/
Автор: Антонов В.А. Тимошкова Е.И. Холшевников К.В.
Теги: теоретическая астрономия небесная механика математика математическая физика дифференциальные уравнения теория потенциала
ISBN: 5-02-013859-2
Год: 1988
Текст
В. А. АНТОНОВ
Е.И. ТИМОШ КОВА
К. В. ХОЛШЕВНИКОВ
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ
НЬЮТОНОВСКОГО
ПОТЕНЦИАЛА
В.А. АНТОНОВ
Е.И. ТИМОШКОВА
К.В. ХОЛШЕВНИКОВ
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ
НЬЮТОНОВСКОГО
ПОТЕНЦИАЛА
МОСКВА "НАУКА"
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ББК 22.62
А72
УДК521.14
Госудэрстовинал
библиотека СССР
1908
Антонов В.А., Тимошкова. Е. И., Холшев ников К.В.
Введение в теорию ньютоновского потенциала. - М.: Наука. Главная редак-
ция физико-математической литературы, 1988. - 272 с. ISBN5-02-013859-2
Дано систематическое и достаточно полное изложение теории потенциала, начиная
с самых основ и кончая современными достижениями. Необходимость такого изложе-
ния вызвана нарастающим разнообразием задач, где требуется применение теории
потенциала: в геодезии и геофизике, небесной механике и астродинамике, звездной
астрономии и астрофизике и т.д. Поскольку притяжение нерелятивистски движущихся
зарядов следует тому же закону, что и тяготение Ньютона, сходные задачи свойствен-
ны и электростатике.
Многие результаты, включенные в данную книгу, известны до сих пор лишь узким
специалистам или же получены недавно, отчасти авторами книги. Таковы, например,
вопросы о скорости сходимости ряда Лапласа по шаровым функциям для потенциала
произвольных тел; об оптимальном представлении последнего потенциалом системы
точечных масс. В некоторых случаях авторы предлагают новый, более систематизиро-
ванный подход к хорошо известным вещам. Указываются, в случае необходимости,
аналогии между задачами разного физического содержания, но родственными по
своему математическому смыслу. Глава 5 написана профессором В. Г. Шкодровым
(сектор астрономии Болгарской академии наук).
Для студентов старших курсов и аспирантов естественных факультетов, а также
здесь материал в своих исследованиях.
Ил. 21. Библиогр. 90 назв.
доктор физико-математических наук В.В. Козлов
IIIIIIIIIIIIIIIIIIII
2019298806
1705030000-125
А--------------- 14
О53(О2)-88
ISBN 5-02-013859-2
© Издательство "Наука”.
Главная редакция физико-
математической литературы,
1988
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ.......4 ...............................
Глава 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
ПОТЕНЦИАЛА ...........................................
Определение потенциала .
Границы для потенциала, непрерывность потенциала и микрострук-
Налряженность поля........................................
Бесконечные тела..........................................
7. Уравнения Лапласа и Пуассона, формулы Гаусса и Грина .
8. Свойства оператора Лапласа........................
9. Потенциал тел сферической структуры ..............
10. Вторые производные потенциала....................
11. Свойства аналитичности потенциала................
12. Экстремальные свойства потенциала................
13. Свойства гармонических функций...................
§ 3.3. Решение основных задач для круга
§ 3.5. Эллипс.........................
§ 3.$. Круговой и эллиптический цилиндр . .
§ 3.7. Трехосный эллипсоид............
§ 3.9. Альтернативный способ определения вспомогательных функций . .
§ 3.10. Потенциалы эллипсоидальных слоев.........................
§ 3.11. Прямоугольный параллелепипед (брус)......................
96
99
105
108
109
119
122
125
126
130
Глава 4. РАЗЛОЖЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА ПО СФЕРИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ . . 133
§ 4.1. Определение сферических функций .......................
§4.2. Свойства полноты и ортогональности сферических функций . . .
§4.3. Свойства многочленов и присоединенных функций Лежандра ..
§ 4.4. Классификация сферических гармоник.....................
§ 4.5. Свойства функций Лежандра (продолжение) ...............
Сходимость разложения по сферическим функциям
§ 4.9. Обшее разложение потенциала при заданной плотности
§4.10. Примеры точного определения постоянных Стокса . . .
§4.11. Максвеллово представление шаровых функций.......
§4.12. Область между двумя непересекающимися сферами . .
§ 4.13. Линзовидные и тороидальные области.............
§ 4.14. Сфероидальные области..........................
139
147
150
162
177
179
183
191
195
196
201
Глава 5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОТЕНЦИАЛА С ИЗМЕНЕНИЕМ СИСТЕ-
МЫ ОТСЧЕТА ............................................ 207
Определение и свойства функций Вигнера ............
Преобразование потенциала при вращении системы отсчета
Преобразование потенциала при сдвигах системы отсчета .
Внешний потенциал и силовая функция двух твердых тел .
207
209
213
219
Глава 6. ПОТЕНЦИАЛ ТЕЛ, БЛИЗКИХ К СФЕРИЧЕСКИМ ......... 224
Оценка общего члена ряда Лапласа.................
Точность оценок..................................
Применимость оценок к реальным небесным телам . . .
Оценка общего члена градиента ряда Лапласа.......
Использование ряда Лапласа внутри объемлющей сферы
Глава 7. МНОГОТОЧЕЧНАЯ МОДЕЛЬ ПОТЕНЦИАЛА............. 248
Возможность аппроксимации гравитационного поля планеты по-
тенциалом системы точечных масс..............................
Оптимальная аппроксимация начальных гармоник в осесимметрич-
Возможность оптимальной аппроксимации начальных гармоник
Вешественные модели..............
Модели с упрятанными массами . . . .
Мультипольный подход.............
Интегральные критерии оптимизации
Улучшение параметров модели . . . .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
248
249
254
255
258
258
259
261
265
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга посвящена систематическому изложению теории гравитационного
потенциала. Понятие потенциала возникло вскоре после открытия закона
всемирного тяготения и отражает специфику гравитации, не всегда свойст-
венную другим физическим полям.
К понятию потенциала проще всего прийти, поместив на расстояние р от
компактной (точечной) массы М пробное тело Q существенно меньшей
массы т. Согласно закону Ньютона, сила притяжения между ними равна
GmM/p2, где G - универсальная гравитационная постоянная. Несложным
интегрированием устанавливается, что работа, требуемая для удаления
пробного1 тела на бесконечность, составляет А = GmM/p независимо от
формы пути и независимо от других свойств обоих тел, кроме массы.
Величина V = А/т - GM/p и есть потенциал в точке первоначального распо-
ложения пробного тела. Эта скалярная величина V однозначно определяет
гравитационное поле, созданное массой М.
В силу известного принципа аддитивности гравитационных сил (в нере-
лятивистской механике) понятие потенциала распространяется на произ-
вольные дискретные и непрерывные распределения тяготеющих масс.
Элементарное для небольшого числа точечных масс определение потенциала
становится серьезной и глубокой математической задачей для более или
менее сложно устроенных протяженных тел. Характерный пример — плане-
ты с учетом их сжатия и неоднородного распределения плотности в недрах.
Определение потенциала приводит, вообще говоря, к представлению
объемными интегралами, исследование которых в XVII—XVIII веках при-
вело к ряду важных результатов. Позднее были получены фундаментальные
уравнения в частных производных (уравнения Лапласа и Пуассона), кото-
рые позволили взглянуть на теорию потенциала с другой точки зрения.
Развитие методов решения этих уравнений началось с метода разделения
переменных, к которому впоследствии присоединились такие мощные ору-
дия исследования, как вариационные принципы и метод сеток (последний,
впрочем, выходит за рамки данной книги).
Не умаляя общности, полагаем ниже С = I .чего можно добиться выбором,
системы единиц. В окончательных результатах эта постоянная может быть
восстановлена из соображений размерности.
В настоящее время теория потенциала является бурно развивающимся
разделом математической физики. Ее результаты используются далеко за
пределами породивших ее астрономии и геофизики - в частности, во мио-
тих разделах чистой математики. В последние годы опубликовано достаточ-
ное количество монографий, трактующих теорию потенциала с чисто мате-
матических позиций [19. 36, 66, 77]. Однако далеко не все в этих моно-
графиях представляет интерес для естествоиспытателей, а нужные вещи
недоступны из-за абстрактной формы изложения. С другой стороны,
многие последние результаты теории рассеяны по многочисленным журна-
лам разных специальностей и не успели войти в существующие монографии.
Данная работа представляет собой попытку устранить отмеченные пробе-
лы. Книга рассчитана на специалистов - астрономов, геофизиков, механи-
ков. применяющих в своих исследованиях методы теории потенциала,
а также аспирантов и студентов старших курсов естественных факультетов.
От читателя требуется знание математического анализа, теории линейных
уравнений математической физики, элементарной теории функций ком-
плексной переменной, теоретической механики в объеме стандартного уни-
верситетского курса. Полезны читателю сведения по элементарной теории
специальных функций, хотя необходимые пояснения обычно даются
в тексте.
В главе 1 даются интегральные представления потенциала, выводятся
уравнения Лапласа и Пуассона, устанавливаются локальные свойства глад-
кости потенциала, его симметрии, экстремальные свойства потенциала
и связанных с ним функций, физический смысл разности потенциалов и
самого потенциала в связи с понятием о скорости убегания. Основной мате-
риал главы восходит к классическим исследованиям от И. Ньютона до
А.М. Ляпунова. Наши теоремы 1.3.1, 1.4.1 уточняют условия существова-
ния и непрерывности потенциала и его градиента, так же как теорема 1.11.1
и формула (1.11.21) уточняют область сходимости степенных рядов для
внешнего потенциала.
В главе 2 собраны теоремы существования, единственности и корректно-
сти для внешнего потенциала, рассматриваемого как решение уравнения
Лапласа при различных граничных условиях. Теоремы существования даны
без доказательств ввиду их громоздкости. Приводимые доказательства
теорем единственности были получены в XIX веке. Понятие корректности
было сформулировано уже в нашем столетии Ж. Адамаром, показавшим
некорректность задачи Коши-Ковалевской. Корректность задач Дирихле
и Стокса почти очевидна. Доказательство корректности задачи Неймана
получено нами, так же как и доказательство корректности задачи Дирихле
относительно шевеления граничной поверхности. Единственность в задаче
разделения полей подробно рассмотрена в (20].
Глава 3 посвящена вопросам применения ортогональных функций в тео-
рии потенциала. В изложении этих вопросов мы следовали традиционному
подходу. Приведены основные примеры точных решений уравнений Лапла-
са и Пуассона (в смысле получения общего члена ряда по ортогональным
функциям). В последнем параграфе доказана полнота систем гармониче-
ских многочленов при минимальных условиях на вид области, в которой
изучаются свойства внешнего потенциала. Теоремы такого типа ранее полу-
чены К. Рунге, Т.Крарупом, В.Фриденом, М.В.Келдышем, М.А.Лав-
рентьевым.
Ортогональная система сферических функций ввиду ее особой важности
и детальной изученности выделена в специальную главу 4. Эта важность
очевидна уже из того, что планеты и многие другие небесные тела обладают
шарообразной формой. Теория сферических функций привлекала внимание
многих выдающихся математиков, начиная с П. Лапласа и кончая нашими
современниками. Мы постарались собрать все основные классические ре-
зультаты, демонстрирующие различные подходы к проблеме. Правда, на-
пример, таблица рекуррентных соотношений у нас далеко не полна.
Но недостающие формулы легко вывести из приведенных или посмотреть
в справочной литературе. Оценки сферических функций получены
Г1 Лапласом,Т. Стилтьесом.С.Н. Бернштейном, Г. Сеге, Г.И. Натансоном и др.
Нам принадлежит некоторое уточнение коэффициентов, а также аналогичные
оценки остаточного члена производящей функции многочленов Лежандра.
По сферическим функциям может быть разложена достаточно произ-
вольная функция на сфере. Скорость сходимости таких разложений
к настоящему времени подробно исследована. Выведенные нами теоремы
содержат легко проверяемые условия, не зависящие от способа параметри-
зации сферы. Попутно исправлены некоторые недочеты в опубликованных
доказательствах.
Изложен общий метод разложения внешних потенциалов по сфериче-
ским функциям, сопровождаемый примерами для симметричных и
несимметричных тел. Функции, родственные сферическим, используются
при разложении гармонических функций в линзовидных, тороидальных и
сфероидальных областях.
Глава 5 написана профессором В.Г. Шкодровым, сотрудником сектора
астрономии Академии наук Народной Республики Болгарии. Она посвяще-
на важному в приложениях вопросу о преобразовании коэффициентов раз-
ложения потенциала по сферическим функциям при вращениях и сдвигах
системы отсчета. При изложении материала используются функции Вигнера,
иначе говоря, обобщенные сферические функции при специальной норми-
ровке. Аппарат функций Вигнера как средство описания преобразований
.сферических функций хорошо известен в квантовой механике, но редко
в столь явном виде используется астрономами. Мы надеемся, что результа-
ты В.Г. Шкодрова окажутся полезными пля практического применения.
В главе 6 основное внимание уделяется получению оценок точности
представления внешнего потенциала суммой конечного числа членов разло-
жения по сферическим функциям. Вопрос актуален для тел, близких
к сферическим. Их структура может иметь различную степень гладкости -
от иррегулярной до аналитической. В зависимости от этого нами получены
различные оценки общего члена и остатка ряда Лапласа. Последний в об-
щем случае расходится внутри объемлющей сферы для тел конечной степе-
ни гладкости. Тем не менее нам удалось показать, что можно конструктив-
но выбрать кусок ряда конечной длины, дающий достаточно хорошую
аппроксимацию потенциала. Заметим, что в геодезической литературе нако-
пилось немало недоразумений относительно сходимости ряда Лапласа
внутри объемлющей сферы, питаемых отчасти слишком радужным толко-
ванием теоремы Рунге-Крарупа-Келдыша-Лаврентьева и ее обобщений.
Глава 7 посвящена некоторым аспектам представления внешнего потен-
циала суммой потенциалов отдельных точечных масс. Такое представление
иногда диктуется физическими соображениями, но может быть и условным
математическим приемом. Преимущества модели начнут сказываться
с ростом требуемой точности и увеличением числа членов аппроксимирую-
щей суммы. Мы жертвуем ортогональностью, но избавляемся от того
прогрессирующего усложнения, которое характерно для сферических
функций и родственных им систем.
Сначала рассматривается такая постановка задачи, когда критерием оп-
тимальности аппроксимации является совпадение определенного числа
коэффициентов ряда Лапласа. В осесимметричном случае удается полу.чить
полное решение. Трехмерный случай сложнее. Для него разрабатываются и
иные, интегральные критерии оптимизации.
Два замечания о форме. В большинстве случаев обозначении едины
внутри каждой главы, а по возможности и во всей книге. Формулы отме-
чаются тремя числами, первые два отвечают главе и параграфу. При ссылке
на формулу внутри данного параграфа используется только последнее
число. Такое же соглашение принято для нумерации теорем. Для рисунков
нумерация сквозная. Ссылки на литературу даны в квадратных скобках.
Авторы считают своим приятным долгом выразить благодарность про-
фессору Московского государственного университета В.В.Козлову за вни-
мательное прочтение рукописи и ценные замечания по ее улучшению. Мы
благодарны также Э.В.Дубииской за большую помощь в оформлении
рукописи.
ГЛАВА 1
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
И ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛА
§ 1.1. Определение потенциала
В согласии с законом всемирного тяготения потенциал материальной
точки Q' массы т, наведенный в пробной точке Q, равен
V(Q) = — ,
где р — расстояние между Q' и Q. Если положения Q', Q отмечать векто-
рами г', г с координатами (х', у', z'), (х, y, .z)
Р = I г' - г I = V(x'-x)2+O’-j>)2+(z' -z)2.
(1-1-2)
По принципу независимости сил из (1) можно получить потенциалы лю-
бых протяженных образований.
Для системы п материальных частиц с массами mit задаваемых радиус-
векторами Г/ ,
И«2) = X т' ,
i = i !<•< - И
(1.1.3)
Предельный переход позволяет вывести из (3) потенциал при сплошном
распределении масс:
V(.Q) = / -у.
(1.1.4)
где р — переменное расстояние (2) от пробной точки Q до точек Q1 притя-
гивающего тела Т, dm — элемент массы Т. Конкретизация проводится
по-разному, в зависимости от размерности многообразия Т. Если не огово-
рено противное, ниже рассматриваем лишь тела конечных размеров и
конечной массы.
Потенциал масс, распределенных вдоль кривой с линейной плотностью
Р (s), задается криволинейным интегралом
И(С)=у^,
(1.1.5)
где s - дойна дуги, отсчитываемая от фиксированной точки. Потенциал при
поверхностном распределении имеет следующий вид:
7(C) = ff---------- 0-1-6)
В формуле (6) 5(С') - поверхностная плотность Т в переменной точ-
ке Q', do - элемент поверхности. Наконец, в случае объемного распределе-
ния масс с плотностью к (С )
n(Q')dr ,
И(б) = 0.1.7)
Здесь dr = dx'dy'dz' — элемент объема.
Масса любого тела существует как одно из основных свойств материи.
Поэтому распределение dm, если оно адекватно описывает свойства Т,
обязано быть интегрируемым. Плотность же определяется как величина,
•после интегрирования дающая массу. Так что плотность либо интегрируема,
либо не существует (для моделей сложно устроенных реальных тел).
Понятие же "неинтегрируемой плотности” лишено смысла. В дальнейшем
плотности д, 5, к и распределение dm в (4) - (7) предполагаются ин-
тегрируемыми. Заметим, что поверхностная плотность отвечает бесконеч-
ной объемной, линейная - бесконечной поверхностной. Как следствие
потенциалы двумерных и особенно одномерных тел обладают худшими
аналитическими свойствами по сравнению с объемными потенциалами.
Формула (4) охватывает даже экзотический случай столь негладких тел,
для которых не существует никакой обычной плотности, а есть лишь рас-
пределение массы dm.
Поскольку обратное расстояние р"‘ как функция от Q* не имеет осо-
бенностей, если Q отделена от тела Т, то потенциал всегда определен вне
притягивающих масс. Напротив, при Q G Т существование несобственного
интеграла (4) зависит от гладкости распределения dm. Так, даже при огра-
ниченной линейной плотности, как правило, возникает бесконечное значе-
ние V при стремлении Q к притягивающей линии. В качестве простейшего
примера приведем потенциал однородного стержня:
Из (5) получаем вне Г
(1.1.8)
' Ч - И 1 f— = - д ш — -—
-а л/Л +<S-z)2 Vfl’ + Gl+z)2-*
ГДО 7? ~ + У? При R = 0, | z | > а правую часть (8) следует считать
равной pln((z +а)/(а - а)). При | г | < а и малых R
V = д1п—я2— + О(Л2)' 0-1-9)
Вблизи притягивающего отрезка встречаем логарифмическую сингуляр-
ность потенциала, в отличие от степенной сингулярности ()) для притяги-
вающей точки. v
Если в (9) устремить R к нулю, то И -*°°: для отрыва точки Q от
притягивающего отрезка требуется бесконечная работа. Вазу моется, отрыв
реальной пылинки от реального стержня большой работы не требует.
Идеализация одномерной линии здесь неправомерна: вблизи (тем более
внутри) стержня нужно учитывать его объемную структуру.
Остановимся на вопросе о начале отсчета значений потенциала. Физиче-
ский смысл имеет не потенциал в отдельной точке, а разность его значений
в двух произвольных точках: замена V на V + const несущественна.
Это очевидно из вида уравнений движения, куда входит не сам потенциал,
а его градиент. Стандартным способом фиксации произвольной аддитивной
константы является требование V = 0 на бесконечности. Во всех вышепри-
веденных формулах оно выполнено. Иногда от этого соглашения отсту-
пают. При анализе движения звезды внутри звездного скопления, модели-
руемого эллипсоидом, удобно принять V = 0 в центре скопления. Однако
думать о правильном поведении потенциала на бесконечности приходится
в следующих ситуациях:
1. При восстановлении внешнего поля по граничным значениям потен-
циала (или его производных) на некоторой замкнутой поверхности.
Характерный пример - определение внешнего гравитационного поля Земли
по полной совокупности геодезических и гравиметрических измерений.
Для однозначности решения к ним должен присоединиться еще один
параметр, компенсирующий незнание нуль-пункта потенциалов (подроб-
нее см. гл. 2).
2. При вычислении энергии, потребной для полного разрушения системы,
которому противоборствуют гравитационные силы.
3. При определении скорости отрыва (вторая космическая скорость).
Согласно закону сохранения энергии, для ухода материальной частицы
из точки Q стационарного гравитационного поля на бесконечность необхо-
димо выполнение неравенства
v(Q) > V2 К(2), <1.1.10)
где и — скорость частицы. Неравенство (10) не всегда достаточно для
ухода, хотя в простых динамических схемах достаточность доказана.
Мы вернемся к этому в § 1.4.
§ 1.2. Свойства симметрии
Интуитивно ясно, что потенциал симметричного тела симметричен.
Это нетрудно показать и формально. Пусть Т симметрично относительно
некоторой плоскости, т.е. при выборе последней в качестве основной коор-
динатной плоскости будем иметь
к(х,у,г) = к(х,у,-г). (1.2.1)
Заменой переменной интегрирования z' — z' в интеграле (1.1.7)
получаем
V{x,y,z) = K(x.z-z), (1.2.2)
так что потенциал симметричен относительно этой плоскости. Анало-
гично из
следует
Это осевая симметрия. Если ось z служит осью вращательной симметрии,
то в (1.1.7) при переходе к цилиндрическим координатам зависимость от
угла исчезает:
Пример использования вращательной симметрии мы уже видели в (1.1.8).
Максимальной симметрией обладает сферическое тело, и для него потен-
циал выражается функцией одной переменной:
Вообще, пусть G - какая-либо подгруппа группы движений с отражениями,
для произвольного элемента g которой
*UG) = «(б)- (1-2-7)
Интеграл типа (1.1.7)
можно считать распространенным на все пространство, если принять к = О
вне Т. Сделаем замену г' *-► gr'. По свойству (7) к(£') не изменится.
По определению группы движений не изменится и элемент объема, а знаме-
натель перейдет в
Поэтому
V(gQ) = V(Q). (1.2.9)
Соотношению (9) можно дать несколько иную трактовку. Заменим тело Т
на gT (каждая точка Q1 € Т переходит в g Q' EgT). Симметрия (7) пока-
зывает, что Т переходит в себя:
W) = VT(Q). (1.2.11)
Последнее равносильно (9), поскольку при любом g Е G для любого те-
ла Г, очевидно,
^r(gQ) = Иг(0).
(1.2.12)
Кроме группы движений притягивающего тела, потенциал ведет себя
простым образом при преобразованиях подобия. Подвергнем Т растяже-
нию g с коэффициентом X > 0, считая центр подобия совмещенным
с началом отсчета. Пусть элемент массы сохраняет при этом свою вели-
чину, хотя смещается и занимает больший (при X > 1) или меньший
(при X < 1) объем. Таким образом, объемные плотности получают множи-
телем X"3, поверхностные - X"2. линейные - X-1, а величины точечных
масс остаются без изменения. Как легко видеть,
^r(gG) = уМб). (1-2.13)
Существует еще одно преобразование, специфическое для теории
потенциала: инверсия относительно сферы радиуса R. переводящая г
в {R/r)2r. Пусть элемент массы dm при инверсии g получает множи-
тель R/r. Иными словами, объемные плотности получают множителем
(г/Я)5, поверхностные - (г / R)3. линейные - г /R, точечные массы -
(г /R)'1. Потенциал преобразуется по закону
VgHsQ) = *т(0). (1.2.14)
Действительно,
^т-ие) = / [(~г"_ *’) + ••] dm =
В трехмерном евклидовом пространстве инверсия - единственное кон-
формное преобразование, не считая подобия и движений с отраже-
ниями [30]. Элементы объема растягиваются в отношении (Я/г)2 одина-
ково по всем направлениям, не меняя формы (рис. 1). Композиция инвер-
сий относительно сферы радиуса Л,, а затем радиуса R, дает подобное
переходит в А В'C'D' с изменением
ориентации. Если О А = 2 Я, то 04'
= RI2,D'A' = AD/4 + o(AD)
преобразование с коэффициентом Rl/R\- Поэтому инверсии вместе
с гомотетиями образуют некоммутативную группу. Инверсии с фиксиро-
ванным радиусом неподвижной сферы образуют группу с двумя элемента-
ми, так как композиция инверсий при Rt = R2 Дает тождественное
преобразование.
§ 1.3. Границы для потенциала,
непрерывность потенциала и микроструктура тел
Пусть г„ и га - границы расстояний точек притягивающего тела от проб-
ной точки: гя<р<га. Из (1.1.4) следует
или, после введения полной массы М,
Если тело целиком заключено внутри сферы радиуса R с центром в начале
координат, то ra + R, г - R, откуда
Поэтому
М
— +
0(1 /г1),
что имеет простой физический смысл: на больших расстояниях сущест-
венна не внутренняя структура притягивающих тел, а только их масса.
В § 1.11 мы встретимся с уточнениями (3), когда в асимптотическом раз-
ложении учитываются дальнейшие члены.
Оценки несколько иного рода получаются при задании верхней границы
объемной плотности
к(С) < «о
Делая пробную точку центром полярной системы координат, находим сле-
дующую мажоранту для интеграла (1.1.7):
(1-3.5)
Если плотность неограничена, можно ожидать бесконечного значения по-
тенциала в некоторых точках. Это общий случай для точечных и линейно
распределенных масс. Напомним, что мы подразумеваем интегри-
руемость dm, но в (1.14) имеется еще множитель р"‘, делающий интеграл
для V несобственным во внутренних точках Т. Остановимся на вопросе
существования потенциала внутри нерегулярных, сложно устроенных тел.
Введем неубывающую функцию Aq (г), равную массе, заключенной
в замкнутом шаре радиуса г с центром в точке Q. Оставив в стороне слу-
чай наличия точечных масс, которым обязательно соответствуют разрывы
потенциала, можем считать Aq(O) =0, Aq(D) = М, где D - диаметр те-
ла Т. Более того, Aq непрерывна в нуле равномерно по Q. В противном
случае найдется последовательность стягивающихся в точку шаров с мас-
сами mk > m для некоторого положительного т. Последовательность
центров этих шаров имеет предельную точку Q'. Шар с центром в Q* произ-
вольного радиуса содержит массу, по крайней мере равную т, так что
Q* — точечная масса.
Рассмотренные свойства Aq(t ) позволяют ввести непрерывную возрас-
тающую мажоранту Л’(г ) со свойствами
Теорема 1.3.1. Для существования и непрерывности потенциала
достаточно сходимости интеграла
°dA\r)
понимаемого как интеграл Лебега-Стилтъеса [46].
Убедиться в сходимости (1.1.4) - значит вырезать вокруг пробной точки
(начала координат) малую сферическую окрестность радиуса 6 и прове-
рить, что интеграл по оставшейся части тела в пределе 5 -*0 выражается ко-
нечным числом. Разобьем область интегрирования на концентрические слои
Ть = t г': Л +(к - ПЛ < г' X + kh 1 п I, п-
[ЛС(5 +АгЛ)-Ле(б +(Л-- 1)й)].
Девая часть от h не зависит, а правая при й -* 0 переходит в интеграл,
так что
dm DdAQ(r)
Устремим 6 к нулю:
И(б) < J——.
(1.3.8)
Пользуясь монотонностью
ния в (8):
Aq, примем ее за переменную интегрирова-
D dAQ(r) м dA
о г о ге(А )
(1.3.9)
где гд(А) - обратная к Aq(t) функция, возрастающая, постоянная на
участках, отвечающих скачкам Ле, и разрывная на участках, отвечающих
постоянству Aq (рис. 2). Напомним, что скачки монотонной функции
не препятствуют интегрированию. Поскольку Ав(г) < А‘(г), то
ге(Л) > г'(А), где г * обратна А’. Интеграл (9) увеличится при замене
гв(А) на г ’(>4):
/ < f < Л /О)
0 ге(Л) 0 г*(Л) о г*(Л)
Возвратимся к интегрированию по г :
? dAe(r) D dA‘(r)
J ? J •
Отсюда и из (8)
? ЛГ(г)
Г(С)</ г (1-3.10)
Существование установлено вместе с оценками (8), (10)._
Сравним потенциал в Q и какой-либо близкой точке Q, находящейся от
нее на расстоянии г. За расстоянием переменной точки Q' тела Т от Q сох-
раняем символ р. Строим вспомогательную сферу радиуса 8 с центром в Q
и заключающую Q внутри себя, так что г < 6. Образуем разность
dm dm / 1 1 \
И(2)- Г(2)= f ----- /—+/(--- )dm.
г <6 Р г <6 Г г >6 X р Г /
Подынтегральная функция в последнем слагаемом легко оценивается,
поскольку по неравенству треугольника I г'-р| <7, р> 8 -г. Первое
слагаемое мажорируется интегралом (10) в пределах от 0 до 6, второе —
в пределах от 0 до 26. Окончательно,
dA’(r) Mr
I И«2)- И(2)|<2/ --------- + - --• (1-3-Н)
0 г 6(6 - г )
По условию теоремы можно выбрать такое 6, что интеграл в (11) станет
меньше произвольного фиксированного е >0. Ограничением г сверху
сделаем затем последний член (11) меньшим е. В результате I И (б) -
-Y(Q) I < Зе, такчто И непрерывна, что и требовалось доказать.
Теорема применима к любым трех- и двумерным телам с ограничен-
ными объемными и поверхностными плотностями (А * ведет себя при
мал$>1Х г соответственно как г3 и г2). Но для линейных распределений
интеграл (7) уже расходится.
Вопрос о непрерывности потенциала важен для систем с клочковатой
или иерархической структурой. Надо отличать от истинного потенциал,
соответствующий идеализированной, сглаженной плотности. Правда, участ-
ки существенного различия, пики истинного потенциала (или, что то же,
Рис. 2. К доказательству тео-
ремы 1.3.1. Иллюстрация срав-
нения функций при оценке
интеграла (1.3.9)
ямы потенциальной энергии) занимают небольшую долю объема системы.
Но и эта небольшая доля может оказаться важной. Например, в подавляю-
щей части объема Солнечной системы скорость отрыва равна \/2Мо/г,
поскольку массы планет малы по сравнению с солнечной. Но ’’отрываться”
ракетам надо с планет и спутников, и без учета гравитационного поля пос-
ледних не обойтись.
Локальные концентрации поля важны и для анализа полной энергии
связи. Например, энергию Е связи звездного скопления можно опреде-
лять двояким образом. Во-первых, считая звезды точечными массами.
Тогда Ех — работа по отделению звезд друг от друга. Во-вторых, считая
звезды объемными массами. Тогда включает в себя энергию связи
каждой звезды как гравитирующего тела, т.е. работу по растаскиванию
звезд на отдельные молекулы. Ясно, что Е2 много больше Ех, несмотря на
то, что гравитационные ’’сферы влияния” отдельных звезд незначительны
в сравнении со всем скоплением. Количественные соотношения для Ех
см. в § 1.12.
§ 1.4. Напряженность поля
Напряженность поля равна градиенту потенциала:
F = grad V.
В результате дифференцирования (1.1.4)
F = f -----— dm.
2. в.А. Антонов
Обратно, разность потенциалов между двумя точками Q, и выра-
жается через интеграл от напряженности поля по кривой, соединяющей
эти точки:
) - Пвг) = / № + Fydy + F,dz).
Определение F формулой (2) законно при абсолютной сходимости
интеграла. В этом случае с очевидностью выполнены (1) и (3). При услов-
ной сходимости использование (2) требует специального обоснования.
Теорема 1.4.1. Для существования и непрерывности напряженности
поля достаточно сходимости интеграла
? dA’(r)
Доказательство такое же, как и для теоремы 1.3.1.
Существования ограниченной объемной плотности достаточно для
существования и непрерывности вектора F, что уже неверно для поверх-
ностных распределений. Область действия определения F как grad И не-
сколько шире, чем для непосредственного определения (2). Но и тогда
условия гладкости, необходимые для существования F, должны быть
жестче, чем для V. Напомним, что мы рассматриваем только ограниченные
тела конечной массы. Для бесконечных тел ситуация иная — см. §1.5.
Для любой точки Q' притягивающего тела разность
имеет при г порядок г ~3, причем равномерно по отношению к измене-
ниям г'в каждой ограниченной области. Это проверяется элементарно:
P3
так как
'<p<r' + r. Следовательно, начало разло-
жения F в окрестности бесконечно удаленной точки имеет вид
Mr
— + О(<3).
Аналогом (1.3.1) будет
Оценим F при заданном ограничении (1.3.4). Полезно выбрать ось z
совпадающей по направлению с вектором F. Как и при выводе (1.3.5),
18
воспользуемся полярными координатами г , 0, X
COS0 с!т
\F\ = Fz<k0 SSS —-------------
r1r<'«a Г2
О<0<я/2
га п/2
- 2як0 / f cos0 sin 0 dO dr' = тгк0(^а - г*У
rn О
Вклад от южного слоя (я/2<0 <я) отрицателен и потому отброшен.
Окончательно,
IFKnKoC'-a-rJ. (1.4.7)
Вернемся теперь к вопросу о возможности ухода пробной точки на
бесконечность, затронутому в § 1.1.
Теорема 1.4.2. Пусть притягивающие массы занимают ограниченный
объем Т и создают непрерывно дифференцируемый потенциал V. Тогда
для любой точки Qo и любого неотрицательного значения энергии h найдет-
ся такое направление, в котором пробная точка уйдет из Qo на бесконеч-
ность
lim r(t) = (1.4.8)
f—oo
Доказательство. Из непрерывности grad V и асимптотики (5)
следует существование решения уравнений движения г = grad V при всех Г.
Напишем тождество Лагранжа-Якоби [63]
| =4И + 4Л + 2гЛ (1.4.9)
где £ =г2. Используя (133), (5), получим
2М
t =-----±4Л +О(1/г).
г
В частности,
i>4h (1.4.10)
для всех г, больших некоторого R. Выберем Qo вне сферы радиуса R и
направим начальную скорость под острым углом к радиусу. Тогда =
=rj >R2. ?о =2гоГо >0. Интегрируя (10) дважды, получим
«>$о+М + 2Л(2 (г>0).
Интегрирование законно по крайней мере до тех пор, пока £>{о, что
всегда имеет место при Л > 0. корема доказана для всех Qa, выбран-
ных вне сферы, радиус которой R зависит лишь от распределения масс в Т.
Пусть теперь r0 <R. Обозначим через S сферу радиуса 2R. Поставим за-
дачу минимизации функционала
I = f y/hTv ds
по всевозможным локально спрямляемым кривым, начинающимся в Qa
и кончающимся на S. В шаре г <2R непрерывная положительная функ-
ция V достигает своего наименьшего значения V1 > 0 и наибольшего V, >
> И,, так что I > lx/V2 + Л, где I — длина кривой до первого пересече-
2» 19
ния 5. Поэтому достаточно искать минимум / в классе спрямляемых кри-
вых длины / < (inf Z) /VК1 + й. Нижнюю грань легко оценить, выбирая
часть радиуса от Qo до S за путь интегрирования inf/ <\/И2 + й 2R. Ми-
нимум 1 при условии
достигается на некоторой спрямляемой кривой L с концом Qt G 5. В силу
принципа наименьшего действия Мопсртюи-Яагранжа, реализующая ми-
нимум / кривая L с закрепленными концами Qo> Qт является траекторией
движения с постоянной энергией й. Очевидно, в точке Q\ радиальная ско-
рость г, > 0, и если даже i-j =0, то в сколь угодно малой окрестности Qx
найдется точка траектории (?2. в которой г2 >0. Принимая точку Q2
за начальную, убеждаемся в справедливости теоремы. Во избежание недо-
разумений подчеркнем, что рассматривался случай свободного движения.
Подобная постановка естественна для разреженных тел типа Галактики,
размер которой много меньше длины свободного пробега. Если поле тя-
готения создастся сплошным твердым телом (планетой), уходящая траек-
тория может и не осуществиться из-за столкновения.
Итак, необходимое условие
оказывается ослабленным в каком-то смысле и достаточным для ухода на
бесконечность. Безоговорочно достаточным оно все же не является. Сущест-
вуют поля, в которых при сколь угодно большом й возможно движение по
замкнутым орбитам. Пример построен в § 4.10.
§ 1.5. Бесконечные тела
До сих пор мы предполагали, что притягивающее тело имеет конечные
размеры. Это естественно, например, для планет. Однако астрономия знает
и небесные тела, плотность которых постепенно сходит на нет. Таковы раз-
реженные звездные оболочки или короны галактик. В подобных случаях
естественно обращаться к интегралам между бесконечными, хотя бы в не-
которых направлениях, пределами. Вопросы существования и асимптоти-
ческого поведения потенциала становятся при этом более сложными. Чтобы
внимание не отвлекалось обсуждавшимися выше сингулярностями плот-
ности. предположим, что плотность ограничена сверху постоянным значе-
нием «о по крайней мере вне некоторой конечной области, исключаемой из
рассмотрения. Если полная масса М остается конечной, то предыдущие
общие результаты почти не меняются. Возможные деформации асимпто-
тики (1.3.3) и (I 4 5) (см. пример 1.9.1) в известных нам практических
приложениях не встречаются.
Напротив, при М = каждый раз приходится выяснять, существует
потенциал или нет. Заметим, что из существования V в одной точке сле-
дует существование во всем пространстве (кроме, может быть, области
сингулярных плотностей). Действительно, если pt, pj - расстояния пере-
менной точки пространства от двух пробных точек то (за вычетом
конечной области) ft > /2. Поэтому один из интегралов (1.1.7) служит
мажорантой для другого. Асимптотика (1.3.3) может быть существенно
иной, даже ограниченности И гарантировать нельзя. Впрочем, и при беско-
нечном потенциале не обязательно теряет смысл понятие гравитационного
поля. Существуют довольно удобные модели, где расходится интеграл для
И. ио абсолютно сходятся интегралы для grad V и V(02) - lz(2i) при
любом выборе пары точек и Q2. Это обеспечивается сходимостью интег-
рала для F хотя бы в одной точке. Движение в таком гравитационном поле
описывается без противоречий, жертвуем мы лишь понятием скорости
отрыва, становящейся бесконечной.
Важнейший частный случай — бесконечные цилиндры с плотностью
к. (х.у), постоянной вдоль образующих. Если начать с интегрирования по z.
то без специальных предосторожностей, как видно из подстановки о-*00
в (1.1.8), оно приводит к бесконечному ответу. Однако предел разности
потенциалов K(/?,z) - Г(Я0.г) существует и равен ц 1п(/?/К0)2 Лля
потенциала бесконечной прямой с постоянной линейной плотностью д полу-
чаем
И(Л) = -д In R2 + С. (1.5.1)
Включив интегрирование по х, у, находим общее выражение так называе-
мого логарифмического потенциала:
И(е) = -Я«(х',>.')1п((х -х’)2 + (y-j>')2]dx’d/+C (1-5.2)
Значение аддитивной постоянной С зависит от единицы измерения длины
(С= 0 в (1) означает, что потенциал полагается равным нулю на единичном
расстоянии) - случай, обычно запрещенный в естественных науках. Однако
разность потенциалов и напряженность поля не зависят от С. поэтому отме-
ченная странность логарифмического потенциала не мешает ого правиль-
ному использованию. Логарифмический потенциал в некотором смысле
удобнее для анализа, чем обычный трехмерный, так как тесно связан с
теорией функций комплексной переменной. Для тел, ограниченных в на-
правленияхл и j', при С= 0 из (2) вытекает
И=-2д 1пЯ+О(1/Я), Я=\/ха +/, (1.5.3)
где ц = ff к (x,y)dxdy представляет собой массу цилиндра единичной вы
соты. Как видим, отличие от (1.3.3) весьма существенно.
Пусть притягивающие массы распределены с единичной плотностью на
плоскости z=0. Результат вычисления напряженности поля в произвольной
точке Q зависит от способа предельного перехода от конечных кусков
плоскости к бесконечной области. Но для разностей F(0,) -F(Q3) рас-
ходимость исчезает, причем компоненты в направлениях х и у обращаются
в 0 (ясно по симметрии). Поскольку физический смысл принадлежит лишь
относительным движениям, принимают простейшее допущение = Fy = 0,
а для Ft интеграл сходится:
(х’ +/ +P)3/J dx dy = “2“Bn z. (1.5.4)
Характерно, что сила тяготения бесконечного однородного слоя по велишь
не не зависит от расстояния. Напряженности (4) соответствует потенциал
K(z) = -2rr|z| ' (1.5.5)
с точностью до несущественной постоянной. При распределении масс в
бесконечном слое с плотностью к (z)
P(z) =—2ir f к(г') Iz-z' Idz'. (1.5.6)
Любопытно, что общепринятое соглашение о знаке потенциала, удобное
в обычном трехмерном случае, становится неудобным для потенциалов (2),
(6) в пространствах меньшей размерности.
§ 1.6. Свойства непрерывности поля
при поверхностном распределении масс
Пока не будет сделано специальных оговорок, рассматриваем только
поверхности S с непрерывно меняющимся от точки к точке направлением
нормали. Массы, распределенные на поверхности с непрерывной плот-
ностью, или так называемый простой слой, создают потенциал, непрерыв-
ный всюду, включая точки 5(§ 1.3). Напряженность поля в пустом прост-
ранстве всегда непрерывна, но для непрерывности на притягивающей по-
верхности надо налагать дополнительные условия гладкости на форму S
и на плотность. Предположим, что угол ф между направлениями нормали
в двух произвольных точках и Q2 поверхности подчиняется ограни-
ф<К£а
(1.6.1)
при £ < 1. Здесь а — положительная постоянная, % — евклидово расстояние
между Q2,Q2. Такие поверхности называют поверхностями Ляпунова.
Пусть плотность ограничена и удовлетворяет условию Липшица
б(е>сл/, |8(е1)-8(е3)|<л:^“(е ,е1,еае5;ё<1), а.б.2)
что мы короче запишем 8 Е Lip(М, а, ).
Употребление в (1), (2) степенной функции не играет существенной
роли. Можно взять любую непрерывную возрастающую функцию у>, для
которой yi (0) = 0 и при некотором а > 0 сходится интеграл f (х) /х) dx.
Ниже нам понадобятся следующие вспомогательные утверждения.
Лемма 1.6.1. Если две функции ft е Lip(M(, а/, Kt) (Z =1,2), то их
произведение относится к классу fif2 6 Lip (MtM2, min (оц, o2), +
+ K2M2). Доказательство элементарно.
Лемма 1.6.2. Пусть кусочно-гладкая поверхность S может быть
задана уравнением z =f(x,y), (х,у) &S, где S - выпуклая плоская об-
ласть. Тогда
t. sup sec у. (1.6.3).
Здесь f - евклидово расстояние между точками Q\,Q2 6S, ( - расстоя-
ние между их проекциями , Q2 £ S, у -угол между осью z и нормалью
к S; верхняя грань берется по множеству 5' точек гладкости S.
22
Перенесем начало координат в Qt и направим ось х через Q2. Очевидно,
=рЯ,где
Я=1 + [/(х2,0)-/(0,0)]2/х1.
Для почти всех Q2 функция / (х, 0) непрерывна и кусочно-дифференцируе-
ма на [0, х2 ], и тогда
|/(х2,0)-/(0,0) К х2 sup I
0<х<х, I Эх
Г/ЭЛА.И) V /Э/(х,у)У]
*1+7 1=7sec г
Здесь S' - проекция S' на плоскость х,у. Формула (3) установлена при
каждом Qi для почти всех Q2 и по непрерывности - для всех 0i,02
Лемма 1.6.3. Пусть f(x,y,t) непрерывна в цилиндре с выколотой
осью 0<х2 +у2 <R2, <а. Пусть ^(х,у) непрерывна в круге с выко-
лотым центром Q<x2 +у2 Если I f(x,y,t) | <<£(х,у) и интеграл
ff </?(*, .у) dxdy сходится, то
x2 + v1<R2
Я f(x,y,f)dxdy—» Я /(X, у. 0)dxdy.
x*+y2<R2 Г—О x2+y2<R2
((1.6.4)
По условию из области интегрирования можно вырезать столь малый
круг с центром в начале, что правая и левая части (4) изменятся менее
чем на е. После этого предельный переход допустим и при t, меньшем
некоторого 5, разность соответствующих интегралов будет меньше е.
В итоге разность левой и правой части (4) при t < 5 будет меньше Зе,
что и доказывает лемму.
Пусть пробная точка может двигаться, находясь по одну сторону
от притягивающей поверхности, и может достигать ее, не переходя на
другую сторону и не касаясь края, если поверхность не замкнута. При
сформулированных в начале параграфа условиях все три компоненты
вектора F оказываются непрерывными функциями координат x,y,z.
Докажем это.
Начнем со случая нормального перемещения точки. Не ограничивая
общности, можем считать, что нормаль восстановлена к поверхности в
начале координат Qo и совпадает с осью z. Вырежем кусок поверхности
цилиндром х2 + у2 =R2 (Л<1) так, чтобы не задеть край и чтобы внутри
цилиндра касательная плоскость поднималась не более чем на 45°. Часть
поверхности, оставшаяся вне цилиндра, порождает вблизи начала коорди-
нат потенциал, непрерывный вместе с его производными (это - общее
свойство внешних масс). Внутренний кусок S можно задать уравнением
z=f(x,y). Компоненты напряженности определятся интегрированием
по кругу № +у’ С/г1:
F,(0.0, х) = Я8~±*±. .
р3
F.(0,0,«) = Д6 Z(T’f~* dxdy, (1,6 s)
raep = vV +y1 + (z-/(x.y))1,6(x.y)=«(x.y,/(x.y))sec7. Штрихи у перемен-
ных интегрирования х, у опушены.
В промежутке [Ojr/4] функция secy и ее производная ограничены
по модулю числом \/2, поэтому как функция от у
sec уе Lip(x/2, 1, \Л1).
Точно так же
tg у G Lip(l, 1,2).
Пользуясь неравенством треугольника I У1 -у2 I <0 и условием (1),
найдем, что в функции от Q
sec у G Lip(\/2, а, Ky/2)t tgyGLip(l,a, 2К). (1.6.6)
Теперь из (2), (6) получим по лемме 1
SGLipCAfx/I.a.CX-, + Mf)x/2)
как функция от Q. По лемме 2
tgyGLip(l,a, 2(2+tt)/2tf), (1.6.7)
5еир(М>^,а,2(1+в)/2(ЛГ1 + KMJ) (1.6.8)
как функции от Q.
Покажем, что искривление поверхности не влияет на свойства непре-
рывности/7. Введем
Fx(0,0,z) = ffS— dxdy,
Ft (0,0, z) = - ff 8 — dx dy, (1.6.9)
P
где p2 = x2 -by3 + z 2. Подынтегральные выражения для Fx -Fx, Fc - Fz
представляют собой разности значений функций
Ф1(г) = «х(х1+/+(г-г/)1)-3'2.
Ъ(.т)=$(тГ-х)1х‘ + у* +(т-тГ)1]-3/’
при 7 = 1 и т = 0. Если х2. + у2 . ¥=0, то разности равны производным по т
в промежуточной точке. Вычисляя производные и используя элементарные
неравенства, получим
38|х/| 2«|/|
I Ф,(1) - 4>.(0) | < —--т . I <Ы1)-Фз(0)К—5-----Гл75'
) / (1.6.10)
24
Для оценки f интегрируем градиент по луну от начала координат до Q :
|/(.v,y)l<V'r V'g) "5=Ч? ’ '8,‘Л
Вейлу (7) с учетом tg7 = 0 в начале, I tg 7 | < 2(2+a)/2KsQ.
1/(х.^1<-^-2<2+“)/2(х2+/)<1+^2.
1 +а
Следовательно, интегралы от правых частей (10) сходятся и можно при-
менить лемму 3. Поэтому Fx — Fх, Fz — Fz непрерывны при z = 0.
Задача сведена к случаю плоской поверхности. Каждый из интегралов
(9) запишем в виде суммы интегралов, соответствующей представлению
6 = 60 + (б — «о) • гДе б0 = б0 (Со) = 5о (Со)
С учетом (8) интегралы (11, 12) непрерывны при z = 0 по лемме 3.
Мы доказали непрерывность F при стремлении пробной точки к фик-
сированной точке S по нормали. Оценки равномерны по отношению к
Qo G S, отсюда следует непрерывность F в трехмерной замкнутой облас-
ти, включающей притягивающую поверхность как границу. Но это отнюдь
не всё: надо рассмотреть предельный переход с противоположной стороны.
Следует различать два случая.
1. Касательная производная потенциала. Знак z не играет роли, результат
получается одинаковым с обеих сторон. Его можно отождествить с пря-
мым определением компонент градиента Г при положении пробной
точки на поверхности. Правда, в отличие от (И), прямая подстановка
z = 0 в (5) не проходит: главная часть Fx выразится расходящимся интег-
ралом
Но все будет в порядке, если интегралы понимать в смысле главного зна-
чения -вчастности, (13) обратится в нуль. Отсюда ясен рецепт вычисле-
ния касательной производной: надо выделить вокруг пробной точки ци-
линдрическую или сферическую окрестность и взять предел интеграла
по остальным притягивающим массам при стремлении к нулю радиуса
выбрасываемой области. Ещё проще в (5) заменить 6 на 6 -50.
2. Нормальная производная. Положение в какой-то степени обратно
предыдущему. Результат подстановки z = 0 в (12) или (5) дает сходящийся
интеграл, но он не соответствует предельным значениям F. ни с той,
ни с другой стороны, и сами они различны. В самом деле, при z < 0 в
первом члене (12) надо заменить -I на +1, а при z =0 первый член нс-
чезает. Отсюда получаются важные формулы:
(^Г).Ж=_О=^+2’Г5-
где F. понимается как результат интегрирования при положении пробной
точки на самой поверхности. При распределении масс на плоскости z =0
из (14) без всяких вычислений по симметрии получаются значения нор-
мальной производной потенциала на ней:
® = - (?) 2=+0 ’ (16.15)
Скажем еше немного о поведении поля на краю притягивающего куска
поверхности. При резком ее обрыве даже с ограниченными плотностями
получаем, вообще говоря, разрыв касательной составляющей. Типичный
пример - круглый диск радиуса а с постоянной плотностью 6, расположен-
ный в плоскости z =0. Попытка вычислить Fx в точке (а, 0,0) приводит
после введения полярных координат с центром в этой точке к
3./2 2oeos(4-«) cosfl
Fx - 6 f f ----------------dr d6 = —
1Г/2 о r
Подробный анализ показывает логарифмическую сингулярность при
приближении пробной точки к краю диска как с внутренней, так и с внеш-
ней стороны. Сингулярность исчезает при достаточно плавном спадании
плотности вблизи края.
§ 1.7. Уравнения Лапласа и Пуассона, формулы Гаусса и Грина
В области, свободной от притягивающих масс, потенциал является гар-
монической функцией, т.е. удовлетворяет уравнению Лапласа
где Д - оператор Лапласа
Эх2 by2 dz2
Уравнение (1) проверяется дифференцированием формулы (1.1.4). Ввиду
непрерывности подынтегрального выражения и всех его производных по
x,y,z законность дифференцирования под знаком интеграла легко обос-
новывается в случае тела конечных размеров. Для неограниченных тел
достаточно абсолютной сходимости интеграла (1.1.4).
Для бесконечных цилиндрических тел с не зависящей от г плотностью
потенциал тоже не будет зависеть от z, и уравнение Лапласа упрощается:
Эх2 Эу2
что вытекает из формулы (1.5.2) для логарифмического потенциала.
Для бесконечной пластинки, для которой плотность зависит только
от х, потенциал также будет функцией лишь одной координаты. Уравне-
ние Лапласа примет вид
Эх2
как это следует из (1.5.6). Обшее решение (4) дается линейной функцией
(1.7.5)
Постоянное слагаемое С, несущественно, постоянная С, определяется мас-
сой цилиндра единичной площади с параллельными оси абсцисс образую-
шими.
В принципе теорию притяжения в евклидовых пространствах R , R
можно строить независимо от теории в R3. Для этого потенциал точки
в соответствующем пространстве следует отождествить с элементарным
решением уравнений (3), (4) вида (1.5.1) и (1.5.5) точно так же. как
(1.1.1) является простейшим решением (1).
Перейдем к выводу формулы Гаусса: поток напряженности гравита-
ционного поля через кусочно-гладкую поверхность S, ограничивающую
область Т, с точностью до множителя - 4л равен суммарной массе Ms,
расположенной в Т:
ff Fn da = -4nMs.
(1.7.6)
Обратим внимание, что поверхность 5 не предполагается ни односвязной,
ни даже связной. Символ Fn означает проекцию вектора F на внешнюю
нормаль, направленную прочь от Т. Если придерживаться стандартного
определения внешней нормали для каждой связной части поверхности 5,
то для областей с пустотами вклады от внутренних граничных поверх-
ностей надо брать с противоположным знаком.
Доказательство (6) проведем в три этапа.
1. Область Т свободна от масс. Воспользуемся формулой Остроградс-
кого-Гаусса:
Ш div Fdr = ff Fn da.
Здесь F произвольное непрерывно дифференцируемое в Т и на его ку-
сочно-гладкой границе $ векторное поле’). Если F = grad V, то (7) рав-
носильно
(1.78)
Для пустой области Т уравнения (1) и (8) дают
SS!F"dO=!SS^dO = °' (17-91
что совпадает с (6) при Ms = 0.
^Го?.^ если тройной интеграл
2. Область Т содержит все притягивающие массы. Если в Тесть пусто-
ты. ограниченные поверхностями то интегралы по Sk согласно(9)
равны нулю, так что за 5 можно принять внешнюю поверхность тела. Возь-
меь^охватывающую S сферу S’, радиуса г. Применим (9) к области между
ffFnda = ff Fndo.
s sr
Таким образом, от г последний интеграл не зависит. Его значение (-4яЛГ)
получим, используя (1.4.5) и предельный переход г
3. Притягивающие массы лежат по обе стороны S. Область Т пуста для
внешних масс, и в силу (9) вклад от них в левую часть (6) оказывается
нулевым. Для внутренних же масс по п. 2 формула (6) справедлива.
Обобщим теперь (1) на случай пространства, в окрестности пробной
точки заполненного массами объемной плотности к . Дифференцирование
под знаком интеграла (1.1.7) приводит к неверному результату из-за
возникающих сингулярностей. Один из способов правильного рассуждения
состоит в следующем. Выделим вокруг пробной точки Q малую окрест-
ность Т, ограниченную гладкой поверхностью 5 произвольной формы.
Представим левую часть (6) тройным интегралом (7), а правую - трой-
ным интегралом от плотности:
ЯГ (ДИ + 4я к) dr = 0.
г'
Предполагая непрерывность подынтегрального выражения, получим в
силу произвольности Тсоотношение, носящее имя Пуассона:
ДГ=-4як. (1.7.10)
В § 1.10 будет показано, что для непрерывности ДИ достаточно условия
Липшица на к с произвольным положительным показателем.
Из-за наложенного условия гладкости дифференциальное уравнение
Пуассона (10) имеет более ограниченную область применимости, чем
формула Гаусса.
В двумерном случае логарифмического потенциала (1.5.2) формула
Гаусса принимает вид
/ Fnds=-4тг ML. (1.7.11)
где ML - масса внутри контура L (в трехмерной интерпретации масса ци-
линдра единичной высоты, вырезаемого по контуру L).
В одномерном случае потенциала (1.5.6)
F(b)-F(a) = -**МаЬ, (1.7.12)
где МаЬ - масса отрезка [а, д] (в трехмерной интерпретации - масса
бруса, построенного на единичном квадрате между плоскостями z = а
И Z =Ь). 2 1
Уравнение Пуассона, как и уравнение Лапласа, сохраняет в R и R
форму (10).
Установим теперь формулу Грина
Я/(С/ДИ- ИДС/)«/т = Я^““ - (17.13)
28
пои двукратной непрерывной дифференцируемости U, V в ооласти Т.
ограниченной кусочно-гладкой поверхностью 5 (на 5 достаточно непрерыв-
ной дифференцируемости U, V. если тройной интеграл абсолютно сходит-
ся) Образуем векторное поле F = UgradV. Подставляя в (7) div/-
= уд И + grad У grad V, F„ = УЗ И/Зл, выведем предварительную фор-
мулу Грина:
(УД V + grad и grad Г) dr = ffU — do. (1.7.14)
Вычитая из (14) аналогичное соотношение с переменой ролей У и И, по-
лучим (13).
При U = 1 формулы (13), (14) переходят в (8). Для гармонической
функции И из (14) следует
/J/grad С/grad Vdr = ffU~^-da. (1.7.15)
Фиксируем Q Е Т и применим (13) к функциям U и И = р~' в области,
получаемой выбрасыванием из Т шара радиуса е с центром в Q. Устремив
е к нулю, получим после несложных выкладок
/ ъи Эр_,\
4rrU(Q) = ff p--- -U------jda-ff/p^AUdr. (1.7.16)
S \ Эл Эл / т
Для гармонической функции Uтройной интеграл исчезает.
§ 1.8. Свойства оператора Лапласа
Ввиду большой роли, которую играют уравнения (1.7.1) и (1.7.10)
в теории потенциала, остановимся на некоторых свойствах оператора
Лапласа
m э2
(1.8.1)
« = I ОХ(
в пространстве R’”, где нас интересуют, в основном, случаи m = 2 и m = 3.
Очевидно, оператор Лапласа линеен и подчиняется правилу Лейбница
для второй производной от произведения:
&(aU + b V) = aAU + b&V, (1.8.2)
Д (С7И) = С/Д V + ИД U + 2 grad C/grad V. (1.8.3)
Здесь a, b = const, справа в (3) стоит скалярное произведение градиентов.
Непосредственным вычислением проверяется инвариантность лапласиана
Д = Д' (1.8.4)
по отношению к движениям и отражениям, т е. к преобразованию
' = -4r' + ft (1.8.5)
с ортогональной матрицей А. В (4) и (5) штрихом снабжены величины,
относящиеся к новой системе отсчета.
29
Преобразование подобия
г = Хг'
(1.8.6)
влечет подобное же изменение оператора Лапласа:
Д = Х’2Д'. (1.8.7)
Перечисленные выше свойства не зависят от т. Преобразование инверсии
R2 .
r = ~^r (1.8.8)
изменяет лапласиан по более сложному и зависящему от т закону
d=^d' + (4-2m)F^ (18-9>
Здесь д/дг — дифференцирование по радиус-вектору. В декартовых коор-
динатах
Эх/
(1.8.10)
Член с первой производной в (9) исчезает только при т = 2.
Обратимся к вопросу о перестановочности Д с другими дифференци-
альными операторами. Очевидно, оператор Лапласа коммутирует с произ-
водной по любому фиксированному направлению, так как
Используя (10), (2), (3) и (11), получим
">/ ЪЦ ъи\
= S (х,Д—— + 2 grad х,-grad — )=
i = 1 \ Эх,- Эх,/
"> / э э2а\ э
= S(x,. —Да+2 —) = г —(ДСО + 2ДС/,
/=1\ Эх, Эх2/ Ъг
или
4й=(2+^)д (,-812)
Формулы (11) и (12) тесно связаны со свойствами инвариантности
Д по отношению к сдвигам и растяжениям, являясь их дифференциаль-
ными аналогами.При этом,конечно,подразумеваются некоторые достаточ-
ные условия гладкости.
В качестве примера вычислим лапласиан функции U(Q) = (Rlr)v V(XQ),
где X = R^lr* и точке Q1 = XQ отвечает радиус-вектор Хг. Обозначая
30
(R'lr'lr = г'. R*lr = г', запишем U(Q) = (г’/Л)1' И(О’). Согласно (9)
Прямые вычисления дают Д(г*')
(10) влечет
что вместе с (3),
Первые два члена справа исчезают при v =m - 2.
Рассмотрим преобразование оператора Лапласа Д при переходе к криво-
линейным координатам. Ограничимся случаем ортогональных координат,
когда элемент длины ds имеет вид
где hi, h2, h3 - некоторые функции новых координат д1; д2, д3. Пусть
д°, Да» Дз означают конкретные значения этих координат. Поверхностями
в пространстве вырезается криволинейный брус Т. Грань цх = д, имеет
площадь h2dn2 X h3dn3, а вдоль внутренней нормали к ней ds - hidnt.
Следовательно, вклад от этой грани в правую часть (1.7.8) равен
dihdp3.
Вклад от противоположной грани д, = д° + с/д, отличается знаком и из-
менением коэффициентов при переходе от д°, к д, + с/д,. Взяв соответ-
ствующую разность и присоединив аналогичные вклады от двух других
пар граней, получаем
ff Fndo = dti2dn3
d^d^
Mi + аД1“Дз
где за ненадобностью опущен нуль при д(-. В левой части (1.7.8) стоит ве-
личина ДИ, умноженная на объем параллелепипеда й^Лэс/д, с/д2с/д3.
Итак,
Вывод (15) можно сделать строгим привлечением операции предельного
перехода. Тот же результат получается непосредственной заменой пере-
менных в (1.7.2), но это связано с громоздкими выкладками.
В качестве примера возьмем сферическую систему координат г, fl,
X с масштабными множителями Л] = 1, Л2 = r,h3 = rsinO. Согласно (15)
1 а , а \ 1 а / а \ i а2
— — г2 — ) + — ------------(sin в — ! + —- --------
г2 дг дг/ r2sinSafl\ 39/ r2sin29 ЭХ2
Для цилиндрических координат/?, X, г
ds2 = dR2 + R2d\2 +dz2,
i a / a \ i a2 a2
д =-------r —)+ — — +—-
R dR\ dR/ R2 ax2 3z2
(1.8.17)
Распространение (15) на пространство Rm при произвольном т оче-
видно. В случае ортогональных координат на плоскости при
ds2 = /i2d/j2 + й2</д2
имеем
/iiXjldpjVfti д/г,/ Эд2\Л2 Эдг/J
Например, для полярных координат/?, X
д=1242Л+._!_21
/? а/?\ a/?/ R2 эх2 ’
(1.8.18)
(1.8.19)
что можно получить также отбрасыванием последнего члена в (17).
§ 1.9. Потенциал тел сферической структуры
Как было замечено в § 1.2, тело с плотностью к = к (г) должно иметь
и сферически симметричный потенциал. Его можно найти разными спо-
собами.
1. Разделение на сферические оболочки.
Рассмотрим сферу х2 + у2 + z2 = а2 с постоянной поверхностной плот-
ностью 6. Для концентрической сферы S радиуса г внутренней является
вся масса притягивающей сферы М = 4rrSa2 при г > а и нуль при г < а.
Поскольку F„ = F, постоянна на S, из формулы Гаусса (1.7.6) получаем
Fr = ( ° (1-9-1)
| - 4ira2b!r (г> а).
На самой сфере г - а, как можно показать, Fr = — 2rtb. Доказательство
опустим, так как ниже эта формула не понадобится. Интегрирование (I)
дает
( 4-па2Ь1г (г>а),
Г(г) = (1-9.2)
где использована непрерывность потенциала на самой притягивающей
оболочке. Переход от сферы к объемному телу с плотностью к (г) дости-
гается интегрированием (I). (2) по радиусу
4я '
Fr = ~ 1 а *(a)da. (1.9.3)
|/(г) = — f a2K(a)da + 4тг f ак (a)da- (। .9.4)
Второй член в (4) нужен, когда пробная точка находится внутри тела.
Для внешней по отношению к шару конечного радиуса R точки
Fr = —Mlr2, V-MIr, (1-9.5)
где М - 4nf а2к (a)da - масса тела. Заменим сферически симметричное
тело центральной точкой той же массы - внешнее поле не изменится.
Этот результат был получен еше И. Ньютоном. Внешний же сферический
слой не притягивает, хотя и.влияет на потенциал (ср. (3) и (4)).
Для однородного шара (к = const при г < R)
Рг = -—^~- V=2itk(r2 —у) (г<Я), (1.9.6)
а для r>R остается в силе (5) при М = 4тгк/?3/3.
2. Разделение на плоские диски.
Проиллюстрируем метод на примере однородного шара радиуса R.
Рассечем шар на тонкие горизонтальные диски переменного радиуса
\/Я2 - г2 В пробной точке (0. 0, г) каждый диск создает потенциал
ъ/к1-'2 r'dr' /—----------
2itKdz J ,л =2t<K.dz(\jR2-r2-2rz-\z-r\\
0 + (z - г)2
Интеграл no z приводит к (5) или (6) в зависимости от г.
3. Использование уравнения Пуассона.
В сферически-симметричном случае уравнение (1.7.10) с учетом (1.8.16)
принимает вид
d ( ^dV\
—(г —)=—4якг2. (I.9.7)
dr\ dr /
После интегрирования с учетом М(0) = 0
, dV
г2---= — 4тг/Kr2dr = -М(г),
dr
raeM(r) - масса внутри сферы радиуса г. Таким образом.
Fr-^, d.9.8)
что совпадает с (3). Интегрирование (8) по частям с учетом нормировки
32
3. В.А. Антонов
что совпадает с (4).
Первый и третий способы являются более универсальными. Они поз-
воляют дать обобщение на случай тел иррегулярной (но сферически-сим-
метричной) структуры, для которых понятие плотности может и не иметь
смысла. Физически осмысленной величиной, однако, остается М(г). Это
неубывающая функция с возможными разрывами первого рода. Как по-
казьгвает (8), Fr имеет общие особенности с 7И(г), V непрерывен всюду
за возможным исключением центра - разрыв обязателен при наличии
центральной точечной массы М(+0) > 0.
Другие трудности встречаются в пространственно неограниченных мо-
делях. Если при любом R > 0 расходится интеграл
/ n(r)dr.
то величина (1.4.2) оказывается зависящей от порядка интегрирования.
Для сохранения сферической симметрии поля надо наложить условие ко-
нечности интеграла (10) или считать интеграл (1.4.2) как предел интег-
ралов по шарам растущего неограниченного радиуса. В том и другом слу-
чае F вычисляется без труда, но И может стать бесконечным, если рас-
ходится второй из интегралов (4). Это означает, как мы знаем, невоз-
можность отрыва. Сингулярность V устраняется изменением начала от-
счета, например условием К(0) = 0. При таком соглашении
2 к (a)da - 4 я f aK(q)da.
Более жестким, чем рассмотренные выше, является условие конечности
полной массы
М=4тг/ г*к (г)dr.
Оно не только необходимо, но и достаточно для справедливости асимпто-
тик (1 .3.3),(1.4.5). Действительно, для любого заданного е>0 можно подоб-
рать такое R, что при г > R будет М - € <М(г) <М. Из (8) следует, что
при r>R
М - € М
(1.9.12)
Поэтому lim r2Fr - -М, что доказывает (1.4.5). После интегрирование
что влечет (1.3.3).
Обратим внимание, что для неограниченных несимметричных тел асимп-
тотика (1.3.3) может нарушаться и при конечной массе.
Пример 1.9.1. Возьмем счетную цепочку однородных шаров Тп посто-
янной плотности к с радиусами 2“". Центры шаров расположим на оси z
в точках гп = 4” (п = 0, 1,. . .). Полная масса системы М = 32як/21. В
центре Тп потенциал от этого шара вычисляется по (6), от остальных
шаров - по (5). Поэтому
— И(0, 0, <
м
8
Предел правой части при п -* 00 равен 37/16 вместо единицы, что имело
бы место при справедливости (1.3.3).
Обобщим свойство полиномиальности внутреннего потенциала одно-
родного шара.
Теорема 1.9.1. Пусть Т - шар радиуса R, плотность к - многочлен
от х, у, z степени т. Тогда внутренний потенциал шара - многочлен сте-
пени m + 2.
Представим потенциал (1.1.7) в форме
R
V(Q) = ffda f рк(г + lp)dp, (1.9.13)
где внешняя интеграция - по единичной сфере, внутренняя^- по лучу с
центром в точке Q и направляющим вектором I. Расстояние R> 0 от проб-
ной точки до границы шара в направлении / находится из уравнения
(г +/Я)2 = R2:
R = -Ir + '/flr')2 + R2 —г2. (1.9.14)
Достаточно считать к однородным многочленом. В таком случае
к(г+/р) = ^^Лк(л,/)р‘,
где А к - однородные многочлены степени m - к относительно коорди-
нат пробной точки Q и степени к относительно направляющих косину-
сов/. Внутренний интеграл в (13) равен
m Al - m Л+2
£——Rk*2 = 2 2 (ЛЛ [(/<)’ + R2-r2]"'2,
lc = Ok + 2 k = On = O
где степени/? раскрыты согласно (14). Ясно, что Вкп -однородные много-
члены степени tn + 2 - п относительно компонент г и степени 2к + 2 - п
относительно компонент /. Интегрирование по сфере уничтожит все чле-
ны с нечетными п. Окончательно
И (Q) = 1 Д ’ ’ +2 _ 2t, (Q), (г < R) (1.9.15)
где И,- - однородный многочлен степени / (или нуль). Степень V равна
именно т + 2, т.е. Кда+2 0, так как согласно уравнению Пуассона (1.7.10)
многочлену для V отвечает плотность к степени по крайней мере на две
единицы ниже.
§ 1.10. Вторые производные потенциала
Уравнение Пуассона показывает, что непрерывность плотности необ-
ходима для непрерывности всех (хотя не каждой) производных второго
порядка. Но непрерывность к еще не гарантирует существования и непре-
рывности вторых производных V.
Пример 1.10.1. Пусть тело Т представляет собой цепочку шаров
Тп с центрами на оси z в точках z = 2-л и радиусами R„ = 2~п/3 (п = 0,
1,2,...). Плотность внутри Тп зададим по закону
где гп - расстояние от центра соответствующего шара. Нетрудно прове-
рить, что плотность к непрерывна в Г и даже в R3. Шары касаются друг
друга и имеют массы
Вычислим Fx в точке (х, 0, 0). Сложив притяжение всех шаров, получим
равномерно сходящийся ряд:
у хМп
; Fx (0, 0, 0) = 0.
Прих = ±2-"’
Л 87Г
405 я = о л(4'
'Поэтому
g _1_
405 п = о п
и Э2 И/Эх2 в начале координат бесконечна.
Наложим дополнительное ограничение на плотность.
Теорема 1.10.1. Пусть в некоторой области G плотность удовлет-
воряет условию Липшица
Тогда потенциал обладает в G непрерывными производными второго
порядка.
Непрерывность V и grad И доказана в § 1.3 и 1.4 при более слабых
предположениях. Воспользуемся употребительным приемом сглажива-
ния. Заменим в (1.1.4) р~' на (р2 + Л2)_,/2 и обозначим соответствую-
щий сглаженный потенциал через Ил (2). По лемме 1.6.3 Ил(£) —*• И(б).
gradK/,(Q) —* gradK(2) локально-равномерно в G. Обратимся ко вто-
рой производной
Э = fff K(Q')-~~2(p2 +h2)-42dr.
dz2 т dz2
Под знаком интеграла d2/dz2 можно заменить на 32/dz' . Перенесем на-
чало координат в пробную точку и опустим штрихи у переменных интег-
рирования
= /Дк(2)—-(р
т dz2
где к0 = к(0), к (Q) = к (Q) - к0 при г<г0,к(О) -к (Q) при г > г0 Число
г о > 0 может быть произвольным, лишь бы шар г <г0 лежал в G. Послед-
ний интеграл в (2) Легко вычисляется в полярных координатах после
применения формулы Остроградского—Гаусса (1.7.7)
K(Q)dT-
Предельный переход в интегральном выражении (3) допустим по
лемме 1.6.3, поскольку из (1) вытекает сходимость интеграла
И.
вблизи начала координат
Э2И„ гг. Э2/1\ 4як0
lim —— =fffK(Q)—2(-)dr —
л-о dz dz \г/ 3
(1.10.4)
Для смешанных производных второй член в (3) и (4) отсутствует. Поло-
жение пробной точки безразлично в том отношении, что для оценки скоро-
сти сходимости в (4), кроме величины г0 и параметров, фигурирующих
в правой части (1), других локальных характеристик не требуется. Сходи-
мость оказывается равномерной, и после перехода h->0 мы получаем
непрерывные функции.
Остается доказать, что они совпадают с соответствующими производ-
ными от V. Производя предельный переход в интегральном соотношении
f3(_^Ldx dy + ^-dz) = [ —
Cj\dxdz dydz dz2 / L dz
(1.10.5)
убеждаемся, что это в самом деле так: подынтегральное выражение (5)
есть дифференциальная 1-форма для dVh/dz и при Л -*0 переходит в 1-фор-
11 m i ------ + -г- +----г- = — 4ПК
л — о \ Эх2 ду2 dz2 /
предела суммы не следует наличие предела у отдельных слагаемых.
§1.11. Свойства аналитичности потенциала
В области, свободной от притягивающих масс, потенциал - аналитиче-
ская функция координат. Докажем это и оценим область сходимости
для различных форм степенных разложений.
Первая форма: однократный ряд, получаемый объединением членов
одинаковой степени. Возьмем произвольную точку, отделенную от притя-
гивающих масс, и примем ее за начало отсчета. Преобразуем (1.1.4), начав
с обратного расстояния
где t = r)r , rr'cos у = rr. Прямым сравнением коэффициентов Маклорена
проверяется соотношение
означающее мажорацию по переменной t [58]. В частности,
Таким образом, р 1 разлагается в ряд по степеням г, причем
- (mod г).
Интегрирование по притягивающим точкам показывает, что
И(С) = 2 ИДС),
где V„ - однородная функция степени и, удовлетворяющая в силу (3)
неравенству
1ИЯ©)|<
Пусть А - расстояние ближайшей точки тела от начала координат (для
строгости можно говорить о нижней грани расстояний). Из (5) следует
в случае конечной массы М. Если тело имеет бесконечную протяженность,
но конечен интеграл
то обший член ряда (4) для V (или того же ряда без свободного члена
Для И(2) - У(О) в случае расходимости интеграла от г'"1 dm) оценивается
величиной
Поэтому ряд (4) сходится в шаре
Однородные формы являются просто полиномами: достаточно срав-
нить (1) с представлением
Обозначим г' = $_|. Разложение р~' = f(l + $2г3 - 2r£ cos т)_|/2по степе-
ням г равносильно разложению по степеням Каждый член ряда получает-
ся кратным дифференцированием по £ в точке £ = 0 и до множен» ем на
постоянный коэффициент и степень Эти операции, как и последующее
интегрирование по притягивающим массам, не нарушают свойства гармо-
ничности. Следовательно. гармоничны в шаре (8). и как многочлены -
Иногда приходится рассматривать комплексные значения координат.
Формально при этом ничего не меняется, более сложно только решается
вопрос о гарантированной области сходимости (4) при известной вели-
Если направляющие косинусы x/r, у/г, z/r вещественны, то вещественно
и 7, несмотря на комплексность г -у/х1 +у2 + z2. Поэтому остается в силе
(3). Следовательно, справедливы оценки (5), (6), (7) при замене г на
I г |. Ряд (4) сходится, во всяком случае в круге
|г|<Л. (1.11.10)
В общем случае направляющие косинусы комплексны и даже могут не
существовать - ведь г2 = х2 + у2 + z2 обращается в нуль и вне начала коор-
динат. Положим
{==л/|*1’ +11’ +1Z Is, x=sf, y = bf, Z=cf. (1.11.11)
р-‘= [г” - 2(«’ + Ьу‘ + «'){ + (»’ +Ь2 (1.11.12)
и (4) получается предварительным разложением (12) по степеням $. В
отличие от (1) коэффициенты а, Ь, с здесь комплексны.
Ле мма 1.11.1. Пусть задан комплексный вектор r= + ir2 и положи-
тельное число А. Для существования вещественных скаляра 0 и вектора
г', удовлетворяющих условиям
г'2 >Л2, (г'-те")2 =0. (1.11.13)
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
rl +d +2|п Хг2 |>Л2. (1.11.14)
Достаточность. Пусть выполнено (14). Ввиду инвариантности ус-
ловий леммы по отношению к вещественным поворотам системы коорди-
нат. можно считать, что оба вектора г у и г2 лежат в плоскости х, у и тройка
Г1. г2 ,к (0, 0,1) - правая или компланарная. Положим
x'=x,+j2. У=-х2+Л, z' = 0, 0=0.
В результате с учетом (14)
(<' - rf = (х' - х)2 + (У - ?) 2= (л - 1Х2)2 + (х2 + |>2)2 = 0.
Необходимость. Пусть (14) заменено противоположным неравен-
ством. Придерживаемся того же определения плоскости z = 0, плоскость
х. z проводим через заданный вектор г', | г'| >Л. Докажем, что второе
условие (13) не будет удовлетворяться ни при каком в . Запишем (13)
(х'-хе,в)2 + (уе'9)2 +г,2-х'2 =0,
(х'-ЬХх'-{2)=х'г-г'2, (1.11.15)
где ^li2 = (х ±iy)e'e, |£)12|2 =(х2 +^2)2 +(х2 ±у2)2, что согласно проги-
воположному (14) неравенству меньше А2 :
1^1,2 К Л. (1.11.16)
Произведение скобок в (15) должно быть отрицательным или нулем,
так что числа х'- ,х'- £2 на комплексной плоскости должны изобра-
жаться противоположно направленными радиус-векторами. Последние по
(16) лежат внутри круга радиуса Я с центром в точке х' (рис. 3). Произ-
ведение их длин ОВ2 ОВ3 меньше, чем ОВ*- ОВ$, что независимо от
Рис. 3. К доказательству леммы 1.11.1.
На комплексной плоскости точка В( (центр
круга) изображает х', В2 - <х' - ^).
й, - <х’ _ Ej); вектор BjB, изобража-
ло ЭТО му
направления хорды равно (Л - х )(Л +х') = А
(15) выполняться не может. Лемма доказана.
Для определения области сходимости разложения д’1 надо постепенно
расширять круг на плоскости комплексной переменной %, пока не наткнем-
ся на особую точку функции (12), т.е. пока не удовлетворим условию
(г' - г)2 =0. Согласно лемме это произойдет, когда (14) обратится в равен-
ство. В любом круге меньшего радиуса функция (12) и коэффициенты ее
разложения остаются равномерно ограниченными по положению притяги-
вающей точки, если г так что при интегрировании по dm сходимость
сохранится. Итак, сходимость ряда (4) для комплексных г = rx + ir2 обеспе-
чена в области
Область (17) совпадает с (10) тогда, и только тогда, когда/4 и г2 колли-
неарны, что отвечает вещественности х/r, у/г, z/r. Вышесказанное позволяет
заключить© справедливости следующей теоремы.
Теорема 1.11.1. На любом отрезке, не затрагивающем притягиваю-
щих масс, потенциал является аналитической функцией координаты, отсчи-
тываемой вдоль отрезка. Вторая форма: тройной ряд.
В ряде (4) предполагается проделанной предварительная операция
сложения всех членов одинаковой степени п в общую сумму Но из
сходимости сгруппированного ряда
aklmx>lx2x3l )
не следует сходимость тройного ряда
(1.11.18)
(1.11.19)
где положено Xj = х, х2 -у, х3 = г. Правда, сходимость в достаточно малой
окрестности начала координат остается, но интересно оценить, насколько
сужается эта окрестность для раздельных трехмерных разложений. По-
скольку представление Vn комбинацией зависит от системы
координат, существенно не только расстояние до ближайших притягиваю-
щих точек, но и то, в каком направлении от начала они находятся. Ограни-
чимся случаем, когда, кроме отсутствия масс внутри сферы г = А, ничего
более не дано. Из теории функций нескольких комплексных переменных
известно [74], что область сходимости должна определяться модулями
координат и только на границе такой области в пространстве I хл|, к кото-
рой следует причислить плоскости |xfc|=0, сходимость или расходимость
ряда может зависеть от соответствующих фазовых множителей. Сама
граница определяется по появлению особых точек разлагаемой функции.
Положим xk = uke,,f>k, ик > 0. Ряд (19) для потенциала будет сходиться
в точке (хь х2, х3), если при данных ик соотношение (17) выполнено
для всех Левую часть (17), как легко проверить, можно представить
cos 2tpk) — (Su| sin 2^>fc)2 }1/2.
(1.11.20)
Рис. 4. Область (1.11.21) сходимос-
уменьшить расстояние между началом и концом трехзвенной ломаной
с длинами звеньев и2к приводит к расположению наименьших звеньев
вдоль наибольшего, но в обратную сторону. Этих соображений достаточно
для записи
Диаграмму полной области Рейнхарта *) (21) легко описать. Ее граница
состоит из трех равнобочных конусов с вершинами в точках (А, 0, 0),
(О, А, 0), (0, 0, А) и куска сферы между ними (разумеется, принимаются
во внимание лишь точки первого октанта - рис. 4).
В случае логарифмического потенциала в комплексном пространстве
С2 переменная z может быть положена равной нулю, и область сходимости
на диаграмме Рейнхарта образует треугольник
(1.11.22)
что нетрудно доказать и непосредственно.
В одномерном пространстве С1 вопрос о голоморфности и сходимости
тейлоровского разложения решается совсем просто, поскольку внешний
потенциал - линейная функция координаты.
Мы исследовали голоморфность в конечных областях пространства.
Голоморфность потенциала тела конечных размеров в зависимости от г
на бесконечности доказана фактически в §1.3. Интерес представляет толь-
•) Полная область Рейнхарта вместе с каждой точкой (ukei,f>k) при
ик> 0 содержит все точки (6ике,'1'к) при О<0<1. Подробнее см. монографию [74].
ко сгруппированный ряд типа (4)
где Vn - однородные функции степени (-л - 1) от координат, являющиеся
многочленами степени п, деленными на г2л+ . Для масс, сосредоточен-
ных в конечной области, разложение (23) потенциала в окрестности °°
получается точно таким же образом, как разложение (4) вблизи начала
координат, лежащего в пустой области. Одно даже сводится к другому
преобразованием инверсии (см. §1.2). Получаем, что разложение (23)
при вещественных направляющих косинусах сходится вне сферы с центром
в начале координат и радиусом R, охватывающей все тело и имеющей
общую точку с его поверхностью (в дальнейшем - объемлющая сфера)
Общий член оценивается величиной
(1.11.25)
В общем случае комплексных направляющих косинусов ряд (23) сходится
Найденные области сходимости справедливы и для разложений произ-
водных потенциала любого порядка, что легко обосновывается дифферен-
цированием под знаком интеграла.
Обратимся теперь к области, заполненной массами. Потенциал никак
не может представляться там рассмотренными рядами, даже если они
сходятся, так как их суммы гармоничны, а потенциал удовлетворяет урав-
нению Пуассона (1.7.10). Это же уравнение показывает необходимость
аналитичности к для аналитичности V. Докажем достаточность этого
условия.
Нам понадобятся оценки однородных многочленов И,-из теоремы 1.9.1.
Пусть к — однородный многочлен степени т в области г < R и нуль при
r> R, с = max | к(О) |. По однородности
|K((2)|<c(r/R)m. (1.11.27)
Обозначим через XQ точку (Хх, Ху, Xz). Из (1.1.7) и однородности к выте-
кает
ш к(6Ит
K(M2")dT
и(хе)=х2 ш —-—
Отсюда при X
х-га-2г(Х(2)- И(е) = - ш
(1.11.28)
Пусть Q лежит в шаре r<R. Для достаточно близких к единице X там же
находится и XQ. Из (28) в сочетают с (1.9.15) в этом случае
Справа стоит внешний.потенциал шарового слоя, так что левая часть совпа-
дает с разложением (4), и согласно (5) с учетом (27)
Чтобы включить и случай п = 0, оценим потенциал с учетом (27)
с r'mdr
|И(2)|с— Ш ——.
К r'<R Р
Интеграл представляет потенциал шара сферической структуры и можно
воспользоваться формулой (1.9.4) с заменой бесконечного верхнего преде-
ла на R
4ircR2 4псгт+2
। и(О) | <--------------------,
tw + 2 (m+2)(m + 3)Rm
так что при г = R
I ^(Q) I < 4ясЯ (1.11.30)
т + 3
Из (30) и (29) при г = R
। идП(6)1<2яС/?{-1-;|ЦЛ..л 1
\т + 3 2 3 [m/2 + l]/
Отрезок гармонического ряда не превосходит
где 7 - постоянная Эйлера. Поэтому
I 4,02) I < 2*cR2(ln^ + 7 + (г = я)
и в силу однородности
Теорема 1.11.2. Пусть плотность аналитична в шаре r<R и разлога
ется там в сходящийся ряд однородных многочленов кт
к(2)= 2 Km(Q). (r<R)
(1.11.32)
Тогда потенциал в этом шаре также аналитичен и разлагается в ряд одно-
родных многочленов Vn
УМУ tr<R)
Доказательство. Наличие масс вне шара не играет роли, так как
они индуцируют голоморфный потенциал, представимый рядом (4). Счи-
таем область г >R пустой. Пусть сначала кт убывают в геометрической
прогрессии
(0<<7<1).
(1.11.34)
Лемма 1.6.3 остается верной, если заменить в ней круг х2 +у2 CR2шаром
конечной размерности и непрерывный параметр t — дискретным. Поэтому
потенциал V можно представить суммой потенциалов К"1, отвечающих
плотности кт,а последние даются суммой (1.9.15)
*» [m/2+lJ
И(<2)=Ло и-0 К«+2-2л(Й)-
Расположим члены в порядке возрастания степени,
« ( т/2 +1 1
F©) = m?0 л?0 F2%+2(m/2)(2)>
(1.11.35)
где фигурные скобки означают дробную часть: х = [х] + { х) . Согласно
(29) и (31) ряд (35) мажорируется двойным рядом
где
------------, если п < [m/2 + 11,
[т/2 + 1 ] - п
т + 4
In------
2
------, если п = [т/2 + 1 ].
Ряд (36) сходится прит-CR. Поэтому (35) сходится как двойной ряд
абсолютно. Следовательно, можно переставить суммирование по т и п
и получить (33). Общий член (33) удовлетворяет неравенству
1 и"(е)| с
где справа стоит разложение логарифма. Окончательно
(1.11.37)
При п = 0,1 можно у + 2/ (и + 1) заменить нулем.
Итак, при дополнительном предположении (32) потенциал голоморфен
в шаре г<Яи разлагается там в ряд (33). Сколь угодно мало уменьшив
R, добьемся выполнения (32) при подходящих с, q < 1.
§ 1.12. Экстремальные свойства потенциала
Если исключить сингулярности типа точечных масс и одномерных распре-
делений (§1.3) и предполагать сходимость интеграла J r~2 dm зне сферы
достаточно большого радиуса (§1.11), то потенциал будет непрерывной
в R3 функцией, обладающей, как мы покажем, рядом важных экстремаль-
ных свойств.
Теорема 1.12.1. Среднее потенциала по любой сфере не превосходит
его значения в центре.
В системе отсчета с началом в центре сферы 5 радиуса R теорема утверж-
—HV(Q')da<V(Q). (1.12.1)
Ввиду аддитивности потенциала как функции масс достаточно доказать
(1) для единственной массы т, находящейся в точке Q на произвольном
расстоянии а> 0 от центра. Проводя ось z через Q и пользуясь полярными
координатами, легко вычислим левую часть (1)
я2я mR2s\nOdf)d\ ( 4irmR, если a<R,
//Hfg = J J z r——-=^ =
s oo х/R’ + a - 2Ra cos 0 I 4-nmR2 /о, если a>R,
и убедимся в ее непрерывности при переходе 5 через Q. Достаточно теперь
заметить, что И(0) = т/а.
Из приведенного доказательства вытекает, что в (1) осуществляется
равенство при отсутствии притягивающих масс внутри S, и строгое нера-
венство в противном случае.
Теорема 1.12.2. Пусть ни в какой области R3 потенциал не сводится
к постоянной. Тогда он не имеет минимумов; в свободной от притягиваю-
щих масс области потенциал не имеет ни максимумов, ни минимумов.
Действительно, если Qo - точка строгого минимума, то на сфере с
центром в Qo и достаточно малым радиусом И(£)> V(Qo), что противоре-
чит (1). Доказательство проходит и для строгого максимума в пустой
части пространства, когда в (1) осуществляется равенство. Небольшое
усложнение рассуждений охватит и случай нестрогого экстремума, лишь
бы потенциал не сводился к константе ни в каком шаре.
В области, занятой притягивающими массами, теорема верна без всяких
оговорок: случай постоянства потенциала исключен, поскольку поток его
градиента через границу отрицателен в силу формулы Гаусса (1.7.6). В
пустой части пространства возможно
Например, (2) выполнено внутри сферического слоя (§1.9). Но в любой
области вне тела конечных размеров равенство (2) нарушается. Действи-
тельно, из-за голоморфности потенциала вне Т и S соотношение (2) или
невозможно, или выполнено во всей области Т = R3\(TUS). Последнему
противоречит асимптотика (1.3.3).
Строгие максимумы потенциала встречаются. Для тела конечных разме-
ров ограниченной плотности согласно (1.3.3) inf V - 0 и потенциал не имеет
в R3 наименьшего значения. Максимум же можно искать в шаре достаточно
большого радиуса. По теореме 1.3.1 потенциал всюду непрерывен. Таким
образом, max И достигается в некоторой точке. Например, для тела сфери-
ческой структуры положительной плотности потенциал (1.9.4) зависит
лишь от г , а ЭИ/Эг отрицательно при г> 0 согласно (1.9.3). Значение V в
центре шара больше любого другого.
Теорема 1.12.3. Ирннюу. В инерциальном пространстве в стационар-
ном гравитационном поле всякое положение равновесия в вакууме не-
устойчиво.
Условие (2) влечет безразличное равновесие, неустойчивое по Ляпунову.
В противном случае воспользуемся представлением (1.11.4) в окрестности
положения равновесия, принятого за начало координат. Пусть п >2 -
номер первой неаннулируюшейся формы (1.11.4): К, = . . .= Vn_ t =0,
Ип£0. Если л = 2, то стационарная точка невырождена и по теореме 2
является седлом. Равновесие экспоненциально неустойчиво. Случай п >3
много сложнее. Полное доказательство опубликовано в [33,34]. Изложим
здесь лишь его идею. Поворотом осей приведем полином Vn к виду
Vn =azn + a2(x,y)zn 2 + ... + ап(х,у).
где а > 0, ак (х, у) - многочлены степени к. Существует траектория, выхо-
дящая при t = - 00 из стационарной точки, имеющая асимптотику
Положение равновесия неустойчиво.
Перейдем к экстремальным задачам с варьированием формы тела.
Найдем максимум потенциала при заданных плотности к0 = const и
массе М.
Обозначим через R = (ЗМ/(4як0))1/3 радиус шара той же массы и плот-
ности. Преобразуем (1.1.7), принимая пробную точку за начало отсчета
47
Рис. 5. Тело наибольшего притяжения (справа - сечение тела плоскостью симмет-
рии xz)
и полагая к = к0 в Т и к - 0 вне Т
И = к» ЯГ - Iff (К° . — dr + ,ЯГ dr <
r< К Г г < R Г г > R Г
<2якояг -"7 ЯГ (*о - к) dr + — ЯГ K-dr =
R г-<R R ,»R
= 2maR2 - fff K0dT + - Я/ Kdr.
Оба последних интеграла равны М так что
, /9лМ2к0\ 1 /з
V(Q)^2itk0R2 =(—--------} , (1.12.3)
причем равенство достигается только для однородного шара и только в
центре.
Найдем аналог (3) для напряженности. Пусть Го - тело массы М плот-
ности к0, ограниченное поверхностью S с уравнением г2 = с2 cos в (рис. 5).
ПараметрыМ, к0,с связаны соотношением
»/2 С у/ cose 4я
М = 2як0 J f г2 sin 0 dr dO = — с3к0.
Покажем теперь, что То дает максимальное притяжение в начале коорди-
нат при заданных к0, АГ. Поскольку г'2 cos 0 >с~2 внутри S и неравенство
противоположно вне S. то
F ((( cose л ССС (*O-»<)COS0 к cos 0
П - *0 Ш dr - /Я ---------------—----- dT + fff --------— dr <
rrr cos0
< «о fff dr - с'2 fff (к0 - K)dr +с-2 fff Kdr =
rrr Cos®
= Ko fjf—^~ dT -c~2 fff K0dT +c'2 fff KdT.
48
Два последних интеграла равны Л/, оставшийся элементарен. Окончательно
1Mkq,
причем равенство достигается только для Го и только в южном полюсе.
До сих пор мы изучали потенциал, описывающий действие тела Т на
пробную точку Q. Если же считать тело Т самогравитируюшим, то можно
ввести функционал
f V dm.
зависящий от формы Т и распределения масс. Фактически здесь стоит дву-
кратное интегрирование по объему Т по равноправным точкам Q и Q'
1 dm dm
2 т т p(Q,Q')
Величина IV имеет смысл гравитационной энергии тела Т со знаком ми-
нус. Дадим еще одно выражение для IV. Пусть dm = Kdr и к удовлетво-
ряет условию Липшица с произвольным положительным показателем.
Тогда справедливо уравнение Пуассона (1.7.10). и (5) преобразует-
ся к виду
8 я IV = -ДГИДК7-,
где интегрировать можно по всему пространству R3. Воспользуемся
формулой Грина (1.7.14). полагая U = Г и беря сферу достаточно боль-
шого радиуса R в качестве 5. По (1.3.3), (1.4.5) ИЭ И/Эл - Л-3, и поверх-
ностный интеграл исчезает в пределе R ~°°. Окончательно,
IV = — ДГ (grad К)2 dr. (1.12.7)
8Я R3
Гравитационная энергия, как и потенциал, обладает о предел енными
экстремальными свойствами. Сформулируем важнейшее из них, доказан-
ное А.М. Ляпуновым.
Теорема 1.12.4. Для однородного тела фиксированной массы и
плотности функционал IV достигает максимума (гравитационная энер-
гия — минимума) в случае шара.
Фиксируем плотность к = const и объем т0 тела Т. Введем семейство
эквипотенциальных множеств Sc = ( Q: P(Q) = с}. Очевидно, R3 =
= и Sc, где С| = max V(Q). При малых с в силу (1.3.3) диффео-
морфны вложенным друг в друга сферам. По теореме 1.4.1 grad И непре-
рывен в R3. Отсюда по теореме Сарда [43] множество $е - лежащая
внутри некоторой сферы гладкая поверхность для с Е Г, где Г - откры-
тое подмножество интервала (0, св) полной меры. Обозначим 5 (с) -
площадь Sc, т (с) - объем тс = { Q: V(Q) > с), т( (с) - объем пересечения
тс П Т. Функции г(с) и rt (с) определены по крайней мере на Г и(с,},
убывают и потому разрывны не более чем в счетном множестве точек.
4. В.А. Антонов 49
При малых с
4л /кт0\у
т(с) * —(---} . т,(с) = 70. (1.12.8)
При с = с, обе функции по определению обращаются в нуль. Представим
(5) в виде интеграла Лебега-Стильтьеса
W = - у ? CdT^c).
Интегрируя по частям с учетом (8), найдем
W = — J r,(c)dc.
2 о
Монотонность т (с) позволяет принять г за переменную интегрирования
W=—s(-—'\ rtdT. (1.12.9)
2 о \ de /
Для оценки df/dc заметим, что для с G Г и достаточно малого de гладкие
поверхности Sc и Sc+dc близки. Точнее, расстояние между точкой Q Е Sc и
поверхностью Sc+dc эквивалентно (-Э V/Ьп) de. Поэтому
dr / ЭИ\_|
---- =Я(--------) do.
de sc \ bn J
По неравенству Коши—Буняковского
2 / bV / ЭИ \
(ff do) d0ffl—}d0.
se sc \ bn J sc\ bn J
Интеграл слева равен Sc, последний интеграл по формуле Гаусса (1.7.6)
равен 4 лк71 (с), так что
Согласно изопериметрическому неравенству
50
Очевидно, Tj(c) < min {т(с), т0) , поэтому
Неравенство (12) доказывает теорему Ляпунова, поскольку оно вместе
со всеми вспомогательными оценками обращается в равенство в случае
шара. Это можно проверить и непосредственно, интегрируя (1.9.6).
§ 1.13. Свойства гармонических функций
Потенциал в областях, свободных от притягивающих масс, принадлежит
классу гармонических функций, т.е. удовлетворяющих уравнению Лап-
ласа(1.7.1). Простейшие свойства гармонических функций вытекают из
сказанного в § 1.8, а более тонкие можно найти в специальной литерату-
ре (64]. Остановимся на некоторых важных для нас вопросах.
Пусть Д{/ = 0 в шаре г <Я. Согласно (1.7.8)
Э£/(г, Q)
ff —-------- Л>0 =0, (г<Я) (1.13.1)
s0 дг
где Q - точка единичной сферы So. Проинтегрируем (1) по радиусу
от 0 до г
Л < U(.r. Q)~ 4/(0)} da0 =0,
откуда
С/(0) = -^- ff U(r.Q)daa, (r<R) (1.13.2)
4/(0) ff U(Q)do,
4я? S
где S - сфера радиуса г «.Я.
Таким образом, значение гармонической функции в центре сферы рав-
но ее среднему значению на сфере (ср. с теоремой 1.12.1). Ясно, что поло-
жение центра безразлично, так же как и радиус сферы, лишь бы U была
гармонична в открытом и непрерывна в замкнутом шаре радиуса г.
Принцип среднего остается в силе, если вести осреднение по целому
шару с весовой функцией £ (г):
SSS t(.r)U(Q)dT
(/(0) = —---------------
(1.13.4)
4я f rJf(r)dr
Согласно (1.8.11) после дифференцирования по любой координате
функция остается гармонической. Заменим в (4) U на bUjdz, £ на 1.
Тройной интеграл сведем к поверхностному по (1.7.7). Возвращаясь к
произвольному радиусу г, получим
— [/(0) = —Я cos е da-
dz 4nr S
(1.13.5)
Теорема 1.13.1. Функция U, гармоническая и ограниченная во всем
пространстве, сводится к постоянной.
Действительно, если всюду | U(Q) | < С, то из (5) следует
при любом г. Таким образом, grad U = 0 в произвольной точке и функ-
ция U постоянна.
В свободной от притягивающих масс области потенциал — гармоничес-
кая функция. В некотором смысле верно и обратное.
Теорема 1.13.2. Пусть функция U гармонична внутри сферы S и
непрерывна вместе с первыми производными на S. Тогда с точностью
до аддитивной постоянной U представляется потенциалом масс, распреде-
ленных на S с непрерывной положительной плотностью.
Доказательство. Обозначим радиус 5 через а и примем центр
сферы за начало отсчета. Функция
/71(2) =у- 2^- Q) (г>а)
(1.13.6)
непрерывна вместе с первыми производными на S, стремится к нулю
как г~‘ при г -» °» равномерно по всем направлениям, гармонична вне 5
согласно (1.8.13) при m = 3, v = 1, совпадает с U на S. Построим потенциал
V. отвечающий поверхностной плотности
1 /Ъи dUt \
«(2)=— (т -1~)- (Q£S)
4тг \ дг дг /
В силу результатов § 1.3 и 1.6 функция V непрерывна в R3, обращается в
нуль на бесконечности как Мг~', гармонична внутри и вне S, а на S нор-
мальная производная ЭК/Эг претерпевает скачок dU)dr — dUt/dr. Вве-
дем функцию
f Г(2) - U(Q), если г < fl,
и'(е) = (1.13.7)
I K(S)-£/i(S), если г > а.
Она непрерывна в R3 и гармонична внутри и вне S. Первые производные W
непрерывны внутри и вне S, а по (1.6.14) их предельные значения на S
совпадают. Фиксируем точку Si £ 8 и опишем сферу 51 произвольного
52
радиуса а^ > 0 с центром в Qv. Для достаточно малого at равенство (1)
для W с очевидностью справедливо. Если же Si пересекается с 5 или охва-
тывает S, то (1.7.8) можно применить к обеим областям, на которые
внутренность 51 делится поверхностью 5. Вклады от интегрирования
ЭИ7Эи по обеим сторонам 5 (или части 5, лежащей внутри Si) друг дру-
га уничтожают. Поэтому (1), а значит и (3) (с очевидной заменой обозна-
чений) справедливы при любом а{.
K<21) = ~TS W(Q)do. (1.13.8)
4яа1 S,
Так как И/ (Q)---"^*0 равномерно по всем направлениям, то правая часть
(8) стремится к нулю при а{ -*• °°. Следовательно, И/(2Х) = 0 (Qx $ S),
а по непрерывности W = 0 во всем пространстве R3- Согласно (7) отсюда
вытекает U (Q) = V (Q) при г
Итак, функция U внутри 5 представлена потенциалом поверхностных
масс. Плотность 5 может оказаться знакопеременной, но от этого недо-
статка легко избавиться, прибавив к 6 'подходящую константу. Функ-
ция U согласно (1.9.2) изменится только на малосущественную аддитив-
ную постоянную.
Доказанная теорема позволяет в дальнейшем, в гл. 2—4, говорить не
столько о потенциалах, сколько вообще о гармонических функциях.
В заключение выведем два полезных неравенства.
Т е о р е м а 1.13.3. Для любой гармонической внутри выпуклой области
Ти непрерывной вплоть до S функции U справедливо
JffU\Q)dr<a ffU^Qjda, (1.13.9)
т s
где а - радиус наибольшего вписанного в Т шара.
Доказательство. Пусть вначале Т - выпуклый многогранник с
гранями S, (1 = 1, .... IV), С/ непрерывна вплоть до S вместе с grad U.
Для каждой точки Q 6 Т U5 обозначим через Z,- расстояние до плоскости,
содержащей грань S, . Образуем функции
Л(2) = z,(2a- zf), f(Q) = min/f(2) ,
(1.13.10)
где минимум берется только по тем граням, для которых г,- <а. По опре-
делению а множество таких граней не пусто. Разобьем Т на многогранни-
ки Т{, в каждом из которых / =/,•.
Очевидно, / непрерывна и неотрицательна в TUS. Внутри 7} функция/
аналитична, причем Д/ = —2. На 5 согласно (10) / = 0, df/dn = —2а. Пусть
Г/ и Tj имеют общую грань 5,-,, принадлежащую, как легко показать,
плоскости z i = Zj. По определению, Tj), f-fj< f, (Q G T,).
Поэтому разность /,- — /, возрастает при переходе S gj из Т, в Tj.
Отсюда
(1.13.11)
53
Представим левую часть (9) в виде
Е fff (ЛА/dr =
-у 2 Sff[/A(U2)-U2Af] dr fff fA(U2)dr.
Каждое слагаемое под знаком суммы справа по формуле Грина (1.7.13)
равно интегралу
Э(^)
дп
по границе 7} . На 5/
а на внутренних границах St / сокращаются слагаемые /9 ((/2)/Эи и накап-
ливается согласно (11) отрицательный (или нулевой) вклад от -U2 bf/bn.
Следовательно, левая часть (9) не превосходит
ff a U2 da
s
у Ш fau^dr.
Для гармонической функции U согласно (1.8.3) Д ((/’) = 2(grad(/)2, так
что объемный интеграл неотрицателен, что и устанавливает (9) при сформу-
лированных в начале доказательства условиях. Остается совершить стан-
дартный предельный переход.
Теорема 1.13.4. Пусть U гармонична и интегрируема с квадратом
f U2(Q)dr,
где т0 - объем шара То с центром й Qo G Т и радиусом, равным расстоя-
нию от Qq до S.
Действительно, применим неравенство Коши-Буняковского к (4) при
t = l
t^«2o) =-^- If l/(Q)dr]2 <
(1.13.13)
<-у- / у ^f U’CQ^dT,
что влечет (12), поскольку То СТ.
§ 1.14. Аналитическое продолжение потенциала
Примеры с точечными массами на расстоянии А или R от начала коор-
динат показывают невозможность расширить области (1.11.10), (1.11.17),
(1.11.21), (1.11.24), (1.11.26) при общей постановке задачи. Но при до-
полнительных условиях гладкости такое расширение области сходимости
не исключено. Будет ли ряд продолжать сходиться именно к потенциалу
в области, установленной только по критерию внутренней сходимости
ряда? Для примера рассмотрим ряд (1 11.4), ограничиваясь практически
более важным случаем вещественных значений координат.
Теорема 1.14.1. Пусть формальное разложение потенциала (1.11.4)
сходится локально-равномерно в области G. Если Т - R3 Т означает внеш-
ность Т, то в связной части G содержащей начало координат. (1.11.4)
представляет потенциал V.
U(Q) = 2 И„(й (C EG).
Ряд однородных многочленов можно почленно дифференцировать в G
сколько угодно раз. Применяя к (1) почленно оператор Лапласа, убеждаем-
ся в гармоничности U в G. По теореме 1.13.2 каждая гармоническая функ-
ция локально представима внешним потенциалом и согласно результатам
§ 1.11 аналитична в G. Поэтому из совпадения U и V в шаре г < А следует
совпадение в более широкой области G Н Т.
Оговорка о связности G Г) Т существенна.
Пример 1.14.1. Пусть Т - однородный сферический слой массы М,
заключенный между сферами радиусов а и Ь с общим центром в точке
(0,0, с), причем 0 < а < b < с. Во внешней неограниченной области
И(2) = M[(x-c)’ ♦ / + х’Г1'1.
а во внутренней полости при (х - с)1 + у2 + z 2 < а2, потенциал сводится
к некоторой постоянной. Это две разные аналитические функции, которые
никаким продолжением в вещественной и комплексной области между
собой не связываются. Очевидно, область сходимости (1) есть шар г < с.
Во внешней области потенциал представляется рядом (1), пока этот ряд
сходится, но никакого отношения к потенциалу внутри полости ряд (1)
не имеет.
ГЛАВА 2
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ, ЕДИНСТВЕННОСТИ
И КОРРЕКТНОСТИ В ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
В конкретных приложениях математической теории мы не всегда знаем
распределение масс и форму притягивающего тела. Зато часто бывает из-
вестно значение потенциала или его производных на определенной поверх-
ности. При разумных ограничениях по этим сведениям можно восстано-
вить поведение потенциала в целых областях. Математическая формулиров-
ка возникающих при этом задач обычно дается для более общего случая
гармонических функций, а не только потенциалов. После строгой поста-
новки задачи встают три вопроса: существование, единственность, харак-
тер зависимости решения от известных величин.
Существование решения практических задач обеспечивается физиче-
.ским смыслом: мы ищем заведомо существующий потенциал. Тем не ме-
нее интерес к теоремам существования оправдан и с чисто практической
стороны. Любая математически поставленная задача описывает лишь мо-
дель реального явления. Исходные данные модели, как правило, измеря-
емые приборами, известны с некоторой погрешностью. Эта погрешность
и неточность моделирования может вывести в область, где решение от-
Важность проблемы единственности для практики не вызывает сом-
нений: если мы каким-то образом нашли решение, надо быть уверенным,
что оно совпадет с истинным. В этой главе мы подробно остановимся на
доказательствах теорем единственности, приводя также формулировки
теорем существования. Проблеме зависимости решения от исходных дан-
ных мы посвятим специально § 2.5, 2.12, 2.13, касаясь ее и в других па-
раграфах.
§ 2.1 Внутренние задачи Дирихле и Неймана
Фиксируем произвольную ограниченную область Т. Ее граница 5 не обя-
зательно связна, поскольку Т может иметь, например, топологический
тип шара с полостью. Задача Дирихле состоит в том, чтобы найти гар-
моническую внутри Т функцию V так, чтобы она оставалась непрерывной
вплоть до граничной поверхности 5 и принимала на ней предписанные
значения
И2)=/(е). (бея ,21р
Функция/, естественно, задается непрерывной на S.
56
Теорема 2.1.1. Решение внутренней задачи Дирихле единственно.
Действительно, если имеется два решения Уг, то их разность U =
= _ у2 _ гармоническая функция, обращающаяся в нуль на границе.
Согласно теоремам 1.12.2, 1.13.2 гармоническая в Г и непрерывная в
TU S функция принимает наибольшее и наименьшее значение на грани-
це. Поэтому U = 0 в Т U S.
Более сложно доказывается теорема существования. Если S есть поверх-
ность Ляпунова (см. § 1.6), то решение задачи Дирихле всегда сущест-
вует [27]. Конструктивное доказательство в частных случаях будет при-
ведено в гл. 3, 4.
Задача Неймана отличается от вышеописанной тем, что вместо значений
потенциала на S задается значение его нормальной производной
— = f(Q), (QZS)
(2.1.2)
где f по-прежнему непрерывна. Поверхность S предполагается гладкой
с непрерывным изменением касательной плоскости, без точек слияния
(исключен, например, случай касающихся изнутри друг друга сфер или
цилиндров). Требуется найти функцию И, гармоническую в области Т,
непрерывную в TU 5 вместе со своими первыми производными.
Теорема 2Л.2. Решение внутренней задачи Неймана единственно
с точностью до постоянного слагаемого.
Предположим, как и ранее, что имеются два решения. Тогда их разность
U будет гармонической в Т функцией, нормальная производная которой
равна нулю на S. Если U не сводится к постоянной, найдется точка Q G Т,
в которой | grad U(Q) | =#= 0. Пусть U{Q) = ot. Построим область Г*, являю-
щуюся той из связных компонент пересечения Т и области U > а, кото-
рая имеет Q своей граничной точкой (рис. 6). На лежащей внутри Т час-
ти границы Т* вектор grad U направлен по внутренней нормали; его мо-
дуль отличен от нуля по крайней мере в окрестности Q. С учетом dU/dn -
= 0 на S получаем
ff—da<0
при интегрировании по всей границе Т'. Полученное противоречие с фор-
мулой Гаусса (1.7.9) и доказывает теорему.
Та же формула Гаусса показывает необходимость условия
Я/do = О (2.1.3)
для возможности решения задачи Неймана. Соответствующая теорема
существования [27] утверждает, что это условие и достаточно с теми
же оговорками о гладкости 5, которые были сделаны в связи с задачей
Дирихле.
Все сказанное в данном параграфе с некоторыми естественными изме-
нениями относится также к двумерным внутренним задачам Дирихле и
Неймана.
Подчеркнем, что условие непрерывности в теоремах единственности
существенно, как будет видно из примеров.
Пример 2.1.1 Пусть 5 — окружность в плоскости х, у, построенная
на отрезке 0 < 1 как на диаметре. Гармоническая внутри круга Г функ-
ция Kj = x/R2 — 1 обращается в нуль во всех точках окружности, не сов-
падающих с началом координат. Для гармонической функции Г2 = y/R2
обращается в нуль на 5\ (0) нормальная производная.
Причина нарушения единственности - точка неопределенности в начале
отсчета.
Пример 2.1.2. Пусть S — сфера, построенная на отрезке 0 <х < 1
как на диаметре. Внутри шара Т функции
гармоничны, причем = 0, ЭК2/Эи = 0 на S без концов диаметра 0 <
<1.
§ 2.2. Внешние задачи Дирихле, Неймана и Стокса
Внешние задачи Дирихле и Неймана ставятся аналогично внутренним,
но под Т понимается область пространства, внешняя по отношению к зам-
кнутой поверхности S, не обязательно связной. Так как Т включает бес-
конечно удаленную точку, то по физическому смыслу потенциала приня-
то накладывать при г -*« специальное условие
1ипГ(2) = 0. (2-2.1)
Теорема единственности для внешней задачи Дирихле формулирует-
ся и доказывается аналогично теореме 2.1.1. Отсутствие существенных
отличий следует из того, что внешняя и внутренняя задачи Дирихле сво-
дятся одна к другой преобразованием инверсии (1.13.6). Внешняя и внут-
ренняя задачи Неймана, напротив, взаимно независимы, кроме случая
сферы.
Для внешней задачи Неймана единственность гарантируется без вся-
ких оговорок. Действительно, если имеются два различных решения, то
их разность U по (1) не сводится к постоянной. Тогда найдется точка
58
QET, в которой | grad U(Q) | * 0 и U{Q) = a #= о. Построим область Г
являющуюся связной компонентой пересечения Т и области aU > о2
и имеющую Q своей граничной точкой. В силу (1) область Гконечна
а далее рассуждаем, как для внутренней задачи.
Что касается теоремы существования, то важное для нее отличие внеш-
ней задачи Неймана от внутренней состоит лишь в том, что условие (2.1.3)
оказывается излишним.
Еще один вариант постановки внешних задач в трехмерном простран-
стве обычно связывают с именем Стокса. Пусть на 5 заданы значения
разности потенциалов, т.е.
^(й)=Г(е) + С. (О £5) (2.2.2)
Константа С неизвестна, зато дана полная масса тела М. Различие задач
Дирихле и Стокса проявляется в теории фигуры Земли. Масса М находит-
ся по астрономическим наблюдениям, тогда как С проявляет себя только
в энергии отрыва и определяется с гораздо меньшей точностью.
Теорема 2.2.1. При заданных М и непрерывной функции [ решение
задачи Стокса единственно.
Доказательство сведем к применению теоремы единственности для
внешней задачи Дирихле. Для каждого С можно найти не более одной
гармонической функции И(2, С), удовлетворяющей условиям (1) и (2).
Остается показать, что разным значениям С соответствуют разные массы
М. При С, > С2 для разности U(Q) = V(Q, С,) - V(Q, С2)
у(е)=с,-с2>о (ges)
(2.2.3)
наряду с и -> 0 на бесконечности. Поэтому вне 5 найдется такая точка
Q, в которой 0 < а = U(Q) < С, - С2, I grad U(Q) I * 0. Обозначим через
S’ поверхность V = а. По построению она при достаточно малом а окру-
жает S целиком и
где неравенство строгое по крайней мере в окрестности точки Q. Отсюда
dU
//----do<0. (2-2.4)
S' дп
Но в силу формулы Гаусса (1.7.6) левая часть (4) с точностью до коэф-
фициента 4я равна разности масс Л/2 и М1. Поэтому Л/1 # М2, что и тре-
бовалось доказать.
В задаче Стокса обычно считают 5 уровенной поверхностью, т.е. в под-
ходящих координатах f + и? (х1 + у2)/2 = const. В формулировке и до-
казательстве теоремы единственности это обстоятельство не играет роли.
Обсуждение внешних задач Дирихле и Стокса демонстрирует взаимо-
заменимость дополнительной информации двоякого рода: нульпункт
потенциала и масса тела. Зависимость между ними непрерывна и моно-
тонна, как будет показано в § 2.5.
59
Некоторые особенности присущи двумерным внешним задачам. При-
веденные в § 1.5 физические соображения требуют*), в отличие от (1).
существования конечного предела
Um (У+2М 1пЯ) = С,. (2.2.5)
Для правильной постановки условия на бесконечности надо знать массу
тела. Естественным оказывается ставить соответствующую задачу по Сток-
су, а не по Дирихле. Однозначность восстановления внешнего потенциала
по величине М и граничным значениям, данным с точностью до аддитивной
константы, доказывается такими же рассуждениями, как в теореме 1,
примененными к вспомогательной гармонической функции V + 2Л/1пЯ.
Константа Cj в (5), фиксирующая начало отсчета потенциала, определя-
ется однозначно, но физического интереса не представляет.
Можно восстановить двумерный внешний потенциал и по значениям
нормальной производной д Г/Эл на S. Масса определяется автоматически
согласно (1.7.11). Для доказательства однозначности определения внеш-
него потенциала с точностью до аддитивной постоянной достаточно перей-
ти к вспомогательной функции V + 27И1пЯ, с которой задача Неймана
приобретает стандартный вид**), и затем повторить рассуждения для
трехмерного случая.
Условие (2.1.3) в задаче Неймана теряет свою необходимость для трех-
мерного внешнего варианта. Но не для двумерного. Если для функции V,
удовлетворяющей уравнению Лапласа в области 7CR2 и непрерывной в
Т U S вместе со своими первыми производными, имеет место соотношение
то V не может иметь конечного предела при R -> 00. Для доказательства
рассмотрим окружность SR радиуса R с центром в начале координат, ох-
ватывающую S. В полярных координатах
f----V(R. X)d\ =
о dR
ar
4яМ
После интегрирования по радиусу
/V(Я, X)d\ = -4иМ In— + jv(a, X)dX,
(2.2.6)
*) В математической физике внешние задачи могут интерпретироваться иначе,
но мы имеем в виду потенциалы.
“) В области, содержащей бесконечно удаленную точку, от гармонической функ-
ции обычно требуют асимптотического постоянства при R Именно к таким функ-
циям относятся стандартные формулировки задач Дирихле и Неймана.
где R > а и окружность Sa также охватывает 5. С наличием конечного
предела (6) несовместимо.
Мы оставляем в стороне выходящие за рамки данной книги специфи-
ческие вопросы связи различных двумерных задач между собой и с теори-
ей функций комплексной переменной [62, 74].
§ 2.3. Физическое значение внешних задач
Функция V, о которой речь шла в предыдущем параграфе, интерпре-
тируется как потенциал масс, целиком заключенных внутри поверхности 5.
Представ им се бе еле дующую идеализированную схему. Пусть по всей Зем-
ле проведены триангуляция и нивелирование. Тем самым определена фи-
гура Земли и значения гравитационного потенциала на земной поверх-
ности, поскольку вклад от центробежных сил легко исключается. Исход-
ные данные можно брать не для самой земной поверхности, а на некоторой
высоте над ней. Неопределенность начала отсчета потенциала компенсиру-
ется, если задать еще массу Земли хотя бы по данным о движении спут-
ников. Согласно теореме об однозначности решения задачи Стокса по ука-
занной совокупности данных гравитационное поле Земли во всем окружаю-
щем ее пространстве определяется однозначно. Никакие предположения
о внутреннем строении Земли не нужны. Это обстоятельство, на важность
которого указал Стокс еще в 1849 г., сыграло благоприятную роль и в
теории движения искусственных небесных тел. В сравнении с поверхност-
ными, любые измерения в недрах Земли сильно отстают по точности и
широте охвата, и было бы неприятно, если бы они понадобились для экстра-
поляции во внешнюю область.
В теории фигуры Земли одно время было популярно введенное Листин-
гом понятие геоида, представляющего собой уровенную поверхность гра-
витационного потенциала планеты, сложенного с потенциалом центробеж-
ных сил. Иначе говоря, геоид определяется как поверхность, соответствую-
щая уровню воды в океанах и в воображаемых узких каналах, прорытых
сквозь континенты. Для определения геоида под континентами нужны
сведения о плотности горных пород. Однако присутствие высот точек над
геоидом в выкладках, конечной целью которых является получение внеш-
них характеристик поля Земли, чисто формально. В частности, подстанов-
ка неверного значения плотности не может непосредственно привести к
ошибке (но способно сделать расчеты более запутанными). Таким обра-
зом, польза от введения геоида по крайней мере сомнительна. Чтобы не
быть голословными, процитируем Ж.Ж. Леваллуа [82]: ’’Геоид.. . пред-
ставляет собой поверхность, имеющую противоречивые свойства: ведь хо-
тят, чтобы он был нормален к отвесным линиям с неизвестной кривиз-
ной ив то же время его можно было построить по уклонениям отвесной
линии. Это несколько курьезно, но мы должны признать: все огорчения про-
исходят из-за введения понятия геоида. Не колеблясь, мы можем утверж-
дать, что существуют две реальности: топографическая поверхность и эл-
липсоид. Что касается геоида, то он просто недоступен, если ему давать
точное определение; его нельзя использовать, если его рассматривать как
квазигеоид; он просто не существует, если его определить, используя
искусственные приемы”.
Из-за известных препятствий собственно геодезия с нивелированием
не могут охватить Землю без помощи астрономии и наблюдений ИСЗ.
Рассмотренная в начале параграфа постановка задачи идеализирована. Реаль-
ная обработка геодезических и гравиметрических измерений сложнее,
однако от этого суть дела не меняется. Впрочем, указанная идеализирован-
ная постановка задачи можез встретиться для какой-нибудь малой плане-
ты, которую, после ее достижения, легче будет объять полной съемкой,
чем Землю.
То, что хорошо для интересующихся внешним полем Земли, поворачи-
вается своей теневой стороной к исследователям недр. Никакие опреде-
ления гравитационного потенциала на земной поверхности, даже вместе
с его производными вплоть до любого конечного порядка, не способны
привести к однозначному определению плотности внутри Земли. Для
примера достаточно прибавить к к величину /(г) при произвольном поло-
жении начала координат, подчиненную лишь ограничениям /(г) = 0 при
г > $, к (Q) + f(r) > 0, ff(r)r2dr = 0, где £ - расстояние от начала коор-
динат до земной поверхности. При этих условиях замена к на к +/(г) не
меняет внешнего потенциала, поскольку дело сводится к добавлению шара
нулевой массы. Впрочем, можно предвидеть заранее, что поверхностных
измерений, которые по необходимости описываются функциями двух
переменных, будет недостаточно для отыскания функции к от трех аргу-
ментов. Теория внутреннего строения Земли не может держаться только
на геодезических, гравиметрических и астрономических данных. Неизбеж-
но привлечение дополнительных сведений, каковыми являются постулаты о
гидростатическом равновесии крупных блоков и слоев, данные прямого
бурения, результаты сейсмической и геофизической разведки и всевоз-
можные аналогии. Часто встречающийся в применении к гравиметрии обо-
рот ’’структура недр лучше видна с некоторой высоты” является лишь
образным выражением. Действительно, при подъеме исчезают, сглажи-
ваются мелкомасштабные флуктуации, которые происходят от обычно ма-
ло интересных поверхностных слоев. Но того же эффекта сглаживания
можно добиться и с помощью численной обработки исходного материала.
Новая информация от этого не появляется.
§ 2.4. Вариационные принципы
Решения основных задач теории потенциала обращают в минимум неко-
торые достаточно простые функционалы.
1. Внутренняя задача Дирихле.
Рассмотрим класс JG функции <р, непрерывных на Т U 5, имеющих в
Т непрерывные производные и принимающих на 5 заданные значения
(2.1.1). Определим квадратичный функционал
Il GO = Л/(grad 4>?dT. (2.4.1)
Пусть И - решение соответствующей задачи Дирихле. Если (И < °°.
то минимум £| на JC, существует и достигается для >р = И. Действительно,
любую допустимую функцию можно представить в виде <р = V
£,(<р) -£,(£/) -Lt(V) =
ЭИ
= 2 fff grad £/grad Vdr = 2ffU-do.
т s dn
если воспользоваться формулой Грина (1.7.15). Поскольку U = 0 на S,
Равенство в (2) достигается только при Lt (U) = 0, т.е. gradt/ = О, U =
= const. В силу граничных условий эта постоянная должна обращаться в
нуль, так что L । (tp) > L i (И) за исключением случая = И.
Ввиду важности вариационного принципа сделаем ряд замечаний.
а) Если Lx (И) = °°, то £| (<р) = =° для любой Е -К,. как легко пока-
зать, заменяя в (I) Т последовательностью расширяющихся областей,
объединение которых совпадает с Т.
б) В определение V как решения задачи Дирихле не входит существо-
вание ЭИ/Эл на S. Это затруднение преодолевается следующим образом.
Пусть Lx (И) = а < <*». Фиксируем произвольное достаточно малое е > О
и представим t/в виде суммы Uo + Ux, где Ut мала вместе с производными
It/i(6)l<e. I grad Ut (Q) I<e, (QET)
a Uo обладает (не обязательно связной) гладкой поверхностью уровня
Se с уравнением U0(Q) = е. Пусть Те - область U0(Q) > е (рис. 7). Обоз-
начая через Lie интеграл (1) по области Те, получим по предыдущему
образцу
^1еМ-Ь1е(С/)-/«1е(Ю =
ЭК
= 2/// grad U, grad Vdr + 2 fftl„ —do
r, se dir
Выкладки вполне законны, так как Se состоит только из внутренних то-
чек Т. По неравенству Коши—Буняковского объемный интеграл не пре-
восходит по модулю с \/атгде т - объем Т. В поверхностном интеграле
UQ постоянна и по формуле Гаусса (1.7.9) он обращается в нуль.
Аналогичное тождество можно написать для области U0(Q) < —е. Скла-
дывая и переходя к пределу е -*0, получим (2).
в) Вывод (2) можно обратить. Если не предполагать заранее существо-
вания решения задачи Дирихле, но знать, что min L । (</з) достигается
для некоторой функции V, то последняя и будет решением задачи Дирихле,
г) Можно расширить JG, считая производные от внутри Т только ку-
сочно-непрерывными. От этого ничего не изменится ввиду взаимного
уничтожения поверхностных интегралов по внутренним границам раздела.
Указанные дополнительные замечания с небольшими’ изменениями
распространяются и на последующие задачи данного параграфа.
Вариационные принципы имеют двоякое значение. Во-первых, они
облегчают и далают изящными ряд теоретических выводов. Во-вторых,
вариационные методы нередко кладутся в основу конкретных числовых
расчетов. Практическая сторона вариационных методов обстоятельно из-
ложена в ряде руководств [31, 41, 42,47].
2. Внутренняя задача Неймана.
Рассмотрим класс 7€2 функций </?, непрерывных на Т U S и имеющих
непрерывные в Т производные. Определим функционал
М ~ И! (grad v>)!dr - 2 SS 4>fdo.
т s
(2.4.3)
Пусть V — решение задачи Неймана с граничным условием (2.1.2). Если
£2 (Ю < 00, то минимум L2 на К2 существует и достигается для = V.
Действительно, подставив = I/ + Vв (3), находим
= -ZVa = 0.
Далее — как для задачи Дирихле. Равенство L2 (<р) = L2(V) достигается-
только при = И+ const.
Для внешних задач на определение классов и Jf2 добавляется требо
вание существования интеграла (1) и предельное условие
равномерно по угловым координатам.
3. Внешняя задача Дирихле.
При разложении L} (^) надо вначале ограничить область интегрирования
с внешней стороны сферой Sr радиуса г и затем устремить г к бесконеч-
ности. Получим
(#) - Li (U) - Lt (V) = 2 lim ff U—d°- (2.4.5)
Функция ЭК/Эг ведет себя асимптотически как г-2, и в сочетании с (4)
это обстоятельство обращает правую часть (5) в нуль. Остальное - как
для внутренней задачи.
4. Внешняя задача Неймана.
Минимизируется функционал
L з (<?) = fff (grad d т + 2 ff rf da.
(2.4.6)
Выкладки не требуют новых идей.
Для задачи Стокса не известно простой и удобной вариационной фор-
мулировки.
§ 2.5. Корректность задач Дирихле, Неймана и Стокса
Исходные данные на практике представляют собой результаты измере-
ний, известные с ограниченной точностью. Реальна опасность роста началь-
ной погрешности в ходе расчета. Поэтому особенно ценятся такие поста-
новки задач, когда малым изменениям вводимых данных соответствуют
и малые изменения результата. Подобные задачи в математике принято
называть корректными.
Дадим точное определение, следуя Ж. Адамару. Пусть требуется найти
решение х некоторой задачи с исходными данными у. Из них в дальнейшем
обсуждении исключаем особо точно известные ’’мировые константы” и
вообще все, что надежно фиксируется. Пусть исходные данные принадле-
жат метрическому пространству У, а решение х — метрическому простран-
ству X. Задача называется корректной, если выполнены следующие три
условия:
1) при всяком у G Y существует решение х G X (существование);
2) это.решение единственно (единственность);
3) решение х равномерно непрерывно зависит от у (устойчивость к
изменению исходных данных).
Понятие корректности относительно. Прежде всего, оно зависит от то-
го, какие данные считать исходными, т.е. подвергающимися варьирова-
нию при проверке на устойчивость. В задаче Дирихле мы можем отнес-
ти к ним только функцию/, а можем отнести еще и граничную поверхность
S, если и она известна лишь приближенно. Во-вторых, оно зависит от то-
го, в какие множества X и Y мы погружаем х и у. Если X и Y - множест-
ва функций, то, как правило, требуется определенная степень гладкости;
существование интегралов типа
fJf(l/3dx)2dT, ffy2d<r.
обращение в нуль некоторых функционалов - например (2.1.3) для внут-
ренней задачи Неймана. В-третьих, оно зависит от метрики, вводимой
для множеств X, Y.
Ясно, что практически любую задачу можно сделать некорректной,
расширяя пространство Y и суживая X. Задача Дирихле в единичном ша-
ре некорректна, если считать Y пространством непрерывных на сфере
функций, а X - пространством многочленов. И наоборот, практически
любую задачу можно сделать корректной, суживая Y и X до единственно-
го элемента.
Но обычно подразумевается, что разные уловки и явные промахи типа
заведомо избыточной или недостаточной информации исключены из рас-
5. В.А. Антонов
смотрения. Тогда некорректность - в узком смысле - сводится к неус-
тойчивости решения вопреки видимой согласованности метрики X и У
с реальными возможностями измерительной техники. Некорректные за-
дачи также -могут получить приемлемое решение Методом регуляризации
при наличии дополнительной информации о свойствах решения (65, 73].
В задачах теории потенциала четко выявляются корректные постанов-
ки соответствующих задач. Ниже будем подразумевать выполненными
оговоренные в предыдущих параграфах достаточные условия существова-
ния и единственности.
Теорема 2.5.1. Задача Дирихле корректна относительно граничных
значений в чебышевской норме*).
Благодаря линейности, вопрос сводится к поведению решения при ма-
лых значениях граничной функции f. Пусть на всей границе 5 имеет мес-
то оценка — е < f(Q) < е. Так как по принципу максимума наибольшее
и наименьшее значение И в Т U S достигается на границе, то и - е < ИСе.
Изменение функции V в задаче Дирихле не превосходит максималь-
ного изменения граничной функции. Это одинаково верно для внешней
и внутренней задачи Дирихле как в двумерном, так и в трехмерном случае.
Теорема 2.5.2. Задача Стокса корректна относительно изменения
массы и граничных значений в равномерной норме.
Пусть сначала масса тела задана. Поскольку граничная функция опре-
делена с точностью до аддитивной константы, мы должны отождествлять
между собой функции, разность которых постоянна. За пространство ис-
ходных данных У принимаем множество непрерывных на 5 функций
с указанным отождествлением и нормой
||/|| У = min птах |/(б) + С |. (2.5.1)
Предоставляем читателю проверить, что Y — банахово пространство. В ка-
честве X берем пространство гармонических в Г и непрерывных в Т U 5
функций с чебышевской нормой - максимумом модуля в TU S. Напом-
ним, что Т здесь лежит вне, а не внутри S. Прежний прием вычитания двух
решений приводит к следующей задаче оценивания погрешностей. На 5
заданы значения гармонической функции с точностью до константы
U(Q)=f(Q) + C (QES), (2.5.2)
причем постоянная С заранее неизвестна, a \f(Q) | Се на S. Предположим,
что С > е. Тогда из (2) получаем (2.2.3), что невозможно, как показано
при доказательстве теоремы 2.2.1. Аналогично опровергается предполо-
жение С < —с. Итак, |С| < е, откуда | U\ < 2е на S. Согласно сказанному
выше для задачи Дирихле, I С/| С2е всюду в Т.
Мы доказали корректность задачи Стокса в предположении, что масса
М задана, а функция f варьируется. Рассмотрим противоположный случай,
когда варьируется М, a f остается неизменной. Обозначим решения задачи
Стокса, соответствующие массам М\ иМ2, через и И2. Можно считать,
*) Чебышевская, или равномерная норма функции /, заданной на П - это верх-
грань ||/1| = sup 1/(2) |. Если / непрерывна и Я -компакт, sup можно эаме-
нить на max.
что начало координат лежит внутри S. Тогда функции
представляют собой решения задачи Стокса уже с одной и той же массой
Mi, но с различающимися граничными условиями. Разность граничных
функций не превосходит \МХ - М2 \lrQ, где г0 - расстояние от начала коор-
динат до S . По предыдущей оценке в Т
•|М, -М2 I.
Корректность задачи Стокса в R3 доказана полностью. В двумерном случае
аналогичных оценок для Vx - V2 быть не может: различие масс порожда-
ет на бесконечности главный член 2(М, - Af2)lnr, неограниченно расту-
щий вместе с г.
Теорема 2.5.3. Внутренняя задача Неймана корректна относитель-
но граничных значений в равномерной норме.
Покроем S системой открытых в S множеств Sj, 52,. . ., SN так, что-
бы 5/ можно было представить уравнением
Z/ = *<(Q). 2=(Х(.л)бЗ,.
Здесь St — проекция $ на касательную в точке Gt Е St плоскость; xlt
yf, г, - локальные координаты с центром в Gt и осью zh направленной
по внутренней нормали. Функции ф, можно считать непрерывно диффе-
ренцируемыми в замыкании Определим область К{ неравенствами
Положительное число h выберем достаточно малым, чтобы Kt не пересе-
кались ни с 5, ни друг с другом, если они построены на непересекающихся
площадках St. Обозначим через наибольший угол между нормалями к
St п S/-, <р = шах{<р/) . Угол - острый в силу гладкости функций ф/.
Введем тело Т1 как множество точек из Т, удаленных от S на расстоя-
ние, меньшее 5. Положительное число 6 зафиксируем столь малым, чтобы
Т* не имело общих точек ни с одной из внутренних границ Kt, задаваемых
уравнением £/ = ф/(0) + Л. Подчеркнем, что параметры N, h, <р, 6 для дан-
ного Т определяются только один раз - например, никакого перехода
к пределу Af-*oo не требуется.
Рассмотрим гармоническую в Т функцию U, нормальная производная
которой на S подчинена ограничению
I a (/(g)
I dzi
(ees).
(2.5.3)
Обозначим наименьшее на TU5 значение U через aj, наибольшее - а2,
и пусть эти значения принимаются в точках Q\ и С2. Отбросим тривиаль-
ный случай U = const, и тогда Qt, Q2 е S, Qi * Q3, at < a2. Взяв произ-
вольное промежуточное а, определим Т*(а) как примыкающую к Qt связ-
ную компоненту области U(Q) < а, являющуюся частью Т (рис. 8).
Граница Т*(а) состоит из поверхности Sj(a) С5и поверхности S2(a),
точки которой являются внутренними для Т. Далее понадобятся площади
Oj (а) и Оз (а) поверхностей Si (а) и S2 (а) и величина заключенного
между ними объема £2 (а). Согласно формуле Гаусса (1.7.9)
где нормали выбраны внешними по отношению к Т*(а). В силу (3)
На S2 (а) функция U равна а, ее градиент направлен наружу области Г*.
Поэтому bU/bn > 0 на S2(a), и можно применить неравенство Коши-
Буняковского в форме
, bU /ди\-'
а!(а) < И — do ff I — ) do <
s bn s \dzi /
< ea,(a) ff (—) do (2.5.4)
(здесь и ниже встречаются приемы, использованные при доказательстве
теоремы 1.12.4). Величина (bU/bn)~xda представляет собой расстояние от
68
точки Q G S2 (а) до поверхности S2 (a + da) с близким значением парамет-
ра, и после умножения на do и интегрирования дает объем dSl. заключен-
ный между этими поверхностями. Поэтому (4) равносильно
а </П(а)
Вывод (5) теряет силу в точках а, для которых интеграл от (д£//Эл)~1
бесконечен, и в точках слияния прежде изолированных областей U < а.
В первом случае d£l/da = + «>. Во втором О (а) испытывает скачок и
dSl/da равна произведению скачка на дельта-функцию Дирака. В обоих
случаях (5) остается справедливым.
В силу изопериметрического неравенства площадь поверхности для
Т*(а) не меньше, чем для равновеликого шара
a! (а) + а2(а) > \/36 яП2(а).
При а, достаточно близких к at,
$а(а) С Г.
(2.5.6)
(2.5.7)
Очевидно, площадь S2 (а) Г) К( не меньше площади проекций S, (а) Г) S/
на плоскость xt, yt. С учетом возможных перекрытий
ро2(а) > ai(a) cos <р, (2.5.8)
где v — максимальное число областей К,. в которых может находиться
точка из (Л\ U К2 U ... U XjV) Во всяком случае v хотя для гладких
поверхностей типа эллипсоида v = 3.
Оценки (5), (6). (8) влекут
eoi(a)(o!(a) + a2(a))
(2.5.9)
Обозначим через а3 нижнюю грань тех а, для которых справедливо (7).
Проинтегрируем (9) с учетом f2(aj) =0
Возможные скачки возрастающей функции Q(a) могут лишь усилить нера-
венство. Из (10) получаем
a3 - a, < Ci€,
зависит лишь от объема Л(а2) тела Т и характеристик v, поверхности S.
69
Аналогичное построение возможно с заменой Qx, Oj на Q2 , а2.
Пусть Т" - множество точек из Т, не входящих в Т*. Очевидно,
Т" - связный компакт. Нам понадобится его внутренний диаметр
/ = max/(C', Q") , где l(Q', Q") - длина кратчайшего пути от Q*
Q , лежащего в Т". Из (11) с учетом последнего замечания вытекает
существование точек 2з» Сд € Т" таких, что U(Q3) < ад + С2е- 03,
U(Q4) > а2 - Сд е = 04 (рис. 9). Если 03 > 04, то
а2 - а, < 2С,е. (2.5.12)
Если же 0з < 04, то найдется точка Qs G Т", в которой
11 grad U(QS) | > 04 - 0з = а2 - «i - 2 Qe. (2.5.13)
Введем систему отсчета с началом в Qs и осью г по направлению
grad U(Q$). Поскольку шар радиуса 6 с центром в Q$ лежит в Т, можно
воспользоваться формулой (1.13.4) для гармонической функции bU/bz
при | = 1
4 7г53 rbU
—— I grad CZ(QS) I = fff—dr-
3 r< 6 dz
По неравенству Коши-Буняковского
—I grad C/(C5) I2 <fff(^) dr.
3 r<6 49z/
Отсюда с учетом (13)
—-a, -2Cte)2 < f Jf (grad£/)2dr.
31 T
(2.5.14)
Согласно (1.7.15) с заменой U, V на U-ait правая часть (14) равна
bU
где а - площадь S. В результате для а2 - а, получаем квадратичное нера-
венство
откуда
а2 - < Се,
где
(2.5.15)
(2.5.16)
Так как (12) влечет (15), последнее неравенство справедливо всегда.
Поскольку коэффициент при е зависит только от самой области Т, но не
от конкретной функции U, корректность задачи Неймана доказана.
Как часто бывает при общих доказательствах, оценка (16) коэффициен-
та С оказывается сильно завышенной. Тем не менее зависимость от фор-
мы Т отражает существо дела. В отличие от задачи Дирихле решение задачи
Неймана не одинаково чувствительно в количественном отношении
К исходным данным в зависимости от формы Т. К числу неблагоприятных
признаков относится общая вытянутость и наличие значительной кривизны,
особенно в длинных узких перетяжках и заливах.
Пример 2.5.1. Пусть S - гантель, состоящая из трубки Si (х2 + у2 =
= а2, -I < z </) и двух симметричных пузырей S2 (верхнего) иS3 (ниж-
него) площади а, которые она соединяет. Переход от трубки к пузырям
считаем гладким. Зададим нормальную производную равной е > 0 на $2,
— е на S3, ez/1 на Si. Применив (1.7.9) к телу, полученному отсечением
от Т нижней части плоскостью z = const, имеем
ьи ьи
ff —dxdy = ff---do,
где интегрирование справа проводится по S2 и оставшейся части трубки S4.
Вклад otS2 равен еа,от S4 - яае(/2 — z2)//. После интегрирования по г
ff [U(x, у, I) - U(x, у, Of\dxdy = eal + 2 itael2 /3.
Применение теоремы о среднем показывает, что в Т присутствуют значе-
ния U, разнящиеся на Ле, где А = (Зо/ + 2iral 2)/(Зяо2). При узкой или
длинной трубке величина А может быть очень большой.
;71
В случае внешней задачи Неймана теорема 3 остается справедливой с оче-
видными изменениями в доказательстве.
Все сказанное относится и к двумерной задаче Неймана с некоторыми
изменениями коэффициентов и показателей (1/2 вместо 2/3 в изоперимет-
рическом неравенстве).
§ 2.6. Задача Коши-Ковалевской
Задача Коши—Ковалевской состоит в нахождении решения дифферен-
циального уравнения по значениям самой искомой функции и ее производ-
ных до некоторого порядка на одной и той же поверхности S, не обяза-
тельно замкнутой. Для уравнения второго порядка на 5 должны задаваться
функция V и нормальная производная bV/bn. Докажем утверждение,
являющееся частным случаем теоремы С.В. Ковалевской.
Теорема 2.6.1. Если существует решение V уравнения Лапласа,
непрерывное вместе со своими первыми производными вплоть до гладкой
граничной поверхности S, на которой V и bV/ bn принимают предписанные
значения, то такое решение единственно.
Доказательство можно провести локально. Построим вспомогательную
сферу Г радиуса а с центром в произвольной внутренней точке Qo поверх-
ности 5. Выберем а настолько малым, чтобы S делила сферу Г на две об-
ласти. Достаточно рассмотреть поведение V в одной из этих областей К.
Пусть Ti и 5i - части Г и 5, образующие границу К\ Kj и - решения
задачи Коши—Ковалевской для уравнения Лапласа с одинаковыми гранич-
ными условиями. Формула (1.7.16) для U= Vx — V2 примет вид
/ bU bp~l\
4*U(Q) = /Др-1-------U-----}da.
Г \ bn bn J
(2.6.1)
Аналогично тому, как это сделано в § 1.11, из (1) можно вывести анали-
тичность U внутри Г. Поверхность St, задаваемая по определению соотно-
шением U = 0, должна быть аналитической.
Введем систему отсчета с центром в Qo и осью z, направленной по норма-
ли к 5j. Уравнение для 51 запишем в форме
у),
уменьшив в случае надобности радиус а. Введем переменную f -г — ip(x,у)
и представим уравнение Лапласа в виде
г/ э э^ э у /_L_^£._LY fl2
l\ax эх э{/ + \ау э_у э?/ + ajT
где U’(x, у, f) = U(x,у, г). В пространстве х, у, f поверхности Si соответ-
ствует некоторый кусок плоскости f =0, содержащий начало координат.
Из-за U=0, grad U=0 на S имеем (/* =0, grad и’ =0 на указанном кус-
72
ке. В частности,
3£/e(x,z0)/df = 0.
Из (2) теперь следует
[
т.е. b2U*(x, у, 0)/Э£2 =0. Дифференцируя (2) по f, точно так же получим
Э3[/*(х, у, 0)/Э£3 =0 и так далее по индукции. Все производные
dkU*(x, у, Q)/d^k (к = 0, 1, ...) обращаются в нуль, т.е. U*(x, у, f) =
= U(x, y,z) = 0 и единственность доказана.
§ 2.7. Смешанные задачи
В приложениях встречаются схемы, более сложные, чем рассмотренные
задачи Дирихле, Неймана и Стокса. Рассмотрим наиболее распространенные.
1. Пусть на одной части Si замкнутой поверхности S заданы значения
гармонической функции V, а на остальной гладкой части S2 заданы значе-
ния /2 нормальной производной дИ/Эп. Граничные точки Si иХ2 считаем
принадлежащими и Si, и S2. Такая задача может ставиться во внутреннем
и внешнем вариантах. От функции V, как и в задаче Неймана, требуется
непрерывность в S U Т вместе с производными первого порядка. Легко
доказывается единственность решения указанной задачи, если оно суще-
ствует. Рассмотрим внутренний вариант (для внешнего доказательство
аналогично). Рассуждая от противного, допустим, что разность U двух
решений с одинаковыми граничными условиями не совпадает с нулем. Для
определенности считаем, что существует значение U > 0. Максимум U дос-
тигается на S, точнее в некоторой внутренней точке S2, так как на Si U =
= /i - fi =0. Вблизи точки максимума, которую обозначим через Р, выбе-
рем точку Q G Т, чтобы U(Q~) = а > 0 и gradt/(0) =# 0. Построим область Т*,
являющуюся связной компонентой пересечения Т и области U > а и имею-
щую Q своей граничной точкой (рис. 6). При достаточной близости Q кР
в состав границы Г* входят точки S2, но не Si. Как и при доказательстве
теоремы 2.1.2, получаем в противоречии с формулой Гаусса (1.7.9)
dU
ff—dG<0,
дп
где интеграл вычисляется по границе Г*. Остается допустить, что U= 0.
Сформулируем вариационный принцип для той же задачи, например,
в ее внутреннем варианте. На классе К4 ={ £ JC2, у Is, ®Л) определим
функционал
= fff (grad^/dr -2ff 4>f2da. (2.7.1)
т s,
Докажем, что его минимум на К4 достигается при совпадении
с решением поставленной смешанной задачи, отвечающим граничным
73
условиям
Hs, =/•
Действительно, подстановка = U
£4(V>)-£1(a)-£4(K) =
ЭИ /ЭИ \
= 2ffU —do + 2JfU ----Л Ida.
Эл 5, \ Эл /
V в формулу (1) дает
На Sj имеем U=<p - И = f х - f х =0; на S2 функция bV/bn =f2. Поэтому
£4 (<?) = £, (С/) + £4 ( И) > £4 (И), (2.7.2)
что и требовалось доказать. Отличие внешнего варианта задачи от внутрен-
него в постановке вариационного принципа такое же, как для задачи Нейма-
на: знак последнего интеграла в (1) меняется на обратный, а объемный
интеграл берется по внешней области (сравните различие формул (2.4.3) и
(2-4.6)).
2. Пусть на S заданы значения линейной комбинации
ЭИ
---+дИ = /,
Эл
(2.7.3)
где а и / - непрерывные функции на S. На гармоническую функцию И
накладываются те же условия гладкости, что и в п. 1. Единственность реше-
ния легко показывается в случае а > 0 для внутренней и в случае а <0 для
внешней задачи. Приведем доказательство для внутреннего варианта. При
наличии двух разных решений с одинаковыми граничными условиями
их разность удовлетворяет уравнению
эа«2)
~ + a(Q) U(Q) = 0 (QES).
Если U не сводится к постоянной и принимает где-либо положительное зна-
чение, то найдется точка Q Е Т, в которой grad t/(2) =#= 0 и U(Q') = а> 0.
Построим область Т", являющуюся связной компонентой пересечения Т
и области U>a и имеющую Q своей граничной точкой (см. рис. 6). Обозна-
чим через и S2 множества граничных точек Т*, соответственно принад-
лежащих и не принадлежащих S. С учетом (4) получаем
bU ьи ьи
ff----da = ff--do + ff---do<
$ bn $ bn s bn
bU
< ff---do = - ff aUda < 0
в противоречии с формулой Гаусса. Остается допустить U= const. Более
того, согласно (4) эта постоянная должна обращаться в нуль, если только
не всюду а - 0, т.е. если мы не имеем дело с чистой задачей Неймана. Тре-
буемая единственность решения доказана.
В случае а < 0 для внутренней задачи единственность решения может
нарушаться.
П р и м е р 2.7.1. Пусть Т совпадает с шаром г < 1; а = -1 ,/ = 0. Семей-
ство гармонических функций V = сг с произвольным параметром с удовлет-
воряет (3).
Сформулируем вариационный принцип для внутренней задачи при а > 0.
На классе К2 без заранее предписанных граничных значений определим
функционал
^s(^) = ffftffadrfdr - 2// vfdo + ffa^da. (2.7.5)
Его минимум на К2 достигается при совпадении с решением V данной
смешанной задачи. Действительно, подстановка = U + V в (5) дает
LsM-Lt(U')-Ls(V)= 2fJu(^- + aV-fflo = 0.
где введен функционал
М?) = fff (grad <rfdr + // a^da. (2.7.6)
т s
Следовательно,
М?)жМ<0+Х5(Ю>^(П, (2.7.7)
что и требовалось доказать. Равенство достигается только при U = 0.
Аналогично формулируется вариационный принцип для внешней задачи
с предельным условием lim <^ = 0. Некоторые отличия будут только в
знаках. Введем функционалы
£7(^>) = /J/(grad^)2t7T +2 fftpfda - ff do, (2.7.8)
т s s
L^p) = fff (grad pfdr - ffap2da, (2.7.9)
с которыми при a <0 аналог (7) записывается в виде
Ь7(^) = М*/)+Ь7(Ю>Ь,(Ю, (2.7.10)
причем равенство достигается лишь при U = 0.
Соотношение (3) обладает большой общностью, и отсюда можно как
частные или предельные случаи получить постановку всех ранее рассмотрен-
ных задач с граничными условиями. Например, полагая а = const,/-af, а~*
°° , получаем задачу Дирихле. Целям унификации различных задач теории
потенциала может служить также вариационный принцип: из него удается
более или менее единообразным путем выводить различные свойства со-
ответствующих решений [31]. Напротив, разбираемая ниже задача с косой
производной не стоит в видимой связи с вариационными принципами.
3. Пусть на S известны значения скалярного произведения
Ngrad И=/, (2.7.11)
Не составляет труда придумать пример неединственности: достаточно
для наудачу выбранной гармонической функции V взять /VI grad V йа S,
и в правой части (И) получится нуль. Единственность имеет место при
некотором ограничении на направление Wn на кривизну 5.
Теорема 2.7.1. Пусть вектор N нигде не направлен касательно к S,
и в Т может катиться шар некоторого радиуса 6, касающийся S. Тогда
гармоническая в Т функция V, удовлетворяющая (11). единственна с точ-
ностью до аддитивной постоянной.
Ввиду полного сходства обоих вариантов рассматриваем только внутрен-
нюю задачу. Доказательству предпошлем лемму.
Лемма 2.7.1. Пусть гармоническая функция V отлична от постоян-
ной. Тогда в точке ее минимума на S U Т, лежащей на S, имеет место
строгое неравенство 'dVjbn < 0, если производная в этой точке существует
и в Т помещается шар некоторого радиуса 6, касающийся S в точке Q.
Не ограничивая общности, можем считать точку минимума Q началом
координат, соответствующую внутреннюю нормаль осью z и принять И((2) =
= 0. Шар
целиком входит в Г. В свою очередь, частью шара является гиперболоидный
сегмент Т* (рис. 10)
х2 +у2 -2г2 - 4/5 6z <0, 0 <г <26/5. (2.7.13)
По принципу максимума гармонических функций, значение И = 0 не может
Рис. 10. К доказательству леммы 2.7.1. Изображены шар, целиком помещающийся
внутри ограниченной области Т, и вспомогательный гиперболоид. Заштрихован сег-
повторяться внутри Т. В частности, можно подобрать такое е > 0, чтобы на
круговом основании 7* соблюдалось неравенство V > -eW, где W — левая
часть(13), являющаяся, как нетрудно проверить, гармонической функцией.
На криволинейной части поверхности сегмента W = 0, V + eW = 0,так
что внутри Г’ выполнено неравенство И+ eW > 0. В частности, вдоль оси z
справедливо И> е(2г2 + 46z/5), откуда-ЭИ(2)/Эл = ЭИ(2)/дг > 46е/5 >
> 0, что и требовалось доказать. Лемма остается в силе и при локальном по-
нимании min V, поскольку кусок гиперболоида всегда можно уменьшить.
Теперь нетрудно обосновать утверждение теоремы. Если разность двух
решений задачи U = И, - const, то существует точка минимума Q, в
которой касательная компонента grad U присутствовать не может, а нор-
мальная, согласно лемме, не равна нулю. Но функция U на границе удовлет-
воряет условию Wgradt/ = 0, а тогда положение N в Q может быть только
касательным, вопреки условию. Теорема доказана.
Ограничение на кривизну существенно. Противоречащий пример постро-
им, для простоты, на двумерной плоскости х,у.
Пример 2.7.2. Пусть Т — область, ограниченная снизу гладкой кривой
(-0,04 <х< 0,04)
(2.7.14)
сверху - произвольной гладкой и гладко смыкающейся с (14) кривой,
лежащей ниже прямой у = 0,04. В начале координат Q кривая (14) имеет
бесконечную кривизну.
Введем комплексную переменную z = х + iy = reie (0 < в < я) и обра-
зуем гармоническую функцию
z ylnr + (я/2 -0)х
И(х, у) = Im---------= —;---—-----—т- ’ (2.7.15)
In (—iz) In2 г + (я/2 — 0)2
непрерывно дифференцируемую в 7US. В начале координат V = ЭИ/Эх -
= bV/dy = 0, причем Q является точкой максимума V. Действительно, при
у!пг + (я/2 -0)х<
+ In \/2) +я | х |/2 <
<у Олу + In >/2 + я/2) < 0.
Т будет Inr < In | х | + In \/Т,•
В оставшемся случае | х | > у в
поэтому
у!пг + (я/2 — 0)х <y(ln| х| + In\/2) + я| х|/2.
Поскольку точка (х, у) лежит выше кривой (14), а выражение в скобках
справа отрицательно, то
у In г + (я/2 - 0)х < * (In | х) + In х/2) + я| х |/2 =
<0.
Аналогично можно показать существенность условия на кривизну йдля
теоремы 1.
4. Остается сделать еще один шаг на пути обобщения и поставить гранич-
ное условие
Agrad И + аИ = / (2,7,16)
(вектор N смотрит наружу). При прежних ограничениях, включая условие
77
a > О для внутренней задачи или а < 0 для внешней, единственность реше-
ния доказывается с помощью уже встречавшихся нам идей. Если а ¥= 0 всю-
ду на S, ссылка на лемму излишня и можно обойтись без условия на кри-
§ 2.8. Задача Неймана при кусочно-гладкой границе
При моделировании реальных полей может оказаться недостаточным
ограничиваться только гладкими поверхностями. Особенности физической
задачи или вычислительного метода побуждают рассматривать, например,
многогранники. Но для задачи Неймана в вершинах и ребрах неизбежно
возникает проблема смысла нормальной производной. Естественно принять
следующую постановку задачи. На кусочно-гладкой поверхности 5, кроме
множества 5 точек вершин и ребер, по которым смыкаются различные кус-
ки 5, заданы значения
ЭГ(Й)
, (oes\s). (2.8.1)
on
В S\S предполагается непрерывность/. От искомой функции V требуется,
чтобы она была гармонической в Г и непрерывной в TUS. Непрерывность
grad V может нарушаться в S, но предполагается обязательной в остальных
точках TVS. При этих условиях докажем единственность решения.
Доказательство удобно провести вначале для двумерной внутренней за-
дачи. Пусть 5 -криволинейный многоугольник, S- совокупность Qt,
Qi, Qn его вершин. Пусть, как и раньше, U означает разность двух реше-
ний с одинаковыми граничными условиями. Выделим произвольный круг
Г,, лежащий внутри Т. Определим с = mint/. Аналогично для гармониче-
ской функции
где р, - расстояние от Q до у/( определим с, = max W. При произвольном
е > 0 можем ввести еще одну гармоническую функцию Ue = с — е(с, — IV).
По построению U€ < U на Г,. Пусть Т2 означает связную часть области
Ue < и, содержащую в себе Т2. Заведомо Т2 не содержит вершин Qj, так
как в них Ue обращается в +°°. Функция U на Т2 является решением сме-
шанной задачи, рассмотренной в предыдущем параграфе, с условием
dU/dn = 0 в тех граничных точках, которые принадлежат S, и с некоторым
условием и =fx в остальных граничных точках Т2. По определению Т2,
последнее условие выполнено и для Ue Следовательно, для области Т2,
согласно вариационному принципу (§ 2.7)
£,(£/е) >£,«/).
В данном случае/2 = 0и£4 =£,,13X410
ДГ (grad t/c )2 dr >
>/Д(grad U)2dr> fff (grad U?dr. (2.8.3)
Ta Tj
78
Оценим левую часть (3). Неравенство Коши-Буняковского для гра-
диента (2) дает
(gradV)2<n Z (gradInр,-)2 = п S р)2.
откуда
///(grad£/e)2dr =
= е2 JJ/(grad IV)2dr < ле2 £ Jffp^dr. (2.8.4)
В достаточно малой окрестности каждой вершины
Ue- U>eln — -c2
с некоторой постоянной с2 > 0. Поэтому круг радиуса е~сг1е с центром в
любой вершине не пересекается с Т2. Отсюда вытекает оценка
(D — диаметр области Г). Из (3), (4), (5) следует
JJ/ (grad £/)2 dr < 2im2 е(е In D + с2 ).
По произвольности е интеграл слева равен нулю, а это возможно только при
U = const в Т1, а по произвольности Т\ — в Т. Единственность с точностью
до постоянного слагаемого доказана.
Для трехмерной задачи роль W играет потенциал масс, распределенных с
единичной плотностью вдоль всех ребер. Он имеет ту же самую логарифми-
ческую особенность, и доказательство не претерпевает существенных
изменений.
При рассмотрении внешней задачи вместо (2) надо брать, например,
W = S In —
(начало координат внутри контура 5), чтобы не
возникло расходимостей на бесконечности.
Исследование задач Дирихле и Неймана в сторону
ослабления гладкости граничных условий проведено
в настоящее время в весьма общей и далеко идущей
форме [42].
Для кусочно-гладкой границы задача Неймана
может оказаться некорректной в равномерной нор-
ме, как показывает следующий пример.
Рис. 11. Область Т примера 2.8.1
Пример 2.8.1. Пусть область Т в R2 - криволинейный треугольник,
ограниченный прямой х = 1 и дугами окружностей х2 + (у ± I)2 = 1
(рис. 11). Функция
(2.8.6)
гармонична в Т при любом a G (0,1/2) и принимает наибольшее по модулю
значение в левой вершине 5
max | И(х, .у) | = И(0, 0) = 1.
Нормальная производная на отрезке и окружностях равна соответственно
Здесь использованы уравнения граничных кривых. Простая оценка пока-
зывает, что
Окончательно
Правая часть (8) стремится к нулю вместе с а, так что сравнение (7) и (8)
показывает некорректность задачи Неймана для Т в равномерной норме.
Ситуация характерна для областей с острыми клювами.
§ 2.9. Единственность поверхностной плотности
при заданной форме поверхности
Пусть известен потенциал вне замкнутой связной поверхности S, и он
должен создаваться массами, распределенными с непрерывной плот-
ностью Ь на самой этой поверхности. Покажем, что 5 определяется одно-
значно.
Предположим, что заданному внешнему потенциалу соответствуют две
различные плотности 6| и 62 на одной и той же поверхности S. Тогда плот-
ность 6 = 5j - 62 порождает всюду нулевой внешний потенциал. Ввиду
непрерывности Ь потенциал непрерывен во всем пространстве. В области,
внутренней по отношению к 5,мы, таким образом, имеем дело с задачей Ди
рихле при нулевых граничных условиях. По теореме 2.1.1 потенциал равен
нулю внутри S, т.е. он обращается в нуль во всем пространстве. Возьмем
сферу с центром на 5. На основании формулы Гаусса (1.7.6) заключаем,
что полная масса М внутри данной сферы при любом ее радиусе е равна
нулю. Устремив ек нулю и пользуясь непрерывностью плотности, полу-
чаем 6 = 0, что и требовалось доказать.
80
Связность S существенна. Если $ состоит из двух связных поверхнос-
тей, вложенных друг в друга, то единственность восстановления плотнос-
ти по заданному внешнему потенциалу может и не иметь места. Простей-
ший пример доставляет система двух концентрических сферических обо-
лочек с постоянными поверхностными плотностями б,, 5, и радиусами
Г{<г2. Внешний потенциал зависит только от полной массы M=4n(6jr] +
+ 6,г|), но не от 61 и 62 в отдельности.
Единственность восстанавливается, если вместо ”вне поверхности S”
говорить ”вне тела Т, ограниченного поверхностью S ”.
§ 2.10. Разделение полей
В практических применениях, например, при разведке полезных иско-
паемых, встречается следующая задача. Тела Т2, Г2. • • •. Тп заданной
формы расположены одно вне другого. На поверхности S, охватывающей
все эти тела, известен создаваемый ими суммарный потенциал V. Требует-
ся найти на той же поверхности потенциалы V2..........Vn, создаваемые
каждым телом по отдельности. (Вместо потенциалов на $ можно с таким
же успехом говорить о потенциалах в области, внешней по отношению к
S, ввиду однозначности решения внешней задачи Дирихле).
Теорема 2.10.1. Пусть система тел Т2,Т2,... ,Тп, расположенных
целиком одно вне другого, с произвольными, не обязательно положи-
тельными, плотностями создает на охватывающей поверхности всюду
нулевой потенциал. Тогда внешний потенциал каждого тела в отдельности
тождественно равен нулю.
Выделим тело TL. В силу единственности решения внешней задачи Ди-
на и вне 5. По аналитичности гармонических функций (1) верно во всей
внешней области тел Г/. Рассмотрим функцию
| + ... + Ил) вне всех 7} ,
С/= | — (И2 + . .. + Ил) внутри и на границе ,
I И1 внутри и на границе Т2,..., Тп.
Она гармонична и ограничена во всем пространстве и по теореме 1.13.1
сводится к постоянной, равной нулю в силу условий на бесконечности.
Итак, внешний потенциал Ki тела Т\ обращается в нуль. Теорема доказана.
Однозначность разделения полей теперь почти очевидна. Пусть для двух
разных допустимых распределений масс потенциалы тел Tt равны Vt в
одном случае и V't в другом. Вычитая одно распределение из другого,
замечаем, что соответствующий потенциал S (И/ - ) вне $ равен
нулю. По доказанной теореме Vt — V\ = 0.
Расположение тел одно вне другого существенно. Если они соприка-
саются по отдельным линиям и, тем более, по целым участкам поверх-
ности, справедливость теоремы и однозначность разделения полей могут
нарушайся. Прежде чем дать соответствующий пример, сделаем некото-
рые замечания.
Если функция к интегрируема и достаточно быстро убывает на беско-
нечности, то потенциал (1.1.7) можно представить в виде
И(е) = Ш • (2.10.2)
R> VT +ri2 + Г
Если к непрерывна, Э к /Эх ограничена, кусочно-непрерывна и также доста-
точно быстро убывает на бесконечности, то в (2) возможно дифферен-
цирование по х под знаком интеграла. Плотности Эк/Эх отвечает потен-
циал Э //Эх.
Положим
I 1, если т <1;
к0(г) = ] 2—г, если Кг <2;
I 0, если г > 2.
Масса шара равна 5 я и его внешний потенциал /0 =5itlr. Дифференциро-
вание дает для плотности к' = -х/г, сосредоточенной в слое Кг <2,
внешний потенциал V' = -5 ях/гэ . Определим еще плотности
„ х cos а-у sin a xcosa+ysina
к = — --------------- , к =---------------------,
16г 256г
сосредоточенные соответственно в слоях 2 <г <4 и 4<г<8. От к ' функ-
ции к , к отличаются только растяжениями и поворотами. Согласно
(1.2.12), (1.2.13) из V легко получить V", V'". Во внешнем пространстве
5я , 5я
г = - —— (х cos а-у sin а), V =------— (х cos а +у sin а).
Таким образом, вне сферы 5 радиуса 8 при а = 2я/3 потенциал / =
= V' + V”+ /'"равен нулю. Шар Т, ограниченный сферой S, распадается
на две связные области Т2 и Т2, в которых соответственно к >0 и к <0,
где к=к’+к" + к"'.
Обозначим через /( потенциал тела Т/ с плотностью I к I (i = 1,2).
Вне S по построению V, — /2 = V = 0. Итак, V\ = V2 вне S, хотя тела
Т2 и Т2, имея положительные плотности, не совпадают. Разрывы к внутри
Г] и Т2 несущественны и могут быть устранены сглаживанием.
Невыполнение теоремы вызвано наличием у 7\ и Т2 общей границы.
Еще проще построить пример совпадения потенциалов в удаленной об-
ласти, если одно тело попадает в полость другого: достаточно представить
сплошной и пустотелый шары одинаковой массы.
Из теоремы 1 следует невозможность имитации внешнего потенциала
тела Т2 распределением масс в другом, удаленном от него, объеме Т2.
Впрочем, это верно только при требовании идеально точного совпадения
потенциалов, а сколь угодно точная аппроксимация возможна, и к этому
вопросу мы еще вернемся. За увеличение точности аппроксимации при-
ходится платить усложнением закона плотности в моделирующем теле,
которая, как легко видеть, не может при этом иметь предела в сколько-
нибудь разумном смысле.
82
§ 2.11. Теорема Новикова
Восстанавливать распределение притягивающих масс по заданному
внешнему потенциалу имеет смысл тогда, когда произвол в подборе этого
распределения существенно ограничен и требуется найти только некото-
рую функцию двух переменных. Дело в том, что информация о внешнем
поле сводится к заданию функции тоже только двух переменных, в ка-
честве которой можно взять сужение V на какую-нибудь поверхность,
охватывающую все тело.
Теорема 2.11.1. П.С. Новикова. Если два тела Т\ иТ2, кусочно-
гладких, выпуклых относительно начала координат, с одной и той же
постоянной плотностью имеют одинаковый потенциал во внешнем к обоим
телам пространстве, то они полностью совпадают друг с другом.
Условие равенства обеих плотностей существенно, иначе легко построить
опровергающий пример в виде хотя бы двух шаров одинаковой массы,
но разного радиуса.
Перейдем к доказательству. Достаточно считать плотность единичной.
Поверхности Sj и S2 обязательно пересекаются. Действительно, S i и S2
не могут быть вложены друг в друга, так как это привело бы к неравенст-
ву масс, что повлекло бы разное поведение V2 и V2 на бесконечности
(§ 1.3). Случай непересекающихся замкнутых тел Т2 US, и Т2 US2 (он
обсужден выше в § 2.10) исключен условиями теоремы.
Предположим, что поверхности S2 и S2 имеют общий участок S. Раз-
ность потенциалов U=V\ — V2 можно интерпретировать как ньютонов
потенциал тела Т3 = Т2\ Т2 с плотностью +1 и тела Г4 = Т2\ Т2 с плот-
ностью -1 (рис. 12). Функция U аналитична (§ 1.11) вне выступающих
масс Т3 и Т4, в том числе и в точках поверхности 5. Но во внешнем прост-
ранстве Ts (дополнение к Т2 U Т3) функция U равна нулю по условию
теоремы. По принципу аналитического продолжения она равна нулю и в
общей части Т6 = Т2 П Т2. Следовательно, (/=0 на границах тел Т3 и Г4
Там же равен нулю и grad t/no непрерывности первых производных ньюто-
нова потенциала. Из постоянства плотности вытекает гармоничность компо-
нент градиента внутри Г3:
ьи _ д _ д
дх Эх Эх
По теореме единственности для задачи Дирихле grad (/=0 в Т3, следова-
тельно и U равно в Т3 нулю. Аналогично (/равно нулю в Т4. Итак, (/=0
во всем пространстве. Уравнение Пуассона показывает, что совпадение
потенциалов влечет совпадение плотностей во всем пространстве. Тем са-
мым для рассматриваемого случая теорема доказана.
Рассмотрим теперь случай, когда поверхности 5^ не имеют общего участ-
ка (рис. 13). Уравнение поверхностей имеет вид
г = Я*(0,Х),
и равенство Rx = R2 осуществляется только на кривых нулевой площади.
Для произвольного 6>0 введем совокупности телесных углов Ок(6),
где 0,(6) соответствует Rt > R2 +6, а О2 (6) соответствует R2 >Rt +
+ 6. Положим R ’= mini/?, (0, X), Я2(0,Х)}, R* = тах(Я, (0, X),
/?2(0. X)) . Поставим вариационную задачу минимизации функционала
Li(K') (см- § 2.4) в классе непрерывных кусочно-дифференцируемых
функций W на Т2 = 7, и Т2 с граничными условиями на поверхности 57
с уравнением г = R* (0 , X ) :
(2.11.1)
+1 внутри 0,(6),
-1 внутри 02(6),
| /(0,Х)вне 0,(6) U 021
Здесь f - непрерывно дифференцируемая функция, ограниченная по мо-
дулю единицей, принимающая значения + 1 на границе с О, (6) и значение
-1 на границе с Ог (6), а в остальном произвольная. По теореме Урысона
[35] требуемую функцию f всегда можно построить
Рис. 13. К теореме 2 1 J.1. Случай отсутствия общих участков поверхности
Обозначим inf £ । (W) =/. Для всякого е можно подобрать такую
функцию IV, что £1(И')</+е. Не умаляя общности, можно считать
I (V(Q) | < 1, поскольку замена W на sign W при I W(Q) I > 1 лишь умень-
шает L !, сохраняя непрерывность W.
Пусть IV - потенциал, обращающийся в нуль на 57 вместе с первыми
производными и отвечающий некоторой кусочно-непрерывной плотности
к . По определению I для любого 5 справедливо
£1(И' + 5Й')>/>£1(И')-е,
или, в раскрытом виде,
25 fff grad IV grad Wdr>-?LX(W ) - е (2.11.2)
Левая часть (2) согласно (1.7.14) и граничному условию на W равна
-25fff WAWdr,
т,
а с учетом уравнения Пуассона (1.7.10) неравенство (2) эквивалентно
-3irt fff KWd7<e (2.113)
T,
Подберем 5 наиболее выгодным образом, используя элементарное соот-
ношение
max (2Л5-552)=Л2/5 (В>0).
£
Этот наиболее выгодный выбор параметра превращает (3) в
4я fff KWdr<УеХДЙ?). (2.11.4)
Ti
Конкретизируем не совсем определенную до сих пор функцию W. Умень-
шим все размеры тела Тк (к = 1,2) в v > 1 раз, сохраняя ту же плотность.
Тогда его потенциал Vk(Q) превратится в г*"2И*(р0). Проделаем эту
операцию дважды для каждого к, заменяя во второй раз и на р2 и возь-
мем разность полученных потенциалов.
у~г vk (*<?) -1' У к (У2 Q)
Uk(Q)=------ , .6 1 .
Р — V °
нормированную так, чтобы масса всей конфигурации осталась равной мас-
се первоначального тела Тк. Потенциалу Uk соответствует плотность к к =
= О' 3 -р'6)-1 при v'2Rk<r <v~lRk, вне указанной области она равна
нулю. Функции W и к отождествляем соответственно с t/j их, - к 2.
Ввиду совпадения внешних потенциалов тел 7\ и Т2 имеем IV=0 при
г >R*/v. Поэтому при произвольном р>1 функции IV и к обладают
нужными свойствами.
Оценим L1 (W). Согласно неравенству Минковского [35]
ь1(й?)<(х/£^А)+>/Мь7))2.
Распространив интегрирование в (2.4.1) на все пространство, мы увеличим
^-1(^4). Последняя величина по (1.12.7) с точностью до множителя 8я
85
равна гравитационной энергии тела Тк плотности кк. Воспользуемся фор-
мулой (1.12.6). Как известно
dmdm - K.k{Q)Kk(Q')r2drdor2dr,do',
где do - элемент поверхности единичной сферы. Если 7 - угол между
радиусами г, г', то в области, отвечающей ненулевой к. к,
p(Q, (2')>2(/?7p2)&in 7/2.
Начнем интегрирование (1.12.6) с переменных г, г':
Kkl“ К*/" ]
/ г2dr f r'2dr'> do da'.
I R siny/2
Очевидно
Остается интеграл по произведению единичных сфер, легко вычисляемый
после перехода к сферическим координатам
dado'
Ш/ 32 я2. (2.11.5)
SU17/2
Итак, LtlM <Ci>2, L! (Й>) <4Сн2 , где С = 64я3 (Я *)6/(9.R“). Нера-
венство (4) можно заменить на
Iff к Wdr
(2.11.6)
Совершим предельный переход ₽ -*• 1. Распределение масс, заданное плот-
ностью к, стремится к поверхностному, и тройной интеграл переходит в
поверхностный по единичной сфере
1 , .
-/ДЯ?И'(Я1,0,Х)-Я1И'(Я2,0,Х)] do< —------- .
3 2л
С учетом (1) последняя величина допускает оценку снизу:
-[ Я (R?-Xi)da+ Я(Я1-Л?)</0-
3 Я,(6) Я,(6)
Я (Я?+Я23)йо].
с(п,тип,(бу>
Устремляя е и 5 к нулю, получим
Я ((Я*)3-(Я Э3) da < О,
si
что возможно лишь при Я+ = R~, т.е. тела Tj и должны совпадать, что
и требовалось доказать.
Отличия двумерного случая - только в числовых коэффициентах и по-
казателях. _ .
Заметим, что в сравнении с оригинальной работой П.С. Новикова [48]
мы внесли некоторые уточнения, позволившие ослабить условия теоремы.
86
Рис. 14. К доказательству теоремы Дива об од-
нозначности определения тела по внутреннему
потенциалу
В [48] была высказана надежда, что теоре-
ма допускает обобщение на случай, когда
тела Л и 7j вырезаются из некоторого ро-
дительского тела с заранее заданной непо-
стоянной плотностью k(Q). Гипотеза Но-
викова доказана А.И.Прилепко [56, 57]
в некоторых частных случаях (плоская за-
дача; зависимость к только от углов и др.).
Займемся теперь проблемой восстанов-
ления формы тела по внутреннему потен-
циалу [61].
Теорема 2.11.2 (П. Див). Если два выпуклых Тела одной и той
же постоянной плотности в своей общей части имеют одинаковый потен-
циал (аддитивная постоянная существенна), то они полностью совпадают
друг с другом.
Доказательство. Ни одно из этих тел не может полностью содер-
жать другое внутри себя, иначе их разности ТХ\Т2 или Т2\ТХ соответ-
ствовал бы нулевой потенциал в обшей части Т6 = Тх О Т2. Если, вопреки
утверждению теоремы, Т3 =^Т2, то Т6 не совпадает ни с Тх, ни с Т2. По
условию, внутри Т6 потенциалы тел Тх и Т6 равны.
Рассмотрим два тела Т3 = Тх\ Т6 и Т4 = Т2\ТЬ, полученные из 7\ и Т2
устранением общей части Ть. Потенциал U, который создают тела Т3 и Т4
в области Ть, одинаков. Каждая точка Q границы S6 тела Т6 принадлежит
либо границе тела Т1} либо границе S2 тела Т2 (рис. 14). В первом слу-
чае по выпуклости Тх тело Т3 лежит по одну сторону от касательной к
S6 плоскости (множество вершин и ребер S6 имеет нулевую меру и не
влияет на результат), так что его притяжение не исчезает и направлено
по внутренней нормали к$6: д U(Q) /Ьп< 0. Последнее верно и в случае
QE.S2, поэтому
,г ™
fl —do
s6 bn
(2.11.7)
Неравенство (7) находится в противоречии с формулой Гаусса (1.7.9) -
ведь из Т6 удалены притягивающие массы. Это противоречие показы-
вает, что тела Тх и Т2 в действительности не могут различаться между
Точно так же доказывается тождественность Т\ пТ2, если они вырезают-
ся из области с произвольной, заранее заданной кусочно-непрерывной по-
ложительной плотностью.
Заметим, что условие выпуклости существенно: обратный пример
нетрудно привести, присоединив к построенным на с. 82 Тх и Т2 какую-
нибудь общую часть.
§ 2.12. Некорректность задач Коши-Ковалевской и Новикова
К сожалению, указанные в заголовке, задачи, в отличие от рассмотрен-
ных в § 2.5, не являются корректными, что сильно снижает их практичес-
кую ценность.
Для доказательства достаточно привести соответствующий пример
[52], принадлежащий Ж. Адамару.
Пример 2.12,1. Пусть заданы значения Uи Э С//Э и на квадрате 5 (0 <
dt/(0 1
£/(0 = 0, --— =- sinпх (QES),
где п — произвольное положительное число. Легко проверить, что решением
этой задачи Коши—Ковалевской будет гармоническая функция
При достаточно большом п граничные значения (1) меньше любого наперед
заданного е. Тем не менее при х = я/2 и любом фиксированном z Ф 0 функ-
ция (2) неограниченно возрастает по модулю, если л стремится к бесконеч-
ности, принимая нечетные значения.
Некорректность задачи Новикова доказывается еще проще. В шаре Т\
выроем узкий колодец конечной глубины или построим башню. Поверх-
ности Sj и S2 шара и шара с колодцем или башней Т2 отличаются на
конечную величину. В то же время потенциалы Ц и U2 в пространстве,
внешнем по отношению к обоим телам, отличаются сколь угодно мало.
Понятие корректности, напомним, означает близость решений близких
задач. И задачи, и решения задаются функциями - т.е. точками в бесконеч-
номерных пространствах. Близость в последних, т.е. топологию, можно
задавать по-разному. Более того, по-разному можно задавать и сами прост-
ранства, ограничиваясь различными классами возмущений. Выше рассмот-
рен класс непрерывных возмущений с равномерной нормой - максимумом
модуля. Можно ожидать, что ограничение более узким классом возмуще-
ний приведет к корректности. В примере Адамара, в частности, фигуриро-
вала быстро осциллирующая функция, и уже ее первая производная по х
не мала. К сожалению, ограничение возмущениями любого, но фиксирован-
ного порядка гладкости с нормой - суммой максимумов модулей соответ-
ствующих производных не дает ничего нового. Достаточно множитель
1/л в (1) возвести в соответствующую степень. Более того, даже ограни-
чение голоморфными возмущениями не помогает делу: функцию (2'»
достаточно заменить на
t/=g-2/msinziXshnz, (2.1
а исходные граничные условия, соответственно, на
ЭС/
U=0, -------=пе~2пп sin/ix (GG5). (2.12.4)
При функции U равномерно сходятся к 0 в комплексной области
| х| < я, | г | <1. Тем не менее в достаточно удаленных точках (напри-
88
..) функции U к 0 не сходятся
и даже стремятся к о*».
В случае задачи Новикова ограничения на возмущения производных
задаваемого потенциала V могут помочь, если область задания V подсту-
пает достаточно близко к телу, что, впрочем, физически означает предва-
рительное приближенное знание его формы. Если же потенциал задается
на некотором конечном расстоянии от тела, то ошибки в задании потен-
циала неизбежным образом сильно сказываются на определении тонких
деталей внешнего строения самого тела.
Сделаем общие замечания о смысле постановки математически некор-
ректных задач. Упомянутая выше меньшая ценность некорректно постав-
ленных задач в старой литературе [52] трактовалась даже как их полная
практическая бессмысленность. Сейчас признается, что это не так. Некор-
ректно поставленным задачам посвящены как отдельные исследования,
так и целые монографии, например [47,65]. В сущности положение спасает
то обстоятельство, что практически мы всегда имеем дополнительную ин-
формацию из физических соображений, которая обычно исключает слиш-
ком большие и частые колебания ожидаемого решения. Так, в теории
потенциала мы располагаем сведениями о структуре поверхности Земли
или другого тела, которые делают законным и достаточно точным опре-
деленное сглаживание, регуляризацию решения. В работах А.Н. Тихонова
и др. правила регуляризации разработаны весьма обстоятельно.
Но, конечно, остается фактом значительная чувствительность некор-
ректно поставленных задач к малым ошибкам. Непонимание этого может
приводить к парадоксам. Например, если слишком буквально понимать
однозначную разрешимость задачи Коши-Ковалевской, то придется ду-
мать, что не выходя из комнаты, можно получить представление о грави-
тационном поле значительной части Вселенной. Достаточно измерить аб-
солютно точно значения V и ЭИ/Эл на поверхности подоконника. Даль-
нейшая экстраполяция V на все пустое пространство математически од-
нозначна. На самом деле бесмысленность подобного "решения” объясняет-
ся чрезвычайным ростом ошибок по мере удаления от исходного куска
поверхности. Разумные ответы в той же задаче Коши-Ковалевской по-
лучаются в случае соизмеримости размеров области задания начальных
условий и области, в которой ищется решение.
§ 2.13. Проблема корректности задач
относительно шевеления поверхности
При рассмотрении задач Дирихле, Неймана и Стокса (§ 2.5) предпола-
галось, что поверхность S, на которой заданы исходные условия, опре-
делена точно. Но, вообще говоря, и при определении S могут возникать
ошибки. Поэтому интересно рассмотреть проблему корректности ука-
занных задач по отношению к малым деформациям S. Обшее решение
подобной проблемы нам неизвестно. Впрочем, в одном случае для задачи
Дирихле положительный ответ получается достаточно просто.
Рассмотрим внутреннюю задачу. Пусть область Т выпукла по отношению
к началу координат, V - решение задачи Дирихле с граничным условием
(2.1.1), где теперь / понимается как непрерывная функция, заданная в
89
некоторой области, включающей в себя все точки поверхности 5. Не ума-
ляя общности, можно считать / заданной и равномерно непрерывной во
всем пространстве R3. Пусть для каждого е >0 существует функция Ve
как решение задачи Дирихле с граничным условием (2.1.1), заданным на
другой замкнутой поверхности Se. Относительно S€ предположим, что
ее точки удалены от S на расстояние, не превышающее е. Для Se мы уже
не ставим требование выпуклости.
Теорема 2.13.1. В сформулированных выше условиях задача Дирихле
корректна относительно шевеления поверхности:
lim Ге(2)=И(2) (2.13.1)
е—О
в любой внутренней точке области Т.
Фиксируем произвольное т) > 0. По равномерной непрерывности f в
R3 и V в Г U 5 найдется такое 6 >0, что
1ЛС) -/(01) I <т?, I V(Q) - V(Qt) | <7/, (2.13.2)
как только p(Q,Qi) <5; в последнем из неравенств (2) предполагается
2,0i€TUS.
Пусть сначала поверхности Se лежат в TVS. Тогда V определена и на
Se. Возьмем произвольную точку QES€. По определению Se найдем
точку Qi GS, отстоящую от Q не далее е. Для е < 5 на основании (2)
I К2) - Ие(0) I < I И(2) - 7(Qt) I + I VCQO - Fe(2) I =
= 1 И«2) - И((21) 1+ IZCQ,)-/•(<?) I <2tj. (2.13.3)
Нам понадобится обобщение (3) на случай, когда граничные условия для
V берутся из значений одной функции /, а условия для из значений
другой функции F, причем во всем пространстве
1/(е)-2=-(е)1<П. (2.13.4)
По прежнему плану для е < Ь находим
I *40) - ке(2) I < I к(2) - И(2,) I +1/(20 - F(2) I <
< I И(2) - И(2,) I + 1/(2,) -/(2) I + 1/(0) - F(0) I < Зть (2.13.5)
При общем расположении Se введем семейство поверхностей S(X),
получающихся подобным расширением S в X раз относительно начала
координат Пусть р(Q, X) - расстояние произвольной точки QGS от
S(X), а р* (X) = пил р (2, X). Легко видеть, что функция р* (X) в области
X > 1 непрерывна, монотонна и обращается в нуль при X = 1.
Одновременно задаем семейство ’’растянутых” функций /*(2, Х) =
=/ (X-1 0). По свойствам подобия для гармонических функций (§ 1.8)
решением задачи Дирихле с граничной поверхностью S (X) и граничными
значениями, совпадающими с/(2» X), является И • (2, X) = И(Х-,2) Так
как весь переход от/(2) и V(2) к/’(2»Х) и И* (2, X) сводится к раз-
личию масштабов, то неравенства (2) будут выполняться, как только
р(0,0j)<X6. При р(0,01)^5 оценки (2) будут равномерны по X.
Подберем значение X, при котором р* (X) =е. Тогда Se целиком лежит
внутри S(X) и можно применить предыдущую оценку (5), отождествляя
гам / с /* (2. X ), a F просто с /. Условию (4) при фиксированном т? > О
90
всегда можно удовлетворить надлежащим уменьшением е и, соответствен-
но, разности X — 1, так как /*(£?,Х) —f(Q) при X-* 1 во всей исполь-
зуемой (конечной) области равномерно стремится к нулю. Утверждение
теоремы следует из неравенства (5).
Есть основания считать, что подобная корректность задачи Дирихле
по отношению к шевелению поверхности имеет место и при более широ-
ких условиях, если на ее форму налагать некоторые не особенно стесни-
тельные условия гладкости. Для задачи Неймана в аналогичной постановке
с деформацией поверхности требования гладкости, по-видимому, должны
быть более жесткими. Задача Стокса, напротив, ничем существенным в
этом смысле от задачи Дирихле не отличается.
Оперирование с поверхностями произвольной формы в задачах теории
потенциала связано с серьезными затруднениями, если сама эта поверх-
ность входит в число объектов, подлежащих определению. Помимо уже
обсуждавшейся задачи Новикова(§ 2.11) можно указать на более сложную
задачу Молоденского [44,50], важную для геодезии. В несколько упро-
шенной постановке без учета центробежных сил эта задача формулируется
следующим образом: на поверхности тела, заранее неизвестной, заданы
значения гравитационного потенциала и вектор его градиента. Требуется
найти потенциал во всем внешнем пустом пространстве и самую поверх-
ность тела. Практически задача Молоденского решается методом линеа-
ризации, поскольку приближенно форма Земли известна. В более обшей
нелинейной постановке не только неясен вопрос о корректности, но даже
и о разрешимости задачи Молоденского и единственности с точностью,
конечно, до тривиальных преобразований подобия и переноса.
ГЛАВА 3
РАЗЛОЖЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ ФУНКЦИЯМ
При заданной плотности интеграл (1.1.4), выражающий потенциал,
удается вычислить в замкнутом виде лишь в редких случаях. Не всегда
такие замкнутые аналитические выражения удобны для использования.
Зачастую выгоднее прибегать к разложениям по той или иной системе за-
данных базисных функций. Примером является рассмотренное в § 1.11
разложение потенциала по степеням декартовых координат xky,zm. Это
разложение привлекательно простотой базиса, но может быть неудобно в
других отношениях. Например, согласование с эмпирическими данными
зависит от возможностей одновременного определения многих коэффи-
циентов сразу. Избежать решения систем уравнений со многими неизвест-
ными можно при помощи ортогональных систем, к изложению общих
свойств которых мы переходим.
§ 3.1. Элементы теории рядов ортогональных функций
Использование ортогональных систем для разложения произвольных
функций освещено во многих учебниках и монографиях. Здесь мы огра-
ничимся краткими упоминаниями, не пытаясь, в частности, перечислять
условия гладкости используемых объектов.
Обозначим через Т произвольное N - мерное многообразие, а через dr
его элемент объема. Например, Т может совпадать с N - мерным евклидо-
вым пространством или быть его частью. Используемые ниже величины
зависят от переменной точки Q(xt, х2, ... х^) 6 Т. Для любых двух функ-
ций f ng определим скалярное произведение
(f,g) = f/(Q)g(Q)*(Q)dT. (3.1.1)
Весовая функция w считается неотрицательной, равенство ее нулю допус-
кается только в исключительных точках. Разрешаются бесконечные облас-
ти Тили бесконечные значения ng, если интеграл (1) абсолютно сходит-
ся. Две функции называются ортогональными относительно веса w, если их
скалярное произведение равно нулю. Семейство функций <рп называют ор-
тогональной системой на Т относительно веса и/, если для любых двух раз-
личных элементов этого семейства (<^/, « 0 (/ # /). Если, кроме
того, выполнено условие Х„ = 1, где
Хл=(^.^л). (3.1.2)
то система {</?„} называется ортонормированнои. При w = 1 система функ-
ций называется просто ортогональной. Хотя члены счетного семейства всег-
да могут быть занумерованы одним индексом п, часто оказывается более
наглядной двойная или тройная нумерация. Вообще говоря, скалярный
квадрат положителен. Равняться нулю он может только для функций,
которые сами равны нулю всюду или почти всюду, и такие тривиальные
случаи мы оставляем в стороне. С указанной оговоркой любую последова-
тельность (фп} линейнонезависимых функций можно ортогонализовать
относительно скалярного произведения (1). заменив фп подходящими
линейными комбинациями. Достаточно, например, положить рекуррентно
M6Wo(G).
^(e) = #io«A>((2)Oi(G), (3-1.3)
MQ) = M«o’A>(0) + Mni^i(2) + • +Ми.л- 1<Рп- МИФМ),
где
vPm • *Рт )
Рассмотрим приближение произвольной функции f на Т с помощью ли-
нейной комбинации CqVq + + ... + сп\рп. Как меру точности приближе-
ния используем интеграл
/(с0,с>...с„) =
= /[/(С)-Со*>о(С) - -c„4>„(Q')]'‘w(Q')dT.
(3-1.4)
С помощью раскрытия скобок в (4) и элементарной минимизации пока-
зывается, что наилучшим выбором коэффициентов с* являются коэффи-
циенты Фурье
Мерой точности приближения является
min/(c0,Ci.....с„) = 1(а0,а1,ап) =
sfw(Q) [f(Q)l2dr-
(3.1.6)
Без условия ортогональности вместо (5) мы имели бы дело с решением
системы линейных уравнений. Так как выражение (6), согласно (4).неот-
рицательно, то ряд
сходится, причем выполняется неравенство
Может случиться, что для любой функции f, интегрируемой на Т с квадра-
том, справедлива формула Парсеваля
7"'(й)[Л<2)]2‘*г.
Тогда ортогональную систему (</>„} называют полной на Т.
Поскольку 2ху + у2, то для интегрируемых с квадратом функций
f и g определен интеграл от их произведения, и абсолютно сходится ряд
гДе ак и Ьк - коэффициенты Фурье функций/ иg. Поэтому/ +g
также интегрируема с квадратом, и можно записать для нее равенство
типа (8)
Jw(Q)[f(Q-)+g(Q)]7dT.
Отсюда с учетом (8) для f vig вытекает обобщенное равенство Парсеваля
Ь ЧакЬк = S ^(Q)f[Q)g{Q)dT.
Свойство полноты данной ортогональной системы гарантирует сходимость
ряда Фурье
2 “t'Pk
к/ в среднем квадратическом, т.е.
lim /w(2)(/(<2)- 2 ]2* = 0.
Однако, остаток от разложения f в указанный ряд может вести себя доста-
точно сложным образом. Из среднеквадратичной сходимости не следует
стремление остатка к нулю в каждой точке. Иначе говоря, сходимость в
среднем квадратическом является более широким понятием, чем сходи-
мость в обычном смысле. При необходимости вычислить / с помощью ряда
для отдельных точек Q требуется специальное исследования его сходи-
мости, помимо свойства полноты. Эта задача решена в положительном
смысле для классических ортогональных систем, причем сходимость зави-
сит не только от самой этой системы, но и от вида функции /: благоприят-
ным фактором является ее гладкость. Если же над рядом предполагается
далее совершать то или иное действие усреднения, то, как правило, для его
законности достаточно одного свойства полноты.
Приведем еше основные формулы для комплексного обобщения по-
нятия ортогональных систем. С помощью комплексных функций часто
удается избежать исключений при малых значениях индекса и сделать
все суммирования более удобообозримыми. Это имеет место уже для
обычных рядов Фурье, для нас же особенно важно при изучении зависи-
мости сферических функций от ориентации системы координат (гл. 5).
Весовая функция остается вещественной и положительной. Скалярное
произведение комплексных функций / и g определяется как
(f,g) = f f(Q)g*(Q)w(Q)dr. (3.1.12)
где звездочка здесь и ниже означает комплексное сопряжение. Мерой
точности приближения вместо (4) служит интеграл
/(с0,с,...с„)=/ 1Г(е)-со^о(е)-...-c„^(e)i!w(e)dr. од.в)
Легко убедиться, что формула (5) наилучшего выбора коэффициентов
остается в силе, а вместо (6) получается
min/(c0,c,....с„) = /(00,(1,.о„) =
= /“'«2)1Ле)12^-^£оХ*|11»|г.
Неравенство Бесселя (7) в комплексном случае пишется так:
X* I а* I1 »((2)1Ле)1:</т.
Ортогональная система комплексных функций {} полна, если (15)
превращается в равенство, носящее имя Парсеваля, для любой функции /
с интегрируемым квадратом модуля.
Применение рядов по ортогональным системам полезно при сравне-
нии потенциалов: их близость отражается в близости главных членов
соответствующих разложений.
§ 3.2. Общие принципы применения ортогональных рядов
к представлению потенциала
Приложения рассмотренных схем к теории потенциала развиваются
в нескольких направлениях.
1. Разложение V в произвольной области Т, как всякой другой функции,
не учитывающее специфики потенциалов. Оно иногда целесообразно в об-
ласти, заполненной массами, но мало экономично в пустом пространстве,
где потенциал принадлежит классу гармонических функций.
2. Разложение V внутри пустой области Т, если на ее границе S заданы
значения самого потенциала или нормальной производной. Соответственно
при этом требуется система функций, ортогональных на£. Предполагается,
что мы умеем решать задачу Дирихле или Неймана с граничными условия-
ми в виде одной из функций <рп этой системы. Тогда восстановление V
внутри Т достигается простой суперпозицией частных решений указанных
Упомянутая в предыдущем параграфе трудность со сходимостью здесь
не возникает. Для рядов гармонических функций локально-равномерная
сходимость внутри Т (но не на границе S) вытекает из среднеквадратичес-
кой сходимости, как это следует из (1.13.12). В свою очередь среднеквад-
ратическая сходимость в Т, по крайней мере для выпуклых тел, согласно
(1.13.9) вытекает из среднеквадратической сходимости на S.
3. Решение уравнения Пуассона во всем пространстве. Пусть плотность
притягивающих масс разложена в ряд по какой-нибудь системе функций
<рГ1, ортогональных в R3. Тогда полный потенциал И окажется суперпози-
цией частных решений уравнения Пуассона с функциями <рп в правых час-
Подобрать систему функций \рп, взаимно ортогональных и удобных в
вычислительном отношении, достаточно трудно. Имеющиеся примеры ос-
нованы на использовании той или иной группы симметрии. Последняя при
весьма общих предположениях влечет ортогональность функций, по-разно-
му реагирующих на преобразование симметрии. Расчеты облегчаются и
тем, что ортогональность, вызванная симметрией, переносится с плотностей
на сами потенциалы. Симметрия пространства облегчает дело и в упомяну-
тых случаях 1 и 2, как будет видно из дальнейшего.
§ 3.3. Решение основных задач для круга
Рассмотрим основные задачи теории потенциала для внутренней области
кругах2 + у1 <л2. Граничные условия естественно задавать в полярных
координатах.
Для задачи Дирихле
И(а,Х)=/(Х). (3.3.1)
Простейшая полная ортогональная система на окружности S - тригономет-
рическая, которую удобнее представить в комплексной форме {eikK}.
Пусть непрерывная на S функция f представлена рядом Фурье
сходящимся хотя бы в среднем квадратическом. Отдельному слагаемому
CkeikK отвечает гармоническая функция с*(/?/а)'(см. выражение
(1.8.19) оператора Лапласа в полярных координатах). Следовательно,
искомым решением задачи Дирихле является ряд
сходящийся локально-равномерно, как было показано в предыдущем
параграфе. Сами коэффициенты в разложении (2), как известно, опре-
деляются формулами
ск=---- f f(K)e~ikkdX.
2я о
Для получения замкнутого выражения подставим (4) в (3)
/ДА') (
!e/*(A-X')dX'.
Под знаком интеграла просуммируем геометрические прогрессии для
*>0ий<-1.В результате получаем так называемый интеграл Пуассона
М= 77 { -2Хоа(Х-У) М <“’• <3-3-5>
Перейдем теперь к внутренней задаче Неймана. Ее можно свести к толь-
ко что рассмотренной. Действительно, пусть
аИ(«,Х)
—--------(33.6)
R ЭИ
функция U гаРмоническая в СИЛУ (1-8.12), является решением
задачи Дирихле с граничным условием U(a, X) = /(Х). Условие разреши-
мости задачи Неймана (2.1.3) в данном случае имеет вид
2яс0= J/(X)dX = O. (33.7)
Поэтому значение U в центре круга, как видно из (3), обращается в нуль.
Интегрированием по радиусу находим
R{U<R',
Последняя формула при использовании (3) преобразуется к виду
а при использовании (5) - к виду
аЯ
—--------------— d\ + const (0<R<a).
R2 — 2a/?cos(X —X)
С учетом (7)
V =-----//(X')ln [а2 + Я2 - 2a/? cos(X—X')] dX'+ const (R<d).
2" ° (3.3.10)
Согласно неравенству Коши-Буняковского ряд (8) и интеграл (10) равно-
мерно сходятся в замкнутом круге R <а, если f суммируема с квадратом.
Аналогично рассматриваются задачи для внешней области круга. Реше-
ние внешней задачи Дирихле с граничным условием (1) можно получить
из уже известного решения внутренней задачи преобразованием инверсии
(1.8.8).
И(Я,Х)= £ Сд
/ДХ') —-------------------------- d\' (R>a).
о a2 + R2 - 2a/?cos(X - X)
7- В.Л. Антонов
Это решение соответствует случаю взаимной компенсации положительных
и отрицательных масс. При ненулевой полной массе М к правой части (11)
надлежит добавить слагаемое - 2М In Я/а.
Решение внешней задачи Неймана можно получить инверсией из решения
(8), (9) внутренней задачи Неймана. При выполнении (7)
aR
—z----------------— dX' + const
и а2 — 2aR cos (X — X )
В общем случае к ряду (12) добавляется слагаемое соа1пЯ; формула (13)
оказывается верной и при с0 ч* 0.
Для решения уравнения Пуассона существуют два пути. Во-первых,
можно вначале найти произвольное решение уравнения = -4тгк, напри-
мер, представляющее собою потенциал масс с плотностью к. Это решение,
вообще говоря, не будет удовлетворять поставленным граничным усло-
виям для функции V или ее нормальной производной на окружности
R=a. Поэтому к нему надо добавить поправочную функцию, которая долж-
на быть решением уравнения Лапласа ДИ=0и восстанавливать требуемое
граничное условие. Во-вторых, можно решать уравнение Пуассона непосред-
ственно. В качестве примера рассмотрим условие V = 0 на границе и зада-
дим единичную точечную массу в точке* = х0,у = 0, т.е. к = 3 (*- *0)6 (у),
если 5 означает функцию Дирака [35]. Напомним, что в трехмерной трак-
товке "единичная масса” - это однородная нить, параллельная оси z, с еди-
ничной линейной плотностью. Искомое решение имеет вид
Его легко интерпретировать с помощью понятия инверсии относительно
окружности R = а. Действительно, возьмем разность логарифмических
потенциалов единичных масс, помещенных в исходной точке* = хй,у = 0 и
в инвертированной точке * = аг1х0,у =0. Полученная функция обращается
в постоянную на самой окружности R = а, и остается эту постоянную вы-
честь, чтобы прийти к выражению (14), удовлетворяющему в круге Я Со
всем нужным условиям. Формулу (14) можно получить также с помощью
аппарата разложения Фурье или другими способами.
Решение основных задач теории потенциала для произвольной односвяз-
ной двумерной области Т сводится к таким же задачам для круга, если
известно конформное отображение Т на круг (доказано, что оно всегда
существует*).Пусть взаимно однозначное соответствие между точками
двух областей, принадлежащих соответственно плоскостям (х,у) и (и, и),
задается голоморфной внутри Тфункцией
•) Исключение сост
। также плоскости с выколотой
98
Оператор Лапласа
преобразуется по правилу
Поэтому уравнение Лапласа инвариантно по отношению к переходу от аргу-
ментов х,у к и, v или обратно. При работе с уравнением Пуассона необхо-
димо, конечно, учитывать коэффициент I ^?'(х + гу)|2.
Для задачи Дирихле пересчет граничных значений функций К(х. у)
сводится к простому переносу их в соответствующие точки преобразован-
ной границы; для задачи Неймана надо еще учитывать растяжение масшта-
бов, при конформном преобразовании локально изотропное:
О./'—
Подробности нахождения и применения конформных преобразований
можно найти в специальных руководствах.
§ 3.4. Кольцо
Простейший пример- плоской двусвязной области - круговое кольцо
Начнем на этот раз с уравнения Пуассона, которое требуется решить с
условием V = 0 на обеих граничных окружностях. Опять рассматриваем
как фундаментальный случай присутствия в кольце единичной точечной
Представим искомое решение суммой потенциалов исходной точки
и ее отражений, лежащих за пределами данной кольцевой области. Операция
отражения может означать инверсию как относительно внутренней, так и
относительно внешней границы кольца. Различные комбинации этих отра-
жений создают множество точек, которое допускает упорядочение в виде
двух последовательностей:
Нетрудно догадаться, что для решения задачи надо приписать массы +i
всем точкам последовательности (1), включая ’’истинную” при к = 0 и мас-
сы -1 всем точкам другой последовательности. Взяв пару точек из (1) и
(2) с одинаковым номером к, убеждаемся в постоянстве соответствую-
щей разности потенциалов на границе R = а. Если же предварительно смес-
тить в (2) начало нумерации на 1, чтобы получилась формула
то прием группировки в пары убеждает нас в постоянстве потенциала всей
системы точек на внешней границе/? = Ь.
Надо преодолеть еще некоторые трудности, проистекающие из-за расхо-
димости бесконечных сумм. Достаточно ввести поправки,не зависящие
от X. Таким образом, получаем требуемое решение в виде
- [x-(w»x,,p+y ,
* = 0 R2 *-1П (ft/a)4‘xj
+ £ In
[х— (а/Ь)2У/х0}2 + у2 [х - (Ь/а^У/хд]2 +у2
К2 *’1 (/>/а)’*я4/хо
Ряды (3) абсолютно сходятся, и функция V гармонична как сумма
потенциалов. Константы Ио и И| подбираются из условия V = 0 на грани-
цах/? = а hR = b:
откуда
Возможна другая, более компактная запись (3) при помощи функций
комплексной переменной. Пусть z = х + iy, t = \Jbx0 I (az), h =a!b, t\ =
')- 2 Re £ ln(l -h2"~'f2) +
f) + 2Re £ 1п(1 -Л2
Ряды можно просуммировать при помощи тета-функций Якоби. Рассмот-
рим представление [2, 13, 17]
в0(Л. l) = c П (1 - Л2
|во(0 I
Указание на зависимость от параметра h обычно опускается. Коэффициент
с зависит лишь от h. Таким образом,
Мб)
K=2Reln--------
ОМ
Важное достоинство тета-функций, способное в данном случае переве-
сить неудобства от манипулирования с комплексным величинами, состоит
в том, что для этих функций существуют чрезвычайно быстро сходящиеся
100
ряды. Например,
0О(Г)= S (-1ГЛл’г2л,
Перейдем теперь к задачам Дирихле и Неймана.
1 Даны значения потенциала на внешней окружности
К(6,Х)=Г(Х), (3.4.9)
а на внутренней окружности нулевые значения V(a, X) = 0. Эту задачу
можно свести к предыдущей, если /(Х)= 6(0). (Конкретная форма ’ пика",
как само собой выяснится в дальнейшем, не играет роли). Действительно,
будем приближать х0 к b и одновременно несколько сдвинем внутрь
граничную окружность, чтобы диполь, образованный исходной точкой
X = х0, у = О и ее отражением в окружности х = Показался за пределами
уменьшенной области. Как всегда при образовании диполей, задаем массу
не единичной, а обратно пропорциональной расстоянию 2е = 2(6 - х0)
между ’’зарядами”. На сдвинутой окружности R = b - т?, где смешение т?
больше е, но остается величиной того же порядка малости, величина V
также имеет порядок е, кроме ближайшей окрестности диполя, где надо
учитывать вклад от него:
2jKdX=— fin
(Ь - т?)2 - 2(Ь - е)(6 - t?)cos X
Асимптотически
Что касается другой граничной окружности R = а, то на ней И = 0. Итак,
для решения задачи Дирихле с дельта-функцией надо в (7) считать х0 =’
b - е, дописать общий коэффициент — и перейти к пределу е
Асимптотически
Далее,
Mri)=e<>a)+^^ia)+..
МО = МЬ) - — Ь® о($о) +
(3.4.11)
101
Из (6)
и соответственно
Необходимо еще асимптотическое разложение для Ио и Kj. Из (4)
находим
Ind -In a Zj(lnd-lna)
На основании (11) — (14)
V(R, Х) =
2 Re С;: - -
6 П(-«2/Л)в„({) + (е5/(2(.Л))[25в0(О ве®Ь(О]'
_____lin*L
*.(ln Z> — In я) J bl
В пределе искомое решение равно
1 Л 200^ 1л (Л/g) \
2я\ So«) 1п(*/а) /
Поворотами и линейной суперпозицией частных решений (15) получаем
решение задачи Дирихле для произвольной граничной функции f, именно
1 f^Rc2^^ + h(j?/fl)1
2я о L в Ml) + ln(d/a) J
(3.4.16)
а А сохраняет прежний смысл h=a/b. Поскольку в итоге в (16) стоит
четная функция от наличие -корня в (17) не вызывает недоразумений.
Из различных способов проверки (16) для нас существенно разложение
по степеням позволяющее установить связь с методом Фурье. Составим
логарифмическую производную от (6)
При t - I, h = a/b, очевидно, I th | С | t~lh I = y/aRlb < 1, и дроби можно
разложить по формуле геометрической прогрессии с сохранением абсолют-
102
ной сходимости:
tO'o(l)
Оъ (О
Подставим (18) в (16) при t = ^
cos >и(Х' - X)
In (7?/о) ) , ,
+ , - /(X')dX'. (3.4.19)
1л(6/д) I
Ряд сходится равномерно по X', и его можно интегрировать почленно.
При этом каждой паре членов к = ±тв разложении (3.3.2) соответствует
при т 1 вклад в (19). равный
В том, что (20) представляет собой решение уравнения Лапласа с И =
= cme,rnK +c_me~tmK на внешней границе и И = 0 на внутренней, легко
убедиться и непосредственно. При т = 0 аналогичным образом рассматри-
ваем вклад
In (R /а)
с0-----— • (3.4.21)
1п(д/о)
2. Даны значения нормальной производной на внешней окружности
ЭИ(6. X)
— — =/(Х), (3.4.22)
а на внутренней окружности ЭИ(а, Х)/ЭЛ =0. Этот случай можно свести
к предыдущему тем же приемом, с которым мы имели дело в § 3.3. Обра-
зованная из неизвестной функции V другая гармоническая функция U =
-------будет удовлетворять условиям £/=/(Х) при R = b и 17 = 0 при
R = а, поэтому она даетоя уже известной нам формулой (19). В силу (3.3.7)
член с логарифмами в (16), (19) выпадает. Остается выполнить интегри-
рование:
U(R, X) И" ,
И= b J— dR = - - f Re In 0o(O/(X) d* =
/ In I + c°nst.
Подынтегральное выражение в (23) гармонично и сохранение условия
ДИ= 0 совместимо только с постоянными добавками, хотя вообще при
103
интегрировании по R пришлось бы добавлять произвольную периодическую
3. Смешанная задача. Даны значения потенциала (9) на внешней границе
и условие bV/bR = 0 на внутренней.
Начнем с метода Фурье. Легко проверяется, что каждой парс членов
с к = ± т в разложении (3.3.2) соответствует при т > 1 гармоническая
функция
удовлетворяющая нужному условию bV/bR= 0 на окружности R = а и
отличающаяся от (20) выбором знаков. Проследим за выводом (20),
но в обратную сторону. Ясно, что в (18) тоже надо на этот раз разности
поменять на суммы, а на место функции t0'o/0o становится
В несколько иной форме это выражение представляется как
Используя представление 0|(О (см. (8)) в виде бесконечного проиэве-
перепишем (25) следующим образом:
d , 01(Л\Г|)
11--- 1Л----г---- .
dl, hedl’.h)
Вместо (16) искомое решение получаем в виде
И = — /”ке I £ — In g|K) | Л*') dX.
2*о I di £(>„(£) I
где аргумент f и параметр /Г имеют теперь смысл
(3.4.26)
(3.4.27)
(3.4.28)
104
4 Другая смешанная задача. Даны значения нормальной производной
(22) на внешней окружности и условие V = 0 на внутренней. Этот случай
сводится к предыдущему. Возьмем опять вспомогательную функцию
R дУ
U =------При R = b имеем f/ = /(X). При R = а из условия V = 0 и урав-
b dR b dU 1 Э’И
нения Лапласа, которое приводится к виду — = 0, следует
—— = 0. Остается выполнить интегрирование выражения (27) с помощью
преобразований, аналогичных использованным при получении (23)'. При-
ведем окончательный результат
где h определяются по (28).
§ 3.5. Эллипс
От кольца можно перейти к эллипсу преобразованием [74]
на плоскости Z. Обратно, заданный эллипс
можно получить преобразованием (1) из кольца с произвольным внутрен-
ним радиусом а и внешним радиусом Ь=а(А + В)/с, где с = х/А2 - В2.
Отображение (I) теряет взаимную однозначность на фокальном отрезке
эллипса. Поэтому конформно преобразуется лишь внутренняя область
кольца во внутреннюю область эллипса, разрезанного между фокусами.
При сведении внутренних задач Дирихле и Неймана для эллипса к соответ-
ствующим задачам для кольца надо накладывать специальные условия на
его внутренней границе, поскольку двум комплексно-сопряженным зна-
чениям z (|z | =о) соответствует в силу (1) одна и та же точка фокаль-
ного отрезка эллипса. Указанные условия удобно формулировать отдельно
для четных и нечетных относительно координаты у потенциалов. В нечет-
ном случае вдоль большой оси эллипса V = 0. Поэтому и при переходе
к кольцу на его внутренней границе также И = 0. В четном случае соображе-
ния симметрии дают нулевое значение производной потенциала, взятой
перпендикулярно большой оси эллипса. Эта производная с точностью до
несущественного коэффициента совпадает с нормальной производной на
внутренней границе кольца (см. 3.3.17). Итак, при переходе к кольцу
в этом случае ЭИ/ЭЯ = 0 при R-a Решения соответствующих задач для
105
кольца были даны в предыдущем параграфе, и их использование примени-
тельно к эллипсу не представляет принципиальных затруднений, но доста-
точно громоздко. Поэтому перейдем к аппарату ортогональных разложений.
Соответствующие базисные функции получаются преобразованием (1)
из простейших решений уравнения Лапласа zik, In z. Обращением (1)
Нам подходят только непрерывные функции. Единственным способом
избавиться от особенностей на фокальном отрезке эллипса является пере-
комбинирование вышеуказанных частных решений. После отделения
вещественной и мнимой части получается набор гармонических функций
Uk = Re Tk(Z/c\ Uk=lmTk(Z/c), (3.5.5)
где Тк — полиномы Чебышева
ТМ =
(3.5.6)
Выражения (5) можно представить с помощью так называемых эллипти-
ческих координат. Их координатные линии внутри эллипса суть образы
окружностей и радиальных отрезков внутри кольца. В явном виде
Здесь и ниже х, у — декартовы координаты точки в эллипсе, Z
поэтому (4) переходите
Сетка кривых | z I = const и arg z = const конформным преобразованием
переводится в линии и = const и и = const.
В итоге система базисных гармонических функций состоит из некоторых
полиномов относительно х иу, по два полинома степени к (не считая триви-
ального случая к = 0) или, при использовании эллиптических координат и
и v, из функций
(3.5.8)
Использование декартовых или эллиптических координат диктуется кон-
кретными особенностями задачи. Удобство использования функций (8)
связано с их ортогональностью на контуре эллипса в терминах переменной
и - при использовании их выражений в декартовых координатах условие
ортогональности будет выполняться только свесом
(Я4х2 + А4 у2)~1,2 ds.
Сделаем некоторые замечания о геометрии эллиптических координат.
Переменная и может принимать любые положительные значения, и соответ-
ствующие координатные линии заполняют всю плоскость. Если же речь
106
идет о задачах, поставленных в эллипсе, интервал изменения и ограничи-
вается значением и = и0, отвечающим контуру этого эллипса. Другим
значениям и также соответствуют эллипсы
что становится ясным при исключении и из соотношений (7). Аналогичное
исключение и дает уравнения семейства гипербол
(3.5.10)
Каждая из них рассекается фокальным отрезком на четыре полуветви. Пуч-
ки этих полуветвей заполняют четыре квадранта плоскости, между которы-
ми распределяются интервалы (-я,-я/2), (-я/2,0), (0, я/2), (я/2, я) зна-
чений и. как для обычной угловой координаты.
Путем дифференцирования (7) получаем
ds2 = с2(ch2и - cos2v)(du2 + du2). (3.5.11)
При решении внутренней задачи Дирихле предположим, что функция,
выражающая граничное значение потенциала, разложена в ряд Фурье по
переменной и, сходящийся хотя бы в среднем квадратическом
f(v)
Так как внутри эллипса потенциал должен представляться суперпозицией
функций (8), то
“ / ch Au shAu \
V = S (Л*--------cosAu + Bjt ------sinAu). (3.5.13)
к = o \ ch Au о shAuo /
Аналогично решается внутренняя задача Неймана. Предварительно йадо
сделать пересчет от нормальных производных на контуре эллипса к произ-
водным по и. В соответствии с (11) имеем
дп с Veh2 и0 - cos2 и ди
Отождествим ЭИ/Эина границе эллипса с разложением (12). Почленный
подбор коэффициентов Фурье приводит к следующему выражению потен-
циала во внутренней области
Условием разрешимости задачи Неймана оказывается Ло - 0. что с учетом
(11) совпадаете (2.1.3).
Перейдем к внешним задачам. Последние решаются значительно проше.
так как непосредственно сводятся к соответствующим задачам для внеш-
ней области круга. Действительно, конформное преобразование (I) ника-
107
ких особенностей во внешней области не имеет и превращает область
\z | > Ъ во внешнюю область эллипса (3).
В эллиптических координатах в качестве набора базисных функций
на этот раз надо принять
1,и,е~ки coskv, e~kusinkv (fc = l,2,...). (3.5.16)
Выпишем решения внешних задач Дирихле и Неймана, заменяющие (13)
и (15) при тех же предпосылках относительно граничных значений V или
ЭГ/Эи:
V- £ e~kiu~u’\Ail coskv + B*sinkv)-2M(u-u0) (3.5.17)
для задачи Дирихле, а для задачи Неймана
V=- S — coskv +Вк sinkv) +Аои + const. (3.5.18)
Заметим, что в декартовых координатах функции (16) уже не являются
полиномами.
§ 3.6. Круговой и эллиптический цилиндр
В астрономии приходится иметь дело с сильно вытянутыми образова-
ниями, как например, мосты и хвосты, встречающиеся в группах галактик.
Для расчета удобно применять модель бесконечного цилиндра. Рассмотрим
сначала круговой цилиндр с уравнением поверхности хг +у2 = а2. Основная
трудность при решении задач Дирихле и Неймана связана с подбором базис-
ных функций. Если присутствует зависимость от z, они не выражаются в
элементарном виде. Предположим, что среднее по z значение V потенциала
V, рассчитанное в §3.3 в рамках плоской задачи, уже известно. Не умаляя
общности, считаем ниже V = 0, что фактически сводится к замене V на
V— V.
По азимуту X можно применить разложение в ряд, а по высоте z - в
интеграл Фурье. Частное решение уравнения Лапласа в цилиндрических
координатах (1.8.17) ишемв виде eikk + ‘,ZW(R), что дает для Нелинейное
дифференциальное уравнение
(3.6.1)
Для внутренних задач подходят только регулярные при R = 0 решения
(1), известные как функции Бесселя мнимого аргумента [2, 16]
Искомое частное решение имеет вид
Г=е'(*х+'1>4(/Я), (3.6.2)
где к — целое, / - произвольное вещественное число.
Для внешних задач нужно обеспечить обращение Wb нуль на бесконеч-
ности, что приводит к другому решению (1) - функции Макдональда
108
Kk(lR) [16]. Искомое частное решение принимает форму
1/=е'(‘х + '2)кк(«). (3.6.3)
Разложение произвольной гармонической функции по базису соответствен-
но (2) или (3) с суммированием по к и интегрированием по / не вызывает
затруднений,если заданы граничные значения.
Ддя эллиптического цилиндра перейдем от х, у к эллиптическим коорди-
натам и, v (3.5.7), оставив z неизменной. Уравнение Лапласа приобретет
форму
2 / Э2 V Э2 V \ д2 V
Д И = ----------------( —т + —z- ) +---------- = 0. (3.6.4)
с2(ch 2и —cos 2и) \ ди ди / dz
Частное решение уравнения (4) ищем в виде V = e,lz M(u)JV(u). Разделяя
переменные методом Фурье, придем к уравнениям
d2M (
(3.6.5)
+-L-Lcos2u\v=0. (3.6.6)
di? \ 2 1
Параметр Л длн каждого I должен определяться из условия однозначности
функции W(u) на окружности: Л/(2п) = N(0), N'(2ir) = Af'(0). Частные ре-
шения (6), удовлетворяющие этому условию, называются функциями
Матье [17]. При заданном cl существует бесконечная последовательность
функций Матье и соответствующих собственных значений h. При монотон-
ном изменении h чередуются четные и нечетные функции Матье.
Каждая из функций Матье должна комбинироваться с одним из решений
уравнения (5) с теми же А и cl. Выбор одного из двух его частных решений
для внутренних задач диктуется условиями непрерывности всего произве-
дения на фокальном отрезке. Как и при построении базиса (3.5.8) четная
функция У(и) должна комбинироваться с четной М(и) и нечетная с нечет-
ной. Для внешних же задач выбирается такая суперпозиция обоих решений
для М(и), которая стремится к нулю при и -► +°°. Решения уравнения (5)
принято называть модифицированными функциями Матье. Существует
большая справочная литература, посвященная функциям Матье и их прило-
жениям [17, 26,60].
§ 3.7. Трехосный эллипсоид
Вернемся к эллиптическим координатам и рассмотрим одно их свойство,
не связанное непосредственно с конформностью преобразования декар-
товых координат в эллиптические. Функция
при любом значении параметра s разлагается в произведение двух сомно-
жителей, один из которых зависит только от и, а другой только от и. Про-
109
верка достигается применением формул связи (3.5.7)
Если положить $ = (cshu0)2, то первый сомножитель обратится в нуль
на эллипсе и = и0, а если положить s = -(csinu0)2> то - второй сомножитель
на гиперболе и = и0 •
Из доказанного свойства выводится еще одно представление базисных
функций (3.5.8). Запишем стандартное разложение полинома Чебыше-
ва [26] на линейные множители в виде
cosu — cos-----
2k
Полагая в (3) и = iu, придем к тождеству
При четном к
ch£u = 2* ‘П I chu - cos
что после несложной перекомбинации сомножителей с учетом (2) ведет
к тождеству с точностью до несущественного постоянного коэффициента:
Uk(x,y) ~ chkucosku ~
Lс2 cos2 ((2/ - 1 )я/(2£))
с2 sin2 ((2/- 1)я/(2Лг))
ПО
При нечетном к один сомножитель в (3) и (4) остается непарным, так что
Lcjcos1((2/-IH(2*)) с2яп2((2/ — 1>/(2*»
Разложение на множители полинома Чебышева второго рода [26] влечет
тождества
sin*u=2* *sirw П fcosu-cos-
shfcu = 2* ’shu П (chu - cos-
Отсюда получаем второй набор базисных функций
(/^(х,у) ~ shfcusinfcv ~
c2cos2(/!r/t) c2sin2(/n/A)
'sin2(/jr/fc)
соответственно при четном и нечетном к.
Базисные функции всегда представляются произведением квадратичных
сомножителей вида (1) и, может быть, одной или двух сразу декартовых
координат. Подобное представление в рассматриваемом случае не обладает
особыми преимуществами перед выражениями (3.5.7) и (3.5.8), но пока-
зывает, если спрямить некоторые исторические зигзаги, путь обобщения
на высшие размерности.
В трехмерном случае при построении базисных гармонических функций,
удобных для задач во внутренней области эллипсоида, нет возможности
сослаться на конформные отображения. Аналоги представлений (5-8)
оказываются одним из лучших инструментов быстрого и эффективного
анализа свойств этих функций, хотя нужные коэффициенты и не удается
получить в явном виде.
В случае трехосного эллипсоида три декартовы координаты равно-
правны. Различные же вырожденные случаи приходится изучать особо.
При обращении одной из полуосей в бесконечность получаем, очевидно,
эллиптический цилиндр или просто эллиптическую область, если измене-
ния потенциала вдоль третьей координаты несущественны. Выводимые
ниже формулы непосредственно не применимы также к эллипсоиду враще-
ния и тем более к шару из-за необходимости раскрывать неопределенности.
Случай шара проще остальных и, так как он к тому же особенно важен,
мы посвятим ему специально гл. 4. Там же (§ 4.14) мы опишем и формаль-
ные переходы трехосный эллипсоид - эллипсоид вращения - шар.
Аналогом эллиптических являются в R3 эллипсоидальные координаты
Ламе [17, 25]. Для их определения построим опорный эллипсоид
(3-7.9)
Во всем дальнейшем будем предполагать а > b > с. Опорный эллипсоид
не обязательно совпадает с поверхностью той области, в которой ставится
конкретная задача, например, Дирихле или Неймана, но должен быть софо-
кусен этой поверхности. Условие софокусности оставляет в определе-
нии а, Ь, с одну степень свободы, имеющую, впрочем, чисто формальное
значение: геометрически система эллипсоидальных координат полностью
определяется заданием одной из эллипсоидальных координатных поверх-
ностей. В частности, можно положить с = 0 (аналогичным соглашением
мы фактически пользовались в двумерном случае). Мы оставим с > 0
произвольным, чтобы не нарушать симметрию общих формул.
По аналогии с (2) определим эллипсоидальные координаты X, д, v требо-
ванием, чтобы при любом s было справедливо разложение на множители
*2 У2 = _ (s - X)(s - - v)
(3.7.10)
s)(Z>2 +s)(c2
Если домножить (10) на общий знаменатель, придем к стандартному раз-
ложению полинома третьей степени относительно 5 на множители. Поэто-
му X, д, у являются просто корнями левой части, и (10) эквивалентно сис-
теме равенств
X2 у2 z2
Функция </?($) = —-- + —----- + — --------1 при фиксированных х, у, z
a2 +s b2 +s с2 +s 22
убывает от +°° до —в каждом из интервалов (-а2, —Ь2), (—Ь2, -с2)
и от +°° до -1 на полуоси 5 > -с2. Все корни <p(s), таким образом, отде-
ляются. Чтобы различать эти корни между собой в дальнейшем, примем
соглашение
-с2 <Х, -Ь2<д<-с2, -a2<v<-b2. (3.7.12)
Множество точек, отвечающих фиксированному значению какой-либо эл-
липтической координаты, есть поверхность второго порядка
где s означает X, д или у. Проследив за знаками коэффициентов, убеждаем-
ся. что поверхности X = const должны быть эллипсоидами, поверхности
д = const - однополостными гиперболоидами, и поверхности v = const -
двуполостными гиперболоидами. Все эти поверхности обладают одними
и теми же фокусами главных сечений.
Задание тройки допустимых значений X, д, v не определяет точку одно-
значно: требуется дополнительно указать, к какому октанту она принад-
лежит. Умножим (10) поочередно на (о2 +$), (Ъ2 + s), (с2 + s) и подставим
соответственно 5=-а2,-Ь2,-с2. Получим
(а2 -с2)(Ь2 -с2)
Итого ровно 8 точек для каждой тройки значений X, д, и, лежащих внутри
допустимых интервалов. Для полноты картины отметим еще крайние
случаи. Выход любой из величин X. д, v на границу своего интервала проис-
ходит лишь на координатных плоскостях, как ясно из (14). При х = 0
по непрерывности возможно только v + а2 =0, так как ни для д, ни для X
точка -а2 не является границей допустимой области. При у = 0 возможно
как v = -Ь2, так и д = -Ь2. Для различения этих двух случаев надо про-
следить за знаком вклада в <^(s) (s = д или р) от члена у2 (Ь2 + з)~1 с беско-
нечно малым у. Именно:
Аналогичные соображения показывают, что при z = О обращается в -с2
величина д или X по следующему правилу:
Построим систему гармонических функций в эллипсоидальных коорди-
натах. Гармонический многочлен Ф степени п ищем в виде
где а, (3, у могут принимать только значения 0 или 1, т - (и -
Допускаются только целые неотрицательные значения т; параметры
д2, .... Вт подлежат определению. Находим логарифмические производные
Э1пФ а т 1
---- = — + 2х S —;--------------.
Эх х / = 1 (я2 +»,)?(«/)
Э21пФ а т 1 „ ™ 1
----;— = — Т‘ + 2 S — ---------- - 4х2 S —;-------——-----.
Эх! х2 / = 1 (а’+»/>(»/) / = 1 (я +«;) ’(»/)
С учетом
после некоторых сокращений
1 ? ( 1+2а 1+20 1+2-Г \ 1
----ДФ = 1 I —-------- + —---- + —----- ------ +
2Ф /«Ла’+в, ft2+ez c2+flz/^(ez)
+ 1(я2 + в,)(я2 +в,) + (ft2 + 8,)(Ь2 + 8Z) +
+ (с2+в,)(с2+0/)]мЧв,Мв/) '
Слагаемые в квадратных скобках преобразуются следующим образом:
(а2 + в()(а2 + 0/) l^-6t\a2+et а2+0,7’
*2 + у2 + г1______________________М)-ф(9;)
(я2 + в,-)(я2 +e,)+(ft2 +8,)(ft2 +8,) (с2 +ez)(c2 + flz) 0,-0,
Выражение для ДФ/Ф распадается на члены, обратно пропорциональ-
ные Уравнение Лапласа будет удовлетворяться функцией Ф, если
приравнять нулю соответствующие коэффициенты, т.е. потребовать выпол-
нения условий
(3.7.16)
при каждом /. Система (16) допускает довольно простую вариационную
интерпретацию: она связана с задачей на максимум следующей функ-
ции т переменных
= п (я2+«х1 4 (ft2+e*)4 (с2+<**) 4 П (ez_e,).
1<к<т
Необходимо только оговорить область изменения аргументов. Считаем
величины 0т расставленными в порядке возрастания. Кроме
того, пусть первые г — 1 из них (1 <r<m + 1) принадлежат интер-
валу (-^2, _^2)» а остальные — интервалу (—£>2, -с2). Нетрудно видеть,
что непрерывная функция F обращается в нуль на границе определенной
таким образом области. Следовательно, внутри области максимум сущест-
вует и фиксирует некоторое решение системы (16). Единственность мак-
симума проверяется по вторым производным InF.
С учетом произвольности г доказано существование т + 1 решений
системы (16) и соответствующих гармонических многочленов. Наконец,
надо принять во внимание возможность изменения а, 0, у. Если п четное,
отдельно стоящий множитель в (15) может равняться xy,yz, zx или отсут-
ствовать вовсе. В последнем случае т = п/2, а в остальных т = (л - 2)12.
В сумме получаем
Зл ж
гармонических многочленов. Если же п нечетно, то степенной множитель
может иметь одну из четырех возможных форм: х,у,г или xyz с
т = (п - 3)/2 в последнем случае и т = (п - 1)/2 в остальных. Опять полное
число гармонических многочленов оказывается равным
Выражение гармонических многочленов Ф через эллиптические коорди-
наты X, д, v с помощью (10) и (14) не составляет особого труда. Получаем
разложения типа
Ф(х,у, г) = £(Х)М(д)ЛГ(д). (3.7.17)
Функции Ламе £(Х), 7И(д), N(y) построены аналогично одна другой.
Можно было бы обойтись даже единственной аналитической функцией
во всех трех интервалах изменения соответственно X, д и р, если бы не по-
меха в виде появления иногда мнимой единицы как множителя при анали-
тическом продолжении. Достаточно поэтому описать вид функции L(X).
Она представляет собой одно из восьми выражений
1, ч/Х + Л2, ч/х + с2, ч/(Х+а2)(Х + Ь2),
ч/(Х + а2)(Х + с2), л/(А + *1)(Х + С1), (3.7.18)
ч/(Х+а2)(Х + *2)(Х + с2),
умноженное на полином относительно X, степень которого т определяется
условием
где I — ненулевая константа.
Прежде чем перейти к описанию более тонких свойств функции £(Х),
л/(д), выведем некоторые метрические соотношения. Дифференци-
рование (14) приводит к следую>цим выражениям
; dx _ dX dfi dv
x Х+я2 д+я2 я + я2
dy dX du dv
2— =г? *—T +—T.
У X + b2 ц+b2 v + b2
dz dX dfi dv
2----- =-Г +----r +-----.
z X+c2 fi+c2 v + c2
Вычисляя ds2 — dx2 + dy2 +dz2, замечаем, что коэффициенты при произ-
ведениях дифференциалов двух разных эллиптических координат обраща
ются в нуль. Например, коэффициент при dXd/z равен
(Х+я2)(д+я2) (Х + Ь2)(ц + Ь2) + (Х + с2)(д + с2) =
-(-ГТ-ТТ’А)] -•
\Д + а д + Ь2 р + с2']
в силу (11). Остается
+ [ <р +в=У * + (д + е’)1
С учетом (14) после преобразований получим окончательно
. . 2 (Х-д)(Х-я)
4ds2 =-------------------—dX2 +
(X+ я2)(Х + 62)(Х+ с2)
(К-Х)(д-и) (р_Х)(р_д)
+ -------------Z---— dp2 +-------Т------------— dv • (3.7.20)
(д+д2)(д + Ь2)(м + с2) (v + fl2)(v + d2)(v + c2)
Координаты X, д, v оказываются ортогональными. Но переход от х, у, г
к X, д, v, в отличие от двумерного случая не является конформным, так
как никаким изменением шкал X, д, v нельзя сделать все три коэффици-
ента в (20) одинаковыми.
Обратимся к свойствам ортогональности семейства { Ф}. Напомним,
что гармонические многочлены Ф зависят не только от заданного показа-
теля п, но и от некоторых побочных параметров. Чтобы не писать многочис-
ленные индексы, будем отмечать один из двух независимых многочленов
<14
данного типа чертой сверху. По формуле Грина (1.7.13)
,,/ ЭФ -ЭФ\
И(ф— - Ф— )do = О,
5 \ дп дп /
(3.7.21)
где 5 - поверхность эллипсоида X = Хо. В силу ортогональности эллипсо-
идальных координат оператор Э/ЭХ также осуществляет дифференциро-
вание по нормали к S, отличаясь от д/дп множителем:
(3.7.22)
ЭХ 2 (X + а2)(Х + д2)(Х + с2) дп ’
как это следует из (20). Подставляя явные выражения гармонических
многочленов (17), получаем из (21)
rdL -dL]^_____________
э/(Хо - М)(Хо - v) L d\ d\ J
Выделенная квадратными скобками функция не сводится к нулю, иначе
было бы L~ldL/d\ = L~'dL/d\, L/L = const, Ф/Ф = const вопреки пред-
положению. Поскольку LdL/d\ - LdL/d\ постоянна на S, можно произ-
вести сокращение, сославшись в особых случаях на непрерывность по X.
Получаем искомое свойство ортогональности:
Я^(М)^(Р)^(Д)1У(Р)
s V(Xo - Д)(Хо - ")
Элемент поверхности da нетрудно выразить в терминах X, д, v с по-
мощью (20)
(3.7.23)
-(*o ~m)(Xq ~ у)
do =
-----:-------:------;-----------;-------Г"
(р + а2)(д + Ь2)(д + с )(к + о2)(и + 42)(х + с )
(3.7.24)
Выделенное™ одной из трех эллипсоидальных координат связана с тем,
что поверхности д = const и v = const не замкнуты и на них нет аналогичных
сходящихся интегралов.
Построенная система многочленов полна: любой гармонический много-
член представляется их линейной комбинацией. Доказательство разобьем
на два этапа.
1. Линейная независимость многочленов Ф. Зависимость между ними
при подстановке определенного X влекла бы за собой такую же зависи-
мость произведений что для ортогональных функций невоз-
можно.
2. Соответствие числа построенных многочленов до степени п включи-
тельно
числу возможных взаимно независимых гармонических многочленов
указанной степени. Последнее проверяется следующим образом. Берем
117
общий многочлен степени п
U(x,ytz)= Z qk(x,y)zn-
к =0
где многочлены qk имеют степень к, и накладываем условие ДС/ = 0. Полу-
чаем цепочку уравнений
bQk +(п-к + 2)(л - к + 1)<?* _2 = 0.
Члены с z в нулевой или первой степени можно задавать как угодно, а все
прочие определяются рекуррентным образом однозначно. Но qn и
qn _! вместе дают ровно
(л + 1)(л + 2)/2 + п(п + 1)/2 = (п + I)2
степеней свободы, что и требовалось доказать.
Теперь у нас в руках все необходимые данные для решения задач теории
потенциала. Решение представляется в замкнутой форме, если искомая
функция - многочлен, в противном случае требуется бесконечный ряд.
Внутренняя задача Дирихле. Заданы значения потенциала на граничной
поверхности И((Э) I х = л. = /(д, у)- Пусть /разлагается в ряд
Яд,р) = ZckMk(ji)Nk (р), (3.7.25)
сходящийся хотя бы в среднем квадратическом, где {£}— совокупность
всех индексов указанных функций. Коэффициенты ск находятся в соот-
ветствии с (3.1.2), (3.1.5) с учетом (23) по формулам
1 „/(м. ,
ск = — Я , — da,
ак s V(X0 -д)(Х0 - р)
„ Mk(j£)Nk(y)
ак = Я , .. —da.
s V(Xo -Д)(Хо -v}
(3.7.26)
(3.7.27)
При желании du можно заменить выражением (24).
Искомый потенциал равен
И= Z ckMk(ji)Nk(y) —*> . (3.7.28)
Аналогично при постановке задачи Неймана считаем заданной функцию
Э V/Ъп I х = \0 = /(д, у), затем находим ее разложение
Лм, р)--- 1 -2 ckMk(ji)Nk(y). (3.7.29)
V(X0 -g)(*o -v) k
Используя (22), без труда получаем решение
----, ‘ г- -Zck.-^-MMNM. (3.7.30)
2v4Xo+a2)(Xo+*2)(*о+с2) * it(*o)
Обращение знаменателей в (28) и (30) в нуль могло иы лишить эти
выкладки смысла, и следует предупредить возможные сомнения. При об-
суждении способа построения многочлена (15) мы уже видели, что все т
118
величин в/ принадлежат интервалу (-а2, -с2). Они по (10) оказываются
двойными корнями многочлена (£(Х))2, имеющего также а + 0 + ? прос-
тых корней в точках -а2,-Ь2 или -с2. Итого для многочлена степе-
ни п зафиксировано положение всех л его корней (с учетом кратности)
и других быть не может. В области за последним корнем, к которой при-
надлежат все допустимые значения Хо (по смыслу Хо > -с2), (£(Х))2 из-
меняется монотонно и через нуль не проходит. Обращения в нуль
£(Х0) и £'(Х0) не бывает. Из этого правила имеется единственное триви-
альное исключение и = 0, тогда £(Х) = const. Как и следовало ожидать,
оно связано с условием (2.1.3), без которого решение (30) задачи Ней-
мана не может быть построено.
В заключение выпишем в явном виде несколько первых много-
членов Ф.
п = 0. Ф = 1.
Л=1. Ф=Х, Ф=у, Ф=7.
п = 2. Три многочлена xy,xz,yz и еще два
где
301,2 = —(fl2 + Ь2 +с2)± Vfl4 + Ь4 + с4 - д2Ь2 — а2с2 — Ь2с2
п- 3. Один многочлен xyz, далее
где
501,2 = -(а2 + 2Ь2 + 2с2)± х/fl4 + 4Ь4 + 4с4 - а2Ь2 - а2с2 - 1Ь2с2
и еще две аналогичные пары.
§ 3.8. Внешние задачи для эллипсоида. Уравнение Ламе
Несколько иной подход позволяет рассмотреть задачи теории потенци-
ала, распространяющиеся на внешнюю область, и получить ряд побочных
сведений. Подставим в уравнение Лапласа (1.8.15) в произвольных орто-
гональных координатах масштабные множители из (3.7.20). Получим
уравнение Лапласа в эллипсоидальных координатах
(д - p)V(X + a2)(X + 62)(X + c2) ^-( \Z(X + e2)(X + i2)(X + c2)-^-) +
ЭХ \ оХ /
+ (у - X)\/(м + «2)(М + *2)(М + с2) VСм + «2)(д + Ь2)(д + с’)) +
+ (Х-д)7(* + я2)(^ + *2)(^ + с2) ^('/0' + о2)(‘' + Ь2)(>' + с2)—)=°-
(3.8.1)
119
Соотношению (1) удовлетворяет гармоническая функция (3.7.17).
После деления на Ф убеждаемся в равенстве
(д - и)Л(Х) +(р - Х)В(д) + (X - д)С(р) = 0. (3.8.2)
Здесь
Я(Х) = -V(X + e2)(X + *2)(Х + с2) — ( х/(Х + а2)(Х + 62)(Х + с2)—}
L ал \ </Х/
В(ц) и С(у) выражаются аналогичным образом. Согласно (2) Л(Х) - линей-
ная функция. То же верно для Ви С. Более того, речь идет об одной и
той же функции
Л(х) = В(х) = С(х) = Лх + р,
поскольку различие их коэффициентов нарушало бы (2). Отсюда заключа-
ем, что все три функции L (x),M(x),N(x) являются решениями одного и то-
го же уравнения:
х/(х + о2)(х + й2)(х+с2)-^-| V(x + a2)(x + Z>2)(x + c2)—] -
dx L dx J
-(Xx+p)lV = 0. (3.8.3)
Это и есть дифференциальное уравнение Ламе [17,25], имеющее подчас
несовпадающий вид в разных источниках из-за всевозможных подстановок.
Многие известные уравнения математической физики можно рассматривать
как частные или предельные случаи (3).
Иррациональность в (3) кажущаяся и исчезает при раскрытии квадрат-
ных скобок. Функция L(х) согласно (3.7.19) допускает разложение
£(х) = 1хпГ1 + /,х "l2-1 + .>. (3.8.4)
сходящееся по крайней мере при |х| > а2, что легко усмотреть из распо-
ложения особых точек уравнения (3). Подставляя (4) в (3) и следя за
старшими членами порядка n/2 + 1, убеждаемся в тождестве
й = л(л+1)/4. (3.8.5)
Но уравнение (3) с теми же значениями параметров Лир обладает еще
иным частным решением, которое можно записать в виде разложения
по обратным степеням х
Л(х)=х-<”+«/2+<71х-<л+3>/2 + ... (|х| >п2). (3.8.6)
Проверка показывает, что старшие члены в (3) автоматически компенси-
руют друг друга, а коэффициенты можно определять последова-
тельно. Существует и другой способ прийти к тем же выводам. По частному
решению уравнения второго порядка
d / dW\
+ <?«и' = 0
dx \ dx /
можно построить полное решение
120
В данном случае выбор частного решения, убывающего на бесконечности,
приводит к формуле для так называемой функции Ламе второго рода
о» dt
Л(х) = 1(х)/ ----— - (3.8.7)
X (Z.(0)2V(r + a2)(r + i2)(r + <:2)
что должно совпадать с (6) с точностью до нормировочного коэффициента.
Расположение корней функции L показывает отсутствие особенностей
подынтегральной функции (7) и, следовательно, аналитичность Л при
Выкладки, приведшие к уравнению Ламе, показывают, что наряду
с (3.7.17) решением уравнения Лапласа будет и произведение
Ф(х, У, z) = А(X)M(p)N(v). (3.8.8)
Оно не имеет особенностей во внешней области и убывает на бесконеч-
ности как г~п~ 1, поскольку множители Л/(д), N(y) сохраняют один и тот же
порядок, а X ведет себя асимптотически как г2 (см. (3.7.11), где на боль-
ших расстояниях величинами а2. Ь2 . с2 можно пренебречь в сравнении с X) .
Применение функций Ф к внешним задачам Дирихле и Неймана не отли-
чается от схем предыдущего параграфа, только вместо £(Х) в (3.7.28)
и (3.7.30) употребляются функции А(Х), отвечающие тем же па-
рам (п, р). Надлежит еще проверить отсутствие нулевых знаменателей.
Знакопостоянство А(Х)при X > -с2 видно из (7). Для анализа поведения
производной обратимся к уравнению (3). Если функция £(Х) регулярна
в точке X = - с2, то подстановка этого значения в (3) дает
(а2 -с2)(Ь2 - c2)L'(-c2) = 2(p - hc2)L(-c2).
Так как £(-с2) и £'(-с2) одного знака, то р-Лс2>0. Аналогично,
если /,(Х) = \/Х + с2 £,(X) и функция £((Х) регулярна при Х = —с2,то
3 , , , , , , а2 + ft2 - 2с2
-(а2 -с2)(62 - c2)L\(-c2) +---------------£,(-с2) =
= (р- Лс2)£,(-с2)
с тем же результатом. Тем более
р + Лх>0 (х>-с2). (3.8.9)
Теперь легко установить монотонность Л. Без ограничения общности мож-
но считать Л(х)>0 при х>—с2 и lim Л(х) = 0. В любой стационарной
точке Л’(х) = 0 из (3) следует
О + а2 )(х + Ь2 )(х + с2 )Л"(х) = (р + Лх)Л(х) > 0,
что совместимо лишь со строгим минимумом. Но функция с указанным
поведением не может иметь только минимумы. Окончательно,
Л'(х)<0 (х>-с2). (3.8.10)
Скажем вкратце о прямом вычислении функций Ламе L.M.N, ми-
нующем определение величин по схеме предыдущего параграфа. В (3)
можно подставить 1V(X) в виде полинома, умноженного на одно из выра-
121
жений (3.7.18). Из этих восьми выражений четыре допустимы при чет-
ном п и четыре - при нечетном. Для коэффициентов полинома получается
система линейных уравнений, условием разрешимости которой служит
некоторое алгебраическое уравнение для собственных значений р. При
фиксированных п и р на роль £, М, N может быть пригодно, с точностью
до постоянных множителей, только одно частное решение дифференциаль-
ного уравнения (примесь второго решения (7) испортит алгебраичность).
Поэтому 2n+ 1 возможным для данного л функциям L должно соответ-
ствовать 2л + 1 различных собственных значений р.
§ 3.9. Альтернативный способ определения вспомогательных функций
Сказанным не исчерпываются средства построения функций L и связан-
ных с ней величин. Наметим еще один путь расчетов. Введем функцию
U(x) = ' . - - X
з/(-Х + а 2)(х + Ь2)(х + с2)
,. (Г (f + Odf
Inn f
т - “ '1 ч/(г + а2)(г + *2)(г + с2)
(3.9.1)
зависящую от параметра £. Перемножая биномиальные ряды, придем к
представлению
°° dir + &£ir
С/(х)= 2 хк , (3.9.2)
сходящемуся при достаточно больших |х |. Коэффициенты и зависят
только от а,Ь,с, но не от х и причем ех =0. Аппроксимируем трансцен-
дентную функцию U рациональной
У(х) = + О(х-2т-2), (3.9.3)
£(х)
где L - полином заданной степени m, a Q - полином на единицу меньшей
степени. Перепишем (3) в виде
У(х)£(х) = 2М + О(х‘'п“2). (3.9.4)
Если
£(х) = £ р„х", Q(x) = \'о„х", (3.9.5)
п =0 л =0
то аппроксимационное соотношение с учетом (2) сводится к т равенствам
+ fe*)pt+„ = a„ (л = 0,1.т -1), (3.9.6)
определяющим коэффициенты полинома Q, когда у f они уже известны,
122
и к системе т + 1 однородных уравнений
Е (d* + £е*)р*_„ =0 (л = 1,2,.... т + 1)
(3.9.7)
для коэффициентов L . Их определение возможно в том, и только в том
случае, когда определитель системы (7) обращается в нуль. Это дает
для { уравнение степени т + I.
Докажем, что полиномы! при соответствующих значениях I совпадают
с построенными ранее L.
Для доказательства обозначим корни определенного сейчас полино-
ма £ через 8!, е2,. Разложение дроби в правой части (3) на простей-
шие дает
С7(х)= Е + О(х-2™-2)
/ = 1 х - в.
(3.9.8)
Применим к (1) и (8) операцию, состоящую из двух умножений
на у/(х + а2)(х + Ь2)(х + с2) и вклинивающегося между ними дифферен-
цирования по х. После элементарных преобразований получаем
-(х + 0+ g.
Г (х+а2)(х + б2)(х + с2)
L (х - 8/)2
] = О(х-2т).
Зх2 + 2(а2 + Ь2 + с2)х + а2Ь2 + а2с2 + Ь2с2
2(х - в,)
Начнем со сравнения членов первой и нулевой степени по х
gj—2,
Остается сравнение правильных дробей
т , Г (0/ + |
t S 8/(в/ + в’)(0/ + *а)((’/ + е )[
(х - в,)2
(3.9.9)
= О(х~1т).
Общим знаменателем левой части будет многочлен (Z (х))2 степе-
ни 2т. Этим, кстати, устраняется сомнение, не будут ди некоторые корни
кратными: тогда знаменатель имел бы меньшую степень и нужный порядок
дроби не получился бы.
Указанная в (9) асимптотика требует, чтобы после приведения к общему
знаменателю числитель сводился к некоторой постоянной Я. Тогда нетруд-
но написать разложение на простейшие дроби. Если принять коэффициент
123
при старшем члене L за I, то
Н _ ______________Я____________
(£(х))2 (х - в,)2 .. .(х - в,,,)2
(3.9.10)
Простейшие дроби в (9) и (10) должны попарно совпадать:
£/(0/ + а2)(0/ + 02)(6/ + с2) = ЯП (^-б/)-2,
+_1_ + _2_) ;
Подстановка g/ из первого соотношения во второе приводит к (3.7.16)
при а = 0 = 0, что и требовалось доказать. Величины g/ после определе-
ния находятся однозначно, выполнение предыдущих соотношений дан-
ного параграфа гарантируется.
Обратимся к построению Л. Оказывается, надо взять с коэффициен-
том у/(х + + 62)(х + с2) остаток от аппроксимации (4)
Л(х) = >/(x+o2)(x + »2)(x+c1)(</(х)£(х) - С(х))
Для доказательства продифференцируем выражение
Л(х)/£(х) = Vtx+o’Xx + i’Xx+c2) (1/(х) - й(х)/£(х)).
Пользуясь (1), получим
d ( Л(х) \ _ *(х)____________________
dx \ £(х) / V(x + а2 )(х + 42 )(х + с2 )(£(х))2
где К — некоторый многочлен.
В соответствии с (3) Л/£ асимптотически имеет порядок х~2т~1^2,
а после дифференцирования, соответственно, х”2"’”'3/2. Это значит, что
К сводится к постоянной и Л представляется уже известным нам выраже-
нием (3.8.7).
Рассмотренные выше полиномы L составляют только один из восьми
возможных типов этих функций. Но во всех случаях выкладки аналогичны.
Полагаем
£(х) = (х fa2)“/2(x + »2)«2(х + ?)2'2£,(х)
(а, 0,7 принимают значения 0 или I) и ишем вместо (3) аппроксимацию
более обшего вида
(х + «’ )“'2 (х + <>* )"’ (х + х’ )7'2 UM = + О(Х - 2” - 2),
Доказательство того, что получается именно нужная функция L, прово-
дится по прежнему плану. Формула (I I) также остается в силе.
Как явствует из (1). Л представляются комбинацией алгебраических
функций с эллиптическими интегралами первого и второго рода.
§ 3.10. Потенциалы эллипсоидальных слоев
В приложениях часто возникает вопрос о потенциале масс, распреде-
ленных по поверхности определенного эллипсоида Х=Х0. Найдем набор
частных решений таких задач. Потенциалы (3.7.17) и (3.8.8) нормируем
так, чтобы вместе они образовали всюду непрерывную функцию. Получим
внутренний потенциал
Ui(x.y,z) = L(X)M(n)N(p)A(X0), (3.10.1)
и внешний потенциал
Ue(x.y,z) = L(X0)M(p)JV(v)A(X). (3.10.2)
На самой эллипсоидальной поверхности X = Хо возникает скачок нормаль-
ной производной. Его величина согласно (1.6.14) пропорциональна плот-
ности слоя. С учетом (3.7.22)
dUe
дп
1 /(Xo^^MXot^XXptc2) / at/, _ ас/, \
2 я (Хо - д)(Х0 - и) \ дХ дХ /\=\0
_ 1 у(Хо+а2)(\,+Ь2)(Х<.+с2) х
2х V (Х„-р)(Хо-v)
X Л/0,)ЛГ(к) [£’( Хо) Л(Х„)—L (Хо ) А'(Хо )]
Ради некоторого упрощения сошлемся на равенство
77х+в>)(Х + а’)(Х + с2)[£'(Х)Л(Х) - £(Х)Л'(Х)] = С (3.103)
(С = const), являющееся, в сущности, дифференциальной формой (3.8.7).
Значение С зависит от конкретной нормировки. Если принять
£(Х) = Х"/’+..., Л(Х) = Х-<"<да + ... .
(3.10.4)
то подсчет вклада старших членов в левую часть (3) дает С= (2л + 1)/2,
6_ 2л 11
411 х/(Хо -Я)(Хо — *0
Такова плотность слоя, создающего потенциал (1) и (2). В общем случае
плотность 5 предварительно следует разложить в ряд типа (3.7.29).
§ 3.11. Прямоугольный параллелепипед (брус)
Обозначим в этом параграфе пространственные координаты в R3 через
х{. Условимся, что нижний индекс может принимать любое целое значение
при отождествлении х, =хк, если /- к делится на три. Это поможет сокра-
тить в 6-8 раз (по числу граней или вершин бруса) число нижеприводимых
формул в сравнении с обычной записью.
Задачи теории потенциала для внутренней области параллелепипеда Т
можно решать с помощью двойных или тройных рядов Фурье. Рассмотрим
сначала применение тройных рядов. Типичный случай - решение уравнения
Пуассона с нулевыми граничными условиями. По заданной непрерывной
и удовлетворяющей условию Липшица в TU5 функции к требуется пост-
роить функцию И, непрерывную в TUS вместе с первыми производными,
удовлетворяющую уравнению
ДИ(0) = -4як (0GT) (3.11.2)
и граничному условию И| s =0.
Покажем, что V представляет собой потенциал, соответствующий объем-
ной плотности к", распространенной на все пространство по следующему
*(*/) = (-1Г * +т» к((-1Г'х,), к(х, + 2Д/) = к(х,)-
Более наглядно: к"(х/) получается из к (xj) всевозможными последо-
вательными отражениями в зеркалах X/ =0, X/ = a/f причем каждое от-
дельное отражение меняет знак функции на обратный, а четное число отра-
жений, соответственно, восстанавливает этот знак (трехмерная шахматная
доска). Интеграл
K(xj)dT
взятый по всему пространству, сходится при соблюдении некоторых мер
предосторожности. Именно, расширение области интегрирования надо
производить по целым ячейкам вида 2 (к/ -1)о/ <х/ <2Л/О/. Вклад в
интеграл от удаленной ячейки убывает как -
сходимость (3) обеспечена.
j основном параллелепипеде (1) функция (3) удовлетворяет нужному
уравнению Пуассона. Наконец, расширенная плотность к по определению
126
антисимметрична относительно всех граничных плоскостей, служащих
зеркалами, что автоматически распространяется и на значения интеграла
(3). Следовательно, И = 0 на любой из граней (1). Функция (3) дает иско-
мое решение задачи.
Чтобы найти для V разложение Фурье, предполагаем, что таковое задано
для плотности к хотя бы в смысле сходимости в среднем квадратическом
*(*/)= * с*,*,*, (3.11.4)
fff l‘fxl^(.xi)dxldx2dx,.
где введено обозначение
nkiXi nk2X2 nk3x3
ip(xt) = sin ---- sin ------- sin------- .
Удобнее исходить прямо из уравнения Пуассона, чем опираться на явное
представление (3). Умножим обе части (2) на тригонометрический мно-
житель ^(х,) и проинтегрируем по всему брусу (1). По формуле Грина
(1.7.13) интеграл от сводится к интегралу от V &р, а поверхностные
члены в данном случае исчезают. Остается
-n2hfjf V(xl)ip(x/')dT = -4ir
Искомое разложение имеет вид
И(х,) = ^ t f * =! ‘Y’** У(Х,)' (311’7)
Ряд сходится равномерно во всем брусе. Для доказательства достаточно
применить неравенство Коши-Буняковского с учетом тождества Парсе-
валя (3.1.8)
Ш к2(х,)</т =S
и сходимости ряда ЕЛ "2.
Перейдем к задаче Неймана. Определим коэффициенты Фурье гармони-
ческой в Т функции V, удовлетворяющей на S условиям
K(aa/tx/+bx/+2) =
дх.
где а равно нулю или единице.
127
Достаточно опять сходимости рядов (8) хотя бы в среднем квадратичес-
ком. Положим в (1.7.13) и=ф, где
Ф(Х/) = cos -------- cos--------- cos ---------- .
Интегрирование по T и S дает
-7г2А J/JK(x/)V/(x/)d7= S
(3.11.9)
где 6/ = 1, если kt = 0 и 6/ =2, если Л/ > 1. Запишем стандартное трехмер-
ное разложение Фурье функции V по косинусам:
?(*/)-----------2* 6i6263 ф (xf) fff V(x') i//(x')dr' + const.
*1*3*. т (3.11.10)
Звездочка поставлена, чтобы исключить набор =к2 = к3 =0. При Л >0
тройной интеграл нужно заменить суммой (9). При нулевых kitk2,k3
(9) переходит в необходимое условие разрешимости задачи Неймана
Используя неравенство Гёльдера, легко показать, что (10) сходится
абсолютно и равномерно в Т, если сходятся ряды
при некотором а <2. Последнее условие требует минимальной гладкости
от левых частей (8). Напротив, для задачи Дирихле аналогично получаемые
тройные ряды не обладают в общем случае свойством абсолютной сходи-
Перейдем к двойным рядам. Проще всего получить их из тройных,
используя тождества [26]
ch X(ff - | r | )
(3.11.12)
• . cos kt
При решении уравнения Пуассона с нулевыми граничными значениями
можно подставить (5) в (7), воспользоваться элементарным тождеством
пкХ . ккх _ ик(Х — х) itk(X + x)
128
и затем первой из формул (12) для суммирования по . Получаем
sin (я к2 х2 /а2) sin (я к3 х3 /а 3)
4ajh] shnaj/ij
X ! sh ях,Лi///sh[я(оi -X,)h,J sinsin~3*3 к(XMXxdX.dX> +
1 ' a2 a2
+ sh[ff(flj -Xi)h2 J fff shffXjAisin —**** X
T a2
nk3X3 1
X sin -----K(Xt)dXidX2dX3 ,
a3
(3.11.13)
где h( = x/k]^la2l+l + k\+2la]+2- В силу равноправия всех трех координат
можно начинать суммирование с индекса к2 или к3. В любом случае ос-
тавшаяся двойная сумма, вообще говоря, не вычисляется в достаточно
простом ваде.
Для преобразования (40). куда подставлены коэффициенты (9), ис-
пользуем обе формулы (12)
+ const, (3.11.14)
где звездочка означает, что пропускается член с обращением одновремен-
но обоих индексов в нуль. Напоминаем о необходимом условии разре-
шимости (И), эквивалентном (2.1.3).
Обратимся к задаче Дирихле. Пусть заданы граничные значения
И(ав6х/+1,хн
(3.11.15)
(а равно нулю или единице). непрерывные
чая ребра и вершины.
Построим семейство функций
на всей поверхности 5, вклю-
( пк|+|х|+1 1гк1+2х1+2
sin ---------- sin----------- (х/ = алг);
/т(е)=
I О (Xt^aaj).
(3.11.16)
Функции семейства зависят от i 6 {1, 2, 3), a G{0,1), */+1 е К/ + 2 €
G W. Указатель т можно рассматривать как мультииндекс (/, а, Л/+,, Л/+2),
или как обычный индекс, линейно нумерующий функции (16) в каком-
либо порядке.
9. В.А. Актонов
129
Нетрудно видеть, что на S непрерывны и образуют полную ортого-
нальную систему. По каждой из граничных функций (16) удается пост-
роить гармоническую в Т функцию, принимающую на S предписанные
значения:
у =sin nkl+ixl-n хкН2хН2 shx/i,[ax, + (1 - g)(a, - x,)]
at+2 shirajh/
(3.11.17)
уже не ортогональные на Т.
Пусть/(С) = V(Q) | Qes разложена по базису fm
f(Q)=Zcmfm(Q) (Q<=S)
хотя бы в смысле среднеквадратической сходимости. Соответствующий
ряд функций в брусе
и(б) = 2сткш(е) (еег)
сходится локально-равномерно, как было показано в § 3.2, п. 2. Таким
образом, решение задачи Дирихле с граничными условиями (15) предста-
вимо в форме
sh я h, [ах, + (1 — а) (д, - аг,)]
shira/hi
§ 3.12. Полнота систем гармонических многочленов
Свойство полноты относится не просто к системе базисных функций,
а к паре "базисные функции + область”. Это взаимное соответствие облас-
ти и заданного в ней базиса хорошо видно на примерах предыдущих па-
раграфов и помогает избежать кропотливой процедуры ортогонализации.
В XIX веке старались строить базис так, чтобы он с самого начала был
ортогонален в данной области, пусть даже за счет некоторого усложнения
самих функций. Доказательство полноты таких классических систем
содержится в руководствах по специальным функциям.
В наше время начинает проявляться и другая тенденция: ограничи-
ваться системами по возможности простого вида для широкого класса
различных областей [51,85].
Несоответствие между исходными функциями и областью, выражаю-
щееся в необходимости специальной ортогонализации и, возможно, худ-
шей сходимости ряда (3.1.10), не играет особой роли при использова-
нии ЭВМ. Зато сравнительная простота интегралов (3.1.1) существенно
облегчает программирование. Достаточно простым примером базиса в
пространстве гармонических функций являются гармонические много-
У гармонических многочленов тоже есть "наиболее естественная” об-
ласть определения - это шар (с натяжкой - эллипсоид). Для шара до-
130
казательство полноты проходит довольно легко, см. далее § 4.1. Здесь мы
дадим доказательство для произвольных областей без пустот, т.е. для
областей с замкнутой связной границей. Теоремы, аналогичные нижеприве-
денной, неоднократно доказывались, как об этом уЖе упоминалось в преди-
словии - см., например, [83].
Теорема 3.12.1. Пусть Т - область без внутренних пустот; функ-
ция V равномерно в Т аппроксимируется суммами (1.1.3), подчиненными
единственному условию rt е Т, где Т = R3\ (TU S). Тогда V равномерно
в Т можно аппроксимировать гармоническими многочленами.
Класс допустимых условиями теоремы гармонических функций весьма
широк. В него входят все потенциалы объемных внешних масс с интегри-
руемой плотностью; потенциалы поверхностных, линейных и точечных
масс, если их носители отделены от S; все гармонические в Г и непрерыв-
ные в Т U S функции в случае выпуклости Т по отношению к какой-либо
своей точке (см. § 2.13).
Доказательство достаточно дать для простейшего потенциала
ме. е') = - — = (3.12.1)
V(x-x')2+(j-j')2+(z-z')2
отдельно взятой точки Q' G Т. Разложим К как функцию точки Q в ряд
(1.11.4) однородных гармонических многочленов, сходящийся при т < г'.
Обший член ряда Кл представим суммой линейно-независимых гармони-
ческих однородных многочленов Апк степени п
K{Q,Q')= JI* Bnk(Q')Ank(Q) (r<r) (3.12.2)
с некоторыми коэффициентами Bnk, зависящими от положения точки Q' .
Число слагаемых внутренней суммы 2п + 1 = (n + I)2 - п2 подсчитано
Ортонормируем на Т последовательность Ао i, A i ltA l2, A j 3,Л2 j... .
по схеме § 3.1. Перейдя к единому нумерационному индексу тп, полу-
чим из (2)
K(Q.Q') = bm(Q')am(Q) (r<r‘)
(3.12.3)
где ат - снова гармонические многочлены, вообще говоря, неоднородные.
Частные суммы ряда (3) совпадают с частными суммами (2) при т =
= (л+1)2.
Если наложить на Q условие
/>D, (3-12.4)
где D - расстояние от начала координат до наиболее удаленной точки 5,
то ряд (2) будет на Т сходиться равномерно и, тем более, в среднем квад-
ратическом. Ввиду указанного совпадения частных сумм свойство сходи-
мости в среднем квадратическом переносится и на ряд (3), а коэффи-
циенты Ьт оказываются коэффициентами Фурье
b„(Q) = Ш K(Q. е') (3.12.5)
131
По определению (1) Ь„, - внешний потенциал распределенных в Г объем-
ных масс. Поэтому Ь,„ гармоничны и при г' -+<» стремятся к нулю.
Что изменится, если отказаться от условия (4), но сохранить более
слабое Q 6 Т 7 Определим Ь,„ равенством (5). Относительно ряда в пра-
вой части (3) мы теперь не знаем, какую функцию он изображает, но в
силу неравенства Бесселя (3.1.7), для которого полнота системы функций
не обязательна, можем быть уверены в сходимости в среднем квадрати-
ческом на Г и поэтому, как указано в § 3.2, в любой внутренней точке Т.
Изучим зависимость скорости сходимости от Q' . Если сумму ряда (3)
обозначить через К (Q, Q' ), а частные суммы через (Q, Q'), то в силу
неравенства Бесселя
lira Jff[^(Q.Q')-Km(Q,Q')]2dT= lim Е (Me'))2 = 0
(Q(=T, Q'fET). (3.12.6)
Сходимость в (6) монотонна и в силу теоремы Дини [46] равномерна
по Q' в любой замкнутой области, целиком лежащей вне TU S. Свойство
равномерности в силу (1.13.12) переносится со среднеквадратической
на обычную сходимость в точке Q. Но функции Кт (Q, Q'), как и bm (Q'),
гармоничны по Q' , гармонична и предельная функция £((), Q' ) {посколь-
ку сходимость по Q' в конечных областях равномерна). Наконец, А?(0,2') =
= (С» Q' ) в области (4). Принцип аналитического продолжения влечет
их совпадение при Q' G Т. Итак, при Q' G Т тождество (3) верно в смысле
среднеквадратической сходимости в Г и, следовательно, равномерной схо-
димости во всяком компакте, лежащем целиком внутри Т. Так как мы
могли бы с самого начала взять вместо Т несколько более широкую об-
ласть, не затрагивающую фиксированную в (1) точку Q' , то нам обеспе^
чена равномерная в Т аппроксимация К (0, Q' ) полиномами типа Km (Q, Q ).
Теорема доказана.
В заключение подчеркнем важность отсутствия внутренних пустот -
в них нельзя проникнуть издалека аналитическим продолжением. Легко
убедиться в несправедливости теоремы при положении (?' во внутренней
полости. В противном случае аппроксимирующие гармонические много-
члены сходились бы не только в Т, но и в Т, полученной добавлением к
Т всех полостей. Тогда K(Q, Q') стала бы гармонической по Q в Т, что
заведомо неверно.
ГЛАВА 4
РАЗЛОЖЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА ПО СФЕРИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ
приложениях теории потенциала в астрономии и геодезии чаше всего
встречаются тела почти сферической структуры. Их потенциалы можно
представлять разложениями по специальным, так называемым сфери-
ческим функциям. Аппарат сферических функций является частным слу-
чаем общего аппарата ортогональных разложений, рассмотренного в пре-
дыдущей главе. Однако сферическим функциям уместно посвятить отдель-
ную главу ввиду их важности, обстоятельной изученности и ряда побочных
приложений.
§ 4.1. Определение сферических функций
Начнем с теоремы, показывающей специфику случая шара и имеющей
многочисленные приложения. В этой главе, если не оговорено противное,
через Sa обозначается сфера радиуса а, а через S - единичная сфера.
Теорема 4.1.1. Пусть Т означает шар х2 + у2 + г 2 ^а2, Sa — его гра-
ница. Тогда для любого полинома f (х, у, z) степени п можно подобрать
гармонический многочлен V(x,y,z)
V=fna Sa.
Доказательство основывается на
классе функций вида
«(x.y,z)=/(x.y,z) + (a2 -X2
той же или меньшей степени так, что
вариационном принципе. Ищем V в
-z2)g(x,y,z), (4.1.1)
2. Функционал (2.4.1) в данном
где g - многочлен степени не выше п
случае оказывается определенно положительной неоднородной квадратич-
ной функцией конечного числа переменных, в роли которых выступают
коэффициенты многочлена g. Поэтому минимум L (f) всегда существует.
Как ив §2.4, но для более узкого класса функций, определяем вариацию
функционала по отношение к экстремальному значению V
£1(И + 5И)-£1{И) =
= 2 Я/ grad V grad 5 У dr + fff (grad 6 У}2 dr =
= 2 J//div(5 И grad y)dr-2fff ЛУ6^т + fff (grad S K)2dr.
т T T
Первый интеграл правой части сводится к поверхностному и обращается
в нуль, поскольку 8И= (а2 -х2 -у2 -z2)8g = 0 на Sa. Для выполне-
133
ния условия экстремальности следующий интеграл должен обращаться в
нуль при произвольной допустимой функции 6 И, в том числе при 6 V = Д V.
Это возможно только при Д V = 0, что и требовалось.
Теорема 1 остается в силе и для эллипсоидальной области, надо только
в доказательстве заменить везде а2 —х2 -у2 -г2 на 1 -х21а2 - у2 /Ь2 -
— г2/с2.
В сущности данная теорема утверждает, что при полиномиальных гра-
ничных условиях внутренняя задача Дирихле для шара интегрируется в
конечном виде. Другое дело - конструирование решения задачи Дирихле
или родственных ей наиболее удобным образом, о чем еще будет речь
в последующих параграфах.
Подчеркнем фундаментальную роль полиномиальных решений уравне-
ния Лапласа. В § 1.11 установлено, что потенциал масс, расположенных
как угодно в области г >ах fa >а), в самом шаре г равномерно ап-
проксимируется гармоническими многочленами. По теореме 1 это верно
и для любой гармонической внутри шара функции V, лишь бы она остава-
лась непрерывной на его границе. Действительно, по теореме Вейерштрасса
в замкнутой области г возможна равномерная аппроксимация V после-
довательностью многочленов ft,ft,.... Конечно, нет гарантии, что эти
многочлены будут гармоническими. Но согласно теореме 1 можно пост-
роить уже гармонический многочлен V„, совпадающий с/„ на Sa. Посколь-
ку (см. § 1.12)
max | V — K„| = max| V- V„ | = max | V - f„ |< тах|Г-/„|,
5аиТ Sa S„ SeUT
то гармонические многочлены К„ образуют искомую аппроксимирующую
последовательность для V.
Нет настоятельной необходимости подробно изучать свойства произволь-
ного гармонического многочлена: ведь совокупность членов определенной
степени по х,у, г в нем также является гармонической функцией, притом
более простой. Перейдем к полярным координатам - тогда в любом одно-
родном многочлене выделится степенной множитель. Таким образом,
произвольный однородный гармонический многочлен V„ степени п пред-
ставляется в виде
Vnfay.z)=r"Yn(?,X). (4-12)
Появляющаяся при этом функция Yn(9 одних только угловых пе-
ременных называется сферической функцией порядка п. Удобно считать
ее функцией точки Q на единичной сфере. По общим правилам инверсии,
решением уравнения Лапласа является также
r-'-'YM)
с той же функцией Y„. Выражения (2) и (3) называют соответственно внут-
ренней и внешней шаровой функцией. Они играют роль строительных кир-
пичей при составлении потенциалов, порождаемых распределениями масс
в дополнительной области, и вообще гармонических функции.
Целесообразно изучать детальные свойства Y„ именно как функции на
сфере вне связи с трехмерными задачами теории потенциала. Исходным
пунктом является разделение переменных в операторе Лапласа. Как видно
134
из (1.8.16), в полярных координатах Д распадается на две части:
где оператор D содержит только угловые координаты
Ь*------------I SU! (7 - I Т --J-- --- . (4.1.3 I
sinG Э0 \ Э0/ sin20 ЭХ2
Везде в дальнейшем, если не сделано специальных оговорок, оператор D
применяется к дважды непрерывно дифференцируемым функциям на
сфере.
Выражение (5) неудобно из-за неопределенности в полюсах и вообще
их формальной выделенное™, между тем как определение D инвариантно
по отношению к любым вращениям. Более удовлетворительно выражение
D = J2 +J2 + J2 , (4.1.6)
где введены операторы поворота вокруг координатных осей
* 3z Зу ' у Эх дг ’ ‘ Зу Эх
Операторы (7) можно применять не только к функциям на R3, но и к
функциям на Sr : для Jz, например, безразлично, считать ли z незави-
симой переменной, или связанной с х,у соотношением z2 =г2 - х2 -у2.
В полярных координатах этому отвечает отсутствие дифференцирования
по радиусу
Зв
ЭХ ’
дв
sin в
(4.1.8)
ЭХ ’
* ЭХ ’
Справедливость (6) проверяется непосредственной подстановкой в (4)
с учетом
Зу
Эг2
Эу2
2xz Э2 2yz Э2
г2 дхдг г2 дудг
Можно, конечно, просто получить (6) из квадратов (8). Векторный опе-
ратор/ с компонентами (7) равен векторному произведению г X grad.
135
Поэтому г Jf совпадает с касательной составляющей градиента grad Tf,
повернутой влево на я/2.
Каждый из операторов Jx,Jy,Jz отвечает дифференцированию по ази-
муту, соответствующему повороту вокруг указанной оси. Поэтому не-
сложное интегрирование по частям дает для двух произвольных функций
на сфере
fffDgda = fffJi gda + fffj’gdo + fffJi gda =
= + JyfJyg+JJJtg)do,
или
fffDgda = -ff gradr f gradTgda. (4.1.9)
В этой главе символ ff (-)da, если не оговорено противное, означает интег-
рал по поверхности единичной сферы. Ввиду равноправия fug
fffDgda = ff gDf da. (4.1.10)
Другое следствие (9) - знакоопределенность оператора D
SffDfdo = -ff(.lwlTf?do < 0. (4.1.11)
§ 42. Свойства полноты и ортогональности сферических функций
Действие радиальной части оператора Д на шаровую функцию (4.1.2)
или (4.1.3) сводится к умножению на и(и+ 1)г~2. Сферическая функция
оказывается собственной функцией сферической части оператора Лапласа
OYn=X„Yn (4.2.1)
с собственными значениями
Хл=-л(и+1), л = 0,1,2,... (4.2.2)
Задание п не определяет еще однозначно сферическую функцию, поскольку
из проведенного в § 3.7 подсчета независимых гармонических многочленов
следует, что (1) удовлетворяется семейством функций, линейно завися-
щим от 2п+ 1 параметров. Обозначение У„(О будет относиться к произ-
вольно выбранной ненулевой функции этого семейства. Существенно,
что наряду с X„(G) в него входит и любая функция типа Y„(JQ), где J -
оператор произвольного вращения. Самосопряженность (4.1.10) оператора
D вместе с (1) влечет
О = ff(Y„D Ym-YmD Y„)da = ( Xm - Х„)// Г„ da ,
откуда следует ортогональность сферических функций
Л Yn Ymda = o (п*т). (4-2-3)
Для наугад выбранных сферических функций одного и того же порядка
ортогональность не обязательна. Однако внутри семейства { У„ ).с данным п
всегда можно выбрать ортогональный базис, притом бесконечным множест-
вом способов. Наиболее употребительный подробно рассматривается в
следующем параграфе.
Ортогональная система сферических функций подобна системе тригоно-
метрических гармоник на окружности. Например, (1) есть аналог
136
уравнения
а его решения cos пХ, sin лХ спарены в том смысле, что преобразуются друг
в друга при вращении окружности. Похоже устроено (2л + 1) - параметри-
ческое семейство функций Yn. Разумеется, поведение сферических функ-
ций сложнее. Тригонометрическим разложениям посвящена обширная
литература. Свойства сферических функций разбираются реже, и они дос-
таточно специфично связаны с теорией потенциала, чтббы уделить им вни-
мание. Сведения из § 3.1, 3.2 дают лишь ориентировку в свойствах и при-
менениях ортогональных систем. В частности, сходимость разложений мы
исследуем здесь на более строгом уровне, достигнутом в основном благо-
даря работам А. Пуанкаре и А.М. Ляпунова.
Прежде всего изучим вопрос о полноте системы сферических функций.
Как и для трш онометрической системы, он решается в положительном
смысле. Действительно, в предыдущем параграфе уже показано, что по
заданной на сфере непрерывной функции f можно подобрать гармоничес-
кий многочлен Vn со сколь угодно малым значением невязки max I f - Vп |
на сфере. После группировки членов одинаковой степени в Vn(x,y, z)
получаем применительно k/(Q) аппроксимацию типа Уо (б) + У» (б) + • • •
. . .+ Уп(0) с наперед заданной точностью, что и требовалось доказать.
На основе указаний § 3.1 приходим к выводу: любая суммируемая с квад-
ратом функция на сфере допускает, и притом единственное, разложение
по сферическим функциям
/(G)~nfo Мб), (4-2-4)
сходящееся в среднем квадратическом. Оно именуется рядом Лапласа,
хотя, как мы уже отметили, строгий анализ сходимости - достижение более
поздней эпохи. Общий член (4) зависит от выбора функции / и является
результатом действия на нее некоторого линейного интегрального опе-
ратора Y,,:
Y„ - Y„f. (4.2.5)
Непосредственное следствие (4) и (5) - равенство
fffgdo^ J{Y„fY„gdo (4.2.6)
и его частный случай
Jff2do= S Я(Г„Г)2Л. С4’2'7)
п=0
представляющие собой конкретизацию формулы Парсеваля (3.1.8). Из
единственности разложения (4) легко заключить, что
Y„’-Y„ (4-2.8)
'(этим свойством в функциональном анализе характеризуются так назы-
137
ваемые проекционные операторы) и
Уп Ут = Ут Yn = 0 (и Ф т) (4.2.9)
Явное выражение Y„ мы дадим в § 4.4.
Вообще говоря, линейные операторы нельзя переставлять местами,
однако Yn коммутируют не только друг с другом, но и с любыми враще-
ниями в пространстве. Это следует из того, что классификация сферических
функций по индексу п инвариантна по отношению к вращениям. Безраз-
лично, сначала ли повернуть сферу с заданной на ней функцией, а потом
совершить разложение (4) или же сделать это в обратном порядке.
Производная по азимуту X от однородного многочлена по x,y,z сохра-
няет степень и свойства гармоничности, т.к. (4.1.5), (4.1.4) влекут
ЭХ ЭХ ’ ЭХ ЭХ
(4.2.10)
При почленном дифференцировании левой и правой частей (4) получается
разложение по сферическим функциям для Э//Э X. Кратко это записывается
так:
JYn = (4.2.11)
Из (11) следует
/1/2Ул=/1К„/2 = ит.д.,
а в силу (4.1.6)
DYn = Y„D. (4.2.12)
Здесь Jk ~ оператор дифференцирования по азимуту, отвечающему враще-
нию ВОКруГ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОСИ Ifc.
Подставим в (7) вместо f вектор Jf, совпадающий с grad rf с точностью
до поворота. С учетом (11)
//(grad7./)2da= £ //(gradry„/)2do. (4.2.13)
П=О
Используя тождество (4.1.9 ), находим
J/(gradr/)2da = - S ffY„fDY„fda,
п=0
или с учетом (1)
J/(gradr/)2do = £ n(n + l)J/(r„/)2da. (4.2.14)
л=0
Способ вывода (14) показывает его справедливость для всех функций с
квадратично суммируемым градиентом.
Докажем отсутствие посторонних решений уравнения (1). Пусть для
функции /, не сводящейся к нулевой, и некоторого числа X справедливо
P/=V.
Применение оператора Y„ в силу (12) и (1) дает
ХУ„/= r„D/=Z>r„/= -и(л + 1)У„/. (4.2.15)
138
Среди функций Ynf с разным п хотя бы одна не сводится тождественно
к нулю, иначе это было бы верно и для исходной f из-за (7). Фиксируем
значение п, отвечающее такой нетривиальной Ynf, тогда сравнение левой
и правой частей (15) дает Х = — л(л+1). Для всякого другого значения
индекса
X Гг./=-/п(т+ 1)Гт/=*
=> [л(л + 1) - т(т + 1)] Ym f= 0 => Ym f= 0 (т ¥= л).
Ряд (4) сводится к одному слагаемому f = Ynf, т.е./оказывается сфери-
ческой функцией, что и требовалось доказать.
В заключение параграфа обратим внимание на важное следствие того
факта, что функции Yo = const отвечает нулевое собственное число опера-
тора D. В результате не существует гладкой функции на сфере с квадратич-
но суммируемой Df, удовлетворяющей уравнению
Df=\. (4.2.16)
В противном случае согласно (12)
DYJ= Y0Df= Го(1) = 1, (4.2.17)
поскольку единица - сферическая функция нулевого порядка. С другой
стороны, в силу (1), (2) DY<J = 0 вопреки (17).
При допущении особых точек решения (16) уже можно построить -
например, /(0) = — In sin в
§ 43. Свойства многочленов и присоединенных функций Лежандра
В геодезических и других практических приложениях используется
конкретный вид сферических функций, связанный с определенной систе-
мой координат 0,Х. Рассмотрим более внимательно уравнение (4.2.1)
с оператором (4.1.5). Естественно напрашивается мысль — отделить пере-
менную X. Сферическую функцию, пропорциональную cos кХ или sin кХ,
принято называть элементарной сферической функцией или сферической
гармоникой по аналогии с одномерным гармоническим анализом. По
соображениям однозначности параметр к должен быть целым числом.
Итак, рассмотрим сферическую гармонику
(cosкХ , „ .
(4-31)
sin fcX
Подстановка в (4.2.1) дает обыкновенное дифференциальное уравнение
---- ----(sin 0 ----)------— X + л(л + 1)Х = 0.
sin0 dS \ d6 / sin20
(4.3.2)
Стандартная замена х = cos 0 приводит (2) к виду
(4-3.3)
139
Начнем со случая к-0, когда (3) превращается-в дифференциальное
уравнение Лежандра
г d*X dX
dx2 ~ dx ' }
Непрерывное при х = ±1 решение (4) - полином Лежандра степени п -
дается формулой Родрига
Выбор числового множителя произволен, но мы следуем общепринятому
соглашению для уменьшения коэффициентов. Проверка решения (5)
выполняется следующим образом. Вспомогательная функция
как показывает взятие логарифмической производной, удовлетворяв!
уравнению
Продифференцировав его п + 1 раз с использованием правила Лейбница,
получим
(4.3.6)
Функция dny!dxn с точностью до несущественного множителя совпадает
с (5), а само уравнение (6) сводится к (4), что и требовалось доказать.
Раскрывая бином (х2 - 1)л и вычисляя n-ю производную, придем к яв-
ному выражению многочленов
(-ОЧгп-ЗД! . ._2?
Z
где квадратными скобками отмечена целая часть числа.
Перейдем к рассмотрению случая к ¥=0. При к = 1,2,. . . , п уравнение
(3) также допускает непрерывное на концах промежутка [-1,1] частное
решение
называемое присоединенной функцией Лежандра. Она является много-
членом степени п, если к - четное, или иррациональной функцией в про-
тивном случае. Проверка решения осуществляется, по предыдущему об-
разцу. Продолжив дифференцирование (6) еще к раз, получаем
Перейдем к переменной АГ= (1 -х2)к/2</"**^/</У», пропорциональной
Рп (х) • После несложных вычислений мы, действительно, прихоттим к урав-
нению (3).
Надлежит еще проверить образование при помощи указанных решений
соответствующих гармонических многочленов. Функция Yn(0 ,Х) соглас-
но (1), (8) определяется вещественной или мнимой частью величины
Y„ (в, X) = sin к9 и/я _ * (cos 0) е,к К,
где Wn_k - многочлен указанной степени, имеющий ту же четность, что
и л - к. Перейдем обратно к декартовым координатам:
После элементарных сокращений rnYn оказывается многочленом степе-
ни п. Это и будет искомый гармонический многочлен. Таким образом
получаются все 2л + 1 возможных взаимно независимых гармонических
многочленов (независимость автоматически следует из ортогональности,
см. ниже). Ни из каких других решений уравнений (3), (4) невозможно
получить новых гармонических многочленов. Но эти посторонние решения
встречаются в других областях математической физики, при этом неизбеж-
ны разрывы, по крайней мере в одной из граничных точек отрезка [—1,1],
как показывает подробное исследование [25].
Продолжим вывод основых свойств многочленов и присоединенных
функций Лежандра. Как уже упоминалось, они имеют определенную чет-
ность относительно х, совпадающую с четностью л - к. Все коэффициенты
выражаются рациональными дробями. Определим значения Рп в граничных
точках.Вычисляя в (5) производную от (х2 -1)"=(х+1)я(х-1)л по
правилу Лейбница и замечая, что только один из получающихся членов сво-
боден от множителя х - 1, находим
По правилу четности
Совершенно аналогично устанавливаются соотношения
Из (8) следует ?к (± 1) =0 при к> 1. Займемся вопросом о внутренних
корнях функций Лежандра. Так как функция (х2 - 1)" вместе со своими
производными до порядка л - 1 включительно в обеих граничных точках
± 1 обращается в нуль, то по теореме Ролля первая производная хотя бы в
одной внутренней точке равна нулю. К получающимся отрезкам снова
применяем теорему Ролля и устанавливаем наличие уже не менее двух
корней второй производной и т.д. Продолжая процесс, устанавливаем
в конце концов наличие л различных корней функций Р„(х), принадле-
жащих интервалу (-1. + 1). Как многочлен степени л, она не может иметь
141
большего числа корней. В частности, в области х> 1, которую в некоторых
вопросах также приходится рассматривать, Р„ сохраняет постоянный
(положительный) знак.
Но теорему Ролля можно применять и далее. Для функций ------Рп(х),
dx
~—^Рп(х),... последовательно гарантируем наличие п - 1, л - 2,... кор-
ней внутри основного отрезка. В отличие от предыдущего рассуждения,
крайние отрезки должны каждый раз отбрасываться, поскольку Р^(±. 1),
Р"„(± !)• • • не нуль, до тех пор, пока не будет сделано и + 1 дифферен-
цирований. Заключаем о существовании у Р„ ровно л - к различных внут-
ренних корней (не считая х = ± 1), так как большего их числа опять-таки
алгебра не допускает.
Обратимся к свойству ортогональности полиномов Лежандра. Оно эк-
вивалентно частному случаю (4.2.3), когда У„ и Ym в (1) берутся для зна-
чения индекса Л = 0. Все же дадим и непосредственное доказательство
ортогональности
} P„(x)P„,(x)dx = 0
-1
(и # т),
(4.3.12)
опираясь на формулу Родрига. Вообще, многообразие возможных подхо-
дов то с одной стороны, то с другой весьма характерно для теории сфе-
рических функций.
Без ограничения общности считаем т < п. Кроме того, удобно рассмат-
ривать равенства (12) как следствие более простых
} xmPn(x)dx = 0 (т<п),
-1
(4.3.13)
ссылаясь на то, что Рт (х) есть линейная комбинация степенных членов
хт,хт~2.......
Для доказательства (13) применяем интегрирование по частям т раз
и замечаем, что граничные члены каждый раз обращаются в нуль:
2пп! } xmPn(x)dx = } хт -^г(х2 ~ V"dx =
= -т } хт'1
-1
При т < п последнее выражение, а вместе с ним и интеграл (13), обрашает-
142
ся в нуль. В целях нормировки рассмотрим и случай т = п.
} ХПPn(x)dx f (1-X2)"</X =
-1 -1
, 2" + 1(л!)2
= 2-в(л + 1>п + 1)=___. (4.з.14)
Из (7), (12), (14) выводим
1 (2л)! 1 2
SiPn{x)PMdx--^ ^x^Mdx--—,
т.е.
) \Рп(хУ\Чх = —— . (4.3.15)
-1 2л + 1
Вытекающее из (4.2.3) соотношение ортогональности для присоеди-
ненных функций Лежандра
/ Р*(х)Р* (x)dx = 0 (m*n) (4.3.16)
также можно получить как следствие более общего свойства
/ (1-x2)*'2/(x)P*(x)dx = 0, (4.3.17)
где / — многочлен степени не выше л - к - 1. Для доказательства введем
многочлен q (х) = (1 -х2)*/(х) степени не выше п + к - 1 и проинтегри-
руем (17) несколько раз по частям (верхний индекс в скобках - номер
производной). Получим
} q(x)P^\x)dx = - } q'(x^k-l\x)dx =
... = (-!)* f q»\x)f„Wx, (43.18)
что аннулируется согласно (13), гас. - многочлен меньшей, чем п,
степени. Чтобы получить нормировочное соотношение, положим f(x) =
<j(x) = (1-x2)*Pf*> (х), и вычислим старший член q^(x)
по "(7)
?lfc)(x) = (-!)*
(2n)!(n + fc)!
2" (л!)2 (л — Аг)!
Подстановка в (18) с учетом (14) дает
f (P*(x))2dx= —?—
-1 2л + 1
(л + fc)!
(л - *)!
(4.3.19)
143
Первые полиномы Лежандра находятся очень просто по (5) или (7) :
А>(х)=1, А(х)=х, Р3(д-) = 1(Зх2 - 1), Рэ(х)=1 (5х3-Зх).
Значения дальнейших членов этой последовательности при заданном х
можно определить с помощью рекуррентной формулы. Для ее вывода
заметим, что многочлен
*(х) = (и + 1) Рп + i (х) - (2 л + 1) хРп(х )
в силу (7) имеет степень п - 1 и поэтому перекомбинированием членов
может быть представлен в виде суммы
<^(х) = аР„ _ j (х) + (ЗРп _ 2(х) + . .. . (4.3.20)
С другой стороны при т < п — 2
J<p(x)Pm(x)dx =
= (л + 1) f Рп + x(x)Pm(x)dx - (2л + 1) fPn(x)xPm(x)dx = 0
согласно (3). Подставив сюда разложение (20) и воспользовавшись соот-
ношениями ортогональности (12), убеждаемся, что все коэффициенты
упомянутого разложения, начиная с (3, обращаются в нуль. Остается
Хл 11)Ря + 1(х)-(2л + 1)хР„(х) = аРя_1(х).
Значение а можно найти подстановкой конкретного значения х = 1,
и мы получаем искомую рекуррентную формулу
(л + 1) Рп +,(X) - (2л + 1) х/>„(х) + лРп_!(х) = 0. (4.3.21)
Если известны, например, Рг (х) и Р3 (х), по (21) можно вычислить Р4 (х),
многочленов
Указанные рассуждения приложимы к семействам многочленов, орто-
гональных с любым весом: три последовательных многочлена одного
семейства всегда связаны линейным соотношением, где средний многочлен
умножен на некоторую линейную функцию х. В частности, это верно для
. . Предыдущим методом, привле-
кая (11) и результат к - кратного дифференцирования (7), легко находим
после умножения на (1 — х2)*^2
(л + 1 - ^РХ + 1(х)-(2л + 1)хР£(х) + (л+Л)Р*_1(х) = 0. (4.3.22)
Получим формулы для производных многочленов Лежандра. Функция
^(х) = Р'п + i(x) - Pn-i(x)> как многочлен степени п, должна представляться
суперпозицией многочленов Лежандра до порядка п включительно. Но при
1(х)] Pm(x)dx = 0,
144
поскольку при интегрировании по частям граничные члены исчезают из-за
Pn + iC1 О =/>л-1(± О- Отсюда вытекает, что в разложении ф(х) присут-
ствует только одно слагаемое ф(х) = aPn(xYЧисло о находится сравнением
старших членов с учетом (7)
Разложение отдельно взятой функции Р‘п(х) по полиномам Лежандра
с помощью (23) сводится последовательно к разложению Рл_2(х), Рл_4(х)
и т.д., пока не получится тривиально определяемая величина. В итоге
при л четном,
р; (х) = (2 л - 1 )Рп _,(х) + (2п - 5) Рп_ з(х) + . . . + 5Р2(х) + Р0(х)
(4.3.25)
при п нечетном. Складывая (24) и (25), найдем
(4.3.26)
Из (23) следует формула для первообразной
(2n + l)yP„(j)d> = />„tl(x)-P„_1(x) (л> 1), (4.3.27)
где для определения постоянной интегрирования достаточно было учесть
Рл + 1(-1) = Рл_1(-1). Точно так же интегрирование (3) при к = 0 дает
(4.3.28)
что вместе с (27) позволяет записать
(2л + 1)(1 -х2)/>;(х) = п(л + 1)[Р„_1(х)-Р„ + 1(х)|. (4.3.29)
Иной способ вывода позволяет обобщить (29) на присоединенные
функции. Произведение (1 - х2)[/£(х)]' поедставляет собой многочлен
степени л -к + 1, умноженный на (1 -х2)*'2. Комбинированием сРл + 1(х)
можно исключить старший член и аналогично (20) прийти к разложению
(2л + 1)(1 -х2)[Р*(х)]' + л(л + 1-№ + 1(х) =
(4.3.30)
При m < л - 2 интеграл
,(x)dx =
= —(2л + 1) fPUM — ((1-х2)Т>‘(х)| dx
-1 dx
MPkmMdx
обращается в нуль в силу (17), (16). Следовательно, в правой части (30)
10. В.А. Антонов
145
остается только один член. Коэффициент а при нем можно найти, поделив
(30) на (] -х2)*/2 и подставив х = 1. С помощью (11) окончательно полу-
чаем*)
(2л + 1)(1 -х’)(2*(>с)]' = (л + 1)(л+*)/>; + 1(х)-л(п + 1-1к)/* + 1(х).
(4.3.31)
В качестве примера приложения подобных формул определим значения
интегралов
hnk=S (1 -x2yp*(x)dx (4.3.32)
(допускается полуцелое s). Умножим (31) на (1 -х2)'и выполним
слева интегрирование по частям
2(2л + l)(s +1) J х(1 -x2yp*(x)dx =
= (п + 1 )(п + к) I, л _ J f k - п (п + 1 - k} ISi п + ! ( к.
С другой стороны, умножение (22) на (1 -х2У с последующим интегри-
рованием дает
(2л + 1) / х(1 - x2)'P*(x)dx = (л + 1 - *)4.„ + 1,t + (л +*)/,.„-!, к.
Сравнив последние тождества, находим
(л + 1 — *)(л + 2s + 2)/, „ + l t = (л+*)(л — 2s -1)4,(4.3.33)
Рекуррентной формулы (33) достаточно для вывода всех/,„* .начиная
с/Jtk, поскольку/JnS = 0 при нечетном л-к по нечетности подынтеграль-
ной функции (32). Значение Iakk легко находится непосредственно
Pf(x) = (2fc-!)!!(!-х2У'2,
(2k-l)!!(2s+fc)!l
(2s+* + l)!! ’
= (2k-l)!!f(l-x,y**/Idx = A
(4.3.34)
(4.3.35)
где Л =2 при четном*: + 2s, А = it в противном случае; принято 0!!- (-1)!! -
= 1. С помощью (33) получаем при л = к (mod 2), л > к
(и+*-!)!!(* +2s)!!
(л - *)!!(л + 2s + 1)!!
snk
(л — 2s—2)(л — 2s — 4).. .(* —2s),
(4.3.36)
где, как обычно, пустое произведение (л — 2s — 2). . . (к — 2s) при к п
считается единицей. Компактная запись последнего множителя различна
в зависимости от расположения и, к, S. Именно,
•) Обратим внимание, что аналогичные (31) формулы (162), (163) монографии
[25] ошибочны. Правильную формулу см. в [60] (8.5.4).
146
при четном п — 2s, к < 2s < л — 2;
(л+ к — 1)!!(к + 2$)!!(л —2j —2)!!
/”“‘~А (n-t)!!(n+2s + l)!!(*-2s-2)!! (4-3.38)
'•Пк ’(-1 ’ («-*)!!(« + 2s+ 1)!!(2,-л).. <4-3-39)
при п < 2s + 1. Наконец, при* + 1<2а<л-3и нечетном п - 2s
, = (_1)(2,-**1)л А (" + * ~ !)!!(* +21)!!(2а -*)!!(„ - 2д-2)!!
(n + 2s + l) •!(«-*)!•
(4.3,40)
Заметим, что при ненулевом Jfnk можно пользоваться любой из формул
(38) - (40), если условиться, что
(_в)!! = (_0<в-О/г_1_ (4.3.4!)
при а > 1.
§ 4.4. Классификация сферических гармоник
Из (4.2.3) при т = 0 следует
// Ynda = 0 (л =# 0) (4.4.1)
и ясно, что сферическая функция при л > 1 должна менять знак. На распо-
ложении линий перемены знака основана общепринятая классификация
базисных функций.
а) Зональная гармоника отвечает к = О
lrn(0,X)=PB(cosd). (4.4.2)
Области знакопостоянства - сферические пояса, эоны. Их разделяют л
нулевых параллелей, как это следует из свойств корней полиномов Ле-
жандра.
б) Тессеральные гармоники получаются при k s 1,2,... ,л - 1 и имеют,
следовательно, вид
Yn = Pj(cos0)cos кХ или P£(cos0)sinkX. (4.4.3)
Каждая такая функция обращается в нуль на л - к параллелях и к меридиа-
нах, если считать большие круги, или 2к меридианах, если считать их от
полюса до полюса. Области Уя>0 и Yn <0 располагаются в шахматном
порядке, отсюда и название (лат. tessera - плитка). Всего тессеральных
гармоник с данным л имеется 2 (л - 1). Такая же картина с точностью до
поворота наблюдается у нормированной комбинации обеих рассматривае-
мых гармоник вида
у„ = Р* (cos в) cos к(\ - Х„). (4-4-4)
в) Секториальные гармоники, получаются при к = ли имеют вид Yn =
= Сп sin"0 cos пХ или Сп sin"в sin иХ,
Сп=(2л —1)!!. (4.4.5)
Они обращаются в нуль только на 2п дугах меридианов, которыми сфера
разбивается на сектора поочередно с Yn > 0 и Yn <0.
Внутренняя ортогональность стандартного базиса при п = const является
просто следствием ортогональности тригонометрических функций. На-
пример,
Я[Pj(cos в) cos кX] [Р*«(cos 0) cos к j X] da =
= jP„(cos0)P*»(cos0)sin Odd f cos fcX cos kx X dX = 0 (k±kx).
Из ортогональности сферических гармоник следует точно такая же орто
тональность соответствующих гармонических многочленов в шаре г <1,
степенные множители гп не меняют дела.
Нормировка стандартных сферических гармоник непосредственно
следует из (4.3.19) :
Xf[>S.(e)]sda = —(4.4.6)
2п + 1
для зональных и
_ 2я (л+Л)!
Я(Гя(2)Р^ = —— -----------— (4.4.7)
2л + 1 (л - к)'.
для тессеральных и секториальных гармоник. В некоторых математических
исследованиях, впрочем, предпочитают нормировку на единицу или пло-
щадь сферы 4я.
Произвольная сферическая функция Yn порядка л должна представлять-
ся суперпозицией гармоник
r„= Е (4.4.8)
где индекс s введен нами для перечисления гармоник с одним и тем же
главным индексом л. Единообразного соглашения о порядке, в котором
должны ставиться члены в сумме (8), не существует.
Для произвольной функции f(Q) надо добавить еще одно суммирование
Ё S (4.4.9)
п = О 5 = О
с некоторыми постоянными спв. Если речь идет о функции f(r, Q) в про
странстве, то при ее разложении г играет роль параметра
f- Z спа(г) Ynt(Q). (4.4.10)
Обычно в ряде (9) группируются вместе сферические функции одного
порядка, и (9) принимает форму ряда Лапласа (4.2.4). Умножим (9) на
148
YnoW' M “ Pn (cos0) и проинтегрируем по сфере с учетом нормировки
(6). Получаем коэффициент при зональной гармонике
2л + 1
сп0 = —----fff(Q) Pn(cos в)do. (4.4.11)
4п
С другой стороны, поскольку на полюсе 0 = 0 все другие гармоники обра-
щаются в нуль, внутренняя сумма в (9) сводится к одному слагаемому
2л
cnsYns 10 = о = слоЛ1(О = Сло- (4.4.12)
Сопоставление (11) и (12) позволяет выразить в интегральной форме
значение общего члена разложения (4.2.4) в северном полюсе. Вспомним
теперь об инвариантном характере выделения/„У в (4.2.4). Значение в
произвольной точке Q будет найдено, если в нее поместить полюс и употре-
бить зональную гармонику с наклонной осью. Окончательно,
Y„ f(Q) = -^^-/J/(e')^(cos 7)do'. (4.4.13)
где у - угол между направлением на Q и переменную точку интегрирова-
ния QПочленное интегрирование законно по крайней мере для многочле-
нов. Справедливость (13) для любой суммируемой с квадратом функции
устанавливается предельным переходом.
Соотношение (13) с учетом (4.2.8) показывает, что многочлен Лежандра
Рп играет роль дельта-функции Дирака в классе сферических функций
порядка п. Но, главное, из (13) следует, что свойства разложения (4.2.4)
вытекают из свойств Рп, на изучение которых мы и обратим главное
внимание, не исследуя подробно присоединенных функций.
Если f не зависит от долготы, то в (9) остаются лишь зональные гар-
моники
/(0)- Z c„Pn(cos0) (О<0<я), (4.4.14)
ч = 0
где согласно (11)
/ r(0)Pn(cos0)sin0J0=^-!- f f(x)P„(x)dx. (4.4.15)
Здесь х = cos 0, f(x) = /(0). ^отношения (14), (15) можно получить и
непосредственно с учетом (4.3.12), (4.3.15). Ряд (14) именуют рядом
Фурье-Лежандра и записывают обычно в форме
7(Х)~ спР„М (-1<х<1). (4.4.16)
В заключение этого параграфа выведем из (13) так называемую теорему
сложения сферических функций. Положим в (13) /= Yn.
Yna(Q) = Я Yns(Q')Pn(cos y)do'. (4.4.17)
149
Ho Pn(cosy) - сферическая функция порядка п (опять-таки по свойству
инвариантности относительно вращений сферы), и она должна разлагаться
в конечную сумм)' (8). Обычный способ выделения коэффициентов cs
при ортогональных членах приводит к интегралам типа правой части (17),
но с переменой ролей Q и Q'. С учетом нормировки (6), (7) это дает
после несложных выкладок
P„(cos у) = Pn(oos 0) Pn(cos в ’) +
+ 2 Z ---------— P^(cos 0) Pj(cos 0') cos k(X - X’),
к = 1 (n + fc)!
где по определению угла у
cos у = cos 0 cos 0'+ sin 0 sin 0' cos(X — X').
(4.4.18)
(4.4.19)
Формула (19) оказывается, кстати, частным случаем (18) при и = 1.
§4.5. Свойства функций Лежандра (продолжение)
Рассмотрим гармоническую в шаре г <R функцию /. Как выяснено
в § 1.11. f голоморфна при | г | <R и поэтому разложима в ряд Маклорена
Яг,0)= Z rnYn(Q) (4.5.1)
п = О
с коэффициентами Yn, зависящими от направления Q. Применим опера-
тор г2 Д = —(г2 —Д +D почленно к обеим частям (1)
Эг\ дг/
0= £ г"[л(л + 1)Ул+РТя].
По теореме единственности ряда Маклорена выражение в квадратной
скобке равно нулю, так что справедливо (4.2.1), и Yn - сферическая функ-
ция. Таким образом, для гармонической в шаре функции разложение (1)
по степеням г и разложение (4.4.10) по сферическим функциям совпадают
и представляют собой разложение по шаровым функциям (1), сходящееся
внутри шара. Ряд (1) можно почленно дифференцировать при I г I < R по
любым направлениям и любое число раз. Для производных по г это -
эбшее свойство рядов Тейлора. Но и производная по любому направлению
приводит лишь к неопасному степенному множителю, как это следует из
неравенства А.А. Маркова [45] для произвольного вещественного много-
члена Тп степени п:
max | С max< J Т„(х) |. (4.5.2)
Аналогичные утверждения верны и для гармонической вне шара функ-
ции, обращающейся в нуль на бесконечности,
Укажем важное применение выведенного свойства. Потенциал массы М,
расположенной на оси z в точке г = а, разложим в ряд Маклорена (1). По
симметрии. (1) содержит лишь зональные гармоники
м
\ja2 + г2 — 2ar cos 0
= М Z ^anrnPn(cosO)
Для определения <хп положим 0—0, когда левая часть сводится к геометри-
ческой прогрессии (а - г)'* 1 = Z "л" *. В результате
п = 0
+ г2 — 2дг cos g J/^—^hCcosO) (lrl<«) (4.5.4)
Полагая в (4) а = 1, М = 1, cos 0 = х, r = t. получим
Левая часть (5) называется производящей функцией полиномов Лежандра.
Производящей функцией в математике называется функция, у которой
последовательность коэффициентов разложения в степенной ряд дает неко-
торые заданные величины (в данном случае Рл(х)). Многие свойства поли-
номов Лежандра могут быть выведены из (4) - примеры см. ниже. В ряде
руководств изложение теории сферических функций и полиномов Лежанд-
ра начинают именно с определения производящей функции. Продифферен-
цируем (5) m раз по х
(2m- 1)!! tm
(1 + t2 - 2tx)m
(4.5.6)
Законность' почленного дифференцирования по-прежнему оправдывается
неравенством А.А. Маркова (2). Из (6) и (4.3.8) находим
(2™
Мы получили производящие функции (6), (7) для производных полиномов
Лежандра и присоединенных функций Лежандра. Функции (5), (6) сводят-
ся к биному при х = ± 1, что приводит другим путем к соотношениям
(4.3.9) - (4.3.11). Подобное свойство имеет место и при х = 0:
I (-1)*(2*+2ш-1)!!
(1+,2)т*1/2 (2*)!!(2т-1)1! '
Сравнение (8) и (7) позволяет получить значение Рл(0):
.(2m + 2k — 1)!.'
П ♦ гк + ,(0) = О, Р™ +2*(0) = (-1 )*—---------
(4.5.8)
(4.5.9)
150
В частности,
Л*+1(о) = о,
Р2к(О) = (-!)*
(2fc-l)!!
(2fc)!!
(4.5.10)
Р^(0) = 0,
/,2* + 1(0) = (-1)к
(2Л +1)!!
(2*)!!
В (9), (11) верхний индекс можно считать и степенью присоединенной
функции, и номером производной многочлена Лежандра - при х = 0 эти
понятия совпадают.
Во многих случаях полезны интегральные представления полиномов
Лежандра. Одним из них служит
1 о ennki/2^difi
Fn(cos9)= — J . z±=r (0<й<я). (4.5.12)
я _в V2(cos^-cos0) ’
Основной момент доказательства этого тождества состоит в том, что правая
часть (12) удовлетворяет дифференциальному уравнению (4.3.2). Чтобы
исключить особые точки, представим (12) в эквивалентной форме
1 e.-(n + i/2)Vd
/„(9) =----# . =
2я у2 cos — 2 oos 0
с контуром, целиком охватывающим отрезок ‘ [—0,0]. Значение корня
Считается положительным в точках мнимой оси р выше начала координат.
При стягивании контура в прямолинейный отрезок получается двукратное
прохождение последнего в нужном направлении из-за различия знаков
корня сверху и снизу.
Подстановка /„(0) в левую часть (4.3.2) при к = 0 дает
1 d/dln \
----—(-----sin 0) + п(п + 1) 1п =
sin 0 d6\d6 /
1 Г 3 sin2 0
2тгх/2. |_4(cos <р — cos 0)5^2
_ cos 9 + „(„ + !)____1 e,(„+I/2)^
(cos ip — cos 0)3^2 (cos ip — COS 0)1/2 J
Под знаком интеграла здесь стоит производная по ip функции
| sinl____________________fa + 1/2) 1 ei(n + 1/2)^
I 2(cos ip — cos 0)3^2 (cos ip — cos 0 / J
возвращающейся после обхода контура к своему первоначальному значе-
нию. Поэтому интеграл обращается в нуль и уравнение (4.3.2) удовлетво-
ряется.
Остается проверить нормировку при 0, близком к нулю. Тогда подын-
тегральное выражение (12) в среднем возрастает, но и интервал интегриро-
вания сокращается, так что результат остается конечным. Асимптотически
152
при малых в
2(cos cos0) ~(02 - <р2),
] J ei(n + l,2),ficlip 1 J dip
я_0 \/2cos ip — 2cos 0 я _о \/в2 — ip2
чем и завершается доказательство тождества (12).
Вещественная часть подынтегрального выражения - четная, мнимая -
нечетная функция от </?. Поэтому также
2
P„(cosS) = -
в cos(n + 1/2)ч?<1ч>
(О < в <я)
(4.5.13)
Точно так же, как (12), проверяется другая интегральная формула
,• 2п-в e4"*4'l'>v
Р„(акв) =-----f = (0<в<п) (4.5.14)
я е y2cos ip — 2 cos 0
или после отделения вещественной части
2 * sin(n + \/2)ipdip
Р„ (cos 0 ) = - f ==
я q >/2 cos ip - 2 cos 0
(O<0 <я)
(4.5.15)
Формулы (13), (15) впервые получены Мелером.
Используя элементарную формулу тригонометрии
2 sin (v>/2) S sin (m + l/2)<p= 1 — cos(n + l)ip,
из интеграла Мелepa (15) выводим
S sin— Pm (cos0) =
m =0 2
sin (612} n
(1 — cos(n + l)ip)dip
sin (<^/2)x/2 cos0 — 2cos(/j
(4.5.16)
Отсюда легко получить два интересных следствия. Во-первых, коэффи-
циенты Фурье интегрируемой функции стремятся к нулю, так что должна
существовать сумма ряда
“ 0 sin (0/2) 5 dip
Z sin —Pm (cos0) =-------------f ------------ .
i = o 2 я в sin ((/?/2)v2 cos0 — 2 cos<^
1 I 6 / 1 + cos ] *
= - - arctg 1 sin - V------------------[
я ( 2 cos0 — cos<0 J =
°O J
S (cos 0) = -------------- (0 < 0 < я).
i = o 2 sin (0/2)
(4.5.17)
Во-вторых, интеграл (16) положителен и оценивается только что получен-
153
ным интегралом, умноженным на два, так что
где равенство достигается слева только при 0 = 0 и при 0 = - для нечет-
ных л; справа — только при 0 = я для четных л.
Подынтегральное выражение (12) голоморфно в полуполосе — 0 <
< Re<£ 0, Im^ > 0. Поэтому путь интегрирования можно отодвигать
вверх, пока не получатся два вертикальных столба. Вклад же от перекла-
дины стремится к нулю. После замены <р = -0 + irj и соответственно =
плюс такое же выражение с заменой i на (- /). В результате
Гп I соь -7) - : J (и а ядч.элу;
я/ о v2<cos(0 + /17) — 2cos0
Интегралы типа Мелера легко получить и для производных от много-
членов Лежандра. Подставим в правую часть (4.3.28) выражение (12).
После перемены порядка интегрирования
sin20Р'п (cos0) =
/ \/2cos</>-2cos0 е'(л+,/2)v,d<p. (4.5.20)
После изменения пути интегрирования
sin20P„ (cos0) =
w f V2cos(e +i4)-2cosee-<"t,'2”’dn
Полином Лежандра легко представить в виде тригонометрического мно-
гочлена. Достаточно в (4.4.18) положить X' = 0, в = в' = я/2:
P„ (cosX) = [J>„ (0)]1 + 2 E 7—7- [/; (0)]1 cosAX.
С учетом (9) после очевидных преобразований
P„(cos0) = Z gnm cos (л - 2/л)0,
(2m- l)!!(2n - 2m - 1)!!
о =2 —----------------------------(2 л: <.л),
(2m)!!(2n-2m)l!
154
Получим обратное соотношение. Добавив к (22) аналогичные равенства
для Рп-2- Рп-л......придем к линейной системе уравнений относительно
cosпО, cos (л - 2)0,... с треугольной матрицей. Поэтому
окпв= (45.23)
Коэффициенты hnm даются интегралом (4.4.15)
h„m =---------/ •fn-im (0)cosn0sin0 J0, (45.24)
где <^*(0) = Pk(cose). Преобразуем произведение тригонометрических
функций в сумму
2л-4т + 1 ’
=----------J й,-2„(в)[яп(п+1)в -яп(л- 1)«]</в =
, (0)sin(n + l)0d0.
представляют собой коэффициенты разложения
I (COS0).
Действительно, левая часть (27) - многочлен порядка л по косинусам,
а значит и по системе Ро, Рх...Рп. Коэффициент при Рп_2т по (4.4.15)
совпадает с ^пт- Коэффициент при Pn_2m + i по (4.4.15) пропорционален
интегралу от функции Pn-im + \ (cos 0) sin (л + 1)0, нечетной относительно
0 = я/2, и поэтому обращается в нуль.
Для вычисления интеграла (26) перепишем (4.3.2) в форме
—(sin0^_2m) + (л- 2тл)(л -2тл + l)sin0c?n_2m
dd
домножим на cos л0 и проинтегрируем от 0 до Первый интеграл берет-
ся по частям, а второй определяется по (24), (25)
(л - 2/л)(л - 2т + 1) -
Э 4 1 Л'
dO.
Продолжая интегрирование по частям, приведем правую часть к виду
nf (sin0 sinn0)'<pn_-
-7 [(п + 1)яп(л+ 1)в-(п- l)sin(n- l)9]v>„_2m<ie-
15S
Мы получили рекуррентное соотношение
2т (2п -2т + \ )hnm = (2т - 1)(2п - 2m)hn_2,m-\-
Отсюда
~ _ (2т- 1)!!(2и-2т)!!(2и-4/и + 1)!! ~
"т~ (2m).'! (2л-2m+ 1)!! (2л-4m)!l '
Начальный член (27) определяется асимптотикой вдоль мнимой оси в.
В самом деле, согласно (22) при замене в^-Oi
sh (п + 1) в -
----—----=Л„о?„осЬлв +O(ch(n - 2)0),
откуда
1 sh(n + l)0 2 (2л)!!
---- lim-----------= = .
г„о в-» sh0 chn0 g„0-----------(2л-1)!!
Окончательно
Л„„ = (2л - 4m + 1)
Теперь в силу (25)
(2m- 1)!! (2л - 2m)!!
(2m)!! (2л-2m+ 1)!!
(4.5.28)
(4.5.29)
I'nm = (2л - 4m + 1)
(2m-3)!! (2л- 2m-2)!!
(2m)!!(2n-2m + l)!!
Случай т = 0 следует рассмотреть особо, т.к. по доказанному Лп_2,_1 =0.
Прямое вычисление показывает, что (29) остается в силе, если условить-
ся считать (—3)!! = — 1 наряду с обычным соглашением 0!! = (—1)!! = 1.
Формула (29) пропускает лишь единственное значение Лоо = 1.
Легко обратить и (27) :
sm0/>„(cos0) = Е g„m sin(n - 2m + 1)0.
(4.5.30)
Для определения g„m достаточно записать их в форме коэффициентов
Фурье и сравнить с (23):
g„m = — / Р„ (cos 0) sin 0 sin (л - 2m + 1)0</0 =
= — j P„ (cos0)[cos(n - 2m)0 - cos (л - 2m +2)0]d0 =
= ~^8nm ~
154
где при т -п/2 следует (l/2)g„>n/2 заменить на^^л/2. Окончательно
(2m-3)!!(2n-2m-l)!!
(2т)!!(2и — 2m+2)1!
gnm = -2 (/7 - 2т + 1)
(4.5.31)
Равенство (31) справедливо при всех п > 0, 0 <т < [п/2] при прежнем
соглашении о двойных факториалах.
Заметим, что cosfc0, sin(fc + l)0/sin0 называются полиномами Чебы-
шева относительно х = cos в первого и второго рода. Поэтому формулы
(29), (30) выражают полиномы Лежандра через полиномы Чебышева,
а (23), (27) — полиномы Чебышева через полиномы Лежандра.
§ 4.6. Оценки сферических функций
Перейдем к оценкам сферических функций и их производных. Под-
коренное выражение в (4.5.5) можно представить в форме (1 - tei0) X
X (1 - te~ie). Прямым сравнением коэффициентов Маклорена проверя-
ется, что (1 - at)~v как функция от t мажорируется (см. [58]) величи-
ной (1 — t)~v, если р > 0, |а|<1. Поэтому производящие функции
(4.5.5) и (4.5.6) как функции от t мажорируются при — 1 < 1 этими
же функциями при х = 1 - ср. (1.11.2). Отсюда
т.е. с учетом (4.3.11)
I dxk I 2кк\(п-к)\
(fc>0).
(4.6.1)
В частности,
|Р„(Х)|<1. (4.6.2)
Оценки (1), (2) справедливы при - 1 <х < 1 и достигаются на концах
основного промежутка х = ± 1.
Интегральное равенство (4.3.5) подсказывает, что для точки внутри от-
резка ортогональности Р„(х) убывает с ростом п как п-1/2. И действи-
только, справедлива оценка
1 (cos 9) 1 < 7 <°<9 <я- (4б3)
я(2я + l)sin 0
Неравенство |РЛ (cos 9 ) I < С(п sin 0) “1,2 получено Т. Стильтьесом.
С.Н.Бернштейн впервые определил точную константу С = у/2/тг [17].
В.А. Антонову и К.В. Холшевникову [6] удалось заменить п на п + 1/2
и показать, что поправку 1/2 уже нельзя заменить большей.
Перейдем к доказательству. Оценим подкоренное выражение (4.5.19)
1? / т? тД
cos (0 + it?) - cos 0 = - 2i sh -Lsin 0 ch - + i cos0 sh -J,
157
I cos (в +(t))-cose | = 2shy>/sin2e +sh1y>
>2 sin# shy >77sin в,
2 - e-(n+t/2)n
так что |P„(cos0) | <— J drj. Последний интеграл подстановкой
т? = t превращается в интеграл Пуассона, что и приводит к требуемому
неравенству (3).
Оценки Р'п (х) можно получить различными способами. Начнем со слу-
чая х = 0. Последовательность
4**3 L (2*)!! J
убывает, поскольку
gft + i _ (2* * 3)а(4* * 3) 16*3+60*а+72**27
ак (2* + 2)а(4* + 7) ~ 16*3 +60*2 +72**28
Поэтому
ак > lim ак = — ,
где предел дается формулой Валлиса [45]. Аналогично доказывается воз-
растание последовательности
4* + 3 + (8* + б)-1 [ (2*)!!
bk < lim Ък ~ .
Мы получили уточнение формулы Валлиса
Можно показать, что коэффициенты 8 и 6 в (4) увеличить нельзя.
В силу (4.5.11) из (4) следует
для нечетных л, тогда как для четных п производная Р'п (0) обращается
в нуль.
158
Для оценки Р’п при произвольном в введем вспомогательную функцию
h (0) = sin*в [Р'п (cosв)]2 + л(л + l)sin20p>„ (cos0)]2. (4.6.6)
Дифференцируя ее с учетом уравнения Лежандра (4.3.2), найдем
ft'(0) = 2л (л + l)cos0 sin0[P„ (cos#)]2.
Поэтому
ft (0) < й (я/2) = л (л + 1 )(/»„ (0)]2 ♦ (/>; (0))2.
При нечетном л согласно (5)
Л (я/2) < [Г„ (0)]1 < ^2п + I +
При четном л согласно (3)
Окончательно,
/2л + 1 ♦ 1/(4л + 2)
I Г', (cos в) i < у/ ----------------
где слагаемое 1/(4и + 2) в числителе можно опустить при четном л. Оцен-
ка Л (я/2) и соотношения (4.3.28), (4.3.29) позволяют получить следую-
щие неравенства:
(4.6.8)
(4.6.9)
В неравенствах (7), (8), (9) справа можно добавить множитель
(1 - х2),/4 за счет неизбежного увеличения соответствующих констант.
В самом деле, рассмотрим функцию
г(в)=Л(л + 1)/;(в)+/к«).
где /, (в) = Vsiliв/>„(««»),/1(0) = VsioJa/>:(cose). Дифференцируя,
получим
Г’(0) = сtg в (л (л + 1 )/? (0) -/5 (0)]
Наибольшее на [0, я/2] значение F достигается или при cos0 - 0, когда
/"(я/2) = л (л + 1)/>J (0) +Р'/ (0) < -^2л + 1 + )
согласно оценке Л (я/2), или при fl = п (п + 1)/?, когда
2(2л + 1)
8л (л + 1)
К=2Л(Л я !)/;(«)< ^^<
159
согласно (3). Поэтому
, /2 (2л + 1)
l/>„(cosfl)|<x/ —— (О<0<п). (4.6.10)
Иногда требуется еще уменьшить степень при sinfl, что можно сделать
увеличивая степень л. Например, рассмотрим функцию
/з (Я) = sin20P,i2 (cosfl) + л (л + 1)[Р„ (cosЛ)]2.
Дифференцируя с учетом уравнения Лежандра, найдем
/з (0) = - 2 sin в cos в [/»; (cos fl)]2,
откуда /з (fl) (0) = л (л + 1). В частности,
I sinеР'п (cosfl) | <у/п(п + 1) (0 < fl С я). (4.6.11)
Оценить степень точности неравенства (11) можно следующим образом.
Возьмем конкретное значение в = ir/(2n + 1). Тогда
® -------------- / 1\ J cos (л + l/2)»p<fy
J у/2 cos<^ — 2 cosfl cosi л + — ]yd<p J — — _ >
о \ 2/ о x/2 cos <£ — 2 cos 0
>[/C0<"4H =(бЫ
в силу положительности подынтегральных выражений и неравенства Коши-
Буняковского. Интегралы в левой части заменяем согласно (4.5.13) и
(4.5.20):
--------sin2 вР„ (cos в)Р'„ (cos fl) > (--) .
4л(л + 1) \2л + 1/
С учетом (3) находим
8 л (л+ 1) 8л(л + 1)
sinflA, (C0Sfl)> яЭ/2(2п + 1)3/2>^ > п2 (2п + 1)
(fl = л/(2л + 1)),
так что тем более
max I sin 0Р„ (cos fl) I > —-. (4.6.12)
o<0<» ff
Интегрированием (10) получаем
i /2(2л + 1) * de .
>e"(x>ldx<^——£ =
_ у^(2л + 1) (Г(1/4)]2
п y/2n
Более тонкие оценки (7J приводят к следующему результату с точной
160
константой Cj, определенной Г. Сеге:
var < J Рп (х) < Ci у/2п + 1 - с2,
где Ci = [Г(1/4)/я]2 72= 1,883551, С2 = 1,055075.
Для интеграла от модуля полинома Лежандра
неравенством Коши—Буняковского:
(4.6.13)
лучше воспользоваться
1 11 1/2 2
/ |Р„(х) |dx< { J dx / (P„(x))2dx) = -/== (4.6.14)
При п = 0 неравенство следует заменить равенством.
Приведем еше оценку многочленов Лежандра в комплексной области:
/4(1+е-<4"+2)“)
I Рп (cosв) | < епа 7------------ I Im0 | <о. (4.6.15)
п(2п + 1)(1 — е2 )
Доказательство можно найти в [6].
Оценим сумму последовательных многочленов Лежандра
SnN (0) = Рп (cos 0) + Рп+1 (cos 0) + ... + PN (cos 0) (4.6.16)
при N > п. Суммируя прогрессию с общим членом (4.5.19), получим
------- -----di).
,в n)72 cos (0 + fп) - 2 cos0
Модуль разности 1 - е/в-п представляет собой расстояние от точки z = 1
комплексной плоскости до переменной точки радиуса единичной длины,
проведенного из начала координат под углом 0 к вещественной оси,
поэтому
1sin0 при О<0<я/2,
1 при я/2 < 0 < я.
Кроме того,
|e^-n+i)(W-n) | = e-OV-"+l)n с 1,
а остальные оценки - те же, что и при выводе (3). В итоге
где sin30 можно заменить на sin0 при я/2 <0 < я.
В заключение рассмотрим остаток ряда для производящей функции
многочленов Лежандра (4.5.5)
в) =-=====- S rmPm(cos0).
71 + Г2 — 2/COS 0 т = О
ЕслиО</< 1,О<0<1Г,то ряд (4.5.5) сходится и
яп(г,в).= Г яГтРт (cose).
(4.6.20)
11. В.А. Антонов
161
Используя (20), (4.5.19) и суммируя геометрическую прогрессию
получим
2tn “ e(n+i/2)(/e-n)tfT?
) mo (1 - re'9-,’)v'2cos(e + in) - 2 cos в (4.6.21)
При фиксированном в 6 (0. я) функция Л„ не имеет особенностей при
вещественных I. Поэтому по принципу аналитического продолжения фор-
мула (21) верна для 0 < 0 < я, 0 < I < °°, даже когда ряд (4.5.5) расхо-
дится и представление (20) не имеет места.
Как и при в ыводе (17),
если 0 < в < я/2,
если я/2 < в < я.
inf I 1 -le®-" 1 =
r>o,n>o ( ]
В итоге при t > 0
2tn
>/я(2л + 1) sin30
где sin30 можно заменить на sinfl
(4.6.22)
при я/2 < в < я. Оценка (22) показы-
вает, что ряд (4.5.5) сходится в прямоугольнике -1 <Т<1,0<6<я
за исключением его вершин.
§ 4.7. Сходимость разложения по сферическим функциям
К настоящему времени накоплено много тонких результатов, связан-
ных со сходимостью разложения (4.2.4) функции, заданной на сфере,
по сферическим функциям при минимальных условиях [25, 59]. Мы при-
ведем лишь один такой результат (теорема 4). Основное внимание мы
обратим на связь скорости сходимости и степени гладкости исследуемой
функции.
В этом параграфе рассматриваем, как правило, непрерывные на сфере
S функции *f, когда автоматически f суммируется с квадратом и справед-
ливо разложение (4.2.4). Если каким-либо образом установлена равномер-
ная на S сходимость ряда (4.2.4), то он сходится именно к /, поскольку
он сходится к f в среднем квадратическом. Итак, из факта равномерной
сходимости ряда Лапласа следует равенство
/(С)= Ё YnfiQY (4-71)
л = 0
Введем класс А к (к = 0, 1, 2,. . .) функций на S’, на каждом большом
круге имеющих производные порядка к ьюпъ его дуги, ограниченные об-
шей для всей сферы константой и интегрируемые на 5.
Установим некоторые свойства функции класса Ак. Воспользуемся
центральной проекцией на плоскость, касательную к сфере в произволь-
ной точке, принимаемой за полюс. Считаем, что проекция охватывает
сектор в <ir/4. Функции f(0, А) в этом секторе взаимно однозначно соот-
ветствует функция f(x,y) в круге единичного радиуса на касательной плос-
кости. При центральной проекции каждому большому кругу / отвечает
162
прямая на плоскости и обратно. Если плоскость большого круга накло-
нена на угол ш < тг/4 к оси z, то между угловой координатой у на I и
линейной координатой s на его проекции при надлежащем выборе Кача-
лов отсчета существует связь
scosw=tg</>. (4.7.2)
По определению Ак, функция f имеет ограниченные производные по у
до порядка к включительно. Замена (2) влечет
У =(СО5“СО?^) f (4-7-3)
Таким образом, ограниченные производные того же порядка к существу-
ют у f при дифференцировании по любому лучу в окрестности любой точ-
ки круга х2 + у2 < 1. Оператор дифференцирования по направлению, задан-
ному углом а к оси абсцисс, записывается как cos а— + sin а —. По-
Эх ду
этому при каждом а функция
(cosа— +sina—) f(x.y) (4.7.4)
\ Эх ду/
ограничена. Линейная независимость величин cos^asin*-'^ Q = 0,..., *)
позволяет линейным комбинированием не более (к + 1) выражений (4)
с разными а выразить любую смешанную производную
которая тем самым оказывается ограниченной. Операторам (4.1.7) в при-
менении к/(х, .у) соответствуют
У ду Х ду
Любые произведения к операторов вида (5) сводятся к линейным комби-
нациям смешанных производных порядка не выше к с полиномиальными
коэффициентами. Поэтому ограничены все 3* функций
где каждый из индексов mj (1 </ <fc) пробегает той ’^значения” х, у, г.
В силу взаимной однозначности соответствия/*-»-/, символ -можно
опустить.
Мы доказали ограниченность функций
ле)кя, и-7-6)
163
где постоянную Н можно выбрать единой для всех Q 6 S и всех наборов
/и*,Их интегрируемость на 5 очевидна.
По существу мы получили новое определение Ак как класса функций/
на S, для которых существуют, ограничены и интегрируемы 3* функций
Действительно, дифференцирование по любому большому
кругу есть линейная комбинация операторов Jx,Jy,Jz с коэффициентами,
зависящими лишь от положения большого круга. Поэтому (6) влечет
ограниченность Э*flby>k.
Из нового определения вытекает следующее важное свойство: функция
/ принадлежит Ак тогда и только тогда, когда Jxf, Jyf, Jtf одновременно
принадлежат А к ~ *.
Мы будем пользоваться среднеквадратичными нормами
н^Ут-жне)]2^
<g > = sup |g(2)|. (4.7.8)
ees
Полезным оказывается соотношение между ними для сферической функции
< Yn ) < \/2л + 1 || Yn ||. (4.7.9)
Действительно, поскольку обе нормы инвариантны по отношению к враще-
ниям, точку максимума | Yn (О) I можно принять за северный полюс.
Тогда в (4.4.8)
<r»>sir«(C)b.osl^l,
если условиться считать Yn0 (в, X) =P„(cos в). После интегрирования
Я(ГЛе))2</а =
= Со Я (Л, (cos0))2dc + 2 cj ff(Y„, (cosО'»1 da >
откуда и следует (9). Равенство достигается только для зональной гар-
моники.
Противоположное неравенство
(4,7.10)
тривиально выполнено для любой g е А0.
Теперь мы достаточно подготовлены, чтобы обратиться к проблеме
оценивания членов ряда по сферическим гармоникам. Начнем с класса А°.
1Г„/(Й)1<Л^ПТ11Г11. И-7-П)
Действительно, в (4.2.7) каждый член правой части не превосходит всей
суммы, тл.
II Г„/Н <11/11-
Учтя (9), получаем (11), что и требовалось доказать.
(4.7.12)
164
(4.7.13)
(4.7.14)
Введем величины егл (г = О, 1,... ,к; п = О, 1,. . .), каждая из которых
равна наибольшему из значений среднеквадратичной нормы функций
YnJm Jm _ Jmx /при всевозможных наборах индексов т/ (1 </ <г).
Так как по условию (6) все функции Jm ... Jm f ограничены, то еЛл
стремятся к нулю при п -> °° (иначе ряды Парсеваля (4.2.7) для указанных
функций не могли бы сходиться). В силу коммутационного свойства
Подставим в (4.1.11) на место / какую-либо из сферических функций
Yn = Yn\(Jm . .. С учетом (4.2.1) и отмеченной в § 4.1. связи
п (п + 1 )Я Y*„ da = Я ((Л Уп)3 + (Л Уп)3 + (Л Уп)3 (4.7.16)
В силу (15) и определения егл правая часть (16) не превосходит 3-4яе*л.
Поэтому (16) влечет
п (и + l)e£_j л < Зе*л.
Продолжая процесс, слева освободимся в конце концов от операторов J
откуда вытекает (14) с учетом е*л -*• 0. Формула (13) — очевидное след-
ствие (14) и (9).
Перейдем к оценкам остатка ряда Лапласа
(4.7.17)
Теорема 4.7.3. Если f е.Ак 1), торяд (4.2.4) сходится равно-
мерно, причем
<Rnf> = О(л*'2-*). (4.7.18)
Доказательство проведем раздельно для трех случаев.
1. Сначала выделим случай к = 1, в частности, из-за конструктивности
получающейся оценки. Из (17) и (4.4.13) для произвольной точки Q'
следует
*n/(G') = /(Q') + l)Pm(cos7)do. (4.7.19)
165
Без ограничения общности считаем Q' северным полюсом. В силу (4.3.26)
Л„/1в_0 /|, = 0 - ЯЛС)(Л, +!(cos®) + Pi(cos9)]do. (4.7.20)
Введем функцию 7(6), представляющую собой результат осреднения f
по параллелям
7(6) = ^-}7(6,X)dX. (4.7.21)
С ее помощью (20) записывается через однократный интеграл
Rnf\ в=0~ y//(6)[/,i+i(cos6)+ ^(0056)] sinflde, (4.7.22)
а после интегрирования по частям
Rnf I 1 (cos6) + Р„ (cos6)]7 '(e)d6. (4.7.23)
Из условия / е Л1 вытекает (6) при к = 1, равносильное
I grad Tf |< Н. (4.7.24)
В частности, 1Э//Э6 | <Н, из (21) следует
|7'(6)| < И. (4.7.25)
Осталось оценить интеграл от модуля Р„ (cos6). С учетом (4.6.3)
» 2 "dS Со
f I Р„ (cos0) I dO < ------f = , (4.7.26)
где
V2
Со = ——[Г(1/4)] 2 = 5,917350.
Используя (23), (25), (26), придем к окончательной оценке
При к = 1 формула (18) доказана.
2. к — произвольное нечетное число.
Из теоремы 2 вытекает, что при к > 2 ряд Лапласа (1) сходится абсо-
лютно и равномерно. Вычитая друг из друга правые части (19) для двух
значений индексов, получим
An^le=o = -^[m?n+I^rL/,'"(COS9)]/(e)d° (АГ>Л)’ (4'7’28)
гдеЯ„л,/=Лл./- А„/. Применим к правой части (28) тождество (4.1.10)
(к - 1)/2 раз с учетом (4.2.1) для />m(cos6) как сферической функции.
166
Выражение (4.1.6) для D показывает, что D1* “ 1)/2/е А1. Получаем
«п^1в=0 =
(_!)<*+•)/» N
~ ~----^^^[(2™ +l)<?m/J^m(cosS)/><k-1)/V(G)do. (4.7.29)
гае «т = ['"(т + 1)] ° Рассуждения, приведшие к (25), в примене-
нии к функции D{k~ дают
Здесь
«(«)----JO(*’1)/2/(e,X)dX,
2я о
а постоянная Нк определяется как верхняя грань модуля градиен-
та D^k~ Функция g позволяет записать (29) в виде однократного ин-
теграла
ЛП«/1в=0 =
(_П(* + 1)Р N я
=------------ Е (2т + !)</„ /Pm (cos0)f(9)sinede. (4.7.31)
2 т»л+1 о
Интегрирование по частям с учетом (4.3.27) дает при 7V> п + 2
/fnw/le=0 ”
(_n(**l)/» N
= —--------- Е qm f [Р„., (cos«) - Р„ _, (соав)]у'(в)</9 =
2 m=n+l О
(-1)<*+ 0/2 „
=-----------f (-Чп+lPn - Чп-цРп+1 +QN-1PN +4nPn+1 +
+ Nf' (qm-i-qm^')Pmh'(0')de.
т-п+2
Используя (30), (26) и положительность qm _ i - qm+1, получим
167
С учетом положительности последней суммы
Переходя к пределу при получим окончательно
2С0Нк
<Rnf> < -------------—------- ,
[(п + 1)(п + 2)] <*-W\/2n + 1
что и доказывает (18) для нечетных к.
3. к — четное положительное число. Аналогично (31) запишем
(4.7.32)
где
(_])(*+2)/2 N
----------- 2 qm fPra(cos0)i(e)smm,
(4.7.33)
2т + 1 12»
= [m(CT4 1)]^- W=-/^Z(e,X)^
так что g е А°. Представим многочлен Лежандра в виде разности функ-
ций <4.6.16) Рт(созв) = 5„ + li„(9) - $п + 1,т — т(в), условившись счи-
тать S„ + 1>п = 0. Перегруппировка слагаемых приводит (33) к виду
K"Ne=o =---------J-----jg^fsine lqNS„+i,N +
+ -?m + 1)5n+i,m)d9.
(4.7.34)
Интеграл от | Snm (в) I sin0 в силу (4.6.18) оценивается аналогично (26):
f I Snm (0) Isin0d0 < , - - ,
о \/2л + 1
(4.7.35)
+ f V^ode I =
x/71 0 Vsin0 n/2 J
y/ir l 2<2я n 1 я
(Г(1/4)]
= 8,621264.
168
С учетом положительности qm -qm + x получим из (34)
Здесь Нк — верхняя грань модуля Dk,1f. Устремляя АГ к бесконечности,
получим окончательно
Теорема доказана полностью.
Итак, ряд Лапласа для / ЕЛ* равномерно сходится при к > 1. Условие,
достаточное для равномерной сходимости, можно еше ослабить. Введем
промежуточный междуЛ0 и Л1 класс Л непрерывных функций, вариация
которых вдоль каждого большого круга равномерно ограничена.
Теорема 4.7.4. Если/ЕЛ, го ряд Лапласа равномерно*)сходит-
ся на S.
Доказательство. Остаток ряда по-прежнему представим в фор-
ме (22). Обозначим/ верхнюю грань вариации /, взятой от полюса до полюса,
по всем меридианам и всем возможным положениям полюсов. Осредне-
ние (21), как известно, не увеличивает вариации. Фиксируем произволь-
ное е>0 и разбиваем интеграл (22) на три по промежуткам [0,5],
[л-6, л], [5, л-6], где 5 выберем по е позднее. В первых двух интегралах
выделяем из / (0) постоянные слагаемые / (5) и / (л-6):
-/ [P^(cos0) + P;+1(cos0)]/(0)sin0d0 =
2 о
/(6)
= —~ [2 - Pn (cos6) - Рп+1 (cos6)] +
6 _ _ sin0
+ / (p;(cos0)+p;+1(coS0)][/(0)-/(6)] — do-,
— 7 [p;(cos0)+p;+1(cosfl)]7(0)smfld0 =
= 1Л, (—cos8) + P„+, (—cos6)] +
+ 7 [P^ (cosB) + p'„+, (cos0)l [/(e)-f(it-S)]-^ dS.
Рассматривая третий интеграл как интеграл Стилтьеса, применим формулу
•)Эта теорема сформулирована у Е.В. Гобсона [25], однако фактически его рас-
суждения достаточны лишь для доказательства сходимости в каждой точке, а не рав-
номерной сходимости.
169
интегрирования по частям:
7 f (/,i(cose)+/>;4.l(cose)]7(e)Sine</e =
/(<-«)
-------~---[Ял(-со5б) + Р„+1(-соз6)] +
х 7(6) , „ 1 я-S
+ 2 (pn(cos«) + P„ + 1(cos6)] +у / |Pn(cos0) + />„+1(cose)] df (ft).
В итоге
л"/1вю ~/(0)-/(«)+ / [Pi(cos9) + p;tl(cose)) X
X [7(6)-7(9)1de + [Pn(cos9)+Р„ + 1 (cosfl)] X
х [Л(»-8)-/(«)]-^—dfl ~f [P„(cose) + P„tl(cose)]d7(e).
Обычная оценка интеграла Стилтьеса с учетом (4.6.3) дает для модуля
последнего из интегралов (37) верхнюю границу
2L
х/я(2л + l)sin6
что заведомо меньше е при
(4.7.38)
е’(2л+3)
Естественное условие б < я/2 выполнено для л > 2£2/(яе’). Введем модуль
непрерывности функций fnf:
Ю) = max I f(Q,) - /(&)|, 0(6) = max | f(в,) - Г(в2) |,
где максимум берется по всем парам точек 21.2з и соответственно в i, S2,
сферическое расстояние между которыми не превосходит 6. Осреднение
не увеличивает модуль непрерывности, так что 0 (б) < 0(6).
каждый из первых двух интегралов (37) с помощью (4.6.10) оценива-
ется по модулю величиной
It О VSinfl 0 v»
= 2ч/6(2л + 3) 0(6) = 2.0(6)78/е,
где в конце мы воспользовались соотношением (38). Итак, для л>
>2£’/(яе2)
(Я„/> < е + (1 + 2,732 /е)0(6). (4.7.3’)
Непрерывная на сфере функция f равномерно непрерывна там. Другими
170
словами, ее модуль непрерывности монотонно стремится к нулю вместе с 6
Обозначим через 80 корень уравнения
(1+£х/32/е)0(8) = е, (0 < 8 < я/2), (4.7.40)
а при отсутствии корней считаем 6„ = я/2 (в последнем случае левая
Ж кМе“Ше * При ™б0М 5 < ’«) При всех п > £’/(е’8о) левая
часть (39) будет меньше 2е. Теорема доказана.
Гораздо легче в условиях теоремы 4 оценить общий член ряда Лапласа
Действительно, интеграл (4.4.13) можно представить в форме
Уя/1в=0 =------Z—/7(в)Дл(еоав)алв<1в,
или, после интегрирования по частям,
У"/1.=о =^y-^7?n(cose)d/(9) (п>1),
где введено обозначение Р„(х) = [ P„(y)dy. Обычная оценка интеграла
Сгильтьеса с учетом (4.3.28), (4.6.7) приводит к
. (?п + Г)1 / 2л + 1 + 1/(4л + 2)
;-------- <4-7«>
откуда следует (41;.
Обратим внимание, что (41), (42) справедливы и без предположения
о непрерывности/- достаточно ограниченности ее вариации.
Покажем на примерах точность выведенных теорем.
Пример 4.7.1. Пусть/(Q) = СРп(cos0). Ясно, что в (11) достигается
знак равенства. Пример этот не очень убедителен, поскольку номер п
здесь фиксирован. Нижеследующие примеры показывают точность степен-
ного порядка в оценках (11), (13), (18).
Предварительно докажем одно полезное утверждение.
Лемма 4.7.1. Пусть f(Q) в подходящей системе координат не зависит
от долготы f(Q) = /(0). Доопределим /(0) на всю вещественную ось по
правилу f(-0) = f(0), f(0 + 2ir) = f(Q\ Если функция обладает ограни-
ченными производными до порядка к включительно, то EAk.
Доказательство. Ввиду аналитичности замены в * sin0 и свойств
четности в окрестности северного полюса
((*- D/21
лв)= вияп2тв+т
где F обладает перечисленными в условиях леммы свойствами и, кроме
того, F(0) = 0(0*). Выделенная сумма - многочлен от cos0. Но cos0 =
= coscosin^, где у - угловая координата вдоль большого круга /, накло-
ненного под углом со к оси z, с началом отсчета на экваторе. Поэтому
171
Для Somsin2me утверждение леммы выполнено, я достаточно обоа-
титься kF. р ’
Рассмотрим оператор
J - — JyCOsco + Jzsino; =
а з
---coswcosX — + (sinw + coscoctg0sin X)—,
30 ЭХ
где мы воспользовались формулами (4.1.8). Если долготы отсчитывать
от восходящего узла I на экваторе, то вдоль I
3
J =----.
3<р
По индукции легко показать, что
jk = s В£-Ч(в,\,ы) др д"
sin't-pfl Э0₽ ЭХ’ ’
где B['q - тригонометрические многочлены от 0, X, cj. В применении
к не зависящей от долготы функции F(0)
^(0) = 2 - \-р\
p=i smK ре
Поскольку F(₽,(0) = 0(вк~р), то отсюда следует, что вдоль I производ-
ная 3*F/3^* равномерно ограничена в окрестности полюса. Ограничен-
ность вне полярных шапок очевидна, ибо sin0 отделяется от нуля. Лемма
доказана.
Пример 4.7.2. Пусть
Лб) =/(») = S [^„ +! (cos0)— (cos0)], (4.7.43)
п=2 (П + 1) 1П2И
где а„ = 1, если и есть степень двух, ап = 0 в противном случае; к > 0.
Как и в лемме, считаем /(0) четной функцией от 0, определенной на всей
окружности [0, 2я]. Представление в (4.5.22) показывает, что P„+i(cos0)-
— Pn-t (cos0) - тригонометрический многочлен порядка и + 1. По нера-
венству Бернштейна [45]
I JF"(Рл+1 (C°S9) " Р"~1 (C°S9)) ।**
< (и+ 1)*<Ря+1-/>„_!> <У^(л + 1)*[,
ип
vjifi в конце использовано (4.6.9). В результате ря&ддя(1кАс10к, получен-
ный почленным дифференцированием (43), мажорируется сходящимся
числовым рядом
g /Т ап _ n/8/? ~ 1 _
п=2 я 1п2и In22 т2 31л22
172
Тем самым по лемме/непрерывна и принадлежит А к.
Общий член ряда Лапласа порядка п + 1 = 2т + 1 согласно (43) есть
Pn+1 (cos0),
n+U (л + 1)*1пал (и + 1)*-^1п2(л + 1) ’
(4.7.44)
что доказывает точность степенного порядка (13), гарантированною тео-
ремой 2. Увеличивая размеры лакун ряда (43), можно приблизиться к пра-
вой части (13) сколь угодно близко по порядку величины.
При к > 1 рассмотрим остаток ряда Лапласа после члена с номе-
ром п = 2т
= , 2^, 2 A.*1(COS0) +
(л + 1)*1п2л
+ 2 [7> ,(COS») (COS»)].
/ = 2л (/ + l)fcln2/
При л > 4, очевидно,
что доказывает точность степенного порядка убывания остатка (18) в тео-
Следующий пример показывает, что сходимость в условиях теоремы 4
может быть сколь угодно медленной для функций, имеющих в отдельных
точках пики с достаточно крутыми стенками.
Пример 4.7.3. Пусть
| 1/8, если 0 = 0,
/(G) =/(») = 1/8 + 1/1п» + 2/1п2в, если 0 <» < е’4, (4.7.45)
I 0, если е* < в < я.
Непрерывность/очевидна. Производная
/'(») = -(—L— + 43 )
Vein2» ein3»/
отрицательна при 0 < 8 < . Поэтому вариация /(») от полюса до полюса
равна 1/8. Максимальное же значение вариации/(б) по произвольной полу-
окружности большого круга равно 1/4, так что/64.
Воспользуемся формулой (37), полагая там 6 = 0
«„/(0)=ip2’„(cose)+PBtl(cose)](^.+ -^).d9.
173
Обозначим
e = min{e“4, (2 л+ 4)"1)
и разобьем промежуток интегрирования на два: [0, е] и [е, е’4]. По форму-
ле Лагранжа
Рл+1 (cos«) = Р„<.! (1) - в [?;+, (cosj)sin?] (О < I- < в).
Поэтому при О С в < е согласно (4.3.9), (4.6.11)
1 -Pn+1(cos9) < \/(л + 1)(л + 2)е < 'А-
Тем более это верно для 1 - P„(cos9). Отсюда
1; Л(т,.-Л-)., >
> 2 ^(eln’e + ein’e)‘fe "
111 1
= ---- - —7— >----------------z-------. (4.7.46)
21ne ln2e 21п(2л + 4) 1п’(2л + 4) v '
Интеграл по второму промежутку [е, е~* ] появляется только при е < е-4,
т.е. при л > 26. Воспользуемся соотношением (4.6.3):
< \ ri(—. -М—
s/я(2л + 1) ' \91n2fl
Заменяя sin0 на 0(sine-4Уе-4, усилим неравенство и найдем для правой
части выражение
2 57 1 + A =
е2\/’r(sine’4)(2n + 1) е \1п20 1л3в / в2'2
____________4_________1 I4'* 2,257
ег >/ff(sme’4)(2n + 1) \/dln29 |е \/(2л + 1)е 1л2 е
2,257
~ 1п’(2л + 4) 2л+ 1
В сочетании с (46) получим при всех л
1 Г 52,112
Ял/(0) >--------------- 8 -----:------
161п(2л + 4)1 1п(2л + 4)
Выражение в квадратной скобке больше единицы при п > 864. Для таких п
(4.7.47)
Приведем, наконец, пример непрерывной функции / С А °, ряд Лапласа
которой расходится в некоторых точках.
174
Пример 4.7.4. Рассмотрим/ примера 2 при к = 0.
Согласно (44) в этом случае общий член ряда Лапласа в полюсах 0=0,
0 = я даже не стремится к нулю.
Скорость сходимости ряда Лапласа (1) для функций конечной степени
гладкости исследована нами с достаточной полнотой. Для бесконечно диф
ференцируемой функции общий член и остаток ряда Лапласа убывает быст
рее любой степени л. По аналогии с тригонометрическими рядами следует
ожидать, что для аналитической функции ряд Лапласа ведет себя как гео-
метрическая прогрессия. И это действительно так, если надлежащим обра-
зом определить понятие аналитической на сфере функции. Здесь мы встре-
чаем трудность, связанную с неизбежными, как известно из топологии,
особенностями параметризации сферы. Аналитичности следует требовать
в функции от направляющих косинусов
x = sin0cosX, y = sin0sinX, z = cos0. (4.7.48)
Функция же /(0, X) = sin0, например, не только не аналитична, но имеет
угловые точки в полюсах.
Переходя к полярным координатам, будем считать любую функцию
f заданной на всей плоскости 0, X; 2л-периодической по каждому аргумен-
ту и в согласии с (48) удовлетворяющей даламберовскому условию
/(0,Х) = Г(-0,Х + п)- (4.7.49)
В частности, вместо / = sin0 при таком доопределении следует писать
f = | sin0 | и угловатость этой функции очевидна. Условие (49) обобщает
встречающееся в лемме 1 условие четности осесимметричной функции
/(в).
Обозначим через А (а) класс функций на сфере, при любом выборе полю-
са являющихся 2я-периодическими функциями полярных координат,
удовлетворяющих условию (49) и при каждом вещественном X голо-
морфных в полосе | Im в | < а.
Теорема 4.7.5. Пусть f G А (а) и, кроме того, при любом выборе
полюса
(- 00 < X < °°, | Im 0 | < а).
Тогда для вещественных QES
(4.7.50)
(4.7.51)
(4.7.52)
Доказательство, содержащееся в [70], опустим ввиду его сложности. При-
веденный ниже пример покажет точность показательного и степенного
порядка оценок (51), (52). Но предварительно сформулируем одно полез-
ное утверждение.
Лемма 4.7.2. Пусть f(Q) в подходящей системе координат не зависит
от долготы f(Q) = /(0). Пусть f (0) - четная, 2п-периодическая функция,
голоморфная в полосе | Im 0 | < а. Тогда f(Q) G А (а).
Доказательство. Обозначим исходные координаты, в которых/
осесимметрична, через (fl, X); новые - (fl', X'); новые координаты старого
северного полюса (0 Л). Даламберовское условие (49), очевидно, сохра-
няется при вращениях сферы. Осталось доказать, что при I Imfl'l < а и лю-
бых вещественных X , 0, Л величина cos fl = £ + if] не выходит из эллипса
ch a sh2a
представляющего образ полосы | Imfl|< а при отображении 0,-*cos0 [59].
По теореме косинусов
cosfl = cos 0 cos 0' + sin 0 sin fl' cos(X' — Л),
так что
£ = [cos0 cosfl! + sin 0 sin fl] cos(X' - A)] chfl2.
T) = [ — cos©sinflt +sin0cos0! cos(X' — Л)] shfl2, (4.7.53)
где положено fl' = 0! + ifl2. При I 02 | < а из (53) следует
£2 V2
—-—+ - <cos20 + sin20cos2(X -A)<1,
ch a sh a
что и требовалось.
Пример 4.7.5. Пусть/ задана своим рядом Лапласа
/(9)f S (cos9) (4.7.54)
л=2 In2 Л V 7
где a„ - 1, если п есть степень двух, ап = 0 в противном случае. Неравенство
(4.6.15) показывает, что при | Im в |
? ап /2(1+е-*о») /я3(1-е-20»)
I /(0) | < 2/ —-— V------------= у ------------------
п = т 1п2п я(1-е~2“) 18(1 — е-2а)1п42
По теореме Вейерштрасса сумма ряда (54) аналитична при | Imfl | < а. По
лемме 2 /е А (а). Очевидно, для п = 2т
In2 л
что по порядку совпадает с оценкой (51) с точностью до множителя 1п"2л.
Легко оценить и остаток. При п = 2т
—f — 2('-mfe^2'”<2'-'" - о«
In2 Л J = m s2
\fne~an
где
Таким образом, Rn _ по порядку совпадает с оценкой (52) с точ-
ностью до множителя In-2л.
176
§ 4.8. Задачи Дирихле и Неймана
Упомянутая в § 4.1 конструкция, ставящая в соответствие произволь-
ной гармонической в шаре г функции V равномерно аппроксимирующие
ее гармонические многочлены Vn, использует только граничные значения
Г(а,0,Х)=/(0,Х). (4.8.1)
Поэтому одновременно получается и доказательство теоремы существова-
ния решения внутренней задачи Дирихле для шара (и эллипсоида). Действи-
тельно, последовательность К1г И2, И3, ... обладает сходимостью типа
lim max | Vn - Vm | = О
и поэтому (см. § 4.1) определяет в пределе гармоническую функцию V,
которая и дает решение задачи Дирихле с условием (1).
Перейдем к фактическому построению этого решения с помощью аппара-
та сферических функций. Пусть заданная непрерывная функция f разложе-
на в ряд (4.4.9). Остановимся сначала на случае, когда сходимость (4.4.9)
равномерна. Сравнение коэффициентов этого ряда и общего разложения
2п
гармонической функции (4.5.1) при Yn = 2 упз Yns показывает, что
7nJan = c„s и, таким образом, V представляется равномерно сходящимся
при г < а рядом
К(г,в,Х)= 2 2 с„,(г/аУУпА0.Х)- (4.8.2)
П=0 5=0
В более общем случае, когда в (4.4.9) гарантирована лишь сходимость
в среднем квадратическом, можно построить равномерно сходящуюся к f
последовательность fm гладких функций на сфере с гармоническими коэф-
фициентами с™. Соответствующие гармонические функции Vm имеют
с™/а" своими постоянными Стокса. Поскольку с™ определяются интегра-
Я/т(«,Х)У„(0,Х)</а,
10 cns ens ПРИ т “ По доказанному -» V так, что в пределе полу-
чаются прежние значения yns = cnsla". Разложение (2) по-прежнему имеет
место при г< а.
Внешняя задача Дирихле для той же сферической поверхности не нуж-
дается в специальном анализе, поскольку сводится к внутренней преобра-
зованием инверсии. Для граничных условий (1)
НМ,Х)= 2 2 см(а/г)л + 1 Гп1(в,Х). (4.8.3)
п = О 1=0
Обратимся к внутренней задаче Неймана с граничным условием
ЭК I
— _ =/(в,Х), с„„=0. Г4.8.4)
12. В.А. Антонов
Этот случай легко свести к предыдущему, чем одновременно доказы-
вается существование решения. Действительно, функция И, = (г/а)ЭИ/Эг
дает решение задачи Дирихле с граничным условием У, - f при г = а и поэ-
тому совпадает с правой частью (2). Так как центральное значение И,
получается равным нулю, то действует и обратное соотношение
„ ' и,(г'.в,Х)
г = ------dr’С,
откуда
И(г,в,Х) = д f 2 — f-Yr„(e,X) + C (4.8.5)
п = 1 s = о п \а /
Внешняя задача Неймана с тем же граничным условием (4), но без
обязательного сОо =0, сводится к внешнем задаче Дирихле преобразова-
нием
Отсюда
Г(г,в,Х) = -о 2 2 ГЛ1(в,Х). (4.8.6)
л = 0 s = О П+ 1 \Г/
Формулы (5) и (6) можно, конечно, получить и прямым сравнением
коэффициентов. Аналогично можно решать смешанную задачу с заданием
комбинации bVIbr + X И, X = const.
Решение задачи Дирихле возможно не только с помощью рядов, но и в
виде определенного интеграла аналогично тому, как это делается в дву-
мерном случае (§ 3.3). Функцию/, дающую граничные значения искомой
функции V, разложим в ряд (4.2.4) и представим каждый член интегралом
(4.4.13). Если перейти от точки Q G S к точке (г, Q) при г <д, соответ-
ствующий член умножится, как мы знаем, на (г/д)"
И(г,2)= 2 (-}
п = о\а/ 4п
где суммирование возможно под знаком интеграла.
Продифференцируем соотношение (4.5.5) по Г
(4.8.7)
(4.8.8)
Комбинирование (4.5.5) и (8) приводит к формуле
“Л42" +
(4.8.9)
<78
Заменяя сумму (7) интегралом от левой части (9), получим решение
внутренней задачи Дирихле в виде интеграла Пуассона
—ff~2—г-;-------зтгЛв'.
4я (а2 + г2 - 2агсозу)3'2
(4.8.10
Решение внешней задачи с тем же граничным условием доставляется инвер-
сией (10) и имеет сходный вид:
и(г, е, х) = ff 2 \ а--------------x')do'.
4я (а* + г* - 2агсозуУ'*
(4.8.11)
Задача Неймана с граничным условием (4) сводится к задаче Дирихле
вышеописанным приемом. После громоздкого, интегрирования по г получа-
ем представление
2а
г2 — 2дгсо$7
- 2 ar cos у) /(0', X')do’
Г(г,в,Х) = -^-я[-=
— In (а - г cos 7 + у/a1 +r2
для внутренней и
+ г2 — 2arcosy
- 2 ar cos 7 1
(4.8.12)
(4.8.13)
для внешней задачи. Напоминаем, что необходимым и достаточным усло-
вием разрешимости внутренней задачи Неймана для сферы является с00 =
= fffdo = 0. Существуют, конечно, и более прямые способы доказательства
справедливости интегральных формул. Их аналоги для двумерного случая
даны в § 3.3. Обобщения на многомерный случай даются без особого труда.
9 4.9. Общее разложение потенциала при заданной плотности
Обратимся к разложениям потенциала произвольного тела с заданной
плотностью к. Для справедливости следующих выкладок, включая измене-
ние порядка интегрирования и суммирования ряда, достаточно интегрируе-
мости к, вообще же они справедливы почти всегда, если только сам потен-
циал имеет смысл.
Исходя из представления потенциала в пробной точке Q объемным
интегралом (1.1.7) перейдем к полярным координатам
к (О')
И«2) = fff f dT' (4.9.1)
y/r2 + r'2 — 2/t'cost
(С' - переменная точка с координатами г', у - угловое расстояние
между Q и Q'). Интегрирование в (1) распространяем по всему простран-
ству, полагая к = 0 вне притягивающего тела.
179
Область интегрирования делим на две части сферой, проведенной через
Q. При г' > г пользуемся разложением (4.5.5) с t = г/г', а при г' < г, наобо-
рот, t = г'/г. В итоге
И(2)= 5 —fff г" +
п = о L гп + 1 < г
к (2') ]
+ '•" ЯГ ^n(c0S7)rfT'J (4.9.2)
Мы получили разложение типа (4.4.10), содержащее г как параметр. Дей-
ствительно, выражение в квадратных скобках (2) принадлежит множеству
сферических функций порядка п, так как интегрирование /’„(cosy) не
выводит нас за пределы этого множества. Для большей конкретности
используем теорему сложения (4.4.18) и перейдем к двойному ряду:
K(<2) = nf0 t2o/,‘(cose)(C„t(r)cosfcX + S„»(r)smA:X), (4.9.3)
где
|c„*(r)j 2(n — к)!
J ” rn + !(„ + *)!
I cos kX' 1
fff r'"K(Q')P„k(cose')\sinfcx. |dT' +
C„o0 =
=^777 fff K(Q')Pn(cose')r'"dT'+r" fff P„(cos9')dr'.
Порядок суммирования по к безразличен, но обычно члены с cos к\ и sinfcX
группируют попарно, как написано у нас.
Формула (3) справедлива во всем пространстве R3. Она значительно
упрощается, если пробная точка находится вне объемлющей сферы. Первый
из интегралов (2) становится интегралом по всему телу Т, а второй исче-
зает. Зависимость Спк) Snk упрощается и конкретизируется. Формулы (3),
(4) разумно переписать в следующей форме:
И(й) = f ------г s P^(cosfl)(CntcoskX+S„tsinkX),
п = О Гп 1 к-О
(4.9.5)
где постоянные Спк, Snk, называемые гармоническими коэффициентами
или стоксовыми постоянными, определяются формулами’
Cn0=SffK(Q')Pn^e')r'ndT’,
fc} =2-^7^^'”K(eV„*(c°«e')(^kvU' <*=**>
T (4.9.6)
180
Возможны и другие пути вывода указанных формул. Например, к (3)
и далее к (5) можно придти, отправляясь от уравнения Пуассона и приме-
няя к нему метод разделения переменных в сферических координатах.
Вопросы сходимости мы обсудим в гл. 6, а сейчас дадим явные выраже-
ния первых членов (5). Как показано в § 4.5, разложение потенциала
(4-5.3)
K(r,G)= S И„(г,2) М.9.7)
л = О
по шаровым функциям совпадает с рядом Лорана (1.11.23) по степеням
г~', так что Ко уже фактически найдено в § 1.3. Тот же результат получает-
ся по общей формуле (2) (без второго слагаемого)
1 М
V„=—fdm = — - (4.9.8)
г г
Далее,
V\ =r~2 Jr1 cosy dm = r~3 f (xx' + yy' + zz'Jdm,
откуда
M
Vi = — (xxc + yyc + zzc), (4.9.9)
где M — масса, xc,yc, zc — координаты центра масс T.
На основании (9) постоянные Стокса (6) первого порядка суть
Cl0=Mzc, Cll=Mxc, Sn=Myc. (4.9.10)
Из (9) или (10) вытекает, что - 0, если начало отсчета совместить с
центром масс Т.
Для гармоник второго порядка
► 1 13 (xx'+yy'+zz')2 1 ,,1 .
К, = — (ах2 + by2 + cz2 + ayz + bzx + сху}, (4.9.11)
где а,.... с легко выразить через осевые А = f (у ’ + z1 )dm, В =
- f(z'2 + x'2)dm, С = f(x'2 + y'2)dm и центробежные А = fy'z'dm, В =
= Jz'x'dm, С= fx'y 'dm моменты инерции
а = (С + В-2А)!2, Ъ = (АУС-2В)12, с = (В + А - 2С)/2,
а = ЗА, Ь = ЗВ, с = ЗС. (4.9.12)
Сравнивая (11) с выражением (5)
rsV2 = С, о ^-|z2 — “,2^ + sin в (С21 c°s X + Sa ,sinX) +
+ 3r2sin29 (C21cos2X + S22sin2X),
181
найдем
а- —С20+ЗС22, Ь = ——С20 — ЗС12, с-С20,
e=3S21, 6 = ЗС2|, с = 6522,
откуда С20 = (В +А — 2С)/2, C2l=B, S2t=A,
С22=(В-А)/4, 521=С/2. (4.9.13)
Совмещая координатные оси с главными осями инерции, мы обращаем в
нуль центробежные моменты инерции А, В, С. В такой системе отсчета из
пяти постоянных Стокса (13) три обращаются в нуль
С21 =S2i =S22 =0. (4.9.14)
Оставшиеся два коэффициента С20, С22 уже не в нашей власти.
Условия (14) вместе с К, = 0 фиксируют систему отсчета с точностью
до обозначения осей. Поэтому И3, К,,... уже не поддаются упрощению.
Соответствующие выражения можно найти в [29].
Как показано в § 1.2 и использовалось несколько раз в главе 1, любая
симметрия (1.2.7) строения /'относительнопроизвольной подгруппы группы
движений с отражениями влечет такую же симметрию (1.2.9) потенциала.
Последняя накладывает определенные условия на постоянные Стокса.
1. Пусть Т симметрично относительно экватора
к(х,у,г) = к(х,у,-г). (4.9.15)
Тогда
Сп, П - г* - I = 5„, Л - z* - 1 =о. (4.9.16)
Действительно, в интеграле (6) при условии (15) и нечетно» п - к стоит
нечетная функция от z.
Столь же просто устанавливаются следующие свойства.
2. Пусть Т симметрично относительно нулевого меридиана
к(х.у, г) = к(х.-у. z). (4.9.17)
Тогда
Snk = 0. (4.9.18)
3. Пусть Т симметрично относительно меридиана с долготой, равной 90 ,
x(x,y,z) = x(-x,y,z). (4.9.19)
Тогда
C„,2* + 1=5„,2t = 0. (4.9.20)
4. Пусть Т переходит в себя после поворота на угол 2л/ли вокруг оси г
к(г, в. X + 2п/т) = к(г, е, X). (4.9.21)
Тогда, очевидно,
С„* cos XX + S„ksin к\ =
= спк cos + 2ir/m) + S„*sin k(X + 2u/m)
182
тождественно по X, откуда
С„к ~ C„tcos(2fc!r/m) + S„*sin (2Хя/т),
S„k - ~ CnicSnflkir/m) + 5„tcos(2Xn/m).
Поэтому
C„k = Snk = 0, (4.9.22)
за исключением случая, когда к делится на т.
5. Пусть I симметрично относительно трех координатных плоскостей,
так что выполнены условия п. 1—3 и п. 4 при т = 2. Тогда остаются лишь
коэффициенты С с обоими четными индексами
Snk ~ Сп, 2к + 1 = Сг„ + 1, * = 0. (4.9.23)
6. Пусть Т симметрично относительно оси z, т.е. к не зависит от X. Тогда
отстаются лишь зональные гармоники
C„k = S„k = 0, к>\. (4.9.24)
7. Пусть Т симметрично относительно оси г и экватора, так что выполне-
ны условия всех предыдущих пунктов. Тогда остаются лишь зональные
гармоники с четными номерами
C,2„ + i,o = C’njt = Snk=O, (4.9.25)
8. Пусть Т сферически-симметрично, т.е. к зависит лишь от г. Тогда ос-
тается лишь Со о
Cnk=Snk = 0, п> 1. (4.9.26)
Иными словами, ряд (7) сводится к начальному члену V = Ио = М/г, и мы
снова пришли к формуле Ньютона (1.9.5).
Выведенные свойства 1-8 можно рассматривать как частные случаи
общей закономерности. Если K(r,gQ) = к (г, Q), то
H„(r,gQ)= yn(r,Q), (4.9.27)
где g — элемент какой-либо подгруппы группы вращений сферы с отраже-
ниями.
§ 4.10. Примеры точного определения постоянных Стокса
Разложение потенциала V(r, в, X) вне объемлющей притягивающее тело
сферы можно получать разными путями. Допустимо, в частности, приме-
нять интегральные формулы, о которых еще будет идти речь в последую-
щих параграфах, или же разлагать вначале потенциал на некотором подмно-
жестве, достаточном для ссылки на теорему единственности степенного
ряда аналитической функции, а затем сравнивать коэффициенты. При нали-
чии ротационной симметрии именно метод сравнения коэффициентов
оказывается зачастую наиболее удобным, поскольку ряд Лапласа содержит
лишь зональные гармоники
И(г,0) = S cnr~n~lPn(sosO'). (4.10.1)
183
1. Простейший случай - потенциал точечной массы М, сдвинутой отно-
сительно начала координат. Пусть она находится на полярной оси при г=а.
Для r<\a I разложение по шаровым функциям дается формулой (4.5.4),
Для г > I а | разложение можно получить инверсией
М
=М 2
(4.10.2)
2. Однородный круглый диск радиуса а и массы М, лежащий в эквато-
риальной плоскости. Точное выражение потенциала вдоль полярной оси
равно
2М <• RdR
K(z) = — f -----
а2
= 2М £ (-1)"
п = 0
(2л -1)!!
(2 л+2)!!
и сравнение с (1) даетс2п + 1 =0 (этого и следовало ожидать из-за симмет-
(- 1)"(2л - 1)!! ,
рии относительно плоскости z =0) ис2„ = 2М-----------------а . Разло-
(2л+ 2)!!
жение потенциала в области г >а
(2л-1)!! а2п
V=2M 2 (-1)” -^-^„(cosS). (4.10.3)
п = О (2 Л + 2)1! г
3. Однородное круглое кольцо массы М, лежащее в экваториальной
плоскости. Обозначим через а и Ъ соответственно внутренний и наружный
радиусы. Вычитая одно из другого разложения типа (3), получаем
, |>лР»-1)!! Ь2"'2-
2—а2п = о } (2л + 2)!! г2п
P2„(cos9) (r>i).
(4.10.4)
Имеет смысл и разложение в пустой внутренней сферической области,
около которой кольцо описано. Если биномы у/a2 + г , у/b2 + г разлагать
в другом порядке, то на оси
- 2М £ (_1)" + 1(2П ?211(2>-2" + 1-а-2"*|)гг",
й2-а2Ло‘ ’ (2л)!!
и сравнение коэффициентов ведет к общему выражению
2^ J (_1)"(21z22L(e>^"-ft>-2”)r2"/’2n(cos0)
К й’-а’пТо1 ’ (2л)!! (г<а).
(4.10.5)
184
4. Однородный отрезок 0 <z<a массы М на оси вращения. Потенциал
на продолжении этого отрезка
и прежняя процедура сравнения коэффициентов приводит к общему выра-
жению:
- 1 ал
V = Mп = о7+'\1лТ[ Р"^в^ ('>«)'’ (4.10.6)
5. Однородный полушар. Пусть вещество с плотностью к заполняет
область х2 + у2 + z < а2, z >0. Масса полушара М = 2-пка3/3 . Вычисление
объемного интеграла производится так же. как в §1.9 для целого шара.
В точках оси z при z>a
М Г (г2 + я2)3/2 z2 а2 1
И(г) = —+ 2як^-------—----------------j. (4.10.7)
Разложение по степеням г'1 имеет вид
В произвольной точке с г>а
М - (2л-1)!! а2,1 + 1
^-^^(-l)"^^,^^^). (4.10.8)
6. Диск, поднятый над плоскостью z = 0 на высоту Л. Остальные пара-
метры совпадают с указанными в примере 2. Разложение должно сходиться
в области г > \/а2 + Л2.
На оси вращения отличие от прежних формул проявляется в замене z
на z - Л, т.е.
V = 2Ма2 f(z. h), /(z. Л) = ь/я2+(2-Л)2 -т + Л. (4.10.9)
Чтобы разложить f по обратным степеням z, проинтегрируем (4.5.5) по х
от -1 до х, пользуясь (4.3.27). Получим
— (1 + Г — + Г2 — 2ft) = 1+х + £ - [Р„ + 1(х)-Р„_1(х)].
‘ " = 12П + 1 (4.10.10)
Отождествим г и х в (10) соответственно с у/а2 + h2/z и Л/ у/ а2 + Л2. Тог-
да (9) преобразуется к вицу
185
Переход к произвольному положению точки совершается по общему
правилу
V.M х
л = о(2л + 3)а’г L \V« + Л / \V« +A/J
(4.10.12)
7. Однородный цилиндр х1 +/ 4ц1, hi <z < hi. На оси вращения при
z > hi потенциал определяется путем интегрирования (9) по h
V=2tu-1 f’f(z, h)dh,
где д = M/(hi - hi}—линейная плотность. Поскольку Э//8z = — bf/bh , то
bz а Л1 ЭЛ а
Интегрирование (11) по г дает потенциал на оси г
Здесь мы учли, что начальный член разложения (11) не зависит от Л и
пропадает при двойной подстановке от А, к А, в выражении для ЭИ/Эг. Раз-
ложение V в общем случае есть
“ 2(а2 + А2)<" + 3>/2
V = M Е ---------------------------— X
л = о (л + 1Х2л + 5)п2(А2 - Ai )г" 1
’p„(cos0). (4.10.13)
8. Однородный шаровой сектор с углом раствора в0, массой М и радиу-
сом а. Его плотность к = ЗЛ1/(2я(1 - cos в0)а3). Для нахождения коэффи-
циентов проще всего, по-видимому, воспользоваться общей формулой
(4.9.6). Получаем
с„=2як f “ J>" + 2.P„(cose)sm в drdO =
2яко" + 3
^—7—7- [Л> -1 (cos в 0 ) - Рп +! (cos в0 )], (4.10.14)
(2л + 1)(л + 3)
М ЗМ - P„_1(®se„)-P„ + 1(cose0) в" ,
V=—+----------- 2, ---------------------------- ------2>(cos0).
г 1-cos во л«1 (2л + 1)(л + 3) гп 1
При в0 = я в (14) исчезает вся сумма, кроме отдельно стоящего члена М/г,
186
как и должно быть для целого шара. При 9<> = я/2 получаем формулу (8)
для полушара.
9. Однородный конус 0<во, ограниченный сверху плоскостью z = h
(Л>0). При массе М он должен иметь плотность к = ЗЛ//(яЛ3 lg2fl0)
Результат можно получить, сославшись на принцип подобия (§ 1.2). Значе-
ние потенциала увеличится в (1 + е)2 раз, если взять параметром конуса
Л(1 +е) вместо Л при той же плотности и перейти к пробной точке
(r(l+е),fl,X) вместо (г.в.Х). Следовательно, величина 2К-гЭИ/Зг
для конуса должна совпадать с потенциалом диска (пример 6) с поверх-
ностной плотностью кЛ. Несложным интегрированием находим
6ЛГcos в о “ Pn(cos fl)
Asin’flo л = о (2л + 3)(л + 3)
[/•„(cosв0)- P„*2(cosflo)].
10. Однородный сжатый эллипсоид вращения
х2 + v2 z2
__± + _<1 (а>с>0)
(4.10.15)
(4.10.16)
с эксцентриситетом е = \Ja2 - с2/а и плотностью к = ЗА7/(4яа2с).
Начнем слегко вычисляемого вспомогательного интеграла
4я
ш *"dr =---------------
/<т (л + 1)(л + 3)
Более общий интеграл
(л — четное).
Ш (Ax+Bz^dr
(и - четное)
(4.10.17)
получается поворотом на угол arctg— в плоскости xz. Так как в (17)
слева и справа стоят многочлены от Я и В, то равенство (17) верно также
для комплексных А и В.
Теперь легко найти интеграл по эллипсоиду (16)
4тга2 с
fff (z + ix)"dr = а2 с Ш (cz-nnx)"dT= - (с2-а2)"12,
т г*‘ (4.10.18)
где мы пользуемся несложным растяжением масштабов по осям координат,
чтобы сослаться на (17). Интеграл (18) уже принадлежит к числу преду-
смотренных в (4.9.6) для секториальной гармоники, но с горизонтально
лежащей собственной осью. Осредним (18) по вращениям вокруг оси г.
Правая часть не изменится, а слева появится симметричная, зональная
гармоника, притом с единичным коэффициентом, как ясно из рассмотре-
ния точек на оси z. Итак,
JJfr"Pn(cosO-)dr= ----С (с2 -а2)"12,
т (л + 1)(л + 3)
187
Постоянные Стокса сп из (1) оказались равными
С t 2 2Л/
---------------(с2 - а2 )
(л + 1)(и + 3)
(п
четное)
Иными словами,
ЗМ ~ /ае\2п P2rt(cos0)
У= — 2 . (4.10.19)
г „ = </ (2л + 1)(2л + 3) >
Представление (19) справедливо вне эллипсоида при г>ае.
Замечательно, что правая часть (19) зависит только от двух параметров
эллипсоида: массы Ми фокусного расстояния ае. Поэтому внешние потен-
циалы софокусных эллипсоидов данной массы совпадают. В частности,
потенциал (19) имеет плоский диск радиуса ае и массы М. Чтобы найти
поверхностную плотность диска, спроектируем на плоскость х, у вещество
эллипсоида с полуосями ае,ае, с
bdx dy = 2Kzdx dy,
где к = ЗМ/(4яа2 е2 с), z = с \/1 —(х2 + у2)/(ае)2 и устремим с к нулю.
В итоге
6=-----5 х/(ае)2 -х2 -у2. (4.10.20)
2п(ае)э
11. Однородный вытянутый эллипсоид вращения (16) при с > а >0
с эксцентриситетом е = у/с1 - а*/с и плотностью к = ЗМ/(4яа2 с).
Вытянутый эллипсоид получается из сжатого заменой (ае)2 )-* — (се)2.
Поэтому из (19) находим
ЗМ “ 1 fce\2n
V=----- S ----------------(---) P2n(cos0). (4.10.21)
r n = о (2n + 1)(2и + 3)\г )
По-пре жж му потенциалы софокусных эллипсоидов совпадают. В част-
ности, потенциал (21) имеет стержень —се <г<се линейной плотности
д =-------- (с’е2 - Z2). (4.10.22)
4(«)3
Перейдем к менее симметричным телам.
12. Тела вращения, но с наклонной осью. Если уже известно разложение
(1) потенциала такого же тела с прямостоящей осью, то мы просто заме-
няем в на у и пользуемся теоремой сложения. Тогда при произвольной
ориентировке оси вращения тела
И= £ -^-r[/>„(cos0')/>„(cos0) +
п = 0 Гл 1
+ 2 S ~ — /*(cos0)/*(cos0')cosfc(X-X')]. (4.10.23)
к = о (п + к)'.
где 0',Х' — ее угловые координаты. Например, одиночная притягивающая
188
точка массы М с координатами а, 0', X' создает в области
V=M -7T7^n(cos0')Pn(cos0) +
п (п - к)1 1
+ 2 S —------— Pj(cos 0)P*(cos в') cos k(X - X') .
к = о (л + k)l J
а потенциал
To же самое выражение (24) получается, если в (4.9.6) подставить плот-
ность в виде соответствующей дельта-функции.
13. Плоский (z = 0) однородный сектор массы М, выделенный условием
-Х0<Х<Х0 из круга радиуса а. Ввиду наличия двух плоскостей симмет-
рии, в разложении пропадают все члены с нечетными значениями п - к и
все члены, содержащие множители sin кХ. Оставшиеся определяются двой-
ным интегралом
(П *)!- / /> + 17*(0) cos ААЛА-.
Величины Р„ (0) даются формулами (45.9), и мы получаем при к > 1
, к ~ О” Л/д "sin £Х0
Спк = 4(—1/л“*"2----------------------(п - к четно). (4.10.25)
(л+*)!! &(л+2)Х0
Аналогичный расчет дает
С„о = 2(-1)"/2 ——— Ма"
"° V ’ (и+2)!!
(п четно).
(4.10.26)
При Х0 = 7г, как и следовало ожидать, получаем уже знакомое нам разло-
жение (3) потенциала круга.
14. Клин, вырезанный из однородного шара радиуса а двугранным
углом —Хо < X < Хо. При массе клина Мон имеет плотность к = ЗЛ//(4Х0д3).
Действуют те же правила симметрии, что и в предыдущем примере. Нам
надлежит взять интеграл
Спк=2к——f f f° r" + 2P£(cos0)cosfcXsin0 dXdOdr,
(n + к)! о о —xo
(n - к четно, к > 1)
распадающийся в произведение однократных интегралов. Интегралы по г, X
элементарны. Интеграл по 0 дается формулами (4.3.37), (4.3.38) при s =0
(л — 2)!!(л - * — 1)1! JfansinfcXo
(л + 3)!!(л+£)!!
(л и к четны, л > к > 2),
(п и к нечетны, л > 1),
(л — 2)!!(л- к- 1)1! Мапы\кХ0
(л + 3)!!(л+£)!!
С„0 = 0 (л>1), Соо=М (4.10.27)
15. Эксцентрический круг. Сдвинем диск примера 2 на расстояние а
в направлении оси х, так что наружный контур пройдет через начало коор-
189
динат. Правила симметрии остаются те же, что и в предыдущих примерах
Согласно (4.4.13)
(п + Л)! гга —и/2 О
cos кХ dr dX =
2 ——
-6„(2)
_2< м 7 (2gcosX)”t2
(л+fc)!! яа2?я/2 л+ 2
(я- Лг - I)!!
(«+*)-’!
Ма"
,ik\ + e-ikX
------------dX.
В заключение приведем обещанный в § 1.4 пример движения материаль-
ной точки по круговой орбите со сколь угодно большой положительной
полной энергией.
Потенциал однородного диска (3) в его плоскости с учетом (4.5.10)
равен
После раскрытия скобок все члены получают множитель eivK с четным v
и при интегрировании пропадают, кроме случая v = 0. Таким образом,
С, t =2(-1)<-*)/2 О'-*-1)” (>>*!)!*«”
(«+*)!! ((л + *)/2 + 1) ’ ((л - Л)/2 + 1)!
V(r)=2M 2 — ----------—-----=—Гт-.
п = 0 (2л)!!(2л + 2)!1 г2"*1
Скорость и движения по круговой орбите радиуса г определяется равно-
весием гравитационной и центробежной сил
•---2М 2
(4.10.32)
(4.10.33)
(л - к четно, к> 1) .
(4.10.28)
Полная энергия h единицы массы по (32), (33) равна
При it = 0 только множитель 2 оказывается лишним, так что
п=0 (2и)!!(2л
(4.10.34)
(4.10.29)
16. Шар с полиномиальной объемной плотностью. Как мы знаем из § 1.9,
внутренний потенциал является полиномом относительно х, у, z. Формулы
(4.9.6) показывают и во внешнем потенциале наличие только конечного
числа гармоник: все члены достаточно высокого порядка обращаются в нуль
по свойству ортогональности сферических функций. При практических
расчетах можно пользоваться методом неопределенных коэффициентов,
поскольку уравнения Лапласа и Пуассона вместе с условиями сшивания
на границе шара (непрерывность самого потенциала и его нормальной
производной) дают достаточно соотношений для определения потенциала
во всем пространстве.
17. Сферический простой слой. Рассмотрим сферу радиуса а поверхност-
ной плотности б. Аналогично (4.9.2) получим
И= 2 -^ттЯг<2')Л.(«>57)<?а (г<а),
п=оа
“ а"+2
И= 2 —fJb(Q')Pn(sos у) do (r>a),
n-u r
где интегралы берутся по поверхности единичной сферы с элементом пло-
шали da = sin вdd dX. Представим 6 рядом сферических функций 6Л:
6(2) = 5 а„«2). (410'30)
л = 0
Коэффициенты рядов (32), (33), (34) положительны (за исключением
начального коэффициента последнего ряда) и согласно формуле Валлиса
(4.6.4) эквивалентны соответственно и'2, л-1, л"1. Поэтому скорость
отрыв а >/2К, определяемая соотношением h =0, ограничена. В то же время
круговая скорость и и энергия h неограниченно растут при г-* а ввиду
расходимости рядов (33), (34) при г =а.
§ 4.11. Максвеллово представление шаровых функций
Пусть оператор b/bwj означает дифференцирование по определенному
направлению, т.е.
2_ = а JL+ +т ® (4.11.1)
Эх by bz
с некоторыми at/, fy, удовлетворяющими условию а2 + 02 + у2 = 1.
Как мы знаем, дифференцирование по любому направлению гармони-
ческой функции дает снова гармоническую функцию. По соображениям
размерности производная
dwi dw2... 9wn
является шаровой функцией порядка л. Справедливо и обратное утвержде-
ние, которое впервые высказывалось Дж. Максвеллом, но доказано было
позднее Дж. Сильвестром.
190
191
Теорема 4.11.1. Всякая внешняя шаровая функция представляется
выражением (2). Это представление единственно, если не считать пере-
становок и обращения направления осей (оу, 0/, 7/)
Доказательство начнем с установления вспомогательного тождества.
Запишем произвольную внешнюю шаровую функцию порядка п в виде
А„(х, у, z)r ~2"~1 (4.11.3)
где Ап - полином степени п. Образуем оператор А„(д/дх, д/ду, d/3z),
имеющий однозначный смысл из-за коммутативности производных и
применим его к функции г’1 . Для зональной гармоники по (4.3.7)
.....
где невыписанные члены содержат множитель г2. При подстановке Э/Эх,
д/ду, Ъ/Ъг вместо х, у, г он превращается в оператор Лапласа, обращающий
г"1 в 0. Следовательно,
/Э Э Э\ , (2и —1)1! Э"
\дх'ду’дг/ n! Эг"
Но
^(7}=(-1)Л7^Л.(сО50). (4.11.4)
как это можно получить по определению коэффициентов разложения
Тейлора (4.5.5), переписанного в форме
1 п h"
,, г , —-7 = 2 (- О" (cos»)
у/х2 +у2 + (z +hy п = о г
при Г = у/х2 +у2 +z2, cos в = z/r.
Поэтому
Cl. — 2.V
\Эх ду ’ Эг/
(2я- 1)!!
(4.11.5)
Надлежащими поворотами и суперпозициями можно из зональной гар-
моники сделать любую сферическую функцию, см. (4.4.13). Поэтому
тождество (5), как имеющее инвариантную форму относительно поворо-
тов, справедливо для любой шаровой функции (3).
По теореме Безу поверхность А„(х, у, z) = 0 с конусом х2 +у2 + z =0
пересекаются по 2л образующим. Поскольку этот конус мнимый, то и
все указанные образующие, естественно, получаются мнимыми. Они долж-
ны группироваться в пары сопряженных прямых X = X/1, у = у/1, z = Z/1
их = x’t, у = у, t, z = zj t; j = 1,2,..., n (t - параметр, а звездочка озна-
чает комплексное сопряжение), а через две сопряженные прямые можно
провести вещественную плоскость
'Iх/ У) г/1 = “/-< +О/v + 7/z = 0. (4.11.6)
Не умаляя общности, (6) можно считать нормальным уравнением плос-
кости. Поверхность степени л
п
А„ (х, у, г) -р П(а;х +0/У + 7;z)= 0 (4.11.7)
при любом значении параметра у пересекается с конусом х2 + у2 + г2 = 0
по тем же 2л образующим. Подходящим выбором у всегда можно добить-
ся, чтобы они пересекались еще по одной, произвольно взятой, образую-
щей. Уравнение, характеризующее линии пересечения, не может иметь
более 2л решений и поэтому должно полностью вырождаться, т.е. все
точки конуса принадлежат поверхности (7). Это возможно лишь в том
случае, если левая часть (7) содержит множительх2 +у2 + г2. Итак,
A„(x,y.z) = p П (оух +fyy +7;-z) + (x2 +у2 +z2)B(x,y. z) (4.11.8)
/=1
(В - некоторый многочлен). Заменим в (8) х,у, z на Ь/дх, д/ду, д/дг
и вспомним о тождестве (5). Поскольку последний член (8) дает в при-
менении к г"1 нулевой результат, приходим к выражению (2), что и тре-
бовалось.
Остается доказать единственность представления. Пусть шаровая функ-
ция (3) записана в виде (2) ,т.е.
Теперь согласно (5)
где М = (— i)n М(2п — 1)!! Введем многочлен
По доказанному Ап(д/дх, b/Ьу, d/dz)r 1 = 0. То же самое верно для ли-
нейного по z остатка Ап от деления нах2 +у2 + z2 . Как показывает неслож-
ная проверка переходом к цилиндрическим координатам, такой остаток
дает нуль в применении кг-1 лишь тогда, когда совпадает с нулевым опе-
ратором. Следовательно, Ап делится нах2 + у2 + z2
A„(x,y,z)-M П (a,x+p/y+7/z) = K(x,y,z)(x2 +у2 + z2) (4.11.9)
13. В.А. Антонов
193
192
с некоторым многочленом К. Подставим в (9) координаты точек тех об-
разующих, по которым пересекаются Ап (х, у, z) = 0 и х2 + у2 + z2 = 0.
Тогда один из сомножителей а/Х + |3/ у + у, z должен обращаться в 0, пос-
кольку обращается в 0 их произведение. Каждая из образующих, соот-
ветствующих Ап = 0, принадлежит, таким образом, одной из плоскостей
а,х + Р/У + 7j2 ~ °- Из (9) ВИД110 и обратное: пересечение а,х + fyy + yfz =
= 0 с конусом х2 + у2 + z2 = 0 как пара прямых принадлежит Ап(х, у, z) =
= 0. Итак, п плоскостей а/ х + fyy + yf z = 0 однозначно получаются объеди-
нением в пары образующих Ап = 0, х2 + у2 + г2 =0, если только среди
этих образующих нет совпадающих.
При совпадении некоторых образующих доказательство единствен-
ности слегка осложняется. Перечислим по порядку различные образующие:
х = хк г, у = Ук t, z = zkt\ к = 1, 2,. .. , v\ v < п. Из сказанного выше сле-
дует, что все эти образующие используются при составлении плоскостей
а/ х + fyy + 7/ 2 ~ 0>но можно было бы допустить
Э°______ _ Ъп________________ t
dwf1 bw23.. • bw°v 9wp dwp... dwj' 1 1
Напомним, что д/bwj определяется согласно (1). После Ti — кратного
интегрирования от °° по направлению , 7i должно получиться
Эп~т»__________ дп
-т« . dw°v dwp ... dwj'
а это для некоторой шаровой функции порядка п - тх означает противо-
речие с уже установленной неизбежностью использования всех образую-
щих в формуле (2) . Теорема полностью доказана.
Несколько замечаний о практическом построении максвеллова пред-
ставления. Пусть нам дано обычное разложение сферической функции
Кп(0,Х)
Y„ (в, X) = * ^_ЧкР'„к 1 (cos») е,кК. (4.11.10)
Как и в примере с зональной гармоникой, в гармоническом многочлене
rnYn(Q, X) лучше сразу отбросить слагаемые, содержащие множитель
г2 = х2 + у2 + z2 и не влияющие поэтому на результат. Их отбрасывание
сводится к учету в (dmldxm)Pn(x) только старшего члена. После неко-
торых выкладок получаем
2 п! L к = о (п - fc)!
+ S -------—-------(х^#)1*1*”-1*1] + • (4.11.11)
1с = -п (л - |£|)! J
где невыписанные члены содержат множителем х2 + у2 + z2 =0. Мы долж-
ны найти значения х, у, z, обращающие в нуль правую часть (11) вместе
с х2 + у2 + z2. Воспользуемся параметризацией
x = fzcosip, у = zz sin i// (4.11.12)
194
уравнения х7 +у2 + z7 =0. Подстановка в (11) дает
Е z е-'1*1*=0, (4.11.13)
к=о(п-к)'. к=-п (п - |Аг|)!
что эквивалентно некоторому уравнению степени 2п с комплексными
коэффициентами для переменной е1*. Решая (13), определим 2п значений
е1*. Подстановкой в (12) находим 2л комплексных образующих. Группи-
руя их в комплексно-сопряженные пары, получим п плоскостей (6). Их
направляющие косинусы дают а/, 3/, ту, а Л/ находится сравнением (2)
и (3) прих =у = 0.
В физической литературе выражение (2) при л = 0, 1, 2, 3,. . принято
называть соответственно зарядом, диполем, квадриполем, октаполем и т.д.
§ 4.12. Область между двумя непересекающимися сферами
Метод решения задач Дирихле и Неймана, описанный в § 4.8, легко
переносится на кольцеобразные области между концентрическими сфе-
рами г = а и г = b (а < Ь). В задаче Дирихле на той и другой сферической
поверхности задаются граничные значения
И(д,0,Х)=/в(0,Х), И(М,Х)=Д(0,Х). (4.12.1)
Пусть уже известны разложения обеих функций:
/а(0,Х)= £ Z AnkYnk(e,X),
°к~° (4.12.2)
Д(0,Х)= Z Z BnkYnk(e,\).
л = 0к=0
Коэффициенты разложения Спк (г) искомой гармонической функции
°» 2л
И(г,0,Х) = Z°Z°Cnk(f)Ynk(0,X) (4.12.3)
определяются сравнением с (2). После несложных выкладок
-b2n*,r-n-") + Bnkb^t(r"
С" * <')-----------------------------------------------------
(4.12.4)
Задача Неймана получается, если вместо (1) в роли граничных условий
взять
Путь действий основывается на учете того обстоятельства, что гармони-
ческая функция rbVfbr является решением задачи Дирихле с граничными
значениями afa на внутренней и bfb на внешней сфере. Интегрирование
195
(4) с указанной заменой приводит к искомому решению
Соо (г) ~ —о^Аоо/г,
(4.12.5)
а2А00 - Ь2В00 = 0, (4.12.6)
что совпадает с условием (2.1.3). К (3) можно прибавить произвольную
постоянную.
Вернемся к задаче Дирихле. Метод решения с помощью сферических
функций распространяется и на кольцеобразные области между любыми
непересекающимися, не обязательно концентрическими, сферами. Для
этого служит прием предварительной инверсии
где х', у', z‘ — координаты относительно центра инверсии, выбираемого
так, чтобы в результате обе сферы стали концентрическими. Из геомет-
рии известно, что это всегда возможно. Например, если уравнениями сфер
являются
х2 +j2 + z2 = с2, х2 +у3 + z2 —2hz =R2,
то сферы переводятся в концентрическое положение инверсией относи-
тельно точки
x=y = 0, 2z = a2 +h2 - R2 ±Jr" -2(a2 + h2)R2 + (a2 - h2)2.
Выбор знака ” + ’’ или ” - ” не играет существенной роли и связан с воз-
можностью взаимной перестановки обеих сфер.
Если сферы первоначально лежат одна вне другой, и область между ни-
ми простирается до бесконечности, это не влечет за собой изменений наме-
ченного здесь метода решения задачи Дирихле. Пересчет граничных значений
при инверсии не составляет существенных затруднений.
§ 4.13. Линз о видные и тороидальные области
Для полноты картины рассмотрим еще представление гармонических
функций в линзовидной области между двумя пересекающимися сферами
и попутно в некоторых торах. Допустим, что упомянутые сферы пересека-
ются по окружности х2 + у2 = а2, z = 0. Введем так называемые тороидаль-
ные координаты о, в, соотношениями
asha asha osint?
х ------------cos<£. у ------------sin \p, z =--------. (4 13.1)
cho — cos0 cho — cosfl ch o — cos в
Нетрудно определить форму соответствующих координатных поверхнос-
ть
тей. При в = const
х2 +у2 +z2 - 2azctg0 = а2 (4.13.2)
ЭТ0 _ уравнение всевозможных сфер, проходящих через опорную окруж-
ность х2 + у2 = а2, z=0, в предельных случаях 6 = 0 и в = я разворачиваю-
щихся в плоскость z = 0. При о = const получаем круговые торы
Наконец, — азимут; координатными поверхностями = const служат
плоскости, проходящие через ось z.
Найдем элемент длины ds:
ds2 = -------------(do2 + dd2 +sh2ad4>2'). (4.13.4)
(cho — cos0)2
Система тороидальных координат оказывается ортогональной. Пользу-
ясь общим выражением (1.8.15), выразим оператор Лапласа в новых
координатах:
(cho —cos0)3( Э / she 9\
a2sho I Эо \cho - cos0 9о/
Произвольную гармоническую функцию V представим в виде
V = Veh a-cos 0 Vx. (4.13.6)
Уравнение Д V = 0 сводитcriк
Уравнение (7) решается методом разделения переменных. Азимут
отделяется в составе множителя cosfc^ (sinfctf) • По условию однознач-
ности к должно быть целым числом. Вводим еще один параметр разделе-
ния X. Если функции ,¥(а) и У(0) удовлетворяют обыкновенным диффе-
ренциальным уравнениям
то, как легко проверить, произведение е*** А"(а) У(0) удовлетворяет урав-
нению в частных производных (7) . Это означает, что функция
\/cha-cosB Х(а)Г(в) ( 1 (4.13.10)
I sin к<р I
гармонична всюду, кроме особых линий, которыми в системе координат о.
197
6, <р являются (при и = 0) ось z и опорная окружность х2 + у2 = а2, z = 0
(ей соответствует о = °°). Выбор решения зависит от того, какая именно
область рассматривается.
Начнем с более простого случая внутренних задач в торе. Уравнение
всякого тора может быть представлено в форме (3) при подходящем
выборе а и о = оо. Внутренняя область этого тора определяется условием
о > а0. Простейшие гармонические функции (х + iy)k в тороидальных
координатах представляются следующим образом:
а~к (x + i»* = e/**’sh*a(cho-cos0)“* (к = 0, 1,2,... ) (4.13.11)
и при любом к оказывается законным разложение в ряд Фурье
a ~ * (х + iy)k - eik* Veh a — cos 0 S Xk(o)cosne, (4.13.12)
n = 0
где
Xk (<0 = - 7---—"—ГТ77Т cosnd dQ (4.13.13)
n n о (cha - cos0)*+1/2 ' 7
при к > 1, а при к = 0 вводится дополнительный коэффициент 1/2. Под-
становка (12) в (7) показывает, иго каждый член правой части (12), а
не только сумма в целом, представляет собой гармоническую функцию,
поэтому введенные здесь функции Хк являются решениями (8) сХ =
= —и2 и соответствующим к.
Подстановка х = ch а сводит (8) к
ж-<]<-7-а-
т.е. к уравнению (4.3.3) функций Лежандра с заменой целочисленных п
на полупелые значения п - 1/2. Все Хк выражаются через полные эллип-
тические интегралы первого и второго рода.
Интегралы (13) при a убывают по крайней мере как (ch о) '
Этого достаточно, чтобы нейтрализовать рост общего множителя
Vcho - cos0? Сингулярность же при о = 0 нас не беспокоит, потому что
ось z не пересекает внутреннюю область тора.
Нами построена система гармонических функций
г coskip 1 г cosn0 । , _________
I X 1 X Xj(a)x/cha -cos0, (4.13.15)
I sinfc<£ f I sin ив J
не имеющих особенностей внутри тора. Если на поверхности тора а = о0
заданы значения искомой гармонической функции
И|а=ов =Л
198
то прибегаем к двумерному разложению Фурье
/(0,1)
x/cha0 - cos0
S [(<*л к cos кр + bn к sin kip) cos пв +
1=0к-0
+ (сПк cos кф + dnк sinkip) sin пв].
Функция V восстанавливается следующим образом:
/, = = S S [(апк coskip + bnk sinкр) созпв
/СПО —COS о п=0к=0
+ (сп к cos к^р + dn к sin к\р) sin пв ] —J-.
Xn (CTo)
Обратимся к линзовидным областям -о0 < а < а0. Этот случай слож-
нее, и мы ограничимся основными формулами без детального обоснова-
ния. В отличие от случая тора, следует отождествлять X не с - л2, а сд2,
причем спектр значений д > О надо брать непрерывным. Параметр же к
остается дискретным. Функцию X сейчас будем обозначать через Тк (о, д).
Точнее, под Т(а, д) понимается то решение уравнения (8), которое непре-
рывно в точке а = 0 и нормировано в ней на 1, аналогично обычным поли-
номам Лежандра. Стандартный метод подстановки ряда Тейлора и срав-
нения коэффициентов позволяет получить
ТО/ . , /2 1\х-1 (д2+1/4)(д2+9/4)/х-1у
Т° (о, д) = Т(а,д) = 1-^д2 + ----------------------К Г/ "
(д' + 1 /4) (д2 + 9/4) (д2 + 25/4) /х - 1\3
----------------т----------- ----- + . . . (4.13.16)
Тогда Т*(о,д) = sh*a(------------- ) Г(о,д) (к> 1) (ср. проверку (4.3.8)).
Что касается больших значений х и о, то опять-таки представление реше-
ний рядами по убывающим степеням х показывает, что они должны начи-
наться с члена типа х/м-1/2 или х~,ц~1/2. В любом случае решение убы-
вает по крайней мере как (cho)-,/2. В итоге оказывается, что гармони-
ческие функции вида
(coskip 1 * ( сЬд0
lsink<p I I $Ьд0
X Тк (а,д)\/сЬа - cos0
ограничены внутри линзы. Апериодическая зависимость от в не имеет зна-
чения, так как, в отличие от тора, угловая переменная в внутри линзы не
может свободно вращаться, а остается в ограниченном интервале (- в0, в0).
Отсюда уже ясен путь решения внутренней задачи Дирихле (о внешней мож-
но специально не говорить, поскольку инверсией относительно начала коор-
динат она превращается во внутреннюю для несколько иной линзы). Удоб-
но рассматривать по отдельности случаи четных и нечетных относительно
199
z граничных значений. В четном варианте задачи для граничной функции
Ив = *а-=/(а,Ф)
следует построить разложение
l)
Veh а — cos0o
S / 5*ф)Г*(а,д)<*д
* = 0 о
(4.13.17)
с некоторыми функциями SjtG-O- Решением задачи Дирихле является
____________ " °° ch и в .
И= Veh о — соз0 S f -------------Sk(/i)Tk (а,р.)с1ц.
л = оо ch^0o
(4.13.18)
Аналогично, в нечетном варианте
к1«=80 = -И.=_в, =f{o,t).
и при том же разложении (17) функции / достаточно заменить в (18)
дробь ch д0/сЬд0о на sh^0/shM0o.
Чтобы покончить со случаем линзы, изложим вкратце иной метод
решения основных задач теории потенциала. Это так называемый альтер-
нирующий метод Шварца, приспособленный для областей, представляю-
щих собой объединение конечного числа более простых областей, для каж-
дой из которых соответствующая задача теории потенциала достаточно
просто решается в общем виде. В данном случае такой составной областью
оказывается внешняя область Т линзы, имеющей угол при ребре меньше
180° (0О <90°).
На этом примере хорошо видна суть метода Шварца. Имеем Т = Т, U Т2,
где Ti и Т2 - внешние области двух полных сфер Si U Si hS2 U S2, в пе-
ресечении которых образуется линза. Поверхностями линзы являются
сектора 5Х и S2, а оставшиеся части S\ и S2 обеих сфер остаются неисполь-
зованными. Рассмотрим, например, задачу Дирихле (исследование задачи
Неймана аналогично) для внешней области линзы. Граничные значения
искомой функции по условию заданы на Sx U S2. Процесс последователь-
ных приближений начинается с того, что на 5Х мы задаемся какими-ни-
будь произвольными граничными условиями, следя лишь за непрерыв-
ностью на ребре, и по значениям на всей сфере Sx U S\ определяем функ-
цию, гармоническую во внешней к ней области 7\, хотя бы при помощи
интеграла Пуассона (4.8.11). Точки S2 являются внутренними для Л,
и на S'i построенная гармоническая функция принимает некоторые опре-
деленные значения. Скомбинируем их с граничными условиями задачи
на S2 и построим по известным таким образом значениям на S2 <J S2
функцию, гармоническую в Т2. К числу внутренних точек Т2 принадлежат
точки S\, полученные в них значения комбинируем с точными условиями
на Sj и т.д. Доказано, что этот процесс сходится к искомому решению
задачи Дирихле.
200
§ 4.14. Сфероидальные области
Тор является не единственным примером, когда при построении систе-
мы гармонических функций, оптимальной для области, ограниченной не-
сферическими поверхностями, появляется уравнение Лежандра. Другим,
практически даже более важным, примером является внутренняя или внеш-
няя область эллипсоида вращения. При этом приходится употреблять
не только полином Лежандра Рп(х), но и второе частное решение урав-
нения (4.3.4), обозначаемое обычно символом Qn(x) и имеющее на бес-
конечности порядок х~п~1. С функцией Qn мы уже встречались в преды-
дущем параграфе, но употреблявшееся там представление (4.13.13) спе-
цифично для случая полуцелого индекса.
Рассмотрим представления, пригодные для целых или вообще для каких
угодно п в области х > 1. Составленный из Рп (х) и Qn (х) определитель
Вронского пропорционален (х2 - I)-1. Обычно нормируют Qn так, чтобы
коэффициент пропорциональности равнялся единице, т.е.
dPn dQn 1
/Э ------ _ Р = --------- ГЛ 1 л п
В этом случае
Подставновка в (2) старшего члена (4.3.7) показывает, что разложение
Qn(х) по убывающим степеням х начинается с л!х-л-1/(2л + 1)!.’ Осталь-
ные коэффициенты определяются из дифференциального уравнения (4.3.4)
где суммирование распространено на значения т одинаковой четности
с п + 1. Ряд (3) сходится во всей области х > 1.
Легко видеть, что при п = 0,1, 2,... интеграл в (2) берется в элементар-
ном виде через алгебраические функции и логарифмы. Можно дать и зна-
чительно более точные указания. Обозначая через х, корни многочлена
Рп(х), разложим подынтегральное выражение (2) на элементарные дроби
______!_______= _1_+£_±*—
(х2 - 1)[Р„ (х)]2 х2 - 1 /= I (X - Х7)
где со.- постоянны, поскольку появление членов типа (х - х,) 1 и соответ-
ствующих логарифмических особенностей Qn исключено характером
уравнения (4.3.4). После интегрирования
Q„ (х) = у/>„ (х) In +Д„_1 (х),
где многочлен Rn_t имеет степень п - 1. Вспомнив, что разложение Q„
201
по убывающим степеням х не имеет целой части, заключаем, что
е„(х)= !/>„(Х)Ш^ - ig+i+• • )),„; (414'4)
Символом {...lint обозначена целая часть стоящего в фигурных скоб-
ках выражения.
У более общего уравнения (4.3.3) также есть решение С£(х), пропор-
циональное х“"-1 на бесконечности. Приняв нормировку
dx dx х2 - 1
и пользуясь соотношением
ег«=с(х’ - о*/’d е;(х)
dxK
аналогичным (4.3.8), находим на основе (3)
(х2 - l)t/2 £ (m+fc- l)!x~m-fc
(п + 1)(л + 2).. .(л +к) т=л+1 (т +п)!!(т - л - 1)!!
(4.14.5)
с той же оговоркой о суммировании только по значениям т определен-
ной четности.
Для конструирования гармонических функций в сфероидальных об-
ластях нужна еще специфическая система криволинейных координат.
Она строится по-разному для сжатого и вытянутого эллипсоидов.
1. Сжатый эллипсоид. Пусть Хид являются положительным и отрица-
тельным корнями уравнения
ai‘_^2+s + ~ = 1 («> с > 0) (4.14.6)
относительно j. К X и д в качестве третьей координаты присоединяем
азимут р = arctg (у/х). Координатные поверхности X = const и д = const
представляют собой соответственно эллипсоиды и однополостные гипер-
болоиды. Уравнения
~—г-г +т= ~—г— + — = 1
а - с + X X а - с + д ц
легко решаются относительно декартовых координат:
Да1 - с2 + Х)(а2 - с2 + д)
х - ± V----------о-----5---------cos<p,
д2 - г2 Y
(4.14.7)
202
Далее, определяем элемент длины
„ X -д , X-д
ds2 = --------z----dX - ----------z----du
4Х(а2 - с2 + X) 4д(а2 - с2 + д)
+ (д2 - с* +Х)СД* - +
(4.14.8)
По общей формуле (1.8.15) выразим оператор Лапласа в новых коорди-
натах:
4^р | ,_с2 /Т±1 + 2U_г+д)/Е±1+
х-И lax L Ц эх! ЭдГ J X Эд!
+ (Х-д)(а2-с2)____1
4(а2 - с2 + Х)(а2 - с2 + д)\/-Хд Эу2 I
Решая уравнение Лапласа, отделим переменную у> в составе множителя
cos kip или sin kip. Уравнение приобретает форму
УТ^[(,---.ЧСТ^].
аг ак! *2(а2-с2)(х-д)и
+ V — Д -1 (а — с1 + U)\J — U — — ------------- - О
Эд[ Эд J 4(а2 - с2 +Х)(а2 - с + д)
и допускает дальнейшее разделение переменных. Частное решение оказы-
вается возможным искать в виде
И = Х(Х)Г(д)
Icos kip
an kip
(4.14.9)
где функции X и Y удовлетворяют обыкновенным дифференциальным
уравнениям
d Г , ,-dX\ 1 Г*2(а2 - с2) 1
VX — (а2 - с2 +Х)\/Х— + - -г2-—:------------- + 3 Х = 0, (4.14.10)
d'K L d\ J 4 I a - с +X J
(a2 - с2 + д)7^^] - 7[*?\~Ci) ♦*] r= 0
ад [ dfi J 4 La - с +д J
с параметром разделения h.
Преобразуем второе из уравнений (10) подстановкой д = — (а2 — с2)t2
У|'УК‘,гУ'''0
(4.14.11)
Наибольшее значение д = 0 соответствует точкам z = О, у/х2 + у2 = R >
> у/а2 - с2 . Асимптотически г ~ у/-ц (Я2/(а2 - с?) - 1) ; из соображений
непрерывности следует при д = 0 приписывать t перемену знака во время
перехода из верхнего полупространства в нижнее. При крайних значениях
t = ± 1, соответствующих д = -(а2 - с2), должна сохраняться непрерыв-
ность искомой гармонической функции. Это показывает, что единственно
203
допустимыми решениями (11) являются функции Лежандра и что надо
Л = — л(л + 1), п = 0,1.2... .
При указанных Л первое уравнение (10) в результате подстановки
Л = (а2 - с2)г! приобретает вид
—f(l + Г2)— ]+ -п(п + 1) Х=0 (4.14.12)
dt I dt J I 1 + / J
и переходит в уравнение Лежандра (4.3.3) после замены t it. Следователь-
но, частными решениями (12) являются
р^(Г) = /-лР^(17) (4.14.13)
и
?1?(о=1я+1е;о7)-
(4.14.14)
Это - вещественные функции. Выбор той или другой из них зависит
от того, рассматривается внутренняя или внешняя область сфероида. Для
внутренних задач в точках с X = 0, т.е. z = 0, R < у/а2 — с2 должна сохра-
няться непрерывность, поэтому выбирается решение (13). Для внешних
задач надо обеспечить убывание гармонической функции на бесконевдости
и поэтому следует взять решение (14).
Итак, имеем систему гармонических функций
(XI-
пригодную для внутренней области сфероида, и
(4.14.16)
для внешней области. В декартовых координатах функции (15) выра-
жаются некоторыми полиномами. Действительно, при четном п - к
, (л - к)/2
Рк(х) = С(1—х2)к12 П (х2-х2),
, . (п — к)/2
Рп(*) = С<Д+х2)к'2 Д (х2+х2),
где Xj вещественные величины, зависящие от п и к. Следовательно,
204
При нечетном п - к добавляется еше множитель >/— Л Д, пропорциональ-
ный г.
Что касается функций (16), то они аналогичны внешним шаровым
функциям и могут быть по ним разложены [25].
Приведенные в этом параграфе сведения открывают путь решения
задачи Дирихле для эллипсоида X = Хо = с2. Для этого заданные гранич-
ные значения / гармонической функции V разлагаются в ряд по функциям
Лежандра
/ = Z Z (Спк cosкр + Snк sinкф)Р„ (y/-ii/(a2 - с2)).
п = 0 к = 0
(4.14.17)
Решения К,- и Ve соответственно внутренней и внешней задач Дирихле
описываются формулами
V/ - Z Z (Спк cos кр + Snk sin кф) X
л = о л = о
Рп (л/-Д/(я2 - с2))
(\/Х/(а2 - с2))
pJ(VXo/<42 - с2))
Ve = S 2 (Спк cosfcp + sin кд>) X
дк„ (Ух/(а2 - с2))
Qnf.'/bolb2 -с*))
XPi(V-p/(®2 - с2))
(4.14.18J
2. Вытянутый эллипсоид, с > а. Формулы сходны с предыдущими, но
кое-где отличаются знаками. Значения координат Хид принадлежат сей-
час интервалам {у/с2 - а2, <») и (0, yjc2 -а2). Координатные поверхности
X = const опять оказываются эллипсоидами, а поверхности д = const —
двуполостными гиперболоидами. Обоснование выбора решения уравнения
(11) существенно не меняется. В первом уравнении (10) для веществен-
ности аргумента следует сделать подстановку X = (с2 - а2) г2:
Это - обычное уравнение Лежандра с частными решениями Pj(r) для
внутренних и Q„(f) для внешних задач. В формулах (15) - (18) следует
заменить>/в2 -с2,р„,£ на у/с2 - а2, Р„, Q„.
Между сжатым и вытянутым эллипсоидами стоит еше шар, представляю-
щий предельный случай для них обоих. При а = с координата X превраща-
ется просто в г2. Так как значения X/(а2 - с2) и Х/(с2 - а2) при а --с ока-
зываются большими, соответствующие функции q„ или Q„ определяются
первыми членами своих разложений, т.е. сводятся к степенным функциям
~ г~ ~ . Что касается координаты д, то она асимптотически ведет себя
как некоторая функция широты. Действительно, д имеет порядок а2 — с2.
Если умножить (6) на а2 - с2 и перейти к пределу то при s = д
205
получается
1 + д/(а2 - с2) ц/(а2 -с2) а2 - с2
или
д =» (с2 - я2 )cos20. (4.14.19)
Отсюда ясно, что функции (15) и (16) в случае шара переходят в хорошо
известные нам внутренние и внешние шаровые функции.
Для полноты картины упомянем еще предельный переход от трех-
осного эллипсоида к двухосному. Координаты Хид этого параграфа ока-
зываются частным случаем эллипсоидальных координат § 3.7 (для вытя-
нутого эллипсоида необходимы некоторые переобозначения). Третья
эллипсоидальная координата и при а2 - Ь2 -+ 0 испытывает вырождение
в некоторую функцию долготы сходно с (19), а предельный переход в диф-
ференциальном уравнении для N(y) в области определения v объясняет
появление множителей cosfcip, (Уравнение для имеет постоянные
коэффициенты.)
ГЛАВА
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОТЕНЦИАЛА
С ИЗМЕНЕНИЕМ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА*)
Преобразование потенциала из одной системы координат в другую
является одной из необходимых операций во многих задачах, связанных
как с изучением гравитационных полей небесных тел, так и с движением
в этих полях. Изменение системы отсчета, в которой решается задача,
сводится к двум основным операциям — вращению и сдвигу Поэтому
преобразование потенциала можно рассматривать как преобразование
при вращении или сдвигах системы отсчета, не используя традиционную
замену переменных. Такие преобразования в принципе осуществимы
непосредственной заменой переменных с использованием известных соот-
ношений сферической тригонометрии. В простых задачах подобная замена-
дело нетрудное. В общем случае она превращается в весьма громоздкий
прием. Картина упрощается, если применять некоторые специальные
соотношения.
В настоящей главе рассматриваются общие правила преобразования
потенциала при вращениях и сдвигах системы отсчета. В случае вращения
общие правила преобразований получаются на основе D-функций Виг-
нера, а в случае переноса - на основе идеи Роуза [86].
§ 5.1. Определение и свойства функций Вигнера
Обобщенные сферические функции, называемые в квантовой меха-
нике функциями Вигнера, задаются в пространстве всевозможных по-
воротов. Одной из возможных параметризаций этого пространства явля-
ются углы Эйлера а, 0, у. Углы Эйлера определяют однозначно следующие
три вращения
5 (Oxyz ) —► S' (Ox '.у z') -> S" (Ох"у"г") —> S 0 (Oxoy°zo\ (5.1.1)
(«) (Р) (т)
где a G [0, 2тг] — угол вращения вокруг оси z в плоскости Оху начальной
системы S, отсчитываемый от оси .у до линии узлов / (рис. 15): аналогич-
но угол 0 G [0, я] определяет вращение вокруг I = у', которое отсчиты-
вается от оси z = z\ у G [0, 2я] определяет вращение в плоскости Ох°у°,
от линии узлов /.
') Написали сотрудником Болгарской академии наук профессором В.Г. Шкед-
ровым.
207
Для удобства дальнейших выкладок введем метрику пространства по-
воротов. Расстоянием р между поворотами А , и считаем угол пово-
рота К[' К2. Его легко выразить через соответствующие углы Эйлера
(»!. 01.71) И (а2, 01,11). Для нас представляет интерес случай, когда они
мало различаются. Тогда в линейном приближении, как видно из рис. 15,
р2 = da2 + d02 +di2 +2cos(i</a</7. (5.1.2)
По аналогии с (4.1.5) вводится оператор Лапласа в пространстве поворотов
_ а2 а 1 /а2 а2 э2\
Р =—r+cts0--------- + ——. - 2cos(J——- + — . (5.1,3)
ЭД2 90 sin23\8a2 ЭаЭу Эу2/
Это выражение может быть получено из (2) аналогично тому, как это де-
лается для криволинейных координата трехмерном пространстве (§ 1.8).
Рис. 15. Углы Эйлера а, р,
Все ограниченные решения (3) представляют собой суперпозицию
фундаментальных решений
e~>maP,m,n(.^0}e~*n'1i (5.14)
где функция Z = P^ n(z)
удовлетворяет дифференциальному уравнению
Можно доказать, что ограниченные решения уравнения (5) являются
полиномами относительно z и — z4. В явном виде при специальном
выборе нормировочных коэффициентов
Pfn n(cos0) = im n L ----------------------------X
к = м k?.(k - n +
X (cos (0/2))2" 2*(sin (0/2))m - n + 2k, (5.1.6)
M = max(0, n - m), N = min(/ + n, I - m).
Если один из нижних индексов обращается в нуль, то получаем обычную
сферическую функцию порядка /. Если оба равны нулю, получаем полино-
мы Лежандра.
Функции (6) хорошо изучены [23] и для них получено множество
рекуррентных формул типа (4.3.21) - (4.3.31) для присоединенных функ-
ций Лежандра. Можно также найти различные производящие функции для
n(cos 0). Определитель квадратичной формы (2) w2 = sin2 0, так что эле-
ментом объема в пространстве а, 0. 7 является sin (idad^dy.
Ортогональность двух различных функций (6) доказывается по той же
схеме, что ив § 4.2 для обычных сферических гармоник.
Обозначим выражение (4) с точностью до переобозначения индексов и
числовых коэффициентов через (а,0,1)(£> - функция Вигнера [22, 23]).
В дальнейшем часто будет нужна комплексно-сопряженная функция
Dnmm' (а. 0, у)- Как следствие ортогональности функций (6),Z) - функции
( (а, 0, у) sin 0 da dfi dy =
\/(2/7i
где - символ Кронекера. В частности,
f f f 7) I2sin 0cfa d$dy =
(5.1.8)
Обратим внимание на независимость результата от нижних индексов т, т'.
Функции Оптт(а, У) образуют полную систему функций.
Для обобщенных сферических функций имеет место теорема сложения
[23], аналогичная теореме сложения (4.4.18) для обыкновенных сфери-
ческих функций и сводящаяся к ней при т = т' =0. В обозначениях Виг-
где аргументы oti, 0i, 7i относятся к повороту К{, соответственно а2 ,0г. 72
к К2, а а, 0, 7 к результирующему повороту ° К2 • Теорема (9) может
быть доказана, например, исходя из теоремы (4.4.18) по индукции после-
довательным применением к левой и правой части дифференциальных
операторов е' etg 0 —
\ да_ .... г
которые коммутируют с D и изменяют индекс т и tn' функций Вигнера
на ± 1.
§ 5.2. Преобразование потенциала при вращении системы отсчета
В этом параграфе изложим общие принципы преобразования внешнего
потенциала V при вращении системы отсчета S вокруг ее начала О. Для этой
цели воспользуемся выражением (4.9.5). которое можно переписать виде
^ г-п-'А'„тНлт(0.->1\
208
где гармонические коэффициенты Ляя, определяются с помощью равенства
причем .____________
а . х Д2л + 1)(л - ю)! ж .
я„„(е, Л) = Р”(а» 9)е"пК = V (п+' ---------Рт„(cos 0) е""\
Здесь Р™ - присоединенные функции Лежандра (4.3.8), Р™ отличаются от
них нормировочным множителем. С функциями Вигнера Нпт связаны
соотношением
Я’т(0,Л) = ч/27Г1Р^о(Х,0,7).
Пусть 5 - исходная система координат, а 5 ° - преобразованная за счет
врашения вокруг О система, и пусть между 5 и S 0 существует следующая
связь:
Величины, относящиеся к новой системе отсчета 5°. будем отмечать симво-
лом ”°” (градус). Например, т°, А*°, Х°.
Общее правило преобразования V можно получить следующим образом
[76]. Выразим в (1) сферическую функцию Нпт(6, X) через функцию
. Х°) с помощью обобщенной теоремы сложения (5.1.9)
Нпт(6, X) = Нпт°(0°, X°)D^mo(a, fi, у). (5.2.4)
Подставляя (4) в формулу (1), получим
(5,25)
Важной особенностью выражения (5) является тот факт, что в нем
гармонические коэффициенты А *т связаны с одной системой отсчета
(А*т GS), а сферические функции - с другой (Яяя,»(0°, Х°)GS0). Этот
факт оказывается очень полезным для динамических задач, в которых
гармонические коэффициенты нужно определять в некоторой, подходящим
образом выбранной системе отсчета. Чтобы получить полное преобразова-
ние И, необходимо в (5) преобразовать гармонические коэффициенты.
Поскольку
X) = Н-т^е°, X°)D^mo(a, 0, у), (5.2.6)
то из определения гармонических коэффициентов А*т (2) следует
где
A""'°=2^Tl f''"Hnm-W°X>Kdr (5.2.8)
определены в S°. Из (5) и (7) имеем
(5.2.9)
Если теперь воспользуемся условием
S D^wo(a,0,y)Dnmm^ (а,{3, у) = (5.2.10)
которое можно получить из (5.1.9), то окончательно для преобразованного
потенциала имеем
Отметим, что (7) определяет общее правило преобразования гармони-
ческих коэффициентов при вращении системы координат.
Полученные выражения легко распространяются на более общий случай
вращения S в S°. Если, например, исходная система 5 преобразуется в 5°
по схеме
S'--------> S'--------* 5°, (5.2.12)
(a.,^,7,) (а,, р2,У1)
где S является некоторой промежуточной системой отсчета, то преобразо-
вание потенциала V можно получить путем двухкратного применения (4)
[76]. В результате
где, как и раньше А*т е S, Нпт°(в°, X°)G S .
Правила преобразования потенциала V при вращении S используются
для решения различных задач небесной механики. Например, в спутниковой
задаче часто возникает необходимость выразить пертурбационную функцию
в кеплеровых элементах, что эквивалентно преобразованию потенциала
планеты к орбитальной системе координат 5° с помощью (5) [87]. Дейст-
вительно, если невозмущенное кеплеровское движение определяется
относительно исходной планетоцентрической системы координат S, и если
S° - система, связанная с кеплеровской орбитой, то
(5.2.14)
а = П- я/2, 0 = 1, 7 = <о + я/2,
где П - долгота восходящего узла, I - наклон, со - аргумент перицентра.
Подставляя (14) в (5) с учетом
D^o(£2 - я/2,/, <о + я/2) = (- 1)ш im +т° /, со), (5.2.15)
получим
И= Z о(-1ГГ+т°г-л-1>4я’тП^то(П,/, со)//ЯЯ)°(0°, Х°). (5.2.16)
Это выражение можно упростить, учитывая, что для решения задачи нужны
не все значения сферической функции Яяя1о(0°,Х°), а только те, которые
210
относятся к плоское™ кеплеровской орбиты. Иными словами, в данном
случае используются значения функции НПт°(^~ > Кроме того, кепле-
ровскую систему- отсчета выбираем таким образом, чтобы Х° равнялось
истинной аномалии и. Исходя из этих ограничений и свойств D-функций
Вигнера, получаем окончательное выражение для потенциала
I co + u), (5.2.17)
где суммирование по т° заменено суммированием по /, в соответствии
со значениями присоединенных функций Лежандра в начале координат
(4.5.9). Формула (17) в несколько иных обозначениях впервые получена
В.А. Брумбергом [21]. Отметим, что из (17) нетрудно полупить известную
’’функцию наклона” Каулы [32]. Нормированная ’’функция наклона”
F„m/(/) связана cD-функцией Вигнера следующим образом:
F „„,(/) = (-1 )’Р"~ 2'(0) Гт„_ 2,(Г). (5.2.18)
При выводе (17) считалось, что А„т заданы в той же системе отсчета,
относительно которой определяется невозмущенная кеплеровская орбита.
Потребуем, чтобы А„т определялись в неподвижной системе координат
с осями, идущими по главным осям инерции планеты S’, вращение которой
происходит вокруг оси, совпадающей с вектором кинетического момента.
Преобразование гармонических коэффициентов проводим по схеме
5 ---------> 5 •-------->5', (5.2.19)
(а3.03.7.) (а3.03.73)
где системы отсчета 5 и S' выбираются следующим образом.
Система S (Ох', у', z") фиксирована неподвижно в теле планеты таким
образом, чтобы ось Oz' совпадала с максимальным моментом инерции С,
а оси Ох к Оу - с моментами А и В соответственно. Эта система является
оптимальной для определения гармонических коэффициентов. Промежу-
точная система отсчета S( Охуz)связана с вращением планеты вокруг
своего центра масс О. Ось Of совпадает с вектором кинетического момента
вращательного движения. Поскольку при выборе Ох и Оу существует
некоторая свобода, ось Ох^выбираем так, чтобы она совпадала с линией
узлов между системами S и S.
Исходя из этих определений S' и 5 для углов Эйлера можно написать
О1 =*1 - - . Д =/>. 7i = j ; а2 =«1 - у . & Та = Z, + у. (5.2.20)
Тогда мы можем преобразовать А‘т ES в A^’m ES'c- помощью (7).
Используя свойства/^функций Вигнера, вместо (17) получим
S (_])'"*/,>" -"г-п-'А'„'т Г^-"(0)Х
X , Л, I,)D"m~(h,, /,, 0)Dnm-,2i-„(Я. /, то + и).
(5.2.21)
212
Полученное выражение является очень удобным для задач, в которых
исследуется вращательно-поступательное движение [15,88].
В заключение отметим, что та же самая задача в несколько иных обозна-
чениях и нормировке решается в недавней работе Н.А. Шарковского [75].
§ 5.3. Преобразование потенциала при сдвигах системы отсчета
Рассмотрим принципы преобразования потенциала при переносе начала
исходной системы координат. Предполагается, что потенциал (5.2.1) задан
в форме
где
причем шаровые функции
образом
'(г) определяются следующим
В основе метода преобразования при сдвигах системы отсчета лежит
разложение данной функции в ряд Тейлора
/(г) =ЛГо + 6г) =/(г0) + 6г/'(г0) + (5-3.4)
Это выражение можно рассматривать как результат некоторого сдвига
начала коорданат в направлении радиус-вектора г0 (рис. 16). Чтобы свя-
зать /(г0) с новым началом О', достаточно сделать инверсию этого выраже-
ния, т.е. заменить f(r0) на /(— г0) •
Рис. 16. Векторные соотношения,
определяющие сдвиг системы от-
В дальнейшем, сдвиги начала системы отсчета будем обозначать следую-
щим образом:
где О — исходная система, а О' — система, перенесенная в направлении
Как видно из (1) и (2), преобразование потенциала сводится к преоб-
разованию шаровых функций у"'(г) и через которые выражается
сам потенциал.
Поскольку в данном случае преобразование шаровых функций прово-
дится с помощью ряда Тейлора (4), удобнее будет воспользоваться диф-
ференциальным оператором Тейлора Л:
n = 2 27(SrV)i' (5 3 б)
Используя теорему.сложения для полиномов Лежандра (4.4.18), нетрудно
показать, что
2п + 1 т=_л
гГг2~п-1Рп(Г1Г2) = ------ £ ^•(П)Т”О’2).
2л + 1 т=_п
(5.3.7)
Кроме того,
где — некоторые постоянные. Формула (8), по существу, есть разложе-
ние функции xL по полиномам Лежандра
Мы хотим представить правую часть (8) с помощью выражения (7).
Положим = Ьг,r2 = V (оператор Гамильтона), тогда
(SrV)L = Д*.
Здесь использовано (W) = Д, где Д - дифференциальный оператор Лапла-
са. Мы применяем оператор Тейлора только к гармоническим функциям Ф,
так что Д*Ф = 0 при к^О. Сумма по к сводится к одному слагаемому,
отвечающему к = 0. Окончательно, (6) принимает вид
Я= Ё X 2 £! y"’(&r)yML(V). (5.3.9)
l = om=-l (21 + 1)!
Шаровую функцию у^(У) можно назвать операторной, поскольку
в качестве ее аргумента служит дифференциальный оператор.
Изучим действие операторной функции y^(V) на объемные шаровые
функции.
Пользуясь явным выражением сферических функций, получим
3-f(V) =
Г 2M(2L + 1)
(5.3.10)
где V,,, Vo циклические компоненты дифференциального оператора
V" v^-41 +‘<£ S°/210iJlf/Vo4(VV)'],
214
Гамильтона
Здесь Vtl - —±i—, Vo - — коэффициенты, знание которых
для нас несущественно, так как у "(V) Действует только на гармонивские
функции Ф, но тогда
Е0£М/^2/(™)'Ф = О. (5.3.12)
Остается i
ум(7)-[^+» f
£ 1(2 +М)!(£- Af)! J 2LIA
Аналогично i
’(?Г
2^,)_ (5,.14)
L(£+M)!(£-M)!J 2lL\ "*
Из (13) и (14) видно, что действие v*^(V) на шаровые функции сво-
дится к действию циклических компонент дифференциального оператора
Гамильтона, т.е.
’(О,
где
Г 2"(22 + 1) l1"^)!
2'"°L(Z+M)!(i-M)lJ 2£i! '
Вычисляя в (15) действие компонент оператора Гамильтона, приходим
к следующим результатам:
(2л + 1)(л +m)l (п-m)!
(5.3.16)
д[(2л-И)(л- тЗ-Х-М)!(л +т +2. +M)!j*/2_
-*-1) [ 2м(2л +22 + 1)(л - т)!(п + т)! J
Следовательно,
y"(.V)yW = Г„„ьмУп-1(')-
215
где вводится обозначение
_ (-1) "(2Д)! Г______(U+l)(2» + l)fr+,n)!(n-m;:____________11 '2
1lL\ [(2л - 21 + 1)(£ + Л/)!(£ - «)!(л +m - L + (И)!(л - m-L - M)J '
(5.3.18)
{nmLM =
(—1)£(2£)! Г (2£ + 1)(2л + 1)(л - т + L - М?.(п + т + L + М)! 1 у2
З7!! I (2л + 2£ + 1 )(л + лг)!(л - т)!(£ + /И )!(£ - Л/)! J
Из (17) видно, что действие у^(У) на у™(г) имеет смысл, если
£ < л, -n+£<m+/f<n-£,
в противном случае получается нулевой результат.
Теперь с помощью (18) определяем действие дифференциального опера-
тора Тейлора на шаровые функции у™(г) и 7™(г) :
+ 8,) = Д S ТптЬМу^(Ы)у^М. (s з 19)
Ят?(го + «r)- s Ъ(-\)ьт;.тЬму“'(Sr)7":^(r0),
L-OM
где
TnmLM =
|________________(2л + 1)(л + лт)!(л - ж)!________ 11/2
= (-J) [(2£ + 1 )(2л - 2£+ !)(£+Л/)!(£-M)l(n + m'-L - М)'.(п - т - L-Л/)! ] ’
Г (2л + 1)(л-т+£-ЛП!(л+л1+£+М)! 1» (5.3.20)
” 1(2£ + 1)(2л + 2£ + 1)(л +/л)!(л - /л)!(£ +М)’(£ - 4f)! J
Выражения (20) дают разложения шаровых функций y„(r0 + М и
7п(Го + бг) в ряд Тейлора в окрестности точки, определяемой вектором г0.
Это разложение можно интерпретировать как преобразования сферических
функций при сдвиге начала системы отсчета в направлении г0. Отметим,
что операторная шаровая функция является естественным обобщением
шаровых функций.
Вернемся теперь к выражению (1). Преобразование потенциала V при
сдвиге системы отсчета можно провести аналогично преобразованию V
при вращении: а) сохраняя гармонические коэффициенты А *т в исходной
системе О, преобразовать шаровую функцию 7™ О’) к новой системе отсчета
О' ; б) сохраняя 7™(r)G О, преобразовать А„т к О'.
Рассмотрим сначала первый случай. Если А„тЕО, преобразование
потенциала V сводится к преобразованию шаровой функции 7^(г), для
чего можно построить две схемы (рис. 17). Эти две возможности могут
216
быть символически обозначены следующим образом:
О----'О', О -------►О". (5.3.21)
(г,) (»<•>
Рассмотрим первую возможность преобразования потенциала (1). Если
применить оператор Тейлора к функции i"(r) на основе первой схемы
(21), то получим выражение (19), которое, будучи подставленным в (1).
дает
И = ЛЗГ (5.3.22)
где
y"W. '«)£<’'. '‘пт so.
Рассмотрим теперь вторую возможность сдвига сохраняя
гармонические коэффициенты А„т в исходной системе. Применение опера-
тора Тейлора к у™(г) приводит выражение (1) к виду
V = МТ S (-l)£T;miA//i;my"-(6r)TnV"(r0), (5.3.23)
nmLM
где А„тео, уМ\Ьг)£О и у^*"(г0)€ О" (рис. 17). Чтобы связать
уМ*(Ьг) с О, достаточно применить инверсию (т.е. изменение знака вектор-
ного аргумента) к функции уМ\Ьг). В результате
И- МТ Т'тLMA'„my»•(- «О 7 ГЛ" <'»)• (5.3.24)
что уже полностью связано с системой отсчета, начало которой есть О .
Выражения (22) и (23) содержат постоянные Стокса А *т, которые
определяются в исходной системе отсчета О. Правило преобразования
гармонических коэффициентов при сдвигах системы отсчета получим.
если применим оператор Тейлора к шаровой функции >'^*(г ), которая
входит в выражение (2) согласно (89]. Формально можем использовать
обе схемы сдвига (21). Здесь рассмотрим только вторую схему (21),
которую запишем в виде
Применим оператор Тейлора к подынтегральной шаровой функции (2)
А'„т=^— s (-l)Lr;miMyiM(-5r)/yr-'"(₽T)^L
2л Ч . LM Т мт
Далее, обозначая
приходим к окончательному выражению для А *т
Апт = 2^ (~ 1) Тпт^мУ(— Sr)A ' (5.3.25)
2л - 2Z + 1
где принято Tj,mLM =--——----- ТnmLM.
Выражение (25) переходит в
Апт =Ап"т + ДАпт >
если выделим член, для которого L = М = 0 и обозначим
Величина является поправкой гармонического коэффициента А‘т
из-за сдвига начала системы отсчета.
В качестве иллюстрации рассмотрим случай, когда относительное зна-
чение вектора сдвига 15г | достаточно мало и можно отбросить члены поряд-
ка |бг|2. Поскольку
у"-(6г) = 5гхя;м(5Л), (5.3.26)
где 6J? = Sr/1 Sr I, получим
Апт ~ А„т + м ^'пт1м//\м^^)^г'п — 1,т-М' (5.3.27)
Из (27) хорошо видна зависимость преобразования гармонических коэф-
фициентов от направления, в котором происходит сдвиг. Например, если
оно совпадает с осью z, то
.. . .Т . Г(2л-1)(л-ш)(л + л>) Т*'2,. <г,
Апт АПт + I 2л + 1 I ЬГАП —
Ротационно симметричный случай получим, если в (26) положим т = 0.
После некоторых преобразований
Jn=Jl + y6r{P10(cose)J„_i -
- (л - 1)Р|, (созе)(Сл _ 1,1 COS А+ $„_!,! sin X)} .
Напомним, что У* - коэффициенты при зональных гармониках потенциала
планеты.
218
§ 5.4. Внешний потенциал и силовая функция двух твердых тел
Рассмотрим гравитационное поле, образованное двумя иеперекрыва-
ющимися телами.
Внешний потенциал V двух твердых тел Г,, Т, с массами Л/,, М2 можно
получить следующим образом. В произвольно заданной системе отсчета
(рис. 18)
V = (M2 (5.4.1)
где гармонические коэффициенты определяются формулой
М> -. . ...
"" “ м2 +м2 а"т м1+м2а"т- (5Л2)
в (2) Опт и а'пт сводятся к интегралам
e»m=TT7f Уп "(К, + п)^-,
2п + 1г М,
1 нп, (5.4.3)
“пт=—- S Уп’(Кг+г2)~-.
2п + 1 Т Мг
Здесь r = /?i +Г1 = R2 +Гз, где — радиус-вектор центра масс тела Тк.
Применим оператор Тейлора (5.3.9) к шаровым функциям, стоящим
под знаком интеграла (3)
^пт ~ ТптЬМУъ ) ^п — L,m-M'
LM~ (5.4.4)
апт~ ^ТптЬМУь*^-^^'п-Ь,т-М^
219
Если начало О совпадает с общим центром масс Т- и Т2, формула (5)
упрощается
М\М2 г г-i ..
Лпт ~ ^777 + 1 — С-^) ^n-L,m-M +
LM (Afj + М1Г
+ M{--lA"„’_L.m-in]yL’<R'> (5.4.6)
где вектор Я направлен из центра масс Л в центр масс Т2
Отметим, что в (5) и (6) гармонические коэффициенты А^„ могут быть
рассмотрены как характеристики распределения вещества некоторого
Рис. 19. Вспомогательные построения при вычислении силовой функции двух твердых
воображаемого тела, расположенного вокруг О или вокруг общего центра
масс Л и Т2.
Применим общие правила преобразования потенциала при сдвигах и вра-
щениях к силовой функции тел 77 и Т2. На основе этих правил становится
возможным получить сравнительно легко общее разложение силовой функ-
ции в ряд по сферическим функциям в разных системах отсчета.
Общее разложение силовой функции (рис. 19)
, , dm у dm 2
U = f /--------, где dmi-KjdTj, (5.4.7)
rtra р
можно преобразовать следующим образом:
dm2
U=M2$ V(.dm2)-^-, (5.4.8)
где
y(dm2) = М2 f , (5.4.9)
т, Mi
V(dm2) — потенциал тела 7\ в точке, в которой задается дифференциаль-
ный элемент dm2. Если I rn I > I г' |, то V(dm2 ) может быть представлен так:
^(dm2) = Afi (5.4.10)
220
где для сокращения записи введено обозначение
. 1 г zn.z < dmi
“"'"° (г)'мГ' (5’41l)
Чтобы перейти к более удобному выражению для гармонических
коэффициентов применим оператор Тейлора к функциям у™ * (г') =
= У™ XR । + П )• В результате получаем
= ? , ТптЬ'М'уМ X.R\) A'n-L.m-М’> (5.4.12)
причем
Новые коэффициенты A'*_l.« т _м- связаны с центром масс тела Г,. Если
теперь заменим а*т в (10) выражением (12), получим
= 2 7? (г"). (5.4.14)
В результате имеем
U = MXM2 S
Чтобы получить окончательное выражение для силовой функции U, нужно
выразить подынтегральную функцию в более удобном виде. Для этой цели
применим еще раз оператор Тейлора к функции 7™(г”) = 7п(Яг + г2У-
7п™(Л2+г2) = £Г„т£л/(-1)^"-(п)7„тЛЖ(Я2)- (5-4.16)
Окончательное выражение силовой функции получаем из (15) и (16)
=?мгм2
xr^T^,
S
где
(5.4.18)
(5.4.19)
Выражение (17) является достаточно общим и компактным. Входящие
в него гармонические коэффициенты определяются в системах отсчета,
начала которых совпадают с центрами масс первого и второго тел, а их оси
являются параллельными осям системы S(Oxyz). Параллельность осей
не уменьшает общности полученного выражения, так как мы можем приме-
нить к (17) общие правила преобразования при вращении. Как будет по-
казано дальше, это позволит выразить входящие в (17) величины в систе-
мах координат, оси которых уже не являются параллельными.
Из (17) легко получаются некоторые частные представления силовой
функции.
221
1. Если начало координат совпадает с центром тяжести тела Л, то
2. Если начало системы координат совпадает с общим центром масс двух
U =
= МХМ2 S ^птЬМЬ’М'^п-Ь'.т-М'^ЬМУь' <Я)Уп+Ь (Я),
nmLML'M' (5.4.21)
где
M2L(M1 + Af2)n+£-L'+1
PnmLML'M' ~ (“ PnmLML'M'-----j^n+L+l-----------' (5.4.22)
Для дальнейших рассуждений будем пользоваться формулой (20).
3. Зональная часть силовой функции U получается при условии
т +М = 0. В этом случае, из (20) получим
б=М,М, X ffnmLM0«A'n‘mA"L'„y^LW. (5.4.23)
nmLM(m+Af=0)
Кроме зональных коэффициентов, U зависит и от незональных с рав-
ными вторыми индексами.
4. В случае когда одно из тел, например Т2, заполнено сферически-сим-
метрично распределенным веществом, вместо (20) имеем
U = МХМ2 ЪА';т (Л). (5.4.24)
Дальнейшие преобразования выражений силовой функции могут быть
получены путем вращений систем отсчета, связанных с обоими телами.
Эти преобразования можно получить разными способами. Например, пре-
образование (20) при вращении можно провести аналогично преобразова-
ниям, изложенным в § 5.2. Для этой цели предположим, что в центре
масс каждого тела введены три системы координат: Sk (JjkxkykZk),
Sk(Okxkykzk) и Sk(GkXky'kzk ), аналогично системам отсчета 5,5 и S',
которые были использованы в § 5.2. Отметим, что оси Sk параллельны
осям системы 5, поэтому А„т G 5Х, G 52. Системы Sk являются про-
межуточными, связанными с кинетическими моментами Lk вращатель-
ных движений Тк. S'k - как и раньше — совпадают с собственными ося-
ми Тк. Будем считать, что в 5* заданы гармонические коэффици-
енты а'пт' е 5/и fl 2м' е s2- Таким образом, преобразование (20) про-
водим по схеме (5.2.19), которую применяем к Тх и Т2. После некоторых
алгебраических преобразований по этой схеме получим, как это показа-
но в [76]
Х Dmm (п" • (54.25)
222
Итак, мы получили силовую функцию Uв виде бесконечного ряда при сле-
дующих условиях: а'’п’ 6 , a"L*M. G52 определены в системах S*, ко-
торые остаются неподвижными в теле планеты Г», Т2; шаровая функ-
ция определена в инерциальной системе отсчета S.
В (25) шаровую функцию 7™+£И(Я) можно преобразовать из непод-
вижной системы отсчета S в систему координат, связанную с невозмушен-
ной кеплеровской орбитой по схеме (5.23) с учетом (5.2.14).
Применимость формул данного параграфа ограничена условиями типа
непопадания точки под объемлющую сферу. Как и для потенциала одиноч-
ного тела, фактическая область применимости может иногда быть несколь-
ко шире.
Если Т1 и Г2 имеют общую часть, предыдущие формулы неприменимы,
но силовая функция сохраняет смысл при достаточно слабых ограничениях
на гладкость распределения притягивающих масс.
Пример. Пусть 7j и Т2 - однородные концентрические круговые
диски радиусов at и а2 (jj < а 2). Найдем силовую функцию. Интеграл
(9) для точки, находящейся в плоскости дисков на расстоянии г от центра,
после некоторых выкладок приводится к виду
Интегрирование no dmx дае1
ГЛАВА 6
ПОТЕНЦИАЛ ТЕЛ, БЛИЗКИХ К СФЕРИЧЕСКИМ
В этой главе мы продолжим исследования ряда Лапласа (4.5.3) или,
что тоже, (4.9.5) для потенциала тела Т конечных размеров в зависимости от
свойств его плотности к. Формально распределение масс может как угодно
отличаться от сферически симметричного. Но мы увидим,что чем лучше Т
аппроксимируется шаром, тем быстрее сходится ряд Лапласа. Так что боль-
шинство результатов имеет практическую ценность лишь для случая указан-
ной близости. Подчеркнем, что понятие близости к шару следует понимать
скорее как свойство гравитационного поля, а не строения тела. Здесь пол-
ностью применим описанный еше древними софистами факт, что и квадрат-
ная башня издали кажется круглой. С ростом расстояния гравитационное
поле, создаваемое произвольным телом конечных размеров, стремится к
сферически симметричному и описывается одним-двумя членами ряда
(4.9.7).
§ 6.1. Оценка общего члена ряда Лапласа
Займемся вопросом о скорости сходимости ряда Лапласа (4.9.7), кото-
рый запишем в форме
М - /д\”
и(г,С) = у r„(G). (6.1.1)
Здесь а - радиус объемлющей сферы, У„ - безразмерная сферическая
функция.
Еше Лаплас установил сходимость (1) вне объемлющей сферы по край-
ней мере со скоростью геометрической прогрессии знаменателя а/r. Факти-
чески это доказано в § 4.9, ибо ряд (4.9.3), совпадающий с (1) при г> а,
сходится к /везде. Интеграл же в (4.9.2)
YM') = -^T G)P„(cos7)</t (6.1.2)
Ма т
допускает с учетом (4.6.21 очевидную оценку
irn(G)i<i. <б1-3>
где равенство достигается только при п = 0.
Получим более точные оценки скорости сходимости (1) в зависимости от
структуры планеты Т. Мы воспользуемся аналогией с разложением заданной
224
функции на сфере в ряд сферических функций и даже сведем одну задачу к
другой: выразим Y„ через л-й член разложения некоторой функции на сфере
в ряд по игрекам Лапласа. Однако функция эта сама неизбежно зависит от
номера л, что существенно усложняет задачу и делает аналогию неполной.
Будем рассматривать лишь такие тела, поверхность 5 которых задается
уравнением вида
r = aw(O), QGSq, (6.1.4)
где So - единичная сфера. Иными словами, S должна пересекаться с каж-
дым центральным лучом ровно в одной точке. Поскольку а - радиус
объемлющей сферы, то
0<и/(2)<1, maxw(Q)=l. (6.1.5)
В дальнейшем удоонее преобразовать (2) к интегралу по единичному шару.
Проще всего этого добиться заменой переменных
r = paw(Q). (6.1.6)
Подстановка (6) вводит семейство поверхностей S(p), подобных S =$ (1).
Формула (2) принимает вид
Y„ (С') = --Л/(2)Л (cos 7) do, (6.1.7)
4л 5о
где
ле)=/г(е)и-',(е). (6.1.8)
4яа3»3(2) 1
F(G) = —-----— /x(paw(e),G)p" + 2dp. (6.1.9)
(2л + 1)М 0
Если ввести эффективную плотность равную плотности однородного
шара массы М и радиуса а, то
Зи>3(2) 1
F(G) =-------J x(paw(G), Q)p" * Чр. (6.1.10)
(2л + 1)к0 о
Сравнение (7) с (4.4.13) показывает, что
Г„«2) =
так что задача оценки (7) формально сведена к задаче оценки Ynf, решен-
ной в § 4.7. Однако функция f в (8) зависит существенно от л. От л зави-
сят тем самым и производные 3*//3s*. Более того, ориентировочные оцен-
ки в силу(8) дают dkf/dsk ~ п“, Н ~ пк, если Я определить как верхнюю
грань функций (4.7.6). Поэтому теоремы § 4.7 оказываются на первый
взгляд бесполезными. К счастью, это не так, как показывает более тщатель-
ный анализ.
Нам потребуется обобщение формулы Лейбница и формулы для про-
изводной от сложной функции. Введем следующие обозначения. Фиксируем
натуральные числа к и т < к. Через {аш1 ,ат2, ...,атт} обозначим разбие-
ние отрезка натурального ряда (1,2..к } на т непустых непересекающих-
ся подмножеств .......йтп1 Внутри каждого из ат1,.... атт сохраняем
естественный порядок натурального ряда. При т = 1, например, есть только
15. В.А. Алтонов 225
одно разбиение о,, = { 1,2../с). При m = к будет к\ разбиений по числу
перестановок из к символов. При к = 3, m = 2 будет 6 разбиений: {{1,2), 3),
{(1,3},2),«2,3),1), {1,{2,3}), {2, {1,3)), {3,{ 1,2)). Пусть/),, Д2,..., Dt-
дифференциальные операторы первого порядка. Если а = {s,, j2.sr) -
произвольное упорядоченное подмножество отрезка а,,, то через Da обоз-
начим оператор DSi Ds, ..D,r.
Иемма 6.1.1. (Обобщенное правило Лейбница). Если существуют D^f,
Dag для произвольного а С а,,, то
DiD2 Dif(fg) = (De,, f)g + f(Dai, g) + S , /) (Dej , g). (6.1.11)
Суммирование производится по всевозможным разбиениям { а2 j, а22).
При каждом г(1 < к — 1) множество а21 из г элементов можно выб-
рать способами. Всего справа в (11) будет 2 + S (fc)=2* слагае-
мых.
Лемма 6.1.2. (Обобщенное правило дифференцирования сложной
функции). Если g - непрерывно дифференцируемая к раз функция от w,
и существуютDaw для произвольного а Са1Х, то
DxD2 ••• DkU(w)) =
= S ^(m)(w)S(Demlw)(D0fm2w)--(Dammw).
(6.1.12)
Суммирование в (12) осуществляется лишь по разоиениям, отличающимся
составом множеств ami, ат2....атт< а не только порядком их следова-
ния. Число способов, которыми можно таким образом разбить отрезок
{1,2, ...,*} на Л непустых подмножеств равно, очевидно,
(6.1.13)
---2-------;-------
m! fc.lfc, !...*:„!
где суммирование подчинено ограничениям к{ > 1.......
... + кт = к. Таково же и число слагаемых в (12) при данном т. Если бы
для индексов kY,.... кт допускались нулевые значения, то сумма в (13)
легко определялась бы по индукции как тк. Поэтому число спагаемых в
(12) при каждом т не превосходит тк/т'..
Индуктивное доказательство лемм 1 и 2 тривиально.
Теорема 6.1.1. Пусть функции w(Q), K.(paw(Q), Q) при каждом
р& (0, 1] принадлежат классу Ak(k >2) с не зависящей от р константой в
правой части (4.7.6); при каждом Qe 50 эти функции вместе с оператора-
ми Ji Ji от них (m *ik) интегрируемы по радиусу единичного
шара. Тогда общий член ряда (1) удовлетворяет соотношениям
(6.1.14)
(6.1.15)
с некоторой постоянной СЦс-
226
Доказательство. Оценим левую часть (4.7.6) для /, определяемой
по (8), (10). Полагая = },к,О2 = Jlk .... Dk =J, .применим (11)
к (8)
= (Z>O1, F)w" +F(Daii w") + Z(Daii F)(Daii w"). (6.1.16)
В наших предположениях на основании (10) Da F,F,Da F имеют поря-
док п~2 равномерно по Q. Число слагаемых в (16) равно’3* и не зависит
от п. Достаточно оценить Da w", поскольку D„ w" отличаются от Da w"
лишь числом и порядком следования операторов Dt,.... Dk, а наша оценка
будет возрастающей функцией от числа операторов. Согласно (12)
= 2 и(л-!)...(«-m + l)w"S(DamIw)(Dam2w)...(£>ammw).
(6.1.17)
При m - к в (17) содержится одно слагаемое, не превосходящее по модулю
и(и - 1)... (п - к + 1)н>" ’ * | Jlkw | ... | Jit w | <
<nkw" - ‘max | Jlr w|*. (6.1.18)
Фиксируем Q и выберем систему координат, в которой Q лежит на
пересечении экватора и нулевого меридиана, a max \J/rw | отвечает враще-
нию вокруг полярной оси. По формуле Тейлора
/я \ 3w(ir/2,O) X2 32ю(я/2,Х)
W\2 ’ / \2’ 7+ ЭХ 2 ЭХ2
(6.1.19)
где 0 < X < X. Поскольку w £ А2, то вторая производная 32w/3s2, вычис-
ленная в любой точке сферы по направлению любого большого круга, огра-
ничена единой константой | 32w/3s2 |<Л. Заменяя в (19) Э2»(я/2, Х)/ЭХ2
на (—Л) и и<(я/2, X) на 1, мы уменьшим правую и увеличим левую части
3w((2) ЛХ2
1>w(G)+x"dx--------------Г
(6.1.20)
Неравенство (20) справедливо при любом X. Положим X = h~{ dw(O)/dX:
откуда
>
Иными словами,
(6.1.21)
227
Неравенство (21) справедливо для любой точки Q и любого направления 1Г.
С учетом (21) получим для правой части (18) оценку
(2h)kl2nkw" ~ *(1 -w)kl2.
При 0 <1,п> к наибольшее значение w" ~ *(1 - w)*^2 достигается при
w= (2п -2Л)/(2л -к) и равно
Поэтому правая часть (18) не превосходит (2khri)kl2.
При к/2 < т <к по крайней мере 2т - к сомножителей внутренней сум-
мы (17) содержат операторы первого порядка Jtw. Поэтому для каждого
слагаемого правой части (17) при таких т вместо (18) имеем верхнюю
оценку
С(2Л)(2т ” k'>!2nmw" ~ т(1 - w)(2m - k)/2,
где постоянная С определяется нормами сомножителей Damlw, количество
которых не зависит от п. При 0 <1, л > т,2т - к> 0 наибольшее
значение w"~ m(l - w)^2m~ к^2 достигается при w = (п- т)Цп + т -к)
и равно
/2л - 2т у - т (2т - к \(2т “ к)/2 (2т-к^2’" ~ ю/2
\ 2л - * / \2n-k ) \ п J
Таким образом, при к/2 < т < к каждое слагаемое правой части (17) не
превосходит
C[2h(2m - fc)]<2m - <C(2hkn)kl2.
При т < it/2 общий член (17) содержит не более к 12 множителей п,
(п — 1),(п - т + 1). Число слагаемых в (17) не зависит от и, и в резуль-
J J - 1 - JKW" = О(»к1г')- <61 22)
Возвращаясь к (16), получим
J/fc_1...J/J=<?(«(k-4)/2). (6-1-23)
В обозначениях теоремы 4.7.2 отсюда следует
11Г„/1<( Л,,) ' (б-1-24’
\л(л + 1) /
где екп имеет порядок правой части (23). Поэтому II Y„f II = О(и (* + 4^2),
что равносильно (15). Неравенство (14) вытекает из (15) и (4.7.9). Теоре-
ма доказана. .
При к = 0 и к = 1 доказательство не проходит, т.к. разложение (IV)
справедливо лишь при к > 2.
При к = 0 утверждение теоремы 1 с очевидностью выполнено, поскольку
/ = О(л-2).
При к - 1 утверждение теоремы 1 может и не быть верным - в [10]
построен контрпример.
Если потребовать, чтобы поверхности 5(р) были концентрическими сфе-
рами, то оценки (14), (15) улучшаются, а их доказательство упрощается.
Теорема 6.1.2. Пусть Т - шар; функция к (г, Q) при каждом г G
е [0, а] принадлежит классу Ак(к > 0) с не зависящей от г константой
в правой части (4.7.6); при каждом Q G So интегрируема вместе с
1 Q) (m ^^) no радиусу единичного шара. Тогда общий
член ряда (1) удовлетворяет соотношениям
(6.1.25)
Для доказательства достаточно в (6) положить w = 1. Тогда (8), (10)
перейдут в
/(G) =
f K(pa,Q)pn +2dp.
Вместо (23) имеем 7/д. ...J if = О(п~2), откуда и вытекает утверждение
теоремы.
Для тел нерегулярной структуры (к = 0) можно дать конструктивное
выражение Ci 0 , так же как и в случае ограниченности вариации к. Откажем-
ся от всех требований к поверхности S, полагая w = 1 и к = 0 вне Т. Усло-
вия следующих двух теорем выполнены для любого физического тела.
Теорема 6.1.3. Пусть функция к интегрируема и ограничена в Т
(6.1.28)
Тогда
(6.1.30)
в о. Согласно (27)
откуда и следует (30) сучетом (4.7.12), (4.7.10). Из (30), (4.7.9) вытека-
ет (29).
229
228
Теорема 6.1.4. Пусть в произвольно ориентированной системе ко- ординат при каждом г функция к (г, Q) имеет равномерно ограниченную интегрируемую вариацию вдоль любого меридиана от полюса до полюса уагк<к2. (6.1.32) Тогда Верхняя грань берется по всем рЕ [0, 1], всем вещественным Хи всем комплексным в из полосы [ Im в | < b при всевозможных ориентациях осей координат. Определение класса A ((1) см. в § 4.7. Доказательство. Вейлу (8), (10) с учетом обозначений (36), (38) 3X1(6)
<< С1 (и > 1), (6.1.33) л(л+3)х/л+3/2 где Зк2 С2 = — • (6.1.34) «о у/2-п Доказательство. Фиксируем две какие-либо противоположные точки сферы и дугу большого круга, их соединяющую. Вычислим вариа- цию f вдоль этой дуги, опираясь на (27) vaif = var f K(pa,Q)pn+2dp< (2n +1)к0 о 3 1 3k2 < f [var к (pa, 2)1 pn+2dp<, (2л + 1)к0 о ' (2„+i) (h+3)k0 Остается лишь воспользоваться оценкой (4.7.42). Заметим, что из (33) вытекает теорема Ньютона о притяжении шара: если к зависит лишь от г, то С2 = к2 = 0, откуда Yn = 0 при п > 1. Показатель степени п в оценке (33) лучше на 1/2 показателя, кото- рый фигурировал бы в (14) при к = 1. Дело в том, что ограниченность var к (г, Q) исключает бесконечные ундуляции поверхности S. Поэтому уаг(и>") ограничена вместе с varw, тогда как в общем случае var(w”) может расти вместе с п. Перейдем к другому крайнему случаю планет аналитической структуры. Теорема 6.1.5. Пусть функции w(Q), к (paw(С), О при каждом р е [0, 1] принадлежат классу А (0), (3 > 0; при произвольной ориентации осей при каждом вещественном Хи в из полосы | Ттв | < /3 интегрируемы по радиусу единичного шара. Тогда общий член ряда (1) удовлетворяет неравенству (Y„>< С(Ь) - ' РЛ(Ь). (6.1.35) (и + 3)х/и + 1/2 Здесь Ь произвольно в (0, (3), р(Ь) = е-ssup I w(2)l, (6.1.36) sup 1/(2) К " (р(6)еь)" (2л + 1) (л + 3)к0 и утверждение теоремы вытекает из оценки (4.7.51). Подчеркнем; что р= min р(д)<1, (6.1.39) о < ъ < р как показано в [69]. Суть условий теорем 1, 2, 5 заключается в том, что плотность к (г; Q) меняется достаточно плавно вдоль каждой поверхности S(p), подобной поверхности S, ограничивающей тело Т. При переходе через S(p) допуска- ются даже разрывы плотности. Ясно, что подобие поверхностей S(p) не очень существенно. Семейство 5(р), задаваемое уравнением (6), можно заменить произвольным семейством гладких поверхностей S' (р), стяги- вающихся к центру r = pau(p,Q). (6.1.40) Параметр р можно выбрать так, чтобы выполнялись условия Р1“(Р1,2)<Ра«(Р2,2)<“(1,2) = н'(2), U(p,2)<1 (6.1.41) при 0 < Р1 < р-2 < 1, 0 < р < 1, 2 е So Совершая замену (40) в интеграле (2), придем к (7) при f{Q) = J g(P, Q)un (р, 2)РЛ+2 dp, (6.1.42) 0 3 , d(pu(p,0) g(p.Q)= — к (pro(р, 2), 2)“2(р, Q) ~ ~ (6.1.43) (2л + 1)к0 э*> Аналогично (16) получим = /<(% «)и" + “") ^^(Da„g)(Da,un)} Pn+2dp, тогда как в (17) достаточно заменить w на и. Поэтому справедливо (22) с заменой w на и. Так как g,Da g имеют порядок л-1, то выполняется (23). Поэтому утверждение теоремы 1 остается справедливым, если в усло- вии заменить w (2), к (paw (2), 2) на „ Э(ри(р,2))
где К|(6) = sup j K(p<nv(2), 2)1- (6.1.38) “(р.2), к(ря“(р,2),2) Эр
230
231
Остается в силе при соответствующей замене и теорема 5, если в нера-
венстве (35) считать
р(Ь) = е 6sup|u(p,a)|,
C(ft) =
(6.1.44)
(6.1.45)
если п есть степень двух. Равенство (3) доказывает точность степенного
порядка оценок (6.1.25) и (6.1.29). Порядок оценок (6.1.26) и (6.1.30)
также точен - иначе допускали бы улучшение и неравенства (6 1 25) и
(6.1.29).
Пример 6.2.2. Пусть тело Т — однородный полушар (северное полу-
шарие) радиуса а. Согласно (4.10.8) все четные гармоники, исключая Уо =
= 1, обращаются в нуль; нечетные же даются формулой
к2 (b) = sup к (pau (p, Q), Q)-—-----। (6.1.46)
Если S' (p) являются поверхностями равной плотности, можно снять
ограничения на к. В этом случае к(раи(р, Q), Q) не зависит от Q. Поэтому
Г,,(С') = 3(-1)‘"-1>/2
(" ~ 2)1!
(л+3)1!
По уточненной формуле Валлиса (4.6.4)
Jik Л, { ?(₽. б) к- (Раи (р, а), б) } = к (рай (р, Q), Q)Jik ...\ р(р, Q)
для произвольной функции р. В аналитическом же случае к не нужно про-
должать в комплексную область.
г»(б') = (-1)(л"1)/2
(0<5 < 1),
§ 6.2. Точность оценок
Покажем на примерах точность полученных оценок.
Пример 6.2.1. Пусть тело Т - шар радиуса а с плотностью
к (г, б) = «о + «(»)) (6.2.1)
л (л + 3)\/л +(3 + ц)/2
(6.2.4)
Поразительно, но здесь полное совпадение с правой частью (6.1.33) при
Здерь
q = 0. Действительно, в нашем примере к2 = к, к0 =к/2, так что С2 = Зу/2/ir.
Таким образом, в (6.1.33) точен не только порядок п~5^2, но и констан-
та С2, и даже константы 3 и 3/2 в знаменателе!
Точность порядка убывания ( Yn > в оценке (6.1.33) можно установить
к =0 £ °" t , [Р„ч1 (cos0) - Л-1 (cos0)], (6.2.2)
и = 2 (л + 1)*/л2Л
где ап = 1, если л есть степень двух, а„ = 0 в противном случае. Сумма ря-
да (2) в силу (4.6.9) по модулю меньше единицы при (3 < 3(1Д- =2)"/у/2тг3.
При таких 0 плотность (1) положительна, М = 4па3к0/3. Как показано
в примере 4.7.2, к G Ак, поэтому выполнены условия теоремы 6.1.2.
Вычислим / согласно (6.1.27), (1)
на всех известных примерах однородных тел с негладкой поверхностью
(цилиндр, конус, шаровой сектор и сегмент - см. § 4.10).
Пример 6.23. Пусть тело Т — шар радиуса а с плотностью
к(г,0) = к0
('
' 2п +1 о *РК dP (2л + 1)(л+3) (2и + 1)(л+4)
к(0) = 0л£ -‘"2»„(cos0).
(6.2.6)
Тело Т здесь, как и во всех следующих примерах, осесимметрично.
Разложение его потенциала (6.1.1) содержит лишь зональные гармоники,
и наибольшее значение | Y„ | достигается на полюсах. Помещая Q’ в север-
ный полюс, найдем на основании (6.1.7) прип> 1
Как показано в примере 4.7.5, к S А (Ь). При вещественных же 0, очевид-
но, |к | < 1, если (3 < 6x/2be (In2 2)/я2. При таких 0 плотность (5) поло-
жительна, М - 4па3к0/3, к Е А(Ь), поэтому выполнены условия теоре-
мы 6.1.5. Очевидно,
Г„(б') =
--------J к(0)Рп (cos0) sin0d0.
2 (л + 4) о
Yn(Q') =
30а„\/пе~Ьп
(п + 4)(2л + 1) In2 п
В силу равномерной сходимости ряд (2) можно интегрировать почленно,
так что
±3/3у/п_________________
(п + 4 ± I )(2п ± 2 + 1)(я + 1)*1п2и
(6.2.3)
что показывает точность показательного и степенного порядка убывания
в оценке (6.1.35), поскольку w = 1, P(b) =е~ь.
Пример 6.2.4. Пусть тело Т — однородный сжатый эллипсоид враще-
ния с большой полуосью а, эксцентриситетом е (0 < е < 1) и плотностью
к = Kq/x/1 - е2. Уравнение поверхности эллипсоида (6.1.4) задается
233
232
функцией w(0), имеющей вид
н>(9) = / <6-2-8>
v 1—e2sin29
Особые точки (8) определяются уравнением 1 - e2sin29 = 0, откуда 9 =
= я/2 + кп ± i In [ (1 + V1 - е’)/®]- По лемме 4.7.2, таким образом, w G
64(0) при ________
p = ln1+^EZ. (6.2.9)
е
Фиксируем положительное b < 0 и найдем
max । w (6) | = У (6210)
lim<?|<ь 1-е ch b
Из (10) , учитывая (6.1.36) , получаем
Последнее выражение минимально при
Подставляя (12) в (11), с учетом (6.1.37), найдем
Р = Р (* ’) = ________________=___________
= С(Ь’)=
85 576 е4
81675я(2 - е2)!
Окончательно, теорема 6.1.5 дает в данном случае
(6.2.13)
(6.2.14)
" " (n + 3)э/л + 1/2
Сравнение (14) точным выражением произвольного члена ряда
(4.10.19), а именно
(6.2.15)
у„(О) =-------------(п четно)
п (л + 1)(л + 3)
демонстрирует точность показательного порядка убывания в оценке
(6.1.35) : р не может бытьв обшем случае уменьшено.
Пример 6.2.5. Пусть тело Т - однородный вытянутый эллипсоид
вращения с большой полуосью а ц эксцентриситетом е(0 <е < 1).
В отличие от сжатого эллипсоида теперь к0 = к(1 - е ), а в (8) следу
вместо sin 9 подставить cos 9. Формулы (9) - (14) остаются справедливы-
ми, если С заменить на С(1 - е2) '•
Мы снова получили точное значение р- р(Ь’) - е, как показьшает срав
ние с (15), где теперь согласно (4.10.21) нужно опустить (--1)
§ 6.3. Применимость оценок к реальным небесным телам
В нашем распоряжении имеются весьма различные оценки общего члена
ряда (6.1.1). Которой из них пользоваться на практике - зависит от струк-
туры центрального тела.
Начало отсчета в этом параграфе поместим в центр масс Т.
1. Пусть Т является фигурой равновесия вращающейся жидкости.По-види-
мому, в типичных случаях поверхность 5 имеет бесконечную степень глад-
кости; поверхности равной плотности вложены друг в друга и диффео-
морфны 5. По всей вероятности, тело Т имеет аналитическую структуру.
В таком случае допустимо пользоваться неравенством типа (6.1.35)
(6.3.1)
Константы р и С определяются формулами (6.1.36) - (6.1.38), если плот-
ность и уравнение поверхности известны. Если же Т близко к эллипсоиду
вращения, то можно положить р = е, С = 3.
2. Для тел конечной степени гладкости по теоремам 6.1.1 - 6.1.4
С
(6.3.2)
Достижимость (2) показана на примерах, так что в общем случае показа-
тель s в (2) нельзя увеличивать сверх некоторого предела s0, т.е.
lim ns' ( Yn> = °° (jj > $о).
Для таких тел справедлив принцип поверхностного слоя: асимптотическое
поведение ( Yn >, II Уп II определяется свойствами сколь угодно тонкого
поверхностного слоя. Действительно, по теореме 6.1.3 снятие поверхностно-
го слоя толщины а - qa приводит к оценке
верной при любом $ и q < 1. Подчеркнем, что речь идет о слое вне сферы
r=qa. Он может покрывать только малую часть поверхности S, если q
близко к единице. Ряд (6.1.1) сходится наобъемлющей сфере и расходится
внутри.
3. Определение постоянных 5 и С в (2) требует более детального знания
структуры Т. Для планет земной группы с крайне нерегулярной корой и
крупными неоднородностями в мантии можно гарантировать лишь 5 =5/2.
Представляется маловероятным, что показатель 5/2 может быть увеличен.
Осталось оценить постоянную С.
По тем же соображениям следует ожидать сравнительно большого значе-
ния С. Для грубой оценки можно взять С« 3\/2/ir «2,4 из примера 6.2.2.
Для нескольких первых п это дает
< Г10 ><76- 1(Г4, < ГзбоХЮ"6,
<Г57><10’4, < Уюоо><0.08 • I0’6
Вычисленные по наблюдениям ИСЗ первые двадцать гармоник имеют
порядок 10“б - 10“7 (л > 3) и не обнаруживают тенденции к убыванию.
234
235
Наблюдается своеобразное равновесие двух противоположных факторов.
С одной стороны, с увеличением п гармоники должны убывать из-за множи-
теля n~s^2. С другой стороны, с увеличением п гармоники должны возра-
стать. так как возрастает роль неправильной коры (что можно интерпрети-
ровать как возрастание С). Начиная с некоторого места п « 400 наступает
насыщение: постоянная С определяется уже только неправильностями
коры и перестает возрастать. С этого момента гармоники убывают пример-
но как правая часть (2).
Порядок гармоник 10"6 - 10"’ отвечает неоднородностям верхнего
слоя Земли глубиной порядка нескольких метров. Удивительно поэтому,
что такая величина Y„ в первое время после запуска спутников казалась
сенсационно большой. Скорее следует удивляться малости У„ - ведь
известны неоднородности в несколько километров глубиной, и только
изостазия снижает их влияние до уровня 10"6 - 10"’.
Итак, неравенство (2) при J = 5/2, С = 2,4 эффективно*) ппи п ^400.
Для получения эффективного неравенства при меньших п необходимо
использовать близость Земли к уровенному эллипсоиду. При подобной
оценке обязательно появятся множители типа
1—(1-е)" (6.3.3)
где е - эксцентриситет меридионального сечения Земли. Чтобы получить
малую константу Св (2), надо считать (3) величиной порядка е, что
приводит к множителю л. Таким образом, уменьшение С неизбежно ведет
к уменьшению показателя .г в (2).
Покажем, как можно получить оценку с малой константой для первых п.
Используем близость Земли к эллипсоиду и тонкость нерегулярного слоя
коры. Для величин типа (3) сохраним замкнутое выражение.
Теорема 6.3.1. Пусть тело Т лежит в слое Т, ограниченном поверхно-
стями вращения r = aw(6), r = qaw(6), 0 < 1; функция и/(в) возрастает
от северного полюса до некоторой параллели 0о, w(0o) = 1, и далее убывает
до южного полюса; функция K(paw(0), Q) ограничена и в произвольно
ориентированной системе координат при каждом р е [<?, 1 ] имеет равно-
мерно ограниченную интегрируемую вариацию вдоль любого меридиана
от полюса до полюса к < к,. var к < к2. Тогда
< М <-----+ «i<2 - <?г *3 - ч" +3)] (I - Q" *3)
коп(п + ЗК/и+ 3/2 (6.3.4)
Здесь qi = и>(0), q2 = w(n), а эффективная плотность к0 связана с массой
соотношением М = 4ira3K0/3.
Подчеркнем, что границы слоя могут не быть поверхностями тела Т -
мы условились считать к = 0 вне Т. Теорема 6.1.4 содержится в теореме 1
при q - 0,и<2)= l.T.e.Qi = q2 = 1.
Доказательство. Замена переменных (6.1.6) приводит к формуле
/(Q) = —--;--- / к (pa w(Q), Q) w" + 3(0) рп + 2 dp.
(2п+1)к0 q
•) Фигура Луны еще более неправильна, и первые гармоники - порядка 10'
10'*. Для Луны неравенство (2) эффективно уже при п > 60.
Очевидно, var(w"*3) в каждом сечении f не превосходит вариации в
сечении плоскостью, проходящей через ось симметрии Т, где
var(w" + 3) = (l -<?[”3) +(1 -<?"+3).
Отсюда
var(кwn + 3)< var к sup w" + 3 + sup к var wn + 3< + к,(2 - q" * 3 - + 3).
var /<--------- f var (к wn + 3)рп+ 2dp <
(2л + 1) kOq
и остается воспользоваться оценкой(4.7.42).
Численные оценки ( Yn) согласно (4) при различных предположениях
относительно толщины нерегулярного слоя земной коры можно найти
В [81].
§ 6.4. Оценка общего члена градиента ряда Лапласа
Для приложений не менее важно получить оценки ряда для гравитацион-
ного ускорения, те. градиента потенциала. Здесь мы покажем, что задача
эта сводится к оценке ряда для самого потенциала. Основным инструмен-
том послужит двумерный аналог неравенства Бернштейна.
Обозначим через Sk сферу фиксированного радиуса г с центром в начале
координат R* + 1, Вп - пространство многочленов степени не выше п в
Rk + 1. Очевидно, Sk и 2?" инвариантны относительно группы ортогональ-
ных преобразований Rfc+1.
Теорема 6.4.1. Всякий многочлен fEBn удовлетворяет на Sk нера-
венству
-Ш • <->
где
э/ 1 / а/ а/ \
L= max |/(0|, — =-(х'+...+^ + 1-^-Г
Q<=Sk дг г \ ОХ1 oxk + i/
Кроме тривиального случая к = 0, в квадратных скобках в (1) стоит
квадрат градиента gradTf в касательном к Sk пространстве.
Пусть к = ]. Многочлен f^Bn на окружности 5* представляется триго-
нометрическим полиномом
/(Х)=а0 + 2 (am cos тХ + bm sin тХ),
a gradТ/совпадает с производной /'(X). Соотношение (1) переходит в
неравенство Бернштейна [12]
(/W + л2/2(Х) < л2Х2. (6.4.2)
236
237
Для доказательства (2) достаточно рассмотреть точки с/'(Х)> 0. Предпо-
ложим, вопреки (2), что при некотором \ = k0,L0> L справедливо
(/'(Хо))2 +л72(Хо)=п’Ьо.
/(Хо) =Iocosa, /'(X0)=n£0 sine (0<а<я).
(6.4.3)
(6.4.4)
Образуем функцию
g(k) =fW - io cos [n(X - Хо) - а]
3 силу условия max |/(Х) I =Z<i0,на каждом из отрезков
функция g меняет знак.
[а — п а]
Хо + ---• Хо + -j присутствует кратный корень, по-
скольку g(Xo) =g’(Xo) = 0. Мы получим ненулевой тригонометрический
полином g степени л, имеющий не менее 2п + 1 корней на окружности
(с учетом кратности), что невозможно. Полученное противоречие доказы-
вает (2).
Если (2) обращается в равенство хотя бы в одной неэкстремальной для/
точке Хо, то можно воспользоваться формулами (3), (4),при L0=L. Число
корней g на окружности по-прежнему не меньше 2п + 1, поскольку на
каждом отрезке (5) g или меняет знак, или имеет кратный корень-в одном
из концов. Поэтому #(Х) = 0.
Итак, если (2) обращается в равенство хотя бы в одной неэкстремальной
для / точке, то в (2) следует оставить тождественное равенство, и обяза-
тельно
/(X) = L cos n(X — д), д= const.
(6.4.6)
Пусть к > 2. Фиксируем произвольную точку Q GSk и примем за Ох,х2
плоскость, содержащую точку Q и вектор gradr/((2) (если он нулевой,
то все очевидно). Вводя цилиндрические координаты xt = R cos X, х, =
= R sin Х,хэ,... ,ха+1, представим левую часть (1) в виде
(Э//ЭХ)2 + л2/2, (6.4.7)
поскольку R = г и а//Эхэ = .. . = bflixkti = 0 в точке Q. Пусть $' -
окружность, по которой Sk пересекается с Oxtx2; i0 = max I f(Q) |.
geS'
Ha S’ функция / есть тригонометрический полином от X степени не выше п,
и по неравенству Бернштейна (2) сумма (7) не превосходит n2Zo <n2Z2,
что и доказывает теорему.
Можно показать [79], что при к = 2 тождественное равенство в (1) с
точностью до поворотов осуществляется лишь для многочлена Сг"Т„(х2/г),
где С = const, Тп — полином Чебышева.
Обратимся к сферическим функциям У „(в, X). Поскольку они представ-
ляют собой сужение многочлена f = r"Y„ в R3 на единичную сферу, спра-
ведливо неравенство (1). в полярных координатах записываемое в виде
+ _L_(2!jlY + „э у2„ < n2Z2. (6.4.8)
\ 30 / sin20 \ ЭХ /
где i - < У„ >.
Пусть в некоторой точке Q, не экстремальной для У„, (8) обратилось
в равенство. Примем опять плоскость, содержащую вектор gradry„, за
экваториальную. По доказанному, на экваторе Ул имеет вид (6), а (8)
переходит в тождество, причем попутно обнаруживается ЭУП/30 = 0 при
0 = я/2, иначе в левой части (8) появился бы лишний положительный член.
Разложение (4.4.8) Yn по элементарным сферическим гармоникам
Y„ = 2oCmsin'"0/><„m>(cos0)cosmrX-Xra)
(6.4.9)
обращается в (6) при в = я/2, а производная dYn/dO при 0 = я/2 аннулирует-
ся. Сравнение коэффициентов тригонометрических многочленов (6), (9)
и их производных по в при в =п/2 дает с учетом (4.5.9) Со = Ci = . . . =
= C„_i = 0. Сохраняется лишь секториальная гармоника. Прямое вычисле-
ние левой части (8) дает для нее значение n2L2sin2n~2 0. При п >2 в (8)
достигается равенство во всех точках экватора и только в них. При к = 1
соотношение (8) обращается в тождество. Исключительное положение пер-
вой гармоники легко объяснить геометрически. При л > 2 экватор сектори-
альной гармоники определяется однозначно как большой круг, разбиваю-
щий секторы (см. §4.4) на равные части. При п = 1 всякую гармонику У,
можно считать секториальной, выбирая за экватор произвольный большой
круг, проходящий через две противоположные экстремальные точки Yt.
Выделенное положение случая п = 1 можно трактовать и иначе. Всякая
первая гармоника Yt становится зональной, если ось z направить через
экстремальные точки Y{; многочлены же Лежандра Р, и Чебышева 7\
совпадают.
Итак, при п = 0, п = 1 соотношение (8) обращается в тождество. При
л >2 для секториальной гармоники равенство в (8) достигается в точках
экватора и только в них. В остальных случаях это возможно только для
экстремальных точек Yn.
Попутно получается уточнение соотношения (4.7.10) между двумя
нормами сферической функции. Из (4.2.14) при f = Yn и (8) следует
л(л + 1) II Yn II2 <Л2((УП>2_ II У„112),
откуда
11 r',ll<'A“TT< Z"> (6.4.10)
2п + 1
При п = 0 коэффициент при < Yn) следует заменить единицей и поставить
знак равенства. При п = 1 также всегда имеет место равенство. При л >2
неравенство в (10) - строгое, так как по доказанному ранее левая часть
(8) меньше правой на множестве полной меры.
238
239
Вычислим теперь градиенты внутренних -г Y„ и внешних =
=r~n~‘Yn шаровых функций
I grad | = г"-1 \Л2 ¥» +(gradr У„)2.
I grad V„ | = г“"“2 О2 Y2„ + (gradr Г„)2.
В первом случае неравенство (8) применимо непосредственно. Во втором
случае надо только заметить, что п2 в (8) слева и справа можно заменить
любым большим числом. Поэтому
п + 1
I grad |< пгп 1<У„>, Igrad Vn I < < Yn >. (6.4.11)
Равенство достигается по крайней мере в одной точке сферы (по симметрии
Yn - в двух противоположных точках). Число таких точек при п >2 за
единственным исключением секториальной гармоники конечно. Дня зо-
нальной гармоники равенство достигается только на полюсах. Для секто-
риальной - только на экваторе: всюду на нем для Vn и в конечном числе
точек экватора для Vn.
В применении к общему члену ряда Лапласа (4.9.7) для внешнего потен-
циала получим
(grad Йя> = -Ц1<ий>, (6.4.12)
где < • > означает наибольшее значение функции при фиксированном г .
Формула (12) сводит задачу об оценке grad к решенной в предыду-
щих параграфах задаче об оценке Vn.
§ 6.S. Использование ряда Лапласа внутри объемлющей сферы
Как уже отмечалось, ряд Лапласа (6.1.1) сходится вне объемлющей
сферы Sa как геометрическая прогрессия. На 5^ ряд сходится по крайней
мере как S Сп~5^2. Для планет земной группы практически достоверно,
что в произвольно выбранной точке под50 - в частности, на поверхности 5
планеты - ряд (6.1.1) расходится.
Внутри объемлющей сферы следует пользоваться всюду сходящимся
разложением (4.9.3) по сферическим (но не шаровым!) функциям, совпа-
дающим с рядом Лапласа вне Sa. К сожалению, конструктивные способы
определения коэффициентов Cnk(r), Snk(r) пока не разработаны. Обычно
рядом (6.1.1) пользуются и на поверхности Земли. Допустимо ли это?
Расходимость ряда еще не означает его бесполезности - вспомним об
асимптотических разложениях. Для решения вопроса оценим погрешность,
возникающую от замены V на отрезок ряда (6.1.1), получаемый суммиро-
ванием до индекса л, а также попытаемся указать номер п, минимизирую-
щий эту погрешность в общих условиях. Попутно оценим и остаток ряда
Обозначим через
Rn V(r,Q)= V(r, Q)-
_ £ 2 />^(cosfl)(C„t(r)cosXX+Sm*(r)sinXX), (6.5.1)
R„ Y(r. Q) = V(r, Q) -
- £ 2 P$,(cose)(Cm*cos*X + SmtsinfcX) (6.5.2)
m = 0 к = О Г
остаточные члены рядов (4.9.3) и (4.9.5) по сферическим и шаровым
функциям соответственно. Функция (1) определена во всем пространстве
R3, функция (2) - во всем пространстве R3 с выколотым началом коор-
динат; R„V = Я„Ивне Sa, V-R„ И гармонична всюду вне начала коорди-
нат, тогда как V- R„ V гармонична лишь вне Sa, даже в случае сходимости
(4.9.5) внутри - скажем, для слабо сжатых эллипсоидов - функции
V- R„ V, V - R„ Vимеют разное аналитическое представление*) ине совпа-
дают внутри S„.
Т е о р е м а 6.5.1. Пусть плотность к ограничена и интегрируема в Т
к(г, (6-5-3)
Тогда на расстоянии г от начала координат при и > 2
[' <*м)
Здесь
И|1|(г)= — к, г2 (6.5.5)
- потенциал на поверхности однородного шара радиуса г и плотности к ,;
число С° определено неравенством (4.7.35).
Условиями теоремы допускаются и тела, простирающиеся в бесконеч-
ность.
Доказательство. Как обычно, считаем пробную точку (г, Q),
находящейся на полярной оси. Иэ (4.9.1), (4.9.2) следует
Л, Иг,С)“Л 2ттк(г',в')— + , ,6^sine'dS’dr' +
+ ff 2ffK(r',fl')r'«„ + 1^L , 6^ sin e’dfl'dr', (6.5.6)
где к s(2ir)_| f Kd\' и использовано обозначение (4.6.19). Интеграл по в'
о
оценивается с помощью (4.6.22) аналогично (4.7.35)
^„„(UJIsinedlxJ^.. (6.5.7)
•) Как, например, cos X и I cos X | имеют разные коэффициенты Фурье. В отличие от
самих функций' отрезки их рядов Фурье не совпадают на [— я/2, я/21.
16. В.А. Антонов
241
240
3/2
что совпадает с (4).
Далее будем считать, что тело Т имеет конечные размеры и вписано в
объемлющую сферу радиуса а.
Теорема 6.5.2. В условиях теоремы 1 вне Sa
зс° /а\п+2
(6.5.8)
Действительно, теперь в (6) сохранится лишь первый интеграл в пределах
по г' от 0 до а. Остальное ясно.
Заметим, что оценка (8) остатка _ 1 И ряда (6.1.1) лишь множителем
С°/4 =2,130316 отличается от оценки (6.1.29) общего члена (Мап/гп + 1) Yn,
полученной при тех же предположениях и неулучшаемой по порядку вели-
чины.
Займемся теперь поведением ряда Лапласа внутри объемлющей сферы.
Из-за расходимости для таких неправильно построенных тел, как планеты
земной группы, и тем более космические булыжники типа Фобоса и Амаль-
теи, любая разумная норма Rn Vстремится к бесконечности с ростом и,
так что существует проблема подбора оптимального п для минимизации
нормыЯ„ V. Вне Sa, очевидно, оптимально п = °°.
Внутри Sa, т.е. при 0 < а, нет особой надобности различать точки
внешние, внутренние и поверхностные по отношению к Г. К тому же лю-
бую точку можно сделать поверхностной, соорудив узкую башню или ко-
лодец, бесконечно мало влияющие как на К, так и на И, R п V при лю-
бом фиксированном п. Ясно, что оптимум п резко уменьшается по мере
приближения к началу координат. Целесообразно поэтому ввести
ограничения на максимально допустимое погружение под объемлю-
щую сферу
zCl/5, (6.5.9)
где z = (а — г) 1а. Мы не ставим задачу определить оптимальное п для инди-
видуальных тел. Индивидуальные оценки Rn V могут быть существенно
лучше описываемых ниже статистических, но они неконструктивны, пос-
кольку требуют знания тонких особенностей распределения плотности,
анализ которых вряд ли является более простой задачей, чем вычисление
самого потенциала V. Итак, рассматриваем класс Т(к1г а) всех тел с ин-
тегрируемой, ограниченной согласно (3), плотностью, содержащихся в
шаре радиуса а.
Теорема 6.5.3. Для всех ТЕ T(Kit а) можно выбрать такой номер
п, зависящий лишь от z, что для всех точек в слое а - az при ограни-
242
чении (9) будет справедливо неравенство
<Л„ИХСзг^ИК1(а),
(6.5.10)
13,144787.
Доказательство. При составлении разности R„ V, в отличие
от (6), мы должны формально считать все точки Т внутренними, т.е. ос-
тавить в квадратных скобках (4.9.2) лишь первое слагаемое
п r'm
Un V(r, в) = V(r, Q) - (f'- Q">pn (cos»')dr'.
Вместо (6) получим, таким образом,
V(r. 2) = J f 2пк (<',в')Ял + 1(-0'^sin»’de'dr', (6.5.11)
и согласно (7)
откуда при п > 2
ЗС°И (л) (л + З)-3'2
( R„ V > <---------------——
bjl (1 -z)"+2
(6.5.12)
Правая часть (12) как функция от п имеет единственный минимум, под-
считываемый элементарно. Возьмем, для определенности, ближайшее спра-
ва к этой экстремальной точке целое значение л
(6.5.13)
L — 21п(1 - г)
где квадратные скобки означают целую часть числа. Ограничению (9) в
(13) соответствует
л>4. (6.5.14)
Превратив (13) в двустороннее неравенство, оценим сверху два последних
множителя (12)
<(__2------y3/2(1_:F^ =
(l-z)"+2 \—21n(l—z)/
В силу возрастания на (0,1) функции
1п(1 — z)
(6.5.15)
(6.5.16)
243
правая часть (15) оценивается сверху величиной
что вместе с (12) и доказывает теорему 3.
При малых z можно пренебречь дискретностью л и заменить функцию
(16) единицей. Оптимальное и будет даваться простой формулой
(6.5.17)
а постоянную С3 в (10) можно заменить на
11,153779.
Точность теорем 1—3 устанавливается на примере одного и того же тела.
Пример 6.5.1. Пусть тело Т — шар радиуса а с плотностью (6.2.1) из
примера 6.2.1 при к = 0.
Общий член ряда Лапласа (6.2.3) нами уже вычислен, так что
ЗЛ/Зх/л-
(cos в)
(п + 5)(2л + 3)1п2л
(т + 5)(2т + 3)
i(cos9) _ (a/r)'"~‘Pm_1(cos9) 1
(т + 3)(2m - 1) J ’
(6.5.18)
если 2 есть степень двух. Поместим пробную точку (г, Q) на полярной
оси на расстоянии г > а от начала координат. Легко показать, что функция
хт—\ + 1
---------------- — ---------------- возрастает вместе с х при 0 <
(т + 3) (2m - 1) (т + 5) (2m + 3)
<x<l,m> 2. Поэтому
ЗМРх/ла"*1
Ял У(г. б)>--------------;—тг? X
(л+5)(2л + 3)1п’лг
(л + 5)(2л + 3)1п2л £ ат\/т
I y/n~ т=2п In m
(m + 3)(2m-l) (т + 5)(2л> + 3)
(6.5.19)
Величина в квадратных скобках (19) не превосходит 4/ [т (т + 3)(2т + 3) ],
так что выражение в фигурных скобках (19) не меньше
(л + 5)(2л + 3) - 2а„ (л + 5)(2л + 3)
miln т>'2 2’/2(1-2-’/’)и’ ’
что сколь угодно близко к единице для достаточно больших л. Неравенство
244
(19) показывает точность степенного порядка убывания < V ) в оценке
теоремы 2, а тем самым и теоремы 1 как более обвкй.
Пример 6.5.2. В условиях примера I поместим пробную точку (г Q)
на полярной оси на расстоянии г = а - аг < а от начала координат. Соглас-
но (11)
K„V(r. (2) = 4якот! } F(r)dr, (6.5.20)
о
где
/ (1 + - fl)sin0</e, (6.5.21)
и переменной интегрирования в (20) выбрано t = r'/r. Вычисление F сво-
дится к интегралам
> Pk(x)dx [ 2(2t+l)-‘r* при |Z|<1,
-1 ч/1 -2ZX+Z2 | (sign г) 2(2*+!)-/-*-1 при Iт | > 1. (6'5’22)
элементарно выводимым с использованием (4.5.5) и свойств ортогональ-
ности (4.3.12), (4.3.15). Пусть 4 есть степень двух. Тогда при /<1
rpVnl
а(2п - 1) In2 л
(6.5.23)
Покажем, что главный вклад в RnV вносит отдельно стоящее слагае-
мое, пропорциональное /л+2.
Интеграл по внутренним точкам оценивается элементарно
f F(t)dt =------Г-^--------— ----У
о д(и + 5)(2л+ 3)1п’л \1п2л /
Оценим бесконечную сумму в (23) при г > 1. Очевидно,
(6.5.24)
‘ \2m-l 2т + 3 2m - 1 2m + 3 /’
что убывает с ростом Т, как показывает вычисление производной. Поэтому
бесконечная сумма с точностью до множителя Is'1 мажорируется своим
значением при t = 1. После взятия интеграла она оказывается величиной
порядка z п ~3I2 In "2 п.
Обратимся к конечной сумме в (23). Обозначим выражение в фигурной
скобке через г 5,2 Е, где
fm+3/2 _ ; -3/2 fm-l/2 _ z-m + l/2
2т + 3 2т - I
Обозначив In г = 2т, (£) = 2 (sh кт}1к, найдем по формуле Лагранжа
E=E1(2m + 3)-E1(2m- \) = 4Е\(к) (2т- 1 <к<2т + 3).
Вычислим производную
Е'1(к) = 2(ктсЬкт-&кт)/к2.
Она положительна при kr>Q и лишь увеличится при замене sh кт на кт,
а затем ch кт — 1 на ект/2:
4тект 2tk/2]nt /5 5\ zrw+3/2
0<Е<------ =-------- <(_ in - )------ .
к к \2 4/ 2m-\
В результате t SI2E= О (z m -11”^2). Множитель ztnl2 можно вынести за
знак суммы, ограниченной в силу сходимости соответствующего бесконеч-
ного ряда. После интегрирования конечная сумма оказывается величиной
порядка z п -1 (а/г) п^2. Окончательно
77(<)л=——— ИТ3 -']+
, а(п + 3)(2n - 1)1п2и L\rz J
С учетом (24)
(п + 3)(2л — 1)1п2и \г
Явно выписанное слагаемое доминирует при любом и. Для доказатель-
ства заметим, что первый член правой части (25) преобладает над вторым
при достаточно больших п (малые п рассматривать не интересно). Также
относительно мал третий член за счет множителя г. Преобладание первого
члена над четвертым доказывается неравенствами
(г)” 2= (гтГ >е<"+2,/1 >е"’>nz +-v~ > V2(^)3/2.
н3'2
246
Аналогично при сравнении первого члена с пятым используются неравенст-
ва
Итак, первый член доминирует, и при любых п
причем минимум левой части достигается при некотором n=O(z~'). Точ-
ность степенного порядка оценки (10) доказана.
Другие примеры можно найти в [9].
По аналогии с результатами аппроксимации функций на Sa и потенциа-
лов вне Sa естественно предположить, что за счет наложения дополнитель-
ных условий гладкости порядок s в оценке < Rn V > - z3'2 можно сущест-
венно повысить. К сожалению, это не так. Даже для однородного шара
(более гладкого тела нет!) s равно всего лишь двум. Действительно, здесь
согласно (1.9.5), (1.9.6) при любом и
3 , 1 - z/3
Я„И=-- ? -------------- Ик(а) (6.5.27)
2 1 -z
Формула (27) имеет место по симметрии и для однородного полушара в
экваториальной плоскости, поскольку там Yn = 0 согласно (4.9.8).
В [9] показано, что значения s =3/2 следует ожидать лишь в искусст-
венных ситуациях, тогда как статистически по множеству Т в среднем
s=2. Поэтому на практике можно считать
<ЯЛ K>~Cz2, (6.5.28)
что согласуется с эмпирическим ’Правилом Каулы" [32] и "правилом
Пеллинена" [84], описывающими убывание ( Yn) величиной при
5 = 2и$ = 2,06.
Напомним, что ошибка (27) в принципе не может быть уменьшена за
счет выбора п. Для получения более высокой точности на поверхности
планет следует отказаться от ряда (6.1.1) и перейти к другим представ-
лениям гравитационного потенциала.
ГЛАВА 7
МНОГОТОЧЕЧНАЯ МОДЕЛЬ ПОТЕНЦИАЛА
Наряду с классическими разложениями потенциала по ортогональным
системам функций в последние годы большое распространение получило
его представление потенциалом системы точечных масс. Это связано в пер-
вую очередь с задачами детального изучения гравитационного поля Земли
и прогнозирования движения ИСЗ.
§ 7.1. Возможность аппроксимации гравитационного поля планеты
потенциалом системы точечных масс
Представление потенциала планеты суммой потенциалов материальных
точек можно вводить по-разному. Физический подход состоит в замене
интеграла (1.1.4) римановой суммой типа (1.1.3)
* тк
, (7.1.1)
где рк - расстояние от пробной точки Q до некоторой точки Qk(xk, ук, zk)
с массой тк, расположенной внутри Т. Реальный потенциал тела пред-
ставляется линейной комбинацией сингулярных неортогональных функций
1/рк. Последнее гарантирует сколь угодно точную аппроксимацию потен-
циала суммой (1).
Модель (1) обладает рядом преимуществ по сравнению с классическими
представлениями. В частности, однородный характер членов правой части
(1) позволяет более просто вычислять возмущения при численном интегри-
ровании уравнений движения ИСЗ.
Однако риманова модель не всегда экономична. Например, для прибли-
женного представления потенциала однородного шара необходимо большое
число точек, разбросанных во внутренней области шара. Между тем внеш-
ний потенциал шара точно представляется потенциалом одной централь-
ной массы.
Другим подходом к проблеме аппроксимации реального потенциала
суммами (1) является чисто математический. В дальнейшем речь будет
идти только о внешнем потенциале.
Будем искать аппроксимацию V в виде
1/(0 = S —, (7.1.2)
248
где р* = (х ~хк)2 + (.У ~Ук)2 + (? - г*)2- Нецелесообразно отказываться
от уже имеющейся информации о числовых коэффициентах Cnj,Snj ряда
Лапласа (4.9.5). Попытаемся подобрать массы тк и положения Qk из усло-
вия наилучшей аппроксимации V (4.9.5) суммой (2) при фиксированном
N. При N= 1 проблема была поставлена и решена еше И. Ньютоном (§ 1.3);
при./У= 2 — Е.П. Аксеновым, Е.А. Гребениковым и В.Г. Деминым в 1961г.
[1,28]. При произвольном TV после пионерской работы М.С. Яров-Ярового
[78] дальнейшей разработкой занимались Дж. Вейтман, Ж. Бальмино,
В.А. Антонов и многие другие [90,80,4].
В настоящее время еше рано говорить о каком-либо стандартном кри-
терии и методе наилучшего приближения. Многие авторы заранее отождест-
вляют некоторые из условных точек Qk с местоположениями гравитацион-
ных аномалий [49, 80]. Однако не доказано, что такой выбор точнее просто
случайного расположения тех же точек.
Можно рассматривать аппроксимацию ряда (4.9.5) суммами (2) как
чисто математическую задачу без привлечения каких-либо априорных дан-
ны. Простейшее определение близости состоит в совпадении первых членов
разложения по сферическим гармоникам. Возможна аппроксимация с уче-
том только зональных гармоник как самых существенных для динамики
ИСЗ, или с учетом всех гармоник.
§ 7.2. Оптимальная аппроксимация начальных гармоник
в осесимметричном случае
Рассмотрим случай ротационной симметрии тела Т, когда потенциал
может быть задан рядом (4.10.1). Требуется аппроксимировать V потен-
циалом (7.1.2) системы /V материальных точек, расположенных на оси
вращения. Принимая ее, как обычно, за ось z, получим хк =ук = 0. Разло-
жим функцию (7.1.2) в ряд по полиномам Лежандра
U(r,6) = Z S (mfczj )r-n-1Pn(cos0).
(7.2.1)
Критерием совпадения первых членов разложений (4.10.1) и (1) служит
система уравнений
относительно mk,zk при заданных сп. Это - так называемая проблема мо-
ментов [И]. Воспроизведем вкратце ее решение при 7V = 2/V—1, когда
число уравнений совпадает с числом неизвестных.
Составим вспомогательный многочлен G(z) с корнями в точках гк
G(z) = (z-z1)(z-z2)...(z-zJV).
Очевидно, для любой непрерывной функции £ (z)
X mtG(zt)f(z*) = 0S
(7.23)
(7.2.4)
249
Многочлен G можно записать в . иде
N
G(z) « S q/z1, qN = \. (7.2.5)
Положим в (4) $(z) = z", раскроем G согласно (5) и поменяем порядок
суммирования
N К
Е q}- Е тк z"^' = 0.
При n<N- 1 внутренняя сумма совпадает с правой частью (2) с точностью
до обозначения индексов, т.е.
Е cn+iqj=O (л = 0,1,...,ЛГ-1). (7.2.6)
/=о
Мы пришли к системе Nлинейных уравнений с Wнеизвестными <71. • • •
....q^-i, допускающей, как правило, единственное решение. После оп-
ределения q}- находим zif... ,z^ как корни алгебраического уравнения
G(z) =0. Среди них, наряду с вещественными, могут быть и комплексно-
сопряженные.
Для определения масс тк воспользуемся тождеством
Многочлен G(z)/(z -zs) можно представить в виде
Y1 (V’1 z”qn^)zi.
/=0 л=0
в чем проще всего убедиться умножением на z - zs. Левая часть (7) равна,
таким образом,
N N-l N-j-l
ЕЕ Е qn+j+i zl msz; >
s=i /=о л=п
что после суммирования по $ с учетом (2) принимает форму
V* c„qn+l+iz>. (7-2-8)
/=о п=П
Правая часть (7) с точностью до множителя т* равна производной от G
в точке 2^
I W/z'-'. (7.2.9)
Приравнивая (8) и (9), найдем
N
^14/^.'
*=1,2....N,
(7.2.10)
250
если знаменатель отличен от нуля, что может иметь место лишь в исклю-
чительных случаях.
Параметры mk,zk зависят от выбранного значения N. Возможны и
комплексные значения тк и гк, но потенциал (7.1.2) всегда остается ве
шественным. Хорошо известный пример для 2 дает обобщенная задача
двух неподвижных центров.
Зададимся вопросом - как влияют форма и плотность тела (или, что то
же, коэффициенты сп) на величину и расположение точечных масс?
Теорема 7.2.1. [67]. Для того чтобы при любом N параметры гк
были вещественны, различны и принадлежали промежутку (~s, s) а мас-
сы тк были положительны, необходимо и достаточно чтобы числа с яв-
лялись моментами некоторого распределения dg(z)
c„=S zndg(z), (7.2.11)
edeg - ограниченная неубывающая на [~s, s] функция.
Необходимость. Пусть выполнено утверждение теоремы о пара-
метрах точечных масс: тп^к >0, — s < < s. Мы нумеруем массы и ко-
ординаты точек Qk двумя индексами, подчеркивая их зависимость от N.
Равенство (2) равносильно существованию при каждом N дискретной
весовой функции
N
Pn(z)= 2 mNk b(z-zNk)
fc=l
такой, что
f pN(z)zndz = cn (л<2ЛГ-1); (7.2.12)
Здесь 6(z) — дельта-функция Дирака. Формулу (12) перепишем в виде
/ z"dgN(z) = c„ (л<2У-1), (7.2.13)
-S
где
?лг(г)= /
Вариация gN по промежутку [-$,$] есть полная масса и потому равно-
мерно ограничена по N. Из последовательности равномерно ограниченных
неубывающих функций можно выделить подпоследовательность, сходя-
щуюся к неубывающей ограниченной функции g в точках ее непрерыв-
пости (первая теорема Хелли [24]). Переходя в (13) к пределу при
(вторая теорема Хелли [24]), получим (11), что и требовалось доказать.
Заметим, что функция g по последовательности {с„) находится единствен-
ным образом с точностью до постоянного слагаемого.
Достаточность. Исходя из условия (11), докажем принадлеж-
ность всех zNk промежутку (-s,s). Рассуждая от противного, допустим
существование такого N, что I гщк I < s при к = 1, 2,... ,N-j . где / > 1,
но остальные zm не принадлежат этому промежутку или вообще являются
251
комплексными. Образуем многочлены
моменты распределений g и gw совпадают вплоть до степени 2N - 1, откуда
f Gt(z)G3(z)dg„(z)= f G2(z)G2(z)dg(z).
Слева по (4) при £ = Gt мы имеем нуль, но справа результат ненулевой
из-за знакопостоянства G2(z)G2(z). Сходным образом исключается
возможность кратных корней, иначе G можно было бы представить в виде
G(z) =G3(z)G24 (z), где G3 и G4 - многочлены. Равенство
_f С (^)dgN (г) = J Gl(z)Gj(z)dg(z)
тем же путем привело бы к противоречию.
Итак, все корни G вещественны и различны. Положительность mNk сле-
дует из равенства
G(z) \2
------ ) dgN(z) = mNfl
- zNk /
Теорема доказана.
Если учесть, что (11) определяет стоксовы постоянные стержня дли-
ны 2s с неотрицательной плотностью g'(z), то теорему 1 можно переформу-
лировать так: внешний потенциал И тела вращения тогда и только тогда
аппроксимируется при любом N потенциалом N положительных точечных
масс, расположенных на ограниченном отрезке Т\ оси симметрии, ког-
да И совпадает с потенциалом отрезка Т\ с неотрицательной линейной
плотностью.
Из (2) и (111 вытекает
f zndg(z)
откуда
J P(z)dg(z) = X mkP(zk) (7.2.14)
для любого многочлена степени ие выше 2/V-1. Таким образом, (14) -
квадратурная формула интерполяционно-ортогонального типа. В силу
известных теорем (59] ее узлы zk служат корнями ортогонального много-
члена G(z).
Пример 7.2.1. Пусть а,Ь - экваториальная и полярная полуоси
однородного вытянутого эллипсоида вращения, а<Ь.
252
Как показано в § 4.10, внешний потенциал не изменится, если при за-
крепленной массе и фокусах эллипсоид сжать с боков вплоть до предельно
тонкого стержня \z I < s = \/b2 -а2 с линейной плотностью
определяемой по (4.10.22). Плотности (15) отвечает (59] система орто-
гональных многочленов, являющихся производными от многочленов Ле-
жандра (PN+ j (z/s)) . Таким образом, при фиксированном N положитель-
ные массы тк располагаются в корнях производной многочлена Лежанл-
ра P^+i (*/«)•
Положим
Если g удовлетворяет условиям теоремы 1, то параметры zk приобретут
постоянный множитель i, а массы не изменятся.
Пример 7.2.2. Пусть а, b - экваториальная и полярная полуоси
однородного сжатого эллипсоида вращения, а > Ь.
Аналогично случаю вытянутого эллипсоида потенциал сжатого эллип-
соида совпадает с потенциалом стержня ’’длины” 2 is, s = \/а2 - Ь2, и ’’плот-
ности” 3M(s2 - z2)l(4is3). У сжатого и вытянутого эллипсоидов с одина-
ковым линейным эксцентриситетом s массы тк совпадают, а положе
ния zk отличаются лишь множителем i.
В заключение этого параграфа приведем несколько численных приме
ров точного решения системы (2) по описанному здесь алгоритму. Зна-
чения сп взяты из [72], масса Земли и ее экваториальный радиус приняты
за единицу.
О ^ = 2,
rr?j 2 = 0,5 ± 0,178233 Ю'Ч
zi 2 = -0,117215 • 10“2 +0328824 • 10’2/,
2) ^=3,
2 = 0,5 ±0,124203 10 *1,
Z] j = -0,820060 • 10'3 + 0,329139 • 10‘*/,
т'3 =0,4416 • 10'5, z3 = 0,5556,
3) №4,
тх 2 =0,5 ±0,255971 10*/,
z, '2 =0,168307 - 10’2 +0328775 • 10’1/,
4 = -0,8881 • 10-6 ±0,8071 - 10"ei,
z3i =-0,5043 ±0,5927/,
4) /V=7,
mt 2 =0,5 ±0,178966/,
Z1 j = -0,1177 +0,3290-IO’*/,
'”3,4 = -0,2601 • 10’6 ±0,3685 • 10"7/,
z3 4 = 0,4028 ± 0,7674/,
=0,2262 • 10’6, zs =0,9045,
zn6 7 = 0,8940 • 10’7 ±0,4410 • 10"6/,
z6,7 = 0,6290 ±0,6154/.
Как видим, задача двух неподвижных центров достаточно устойчива
относительно добавления новых точечных масс.
§ 7.3. Возможность оптимальной аппроксимации
начальных гармоник в общем случае
Рассмотрим задачу аппроксимации потенциала тел, не обладающих вра-
щательной симметрией. Сравнивая разложения l/и Ив ряды типа (4.9.5),
получим вместо уравнений (7.2.2)
2 m*r;/’„(cosflt) = C„0, (7.3.1)
2 (л-/)! " „ , „ J cos/X*l / Cnj 1
/ 7- Sm^g^cosM = _
(л+/)! к=1 I Sin/Afc I I Sni J
где гк, вк, Х* - сферические координаты Qk.
Число различных сферических гармоник до порядка п включительно
составляет
1 +3 + 5 + ...+ (2л + 1)= (и + I)2.
С каждой из точек 0* связано четыре параметра тк, гк, вк, Хк. Для уравни-
вания числа неизвестных с числом заданных условий (1), очевидно, следует
взять Л'= ((л + 1)/2)а при нечетном л. Таким образом, получаем уравнения
трехмерной проблемы моментов, разработанной гораздо менее детально,
чем одномерная. По-видимому, невозможно получить явные однозначные
выражения для всех параметров точечных масс, как это удается сделать для
случая тела вращения. Можно построить некоторые искусственные приме-
ры, показывающие, что решение системы (1) неоднозначно уже при
№4.
Пример 7.3.1. Пусть Тсимметрично относительно плоскостей xz,yz.
Найдем оптимальную модель из четырех точечных масс [5].
Здесь N = 4, л = 3. По симметрии (см. § 4.9) Ct i = Сг i = С31 = С3 3 =
= Sy = 0. Точки Qk располагаем также симметрично: (±а, 0, z,) мас-
сы т,, (0, ±6, z2) массы тг. Согласно (1) получаем 6 нетривиальных урав-
нений по числу неизвестных
т, + тг - 1/2,
mIzl + m2z2 =0,
mk(2zl -a2) + m2(2zi -Ьг) = С2<>, (7.3.2)
mtdl -m2b2 = 2Сгг,
mlzl(2zl -3a2) + m2z3(2z3 -362) = СЗО,
mIa zi — тл2b z3 = 2C33.
Кропотливые преобразования сводят (2) к одному уравнению пятой сте-
пени, имеющему в достаточно широкой области изменения Су три вещест-
венных решения. Для С20 = s2, С32 = 3s3, С22 = Сзо = 0 имеем, на-
пример,
[ Я3/? j ь’/г’ | т-
2 -2 1/4 1/4
3 + J6 -3 + х/б 4(3 + х/б) 4(3 - ч/б) <3-ч/б)/12 (3 + ч/б)/12
3 - ч/g" -3 - х/Ь 4(3 - ч/б) 4(3 + ч/б) (3 + >/б)/12 (3 - х/63/12
Другой подход к построению многоточечной модели связан с методом
регуляризации Тихонова. В частности, этот метод использован в работах
А.Н. Марченко [37,38,39].
Достаточно полный обзор многоточечных моделей можно найти в статье
Г.А. Мешерякова и А.Н. Марченко [40].
§ 7.4. Вещественные модели
Вернемся к осесимметричному случаю. Как уже отмечалось, параметры
аппроксимирующего потенциала (тк, zk), определяемые из системы
(7.2.2), могут принимать комплексные значения. Последнее не всегда
удобно при реализации алгоритма на ЭВМ. Встает задача построения ве-
щественной модели точечных масс.
Теорема 7.2.1 дает ответ на вопрос о возможности построения такой
модели лишь для тел, у которых коэффициенты разложения потенциала
по сферическим функциям допускают интегральное представление (7.2.11).
Большинство же тел, и, в частности, все планеты Солнечной системы, такого
представления не допускают. Тем не менее вещественные модели могут
быть построены, для чего потребуется увеличить число точечных масс по
сравнению с оптимальным вариантом.
Рассмотрим систему, получающуюся из (7.2.2) отбрасыванием послед-
них Nуравнений
N
S mkzk=c„, л = 0,1.........yV-l. (7.4.1)
к= 1
Правые части - вещественные числа. Система (1) линейна относительно
переменных тк. При произвольных гк и условии
z^Zj (i*j) (1А2)
ее определитель отличен от нуля (определитель Вандермонда). Следова-
тельно, (1) имеет единственное решение относительно заданного набора
{г*}.
Покажем, что к системе (1) можно добавить еше одно уравнение, отве-
чающее п = N. В таком случае мы имеем право положить в (7.2.4) %(z) = 1
и прийти к (7.2.6) при л = 0, т.е.
N
S с,<?, = 0. (7.4.3)
I = о
Мы получили соотношение между коэффициентами G. Возьмем произ-
вольные различные вещественные числа z1,.... zN_ , и составим многочлен
G(z) = (z - zt) (z - zN_ J = zN ~ 1 +aN_ 2 zN~ 2 + ... + a0-
Тогда
G(z) = (z - zn)G(z) = zn + (on_ 2 - ^n)zn- '+...+
+ (a0 - atzN)z - aozN. (7.4.4)
255
Подставим коэффициенты (4) в (3)
CN + (.aN - 2 - zn)cN- 1 + + (° О - - (Ло2дг)со = О,
(7.4.5)
Массы /иь..... mN найдутся теперь по (7.2.10). Все параметры zk)mk полу-
чились вещественными.
При добавлении к (1) двух уравнений (л = N, N + 1) возникают случаи
неизбежного (т.е. при любом выборе z1}..., zN_ J появления комплекс-
ных решений [53].
В качестве примера приведем модель, рассчитанную С.М. Полещиковым
(53) для N = 10, аппроксимирующую 11 зональных коэффициентов геопо-
тенциала. Вычисленное значение положения точки zN = — 0,2748056, значе-
ния коэффициентов ах и а2 соответственно равны 0,68863320 • 10"3 и
-0,16443405 • 10"2. Нумерация точек соответствует порядку возрастания
их положений на оси вращения.
1 -0,9 0,0000001
2 -0,7 0,0000379
3 -0,6 -0,0001521
4 - 0,2748056 0,0095610
5 - 0,2 -0,0284566
0,1 0,2168494
0,15 -0,2748886
0,23 0,0939264
0,31 -0,0171337
0,5 0,0002563
Для аппроксимации зональных гармоник гравитационного поля планеты
вещественной моделью требуется большее число точечных масс, чем моделью,
допускающей комплексные параметры. Качество системы с чисто веще-
ственными точками можно несколько улучшить, обращая в минимум
величину
S„ = | £ т^-с„\ (1А.6)
с первым таким значением л, для которого невозможно обратить в нуль,
пользуясь только вещественными параметрами.
Пример 7.4.1. Пусть ^ = 2. Первые два из уравнений (1) дают с уче-
том с0 = 1, Ci = 0
тх = z2/(z2 - zt), т2 = - zt/(z2 - zx).
Третье равносильно
г,г2 = ~С1 (7-4.7)
Минимизируем
6, = |m,Z| + m2z2 - c,| = |z,z2(z, + z2) + c, | = |c, - c2(z, +z2)| (7.4.8)
256
по Zj, z2, связанным условием (7). Пусть с2 < 0, | с3 | < 2 | сг |3/2, что
имеет место для планет Солнечной системы. Тогда минимум (8) положи-
телен и достигается при
где знак перед корнем противоположен знаку с3 и безразличен при с3 =0.
Массы т\ и т2 при сближении z, и z2 неограниченно растут; получается
комбинация точечной массы и расположенного там же диполя. Движение
ИСЗ в такой модели рассмотрено Р. Барраром (см. [28]).
Рассмотрим влияние расположения Qk на величины масс тк и на посто-
янные Стокса сп потенциала U при достаточно больших п. Ограничимся
моделью равноотстоящих масс
Г 2(к - 1) 1
Параметр р может быть любым из промежутка (0, 1]. При р= 1 точки
равномерно заполняют весь отрезок [-1, 1], включая концы.
Пусть р = 1, так что две массы имеют координаты z =± 1, т.е. помешены на
границу сходимости разложения потенциала. Стоксовы постоянные модели
сп при п = 0, 1,..., N - 1 совпадают (в пределах вычислительных погреш-
ностей) со стоксовыми постоянными сп Земли. Начиная с номера N коэф-
фициенты сп либо возрастают, не превышая некоторого числа, либо очень
медленно убывают. В обоих случаях наблюдается резкое возрастание (на
один-пять порядков) коэффициентов | сп | по сравнению с | сп I, начиная
сразу с номера N. Расчеты различных вариантов моделей равноотстоящих
точек, когда р изменялось от 0,05 до 0,95, показали, что при уменьшении р
стоксовы постоянные I сп |, начиная с к = N, убывают быстрее, тем самым
улучшая качество модели. Но при этом резко возрастают значения | тк |.
Приведем в качестве примера 20-точечную модель при р = 0,7 [68].
к 1 тК 1 к тк
1 2,230633 • 10"’ Н 1,229772 • 10’
э -4,023233 • 10"* 12 -8,827396 10’
3,543201 1 з 3,133409 • 10’
4 -1,962959 • 10* 14 -2,377898- 10’
7,613016- 10* 1 S 8,577971 - 10*
6 -2,193820 • 10’ 16 -2,334276 - 10*
4,868089 10’ 4,554428
8 -8,512734 10’ 18 -3,849529 • 10’1
о 1,191879 10’ 19 4,194030- IO"’
10 -1,355929- 10’ 20 -1,091350 • 10’’
Вернемся к системе (1) с заданными положениями zk. При произволь-
ных правых частях сп, известных приближенно, погрешность определения
тк тем ниже, чем больше по модулю определитель системы. Если крайние
массы фиксированы в точках ± 1, то максимум определителю Вандермонда
дает расположение остальных Qk в корнях производной многочлена Лежанд-
ра/^. ,(z) [59].
Как показали расчеты при N = 20, при таком расположении Qk массы
тк получаются значительно меньшими по сравнению со случаем равно-
отстоящих точек.
§ 7.5. Модели с упрятанными массами
При построении моделей точечных масс возможно появление 'выскаки-
вающих точек" (для которых | zk |> 1). Такие модели непригодны для
аппроксимации разложения потенциала (4.10.1) в силу того, что аппрок-
симирующий ряд (7.2.1) сходится лишь в области г > max | гк |.
Попытка исправить указанный недостаток механическим выбрасы-
ванием выскакивающих точек не ведет к цели, поскольку вклады от
большинства точек в моменты достаточно высокого порядка сравнимы
между собой.
При неблагоприятных значениях с„ возможна ситуация, когда при дан-
ном .V вообще невозможна вещественная модель с упрятанными массами
(т.е. без выскакивающих точек), аппроксимирующая с„ вплоть до п = N.
Наиболее четко это проявляется при аппроксимации возмущающего поля
V- М/г. Пусть Со = с2 = ... = cN _ 2 = 0, Сдг _ t = е, cN = 1. Из (7.4.3)
qN_ 1 = - 1/е-
По формуле Виета
z. +z2 + -+zN =
e(z>+z2+...+z;y)= 1. (7.5.1)
Равенство (1) невыполнимо при I zk | <1 и е < 1/N.
Все же в реальных ситуациях — например, при I с„ I < | с0 I (л > 1) -
борьба с выскакиванием может привести к успеху. Действовать надо ме-
тодом § 7.4, вводя некоторую избьпочность [54].
§ 7.6. Мультипольный подход
При построении моделей точечных масс можно использовать мак-
свеллову модель шаровой функции. Как показано в § 4.11, каждая шаро-
вая функция порядка п представляет собой потенциал мультиполя (4.11.2)
уп=мп---------------------- (7.6.1)
dw,H dwn2 ...
где b!bwnj означает дифференцирование по определенному направлению
Эх
- ^nj • НП/ _ !П/ _ ’ “П/ ' РП/ inj г-
dwnj ах оу oz
Величины Мп, wnJ называются моментами и осями мультиполя. Последний
термин объясняется следующей трактовкой (1).
258
Шаровая функция нулевого порядка создается полем точечной массы М,
лежащей в начале координат.
Шаровая функция первого порядка создается диполем (рис. 20): пре-
дельным положением масс ± Mt, расположенных на оси w ,, .на равном рас-
стоянии 6i от центра, при Mi , 61-*-0,Mi =Mi5i = const. Величины Mi
и W| 1 будут соответственно моментом и осью диполя.
Рис. 20. Диполь —------------°--------
Шаровая функция второго порядка создается квадруполем (рис. 21);
предельным положением двух диполей с общей осью w,, и моментами ±М2,
расположенных на оси w22 на равном расстоянии 52 от начала; при М2 -*
-*°°,52 -0,М2 =М252 = const. Величины М2, w21, w2 2 будут соответствен-
но моментом и осями квадруполя. Здесь обе оси равноправны: можно
стягивать в точку параллелограмм с четырьмя массами ±M2/(5i62) в
вершинах при соблюдении параллельности сторон.
Рис. 21. Квадруполь
По индукции определяется мультиполь порядка п с моментом Мп и
осями wnl, vvn2,---, wnn, представляющий собой предельное положение
2"точечных масс, стягивающих к центру.
Если мы остановим предельный переход, не доходя до центра, то как
раз и получим многоточечную модель. Привлекательная сторона мульти-
польной конструкции - знание осей, на которых следует располагать точеч-
ные массы; их вещественность. Основной недостаток - неоправданно боль-
шое число точек N'"’ 2п.
Специальными приемами можно уменьшить N в несколько раз [37], но
все же мультипольный подход приемлем лишь для небольших значений
п <8 - 10.
§ 7.7. Интегральные критерии оптимизации
Критерий качества аппроксимации потенциала, основанный на совпаде-
нии конечного числа членов ряда Лапласа, не является единственно возмож-
ным.
Более общим и достаточно естественным кажется определение невязки
по норме
II VII2 = S^a^f/Y^do
259
в пространстве гармонических вне сферы г - г0 функций
Здесь ап > 0 - весовые коэффициенты, подчиненные лишь условию сходи-
мости (1); интеграл берется по единичной сфере. В зависимости от выбо-
ра последовательности (а„) получаются различные варианты задания нор-
мы и соответствующего расстояния
d(V,LT) = II V- UII. (7.7.2)
Оптимизация по совпадению первых гармоник соответствует
В работе Дж. Бальмино [14] при Уо -0 используется
II КII2 = fff V2dr,
где Я — радиус произвольной сферы, целиком охватывающей тело. Фор-
мула (3) получается из (1) при а0 = 0. = Я " 2" + 1 / (2п - 1). В.А. Анто-
новым [4] предложена норма
получающаяся из (1) при ап = R~ 2п. Результаты, полученные с использо-
ванием (3),, не дают удовлетворительного представления поля на поверх-
ности Земли [14]. Для такого рода задач, по мнению , Дж. Бальмино,
предпочтительнее перейти от потенциала к напряженности поля и соответ-
ственно задать норму
отвечающую = (п + 3)2Я~2п~ 2 в формуле (1).
Конкретные пути минимизации невязки (2), когда варьируются одно-
временно массы и положения точек, достаточно сложны. Если же положе-
ния точек фиксируются, то, как и всегда при минимизации квадратичных
форм, приходим к линейным уравнениям для масс [3, 38].
Остановимся подробнее на вопросе вычисления коэффициентов указан-
ных квадратичных форм на примере невязки (2), соответствующей норме
(4). Под знаком интеграла стоит
£ mkYn
£ mkrni
(7.7.6)
k=i i=i pkpj
плюс пропадающие при интегрировании члены с произведениями сферичес-
ких функций разного порядка. Интеграл от первого слагаемого выражает-
ся через постоянные Стокса (4.4.6), (4.4.7).
260
Во втором слагаемом раскладываем
многочленов Лежандра (4.5.5)
как производящую функцию
—= Ё
Рк / = °
/’/(cos 7*),
где 7к — угол между направлениями из центра на Qk и переменную точку О.
ОртогональностьР/, Yn(j Ф п) и выражение (4.4.1 3) дают равенство
Yn ^2
ff—do = ----------f— где*) (7.7.8)
р* (2л+1)гл + |
при интегрировании по единичной сфере.
В третьем слагаемом вместо (7) имеем
-----= S * 1 Рп (cos 7к)Рп (cos 7;-)
РкР/ л = 0 Г2"*2
плюс пропадающие при интегрировании слагаемые. Аналогично (8) получим
7/—=^- 2
РкР/ Г2 л = 0 2п
где t = гкГ)1г2, ykj — угол между направлениями на Qk и Qj.
Сумму (9) можно выразить через эллиптический интеграл. Достаточно
в (4.5.5) положить t = z2, проинтегрировать по z и разделить на z
Сравнение (9) и (10) показывает, что
do 4л dr
PkPj г2y/t о v 1 + т* - 2r2cos7fc/-
Приведение к стандартной форме [13] дает
.. do 2” г/ Г
Я-------= -—HarctgV'.cos—I.
₽*Р/ Н>/г \ 2 /
(7.7.12)
§ 7.8. Улучшение параметров модели
Рассматривавшиеся до сих пор модели построены как перевод информа-
ции о гравитационном поле с языка шаровых функций на язык точечных
масс. Более точное представление потенциала, чем уже имеющееся разложе-
ние в ряд Лапласа, таким путем получить невозможно.
Поставим задачу улучшения параметров точечной модели непосредствен-
но по измерениям величин, характеризующих гравитационное поле
планеты.
Пусть такими измерениями будут, например, наблюдения движе-
ния ИСЗ.
261
Введем следующие обозначения: q, q - трехмерные векторы обобщен-
ных координат и скоростей ИСЗ, д — л-мерныи вектор определяемых пара-
метров, £ - шестимерный вектор начальных данных, ф — fc-мерный вектор
наблюдений.
Координаты и скорости q и q чаще всего предполагаются декартовыми
в невращающейся системе координат с началом в центре масс Земли.
Но в принципе возможны любые криволинейные координаты и соответст-
вующие скорости в любой системе отсчета. В вектор д собираем только те
параметры теории, которые подлежат улучшению. В их число можно
включить все координаты и массы неподвижных центров, координаты стан-
ций слежения и т.п. Если же часть параметров не варьировать, а включить
в вектор д только массы центров, то это сильно упростит теорию, посколь-
ку зависимость силового поля от тк линейна. За вектор £ проще всего
принять начальные значения векторов q и q. Однако допустим любой шести-
мерный вектор, составленный из независимых комбинаций начальных зна-
чений q и q — например, вектор оскулирующих элементов в начальную
эпоху или вектор соответствующих средних элементов. Зависимости вида
q(t, р, £) и q(t, р, £}, где t - время, определяются принятой теорией движе-
ния ИСЗ. Результат каждого наблюдения ф,- описывается функцией Fj(ti, q,
q. р) от времени наблюдения tj, положения и скорости спутника в момент
ti и параметров д. Подставляя вместо q и q их теоретические значения, по-
лучим систему уравнений вида
Ф, = ^(г.-.<г(О.дД),?(г<.д, 0,д),
или в векторной форме
Ф = ^(д, £),<?(д, £),д). (7.8.1)
В уравнениях (1) явная зависимость Fот времени t, опущена: предполагая
ошибки засечки времени пренебрежимо малыми, можем считать г,- заданны-
ми числами.
Введем поправки Дд, Д£ к параметрам системы и начальным данным.
Будем считать, как обычно, поправки малыми. Согласно линейной теории
из (1) получим
= ЛДд + 5Д£, (7.8.2)
где через А и В обозначены матрицы Якоби частных производных от F
по д и £ соответственно, Д1// - разность между наблюденными и вычислен-
ными значениями ф. Векторное уравнение (2) представляет собой систему
условных уравнений, стандартные методы решения которых известны:
метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия, метод
максимума апостериорной вероятности, метод регуляризации Тихоно-
ва и Т.Д.
Отметим, что начальные данные £ - свои для каждого спутника, тогда
как вектор д не зависит от индивидуального ИСЗ. При наблюдениях 5
спутников в системе (2) имеем к уравнений и п + 6 s неизвестных.
262
Матрицы А и В определяются формулами
bF bq bF b'q bF
bq Эд bq bp bp
B - + (7 8 3)
& bq b% b'q Э£
Принципиальных трудностей вычисление частных производных от F по
qt Q и д не вызывает. Более того, некоторые из них во многих важных
частных случаях равны нулю. Например, в классических позиционных
наблюдениях матрица bF/bq - нулевая, а если не варьируются координаты
станций слежения, то и bF/Ьр обращается в нуль.
Матрицы bq/Эд , bq/b%, bq/bp , bq/b% в случае аналитической теории
движения спутника вычисляются простым дифференцированием. В случае
численной теории движения они считаются с помощью разностей или с по-
мощью присоединения к уравнениям движения уравнений в вариациях.
Вышеизложенное касалось улучшения параметров системы непосредст-
венно из наблюдений почти без их предварительной обработки. Представ-
ляется, однако, целесообразным использовать наблюдения после их сущест-
венной переработки. Например, можно в качестве наблюдаемых величин
использовать вековые движения узлов и перицентров (Q, ш) ИСЗ.
Число условных уравнений при этом значительно снижается. Для каждого
спутника на интервале порядка 100 суток получаем только два уравнения,
так что к = 2 s. Составляющие вектор ф средние движения узла и пери-
центра равны правым частям соответствующих уравнений Лагранжа [63],
трехкратно осредненным по периоду трех переменных: М (средняя анома-
лия) , о и I = Q - S, где S - звездное время
Здесь р, е, i. - параметр, эксцентриситет и наклон орбиты к плоскости
экватора: U — потенциал точечных масс (7.1.2); угловыми скобками
обозначен оператор осреднения
2 я 2 я 2п
< и ) = —5— f f f UdMdudl. (7-8•>)
Оператор осреднения перестановочен с операторами частных производных.
Осредненный потенциал (5), как можно показать, в общем случае сводится
к интегралу от эллиптического интеграла и может быть вычислен численно.
263
Для сохранения корректности осредненной задачи надо уменьшить и
число определяемых параметров. В случае ряда Лапласа в осредненных
уравнениях сохраняются лишь коэффициенты при зональных гармониках
с четными номерами, начиная с двойки. В нашем случае масса в центре
не приводит к изменению узлов и перицентров и не должна варьироваться.
Массы с одинаковыми /л у, Zj и расстояниями до оси z действуют одинако-
во. Кроме того, из-за малости величин П и ц начальные данные £ можно
принять равными их априорным значениям, так как вызванная этим
ошибка будет уже второго порядка малости.
Итак, при варьировании масс и положений N точек число неизвестных
снижается до к = 3 2V. Для каждой точки уточняемыми параметрами будут
величины nij, Zj, \/х* + у?. Подробности можно найти в [55].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1977.
функции в небесной механике. - М.: Наука, 1986.
4. Антонов ВЛ. // Труды Астрой, обсерв. Ленингр. ун-та, 1978. - Т. 34. - С. 145.
5. Лигонов В.А., Тимош ко ва Е.И., Холшевников К.В. // Figure of the Earth, the Moon
and other planets: Proceedings of the International Symposium. - Prague: 1983. -
P. 291.
6. Антонов ВЛ., Холшевников К.В. II Вести. Ленингр. ун-та, 1980. - № 13. - С. 5.
7. Антонов ВЛ., Холшевников К.В. II Там же. - 1980. - 19. - С. 8.
8. Антонов ВЛ., Холшевников К.В. // Астрон. журн., 1980. - Т. 57, №6. - С. 1323.
9. Антонов ВЛ., Холшевников К.В. Ц Там же. - 1982. - Т. 59, № 4. - С. 763.
10. Антонов ВЛ., Холшевников К.В. // Веста. Ленингр. ун-та, 1985 - № 22. - С. 85.
L1. Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа,
связанные с нею. - М.: Физматгиэ, 1961.
12. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. - 2-е изд. - М.: Наука, 1965.
13. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. - 2-е изд. - М.: Наука,
1970.
14. Балъмино Дж. // Использование искусственных
спутников для геодезии. -
Мир, 1975. - С. 178.
15. Баркин Ю.В. // Астрон. ж., 1978. - Т. 54, № 2. - С. 413.
16. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: - Т. 2. -
Наука, 1974.
П. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: - Т. 3.
2-е изд. - М.:
- М.: Наука,
1967.
18. Бернштейн С.Н. О многочленах, ортогональных на конечном отрезке. Соч., т. 2. -
М.: АН СССР. 1954.
19. Брело М. О топологиях и границах в теории потенциала. - М.: Мир, 1974.
20. Бровар В.В., Магницкий ВЛ.. Шимбирев Б.П. Теория фигуры Земли. - М.: Гео-
дезиздат, 1961.
21. Брумберг ВЛ. II Бюл. ИТА АН СССР, 1967. - № 11. - С. 73.
22. Вигнер Е. Теория групп и се приложения к квантовомеханической теории атомных
спектров. - М.: ИЛ, 1961.
23. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. - М.: Наука
24. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - 5-е изд. - М.: Наука. 1969
25. Гобсон. Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. - М.: ИЛ, 1УЭ-.
26. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.
5-е изд. - М.: Наука, 1971.
27. Гюнтер НМ. Теория потенциала и ее применения к основным задачам матсмати
ческой физики. - М.: Гостехиэдат, 1953.
28. Демин В.Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения.
М.: Наука, 1968.
265
29. Дубошин Г.Н. Теория притяжения. - М.: Физматгиэ, 1961.
30. Дубровин БЛ., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. - М.. Наука,
1979.
31. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. - М.:
Физматгиэ, 1962.
32. Каула У. Спутниковая геодезия. - М.: Мир, 1970.
33. Козлов В.В. Ц ПММ. 1982. - 46, № 4. - С. 573.
34. Козлов В.В., Паламодов В.П. // ДАН СССР. - 1982. - Т. 263, № 2. - С. 285.
35. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального
36. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. - М.: Наука, 1966.
37. Марченко А.Н. И Геодезия, картография, аэрофотосъемка, 1980. - Вып. 32. - С. 81.
38. Марченко А.Н. // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1982. - № 3. - С. 13.
39. Марченко А.Н. // Figure of the Earth, the Moon and other planets. Proceedings of
the International Symposium. - Prague: 1983, p.p. 225, 317.
40. Мещеряков ГЛ., Марченко А.Н. 11 Изучение Земли как планеты методами астро-
номии, геофизики и геодезии. - Киев: Наукова думка, 1982. - С. 121.
41. Михл ин С.Г. Вариационные методы в математической физике. - 2-е изд. - М.:
42. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. - М.: Высшая школа,
43. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии. - М.: Изд-во
МГУ, 1980.
44. Молоденский М.С. // Изв. АН СССР, Сер. геогр. и геофиз., 1948. - Т. 12, № 3. -
С. 193.
45. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. - М.; Л.; Гостехиздат, 1949.
46. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. - М.: Наука, 1974.
47. Нейман ЮМ. Вариационный метод физической геодезии. — М.: Недра, 1979.
48. Новиков ПС. Ц ДАН СССР. - 1938. - Т. 18, № 3. - С. 528.
49. Остач ОМ., Агаева И.Н. // Изучение Земли как планеты методами астрономии,
геофизики и геодезии. - Киев: Наукова думка, 1982. - С. 106.
51. Петровская М.С., Лобкова Н.И. // Figure of the Earth, the Moon and other planets.
Proceedings of the International Symposium. - Prague: 1983, p. 329.
52. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. - М.: Гостех-
издат, 1961.
53. Полещиков СМ. // Вести. Ленингр. ун-та, 1984. - № 1. - С. 95.
54. Полещиков СМ. Определение параметров системы неподвижных центров, пред-
ставляющих гравитационное поле планеты: Дис. канд. физ.-мат. наук. - Л.. 1984.
55. Полещиков СМ., Холшевников К.В. // Вести. Ленингр. ун-та, 1984. - № 19. -
56. Прилепко А.И. // Дифференциальные уравнения, 1967. - Т. 3, № 1. - С. 30.
57. Прилепко А.И. // Там же, 1974. - Т. 10, № 1. - С. 147.
58. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики: Ч. I. - Избранные труды, т. I. -
М.: Наука, 1971.
59. Сеге Г. Ортогональные многочлены. - М.: Физматгиэ, 1962.
60. Справочник по специальным функциям / Под ред. М.Абрамовица и И.Стигана -
М.: Наука, 1979.
61. Сретенский Л.Н. Теория ньютоновского потенциала. - М.: Гостехиздат, 1946.
62. Страхов В.Н. Ц Изв. АН СССР, Физика Земли, 1979. - № 8. - С. 3.
63. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. - М.: Наука, 1968.
64. Тиман А.Ф., Трофимов В.М. Введение в теорию гармонических функций. - М.:
Наука, 1968.
65. Тихонов А.Н., Арсенин ВЛ. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука,
1986.
66. Уэрмер Дж. Теория потенциала. - М.: Мир, 1980.
67. Фомин В.Н. // Вести. Ленингр. ун'га, 1980. - № 1. - С. 103.
68. Фомин В.Н. Представление геопотенциала точечными массами: Дис. канд. физ.-мат.
наук, Л., 1980.
266
69. Холшевников К.В. // Вести. Ленингр. ун-та, 1974. - № 19. — С. 167.
70. Холшевников К.В. Ц Там же, 1976. - № 1. - С. 151.
71. Цубои Т. Гравитационное поле Земли. - М.: Мир, 1982.
72. Чеботарев ГЛ. Аналитические и численные методы небесной механики. - М.;
Л.: Наука, 1965.
73. Чередниченко В.Г. // Всесоюзная конференция по некорректно поставленным
задачам, Фрунзе: 1979. - С. 123.
74. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Т. 1, II. - 3-е изд. - М.: Наука, 1985.
75. Марковский Н.А. // Астрономия и геодезия, 1984. - Выл. 12. - С. 59.
76. Шкодров В.Г. Планетен потенциал. - София: Изд. на Българската Академия на
Науките, 1988.
77. Янушаускас А.И. Задача о наклонной производной теории потенциала. - Ново-
сибирск: Наука, 1985.
78. Яров-Яровой М.С. // Проблемы движения искусственных небесных тел, М.: АН,
79. Antonov V.A., Kholshevnikov K.V. 11 Astron. Nachr. - 1978. - V. 299. - No. 3. -
P.131.
80. Balmino G. // BuU.ge'od. - 1974. - No. 111. - P. 85.
81. Kholshevnikov К. V. // Celestial Mechanics. - 1977. - V. 16, No. 1. - P. 45.
82. Levallois J.J. Geodesie Generale: T. 4. - Paris: Eyrolles, 1970.
83. Moritz H. II BoU. geod. e sci. affini. - 1978. - V. 37, No. 2-3. - P. 363.
84. Pellinen L.P. 11 Stud, geophys. et geod. - 1970. - V. 14, No. 2. - P. 168.
85. Petro vskaya M.S., Lobkova NJ. 11 Manuscripta Geodaetica. - 1984. - V. 9. - P. 45.
86. Rose M.E. // J. of Mathematics and Physics. - 1958. - V. 37, No. 3. - P. 215.
87. Shkodrov V.G. 11 Compt. rend. Acad. Bulg. Sci. - 1980. - V. 33, No. 9. - P. 1157.
88. Shkodrov V.G. // Compt. rend. Acad. Bulg. Sci. - 1981. - V. 34, No. 5. - P. 605.
89. Shkodrov V.G., Bonev T.R. 7/ Compt. rend. Acad. Bulg. Sci. - 1982. - V. 35, No. 9. -
P.1185.
90. Weightman J.A. // Publ. Nat. Techn. Univ. Athens. - 1967. - V. 2. - P. 467.
Vadim Antonov
Elena Timoshkova
Konstantin Kholshevnikov
Vladimir Shkodrov
Introduction to the Theory of the Newtonian Potential
Moscow, Nauka,
Main Editorial Board
for Physical and Mathematical Literature,
1988
Vadim Anatol’evich Antonov, senior scientific worker of Leningrad University,
doctor of science, International Astronomical Union member, Leningrad Univer-
sity prize-winner.
Elena Ivanovna Timoshkova, senior scientific worker of Leningrad University,
doctor of philosophy.
Konstantin Vladislavich Kholshevnikov, chief of Celestial Mechanics chair of
Leningrad University, professor, doctor of science, member of editorial board of
’’Vestnik Leningradskogo Universiteta” and ’’Trudy Astronomicheskoj Observato-
rii Leningradskogo Universiteta”, International Astronomical Union member,
Leningrad University prize-winner.
Vladimir Georgievich Shkodrov, senior scientific worker of Bulgarian Academy
of Sciences, professor, doctor of science, chief of Solar system working group,
International Astronomical Union member.
The authors are the recognized authorities in the field of potential theory and
dynamical astronomy having more than 250 articles published in different jour-
nals including international ones (Celestial Mechanics, Astronomische Nachrich-
ten, Observations of artificial Earth satellites, Proceedings of the IAU symposia)
They have published 7 monographs. Several results of the authors are used in
general and special courses at the Universities of Moscow, Leningrad, Sverdlovsk,
Tomsk, Sofia.
Potential theory is a classical domain of mathematical physics. It is initiated by
the outstanding scientists such as Euler, Lagrange, Legendre, Laplace, Clairaut,
Poisson et al. Its high significance is due to the universal role of Newton gravita-
tional law: manifestations of attraction are similar for bodies of different nature
and different scales. The Earth sciences - geodesy, gravimetry, geophysics - use
the potential theory. It is also necessary for space bodies investigations.
Important sequences of the Newton law of gravitation are Laplace and Poisson
differential equations, taking one of the first places among partial derivatives
equations. An elegant connection between such an integral concept as the poten-
tial and a differential notion as the above mentionned equations arises only for
the true form of the gravitational force, proportional to r~2. For example, the
described connection does not exist for any other exponent in r~n.
There are many manuals at present for potential theory and the connected
theory of harmonic functions (i.e. solutions of Laplace equation). Nevertheless it
is hard to collect even the classical material accumulated at the beginning of
XX century owing to its scattering through different publications.
Al the present manual a relative completeness of the reflection of the potential
heory classical sections is achieved. It is worth mention among the seldom
ppearing results the methods of the variables separation al the Laplace equation
Л the ellipsoidal coordinates and the construction of Lame functions. At the same
time one touches on questions which are developped only last years. Such are, in
particular, estimates of spherical harmonics series remainders and approximation
of an arbitrary body potential by means of a point masses system potential.
The latter type of approximation is well appropriated for computer calculations.
We deal with simple and uniform basic functions by losing the orthogonality of a
basis and extending the number of necessary terms.
The authors have made an essential contribution to develop these questions.
It concerns partly the correctness of different boundary value problems for
harmonic functions. Here we have filled up missing links and expounded the course
more systematically in comparison with other manuals.
Laplace and Poisson equations are often found in other branches of physics:
magnetism, hydrodynamics etc. So the formal apparatus of this book may be
useful for many specialistes in physics. The authors have tried not to hide the
essence of the matter by the too abstract mathematical language. The reader is
expected to possess the mathematical analysis including the theory of the
complex variables functions.
Тимошкова Елена Ивановна
Холшевников Константин Владиславович
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ
НЬЮТОНОВСКОГО ПОТЕНЦИАЛА
Редактор Д.Н. Пономарев
Художественный редактор Т.Н. Кольченко
Технические редакторы:С.В. Геворкян, С.Н. Баронина
Корректоры:Н.П.Круглова. Т.В.Обод, Т.А.Печко
набор 04.01.88. Подписано к печати 11.04.88. Т—095S2
Гарнитура Пресс-Роман. Печать офсетная
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Четвертая типография издательства "Наука”
630077 г. Новосибирск-77, ул. Станиславского, 25
ИЗДАТЕЛЬСТВО ’’НАУКА”
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 25
ГОТОВИТСЯ К ИЗДАНИЮ В 1980 ГОДУ:
ГА. Задачи теории потенциала и Нормальная
В сжатом виде подытожены многочисленные оригинальные иссле-
дования автора и его коллег, опубликованные в различных отечест-
венных и зарубежных изданиях.
Представлено построение Единой Нормальной Земли, вопрос о
создании которой был поставлен более пятнадцати лет назад.
Такая Нормальная Земля как обобщенная модель планеты имеет
своей целью быть основой детальных геодезических и геофизических
исследований. Ее построение базируется на широком использовании
современных данных о планете. Выполнено исследование гидростати-
ческой фигуры Земли и трехмерной структуры недр планеты,
результаты которого сравнены с независимыми результатами недав-
но осуществленной американскими учеными сейсмической томогра-
фии Земли. В первых главах книги представлен необходимый мате-
матический аппарат — обратные задачи теории потенциала.
Для геофизиков, геодезистов, астрономов; может быть использо-
вана аспирантами и студентами указанных специальностей.
Предварительные заказы-принимаются без ограничения всеми ма-
газинами Книготорга и Академкниги, распространяющими физико-
математическую литературу.
ИЗДАТЕЛЬСТВО ’’НАУКА”
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
ГОТОВИТСЯ К ИЗДАНИЮ В 1989 ГОДУ-.
Киселев А.А. Теоретические основания фотографической
астрометрии
Систематическое углубленное изложение теоретических основ фо-
тографической астрометрии, включающее теорию центральной проек-
ции небесной сферы, теорию тангенциальных координат, вопросы
редукционных вычислений сферической астрономии, методы обра-
ботки фотографических наблюдений для определения положений и
собственных движений звезд, теорию редукции измерений астронега-
тивов без опорных звезд, метод параметров видимого движения
в применении к определению орбит визуально-двойных звезд.
В изложении широко применяется векторно-матричный аппарат.
Для научных работников, специализирующихся в области астро-
метрии, небесной механики, геодезии и звездной астрономии.
Предварительные заказы принимаются без ограничения всеми ма-
газинами Книготорга и Академкниги, распространяющими физико-
математическую литературу.