А, В, С были равны ну-
лю, Момент МА определяется сразу: 1) ?Лл=—.Мд",
гут быть типа ломаной консоли, ломаной балки на двух
опорах или трехшарнпрной рамы. Определение усилий
(построение эпюр) консоли начинается от свободного
конца; определение перемещений — от защемленного
конца, который в фиктивной конструкции выступает
как; свободный конец. В случае ломаной балки сперва
необходимо определить реакцию хотя бы одной из опОр.
При; - определении перемещений — соответственно фик-
тивную реакцию (угол поворота). На рис. 5.71 даны
эпюры /4; для ломаной балки от действия горизонталь-
ной силы.
Трехшарнириая рама рассчитывается по правилам,
указанным в 5.6,2, Расчет по методу замены связей по-
казанада рис. 5.72, -Сначала рама заменяется другой
реакции Vа и И А найдутся из условий: 2) VAXc—
—Н аУс	3) V Ахв—О лув-г-М^ ~ 0,
Дополнительные моменты от МА, VA, НА подчине-
ны закону плоскости. Это дает возможность построить
окончательную эпюру М графически (рис, 5.72,6). Про-
должают ось ригеля до пересечения с прямой А'В' в
точке D, Проводят прямую ОС', что дает трапецеидаль-
ную эпюру от опорных моментов ригеля. Точки Е и F
соединяют с точками А' и В’. Окончательная эпюра за-
штрихована. Общее правило: строят статически возмож-
ную эпюру М°, откладывая ее аппликаты перпендику-
лярно плоскости рамы, затем срезают аппликаты новой
начальной плоскостью так, чтобы окончательные момен-
ты в шарнирах были равны нулю (известны три точки,
через которые проходит эта плоскость). Аппликаты, от-
считанные от новой начальной плоскости, откладывают
в плоскости рамы в виде ординат от осей стержней
и получают окончательную эпюру моментов.
Пример 5.8 (рис. 5.73, а). Плоская ломаная консоль
нагружена в своей плоскости равномерно распределен-
ной нагрузкой. Построена эпюра /И, ординаты которой
отложены от растянутого волокна. Интенсивность фик-
М
тивиэй нагрузки в каждом сечении равна
EI '
Не прибегая к изображению фиктивной конструкции
(консоли, защемленной правым концом и нагруженной
5.6. АРКИ И ПРОСТЫЕ РАМЫ
277
фиктивной нагрузкой перпендикулярно своей плоско-
сти), определяем результирующие фиктивные грузы. Они
равны площадям эпюр моментов, разделенным на EJ,
и расположены в точках оси, соответствующих центрам
рр h
тяжести эпюр. Груз = ~рп— действует посередине
— действует па расстоянии
s
s/4 от жесткого узла. Векторы фиктивных грузов на-
правляют в соответствии с правилом левого винта: если
pPs
стоики h, груз в2 = у—:
Активные фиктивные грузы равны:
Q _ 1	2 рР	pPs
"1	£/ ’ 3 S 32	48EI ’
„	1 s рр прs	ррs
Е! 2	16	32£/	32£/
Для определения горизонтального перемещения пра-
вой опоры можно фиктивных реакций в шарнирах А
Рис. 5.74
М— положительный при обходе контура по часовой
стрелке, то груз направляется от наблюдателя, если от-
рицательный— то к наблюдателю. В данном случае мо-
менты отрицательные на всем протяжении консоли,
поэтому грузы 6] и 62 направлены к наблюдателю.
Прогиб в направлении оси у равен моменту фиктивной
нагрузки относительно этой оси. Вектор момента (а
значит, и прогиб) откладывается в такую сторону, глядя
с которой, увидим вращение по часовой стрелкс:
3 , pPh pPh 3
° = 011 + 02 Т -^еГ. 1+ ^7 ' Т1 (ВНЙЗ)-
Угол поворота правого конца
рРh	рРs
Ф = 01 + 02 = —- - -I- ----- (по часовой стрелке).
2Elh	GEIS
Пример 5.9 (рис, 5.73,6). Ломаная балка несет па
левой половине равномерно распределенную нагрузку.
Ординаты эпюры М здесь отложены ог сжатого волок-
па. Так как изгибающие моменты всюду положительные,
фиктивные грузы направлены от наблюдателя (за чер-
теж) и изображены кружками с крестиками.
и В не определять. Перемещение и в равно моменту
фиктивных грузов относительно оси АВ:
h 2	2
Up — Q. — + 0. — h + 0„ — й=
в 1 2 л 3	3 3
5 рр sh
= —--^(вправо).
Прогиб в коньке определяется после нахождения т4.
Так как вертикальное перемещение шарнира В равно
нулю, то момент фиктивных грузов относительно вер-
тикальной оси, проведенной через В, равен нулю:
3	2	I
тл^в1Т/^взТг^0зТ/ = о;
___3_ pPs
64 Е1 ’
Вертикальный прогиб конька равен моменту одно-
сторонних фиктивных грузов относительно вертикальной
оси, проведенной через коиек:
I I г1 5 pPs
А 2	1 4	2 6	384	£/ v ’
278
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Прогиб конька равен фиктивному изгибающему мо-
менту посередине пролета горизонтальной балки проек-
ции от действия фиктивной нагрузки, определенной для
ломаной балки.
Пример 5.10. На рис. 5.74, а показана Г-образная
консоль, нагруженная в своей плоскости силой Р, по-
строены эпюры М, N, Q и найдены фиктивные нагрузки,
равные площадям соответствующих эпюр, деленным на
жесткости; на рис. 5.74, б — та же консоль, нагружен-
ная перпендикулярно своей плоскости (см. ниже 5.6.7).
Б обоих случаях даны величины прогиба конца консоли
по направлению силы Р с учетом всех деформаций.
Статически неопределимые рамы
Как и в случае арки, изгибающие моменты от дей-
ствия лишних неизвестных получаются по формуле сжа-
тия с изгибом или, что то же, по формуле внецентрен-
иого сжатия фиктивного профиля фиктивной нагрузкой.
Формула для полного изгибающего момента в точке х,
у по варианту виецентренного сжатия имеет вид:
М.г,у	щу + Мх,у =
= Мх,~ I +----------РГ У+ х 	(5.260)
I	Jy J
Здесь	изгибающий момент в основной
системе;
!Axtj—изгибающий момент от лишних
неизвестных;
F9, /J, /*—геометрические характеристики
гибкости рамы;
в — фиктивные грузы, получаемые
как площади эпюр М° с орди-
натами, уменьшенными в EI раз;
Уд, !/0—координаты фиктивных грузов.
Для перехода к формуле (5,214) достаточно подста-
вить
S0 = ?*; Seye==4; 2 в х& =-—£*.
Определив изгибающие моменты в трех сечениях
(обычно пятовые моменты и момент в коньке), находят
усилия N и Q в этих сечениях, пользуясь уравнениями
равновесия рамы в целом и одной из полурам анало-
гично определению реакций в трехшарпирпой арке.
При расчетах следует пользоваться табл. 8.3.11,
Последовательность расчета выясняется на примере.
Пример рамы с параболическим ригелем (рис. 5.75).
За единичную жесткость принимается величина ЕД в
ключевом сечении.
..Гибкость рамы складывается из гибкости ригеля,
гибкости. Двух стоек и податливостей оснований стоек
при повороте. Находим эти величины, увеличенные в £7г
раз:
/ф = I + 2/5 + 2s.
Здесь
,, ! „ £7с
П = Il------;	£	-------
А
где й0 — коэффициент отпорности основания; 1л — мо-
мент инерций подощйы фундамента.
Обычноуфэворотбм фундамента пренебрегают, стой-
ка счйтае-гся жесткщаащемленной, е=0.
Положение центра гибкости:
S*, = I	- 2eft = Д — й' й — 2ей;
л 3’2.	3
Рис. 5.75
Моменты инерции гибкости:
уф = JL ^2 + _1 v й2 + 28й2.
= (%)2-
Основная система получается путем включения шар-
нира з левом опорном узле ригеля и горизонтально под-
вижной шарнирной опоры в правом опорном узле ри-
геля.
Эпюру .Мл ригеля при вертикальной нагрузке ригеля
строят как для простой балки. Эпюра показана на
рис. 5.7S, внизу. Фиктивный груз и его координаты опре-
деляются по формулам (5,252):
рр	I	4
(здесь у0 берется с учетом его знака).
Эпюра М% стойки получается в виде кубической па-
„	р3 й3
раоолы с максимальной ординатой —т— . Фиктивный
6
груз и его координаты:
,, , о	I	3 ,
h ц“; хя =- у ; ys ==- у h -j- yQ .
Третий фиктивный груз приложен к левой пяте;
Рг h"	I	,	
в3 = ъ> *з= у Уз =~ h + Уа •
Подстановка этих данных в формулу (6.260) дает
величины МХлу во всех сечениях. Расчет ничем не отли-
5.6. АРКИ И ПРОСТЫЕ РАМЫ
279
чается от определения напряжений в колонне, нагру-
женной несколькими эксцентрично приложенными про-
дольными силами.
Упрощения в расчете геометрических характеристик
гибкости /*, /*, /* и фиктивных нагрузок
Вычисление указанных характеристик тождественно
с вычислением действительных характеристик F, 1Х, 1-в
Рис. 5.76
тонкостенного профиля с толщинами стенок ~ .
Целесообразно использовать метод редуцирования пло-
щадей (см. 5.2.3), который переходит в метод редуци-
рования гибкостей отдельных брусьев и рамы в целом.
Гибкость каждого бруса — редуцируется к трем точеч-
ц/1
й	2 k
иым гибкостям —- посередине длины стержня -- • — ,
3	с//
по концам —- и -—~  Эти гибкости берутся увели-
6£/j
чсниыми в 6Н7С раз и получаются равными Alt, 1[ я1{.
На рис. 5.76, а показана асимметричная рама с на-
грузками, на рис. 5.76,6 — ось рамы с нанесенными иа
ней черными точками и надписанными около них вели-
чинами редуцированных гибкостей Пользуясь точеч-
ными гибкостями, определяют положение фиктивного
центра тяжести О* и главных осей гибкости Оф,
и характеристики:
Гф=бЕГ, 7* = .S у2 AF* и 7* = S х2 Д7Ф .
5 х J	и
Увеличенные в 6ШС риз фиктивные грузы равны про-
изведениям изгибающих моментов в сечениях, совпа-
дающих с точечными гибкостями, на величины точечных
гибкостей. При этом моменты, растягивающие внутрен-
нее волокно (положительные), дают фиктивные грузы,
направленные от наблюдателя, а моменты, сжимающие
внутреннее волокно. — к наблюдателю. Способ является
совершенно точным при соблюдении следующих усло-
вии: I) стержни должны иметь постоянное сечение;
2) эпюры Ма в пределах отдельного стержня должны
быть прямолинейные или. параболические второй степени
без скачков я переломов. Йоэтому границы стержней:
следует брать совпадающими с точками приложения
сосредоточенных сил иг моментов или с границами рав-
номерно распределенных нагрузок, как это сделано в от-
ношении ригеля на рис. 5,76, б. Точность способа при
несоблюдении этих условий, например при погрузках по
треугольнику, эквивалентна точности приближенного вы-
числения определенных интегралов по формуле Симпсо-
на с тремя ординатами. Для повышения точности доста-
точно заменить стержень двумя стержнями. Стержни
переменной жесткости заменяются иескольквми стерж-
нями постоянной жесткости.
Числовые примеры расчета симметричных g несим-
метричных одноконтурных рам при иеподвяжрой на-
грузке и построение л. в. см. [87, гл, III].
Справочные данные см. I изд. табл, 8.3.11.
5.6.7.	Бесшарнирные арки и рамы под
нагрузкой, перпендикулярной их плоскости
Усилиями являются крутящие моменты Мц, изгибав-
шие моменты М и поперечные силы Q. Весщарнирная
арка (рама) трижды статически неопределима. Осво-
бождая один конец, превращают " ю ст в ста г,,чести
определимую консоль, строят эпюра М Ц и ф®н на-
ходят фиктивную нагрузку, которая в -данном случае
лежит в плоскости системы. Пр. ч з гст Г-эбразной
консоли показан на рис, 5.74,5, ®ю-’ст,;'ыми моментами,
зависящими от Q (третья эпюра). Как" правило, прене-
брегают. При нагрузке в плоскости-изгибающие момен-
ты от лишних неизвестных определяются как фиктивные
нормальные напряжения по формуле впецентрениого
растяжения — сжатия. Подобно этому здесь крутящие
и изгибающие моменты от лишних неизвестных опре-
деляются как фиктивные касательные напряжения т|!
н 4 ® формулам направленного сдвига (см. 5,3,2).
Общие формулы для ЛЦ, М, Q в любом сечении ар-
ки имеют вид:
’ Ригель пэедстаелеп в виде двух стержней длиной s по при-
280
РАЗДЕЛ 5, СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Геометрические характеристики — фиктивные направлен-
ные площади /’* и направленный полярный момент
инерции вычисляются по формулам раздела 5.3.2,
причем погонные величины соответственно равны:
/Ф= —!— . Л =	. ,-Ф = *—
s G/K ’ п El ’ к GF,
(5-262 )
Нуликом отмечены усилия в основной системе от за-
данных нагрузок, ззездочкой — от лишних неизвестных.
Проекции равнодействующей фиктивной нагрузки на
главные осн сдвига обозначены Р'-., Р$; момент относи-
тельно центра сдвига обозначен £ j. Знаки ±. в фор-
мулах (5,261) показывают, что направления векторов
и tJ при вычислении скобок должны быть взяты по
смыслу. Переход к усилиям (моментам Мк и Л?*) де-
лается затем в соответствии с правилом левого винта,
поскольку и для нахождения фиктивных грузов исполь-
зуется это правило.
5.7. СЛОЖНЫЕ РАМЫ [17, 29, 40а, 45, 65, 72, 76, 87]
5.7,1.	Классификация методов
Расчет простой или сложной статически неопредели-
мой стержневой системы, для которой нет готовых фор-
мул, начинается с расчета другой системы, отличающей-
ся от заданной числом связей и называемой основной
системой. Связей в основной системе может быть мень-
ше или больше, чем в заданной, одни связи могут
быть отброшены, а другие дополнительно введена. Важ-
но, чтобы основную систему можно было рассчитать,
пользуясь известными методами или справочными дан-
ными. Рассчитав основную систему от зада г тогл'’
или деформационных воздействий (температуры),'учиты-
вают дополнительные воздействия, связанные с различи-
ем между заданной и основной системами, '	1
Всякая отброшенная связь должна быть возмещена
усилием в ней, некоторой силой или группой сил (такие
силы называются групповыми, иногда — обобщенными),
приложенной к основной системе, пропорциональной од-
ному параметру, подобранной так, чтобы действительное
(полное) перемещение по направлению сторож ’ч<
связи было равно нулю. Всякая дополнительно введен-
чаяг’связь должна быть возмещена npUHpdi юм-ныч пе-
рёМвЩением по направлению-этой йвязи (иначе с. д. евч-
3’i I, подобранным так, чтобы действительная реакция
цопостдтельйой связи была равна нулю. Этот подбор
осуществляется в обоих случаях путем решен 1я линей-
ных алгебраических уравнений, составленных на основе
принципа сложения действия сил и малых деформаций,
веваого для достаточно жестких упругих систем, . пере-
мещения в которых существенно малы по сравнению
с геометрическими элементами.	• :уу
В соотггтствии с тремя методами выбора основной
спстщ ы п йагтогов, согласующих основную систему
с доиг-што fj,j 1Q j 1-лц основных неизвестных различают
три чдгдг рас ста:
а)	имтод сил, когда основные неизвестные являются
УС” 
б)	’ метод перемещений, когда основные неизвестные
являютсящерем еще ниями;
и!	I -ЩТ-СТ когда одни неизвестные—-уси-
лия, другие-л- перемещения, Все шире внедряемый в рас-
чет рг«, метол пст-т тдх параметров также относится
к смешанному методу.
Таблица 5,9
Рекомендуемые методы для некоторых статически
неопределимых систем
Система	Основной метод	Конкурирую- щий метод.
Неразрезная балка на жестких или уп- ругих опорах Рамвая эстакада (закрепленная) Рамная эстакада (свободная) Однопролетмая мно- гоэтажная симмет- ричная рама; симметричн ая на- грузка антисимметричная нагрузка Многопролетная многоэтажная рама Арочно-рамная си- стема без затяжки или с затяжкой Комбинированная система с большим числом стержней Ферма	Метод сил (ме год уравнений трех или пяти мо- ментов) Метод переме- щений То же Метод сил Метод переме- щений с примене- нием последова- тельных прибли- жений Метод сил То же	Метод сил (ме- тод уравнений че- тырех моментов) Смешанный ба- лочный метод Метод сил Точное решение при помощи вы- числительных ма- шин М.етод переме- щений, смешан- ный метод
Система уравнений метода сил выражает условия
совместности деформаций частей действительной систе-
мы в местах устраненных связей. Система уравнений ме-
тода перемещений выражает условия равновесия частей
действительной системы в местах введенных связей. Си-
стема уравнений смешанного метода состоит из двух
групп уравнений, из которых одни выражают условия
совместности деформаций, другие — условия равно-
весия.
Наиболее общим и распространенным методом явля-
ется метод сил в его классическом аналитическом ва-
рианте, когда выбирается статически определимая основ-
ная система.
5.7. СЛОЖНЫЕ РАМЫ
281
Метод перемещений и смешанный метод применяют-
ся чаще всего для расчета многокоятурных рам при
условии пренебрежения упругой дефорглацлей ог дей-
ствия продольных и поперечных сил. Основными систе-
мами соответственно является совокупность жестко за-
щемленных по концам балок или совокупность шарнир-
но соединенных простых балок (балочный метод).
Выбор метода диктуется стремлением по возможно-
сти уменьшить число совместно решаемых уравнений
и этим снизить неизбежное накопление ошибок. Из двух
балочных методов метод перемещений всегда требует
решения меньшего числа уравнений. Однако уравнения
смешанного балочного метода составляются проще, и,
решая их, непосредственно получают усилия, необходи-
мые для расчета на прочность В табл. 5,9 даны реко-
мендуемые методы для некоторых типов сложных стати-
чески неопределимых систем.
Построение л. в. Независимо от метода расчета л. в.
любого статического фактора, как всегда, может быть
получена двумя способами: 1) как сумма л. в,, построен-
ной для основной системы, и л. в. основных неизвестных,
умноженных ца некоторые коэффициенты влияния;
2) как эпюра прогибов заданной системы от действия
соответствующих с. д.
Первый способ применяется для серийного построе-
ния л. в., второй — для построения небольшого числа
отдельных л. в.
5.7.2.	Расчет рам по методу
трех и четырех моментов [29]
Этот способ представляет собой применение метода
сил и смешанного метода при основной системе в виде
совокупности простых балок. Он близок к расчету мно-
гопролетной неразрезной балки. Порядок расчета и ос-
новные зависимости, используемые при составлении
уравнений, выясняются на примере четырехпролетной
эстакады с консолью (рис. 5.77, а). Все узлы предпола-
гаются жесткими. О — шарнирно неподвижная либо
шарнирно подвижная опора. В первом случае эстакада
называется закрепленной, во втором случае — свобод-
ной. В закрепленной эстакаде сила торможения переда-
ется на опору, что облегчает стойки, зато изгибные тем-
пературные напряжения в стойках (от удлинения риге-
ля) возрастают.
Закрепленная эстакада
Основная система образуется путем постановки шар-
ниров по концам отдельных стержней (исключая кон-
соль). Если в узле жестко соединено п стержней, то
шарниров берется п—1. В данном случае целесообразно
включить шарниры в ригель, непосредственно слева
и справа от узлов. Шарниры включены также в нижнем
защемлении стоек. Во всех шарнирах приложены неиз-
вестные усилия в виде групп равных и противоположно
направленных моментов (так называемые угловые мо-
менты), отмеченные двумя индексами. Момент в шарни-
ре 4 и внизу всех стоек отмечен одним индексом. Изги-
бающие моменты считаются положительными, если вы-
зывают растяжение нижнего волокна ригеля и правого
волокна стойки. Моменты вверху стоек получаются из
условий равновесия моментов, действующих на жесткий
узел:
ж1,1- = Л1!2 — м,о; М2<2, =ЛМ —м21;
7И3.3, = /И34 - Ж,2;	= - Ж4 + <
(5.263)
282
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Здесь — опорный момент консоли. В данном слу-
чае Л44 =—Ро.
Поскольку имеется опорный стержень 0—0", основная
система является неизменяемой и статически определи-
мой. Эпюры моментов от заданных нагрузок строят как
для системы простых балок.
Типовое уравнение, связывающее угловые моменты,
выражает условие неразрывности деформаций для жест-
кого «угла», состоящего из двух стержней, например
стержней ik и km (рис. 5.77,6). Оно содержит в общем
случае четыре момента, а в частных случаях — три и
два момента; k-e уравнение имеет вид
llk + 2Mki kk + 2Mfim lkm + lkm ~
=	- 6EZC (фАт - ’b).	(5.264)
Все обозначения соответствуют 5.5.7. Вторым ин-
дексом отмечается противоположный конец стержня.
При закрепленной раме углы перекоса ф равны нулю
иля наперед заданным величинам, вычисленным по
осадкам опор или температурному удлинению ригеля
или стоек. Поэтому число уравнений равно числу неиз-
вестных усилий и весь расчет отвечает методу сил.
Обозначая длины стоек через hi,..., н углы пере-
коса стоек через ф-,,ф», получаем следующие урав-
нения.
Нижние защемления стоек (наблюдатель правее
стойки):
угол I': 2Лф4 ф- —Af10] h, =
— ЛГ-6П/СФ1;
угол 2':	2М,< h2 ф- рМщ — Л121) й2 =
угол 3':	2Л43, А3 ф- {Мул — М32 J й3 =
= -^-6Е/сф3;
угол 4':	2А14, /г4 ф- (М4 ф- Pyj h4 =
= -^ж-6<ф4-
(5,265)
Если стойки не нагружены и не перекаииваЮтсяд то
моменты внизу стоек равны половине моментов вверху
стоек с обратным знаком.
;ль слева и справа от стоек (наблюдатель внутри
уг«)-:
угол 0—!—/'•
Шо /31 — 2 (Лфз —	Aj Лф- h4 —
у — ~ 4o ~ Ri,i' ~ 6E/C [ф-( — фк)];
угол /'—1—2:
My Aj ф- 2 (Afj.j — AJjjjJ (р ф- 2My) ф2 ф-
ф-.	ф2 — — R\,V‘—	сМЗ — ^1)’
(5.266)
угол
Л jg ^12 ~~	ф2 — 2 ^Л423 — jM2j j lir, —
~ Му h, — —	s ^1p2— ф2? j
угол 2'—2—3:
M2, h2 + 2 (Ж23 — M21) + M23 4 -J-
+ МмЛв^ — A?,2'~~ Rea —	Фг):
угол 2—3—3' — аналогично 7—2—2' с уве-
личением всех индексов на единицу;
угол 3'—3—4 — аналогично 2'—2—3;
угол 3—4—4';
1М ф- 2Л144+2 (Mj+ Pc) h4 - М4, h4=
— — У 43 — Z?4j 4-6E/S [ Ф4 — Ф34 ].
Решение проводится в следующем порядке. При по-
мощи (5.265) выражают моменты внизу стоек через
моменты вверху стоек, например;
1 , ,
Му----- (Mui— MiB) ’	"7
2	Й1
I	Аф,ф-6Е/Сф2
Му =—	(M.v — Л1Я) —	;
Z	*2
(5.267)
и подставляют эти значения в (5.266). Уравнения для
углов между элементами ригеля и стойками превраща-
ются в трехчленные, содержащие только моменты ри-
геля. Эти уравнения решаются по правилам, указанным
в 5.5.8. Обратной подстановкой в (5.267) находят мо-
менты внизу стоек.
При незагруженных и неперекашпвающихся стойках
трехчленные уравнения получаются сразу из (5.266):
достаточно зачеркнуть Слагаемые, содержащие моменты
внизу стоек, а при моментах вверху стоек [вида
(Mts—МнФ ] заменить множители Л через h.
Имея моменты в ригеле, определяют поперечные си-
лы в нём, а также продольные силы в стойках, на-
пример
No = No +	_ (5.26g)
'ВеЛйчйиа У3 равна сумме давлений простых балок
2—3 й 3—4 от местной нагрузки на опору 3.
Вертикальные реакций в нйжиих защемлениях стоек
равна продольным усилиям в стойках с добавлением
собственного веса стоек.
Горизонтальные реакции
=	д. (5.269)
«з
Имея эти реакции, определяют поперечные силы вни-
зу и вверху стоек, например
Сз',з = ^з; Ч'з.з’ ~ %',зРз .	(5.270)
Усилие в опорном стержне 0—0" получается ИЗ урав-
нения проекции на ось стержня сил, действующих на
отрезанный ригель (рис, 5.77, а):
Я = Q1a, ф- Q.2y ф- Q3<sz ф- J- Р34 cos а. (5.271)
Определив И, находят продольные силы на всех
участках ригеля. Например
N2li = H-Qi,v-Q^ (5.272)
5.7. СЛОЖНЫЕ РАМЫ
283
Свободная эстакада
Стержень 0—0" отсутствует, но мысленно вводится
для образования геометрически неизменяемой основной
системы. Дополнительной неизвестной является горизон-
тальное перемещение узла 0, обозначаемое и, или, что
то же, воображаемое удлинение стержня 0—0". Допол-
нительное уравнение выражает условие равновесия го-
ризонтальных сил, действующих на ригель без участия
силы M, или, что то же, условие аннулирования усилия
в стержне 0—О".
Система упаинений (5.265) —(5.266) остается без из-
менений, но в углы перекоса стоек вносятся добавки,
зависящие от перемещения и:
неравномерного нагрева. /у — моменты инерции эпю-
ры гибкости относительно концевых осей уА и у в, пер-
пендикулярных оси балки. Г^в =/в4 = I—
I—' так называемый комомент инерции гибкости,
выражаемый через статические моменты и моменты
инерции эпюры гибкости относительно оси у л либо от-
у
носительно оси у в. При El=const	4 =	= ——- »
ЗЕ/
,ф р	, А
= ~ЕПТ и получаем ооычные формулы:
ф1:=ф0+	«	=	+
«1	«2
А II	А Ц
Фз = Фз + ~7~ ’ Ф4 = Фд + "7 •
«3	«4
(5.273)
т.-г0,	) ^А1	1 6£7 ’
	3£7	
ТВ ХВ Ф	6EI	+ 3£/
Здесь ф° — наперед заданные значения углов пере-
коса стоек, подсчитанные для основной системы.
Окончательные уравнения получаются трехчленными
относительно моментов М, но каждое из них содержит
также неизвестную и. Чтобы использовать простоту ре-
шения чисто трехчленных уравнений, рекомендуется сна-
чала найти усилия от заданных нагрузок и температуры
в предположении и=0, т.е. для закрепленной эстакады,
и получить из уравнения (5.271) величину Н. Затем те
же уравнения решаются в предположении, что все на-
грузки и нагрев (охлаждение) отсутствуют, но и=1. Это
значит, что отличными от нуля свободными членами яв-
ляются только углы перекоса стоек и они равны:
Ф1 =	; фв = -j- ; ф3 = -L ;	= -i- , (5.274)
ilj_	&3	&з
Имея усилия от и — 1, определяют величину Н, Значение
и равно;
Уравнение четырех моментов в случае стержней пе-
ременного сечения. Вместо (5.264) имеем
!?k {k 4	-tr,
Mik	4-	4- Mmk —— =
— ~ ( 4; + xln + Ф*т ~' Фд)- (5,278)
В случае балок с путами используются формулы
(5.264) с коэффициентами из табл. 8.1.18.
Ступенчатая стойка
(рис. 5.78)
Мысленно вводятся подбалки пролетом hv_ и hs. Кон-
цевые углы поворота подбалок от местных нагрузок
(5.275)
Остается просуммировать усилия первого расчета
с усилиями второго, предварительно умноженными на
найденную величину и.
Аналогично ведется расчет при наличии двух (и
большего числа) дополнительных неизвестных. При этом
значения и,, иг получаются из совместного решения
уравнений, выражающих аннулирование усилий в допол-
нительных связях:
Hi + И Xi Ui Н и t/g = 0;
Нъ 4" ДД Ui 4~ Нgg tZg — 0-
(5.276)
Рис. 5.78
Простая балка переменного сечения как элемент
основной системы
Концевые углы поворота выражаются формулами;
= zaA + M&JjL 4- Мв-^--
Iй	р
И	I*
(5Л77)
в пределах их пролетов определяются как для балок
постоянного сечения и обозначаются тл, и т®, тв ,
Определяется опорное давление подбалок в точке С,
равное	,
Изгибающий момент в стойке в сечении С
Здесь	— фиктивные реакции —кон-
цевые углы поворота от заданной местной нагрузки нли

(5.279)
284	РАЗДЕЛ 5, СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ II СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ.
Прогиб стойки в сечении С
ИС —•
Концевые углы поворота стойки:
мс h
ЬЕ1 „
р.
МГК
(5.281)
6Е/,
иС
Моменты инерции эпюры гибкости стойки:
/Ф_------
А ЗЕЕВ
h3
/Ф -----
в ЗЕ1„
21
3 \Е1В
1
ЕЕ
/Ф ___
'АВ —
h
К / 1
3 \Е!а
1
Не,
1
(5.282)
Здесь t”j = У* = 0°;
Д — т/Ф _ а	. „о —	.
'в ~~ в — °	> иВ ~~ ° Ув>
/л, /д—моменты инерции эпюры гибкости стержня
относительно осей у л и у в;
/ав— комомент инерции эпюры гибкости стерж-
ня вычисляется по формуле
л и — центробежные моменты гибкости относи-
тельно осей хн и у а либо ув (по абсолют-
ной величине);
/— момент инерции гибкости относительно оси
х.н.
2£7В	2 \ ЕЕ,
А-
Ломаная или криволинейная балка
Рис. 5.80
Отдельные балки, составляющие основную систему,
необязательно должны быть прямыми, они могут быть
ломаными (рис. 5.79) и криволинейными. Их рассматри-
Рис, 5.79
вают как прямые балки, но с учетом влияния «продоль-
ной силы» (по существу — распора) на концевые углы
поворота. Кроме того, учитывается влияние «удлинений»
(упругого изменения пролета ломаной балки) на углы
перекоса. При этом дополнительные уравнения будут
зависеть не только от усилий, по и от линейных пере-
мещений.
Формулы для концевых углов поворота и изменения
пролета имеют вид:
/ф	/ф
ж	А д О	I Д
хв =хв +а
^АВ ~ иВ~ и°в +
х-^ + ^-^ + я/Ф
/Ф
‘ан
' I
(5.283)
При несимметричной форме оси ломаной балки для
вычисления моментов п комоментов инерции гибкости
следует применять метод редуцирования гибкости
(см. 5.2.3). При симметричной форме можно получить
все величины пересчетом исходя из значений 5*, /*,
для главных осей (см. табл. 8.3.Н). Формулы для вы-
числения величины и положения 0° см. также
табл. 8.3.11. Для параболической балки см. также 5.6.5.
Использование формул ломаной балки для расчета
рамы с защемленными пятами. Приравнивая ха, тв
и ив нулю, получают три уравнения, содержащих неиз-
вестные опорные моменты AJ л и Л4В и распор И рамы
с защемленными концами. Этот способ, отвечающий ме-
тоду сил, избавляет от нахождения центра и главных
осей гибкости, но требует решения трех уравнений
с тремя неизвестными.
Уравнение четырех моментов с учетом распоров
4
EAik : + M,:k .
/Ф	/Ф
....	.. + Mi:m + Ahnk "~~1~ +
hk.	hk	him	han
/Ф	гФ
, н ,:к-( д ы кт'т
“ГГ.Ц-д	1 ‘1 кт ,
4k	'km
= -( 4 + < +	(5.284)
Здесь обозначения lfk t, Г^,П1 т соответствуют цент-
робежным моментам инерции 1%А, 1‘нв для пролетов
ik, km.
Уравнение трех моментов для неразрезнон балки
с пролетами в виде параболических арок с затяжками
Уравнение имеет вид (рис, 5.80):	,
^n--i hi	+ 2Ж„ Г ln ^1— — knj +
5.7, СЛОЖНЫЕ РАМЫ
285
+ Л‘га 1-1 1п+\ И~" t!n-'rl I = ~ Ln ~ ^п-	(5.285)
Здесь коэффициенты k зависят от жесгкостных ха-
актеристнк арок и затяжек (см. 5.6.5 и табл. 8.2.7).
’рузовые члены определяются по формулам;
,	,	>	(5.286)
Rn = Rn — Wn+[ fга_р. Ц-Щ ' j
Таблицы для расчета трехпролетпых рам см. [81а].
Зависимости между перемещениями
и уравнения равновесия в сложных случаях
При параллельных стойках установление соотноше-
ний между зависимыми и независимыми линейными пе-
ремещениями узлов или, что то же, между углами пере-
коса стержней достигается весьма просто,- Точно так же
Рис, 5.81
просто составляются уравнения равновесия ригелей го-
ризонтальных и наклонных: достаточно взять ось проек-
ций нормальной к стойкам. При непараллельных стой-
ках решение этих задач осложняется. Рекомендуется
определять соотношения между углами ф исходя из
условий замкнутости отдельных контуров скелета рамы,
а уравнения равновесия составлять на основании начала
возможных перемещений (кинематическим методом).
а) Для каждого замкнутого шарнирного контура,
прикрепленного к земле углы перекоса нерастяжимых
стержней подчинены двум уравнениям:
Уфй cos (/,;<) = 0, Дф/ cos ((,у) = 0.	(5.287)
Оси х, у могут быть взяты произвольно.
Если стержни получают заданные удлинения А, то
в уравнения входят дополнительные члены:
StW cos (/, ,т) + ЗА sin (/,у) == 0; )
’	(5.288)
1ф/ cos (I ,у) Д АД sin (Д у) 0. J
Углы (I, х) и (I, у) отсчитываются от оси к стерж-
ню против часовой стрелки.
Углы ф считаются положительными при вращении
по часовой стрелке.
Для четырехугольного скелета (рис. 5,81, а) имеем
два уравнения для трех углов. Это позволяет выразить
два угла, например ф23, ф34, через третий ф12. Целесооб-
разно взять ось х перпендикулярной стержню 23, ось
у — перпендикулярной стержню 34. Тогда в уравнениях
пропадают соответственно ф23 и ф34 и сразу получаются
выражения ф34 и ф23 через фщ.
Другой способ в вершинах 1, 2, 3, 4 прикладывают
четыре фиктивных груза (нормально к плоскости кон-
тура):
— 4’12; ©2 ~ 4’23 — 4Ьй’ 03 “ Фз4 4’231	— — "фз-Ь
Эти фиктивные грузы должны быть в равновесии.
Условие 20 = 0 удовлетворено. Остаются два уравнения
моментов. Беря ось 23, находим зависимость ф34 =
h-i
-*—Фы-----и т. д. При наличии удлинений равновесие
Ц
соблюдается с учетом векторов-моментов А в плоскости
контура.
Скелет на рис. 5.81, б (без пунктирных опорных
стержней) имеет три степени свободы при девяти стерж-
нях и трех независимых замкнутых контурах. Выбирая
произвольно три контура (другие варианты новых за-
висимостей не дадут), например 1 2 34 5, 543 9 8 67,
5 4 67, составляют, как указано, 3-2=6 уравнений, свя-
зывающих 9 углов перекоса. За независимые параметры
принимают фы, ф5«, фи. При этом оказывается, что
4’46 и фб? зависят только от ф’54; ф»з и фз.4 зависят от
412 и 4>«; ’4’68 и Цы зависят от 412, ф54, ф39,
б) Для получения дополнительного уравнения равно-
весия, связывающего моменты с нагрузкой, выбирают
в случае рис. 5.81, а состояние возможных перемещений,
задаваясь углом фгз (или перемещением узла 2) и счи-
тая стержни недеформируемыми. Уравнение работ на-
грузок и моментов, также рассматриваемых как нагруз-
ки, имеет вид:
2ДАр + 2(Жл — Мв)ф = 0,	(5.289)
конкретно:
А (Ф12 ri т" Фаз гз) + (Mia — (Wai) Фи +
ф- (ЛДз — Л4за) Фаз Ч~ (Л1з1 — ЛДз) фз4 = 0.	(5.290)
Выражая ф23 и фзд через -фи, как указано выше, и
сокращая на фщ (иначе говоря, принимая 4i»=l), полу-
чают искомое уравнение равновесия.
В случае, показанном на рис. 5.81, б, таких уравне-
ний составляют три, принимая в качестве возможных
состояния:
1) 412 Д 0, ф5! = фаз = 0: 2) ф54 Ц О,
412=439 = 0;	3) фззДО, ф12=ф54 = 0.
286
РАЗДЕЛ 5, СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Этот способ применяется также при расчете рам по
методу перемещений.
5,7.3.	Метод перемещении [26, 29, 40, 65, 87]
Общие положения
Основная система метода перемещений образуется
путем неподвижного закрепления всех или некоторых
жестких узлов рамы. Для закрепления узла (бесконеч-
Рис. 5.82
но малого плоского узлового диска) достаточна трех
связей:' одной (моментной) связи, препятствующей пово-
роту, и двух:"(силовых) связей, препятствующих линей-
ным перемещениям. Когда пренебрегают упругими де-
формациями удлинения и сдвига прямых стержней, боль-
шое-число линейных связей осуществлено заранее. Это
у вне ™ 'с/о ГВП1И1Т--Х связей и вместе с тем число
.мши. Для обычных рам харак-
терно болнгге Щ1С/10 ’ей.лестных углов поворота узж»
и т г (клеше- п"сгю ни жвы г перемещений. Чем меньше
ч ’ ю п" ic’hijt "t рждчд л I, тем эффективнее метод
перемещений.
Основез । дст’м сг’-таг щтся совокупностью пря-
мых, ломаных, или криволинейных стержней (в отдель-
ных случаях), защемленных двумя концами либо за-
щемленных одним концом и шарнирно опертых на дру-
гом. Предпосылкой применения метода является наличие
или предварительная подготовка формул для усилий в
защемлениях указанных стержней, причем как от мест-
ных нагрузок или других деформирующих факторов, так
и от перемещении самих защемлений; эти усилия равны,
очевидно, силам, передаваемым от стержней на узловые
диски. Имея указанные формулы, составляют систему
уравнений для основных неизвестных (перемещений),
выражающую условия равновесия узловых дисков, или,
что то же, условия аннулирования усилий во введенных
связях. Решив систему уравнений, возвращаются к фор-
мулам усилий в защемлениях и получают окончательные
значения этих усилий, после чего производится проверка
прочности стержней.
Обозначения и правила знаков. Концы стержня про-
извольно отмечаются буквами А и В. Наблюдатель зани-
мает положение, при котором юнец, А левее конца В.
Если не сделано специальных оговорок, принимаются
обычные правила знаков как для балок. На рис. 5,82, а, б,
показаны положительные перемещения торцов фА, оА,
на я фв, os, «в, положительные моменты защемления
Мл и 1АВ, положительные поперечные силы Qa и Qb
и положительные реакции V а, На и Vb, Нв. Вспомога-
тельные величины — фиктивные опорные реакции т° и Тд
в простой балке на двух опорах и фиктивный груз 6°,
направленный на чертеж (при левой системе коорди-
нат), отвечают положительным изгибающим моментам
14а соответственно нагрузке, направленной сверху вниз.
Формулы для усилий (реакций) защемлений
от местной нагрузки или заданной деформации
и перемещений торцов
1. Прямой стержень постоянного сечения с обоими
защегмениьими концами:
— ?Лд3 4- <рл 4-	—
~ ра 6£7
_ - . — ;
4Р/	9Д7
аЛ VA FtH
+	-~Т’
6Е1	6Е1
J_ °B-VA 12 £7 _
„ ч P-'F
Ив = WB3+ "J (Ид — Ил).
(5.291)
Здесь Mл3 и Л7'н3 —опорные моменты балки с обои-
ми неподвижно защемленными концами; берутся из
табл. 8.14 в зависимости от местной нагрузки балки или
вычисляются по формулам [см. S.5.2 формулы (5,142')]:
57. СЛОЖНЫЕ РАМЫ
287)
Е1е° / 6xrt >
/j
1	\	1 i
2Е1 , n
= --y-(24-4);
мч.3_ 2B£0^/	6^
“в	i ‘ т
2Е/ / n	,. ч
„ _ ___ ^2ra _ t°J;
^ = ЛУ + Фду
»в —'° А	ЗЕ1
(5.292)

ЗЕ/
~ Ч!а р ”
I I ’
vB _ в А зш
-т----------:—~ « — I
(5.295')
Здесь
@o — фиктивный груз (приведенная площадь эпюры
М°), концевые углы поворота и — фиктивные
реакции;
о ®°Ь	0 в® а
Q”'3 — поперечная сила
в сечении х балки с обоими
неподвижно защемленными концами:
-—-~	= ф _ уГОЛ перекоса бруса (+почасовой
стрелке);
3.	Прямые стержни с вутами. Формулы и коэффици-
енты к ним см. первое издание табл. 8.1.18.
4.	Общий случай прямого стержня переменного се-
чения. Ось х совпадает с осью стержня. Индекс у при
1у опущен.
Моменты защемления:
т
(5.293)
Л*л = -00
1_ __ х в СА
?Ф /Ф
,	( SA , 1 \ ,	( с Аев	1
ЕРд3, Н1^3—-реакции защемлений, равные продоль-
ным силам в защемлениях (по абсолютной величине);
ДИ.З = - у 2 Тх'> и,в3 = ” у S Тх' (5,294)
Здесь х —абсцисса сечения, в котором приложена
продольная нагрузка Т, если она имеется.
Обычно упругой деформацией удлинения пренебрега-
ют, силы Т переносятся в узлы, и формулы для И л и
Нд не используют, за исключением случая, когда речь
идет о затяжке.
2. Прямой стержень постоянного сечения с левым
(А) шарнирно опертым и правым (В) защемленным
концом:
-ФЛ
°в
__ . с .
/ф л
о/ 1
/ СА СВ
/Ф
/ ^4-
-фД|-^ +
ЗЕ1
M-в ~	3 — Фв у~ 4
ЗЕ!
I
Сл = Сэ-Фв3£/
ЗЕ1
Р
(5-295)
Здесь /И^3
.о
‘В
°В — ° А
+ Фв---———
ЗЕ/ т®	л
-у; Qr==Q® + -y.
То же, при правом (В) шарнирно опертом и левом
(А) защемленном конце;
хв.св
/*
/;Ф j
1 |	° В ~' ° А
;Ф / + /Ф СВ'
Поперечная сила в любом сечении:
=	~ (Фа са + Фв св ~	+ о4).
(5.296)
(5.296')
Здесь Еф, /Ф—-гибкость и центральный момент
инерции гибкости балки; с а, с» — расстояния центра
гибкости О* от концов А и В; О® результирующий
фиктивный груз; xq—-его абсцисса относительно О*
(эксцентрицитет).
Формулы (5.296) охватывают и случай одного шар-
нирно опертого конца, напряг,по А Тогда О* совпада-
ет с А; ЕФ= со; члены, содержащие фл, отпадают. Если
шарнирно оперт конец В, то ОФ совпадает с В; £Ф=со;
отпадают члены, содержащие :фд. Если один конец бал-
ки жестко защемлен, а другой вертикально подвижной,
т ^0 „-L
А А 2

I
° В ~ VA
(а
I
— э
288
РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
но не поворачивающийся, то в (5,296) следует положить
/Ф = оо, Такой случай встречается при расчете симмет-
ричных рам с симметричной нагрузкой.
Пример 5.11. Определить фиктивную нагрузку от
заданных воздействий и найти характеристики гибкости
для ступенчатой стойки, показанной па рис, 5.78.
Фиктивная нагрузка представляется в виде двух
грузов, по абсолютной величине равных фиктивным ре-
акциям и приложенных в тех же сечениях А и В:
/Ж ___ Ж. ср __ О
UА ~ ХА’ ™в ~~ СВ-
Величины Тд п тв даны формулами (Б.281).
Приводить фиктивные грузы 0д и 0В к результиру-
ющему 0° нет необходимости, следует учесть действие
каждого в отдельности.
Гибкость стойки
£’Ф JhL <
£/„	£7В ‘
Координата центра гибкости, считая от точки С
вверх:
............................
2Е1„ 2Е1п
Со= ~7----------•
_!L г
Е1п ,Е/и'
Расстояние О* от концов А и В:
CA=ha + CV СВ==К~~%-
Центральный момент инерции гибкости
/Ф = /Ф — уФ с2 .
Величина дана формулой (5.282),
5.	Общий случай ломаного стержня переменного се-
чения (рис. 5.82,6). Моменты в защемлениях:
+ /Ф + /Фу~
/ 1 hB hA	с А СВ
'М F + /*	/Ф
\	х	* у
аВ ^ аА VB - VA
- /Ф hA~ ф
‘у
(5.297)
Ул
. -т / 1 t hA hB сА св
"^кф ’	/Ф	/Ф
г Ж , , ;	1X	Е/
(л hB
Координаты хв , ув фиктивного груза 6°, подсчитан-
ного для шарнирно опертой балки, берутся в соответст-
вии с их знаком.
Координаты защемлений сА, hA, hB берутся ио
абсолютной величине,
В случае симметрии используется табл. 8.3.11, содер-
жащая геометрические характеристики гибкости для
ряда простых рам и параболического ригеля.
Реакции защемлений:
VA “ 17 А ~~ -Ц (®° х@ + 9а сА + 9 в св ~
у
-vbA~va}-
VB = У°в + -£ (в° х8 + <рл сА + <рв св -
*у
~-vB + vA};
।	(5.298)
” ив + ua)’
Нв — Нв—	(в0у0 + ФЛ hA — <fB hB --
~ ub + ua)-
Частные случаи. Если одна из опор, например А,
является ие защемляющей, а шарнирно неподвижной, то
рф = <х>, центр гибкости ОФ переходит в А, слагаемые,
содержащие фд, отпадают, (Ид=0. В остальном форму-
лы (5.297)— (5.298) остаются в силе. Об использовании
аналогичных формул см, 5.6.3, Особенность состоит
здесь в учете перемещений опор, эквивалентных сосре-
доточенным деформациям в концевых сечениях.
Формулы (5.297) — (5.297') полччены путем разверты-
вания их первых строк. При этом учитывалось, что влия-
ние концевых углов поворота и прогибов эквивалентно
действию угловых и линейных с. д. в опорных сечениях,
в свою очередь приводящихся к фиктивным грузам и
фиктивным моментам.
Составление уравнений из условий
равновесия
Число неизвестных углов <р равно числу жестких уз-
лов рамы (не считая опорных, для которых углы <р рав-
ны нулю или рассматриваются как заданные, иногда
буквенные, величины). Число неизвестных линейных
перемещений узлов (обозначаемых и, v или А) при ус-
ловии пренебрежения упругой деформацией удлинения
равно числу степеней свободы шарнирного скелета ра-
мы. Наличие непрямого стержня (ломаного или криво-
линейного ригеля), для которого удлинением хорды
пренебречь нельзя, увеличивает число неизвестных ли-
нейных перемещений на единицу.
Каждое уравнение выражает условие равновесия в
перемещениях и «соответствует» определенному неиз-
вестному. Неизвестным углам ер соответствуют уравне-
ния равновесия моментов, действующих на узлы. Неиз-
5.7. СЛОЖНЫЕ РАМЫ
289
местным линейным перемещениям соответствуют урав-
нения равновесия проекций сил, действующих на узлы
по направлению перемещений. Вместо уравнений равно-
весия узлов часто целесообразно пользоваться уравне-
нием равновесия стержней или групп стержней. В осо-
бенности это относится к уравнениям проекций при не-
растяжимых стержнях.
Чтобы использовать формулы для усилий в защем-
лениях А и В, каждый стержень рамы отмечается с од-
ной стороны пунктиром, который рассматривается как
нижняя сторона стержня (балки), если его привести
в горизонтальное положение. Левому концу мысленно
приписывается обозначение А, правому — В.
Угол поворота узла ср и внешний (заданный) момент
L, действующий на узел, считают положительными при
вращении по часовой стрелке. При составлении уравне-
ния равновесия как внешних, так и внутренних (со сто-
роны брусьев) моментов, действующих 'на узел, целе-
сообразно (но не обязательно) писать со знаком плюс
моменты, вращающие против часовой стрелки.
Уравнение равновесия моментов имеет вид:
S МА — 2 Мв — L = 0.	(5.299)
В раме в виде сростка п стержней (рис. 5.83, а) един-
ственной неизвестной является угол поворота узла фь
При нанесенных пунктирах моменты Мм, Ми являются
моментами типа /ИЕ. Моменты Мм, Мвд, Мм — типа
/ЙА. Соответственно эти группы моментов (при положи-
тельных знаках) вращают узел s разные стороны (рис.
5.83,с, внизу).
Рис. 5.83
Подстановка в (5.299) значений Мм (1 — 1, 2, 4) и
Мч3 (1=2, 5) в зависимости от характера опирания
конца дает уравнение:
£, = 0.

(5.300)
Скобка с множителем 4 относится к стержням с за-
щемленным концом I, с множителем 3 — к стержням с
шарнирно опертым концом /. При подсчете моментов
неподвижного защемления 7ИН'“ необходимо учитывать
характер опирания другого конца.
Общая формула для фщ
(5.301)
«У ф;,-	Iki
я	m
19—1303
или
El с Ф* =
L - 2 MKAS + S м”-3
3	ш
(5.301')
a q
Здесь I'= I ~ (индексы 1, у —прежние).
В раме на рис. 5.83, б три неизвестных: углы поворо-
та узлов ф3 и ф4 и горизонтальное перемещение узла
Из (равное поступательному перемещению ригеля), Со-
ставляются уравнения моментов для узлов 3 в 4 а
уравнение проекций для ригеля 3—4:
2М, = 0; 2А^ = 0; 2А3_4=0.
Соответствующие схемы действия положительных
усилий на узлы и ригель показаны на рис. 5.83,6, внизу.
1)	— Л1 • -j- Al 3J = 0;
2)	— Л14! —-	+ Mi;, — 0.
Перемещение us и силы, действующие на ригель, счи-
таются положительными, если направлены слева на-
право.
При составлении уравнения равновесия ригеля (так
называемого дополнительного уравнения) целесообраз-
но вводить со знаком «+» силы, действующие на ригель
справа налево:
3)	Qs1 + Q4a-Q«-7=0.
В уравнения I), 2), 3) подставляются значения М и
Q по формулам (5.291)— (5.295).
При этом неизвестная и= входит в усилия стержней
13, 24 и 45 соответственно в ваде суз—еа; Vu—vB; =
«=о Л -
Приведение подобных членов дает искомые уравне-
ния ДЛЯ Фз, ф4, Из-
Осадка опоры I на заданную величину щ получает
отражение в величине Л1и, куда вводится »з4=щ. Рав-
номерный нагрев стоек дает ь-с -щ и потому на усилия
не влияет. Равно»	дает «4 = аз+
+аЯзц что отражается на усилиях в стержнях 24 и 45.
Рама на рис. 5.84 при симметричной нагрузке содер-
жит пять неизвестных ц греб/ет ъгшения пяти уравне-
ний. В общем виде эта уравйёйия и относящиеся к ним
схемы нагружения узлов и: ригвя показаны на рисунке.
Усилия защемлений, выраженные через перемещения,
,290
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
получаются ио формулам (5.291) и (5.297) с привлече-
нием геометрических характеристик гибкости параболи-
ческого ригеля. Подробный числовой пример см. [87].
При шарнирных сопряжениях ригелей со Стойками по-
добную раму проще рассчитывать методом сил.
При непараллельных стайках осложняется установле-
ние соотношений между зависимыми и независимыми
перемещениями. Этот вопрос решается точно так же, как
и при расчете рам по методу сил или смешанному, когда
основной системой является совокупность шарнирно
соединенных балок (см. 5.7.2),.
уровне в пределах этажа, при вертикальных стойках
(рис. 5.85):
6£7С
Фп Фв __
h'h
(5.303)

Здесь «н», «в» '— индексы жестких узлов, лежащих
непосредственно ниже и выше разреза. Суммирование
Развернутые формулы для составления уравнений
метода перемещений
Общий вид уравнения моментов в перемещениях для
узла k при прямых стержнях постоянного сечения (см.
рис. 5.83, а):
(5-302)
Здесь k — индекс уравновешиваемого жесткого узла:
i— индекс смежного жесткого узла (г = 1, 2,
3,...);
j — индекс смежного шарнирного узла (j — i, 2,
3,	>
/ _/ А.
где 1с — произвольный, общий для всего расчета
рамы момент инерции;
ЧЪ Фг— углы поворота исследуемого и смежных
жестких узлов рамы (4- по часовой
стрелке);
,	°В “ ° А	. ,
W  ------;— --— угол перекоса стержня (4- по часо-
вой стрелке);
ij—-внешний момент, нагружающий узел k
(+ по часовой стрелке);
момент защемления стержня в узел k;
—момент защемления з узел fe конца
стержня А, соответственно при защемле-
• 	 нии и ПрИ шарнирном опирании конца S;
—мойент защемления конца стержня
,, ,	В соответственно при защемлении а при
шарнирном опирании конца А.
пировать с величинами перемеще-
ч " , /з г  ышьг,!*' в раз,. т. е. Ё/гд, Е7сФ, ::
Э>'ш у вод у>1„1еч1я проекций для части рамы,
чц,дщ-й олд' раза-ст, проведенного на произвольном
распространяется ня узлы всех стоек разрезанного
этажа;
Д' _ приведенные Длины стоек разрезанного этажа;
ф—‘углы перекоса стоек; при отсутствии темпера-
турного нагрева все ф одного этажа равны и
выносятся за знак суммы;
QB1S— значение поперечной силы в стойке, неподвиж-
но защемленной двумя концами, в месте разре-
за; знак определяется правилом, установлен-
ным для балок, причем считается: низ балки —
концом А, верх — концом В; обычно нагрузки
стоек (например, давление ветра на крайнюю
стойку) разносят на нижний и верхний ригели,
что дает Qa в =0, и с местной нагрузкой стой-
ки В общем расчете рамы не считаются;
XT— сумма проекций нагрузок, приложенных выше
разреза на горизонталь (нормаль к стойкам).
При стойках, шарнирно прикрепленных на одном кон-
це и защемленных на другом, уравнение проекций имеет
вид:
ЗЕВ V ~~ —	V —- —
с A h'h  A h’h
“S€+Sr=°-	(5-зм)
Индекс ф опушен, так как безразлично, какой из
двух узлов стойки прикреплен шарнирно, какой жестко.
QHjS вычисляется для одношарнирной стайки.
Если одни стойки защемленные, а другие одношар-
нирные, то уравнение записывается в виде суммы урав-
нений (5.303) и (5.304),
6,7. СЛОЖНЫЕ РАМЫ
291
Канонические уравнения метода перемещений
для свободной рамной эстакады (рис, 5.86)
Неизвестными являются углы поворота узлов <рл
(/>.== 1, 2,...) и горизонтальное перемещение первого узла
ригеля и. В качестве примера выписала система шести
уравнений для случая четырехпролетной (пятистоечной)
эстакады. Уравнения имеют вид трехчленных для углов
Ф с дополнительной неизвестной и во всех уравнениях:
О	4Vu	+	4W1Z	ф-	uriu	rtp	=	0;
2)	4Vst	4"	Wsa	4-	2з	4	игги	~г Op	—	0;
3)	+	ФДз»	+	ЧУ23 + Ч4''з4	-j-	ur3il	4“ 'зр	—	3;
4)	+ ФзОз + ФД« “Г ФУщ 4- Uriu + Op == 0;
I 5}	ФД54	-4	ФбОз	9”	U’ou	4 г5р	~	0‘,
6)	KtJia	+	ККил	+	Ч'Диз + 4:irui	+	KtSui	+	ш ии	+ ’up	=
(ТО = rkl)
(5.305)
Типовое п-е уравнение имеет вид:
«) 4—1	1 + Ъг пп + Фй+1 гп, «41 +
+ w’nH“r«p = °-	(5.306)
Коэффициенты типового уравнения для случая стержней
постоянного сечения:
Рис, 5.86
главные коэффициенты
I 1
= 12££
(5.307)
побочные коэффициенты
~	_ 2£/f
1 пл—1	4—1,«
п
2Е1С
riui-‘-l	’ пфЛ.п	'
Ерл
_	6££
’пи гип
Свободные члены
(5.308)
4р =- 4 - лС,«-1 4- pt - К.щ; (5.309)
гиР
s<2
*
п,п'
4-24.
(5.310)
Решение уравнений с дополнительной неизвестной см,
[86]. Подробные числовые примеры см. [87].
19*
5.7.4. Распределение моментов
методом последовательных приближений
[15, 24, 35, 40а, 70, 77, 79, 80, а также первое
издание 5, 8]
Метод позволяет получить опорные изгибающие мо-
менты стержней без предварительного нахождения уг-
лов поворота и линейных перемещений узлов. Защемим
и принудительно повернем жесткий узел на угол <р.
Отношение части момента, приходящейся на стер-
жень, ко всему неуравновешенному моменту узла при
его повороте называется коэффициентом распределения
-г тп
узловых моментов к —----, где т-„ —• опорный момент
2м
в защемленном стержне я, a 2m — реактивный момент
в защемленном узле при его повороте. При постоянных
сечениях стержней с защемленными концами этот коэф-
фициент равен относительной погонной жесткости рас-
сматриваемого стержня EI/1, деленной на сумму относи-
тельных жесткостей всех стержней, сходящихся в узле
2
I
Отношение поперечной силы в стойке рамы к сумме
поперечных сил стоек рассматриваемого этажа при его
горизонтальном смещении на величину А называется ко-
эффициентом распределения поперечных сил. Для стоек
£/Х
постоянного сечення уя =------4 0 ПРИ одинаковой
ЕЕ! ph’
длине стоек уя= ~м~. Момент в узле, вызванный ли-
нейным смещением узлов рамы, равен поперечной силе
рассматриваемой стойки, умноженной на соответствую-
щее ей плечо, которое для брусьев постоянного сечения
равняется половине длины стойки. При расчете несво-
бодных рам у=0.
Отношение момента на противоположном конце
стержня к моменту в рассматриваемом узле при его по-
вороте иа угол ф называется коэффициентом переноса
Д Для стержней постоянного сечения (3 = 0,5.
Правило знаков. Положительными считаются момен-
ты, вращающие узел но часовой стрелке. Отсюда следу-
ет, что при повороте вследствие смещения оси стержня
по часовой стрелке в узле создается положительный
момент.
Пример 5.12, В раме (рис. 5.87, в) буквами обозначе-
ны узлы рамы, цифрами—номера стержней. Относи-
тельные жесткости стержней указаны в кружках на схе-
ме рамы. Размеры даны в метрах, силы — в тоннах. Все
расчеты (табл. 5.10) состоят из следующих операций.
292
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Рис. 5.87
Таблица распределения моментов
Таблица 5 10
Узлы	к	L	м 1		G		Н			
Стержни	13	14	15	8	11	13	п	9	12	14
k	—	—	—	0,17	0,55	0,28	0,28	0,11	0,44	0,17
У	0,332	0,400	0,268	0,335	—	0,332	—	0,445	—	0,400
Строки										
1		——		—-	11,25		—11,25		4-5,00	
2	+9,00	4-10,80	4-7,20	+5,00	—	4-9,00	—	+6,67	—»	4'10,80
3	•—	—	—	—4,30	—13,88	—7,07	—3,14	—1,23	—4,94	—1,910
4	—3,53	—0,95	—0,49	—1,83	—1,57		.	—6,94	—0,12	—2,02	
5	4-2,49	4-2,98	4-2,00	42,46		42,49	—	43,28		42,98
6	—		—,	—0,26	—0,85	—0,44	40,79	+о,31	+1,24	40,48
7	—0,22	4-0,24	—0,11	40,01	40,39			—0,42	40,п	—0,44	
S	4-0,04	4-0,05	40,03	——		40,05				+0,06
У	—*	—		—0,08	—0,25	—0,12	40,19	40,08	+0,30	40,12
10	—0,06	+0,06	—0,02	—0,01	+0,09			—0,12	40,02	—0,21		
и	4.0,01	-4-0,01	40,01	40,02	—	40,01	—	40,03		+0,02
12	—	—	—	—0,02	—0,06	—0,03	40,07	+0,03	+0,12	+0,04
13	4-7,73	4-13,19	4-8,62	40,99	—4,88	43,89	—20,82	49,18	—0,92	+12,59
5.7. СЛОЖНЫЕ РАМЫ
293
П рододжение табл. 5.10
Узлы	У			D			Е			
Стержни	12	10	13	3	6	8	6	4	7	У
1	0,73	0,09	0,18	оэ ю	+69	0,21	0,31	0,06	|	0,50	0,13
		0,22	0,268	0,366		0,335		0,385		0,44з
Строки *1	-5,00			-	+ 11,25		—11,25		4-5,00	
2		—и ,33	4-7,20	+1,17		4э э ои	—	41,39 —0,11		+6,67
	—4,04	-0,50	-0.99		1,74	—12,02	—3,66	—(), 56		—0,90	—0,24
4	-2,47	+0,05		-1.05	—О 28	-2,15	—6,01	+0,22	40,37	—9,61
5		—1,63	+2,00	+0,88	—	42,4h	—	+1,04		+3,28
6	—0,83	—— 0,11		4-0,01	+0,19	4-0,03	+0,53	4-0,10	+9,86	
7	4-0,62	—0,09		—0,07	4-0,26	-0,13	40,05	4<;jo	—0,70	40» 15
8	—		4-0/04	4-о,оз			—.	40,03		
	~~0,42	-0,10	—О, Оо	—0,01	—0,06	—0,02	+0,11	+0,03	40,18	40,05	
10	4-0,15	—0,01		—0,03	40,05		—0,03	40,05	—0,13	4044 4-о,оз
П	—-	4-0,02	+0,01	—	—	+о,оз	—	+0,01		
12	—0,12	—0,02	—0,03	—	—0,01	—	-4’0,01	—,	403 02	—
13	—12,16	44,20	4-7,86	—0,80	—0,72	+1,52	—17,15	+2,86	+4,70	4949
Продолжение табл. 5.10
Узлы		F			А		В		с	
Стержни	7	5	10	1	3	1	2	4	2	5
¥	0,84	0,05	0,11	0,83	0,17	0,35	0,56	0,09	0,92	0,08
т		0,248	0,22		0,366		—	9,385	—	0,248
Строки 1 2	—5,00 4^	40,79 40,04	43, зз 40,10	411,25 —10,31	—2,11	—119 25 4-1 ПО	45,00 42.72	4П39 40,44	Ч- 1 О? 1 О1 со ’о J	49,79 40,34
4 5 б	—0,45 —1,41	+0,17 +0,58 —0 , 08	-0,25 + 1,63 —0,19	40,85 —0,71	—0,87 40,88 —051о	—5,16 40,78	41,94 4145	—0,05 4-1,04 40,20	+1,36 —1,80	40,02 40,58 —0,16
7 8 9	40,43 -о 47	—0,08 40,02 —0,02	1 1® 1 1	40,1,39 —0,35	4О,оз —0,07	—0, Зо 4-0,41	—0,90	: 4045	40^05 4-0,04 4-о, ю	40,62 —0,55	—0,04 +о 02 —0,05
10 11 12	40,09 —0,03	—0,02	—0,05 40,02 0,01	40,20 —0,17	—0,03	-0,17 +0,15	—0,27 4044	40.01 40,04	+0,32 —0,29	О . о о ’ о 1 1
13	—5,89	41,39	+4.50	41,14	—1,14	—13э89	4W.63	4-3,26	—1,46	41,46	:
294
РАЗДЕЛ В. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
1.	Определение коэффициентов распределения узло-
вых моментов:
г	5	3
h —-------.-------= 0,28; += =— = 0,17;
С’1а 5 + 3+ 19	°-8	18
-	10	10
*	0,11 =	~ °'55;	/гЛ1П =	= 0,28;
4
*	4,9 = 7+ =0,U и т. д,
зь
2,	Определение коэффициентов распределения попе-
речных сил:
5
Vk, 13 — Vo, is — g 6 _j_ 4 — 0,332; у Lj M =
6
= т»-и = "15 =0-4;
T/,15 = Tai,15 = 0,268; yGi8 = yD_g =	= 0-335;
4	1
+,s = Тд,9 = -у = °-445; T/.io = 1+,io = 0,22;
1,5
16
Yd,3 = T/,3 =	------7,--------j— ₽ 0,366;
—— , -------- ,---
16	20,3	16
2
У’с,5 ~~ Уг.5 ~~ 0,248.
Полученные коэффициенты распределения вписаны в
соответствующие строки табл. 5.10.
3.	Начальные моменты защемления от вертикальных
нагрузок определяются по известным формулам (см.
5.5.2), как для стержней с защемленными концами, и
вписываются со своими знаками в строку 1 табл. 5.10:
^G,U =	^Н. 11 = ^Е.в =	^Е,6 =
5
= МАЛ =- мвл = — 4,5-8 = 1.1,25 Т-м-
АД,12 ~	^1,12 ~ ^Е,1 =	^‘F,7 = ^В,2
2
=—АД „ = — 5-4,5 = 5 Т-м.
4.	Начальные моменты в узлах, вызванные горизон-
тальным смещением рамы, определяются умножением
суммы поперечных сил в стойках рассматриваемого ата-
+
жа на множитель уя :
Я+13 = Л4О,13 = 0,332 (1,6 + 3,4 + 4)	=9 Г, ж,
Ж£>14 = Л1Н>14 =0,4-9.3= 10,8 Т-м-
Л1д46 = +л;5 = 0,268-27 = 7,2 Т-м-,
Л4с,8—”AfG,s= 0,335-5-у = 5 Т-м-,
^EfS ~ э ~ 6,67 Т -М;
Мfgж	- - 3,33 Т-м.-,
4
7W/lj3 =	= 0,366-1,6— =1,17 Т-м:,
4,5
МВТ = М-Е,4 = 0>386-1,6 у = 1,39 Т-м-
MCt5 = +fi5 = 0,79 Т-м.
Значения этих моментов вписаны в строку 2,
5.	Начальные моменты, записанные в строках 1 и 2
табл. 5.10, образуют в узлах неуравновешенные узловые
моменты, равные суммам опорных моментов стержней,
сходящихся в рассматриваемых узлах. Эти неуравнове-
шенные узловые моменты распределяются между брусь-
ями, сходящимися в узле, путем умножения их значе-
ний на соответствующие коэффициенты распределения и
записываются в строку 3 табл. 5.10 с изменением знака.
В узле G: МГ! в — —0,17(11,25ф-5ф-9) ——Т,ЗТ-м-, +01)1 =
= —0,55  25,25 =—13,88 Т -ж,	Л4е,13 = —0,28 • 25,25 =
=—7,07 Т-м и так далее для всех узлов рамы.
На этом закапчивается первый цикл расчета.
6.	Распределенные моменты переносим со своим зна-
ком на противоположные концы стержней, умножив их
На коэффициент переноса, который в рассматриваемом
примере равен 0,5, Перенесенные моменты записываются
в строку 4.
7,	Перенесенные моменты (строка 4) и распределен-
ные (строка 3) вызывают неуравновешенные поперечные
силы в стойках каждого этажа, которые равняются:
для первого этажа
3,53 + 0,95 + 0,49 + 7,07 + 1,91 + 0,99
Qi , -
= — 2,49 Г;
для второго этажа
4,30ф-1 ,83+1,23+0,12+0,50-0,05+3,66+
Q/I	... .
о
; +2,15+0,24+0,61 —0,10+0,2 5 _ 2 46 Т
6
для третьего этажа
=
1,74+1 ,05+2,11+0,87—0,04—0,17-0,34—0,02
д’	~
0,11 —0,22 — 0,44 + 0,05
-------1—-то-2--П_-То.-=^1Л9Г.
4,5
Умножая этажные
силы на множитель уп
неуравновешенные поперечные
*/г
--- и меняя знак, получаем мо-
менты в стержнях рамы, корректирующие линейное сме-
щение узлов. Эти моменты записываются в строку 5.
Для узла G:
6
+0-8 = 2,46-0,335— =2,46 Т-м-
6
ЛДдз =2,49-0,332—- = 2,49Т-ж; для узла В;
л+,4= 1,19-0,385—’ = 1,04Г-л/ и т. д.
5.7, СЛОЖНЫЕ РАМЫ
295
8.	Перенесенные моменты (строка 4) и моменты, кор-
ректирующие линейное смещение рамы (строка 5), об-
разуют неуравновешенные узловые моменты, которые
(аналогично п. 5) распределяются между брусьями, схо-
дящимися в узле, и записываются в строку 6.
На этом заканчивается второй цикл расчета.
9.	Распределенные моменты (строка 6), умноженные
на коэффициент переноса, равный 0,5, переносятся на
противоположные концы стержней (строка 7).
10.	Распределенные и перенесенные моменты (строки
6 и 7) вызывают неуравновешенные этажные попереч-
ные силы. Эти поперечные силы корректируются момен-
тами, определяемыми аналогично п. 7, которые записы-
ются в строку 8.
11.	Моменты строк 7 и 8 вновь создают неуравно-
вешенные узловые моменты, которые распределяются
по стержням и заносятся в строку 9.
На этом заканчивается третий цикл расчета.
12.	Процесс приближений заканчивается на цикле, в
котором как неуравновешенные этажные поперечные си-
лы, так и моменты распределения являются малыми
величинами, которые практически не отражаются на
требуемой точности расчета. В рассматриваемом приме-
ре расчет обрывается на четвертом цикле.
13.	Алгебраические суммы начальных моментов за-
щемления со всеми распределенными, перенесенными и
корректирующими поперечные этажные силы моментами,
дают истинные опорные моменты стержней рамы.
Построенная по этим значениям эпюра моментов при-
ведена на рис. 5.87, б.
В случае действия на раму горизонтальных распре-
деленных нагрузок или сосредоточенных внеузловых сил
последние заменяются узловыми сосредоточенными си-
лами, равными соответствующим опорным реакциям
стержней, взятым с обратными знаками. Кроме того,
учитываются начальные моменты защемления в верти-
кальных брусьях, к которым приложена горизонтальная
распределенная нагрузка.
При приложении к узлам рамы сосредоточенных мо-
ментов их следует распределять по стержням, сходя-
щимся в рассматриваемом узле, с тем же знаком. Внеш-
ний узловой момент в состав расчетной таблицы не
включается.
Расчет рам на действие неравномерной осадки опор,
поворота опор, равномерного и неравномерного нагре-
вов стержней выполняется в такой же табличной форме.
При этом начальные моменты защемления в элементах
основной системы рамы вычисляются для соответствен-
но приложенных воздействий. В тех случаях, когда ве-
личины моментов защемлений зависят также от жест-
кости стержней (нагрев, осадка и поворот опор и др.),
последние следует принимать в их истинных, а не отно-
си те л ь ны х з и ачен и я х.
5.7.5. Метод сил [65, 40]
Общие положения
Метод применяется для расчета плоских и простран-
ственных политональных рам, шарнирный скелет кото-
рых обладает большим числом степеней свободы. Прак-
тически при двух степенях свободы метод сил уже за-
служивает предпочтения перед другими методами. Кро-
ме того, метод сил; применяется во всех тех случаях, ког-
да желательно учесть упругую деформацию от действия
продольных: и поперечных сил. Д.ля: комбинированных
систем и ферм метод сил незаменим. Классическая фор-
ма метода сил сводит расчет к ряду закономерных опе-
раций, которые описываются независимо от характера
системы.
Из заданной конструкции устраняется столько связей,
сколько необходимо для превращения ее в неизменяе-
мую статически определимую основную систему. Дейст-
вие устраненных связей заменяется соответствующими
связям усилиями, иначе — лишними неизвестными.
Число лишних неизвестных, равное числу устраненных
связей, называется степенью статической неопределимо-
сти системы.
В случае плоской бесшарннрной рамы степень ста-
тической неопределимости равна утроенному числу
замкнутых контуров. Каждый шарнир в замкнутом кон-
туре вносит одну степень свободы и, следовательно,
уменьшает степень статической неопределимости на
единицу. Иногда шарнир с общей цапфой относится од-
новременно к двум, трем или четырем контурам. В этом
случае он играет роль соответственно двух, трех, четы-
рех отдельных шарниров. При большом числе шарниров,
когда имеются отдельные контуры, содержащие больше
трех шарниров, необходим структурный анализ для
установления геометрической неизменяемости системы.
Каждый сквозной разрез, нарушающий связность
одного контура, уменьшает степень статической неопре-
делимости на три.
Каждый стержень с шарнирами по концам увеличи-
вает степень статической неопределимости на единицу,
так как добавляет один контур (три связи) и два шар-
нира (две степени свободы).
Выбор основной системы. Составление и решение
канонических уравнений
На рис. 5.88, а показана двухконтурная 6 раз стати-
чески неопределимая рама покрытия промышленного
здания. Основная система (рис, 5.88,6) выбрана так,
чтобы сохранить нижнее защемление стоек (колонн).
Это облегчает построение эпюр от нагрузки стоек. Вме-
сте с тем ломаные ригели в основной системе выступают
в виде балок, нагруженных заданной нагрузкой, опор-
ными моментами и распором,
Составляется система канонических уравнений мето-
да сил, каждое из которых выражает мысль, что пере-
296
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
мещение по направлению одной из устраненных связей
от совместного действия на основную систему заданных
нагрузок и лишних неизвестных равно нулю. Перемеще-
ние от заданной нагрузки (грузовой, или свободный
член) ставится в конец.
Для частного случая четырех неизвестных система
уравнений имеет вид
D + 2626ls 4~ Л.3в18 4- 2646м 4- Ajp = 0;
2)	264621 4" ^2622 4" Х-з^йз 4~ А4621 4" А2р = 0; з
3)	А4631 4“ 26г633 -Д Л'8взз + 264634 -j- Аар = О1
4)	2610ц -у 26^642 4" Д3643 -j- Х4644 -Д А4р = 0.
Формула (5.314) выражает так называемое правило
Верещагина.
Если результирующая деформация приводится к па-
ре, то вместо 0Р берется момент пары, а вместо М.19 —
тангенс угла наклона прямолинейной эпюры Mf к оси
абсцисс.
При прямолинейной единичной: эпюре деформация
может быть приведена к концевым сечениям. Вместо
(5.314) получаем формулу Мюллер — Бреслау:
+	<5.315)
Г Мр М( as
J ~ El
Для вычисления свободных членов и коэффициентов
строят .эпюры усилий от заданной нагрузки Мр, N-р, Qp
и от единичных неизвестных, например от Xi = l—эпю-
ры Mi, N.„ Qi, от 2f2=l — эпюры Мг, Ns, Q2 и т. д,
На рис. 5.88, б показаны эпюры и Мв. Практиче-
ски каждая эпюра строится на отдельной схеме рамы.
Помимо заданной нагрузки могут быть даны также
распределенные деформации — начальный изгиб, темпе-
ратурные удлинения и кривизна, а также сосредоточен-
ные деформации (дислокации).
Для плоских систем свободные члены вычисляются
по формуле Максвелла — Мора:
CMpM,-ds	С NpNids	С QpQtds
j ~~El	J ~~£F	+
s	s	s
f a (tn — /„) — f _
4-	. ds + a/cp ,V. ds
+ 2@>il4-2AM/4-SrQj.	(5.312)
Коэффициенты вычисляются по формуле
f MiMkds , f
5	:: S
N i N k ds
Qi Qk ds
GFU
(5.313)
Как правило, при расчете сложных рам упругой де-
формации сдвига при определении усилий пренебрегают
всегда, упругой деформацией удлинения —- во всех слу-
чаях, когда рама не имеет характера вытянутой в одном
направлении балки (тина безраскосной фермы или
башни).
__ При прямолинейных стержнях рамы эпюры М, N,
Q — на протяжении одного стержня всегда прямолиней-
ные, без переломов. Для этого случая интегралы выра-
жаются произведением результирующей деформации на
ординату единичной эпюры, например
^ерм1&.
(5.314)
, J ш	’
S
„ п С Мр ds	—	—
Здесь вр = I	, Mie •— ордината эпюры Mi
в сечении @₽ (рис 5.89; а)«
Интеграл равен сумме произведений концевых углов
поворота, подсчитанных как для простой балки (ина-
че — фиктивных реакций) на концевые ординаты эпюры
Mi (рис. 5.89, б).
Рис, 5.89
При £/=const, что является практически наиболее
важным случаем, используется таблица формул для ин-
тегралов 8.3,20.
Кроме того, при вычислении по формуле (5,315) мож-
но воспользоваться табл. 8.1.3, даюшей концевые углы
поворота т,.л и Тв простой балки в зависимости, от на-
грузки. Преимущество этого способа состоит в том, что
нет необходимости строить эпюру Мр, а достаточно
знать нагрузку стержня и опорные моменты Млр и
М в р.
Найденные коэффициенты и свободные члены выпи-
сываются в матрицу:
7V				Xt	Варианты нагрузки		
					%	Nt	N@
I				Bld	%	Ni	Д19
2		N			Д2Д	Nt	Д20
3			5SB		Азр	Nt	Д48
4					Д-Р	Nt	Д40
Коэффициенты, симметричные относительно главной
диагонали, в силу закона взаимности друг другу, рав-
ны: 61й.=6м. Главные коэффициенты всегда положитель-
ные.
Решение уравнений чаще всего выполняется по схеме
Гаусса (см. 6.1), что приводит к преобразованию матри-
цы (5.316) к треугольному виду:
5.7. СЛОЖНЫЕ РАМЫ
297
		7G	Хз	X.	Варианты нагрузки		
					'Ьа		
1		§12	Ь,а			&и	Ai0
2	0	МР	23	42	~р		
3	0	0	42	42	ф2)		Xi’
4	0	0	0	J44	А Л4Р		
При помощи треугольной матрицы неизвестные оп-
ределяются в порядке, обратном их нумерации:
		
			
	а<4 Зр	Хл 3±.
Лз —		°33
ха =-		а, <2	6<Р -х^Гх‘Хщ
	Xlp V	V	V ^13	V -л.2	— Л3-	— ^11	&11	0.11
(5.318)
Коэффициенты треугольной матрицы, отмеченные
верхним индексом, имеют четкий статический смысл: это
перемещения однажды, дважды, трижды статически не-
определимых основных систем, которые могут быть по-
лучены, если устранить не все лишние связи системы,
а последовательно одну связь, затем две, затем три.
Решение производится столько раз, сколько задано
вариантов нагрузки. При этом часть вычислений, приво-
дящая к нахождению коэффициентов б, б<’), fit2), 6(3), не
повторяется, наново вычисляются лишь значения Xi, Xs,
Х3, Xi по формулам (5.318).
Для построения небольшого числа л. в, усилий или
перемещений также проводится решение уравнений.
Например, для построения л. в. изгибающего момента
в сечении пт рамы следует «нагрузить» систему с. д.
0ОТ = 1, определить неизвестные Xi, Х2, Х3, Xt и затем:
а) построить эпюру изгибающих моментов того пояса
системы, по которому .перемещается нагрузка (это будет
л. в. от действия фиктивной нагрузки), и б) по этой эпю-
ре моментов построить эпюру прогибов пояса (это бу-
дет л. в. от действия груза Р~ 1).
Пример см. 5.5.8.
Если число вариантов нагрузки превосходит число
неизвестных, а также при серийном построения л. в.,
когда целесообразно сначала построить л. в. всех неиз-
вестных, следует определить так называемые числа, или
коэффициенты влияния. Числа влияния (Рщ) равны зна-
чениям неизвестных (X,), найденных прй условии, что
один из грузовых членов (Aa) равен единицей а осталь-
ные равны нулю. Матрица чисел влияния совпадает с
так называемой обратной матрицей уравнений (см,
6.1.4):
	&ip	А2р	Д3р	ч
Аф	Ад	Р12	Р13	Р14
X,	р21		Раз	р24
Хз	Рз!	Р.зз	Рзз	Рзг
х.	₽41	p4S	Рдз	Рм
(5.319)
Имея числа влияния, можно определить любое неиз-
вестное при помощи зависимостей вида
Xj — А1р рц ~j~ Д2р pig Азр р13 ф- Длр
Х2 — Д1р р21 + Дар Pss -f- Дзр раз -ф- Д4р p2.i
и т. д.
Вычисление матрицы значительно упрощается
благодаря тому, что при условии б^^бд; имеет место
также взаимность чисел влияния:
f>tk = fe-	(5.320)
Обычно при вычислениях этим свойством не пользу-
ются, но оно служит для контроля.
Имея числа влияния, строят л. в. неизвестных, руко-
водствуясь следующим простым правилом: л. в. неиз-
вестной Xi совпадает с эпюрой основной системы, на-
груженной неизвестными, равными числам влияния со-
ответствующей l-й строки.
При этом л. в. от действия фиктивной нагрузки сов-
падает с эпюрой изгибающих моментов, а л. в. от дейст-
вительной нагрузки совпадает с эпюрой прогибов.
Определив неизвестные, строят окончательные эпюры
усилий, что дает возможность произвести проверку проч-
ности.
Специальные приемы упрощения и контроля расчета
по методу сил
Принцип изменения основной системы [65]. Одну из
трудоемких операций составляет построение грузовых
эпюр и определение грузовых членов. Принцип измене-
ния основной системы позволяет строить эпюры грузо-
вого состояния для основной системы, ОТЛИЧНОЙ ОТ ТОЙ,
для которой строят эпюры единичных неизвестных (так
называемые единичные эпюры). Например, для однокон-
турной рамы в качестве основной системы можно взять
трехшарннрную раму, неизвестными будут изгибающие
моменты в шарнирах. Грузовую эпюру можно построить
для основной системы в виде ломаной консоли. Мало
того: для различных нагрузок можно пользоваться раз-
личными основными системами, важно лишь, чтобы гру-
зовое состояние в целом было статически возможным
(уравновешенным) при наличных связях.
Хотя величины лишних неизвестных при этом изме-
няются, но окончательные эпюры от совместного дей-
ствия нагрузки и неизвестных остаются инвариантными
и отвечают действительному состоянию системы.
Принцип равновесия фиктивиРйцфагрузки замкнутого
контура. После определения jiiiM'i? н₽ ючестных сле-
дует проконтролировать точность решения, воспользо-
вавшись каким-либо условием совместности деформа-
ций, отличным от выраженных в канонических уравне-
ниях. Обычно этот контроль осуществляется после по-
строения окончательной эпюры .изгибающих моментов М.
Фиктивная нагрузка с погонной интенсивностью
. М
рт ——jpj-вдоль каждого бесшарнирного контура должна
298
РАЗДЕЛ 5, СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
быть в состоянии равновесия. Это дает три уравнения —
одно уравнение проекций на ось, перпендикулярную
плоскости рамы, и два уравнения моментов относитель-
но осей, лежащих в плоскости рамы;
(^) р'-с ds = 0; ф| рФ yds = 0; ф рФ xds = 0.	(5.321)
h	k
Значительные отступления от условий равновесия
фиктивной нагрузки можно обнаружить на глаз. Напри-
Рис. 5.90
мер. из первого уравнения следует, что суммарная пло-
щадь приведенной эпюры М на протяжении каждого
бесшарнирного контура должна быть равна нулю — по-
ложительные и отрицательные площади должны быть
одинаковы.
Если контур имеет шарнир, первое равенство отпа-
дает. Остаются уравнения моментов относительно двух
произвольных осей, пересекающих шарнир. При двух
шарнирах остается одно уравнение, которое с точностью
до постоянного множителя совпадает с уравнением ме-
тода сил.
Графо-аналитическая модификация метода сил. Усло-
вия равновесия фиктивной нагрузки замкнутого контура
используются не только для контроля, но и как основа
специального расчетного приема.
Сущность этого приема состоит в следующем. От за-
данной нагрузки п от единичных лишних неизвестных
строят эпюры моментов и определяют результирующие
фиктивные грузы. От нагрузки фиктивные грузы полу-
чаются как по: величине, так и по положению, от неиз-
вестных — только по положению, величина же опреде-
ляется с точностью до множителя Aj, Xs, ... Для каждого
замкнутого контура составляют три уравнения замкну-
тости — уравнений равновесий фиктивной' нагрузки,- ис-
пользуя для этого наиболее подходящие моментные оси.
Из-получаемых этим путем уравнений (в общем-случае
неканонических,	находят все иейзвестные.
Проведение моментных осей через-резуйьтируйицйе фи-
ктивные Грузы дает широкие возможности для частич-
но ’ а иногда и полной ортогонализаци i ( м иже)
'Йодробное изложение графо-анащт i то’ого метог
сил см. 87.	:'Д
Пто- чип., ортогонализации неизвестных в уравне-
ниях йётрда' сил. Ортогонализация заключается в том,
ЧТО’’’ всей ййи некоторые побочные коэффициенты
б Дш-е-й) в тоттое тоиточеских уравнений обо щаю
ся в чу ль Это досецгз-тся специальным выбором-уетра-
кяс ы’ „-тое i ч гщ ияестных, или особым способе®W
сгзвтотоя сравнений деформации.
Важнейший способ частичной ортогонализация связан
z ’’сг тотоова» м мметрий и рассмотрен ниже.
Способ пот юн ортогонализации для одноконтурных
арок и ча Ни' то .ывэемый метод вынесения неизвест-
ных при гсч'ищ, лбсотщтно жестких отростков—метод
упоугого цея-рл) ядегтччеь с вытекающим нз статико-
Юсобом расчета при помощи
формул виецентренного растяжения-сжатия для фиктив-
ной нагрузки (см. 5.6.3).
Решение уравнений по методу Гаусса (см. 6.1) мож-
но рассматривать как последовательную ортогонализа-
цию,с введением групповых неизвестных и соответствую-
щих им перемещений, тождественных с перемещениями
статически неопределимых основных систем с возраста-
ющим числом лишних связей.
Если устранением некоторых связей заданная система
превращается в другую статически неопределимую си-
стему, изученную ранее, то использование статически
неопределимой основной системы представляет один из
эффективных методов ортогонализации.
Рис. 5.91
На рис, 5 90, а показана пятикратно статически неоп-
ределимая рама. Предполагается, что усилия в П-образ-
ной трижды статически неопределимой раме от местной
нагрузки, момента и горизонтальной силы, приложенных
к узлу, могут быть взяты из таблиц, задача сводится к
определению только двух неизвестных и Х.% (рис.
5,90, б) из уравнений
1)	+
2) X,	ф-Af =0.
Здесь символом (3) отмечено, что основная система
трижды статически, неопределимая.
Задача еще более упрощается, если заранее известны
формулы для перемещений узла П-образной рамы от
местной нагрузки и единичных сил Aj и Аг. В ряде слу-
чаев таблицы для простых рам могут быть использованы
не только по своему прямому назначению, но и как
вспомогательное средство при расчете сложных рам. Эта
идея положена в основу таблиц [3].
Для систем с каноническими уравнениями трехчлен-
ной 'структуры существует наглядный метод ортогонали-
зации, носящей название метода фокусов (см. первое
издание 5.8.4). Для одноконтурных и многоконтуриых
рам отдельные приемы полной и неполной ортогонализа-
ции вытекают из графо-аналитического метода и носят
ярко выраженный геометрический характер [87].
5.7, СЛОЖНЫЙ РАМЫ
299
Практический недостаток большинства методов орто-
гонализации (по сравнению с последовательным выпол-
нением операций метода сил в его классической форме)
состоит в повышенных требованиях, предъявляемых к
расчетчику в связи с более сложной и индивидуализи-
рованной программой расчетных операций.
Рнс. 5.92
Упрощение расчета симметричных рам. Основную си-
стему симметричной рамы выбирают симметричной. На
рис. 5.91, а показана двухконтурная рама. Основная си-
стема получена путем включения шести шарниров: четы-
рех — внизу и вверху крайних стоек и двух — между
левым и правым ригелями и средней стойкой
(рис. 5.91, б).
На рис. 5,91,в,г показана замена неизвестных АД ...
Х6 симметричными и антисимметричными группами,
обозначенными соответственно 'X, У2, У3 и Zb Z2, Z2.
Все коэффициенты вида (1=1, 2, 3, й = 1, 2, 3) рав-
ны нулю, Поэтому система шести канонических уравне-
ний независимо от характера нагрузки распадается на
две независимые группы по три уравнения: одна содер-
жит неизвестные У, другая — неизвестные Z. Целесооб-
разно сгруппировать не только неизвестные, ио и на-
грузку, как показано на рис. 5.91, в, г. Тогда расчет на
симметричную и антисимметричную нагрузки сводится
к расчету двух простых рам, показанных на,рис. 5.91,5,
е. Эти рамы отличаются своими правыми стойками, соот-
ветствующими средней стопке заданной рамы. На рис.
5,91, д эта стойка является бесконечно жесткой при из-
гибе и при сдвиге, жесткость же на продольную дефор-
мацию уменьшена вдвое. На рис. 5.91. в жесткость на
изгиб и сдвиг составляет половину жесткости фактиче-
ской средней стойки, жесткость на растяжение-сжатие
равна бесконечности,
Многоэтажная рама при антисимметричной нагрузке
(рис. 5,92, а). Симметричные многоэтажные рамы при
симметричной нагрузке рекомендуется рассчитывать ме-
тодом перемещений, учитывая, что линейные перемеще-
ставляющей собой
ми. Это вытекает
стемы (см. выше).
н»я узлов равны нулю, а углы пово-
рота узлов по концам ригелей равны
по величине н обратны по знаку. По-
лучается система трехчленных урав-
нений для углов поворта (см, 5.5 8).
При антисимметричной нагрузке
рама приводится к системе половин-
ной ширины (рис. 5,92,6). Вдоль оси
симметрии исходной рамы располага-
ется нерастяжимая стержневая цепь,
так что система приобретает харак-
тер комбинированной многошпрен-
!ельной вертикальной консоли.
Количество лишних неизвестных
равно числу этажей. За лишние неиз-
вестные могут быть приняты либо
усилия в шпренгелях X (рис. 5.92, в),
либо изгибающие моменты Z посере-
дине панелей стоек (поясов) (рис.
5.92, в), Эпюры моментов от Х„ — 1
и от Z„ = l показаны внизу рпс.
5.92, в, г. В обоих случаях уравнения
трехчленные вида
W^ + МЛ
+ Х„+, бП|П.н + \пр = О,
причем побочные коэффициенты по-
лучаются отрицательными. При вы-
числении коэффициентов рекоменду-
ется учитывать упругую деформацию
удлинения стоек.
При вычислении грузовых членов
А яр независимо от того, какой вари-
ант основной системы выбран, мож-
но пользоваться более простой основ-
ной системой по рис. 5.92, в, пред-
коисоль с горизонтальными отростка-
нз принципа изменения основной си-
Для предварительных расчетов берут систему по
рис. 5.92, г я полагают моменты Z равными нулю, что
дает возможность определить усилия во всех шпренге-
лях из уравнений равновесия моментов относительно
шарниров. Практически указанным приближенным рас-
четом часто пользуются в качестве окончательного.
Для статически определимой этажерочкой рамы с па-
раллельными стойками при горизонтальных нагрузках
эпюра моментов имеет характерный «пилообразный» вид
(рис. 5.92,6). Для построения эпюры достаточно найти
поперечные силы в шарнирах, что пояснено на рис.
5.92, е.
Поперечные силы в шарнирах стоек определяются из
условий равновесия части рамы, расположенной выше
разреза проведенного через два шарнира. Например;
Qs = XT (Pi + Да + Ря)-
Имея Qi я Оз, строят треугольные эшоры па стойках
(рпс. 5.92, с, внизу). Алгебраическая разность моментов
в узле стойки даст момент в узле ригеля.
300
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
5.8. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАМЫ [8,9,21,4’1,42,87]
5.8.1. Рамы со взаимно перпендикулярными
стержнями
Основным является метод перемещений. Выбирается
левая координатная система V, IF, Т с неизменным на-
правлением осей. Начало координат последовательно
совмещается с центрами узлов рамы. Для каждого
w
Рис. 5.93
стержня, входящего в состав рамы, вводятся оси инер-
ции х, у, г. Положение осей терции меняется в зави-
симости от положения стержня. Ось х направляется
всегда вдоль стержня, а оси у и г совмещаются с глав-
ными осями инерции поперечного сечения. Погонные же-
сткости изгиба, кручения и растяжения-сжатия стержня
обозначаются:
Силы и моменты, действующие на конец стержня, со
стороны узла, обозначаются N, Q®, Qz, ЛА, №,№, а
угловые и линейные перемещения концов
ФА ФЕ 8®, 8д 6г (рис. 5.93). Сила и моменты, действу-
ющие на узел со стороны стержня, обозначаются так
же и вводятся в уравнения равновесия узла с обратным
направлением. Кроме сил и моментов, передающихся на
узел со стороны стержней, сходящихся в узле, он может
быть нагружен также активными силами и моментами,
проекции которых на оси V, W и Т обозначим Vs, Ws, Т\
Mro, jKteo,
Для иаждо”о узла k рамы может быть составлено
шесть ураз;т=н!гг р гвновесия:
1) К] —=0;	4)MTO-~-SAl]) = 0;
2) 47]	5)Мж0—2А4^=0;
3)^-2да/ = 0; &)Mn-'ZMTki = G.
(j ~ i,s,t,p,r,q).
(5.321)
Если нагрузка в узле отсутствует, то IF'], г], Mv°)
Mv‘j MTS в уравнения (5,321) не входят.
Неизвестными по методу перемещений являются три
угла поворота <рк, фА фг каждого из узлов вокруг
осей V, W, Т и три поступательных, перемещения СИ,
6W, вт узла вдоль тех же осей. Неизвестные определя-
ются из уравнений равновесия узлов, причем силы и
моменты, передаваемые со стороны отдельных стерж-
ней йа узел, предварительно выражаются через узловые
Рис. 5.94
и линейные перемещения ф“, фК <рг, 6х, 6В б1 концов
стержня относительно осей инерции х, у, г, которые за-
тем заменяются при помощи соответствующих зависи-
мостей через принятые кинематические неизвестные фу,
<pw, фт, 6Д б'А бт узлов в осях V, W, Т (табл. 5.12).
Помимо сил и моментов, зависящих от перемещений,
на узлы передаются силы и, моменты от нагрузок на
стержни в предположении полного защемления их кон-
цов. Эти величины отмечаются в (5.322) верхней звез-
дочкой и определяются по правилам для прямых балок
с,защемленными концами с учетом принятых знаков.
Выражения для сил и моментов относительно осей
инерции через угловые <р и линейные перемещения 6
концов стержня в тех же осях инерции будут (см. рис.
5.93):
---j + MV.-
< \^Л. + (Л “3-j--
Nkj = f9 ^-^i+Nk! или Nky
(5.322)

5.8. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАМЫ
301
/= i,s,t,p,r,q
Зависимость между угловыми и линейными переме-
щениями фг, <рг, фг, <5Х, S1', <5Z концов стержня, отнесен-
ными к его осям инерции, и кинематическими неизвест-
ными <pv, <pw, <рт, Sy,	узлов рамы легко полу-
чить, если спроектировать последние на оси инерции,
воспользовавшись для этого значениями направляющих
косинусов (табл. 5.11) для шести возможных положе-
ний стержней, образующих раму (рис. 5.94). Зависимо-
сти между этими перемещениями даны в табл. 5.12.
Таблица 5.11
Косинусы углов
Стержни	ki и kp			kq и kr			ks и kt		
Оси	X | у		2	X	//	г		У	2
V	0	0	1	1	0	0	0	0	1
W	1	0		0	0	—1	0	1	о
т	0	1	0	0	1	0	1	0	0
Таблица 5.12
Зависимость между перемещениями концов стержня
в осях инерции и перемещениями узлов рамы в осях
Перемещения Стержни	фж	фу	<4			82
	w	т	V	,w	-.7 1	.V
ki и kp	ф	ф :	ф	0	0	
	V	т	W	Л’	.7	
kq п kr	ф	ф	”ф	В	й	—6	;
	т	W	V	й7		.V
k$ и kt	ф	ф	ф	д	6	в
Пример 5.13. Определим моменты и поперечные си-
лы, возникающие в элементах рамы, изображенной на
рис. 5.95. На ригель 1—2 действует горизонтальная рав-
номерно распределенная нагрузка интенсивностью
р кГ!см. Длина всех стержней I и погонные жесткости г
на изгиб и кручение каждого элемента одинаковы. Бла-
годаря защемлению стоек, в узлах 5, 6, 7, & отсутствуют
угловые и линейные перемещения:
Ф« - Ф^ =	= с = С = < = 0 (и = 5,6,7,8).
Пренебрегая упругим удлинением стержней и учиты-
вая симметрию рамы и нагрузки, получим следующие
зависимости для остальных перемещений узлов:
< = < = < = < = 0;
< = af = C ==< =0;
< = < = Д = ё[ =
I	J Д 4	5
V V П7 W т т
Ф1 = — Фз> ф-i = <?2; ч>1 = — Фщ
т/ V W W т т
Фз = - Фщ Фз = Ч>4, Фз = ~ Ч>4 •
Таким образом, благодаря симметрии имеем всего
семь неизвестных, из которых шесть — углы поворота
узлов и одно ~~ линейное перемещение (табл. 5.13).
Рис. 5.95
Таблица 5.13
Таблица неизвестных
Узел		W ф	т ф			г
7			7	0	0	
2	V —ф|		7	D	С	4
3	V Фз	Фз	7 Ф3	0	0	Д
4	V -Ф5	IV ф3	7 —Фд	0	0	4
При расчетах обычно приходится пользоваться столь-
кими уравнениями равновесия моментов в узлах, сколь-
ко неизвестных углов поворота и столькими уравнения-
ми проекций, сколько имеется неизвестных линейных
перемещений.
Для определения этих семи неизвестных перемеще-
ний составляем семь уравнений равновесия; из них по
три уравнения равновесия моментов относительно осей
V, W, Т узлов 1 и 3 (рис. 5,96, а и б) и одно уравнение
проекций на ось Т сил, приложенных к отсеченной от
стоек верхней части рамы (рис. 5.96, в).
Рассмотрим узел 1 (рис. 5.96, а). В нем сходятся
стержни 1—2, 1—3 и /—3. Этим стержням соответст-
вуют стержни kq (или 3), kp (или 2) и kt (или 6) на
рис. 5.94. Векторы-моменты, действующие на узел / со
стороны удаленных стержней, показаны на рис. 5.96, а.
Спроектировав эти векторы-моменты на оси V, W, Т, по-
лучим три искомые уравнения равновесия моментов для
узла 1. Так, например, уравнение равновесия моментов
относительно оси V будет (рис. 5.96, о):
—S №^==0;	+	+	=°-	(5-323)
j=2,3,5
Подставив в (5.323) взамен изгибающих и крутяще-
го моментов их выражения через угловые и линейные
перемещения согласно 5.322 и заменив затем угловые и
линейные перемещения в осях инерции х, у, г через уг-
302
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ловые и линейные перемещения в осях V, Т
на основании табл. 5,12 и 5.13, получим
л/2
7фГ + 2< +	= 0.	(5.324)
Составив аналогично остальные, два уравнения мо-
ментов относительно осей W и Т для узла 1 (рис.
5.96, а) и соответственно три уравнения моментов для
узла 3 (рис. 5.96,6), запишем их, включая и (5,323), в
табличной форме (табл. 5.14).
Таблица S .14
Уравнения равновесия
НеизвесТ’ мыв Кз урав- яеиия		Ф1	7 ч>1	V фз		т Ч>3	□ Г 1	Свободный Ь член b i ле- вой части уравнения
1	7			2				рГ
								12/-;
р 2		4			1		3	0
3			7			—1		0
4	о			7				0
5		1			4		3	0
6			-”1			7		0
7	:/					1		U	рр
								4?:
Седьмое уравнение является уравнением проекций на
ось Т сил, приложенных к верхней части рамы, отсе-
ченной от стоек (рис, 5,96):
—2Г = 0; — 2Qfs — 2Q|7 — р( = 0.	(5.325)
Подставив в (6,325) вместо О|ф и Qf7 их выражения
из (5.322) и заменив перемещения фг и В1 относительно
осей инерции перемещениями относительно осей V, W,
Т, получим последнее уравнение, записанное в табл.
5.14.
Полученная система уравнений распадается на три
неизвестные системы.
Первая система состоит из двух однородных уравне-
ний (строки 3 и 6) относительно неизвестных углов по-
ворота <pf и (pj. Эти неизвестные равны нулю:
фГ = ф! = О.	(5.326)
Вторая система (строки 1 и 4), состоящая также из
двух уравнений, содержит неизвестные углы поворота
Ф1" >Фз- Решив ЭТУ систему, получим:
7	pfi v	1	pH
540	I ' а	270	I
(5.327)
Третья система (строки 2, 5, 7) состоит из трех упав
нении с неизвестными ср7 , ф3 , о1, из решения этой
системы получаем:
5 рИ
168 ’ I
Пользуясь найденными перемещениями, определим
некоторые действующие в стержнях изгибающие момен-
ты и поперечные ’силы. Моменты, изгибающие стержень
1—2 в вертикальной, плоскости, равны нулю, так как в
этой плоскости пет угловых и линейных, перемещений
концов стержня и внешних сил. Момент, изгибающий
стержень 1—2 в горизонтальной плоскости и действую-
5.8. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАМЫ
303
щий на его левый конец 1, вычисляется по строке 3.
формул (5.322), если замелить, согласно табл. 5.12, ср7
на <pz:
*^-и(-2ЪТ
7
540
рр
i

pl-
12	540
Этот момент вращает конец стержня 1 по часовой
стрелке вокруг оси V.
Подобным же образом поперечная сила, параллель-
ная оси Т и действующая на левый конец бруса 1—2,
равна согласно строке 6 формул (5.322):
г	6г	/	7 pH 7	_ pl- 8, __
У12~“	I	\	540	' I	+ 540 ‘ I J ~	2
р£.
2
Момент по середине стержня 1—2 равен моменту
всех сил, лежащих между воображаемым разрезом в уз-
ле 1 и серединой стержня 1—2:
МР=~
Pl
2
I 31	pl	I
— ш -------рр ф_ -Г— . —
2 7 540	2	4
73
-----рР.
1080 У
Аналогично определяются все остальные моменты и
поперечные силы. Продольные силы определяются из
уравнений проекций сил, приложенных к узлам.
5.8.2. Рамы с наклонными стойками
Рамы с наклонными стойками рассчитывают анало-
гично изложенному с той лишь разницей, что для на-
клонной стойки (рис. 5.97) должны быть дополнительно
определены зависимости между угловыми <р*, ерф <pz и
линейными 6'", 6ф бг перемещениями концов наклонной
стойки относительно осей инерции и перемещениями уз-
лов фу, <pw, фт, 6V, 6W, 6ГТ относительно осей V, В7. Т.
Предполагается, что ось наклонной стойки располо-
жена в вертикальной плоскости и образует с горизон-
том угол ф (рис. 5,97), а главная ось инерции у образу-
ет с осью Т угол а. Косинусы углов, образованные ося-
ми инерции х, у, г наклонного стержня с осями V, W, Т,
сведены в табл. 5.15.
Таблица 5.15
Косинусы углов
Оси	JG	У	2
V	sin i])	0	cos г1)
К'	cos a cos "ф	sin а	—cos a sin -ф
) т	—sin а cos i|)	cos а	sin a. sin ф
Искомые зависимости между уж, ср?, <ре, 61, в», бг и
кинематическими неизвестными <рт,, ф®ц фф б ту gw(
6Т для наклонных стержней получим, если спроектируем
последние на оси инерции х, у, г-.
Ъ* s™ cos ® с0® ’г —	®’п а со® К ’
б3 = бcos ф — б®' cos a sin ф ф- б2; sin а sin 'ф; j
6у= 6 sin я 4- cos а;
r V	т .	.	(5.328)
фф = ф' sin ф ф- ф), cos а — ф) sin a sin ф;
ср7 = tp'f sin а ф- ф7 cos а;
= ф7 cos _ ф1₽" cos а ф7 sjn а sjn ф _
Уравнения равновесия узлов и отдельных частей ра-
мы с наклонными стойками составляются так же, как и
для пространственных рам с взаимно перпендикуляр-
ными стержнями. Разница состоит лишь в том, что век-
304	РАЗДЕЛ 5, СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
торы-моменты и силы, действующие на конец наклон-
ной стойки, не параллельны (или не перпендикулярны)
осям V, Ж, Т; при проектировании на эти оси нужно
множить их на соответствующие величины направляю-
щих косинусов.
Пример 5.14. Рассчитаем раму с наклонными стой-
ками, изображенную на рис. 5.98 при действии на риге-
ли рамы вертикальной равномерно распределенной на-
грузки интенсивностью q=l Т]м. Рама сварена из труб
одинакового поперечного сечения. Отношения погонных
жесткостей для каждого из стержней рамы будут:
0:^:0'= 1:1,33:1,33.
Угол, образованный осью наклонной стойки с гори-
зонтом, равен ф = 74°12', а угол между осью у и осью Т
принят а = 45°.
Вследствие жесткой заделки концов стоек в узлах
5, 6, 7, 8 угловые и линейные перемещения отсутствуют:
ЧУп = Чп = < = &V =	= 0 (п = 5,6,7,8).
Пренебрегая упругим удлинением стержней, на осно-
вании симметрии рамы и нагрузки получаем следующие
зависимости между перемещениями узлов:
С = С = С = ° и = ’ >2.3,4);
v v v v Щ гг w щ
Ф1 = - <₽| = - Фз = Ф4; Ф1 = ф/ = - Фз =- <₽/;
Т т т т
Ф1 = “ Ф>2 = Фз =' ~ Ф4 ’
Следовательно, деформация рамы определяется все-
го тремя неизвестными углами поворота узлов
(табл. 5.16). Для нахождения неизвестных	, ф{
составляем три уравнения моментов узла 1 относитель-
но осей УВЛУ,:Д (рис. 5.99).
В этом узле годятся стержни 1—2, 1—3 и 1—5. Век-,
тэг I -тс > -Е( i,c гстщющие на узел 1 со стороны уда-
I иа рис. 5.99.
Эти уравнения равновесия будут:
l)2/Wf = 0; Мф, — Mf3 — Л1*58шф —
— ЛД5 cos ф =^= 0;
2) 2,4'1?' = 0; Aff, — А4?3 — Mf5 cos a cos ф—-
— ЛД5 sin а Д ЛД6 cos a sin ф = 0;
3) SAlf = 0; М‘{2 + Л!?3 4- /Wjt sin ffi cos ф —
—- ЛАД cos а — sin a sin ф == 0 .
(5.329)
Таблица 5.13
Таблица неизвестных
Узлы		W ф	т ф		6s'	6Т
/	с			0	(1	0
2		ф?7		0	и	о
3				0	0	0
4				0	0	0
Подставив в (5.329) вместо изгибающих и крутящих
моментов их выражения через угловые и линейные пе-
ремещения согласно (5.322) и заменив после этого угло-
вые перемещения относительно осей инерции х, у, г че-
рез угловые перемещения относительно осей У, 14, Т на
основании табл. 5.12 и 5.16 (для горизонтальных стерж-
ней), а также формулы (5.328) и табл. 5,16 (для наклон-
ной стойки), получим уравнения равновесия (табл. 5.17).
Уравнения равновесия
	Неизвестные			Свободные члены
		W Ф1	Т Ф1	
1	7,250	—0,770	0.770	0
2	—0,770	8,29	0,154	0,0533 Iх
3	0,770	0,154	7,620	0,0833_ и
Из решения системы уравнений найдем:
,,	0,000498	0,00618
Ф1 =- —од—; фг = —
т 0,01087
Вычисление изгибающих моментов и поперечных сил
производится так же, как и при расчете рамы с взаим-
но перпендикулярными стержнями на основ:мии зави-
симости (5.328), табл. 5.16 и формул (5.322) для на-
клонных стоек и на основании табл. 5.16 и 5.12 и фор-
мул (5.322) для ригелей.
5.9. ЦИКЛИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЕ РАМЫ
305
5.9. ЦИКЛИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЕ РАМЫ
Пространственными рамами с циклической симметри-
ей называют системы, которые, будучи повернуты вокруг
своей оси па определенный угол, совмещаются со своим
первоначальным положением (рис, 5 100).
Плоскости, проходящие через ось пространственной
Рис. 5.100
рамы, называют меридиональными, а перпендикулярные
к пей — параллельными. Стержни, лежащие в параллель-
ных плоскостях каркаса, образуют правильный много-
угольник. К. сооружениям такого типа относятся рам-
Рис. 5.101
ные каркасные купола, сквозные водонапорные башни,
градирни и подобные им сооружения.
При расчете циклически симметричных простран-
ственных рам целесообразно пользоваться подвижной
прямоугольной системой координат: ось V во всех узлах
вертикальна и направлена вверх, ось Ж горизонтальна
и в каждом узле направлена к центру симметрии, ось
Т касательна к окружности, проходящей через все узлы
данного яруса рамы (рис. 5.101). Принятая система
координат, которую назовем естественной, позволяет
с наибольшим эффектом использовать расчетные пре-
имущества, вытекающие из особенностей симметрии
циклических рам. Составленное в общем виде уравне-
ние равновесия узла оказывается типовым и может
быть отнесено к любому узлу рамы.
Рассмотрим пространственную раму с циклической
симметрией. Высоты ярусов и утлы наклона меридио-
нальных стержней к горизонту могут быть различными.
Номера колец отсчитываем снизу вверх; номер проме-
жуточного кольца обозначим з, номер вышележащего —
через С а нижележащего — через р. Номер меридиональ-
ного ребра отсчитываем против хода часовой стрелки от
нулевого ребра, обращенного к наблюдателю; номер
промежуточного ребра обозначим п. Узел рамы обозна-
чается двумя знаками: первый указывает номер кольца,
а второй — помер меридионального ребра, например з, п.
Деформированное состояние рамы определяется уг-
ловыми сру, фж, фт и линейными бг, 6W, 6Т переме-
щениями ее узлов в естественной системе координат.
Положительными считаем перемещения, если их векторы
совпадают с направлениями осей.
Предположив, что в узле s, п сходятся два стержня
меридиана з, п—р, п и з, п—t, п и два стержня кольца
ь-,м — s(n-~--1) и s, п — s (п+1), введем следующие
обозначения:
Д—длина стороны правильного /и-угольника з;
k — длина стержня меридиана вышележащего
яруса рамы;
1Р — длина стержня меридиана нижележащего
яруса;
погонные жесткости относительно осей инер-
ции х, у и z стержней рамы, сходящихся
в узле s, п;
— угол наклона к горизонту' главных плоско-
стей инерции стержней многоугольника з;
Ф/> Фр—углы наклона в горизонту осей стержней ме-
ридиана, находящихся соответственно выше
и ниже многоугольника з;
2л
6 -= ~~—1 — центральный угол правильного и-угольника.
В дальнейшем при составлении типовых уравнений
равновесия узлов рамы понадобятся зависимости меж-
ду усилиями, действующими на концы стержней,
s, п — t,n; s,n~pn; s,n— s,(n—I); s,n — s(n-J-l), от-
несенных к осям инерции, стержня х, у, г, и углами по-
ворота фу, ф1г, фг и линейными смещениями Sv, Sw,
узлов пространственной циклически симметричной
рамы в принятой естественной системе осей V, U7, Т.
Для этого выразим углы поворота и линейные смещения,
концов стержня в его осях инерции через составляющие
перемещений узлов рамы в естественной/ сиФгеме коор-
динат. Рассмотрим стержни, сходящиеся в узле s, п.
Стержень з , в—р, п (рис. 5.102). Связь между угла-
ми поворота и линейными смещениями концов стержня,
Таблица 5.18
Косинусы углов
Оси	|	У		2
V	sin	0	COS -фр
W	COS Рр	0	— sin
т	0	1	0
отнесенными к его осям инерции и угловыми и линей-
ными перемещениями в естественной системе осей коор-
динат, можно получить, если спроектировать последние
на осп инерции стержня.
3Q6	РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Рис, 5.102
Косинусы углов, образованных осями инерции стерж-
ня s,n — р,п и натуральными осями координат
(рис. 5.102), даны в табл. 5.18.
Проектируя на оси инерции х, у, z стержня s, п — р,п
векторы перемещений узлов s, а и р, п, получим;
cos ~Cn sin
к V - з 1 W I	(5.330)
Ч>Р,п =Vp,n sia +4>psn cos
фд,« =С«cos % -ч>р7,п sin %
Спроектируем векторы перемещений узлов s, п и
s, (п—1) на оси инерции х, у, z стержня s, п—s{n—1):
Эти зависимости остаются в силе и для узла р, п.
Стержень s, n—t, п. Переходя к стержню в, п—I, п,
заметим, что достаточно в равенствах (5,330) заменить
иьде< г р ча s и цаде; с s на t.
Стормчи кольца s, п—з (п—1) и s, п—s(n-f-l). Для
стержней многоугольника (рис. 5.103) косинусы углов
между их осями инерции и осями координат приведены
в табл. 5.19, У величин, имеющих разные знаки, верх-
ний относится к стержню s, п — s(n—1), а нижний —к
8,П—-S(n+1),
Таблица 5.19
™	0 т	0
sm-y +6Si(„_1)Cos -у ;
<(^l)=±C(^l)cos и Т C(s-J)sta!'- X
xcos — 5in xsin j’
«I(zz—1) =±Cu-l) sin K ± C(n-l) C0S X X
0 T	0
x cos -y -6‘p^ cos и sin —;
sin ”у+<(л.щ) cosy ;
йпк~Фмга~1) cos и x
0 т	0
x cos	±ф(, („._!) COS и sin -у ;
ФхЩ-1)=Фх(га-1) c°s х~ Фмп-1) sinx X
0 т	0
X. COS -у ±ф/; („_,!) sin и sin -у .
J
(5.331)
Косинусы углов
Оси	X	У	Z
V	0	— sin х	COS X
W	j . ;;:в; ;~Г зап ——	е — COS X cos 		9 — sin и cos •
т	C0S—- X	хто <2 Х У	 т	. е ± cos и sin 		 2	-f- sin х sni — ~	2
Эти зависимости остаются в силе и для узла s(n—1).
Расчет пространственных циклически симметричных
рам от действия произвольной нагрузки встречает труд-
ности из-за необходимости решения большого количест-
ва совместных уравнений. Задача в значительной степе-
ни упрощается, если представить нагрузку в виде три-
гонометрических рядов и полиномов.
Введем обозначения:
Р„,	— вертикальная, радиальная и тангенциаль-
ная составляющие внешней сосредото-
ченной силы, приложенной к узлу s, п
рамы.
Б.9. ЦИКЛИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЕ РАМЫ
307
Каждая из этих величин, меняясь по произвольному
закону, может быть для любого многоугольника s пред-
ставлена конечным рядом вида
= S COS kflQ ~г Е р7 sin knfj;
= S cos knQ 4~ S P'P' sin kn&;
P? = S Pj sin knQ Д- v рт cos ^ng.
AJV = E Afj sin knP -J- S -4'f7 cos 4я9;
Aif = S sin knQ + E cos knQ;
All =; S Л-fJ cos knQ	E .44 J sin knQ.
где Pl-, P%, Pf, P^,... — амплитудные значения состав-
ляющих сил, действующих на узлы рассматриваемого
многоугольника рамы
Нагрузки, выражаемые первыми суммами в (5.332),
симметричны относительно нулевого диаметра и вызы-
вают симметричную деформацию рамы; нагрузки, вы-
ражаемые вторыми суммами, являясь антисимметричны-
ми относительно нулевого диаметра, вызывают антисим-
метричную деформацию системы.
При действии на циклически симметричную простран-
ственную раму нагрузки, меняющейся в окружном на-
правлении по гармоническому закону и симметричной
относительно нулевого диаметра (радиальная и верти-
кальная нагрузка, изменяющаяся по закону косинуса,
и тангенциальная—по закону синуса), кинематические
и статические величины, относящиеся к узлам и мери-
диональным ребрам одного яруса, изменяются вдоль
кольца по закону косинуса или синуса. К величинам, из-
меняющимся по закону косинуса, которые будем назы-
вать четными, относятся:
1)	линейные радиальные и вертикальные перемеще-
ния узлов рамы;
2)	углы поворота узлов относительно тангенциальной
оси Г;
3)	изгибающие моменты относительно оси Т v. соот-
ветствующие им поперечные силы в меридиональных
стержнях;
4)	продольные усилия в меридиональных стержнях.
К величинам, изменяющимся по закону синуса, ко-
торые будем называть нечетными, относятся:
1)	линейные перемещения узлов в тангенциальном
направлении (вдоль оси Т);
2)	углы поворота узлов рамы относительно верти-
кальной и радиальной осей;
3)	крутящие моменты в меридиональных стержнях
и изгибающие моменты в них, вектор которых лежит
в меридиональной плоскости;
4)	поперечные силы в меридиональных стержнях,
направленные вдоль оси Т.
Четные величины отличаются от нечетных по просто-
му признаку: прибавляется или отнимается для этих
величин действие сил или перемещении, симметричных
относительно нулевого диаметра кольца.
Если в выражениях, представляющих указанные вы-
ше составляющие внешней гармонической нагрузки, за-
менить косинус на синус, то во всех перечисленных вы-
ше зависимостях для перемещений косинусы заменяют-
ся синусами, а синусы — косинусами.
Для каждого многоугольника рамы при симметричной
нагрузке можно записать:
qE = Е ф^ sin fozO;
cpj* = Е ф^7 sin knQ;
Фд = Е ф^ cos knQ;
si' V sV / n '	(6  333)
о,; = i Oj cos knQ;
й® = S cos knQ;
б’ = S 6^ sip knQ.
При действии антисимметричной нагрузки
Ф^ = Е cos knQ;
©jjf = S cos knQ;
= S ф{ sin knQ;
/У у ~kv • < n f	(5.334)
on = 2j oh sin am.
S^SlfsinfoiO;
— S 61 cos knQ.
Выражения (5.333) и (5.334) дают возможность опи-
сать деформацию каждого многоугольника поперечника
пространственной циклически симметричной рамы неза-
висимо от количества его узлов шестью перемещениями,
которые назовем главными. Из них три фД 6r, в
случае симметричной нагрузки и <р7, tpw, дт в случае
антисимметричной нагрузки относятся к нулевому узлу,
а остальные три фу, ®w, бт при симметричной и фг,
при антисимметричной нагрузках не связаны ни
с каким узлом, если число сторон многоугольника не
кратно четырем. Таким образом, ври расчете простран-
ственной циклически симметричной рамы на действие
гармонической нагрузки число уравнений оказывается
равным ушестеренному числу многоугольников рамы.
Число независимых перемещений узлов рамы может быть
уменьшено, если пренебречь, как это обычно принято,
продольной деформацией стержней кольца и меридиа-
на. Продольные усилия в стержнях меридиана могут
быть также представлены в виде тригонометрических
рядов
Е (Ди)д

cos k (п. Д- 0,5 0)
cos 0,5 0
cos k (п -Д 0,5) 0
cos 0,50
(5.335)
Здесь (Noi)k я (Дд) ь — продольные усилия в стерж-
не кольца между узлами 0 и 1 прн симметричной и ан-
тисимметричной нагрузках, соответствующие 4-му члену
разложения.
Представив в выражениях (5.330) и (5.331) пере-
мещения в виде (5.333) и подставив полученные зависи-
мости, а также выражения (5.331) для внешней нагруз-
ки и (5.335) для продольных усилий в уравнения (5.321),
получим типовые уравнения равновесия узла рамы в
случае симметричной нагрузки. Для того чтобы соста-
вить типовые уравнения равновесия узла рамы прн ан-
тисимметричной нагрузке, следует представить переме-
308
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
щения рядами (5,324), а затем полученные выражения
для усилий на концах стержней подставлять в те же
уравнения (5,321), в которых продольные усилия и уз-
ловые нагрузки будут представлены в антисимметрич-
ной форме. Ниже приводим типовые уравнения равно-
весия узлов пространственной циклически симметричной
рамы при симметричной и антисимметричной нагрузках,
полученные после проектирования усилий (5.322) для
четырех стержней, сходящихся в узле s, п на оси V, V7, Т
(рис. 5.104).
Рис. 5.104
Перед некоторыми неизвестными перемещениями
стоят два знака: плюс и минус; верхние знаки относят-
ся к случаю симметричной (четной) гармонической на-
грузки, нижние — к антисимметричной (нечетной) на-
грузке. Для сокращения записи индекс k при главных
неизвестных ф и б, а также одинарные и двойные чер-
точки над ними и другими величинами опущены.
1.	Уравнение равновесия моментов относительно
оси V:
S МУ = 0; <psu [	+46“ (2 + cos 60)] -
~Фр ~4>V с? +<₽Г [of +2а“(2 + cos 69) cos~-
-фГ vY °? ±фГ Sas' sin kQ sin V ±
+6; —- sm kS + o ' —— sin 69 cos —' —
° ls “ 5 ls	2
<
 Ip-
£t 126“
— __ — — (2 + cos 69) sin —’
	4	2
_ 6£ :	6+
4-Sp ~	— — 2 JF* — o. (5.336)
2.	Уравнение равновесия моментов относительно
оси W:
S Mw = 0; фУ аУ +а* +2<з“ (2 + cos 60) cos —
-“Фр°р ~ai -г+Г [ b'p +b't +40 + cos fe0) +
+ 46 “(2 + cos 60) cos2 -|-J —	±
-£(pj ( “2bJ6 sin kQ sin O)	sin cos — zp
4	2
+sf — sin 60 cos2 +6r ~	“ +
5 4	2 s L lP It
i	£	£
+3a“(l + cos 60) sin 0	-f- +6f -y - S = 0.
J	4	4
(5.337)
3.	Уравнение равновесия моментов относительно
оси Т:
д
Емг==0; +ф₽ 2a“ sin 69 sin— +
“ s	2
+фр bp +фГ bt +4 Ж” —
L +
-С
±ф7 ( С - 2*?) sin 66 sin 0 + ф[ 2 р® +6? +
в	0 1
(1 — cos ^0) cos2 — + 2b J (2 ™ cos W) sin3 — +
2	2 J
...	4	126“
s-	(2-cos 66) X
4p	It
-t	4
—— — 3a“ (1 —• cos 60) sin 0 П------------
H	J	‘p
0
X sin-y
4
4
ip
d‘l	6a“	д
— fiW'y-yaJ’ -у-sin 69 sin2 —— 2 Л4Г® = 0. (5. 338)
4	4	2
4.	Уравнение равновесия проекций сил на ось V:
6з“
2 V = 0; +фУ ~— sin 60 +ф,
ч
-----sin 66 cos — +
s Zs	2
+фГ
__S7
4	0 ’
— — 12—(1—cos 60) sin— +
k k	2 J
- ip
+фр , — +	,  +4
-p	lt
6“
+ 24 — (5 — cos £6)
О -Г -Г
14 li
₽
/ 4	_	4	\
3 —- sin 2фр + sin 2ipt +
I £	lz /
5.9. ЦИКЛИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЕ РАМЫ
309
0
(1 — COS 60) COS — 4-6
>У'-7Э1ПЙ5Ьр +
р
4	т 12о*	е
— sin 24у± sin Ш sin -|-
4	L
^[( б/ —(VQ sin 1}^ + ( flj”) cosipj sin фу-у-j-
+ [( i£ — 6'l) sin tpt 4- ( <5sr—A/:') x
X cos ф/j sin ф/ —y^-jj —’	=	(5.339)
Если пренебречь продольной деформацией стержней,
то в уравнении (5.340) выражение, заключенное в двой-
ные фигурные скобки, заменяется трехчленом
0
— Np cos фр 4- Nt cos фу ф- 2cVM sin .
Здесь NOi — продольное усилие в стержне много-
угольника, соединяющего узел 0 с узлом 1.
6. Уравнение равновесия проекций сил на ось Т:
0
2 Т = 0;
12—(1-J-cos 60) sin —- —
А	2
2
V ^Р , V cl‘t , W
,Ч3	+ф/
у 4
£ а*
t^T +3f(1 +
ip it	is
Еслп пренебречь продольной деформацией стержней
рамы, то в уравнении (5.339) выражение, заключенное
в двойные фигурные скобки, заменяется двучленом
—Аф sin’фр 4- Nt sin фу
где Nр, Nt—продольные усилия в меридиональных
стержнях sp и st,
5.	Уравнение равновесия проекций сил на ось IF:
о	0
S IF = 0; ф- фУ 13 sin 68 cos — X
s 4	2 1
-r w 6a* .	, 0
-f-cpj------sin cos_
4	-2
1 <
/р ' ' lt
-
-,Lcos 60)si n 0
+<<	6?Lsin kQ Siil3T T
ip	0	lS
12ф/	о
4-fiv---— sin 60 sin — 4-
— . з	2
126й	6,6;	246?
4:		31 sin 60 sin 0 4- fif 4- -y- + ~o— X
X (1 4- cos 69) sin2 y- — 6/
sf
66/
T
4
П	I	Ш	0	T	60	0	\
4 4	X	cos	—	sin	—-	x	6:	sin	'—	cos —	X
11	\	2	2	2	2	J
60	0
< sin---COS---------
9	9
E£
7’’.= o. (5.341)
0 1	6/
+ —у (1 — cos 60) cos 4-6/ ~ sin +
7	- ~ lp
4-6/ — sin 2ф; 4- 6?'
fLyjL
П -t
2467	01	... 8~i,
+ —у- П — cos 60) cos3 — — -5/' ——~ —.
ii	2 C
=	j	p
—si7 — 4-6j	sin 60 sin 0+ ц [( 0/ —5/ ) sin фр 4-
+ (C -Ocos %]cos *p v1 + [(С -«Лsin Фг +
-I-	( X -X) cos X cos Tl’( -Xc +
+4S'4osSXSI„A^xtoXm.S.i.,
\	2	2 s 2	'<>!''
69 , 0	EFS )1
X cos -- sin ---  -y- j - — 2 Qu o= 0.	(5.340)
к о. is p
Если пренебречь продольной деформацией стержней
рамы, то в уравнении (5,3-10) выражение, заключен-
ное в двойные фигурные скобки, заменяется выраже-
нием
0	60
TAoi2cos — ty у-’
В уравнениях (5.335) — (5.340) приняты следующие
обозначения:
— С') sin 2xi 4 == ( 'р ~ К} sin 2фР; а? =
= (if - 4Е) sin 2фр 7* = ((* + 27) Sin 2фр; а'* =
= (7' + 2if) sin 2<h; Ьг1р = 2«; Ьгр = 2i|; Ь« = 2if; 6? =
= 2i)'; £ = ivs sin* и + г/ cos2 я; if = if cos2 и 4-
4-	if sin2-/.; b'l = ixD sin2 фр 4- 4if cos2Wp; bf =
= if sin® фг 4* 4if cos2 фр 1* = if cos8 фр 4- 4if sin2 фр;
= if cos2 + 4if sin2 фф = if sin2 фр —
— 2if cos2 фр; cf= ifsin24r- 2ifcos244; 7/’= г/со82фр—
— 2i'p sin2 фр; '"ip = 7 cos2 ф^ — 2if sin2%; dvp = 6г/ X
310 РАЗДЕЛ 5, СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Xsin фр; dp — 6ip sin фр; = 6Zf sin фф d* = 6if sin фр-
d» = 6i£ cos фр ; 1гр = &гр cos фр; df = 6Ё? cos фф;
Ф) = 6([ cos фр d®= 2г] sin2 — ;
gp - ^iVp si"3 Фр: gp = 12/^ sin2 фр; g» = 121] sin2 фу
gf = 12i~ sin2 фр g] = 12i^ cos2 фр; g] = 121] cos2 фр;
= 12ij cos2 фр q? = 13 cos2 фф
Здесь:
LMy*, SMT* — суммы относительно осей V, W,
Т амплитуд реактивных моментов на концах стержней
рамы в рассматриваемом узле от симметричной или со-
ответственно антисимметричной внешней нагрузки, оп-
ределяемой /г-м членом разложения в (3.331), Эти мо-
менты вычисляются в предположении, что стержни, схо-
дящиеся в узле в, жестко защемлены по концам; в сум-
мы также входят внешние моменты, приложенные непо-
средственно к рассматриваемому узлу;
2Qy*,	2QT* — суммы составляющих вдоль
осей V, W и Г амплитуд реакции на концах стержней,
сходящихся в узле s, при действии симметричной или
соответственно антисимметричной внешней нагрузки, оп-
ределяемой й-м членом разложения ряда (5.331). Реак-
ции вычисляют в предположении полного защемления
концов стержней, сходящихся в узле. В суммы входят
и внешние силы, приложенные непосредственно к узлу.
После совместного решения уравнений типа (5.336) —
(5.341), составленных для всех ярусов рамы, и опреде-
ления величии главных перемещений можно по фор-
мулам (5.332) и (5.333) вычислить перемещения всех уз-
лов рамы и по формулам (5,322) найти усилия на кон-
цах стержней.
Количество неизвестных в уравнениях типа (5.335) —
(5.346) при действии нагрузки, определяемой одним из
членов тригонометрических полиномов (5.332), можно,
как было указано выше, сократить с шести до четырех в
каждом ярусе, если пренебречь продольными дефор-
мациями стержней. Приравнивая нулю продольную де-
формацию стержня п, (п + 1), получим:
при симметричной нагрузке
бг= Ctg-y tg~	(5.342)
при антисимметричной нагрузке
, т	k() fl
6Т = - 61л etg у-tg.	(5.343)
Д	&
Аналогично для стержня меридиана
cts-1 г
= S 6f' (etg ф._2 — etg ф._, } — б2'7 etg ф5 (5.344)
При помоши дополнительных условий (5.341) —
(5,343) можно из шести главных перемещений в каждом
ярусе исключить два. Тогда для каждого многоуголь-
ника рамы необходимо составить три уравнения равно-
весия моментов относительно осей V, W, Т. Четвертое
уравнение равновесия проекций сил составляется для
части рамы, отсеченной так, чтобы в это уравнение не
входили продольные усилия в разрезанных стержнях.
В некоторых случаях вместо уравнения проекций при-
ходится составлять дополнительное уравнение равно-
весия моме,чтов сил, действующих на отрезанную часть
рамы.
5.10.	ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ 1
5.10.1.	Прямые тонкостенные стержни
с жестким поперечным сечением
и пренебрежимо малой жесткостью
свободного кручения [12]
К этой категории относятся открытые профили, со-
гнутые из тонкого листа, при отношении ширины стен-
ки (полки) к толщине, превышающем 20—30; они обла-
дают незначительным сопротивлением свободному (не-
стесненному) скручиванию и в то же время достаточно
большой поперечной жесткостью. Сюда же относятся
открытые цилиндрические оболочки, усиленные часто по-
ставленными поперечными диафрагмами или ребрами.
Неподкрепленные открытые цилиндрические оболочки в
первом приближении также рассматриваются часто как
тощ ост иные стео-кни с жестким поперечным сечением
с последующим учетом в случае необходимости дефор-
мации коятува поперечного сечения (см. первое изда-
ние, 5.10.5) 5.1016).
г ш । ;пмгр щем сечении (угольник, тавр,
крест) стержень близок к кинематической цепи с бес-
конечным; числом степеней свободы, п крутящих момен-
тов воспринять не может. При депланирующем попереч-
ном сечении стержень является системой с одной сте-
пенью свободы деформации, так как можег свободно
1 Рассматриваются стержни с открытым профилем. Стержни
с зайкнутЫй"йрофилеМ; см: [90],
скручиваться вокруг оси центров изгиба с малым отно-
сительным углом закручивания Ок = фк и одинаковой
депланацней всех сечений ш(в) =—AKw(s). Здесь
и(з) — ординаты главной эпюры векториальных пло-
щадей, подсчитанной при полюсе в центре изгиба и ну-
левой начальной точке (см, 5.3.8—5.3.10).
Для неподвижного прикрепления такого стержня не-
обходимо и достаточно семи связей. Пример прикрепле-
ния на рис. 5.105, а эквивалентен полному защемлению
одного торца, создающему препятствие трем линейным
и трем угловым перемещениям, а также депланации
торца. Один из опорных стерженьков может быть заме-
нен прикрепленной к стержню планкой, препятствующей
депланации.
Пример на рис. 5.105, б типичен для статически оп-
ределимого прикрепления открытых цилиндрических
оболочек и открытых пролетных строений. Обычно в
плоскостях вертикальных опор ставят усиленные диаф-
рагмы.
Напряженное состояние в поперечном сечении харак-
теризуется семью усилиями, пз них три (Qs, Qx, AI1:)
связаны с касательными напряжениями и четыре (А,
Мх, Му, В) —с нормальными напряжениями.
Реакции в статически определимой системе определя-
ются из шести условий равновесия твердого тела и
седьмого условия, выражающего равенство нулю или
наперед заданной величине бимомента на одном из
торцов или в одном из поперечных сечений.
Эпюры для усилий Qx, Qy, Мк, N, Мх, Ми строят по
________________________5.10. ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ	gj J
обычным правилам для стержней с массивным профи-
лем, пользуясь для первых трех усилий осями с нача-
лом в центре изгиба 0. а для трех остальных — осями с
началом в центре тяжести 0 (см. 5.!.6).
Эпюра В строится как интегральная эпюра от эпю-
ры МК = МК, причем рекомендуется пользоваться анало-
гией между стесненным кручением и изгибом, которая
отражена в формулах для напряжений (5.86) и рас-
пространяется на эпюры.
Сущность аналогии. В результате приведения нагру-
зок к типам усилий (см. 5.3.10) получают крутящую и
бимоментную нагрузки. На рис. 5.106, а, б показаны два
варианта условного изображения сосредоточенных кру-
тящих моментов Дк и бимоментов С. Аналогично изоб-
ражаются распределенные нагрузки. Выясняются напе-
ред заданные перемещения и деформации, включая
действие опор, препятствующих закручиванию (<Гк = 0),
и опор, препятствующих депланации (в,к = срк=О),
В табл. 5.20 слева перечислены активные факторы и
эпюры, относящиеся к стесненному кручению, справа —
соответствующие активные факторы и эпюры, относя-
щиеся к изгибу.
На рис. 5.106, в показана балка, моделирующая тон-
костенный стержень по рис. 5.106,6; левой опоре, пре-
Рис. 5.106
Таблица 5.20
Аналогии нагрузок и эпюр при стесненном кручении
и изгибе прямых стержней
Стесненное кручение (жесткость £7 ) (0		Изгиб (жесткость El
Факторы	Крутящая момент- ная нагрузка Бимоментная на- грузка	Поперечная сило- i вал нагрузка Мом ентн а я нагруз- ка
Эпюры уси- лий и пере- мещений	Эпюра крутящих моментов стесненного кручения Эпюра бимоментов Эпюра углов за- кручивания Эпюра относитель- ных углов закручива- ния (меры деплана- ции)	Эпюра поперечных сил Эпюра изгибающих моментов Эпюра прогибов Эпюра углов пово- рота сечений
пятствующей закручиванию и депланации, отвечает за-
щемляющая и вертикально неподвижная опора; второй,
опоре, препятствующей только закручиванию, но не
препятствующей депланации, отвечает вертикально не-
подвижная опора. Крутящему моменту отвечает сила,
сосредоточенному бимоменту, — сосредоточенный изги-
бающий момент.
Четыре эпюры, перечисленные в табл. 5.20 слева,
строят, как четыре эпюры, указанные справа, причем
для эпюр перемещений вместо Е1Х берут £/ю. Обычно
достаточно построить только эпюры Мк и В, которые
строятся как эпюры Q и М моделирующей балки.
Аналогия распространяется и на расчет статически
неопределимых балок. На рис. 5.106, в система один раз
статически неопределима.
При расчете на стесненное кручение стержней с пре-
небрежимо малой жесткостью свободного кручения ис-
пользуется. весь аппарат расчета балок.
Данные для суждения о возможности пренебречь
жесткостью свободного кручения О/я см. 5.10,2.
5.10.2.	Тонкостенные стержни
с жестким поперечным сечением
и конечной жесткостью свободного
кручения [20, 18, 156, 2]
К этой категории относятся строительные прокат-
ные профили. При G/B~ИЗ полный крутящий момент
воспринимается касательными напряжениями стеснен-
ного кручения, равномерно распределенными по толщи-
не стенок (MK==AJB). При G/K=A0 полный крутящий
момент воспринимается как напряжениями свободного
кручения (А1В), так и напряжениями стесненного кру-
чения (АД). Момент А1В является производной от бимо-
мента В. Поэтому бимоменты при G/K=A=0 получаются
меньшими, чем при G/K->0. Это уменьшение зависит от
величины Ы, где
Для суждения о влиянии величин k и kl на эпюру
биомоментов и значение макс. В служит табл. 5.21,
5.21 а.
312
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Таблица 5.21
Эпюры бимоментов [7]
Схема бруса и моде- лирующей балки	Эпюра бимоментов	Уравнение эпюры бимоментов		max S	Примечание
йфВТ 3	1'-	*	Ri.	Щ2) = г(г)фЩ ch ki h kehkl в (г) = - __2к_ {kl sh k В - г) - A4 ch kl — ch kl 4* ch kz]		maxB = С; В (0) = В (0) В {1}	as 2	Пунктиром по- казана эпюра В при G7K =0. Ор- динаты эпюры изгибающих мо- ментов, модели- рующей эпюр?/ бимоментов, от- ложены от сжа- того волокна
BfOl	W лЙ			jg	bcg^b m	+ sh kl sh kl n -,, Lv BMz .		<0 {0) или В (/); £к 1 „ «4; “к р п —2.......... а. 8	
<4 ДЛ4 тя		В (2) =	k	. kl ? ch—- 2 ch k	— 2^ ch-« 2		
а__jh_к		ch Аг—ch k / — — 2^ f	Й	;		г а. при г = ~ • 8 ь	2 ’ В (0) = IkJL а.- В f-£-l== 12	7	\ 2 J т В =		 с„ 24	8	
		zk	ki	> sn —- 2 kl ch k	— z\ 1-	—Ш—2_ . - IB	„ . kl 1	2 sb — 2	J			
2	2	F' +				
В последовательном порядке данйг схемы брусьев
и моделирующих балок; эпюры В==МИОД, ;йрйчей пунк-
тиром показана эпюра В=МЫ0Я при G/h—>0; уравнение
эпюры В, выраженное через гиперболические функции
sh kz и ch kz-, значение макс. В, равное значений май:. 8
щ и GG-ь-О, умноженному ив коэффициент й.
Знгщнгд ' коэффициентов а,,й8 приведены в
табл. 5.21 а. Пользуясь данными для макс, В, моЖнб про-
;льиую оценку влияния GiK на работу
стержня.
Г-> чет г произвольной крутящей нагрузке выпол-
няется путем интегрирования дифференциального урав-
ве-ьщ щ'-'' jo-ii-сг ) кручения:
В" — k-B = — тк	(5,346)
или в форме щ <, , тк
- • ф.£у_йгф =—.	(5.34С/)
-	-	Е/
;; и-	&

ж.Здесь	интенсивность распределения
крутящей моментной нагрузки; <р —- угол закручивания.
( Общее решение дифференциального уравнения
(5.345) или (5.346) по методу начальных параметров
имеет вид (значок «к» опущен)
М2 — Мо ch kz Вв k sh kz ф- [мг] ;
= sh kz
B2 = Bo ch kz ф- MQ ——- + [В,];
в
Мг = м2 - Я = Gl^' =
= Ma — Bak sh kz ф- Мд (1 — ch kz) ф- [7Йг];
Вд
Фг — Фо + ВВ, 2 + ПП Я ~~ chkzi) +
G/K G/K
Л4п kz — sh kz
+ “GT" ’	7	+ 1Фг] •
G/K	k.
(5.347)
При развертывании грузовых членов учитывается,
что сосредоточенный момент В,- в сечении х = и( дает
5,10. ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ
313
К табл. 5.21 а
Коэффициенты а-„ ..а8 для вычисления макс, В
kl				i	1		G7	
0,0	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1 ,<>(>01)	i.nooo
0,1	0,9960	0,9972	0,9976	0,9992	0,9984	0,9996	0,9999	0,9995
0,2	0,9803	0,9869	0,9902	0,9966	0,9952	0,9984	0,9994	0,9988
0,3	0,9566	0,9710	0,9782	0,9926	0,9912	0,9980	0,9986	0,9974
0,4	0р 9250	0,9499	0,9624	0,9868	0,9832	0,9968	0,9975	0,9952
0,5	0,8868	0,9242	0,9430	0,9796	0,9744	0,9948	0,9960	0,9926
0,6	0,8435	0,8951	0,9210	0,9710	0,9640	0,9928	0,9941	0,9894
0,/	0,7967	0,8634	0,8970	0,9610	0,9512	0,9900	0,9920	0,9858
0,8	0,7477	0,8301	0,8716	0,9498	0,9376	0,9868	0,9896	0,9815
0,9	0,6977	0,7959	0,8456	0,9376	0,9224	0,9836	0,9868	0,9767
1,0	0,6480	0,7616	0,8194	0,9242	0,9056	0,9796	0,9838	0,9714
1,2	0,5522	0,6947	0,7676	0,89-50	0,8696	0,9712	0,9768	0,9594
1,4	0,4649	0,6324	0,7188	0,8634	0,8296	0,961.2	0,9688	0,9455
1,6	0,3880	0,5760	0,6740	0,8300	0,7880	0,9500	0,9599	0,9299
1,8	0,3218	0,526-3	0,6334	0,7958	0,7464	0,9876	0,9498	0,9129
2,0	0,2658	0,4820	0,5970	0,7616	0,7040	0,9244	0,9390	0,89-14
2B5	0,1631	0,3946	0,5214	0,6786	0,6024	0,8872	0,9093	0,8435
3,0	0,0993	0,3317	0,4632	0,6034	0,5112	0,8468	0,8764	0,7881
3,5	0,0603	0,2852	0,4170	0,5380	0,4328	0,8044	0,8415	0,7305
4,0	0,0366	0,2498	0,3792	0,4820	0,3672	0,7616	0,8061	0,6727
5,0	0,0135	0,2000	0,3210	0,3946	0,2680	0,6788	О, 7363	0,5632
6,0	0,496-10—г	0,1667	0,2780	0,3316	0,2000	0,6036	0,6717	0,4670
7,0	0,182-10—2	0,1429	0,2450	0,2852	0,1536	0,5380	0,6138	0,3861
8,0	0,671-10—®	0,1251	0,2188	0,2498	0,1208	0,4820	0,5631	0,3199
9,0	0,247-10"”®	0,1111	0,1978	0,2222	0,0968	0,4348	0,5187	0,2666
10,0	0,908-10—4	0,1000	0,1800	0,2000	0,0790	0,3948	0,4301	0,2239
11,0	0,334-10—*	0,0909	0,1652	0,1818	0,0656	0,3608	0,4463	0,1893
12,0	0,123-10—*	0,0833	0,1528	0,1666	0,0553	0,3316	 0,4170	0,1617
13,0	0,452-10—5	0,0769	0,1420	0,1538	0,0472	0,3068	0,3305	0,1392
14,0	0,166-10”®	0,0714	0,1326	0,1428	0,0407	0,2852	0,3673	0,1209
15,0	0,612-10—6	0,0667	0,1244	0,1334	0,0355	0,2664	0,3467	0,1058
скачок, равный Li, только в эпюре М, в эпюре же Л1
скачка нет (возникает только излом эпюры);
при г > Ui
[Мг] = L( ch k (z — щ);
[Bz] = Li sh k (z — щ)-,
R
[Мг] = Li [1 — ch k (z — щ)];
Ш = 777“ L‘ 3 ~~ “*) — sh A (z — ui)l 
(5.348)
Равномерно распределенная крутящая моментная
нагрузка m на участке от z — c до z—d. Общие формулы
выписаны для случая z>d; при c<z<d полагают d=>z;
прн 0<г<с полагают добавочные члены в квадратных
скобках равными нулю:
[1И J = —— [sh k (г — d) —- sh k (z — c)];
k
lBzl = ~ [ch А (г — d) — ch А (г — c)[;
(5.349)
[,Иг] = --^- [k(d--c) +
k

+ sh k (z — d) — sh k (z — c)];
m Г	/ d 4- c \
a-o/k l \	2 /
ch А (г — d) — ch k (г — c) -
(5.349)
J
Граничные условия
Таблица 5.22
Кг	Граничные условия (для торца)	Математиче- ское выра- жение
1	Отсутствие стеснения для депланации ,	В = 0
2	Отсутствие стеснения для закручивания	Мк+7Ий = 0
3	Полное стеснение депланацпи а ч 3 а *-	ф	. —0 К
4	То же, закручивания ? 2 о ч q э а а	Фк = о
Ч1Д	РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Начальные параметры определяются из граничных
условий (табл. 5.22)
Пример 5.16. Стальная швеллерная балка № 16а
длиной /=150 ем полностью защемлена левым концом,
правый конец свободен. По всей длине балка нагру-
жена крутящей моментной нагрузкой постоянной ин-
тенсивности ?п=2 000 кГсм1см. Определить усилия в за-
щемлении.
Выбрав начало отсчета на левом конце из гранич-
ного условия (3), имеет Л4о=О. Из условия равновесия
М=Ж+< имеем
Жо — Л40 = тк1 = 2 000 >150 — 300 000 кгсм.
Полагая с=0 и d~l, получаем уравнение эпюры би-
моментов:
ml	т
Вг = Ва ch kz + ~Т~'[ch k (z — t) — ch fe].
k	k"
Из граничного условия (1) на свободном конце
£/=0 находим бимомент в заделке:
т
В^~ (Ш sh kl - ch kl -fl),
в* ch kl
Принимаем £=2,1 • 10s кГ/иВ, G=0,8-10s кГ1смг. По
первому изданию табл. 7.6 геометрических характери-
стик прокатных профилей для швеллера № 16а имеем
5=0,0295 Мем. Находим
Ы = 4,425; ch kl = 41,802; sh kl = 41,790;
B(t == --Д—-------(4,425-41,790 —
0,0295s-41,802'
— 41,802 + 1) = 78 600 кГсмМ
Напряжения определяются по правилам, изложенным
в 5.3.9 и 5.3.10.
Многочисленные примеры см. [18, 20]. Неразрезные
тонкостенные брусья см, [17].
Замкнутые (трубчатые или коробчатые) деплаиирую-
щие профили с жестким поперечным сечением обладают
значительной жесткостью свободного кручения, вследст-
вие чего нормальными напряжениями стесненного круче-
ния обычно можно пренебречь. Однако для вытянутых
сечений учет эффекта стеснения иногда бывает необхо-
дим. Для полной реализации этого эффекта необходимо
принимать меры к обеспечению поперечной жесткости
профиля.
 ИДифференциальные уравнения стесненного кручения
для.:замкнутых профилей аналогичны (5.346) и (5,346'),
с той разницей, что
й2 =' И ; тк = ,идак. (5.350)
Здесь
.	,	[1 = 1--^,	(5.351)
•— так называемый коэффициент депланации,
где /к — момент инерции замкнутого профиля при сво-
бодном кручении; 7С—направленный полярный момент
J4MTI (_м 5 3 2)
С указанными изменениями в отношении М нагру-
зок решения (5.347) — (5,349) остаются в силе. Для не-
деплацирующих замкнутых профилей /и=/с, g=0 и эф-
фекта сТеснефия не возникает.
Многочисленные числовые примеры см, [2,165].
Аналогия с растянуто-изогнутой балкой. В случае
G/«->0 для расчета стержня на стесненное кручение
вводится моделирующая балка, при GlKB=v моделиру-
ющая балка является растянуто-изогнутой, причем рас-
тягивающая сила N — Glx. Для стержня на двух опорах,
на
эпюры прогибов синусоидой ОСр
препятствующих закручиванию и не стесняющих депла-
нации торцов, моделирующей является простая балка
на двух опорах. Используя приближенную формулу для
прогиба посередине пролета, основанную
А'
£/Э
получаем для случая стесненного кручения
Фер Фер
~ 7  kip.
Wk-El® ' ла
замене
(5.352)
Фер —
Бимомент посередине пролета
(Б.353)
Здесь нуликом отмечены величины, получаемые в
предположении G/K--+0.
Приемы расчета тонкостенных стержней, основан-
ные на использовании тригонометрических рядов,
см. [26].
5.10.3.	Кривые тонкостенные стержни
и арки с жестким поперечным
сечением [89]
На рис. 5.107 показан плоский кривой разветвленный
тонкостенный стержень с пренебрежимо малой жестко-
стью свободного кручения, полностью защемленный на
одном конце (7 связей) и свободный на другом конце
(й) и на копие тонкостенного отростка. Работа этой
статически определимой криволинейной консоли от на-
грузки в плоскости кривизны никаких особенностей ье
представляет. На рис. 5.107, а показаны сосредоточен-
ные нагрузки, вызывающие изгиб перпендикулярно пло-
скости кривизны и кручение: изгибающий момент £и,
Рис. 5.107
eui, конструкции типа составных стержней	315
крутящий момент LK, бимомеит С и сила, перпендику-
лярная плоскости кривизны Т. Определение усилий (по-
строение эпюр) Qx, Mw, Mv делаете;! по общим пра-
вилам.
Бимомент в произвольном сечении пг от нагрузок,
действующих между свободным концом и сечением, оп-
ределяется по следующим правилам, Изображается
ось центров изгиба стержня (рис, 5.107, б). Моменты £и,
и £к изображаются по правилу левого винта в виде
векторов — моментов волнистыми стрелками, бимомеит
С изображается дуговой стрелкой, сила Т — кружком с
крестиком (при обратном направлении силы Т кружок с
крестиком заменяется кружком сточкой). Векторы —
моменты LH и Lx, поворачиваются на 90° против часо-
вой стрелки. В повернутом положении они изображены
пунктирными волнистыми стрелками. Сила Т, направ-
ленная от наблюдателя (как в данном случае), рассмат-
ривается как сток равномерно распределенной крутя-
щей моментной нагрузки интенсивностью Т кГ-см!с/л,
действующей от точки приложения Т до защемления е.
На усилия в сечении гп действует «цепочка» film. Би-
момент в сечении m вычисляется как изгибающий мо-
мент:
1) от сосредоточенного момента, численно равного
внешнему бимоменту С; 2) от сил, равных повернутым
векторам — моментам LH и LK; 3) от силовой цепочки
Tdm. Последний момент равен произведению TQt, где
0т— удвоенная площадь сегмента с хордой тТ и ду-
гой mdT-
(5.354)
При наличии нескольких сосредоточенных факторов
вводятся суммы факторов, а распределенная моментная
или силовая нагрузка дает соответствующие интегралы,
Расчет тонкостенного стержня с обоими свободными
концами, прикрепленного четырьмя параллельными стер-
жнями и тремя стержнями, лежащими в одной плоско-
сти, а также кольцевых стержней см. [158].
Бесшарнирная арка. Расчет тонкостенной арки на
нагрузку в плоскости кривизны (3 лишние неизвестные)
делается по общим правилам расчета арок (см. 5,6.3).
Расчет на нагрузку, вызывающую изгиб из плоскости
кривизны и кручение (4 лишние неизвестные), может
быть выполнен на основании статико-кинематической
аналогии, развитой применительно к тонкостенным стерж-
ням [158], Подобно тому как статически неопределимые
изгибающие моменты арки, нагруженной в своей плос-
кости, получаются по трехчленной формуле внецентрен-
ного растяжения— сжатия [5.6.3, формула (5,214)], так
и здесь статически неопределимые бимоменты получают-
ся по четырехчлепной формуле внецентрешюго растяже-
ния— сжатия стержня с открытым тонкостенным профи-
лем и толщиной стенки
/ф =	.	(5.355)
“са
На рис. 5.108, я показана ар'ка с сосредоточенными
нагрузками С, L-a, Ls, Т (аналогично рис. 5.107), на
рис, 5.108, б ™ соответствующий фиктивный тонкостен-
ный профиль, который предполагается нагруженным
фиктивной нагрузкой интенсивностью
. Во
----,	(5.356)
ЕЦ
где — бимоменты в основной системе.
Бимомеит в любом сечении арки
по формуле
/Р*	£Ф	£*
V	х у
(т} определяется
----й|. (5.357)
4 /
Если пренебречь деформацией от изгибающих и кру-
тящих моментов по сравнению с деформацией от бимо-
ментов, то характеристики фиктивного профиля вычис-
ляются по формулам
рФ=[Л; /Ф„СДД;
J £/ffl к J Е1®
Д	Q то ’
( ЕЕ® j <54^
(5.358)
Этот метод применительно к спаренной арке подроб-
но рассмотрен в [89] (там же см, некоторые примеры по
расчету рам).
Стержни и кольца с круговой осью и конечной жест-
костью свободного кручения подробно рассмотрены а
разделе 9.
5.11.	КОНСТРУКЦИИ ТИПА СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ
Составным стержнем называется система параллель-
ных стержней, соединенных связями того или иного ви-
да. Под это понятие подходят как пакеты деревянных
брусьев, соединенных продольными и поперечными свя-
зями, так и многоэтажные рамы, а также двух- и много-
поясные фермы с параллельными поясами. Представле-
ние о работе составного стержня облегчает приближен-
ный расчет многих сложных сооружений.
Многоэтажные рамы под горизонтальной нагрузкой
На рис. 5.109, я показана рама, нагруженная силами
вдоль ригелей. Когда жесткость ригелей весьма велика
по сравнению с жесткостью стоек, то ригели обычно
считают абсолютно жесткими, рассматривая раму как
вертикальный трехпоясной стержень е абсолютно жест-
кими планками (рис, 5.109,6). Если пренебречь удлиню-
316	РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ниями стоек, то точки перегиба стоек (нулевые точки
моментов) лежат посередине высоты каждого этажа.
Поперечная сила каждого этажа, равная сумме выше-
лежащих нагрузок, распределяется между стойками
этажа пропорционально их жесткостям F.I, что дает воз-
можность построить эпюру моментов каждой стойки.
Рассматривая далее каждый ригель как упругую нераз-
резную балку, нагруженную над опорами заданными
внешними сосредоточенными моментами от стоек, по-
лучают эпюры моментов ригелей.
Если, наоборот, ригели слабы по сравнению со стой-
ками, то в запас прочности для стоек пренебрегают на-
гибной жесткостью ригелей, рассматривая их как шар-
нирно прикрепленные распорки составного стержня,
обычно нерастяжимые (рис. 5.109, в). В предположении,
что жесткости стоек всех этажей для каждого этажа
пропорциональны одним и тем же числам, например
= Я|.-п2:п3 (г == 1, 2, 3,.. .6),
устанавливают, что нагрузки рамы распределяются
между стойками пропорционально их жесткостям. Так
же и эпюры моментов в стояках имеют ординаты, про-
порциональные жесткостям стоек. В действительности
ригели не являются ни абсолютно жесткими, ни шар-
нирно присоединенными к стойкам. Можно получить
уточнение первого приближения, сочетая оба решения и
исходя из принципа минимума потенциальной энергии.
Обозначим изгибающие моменты от сил Р по первому
варианту расчета через Mip, по второму варианту —
через М2Р. Уточненные моменты берем в виде суммы:
Жр==фИ1? + (1 — 11)Л72Р,
(3.359)
где т| — неизвестное число, которое определяется из
условия: минимума энергии.
Энергия равна;
1 f МрЕх
2< : itP J ’ ~еГ' ’
6
Подставляя Мр из 5 359. дифференцируя по т] и при-
равнивая производную нулю, находим (5.360):
•^pCMlpdx р МиМ2р(Ьс
~~еГ ~~ zjJ ш
л =---—-------------------------------.
2(Mjpdx CMlpM2pdx	^CMiPdx
J El ~2^JJ Hf	~~eF"
Входящие сюда интегралы относятся я данном случае
только к стойкам и вычисляются по правилам «перемно-
жения эпюр» (см. 5.7.4).

Р
G
J.
3/2 з s
Р№
Р/3
П
3/2 3/2
С
Й? г/г ' i/г
Рис. Б.ИО

А
Дальнейшее уточнение может быть выполнено одним
из известных методов (см., например, 5.7.3.).
Многоэтажная многопролеттая рама с равными про-
ле • При соблюдении следующих условий: 1) все
промежуточные стойки в пределах этажа имеют одина-
ковую жесткость, а крайние стойки — половинную жест-
кость; 2) каждый ригель имеет постоянную жесткость;
3). ригеля считаются нерастяжимыми, — расчет на дей-
ствие горизонтальной узловой нагрузки выполняется
точно и сводится к расчету одной симметричной много-
этажной рамы, у которой жесткость левой и правой
стоек составляет половину жесткости промежуточных
стоек заданной рамы. Схема замены трехпролетной ра-
мы тремя однопролетными, нагруженными одной третью
общей нагрузки, показана на рис. 5.110,0. Если постав-
ленные условия полностью не удовлетворены, например
крайние стойки имеют такую же жесткость, как проме-
жуточные (рас. 5.110,6). то сначала заданная рама
представляется в виде рамы, удовлетворяющей требо-
ваниям, и двух отдельных стоек. Заданные нагрузки
приближенно распределяются между этой рамой и стой-
ками, исходя из принципа минимума энергии, как ука-
зано выше: из каждой силы Р часть I1P передается на
раму, часть (1—rj) Р— иа две стойки. Если обозначить
через М1Р моменты от сил Р в раме (они определяются
в соответствия с рас. 5.110, и), через ЛФ>р— моменты от
сил Р в стойках (определяются элементарно, как. для
консоли), то величина г| найдется по формуле (5.360).
Каркасно-панельные системы [89, 90J
В первом приближении элементы каркаса считаются
работающими только на продольные усилия, а силы вза-
5.11. КОНСТРУКЦИИ ТИПА СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ
317
имодействия между каркасом и отдельными панелями
считаются сдвигающими (касательными). Каждая пря-
моугольная панель в сечениях, параллельных краям,
работает только на одинаковые по величине касатель-
ные усилия, которые распределены вдоль сечения рав-
номерно, т. е. как бесконечно малый элемент в условиях
чистого сдвига. Это представление о работе панельной
стены отвечает схеме тонкостенной фермы (см, 10.1.5)
На рис. 5.111, в показана четырежды статически неоп-
ределимая система. В качестве лишних связей выбраны
четыре панели и соответственно в качестве лишних не-
известных приняты четыре погонных касательных уси-
лия Xlt Xs, Xs, X, (рис. 5.111, г). Неизвестные опреде-
ляются из четырех канонических уравнений метода сил.
Свободные члены и коэффициенты уравнений вычисля-
ются по формулам:
I
Рг
Рис. 5.111
~ X ер ,(NpN,-dx+S W
о
Z I EF J	Gt
о
(5.362)
Первая сумма распространяется на все
стержни, вторая — на все панели (П —
площадь панели, t — толщина панели).
о


Составная балка с поясами,
работающими на изгиб, и стенкой,
работающей на сдвиг (рис. 5.112)
Расчет основан на следующих допу-
щениях: 1) закон плоскости не имеет
места для всего сечения, но остается в
силе для поясов, 2) средняя стенка
при условии, что сосредоточенные нагрузки передаются
только в узлах.
Степень статической неопределимости системы рав-
на степени статической неопределимости фермы, у кото-
рой каждая панель заменена раскосом. Стена на
рис. 5.111, й статически определима. Ее можно рассмат-
ривать как вертикальную консоль, защемленную ниж-
ним концом. Касательные усилия в панелях равны:
51—2	Q1—3	5.3—4
?1-2= ь ~ ’ ?2-3 = “ДД" ; $3-4 =	5
Q4—5
?4-5 “	.	•
передает равномерные касательные уси-
лия и создает связь между поясами по
вертикали, обеспечивающую их одинаковый прогиб. Нор-
мальных напряжений в поперечном сечении стенка не
передает.
Расчет на поперечную нагрузку. Полные изгибающие
моменты Л1° необходимо распределить между одинако-
выми моментами Лф обоих поясов и моментом M2~N2h
продольных сил поясов:
= 2Мг + М2.
Эпюра моментов Af2 получается в результате инте-
грирования дифференциального уравнения:
М"2 — Х2Ж2 = ~~	.	(5.362)
Продольные усилия в стойках пропорциональны изги-
бающему моменту в консоли:
Продольные усилия в ригелях следуют закону тре-
угольника с максимальным усилием, равным нагрузке Р.
Вообще интенсивность роста продольного усилия
вдоль стержня каркаса равна разности погонных каса-
тельных усилий в панелях, примыкающих к стержню.
Зная усилие NА на одном конце стержня А— В и каса-
тельные усилия в примыкающих панелях qm ft дп, мож-
но сразу определить усилие на другом конце стержня
(рис, 5.111, б);
^£=Агд+(?я-?га)/.	(5.361)
Имея моменты М2, молено получить моменты Лф,
продольные усилия в поясах, а также поперечные силы
в стенке Q2==A42. погонные касательные усилия в стен-
ке q—Qilh, а также прогибы балки v. Кроме того, про-
гибы могут быть получены путем интегрирования диф-
ференциального уравнения
tv ч "	7,2	рй
—	= —------МАХ-1-—.	(5.363)
El ^2Е1	’
В этих уравнениях
£ — модуль упругости поясов;
— собственный момент инерции одного
пояса;
/2 =-----— момент инерции составного стержня без
318
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
учета собственных моментов инерции
поясов; •
h ~	ту центрами тяжести ее-
югам поясов;
/e/j-pS/j. “ полный Жомент инерций сечения состав-
ного Стержня;
G — модул® сдвига материала стетлкя;
Fy — эффективная площадь стенки при вычис-
лении ее деформации сдвига. В данном
случае бг=йс1с,	,
(5.3G4)
Балка является частным случаем многопоясного состав-
ного стержня с упруго деформируемыми связями сдви-
га и недеформируемыми поперечными связями. Решение
для таких стержней охватывает и случаи составной
балки.
5.12.	О РАСЧЕТЕ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ НА ЭВМ
В настоящее время в СССР для ЭВМ различных ти-
пов создано несколько сотен программ для расчета
стержневых систем. Наиболее интересными срёДй НИХ
для проектировщика являются так называемые универ-
сальные программы, которые могут быть использованы
для расчета- любых стержневых систем (в -пределах
ограничений, установленных программой) илй жё -до-
статочно широких классов таких систем. Универсаль-
наёМрМраййМшрёВраймйсь в обычный «инструмент»
у ля pic’iei’'’ и используются в десятках проектных орга-
низаций страны.	-
В-’йачестве примера ниже-даются краткие сведения о
ряде унйверсалвйыж программ для расчета стержневых
систем на ЭВМ «МиНск-22» й ЭВМ «Минск-32» в режи-
йе совместимости с «Минск-22».
Система СМ-5 для автоматизации расчетов
стержневых конструкций [104—107]	« -
Система предназначена для статического и динами-
ческого- расчета (в упругой линейной постановке)-- на
ЭВМ «Мичск-22» любых плоских стержневых систем, со
степенью статической неопределимости до 122. Как пра-
йме насчет выполняется методом сил, но возможен
также:' расчет смешанным методом. С помощью систе-
/ы ММ sj/jj птес 1чтызсть т щ некоторые типы
го СТ’Ю JC.T13C 1ИоХ оОЮГТДЦШ, КС-с гр; ж, .п -ст ; зр /ГЦ
О' >9В I СТ, ючегр; щщ> с односторонними' связями й нё-
кбТбрыё другие типы нелинейно Деформируемых сйстем.
-•-® систему-СМ-5 входят блоки динамического .расчел
таргкоторые-' позволяют определять собственные - часто-
ты и формы колебаний, сейсмическую нагрузку, ветро-
вую нагрузку с учетом пульсаций скоростного напора
жтро, зггр’щсть влияния сейсмическими и вет-
ровыоч с ’ ат 'т, рассчитывать сооружение на вибрацион-
ную нагрузку.
В системе автоматизированы все этапы расчета, кро-
ме выбора основной системы, который осуществляет ин-
: для расчета. Под-
готовка ис од л wax требует хорошего понимания
лбые рч-м	г г ол гр г щ< 1 и знания строи-
тельной Механики; в то-: же время от инженера не тре-
буется знания программирования. Затраты времени На
подготовку исходных дапйых а зависимости от елож-
ности конструкции составляют от 2 до 25 ч (для особо
сложных конструкций — до 50—60 ч). Время расчета
на. ЭВМ «Минск-22» составляет для стержневых систем
различной сложности от 2 до 100 мин. Исходная рас-
Четййй схема конструкции готовится инженером-проек-
тировщиком и имеет' вид обычного задания иа расчет
вручную. На основе такой схемы инженер-расчетчик со-
ставляет исходные данные по форме, предусмотренной
инструкцией к программе.
Основные результаты работы системы — прогибы и
усилия в стержнях—печатаются на бумаге и записы-
ваются на заданные места магнитной ленты; в таком ви-
де они могут быть использованы как исходные данные
дл.я работы других программ. Кроме того, в процессе,
счета для проверки правильности задания исходной ин-
Борм'щип с помощью программы ВИЗИР-1 и одной из
программ серии КОНТУР [108} может быть получена
перфолента с записью геометрической схемы сооруже-
ния; после ввода в устройство вывода графической ин-
формации получают эту схему в графическом виде. Та
же схема может быть выдана по окончании счета по
программе с указанием рассчитанных усилий.
Программа имеет ряд количественных ограничений.
Основные из них: число неизвестных при произвольной
основной системе не более 122, при специальной основ-
ной системе, приводящей к кодиагональной матрице пе-
ремещений, — не более 127; общее число сил, действую-
щий / в осйсЭПой системе (не считая так называемых
вторичных сил),—до 320, число узлов — до 255, число
различных величин сил — до 100.
Программа МАРСС-105 для расчета плоских
? и пространственных стержневых систем [109]
-. Программа реализует на ЭВМ «Минск-22» расчет
'плоских или пространственных стержневых конструкций
по, смешанному методу при специальном виде основной
системы. За неизвестные усилия принимаются неизвест-
ные метода сил в предположении, что все соединения
системы жесткие (для этого предварительно накладыва-
ются связи на подвижные сочленения в любом месте
5.12. О РАСЧЕТЕ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ НА ЭВМ
a 19
системы). За неизвестные перемещения принимаются
перемещения по направлению наложенных на систему
жестких связей. Кроме, стержневых систем по програм-
ме можно рассчитывать некоторые плоские и простран-
ственные континуальные системы типа балок на упру-
гом основании, плит, оболочек, для Чего необходимо
произвести стержневую аппроксимацию сплошной кон-
струкции.
Подготовка исходных данных для расчета по про-
грамме предельно упрощена, не требует специальных
знаний по программированию н в большинстве случаев
может быть выполнена средним техническим персона-
лом, знакомым с основами строительной механики. Ис-
ходные данные содержат информацию о структуре
стержневой системы, геометрических размерах, жестко-
стях стержней и внешних воздействиях на конструкцию.
Формирование основной системы осуществляется авто-
матически.
Результатами расчета являются внутренние усилия
(продольные и поперечные силы, крутящий и изгиба-
ющий моменты), в концевых поперечных сечениях каж-
дого стержня. В программу включены те же блоки для
расчета на динамические воздействия, что и в систему
СМ-5, поэтому по МАРСС-105 можно получить все ре-
зультаты для такого расчета, перечисленные в предыду-
щем пункте. Результаты выводятся либо на узкую бу-
мажную ленту, либо в виде таблицы со словесными по-
яснениями— на широкую печать. Время решения
задачи на ЭВМ зависит от параметров конструкции:
числа стержней, степени статической неопределимости,
количества внешних параметров, а также от характери-
стик основной системы, формируемой на ЭВМ. Обычно
оно колеблется от нескольких минут до 1,5—3 ч.
Основные ограничения программы: 1) n=nj-+-n2sg:
«5500, где щ — степень статической неопределимости
системы в предположении, что все соединения стержней
между собой и закрепления в опорных точках непод-
вижны; — сумма степеней свободы всех подвижных
сочленений; 2) число стержней не более 510; 3) число
сил не более 180.
Программа СИДР-12 для статического и динамического
расчета многоэтажных рам [110J
Программа предназначена для расчета на ЭВМ
«Минск-22» плоских многоэтажных ортогональных рам
с элементами постоянного и переменного сечения при
наличии бесконечно жестких участков в узлах рамы.
С помощью программы можно рассчитывать рамы как
регулярные, так и нерегулярные (с пропущенными
стержнями). Стержни могут быть закреплены в узлах
рамы жестко, шарнирно, а также иметь любую податли-
вость на поворот. Рама может иметь упруго-податливые
опоры по любому заданному перемещению.
Статический расчет рам выполняется программой по
методу распределения узловых моментов защемления.
При расчете учитывается только изгибная жесткость,
т. е. перемещение зависит только от первого члена фор-
„ Г Л1‘м/
мулы Масквелла — Мора (osj= j	Можно
учесть интеграл от поперечных сил. вычисляя соответст-
вующим образом жесткости элементов. Интеграл от про-
дольных сил учесть при расчете нельзя. Программа осу-
ществляет также динамический расчет рам на свобод-
ные колебания; учитывается динамическое воздействие
пульсаций скоростного напора для ветровой нагрузки и
вычисляются усилия от сейсмической нагрузки; произво-
дится учет совместного действия нагрузок п подбор ар-
матуры в элементах рамы. Основные количественные ог-
раничения программы: число элементов до 256, число
линейных смещений не более 50.
Исходные данные содержат информацию о Жестко-
стях и длинах элементов рамы, о нагрузках на эле-
менты, о структуре рамы, коэффициенты передачи и т. д.
Предусмотрена возможность сокращенной записи ин-
формации при наличии регулярности в раме.
При расчете рамы в полном объеме программа выда-
ет следующие результаты: матрицу единичных реакций,
матрицу единичных перемещений, динамические харак-
теристики рамы, результаты расчета рамы на отдельные
загружения (перемещения, эпюры узловых моментов,
продольных и поперечных сил), комбинации усилий в
элементах, требуемую площадь арматуры и др.
Программа КАРРА-5 для расчета ортогональных
плоских стержневых систем [111]
Программа КАРРА-5 использует метод перемещений
и решает практически те же задачи, что и программа
СИДР-12, но несколько отличается от нее по количест-
венным характеристикам: число стержней не должно
превышать 112, число неизвестных метода перемеще-
ний— 60, число стержней, для которых требуются зна-
чения эпюры М в промежуточных точках — 57. Инфор-
мация для расчета должна содержать сведения о гео-
метрической схеме рамы, длинах и жесткостях стержней,
данные о нагрузках, а также некоторые дополнительные
параметры. Результатом расчета по каждому загруже-
яию являются перемещения связей, эпюры моментов,
поперечных и продольных сил (узловые значения), эпю-
ры моментов в пяти промежуточных точках назначен-
ных стержней. При расчете на сейсмические нагрузки
печатаются периоды собственных колебаний рамы и
сейсмические силы по первым трем тонам собственных
колебаний. Кроме того, выдаются расчетные комбина-
ции усилий, а для железобетонных элементов — площа-
ди продольного и поперечного армирования.
Приведенные выше примеры наглядно демонстриру-
ют широкие возможности универсальных программ для
расчета стержневых систем. Следует иметь в виду, что
с развитием вычислительной техники, с увеличением объ-
ема памяти и быстродействия ЭВМ будут появляться
все новые программы с возрастающими количественны-
ми характеристиками, использующие все более точные
методы расчета. Использование ЭВМ позволяет сокра-
тить продолжительность расчетов, проводить многова-
риантный счет, осуществлять выбор наиболее рациональ-
ного варианта конструкции. (См. также 1.23).
3 Для некоторых периодических изданий приняты сокращен-
ные обозначения:
«Известия высших учебных заведений» — ИВУЗ:
«Строительная механика и расчет сооружений» —СМРС
«Исследования по теории соору;кемнй» — ИТС
«'Расчет пространственных конструкций» — РПК
Первое издание настоящего тома Справочника проектиров-
щика ~~ 1 изд.
3'20	РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Л И Т Е Р АIУРА1
I,	Афанасьев А. М., Байков В. Т„ Гем м е р-
л и н г А. В. и др. Сборник .-задач ш.	:ых кон-
струкций (под ред. А. М Уманского). Оборонп-13, НИН
2.	Афанасьев А. М,, В, л л и ни г, Н. Т., М а рь-
ин В. А, Основы строительной механики. Оборонгиз, 195L
3.	Безухов 1ТИ. Рамные конструкции. Расчст н конст-
руирование. Гостехиздат, 1931.
4.	Безухо в Н. И., Гольд енбл ат И, И. и др. Тео-
рия сопротивления Материалов. Ч, I и II. Академия
1Ш. Ф. Э. Дзержинского, 1959.
5.	Беляев ГЕ М. Сопротивление материалов, Физмат-
гиэ, 1962.
6.	Биргер И. А.. Шорр В, Ф., Шиейдеро в и ч Р. М.
Расчет на прочность деталей малин. Машгиз, 1959.
7,	Бычков: Д. В. Строительная механика стержневых
тонкостенных конструкций. Стройиздат, 1962.
8.	Вайнберг Д. В., Чудновский В. Г. Простран-
ственные рамные каркасы инженерных сооружений. Гогтекиз-
дат Украины, 1948.
9.	Вайнберг Д. В., Чудневский В. Г. Расчет про-
странственных рам. Стройиздат Украины, Киев, 1934.
10.	Винокуров л, П. Строительная механика стержне-
вых систем. Ч. I— III. Изд. ,ХГУ. Харьков, 1569.
И.Бйнокуров Л, П. Деформирование бруса и меха-
ническое сопротивление материалов. ХИСНу 1962.
12.	В л а со в В. 3. Тонкостенные упругие стержни, Физмат-
гиз, 1958.
13.	Власов В. За Тонкостенные пространственные систе-
мы. Стройиздат, 1958.
14.	Гарел кин Б, Г, К расчету безраекосных ферм в
жестких рам. Собр. соч„, т. 1, АН СССР, 1932.
15.	Газарян А. И., Кана нов Н. К. Распределение
моментов. I-е изд. 5.8,1.
16;	Гастев В. А. Краткий курс сопротивления: материа-
лов. Фйзматгиз, 1959.
17.	Гвоздев А. А. Общий метод .расчета сложных ста-
тически неопределимых систем, МП ИТ, 1927.
18.	Гл ушков Г. С. Инженерные методы расчетов Аа
прочность и жесткость. Маш., 1949.
19.	Глушков Д .С,, Копыленко. Сопротивление
материалов. «Высшая школа».
20.	Еольник Э. Р. Расчет косоопертых тонкостенных
стержней, РПК, вып, 10, 1965, вып. 11, 1967,
21.	Горбунов Б. И., Кротов Ю. В. Основы расчета
пространственных, рам. Стройиздат, 1936.
22.	Г о р б у й с в Б. И.,' Стрелецкая А. И, Теория
рам из тонкостенных стержней. Гостехтеоретиздат. 1948,
23.	Горбунов Б. Н„ Стр ел ь б и ц к ая A. 1L ...Расчет
прочности тонкостенных стержневых систем. РПК,
24.	Гофман Ш. М. Расчет плоских и пространственных
рам способом группового последовательного уравновешйеаннн.
Труды Института сооружений АН УзбССР, вып. 1, 1950,
25.	Грач С. А, Геометрические характеристики , плоских
сечений. «Мехтеп®, Фрунзе, 1967,
26.	Дарков А. В., Кузнецов В, IL Статика соору-
жений, Трансжелдориздат, 1951.
27.	Д ж ав е л и дзе Г. Ю., П ановко Я, Г. Статика
упругих тонкостенных стержней. Гостехтеоретиздат, 1918.
28.	Д л у г а ч М. Г]. О расчете тонкостенных стержней, уси-
ленных решеткой или планками. РПК, вып. L 1950.
29.	Ж е м о ч к и н Б. Н. Расчет рам. Стройиздат, 1965.
33.	3авриев К. С. Расчет срочных мостов. Трансжелдор-
издат, 1956.
31; Изюмов С. М., Кудрявцев И. Н„ О ли-
сов < Б; А. Сборник задач по сопротивлению материалов.
Стройиздат, 1940.
:: :-32.ЖА мге в пев П. А. и Д учи некий В. Н. Бесшар-
KiDFwe апочныз мосты. Транспечать, 1928.
33.	Ка н С. Н. Прочность замкнутых и открытых цклкнд-
рических ооолочек. РПК, вып, 6, 1960,
54.	К а н С. Ч Школен ы й П. А. Приближенный рас-
чет сего ц’* поусьев и цилиндрических оболочек с откры-
ть & рессор ,7 р/е^’ы и ссЧч.пчем. 1 изд. 8.10.6,
35.	К а н и Г. Расчст многоэтажных рам, Стройиздат, 1965.
36	К^чурин В. К.. Расчет бесшарннрных симметричных
сводов	н-1 а 1942.
»:и	. п и р я и ч е в 1.5, 21. Липшие неизвестные в строитель-
1933.
из и рамы на упругом основа-
H’JP ГтрО1<’ПД£т,
39.	Гигг из в л. Рациональные формы арок и подвес-
ных С С с X Сгроич д - 1
40.	Кисел ее Б. А. С"рочтельная механика. Стройиздат,
1967.
46а, К г г ° г е в 3 A j > Строительная механика в при-
мел д ’’ а^ач пэ
4L Клейн Г. Д, Применение способа распределения мо-
ментов к расчету пространственны?: рам. Институт Моссовета,
Сб. трудов, вып. 1, 1949..
42. Коган Л. А. Расчет пространственных рам по .мето-
ду растгоеделемия гдементов защемления. ИТС, вып. VI, 1954
43. Корневиц Э. Ф., Эндер Г. В. Формулы для рас-
чета балык и плиг на упругом основании. Сгройиздаг, 1932.
ь 44. Крылов А. Н, О расчете балок на упругом основа-
нии. АН СССР, 1930.
44а. Ку зьмин Н. Л., Р с к а ч В, Г., Р о з е н б л а т Г. И»
Сборник задач по теории сооружений, под ред. ГЕ М. Рабино-
вича.: Стройиздат, 1950.
45. К у т у к о в Б, Н. Расчет регулярных плоских систем
и биконструкций методом бесконечной основной системы. РПК,
о в Ю. И, О расчете составных балок учетом
упругой и пластической деформации связей. Труды Л11И, Ks 5,
1949. '
47. Левин Я. Б, Рациональные методы расчета много-
31'ажных рам на горизонтальною нагрузку. ИТС, аын, VHI, 1959.
48. М з л а ме нт Л, И. Расчет балочно-рамных систем без
решения совместных уравнений. Труды Высшего военно-морско-
го -УчЙлища, 1955, Ж 8.
д1фМ-.алиев А. С. Балки на упругом основании с пере-
менным по их длине коэффициентом постели. Труды .ЛИСИ,
.
4;W.; М и е к л а д з е Ш. Е. Некоторые задачи строительной
мехдццке. Гостехтеоретиздат, 1948.
51.	Никифоров С, Н. Сопротивление материалов. Строй-
йздат, 1944.
Т^уйовицкий В. В. Приближенные методы расчета из
прочность замкнутых цилиндрических оболочек с неизменяемым
контуро-М поперечного сечения. РПК, вып. IV, 1958,
! п о в В. ГЕ Расчет балок на упругих опорах,
стш.,
54. Н аш к о в и ч П. Ф, Строительная механика корабля,
, 1947.
т е и н а к П, Л. Исследование пространственной
железобетонных конструкций. МИСИ.. Сб.
трудов Ж 4. 1940.
/,-А:;56. И а с т е р н а к П„ Л< Основы нового метода расчета
фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффи-
циентов постели. Стройиздат, 1954.
У Й'уПерелъште&н Н. Л. Приближенные методы рас-
чета- рам. Справочник инженера-проектировщика промсооруже-
.!. Стройиздат, 1934.,
i. а к ов ск и Й А. А. Основы теории арок. Трансжел-
? 59. П оном а рев С. Д,, Би дер м ан В, Л., Л и х а-
р е:в К. К. и др. Расчеты на прочность в машиностроении,
т. I—Ш. Машгиз, 1956—1959.
69. Прагу севич !А. Л. Вариационные методы в строи-
2. Госте.хтеоретиздат, 1948.
^. Прокофьев И. П. Теория сооружений, ч. I и П.
; 62, ГАа б: и н о в й ч И. М. Строительная механика в СССР.
1917—1957. Стройиздат, 1957,
63,	Рабинович И. М. Строительная механика в СССР,
1917—1967- Стройиздат, 1959.
:64. Рабинович И. М, Курс строительной механики стер-
ч, L Статически определимые системы. Строй-
стл
65,	? а б нн ов п ч И, М. Курс строительной механики
систем, ч. П. Статически неопределимые системы.
Стройиздат, 1954.
66.	Р а б и н о в и ч И. М. Основы строительной механики
стержневых систем, Стройиздат, 1956,
г: 67, Раппопорт Р. М, Статика тонкостенных стержней,
составленных из ветвей, Соединенных планками. РПК, вып. IV,
:68. Ржа ниц ын А, Р. Теория составных стержней строи-
тельных конструкций. Стройиздат, 1948,
$ГР.жанииыи А. Р. Расчет тонкостенных стержней
стуцерчатр-переменного сечения. ИТС, вып. V, 1951.
ЛТ. Ропщкпй С, А, Расчет рам. Машгиз, 1948.
71,	Т- у б и н и н М. В. Руководство к практическим заня-
тиям по •.'опротивлению материалов. Росвузиздат, 1963.
72,	Сегаль А. И. Высотные соор^-жения. Расчет на прич-
нссть, ж--сткость и устойчивость, Стройиздат, 1949.
/3.	Сегаль А. И. Прочность и устойчивость судовых по-
ре	Речной транспорт», 1955.
74.	С XI и р н о в А, Ф. и др. Сопротивление материалов.
МПС, 1961, 1969,
75.	С и м и я с к и й К. IC Неразрезные балки, изд. КПП
!№,:
76.	. С н я т к о Н, К- Строительная мохапикщ «Высшая шко-
ла»,Л 966.
77.	Снитко Н. К’ Расчет рамных сооружений итеоацион-
ньшй методами. Стройиздат, 1962,
ЛИТЕРАТУРА
321
78.	С ii и г к v И. К. 1 Шклтешк’ методы риеосто статя-
5 г I	I 1	I	I
79.	С о й о v л ь м о н С. М., Т р о г у я М. И. Прядоры рас-
/ распределения можиД!. Строй-
лжи, 05.
Ж5 Согис П. М. Статически несщредолямые системы,
СОжнлж, Киев. 1968.
Я]. Сотне ГС М,о Хак ало _6. Л. Расчет неразрезных
и перекрестных балок. Стройиздат УССР, Ж
02. Т и м о ш о н к о С. П. Сопротивление материалов, ч„ 1
и И !	1 1 -
83.	Т и м о 1и с н к о С. П. История науки о сопротивлении
материалов < краткими сведениями пз теории упругости и тео-
рии Т '	I	I 1	। Г, ’
84-	У м а я ск ай А« А. Схемы инженерных сооружений.
Изд. КГЖ ШХ
85.	У м г г: с к я й А. А. О редуцировании площадей при
вычислении моментов инерции. СМРС, М 1, 1959,
86. У м а в у к и 5 А. А. Специальный курс строительной
механжн, к. J — сБальш	т да упру-
гом огновйц'Щ!. Решение уравнений. Справочные таблицы*.
Стройнздш, ИИ5.
да;, ИШ
89. Ума
из дат, Ж
с к н й А. А. Специальный курс строительной
И -- кМноглщшпетные балки на упругих опорах.
р .
Наплавные мосты. Траисжелдориз-
й
А,
я с к и
й
А.
А.
Пространственные системы!. Строй-
й
Об&р&шш 196L
81. У м а иск и
и св А. И. Курс
Строительная механика самолета.
л А. А», Вольмйр А. (А, Кода-
сопротивлеияя матщжалащ ч. I и П. Акщ
92. У маис к и й А. А., К у т v к о з Б. FL Распет нераз-
резных нжоош мостов. РНК, тьш. Ш, 1955,
йЗ. Фссдосьей В, И, Сопротивление материалов, «Нау-
ках-, 1967.
УК Фщ?,чосьев В. И. Избранные задачи и вопросы по
95.	Филин А, ГЕ Элементы теории арок. ЛИИПС, ЖЗ,
96.	Ф и л и н А. ГК, Соколова А. С. Строительная ме-
каннка корабля, ч, I, «Речной тргшепорт», 1957.
97.	Современные методы расчета слож-чьис статически не-
с	дней Л. ГК Филина» СУдиром-
гпз. 1961.
'Ж Ф илоя ен ко - Бор о д и ч М. М. Основы теории ра-
боты упругих сил в плогкнх снетемах. Техиздат, изд. 2-е, 1932.
99.	Ф и л о н енко- Бор о д it ч М. М. Некоторые прибли-
женные теории упругого осшзвания.. «Ученые записки .МГУ»,
вып. 46, 19ДХ
ИЮ, Ф и л о н е и к о - Б о р о д и ч М. М., П з ю м о в ,С. М.,
Олисов Б„ А, н др. Курс сопротивлении материалов йод
общей редакцией Фшоненто-Бородяча М. М. ТехгеореГйз-
лаг, ч„ I я П, 1056,
УЛ. X а я с и Кейитн. Теория расчета балки на упругом
основании в применении к фундаменгостроенню. Гостехиздат,
W3X
102.	Шггяя П. П. Расчет многоярусных рам способом
последовательного еопряжонин. Стройиздат, 1954,
Ш. Ш а г и и IL П. Расчет сборных каркасно-панельных
зданий. Стройиздат, 1959.
1\)4. Система автоматизации расчетов стержневых конструк-
ций (СМ-о). Отраслевой фонд алгоритмов и программ по строи-
тельству ГОФАПК вып. 1-99. М., Гнпрютне, 1969.
105.	Инструкция к системе автомагазации расчетов стержне-
вых конструкций (СМ-5), (ОФАП), аш. 1-98. М., Гилротнс, 1969.
106.	Программа автоматизации расчетов стержневых конст-
рукций для ЭБМ «Минск-22» (СМ-5), Дополнение Ат i (ОФАП),
1уыл. 1-122. М, Гипро1-ис, 1У/|.
107.	Система автоматизации расчетов стержневых конструк»
цйй для ЭВМ «Мияск-22» (СМ.5), Дополнение К? 2. (Расчет
стержневых систем на динамические воздействия), (ОФАП), выа.
1-151. М., Гнпротис, 1971.
108.	Вывод графической информахпш (програ,мма КОНТУР-2),
(ОФАП), тис V-24, М.„ Гипритис 197А
109.	Инструкция по подготовке неугодных данных для расче-
та плоских и кросгранстщдншх стержиевых систем по программе
МАРСС-Ш5, (СФАП), 1-129. М., Гипроаис, 1971.
НО. Ижтрукция по подтотопке исходных данных для комп-
лексной. работы многоэтажных рам по программе СИДР-12,
(ОФАЛ), шн. I-Ж М., Гяпротнс, 1971.
Ш. Инструкция к цреярамме комплексного расчета плоских
систем методом перемещений для
ЭВМ. «АФшск-22» ЖАРРА-5), (ОФАН), вьш. 1436, М.9 Гипротис,
1У71»
РАЗДЕЛ 6
Ж АТ А И ЦЫ. Ч И С Л tr Ц л Ы Е А £ ГОД Ы
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
6.1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МАТРИЦ
6.1.1. Матрицы и их виды, определители
и миноры
Матрицей А = ||а,3-[|теХганазывается системаэлементов
a;s (в частности, чисел), расположенных в виде прямо-
угольной таблицы из m строк и п столбцов:
2) скалярная матрица (частный случай диагональной)
(a i = ]
а‘] ~~ I 0 i X /
3) единичная матрица (частный случай скалярной)
Д1Й12 «•••*« C1/J
а21Я22 ...... Uirl
amlam2 ' • ' ‘ • am
(6.1)
m и п — размеры матрицы.
Разновидностями прямоугольной матрицы (тХп)
являются матрица-столбец (лг><1), матрица-строка
(1Х«), квадратная матрица («Хп). В последнем случае
п называется порядком матрицы:
Sij — символ Кронекера-,
А =		Й2В апи		; А =		а а а		; Е =		1 1 е 9 1		1

Элементы матрицы-столбца (матрицы-строки) можно
рассматривать в качестве координат конца вектора а=
в линейном «-мерном пространстве. Ниже
будут использованы оба термина: матрица-столбец и
вектор (обозначение а).
Линия, на которой располагаются элементы ян,
Да,.... аж» квадратной матрицы А, называется главной
диагональю [элементы а.ц (г= 1, л) —главными], па-
раллельные ей линии называются кпдиагоналями. [эле-
менты ai}(i, / = 1, .... п; — побочными].
Ча стиые случаи квадратной матрицы:
1) диагональная матрица
f г О I ~
<Ш  , 
I == J I ]
при изображении матриц, имеющих упорядоченное рас-
положение нулевых элементов, последние не показыва-
ются; для диагональной матрицы в дальнейшем будет
также использоваться обозначение
А= ’гд, а2,.., ап] = {а^р
4) кодиагональная (ленточная) матрица (яц=0,
jt—/|>р, Д=1, 2,..., п—1); она содержит 2р ненулевых
кодиагопалей (по р с каждой стороны от главной) и
главную ненулевую диагональ; например, трехдиаго-
нальная (трехчленная) матрица (р=1) имеет вид:
А =
aiiais j
^21^22^23
а№аЗЗаЗС
если вес элементы в пределах каждой диагонали (глав- .
ной диагонали и кодиагоиалей) равны, кодиагональная
матрица называется модулированной:
А =
а b с
babe
с b а b с
с b а b с
6.1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МАТРИЦ
323
5) треугольные матрицы:
(ац—О, i>j), нижняя
i<l):
аиа1ж. .а1п
верхняя
(левая)
(правая} треугольная
треугольная (а^^=0,
«и
£‘21^22
Если |А|=0, матрица А называется особой (вырож-
денной), в противном случае — неособой (невырожден-
ной) .
При транспонировании матрицы определитель ее не
меняется;
А =
; А =
(6.2)
|A'j = |A|.	(6.5)
&ПП
’ °-пп
Матрица ||а,- з 11„хтиазывается транспонированной (по
отношению к исходной А = ||а,-3||тх,,) и обозначается А',
если ее столбцами служат строки А, а строками —
столбцы А:
аиаи... ат1
GiaaS2'- • аыл
а1пагп •  ’amn
fllla12- - • • а1п
а21°22   -  Ozn
О-тААгЫ ' • втп
Матрица-строка
матрицу-столбец, а
а,
при транспонировании переходит в
матрица-столбец — в матрицу-строку:
; а' = II 010.2.. . .ая||.
Если в прямоугольной матрице A(mXn) вычеркнуть
некоторое число строк и столбцов так, чтобы получить
в остатке квадратную матрицу fe-ro порядка, то опреде-
литель последней называется минором k-го порядка
матрицы А. Общее число миноров й-го порядка равно
С С1}, т. е. произведению числа сочетаний из m и п по k.
Рангом г=г(А) матрицы А называется максималь-
ный порядок ее минора, отличного от нуля, ггйДпш
(т, п). Число У = пнп(т, п) — г называется дефектом
матрицы. Ранг нулевой матрицы равен нулю, а де-
фект— наименьшему из ее размеров; ранг неособой
квадратной матрицы равен ее порядку, а дефект — нулю.
Миноры квадратной матрицы, диагональные элемен-
ты которых являются главными элементами
называются главными:
I (2-| 1 £13 j
Aj = aii< Аа =	; - - •; A j =
матрицы,
a:s
Дважды (четное число раз) протранспонированпая
матрица совпадает с исходной (А')'==А.
Матрица, совпадающая со своей транспонирован-
ной (безразличная к перестановке индексов г, /), называ-
ется сияметричной: — и А = А'.
Прямоугольная матрица с нулевыми элементами на-
зывается нулевой:
(6.6)
О =
0......0
О . . . О тМ п
Алгебраическим дополнением Ai3 элемента ац квад-
ратной матрицы А = ||0и|| называется взятый со знаком
(—1)J+’ минор элемента а13-, Порядок алгебраического
дополнения на единицу меньше порядка матрицы;
Если в прямоугольной матрице А (6.1), размерами
тХ», пол каждым элементом понимать также некото-
рую матрицу (называемую подматриц,ей} A,j размерами
т,- Xnj (Smi==m,Sni = п), то такая матрица называется
клеточной, или квазиматрицей:
Ан   • Ащ
д7 = (-1)г'+/
aiv	el,/—I	“1,/+!••	“1л
а1~1, г		1й1-•	
Д-Н. 1-		Л+1.Н-.1	aipi,n
° Л'  •	an,j-l	an,i+i	а пп
Матрица, составленная из алгебраических дополне-
ний, называется союзной (взаимной):
а элементы ее — квазизлементами- (подматрицами). По-
следние образуют квазистроки размером шС'Ап и ква-
зистолбцы туртр Диагональные, ко диагональные и тре-
угольные матрицы называются в этом случае квазидиа-
гональными, квазикодиагональными и квазитреуголь-
НЫМ1.
Лц. . . Ат
А =
(6.7)
. « Ann
При выполнении операции транспонирования над
квазиматрицами транспонированию
каждый квазиэлемент:
Ап..... Ар
А=
А'=
Aki • • • Аы
4 -
Ап .
подлежит
• • Akl
• • Аы |
также
(6.3)
У симметричных квазиматриц А;--=А;-;-в частном
случае могут быть симметричны и сами квазиэ.тсмелты:
Ац ~Ац.
Квадратной матрице А отвечает определитель (де-
терминант) 1А|—число, найденное по определенному
закону из элементов матрицы А:
Сю. . ° » = апп
6.1.2. Алгебраические операции над
матрицами
Две матрицы одинаковых размеров А=||а^|[тХге и
B = ||5i3|| тхл называются равными, если
ац = 6//, 1=1..., т;	я. (6.8)
Алгебраической суммой двух матриц одинаковых
размеров А=||«ы11тХл и В = Ры11т.хя называется матри-
ца тех же размеров С= ||щjl|mXn,если элементы ее вы-
числяются по формуле
Cii = ар + bij, (i ~ 1  • , rn; j = 1,..., и). (6.9)
Сложение матриц обладает следующими свойствами:
А + В = В + А; (А 4- В) 4- С = А.-)- (В + С);
А + О = А.	(6.10)
324
РАЗДЕЛ ft, МАТРИЦЫ. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ строительной механики
Умножение матрицы на скаляр: Ъ—-аЛ определяется
условием
bij == аац, li — I, ... , in: j = 1., ... , п), (6. II)
т. е. при умножении матрицы на скаляр каждый элемент
ее умножается на этот скаляр.
Справедливы следующие свойства умножения матри-
цу! на скаляр:
<а ф $) А== аА 1-фА,;
а (А -ф В) = мА -фаВ;	(6.12)
(сер) А — a (fiA) = В (мА).
Умножение прямоугольных матриц: С.,,,, —
=Атр ор.г, если
р
сц =. ж a[kbk/,	т:	л), (6.13)
/г~"1
т. е. элемент Сц матрицы С получается в результате пе-
ремножения с последующим сложением элементов г-й
строки матрицы А и элементов /-го столбца матрицы В.
Если обозначить через а, строки матрицы А, а че-
рез Ь;—столбцы матрицы В, то формула (6.13) при-
нимает вид:
г = 1,.., ,т:	i=l,. .. ,п
Из (6.13) и (о.14) следует, что умножать можно
лишь соответственные матрицы, т. е. такие, у которых
число столбцов первого сомножителя равно числу строк
второго.
Умножение матриц подчиняется следующим законам:
a (Mi) ~ (сгА) В = А (аВ);
(А + В) С = АС ф- ВС;	(6.15)
С(Аф-В) = СА 1-СВ.
Если имеют смысл произведения АВ п (АВ) D, то
имеют смысл и произведения BD и A(BD), В этом слу-
чае справедливо (AB)D = A(ED).
Квадратную матрицу можно возводить в степень:
А*—АА...А, при этом принимается, что А°==Е.
„ ft та»
Произведение двух матриц может равняться нуле-
вой матрице, даже если ни одна из сомножителей не ра-
вен нулю. Например,
|МИ° .° °IU?x3.
iX-aj 0 || l|b3i Хе Ха ||
В этом проявляется своеобразие алгебры матриц '(по
сравнению <• алгеброй чисел, где а4=0 тогда и только
тогда, когда либо а—О, либо b~G).
Другая особенность алгебры матриц связана с ае-
коммутатианостью умножения. Пусть матрица А имеет
размер тХл> а матрица В — рХу, Согласно (6 S3)
ирризведеняе АВ имеет смысл при условии р — п, а про-
изведение ВД— при услоаии р — гп. Оба равенства не-
зависимы,. И' Ез справедливости одного из них не сле-
дует'справедливость другого. Даже если р — п и у—-лч,
т. е, имеют; смысл оба произведения АВ и ВА, никак
не следует их равенство. Например,
'Н
т. е. а'Ь есть матрица первого порядка — скаляр (цроиз-
а.
введение a'b= X называется скалярным произволе*
иием векторов а Ь), в то время как Ьа' —- квадратная
матрица порядка п. Выражение АВ—ВА называется
коммутатором
Существует большой класс коммутирующих (перги
станоёочных} магриш для которых АВ-БА. Необходи-
мьлм, хотя и iiv достаточным условием коммутации яв-
ляется равенство гч-^п — p — q. Степени матрицы всегда
коммутируют:	AZA* —Afe+/. Полагая Л==1, /==0,
получим" АЕ «£:&=== А Таким образом, единичная матри-
ца Е в алгебре матриц аналогична единице в алгебре
чисел.
Транспоннрозание произведения матриц обладает
следующим свойством;
/г	V &
I Па,- j =Пл;_т+1,	(6.16)
V=>1	J	<-1
в частности (АВ)'=В'А',
Определитель произведения квадратных матриц ра-
вен произведению определителей сомножителей:
'=	г'
П.А/ =Ц|А11,	(6.174
ц=1	(=1
Ниже широко используются некоторые частные слу-
чаи перемножения матриц:
Ъ
. а1а
I) АВ =
3) АВ =
У
2) ВА =
Пощ - - -
Диагональные матршш
являются коммутирующими;

4) а'В = || гл
а'Ь = || аг, . , а„ ||
=, V
П I
S bkn
<Н *к ;
3 ak bki  ••
6.1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МАТРИЦ
325
<‘»1
Отсюда следует, что сданему линейных алгебраиче-
ских уравнений i	можно записать
я=т
в матричной символике:
Ах = ар	(Б. 18)
или и развернутом виде
(6.20)
6.1.3. Обратная матраца Ортогональная
матрица
Матрица А-’ называется обратной (по отношению
К А), если
АА””1 = А^1 А = Е.	(6.21)
Гели рассматривать элементы матрицы-столбца как
компоненты вектора в «-мерном пространстве, то лю-
бая матрица А осуществляет линейное преобразование
вектора х в вектор у: у=Ах Поэтому обратная матри-
ца А~* осуществляет обратнее преобразование: Д-'у=
=А-!Ах--=Ех=х, что и объясняет происхождение назва-
ния для матрицы А-*,
Обратная матрица для данной матрицы А едииствен-
яа. Элементы обратной матрицы могут быть представле-
ны в виде:
| -4 is jl'lL
п A j ‘	‘ I А| jj
где А;/—алгебраические дополнения элементов a(j,
т, е. элементы союзной матрицы А (6.7).
Однако на практике обращение матрицы А (вычис-
ление А-!) не выполняется по приведенной формуле
(си. п. 6.2.3),
Из (6,22) следует, что вырожденные (особые) мат-
рицы (] А) —0) не имеют обратных.
Обратные матрицы широко используются в практи-
ческих вычислениях, например, при решении систем
уравнений:
Ах — ар: х == А-1 ар.
матриц обладает следующими свойст-
вами:
(А^ 7 = (А')-1; |А™!| = \! | А],
: j _ । А называется ортогенмржж, если
ДА=АА'=Е.	(6.24)
Таким образом, для ортогональных матриц справед-
ливо равенстве А-* = А'.
w матрица поворот? осей координат, ши-
в строительной механике, валяется
су
Особый интерес представляют симметричные ортого-
нальные матрицы Они совпадают со своей обратной
матрш
I,	а.
326
РАЗДЕЛ 6. МАТРИЦЫ. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Определитель ортогональной матрицы называется
ортогональным. Так как операция транспонирования не
изменяет значения определителя, то j А'!|А| = ] А|2 =
= |Е|=1. Следовательно, jAi = ±1, т. е. определитель
ортогональной матрицы равен по модулю единице.
6 1.4. Норма матрицы
Неотрицательное вещественное число ||А|| называется
нормой матрицы А, если оно удовлетворяет следующим
четырем условиям:
Ъ l|A||SsO, ||А}| =0 тогда и только тогда, когда А-=0;
2) П<хАИ= |ct| ||А||, где а — любое комплексное число;
прямыми черточками обозначен модуль числа а;
3'i 1| A-f-B|[sC [[АЦ-А ||В||— неравенство треугольника;
4) !!АВ||С||А1|||В|].
Из условья 2 следует, что |—А|| = ||А||, из условий 2
и 3
j II А ||-II ВЦ | < || А - ВЦ < 3 А|| 4-||В|[.
Обычно используются следующие три нормы матри-
цы А;
[I A ||j = max S I a;J |;
|l A |lj, = max S I о., |;	(6.25)
1 I
IIA Sm	’
Последняя называется евклидовой нормой.
Для вектора-столбца х'— ||xi...xn|| эти нормы имеют
соответственно следующие значения:
|| х ||3 = mas | х. |;
|| x ||,, = 5 |	;
i
11МШ = ~|/S Ц ft	(6-26)
Нетрудно проверить, что все приведенные нормы
удовлетворяю? условиям 1 —4.
Число |х| =|^/Д | Ay]2 называется длиной или моду-
лем. вектора х. Таким образом, l|x[|in=|x|, т. е. норма
вектора согласована с его длиной.
6,1.5. Представление квадратной
матрицы в виде произведения
двух треугольных
Всякую квадратную матрицу А, если все ее главные
миноры и определитель отличны от нуля:
4 = ац А 0; А2 = I 011 вв А 0; ..Лл = , А | =
I Й21 в2« I
Й11 • • « а1п I
=- « И АО,	(6.27)
|
можно представить в виде произведения двух треуголь-
ных матриц нижней и верхней формы;
А = СВ	(6.28)
или
<7ц .	= * ^1.п	тощ;	сп	1| й	0	Пи  « • ь1Г1	(6.29)
= По	а □ ипп правил	/ ПС	а « • &nn J ремножения м	bm атриц az =сГ	В,. Это да-
ет п2	уравнений		п (п + 1) для вычисления	1 неизвестных		
элементов тщ (г 5s/) и такого же числа элементов
б.; (г<А/)- Таким образом, разложение (6.29) выполня-
ется с точностью до неопрелеленных множителей.
С целью получения однозначного разложения обычно
принимается либо сц~...~спп — 1, либо &ц = ... — bnn = 1.
Первый вариант разложения:
А = СА
2 и
4ц flia • • • alrl j
4". • ••S'
(6-30)

где
где
flV. 4
cii -	’ и > i); bn =	< Д <6-31)
Второй вариант разложения А — CgBg —				
Й11		. <41	«11	
«! ви а&		1 .		,	(6.32)
«Ы аН2  •	(п—1) " апп		1	
a; r
Cli=^, (i > j); b^ ^}, 4</M6.33)
il
Если матрица А симметричная, применяется третий
вариант разложения:
,а = в; в3 =	Кац " «И „(1) \	 т, 1	 . ,	’ ’ ' Г	пп 1 °М }/	1
fi.I. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МАТРИЦ
327
(6.34)
где
С«-П
t>ii = —	, (А/	1. • -•, п; i < j). (6.35)
)/«»->
Хотя последний способ и требует вычисления всего
лишь одной матрицы В3, применение его неэффективно
в силу необходимости извлечения п квадратных кор-
ней [11].
Меньший объем вычислений дает первый вариант
разложения (6.30), принимающий для симметричной
матрицы А виц;
Следовательно, диагональные элементы 13 равны
отношению двух последовательных главных миноров &i
и Ад-] матрицы А, если положить До= I:
a!j"i5 =	, 1=1,..., п. (6.39)
Из (6.39) и (6.37) следует необходимость условий
(6.27) для возможности разложения квадратной матри-
цы в произведение двух треугольных.
6.1.6. Собственные значения и собственные
векторы квадратной матрицы
Пусть матрица А осуществляет линейное преобра-
зование вектора х в вектор у: у = Ах, Выберем из все-
возможных линейных преобразований такое, при кото-
ром вектор х переходит в колинеарный (параллельный)
вектор, т. е. растягивается (сжимается) в X раз: у = Хх,
Уравнение, определяющее это преобразование, имеет
вид:
Ах = Хх.
Это однородное уравнение:
(А — ZE) х =0.
(6.40)
(6.41 )
Условие нетривиального решения его (см. п. 6.2,1) при-
водит к так называемому характеристическому урав-
нению
] А — ХЕ | = 0
или в развернутом виде
а31 — «*' - • • • а1п 1
........... Ь= 0.
ат ...... апп 7, (
(6.36)
(6.42 )
(6.43)
Раскрывая в уравнении (6.43) определитель, получим
алгебраическое уравнение n-й степени относительно А:
Ф (А) = 1- 1Г [ЛА - ЛА~3 +...+
+ (-Пиад = 0.	(6.44)
Элементы матриц всех четырех разложений (6.30) —
(G.36) находят по формулам:
Коэффициент Ъь (6 = 1,я) есть сумма всех диаго-
нальных минорен й-го порядка матрицы А:

а
(*—1).
%’> «   • % ik
,./а—1)
aik
———— а

(G.37)
°lkll • ’ •  alklk
г, / — 2, п.
Разложение (6.28) позволяет эффективно вычислять
значения ипределителей:
1А1==1С!1В| = П а!Гп •
t=i
(6.38)
Замечание. Полагая в (6.38) п~1 и n — i—1, най-
дем выражения для главных миноров =
=«п	aliT1}»д<~1 =aii	
в частности 6i=Sam bn — JA|.
i=i
Сумма диагональных элементов матрицы называется
следом: 5рА=2<Эй Поэтому (p = SpA.
/=1
Уравнение (6.44) имеет п корней Kj (]= 1,п). По-
этому его можно записать в виде
Ф(Л) = (— 1)гаЦ (X— Л/) =0-
М
328
РАЗДЕЛ 6. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛЯНЕИНОИ АЛГЕБРЫ
Раскрывая скобки, найдем, что
Тогда
4>i — X П, btl —П Xj.
j-i
Таким образом.
SpA — I Ту;
/То!
! А I = II J.J.
i=l
(6.45)
Кории Aj называются собственными значениями (ха-
рактеристическими числами) матрицы А, а векторы
s^o, удовлетворяющие (6.40) при — собствен-
ными векторами матрицы А. Собственные векторы А в
дальнейшем обозначаются через vj. Совокупность собст-
венных значений }., называется спектром, матрицы.
Для определения вектора vs-(,-= 1,.... п) подставим
собственное значение в систему (6.41) Согласно
(С.42) одно из уравнений является линейной комбина-
цией остальных, и его нужно исключить, Пусть из систе-
мы (6.41) исключено k-e уравнение. Поделив оставдше-
сй уравнения на Vitj и перенеся й-й столбец в правую
часть, получим систему неоднородных уравнений
(г; — 1)-го порядка-
(А -- А/ E/V; ад,	(6.4G)
где
Сц.уто Аусу а1п
aii~ :.i- -йАто,у-1 аы~ уду.!-• йа—:,п
• • -<3* +-41 4Ь-Н,*+г ’ •я/.'-}-1,л
ГуЩ),)-

(6.W
Будем считать далее, что собственные векторы vj
всегда	«5-т-Ри^
(.обстЕБННБГеПзеоорыдотвечаШхие различным соост- ;
венным значениям, взаимно ортогональны, т. е.	1
в'то	г,/=1...,я; i-ф j,	(С.49)
где б/, — символ Крснекера.	матрица  1
Предположим сначала, что все корни Ац уравнения
(6.44) простые (некратные). Тогда каждому собствен-
ному значению л? (/=1,..,,») отвечает одни собственный
вектор Vj. Составим из векторов v, матрицу V =
= !iV1,..., vj. Она называется фундаментальной (по от-
ношению к А) Еследствие (6.49) это орто:опальная
матрица V-’ = V'.
Объединяя д векторных равенств Avj = Ajv$, (j—l,
п), получим одно матричное: AV = VA, где Л-
= {Aj}p=i —диагональная матрица собственных значе-
ний, называемая матрицей спектра. Полученное матрич-
ное равенство можно переписать в виде:
V~!AV -=51
(6.50)
или с учетом ортогональности матрицы V:
VJAV —А.	(6.51)
Такта образом, матрица А с помощью фундамен-
тальной матрицы V преобразуется к диагональному ви-
ду. Этс преобразование называется ортогональным. Пе-
репишем (6.50) и (0 51) так:
А = VAV"1; А = VAVl	(6.52)
Полученные выражения называются спектральным
разложением матрицы А,
Обобщением ортогонального преобразования (6.51)
является преобразование подобия
й/МН-1 ' ’ аи.п
(6.47)
Решив систему (6.-16), найдем вектор vj. Тогда иско-
вый собственаьш вектор vj представляется в виде:
А "67! ’«.-CH-,,,j'
Таким образом, собственные векторы вычисляются с
точностью до постоянного множителя (здесь Оху). Для
устранения неопределенности в качестве этого множи-
теля обычно прими,!ается множитель, нормирующий
длину вектора (ем. 6.1.3) к единице, г, е.
п
Vk/ J W Рр* — ) v(-1.
b^-s^’as,
(6.53)
где S — любая неособая матрица. Матрицы В я А, свя-
занные соотношением (6,53), называются подобными:
В~А.
Отметим следующие свойства преобразования по-
добия:
S"4 (А -а В) s = S"”1 AS A S^’BS;
S~' (АВ) S = (S~‘AS) 1S“!BS);	(6.54)
S-’A-'S = (S“!AS)j\
Обобщая последние два свойства, запишем для лю-
бого целого положи тельного или отрицательного числа й
S^A' S = фЩДЗ)4 .	(6.55)
Подобные матрицы имеют одинаковые характеристи-
ческие уравнения:
| В — А.Е I = I S^'AS — AS"4 ES I = I S""’(A - AE) S j =
= ]54 (A— XE||Sj = J A — AE1.
Поэтому у подобных матриц одинаковы одноимен-
ные собственные значения
Р (В) = А/ (А), /=Н...,Я.	(6.56)
6.1, НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МАТРИЦ
329
а также следы и определители
Sp В = Sp А; |В|=|А|.	(6.57)
Последние два равенства следуют из подстановки
(6.56) в (6 45). Сопоставляя (6.33), (6.55) и (6.56), на-
ходим, что
(А*) =	(А), / =	(6.58)
Установим связь между собственными векторами по-
добных матриц. Пусть Ж и v,—собственное значение
и соответствующий ему собственный вектор матрицы А:
Сделаем в этом равенстве линейное преобра-
зование Vj = Siij, Тогда ASii3=XjSuy, откуда S^*ASi(j==
= XjU3-. Таким образом, собственный вектор подобной
матрицы В = 5~!А8 равен u^S^’vj, (/= 1,..., и),
В теория матриц доказывается теорема Гамильто-
на.— Кем, сстласно которой всякая матрица удовлет-
воряет своему характеристическому уравнению (6.44):
<р (А) = А" - Ь. Аи—1 + ... + (— If b,f. = 0. (6.59)
Из згой теоремы, в частности, следует, что матрица
А" является линейной комбинацией более низких сте-
пеней А. Соотношение (6.59) можно использовать для
вычисления обратной матрицы А~‘:
/_
д =	ф'2 1 _ да - 4-  • - 4
+ (-з)я'~1 V-iE]-	(6,60)
Таким образом, спектральное разложение (6 52)
справедливо как в случае простых собственных значе-
ний, так и а случае кратных, но при условии, что им
отвечают простые, элементарные делители.
Матрицы, для которых справедливо спектральное
разложение (6.52), называются матрицами простой
структуры. К ним относятся, в частности, вещественные
симметричные матрицы,
В строительной механике линейно-деформируемых
систем матрицы перемещений и реакций являются сим-
метричными вследствие теорем взаимности. Отметим
следующие спектральные свойства вещественных сим-
метричных матриц:
1) все собственные значения вещественные;
2) собственные векторы, отвечающие различным соб-
ствениым значениям, взаимно ортогональны;
•3) каждому собственному значению соответствует
столько линейно независимых собственных векторов, ка-
кова его кратность.
В задачах строительной механики встречаются мат-
рицы, для которых известны били могут быть найдены)
явные выражения для собственных значений п собствен-
ных векторов [12, 21]. Например, матрица реакций для
замкнутой неразрезной балки на п равноотстоящих опо-
рах имеет вид:
А
-3j ай аг
4 ао Ат
(6.64)
Замечание При приведении матрицы А к диаго-
нальному виду А посредством ортогонального преобра-
зования (6.51) предполагалось, что все собственные
в значения 4 матрицы А простые. АччтьА
£»Д№*<уМ1усть теперь собственное значение ?.*, (к = 1, 2, ...,п)
имеет кратность o.j и ему соответствует еь (Жаь) соб-
ственных векторов. В теории матриц доказывается, что
в этом случае матрица А посредством преобразования
подобия приводится к квазидиагональяому виду
мольной форме Жордана):
/17
Миётр.где 4 = 4 —— ; 4 =
ее пролет.
Спектральное
но [12]:
£7
-—; Е1 — жесткость панели; ?
разложение матрицы А (6.64) извест-
там.
А = Ue A Ue,
(6.65)
2л
1,
где
(пор-
4	=
	I m	, m < п,	(6.61)
140 ..	. 0	° i	
14 ••	. 0	0	
0 1 ..	. 0	0 1	(6.62)
0 0	1	4 1 ер	
ии = и,
( 16.66)
При этом характеристическое уравнение (6.44) пред-
ставляется в виде:
m
ф (л) j J ЛЕ I Ь 1 )п П, (X k 0;
й—1
m
X 4 = П.
k=l
(6.63)
1Ц = cos ij —
п
6.1.7. Квадро ” я форма.
квадратичных форм
Пучок
Квадратичной формой от п переменных щ..,,, ха на-
зывается однородный полипом второй степени:
I (х) = аи х~ + ... 4'4 п 4 хп +
4	4
п
4 а х х, 4 • • • 4а -4, = -S д.,х.х,	(6.67)
1 41 п 1 1	1 •ш п . ij i j '	'
I, i=i.
4
4
п
п
Множители (?.—K:t)sk, (k-=l, .... m) называются
элементарными де жителями матрицы А.
Если все элементарные делители простые, матрица
Жордана J совпадает с матрицей спектра Л—{4}y4j,
причем Ж не обязательно простые. Кратные собствен-
ные значения выписываются в матрице спектра столько
раз, какова их кратность.
или в маличной форме [(см. 6.12)
41 а1и
-= х'Ах,
причем aij = alt, т. е, матрица А — симметричная.
330
РАЗДЕЛ 6. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Таким образом, каждая квадратичная форма опреде-
ляет симметричную матрицу и обратно.
Определитель |А| называется дискриминантом ква-
дратичной формы.
Пусть матрица В осуществляет линейное преобразо-
вание
х — By.
(6.69)
Тогда
f (х) = х'Ах = у'В'АВу = у' Су = д (у),	(6.70)
где
С — В'АВ.	(6.71)
Матрица С — симметричная: С' — В'А'(В')' — В'АВ =
— С. Матрицы А и С, связанные соотношением (6.71),
называются конгруэнтными, они имеют одинаковые ранги.
В дальнейшем, если это не оговорено, будем считать
г— п,
Из всевозможных конгруэнтных преобразований
квадратичной формы наибольший интерес, представляет
преобразование к каноническому виду (к сумме квад-
ратов):
п
g(y)= У'Су = S с. у],
/=1
(6.72)
т. е. такое, при котором матрица С является диагональ-
ной С =	. Частным случаем канонического вида
квадратичной формы (6.72) является чистая сумма квад-
ратов:
h (z) — z'Ez = S г|.
г=1
(6.73)
Существует бесконечное множество способов приве-
дения квадратичной формы к каноническому виду. Рас-
смотрим некоторые из них.
1.	Метод Якоби. Воспользуемся разложением сим-
метричной матрицы (6.36):
А =	D-1
Тогда
f (х) == х’ В, D 1 В, х.
Сделаем линейное преобразование:
х = Bf5 Dy.
(6.74)
Квадратичная форма f(x) преобразуется в этом слу-
чае к каноническому виду:
/ (х) = у' D' (Bf7 IK D"-1 Bj Bf1 Dy = у' Dy. (6.75)
В силу (6.39)
Следовательно,
п	п
/«=2 yj=2	(б 7б)
/—=1
Таким образом, суть метода Якоби состоит в приве-
дении матрицы А: квадратичной формы х'Ах к треуголь-
ному виду В) (6:,36). При этом величины диагональных
элементов В, являются коэффициентами при квадратах
переменных у»..., у,.. (см. замечание / в п. 6.2.2).
2.	Метод И. И. Гольденблата [8]. Пусть линейное
преобразование координат квадратичной формы имеет
вид:
ж = Вф3у,	(6.77)
где В3 —- треугольная матрица разложения А=В3ВЯ
(6.34).
Тогда
f(x) = х' Ах = у' (Вф4у ABir’y = у'у. (6.78)
Поскольку объем вычислении при выполнении разло-
жения (6.34) больший, чем при разложении (6.36), этот
метод, в практическом отношении уступает методу
Якоби [11].
3.	Метод ортогонального преобразования, Пусть
спектральное разложение матрицы А имеет вид (6.52).
Воспользуемся линейным преобразованием
х —Vy,	(6.79)
где V — фундаментальная матрица. Тогда
/(х) = х' Ах = у' V'AVy = у' А у =
= S A.yf.	(6.80)
1=1
Таким образом, в этом случае коэффициентами при
квадратах координат являются собственные значения
матрицы А.
По объему вычислений этот метод также уступает
методу Якоби,
А-: Выше'было-сделано предположение, что матрицы
квадратичной формы Невырожденные (г=п). Пусть те»
перь ранг квадратичной формы (ранг матрицы квадра-
тичной формы) г<п. Тогда каноническое представление
квадратичной формы (6.72) следует записать либо в ви-
де g (у) = у'Су=2сг-ур либо в виде (6.72), учитывая при
z=l 1
этом, что часть коэффициентов с,- (число их равно де-
фекту матрицы d=n—г) равна пулю.
В теории квадратичных ферм доказывается теорема,
известная под названием «.закон инерции квадратичной
формы:»: при приведении квадратичной формы к кано-
ническому виду число положительных с и число отрпца-
4~
тельных с квадратов не зависит от способа приведения.
Таким образом, закон инерции определяет два инва-
рианта квадратичной формы: ранг г — с-фс^п и сигна-
-4- —
ТУРУ о-~с—с. Числа с и с называются положительным и
—	.у —
отрицательным индексами инерции.
В задачах устойчивости и свободных колебаний ли-
нейных систем с конечным числом степеней свободы
величина с, называемая степенью неустойчивости систе-
мы, играет важную роль [18, 26]. Поэтому определение
отрицательного индекса инерции с является важной за-
дачей в теориях устойчивости и динамики сооружений.
Из (6.80) следует, что с и с равны соответственно
—
числу положительных и отрицательных собственных зна-
чений матрицы квадратичной формы. Однако вычисле-
ние собственных значений (использование ортогонально-
го преобразования квадратичной формы) связано с боль-
шим объемом вычислении (см. п. 6,2.6).
6.2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
331
Из рассмотренных неортогональных преобразований
квадратичной формы к каноническому виду наиболее
эффективен метод Якоби. Из (6.76) следует теорема
Якоби: с равно числу знакопостоянств, а с — числу
б"	—
знакоперемен в ряду Якоби, составленном из последова-
тельности главных миноров матрицы квадратичной фор-
мы До=1, Дь Д2>—j Ли (6.27). Вычисление определителей
требует большого числа операций, поэтому сформулиру-
ем теорему Якоби иначе: положительный с и отрица-
+
тельный с индексы инерции квадратичной формы х'Ах
равны соответственно числу положительных и отрица-
тельных коэффициентов (1=1, ..., п) разложения
матрицы А (6,36):
21?' -........................
Определение коэффициентов требует наимень-
шего объема вычислений, поэтому определение степени
неустойчивости как числа отрицательных коэффициентов
лежит в основе качественных методов теории
устойчивости я свободных колебаний линейных систем.
Квадратичная форма называется положительно оп-
ределенной, если при любых значениях вектора х=До ее
значения положительные, а при x=of(o)=o. При этом
матрица квадратичной формы А также называется по-
ложительно определенной. Аналогично определяются от-
рицательно определенная и знакопеременная квадратич-
ные формы н матрицы.
Па основании закона инерции следует, что необходи-
мым и достаточным условием положительной определен-
ности квадратичной формы является положительность
всех коэффициентов любого ее канонического представ-
ления (6.72). В частности, если все АДА) >о или все
главные миноры и определитель матрицы А положитель-
ны, то квадратичная форма положительно определена.
Последнее условие известно как критерий Сильвестра.
Пучком квадратичных форм называется выражение
вида:
Д (х) — А/3 (х) — х'Ах — Ах'Вх, (6.82)
где А — параметр.
В дальнейшем рассматриваются только регулярные
пучки, т. е. такие, в которых матрица В положительно
определена. Уравнение
|А —. ХВ ) = о	(6.83)
называется хорактеристическим уравнением пучка (обоб-
щенным характеристическим ураемением}, а корпи его
—собственными значениями пучка. Каждому собст-
венному значению Л3 отвечает главный вектор пучка и3,
такой, что
Аи/ = А/ Ви/ или (А — Л/ В) и/ = о, (6.84)
при этом матрица U = ||ub.... ип]| называется главной
матрицей пучка. Поскольку главные векторы и3 опреде-
ляются с точностью до постоянного множителя, удобно
их выбирать так, чтобы uj, Ви? = 6(,. т. е. делать их В-о/ъ
тонорлшрованными. Тогда Li'BU = Е, Из уравнения
(6.84) в этом случае следует:
Д Au, = X, u(. Bu( =	f'.-, (i.j = I,..
t. eU'AU = A =	•
Поэтому линейное преобразование
x = Uz	(6.85)
осуществляет приведение регулярного пучка к канониче-
скому виду, т. е. одновременное приведение к канони-
ческому виду обеих квадратичных форм:
х'Ах — 2.x' Вх = z'LJ'AUz — Az' U'BUz =
п	п
= z'?iz — Az'z = SA z~, — A S z;.
‘ ь	I
(6.8S)
При этом положительно определенная форма х'Вх
приводится к чистой сумме квадратов,
Чтобы построить матрицу U, представим положи-
тельно определенную матриц/ В в виде В —VMV', где
М = j—матрица спектра; V — фундаментальная
матрица, Воспользуемся линейным преобразованием
у, тогда х'Ах—Ах'Вх==у'Су-—Ау'у, где С==
=	—симметричная матрица. Предста-
вим матрицу С в виде C=WAW'. Здесь Л= {AjJ/L'i —
матрица спектра; W — фундаментальная матрица. По-
ложим теперь y=Wz, тогда х'Ах—Ах'Вх = z'Az—Az'z,
Таким образом, x=VM—Wz. Используя
(6.83), получим:
и = УЛГ"1Лш.	(6.87)
За меч айне 1, Если матрица В не положитель-
но определена, то, очевидно, не существует матрица
= [ (М/)—} /=1  Поэтому к каноническому виду
могут быть приведены только регулярные пучки.
Пусть собственные значения пучка занумерованы в
порядке строгого неубывания Ai=giA2sg...sg:2.n. Тогда
х'Ах	z'Az
х'Вх	z'z
П + а; +-... 4- лд z~
И + г2 +  • • + zn
(6.88)
Для получения неравенств (6.88) достаточно пред-
х'Ах
ставить------как кооодинату центра и масс, располо-
х'Вх
женных на расстояниях А, от начала координат и име-
ющих веса г) (i = l,я) 
х/ Ах .	х'Ах
А, = min —------- и Л„ — шах —уд— достигаются толъ-
1	х'Вх	х'Вх
ко на главных векторах пучка, соответствующих 2Ч и Ап.
х'Ах
Далее, Aj = min---— при условии х'Ви, =x'Buz-.=0
х Вх
х'Ах
и Л/ = тах —щ— при x'Bui+1=... = x Ви71. =0.
х Вх
Можно показать [5], что из неравенств;
следует
х'Ах	А х'Ах х'Ах
	
х'Ех	х'Вх х'Вх
х'Ах	х'Ах х'Ах
"Xi-	
	Х'ВХ	А
х'Вх	х'Вх
ъ.	А
"Я < щ <	лг, / = 1,...,,
(6.89)
(6.90)
332
 РАЗДЕЛ 6. МАТРИЦЫ. ЧИСЛЕНН-о f < '7Г'< 'ТО	' - 1	' Г
6.2.	НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ
ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
6,2.1.	Общие вепросы решения систем
линейных алгебраических уравнений
Дана система линейных алгебраических уравнений:
си *1 + - - - "Ь ат хп —
Uni 4“ • • • ~Ь атт хп апр
(6.01)
или сокращенно
Ах = ар.	(6.92)
Если все свободные члены равны нулю (ар = 0), си-
стема называется однородной, в противном случае — не-
однородной.
Если существуют такие, значения, для неизвестных
xi=x’;j (г=1..,п), которые удовлетворяют веем урав-
нениям системы (6.91), то она совместна (в противном
случае — несовместна), при этом матрица-столбец х®
называется решением, а компоненты ее хг* — корнями
системы (6.91).
Две системы линейных алгебраических уравнений на-
зываются эквивалентными (равносильными), если каж-
дое решение первой системы является решением второй,
и обратно.
Если решение х = х® совместной системы (6.92) един-
ственно, она называется определенной, если же число ре-
шений бесконечно, ее называют неопределенной.
Матрица
Ао =113!,..., щ, ,аД =
аП- • • aln а1р :
'ml ’ 1 Gnn ^lip :
(6.93)
называется расширенной.
Согласно теореме Кронекера-Клыелли, необходимым
и достаточным условием совместности неоднородной
системы m уравнений с п неизвестными (системы ИХ»)
является равенство рангов матрицы коэффициентов А
и расширенной матрицы Ао: г& = гр —г. При этом, если
г=п, система имеет единственное решение; если г<я,
система имеет бесконечное множество [
п—г неизвестным можно давать произвольные значения,
тогда оставшиеся г неизвестных найдутся по ним одно-
значно.
Если пг—-п п |AjA=0, единственное решение системы
может быть определено по формуле Крамера:
3 I °1Г  - A,i-1 %su-H   -Ал
Х/==ЖГ
г/ ..	, а ап .а
i fZl	—1 Пр ПР -)-с	р)
I =
’Тто касается однородных систем
Ческах уравнений Ах •== о, то они
скольку всегда существует тривиаль
ние х—0.
Необходимым и достаточным условием существова-
ния нетривиального решения однородной системы ты а
является неравенство г<п, откуда следует обычно ис-
пользуемое для сжтем пхп условие нетривиального ре-
шения
j A j -= 0.	(6.94)
Достаточным условием существования нетривиаль-
ного решения системы тХп является неравенство т<.п.
Практические (численные) методы решения систем
линейных алгебраических уравнений являются одним из
центральных объектов линейной алгебры.
Все численные методы решения систем линейных ал-
гебраических уравнений можно разделить па два клас-
са: прямые («точные») и приближенные (итерационные,
релаксационные, вероятностные}.
В прямых методах посредством конечного числа опе-
раций, зависящего от порядка системы уравнений, по
строго определенной схеме в принципе могут быть най-
дены точные значения корней. Однако практически ре-
шение оказывается приближенным вследствие погреш-
ностей счета.
В итерационных методах находятся приближенные
значения корней системы, но с любой заданной степенью
точности. Специфической особенностью итерационных
методов являются вопросы сходимости и скорости схо-
димости решения.
Имеется большое число методов (например, метод
минимальных итераций, метод сопряженных градиентов
и т. д.), сочетающих свойства методов обоих классов.
Как и в итерационных методах, здесь решение получа-
:инимум некоторого функционала, однако ите-
рации обрываются не позднее n-го шага {4, 33].
Ниже рассматриваются некоторые простейшие чис-
ленные методы решения систем линейных алгебраиче-
ских уравнений и обращения матриц. Весьма полное
освещение этих вопросов и богатую библиографию мож-
но найти [3, 4, 30, 33],
6.2.2.	Метод исключен ай
Идея метода состоят в последовательном исключе-
нии неизвестных из уравнений системы с целью получе-
ния эквивалентной системы треугольного (схема Гаус-
са) или диагонального (схема Жордана, схема опти-
мального исключения [4, 331) вида, решение которой не
вызывает затруднений.
Процесс преобразования исходной системы в эквива-
лентную называется прямым ходом, а решение новой
системы — обратным ходом метода исключений.
Пусть дата система линейных алгебраических урав-
(6.91).	Решение ее методом исключений может
быть выполнено по разным вычислительным схемам.
Схема Гаусса. Прямой ход схемы Гаусса обеспечи-
вает построение эквивалентной системы верхней тре-
угольной формы. С этой целью каждое неизвестное
X,- (г = 1,.... п) исключается из всех уравнений системы
(6.91), начиная с 1)-го.
Гак, на первом шаге неизвестное х-„ найденное из
первого уравнения, исключается из всех последующих.
Это приводит к системе:
ап -ri + Щ -Г .. -•]- а1/г хп — uIn; j
+й То
1	п?1	пр ’
6.2, НЕКОТОРЫЕ Сх, । ТТ । д пг И’" т ь 1 ГО’ Ч "f	i 1
311	“13	Фз		а, .	fl	и	(	а 14	и	2	1р				Х1
1		 I	a	а	!				
					!	И	-		
				Н	2р	|!			
							
а31	й,( »	аЩ	[1	j! •-т	||	.Ъ	с	Щф				ф
°41	"12		°44		а, дГ.	“х	^.1
С11 = 1 | %	Фе	*13	|	*М			I	/1ф ~ Z2, 1	1л	1'1	! Я
С21	А,— I б.	р>3	2-1		у(?	5	Ую м	X,,
^31	^32	6 зз ~~~s ^зз	*:м		У- =	! ' А	.5р	ф	
'41	"42	АЗ	С44 “ 1		(3) 4^ —• ад ‘		У	i
3	1	?	1 :		—4	i	3		2
	8	3	2		|| 17	1	32		
3	1	6	4		7	А 1 1	0
	3	1	4		1=9	(	29	i	fi
_' 1 ’	1	2	1	i		-“4	j	з	;	-3
3	 и	3	4__~	| 3	|		5У	j V	)	30	2
1	0	i 1 | 4	3		11	18	j	-1 ;
2 3	22	_ 19 88	1	313 | 83	1565	I 88	j	УЗЭ 44	D
i = 1,..., п.
3 а м е ч а н и е 1. Выражение а<2"~л'> или более общее
«гГ , (ksCi — 1) может быть записано как отношение
где
i = 2,.. ,щ i^2,...,n,p.
После последнего (я—1)-го шага исключения
ма уравнений принимает вид:
а1Л + а12ха +• • •+ а1пхп “ а1р'<
4)х3+..,+4пХи = в<г
систе-
минеров:
(6.95)
aW_____L.
Oii

aii
ащ
(6.97)
Коэффициенты а^~^, (i—2,.,.,n;j—2,...,n.p)
деляются по первой из формул (6.37). Коэффициенты
д!)~п называются ведущими, гауссовыми коэффициен-
тами.
Обратный .ход Гаусса [решение системы (6.95)] вы-
полняется по формуле:
опре-
о/i  • -аща-И
п
s=f+l
(6.36)
где Дя — главный минор &-го порядка.
Хотя на практике гауссовы коэффициенты п нс вы-
числяются по формуле (6.97), она представляет опре-
деленный теоретический интерес (см. 6.3.2). Из нее, в
частности, следует, что гауссово преобразование сим-
метричной матрицы А к треугольной форме (6,95) обес-
печивает приведение квадратичной формы х'Ах к кано-
ническому виду пл методу Якоби (см. 6.1,7). Таким об-
разом, схема Гаусса является численным алгоритмом
метода Якоби,
334
РАЗДЕЛ 6, МАТРИЦЫ. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Матричная форма метода исключений. Если матрицу
А системы уравнений Ах = а, представить в виде про-
изведения треугольных матриц А = СВ (6.28), то систе-
ма примет вид: СВх— ар. Обозначив у = Вх, получим
два матричных уравнения
Су = ар
Вх = у
(6.98)
Поскольку каждое уравнение имеет треугольную
форму, последовательное решение их не встречает за-
труднений, при этом первое уравнение (нижняя тре-
угольная форма) решается сверху вниз: yit Уг,.,.,уп, а
второе (верхняя треугольная форма)—снизу вверх:
Ап, Хп — ь Х|.
Разложение А—СВ и решение первой системы Су=
— ар составляет прямой ход, а решение системы Вх —
= у — обратный ход.
В 6.1.5 рассмотрены три варианта разложения А =
= СВ, им соответствуют три вычислительные схемы ме-
тода исключений. Первые две носят название схемы
Гаусса, третья—метод квадратных: корней. По объему
вычислений метод квадратных корней уступает схеме
Гаусса [11], использующей разложение (6.36).
В табл. 6.1 представлена первая вычислительная
схема.
Для проверки правильности вычислений составляет-
ся контрольный столбец свободных членов
п
aip= ha^+aip, i=l,...,n	(6.99)
и определяются соответствующие ему значения ж
Xi (i“l,	п). В качестве контроля прямого и обратно-
го хода используются равенства:
п
у/; х,- ^х} 4- 13	(6.100)
i—i
В 6.1.5 приведены необходимые и достаточные усло-
вия (6,27) возможности разложения А = СВ, Очевидно,
они же являются условиями применимости метода исклю-
чений. Если условия (6.27) выполняются, но один из
главных миноров мал, точность вычислений резко падает.
Поэтому наиболее надежной является схелга Гаусса с
выбором главного элемента, отличающаяся от рассмот-
ренной выше тем, что в качестве ведущего элемента на
каждом шаге исключений (разложения А=СВ) прини-
мается максимальный по модулю (главный) элемент
строки.
Замечание 2, Метод исключений позволяет од-
новременно решать систему уравнений с несколькими
(Г) столбцами свободных членов: АХ — Ар, где
6.2.3.	Схемы обращения матрицы,
использующие разложение ее
на треугольные множители
Первая схема обращения (см. 6.1.5)
Ч (рСВ; А™1 == В"1 С"1.
Если А -ч симметричйая матрица, то
А = в' D~!B; А""1 = B~’D (В~3)'.
(6.101)
(6,102)
Таким образом, обращение квадратной матрицы А
сводится к обращению двух треугольных матриц С и В
[(6.80), (6,32)] или одной треугольной матрицы В (6.36).
Пусть ры — элементы матрицы В-1, а у,,—элемен-
ты матрицы С-1, (г, /= 1,.... п). Они определяются по
следующим формулам:
г > / [Ъ/ = 0; уц = — —— V
Ад —1
/ъ-=/
Ьц
(6.103)
i < j ft'/ =
Выражения (6.103) получены из условий В-’В — Е и
СС“! = Е. Из (6.103) следует, что матрицы В~1 и С-1 яв-
ляются соответственно верхней и нижней треугольной
матрицами.
Вторая схема обращения не требует вычисления
матриц В-1 и С“Ф Она основана иа том, что матрицы
В я в-1 имеют верхнюю треугольную форму, а матри-
цы Си С~! —нижнюю.
Элементы ац матрицы А"1 определяются из систе-
мы уравнений:
ВА~1 = С’”"1
А-> С = В-”1
(6.104)
Если разложение А==СВ было выполнено в виде
(6,30): А=С]ВЬ то из первого уравнения (6.104) опре-
деляются а-ы для 1ыС], гак как е этом случае у,;, извест-
ны: уц:=0 при г</, а уд = 1. Из второго уравнения
(6,.104) находятся ац для Г>], поскольку при l> j Ры=0.
6.2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
335
Если разложение А=СВ выполнено в виде (6.32),
то из первого уравнения (6.104) определяются ац для
1</. а из второго — ац для ijs/.
Б табл. 6.2 представлена схема обращения матрицы
А, соответствующая разложению А по формуле (6.30).
Вычисления a«j необходимо начинать с а!1Я = 1флп.
Если матрица А — симметричная, а^ = иц, что упро-
щает схемы обращения.
Замечание 1. Обратные треугольные матрицы
можно использовать для модификации матричной фор-
мы метода исключений [20]. Решение системы уравнений
(6.98) можно искать в виде у==С-!ащ
Наконец, решение системы уравнений можно полу-
чить путем полного обращения матрицы коэффициентов:
х = А""1 ар.
Эффективность той или иной схемы зависит от фор-
мы исходной системы, вида используемых вычислитель-
ных средств, а также от отношения t/n, где i—-число
столбцов свободных членов, а п— порядок системы.
Замечание 2. Рассмотренные вычислительные
схемы решения систем уравнений и обращения матриц
полностью применимы для клеточных матриц, если все
диагональные квазиэлементы последних являются квад-
ратными клетками. При этом, разумеется, операция де-
ления должна быть заменена операцией умножения на
обратную матрицу. Например, первая формула (6.37)
примет в этом случае вид:
1—1
= д _ У д^-1) (дJrПW д	1)
АЦ Ау п№	\nkk } !iki
Сущность метода простой итерации состоит в постро-
ении последовательности приближенных значений век-
тора х по формуле
xW = Bx(4-’54-bp.) 7=1,2,...	(6.108)
Если последовательность приближений х'А х(3),...,
х<4 — имеет предел s=limS*), то этот предел является
решением системы уравнений (6.105),
Итерационный процесс (6,108) можно ускорить. Оп-
ределение последовательных приближений х(/г) в схеме
ускоренной итерации (методе Зейделя) производится по
формуле
Эти схемы получили название клеточных.
6.2.4.	Итерационные методы решения
систем уравнений
В развернутом виде система (6.109) записывается
так:
Итерационные методы позволяют получить решение
не путем однократного выполнения вычислений в соот-
ветствии с определенным алгоритмом, что харак-
терно для прямых методов, а посредством многократ-
ного последовательного выполнения вычислений по од-
ной и той же схеме.
В теории итерационных методов сложными являются
вопросы сходимости и скорости сходимости итерацион-
ного процесса построения решения. Однако для систем
канонических уравнений методов сил или перемещений
в силу симметрии и положительной определенности мат-
рицы коэффициентов сходимость итерационного процес-
са может быть всегда обеспечена.
-ЦлГ	<ф...	
	+ «”	+ hnx^1! +й,„;
	"Г   	+ bSr, х1^' Ч- УЯо;
	S Я !> Я <	
vA) — Й У1-4) .1 h ЩЙ) п	°nlxl	1 °п2 *2	+ 	4- Ь г пр
(6.1 Ш
Схемы простой и ускоренной итерации,
уравнений (6.91) записывается в виде:
Система
Таки»,? образом, сущность ускоренной итерации за-
ключается в использовании k—х приближений
xi!2i при вычислении хрК
или
где
Г
х-i
хп
0 612 •   bin
Ь‘ц о . . . bin
Xl
Xn
’°V |
(6.105)
(5.106)
. n<i	oiin
bu = --— , (i c= /); b,r =	.	(6.107'
au	чц
В качестве нулевого приближения х1°’> в обеих схемах
можно принимать произвольный вектор, включая нуле-
вой. Однако чем точнее будет задан х<°>, тем меньше'по-
требуется последовательных приближений.
Процесс повторяется до тех пор, пока модуль раз-
ности одноименных компонент двух ' последовательных
приближений не окажется меньйе наперед заданного
малого числа е’>0.
Обе итерационные схемы являются салю исправляю-
щимися: любая ошибка, допущенная в ходе вычислений,
не влияет на конечный результат, а лишь отражается
на числе итераций. Эго следует из того, что вектор х<г),
при вычислении которого дойфщеда ошибка, всегда мо-
жно рассматривать как начальное приближение х<°).

bnl bn% • » • 0
x — Bx ,
336
РАЗДЕЛ 6. МАТРИЦЫ. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕ.
Связь между простой и ускоренной итерациями.
Уравнение (6.109) можно зависать в
— Вг«(к“Ч+Ь,,. Тогда s<s‘>= (Е—В, jВоЫ* *--+-(Е—
—Вг)“Фр, и обозначения (£—Ец) -'B2 — С, (Е—- Вд ~!ЬР ==>
~ср приводят к уравнению
х'^= +СЭ.	(6.112)
Следовательно, итераиия по	для системы
(6.106) равносильна простой итерации для системы
(6.112).
Как правило, сходимость процесса Зайделя выше,
чем ™»™»^оса простой итерации. Однако возможны слу-
чаи, когда процесс простой итерации сходится, а цро-
цсс' v с. . 1 ж итерации расходится.
им и достаточным условием сходимости
проц,.™ .фостой итерации (6.103) является
ИЖ1’ 0-1,Поскольку определение собст-
венных значений матрицы связано с известными вычис-
лительными трудностями (см. 6.2.6), можно показать,
что достаточное условие сходимости процесса простой
итерации имеет вид |Вд<1, где
[ем. 6.1.4, формула (6.25}j матрацы В (6.108). Более то-
го, процесс простой итерации сходится, если модули
диагональных коэффициентов каждой строки (столбца)
системы (6.91) превышают сумму модулей иедиагональ-
иых элементов этой строки (столбца), т. е.
п
\ан\ > S1 а>/\,
ИЛИ
lap j> 2 I а,:/ J, /=1,...,п.
г =4
Процесс Зайделя сходится тогда и только тогда, ког-
да |ХДС)]<1, (/==1,	в), вде С^СЕ—ВП-'Ва [ем.
16,112). Достаточным условием сходимости процесса
Зейделя является условие [1С(|<1. Если матрица А си-
стемы уравнений (6.91) симметричная и положительно
определенная, процесс ускоренной итерации сходится
всегда.
Для улучшения сходимости процесса Зейде.чя урав-
нения в системе (6.111) следуетфасполагать в иорядке
возрастания величии = S pty}> приняв за первое
₽1
уравнение то, в котором эта сумма минимальная. Чтобы
сохранить при этом цикличность По. ж>	. j
одновременно с перестановкой строк в
’)=• с_; вставлять я соответствующие столбца в матри-
цескоэффйпяентов.
Известны теоретические оценки необходимого числа
итераций для получения заранее назиачениой точности
решения. Эти оценки, как правило, дают завышенные
значения [10J.
Приводящая матрица Я. Переход от системы (6.91}
к (6.106); необходимый для построения итерационного
процесса, й общем случае осуществляется с помощью
привадзицей .матрицы Н;
Ах =:ай; НАх = Иар; х — Вх -у Ьр,
где
Ась В=Е —НА; Ьр==Нар.	(6.113)
-Приводящая матрица И назначается так, чтобы обес-
4оино»о процесса. Очевидно,
вдеглвной натрицейоИ;: бияа бы матрица А-1. посколь-
ку в этому: случае; уравнение (6.Ю6) принимало бы вид
Поэтому в качестве матрица И обычно при-
нимает грубые приближения к A ~J, например,
, [ 1 1 1 !
н = —•» —	----) ,	<6.114)
ТОЙ o-ss	arui J
Этот аса матрицы Н как раз п приводит к Форму-
лам (6.107). Существенно, что сели А — симметричная и
положительно определенная матрица, то процесс итера-
ции для системы, приведенной с помощью матрицы И
(6,114) всегда сходится Именно этот случай наблюда-
ется в статике сооружений.
Для каждого нового столби сных членов все
решении необходимо повторить заново. В этом осиов-
< О' ‘
уравнений. Ите-
рг	систем
У 3  ® ‘	. Г';. .’ „"И ТО 1 1 и являющие-
ся приближенными из-за неизбежных погрешностей
счета,
Пусть х(5; — решение системы уравнений (6,91) ка-
ким-либо прямым методом,
вий. Оно принимается за ч; риближение к точно-
му решению х, и вычисляются соответствующие ему
()=a?-• Ах<’>. Точное
решена® определяется как сумма;
Г»
х = Лг-2 х№,	(6.115)
1=1
где- — решение тем же методом .системы уравнений
Процесс итераций обрывается на некотором шаге т,
когда выполняется условие г«т)<е<т, где а — матрица-
столбец, ьсе элементы которой равны единице, а ер>0—
величина ;
Так как во всех	циентоз
А остается	_	: уточнения решения Х'°)
сводится к дополнительным вычислениям, связанным
,	:	' I 1 '<	СТОН	.1
Описанный процесс обычно сходится достаточно
быстро, практически после двух-трех итераций корни си-
стемы удовлетворяют исходным уравнениям с точно-
стью до трех — пяти знаков после запятой. Тем не ме-
нее может сказаться, что на некотором шаге невязки пе-
рестали уменьшаться. В этом случае вычисления необ-
ходимо повторить с удвоенной точностью,
Уточаеиие элементов обрати	, од-
ним из прямых методов найдено приближенное значение
AJ*J обратной матрицы А--1. Тогда невязки нулевого
приближения будут R0=E—ААф1. Уточнение элемен-
тов обратной матрицы выполняется по формуле
А; 1 = A^J, + R;_j = A.-J) [t + Rw j, (6.116)
где
R,_, == Е — ААфЛ .	(6.117)
Процесс уточнения (6,116) быстро сходится, так как
Кг = Е — лАГ! = £ — ААфЁ /Е -г R,_, .) =
Е   ih —'	~
= С=-=С=--' = К?-
«5.2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
337
6.2.5,	Об устойчивости решения систем
линейных алгебраических уравнений
Одной из самых серьезных опасностей, встречающих-
ся при решении систем линейных алгебраических урав-
нений и обращении матриц, является неустойчивость ре-
шения. состоящей ь тем, что при очень малых измене-
ниях коэффицйентов или свободных членов, вычисляемых
во многих случаях достаточно приближенно, происходят
существенные изменения а величинах неизвестных.
Действительно, пусть А и а, истинные значения ко-
эффициентов системы уравнений и свободных членов, а
А+дА и ав+&щ —близкие к ним я фактически исполь-
зс’емые в расчете. Эго означает, чго вместо системы
уравнений Ax~ef будет решена система (А-+-<5АД к —
б К } =* а г "'Г" б я я .
Оценим птрешвосгь решения бх. Раскрывая в по-
следней системе скобки, найдем: (бА)х-г Абх = Йар. От-
куда
сх = — А-1 (ЙА) х + А"1 Одр. 6.118)
Если незначительные ошибки в элементах матрицы А
порождают значительные изменения в элементах об-
ратной матрицы А"1, погрешности решения могут ока-
заться большими. В связи с этим возникает проблема
устойчивости решения системы лииейиых алгебраиче-
ских уравнений.
Матрицы А”', элементы которых существенно изме-
няются при малых изменениях элементов матриц А,
называются неустойчивыми, а исходные матрицы А —•
плохо обусловленными.
Перейдем к нормам (см. 6.1,4), Равенство (6.118)
примет при этом следующий вид:
liM <3A’'iih|fiA|l!l«;l + (!A~i НиЧШ- (6.110)
Гог да	- < !j А-1 д| ЪА 3 -t- !i А~’ ;| —~ ,
11*1	ИМ
В силу исходного уравнения 1)АВ МГ^НМр!). Следо-
нательно,
ПЫ _ ||йа-И| [Iар 1 .	я<%||
ИМ ||ащ| ’ Их Ц	i|aj| ‘
Таким образом,
Величина
р (А1 = П А !! У А—1 1]	(6 12В
называется числом обусловленности, 1<р(А)<оо. Чем
ближе р(А.) к единице, тем лучше обусловленность мат-
рицы.
Отметим некоторые свойства р(А):
I)	р («А) = р (А), р(Е) = 1; 3) р (АВ) < р (А) р (В).
Можно показать, что если матрица А симметричная,
a f|Ail — евклидова норма, то число обусловленноеги
(6.121) принимает вид:
Систему уравнений Ах--=а^ или
22—1303
можно трактовать как разложение вектора ар в евкли-
довом пространстве Е„ в базисе векторов Я|,..., а„, а
качестве которых принимаются столбцы матрицы А.
Тогда числа лу,.... хв будут координатами вектора
в этом базисе; щад з-...+хя.ая = ар.
Очевидно, чем «осоуголмее» система уравнений
[чем больше число обусловленности (6.122) т. е. чем
резче отличаются векторы аь ая от взаимно ортого-
нальных. тем большие погрешности могут возникнуть при
разложении вектора ар в базисе аь..., аэ.
Если система векторов и„ очень косоугольна,
целесообразно отказаться от tex предпосылок, которые
ее породили. В строительной механике это эквивалент-
но переходу к новой основной системе, В связи с этим
особенно желательны сложные статически (кинематиче-
ски) неопределимые основные системы.
6.2.6.	О методах решения проблемы
собственных значении
Определение собственных значений а собственных
векторов матрицы составляет содержание так называе-
мой проблемы, собственных значений. Причем, если соб-
ственные значения матрицы уже найдены, определение
соответствующих им собственных векторов может быть
сведено, например, к решению специальных систем
уравнений (G.46), т. е. представляет более простую за-
дачу.
Численные методы определения собственных значе-
ний и собственных векторов матрицы, так же как и
методы решения систем линейных уравнений, подразде-
ляются на два класса: прямые и итерационные.
Прямые методы включают развертывание характери-
стических определителей IA—АЕ| в полином n-й степе-
ни <р(л) с последующим решением характеристического
уравнения ф(л) =0 (S 44)' каким-либо из известных ме-
тодов, например, методом Лобачевского Греффе с по-
следующим уточнением по схеме Горнера, методами ско-
рейшего спуска и. парабол и т. д. (3, 4, 10, 33].
В итерационных методах собственные значения опре-
деляю:, минуя процедуру развертывания характеристи-
ческого определителя в полином.
Прямые методы наиболее быстродействующие, одна-
ко они обладают существенным недостатком — почти
все чувствительны к ошибкам округления. Итерацион-
ные методы менее чувствительны к ошибкам округле-
ния, зато гораздо более трудоемки.
В настоящее время в связи с использованием.. ЭЦВМ
при решении полной проблемы собственных значений
(отыскании всего дискретного спектра ЗЦ и всех собст-
венных векторов vj) широкое распространение получили
две группы итерационных методов: методы вращений
(якобиевы методы) и степенные,
гдназначей для решения полной
проблемы	значений вещественной симмет-
ричной матрицы и состоит в построении последователь-
ности матриц, ортогоиалыю-подобных исходной и имею-
щих монотонно убывающие суммы квадратов всех по-
бочных элементов М, 331.
Известно большое число степенных методов [4,33}.
Идея одного из них состоит в следующем. Матрицу А
раскладывают в произведение треугольных матриц А =
338
РАЗДЕЛ 6. МАТРИЦЫ. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
= 0,6, (6.30) и составляют последовательность АС,=
= C2B2,..„AC^, = CbBi. Можно показать, что матрицы
Ай=С“1АСй сходятся к квазитреугольной матрице
Ац Aja • » • Aim
Л	Ам . , . А2[;,
А =
» Я •	•	«
^тт
подобной исходной матрице А, вследствие чего собст-
венные значения обеих матриц совпадают (см. 6.1.6). Та-
ким образом, решение полной проблемы собственных
значений для произвольной матрицы А свелось к реше-
нию той же проблемы для квазиэлементов Aj (у = 1,
Л
т) сравнительно невысокого порядка матрицы А.
Ниже рассматриваются некоторые специальные мето-
ды развертывания характеристических уравнений в по-
лином rt-й степени [10].
Метод Леверрье. Пусть характеристическое уравне-
ние (6.44) записано В виде:
| ХЕ —- A j = Г + plVi"1 +• •+ рп = 0.	(6.123)
Обозначим через сумму k-x. степеней корней урав-
п
неиия (6.123): sk ~ S , (Ф = 1,...,я). Воспользуемся
/=1
формулой Ньютона [15], позволяющей выразить коэф-
фициенты алгебраического уравнения (6.123) через сум-
мы степеней его корней:
k
Pk — — — Pi Sk-i, Ф = 1,..л; p0 = 1.	(6.124)
s=0
Воспользуемся равенством (6.58): T.2 (A^) =7^ (A),
Суммируя обе части равенства по j, найдем,
п
что SpA^=S Л? (A)=sfe. Следовательно, коэффициенты
/«=:
характеристического уравнения можно искать по форму-
ле Ньютона, записав ее в виде:
А
Ph = — “ Pt	(6.125)
Таким образом, задача сводится к последовательно-
му вычислению п степеней матрицы А по формуле АЛ =
= А^7А, й=1, а также следов найденных степеней.
Если Aw = Ду 1 ]j7	> То SPA^ =	} •
у=1
Метод А, И. Крылова основан на теореме Гамильто-
на— Кели (см. 6,1.6). Пусть характеристическое урав-
нение записано ь вице (6.123). Тогда по теореме Га-
мильтона — Кели А”-т.р1Ап“Ч-... + /)_,Е — О. Умножим
обе части этого равенства на произвольный нетриви-
альный «-мерный вектор х<°). Обозначая А-’>х<г,) = х'-л>,
получим систему алгебраических уравнений
р1х'!п™пф-р„х<п^+..-+р„х('л =х(л) .	(6.126)
Решение ее и дает искомые ковффициенты р<я, (6=1,
„„ п). .В качестве х1°) удобно принять один из столбцов
единичной матрицы Е. Если система (6.126) имеет не
единственное решение, следует изменить начальный век-
тор хЫ).
Идея метода А, М. Данилевского состоит в приведе-
нии посредством преобразований подобия матрицы А к
нормальному виду Фробениуса:
Po~iPa\
,0 <J |
. о о
. 1 и
(6.127)
Разлагая характеристический определитель
| Р — АЕ | =
по элементам первой строки, получим характеристиче-
ское уравнение в виде:
'дп — /цЖ-1 — рЖ1”"2 —	— рп = 0.
Замечание. В ряде случаев требуется отыскать
одно или несколько собственных значений матрицы.
Для определения ?.тах удобно использовать неравен-
ства П. Ф. Папковича:
лрА .	----s
< Жах < !' W” 	(6.129)
SpAfe
Эти же неравенства можно использовать для опреде-
ления Amin- Построим вспомогательную матрицу В =
= (SpA)E—А [27]. Тогда Ац(В) =SpA—ХдА). Следова-
тельно, Xmin(A) ==SpA-—Хщах(В), и задача сводится к
ОТЫСКАНИЮ Атах (В).
6.3. МАТРИЦЫ В СТАТИКЕ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
6.3.1.	Матрицы податливостей и жесткостей.
Потенциальная энергия
Пусть S — упругая механическая система (рис. 6.1),
загружённая в точках 1, 2,..., п силами Р>, Р2,.., Рп.
Прбгйбы системы в точках 1, 2, ..., п определяются вы-
ражевйяйй
п
==	1=1,..., я
-	1=31
(6.130)
пли в матричной форме
w = Fp,
(6.131)
где [о —перемещения по направлению I от Pj —1, назы-
ваемые коэффициентами влияния системы 3 или коэф-
фициентами податливостей (упругих податливостей) си-
стемы 3. F= [If,Д|2 -„j — матрица податливостей.
По теореме Макеьелла	т. е. F — симметрич-
ная матрица.
<5,3. МАТРИЦЫ В СТАТИКЕ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ.
339
Потенциальная энергия системы 5
п	п
1 V I VI	!
п = V X Pi Wi = V X Pi P1 =~ ~ p'Fp 4 3323
является квадратичной формой сил Р; и, как известно,
положительна при любых р=ж(). Поэтому матрица F по-
ложительно оппеделена и все ее главные миноры, вклю-
чая и определитель, положительны (критерий Силь-
вестра).
В силу невырожденности матрицы F существует об-
ратное по отношению к (6.131) преобразование
р — Gw.	(6.133)
Матрица G = || g^ ij"/=1 называется матрицей
жесткостей системы Sn, полученной из системы 5 вве-
дением связей по направлению W\,,,.,wn. Элемент ее
gn — реакция в связи i от единичного перемещения
связи /,
В силу теоремы Рэлея G — симметричная матрица;
это же следует из симметрии матрицы F илп из теоре-
мы взаимности работ Бетти.
Соотношение (6.133) позволяет представить потенци-
альную энергию как квадратичную форму перемещений
1 V	1
J3==T2j^/^K^== VW,°W' <6.134)
1,1=1
6.3.2.	Механическая интерпретация гауссовой
схемы метода исключений
Выражение (6,130) можно рассматривать как систе-
му линейных алгебраических уравнений Fp = w для оп-
ределения вектора сил р по известным перемещения?,г.
Пусть на систему S наложено k связей, препятст-
вующих перемещениям точек 1, 2, kKgn—1. (рис. 6.2).
Коэффициенты податливостей для оставшихся подвиж-
ных точек повой системы Sk пусть будут , (i,j-
=Н1, ..., п).
В то же время f/б является перемещением точки i
системы 5, загруженной силой п реакциями R\,
Rk в точках 1,..., k:
~hi <4+-'  + fik Rk 4- hi-	(6.133)
Перемещения точек 1,k при действии этой же со-
вокупности сил равны нулю:
41 ТЧ +" ’ ‘ + 4/г Pk + 4„/ = 0;
4:1 <4+'’'+4,^4 4ч = °' .
о<м<
Из условия нетривиального решения системы (6.136)
41 • •   4у	4/
41  •  • 4д	4?
41   • • hk fii~fri
следует:
(6,137)
Это выражение с точностью до обозначений совпа-
дает с (6.97) для гауссовых коэффициентов й-го шага
исключений.
Таким образом, каждый коэффициент й-го шага ис-
ключения по Гауссу есть перемещение точки i от силы
Р3-==1 в системе 3_я+4, полученной из исходной систе-
мы S^n наложением k связей (метод сил).
Аналогично
Поэтому каждый коэффициент F-го шага исключе-
ний по Гауссу есть реакция в i-й связи, вызванная пе-
ремещением /-й связи на Wj=\ в системе полу-
ченной из исходной системы S л снятием k связей (метод
перемещений).
Пусть система S—неразрезная балка с п промежу-
точными жесткими опорами (рис. 6.3, а). Если при реше-
нии задачи методом сил за основную систему принять
балку с шарнирами над промежуточными опорами, то
преобразование канонических уравнений по схеме Гаус-
са (6,95)
<и 4г <21 <22 <23	4р <2Р	V	<11 <12	<Щ 1 1	(6.139)
4г, л—1, <пи	<лр				
340
РАЗДЕЛ 6, МАТРИЦЫ. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
можно интерпретировать (рис. 6.3, б, в, г) как последова-
тельное ожестчепие основной системы S_n, т. е. по-
строение минораитной последовательности систем;
З-n, S- л+ь
можно трактовать (рис. 6,3, 3, е, ж) как последователь-
нее ослабление основной системы 5В, т, е. построение
мажорантной последовательности систем: SK, Sn~,,Si,
д/
6.3.3.	Матричная форма метода сил
Система канонических уравнений метода сил для
упругой механической п раз статически неопределимой
системы, загруженной t совокупностями сил, имеет вид;
или
Рис. 6.3
DX + Вр = О,
(6.И!)
(6 142)
где
О	Dp = ipP) ,  • •>	X CTjXp . . . >XyjHX?.
Каждое расчетное сечение пространственной рамы,
составленной из призматических стержней, характе-
ризуется шестью усилиями: 46, QB, Ms, Qx, N, Мг.
Если при решении задали методом перемещений за
основную систему S7i принять балку с наложенными в
премежуточных опорах моментными связями, то преоб-
разование канонических уравнений по Гауссу
Oi Da	Dp		Гц Г3о	'V 1	
Г21 г22 г23 “ » а л »	Г2р		О й 9	9 а	4’ : . » ,	(6.140)
Г72,7г—1, гшг	гпр		' пп	»р	Ц	
Пусть выделен незагруженный элемент h (рис, 6.4),
условия равновесия его:
“-4^ -y-i	!"» il Н II II II II s	О >	г£ 6 •?. S-	'g,	р-	4 -	Оу	"	+ ,<о	о с.	с	(6.143)
G.3. МАТРИЦЫ В СТАТИКЕ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
341
Выражения для коэффициентов системы канониче-
ских уравнений (.6.141) имеют вид:
остаются постоянными. Тогда после интегрирования по
каждому стержню коэффициент U будет:
Ф. =
дф	—Ч— iyi а_ м
ТО/ р: j , xhiГ xhi
xh.
.JU
'U. / , Uh!
№ xh.
Л . .. v f	м^”
lJ J \ U. U 1 Gh^uh ' -flJytl
о
	Л, 'V;	мгСмг!'	j dz;	(6,1.44)
J, 4,гй	+	А!)	^h. d/2		
—	g —	—	$ a	u «—
O . ------- Л4 , . + Q 1--------4- —Л— Q . - +
TO’ *>,: I . TO/ 'ipii \pp, } :	 /; r , lentil 1
Иди	\o‘-hJxy ^цГуу /	
Ф i |	- -у-	--	 L_	-L.
"J ,) \ Си Jл!1	Gy P,/h Ец Jdy
i, 1 = 1,..., п; л —t, (6.145)
X----------дт TO. Г? I ------:--- TO —x-— О Щ
9Г, ! ,	yh/ ' - xhi I up, / , ' Q, p : / 4 хи/ ’
-b/i J uh	X ox h J yh 'Jn I xhi
h,	lh _	1
+ ,V, .--N щ M —Aj j (G.M6)
hlEhF» h} £lllGyJdh -"'j
или в матричной форме
и — число элементов (стержней) основной системы.
В качестве элементов основной системы принимают-
ся все незагруженные стержни, а также участки между
сосредоточенными нагрузками каждого загруженного
стержня. Причем каждая распределенная нагрузка за-
меняется конечным числом сосредоточенных J.
При таком способе построения основной систем’.,!
только изгибающие моменты изменяются (по линейно-
му закону) по длине элемента, все же остальные усилия
.Аналогично
Здесь:
т
‘>.2 b«F/.U
Й=1
т
&ip ~~ -1 ° hi Р и Ьуп •
’	А=1	' s
4=		U/,. U> ’Uf ]
^llly ""	Qy-hp^,
(6.147)
(6.148)
(6.159)
ly
UPjy J
ZIZFU
ЗП/, Jyy ' G;: Fxf,
(6.150)
J Ен Jxh
J
J xll
(	_(k._	 ’	I
^:‘h i/ii	ijh	г
_________ Il ... 4	;
 -Ед J yh '-'Gil J uh	)
Ey Fl	I___f
•	I	j
,.	jGUUl
Векторы Фо, г: Ьлp —суть усилия а сечении й, (Л--1,
.... :а) от л,= 1 и внешней нагрузки Ps соответственно;
F& —матрица податливостей /г-го элемента.
Элементы Р'ь являются обобщенными перемещения-
ми, соответстауюшими обобщенным силам Мхр QVh,
Alyh, Qxh, Ah. MzP В первом (третьем) столбце распо-
лагаются перемещения, вызванные МХЛ = 1 (Л)ид==1):
1 Вопросы членения системм рассмоиоеиы в (37ф
угол поворота консоли py*ji, \p/ j f
и прогиб ее
( 1<г ) f
----с— ---------- 1 ; во втором (четвертом) —перемеще-
хЕ/7 Jхр \ иЕу JyiJ
!!ия, вызванные Q.yn = 1 (С?ХЛ = 1): угол поворота консоли
/г / I ? \	Е
----6—j -----6— ]н прогиб ее с учетом сдвига-------——-j-
хйд Ахп\ЕЕр A !pl /	3EyJ
342
РАЗДЕЛ 6. МАТРИЦЫ. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
/	( I3 1 \
।  '4. , | ---____ ,  щ— |.	в пятом — абсолют-
Gh Fvh \3£д Jgh GhFxhr
lh
ное удлинение стержня 0> вызванное ЛГА=1, а,
kh Eh
Тогда матрицы D к Dp принимают вид:
(6.158)
наконец, в шестом — угол закручивания стержнярщщ—,
-	~	(j'nJ ah
вызванный Мгл = 1.
В формулах (6.144) — (6.546) и (6.150) Fxil—v.x Fah ;
Ff/Il ~ Ki/ Eh> v"x. и ~лу ~~ коэффициенты формы сечения;
Fft — площадь поперечного сечения элемента.
Если рама плоская, то при учете влияния на пере-
мещения изгиба, сдвига и продольной деформации
D? =
bl Fbpi-..b; Fb0/

bhi	Qyhj,
^hps ~ ||^xftps > Qyhps > ^hps i|’
^h. Jxh	Jxh	
2Е'д	i	lk 2Eh Jxh	yh	
		У F
(6.152)
Для плоской рамы без учета влияния сдвига и про-
дольной деформации на перемещения

1-hJxh ’ ^EhJxh
2£h Jx'n 3Ey Jxy
(6.151)
(6.153)
(6.154)
Наконец, для фермы (плоской или пространствен-
ной — безразлично)
%- = 4/- ЬА ;ГЙ=^.	(6.155)
Eh Eh
В общем случае порядок матрицы F* равен <т, (о =
= 1, 2, 3, 6). Выражения (6.147) и (6.148) можно за-
(6,156)
(6.157)
bjFbj-.-bi Fb„lJ
Ь'Д'Ьщ-- b>b j
F «bv •-bj = B'FB;
ь;
il 4
(6.159)
XT В	11
11 Pl ...ЬФ1|= B'FBp,
(6. 1.60)
В — матрица усилий во всех расчетных сечениях от всех
единичных неизвестных; Вр—матрица усилий во всех
расчетных сечениях от всех t комбинаций внешней на-
грузки; п — степень статической неопределимости (чис-
ло отброшенных связей); т— общее число элементов
(стержней) в системе: а — число усилий в расчетном се-
чении, принимаемое во внимание при раскрытии стати-
ческой неопределимости (порядок матрицы Fii).
Решение системы (6.142) имеет вид:
X = — D""3 Dp = - (ВТВГ4 (ВТВр), (6.162)
и матрица усилий в расчетных сечениях рассматрива-
емой статически неопределимой системы определяется
по формуле
S=Bp+BX=.Bp—-B(B'FB)-1 (B'FBp).	(6.163)
При большем числе загружений в практических рас-
четах для последующего определения невыгодной ком-
бинации расчетных, усилий целесообразно первоначаль-
но рассчитать систему на единичные внешние воздейст-
вия, т. е, построить матрицы влияния,
В этом случае
Dp = Dp Р = (БТ Вр) Р,	(6.164)
где Вр = |)бщ,||лхт — матрица свободных членов систе-
мы канонических уравнений метода сил, соответствую-
щая единичным нагрузкам; Вр = }^Mps\\cmxx—матрица
усилий в расчетных сечениях от единичных значений
внешних нагрузок; Р — И-v/ — матрица внешних на-
грузок; т — максимальное число силовых факторов по
всем t загружениям.
Тогда
S = [Вр —• В (Bz FB)-1 (B-FBp)J Р=ВР., (6.165)
где
В—Вр --	(B'F Bp). (6.166)
Перемещения статически неопределимой системы по
любому направлению, заданному матрицей единичных
6.3. МАТРИЦЫ В СТАТИКЕ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
343
сил К, приложенных в направлении искомых перемеще-
ний (матрицей ортов), определяются выражением K'FS.
При определении перемещений, вызванных внешней
нагрузкой, К=Вр, и матрица искомых перемещений
W	равна:
W = Ъ'р FS = B’pFBP=FP,	(6,167)
где
— (BpFB)	(6.168)
Квадратная матрица F порядка t — матрица подат-
ливостей статически неопределимой системы (в то вре-
мя как F — матрица податливостей всех элементов ос-
новной системы, взятых «россыпью»). Обратная матрица
G = F~!, очевидно, является матрицей жесткостей стати-
чески неопределимой системы.
Если в качестве К принять матрицу В, то выраже-
ние B'FS определяет перемещения, вызванные внешней
нагрузкой по направлению отброшенных связей. Они,
очевидно, равны .нулю:
BTS = ВТИР = [B'Flр -- (B'FB) (B'FBF4 (B'FBp)] х
х Р = OP = О.
Однако из-за погрешностей счета в действительности
B'FS = e(o), где в (о) —прямоугольная матрица (отиХО
малых величин,
В практических расчетах число усилий в расчетных
сечениях, разыскиваемых в результате статического рас-
чета (о,), может не совпадать с числом о. Например,
при раскрытии статической неопределимости системы мо-
жно пренебречь влиянием продольных усилий /V (в ин-
теграле Мора), а при определении расчетных усилий
найти и продольные усилия. В этом случае матрица S
(6.163) вычисляется по формуле
s’ = в; + вх = р; - в’ (b'fb)-1 (b'fbJp, f6J69)
где матрицы В’ и Вр аналогичны В и Вр, но имеют
размеры c;mXn и cpmxt соответственно;
3 а м е ч а в и е 1, Расчет на начальные деформации
(изменение температурного режима, смещение опор, на-
чальные несовершенства) отличается от рассмотренно-
го только матрицей свободных членов. При действии
внешних сил Dp = B'FBP = В'(FBВыражение в скоб-
ках определяет деформации отдельных элементов основ-
ной системы от внешней нагрузки. Поэтому при расчете
на начальные деформации
Вд=. В'Н,	(6.170)
где Н = || Агд;Пет,^ — матрица начальных деформаций
системы.
3 а м е ч а н и е 2. Полученное решение, без каких-ли-
бо затруднений распространяется на случай использова-
ния сложной статически неопределимой основной систе-
мы [37], Обращение к статически неопределимым основ-
ным системам становится неизбежным, когда степень
статической неопределимости столь высока, что исход-
ные матрицы не удается разместить в оперативной па-
мяти ЭЦВМ,
6.3.4.	Матричные формы метода перемещений
Метод перемещений предназначен для расчета кине-
матически неопределимых систем, которые могут быть
как статически неопределимым», так и статически опре-
делимыми. Как правило, ои применяется в первом
случае..
В отличие от понятия статической неопределимости
понятие кинематической неопределимости условно и сте-
пень кинематической неопределимости зависит от таких,
например, факторов, как степень точности в определении
перемещений, число узлов линейной аппроксимации кри-
волинейных элементов, если таковая производится,
и т. д.
'Первый вариант матричных формул метода переме-
щений [37]. Система канонических уравнений для п раз
кинематически неопределимой системы, загруженной I
линейно независимыми внешними нагрузками, имеет
вид:
В.2 + К;,Р==О,	(6.171)
где R = 1|щ.J—матрица коэффициентов системы
канонических уравнений (матрица реакций); RP =
—матрица свободных, членов, соответствую-
щих единичным нагрузкам; Р — матрица нагрузок.
Элементы и определяются по формулам, ана-
логичным (6.144) и (6.145):
>п 1/> _____	_	_	_
г.-/ — f ( Mxj । Qy! Qyj ж ЗЦ' Мр/ i
\ EfiJxfi ’ GhFuh ' Eh J uh
h—'i. 0
m 'у
(6.172)
cth /
'Ps
h	Fpy
h—l 0
,	Q-g , £[Iff ,
E- h J uh	E<nP'tri
Мы Mxp, )
+ TOTO-------dz.	(6.173)
Gfi J du J
i, j = l, , ., n; s=l , . . . , t.
Здесь Mxi, Qyi, ЛЦ;, Qxit Nt, Mzi — усилия в элемен-
тах кинематически определимой основной системы, вы-
званные единичным неизвестным перемещением г, = 1;
Е,,, n„rs, м!/р_, QXPs, NPp M,Ps — усилия в элемен-
тах любой статически определимой системы, полученной
из заданной, вызванные единичной внешней нагруз-
кой ра.
Аналогия в структурах, элементов матриц перемеще-
ний и реакций позволяет написать для метода перемеще-
ний следующие выражения:
R = СТС; Rp = CTCp,	(6- 174)
где С= 1|	—матрица усилий во всех расчетных
сечениях кинематически определимой основной системы
от каждой из единичных неизвестных метода перемеще-
ний; Ср == \]cipp !l m,Xn ~ матрица усилий во всех расчет-
ных сечениях статически определимой основной системы
344
РАЗДЕЛ 6. МАТРИЦЫ. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
(полученной из заданной), вызванных каждой из еди-
ничных внешних нагрузок; F== ]| f{-'(	—матрица по-
датлизостей отдельных элементен, уже использовавшая-
ся в методе сил.
Тогда
г = - (СТСГ3 (CTCj Р; (6.175)
S = (Ср — С (СТС)”1 (С' FCP)J Р = СР. {6.176)
Матрица обобщенных перемещений W, соответствую-
щая внешним нагрузкам, рассматриваемым как обоб-
щенные силы, равна:
W = С'р FS == Ср FCP = FPs	(6.177)
где
F = Ср FC Ср FCp — (CpFC) (Фс)"’ (С FCP) (6.178)
— матрица податливостей всей системы (сравнить
с (6.168)].
Как и в ^методе сил, в метод перемещений помимо
матриц С и Ср следует вводить матрицы С' и Ср.
, Тогда
S* = |с* •—С* (c'FC)~ 1 (С' FCj]P. (6.179)
Второй вариант матричных формул — формулы Арги-
риса. Особенность матричных формул метода перемеще-
ний, предложенных Аргирпсом [29], заключается в ис-
пользовании матрицы жесткостей элементов стержневой
системы G — F~* ц всей системы G = F-1. Формулы Арги-
Таблица 6.3
Ml п.п.	Метод сил		Метод перемещений	
А 4 а 6	Матрица внеш- них сил .Матрица под.ат- ливосгей всей конструкции Матрица пере- мещений Матрица усилий в элементах кон- струкции Матрица подат- ливостей всех 1-:е- объедпненных эле- ментов конструк- ции Матрица дефор- маций элементов КОНСТРУКЦИИ	р F W S V	Матрица пере- мещений Матрица жест- костей всей кон- струкции Матрица внеш- них сил Матрица дефор- маций элементов конструкции Матрица жест- костей всех не- объе гщ пеня ы х элемешов конст- рукции Матрица усилий з элементах кон- струкции	W G -= Е“5 Р V 2 S
Та бл и ца 6Л
н.п.1	Метод сил	|	Метод перемещений
1	Система канонических уравнений (совместности пе- ремещений)	DX Щ РрР = О			;	С ист е м а	к а н о и ич ежи к уравнений 1 равновесия)	RZ + R^.V = О
	Матрица перемещений в статически сящеделимой ос- негзной системе, вызванных единичными лишними неиз- вестными усилия ми		D -	= B'FB	Матрица реакций в кине- матически определимой ос- новной системе, вызванных единичными лишними яеиз- вестными перемещениями	1? = А’СА
3	Матрица перемещений в статически	определимой основной системе, вызван- ных заданными единичными внрппш?лв силаг^н		V	.= B’FBp	Матрица реакций в киие- матически	определимой основной систем®, вызван ных заданными единичными пере моще ин я м и	ТЦ = А'Сд.Ц
4	Матрица внутренних уси лий в элементах конструк- ции е статически определи- мой осноняой системе, выз- ванных единичными лишни - ми не известны ми усилиями			В	Матрица цефоодщцнй эпе- ментов конструкции в оне- матйчщки определи?.'! ой ос ковдой системе, вызванных еййничными лнмшими неиз- вестны .мн пере мешения.ми	А
5	Матрица внутренних уси- лий в элементах конструк- ции в статически, определи мой основной системе, вы- званных заданными единич- ными внешними силами			Бр	Матрица деформаций эле- ментов конетоукдич в киче- матичёскп определимой ос- новной системе, вызнанных задашшми единичными пе- ремещениями	Л со
6	Матрица неизвестных уси- лий		==	'В'	FBi-Ab-fb-jP ж	Матрица неновее иных па ремещеннй	z = -(A'gA)"!;a’ga.i)w
	Матрица усилий в элемен- тах заданной статически не- определимой системы	Щ,	s = bpp + bx™ — b(B'fb)—1(e,fbb) ]р = == ВР		Матрица деформаций эле- ментов заданной кинемати- чески неопределимой систе- мы	’’ “ АЕ W Щ AZ =. = |а -~A(A'GA)--I(A'GA 1 ’Ш	Ш j = AW
8	.Матрица податливостей всей конструкции		F^Bp	FB = С—1	Матрица жесткостей всей конструкции	G = A" G А = F—1 w
9	Матрица обобщенных пе- ремещений		W	= FP	Матрица	обобщенны?; внепмпщ сил	P GW
W	Матрица деформаций эле- ментов статически неопреде- лимой системы		v fs Fap		Матрица усилий в элемем тах кинематически неопре- делимой системы	GV— GAW	:
6.4. МАТРИЦЫ В ТЕОРИИ КОЛЕБАНИИ И УСТОИИИВОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ.
345
риса построены на основе аналогии, наблюдающейся
между методами сил и перемещений, которая является
следствием симметрии вариационных принципов (прин-
ципа Кастильяно и принцип Лагранжа), служащих фун-
даментом рассматриваемых методов.
Определенному понятию и выражению в одном мето-
де соответствует некоторое, также определенное поня-
тие и выражение в другом. Эго соответствие представле-
но в табл. 6.3. В табл. 6.4 приведены расчетные формулы
обоих методов [37].
причем
-гю [
D13 ~
(6.183)
Любой из ее элементов (Ц, (1=1, яц / = П1+1, ....
лН'-Да) можно найти по формуле б?о = s-ы, где s,:j — уси-
лие в состоянии Xj—l, соответствующее (с учетом зна-
ка) как обобщенная сила обобщенному перемещению
г;=1.
Введем матрицы:
6,3.5. Матричяая форма
смешанного метода
Пусть при расчете стержневой системы в качестве не-
известных приняты как силы, так и перемещения. Урав-
нения совместности перемещений и равновесия, кото-
рыми в этом случае описывается система, являются ка-
ноническими уравнениями смешанного метода.
Как правило, применяется такая разновидность сме-
шанного метода, когда силы, принятые в качестве неиз-
вестных, относятся к одному множеству концевых сече-
ний стержней, составляющих систему, а перемещения —
к другому множеству. Пусть число неизвестных сил рав-
но tit, а неизвестных перемещений— Из, Система канони-
ческих уравнений смешанного метода имеет в этом слу-
чае вид:
II Du Di2 j! | 11 j|	|| Dp 11 = Q
II Rsi R22 ||| Z |f	|| Rp l|
или с учетом (6.159), (6 160) и (6.174)
(6.180)
(6.181)
Матрицы В, Bp, FK и C, Cp, F2 могут быть найдены
аналогично тому, как это делается в методе сил и пере-
мещений соответственно, так как я основной системе
смешанного метода можно провести границу между
подобластью, в которой усилия связаны с неизвестными
метода сил X (подобласть X), и подобластью усилий,
связанных с неизвестными метода перемещений Z
(подобласть Z)
.Матрицы D12 и R2i связаны зависимостью
К2! „ D.
(6.182)
а также матрицу
т = [(к'гк.) - l (k'fk)-1 хГ1 [(k/fk^D -
-L(K'FK)’"1 (K/Fiyl. (6.185)
Тогда решение системы уравнений (6.180) и усилия
в стержнях конструкции определяются соответственно по
форм удам:
I X 1
| ,‘|| = — ТР:	(6.186)
j X II
|| в„ 1(	)| В [| If Xi
5= /||+ JlU ==(Кд-КТ)Р = 5Р.	(6.187)
If с-р If || < ;| 11 Л ||
Матрица податливостей системы и матрица перемеще-
ний имеют соответственно вид: F = S'FS и W = FP.
Замечание. Помимо описанной выше традицион-
ной формы смешанного метода возможно и множество
других, в которых к одному и тому же концевому сече-
нию стержня могут относиться некоторые из сил и неко-
торые из перемещений, принятые в качестве неизвестных.
Как известно (см,, например, [371), уравнения метода
сил могуг быть выведены из потенциала Кастильяно, а
уравнения метода г	—из потенциала Лагран-
жа, И. И, Гольденблат [9] показал, что для системы, опи-
сываемой п обобщенными силами, можно записать 2”
различных потенциалов, среди которых, разумеется, бу-
дут потенциалы Кастильяно я Лагранжа. Поэтому
2»—2 потенциалов порождают 2“—2 различных форм
смешанного метода.
6.4. МАТРИЦЫ В ТЕОРИИ КОЛЕБАНИИ И УСТОЙЧИВОСТИ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
6.4.1. Сзободныг колебания систем с
и числом степеней свободы
Пусть упругая консервативная система Sen степе-
нями свободы колеблется вблизи положения устойчиво-
го равновесия и пусть отклонения системы от положения
равновесия заданы линейно независимыми обобщенными
координатами c/j, дл (рис. 6.5), а само положение
равновесия соответствует нулевым значениям коорди-
нат Щ = ... = у„ =о.
Потенциальная энергия системы S (с точностью до
малых более высоких порядков) будет квадратичной
формой обобщенных координат щ, ..., дп:
Рис. 6.5
I	1
11 == AJ auqb qJ Т Ч'АЧ’
!./=1
(6.188)
а ожтическая эиерчни — квадратичной формой обоб-
щенных скоростей:
346
РАЗДЕЛ 6. МАТРИЦЫ. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
п
Г = ~2~ Е ЪЧ = V Ч' В Ч. (6.189)
где В и А — симметричные матрицы инерции (масс) и
жесткостей системы 3 соответственно, a q и q — векто-
ры обобщенных координат и скоростей. Подстановка
выражений (6.188) и (6.189) в уравнения движения
Лагранжа второго рода
d дТ	дТ	дП
_	(6.190)
at a	oqi	oqt
приводит к дифференциальным уравнениям свободных
колебаний системы 3:
Д(6.у	= 0, 1 = 1,..., п (6.191)
или в матричной форме
Bq4-Aq = 0.	(6.192)
Так как система 3 совершает гармонические колеба-
ния около положения равновесия, то подстановка
q = v sin (ф! -ф а),	(6.193)
где V — вектор амплитуд колебаний п сосредоточенных
масс; ф — частота свободных колебаний; а—.начальная
фаза, приводит к системе однородных уравнений
(ААВ) v = 0,	(6.194)
где
А = Ф2.	(6.195)
Условие нетривиального решения системы (6.194) яв-
ляется уравнением частот свободных колебаний дис-
кретной системы
|А — АВ| = О.	(6.196)
Так как кинетическая энергия движущейся системы
всегда положительна, матрица В положительно опреде-
лена. Поэтому обобщенное характеристическое уравне-
ние (6.196) можно свести к простому характеристическо-
му уравнению
(Ht —AEj = O,	(6.197)
где =
Так как рассматриваются колебания системы 3 около
статически устойчивого положения равновесия, то потен-
циальная энергия системы также величина положитель-
ная, и матрица А положительно определена. Поэтому
уравнение (6,196) может быть записано в виде
1 1
Н2—— Е =0,	(6.198)
Л j
где Н2—А-1В.
Выражение (6.197) называется прямой формой харак-
теристического уравнения, а (6.198)—обратной.
Замечание, 1. Обе формы характеристического
уравнения могут быть построены на базе принципа Да-
ламбера. , " '
1. Метод сил. Ш-фДр==0. Здесь D =	—
матрица единичных перемещений; сД =q = v sin(fpl +
4-а) — вектор обобщенных перемещений, соответствую-
щий силам инерции х, как обобщенным силам; x = Mq=
=—q-г Mv sin (ф/4~<х) — вектор сил инерции сосредото-
ченных масс; М=(щ.Д®==1 -—матрица сосредоточенных
масс. Сокращая на sin (cpf-f-e), получим:
DM — — Е v — О
А /
(6.199)
откуда |DM——~ EJ=O. Таким образом,
к
H2 = DM = ||S/;m/||?/==1.	(6.200)
2. Метод перемещений, Кг4-гр=0, Здесь R =
= llxj-j ;=i —матрица единичных, реакций; z = q =
= vsin(cpl + a)—вектор обобщенных перемещений;
гр = Mq = —•-cp2Mv sin(<pl-)-a) —вектор сил инерции. Со-
кращая, как и ранее, иа sin(fp/+o), получим:
(ЛГ!К—АЕ) v=0.	(6.201)
Откуда |М~’R—AEj=4. Поэтому
Н1 = М-1й=^|Г/=1.	(6.202)
Уравнения (6.199) и (6,201) несимметричные, однако
легко симметризуются путем линейного преобразования
ц = М 2 v:
4 4 i )	/ -4 -4 1
DM*- —Е u=0; М * RM “ — АЕ и=0.
А /	\	/
Поэтому спектральные свойства свободных колеба-
ний дискретной системы 3 совпадают со спектральны-
ми свойствами симметричных матриц (см, 6.1.6). Причем
условие ортогональности векторов принимает вид:
п
S /np 0// о/й = б/* , где — символ Кронекера. Это вы-
ражение может быть истолковано как равенство нулю
работы сил инерции z-й формы колебаний на перемеще-
ниях А-й формы.
Так как в положении устойчивого равновесия систе-
мы потенциальная энергия положительная, все собствен-
ные значения Ад а следовательно, и собственные частоты
cpj=]/ Aj, (/=1, .... и) положительны.
Функция, описывающая /-ю форму свободных колеба-
ний (/-ю гармонику), имеет вид:
qy = vy. sin (sp. t 4- ay).	(6.203)
Общее решение уравнения (6.192) получается нало-
жением всех гармоник:
п
4 = S vy sin(<pyi + ay).
/=1
(6.204)
Замена и и е 2. Выражение (6.203) может быть по-
лучено иным путем. Две квадратичные формы П и Т, по-
скольку Т положительно определена, образуют регуляр-
ный пучок форм (см. 6.1.7), поэтому одним линейным
преобразованием могут быть приведены к каноническому
виду:
п
п= y-q'Aq = -у|'Д = JL V А(. 4	(6.205)
>1_В ТЕОрИИ КОЛЕБАНИЙ И УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ	347
п
= -“Vs?-	(6-206)
2	2	2 Лааа 1
Ь=1
Система дифференциальных уравнений свободных ко-
лебаний (6,192) принимает канонический вид §+А| = 0,
т. е. уравнения разделяются: ьгН.от ==0, j=l, ..., п.
Решение этого уравнения и дает (6,203).
3 ам еч а ни е 3. Если интерпретировать уравнение
(6,194) как уравнение регулярного пучка квадратичных
v' Av
форм (6.84), то выражение ~prj— становится функцией
Рэлея, а формула (6,88) — формулой Рэлея для опреде-
ления собственных часты.
Если далее под изменением массы (инерции) систе-
мы понимать такое изменение ее физических параметров,
при котором изменяется только кинетическая энергия, а
под изменением жесткостей системы—такое изменение
ее параметров, при котором изменяется только потенци-
альная энергия, из выражений (6.88) и (6.89) сле-
дует [6]:
1) при увеличении инерции (массы) системы, если не
возрастает ее жесткость, частоты системы не увеличива-
ются, а по крайней мере, одна уменьшается;
2) при увеличении жесткости системы (например, на-
ложение невесомой связи), если инерция не изменяется,
частоты системы пе уменьшаются, а по крайней мере,
одна увеличивается.
6,4.2. Вынужденные колебания
консервативной дискретной системы
Пусть на систему S действуют гармонические возму-
щающие силы Pi sin(pT+P), .... Рп sin(Н+Д), причем
,и,*'=/=Ф), j~l, п. Дифференциальные уравнения вы-
нужденных колебаний в матричной форме имеют вид:
Bq + Aq = р sin (pit -ф |3),	(6.207)
где p —• вектор амплитуд гармонической возмущающей
нагрузки; ц —частота возмущения; Д — начальная фаза.
Подстановка q = y sIn(|,H-)-p’) приводит к системе неод-
нородных алгебраических уравнений.
(А — ф2 В) у = р.	(6.208)
Так как p,2A=<pf определитель системы |А—р4В|А=0.
поэтому решение ее может быть получено по формуле
Крамера. Тогда
q (А _ цав)-1 р sin (уф + В).
Решение системы (6,207) может быть также получено
методом разложения по формам свободных колебаний
(методом А. И. Крылова).
Так как В невырожденная матрица, уравнение
(6.208) можно записать в виде:
(Н —- ргЕ) у = р,	(6.209)
где
И = В"1 А; {Г=В“1р.
Воспользуемся спектральным разложением матри-
цы Н:Н = VAV^1, где А =	— матрица спектра,
V — фундаментальная матрица. Тогда линейное преобра-
зование f = V-’у; g = V~'!p (разложение векторов у и р
по формам свободных колебаний) преобразует систему
(6.209) к диагональному виду:
(Л — р*Е) f == g.	(6.210)
В силу (6.195) А—р 2 Е = ^ф'2—	Поэтому 1 =
(	1	1	г
—-у----А а Следовательно,
( ф) -	-
q = Vf sin (рФ ф- Р) = Up sin (p.Z ф- p),	(6.2 11)
где
Ю- Ф-ф-А V-. - | у -М. " .	(5.21,(
I ф;- rj | Xj фг-г г:^
Таким образом х-я компонента	я) вектора q
имеет вид:
п
9i = V UU Pfsil3 + Р)531
<=1
===== у	si п (рф + 3).	(6.213)
Zj ф;—г
,А=1
6.4.3. Свободные колебания и статическая
устойчивость статически (кинематически)
неопределимых стержневых систем с
бесконечным числом степеней свободы
Пусть S — линейная упругая статически (кинемати-
чески) неопределимая стержневая система с бесконечным
числом степеней свободы. Пусть массы стержней равно-
мерно распределены по их длине и стержни системы S
(все или часть) находятся под действием стационарных
осевых сжимающих сил.
Решение задачи о свободных колебаниях несжатой
системы Sj может быть выполнено методами сил и пере-
мещений. При использовании первого метода из системы
Si удаляется л; лишних связей, и условия совместности
перемещений приводят к системе fli однородных кано-
нических уравнений метода сил
Dx=0.	(6.214)
При использовании второго метода на систему Si
накладывается лишних связей, и условия равновесия
дают систему однородных канонических уравнений мето-
да перемещений
Rz =0 .	(6.215)
При этом коэффициенты канонических уравнений 6ij
и ст j (амплитудные вибрационные перемещения и реак-
ции) являются транспендентвымн мероморфными функ-
циями частотного параметра р и определяются из соот-
ветствующих дифференциальных уравнений изгибных
или крутильных колебаний стержня как системы с беско-
нечным числом степеней свободы.
Пусть для простоты п1=я2=в.
348	 РАЗДЕЛ fi. МАТРИЦЫ. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Решенье систем (6.214) п (6.215) позволяет опреде-
лить величины частотных и ' । < <	।	.	1  о и
с их помощью вычислить	Числа
!.i'J называются собственными значениями системы. 5), оии
образуют бесконечный дискретный спектр.
Устойчивость равновесия упругой системы 5г, нахо-
дящейся под действием осевых сжимающих сил, рассмат-
ривается в традиционной эйлеровой постановке, сводя-
щей задачу устойчивости в математическом ошошеиии
к задаче о собственных значениях.
Допустим, что нагрузка и а систему S2 пропорциональ-
на квадрату некоторого параметра v, где х— параметр
продольного изгиба, и пусть система S2 находятся в
состоянии устойчивого равновесия, имеющего неискрив-
л&шую прямолинейную форму. При монотонном возра-
стании параметра v (осевой нагрузки) гари некотором его
значении v’ наряду с иеискривленной (невозмущениой)
формой равновесия будут смежные искривленные (воз-
мущенные) формы равновесии, т, е. происходит бифур-
кация (разветвление) форм равновесия. Такое состояние
системы Ss называется критическим состоянием, соответ-
С'гвующее ему значение параметра v° — критическим, а
величина нагрузки (силы)—критической нагрузкой
(силой). Анализ бифуркационных точек (точек ветвления
кривых равновесных состояний) и составляет суть зада-
чи устойчивости в эйлеровой пли статической постановке.
Упругая система S2 имеет бесконечно большое число
бифуркационных точек и, следовательно, критических па-
раметров V0. Последние образуют бесконечный дискрет-
ный спектр собственных значений системы 52*. Отыска-
ние значений v° системы S<> выполняется методами сил
или перемещений путем использования уравнений (6,214)
и (6.215), в которых коэффициенты д., и Гц (статические
перемещения и реакция) являются функциями парамет-
ра продольного изгиба v.
Бифуркационная постановка задачи устойчивости уп-
ругой системы Si ставит ее в тесную связь с проблемой
свободных колебаний системы Ss, допуская общие мето-
ды решения, Поэтому ниже рассматривается обобщаю-
щая задача собственных колебаний системы S, элементы
которой подвержены действию консервативной системы
сжимающих сил. Полагая при этом v=6l, получим зада-
чу о свободных колебаниях несжатой системы St, допу-
ская р, = У, получим задачу статической устойчивости
системы Sa-
При решении обобщающей задачи канонические урав-
нения (6.214) и (6.215) сохраняют свой вид, а коэффи-
циенты их становятся функциями обобщенного парамет-
ра «» Параметр и равеи либо и, либо т или выражает-
ся через них в зависимости от решаемой задачи:
TO'j/то^	<G.!16)
где I — длина стержня (элемента основной системы);
ш —- интейсивность равномерно распределенной массы
стержня: ф—частота собственных колебаний; Р— внеш-
няя осевая сила; EI — изгибная жесткость.
Хотя система S континуальна, при использовании
уравнений (6.214) иля (6.215) собственные формы ее опи-
сываются лишь конечным числом обобщенных сил (ме-
те	шх перемещений (метод переме-
ще> а 1) юС’эш.» ь шторы х и z конечномерны. При
этом :/традиционяр;;определяются лишь те значения и”,
> nz’ ну I <вл' кг однородным уравнениям (6,214) или
® На практике разыскивается ж®, первый тлен спектра, так
как он определяет наименьшую критическую нагрузку (силу)
для системы S2«
(6.215) только нетривиальные решения, т. е. являются
корнями детермииантных уравнений
|D(<o)| = O или |R(te)| =0.	(6.217;
Однако возможны собственные формы (формы сво-
бодных колебаний или потери устойчивости), для кото-
рых все места снятия (метод сил) или наложения (ме-
тод перемещений) связей оказываются узловыми точка-
ми и, следовательно, яе могут быть найдены из уравне-
ний (6.217), так как им отвечают тривиальные векторы
х —0 или z = 0. В этом случае собственные формы си-
стемы S совпадают с собственными формами ее основ-
ной системы (случай сложной» основной системы [26]).
Назовем «скрытыми» собственные значения <»“
(ltia или Vе) н соответствующие им собственные формы
системы S, которые не улавливаются уравнениями
(0.217) в отличие о» «явных», определимых из этих урав-
нений.
Таким образом, чтобы не пропустить некоторых соб-
ственных частот или критических сил (некоторых значе-
ний ©° бесконечного дискретного спектра) системы S,
помимо «явных» собственных значений необходимо разы-
скивать и «скрытые», если последние существуют.
Уравнения (6.217) являются трансцендентными меро-
морфиыми уравнениями. Они имеют бесконечное множе-
ство нулей (корней) и полюсов (точек разрыва второго
рода). Решение этих уравнений обычно выполняется ме-
тодом попыток (испытаний): отыскиваются значения гщ
и «г, соответствующие разным знакам детерминанта
] D(w) | или |й(ш)6 после чего интервал (®(, и») посте-
пенно сужается. Такой_путь трудоемок и чреват ошибка-
ми: в интервале (ш<„ ®а) может оказаться не меньший
корень уравнения (6 217) или за корень может быть
принят полюс, так как при переходе через полюс детер-
мииантная функция также меняет знак.
Наиболее эффективен качественный .метод испытаний,
смысл которого состоит в том, что на каждом испытания
устанавливается место параметра испытания © в спект-
ре собственных значений (t>°, т. е. устанавливается число
членов этого спектра, расположенных слева (точнее, не
справа) от со.
11ри расчете систем с конечным числом степеней сво-
боды этот метод опирается на теорему Лагранжа — Ди-
рихле а минимуме общей потенциальной энергии системы
в положении устойчивого равновесия, Поскольку потен-
циальная энергия системы может быть представлена в
виде квадратичной формы, указанная теорема требует
положительной определенности квадратичной формы II
в положении устойчивого равновесия.
Если форму /7 привести к каноническому виду
1 V5
П = ~ а, (и) у) и назвать коэффициенты дДи) козф-
фициентами устойчивости (а составленную из пых после-
довательность
fit (<в), <з2 (и), • •. а-п (®)	(6.218)
— рядом устойчивости), то теорема Лагранжа—Дирих-
ле может быть сформулирована следующим образом: ес-
ли в положении равновесия все коэффициенты устойчи-
вости а Д еф положительны, равновесие системы S устой-
чиво; если имеется хотя бы один отрицательный коэффи-
циент устойчивости, равновесие неустойчиво.
Для определения места точки испытаний (в в спектре
собственных значений to* континуальной системы S с уче-
том возможной «ложности» основной системы восполь-
349
350
РАЗДЕЛ 6. МАТРИЦЫ. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Продолжение табл.
6.4. МАТРИЦЫ В ТЕОРИИ КОЛЕБАНИИ И УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ 	351
Реакции . Собственные колебания сжатого стержня
Метод
		Продолжение табл, $.5 ipeMew.enp-ti			ЦТ to 1
Собственные колебания несжатого стержня V — П;	Продольно-поперечный изгиб m 0; a v: ц=0; P "	Попереч- ный н:ииб p — m = t;:	
V	VI	| VII		
“•*	sin u ch u — cos u sh u c __ .. p,	 - ccos ц ch и н” —	c^3 P ~~ cos H 2cgs p. ch ц	o' s® cj/~	ta v V	V Z - 0 “V	5;>0 e" == 0 и	
Цб
6 4. МАТРИЦЫ В ТЕОРИИ КОЛЕБАНИИ И УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ	353
g§4 ,г,т л г п ш’от дот ’олп о о ’	j
зуемся критерием Я- Л. Нудельмана — Л. С. Ляхеоича
[42, 43].
Пусть mi — число нулевых; тг—число конечных от-
рицательных и гач — число бесконечных членов в ряду
устойчивости (6.218). Пусть далее ц и k0 — число соб-
ственных значений основной системы меньших со и рав-
ных <в соответственно. Тогда число собственных значе-
ний со0 системы S, меньших ш и равных от, определяется
соответственно выражениями:
I = >о — mt— my k = k0 m1 — m3 (6.219)
при использовании метода сил и выражениями
i In ni3 -[- my, k k3 nii —	(6.220)
при использовании ^метода перемещений.
В^интервале (&>, <л2) размещается «(дц)-Н(<щ) ф-
—Цсщ) собственных значений ш° системы S. Это
позволяет определить критическое значение ф для лю-
бого заданного номера j с одновременным установлени-
ем кратности его в спектре системы S,
Замечание 1. Чтобы воспользоваться критерия-
ми (6.219) я— (6.220), необходимо знать собственные зна-
чения основной системы. С этой целью для каждого эле-
мента основной системы вычисляются N собственных
значений (Р* или v*j, где N — наибольший порядко-
вый номер разыскиваемых <и° системы S. Из полученной
совокупности 6<V значений <u* (t— число основных эле-
ментов) выбираются с учетом кратности те значения а",
которым соответствуют собственные формы, не вызы-
вающие в основной системе метода сил перемещений по
направлениям отброшенных связей, а в основной систе-
ме метода перемещений — реакций в наложенных связях.
Замечание 2. Из всех рассмотренных в 6.1.7
способов приведения квадратичной формы к канониче-
скому виду метод Якоби требует наименьшего объема
вычислений. Согласно (6.77) коэффициентами устойчиво-
сти в этом случае будут ведущие гауссовы коэффициент
ты (6.37). Чтобы для данной точки испытаний Ф
построить ряд устойчивости (6.218), достаточно матрицу
коэффициентов О(ш) или R(a) привести к треугольному
виду по схеме Гаусса.
Замечание 3. Практически вычисление нелиней-
ных реакций rij(m) во многих случаях значительно про-
ще, чем вычисление перемещений 6ij(<o), поэтому ниже
рассматривается только метод перемещений.
При расчете сложных стержневых систем, например
пространственных рам, матрица R имеет высокий поря-
док, что чрезвычайно затрудняет расчет даже при ис-
пользовании ЭЦВМ.
Р. Р. Матевосявом [18] предложено частичное приве-
дение квадратичной формы к каноническому виду:
Р	п
п 1 ТД Л А„ 1 ТЭ ~ ~~
L Гг7г'2Л
1=1	1,/=р+1
которому соответствует преобразование R в R* (6.221).
Им Же показано, что это преобразование .тоетигается
автоматически при переходе от простой основной систе-
мы г. с южной, элементы которой однажды кинематиче-
имы.
"ЕМэтом случае ряд устойчивости (6.218) заменяется
"	А А
двумя рядами устойчивости: дополнительным Гр,.... гРР
и неполнымтp+ltp+i ,	. ,7^^, Для по-
строения последнего ряда необходимо матрицу R, по-
строенную па базе сложной основной системы, привести
к треугольному виду но схеме Гаусса.
г рул,рул
(6.221)
Если элементы основной системы k раз кинематически
неопределимы, матрица R, характеризующая равновес-
ные состояния элементов основной системы, становится
А
квазидиагоналыюй с квазнэлементами R/j А-го порядка.
Для построения дополнительного ряда устойчивости в
А,
этом случае необходимо каждый квазиэлемент R.4 при-
вести к треугольному виду но схеме Гаусса,
Замечание 4. Отличие качественного метода ис-
пытаний ог метода испытаний по знаку определителя
состоит в сущности в том, что в первом случае носителем
искомой информации являются знаки п чцеел (коэффи-
циентов устойчивости), а во втором — знак одного чис-
ла— детерминанта (произведения коэффициентов устой-
чивости). Поэтому попятно, почему качественный метод
дает полное решение задачи, в то время как испытания
по знаку определителя могут привести к неправильным
выводам.
6.4.4. Вычисление реактивных усилий
Реактивные усилия гд(®) для стержней с различны-
ми условиями опирания [13] представлены в табл. 6.5.
В работе [13] приведены соотношения между различны-
ми функциями, позволяющие во всех случаях ограничить-
ся вычислением только шести функций a, б, 8, у, q,
относящихся к защемленному стержню.
ЛИТЕРАТУРА
I,	А р г и р и с Дж. Современные достижения в методах рас-
чета конструкций с применением матриц. Пир. с англ. Под ред.
А. Ф.
2,	ьеллман В.	дз в теорию матриц. «Наука»,
№.
3.	Березин Н. С., Жидков Н, П. Методы вычисле-
ний, т. I г
4.	В ю е в о д и ц В. В. Численные методы алгебры. Теория
и алтрритмт
5.	Гаягмахб!) Ф. Р. Теория матриц. Изд. 2'6. «Hay-
ti, Г а п т м а д с р Ф, Р., К рей н Л'Т Г, Осцилляционные
матрищя и ядра и малые колебания механических систем,
М. — Л., ГТ’1И,
7.	Гель ф а н д И. М. Лекции по линейной алгебре.
Изд. 3-
8.	Г о л ъ л <• и б л а т И. TL Некоторые вопросы качествен-
ной теории устс	систем. В сб.: «Проблемы
устойчивости в стрмитслшой механике*-, Стройиздат, 1965,
ЛИТЕРАТУРА
355
9.	Гольденблат И. И. Экстремальные и вариаци-
онные принципы в теории сооружений. В об.: «Строительная ме-
ханика в СССР, 1917 — 1957®. Стройиздат, 1957.
И). Д е м и д о в и ч Б. П., М аро н И. А. Основы вычис-
лительной математики. Фшшатгиз, 1961),
11.	Дпнкевяч С. 3. Об эффективности метода квадрат-
ных корней. В сб.: «Вычислительная п организационная тех-
ника а строительстве н проектировании», Гипротис, 1967, № 1.
12.	Дннкевич С. 3. Спектральная теория циклических
матриц и расчет циклических конструкций, В сб.: «Расчет про-
странственных конструкций», вьш. XIV, Стройнздат, Г97Б
13.	Ди нкев я ч С. 3., К. р а с п о п о л ь с к а я Н. Б. По-
езреешю матрицы статических и дгша.минеских реакций для
стержня на упругих опорах и ее использование при расчете
циклических и регулярных стержневых систем. В сб,: «Исследо-
вания по теории сооружений**, вып. X.VHI. Стройнздат,. 1970,
14.	Ефимов Н. В., Розеадора Э. Р, Линейная
алгебра и многомерная геометрия. «Наука», 1970.
15.	Курош А. Г, Куос высшей алгебры, М, -г- Л.., ГТТИ,
1946.
16,	Ланцош К, Практические методы прикладного ана-
лиза. Физматгиз, I960.
17.	Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. Изд, 3-е.
«Наука», 1970.
18.	М атевося н Р. Р. Устойчивость сложных стержневых
систем (качественная теория), Госстройиздат, 1951.
19,	М и ш и н а А. П.т Проскуряков Н, В. Высшая
алгебра (справочная математическая библиотека). «Наука®,
1966,
20.	Нарец Л. К, Расчет статически неопределимых си-
стем на малых вычислительных машинах, Госстройиздат, 1958,
21.	Положий Г. Н, Численное решение двумерных и
трехмерных краевых задач математической физики и функции
дискретного аргумента. Изд-во Киевского университета, 1962.
22.	Применение электронных вычислительных машин в стро-
ительной механике. «Паукова думка», 1968,
23,	Рабинович И. М, Курс строительной механики.
Госстройиздат, ч. 1, 1950; ч. 2, 1954.
24.	Расчет строительных' конструкций с применением элек-
тронных машин. Сборник статей. Под ред. А. Ф, Смирнова.
Стройнздат, 1964.
25.	Резник он Р. А. Решение задач строительной рдехаад-
о на ЭЦМ. Изд. 2-е. Стройнздат, 1971.
26.	Смирнов А. Ф. Статическая и динамическая устой-
чивость сооружений. Трансжелдориздат, 1947.
27.	Смирнов А. Ф. Устойчивость и колебания сооруже-
ний. Трансжелдориздат, 1958,
28.	Смирно в А. Ф., Александре в А. В., Ш а по ш-
ников И, 11., ,/1 а щени ков ь. Я, Расчет сооружений с при-
менением вычислительных машин. Трансжелдоряздат, 1965.
29,	Современные проблемы расчета сложных статических не-
определимых систем. Coci явление, общая редакция и допол-
нение А, П. Филина. Л., Судпроигиз, 1961.
30.	Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собст-
венных значений. «Наука», 1970,
ЗБ Уманский А. А. Пространственные системы, Госстрой-
издат, 1948.
32.	Уманский А, А. Специальный курс строительной
механики, ч. I, П, М. — Л„ Госстройиздат, 1935, 1940.
ЗД Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Я. Вычислитель-
ные методы линейной алгебры. Изд. 2, «Наука», 1963.
34.	Ф и л и п А. ГБ Расчет пространственных стержневых
конструкций типа перекрестных связей и его применение к обо-
лочкам при использовании электронных вычислительных ма-
шин. В сб.: «Исследования по строительной механике». Л.,
Труды ЛЙЙЖТ, аыц. 190. 1962.
35.	-Ф и л и и А. П. Статика стержневых систем на основе
элементарных положений функционального анализа, Известия
АН СССР, «Механика и машиностроение», 1964, К« Б
36.	Филан А, П« Алгоритм построения матрицы при рас-
чете произвольных пространственных рамных (с жесткими кон-
турами) систем методом сил. В сб.: «Строительная механика»,
Стройиздат, W66,
37.	Фили н А. П. Матрицы в статике стержневых систем.
М. —-Л., Стройнздат, 1966,
38.	Фрезер Р.» Дункан В., Коллар А. Теория
матриц и ее приложения. ЙЛ, 1950.
39.	III айкевич В. Д. Матричный метод расчета регуляр-
ных стержневых систем. В сб.: «Расчет пространственных кон-
струкций», В1эзп. IV. Госстройиздат, 1958.
40.	Ш и лов Г. Е, Математический анализ. Конечномерные
линейные пространства. «Наука», Ш69.
41.	ЭЦВМ в строительной механике. Труды I Всесоюзного
совещания по применению ЭЦВМ в строительной механике
(Ленинград, 1963). М, — Л., Стройиздап 1966.
42,	Л я х о в ц ч Л. С. Метод отделения критических сил
и собственных частот упругих систем. Йзд-во Томского универ-
ситета, 1970,
43.	Н удел ъ и а н Я. Л-, Л я х рв и ч Л, С. Уточнение
критерия, определяющего место заданного числа в спектре соб-
ственных частот и критических сил упругих систем. В сб.:
«Исследования по строительной механике®, Труды Томского
янж.-стр. ин-та, т. XIV. Изд-во Томского университета, 19(58.
44.	Розин Л, А. Метод конечных элементов. «Экерт ня»,
1971.	J
РАЗДЕЛ 7
ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
СЕЧЕНИИ СТЕРЖНЕЙ
7.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ
РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ И ИЗГИБЕ
Таблица 7.1
		1. Кеадрат
i		„	„ т	a* a*F	a* а?Р
		
		/ у U 3 12	х	3-	3
[ fill		w	?-- Гг—Г,.——— —0,239 а
	^^—Х1	р е в	* ~ е х у у --
f—• Д		
7.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ И ИЗГИБЕ
357
8. Двутавр
6 — _L __ й)-
9
Е = oh? + '2Ь (с q);
9, Равнобокий уголок
C2h-tY -
— t) cos 45°
Jv ». — Г‘2с‘ — i' (с — t)‘ + А'1 — 2с + 4Т 1 ’ где с = уа cos 45°
РАЗДЕЛ 7. ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРА	>.Ч	СТЕРЖНЕЙ
Продолжение, табл. 7.1
10. Неравнобокий уголок
F = tib + fy = t (h + byy
_ № + ЬИ
9<1~ 2(h + b3)
b^ + h.f .
'2.(b + lh)
b. = [t & - u/> + by^ - bx (yd - И3];
!e f I? {b ~ Zd)3 + 4"	: !x.y
bb^hh^t
4 {b4~ h.)
bbihhjt
4 (h -j- b,)
IL Симметричный тавр, составленный из прямоугольников
d-	Н-
— b) d 4- M; 5 f === (В — b) — 4- b ™ ;
2	2
=(S_b)2f + by; у
з з ®
Кроме того, /ж “ 3 —, где 0 берегся из графика
Зуонёуш а':3
7.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ И ИЗГИБЕ
359
Продолжение табл. 7.1
p = 4

12. Узкая прямоугольная полоска
12 ~~ 12
F = il- yd
2
Я	F
-F. (а- 4	4	ab
3	3
13. Тонкостенный швеллер h 'С bs h)
b^-У.— ; + = ь Ш. ; F -F Ibh ~Ы^ (2 + 0);
2+0	2+0
, И+ .	,, , O1 Ж+6 + + , ,	ftE./i + L+i
j_ —— =,----(6+0) =-----------'  -------------=
2	12
Л+М1+20) .
3(2+ 0F
I/ 3
2 FtF
3 (2 + 0)
12 (2 + 0) ~r 2 (2 + |5)
6f4« ... , p. Fh («+Р5
----(o + 0) = -----------—
e	t> (2 + g)
W
+ — ж ^..4^
' Л bi з
(1 4- 23) -
bF (1 +20)
3 + + 0)
Уз.
4 -JiH, (1 + 20)
b..
з (1 4 3)
&FG4-2g)
0 4 33
У
3
b,
3
14, Симметричный тонкостенный двутавр <?i» 4 С b, h)
= 4 
t,b
- 4	№
h ‘ 6	6(2 + 0)
йг+ги,=й,(2 + й; /
(У = ±*±(6+0)
х й
44(3-0+
12
_ Fh (6 -ь +
F.h _
Fb
3(2+0)
У
2
У
b
15, Симметричный
тонкостенный тавр (Ли F. с Ъ. h).
.ГВ
Fh
h = k--------
®	2 (1 + P)
№г+4 + 0)
12(1+0)	12
, FH;

= /^±±4
2 (i + p)
P (4 + P) .
12 (»+P)*’
4 + 0 _ Fh
0^0
. 1±£ •
И
F.
12
м

FIF:
12 0 4 4
В 2
P (4 + 0)______
(1 + 0) (2 + 0)
& p
Fb
o(i + 0)
П
1+ 3
У
360
РАЗДЕЛ 7, ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИИ СТЕРЖНЕЙ
6 (йн + М
7.L ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ И ИЗГИБЕ
361
Продолжение табл, 7.!
У
20, Правильный шестиугольник
F = 0,866 F = 2,598 R7 гх = / = 0,541 л* = 0,06 R;
W = 0,625 Я3 = 0,12 df-, «' =0,541 Я»:
X	у
''х^ гу = О-456 — 0-253 d; О, = Л’
У
d
362
РАЗДЕЛ 7. ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ
Продолжение табл. 7.?
У
26.	Полукруг
„ 0,3927 zP; « = 0,2122 d; и = 0,2878 d;
8	' в	®
/	0,00630 di; /„ = I,.> =	= 0,025 d«;
л	У 128
W'XH = 0,0323 я3 (для нижних волокон):
Wzxa — 0,0238 А1 (дл я верхних волоке??)
г* =s 0,1323 d\ f = 0,252 d
27.	Четверть круга
3 „ 0,7854	,, = А. . Л « о,4244 г;
I	11	3 я
<7в ~ 0,5756 г; / «.0,07135 г1;	= 0,03843 г«;
7= 7 =. 0,05489 г\ I , , = — С1,0Ы6 г‘;
х' у'	х'у
ГЕОМЕТРтЕСКИЕ ХАР АКТЕРУ СТИКН ПРИ РАСТЯЖВНИИ-СЖАЖИ И ИЗГИБЕ
363
табл, 7.1
1Э. Сечение бревна, ©тесанного е четырех еторст
30. Круговой сектор
2га (длина дуги АВ); b=2r s'in а (длина хорды АВ);
а‘
— I -ф
sin0 а
4=^.
==-----(4а — sin 4а) =
16
866 A; Z 0,038 dy W == 0,087 d\ г 0,234 d
4 sin3 о.
Зф
__	___ '^r s^n % Ж20 г sin а
3s За
—. Ьф
8а \
(1 4- 3fe cos а):
Зл
d~
32. Сектор кольца
т?п.
(1 — '• cos а);
16 sin‘J а
9ай
ф = 2а 4* sin 2а
31, Круговой сегмент
Зга (длина дуги АВ); b--^2r sma (длина хорды АВ);
-ф	. 4r sin3 а.
(4а — sin 4а) — •——
(12 а
48
sin 2а,
33, Половина кольца
364	РАЗДЕЛ 7. ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИИ СТЕРЖНЕЙ
Продолжение 1 ап,г. 7.)
-----------а
У
а
7.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ И ИЗГИБЕ
365
41. Параболический треугольник
1 =--------------Ж /,( = ^i+±l±2L_OT1.
х (2п Ж I)3 (Зп. 4- 1) v 12 (л + 2)3 (л + 3)
г , =---------------------6fts. j ,	—2— йзЛ
х (п s~ 1) (2л 4- 1) (Зл 4-1)	А з (л 4- 3)
42. Полукруглый волнистый профиль
6 = 26; г = 0,5 (Л — t) = 0,25 Ъ — 0,5 f, R = 0,5 (Л 4- 1) = 0,25 h 4- 0,5 {
Ro ™ 0,5 (R 4~ г) = 0,5 h = 0,25 Ь; А = л (R3 — г3) ™ nth ™ 0,5 nbt — 1,571 bt;
Ix = 0,25 я М) =0,125 nth (h-+ t-) = 0,393 hi (Л3-J- Г) =
= 0,106 W (0,25 й3 4-H); W «	= A --------rJl — 2L ht 13—=
A h +t 2 (A 4-0	4 (h + D
0,785 hi №L+3X = 0>3g3 Ы	. r = 1/E+E
(h 4-1)	(0,5 6 4-0 x f 8
366	РАЗДЕЛ 7. ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ	№ СЕЧЕНИЯ СТЕРЖНЕЙ
4-1 Сечение железяпллрожногп рельса (формулы приближенные)
К « 0,238 Л2; // -0,5 h; Т - 3,032 йу № «0,0&4fc3; rv = 0»37A
Xi	Л	л>	J»
45, Селения стандартных прокатных балок (h в см)
(h. 4- 5)-!	(h. -J- 2)3
швеллер U-'„ =*---см'; двутавр ---------—см3
*81	* * * * х 51
46, Сечение произвольной формы
Для ориентировочной оценки величин 1Х и W х относительно центральных осей:
для сплошного сечения (с ошибкой до 15%)
I
х 12b
для сплошного симметричного
сечения (с ошибкой до 15%)
для полого сечения
г	Fh Г
х	6i L *
6ё
(е ошибкой до 25%)
ЪЬ. |
для полого симметричного сечения (с ошибкой до 23%)
х < за ц 4	«	|
Здесь: F— площадь внутри наружного контура сечения; h и й — высота и ширина сечения; 5 л
толщина стенки (для полого сечения)
длина периметра и
7.2. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ РАДИУСОВ ИНЕРЦИИ
7.2.	ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ РАДИУСОВ ИНЕРЦИИ
Таблица
у
гг-йла
Н
rX’^3t5k
rg=e,ich
Г^^ЦЗОЬ
.Л... r^fU95h
r^Oflih
0,28 b
11
— А— ft
LL
гг=4г>
Д'
Г“|25Я |
rs=<a
rx=t^9kl
гг=чэь |
га«ф2Ь
Ге=С44й
Гу=^Ж>
Г^-ЦЫЛ
f^Sb.
r^fiVb
г^ыь
г^=в^1Ь
r^t^2h
rif- OfiBb
r,t=s;sh
rij-e,5Sb
fij-'HSSb
r^^3h
I rs^»i
E 1.x k
r^qsak
r„ •= ^яй

rt,=?.2bb
rf;
rg^Sk
rt = &26k
Г.
А


r,^v«b

S
U±=^




А
F^egUh
Ttri^lA
r^eftik
rg"B^lSi
I'g—iuSh
r^iixa
rirVii^l
к I

r^BbssSfi,
tbli
368
РАЗДЕЛ 7. ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИИ СТЕРЖНЕЙ
7.3.	ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СДВИГА ПРИ
ИЗГИБЕ (НАПРАВЛЕННЫЕ ПЛОЩАДИ Fy)
У
3. Симметричный дзутавр, составленный из прямоугольников
4, Несимметричный двутавр, составленный из прямоугольников
Fi, /j — площадь и момент инерции относительно оси х части
сечения, расположенного над осью х
,Е\ Симметричное полое сечение, составленное из прямоугольников
7.4.	ПОЛОЖЕНИЕ ЦЕНТРА ИЗГИБА НЕКОТОРЫХ СЕЧЕНИЙ
369
7.4. ПОЛОЖЕНИЕ ЦЕНТРА ИЗГИБА НЕКОТОРЫХ СЕЧЕНИИ
(ц — коэффициент Пуассона)
Табл и ц а 7.4
Форма сечения
Положение центра изгиба (точка оУ
3. Прямоугольный треугольник
2h	1 4 пц	'2Ь	1 4'
Х-. ~		 				И __ —"	
О	15	1 4 р,	О 15	1 + U
4, Полукруг
4	3 4 4ц .
-------- —-—:— d
О 15п--1 4 р.
370
РАЗДЕЛ 7. ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ
Прададжегше табл. 7.4
Форма сечения
Положение центра изгиба (точна О) *
б. Сегмент квадратной параболы
Удлиненный
14-М
1 4 М
Укороченный
4й.	1 4- 4р	4/1	1 4 ?#
35	1 4 ц. О 35	1 4 4
—. 2г	cns а 4 sin
О (я. — а) 4 sin а cos а
Для трубы с разрезом ( а ~0)
х_~— 2г
О
7, Уголок (ири /г>0
- - ft° _2м_ - „ „ fts 4
Ъ 2 4+4’ 0 2 4+4’
'Чк' ^1?/ —‘главнь1е центральные моменты инерции прямоугольника с размера-
ми 4ХС;
72^ — то же, для прямоугольника с размерами h.2 X /а
/л,/у—- центробежный момент инерции половины сечения по отнсииегию к осям
т и If.
.4 —-момент инерции полной площади по отношению к оси х.
7.5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ КРУЧЕНИИ
371
Прадолжение табл. 7.4
Форма сечения
Положение центра изгиба Сточка О) *
9. Двутавр
* Пол.'
/( и Г:™ моменты инерции полок 1 и 2 по отношению к оси х.
тяжести некоторых фигур (то'шя О) см. табл
7.5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ КРУЧЕНИИ
Форма сечения						Момент сопротивления в с.-Д	Положение точек г М аКС	Момент инерции в сл?
						WK = Ш. к 16	Во всех точках пери- метра	
		У 7 ТП 1. г				А = асу у = ..2L d з (i _ Л) = К	ld н = JL. JbMl. ]fi	dll	Во все?< точках наруж- ной окружности	/,. =	Л (1 - Я4) к до н 32 1 н в) Р
!• 	iу %'л —6 —		-t			h — = п > 1 ; Ь W — — h	16	По концам малой осн т	Л1к макс к По концам большой оси т т __ макс п	г	Л	1.1 / =			Й» = 16	п- + 1 № 4У/р
f ~1	ш |—-bg—1 — —		 г		1	Л1( гМФГ~я> h.	h -А = -2~=а <1; У, йн ук=ш. Д (,^а4) к 16 н	По концам малой осп ИН SaKC Д ' По концам большой оси т _ гмакс п	IК=-Ж • к	16	п‘ 4-1	11 X (1 — а4)
372
РАЗДЕЛ 7. ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ
Продолжение табл. 7.5
Форма сечения				| Момент сопротивления В CM3		Положение точек т макс		|	Момент инерции в см4	
j *—a-J				Wk = 0,208a3		Посередине сторон т М макс	0;203 а,		К	1д1‘^ ai	
				h 	~ n > i; b wK -		Посередине длинных СТ°Р°Н гмакс “ ^к/’Тг Посередине коротких сторон т - £тмакс В углах т ~-= 0		/к = Д.о	
n		1	1,5	2	3	4	6	8	10
		0,208	0,346	0,493	0,801	1,150	1,789	2,456	3,123
1	*1		0,1404	0,2936	0,4572	0,7899	1,1232	।	1,789		|	2,455	3,123
t		1,0	0,8588	0,7952	0,7533	0,7447	0,7426	0,7425	0,7425
}	/г——r				h 		 n > 4; h Ж. = A (n — 0.6S) b> = A	3 b		В точках длинных сто- рон, за исключением концов тмакс Посередине коротких сторон т == 0,7425 т 1Г ’	макс. В углах т = 0		F ~7~	— 0,63) №	
/Ж\ г 4i	T < <жЖ>|				h? П7 , = 0,05 Ю = 		 ~ 7,5 A = h? = 2Jjl 12,99	Ъ		Посередине сторон тмакс В углах т =0		1 =- м _ fts _ к	,/Т	'-’5,981 Ла у 3 _ з	м	__ м 80	46,188 > 6	
				ft -~—4			IF,. = — hb‘ — 0,105 b3<= b 12 = A b		В точках длинных сто- рон вблизи основания т макс В углах ъ =0		1 1 		 hb3 — 0,105 Ы 12	
7,5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ СВОБОДНОМ КРУЧЕНИИ
373
Продолжение табл. 7.5
Форма сечения		Момент сопротивления 1	в см3	Положение точек т_ макс	Момент инерции в елд
'	 Л.			J		Л 14 Г7	1	h ЛГ- Ь2 ч к = — . — 		 12 ь, ь, - 62 ,4 , ,4 bi + о.>	/ -0,105 -i	з = Ш 01	0;	В точках боковых сторон вблизи большего основа- ния трапеции гмаКс В углах X=0	=ш,. iirizji- 5	12	ft, - Ьг -0,105 f if + б)
f	h	z^-L '//'/Л УП	, h f of- А Ж.-		 - 	 14	t>i lbs — b,) d	! — 0,21 —4 = _J£ bi	bi	Посередине длинной стороны тмакс	! А ( д - Д /,.=—•	4 „ 12	Ь{ Ьп — 0,21 ft.-]
гН'-тО- -L		IFK ==.- 0, 436 Fl>	Посередине сторон тмакс	/к = 0,533 FV
jL—2fe__		IT,. = 0,447 Fb h	Посередине с гор он т макс	iK n,sa ,'7,-
Tan л н ц а 7.6
Форма сечения		Координаты центра изгиба и бимомент инерции сечения*	Форма, сечения			Координаты центра изгиба и бимомент инерции сечения*
У	£2 ,р4>Й^- ЕГ	х__ = б; 1/__ — (), 0	О 1 - ХИ		б 0	9, Уз „ 			4.— К .1	-™-к /2 £л	у__ ~ —-— ; ° X) ,	_	1IU 13i/h!' 1	—				 ® ; У
374
РАЗДЕЛ 7. ТАБЛИЦЫ ГТОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИИ СТЕРЖНЕЙ
Продолжение табл. 7.6
Форма сечения	Координаты центра изгиба и бимеменг инерции сечения®	Форма сечения	Координаты центра изгиба и бимомент инерции сечения*
* Принятые обозначения: ?1л, /2л_,	— осевые моменты инерции частей I, 2, ... относительно осей х, и:	~~ бимомен-
тЫ i частей 1, 2, ... относительно собственных центров изгиба.
ЛИТЕРАТУРА
!. Бь р п Д В ч " е оо н с к и й А. К, Кручение
v'-v-m з ’е л * т ) Сгины 1944.
2. йехов П, В, Раечзлтые формулы для волнистых и
сю адчо^ых пр-дц-илс 4 Стпо'Щ-щат, 1964.
1 Г е о о - a Q, Г, fp бооорч-’чые балки большой полез-
ней ш <p’-<w 1 ’вь^кои энзло.,ЬхКл1. Изд. Гос. науЧйо-мелиоратив-
’ ог-> чч т и б . 5930.
-1 гог7 j С^р" мо г~ v пв •’-'Яровых — 8239—56, то же,
гбл-'тчг,! ы’ < 1*1— <1 1 л _ ш-шо юполочных6185—52; Сор-
Ta’icHi шьслтс-ров — о2!0— 56. го /Ле, облегченных — 6185—52;
Сортамент угловой равнобокой стали — 8509—57, то же, неравно-
бокой —- 8510—57.
5.	Динник А. Н. (ред). Справочник по технической ме-
ханике. Гостехтеоре.тиздат, 1949.
6.	Марченков А, Н. Определение коэффициента щ
характеризующего форму поперечного сечения элемента. В сб.:
«Материалы по металлическим конструкциям», вып. 10, Строй-
издат, 1965.
7.	Справочник машиностроителя, т, 3, Машгиз, 1949.
8,	Энциклопедический справочник «Машиностроение», т, I,
кн. 2. Машгиз, 1947в
РАЗДЕЛ 8
ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК,
РАМ И АРОК
8.1. БАЛКИ
0.1.1. Консоль. Опорные реакции, моменты, прогибы и углы поворота сечений1 *
Таблица 8.1.1
Схема	нагрузки. Эпюры Q и М		Опорная реакция., Опорный момент	Прогибы- Максимальный прогиб на конце консоли макс	Углы поворота сечений. Угол поворота концевого сечения ^макс
/	—t —— цТШТТГГ( i ГТгН'ТГГГ НИ 111II ПТТТТГт^	р j9 S м	.А ™ Р; — Р/	Р х“ а.	(31- х); х 6 Е1 - РР °макс .j	Рх хх^-^~ V11 - ХУ’ х 2EJ РР Дакс ”“3^р
	1——	1 _ г—а— =—-х? —-зк	а. м	А ~ Р; Л1	— Ра	Рх‘ ,,,	, v =	(,!а — ху х 6 EI Ра" ,, У = ДЕ” ('К ~ Ч ' Ргг v ^А-Р~{31~-а) маке 6£/	(2й — л); л 2Е1 Ра7' макс	xt	ygj
			 £ . TI1II111 i 1111111 и 11 — X —Р '	а К	Д = р«б рР М = — -А— ->	рР	Л« л х , О ц	—, —. I Ь — 4 — -!	; * М Е! !3 \	1	Р ) pl* умакс 8 Е1	рРх f- п X , x'J '\ X	U - ~У	1 , х 6 £7 1,	1	Р- } 	рР_ макс "вЕ1'
	--х уд шдшшиЖ	a №	А р.Р: а.	™	"'И	v	(з1-зь- 2ху. х 12 £7 у	—2— Ц" ГбА — Ax.l + jcH— -'i	24 £7 1 1 V	1	С — а3 (4х, -- s)j ; — рР Р, л а3 -^а* \ макс 24 Е/	р + р J	т — J^L ц ‘ а — х х 2EI ~Г т - <Л х>-	ММ б Е! \ 1	1‘ 3	\ , Др— а< I. р	р j 1 pl'* f	а? \ макс ш	р )
1 Здесь и в других таблицах для балок моменты приняты положигельнымн, если вызывают растяжение нижних волокон
балок,
Формулы для определения прогибов и углов поворота сечений пригодны только дл.я балок постоянного сечения-
376
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Продолжение 8JJ
а Схема нагрузки. Эпюры Q и М				Опорная реакция. Опорный момент	Прогибы. Максимальный прогиб на конце консоли ^макс	Углы поворота сечений. Угол поворота концевого сечения т макс
/>	г~			 1 ___ LJxga		а м	А — ря; ра' /VI =г	—— а	с)	<3 а	>а II 2	-	.1 и	II	Ча II sL "1" .о|	5 Г- а Ч 1 51 ” £ л fc । ° ь 1	+ 3	“	’	& | н	Т =	У _ з -£ д. У \ _ С Е7 \	а	аг ) p£Z3 Ьгакс - с+ -
si	.		 t 	, ТГПТШДГГтт^		&  м	&	л. в 11	II i	«jg. о> j W	। у	— (ю10 —- х 120 El ? \	L + 5 — 			 1 , /2 /3 ) 1 pH рмакс “ 30 Е/	г	±(^6±.+ х М El	1 \	1 + 4—~ УУ  Р I3 )' т	= рр . макс м и
Н	> ТГГГГТгт»^^—					
						
	——г _—_ —-X		~р a .4	2 plJ а	3	й — р1“ , -51 (oq — 10 — + t ~~ 120 Е/ Р V	' + _£Ц • Р } ‘ __ И рР смакС - -узд ' Е1	т = р1' . АУ — 6 — + УЛ  х 24 EI м	!	’3 )' _ рР макс ' 8£/
pj		1 			-р, а м	Л = ,р' + Рг) J - о Л!а = -(2Р1-Ь Р + р.2)7	г'мЗКС ”= (П ₽1 + 4рз) !21) £/	(3Р1 рд р Т	=х 			 макс	24 EJ
	ТТГгттптпттптпт					
					мерной нагрузки p=ps по всей длине балки и треугольной нагрузки с максимумом на опоре р^р-- — р\	
	L= грг г: 1 |Г д	- ъ	а м	2 г>7? М = -~ — (31+а) а	6	оРЬ Дп	'> Ы \ -и				 1 JU — 1SJ — -Ц — макс 120 Е1 у	IE)	\<акс = —У- <6Р — 4Ы + ь'-} макс м Е1
						
	Г J—JZjZZ j ИН'ГП ;Т"Ггт>^.		а м	2 №а	« + '2'Р а	6	рР Ь +	- Ъ . А4 1 г;			 & — а —- -|		 j макс зо £/ \	1	Р /	
8.1. БАЛКИ
377
Продолжение 8.1.1
Схема нагрузки. Эпюры Q и М				Опорная реакция. Опорный момент	Прогибы, Максимальный прогиб на конце консоли ^макс	Углы поворота сечений. Угол s поворота концевого сечения ^иакс|
фдхДШШжпза			fl ft?	A=Ph; 2 м а	4	____ 11	р!'1 °иакс	192	Е!	| ~~ 7 тмакс 96	Е[
	—1	 '—л —4		fl Q M	А = 0;	__ Lx2 . х 2Ш _ Ll'2.. ^макс 2£7	Lx Т = 	 ; х Е! = -Е- тмакс Ej
	-——J hs — a —		« 5	А = 0;	Lx3 * а 		; А ЧЕ1 а =	Р2Х — а\ ; *1 1EI ' 1	' омакг = СЗ_ (2г _.й)	Lx Хх El _	__ _La_ тмакс ~ Тж1 — £y
	1Ш1ШШ					
	1.					
'4	1— ШМПжшэга.		,S M	1 А = j pclx\ 0 г М = — f oxdx ti	' 0	1 °макс “ уу (м {! ~х) Лх = 0 Е1 '	’	z 1 С ДГ,	1 маис EJ J	EJ О
£>— площадь эпюры ,М;	—абсцисса центра тяжести площади эпюры М.
8,1.2. Простая балка. Опорные реакции, изгибающие моменты, прогибы,
углы поворота опорных сечений 1
Схема нагрузки. Эпюры Q и M	Опорные р е а к ц и и. Изгибающие моменты	Прогибы в пролете	Углы поворота опорных сечений
1 Формулы для определения прогибов и углов поворота сечений пригодны только для балок постоянного сечения. Знаки
углов поворота сечений (т) приняты положительными при повороте сечения балки над левой опорой по часовой стрелке, над
правой — против часовой стрелки.
л Изгибающие моменты в различных сечениях балки при разных значениях all см. 8.3.8 ^обозначено через •
О7Я	РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Продолжение 8.1.2
Схема нагрузки. Эйюры Q и М			Опорные реакции. Изгибающие моменты	Прогибы в пролете					Углы поварена опорных сечений
А	t—~ _JP 1 , гЕН жЦшЛ	3 »	to	А = В=Х; 2 М макс 1 при X ~ 		 2 %	0 = _р,1- — 4х-) х 48 Е1 1 при х -< — ; 2 _ РР °маке	4g£/ пРих = -±					РР т = т>, sa ——-— а b 16 EI
А	1	1 р 1 ИТзТЛ Д	L	 XULL	а м	Л В Р; М мене	з /	2 , При X ~	Г- 			 1 3	3	РР £мнкр.~” 28>1? EJ 1 при X 		 2					РР т ™ г, ~	 а b 9 Е1
ЖОРЖ									
п-7 одинаковые грузов 'р р р~р~"р л^яМгМЩе hr; 1	' ~р 1 । ГТПт-п	1 WF"			л = в==щщщ 2	п	4	5	3	7	а4	1 К 	с? ~ Й а I
				^макс	W 2	Р1 1,67	Р1 1,33	Р1 1,17	
				‘'макс	РР 20,22 £7	; РР :1Б,73£7	РР 13Щ5 EI	Р1э ИД5Л/	
J'	р	р а	а Д,4 л«а, а^хЛМШ- "ЖППИЖ	i			 | аа аз S Щ—^g—-а—			А В Р; М	х= Ра макс прн .«j — а ~~ (1 — а]	а — _Щ_ [За (1 —	— xsj; X Ра „ о		. [Зх Н — х А — а-1; л-,	б£/ 1 1 1	17	J . V	= —~-д~. (ЗН — 4а-) IJvC	Л/ 1	1 ргл: X, = -— 2					Ра 2 Е1
Л = В^Р\
м -
^макс "
I	з ,
при Xi ~----"~ —- I
4	4
♦ J = —ЕЦ (№ — 16 х"): Л 86 :Ев Р1 а „ь „	. ,		3 а Ь ай	цщ еГ ;
i	V	•*17	* }•		
ИЖ	1		
= — — При ,П,“	Л1~~ Й		
8.L БАЛКИ
379
Продолжение 8J.2
Схема нагрузки. Эшеры Q и Л4
Опорные реакции.
Изгибающие моменты
Прогибы в пролете
Углы поворота опорных сечений
п	3	4	5	6	7	
М макс	Р1 2,4	Р1 2	Pl 1.538	Pl 1,333	Pl 1,12	т =т.	Р1‘ . 2Ц+1 °	6	48£7	и
о макс	РР 24,45£/	РР	рр 15,1 EI	РР 12,65 £7	РР 10,88 В/	
'Ь
рР
24 £7
А — -^- (2-g); В = — У 2	2 Ммакс = ~ 12 ~ У’ п₽и % = ~ (2 - а						0	(4- за; х	24 £/ г	(1-0,5^; а 6 Е1 t = _рЩ (1 _ 0,5 У) °	12 £7					
5	0,10	0,20	0,30	0,40	0,50		0,60	0,70	0,80	0,90	Множитель
^Макс	0,0045	0,0162	0,0325	0,0512	0,0703		0,0882	0,1035	0,1152	0,1225	Ж
х	0,045 ,	0,08	0,255	0,32	0,375		0,42	0,455	0,48	0,495	• ;	1
V X	0,00014	0,0009	0,0024	0,0045	0,0065		0,0079	0,0082	0,0068	{£0040	Е1	1
та	0,0015	0,0054	0,0108	0,0171	0,0234		0,0294	0,0345	0,0384	0,0403	рр £7
1 ’•	0,0008	0,0033	0,0072	0,0123	0,0182		0,0246	0,0308	0,0363	0,0102	£/
* Изгибающие моменты в различных сечениях балки при разных значениях g см, 8.3.9 ^ооозначено через Al J
380
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Продолжение 8.1.2
8.1. БАЛКИ
381
Продолжение 8.1.2
.382
РАЗДЕЛ	АРОК.
Продолжение 8,1,2
Симе адгрушя. Эреры Q к М	Опорные реакции. Изгибающие момента	Прогибы з пролете	Углы поворота опорных сечений
,	 1		1	u —	2	2 	X 	Jt 		А = В = — ; 4 М = tl.	_3 pF °макс ~ |И0 ш	pF
™—«™—— м	макс ,it <24: 1 при X =	1 при х —	 2	а 0 ЫЕ1
^4Ц11 |]13Ж					A = (2pa + Pb) 1  ft Й = (Pa + 2pb)^:6; ’’макс = °>u065 (Pa + Pp	nP” x = <°>5 -a- 0,519) I		|
Квадратная парабола					A = В =	; 3 Л1макс ~~~ I при X —	 2	l	— 41 pli	1 °макс — 5T60 Ej	|	t r = вА	1 i	s“	ao Ei	1 1	Iipij X = 			j	
л	171	tflilltilliS	K.J в				
		Wc1*		fi M			
							
А	Синусоида TTr^iw3*^1'-		i co ch 5l	| /й	IbeHlpJ la	1 / g	; <• S / IX	1		A = В = TL  71 M =S£L макс I	: при л; = — 2	0	At_ мжс л*Е1 I при x =•• — 2	pl‘ пЕ1
	,Ч<ЦНПШП						
о. ПЛТТГИ
ш
Продолжение 8.1.2
Схема нагрузки. Эпюры Q и М				Опорные реакции. Изгибающие моменты	|	Прогибы в пролете	Углы поворота опорных сечений ।
	тч		i8 a M	Л ~	; В - - А 1 MQ ~ La при х == 0; М	_- L° М0,51 ' 2	LJx L.x~ /	х \ a =		f! .., 2LT ; х не	-2i;i \	ы J У	1 v =	... при к ==• —- ; 16 £7	2 L В амакс = —^— при х = 0,«3 1 макс 15, 59 £7	11 т 		а_ . ° 	1 "Ё1 ’ н	\
L	X -J ,					
						
	1111 Ш Г1 П 1 ПТТП					
						
						
д	L ° ~U 2~		Is я M	л =	£ ; В= -£ ; 1	1 А1, = — L —  1 Л1> = L -у	0 =_.	(ZJ„ 3b’- x=); *	6 Ell !	Lll-xd	Q ч ..\ v =	— / 21 x.. —	— x- j; dEU \	1	V Lab a — b n 5=—, •—— . —		 пои x ~ a. a	3 El	I	' При a ™ b 0,5 I 1В ^ке^О.ОО^, Знак минус при х~ 0,280 2; плюс при хг ~ 0,711 1	т = EL А _ з У. V G El \	Р )	\ л-	/'3	Q (, ,	—		—	i д -*”** ij --» i 9 °	6 El \	₽ ) При a — b = 0,5/ '’°'	H4E1
	1_, х —„у ।	1				
	л? , *г					
	х<а; х-,»а					
	ITinjJJJJJlLLml	..				
						
Щ ,	6, Р 1 Л fegmmgraAam, ! Г-Ц -J-	Т 1	ffp		'c j Q M		Л=- Р Л ; 1 Р^РЯ+1, 1 МЬ 5= ₽д	Ра^ v =	(2 + а), с 2 Е1 В пролете А'В Рп1л 1 ~	0,0642 		 макс при х — 0,577 1	X =—£-(3/a + 3a“); 6 El _ _ Pal _ ° ~~	6 £7 	Pal X'°	’ 3El'
						
L						
						
л L				л = — -ра"  "1/"	 7	о* = ^£- (42 + За), 5	24В/ В пролете АВ	 3 	( т==_Щ,(а+г); c 6 El paH T 	} a	EEl __ Pa~l 6 и
		c Й M				
л г						
	j 1111 i i/li 1 iJi, • T>’T			'	1 ...	•	1		
	-^г^ттпгЬ ~			м	»макс = -~ 0.0321 		 Kilis L	£.'у при х — и357/ 1	
- Р].
24 £7
При наличии р на всей длине балки прогиб нз конце консоли v
384
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
8.1.3. Однопролетная балка с одним защемленным и другим
шарнирно опертым концом. Опорные реакции и опорные моменты
j	Схема нагрузки. |	Эпюры Q и ,М			Опорные реакции	f Опорный момент ЛС, « о
1	,р я			
 А	>—— 1—	J в	Л=р ОХ [	21	
	BTI			
	1	' dE	1 °'	х f)j 	3	° j ра
I	Ь лТЕПцТПТр	г .И	В 2А ~~ /3	
а|	.1 lp 1 Р11 Ш .Lie	Я		
		-	41 Г	
	ан Р в 5 И	а И	32 Q3 В^~ Р 32	9 _ — pi 32
Л	евинановых грузов Р 			
		2 = П(2 	: ТО™ 1Ш.1 пто-^		,! = 30п~ + 1 р. 1OZZ С,и2 1	_ Х±1 pi
		м	В Щ	£ р 16п	
	ялдж			
А?	хР			1
	ПТ! 1 Г Г XI l irrngj	ks	Л	.°	п/’	
	1	'		8	
		а	В — pl 3	3	I
	- a. -f— ь —г			
А|		в	д= Pcb J. РаЬс х	_дХ (г+
		а	X [ 1 4~ Ь	; \	Аа )	2 Р \ Фг )
1		м	В ™ рс — /1	
8.L БАЛКИ
Продолжение 8.J.3
Схема нагрузки.
Эпюры Qя М
Опорные реакции
Продолжение 8.1.3
3g6
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Продолжение 8.1.3
А
Схема нагрузки-
Эпюры Q и М
(Опорный момент
М
А = g (20
40
В = 0,5ра А
-дл-айР -
120
- 45* + 40)
Ъ=*1

---j—_
пшшж
S
м
= ~~ Г (МТ-;*);
40
В?=0,5рЬ—А
- I2 (Ю-3«)
120
Квадратная парабола
А
В
а
А = 0,43-3/72;
£ — О,233р2
рр
W
ем.---»-
Синусоида
р
1
rrnrn^^t
k	Ж
Ы^ст-гтТйА-йтЗ*
fl
в
0.
Л==<+М,	
п	л3
в = Ц Л	_ Зр£ Л3
ЗрР
aJ
Л
'-г,
1 J
лЩйНШДХПд

М
41


Продолжение 8.1.3
Схема нагрузки. Эпюры Q и М					Опорные реакции	Опорный момент
/4	м— а —}—ъ- 1 L zk ^^t=0,S77l ГТГП , И57^			|а и и \м	.	3L (Р-Ь^ . =—•’ 					 , ЯР В =— А	-- Л _ 3 кА ; 2 \	Р ) ма=^ при Ь ~ 0,5771 1		
a'i	Првор		эт опрры У__ -1		А Г а м	А =	{р; Р О	ЗЕ/ В =_.	<р Р	ЗЕ!	! г	j
	Осадка опоры В —- 1 —J птшшшд ХППГШй^Ева»			Q М	л	ЗЕ1 л- А ~ 	А; Г“ в==^.Жд 1“	З^/ А 		Д	I
	Нагрев на Д/° == о	о =	> о d з!ЛЖ1ШШ1|а ДДПВМР^М				Л = — в = 	1,5£7аА(° Ы	1,5Е/а —-  а а — коэффици- ент линейно-: го расшире- ния
зна- кам	л £ ь е и.	юбая нагрузка 	1 ~~	™ 11ШйЗаа>-^1^ •^Wllll1.2^ При осадке оп< ш, что и при		a м эры / осад	мп А Ла ™	’ 5 в	в°в-	; Л°7 Ва — опорные реакции простой балки реакции и момен ке опоры В, но с	Зта  — -й- EI угол поворо- та простой балки на опо- ре А (табл. 8.1.2) гы имеют те же обратными зна- j
8.1, БАЛКИ.
8.1.4. Однопролетная балка с обоими защемленными концами
Опорные реакции и опорные моменты,
Схема нагрузки. Эпюры Q и М			Опорные реакции	Опорные моменты"
A.i	— а^1 	г		f в а м	А = р (3a+b) V . Р в==р <°+3b> Т р	„ _ Ра®‘ Р ма	в = —РАл 1,	Ра?Ъ Мь = ~ -~у~ = = РЖ
А Г	__ с 	г 2 Гр 2 Д ’| МиДЩ™™ а		р ' А = В	м^мь=~-~~~ -1	°	8
	-	. i , i тттгп ’ pi LU1LL ^ 9 х ;Х г~хГГП1 НУ	Is г	л = в = Р	«а=АХ = = — ~~Р1 9
А |	г 1 i . г ^Т^ТфТХ !Р »Р № 	1 	, ИЦ Ьггт 3" кЖ X W^'	у д е и	з .4 = в __ Р 2	Л1а = Н = 16
Схема нагрузки.. Эпюры Q и М			Опорные реакции | Опорные моменты j	
Л	-? адипиновых груза	ep -Хд	А = в = ?ХО±) 2	! 8 5? |Д II А Г *J3	|
А				
		 l^na 	 ТРЪт.		Hfi H И		
				
				
	а Р	Hi £- п 1 1	L—/?				
	t “:			
		X	 ‘^гН~~ТШ к у ч /	a. M	л - В Р	М „ == М д = д	0 п	К	а	\	\ ВО.	| 1-~~-	‘——	1	j \	/)	j
А /	iZiLi. фу 2 У О	te a M	л = В ==Р	Ма^А1ь^ №: I-
	PL ШИ к 16 ч / '‘чПШ^ЫЗл^"			
г а|	одинаковых грузе fe al ata । aP 	i^na	 ~p I hm I И I I rrm	&p y- в a	л = в = Хд 2	Я	1 1	& ,ы° « Д II	8 .& . л 4~ Д	j
				
				
388
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Продолжение 8.1 А
Схема нагрузки. Эпюры Q и М			Опорные реакции		Опорные моменты	
А /			a^b^ZL 2		У = у = _. .... р^ 12	
	аАШШСсшхцц	Д й Л7				
						
						
	pit Уд,. . А					
А		р а м	pa (1 — 0,5а) .4 — 			'.	pi	_ й2) ; В=	pl (k.~~kA; 21 г)Т^ М = -	(3-4^1,5Д) - а	6 ™ ~~ р М = _ ell М (г _ 0,75Д) =— р l-k„ а	3			
						
						
	|	’чжЫ		?	S,		^2
			од од 0,3 0,4 0,5 ОД 0,7 0,8 0,9 1,0	0,0044 0,0151 0,0290 0,0437 0,0573 0,0584 0,0764 0,0811 0,0830 0,0833		0,0003 0,0023 0,0070 0,0149 0,0280 0,0396 0,0543 0,0683 0,0790 0,0833
а|	Р—С *_	6 i ДДСр .1!! Пу. 	j ; 1 | [Г"	А а м	А = _ Р£ ?А г3 4 В =	pch 1 ^а b —= a (СЗ —•• Ь)', рс А	м = _ EL Гяу- а	р 1 ——    (28	£2) | 12	J дц = —.	^а~й -“ •С3	"1 —• (2z3 ~”' о) 12	J	
	“чГ; .i I.LU^*					
А	- а —c=jl га «	'В а м	4 = В = — 2		Л1 =Л1. = a	b = ™ ££?._ (3—г д 24	
	\.	, , ,.грА					
Продолжение 8.1 А
Схема нагрузки. Эпюры Q и М				Опорные реакции	Опорные моменты
	1 2 6		1_ ТттДс	'Ув R И	Л = В — 4	1	II !	)	и S1 “ т,	о- ~ II
					
					
	мг ы1шм				
—J а|	4ЁМШ[к —__ j,	 ПТъ-^.		Д Q М	2	л6= Aib=~SL.X Х(1 - & + е)
А ?	~0,А521-	— £А A’6,s	|в а м	а К ''la т1з II и "Ч	Щ	м =_££.. а	20 • м — рР °	30
А';	f-~a=M— f-~& — iWSJL иШ1!ШзЫ=!И-| - 1 11ь&>та!зщ:эгаа.		в а п	а - ее- «io — 20 - 5? + 25’: В О.бра — А	°	6 \ -£+ -Д’ ); ю J «ь=- —5х 60 К (5 — 3J)
8.1. БАЛКИ
38?
Продолжение 8.1.4
Синусоид.-;
Продолжение 8.1.4
Схема нагрузки. Эпюры Q и М			Опорные реакции	Опорные моменты
Поворот опоры А			6F7	4Е1
		k i		
			i 					Л —	q\ В r	6FJ В ~	<p z-	Ма^ — -——
	жлшшШШ П7Птт>^.	Q л?		,е л!, „ ,+
Л	Осадка опоры В 	_ 1 _	p_l Hr	12£/ д a = 	Д; I3 WEI	R/?; М	__ 		 Д; а	в
		a			 A И	Л1! ~ 			 А °	В
	Нагрев на А/° = = i •— / > 0 н #.о			ма = мь = .	A t ~ Е..1а •—— , d где а—к0э4фици- ент линей- ного рас- ширения
л	—'— 1	 ' а=о i	,...-„ 1 iTi ; 1 i) i ; i i I!: i. 1.Л	R И	A = В = 0	
				
А	Любая нагрузка ТкНДЯХПТТПхиД^ .	- 1 “^41, |		A=A‘	--'t—°- • — M, g^B^r	8 где Л°, B°~~ опор- ные реакции простой бал- ки	2Е1 М _ _±_ х а	1 Х(2дв - т6)-. ».= га ., р Х^2т& — тд^, где т »	— углы поворота простой бал- ки (см. табл- 8J.2)
390
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
8.1.5, Однопролетная балка с одним защемленным
и другим шарнирно опертым концом и с обоими защемленными концами. Прогибы
Схема балки и нагрузки
Прогибы
Схема балки и нагрузки
Прогибы
Р& fr9 (3r?4~4d)
v = —— ---------—------при х=а
12 ШР
Ра* Ьа
=5 -----— при j;==43
3£7/а
р/я v		 при .*=0,553 /; ма с 107 EI 7РР	1 v — .	при X. === —- 768 £.7	2	/	2			РР	! ‘макс ~ 	 п₽и х~ ‘— макс 192 Е!	2
	7	А-Х -			
смакс ~	ПРИ JC=Q»579 /; мал с J85 В/ pV	1 V =.	при Х= —• W2 £/	2	л-	‘Рч			pl^	1 — —-—	при	— макс 384 £/	2
		иш			
8.1. БАЛКИ
391
Продолжение 8.1.5
Схема балки и нагрузки	Прогибы	Схема балки и нагрузки	Прогибы
Любая нагрузка	ма Р	1 °””0’	16И	. где Vй— прогиб в середине про- лета простой балки по 8.1,2; Л^—-опорные мо- менты по 8.1.3	Любая нагрузка	16 л/ 1 при х — —, где v2 — прогиб в середине про» лета простой балки по 8.1.2; Ма, М& — опор» ные моменты по 8.1.4.
8.1.6.	Коэффициенты приведения нагрузки к эквивалентной
равномерно распределенной интенсивностью рэя
для определения опорных моментов в неразрезных балках
При подсчете опорных моментов в неразрезных бал-
ках любая симметричная нагрузка может быть замене-
на эквивалентной равномерно распределенной нагрузкой
рая. Приведение нагрузки к рэк позволяет пользоваться
готовыми таблицами и формулами, составленными для
балок с равномерно распределенной нагрузкой,
При определении пролетных моментов, поперечных
сил и опорных реакций расчет следует вести на дей-
ствительную нагрузку с учетом найденных для рая
опорных моментов. Порядок пользования таблицей см,
пример 1 в 8,2,17.
392
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Продолжение В. 1.6
Для симметричных нагрузок эквивалентная равно-
мерная нагрузка рВх может быть найдена, если момент
заделки от действия рак приравнивать по 8.1.4 МоМейту
заделки от заданной нагрузки. Например, прн нагрузке,
меняющейся »по синусоиде, из условия
24
(см. 8.1.4) получим Рак—
12 л?
8.1.7.	Неразрезные равнопролетные балки. Изгибающие моменты,
поперечные силы и опорные реакции от различных нагрузок
Таблицы позволяют определять максимальные и ми-
нимальные значения пролетных и опорных моментов в
одно-, двух-, трех-, четырех- и пятипролетных «разрез-
ных балках, а также в балках бесконечной длины, по-
стоянного сечения от воздействия наиболее распростра-
ненных видов нагрузок. При действии сосредоточенных
грузов даются значения моментов под каждым грузом.,
Ё таблице даны также М и Q в полубескоке-шо1’
балке, у которой крайний пролет равен 0,8 и 0,9 средне-
го пролета. »
Индекс «макс» обозначает наибольший по абсолют-
ной величине положительный момент (поперечную си-
лу) или наименьший по абсолютной величине отрица-
тельный момент (поперечную силу). Соответственно
«мин» — наибольший по абсолютной величине отрица-
тельный момент (поперечную силу) или "наименьший по
абсолютной величине положительный момент (попереч-
ную силу).	1
При нагрузках, симметричных относительно середи- .
ны всей балки, значения моментов, поперечных сил тй
опорных реакций в правой половине балки равны соот—
ветственно значениям этих усилий в левой половине,
при этом поперечные силр! меняют свои знаки. г 1
На схемах расположения нагрузок в крайнем Лётом ;
столбце показано только, каких пролетах расположе-
на нагрузка; в верхней, горизонтальной графе показа-
но пять вариантов нагрузок. Точка 1 в верхней горизон -
тальной графе для случая равномерно распределенной
нагрузки соответствует наибольшему пролетному момен-
ту. Для крайних пролетов точка расположена примерно
на расстоянии 0,4/ от крайней опоры, а для средних
пролетов х—0,5/.
Если на балку действует нагрузка, отличная от при-
веденной в таблице, ее следует заменить эквивалентной
равномерно распределенной рак, пользуясь данными
8.1.6. Опорные моменты для рзк определяются по коэф-
фициентам таблицы для равномерно распределенной на-
грузки. Пролетные моменты, поперечные силы и опор-
ные реакции определяются в этом .случае как в Простой
балке от действительной нагрузки сбучетом Найденных
опорных моментов.	:	 . 4 „„ .,,4. 1. ,
При одновременном действии на балку равномерно
распределенной нагрузки и сосредоточенных грузов наи-
большие значения пролетных Моментов суммируются
(хотя месторасположение наибольших моментов от этих
нагрузок не всегда совпадает). Точное, расположение
сечений с наибольшими пролетными моментами дано в
пункте «г».
Значения М и Q в различных сечениях балок от рав-
номерно распределенной нагрузки и сосредоточенных
грузов, а также моменты в нераэрезиых! равнопролет-
ных балках с одним защемленным или обоими защем-
ленными концами см. I-е издание Расчетно-теоретиче-
ского справочника (табл, 8.1.9н-8Л.12).
8.1, БАЛКИ
393
На рис. 8.1 в подстрочных индексах моментов пер-
вая цифра означает пролет, вторая — место приложения
груза, например Af2i -—момент в пролете 2 под гру-
зом 1. При равномерно распределенной и треугольной
Ми мп мк

с
Продет 2 продетЗ
Оге йзс
Рис. 8.I. Условное обозначение моментов дано
для нагрузки от двух сосредоточенных грузов
Продолжение 8.7.7
нагрузке вторая цифра (1) означает максимальный
пролетный момент.
В обозначениях поперечных сил цифровой индекс
означает пролет, а буквенный — опору, например Q?i>:
поперечная сила в пролете 2 вблизи опоры В.
Прогибы в середине загруженного пролета можно
/Ил+Мп₽
определить по формуле fo.s; —и0——————> гДе °°—
16 £7
прогиб в середине пролета простой балки (см. 8.1.2);
Мл, Мпр—абсолютные значения моментов на левой и
правой опорах данного пролета, определяемые по на-
стоящей таблице. Численные значения прогибов равно-
пролетных балок от различных нагрузок см. [23,
табл. 8.1.13].
а) Двух-, трех-, четырех- и пятипролетные балки
Схема загруженных пролетов	Моменты, поперечные силы и опорные реакции	Вид нагрузки в загруженных пролетах								
		рФ-уг р шхшихш£т.1	.сущ		fl р (НИР		f Р Р Н4й?й’	8		г 1*1-1
		А .			 i —4			5	1	2 ~~1 		 £ 								
				1			4 1	3			k	р/ф т
							Р	’ и			
1 ' Ф 2 Ф АВС 4- 1 -4- £ -4	Min 5макс ^1&(мин)	Да 0,070 pls -0,125 р'Р 0,375 pl 1,250 pl —0,625 pl	ухпролетная балка 0,156 Р1 -0,188 Pl 0,313 Р 1,375 Р —0,688 Р	0,222 Р1 0,111 Р1 —0,333 Pl 0,667 Р 2,667 Р —1,333 Р			0,258 Р1 0,265 Р1 0,023 Pl —0,469 Pl 1,031 р 3,938 Р —1,969 Р		0,048 рР —0,078 рР 0,172 pl О,656: р( —0,328 pl	
a j a	j а А	В	С	Ж, , И (макс) ^12 (макс) М,, , 13 (макс) л16 А—О 1а(макс)	0,096 рР —0,063 рР 0,438 pl	0,203 Р1 —0,094 Pl 0,406 Р	0,278 Р1 0,222 Р1 —0.167 Р1 0,833 Р			0,316 Р1 0,383 Р1 0, 200 Р1 —0, 234 Р1 1,266 Р		0,065 рР —0,039рР 0,211 pl	
>*s ч Г *з -51	1	^11 (мин) А* 12 (мин) ^13 (мин) A=Q, , 1а (мин) м1г м1а ^1Э «« ^22 ®6 А=(?1й В	—0,063 pl Тре 0,080рР 0,025 рР I —0,100 рР 0,400 pl 1,100 pl —0,600 pl 0,500	—0,047 Р1 —0,094 Р хпролетная балка 0,175 Р1 0,100 Р1 —0,150 Р1 0,350 Р 1,150 Р —0,650 Р 0,500 Р	-0,056 Р1 —0,1 И Pl —0,167 Р 0,244 PL 0,156 Р1 0,067 PZ 0,067 Р —0,267 Р/ 0,733 Р 2,267 Р —1,267 Р . 1,000 Р			—0,059 Р1 -0,117 И —0,176 Р1 —0,234 Р 0,281 Р1 0,313 Р1 0,094Р1 < о,ооа( 0,12фИ —0,376 Р1 , 1,125 Р S,SloP —I^SIS. Р .' 1,500 Р		—0.039 Ы 0,054 рр И 0,021 :	—9,063	: 0.188рР: 0,563 pl —0,313:^	
394
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Продолжение 8.1.7
Схема загруженных пролётов	Моменты, поперечные силы й опорные реакции	Вид нагруййй 0 зйгружеийых пролетах						
		р	P г? ?-i	Р р t t 1 | i hl j 1 з f	PPP i	L		
		ГГТТТ.В1Ш±и-Ш						
		CTZ3			4 t 2 3 i 6	1					.г	
	J a А В С V	11 (макс) М,, , 12 (макс) 13 (макс) М , 21 (мин) М. , 22 (МИН) мй И(макс)	O.lOlpZ2 —0,050рР -~0,О5@рР 0;450р1	Д’ 1	о	о 1	|§	1	Ip	ч 3s g	g	g	0,289^2 0,2^4PZ —(1ЛЗЗР1 -~0,133PZ ~0,133P/ 0,867P	OiS№Pl 0,406PZ O.234PZ -0,188PZ —O.188PZ —O.188PZ ЦЭ13Р		0,068pZ3 -0.032/Д’ —0,032pla 0,219pl	
&	& 2^ А	В С S	Л1 , И (мнн) ^12?(мин) ^13 (мий) ^21 (макс) Л<22 (Макс) мь мин)	”3.	о. § 1 11 1 Big® О	о ?	—0,038PZ O.175PZ —0,075PZ Л-НШбР	—0,044Pl —0,089Pl 0.200P! 0.200PI —0.133PZ —ЛДЗЗР	2	<2	<5	£	£	c£	a, 3	8	3	S	§	S	g f	f	f	5	11,		—0,014p? 0,O52p? -0,032pZ5 —0,032pJ	
a f a g A g h. ABCS	b (мин) А1р ^иакс Qlfe (мин) 1н (макс)	-и,ц/р1 —О.ОЗЗрР 1,200р1 —0,617pZ 0,583pZ	H^QQP ^675P Wfep	—0.3UPI —0.089PI 2i533P —Ц311Р 1.222P	—O.438PZ —O.125PZ 3»750Р —1.937P 1.813P		-0,073pP —0,Q2SpP 0,S25pl ~0,323pl 0,303pZ	
& j lS^~S~gb. ABC 27	11, , о (макс) э (макс) ^2Ь (мин)	0,017pF -4),067pP 0,017р( -O,083pZ	0,025P( — O.UXJPI 0.625P	0.044PZ *5*0,178PZ 0.044P -O,222p	0,003? 1 0.063P —0,313?		O.MlpP -0,042pZ2 O.OllpZ —0,O53p7	
f 1 fFfjTO -j t J11 U i L_	«и М18 М!3 «>, Л,23 МЬ A-Qla В С °~1Ь	Четы 0,077р1- 0,037pZ= —0,107рР —0,071pZ2 0,393pZ l,14Spl <ii9iSpl --®A№pl  -шезерг - МА464р(	рехпролетная балкг одШв 0.116Р1 -А},161Р1 —Аз,707 Pl 0,339Р 1.214Р 0.8Э2Л —0.S61P 0,55 IP -Лдабд	0,238PZ 0,143PZ 0.079PI o,mpi -S0,286PZ —0.19OPZ 0.714P 2.381P Ц810Р —l,28b'P l,09SP -Д;Й5Р	Q,275Pl O.29SPZ 0.074PZ 0,007Pl OtiSaPl OiiAiPl —0i№2Pl —0j268PZ 1,(Й8А> 3.536P 2,7Й2Р —1,902? 1.634P —ЦЗбОР		Да.	S’	=t S! 3	"Й. : Ж "S. ra. ”eL "S "S. SI	1 §	1 18 8 S	sgl	Й	S о	o’	ол©?аэ	о o' о	о	о	
8.1. БАЛКИ
395
Продолжение 8JJ
Схема загруженных пролётов	Моменты, попереч- ные силы и опорные реакции	Вид нагрузки в загруженных пролетах						
		ip^Sf z	р Lkth	p p РЙШ	ppp dilMil			
		1»»И11а»»м«ааН						
		UJS J						
			t—7—i		4 t 2 3 f f-““-'I		1	~L —	
1 а> й гм tn	МЦ {макс) J^12 (макс) ЛГ„ 13 (макс) Ж ~21 (мин) '^22 (мин) ^23 (мин) МЬ мс AissQ \а (макс)	0,100р/3 —0,054рР —0,036р7 0,446р/	0,21072 —0,0677/ —0,08072 —0.0547Z 0,420P	0,28674 0,23877 —OAPIPl --0.11Ш —0,143 Pl -43, №5 P! 0,8577	0,3257/ 0,4007/ 0,22471 -0,184.7/ -0,1677/ —0,1517/ —0,201 Pl —0,1347/ 1,2997	0,067рР —0,028рР -~0,034pZ2 ~<023р/2 0,2ВД		
iTfhfljA А В С В £	^11 (мин) ^12 (мин) М13 (мин) ^21 (макс) М 22 (макс) ^23 (макс) МЬ Л—Q. ,	. 1а (мин)	0,080pZa —О,О54рР —0,036р/а —0,054pl	t i	1 I s § 1 1 В 1 1 s p	Зз	“Э	—0,048/7 —0,09577 0.206PZ 0.222PZ —0,14371 —O.OS5PZ —0,1437	;	7 § §	S	§	§	1(	§	3	« CJ	С|	о	о	о	о	<= 		1 1 i	о	1 S 8 S 1 1 a 1 1 2 Ji Сй 4а	0ft	СП Tg_		
ц. Д А в С 3 £	М. , о (мин) < ®яакс ^16 (мин) ^26 (макс)	—0,121 рР —0,ЫЗрР —0,0Б8р13 1,&р1 —0,621р/ 0,603р/	—O91S1PZ —О.027Р/ —0.O87PZ 1,W —Q,681P 0,654P	—0,321P/ —0,048PZ —0Л55Р/ 2,595P —1,321P 1?274P	—0,4527/ —О,О67Р/ —0,2187/ 3,8877 —1,9527 1,8857	—0,076р/а —0,012р7 —0,036р/а 0,639р/ —0,326р/ 0,314р/		
Д? а2а^а А 8 С В Е	мь м , с (мин) г макс ^2с(МИН)	—0,036рР —0,lO7pZa 1,йзр/ —0,571 pl	—0,054Pl —Q.VAPl 1,214P —0.607P	—0,0957/ —0,2867/ 2,3817 —1,1917	—0,1347/ —0,4027/ 3,536Р —1,7687	—0,023р/а —О,067р/3 0,589р/ —0,295р/		
Пятипролетная балка								
। А В С ВЕЕ | 11 г | i В р j.	мп м12 «13 Л151 «22 м23 А131 Л1за МЬ	o,ow 0,033pP 0,046pZ2 —0,105рГ“	0J71PZ 0JI2PZ O,132PJ —OJ58P'	0,240PZ 0Д46Р/ O,O76P2 (W9PZ 0s123PZ 0,123P/ —0,28'IPZ	О,276Р/ 0,303Р^ G,079P2 0,005PZ О,155Р/ ®$54Р1 0.ШР1 Q,204Pl —0,395Р/	0,OS3pZ3 0,026рР 0,034pZa ^0,066pZ3		
396
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Продолжение Я./.7
		Вид нагрузки в загруженных пролетах
	Моменты,	р	р р	р р р	11
Схема загруженных	попереч- ные силы	ДЗЦ” Р г « t t 1 1 1X2 Jbldy г L_„л, ' 7 ~ж—ч—+ Гт 1Г1 А т 1 Гл йЖаДыл!	ЛПмыХ
	и опорные	иши!нцщй 4 v г 1 . % . J 1 ’4	* у 1 лп ПТк
	реакции	Т—Л 1t. 1 л 1 В г и ? / 3 t гп‘'нн,л
		
	мс	—и,079рга	—0,118Р1	—0,211/4	—0.296И	—0,050р(’
	л=р1а	0,395р/	0,342В	0Д19Р	L105P	0,185^2
	в	1,132р(	Ц198Р	2.351Р	3.494Р	0,5W.pl
	с	0,974р(	0,96!)Р	1,9304	2,9014	0,484р(
	«16	—0,605р(	—0,6584	—1,2814	\	—1,8954	'	—0,316р(
	«й	0,52Sp(	0,5404	,	1,0704	1,5994	,	О,266р(
	^2с	-4.474Ы	—0,4604	—0,9304	—1.401Р	—О,234р(
	Чзс	0,500р/	0.500Р	1,0004	1,5004	0,250р(
	м , И (макс)	0,100рР	0,211Д(	0,28741	0,3264 (	0,068р/!
		—	—	0,2404/	0,4014(	—
	12 (макс)	
	Л1,„	—	.	_	0,227PZ	—
	13 (макс)	
	21 (МИН)	—	—0,06941	—0,12941	—0,1854/	—0,029р/3
	ЛД, ,	—	—	—0,1174/	—0,1734/	—
szasrra	дййзззэ	22 (аин)	
A f "E"g	Л< ,	_	_	'	_	—0,160Р/	—
A S	C1 В E F	23 (мин)	
	М„ , 31 (макс)	0,ОВ6рЕ	0,1914/	0,2284/	,	0,2274/	4	Д,СЙ9рР,
		~	_	0,2284/	0,3524/	.	—
	32 (макс)	
	7И&	—0,053р/я	—0,0794/	—0,1404/	—0,1974/	—0,033р/я
	м.	—0,039р/а	—0,0594/	—0,1054/	:	—0(1484/	—0,025рД
	.4=0, 1о (макс)	0,447р/	:	0,4214	0,8604	1,3034	0,217р/
		—	—0,03941	—0,04741	—0,05041	-O.OlSpl1
	1\4	,	—	—	—0,09441	— 0.W9PI	—
	12 (мин)	
	Л4 ,	—	,	—	—	—0,1484/	—
	13 (мин)	
	Д1 (макс)	0,079p/-'’	0,1814/	0,205Р/	0,19047	O.OSap/3
	Л4- ,	—	—	0,2164/	0,32742	—
	22 (макс)	
A>1	' о ZS.g&	/VT	—	’	-А	—	0,2154/	—
A В ~C 3 E F	23 (макс) ’	
	Ж, < 31 (.мин)	—	—О’,05942	—0,105Р/	—0,14 8 42	—0,025р/а
	Atn ,	—	—	—0,10542	—0,14842	—
»	32 (мин)	
	мь	—0,053р/а	—0,0794/	—0,14042	—0,19842	, — О.ОЗЗрР
	н	—0,039р/а	—0,0594/	—0Д05Р/	-0,1484/	—0,025pP
	^~^1а (мин)	—О.ОЗЗр/	—0,0794	—0Д40Р	—0,1984	—0,033р/
	М, . о (мин)	-0,120р/г	—6,17947	—0,31942	—0,4494/	~О,О75р/а
	мй	—0,022рР	—0,0324/	’	-0,0574/	—0,0814/	-О.ОМрД
	Md	—0,044р/а	—0,06642	:	—0,1184/	—0,16642	—0,027 pl'1
•	г "X	мл	—0,05l.pl'1	’	—0,07742	—0,13742	—0,1934/	—0#032р/а
\A 6 t 3 c f	^макс	1,218р/	1,3274	2.581Р	3,8164	0,636р/
	^'1Ь (мин)	—0,620р/	—0,6794	’	—1,3194	—1,9494	—0,325р/
	: ®’2р (макс)	0,598р/	0,6474	\	1,2624	1,867 4	0,311р/
8.1. БАЛКИ
397
Продолжение 8.1.7
Схема загруженных пролетов	Моменты, попереч- ные силы и опорные реакции	Вид нагрузки в загруженных пролетах									
		к£_^5г Р	гИ~Н	р р		41	лиц	p		•хгТГШтгк	
		'!—-—-1		Li l j I ?							
			далда				> 1 2 J -i				
									<	1		
“° С> । «я [>• мУ’	«й Afc(KHH) Md Ме г макс ^2с (мин) (макс)	—0,035pZ3 ~Л),П1рГ —0,020р/2 --0,057pZ le167pZ —0я576р/ 0й591р/	—-0,052/^ —0J67PZ —0,031PZ —0,086PZ 1 дар —0,615Р 0,636Р	? - 1 л । и S	8	t	и	§	S	8 to	ч oj д	a "0	ЙЗ	“13	*p	*0	*P	“Cl L ~ ' Л		—0.130PZ —0.417PZ —O,O76PZ —O,215PZ 3,628P —1,787P 1S841P			—0,022p/3 —0,070pZ3 —o.mzpi1 —0,036pP 0,605р/ —0,293pl 0,307pl		
б) Бесконечная балка с равными пролетами											
	Опорные моменты Пролетные моменты Поперечные силы Q. Опорные реакции	—О.О&ЗрР О,О42р/а 0,5pl 1,0р1	-ож/ 0,125PZ 0,5Р 1,0Р	—0,222PZ OSHIPZ LOP 2P		—0.312PZ 0.188PZ 1,5P 3P			—0,O52pZ2 0,031pZ2 0,25pZ		
3 R L М М Л 4 Я П	Опорные моменты Пролетные моменты Mk=Mm Опорные реакции	—05042р/а О,О83р/2 0,5pZ	—0.063Р/ 0.188PZ 0,5Р	—O.HIPZ O.222P2 l,0P		-o,i56₽ г 0,344?/ I,5P			—0,Q26pP O.OSTpP 0,25pZ		
3 п L И N А А аЛг~2Г /г 1 m п	Опорный момент М Опорные моменты М д М Опорная реакция^	—0,!14рР —0,022р1а 1,184р/	—CJ71PZ —0,034PZ 1.274Р	-4),304PZ —0.060Р/ 2,488P		—0,427PZ ~0,083PZ 3,688P			-O.OllpP —O.OUpP O,615?7		
3 к L м N /х А ,“й 3 "Д Л i	Я	Опорные моменты MK-ML Пролетный момент Опорные моменты М! =ММ	—0,053pZa 0,072pZ2 0,0UpZ3	—0.079PZ 0J71PZ 0,021PZ	—0,141PZ 0,192PZ 0S037PZ		—0J98PZ 0,.302P> 0.053PZ			—0,033pZ3 0,050pZ3 0,009pZa		
39g	РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Продолжение 8,1.7
в) Полубесконечная балка, у которой крайний пролет (Ц) равен 0,8 и 0,9 среднего пролета (I)
Схема нагрузки *	Моменты, попереч- ные силы и опорные реакции	I	/,=0,9 i	Схема нагрузки	Момент®, попёреч- йыесилы и опорные реакции	1 ,“=0.8 1	/ДО,9 1
	/Г		С S?	0,044 pP -4),082 pP	0„060 pp —0,093 pZa	шиш	дтазх—	(макс) МЬ	ОД 69 рР —0,023 рР	0,084 pH —0,037 рР
	«с A^la <\b	—0,084 pP 0,298 pl —0,502 pl	—0,081 pP 0,347 p l —0,553 pl	г— ц _д_	i	_	Мс А^?а	—0,047 рР 0,372 pl	—0,043 рР 0,409 pl
	лг, й(мнн)	—0,098 pP	—0.108 pP		мь	—0,059 рР	—0,055рР
сХ'х. д:	<ilb	—0,027 p? —0,522 pl	—0,024 pP —0,569 pl	А 4-14- Аь	кс	—0,037 рР	—ОДЗВрР
* Таблица составлена для равномерно распределенной нагрузки. При других нагрузках заменить их на рэк по 8,1.6.
Продолжение 8.1.7
г) Определение абсциссы (х^ максимальных пролетных моментов в неразрезных балках
Схема нагрузки			Х(>
1		к	А —	i Р На рисунках показаны левый крайний и промежуточный пролеты неразрезной балки
i	А		1)	Х„ -Л— при (А — Р -Д < 0; Р	\	2 ) 2)	х„ = — при Р> /<4—р -~j > 0 £ р	/	1 \ 3)	л0 —	при | А—р — j > Р р	\	2;
	р р Л 	г	г			А 1)	Хи — — при (Л—рд) < 0; Р 2)	Xs) — а при Р > (Л — ра) 0; 3)	х, =. ±=Г р при (Р 4- ра) > (А — ра} > Р
Схема нагрузки	х0
р р р, 1 J, 1 .141 - (ДИд	1)	i 4 при Р > ^Л—р-~-^ > 0; n	А—Р 2)	хп^	 Р при	— р -j-j > Р; 3)	Л1о	—- при 2Р > ^А—р	> Р
	1 /л/ Хо — И/ — г р при JC0 < ™
8,1. БАЛКИ
399
8.1.8.	Неразрезные равнопролетные балки. Опорные моменты при осадке опор
Опорные моменты вычисляются по формуле М — k	А, где k — коэффициенты из таблицы; А—осадка опоры.
Двух-, трех-, четырех- и пятипролетные балки
Схема балки	Опорные моменты	При осадке опоры					
		.4	В	с	D	Е	F
t t I , Мг-4 ABC	№ь	—1,5000	3,0000	—1,5000	—	—	
I I t £444 леев	мь	—1,6000	3,6000	—2,400	0,4000	—	-
	м с	0,4000	—2,4000	3.6000	—1,6000	—	—
I I I I £4444 А В C 3 f	мь	—1,6072	3,6429	—2,5714	0,6429	—0®1072	—
	JMC	0,4286	—2,5714	4,2857	—2,5714	0,4286	—
	Md	—0,1072	0,6429	—2,5714	3,6429	—1,6072	—
WA А В C D E	мь	—1,6075	3„6453	—2,5826	0,6882	—0,1721	0,0287
		0,4306	—2,5836	4,3346	—2,7558	0,6890	—0,1148
	№d	”™05,1148	0,6890	—2,7568	4,3346	—2,5836	0,4306
		0,0287	—0/1721	0,6882	—2,5826	3,6453	—1,6075
Полубесконечная балка
Бесконечная балка

и ml. -В -С -В Й В С В и т.9.
Опорные моменты	При осадке опоры				
	А	в	с	D	Е
	-4э6078	3,6462	—2,5848	0,6926	—0,1856
Ч	0,4308	—2,5848	4,3388	—2,7704	0,7423
	—0,1154	0,6926	—2,7704	4,3885	—2,7837
ме	0,0309	-0,1856	0,7423	—2,7837	4,3921
	“““090033	0,0497	—0,1989	^7459	—2,7846
	0,0022	—0,0133	0,0533	——051998	0,7462
МА	—0,0006	0,0036	—0,0143	0,0536	*—0,1999
‘^1	0,0001	—0,0010	0,0038	—0,0143	0,0536
При осадке опоры Л
Опорные моменты
. - _______д*-----—
М = 4,3924
а
МЬ(-Ь) =-2.7847
Ме{-с} =* °’7®2
°-1999
0,6536
МД .=—0,0143
g(“g)
М..	0,0038
h{—h)
М.,	=—0,0010
г(—О
400
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Пример. Определить моменты от осадки опор
в стальной четырехпролетной балке двутаврового сече-
ния (рис. 8,2).
Пролеты 6 м, модуль упругости стали Е —
= 2 100 000 кГ/см?. Момент инерции сечения / =
= 117 300 см‘.
Возможная осадка любой опоры Д=0,004 лц
При. аяЛче
оперы А
При ocafye
споры В
При oaiSue
дтры С
Рис. 8,2, Эпюры М
El	Е!
м = k-----Д;----Д = 2,737 тм.
Р	Р
Опорные моменты, возникающие в балке под влия-
нием осадки опор (в тм):
Значения опорных моментов яри осадке опоры
м	А	В	с	D	Е
Аф	—4,4В	9,97	-7,04	1,76	—0,29
	1,17	—7,Ш	11,73	—73О4	1,17
	—0,29	1,70	—7,04	9,97	—4,40
8.1.9.	Неразрезные балки с неравными пролетами.
Данные для определения опорных моментов от нагрузок и осадок опор
методом фокусов (см. 5.8.4) *
Ход расчета
I.	Вычисляют последовательно для каждого пролета
фокусные отношения: левые kn (слева направо) и пра-
вые (справа налево). Вычисление начинают с край-
них пролетов, в которых фокусные отношения известны
(см. рис. 8.3).
Рис. 8.3
нагрузок с моментами от невыгодных сочетании времен-
ных нагрузок. Порядок расчета виден из числового при-
мера.
Вычисление фокусных отношений:
левых (слева направо); правых (справа налево)
= >х) или 2 (рис. 8.3); рт =оа или 2 (рис.8.3)!
при к'^ =--=о;
2.	В каждом загруженном пролете в отдельности оп-
ределяют левый- А1Е и правый А1пг опорные моменты.
3.	Вычисляют опорные моменты в незагруженных
пролетах: слева::бт загруженного пролета делением А1Я
на левые фокусные отношения, справа—делением А1Я₽
на правые бы спныс отношения (см, ниже).
4,	Суммируют опорные моменты от всех постоянных
где
1П — — — приведенная длина пролета; — мо-
* /7.
® Определение опорных моментоа путем решения системы
уравнений трех моментов и пример расчета см. 5.5.8.
мент инерции балки, Для балок постоянного сечения во
всех пролетах Г^1; m — число пролетов.
Я.1. ВАЛКИ
401
Проверка: для фокусных отношений у каждой опоры
всегда сохраняется условие
1 1
0,572 > ~— 4- ---------- > 0,5.
kn	V1
Продолжение 8.1.9
Опорные моменты от осадки опор
При осадке опоры т на величину dm моменты иа
опорах определяются по формулам (рис. 8.4):
Опорные моменты в загруженном и незагруженных
пролетах
„	6Е/	6Е/
Грузовые коэффициенты: La=~—тя;	тв,
где та и ту — углы поворота сечений над левой и правой
опорами простой балки по табл. 8.L2. Значения грузовых
коэффициентов определяются по табл, 8.1.10: £°=~;
R
R— — . Например, для равномерно распределенной на-
рР
грузки £° = ^°= —j— .
Рис. 8.4. Опорные моменты от осадки опоры
Наименование загруженного пролета Характер нагрузки	Опорные моменты; на левой опоре; Ai^P па правой	
Средний пролет (1п)> несимметричная нагрузка	£° k' — /?° == — —2—?_	2 • n	fc У - 1 ’ П- п 7?° k -+° Л1ЛР=	-2	1.	Е. n	k к —1 n n	
Средний пролет; симметричная на- грузка	k' —1 Мл ==		Л  n	k k	n n n л/пр=—A?—L л	i n	k k -i	n n n	
Средний пролет; симметричная	на- грузка; фокусные от- ношения k п. n	Мл =MnP = — —L— Ln n n	1+A n	
Крайний левый про- лет (Z0; при шарнир- ном опирании ^j~oo	Af? =0; AI"P =	 4	
Крайний правый пролет (Zm); при шар- нирном	опирании k = оо m	£« МЛ = —	Ajnp о m	p	m ’71:	
Незагруженные про- ленты (загружен п-й пролет)	Слева от затру» женного пролета мл	Шг2 М/г-2=“" . Фг-2	Справа от загру- женного пролета Л1ПР лгу =	 п+1 , 4+1 ACS : Л1у,=^-Ш±* 'Л~ 4-+
EEldm
А 4-1
Мт
В остальных пролетах моменты определяются как в
незагруженных пролетах.
Пример, Определить опорные моменты а четырех-
пролетной балке, изображенной на рис. 8.5. Нагрузка:
постоянная 5 = 0,8 т/л; временная Р = 5 т.
Р
;.yaSjg
П'
333 ЛЗ!	(
^=3
Рис. 8.5
Приведенные длины пролетов: ^=^=3; /2 = 6;1,8 =
= 3,33; /3 = 4,5/1,8 = 2,5.
402
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Продолжение 8.7.9
Фокусные отношения					Грузовые члены					
левые		правые			пролет	от нагрузки g			от нагрузки P	
=5 -X		1г. = оо 4			к	1	4	4			±Pl =H^ = 5>63 8	1	8	
		4 = 2(1+^)“4’4			ч	,0 -p0_At£-7 о i2-«2- 4 -7-			^±£ = 28,! 4n	4-4	
k^3 + ~ [2--U,31 3	2,5 \	3,8/		/^24--Д-зазз; 2	3,33 \	4,4/	;			ч	lLrf = ±^ = 4,ffi 3d	4			JLP(	= 3 J	3	
2+^’6-— U 3,47 4	3 t 4,31/		a>2+£lv,^_l_u3>89 1	з \	3,33)			ч	Lo =	_ li8 4	4			±«4 = £У = 5163 8	4	8	
Затру» жен пролет	М&, тм			мс, тм				№d, тм		
	постоянная нагруз- ка, g		временная нагруз- ка Р	постоянная на- грузка g			временная на- грузка P	постоянная на- грузка g		временная нагруз- ка P
ч	—Я°-.3,в9- —1,8.0,257=—0,463		=—0,257^0 —5,63-0,257=—1,45	-мь-.з,зз 0,463-0,3=0,139			=-0,3 Mb 1,45-0,3=0,435	-Мл4P4^0,2275 i'	c —СД39’0,2275= Lo ,435.0,2275=^0,099 =—0,03		
ч	3,33—1 3,8-3,33—1 -7,2-0,20==—1,44		£ф=_0,20 £,0 —28,1.0,20=—5,62	3,8—1 3,8-3,33—1 —7,2.0,24=—1,73			7?°=-O,24i?O -28,1-0,24=—6,75	1,73-0,2275=0,394		=—0,2275 Ms 6,7S-0,227Ss=l,S35
ч	-Л4Й:3,8= 0,765-0,263=0,201		=—0,263 Ме 2,84.0,263=0,747	„ 4-4"1 4,31-4,4™! 4,05-0,189=™0,765			£« = -0,189 £« —15-0,189=—2,84	__ 4»31—1 4,31-4,4- -4,05-0,184= =-™0,745		- J?°=-0,184J?0 •I u	3 ™ 15’0484^^2,76
ч	—1MC:3,8=—0,263 мс —0,12.0,263=—0.03 | —0,276-0,263=—0,073			—7Hd:4,31= 0,518-0,232=0,12			=—0,232 Md 1,62-0,232=0,276	-£°:3,4 4 1,8-0,288=—0,518		7=—0,288 £« 4 —5,63.0,288=—1,62
Все про- леты Моме!	—0,463—1,44+0,201— —0,03=—1,73 1ты m временной натр		узки определяют как	0,139—"1? 73—»» —0,7654-0,12= =-2,24 обычно, принимая			различные сочетай	—0,034-0,394— —0,745—0,518= =™09 899 ия загруженных n		эслотов
8Л. 10. Грузовые члены
: В таблице приведены данные для определения L и
R— свободных членов уравнений трех моментов (ем.
5.57) —соответственно для левой и правой опоры от
нагрузки в рассматриваемом пролете неразрезной балки:
L ха, R = 6Е1С гь,
где to и Тб — углы поворота сечений на левой и правой
опорах простой балки (см. 8.1.2).
Йриведениая длина пролета 1а = 1п~~ ,
где h — произвольный момент инерции, принимаемый
одинаковым во всех уравнениях; /» — момент инерции
балки в пролете 1„. Для балок, имеющих постоянное
сечение во всех пролетах, 1'—1.
При определении опосных моментов неразрезной
, L	R
балки методом фокусов Lfi =	.
Формулы для нахождения методом фокусов опорных
моментов от осадки опор даны в 8.1.9.
8.L БАЛКИ
403
Продолжение 8,1.18
Схема нагрузки		Грузовые члены					Схема нагрузки					Грузовые члены		
j.	— i г w *		/- =	<i+t>U p P					tp	tp £4—ta k	1.	1					d^a}		
a		L~R А Р1Г 8						>L—		 7 	]				L^R ^~PIR 16		
, £	—— 1 			 	 															
p	p tl±i±hl L———, i		L^R A PIV 3					1 £	n о8инаиовь!х p ^a/Gfa-fa/x. ?? -—  l~r>a -—i				t=« = ±2i±Jl pu’ Bn		
п-1 одинаковых P P P P P P	: 1'—- t=na, ———4		yR™—"J L-~R^-	- PIP					f					4		
		L=pa4' (1--0.5 g)3; R=0,5 pa! I' (1-0,5 £’)												Множитель
— 5 ——	4*	5	0,10	0,20	0,30	0,40		0,50	0,60	0,70	0,80		0,90	
f t£ J	-1 		f	L	0,0090	0,0324	0,0650	0,1024		0,1406	0,1764	0,2070	0,2304		0,2450	pl4'
			0,0050	0,0196	0,0430	0,0738		0,1094	0,1476	0J850	0,2176		0,2410	
	Схема нагрузки	Грузовые члены	.	Схема нагрузки	Грузовые члены
-		L=R = £££ (3Z-2a)	b-CZlvi	£=R ==
		г—u	11 			8
	  °	b—1	b	l4%UR-b) - RP		60
2	1-1 f - -4 j	я= pjiR. Hi u+aW4 ip	I——I 4	R=— pPl' 15
404
РАЗДЕЛ 8, ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Продолжение 8,1.10
Схема нагрузки				Грузовые члены	Схема нагрузки				Грузовые члены
	'—~a^i~ >——1,		“S"	Д =	(12 «—45 g + 40)’ 60 (5-3^) 15	I	_ ь | ItWlttteb» «г			JL рр г 32
L—	 лдхШЁШШ штт-^				1 = P?1L g’ (3g*—15g + 20); 60 (10-3«) 60					V г i== РРа+^ь)’ Р1} "«Г (7ра+8рй)
	—	Z———j				г				1 ___,.			
	г j 2 L -=«ЙИ	г г	Г	L^'H	pl2 Г 32		квадратная	парабола 1Шк		а;
						й n=is^24 7^ 1— 1—Ь—,			
				_								
fG4	д кш		ий'		i-—r = sLL 4	Син> yfflil • fi ...JlWtl		соида fnhk Ш I Ж		д=й=^ л3
h	.1^—j						РХ=Р31„^ '-—— г———,			
4 . 1 Г Li Т 4 ~Г £		1Z т в 7		17 L^ = — pl* I' 128		2			L^-L’T (1-Ъ^); R=L' V {1-3j’)
			iL			т	-4-4^	а	
С-——	i						f—,,-,	— 		-Z—	4		
!—*				a=r = 4_ pi-ч-	s 128	Осадка опоры на Д L,X J 1	иЛ	4	й/74/					6EI. 	£Д; я 1 п Rn.—LnRr=~f‘cSc (~7~ + \ *а ,	1 \	6Е1. + 	д. Дя+] - п+1 )	:	пД1 Проставлять действитель- ные: .длины пролетов, а не 1 приведенные	|
8.1. БАЛКИ
405
8.1.11.	Двух- и трехпролетные балки с неравными пролета?ли.
Изгибающие моменты
Дв ухпролетные балки
M^kplf, где k — коэффициенты таблицы.
По таблице могут быть определены опорные момен-
ты и от других нагрузок, если заменить их эквивалент-
ной равномерно распределенной нагрузкой рэв, которая
принимается:
при нагрузке, симметричной относительно середины
пролета, по 8,1.6:
при несимметричной нагрузке: в пролете 1р,
/йэк == ~	;
П
в пролете Д'. Р-2-m
8ЛДЯ
где Л^ад— момент заделки от заданной нагрузки (в
пролете Ц или /2) по 8,1.3.
Продолжение 8.1.И
	Загружен Ц		Загружен 1,,		Загружены оба пролета		
		7? а: й				о g	§
	Му	S	мь	s.	мь	3	В
						50	5,
1,0	—0,063	0,095	—0,063	0,095	—0,125	0?070	0,070
1Д	-0,079	0,114	—0,060	0,096	—0,139	0,090	0,065
1,2	—0,008	0,134	—0,057	0,097	—0,153	0,111	0,059
1,3	—0,119	0,155	—0,054	0,098	—0,174	0,133	0,053
1,4	—0,143	0,178	—0,052	0,090	—0,195	0,157	0,047
1,5	-0,169	0,203	—0,050	0,100	—0,219	0,183	0,040	'
19б	—9,197	0,228	—0,048	0,101	—0,245	0,209	0,033
1,7	—0,227	0,256	—0,046	0,102	—0,274	0,237	0,026
1,8	—0,260	0,285	—0,045	0,103	—0,305	0,267	0,019
1,9	—0,296	0,315	—0,043	0,103	—0,339	0,298	0,013
2,0	—0,333	0,347	—0,042	0,104	—0,375	0,330	0,008
2,2	—0,416	0,415	—0,039	0,106	—0,455	0,393	0,001	;
2,4	—0,508	0,488	—0,037	0,107	—0,545	0,473	По всему !
2,6	—0,610	0,570	—0,035	0,108	—0,645	0,553	пролету
2,8	—0,722	0,655	—0,033	ОД 09	-0,755	0,639	отрица-
3,0	—0,844	0,743	—0,031	0,110	—0,875	0,730	тельные моменты
Мно- житель	9						
Трехпролетные балки.
Загружен пролет ч ' Лф,=—кгр,зК1\\ Ме—Ьгр-.,У'1\, где рэк — эквивалентная равномерно распределенная
нагрузка, которая определяется:
при симметричной нагрузке по 8.1.6;
8/Иаад
при несимметричной нагрузке рэк = —;—, где Л1^ал —момент заделки от заданной нагрузки по табл. 8.1.3.
ч
т	Коэффи- циент										
1г		0,3	0,4	0,6	0,8	1,0 -	1	7,		1,6	1,8	2,0
0,3	kl	0,03-1	0,033	0,033	0,032	0,032	0,032	0,031	0,031;	1 0Д31	0,031
	kl	0,013	0,012	0,010	0,009	0,008	0,007	0,007	0,00эг -	1 0k00o :	0,005
ОД	kl	0,041	0,041	0,040	0,040	0,039	0,039	0,038	о;оз8г	0,038	:	0,038»
	kl	0,016	0,015	0,012	0,011	0,010	0,008	0,008	0»007г» :	1	0,007 i	0,006»
» Г	kl	0,053	0,053	0,052	0,051	0,051	0,050	0,050	0,050: ФОМЕ г	0,050	0,0®
	'Z2	0,021	0,919	0,01o	0,014	0,013:	0,011	0,010:		: 0,009 	0,0118
406
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ II АРОК
Продолжение 8.Lit
и 1,	Коэффи- i циент	l^Hn									
		0,3	0,4	0,6	0,8	1,0	1,2	1,4		1,8	2,0
		0,062	0,062	0,061	0,060	0,060	0,059	0,059	0,059	0,058	0,058
0,8	fe2	0,024	0,022	0,019	0,017	0,015	0,013	0,012	0,011	0,010	0,010
1,0		0,069	0,069	0,068	0,067	0,067	0,066	0,066	0,066	0,065	0,065
		0,027	0,024	6,021	0,019	0,017	0,015	0,014	0,013	0,012	0,011
1,2	fcl	0,075	0,074	0,074	0,073	0,072	0,072	0,072	0,071	0,071	0,071
		0,029	0,027	0,023	0,020	0,018	0,016	0яШ5	0,014	0,013	0,012
	fei	0,079	0,079	0,078	0,078	0,077	0,077	0,076	0,076	0,076	0,076
1,4	кг	0,031	0,028	0,024	!	0,021	0,0»	0,017	0,016	0,015	0,013	0,013
	%	0^083	0,083	1	0,082	0,081	0,081	0,080	0,080	0,080	0,080	0,079
М		0,032	0,029	0,028	0,023	0,020	0,018	0,017	0,015	0,014	0,013
	*1	о,Ш	0,086	0,085	0,085	0,084	0,084	0,084	0,083	0,083	0,083
1,8		0,033	0,031	0,027	0,023	0,021	0,019	0,017	0,016	0,015	0,014
' 2,0		0,089	0,089	0,088	0,087	0,087	0,087	0,086	0,086	0,086	0,086
		0,034	0,032	0,028	0,024	0,022	0,020	0,018	0,017	0,015	0,014
Продолжение 8J.lf
Загружен пролет lz- Мь~-—•£1Рэк^ Мг=~~^аРэк/у где Рэк— эквивалентная .равномерно распределенная
нагрузка по 8,1.6.
А. h	Коэффи- циент	A									
		0,3	0,4	0,6	0,8	1,0	1,2	1,4	1,6	1.8	2,0
0,3	kt	0,070 0,070	0,072 0,064	0,075 0,055	0,078 0,048	0,080 0,043	0,081 0,038	0,083 0,035	0,083 0,031	0,085 0,030	0,086 0,027
0,4	к	0,064 0,072	0,066 0,066	0,069 0,056	0,072 0,050	0,073 0,044	0,075 0,040	0,076 0,036	0,077 0,033	0,079 0,031	0s079 0a028
Мл» 0,6	kt k.	0,055 0,077	0,057 0,069	0,060 - 0,060	0,062 0,052	0,0® 0,047	0,064 0,042	0,066 0,038	0,067 0,035	0,068 0,033	0,069 0,030
7 0,8	: Al s2		0,050 0,071	0,052 0,062	0,054 0,054	0,056 0,049	0,057 0,044	0,058 0,040	0,059 0,037	0,060 0,034	0,061 0,032
1,0	*1	0,043 0,080	0,044 0,074	0,047 0,064	0,048 0,056	0,05(0^ 0,0500 		0,051 0,045	0,052 0,041	0,053 0,038	0,054 0,035	0,054 0,033
1 1,2	/?2	0,033 0,082	0,040 0,075	0,042 0,065	0,044 0,057	•	0,04» :: 0,051	G,046 0,046	0,047 0,042	0,048 0,039	0,049 0,036	0,049 0,033
1,4		0,035 0,082	0,036 0,077	0,038 0,066	0,040 0,058	0,041 0,052	(1,042 0,017	0,043 0,043	0,044 0,040	0,044 : 0,037	0,045 0,034
8Л. БАЛКИ
407
Продолжение 8.1. 11
1, 1г	Коэффи- циент	l3 ° Zo									
		0,3	0,4	0,6	0,8	1,0	1,2	1,4	1,6	1,8	2,0
		0,032	0,033	0,035	0,037	0,038	0,038	0,039	0,040	0,041	0,041
I/O	k.	0,084	0,073	;	0,058	0,059	0s 053	:	0,048	0,044	0,040	0,037	0,035
	kl	0,030	0,031	0,033	0,034	0,035	0,036	0,036	0,037	0,038	0,038
i ,s		0,085	0,078	0,067	0,060	0,054	0,049	0,044	0,041	0,038	0,035
	k.	0,027	0,029	0,030	0,032	0,033	0,034	0,034	0,035	0,035	0,036
2,0	k.	0,086	0,079	0,069	0,061	0,055	0,049	0,045	0,041	0,038	0,036
Продолжение 8J.11
Загружен пролет /3:Л1* =	Мс=—йаРэкф где рж —эквивалентная равномерно распределенная
нагрузка, которая определяется:
при симметричной нагрузке по 8,1.6;
8Жзад
при несимметричной нагрузке рЭк== -------—, гДе Л^ад—момент заделки от заданной нагрузки по 8,1.3,
ll
, Коэффн-	'3‘ 2 _ __
4	циент	0,3	0,4	0,6	6,8	1,0	1,2	1,4	1,6	1,8	2.0
0,3		0,013	0,016	0,021	0,024	0,027	0,029	0,031	0,032	0,033	0,034
		0,034	0,041	0,053	0,062	0,069	0,075	0,079	0,083	0,086	0,089
0,4	/?а	0,012	0,015	0,019	0,022	0,024	0,027	0,028	0,029	0,031	0,032
		0.033	0,041	0,053	0,062	0,069	0,074	0.079	0,083	0,086	0,089
0,8	fel	0,010	0 ,012	0,016	0,019	0,021	0,023	0,024	0,026	0,027	0,028
	k..	0,033	0,040	0,052	0,061	0,068	0,074	0,078	0,082	0,085	0,088
0,8	fel	0,009	0,011	0,014	0,017	0,019	0,020	0,021	0;023	0,023	0,024
		0,032	0,040	0,051	0,060	0,067	0,073	0,078	09081	0,085	0,087
	kl	0,008	o.oifl	0,013	0,015	0,017	0,018	0,019	0,020	0,021	0,022
M	fe3	0,032	0,039	0,051	0,060	0,067	0,072	0,077	0,081	0,084	0,087
		6,008	0,008	0,011	0,013	0,015	0,016	0,017	0,018	0,019	0,020
	kt	0,032	0,039	0,050	0,059	0,066	0,072	0,077	0,080	0,084	0,087
		0,007	0,008	0,010	0,012	0,014	0,015	0,016	0,0! 7	0,017	0,018
1,4	k2	0,031	0,038	0,050	0,059	0,066	0,072	0,076	0,080	0,031	0,086 i
1,6	ki	0,006	0,007	0,010	0,01-1	0,013	0,014	0.015	0,015	0,016	0,017 I
		0,031	0,038	0,050	0,059	0,066	0,071	0,076	0,080	0,083	0,086
		0,006	0,007	0,009	0,010	0,012	0,013	0,013	0,014	0,015	0,015
1,8	kz	0,031	0,038	0,050	0,058	0,085	0,071	0,076	0,080	0,083	0,086
2,0		0,005	0,006	0,008	0,010	0,011	0,012	0,013	0,013	0,014	0,014	|
	fe.	0,031	0,038	0,049	0,058	0,065	0,071	0,076	0,079	0,083	0,086
408
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
8.1.12.	Неразрезные равнопролетные балки. Ординаты линий влияния
изгибающих моментов и поперечных сил
Двухпролетная балка,
П 12
I
тин -i?vdo «эд	Ординаты л. в. М в сечениях (множитель 1)						Ординаты л- в. Qo
	1	2	5 й	4	5	б	
0	0	0	0	0	0	0	1,0000
1	0,1323	0,0976	0,0632	0,0285	—0,0060 —0,0061	—0,0405	0,7928
2	0,0988	0,1976	0,1298	0,0619		—0,0740,	0,5927
3	0,0677	0,1354	> Д'1 		0,1041	OpOOSl	—О.ЦЦь —0,0926	0,4062
4	0,0402	0,0803	О,1205	0,1606	0,0340		0,2407
5	0,0172	0,0343	0.0516	0,0687	0,0860	—0,0636	0,1031
	0	0	0	9	0	0	0
7	—0,0106	—0,0212	—0,0318 . -0,046’1	—0,0424	-0,0530	—0,0636 —0,0926	—0,0636
8	—0,0154	—0,0309		—0,0617	—0,0772		—0,0926
9	—0,0156	—0,0313	—0,0469	—0,0626	—0,0782	—0,0938	—0,0938
10	—0,0123	—0,0247	—0,0370	—0,0494	—0,0617	—0,0740	—0,0740
11	—0,0068	—0,0135	—0,0203	—0,0270	—0,0338	—0,0405	—0,0405
12	0	0	0	0	0	0	0
Трехпролетная балка
0 1 2 3 4 5 6 2 в 3 10 11 12 13 Д 15 № 17 №
№ орди- , даты	Ординаты л. в. М в сечениях (множитель /)									Ординаты л. в. Q	
	/	2	3	4	5	б	7	8	9	Q,	/-.справа
О	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1,0000	0
1	0,1318	0,0967	0,0618	0,0267	—0,0083	—0,0432	—0,0342	—0,0252	—0,0162	0,7901	0,0540
2	0,0980	0,1960	0,1273	0,0585	—0,0102	—0,0790	—0,0625	—0,0461	—0,0296	0,5877	0,0987
3	0,0667	0,1333	0,2000	0,1000	0	—0,1000	—0,0792	—0,9583	—0,0375	0,4000	0,1250
•	4 т	0,0391	0,0782	0,1174	0 1565	0,0289	—0,0987	—0,0782	—0,0576	—0,0370	0,2346	0,1234
S 6	0,0165 0	0,0329 0	0.0495 0	0,0659 0	0,0826 0	—49,0677 0	—0,0536 0	—0,0395 0	—0,0254 0	0,0990 0	0.0846 0,0000* 1,0000
7дз	—0,0095	—0,0190	—0,0285	—0,0379	-0,0474	—0,0569	0,0872	0,0644	0.0418	—0,0569	0,8639
8	—0,0132	—0,0263	—0,0395	—0,0526	—0,0658	—0,0789	0,0364	0,1516	0,1002	—0,0789	0,6913
S	0,0125	—0,0250	—0,0375	—0,0500	—0,0625	—0,0750	0,0083	0,0917	0,1750	—0,0750	0,5000
10	—0,0090	—0,0181	—0 0271	—0,0362	—0,0452	—0,0543	—0,0028	0,0487	0,1002	—0,0543	0,3087
11	, —0,0044	—0,0088	—0.0131	—0,0175	—0,0219	—0,0263	—0,0036	0,0191	0.0418	—0,0263	0,1361
 12	 о	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
13	0ДО28	0,0057	0,0085	0,0113	0,0141	0,0169	0,0028	—0,0113	—0,0254	0,0169	—0,0846
 14-		0,0082	0,0123	0,0165	0,0206	0,0247	0,0041	—0,0165	—0,0370	0,0247	—0,1234
15	0,0042	0,0083	0,0125	0,0167	0,0208	0,0250	0,0042	—0,0167	—0,0375	0,0250	—0,1250
< 16	0,0033-	0,«166	0,0099	0,0132	0,0165	0,0197	0,0033	—0,0132	—0,0296	0,0197	—0,0987
17	0,0018	0,0036	0,0054	0,0072	0,0090	0,0108	0.0018	—0,0072	—0,0162	0,0108	—0,0540
18 о : ^в	0 этом сечей	0 ии Q имеет	0 два значенг	0 я (показано	0 в виде дро	0 5и).	0	0	0	0	0
8-i. балки-
409
Продолжение 8.1,12
Четырехпролетная балка
			0 1	2 3 4	5 В ?	8 9 Ю 11 12		13 14 15 16 17 18 19 2D 21.%22з 24							
			i-	_ 1 _	л 1	==—ч——!	 1	't	т-~—1— 7	‘	‘ Z			т ‘ i	Г		
						Т		L		4"	и							
1				Ординаты д.		в. М в сечениях (множитель 1)								Ординаты л. в. CJ	
№ орди маты	7	2	3	4	5	6	7		9		'°	11	12	О„	«справа
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0		0	0	0	коооо	0
/	0,1318	0,0986	0,0617	0,0266	—0,0084	—0,0434	—0,0343	—0,0251	—0,0159		—0,0068	0,0024	0,0116	0,7899	0,0550
2	0,0979	0,1958	0,1271	0,0582	—0,0106	—0,0793	—0,0626	—0,0459	—0,0291		—0,0124	0,0044	0,0212	0,5874	0,1005
3	0,0666	0,1332	0,1998	0,0997	—0,0004	—0,1004	—0,0792	—0,0580	—0,0368		—0,015 В	0,0056	0,0268	0,3996	0,1272
4	0,0391	0,0781	0,1172	0,1562	0,0285	—0,0992	—0,0782	—0,0573	—0,0364		—0,0154	0,0055	0,0265	0,2341	0,1257
5 5	0,0184 0	0,0328 0	0,0494 0	0,0657 0	0,0823 0	—9,0681 0	—0,0537 0	—0,0393 0	—0,0249 0		—0,0106 0	0,0038 0	0,0182 0	0,0986 0	0,0863 0,0000* 1,0000
7	—0,0094	—0,0188	—0,0283	—0,0377	—0,0471	—0,0565	0,0872	0,0640	0,0411		0,0179	—0,0051	—0,0281	—0,0565	0,8617
8	—0,0130	—0,0260	—0,0390	—0,0520	—0,0650	—0,0780	0,0365	0,1509	0,0987		0,0464	—0,0059	—0,0582	—0,0780	0,6865
9	—0,0123	—0,0246	—0,0369	—0,0491	—0,0614	—0,0737	0,0085	0,0907	0,1730		0,0885	0,0041	--4), 0804	—0,0737	0,4933
10	—0,0088	—0,0176	—0,0265	—0,0353	—0,0441	—0,0529	—0,0026	0,0477	0,0981		0,1483	0,0318	—0,0846	—0,0529	0,3016
11	—0,0042	—0, 0084	—0,0127	—0,0169	—0,0211	—0,0253	—0,0035	0,0183	0,0403		0,0620	0,0340	—0,0610	—0,0253	0,1310
12	0	0	0	0	0	0	0	0	0		0	0	0	0	0
13	0,0026	0,3051	0,0077	0,0102	0,0128	0,0153	0,0026	—0,0101	—0,0229		—0.0356	—0,0483	—0,0610	0,0153	—0,0763
14	0,0035	0,0071	0,0106	0,0141	0,0177	0,0212	0,0036	—0,0141	—0,0317		—0,0493	—0,0670	—0,0846	0,0212	—0,1058
15	0,0034	0,0067	0,0101	0,0134	0,0168	0,0201	0,0034	—0,0134	—0,0302		—0,0469	—0,0630	—0,0804	0,0201	—0,1005
15	0,0024	0,0049	0,0073	0,0097	0,0121	0,014,5	0,0024	—0,0097	—0,0218		—0,0339	—0,0461	—0,0582	0,0145	—0,0727
17	0,0012	0,0024	0,0035	0,0047	0,0059	0,0070	0,0012	—0,0047	—0,0106		—6,0164	—0,0223	—0,0281	0,0070	—0,0351
18	0	0	0	0	0	0	0	0	0		0	0	0	Q	0
19	—0,0008	—0,0015	—0.0023	—0,0030	—0,0038	—0,0045	—0,0008	0,0030	0,0068		0,0106	0,0144	0,0182	—0,0045	0,0227
23	—0,0011	—0,0022	—0,0033	—0,0044	—0,0055	—0,0066	—0,0011	0,0044	0,0099		0,0154	0,0209	0,0265	--0,0066	0,0331
21	—о.оои	—0,0022	—0.0034	—0,0045	—0,0056	—0,0067	—0,0011	0,0045	0,0101		0,0166	0,0212	0,0268	—0,0067	0,0335
22	—0,0009	—0,0018	—0,0026	—0,0035	—0,0044	—0,0053	—0,0009	0,0035	0,0079		0,0123	0,0168	0,0212	—0.0058	0,0265
23	—0,0005	—0,0010	—0,0015	—0,0019	-—0,0024;	—0,0029	—0,0005	0,0019	0,004,3		0,0068	0,0092	0,0116	—0,0029	0,0145
24	0	0	0	0	0	0	0	0	0		0	0	0	0	0
В этом сечении Q имеет два значения (показано в виде дроби).
410
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Бесконечная балка (средний пролет)
Для крайнего пролета и второй опоры можно применить линии влияния в сечениях /—6 четырехпролетной
балки. Для второго пролета и третьей опоры — линии влияния в сечениях 7—12 той же балки (ошибка около 1,5%).
Вид, л, в. М в сечении 8
№ орди- нат	Ординаты л- а. М в сечениях (множитель 1)				Ординаты л. в. ^справа	Ж МВДИ- иат	Ординаты л. в. /И в сечениях (множитель /)				Ординаты л- в. ^справа
	6	7	£	9			6	7	8	9	
0 1 2 3 4 9 6 7 8 9 10 7/ * в	1. ААААА АША ! !йй ° ЙЯГ Ж 			=.§S§83 о §88§ г	оо=^ £ 			 к	0 —0,0157 —0,0328 —0,0458 —0,0485 -т-0,0352 0 0,0615 0,1474 0,0874 0,0453 0,0172 ва значение	0,1707 0,0964 0,0394 (показано	0 0,0343 0,0720 0,1005 0,1065 0,0772 1,0000 0,8671 0,6939 0,5000	. 0,3061 0,3329	. в виде дррби	12 13 11 15 16 17 № 19 • 20 21 24 )•	0 0,0163 0,0225 0,0212 0.0152 0,0072 0 —0,0044 —0,0060 -0,0057 —0,0041 —0,0019 0	0 0,0034 0,0047 0,0044 0,0032 0,0015 0 —0,0010 -0,0013 —0,0012 —0,0009 —0,0004 0	0 —0,0094 —0,0130 —0,0123 -0,0088 —0,0042 0 0,0025 0,0035 0,0033 0,0023 6,0011 0	0 —0,0223 —0,0308 —0,0291 —0,0208 —0,0100 0 0,0060 0,0083 0,0078 0,0056 0,0027 0	0 —0,0772 —0,1065 —0,1005 —0,0720 —0,0343 0 0,0207 0,0285 0.0269 0,0193 0,0091 0
8,1,13.	Рднопролетнуе подкрачрвые балки. Данные для расчета
При действии одного крана (два одинаковых груза)
Схема балки
Огибающая эпюра поперечной силы Q от кра-
новой нагрузки (множитель Д)
k 10 =5= fel — Ав
/?=0,5 gl+kaP
На средних опорах учесть собственный вес бал-
ки g с обоих примыкающих пролетов
Ж сечения м												Собе таен- ный вес балки
	0,0*	0,1	0,2	0эЗ	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	>1,0	
	Моменты от кранрвой нагрузки (множитель Pl)											M(XgP)
/ 2 3 4 5	ЯШ 0,32 ОШ 0,48 0,50	0,17 6,30 0,39 0,44 0,45	0,16 0,28 0,36 6,40 0,40	0,15 0,26 0,33 6,Зв 0,35	0,14 0,24 0,30 0,32 0,30	0,13 0,22 0,27 0,28 0,25	ъ 0,24 ' 0,24  0,25	0,11 0318 0,21 0,24 0,25	0,10 0,16 0,21 0,24 0,23	0,09 0,16 0,21 0,24 0,25	0,09 0,16 0,21 0,24 0,25	0,045 0,080 0,105 0,120 0,125
Коэффициенты kQ и (крановая нагрузка)												Q<XgZ)
fc.	2,00 0,80	1,90 0,70	1,80 0,60	1,70 0,50	1,60 0.40	1,50 0,40	1,40 0,40	1,30 0,40	1,20 0,40	1,10 0,40	1,00 0,40	0,500 0,100
* Действует		один груз 2Р.										
8.1. БАЛКИ
411
При действии двух кранов
Продолжение 8.1.14
(четыре одинаковых, попарно связанных груза) [29)
Находят по графику А (или В) номер невыгоднейшей схемы загружения и по формулам определяют
Армаис (или Омаке); лд—'расстояние до критического груза, под которым момент максимален.
График Л (определение невыгоднейшей схемы ДЛЯ Афмакс)		
№ схе- мы	Схема загружения	Ммакс
!V	р р р р ХГТГ	р \41kzH9L. — ь] 1	4/	J
	1 Н —'—_	
График В (определение невыгоднейшей схемы
Для Омаке)
№ схемы	Схема загружения	Q миакс
IV	р р	р р t	.. р [ZU (2д + 1
Ша	р р	р ь	Р [31 - (2а + &)] L
Ш6	р	р р Ь— п -Ч ь л=®- -е-4 i-e—Л-i Т-— с JZZZZ^	Р [8/ — (а + 2fr)]	1 1
Па	р	р	Р (21 — а) 1
		 w	ж	
Нб	р	р 1р- д —j-— Ь Л—। >-е-———— 1 ———~Г	Р W — Ь) 1
1	3 Р 	£ —	р
412	РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ВАЛОК, РАМ И АРОК
Пример. 2=12 м; Ь — 5 м; а—4 м; Р = 20 л При — -=-— = 0,8 и-—=^— =2,4 по графику Л невыгод-
но	оо
нейшим будет загружешге по схеме /77.
ПЗ-12-г 4—5)®	1	12	5— 4
А1ИЖС = 20 |---——------— 4 I = 90 тм; хк = —у - —= 5,83 м.
,	20(3-12 — (2-4 4-5)]
По графику В наиболее невыгодна схема /Ий; QuaK~-------------------=38,33 г.
/ 8.1.14. Перекрытия с перекрестными балками (кессонные перекрытия)
/	Данные для расчета [8, 19]
Схемы распределения нагрузки в перекрестных балках
Принятые обозначения:
Pi, Рг — равномерно распределенные нагрузки, состоягдие из собственного веса балки, плиты и временной на-
грузки; постоянная нагрузка от плиты и временная нагрузка приняты в виде эквивалентной равномерно рас-
пределенной нагрузки, полученной из условия равенства прогибов:
для треугольной нагрузки /цк = 0,5 р;

для трапецеидальной нагрузки
/	а-,, \
/4к == 0,5 р 1 ф- — ;
\	«ч /
Р1 ~ Рэк! ~Ф /-балки!
р2 = рэк2 р>балки;
Рэкл— эквивалентная нагрузка для балок пролетом
Рак- т— для балок пролетом ф.
_ /АУ h
м 'к ’
Валка 61
Б	Раб ДЙЦ
8	1 4- 11
	
fan	
1.303 Да Д — 1,132 р,/,д
3,086ц. + 2,083
Валка 61
P.Z; -- Р.ДЦ
11
30
8.1. БАЛКИ
413
Продолжение 8.1.14
т = 0,7273 1.1 + 1,0774;
тХ, Л- 0,5 цХг = 0,3951 рД —0,3239оДц;
рХ\ тХ^ ™ 9,3951 рД — 0,4545
Нагрузки и изгибающие моменты в перекрестных балках при квадратных в плане перекрытиях
р — нагрузка на 1 м2 перекрытия
Схема перекрытия	Обозначе- ние балки	Величина по- гонной нагруз- ки на 'балку (множитель pl}	Максимальный изгибающий момент (мно- житель pZLO	Схема перекрытия	Обозначе- ние бал кн	Величина по- гонной нагруз- ки на балку (множитель pl)
Максимальный!
изгибающий
момент (мно- ;
житель р11Щ i
	—»	1.	
			
			" ш 	11,
			I V
а
а
д
	
	
	
	
	
а
b
Ь
		^—С
	'TT'"	
	и	
b
(2 —И ь~ ь	0,562 0,415	0,0703 0,0520		, . Ь._	. x-jjk—J Д—L—4	а — а h — b	0,305 |	0,596	0,0382 0,0746
а*— а Ъ ~~ b	0,550 0,316 	0,0686 0,0395	С b а с KXxfj аГууМ	а ~~ & ь—ъ с ~~ с	0,340 0,302 0,583	0,0425 0,0378 0,0729
ГЗ —• £7 Ь -™ ь С с	0,635 0,523 0,293	0,0794 0,0654 0,0366	d с Ь а d я/ОухЛ С V VVM ^КХХХл	а ~~ и b — b С —“ с d ~™ d	0,311 0,341 0,308 0,570	0,0389 0,0427 0,0385 0,0713
414 РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ. И АРОК
8.1.15. Усилия в элементах шлренгельной балки
Статически определимый шпренгель
Усилие:
в горизонтальном элементе нижнего пояса
/	/ I \	/ I \
А— — Рх ——-<21 —- Р» — — а2
2	1 \ 2	1J Д 2	)
в наклонном элементе нижнего пояса
COS Р
в стойке
V=HJ sin р.
Поперечные силы в верхнем поясе:
Qa = A cos а—U sin(a-f-(3);
=	—p,cos а;
Qnp = Qnp_^_y)c0SK_
Продольные силы:
N & = д sin а + U cos (а Д- Р) ; jV^p — jVд —	sin а;
A’J/P дгпр _	— V’J sin а
_____________________________________________
Продолжение 8.1.1&
Статически неопределимый шпренгель
Система один раз статически неопределима.
Данными таблицы можно пользоваться и для расче-
та системы с двускатным верхним поясом, при уклоне
не более 1/15—1/10. Высоту h в этом случае следует
принять равной высоте стоек ншренгеля заданной дву-
скатной системы
8,1. БАЛКИ
415
Продолжение 8.1.16
При п = //3 А =--------—---------—---------------------
1,33 М. + 1,33 fe, tga<j>+ 1,11 h 4-0,67
	0,05 I 0,10 2 0,15 L	0,0334 0,0560 0,0971	0,05 / 0,10/ 0,15 /	0,00084 0,00333 0,00741	0,101 0,20/ 0,30 I	0,0224 0,04198 0,06172
	0,201	0,1260	0,20 2	0,01299	0,35 t 				0,06812
	0,25 I	0,1519	0,25/	0,01994	0,40/	0,07998
Z/3	0,30 I	0,1740	0,30/	0,02809	0.50/	0,09628
	0,33 I	0,1852	j	0,33/	|	0,03402	0,60/	0,11018
	0,35 I	0,1912	0,35 2	0,03722	0,70/	0,12134
	0.40 I	0,2037	0,40 2	0,04709	0,80 I	0,12950
	0,45 I	0,2112	0,45 I	0,05746	0,90/	0,13448
	0,50 2	0, 2137	0,50 2	0,06888	1,00 I	0,13616
		При <г —Z/4	A = 					I		
			0,75	0,75 kz tg2 ф fl + °.75 k			
	0,05/	0,0280	0,05 I	0.00070	0,10/	0,01710
	0,10 I	0,0553	0,16/	0,00278	0,20 I	0,03382
	0,15 I	0,0810	0,15/	0,00619	0,30/	0,04978
	0,20 1	0,1045	0,20/	0,01083	0,40 /	0,06462
//4	0,25 /	0,1250	0,25 I	0,01657	0,50/	0,07796
	0,30/	0,1419	0,301	0,02324	0,6(57	0,08944
	0,35/	0,1550		0,03066	0,70 /	0,09872
	0,40/	0,1644	0,40 2	0,03864	0,80 I	0,10554
	0,45 2	0,1700	0,45/	0,04700	0,90 I	0,10970
	0,50 /	0,1719	0,50/	0,05555	1,00 I	0,11110	:
		При a—115	A —		I		
			0,48 M, 4-0,48 k,	tg2 ф 4~ 0,88 h -f- 0,72 fej		
	0,05/	0,0239	0,05 2	0,00060	0,10 /	0,01412
	0,10/	0,0470	0,10 /	0,00237	0,20/	0,02794
	0,15 I	0,0686	0,15 I	0,00526	0,30 I	0,04116
	0,201	0,0880	0,20 I	0,00918	0,40 /	0,05348
1/5	0,25 I	0,1045	0.25 I	0,01399	0,50 I	0,06160
	0,302	0,1180	0,30 2	0,01955	0,60/	|	0.07422
	0,35/	0,1285	0,35 I	0,02571	0,70/	0.08206
	0,40/	0.1360	0,40/	0,03232	0,80 I	0,08784
	0,45I	0,1405	0,45/	0,03923	0,90 I	0,09138
	0,50/	0,1420	0,50 I	0,04629	1,00/	0,09258
			При a=ll& Л = —	31		
			k,k,	4” fe2 tg2 <p + 2, 33 h -	- 2fes	
	0,05 2	0,0207	0,05 2	0,00052	0,10 /	0,01238
	0,10/	0,0407	:	0,10/	0,00206	0,20 I	0,02450
	0,15/	0,0622	0,15 I	0,00463	0,30 /	0,03616
	0,167/	0,0690	0,167/	0,00575	0,40 /	0,04706
	0,20/	0,0795	0,20/	0,00820	0,50 i	0,05696
Z/6	0,25/	0,0935	0,25/	0,01253	0,60/	0,06562
	0,301	0,1045	0,30/	0,01748	0,667 /	0,07052
	0,351	0,1135	0,35 I	0,02293	0,70/	0.07276
	0,40 2	0,1195	0,40 L	0,02876	0,80 I	0,07790
	0,45 2	0,1230	0,45 I	0,03482	0,90 I	0,08098
	0,50/	0,1245	0,50 I	0,04101	1,00/	0,08512
416	РАЗДЕЛ В. ТАБЛИЦЫ II ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ВАЛОК, РАМ И АРОК
8.1.16. Балки с ломаной или криволинейной1 (круговой) в плане осью.
Данные для расчета [8, 17]
В балках с ломаной или криволинейной в плайе
осью, находящихся под действием вертикальных нагру-
зок, помимо изгибающих моментов, действующих в вер-
тикальной плоскости, возникают крутящие мимешы,
Обозначена я:
£/ — жесткость при изгибе;
М3
/	—момент инерции поперечного сечения балки
относительно оси, перпендикулярной плоско-
сти изгиба;
G/K — жесткость при кручении; О — модуль сдвига
материала балки;
/K=pj4—момент инерции прямоугольного сечения при
кручении, где q — коэффициент, зависящий
от соотношения h/b (см. табл 7 5) (Ь—’ко-
роткая сторона сечения; h — высота сече-
ния) ;
— изгибающий момент посередине пролета;
jpjO — крутящий момент посередине пролета;
Q®—'Поперечная сила посередине пролета;
Мв—изгибающий момент в произвольном сечении;
7ИК—-крутящий момент в произвольном сечении.
1 См. также раздел 9,
Балка с ломаной в плане осью
Равномерно распределенная нагрузка р
1= 1
a2 sin a cos а
Л1К = р----------;-------
с>
Значения Л1Н и М* (множитель пар
	а в арао				
	20	30	40	50	00
5	0,020	0,042	0,069	0,097	0,12о
AfJa’a д	—0.480	—0,458	—0,431	—0,403	—0,375
"к	0,054	0,072	0,082	0,082	0,072
Величина Б любая
Для загруженной половины балки:
Ма — 0,5 X sin а ф- У cos а + Zx — ~~ ;
ЛД — 0,5 X cos а — Y sin а.
Для незагруженной половины балки:
Мр_ = 0,5 X sin о, — У cos а — Zx;
А1К — 0,5 X cos а ф- У sin а;
cos а
У = —------------------------nCfl = k па2
24 (cos3 а -ф 4А sin2 а)	J
.	/ 3	3	)
Z = I — — -у cos a ky \ pa = kzpa
8.1. БАЛКИ
41Z
Продолжение 8.1.1$
Коэффициенты kx, ky и кг для некоторых значений а и X									
X	а — 30°			а = 45е			а — 60°		
		%	йу	кх	0	'"г	'К	%	k Z
6,5	0,133	—0,028	0,2.25	0,157	—0,020	0,203	0,165	—0,012	0,197
КО	0,083	—0,021	0,214	0,118	—0,012	0,200	0,144	—0,007	0,193
1,5	0,061	—0,016	0,203	0,094	—0,009	0,197	0,123	—0,005	0,191
2,0	0,048 0,039	—0,013	0,205	0,078	—0,007	0,194	0,115	—0,004	0,190
2,5		—0,011	0,202	0,067	—0,005	0,193	0,105	—0,003	0,190
3,5	0,029	—0,009	0,199	0,052	—0,004	0,192	0,088	—0,002	0,189
4,5	0,023	—0,007	0,197	0,043	—0,003	0,191	0,0'77	—0,002	0,189
5,5	0,019	—0,006	0,195	0,036	—6,003	0,190	0,068	—0,001	0,189
6,5	0,016	—0,005	0,194	0,031	—0,002	0,190	0,051	—0,001	0,188
	0,014	—0,004	0,193	0,028	—0,002	0,190	0,055	—0,001	0,188
8,6	0,012	—0,004	0,193	0,025	—0,002	0,189	0,050	—0,001	0,188
Нагрузка от сосредоточенных сил
1Ш$шиё
Значения М и и Af.K (множитель ра).
крутящи е МрМ<Ж1Ы
 г 1 la sin- а	х \ = р i		,	- 9 b li sin с. cos а М., -- Р 4		«, и еуаа				
		2U	30	40	би	60
	41° и	9,029	0,063	0,103	0,147	।	0,188	
	драл и	—0,471	—0*438	—0,397	'—0,, Зо4	—0,312
	Мк	0,080	ОДОЙ	и, 123	0,123	0,103
Величина ' любая
Учсеток АВ
х= 0,5 X sin а -Ь У cos сх. ~г Zx — Р (х — та).
Участки ВС s. CD
Л?й = 0,5 X sin к ± У cos а 4- Zx
(анак плюс на участке ВС, знак минус на участке CD)*
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Продолжение 8JJ6
Величина А, любая х < та	X sin а х > та	~ X sin а —» Р (х — та). В любом сечении	— X cos а v	(1 — т)* sin а п	, _ 2 (sin2 а 4-A cos2 а)	х‘	В любом сечении М& — 0,5 X cos а f У sin а (знак минус на участке АС, плюс на участке СП); Y 		Ра = k, Ра: 2 (cos- а 4- 4?vSln2 а) Z — Гх_к_ЛЕ. (1 — m)2 — -i- cos а й 1 Р — АР [	4	2	2
Коэффициенты kx, ky, 1гг для некоторых значений а и Лири т=0,5
А.	а			|	а = 45°			|	а = 60°		
			k 2	!	kx	I %	(	1 о	1 5	О
0,5	0,100	—0,043	0,213	0,118	—0,030	0,188	0,124	—0,018	0,170
1,0	0,062	—0,031	0,196	0,038	—0,018	0,175	0,108	—0,010	0,164
1,5	0,045	—0,024	0,188	0,071	—0,013	0,170	0,095	—0,007	0,161
2,0	0,036	—0,020	0,182	0,059	—0,010	0,167	0,087	—0,005	0,160
2,5	0,029	—0,017	0,178	0,050	—0,008	0,165	0,079	—0,004	0,159
3,5	0,022	—0,013	0,173	0,039	—0,006	0,163	0,067	—0,003	0,158
у?	0,017	—0,010	0,170	0,032	—0,005	0,161	0,058	—0,002	0,158
5,о	0,014	—0,009	0,168	0,027	—0,004	0,160	0,051	—0,002	0,158
6,5	0,012	—0,008	0,166	0,024	—0,004	0,16)	0,046	—0,002	0,157
7,5	0,011	—0,007	0,165	0,021	—0,003	0,159	0,041	—0,001	0,157
8,5	0,009	—0,006	0,164	0,019	—0,003	0,159	0,038	—0,001	0,157
Пример, Определить М и Q в балке, изображен-
ной на рис, 8.6, при значениях А—1 и Х=3.
По таблице находим при а =45°
	Л = 1	X == 3	Множитель
X	0,088	0,045	Ра
Y	—0,018	—0,007	Ра
Z	0,175	0,164	Р
Ряс. 8.6
Приводим подсчеты при Х=3.
На опоре Д(х = в):
Л5В = 0,5+ sin a -J- F cos а + Za — Р (а — 0,5а) =
= (0,5-0,045,0,708 — 0,007-0,708 + 0,164) Ра —
— 0,5/+==— 0,325Ра;
Л/к = 0,5+ cos а— ¥ sina = (0,5-0,045 +
+ 0,007) 0,708Ра = 0,021Ра.
Под грузом (х=0,5а):
Ма = 0,5^ sin а + ¥ cos а + 0,5Za = 0, ОЭЗРа;
Л4К = 0,021 Ра;
q.v.b _ о _ 2 = 0.836Р; QnP =— 0,164Р.
Посередине пролета (х = 0):
+®гв = 0,5+ sin а + У cos а = 0,011 Ра;
+"Р = 0,5+ sin а. — Y cos а = 0,021 Ра;
Л4’’ев = 0,5+ cos а — У si п а =0,021 Ра;
Л1"р = 0,5+ cos а + У sin а = 0,011Ра.
На опоре D(x~a):
+/®‘д = 0,5+ sin а — У cos а — Za —— 0,143Ра
8.!, БАЛКИ
419
Продолжение 8.1.16
Результаты подсчетов:
Моменты и поперечные силы	Опора А		Под грузом		Сечение С	।		Опора D		Множи- тель
	А — 3	1	X = 3	X 1	х = з	% = 1 I	А= 3		X = 1	
МИ	-~0,32э	—0,282	0,093	0,106	0,011 0,021	0,018 0,044	—0,143	—0,131	Ра
МВ	0,021	0,044	0,021	0,044	0,021 0,011	0,044 0,018	0,011	0,018	Ра
Q	0,836	0,825	0,836 —0,164	0,825 —0,175	—0,164	—0,175	—0,164	~~0, 175	р
Балка с изогнутой в плане по дуге круга осью
Равномерно распределенная нагрузка
л 9 /2 sin а — a cos а
М „ = рг--------------------— 1
\ а
Ми = М^Л cos <р — рг2 (1 — cos ф);
Жк = Aly sin ф — рг2 (ф — sin ф)
Значения М и и М-А (множитель рг")
м	а в град							
	20	30	40	50	60	70	80	90
А1° И	0,020	0,045	0,076	0,116	0,155	0,198	0,237	0,273
драд и	—0,041	—0,096	—0,176	—0,284	—0,423	—0,591	—0,785	—1,000 ч
Арад	—0,000	—0,001	—0,006	—0,019	—0,047	—0,096	—0,173	—0,297
420
РАЗДЕЛ в. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение & I.16
Величина X любая
= O,273prs cos ф ~~ рг3 (1 — cos ф);
Л4К == 0,273pra sin ф — рг2 (ф — з!п ф),
В середине пролета (ф =? 0):
М° ~ 0,273рг2; м“ = О
Для загруженной половины балки:
= О,137^ cos ф sin Ф (У Zr] — рг* (2 — cos ф);
Л1 к 0,137pra sin ф — cos ф (У 4- Zr) 4- Zr — Р7"3 (Ф — sin <₽)•
Для незагруженной половины балки:
=> 0Д37/3/1 cos ф — sin ф (У + Zr);
Л1^ = 0,137рг2 sin ф 4“ cos Ф (У 4" ^Га
Значения У и Z при разных
А	0,5	1,0	2,0	395	5,5	7,5	Множи- тель
У	0,040	0,038	0,036	0,033	0,031	0,030	₽м
Z	0,274	0,272	0,267	0,264	0,259	0,256	
Нагрузка ©т сосредоточенных сил

8.1. БАЛКИ	.
421
Продолжение 8.1.16
					а в град				Мыожи*  тель
Al		30	40	50	60	70	80	| й0	
M!J и	0,036	0,13s	0,108	0,205 i	0,039	0,270	0,296	।	0,319	
Арад и	--орбо	—0,13и	—«Оs193	—0,251	”"”0,313	—0,378	-0,442	1 ।	—0,500	Рг
АРад к	“-”0,001	—U, (Ю7	—0,009	—0,022	—0,043	——1), 01 й	—0,121	—0,181	
sin Д
При w < ft Л'1 = tos ф
'	и и
Мк sin {р
При ф > 3 ЛТ ~ М'} со? ф— Pr sin (ф — 3)
И И
ЛТ =м° sin <f - Pr [1 - cos (,. - P)|
к Я
Значения ПР?] а — 90° л разгшх 3
	Э в sp'id					Множитель
	0	30 j	45	60.	75	
Л1° 15	0,637*	0,218 |	0,097	0,030	0,004	Рг
* Груз 2 Р в середине пролета
’ Участок АВ
Л1г. — Др сой ф -+ sin <р —• Pr sin (<р — 0):
1\4 _	sin ф -р гОр О “' cos ф) Pf [1 — cos щ. — р)]
Участки ВС и CD
М — соз ф ± rQ° sin ф;
и и
М ~ sin ф ± rQ® (1 — cos ф)
к и
Знак плюс на участке ВС> минус — на участке CD
422
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
8.2. РАМЫ 1
8.2.1. Моменты в Г-образной раме с горизонтальным или наклонным ригелем
7,	/„
= —;	/, =	— при горизонтальном ригеле;
h ‘ I
— при наклонном ригеле.
Ригель и стойка шарнирно оперты
Ригель шарнирно оперт3 стойка защемлена
1 В таблицах даны формулы для определения изгибающих моментов- Поперечные и продольные силы определяются, как
обычно, из условий равновесия.
8,2. РАМЫ
423
Породолжение 8.2.1
Схема нагрузки и эпю- ра Л1	мь	Схема нагрузки и эпю- ра М		«8	«a
				i.M V— ~ 16	(1 -p O,5iJ2) 12
	8	м.			
					
		Г	ур В		
		Па""'			
р	. ., РаЪ (И + &) iJ?	—	П ШГПЖ^ у р Jb, О	уЗ j л 	i=7^77j		3 Ра^ i}k — 		 4	h2	Pah (O.Si.kb + a) h-
м Г^с=Г 1 М 1 а Ч«С щД 1 E5L ь И 1. 1	l k L (ft3 ~3b4 ОМ Mi	|ЛЖь °® Vjih"		. 3£Ь (2а — Ъ) 4h--	}д (2Й — (7) — — O.Si.kb (2a ~ b)} ~ hJ
Любая нагрузка на стой- ку	0 4 kMh' — момент защемле- ния стойки по 8.1,3	Любая стойку	нагрузка на /•?я	0s75 l2 kM°b Al^,	моменты защей	A1a + 0,S!’l !M‘b тения стойки по 8.1.4
Горизонтальное смеще- ние опоры С ' W		L±— Д h	Горизонтальное смеще- ние опоры С Я/		9	Ei^^k A 	 , •'		— Д 2 a	fiF H 0 *“ 0»5i\fe) ° 	 Д h
424
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Продолжение 8.2.1
Схема нагрузки и эпю- ра М		Схема нагрузки и эпю- ра М	А	А
Осадка опоры С * 111	3Eiii.fl л 			 д i при горизонтальном ри- геле; звд ^ + f) Л hl при наклонном ригеле	Осадка опоры С 9	1 при г-сризоятальном ри- геле,- EW^h -h^f) д 2hl при наклонном ригеле	3 _ _ИЛ£ д 2	z при горизонтальном ри- геле; 3 — X 2 X EiAhhh^^i^] д hl при наклонном ригеле
Разномерный нагрев на	[Р + №) at	Поворот опоры Л «а	1.5ИДЙФ	3Ei, (А + /Jfetp
а— коэффициент линей- ного расширения	при горизонтальном ри- геле; + аа fcs3 при наклонном ригеле	Равномерный нагрев на 1° ж «д ^ма а—коэффициент линей- ного расширения	А .	(3Z3+ 2Л3) at 2	hl при горизонтальном ри- геле; ±	(3s3 + 2^) at 2	hl при наклонном ригеле	А . АА (/гл» + 2	Ы + 31гР + ’И.Р} ал при горизонтальном ри- геле; Л ,	+ 2 hl + af0s,J 4- 273з4 al при наклонном ригеле
При осадке опоры А значения М те же, что при осадке опоры С„ ио с обратными знаками.
8.2. РАМЫ
425
8,2.2, Моменты в Г-образной раме с горизонтальным или наклонным
защемленным ригелем
и защемленной стойкой
! 2
ы — ~ — при горизонтальном ригеле;
/ з
t2 -= — —при наклонном ригеле;
s
1
8 + ц
। Схема нагрузки и эпюра М	Опорные моменты	Схема нагрузки и эпюра М	Опорные моменты
:	Р Ал-3	а 1	24 4* 0,5^	-—	в	йс i |J|	Mb-h k • АГ = Л + 0,5i, k\	- °	'	1 ’ 12 »< • >. Bfta А! — 1, k — 2	24
р J 0^: к ' н	РвУ3 РаЬг Ма = 1гк-^Г’ —	Лг.	ч М. — io,zi.ko -j-		 С	\	2	' Р	? =сэ	У ^”«а Z	° 2 № ма = (0.51,^ + 0)	, м	>, РаЬ" м = 1. ь		 с 8	2ft-1
Любая нагрузка на ригель 't-Wt "'с 1	ML^i,kM3a\ 0	1 b М = t),5i,kMp%; a	lb М = Л1заА + 0,5/„ Ш3?-Л, С	С	~	й гдеЛ1?аД, ЛРад—моменты затем* о	с ления ригеля по табл. 8.1.4.	'	— 6 — £» и	К	..	, Lb (2а — Ь) Мь = 1„ # 						 , й 5	h= ма == [Я (2Й — а) — — O,St,kb (2а— 6)1— ; № и , .Lb(2a-b) М	k —		— с 8	26’
426
РАЗДЕЛ 8, ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Продолжение 8.2.
Схема нагрузки и эпюра М ।	Опорные моменты
Любая нагрузка на стойку	
	М, -t кМЛ,
	Ь 2 b
	да = Л1° + 0,5/ Ада?; a	a	1 b
А= К	М = 0,5/, Ш?,
	с	1! Ь
ЕЦЦ ZJ	где	Л7^, Л1^ — моменты защем-
	//л	ления стойки noi
Ма	табл. 8.1.4.
Поворот опоры С	
	
	Мь = 2Д/, >3Аф;
	Ма = Eit
I?	№с = £/г (4 - /2 А) ф
	
Поворот опоры А	
	/4Л = 2Fh i2 Аф;
	Ма= El t (4- ij k) ф;
й(	Mc = £it is ktf
рк,	
	j
Схема нагрузки и эпюра М
Осадка опоры С *е
Опорные моменты
Горизонтальное смещение опо-
ры С*
(1 — 0,5^ к) ™ А;
При горизонтальном ригеле:
.. ftEiiid? .
=а ———— д;
да
а I
... 6Е1г (1 — 0,5(гА) .
дас ------------------- д.
При наклонном ригеле:
=----------------Д;
0	hl
..	3El,[hl.k~^ f	(2 —	Ek}] A,
a	hl
u	3£zHf4^ + ft	(2- i,k}]
c	hl
Равномерный нагрев на 1°		При горизонтальном ригеле:
		да = ыдачД. (ZJ + fti) at. &	hl 3 Fl . м , = -±л_ (2Z^—g^24-hW) at а hl
		Я Fl, и ~ —	—Ekh'E at.
?	1	При наклонном ригеле:
'4 — коэффициент линейного расширения		м.	(s'1 4- Аа) аД м '1511 (2ss— Liks^-E-i-hh12) at; а hl
		3FI Лд 	1 (ЗАНДАУ — ААЛД at "	til
* При горизонтальном смешении опоры Л значения 57 те же, но с обратными знаками.
При осадке опоры А значения Л1 те же, но с обратными знаками.
8.2. РАМЫ
427
8.2.3.	Моменты в Т-образной раме с шарнирно опертым ригелем
и защемленной стойкой
Ll. 	. L
Й	l-i
h + 0,75 (j2 -j- is)
Схема нагрузки и эпюра М		Л4лев Л4	М-Р	«у	Ma
№	мр	(1 — (_\75isft) ——	3pl"? I.jk	L S2	Ik 		 8	рД Lk —T 16
					
					
.Р Л |_а -4- чу	ст	*		/1 л "Г'- ъх	X X а) (1 —• 0,/щХ)			 2Ч	?	3 Pab (I, + a) 8	I2 h	, , Pab (lt + a) 4j« 07“	 b X X й) L[IZ
Любая нагрузка на ригель шхйШШШШ. иг/		(1 — 0,751,*) MfaR	о,75;3ш|зд	lxkM3^	O.SsjftAiy^
"ь у	М "г ттХ				
	'м?т i?. 0 b Мд	АРваД__ момент защемления ригеля по 8.1,3			
«г ла ’ ° х-, ’ ’ ИПТШтгп-рт^ -о Jp ма		„ , 3 Pab2 . .__—. 4	.	3 Pab-1 cfe — - 			 4	IP	(1 i^X)		 IP	(Q„5Lkb 4- a} №
пвб X < Ау<Ж<г ^К„„		, 3 Lb (b — 2a} 					 4	. . 3 Lb (b — ‘2a) . 	1—		 4	A2	. , Lb (b — 2a) (1 —- ijfe) - h-	10a5£jfeb (/1 2fl) £ hs
428
- РАЗДЕЛ А ТАБЛИЦЫ-И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК; РАМ И АРОК
П р о А о л жен и е я. 2.
Схема нагрузки и эпюра М	Д1лев b	Л!"Р ь		Ма
Любая нагрузка на стойку тт ПГ«аахл.от л b ® «а	о,75/2лм£ Л1?в	— моменты sat	0,7513::МПЬ демления стойки по 8Л.4	<1 -~1р)	Л1а + ад кМ1
Осадка опоры С M^sS \ ад? f маА	ЗЕ1п (1 — 0,75J,S) . — ^-—   —- д	0,25Ei..l,k 		 д 4	дадУл	1адщ.л д
Осадка опоры D ...ЛSO МЬ	ь ^-"-il Г1>' |ад	9 93 г’/ .г ъ	задад! — 0,75/АЧ А 	'.	 д 1.	3Ei,^k Л -— 	— Л г.	1,5И>Л . 			 д 4
Горизонтальное смещение ригеля* ^j;s£ ад адад ад нд	4,57=;,гл А 		:— А 11	4,5Е!Ё,1г * 	ад		 д й	SE(. (1 — /,() . п	El, № — ?-lik} д А
Поворот опоры А ,МЬ? * Ь? «	, ивОЗШвте -ад	~	1 7" лад iU	v-P "i> tx	1,5ЕДД?£ср		1ец а —1,5', ф	Е1, (4 — Л) ф
При горизонтальном смещении опоры А значения М те же, что.прн смещении ригеля, но с обратными знаками.
8.2. РАМЫ
429
8.2.4.	Моменты в Т-образной раме с защемленными ригелем и стойкой
*2
4
4
/1.
h ’
4 ,
i3 — — ; k —
4
4
1
4 + i-2 + 4
Схема нагрузки и эпюра М	д1леь	Mf				Ma
frfft М[Хд	Р ВТПТШПИ,хмЬ Мо	Рг1 (1 —> ^afe)	Рг1 (=АПГ	ы? 4S — 12	PA (1 + O.SLft) —— 12	₽4 Ini	• —" 24	pl'2 l^k — 24
Мс^. Pl	/MieS Ж ?	Я . м ’’ «в J	,,	, PtPb \ I	Loft) 			 г'1	Реа& <.*	 4	, и Ра2Ъ - .  < I2 ‘1	J? (0,5i5ftz2 b} —’— 4	. , Pasb 1аь	 •u2	4* ~
Любая нагрузка на ригель СВ шшШЙШВ .^i\ ма	(1 - 12/г) Л!^ мзаД> д1за	г3«“а । г1ш“« д моменты защемления риге		М®2Д+0.5г2ЙА1®ай ля по 8ЛЛ.	0»SO.M?ail s «3 P	0,51 jftM^
Мг ..лев у?? W-r, ТЯ_ТЭг^™, А '-ЧоС /Чт^Пф Г—	, . Pat?	. L Ра/^ /?Л 	 /23		i^. '2h3	2№	(OtSf jftt-f-62)^^
М«Ч>	Я/J	о MJ	Jг	Мл w L	ал С™	. . Lb (Ь~2а) !. -.k 			, . Lb (Ь~2О) >№ ’"		(1 — 4fc)X х Vo <^2q) К‘	. Lb (ft~2a) h '2b?	. , Cb (b^2ojj i k 					[09«5ZjA^	I °’~2s ^2b)] ~
430
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Продолжение 8.2.4
Схема на гр у		эки и эпюра М	адлев МЬ	МРР 0		Мс	м, а	Ма
	Любая нагруз и Л •	"h ^гь ма	ка на стойку s ME *	м° м° _ й а	гзЙЛ1ь моменты защеь-	(1 - /,/) М°ь тления стойки п	0,512кМ°ь о 8.1,4,	0,5/..™” О \)	М" +0,5/^^
	Осатр&а опоры м ле6	а »Е ШЙВжйх-дда^- Мд		6EU.k & h		6ЕМ1-АВД)	3EiJ,k .	3Ei,i2H
		L.			к			 д 4	,	 Д	1 ч
	Осадка опори ^«5 «е	И fl	о thv ^sjz в В"«г	3ElJ,k 			 а 4				 д lz	6EEE.I?. . 	^~~ & 1?.	ЗПЫ^г л 	:	Д к		ЗЕц/Л д 4
Горизонтальное смещение jp 6 /?д	ригеля*)			FEi^Ek . ——-— Д h		J	!— Д h	SEld.k A 	i—. Д h.	3ElE.k , 				 Д h.	eEWl-'l.Si.fe) д
		h	~ Л					
								h
Поворот опоры G jfeflXc Jf F	f-Ий	2ЕШ~	-i=A) <р	2EIJM	2Eid,kV		Ei dnksp	£Т|1,ЙФ
>v^	& ll •	f-У								
При горизонтальном смещении опора Л значения М те. же, что при смещении ригеля, но с обратными знаками.
8.2. РАМЫ
431
Продолжение 8.2.4
Схема нагрузки и эпюра М	А1лев	AIw			Md	Ma
Поворот опоры D л Л Ми	2&'.йА<р	2£г.(1—г,4) <f			Eis(4-^isk) ф	EiJsktf
Поворот опоры А MrJ О Ма	ЗНДг.йф	QEijibkty	(1—ДЬ) ф	Eltizktfi	HiKfeq>	Eii (4-—£ ik) ф
8.2.5,	Моменты в Г-образной раме со ступенчатой защемленной стойкой
и горизонтальным или наклонным шарнирно опертым ригелем
11 ~ !h
is =	— при горизонтальном ригеле;
/,
г2 = —- — при наклонном ригеле;
s
1
~	,0 , ;0	"
Все коэффициенты k с индексами ( £®, fe”, fc”, ft® , h^,, kh2 и др.) принимать по 8.2.21.
432
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК.
Продолжение 8.2.5
Я.2. РАМЫ
433
Пример. Для раны, изображенной на рисунке, оп-
ределить нагибающие моменты
Продолжение 8.2.5
По 8.2.21 находим 4® = I,407; kf =2,215;
/?=	=2,215-0,2 = 0,443; i?> = 3i2 = 3-0,4 = l,2;
От нагрузки на ригель
Р! 5-15
МРЯ = — —---------= ру ум-
3	3
Мь = 1" kMfa = 0,443-0,61-25 = 6,75 тм;
kBa 1,407
Ma = —- 6,7b = 4,28 тм.
От нагрузки иа стойку по табл. 3.2.21:
ка = 0,093: Щ = 0,072;
= (ka + q fefe® kb) ph1 =
= 0,093 -i- 0,2-0,6Ы ,407-0,072) 0,6-10= = 6,30 тм;
Mb = &nkbplr = 1,2-0,61.0,072-0,6-102 = 3,16 тм.
Эпюры M имеют вид, изображенный на схемах з таб-
лице.
8.2.6. Моменты в Г-образной раме со ступенчатой защемленной стойкой
и горизонтальным или наклонным защемленным ригелем
= —- — при горизонтальном ригеле;
h ' I
/,
i3 ~ ~ — при наклонном ригеле;
Все коэффициенты k с индексами ( 4”, 6®, кь,, и др.) принимать по 8.2.21.
Схема нагрузки и эпюра А/	Опорне м оменты	Схема нагрузки и эпюра Л/	Опорные моменты
,О (ШШЙШПП м АГ+”С Ж, к	./W к5	0 , Рр М = (1 +0,5/0 J.) д£ . £	J кр м =— м, а ,в 4 кН О	. щ; у ма	А1 = р /( Раь’‘  Ь	1	/2	1 /И (0.5Й м 4-- й)	' с	м	р м -= —- ж а . а о 1
434
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Продолжение 8.2.6
, Схема нагрузки и эпюра Л4	Опорные моменты	Схема нагрузки н эпюра М	।	Опорные моменты
_ Любая нагрузка на ригель 1 '7*ма f ”с IsP Е 1^7 »о	м ™	ллааД  Mb~~ Lr.Mb , Мс = А4®ад + 0, 5^ ЬМ3ьая ; kl м =— м,, а ..в	6 где Л4заД, МзаД — моменты о	с защемления ригеля по 8,1.4 M.^i°2kkbph2; Мс^0,^2^ь ph2 ; ма-^а + Ч **а Щ ₽ft2	Любая нагрузка на стойку wAWWs^ssl: 0 У Ms	А1с = 0,5г° Шь ; «а = "0+4 k^Aif, где	— моменты за- щемления стойки по 8.2.21
		Поворот опоры С Г д »о '	мь = 2,е4 г2 £<₽; жс = Е(2 (4 - 4 *) ф; а® Л1 =-^.л А»
Л'/'	Mb = 4 kkb2 Ph’ Mc = 0,5l°2kkb2Ph; Ma =	kb^ Ph		
		Поворот опоры А \5 ' ^Мо	«6 = Е1 Мс = 0,5Н1
1 м' rwsy У' 1	мь = 4 H; мс = 0,б4} kMb ; kkaM^ где	моменты защем- ления стойки по 8.2.21	;		
		Горизонтальное смещение опоры С J / /О/	« = 4 «5л -4Ь- А; b 2 b v М	=	0,5Й	kk^	Д41.	Д; с	2	b м	=	(feA	- 1.	kks	k$)	—ч A CL	О.	к	CL	0	^2,2
^ИщдаЬ»--^ «с	Mb = tlkkb.L; Мс = 0,54 kkbs L; Л<й = (feQ5 — kka k-b^ I.		
8.2. РАМЫ
435
§.2.7. Моменты в Т-образной раме со ступенчатой защемленной стойкой
и шарнирно опертым ригелем
zj = kf li;	= ЗЫ ; г? = 3i3 ;
1
Все коэффициенты k с индексами ( kB, kBa, k'b, kb~, и др.) принимать по 8.2.21,
Схема нагрузки и эпюра М	м^в	Afgp		Ma
а ГППТИШТП м”еВ & м ет Ж I	р£ (\ .Г) П 1 i 1 — i'r\	 \	-78	J 8	;L, 	 1	8	£j kkB	pl^ lB	8
	Л 2Z“	Pab(h-}-a} /П ъ 		 гзк	, 2ZJ	0 , Pah (Ц 4- а) h s 2ZJ	j0 t, 4	Pab (Л 4- a) kl	2ll
Любая нагрузка на ригель СВ Ф / Н^ТТуТУттч 1 **	(1 - £ k) М3ьая зад _ момгН1> защез	z" о	О зления ригеля пс 8.1,3	Z1? kM3^ 1	О	z? kkB -1	4 драд и	b 0
	fCkkb2 Ph	г3 kkb2 Ph	(1	k) k^:y Ph	^a2 + г1 kka kbk) p-h
28*
436
раздел s, таблицы и формулы для расчета балок, рам и арок
Продолжение 8.2.7
Схема нагрузки и эпюра 7И		ллев		Mf	м a
л? /’’ёй LX		/0 Ж° Al'	— моменты з b а	1.лкМъ ущемления стойки по 8	(1 Z| й) .2,21	*™ Z-j kk® Af? Л	44*	Cz
л?^//7К		£2 kkK> L		(1 - 1° k) kb5 L	^ao ~ h kkh L
Любая нагрузка на стойку		.0 д,ЛяО г2 Шь — моменты з	го«о	।	(1 - i°j к) м“ ущемления стойки по 8.2.21		М°а+Ч
Г’?&&7 H	^ЦД„Цх. X А 7чЛ М, ^Г1\ ъ У				
Поворот опоры Л	1 A#fe5	1 0 х wTTrrns--^ ^д^^^^ШйШдайв^ ZZW^	j		££1 12 К v	Eil	Ki| (1 — Zj й) ф	£h <“”£1
Горизонтальное смещение ригеля Л д-^uSJ^ F мъ 41	6		fl kifl	д Й Ь2	(0 Аьл УЬ_ д о 0 ь/	44 (1 — i° k) -881. д °	1	AJ	й"> i	; fc'a a-[G
8.2.8. Моменты в Т-образной раме со ступенчатой защемленной стойкой
и защемленным ригелем
Й = q > Й = 4>2; Й ~ 4z3;
438
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛА ЦЫ II ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
М‘3 М '} —моменты защемления стойки по 8.2.21
Схе.ма нагрузки :i эпюра Л1	b	Л1?р	ЛЫГ b	ь
Поворот опоры D Мс м"е ЗСШлШе <fi Jh Ж МЛ	2Eiiy /г<р	2Ei3 (1 - i°3 k) 9	2Ei^ &ф
Поворот опоры «г	Л Лг-Ф			ЕЕ Л/г/Л ф 1 о a	Ell ka (1 ~ l'l k}
-— --‘w^	f /				
Поворот опоры С J м Г7$			2Е1., (1 — i°2 k) 9	2El2 i3 k-9	•2Ei, i® few
		|ЧОТ / V			
Горизонтальное смещение ригеля м дев -вн л и УК/** '“*" “* ь 1'			/0 kk^ -^- A 2 b hl	a b	fcA a_ Л fe) Щ b	1 IE
Продолжение 8,2.8
Мс	Md	|	ма
	а3 i°2 kq>	EU (4 — fe) ф	2£i3 4 '< —•—-— Ф b
ф	Of5B/i 1'2	Ф	0,5£iI £3 kk^ ф	£ij (/(«- 4 4® kk^v
	Ei^ (4	k)(p	El2 (° fap	2EL2 1° kk1' 		 Ф b
д	0,5(0 мА ЯЛд 2 b	h1	0,5/0 M.A . jih A 3 b	Ki	i kk'& k^) —A a	1 a b ft*
440
РАЗДЕЛ S, ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
8.2.9. Моменты и распоры в П-образной раме со стойками
постоянного сечения
8 2. РАМЫ
441
Продолжение 3.2.9
Схема нагрузки и эпюра М
Опорные моменты. Распоры
Схема нагрузки и эпюра Л1
Опорные моменты. Респоры
Любая нагрузка на ригель
3
мь = Md = --------Я??д;
°	а 2 (3 + 2ft)	61
И =----------2_  мзад
2Л	(3 +2ft) ММ '
где А1ЦД- момент защемления
при симметричном загруже- !.
НИИ*.
При симметричной нагрузке
на ригель
о
Мь - м, - ——
0 а 3 4-2* ь
~~ момент защемления ри*
геля по 8J.4
Любая нагрузка на ригель
t ............... ллзад	.
~ 2(1 + 6ft) wi ’
(+ для Мь; —для М^)\
М
^2(2 +ft)
(—для Ма; +для мс);
«Тй —- моменты за-
щемления при симметричном
и а н т и с и м м е т р и ч н ом з а г р у -
жении по 8.1.4*
При симметричной нагрузке
на пигелъ
9
М. =+1 = —- л3зад;
°	“	2 -4- ft о '
А1а ” мс “ °’°МЬ
Любая нагрузка на стойку
=	------___!-----мо
“	2	2 (3 + 2 ft)	"
где Л)? , Я? — момент- защемле-
О о
ния я реакция опоры загру-
женной стойки по 8.1.3
r _ k I
М°.
х —£_
‘	9 ь /
(—для М.ь; +для М^;
0,52?“ Й-М»
A^ = -nr(T+w-+
+ М°ь •	‘М°
+ ww т -г-
м О^Й-мО
с “rn+W-
м°ь ,
2 (2 + ft) + ~	•
где Мь, М^, 4 ~ моменты за-
щемления и реакция опоры
загруженной стойки по 8.1.4
„	6 +3ft	р№ .
М L--- ' 1 1 1  1	~ >
°	3 4-2*	8
6 4-5*	ph?
3 + 2ft	8
6 +Sft	ph
3 4” 2*	8
/У = Ph —
м	L2L_ + _LJ eSL
°’d	|l+6fe 2+ftj 24
(—для +ДЛЯ Mdy,
---------— щ » 4.
15 4"	__ 1 \ p^1
U4-6*	2 4-J 24
174-18*	ph
—= ——   . ------ ;
1 4-6У	24
на = ph - He
9 См. пример 1 в конце таблицы.
** См. пример 2 в конце таблицы.
442
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ II ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК,
Продолжение 8.2.9
8,2. РАМЫ
443
Продолжение 8:2.9
Схема нагрузки и эпюра М
Опорные моменты. Распоры
Схема нагрузки и эпюра М
Опорные моменты. Распоры
—	—	По		ворот оп< 7	зры А Ч/	М, . = El kd-~— + b‘d 1 У + й -г 3	\ Т	 Ф 1 + 6k) (—для Мь; +для М^у; М ..El (3-+2L -£- а.с	1 ( 2 + k J- >% 'l ± ——• ф 1 + 6k ) (+дая Ма; —для AfJ; _ ЗЯ, 1 + k bi ——_ . —J  m й 2 + к
		И		11 4 '	F X 4С_	
Горизонтальное смещение ригеля ^*14 К j jtf Хд	Mb —Md =	Д; ° a (C54-3A:) h (l,5+3i) h?	Горизонтальное ригеля ДДД1			смещение 3Г	м _м	18£й М»	к {2+3k) А: Ма = л1=®А+Щ)Д: й (2 4- Зй) е _ 6Е (1 + 6k) Л № ( 2 4- ЗА)
		Д' А	Д >77 ~*®~ *“7А 'а	М		X 77 '=&"	
Горизонтальное смещение
опоры А
Горизонтальное смещение
опоры Л
Мь — Md—
3E^k
(3 4- 2fe) h’J
ЗЕЦЬ
(3 4- 2й) №
=.
Ма
ЗЕ/, “	йа	Д; 24- S
	1 4- k .
, М„ = 	! -	»——— Д;
е V	2 + к
„ ЗЕЦ 1 Ч->2А ,
О ~~	. п -П I ".. Д
й3 2 +А
444
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ II ФОРМУЛЫ’ ДЛ
АЛОК, РАМ И АРОК.
Схема нагрузки я плюра М
Продолжение 8.2.9
j Опорный мозюнты. Распоры
I
а — козффпциснт„лйнейного рас-
ширения
ПО 1
М^ = ^г[3^4с, + 1,512} +
РР (4-0,750) = ^-(3-2£);
3	*	О
Рис. 8.8
Пример 2. Определить узловые моменты в раме от
треугольной нагрузки на стойку (рис. 8,8).
Для загруженной стойки в предположения защемле-
ния опор и их несмещаемости находим по 8.1.4:
Для рамы с шаряирко опертыми стойками (опорные
моменты от нагрузки 11 равны нулю) получим по 8,2.9:
3 — 24	nr,
3 Д 2k	4
По формулам для схемы «любая нагрузка па стоп-
ку?/ получим:
.л Г J___________
"а [24(1Д6/г) Г 39 (2 ДА) ' 40 j 2
Г 1	1	3 1 ph3
М	~ ---------Д------2----
39 (2 Д 4)	40 J 2
8.2. РАМЫ
445
8.2Л0, Моменты в ПЬобразной раме с© ступенчатыми стойками1
гь
Численные значения коэффициентов k и г с индексами (А®, /?в9 г , k\ k& и др.) принимать
' о а Ь Ь а
по 8.2,21, ^0—ПО 8.2.13
Схема нагрузки и эпюра М
Опорные моменты
Любая нагрузка иа ригель
Р, JM;
Ма=ЛУ = JaB ц ₽1 -g-
%=‘1И 3j ±Л4 82(1-2ю]^р
(+для Мь; —для М^);
ма>с = гЛ ^si
(—для Afa; +для Мсу,
Nl
Sl^ka
„ Pl
Mb ^M^ kf h h	;
„ Pl
Ma=Mc-ka Ml-V"
Mi,d='T-[ftI₽l<ia±(SMrl4)p2AIbn] ( + для Mb ' ~дли Md]’
Ма,с = Т [ *Ъа 31 <1Д Т ( Ео - р2 «|”]	( —для Ма : +для Л<с^;
моменты защемления при симметричном и антисимметричном загружении (см.
Ы * oil
пример I в 8.2.9), При любой симметричной нагрузке
fe|
Als	1г Р1 /И^Д; Ма =МС = ~ МЬ;
кь
1 Порядок пользования таблицей для расчета рам с двухступенчатыми стойками см. пример и 8.2.16.
446
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Продолжение 8.2.19
Схема нагрузки и эпюра
Спорные моменты
Mb,d ~~1'2 (3W2 ₽2 + У ₽1) рЛ
(—для Му 4-для Муу
Ма = I S2 6 - У + ka h ( kb Pl ~n2 02)] Pb2 + kp ph2;
Mc ==ftA'[ s2 (1 - Es) - /4 4 ( kb Pj + N2 ₽ 2) j;
^2 = rb ^0 ~~ kb’
S2 =Л'2 ₽2 rb 6 + rb
Mb.d 6 (3Уз P'2	—64 Pj) ^h
(—для My A-для
V [ «3 (1 ” У +	6 ( кЫ-W ~N3 ₽з)] Ph + hal-a4Ph'
^“ТНН) h ( *61-64 ₽i +л'з Ml pft;
3 Г'Ь\—Ь4 ’°o
S3 ^V302	+ rb1—b4
Mb. ! Mb =31'2 'B ₽2 n'’ F	=	V2 + (1~JO)J Ph: .Jh Ммс	1	o /Д'/	|		
		Nlb,d == !'a ( 3jV4 ₽a + *is Pi) L (—для My +для Mdy Л1« T [ M1 ™ ‘ o) + ka ll ( Уб ₽i M] Mp = T [ S4 (’ ~ M ~ /;a H ( kb5 ₽1 +Л6 ₽2)j h; Л4 “ rbs tg ~ l:i’5; S4 =Ni ₽2 rb il + rb5
wz J		
"-%		
/^a	Ms		MFr==;!2 (ЗР2 + ₽1)Ь Л1,У = £-г2 (зр2+ ₽;)£.; Al£, = i2(332-₽1) L; Ma = ~	( P1+ P2) ~~&2 rl (’ “ Ho)] L'< Mc= T [	₽1 “ ₽2) +₽2 ръь " M] b
8.2. РАМЫ
447
Продолжение 8.2.19
| Схема нагрузки и эпюра М		Опорные мо м ей ты
j	Поворот опоры Д		Mb,d-Eil М'ДТУ^ Во-Д)] ф; (-для мь\ Едля Ai^); Ма™-	(зй” — ft® i, й1’ Pj — 4 (32 [ So	— Д (1 — 50)] Ф! Мс = v Ч ^ ₽! + ч ₽2 (д у ~ ^)2 +А (J - М]ф
УК ч	7	
й '«я	А		
Горизонтальное см ригеля м<	< ж Д/	OW	эщение	л1й=лу=бчгз3<~^л; л’а=Д = ( Л-"Ч СД₽з) ₽ 1
		й+И2
Осадка опоры /		
Е		Mb-Md = Ч h ( kl ~«о Щ / Д; ма =м£ =мь
	4	
Горизонтальное смещение опоры А		
'ЯшШШшШ Др1 м	Г i	м,	.; й з, ~~ А; Ч	d	1 Ь fa м =м = i йл — ( лв йа и ) Stt-	! «	7 \ 1га Ч ли % Щ а,
Нагрев на t° м^77		a Ei\ ail лу--м^ч₽1 у ;	: Л1	— ip.	011 ^1£Й1£ э а	с \ а	1 а о i /	2h где акоэффициент линейного расширения
448
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Продолжение B-2JD
Схема нагрузки и эпюра
Опорные моменты
(—Для Му 4-для Муу
К «т [К ₽2 *'t h +й*h) О ~5о)	Иh	М]	;
Мс , -у- [(А’о ₽, г® ц + ф)(1 - t0)	£ (м“ ₽1 +Л'и ₽2)j ;
+ ^++-<
где м'Д М° , Ю~- моменты защемления и реакция опоры стойки: для одноступенчатых
о й
стощ: по 3.2.21, для дйукступенчатьщ по 8-2.22
* При действии иа стойку внешнего момента £ (по часовой стрелке): член в квадратных скобках принимать со знаком
минус; Л1° и Л1^ принимать со своими маками (см, пример) до 8,2.21 или 8.2.22.
Пример. В П-образной раме с двухступенчатыми
стойками определить изгибающие моменты от действия
равномерно распределенной нагрузки на ригель и внеш-
него момента на стейку (рис. 8.9, а).
Рис. 8.9
По 8.2.22 находим (см. также пример а 8.2.22):
1,6—-0,82 = 0,78;
кг	9,375
£ = -а = --------= р, 284.
“° k;,	33
Моменты в узлах рамы определяем по 8.2.10
/а 10	+	7,2
Л. -------== 0 623; Ц =	_ = о з-
h 16	' I 24
ц
0,82-0,625 + 2-0,3
0,82.0,625 + 6-0,3 — 1,6.0,284-0,625	0>’-'3-
От нагрузки на ригель, По формулам схемы «лю-
бая нагрузка на ригель» (при симметричной нагрузке):
Оа.2
ЛД = ц Pi Ы^'!1 = 0,625-0,82-0,90—-у- = 22,1 т/.у
От нагрузки на стойку. Величины опорных реакций
и моментов заделки загруженной стойки при неподвиж-
ных опорах принимаем по данным примера е 8.2 22
(рис. 8.9*0): 1Ц = 0,082.£; 7И® = 0,19£; Й’=0,121.
По формулам схемы «любая нагрузка на стойку»:
Л’о = Д! «0 h —	= (0,082-0,284-16 — 0,19)£= 0,1820;
Мь = 0,3 (3• 0,182• 0,493 — 0,19• 90)L = 0,029£;
Md = 0,3 (3-0,182-0,493 + 0,19-90) L = 0,1327г,
Д4а=—0,5[(0,182-0,493-1,6-0,625 + 0,082И6)(1 — :
— 0,284) +0,78-0,625 (0,19-0,90 —
— 0,182-0,493)] £+0,127.;
Ма=—0,5 [1,4-0,716 + 0,486 (0,171 — 0,09)] £ +
— 0,12£=— 0,401;
ЛД = 0,5 [1,4-0,716 — 0,486 (0,171 + 0,99)] L --= 0,437£.
При построении эпюры М (рис. 8.9, б) учитывалось,
что за положительные приняты моменты, показанные
на эпюре М в 8.2.10 для случая действия на стойку
внешнего момента.
Проверка эпюры М (см. пример 2 в 8.2.15). Провер-
ку деформаций (равенство нулю приведенной площади
эпюры) производим по 8,2.23 (значения р и 7, см. при-
мер в 8.2.22).
Для упрощения вычислений ломаную эпюру стойки
АВ заменяем эквивалентной прямолинейной (см. спо-
соб 1П в примере 2 в 8.2,23):
Л?у+= (-0,029^0,19) £ = -0,219£;	Л1Ц =[0.4—
— (—0,12)]£=0,52£ (рис. 8.9. а): cOj^in+Ai+p+j"
= 1 +0.5+5 • 0,25=2,75; ®s = 1 +0,52+5 • 0,252 = 1,563.
Приведенная площадь эпюры равна (множитель £
опущен):
16(0,52 + 0,219) 1,563
+ •0,919-2,75
+
2-10	10
24(0,132 — 0,029)	16(0,437 + 0,132) 1,563
«а	0,78
Ма =. +с = — Л1р — — 22,1 = 21 тм.
к*	0,82
2-7,2	2-10
16-0,132-2,75	, „„	„
----1-^—4—	j jG76 ._ + 677- 0.
8,2. РАМЫ
8.2.11. Моменты и реакции П-образиой рамы с абсолютно жестким
ригелем и стойками постоянного сечения вли ступенчатого очертания
С шарнирно прикрепленным ригелем
Стойки постоянного сен^ння
			
	£J»<»o —j	s\	1	Д В 1 В |	г/	/"Л ” ’	Зо"~ 3	На i	Не ма	мс ’’£		3	5	А	13	И	1 5 =г=	ph- уи ™	— 		ph"'" н —	ph\ н = -— ph W	Из	с	W	а	16	4	16
ад F f 1	1	! ,	h —U -51птттгг^ цъШШГПТтъ-^ j Й- j Ej н i/rt		е	“	ра ’• со	«-то- Л4	Ра' f	/о	ел	с Л = 		.- — _ - (2 — с-)4; Л1г, " 		р — (2 — j)-; М. = i>h; Н„ — S 4 '	1о	а	4	Ш	й
а —I гггтгш! '	хцддр/1 L—— h	~		S /4	а 1	т = 5 Еч мс	ч ~ ——• (2 — Е) —	— £'')>	“ рр fh —*• ~—1	Sh',	= Sh',	i 4	v	16-2	'	\	4 1
S JT |F=j лЗад i''.. .irj ... -4 р U- %		S jtJ	а __ _ F~1 |	А «4	<; = —. 5 — £Й-sa (3£= — 152 4-20); Л1 = — - Sh; М„ = Sh; Н„ » 3 12	240 '	U 6	“	С
	. ' s .		S = ~ м (3 _ |);	-= Ра - Sh; Мс = Sh; H£ = S
	р Р\ ад д *4 —	£3	а    £3	/з Ы М/ 1~ %	
29--!303
450
РАЗДАЛ ft ТДБДННИ И ФОРМУДи для рас- г-,. и ч; арод
“*“==та=!
Ступенчатые стойки’
стойки действует яюбая из приведэн-
у ; M^l-Sh; Mc^Sh;
Виды нагрузок
От сосредсточенарй силы в узле f’u
5 = ^-; М^М.
От других нагрузок:
;Д
Е1
;Л: М == Мк ~ Sh:
— реакция верхней споры загруженной стойни в предйолож^ннн исгмещае
ёйостй ее опор по 8.2-19;
ЛП)— ысменг? заделки консольной стойки с: внешних нагрузок
На
ных в 8=2.19 нагрузок
i При двухступенчатых стойках S=* —  Л?,
ч &
где А’; — рейнри^ верхней опоры стойки признается по S.2.20,
8.2. РДМЫ
Продолжение
452
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК., РАМ И АРОК
Продолжение 8.2. U
Ступенчатые стойки s
Коэффициенты ? с индексами принимать по 8.2,21; коэффициенты Во— по 8.2J3; М &момент заделки стой-
Я!| — реакция «рркней опоры.
2 При двухступенчатых стоПкаа
момент заделки стойки, коэффициенты
У щжнимшсуг’дя гю 8.2.22.
8.2. РАМЫ
453
Пример. Определить изгибающие моменты в стойках
рамы, изображенной на рис. 8.10 (Zp = <»).
По £2.21 при a—0,2k:
= 0.115/4.
По 8.2.13 gu = 0,391.
Продолжение 8.2.11
rbi ==0,870; ^kblPh^
Рис. 8.10
Дано:
Ля	/н	о
к = — = 0,3; я = — = 0,4: — =0,2.
h	i„ - h
rbl Р =
0,870
=	= 0,435Р;
APd —	—
= 0,4354,39i Ph =
= 0,170Ph;
= (0,170 — 0,115) Ph =
= 0,0557%;
/Иа = (v, 8 — 0,435 —
— 0,055) /4 = 0,310%,%
Л4С = 0,435 X
Х(1 —0,391) Ph =
= 0,265Ph;
Н. = s = 0,435Р.
На = Р — 3 = 0,5б5Р.
8.2.!2. Расчет одноэтажных многопролетных рам с шарнирно опертыми
абсолютно жесткими ригелями и ступенчатыми защемленными стойками 1 [3, 5]
Расчет рамы сводится к определению по формулам
таблицы горизонтальных реакций верхних опор стоек,
после чего стойки рассчитываются как консоли, загру-
женные приложенными к ним нагрузками н реакциями
верхних опор.
Рис 8.11. Схема рамы и нагрузок
Рис. 8,14. От нагрузки на промежуточную стойку
Предварительно следует найти отдельно от каждой
нагрузки реакции верхних опор загруженных стоек
в предположении кесмещаемости опор.
Стойки
Реакции верхних
опор стоек
Обозначения
Рис. 8.12. От нагрузки в узлах рамы
а) Высоты и моменты инерций
всех стоек одинаковы
Иезагру- !
женныс
т — число стоек рам,у,
Я1-^ — реакция верхней опо-
ры загруженной стойки: для
одноступенчатой стойки —го
8.2.19, для двухступенча-
той — по У,2,20
Нагружен-
ная (s)
1 Способ расчета мкогояролетйых сам с. ригелем в разных
УРОВНЯХ СМ. ПрИМСр 3 П 8.2.
Расчет : учетом пространственной жесткости каркаса см. [16]
и ^’уконодство по проектяровиЛйД/ сборных железобетонных
конструкций одноэтажных зданий-®, ЦНШШромзданий, 1971.
Рис. 8.13, От нагрузки на крайнюю стойку 1
454-
раздел 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОЦ
Продолжение 8,2,12
Стойки	Реакции верхних опор стоек	Обозначения
б) Высоты всех стоек одинако- вы, а моменты инерции различны		
Незагру- женные	bl	bs q	
Загружен- ная (s)	R. = R° X bs	bs v /,	!HS *0s\ X j 1 — —	 \	B J	s=== hilhi	4—f- “г ^н/тАт1 ^0/ для одноступенчатой стойки по 8,2,18, для двух-
в) Высоте всех	и моменты инерции тоек различны	ступенчатой — по 8.2.20. Второй подстрочный индекс означает номер стойки В' = ФАи +	+ дЗ / h ,	1 нтпот С
Незагру- женные	« ы bs ^в'	
Загружен- ная (s) При доточенн ные реак ну дейстЕ для неэаг	X J1	—й 1 \	ksS' J м е ч а н и е. При дей эй силы или W— 1ии верхних опор всех ия силы W и определя руженных стоек при R	стеши в узлах рамы сосре- :м. схему на рис. 8.12^ опор- стоек направлены в сторо- отся по формулам таблицы 3 =» ж bs
Рис. 8.17. Эпюра М от внешних моментов
Ц=П,Ч 0JB2	5,975	5,375
Рис. 8.18. Эпюра М от ветровой нагрузки
Рамы рассчитываем по формулам 8.2.12,6.
1. Определяем ио 8,2.18 для каждой стойки коэффи-
циенты «о, подсчитываем другие вспомогательные коэф-
фициенты. Результаты подсчетов приводятся в таблице.
Для удобства вводим обозначение
!sii koi
В
Sep
,М‘ стойки	h	и= з 0	k0i		1 ni'Rii	в	'c'
/	0,2	0,2	2,907	5	14,535	0.171
2	0,2	0,1	2,799	W	27,99	0.329
3	0,2	0,1	2,799	10	27,99	0,329
4	0,2	0,2	2,907	5	14,535	0,171
				В	85,05	Z == 1,000
Пример I. Определить изгибающие моменты в трех-
лролетной раме с бесконечно жестким шарнирно опер-
тым ригелей и ступенчатыми стойками, изображенной
на рис, 8,15; от заданных нагрузок.
2. По 8,2.19 определяем для загруженных стоек реак-
ции /?(’, от каждой из заданных нагрузок в предполо-
жении несмещаемости опор.

trim «г'

pTflj
'% “7 Эцг1'
-7«=5
4
•Лв

Зшг1
Рис, 8,15. Схема рамы и нагрузок
(В375
Рис, 8,16, Эпюра М от силы 7\
Нагрузка	M таблицы	Коэффициент	Реакция	(в т) bs
7\	3,21 t	8.2.19. г	0,682 .(при а = /^)	7$^ = 0,682.3,21 — 01 =г- 2,189
Ц 18Л tm	8ХЖ С	— 1,395 (при а /?7;)	^0	цз95 bl	18,7 = 1,395
71.(32 tm	8.2.19, т	1,343 (при a -	д0 =1,343 -ОШ = 18,7 = 5,1-М
Wi 14,4 t	—	—	=М,4
Рз. ™ 0,31 t/m	8.2.19, 6	f6j =х 0,3-657	Я'О = 0,3657-0,34Х гЯ Х18,7	2,325
pt = 0,21 Tjx	8.2,19, б	ь, = 0,36.77	= 0,365741,21х X 18,7 ™ ^436
8.2. РАМЫ
455
3. Подсчитываем величины реакций верхних опор
(с учетом смещения опор) и изгибающие моменты,
пользуясь данными 8.2.12. Рекомендуется для каждой
нагрузки показать на схемах рамы направления реак-
ции верхних опор (см. рис. 8.11—8.1'1). За положитель-
ные приняты реакции верхних опор, действующие слева
направо.
Реакции верхних опор	Моменты заделки стоек
От тормозной нагрузки	П-3,21 т (рис. 8.16)
»,.== —	(1 — S ) = 01	Ы \	01/	Л4Л= —1,815.18,7 +
= — 2,1.89-0,829 з=— 1,815 т;	4-. 3,21-15 = 14,21 тм;
Лй2 = Д0Ы502 = 2Л89-°-32Э=	.М	0,720-18,7 = 13,47 зж а-г
= 0,720 г;	
Rbs -=* 2,189-0,329 = 0,720 т;	МаЗ = 5,720-18,7 = 13,47 ты:
Rm“R°MS04 = 2’189-D'OT =	М. «= 0,375-18,7 = 7 Тдй 04
= 0,375 т	
От крановой нагрузки: £-j = 18,7	„£ £.2=— 71,62 ТМ (рис. 8.17)
7?	= _д0 Л _ д ч_ Ы	М 1	01)	Ма1 = — 2,04-18,7 + 18,7=
~М2 Я01 =	1>395-0,829 -	«= — 19,4 тм;
— 5,144-0,171 = — 2,04 т;	
ЯЮ = Й, S.,,+	/1-5 1 = f?2	л	о 2 \	02 /	Mus = 3,91.18,7 — 71,62 =
= 1,395-0,329 4- 5,144^,671 =	= 1₽58
= 3,91 т;	
Rьз^ (н°ы'~ Аи) 5оз “	Л5а„=— 1,233.18,7 =
= (1,395—5,144) 0,329 = — 1,233 т	= — 23,10 тм;
(1,395—5,144) 0,171 =	Mai = — 0,64-18,7 =— 12 тл
= ~~ 0,64 т	
От ветровой нагрузки: IF	— 14,4 т; Pi =0,34 +«;
Ра-0,21 Т/М	рис. 8.18)
R,, = <°Sm -«”?/!- S 4+ ol	Ы 01	М 1	01 /	Mai = °-782-58,7 +
+ «°м Sm = 14,4-0,171 - 2.323Х М 01	, 0,34-18,7“	,,, и- 				— 74,Ой гм;
Х0.829 + 1,436.0,171 =0,782 т:	
РЬа = (14,4+2,325+1,436) 0,329 =	Mav “= 5-975-18,7 = 111,7 тл;
«= 5,975 г;	
«63 = 5,875 г;	Р!аз = 111,7 тм-,
=	+«и) S0i-	0,21-18,7-' Д1 л 1,67-18,7 •+ 2
- *W~-S04W^ +	= 67,95 -jm
+ 2,325) 0,171 — 1,436-0,820 =	
= 1,67 т	
Продолжение 8.1.13
Проверка эпюры М (см. пример 2 в 8.2.15). Усло-
вия равновесия соблюдены. Условия деформации буду®
удовлетворены при равенстве прогиба верха всех стоек.
Прогиб стоек можно определить из следующих выра-
жений;
Rbi^i
незагруженная стоика---—— •
h3
загруженная стойка зр 7?^,) ——~~ ,
Знак плюс принимается в том случае, если реакция
Rbi направлена в сторону действия нагрузки (например,
реакция стоек 1 и 4 при ветровой нагрузке, см. эпю-
ру М). Ниже приводятся подсчеты прогибов стоек (ум-
ножены на Ejh?) от действия тормозной силы а ветро-
вой нагрузки.
стойки	При действии тормозной силы	При действии ветровой нагрузки
7	^=5^ = 0,0257 2,907-5	2,325 4-0,782 U	L^L,— = и^214
2, 3	0,72 —0,0237 2,799»10	1= о,214 2,79940
4	-2211 = 0,0258 2,907’5	ilSJJOL = О.2М 2,907-о
Пример 2. Показать ход расчета изображенной на
рис. 8.19 рамы, у которой высота и моменты инерции
стоек различны.
Рис. 8.20
1. Раму рассчитываем по формулам 8.2.12, в. Вели-
чины /г0 принимаем по 8.2.18. Подсчеты значений вспо-
могательных величин приводятся в таблице.
456
РАЗДЕЛ 8, ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК,
Продолжение 8,2,12
М СТОЙКИ	/б =	~— h	Я = А / и	kt>i	'ш	!uikai	цЗ	1 4	1в1к(Л ЬРв	ш
1	0,20	0,25	2,926	10	2S>, 26	3375	0,0087	0,269
2	0,15	0,20	2,Ш)	20	59,20	86/2	0,007-1	0,228
3	0,167	0,25	2,954	15	44,31	5832	0,0076 	0,234
4	0,20	0,25	2,926	10	29,26	3375	0,0087	0,269
						Р/ 0д)324		2 = 1,1100
2. Реакция верхней опоры загруженной стойки 1
в предположении несмещаемости опоры по 8.2.19,6:
= 0,374рЛ= 0,374-15/Э; = 5,61/?,.
3. Реакции верхних опор (с учетом смещения опор)
и изгибающие моменты:
Реакции верхних опор	Моменты заделки стоек
От равномерно распределена л,, =-д0 о --о ) = Ы	01	017 — 5,61 ’0,731 рг	4Д0	ай нагрузки (рис, 8. 20) ^'Г АЗД1= —4,10 рЛ + -^- = ^(-Aw.is + OiA р,та 1.	2 ) = sip,:
Реакции верхних опор	Моменты заделки стоек
Д, =.14.5.., = 5,31-0,228 р, = о2	bi Ю	1	Л4да = 1,2В.20Р1 = 25,6Рг
= 1,28. Р1;	
Rbs = 6,01 -0,234 Pj = 1,31 рр	Лу, = 1,31.18 pt =23,6 ру:
Rb4 = С61-0,269 Pj = CSl jy	Mai = 1,5Ы5 P1 = 22,6Pj
Порядок подсчета реакций и моментов от других
видов нагрузок см. пример 1,
8.2.13. Расчет одноэтажных многопролетиых рам с абсолютно жесткими
ригелями и ступенчатыми защемленными стойками [3]
Порядок расчета
1. Определяют отдельно от каждой нагрузки для
верхних опор загруженных стоек реакции /?J’S и момен-
ты защемления Л'р. в предположении неподвижных
опор, при одноступенчатых стойках — по 8.2.21, при
двухступенчатых — по 8,2.22.
2. Подсчитывают по формулам настоящей таблицы
(с учетом смещения опор) для верхних опор всех стоек
реакции и моменты в зависимости от типа рамы.
Рис. 8.23. От нагрузки иа крайнюю стойку 1
Рис. 8.21. Схема рама и нагрузки
Рис. 8.22. От вагрузки- в узлах рамы
Рис. 8.24. От нагрузки па промежуточную стойку
,3 Стойки рамы рассчитывают как консоли, загру-
женные наверху реакциями, моментами (см, п. 2)
и непосредственно приложенными к стойке нагруз-
ками.
8.2. РАМЫ
457
Продолжение О. Н
Наименование стойки	Реакции и моменты в верхних опорах стоек	Обозначения
а) Высоты и моменты инерций всех стоек одинаковы		
Незагруженные стойки	л Д«~ m ’ ЛП<- = ры‘Лг	m число стоек: a9 s	— реакции г-, 1 Ж	bs моменты защемления верхних опор затру- женных стоек (в предположении несмс-  щаемости опор) я коэффициенты	опре- ь деляются: для одноступенчатых стоек, —  по 8.2.21, для двухступенчатых — по 8.2.2д Коэффициенты £(, для двухступенчатых сто- ек приведены в У.2.22. Второй подстрочный индекс обозначает : номер стойки
Загруженная стойка (s)	R. —-R0 А - --Ц ; bs bs	rn j л/	_ м bs	os	ial	
б) Высоты всех стоек одинаковы, а моменты инерции различны		
Незагруженные стойки	i . л r rO JLe . bi	bs	/j мы	
| Загруженная стойка (si в) Высоты и моме.чты ине	R, == Rf> 1 l	Д-Ю J ; os	ss \	В / M. = Af° — ₽° y. h ——Ф bs	bs	bs ж	.. рпни всех стоек различны	Hi tl ' н2 ср	' ни: > in i
Я ез а г руж е н н т е стой к и	i . л R,.=PO —Ц-J? (	Л( Д..С а l:l	os . о '	Ь/	Ы' Or i Ю'В	! Pi А	д, gi	у	к....,+ к	,3 1	,-Д	' нт dm-
Загруженная стойка (а)	R =Ж l -ЖСДСф; bi ° I >bh' 1 i /И. „Ж -Л Cn Л ЮЛ os	bs	os ’"Os s н J h^B	В'1 m
Примечания: I. При действии? в узлах рамы сосредоточенной силы (’^или и7т—см. рис. я 22 '< реакции .верхних ©пор
всех стоек (-Я^) направлены в сторону действия силы Г/, а опорные моменты имеют направления, показанные на рисунке»
Значений этих реакций и моментов определяются по формулам незагруженных стоек, принимая
2. В формулах принято, что моменты верхней опоры загруженных и незагруженных стоек обратны по направлению (см
рис. 8,22—8.24). Если момент верхней опоры загруженной стойки подучится со знаком минус, направление сто будет гаков же.
458
РАЗДЕЛ я, ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Продолжение 8.2,13
Рис. 8.25.
Коэффициенты 5о
Моменты защемления от взаимного, смещения опорных сечений при действии на
опору В единичной силы Р — 1: ЛЗ Zoh; Ма~(1— tpph; R—P (рис. 8,25);
I	1 3” 7 1 -J					равном			
I ,/ j "	J 'J,	| и				0,4		0,5	|	0,7	[	0,8	0,9	1,0
(U 0,2 0эЗ о л 0,5	U, 22b 0,196 0,21^ 0,240 0,278	0,287	1	0,371 0,243	0,322 0,244	0,309 0,285	0,318 0,295	j	0,330	1) 41	0,441 0,407 U..4JI 0,388	0,459 0,433 < 40	0,471	0,480	0,490 0,453	0,408	0,480 0,441 j 0,469	0,475 0,437	0,458	0,473 0,437	0,456	0,472	9,495 0,491 0,489 0,487 0,486	0,50b 0,500 0,500 0,500 0,500
Пример. Определить изгибающие моменты и опор-
ные реакции в раме с абсолютно жестким ригелем от
заданных нагрузок (рис. 8.26).
Расчет ведем по формулам 8.2.13 в.
1.	Параметры стоек, значения коэффициентов
(см, 8.2.31), |о (си. 8,2.13) и другие вспомогательные
величины, которые могут понадобиться при проверке
/ 1 \
эшор Л/у = ——1; fflj==l + pA; to2— 1 + р.Х21, приведе-
ны в следующей таблице^ для удобства введено обозна-
Зч/ Г^’
чение 6е£ — —~.
/б /
Рис. 8.27
Рис. 8,26. Схема рамы и нагрузок
Рис. 8.28
Стенка			л rbi	'в.	ГЫ	. 3 б/	'н! 4	7 ФП. Ы	5о/.	О		<1)н
	л	и										
												
1	0, 50		8,018	1,0	8,018	1728	0,0946	0,339	0,391	1,5	1,45	1,135
i	5, 	Й, >	в, ЗЙ5	1,3	8,270	3875		0,178	0,318	4,0	1,98	1,230
3	0,24	0,2	6?365	1,3	8/270	3375	) 0 1	0,176	0.318	4,0	1,96	1,230
4	') • 0.1	1.00	12да	0,6 !	7,206	1728		U, 309	0,500	°	1,9	1,009
в' =п,01зб
8.2, РАМЫ
459
2.	Определяем по 8,2.21 реакш№ п момента заявляй
верхних опор загруженных стоек (в предположении не-
подвижных опор):
о 1,452-14
£i = 14 тм; 0ь1 =---------= 1,7 т;
Mnbl = 0,085-14 = 1,19 тм;
п 1,449-60
/= = 60 тм; ses ———-—- = 5,8 у;
1 о
М^ = 0,065-60= 3,9 тм;
р.г =0,3 т/М; /?93 = 0,47-0,3-12 = 1,69 т;
. - .	Продолжение 8.2.13
M°bi = 0,064«0,3• 12г = 2,76 ТМ;
р4 = 0,18 тм; Pbi = 0,5-0,1842 = 1,08 т;
= 0,0833*0,18-122 = 2,16 м,
3.	Подсчитываем величины реакций и опорных мо-
ментов с учетом смещения. За положительные приня-
ты: реакции Дф, действующие слева направо, и мо-
менты, вызывающие растяжение в правых волокнах
стоек. Рекомендуется для каждой нагрузки на схемах
рамы показать направления реакций и моментов верх-
них опор (см. рис, 8.22—8.24).
Редкими верхних опор в т	Моменты эаделки стоек в тм
Or крановой нагрузки Li—	4 тлг; Аз—60 тм (рис. 8,27)
R,, = -	(1 - 8 } — R?., S„, = - 1,7-0,601 - 5,вх Ы	М I,	(И/	02	Al = _ A30 + RO S Е й _ д0 5 £ h = 7 л,0 „ Ы	/Я 01’01 1	о2 01'01 1 k bi
Х0,339 = — 3,085;	~ р’\ S S h — Л!1,’, =(— 1,7 — 5,8) 0,339-0,391.12 — 1,10 =
	м) oi'oi 1	ы
	ts=-™7s7;
Р	я?. Л ” S 1 + №?,	=; 5,8*0,824 4™ 1,7-0,176 = 5,075; Ь2	Ь2 (,	1 Ы 02	Л1 =(+—«)) s s л -0 лф, =(1,7-5,8) 0,176.0,318.15+ 02	1 И	W) 02+2 2 ' Ь2
	4- 3,9 = 0,46;
R, = («У — РОЛ	(1,7 —5,8) 0,176 =— 0,722; 63	\ 01	/ 03	МЬЗ = - ЯъзОРз = - 0,722.0,318.15 = - 3,44;
R, =(р0, , —R?.,)	= (1,7— 5,8) 0,309 = — 1,268 /74	\ £1	iM	ЛД)4 =-	+ = - 1,268.0,5.12 =- 7,6
От ветровой нагрузки рг-^0>0	т/М; Pj«=0,18 Т/.й (рис, 8,88)
R, = _ д0 /1 — S Vr R°,S„, = - 1,60-0,661 + 1,08-0,339 = 61	ы \	oil /+ 01	МЫ = (М + sPPi “< “ (1’fiS +
= — i)s75;	Х0,339.0,39Ы2 — 2,76 = 1,64;
R, = R, = (R® + R? 4 S,„, = (1,69 + 1,08) 0,176 = 0,487; o2	03	\ bl	olj 02	=0*487.0,318.15 = 2,32;
f>	A — R? Ml = S у = 1,69.0,309 — 1,08.0,691 = M	fel 04	\	q^J	ЛМ=(Ям + «ы) йлл- МЫ <!’69+°’3°9 Х
= — 0,224	X 0,5.12 — 2,16 = 2,97
Порядок подсчета распоров в т и моментов заделки в тж стоек внизу (от ветровой Нагрузки)	
р = 0,75 — 033*12	2,85;	Л1	0,75’12 -4- 1,64— 0,3*12^0,5 =— 10,96; Q1	1
Уи = «аЭ = — 0,487;	ма2 = ма„ = — 0,487-15 + 2,32 = - 4,98;
7?я = 0,224 = 0,18-12 = — 1,936	Л,и4 =<М84-10 + 2,97 =• 0,18-12’.0,5 = — 7,29
Проверка эпюры М (см. пример 2 в 8.2.15). Услови-
ям деформаций эпюры будут удовлетворять,' если при-
веденная площадь FIIfl эпюры Л! каждой стойки будет
равна нулю.
Проверим эпюры стойки 3, По формулам ступенча-
тых стоек в 8.2.23 получим при крановой нагрузке на
раму:
₽ _	+ MQ	+ _ (7,38 4-3,44) 1,2.3
*’пр 2/н	/п	2-1,3	~
3 44’1 96
=-=0,05 (=* 1%).
Эпюры стоек 04 других нагрузвк МоЖйо проверять
по отношениям Ма : ЛЬ, которые должны быта для не-
загруженной стойки равны между собой при всех за-
гружениях рамы. Эпюры стойки 3 этому условию отве-
чаю» 0,38 144= 1,93 2,32)
КривблййёйяЬге йм ЛбмаНМ ЭпюрьР рекомендуется
замените прт tта ь'-я 1Ыин vr ib ггмт-дс, (см. пример
В 8.2,10) Й ЙрО’-|> д нм тп по дою ю j -„де фор-
муле. Например, Для стащи 3 гоп грайОвбй нагрузке
Л^2=3,§ ТМ‘ М°& =0ЛЙ-вб—53 fjn (см. 8.2.21, в);
Мр, =0,46—3,9=—3,44; A4g = — 15,62—(—23) =7,38
(прямолинейная эквивалентная эпюра получилась такой
же, как у стойки 3).
460
РАЗДЕЛ 8, ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
8.2.14. Расчет одноэтажных многопролетных рам со ступенчатыми
заш,емлеиными стойками [3]
Такие рамы целесообразнее решать методом дефор-
маций (перемещений) (см. 5.7.3). Необходимое количест-
во уравнений равно числу узлов рамы, не считая за.
щемленных, плюс одно дополнительное. Подсчеты со-
кращаются при использовании данных 8.2.21—8.2.22.
Приводим уравнение для узла 2 рамы (рис. 8.29):
Дополнительное уравнение (горизонтальной проек-
ции)	;
(б)
В уравнении (а) даны реактивные моменты заделки
элементов рамы в узле .! в левой части—от поворота
узла 2 на Z.<f2, узла / на Z.(pb узла ,3 на Z.cp3 и от сме-
щения ригеля на 6; в правой части—ог внешней на-
грузки. За положительные приняты моменты от внеш-
ней нагрузки, вращающие узел по часовой стрелке.
В уравнении (б) даны поперечные силы (реакции)
верхних опор стоек: в левой части — от поворота узлов
стоек на К.ф] и от смещения ригеля на б; в правой —
от внешней нагрузки. Знаки В7 и даны для палраа-
ления нагрузок, показанного на рисунке.
Принятые обозначения
. __ 112	. Isa . Ли
*да — . ; *2з = ; ; ц — д —
*12	*23	«(
линейные жесткости ригелей и стоек; hit — момент
инерции нижнего уступа стойки; k, т (с индексами) —
коэффициенты по 8,2.21; ср, S — углы поворота узлов
рамы, горизонтальное смещение ригеля; R^—реакция
верхней (фиктивной) опоры от нагрузки на стойки по
8.2.21; Мщ, -W®3, Л1®6 — моменты заделки элементов
рамы: для ригелей по 8.1 4, для стоек по 8.2.21.
При стойках постоянного сечения коэффициенты k, т.
опорные .реакции и моменты заделки принимаются по
8.2.21 при п== 1 или по формулам 8.1.4.
После нахождения значений д и б опорные момен-
ты определяются по следующим формулам:
— — 27] 2 (2<jb + <р3) — 44®];	(в)
Л/!23 ==— 2s23 (2дд	®3) ф- Л4®3:	(г)
/	k'? )
Мш =— Ч	]~ <;	(д)
\	^2	/
/	k&	\
Мв2 =—. д ф2 — “Г" <5 + <И® .	(е)
\	f*s	/
Порядок расчета виден из примера.
Пример. Определить изгибающие моменты в двух-
пролетной раме, изображенной на рис. 8.30 (параметры
рамы приняты по серии 1-36, выпущенной Гипротисом
и Проектегальконструкцней, 1954 г.).
Рис. 8.30
Определяем линейные жесткости элементов:
19
ц =------р = 0,735;
1	25,85
13
I ------------ 0 зОЗ;
25,85
44
; =------= I 53
28,65
о g
(-13 =	=0,132;
22
3,9
-А- = 0,142.
27,5
**в	1 в
Значения 4 = '"щ ; п = — и коэффициентов /г®,
**	* в
kA, гв , гл 1с индексами) по 8 2.21 приводим в таблич-
ной форме (все подсчеты выполняются на счетной ли-
нейке).
20? ’•ТОПКИ	1		kl>		11 <7 Я		ГА ГЬ
1 2 3	л ,342 0,435 0,342	0,0В 0,665 0,077	0,417 0.406 0,462	0,620 0,6'18 0,(й0	1,037 1.024 1,112	3,48 2,95 3.53	4,52 3,97 4,69
Чтобы избежать двойного интерполирования при
fl А
пользовании таблицей, .значения r<g и гь можно опреде-
лить следующим образом: г® —
8.2. РАМЫ
_______ 461
Основные уравнения угловых деформаций по формуле (а):
I 037>0,735
1)	0,417-0,73&fj-J-4»0,132<]ф ф-2*0,132фг — -----у—;т----6 =
2d , ос
2)	0,406*1,53tps ф- 4 (0,132 ф- 0,142)ф. ф- 2»0,132ф, ф- 2«0,142ф3
1,112'0,503 г
3)	0,462*0,5ОЗф3 ф- 4-0,142ф3 ф- 2 < 0,142«р2 — у— 6 =
2о, Ьо
Дополнительное уравнение по формуле (б):
1,024*1,53 ,
------------__
28,65
От нагрузки
Г	у?
222	
12	0
оо-	
~ИГ	0
0	0
1,037.0,735	1,024-1,53	1,112-0,503	4,52-0,735	3,97-1,53 ,	4,69*0,503. |
—'  —— ф, Ц~ 		(Г,,—L-	“	Фт—- <>——	I У—	6=, I
25,85	28,65	25,85	25,85s	28,65s	25,85s	|
После преобразований (члены 4-ю уравнения умножаем на 25,85) получим:
	От т	От W
1) 0,834 q.=i ф- 0,264фв — 0,02956 =	40,3	0
2) 0,264 ф] ф- 1,718®, ф- 0,284ф3 —-0,0-5486=:	—40,3	0
3) 0,284 ф, ф- 0,80C(ps — 0,02166 =	0	0
4) 0,763 ф, ф- 1,415ф2 -ф- 0,56Сф3 — 0,4116 =	0	—25,85
Приводим уравнения к виду, более удобному при ре-
шении их методом последовательных приближений.
—	<Г1	Оф		<•	| От в		От W
	•—	—0,317	—	0,0353	48,4	0
<Гг=	—0,1635	—	—0,1653	0,031.9	—23,5	0
ф„=	-	—0,356	—	0,0279	0	и
а=.	1,860	3,445	1,363	-	0	62,9
Решая уравнения (в данном случае достаточно огра-
ничиться четырьмя приближениями), получим при рав-
номерно распределенной нагрузке на ригеле: ф4—-59,6;
ф2=—-34,4; ф3= 12,46; S=:9,5.
Опорные моменты определяются по формулам (в)—
(е). Вычисляем моменты для узлов 7, 2 и 5:
Л112 = — 2*0,132 (2-59,6 — 34,4) ф- 40,3 = 17,9 тм;
Мп = — 2*0,132 (— 2-34,4 ф- 59,6) — 40,3 = — 37,9 тм ;
MS2 = —- 1,53 -—0,618-34,4
= 34,1 тм.
/Иад = — 2-0,142 (— 2-34,4 ф- 12,46) = 16 той;
/	1,024-9,5;
М№ = — 1,53 — 0,406-34,4 — —--------1 = 21,9 тл;
1	28,65 }
2,95-9,5
Значения ф и J при действии сосредоточенной силы
IF; <pi=2,06; фу =1,85; <р3 = 1,36; 6 = 75.
Эпюры Л1 приведены на рис. 8.31, 8.32.
Рис. 8.33
8.2.15. Примеры расчета сложных одноэтажных рам методом расчленения
с применением таблиц готовых формул
Расчет сложной одноэтажной рамы в ряде случаев
упрощается, если расчленить ее так, что основная си-
стема будет состоять из простых рам, которые могут
быть решены по готовым формулам Имеется в виду
членение рамы на Г-. Т- или П-образные рамы, реше-
ние которых дано в 8 2.1—8,2.11, я стойки с разными
условиями заделки опор (см. 8.2.18—8.2.22).
462
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Ход расчета подобных рам иллюстрируется на блё-
дующих примерах.
Пример 5. В заданной двухпролетной раме
(рйс 8.33, 8,34) определить изгибающие моменты от на-
грузки яа левом ригеле р = 1 т/м. Параметры рамы
взяты по примеру 7 [16].
Основную систему получаем путем закрепления опо-
ры 2 от горизонтального смещения. Раму членим на две
Г-образные рамы и вертикальную стойку.
Рис. 8.33
Рис. 8,34. Основная система. Эпюра Мр
9,67 ф 8,33	.... .
Г1р^-------= !j935j
У, о
2.	Даем опоре 5 горизонтальное смещение 6=1
(рис. 8.35). В выражениях моментов опущен модуль
упругости £, который в окончательных формулах сокра-
щается.
По 8.2.5
Основное уравнение имеет вид
+ г1р = 0,
где — реакция фиктивной criSpbl 9
го смещения на 6 = 1; г1г>—реакция
заданной нагрузки,
I. По 8,2.5 определяем ст нагрузки р изгибающие
моменты в Г-образной раме и подсчитываем значение
ПМ
от горизонтально-
го!: же опоры от
2
!i = — — 0,815:
9,3
3.72
^=^- = 0,4; п
По 8.2.21
4
4
5
----- = 0,277;
18,06
0,5
•	= 0,25.
2
4=1,214; ^= 1,046;
= 2,261;
А* = 4,454; г® = къь ц = 1,214-0,215 = 0,261;
ij2 = Зг12 = 3.0,277 = 0,831;
й	0 215
Л112= 4'., аФ-щ- =0,831 <0,915-2,261 -—- = 0,0397;
" /г,	9,3
= (4,454 — 0,215-0,915.1,Й6+,2Ш) ^2 = 0,0923;
9Д
0,039? + 0,0923
уп = Ii^------0,0142.
В стойке 2 (рис. 8.33) (см. 8,2.18):
5,6	1
при /.= -ут = ОД и п = — = 0,2
14	о
5
fej = 9,389;	П =— = 0,357;
14

Ыл
hi
2,389-0,357
14
= 0,0609;
Я —-----------------------------= { g j 0.
1°+Д	0,261 +0,831
1)1“	1
м — £ k '— = 0,261 *0,915	= 9,67 глг;
3‘	1	8	8
1,046
/Иц = —— 9,67 = 8,33 тм;
1 а 214
0,0609
13 = “ ~~~W
0,00435.
Полное значение	га~ — (0,0142-2+0,00435) =
= -0,0328.
3.	Моменты, полученные йо п. 2, умножаем на
6 = — С1+ =	= 59 (рЖ, 8.36).
ru 0,0328
8.2. РАМЫ
463
4,	Складываем моменты, полученные по пп. 1 и 3, и
получаем окончательную эпюру М (рис. 8.37).
Пример 2. В четырехпролетной раме, показанной на
рис. 8.38, определить изгибающие моменты от действия
на стойку тормозной силы от крановой нагрузки.
Для решения этой рамы методом деформаций "Тре-
буется составление й решение шести уравнений.
Рис, 8.37
Рис. 8.38
Рис. 8.39. Основная система
Членением рамы на пять элементовs (две Г-образ-
иые 6—1—2 и 4—5—10, Т-образную 2—3—4—8 и две
стойки 2 и 4} получаем основную систему (рис. 8.39),
имеющую три неизвестных: углы поворота <рг (узел 2)
и Ут (узел 4) и горизонтальное перемещение ригеля В.
Канонические уравнения имеют вид (см. 5.305)
гиФ1 + т«ЧЧ + Чз® + бщ — 0;
6si*Pi + ДаФя + +з® +	— Й
^31Ф1 + <зяфа + т зз§ + г?1р — 0.
В этих уравнениях: Гц (или г22) — сумма реактив-
ных опорных моментов в стержнях, сходящихся в уз-
ле 2 (или узле 4), of .поворота узла на г(ц = 1 (или д2 =
= 1); гзз—сумма опорных реакций, возникающих в тех
же узлах от горизонтального смещения ригеля на 6—-
= 1. Значения г с другими индексами понятны из обоз-
начений.
Для подсчета значений коэффициентов г следует в
каждом из элементов основной системы, пользуясь гото-
выми формулами таблиц, найти моменты и опорные ре-
акции: от единичных йбвОрОТОй узлов 2 и 4, от единич-
ного горизонтального смещения ригеля и от действия
внешней нагрузки.
’ Расчет рамы дан для случая, когда уравнения рсхнают без
применения ЭВМ.
По 8.2.21 находим численные значения вспомогатель-
ных коэффицйеятвв, необходимых для расчета.
/г ,?А стоЙдй	—™ 1	У,		А	А	•1
1,ЗН и S	0,30 у	fl Уз	0,20	1,055 1,140	М87 0,861	1,942 2,00	4, A-1S 4,328
.. 0
4-0,25 = 1; стоек 1, 3, 4 и 5
г ь» —
'ст КЬ
4,5
Линейные жесткости: ригелей — iP= “ = 0,25;
А =
т=10;
1,2
=0,1 • 1,055 = 0,1035; стойки 2 — i2—	=0,1.
От поворота узла 2 на < ср; = I (рис. 8.40, а)
Г-бвразная рама (см. 8.2,6):
k =-----------= 0,905;
0,1055+1
Мп = 21° гр k = 2-0,1O55»0,25,0,905 = 0,0477;
Ж, = гр (4= г® А) = 0,28(4 — 1-0,905) = 0,773;
й®
ЛД = — 0,0477 = 0,0402.
А,
Горизонтальные опорные реакции:
0,0477 + 0,0402
Нв = - Я2 =----------------= 0,0088.
Т-образная рама (см, 8.2.8):
k =	_L—= 0 475.
1 + 1 +0,1055
М& = 2-0,25(1 —0,475) = 0,263;
ЛД3 = 0,25 (4 — 0,475) = 0,881;
М3} = 2-0,25.0,475 = 0,238;
ЛД3 = 0,5-0,238 = 0,119;
Msi = 2 < 25.0,1055.0,475 = 0,0251;
^-^6,0281 =0,0211;
1,0оо
0,025 + 0,02+
Да + Ht =	“ = 0,0046,
Стойка 2 (см. 8.2.21):
М,7==/г» г-2= 1,14.0,1 =0,114;
Д4зг = 0,881-0,1 =0,086’
0,114 + 0,086	.....
Д8 = — fl, = —.—= 0,0166.
ЛДз —
10
От поворота узла 4 нА +ф2=1 (рис. 8,40,6)
Стойка 4:
М49 = kl i4 = 1,055-0,1 = 0,1055;
Met == 0,887-0,1 ==0,0887;
0,1050 + 0,0887
Н4	-----------------= 0,194.
464
РАЗДЕЛ Я. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
fi)
' От тушения
ригеля на 8=1
г) От внешней
нагрузки
6
Рпс. 8.40
Пользуясь симметрией, для остальных элементов
подсчетов можно не производить (рис. 8.40,6).
От смещения ригеля на 8~1 (рис, 8.40, в)
Г-образная рама (см. 8.2.6):
Ар, =	--== 0,905-1,942-0,01 = 0,0176;
Л121 = 0,5-0,0176 = 0,0088;
А1'б1 = ( — h т т =
= (4,341 —0,1 «0,905-0,887.1,942) 0,01 = 0,042:
Т-образная рама (см. 8.2.8):
Л/33 =	= 0,475-1,942-0,01 = 0,0092:
М аз = +43 = 0,5-0,0092 = 0,0046;
А1за = 1,942(1 — 0,1055-0,475) 0,01 =0.0185:
ТИ83 = (4,341 —0 1-0,475.0,887-1,942) 0,01
10
27
0,018510,0426
/+ 4. н, ,=	н8= ы-------------= 0,061.
Стойка 2 (см, 8.2,21):
*1!,_цА_224_0,016,5;
0,1
Л4,„= 4,328 -^-= 0,0361;
12
0,0166 +0,0351
7/, =.,. — /-/. =,-—2---- 0,0044.
12
Стойка 4 (см. 8.2.21):
М„ = 1,942-0,01 = 0,0194;
Ms.i = 4,341-0,01 =0,0434;
,	0,0194 + 0,0434
= — 7+ =--------------—---- = 0,0063.
10
От внешней нагрузки (рис. 8.40, а)
Т-обратная рама (см 8.2.8). Находим +3 = 0,106 и
+3...= 0,102 (см. 8.2.21).
8.2. РАМЫ
________466
/Иад = (0,102 + 0,1 -0,475-0,887-0,106) ЮГ = 1,06 7;
.M3S = (1 — 0,1055-0,475)0,105-107 = 1,017";
Л4М = M3i = 0,475-0,106-ЮГ = 0,505 Т;
Мгз = Mi3 = 0,5-0,5057 = 0,253 Г;
Я» + Я4 =Цо,7 +	j 10Г о1б95Г;
Я8 = Т —0,695Т = 0,3057.
Коэффициенты канонических уравнении:
ги = ..._0,773 — 0,114 — 0,881 = — 1,768 (рис. 8-40,7);
г22 = — 0,881 — 0,1055 — 0,773 = — 1,76 (р ис 8 - 4 0, б);
Юз = — (0,006-2 + 0,0044 + 0,0061 + 0,0063) =
= — 0,0288 (рис. 8,40,в);
г12 = ги = 0,119 (рпс. 8.40,6);
r.i3-=r?A = ^ 0,0088+0,0166—0,0046=0,0032 (рис. 8.40,в)
ги = — 0,0046 + 0,0194 — 0,0088 = 0,006 (рис. 8, 40,в)
rlp = л,р = 0,2537 (pijc. 8.40,a);
Дар = 0,6957 (рис. Ь.40,г).
Окончательный вид канонических уравнений (3-е
уравнение умножено на 10*):
1)	— l,768q>t + 0,119ф3 + 0,00326 + 0,2537 = 0;
2)	0, llftpj — 1,76<рг + 0,0066 + 0,2537’ = 0;
3)	0,032<Р! -J- 0,06;р3 — 0,2886 + 6,957 = 0.
Приводим уравнения к виду
<р, =	0,0673ф3 +0,00181++0,1437;
<ps = 0,0676rp!	+ 0,003416 + 0,14357;
6 = 0,111 чу+0,20&р3	+24,167.
Решая последовательными приближениями, получим
Ф1=-1),202Г; <р2 = 0,247; <5 = 24.27.
Умножаем моменты: эпюры рпс. 8.40, а на полученное
значение <рь эпюры рис. 8.40, б на ф2, эпюры рис. 8,40, «
па Л, соответственно складываем и добавляем Л1Р.
Ход подсчета показан для узлов 4 п 9;
М,13 = (0,119-0,202 -0,881-0,24 —0,0046-24,2 +
+ 0,253)7 = —0,0467;
+145 = (— 0,773 • {), 24 — 0,0088 • 24,2) 7 = — 0, .3987;
Л+8 = (—0,1055-0,24 + 0,0194-24,2) 7 = 0,4457;
++ = (—0,0857-0,24 + 0,0434-24,2) Т = 1,0297.
Окончательная эпюра М и опорные реакции показа-
ны на рис. 8.41,
* Пси 1юп)сиии уравнений по .метолу Гаусса следует 3-е
уратные еснюш, без изменений (агэбы ш ларуслиь муы-
нос'!1	та i ряды).
30—13(13
Проверка окончательной эпюры М
Проверка равновесия. Из эпюры М легко устано-
вить, что моменты во всех узлах рамы уравновешены.
Проекция внешних сил на оси X и У:
XX =0; (0,146+0,104+0,455+0,147+0,146) Т — Т =
= (1 — 0,998) 7 та 0;
2 7 = 0; (0,060 ф- 0,046) Т — (9,045 + 0,002 +
+ 0,059) 7 = 0.
Проверка деформаций. Требуется сделать группу
проверок на деформации, что обычно сводится к опрсде-
Рис. 8.4.!а
ленто заранее известных перемещений. Проверим, на-
пример, равенство нулю угловых поворотов опор б и 9.
В качестве статически определимых систем прини-
маем П-образные консольные рамы. Эпюры моментов
от Л-1|=М на конце консоли даны па рис. 8.41а. По-
скольку Лф = 1, то после сокращения па Е получим
Интеграл выражает известное положение строитель-
ной механики: в бесшариирном замкнутом контуре при-
веденная площадь эпюры М от любой нагрузки равна
пулю.
Проверим контуры 6—1~2—7 и 9—4—5—10 (часть
эпюры, расположенную вне рассматриваемого контура,
принимаем положительной).
Контур б—1—2—7. По 8.2.23 (эпюры стоек—по
формулам одноступенчатых элементов) получим:
стойка 1
Л = 0,3; /г = 0,20; и =	— 1 = 4; (ф = 1 +4-0,3 =
’ ’ "	0,2
= 2,2; а» = 1+4-0,34= 1,36;
стойка 2
7 = 0,25; г; =0,25; и = 4;	= 1 + 4-0,25 = 2;
аы = 1 +4.0,25® = 1,25;
10(1,025 + 0,436) 1 ,36
----1------------------_ Ю-0,436-2,2 —
2-1
1-3(0,436 — 0,37)	12 (0,871 + 0,38) 1 ,25
~	2-4,5	~	2-1,2
12-0,38.2
+-----------= 17 go (7,522 эз 0
1,2
(множитель Т опущен).
466
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Контур 9—4—5—10,....Произведя аналогичные вычис-
ления, получим (—19,73+19,69)Т = -О,О4Т. Получен-
ные отклонения (~ 0,2%) допустимы.
Пример 3, Построить эпюру Л1 для рамы, изобра-
женной на рис. 8;42, от заданной нагрузки (параметры
рамы и способ членения приняты по примеру 2 [16]).
ЧленеййбМ рамы (рйс. 8,43) моЖйб вМбста inpcfit
уравнений, необходимых тфи решении рамы методом
Рис. 8>4Э, Схема рамы
РИШ 8.43, Осйовиай еиетеш ЭпЮра М} М Х1==1
деформаций, ограничиться одним уравнением [см. фор-
мулу (5.3(1)];
Xj бц + &1р — О-
Для определения 6ц и...Д!р надо построить в основ-
ной системе эшоры Л4 от Aj=l и от вйёшийХ йагрузок,
П-ббразнаЯ рама / (ей. &2.16):
5	15
^^ — =0.376; is=’^g-=0,6j
„	4,16
24 = -v1—- =+,313;
1	13,3
1
п — — == 0,20.
5
Находим численные знайёййя коэффициентов k и г
по 8.2,21 н go по 8,2.13.
h®			6»	От действия р=1,5 т/м		
				kbl	kal	+1
1305	0,885	1,94В	0,51	0,108	0,061	0,847
0 = _---------?---------= д ggg.
1,05-0,376 + 2-0,6
__________________1___________________
1,05-0,376 + 6.0,6— 1,945*0,31-0,376
От действия Xs = 1 (рис, 8.43)
+3 = 0,847-0,31 — 0,108 = 6,1545; 53 = 0,877;
Md = 0,6 (3-0,1545-0,267 — 0,108-0,628) 13,3=0, 44 тм-,
Мь — 1,52 тм-
1
Л4а = — - (0,877-0,69 — 0,895-0,376 (0,108-0,628 +
+ 0,1545-0,267)J-13,3 = 3,78 тм-, Мс = 4,89 тм.
Рис. 8.44. Эпюра Мр в
основной системе бт р==
= 1,5 т/Ж
От нагрузки р==1,5 т/м (рис. 8,44)
1 й,од®
МЬ = Мд = 1,05-0,376.0,628 ~= 1д 3 тм.
12
«	«	„	О.®93 ,
Ма = Мс= -Му=-—-19,3== 16,5/их1.
й®	1,05
По 8.2.23* (формулы для одноступенчатых элемен-
1,5	1
тов) при ^^=0,141; п=0,Я; р, = ^-4=4; ед,=+ +
-+-4-0,141®= 1,08; <ад = 1++0,1413=1,01’ *
ЕА 10,642 (16,5 + 12,14)1,01
£д1р==
10,64М2,14-1,08
_------------------=7 0 а .
Рис. 8.45. Эпюра Мр
новной системе от
==0,23 т/м
От нагрузки pi = 0,23 т[м (рйс. 8.45)
kb = 0,056; ka = 0,105; + = 0,451 (см. 8.2.21);
+« = 0,451 -0,31 =- 0,056 = 0,084; S8 = 0,084-0,267Х
X 1,945-0,376 + 0,451 = 0,467;
Л46== 0,6(3-0,084-0,267 -= 0,056-0,628) 0,23-13,3« =
= 0,78 тм-,
* Для упрощения подсчёта перемещений 6-^ и А1р псполь-
зованы треугольные эщоры, построенные от Л'3“1 в отдельно
стоящих стойках рамы. Вместо взаимного перемножения полных
эпюр и М эти эпюры умножены на треугольные (см,
8.2. РАМЫ
467
2,49 тм',
Мс = -j- [0,467-0,69 — 0,895-0,376 (0,056-0 628+
+ 0,084-0,267)|0,23-13,3= = 6,19 тм; +а = 10,9 тм.
По 8.2.23
10,642 (6,19 + 0,76) 1,01
£Л1р.^-	3.5	-	-
10,642-0,76-1,08
__ ---------------- = СТ о
П-образная рама П (см. 8.2.9)
От Лейе-таШ %,== 1 (рис. 8.43)
0,8	10	и
= —— =0,075; И = — = 0 417; k = — = 5,53;
10,64	'	24	ц
„	10,64 3-5,53 +1
Ма = Мс =-----= 2,74 тм;
2	6-5,53+1
Л4у =	= 2,58 тм,
Определение £6ц и + (рис. 8.43)
По 8.2.23
10,64s (4,89 + 1,5) 1,01	10,64®»! ,3-1,08
2+п =-----------------------=- —------+—:-----+
З-о	2-о
10,64 s
+•------- (2-2,74 — 2,58) = 98,8.
6-0,8
От нагрузки на ригель
= — — =	ааа. 0,718.
Он 98,8
От нагрузки на стойку
Д = — ~ = — 0,44.
98,8
К ординатам эпюр М? следует добавить эпюры Mt,
помйбЖенные иа Хр. Л4= ЛД+ДД Окончательные
эпюры даны на рис. 8.46 и 8.47,
Рис. 8.46
8.2.16. Рамы со стойками, имеющими два уступа (двухступенчатые).
Указания по расчету с использованием таблиц
При расчете рам с двухступенчатыми стойками мож-
но пользоваться таблицами для расчета рам с односту-
пенчатыми стойками, руководствуясь следующим.
В рамах с ригелями конечной Жесткости (см. 8.2.3=
8.2.8, 8.2.10, 8.2.14) опорные моменты от внешней нагруз-
ки ИЗ ригель и стойки бйределякУГся по формулам та+
лнц для «любых нагрузок», а от заданных деформа-
ций (йбворотв! узлов, сйШеиия, ОСадки) и ёлййния тёМд
пературы — по соответствующим формулам таблиц. При
этом моменты зашемлеййя (М&, /И®) и опорные рёа+
ции (£j) от внешних нагрузок в защемленной Стойке
с двумя уступами, а также значёйия коэффициентов
k, г с индексами (kBb, й|} rfn др.) и go определяются
по 8.2,22 (см. пример в 8,2,10).
Моменты Защемления ригеля (М|ад) принимаются
по 8.1.3 или 8,1.4.
Для расчета многопролетных рам с ригелями конеч-
ной жесткости и двухступенчатыми стойками методом
деформаций уравнения равновесия остаются теми же,
Что при одноступенчатых стойках [8,2.14, формулы (а)
и (б)]; коэффициенты Й, Г и g0, моменты М°ь, реак-
ции /?® принимаются по 8.2.22.
Данные по расчету одиойролетных (см. 8.2.11) и
многопролётных рам (см. 8.2.12 и 8.2.13) с абсолютно
жестким ригелем и двухступенчатыми стойками приве-
дены в самих таблицах.
При расчете сложны! рам, у которых стойки (ча-
стично или полностью) имеют два уступа, можно вос-
пользоваться Методом членения на Простые рамы, для
которых в таблицах даны готовые формулы (см. 8,2.15).
8.2Л7. Миогопролетаые одноэтажные и многоэтажные рамы»
Изгибающие моменты от вертикальной, горизонтальной нагрузок
и осадок ойбр
Одноэтажный рамы. Йо таблицам определяют опор-
ные. моменты в двух-, трех- и четырехпролетных одно-
этажных рамах с шарнйрйьйй опиранием стоек от вер-
тикальной и горизонтальной нагрузок п от осадок опор.
30*
Рамы имеют равные пролеты с ригелями одинакового
сечения и одинаковыми погонными жесткостями стоек.
(продолжение HU cff>. 476)
468
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
А
Мв Мы Ms
» LJ	Г 2 Я р 1	Рт !	О -e—Z—U
шеи:
а) Двухпролетные рамы



/р—
h
(пунктиром обозначены растя-
нутые волокна яри положитель-
ном моменте)
Схема нагрузки 1
Схема нагрузки 2
; Схема \ нагрузки	1р	0,05	0,1	0,2	0,3	0,33	। °’4	j 0,5	j 0.6	|	0,75	
	«а=«с	0,0781	0,0735	0,0658	0,0695	0,0579	0,0544	0,0500	0,0463	0,0417	
1		0,0860	0,0882	0,0921	0,0953	0,0961	0,0978	0,1000	0,1019	0,1042	
	«я	0,0788	0,0747	0,0676	0,0618	0,0603	0,0570	030528	0,0492	0,0447	
	Mbi	0,0827	0,0820	0,0808	0,0798	0,0794	0.0787	0,0778	0,0770	0,0759	
3	МЬ2	0,0033	0,006'2	0.0113	0,0156	0,0167	0/0191	0,0222	0,0249	0,0283	
	«г	0/0006	0,0015	0аШ18	0,0023	0,0024	0,0026	0,9028	0,0029	одао	
	«а	0,1221	0,1193	0,1153	0,1120	0.П11	0,1093	0,1069	0,1050	0,1027	
	МЬ1	0,1221	ОДНИ	0,1149	о,шз	0,1 ЮЗ	0Д081	0,1056	0,1033	0,1004	
3	МЬ,	0,1260	0,1268	0,1281	9,1291	0,1294	0,1299	0,1306	9,1311	0,1317	
		0,1299	0,1343	0,1417	0,1477	0,1488	0,1527	0,5569	0,1606	0,1652	
	ма^~мс	0,2540	0,2576	0,2639	9,2692	0,2707	0,2733	0,2778	0,2813	0,2857	
4	«й = ~ «62	0,2460	0,2424	0,2861	0/2308	0,2293	0,2262	0 2222	0,2188	0,2143	
-		5,4792	5,0292	4,3668	3,8628	3,7164	3,4762	3,1620	2,9075	2,5878	
	МЫ	5,4930	5,0772	4,4533	4,0438	3,9294	3,7284	3,4866	3,2976	3,0584	
5’		0,3396	0,5856	0.8988	1,0920	1,1460	1 2222	1,3128	1,3698	1,4346	
	«С	0,1626	0,2766	0,3756	0,4200	0,4284	0,4380	0,4362	0,4278	0,4104	
	«о	5,6418	5,3058	4,7424	4,2828	4,1448	3,9144	3,5932 :	3,3354	2,9982	
S	МЬ1	5,8326	5,6628	5,3526	5,1348	5,0754	4,9506	4,7952	4,6674	4,5030	
См. сноску на стр. 476.
469
Продолжение 8,2.П
Схема нагрузки 3
Схема 6
Осадка опоры В на Л
I	|	1,25	।	1,5		1	1	1	1	3,5	-диц		 7Г{№;„.Аа.,л^тадтаята:г^ |	4	j	5		j 6	। Множитель
0,0357	0,СШЗ	0,0278	Мр j	0,0192	0,0166	0,0147	0,0132	।	1/0109	0/Ю93 )	i
0,1071	0,1094	0,Ш1	।	(/1136	0,1154	0,1167	j 0,1176 1	0,1184	|	0,1106	j (/1204 j	
0,0387	0,0341	о,0305	0,0252	1 0,0215	0,0188	0,0167	0,0149	0/9124	0,0103 (	~ рэк P
0,074-4	0.0732	0,0722	0,0707	Г/0696	0,0683	0,0681	1/0575	0,0867	0,0662	
0,0327'	0,0362	0,0389		0,0429	0,0458	0,0470	0,0495	0,0509	0,0528	0,0542 j	
0,0030	,	0,0029	0,0028	0,0020	0,0023	0,0021	0,0019	0,0017	0,0015	0,0011	+ p
0,0997	0,0975	0,0958	0,0934	0,0918	0,0900	0,0397	(/0391	0/00	0,0372	ph^
в,0967	0,0939	0,0917	0,0884	0,0861	0,0844	(/0331	0,0820	0,0805	0,0793	— pW
0,1324	0,1329	0,1333	0,1333	0,1341	0,1344	0,1345	0J346	0,1348	0,1349	ph9.
0,1711	0,1757	0,1792	0,1844	0,1880	0,1906	0/1927	0,1943	0,1957	0,1981	— ph?
0,2917	0,2963	0,3000	0,3056	0,3095	0,3125	0э3148	0,3167	(/3194	0,3214	Ph
0,2083	0,2037	0,2000	0,1944	0,1905	0,1875	0,1852	D,1331	0,1806	0,1786	— Ph
2,1999	1,9116	1,6908	1,3776	1,1622	1,0056	1/8862	1/7'920	0,6634	1/5568	£7p A:P
2,7948	2,6034	2,4624	2,2668	2,1306	2,0424	1,971.9	1,9194	1,8468	1,7880	1	£/p
1,4892	1,5204	1,5366	1,5534	1,5546	1,5570	1,5540	1* 5436	/5456	1,5®8’	J	p
0,3708	0,3384	0,3072	0,2592	0,2226	0,1944	0,1728	0,1554	0,1290	0,1098	El Л:Р p
2,5693	2,2500	1,9930	/6368	1,38-18	/да)	/0590	6,9474	i!j r'32'4	{/6665	- Efp A.: I1
4,2840	4,1238	3/ЖЮ	.3,8202	3,6852	3,5094	3,5250	3,4680	3,3924	3,3288	Е1р Д:7!
470
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
б) Трехпролетные рамы
Ж , , ____Ут
(Р ’ гст — д	Схема нагрузки 1	Схема нагрузки 2	Схема нагрузки 3
(пунктиром обозначена растянутые
волокна при положительном
.моменте).
С лежа j нагрузки	j П	—£L_ Ут	0,05	0,1	0,2	0,3	0,33	0,4	। 0,5	0,6	0,75
i	7	а	& »	?	о В	II	и Ж	S ;| tfi	S3	0,0782 0,0858 0,0834	0,0738 0,0878 0,0838	0,0665 0,0905 9,0842	0,0607 0,0925 0,0848	0,0591 0,0929 0,0851	0,0557 0,0938 0,0856	0,0517 0,0949 0,0862	0,0482 0,0956 0,0868	0,0438 0,0965 0,0877
	2	С45 ел *73	Ча ч	?	? II II	II а - « 5 Ж ?	0,0805 0,0808 0,0026	0,0779 0,0787 0,0049	0,0728 0,0753 0,0089	0,0682 0,0727 0,0121	0,0669 0,0721 0,0130	0,0640 0,0707 0,0349	0,0603 0,0690 0,0172	0,0570 0,0675 0,0193	0,0526 0,0658 0,0219
3	га ед 4* 4й II II II а г? «	0,0634 о.оЯо 0,0808	0,0041 0,®Й 0,0787	0,6089 0,0168 0,0754	0,(Й76 0,6197 0,0727	0,0078 0,0203 0,0721	0,0083 0,0831 0,0707	0,0086 0,0259 0,0890	0,0088 ода 0,0875	0,0088 0.0Й07 0,0658
!	4	л%	0,0871 0,0847	0,0900 0,0860	0,0945 0,0879	0,0977 0,0907	0,0986 0,0913	0,1002 0,0927	0,1021 0,0943	0,1036 0,0957	0,1053 0,0976
	МЬ1 АУЯ МСЗ АУ	0,0801 0,0815 0,0827 0,0826 0,0852 0,0878	0,0774 0*0801 0,0823 0,0819 0,0866 0,0917	0,0729 0,0780 0,0818 0,0805 0,0887 0,0982	одаз 0,0765 0,0815 0,0792 0,0901 0я1034	0,0683 0,0761 0,0315 0,0789 0,0905 0,1047	0*0663 0,0754 0,0814 0,0780 0,0912 0,1077	0,0338 0,0747 0,0811 0,0773 0,0919 0,Ш2	0,0617 0,0741 0,0813 0,0761 0,0925 0,1143	0,0589 0,0734 0,0814 0,0748 0,0932 0,1181
б	УЖ 1 1 1 safe л ф5 Сц 1 ю еа	0,1719 0,1667 0,1615	0,1765 0,1657 0,1569	0,18® 0,1667 j 0,1491	0,19ft 0,1667 0,1409	0,1981 0,1667 0,1412	o.ift? 0,1667 0,1377	0,1000 0,1667 0,1333	0,3038 0,1667 0,1296	0,2083 0,1667 0,1250
	Ма МЬ1 МЬ% Мо2 мсз Md 		8,4774 5,4882 0,3396 0s1632 0,0102 0,0048	5 да 5,0724 0,5856 0*2782 0,0306 0,0144	4,3722 4,4772 0,8Ж 0*Й12 0,0792 0,0330	й;Ш 4,0380 1,Шо 0,4Й0 0,1224 0,0474	3,7176 3,9306 1,14'60 0*4692 0,1368 0,0516	уш 3,7452 1,2222 0*4908 0,1608 0,0576	3,1668 3,4992 1,3086 о,яоо 0,1908 0,0636	3,9082 3,3108 1,3698 0,5196 0,2142 0,(1678	29Ж 3,0864 j 1,4346 0*») 0,2460	1 0,0702
8*	Л1а ММ A1bS АУз лт, а	5,6400 5,8284 5,8422 5,6Й58 0,3504 0,1674	5,2986 5,6580 5,6838 5,3682 0,6162 0,2802	4,7568 5,3982 5,4618 4,» 1,0002 0,417-6	4,2978 5,1666 5,2734 4,B1S 1,2510 0,4824	4,1622 5,1180 5,2344 4*5408 1/3242 0,4962	,3,9342 5,0226 5,1522 4,Ж2 1,4382 0,5130	3,6276 4,8822 5,0262 4,0012 1,5738 0,5244	3,3678 4,7844 4,9362 1,6878 (\527-1	3,0366 4,6416 4,8072 1,8012	| 0,5142	|
См. сноску на стр. 476.
8.2. РАМЫ
471
Продолжение 8.2.17
					Схема 7 Осадка опоры А на А				Схема Осадка опоры		8 £	на Ф
												1
	]	1/25	1,5	-	2,5	3	3*Э	4	5	j 6		Множитель 1
	0,0381	0,0338	0,0303	0,0252	0,0218	0,0188	0,0167	0,0150	0,0125	0,0107		
	0,0975	0,0981	0,0985	0,0990	0,0993	0,0995	0,0996	0,0996	0,0997	0,0998		п /2 А Ж	;
	0,0890	0,0900	0,0909	0,0923	0,0933	0,0941	0,0947	0,0952	0,0959	0,0965		
	0,0466	0,0418	0s0379	0,0319	0,0275	0,0242	0,0216	0,0195	0,0163	0,0140		
	0,0636	0,0619	0,0606	0,0587	0,0574	0,0565	0,0557	0,0551	0,0542	0,0536		- рэк р
	0,0’254	0,0281	0,0303	0,0336	0,0359	0,0376	0,0390	0,0401	0,0417	0,0429		
	0,0085	0,0080	0,0076	0,0067	030060	0,0054	0,0049	0,0045	0,0038	0,0033		+ <°эк р
	0,0339	0,0362	0,0379	0,0403	0,0419	0,0430	0,0439	0,0445	0,0455	0,0462		
	0,0635	0,0619	0,0606	0,0587	0,0574	0,0565	0,0557	0,0551	0,0542	0,0536		р — РЭК ‘	1
	0,1074	0,1089	0,1099	0,Ш4	0,1123	0,1130	0,1135	0,1138	0,1143	0.1147		1
	О,1001	0,1020	0,1036	0,1058	0,1075	0,1086	0,1095	0,1103	0,1113	0,1121 i		
	0,0554	0,0526	0,0005	0,0473	0,0449	0,0433	0,0419	0,0409	0,0393	0,0381		рАа
	0,0727	0,0723	0,0719	0,0716	0,0713	0,0712	0,0711	0,0711	0,0710	0,0709		— ры-	|
	0,1)816	0,081-8	0а0821	0,0825	0,0828	0,0831	0,0833	0,0835	0,0838	0,0840		р!Р
	0,0732	0,0718	0,0707	0,0691	0,0678	0,0669	0,0663	0,0657	0,0648	0,0642		д/?Ь
	0,0939	0,0943	0*0947	0,0950	0,0953	0*0954	0й9955	0,0955	0,0956	0,0957		
	0,1232	0,1270	0,1301	0,1345	0,1377	0,1401	0,1419	0,1433	0,1455	0/1471		ph3
	0,2143	(/2183	0,2222	0,2273	0,2808	0.2ЙЛ	0,2353	0,2868	0,2391	0,2407		Ph
	0,1667	0,1667	0,1667	0,1667	0,1067	0,1697	0,1667	0,1667	0,1687	0,1667		—• Ph
	0,1190	0,1146	0,1111	a, Wai	0,1026	0,1000	0,0980	0,0965	0,0942	0,0926		Ph
	2,2014	1,9206	1,6980	1,3890	1,1700	1,0116	0,8910	0,7986	0,6594	0,562g		El A: Is
	2,8153	2,6406	2,5002	2,8178	2,1954	2,1054	2,0364	1,9878	1,9188	1,8708		1	£7n
	1,4892	;	1,5204	1,5366	1,5534	1,5-546	1,5570	1,5540	1,5486	1.S456	1,5408		/	-JM A
	0,5’232	0,5203	0,5130.	0,5010	0,4866	0,4788	0,469 ,	0*4626	0,4542	0,4458		I £'p
	0.2790	0,3048	0,3204	0,3432	0,3546	0,3654	0,3708	0,3732	0,3810	0,3846		
	0.0696	0,0673	0,0642	0,0576	0,0504	0,0456	0,0414	0,0372	0,0318	0,0276		- £7p A:P
	2,6148	43028	2,0502	1,6926	1,4352	1,2468	1,102'2	0,9894	0,8202	<1,7002		” £7p A:p
	4,4700	4,3538	4,2612	4,1400	4,0524	3,983'2	-3/0318	3,8970	3,8508	3,8124	;		1	El	; I	p A
	4,6410	4-5258	4,4202	4,2892	4*1814	4г1076	4,040	4,0026	3,9890	3,8880		
	3,6264	3,4644	3,3294	3,1578	3,0336	2,9472	2,8764	2,828ч	2,7570	2,6994	:		1	El p .
	1,9332	2,0280	2,0814	2,1654	2,2116	2,2®	2,2662	д2824	2,3130	2,3262		J p	1
	0,4830	0,4500	0,4164	0,3606	0,3156	05 2303	0,2520	0,2280	0,1926	0,1656		E7pA;P j
472
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
в) Четырехпролетние рамы.
Схема нагрузки 1
Схема нагрузки 2
(пунктиром обозначены растянутые
волокна при положительном
моменте)
Схема нагрузки		0,05	0,1	0,2'	0,3	0,33	0,4	0,5	0,6	0,75	
	Ма=Ме	0,0782	0,0738	0,0664	С,0605	0,0589	0,0556		0/0479	0,0435	
1	МЬ1 = М4л	0,0858	0,087?	(09907	0,0928	К0933	0,®43	И 7	0,0966	0,0978	
	МЬ2 = А1УЗ	0,0835	0,0839	0,0849	0,0860	0,0364	0,9872		0,0892	0,0906	
	С2	сз	0,0833	0,0331	0,0326	0,0820	9,0318	0,0814		0,0804	0,0797	
	Ма	0,0797	0,0763	0,0703	0,0651	0/0637	0,0606	0,0567	0,0532	0,0488	
	МЬТ	0,08)7	0,0802	0,0776	0,0754	0,0749	0,0735	0,0721	9,0708	()ЭС№	
	МЬ2	0,0018	0,0036	0,0070	0,0101	0,(1109	0,0129	2,0154	0,0176	0,0205	
	МС2	0,00.35	9,0063	0,0106	0,0139	0,0147			2,0199	0,0218	
г	МСЗ	0,0798	0,0763	0,0719	0,0681	0,0671	0,0651	0,0626	0,0605	0,0579	
	М43	0,0817	0,0803	0,0779	0,0760	9/0754	0,0743	0,0729	0,0715	0,0701	
	м<и	0,0041	0,0076	0,0131	0,0173	0,0184	0,0207	0,0235	0,0258	0,0286	
	Л1 е	0,0015	0,0026	0/0039	0,0046	0/0048	0,0050	0,0052	0,0053	0,0053	
3	мы	0,0859	0,0831	:	0,0918	0,0947	(’,0954	0,0070	;	и/ 1 I1'	0,1006	0,1026	
	мы.>	0,0859	0,0831	0,0917	0,0945	0,0952	0,0967		0,1003	о,исз	
4	Мс2 = А1«	0,0858	0,0377	;	0,0907	:	0,0928		0,0933	О,ОЙ43	о, еда :	0,(066	0,0978	
8.2, РАМЫ
473
Продолжение 8,2.17
Схема 7
Осадка опоры А на А
Схема нагрузки 3
Схема нагрузки 5
Схема 8
Осадка опоры В на А
Схема нагрузки 4
Схема нагрузки 6
Схема 9
Осадка опоры С на А
	1	1,25	1,5	|	!>	2,5	3	3,5	4	5	6	Множитель 5
	0,0377	0,0332	0,0293	0,0246	0,02'10	0,0183	0,0163	0,01-46	0,0121	0,0103	
	0,0993	0,1004	0,1012	‘	0,1023	0,1031	0,103?	0,1041	0,1044	0,1049	0,1052	
	0,0925	0,0940	0,0952	0,9972	(1,0985	0,0990	0,1004	0,1011	0,1021	0, №28	- рэк р
	0,0788	0,0780	0,0774	0,0764	0,0757	0,0752	0,0748	0,0745	0,0740	0,0736	
	0,0427	0,0380	0,0343	'	0 г	0,0'245	0,0014	0,0191	0,0171	0,0143	0,0123	
	0,0670	0,0654	0,0642	0,0610	0,0800	0,0593	0,0587	0,0578	0,0572	
	0,0245	0/0276	0,0302	0,0363	0,0389	0,0405	0,0418	0,0437	0,0451	
	0,0242	0,0253	0,0271	0,0'299	0,0303	0,0314		0,0326	о,озз1 1	~ РЭК Р
	0,0546	0,0522	0,0503	'	у, 0458	0,0445	0,0434		0,0414	0,0406 |	
	0,0680	0,0664	0,0650	0,0318	0,0607	и,0599		0,0583	0,0576	
	0,0323	0,0350	0,0370	0,0421	0,0437	0,0448		0,0471	0,0480 |	
	0,0051	0,0048	0,0045	0,0035	0,0031	0,0028		0,0022	0,0019	Рэк /а
	0,10,52	0,1071	0,1086	'	1),П03	0,1123	0,1134	0,1142	0,1.149	0,1158	0,1165	
	0,1048	0,1067	0,1033	0,1104	0,1120	0,1131	0,1140	0,1146	0,1156	0,1164	— п *Р
	0,0993	0,1004	0,1012	1	0, !®3	<41031	0,1037	1), 1041	0,1044	0,1049	0,1032	
474
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК РАМ И АРОК
Схема нагрузки	«.=	0,05	0,1	0,2	0,3	0,33	0,4	0,5	0,6	0,75	
	ст										
	Ма	0,0586	0,0553	0,04.98	0,0454	0,0442	0,0417	0,0386	0,0360	0,0326	
	МЫ	0,0607	0,0592	0,0570	0,0554	0,0551	0,0543	0,0533	0,0525	0,0516	
	МЬ2	0,0626	0,06'29	0,0637	0,0645	0,0648	0,0654	0,0662	0,0669	0,0679	
	МС2	0,0626	0,0627	0,0631	0,0635	0,0636	0,0639	0,0643	0,0647	9,0652	
S	Со	0,0624	0,0623	0,0619	0,0015	0,0614	0,0611	0,0607	0,0603	0,0598	
	м ы ds	0,0624	0,0621	0,0613	0,0605	0,0802	0,0596	0,0588	0,0581	0,0571	
	л1л	0,0643	0,0658	0,0580	0,0696	0,0699	0,0707	0,0717	0,0725	0,0734	
		0,0664	0,0697	0,0752	0,0796	0,0808	0,0833	0,0864	0,0890	0,0924	
	AV="-A9	0,1298	0,1340	0,1410	0,1465	0,1480	0,1511	0,1649	0,1581	0,1622	
	«й = -а1л	0,1259	0,1206	0,1274	0,1279	0,1280	0,1282	0,1283	0,1284	0,1284	
6	л1/.2 == ” маз	0,1221	0,1195	0,1152	0,1116	0,1107	0,1087	0,1062	0,1041	0,1014	
	Л1са = — Л4ГЗ	0,1222	0,1199	0,1165	0,1140	. 0,1133	0,1121	0,1106	0,109-5	o,io3i	
	Ма	5,4780	5,0328	4,3662	3,8610	3,7188	3,4806	3,4344	2,9112	2,5950	
	мы	5,4806	5,0670	4,4730	4,0410	3,9276	3,7470	3,4932	3,3186	3,0852	
	л4а	0,3390	0,5826	0,8034	1,1046	1,1592	1,2474	1,3344	l,®70	1,4764	
	мп	0,1626	0,2682	0,3924	0,4536	0,4698	0,4920	0,5106	9,5226	0,5298	
	Мез	0,0102	0,0306	0,0798	0,1242	0,1392	0,3632	0,1950	0,2225	0,2532	
	иаз	0,0048	0,0144	0,0342	0,0510	0,0564	0,0642	0,0744	0,0828	0,0906	
	ММ	0,®»2	0,0018	0,0072	0,0138	0,0162	0,0210	0,0276	0,0342	0,0420	
	Ме	0,0001	0,0006	0,0030	0,0054	U,0060	0,0078	0,0090	0,0103	0,0120	
	ма	5,6406	5,2992	4,7496	4,2954	4,1634	3,9378	3,62®	3,3684	3,0402	
	А1й	5,82»	5,6526	5,3958	5,1690	5,1162	5,0262	4,8780	4,7814	4,6380	
	ЛС	5,8362	5,6826	5,4582	5,2746	5,2320	5,1540	5,0256	4,8356	4,8084	
	Л'С	5,6622	5,3748	4,9428	4,6212	4,5474	4,4058	4,2030	4,0638	3,8820	
	МС3	0,3498	0,6186	1,0074	1,2072	1,3428	1,4640	1,6098	1,7244	1,8564	
	Md?.	0,16®	0,2844	0,4344	0,5202	0,5424	0,5766	0,6120	0,6402	0,6648	
	Л,Л	0,0102	0,0330	0,0876	0,1410	0,1584	0,1890	0,2288	0,2664	U,3O84	
	tAe	0,0048	0,0150	0,0366	0,0540	0,0594	0,0672	0,0768	0,0834	0,0882	
	Л1	0,1674	0,2808	0,4170	0,4830	0,4980	0,5166	0,5274	0,5293	0,5214	
	М,, bl	0,3486	0,6168	1,0032	1,2562	1,3298	1,4472	1,5870	1,6950	1,8192	
9	Mb2	5,6592	5,3700	4,9500	4,6392	4,5588	4,4190	4,2288	4,0860	3,9072	
	AI«	5,8393	5,6946	5,4780	5,3106	5,2812	5,2146	5,1072	5,0430	4,9554	
* См. I,носку ни стр, 476,
8,2. РАМЫ
475
Продолжение 8.2.17
1 1	1,25	1,5	2	2,5	|	3		3,5	4	5	|	6		Множитель
;	0,0283	0,0249	0,0223	0,0185	0,0157	0,0137	0,0122	0,0109	0,0091	0,0078	рйа
090505	0,0497	0,0491	0,0482	0,0477	0,0473	0,0469	0,0467	0,0463	0,0461	рйэ
0,0693	6,0705	0,0714	0,0729	0,0739	0,0747	0,0753	0,0758	0,0706	0,0771	ph®
0,0659	0,0665	0,0670	0,0677	0,0682	0,0686	0,0689	0,0692	0,0696	0,0688	—РЙР
0,0591	0,0585	0,0580	0,0573	0,0568	0,0564	0,0561	0,0558	0,0555	0,0552	р№
0,0557	0,0545	0,0536	0,0521	0,0511	0,0503	0,0497	0,0492	0,0484	0,0479	—pha
0,0745	0 0753	0,0789	0,0767	0,0773	0,0777	0,0781	0,0783	0,0787	0,0789	
0,0967	03001	0,1027	0,1065	0,1093	0,1113	0,1128	0,1141	0,1169	0,1172	—ph3 		
0.1674	0,1713	0,1744	0,1789	0,1821	0,1844	0,1862	0,1876	0,1898	0,1913	Ph
0,1283	0,1281	0,1279	0,1276	0,1273	0,1270	0,1269	0,1267	0,1264	0,1203	—Ph-
0,0978	0,0951	0,0930	0,0899	0,0877	0,0861	0,0848	о,0838	0,0823	0,0813	Ph
0,1065	0,1054	0,1047	ОД036	0,1029	0,1025	0,1021	0,1019	0,1015	0,1013	
0,2014	1,9206	1,7010	1,8872	1,1688	1,0110	0,8984	0,7980	0,6600	0,56'28	EIp b-.P
9,8170	2,6400	2,5002	2,3208	2,1948	2,1042	2,04(0	1а©932	1,9230	1,8690	I EIP.P
1,5372	1,5840	1,-6044	1,6308	1,6392	1,6404	1,6410	1,6410	1,6410	1,6386	1 !Г
0,5280	0,5274	0,5214	0,5118	0,5010	0,4938	0,4860	0,4303	0,4734	0,4668	1	El 1	p Д
0,2836	0,3168	0,3342	0,3594	0,3732	0,3840	0,3906	0,3954	0,4038	0,4110	f
0,0934	0,1038	0,1068	0,1104	о,шо	0,1122	0,1122	0,1122	0,1122	0,1110	1
0,0522	0,0606	0,0666	0,0756	0,0810	0,0858	0,0882	0,0905	0,0936	0,0951	J p
0,0132	0,0138	0,0132	0,0126	0,0114	0,0108	15,0098	0,1)090	0,0078	0,0072	Elp i-.P
2,6154	2,3046	2,0544	1,6932	1,4358	1,2486	1,1064	0,9906	0,8226	0,7032	-~E/pA:P
4,4748	4,3674	4,2690	4,1550	4,0632	4,0032	3,9492	3,9234	3,8712	3S8244	i	£/„ I	-JE A
4,6482	4,5414	4,4388	4,3050	4,9091	4,1346	4,0710	4,6956	3,8660	3,9102	J	p
:	3,6630	3,5136	3,3900	3,2316	3,1218	3,0468	2,9784	2,93Ю	2,8704	2,8242	"I Elp A
1,0-986	2.1096	2,1708	2,2704	2,3250	2,3688	2,3952	2,4130	2,4504	2,4738	/ p
0,6810	0,6942	0,6954	0,6942	0,6930	0,6888	0,6352	0,6828	0,6786	0,6732	I
<	0,3624	0,4050	0,4338	034746	0,5038	0,5250	0,5394	0,5514	0,5706	0?5796	/ p
0,0906	0,0900	0,0870	0,0792	0,0720	0,0654	(ШСЮ	0,0552	0,0474	0,04И	ElД ? 1'' P	J ! ;
0,4014	0,4602	0,4272	0,3726	0,3276	0,2922	0,2634	0,2388	0,2022	0,1746	El_
1,9680	2,0724	2,1360	2,2332	2,2932	2,3382	2,3604 j	2,3910	2,4252 j	2,4396	1	EJT>
3,6936	3,5478	3,4'230	3,2880	3,1506	3,0708	3,0030	2,9544	2,8914	)	2,8338	j	p
4,8450	4,7790	4,7052	4,6308	4,5726	4,5378	4,4970	4,4700	4,4436	4,4202	;	El„ h-.P P
476
РАЗДЕЛ 3. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ II АРОК
Для расчета пснкчшъяшшт отношения погонные
жесткостей:
Г р
ригеляИр ~
I	'С'1’ \	р
стойки icl = —— . п ~ —;
\	« /	‘ст
в зависимости от схемы нагрузки определяют таблич-
ные коэффициенты к.
Опорные моменты от вертикальной нагрузки для лю-
бой симметричной относительно загружаемого пролета
нагрузки определяют, пользуясь значением эквивалент-
ной нагрузки рвк по 8.1.6: М~±крпяР. Пролетные мо-
менты, поперечные силы и опорные реакции определяют,
как в балках, с учетом действительной нагрузки и най-
денных по данной таблице опорных моментов.
От горизонтальной нагрузки
M~±kph2 или M = ±kPh
Моменты в стойках в местах их заделки в ригель оп-
ределяются как разность опорных моментов в смежных
сечениях ригеля (с обеих сторон стоек). Поперечные
силы в стойках постоянны и равны распору,
С помощью таблиц может быть произведен расчет
одноэтажных рам с защемленными иля упруго защем-
ленными стойками при вертикальной нагрузке. В этом
случае погонные жесткости стоек и моменты защемле-
ния принимаются в зависимости от характера опирания
стоек внизу (см. примеры расчета):
при полном защемлении
при упругом защемлении
Р? д __ 4ц-т
7 ' й ’ '"‘за1 ~ 4
где (Ист—моменты в стойках в местах их заделки в ри-
гель.
Точное решение получается при отсутствии смещения
рйгеля рам, например при вертикальных нагрузках,
симметричных относительно середины всего ригеля; при
других условиях решение получается приближенным
Многоэтажные рамы Формулы для расчета много-
этажных рам приведены в 5.8 первого издания Спра-
вочника.
Таблицей 8.2.17 можно пользоваться и для расчета
иа вертикальную нагрузку многоэтажных рам с одина-
ковыми пролетами и сечениями ригелей и со стойками
одинаковой жесткости в пределах каждого этажа.
Для расчета по таблицам многоэтажная рама рас-
членяется на одно- и двухэтажные двух-, трех- и четы-
рехпролетные рамы, как показано на рис, 8.48.
Для расчета двухэтажных рам. типа, показанного
на рисунке, подсчитывают параметр п по формуле
1 Учет смещения узлов рамы при определении моментов от
осадки опор производится следующим образом:
а)	имея эпюру Мот осадки споры при яесмещаюпшхёя уз-
лах (по таблице), находят реакцию верхней фиктивной ояоръ’
/• д = X М \ Я; — алгебраическая сумма моментов в стой-
ках,’
б)	сгроят по данным таблицы ^шору М от горизонтальной
силы Р~ ) (при осадке довых стоек лапраилеиа влевор, Получен-
ные ординаты Л/ умножают на величину рд и складывают с эпю-
рой от осадки (л. а).
при этом погонные жесткости нижних l’JT и верхних
У стоек принимаются в зависимости от характера за.
щемления их на опорах (см. пример 3).
Изгибающие моменты в крайних стойках двухэтаж-
ных рам определяются по формулам
- Л?°
Нет
/И® = А10П
“‘ст р
в
ст
д + н
‘ст ‘ ст
где Л4"п — опорный монет в ригеле по оси крайней ко-
лонны, верхний индекс «и» относится к стойкам нижне-
го этажа, «в» — верхнего этажа.
Изгибающие моменты а средних стойках двухэтаж-
ных рам в сечениях, примыкающих к ригелю, определя-
ются по формулам
/Д’
ст
где А.ДрП — разность опорных изгибающих моментов
ригеля в сечении по оси средней стойки. Окончатель-
ные моменты в стойках определяются суммированием
моментов, полученных при расчете отдельных рам.
Указанный тип двухэтажной рамы можно рассчитать
по методу угловых деформаций (перемещений) по фор-
мулам (5.302). В этих формулах погонные жесткости
стоек и моменты заделки следует принимать ц зависи-
мости от характера защемления их на опоре;
при полно»! защемлении
“ст
пр!! упругом защемлении (приближенно)
лду
<м =
4
при шарнирной опоре
8.2. РАМЫ
477
Продолжс-ние 8.2.17
г) Примеры
Пример I. Определить изгибающие моменты в раме,
схема которой приведена на рис. 8.49.
+ Л1а ' / ’ + /ИИ J
Ма = — 11,25 тм; МЬг = — 6,44 — 20,6 = — 27,04 м;
Рис. 8.49
Нагрузка: постоянная g = 0,8 т/лг; временная q —
= 4,5 +щ Р=9,65 т.
9,65	27,04—11,25
Л=0,8-9-0,5+4,5-4,5-0,5+ -уу- — ——~—— =16,8 т;
I
при х ~ —
Qf7= 16,8 — 0,8-4,5 — 4,5-4,5-0,5 = 3,07 т;
0fi2 = — 9,65 + 3,07 = — 6,59 т.
Ммакс в середине пролета (Q меняет знак)
0,8-92	4,5- +	9,65-9	11,25+27,04
а + |6 + 4 ~ 2 “
— 33,5 тм.
Подсчет опорных моментов от постоянной и временной нагрузок
Опорные	От постоянной нагрузки		От временной нагрузки		Расчетные опорные моменты (мин) В ТМ
моменты	схема 1	схема 2	схема 3	схема 4	
Ма	—0,0215-64, 8=—1, -4	—0,0275-358=—3,85	—	—	— 1,4—9,85=—11,25
Л}й	—0,0993-64,8=~+5,4«1	—0,05 74 • 358=^—20.6	—0,0419-338=7^15	-0,1123-358^—40,3	—6,44—40,3=—®, 74
	—0,0933 	6,06	—0,, 0359 • 358-=—12,85	—0,0574-358=—-20,6	~0,1075 • 358:=—-38,5	—6,05—38,5=—44,55
Значения моментов в простой балке см. 8.1.2.
Таким же путем определяются Л1 в пролете 2 (при
схеме нагрузки 3).
?ЭК --
По 8.1.6 находим значения эквивалентной равномер-
но распределенной нагрузки:
+к = g = 0,8 т/м;
5	3	Р	5-4,5	3-9,65
— р + — - — =----------+ —------= 4,42 т. м.
»	2	I 8	2-9
Определяем погонные жесткости ригеля и стоек:
5,6	1
г =	= 0,622; гет = — = 0,2а;
9	4
1о 0,622
и = —ю — —-— — 2,5.
1„	0,25
По 8.2.17,6 находим опорные моменты (см. таблицу).
Подсчитываем величины:
§эк Г-= 0,8-9= = 64,8; чэк Р = 4,42-9= = 358.
Определение пролетных моментов производим для за-
данных (а не эквивалентных) нагрузок (рис. 8.50).
В пролете 1 (при схеме нагрузки 2);
Рис. 8.51. Моменты в стойке В
Моменты в верхушке крайних стоек будут те же, что
на опоре примыкающих ригелей: Л4” ~Ма =—11,25 м.
Моменты в средних стойках равны разности опорных
моментов в смежных сечениях ригелей:
при схеме нагрузки 2 (рис. 8.51, а)
Л!"' = Мп — МЬ2 = (6,44+20,6) — (6,05 + 12,85) =
= 8,14 тм;
при схеме нагрузки 3 (рис. 8.51,6)
Л17 = +ь2 —	= — (6,05 + 20,6) — (—6,44 — 15) =
= — 5,21 тм.
Пример 2. Рама та же, что в примере 1, но с защем-
ленными внизу стойками:
4	1
1 р = 0,622; 1СТ = ~ • у — 0,333;
п =
г’р
£ст
0,622
0,333
1,86.
4W
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Значения опорных моментов
Продолжение 8.2. П
Опорные моменты	От цастояифэ^ нагрузки’	От нремоной нагрузки			Расчетные -^МИЙ В ТМ
	схема /	схема 2	схема 3	схема 4	
Ма	—0,0266-64,8=1,72	—0,0336-358=--12,08	—		—13,75
ММ	... ... ., —0,0989-64,8^-6» 40	-Ж1,0592-358=^21,20	—0,0396-358=—14,18	—0,11 Ь3о8=—39,74	—46,14
мь. 			—0,0919-64,8=—5,94		—0,0592.358=—21,19	—0,1052'358==—37,66	—43,60
Пример 3. Рама двухэтажная (рис. 8,52). Стойки
нижнего этажа имеют упругое рашемдаще, стойки верх-
Моменты в стойках. В
определяются по формулам
крайних ртдйках моменты
(см. пояснения) (рис. 8.53):
Рис, 8.52
Л1®т = Ма	= - 17,94
++ц
— 8,31
ГЛМ;
Мф = /И—5----------= — 17,04
ст в / д_;
0,29____
0,29 + 0,25
= — 9,63 т м.
Опорные мйыеяуы g ригеле
Опорные моменты	От постоянной нагрузки	От временной нагрузки			Расчетные ^мчн а тм
	ухемя 1	скеиа 9	схема 3	схема 4	
Ма	—0,03.55-64,8=—2,30	—0,0437-358==1э,54	-	—	—17,94
МЫ	—0,О979ф4,8=—в,34	-0,0626-358=3—29,41	-0,0353-358==—12,64	—0,1083-358=—36,77	—45,11
МЬ.	-0,0896-64,8=—5,81	—0,037-358===-9,67	—0,0626-358=—22,41	—0? 1016-358=—35,37	—42,18
него этажа закреплены шарнирно. Нагрузки и сечения
элементов те же, что в раме примера 1:
11 1
=0,622"	= ——== 0,29; igT = ~ =0,2д
0,29 + 0,25
Рис. 8.53
В месте упругого защемления стойки (внизу)
9 63
Л1заа = ^ = тм,
Ддз определения моментов в средних стойках нахо-
дим разность моментов в ригеле на сщрре В дри схеме
нагрузки 2;
= — 6,34— 22,41 = — 28,75 тм-,
МЬ2 == — 5,81 — 8,67 == =- 15,48 й!<
ДЛД = —. 28,75 — (— 15,48) = — 13,27 т.«;
ЛД1. = 13,27——ЬЖ----- - 7дз тм_
с"	0,29 + 0,25
В месте упругого защемления (внизу)
7 13
М“ = — —— = — 1, 78 тм-,
эад
8.2. РАМЫ
479
8.2.18.	Коэффициенты &а для определения в ступенчатых стоиках перемещений
от	мы и реакций рр взаимного смещения опор и поворота нижнего сечения
а)	Перемещение верха защемленной внизу стойки от
силы X = 1
_ ft3 h3
би = (1 + цХ3)	—- — .
11	1	ЗЕ4	k0£L,
б)	Реакция R-ь в стойке, защемленной внизу и шар-
нирно опертой наверху, от взацицоро горизонтального
смещения опор на Д = 1
kn El н
Rb = —- ~т— при смещении верхней опоры;
п3
Ц Е/н
Rb =------при смещении нижнеи опоры.
h3
в)	Реакция Р„ь от поворота нижнего сечения на угол
Ф=1
р = Ы!л
'ь №
Л	.	... -т,				Л1,					,..гг..,ц-и,...^1яаиюдав=,	 Значения коэффициента А, при равном										
	0,05	0.10	0,20	0,30	0,40	0,50	0,60	0,70	0,80	0,90	1,00
ОДО	2,9411	2,9732	2,9881	2,9930	2,9955	2,9970	2,9980	2,9987	2,9993	2,9997	3,0000
0,15	2,8192	2,9116	2,9600	2,9766	2,9849	2,9899	2,9933	2,9957	2,9975	2,9989	3,0000
0,20	2,6042	2,7985	2,9070	2,9445	2,9644	2,9762	2,9841	2,9898	2,9940	i:S	3,0000
0,25	2,3133	2,6301	2,8235	2,8945	2,9313	2,9538	2,9691	2,9800			3,0000
0,30	1,9828	2,4135	2,7076	2,8222	2,8832	2,9211	2,9470	2,9657	а,07Й9	2,9910	3,0000 i
0,40	1,3538 0,8888	1,9036	2,3885	2,6102	2,7372	2,8196	2,8772	2,9200	2,9528	2,9788	3,0000
0,50		1,4118	2,0000	2,3235	2,5263	2,6667	2,7692	2,8475	2,9091	2,9589	3,0000
8.2.19.	Ступенчатая стойка с защемленным нижним и шарнирно опертым
верхним концов. Реакции верхних опор при различных п и А
gj Формулы для определения реакций Rb от раалшрых нагрузок
Численные значения коэффициентов Ао даны в 8.2.18; ан, а — в 8,2.22.
Схемы нагрузок и эпюры М	№ схемы	Опорные реакции	М> таблицы с численными значениями R.&
«г»"	/	ph ko UH-мА4) О	8.2Д9, б
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, Р
Продолжение 8.2. И
Схемы нагрузок и эпюры М	| ЛЬ схемы				Опорные реакции	ЛЬ таблицы с ч-сленнымн значениями
tk 1	Т'^ Й	Уа s к i ’ и г	и в сз | t р-й J я о Ж'			2a	Phil» a„ H	1
			26	phk,t /с^Д.счцА4)	
й... я	с			3 a	p№„ (ия+0,125 p.V)	
Н 11 Ч	« 1 i					
й s	rpi Н Ы Л т У 1/ J					
			36	рй5,(ап-|-7цЯ»)	8,2.19, в
kj>i L.	/5У <! ' ч|,	Л (В) 'ь			у	PhaB	।
			46	Рк,.(а^+аОр	8.2.19, в
.. р>, Ы’®" |Р 1М i । I к" L ^7ТО7\Л!’' (5а) Oct ни ч-^ 40CW	ГД	к р	у d р^рк m	ЙА //// W/Jfj (5%) сгпойни		5a	Pa, H 	’<, a„ h	H	
				A'.C .	...	P? . - )		 /f ..rx /,)	''	i h	H а,	г a при « =й8	Я.2ЛА д
р<Л I а	л- Il F Ji •’* р /^п'~	& ®	' (&		Р-ГЮ ^3 j i i	6a	!	Phk. a(J	
			66	Pil-i(ail+fiU-,-!)	
8.2. РАМЫ
481
Продолжение в.2.19
Рис. 8,54
Пример. Определить
опорные реакции Яь в
ступенчатой стойке ог
действия нагрузок, по-
казанных на рис. 8.54;
l = hBlh=e,3- п = 0,2;
М= 1/0,2—1=4;	Л,) =
= 2,708 (см. 8.2.18).
От нагрузки Ди. По
Формуле схемы За и
8.2.22:
а»_____4___г
h io
ан = 0,1154;
Г-	Р.
Яь =	(1,841-0,35— 1,232-0,15) = 0,46
h	а
По формулам 8 2.19, а (схема 56) получим тот же
результат:
ая	а
при —- = — = 1 ан=а = 0,5;
h	hB
при ая=-=6в 4Ч = ++ «н = 0,455;
п 10
Рь = 2,708 (0,1154 4- 0,125-4-0,34) рв h = 0,324 р>в h.
От (схема 4 а). По 8.2.22:
— = — = 0,4; аи = 0,0693;
h 10
/ф-0,35
Rb = ———- 2,703 (0,5+0,5-4-0,32) —
h
Rb = 2,708-0,0693 Р3. = 0,188 Рг.
От внешнего момента Р2-0,35 (схема .56), По 8.2.19,0:
P.-Q,15	Р*
~2,708-0,455 = 0,46 —
h	h
при —- = 0 й4=1а841; при ~—= I *4 = 1,232;
*в	Ла
Эпюра Al от внешнего момента показана на
рис. 8.54,
б) Реакция Rb от действия горизонтальной равномерно
распределенной нагрузки по всей высоте стойки
Формулы для определения Rb от действия частичной равномерно
нагрузки см. 8.2.19, а и 8.2.19, в.
распределенной
По таблице
Пд.=+р/г
V	п	Значения коэффициента 4+									
		0,10	0,20	0,30	0,40	0,59	0,60	0,70	0,80	0,90	1,00
	0,10	0,3720	0,3736	0,3742	0,3744	0,3746	0,3747	0,3749	0,3749	0,3749	0,3750
	0,20	0,3548	0,3657	0,3694	0,3714	0,3726	0,3734	0,3740	0,3744	0,3748	0,3750
	0,30	0,3237	0,3493	0,3596	0,3649	0,3681	0,3704	0,3718	0,3733	0,3742	0,3750
	0,40	0,2928	0,3291	0,3459	0,3553	0,3614	0,3657	0,3693	0,3714	0,3733	0,3750
	0,50	0,2757	0,3125	0,3326	0,3454	0,3542	0,3604	0,3656	0,3693	0,3722	0,3750
482
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, ”АМ И АРОК
в) Реакция Рт, от действия горизонтальной равномерно распределенной нагрузки,
на верхний участок стойки
9ау<лутл апя определения Рр при действии равномерно распределенной нагрузки
на любой участок стойки см, 8.2.19, а:
По таблице Ръ — Ь2раЬ.
тАттттр
						Значения	К1>эфф|шяентп					
а	\. 72 %	0,05	0,10	0,20	0,30	0,40	0,50	0,60	0,70	0,80	0,90	1,00
	0,10	0,0197	' 0,0197	0,0197	0,0197	0,0197	0,0197	0,0197	0,0197	0,0197	0,0197	0,0197
	0,15	0,0291	0,0292	(.,0293	0,0293	9,0293	0,0293	0,0093	0,0293	0,0293	0,0293	0,0293
	0,20	0,0381	0,0382	0,0386	0,0387	0,0387	0,0383	0,0388	0,0388	0,0398	0,0388	0,0388
0,2А	0,25	0,0468	0,0474	0,0478	0,0479	0,0480	0,0489	0,0431	0,0481	0,0481	0,0481	0,0481
В	0,30	0,0552	0,0561	0,0567	0,0569	0,0570	0,0571	0,0571	0,0572	0,0572	0,0573	0,0573
	0,40	0,0713	0,0726	0,0738	0,0742	0,0745	0,0747	0,0749	0,0750	0,0751	0,0751	0,0752
	0,50	0,0872	0,0886	0,0900	0,0909	0,0913	0,0917	0,0920	0,0922	0,0923	0,0924	0,0925
	0,10	0,0386	0,0387	0,0388	0,0388	0,0388	0,0388	0,0388	0,0338	0,0388	0,0388	0,0388
	0,15	0,0564	0,0568	0,0571	0,0572	0,0572	0,0572	0,0572	0,0572	0,0572	0.0572	0,0572
	0,20	0,0728	0,0740	0,0746	0,0748	0,0749	0,0750	0,0759	0,0751	0,0751	0,0751	0,0752
0,4»	0,25	0,0869	0,089а	0,0911	0,0917	0,0920	0,0921	0,0922	0,0923	0,0924	0,0925	0,0925
В	0,30	0,1310	0,1045	0,1069	0,1.078	0,1083	0,1086	0,1(138	0,1090	0,1091	0,1091	0,1092
	0,40	0,1258	0,1308	0,1.353	0,1373	0,1382	0,1392	0,1393	0,1402	0,1405	0,1407	0,1409
	0,50	0,1501 ,	0,1551	0,1607	0,1638	0,1657	0,1670	0,1680	0,1688	0,1693	0,1698	0,1702
	0,10	0,0569	0,0571	0,0572	0,0572	0,0573	0,0573	0,0573	0,0573	0,0573	0,0573	0,0573
	0,15	0,0820	0,0830	0,0835	0,0837	0,0838	0,0838	0,0839	0,0839	0,0839	0,0838	0,0839
	0,20	0,1039	0,1066	0,1081	0,1085	0,1088	0,1089	0,1090	0,1091	0,1091	0,1092	0,1092
0,6hB	0,25	0,1225	0,1274	ОД305	0,1316	0,1322	0,1326	0,1328	0,1329	0,1331)	0,1331	0,1332
	0,30	0,1382	0,1457	0,1508	0,1527	0,1538	0,1545	0,1550	0,1553	0,1555	0,1556	0,1558
	0,40	0,1650	0,1758	0,1853	0,1896	0,1916	0,1937	0,1949	0,1957	0,1964 j	0,1968	0,1972
	0,50	0,1.991.	0,2038	0,2134	0,2202	0,2239	0,2268	0,2288	0,2304	0,2317	0,2327	0,2331
	0,10	0,0745	0,0748	0,0750	0,0751	0,0751	0,0752	0,0752	0,0752	0,0752	0,0752	0,0752
	0,15	0,1060	0,1076	0,1085	0,1088	0,1089	0,1090	0,1091	0,1091	0,1092	0,1092	0,1092
	0,20	0,1321	0,1364	0,1388	0,1397	0,1401	0,1404	0,1405	0,1407	0,1403	0,1408	0,1409
0,8»	0,25	0,1517	0,1602	0,1654	0,1673	0,1683	0,1689	0,1693	0,1695	0,1693	0,1701	0,1702
	0,30	0,1.680	0,1805	0,1888	0,1.904	0,1939	0,1949	0,1957	0,1961	0,1966	0,1970	0,1972
	0,40	0,1918	0,2п95	0,2250	0,2320	0,2356	0,2378	0,2406	0,2420	0,2430	0,2438	0,2445
	0,50	0,2145	0,2316	0,2507	0,2612	0,2678	0,2724	0,2757	0,2780	0,2802	0,2819	0,2832
	0,10	0,0915	0,0920	0,0923	0,0924	0,0924	0,0925	0,0925	0,0925	0,0925	0,0925	0,0926
	0,15	0,1285	0,1309	0,1322	0,1326	0,1328	0,1329	0,1330	0,1331	0,1331	0,1332	0,1332	\
	0,20	0,1576	0,1638	0,1672	0,1684	0,1691	0,1695	0,1698	0,1700	0,1701	0,1702	0,1702
1,0»	0,25	0,1784	0,1901	0,1972	0,1997	0,2011	0,2019	0,2025	0,2029	0,2032	0,2034	0,2036
	0,30	0,1925	0,2098	0,221.7	0,2263	0,2288	0,2303	0,2314	0,2319	0,2327	0,2331	0,2335
	0,40	0,2101	0,2365	0,2560	0,2658	0,2715	0,2752	0,2777	0,281)0	0,2811	0,2822	0,2832
	0,50	0,2269	0,2500	0,2761	0,2903	0,2993	0,3055	0,3101	0,3136	0,3163	0,3184	0,3203
8.2. РАМЫ
483
Продолжение 8,5.
Реакция Р)} от действия горизонтальной силы на верхний участок стойки
Формулы для определения Кь при любом положении горизонтальной силы
см. 8.2.19, а.
. Ф;	/в
Л—---- п—-----
h	in
По таблице /?ь~^зРв.
	Значении коэффициента k.	<											
а	X Я к \	0,05	0,W	0,20	0,30	0,40	П,.50	0,60	0,70	0,80	0,90	1,®
0,2hB	ОДО 0,15 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50	0,965 0,940 0,908 0,874 0,839 0,781 0,745	0,968 0,948 0,924 0,897 0,869 0,814 0,771	0,969 0,952 0,933 0,912 0,890 0,844 0,800	0,969 0,953 0,936 0,917 0,897 0,857 0,817	0,970 0,954 0,937 0,920 0,902 0,8® 0,827	0,970 0,954 0,938 0,922 0,905 0,869 0,834	0,970 0,954 0,939 0,923 0,906 0,873 0,839	0,970 0,955 0,939 0,924 0,907 0,875 0,843	0,970 0,965 9,940 0,924 0,909 0,877 0,846	0,970 0,955 0,040 0,925 0,910 0,879 0,848	0,970 0,955 0,940 0,925 0,910 0,880 0,851
°’Чз	0,10 0Д5 0,20 0,25 0,30 0,40 0,№	0,931 0,881 0,821 0,754 0,688 0,575 0,511	0,936 0,895 0,848 0,799 0,744 0,641 0,559	0,938 0,904 0,866 0,835 0,783 0,694 0,613	0,939 0,906 0,872 0,836 0,798 0,719 0,634	0,939 0,908 0,875 0,841 0,806 0,733 0,661	0,940 0,909 0,877 0,844 0,811 0,742 0,674	0,940 0,909 0,878 0,846 0,814 0,748 0,683	0,940 0,909 0,879 0,848 0,816 0,753 0,690	0,940 0,910 0,879 0,849 0,818 0,757 0,696	0,940 0,910 0,880 0,850 0,820 0,760 0,700	0,940 0,910 0,880 0,851 0,821 0,762 0,704
. 0,6Ае	0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50	0,897 0,826 0,740 0,647 0,556 0,407 0,315	0,904 0,846 0,780 0,707 0,631 0,483 0,376	0,907 0,857 0,802 0,743 0,682 0,558 0,446	0,9® 0,860 0,810 0,757 0,702 0,590 0,484	0,909 0,862 0.814 0,764 0,713 0,6® 0,508	0,909 0,863 0,816 0,768 0,719 0,621 0,525	0,910 0,864 0,818 0,771 0,724 0,629 0,536	0,910 0,864 0,819 0,773 0,726 0,635 0,545	0,910 0,865 0,820 0,775 0,729 0,640 0,553	0,910 0,865 0,820 0,776 0,731 0,644 0,559	0,910 0,865 0,821 0,777 0,733 0,647 0,564
(Шв	0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50	0,865 0,775 0,669 0,557 0,448 0,275 0,170	0,873 0,801 0,715 0,625 0,533 0,362 0,235	0,877 0.8П 0,740 0,666 0,590 0,439 0,308	0,878 0,816 0,749 0,682 0,613 0,476 0,351	0,879 0,817 0,754 0,689 0,624 0,495 0,373	0,879 0,818 0,757 0,694 0,632 0,508 0,391	0,880 0,818 0,758 0,697 0,637 0,517 0,403	0,880 0,820 0,760 0,700 0,640 0,524 0,413	0,880 0,820 0,761 0,702 0.643 0,529 0,421	0,880 и,821 0,761 0,703 0,645 0,-533 0,427	0,88'0 0,821 0,762 0,704 0,647 0,536 0,432
1,®S	0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50	0,835 0,730 0,611 0,489 0,372 0,19.5 0,093	0,843 0,755 0,657 0,556 0,453 0,274 0,147	0,847 0,767 0,682 0,597 0,509 0,344 0,208	0,849 0,771 0,691 0,612 0,530 0,376 0,242	0,849 0,773 0,696 0,619 0,542 0,394 0,2®	0,850 0,774 0,698 0,624 0,549 0,406 0,278	0,850 0,775 0,700 0,627 0,554 0.414 0.287	0,850 0,776 0,702 0,630 0,557 0,421 0,297	0.8® 0,776 0,7® 0,632 0,560 0,425 0,303	0,860 0,777 0,703 0,633 0,562 0,429 0,308	0,851 0,777 0,704 <1,634 0,564 0,432 0,313
484	РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Продолжение 8.2.19
д) Реакция Рь от действия момента на верхний участок стойки
Формулы для определения Р.ь при любом положении внешнего момента см. 8,2.19, а:
^в	I»
------- п—----.
й	1Я
По таблице Rh= —
h
(k4c—kie'), где й4 — значения коэффициента й4 при а0 = l,0ftE.
Зв	Значения коэффициента											
	X. п А ^х,	0,05	0,10	0,20	0.30	0,40	0,50	0,60	0,70	0,80	0,90	1,00
	о,ю	1,752	1,620	1,554	1,531	1,520	1,513	1,509	1,505	2,503	1,502	1,500
	15	2,012	1,741	1,613	1,566	1,543	1,529	1,519	1,512	1,507	1,503	1,500
	0,20	о 902	1,903	1,686	1,610	1,571	1,548	1,532	1,521	1,512	1,505	1,500
0	0,25	2,530	2,055	1,765	1,658	1,603	1,569	1,546	1,530	1,520	1,508'	1,500
	0,30	2,687	2,131	1,841	1,707	1,635	1,592	1,562	1,539	1,523	1,510	1,500
	0,4(3	2,735	2,322	1,959	1,77а '	1,697	1,635	1,592	1,570	1,535	1,516	1,500
	0,50	2,536	2,294	2,000	1,839	1,737	1,667	1,615	1,576	1,345	1,521	1,500
	0,10	1,740	1,614	1,551	1,529 >	1,519	1,512	1,508	1,605	1,503	1,500	1,499
	0,15	1,985	1,737	1,607	1,562	1,539	1,524	1,517	1,510	1,506	1,602	1,499
	0,20	2,250	1,881	1,674	1,602	1,565	1,543	1,528	1,517	1,509	1,503	1,498
Г),2й	0,25	2,472	2,038	1,747	1,646	1,594	1,562	1,540	1,525	1,513	1,504	1,496
	0,30	2,61г)	2,141	1,817	1,691	1,623	1,582	1,553	1,531	1,517	1,505	1,495
	0,40	2,648	2,261	1,920	1,765	1,675	1,617	1,577	1,548	1,524	1,505	1,490
	0,50	2,467	2,224	1,950	1,800	1,705	1,640	1,592	1,656	1,627	1,504	1,485
	0,10	1,695	1,597	1,542	1,523	1,514	1,508	1,505	1,502	1,500	1,499	1,498
	0,15	1,911	1,698	1,587	1,549	1,529	1,518	1,510	1,507	1,500	1,497	1,495
	0,20	2,125	1,813	1,640	1,579	1,547	1,529	1,516	1,507	1,500	1,495	1,490
",л.И.	0/25	2,299	1,923	1,694	1,610	1,566	1,540	1,522	1,509	1,499	1,491	1,495
	0,30	2,401	1,970	1,744	1,640	1,584	1,550	1,527	1,508	1,497	1,487	1,479
	0,40	2,433	2,080	1,806	1,681	1,610	1,563	1,531	1,608	1,483	1,474	1,462
	0,50	2,200	2,059	1,800	1,684	1,6И	1,566	1,523	1,495	1,473	1,455	1,440
	0,10	1,646	1,567	1,527	1,513	1,607	1,503	1,500	1,498	1,497	1,495	1,495
	0,15	1,784	1,633	1,553	1,526	1,812	1,504	1,499	1,495	1,492	1,490	1,488
	0/20	1,917	1,702	1,581	1,539	1,518	1,503	1,496	1,490	1,486	1,481	1,478
о,ш	0,25	2,010	1,767	1,606	1,550	1,521	1,503	1,491	1,482	1,476	1,470	1,466	:
	о,зо	2,044	1,793	1,622	1,593	1,519	1,497	1,482	1,470	1,463	1,457	1,451
	0,40	1,955	1,774	1,615	1,542	1,500	1,473	1,454	1.440	1,429	1,421	1,414
	0,50	1,756	1,659	1,550	1,490	1,463	1,427	1,408	1,393	1,382	1,373	1,365
	0,10	I 563	1,525	1,506	1,500	1,496	1,494	1,493	1,492	1,491	1,491	1,490
	0.15	1,607	1,541	1,507	1,495	1,489	1,485	1,483	1,482	1,480	1,479	1,478
	0,20	1,625	1,545	1,300	1,484	1,476	1,471	1,468	1,466	1,464	1,463	1,462
о,Мв	0,25		1,529	1,481	1,465	1,457	1,451	1,447	1,445	1,443	1,441	1,440
	0,30	1,545	1,481	1,451	1,437	1,429	1,424	1,420	1,417	1,416	1,415	1,414
	0,-Ю	1,348	1,343	1,347	1,347	1,347	1,346	1,347	1,350	1,346	1,346	1,311
	0,50	1,133	1,165	1,200	1,219	1,232	1,240	1,246	1,251	1,255	1,258	1,260
	0 до	1,467	1,472	1,479	1,482	1,483	1,484	1,484	1,484	1,485	S 1,485	1,485
	0,15	1,378	1,423	1,447	1,455	1,459	1,461	1,463	1,464	1,465	1 1,466	1,466
	0,20	1,250	1,343	1,395	1,414	1,423	1,429	1,432	1,435	1,437	1,439	1,440
1,|»	0,25	1,084	1,233	1,324	1,357	1,374	1,385	1,392	1,397	1,401	1,404	1,406
	0,30	0,902	1,098	1,232 °	1,284	1,312	1,329	1,341	1,348	1,356	1,361	1,36-5
	0,40	0,569	0,799	1,003	1,096	1,150	1,184	1,208	1,226	1,241	1,251	1,260
	0,50	0,333	0,529	0,750	0,871	0,947	1,000	1,038	1,068	1,091	1,110	1,125
S.2. РАМЫ
485
§.2.20. Моменты и реакции стойки с двумя уступами с защемленным
нижним и шарнирно опертым верхним концом
Поьирст опоры Л НД <ф--=1
	^<9 Яг рр|	 ^^ЕЗШШПП^ о,	4	/	-3L  h , ,4 , -О 8 K„ 1+PД! Д Ц. + J
			++, ^ан+а>И.?^ + Xap+j)
	p-n g„ns a₽s J	Jb	|j	tfem-fi™-«Дг- “у L	э в li [|r“jr ”L У 8	а	Ц4М-	J83 1 Г	ire	t3 ' irl”0 I?— IL.	Ij	s?H	| И4Е	. f . И	И	За	chk. (,125 UjA-j 4- 0,125
		36	/	4 phkc ^Ч-адЛ} -НМ2о М-Л2;
< |И в ® В w		Зв	f	4	4\ phk^	-j- a2|A2A2J
486
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ 11 АРОК
Продолжение 8^2.22
Пример. Определить реакции Я» в стойке, имеющей
два уступа, 5т ветровых и крайовых нагрузок (см.
рис. 8.55) з
7	5
„! = if==0;7. Ла=_=0>5;
10	4
^^012;
3
14-0,43.0,534-0,57-0,23
Рис. 8.55
От нагрузки р~0,8 т/м (схема 34):
ач	12
— = — = 0,6; aF -= 0,0944;
h	23	h
гм	2
-i = —= 0,2; сд = 0,1237;
Im	10
% = 0,8-20-2,84 (0,0944 + 0,1237-0,43-0,51 4-
4-0,125-0,57.0,24 = 4,46 г.
8.2. РАМЫ
487
От момента. 60-0,5 (схема 5'5):
— = —=0,8; ан = 0,48;
h	20
1Ъ	6
— = — = 0,6; а-, = 0,42.
Л,	10
ан 10
При аи = hsi	~= °>5; «и = 0,37о;
60-0,5
Rb =	2,84 (0,48 + 0,42-0,43-0,52) —
60-0,15
—-----_ы_ 2,84-0,375 = 1,75 т.
20
Эпюра М дана на рис. 8.55.
От Т = 2т (схема 4):
он	17
— =— = 0,85; жн =0,2589;
й	20
— =—=0,7; ctj =0,1878;
hi 10	1
^ = -—• = 0,25; а, = 0,0287;
Л2 4	'
М = 2-2,84 (0,2589 + 0,1878-0,43-0,з8 +
+ 0,0287-0,57-0,23) = 1,53 т.
8.2.21. Ступенчатая стойка с защемленными концами.
Моменты защемления и реакцйи верхних опор при различных п и Л
Л
/н’
h

Схема нагрузки.	Коэффн-		п										
Эпюра М	циснт	Л	0,06	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5 1	0.S	0,7	0,3	0,9	1,0
—
ЛЗа=С h
R^rb
а) От поворота верхнего сечения на угол Ф М												
	0,1 0,2 0,3 0,4 0,5	0,634 0,422 0,378 0,376 0,370	0,983 0,664 0,580 0,566 0,564	1,689 1,216 1,055 1,006 i.ooo	2 224 ый 1,499 1,423 1,406	2,642 2,149 1,918 1,825 1,799	2,979 2,530 2,313 2,215 2,182	3,256 2,882 2,687 2,593 2,557	3,488 3,201 3,041 2,959 2,927	3,684 3,491 3,377 3,316 3,290	3,853 3,756 3,696 3,663 3,648	4,000 4,000 4,000 4,000 4,000
	0,1 0,2 0,3 0,4 0,5	0,449 0,493 0,883 0,609 0,551	0,610 0,600 0,687 0,749 0,730	0,935 0,835 0,887 0,965 1,000	1,182 1,040 1,(361 1,128 1,180	1,375 1,222 1,220 1,273 1,325	1,530 1,386 1,369 1,407 1,455	1,657 1,533 1,510 1,535 1,574	1,764 1,666 1,652 1,658 1,686	1,855 1,787 1,768 1,776 1,794	1,932 1,898 1,887 1,890 1,899	2,000 2,000 2,000 2,000 2,000 6,000 6.000 6,000 6,000 6,000
в О	0,1 0,2 0,3 0,4 0,5	1,083 0,915 0,961 0,9Я5 0,921	1,594 1,264 1,268 1,315 1,295	2,625 2,051 1,948 1,971 2,000	3,405 2,748 2,560 2,551 2,586	4,017 3,362 3,138 3,098 3,124	4,509 3,916 3,682 3,622 3,636	4,913 4,414 4,196 4,128 4,131	5,251 4,867 4,683 4,617 4,613	5,539 5,278 5,145 5,091 5,084	5,786 5,655 5,583 5,552 5,546	
б) От поворота нижнего сечения на угол Ф =«1												
	См. 4*											
	0,1 0,2 0,3 0,4 0,5	3,271 3,247 2,997 2,491 1,889	3,352 3,340 3,228 2,893 2,357	3,507 3,480 3,454 3,312 3,000	3,621 3,579 3,572 3,504! 3,312	3,710 3,663 3,660 3,624 3,503	3,782 3,735 3,732 3,714 3,636	3,841 3,799 3.795 3,786 3,737	3,89'1 3,857 3,843 3,854 3,848	3,932 3,879 3,905 3,903 3,888	3,959 3,957 3,954 3,953 3,947	4,000 4,000 4,000 4,000 4,000
	0,1 0,2 0,3 0,4 0,5	3,720 3,740 3,580 3,100 2,390	3,962 3,940 3,915 3,642 3,087	4,442 4,314 4,341 4,277 4,000	4,803 4,619 4,633 4,632 4,402	5,Й85 4,885 4588О 4,897 4,828	5,312 5,121 5,101 5,121 5,091	5,498 5,332 5,305 5,321 5,311	5,655 5,523 5,495 5,506 5,506	5,787 5,696 5,673 5,679 5,682	5,901 5,855 5,841 5,843 5,846	6,000 6,000 6,000 6,000 6,000 I 1
488
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Продолжение 8.2,21
Схема нагрузки. Эпюра Л1		Коэффи- циент		п										
				0,06	0,1	0,2	0.3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8 )	0,9 |	1,0
v .<fclM-b L ] :,с ? z? Фф/ 1Г ’ !у t/э'л «.Щ д А Но		в) От взаимного смещения опорных сечений на Д==1*												
		ф	од 0,2 0,3 0,4 0,5	1,083 0,915 0,961 0,985 0,921	1,594 1 264 1Д68 1,315 1,295	2,624 2,051 1,942 1,971 2,000	3,405 2,745 2,560 2,551 2,586	4,017 3,362 ЗД35 3,098 ЗД24	4,509 3,916 ЗД82 3,622 3,636	4,913 4Д15 4,196 4,128 4,131	5,251 4,867 4,683 4,617 4,613	5,539 5Д78 5,145 5Д91 5,084	5,786 5,655 5,583 5,552 5,546	6,000 6,000 6,000 6,000 6,000
		ф	од ОД ОД 0,4 0,5	3,720 3,740 3,580 здоо 2,390	3,962 3,940 3,915 ЗД42 3,087	4,442 4,314 4,341 4Д77 4,000	4,803 4,619 4ДЗЗ 4,632 4,492	5,085 4,885 4,880 4,897 4Д28	5,312 5Д21 5 Д.01 5Д21 5,091	5,498 5,332 5,395 5,321 5,311	5,655 5,523 5,495 5,506 5,506	5,787 5,696 5,673 5,679 5,682	5,901 5,855 5.841 5,843 5,846	6,000 6,000 6,000 6,000 6,000
		ф	ОД ОД 0,3 ОД 0,5	4,803 4,656 4,541 4,085 3,311	6,555 5,203 5,182 4,956 4,382	7,066 6,365 6,283 6,248 6,000	8,208 7,364 7 ДЭЗ 7,183 7,078	9Д02 8,247 8,018 7,995 7,953	9,821 9,036 8,783 8,743 8,727	10,412 9,747 9,51)1 9,449 9,443	10,906 10,390 10,178 10,123 10,119	11,326 10,975 10,818 10,770 10,766	11,687 11,509 11,424 И, 395 11,393	12,000 12,000 12,000 12,000 12,000
		г) От равномерно распределенной нагрузки **												
1 р- А 1 I А ^0 ‘дД		кЬ	ОД ОД ОД 0,4 0,5	0,028 0,038 0,046 0,047 0,045	0,034 0,042 0,050 0,054 0,053	0,046 0,049 0,056 0,061 0,063	0,054 0,055 0,060 0,065 0,068	0,061 0,060 0,064 0,069 0,071	0,067 0,065 0,068 0,072 0,074	0,071 0,070 0,072 0,074 0,076	0,075 0,074 0,075 0,077 0,078	0,078 0,077 0,078 0,079 0,080	0,081 0,080 0,081 0,081 0,082	0,083 0,083 0,083 0,083 0,083
		ка	од од 0,3 од 0,5	одю 0,114 0,134 ОД 59 0Д80	ОДС7( ОД 08 0,117 0Д37 ОД 56	0,101 0,101 0,104 0,113 0,125	0,097 0,097 0,098 0,103 0,111	0,094 0,094 0,094 0,097 ОД02	0,091 0,092 0,092 0,093 0,097	0,089 0,090 0,090 0,090 0,093	0,087 0,088 0,088 0,088 0,090	0,086 0,086 0,086 0,086 0,087	0,084 0,085 0,085 0,085 0,085	0,083 0,083 0,083 0,083 0,083
'Rb^bph		ГЬ	од од од 0,4 ОД	0,418 0,424 0,413 0,388 0,367	0,427 0,434 0,432 0,417 0,397	0,444 0,448 0,452 0,449 0,438	0,457 0,458 0,462 0,463 0,457	0,467 0,466 0,470 0,472 0,469	0,476 0,474 0,477 0,479 0,477	0,482 ОД 80 0Д82 0Д84 0Д84	0,488 0,486 0,487 0Д89 0,489	0,492 0Д91 0,492 0,493 0,493	0,497 0,496 0,496 0,497 0,497	0,500 0,500 одоо од-оо одоо
а = 0,2 h
№
	1
	
д) От сосредоточенной силы
kbi	ОД ОД 0,3 ОД ОД	0,052 0,081 0,095 0,097 0,098	0,059 0,084 0,101 0,104 0,104	0,075 0,092 0,108 0,113 0Д13	0,088 0,099 одн 0,116 0,118	0,097 0,1М 0,115 0,119 0,121	ОД. 05 ОД 09 ОД 17 0,121 ОД.22	0 Д.11 0Д14 0,120 ОД23 0,124	0Д16 0,118 0Д22 0,124 0,125	0Д.21 0,122 ОД 24 0,126 ОД 26	0,125 0,125 0,126 0,127 0,127	0,128 0,128 0,128 0,128 0,128
	од	0,074	0,066	0,057	0,051	0,047	0,043	0,040	0,038	0,035	0,634	0,032
	0,2	0,079	0,067	0,055	0,049	0,045	0,042	0,039	0,037	0,035	0,034	0,032
р	0,3	0,119	0,085	0,060	0,050	0,045	0,041	0,039	0,036	0,035	0,034	0,032
ul	ОД	0Д32	0Д01	0,068	0,055	0,047	0,043	0,039	0,037	0,035	0,034	0,032
	ОД	0.133	0Д05	0,073	0,058	0,050	0,045	0,041	0,038	0,035	0,034	0,032
	ОД	0,778	0,794	0,818	0,836	0,851	0,862	0,871	0,879	0,886	0,891	0,896
	0Д	0,802	0,817	0,837	0,850	0,859	0,868	0,875	0,881	ОД 86	0,891	0Д96
	0,3	0,776	0Д16	0,848	0,861	0,870	0,876	0,881	0,886	0Д89	0Д93	0,896
Си.	од	0,765	0,803	0,842	0,862	0,872	0,878	ОД83	0Д87	0,891	0,894	0,896
	од	0,765	0,800	0,840	0,859	0,870	0,878	0,883	0,883	0,891	ОД94	0,895
опору В
горизонтальной
сечений при
действии на
опорных
еди-
* Значения моментов н реакций от взаимного смещения
яичной силы см, 8,2.13.
=:® При действии на стойку частичной равномерно распределенной
определить но формулам 8,2.22 (см. сноску на стр. 490.)
или треугольной нагрузок моменты и реакции можно



8.2. РАМЫ
489
Продолжение 8.'' 81
Схема нагрузки. Эпюра М	Коэффи- циент		/2	
			0,06 | 0,1	0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 j 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1,0
	а~~	ha				0,1	03051	0,054	0,060	0,065	0,069	0,072	O/)74	(.0076	OpO78	0,080	0,081
						0,2	0,081	0,084	0,092	0,099	0,104	0,109	0,114	0,118	0,122	0,125	9,12S
		Ml			kb&	0s3	0,088	0,086	0,106	0,114	0,120	0,125	0,130	0,135	o,i3&	0,143	«Ц147
						0,4	0,074	0,087	о.юз	0,111	0,118	0Д23	0,128	0,132	0,136	0,140	0,144
	I					0,5	0,050	0,064	0,083	0,094	0,101	0,106	0,111	0,115	0,113	9,122	0,125
						0,1	0,028	0,024	0,020	0,017	0/115	0,011	0,012	0,011	L\01D	0,010	0,009
			"У			0,2	0,079	0,067	0,055	0,049	0,045	0,042	0,039	0,037	0/)35	0,034	0,032
					ka4	0,3	0,170	0,133	0,102	0,090	0,082	0,077	0,073	0,070	0,068	0,065	0,063
						0,4	0,262	0,210	0,158	0/136	0,124	0,116	0,110	0,106	0,102	0,089	0,096 [
						0,5	0,321	0.270	0,208	0,180	0,163	0,152	0,144	0,137	0,132	0,128	0,125
						0,1	0,923	0,930	0,940	0,948	0,954	0,958	0,962	0,965	0,938	0,970	0,972
																	
		~k,n	Ph														
						0,2	0,802	0,817	0,837	0,850	0,859	0,868	0,875	0,881	0,886	0,391	0,896
	ма=				7 ьъ	0,3	0,618	0,663	0,704	0,724	0,738	0,748	0,757	0,764	0,772	0,778	0,784 j
			p			0,4	0,412	0,477	0,545	0,575	0,594	0,607	0,618	0,627	0,635	0,642	0W48 |
						0,5	0,229	0,294	0,375	0,414	0.438	0,454	0,467	0,477	0,486	0,493	0/Ю0 :
	а~Э, 4Й.					0,1	0,042	0,053	0,074	0,090	0,103	0,113	0,121	0,129	0,134	0,140	0,141 :
						0,2	0,056	0,062	0,076	0,088	0,099	0,108	0,117	0,125	0,132	0,138	0,144 ;
В					kbs	0,3	0,070	0,078	0,090	0,099	0,107	0,114	0,121	0,127	0,133	0,139	9,144
						0,4	0,074	0,087	0,103	0,111	0,118	0,123	0,128	0,132	0,136	0,140	0,144
*и	| egg Т	X				0,5	0,071	0,087	0,107	0,117	0,124	0,129	0,133	0,136	0,139	0/142	0,144
						0,1	0,144	0,139	0,129	0,121	0,115	0,110	0,107	0Д03	O.lul	0,098	0,096
Р	1					0,2	0,147	0,141	0,129	0,122	0,117	0,112	0,108	0,105	0,100	0,099	0,096
					ka?>	0,3	0,188	0,160	0/135	0,124	0,117	0,112	0,108	0,105	0,101	0,099	0,096
з.						0,4	0,262	0,210	0,158	0,136	0,124	0,116	0,110	0,106	0Д02	0,099	0,096
А /						0,5	0,314	0,255	0,187	0,155	0,136	0,124	0/115	0,199	0,104	o, wo	0,096
						0,1	0,498	0,513	0,545	0,569	0,588	0,603	0,615	0,625	0,634	0,642	0,648
	Mb~	kbspn				0,2	0,509	0,522	0,547 \	0,566	0,582	0,596	0,609	0,620	0,631	0,640	0,648
	м0=				rl>3	0,3	0,482	0,518	0,555	0,575	0,590	0,602	0,613	0,623	0,632	0,640	0,648
						0,4	0,412	0,477	0,545	0,575	0,594	0,607	0,618	0,627	0,635	0,642	0,648
						0.5	0,357	0,432	0,520	0,562	0,587	0,604	0,617	0,627	0,635	0,642	0,648
						0,1	0,025	0,032	0,047	0,058	0,067	0,074	0,080	0,085	0,089	0,093	0,096
	а-~					0,2	0,030	0,035	0,045	0,054	0,062	0,069	0,076	0,081	0,097	0,092	0,096
	....	Ml			kbt	0,3	0,037	0,042	0,050	0,058	0,064	0,070	0,076	0,081	0,087	0,091	0,096
			>	Ги-я» 4		0,4	0,038	0,046	0,056	0,063	0,069	0,074	0,079	0,083	0,088	0,092	0,096
	1					0,5	0,034	0,045	0,059	0,067	0,073	0,078	0,082	0,086	0/Ж	0,093	0,098
Р						0,1	0,179	0,174	0,167	0,162	0,157	0,154	v, 151	0Д49	0,147	0,145	0,1+1
						0,2	0,180	0,175	0,168	0,164	0,159	0,156	0,153	0/150	0,148	0,146	0,14»
					hai	0,3	0,199	0,184	0,170	0,164	0,159	0,156	0,153	0,150	0,148	0,146	0,144
						0,4	0,232	0,207	0,181	0,169	0,162	0,158	0,154	0,151	0,148	0,146	0,144
						0,5	0,278	0,244	0,203	0,183	0,171	0/163	0,158	0/153	0,150	0,147	0,144
	Л1й=	kbA	3ft			0,1	0,246	0,258	0,280	0,297	0,310	0,321	0,329	0,336	0,342	0,347	0,352
						0,2	0,250	0,260	0,277	0,291	0,303	0,313	0,323	0,331	0,339	0,346	0,352
	И - а		Oft			0,3	0,238	0,258	0,280	0,294	0,305	0,314	0,323	0,331	0,339	0,345	0,362
																	
	^Ь~		p			i 0,4	0,206	0,239	0,276	0,294	0,309	0,316	0,325	0,333	0,339	0,346	0,352
						0,5	0,156	0/200	0,256	0,284	0,301	0,314	0,324	0,333	0,340	0,345	0,352
490
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛУ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
\ие 8.2,2!
Схема нагрузки.
Эпюра М
В
Зв
3ц
А ^7Т
/и^^аь
Мв^&
R~rt,fT
	Коэффи- циент	X	п										
			0,06 | 0,1		0,2	! 0,3	0,4 j 0,5 | 0,6 | 0,7				| 0,8	| °-9	1 1,0
	е) От внешнего момента (при знаке минус моменты в эпюре располагать с другой стороны стойки)												
	5»	0,1 0,2 0.3 0,4 0,5	—0,034 o.ita 0,173 0,188 0,162	?Ж 0,171 0,213 .о	-0,221 0,011 0*145 0,224 о]®	—0,316 -0.045 0,115 0,218 0,267	-0,390 =-0,098 0,085 0,206 0,272	—0,449 —0,145 0,056 0,192 0,273	—0,498 —0,188 0,029 0,178 0,271	-0,539 -0,225 0,002 0,163 0,267	-0,574 —0,259 —0,023 0,149 0,262	—0,604 —0,291 —0,047 0,134 0 Д56	—0,630 —0,320 —0,070 О; 120 0,250
	йаь	0,1 0,2 о3з о л 0,5	0,442 0,405 0,225	0,412	0,357	0,314 0,385 0 386	0,280 0,367 0,366	0,253 0Д49 0,363 09306 0,182	0,230 0,333 0,357 0,314 0,205	0,212 0,318 0,351 0,318 0,221	0,196 0,304 0,344 0,320 0,®	0,182 0,292 0,337 0,320 0,243	0,170 0,280 0,330 0,320 О ,250
	ГЬЬ	0,1 0,2 0,3 0,4 0,6	1,408 1,507 1,398 1,125 0,782	1,316 I:S 1.293 0,998 		1,136 1,442 1,®	0,998 1,339 1Д81 1,486 1,361	1,452 1,499 1,420	0,804 0,205 0,419 0,499 0,455	0,732 1,146 1,386 1,492 1,475	0,672 1,094 1,353 1,481 1,488	0,622 1,045 1,321 1,469 1,495	0»578 1,001 1,290 1,455 1,499	0,540 0,960 1,260 1,440 1,50 и
ж) Формулы для определения а от действия сосредоточенной силы
и внешнего цемента в любом речения (численные значения и у> см, 8,2.22)
4
Ъ'
12
kh
*t=5(l+uF)
4 .=М(14~1'Фа)
6,=12(1+цЛ)
. 1г,Лг
0=—г—

д
h
в
н

схемы	д»	д2
4о	Рйав	Рй?н
46	Р’л (ан-НчАа!	₽й ivH-HuAa)
5а	Рон ян	Рс 7 Н SH
5&	Ps (Sy+agX,2)—РДН аа> ^-^коэффициенты (см. пример в	рс (vH+VM-4) —^е7а 4, v при аи=4а 8.2.20)
8.2,22, Моменты и реакции стойку с двумя уступами
и обоими защемленными концами ’ [13, 26]
1 Формулы таблицы можно применить для расчета стоек с, одним уступом, при этом следует члены, содержащие А а, при-
равнять йудю,"
8.2. РАМЫ
481
Продолжение 8.3.22
492
РАЗДЕЛ 8, ТАБЛИЦЫ II ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ЬАЛОК, РАМ И АРОК
Продолжение 8.2.23
Схема нагрузки н эпюра М							9+ схемы	и	А3	
р^ ts				/у ft 'дГТ ы		2 9> *а&->	4	[	3	з\ РА	адХэ;	
			ip 1		jrfci fl i I м о 1—~~ kfllJ'		5 а au<hH	Рс У.	Рем н ’ н
	)	11 +и j	я	fl			об h^lh>a.a>hfl	Рс (ан+а!ИЛ1)— Реан j	Pc (7H+V1li+)—P«VH ан’ VH—коэффициенты а, V при (см. пример в 8.2.20)	
							6	М’ («н+агиФ1+а.цг?ф	(^4-даЛ144ШАз)
& ® р ®									
Коэффициенты а,: и у4
а1	Хг схемы нагрузки					Кг схемы нагрузки				
hl	2	3	4	5	б			3	3	6
		Значения «у					Значения Vy			
0,05			0,1250	0,0042	0,0488					0,1667	0,0013	0,0500		
0,10	0,0002	0,1248	0,0048	0,0950	—	0,0002	0,1665	9,0059	0,1000	
0,15	0,0005	0,1245	0,0106	0,1388	0,0001	(1,0006	0,1661	0,0112	0,1500	0,0001
0,20	0,0013	0,1237	я, 0187	0,1800	0,0003	0,0013	0,1654	0.0200	0,2000	0,0003
0,25	0,0025	0,1225	0,0287	0,2188	0,0006	0,0026	0,1641	0,0313	0,2500	0,0007
0,30	0,0042	0,1208	0,0405	П.255П	0,0011	0,0045	0,1622	0,0450	0,3000	0,0011
0,35	0,0065	0,1185	9,0541	0,2880	0,0017	0,0071	0,1596	0,0613	0,3500	0,0018
0,40	0,0096	0,1154	0,0693	0,3200	0,0025	0,0107	0,1560	0,0800	0,4000	0,0027
0,45	0,0135	0,1115	0,0851	0,3488	0,0035	0,0152	0,1515	0,1013	0,4500	0,0038
0,50	0,0182	0,1068	0,1042	0,3750	0,0047	0,0208	0,1459	0,1250	0,5000	0,0052
0,55	0,0239	0,1011	0,1.235	0,3988	0,0062	0,0277	0,1390	0,1513	0,5500	0,0069
0,60	0,0306	0,0944	0,1440	0,4200	0,0079	(1,0360	0,1307	0,1800	0,6000	0,0090
0,55	0,0383	0,0867	0,1655	0,4388	0,0100	0,0458	0,1209	0,2113	0,6500	0,0114
0,70	0,0472	0,0778	0,1878	0,4550	0,0123	0,0572	0,1095	0,2450	0,7000	0,0143
0,75	0,0571	0,0679	0,2109	0,4638	0,0150	0,0703	0,0964	0,2813	0,7500	0,0175
0,80	0,0683	0,0567	0,2347	0,4800	0,0179	0,0353	0,0814	0,3200	0,8000	0,0213
0,85	0,0806	0,0444	0,2589	0,4888	0,0112	0,1924	0,0643	0,3613	0,8500	0,0256
0,90	0,0942	0,0308	0,2835	0,4950	0,0249	0,1215	0,0452	0,4050	0,9000	0,0304
0,95	0,1090	0,0150	0,3984	0,4988	0,0289	0,1429	0,0238	0,4513	0,9500	0,0357
1,00	0,1250	0	0,3333	0,5000	о.оззз	0,1667	0	9,5000	1,0000	0,0417
Пример. В двухступен-
чатой стойке с защем-
ленными концами опре-
делить опорные реакция
и моменты заделки от
крановой нагрузки (см.
рис. 8.56):
Xj =	1 = 0 5;
16
«1=—=0.5; я2 = ~jy =0,143;
1 1 1
},i== _1=1; = _ — = 5;
0,а	0,143	0,о
+ = 6(1 + 0,52 + 5-0,25s) = 9,375;
+ = 4 (1 + 0,5s + 5.0,25s) = 4,81;
+ = 12(1 +0,5 4- 5-0,25) = 33;
Рис, 8.56
4,81 33 — 9,3752
k = _j---~~—:----- == 6i8S
12


8,2. РАМЫ
493
От момента £ (схема 5а): aa/ft=8/16 = 0,5; ан=0,375; ун=0,5; Д1 = £ая=0,375£; Д2 = £ун = 0,5£; 9,375.0,375 — 4,81-0,5 ЛД = 			£.=0,190; Ъ,оо 33-0,375 — 9,375’0,5 %-	, м ,,	£ =0,082 £; О,Об•1О Ма = (0,082-16 — 0,19 — 1) £ = 0,12£. Эпюра М дана на рис. 8.56. От тормозной силы Т (схема 4): ^+=8,8/16 = 0,55; аЕ=0,1235; уа=0,1513;	а,	0,8 — = — = 0,1; Ял = 0,0048; у, = 0,005; 8,	8 At = Th (0,1235 + 0,0048-0,53) = 0,1241 Th; Да = £8(0,1513+ 0,005-0,5а) =0,1526 7ft; (9,375-0,1241 — 4,81»0,1526)16 ЛД —	Т ~~ 1,11 1; 5,88 л (33-0,1241 — 9,375-0,1526) 16	Л 5,88-16 А1а = (— 0,453.16+ 1,17 + 8,8) Т = 2,72 Т.
8.2.23. Формулы для подсчета интегралов Мора рИ], .Mkds
S
По таблице могут быть подсчитаны интегралы Мора,
входящие в формулы для определения перемещений б«
(при £7 —const) [см. канонические уравнения метода
сил (5,31!)]. По формулам таблицы можно также опре-
делить углы поворота сечеиий и прогибы (см. пример 1).
Для элементов, имеющих по длине участки с раз-
ными жесткостями, интеграл определяется суммирова-
нием по участкам. Подсчет интегралов при элементах
ступенчатого очертания приводится ниже.
Если жесткость элемента меняется по линейному за-
кону, элемент делится на равные интервалы, и интегри-
рование эпюр ведется по участкам на этих интегралах
с использованием формул численного интегрирования
(например, способом трапеций или по формуле Симп-
сона).
Значения интегралов таблицы применимы для криво-
линейных элементов переменного сечения, если соблю-
дено условие / cosrp = const, где <р наклон оси элемен-
та к оси х. Интегрирование эпюр криволинейных элемен-
тов, не отвечающих указанному условию, см, [20].
При прямолинейных эпюрах, пересекающих ось эле-
мента, т. е. имеющих разные знаки, следует при пользо-
вании формулами таблицы учитывать знаки i и ft.
При сложных криволинейных эпюрах от заданной
нагрузки и прямолинейных единичных подсчеты можно
упростить, применяя способы, рассмотренные в приме-
ре 2.
Приведенные в таблице криволинейные эпюры пред-
ставляют собой квадратные параболы. Ниже даны фор-
мулы, которые могут быть использованы и для интег-
рирования эпюр, очерченных по кубической параболе,
при прямолинейных единичных эпюрах.
Схема нагрузки	Эпюра	Эпюра										
							S				I	
								А’ПТГ	т			
												
		5				S						
	Куб. парабола S	1 ~sik 4					1 О	1 si (4йг4'/г2)				
	Куб. парабола S	3 sik					Л ъ sfk Г	1				
Любая нагрузка	Тд, — угол поворо	~ Pa+^b) к та сечений на опорах г				-V о 8,1,2.		- (+^+т,+2;				
494
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Пример 1. В консольной балке с равномерно распре-
деленной нагрузкой иг консоли определить угол поворо-
та опоры А и прогиб конца консоли гц.
Строим эпюры А1: а — от Л1о = 1; б— от В—А; в —
кьМь + rd Md — (7,85 + 3,95) == — 11,8.
Способ Ш [10]. Криволинейная или ломаная эпюра
заменяется эквивалентной ей прямолинейной, у которой
величины крайних ординат равны разности соотаетстау-
Рис. 8,57
от внешней нагрузки. Угол поворота тв равен интегра-
лу эпюр рис. 8.57, айв; прогиб уо — эпюр 8.54, б и в.
По таблице имеем
piM	pas I
Та ~ ~ М2Ё7" ~~ “ 12Ш’
рйв®а ра9
д __ _а_---- !	_ ------ । Зд),
с 3.2£/	4-2 £/	24£7 '	’
р!ая
Пример 2. Показать способы подсчета интеграла
криволинейной эпюры ригеля рамы, полученной по рас-
чету от заданной нагрузки (рис. 8.58, а) и единичной
эпюры (рис. 8.58, б) при деформационной проверке
правильности эпюры (проверку эпюр М см. 8,2.15, при-
мер 2). Рама рассчитана по формулам 8.2:9.
Способ I. Криволинейную эпюру ригеля разложим на
кубическую параболу с треугольником (рис. 8,58, в),
треугольник (рис. 8.58, г) и трапецию (рис. 8.58, д).
Формулы для треугольника и трапеции даны в настоя-
щей таблице, для кубической параболы используем ре-
зультаты способа И.
Интеграл равен (при 7=3,6 и сокращении на £)з
I [.~ 2Н23 (53 4-37)	3.3,6-8,4-12
3,б[~	16-360
(5,12 + 4,34)12
+ ”	2
12<2
— 11,8.
Способ II. При прямолинейной единичной эпюре ин-
теграл по формуле (5.315) равен;
+ Мь + Тд Md,
где т?,, та — углы поворота опорных сечений от всех на-
грузок на данный элемент (включая опорные моменты),
рассматривая его как простую балку (см. 8.1.2); Мь,
Mi—опорные ординаты единичной эпюры (в нашем
случае равны единице). По 8.1.2 получим:
1 Г2423/3	15	\	3<122(0,7—0,73)
° 3,6 [ 360.2® \ 4	Ч.)	6
5,12.12	4,34.121 „
— ---------------- ? 85
3	6 J
1 Г2«123/	3\	3-12® (0,3 —0,331
т —----------- ю-------+ _Дщ-------------: _
d 3,6 [360-4 \	4 )	6
5,1242	4,34.12]
- —= 3,95;
о a j
Рис. 8.58
ющих ординат двух эпюр: 1) полученной в результате
расчета всей системы; 2) полученной из расчета рас-
сматриваемого элемента (или участка) от действия за-
данной нагрузки как балки с обоими заделанными кон-
цами.
Моменты заделки ригеля на опорах (при защемлен-
ных обоих концах) по табл, 8.1.4 равны (рис, 8.58, е):
3 \ ( 3-3,6-8,4®
10-4 / +	12®
мзад
6	6
3,8,4.3,6а
12®
12,19
= 4,37
тм.
тм.;
Крайние ординаты эквивалентной эпюры равны раз-
ности эпюр а и в; на опоре В 5,12—12,19 =—7,07; на
опоре D 4,34—4,37 =—0,03 (рис. 8.58, ж). Интеграл ра-
вен:
-	(7,07 + 0.03)= — 11,8.
8.2, РАМЫ	•	4Q5
Способ III дает заметное сокращение подсчетов при
сложных эпюрах, в особенности если система рассчита-
на методом, в котором требуется определять концевые
моменты защемления элементов (например, методом де-
формации), и при стержнях переменного сечения (см.
ниже). Кроме того, приведение всех эпюр только к пря-
молинейным дает возможность пользоваться лишь од-
ной расчетной формулой, что особенно важно при при-
менении вычислительных машин.
Подсчет интегралов при стержнях переменного сечения (ступенчатых стойках)
Одноступенчатые
Двухступенчатые
л, ь„
ф, = 1 4- рЛ;
а>, = 1 + ГА3:
3	3
©а = .1 + М-Х3
При перемножении криволинейных (или ломаных)
эпюр по единичным прямолинейным рекомендуется кри-
волипейные эпюры заменять эквивалентными прямоли-
нейными—см. способ III в примере 2 настоящей табли<
цы и пример в 8.2.10.
496
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
i	ь_|щдлГ-1Вщ1и111-иы1 Эпюра	Эпюра	S	S		гПТЛТШО H *’ s	
		[	sik	2	2- si (kt + a,) 2	
i Г					
					
1 £		-1- s£f? 2	1 3	(^i4“ Sfejj) 6	
5		J™ sik		 Slk 6	™ Sf (2k, 4~ fcj	 6	
г птттИТПТП S		2-а, +1.'-. k	— s (£j -К 2/д) & 6	— s (21,.k,. + i,k. + l,k, + 2ltk,) 6	
Квадратная парабола /ТТЛ ИЖ		-2- sf fe 3 m	_L ,г k 3 m	“p slm (kl + ks)	
					
Квадратная парабола 1 S		_2_, slk 3	-2- slk 12	sf (3^j 4“ ^^2) 12	
Квад 1	ратная парабола	3	4	1 —si	4~ 3fej| 12	
	- ' j				
Квадратная парабола 1 	S		[	« 5 [ fa	1 —— si'i 4	si (fej 4” 12	
Квад 1	ратная парабола	_± tffa 3	A slk 12	-J- si (3&д 4- fe2) 12	
Квадратная парабола   i,	4" 1	s ц;		sk о:, +1. + <,) 6	-i sk + ад 6	$ (k\ii +	4~ 6	
Я.2. РАМЫ
491
			Продолжеиие S.2.23
Квадратная парабола Лв -» я	Квадратная парабола S	Квадратная парабола S	я i— я -—4
—— sil?. 3	т	™ slf? 3	-L sik 3	1 .r^ 2
Л- stkm	5 	sffe 12	1 sib 4	1 — s (1 -f- a) Ik 6
1 ,, Si/? 3	т	sik	Л. sik 12	1 — 5 (1 4- 0) Ik 6
“Ф1Н) km	— 5 R( 4- 5/4 k 12	-2-~ a (A + Zi.^ k 12	-1- sk [(1 4- 3) 4 + (1 +«)4J 6
й • ь SI ,к „ 15 т т	7 • h — SI k 15 ,n	— Si k 5 m	2- s (1 + a₽) Ik 3	m
15 т	8 15	s!k 10	s (5 — ^ —• fP) ik 12
~ slk 15 т	11 —— Slk 30	—— sik 15	s (5 ~~~ cz — cx^| Ik 12
±_stk 5 'т	3	>, -———— st к 10	""1"' sik 5	— s (1 + ® T «’) ik 12
slk 5	т	-2P_ sifa Id	__L_ sik 30	— s (1	3 + 33) Ik 12
-“Г ^.(5'4 + ^+У	1 —»-™, (1о£| -J— 2>з/л 4"	&s 60	JLsfe (15i3 4-.54 4- 12ц) 60	— [4 (1 + 3) + (1 4- a) 4- 24 (1 4- am 6
498
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Эпюра М& j Э пю р	*1И1Ин 5	^агДаПШЙ' S	/7 гтГГГПТши: А,|| lllll HUI [IJI ’
1—- J	—Зг	1 	 Sbk 2	s (1 -f-а) 6	— st [(1 4- ₽) k,. + (! + «) k,g 6
1 ч/ПТТТКЗ >-W-4		В- 2	1 		 i (&1 Йц) gS
Jm		1 S/2"" 3	— s ffe? -T й 4- 3	\ i 2	12/
8.3. АРКИ
8.3.1.	Геометрические данные осей параболической и круговой арок
а) Параболическая арка
Уравнение оси арки
dy
tg а = —•
d.r
4f(l — 2х) _
f — стрела подъема.
|	Кг сечения	X	У	|	tga	Сечение x	X	У	|	tga
°	0,0t)	0,00	|	Г*»	1	0	0,00	0,00	|	4,00
1	1	0,05	0,19	j	3,60	1/8	0,125	0,438	I	3,00
2	0,10	0,36	I	3,20	1/6	0,167	0,556	2,667
3	0,15	*	0,51	|	2,80	1/4	0,250	0,750	|	2,00
4	0,20	;	0,64	|	2,40	3/8	0,375	0,938	1,00
5	0,25	0,75	|	2,00	1/2	0,500	3,600	; o,oo
6	0,30	0,84	|	1,60	5/8	0,62-5	0,938	-1,00
7	0,35	j	0,91	|	1.20	3/4	0,750	0,750	—2,00
8	0,40	0,96	|	0,80	5/6	0,833	0,556	—2,667
9	0,45	I	0,9$	|	0,40	7/8	0,875	0,433	-3,0
10	0,50	|	1,00	j o/)O j	1	i	1,000	1	0,00	—4,0
Множитель	*	f	1	1	I	1	1 1	f	tn
8.2. РАМЫ
Продолжение 8.2.23
	j Квадратная парабола 1 /СЗмшЗЖ S	Квадратная парабола s	1 Квадратная парабола । _^4i“	1	к	; ж |	~o(3 ^—	-Д' |	s ^4
	1 s (1 -к аЗ)	1 	• s (5 -- 3	3’3) 12	——s	ex -4—	Liz 12	-1 sik 3
	-j- V«s а + sn	— ki [4 + « <s'a— 2g' —3)] s 6	— s [2 —(3 — 2g' + + ««)] 1ft.	„ , ths f. ... a1 \ a < g';	 3 — 3g'	; 6P \	T)	j a > 6';	/3 „ S'3 \ 6 \ a3 J	। !
	JL p	j 15 s'«	15	«***«• a	. — 5fe2 a	,
8.3. АРКИ
Продолжение 8.3.1
in	j	Тригонометрические функции углов a											
	1 z/l	u	j 0,05	j :0,10	0,15	|	0,20	|	0,25	0,30	|	0,3-5	|	0,40	j 0,45	j 0,50
	sin a	0,894	1 0,874	0,839	0,814	0,768	j 0,707	0,625	0s515	0,371	0Д96	0
1/2	cos a	0,447	0,483	0,345	0,5.81	0,640	0,707	0,781	0,857	0,923	0,381	1,000
	sin a	0,803	0,768	| 0,730	0,682	0,625		0,470	0,371	0,258	0,132	°
	cos a	0,600	0,640	0,684	0,731	0,781.	j 0,832	0,882	0,928	0,960	0,991	1,000
	1	sin a	0,707	1 0,659	0,625	0,574	I 0,515	0,447	0,371	0,287	0,196	1 0Д00	i ° '
;	1/4	cos a	0,707	0,743	0,781	0,819	। 6,857	0,894	0,928	0,968	0,981	! 0,995"	1,000
	sin a	0,625	0,584	0,539	0,489	0,433	0,371	0,305	0,233	0,158	OsOSO	0
'	1/5	cos a	0,781	0s812	0,833	0,872	0,901	0,928 j	0,952	0,972	0,987	0,997	!,«»
	sin a	:	0,555	, '6515	0,470 |	0,423	0,371	0,316 1	0,258	0,196	0,132	0,067	0	1
	cos a	.	0,832	0,857	0,832 |	0,906	0,928	0,949	0,966	0y981	0,991	0,998	1,000 1
	sma	0,496	0,457	0,416	0,371	0,324	1 0,275	0,223	0,168	о,пз	0,057	0
1/7	cos a	j	0,853	К 839	0,909	0,928	0,946	0,961	0,975	0,986	0s994	0,998	1,000
	sin a	0,447	0,410	0,371 j	0,330	0,287	0,242 1	0,196	0,148	0,100	0,050	0	:
1/3	cos a j	894	0,012	0,928 |	0,944	0,958	0,970 j	0,881	0,989	0,995	0,999	1,000
	sin a	1	0,371	0,339	0,305 j	0,270	0,233	1 0,196 |	0,158	0,119	0,080 |	0,040 :	0
1/10	cos a	i	0,938	0,941	0,9-52	0,663	0,972	0,981 j	0,987	0,993 |	0,997 j	0,999 i	1,000
	sin a	j	0,316	0,287	0,258 |	0,227	0,196	| 0,165 I	0,132	0,100 	0,067	0,015	0
i/i2 ;	COS (X	1	0,949	0,958 i	0,968	0,974 j	0,931	0.S86	0,991	0,995 1	0,998	0,999	1,009
SOO
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
б) Круговая арка
Продолжение 8.3.1
Уравнение оси арки ?
I
х = — —R sin и; у =R cos а — е;
/а + 4fi
' HL		Ординаты осн арки и тригонометрические функции углов а												Rtl	е Д
		0	°’®	0,10	0,1S	0,20	0,25	0,30	0,35	0,^)	0,45 | 0,50				
VL 90“	sin a cos а	0 1,000 0	0,436 0,900 0,436	0,600 0,800 0.600	0,714 0,700 0,714	0,800 0,600 0,800	0,866 0,500 0,866	0,916 0,400 0,916	0,954 0,300 0,954	0,980 0,200 0,980	0,995 0,100 0,995	1,000 0 1,000	1,5708	0,5000	0
172,383 .80°	sin а cos а	 0 0,985 0,174	"0.350 0,886 0,463	0,535 0,788 0,616	0,666 0,689 0,724	0.76a 0,591 0,807	0,843 0,492 ода	'0.902' : 0,394 : 0.919	0,946 0,295 0,955	0,976 0,197 0,980	0,994 0,098 0,995	1,000 0 1,000	1,4179	0,5077	0,08-81
1/2,856 ?	70°	yif sin cc cos а	0 0,940 0,342	0,291 0,846 0,534	0,482 0,752 0,659	0,628 0,668 0,753	0,735 0,564 0,826	0.822' 0,470 0,883	0.889 0,376 0,927	0,938 0,282 0,959	0,973 0,188 0,982	0,993 0,094 0,996	1,000 0 1,000	1,3001	0,5321	0,1820
V3 - 72*22'48*	B‘f sm ex cos а	0 0,923 0,385	0,280 0,8,51 0,556	0,471 ' 0,738 0,674	11,615 0,646 0,763	0.728 0,554 0,832	' 0, 816 . 0,462' 0,887	0,885 0,367 0,929	0,936 0,277 0,961	0.972 0,185 0,983	0,993 0,092 0,996	1,000 0 1,000	1,2740	0,5417	5 24
/ Л/3-464 У	M S U «Е о ** W У	0 0,866 0 500	0,253 0,778 0,626	0.442 0.693 0,721	0,581 0,606 0,795	0,709 0,520 0,854	0,803 0,433 0,901	0.876 0,346 0,938	0,931 0,260 0,966	0,970 0,173 0,085	0,992 0,087 0,096	1,000 0 1,000	1,2092	0,5774	0,2887
A: V4 V ta°& ?	d'4 since cos а	0 0,800 0,600	0,235 0,720 0,694	0,421 0,640 0,768	0,571 0,560 0,828	0,693 0,480 0.В77	0,791 0.400 0,916	0,868 0,320 0,947	0,927 0,240 0,971	ода 0,160 0,987	0,992 0,080 0,997	1,000 0 1,000	1,1591	0,6250	3 8
__VL_ 43»®'10"	9-t sin а cos а	0 0,690 0,724	0,217 0,621 0,784	0,398 0,552 0,834	0,550 0.483 0,876	0,675 0,414 0,910	0,77В 0,345 0,339	0,859 0,276 0,931	0,922 0,207 С, 978	ода 0,138 0,990	0,992 0,069 0,998	1,000 0 1,000	1Д033	0,7250	21 40
176 j Зв°52'10"	'	sin а cos а	0 0,600 0,800	0,209 0,540 0,842	0,386 0.480 0,877	0,538 0,420 0,907	0^665 0,360 0,933	0,770 0,300 0,954	0,854 0,240 0,971	0,918 0,180 0,984	0,964 0.120 0,993	0,991 0,060 0,998	1,С€0 0 1,000	1,0731	0,8333	2 3
1/7	trtf sin а " cos а	0 0,528 0,849	0,202 0,475 0,880	0,379 0,423 0,906	0,530 0,370 0,929	0,658 0,317 0,948	0,765 0,264 0,964	0,850 0,211 0,977	0,917 0,158 0.987	0,963 0,106 0,994	0,991 0,053 0,999	1,000 0 1,000	1,0536	0,9454	
"" 1/8 28*04'20’	:	sin а cos а	0 0,471 0,882	0,200 0,424 0,906	0,376 0,378 0,926	0,526 0,329 0,944	0,654 0,282 0,959	0,761 6,235 0,972	ода 0,188 ; 0,982	0.914 0,141 0,990	0,962 0,094 0,996	0,990 0,047 0,999	1,000 0 1,000	1,0411	1,0625	15~ 15
Uio, 22»®W	;	KU'f: sin a cos a	:'W': :\0.385? 0.923	0,196 0,346 0,938	'0,369 0,308 0,951	0,519 0,269 0,963	' 0,649: 0,231 0,973	0,757 0,192 0.981	' 0.345 ' 0,154' 0,988	0,913 0,115 0,993	0,961 0.077 0,997	0,990 0,038 0,999	1,000 0 1,000	1,0258	3,3	6 5
	1/12	' 18»5S'3O”	Г-1 sin а cos a	- Q 0,324 0,946	0,194	0.36S 0,259 0.966	0,518 0,227 0,974	0,647 1 Ю,195 ’ 0,981	0,756 0,162' 0,987	0,845 0,130'  0,992	0,9И 0,097 0,995	ода 0,065 0,998	ода 0.032 0,999	1,000 0 1,000	1,0187	1,5417	1,4583

8.3, АРКИ	.	501 '
Продолжение я.3,1
в) Длина и центр тяжести половины дуги; площадь, ограниченная осью арки; площадь и центр тяжести пазух
Параболическая	Круговая
Р — расстояние центра тяжести половины дуги арки от F« — площадь, ограниченная осью арки;
вертикальной оси;	ра — расстояние центра тяжести половины площади,
F i — площадь одной пазухи;	ограниченной осью арки, от вертикальной оси.
Г]1 — расстояние центра тяжести площади пазухи от вер-
тикальной оси арки;
Г 1	Параболические арки				Круговые ярки					
	длина половины дуги арки	я		±рг	длина половины дуги арки			1Ъ	— F. 2	1b
0,1										o,5i4 1	0,253 /	0,0164 Р	0,374 1	0,0335 Р	0,189 1
0,2	0,549 /	0,261 1	0,0333 р	0,067 Р	0,552 1	0,263 1	0,9314 Р	0,377 1	0,0686 Р	0,192 1
0,3	0,602 Z	0,270 1	0,350 Р	0,1 Р	0,614 1	0,277 1	0,0433 Р	0,881 1	0,1066 Р	0,197 1
0,4	0,667 Z	0,279 1	0,067 Р	0,133 Р	0,692 1	0,296 1	0,0512 Р	0,385 1	0,1488 Р	0,203 1
0,5	0,740 Z	0,287 1	0,083 Р	0,167 Р	0,785 1	0,317 1	0,0538 Р	0,388 1	0,1962 Р	0,212 1
0,6	0,818 Z	0,293 1	0,1 р	0,2 Р	—.				—							
0,7	0,900 /	0,299 1	0,117 Р	0,233 Р										,	— '
0,8	0,985 1	0,3025 /	0,133 Р	0,267 Р	.—							___		
0,9	Щ0Т2 1	0,306 1	0,150 Р	0,3 р			.								.
1,0	1,161 1	0,3095 1	0,167 Р	0,333 Р	—	—			—	j
8.3.2.	Симметричные трехшарнирные арки любого очертания.
Изгибающие моменты, распоры и опорные реакции от различных нагрузок
М ;= Мр— Ну; Qr = Q, cos а — Н. sin а;
Л	Л	U'7 ' р~Х ^Х	U	’
Nх = Qx sin а + ffa cos а;
Л!п, — моменты и поперечные силы в простой балке;
Схема нагрузки				Опорные реакции и распоры	Изгибающие моменты
	в р -— й —f	— а' —-—+			А р	: В р — ; 1	1 „а^Пь^рД.	X— 1 у. [ « '«О '	а 1 ст Щ. °- II 1	5 Л
					
		А			
	•-д-		,тл				
	К-г,—	^^7 ,'^жвг=ввав^		А = В = -2- ;	Мт=р4- Os. -щ)-
502
РАЗДЕЛ я. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛ» ДЛД РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Продолжение Я.Я.2
8.3. АРКИ
5®
Продолжение 8.3.3
Схема нагрузки
Ou-Gprib'iQ реакции п распоры	Изгибающие моменты
А = - -О; В.= -А ; L	1	Mm = p (Si + BjJ; (2E2""41)- Формулы также годны для а — 0 или а = ™
н	i »	в Ч jb II I1 <5	Л1 = £тъ m.	Ч
j	£,8 • н — Df‘  ’4	21 На^-~оГ.	Т('.~т’. + ";)^ j
a = ^£C.; & B=a£; QI Ha = _ Jo pf; Hb = J- pf li-	l.i	[2 Н -Ч3) + ч1-=2ч]  А1й = Х/26^2) 		 .. .!
8.3.3.	Трехшарнирные круговые и параболические арки.
Опорные реакции, изгибающие моменты, поперечные и продольные силы
от равномерно распределенной нагрузка


			М>у	,'vBb'v				Параболические арки ^при -L- — ф < -1- почти совпадают с круговыми
/ 1	1	1 3		1. 4	1 6	1 8	Мно- житель	
	0,1465	ОД 995		0,2205	0,2365	0,2423		2™ ^0,25001 4
(h	0,7071	0,7272		 V360	0,7434	0,7466	f	2 f = 0,7500 / 4	i
	0,2920	0,3543		<.'.3750	о,зо	0.Я39	1	771 = о,4ооо i 5	! 1
504
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 8,3.3
Круговые арки							Параболические арки fnpH	= ф <
							
2	1	1	1	1	1	Л	\	I 1	\ <— почти совпадают с круговыми w	}
/	2	3	4	6	8	к о < f-	
4	0,5000	0,5000	0,5000	0,5000	0,5000	pl	jL = 0,5000 pl
Аг	0,3750	0,3750	0,3750	0,3750	0,3750	pl	Jt- pl 0,3750 pl 8
А,	0,2500	0,2915	0,3047	0,3133	0,3163	pl	— pl = 0,3200 pl 25
В,	0,5000	0,5000	0,5000	0,5000	0,5000	pl	-Ц- = 0,5000 pl
В.	0,1250	0,1250	0,1250	0,1250	0,1250	pl	— £7 = 0,1250 pl 8
Вп	0,0429	0,0628	0,0703	0,0757	0,0776	pl	—2— pl = 0,0800 pl 25
Н,	0,2500	0,3750	0,5000	0,7500	1,000	pl	0,1250 — 0,0625 C£. r 0,0400 — f
Н,	0,1250	0,1875	0,2500	0,3750	0,500	pl	
На	0,0429	0,0942	0,1406	0,2271	0,3104	pl	
м,	—0,0259	—0,0110	—0,0061	—0,0027	-0,0015	pp	0
м2	0	0,0094	0,0124	0,0142	0,0149	pp	-L pP = 0,0156 pp 64
М„	0,0107	0,0154	0,0170	0,0182	0,0185	pp	-i-	= 0,01875 pP 160
	0,0732	0,0420	0,0254	0,0128	0,0075	pl	0
<2г	0,0732	0,0420	0,0264	0,0123	0,0075	pl	0
Q,	0,0429	0,0243	0,0124	0,0011	—0,0035		pl	—0,0100	?——
							V 14-(24)’
							
Д1,	—0,4268	—0,4787	—0,5722	—0,7948	—1,0326	pl	—0,2500 pl 1/ 1 4	—
							5	(2ф)’
							
Мг	—0,2500	—0,2534	—0,2927	—0,3996	—0,5173	pl	-0,1250 Ы [/ 1 + -5—
							Г	(2-M’
							0,8780 4	?—
							
Д',	М-0,1036	—0Д294	—0,1634		—0,3191		
				—0,2397		pl	’/ 1 + (2ф)’
’ п	замечания1	1. Подстроит	те цифровые и	•здексы означак	т схему загруж	СНИЯ.	
2.	Схема загружения 3—равномерно распределенная нагрузка на участке длиной с,						при которой изгибающий момент в се-
чении	/	<ха х3^ — в параболической или в сечении ая——-в круговой арке получается наибольшим. Для параболы	для кру- 4	Р	»						
говой	арки с изменяется в зависимости от стрелы подъема (см. таблицу)*						
; з	Все значения М, Q и N в таблице даны для			течения арки х3.			
	8.3. АРКИ^	505
8,3.4.	Трехшарнйрная параболическая арка. Изгибающие моменты, опорные реакции
и распоры от сосредоточенного груза
Геометрические данные параболических арок
см. 8.3.1, а.
Поперечные и продольные силы определяются
по формулам 8,3.2.
А'ч сече- ния	а = 0,05 1	а = 0,101	а 0,15 1	а = 0,20 1	а = 0,25 1	а =0,30 I	 я = 0,35 1	а = 0,40 1	а 0,45 1	а 0,50 1
			Величины изгибающих		моментов (умножить н=		Р1)			
7	0,043	0,036	0,029		0,014	0,006	0,000	—0,008	—0,015	—0,023
2	0,036	0,072	0,058	0,044	0,030	0,016	0,00.2	—0,012	—0,026	—0,040
3	0,030	0,060	0,090	0,069	0,049	0,028	0,009	—0,012	—0,032	—0,053
4	0,024	0,048	0,072	0,096	0,070	0,044	0,018	—0,008	—0,034	-0,060
5	0,019	0,043	0,057	0,075	0,094	0,062	0,032	0,000	—0,031	—0,063
6	0,014	0,028	0,042	0,056	0,070	0,084	0,048	0,012	—0,024	—0,060
7	0,010	0,020	0,030	0,039	03047	0,058	0,069	0,028	—0,012	—0,053
8	0,006	0,012	0,018	0,024	0,030	0,036	0,042	0,048	0,004	—0,040
9	0,003	О5ОО6	0,009	0,011	0,014	0,016	0,020	0,022	0,025	—0,023
10	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000
11	—0,002	—0,005	—0,006	0,009	0,011	—0,014	—0,015	—0,018	—0,023	—0,023
13	—0,004	—0,008	—0,012	—0,016	—0,020	—0,021	-0,028	-0,032	-0,036	—0,040
13	—0,005	—0,011	—0,015	—0,021	—0,026	—0,032	—0,036	—0,042	—0,047	—0,053
14	—0,006	—0,012	—0,018	—0,024	—0,030	—0,036	—0,042	—0,048	—0,054	-0,060
15	—0,006	—0,013	—0,018	—0,025	—0,031	—0,038	—0,043	—0,050	-0,056	—0,063
16	—0,006	—0,012	—0,018	—0,024	—0,030	—0,036	—0,042	—0,048	—0,054	—0,060
17	—0,005	—0,011	—0,015	—0,021	—0,026	—0,032	—0,036	—0,042	—0,017	—0,053
18	—0,004	—0,008	—0,012	—0,016	—0,020	—0,024	—0,028	—0,032	-0,036	—0,040
19	—0,002	—0,005	—0,007	—0,009	-0,011	—0,014	—0,015	—0,018	—0,020	—0,023
А	0,95?	0,90?	0,85?	Опорные ре= 0,80?	кции и рас 0,75?	торы 0,70?	0,65?	0,60?	0,55?	0,50?
В	0,05?	0,10?	0,15?	0,20?	0,25?	0,30?	0,35?	0,40?	0,45?	0,50?
Н	0,025? ~ f	0,050? -£ f	0,075? ~ f	0,100? 4 f	0.125Р 1 f	0,150? А	0,175? 4 f	0,200Р 3 f	0,225? 1 f	0,25? В f
Таблица может быть использована для построения л. в. М, А, Bt Н. Пример, Для сечения 3 ординаты л. в. М: 0,03; 0,060; 0,090; 0,069; 0,049; 0,028; 0,009; —0,012; -0,032; —0,053. Для а>0,5^ (груз на правой половине арки) берут значения симметричного сечения 17 (третье от правой опоры): —0,017; —0,042; —0,036; —0,032; -0,026; —0,021; —0,015; -0,011; -0,005.										
8.3.5.	Трехшарнирная параболическая арка.
Изгибающие моменты, опорные реакции
и распоры от односторонней частичной
равномерно распределенной нагрузки
См. пояснения к 8.3.4
Ж сече- ния	а = 0,05 1	а = 0,10 1	а 0,15 1	а = 0,20 1	а 0,25 1	а 0,30 г	а = 0,35 1	а = 0,40 г	а = 0,45 1	а 0,50 1	a s=>l,00^
/	0,0010	0,0030	Be 0,00'16	тичины изо 0,0069	гбающих мс 0,0170	монтов (ум 0,0071	нежить на 0,0073	рЩ 0,0072	0,0065	0,0056	0
2	0,0009	0,0036	0,0069	0,0094	0,0112	0,0122	0,0127	0,0126	0,0115	0,0100	0
3	0,G007	0,0030	0,0065	0,0105	0,0136	0,0153	0,0163	0,0164	0,0151	0,0131	0
4	0,0006	0,0026	0,0052	0,0094	0,0138	0,0163	0,0180	0,0184	0,0172	0,0150	0
5	0,0004	0,0019	0,0041	0,0075	0,0115	0,0152	0,0177	0,0188	0,0177	, 0,0156	0
S06
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
7рододжени.е 8.3
№ НИЯ	j а—0,05 1	а 0/10 1			Дггы0,2о 1	। а—0,30 I				с - J,50 1	а=1,00 Z
			а — 0,15 2	a=Q,2()l				а~	5 1		
6	0,0003	0,0014	0,0030	0,0056	9,0085	0,0122		0,0174		0,0150	0
т	О/ЮОЗ	одою	6,0021	о.авэ	0,005!)	0,0084		0,0144		0,0131	0
8	0,0001	0,0006	0,0012	0,0024	0,0035	0,0049		О50096		(), 0100	О
9	0,0001	0,0003	0,0006	0,0011	0,0016	0,0025		0/.Ю41		0,00о6	0
10	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000		0,0000		0,0000	0
и	—0,0001	—0,0002	—0,0005	—0,0009	—0,0015	—0,0022		—0,0036	-	—0,0056	0
12	—0,0001	—О/ЮО-1	—(/0010	—0,0016	—0,0027	—0 0641		—0,0064		—о/лоо	0
13	—0,0001	—0,0005	—0/Ю12	—0,0021	—0,0034	—0,0051	...... 1 Г 1 .< Л ' Z1	—0,0084	-	—0,0131	0
14	—0,0001	—0,0006	—0,0014	—9,0024	—0,0039	—0,0058		—0,0096	-	—0,0150	0
15	—0,0002	—0,0006	—0,0018	—0,0025	—0,0040	—0,0060		—0,0100	-	—0,0156	0
	—0,0002	—0,0006	—0,0014	—0,0024	—0,0038	-mi, titer		—0,0096	 _	—0,0150	0
17	—0,0001	—0,0005	—•0,0012	—0,0021	—0,0033	"-0,0049		—0,0034	-	—о.окм	0
!8	—о, oom	—0,0004	—0,0009	—0,(1016	—0,0026	—0,0038		—		—0,0100	0
19	—0,0001	—0,0002	—0,0005	—0,0009 Опор	—0,0014 н ы е pea	—0,0021 К Ц И И И г	а с и о р ы	—0,0036	-	—0,0056	0
А	0,049р1	о.оэбрг	0Д39Я	0, IBOpZ	(\219pZ	О.255Я	0/289pZ 1	0,320/7/	0,349р/	0,375/?/	0,50(Ы
В	0,001/П	0,005pZ	0,011р/	o,020pi	0,031 pl	0,045р?	O.OSlpZ \	0,(ЖШ	0,101pZ	,	о, v&pi	о.эоор
н	о.оооб St	0,0025 St	0,0056 St	о,оюо St	0,0156 ЙС	0,Q230 St	о.озю t.	0,0400 St.	0,0510 —	0,0625 —	0,1250 —
			f	f	f	f	f	f	f 1	f	f	f	i
8.3.6.	Трехшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты, опорные реакции
и распоры от симметричной частичной равномерно распределенной нагрузки
GM. пояснения к 8.3.4
Схема нагрузки 1	Схема нагрузки 2
				Размер а щт нагрузке по схеме			1		
Ай сё-	0,45 1	j 0,40 1	[	0,35 I	I 0,30 1	j 0,25 I	J	0.20 1	1	0,15 1	|	9,10 I	[	0,05 I
пения				Размер s при нагрузке			•J		
	0,05 1	|	0,10 1	|	0,15 I	|	0,20 1	0,25 I		0,35 1	0,« I	0,45 L
В e л	Н Ч И Н Bi И 3 I' й б а Ю Щ и X		м о м e н т о в для i- пй схеме 3 зн		а гpуз к и пс аки менять иа об		: .1 (умножить на pl-). Ilpj		нагрузке
7 I 3 1 -	—0,0009 —0,0008 —0,0006 о ио<д —0,0002	—0,0028 —0,0032 —0,0025 —0,0020 —9,0013	—0,0041 —0,0061 —0,0053 —0,0038 -0,0023	—0,0060 —0,0078 —0,0084 —0,0070 —0,0050	2,0 -Л гг ст , -у 771 м	—0/ lh	- 0,094 - 1/1'06 - ),ОО9/ - —О,00';7	§gggg 77П7	_c - ',09 H
6' д’	1 P 10	1	—0,0002 —0.0002 0,0000 о.оооо 0,0000	—0,0008 —0,0005 —0,0002 —0,0001 0,0000	- 0,001(5 —0,0009 —0,0002 —6,0001 0,0000	-0,(ХШ -0,0018 -0,(Ж!8 —0,0(Х)2 0,0009	". 1Д'Ч0 - - ом, - 0,0009	— )(<Д	> -- l/ijtc1	UN	—0,0078 —0,00'60 —0,9032 —0,0008 0,0000	--- , 0 JjOuO
		0 Но р и ы	е реакции и р		споры	для с х ем ы	н а	1	
Д | И |	O,45pZ 0,4SpT о 123S St: с	0,40р/ 0,40pZ 0,1200 St f	0,35о/ 0,35^ 0,1138 St f	0,30pZ o/Wz 0,1050 — f	0,25п/ 0,2-5рг 0,0838 й- f	0,20,4/ О,20р/ 0,0790 ЙЕ 1	0,15Р/ 1-5 Р1 1)1' одарА™. f	0, lew 0,1Opl 0,0450 P~	0,05pZ O,05pz 0,0230 f
		Спорны	е р е а к ц	и и и р а	споры для схемы		н а г р у з к и.	2	
д 1 в I и 1	0,05р/  г	O.lOpZ teylOpZ teoteo — f	0,15pZ 0,15р1 f	0,2Ор/ 0,20р1 0,0200 St f	0,25р/ 0,25р1 0,0312 т	о,30р/ 0430pZ ?Д2 0,0460 — - / '	5,35р1	' О,35р2 0,0620 St 1	G?40pZ	' 0,40p/	j 0,08(Ю ^2-	i /	1	0,45/Д 0,45 pl ryp 0,1620 -— f
8.3. АРКИ
507
8.3.7.	Двухшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты,
распоры и опорные реакции от различных нагрузок
Очертание оси арки по квадратной параболе (гео-
метрические данные оси см. 8.3.1, а)
Принятые обозначения:
че; Е — модуль упругости материала арки; EJt F,—мо-
дуль упругости материала затяжки, площадь сечения
£7Р
затяжки; f — стрела подъема; Р =----- .
EiFi
Сечение арки изменяется по закону Zcosa = /C (убы-
вание от опор к ключи)’, где а — угол между касатель-
ной к оси и горизонтом.
Коэффициент k определяется следующим образом.
/в, Fc— момент инерции п площадь сечения арки в клю-
5 С достаточной для практических целей точностью форму-
лами таблицы можно пользоваться и при расчете арок постоян-
ного сечения, см. [1, стр. 151].
Тип арки	Формулы для определения k	
При учете в тяжку Без затяжки	тияния продольной силы на арку (обжатие) и за- .	1	15 Еп k := 	— ; V “ —— • —-—- 14~1	S	При учете влияния продольной силы только на затяжку k — I; v — 0	'	;
С затяжкой п — коэфе	=	v1 = J£.	+ l + ч	8 Р y,F. fJ пщнент, зависящий от отношения f/l	1	15 0 е	15 Н fe =	 ; V. =	 • ——	 или V., 			 	 , 1 + V.	"	8 pEJP	8	Р fe=_		 1+JL.JL 8	р
Значения п
1/1	1/3	1/4	1/5	1/6	1/7	1/8	1/9	1УЮ	1/15	1/20
п	0,6960	0,7852	0,8434	0,8812	0,9110	0,9306	0,9424	0,95.21	0,9706	0,9888
Продольные и поперечные силы в сечениях арки оп- распору Я; для усилий в затяжке от горизонтальной на-
ределяются по формулам 8.3.2.	грузки в таблице приведены соответствующие формулы.
Усилие в затяжке при вертикальной нагрузке равно
508
РАЗДЕЛ 8, ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
<4 = —. в = .— • /-]	0,625 —- k'; М = vL: значения у даются в следующей таблице:
2	8	4	6	I о
8.3. АРКИ
509
Продолжение 8.3.7
Схема нагрузки
Моменты и реакции
Схема нагрузки
Моменты и реакции
1 = £L;B_£L;
ei	6/
z~ 3.2°W .
Bp + log
H ~-2-;
О
Mc = - pF - Zf
15 Еры u
=--- . ——-. J;
8 pl
A^B = 0;
На 0,401
Нь = 0,099 р/:
Мс = — 0,0159 pf
Равномерный нагрев на 7°
15 Е1еал
=------- —------k",
8 f
A = В =° 0;
Afc = -^
а — коэффициент линейного
расширения
8.3.8.	Двухшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты,
распоры и опорные реакции от сосредоточенного груза
Сечение арки меняется по закону / cos а = ls, где/с—момент инерции
сечения арки в ключе.
Изгибающий момент в любом сечении арки
Мх = М° - Hyk.
Величины М® (моменты в простой балке) и Ну даны в настоящей
таблице. Коэффициенты k определяются по формулам 8.3.7.
..V? сечения	а'Л									
	0,0а	и.Ю	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,45	0,50
7	0,0475	0,0450	0,0425	Велич 0,0400	ины	( м 0,0375	южитель Р 0,0350	) 0,0325	0,0300	0,0275	0,0250
9	0,0450	0,0900	0,0850	0,0800	0,0750	0,0700	0,0650	0,0600	0,0550	0,0500
3	0,0425	0,0850	0,1275	ОД 200	ОД 125	0,1050	0,0975	0 0900	0,0825	0,0750
4	0,0400	0,0800	ОД 200	0,1600	0,1500	0,1400	ОДЗОО	0Д200	ОДЗОО	одооо
	0,0375	0,0750	0,1125	0,1500	0,1875	ОД 750	0,1625	0,1500	0,1375	0,1250
д'	0,0350	0,0700	ОД 050	0Д400	ОД 750	0,2100	0,1950	0,1800	0Д650	0,1500
7	0,0325	0,0650	0,0975	одзоо	ОД 625	0,1950	0,2275	0,2100	0,1925	0,1750
8	0,0300	0,0600	0,0900	0Д2О0	0Д500	0Д8О0	0,2100	0,2400	0,2200	0,2000
9	0,0275	0,0550	0,0825	ОД100	ОД 375	ОД 650	0,1925	0,2200	0,2475	0,2250
18	0,0250	0,0500	0,0750	0,1000	ОД 250	ОД 500	ОД 750	0,2000	0,2250	0,2500
11	0,0225	0,0450	0,0675	0,0900	0,1125	ОД350	0,1575	ОД 800	0,2025	0,2250
12	0,0200	0,0400	0,0600	0,0800	ОД 000	0Д200	0,1400	0,1600	0,1800	0.2000
13	0,0175	0,0350	0,0525	0,0700	0,0875	0,1050	0Д225	0,1400	0,1575	0,1750
14	0,0150	0,0300	0,0450	0,0600	0,0750	0,0900	0Д050	0,1200	0,1350	ОДЗОО
510
Р43ДЕЛ Я. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК.
Продолжение 8.3,8
а‘1
Лу сечения	0,05	0,10	0,1S	0,20	0,25	1	0,30	0,3S	0,40	0,45	|	0,50 ——.—		
	0,0125 0,0100 0,0075 0,0050 0,0025	0,0250	0,0375	0,0509	0,0625	0,0750	0,0875	0,1000	0Д12о	0,1250
		0'0200	0,0300	0,0400	0,0500	0,0600	0,0700	0,0800	0,0900	t), 100'J
/7 18 19		0,0150 0,0100 0,0050	0,0225 0,0150 0,0075	0,0309 0,0200 0,0100	0,0375 0,0250 0,0125	0,0^50 0,0300 0,0150	0,0525 0,0350 0,0175	0,0600 0,0400 0,0200	0,6675 0,6450 0,0225	0,0750 0,0500 0,0260
			Величины Ну (множитель Pl}							
О, Сщ Чь,. Gj Кф	0,0059 0,0112 0,0159 0,0199 0,0233 0,0261	0.0117 0,0221 0,0313 0,0392 0,0460 0,0516	0,0171 0,0324 0,0458 0,0575 0,0674 0,0755	0,0220 0,0418 0,0592 0,0742 0,0870 0,0974	0,0264 0,0501 0,0710 0,0891 0,1044 0,1169	I), 0302 0,0572 0,0810 0ДШ6 0,1191 0,1334	0,0332 0,0623 0,0890 0ДШ 0,1309 0,1466	0,0353 0,0670 0,0949 0Д190 0,1395 0,1562	0,0367 0,0695 0,0984 0,1235 0,1447 0Д621	0,0371 0,0703 0,0996 0Д 250 ОД 465 0Д641
7 8 & 10 11 12	,	0,0283 0,0299 0,0308 0,0311 0,0308 0,0299	0,0558 0,0589 0,0607 0,0613 0,0607 0,0589	0,0818 0,0863 0,0890 0,0899 0,0890 0,0863	0,1056 0,1114 0,1148 0,1160 0,1148 0,1114	0,1266 0,1336 0,1378 0.1392 0Д378 ОД336	0,1445 0,1525 0,1572 0Д 588 0,1572 0,1525	0Д58Э 0,1676 ОД 728 0Д746 ОД 728 0,1676	0Д693 ОД 786 0Д841 ОД86О 0Д841 0Д786	0Д756 0Д853 0Д9П 0Д930 0Д911 ' 0,1853	0,1777 0,1875 0,1934 0,1953 0,1934 0,1875
13 14 15 16 17	0,0283 0,0261 0,0233 0,0199 0,0159 0 0112	0,0558 0,0516 0,0460 0,0392 0,0313 0,0221	0,0818 0,0755 0,0674 0,0575 0,045'8 0,032-1	0,1056 0,0974 0,0870 0,0742 0,0592 0,0418	0,1266 0,1169 0,1044 0,0891 0,0710 0,0501	0,1445 0,1334 ОД 191 0,1016 0,0810 0,0572	0,1589 0Д466 ОД 309 0, ш? 0,0890 0,0628	0Д693 ОД 562 ОД 395 0,1190 0,0949 0,0670	ОД 756 0,1621 0,1447 0,1235 0,0984 0,0695	0,1777 0,1641 0,1465 0,1250 0,0996 0,0703
19	0,0059	0,0117	0,0171	0,0220	0,0264	0,0302	0,0332	о^рзьз	0,0367	
			Опорные реакции и распоры					/		
А	'	0,95Р	1	0.90Р	1	0.85Р	|	0.80Р	|	О.75Р j	0.70P	|	0.65Р s Д	0.60Р	|	0.55Р j	0,50P
в	0,05В	0,10Р	0.16Р	U,20P	0,25? j	0.39P	1	0.35P	1	0,40?	|	0,45? j	0,50Р
а	j	о.ози |	о,об1з !	9,0898 j	0,1160	|	0,1392	|	0,1583	|	0,1743 j	0,I860	|	U,1930 j	0,1953
Р1
т-^ножитель —у
8.3.9.	Двухшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты,
распоры и опорные реакций от частичной
равномерно распределенной нагрузки
Сечение арки меняется по закону / cos а = /с,
где 1с ~ момент-инерции арки в ключе.
Изгибающий момент в любом сечении арки;
р = Л1® — ЯуА. ....у
Величины Ж® (моменты в простой балке) и Ну приведены в таблице.
При схеме загружен™ I; М1* = Ну = k^pl~. ,
При схеме загружен™ II: М* = НрН; Ну — k.pH.
Коэффициенты k определяются по формулам 8.3.7.
а-1	______________ !
сечения	Коэффи- же и ты	0.05	Д1»	0,15	ОДО	0,25	0,30	0,35	0,40	0,45	0,60
				Величины Afjj,		МНОЖИТСЯ	100 }				
1	А	0,118! 0,1311	0,3500 0,2756	0,5688 0,4313	0,7750 0,6000	0,9688 0,7813	1Д500 0,9750	1,3188 1,1813	1,4750 1,4000	1,6188 1,6313	1,7500
	И	оди<  0,262;	д-т5'10 0,5500	0,8875 0,8625	1,3000 1,2000	1,6875 1,5625	2,0500 1,9500	2,3875 2,3625	2,7006 2,8000	2,9875 ЗД388	3,2500
8.3. АРКИ
511
Продолжение З.З.ч
Ла сечения	Коэффи- ци еиты	azl									
		0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,45	0,50
3	/г л	0,1062 0,3938	0,4250 0,8250	0,956-3 1,2938	1,5750 1,8000	2,1563 2,3438	2,7000 2,9250	3,2063 3,5438	3,6750 4,1750	4,0063 4,3938	4,5000
4		0,1000 0,5250	0,4000 1,1000	0,9000 1,7250	1,6000 2,4000	2,3750 3,1250	3,1000 3,9000	3,7750 4,6000	4,4000 5,1000	4,9750 5,4000	5,5000
5		0,0938 0,6568	0,3750 1,3750	0,8438 2,1568	1,5000 3,0000	2,3238 3,9263	3,2500 4,7500	4,0938 5,4063	4,8750 5,8750	5,5938 : 6,1564	6,2500
6	kx	0,0875 0,7875	0,3500 1,6500	0,7875 2,5875	1,4000 3,6000	2,1875 4,6625	3,1500 5,3500	4,1625 5,9625	5,1000 6,4000	5,9625 6,66'25	6,7500
7	fcv	0,0813 0,9188	0,3250 1,9250	0,7313 3,0188	1,3000 4,0750	2,0313 4,9688	2,9250 5,7000	3,9813 6.2688	5,0750 6,6750	6,0813 6,9188	7,0000
8	kl k.	0,0750 1,0500	0,3000 2,2000	0,6750 3,32-50	1,2000 4,3000	1,8750 5,1250	2,7000 5,8000	3,6750 6,3250	4,8000 6,7000	5,9500 6,9250	f 7-0000
9	k5 ks	0,0688 1,1813	0,2750 2,3500	0,6188 3,4438	1,1000 4,2750	1,7188 5,0313	2,4750 -5,6500	3,3688 6,1313	4,4000 6,4750	5,5688 6,6813	6,7500
10	kl feE	0,0625 1,1875	0,2500 2,2500	0,5625 3,1875	1,0000 4,0000	1,5625 4,6875	2,2500 5,2500	3,0625 5,6875	4,0000 6,0000	5,0625 6,1875	6,2500
И		0,0563 1,0688	0,2250 2,0250	0,5063 2,8688	0,9000 3,6000	1,4063 4,2188	2,0250 4,7000	2,7563 5,1188	3,6000 5,4000	4,5563 5,5683	5,6250
12	kl kl	i0,0500 0,8500	0,2000 1,8000	0,4500 2,5500	0,8000 3,2000	1,2500 3,7500	1,8000 4,2000	2,4500 4,5500	3,2000 4,8000	4,0500 4,9500	5,0000
13	/?! /?2	0,0437 0,8313	0,1750 1>5750	0,3938 2,2313	0,7000 2,8000	1,0938 3,2813	1,5750 3,6750	2,1438 3,9813	2 8000 4,2000	3,5438 4,3313	4,3750
14	/г2	0,0375 0,7125	0,1500 1,3500	0,3375 1,9125	0,6000 2,4000	0,9375 2,8125	1,3500 3,1500	1,8375 3,4125	2,4000 3,6000	3,0375 3,7125	3,7500
:	15	ki kt	0,0313 0,5938	0,1250 1,1250	0,2813 1,5938	0,5000 2,0000	0,7813 2,3438	1,1250 2,6250	1,5313 2,8438	2,0000 3,0000	2,5313 3,0938	3,1250
16	/?! 8,	0,0250 0,4750	0,1000 0,9000	0,2250 1,2750	0,4000 1,6000	0,6250 1,8750	0,9000 2,1000	1,2250 2,2750	1,6000 2,4000	2,0250 2,4750	2,5000
17	kl й2	0,0188 0,3563	0,0750 0,6750	0,1688 0,9563	0,3000 1,2000	0,4688 1,4063	0,6750 1,5750	0,9188 1,7063	1,2000 1,8000	1,6188 1,8563	I,8750
16	/гг	0,0125 0,2375	0,0500 0,4500	0,1125 0,6375	0,2000 0,8000	0,3125 0,9375	0,4500 1,0500	0,6125 1,1375	0,8000 1,2000	1,0125 1,2375	1,2500
15	kl	0,0063 0,1188	0,0250 0,2250	0,0563 ' 0,3188	0,1000 0,4000	0,1563 0,4688	0,2250 0,5250	0,3063 0,5688	0,4000 0,6000	0,5063 0,6188	0,6250
				Величины Ну		^множнтел	ь pq 1007				
: 1	k,	0,0148 0,1848	0,0588 0,3659	0,1309 0,5368	0,2288 0,6955	0,3510 0,8365	0,4921 0,9587	0,6507 1,0567	0,8216 1,1287	1,0027 1,1727	1,1875
2	ks k\	0,0280 0,3502	0,1114 0,6934	I 0,2478 |	1,0175	0,4334 1,3177	1 0,6650 J 1,5850	0,9323 1,8166	1,2329 2,0022	1,5566 2,1386	1,8998 2,2220	2,2500
512
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Продолжение 8.3.9
№ сечения	Коэффи- циенты	azl									
		090a	0,10-	0,15	o,20	0,25	' 0,30	0,35	0,4Д	0,45	0,50
3	к, k.	0,0398 0,4961	0,1579 0,9823	0,3510 1,4408	0,6140 1,8667	0,9421 2,2454	1,3208 2,5735	1,7467 2,8365	2,2052 3,0297	2,6914 3,1478	3,1875
4	ka h	0,0499 0,6225	0,1981 1,2326	0,4405 1,8081	0,77062 2,3426 ;	1,1822 2,8178	1,6574 3,2294	2,1919 3,5595	2,7674 3,8019	3,3775 3,9501	4,0000
5	ks	0,0585 0,7295	0,2321 1,4445	0,5162 2,1189"	0,9030 2,7452	. 1,3854 P 3,3021	1,9423 3,7845	2,5686 4,1713	3,2430 4,4554	3,9580 4,6291	4,6875
б	ka	0,0655 0,8170	0,2600 1,6178	0,5781 2,3731	1,0114 3,0746	1,5516 3,6984	2,1754 4,2386	2,8769 4,6719	3,6322 4,9900	4,4330 5,1845	5,2500
7	ke ki	0,0709 0,8861	0,2817 1,7527	0,6263 2,5709	1,0956 3,3308	1,6809 4,0066	2,3567 4,5919	3,1166 5,0612	3,9348 5,4059	4,8024 6,6№S	5,6875
8	k3 Ri	0,0748 0,9338	0,2971 1,8490	0,6607 2,7121	1,1558 3,5138	1,7733 4,2267	2,4862 4,8442	3,2878 5,3393	4,1510 5,7029	5,0663 5,9252	6,0000
9	ka k<	0,0772 0,9629	0,3064 1,9067	0,6813 2,7969	1,1920 3,6237	1,8287 4,3588	2,5639 4,9955	3,3906 5,5062	4,2808 5,8811	5,2246 6,1104	6,1875
70	^4	0,0779 0,9727	0,3095 1,9260	0,6882 2,8252	1,2040 3,6603-	1,8472 4,4028	2,5898 5,0460	3,4248 5,5618	4,3240 5,9405	5,2773 6,1721	6,2500
71		0,0772 0,9629	0,3064 1,9067	0,6813 2,7969	1,1920 3,6237 	1,8287 4,3588	2,5639 4,9956	3,3906 5,5062	4,2808 5,8811	5,2246 6,1104	' 6,1875
13	k, *<	0,0748 0,9338	0,2971 1,8490	0,6607 2,7121	1,1558" 3,5138	1,7733 4,2267	2,4862 4,8442	3,2878 5,3393	4,1510 5,7029	5,0663 5,9252	6,0000
/3	fea fe4	0,0709 0,8851	0,2817 1,7527	0,6263 2,5709	1,0956 3,3308	1,6809 4,0066	2,3567 4,5919	3,1166 5,0612	3,9348 5,4059	4,8024 5,6166	5,6875
It	ki ki	0,0655 0,8170	0,2600 1,6178	0,5781 2,3731	i,oiS— 3,0746"	1(5516" 3,6984	2,1754 4,2386	2,8769 4,6719	3,6322 4,9900	4,4330 5,1845	6,2500
1$.	ks ki	0,0585 0,7295	0,2321 1,4445	0,5162 2,1189	0,9030 2,7«	1,3854 3,3021-	1,9423 3,7845	2,5686 4,1713	3,2430 4,4554	3,9580 4,6291	4,6875
	ks ki	0,0499 0,6225	0,1981 1,2326	0,4405 1,8081	0,7706 2,3426	1,1822 2,8178	1,6574 3,2294	2,1919 3,5595	2,7674 3,8019	3,3775 3,9501	4,0000
17	к	0,0398 0,4961	0,1579 0,9823	0,3510 1,4408	0,6140 1,8667	0,9421 2,2454	1,3208 2,57^5	1,7467 2,8365	2,2052 3,0297	2,6914 3,1478	3,1875
т №		К	0,0281 0,3502	0,1114 0,6934	0,2478 1,0171	0,4334 1,3177	.. 0,6650 1,5850	0,9333 1,8166	1,2329 2,0022	1,5566 2,1386	1,8998 2,2220	2,2500
		0,0148 0,1848	0,0558 0,3659	0,1309 0,5368	0,2288 0,6955	0,3510 0,8365	0,4921 0,9587	0,6W 1,0567	0,8216 1,1287	1,0027 1,1727	1,1875
Опорные реакции (множитель pl)				и распорь	(	Pl‘ \ / 1Лъ -—(подстрочные \	WOf )			индексы означают схему загружения)			
to	I I'	д,:л	0,049 0,001	0,095 0,005	0,139 0,011	O"180 " 0,020	5 0,219 0,031	! 0,255 ! 0,045	0,289 0,061	0,320 0,080	0,349 0,101	0,375 0,125
ч; Я	I I	0,026 0,024	; 0,055 0,045	0,086 0,064	0,1201 : 0,080	0,156 0,094	0,195 0,105	0,236 / 0,114	0,280  0,120	0,326: 0,124	< 0,375 ' 0,125
	1	!g: -<-Д II	0,0779 ' 0 9727	0^3095 1,9260	0,6882	1 Ж8252' |	1,2040 3,wO	1,8472 4,4028	2,5898 5,0460	3,4248 5,5618	4,3240 5,9405	5,2773 6,1721	6,250 : 6,250
____________________________________________________________________________________8.3. АРКИ_____________________________________________________________________________ ______________513
8.3.10.	Двухшарнирная круговая арка. Изгибающие моменты и распоры
от сосредоточенного груза
Сечение арки постоянно. Геометрические данные оси арки см. в 8.3.!, б.
Изгибающий момент в любом сечении арки
Мг = лД— Ну.
XX-'
Величины Мх (моменты в простой балке) см. в 8.3.8.
Величины распоров* H — Pka, где kt>— табличные значения.
Значения у (ординаты оси арки) см. в 8.3.1, б.
Поперечные и продольные силы в сечениях арки определяются по фор-
мулам 8.3.2.
f/Z или а,	а:1									
	0,05	0,10	|	0,15	j 0/20	|	0,25	0,30	0,36	|	0,40	0,45	0,50
1/2	0,0605	0,1146	0,1623	0,2037	0,2387	0,2673		0,2896	0,3055	0,3151	0,3182
80°	0,0754	0,1428	0,2023	0,2539	0,2976	0,3333	0,3610	0,3809	0,3923	0,3967
70°	0,0933	0,1768	0,25 4	0,3142	0,3682	0,4124	0,4468	0,4714	0,4861	0,4910
1/3	О,0082	0Д861	0,2636	й,3308	0,3877	0,4341	0,4692	0,4962	0,5117	0,5169
60°	0,1159	0,2195	0,3110	0,3902	0,4573	0,5122	0,5549	0,5854	0,6037	03Ш7
1/4	0,1341	0,2541	0,3601)	0,4517	0,5294	0,5929	0,6407	0,6776	0,6988	0,7059
1/5	0/1718	0,3256	0,4612	0,5787	0,6783	0,7592	0,8209	0,8681	0,8952	0,9043
1/6	0,2064	0,3911	0,5541	0,6953	0,8149		0,9862	1,0429	1,0755	1,0865
1/7	0,2425	0,4595	0/3510	0,8169	0,9574	1,0721 1	1,1587	1,2254	1,2636	1,2765
1/8	0,2782	0,5272	0,7468	0,9371	1,0983	1,2299	1,3292	1,4057	1,4497	1,4644
1/10	0,3526	0,6682	0,9466	1,1878 -	1,3921	1,5588	1,6847	1,7817	1,8374	1,8561
1/12	0,4195	0,7950	1,1261	1,4131	1,6562	1,8546	2,0044	2,1197	2,2871	2,2082
8.3.11.	Двухгнарннрная круговая арка. Изгибающие моменты
и распоры от частичной равномерно-распределенной нагрузки
Сечение арки постоянно. Изгибающий момент в любом сечении арки
Мх^м'х — Иу.
I® (моменты в простой балке) йм. в 8.3.9.
Величины распоров И*:
при схеме загружения / Н — kipl;
при схеме загружения И !1 = Х,р1, гае klt k2 — табличные коэффициенты.
Значения у (ординаты оси арки) даны в 8.3.1, б.
Поперечные и продольные силы в сечениях арки определяются по фор-
мулам 8,3.2.
№ или аа	Коэффи- циенты										
		0,05	0,16	0,15		0,25	11,30	0,35		0,45	K 0,50
1/2	k* н	0,0015 0,0162	0,0059 0,0317	0,0128 0,0465	0,0220 0,0604	0,0330 0,0731	0,0457 0,0841	0,0596 0,0933	0,0744 0,1002	0,0899 0,1046	0,1061
80°	k-i К’.	0,0019 0,1)202	0,0074 0,0402	0,0160 0,0588	0,0274 0,0751	0,0412 0,0910	0,0571 0,1048	0,0734 0,1162	0,0920 0,1248	0,1120 0,1303	0,1322
70°	kt k.	0,0023 0,0248	0,0091 0,0487	0/.И93 0,0717	0,0339 0,0931	0,0510 0,1126	0,0705 0,1297	9,0919 0,1438	0,1149 0,1545	0,1388 / <>,) > 1	*0,1636
1/3	у fe2	0,0025 0,0258	0,0996 0,0510	0,0208 0,0761	0,035/ 0,0977	0,1182	0,0741 0,1362	0,0957 0,1510	0,1203 0,1622	0,1460	0,1718
60°	a5 Ay	0,0029 0,0305	0,0113 0,0603	0,0246 0,0883	0,0422 0,1155	6,0634 0,1398	0,0877 0,1619	0,1144 0,1786	0,1429 f J ) J	0,1727 0,2003	0,2032
Влияние продольной силы на деформацию арки не уятеио. Нри nyi дт Д / влиг рт > ip-диО " if-' Ума но
приближенно, умножив величину Н на коэффициент k (см, 8,3.7).
514
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ II АРОК
Продолжение 8-3.11
V	Коэффи» циеиты	a-.l									
		0.05	I ft.10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,45	0,50
Ц4	kt k.	0,0033 0,0362	0,0131 0,070g	0,0284 0,1025	0,0487 0,1334	0,0732 0,1614	0,1012 0,1859	0,1321 0,2062	0,1640 0,2215	0,1984 0,2313	0,2346
1/S	k.	0,0043 0,0451	0,0167 0,0892	0,0364 0,1314	0,0624 0,1709	0e0928 0,2078	0,1297 0,2382	0,1692 0,2642	0,2114 0,2839	0,2555 0,2963	0,3006
1/6	h feE	0,0.052 0,0542	0,0201 0,1071	0,0437 0,1578	0,0749 0,2053	0,1127 0,2484	0,1558 0,2862	0,2033 0,3174	0,2540 0,3410	0,3069 0,3559	0,3611
1??	fc	0,0061 0,0636	0,0236 (Ц25В	0,0514 0,1854	0,088.0	0,1324 0,2919	0,1831 0,3363	0,2389 0,3729	0,2985 0,4007	0,3607 0,4182	0,4243
1/8	kt	0,0069 0,0730	0,0271 0,1444 	0,0589 0,2127	0,1010 0,2767	0,1519 0,3348	0,2100 0,3857	0,2740 0,4278	0,3423 0,4596	0,4137 0.4798	0,4867
1/10	k.	0,0088 0,0925	0,0343 0,1330	0,0747 0,2696	0,1280 0,3507	: 0,1925 0,4244	0,2662 0,4839	0,3473 0,5422	0,4339 0,5826	0,5244 0,6081	0,6169
1/12	h k.	0,0105 0,П00	0,0409 0,2176	0,0889 0,3207	0,1523 0,4171	0,2290 0,5049	0,3168 0,5816	0,4132 0,6450	0,5163 f 0,6930	0,6239 0,7234	0,7339
8.3,12 Бесшарнирные параболические арки
Изгибающие моменты, даетрды и опорные реакции от различных нагрузок.
На схеме показано положительное направление мо-
ментов я реакций,
В приводимых в таблице формулах коэффициент k
учитывает влияние продольной силы (обжатия):
1	45 /с
— у = —— f ——-,
1+v’	4 Fcf
Очертание оси арки пологая квадратная парабола.
Сечение арки изменяется по закону®
/ cos а — 1С,
‘rsfi а-—угол между касательной к оси и горизонтом;
1с-~ момент инерции арки в ключе.
О., Fc —момент инерции, площадь сечения арки в ключе.
Если пренебречь влиянием обжатия, то v = 0, fe=L
Поперечные и продольные силы определяются по фор-
мулам 8.3.2.
Геометрические характеристики оси арки см. в 8.3,1, я.
Схема нагрузки		Опорные реакции я распоры	Изгибающие моменты
|«s «А Vs I 4C		А=бЙ(! + 25) Р; S = F d+2 н — р 31. . 2.^-+ « i	мь = put Г -1). Для 0 < |< i 2 Уу)
8,3. АРКИ
Продолжение 8.3.12
|	Схема нагрузки	j	Опорные реакции и распоры			Изгибающие моменты		
!#^~Т гА J	J ! 1		р А В =х — ; Н^ 21. PL ы /	k	Л5 = Л == ZL /К а	°	8 \ 4 м == £L 0 ® 8 \	8 При k = 1 Pl М	М а	0	32.	с		k — 1 j ; — = 3 pi ~~ 64
Р А|%	I8	<4	— на	Л . .О . в т	1 р ~ — ----- п ь-	~	А'->	М = — — ®		 8	; Мь =£- J	ь	- ; 41с = о
	а !	0,1	0а2	0,3	0,4	
	А	0 1<Г 1	Pf —0,307 4J-	в/ —09о0Э ——» 1	—0,692 SL.	По данным 5ТСН1 таблицы можно постро- ить л» в« опор» ных моментов, распора и опорных реакций от горизонталь» силы
Л Р'г---.-	£	|1>	На	—0,894В	—0,712Р	’~0, о72Р	™0?510Р	
/J = — Д; //, ~ Р — /•/ О	<3	Ма	| —0,224В/	—0,236Р,г	—0,182.Pf	™-Ю дзз^у	
5Jg	РАЗДЕЛ Схема нагрузки		. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК Продолжение 8:3.12 Опорные реакции л распоры	Изгибающие моме?1ты	
	\ IF 1X г I I / м?—-X	А — ЗЗ g [Н.щ (1+^;')]; в== £2.^ (i _ g'3). 2 Н = 2У S3 (1 4- 3g' (1 + 2g')]-k	М = - 23 м [6|'Д + “	12 + (3|'гЧ-2Е,' +1) (1- fe)];	; А1й = Щ ga [6g'2i - (3g' + 1) (1 - А)]
Квадратная парабола %	ж		A^B^F- 6 «= 3Lk 56/	Л) = М, = -2: (7 — 5А); “	''	421) Л( =—Щ. (1(4 — 7); 1680 При k — 1 Лгмак(. = Щ; ж_ 0,233 1
2М		j4. == 13 —: -  ' •— “ 4 5	пС Н 		 '	поп k 1 128	/	,и = мь = - 23.; ] 102	,	. 1 при fe ~ .1 м = - 23 с	384	J
Поворот левой пяты TgS**»®®	W	j ~Q	।		в/?/с ...... (jp • /а	а 13 -— “I- —~—~ ~ ip ® р	а ,,	15	Е1С И	_ 		<г н а	2EI М	— ф Ц.	1а 'ЗЕ1^ Мь -~-Е- Фд м	3 Of?
Поворот левой и правой пят а< Ч		А ~ В ~~ 15 йс ц _	Фа	V2E1 М	М, —		 ф> w	2	1	а - •—фа
Поворот левой и правой пят i	G 4v4 ?а	1		V2EI,. А = —		 фд 127:7, В = —Г- ф F	а Н = 0	С£7П ми 		 <ра м = _ 		С ф b	z М^ -- п
Горизонтальное смещение пяты яс'Сг"^ И4		А = В =0; 45	Е1с Н = — , 		?_ д 4	pl	М Л4 щ . Ч Д; и	°	2	Д 15 Е3 •= ——	• ~—— д С	4	П
Равномерный нагрев на Ч		А = В = 0; 45 Elco.t 4	р о. — коэффициент линейного расширения	15 Е/Га> ЛЧ ~ Д1  		 ——:	fe; а	г	2	f 15	FJcat ''С '	f
8.3. АРКИ
517.
Линии влияния распора Н, опорной реакции А,
•ирного момента Ма и момента в середине пролети /И,.
Л ИТЕРАТУ Р А
1.	Ее р н кт т е й и С. А. Основы расчета статически неопре-
делимых систем. ОШИ, 1936.
2.	Бычков Д. В. Формулы и графики для расчета рам.
Госстройиздат, 1957.
3.	Волчегорский М. С. Усовершенствование расчета
psT.vi одноэтажных промышленных зданий со ступенчатыми стой-
ками. Центральный институт научной информации по строи-
тельству и архитектуре Госстроя СССР, Строительное проекти-
рование промышленных предприятий. 1970, № 6.
За. Г л у пл к с в Г. С., Егоров И. Р., Ермолов В. В,
Формулы для расчета сложных рам. «Машиностроение», 1966.
4,	Ерохн и И. П., Мал иев .А. С. Формулы для расче-
та сложных рам методом расчленения. Главная редакция строи-
тельной лит-ры. 1935.
5.	Железобетонные стойки одноэтажных промышленных зда-
ний. Серии Е-302. Промстройпроект, 1948.
6,	. И в а и о в В. Ф., Никитин Г, В. Справочник по
строительной механике, т. I и П. Изд. «Кубуч», 1933—1935.
7.	Илларионов В. А., Френкель П. М. Расчет
железобетонных подкрановых балок (таблицы). Стройиздат,
1934.
8.	Инструкция по расчету железобетонных балок, плит и ба-
лочных перекрытий. ЦНИПС, Стройиздат, 1938.
9.	К л е й н л о г е л ь А., Хазельбах А. Формулы для
расчета сложных рам, Стройиздат, 1968.
10.	М а и и н В, Е. Упрощение при определении перемеще-
ний в упругих стержневых системах. Строительное проекти-
рование промышленных предприятий. Информационный выпуск
Кг L Госстрой СССР. Глазшромстройпроект, 1967,
11.	Нейшильд В. Ч, Таблицы для расчета многопро-
летных многоэтажных рам и йеразрезпых балок. Госстройиз-
дат, 1933,
12,	Новиков А. М. Таблицы для расчета труб, сводов
и арок, Госстроййздат, 19-12.
13.	Одинцов В. А. Определение усилий в поперечных
рамах одноэтажных производственных зданий. Строительное
проектирование промышленных предприятий. Информационный
выпуск .№ 2. Госстрой СССР. Главпромстройпроект, М., 1966.
14.	Онуфриев И. М. Расчетные формулы для проекти-
рования шпрепгелъных систем смешанной конструкции. Науч-
ные труды Ленинградского инж.-строит, ин-та, вып, 17. «Строи-
тельная механика и строительные конструкции». Госстройиз-
дат, 1954,
15.	Папкой ич П, Ф. Строительная механика корабля,
ч. I, т, 1. «Морской транспорт», 1945.
16,	П р и м а к Н, С, Расчет рамных конструкций одноэтаж-
ных промышленных зданий,. «Будгвельник», Киев, 1966.
17.	Ремр.з М. Б. К вопросу о расчете криволинейных я
ломаных в плане балок. Труды Ленинградского института ин-
женеров промышленного строительства, аып. 5, 1938.
L8.	Справочная книга по расчету самолета иа прочность.
Оборопгиз. 1954,
19. Справочник инженера-конструктора, Моспроект, 1958.
20. Справочник инженера-проектировщика пром сооружений,
т. II. — «Расчетно-теоретический». Промстройпроект. Госстрой-
пздат, 1934,
2L Справочник «Инженерные сооружения», т. I. Машстрой-
издат, J95D.
22.	Справочник машиностроителя, т. ПС Машгиз, 1956.
23,	Справочник проектировщика «Расчетно-теоретнческиЙ»^
Госстрой изд ат, I960.
24.	Справочник проектировщика промышленных зданий, гла-
ва IV, «Буд1аельш1к», Киев, 1.968,
25-	Справочник проектировщика «Металлические_ конструк-
ции промышленных зданий и сооружений», глава IV. Проект-
стальконструкция. Госстройиздат, 1962.
26.	Стальные конструкции одноэтажных промышленных зда-
ний. Руководство по проектированию. КТИС, Гос. изд-во лит,
по строит, и арх., 1952.
27.	Технический справочник железнодорожника, т. П« Транс-
желдориздат, 1950.
28.	У л и ц к и й И. И , Р и в к и и С. А., Самол е-
т о в М. В., Дыховичный Ю. А. Железобетонные кон-
струкции, Расчет и конструирование, Гостехиздат УССР, Киев,
1959.
29,	Штейн к м а и В. С. Определение максимальных мо-
ментов и поперечных сил в однопролетяой балке от действия
подвижной системы сосредоточенных сил. Строительное проек-
тирование промышленных предприятий. Госстрой СССР. Глав-
промстройпроект, ,N? 5—6, 1968,
Ж Эшпжлопедичоский справочник «Машиностроение», т. I,
кн. 2., Машгиз. 1948.
31.	Belon—Kalender. Taschenbuch fur Beton und Stahlbeto^-
ban. Berlin (издается ежегодно). -
32.	Beyer К Die Statik im Stahlbetonbau, Berlin, 1956.
P A 3 Д Е Л 9
СТЕРЖНИ, ОЧЕРЧЕННЫЕ ПО ДУГЕ КРУГА, И КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА1
9.1. Круговые стержни
Основные обозначения и общие указания
Сечение стержней — постоянно. Главные цент-
ральные оси инерции и уг повернуты на постоянный
для всех сечений угол % по отношению к оси х, лежа-
щей в плоскости кривизны стержня, Ось у перпендику-
лярна плоскости кривизны (рис. 9(1, й)? Гёомётрййёскйр
характеристики сечения:: Д—площадь; 1Х1, —-глав-
ные центральные моменты инерции; lx, Iv, Ь»-—осевые
й центробежный моменты инерции относительно ос-
нов них реей ж И у, связанных с плоскостью кривизны
стержней; /в — момент инерции при свободном круче-
нии стержня; — векториальный момент инерция.
Характеристики жесткости сечения:
1 Tgik
и=г |/	— изгибно-крутильная характерис-
тика;
6яЕ~~ модули упругости материала
стержня;
«--радиус кривизны оси стержня.
Осью бруса считается линия, проходящая через
центры тяжести Ot сечений Дчя тойкостёйнбго 6pjca
при иагрузке, перпендикулярной плоскости кррврзны,
Рис, 9.1
за ось стержня принимается линия, проходящая через
центры изгиба О2 сечений (рис. 9.1,6).
Приведенные податливости при изгибе относительно
основных осей х и у:
 :г-:';:?ту' Г 1д	Г fx
a^~~ Е * I / '	р ' I I ’
* Рассматриваются стержни и кольца малой кривизны.
Стержни большой кривизны см. в «Справочнике проектиров-
щика», изд, 1. Стройиздат. 1961 и [9, 10, И, 16, 21J,
Приведенная податливость при кручении
г яа
G/7 * Й1"+Т
(9.2)
а, 3 — угловые координаты текущих сечений стерж-
ня;
— угловая координата сечения, в котором при-
ложен внешний силовой фактор (сосредото-
ченная сила или момент).
Внешние сосредоточенные силовые факторы, прило-
женные в сечении с координатой <Д:
Pxi — радиальная сила;
Pyl—вертикальная сила;
РД— тангенциальная сила;
Mxi — момент в вертикальной плоскости, касательной
к оси стержня (вертикальный изгибающий мо-
мент) ;
Myi'— момент в плоскости кривизны бруса (горизон-
тальный изгибающий момент);
Мг1 —• момент в вертикальной радиальной плоскости
(крутящий момент);
В[ — бимомент.
На рис. 9.2, а показаны положительные направления
усилий; моменты изображены дуговой стрелкой, пока-
зывающей направление положительного момента. Поло-
Рис. 9.2
9.1, КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ
519
жительный бимомент увеличивает кривизну верхней
полки; на рис. 9.2, а не показан.
Внешние распределенные нагрузки (рис. 9.2,6):
Рх. (Р) — погонная радиальная нагрузка;
Ру (р) — погонная вертикальная нагрузка;
рг (р)— погонная тангенциальная нагрузка;
m-(P), ms(p), «г(р) —погонные моментные нагрузки;
Ь (р)—распределенный бимомепт (на рис. 9.2 не
показан).
Внутренние усилия в произвольном сечении:
R (а) — радиальная поперечная сила;
Q (а) — вертикальная поперечная сила;
N (а) — продольная сила;
L (а) и Н (а) — изгибающие моменты, действую-
щие соответственно в вертикаль-
ной и в горизонтальной плоско-
сти;
К (а) — крутящий момент;
К (а) — момент свободного кручения;
К (а) — момент стесненного кручения;
В (а) — бимомент.
Перемещения, возникающие в результате упругой
деформации стержня:
Х( а)—радиальное перемещение; прогиб к
центру кривизны считается положи-
тельным (рис. 9.3);
?, (а) — тангенциальное перемещение; счита-
ется положительным, если сечение
смещается в направлении уменьше-
ния угла а;
д (а) — вертикальное перемещение (прогиб
вниз считается гюложительиьш);
Ф (а), ф> (а) — утлы поворота сечения; считаются
положительными, если их направле-
ния совпадают с направлением по-
ложительных моментов L(а), Я(а);
0 (а)— угол закручивания.
Начальные параметры: Яо, Со, Аф, LB, Но, Но, Ко, Во,
ко, §о, 60, ф0; Фо, 9о — значения внутренних усилий и пе-
ремещений в сечении, принятом за начальное.
Рис. 9.3
Расчет стержня следует начинать с параллельного
переноса всех нагрузок в плоскости данного сечения па
ось стержня с добавлением соответствующих моментов
(приведение нагрузок к центру тяжести сечения Ot).
В случае тонкостенного стержня при переносе моментов
в центр изгиба О2 могут добавляться соответствующие
бимоменты (см. [16, 25]).
Если нагрузка действует под углом к плоскости кри-
визны стержня, ее следует разложить на радиальную,
вертикальную и тангенциальную составляющие.
Положительное направление углов аир соответст-
вует вращению радиуса, оси стержня против часовой
стрелки (см. рис. 9.2).
Общие формулы для усилий и перемещений
Продольная сила
N (а) = NB cos а— Re sin а 4- [А/ (д)].	(9.3)
Радиальная поперечная сила
R (а) = Йо сор д 4- lVosin^+ [Я (а)].	(9.ф)
Вертикальная поперечная сила
Q. («) = Qg + S Pyi+r]Ру (Р) dp + [Q («)]  (9.5)
Изгибающий момент (в вертикальной плоскости)
L (а) = Lg cos а 4- Кд sin а — rQ0 sin aR~[L (a)j|.	(9.6)
Изгибающий момент (в горизонтальной плоскости)
И (а) = Но 4- Ng г (1 — cos а) 4- Во г sin а4-[Я(а)]. (9.7)
Полнщй крутящий момент
К («)=<„ cos a4-Q0x (1 —cos а)'— Lo sin а4-[К(а)]. (9.8)
Момент свободного кручения
-	к° cos a4-ch иа	г
к ^Кд--------------------- + Qg	cos а -
х (и sin а — sh иа)
— ch иа) — 1В —----------- ----—
и -	1
— Ж ch иа—- Вв — sh иа 4- [К(а)].	(9.9)
г	...
Момент стесненного кручения
„	и	cos а—-ch иа
К (а) = Ко ch иа 4- Во — sh иа-'гК0	— —
Г	X" 1
г (cos а—ch иа)	и sh xa4~sin а =,
(9.10)
Бимомепт
г	г (и sin а—sh иа)
В (а)=В0 ch иа-4-К—' sh иа 4- Ко--------------—
и	и (и2 4- 1)
и sin а — sh ха
— Qo Н-------------— +
и (и2 4- 1)
cos а—ch иа
+ i./ —ПГ7П------+ IB (®)b	(9.11)
X" —j- 1
Угол закручивания
в («) = 0о cos а — фв sin а 4- аг г,40в (а) 4-
+ Qo (а) “5 Ко r^QN (а)+А0Лв1 (а) + но л6н (а) 4-
+ Кд -AgQ («) 4" Кд (У) +
+ Во7/5вв(“)| + 10Ш	<* * * В 9 * *-12)
520
РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
Угол поворота сечения в вертикальной плоскости
4 («)=-Ф0 cos и+90 sin а^-аг !/?0	(a)A-Q,/A,.Q (а) +
+ А’в о4фУу («)+£0	(а)+/?0 Л,,1Н (а)4-Д А^- (oi) 4-
+ КвЛ^(а)+Вв	+[Ф(«Я	<9.13)
Угол поворота сечения в горизонтальной плоскости
Ч~ (а)=ф0+а, р?0 (a)+Qa rA^:Q 0 гА,^ (а) +
+ Lo A^L(aH-H0 А^н («НК0 А^к (а)] 44ИЛ1- (9  14)
Радиальный прогиб
?. (a)=Xfl cos афД sin а—фв - sina+re-^ [ф()	(в) 4-
4- Qe гЛ^ (а)4-А'о гАлм (aAA-L® ARL (a)4-ffe А1Н (а) 4-
+ КвЛ?ж(а)] +(Х(а)].	(9.15)
Вертикальный прогиб
6 (а)=в0+90 т (1—cos а)+ф0 г sin а4-гйфр?0 rAbR ta) 4-
+ Qfl rAbQ ia)+A?e г4.бд, («) + Д Дй£ (a)4-Hg A&H (a) 4~
+КЙ A6K (a)+ID 4йрИ+в у Дв Иj+W) J  (9-16)
Tангенциальное перемещение
t (a)=ge cos a—Xo sin «44y (1—cos a)A-ra^RorAiR(vA 4-
+ Qo rAlQ la)+iVo rAtN (aA+Lo Ai,L (“HA% {a) +
+ <0Л|к(а)] 4-ГС («)]-	<9.17)
Функции влияния начальных параметров, входящие
в формулы (942) — (947), вычисляются следующим об-
разом:
для определения угла 0(a) по формуле (9.12)
a,.,, sine — a cos а
AeR (a) = — •	— -	;
4q =
-i.	\ u-
4- 1 a cos a —
.	j7 v /1
4ад (a) = -....A (i _ cos aj;
Дк (a) = —
1 /«£
"" 2 Ц
----------'— sin a —
xa(z24~l) !
sh xrz
s a -------------;
и(х®4-1)
.4ев (a) = ch xa — cos a:
для определения угла <p(u) но формуле (943)
ovi, a sit: a
I (a.	\
(a) = -y 4- a sin « 4-
vA 4- 2	ch za vA 4- 1
A--------cos a +--------------—--------;
к2 у- J	и'- (x2 4- !) x~
<1,-,, a cos a — sin a
А^к (a) =	--------------------= 4ад (a);
Г 1 / CA \
avl j v +3 ja,cos a +
’ ! a, z2 4“ 3\	sh xa 1
2 \аг z2 + lj x(z24'l)J
re'2= —Sin s;
ny
cos a — ch za 1 / ax \
Л,гй.(а) =----------------— — —“ 4- 1 a sin a;
фАЛ vA'^A-Al) 4 \a-.	)
A^, (a) = (ch za — cos a) = —y 40jS (a);
A^gfo.) =   (sh za—и sin a);
для определения угла $(«) по формуле (9.14)
Лдо (Я) = ^AL (COS я __ J);
* «2
Ayp(®) =	(1 — cos a);
•^2
4uv(a) =-^ (sin a—a);
«г
44.L(a) = --- ^AAL sin a;
°-z
£i2!
A (a) = — (cos a—1) == —	(a);
ФА	л_	’ г
для определения радиального прогиба л(д?) по фор-
муле (9.15)
Ды sin a—a cost;
л /«) —	„-----------
^AQ ""
a cos a — sin a
----------------= _ Лвд (a);
au /	a sin
ЛАдг (ai=-	1 — cos a -- —7—-
«2 \	Ду
Лед (a)
sin a	shza
x2 и
aj a sin a
9.!. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ
__________ 521
(а)= ~
Lt
(а)=^ .
для определения
формуле (9.16)
(а) =	
AbQ (а) =
0(1 — cos а.) = -
2
sin а — а cos а
2
вертикального
a cos а — sin а
2
1	/ ах Зх* -р 5\
2	\ аг ~т~ * /
' А(« (а);
= - Ар
прогиба б (а) по
А<р (а);
'п а —
1 / ах	\
Дад (а.) = — — + 1 а sin а;
2 \ az	]
1 /о,	\	1 / а.	\
(а) — — — — 1 sin а — — —— ж 1 ct cos а;
2 \ а2	/	2 \ аг	/
A, ~-ia') = Л|Л (а) = 0;
для определения угла ф(а) по формуле (9.13)
1 / а, \	sb ха. и'- + I
-- — —	1 а .Cos а 4- —---------,— —-------- о
2 \аг /	'• (к’ + С
пг„ / а sin а 7
А&ы с« а	’ j = - леы ®;
а, \	2	/
Л6Л (а) = -----
хЛ + 2
и2 -у 1
cos а —
1
2
a.r \	ch ия
Аьн ® (cos а — I) = — А6н (а);
а2
1 / ах \	xsina—shxa
Аък w = V U +1 (а cos a~sin а) +®®ааат~:
4 \ а2 /	л Vх* “Г м
sh ха. — и sin а
А .== (а) =  --р----;
ел	и3
ch ха — 1
Аьв (а) = ----у---+ cos а — 1;
для определения тангенциального перемещения g(a)
по формуле (9.17)
аи ! a sin а \
,4-Л ia) = --2- cos а 4- —-— — 1 = —	(а);
^2 \	/
ахи !	а sin а\
AiQ (а) = —- 1 — cos а — —-— = 4f) v (а);
fc а, \	1 2
а}. / 3	а cos а
д. (а) — — | — sin а —-----------------------— а
;jV аЛ 2	2
а^, а cos а — sin а
hi. = фр ---------------,--------= axq («»
U2
„	аи
AU1	~~ (sin а а)
ayt> ! а sin а \
Лах (а) = —=- cos а 4- -—— — П = — Дгл/ (а).
я2 \	-
Для массивных стержней (см. стр. 526) функции
влияния, не зависящие ог х, остаются неизменными. Ос-
тальные функции (при я -> 0) имеют вид:
для определения угла 0(a) по формуле (9.12)
для определения вертикального прогиба б(а) по
формуле (9,16)
1 / ar \	1 / ах \
А60 (а) — '—	ж 3 sm а — — — -J- 1 а cos а,—а;
4	2 \ йг /	2 \ аг /
1 / а,(	\
A^i (а) — 1 — cos а — — у- 1 а sin а=—А.,о (а);
2 \ аг	J	w
,	l/fli	\
Лад (а) = — ж 1 (а cos а—sin а);
2 \ог	}
Л,= (а) = /ф га)=0.
61\ ' ' ьв '
С целью упрощения вычислений при ручном счете
значения некоторых комбинаций тригонометрических
функций, входящих в выражения коэффициентов влия-
ния .4(a), приведены в табл. 9.1.
Грузовые члены. Последние слагаемые формул
(9.3) — (9.17), заключенные в квадратные скобки:
[Л'(а)], [(?(«)], [В(а)], — величины усилий и пере-
мещений, которые зависят только от нагрузок, дейст-
вующих на стержень на рассматриваемом участке, и не
зависят от начальных параметров. Развертывание этих
членов в формулах (9.3)-—(9.17) производится по пра-
вилам метода начальных параметров (см. [18, 25]). Ка-
ждая нагрузка, приложенная в сечении а*, умножается
на функцию влияния соответствующего начального па-
раметра, в которой угол а заменяется на а—«j. Полу-
ченные выражения суммируются. В случае распределен-
ной нагрузки суммирование заменяется интегрировани-
ем по длине участка, к которому приложена распреде-
ленная нагрузка.
Для примера приведем развернутое выражение гру-
зового члена формулы (9.8)3 определяющей полный кру-
тящий момент:
[К [а)] = S Мг1 cos (а—а.) + г S Pyi [1—cos (а—
а
— S	sin la—a;) -4- т f шг (p)tos (a— fi) dp-[-
Л.	jl
и
+ Гг [ Рц (й [3—COS (а—й] ФР —
1 \ ах	\	I { ах	\ .
А> й (а) = ~ ~ + 1 а cos ® — ЖД — + 1 Sin а;
2 \а,	/	2 \а,	j
— г j Жд (а—
(9.18)
522
РАЗДЕЛ Я. КРУГОВЫЕ. СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
	Всйймогагёльнйе ф|нкИии для расчета стержней с									Таблица 9,1 осью, очерченной по ду1е Круга				
а, град	О	ав 2	a sin а	а саз а	в а Т : в	t о гм 1 О	sin2 а 2	(а—sin a)v 2	а	sin 2 а 2	4	slna(l—cosa)	sina(a— sina)	sina—acosa. 2	(»UJS—»)»S03	1 „ Й a сл Й 1 If
0	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0₽0000	| О дОООО	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,00®	0,0000	0,0000
10	0,1745	0*0152	0*0303	0,1719	0,0009	| 0,0001	0*0151	0*0000	0,0018	0*0026	0,0002	0,0009	0.0009	—0,0151
20	0,3491	0,0609	6,1194	0,3280	0.0070	0*0018	0*0585	0,0000	0,0138	0,0206	0,0024	0.0070	0,0066	—0,0591 :
30	0,5236	0,1371	0,2618	0.4534	0,0236	0Я0090	0*1250	0,0003	0*0453	0.0670	0,0118	0e0233	0.0204	—0,1278
40	0.6981	0,2437	0,4488	0,5348	0,0553	0Э0234	0*2066	0,0015	0,1029	0,1504	0,0356	0,0540	0,0419	—0,2148
50	0,8727	0.3808	0,6685	0Я5609	0,1066	0в0638	0*2934	0*0057	0,1901	0,2736	0,0817	0,1026	0’0685	—0,3113
60	1,0472	0,5483	0,9069	0*5236	0,1812	0,12®	0*3750	0,0164	0Р3071	0,4330	0,1569	0,1712	o.raos	—0,4069
70	1.2217	0.7463	1,1480	0,4179	0,2826	0,2165	0,4415	0.0399	0,4502	0,6183	0,26®	0,2609	0,0967	—0,4961 
80	1,3963	0,9748	1,3750	0,2425	0,4114	0,3414	0,4849	0,0846	0,6126	0.8138	0,4052	0,3712	0,0714	—0,5387
90	1,5708	1,2337	1,5708	0й00(Ю	0,5708	0,5000	0э5000	0.1629	0,7854	1,айо	0,5708	0,5000	0,0000	—0,5708
' 100	1,7453	1,5231	1*7188	—0,3031	0?7605	0в6887	0,4849	0.2892	0,9582	1.1558	0,7490	0,6434	—0,1321	-0,5452
по	1,9199	1,8429	1,8429	—0,6566	0,9802	0*9005	0,4415	0,4804	1,1206	1,2611	0,9211	0,7982	—0,3352	—0,5009
120	2,0944	2,1933	1,8138	—1,0472	1,2284	1,1250	0,3750	0.7544	1,2637	1,2990	1,0638	0,9566	—0,6142	—19,3138
130	2,2689	2,5740	1,7381	—1,4584	1,5029	1,3494	0,2934	1,1293	1,3807	1,2584	1,1513	1,1122	—0,9660	—0.0953
140	2,4435	2’9852	1,5706	—1,8718	1,8007	1,5594	0.2066	1,6212	1,4679	1,1352	1,1574	l02573	—1,3794	0,1954
1S6	2,6180	3,4178	1,3090	—2,2673	2,1180	1,7410	0,1250	2,2429	1,5255	0,9330 j	1,0590	1,3836	—1,8342	0,5570
160 ;	2,7925	3.8991	0,9551	—2,6241	2,4505	1,3811	0,0585	3,0025	1,5570	0,6634	0,8381	1,4831	—2,3027	0,9846
170	2,9671	4,4017	0,5152	-.2*9220	2*7934	1,9697	0,0151	3*9016	1,5690	0.3447	0,4851	1.5478	—2,7510	1,4696
180	3.1416	4,9348	оДюо	—3,1416	3,1416 ’	2’0000	0,6000	4,9348	1,5708	0.0000 I	0,0000	1,5703	—3,1416	2,0000
190	3.3161	5,4983	—0,5758	--З.Й58	3,Й9Й	1,эёэ7	0,0151	6,0893	1,5726	—0.3447	—0,60®	1,0461	—3,4368	235606
200	3,4907	6*0924	—1,1939	—3,2801	3,8327 i	1,8812	0,0585	7,3447	1,5846	—0,6634	—1.3108	1.4691	—3,6015	3,1336
210 .	3,6652	6*7168	—1е8326 •	—301742	4,1652	1,7410	0,1250	3,6744	1*6161	—0.9330 |	—2.0826	1,3371	—3,6072	3.G986
320	3,8397	7.3717	—2,4681	^2,9414	4,4825	1,5594	0,2066	10,046	1,6737	—1.1352	—2,8813	1,1493	—3,4338	4.2342
230	4,0143	8,0571	—3,0751	—2,5803	4.7803	ls3494	0,2934	11,426	1,7609	—1,2584	—3,6619	0.9072	—3,0727	4,7179
240	4,1890	8,7730	—3S6276	—2,0944	5,0548	1,12®	0,3750	12,776	1,8779	—1,299ft j	—4,3776	0,6142 |	—2,5274	5.1276
2»	:Жзбзз	9.5193	—4,1002	-1,4923	5,3030	0*9005	0,4415	14,061	2,0210 |	—1.2611 j	—4,9832	0.2763	—1,8137	5,4422 |
9,1. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ
523
Продолжение табл. 9.1
а Г-o’ 8	а, рад	а® 2	а sin а	а cos а	a—sin а	?r(®SO3—т)	al S г 1	1 (а—sin а)~ 1		оу _ si n 2а 1 2	4	8 © I I гл	§1п«(оц- siria)	yTsina—ас osa	еч	: соза(а—sins)	1—e os а— —a sin а
260	4,5379	10,296	—4,4689	—0,7880	5,5227	0,6887	0,4849	15.250		2,1834	—1,1558	—5,4388	—0	0984	—0,9590	5,6426
270	4,7124	11,103	—4,7124	0F0000	5,7124	0,5000	O75OOO	16,316		2,3562	—1,0000	—5,7124		5000	0,0000	5,7124
280	4,8869	11,941	—4,8127	0,8486	5,8717	0,3414	0,4849	17,239		2,5290	—0,8138	—5,7825	—0,9167		1,0196	5,6390
290	5,0615	12,809	—4,7562	3,7311	6,0012	0,2165	0,4415	18,007		2,6914	—Й.6183	—5,6392	—1	3354	2,0525	5,4142
300	5,2360	13,708	—4,5345	2,6180	6,1020	0,1250	0,3750	18,617		2,8345	—0,4330	—5,2845	— 1	7420	3,0510	5,0345
310	5,4105	14,637	--4,1447	3,4778	6,1766	0,0638	0,2934	19,075		2,9515	—0,2736	—4,7315	—2,1219		3,9702	4,5019
320	6,5851	15,596	—3,5900	4,2784	6,22бё	0,0274	0,2066	19,337		3,ФЙ7	—0,1504	—4,0026	2,	4606	4,7700	3,8240
330	5,7596	16,586	—2,8798	4,9880	6,2596	0,0)90	0,1250	19,591		3,0963	-0,0670	—3,1298	—2S	7440	5,4210	391038
3®	5,9341	17,607	—2,0296	5,5762	6,2761	0,0018	0,0585	19,695		3,1278	—0,0206	—2,1466	—2,	9590	5,8976	2,0899
350	6,1087	18,658	—1,0608	6,0159	6,2823	0,0001	0,0151	19,734		3,1398	—0,0026	—1,6909	—3,0948		6Д869	1,0760
360	6,2832	19,739	0,0000	6,2832	6,2832	0,0000	0,0000	19,739		3,1416	030000	0,0000	—3,1416		6,2832	0,0000
При составлении выражений для грузовых членов
в формулах (9.9) — (9.17) функцию влияния сосредото-
ченного крутящего момента Лф;, приложенного в сече-
нии а.1, а также функцию влияния распределенной кру-
тящей нагрузки, необходимо брать равной сумме функ-
ций влияния начальных параметров Ко и Ко. Например,
грузовой член в формуле (9.11) имеет вид:
[В (а)] = 2 В; ch и (сх — схф ф
ф2>й
г
Xs + 1
[sin (а—ау)фх sh и (а—схф] —
“Тщффф 2 Р»1 sin — sh х <а ~	+
Л ( Л -Ч-’ 1 J
Ф	S Ды И5 (ot—ey — Ch к (а—а.^ ] ф-
а
+ г J b (Р) ch и (а—Р) dfi Н-
G
Ф р-~~~ 1 тг (|3) [sin (а--,В) ф- х sh к (а—р)[ < —
X" -р- 1 J
о
Я
к(и2 + 1)
к
j Ру (Р) [к sin (К~Р) — sh х (ez-—Р)] вр ф-
О
а
‘4~	' j	(W Iе03 х	(9Л9)
Х“ ] J
О
Грузовой член для вычисления вертикального проги-
ба в формуле (9.16) представляется как
[б (а)] = raz {г S Рх. АД |сХ—сф) ф г S PyiA6Q (а—а.)ф
Ф- г У, ?г/Лбф (сх—оф) Ф S Mxi A6l (а~ а.) ф-
+ 2 Л%Убн(а-а;)+2'Мщ[лбл-(«--сф)--лвф(«--а()] +
, .............“...........
Ф 2 В. —Л6в(а—Ф.)ф-Ф j рх (3) Ййя (сх—р) фф
г	о
Ф г" J Ру (Й A6q Ш-₽) Л5 ф И J р£ (Й ЛД (а-Й ф Ф-
о	6
Ф г f тх (Р) АЛ (а—Р) зр ф 4 ф) А&н (а—Й фф
о	о
ф г (Р) [ЛвЛ- (а — Р) ф (сх — P)j dp ф-
6
Ф [ЙР) Лйв(а-ЫР}. (9.20)
6
Остальные грузовые члены образуются по аналогии.
Граничные условия. Начальные параметры опреде-
ляются из условий закрепления балки. На свободном
конце балки R~Q~N^L^H==K==B==Q. Наличие
шарнирной опоры ведет к обращению в нуль соответ-
ствующего , линейного перемещения: при радиальной
опоре 2=0, при вертикальной опоре 6 = 0. На непод-
524
РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
вижной (нескользящей) опоре, кроме того, тангенциаль-
ное перемещение |=0.
Для абсолютно жесткого защемления, препятствую-
щего депланации торца стержня, обращаются в нуль
все перемещения (линейные и угловые), а момент стес-
ненного кручения равен полному крутящему моменту:
Л'==К. Если защемление не препятствует депланации
торца, бимомент B — Q,
Случай совпадения одной из главных осей инерции
с плоскостью кривизны стержня. Главные оси хг, ip
совпадают с основными осями х и. Угол у=0 (см.
рис. 9.1); [х~1хт,	= fx,j — O. Приведенные подат-
ливости на основании формул (9.1)
равны:
Fl , Яс/ А/
С- 1 ХГ	---1 Щ
axv = 0;
(9,21)
Формулы (9,3) — (9.17)
все члены, содержащие
изогнута в
полок
радиуса
см. Центральный
И) = 60°. Правый
консоли жестко
иа-
по
плос-
дугс
г =
°2 Gh(^p-l)
сильно упрощаются, так как
множитель обращаются
в нуль.
Пример 9.1, Консоль
из прокатного двутавва
№ 20
кости
круга
= 100
угол
конец
защемлен, а левый
гружен вертикальной си-
лой РВг = Л Опреде-
лить допустимую вели-
чину силы по допускаемому напряжению [о] = 1600
кГ/см? и вычислить прогиб свободного конца стержня.
Влияние собственного веса не учитывать (рис. 9,4).
По сортаменту прокатных балок ГОСТ 8239—56 на-
ходим:	= 104 CMS; /f=1810 елг4; /„=6,73 слЛ Й’ф =
= 181 щи3; IF,„=212,4 смр £ = 2,Ы08 иГ/слВ; G==
=0,8-И5 кПсмР
По формулам (9.21) вычисляем a, = 2,6-KW;
яг= 1,34-10~5. Изгибно-крутильная характеристика бру-
са х=1,6; ор = 1,6 л/3= 1,68.
Выбрав начало отсчета угла а, в заделке О<„ имеем
следующие величины иачальных_параметров: Qo~ —Р;
La = —Pr sin 60° = —86,6 Р;	(1—cos 60°) =
—-50Р. Последний начальный параметр Вп находим
нз условия, что бимомент на свободном конце (при
a = n.i=60°) равен нулю. По фврмуле (9.11) имеем:
,,, 100
В (60°) = Во ch 1,68	— sh 1 ,68 +
1,6
100 (1 ,6 sin 60’— sb 1,68)
+ Я"- ------- --------------
1,6-3,56
1,6 sin 60° — sh 1,68
— Q1003 —’---------щд-----’—
cos 60° — ch 1 ,68
+ /,оЮО--------—у---------= 0,
3,56
откуда Во = 134ОР кПмР.
Допустимую нагрузку Р определяем из условия
прочности бруса в заделке (по нормальным напряже-
ниям );
86.60
ЛзГ
134ОР
------- С 1600;
212,4
к X ГЗ
Р 0236 кс. Выберем для дальнейших расчетов Р—
= 200 кг.
Поскольку з начальном сечении все перемещения
равны нулю, уравнение (9.16), определяющее вертикаль-
ный прогиб, для левого конца бруса примет следующий
вид:
6.(60°) = 100-1,34-10-? _ 200.100.46q (60°) +
1340-200
00-	(60°) - 86,6-200Дг1 (60°)-
1 vU
- 50-200 А6;. (60°)+Лб1 (60°))j ,
функции влияния: Лйд =0; Л =0;
= 0,2, находим прогиб
Вычг?сллп
А.к =-0,25; Л у =0,29; ЛоБ
левого конца бруса 6=0,18 см.
Если прогиб вычислять по формулам для стержней
массивного сечения, то получится величина 6=1,34 см,
что больше примерно
т а та м экспер и мента,
ходимо рассчитывать
чения. Пример расчета стержня с учетом собственного
веса см. [16, стр. 533].
в 7 раз н не соответствует резуль-
Поэтому прокатные балки необ-
с учетом влияния стесненного кру-
Монорельс на трех и на четырех равноотстоящих опорах
Реакции опор монорельса, подвешенного на трех тя-
гах (рис. 9.5) и нагруженного силой Р посередине одно-
го
из пролетов, вычисляются по формулам [16|:
3
sin— ф
4 •
ф
2 sin ф cos —
4
А ~
'/е =
V. =
о  Ф
2 sin —
2
ф
tgv
3
sin — ф
4
. Ф
sin —
4
2 sin ф
р = — сгр;
(9,22)
9,1. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ
525
Наибольший изгибающий момент (в сечении под си-
лон Р) равен:
/ 'Ф \
= Ai/yj
-------------,р==(? Р. (9.23)
, * '
4 cos — cos--
4	2
Значения коэффициентов Cj, С2, С3, С4 даны
в табл. 9.2.
Таблица 9.2
Пример 9.2, Определить реакции опор и вычислить
наибольшие нормальные напряжения в монорельсе ра-
диуса г — 200 см на трех подвесках, нагруженном со-
средоточенной силой Р=500 кГ, приложенной посере-
дине пролета и направленной сверху вниз. Центральный
угол между смежными опорами ф=90“. Сечение моно-
рельса— двутавр: /к — 11,4	/,,=1660 смР, /ш =
= 8220 см2; Wx —185 ст3;; ‘Йфв =210 смР. Модули уп-
ругости материала: £ = 2,1-10® кГ/смг; G — 0,8Х
Х106к/7«Л
По табл,
реакции опор
Коэффициенты для определения усилий
в двухпролетном монорельсе
град	£1	с.		
10	0,3760	0,7500	0,1260	0я0328
20	0,3799	0,7479	0,1278	0,0660
30	0,3860	0,7455	0Д315	0,0999
40	0,3949	0,7423	0,1372	1 0,1361
50	0,4070	0,7378	0,1448	0,1720
00	0,4227	0,7320	0,1547	0,2114
70	0,4426	0,7252	0,1678	0,2539
80	0,4680	0,7168	0,1848	0,3008
90	0,5000	0,7071	0,2971	0,3536
100	0,5411	0,6956	0,2367	0,4145
ио	0,5947	0,6823	0,2770	0,4873
120	0,6667	0,6667	0,3334	(1,5774
130	0,7673	0,6485	0,4158	0,6954
140	0,9172	0,6274	0,5446	0,8619
160	1,1645	0,6028	0,7673	1,1248
9.2 находим коэффициенты и вычисляем
и изгибающий момент:
V Л = -0,5-500=— 250 к Г;
V в = — 0,707-500 = — 354 кГ;
Vc = 0,207-500 = 104 кГ;
Л4маке = 0,354 • 200-500 = 35 400 ;сГ  с.«;
л =
0,8-103-1 i ,4
-	,,,	=4,6;
|	2,1-10®-8220
sh 2хф = sh 14,4 = 1,87- 10s:
3
sh — хф = sh 10,8 = 50 500;
2
sh иф == sh 7,22 = 684;
По формулам (9.24) и
500-200
ф
sh х — — sh 3,6i = 18,5.
2
(9 25)
Момент стесненного кручения над опорой А
Рг_______
(х3 + 1) sh 2ф
3	3
sh ~ хф — и sin — ф —
— Cj (sh 2хф — х sin 2ф) — С« (sh хф — х sin ф) . (9.24)
Наибольший бимомент (в сечении под силой Р)
(9.25)
Ка
[50 500- 4,6.0,707-
(4,62 + 1) 1,87-10® 1
— 0,5(1,87-10» — 4,6-0) —
— 0,707 (684— 4,6-1)] = 2125 «£•«;;
200
Ааакс — g 2125-18,5 —
500-2002
0,5(18,5— 4,6-0,707) = 213 000 кГ-смК
4,о“	4,6
Наибольший бимомепт действует в сечении под си-
лой Р, там же, где достигает максимума изгибающий
момент. Наибольшее напряжение
35 400	213 000
<т	- -б-----— = 1200 кГ 1с
"а '	185	211
действует во внутренних волокнах стержня: растяги-
вающее— в нижней полке, сжимающее — в верхней.
Для трехпролетного монорельса (рис. 9 6) опасное
положение силы посередине среднего пролета. Макси-
мальные нормальные напряжения возникают в сечении
под силой, максимальные
промежуточной опорой:
реакции опор [16]
касательные
в сечении над
V^V

2

ГЦР
2
(9.26)
максимальный изгибающий момент
/макс. = L (Зф) =	;
(9.27)
м акси м а л ьн ы й би м о м епт
526
РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
РВ
вмакс = В (Зф) = w (Ws + 1} feh (sh Зиф —
— £>зИсЬЗиф—• £>2 sh 2иф);	(9.28)
макси®альный моМёй сйбводпрг© кфуйения (в сече-
ниях 2 й 2' у средййх опор)
—	— Рг
Кж = К (2ф) = х
ch 2иф — р
3 ей хф ch 2кф Въ ch Зиф \
(и2 + 1) ch Зиф	j  Р- —')
Значения коэффициентов В приведены в табл. 9.3.
Если монорельс на закруглении имеет только один
или два кривойинёйнйх пролета, то прямолинейный
пролет, примыкающий к закруглению, можно условно
Таблица 9,3
Коэффициенты для определения усилий
в трехпролетном монорельсе
град		А	Ds		
5	0,1254	1Д254	и,0660	0,0019	0,1235
W	0,1279	1,1279	о,131з	0,0077	0,1202
15	У,1317	1,1317	0,1'998	0,0176	0,1140
2 U	0*1371	1,1371	0,2702	0,0321	0,1050
	0,1447	1Д44-7	.0,3439	0*0517	0,0930
3U	0,1547	1,1547	0,4225	0,0774	0*0774
35	0,1677	Ц1677	0,5078	о,1104	0,0574
	0ДЖ	ЪШЗ	0,6016	0,1527	0,0321
45	0,2071	1Д071	0,7071	0,2071	0,0000
50	0,2367	1,2367	0,8290	0,2778	—0,0411
55	0,2770	1,2770	0Д744	0,3717	—0,0947
60	одззз	1,3333	1,1547	0,5000	—0,1667
считать недостающим кривблинейним участком. При
числе пролетов больше трех рассчитываются три сред-
них пролета по формулам (9.26) — (9.28). Влияние ос-
тальных пролетов не учитывается (в запас прочности
и жесткости). Графики для подбора монорельсов на
четырех равноотстоящих опорах можно найти в
[8 и 16].
Стержень с исчезающе малой жесткостью свободно-
го кручения. Кривой стержень открытого профиля
6 таМи стёйкаМй имеет ЬЧёнь маленькую жесткость
свободного кручения, Внешний Крутящий йомейт вос-
принимается только поперечными усилиями и создает
напряжения стесненного' кручения [18, 25].
Изгибно-крутнльная характеристика такого стержня
близка к нулю. При расчете следует пользоваться фор-
мулами (9.3)—'(9.17), пЬлйгая при вычислении коэф-
фициентов влияния и=0) shx&4=0; сЬйй=1. Момент
свободного кручения К=0; Ж=К. Легко убедиться, что
при и Й формулы (9.8) и (9.1 6) совпадают.
Стержень массивного поперечного сечения
Стержень с очень толстыми стенками или со сплош-
ным поперечным сечением депланирует при кручении
очень слабо, так что стеснение депланации, всегда име-
ющее место в кривом стержне, оказывается незначи-
тельным. Напряжения стесненного кручения близки
к нулю, а следовательно, Д'=0 и В — 0. Внешний крутя-
щий" момент целиком воспринимается напряжениями
свободного кручения: К—К.
При пользовании формулами (9.3) —(9.17) необходи-
мо, вычисляя коэффициенты влияния, опустить все чле-
ны, содержащие sh v,a и ch ха, а в остальных членах
произвести предельный переход при и — оо. При этом
формулы (9.9) и (9.10) теряют смысл, а формула
(9.9) совпадает с формулой (9.8).
Написание формул (9.12) — (9.17) внешне не изме-
нится, однако, как это следует из формулы (9.2),
при х-* «о
й __ —
G/K
(9.30)
Функции влияния для массивных брусьев приведены
па стр. 521.
Грузовые члены развертываются аналогично случаю
тонкостенного стержня (см. стр. 521). Начальные пара-
метры находятся из условия закрепления стержня.
Частные случаи. В табл. 9.4 приведены значения уси-
лий и перемещений стержня, закрепленного одним кон-
цом и нагружённого единичными силами и моментами.
Главная ось инерции не лежит в плоскости кривизны
стержня. Величины усилий даны в функций текущего
угла а. Величины перемещений вычислены для свобод-
ного конца стержня. Они могут быть использованы
в качестве коэффициентов канонических уравнений бы.
при расчете статически неопределимых стержней, С этой
целью единичные нагрузки обозначены 76, ..., Xs в соот-
ветствии с общепринятыми обозначениями неизвестных
при решении статически неопределимых задач методом
сил. Для упрощения вычислений значения некоторых
функций приведены в табл. 9.1.
В табл. 9.5 приведены значения усилий и перемеще-
ний консольного стержня, нагруженного разномерно
9.1. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ

Таблица 9,4
Усилия и пёрёйёш,ения стержня массивного сечения от действия сосредоточенных
%
нагрузок п =—; ах, av, axlJ вычисляются по формулам (9.1); аг —по форйуле (9.30)
аг
Схема нагружения
Перемещения свободного конца стержня	Усилия в текущем сечении стержня
Радиальная сила R№}	cos а	1 0	j	siir а
Вертикальная	си- ла Q(a)	0	1	0
Продольная	сила N (а)	— sin а	!	0	cos а
Изгибающий момент L (а)	0	—- г sin а	0
Изгибающий момент И (а)	г sin а	0	г (1 — cos а)
Крутящий	момент К (а )	0	г (1 — cos OS)	0	i
Радиальный прогиб X (V)	с	л / ?	sin 2ад \ 6и = г3а ( -±.	1 У 1 2	4 J	,,	,	/ sin 2?	? \ 	2)	г ^-г--а I1	j и и	•>,	j
Вертикальный прогиб 3 (?)	Л	,	/ sin 2у	у \ ~ г аху ( ч	., J	/ п 4- в 0	Г" а 4 • —		 у -4— 2>е	2	2 4- £____2_ sin 2?	2 sin ?\ 4	)	,	_	(l — cosy)2	i °S3	'r axy — 2	|
Продольное переме- щение ё (?)	р	„	(1 — cos ?)~ й31-г'ау	,	,	„	(1 — СОЗ у)2 Л =z г’ а -	—.—.—'   3s	иху	2	633 =xaa [~-y + \ 2	5 , sin 2?	о . о \ -4~ ————— —- 2sin 2ад j	| 4 )
Угол поворота Ф (?)	R	sin- ? о~ га 	 412	%У	ы	S4s гаг ('cos 7 Т , 1 — п	\ ~зЩ*	} I	°43 = гДу [Sin V - 		
Угол поворота "ф (?)	Ъ — га (1 — cos у) 	6se = raXy <cos 7 “ И	6sa = rav (y - sin 7)
Угол закручивания 0 1у)	„	/ ? sin 2? \ « ~	(у 4 )	®ea = raz ^3in У + ___ 1	.	п -4- 1	\ _1_  	S3n 2?—  		 ад | 4	2	)	,	(1 — cos v)a 5«3 ~ raxy	2
528
РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
Продолжение табл.
Определяемые всличины		Схсйы яагружйЖ!		
		К / !	4’/ у Он;	'B Ь	Лк \ / /	'
Усилия в текущем сеченшг стержня	। 1	Радиальная сила &(с0	। 0	[ ()		0
	Вертикальная	са- ла Q('X.)	0	0	0
	Продольная	сила jV (а)	0	(	f)
	Изгибающий момент L (а)	cos а	1 с	sin a
	Изгибающий момент Н (а)	1’	i	
	Крутящий	момент К (а ।	|	— sin а	р	COS (X
।	Перемещения сзободяого койща стержня	Радиальный прогиб А (у)	„	sin'2 у flU = 'axU 			— га (1 — cos у)	A — r--,	/ У	Sjn 2V 1 \ 2	4	/
	Вертикальный прогиб 6 (у)	Ь» =- гаг (cos т п — 1	,, 			 д3HJ у — 1)	е23 = raxg <cOS V - 1)	ЙМ == raz (sln у + ,4 — 1	. n n 4- 1	4 „j_ ~gin 2^5— -™-—j
	Продольное переме- щение (у)	в34	(Sin V- _ 5-in 2у \ 4 J	a35 = ra (v —slnv)	(1 — cos ур	1 °3G r°'X.y	,,
	Угол поворота Ф (у)	/И К' 1 0^ — О у | —		  у	-f-	; П — 1	.	\	: Ч	— sin 2у 1 4	)	'	SJ5 «= aX!~ sin у	rz — 1 °46 ~ ° г ~—]	 S ЗГ У
	Угол поворота тр (у)	854=Д(,а'г1Т	j	~ a,, у 5a	!j *	|	a * (1 — cos	1 aS	Xy	|
	Угол закручивания е tv)	dgi, аг —"™ s*n2	;	-es =” axy (1 cos	M4-i	1 8S az |	2 V ””	1 П —'	. n \ — 			 sin >y 1 4	)
S.1, КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ
Таблица 9,5
Усилия и перемещения стержня массивного сечения от действия равномерно распределенных нагрузок
>г= — ; ах, ciy, аХу вычисляются по формулам (9,1); аг— по формуле (9.30)
аг
i	Определяемые i	величины		Схем а । т а гружения					
		'J X с	р • cons t \ \ Й / X®	Й 1	jsC	/ j •‘C ot / e	рг Z\ /		
ерЖН5! !	Радиальная сила	г sin ос		n	|	Pz r (1 — cos a)		
о	В е Р т и к а л ь и а я	си- ла Q inc)	1 0		1	ppra	1 u		
1 §	Продольная	сила /V (а)	1	— р	r (1 — cos a)	0	|	r sin a		
1	Изгибающий момент /- ((%}	1 °		— Ру Г’1 (1 — COS a)	! 0		
	Изгибающий м о м е и т Н (а)	Р.. 1	X	(1 — cos a)	()	|	рг rs (a — sin a)		
1 V । Уснл 1	Кр ут я щ и й	м о м ент Л (а)			pt/ r3 (a — sin a)	0	j	
	Радиальный прогиб 1 (у)	(1 — cos "?Г		П — cos 7У2	0	/ 3	, sin -V p	j sin 7 -{- ———— —“ г y \	4		
		>'х ’	У 0	py ' “xy	2	V — 7 cos y>				
	Вертикальный прогиб б (7)		(! — co? vf	1 — Pи г*а2\п H — C03 v)13 4"	,	/,s .	sin 2y	3 p rPci	! 2 sin 7 — ~~——“ — xy \	4	2	П 1	
сгерж:		рх г	Z’J	2	4- (7 — sin T>)!]		vj |	
i 9 6	Продольное переме- щение 5 (7)	Рхг3°у (	3	ry i	+	 Sin 2y	P(J r>a Xf/ i " Sm	T""	— sin 27	„ r.a flL +.	? sJn < У j, о	2	vj |	
			-1 /	4 J		1	
S			j	, Г, , . /У , sin 2y	P2 r‘axl/ -- cos y+ , sin37	,	\ _i	——_ — sin 7		
ре мощен ия	Угол поворота Ф (7)	рх ^аху	/si n "7 _ ? \ I 4	2 J	— sin	cos 7 (7 — sin 7) j			
			!				
	Угол поворотаФ(V)	PXr2ay(f— Si»?)	1		P1) r‘axu !sin v — T)	|	P-у гЛак	—r cos 7 — 11 2 y \ 2	)		
	Угол закручивания 0 (V)	Pxr	Siirr1 У T~	p r-'a[ sin у (у — sin 7) —	| y * L n 1	1	1 — —(1 — cos vyj	pz ’J‘axy{p~~~ sin + -К V cos 7	?'n 'l 4 ;		
34—1303
530
РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
Продолжение табл.
Схема нагружения
Перемещения свободного конца стержня	| Усилия в текущем селении стеижня
Радиальная сила R(a)	0^0
'Вертикальная ла Q(a)	си- ।	0	|	0	j	0
^Продольная N (U)	сила ।	0 ।	0	1 °
изгибающий "L (а)	момент ।	тх т sin а	।	0	|	m2 г (1 — cos а)
/Изгибающий И W	момент ।	0 ।	mLJ га	1 0
Крутящий	момент 'К (а)	Г (1 — СОЗ Сб)	0	|	mz г sin а
Радиальный прогиб % (?)	2 /JL - 5 ’° '2У \ mxr axy	"	4 J	mu r‘ay *s!n"} ~ v cos	2	(1 — cos v)2 r °xy ———
, Вертикальный прогиб	, Г« --- 1 /sin 2y	\ mx raz —J™ 1	' — vj 4- + 2 (sin 7 — 7) j	mu r'axy ~ s,’n ? — v cos V)	,	(1 — n) (I — cos ?) = m r3a ~		—	 г г	2
^Продольное переме- щение 6 (?)	m r.a Л	Ay	2	j?? r-a /1				 cos у — У у 1	2 — у sin ? j	( 3 m r^a | - у — 2 sin v — z xy i 2 1	Y sin 2y \ 4 J
Угол поворотаф (V)	pi -}“ 1	, „ mx raz — cos ? (1 — cos ?)"j	my raxy e ~~cos v — sin	га н (sin ?	— г L \	2 sin 2? \ t sin 2?	у 1 4 J	4	2 J
Угол поворота ф (?)	mx raxy (! — cos V)	rVdy~7	j	m, ™«г; (V — Ein V)
Угол закручивания ! t) (?)	Гn	1 /	sin 2y \ raz —о— 7	7~~ ™ — sin ? (1 — cos ? j]	rarn cvcos ? — sin v) i b ЛУ	•	Г n ,л	. sin~ V 1  mz raz I^T 1 ~ Cos ”i’J" 		— J
9.1. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ
531
распределенными силами и моментами, как это показа-
но на схемах таблицы. Величины перемещений конца
стержня могут быть использованы в качестве свободных
членов канонических уравнений при расчете статически
неопределимых стержней.
Этой же табл. 9.5 йЬжно пользоваться для расчета
стержней, частично нагруженных равномерно распреде-
ленными силами и моментами на участке с централь-
ным углом уав (рис. 9.7, а). Искомые величины наХб-
Рис. 9.7
дятся суммй-рованией соответствующих усилий и пере-
мещений от действия сплошной нагрузки р на дуге с уг-
лом у и от нагрузки—р на дуге с углом у вс- В пос-
леднем случае по табл. 9.Р вычисляют перемещения
точки В, а затем находят перемещения свободного кон-
ца (точки Д):
= кв cos уАВ — sin уАВ + г sin yAS;
= £g cos уАВ + кв sin удв +
4- г (1 -- cos );
= Фв ;
8Л = Sg - г sin улв + 0В г (1 - cos ?лд);
Фд ~ Тв cos Tab s’n Tab »
= cos Tab + Ч’в ®’н Tab •
(9.31)
Табл. 9.4 й 9.5 можно также использовать для расче-
та тонкостенного стержня при нагрузке в плоскости его
кривизны, Т е. при отсутствйи стесненного кручения.
Пример 9,3. Вычислить наибольшие напряжения
в заделке и перемещения конца А криволинейной кон-
соли АС радиусом г=300 см, имеющей горизонтальный
отросток BD длиной 200 см. Участок АВ койсоли и от-
росток BD нагружены равномерно распределенной на-
ip)
Рис, 9.8
грузкой р=5 кГ/см (рис. 9.8, а.). Консоль выполнена из
прокатного двутавра № 30; £ = 2,1-10s кАТсмА
По сортаменту двутавровых балок (ГОСТ 8239—56):
Г = 46,5 щи2; /и = 7080 смР, «4=472 сж3; £/а =
= 1,49-1010.
Равнодействующ,ая нагрузки на участке BD, прило-
женная в его середине, 5=200 р= 1000 кГ. Перенеся
силу S в точку В и разложив ее на радиальную Рх
и тангенциальную Pz составляющие, Получим с учётом
принятого правила знаков (см. рис. 9.2,a): Рх =
=5 sin 30°=5Й0 кГ; Pz= —5 cos 30°=—866 «Г.
При переносе нагрузки добавится момент Ма =
= 100 S= 10s к:Гем.
Для того чтобы иметь возможность воспользоваться
табл. 9.4 и 9.5, продолжим радиальную нагрузку рх на
участок ВС и приложим к этому участку компенсирую-
щую нагрузку —рх- Окончательная схема нагружения
балки показана на рис. 9.8, б.
Усилия в заделке:
Rc = pr sin 90* — pr sin 30* + Р * cos 30* 4 Рг sin 30* =
= 5•300 — 53000,5 4- 500•0,866 — 866  0,5 = 750 к Г;
Дс = — pr (1 — cos 90°) 4 pr (1 — cos 30®) —-
— Рх sin 30° 4- Рг cos 30° = -5-300.1 4-
4 5.300 • 0,134 — 500 • 0,5 — 866 • 0,866 = — 2300 кГ;
Нс = рМ (1 — cos 90°) —	(1 — cos 30°) 4
4- Рх г sin 30° 4- Рг г (1 — cos 30°) 4 Му =
= 5.9.104-1 — 5-9-104-0,134 4-500-300-0,5 —
— 866-300-0,134 4- IO? = 5,3-10? Kf-cM.
Наибольшие нормальные напряжения (сжимйющйе)
действуют в сечении С во внутренних волокнах
стержня:
_ Nc , Нс 2300
Омаке— р Т	46,5 ~~
5,3-10?
— —= — И 70 кГ/см?.
472	'
Прежде всего вычислим перемещения сечения В от
нагрузок Pz, Pi, Му и —р (действующей иа участке
ВС", для которого точка В является конечной). Сум-
мируя перемещения для соответствующих нагрузок,
приведенные в табл. 9.4 и 9.5 (для у=уас==30°), по-
лучим:
кв= к (30°) = Р 6 (30°) 4- Рх ё13 (30°) +
(1 — cos30°)2
+ лу16 (30°) - рМаи 3—— --------Се = о;О835 с<
f,s = g (30°) = Ps 531 (30°) 4- Рг 8gg (30°) + Му 6as 00’)-
/ 3 л	sift Й(Р\
— рМаи I'— » — — 2 sin 30° 4	1 = 0,0142 см;
s\ 2	6	4 /
Фв = 4 (30°) = Рх а51 (ЗГ) + Рг а53 (300 +
f-^y6S5(30°)->r2a»	—sin30°j = 0,00112 рад.
Зная перемещения сечения В, переходим к сечению
Д с помощью формул (9.31), добавляя перемещения
532
РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
от еще не учтенной нагрузки р, приложенной на всем
протяжении стержня АС(у==у АС ==90°; уАв=60°);
Ал = кв cos 60° — Ев sin 60° + фв г sin 60* +
(1 — cos90°)2
4- pfiau --------------— 1,68 с.«;
lA = gB cos 60° + 4 sin 60° + ’b r 0 ~~ cos 60°) +
/3 re	sin 180° \
4- n+a„ —  —• — 2 sin 90° +-----------------i = 1,22 cm;
u \ 2	2	4 J
= фв + pr'^tiy — sin 90° j = 0,0063 pad.
Ай + AM
Ай
кс = — тгг + Qc b
А.
А<р + А0+
L<j
АО
вс — d ~Lcd‘i’
+5
(9.32)
где
2а г у
сф = -ж— r (к sin V с”1 +’ — cos 7) — П
иК
(9.33)
Статически неопределимые кривые стержни. Кроме
уравнений равновесия стержня для определения реак-
ций следует воспользоваться условиями совместности
деформаций, приравнивая нулю перемещения в направ-
лении лишних связей. В общем случае выражения для
перемещений получаются на основании формул (9.12)—
(9.17).
Относительный угол закручивания в месте разреза
da
Усилия в ключевом сечении тонкостенного стержня,
защемленного двумя концами и нагруженного
перпендикулярно плоскости кривизны (арочная балка,
эркер)
Задача нахождения усилий в ключевом сечении С
стержня, показанного на рис. 9,9, является статически
неопределимой и ее удобно решать методом сил. Раз-
резав стержень по оси симметрии ОС, вычисляем пере-
мещения концов каж-
дой половины стержня
от действия заданной
нагрузки, по формулам
(9.12), (9.13) и (9.16),
полагая <2a,1J = 0, так как
одна из главных осей
инерции сечения счита-
ется лежащей в плоско-
сти кривизны стержня.
Разности соответст-
вующих перемещений по-
ловинок стержня дают
взаимные перемещения
торцов в разрезе: Дф,
ДО и А6.
Для стержня массивного или тонкостенного, нагру-
женного в плоскости его кривизны, готовые коэффици-
енты канонических уравнений берутся из табл. 9.4,
а свободные члены этих уравнений при нагружении
стержня сосредоточенными силами, моментами и равно-
мерно распределенной нагрузкой — из табл. 9.4 и 9.5.
В случае произвольной нагрузки удобно разложить
Значения <Е, d2 и коэффициентов А приведены
в табл. 9,6—9.11 в зависимости от значения угла у
и изгибно-крутильной характеристики х.
В случае симметричной нагрузки Д6 = А9==0, следо-
вательно, Qc и К с обращаются в нуль. При действии
антисимметричной нагрузки Дср = Д4 = 0, поэтому La —
= BC—Q. Произвольную нагрузку, приложенную
к стержню, рекомендуется разлагать на симметричную
и антисимметричную группы. Это позволяет свести весь
расчет к расчету одной половины стержня.
Пример 9 4, Вычислить максимальные нормальные
напряжения в ключевом сечении и опорных сечениях
защемленной круговой арки, несущей симметричную ра-
диальную равномерно распределенную нагрузку р% —
— р=5 кГ/см, как показано на рис. 9.10, а. Арка вы-
полнена из прокатного двутавра № 30; Е — 2,IX
XI 0е кГ/см?.
Разрезав арку в ключевом сечении, получим основ-
ную систему, симметричную относительно вертикально-
го радиуса и симметрично нагруженную. Следователь-
но, в разрезе будут действовать только симметричные
неизвестные А3 и Аф (рис. 9.10,6).
Если рассмотреть левую половину арки, то горизон-
тальное перемещение и угол поворота ф,д сечения А
этой половины являются свободными членами канони-
ческих уравнений. Воспользуемся величинами этих пе-
ремещений, вычисленными в примере 9.3 (см. рис. 9.8)
Азр — Вл = 1,22 см; А5р—фа =0,0063. Вычисляя коэф-
фициенты уравнений по табл. 9.4, получим систему
уравнений:
ее на симметричную и антисимметричную, так как это
упрощает уравнения (см. [10, 25]).
Если стержень нагружен неравномерной нагрузкой,
то при пользовании формулами (9.12) — (9.17) или при
решении задачи по методу сил требуется вычисление
интегралов от различных комбинаций тригонометриче-
ских функций. Наиболее часто встречающиеся интегра-
лы приведены в табл. 9.12.
Усилия в ключевом сечении С вычисляются по фор-
или 0,65-10"-3 Х3 + О,34-1О~”5 Х5 = — 1,22;
мулам:
или О,34-10~'5 А'3 + 0,314 ИО"”7 Х5 = — 0,0063,
0.1. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ
533
Таблица 9.9
Значения cf, (в долях радиуса г)
к
V’	I 1,9 I 2,0	1	3,0	1	4,0 I 5,0	!	6,0	!	7,0	[	8,0 I 8,0	|	10,0
ю	0,0502	0,0512	0,0533	0,0550	0,0577	а 0596	()50616	0,0632	0,0647	0,0663
50	0,0800	0,0830	0,0873	0,0913	0,0960	0,0998	0,1032	0,10®	0,1084	0,1.109
6(1	0,1175	0,1.239	0,1320	0,1394	0,1471	0,1531	0,1585	051627	0,1664	0,1699
70	0,1640	0,1756	0,I894	0,2019	0,2134	Р, 2224	0,2302	0,2364	0,2416	0,2465
80	0,2230	0,2400	0,2595	0,2810	0,2979	0,3108	0,3219	0,3305	0,3380	0,3502
90	0,2872	0,3186	0,3520	0,3802	0,4042	0,4228	0,4382	0,4505	0,4-6-07	0,4699
100	0,3664	0,41.42	0,4634	0,5041	0,5379	0,5642	0,5857	0,6042	0,6174	0,6302
110	0,4580	0,5288	0,5996	0,6576	О.7053	0,7425	0,7730	0 7977	0,8183	0,8364
120	0,5617	0,6636	0,7670	0,8367	0,9138	0,9673	1,0113	1,0474	1,0806	1,1040
1.30	0,6787	0,81.85	0,9578	1,0740	1,1707	1,2542	1,31'36	1,3899	1,4134	1,4535
140	0,8018	0,9870	1,1752	1,3374	1,4760	1,5910	1,6888	1,7720	1,8438	1,9072
150	0,9215	1,1503	1,3914	1,6392	1,8031	1,9711	2,1189	2 2485	2,3599	2,4670
160	1.0187	1,2656	1,5388	I,8046	2,0487	2,2724	2,4806	2,6720	2,8486	3,0131
170	1,060'2	1,2532	1,4760	1,7016	1,9270	2,1460	2,3594	2,5667	2,7682	2,9644
1.80	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,оооп	1,0000
Таблица 9.7
Значения d2 (в долях радиуса г)
V . град	и									
	1И	2,0	3,0	4,0	S.0	6,0	7,0	|	8,0	9,0	10,0
1.0	0,0051	0,0050	0,0049	0,0048	0,0047	0,0045	0,0043	0,0041	0,0039	0,0037
20	0,031.7	0,01.91	0,0179	0,01.64	0,0148	0,0131	0,0117	0,0102	0,0089	0,0079
30	0,0437	0,0392	0,0348	0,0293	0,0244	0.0195	(КО164	0,0135	0,0112	0,0094
40	0,0750	0,0644	0,0516	0,0402	0,0310	0,0238	0,0186	0,0143	0,0119	0,0098
50	0,1122	0,0896	0,0653	0,0479	0,0348	0,0258	0,0195	0,0152	0,0121	0,0099
60	0,1539	0,1.131	0,0775	0,0498	0 0367	0,0265	0,0198	0.0153	0,0122	0,0099
70	0,1967	0,1352	0,0856	0 0526	0 0378	0,0268	0.0199	0,01.54	0,0122	0,0099
80	0,2400	0,1.516	0,0910	0,0550	0,0381	0,0269	0,0200	0,0154	0,0122	0,0099
90	0,2825	0,1654	0,0946	0,0581	0,0383	0,0270	0,0200	0,0154	0,0122	0,0090	>
100	0,3227	0,1760	0,0969	0 058-1	0.0385	0,0270	0,0200	0,01.54	0,0122	0,0099
U0	0,3592	(), I860	0,О9«2	0,0586	0,0385	0,0270	0,0200	9,0154	0,0122	0,0099	’
121)	0,3915	0,1895	0,0990	0,0587	0,0385	0,0270	0,0200	0,0154	0,0122	0,0099
130	0,4199	0,1935	0,0995	0,0588	0,0385	0,0270	0,0200	0,0154	0,0122	0,0099	;
НО	0,4446	0,1961	0,0998	0,0588	0,0385	0, 0270	0,0200	0,0154	0,0122	0,0099	i
150	0,4644	0,1979	0,0999	0,0588	0,0385	0,0270	0,0200	0,0154	0,0122	0,0099	!
160	0,4790	0,1990	0,1000	0,0588	0,0385	0,0270	0.0200	0,0154	0,0122	0,0099
170	0,4909	0,1996	0,1000	0,0588	0,0385	0,0270	0,0200	0,0154	0,0122	0,0090
180	0,5000	0,2000	0,1000	0,0588	0,0385	0,0270	0,0200	0,0154	0,0122	0,0099	!
Таблица 9.8
Коэффициенты ,4q
7, град
	1,о	2,0	3,0	4,0	5,(1	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0
40	0,0001	0,00095	0,00183	0,00268	0,00354	0,0044	0,0053	0,0061	0,00705	0,0079
50	0,01X19	0,0028	0,00452	0,0077	0,0084	0,0104	0,0123	0,0142	0,0160	0,0180
60	Г), 0019	0,0069	0,0160	0,0218	0,0252	0,0288	0,0329	0,0381	0,0430	0,0470
70	0,0056	0,0199	0,0383	0,0544	0,0640	0,0770	0,0840	0,0875	0,0885	0,0890
80	о,0078	0,0476	0,0807	0,1310	0,1541	0,1780	0,1.965	0,2165	0,2330	0.2420
90	0,0350	(), 1122	0,1950	0,2830	0,3260	0,3740	0,4240	0,4460	0,4750	0,4870
100	0,0766	0,2366	0,4600	0,5650	0,6630	0.749	0,820	0,825	0,943	0,968
по	(Н1543	0,4770	0,8020	1,0960	1,2850	1,460	1,595	1,718	1.822	1,888
120	0,3225	1,0140	1’5570	2,1640	2,4490	2,775	3,040	3,248	3,261	3,595
130	0,5510	1,7960	2 83-Ю	3,8290	4,6790	5,308	5,773	6,251	6,593	6,897
140	0,9909	3.2560	5ФбО	7,016	8,518	9.805	10,894	11,837	12,658	13,330
150	1,721 '	5,372	9,227	12,764	15,805	18,494	20,846	22,940	24,984	26,410
160	2,833	9,171	16,118 26,976 41,627	22,795	29,041	37,790	40Ю82	44,964	49,478	53,637
170	-1,678	15,034		39,169	51,158	62,902	74,343	85,461	96,274	106,77
180	7,245	23,143		60,843	80,329	99,932	110,57	139,26	158,96	178,67
534
РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
Коэффициенты Ар
Таблица 9,9
у, град	к									
	1,0	2,0	3,0	|	4,0	6,0	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0
40	0,0065	„ „„„„	0,0438	0,0639	б,йп 0,1851	0,0956	0,1075	0’1172	0,1255	0,1324
50	О'()188	и,0п>5	0.Й06	0,1523		6,2107	0,2310	0,2472	0,2603	0,2713
69	0/433		0,2242	0,2940	6,3452	0,3837	0,4130	0,4360 0,6822	0,4546	0.4696
70	0,0853	0,5 ДО	0,3907	0,4920	6,5629	0,6142	0,6526		0,7057	0,7245
80	С91 об	0/045 6 о! U	0/200	6,7428	0,8321	0,8951	0,9414	0,9775	1,0043	1,0265
90	0,2 HP		0,8737	1,035,5	1,1405 1.4713	1,2128	1,2650	1,3042	1,3348	1,3592
100	0.3570		1,1702	1,3551		1,5495	1,6052	1,6465	1,6786	1,7038
U0	0Л90	1,1546	1,4825	1,6827		1,8852	1,9426	1,9830	2,0148	2,0396
120	0 ? 63!2	1, ЮЗЗ	1,7918	1,9984	2,1 W	2,1996	2,2541 2,5257	2,2976	2,3234	2,3469
130 140		1,67 >8	2,0796	2,2843	2, ДО5	2,4756		2,5617	2,5885	2,6092
	1,0150	1/'57	2,3306	2,5255	2,6336	2,7003	2,7444	2,7756	2,7986	2,8161
150	1 1830	5 1-ДО	2,5330	2,7128	2 ига	2,8669	2,9044	2,9304	2,9491	2,9633
160	',2373	2 ^’3>	2;6814	з,й4зз	ДО2»	2,9760	3,0069	3,0278	3,04'27	3,0538	'
170		2,4365 2,5133	2,7773	2,9212	2/Я36	3,0349	3,0605 '	3,0773	3,0892	3,0977	’
1Йб	1,"708		2.8274	2,9569	З/РОо	3,0568	3,0788	3,0932	3,1033	3,1105
Коэффициенты А к
Таблица 9J0
|	и										
7, град	1,0	2,0	3,0	4,0	5/	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0
40	0,1®	0,730	1,458	2,273	здй	3,962	4,812	5,658	6,501	7,339
	0,361	1,271	2,427	3/52	4.880	6,105	7,317	.8,523	9,724	10,916
60	0,571	1,916	3,5»	5,126	6,724	8,299	9,855	11,400	12,938	14,464
:	70	0,815	3,6" 1	4,586	6,534	8,435	10,300	12,138	13,962	15,775	17,573
80	1,075	", ДО	в;м9	7,722	0,828	11,887	13,912	16,330	17,915	19,812
	90	1,330	3,826	6,214	8, 564	10,755	12,890	14,985	17,061	19,lgl	21,161
100	1,559	4,239	6,715	8,979	11,124	13,207	1.5,246	1.7,264	19,235	21,246
110	1,742	4,1о7	6/29	8,936	10,913	12,822	14,687	16,5'29	18,355	20,161
ЙО	1,996		6,621	8,460	10,161	11,801	13,393	14,964	16,519	18,056
130	1,927	4,342	6,135	7,629	Я, ООО	10,286	11,542	12,777	13,998	15,204
140	1,924	1,637	5,448	6,564	7,553	8,484	9,379	1.0,256	11,121	1.1,974
150	1,868	.>,635	4,662	5,410	6,045	6/29	7,183	7,722	8,251	8,771
160	1,776	3,202	ЗДЙ2	4,323	4,670	4,968	5,242	5/04	5,759	6/07
170	1,670	2,806	3,248	3,470	3,6’2	3,719	3,808	3,888	3,962	4,032
180	1,571	2,513	2,827	2,957	3,(121	3,057	3,079	3,093	3,103	3,110
I а б л и ц a 9.П
Коэффициенты А в
у. град	%									
	1,0	]	2,0	j 3,0	\	4,0	}	5,0	6,0	J 7,0	1 8’°	9/	10,0
40	0,6032	1,7690	2,9»3	3,8700	5,0	6,0	7,0	8/	9,0	10,0
50	0,7027	1,8812	2,9682	3,9924	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0
60	0,7807	1,9402	2,9889	4,0	5/	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0
70	0,8401	1,9698	2,9961	4,0	5,0	6,0	7,0	8.0	9,0	10,0
80	0,8845	1.9850	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0	10.0
90	0,9172	1/926	3,0	4/	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0
100	0,9457	1,0962	3,0	4,6	5»	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0
по	0,9579	0,9982	3,0	4,0	5.0	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0
ш	0/701	2.0	3,0	4/-	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0
130	9,0737	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0
140	0,9850	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0
150	0,9894	2,0	3,0	4,9	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0
160	0,9025	2,0	3/	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0
170	(К .9947	до	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0
180	0/963	2,0	3/	-1,0	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0	10J)
9Л. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ
535
Т а б л и ц а 9.12
Значения ппред»чечнык Ш!Т'’го'.тог',
встречаиЭДмсй при вычислении усилий й перемещений
в стержнях с .круговой осью
f (0)	a f f (3) 4P n
sin $	j	1 — cos a
COS 3	|	sin a
sin3 p	1.1 — — sm 2a -j- ~— a 4	2
COS2 p	1.1 — sin 2a -h — a
Sin3 0	I	3	2 —- cos 3a — —- cos a 4	 12	4	3
COS3 P	1	3 •——— sin 3a 4~ ~~ sin a 12	4
3 sin В	sin a — a cos a
3 cos 0	cos a 4- sin a — 1
0я sin В	2 a sin a — (a- — 2) cos a — 2
pa COS p	2a cos a 4- (a3 — 2) sin a
sin 3 cos 0	1 , _ — sin- a
sin 3 cos'3 3	™ (1 — cos3 a) 3
sin2 3 cos 3	1 . „ । -— suf a 3
Sin3 P cos3 p	1	1	, , — a —	sm 8	32
P sina p	1	I	1	1	I — a3 — — a sin 2a — -— cos 2a 4- —— 4	4	8	8
P cos3 5	1	„ i 1	.	I	„	1 — a- 4—-a sin 2a -	cos 2a —— 4	4	8	8
sin 23	I — (1 — cos 2a) 2
cos 23	1 • <> —• sm 2a
3 sin 23	1	4	1 — sm 2a	a cos 2a 4	2
P cos 23	1	n , *	. n	1 -— cos 2a 4- '—•« sm 2a -— 4	2	4
sin (a — 3)	I — cos a	1
Продолжение тадл. SJ2
|	a	
H0)	f f Ш 0
cos (a 0)	sin a
sin 3 sin (a — 3)	1,1 — sin a — ~ a cos a
sin 3 cos (a — 3)	1 . a sin a
cos 3 sin (a — 3)	1 — a sin a	i 2	;
cos 0 cos fa — 0)	I	.	1 —• sin a -j	a cos a	i 2	2.	|
Усилия в ключевом сечений: сила Д = -—1910 кГ,
момент Xs —6250. Максимальное напряжение в сечении
1910
Омаке- 46>5
6250
= — 55 кГ j см2.
Усилия в защемлении С найдем, рассматривая полу-
арку под действием заданной нагрузки и вычисленных
начальных параметров Л/0 = Х3 и Н0=Х&. По формулам
(9.3), (9.4) и (9.7)
Л/с. =—2300 кГ; Rc =—1160 к.Г; Яс ==—3,7-104 кГ-см.
Максимальное напряжение в защемленном сечении рав-
но 130 кГ/см2.
Пример 9.5. Стальная трубка с отношением диамет-
ров й = 5/£) = 0,8 изогнута по дуге Круга радиуса г —
= 100 см и нагружена в точке В вертикальной силой
PJ/=1000 кГ, перпендикулярной плоскости кривизны.
536
РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
Усилия в ключевом сечении стержня, защемленного двумя концами
Таблица 9.13
Схема нагружения		Усилия в ключевом сечении Л
/Ж й„.	xt Х./4\г	Продольная сила & _ V	rz ~~ s^n ~~ a\" ~	4 "" C05 p VJ -y JL Sin 2y — 2sinJ v 2 Изгибающий момент Рг	( у
С	4л	_д_ JL sin 2y — 2 sin'- у I 2 2 4- sin v Jl — cos a— ~ cos v 4- у cos (V — a) j |
	Гл В	Продольная сила X — s ln v s1n	" cos ~~ P 2v2 -J- у sin 2v — 4 sin* у Изгибающий момент X	" cos	sIn V — V cos у — 2ya 4- у sin 2v — 4 sin2 у
A F "у		Поперечная сила хг <l~CQS р sin 2у — 2у
ЖьЛ  ?Чъ/ f< л		Поперечная сила X — 2 ~~ cos ч sin 2? —• 2?	г
0 уо/п хЛь &		Изгибающий момент I —- cos -у 4- ™~"” sin3 у Х4 	Рг^ (»+ 1) ?+ ~ZZL Sin 2V 2 n==A ж
7	г~Г I	Изгибающий момент Ж 		м’ sin 2у 4- —:— 2V п — 1 ! Л;=-Л С2
9.1. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ
537
Продолжение табл. 9.13
Схема нагружения	Условия в ключевом сечении А
0 к-то—то Цу z/ i1 FT	Вертикальная поперечная сила Х2 и крутящий момент Х6 находятся из системы уравнений: Щ F + ys М4ш = °; °«з Х2 + Щ F + АеЛ1 = °; А	/	1	П 	 1	\ &2М ~ ray 1 cos V — }		 Sf'n“ V > Д&у = Щ, Tyl. sitf у; см, табл. 9.4.
Опоры концов стержня допускают свободный поворот
сечений относительно радиальных осей (рис. 9.11, а).
Вычислить реакции и реактивные моменты опор
стержня.
При нагрузке перпендикулярной плоскости кривизны
возникают вертикальные реакции Од, Qc и реактивные
крутящие моменты Ка и Л'с. Задача является один раз
статически неопределимой. Использование метода сил
в рассматриваемом случае потребует довольно гро-
моздких вычислений для нахождения коэффициентов
канонических уравнений. Задача значительно упростит-
ся, если использовать готовые формулы. Для этого ос-
вободим конец А, приложив к нему неизвестные усилия
Qa и Кл, повернем стержень относительно радиальной
оси на неизвестный (неопределенный) угол фс
(рис. 9.11,6) и жестко закрепим этот конец. Получим
консольно закрепленный стержень, усилия и перемеще-
ния которого приведены в табл. 9.4. Искомые усилия Qa
и Ка найдутся из условий равенства нулю вертикаль-
ного прогиба 6д, угла поворота сечения вокруг каса-
тельной и изгибающего момента Lc в сечении С. При
составлении первых двух условий необходимо учесть
влияние угла фс и воспользоваться формулами (9.31).
В результате имеем:
бА =- {fc г sin 120° + Ру б22 (90°) -
— z sin 30° Ру б4.,	+ г (1 — cos 30°) Ру 8S2	-j-
+ (1Л б (120°) + КА б26 (120”)=0;
0А = фс sin 120° Д Р б62 (— Jcos 30° +
+ Ру S^sin 30’ Д qA S6, (120’) + КА й63 (120°) = 0;
£с = КА cos 39° — Pf г — Qa г cos 30° = 0.
G//
Учитывая, что « = —— = 0,8, вычислим значения
коэффициентов б,:й согласно табл. 9.10 н получим си-
стему уравнений:
— 0,866фс 4-2,23гсг Qa — 9,97а.гКА + 1,4ra? Ру = 0;
0,866<рс - 0,97 га г QA ф- 1,84ог КА — 0,82гаг Ру = 0;
Исключив из первых двух уравнений неизвестный
угол фс, найдем: Qa ——0,75 Ру——750 кГ; Ка —
= 0,41 гРу = 0,41 • 10° кГ-см.
Остальные две реакции находятся из уравнений рав-
новесия стержня: Qc — —0,25Pv — —250 кГ; Ка —
=0,32 г Ру =0,32 • W3 кГ - см.
Массивный стержень, защемленный двумя концами
Усилия в ключевом сечении А для некоторых видов
сосредоточенных нагрузок даны в табл. 9.13. Обозначе-
ния усилий соответствуют обозначениям нагрузок
в табл. 9,10. Из этой таблицы следует брать значения
коэффициентов бщ при составлении системы канониче-
ских уравнений для стержней с более сложной нагруз-
кой, чем в табл. 9.7. Зная усилия в ключевом сечении,
находим усилия в произвольном сечении стержня, поль-
зуясь табл. 9.10 или общими формулами (9.3)—(9.8).
Приведенные податливости ах и дг вычисляются по
формулам (9.1) и (9.30). Для схем 5, 6 и 7 ахв = 0
дх
и п= —- .
д2
538
РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
9.2. КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА
Расчет кольца, как статически неопределимой систе-
мы, возможен с помощью формул и приемов, изложен-
ных в 9.1. Однако решение оказывается крайне слож-
ным и трудоемким. Особенности работы кольца как
циклически симметричной системы [7, 13] позволяют
внести значительные упрощения и получить для усилий
и перемещений более простые формулы.
Правила знаков для внешних нагрузок и внутренних
усилий и для перемещений кольца остаются теми же,
что и для кривого стержня (равно как и обозначения
этих величин). Они указаны на рис. 9.2 и 9.3. Сечение
кольца ориентировано
относительно плоскости
кривизны произвольным
образом, т. е. в общем
случае главные оси
инерции сечения повер-
нуты на некоторый угол
% (см. рис. 9.1, а). Ха-
рактеристики жесткости
сечения вычисляются по
формулам (9,1) и (9.2).
Перемещения кольца
как абсолютно жестко-
го тела сводятся к трем
поступательным переме-
щениям и, v, w и к трем
» относительно осей, пока-
Рис. 9.12
углам поворота Qu, Q
занных на рис. 9.12 (на чертеже показаны положитель-
ные направления перемещений).
Дислокации представляют собой сосредоточенные
в каком-либо сечении кольца взаимные смещения правой
и левой половин кольца. Разрежем мысленно кольцо
в некотором сечении и сместим образовавшиеся в раз-
резе торцы в каком-либо направлении. Затем снова же-
стко соединим концы разрезанного стержня. В резуль-
тате в кольце возникнет сосредоточенная дислокация
в направлении произведенного смещения. Наличие дис-
локации ведет к появлению внутренних усилий и к уп-
ругой деформации кольца. Практически дислокации мо-
гут появляться в результате неточного соединения кон-
дов кольца при монтаже конструкции, либо вследствие
местного нагрева. В ряде случаев понятием дислокаций
удобно пользоваться при расчете колец с промежуточ-
ными шарнирами.
Обозначения дислокаций: А — радиальная дислока-
ция; А — вертикальная дислокация; S — продольная
дислокация; Ф, Т, 6 — угловые дислокации относи-
тельно радиальной, вертикальной и продольной осей со-
ответственно.
На схемах табл. 9.20 показаны положительные на-
правления дислокаций. В случае положительной дисло-
каций  впереди лежащее сечение (положительный угол
а отсчитывается против часовой стрелки) сдвигается
или пррррачивается в направлении векторов, показан-
ных на рис. АЗ.
Общие формулы для определения усилий и перемещений
колец, 'нагруженных сосредоточенными силовыми
"	факторами
Приведенные ниже формулы справедливы при изме-
нении а го участ; чк ч°тцу двумя состдн’ыш садовыми
факторами.
Продольная сила
Д (я) = J {[(3 _ Dx щ ф D j cos а +
ЯГ2
4- [QrDxu — AZFJ sin а} 4- — \а2 DXil 2/Иг/ соз(а — с^) +
ЯГ (
ф- r2PzZ sin (а — аф ф- FMyi sin (а — д) —	'2,Рх11 ф-
ф- 2Pxi (а — аД ф- РРг1 Fs (а аг-).	(9.35)
Радиальная поперечная сила
R (а) = -4 {[(3 — W) В. ф- <t>rDy] sin а ф-
ЛГа	J
ф- [А£)х — <дВху г] cos а • -ф -4 [йг д	sin (а—д)—
яг '
— FMyi cos (а — а.)] 4- 4- 2Ргг- ф- S.Pxi Fs (а — аг) -
(9-36)
Вертикальная поперечная сила
G7„	1
Q (а) = у-32- (Д + вг) +	+
2яВ	2яг
+ 4 SPyi sin (а — a,-) Jr2Pyi РДа — сч). (9.37)
Полный крутящий момент
К (а) = 4 [QrDy — FDxy] cos а ф-
+ 44 (А + вг) ф- [(W — 3) Dxy — ®rDv]An а ф-
+ 4 ц	sin (а — аг-) 4~
+ 2А1г, F3 (а — аД 4- 27Ихг- Ft (а — су) —
-г2Рй.,;Ф3(а-аг)}.	(9.38)
Вертикальный изгибающий момент
L (а) = 4 {[QrQy — Драд] ад а +
ф- [ФгОу ф~ (В — 1РУ) DXy] cos а -J-
ф- 4 д2 д 2/ад cos „ ар 4— 2Жгг +
л 	2 л
4- rFPui Ft (а. — щ) ф- FMxi F3 (а — %) —
-2Мгг F4(a- az)}.	(9.39)
Горизонтальный изгибающий момент
1 (	G/K
И (а) = — [АОа — ®rDxy] sin а 4- ду1' Т 4-
ЯГ V	-
4- [(Уг - S) Dx 4- <t>Dxy И cos а - — , -S«. 2Мя. _
— “ аг Dxi/ ccs (а — а^) — rYPxi F4 (а —	—
я
— rP,Pxi F3 (а — аД ф- 2гИд Fx (а — аг). (9.40)
9.2. КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА
539
Бимомент
В (а) =	- [[QrDy — sin а -L [ФгОу
л (и- + 1)
+ (3 — W) Dxy) cos а) +
4~	^°z	с0® (я а5 4~
+ г №Ру1 Fu (а — аг) + FMxl F13 (а — аг-) —
-~~'SMzt F1P, (а — М) -	(9.41)
Момент стесненного кручения
К = (а) —{[QrDv  ADxy] cos а -J-
этг(х«-}-1)
4" [(Yr _ S) DXu--®rDy ] sin a} 4-
4-	(1 — a2 Dy) 2Л4Й- sin (a — at) —
Mx‘4 1)
— FFPyt Fi3 (a — ai) 4“ 2Мхг- г16 (a — a,) -j-
+ 2Л4г//?1§(а--ш).	(9.42)
Момент свободного кручения
К (а) = ---7~-~77 {[€>гВу — М)ху1 cos а 4-
sir (Xй -f" 1)
GK
+ ](W - S) DXy - ®rDy] sin a) 4-	(A 4 в/j +
+	° ”ciz ™г1 sin (a ~~ “
— 24^ F-п (a — ap) 4~ S4fXI- F33 (a cy) 4~
4-S4W2j 49 (a — аг).	(9.43)
Угол закручивания
6 (a) =— Яэ cos a 4' Яй s*n a 4 ~~ ®a sin a —
2л l
<?	1 й v a, civ., i
™еаЮ5«4^У 4^—=
ay J au 2n
— rax SPyi Fs (a -- at) — ax SMxi Fz (a — a4 4-
4- Gy S-^zi Fg (a — a/) + raxu ^Pxi Fg (a — 04) 4.
+ raXy SP2l Ft (a — «4 — axy BMyt F-a (a — az) —
r2	Г „
— 44- %PytF№(a — ai) — -4- 27Ищ FS1 (a — aL) +
u/K	u/K
+ -^SMrff13(«-a/4	(944)
®K
— rax F.Pyi Fi (a — af) 4- ax SMZJ- F& (a — aj —
— ax BM2i Fi (a — af) 4- raxy DPxi F-, (a — az) —
— raXy FP2t Fs (a -- at) 4- axy FAAyi Ft F* «/) —
r2	r
BBT F*3 (a — M) + -77-	F22 (a — at) 4-
6/K	'	G/K
4- 4^-2M2/- F.a (a — at).
Gi«.
(9.43)
Горизонтальный угол поворота
4f (a) =—	4- — I A cos a 4 2 s>n a —
Л.Г I
— Tr [sjn a + -|j j — raxy F.Pyi Fg (a. — az) 4-
4- axy FMxl Fi (a — 4,4 — axy DMxl 45 (aa—4.
4- ray BPxi F5 (a — at) — ray 2Ргг- 4а (a -- ay) 4-
4- ay 'P.Myt F2 (a — at).	(9.46)
Продольное перемещение
g (a) = и sin a —- v cos a — О® r 4-
4- y— (Aa sin a — Sa cos a 4- 47 (a cos a — a)] 4-
4 r [raX!J BPyt Fe (a — «4 — axy %Mxi Fg (a ~ at) 4-
4- a4l 2Al2f Fs (a — «4 — ray Zpxi Fs (a — «4 4.
4- ra9 T.P-gt Fls (a — ap — ay 244^ Fs (a — «4]. (9.47)
Радиальное перемещение
X (a) =— и cos a — v sin a 4-
4- ~ [3 (cos a — a sin a) — A (sin a 4 a cos «) 4*
2л
4- ffr (1 — a sin a — cos a)j 4”
4- r [— raxt, DPyt Fl} (a — af) — axy ^Mxi F2 {a •- at)—
— axy PM2i Fs (a -- as) 4- ray DPxi Fg (a — «4 4-
+ ray %P2i Fs (a — a{) — a9 TMyi F5 (a — «41  (9-48)
Вертикальное перемещение
6 (a) = — w — Qur sin a + Qo / cos a 4-
4- ~ [Dr (a cos a — ‘2аг Dy sin a — a) —
— Фг (a sin a 4- 2аг Dy cos a) 4- FVr — 3) 2аг Dxy cos аф-
4- A • 2asDxy sin a — Aa] 4-
4- ~ (1 — az Dy) 2 УИ2г cos (a — «4 4-
Л
Вертикальный угол поворота
ф (a) =— Qa cos a — Q0 sin a 4-
4- —— {0r (cos a — 2аг Ds cos a — a si n a — 1)4-
4- Фт (2дг Dy sin a — sin a — a cos a) 4- A2az Dxy 4-
4- (3 — W) 2рг F)xy sin a - A} 4-
+ -77- (az Dy — 1) SMzi sin (a — a,-) —
ык	Я
4- r j rax SPyi Fs (a — аг) 4- ax DMxi Ft (a — ap 4-
4- ax PPvl2t Fg (a —- a4 4' raxit bPxt Fg (a Oy) 
— raXy TaPzi Fs (a — at) 4~ aXy ’S.Myt Fg (a— <24 4~
+^77“ FPyi F.M (a — 0.4 4- —p-	F23 (a. — a4 —
— -C- ^.M2i Fsi (a — at) 1 .	(9.49)
к	J
540
РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
В формулах (9.35) — (9.49) кроме введенных ранее
приняты следующие обозначения:
(9.50)
 Охи
ах ау ilxy Т ^'у F

Функции влияния Г-;(а), входящие в формулы
(9,35)—(9.49), вычисляются следующим образом:
Ft (а) = (л — а — 2 sin а);
1 !л2	а3	\
К (а) = —-	- ла +	- 2 cos а ;
2л \ 3	и	)
1	Г/	5	1
F-, (а) = — (л — а) cos а — — sin а ;
2	л I V	2	J
1 Г 1	1
Ft (а) = ^— 1 -ф- ~~~ cos а — (л — a) sin а ;
F5 (а) = Fs (а) — F, (а);
Fs (а) = F4 (а) — F, (а};
Fe (а) = Fi (а) — В5 (а);
Fi0 (а) = Fs (а) — Fs (а):
F’n (“) = F'i (а) + f3 М
F13 (а) = Fs (а) + F4 (а);
F,s (а) = ~4гп [F3 (а) — Fs3 (а)];
Xй -f~ 1
Fu (а) =	[F4 (а) — F.,f, (а)];
и2 4" 1
F16 («) = ЩГфП {Fa («) т (а)];
х- ф- 1
Fle (а) = -щ1-— [Ft, (а) + x2F»c (а)];
х- + 1
F„ (а) = Fs (а) — FM (а);
г (а) = FK3 (сс) ' Fw (а);
F„o (а) = Fs (а) — FK (а);
/'20 (а) = П, (а) — Лв (а);
F-м	(а) =	и2	Fjg (а)];
		х3 +	-	
F 22	(а) =	Xs (а)	 Fj4 (®)];
^23	(а) =	/ф (а) —	F21	(а);
Fsa	И =	Fio (а) — 4 F« х-	!2(а)1
F £5	(а) =	sh г. (л —. а)	sin а,
		2 sh хл	я (ха + 1)
Кс	(а) =	ch х (п — а)	1	cos а
		2х sh хп	2лх3 л (х3 -J-1)
Суммирование в формулах (9,35) — (9.49) ведется по
всем силам и моментам, нагружающим кольцо, включая
реакции опор кольца, определяемые из условий равно-
весия и условий совместности деформаций (последние
используются в случае статически неопределимого за-
крепления кольца). Угол а—a.i всегда отсчитывается от
сечения, в котором определяется искомая величина, к се-
чению, в котором приложено внешнее усилие. При от-
счете против часовой стрелки этот угол считается отри-
цательным. Всегда принимается минимальное расстоя-
ние между силой и сечением, т. е. угол а—а; всегда
меньше 180°. Поэтому функции F вычисляются в интер-
вале изменения угла от 0 до 180° при положительных
значениях аргумента. Все функции делятся на две груп-
пы— «нечетные», обозначенные нечетными индексами
1, 3,	25 к «четные», обозначенные четными индекса-
ми 2, 4,	26. Все «нечетные» функции при отрицатель-
ном знаке угла а—а,- берут с противоположным зна-
ком, например, вместо F7(—а) берут — F7(a). На знак
«четных» функций изменение знака угла не влияет: вме-
сто FvF.—а) берут FH(a).
В табл. 9.14—9.16 приведены значения функций
F,(a), F2« Fs(a), Л(а), F7(a), F8(a). F25(a)
и F2s(a} для значений угла a, меняющегося через 10°.
Остальные функции выражаются через функции, приве-
денные в таблицах.
В случае, когда одна из главных осей инерции сече-
ния. лежит в плоскости кривизны кольца, axy~Q, фор-
мулы (9.35) — (9.49) упрощаются и искомые усилия
и перемещения распадаются на две не связанные между
собой группы, одна из которых зависит только от на-
грузок, лежащих в плоскости кривизны, а другая — от
нагрузок, перпендикулярных плоскости кривизны.
Пример 9.6. Определить перемещения и нормальные
напряжения в сечении D кольца радиусом г=100 с.«,
нагруженного, как показано на рис. 9.13, а, силами
S — 500 кГ каждая. Площадь сечения кольца F =
= 10 см/2; момент сопротивления изгибу W = 5 см2; мо-
мент инерции 1 = 25 см4; Е==2-106 кГ/см2,
Определяем реакции опор из условий равновесия
кольца: UA = 1,125.500 = 562 кГ; Uc = 62,5 кГ; Рс =
= 500 кГ.
Перенесем все силы на ось кольца с добавлением со-
ответствующих моментов и разложим каждую силу на
радиальную и тангенциальную составляющие. Расчет-
ные нагрузки показаны на рис. 9,13,6. Полагая сосре-
доточенные дислокации отсутствующими и учитывая,
что джи = 0 и, следовательно, DXIj = (), по формулам
0.2, КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА
541
Функции влияния
Табл в ц а 9.14
| о., ) град	FMP	F.lap	Н(а)	| Н(а)	F,(a)	| H(a)
0	0,5000	0,2053	j 0,5000	0,2387	0,6000	0,0430
10	0,4169	0,1253	0,4512	0,1555	0,0415	0,0391
20	0,3356	0,0596	0,3904	0,0819	0,0682	0,0293
30	0,2-575	0,0080	0,3210	0,0197	0,0808	0,0161
40	0/1843	—0,0305	j 0,2468	—0,0298	0,0813	|	0,0018
50	0,1173	—0,0567	0,1712	—0,0663	0,0719	| —0,0117
60	0,0577	—0,0719	0,0978	—0,0897	0,0550	| —0,0228
70	0,0064	--0,0774	0,0279	—0,1008	0,0335	f —0,0306
3!)	—0,0357	—0,0742	—0,0301	—0,1006	0,0100	—0,0344 :
90	—0,0683	—9,0654	—0,0796	—0,0908	-Л012*	—0,0342
100	—0.0910	—0,0514	—0,1170	—0,0735	—0,0329	—0,0301
по	—0,1047	—0,0342	—0,1413	—0,0508	—0,0485	—0,0229
120	—0,1090	—0,0154	—0,1522	—0,0250	—0,0583	—0,0135
130	—0,1050	0,0034	—0,1502	0,0016	—0,0618	—0,0029
140	—0,0935	0,0208	—0/1363	0,0268 j	—0,0589	0,0077
j 150	—9,0758	0,0357 |	—0,1120	0,0436	—0,0500	0,0173
160	—0,0533 j	0,0470 |	—0,0794	0,0654 |	—0,0363	0,0249
170 |	—0,0275 1	0,0541	—0,0412	0,0760 j	—0,0191	0,0298
180 |	0,0000 |	0,0565	0,0000 j	0,0796 j	0,0000	0,0314
(9.35) и (9.39) вычисляем продольную силу и изгибаю-
щий момент в сечении D:
Nd = рл F^)+P^ F4 (120°) -	+
+ РЛР3 (0°) 4- Рг5П3 (- 60°) + P2SFg (- 150°) +
+ P^iFs (120°) + — [Pz) sin 0° + Pz, sin (— 60°) +
+ Pz3 sin (— 150°) + Pzi sin (120°)] +
1
+ — \MV1 sin (—60°) + MlJ3 sin 120°];
HD - - ? \PxlF.i (04 + Px2 Fi (120°) + Pzl F. (0°) +
PP^F, (-60°) PxSFs (—150°) + Рг4/ф (120°)j +
+ AP,iF2 (-60°) + M?y,Fi (120°).
в)	S}
Рис. 9.13
Подставив значения функций Fy F3, F4, F3
из табл. 9.14. получим: ?/D = —440 kF; HD~
— 6490 кГ-см. Максимальное нормальное напряжение
а сечении D
440	6490
° о °=~	= ~~ 1340 кГ!см2-
1U	о
Произвольные постоянные и, v, Q,x в формулах
(9.46)— (9.48) для перемещений вычисляем из условий
равенства нулю продольных перемещений Вс и ра-
диального перемещения ).с:
= и sin 0= — о cos 0° - Яи/ + гау [—	(60°) —
- rPx„ Fs (180°) + гРл Flo (60?) + rPz, FM (0°) ф-
+ гПг/’1о (—90°) ф- rPzi Fvs (180°) - Му2 Fe (0°) -
- M,/2F6 (180°)] = 0;
|с — и sin 189° — v cos 180° — 9^ r ф-
+ ray f- rPxl Fs (120°) - rPX2 Fs (0°) +
+ Fl0 (-120°) 4- rPz2 Fw (180°) + rPz3 Fla (90°) ф-
+ rP2i Fi0 (0"p - MU1 Fs (189°) - My, Fe (0°)] = 0;
Xc — и cos 180° — v sin 180° ф-
+ ray [rPxl Fg (-120°) + rPx, Fg (0°) ф-
+ гРг1 F, (-120°) + rPz, Fv(mr) +
+ rPz3 Fs (90°) + rPzi Fs (0°) F, (180°) -
Fs(0°)] ==0.
Подставив значения функций F из табл. 9.14 с уче-
том знака угла и счетности» функции, после решения
системы уравнений получим: и — — 10~6 см; » = 5Х
ХЮ-4 см; йк = 0,5.10~6 рад.
Определив постоянные, вычисляем перемещения се-
чения по формулам (9.46) — (9.48): gB= ф-0,23 с.ч;
ф-0,12 см; :ф у,	-(-3,5’10—4 рад.
542
РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ II КОЛЬЦА
Функция влияния Д25 (а)

град	0	) i	1 2	3	4 I 5		6	7	8	9	10
0	0s 5000	|	0,5000	0j5000	0S5000	0,5000	0350:QC	0,5000	0,5000	0,5000	।	0,5000	0s5000
10	0,4169	0,3920	0,3416	0,2907	0,2555	0,2068	0,1740	0,1462	0,1229	0,1033	0,0870
20	|	0,3356	0,2976	0,2370	0,1646	0,1174	0,0831	0,0586	0,0413	0,0290	|	0,0203	0,0142
30	0,2575	i 032I56	s 0,1436	J (J ,0880	0,0522	0,030-4	|	0,0183	Ds0096	|	0,0051	।	0,0026	0,0011
40	0,1843	0,1450	0,0828	0,0411	0,0248	0,0074	1 |	0,0021	—050003	j —o,oqi3	। —0,0016	—0,0017
50	0,1173	0,0352	0,0383	0,0121	0,000-9	—09?Q3Q	—0,0039	| —0,0038	j —0,0033	| —0,002.8	—0,0023
60	0,0577	0,0353	j 0,0060	—0,0060	—0,0086	—0,0079	—0,0065	—0,0052	—0,0041	| —0,0033	—0,0027
70	0,0064	—0,0051	—0,0164	—0,0171	—0,0133	—0,0104	—0,0078	—0,0059	| —0,0046	| —0,0036	—0,0030
80	-0,0357	- -0,0365	—0,0321	—0,0238	—0,0166	—0ЛЦ6	—0,0084	- -0,0062	—0,0048	—0,0038	—0,0031 j
90	—0,0633	—0,0595	—0,0421	—0,0278	—0,0178	—0,0120	: —0,0086	—0,0064	| —0,0049	—0,0039	—0,0032
100	—0,0912	—0,0746	—0,0475	—0,0287	-41,0230	—0,0120	—0,0-085	—О.ООоЗ	—0,0048	—0,0038	—0,0031 !
ПО	—0,1047	—3,0825	—0,0492	—0,0283	-€,0174	—0,0115	—0,0081	—0sqO60	—0.0046	—0,0036	—0,0030 1
120	—0,1090	-fl,0837	—0,0477	—0,0266	—0,9161	—0,0106	—0,0074	—0,0055	—0,0042	—0,0034	—0,C027
130	—0,1050	—0,0790	—0,0436 ;	—0,0238 	—0,0143	—0,0094 ;	—0,0066 ;	—0,0049	—0,0038	—0,0030	—0.C024 ।
140	—0 9 0935	—0,0686	—0,0374	—0,0202 :	—0,0120 j	—0,0079	—0,0055	—0,0041	—0,0032	—0,0025	-fl, 0020
150 i	—0,0758 |	—0,0559 j	—0,0305 :	—0,0157	—0,0093 |	—0,0061	—0,0043	—0,0032	—0,0024 ;	—0,0019	—0,0016
160 :	—0,0533 '	—0,0390	—0,0204	—0,0108 ! 1	—0,0064	—0,0042	—0,0023 ।	—0,0022	—0,0017	—0,0013 j	—0,0011
170	—0,0275 j	—0,0200 1	—0,0104 ।	—0,0054 | J	-0,0033 |	—0,0020 |	—0,0015	—0,0011 |	—0,0008 |	—0,0005	—€,0005
180 ;	—0,0000 ;	0,0000 j	0,0000 :	o,oooo ;	0,0000	0,0900 j J	0,0000	0,0000 s	0,0000 |	0#0000	0,0000
9.2. КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА
543
Функция влияния F2S (а)
/у	j						%					
град	0	1 1	i 2	з	1	4		6	!	7	8	9	W
0	0,2053	0,1815	0,1464	0,1170	0,0944	0,0814	0,0703	0,0619	0,0551	0,0496	03 0452
10	0,1253	0,1059	0,0739	0,0497	0,0337	0,0234	0,0164	0,0115	0,0082	0,0059	0,0040
20	0,0596	0,0460	0,0238	0,0108	0,0034	—0,0004	—0,0022	—0,0033	—0,0032	—0,0031	—0,0030
30	0,0080	0,0013	—0,0072	—0,0107	—0,0108	—0,0097	—0,0083	—0,0059	—0,0050	—0,0049	-0,0041
40	—0,0305	—0,0300	—0,0267	—0,0216	-0,0166	—0,0157	—0,0108	—0,0076	—0,0060	—0,0049	—0,0042
50	—-0,0567	—0,0499	—0,0371	—0,0260	—0,0182	—0,0130	—0,0127	—0,0075	—0.0057	—0,0045	—0,0036
60	—0,0719	—0,0613	—0,0408	—0,0264	—0,0174	—0,0120	—0,0085	—0,0064	—0,0049	—0,0039	—0,0032
70	—0,0774	—0,0638	—0,0398	-0,0243	-0,0154	—0,0103	—0,0072	—0,0054	—0,0042	—0,0033	—0,0026
80	—0,0747	—0,0590	—0,0335	—0,0207	—0,0127	—0,0083	—0,0058	—0,0044	—0,0033	—0,0023	—0,0021
90	—0,0654	—0,0505	—0,0290	—0,0192	~0В0097	—0,0064	—0,0044	—0,0032	—0,0025	—0,0020	—0,0016
100	—0,0514	—0,0387	—0,0211	—0,0113	—0,0066	—0,0042	—0,0029	—0о0021	—0,0016	—0,0013	—0,0010
по	—0,0342	—0,0249	—0^.0126	—0,0063	—0,0035	—0,0022	—0,0015	—0,0011	—0,0009	—0,0006	—0,0004
120	—0,0154	—о9оюз	—0^0041	—0,0015	—0,0006	—0,0002	—0Р0001	—0,0001	овоооо	0,0000	о0оооо
130	0,0034	0₽0040	0,0036	0,0030	0,0021	0,0016	0е0011	0,0008	0,0007	0,0005	0,0004
140	ОрСЖв	0,0170	О0О11О	0,0068	0,0044	0,0030	0,0022	0.0016	0,0013	0еШ10	0В0008
150	0,0357	0,0280	0,0168 ;	0,0100	0,0063	0,0042	0.0030	0,0023	0,0018	0,0014	о.оои :
160	0,0470	0,0364	0,0212 |	0,0123	0,0076	0,0051	0,0037	0,0027	0,0021	0,0017	0,0014
170	090541 |	0.0415	0,0239	0,0137	0е0085	0,0057	0,0040	0,0030	0.0022	С»О018	0,0015
180	0,0565	0,0433	0.0258	0,0141	0,0088	0.0059	0,0042	0,0031	0,0025	0,0019	0,0016
544	РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ „КОЛЬЦА
Кольцо с исчезающе малой жесткостью свободного
кручения. Изгибно-крутильная характеристика х —0,
первые двенадцать функций F(a) остаются неизменны-
ми, а остальные будут равны:
F13 (a) = F3 (a) — F25 (a);
F16 (a) = F3 (a);
Fn (a) == 0; F1S (a) = 0;
F21 (a) = 0; F„ (a) = 0;
F№ (а) = Fx (а) =
FM (а) = Ft (а) — F,s (a);
F16 (а) = Ft (а);
Flt> (а) = 0; Fa0 (а)	0;
Fj3 (а) = 0; F„t (а) = 0;
л — а sin а
2к
1
2 я
Эти значения функций следует подставлять в форму-
лы (9.35) — (9.49) ири вычислении усилий и перемеще-
ний тонкостенного кольца с ничтожной жесткостью сво-
бодного кручения.
Кольцо массивного сечения. Жесткость свободного
F2(i (а) = F2 (а)
— 2 cos а
кручения намного больше жесткости стесненного круче-
ния. В пределе изгпбпо-крутильиая характеристика
х->оо. Используя формулы (9.35) — (9.40), следует
учесть, что первые двенадцать функций Р остаются не-
изменными, а остальные принимают следующие зна-
чения:
F„(a) = 0; FM(a) = 0; Ра (а) = 0; F1S (а) = 0;
Fп (а) = Fs (а); F1S (а) = Fla (а); Fls (а) = F3 (а);
FMi (а) = F4 («); /’г1 (а) = F, (а); /’22 (а) = F6 (ы);
Лз («) = FB (а); FM (а) = Flo (а);
Fs5 (а) = Р№ (а) = 0.
При этом бимомент и момент стесненного кручения
К тождественно равны нулю, а К=Л'.
Кольцо с тонкостенным или массивным сечением,
нагруженное силами и моментами перпендикулярно
плоскости кривизны
Если одна из главных центральных осей иперцпи се-
чения лежит в плоскости кольца, то а11( = 0, и для оп-
ределения неизвестных силовых факторов Q,,, Ко, Ко, 1>о
Т аблнд а 9.17
Формулы для определения начальных параметров в кольце
Нац аль ный па- раметр	Общий случай нагружения1	Вид нагрузки			
		силы	изгибающие моменты	крутящие моменты ;
%	Тонкостенное или массивное кольцо			
		°-о ~ УГ 2РФ а1	% -	2МХ/ 2лг	0„ = о
В	Ц == Т у— [2ЛЦг. К/ sin a, + 4- с^М.,. sin а* 4	cos ^7 4 4	(sin ~ «у- cos	1	р =r [ Q° —	• а? cos a J 2 л	]	А'в-=жд + 4	Ftf sin 2л	А' -L- ^А4 , cos а г- 2л
	~	[-XW - (sin a?. 4- £4 cos a,) — 2л —	sin 04 -4 cQ	cos a- 4- 4	sin az]	Lo = Ж..	а( 5in a.	Ц = ФУ 2AI« «1eos at	ц = —— ——	S-inO
Ж	т0 и к 0 г те ннп e к о л 1 > п, о			
	в = —,f L + —!	12Дг sh у. х 0 Щ +1 4	2 Sh хп 1	" X (и — ар >— xSAf ch х (л — а7-) — сЬк(и~гаг)||	S° Xй 4 "1 [ — —X 2л sh X SPlfl cl, X (я - a;) I	B^^[Ls + 4	c	 x 2 sh хл X	sh x ^л —	b° «=+1 Г/0 	(г	 X 2 sh хл X	ch и (л —-
К	Ай,== f г(?0 + Ae +	| В.Мг, ch и X X (я —	sh и (л — а.) ™ ~~	• sh х (л — а л! \	— in х	"Л’/ЛН гели Р~~ 1 (рис- 9.12)-“ oebi симметрии натрут	До = -Ж- rQ0 + Ao - .	r 2 sh ?ил X	sh и /л -- j киР to Q,3 = A'a — A’' = 0, есл!-	+ Ц + -у4	x 2 sh y.pi X	ch и (л - аг)1 1 — / — ось антисимметр	ж,+ + к			X °	2 sh ха X ZAK, sh х (л — a;.)J ти, то L.j =~	0.	!
9.2. КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА
545
Таблица 9.18
Формулы для расчета массивных и тонкостенных колец
Схема нагружения
Внутренние усилия
Наибольшие значения внутренних усилий
j	A	л |	v <C Ct	t. = 0,5K;
К
К
3^2
L (а) — — cos а;
2
К (а) —
2 (xa 4- 1)
, КЛ
sb --
2
В <aj = -------
------ ch ха
, хл
sn ---
Kr
2 (xa 4 1)
ХП
Q (а) = 0;
. , ?r
L (a) -----
К (а)
Pr
—• (1 — sin a,) sin а
rj	Pr
В (а)=я=----------------
2x (xa 4- 1)
и (1 — sin a J cos а
2 sh- х
L fi
0>5 cos Рг,
К (aM) = — 0,5 (/1 4 cos- (Xj — 1) Pr;
= cos а-;
Т
г/?
Схема 2
P/2
sh —-
Pr'J
и
(1
Рр
jf-A

2
хл
L (а) —
Рг
— (cos а — cos ctj san а):

хл
cth —
2
А' (а) =* —
Pr
— (sin а 4- cos a, cos a — 1);
2
нл
sh -—
Рг
3 (ay
2x (x*4 1)
х (cos а — cos а» sin а) 4
4 sh x (а — сц) —
,n [ n a< \
2 sh2 x |----------- 1
' 4	2 ) ,
—--------------------- ch ка
sh
v.n
546	 РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
Продолжение табл. 9. /§
Q (а) = — Р
L (а) — Рт cos а, sir а;
К (а) = Pr I cos а-( cos а — 1 4-
Рг^
R (а) =-------------
х (х2 4- 1)
х cos а, sin а—
, хл
sh---
sb ха
я — а,.
Q (а) -= Р
L (а) рг
К (а) =*
—sin о*! sin а);
Pr2
В (а) = ----------—
х (х2 4-1)
х sin ctj cos а —
£ (ар — 0,5 sin ла, Рг;
— : д(1 —------------1 4 cos а3 1 Рг:
4	.Л	/
л	f п \ г Уа,	*»
—: К ( — 1 = —------------ sin а. j Рг-
4	\ 2 ) тт	;
Дакс = В (%)’’
уравнент-ш дл-i ам
9.2. КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА
547
Продолжение табл. 9.М
Схема нагружения
!
Внутренние усилия
l-Ътболъш^ значений внутренних усилий
Lr== - I. (я,> = O.S tg^ Рг;
‘J
-, ( 71 \	г г- . СС -> Ct I —
К —- = — 0,о tg — tg —L_ prj
\ 2 /	e 4
— —- В (ctj) = ---------— (x tg ~—- th
2x (и- + 1)	2
•Схема Б
Схема ?
уравнение для af<
548
РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
Продолжение табл. 9.1ft
Примечание. В третьей колонки даны наибольшие значения L, К и В.
9.2, КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА
549
Рис. 9.14
и Ко в каком-либо сечении, принятом за начальное (на-
чальных параметров), или для раскрытия статической
неопределимости кольца можно использовать формулы
из работы [23], приведенные в табл. 9,17. Суммирова-
ние в формулах табл, 9.17 ведется по всем нагрузкам
на кольцо, причем все углы а, отсчитываются от точки
О2 против часовой стрелки (см, рис. 9.2 и 9.12). Если
внешняя сосредоточенная нагрузка приложена в точке
О2, то она делится пополам, прикладывается справа
и слева от точки О2 и учитывается как местная нагруз-
ка при аг=0 и яг-=2л. При наличии распределенной
нагрузки суммирование на соответствующем участке
кольца заменяется интегрированием. Последующий рас-
чет кольца можно вести по формулам (9.5)—(9.16) для
круговых стержней.
В табл. 9.18 для некоторых наиболее часто встре-
чающихся схем нагружения кольца приведены значе-
ния внутренних силовых факторов при любых углах а,
а также наибольшие значения моментов и бимоментов
[23]. В табл. 9.17 и 9.18
имеется ось симметрии нагрузки I, поэтому начало от-
счета углов а примем в точке О2 на этой оси. По
табл. 9.17 Qo=/(«=Ko=O. Остается определить £о
л
и Во. Имеем; г=1; а( = -ур* ; A32i=K;
Л4га=К; при этом
г [К
В° = v? + 1 [ 2
+ К ch х
Я !	/	я \
—--------- К ch х л — — I +
2 sh ил [	\	2 у
Кг
2 (х2 Ч- 1)
Далее по зависимостям (9.6) — (9.11)
(для массивных колец 1/х2 = 0).
Пример 9.7. Стальное опорное кольцо, нагруженное
крутящими моментами К=100 Т-м по схеме 1
(табл. 9.18), имеет корытное сечение (см. рис. 9.1,6)
с размерами: высота а толщина стенки 170 и 5,5 см:,
ширина и толщина полок 30,5 и 15,5 см. Необходимо
определить нормальные напряжения о и наибольший
угол закручивания 0 кольца. Геометрические характери-
стики сечения [1]: радиус центра изгиба г=219 см-,
/х = 7,03-10е смК «\ = 8,27-104 см?-, /к==7,43-10е см\
I =6,04 -10s с.и3; секториальная координата наиболее
опасной точки 1 (см. рис. 9.1,6) «( = 1312 см?. Изгибно-
крутильная характеристика
/ ^ТТоГТ^зЛоГ
х = 219 1/ --------!------= 1,49.
У 2,1-108-6,04-10й
Определим начальные параметры. В данном случае
К х2 / sh ха
Д' (а) = — ----------1 --------— sin а
'	2 к2 + 11	ил
\ sh —
\	2
К / я?
Д (а) = —---------1--------sh на Ц- sin а
1 *	2(х2+1) хл
\ sh —-
\	2
Остальные формулы приведены в табл. 9.18. По
этим формулам на рис. 9.14 построены эпюры L(a),
Д(а), Д(а) и К(а) в долях Я и <8(а) в долях Кг при
и =1,49.
Наиболее опасным оказывается сечение, где а=0
(в сечении, где а = л/2, расположена цапфа). Тогда
£о = О,5-100=50 Т-м-, Во=О,11-100-2,19 = 24,1 Т-.«2.
Наибольшее нормальное напряжение возникает
в точке 1 сечения, где по принятому правилу знаков из-
гибающий момент создает сжатие, а бимомент — растя-
жение;
Формулы для определения начальных параметров в массивном кольце
О
Начальный па^
раметр
Таблица
Общий случай пространственной нагрузки’	Нагрузка в плоскости кольца’				Нагрузка перпендикулярна плоскости кольца’			
	общий случай	тангенциаль- ные силы	радиаль- ные силы	горизонталь- ные изгибаю- щие момент у	общий случай	верти- ка л ЬНЫс- силы	верти- кальные изгибаю- щие мо- менты	кру ТЯЩНи м о .менты
"о «0	л'о—а* + + ~rZl>zi	cosaj- — —	sin аг- 4- 4 __J_	£Д1 , cos czJ ' + ’ у	J	,Vo -L. j” ДЛ1да sin at + -j- — ЯР - /sin ex, — 21 \	I cos — — £Pxi sin c^j	tT 0 a' N Q- II e	a" s’ -h »	Л- =		 SM j sin a, u	nr		41.x Q	ЛГ n 4-1	1 X X EM , COS OL г(	'	-Vo = °	
	Rq =-	cos а,- + + — 1+г/ (cos аг + а( siи к;) — —- —	0^ cos а? -	1	£Л1 sin а,1 п + 1	1х	21	']	«0 =- A- |sAl^ cos a{ + + ~ iPzi (cos ai + + at sin aj — ~72/Щ ai cos ’i]	1	J 22	fs j Jso ms	j	a“ 8 гГ N ~ I £ n	a“ P Й | к 1 li	nr n "Г	1 X +Мг(. sin a(	«0 = 0	
f]0	Я0 =- ''Л',, +	[2Л(+ а1 + + ^1 + f	1 4--AL ГЛ1 / zl х	J	"0 =“ '«0 + .p. — (SAf ,	4- , 2-jt	y	+ a. L £ ~r	5 | I H © in	a" -1 © 1 II	H = — - —чц 2M 9	2« lx	Я0=<1	N 5- M •л|~* -1 © a:
’ Формулы для определения Qo, /<а и Lo берутся из табл. 9.17.
* (>0 К. = £.,-= 0.
Примечание, Если 1 — 1 (рис, 9,12) — ось симметрии нагрузки, то /?., ~ Qd — А'о = D; если У — 1
ось антисимметрии, то Nй =^= Hu ~ L, = 0.
РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
9.2. КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА
551
W
dz
50-Ю6
8,27-104
24,1 -10М312
6,08-10'1
= 460 кГ/смК
Касательные напряжения свободного кручения по сече-
ниям согласно эпюре К (а) невелики.
Наибольший угол закручивания 0 имеет место в се-
чениях, где к кольцу приложены крутящие моменты
К[23]:
0 =
El х	G1и
И2
где с-> =-------
(х2+1)2
'	4х	хп А
и2 ] — — cth — 1 -
,	л 4 )
Для массивных сечений щ = 1. В нашем случае при
х=1,49 щ = 0,276 и 0 = 0,004 рас» =14'.
Кольцо массивного асимметричного сечения,
нагруженное произвольными силами и моментами
Для определения неизвестных силовых факторов
До, Wo, Qci, Lo и Л’о в каком-либо сечении, принятом за
начальное (начальных параметров), или для раскрытия
статической неопределимости кольца можно использо-
вать формулы из работы [241. В табл. 9.19 приведены
выражения для ЛД До и На. Величины Qc, t0 и Ко и в
этом случае определяются по зависимости из табл. 9.17.
Последующий расчет кольца можно вести по формулам
(9.3) — (9.17) для круговых брусьев. Некоторые допол-
нительные данные можно найти в работе [2].
Напряжения в кольцах, вызванные наличием дислокации
Внутренние усилия, возникающие в кольцах благо-
даря наличию дислокаций, определяются первыми сла-
гаемыми формул (9.35)—(9.43). Коэффициенты D, вхо-
дящие в эти выражения, определяются формулами
(9.50). Угол а отсчитывается от места расположения
дислокации до текущего сечения. При наличии несколь-
ких дислокаций производится суммирование усилий от
каждой дислокации. В случае распределенных дислока-
ций суммирование заменяется интегрированием по уча-
стку, на котором распределены дислокации.
В табл. 9.20 приведены усилия, вызываемые в коль-
це наличием сосредоточенных дислокаций различных
типов.
Пример 9.8. Стальной прокатный уголок ЮОХЮОХ
ХЮ -«л согнут 1 виде кольца радиусом г= 1СЮ см. Об-
разовавшийся при этом зазор шириной 3=1 см ликви-
дирован путем подтяжки свободных торцов вплотную
друг к другу с последующей сваркой в месте стыка.
Вычислить внутренние усилия, возникшие в кольце:
£' = 2-108 кГ1см.2; G =0,8-10е кПсм2 (см. схему 3
табл. 9.20).
Характеристики сечения (ГОСТ 8509—57): F —
= 19,2 см2; /ж = Д=179 см4; /^ = 284 см4; 1ут =
= 74,1 см4; 1хУ = —105 см4;
Таблица 9.23
Усилии в кольце от сосредоточенных дислокаций
Вид дислшадии /схема нагружееия)	Яяутренние усилия
।	i Г	ЛЦа) = 0; Г? (GI. =0; 0 (а)=	А: с/к t (а) = О , 1 (а) — 0' К(а) = t>; В fa) =0
f в/ \	D д’ (а) —— —-- sin аЛ; Dx R (а) =—ф- cos а Л. Q (а; = о X К (а) =—	cos аЛ; D,a t (а) =	7^— sin аЛ; о Н (а) = —— sin -хЛ; К <а) ~ nr <J+ 1) C0S “А; я<“>— „(хз + D
/ я/ ]	Пх Л'(а)=-^ф-cos аЗ; D Я (а) =	г sir аМ Q (а) — Ц иг- П.,, К (а) =-	— sin аз: иг D Ь а)= -—cos аЗ: ПТ Н (а)  		—- cos а=: пт яс оД 1Г51 aS; Dx« В (а; —	~-гг~ cos и3: л (Xй + 1)
	N (я) = ——cos аФ; W R (а) = 			 sin аФ: Q (а) =0 nr Dti К (а) 		с— sin аФ- л D 6 (а) = -м— cos аФ: л Н (а) — —— cos аФ; л =	Du К (а) =	т-т-тт* sin зФ: л (и3 + 1) г°’х С““Ф:
g52	РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
№ рз&оджек,ие табл. 9.20
Ввд дислокации
«схема нагружения5
В@гутрети^е усш®яи
JV («I =----cos аЧЛ
D
# (а) — --sin sW;
яг
Q (а I = ft
О ,
К (а) — —sin
к
Я <а) = -—-~ sin «в;
R (а> —----------41Е. c&s а0;
<?/
Q(K> = _i0;
L <а> — -—— sin ав;
я
И (а) =-------=i- sin ив.
100.179	<•
в ------,------- 0 425,10-K в 0 425» 10~°;
х 2.10.284.74,1	'
100 (—105?
2-10®.284.74,1
0.25-10"~&.
По формулам (9.50) £>*=2,37-8Г; ®1г)==—в,83-1Э6.
Из табл. 9.20 для кольца с дислокацией S
cos at
Д' (а; = 1 >2,37- 10е---— = 75 cos а «Г;
5Е* 1V®
sina
R (а) = 1.2,37.10s — - = 75 sin а кГ;
si-lO
sin а
К (а) = 1-0,03» 10s----= lW)sin®K£ *cjk,
я-100
cos a
5(a)— 1-0,03-10'----------— 100 cos а кГ  см;
л-ПЮ
И (а) =— 1 -2,37-10® cos а.— —7500 cos а кГ-см
В (а.) = Т (а.) ~ 0.
Наибольшие напряжения действуют в сечениях при
а—0° и а==180“, где изгибающий момент И достигает
максимума,
Кольцо на упругом основании
При произвольной внешней нагрузке на кольцо, опер-
тое на трехмерное упругое основание с шестью [27]
или с двумя [26] постоянными коэффициентами упруго-
го основания, решения для кольца могут быть получены
из обыкновенного дифференциального уравнения вось-
мого порядка (или двух уравнений 6-го и 2-го порядка)
для перемещений с помощью рядов Фурье, однако эти
решения еще почти не изучены. Упругим основанием
может служить грунт, на котором лежит кольцо, либо
тонкая оболочка, к которой прикреплено кольцо, являю-
щееся для оболочки элементом жесткости. Если сосре-
доточенные силы и .моменты, приложенные к кольцу,
уравновешиваются реакциями оболочки или грунта
только в виде сил, распределенных по окружности коль-
ца, то и в этом случае закон изменения реакции упру-
гого основания может быть весьма сложным, если жест-
кости кольца и основаиия соизмеримы [5, 14].
Если в первом приближении кольцо считать по срав-
нению с основанием абсолютно жестким, то реакция
оказывается распределенной по синусоидальному (или
косинусоидальному) закону. В случае сил, перпендику-
лярных плоскости кольца, можно считать, что реакция
основания сводится к отпору р(а}, перпендикулярному
плоскости кольца. В случае нагрузок, деформирующих
кольцо в его плоскости, реакция упругого основания
или оболочки, которую это кольцо подкрепляет, сводит-
ся к касательным усилиям о(а), уравновешивающим
внешнюю нагрузку. Если в силу конструктивных осо-
бенностей прикрепления кольца к упругому основанию
реакция основания оказывается приложенной на рас-
стоянии t от оси кольца, то возникают дополнительные
распределенные моменты	когда кольцо
нагружено в плоскости кривизны и m. (а) = 1р(а), при
нагрузках, перпендикулярных плоскости кривизны,
В табл. 9.21 приведены значения внутренних усилий,
возникающих в кольце под действием сосредоточенных
сил и моментов. Эксцентрицитет t распределенной реак-
ции считается положительным, если реакции сме-
шены относительно оси кольца от центра кривизны G.
Реакции, перпендикулярные плоскости кольца, изо-
бражены кружками с точкой в центре, если они направ-
лены вверх, и кружками с крестиком, если они направ-
лены вниз (последние три схемы табл. 9.21). Сосредо-
точенные моменты изображены волнистой стрелкой (на-
правление вращения показывается дуговой стрелкой).
Значения внутренних усилий, приведенные в табл. 9.21,
выражаются через функции влияния /-'(«), величины ко-
торых можно вычислить по формулам (см. стр. 540) или
с помощью табл. 9.14—9,16.
Значения усилии и перемещений для других частных
случаев нагрузки можно найти в справочниках [15, 16
и 25].
9,2. КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА
553
Т а 6 л , ц 1 9.21
Усилия в абсолютно жесткнх круговых вольная »а упругом основании
Схема нагружения	Формулы дла уЕхэлэй Ki текущем сечении
Il u- AV tt °\ 7Д	Я(Д13 A' (a) — P j A da) — —Y_ ц 4-	__ __l_„ cos a I; x [	2л	2flz	j P la.) = P j AC jja) — —- sin a] ; l	ЛГ	j S}?a)^O; £ Ш) —	Д (a) = (% H ia) =— P% r/c (a); >	«(a)=ft K=0
,;ra <^7/ Хм J J	4W^ls,a)~ л(Д^ |wsa+ ^r + cj; N (a) = P? |r3 <cs>	4. sjB K j ; В ia.! — P M— c®s a -— F. (S) 	J-	J; 2 1яг	e	2л (л у t) j fc(<M=0; К (и) ==0; H iai =~ A,J,r/-’s (a); В <ra) = О, К Кг) — 0
!/ ( / \Y я f А я , n'	it ^т-^{гУ+^ M3i (a j — —sin a; Я7 к<а> = ^г(гтг-2сюа); Q (a) = 0; L (a) = 0; X (a) = Oj H <s) = —i (2 sin a — a); 233 S (O 5 = u /< '{t2 ) “ 0
° Lit	
	p (£« j s=^. —-— (3 i- —css a | P • 2а.-	rpt	) y JV (a) = —2—!Jt-  —		P cos и; Л	' + 8	» - ,+ , Q (ai= IЛ ,a;+ ~—-  —4— sin a j P ; I	'»	' + *	I 4

£ ja)
Л' (а)
> к
Ji
Я
~  ffpPTsiKArPv
if
Н (О) =
>г(ус® a tP9;
К (а) =

a l> .	I
-i_A_ • — cos a + FM ja) I f Pt
554
РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
Продолжение табл. 9.2}
Формулы для усилий в текущем сечении
р =. eos а м 
лг (г -г I)
Dxu
N W = 'яТг ':"'ТГ с03 “ мг ‘
п I г -j- I )	*
R (а) = —~—• sin а М :
ЗТ (г -Г >- )	£
О (а) ~----------sin а. Мл
n(r + t)	г
[ I ~ a D, r	1
К (а) — —------------- —ту siri а ~Н (а) М2',
L <а!=	' ЩЛ с03 а+ ~5Г + f\ ] Мг’
Н (а) =-------— -------— + a D —-— cos а М :
п [ 2аг ХИ г -\-t J 2
KW ™ [4г^ТТГ ' ПЛ Sin “ + /?15 <а) ] АЗг;
В <я,= [Йи+ТГ ' VT7 cos а ~ 7H««] гМг-
Р (0.)=----------- Sin а М ;
лг < г 4- t)
N (а) =
хи
sin а М
^7 XU	'
(OS) = ~~ ...1 '	COS Qi. M
ТСГ	Г t	x
1	1	0r	1
q (a)=------- 1-------cos а M •
2nr j r i J
Д' (а)== [Л Р«~1_ . _Щ. cos a + Л4 (а)1 M
j Л	r “T“ i	I
Г a D ,	1
X (ct)= ------~  —r— sin а 4- / „ (a) M„;
In r + i	’ J
аг Du t
H (cs) —-----X, ~~— sin a My;
л r q_ i	x’
~	[ a- Dp —I i	1
A ’a)= lЛГЛчЛГ ' ПЛ~ COS “ + FU ] Mx'<
e ” [г(Ц + 1) ' ПУ sin a + Fi3(a)] rMx-
ЛИТЕРАТУРА
555
ЛИТЕРАТУРА
1.	Беляев И. М. Сопротивление материалов. ГИТТЛ,
1958.
2.	Беркм а н Б. А. Деформация замкнутой рамы пере-
менного сечения под действием произвольной периодической на-
грузки. «Энергомашиностроение», 1965, № 1.
3	Биргер И. А. Расчет колец.. В сб..* «Расчеты иа проч-
ность», вып. 10. Машиностроение, 1964,
4.	Биценко К- Б.. Грам м ель Р. Техническая дина-
мика, т. 1, Гостехпздат, .1950.
5.	Бояршинов С. В. Изгиб кольца, опирающегося на
упругое основание. ИВУЗ. «Машиностроение», 1967, № 4.
6.	Григорьев Ю. П. К расчету кривых тонкостенных
брусьев. В сб.: «Расчет пространственных конструкций», вып. 1.
Машстройвздат. 1950.
7.	Григорьев Ю. П. Формулы и таблицы для расчета
тонкостенных круговых колец. В сб.: «Расчет пространственных
конструкций», вып. 2. Госстройиздат, 1951.
8.	Гучков В, В. Формулы и графики на прочность и
жесткость монорельсовых балок на закруглении. Сборник
ВНИИПТМАШ «Новая подъемно-транспортная техника». Маш-
гиз, 1948.
9.	Демидов С. П. Расчет на прочность плоского кривого
бруса прямоугольного поперечного сечения, нагруженного сила-
ми, перпендикулярными плоскости кривизны. В сб.: «Расчеты
на прочность элементов машиностроительных конструкций»,
вып. 33. МВТУ. Машгиз, 1955.
10.	Понома р es С. Д-, Би дерм ая В. Л. н др. Рас-
четы на прочность в машиностроении, т. 1. Машгиз, 1956.
11.	Попов А. А. Сопротивление материалов. Машгиз. 1958.
12,	Попов А. А., Орлик А. С., Пономарев С. Д.
Расчет кривого бруса. Г1Т11, 1933.
13.	Сегаль А. И. Расчет замкнутого кольца как статиче-
ски определимой системы. В сб.: Исследования по теории со-
оружений». вып. У» 3. Госстройиздат, 1950.
14,	Сегаль А. И. К расчету кольца и балки на упругом
основании. Сб. научно-исследовательских трудов МИИК.С,
вып. 4, 1947.
15.	Справочник машиностроения, т. 3. Машгиз, 1951.
16.	Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический том*
Госстройиздат, 1960.
Тимошенко С. П. Сопротивление материалов, т. 2,
18.	Уманский А. А. Пространственные системы. Строй-
из дат, 1948.
19.	У м а некий А. А. Теория и примеры расчета на проч-
ность монорельсовых балок на закруглении. Сборник
ВНИИПТМАШ «Новая продъемно-транспортная техника». Маш-
гиз, 1948.
20.	Уманский А. А. Специальные расчеты монорельсо-
вых балок. Сборник ВНИИПТМАШ «Новая подъемно-транс-
портная техника». 1948.
21.	Урбан И. В. К вопросу о расчете кривых брусьев.
Труды МНИТ, вып. 1, 1956.
22.	Шиманский Ю. А. Строительная механика подвод-
ных лодок. Судпромгнз, 1948.
23.	Шу сторович В, М. Расчет на прочность опорных
круговых колец. «Вестник машиностроения», № 5, 1966.
24.	Шусторович В. М. Расчет круговых колец с асим-
метричным поперечным сечением на произвольную нагрузку*
Труды I Всесоюзной конференции по расчетам на прочность
металлургических машин. ВНИИМетмаш, сб. 23, т. 2, 1969.
25.	ЭСМ т, 1, кн. 2. Машгиз, 1948.
26.	Rodriguez D. A. Three dimensional bending of a ring
on an elastic foundation. J. Appl. Meeh., 28, 461—463, 1961,
[Родригес Д. А. Трехмерный изгиб колец на упругом основании*
Прикладная механика, серия Е, Лэ 3, 1961, стр. 167 (русский пе-
ревод)]
27.	Weiler F,_C. Analisis of a ring on a three dimensional
elastic foundtition. Journal of Spacecraft and Rockets 1966, vol, 3,
2, p. 285—287.
РАЗДЕЛ ю
ФЕРМЫ
10.1. ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ
10.1.1. Основные положения расчета
Элементы. Совокупность стержней, ограничивающих
контур фермы сверху, образует верхний пояс, а снизу —
нижний пояс. BiivTpeuHne стержни фермы образуют ее
решетку.
Порядок расчета. Расчетом определяются опорные
реакции и максимально возможные значения усилий
в каждом из стержней от постоянной и временной на-
грузок. В статически неопределимых фермах реакции
и усилия определяются также и от температурных воз-
действий. При необходимости определяются перемеще-
ния узлов от нагрузки и температурного воздействия.
Порядок расчета статически определимых ферм:
1) составление (вычерчивание) расчетной схемы;
2) проверка геометрической и мгновенной неизменяемо-
сти; 3) определение нагрузок; 4) определение опорных
реакций; 5) определение усилий; 6) подбор сечений
элементов; 7) определение перемещений (при необходи-
мости).
Порядок расчета статически неопределимых ферм:
пп. 1—3—как для статически определимых; 4) пред-
варительное определение сечений элементов на основа-
нии практического опыта или путем приближенного рас-
чета (при определении усилий от нагрузки достаточно
выяснить лишь соотношение между площадями сечений
элементов, а при определении усилий от температурно-
го воздействия надо знать фактические площади);
5) определение усилий; 6) проверка сечений; 7) уточне-
ние расчета в случае, если разница между предвари-
тельно принятыми и фактическими сечениями велика;
8) определение перемещений.
Усилия и реакции в статически определимой ферме
могут быть найдены с помощью уравнений статики:
трех — в плоских, шести — в пространственных фермах.
Для расчета статически неопределимых ферм условии
статики недостаточно.
Условия статической определимости: плоских ферм
С—2У = 0; пространственных ферм С—ЗУ = 0. Здесь
С—число стержней фермы, включая опорные; У — чи-
сло узлов фермы, включая опорные (узлы, принадлежа-
щие земле, в счет не входят}.
Если левая часть равенства больше нуля, ферма ста-
тически неопределима и полученное число показывает
необходимое количество дополнительных уравнений; ес-
ли левая часть меньше нуля, ферма геометрически из-
меняема.
Нагрузки. Как правило, нагрузка прикладывается
в si:де сосредоточенных сил к соответствующим узлам
фермы. Собственный вес фермы прикладывается к узлам
верхнего пояса, а при наличии подвесного потолка (или
подвесных грузов) он распределяется пополам между
узлами верхнего н нижнего поясов. Ветровая нагрузка
прикладывается в виде грузов, нормальных к кровле.
Для большинства стропильных ферм невыгодные
комбинации нагрузок исчерпываются загруженном всей
фермы постоянной и временной нагрузкой н затем всей
фермы постоянной, а полупролета — временной нагртз-
кой. Из этого правила бывают исключения; например,
для стойки полигональной фермы невыгодным будет за-
гружение временной нагрузкой по рис. 10.1.
Усилия целесообразно определять от единичных сос-
редоточенных нагрузок; при симметричных фермах
в большинстве случаев достаточно определить усилия
от единичных грузов на полупролете, при несимметрич-
ных — па полупролете слева и справа и затем исполь-
зовать способ наложения.
10.1.2. Определение усилий в статически
определимых фермах'при неподвижной
нагрузке
Установление неработающих стержней я стержней,
усилия в которых определяются местной нагрузкой
Возможны следующие случаи (рнс. 10.2):
1)	узел имеет два стержня, и внешняя сила к узлу
не приложена — усилия в обоих стержнях равны нулю
(узел 7);
2)	узел имеет два стержня, и к узлу приложена
внешняя сила или реакция, направление которой совпа-
дает с направлением одного из стержней, — усилие в
нем равно внешней силе и направлено в противополож-
ную сторону (узел 2, 1/1==А>); в другом стержне усилие
равно нулю (узел 2, U) = 0);
3)	узел фермы имеет три стержня, из которых два
лежат на одной прямой, а третий направлен к этой пря-
10.1. ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ
557
мой под произвольным углом, и к узлу внешняя сила
не приложена, — усилия в первых двух стержнях рав-
ны, а третий не работает (узел 3, U2 — U3, Vs — 0);
4)	если в предыдущем случае к узлу приложена
внешняя сила, действующая в направлении третьего
стержня, то усилие в нем численно равно внешней си-
ле, а знак определяется нагрузкой; усилия же в стерж-
нях, лежащих на одной прямой, равны между собой
(узел 4, 1ф =—Р, Oi = O2);
5)	узел фермы имеет три стержня, из которых два
расположены под одним углом к третьему, и к узлу
приложена внешняя сила, действующая по направлению
третьего стержня, или не приложена вовсе — усилия
в первых двух равны между собой (узел 5, О3=О4).
усилий, которые полагают направленными от узла. Со-
ставляют уравнения моментов относительно точек, кото-
рые выбираются в пересечениях двух стержней, или
уравнения проекций на ось, перпендикулярную направ-
лению двух усилий (если имеются параллельные). Тогда
в каждое уравнение входит не более одного неизвестно-
го (см. разд. 2).
Пример 10.2. Определить усилия в стержнях
О3, D2, U2 (рис. 10.3, а). Уравнения составляются отно-
сительно точек Щ], т2, т3 (рис. 10.3, в). Уравнение мо-
ментов относительно точки ту.
— Ла + Р (а ф- d)+ Р {а + 2d) — йфщ = 0.
Зная, что А = 2,5 Р, находим
Аналитическое определение усилий
Производится с помощью уравнений статики, кото-
рые составляются так, чтобы в каждое входило по воз-
можности не более одного неизвестного. Аналитический
способ целесообразно применять главным образом в тех
случаях, когда интересуются усилием в одном стержне
или небольшом числе стержней.
Способ вырезания узлов. Узлы вырезаются в таком
порядке, чтобы в каждом было не более двух неизвест-
Составляя аналогично уравнения моментов относи-
тельно двух других точек, находим О3 я U2. Проводя
далее сечения по другим панелям, этим методом можно
рассчитать всю ферму.
Если в сечение попадают только аъа стержня, мо-
ментная точка выбирается в любом удобном месте на
Рис. 10.3
Рис, 10,4
вых усилий. Последние определяются либо из уравне-
ния проекций ма ось, перпендикулярную одному
из стержней, либо из уравнения моментов относительно
точки, лежащей на одном из стержней.
Пример 10.1. Определить усилия в стержнях, сходя-
щихся в опорном узле А (рис. 10.3, а). Уравнения про-
екций иа оси И1—П] и п2—п2 (рис. 10,3, б):
A cos а — U1 cos j3 = 0; A cos у ф- О± cos б = 0.
Реакция А предполагается известной. Находим
cos я	cos у
О1 = -Л------
cos р	cos о
знак минус указывает, что направление усилия было
выбрано неверно, стержень О] фактически сжат. Сле-
дующим должен быть вырезан узел, где сходятся стер-
жни О], О2, Dy, усилие Oj уже известно. Аналогично оп-
ределяются усилия в последующих узлах.
Метод сквозных сечеиий. Ферму разрезают на две
части так, чтобы обнажилось не более трех неизвестных
стержне, усилие в котором определяют во вторую-
очередь,
В фермах с параллельными поясами (рис, 10.4, а)
усилия в поясах и раскосах определяются с помощью
сечений типа а—а, а усилия в стойках определяются
из уравнений проекций на вертикаль с помощью сече-
ний типа Ь—Ь. При нагрузке, перпендикулярной общему
направлению поясов, целесообразно использовать эпюры
М и Q (рис. 10,4,6, в), например, при нисходящих рас-
косах (в левой половине фермы), как показано па
рис, 10,4, а:
=	(10 Л >
В ферме с восходящими раскосами индексы .момен-
тов в формулах для Q и U меняются местами, а в фор-
мулах для D и V знак меняется на обратный (в послед-
ние формулы Q входит со своим знаком соответственно
эпюре).
558
РАЗДЕЛ 10, ФЕРМЫ
Графическое определение усилий
Осуществляется построением диаграммы Максвел-
ла—Кремоны, Ею удобнее всего пользоваться, когда
иадо определить усилия во всех стержнях.
Расчет ферм на внеузловую нагрузку
Внеузловая нагрузка, приложенная непосредственно
к стержню, распределяется между узлами по правилу
рычага (рис. 10.5, а, б). В самом стержне возникают,
Рис, 10,5
кроме продольного усилия, изгибающий момент и попе-
речная сила.
Расчет ферм с криволинейным поясом
При расчете ферм с криволинейным поясом усилия
определяются обычным методом в предположении шар-
нирных узлов и прямолинейных стержней между ними,
но при подборе сечений пояса учитываются моменты от
кривизны оси и от внеузловой нагрузки, которая обыч-
но имеется иа криволинейном верхнем поясе. Подроб-
нее о расчете см. [12].
Расчет составных ферм
При больших размерах панелей стержни фермы мо-
гут заменяться дополнительными решетчатыми элемен-
тами и шпреигелями. В этом случае (рис. 10.5, в) сна-
чала рассчитывается основная ферма на узловую на-
грузку (рис. 10.5, г), которая определяется, как было
указано выше. Затем находят усилия в дополнительных
элементах; например, в фермочке ab (рис. 10.5, д) —
с учетом усилия АС-ь в стержне а—Ь основной фермы,
в шпренгеле ced (рис. 10,5, е)—с учетом усилия А’с-я
в стержне с—d. В стержнях заданной фермы, которые
не являются общими со стержнями дополнительных
элементов, усилия целиком определяются из расчета
основной фермы, В стержнях, общих для основной фер-
мы и шпренгеля, например в стержне d е, усилия оп-
ределяются суммированием величин, полученных из
расчетов основной фермы и дополнительного элемента.
Способ замены стержней
Для ферм, не являющихся простейшими, т. е. не пред-
ставляющих последовательный ряд треугольников, ана-
литический и графический способы определения усилий
оказываются непосредственно неприменимыми и исполь-
зуется способ замены стержней [32],
Тонкостенные фермы [31]
Тонкостенными называются фермы, образованные из
обычных путем замены раскосов тонкими пластинками.
Расчет ведется в предположении шарнирных узлов,
действия узловой нагрузки и наличия только сдвигаю-
щих сил взаимодействия между стенкой и стержня-
ми. Усилия определяются графически из диаграммы,
которая строится для условной модели, заменяющей дан-
ную тонкостенную ферму. Модель образуется вписы-
ванием в каждую панель фермы вместо стенки стерж-
невого параллелограмма, стороны которого параллель-
ны диагоналям панели; форма параллелограмма может
быть произвольна. В местах пересечения сторон парал-
лелограмма со стержнями фермы вводятся шарниры. Мо-
дель геометрически изменяема, но при любой нагрузке,
приложенной к основным узлам, система статически оп-
ределима и имеет конечные усилия. Равнодействующая
сдвигающих усилий получается как равнодействующая
усилий полураскосов, примыкающих к поясу или стой-
ке. Устойчивость пластинки должна быть обеспечена.
Пример 10.3. Определить усилия в тонкостенной кон-
сольной ферме (рис, 10.6, а, б). Усилия в поясах и стой-
ках вследствие наличия сдвигающих сил — переменные.
Усилие в стержне 3—4, например вблизи узла 2—3, оп-
ределяется отрезком диаграммы с—3 (рис. 10.6, в), а
вблизи узла 4—5— отрезком с—4. Распределение
сдвигающего усилия вдоль стержня принимается рав-
номерное, а распределение продольного усилия в стер-
жне— по линейному закону. Сдвигающая сила между
стенкой и элементом 3—4 пояса определяется отрезком
диаграммы 3—4. На рис. 10.6, г показаны сдвигающие
силы, действующие на стенку панели В, на рис. 10.6, д—
воздействие стенки на окаймляющие стержни, а на
рис. 10.6, е — эпюры усилий в стержнях этой панели.
10.1. ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ
559
Распорные и комбинированные фермы
К числу распорных относят трехшарнирные арочные
фермы, фермы с затяжками и висячие конструкции.
В арочных конструкциях распор направлен внутрь про-
лета, в висячих — наружу. Определение реакций —
см. разд. 2. Усилия определяются графическим или

Рис. J0.6
аналитическим способом, так же как и в балочных фер-
мах. Усилие в затяжке, если она имеется, определяют
методом сечений.
О расчете комбинированных ферм, которые применя-
ются главным образом в мостовых сооружениях, см.
[22].
10.1.3. Перемещения узлов статически
определимых ферм.
Предварительно вычисляются удлинения всех стерж-
ней:
упругие — по формуле
А'0/
=	(Ю.2)
где Л'° — усилие в стержне от заданной нагрузки;
I — его длина;
Е — модуль упругости;
F — площадь поперечного сечения;
от температурного воздействия — по формуле
=	(10.3)
где а—коэффициент линейного расширения материа-
ла стержня;
t — изменение температуры.
Перемещения могут определяться аналитическим
и графическим способами. Первый удобен при опреде-
лении какого-либо одного перемещения, например про-
гиба нижнего пояса в середине пролета, второй — для
получения линии прогиба и вообще всех перемещений
фермы,
Аналитический способ определения перемещений сво-
дится к пользованию формулой
Ар = 2Хр> или	N",	(10.4)
где ApHanAi — перемещение от заданной нагрузки
или от температурного воздействия по
интересующему направлению;
Хр или А/—удлинение стержня от заданной на-
грузки или от температурного воздей-
ствия;
Л’ — усилие в стержне от единичной на-
грузки, приложенной по направлению
искомого перемещения.
В уравнении (10.4) суммирование ведется по всем
стержням, усилия и удлинения входят со своими зна-
ками.
Для определения прогиба какого-либо узла фермы
в нем прикладывается единичная вертикальная сила
(рис. 10.7, а). Для определения сближения двух узлов
Рис. 10.7
(рис. 10.7,6) в этих узлах прикладываются равные
и противоположные единичные силы, действующие по
направлению прямой, соединяющей узлы. Для опреде-
ления угла поворота стержня берется пара сил с мо-
ментом, равным единице, причем составляющие пары,
равные 1/1-т, прикладываются к узлам стержня перпен-
дикулярно последнему (рис. 10.7, в); в этом случае уси-
лия N имеют размерность см~1. Для вычисления при-
ращения угла ато берутся две противоположные пары
(рис. 10.7, а).
При определении перемещений от осадки опор опор-
ные устройства заменяются стерженьками, которым да-
560
РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫ
ются удлинения или укорочения, равные осадке, после
чего применяется формула (10.4).
Графическое определение перемещений см. [32].
Пример 10.4. Найти прогиб среднего узла иижпего
пояса стальной фермы (рис. 10.8). В табл. 10.1 даны
геометрические характеристики элементов, усилия в т
от нагрузки в узлах верхнего пояса и от единичного
груза, приложенного в рассматриваемом узле для вы-
числения прогиба, значения NpNl/F для каждого стерж-
ня. При £=2,1-103 т/см2 прогиб
12 867
Д = ----— =6,1 СМ,
2100
(10.5)
что составляет 1/500 8
Таблица 10.1
Н аммено- ванме элемента	I F	Усилие от нагрузки N&	Усилие от единичного груза N	F
1	2	3	4	5
О) О- Об of и. и\ -Oj D й‘ Vy	8,75 8,75 5,95 5,95 6,0 10, !J 14,1 14,1 15,0 13,o 42,2 25,0 25,0 6,2 16,5	—33,6 —33,6 —65,5 —65,5 —66,3 0 +54,6 +69,0 -Ml,2 —27,7 + 15,1 —5,0 —3,4 -30,2 —5,9 —6,7	—0,63 —0,63 —3,56 ’-1,56 —2,23 0 +1,12 + 1,9'2 +0,77 —0,67 +0,57 —0,52 +0,45 —0,50 V	+185 +185 +608 +608 +887 +862 + 1870 +477 4-24’2 +365 4-65 —38 +94 0 0
22=6410				
	22.5	+5,9	+0,35	+«
z -Я	=6410-2+ 47=12 867				
10.1.4. Линии влияния усилий и перемещений
в статически определимых фермах
Линией влияния (л. в ) называется диаграмма, изо-
бражающая закон изменения усилия в элементе фермы
или перемещения ее узла, вызываемого движущимся
вдоль фермы единичным грузом постоянного направле-
ния. Л. в, используются для вычисления усилий или
перемещений при подвижной нагрузке и при большом
числе грузов.
Если ордината л. в. усилия какого-либо элемента
под грузом Р равна у, то усилие в элементе
N = Ру.	(10.6)
Усилие при нескольких грузах Р\, Р$, Рп
Р = Р1У1 + Р-зУч -р Рп уп-	(10.7).
Усилие при наличии равномерной нагрузки интенсивно-
стью р
К = pQ,	(10.8)>
где Q — площадь части л. в., расположенной под на-
грузкой интенсивностью р.
При нагрузке переменной интенсивности р(х)
N = J р (х) dx.	(10.9)
Xl
По аналогичным формулам с помощью соответст-
вующих л. в, вычисляются и перемещения.
Статический способ построения линий влияния усилий1
Используются л. в. опорных реакций, которые стро-
ятся так же, как в простой балке, и метод сквозных
сечений. Усилие в стержне выражается через одну ре-
акцию из условий равновесия отделенной разрезом ча-
сти фермы, на которой отсутствует груз.
Пример 10.5 (рис. 10.9). Л. в. опорных реакций по-
строены заранее. Для построения л. в. усилия О3 про-
водим сечение через третью панель. Когда груз нахо-
дится в правой части фермы, из равновесия левой име-
ем Оз=—А—; стержень Оз сжат; л, в. в пределах от
г а
опоры В до узла 3 получается из л. в. реакции А пу-
10.1. ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ
561
тем умножения ее ординат в тех же пределах на вели-
fl
чину —. Из равновесия правой части фермы, когда
f а
Ъ
груз на левой, О3 =—В—; в пределах от опоры А до
г з
узла 3 л, в. О3 получается из л. в. реакции В путем ум-
ft
ножения ее ординат в тех же пределах на —. Техника
Гз
построения ясна из чертежа. Так же построена и л. в.
УСИЛИЯ U'i-
(в пределах рассеченной панели) получаем л. в. усилия
£>з. Л, в. усилия У2 получим, рассматривая равновесие
узла 3', с использованием л. в. О3 и аналогичной ей, но
не показанной на чертеже л. в. О2. Одиночный стержень
Уз работает только тогда, когда груз находится в пре-
делах третьей и четвертой панелей; наибольшего значе-
ния усилие достигает при нахождении груза в узле 4.
В распорных конструкциях л. в. усилий строятся
аналогично, по, кроме л. в. вертикальных реакций, ис-
пользуется и л. в. распора, которая определяется выра-
жением	Я = Л1«/)а,	(10.10)
Рис. 10.10
где М"—л. в. момента от нагрузки в
простой балке в точке, соот-
ветствующей ключу арки;
fa—стрела подъема.
На рис. 10.10 даны л. в. усилий в ха-
рактерных стержнях некоторых ферм.
Построение л.в. усилий в других фер-
мах см. [22].
Кинематический способ построения
линии влияния усилий
Линия влияния какого-либо усилия
получается как эпюра малых вертикаль-
ных перемещений пояса фермы, по кото-
рому движется единичный груз, постро-
енная в предположении, что исследуе-
мому стержню дается единичное удли-
нение, а все остальные стержни оста-
ются недеформированными. Эпюры
перемещений могут быть построены
Рис. 10.11
Для усилия D3 тоже получаем два значения соответ-
ственно нахождению груза в правой и левой частях
Г
пролета: D3 = — А —- и Ds = В — .
Г<1
Первое значение действительно от опоры В до уз-
ла 4, второе — от опоры /1 до узла 3. Умножая в этих
е
яределах ординаты л. в. А и В соответственно на —1
го
а и соединяя точки 3 и 4 на диаграмме прямой
графо-аналитически или чисто графически [22, 32]. Це-
лесообразно кинематическим способом определять толь-
ко вид л. в., а ординаты вычислять статическим спо-
собом.
Пример 10.6. На рис. 10.11 построена л.в. усилия
Оз. Ординаты взяты из аналитического расчета.
Линия влияния перемещения
Строится, как эпюра прогибов пояса фермы от еди-
ничной силы (или сил, если речь идет о сближении уз-
лов), приложенной по направлению рассматриваемого
562
РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫ
перемещения. Построение делается для пояса, по кото-
рому передвигается нагрузка. Для построения исполь-
зуется графический или аналитический способ определе-
ния прогиба.
Невыгодная установка грузов на линии влияния
Для получения максимальных значений усилия или
деформации от системы связанных между собой сосре-
доточенных грузов наибольший из них ставится над
максимальной ординатой линии влияния.
Д	^Р	Рг>
jit н н| I » Н н
^2
Рис. 10.12
Подсчитывается величина
S = Sf?tigat,	(10.11)
где Ri — равнодействующие грузов, находящихся над
каждым прямолинейным участком л. в,
(рис. 10.12);
а,-—углы наклона прямолинейных отрезков, поло-
жительные для левой части л.в. (когда ор-
динаты возрастают) и отрицательные — для
правой (когда ординаты уменьшаются).
Подсчет S ведется дважды: груз, стоящий над мак-
симальной ординатой, первый раз относится к левому
примыкающему участку, а второй раз — к правому.
Если в обоих подсчетах величина 3 разнозначна, при-
нятая установка — невыгоднейшая. Если S оба раза по-
ложительна, систему грузов надо передвинуть на один
груз вправо, если отрицательна, то соответственно влево,
после чего вновь проверить S на разнозначное».
Когда при невыгоднейшей установке часть грузов схо-
дит с пролета, вычисление повторяется для оставшихся
грузов.
10.1.5, Определение усилий
в статически неопределимых фермах
при неподвижной нагрузке
Метод сил
Основную систему следует выбирать наиболее про-
стой и симметричной. В фермах с перекрестной решет-
кой ее рационально образовывать разрезом обратных
раскосов (рис. 10.13, а), в шпренгельных фермах — раз-
резом шпренгеля (рис. 10 13,6), в двухпролетных фер-
мах (рис. 10.13, в)—отбрасыванием промежуточной
опоры (№ I) или одного из стержней пояса, примыкаю-
щего к средней опоре (№ 2), в многопролетных фер-
мах — отбрасыванием по одному из стержней пояса,
примыкающих > к промежуточным опорам, в двухшар-
нирных арках—отбрасыванием стержня (№ 3) с пре-
образованием двухшарпирной арки в трехшарнирную
(рис. 10.13, г).
Перемещение в основной системе по направлению
l-я лишней неизвестной от нагрузки определяется по
формуле
(10-12)
перемещение от температурного воздействия и осадки
опор — согласно 10.1.3 и ГО.1.7, а перемещение в основ-
ной системе по направлению г-й лишней неизвестной
от k-я неизвестной — по формуле
(10.13)
к	Ер
В (10.12) и (10.13) Л'°, Nt, Nk—'усилия в стержне
соответственно от внешней нагрузки, г-й и й-й едииич-
а)
Рис. 10.13
ных лишних неизвестных (т. е. Х,- = 1, Ад = 1). Сумми-
рование в этих формулах распространяется на все стер-
жни основной системы, а при вычислении б,,-— также
и на стержень, усилие в котором принято за лишнее не-
известное, если только он не является бесконечно же-
стким.
Уравнения для определения лишних неизвестных со-
ставляются н решаются, как обычно в методе сил.
Окончательные значения усилий в стержнях вычисляют-
ся по формуле
.у = уу0+Х1?/1 + Л’А+--.р- XnNn. (10.14)
Фермы с нецентрированными узлами
Неизменяемость таких ферм обеспечивается нераз-
резностью элементов и способностью их работать на
изгиб. Точный расчет при значительных эксцентриците-
тах проводится по методу сил. Перемещения определя-
ются по формулам (10.12) и (10.13), но с добавлением
соответственно в правой части слагаемых
Е/
V f dx
J Ef
(10.15)
(10.16)
10,1. ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ
563
учитывающих деформацию нагиба. Эти слагаемые вы-
числяются только для тех стержней, которые работают
на изгиб.
Малые эксцентрицитеты могут быть учтены после
расчета фермы в предположении центрированных узлов
путем приложения найденных усилий в точке факти-
ческого присоединения стержней и расчета соответст-
вующих элементов на сжатие или растяжение с из-
гибом.
Учет защемления ферм, жестко связанных с колоннами
При расчете ферм, являющихся ригелями рамных
конструкций и жестко связанных с колоннами, кроме
обычных нагрузок учитываются продольные силы риге-
ля и опорные моменты. Продольные силы условно счи-
10.1.7. Определение перемещений в статически
неопределимых фермах
Аналитический способ. Перемещения от нагрузки оп-
ределяются так же, как и в статически определимых
фермах, по формуле (10.4). Усилия N можно опреде-
лять в основной системе.
Перемещение от воздействия температуры
=	+^.Nlt.	(10.18)
Здесь Nt—усилия в стержнях от температурного
воздействия, определяемые из расчета статически неоп-
ределимой системы [22].
Рис. 10.14
10.1.8. Линии влияния усилий в статически
неопределимых фермах
При построении л. в, усилий всех стержней следует
сначала построить л. в. лишних неизвестных. Л. в, каж-
дого усилия получается затем путем суммирования л.в.
усилия в основной системе с л. в. усилий лишних иепз-
таются приложенными на уровне нижнего пояса фермы.
Опорные моменты заменяются парами горизонтальных
сил И с плечом h0, равным высоте фермы на опоре
(рис. 10.14):
(10.17)
Работа «нулевых» стержней
При значительных деформациях ферм «нулевые»
стержни включаются в работу. Действительные усилия
в них находятся из расчета фермы по деформированной
схеме, т. е. без гипотезы малых перемещений. Конструк-
тивное назначение размеров сечения «нулевых» стерж-
ней иногда может привести к снижению несущей спо-
собности фермы. Для обоснованного подбора сечения
этих элементов можно пользоваться расчетом [1о],
дающим предельное значение усилия.
10.1.6. Учет жесткости узлов. Расчет ферм
на ЭВМ
Расчет ферм в предположении шарнирных узлов
иногда не дает правильного представления о прочности,
так как не учитывает изгиба элементов, вызывающего
порой напряжения, соизмеримые с основными напряже-
ниями от продольных усилий. Изгиб следует учитывать
при относительно большой высоте сечения элемента
фермы и в случае малой пластичности материала.
При большой высоте сечения пояса и слабой решет-
ке можно пренебречь изгибом элементов решетки и ве-
сти расчет, включив в узлы пояса шарниры и приняв за
неизвестные изгибающие моменты в этих шарнирах.
Подробнее о расчете см. [29, 37].
Во всех случаях, однако, расчет целесообразно вести
на ЭВМ. С их помощью усилия и перемещения в ста-
тически определимых и статически неопределимых фер-
мах легко могут быть получены при использовании го-
товых универсальных типовых программ расчета стерж-
невых конструкций см. (5.12 и [7]).
564
РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫ
вестных, умноженных на соответствующие коэффициен-
ты влияния. Эти коэффициенты представляют собой
усилия в элементах основной системы от лишнего неиз-
вестного, принятого равным единице. При построении
л, в. небольшого числа усилий целесообразно строить
их как эпюры прогибов от единичных удлинений (дис-
локаций Д = 1) исследуемого стержня в действительной
статически неопределимой системе.
Пример 10.7. На рис. 10.15 дана линия влияния
лишней неизвестной (реакции опоры В), полученной
как эпюра прогибов основной системы—балочной фер-
мы па двух опорах А и С от Йц = 1. Масштаб л. в. по-
лучен из условия, что ордината над опорой В равна
единице (рис. 10.15, в). Л. в. реакции А (рис. 10.15,
и усилий в стержнях О3 (рис. 10.15, д) и О3
(рис. 10.15, е) получены суммированием л. в. основной
системы и л. в. Xt, умноженной на коэффициенты влия-
ния:
Оз =
°з=°з“27”^-
D
10.1.9.	Предварительно напряженные фермы.
Основные положения расчета
и конструирования
Предварительно напряженными называются фермы,
s элементах которых в процессе: изготовления или мон-
тажа искусственно создаются напряжения, обычно про-
тивоположные! по знаку напряжениям от расчетной на-
грузки. Предварительное напряжение имеет целью:
а)	снижение расхода основного материала фермы
путем использования материалов более высокой проч-
ности;
б)	повьгшеиие жесткости конструкции и улучшение
ее эксплуатационных качеств.
Основным способом создания предварительного на-
пряжения в статически определимых и статически неоп-
ределимых фермах является устройство напрягающих
элементов из стальных канатов, высокопрочных стерж-
ней: или проволоки. Ниже рассматриваются конструк-
ций, в которых напрягающие элементы не связаны
сцеплением с материалом основных элементов. К таким
конструкциям относятся В первую Очередь предвари-
тельно напряженные металлические фермы. Возможные
схемы таких ферм показаны: на рис. 10.16; на
рис, 10.16, а представлена ферма, у которой предвари-
тельно ? напряжены сжатием отдельные растянутые
стержни, на рис. 10.16,6—д — фермы, в которых пред-
варительное напряжение затяжек различной конфигура-
ции вызывает усилия одновременно во всех или не-
скольких стержнях.
При напряжении отдельных стержней тяжи распола-
гаются вблизи центра тяжести стержней; при напряже-
нии фермы в целом затяжки, располагаются симметрич-
но относительно ее вертикальной плоскости. Крепятся
затяжки или тяжи с помощью Специальных анкерных
устройств. Для обеспечения устойчивости элементов
ферм, сжимаемых в процессе предварительного напря-
жения, при расположении затяжек по оси элемента за-
тяжки крепятся к элементам, с помощью диафрагм
расстояние между которыми ^определяется расчетом.
При расположении затяжек вне ферм устойчивость по-
‘ Крепление затяжки не должно, однако, препятстаовать ее
продольному перемещению.
слсдних обеспечивается спариванием их в пространст-
венные блоки.
Расчет ведется по действующим техническим услови-
ям для невыгодных сочетаний нагрузок, включая пред-
варительное напряжение, усилие от которого входит
в основное сочетание. Предвавительное напряжение ме-
Рис. 10.16
таллических ферм целесообразно применять при боль-
ших пролетах и тяжелых нагрузках.
Фермы с предварительно напряженными отдельными
стержнями
Расчетные усилия в стержнях определяются без уче-
та предварительного напряжения.
Задаются распределением материала между сечения-
ми стержня F® и затяжки F
k = FJ(F, + F,) = Fa/F.
Находят суммарную площадь сечения при полном
расчетном усилии (V:
F = N/R. 1(1—k) + k
(10.19)
J
Вычисляют
Fa = kF и Fa = (I — ft) F. (10.20)
Определяют усилие предварительного натяжения
X = (рДО0	(10.21)
и усилие, воспринимаемое затяжкой при действии полно-
го расчетного усилия:
FaEJE+F0
(10.22)
Проверяют напряжения в затяжке и в основном
стержне:
=	(j0.23)
Fa гк	Fo
J0.1. ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ
Коэффициент продольного изгиба <р в процессе пред-
варительного напряжения принимается 0,9—0,95; неого-
воренные обозначения — см. ниже.
Предварительно напряженные фермы с затяжками
Эти фермы работают на внешнюю нагрузку как
внутренне статически неопределимые системы; за лиш-
нюю неизвестную в основной системе (которая может
быть и статически неопределимой, как на рис. 10,16, d)
целесообразно принимать усилие в затяжке.
Дополнительное усилие в затяжке, возникающее
вследствие внутренней статической неопределимости си-
стемы, определяется из канонических уравнений метода
сил с учетом деформаций затяжки. При одной затяжке
это усилие
V Mi Ni k
EjFi
V4 h 1
Ei Ea F&
(10.24)
где N, n Ni—усилия в стержне основной системы от
единичного усилия в затяжке и от на-
грузки;
Б, и Fj—модуль упругости и площадь сечения
стержня;
li и /а — длины стержня и затяжки;
£а и Fa—модуль упругости и площадь сечения
затяжки.
При расположении затяжки по оси нижнего пояса
постоянного сечения (рис. 10.16,6) формула (10.24)
принимает вид:
(10-25)
Проверка несущей способности стержней произво-
дится по следующим формулам.
Для стержней фермы, у которых в основной системе
усилия от расчетной нагрузки и от усилия в затяжке
имеют разные знаки:
при сжимающем усилии в стержне-
при -V„ > Nx Nn —(n^NX -h NXt) <. mtpRF^-, (10.26)
при < Nx No — ( rei + xxi) <	(10.26')
при растягивающем усилии в стержне:
при No > Nx NB — (пгХХ + XX,) X ra£FHT; (10.27)
при Nl<NHx — { NX + Л/Xj) « mRF6p. (10.27')
Для стержней, у которых в основной системе усилия
от расчетной нагрузки и от усилия в затяжке имеют
одинаковые знаки:
при сжимающем усилии в стержне
N0R- (niNX Д- XX,) < отфДДбр; (10.28)
при растягивающем усилии в стержне
NB (^i хх "4~ N XR) X щДДнт.
Для затяжки
пхХ + Хг X mRa Fa.
(10.29)
(10.30)
В приведенных формулах:
Л/“ и Vo—усилие в стержне фермы от нормативной
и расчетной нагрузки при расчете основ-
ной системы (без учета работы затяж-
_ ки);
Л’ — усилие в стержне от единичной силы
в затяжке;
Л'”— усилие в стержне от усилия в затяжке
от предварительного напряжения и нор-
мативной нагрузки;
Nx— усилие в стержне от расчетного усилия
в затяжке;
X— расчетное усилие предварительного на-
пряжения в затяжке;
X" и Х3—усилие в затяжке от внешней норматив-
ной и расчетной нагрузки;
Fjp и FHT — площади сечения стержня брутто и нет-
то;
R и R3 — расчетные сопротивления стержня и за-
тяжки;
Ф— коэффициент снижения несущей способ-
ности материала стержня при проверке
устойчивости, определяемый нормами,
с учетом, что в местах соединения фер-
мы с затяжкой ферма является закреп-
ленной из плоскости;
т—коэффицепт условий работы, принимае-
мый по нормам; для анкерных устройств
.77 = 0,8;
и п2—коэффициенты перегрузки усилия от
предварительного напряжения.
Значения nt и н2 принимаются следующие:
а)	при обеспечении прямого надежного контроля
усилия предварительного напряжения (по приборам)
п1 = п2 = 1;
б)	при косвенном контроле: для элементов, у кото-
рых рабочие напряжения больше по величине и проти-
воположны по знаку предварительным, и2=0,9 ; для эле-
ментов, у которых рабочие напряжения совпадают по
знаку с предварительными или предварительные напря-
жения больше по величине и противоположны по знаку,
п> = 1,10.
Величина контролируемого усилия предварительного
напряжения затяжки Х„ определяется с учетом потерь
напряжения вследствие релаксации материала затяж-
ки1 и податливости анкеров:
Хк = 1,05Х + Да .	(10.31)
'а
Величина податливости анкера Аа принимается при
плотно завинчиваемых гайках или клиновидных шайбах
равной 0,1 см, при анкерах с прокладками — 0,2 см.
При криволинейных затяжках следует также учиты-
вать потерю напряжения за счет трения в местах пе-
регибов. При устройстве затяжек из нескольких неод-
новременно натягиваемых элементов при назначении
контролируемого усилия натяжения для каждого из них
надо учитывать влияние натяжения одного на усилие
в другом.
Наибольшее контролируемое усилие предварительно-
го натяжения затяжки не должно превосходить несу-
’ Затяжки из проволоки и канатов до постановки следует
подвергать вытяжке.
S66
РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫ
щую способность стержней, сжимаемых в процессе
предварительного напряжения;
Хк < mcpRFgp.	(10.32)
Общий порядок расчета следующий; 1) определяют
усилия от нагрузки и от единичного значения неизвест-
ного в основной системе; 2) вычисляют X; — усилие
в затяжке от нагрузки, предварительно задавшись со-
отношениями между площадями стержней и затяжки;
3) из условий прочности или устойчивости основных,
наиболее нагруженных стержней по вышеприведенным
уравнениям определяют величину предварительного на-
тяжения затяжки X, площади этих стержней и затяж-
ки; 4) устанавливают контролируемую величину пред-
варительного напряжения; о) уточняют йф и проверяют
сечения всех элементов для различных стадий работы
конструкции; 6) проверяют прогиб фермы. О расчете
-см. также [2].
18.1.10. Отыскание оптимальных ферм
Проблема заключается в отыскании для заданных
условий такой фермы из множества возможных, кото-
рая являлась бы отимальной с точки зрения удовлет-
ворения определенному требованию. Таким требованием
может быть равиопрочность стержней, наименьший
вес, наименьшая стоимость и т. п.
Для проектирования статически определимых или
неопределимых ферм с заданными параметрами, в числе
которых, кроме геометрической схемы и внешней нагруз-
ки, могут быть усилия, напряжения и продольные де-
формация стержней, перемещения узлов, применяется
метод заданных напряжений и перемещений [23]. При
этом число задаваемых параметров равно s — общему
числу стержней (не считая опорных), перемещений
и продольных деформаций (напряжений) в числе за-
данных параметров должно быть не более s„ —числа
основных (необходимых) стержней; в статически опре-
делимых фермах s — s„. Задаваться можно только на-
пряжениями, только перемещениями всех или некото-
рых узлов и комбинацией некоторых количеств одних
и других параметров.
Задача отыскания статически неопределимых упруго
работающих ферм минимального объема при заданной
геометрической схеме, одной комбинации нагрузки и до-
пускаемом напряжении решена с применением ЭВМ
[13. 24].
К указанной проблеме относятся задачи синтеза
ферм, т. е. отыскания их оптимальной схемы. В [16]
разработан метод отыскания из множества возможных
статически определимой стержневой конструкции мини-
мального веса, которую можно образовать соединением
заданных на плоскости точек — узлов с приложенными
к ним внешними нагрузками; при этом напряжения
в стержнях при заданных внешних силах не должны
превосходить заданной величины. Решение приводится
к общей задаче линейного программирования; разрабо-
тан аглоритм для БЭСМ-2М, Та же задача, но в пред-
положении, что некоторые из узлов могут быть распо-
ложены произвольно, решается в [17]; отыскание кон-
фигурации упругой статически неопределимой шарнир-
но-стержиевои конструкции в случае многих загруже-
ний проводится в [18], распространение решения на
пространственные фермы см. [19].
10.2.	ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ
10.2.1.	Основные положения образования
и расчета
Пространственными называются фермы, стержни ко-
торых не лежат в одной плоскости.
По характеру образования различают простые и пре-
образованные фермы. Ферма, образованная по общим
правилам образования пространственных систем, т. е.
последовательным прикреплением шарнирных узлов
тремя стержнями, не лежащими в одной плоскости, на-
зывается простой. Неизменяемая ферма, которая не мо
жет быть образована по общим правилам, а получается
путем замены одного или нескольких стержней простой
фермы, называется преобразованной.
Ферма, которая, будучи отделена от опор, становит-
ся изменяемой, называется прикрепленной; ферма, ос-
тающая&Рнеизмеияемой после отделения от опор, назы-
вается свободной. Частным случаем свободной фермы
является замкнутый выпуклый стержневой многогран-
ник, с треугольными или подразделенными иа треуголь-
ники плоскими,,гранями; для такого многогранника ме-
жду числами .-стержней С, узлов У и граней (полей) Г
по теореме Эйлера существует зависимость С~У-}-Г—2;
при треугольных гранях С = 3/2 Г.
Необходимое; но недостаточное условие неизменяе-
мости пространственных ферм: С —ЗУ; в число стерж-
ней С входят опорные, минимальное число которых рав-
но 6. Безусловным доказательством неизменяемости яв-
ляется равенство нулю усилий во всех стержнях при ну-
левой нагрузке.
Для прикрепления пространственных ферм к земле
служат три категории опор: а) неподвижные, эквива-
лентные трем опорным стержням; б) подвижные ци-
линдрические, эквивалентные двум опорным стержням;
в) подвижные шаровые, эквивалентные одному опорно-
му стержню, Подробнее об образовании пространствен-
ных ферм н проверке неизменяемости см. [32].
Частным случаем пространственных ферм являются
бйкоиструкции — системы, состоящие из двух и более
плоских ферм, параллельных или непараллельных, же-
стких только в своей плоскости и соединенных связями.
К, числу биконструкций при определенной нагрузке от-
носятся крановые конструкций, некоторые башенные
сооружения и др. О расчете биконструкций см. [9,
10, 31].
Нагрузки обычно прикладываются в узлах в виде
сосредоточенных сил.
10.2.2	Общие методы определения усилий
Установление неработающих стержней и равных уси-
лий:
а)	если в узле все стержни, кроме одного, и внеш-
ние силы лежат в одной плоскости, то в этом стержне
усилие равно нулю;
б)	если в иенагруженном узле сходятся три стерж-
ня, не лежащие в одной плоскости, то усилия в них
равны нулю;
в)	если из плоскости действия нескольких сил вы-
ходят только две силы (усилия двух стержней), то они
равны, ио противоположно направлены;
г)	если все силы узла расположены в двух плоскос-
тях, то равнодействующие сил каждой из плоскостей
лежат на ребре пересечения этих плоскостей, равны
между собой и противоположно направлены;
Ю.2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ
597
д)	если на плоскую грань действуют только три
усилия, лежащие в той же плоскости и не пересекаю-
щиеся а одной точке, то они равны нулю.
Способ узловых сечений. Применяется в фермах, об-
разованных присоединением каждого последующего уз-
ла к предыдущим тремя стержнями, не лежащими в од-
ной плоскости. Последовательно рассматриваются уз-
лы, в которых сходятся внешние силы (опорные реак-
ции относятся к внешним силам), известные усилия
и не более трех стержней с неизвестными усилиями.
Возможны аналитическое и графическое решения. Ана-
литическое решение состоит в составлении и решении
трех уравнений проекций для каждого узла, отрезанно-
го о г фермы. Графическое определение усилий сводится
к уравновешиванию известной силы тремя силами, оси
которых пересекаются в точке на линии действия изве-
стной силы (см. разд. 2).
Способ сквозных сечений. Применяется, когда в фер-
ме можно провести сечение, разрезающее не более шести
стержней с неизпестными усилиями. Последние опреде-
ляются из уравнений статики. Целесообразно для рас-
членения уравнений выбирать оси так, чтобы для части
из шести усилий проекции и моменты оказывались рав-
ными нулю.
Если шесть стержней могут быть пересечены одной
прямой, система геометрически изменяема.
Способ разложения на плоские фермы. Применяет-
ся, когда боковые грани пространственной фермы пред-
ставляют собой статически определимые плоские фер-
мы. Нагрузка в узлах разлагается на три направления,
два из которых лежат в плоскости двух соседних гра-
ней, а третье совпадает с ребром их пересечения. Если
каждая грань прикреплена к земле жестко в своей пло-
скости, то составляющие нагрузки полностью уравнове-
шиваются на плоской ферме.
Пример 10.8 (рис. 10.17). Сила Р, действующая
на конструкцию, разлагается на составляющие Pti, Р2
и Рз. Плоская ферма LDEM рассчитывается на дейст-
лиями.
вие Pi, ферма MEFN — на
действие Р2; в стойке ЕМ
действует сила Рз. Полные
усилия в стержнях, общих
для соседних граней (в
данном случае в стойке
ЕМ), определяются алге-
браическим суммированием
усилий от всех составляю-
щих нагрузки.
Если плоская грань не
прикреплена жестко к зем-
ле, ее реакции передаются
соседним граням, причем
эти реакции лежат на реб-
рах пересечения граней.
Примеры применения спосо-
ба в этом случае см, [14].
Способ замены стерж-
ней. Применяется для рас-
чета преобразованных ферм, в которых пет узлов, где
сходятся не более трех стержней с неизвестными уси-
Метод статического моделирования [32, 21]. Метод
статического моделирования позволяет заменить расчет
пространственной фермы расчетом статически эквива-
лентной плоской модели, в которой для определения
усилий в стержнях применим аппарат расчета плоских
ферм (см. 10.1.2) и, в частности, графический метод —
построение диаграммы Максвелла — Кремоны.
10.2.3.	Башни и мачты
Трехгранные башни (рис. 10.18). При раскосной
и полураскосной решетке — статически определимы)
Расчет ведется способом узловых сечений или разложе-
нием на плоские фермы, В последнем случае, если име-
ются стержни, пересекаю-
щие внутреннюю полость
башни, в них предваритель-
но должны быть определе-
ны усилия способом узло-
вых сечений.
Башни с четырьмя и бо-
лее гранями. При раскос-
ной и полураскосной решет-
ке — статически определи-
мы, если не имеют попе-
речных связей и верхнего
яруса с пересекающимися
стержнями (шпица). В
этом случае башня пред-
ставляет собой купол
Шведлера (см. ниже) н рас-
считывается способом узло-
вых сечений или разложе-
нием на плоские фермы.
При наличии шпица башня
статически неопределима.
Однако расчет в случае
симметрии башни относи-
тельно осей плана упро-
щается.
Пример 10.9 (риб.
10.19), Сила Pi может быть
разложена на две составля-
ющие, лежащие в плоско-
стях ASB и CSD; точно
так же на составляющие,
лежащие в плоскостях гра-
ней ASB и CSD, можно
разложить силу Р2, а силу
Рз — на составляющие, ле-
жащие в плоскостях граней
Рис. 10.18
Рис. 10.20
Рис. 10,19
568
РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫ
ASD и BSC-, все составляющие в свою очередь могут
быть разложены по направлениям ребер, так что усилия
в стержнях шпица станут известны. Дальнейший расчет
можно выполнить разложением на плоские фермы. Так
как в данном случае в узлах А, В, С и D ребра имеют
перелом, за плоские фермы следует принять грани
ABJK, ADJL, ВСМК и CDLM. После того как станут
известны усилия в стержнях, примыкающих к узлам А,
В, С и D сверху, способом узловых сечений можно рас-
считать нижнюю часть мачты.
Поперечные связи (рис. 10.20) также делают систе-
му статически неопределимой. Однако при симметрич-
ной горизонтальной нагрузке, действующей в плоскостях
граней или в плоскостях связей, башня приближенно
может быть рассчитана как статически определимая
разложением на плоские фермы, так как в этом случае
связи большой роли не играют.
Существенную роль играют связи при кручении ба-
шен, вызываемом либо непосредственно крутящим мо-
ментом, возникающим при эксплуатации конструкции
(например, в башнях молотковых кранов), либо несим-
метричной горизонтальной нагрузкой (например, при
обрыве провода в мачтах электропередач).
Расчет башен на кручение проводится методом сил.
За лишние неизвестные принимаются усилия в диагона-
лях поперечных связей или усилия в одном из поясов
(когда они не имеют изломов). В последнем случае ос-
новная система получается расслоением поперечных
диафрагм и состоит из отдельных отсеков, соединенных
стерженьками, расположенными по линиям поясов,
один из стерженьков в каждом просвете между отсека-
ми разрезается, и за лишнее неизвестное принимается
действующее в нем. усилие [4]. Расчет на кручение мо-
нотонных башенных конструкций (т. е. конструкций,
в которых соблюдается постоянство по всей высоте уг-
лов сопряжения распорок с диагоналями) см. [36].
Следует отметить, что наличие чрезмерного числа
поперечных связей по высоте конструкции не улучшает
ее работы. Поперечные связи должны устанавливаться
лишь в плоскостях действия крутящих моментов и в ме-
Рис. 10,21
стах перелома ребер, если в других местах они не тре-
буются по соображениям устойчивости.
Мачты на расчалках. Ствол мачты обычно трех-
или четырехгранный с раскосной или перекрестной ре-
шеткой. Число оттяжек в одном ярусе соответствует
числу граней. Мачта статически определима, если ввер-
ху и внизу ствола расположены шарниры и имеется
только один ярус расчалок. При наличии нескольких
ярусов расчалок мачта обращается в статически неопре-
делимую многопролетную балку на упругих опорах.
При большой высоте мачт расчалки устраиваются пред-
варительно напряженными. Метод расчета и примеры
см. [26, 28].
Гиперболоидальные башни Шухова. Конструкция
имеет форму однополостного гиперболоида и состоит
из двух систем взаимно пересекающихся наклонных сто-
ек, скрепленных по высоте горизонтальными кольцами
(рис. 10.21). При наличии в плоскости верхнего коль-
ца поперечных связей или жесткого резервуара система
статически неопределима. Однако благодаря симметрии
конструкции на центральную вертикальную нагрузку
она рассчитывается элементарно. Усилие в каждой
стойке
где Р — центральная нагрузка (собственный вес, снег
и т. п );
п — число стоек;
а—угол наклона стойки к вертикали.
Подробнее о расчете см. [8].
10.2.4.	Стержневые пластины — структурные
конструкции
Структурные конструкции (структуры) представляют
собой пространственные системы, состоящие из парал-
лельно расположенных сеток, соединенных решетчатыми
связями, лежащими в плоскостях, ортогональных или
наклонных к плоскостям сеток.
Различают три класса структур-
1)	регулярные — с одинаковым по всей площади по-
крытия строением каждой из двух сеток, геометрически
изменяемых или неизменяемых. Сечения стержней
в верхней и нижней сетках могут быть различными, но
должны иметь одинаковые коэффициенты Пуассона
для одинаковых направлений обеих сеток;
2)	регулярные, но одна нз сеток геометрически из-
меняема, а вторая — неизменяема;
3)	нерегулярные — с различным строением в разных
зонах покрытия (например, в углах и центре). Если
ячейки одной или двух сеток геометрически неизменяе-
мы, система способна работать на изгиб и кручение;
если ячейки обеих сеток изменяемы, она работает толь-
ко на изгиб и по существу не отличается от системы пе-
рекрестных балок.
Структуры применяются самостоятельно для плоских
покрытий промышленных и общественных зданий на тре-
угольном, квадратном, прямоугольном и многоугольном
плане или в комбинации с другими типами несущих
конструкций (фермами, арками, вантовыми конструк-
циями). Опирание возможно по всему контуру или его
части, на жесткие и упругие опоры и в отдельных
точках.
Структуры отличаются однородностью узлов и эле-
ментов, что создает возможность типизации конструк-
ций, повышенной степенью надежности от внезапных
разрушений и архитектурной выразительностью; они
позволяют укрупнить сетку колонн и уменьшить строи-
М2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ
568
тельную высоту покрытия; при мпогоцролетпом реше-
нии они экономичны.
В зависимости от формы сооружения и характера
опирания высота покрытия h принимается равной
— — —пролета. При выполнении в металле и огра-
15	20
ничеиии высоты покрытия габаритами транспортных
средств наибольший экономичный пролет 70 м,
В расчетном отношении система многократно стати-
чески неопределима. Точный расчет ее, как стержневой
системы, возможен с использованием ЭВМ. Программа
такого расчета составлена в ЦНИИСК им. В. А. Куче-
ренко. Регулярные структуры, а также структуры с не-
большим отклонением от регулярной системы могут
при вариантном проектировании и в случаях покрытий
с простыми схемами опирания рассчитываться прибли-
женно [30, 33].
Приолижеиный расчет применим при членении плана
не менее чем иа шесть ячеек и при указанной выше от-
носительной высоте покрытия. Он состоит в замене
стержневой конструкции ее расчетной моделью — тон-
кой пластинкой, в общем случае ортотропной, имеющей
опорные условия и нагрузку такие же, как и у основ-
ной конструкции, и эквивалентные ей упругие характе-
ристики.
При условии пренебрежения влиянием сдвигов
в вертикальных плоскостях и принятия гипотезы пря-
мых нормалей напряженное состояние расчетной моде-
ли структуры описывается уравнением
94к>	б4® р
+ 2g ~+ ~~~ = ~~ ,	(30.34)
сА4 дх- dy- dyi и
tflP	. 2Dkd
£ = v.
D—цилиндрическая жесткость;
Дкр—жесткость иа кручение;
v— коэффициент Пуассона.
Упругие характеристики определяются из рассмот-
рения соответствующих деформаций повторяющегося
элемента структуры — «кристалла» и распространяются
на всю расчетную модель. «Кристаллу» структуры в мо-
дели отвечает элементарный параллелепипед, по объему
равный «кристаллу».
Полученные при расчете пластинки-модели внутрен-
ние усилия прикладываются к граням параллелепипеда,
а при переходе к «кристаллу» концентрируются в его
узлах; моменты при этом заменяются соответствующи-
ми парами сил. Расчет «кристалла» как стержневой си-
стемы на приложенные к его узлам силы позволяет оп-
ределить усилия во всех его элементах. Обычно расчет
ведется па наиболее невыгодное сочетание усилий
в расчетной модели, и сечения одноименных стержней
структуры принимаются одинаковыми. В случае, когда
из соображений экономичности сечения элементов
в центральной и опорной зонах принимаются неодина-
ковыми (при нерегулярной системе), жесткость модели
на изгиб следует принимать по центральной зоне, а же-
сткость на кручение — по угловым участкам опорной
зоны.
Для определения усилий в расчетной модели могут
быть использованы готовые решения и таблицы для
расчета плит и безбалочных перекрытий.
Эквивалентные упругие характеристики расчетных
Моделей различных структур приведены в табл. 10.2 а в
табл. 10.3 даны усилия в стержнях «кристалла» чех же
структур от усилий в расчетной модели [30].
37—1303
В случае, когда в уравнении (Г0.34) параметр g = I,
расчетная модель изотропна. Условием й.зотронногЯ’и Си-
стем с равносторонними треугольными ячейками явля-
ется равенство площадей сечення стержней в каждой
поясной сетке. Условием изотропности ортогональных
систем с перекрестным расположением диагоналей
в обеих сетках является соотношение между площадя-
ми сечений поясов л диагоналей
Fa/F\ = /Г.
При Fr—0 (5 = 0) структура не воспринимает сдви-
гающих усилий и по существу переходит в систему пе-
рекрестных феРм> ориентированных по направлениям
осей X я У, а при 7п==0 (5 = 3) — в систему перекре-
стных Лерм, ориентированных под углом 45° к осям
X и У.
При действии значительной сосредоточенной нагруз-
ки зону ее влияния размером не менее 0,2X0,2 пролета
следует рассчитывать как стержневую систему на внеш-
нюю сосредоточенную нагрузку и внутренние усилия
по контуру зоны, определяемые из расчета пластинки.
Аналогично рассчитываются зоны вблизи точечных опор
(опирание на колонны). В таких случаях целесообраз-
но устройство стержневых капителей размером ’А про-
лета, Расчет капители см. [1, 30].
Для определения расчетной длины стержней в орто-
гональных системах без диагоналей могут применяться
следующие коэффициенты: для опорных раскосов — 0,9,
для прочих раскосов — 0,7, для поясов—1,0, для поя-
сов при сосредоточенных нагрузках — 0,9.
Приближенный расчет усилий в регулярных структу-
рах с одинаковым и неодинаковым строением верхней
и нижней сеток дает точность до 15%—приближенные
значения усилий большей частью ниже вычисленных
точным методом. Приближенный расчет прогибов дает
большую погрешность, действительные прогибы струк-
тур с изотропными свойствами более вычисленных в 1,4
раза, а прогибы ортогональных структур без диагона-
лей— в 1,2 раза.
10.2.5. Стержневые купола
Традиционные системы — купол Швеллера (рис.
10.22, а); купол Феппля, отличающийся от первого тем,
что в каждой грани вместо диагонали поставлена пара
полураскосов (рис. 10.22,6); звездчатый купол
(рис. 10.22, в), неизменяемый при нечетном числе сторон
и смещениях цилиндрических опор, направленных по
биссектрисам углов; Шлинка (рис. 10.22. г) и др. Опор-
ные узлы этих куполов закрепляются либо неподвижно,
либо соединяются опорным кольцом и устанавливаются
на цилиндрические катки (двухстержпевые ойоры).
В последнем случае направление смещения выбирается
так, чтобы реакции по возможности лежали в плоско-
стях стен. Для расчета усилий во всех стержнях цикли-
чески симметричной системы при любой нагрузке до-
статочно определить усилия от загружения одного узла
в каждом ярусе и воспользоваться наложением. Расчет
облегчается тем, что в этом случае работает ограничен-
ное число стержней. Эффективно применение метода
статического моделирования, сводящего расчет прост-
ранственной системы к расчету эквивалентной плоской
модели.
Более подробные данные о расчете см. [31, 32].
Дальнейшим развитием этих систем являются раз-
личные сетчатые стержневые купола больших пролетов,
отличающиеся определенной однотипностью элементов:
геодезические, купола из ромбовидных панелей, двух-
570
РАЗДЕЛ JO. ФЕРМЫ
Параметр уравнения (10.1) В
Продолжение табл. 10.2
Структуры с различным строением сеток
Упругие характеристики
Параметр k, цилиндрической
жесткости;
Параметр ks жесткости на
кручение;
°кр = *2 Гв.п S V “
Коэффициент Пуассона v
Параметр уравнения (10.34) |
5 — ортогональная система с пере-
крестными диагоналями в верхней
сетке
6 — ортогональная система с диагональ-
ным расположением одной сетки отно-
сительно другой
Г == F —О
в.п н.д
7 —- гексагонально-треугольная
система
30.2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ
4 У 3 -Мл j- 1)
3 (з У 3 Л+ ф')
Условные обозначения
^в-п’ ^н.п ““ площаДп сечений поясов в верхней и нижней сетках;
^в-д’ ^и.д “ площаДи сечений диагоналей в верхней и нижней сетках;
Fp — площадь сечения раскосов; а — угол наклона раскоса к горизонтальной плоскости.
На рисунках: — элементы верхней сетки; --------элементы нижней сетки;------— раскосы.
572
РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫ
Si
Примечания: 1. Для структур 3 и 6 учтено, что М ,.~=М
2. В структуре 'i при двойном знаке усилия нижний принимается для Rn, R^ и Д(з.
10.2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ
12
	/2 ЛИ -~ V М \	—		ср	/т(ЗЛ1х + Л1р ст /CTAJ
	(1 + тв) У а				4 tg а
	VT2 (Му - тв.Их)	—	—		/3<3Л + Мй+2ЛЯхр)
	(1 + Рв) у V				4 tg а
	(мх	~~~ (1 4- -VB) tg а		7 - ‘Чи ;g а		<3 Л1£. tg а
0J	(Л +AWV+a(M 'У! (14- vB) tg а		ст?	4~ С	Х4х		ЗМХ - 221,; 2 tg а
i	г- Ш мх j	'?а		1	Г-	1 S	Мх	|	(У? 1			——6	7? v ., -	х и 4 tg а
/2Л1Д, tg а		о?	fT’ мх tg а	С1£	Мх - гми -4 6 /3 Hxf. 4 tg a	j
±QST + (MY - Л?,?) Vb
(Qx + Qg 5 +
- Qy)Sg- Wxy
I g I
2 sin а
(AP - My}V3CTO w/
4 sin а
(Q.t + %) s~'4Hxy

Т-'(9Х1/3+. QgS—	/3 + ЬИху
ху
3.	Графические условные обозначения — см, в табл. 10.2-
4	Правило знаков указано на схеме, показано положительное направление усилий,
5.	При выводе формул усилия приняты положительными.
4 sin а

574
РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫ
сетчатые на основе правильной сферической сети Че-
бышева и др.
Геодезическая сеть образуется проектированием на
сферу по радиусу правильного вписанного в нее много-
гранника, например икосаэдра. В последнем случае сеть
состоит из 20 правильных сферических треугольников
(стороны треугольника соединяют вершины по кратчай-
(прп монтаже свода они устанавливаются после сборки
основных стержней). Для круглых куполов более ра-
циональна система с треугольными ячейками
(рис. 10.25,6). Число типоразмеров стержней этого ку-
пола получается меньше, чем у геодезического тех же
размеров.
Сетчатые купола опираются в отдельных точках или
Рис. 10.23
шим расстояниям — геодезическим линиям — дугам
большого круга); каждый из них может' быть расчленен
на более мелкие треугольники (рис. 10.23, а). Членение
ведется до получения элемента такой длины, которая
обеспечивает при данном материале легкость изготовле-
ния, транспортировки и сборки. Однако каждое после-
дующее членение увеличивает число типоразмеров эле-
ментов. После окончательной разбивки криволинейные
элементы заменяются плоскими. Для повышения общей
устойчивости купола с увеличением его пролета верши-
ны треугольников располагают не на одной сфере, а на
поверхности двух (или даже трех) концентрических
сфер (рис. 10.23,6), радиусы которых отличаются
на небольшую величину (0,5—1 лг). В число основных
элементов купола наряду со стержнями при этом вклю-
чаются листовые панели в виде гнутых ромбов или пи-
рамидок.
Более простой системой, обеспечивающей в ряде
случаев получение небольшого числа типоразмеров эле-
ментов и обладающей рядом других преимуществ, яв-
ляется купол из ромбовидных панелей с, радиально-
кольцевой разбивкой поверхности вращения, например
сферического сегмента (рис. 10.24) [3].
Правильной сетью Чебышева называется такая че-
тырехугольная сеть на поверхности, у которой все про-
тивоположные отрезки каждой ячейки попарно равны.
Купол на основе этой сети [27] конструируется из тра-
пецеидальных элементов, центры которых располагают-
ся на поверхности сферы радиуса (рис. 10.25, а),
а сами элементы могут выполняться в виде стержней
из двух ветвей, соединенных раскосной решеткой (верх-
ние и нижние ветви образуют две сети). По боковым
сторонам элементы соединяются линейными шарнира-
ми, образуя ромбические ячейки. Для обеспечения про-
странственной работы конструкции в каждой ячейке ус-
танавливаются дополнительные диагональные стержни
связываются упруго с опорным кольцом. При крупном
членении (малом пролете и малом числе элементов)
расчет возможен методом статического моделирования.
При мелком членений возможен приближенный расчет
путем представления сетчатых куполов в виде одно-
слойной (при наличии одной сети) или трехслойной
(при наличии двух сетей, соединенных связями, работаю-
щими на сдвиг) безмоментиой оболочки. Меридиаиаль-
пые и кольцевые усилия, соответствующие определенно-
му участку такой оболочки, равному по площади участку
купола, приходящемуся на данный его узел, раскла-
дываются на направления стержней купола, сходящих-
ся в этом узле. Наличие опорного кольца должно учи-
тываться наложением усилий от краевого эффекта на
усилия безмомеитного состояния.
О расчете цилиндрических сетчатых оболочек
см. [20].
10.2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ
575
10.2.6. Тонкостенные ребристые циклически
симметричные купола
Безмомеитная расчетная схема
Мембранное состояние ребристых куполов, выпол-
няемых из трапецеидальных плит, окаймленных ребра-
ми, обусловливается прежде всего конструктивным ре-
шением стыков, не воспринимающих изгибающих мо-
ментов, Сопряжения такого типа отличаются простотой
изготовления и монтажа. Сборка панелей может осу-
ществляться на штырях или болтах, и такие соединения
рассматриваются как шарнирные.
Предполагается, что осевые усилия воспринимаются
меридиональными и кольцевыми ребрами. Сдвигающие
усилия воспринимаются тонкостенными панелями, обра-
зующими собственно оболочку, которые здесь эквива-
лентны в статическом смысле раскосам стержневых ку-
полов [32]. Учитывается круговая симметрия [5].
Обозначим:
z—- порядковый номер кольцевого ребра,
считая от верхнего нулевого кольца;
п — порядковый номер меридионального
ребра, считая против часовой стрелки
от нулевого;
in — номер узла ребристого купола;
at—длина стороны кольцевого ребра;
Ъ;—длина стороны меридионального реб-
ра выше z-го кольца;
h'tn— продольное усилие в меридиональном
ребре, подходящем к узлу i, п свер-
ху;
Л tn — то же, в элементе меридионального
_ ребра, подходящем к узлу i, п снизу.
Sin — продольное усилие в элементе коль-
цевого ребра, примыкающем к узлу
Z, п слева;
S-ln—то же, в элементе кольцевого ребра,
примыкающем к узлу i, п справа;
Tin—сдвигающее усилие, действующее иа
ребра меридиана со стороны пластин;
т сч
Tin — — сдвигающее усилие, действующее на
bi
элемент кольцевого ребра I—1;
т ai—i
1 in --— сдвигающее усилие, действующее на
bi
элемент кольцевого ребра г,
V, W, Т— система натуральных осей коорди-
нат;
Tin, Т'tn, Tin — проекции внешней нагрузки, пере-
дающейся узлу от;
1]’; — угол между осью элемента 1, i— 1 ме-
ридионального ребра и осью V;
2л
0 = — — центральный угол, соответствующий
п
стороне правильного кольцевого мно-
гоугольника;
m — число сторон кольцевого ребра.
Запишем уравнения равновесия узла (рис. 10.26, б)
SV = 0: Vin + Nin cosipj — Л/щ cos %-H = 0;	(10-35)
SW n= 0; Win “5 bb-in sin йу; “5 Nin sin ijpT.j -j-
—	0
+ (sin + sin) sin -y = °;	<10-36)
о
ST = 0; Tln + (Sin-S!n) cos— = 0.	(10-37)
I\ ним присоединяются уравнения равновесия эле-
мента меридионального ребра ((—1), я—I—I, п— 1
(рис. 10.26, о) и кольцевого г (я—!)-—(, п:
Tln-Tw-TN^,n~~Nin^0i	(10-38)
- bi	bi^ +
+ Sia- 31Лп^ =0.	(10.39)
576
РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫ
Предполагается, что касательная составляющая на-
грузки 7\п = 0-
Из системы уравнений (10.35) — (10.39) получены
выражения для продольных усилий в ребрах и для
сдвигающих усилий в стенках панелей при действии
произвольной нагрузки:
Л'
cos %
(10.44)
Nin^Nln
COS %
cos фг+1
щ------;---- 	(10.40)
cos 4Н..Х
§ln	in^
* cos ijy tg — sin ily
0
2 sin —•
2
— 1Ж/га — Vtefg%+1) ><
X------Ц-;	(10.41)
о
2 sin —-
2
Ct+l),n =
ж
b. ai+r ln
(10.42)
ИЛИ
т т °/-1
Рис. 10.26
cos ф. tg фг+1 — sin ф.
, bW Win~~
+ ф. . , " ~	.9
~г ~	2 sm —-
(10.42а)
Л п + 1),.1 ~	~~ (^(И-ОДг.+П ~~ ^(i-yi),*) - (10-43)
Соотношения (10.40) — (10.43) имеют рекуррентную
структуру и позволяют вести расчет всех усилий, сле-
дуя сверху вниз.
Симметричная нагрузка. Когда на ребристый купол
действует нагрузка, симметричная относительно его оси,
сдвигающие усилия оказываются равными нулю, а для
продольных усилий из (10.40), (10.41) и (10.43) полу-
чаются следующие простые расчетные формулы;
cos^tg^yxi-sin^
О) = Of = од ——— ~	—	-j-
2 sin —
2
+ у, _ Wi----------Ц-;	(10.45)
о	, о
Лф+1=Д/..	(10.46)
Произвольная нагрузка. Расчет рассматриваемой си-
стемы при действии произвольной нагрузки можно су-
щественно упростить, если использовать особенности
систем, обладающих циклической симметрией, и пред-
ставить нагрузку в виде тригонометрических рядов:
Vln =	£ F|sinfoi0 4-	£ Vf cos Ara0; (10.47)
*=1,2,3... '	А=0,1,2,3...
Гм = Е Г? sin km) + Е r'cosfotO, (10.4g)
*=1,2,3...	к=0,1/2,3...
где k — номер члена ряда.
Предполагается, что в каждом из состояний, описы-
ваемых отдельными членами рядов (10.47) и (10.46),
нагрузка приложена непосредственно к узлам ребер ку-
пола и может изменяться по любому закону.
10.2, ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ
577
Когда внешняя узловая нагрузка изменяется вдоль
кольца по закону синуса
Vin^= V) sin Ы9; W7M = r'Jsin,bfl> (30.49)
Выражения для амплитуд усилий в куполе при дей-
ствии узловых нагрузок, изменяющихся вдоль колец по
закону косинуса, будут:
продольные усилия в меридиональных и кольцевых реб-
рах одного яруса и сдвигающие усилия в панелях из-
меняются по закону:
?»7 cos фу ф- Vrt
с°з фг-+1
(10.60)
N.n = sin kn&;
Ntn = A’| sin fenfl;
Sift ~ Sin = S? sin fenfl;	(10.50)
г cos k (п — 0,5) 0	
Щ - А Ко	
cos		 2	
Амплитуды усилий Nf, N^, S( и Tj находят no
формулам;
Л-7 (cos ф tg ф,_, - sin Ф ( —	+ Vf tg ф(.+1
~---------1---сО----------------------------2+2.. -00.61)
п
2 sin —
2
У ’.j Г С*_________________1
(10.62)
.^cosijc+ 1^
 1 ~~ cos фг+1
(30.51)
№
(10.63)
s A'f (cos ф. tg ф/+1 — sin ф.) — Wj + Ц' fg ф/+1
Sf==.
2 sin —
2
(30.52)
5? I. / <5, i	\
Г! = —i- — — 77 — С Чп fell ;	(10.53)
ai+i \ b>	)
A+1 “	+ 2Щ, tg k 4 .	(10.54)
Пользуясь зависимостями (10.51)—(10.54), можно вы-
числить амплитуды избранных усилий в ребристом ку-
поле, начиная расчет с верхнего кольца (г—0). Очевид-
но, Nfi ~Tq =0. Тогда из формул (10.51) и (10,52) на-
ходим Nq и SJ. Затем из соотношений (10.53) и (10.54)
последовательно находим. 7} и Nf. Возвращаемся за-
тем к формулам (10.51) и (10.52) и, положив z = l, на-
ходим N'[ и 3®. Этот рекуррентный процесс продолжа-
ется, пока не будут определены амплитуды усилий во
всех элементах ребристого купола.
В том случае, когда внешняя узловая нагрузка из-
меняется вдоль кольцевого ребра по закону косинуса
— I/А cos knQ; IFin = Ж) cos knQ, (10.55)
осевые усилия в элементах меридиональных и кольце-
вых ребер и сдвигающие усилия в панелях подчиняются
следу ю щи м зависимостям:
Какова бы ни была узловая нагрузка, действующая
на ребристый купол, ее можно разложить на симмет-
ричное и антисимметричное состояния относительно диа-
метра, проходящего через узел кольцевого ребра. Сим-
метричную нагрузку затем можно разложить в триго-
нометрический ряд по косинусам угла, а антисимметрия-
ную—в ряд по синусам угла. Подробный численный
расчет купола см. [34].
Моментная расчетная схема. Появление в сборных
ребристых тонкостенных циклически симметричных ку-
полах относительно жестких ребер может привести к
тому, что при действии внешних сил ребра помимо осе-
вых усилий будут испытывать изгиб, в то время как
тонкостенная оболочка воспринимает в основном мем-
бранные усилия. Расчет см, [35].
ЛИТЕРАТУРА
=. cos knO;
(10.56)
= Nc- cos find;
(10.57)
Sin = Sin. = s; cos knQ;
T- = 7"?
4 I Л	4 V
sin k (n — 0,5) fl
~ fell
(30.58)
(10.59)
cos-----
0
1.	Бегун Г. Б. К расчету пространственно-стержневых
покрытий безбалочного типа. «Строительная механика и расчет
сооружений», 1067, № 6.
2.	Белеяя Е. И, Предварительно напряженные металли-
ческие несущие конструкции. Госстройиздат, 1963.
3.	Б р и л ь М. Г., П а в и л а й и е н В. Я.. ID ул ь-
K!iH Ю. Б., Иммерман А. Г. Пространственные конструк-
ции больших пролетов из легких сплавов. В со.: «Расчет про-
странственных конструкций», вып. 6. Госстройиздат, 1961.
4.	Бу х .рин Е. М_, Кол яков А. М. и др. Проекти-
рование строительных конструкций линий электропередачи по
предельным состояниям, под ред. М. Бухарина. «Энергия», 1965,
5.	В а й и б е р г Д. В., Чуд новский В. Г, Расчет
пространственных рам, 1964,
6,	Вишняков А. И. Разработка методов, алгоритмов
и программ решений инженерно-строительных задач на ЭЦВМ.
Стройиздат, Л, — М., 1969.
7.	Гипротис. Гострой СССР:
а)	Система автоматизации расчетов стержневых конст-
рукций (СМ—5), Отраслевой фонд алгоритмов и про-
грамм, вып. I—99; 1969.
б)	Инструкция к системе автоматизации расчетов стер-
жневых конструкций СМ—5, Отраслевой фонд алго-
ритмов и программ, вып. 1—98; 1969.
в)	Расчет плоских и пространственных стержневых си-
стем (МАРСС—103). Отраслевой фонд алгоритмов и
программ, вып. 1—95; 1969.
г)	Инструкция по подготовке исходных данных для рас-
чета плоских и пространственных стержневых систем
по программе МАРСС — 105. 1971.
8.	Горенштейн Б. В. Расчет сетчатых систем В. Г. Шу-
хова на прочность, жесткость и устойчивость. В сб.: «Расчет
пространственных конструкций», вып. 5. Госетройи-эдат, 19а9.
9.	И м мер м ан А. Г. Пространственная работа крановых
стрел, В сб.: «Расчет пространственных конструкций», вып. 2.
Госстройиздат, 195L
10.	Иммерман А. Г. Расчет перегрузочных мостов на
кручение. В сб,: «Исследования. Массивные и стержневые кон-
струкции». Госстройиздат, 1953.
11,	Инструкция по применению универсальной программы
расчета статически неопределимых стержневых систем методом
деформаций (ДО). Киев, 1964.
12.	Кар л с с н Г. Г., Боль ш а к о в В. В. и др. Дере-
вянные конструкции. Стройиздат, 1961.
13.	Ким Т. С. Расчет ферм наименьшего объема методом
целочисленного программирования, «Строительная механика и
расчет сооружений». 1969, № L
14.	KvflpsBiieB П. А. Расчет стрел на кручение, Тру-
ды ВНИЙПТМАШ, ки. 5. Машгиз, 1952.
15.	Львин Я. Б. К определению усилий в «нулевых»
стержнях ферм. В сб.: «Исследования по теории сооружений»,
вып. 4. Стройиздат, 1949.
16—	18. М а июля в ичу с Д. А. Статьи в сб.: «Строитель-
ная механика и конструкции», доклады 14—16 науч.-техн, кон-
ференций Каунасского политехи, ин-та, изд» «Минтнс». Виль-
нюс, 1964, 1965, 1966.
19.	М а ц ю л я в и ч у с Д. А. Некоторые алгоритмы син-
теза оптимальных схем стержневых упругих конструкций ми-
нимального веса. В сб.: «Применение ЭВМ в строительной ме-
ханике». Киев, «Наукова думка», 1968.
20.	Поп о в И. Г» Цилиндрические стержневые системы,
Госстройиздат, 1952.
21.	Попова Т. А. Применение метода статического моде-
лирования к расчету некоторых современных пространственных
стержневых конструкций. В сб.: «Расчет пространственных
конструкций», вып. 10. Стройиздат, 1965.
22.	Рабинович И. М, Курс строительной механики
стержневых систем, ч. 1. Стройиздат, 1950; ч. 2. Госстройпз-
дат. 1954.
23,	Рабинович И, М« Об одной задаче теории ферм.
Б сб,: «Исследования по теорий- сооружений», вып. 7. Строй-
илдат, 1957.
24.	Радциг Ю. А,, Колупаев А. Н. Программирован-
ные расчеты статически неопределимых ферм наименьшего объ-
ема. В сб.: «Применение ЭВМ в строительной механике». Киев.
«Наумова думка», 1968.
25.	Резников Р. А, Методы решения задач строитель-
ной механики на электронных цифровых машинах. Стройиз-
дат, 1961.
26.	Розеиблит Г. Л, Стальные конструкции зданий и
сооружений угольной промышленности. Углетехиздат, 1953.
27.	С а в е л ь е в В. А. Устойчивость сетчатых куполов.
В об.; «Металлические конструкции. Работы школы проф.
Н. С, Стрелецкого». Стройиздат, 1966.,
28.	Савицкий Г. А. Основы расчета радиомачт. Ста-
тика и динамика. Связьиздат, 1953.
29.	Снитко Н. К. Практические методы расчета статиче-
ски неопределимых систем. Стройиздат, 1964.
39. Треф и м о в В. И., Бегун Г. Б. Структурные конст-
рукции, Стройиздат, 1972,
31.	Уманск и й А, А. Пространственные системы. Строй-
пздат, 1948.
32.	Уманский А, А. Статика и кинематика ферм. Тех-
теоретиздат, 1957.
33.	Хисамов Р. П. Приближенный расчет пространствен-
ных стержневых покрытий, «Строительная механика и расчет
сооружений», 1965, № 1.
34.	Ч у л и о в с к и й В. Г., Бедна р с к и й Б, А. Безмл-
ментная теория тонкостенных ребристых оболочек вращения при
действии произвольной нагрузки. В сб,: «Расчет пространствен-
ных конструкций», т. 8. Госстройиздат, 1962,
35.	Чудновск и й В, Г., Р ы м а р И. М. Расчет рсбри-
сты?< тонкостенных купольных покрытий. В сб.: «'Расчет про-
странственных конструкций», т, 7. Госстройиздат, 1962.
36.	Шмульский М. Д. Работа металлических башен-
ных констрмкций ни кручение. Сб. трудов Института строи-
тельной механики АН УССР, М> 14. Киев, 1959.
37.	Энциклопедический справочник. «Машиностроение», т, 1
кн. 2. Машиностроение, 1948.
РАЗДЕЛ 11
ВАНТОВЫЕ И ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
ИЛ. ГИБКИЕ НИТИ
ИЛЛ. Общие положения
Гибкая нить представляет собой геометрически из-
меняемую систему с бесконечно большим числом степе-
ней свободы, работающую только на растяжение, но
способную воспринимать нагрузку при надлежащем за-
креплении ее концов. Форма равновесия нити зависит
от характера нагрузки. Наибольший практический инте-
рес представляет нагружение нити нагрузками, имею-
На этих аналогиях основано построение эпюры из-
гибающих моментов и эпюры прогибов балки как вере-
вочных кривых. Для построения линии равновесия гиб-
кой нити используются правила построения эпюры из-
гибающих моментов для балки. Линия равновесия
гибкой нити под действием вертикальной нагрузки
у(х) совпадает с эпюрой изгибающих моментов шар-
нирно опертой балки пролетом I, находящейся под дей-
ствием той же нагрузки у; при этом ординаты эпюры
моментов уменьшены в И раз и отложены от хорды
АВ, соединяющей точки подвеса нити.
В результате, применительно к схеме, изображенной
на рис. 11.1, ординаты у линии равновесия нити опреде-
ляются так
у = -щ- Д х tg ф,	(11.4)
п
где М—изгибающий момент в шарнирно опертой од-
нопролетной балке пролетом I, нагруженной
нагрузкой <?(х).
В соответствии с этим значения тангенсов углов на-
клона нити к горизонту будут равны;
, dy Q
(gfl =	_+{gq,5	(п.5)
щими постоянное направление, например собственным
весом в комбинациях с различными распределенными
или сосредоточенными полезными нагрузками.
Дифференциальное уравнение линии равновесия нити
(рис. 11.1) имеет вид:
d*y __
dx* ~ Н '
(11.1)
Здесь у— ордината линии равновесия нити;
д -= q (х)— значение заданной в виде функции от
координаты х нагрузки в рассматрива-
емом сечении;
И — распор, т. е. горизонтальная составляю-
щая опорных реакций в точках под-
веса нити, равная по величине горизон-
тальной составляющей продольных уси-
лий Т во всех сечениях нити.
Уравнение (11.1) аналогично дифференциальному
уравнению эпюры изгибающих моментов балки при вер-
тикальной нагрузке:
dW
dx2 ~~"~Ch
(11.2)
а также дифференциальному уравнению изогнутой оси
балкн;
tP-o	М
dx*	El '
(11.3)
где С?—поперечная сила в шарнирно опертой балке
пролетом I, нагруженной нагрузкой <?(х).
Величина продольного усилия в гибкой нити
т =	j о6)
Из формул (11.4) —(11.6) видно, что для решения
поставленной задачи необходимо знать величину распо-
ра И. Наиболее просто величина распора определяется
в том случае, когда кроме концевых известна хотя бы
одна из промежуточных ординат линии равновесия ни-
ти, в этом случае
где М — балочный изгибающий момент в сечении
x = const; у—-ордината кривой равновесия нити в се-
чении x = const (рис. ИЛ). Так, например, если нагруз-
ка равномерно распределена по проекции нити (q —
=const) и известия стрелка f провеса нити в середине
пролета, то в этом простейшем случае
ql*
<1Е8)
Однако в большинстве практических случаев ни
одна из промежуточных ординат линии равновесия нити
заранее неизвестна.
Это объясняется тем, что гибкие нити, применяемые
в инженерных конструкциях, подвергаются, как правн-
580
РАЗДЕЛ II. ВАНТОВЫЕ И ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
ло, воздействиям различных временных нагрузок, вы-
зывающих изменения формы равновесия нити.
Здесь задачу практически целесообразно поставить
следующим образом: по заданным схеме нагружения
и первоначальной длине нити So (т. е. по длине заго-
товки нити до ее нагружения)—определить распор,
форму равновесия нити н действующие в ней усилия,
с учетом ее упругих деформаций. В такой постановке
для всей области пологих и непологих нитей при п =
= 1/(^4 и произвольном угле ф наклепа хорды излага-
ется дальнейшее решение рассматриваемой нелинейной
задачи. К такой постановке могут быть приведены все
практичсские случаи.
11.1.2. Определение величины распора
нерастяжимой нити
Если длина заготовки So известна, то для определе-
ния величины распора нерастяжимой нити Нп при про-
извольной вертикальной нагрузке рекомендуется фор-
мула:
У" Da. (1 — - а) I
На = Y
Здесь D — характеристика нагрузки:
l	I
D= ^Mqdx== ^Qsdx,
о о
(11.9)
(ИЛО)
где MuQ—-соответственно изгибающий момент и по-
перечная сила в одиопролетной балке про-
летом I, нагруженной нагрузкой q(x)-,
а
а^-р,	(11.11)
где а—расстояние по горизонтали (см. рис. 11.1) от
левой опоры до линии действия равнодейству-
ющей R внешней нагрузки, приложенной к
нити;
l(ms~ 1) Г
Ус	---щ——_. и j __ 2а) sin ф +
2 (пр — sin*1 ф) cos q> L
„ / 4а 11 —- a) cos2 ф
+ “]/ s (ПЛ2}
где
<г	<г
т=~ = 4" cos ф.	(ИЛЗ)
а	I
При нагрузке, симметричной относительно верти-
кальной оси, проходящей через середину пролета I, а
также в других случаях, когда а = 0,5,
cos® / Dl (и2— sin2®)
//0 = -^]/--------------(11.14)
Im I7 m- — 1
при а — 0,5
Если известна первоначальная стрела провеса (о, то
при равномерно распределенной нагрузке, вместо (11.14)
при а = 0,5
Ц/з/.о
Яо = “ПЛ----°	(ПЛЗ)
ЩО
при а = 0,5
Интегралы (ИЛО), выражающие характеристику
нагрузки D, легко вычисляются методом Верещагина
Таблица 11.1
Формулы для определения характеристики нагрузки D
С	хема нагружения		Значение D
			
			
1-	-	1 —1		12
			£7-/'3
	L тУ!		,A_ :i + «a - s₽) gv + (3 - (Щ)PvJ
			
			
			12 \	16	/
			
			и 4- <4	33)	У (6 - 4P) fpyl 12
			
	—— l ——J		
			ДТ. -у p2a; - 12cs| - 2₽) ₽2 r+
	fT-Д = .□		4- (12a, — 12a" — 3")
			\ 1	1 J j
			1ВшЙТГ1+ Г12а.—12a‘—2p'| ₽3T';-
			12 L I	1	>
			— (12a — (12a? — ₽2) P?J
			\	1	1	1	J ~j
	r-w-r		РЧ 4
	'У	1	
	4г		
	=_CJP		
	4gO	_		РЧ a, (1 — a,)
			
	I		
	rMp я		[1 4- i2alV1 (1 - a,)(l + Till
			12
		1 __—4		
			q4a 45 "
			
		4	
г	? Д? . 1	T	
			
	i		
Здесь: а, •=	; 6 —			b ,	p ,	P , ,	p
	Z		1	g	я1	e + c
11,1. ГИБКИЕ НИТИ
581
(если одна из эпюр М, q или Q — прямолинейная) или
непосредственным интегрированием. Например, приу =
— const
I
с	2	qP	q'ip
D — 1 Mgdx — — • — lg = —— ,
J	3	8	12
и
Подстановка этого значения в (11.15) дает фор-
мулу (11.8). Готовые формулы для вычисления харак-
теристики нагрузки D для некоторых распространенных
случаев нагружения помещены в табл. 11,1,
11.1.3. Определение распора, упругой нити
Определение распора упругой нити производится в
два этапа. Сначала определяется распор Но без учета
ее продольных деформаций, т. е. как для нерастяжи-
мой нити, а затем находится распор И с учетом упру-
гих деформаций. При этом этап сводится к решению
кубического уравнения:
Da cos2 ф D(o cos2 ф
Нз +------Д2=	(Ц.16)
2lkH20	dht
где &-EF-,
F — площадь поперечного сечения нити;
Е — модуль упругости; D — определяется по формулам
(11.10); Но — по формулам (11.9) или (104), (11.15);
здесь а определяется из (11.11), а щ п г2 по формулам:
Л = 1'Д‘“ + (".% + « 4 <₽ф;	(11.18)
щ = У (1 — а)2 + [(1 — a) tg.<p — туф , (11.19)
где
Ус
гс = у,	(11.20)
а уопределяется из (11.12),
При нагрузках, симметричных относительно середи-
ны пролета, а также в других случаях, когда п =0,5,
если при этом известна стрела провеса нити при рав-
номерно распределенной нагрузке, коэффициент k мо-
жет быть вычислен по формуле
	k = 4 (		(11.21)
где	/ sec'- ® “'-у У	, 2 4®	4 _Щ, дГз“ 3«2	(11,22)
	,, т / sec2 4 4- |/	4	2 4 гр , 4 i f	(11.23) (11-24)
11.1.4. Вычисление длины нити
Если известна стрела f провеса инти в середине про-
лета при равномерно распределенной нагрузке, то соот-
ветствующая длина нити
s = (4 -у 4) 1.
(11-25)
где 4 и 4 вычисляются по формулам (11.22), (11.23),
Формула (И.25) дает приближенное решение зада-
чи, однако степень этого приближения весьма высока.
Так, например, погрешность вычисления при значениях
утла наклона <(, = 30° и л —1Ц = 10, составляет всего
6,002% величины 5.
На практике задача часто ставится следующим об-
разом: задается форма равновесия нити, нагруженной
постоянной равномерно распределенной вдоль пролета
нагрузкой g, и требуется произвести расчет при различ-
ных комбинациях этой постоянной и временной на-
грузок.
В этом случае величины распора И и стрелы прове-
са f при постоянной нагрузке g известны.
Для дальнейших расчетов (с учетом дополнитель-
ных нагружений и других воздействий), а также для из-
готовления нити необходимо знать длину заготовки
So. Для ее вычисления рекомендуется следующий
метод:
а)	вычисляется величина щ — первоначальной стре-
лы провеса нити (т. е. величина стрелы провеса при
равномерно распределенной нагрузке, близкой по вели-
чине к нулю, когда можно пренебречь деформациями
удлинения нити). Для этого рекомендуется формула:
и /~	3gkB In3
fо = Л/	(11.26)
j2	64® cos- <p
где kB вычисляется г;о формуле (11.21);
d.t и 4 вычисляются по формулам (11,22) и (11.23):
ш = £Е; Е — модуль упругости; F—площадь попереч-
ного сечения .нити, постоянная по всей ее длине.
Найдя величину /о, определяем;
б)	подставляя пв в формулы (11.22) и (11.23) вме-
сто п, вычислим соответствующие значения коэффи-
циентов di и 4 при п = я0; подстановка полученных ре-
зультатов в формулу (11.25) дает искомую длину за-
готовки нити So.
Если задана форма равновесия нити при любой дру-
гой (неравномерной) нагрузке, то для определения дли-
ны заготовки поступают следующим образом: по задан-
ной форме равновесия вычисляют длину нити S в на-
груженном состоянии, затем по формуле (И.7)
вычисляют величину распора Н, соответствующую
нагруженному состоянию; после этого, используя по-
лученное значение И, определяют первоначальную ве-
личину распора
__1_____
2Ш3
Da cos2 ф
(11.27)
где D определяется из (11 10), а А—из (11.17)*.
Зная Нв, можно построить пользуясь (11.4), линию
равновесия нити в исходном состоянии, т. е. до прояв-
ления продольных деформаций нити. Для определения
длины заготовки Зв, вычисляют длину построенной (по
Но) линии равновесия, разбив ее па достаточно боль-
шое число участков.
* Здесь коэффициент k вычисляется исходя из заданной дли-
ны нити S в нагруженном состоянии.
582
РАЗДЕЛ II. ВАНТОВЫЕ И ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
11.1.5. Расчет струны
Если первоначальная длина нити, т. е. длина заго-
товки, равна длине хорды ЛВ (рис. 11.1), то в этом
случае решение уравнения (П.16) будет иметь вид:
И = cos <j>
(11.28)
Расчет предварительно напряженной струны
Если упругая нить находится под воздействием си-
лы предварительного натяжения N (рис. 11.2), напраз-
лепиой по "хорде АВ, и произвольной вертикальной на-
грузки ’’’о при этом зависимость между величина-
ми распора н силы предварительного натяжения выра-
жается уравнением
©св
IIs —' NBB cos tp =	cos? <р	(11.29)
или
Н	©св
<V =------ __	C0S4	(11.30)
cos ср	2Ш“
Пример 11.1. Стальной канат закреплен в точках
А и В, расположенных на разных уровнях (рис. 11.3),
и нагружен постоянной равномерно распределенной по
всему пролету нагрузкой £==500 кГ!м и временной на-
грузкой р = 420 кГ1м, расположенной на половине про-
лета. Величина пролета /=100 лг; угол наклона хорды
<р=30°; стрела провеса каната в середине пролета при
нагружении его только постоянной нагрузкой g принята
равной (=10 м; £=16- 10s т/м2; ©=15,96 см, раз-
рывное усилие каната 248 т (табл. 11.2, канат диамет-
ром 59 мм).
Требуется определить распор, максимальное усилие
в канате, угол найлона каната у опоры В и ординату ли-
нии равновесия в середине пролета.
Определим жесткость каната на растяжение:
св =£ - © = 16-10е-15,96 • 10-4 = 25 536 т.
Пользуясь строкой 3 табл 11. 1, вычислим характе-
ристику нагрузки D при заданной схеме нагружения;
найдем предварительно
отсюда
0,5г-10(Я
12
Т=
420
500
=0,84;
5
1 + 0,84 + —-о,848
= 42,9.10? тм’.
£
g
Для вычисления длины заготовки So, исходя из за-
данной величины стрелы провеса каната, при равномер-
но распределенной постоянной нагрузке (/=10 л; л=
= /// = 10), пользуясь формулами (11.22) и (11.23), оп-
ределим коэффициенты Д и dz.
2-0,577
10 Уз
4
3-102
0,643;
2-0,577
юУз
+ -4— = 0,52911;
3-102
по формуле (11.21)
kB = 4 (0,6433 -4- 0,529s) = 1,656;
Таблица 11.3
Канаты стальные типа ТК 7x37 = 259 проволок
с металлическим сердечником (ГОСТ 3068—55)
Диаметр каната, мм	Площадь сечения, мм'-	Расчетный вес 100 пог. м смазанного каната, кг	Расчетный предел прочности проволоки при растяжении, кГ/мма		
			170	18Э	190
			Разрыв	юе усилие целой, к	каната
21,0	204,45	179,3	28 450	30 150	31 800
23,5	247,31	216,8	34 400	36 450	38 450
25,5	294,04	257,3	40 950	43 350	45 750
27,5	345,17	302,7	48 050	50 900	53 750
29,5	400,49 i	351,1	55 800	59 050	62 350
31,5	457,69	401,3	63 750	67 500	71 250
34,!)	522,41	458,1	72 801)	77 050	81 350
36,0	589,82	517,2	82 000	86 900	91 800
33,9	659,81	5/8,6	9! 800	97 150	102 500
42,0	815,61	715,2	113 500	120 000	126 500
45,5	990,65	868,7	137 500	145 500	154 000
50,5	1173,3-1	1028,9	163 000	173 000	182 000
55,0	1378,16	1208,5	191 500	203 000	214 000
59,0	1596,00	1399,6	222 000	235 000	248 000
63,0	1334,49	1603,7	2-55 500	270 500	285 500 :
67,5	2085,86	1829,1	290 500	307 500	325 000
П-т> и	м э ч а н и е	По стальным канатам имеются также			
ГОСТ №3-55, ГОСТ ГОСТ 767G--55 и др.		3064-55, ГОСТ 3067-		55, ГОСТ	7675-55,
11.2. ВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
по формуле (11,26)
Ус
3-0,5-1,656-ГОО-Ю3
64-25536-0,866а
I
10,07
100
0,1007;
= 8,93 м,
rt = ]/o,5742 + (0,1007 + 0,574-0,577)2 = 0,718;
отсюда
Г8 = У 0,4262 + (0,426-0,577 —0,1007)2 = 0,450;
подставляя значение пв в формулы (11,22) и (11.23)
вместо я, получаем: <+=0,635; <+ = 0,533. Подставляя
эти коэффициенты в формулу (11,25), находим длину
заготовки
5в = (0,635 + 0,533) 100 = 116,854 м.
Для определения распора при заданной схеме на-
гружения (рис. 11.3) определим предварительно не-
обходимые коэффициенты: расстояние а от левой опо-
ры до равнодействующей нагрузки:
0,5-100-50 + 0,42-50-75
0,5-100 + 0,42-50	м>
отсюда, по (11.11)
57,4
а — —- = 0,о74;
100
далее, по (11.13)
m =	о,866= 1,012;
100
?яг = 1,024; mA — 1 = 0,024;
ж2 — sin2 <р = 1,024 — 0,25 = 0,774;
подставляя в формулу (11.12), найдем:
0,7183
0,574s
0,4503
0,426s
1,628.
На основе полученных данных составим уравнение
(11.16):
дз _ 42,9-Ю3-25536-0,8668________
f +	2-100-1,628-101,7а	'	~
42,9-I03-25,5-Ю3-0,866s
2-100-1,628
или
Я3 + 244572 = 2,525-10е.
Отсюда распор /7=87,314 т.
Определим максимальное усилие в канате. Своего
максимума это усилие достигает в рассматриваемой за-
даче у опоры А.
Балочная поперечная сила на левой опоре
Qz= 0,5-100-0,5 + 0,42.50-0,25 = 30,25 m.
Пользуясь формулой (11.6), находим максимальное
усилие в канате:
Тмакс = Р'в’ЛЗ'2 + (30,2 + 8+34)7577)2 = 119 г.
Определим угол наклона каната у опоры В,
Поперечная сила у опоры В
100-0,024
2.0,774-0,866
+ 1,012
4-0,574-0,426-0,75
(1 - 2-0,574) 0,5+
0,024
= 10,07 м.
Пользуясь формулой (11.9), определим величину
распора без учета упругих деформаций каната:
, V 429-Гом757++42+1ОО
д = ———Е-------------Л—.—- = 101,75 га.
°	10,07
Перейдем к вычислению распора с учетом упругих де-
формаций каната; для этого, пользуясь формулами
(11.18)—(11.20), определим коэффициент й:
Qs= 30,25—0,5> 100 —0,42-50 =—40,75 т.
Пользуясь формулой (11.5), получим:
40,75
tg =--ПГП + 0,577 = 0,1106.
о/ ,0
Отсюда
0в = 6° 18' 50".
Пользуясь формулой (114). определим ординату ли-
нии равновесия каната в середине пролета
11.2.	ВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
11.2.1.	Общие сведения
Плоская или пространственная стержневая система,
основные несущие элементы которой рассматриваются
при расчете как гибкие нити, называется вантовой сис-
темой. Если элементы заполнения (например, ограждаю-
щие элементы висячего покрытия, выполненные из же-
лезобетона или армоцемента) замоиоличены и работают
совместно с вантовой системой, то образуется висячая
оболочка, армированная вантами. Такая оболочка рас-
считывается обычными методами (см. разд. 14), одна-
ко на стадии монтажа и в предельном состоянии пред-
ставляет собой вантовую систему.
Многие из применяемых в строительной практике
вантовых систем являются изменяемыми. Если такая
система находится в равновесии, то ее конфигурация
п соответствующие ей внешние нагрузки называются
равновесными. Изменение интенсивности равновесной
нагрузки вызывает только упругие деформации, и в этом
отношении изменяемые системы, нагруженные равно-
весной .нагрузкой, не отличаются от систем неизменяе-
мых.
584
РАЗДЕЛ И. ВАШОВЫЕ И ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
Среди изменяемых систем существуют вырожден-
ные системы, которые при условии педеформируемости
материала полностью лишены подвижности, но в слу-
чае реального материала допускают бесконечно малые
перемещения за счет удлинений второго порядка ма-
лости. В соответствии с этим кинематическим призна-
ком такие особого рода системы получили в строитель-
ной механике название мгновенно-жестких [19]. Как по-
казано в [15], система, обла-
дающая положительным чис-
лом стйпейей свободы, но до-
пускающая устойчивое равно-
весие с начальными усилиями,
есть мгновенно-жесткая систе-
ма. В частности, таковыми яв-
ляются предварительно напря-
женные вантовые системы.
Простейшей мгновенно-же-
сткой системой является пря-
молинейная шарнирно-стерж-
невая цепь с закрепленными
концами и ее предельный слу-
Рлс. П.5
чай—струпа (рис. 11.4), т. е, нить, длина которой в
естественном состоянии равна или (в случае предвари-
тельного напряжения) меньше расстояния между опора-
ми. Отличительная особенность этой системы состоит в
отсутствии таких поперечных нагрузок, для которых ис-
ходная (прямолинейная) форма шарнирной цепи или
струны была бы равновесной; равновесие может насту-
пить только после изменения очертания системы, кото-
рое происходит благодаря податливости материала.
Поэтому расчет таких систем на поперечную нагрузку
возможен только по деформированной схеме.
Двухпоясная вантовая система (рис. 11.5, а) в кине-
матическом отношении подобна струне, так как пред-
ставляет собой шарнирную цепь, у которой все мгно-
венные центры взаимного вращения звеньев располо-
жены на одной прямой; на этой прямой пересекаются
все пары касательных к верхнему и нижнему поясам,
проходящие через точки с одинаковой абсциссой. Прин-
ципиальное отличие этой системы от струны заключа-
ется в том, что очертание даухпоясиой системы в не-
нагруженном -состоянии является равновесным для по-
перечной нагрузки, эпюра которой подобна эпюре уси-
лий в вертикальных связях в стадии предварительного
напряжения.
Двухпоясйыс вантовые системы рассмотренного ти-
па, будучи расположены в плоскостях, проходящих
через одну вертикальную прямую, образуют простран-
-ственную радиальную вантовую систему (рис. 11,5", б).
Существуют и другие разновидности радиальных си-
стем.
Еще один вид пространственных вантовых систем
составляют вантовые сети. Кинематический анализ се-
ти свидетельствует о ее многократной геометрической
изменяемости. Очевидно, что из всех сетей мгновенно-
жесткими могут быть только те, у которых нормаль-
ные кривизны иитей всюду разнозначны или равны ну-
лю (рис. 11.6), ибо в противном случае состояние с на-
чальными напряжениями заведомо не может быть ус-
тойчивым.
В отличие от рассмотренных ранее систем, каждая
сеть имеет довольно широкий класс равновесных попе-
речных (т. е. нормальных к поверхности) нагрузок;
единственное исключение составляет асимптотическая
сеть поверхности (линии которой имеют нулевую нор-
мальную кривизну) и ее вырождение —' произвольная
плоская сеть. Асимптотическая сеть допускает началь-
ные напряжения и поэтому обладает мгновенной жест-
костью, но равновесных поперечных нагрузок для нее
не существует, и в этом отношении она представляет
собой двухмерный аналог струны.
11.2.2.	Особенности расчета
и общие расчетные предпосылки
Одна из характерных особенностей, присущих ван-
товым системам (как изменяемым, так и мгновенно-
жестким), заключается в том, что их очертание в зна-
чительной мере зависит от деформаций (кинематичес-
ких, упругих, пластических, температурных и т. д,).
Тот факт, что равновесная форма этих систем может
существенно отличаться от исходной, осложняет оп-
ределение их напряженного и деформированного сос-
тояния, поскольку делает задачу геометрически нели-
нейной. Исключение в этом отношении может пред-
ставить только расчет па равновесные нагрузки,
которые, как уже отмечалось, вызывают одни лишь
упругие перемещения. Но и в этом случае следует убе-
диться, что перемещения достаточно малы по сравнению
с генеральными размерами системы, ибо только при
таком условии можно не делать различия между де-
формированной схемой конструкции и исходной. Если
принять во внимание относительно большую деформа-
тпвиость вантовых систем, то рассматриваемый случай,
казалось бы, не должен иметь большого практического
значения. Однако, в отличие от выпуклых, сжатых кон-
струкций (как, например, пологие арки и оболочки по-
ложительной гауссовой кривизны), для которых именно
учет нелинейных членов позволяет получить достовер-
ную оценку их прочности, жесткости и устойчивости, ви-
сячие системы вовсе не теряют устойчивости, а пре-
небрежение геометрической нелинейностью идет для
них в запас прочности и жесткости. Вот почему на
практике при расчете на равновесные нагрузки ли-
нейная постановка задачи часто оказывается вполне
достаточной. Более того, линейная постановка может
оказаться приемлемой и при расчете на неравновесные
нагрузки, если в системе имеются настолько большие
усилия от равновесной нагрузки или предварительного
напряжения, что их изменениями можно пренебречь.
Наряду с геометрической и физической нелиней-
ностью в задаче о расчете вантовой системы может
возникнуть еще так называемая конструктивная нели-
нейность, связанная с. качественным изменением расчет-
ной схемы конструкции в процессе ее деформирования.
Наиболее характерным проявлением конструктивной
нелинейности служит выключение связей (например,
tl.3. ВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
585
при потере натяжения в какой-либо нити), которое,
как правило, недопустимо и рассматривается в ка-
честве одного на предельных состояний системы.
При решении нелинейных задач широкое применение
получили шаговые методы, сущность которых состоит
в следующем. В нелинейном уравнении выбирается
(нлп вводится в него искусственно) некоторый пара-
метр. При каком-либо одном его значении напряжешю-
деформиррвакное состояние рассматриваемой системы
должно быть известно (исходное состояние). Затем
этому параметру последовательно даются малые при-
ращения. Каждый из последовательных однотипных
этапов расчета состоит в определении изменений напря-
женного и деформированного состояния системы при
заданном изменении варьируемого параметра. Прира-
щения параметра назначаются настолько малыми, что-
бы на всех этапах расчета можно было в рамках тре-
буемой точности пренебречь нелинейными членами.
В результате решение нелинейной задачи сводится к
вычислительному процессу, на каждом этапе которого
решаются линейные уравнения, причем рекуррентный
характер процесса позволяет эффективно использовать
электронно-вычислительные машины. Понятно, что
варьируемый параметр целесообразно выбирать таким
образом, чтобы процесс решения линеаризованных
уравнений сопровождался получением максимального
количества полезной информации о рассчитываемой
системе.
Известно, например, что прямая задача инженерного
расчета, проводимого при проектировании конструкций,
состоит обычно в определении сечений конструктивных
элементов. Этой задаче в наибольшей мере отвечает
метод расчета [14], основанный иа совмещении шаго-
вой линеаризации с поэтапной корректировкой сечений
конструкции. В исходном для расчета состоянии кон-
струкция имеет избыточные сечения, при которых де-
формации малы, но прочность недоиспользуется. По-
этому уменьшение сечений, вызывающее рост напряже-
нии и деформаций, продолжается до тех пор, пока па
некотором этапе оно не окажется невозможным. Ука-
занный процесс, который можно трактовать как про-
цесс оптимального проектирования, хорошо алгоритми-
зуется в виде рекуррентной последовательности задач
линейного программирования, решаемых симплекс-ме-
тодом При этом на каждом этапе минимизируется,
например, теоретический вес системы (целевая функ-
ция) при следующих ограничениях: 1) линеаризован-
ные уравнения статики для всех расчетных сочетании
нагрузок; 2) условия прочности и жесткости системы;
3) максимальные значения изменений сечений (гаран-
тирующие приемлемость линейного подхода на каж-
дом этапе).
Другая разновидность шагового метода — метод по-
следовательных нагружений [17], который состоит в
том, что на каждом этапе расчета к конструкции при-
кладывается небольшая доля внешней нагрузки. При
этом можно изменять последовательными этапами не
только интенсивность нагрузки, но и закон ее распре-
деления, что сокращает объем вычислений при расчете
на различные виды нагружения, а также позволяет
выявить эффект «перемещения» нагрузки по конструк-
ции.
Применение описанных методов дает возможность
при минимальном объеме вычислений получить ту ин-
формацию. которая обычно интересует проектировщика.
При статическом расчете висячей системы целесооб-
разно выбирать в качестве исходного состояния для
начала расчета какое-либо из ее предельных состояний
(по прочности, по деформативности, по выключению на-
прягающих вант), Соответствующим подбором геомет-
рических параметров и усилий в этом состоянии можно
добиться наиболее рационального использования ма-
териала конструкции. Кроме того, можно потребовать,
чтобы два (или даже больше) предельных состояния
совмещались, что также является одним из критериев
оптимального проектирования. При таком подходе
целью расчета становится определение недеформнроваи-
ного состояния системы, из которого она под влияни-
ем заданных расчетных воздействий переходит в зара-
нее назначенное предельное состояние. Все. требующиеся
данные о предельном состоянии, необходимые для на-
чала расчета, удается получить на основе одного из
постулатов статики — принципа отвердения, согласно
которому в любом равновесном состоянии механическая
система может считаться иедеформируемой.
Применяя принцип отвердения к вантовой системе
при расчетной нагрузке, можно найти максимальные
усилия в несущих вантах и определить их сечения. Для
двухпоясных рантовых систем и седловидных сетей
усилия в напрягающих вантах в предельном состоянии
принимаются равными нулю, а их сечения определяют-
ся шаговым методом. С этой целью вначале назначают-
ся заведомо избыточные их сечения и на первом этапе
расчета удаляется вся временная нагрузка; далее про-
изводится постепенное уменьшение сечений этих вант
вплоть до исчерпания их прочности или получения пре-
дельных прогибов системы. В итоге расчета определя-
ются сечения напрягающих вант и напряженно-дефор-
мированное состояние системы при действии одной
лишь постоянной нагрузки. Чтобы определить состоя-
ние системы при отсутствии постоянной нагрузки, мож-
но последовательными этапами удалить и эту нагрузку.
Для мгновенно-жесткой системы таким путем одно-
значно определяется состояние с начальными напряже-
ниями. Подробный числовой пример, иллюстрирующий
применение шаговых методов к расчету радиальной
вантовой системы см. [14].
11.2.3.	Двухпоясные вантовые системы
1. Различные виды плоских двухпоясиых вантовых
систем (см. рис. 11.5) е точки зрения статического рас-
чета не отличаются друг от друга. При расчете этих
систем принимаются следующие допущения:
1)	начальные очертания поясов суть квадратные
параболы
р	р
Здесь и в дальнейшем индекс «1» относится к напря-
гающим вантам, индекс «2» — к несущим. Форма (11.31)
является равновесной для равномерно распределенной
нагрузки;
2)	система настолько полога, что для обоих ее поя-
сов
cos (3 « 1,	(11.32)
где f — угол наклона ванты к горизонту в любой точке.
Принятие этого допущения уничтожает различие меж-
ду усилиями в вантах 7’ц2) и их горизонтальными проек-
циями — распорами Лф (.,р а также между вертикальной
и нормальной к ванте составляющей внешней нагрузки;
3)	связи между поясами (распорки или растяжки)
считаются исдеформируемыми и распределенными не-
прерывно.
586
РАЗДЕЛ 11 ВАНТОВЫЕ И ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
шшппшпщПШШШ] ч»
Рис. 11.7
В случае нагоузки, показанной па рис. 11.7, расчет
вантовой системы сводится к решению следующей си-
стемы нелинейных уравнений:
(Tj -	+ -у V —.	Z2 —	F2 +
4 А + k (Т — Т$) 0;
R ,	.	4	2 Q 1	9
1 (Г,	- — T]2Z — — Z2 —- — V2 4-
+ D„ + k (Т — Г11) = 0;
TV — Р = 0;
(Pt —• Z) (Д —(ip, + Z) 7» == 0.
Здесь Ч'1(2) = —— , д1(2) =
1 1 / О) г
I
Dj(2) — «/1(9),
(11.34)
, г1 = T’j + т“,
k^hi.
21
Р^= — (уп - <?•’), 5 = - (9П + ?л),
4	4
Тц^—начальные усилия в вантах; —жесткости
на растяжение; Й7О— прогиб в центре; а—коэффициент
линейного расширения; бц —взаимное горизонтальное
перемещение опор от действия /7=1.
Горизонтальные перемещения середин верхнего
и нижнего поясов определяются по формулам:
'ч - - Y у z'^’	= Т v + z)’
[/О
Х1(2) = ^,	(11.35)
где V и Z находятся из решения системы (11.33).
Для решений этой системы шаговыми методами да-
дим параметрам деформативности и нагрузки Р
и Q малые приращения; в связи с этим приращения по-
лучат также все усилия и перемещения. Обозначая
приращения всех величин соответствующими малыми
буквами, приходим к рекуррентной системе линейных
уравнений (табл. 11.3).
Здесь
Ч| = % + ^,	(11.36)
Индекс «г'4-Ъ> относится к приращениям (i+l)-ro эта-
па, индекс «г» относится к полным значениям величии
после l-то этапа расчета.
(11.33)
Рис. 11.8
2. Предварительно напряженная радиальная ванто-
вая система (рис. 11,8) считается закрепленной на ие-
деформируемом опорном контуре. Внутреннее кольцо
представляется в виде узла, в котором неподвижно
скреплены все нити. В качестве системы координат при-
нимаются полярные координаты плоскости с полюсом,
совпадающим с проекцией на эту плоскость узлов
верхнего и нижнего поясов. Начальные очертания поя-
сов принимаются такими:
/ г~ \	/	1
Si = H₽i+ —; г2 = / Р2~—-О2 , (11.37)
\	А /	\ /V J
Т а б л и ц а 11,3
4+1	Ф/Н		ф+1	Свободные члены	
				изменение жесткости	изменение нагрузки и температуры
w{+k	k	3		т\ - Т1^) 44+1	4+1
h	дф 4- k	_±-Ф 3	4 i ~ Т ц.	( Д- 7ф) фф!’1	4-н
— и 3	2- vl 3	_L т1 3	в	б	те -,+1
	? ‘Л ЪЗ	0	А т1 3	п	~ т >,+‘
11.2. ВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
587
где
-	+ ₽2- Ч1(2) =	 (И +8)
Эта форма является равновесной для нагрузки, рас-
пределенной равномерно по площади покрытия. Осталь-
ные расчетные предпосылки аналогичны соответствую-
щим допущениям для плоских двухпоясных систем.
В случае нагрузки р = р(ср) расчет сводится к ра-
стению следующей системы уравнений:
(+1 - 7’Г) 4- ~ «7/ - Y 1/2 + ’11Z
—	- Z2 + Xt cos <p 4~ +i sin ф Ц- £4 = 0;
(Т„ - 74} V, - ~~ О' “ 4 1/2 ~	~
х -	§ л 5
—	/s cos ф _j_ у2 3{п ф 4™	™ 0;
2	"	(11.39)
(«г _ V) Тг - 0% + V) Т3 + Р = 0;
2л	2л
f Т1 cos (pdqp = 0; [ Ti sin cpdcp == 0;
o'	b
2л	2Л
J cos ф^ф ™ 0; J Тэ sin <pd(p ~ 0;
о	0
2 л
QB 4- ,f [P + П (m -Z) - ts (Th 4- Z)] 4ф = 0,
где
7l(2)
R
t
Z =-^ , B1(23 =®^(2)-
(11.40)
Здесь Хц,), Hi(2) > 2 ~~ направленные вдоль соответст-
вующих осей компоненты перемещения узлов системы;
Qo—'Приложенная в центре сосредоточенная верти-
кальная сила; величины 7j(2j и хРц23 относятся к полос-
ке 4ф = 1, содержащей определенное постоянное число
нитей.
Давая параметрам деформативности и нагрузки ма-
лые приращения, приходим к рекуррентной системе ли-
нейных уравнений (табл. 11.4). Структура этой систе-
мы такова, что для ее решения вначале приходится вы-
разить из первых трех уравнений величины 4+М+1
через приращения перемещений, а затем подставить
эти выражения в оставшиеся уравнения. При вычис-
лении интегралов перемещения следует представить в
виде
4+1
а R (Ф)
(11.41)
и т. д. с тем, чтобы величины Хц2р и z можнз
было вынести из-под знака интеграла, а затем найти
их из линейных уравнений, получающихся после вы-
числения интегралов.
Для различных частных случаев рекуррентная сис-
тема уравнений (табл. 11.4) получает те или иные оче-
видные упрощения, связанные с наличием плоскостей
симметрии и т. д. Наибольшие упрощения получаются
для вантовых систем кругового очертания в плане. Эти
системы обладают замечательной особенностью работы
Таблица 11.4
2+1	4+1 2	д+1	4+1	4+1	4+1		4+'	Свободные члены		
								изменение жест- кости		изменение нагрузки
	0	5 1		0	0	sin ф	COS Ф	(rfl- rl)	уй+1	0
0		& 5	2		sin ф	COS ф	0	0	(	4+	0
	4	— Т1 5	0	0	0	0	0	©		- А дг+1 •5
-ц	/Г)|	0	1Т1	0	0	0	0	0		- (20+1 + /₽'+’}
0	— / sin ф	0	0	0	0	0	0	0		0
0	— 1 COS ф	0	0	0	0	0	0	0		0
— Z sin у	0	0	0	0	0	0	0	0		0
— / cos ф	0	0	0	0	0	0	0	0		0
			- V1;		4 24	Tl	=4 +			
		’V	4, + 4;	4==112 + Zf;		I <	2л ) =- p ) ^Ф- b			
588
РАЗДЕЛ il. ВАНТОВЫЕ И ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
на неравномерные нагрузки, изменяющиеся по закону
ainep или cosip (снег, ветер). Именно, если считать такую
систему линейно-деформируемой (первое приближение),
то при осесимметричной постоянной нагрузке и синусои-
дальной временной усилия во всех вантах обоих поя-
сов будут одинаковы, н контурное кольцо ке будет ис-
пытывать изгиба в своей плоскости.
3. Отличие двухпоясных радиальных вантовых сис-
тем, представленных на рис. 11.9, от рассмотренных вы-
ше состоит в том, что верхний и нижний пояса связаны
между собой не иа всем протяжении, а лишь посред-
ством элемента, соединяющего внутренние кольца обо-
их поясов; в расчетной схеме этот элемент считается
недеформируемым стержнем, соединяющим узлы
поясов.
Начальные линии равновесия вант таковы
(рис. 11.10):
zi = г [Рх - «й  г2 = т к -- ~ A , (II .42)
\ Л /	\	А ]
причем
,Э1 = ?1 -	^1(2) =
(11.43)
При всех прочих допущениях, аналогичных преды-
дущим, система уравнений для расчета вантовой си-
стемы рассматриваемого типа запишется так:
А тн) ± А + v 
_ ___ ^2 cos <р + Уф sin рг' ~р Di = 0;
[Т2 - Т^¥, - -А - 4 ’4 ~-
о - “ О	:
i
— ~	+ Л» COS ff 4- У2 sin ф 4- Д. = 0; I
I 2	J (11.44)
7\ (61 + V,) - Д = 0; 7, (02 + Д) -Р2 = О-1
2Л	|
J 7\ cos ф.Д = 0; j Д sin угЗср = 0,	|
0	и	I
2Л	2л	1,
| Т2 cos граф = 0; j Т.2 sin cprfcp = 0;
о	У
СоА"	(д.—2) — 74 ргй Z)] йф = о,
I >
причем здесь
а остальные обозначения те же, что и выше.
a)	S)
Рис. 11.11
Рекуррентная система линеаризованных уравнений
имеет влд табл. 11.5; по отношению к этой системе спра-
ведливо все сказанное ранее о системе, приведенной в
табл. 11.4.
В качестве частных случаев из полученных выше
уравнений вытекают уравнения Для однопоясных ра-
диальных вантовых систем — вогнутой и шатровой
(рис. 11.11, а и б). Для вогнутой системы следует в
уравнениях табл. 11.4 положить равными нулю все ве-
личины (перемещения, усилия, жесткости), относящие-
ся к напрягающим вантам. При совместном действии
осесимметричных и синусоидальных нагрузок усилия
во всех вантах вогнутой системы в первом приближении
оказываются одинаковыми.
Уравнения для расчета вантовой системы шатрового
типа можно получить из рекуррентной системы урав-
нений табл. 11.5. Для этого следует положить равными
пулю все величины, относящиеся к нижнему поясу, а
также, считая внутреннюю опору несжимаемой, при-
нять Z — 0. Кроме того, в уравнения равновесия узла
в горизонтальной плоскости нужно ввести величины го-
ризонтальных реакций внутренней стойки, возникающих
при смещении ее вершины:
Qx ™ Д1Ч Qu ~	1	(11,46)
где гп и г2=—упругие реакции стойки от единичного
горизонтального смещения ее вершины в соответствую-
щем направлении, В результате рекуррентная система
уравнений приобретает вид табл. 11.6. ’
Присутствие внутренней опоры ведет к тому, что при
несимметричных нагрузках на покрытие и внутренняя
стойка, и опоры, расположенные по периметру, будут ра-
ботать на горизонтальные усилия, а контурное кольцо
будет воспринимать сосредоточенные горизонтальные
реакции поддерживающих его опор. Чтобы избежать
этого, достаточно сделать внутреннюю стойку качаю-
щейся или обеспечить подвижность контурного кольца
в его плоскости.
11.2, ВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
589
Т а б л и ц а 11.5
4+1			б4'1	1	4+!	да	А-'		Свободные члены	
									изменение жесткости	изменение нагрузки
®1	0	0			и	У	sm ф	COS ф	Т\ уАН	0
0	«й	-А 5 2	0	-"4	Sin ф	-cos ф	0	0	Т2 ЕЕ1	0
0	5	2	± Т1 5	2	0	0		О	0	0	0	- 0	1
T*i	0	0		(>	0	0	у	0	0	А рД1 5
~-Ц		0	0	1Т1	9	о	0		0	- фА + А а ]
0	— / sm ф	0	0	0	9	0	0	0	0	0
0	~ / cos ф	0	0	0	0	С)	0	0	0	0
— Z sin ф	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
— ] COS if	0	0	0	0	0		ь	0	(:-	0
			1 = С + 1		У -zi	Н =	1 + 0			
			Ф = А +		п, + Z1-, Н			А-		
							6			
Таблица II .6
ДН			Д+1	Свободные члены	
				изменение зкестко- С ТВ	изменение нагрузки
А	- А ь	sin Ф	COS ф	рЛрт 4~1	0
А* о	А д О	0	0	°	А2+1
—I sin Ф	0		и	0	0
—COS ф	0	и	ЯГд. &	0	0
11.2.4.	Вантовые сети
1, Расчетной моделью вантовой сети служит сеть из
нитей или просто сеть, т. е. система гибких нитей, распо-
ложенных вдоль двух однопараметрических семейств
линий на поверхности. Считая толщину каждой нити
бесконечно малой, а сами нити расположенными вплот-
ную друг к другу, получим континуальную модель сети
(такую сеть иногда называют тканью). С инженерной
точки зрения представляют интерес следующие типы
сетей;
1)	ортогональная сеть, состоящая из двух взаимно
ортогональных семейств нитей (например, сеть линий
кривизны поверхности);
2)	чебышевская сеть, которая характеризуется ра-
венством противоположных сторон каждой ячейки
(пример — произвольная сеть переноса). Чебышевская
сеть может быть ортогональной только на развертыва-
ющихся поверхностях;
3)	геодезическая сеть, образуемая двумя семейства-
ми геодезических линий. Это единственная сеть, в кото-
рой при отсутствии тангенциальных компонент нагруз-
ки усилия в каждой нити неизменны по длине. Геоде-
зическая сеть может быть ортогональной только на раз-
вертывающихся поверхностях;
4)	полугеодезическая сеть, получаемая из однопа-
раметрического семейства геодезических линий и их ор-
тогональных траекторий. Таковой является сеть мери-
дианов и параллелей поверхности вращения (меридиа-
ны— геодезические), которая служит одновременно
сетью линий кривизны;
5)	асимптотическая сеть, которая состоит из двух
семейств асимптотических линий и существует только
иа поверхностях отрицательной гауссовой кривизны.
Асимптотическая сеть ортогональна только иа мини-
мальных поверхностях.
.2. Отмеченные здесь признаки сетей (за исключени-
ем асимптотической сети) относятся к их внутренней
геометрии. Знание 'внутренней геометрии сети необходи-
мо при конструировании самой сети и элементов запол-
нения. Что же касается статического расчета, то для
наиболее часто применяемых иа практике пологих се-
тей принятие приближенного равенства (11.32) унич-
тожает всякое различие между внутренней геометрией
пологой сета и геометрией плоскости. Так, например,
в случае пологой сети переноса, которая проектируется
на плоскость в виде ортогональной декартовой сети, все
параметры ее внутренней геометрии (длины, углы, гео-
дезические кривизны и т. д.) принимаются равными
соответствующим параметрам декартовой сети. В ре-
зультате пологая сеть переноса в данном приближении
оказывается одновременно ортогональной, чебышев-
ской и геодезической.
Сеть переноса обладает тем свойством, что се ста-
тически возможное состояние при действии равновесной
590
РАЗДЕЛ II. ВАНТОВЫЕ И ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
нагрузки не единственно. Так, например, в сети пере-
носа эллиптического или гиперболического параболои-
да к усилиям, возникающим, от внешних нагрузок,
можно добавить самоуравновешенпую систему, которая
состоит из сил, постоянных вдоль нитей каждого на-
правления, Это позволяет из всех статически возмож-
ных состояний выбрать наиболее выгодное с точки зре-
ния рационального использования материала вант или
создания оптимального распределения усилий в контур-
ных элементах [15].
Напряженно-деформироваипое состояние пологой се-
ти переноса при действии только нормальной нагрузки
описывается следующей системой уравнений:
(т, - Щ V, — V., + Го. - — W•- = 0; f (п' 47\
\ ~ зуд и < z- 2
Кривизны Oi и а2 приняты здесь постоянными, причем
для напрягающих вант они считаются положительны-
ми, а для несущих — отрицательными. Выражения для
усилий таковы:
...	1	№ * о пу
(11.53)
«Ь , та
— sin2 — —
Ь" а
2	ях
—, — сцДД sin —
л " а

Т1 (°х + ^'zx) + И (аг т V'r/t/) 4- 4 = 0.
Здесь Ti(y) и Т2(х) — усилия в вантах, параллельных
соответственно осям х и у, щ и о2— нормальные кри-
визны, И и V ~ продольные перемещения вант, W —
прогиб; Р — нагрузка на единицу площади; нижние ин-
дексы х и у означают частные производные по коорди-
натам. Граничные условия при неподвижном закрепле-
нии вант на контуре будут
(7=У = Г = 0.	(15.48)
На основе шаговых методов система (11.62) сво-
дится к рекуррентной последовательности линейных си-
стем вида:
+ (т1 ~~ Т1) ’Ь — «X + ШСГ1 — Wxwx = °; ;
4 (Д - Т«) фй - Vy +	= 0; . (п л9)
4 (°1 4“ Гхх) + Т 1®ХХ 4" 4 (<Д + 14ди) +
4 Т?wm 4- Р == 01
где малыми буквами, как и ранее, обозначены прира-
щения всех величин на очередном этапе расчета. Систе-
ма (11.49) эффективно решается на ЭВЛ1 [11].
3. Для предварительных расчетов на равномерную
нагрузку можно использовать приводимые ниже реше-
ния, полученные с помощью метода Бубнова—Галерки-
на в первом приближении. Для сети, закрепленной на
контуре прямоугольной формы (рис, 11.12)
Г = Ге
ях , яц
sin — sin
а Ь
(11.50)
где прогиб в центре
117„ находится из уравнения
«754^0=0,,	(11.51)
(11.52)
Для сета
(рис. 11.13)
эллиптического очертания в плане
С» = ТЩ
Л"
Г = Го 1 - —
\ а-
(11.54)
11.2. ВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
591
причем уравнение для прогиба Wn в центре имеет вид
(11.66) со следующими значениями коэффициентов:
5	/ сн	Ся	\
;	(ц.55)
6	£>*	)	7
где у/?	— углы между радиусом-вектором и каса-
тельными в точке перелома;
5) в частном случае безмоментного контура полиго-
нальной формы на протяжении каждой его стороны
нагрузки должны отсутствовать, остаются лишь прило-
[Т[	т%\
q=ц	f
с0=4ч/л<
Усилия в вантах будут такими:
(И.56)
Полагая в приведенных формулах ot = сы = 0, при-
ходим к случаю плоской в ненагруженном состоянии
сети, несущей равномерно распределенную нагрузку.
11.2.5.	Контурное кольцо
Для пологих висячих систем характерна большая рас-
порность. Так как при действии на конструкцию верти-
кальных нагрузок распоры образуют самоуравновешен-
ную систему сил, то наиболее рациональным способом
их восприятия будет создание в уровне покрытия зам-
кнутого контурного кольца с очертанием оси, близким
к кривой давления.
Для плоского кольца произвольной формы закон
нагружения, при котором кольцо не испытывает изги-
ба, имеет вид [14]:
(11.57)
sin у
Здесь Нв—погонная нагрузка на кольцо; о — кривиз-
на его оси; у — угол между касательной к оси и на-
правлением силы Н „ в той же точке; s — длина дуги.
Для центрального поля сил эта формула получает
вид
где R--Л(ф) —уравнение оси кольца в полярных коор-
динатах с полюсом, расположенным в центре системы
радиальных сил. Никаких ограничений на очертание оси
кольца и положение центра сил не накладывается.
Законы нагружения, обеспечивающие безмомент-
ность участков кольца некоторых характерных видов,
таковы:
1)	для прямолинейного участка кольца Hs = 0;
2)	для участка в форме дуги окружности, центр ко-
торой совпадает с полюсом сил, HJ = Go = const;
3)	случаю скачкообразного изменения кривизны в
какой-либо точке оси кольца при сохранении плавности
поворота касательной отвечает разрыв функции Н.,;
4)	при переломе оси контурного кольца в i-п точке
перелома необходимо приложить сосредоточенную силу
(11.59)
Рис. П.15
женные в вершинах сосредоточенные усилия Я,-, опре-
деляемые по (11.59).
При расчете радиальных вантовых систем удобнее
иметь дело не с погонными усилиями ffs, а с усилия-
ми Иф на единицу полярного угла:
„ R° 4- 2Д,а - RR"
н^ = с
(11.60)
Рассматриваемое как дифференциальное уравнение,
это соотношение позволяет для произвольной системы
радиальных сил найти очертание R^ оси безмо-
ментного кольца. Установлено [14], что единственной
формой оси безмоментного кольца радиальной системы,
в которой при равномерной нагрузке образованная ван-
тами поверхность имеет горизонтальную касательную
плоскость в узле, служит эллипс произвольного вида,
центр которого совпадает с проекцией узла системы
(рис. 11.14). Единственной формой оси безмоментного
кольца радиальной системы с одинаковыми распора-
ми всех вант при постоянном угловом расстоянии меж-
ду ними служит эллипс произвольного вида, один из
фокусов которого совпадает с проекцией узла системы
(рис. 11.15).
Отметим, что эллипс есть также очертание оси без-
моментного кольца для пологой сети переноса, в кото-
рой усилия постоянны для всех вант каждого направ-
ления и относятся между собой как квадраты полуосей
эллипса.
Ряд задач об определении формы оси безмоментио-
го контурного кольца рассмотрен в [ГО].
Контурное кольцо висячей системы рассматривается
при расчете как криволинейный стержень малой кри-
визны. Учет его совместной работы с вантовой системой
представляет довольно сложную нелинейную контакт-
ную задачу. Возможно следующее упрощение этой за-
дачи. Вначале вантовая система по всем правилам рас-
592
РАЗДЕЛ П. ВАНТОВЫЕ И ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
считывается на заданную нагрузку в предположении
недеформируемости контурного кольца. Далее вводит-
ся в расчет фактическая жесткость кольца и предпола-
гается, что перемещения вантовой системы, вызванные
упругой податливостью кольца, достаточно малы для
того, чтобы можно было пренебречь их квадратами.
В результате такого подхода нелинейность учитывается
только при расчете вантовой системы, тогда как соб-
ственно контактная задача оказывается линейной и ее
численное решение с помощью ЭВМ не встречает прин-
ципиальных затруднений. Для двухпоясаой радиальной
вантовой системы учет совместной работы достигается
введением в плоскости и из плоскости кольца упругой
среды винклеровского типа соответственно с коэффи-
циентами постели
sin у	„ sin у
+	01.6П
Для однопоясных систем (вогнутой и шатровой)
Т
k‘^	/	4
^2	$2
(11.64)
Для кругового контурного кольца радиальной ван-
товой системы получены следующие решения. Изгибаю-
щий момент в плоскости кольца:
ЛД (ср) = V Мгп cos игр; Л>1П=-—,	(П.65)
Кг(п)
п~2
В этих формулах для системы с непрерывно распреде-
ленными связями между поясами
= У + 2< р2я = У + 2<	(11.62}
где Нп—коэффициенты разложения погонного распо-
ра Не в ряд Фурье:
а величины tt и Д находятся из системы, приведенной
в табл. 11.7.
Hs (гр) = S/Д cos пф;
О
(П.66)
Таблица 11.7
A		V	Сеободные члены	
			опреде- ление k-j,	опреде- ление R
V,	0	4	./	_ £	r
0		-j	_ JL R	Д я
той	JL $ 5	-	T T	0	!)
Ж (Л) = „4 _ 2 Д
2
~Е1.	;
(И.67)
2л	2л
Ж =• ~ j Ж (Ф) аД; fei = ~ I Д (ф) dq>. (И .68)
dd d 1' 9 /	ЛЬ V I . У
о	о
Для кольца, свободно опертого на 7 равноотстоящих
опор и нагруженного равномерной погонной вертикаль-
ной нагрузкой Ve, изгибающий момент из плоскости
будет:
Для вантовой системы со связью поясов в центре
= У-~2< ₽2Д = У + 2<>	(П-63)
и величины 5 и 4 находятся из системы, приведенной
в табл. 11.8.
М.2 (ф) = Е ЛДП cos мр;
о
dl- (n? — 1)
X2 И)
(11.69)
-V ?n —
крутящий момент
Таблица Ю
A	| t.	oa		i Саободпьи1 члены	
			опреде- ление	п пре Де- ление k-
			j	У	:
	0 	:	0	- — 5	1	я	Я 1
{)			1	^2
	- : - d, 4	.	4	;	0	я	R
4	1	5	a	-'J	0	
7”i	л : о	T ’	и	>
где
ЛЬ, (ф) = I ЛД,« sin пф;
Mun = - 2V'S R-
К, (и) = /г” —
n (l'iB — 1)
/<a (a)
Ж V3
£ Д
Hs Rs
Gid + 6/2
kvIR
Gid
(11.70)
(11.71)
11.3. ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
S&3
11.3. ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
11.3.1.	Основные сведения
Пневматическими конструкциями называются конст-
рукции, изготовленные из мягких (матерчатых или пле-
ночных) газонепроницаемых материалов, способные
противостоять действию внешних нагрузок за счет из-
быточного давления воздуха или газа, наполняющего
see сооружение или его отдельные конструкционные эле-
менты.
Достоинствами пневматических конструкций явля-
ются: дешевизна, малый вес, малые габариты в сло-
женном состоянии, быстрота монтажа и демонтажа,
простота ремонта. Основные недостатки: легкая по-
вреждаемость, относительно малая долговечность, не-
обходимость поддержания повышенного давления внут-
ри сооружений или его конструктивных элементов.
Основные типы пневматических конструкций
Однослойные оболочки без силового каркаса. Эти
оболочки часто выполняются либо в виде полуцилинд-
ра с днищами в форме четвертей сферы (рис, 11.16, а),
либо в виде сферического сегмента (рис. 11.16,6), хотя
возможны и другие весьма разнообразные формы. Обя-
Рис. 11.16
зательными элементами сооружений этого типа явля-
ются шлюзы (Ш) и воздуходувки (В), при поомщи
которых внутри оболочки создается и поддерживается
давление р>, превосходящее давление снаружи ре. Обо-
лочка должна быть прикреплена к основанию. При рас-
чете прикрепления необходимо учитывать как силы
Рис, 11.17
давления, так и ветровую нагрузку. Разность давлений
Di—ре — р	обычно назначается равной 2 —
100 мм. вод. ст. — кГ/м2, а производительность воздухо-
дувок — в размере от одного до десяти объемов соо-
ружения в час [32, 33, 34].
Однослойные оболочки с силовым каркасом
(рис. 11.17), Каркас может быть жестким, например
металлическим, или пневматическим. Оболочка может
не быть несущей, но в этом случае ветер вызывает ее
полоскание, которое может допускаться лишь в соору-
Рис, 11.18
жениях малых размеров. Для уменьшения колебаний
оболочки внутри сооружения создают повышенное дав-
ление, которое на некоторое время может стравливать-
ся. Сооружения этого типа могут употребляться, на-
пример, в качестве гаражей или складов для крупных
изделий.
Двухслойные оболочки (рис. 11.18). Двухслойную
оболочку можно получить, скрепляя в отдельных точ-
ках однослойные оболочки (рис. 11.18, а). Эти оболоч-
ки изготавливаются также в виде пористого волокнисто-
го слоя (рис. 11.18,6). В полости между слоями
создается повышенное давление. Силы давления в двух-
слойных оболочках самоуравновешеиы и на основание
не передаются. Прикрепление должно рассчитываться
только на ветровую нагрузку. Внутри сооружения дав-
ление равно наружному.
Пневмостержни образуются длинной цилиндрической
оболочкой, скрепленной с двумя жесткими дисками
(рис. 11.24, а). При действии постоянного внутреннего
давления р такая оболочка способна воспринимать лю-
бые нагрузки, приложенные к дискам, и поэтому явля-
ется хорошим конструкционным элементом. Изогнутые
пневмостержни могут использоваться как элементы си-
лового каркаса пневматических оболочек (см.
рис. 11.17). Пневмостержнп, подвергающиеся изгибу,
обычно называют пневмобалкамп или аэробалками.
11.3.2.	Особенности расчета
пневматических конструкций
Основные особенности расчета пневматических кон-
струкций определяются свойствами применяемых для
их изготовления матерчатых и пленочных материалов.
Наиболее существенными особенностями этих материа-
лов являются: практически полное отсутствие сопротив-
ления изгибу и сжатию; большая деформативность при
растяжении; малый вес.
В связи с первым из отмеченных свойств материа-
лов пневматических конструкций в качестве расчетной
модели их оболочек используются мягкие оболочки.
594
РАЗДЕЛ 15. ВАНТОВЫЕ И ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
Мягкие оболочки рассчитываются как безмоментные
оболочки, однако их расчет имеет следующие особен-
ности.
Мягкая оболочка находится либо в двухосном на-
пряженном состоянии, когда оба главных натяжения
являются растягивающими (положительными), либо
в одноосном напряженном состоянии, когда одно из
главных натяжений, определенных по деформациям, по-
лучается сжимающим (отрицательным). Если дефор-
мации сжатия достаточно велики, оболочка образует
складки вдоль траекторий растягивающего главного
натяжения. Область, в каждой точке которой напря-
женное состояние двухосное, называется двухосной об-
ластью; аналогично, в каждой точке одноосной области
напряженное состояние одноосное.
Оболочка может быть либо целиком одноосной, ли-
бо целиком двухосной, либо содержать как двухосные,
так и одноосные области. Расчет каждой из этих об-
ластей производится раздельно. На границе между
двухосной и одноосной областями должны выполнять-
ся условия сопряжения.
Эта особенность мягких оболочек ограничивает фор-
мы пневматических конструкций, действующие на них
нагрузки и условия их закрепления.
Со второй из отмеченных особенностей материалов
пневматических конструкций (большая деформатив-
ность) связана необходимость рассматривать при рас-
чете оболочек ПК нелинейные задачи, четко различать
начальное (раскройное) и конечное (деформированное)
их состояния и относить условия равновесия или урав-
нения движения к конечному состоянию.
С малым собственным весом материалов пневматиче-
ских конструкций связаны особенности их расчета на
ветровые нагрузки, которые для них оказываются бо-
лее существенными, чем для сооружений обычного типа.
В частности, при расчете ПК весьма важным является
учет не только их сопротивления ветровому давлению,
но и подъемной силы, отрывающей сооружение от ос-
нования.
В соответствии с перечисленными выше особенностя-
ми пневматических конструкций основной задачей их
расчета является предотвращение предельных состоя-
ний, определяемых:
разрушением их материала, т. е. нарушением усло-
вия Тгде Т — максимальное натяжение в оболоч-
ке; R —' расчетное сопротивление материала оболочки
(см. П.3.6) при том же напряженном состоянии;
складкообразованием, т. е. нарушением условия
7’>0 в тех случаях, когда образование одноосных об-
ластей недопустимо (например, в пневмостержнях);
недопустимо большими деформациями или прогиба-
ми, связанными с нежелательными искажениями формы
оболочки.
11.3.3.	Расчет мягких оболочек
Определение усилий и смещений по известным на-
грузкам, условиям закрепления н при заданной на-
чальной форме представляет собой сложную задачу,
так как система физически и геометрически нелинейна.
Известен ряд решений этой задачи для осесимметрич-
ных оболочек [27, 28].	,
Если же известна форма оболочки в конечном состоя-
нии, то система является статически определимой. В об-
щем случае усилия определяются путем интегрирования
системы из трех линейных дифференциальных уравне-
ний первого порядка в частных производных [22, 23],
а для оболочек вращения — при помощи одной квадра-
туры [22]:
Г О
р'Тр sin 0 = pZ ds +
О
(11.72)
d
~ ~ds р C°S '
Здесь (рис. 11.19) 7р,Тд —натяжения соответст-
венно в направлениях меридианов и широт;
0—угол между касательной к меридиану ц плоско-
стью, перпендикулярной оси симметрии;
р — расстояние текущей точки от оси симметрии;
з—длина дуги меридиана, отсчитываемая от неко-
торой фиксированной широты;
Z, R — проекции внешней распределенной нагрузки
соответственно на осевое и радиальное направления;
Q — сумма всех осевых нагрузок (кроме сил давле-
ния), приложенных к центральному диску.
Если форма меридиана задана уравнением £ = ь(р),
то
sin 0 = — ——ж——.. cos g _ —
У1+Г3 Уш12
ds j/'l-f-J'2 dp.	(11.73)
Когда нагрузка Р(р) направлена по нормали к обо-
лочке, как, например, при гидростатическом давлении,
то
р
С	Q d
ртр sin 0 = ] pp (р) dp + — тв = (РТр).
о
(11.74)
Когда давление Р(р)—р постоянно, эти формулы по-
лучают вид:
n op2 Q	d
PTpsinO = y- + ^-;	= — р7р .	(Н.75)
11.3. ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
595
Если одно из натяжении' Тр , в некоторой части обо-
лочки получается отрицательным, заданная форма при
принятой нагрузке нереальна.
Оболочка в форме трехосного эллипсоида с полуося-
ми а, Ь, с при действии равномерного давления может
быть выполнена, если справедливы следующие неравен-
ства:
Угол (3 отсчитывается в плоскости поперечного сечения
от точки, наиболее удаленной от центра кривизны кри-
вой S; R — радиус кривизны кривой S.
Наибольшее натяжение имеет место в точках, бли-
жайших к центру кривизны кривой S:
_1,1_ 1...
а2 1 Ь~ ' с2’ Ь2 с3 '' а2’
рг	R
Т'илакс ~ Ду ‘	'•	(И -8в)
2	г
1 ——
Д
Геометрическое истолкование этих неравенств состоит
в том, что в случае их справедливости иа отрезках,
1 1'1
длины которых пропорциональны числам —, —. —,
а2 Ь" с2
можно построить треугольник [23, 24]. Если длины по-
луосей не удовлетворяют неравенствам (11.76), оболоч-
ка будет иметь одноосные области и форма ее будет
отличаться от эллипсоидальной.
Оболочка в форме эллипсоида вращения с полуося-
ми а в радиальном и Ъ—в осевом направлениях имеет
неотрицательные натяжения, если
< 2bs.	(11.77)
Таким образом, возможны как угодно вытянутые
вдоль оси симметрии оболочки; сильно же сплющен-
ных двухосных оболочек вращения быть пе может. На-
тяжения в оболочке в форме эллипсоида вращения при
равномерном давлении р-, у
Тр=i +(ь" ~
Р ^4 2(У-<;у
2b
(11.78)
Оболочка этого типа может существовать, если ра-
диус кривизны кривой S нигде не меньше г. В частном
случае R=<x> формулы (11,79), (11.80) определяют
усилия в цилиндрической оболочке (Tl — 2Tz — pr).
Оболочка в форме эллиптического тороида
(рис. 11.21) —поверхности, образованной вращением
эллипса вокруг оси, параллельной одной из его главных
Рис. П.21
Для определения усилий в сферической оболочке
с радиусом а в формулах (11.78) 1 следует принять
Ь = а.	,
Оболочка круглого сечения, полученная движением
центра круга с радиусом г вдоль плоской кривой S
Рис. 11.20
осей, — при равномерном внутреннем давлении имеет
натяжения:	
Тр - '	L У а* 4- (Ьг - «а) (Р - с)2; т	д ^ + 2(Ь--д2)(р^-рС)	 (11.81)
9	9А -я /						 У а& +	__ а5)(р _ с)а	
в, Ь, с
Натяжения неотрицательны, если параметры
удовлетворяют неравенствам
(11.82)
(плоскость круга нормальна к кривой S), при действии
равномерного внутреннего давления р(имеет натяже-
ния соответственно в продольных и поперечных сече-
ниях (рис. П.20);
2 ф- — cos в
рг R	рг
т ----------------------. т	(И. 70)
2 г ’	2	1
•	‘	.— cog /j
1 R
На рис. 11.21 область существования
на. Оболочка имеет вид кольца, если с>а.
В частности, в горообразной оболочке
а==& поперечного сечения натяжения:
заштрихова-
с радиусом
МР+Ш1. г Щ. (11.83)
р 2р 0	2
Ряд оболочек рассмотрен в книге [29].
Коль скоро известен закон, связывающий натяжения
596
РАЗДЕЛ 11. ВАНТОВЫЕ И ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
с деформациями, то по известным натяжениям дефор-
мации определяются без особых трудностей. Чтобы по
известным деформациям определить смещения, в об-
щем случае нужно интегрировать систему из трех диф-
ференциальных уравнений первого порядка в частных
производных [25]. Если деформации малы (порядка
1%), эти дифференциальные уравнения линейны. При
наличии осевой симметрии смещения определяются по-
сле выполнения одной квадратуры [22, 25]. Следова-
тельно, задавшись формой оболочки в конечном состоя-
нии, можно сравнительно просто найти форму в началь-
ном состоянии и определить раскройную форму оболоч-
ки, которая после приложения нагрузок переходит в за-
данную.
Простота этого пути установления связи между на-
чальной и конечной формами позволяет вести опреде-
ление конечной формы по заданной начальной методом
последовательных попыток: задаваясь конечной формой,
получать начальную я при необходимости на последу-
ющих шагах изменять задание конечной формы с тем,
чтобы полученная начальная форма удовлетворительно
согласовывалась с известной начальной формой.
Мягкая оболочка в одноосной области рассчитыва-
ется как гладкая оболочка, образованная одним се-
мейством абсолютно гибких нитей. Эти нити направле-
ны по линиям действия растягивающего главного натя-
жения Т\; второе главное натяжение Т2 следует считать
равным нулю. Расчет мягкой оболочки в одноосной
области таким образом сводится к расчету нитей.
Форма оболочки в одноосной, области не может
быть задана произвольно — она определяется нагруз-
кой и условиями закрепления нитей.
Одноосная область граничит либо с контуром, либо
с двухосной областью. На линии, разделяющей обе об-
ласти, должны быть выполнены условия сопряже-
ния [25]:
TW = 0.	(П.84)
Здесь верхние индексы указывают на то, что эти равен-
ства связывают предельные значения натяжений в од-
ноосной и двухосной областях. Кроме того, на линии
сопряжения должны соблюдаться условия непрерывно-
сти координат и их первых производных (условия глад-
кости),
В осесимметричной одноосной оболочке при нагруз-
ке, направленной по нормали, произведение рТр по-
стоянно.
©дна и та же форма одноосной области соответству-
ет различным начальным формам.
При расчете одноосных оболочек во многих случаях
можно пренебречь растяжимостью материала и рас-
сматривать их как системы абсолютно гибких нерастя-
жимых нитей.
Замкнутую одноосную оболочку вращения можно
получить, например, из цилиндрической оболочки с ра-
диусом г, если стянуть в точки граничные сечения и
создать внутри оболочки повышенное давление
(рис. П.22). Меридианы получают форму овалов с от-
ношением- полуосей, приблизительно равным 5/3. Рас-
стояние L между граничными сечениями цилиндриче-
ской оболочки должно удовлетворять приближенному
неравенству £^2,5г. Если взять L больше 2,5г, то око-
ло экватора оболочки появится двухосная область
[22, 23].
Двухслойные цилиндрические оболочки (рис. 11.18)
имеют в обоих слоях одинаковые натяжения
(11.85)
где h — расстояние между слоями;;
р—равномерное давление между ними.
Внешние распределенные нагрузки на пневматические
конструкции ПК. в том случае, когда они вызывают
незначительное измене-
ние формы (большое зна-
чение имеет изменение
углов наклона касатель-
ных), учитываются путем
интегрирования системы
из трех линейных диффе-
ренциальных у равней
относительно смещений
[25]. Если изменение фор.
мы при приложении до-
полнительной внешней
нагрузки существенно,
необходимо рассматри-
вать нелинейные диффе-
ренциальные уравнения.
Исключение составляют
цилиндрические оболоч-
ки, расчет которых зна-
чительно проще [30].
Если к цилиндрической оболочке, находящейся под
равномерным внутренним давлением, приложена нагруз-
ка, распределенная вдоль образующей (рис. 11.23, д, б),
то новая форма сеченйя составлена из двух дуг окруж-
ностей. Натяжения и другие величины, относящиеся к
новому состоянию, легко определяются исходя из того,
что длина сечения остается постоянной (при нерастяжи-
мом материале) или получает упругие удлинения
[31].
11.3.4.	Расчет пневмостержней
В иснагруженном состоянии пиевмостержни рассчи-
тываются на внутреннее давление (рис. 11.24, а] как
оболочки круглого сечения по формулам (11.79),
и, в частном случае, как цилиндрические оболочки.
Особенности их расчета на внешние силы определяют-
ся видом нагрузки. Ниже рассматриваются некоторые
частные случаи нагружения пневмостержней с прямо-
линейной осью в исходном состоянии.
При «чистом изгибе-» поведение пневмобалки, ле-
жащей на двух шарнирных опорах (рис, 11.24,6), зави-
сит от величины параметра
} = 0+210(6-10/°
8р(1 +р) +
где
И 2 Eh
(11.86)
(11.87)
И.З. Г1Ь J» TI'4FC’-PS i r-pp „PI
597
Здесь p— давление внутри оболочки;
re— радиус сечения;
;; h — толщина бобо,точки;
; L—расстояние между опорами;
Е — модуль упругости материала,
В случае нелинейной зависимости а(е) величина
Е есть касательный модуль при напряжении
классической схеме,, так и по схеме рис, 11.25. То же
относится к случаю, когда л отрицательна.
При растяжении пневмостержень рассчитывается по
формуле
рг Р
(1Е90)
При сжатии пиепмостержень рассчитывается на
устойчивость по эмпирической формуле [32]
Ркр б ряг2 ф,
Если Л мало, то расчет пнезмобалки производится по
правилам сопротивления материалов для балок, подвер-
гающихся одновременному действию нагиба и растяже-
ния. Например, натяжение в крайних точках попереч-
ных сечений
pr М
т-~Т±ЕР- 111 •»
Предельное значение изгибающего момента получается,
если положить ТмВа = 0:
Л^лред =	№-	(11 -89)
Дальнейшее увеличение момента возможно лишь при
значительном искажении формы за счет повышения
давления внутри пневмобалки.
Если Л велико, пневмобалка работает принципиаль-
но иначе. Деформации сосредоточиваются в узких зо-
нах, примыкающих к дискам, в средней же Части сече-
ния практически не получают искажений, а натяжение
Т2 постоянно во всем сечении. Ось пневмобалки сущест-
венно отличается от упругой оси балки постоянного се-
чения, находящейся в состоянии чистого изгиба. Де-
формированное состояние пневмобалки в этом случае
является суммой деформированного состояния, соответ-
ствующего чистому изгибу балки постоянного сечения
и деформированного состояния, изображенного на
рис. 11.25. В случае, если работа пиевмобалки су-
щественно отличается от работы пневмобалки как по
где коэффициент ф принимается по таблице, в зависи-
мости от отношения расчетной длины к радиусу Печений
— и от величины внутреннего давления р.
Таблица П.9
Цт	Р	ж								
	> 1	1,5 J	2 !	2,5	3	1	1,5	2	РР
2D	Шарнир} спор 0,70 ! 0,55		ше 0Л5	0,38	0,32	Ко 0,90	мбиии оп 0,74	ооэаш оры 1 0,655	ше 0,55
30	0,37	0,28	0,23	0,20	0,19	0,55	0,50	0,401	0,35
40	0,24	0,18	0,15	0,14	0,13	0,33	0,30	0,26	0,23
50	0,15	0,12	о,»	0,09	0,03	0,30	0,Ж	г 0;20	0,18
60	0,12	0,10	0,08	0,064	0,054	0,18	0,14	0,12	0,11
При кручении предельное состояние п^евмосторжнеч
определяется складкообразованием. При этом, как сле-
дует нз условия существования двухосной напряжен-
ной оболочки, крутящий момент, сощщтс'-зующп.д по-
явлению складок [23, 32],	™
ЛД,р = 2пга S,
где погонное касательное усилие
S = Д .
11.3.5.	Ветровые гптрузки
Ветровые нагрузки пропорциональны скоростному
напору
9=-ур0=,	(11.91)
где v—скорость ветра; р — плотность воздуха:
(П.<
286 Т [ J	-
Здесь Р—атмосферное давление в кГ/лР—мм вод. ст.',
Т — абсолютная температура воздуха.
598
РАЗДЕЛ 11. ВАНТОВЫЕ И ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
При «нормальных условиях» (Р-— 10 330 &Г1мг-, Т~
= 15° С+273 = 288° К) р=0,125 кГ-сек2/м\
При этом
vi Г кг 1 /Г м
q — — — о — I 
16 [ж® J \[сск]/
Суммарные силы У и X от ветровых нагрузок
Г = С9?3, X = CxqS, (11.93)
где Cv, Сх—аэродинамические коэффициенты, завися-
щие в основном от формы сооружения; S —- площадь,
Рис. 11.27
к которой отнесены эти коэффициенты. Сила X дейст-
вует параллельно основанию; У — перпендикулярно ему;
направление ветра считается параллельным основанию.
Для цилиндрической оболочки (рис. 11.26, а):
С#=1,67, Сл = 0,15, S = '2br.
Сечение оболочки при ветре искажается (рис. 11.26,6).
При небольших скоростях ветра стрела
/== — - ~
3 Хр
тле Хр—ре—р0 (р, — давление внутри оболочки; ро —
давление вдали от сооружения).
Для оболочки в форме полусферы (рис. 11.27, а}
С), = 0,75; (+ = 0,15; S = да®.
При действии ветра на оболочку в форме сфериче-
ского сегмента с тупым углом а (рис. 11.27,6) макси-
(11.94)
мальное натяжение 7МИКС связано с прочими парапет
рами зависимостью [26]
2Гнакс »	, л	, п-
—----= Xp~p2q.	(11.95
г
Скоростной напор, при котором в оболочке образу,
ются одноосные области,
<?=-~Лр.	(Н.9Д
В общем случае аэродинамические коэффициенты
должны определяться при помощи продувок в аэроДТЙ
намических трубах. Приведенные выше значения аэро-
динамических коэффициентов являются ориентировоч-
ными.	;
11.3.6.	Материалы для пневматических 5
конструкций
Ткани воздухонепроницаемые б Воздухонепроница)
емые ткани № 24, 42, 806, 60, 19, 109Ф и 110Ф, предназу
каченные для пневматических строительных конструк-
ций, представляют собой одно-, двух- и трехслс
ткань, покрытую слоем резины. В качестве основы шя
тканей .№ 24 и 806 служит капроновый текстиль (ар-
тикул 1528), . для тканей № 60, 42 и 19 — капроновый
текстиль (артикул 1539) и для тканей № 109Ф и 110Ф—
капроновый: текстиль (артикул 1549).
1 Составлено каид. техн, наук Г, Н. Зубаревым.
Таблица SLIP;
Прочностные и деформационные характеристики воздухонепроницаемых тканей и армированных пленок
Виды тканей и пленок	Нормативное сопро- тивление растяжению в кГ/см		Коэффи- циент длитель- ной проч- ности	Коэффи ц и е нты однородности ^одн		Расчетное сопротивление растяжению в кГ/см				Модуль упругости при растяжении в к Г / с /л	
	по основе	по утку «у		по основе	по утку	кратковременное		длительное		кратко- времен- ный Ек	длитель- ный Е
						по основе	по утку	по основе	по утку		
№ 24	36	26	0,3	Возд 0,8	ухонепро 0,7	-шцаемые т 28,8	кани 18,2	8,6	6,5	90,5	44,0	-
К« 808	36	21	0,3	0,8	0,7	28,8	14,7	8,6	4,4	114	44
№ 60	40	38	0,3	0,8	0,7	32,0	26,6	9,6	7,9		
Ns 42	40	38	0,3	0,8	0,7	32,0	26,6	9,6	7,9		
М 19	80	50	0,3	0,8	0,7	64,0	35,0	19,2	10,5			 )
ПС-40-П	9,4	7,6	0,35	А 0,8	рмирован 0,7	ные плеши 7,5	5,3		3,9	50	41
ПС-40-С	9,4	7,6	0,35		0,7	7,5	5,3	2,6	1,9	50	41,4 «и
Тип А	28	25	0,35	0,8	0,7	22,2	17,5	7,8	6,1	84	81,5: =
?> АС	28	27,3	0,35	0,8	0,7	23,0	19,1	Ь,0	0,7		—
» 200	39	28,4	0,35	0,8	0,7	31,2	19,0	11,0	7,0	—	— ?
П.3. ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ/
Jff ®|
Воздухонепроницаемые ткали выпускаются в руло-
нах шириной 90 см. Толщина тканей от 0,6 до 1,8 мм;
вес от 0,45 до 1,8 кГ/м2. Ткани М 24, 806, 60, 42 и 19
Предназначены для изготовления воздухоопорных пнев-
гаршеских конструкций.
Племи армированные. Армированные пленки
ПС-40-П, ПС-40-С, типы А, АС и 206 предназначены
для пневматических строительных конструкций возду-
х юлэрцого типа небольших пролетов. Они представля-
ют собой синтетические пленки из совмещенного поли-
амида, в которые впрессованы капроновые сетки.
В пленках ПС-40-П и ПС-40-С применена сетка арти-
кула 21585, в пленке типа А — артикула 22023/1,
/врпленке типа АС — артикула 22323/П и в пленке типа
<200 — артикула 22184,
Армированные пленки выпускаются в рулонах шири-
ной 85—90 см,. Толщина пленок от 0,45 до 0,71 мм; вес
от 0,45 до 0,76 иПм2.
Нормативные сопротивления, коэффициенты дли-
тельной прочности и однородности, расчетные сопротив-
ления и модули упругости воздухонепроницаемых тка-
ней и армированных пленок приведены в табл. 11.10,
Ослабление сечений оболочек в местах шитых швов
учитывается коэффициентом 0,85.
Л И Т Е Р A W Р А
к 11.1
1. К. нее лев В, А. Рациональные формы арок и подвес-
ных систем. Стройиздат, 1953,
2. Мацелоский Р, Н, Статический расчет гибких ви-
сячих конструкций. Под ред. чл.дарр, АН СССР ироф.
Н. С. Стрелецкого. Госстройиздат, 3050.
•3, М а цел и и с к я й Р. Н. Статический расчет упругих
нитей. «Строительная механика и расчет сооружений», 1959, «NV4.
4.	Мацелинский Р. Н, Расчет гибких пологих нитей.
«Справочник гфоектироишика промышленных, жилых и общест-
венных зданий и сооружений, том расчетно-теоретический», под
ред. проф. А. А. Уманского. Госстройиздат, I960,
5,	Мацелинскй Р. Н, Расчет гибких нитей на про-
извольную вертикальную нагрузку. В сб.: «Висячие покрытия»,,
под род, члсткорр, АН СССР проф» И. М. Рабиновича, Гос-
стройиздат, 1.962?
G, Малелинский Р, Н. Уточнение методики расчета
вант, «Строительная механика и расчет сооружений», 1969, Ке 2-
7.	Маделии ск и й Р. Н., Фельдман Е. Ш. Расчет
полигонально-вантовой системы покрытия. В сб.: «Строительные
конструкции», выгь-XV. «Буд1вельник», Киев, 1971»
8.	РжаницйЕ А. Р, Статика и динамика пологой упру-
гой нити, В сб.: «Висячие покрытия». Госстройиздат, 1962,
к 11=2
9,	Гордеев В, Н. Исследование плоских нитяных сетей
и тканевых оболочек. Диссертация. Киев, 1964.
10.	Гохбаум Ф. А.. Безмоыентные опорные контуры ван-
товых систем покрытий, В сб,; «Висячие покрытия». Госстрой-
из дат, 1962,
И. Дмитриев Л. Г,, К а с и л о в А. В.
крытия. Госстройиздат УССР, Киев, 1968.
12.	К а ч у р и а в. К. Статический расчет ванТОвйх/ систем,
Стройиздат, 1969.	//
13.	Кирсанов И. М., Альбом конструкций ййячих ао-
крытийД1зд-во «Высшая школа», 1965.
14.	Куз н е ц о в Э. Н. Радиальные вантовые системы (тео-
рия уа расчет). Госстройиздат, 1963.
15.	Кузнецов Э. И. Введение в теорию вантовых си-
стем. Стройиздат, 1969.
16.	Л и л е/е в А. Ф„ Селезнева В. Н. МЙ/оды расче-
та пространственных вантовых систем. СтроЙизда®/: 1964.
17.	Пет р о в В. В. К расчету пологих ободочек при ко-
нечных прогибах. Научи, докл. высш», школы. «Строительство»
№ 1, 19591
18.	П е р е л ь и у т е Р А. В. Основы расчета /вантово-стерж-
невых систем, Стройиздат. 1969.
19.	Рабинов н ч И. М. Мгновенно-жесткие система. HS
свойства к основы расчета. В сб.: «Висячие покрытия». Гос*
стройна дат, 1962.
20.	Р а й я/у с Г. 3» Принципы расчета/// висячих покрытий
с несущей конструкцией из гибких нитей. Щ /Фб.: «Висячие по-
крытия». Госстройиздат, 1962.
21.	Отто Ф„ Шяейер К. Тентовые-/и вантовые строи-
тельные конструкции. Стройиздат, 1970»
К 11,3
22.	А лек ссев С. А. Основе) теории мягких осесиммет-
ричных оболочек. «РНК», вып. 1® Стройиздат, 1965,
23.	А л е к с е е в С. А. Основе общей теории мягких обо-
лочек. «РПК». вып. 11, Стройиздат, 1967.	,
24.	А л е к с е е s С. А. Услоййя су/фествования./двухоснога
напряженного состояния мягких Оболочек. Изв. АН СССР, «Ме-
ханика», № 5, 1965.
25.	Алексеев С, А. Задачи статики и динамики мягких
оболочек. Труды VI Всесоюзно® конференции по /теории оболо-
чек и пластии,, «Наука», 1966.
26.	Алексеев С. А. Растет мягкой сферической оболоч-
ки в потоке жидкости» Инжеяерный/'/журнал «Механика твердо-
го тела» АН СССР, 1® 1967.
Z7.	Григорьев А. С»/ Равновесие безмоментиой оболоч-
ки вращения при больших деформациях, ПММ., т. 25, 6, 1961.
28,	Григорьев А. С, Устойчивость беэмоментиых обо-
лочек вращения в условиях растяжения. Труды VI Всесоюзной
конференции по теории оболочек/и пластин, «Наука», 1966,
29,	Отто -/Ф., Тросте ль Р. Пневматические строитель-
ные конструкции, Стройиздат, 1970,
30.	М агул а В. Э., Друзь Б. И. и др. Судовые мяг-
кие емкости. Судостроение,/! 95S.
31.	П е т р,® к #:в . Б, И Поперечные погонные натяжения
в цилиндричещ о« /пневматической оболочке при действии на
нее погонной ваяномерво распределенной нагрузки. «СМРС»,
1957,
32.	Губея/ко А, Б. Прочность и деформативность кон-
струкций с пэииеиепиеМ/ пластмасс. Стройиздат, 1966.
33,	М а г у в а В, Э. Расчет мягких оболочек. В сб.: «Стро-
ительная иехайика в . СССР. 1917—1967 гг». Стройиздат, 1969,
34.	Рекомендаций По проектированию и расчету конструкций
с применением пластмасс, ЦШ1ЙСК им. Кучеренко. СтрдЙиз-
дат, 1969.
35.	А р х а и г е л ь с к я й S, Я, Глухарев А. Н. Пнев-
матические кОиструкцпи, 1-е изд. настоящего справочника,
36.	Гений Г. А. Вопросы теории пневматических оболо-
чек. Труды ifr Всесоюзной конференции по теории оболочек
и пластин. Ереван, «Наука», 1964,
СПРА ВО ЧЯИК ПРОЕКТИРОВЩИКА
ПРОМЫШЛЕННЫХ, ЖИЛЫХ И ОБЩЕСТВЕННЫХ
ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ
 РАСЧЕТНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ
под редакцией А. Ас Уманского
Изеешз второе переработанное
в двух книгах
Книга!
# & $
Ci уойиздат
Москва, КЖ1, Кузнецкий мост, д. 9
$ Й ф
Редакторы издательства Осипова 3. M.t Бородина И, С
Круглова /L ТЕ
Технический редактор Мочалина 3, С.
Корректоры Кудрявцева Ы ЕЕ, Бирюкова Л. ЕЕ
Сдано в набор Уэ/ХП 1971 г, Подписано к печати 22/VI 1972 г,
T-1143L Бумага 84xlO8Vifl —- 16,75 бум, л, 63 уел. печ, л,
(уч.-изд» 86Д л,) Тираж 50 000 экз. Изд. JV? Х-—593/ 
; Зак» К» 1303 Цена 4 р. 96 к.
Владимирская типография Главполиграфпрома
Комитета" по печати при Совете Мин петров СССР
Гор. Владимир, ул. Победы, д, 18-б4
ОПЕЧАТКИ
Стр-	Строка	Напечатано	Должно быть
47	Левый столбец,	. -!-а„=0.	... -|-а2=0.
	33-я сверху		
48	Левый столбец,	’ *	' 1
	16-я снизу		
70	Правый столбец,	1 f (<1) (А) !	1 fm (X) 1
	2 я снизу		
90	Правый столбец,	. . . integral 1;	. . . integer i;
	21-я снизу		
320	Пропущена сноска	1 ИТС, РПК, СМРС — сокращенные обозначения назва-	
		ini if сборников «Исследования	по теории сооружений», «Рас-
		чет пространственных конструкции» и журнала «Строительная	
		механика и расчет сооружении	» (Стройиздат),
320	п. 14	Гарелкнн Б, Г.	Галеркнн Б, Г.
	п. 22	Стрелецкая Л. 14.	Стрельбшщая А. И.
	п 50	Мнекладзе Ш. Е,	Мнкеладзс Ш. Е,
326	Правый столбец,		я,у =с7 By,
	ll-я сверху		
328	Правый столбец,	Собственные векторы,	Собственные векторы вещест-
	5-я сверху	отвечающие ...	венной симметричной матрицы,
			отвечающие ...
328	Правый столбец.	Предположим сначала, ...	Пусть А — вещественная сим-
	9-я сверху		метричная матрица. Предпо-
			лежим сначала, ...
329	Левый столбец,	Пусти теперь ...	Пусть А — несимметричная
	28-я сверху		матрица, и пусть теперь ...
331	Левый столбец,	и Виу= .. .	U; Buy= . . .
	5-я снизу		
331	Правый столбец,	MV2= .. .	
	24-я сверху		
335	Формула (6.111)	= 631х(У	х.(« = 6зхх(« + 6а2Щ)
338	Левый столбец,	Ау	А/у
	12-я сверху		
			1 Ft
		Fi II	
342	Ф-лы (0.156) и (6.157)	„ « a IL	- . . 8  « . «
			а
			Frll
			Fi
342	Формула (6.158)	... = Л1 Ji	. . = |
		i I'ni ffon? X<H?2	1	F ш атхои
			
344	Формула (6.178)	. .. (CFC)~l...	.. . (C'FC)-1. ..
399	Нижняя таблица	2,7459	0,7459
	слева; 2-й столбец		
	справа, 4-я строка		
	снизу		
422	3-я снизу	стопки ш> табл. 8.1.4	ригеля по табл. 8.1.8
446	4-я сверху	1 мс=—	мс = ~~-
		2	2
	1-я снизу	«в ЯЬ	
479	Табл, 8.2.18,		к
	левая графа		
490	Табл. 8,2.22,	ki	Л
	правая графа	ks	k
516	Средняя графа,	(1-4-21;')	(НЛП