Д. Р. Маркин С. М. Бауэр Л. 71. Смирнов
|IIII |<-ИН ЗАДАЧИ
ПО ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
Д. Р. Меркин С. М. Бауэр АГЛ. 'Смирнов
ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
Учебное пособие для студентов механико-математических и технических специальностей университетов
! Москва ♦ Ижевск
2002
УДК 531
а- »-Кг:;
Интернет-магазин
*	у*1*
* \
:? V к f \
http://shop.rcd.ru "
•	физика
•	математика
•	б\и о л о г и я
• т е хник а
i
Z-\a **х ’Л* f’ ‘л 1 'г'
Меркин Д. Р., Бауэр С.М., Смирнов А. Л.
Задачи по теории устойчивости. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 128 стр.
В книге представлены задачи по основным разделам курса теории устойчивости. Также содержатся решения задач.
Для студентов механико-математических и технических специальностей университетов, специалистов.
ISBN 5-93972-110-9	Jz
-Ur. л"
© Институт компьютерных исследований, 2002
© Д. Р. Меркин, С. М. Бауэр, А. Л. Смирнов, 2002
http://rcd.ru
r: )	r: '? /, mpiohows . ’и.нЬнпч
Оглавление
;.<q .;тх?<'
е./пин-з rsv
''l	.	...	,	.	.	.	.	.	.	5 »• *-. r’! ’ 1 j.. £
От авторов .......* . . ; ................. 7 . . \ . 4\.	5
......... ?.
Глава 1. Постановка задачи...................... у > ,	6
Задача 1.1 ................ . ...... . . . . ....' .„. .	6
Задача 1.2 . . . . 7; . ?. .	’:г 7
Задача 1.3 ......\	.......} г.	9
7' Задача 1.4........ ... . . ............'? . . . . .v,.	11
Задача 1.5......... . .......................  13
Задача 1.6 ...... ...... . ......... ..... ’. . 14
Задача 1.7 ............................. 15
Глава 2. Прямой метод Ляпунова. Автономные системы 20
Задача 2.1	. . . • . .’г.	j..	: . ... 20
Задачам 2.2	.........?. /..... . *. . . г. 21
: > Задача 2.3 .............	/....ь --- • : • • : • 22
Задача 2.4 . . . . . ......................  .	24
Глава‘3. Устойчивость равновесия и стационарных движений консервативных систем .................
Задача 3.1 ...... ................
/, Задача 3.2 ......................... \ ..... .
' ЗадачаЗ.З .............................    .
Aj Задача 3.4..............................
Задача 3.5 . . . ..................:......
27
27
29
32
34
37 ’40
43
46
47
52
Задача З.6 . .	-’ - м . . л. . • .	.	. . >. . . J.;?.
Задача 3.7...............................г. : ; . . . .
Задача 3.8...............................:r. . . .i^ .
Задача 3.9....................................? Г.
Задача 3.10 ..............................
Глава 4. Устойчивость по первому приближению.......... 55
» Задача 4.1 . . . .......................  ........, 55
Задача 4.2....................................... 56
Задача 4.3....................................... 57
4
Оглавление
Задача 4.4........................................ 58
Задача 4.5........................................ 61
Задача 4.6........................................ 65
Задача 4.7......................................   66
Глава 5. Устойчивость линейных автономных систем . .	69
Задача 5.1........................................ 69
Задача 5.2...................................... .	72
Задача 5.3........................................ 74
Глава 6. Влияние структуры сил на устойчивость движения ................................................ 77
Задача 6.1........................................ 77
Задача 6.2...............................,;	. . . .	78
Задача 6.3 ........................................79
Задача6.4..................ч .; ... . ... .	80
Глава 7. Устойчивость неавтономных систем .........	84
Д	Задача 7.1 ......................................   84
' Задача7.2............. . ............  .	. . . . . /. .<. 85
Задача 7.3.............................   J	? . . . . 86
У1	Задача 7.4......................................... 87
? 1	Задача 7.5........................................  88
Глава 8. Устойчивость упругих систем..........	89
Статический критерий устойчивости . 7 :	... .	89
\ Энергетический критерий устойчивости. Метод Лагранжа-Дирихле . . . . . . . . ..................................   92
Динамический критерий устойчивости . ... .V . . ?. . .	94
Задача 8.1................................  ?	. .( . . 9/
, Задача,8.2	....... ... .	. . .  ....  .	. . . 100
Задача 8.3 . . .... /. . . . .	7 J . . . .,.. . /. 102
~ 7 Задача 8.4.................      7.................104
Задача 8.5 . . ........................  .	. .\. . 107
Задача 8.6...............................  .	.	109
Задача 8.7............................   .	. .	. 7 111
Задача 8.8.......................................  112
Глава 9. Частотный метод исследования устойчивости */ . 116 Задача 9.1....................................  >.	. .. . . 116
Задача9.2.................................  .	< . 7 . 117
. Задача 9.3.....................................   120
\ Задача 9.4..............................    \	<;.... 121
Задача 9.5.......................................  123
Предметный указатель.................................	. 126
От авторов
В 1987 году в издательстве "Наука" вышло <третьё'издание кйигш Д.Р.Меркина Введение в теорию устойчивости движения [6]. В 1996 издательство "Springer” выпустило перевод этой книги на английский язык, выполненный Ф. Афа и А. Л. Смирновым [15]. Главным достоинством упомянутой книги является сочетание простоты и одновремен-
но строгости, изложения основныхглоложенид /теории.» Часто^,изложе-
ние теории иллюстрируется подробными примерами, демонстрирую^
щими эффективные методы решения практических задач. Эти особенности сделали указанную книгу очень популярной в своей области на математико-механических факультетах университетов, а также в высших технических учебных заведениях. Примеры из различных обла-
стей науки и техники составляют около 25% упомянутой.книги. Некоторые из примеров обладают самостоятельной ценностью и могут быть использованы для анализа различных реальных конструкций и мёха-(Г/ 'Ь г ,	/ * ч .!	‘ (ЯГ/	'1{	«• ;>	41 ,	1 ' / ;
НИЗМОВ. ч’
Предлагаемая книга содержит подробные решения всех задач, впервые включенных в английское йздании книги Д. Р. Меркина Introduction to the Theory of Stability, в той же последовательности. Кроме того, отмеченные ошибки и опечатки исправлены в1 настоящем издании. Гла-ва 8 не совпадает по теме с соответствующими главами книг [6, 15] и посвящена рассмотренйю некоторых классических задач теории устойчивости упругих систем.	.
Работа проводилась при поддержке РФФИ/грант 01-01-00327. Большая часть главы 9 подготовлена профессором А. X?. Гёлигом. Авторы благодарны В. И. Сергеевой за^болыпую помощь при подготовке рукописи к печати, а также студентам кафедры теоретической и прикладной механики СПбГУ за предложения и замечания.
Глава 1
Постановка задачи
' Д		’ ; 'Mj	/ чи  Ч >	.< . >.	”Л {•
:	L < ’ ч -7 , Г.. - !<ЛГГЭ7 .'7' ” ' Л? \	.	1 ..!/ :
Задача 1.1 .	'	.'.Д'''r J, Д. *Д’
Опрёделить устойчивость движений' системы, уравнения возмущен-ндго движения которой имеют вид: 'с....... г ( "
.. f	р• ’/ '	.. ‘У: ' / - vj><  . ч м > »
ГлС ’	- xi = ах^ + /Зхг‘^|’Ч-Х2,	* '	1,4	‘ d
'	, ::	= -0^1 -+ @Х2	Л-Х^.	,
Решение: ' ; :	1	1 j	< . i
.	.о; . 'к.'."	-	3	!
Умножим^ первое уравнение на aq, второе ~ на^я^ и сложим соответствующие члены результирующих уравнений, получим уравнение
1	^З-.ДЗ- _ /37^.4 , ^.4\ 3,,,v	- г
/Д	? 1?м Х?' У ,л и < •;	. .
ИЛИ	г „	’	J	.
'	nr > .	1	'	1	4-	‘	’	'*	1
- . Д-
Положим xj*== yi и x% = У2- Из.устойчивости (или неустойчивости) ?/1 и 2/2 следует устойчивость (или неустойчивость) ti и х% и наоборот. Обозначим через г расстрянле от тсэчки (2/1,2/21 ДО начала координат: г2 = 2/1Тогда имеем	.
или
Задача 1.2
7
Из этого следует
2 уз-. . , или, после интегрирования,	д
и
3	2	3 —2 т
-р’’"3 %9Г0;5 = 2^(t - t0) , £»	it
2 _ 3 ri= ' ?- ----------.
l-|r03/3(t-t0)
Если P < 0, то r —> 0 при t j oo и решение асимптотически устойчиво.	2
С’другой стороны, если > О1,’ то г оо при	и
система неустойчива.	‘	2
При Р = 0 система устойчива (см. пример в параграфе 1.2 [6]).
Задача 1.2
Однородный тонкий стержень массы т и длины I с! горизонтальной осью вращения удерживается в положении равновесия спиральной пружиной жесткости с (см. рис. 1.1). При верхнем вертикальном положении стержня пружина не деформирована. , ’	1
Рис. 1.1
Пренебрегая силами сопротивления, получить уравнение, определяющее равновесные положения стержня. Составить уравнёниё возмущенного движения стержня около положения равновесия и уравнение первого приближения. ’
8
Глава 1. Постановка задачи
Решение:	> .
В положении равновесия стержня момент с0, создаваемый пружиной, должен быть равен моменту силы тяжести ^mgl sin 0, т. е.
Л 1 , ; Л cU =-mglsmu.
siri’0 =
Отсюда
(1.1)
где
, 2c mgV
Пусть 0n — один из корней этого уравнения. Обозначим изменение этого угла в возмущенном движении через хп. Воспользуемся теоремой об изменении момента количества движения стержня относительно неподвижной оси О:	।
i \.
3ml2dfiXn = ~С2m91 Sin+
или, учитывая значение к из (1.1),
хп +	(0П + хп) - sin {0п + хп) = 0.
И- .>	’		- 	'j ,	1	'
Отсюда получаем уравнение возмущенного движения стержня , s
'1 Зд Ч ->!<> J п 1 Сч.. К» Н->z. <
Хп + -£(к (0п 4- хп) - sin (0п + Хп)) = 0.
(1.2)
Задача 1.3
9
Для получения уравнения первого приближения разложим выражение sin (0п 4- хп) в ряд по степеням хп. следующим образом:
sin (0п 4- хп) = sin &п + хп cdsOnl-
Ограничиваясь первыми двумя слагаемыми этого разложения и подставляя их в уравнение (1.2); имеем '	• у
>				/14'	. .
хп 4- || (кОп 4- кхп - sin 0n cos 0nin) = 0. 1
Учитывая, что 0п должно удовлетворять"условию (1.1), получим уравнение первого приближения:	Р
Хп + (кхп - cos 0пХп) = 0.	.
вращающемуся вокруг вертикальной оси коль-
Задача 1.3
По равномерно цу радиуса а может свободно без трения перемещаться колечко М (см. рис. 1.3). Угловая скорость равномерного вращения1 кольца рав-на®1' ‘	7‘	
Определить положение динамического равновесия колечка, составить уравнение возмущенного движения относительно равновесного положения и выделить уравнение первого приближения.
10
Глава 1. Постановка задачи
Из этого следует, что
'Решение: - “	•<'	;	-
На колечко М действуют три силы:	’	»
1)	сила веса mg колечка, направленная вертикально вниз;
2)	центробежная сила Fc = maw2 sin 0, направленная горизонтально; -	,	, •	, .	) и •	, >	;
3)	реакция вращающегося кольца, направленная к деи вращения. .
В положении равновесия равнодействующая двух первых сил должна быть равна по величине.и противоположна по направлению силе реакции, т. е.	2 • л
к ’	Л maar sin 0
-.	. tg0H=.----г--.	к ;;
mg
COS0 = -Дг. , - aar
Таким образом, положению равновесия соответствуют три угла:
00 = arCCOS ,	01 = 0,	02 = 7Г,
aar
(два последних решения соответствуют случаям, когда центробежная
сила равна нулю.).	,	,	s /
Для решения 0 = 0о дадим приращение х углу 0о. Затем, чтобы исключить неизвестную реакцию R в точке М, запишем второй закон Ньютона в проекции на касательную tz
max = macu2 sin (0o 4- x) cos (0q 4- x) — mg sin (0q 4- x)
или
x — cj2 sin (0o 4- x) cos (0o 4- x) 4- ~ sin (0o 4- x) = 0.	(1.3)
’ a
Для получения уравнения первого приближения положим
sih (0о + х) = sin 0о 4- х cos 0о, cos (0о 4-. х) = cos 0о — х sin 0q .
Подставляя эти выражения в (1.3), принимая во внимание только члены первого порядка малости и учитывая, что
—cd2 sin 0о cos 0о 4- - sin 0q = 0,	1
a
получим, уравнение первого приближения возмущенного движения:
х — cos 20q — - cos 0O) x0.
Задача. 1.4 
11
Задача 1.4
Двойной маятник, изображенный на рис. 1.4, удерживается в верхнем вертикальном положении двумя спиральными пружинами жесткости ci и С2- Массы маятников равны т\ и m2, а их длины - и соответственно». В верхнем вертикальном положении маятников спиральные пружины не деформированы., . ш ччг и-ч
Составить уравнение первого приближения возмущенного движения относительно верхнего вертикального положения. Массой стержней и силами сопротивления пренебречь.
Решение:
Эта система имеет двё степени свободы. Для составления уравнений возмущенного движения воспользуемся уравнениями Лагранжа:
1,ат_ат ап
Кинетическая энергия Т системы равна Т =	4- где v\
и V2 — скорости материальных точекМi и М2, а П — потенциальная энергия системы/ u	и '
Используя рис. 1.4, найдём координаты и (х2,У2)-
< Xi = Zisin^i, а?2 = ^1 sin^i 4-Z2sin</?2, ?/i = Zi cos (pi, У2 = h cosy?i 4-12 cos <£>2-
12
Глава 1. Постановка задачи
После дифференцирования по времени получаем ,;
±1 = 7i cos<pi<pi, Х2 = li cos 4-12 cos922^2, yi = —li sin(р1ф1,u У2 = — h sihy?i^i — ’^siri^^,
откуда v2 = Zi^i, г?! =^i0i + 2ZiZs cos (^2 — <£>i) <£1^2 + ^£2- Поскольку мы щцем уравнения первого приближения, то для малых углов ipi и ф>2 будем считать, что cos (^>2 — <£>1) = 1. Теперь кинетическую энергию Т можно записать в виде
I2	о	1
Т = 4 (т1 +	m2hl2<Pl<f>2 + ^Tri2ll<f>l.
& £
Потенциальная энергия П системы складывается из упругой энергии пружин и энергии сил тяжести, т. е.
п = $С1<р1 + |с2 (у>2 - V’l)2 - ("И + пг2)5/1 (1 - cos<pi) -- тп2д12 (1 - cos<p2),	Й
*1	'
или, учитывая малость углов и группируя члены, получим:
П = х (ci + С2 - (mi + тп2) gli) ipj - C2<P1(P2 + - (с2 - m2gZ2) tpl:
Таким образом, уравнения Лагранжа (1.4) прйнимают вид: I '>' 1	' 1 ' ч		*	‘ 1 ‘
(mi + m2) 11ф1 + т211Ьф2 + (ci 4- с2 - (mi 4- m2) gli) ipi - c^2 = 0,
< ч ,m2^U2^i 4-7722^2^2 — C2/^i 4- (c2^2 = 0.
Эти два уравнения эквивалентны матричному уравнению
АФ +С = 0, .
где ''	'
ф_ (‘Pi У" А =4^ + m2^i’ Y '
^¥>2/ ’	\ ог2М2, пг2/|у ’
с _ ( С! + С2 - (mi + ?n2)0?l,	-с2 \
\	-С2,	C2-7n25Z2/‘
Задача 1.5 .. <
13
Задача 1.5
Твердое тело М массы т закреплено на свободном конце сжатого (весом тела М) и скрученного стержня, который имеет, постоянную жесткость на изгиб (см. рис. 1.5 и раздел 2.12 из [2]). Нижний конец стержня заделан.	*	;	*
' Пренебрегая массой стержня/вертикальными смещениями твердого тела М и силами сопротивления и считая' тело М ма¥ёрйай[гййдй точкой, составить уравнения первого приближения возмущенного движения около положения равновесия.	у j \
Решение:
На материальную точку М действуют две горизонтальные взаимно перпендикулярные силы Fr и (см. рис:! 1:6).
Обе силы пропорциональны расстоянию г == ОМ (см? раздел 2.12 из [2]), т. е.
Fr = С1Г, F^ = c2r,	i 5	-
или в проекциях на оси
Frx = —cirsina = —cii, Fry = —суг cos a = — c^y,
Ftpx = С2Г cos a = C2?/, Fyy = —C2nsina = — C2X.
14
Глава 1. Постановка задачи
Применяя второй закон Ньютона и зная величины сил Fr и Г^, получаем уравнения первого приближения возмущенного движения:
тпх = —с^х 4- С2У,	"	*
ту = — С2Х — ciy.
у ” < i V»	’	ч’: 	’ . »	'	’ ,	,	'' (> ' '	"	’
” Задача 1.6	' 'V ' ;|1''
Твердое тело, имеющее неподвижную точку, движется по инерции (случай.Эй лера-Пу ансо)., Доказать, что такое тело может,вращаться равнрмернрвокруг неподвижной оси, совпадающей в этом движении с одной изглавных^осей инерции, например, осью ^.Приняв за невозмущенное движение	;	; % 1(.	;	(1.
— 0)	= О?о = const,
составить < уравнение возмущенного движения относительно проекций угловой скорости, если моменты инерции тела относительно главных осей инерции тела.#, у и z равны А^В и^С соответственно; ,
>	1 г 1 'т f
Решение:	\	а
Воспользуемся динамическими уравнениями Эйлера:
+ (С - В) шушя = М®,
Вйу + (А - С)шяшх = Му,	(1.5)
Cwz 4- (В - A) wxwy = Af®,	\
^Задача 1.7Л
15
где, согласно, условиям,задачи, М$=(Му\ = М* = 0. Установившееся вращение, определяется,равенствами.-)	а и / i	, , .
Ых = ^у = 0,	= О>0 = const.
При возмущенном,движении, обозначим отклонения угловых скоро-стей МхуМу и си^.через o?i, Х2^ хзсоответственно,т. е. <
,г Ri,. ч .	j?i ч '.'?<• -ьт-ср-г' •. * •’	'
о ,	,k-,	№у =	1	“ НО 4"v®3*	'	' *
Подставляя эти выражения в уравнение (1.5), получим
-R(C' -В) Х2 (и>о +,#з) = 0,
<<	j B±2f+ (А -	;	.	.
Схз 4- (В — А) х^Х2 = 6^	р
Задача 1.7
На рис. 1.7 изображены две камеры, в которых находятся два идентична^, гироскопа.	по , н ч (-
Камеры связаны зубчатой передачей так, что они могут поворачиваться на равные углы /3 в разные стороны. Ось вращения внешней рамки, содержащей весь механизм, свободна, а на оси вращения одной из камер установлена спиральная пружина жесткости с.
1 Пренебрёгая массами внешней рамки и камер, а также всеми силами сопротивления, определить,условие установившегося движения, при
16
Глава 1. Постановка задачи
котором угол /3 и угловая скорость* вращения рамки d остаются постоянными. Составить уравнения возмущенного, движения относительно установившегося движения.
Решение:
~ Система состоит из двух связанных! между собой идентичных гироскопов, каждый из которых имеет по одной неподвижной точке. Обозначим момент инерции относительно осей х и у для каждого из гироскопов через А, а момент инерции относительно оси z через С. Тогда кинетическая энергия Т системы примет вид:
Т = 2-(^А^х + ^±^СШЛ.	(1.6)
Если один из гироскопов, например, левый (см. рис. 1.8), повернут так, что	. '
= -3,	, ,
vy = acos(3,
:	, .	. * (	Ф	sin /3,	J <
то для правого гироскопа = /3 и шу = —dcos/З. Здесь 'ф — скорость собственного вращения гироскопа.............
Подставляя выражения для соу и uz в (1.6), получаем
Т = А/32 + А6? cos? /3 + С\ф + dsin/?)2.	< (1.7)
Задача 1.7
17
Потенциальная энергия П системы, обусловленная спиральнойЩру-жиной, равна
(1-8)
П = |с/32.
Так как мы рассматриваем установившееся вращение, гироскопов, при которых вращающий момент M£ot уравновешивается моментами сил сопротивления M£es, то угол собственного вращения <р является циклической координатой. Действительно, обобщенная сила = = M£ot — М£е%.соответствующая координате.^, равна нулю. Учитывая, что в (1.7) кинетическая энергия не зависит от угла <р, уравнение Лагранжа относительно (р примет вид:
• I Г •	'	‘	‘ ’ ' • ' -	‘
dt др \ .	* * * *
дТ -	'	\ г
Отсюда -т-т = 2Н, где Н — момент количества движения каждого г дер	(
из гироскопов (Н = const).
Используя (1.7), получим, что	;
С (<£ + dsin/3) = Н.	(1.9)
Этот интеграл называется циклическим. Составим теперь уравнение Лагранжа для координаты Д
d дТ дТ дП	z
Пользуясь соотношениями (1.7), (1.8) и (1.9), найдем: .. г •
дТ - ddT ~
—г = 2АД — —г = 2 Ар, др	dtdp
= — 2Adt2 cos Р sin Р + 2Hdt cos Д —~ с/3. др	др
Подстановка этих выражений в (1.10) приводит к дифференциальному уравнению:
2Ар + 2Ad2sin/?cos/? — 2Hdcos/? = —сД	(1-11)
2 Д. Р. Меркин и др.
18
Глава 1. Постановка задачи
В. установившемся движении
/3 = /?о = const, = О, a = ы = const.	(1-12)
Подставляя (1.11) в (1.12), получаем условие установившегося движения (см. [6])	1	' .	<
*11 Ли2 cos/36’sin/?o — Hucos/3o + icA) = 0-	(1-13)
Чтобы получить1 уравнения возмущенного движения, рассмотрим уравнения:	;	‘
/? = А) + Я1, dt = u + x2.	(1.14)
Подставим (1.14) в выражения для кинетической и потенциальной энергии (заметим, что /3 = ±i), тогда
Т = А±1 4- A(cu + £2)2cos2 (/30+ Я1) +	'
С(ф + (си 4-ж2) sin(/30 + zi))2,	(1.15)
П = ^(^+о:1)2.	.	, .	!
(; > Циклический интеграл '(1.9) примет вид:
С (ф + (и 4- хъ) sin (Z?o + si)) г= Я.
Составим уравнение Лагранжа для ху.
d дТ &Г _ дП dt dxi dxi dxi ’
В силу (1.13) имеем * * ь
пл-
— =2Aei,
&Х1	)Ч
d дТ .
dt дх А 1	- *
3— = -2А (ш + хг)2 cos (J3q + xi) sin (fa + xi) +
, ’ ,UX\ .; i ,  ,<	,1
+2H (ш + X2) COS (fa + Xi) , an
— = c(fa + X1).
(1-17)
• 1
Задача 1.7
19
(1.18)
(119)
Разложим функции cos {0о 4- a?i), sin {0o + xi) и {ш 4- ж2)2 в ряды: cos(/?o 4- #1) = cos/?o ~ sin/?o^i 4------------,
sin (Д) 4- x\) = sin0Q 4- cos/fei 4-,
(cj 4- X2)2 = cv2 4- 2шх2 4-,
где многоточие означает члены высших порядков по х± и т2. Подставляя (1.18) и (1.17) в (1.16), после упрощения получаем:
Axi 4- Ad2 cos/Зо sin/?o “ Hw cos0o 4- |/?о+
(Av2 cos 2/?о + Ни)sin0о 4- |ci) xi|4-;(AJsin2/?о — Н cos0о) Х2 = Х±.
Здесь Xi — совокупность членов, содержащих Xi и х2 в степенях выше первой.	'	п; \	'	€
При помощи условия (1.13) получим первое уравнение возмущенного движения (см. [6]):
Ах\ 4- (Au2 cos2/?o 4- Hcvsin/3o 4- ^q) #14-4- (Avsin 2/?o — H cos/?o) ж2 = Xi.
Координата a является также циклической, так как согласно (1.7) кинетическая энергия является^функцией только скорости а, а потенциальная энергия не зависит от а. Таким образом, дифференциальное уравнение для координаты а и, следовательно, для т2 принимает вид: d dT d ОТ Л =	= °-	(1-20)
dt da dt 0x2
Пользуясь равенством (1.15), найдём:1 ! пг ’	: о .
= 2А {и) 4- Х2) cos2 {0о 4- £1) 4- 2Нsin {0о 4- xi). 0x2
Подставляя это выражение в (1.20), получаем: 2Ах2 cos2 {0о 4* xi) - 4А (и 4- х2) cos {0о 4? xi)г= sin {0о 4- #1) xi 4- 2Нcos {0о 4- #i) х\ = 0. ' ’ ’ L V ’ ‘	: 1	" 1	' Г‘
Поделив это выражение на 2 cos {0о 4- х{) и оставляя только члены первого порядка по Xi и Х2, получим второе уравнение возмущенного движения:
(Н — 2Аи) sin /?о) ii + A cos /?о#2 = Х2.	(1-21)
Уравнения (1.19) и (1.21) определяют уравнения возмущенного движения системы относительно установившёгося движения. f
Глава 2
Прямой метод Ляпунова.
Автономные системы
Задача 2.1
Даны уравнения возмущенного движения:.
' ;.	...?Xi = — Хл 4- Х1Х2,	.	:	*
2	(2.1)
Х2 = —5X2 ” ЗХр
Построить функцию Ляпунова и показать, что невозмущенное движение Xi = Х2 = 0 устойчиво в целом1.	t
Решение:
Умножаем первое уравнение на xi, а второе — на Х2 и складываем
уравнения. Получаем: 1	- '
xixi + Х2Х2 = — (®i + 2х?Х2 4- 5х|) ‘	<	•	,*».!’	'	. . ‘ i
или '	'
“ (ж? + х%) = - (xi + 2afc2 + 5x1) 
1 Движение называется устойчивым в целом (в большом), если оно является асимптотически устойчивым при любом (не только малом) возмущении.
Задача 2.2 ;
21
Функция^ V =	4- х% является положительно' определенной при всех
Xi и Х2Ь а ее производная по времени .	=
V = — (х| 4- 2х}Х2 + 5х|)
отрицательно определенная функция при всех xi и Х2. Действительно, функция
Xj 4- 2x^X2 4* 5х|
удовлетворяет критерию, Сильвестра (см. соотношения ,(2.9)i в [6]) при всех xf и Х2, так как
•ik<
д? = 1>9.
На основании теоремы Ляпунова об устойчивости двйжения система (2.1) является устойчивой в целом.
Задача 2.2	л
Даны функции, производные которых по времени в силу уравнений возмущенного движения соответственно равны:
1.	У = Х1+х2,( г * у = _— х|;	(
2.	V = 5xf — 4х?Х2 4-#2,	V =—4X1 4-2xfx2 —	,
3.	V = Xi 4- Зх|,	V = — (xf — Х2)2;
4.	У = xi — х|,	) ,Vf = 4xi.
,,	.	*	. 5 , -	'	' Л	;
Можно ли воспользоваться этими функциями для определения характера устойчивости движения?
Решение:
1.	Функцию V = Xi 4- нельзя использовать, так как она знакопе-ременна (при xi =0 и Х2 > О V > 0, а при xi = 0 и Х2 < О V < 0), а ее производная V — —xf — х$ является отрицательно определённой функцией.	•	:	.,	. »
2.	Функция V = 5xi “ 4xfx2 4- ^2 — положительно определенная, так как выполнен критерий Сильвестра (см. (2.9) в [6]):
Д1 = 5 > 0, ^=-2:? -1>0-
22	Глава 2. Прямой метод Ляпунова. Автономные .системы
г с Производная V = —4xf А- 2x^X2 — х^ — отрицательно определенная функция, так как выполнен критерий Сильвестра (см. (2.10) в [6]):*
Д1 = -4<6,
Д2 =
-4 1
1 -1
= 3 > 0. ' -
Применяя критерий Сильвестра, заменяем ад на х^.
4 Следовательно, согласно теореме Ляпунова, система устойчива в целом.	'
3.	Функция V = ж® 4-^2 -г положительно определенная, ее производная V = — (ж? — я2) отрицательна/Слёдовательно, согласно теореме Ляпунова, система устойчива. ..	.
4.	Функция V = xi — х$ положительна при яд > 0 и х?, < 0, а ее производная V = 4xf > 0 при яд > 0. Таким образом, согласно теореме Четаева, система неустойчива.	,
Задача 2.3	' °	‘'Л*-
Покажите, что уравнения возмущенного движения.относительно перманентного вращенйя твердого тела (см. задачу'1.6) имеют два интеграла:	r i
Ах% 4* Вя?2 + С (хз 4- с0)2 = const, А2я?2{т^2:е2 + С2 (хз 4; cQ)2 = const.
Укажите их физический смысл, составьте связку интегралов й доскажите, что перманентное вращение вокруг большой оси.эллипсоида инерции (С>А > В) и вокруг его малой оси (С < А < В) устойчивы.
' ' г х	. г ’ Ь '	‘	!
Решение:	t	R r, ... ,}(7	л
Приведенные два интеграла можно получить следующим способом. Умножим первое уравнение задачи 1.6 наяд, второе — на Х2 и третье — на (хз 4- со), получим:	. .	'
AxiXi = Btdo^l^2	4“ ВХ1Х2Х3 — СХ1Х2Хз,
ВХ2Х2 = Ссо^1^2 - Аио^1^2 4" СХ}Х2Хз - АХ1Х2Х3, С (хз 4- со) хз = АадягЯз “ Вх[х2Хз 4-	- Bcjq^i^2-
Задача 2.3
23
Складывая эти уравнения, приходим к	-
Ах^хх + Вх2Х2 4- С (хз 4- о>о) = Q
и после, интегрирования получаем:	, <	, с
Ах2 -V Вх2 4- С (хз 4- (Jo)2 = const, :	(2.2)
т.е. первый из двух интегралов.
Чтобы получить второй интеграл, снова вернемся к трём уравне-ниям, рассматриваемым в задаче 1.6. Умножаем первое уравнение на A2^i, второе — на В2хъ и третьё — на С2(хз 4-и>о)-1Затем, складывая все результирующие уравнения, приходим к одномууравнению. Проинтегрировав его, получаем второй интеграл:
, . . , ; ;:	(ж3 + (^о)г = const.Ь ; \ ;(2.3)
Обозначим интеграл в (2.2) как Vi'; а интеграл в (2.3)‘;как V^
Составим связку интегралов: ! Н	>	..	. <
. .! '	1 ' '	•	Л '	‘	: • Wq ,	: О ' 1. ' I »
г ' /,т :	' Г ‘	>;	;	1	'
где множитель введен,.чтобы сохранить размерность в уравнении;
Внесем в эту связку интегралов значения Vi и V%. После элементарных преобразований получаем: '	*	! > :	''1 ’/
, ‘j	,	f ’ >	' ,	. <,	ft* <	>
V=A (C - A) icl + В\C - B) x% ± -4:(Ai? + Bx%'+ Сх1^'2Си>0х3)21
CVq	’ ‘ .H’	\
t.	i '/I,	'	.1 I	’	i j.
ИЛИ
V = A(C - A)xj + В (C - B)xl±4C2xl + •••,.	(2.4)
где точками обозначены члены, содержащие Xk в степени выше второй.
Возьмем сначала знак ” 4- ” в выражении (2.4), т.е. ,
, V = А (С- А) X? + в (С -(В) xl + 4С2ж| + • • •
Если С >! А, С > В й |ifc| Достаточно малы, то функция V будет положительно определенной, а ее производная по времен^ равна нулю. Таким образом, .на, основании теоремы Ляпунова можно заключить, что при С > А и С > В движение устойчиво.
24
Глава 2. Прямой метод Ляпунова. Автономные системы
Теперь рассмотрим в выражении (2.4) знак «—», т.е.	.	7
V = А{С — А)х2 + В(С — В)х2 - 4С2х% + • • •
Здесь при С < А и С < В функция V является отрицательно опре-‘ деленной и, согласно теореме Ляпунову, движение устойчиво.
Задача 2.4
Уравнения движения тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой можно привести к. ви^цу: ,
А^х + (С - В) UyUz = yyrriz -* - Buy + (АС) wzvtx = yzmx - ^xTnz, Cwz 4- (В- АУшхШу'=,'ухту-'уутх, 1 *
где Д В, и С — главные моменты инерции тела относительно осей я, ?/, z для точки, подвеса,	wz — проекции вектора угловой скорости а*
на оси х, у и z, 7Ж, и ^z — проекции единичного вектора 7 на оси ш, у и z (направляющие косинусы) и тх, ту и mz — составляющие вектора статического момента силы тяжести т относительно осей х, у и z.
Штауде и Млодзеевский независимо друг от друга доказали, что при некоторых условиях тело может перманентно вращаться'5 вокруг оси 7 и совокупность таких осей образует конус. Не все перманентные вращения устойчивы. ,	,
Составить интегралы движения и с помощью их связки доказать устойчивость перманентного вращения вокруг оси, совпадающей с главной осью, относительно которой момент , инерции тела имеет^наибольшее значение.	(-
Указание. В матричной форме интегралы движения имеют вид:
Fi = Jw 4- 7^m = h, F2— 'yT*Ib> = L, F3 = 77 = 1,
где h и L — константы и	’	’
(u)x \	/ A 0 0 \	/ mx\	/ 7X \
wy I , J = I 0 BO I , m, = I my I , 7 = I rfy I . 4^/.	,	° t \mz/ . .	. A^Z’j
^Перманентное вращение —’вращение вокруг постоянной’оси 7 с угловой скоростью w(t).	* ’ , ’ ‘	-•	‘	< v г *т
Задача2.4 <.
25
Если тело имеет максимальный момент инерции относительно оси z, то устойчивость нужно определить для вращения тела относительно этой оси; в этом случае = шу = 0, тх = ту -О,- ух = уу = 0. Связку интегралов следует взять в форме
V (^,7) = 2*i 4- Л1*2.+
• ‘	'' Z >	- ' ‘ -п >
где А и /х — неопределенные множители. Покажите, что А = —|о>|, а для выбранной оси имеет место соотношение д = Ла;2 — mz. Это поможет доказать устойчивость перманецтного вращения вокруг оси z.
1	' С / : ‘
Решение:	т р
Интеграл F\ = h — интеграл энергии; ^2 = L — интеграл проекции моментов, а 2*з — простое условие связи направляющих косинусов. Ни один из этих интегралов не; является положительно определенной функцией Ляпунова. Поэтому, в соответствии с рекомендацией, составим связку интегралов:
V (о>, 7) = 2*1 4- А2*2 4- “//2*3.’
Подставим величины F1/F2 и РзЧв эту связку и вычислим первую вариацию функции V:
.. i кщ Г1 :	f	г • j '/	• f',	.. к/ ?’
SV = Sw (Ju 4- A J7) 4- Sy (тп 4- A4- Д7).
Эта вариация обращается в ноль, если обе скобки равны нулю.
J (w 4- А7) = О, т 4- AJcj 4- /ту = 0.
Отсюда заключаем, что
А = — |cj|, fi, = ш2С — mz.	(2.5)
Чтобы получить условие положительной определенности функции V, определим ее вторую вариацию в окрестности рассматриваемого перманентного вращения од, 7:
S2V = 6u>JSu> 4- 2X6yJSu> 4- pSySy.
26
Глава 2. Прямой метод Ляпунова. Автономные'системы
Заметим, что Гз = 77 = 1 последовательно, 7бу = 0. Из этого получаем, что В!нашем случае £72 == 0. к	<	?
> Учитывая это, имеем:	• ч.*
<52V = Л5и2 + B<Sw2 + C5w2 + 2А (Л57х5ух + B<f7yJwyj + д (<572 + ’<J72).
Для полученной квадратичной формы от <572, <57у, <5w2, <5о>2, <5о>2 составим матрицу коэффициентов, как показано в (2.7) [6]:
/ д 0 АЛ 0 0\ !l i! ^'!':
••••••	0 > 0 АВ 0 .	1	’ >  " : :
АЛ 0 А 0 0 .
0 АВ 0 В 0 '
:	:	\j0. 0. 0 0 C/! lt	:	.
. Теперь, воспользовавшись критерием Сильвестра (см, (2.9) ,в, [6]),г получим: |.	,	,, 1!1Ч ,	J . .	...
Д1 = ц > 0,
Д2 = Д2,>0,	..	.
Дз = д2Л — А2/хЛ2 = цА (ц — А2Л) > 0,
>' Д4 .= АВ (ji - А2В) (д - а2л)о:
Учитывая, что mz > 0 в силу (2.5), условие Д1 = р > 0 приводит к
...	*2 > Э- .	<2-6)
Из условия Дз > 0 следует:
(2-7)
2	' mz
и) >-----—.
С-А
Если неравенство (2.7) выполняется, то условие Дд > 0 сводится к неравенству
. •	- шч- • -2>С^В-	•	- М
При С > В > А все условия устойчивости для рассматриваемого перманентного вращения сводятся к одному неравенству (2.8).
Глава 3
Устойчивость, равновесия и стационарных движений консервативных Систем
Задача 3.1’’	< •>! ‘	...
Конец В абсолютно гибкой, невесомой и нерастяжимой нити длины I закреплен неподвижно (см, рис. 3.1)7 Ко второму концу прикреплен груз весом Р.	'	'	:	с
28
Глава 3. Устойчивость равновесия,..
Блок D неподвижен, а блок С может перемещаться по вертикали, делящей расстояние а между точками В и D пополам. К блоку С подвешен груз весом Q. Пренебрегая размерами блоков D и С и силами сопротивления, определить положения равновесия системы и ее устойчивость.
Решение:	С ‘
Обозначим координаты точек С и Р через z\ и z2 соответственно.
Из рис. 3.1 находим * '	' /г
а '	, Л а
Z1 = ntg z2 = I - 2-------.
2	.	2cos^ г г
Потенциальная энергия системы равна .	. .
П = -Qz! - Pz2 = --Tr-tg <р - Р I I----) .
2	\	cos <р J
В положении равновесия П^ = 0, т. е. по теореме об устойчивости изолированного равновесия консервативной системы (см. параграф 3.1 в И)
ап dip
-44-+4 -	-о.
2 cos2 ip	cos2 ip cos2 ip \ 2	J
Следовательно,
= (31) Zi
так что при Q >2P равновесия не существует^ Если Q < 2Р, то положение равновесия наблюдается при
! I Q ; y?q =arcsm—.
> I <	:
Это положение устойчиво, так как	‘
/52П\	!	‘Ра
=------> °-
\^7v=Vo cos у)о
При вычислении второй производной .учтено равенство (3.1).
Задача 3.2
29
Задача 3.2
Колечко А может скользить без трения по ^гладкому кольцу радиуса Л, расположенному в вертикальной плоскости (см. рис. 3.2).
К колечку А на абсолютно гибкой, нерастяжимой нити подвешен груз весом Р. Другой конец нити перекинут через ничтожно малый блок В, расположенный на конце горизонтального диаметра кольца, и имеет,на своем конце Х7 груз весом Q. Определить положения равновесия колечка А и его устойчивость. , ,
Решение:
Следует заметить,' что груз Ру удерживается нитью, верхний конец которой прикреплен к колечку А. К этому же колечку прикреплена вторая нить, удерживающая тело Q. Составим потенциальную, энергию системы в предположении, (что колечко А находится в верхней половине кольца R. Потенциальная энергия груза Р равна его весу, умноженному на высоту колечка А, т. е. на_ Psin^. Энергия груза Q равна его весу Q, умноженному на длину I нити АВ. Учитывая, что (Л	(П
угол В АО равен получаем I = 2Bcos~. Таким образом, потенци-2-?; \	j ,	2	‘ ' й а* ..
альная энергия всей системы в случае, когда колечко А находится в верхней половине кольца /?, записывается с точностью до постоянной
30
Глава 3. Устойчивость равновесия...
следующим образом:
П = PRsin <р 4- 2QR.cos ' л
или	,
( Q ч>\
П = PR I sin<p + 2^cos^'l.
В положении равновесия П^ = 0. После дифференцирования получим
= PjR/cosy> — ~ sin = 0.	(3.2)
9	О	Q 1р
Пользуясь равенством cos 92 = cos2 — — sin — = 1 — 2 sin —, найдем
выражение для определения sm-:	*
z
, о • 2 V’o Q . VO n l-2sm T-pSin'2’=0	'	’
или
. Отсюда, (
,Л. 2^0.1,, Q. ff>o <, 1 n
Sin — + —sm 4- — - = 0.
./ 2 , 2P 2:	2-
 - P _C 7 Q2-4ll>-.
:Sin.2 4P + V16P2 + 2
(перёд ’ корнем нуэкнб r рассматривать только знак ”4-”, так * как sin^y- >0). Из этого выражения следует* что равновесия колечка А в верхней половине определяется условием
. (3.3)
Чтобы исследовать устойчивость этого положения,< нужно найти вторую производную от П.«Используя равенство (3.2); найдем
а2п ,3/.. .7’	 /1.Q А
а? = р? Тv -2 R z) Z № v 12 р 2 )'
; .Vr}	- •	_ .	‘ - 1  '	<Р 7Г _
Для верхней части кольца R имеем 0 < (р < тг или 0 < — < —. В этом ?• -а:, '	'	ь 2	2.
ip
интервале sin<p > 0 и cos > 0. Следовательно, П-^ < 0 и положение
Задача 3.2.
31
равновесия (3.3) неустойчиво. Из соотношения .(3.3) видно, что в интер-Q	Я
вале 0 < — < оо значение — изменяется от — до 0. Следовательно,
л	7Г
угол <pq лежит в интервале 0 < <ро < — • Рассмотрим теперь случай, когда колечко А находится в нижней
части кольца Я, т. е. когда <	и
7Г
2
£ 2
В этом интервале
to sin(£><0, sin—>0,
(Л
cos ~ < 0.
(3-4)
Потенциальная энергия системы равна
П = PRsinV1— 2QRcos£, = PR (sin<p — 2^cos^ j
Здесь	= —2/?cos > О^ и энергия тела Рьотрйцательна, а тела.ф
положительна. Теперь имеем:	'
= PR (cos<p + % sin f J
= PR (cos2 — sin2 sin
= PR (1 - 2 sin2 f + | sin f) .
ч.у '}|( ' ;
Из равенства
sin> 0):
= 0 найдем выражение для' sin (согласно (3.4)
. 2 VO Q . VO 1 n sm — — sin —— - = 0.
2 2P 2	2
Откуда.
Sin*2
’’~Q2 , i - -
16P2 ‘ 2
или
. Vo sin 2
2! Р2
(3.5)
Q
32
Глава 3. Устойчивость равновесия...
Это выражение определяет положение равновесия колечка А в нижнеи _ гь	О	COS	ГТ/
части кольца R. Заметим, что =--------и из равенства для П^
sm т найдем	>	, ।	.	' ь
Э2П
дер2
/	1Q (ро
= PRl— siny>o + --5 cos — ¥>=¥>о

1 COS(Z>0 z—V6" sm 2
> <£o
COS —
2
=—PR
. <£o sin —
2
Из равенства (3.4) следует, что П"^|	> 0, и положение; равновесия
в нижней части кольца R устойчиво. Так как > 0, то из (3.5) имеем
< sin^ < 1 и нижнее положение равновесия колечка А может существовать в диапазоне 7г < <£>о <	. .. м
Задача 3.3	f Ъ,
Исследовать устойчивость вертикального положения равновесия системы маятников, изображенной на рис. 3.3, где показаны все размеры системы.	!
Массы всех маятников и жесткости пружин одинаковы и равны m и с соответственно. Полагаем, что массой стержней можно пренебречь, а массы тп можно рассматривать как материальные точки. При вертикальном положении маятников пружины не напряжены.
Решение:	!'
Составим потенциальную энергию системы при малых углах w Деформации первой, второй и третьей пружин равны 3ft<^i, 2h (<р2 — <£>i) и Л(у?з — (ръ) соответственно.,Поэтому потенциальная энергия всех пружин равна
г
nSpr = \с (3fypi)2 + |с (2Л (у>2 ¥>1))2 + |с {h (<рз - у>2))2 •
Задача 3.3
33
Потенциальная энергия силы тяжести р = mg при повороте маятника длины I на угол ip (см4? рис. 3.3) равна	'
Пр = -pl (1 - COS9?) -р/у.
Потенциальная энергия Прд. всех сил, тяжести системы имеет вид:
'npfc =	^2hp<pl:
Полная потенциальная энергия системы П равна nspr 4- Прд., т. е.
. Л. <
„ о гП= ^9c/i2^i + ^4ch2 (<р2 - ¥>1)2 + |c/i? (v>3 — ¥>2)2< _
" ' 1 '	1/, "2	2	1'п /‘ 2	" ‘‘ " " ’’	'	' '
^4ph<pl --3ph<pl --2phipl. .	<'		’	>
Группируя» члены, получим (	*
2П = (13сЛ2 — 4рЛ) <р1 + (5сЛ2 — ЗрЛ) 4- {ch2 — 2рЛ) (р2— »	"7 2ch2(p2<P3-y <
Для того, чтобы потенциальна^ эйергия системы имела минимум^ необходимо и достаточно, чтобы'выполнялся критерий Сильвестра (см.
3 Д. Р. Меркин и др.
34
Глава 3. Устойчивость равновесия^.
формулу (2.9) в [6]). Соответствующая матрица коэффициентов правой части последнего уравнения имеет вид:
/ 13сЛ2 — 4ph	—4ch2^	0	\
[	—4сЛ2 5ch2 — 3ph . —ch2, ] .
\	0 , —ch2 ’ ch2 — 2ph J
1	ч'	t Л
Имеем:	k	.
Д1 = h (Y&ch — 4p), к
д2 = л2
13cft — 4p —4ch
—4ch 5ch — 3p
= h2 (49с2Л2 — 59pc/i 4- 12p2) ,
Дз = ^3
13ch — 4p —4ch 0
—4ch 5ch — 3p —ch
0 —ch ch — 2p
= h3 (Збс3Л3 — 153рс2Л2 ф{130р2сЛ —,24p3) ..
Отсюда получаем условия устойчивости: 1	(	t
13сЛ — 4р > О,
49с2h2 — 59рсЛ+ 12р2 >0, 1 :
36 с3 Л3 153р^Л? + 130р2сЛ - 24р3 > ,0.
Задача 3.4
Ток 21 течет по прямолинейному вертикальному и( неподвижному проводнику, притягивающему параллельный ему проводник АВ, по которому течет ток г2. (см. рис. 3:4).	- ,
Длина каждого проводника равна I. Пружина жесткости с прикреплена к проводнику АВ массы т. При отсутствии тока в проводнике АВ расстояние между проводниками равно а. Найти положения равновесия системы и исследовать их устойчивость.	< К'
Указание. Сила взаимодействия двух параллельных проводников 2^122
равна F = ——I. Здесь г’1 и г2 — ток в. проводниках, d — расстояние между проводниками и I — длина каждого проводника. ,
Задача 3.4	.
35
Решение:	V
Сила, действующая на проводник АВ, равна
_	22122/	22122^
В = ----:----СХ =------------СХ.
a -> ,	, ta — х
' ’ J4
Так как a — х > 0, то. „ гг ,	...... ,
’	.'Il*	•	1	. г 1	. J . ' .	'
о <-з .. и1 . *></ \ ’ *	1 . •/// л>* > к ’ l 4
i > (а -?- х) F = 22122/:— acxjfc сх2.	'>'> .
'г/>	' .	'	...Й«'ГГ4г ,	]	?	, .<7 i Х<- '4 >
ИЛИ	» М'	Ч
~——F = х2 — ах 4- а,	х	>	(3.6)
’ ' '	* •	- X) С \	1 • .	4 •
где к? ,.гг \ - Г . •	. .L ’ '	и ".С/ 4 ’	t •	.,,	• • ’
а =----------.
;1 f 1	лт* <\	' с *	f" ,	'j
Положению равновесия проводника АВ соответствует F = 0^Приравнивая правую часть уравнения (3.6) нулю, найдем корни полученного уравнения,^определяющие положения равновесия проводника АВ:
*	„	‘	»	Г	*	* я X > f К
а 1 /а2 1	’ a Fcfi
х*> = —I- а /----а, xi =-------\-------а.
2 V 4	’	1 2 V 4
з*
36
Глава 3. Устойчивость равновесия.
Для равновесия эти корни должны быть, вещественны, и, следовательно, ~ > а. Потенциальная энергия JIfсилы! Fi = ~F равна П = = у Fidx или, с учетом (3.6), * <
П =	-^-ax2 + aii
о f *2	<
График функции (3.7) показан на рис. 3.5.
(3-7)
Рис. 3.5
Из графика видно, что потенциальная энергия П имеетминимум в точке Х2 и максимум в точке х±. Следовательно, х% соответствует устойчивому положениюфавновёсия, a Xi — неустойчивому. К тем же выводам можно прийти, используя аналитический метод. Действитель-но, из (3.7) найдем
' Я2П I	"	/а2 -
= (2x-ai_„ -a + 2\—-a — a — 2
dx2\x=x2 k Jx-X2	V 4
т. e. при x = X2 потенциальная энергия имеет минимум, и эта точка соответствует устойчивому положению равновесия проводника АВ. Аналогично, П"ж < 0 в точке х = o?i, и, следовательно, эта точка соответ-
, рг а2 >... .
ствует неустойчивому положению равновесия. При — = а существует только одно положение равновесия, х = -. Это. положение неустойчиво, так как в этой точке d2n/da:2 = 0 и d3IL/dx3 > 0. Это показывает, что потенциальная энергия П не имеет минимума в этой точке.
Задача 3.5
37
Задача 3.5
Твердое тело свободно качается вокруг горизонтальной оси NT (см. рис. 3.6). Ось NT вращается с постоянной угловой скоростью и вокруг вертикальной оси Oz. Точка G является центром тяжести тела, плоскость NTG — плоскостью симметрий, ось'ОС — главной осью инерции. Ось KL параллельна NT, а ось FD, которая проходит через точку О, перпендикулярна к NT и OG.
Рис. 3.6
Моменты инерции тела относительно OG, KL и FD; равны С, А и В соответственно; h — длина OGr M — масса тела. Найти возможные положения относительного равновесия тела и исследовать их устойчивость.
Г. Ч' - *	’ ’	-	< • *	>	,	•	.<
' г t> 5 *	; , ' >	• у, ’'ч i> .	! *	/	•	,
Решение:
Твердое тело может вращаться вокруг оси NT (см. рис. 3.6). Допустим, что оно имеет угловую скорость ф, и в данный момент времени ось OG составляет угол ip с вертикальной осью z.
Угловая скорость ф представляется вектором, направленным вдоль оси 'NT. После того, как OG и'ОО повернулись на угол </?, проекции
38
Глава 3. Устойчивость равновесия...
угловой скорости w равны
<	^OG = —CJCOS^>, WOD = cvsin^.	. bt. .
Момент инерции, тела относительно оси NT равен А 4- Mh2. Следовательно, кинетическая энергия (тела равна
1 и. ’’’"р .	Г	1 if!,: 1 -*	* '
Т = - (А 4- Mh2) ф2 4- -Ви2 sin2 ср 4- -Си2 cos2 ip.
А	А	А
Потенциальная энергия силы тяжести равна П = Mgh(l — cosip). Из выражения для кинетической энергии находим
1'	Г* 4
T2 = ^(A + Mh2)<p2, Ti=0, То = xw2,(Bsin2. y> +Ccos2^) .
Легко показать, что в данном примере Tk = Rk (при к = 0,1,2). (См. соотношения (3.i2) и (3.14) в [6]). Потенциальная энергия'ТУ ^приведенной системы принимает вид (см. формулу (3.20) в [6]):ч	,
с?м Ж = П-Т0 :	! .
ч !	•	4	>. А.
ИЛИ	’ J	‘	'
ТУ = Mgh (1 — costp) — i(v2 (В sin2 ip 4- Ccbs2^) ., А
Тогда при постоянной угловой скорости и получаем:
—— = Mgh sin ip — ш2 sin ip cos ip (В — С),	(3.8)
р ‘’Д- и	"Г	‘1	5	' (
з; го , Mghcosip — и2 (В 21 C)’(cbs2 ip — sin2 ip) ;. H , v/y “ -'j-/	. - ..и:” • ”5
Относительное равновесие имеет место при W'^ = 0. Из равенств (3.8) следует, что существует три положения относительного равнове-r.	Mgh
сия: <£> = 0, <р = 7г и fp = arccos - а;б—Tn* Рассмотрим каждое поло-жёние отдельно.
1.	1р\ = б. В этом случае	*	’
*'	°; с Э^ТУ f ‘”'Г	'I -	'
  <В-С1-' - (3-9)
ЗадачаЗ.5 ,
39
Очевидно, что при В < С вторая производная от ДУ по <р положительна для всех ал Следовательно, при В <С относительное равновесие, соответствующее ср = 0, устойчиво при всех о».
Из формулы (3.9) видно, что ТУ'' > 0 при В > С, если о>2 <
» л-т о Mgh
В этом случае равновесие устойчиво. При аг > ——— равновесие ста-В — С,
новится неустойчивым.
2.	ip2 = тг- В этом случае i
d2W\
Следовательно, ТУ" < 0 при В > С и равновесие неустойчиво. *
„	„	„	0 Mgh.
Если В < С —^равновесие устойчиво при аг > ——— и неустои-у- .	.	.	, С — В	..	,..
9 Mgh	z ’(	1	TTZ// _	1
чиво при аг	< ———	(в первом	случае ТУ	> и, а во втором	случае
С — В	w
и^<0). -?
Л	Mgh п
3.	срз = .arccos—-———2- В этом случае равновесие существует, I {В — О) о?2
если Mgh < |В — С|си2. Тогда sin<p / 0, и	•;
Mgh
cos^=^27rT-
ч
/ 2 "	-x
, COSZ tp = ---------о ,
sin2 <p = 1 —4c6s2 tp = 1
, M2g2h2- /
>(В-С)2’ *'
так что
d2W dtp2
_ M292h2 tp=tfi3 uf2 (B — C7)
M2g2h2
\ w4(B-C)2	)
- w2 (-B - C)
. .	,	(3.10)
-	M292h2 +Ш2(В C)
Из1 условия(MgH < o;2|B —C| следует ,M2g2h2 <	(В —.С)^2 или
40
Глава 3. Устойчивость равновесия^..
си2 (В С)	Д^да из (3.10) получаем’при В >С
d2wi . ; о Эф2 1у>=9?з
и относительное равновесие устойчиво, а при В < С
d2W\
лТ <°> \<р=<рз
и относительное равновесие неустойчиво.
Задача 3.6
На рис. 3.7 вертикальная ось ьАВ> является осью симметрии тонкого однородного круглого диска весом Р и радиусом г. (
Рис. 3.7
Ось АВ может свободно вращаться вокруг;сферической опоры А. В точке В она удерживается двумя взаимно перпендикулярными горизонтально расположенными пружинками IBQ и BD. Обе пружинки
Задача.З.6
41
имеют одинаковую жесткость: сг = С2 = с. Они прикрепленыхк оси диска на расстоянии L от нижней опоры А. Диск находится на расстоянии I от нижней опоры. Найти угловую скорость и, которую нужно сообщить диску для того, чтобы система была устойчива.
Решение:
Рассмотрим неподвижную систему координат Axyz, где ось z на-
правлена вертикально вверх, а оси х и у — параллельно пружинам BQ и BD, когда ось АВ находится в вертикальном положении. Кроме
того, введем систему координатдискаАт'т/г', которую возьмем параллельной системе Axyz, когда ось диска вертикальна? Ось z' совпадает с осью диска, а оси Ах1 и Ау' находятся в плоскости диска. Моменты
л / л /	л тг2
инерции диска относительно осей Ах и Ау равны А = ——, а относи-
ПЪТ^	Р
тельно оси Azf момент инерции равен С = где.т = — — масса -	i	2	д
диска,- а г 5 -г его радиус. Центр масс диска находится на расстоянии
I от неподвижной точки А. Найдем кинетическую энергию диска. Она
состоит из энергии центра масс и энергии вращательного движения диска. Обозначим через х и у координаты центра массшри отклонении оси диска на углы а и /3 (см. рис. 3.7).
Тогда кинетическая энергия диска равна '
Т =	+ £2) + I71 (d2cos2/?f+/?2) TE^C^-l-dsin/?)2.
Из рис. 3.7 видно, что х = id, у = 1(3, г <
и если допустить, что углы а и /3 малы (т.,е. cos а.; = »1, cos/? = 1, sin/? = /?), получаем
Т = ±ml2 (a2 + /З2) + iA (d2 + /З2). + (w + d/3)2 .
Подставляя значения моментов инерции А и С, найдем:
T^lm(l2+^}(a2 + p2} + ^^ + a/3)2.	(3.11)
2	\	- 4) \	/	4
42
Глава 3. Устойчивость равновесия...
Пренебрегая членами выше второго порядка малости, получим, что деформации пружин равны La и fL/З; и'потенциальная энергия силы тяжести Р имеет вид: <	‘ i	. г;:
—Pl (1 — cosa 4-1 — cos/3) = ~Pl (a2 4- /32).
*
Тогда общая потенциальная энергия равна
*	I	'	’ '	. ‘ 1 » Ч	>,г	" ч	‘	j
. \ n = i(c£2-P0(«2+^2J\: '	' . (3.12)
Пользуясь выражениями (3.11) и (3.12), составим уравнения Лагранжа для координаты а:	;
&Т (i2 г2 \ • mr2 •
— =mH2 + —Ja + -^(w + a/3)/3.'	 " .	,
Считая, что слагаемое d/З пренебрежимо мало по сравнению с и, про-дифференцируем это выражение по, времени t, а П продифференциру-емкпо а. .Тогда получим.’уравнение движения для координаты а. Аналогично получается уравнение движения для/3.	<	: )
. Система уравнений принимает, вид:
т^+^а+^+,(с£2_И)а = °,	.
(3.13)
!Т
Положим a = Dext, /3 = EeXt. Подставляя эти выражения в уравнения (3.13) и поделив их на eAt, получаем
" ’ (т (р + £) А2 + (cL2 - Р/)) D 2^wA® = 0," г. ’ -vg-uXD + (тп (l2 + 4) А2 + (cL2 - Pl)} Е = 0?
Это система однородных линейных уравнений относительно D и Е, определитель которой должен обращаться в нуль, т. е. ' ‘ ........................................
тп (l2 + £) А2 + (cL2 - Pl)	2^wA
-2f^wA	m (P 4- A2 +: (cL2 - Pl)
(,<)	T2\\‘i mr2
m H + — ) ^-----—ш
\	4 J
Pl)/3 = 0
Задача.ЗЛ
43
Раскрывая этот определитель, получаем:
m2 (/2 + ^)2 A4	-TZ) + ^ш2) А2+
Это уравнение можно разрешитыбтносительно А2:/
А2 = ~j sfftMn б2 + £Y(CL2 ->Z) + ™^-оА ± 2m2(Z2 + ^)^V V- 4J-	’	4	)
(p (cL2 - P0 + ^"4 •
4 у \	' 4 /	4 J
Если Pl < cL2, то все слагаемые под знаком у/ положительны, а оба корня А2 и А2 отрицательны и различны при любой угловой скорости о;; Это означает/что при [РГ < cL21 вертикальное положение оси диска устойчиво в первом приближений при любойуГловой скорости1 ал
Пусть теперь Pl > cL2. В этом случае первое слагаемое под квадратным корнем становится отрицательным, и для устойчивости ^угловая скорость и должна удовлетворять следующему условию: _
1	' w2 > ^,(4Z2tr2-)v('L-^^
или	;	t; , t
2 /	7rT2\
Если и удовлетворяет этому условию, то при cL2 < Pl под знаком корня стоит положительная величина и обаг корня А2 и А2 различны и отрицательны, что определяет устойчивость в первом приближении вертикального положения оси диска.	t 14
Задача 3.7
Материальная точка, изображенная на. рис. 3.8, .вынуждена двигаться по гладкой, поверхности тора, заданногопараметрическими уравнениями:	.......
ir = pcos^J,' у'= psinV', z = bsintf, p = a 4- bcostf, где ось z направлена вверх. Y '
44
Глава 3. Устойчивость равновесия.;.
ла V ’	> . » .	?	। > Г л л <	-• kb(hi' ~ •
Найти возможные движения точки, характеризующиеся постоян-г ством угла 19, и исследовать их устойчивость..
, 	‘	,	 Л ‘ ".	.	- . •
Решение:	-ль -л ; ,. 7 ..
Пусть ф = о; =‘с6п&; Следовательно, ф = cut. Тогда имеем i
х = (а 4- b cos 19) cos = (a 4* b cos 19) sin urt, z = b sin 19,
откуда находим
x = — b sin 1919 cos и?/ — u(a 4- b.cosi9) sinurt,
<,y = —bsin,i9i9sin(yt 4- o>(a 4- bcosi9) cosurt, z = bcos 1919c а
•  пч .*	-	“ ;
_ л : . 'л ,	< /Г' . -г* > .Mk c.i . '	'	;:
Тогда кинетическая энергия массы равна
Т =	(х2 4- у2 4- i2) = -Щ (b2d2 4- и>2 (а 4- bcosi9)2) , . -
а ее потенциальная энергия — П = mgz = mbg sini9. Из выражения для Т находим, что Т% = |тЬ2192 и Tq = ^mu>2(a + bcos 19)2: Следовательно, потенциальная энергия приведенной системы равна
W = П — То = mbgsin'O — ^тш2(а 4- bcosi9)2,
ЗадачаЗ.7
45
так что	<	;	?
= mb (g cos $ + w2(a + b cos 19) sin 19).,	(3.14)
= mb (—sin 19 — cd2bsin219 + u2(a + 5cosi9) cos?9) .	(3.15)
Найдем относительное равновесие^ равенства = 0. Пользуясь (3.14), получим:	_
gcos 19 4- и2 (а 4- 5cosi9)sini9 = 0.	, , .
Отсюда
a 4- bcos'O = —	cot 19	(3.16)
или	v
1 4-acostf = —/?coti9, ct =-, /3=-Д-.	(3.17)
a oar
Легко видеть, что уравнение (3.17) имеет два различных решения:
7Г: .. л. . ,.л	. к . ~
“ о < ^91 < о, - < 192 < 7Г.
Чтобы определить, какое из этих решений устойчиво, преобразуем правую часть выражения (3.15) двумя различными способами.
Сначала сделаем следующие преобразования:
= mb (—g sin 19 — и2Ь sin2 19 4* w2a 4- w2b cos219) ovz 4	'
или q2
q^2 =	(”‘0sin^ “Paw2 -p ta>2(cos219 — sin219)) =
=	(—^sini9 4-o^2(14-1 cos2i9)) .	(
Так как sin 19 J< 0 в интервале — ^ <19 < 0, то первое слагаемое положительно. КрЬмё того, |<1и | cos 2191 < 1. Следовательно, второе слагаемое тоже положительно и,1 таким образом, движение при 19 = 191 устойчиво.
Теперь преобразуем (3.15) так:	,
-	" r v t 1 ’ • ‘ 1	1	: ’	'	-	' *
(7sini9 — cj2fesin2i9 4-^(а 4- bc°si9) с°519) ,
46
Глава 3. Устойчивость равновесия.-..
и, используя равенство (3.16), получим	г г яп
.	< и'Л
d2W"‘	/’•	‘	Cos2tf
-О-Атг = mb I — о sin v — (j o sin v — g——— dti2	\	smtf
Так как sintf > 0 в интервале < $2 < тг5 то при $ = $2	’ ’
г/ *’ .	*5	' -	* ч . > . ч и •••’ ч jhu -	. ег ./ч , • >	- 
d2W „	।
di?2 <0,
и, следовательно, двйженйе неустойчиво, когда ч9 = i?2-
Задача 3.8	»
i	J' • . -	-	?/)’, Г
Горизонтальная трубка АВ, показанная на рис. 3.9, может свободно вращаться вокруг вертикальной оси CD.
\	1 'Л,- - i Г, , .
Внутрь трубки помещена пружина жесткости с. Один конец пружинь! .прикреплен к стенке трубки в точке A.jK свободному концу пружины прикреплено тело М.л массы т. Когда система находится в состоянии покоя, тело, М находится на расстоянии а 6т оси вращения (а > 0 или а < 0). При свободном вращении возможно установившееся движение, при котором трубка будет вращаться с постоянной угловой скоростью и, а тело М будет находйться в относительном покое. Считая тело М материальной точкой, пренебрегая силами сопротивления и массой пружины, определить параметры установившегося движения
Задача. 3.9
47
и его устойчивость, если момент инерции трубки относительно оси вращения CD равен J. ! • \
Решение:	.
Потенциальная энергия системы равна П .(при^а > Ол при а < 0), а кинетическая’энергия имеет вид: L , \
Т =	4- ^mw2(a 4- х) 4-	1
Li	, L	Li
Следовательно, Т2 = ^тх2, a Tq = ^ттгси2(а4-ж)4-|Jw2- Таким образом, потенциальная энергия приведенной системы равна
W = П — То = ^сх2 — ±та>2(а 4- я)2 — Jcj2,
dW	2/
—— = ex — шла + х),
. дх  С, d2W , .	
' д^2'~’с‘
9С! .

Положенйе относительного равновесий получается из уравнения - ‘	/ • i .• h.; , Ч	, -Э  .. 't ” • * !
' '	'' 1' 1 С ’ < v'i'Z V	z‘	;	1 . г	i ' J ’ ’	'
' 4	-5— = ex'— тш2(а 4- х) = 0,
л-Ч'к. '.а, ч 1	1 -
отсюда
—
< d? w
’ дх2‘
о таш
с — ттгеи2’
' 1	‘ •* О ' 
с — гш . ,
Если с > !тШ2, то W^x ^ ‘О^и’Положение относительного равновесия устойчиво; если с <’ктй>2^ то W"x < О' и положение относителйяого
равновесия неустойчиво.1
Задача 3.9
К гибкому валу, установленному в вертикальных опорах, прикреплен горизонтально расположенный ротор массы т, изображенный на рис. 3.10.	'	'
Через точку О проходит ось гибкого упругого вала, жесткость которого на, изгиб равна с. Ротор, имеет небольшой эксцентриситет е = ОС,
48
Глава 3. Устойчивость равновесия...
Рис. 3.10
где точка С — центр масс ротора. Точки О и С принадлежат ротору. Центральный момент инерции ротора относительно вертикальной оси, проходящей через точку О, равен J. Вал принудительно вращается с постоянной угловой скоростью и, Ось т координатной системы Qi ху лежит в плоскости ротора и параллельна ОС.
Определить относительное равновесное положение ротора (точки О) и устойчивость этого положения. Массой вала и силами сопротивления пренебречь.	.: .
Решение:
Пусть х и у — координаты точки О] тогда х 4- е и у — координаты центра масс ротора С, а х и у — компоненты относительной скорости точки С, Вектор постоянной,угловой скорости w перпендикулярен к плоскости О\ху. Переносная скорость точки.С равна .	. г
v® = w х г =
i	j к
О	0 а;
х 4- е у О
г- '	г>^х = -шу,!‘ vecy = ш(х + е).	'
Проекции и величина абсолютной скорости точки С равны
vx = i-wy, vy = у + 'е), •'
v2 = и2 + v2,-'= х2,4- у2 — 2ш(ху — ху) + ш2 ((х + е)2 + у2) .1 * *
Задача, 3.9
49
Кинетическая энергия ротора записывается в виде:
Т = | Jw2 + ^m{x2 + у2 - 2ы(ху - ху) + ш2 ((ж + е)2 + у2)}. £	Л
Потенциальная энергия упругого вала равна
П = |с(ж2 + у2). Л
(Г*	.	-	.
Таким образом, уравнение Лагранжа принимает вид:
ddT	ат	дП
— — —	— ------—
dt дх	дх	дх
где -	. ’	?	• 'р
дт	. .	d дт ...
‘	TTv — тпх — mwy: ~г -т-г = тх — тшу.
дх	,.	dt дх v >	, ,,, ,
дТ .	2/ ч ап	.....
— = тшу 4- гпм (х <+ ек — = сх. дх	дх 1 ‘
Для координаты у; уравнение получается аналогично. Следовательно, уравнения движения таковы:
, (	' Г i '	,	|t4 '
1	тх — 2rnb}y — ти^(х 4- е) = —сх '^ ‘	‘
.. О .	2	<3-18)
ту <+.2тшх — тогу =}—су, .
В положении относительного равновесия ж = г/ = 0, х — у = 0. Подставляя это в (3.18), получаем координаты"хо и уо точки О в относительном положении равновесия:
--mw2(xQ 4- е) = -его, -тгш2уо = -ст/0. < * •
Следовательно,	...	..
4	Tncv2e 4
я0 =--------о, 2/о = 0-	(3.19)
с — тш2
• . <Эти уравнения имеют простой физический смысл и могут быть получены более прямым способом. В положении относительного равновесия точки Oi, О и С должны лежать на одной прямойЦг/о =0), а сила упругости гибкого вала cxq> должна быть равна,центробежной силе пгси2(а;о 4- е). Это соответствует первому уравнению в (3.19).
4 Д. Р. Меркин и др.
50
Глава 3. Устойчивость равновесия...
Чтобы исследовать устойчивость, положим	г j > .
.# = #0 4" ^1, У = .Ув 4" £2 — ^2-
Подставим в уравнения (3.18) приведенные выражения для х и у
ms*i — 2ma>£2 “ mo;2(a:o 4- £i 4- e) = — c(xq 4- £i), m£2 4- 2mw£i — ttwv2£i = — csi,
и в силу (3.19) имеем
ms’i — 2ttw£2 4- (с — muj2)ei = 0, ..	. у 2; п	(з.2о)
тпе2 4- 2ma>Si 4- (с — гпм JS2 = 0.
Как обычно, полагаем £i = Aext, £2 = BeXt и подставляем эти выражения вместо Si и £2 в уравнения (3.20). В результирующих уравнениях, перегруппировав члены и поделив на eAt, получим
(mA2 4- (с — та;2)) А — 2тшХВ = 0,
2тшХА 4- (тХ2 + (с— та;2)) В = 0.	, Л.
Это линейная система однородных алгебраических уравнений относительно А и В, ее определитель должен обращаться в нуль:
mA2 4- (с — та;2)	—2та>А	_ п
2та;А mA2 4- (с — та;2) ~
Раскрывая определитель, получим: .	,,
т2А4 4- 2т(с 4- то;2)А2 4- (с — то;2)2 = 0.
Откуда
А2 = -^2 т(с 4- та;2) ± \/т2(с 4- та;2)2 — т2(с — та;2)2^
или
‘	А2‘=——(yfe±uVm)2.	(3.21)
г	,
Из (3.21) следует, что все четыре корня характеристического уравнения являются различными и чисто мнимыми. Это означает^ что система устойчива для всех с и о;, если о / то;2
Задача 3.9
51
/ тХ2 —2тшХ\
\>2тыХ тХ2 I
' (3.22) {г ।
Кроме того, при с = тпа>?т система также ^устойчива, но это нельзя получить из (3.21). Для этого заключения нужно рассмотреть матрицу, получающуюся из (3.20) при с = тш2: и -
Л- ХЕ
Элементарные преобразования (см. главу 5) приведут (3.22) к
А О 0 А(А2 4- 4о?)
Из этой матрицы видно, что канонические переменные удовлетворяют уравнениям	ь	11 н
£1=0, Z2=0, z^ = 2wi, £4 = — 2cuz; ' i'= >/—1,
что говорит об устойчивости решений £1 = £2 = 0 уравнений (3;20) и о
при с = т?ги .	;	г „
Все, изложенное выше, относилось к случаю, когда точки Oi? О и С не лежат на одной прямой. Рассмотрим теперь случай, ког^а.эти.точки лежат на одной прямой — назовем эту прямую осью х. Тогда координаты точек О и С будут х и,х.+ е соответственно. Скорость центра масс, точки С, определяется равенством
1/1	v2;=±2 Ч-и2(х + е)2и;	с.,; ’	-
Кинетическая и потенциальная энергии системы равны
Т = Jw2 + ^-т (i2 + w2(x + е)2) ‘ "П^-ci2,
2	2	j р '1	'2	(•
и уравнение движения принимает вид:
тх — ты2(х 4- е) = —сх. ,	(3.23)
Положение относительного равновесия, при котором х = 0, определяется формулой (3.19):	\	.	>
! тш2е	. . '
4*
52
Глава 3. Устойчивость равновесия...
Уравнение возмущенного движения получим, если положим х = = xq + £ в (3.23). Это уравнение имеет вид:	j
me + (с — mw2)e = 6.
Отсюда, если с > ma>2, то нёвозмущенное движение устойчиво, в то время как при с < mw2 движение неустойчиво.
Итак, при установившемся движении центр О имеет координаты
тше
Ро	9 ?
С — TYUjJ*
' (po=ut.
Если точки 01, О иС неколлинеарны, то относительное положение равновесия точки О устойчиво для всех сии. Еслй эти точки лежат "на одной прямой, то при с > ш2 положение относительного равновесия точки О устойчиво, а при с < ты2 — неустойчиво.
Задача 3ДО
Для системы, рассматриваемой в задаче 1.7, доказать, что установившееся движёнйе устойчиво относительно /3, /Зи а.
Указание. Потенциальная энёргия привёденной системы W = = П — Rq равна	ч .	< ;
= Г 2
2' +	4j4cos2/3'
где п = 2Аа cos2 /3 + Hsin/З — интеграл, отвечающий циклической координате.
Решение:
Из решения Задачи 1.7 возьмем значения кинетической и потенциальной энергии системы:
Т = А/32 4- Ааcos2 /3 + С(ф + asin/З)2,
(3.24)
п=й2.	. ..	. -
Поскольку Т и П содержат только скорости а и <£, а и ^ являются циклическими координатами. Этим координатам соответствуют два циклических интеграла Т& = п = const и Тф = Н = const.
ЗадачаЗ.10
53
Здесь следует отметить, что в задачах, связанных с преобразованием Рауса, производные и Тф нельзя приравнивать к постоянным с сомножителями. Например, мы не можем записать Тф = 2Н, как мы делали в задаче 1.7.	_	.
Далее, из (3.24) получаем
ОТ
— = 2Aa cos2 (3 + Н sin/3 = п, оа
— = 2С(ф + dsin/?) = Я. оф г* ,к
Следовательно,
(3.25)
' '	. _ п — Н siri/3
а	2 A cos2/? ’
	Н }'
¥» = —-asm/?.
Подставляя эти значения в. выражение для Т и отбрасывая несуще-Н2
ственную постоянную —, получим: 4G	' г’
(3.26)
т-=лгг-ь(";/Т^..	-
4 A cos2/?
Построим выражения для функции Рауса R (см. (3.12) в [6])
R=T* -пу-Нф.
Используя выражения (3.26) и (3.25), находим, j	. <
г> л А2 (п ~ Нsin/?)2	ri—Hsin0 ' (Н	п — Нsin/? . а»
Я = Л/?2 + ^—---; A-f-sin/? .
44cos2/? 2Acqs2^? \2С	t2Acos2/? ,/
. 'Ь LZ _	..	%- uk,	'и;- i:	,
После некоторых преобразований, пренебрегая постоянным цленом,^^ , получаем
R = A^~ /Si2nf)2 = АЗ2 - До, 4 A cos2 0
(3.27)
W = n- T?o = iCj32+ (n4/Si2nf)2 • 2	4 A cos2 ft
54	Глава 3. Устойчивость равновесия. . .
Положим, что угол /3 настолько мал, что sin /3 ~ (3 и cos /3 ~ 1 — Тогда с точностью до членов второго порядка малости 
^=!r^?=T^=(1’'j2rl=1+;'s2'
V 2 /
Теперь соотношение (3.27) примет вид:
w = (2АС + Н2)/^-2пЯ> + п2 (1 + /?2)
Опять, оставляя только члены до второго порядка включительно, получаем:	. ~	\
W = -Д- ((2АС + Я2 + п2)/32 - 2пН/3 + п2) ,
откуда	".
	'	.__ = ^((2АС’+Я2-|-п2)/3-пЯ))-	'	11
d2W	' * ”
-э37 = я(2>1С + И2 + »2)>0-
’Приравнивая первое соотношение к нулю, находим значение угла /Зо при относительном равновесии:
2АС + Я2 + п2'	(3‘28)
Из второго уравнения находим,’ что это положение устойчиво относительно угла /3. Из устойчивости движения относительно /3 и из (3.25) следует устойчивость относительно оси ф.	-
4 При условии, что равенство (3.28) выполняется, движение системы состоит из постоянного отклонения осей гироскопов на угол До и равномерного вращения всёй'сиётёмырс угловой скоростью 1
*1
. _ п — Нsin/3o
Q° 2Acos2/3q
г
Глава 4
Устойчивость по первому приближению
-	Д--'.	’	. .	г’	.,о'< •’>	>’
,, Задача 4.1,	.	,
Обозначим моменты инерции твердого тела(относительно осей х, у и z через А, В и (7, соответственно, таким образом, что либо А < С < В, либо А > С > В. Доказать, что перманентное вращение твердого тела относительно оси z неустойчиво.
Решение:	, 5 . ч <
Из уравнений возмущенного движения задачи 1.6 составим уравнения первого приближения:
В-С
#1 = —;0>ОЯ2> .
. С— A	г"	‘’d
#2 = ——^0^1,
Хз = 0.	-- ч >
Положим Хк = DkeXt (к = 1,2,3) и подставим Хк в эти уравнения. После сокращения на eXt получим	•
‘ •	D\AX + jD2{C‘^B)u)q = 0,
D2BX + Z?i(A — C7)(vo == 0,
D3CA = 0.
56
Глава 4. Устойчивость по первому приближению
Для существования нетривиального решения определитель этой системы линейных однородных уравнений относительно Dk должен обращаться в ноль, т. е.
АЛ (С - В)ш0 О
(А - С)ш0	ВХ	О
О	О	СХ
= 0
или
СХ (АВА2 - (С - В)(А - C)wg) =0.
Это уравнение имеет один корень равный нулю, и при А < С < В или А > С > В — два вещественных корня:	\ j у f Jг г
/(С-В)(Л-С)
A-±"°V-------ЛВ-----
Существование положительного корня означает, что вращение твердого тела вокруг оси z, относительно которой момент инерции’ имеет, среднее значение,, неустойчиво^	. , , ,	,,
Задача 4.2	,	:
- ’.'	.	‘ \ ‘ ч
Доказать, что положение равновесия материальной точки, находящейся на конце сжатого и скрученного стержня, неустойчиво (см/ за-дачу 1.5).,	. .	.	..	1-
Решение:
В задаче 1.5 получены следующие дифференциальные уравнения возмущенного движения:
ТПХ = —С1Х 4- С2У, my = —С2Х — с^у.
Полагая х = Aext и у = BeAt, получим следующую систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно А и В:
1 тАХ2 -I- ci А — 02В = 0, С2А 4- тВХ2 4- ciB = 0.
Задача 4.3.
57
Приравнивая нулю определитель этой системы, имеем mA2 + ci	—С2
।	С2' mA2.+ ci
= 0
или
(mA2 + ci)2 + с| = 0.
Следовательно, > v	г .
mA2 4- ci = ±гс2, i = а/~^ .	,,
По крайней мере один из корней этого уравнения имеет положительную4 вещественную часть, и значит, положение равновесия при xi — х% = 0 неустойчиво.
Задача 4.3
Движение автоматической системы описывается следующими дифференциальными уравнениями:
'' ^“ ^(71 +72) = С272,
71 + 72 +	= -С172,
. '	71 + П0 = -&(71—	. ../я >
где 71, 72 и 0 — координаты системы, ci, С2, к й Q — положительные параметры системы, a x(t) — вынуждающая сила: Определить,' какому условию должны отвечать параметры системы, чтобы движение, вызванное вынуждающей силой х, было асимптотически устойчиво.
Решение:
Умножим первое уравнение на —1 и перепишем все ^уравнения в следующем виде:
Q71+ (Q + с2)72 - 0 = 0;	‘‘
71 + 72 + С172 + 9.0 = 71+ &7i + J20 = fcx.
Устойчивость этой неоднородной линейной системы можн^рпредёлить, рассматривая соответствующую систему однородных уравнений (см. пример 3 из параграфа 1.3 в [6]):
1 Q7ii+’(Jl+c2)72	= 0,
' '	.	:	\71+72+ С172+ П0 = 0,
71 + ^71 + ^0 = 0-
58
Глава 4. Устойчивость по первому приближению
Пусть 7i = AeXt, 72 = BeXi и ф = CeXt. Подставляя эти выражения в уравнения, приведенные выше, и сократив их на ext, получим
QA 4- (Г2 4- С2}В — ХС = О, AA4-(A + ci)B4-fiC = 0, (A4-fc)A4-nC = 0.
Чтобы эта линейная однородная система алгебраических уравнений относительно А, В и С имела ненулевое решение, ее определитель должен обращаться в нуль, т.;е. ч к	;г ;	( j
Q Q 4" С2 —А	,
А А 4- ci Я =0
А 4- &	0 Q
или, после разложения определителя по степеням А,	, .
3
= A3 + (A:+ci)A2 + (fi2+fcc1)A+(Q^i.+n2fc+nc2fc) = 0, (4.1) i=0
где все параметры системы Q, ci, С2 и к положительны. Следовательно, чтобы система была асимптотически устойчива, необходимо, чтобы выполнялось неравенство(4.30) в [6]
Д2 = а1^2 йоаз >0.
Для рассматриваемой задачи это дает
j Д2 = (к 4- Ci)(f22 4- fcci) — (Q2ci 4- Jl2fc 4- Slc2k) > 0,
что приводит к условию,
кс\ 4- с2 > Пег.
Задача 4.4	>	?
. . -Ь '>	»	т	.	"	Л'.	,
На рис. 4.1. изображена схема одноосного прицепа массы m. J — полярный момент инерции прицепа относительно вертикальной оси, G — центр масс прицепа, v — скорость тягача н с — жесткость пружины. Составить уравнения движения прицепа ц определить условия устойчивости движения прицепа.
Задача 4.4
59
Рис. 4.1
Решение:
Составим дифференциальные уравнения движения прицепа. Для этого запишем уравнение моментов относительно оси, проходящей через центр масс G прицепа перпендикулярно его плоскости:
J<p = — cax cos 4- F(b — a)
и уравнение движения центра масс в направлении, параллельном перемещению пружины	р i	<
d2 ,	, . ч ;
—ex — Fcosip.
При малых углах ср эти уравнения принимают вид:
—= — cax + F(b — d), тпх 4- md<p = —exF.
Исключая F из приведенных выше уравнений; получаем:
тп(Ь — а)х 4- cbx 4- (ma(b — а) — J)<p = 0.
(4.2)
60
Глава 4. Устойчивость по первому приближению
Так как прицеп не может перемещаться в направлении оси его колес, то налагается следующее условие неголономной связи:
* ;
х cos ip + Ьф 4- v sin ip = 0 г
или для малых углов	z '
х 4- Ъф 4- ыр = 0.	(4.3)
Чтобы определить условия устойчивости прицепа, рассмотрим характеристическое уравнение для системы дифференциальных уравнений (4.2) и (4.3):	' '	‘‘
г
т(Ь — а)А2 4- сЬ (ma(5 — а) — J)A2 _ А	/ 6A4-V
Раскрывая определитель, получим
(т(Ь — а)2 4- J) А3 4- тп(Ь — a)vX2 4- сЬ2А 4- cbv = 0.
Для асимптотической устойчивости все коэффициенты должны быть положительными, т. е.	- >>
ь ; b > a, v > 0.	(4i4)
	' с . г ,	7 ч > ‘
Кроме этого условия также должно выполняться неравенство (4.30) из [6]:	,	.
Д2 = aia2 ~ аоаз„= mcb2v(bа) — cbv (m(b — а)2 4- J) =	?
= cbv (ma(b — а) — J) > 0.
Отсюда получаем дополнительное условие:	/ ((
J <ma(b — a).	i (4.5)
При выполнении услрвий (4.4) и (4.5) движение прицепа асимптотически устойчиво. Физический смысл этих условий таков: должно выполняться условие статической устойчивости (у > 0), центр масс прицепа должен находиться ближе к точке крепления, чем его ось (Ь > а), и ширина прицепа не должна быть очень большой (условие на момент инерции прицепа (4.5)).	.	. 'v
Задача 4.5.
61
Рис. 4.2
г.-;		;
Задача 4.5
-	< С ‘	'	г’ ‘ ‘ Ач J'
К двойному маятнику, изображенному на рис. 4.2, приложена Следующая сила Р. Виточке подвеса Ой шарнире О{ имеются сп^айьные пружины одинаковой жесткости с. Длины маятнйков й их массы (материальные точки) одинаковы.
Пренебрегая массой стержней, вывести уравнения движения и найти условия устойчивости движения относительно y>i,>^i, <£>2 и ^>2-
Решение:
В этой задаче сила Р неконсервативна, поэтому обобщенные силы следует вычислять по формулам:	.	£
 Qi =;-|Э- + Qlp, -^ + Qip, (4.6)
где П — потенциальная энергия, ^создаваемая пружинами и силой тяжести, a Qip и Qty — обобщенные силы, создаваемые силой Р.
62
Глава 4. Устойчивость по первому приближению
Потенциальная энергия имеет вид:
П =	4- С^2 0	4- 2mgl(l — cos^i) Я- rngl{\ — cos^)-
Z	Z	L
Полагая, что углы ip\ и <p2 малы, используем следующие разложения, в которых оставлены члены не выше второго порядка малости:
1 - cos9^1 = yf.J - cos922 = у-
Тогда выражение для П примет вид:. .
П 1 „У! С^2 ~	4- т„1	4- тя/	+
П — 2С^1 j.-z 2---------- + тд~2 +	---2----
или
2
П = (с + mgl) <pl - C<pi(f2 + (с + mgl)
(4-7)
= (с + mgl) ( ¥>? + -77 ) “ C^W2-\ " /
( .
Чтобы вычислить Qip и Q2P, рассмотрим элементарную работу силы. Г на элементарном, перемещении точки ее приложения <5г,{где» г — радиусгврктор^ижнегр груза, а начало этого, вектора совпадает с верхней неподвижной точкой.(Таким «образом, мы имеем,	} .
г = п 4-г2,	*7 J
. Cd ’.КГ, ' Р'ЧГ S л ’	'•<)'> -	,'7\
где 7*1 и Г2 — векторы, имеющие длину и направление стержней^ Следовательно,
Sr = 5ri 4- 5г2>
' Необходимо ^учитывать , что Sr1 и Sr 2 ортогональны векторам г^и г 2 соответственно. Далее, введем координатную систему в плоскости стержней таким образом, что ось х направлена вертикально вниз, а ось у — горизонтально вправо? Обозначим проекции вектора 6г через Sx и Sy, тогда из последнего равенства получим:
Н . Sx = I (—sin92iJ(^i — sinv?2<fy>2) ,	i ;
ч* ' ' t'Sy = l^cosipiStpi 4- cos^?2<fy>2).
Задача 4.5. . .»
63
Проекции силы Р равны —Pcos^2 и —	аее (Элементарная ра-
бота равна
JVK = Рх6х + Ру6у = -Pl cos<p2(- sin (Seisin ^2^2) — P/sin<£>2 (cos^iJ^i 4- cos <£>2^2)
или, после группировки членов,
<5ТУ = -Pl (cosy>2 sin </?i — sin ip2 cos ipi)	.
1 >
Отсюда находим:	~
1 Qlp = Pisin(^2 02? = 0..^	,
Пользуясь соотношениямц (4.6) и .(4.7), наймем ^обобщенные силы (в предположении, что углы (pi и у>2 малы, т. е. sin (^>2 ~ <£>1) — <£>2 —
Qi = —2 (с 4- тдГррг 4- сф2 + Р1 (<£>2 ~ ¥>1),
(4.8)
Q2 = - (с + тдГ)(р21+ cipi. =	'
Определим теперь кинетическую энергию,системы:
!	' xi = Zdos^i,	'	•	'
Х2 = Zcos^r-Hcosj/^jm 'И' xi = — 1ф1 sin^>i, r	r .................
4 '	'	‘ X2 = “Z (921 sin^i 4" ^2 sin ^2) ?
2/1 =Zsin^i,	, .	'	, .
<	L ?/2 = /sm<£>i 4- 43m <£>2, A ' .
2/1 = 1ф^ cos <£>i,	.	. ,
О 1O V	У2 = l (Ф1 COS	+ <P2 cos (P2) ,
= I
/	f	JV;. ’ J0’’"	1	' i ; 1 1 '
«2 = &2 + .£2 = ?2	+	2 cos (^2 - Pl) V’l^S + Ф2) 
Полагая, что углы ip\ и'<p2 малы, т. е. cos (<£2 — ^1) = 1? получаем
v2 = (Ф1 + '2^1 Ф2Г+ Ф2) •
Таким образом,
Т =	+ \mvl = |m/2 (2</>2 + 2о4ф2 + Ф2) •
Z	Z	Z	'
64
Глава 4. Устойчивость по первому приближению
= ml2 (2y>i 4- у>2),
Теперь можно записать уравнения Лагранжа: d ОТ дТ „	.. 1
dipj Qj ат дф1 d дт < \	dtxtyi
от _______
dip2
После подстановки выражения для Qi из (4.8) первое уравнение примет вид:
= ml2 (2<pi + <£2), =0;
ml2 4-<р2)'+ 2Hy?i — <хр2 — Р1 (ч>2 — <р\) = О, (4.9)
где
<	Н = с -f- mgl.
Аналогично составим второе уравнение для ip2-
:	(£1 + £2) 4- Hip2 “ с</?1 = ,0. , г , ,>(4.10)
Далее, положим ipi = AeXt, ip2 = Bext. Подставляя^ эти выражения в (4.9) и (4.10) и поделив результирующие уравнения на ext, получаем два линейных однородных уравнения относительно А и В:
(2mZ2A2^ 2Н 4- Р1) АА- {тп12Х2 -с-Р1)В = 0, ? , (ml2X2 -с)А+ (ml2X2 4- Я) В = 0.
Определитель этой системы должен обращаться в нуль:
2тп12Х2 4- 2Я"4- Pl ml2X2
, ml2X2 — с ml2X2 4- Я
'с-р1=б
или
2А2 + Л А2 - 12
А2-Г3 А2 + /4
0.
и, наконец,
А4 4- A2 (/i 4-12 4- h 4- 2I4) 4- hh - Ыз = 0,
Задача 4.6*
65
где -		' '< :
_ _ 2Н + Р1 т _ С + Р1	с . Н
11 “ mZ2 ’ 12 ~ ml2 ’ /3“mZ2’	” mZ2'
Заметим, что Д 4-I2 4- 1з 4- 2/4 > 0 и ЦЦ - I2I3 = (с2 4- 2cmgl 4- m2g2l2 4-+Pmgl2)/(ml2) > 0 всегда и (Zi +I?+ h 4- 2I4)2 - 4(Zi/4 - 121з) > О, поэтому все четыре корня будут чисто мнимыми. Следовательно, система устойчива в вертикальном положении в первом приближении (в первом приближении, но не по первому приближению).
Задача 4.6
Двухроторный гирокомпас Аншютца1 с гидравлическим успокоителем широко используется в некоторых странах. Если гироскоп такого типа установлен на корабле, северная составляющая скорости которого постоянна, то дифференциальные уравнения движения гироскопа имеют вид:
к2	к2
^~ Тт----Х2 ~ тг  I1 ~.Р)хз = -^1, ...	. (4-11)
и cosw	Ucosw
U к '	' ,Ь , ' • , ’»
Х2 4- U cosipxi = Х2,	(4.12)
Х3 +,Fx2 4- Рхз = Х3.
Здесь xi, Х2 и хз — вариации (отклонения) координат компаса от их значений при динамическом равновесии; к — частота собственных колебаний чувствительного элемента (гиросферы); U — угловая скорость
вращения Земли; —широта, на которой находится корабль; F — фактор перетекания жидкости в гидравлическом «успокоителе,./?,.= 1 — —; с и Р1 — маятниковые моменты.жидкого успокоителя и гиросферы соответственно; Х1,Х2)Хз — члены высших порядков, по £1,^2, и
Т1,Т2,^3.
Определить условие асимптотической устойчивости.
Решение:
Найдем уравнения первого приближения, считая Xi.= Х2 = Хз: = 0. Мы приходим к следующей системе. линейных дифференциальных
1В'честь’нейецкого инженера и промышленника, который изобрел этот гйроком-пас. L- Л , '	. • <	? .	•
5 Д. Р. Меркин и др.
66
Глава 4., Устойчивость по первому приближению
уравнений (в первом уравнении параметр р заменен на его значение
’ . к2	к2 х с
Х1-Тт------Л'
U cosip ~ UcosipPl	;
тг	Ucosipxi 4-^2 = О,	(4.13)
Fx2^ хз 4-Гтз = 0.	pj л •
Положим xi = AeXt, Х2 = Bext и хз = CeXt. Подставляя эти выражения вместо Xk в уравнение (4.11) и сократив на ext, получим:
U cosy? UcosipPl ’	-
1	U cosip А 4- ХВ = 0,	.4!*
ГВ 4-(А 4-Г) С = 0.
Для'существования нетривиального решения определитель системы должен обращаться в нуль, т. е.
к2 к2 с
U cos tp U cos tp Pl
U cos<p	А	0	= 0
0‘	F	A + F	
7 \	d" ' I :1	<	'	*	<
ИЛИ' _ .	.......
' ‘ A3 + FA2 + £2A + £2f(1--^) =0.	“
Согласно критерию Гурвица необходимо, чтобы все коэффициенты й Д2 = сцо>2 — аб^з были положительны/ Это означает, что с < Р1. При этой: условие Д2 = Fk2~ Fk2 ^1—	= Fk2^ > 0 выполняется ав-
томатйчески. Таким образом, условием асимптотической устойчивости является с < Р1.
' < ’" 1 *	<	<	. i! .
Задача 4.7	:
1 ’ Гирогоризонткомпас — устройство, которое иногда используется на движущемся корабле для одновременного определения географического меридиана и, горизонтальной плоскости.^ На неподвижном относительно Земли основании дифференциальные уравнения возмущенного

Задача 4.7
67
движения гирогоризонткомпаса могут быть сведены к двум совершенно аналогичным системам уравнений.
Первая система имеет вид:	’4
х\ 4- 2bi±i + (у2 —	— 2Ш>г = Xi,
Х2 4- 2^2 + (у2—	+,2Q±i = %2-
Здесь — величина, пропорциональная углу отклонения от Плоскости меридиана; Х2 — вариация конструктивного угла (ей. [5]);‘bi *‘01и > 0 — коэффициенты, характеризующие диссипативные' силы; и = y/g/R = 0.001241/с — частота Шулера2; Я = Usin<£>; U = 7.29-10"51/с — угловая скорость вращения Земли; — широта места; Х± й X} — Члены ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ПО Xi, Х2, Х1 И±2-
Во второй аналогичной системе уравнений возмущенного движения хз и Х4 определяют угрл отклонения от горизонтальной плоскости и вариацию другого конструктивного угла (см. [б]).
Найти условие асимптотической^ устойчивости движения гирогори-зонткомпаса.	,
Решение:
1
Положив Xi = Х2 = 0, получим систему первого приближения: '	*	»' ‘ 1 1	\	J . 5 i *	'	'	*	» J
н:	х\ 4- 2bi±i -К (и2 —	^120^2 = 0,
...	; / <) о ; o'-	.	.(4.14)
2Q±i 4- Х2 + 2b2X2 4- (у2 — П2) #2 = 0-
Как обычно, положим х\ = Aext и Х2 = Bext, подставим эти выражения вместо xi и Х2 в (4.12) и, сократив на eAf, получим:
(А2 4- 2Ь1А 4- (и2 - Я2)) А - 2ПАВ = 0, 2QAA 4- (А2 4- 2Ь2А 4- (д/2 - fi2)) В = 0.
Для существования нетривиального решения определитель системы должен равняться нулю, т. е.
А24-2Ь1А4-(р2-О2) -2QA 2fiA А2 4-2Ь2А 4-(i^2 — О2)
2Макс Шулер — немецкий ученый, который в 1912 году исследовал период невозмущенных колебаний гироскопического маятника в гирокомпасе.
5*
68
Глава 4. Устойчивость по первому приближению
или
А4 4- 2 (bi 4" Ь2) А3 4" 2 ((^ •“ О2) 4" 2bi&2 4~ 2П^) А^ 4" о	(4.15)
2 (bi 4- Ь2) (к2 - tty А 4- (у2 - Я2) = 0.
Для асимптотической устойчивости рассматриваемой системы (4.12) необходимо и достаточно, чтобы выполнялся критерий Гурвица (см. (4.32) в [6]), а именно:
• 1. Все коэффициенты уравнения (4.13) должны быть положительны;	,	, н
2. Дз = а^аз — аоа| “ а1а4 > 0.
Дз получается следующим образом:
Дз = 8 (bi + Ь2)2	- Я2) + 2bib2 + 2Я2) (у2 - Я2) -
-4(6j + 62)2 (р2 - Я2)2 — 4 (6х +62)2 (р2 — Я2)2 = с
= 4 (bi + Ь2)2 (f2 - Я2) (2 (р2 - Я2)'+ 4&i&2 + 4Я2 - 2 (i/2 - Я2)) = = 16 (61 + Ьг)2 (р2 - Я2) (6162 + Я2) .
Если у > Я, то Дз и все коэффициенты уравнения (4.13) положительны и критерий Гурвица выполняется. Таким образом, система (4.2) асимптотически устойчива, и, следовательно, согласно теореме Ляпунова об устойчивости по первому.приближению (см. параграф 4.3 в [6]), исходная система, при Х± / 0 и Х2 / 0, устойчива.
Глава 5
Устойчивость линейных автономных систем
<
Задача 5.1
Даны уравнения возмущенного движения:
	»Е11—	Xi 4-, Х2 > Х3, ^2	“Ж1 4- 3^2 “ ^3 — 2х4, Хз =	6x2 — Зхз — 3x4, Х4 = —3X1 >+ 3x2	ЗХ4.
Определить корни характеристического уравнения и исследовать устойчивость системы.
Решение:
Запишем матрицу А — ХЕ для данной задачи:
А - ХЕ =’	/1 - А 1	-1	0 \ -1 3-Л -1	-2 0 6 -3 - А -3 -3	3	0 -3-А/
Определитель этой матрицы имеет четыре корня: Ai = А2 = 0, Аз = ==А4 = -1.
70
Глава 5. Устойчивость линейных автономных систем
Выполняем элементарные матричные операции. Прибавив третий столбец ко второму, умножив третий столбец на (1 — А) и прибавив результат к первому столбцу, получаем:
А-ХЕ-+
/	0	0	-1	0 \
-2 +А	2-А	-1	-2 1
—3 + 2А +А2 3 — А —3 — А -3 .
\	-3	3	0	-3-А/
Поменяем местами третий и первый столбцы и домножим первый стол-, бецна —1J Далее, продЬлжая элёйёнтарныё преобразования, получим нули вместо всех элементов первого столбца за исключением первого элемента:	1 1	’ '
/1 0	0	0 \
0 2 - А -2 + А -2 03-А -3 + 2А + А2 -3 \0 3	-3	-3-А/
Затем прибавим второй столбец к третьему:	’ 1	! -
(1 0	0	0 \	’ '
0 2 - А	0	-2
0 3 —А А (А 4-1) -3 о з 6\ -3-А/
Умножая второй столбёц на —1 и вычитая из результата четвертый столбец, получаем !	!/iо о ’о \	:	.
0А 0	-2
OAA(A-J-l) -3 \0А	0	-3-А/	'
Теперь вычтем вторую строку из третьей и из четвертой строки:
1 < /10	О	(0 X
ОА	О	-2 > '	'
0 0;А(А + 1) -1 \0 0	0	-1-Х/
. •	...	'	 - эс *
Умножим второй столбец на 2 и четвертый на А, прибавим четвертый
Задача-5.1 г, ,ц ч 
71
столбец ко второму и поменяем знак четвертого столбца: (,
/1	0	0	0	\
0	6	0	”	2
0	-X	А(А+1)	1
\0-А(А+1)	0	1+Л/
Поделим вторую строку на 2 и вычтем ее из третьей, умножим вторую строку на (1 4- А) и вычтем из четвертой:
>.ГЛ.	.. Z1	0	0	0\	'	.
0	0	0	1 Л.г.
0 -А А(А + 1)0 ‘ \0-А(А+1)	0	0/	;	.
Поменяем местами второй и четвертый столбцы, умножим третью строку на (А + 1) и вычтем результат из четвертой строки:
>	' г-	'
< /10 о	о \
0 10	о
. '	0 0 А(А + 1) -а; •
\0 0 -А(А + 1)2 о /
Поменяем местами третий и, четвертый столбцы и изменим их зн(ак; затем домножим третий столбец на ДА + 1) по прибавим результат, к четвёртому столбцу: ’	v ,
’ "'710 0	0	\ '	, , ’ . .
0 10	0	?
00 А , 0
. \о 0 0 А(А + 1)V
Таким образом/мы получили матрицу в нормальной диагональной форме (каноническая форма Смита). Корни’ определителя рав-ны Ai = 0, А2 = 0, Аз = -1 и А4 = — 1. Этим корням соответствуют следующие решения в нормальных координатах:' т ;
f „ . ;
21=2Щ, 22 = ^02, 23 = 2:036"*, 2:4 = (2:04 + 2озО	(5-1)
где 2:01, 2q2, 2оз и zq^ - начальные значения соответствующих координат. Так как решение (5.1) устойчиво относительно; нормальных координат, то решение относительно координат х также' устойчиво.
72
Глава 5. Устойчивость линейных автономных систем
Задача 5.2
Даны уравнения возмущенного движения:
Х\ =	— 2X2	.+ ЯЦ,
Х2 = —Х1 4- За?2 — Хз “ 2X4, .	, Хз =	.,,ч 3X2 — 2хз — 2X4, .	’ н
Х4 = —3X1 +.6X2 —» Хз — 4X4.	, ,
"	'i
Определить корни характеристического уравнения и исследовать устойчивость системы. |
Решение:
Найдем матрицу А —ЕХ для данных уравнений:
/1 —А —2	0	1 \
А-ХЕ- М 3"А -1	"2
А	0	3 -2 - А -2
X -3	6	-1 -4-А/
Умножим последний столбец на —(1 — А) и прибавим его к первому столбцу, затем умножим четвертый столбец на 2 й прибавим его ко второму столбцу. Далее, выполняя элементарные преобразования, получим вместо всех элементов в четвертом столбце нули, за исключенй-ем первого элемента:	<
/	О!	О ‘ ‘ 0	1\
1-2А	-1- А ' М О
,	2 77 2А -1	-2-АО, ; .	:
\1-3A-A2-2-2А -1 0/
Домножим второй и третий столбцы на —1, поменяем местами первый и четвертый столбцы:
/100	°	\
!	01 + А 1	1-2А
- 1	 0	1	2 +А ‘2-2А	’
\02 + 2А- Г- 1-ЗА-А2/	11
Задача'5.2 
73
Вычтем вторую строку из' четвертой:
/10	0	. 0	\
01 +А 1	1-2А
0 1 2 +А 2 —2А;
\0 1 + А 0 -А-А?/
Вычтем четвертую строку из второй:
/1 0	0	0 . • \
. .1	- v > . -	0 0. 1. 1-А + А2
,	0 1 2 + А 2-2А' ’
\0 1 + А 0 -А-А2 /
Поменяем местами второй и третий столбцу:
/10	0	0
0 1	0 1-А + А2
0 2 + А 1	2 - 2А
\0 О 1 + А -А-А2
Умножим второй столбец на (1 — А + А2) и вычтем его из четвертого столбца:	i .	<
/1 0	0	0	\
0 1	0	0
0 2 + А 1 -А - А2 - А3 '
\0 0 1 + А -А-А2 /
Умножим вторую строку на — (2 + А), прибавим ее к третьей строке и домножим четвертый столбец на —1:
/10 0	0	\
01 О' 0	•
0 0 1 А + А2 + А3 ;•
\001 + А А + А2 .)
Умножим третий столбец на (А + А2 + А3), вычтем его из четвертого столбца, домножим четвертый столбец на —1:
/10 0	0
0 10	0
001	0<	'
\0 0 1 + А А2 + 2А3 + А4
74
Глава 5. Устойчивость линейных автономных систем
Умножим третью строку на — (14-А) и прибавимте к четвертой строке:
/100	0	\
.	010	0	i
уо о i о
' \0 0 0 А2(А 4-1)2/
Матрица А — ХЕ приведена к нормальной "диагональной форме. Заметим, что инвариантные множители равны:	1, Е2 = 1, Е3 = 1 и
В4 = А2(А +1)2. Следовательно, матрица А — А©имеет два элементарных делителя: А2 и (А41)2, с соответствующими корнями: Ai = А2 = 0, A3 = А4 = —1.
Уравнение возмущенного движения в канонических переменных (см. [6]) состоит из двух блоков Жордана (см. нормальная форма Жордана; (5.40) в [6]):	;	г
<	' о , ч
21 = 0,	22 = 21, 2з =-2з,	2з - 24.
• '	’	0 /
Отсюда легко получить решение в виде
21 = 201,	22 = ZQ1t 4- Z02,	23 = 203б““\	24 = (z04 + 203*)	,
г п
Канонические переменные неустойчивы, так как z2 00 при t 00, и, следовательно, система неустойчива. ' — j г
, Задача 5.3 , ,	.	/.  * ,	} )Г ;
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения ' > - . \ х\ = —5a?i + 2хз 4-2i3 4- 5t2 4- 2£, г х2 = 41a?i 4-^ 5хг - 19хз ~ 19t3 - 41t2 - 10t 4- 2, Х3 = 5xi + 2x2 — Зхз — 3t3 — 8i2 — 4i
имеют частное решение:
xi ,= i2, Х2 = 2i, хз = —Z3.
5
Определить устойчивость этого решения и построить решение уравнений возмущенного движения в канонических переменных.
Задача 5-3 s'	ч.З
75
Решение: - 	-	,	>< »
Устойчивость решения
xi = t2,; Х2 = 2t, хз = — t3	(5.2)
может быть исследована при помощи соответствующих однородных уравнений, т.е. уравнений г(см. пример.3 из параграфа, 1.3 в [6]):
ii = —5xi 4- 2хз,
Х2 = 41xi 4* 5^2 ~ 19хз‘,	> '
хз = 5xi 4- 2x2 “ Зхз.
J ’	I	Л	<_	' 4
Матрица А — ХЕ для этой системы имеет, вид: . ( .
/-5-А 0	2	\
А-АЕ= 41 5-А -19	.	(5.3)
\ 5	2 -(З^А)/'
Разделим третий столбец на 2 и поменяем местами первый и третий столбцы:	...
! ? * '	/ 10 - (5 + А)\
5-А 41	.
'	1	‘ 2	2 ‘ 7 1.. ’	*	’
Умножим первый столбец на (5 4- А) и прибавим к третьему столбцу, третий столбец умножим на —2. Теперь, за исключением первого, все остальные элементы первого столбца — нули:
/1 ° ° \
| 0 5 - А 13 4- 19А	.
\0 2 54-8А4-А2/
Поделим второй столбец на 2, умножим его на —(54-8А4-А2) и прибавим результат к третьему столбцу:
1	0	0
q	5-А	(А+1)3
и	2	2
0	1	0
76
Глава 5. Устойчивость линейных автономных систем
Умножим третью строку на (5 — А) /2 и вычтем ее из второй строки; поменяем местами вторую и третью строки:
/10	0	\
( 01	0 I .
\0 0(А + 1)3/
Матрица (5.3) приведена к нормальной диагональной форме; она со-держит три инвариантных множителя
Е1 = 1, Е2 = 1, Е3 = (А + I)3.
Корень Ai = А2 = Аз = —1 - корень кратности 3 как для инвариантного множителя Ез, так и для уравнения. Следовательно, дифференциальными уравнениями в канонических переменных являются (см. (5.52) в [6])	,	,
*1 = “21, Z2 = 21 - Z2, Z3 = 22 “ 23.
Решение имеет вид:
/	t2\	,
Zj = ^01в *, Z2 = (Z02 + Zoit) е *, Z3 = I Z03 + 302< + ZO1— ) ё *. ' \ •	J
Решение устойчиво, следовательно, частное решение (5.2) асимптотически устойчиво.
Глава 6
Влияние структуры сил на устойчивость движения
Задача 6.1	/
В ^словиях задачи 3.9 составить дифференциальные уравнения движения и показать, что они содержат гироскопические силы. Определить степень неустойчивости в отсутствии гироскопических сил и показать, что система может быть стабилизирована гироскопическими силами.
{Решение:	.
1. В уравнениях (3.18) задачи (3.9) возьмем слагаемые, которые содержат производные первой степени, ъ е. 2тшу и 2тшх. Эти слагаемые приводят к матрице коэффициентов
/ 0 -г 2таА
0 у ’
которая является кососимметричной, что доказывает, что эти члены являются гироскопическими силами.
2. В отсутствие гироскопических сил при условии mcu2 > с коэффициенты обоих уравнений (3.20) отрицательны ci ’= С2 = с — гш1 < 0. Следовательно, степень неустойчивости'равна 2.-То; что гироскопические силы стабилизируют систему, показано в решений задачи 3.9.
78 Глава 6. Влияние структуры сил на устойчивость движения
Задача 6.2
Даны две неустойчивые потенциальные системы:
I) Q1 “ Q1 +2^2 +3дз = 0, II) qi — qi 4-2^2 4-Здз = 0, Q2 + 2gi + q2 = 0, q2 4- 2gi 4- q$ = 0 ?
Q3 4" 3gi 4-	qз = 0;	q$ 4- 3gi 4- #2 4- Q3 = 0.
Почему системы потенциальны? Почему они неустойчивы? Можно ли стабилизировать их гироскопическими силами?
Решение:	г . -	> <; f .
1. Обе системы потенциальны, так как матрицы, содержащие координаты, симметричны. *. 1 * Л / И ‘	'	* 4
2. В каждом случае для исследования устойчивости системы можно применить критерий Гурвица.
Для первой системы имеем:
/—14-А2 2	3 \
2	14-А2 0	.	< ! . /
\	3	0	14-А2/
При А = 0 определитель этой матрицы равен —14. На основании критерия Гурвица можно заключить,-что первая^ система неустойчива и не может быть стабилизирована добавлением гироскопических сил,; так как степень неустойчивости нечетная.
Для второй системы, при А = 0, получаем определитель
-12 3
Л 0 1
3/11
При других А этот определитель равен
-14-А2 ’2	3
2	А21 '
3	1 1 + А2
= А2 (А4 - 1) + 6 + 6 - ЗА2 - (А2 -1) -‘4(1+ А2) = А4 - 9А2 + 9. -
Отрицательный знак перед А2 показывает, что система неустойчива, но она может быть .стабилизирована добавлением к системе, гироскопических сил, так как число неустойчивых. координат равно двум. (См.
Задача 6.3
79
также задачу 3.9; при отсутствии гироскопических сил — 2тшу и 2mwx и при с < тм2 система неустойчива. Наличие гироскопических сил сделало систему устойчивой для всех с и ал')
Задача 6.3
Кинетическая и потенциальная энергии/гироскопического маятника в верхнем вертикальном положении оси симметрии равны, соответственно,
Т = | Jx(cbs2a/32 -Fd2) + |	- /3siiia)2,
П = Pl cos/3 cosa,
где a и /3 — углы, определяющие положение оси гироскопа относительно вертикальной оси, ср — угол собственного вращения гироскопа, Jx и Jz - моменты инерции гироскопа, Р — его вес, а I - расстояние от его цент'ра тяже’стй до точки 'подвеса.
{!' Используя циклический интеграл
дТ дф
= Ъ(Ф — /3 since) = Н — const,
составить уравнения движения оси гироскопа и определить, при каком значении момента количества движения Я верхнее положение маятника будет стабилизировано гироскопическими силами.
Решение:
Считая углы а и /3 малыми,Запишем кинетическую* й Потенциальную энергию системы: Ч	-	, , i ' г
 . Т = i Jx (а2 +'32) ч-'- /За) г1-'
' ‘	‘п=p'i(i-%)',p-fe).•
 . . , Pl , m ........................ „ „
где постоянная величина опущена: Тогда уравнения Лагранжа запишутся в виде:
Jxa - H/3-Pla = 0,
' ' Jx0 + Ha-Pl0'^O,	'
•'•••'V ат -  ..	.
Я = — =	(<р — <psma)	,
оф
80
Глава 6. Влияние структуры сил на устойчивость движения
с характеристическим уравнением
JxX2 — Р1 -НХ НХ JxX2 -Pl
или
J2 А4 + (Я2 - 2 JxPl) А2 +‘Р212 = о,
2 _ (Я2 - 2 JxPl) ± ^(Я2 - 2JxPl)2 - 4J2P42
_-(Н2- 2JxPl) ± х/Я4 - 4H2JxPl . 2^	„
Если Н > 2\/JxPl, то под знаком корня стоит положительная величина и оба значения А2 вещественны и отрицательны, и, следовательно, верхнее вертикальное положение маятника будет устойчиво в первом приближении. j - > ’ -
Задача 6.4
Дифференциальные уравнения возмущённого движения имеют вид:
4q + #Gq + Cq = 0.	(6.1)
Здесь (Ar.<G и С — постоянные квадратные (п х п) матрицы, причем А = А — положительно определенная симметричная матрица, составленная из коэффициентов инерции системы; G = — G — кососимметрическая матрица гироскопических сил; С = С ; симметричная матрица потенциальных сил; q — матрица-столбец; Н — положительный параметр. При Н = 0 система неустойчива. '
Доказать следующую теорему: если к неустойчивой потенциальной системе присоединить гироскопические силы, удовлетворяющие следующим условиям:
1)	det G / 0;
2)	прецессионная система HG q + Cq = Q устойчива;
3)	корни характеристического уравнения прецессионной системы простые,
Задача 6.4
81
то при достаточно большом значении Н неустойчивое движение будет стабилизировано гироскопическими силами [5].
Решение:
Напомним, что для кососимметричных матриц1 определитель матриц нечетного порядка обращается в нуль, а для матриц четного порядка определитель1 равен-квадрату рациональной функции его элементов. Следовательно, определитель кососимметрической матрицы любого порядка, элементами которой являются вещественные' числа, нёотрй-цателен (см. параграф 5.2 в [6]).
Сначала рассмотрим уравнение (6.1) и покажем, что его характеристическое уравнение . i л * . ;	'
|AA2 + HGA + C| = 0	>	.	(6.2)
содержит только четные степени неизвестного параметра А. Для этого обозначим определитель в (6.2) через Д(А). Тогда, заменяя А на — А, имеем	„	,	<
Д(—А) = |аа2-дса+,с|.	' ;	(
Так как перемена местами столбцов и строк не изменит определитель, имеем	>
Д(-А) = |АТА2 - HGTA + GT|.: 7 1
Матрицы А и С - симметричны, следовательно, Ат = А и Ст = С. Матрица G кососимметрическая, поэтому GF = — G (см. уравнение (5.16) в [6]). Следовательно,
Д(-А) >= |АА2 + HGX + G| = Д(Д). .
Это выражение доказывает, что в определителе, заданном1 формулой (6.2), А появляется только в четных степенях.
Из условия |G| / 0 следует, что п, порядок матриц, — четное число. Теперь, пусть п = 2s. По условию задачи система (6.1) неустойчива при Н = 0. Чтобы доказать, что при больших Н эта система становится устойчивой, необходимо и достаточно показать, что при больших Н все корни уравнения (6.2) чисто, мнимые, ,т. е. все X2 вещественные
1 Кососймметричной называется матрица, для элементов которой выполняется равенство aij = —a>ji	* ’	>	: т
6 Д. р. Меркин и др.
82
Глава 6. Влияние структуры сил на устойчивость движения
отрицательные числа. G этой целью, считая Н большим, введем малый параметр р = Я-1 и положим
Тогда уравнение (6.2) принимает вид:	'
( :> Н Я’ ’’1 < • Я- .	Я- Ч0'1:/	 • .' \	>’	•
Д(р,7/) = |д^	* . < (6.3)
f . Я	‘Т "	Л1. Ч, ‘	.
Таким образом, при р = 0 получаем	т
Д(р,0) = |Gp 4-С| = 0:	’	(6:4)
Если раскрыть определитель (6.3) и расположить все члены, по степеням р2, то коэффициенты этого уравнения будут зависеть от малого параметра р. На основании теоремы о непрерывной зависимости корней уравнения от его коэффициентов можно утверждать, что для достаточно малых значений Д,^т.е. для больших Я, каждый из п корней характеристического уравненйя! (6.2), которое соответствует дифференциальному уравнению (6.1), дежит в окрестности соответствующих корней уравнения (6:4). Корнй этого последнего уравнения чисто мнимые, так ^как по. услрвию система Яб-q 4- Cq = 0 устойчива.,
Обозначим эти корни и перейдем к А^. Получаем, что для больших Я п корней уравнение (6.2) лежат в окрестности корней:
‘ А^ =	, (& ==;1;'... ,.п) ., н /	, (6:5)
Я
’ ’J.*»'/ г	 -	\< \ "5 » '	, ><;	’	; . i	;. , I
Далее, пусть
А = Ну = д-17.	(6.6)
Подставим эти значения для А в уравнение (6.2) и разделим результирующее уравнение на д"2п. В результате получим характеристическое уравнение J	’	//
 A.fy’Д).= !^2 + G7 +.^С'Н °-	;
, Поделив’! на 7П; при ух = 0 получаем .	..	<
. A(7,O)=]A7+G|=O.	, tT \;1(J6;7)
Подобным образом можно показать, что4 п корней уравнения (6.2) находятся в окрестности чисто мнимых корней, уравнения (6.7). Следует заметить, что уравнение (6.7) мало отличается от уравнения (6.4) и,
Задача 6.4
83
в отличие от матрицы С, матрица А положительно определена. Обозначим корни уравнения (6.7) через 7^г; они связаны с Хк соотношением (6.6). Таким образом, п корней уравнения (6.2) лежат в окрестности корней:
= ±H'7ki (к = 1,..., п).	(6.8)
Выражения (6.5) и (6.8) доказывают, что при больших // неустойчивая система (6.1) может быть стабилизирована гироскопическими4 силами.
Сделаем два следующих замечания:
1. Корни должны быть простыми, так как при переходе от уравнения ;(6.4); к (6.3), если корни ^характеристического. уравнения (6.4) не будут простыми, то корни уравнения (6.3) могут иметь малые вещественные части.
2. Величины — в (6.5) и Н'Ук в (6.8) равны частотам гармониче-Н
ских колебаний. Параметр Н в гироскопической системе пропорционален угловой скорости гироскопа, которая очень велика; (150000-200000 об./мин). Полученные равенства для частот показывают, что частоты (Ук\	~	ст -
yjjj малы, а периоды соответствующих! колебании велики. Такие колебания называются прецессионными, и при наличии диссипативных сил они затухаютСмедленно'. Другие,частоты {Н'Ук) велики, а период соответствующих колебаний мал. Эти колебания называются нутационными, и при наличии диссипативных сил они очень быстро затухают. В прикладной теории гироскопов,^как, правило, нутационные колебания не учитывается.; , »	> гэ г?.	,	1 нг.
Глава 7	.-/Г,.
<::n	;» ;	•’ :r •.	. > ri
Устойчивость неавтономных систем
1  >	• ''	' '	’ ’d - . ''».j
“’*< .V/'	• 'a J’ '>•,<’	:	•
. 	-• v s	; ;</r-	,
З адач а 7.1
Дифференциальное уравнение возмущенного;движения имеет вид:
. ' х -р (2 -пл/b — a:2.sin^ tj х = 0, у /
•Р :< /. " ,' Ч'	•' г:,	'	.> ч ' ’"н'ч
где а т= const. z	1	’ . ?т
Какому условию'должно удовлетворять число aj чтобы* обеспечить асимптотическую устойчивость системы относительно е й i? ’
Решение:
Это уравнение совпадает с уравнением (7.23) в [6]. При a(t,e,e) = const эта система устойчива при условии, что выполняется (7.43) в [6], где В и b — максимальное и минимальное значение функции /3(£,е,е). В задаче 7.1 эта функция равна
/3 = 2— \/1 — е2 sin31.
Очевидно, что В = 3 (при е = 0и£ = тг)иЬ=1 (при х = 0 и t = ^)-Таким образом, в силу (7.43) в [6], система асимптотически устойчива при а > у/3 — 1.
Задача 7.2
..р/' <
85
Задача 7.2
Возмущенное движение определяется следующей системой однородных линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами:
, ;	±1 =	— xi + sin t • Х2,
Xq —— COS>/> * Xi	“^2 ~ Sin t * T3,
x$ =	cos t • a?2	—T3.
<	* <	i r‘	'	। < »	'‘ •
Проинтегрировать численно эти уравнения на отрезке времени [0,2тг] с начальными условиями:
_ J1, k=j,	‘’
>- 	«-	|<о, А:/0.	•	
Получить фундаментальную матрицу А, найти корни характеристического уравнения. Сделать контрольную проверку и определить устойчивость системы.
• , ” ’г .	г\ • • /1-> . , 1	'	он	:
Решение:	3 ‘‘м f	< л
Эту систему линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами (период равен 2тг) следует интегрировать численно, используя любую подходящую j программу на промежутке* интегрирования [0,2тг] с заданными начальными условиями. Далее можно получить матрицу, соответствующую (7.61), и уравнение, подобное (7.64) в [6]. Решая это уравнение, получаем корни характеристического уравнения:	, и	> п
? pi = 2.566519 • 10"5, р2,з = 0.008405 ± 0.013532 г.
Так как по абсолютной величине эти корни меньше единицы, то система асимптотически устойчива. {	/	- , • >
Используя .	,	о	.
’ е г 2тг. V -' { / i ’  2%»	- I, 1 ‘ У 1	> ‘
Р1Р2РЗ = е*Р)^ Sp (P)dt = exj) j (~3)dt, с '(?/>•<<,.	, 1 : о
можно проверить точность или правильность результатов. Проверка дает хорошее соответствие:
Р1Р2РЗ = 6.512428 • ДО"9, ехр (—бтг) = 6.512412 ; 10"9. 4
86
Глава 7. Устойчивость неавтономных* сйстем
Задача 7.3
Уравнения возмущенного движения имеют1 вид: -	1	
Xi = —xl + cos2t • ^1^2)
#2 = (1 + sin2 t) x2#2 2^2-
Требуется исследовать устойчивость невозмущенного движения
Xi = Х2 = 0.	' ‘	u‘ ‘b : >qf t
.	, 7 i. '..’Л, Г.\ ‘I
Решение:	r
Рассмотрим следующую функцию Ляпунова для этой системы:
Это положительно определенная функция, не зависящая явно от времени. Ее производная по времени равна	„ t /
’ • ' '	' < ч Л1 V /” 1. । < j г ’	Д7* -1 ‘	. • L) < 17'	•	11с	> i	,
1 у = xixi + Х2Х2. и	i 1 , tu ’	чона; . . '	.• ‘	i
Подставляя ±i и ±2 из У равнений (7Л), получаем	/лч.
..	It  ’ i	)Ч_	1 _tj-	"
У =	+ cos2ix2X2,4-. (1	t)^2^	? с
что после замены cos2t на cos21 — sin21 дает	, r и r
’чу±(—х1 +'(1 + cos2 f) x2&2 ^2±2- и (7.2)
Правая часть этого равенства представляет собой квадратичную функцию относительно х2 и х%- Докажем, что V отрицательно'определенная функция. Для этого воспользуемся критерием Сильвестра. Матрица коэффициентов для переменных я2 и а?! имеет вид:
Л / /ч 7	-1	*	(1 4^ cos21) \
(1 + eos’t) —2	)
Отсюда имеем
Д1 =‘aii •= —1, Д2 = П11П22 ~ ai2°2i =‘2 — •— (1 4- cos2,t) .
Задача>7.4
' 31~
87
Таким образом,
Д1 < <51 = — 1 < О, А > <5г = 1 > О ( при t = 7гп, п = О, i, 2,.. ^).
' t 1 1 ' ,
Эти неравенства показывают, что выполнены условия (7.7) в [6], и, таким образом; V — отрицательно определённая функция относительно х% и я?!, aJ следовательно, и относительно xi и xg. Функция V положительно определенная, а ее производная по времени отрицательно определенная. Следовательно, для системы уравнений (7.1)7выполнёны все условия теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости.
' '	;	j	1 И	. 1 ,	.и, <1
Задача 7.4	> х/
Исследовать на устойчивость следующйё уравнения возмущенного движения:
. _ cos2i Vl + sin2t
о
• _	^1^2
х/1 4- cos21
X*- . J***2 \/l ,+ COS2 t ,
-х|.,
Решение:
Рассмотрим положительно определенную функцию:

Ее производная по времени в силу уравнений возмущенного движения равна
• cos21	3 о
г....
V 1 4- sin21
Функция V положительно определенная во всей плоскости ti,X2, а ее производная положительна в смысле Четаева в области ii > 0, Х2 < 0. Таким образом, положение равновесия х\ = 0 и #2 .== 0 неустойчиво по теореме Четаева.
88
Глава 7. Устойчивость неавтономных систем
Задача 7.5
Уравнение возмущенного движения имеет вид: х 4- (к - 2 cos2 0.051) х = 0.	(7.3)
Определить, при каких значениях к имеет место, параметрический резонанс. .	।	(
' ,	’ Н * * i	1 ,	,	' ’
Решение: ?	7
* X	 -	-	‘	>
Это уравнение можно легко преобразовать в уравнение Матье (7.89) в [6]. Для этого воспользуемся равенством
2 cos2 а = 1 4- cos 2а.
Тогда (7.3) представляется в виде: '..	1 м '	>	’	.	!
(fix
4- (к — 1 — cosO.lt) х = 0.	(7.4)
dt2 „ х
Теперь введем безразмерное время, положив, г = O.lt, так что dr dt
= 0.1,
х
X
_ dx __dx dr —Q^dx dt  dr dt dr’ (fix ' ’'	.* r
= 0.01—. dr2
Тогда можем записать уравнение (7:4) в вйде:
(fix	\ л
4- (о 4- еcost) х = 0,
где
<5 =	1) е = -0.01.
0.01 ’
. V V	‘	'	Ч 1 rfi
При малых е параметрический резонанс имеет место в точках Я = -j-- . f * -	vfi ,
Эти тойки соответствуют к = 1 4- “j"0*01 (^ = 0» 1? 2,3,...).
Глава 8 ,
Устойчивость упругих систем
Анализ устойчивости упругих конструкций является очень важным во многих инженерных областях, таких как кораблестроение, авиа; и ракетостроение, архитектура и гражданское строительство. В данной главе рассматриваются задачи устойчивости упругих конструкций, находящихся^ под действием,статических нагрузок. Обсудим кратко три основных критерия, обычно использующиеся для таких исследований^ Пользуясь этими критериями, можно исследовать устойчивость, раз-, личных систем и определить критические значения консервативных и неконсервативных сил.	(
Статический критерий устойчивости.
'Смежные^ормы равновесия . Метод Эйлера
В классических задачах линейной' теории упругости, когда допускаются только бесконечно малые деформации, предполагается, что условия равновёсия выполняются за счет сил, действующих на недефор-мируемую упругую систему. Это допущение, которое существенно-для тедрёмы Кирхгофа [8,J 13],’ведет к существованию единственного решения такой линейной системы.
Согласно теореме Кирхгофа задача о равновесии любого упругого тела в линейной постановке имеет единственное решение с точностью до перемещения тела как твердого целого. Это решение непрерывно зависит о^ внешних возмущений .^внешних сил и заданных перемещений
гВ литературе иногда рассматривается также четвертый критерий, называемый “критерием начальных несовершенств”[3, 10].
90
Глава 8. Устойчивость упругих систем
на границе тела), т. е. является устойчивым. Для справедливости теоремы Кирхгофа достаточно, чтобы потенциальная энергия, накопленная в теле в результате деформаций, была положительно определенной функцией деформаций.
В формулировке задач бифуркации условия равновесия удовлетворяются за счет сил, действующих на деформированную систему. Это приводит к нелинейной постановке задачи в том смысле, что перемещения не являются линейными функциями приложенных внешних сил.
Уравнения бифуркации получаются при рассмотрении вариаций нелинейных уравнений.ЛЬ есть каждая 'Неизвестная,величина х .в этих уравнениях заменяется на ж0 4- 6х. Здесь ж0 описывает ’’начальное равновесное состояние”. Устойчивость такого начального состояния, удовлетворяющего нелинейной системе уравнений, должна быть исследована. Дополнительные перемещения или вариации 5х описывают смежное равновесное ^состояние, которое бесконечно близко к начальному состоянию: Эти вариации удовлетворяет линейным однорбдным уравнениям (уравнениям ветвления1;выпучивания‘или бифуркаций) и однородным граничным условиям,* которые получаются как результат линеаризации’изначально нелинейных уравнений относительно 6х} (см параграф 1.1 в [6])‘. Рассматривая нетривиальные1 решения уравнений бифуркаций, можно получить велйчйну критической силы. При'таком подходёудобно пдлагать, что нагрузка4 меняется пропорционально параметру нагружения А > 0. Тогда переменные xq описывают первоначальное положение равновесия, акоэффициенты уравнений бифуркации зависят от параметра А. Таким образом, задача о потере устойчивости сводится к задаче на собственные значенйя. Нгьиме^ьшёе" (положительное) собственное значение принимается за величину ^критического значения А = А*, соответствующего бифуркации в новое положение равновесия.. Такой подход называется статическим критерием или критерием Эйлера,так как именно Эйлер впервые применил этот критерий в 1744 году для исследования устойчивости шарнирно-опертого сжатого стержня [11].	; - , г	i
Пример 8.1	:< . Г .	,
Пользуясь критерием Эйлера, получить критическую нагрузку потери устойчивости шарнирно опертого стержня при бсевом сйсаЬгйй^рис. 8.1).
Длина стержня — Z, момент инерции попёрёчного сечения относительно центральной оси — Z, модуль Юнга— Е, осевая сила — Р.
Статический критерий’ устойчивости
91
Рис. 8.1
'	1	' '• '.'И Z	*‘Я '	> ' ' .
j >	; j »•	л . , '	< 1 <	1	.	'	 ’ ' <t	' - я	।
Решение:	v
. Равновесие стержня: описывается уравнением	< -	» >;<
т^-rd^w (Pw л
- С-   -	(’••Ч
I. ' >• U, '		I .	*	,	. '	> * '	< 1	.1 
где w — поперечное перемещение стержня. Граничные условия для*свободно, опертого стержня имеют вид:	н .	,;г
w(0) = 0,	=°, w(/)=0,	-т-г-	=0.
, dx\ г=0 -	..dx^ x=i
Необходимо определить значения величйны Р, при которых уравнение допускает нетривиальные решения.
Общее решение; уравнения (8.1) имеет вид: ч <
f ч ь’г’о	п Asinfcr +'Bcoskx + Cx '+ру , г ^.(й-2)
гдё"'к;;‘ ' 1 Jf'	' J ’’	1 ’
( f г	А;2 = или P = EIk2, , , J
Подставляя (8.2)в граничные условия, получаем* ' т *
_ ,	м B = C=D=>0, sinfcZ = 0.	,	<В;3)
Наименьшее ненулевое значение kl, удовлетворяющее (8.3), равно тг. Следовательно,
-	....... р	'
92
Глава 8. Устойчивость упругих систем
Этот подход имеет несколько недостатков. Во-первых, он не отвечает прямо на вопрос об устойчивости упругого тела. Он связан с этим вопросом довольно косвенным образом, поскольку определяет лишь нагрузку (нагрузки), при которых существуют бесконечно близкие смежные положения равновесия. Во-вторых, подход Эйлера не учитывает распределение массы в системе, и "в некоторых случаях он может давать неверный результат. Например:
1) когда начальное положение равновесия становится неустойчивым без появления бесконечно близких положений равновесия и система начинает испытывать явление флаттера (см. вторую часть решения задачи 8.1);	,	, ,
2) когда исследуемое положение равновесия устойчиво и существуют близкие положения равновесия, но они неустойчивы (см. [10]). Для многих неконсервативных систем результаты, полученные1 на основе статического критерия, оказываются неверными (например, исследование устойчивости стержня под действием осевой сжимающей следящей силы). Тем не менее, для консервативных систем этот подход дает верные результаты. К сожалению, на сегодняшний день не установлено никаких надежных критериев, которые можно было бы использовать для классификации типа задач или условий, для которых метод Эйлера приводит к верным результатам.
Энергетический критерий устойчивости.
Метод Лагранжа-Дирихле
При исследовании устойчивости равновесия упругих систем удобно пользоваться энергетическим критерием. Он основан на теореме Лагранжа-Дирихле, которая утверждает, что еслй для механической системы под действием статических консервативных сил с идеальными голономными связями2 потенциальная .энергия в положении равновесия достигает строгого минимума (т. е.'положительно определена), то это положение устойчиво. Например, чтобы, доказать,, что система, с одной степенью свободы имеет устойчивое положение равновесия, нужно вычислить потенциальную.энергию этой системы П и показать, что П' = 0 и П" > 0 в положении равновесия.
2 Работа, совершенная идеальными связями на любом виртуальном перемещении, равна нулю. Голономные связи не зависят от скоростей и ускорений.
Энергетический критерий устойчивости
93
Пример 8.2
Исследовать устойчивость> изогнутого стержня, рассматриваемого в примере 8.1. Такая форма описывает закритическое состоянйе стержня.
Решение:
Если один конец стерйсня может смещаться только в осевом направлении,, то, главная деформагщя после потери устойчивости»— изгиб. Положим, что стержень нерастяжим вдоль своей продольной оси. Тогда осевое перемещение u(s) равно	г :	>
71 (s) — — / (1—COS 0) б/s,	' .7'
JO
< ,;	dw
где s — координата вдоль оси (рис. 8.1), 0 = —-тангенс угла наклона
ds
изогнутого стержня. Изгибающий момент равен; f,t t
так что потенциальная энергия принимает вид:
, НИ*) ’-/‘J—
Для малых, но конечных деформаций упругая кривая может быть ап-7TS	' '
проксимирована первой формой, т.е. wi = sin—. Тогда решение для изогнутого стержня в первом приближении имеет, вид:- ,
0(s)=c0i(s), где 0i(sj = cos^.
•’ < ।	< u, ‘	‘	1	• >>	‘	 Ор Ч1( •	
Так как 0 мало, имеем -(
coS0 = ip-i02 + ^----> ’
1 - cos 6» = ifl2 - ^-б>4 - • • • 2	24
94
. Глава 8.': Устойчивость упругих систем
Далее:
„ Е1п2с2 Р<?1 Pc4l El / 2 Р 2 Р 4\	„ тг2Е1
П--4Г-— +:^=4г(с-^с+№:с)’ р- = ~р~,
(8-4)
EI Р\ ЗР 2\
... .	J“.4i(2V РСг)+ЛРстС)'
Уравнёнйе (8.4) имеет' Два корня: ci = 0/которой соответствует недё-/ - г с г г	Itp-jps 1	‘	>
формированному стержню, и сг = ±2v^.y —	, который суще-
ствует только при Р > Per и соответствует форме выпучивания описываемой первой собственной функцией. При с = О
Эта величина положительна только тогда4, когда Р < Рсг, т. е. недёфор-мированный стержень устойчив при всех Р меньших, чем критическая * г	8 (Р — Р )
нафузка, и неустойчив при всехР > Рсг. Когда с2 = —-—	— то:
n"^pWi р V зр ^(Р-Рсг)\^^Е1(Р^ Рсг)
с 41 V V Per) ^Pcr Per > Г I Per ’
< ' ‘	” 1	v И *	•
Эта величина положительна при Р > Рсг, т.е. изогнутый стержень
устойчив при всех Р > Рсг- Подробнее эта задача рассмотрена в [1, 3, 7, 10]. ’
Динамический критерий устойчивости; Метод Лагранжа-Ляпунова
Самый общий подход к исследованию устойчивости заключается в том, чтобы рассмотреть свободные колебания упругой системы относительно ее положения равновесия и исследовать возмущение этого движения. Этот метод, называемый динамическим критерием анализа устойчивости, был первоначально предложен Лагранжем для консервативных механических систём. Позднее А. М. Ляпунов создал точную
Динамический критерий устойчивости	95
математическую теорию устойчивости движения и дал .строгое,определение, устойчивостиуравновесия, как частного случая движения. Равновесие механической системы считается устойчивым, если за счет выбора начальных отклонений от этого состояния (перемещений и скоростей) можно сделать сколь угодно, малыми отклонения в любой другой момент времени.
Динамический критерий может применяться в любой задаче об устойчивости упругих систем, но следует, заметить, что исследование устойчивости возмущенного движения — гораздо более сложная задача, чем задача, соответствующая ’критерию Эйлера — определение нагрузок, при которых система допускает нетривиальные положения равновесия. Поэтому, если это не необходимо, динамический критерий редко используется при исследовании устойчивости положений^равновесия. Важно отметить, однако, что для определенных задач об устойчивости этот метод является единственным надежным. Примерами таких задач могут быть: исследование устойчивости конструкций под действием динамических и неконсервативньт нагрузок^ устойчивость упругого тела в потоке газа, задачи параметрической устойчивости.
Нагрузка являемся консервативной, если работа при деформации зависит только от начальных и конечных состояний системы и не зависит от пути. )В частности, силы, постоянные по величине й Направлению, являются консервативными.г Однако эти силы не охватывают 'всего класса консервативных нагрузок. Силы гидростатического давления, направление которых зависит от деформации, также консервативны. Заметим, что только динамический критерий гарантирует правильный результат, когда среди сил, действующих на систему; 'есть’ неконсервативные.силы3.	ч Г X. ?
Пример 8.3	,,
Применяя динамический критерйй, исследовать устойчивость положе-нияфавновесия w = 0»для*свободно опертого стержня при осевом сжатии (рис. 8.1). Стерженк имеет плотность материала'/). (Заметим,1 что в отличие от статического критерия при использовании динамического критерйя нужно знаты распределение массыг системы.)
3Согласно [6] (см. параграф 6.2) сила R = —Pq-> компоненты которой являются линейными функциями обобщенных координат q, с кососимметричной матрицей коэффициентов Р = (pkj) называется неконсервативной силой.
96
Глава. 8. Устойчивость упругих 'систем
Решение:
Малые свободныеколебания стержня около положения равновесия w = 0 описываются уравнением '	• '
— rd^w _d2w d2w
где t — время. Общее решение уравнения (8.5) имеет вид:
г'	w(x,'t) =‘A siii(urt + a) ;
где Айа могут быть найдены из начальных условий. Положение равновесия устойчиво, если частота и вещественна. В противном случае мы имеем две комплексно сопряженные частоты, которые соответствуют двум решениям,,одно из которых неограниченно возрастает со временем. Чтобы найти W (х), рассмотрим уравнение с граничными условиями
(М)
d?W dx2
Характеристическое уравнение, соответствующее уравнению» (8.6), имеет вид: •	,	л/' 	'	л,.
= о, w(Z) = o, х=О	j
Х=1
= 0.
= 0.
к4 + Хк2 -Q2 = 0, А = -^?,	Q2=w2-£-'	>
и решение
W (х) — A sinh В cosh А^я 4- С sin A?i ж;4- D cos k\x, ,	(8.7)
где kl = | (x/A2 4- 4Q2 4- A), a k% = | (x/A2 4- 4Q2 — A). Подставляя (8.7) в граничные условия, получаем В = D = 0, и sinhA^Z, sinfcii к2 ыпЬ — А?? sin&iZ
Наименьшее ненулевое решение этого уравнения равно к\1 =17г. Заметим,» что. Я вещественна, если Я2 = kl (А;2»-; А) >Д), т.е. если А < А;2 = 7Г2	.	.	.	к). ' - ь	.
= -ту. Тогда критическая нагрузка соответствует наибольшему А, при о ^EI тт котором выполняется последнее неравенство, т.е. ВСг =  ^р^Поло-жение равновесия устойчиво, если Р < Рсг.
Задача 8.1
97
Задача 8.1
По горизонтальной трубке АВ течет жидкость, как показано на рис. 8.2. Трубка имеет длину L, модуль упругости Е, и момент инерции ее поперечного сечения равен JL Скорость потока равна': V, за секунду через трубку протекает масса жидкости т., Определить?устойчивость трубки, если:	л. < *
1) оба конца трубки свободно оперты;
2) один конец трубки жестко заделан, а другой — свободен.
Решение:
Уравнение равновесия трубки записывается’в виде:
'	" _Td4:y v'rdPy * 1д '
(8-8)
ИЛИ
#У' | ^2<*У_П dx?, ~ :
r., mV где№=;—.	тхр"-?
Решение этого уравнения имеет вид:
у = A sin Кх 4- В cos Кх 4- Сх 4- D.
1) Если оба края трубки свободно оперты, то граничные условия имеют вид:	.
3/(°)= °. Й1 ;=0> 2'(ь) = 0> Й1 =° v 7 dx21ж=0	dx2 \x—L
7 Д. Р. Меркин и др.
98
Глава 8. Устойчивость упругих систем
Из этих условий следует, что	: 4
- -	' -В = 0, С = 0, Р’=0
• -or ,? i ”’Ч,.	'	
и sin KL = 0. Это означает,.что критическое значение параметра потока (скорости, или массы жидкости, протекающей за секунду) может быть определено из равенства
А .	.	/ rni 1Г*Е1 , е	.
(mV) |сг — £2 ’
2) Если один край трубки жестко заделан, а другой — свободен, то граничные условия принимают вид:	।
„(О)-», ^1	=0,'^|	=0^1	=0.	(8.9)
аж1а;=0	dx2\x=L dx6\x=L
В этом случае ^никакое нетривиальное решение уравнения (8.8) не может удовлетворять драничным условиям (8.9). Следовательно, в этом случае следует рассматривать уравнение возмущенного движения:
™д2У Э2у . ^т^У _ n
v at2 + vdx2‘+ EIdx* 0
ИЛИ
д*у mV d?y m d2y _	• - •;	
 .дх** ERdx2 t ElVdt2 ~
Пользуясь методом разделения переменных у (х, t) = X (х) Т (t), пдлучим	-, ;
1 /d4X К2^Х\ _ m 1 #Т
X\dx4+ dx2)~ EIVTdt2~ '
Из этих двух уравнений можно заключить, что
cfiT	\EIVrr, n	m л . . л .	2 KEIV
-Z5-H-------Т = 0,	Т = Asin (cut + о),,	cu2	=	,	v-(
dt2 m	• 1 m< 11,1 • *
^4+ №^4-AX = 0.	... (8.10)
i	i 1	) ax4, 1 ax2	i
Характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (8.10), имеет вид:
S4+W-A = O,
Задача,8.1	r	99
его корни равны
,2_ утрт^л-к» 2_ _-,2W+S+£! . (811,
: ' . ’ -ГНУ. -k т ’
Таким образом,.решение уравнения (8.10) имеет вид:
-- U’ - vr A ...	;
X (х) = Я sin S2X + В cos S2X 4- С sinh s^x 4- D cosh s^x.
Из'граничных уровни (8.9) имеем	' 1
Х(0) = 0, ^>,0, "<й=0, ^>=0.
dx	dx^	\dx2
Используя эти условия, получим:	\ 1
В = —'D, As2 = —Csi \
и
Csi («2 sin («2^) + «1 sinh ($iL)) 4- D (s2 cos (j&L) 4- s? cosh ($iL)) = 0,
Csi (s| cos (JhL) 4- sj cosh (siL)') 4- D (sf sinh (siL) — 8*п (^L)) = 0.
' Два* последних уравнения составляют систему линейньгх однород-ньгх>г уравненийотносительно С<и -D, определитель’ которой должен обращаться в нулй, чтобы обеспечить, существование нетривиального решения, т. е. характеристическое уравнение принимает вид:
\ CJ‘r'
$14- $2 + 2«1«2 cos ($2b),cosh (siL) — si«2 ($i — $2) sinh (si^) 8*п (82-Ь) = 0.
Из соотношений (8.11) имеем	t : С
.	*	, 1 «^+'«2 =	81$2 =<А/ г$2 — ySp= К2:
Д ,	/ У J	.ПУ xf:	.4,	” 7 ’	- '
Сучетом этих соотноше^ий характеристическое уравнение, преобразуется к виду:	п /
F (К, Л) = К4 4- 2Л 4- 2Л cosS2L cosh s^L 4- л/л№ sinh siL sin S2L «== 0,
или4в безразмерном вйДё: »
F(K,A) =K24-2A4-2Acoss2cdshsi 4- VA#sinhsisins2 = 0-
7*
100
Глава 8. Устойчивость упругих* систем
Здесь
„.. 82 — 82L, Si — SiL,
А — безразмерный частотный параметр, а безразмерный параметр К связан со параметром потока по формуле:
Л = AL4 = Ш2^-, К = K2L2 =	;
Зависимость К от частотного параметра Л показана на рис. 8.3.
ё В, предельной точке N ^д20Д9) первая и вторая частоты системы! сливаются,, иуцри X > Kir система становится неустойчивой. Следовательно, критический параметр потока равен - ,,	lt
’ '	*	'20.I9EZ	' г
(тпУ)|сг~—.
Задача 8.2	* г
Применяя динамический критерий исследовать устойчивость положения равновесия w = 0 невесомого стержня, находящегося под действием осевой следящей силы.: Стержень закреплен у основания," si Наверху имеет массу тп (рис. 8.4).	’
Решение:
Состояние стержня описывается дифференциальным уравнением,,
__d4w	d?w
. .	' ,ez—+,р—-о
dx*	dx2
' (8.12)
Задача 8.2
101
с граничными условиями:
w = wf = 0 при х = 0;
и w" = 0, EIwm = otz
при х = I.
Решение уравнения будем искать в виде
7:	; -w^xty = f (x)^n(Xt + е),	1 '	(8.13)
гдёА — частота колебаний, /(ж) и е — неизвестные. Подставляя:(8.;13) в (8.12), получаем ’ f “	“ ’
fIV + k2f" = 0, k2 = £f. 151
.	. r’ П.’	.<>'	• Л' h < ’ "u	’
Решение этого уравнения имеет вид:
>	/(i) = A + B^+Ccosfcx + Dsinfca?. /
Подставляя решение в граничные условия, получаем характеристическое уравнение, из которого следует:
1 4	‘ и Л к3ЁГ 1
—______ - -
ml3 sin kl — kl cos kl ’
Тогда перемещениё стержня описывается соотношением:
w(x, t) = C(tg kl — kx + sin kx — tg kl coskx) sin(At + e).
102
Глава 8. Устойчивость упругих систем
Когда величина А имеет вещественное значение, стержень совершает колебания около положения равновесия w = 0, в противном случае он отклонится от этого положения.Шоэтому система устойчива, если k3EI Xl! >Q ml3 sin kl — kl cos kl “ * $
Положим z = kl. Неравенство
sin z > z cos z 4	X "
выполняется при 0 < z < 4.493. Критическая нагрузка соответствует наибольшему значению z, при котором’выполняется приведенное выше неравенство, т. е.
„	20.19EZ
ГСг — J2 • "	’-г;	‘ с
При Р < Рсг система устойчива.
'	\	< - 'U М	- Л	’
Задача 8.3
Круглая пластина имеет радиус’ и нагруженатаким образом, что вектор напряжений имеет, радиальную ^компоненту интенсивностью —То- Пластина жестко закреплена по краям. Используя теорию пластин фон Кармана, исследовать устойчивость пластины, пользуясь критерием Эйлера в предположении, что деформация осесимметрична и нет действующих объемных сил, то есть дз = 0.
Решение:
Дифференциальные уравнения этой задачи таковы:
1 d Г d fl d f dW\\\ 1 d f dW\ r dr ( dr \rdr'\ 'dr J J) r dr \ dr J
, (8-14)
r:i .!  1 d fl d ,"2—Л : lafidW\2‘ Eh dr \r dr' 'j ’  ‘ 2 у dr ) '• Граничные условия, соответствующие пластине, показанной на рис. 8.5, имеют вид: *	. .	- '•
<ffr(0)’ n.	<W) А.
‘------------= о. -*"0’
Тг(Я) = -Го;	^1	-О.".
(8.15)
Задана8.3
103
Уравнения (8.14) учитывают симметрию задачи. Положим
ld$
г dr'
(8.16)
тогда система (8.14) принимает вид:
D
d$ dW а
dr dr
1 d /l^d , d$\ 1= _ 1 (dW\2 Eh dr \ r dr' dr I 2 \ dr J
(8-17)
Введем безразмерные величины:
R’
2 д fl2To _ 12(1-^yR2T0'
D ‘	- h3E ' J>’
MEY/2 1 ‘‘И'КЯ). „m-Jl 1
’“’"(Ji) R(~d(~' Р®-1+КТ0(~ЗГ- ? 8> x z	•	,4	..... v-| , •
С учетом формул (8.18) система (8.17) примет вид:
г i
1 d ('*dq\	ч2/. ч _ ^ lr-d ('Adp\ 1 f2
v %)+A	; v ас) “~2?‘
'.(8-19j
с граничными условиями
^ = 0;	^ = °;	,9(1) = °;	p(1) = o. (8.20)
Заметим, что	. x
?	‘ q° = 0-,	p°=0	(8.21)
104
Глава 8. Устойчивость упругих систем
является решением (тривиальным) системы (8.19), (8.20) для всех значений’А7 Мы хотим найти те значения А, для .которых существуют нетривиальные решения,"соответствующие изогнутым состояниям пластины. Линеаризация системы (8.19) вблизи решения (8.21) дает
ЙЙ3;Ю+а29 = 0; р = о- (8-22) С*5 «С \
Нетривиальные решения линеаризованной задачи суть
' q„ = jJi(M),	(8.23)
где Ji — функция Бесселя первого рода первого порядка, С — произвольная постоянная, а Ап — решения уравнения
Ji(An)=O. “	(8.24)
Наименьшим корнем уравнения (8.24)’ является Ai = 3.831706, и соответствующая нагрузка равна
: . ‘	'/ ”• Тост = 14.68197^.' \	(8.25)
Таким образом, точка (д = 0, р = 0, Ai = 3.831706),. определяет точку бифуркации системы (9). Так как Ai — простое собственное число (геометрическая и алгебраическая кратности равны единице), следовательно система (8.19) также имеет точку (q = 0, р = 0, Ai = 3.831706) как точку бифуркации; то есть, по критерию Эйлера, потеря устойчивости происходит при А > Ai.
Задача 8.4
Исследовать устойчивость упругой пластины, помещённой в жесткий цилиндр*(см. рис.,8.6) и прикрепленной к жесткой,трубе, которая вращается вокруг своей геометрической оси с постоянной угловой скоростью (V.
Решение:
Опуская подробности, напишем решение для компоненты напряжения огг в тривиальном положении:
^,^(l±r-’^(L)2).	(8.26)
\ о	о \гС/ J
\3адачаг8.4;^
105
Рис. .8.6
Дифференциальное уравнение заданного движения получается, если предположить, что W — функция от г и времени t. Тогда
,., 1 д Г д (1 д (	o2W 1 д
г дг \r dr \ dr ) J /	dt2	г дг
при условии, что
w(R,t) = 0\
' и 0 9W\
(8.27)
(8.28)

При записи уравнения (8.27) мы воспользовались тем фактом, что Тг = и что единственной распределенной силой является сила инерции, т. е. дз = ~pvh(d2W/ dt2). Введем теперь безразмерные величины
' ; pou2R4	W
Х R’
р hpoR4
(8.29)
Подставляя формулы * (8.26) и (8.29) в соотношения (8127), и (8:28);. мы
получим	г
1A LA (А А (ЛШ	'
х дх \ дх \х дх \ дх)) ) дг2
;.у(1,т)=0; ё(1>г) = °-
(8.30)
(8.31)
106
Глава 8. Устойчивость упругиххсистём
Для решения краевой'задачи (8.30) и (8.31) воспользуемся методом Галеркина. При этом мы предполагаем:
N	-
у(х, г) =	CiRi (т)I ехр(гЬт),	(8.32)
г=(Х	‘
где Ci — постоянные, Ri — заданные функции, а частота Q должна быть определена. Из формулы (8.32) следует, что при вещественных значениях Я имеет место устойчивость. Возьмем Ri в виде:
Ri = (1 - 2х2 £х4) x2i,	(8.33)
и N = 5 в формуле (8.32). Подставляя решение (8.32) в уравнение, (8.3}0) и умножая результат на т/^(х), после интегрирования получаем:,
н	, -
=	'	1	1(8.34)
, '•	" 	»=о	'	J
где 1
А..=
t} Jo (' / dx \xdx \ dx J J j 2\ \ 1	( /1 v 3 + 1/ 2\	1 n z \j
.. 12(1 I/?A,xdx V\ 8.,IJ(	8	1 : T
.	?	; и.н ~ Bij — I •RiRjxdx.'''i ; ?	> (8.35)
Jo
Нетривиальные постоянные Ci существуют, если Я удовлетворяет следующему уравнению:
|Ао-П2Во| = 0.	(8.36)
Из условия (8.36) численные значения4 П2 выражаются через А.* В случае граничных условий (8.26) критическое значение А (значение, при котором Я = 0) при и = 0.3 оказывается равным
Асг = 38.8533 . ’' '	(8.37)
Сделаем замечание, касающееся анализа собственных форм, использованного в этом примере. Условие А < Асг гарантирует, что по первой форме колебаний пластина не будет колебаться с увеличивающейся амплитудой и что при А > Асг, по крайней мере, при одном начальном
Задача^4'
.Л
107
условии (соответствующем первой форме) пластина будет колебаться с.увеличивающейся амплитудой и,«следовательно, будет.неустойчива. Остается, однако,,показать,4чтовсерешениясистемы(8.30)-(8.31) могут быть получены в виде (8.32) и что ряд (8.32) сходится. В технических приложениях обычно значение (8.Д7) берется вi качестве критиче-ской ёезразмерной скорости вращения. 
Задача 8.5
Исследовать устойчив.ость прямоугольной пластины со сдвиговыми напряжениями интенсивности,т^на единицу длины стороны пластины) по всем своим сторонам (см. рис. 8.7).
V х и .. . ’	’	' ’' *^3	> s,;; ,iri: к?	и г :,го  :
•' Г. 1	!! ‘
Рис. 8.7
(>'/	v	\	- cL- !	/
Считаем, что пластина шарнирно оперта погвсем сторонам, так что граничные условия имеют вид:
-	'^)=*^=0;	"
>' ь -	<	\	\	дхр ‘ '
„„ ч d2W(a,x2) п
х2) = , я 2	= Р;
•' (8’38)
^„ч = ^^)=о.Л
108
Глава 8. Устойчивость упругих систем
Решение:	*
Воспользуемся энергетическим критерием для анализа устойчивости. Потенциальная энергия внутренних си лравна (см. [3])
п‘=\D! /	- д - У»
А
где А — поверхность пластины и	jv, <
г72ттл &W d2W ' Т/Х1Г ’ ^ d2W^d2W ' / d2W у \
~ dxj + dxl ’ L(W>W - I ox? dx% ’ ydx{dx2j b
" i('	’	'	(&40)
Работа внешних сил состоит из работы сдвиговых усилий г на перемещениях границ пластины. Потенциальная энергия равна этой работе с отрицательным знаком. Можно показать, что (см. [3]) потенциальная энергия равна	\ >
(8.41)
™ f f (dwdw \ П “ TJiJ I dxi дх2 РА‘
Следовательно, для полной потенциальной энергии системы мы имеем
п =	(8.42)
2 J £	UX\ 0X2 J
Используем метод Ритца, чтобы найти критическое значение г. Для
этого мы ищем решение W в виде
2	2
ттг	а • m/KXi . П7ГТ2
W = У sin-------------sin—-— ,	(8.43)
m=l n=i
где Amn — постоянные. Функция (8.43) удовлетворяет граничным условиям (8.38). Подставляя формулу (8.43) в интеграл (8.42) и дифференцируя результат по Amn (необходимое условие минимума П), получаем
4паб.	f i	'	Г\2	:	32 .	_п
> '	( ~2	72 )---О-^22	— 0’
4	,	\а2	о2/	9 а
32	’	' л ( 1'	1\2	(8.44)
^-тАп-47г4£»аЬА22(^ + ^	=0,
9	\az	tr J
Ai2 = A2i = 0.
Задача 8.6
109
Пусть
a	ir4D
Q — V«	A = o .
b	32arb2
С учетом замен (8.45)~условие существования нетривиального решения уравнения (8.44) принимает вид:
Afi + tt2’»2	-
ЦА(1’+£,2)2 =0- .	(8.46)
Из уравнения (8.46) следует, что	>
л. ±	°2
‘гЛ’_±9(1+'а2)2 -' •
и критическое сдвиговое усилие (на единицу длины стороны пластины) равно
_ 9тг4£>(1 4-а2)2 . Л >	. ъ Гсг ~ 32ЬаЗЬ2 , !
Мы завершаем этот пример двумя комментариями. Во-первых, значение (8.48) может быть уточнено, если щспользовать <больше членов в разложении (8.43). Это приводит к более сложным системам, чем (8-44). Во-вторых, мы должны;доказать, что Л (Лтп, А) имеет минимум при А = Асг. Мы опускаем этот анализ.
Задача 8.6	г
Для пластины, показанной на рис. 8.8, шарнирно опертой по всем сторонам, используя теорйю пластин фон Кармана, определить критическую нагрузку q согласно критерию Эйлера.
Решение:
Уравнения равновесйя.пластины для малых деформаций, наложенных на тривиальное положение, при котором пластина плоская и на
гружена по краям нагрузкой д, дают
•>. > . ' •'	' .j г г: / г-.
dx j
110
Глава 8. Устойчивость упругих систем
Рис. 8.8,	<'),♦• •' »*
Граничные условия для этого уравнения суть
d2W
W = 0;	, о == 0; при ±f = 0 >?и х{'= а.
(jX-^
ид Л
ttz „	92W /Го ”
W = 0;	-- 9 = 0; при х% = 0 и Х2 = Ь.
(8.49)
Ищем решение задачи в виде:
‘ *(8^0)
ч1/1 .	: - ? iqn
где С — постоянная, a m и п — целые числа. Подставляя (8.50) в уравнение равновесия, получаем	>РГ *;ео
а.у , v о-, 
Dtt2 /mb * п2а\ 2 *	0ч»' ^2 у
.(8/51)
Я > ’
Критическая нагрузка тогда определяется следующим образом:
,,£)7г2	. rfrpb п2а\2
Чсг = '-Го-ПШГ 1--+-----
t t , m,n \ a t >mb J
(8.52)
Полный анализ, показывающий, что уравнения пластин фон Кармана имеют точку бифуркации для сжимающей нагрузки (8.52), представлен в [12].	;	‘7'
Задача8.7
111
Задача 8.7	,	.	>
Уравнение равновесия цилиндрической оболочки, вращающейся с постоянной угловой скоростью Q вокруг оси симметрии, имеет вид:
L0U'+ 2uttLcU + QPLqU + u2U = О,
где
(О 0 0\	/-тп20	0 \
О 01 I Ln = I 0 —тп2 2т I . 016/	\ '0 2т —тп2/
Здесь т —; число'окружных волн, и — собственная частота колебаний оболочки1 и 77 = v ‘w) ~ вектор перемещений;* причем (u, v, w) — компоненты перемещений в локальной. Ьйстеме координат (вдоль оси, в окружном и в перпендикулярном к поверхности оболочки направлениях соответственно); Lq — линейный дифференциальный'оператор*, описывающий невращающуюся оболочку. Исследовать устойчивость оболочка J	Z .. ' ' ' ? "J ‘‘ ‘
i •	. и тхко; > г:	/	'	’ t \ г - J. лг ' «. 
xbJLlf	‘	'/АХ <Г >	"
Решение:
и 	•	‘‘.11. ”	’ < ‘ '	1 Т ’* t 'СИ Л	1	'	<
Воспользуемся статическим анализом, т.е. попробуем определить;, существуют ли такие угловые скорости (критические скорости), при которых частота и равна нулю. Рассмотрим невращающуюся оболочку, равновесие которой описывается уравнением:
LqUq 4* cuqC7o^= 0,	* <
где Uq и ио обозначают, соответственно, форму колебаний и собственную частоту невращающеися оболочки. Допуская, что перемещения вращающейся оболочки приблизительно равны перемещениям невра-щающейся оболочки, имеем	' i
2a>SlLcU + SfiL(tU + u;2U,-ulU.= 0.
: ’ ' ,	' ."л ’	’ j ’	''	с ‘	‘
Характеристическое уравнение имеет вид:
°	|2cjQ-Z>c 4" Q^-Dq ‘4- I —	= О?
112
Глава 8. Устойчивость упругих систем
где I — единичная матрица. Это уравнение имеет шесть корней:- Ь
и = — у/£127П? 4- U!q, ы = \/Q2m2 4- о>о> и = —Q — ^Д}2 (1 — m)2 4- cjq, и = —Q 4-	(1 — m)2 4- cJq,
и = Q — ^/fi2 (1 4- m)2 + и2, и = Я 4- ^Д)2 (1 4-т)2 42с^о-
Если Я /0 и cjq 7^ 0гто только четвертый корень будет равен нулю при m = 1 и £2 ==. ио- Таким образом, критическая скорость равна ц>о: Подобный результат можно получить и для вращающихся валов.д
Задача 8;8	:	г ?
- 1 •, .	< г	с	':ro! -:;i’ н ’ гь j ' .	>
Критическая нагрузка осевого сжатия для цилиндрической оболочки средней длины, т.е., при y/h/R <& L/R <& y/R/h, где h — толщина оболочки, L — длина оболочки и R — ее радиус, может быть получена на основе уравнений пологих оболочек. Для цилиндрической оболочки с начальными несовершенствами формы w эти уравнения имеют "вид ([4]):	:	•
... '	- ...	л2 д2Ф т. -V . ‘н .
A2w — -77-77 — L (w 4- w, Ф) =0,
‘ oxz	„ i <' н *
2 a2w 1	 ц ’ rr- n	(8 5^
Д2Ф + —z + -zL (w, w)’+ L (w, w) = 0. ux* 2
Здесь w — нормальный прогиб, Ф — функция усилий, (	t
_ д2 д2 - d2ud2v d2v d2u % d2u d2v L / dx2 + dy21 V dx2 dy2 дх2 ду2 дхду dxdy'
хну — координаты в осевом и в окружном направлении соответственно. Безразмерные величины связаны с размерными (*) соотношениями:
Ф*б? w .., ф.—,
w*c w w*c z .	(т*,г/*)^/с
Задач&‘8:8:	, «'
113
Где Е — модуль Юнга, и — коэффициент Пуассонами с2 =12 (1 —‘р2). Осевое усилие Т, связанное с параметром нагрузки, определяется формулами	*
Я2ф Т*РС
, , 1	Т —Т	' ’Ди ,
ду2' Eh2'
1) Определить критическую нагрузку в случае шарнирного опирания краев; ' V	i . yr	t!’	' ч ,
2) Для цилиндрической оболочки с .осесимметричными несовершенствами формы yj) == ,£cos.a: определить/дочку бифуркации в неосесимметричное состояние с ,,квадратными,,волнами (длины волн в.окружу ном и осевом направлениях равны).
‘ * «> \ '
и
Решение:	• ~	\
Ту2
1) Представим функцию усилий в виде Ф = —-—I- Фа, где усилие Т описывает основное состояние оболочки, Фа — дополнительная функция усилий. Затем линеаризуем систему (8.53) при w = 0:
г г	л2 92Фа 32w	,л2х d2W
" у w-a?-T^ = 0' ' 'Д ф" + ё?'=°:
ИЛИ 5	г,, н - .< ч
-.....
' (8.64)
Предположим сначала, что форма потери устойчивости оболочки осесимметрична, тогда уравнение (8.54) упрощается:
4	'	md?w d^w
zJOL _ T-— 4- —- = 0, >	, < , dx3 dx6 dx\
Ищем решение этого уравнения в виде:
(8.55)
. тту/ЬЯ рде х=~т^Г::
‘	-’W W sin	± W sin Ах,
n — число волн в осевом направлении, и
/г\	^w(0) cPw(L)
»(0) = »№) = ^Н = ^Р-
8 Д. Р. Мер кин и др.
114
Глава 8. Устойчивость упругих [систем
: Подставляя это решение в уравнение (8.55), получим:.	. ч,
' 14 V(A8 + tHa4) =0 или Г = — (А2 4-А“2) .
Таким образом, безразмерная критическая-нагрузка (min|T|) равна 2 ‘	: ' Eh2
при А = 1. В размерных переменных Тсг = -^=====-^.
Допустим теперь, что форма потери устойчивости неосесимметрична, т;е.w =’ Wsin(px -На)зш(до 4- /3), гдега и $ могут'быть равны или 0, или 1г? Тогда, после ^подстановки этой формы в уравнение (8.54), получим* '	”	’ '  ’	г’ -	г' КК
VK((p2 4- g2)4 4- Т (р2 4- д2)2р2 + р4) = 0, ог (р2 4- о2)2
О, Р2 (Р2 + 92)2
Нас интересует наименьшее собственное значение, следовательно, Тег = -2 при р24-д2=р.	- ; и 4 (8:56)
Таким образом, согласно классической теории оболочек существует бесконечно много форм потери устойчивости, длины волн которых характеризуются параметрами р и q в осевом и окружном направлениях соответственно. Эти параметры должны удовлетворять соотношению р2 + q2 = р. Например, пара (р,д)=(1,0) определяет осесимметричную форму потери устойчивости.
Эксперименты показывает [16], что при потере устойчивости реальных цилиндрических оболочек обычно образуется неосесимметричный прогйб, у которого длины волн в осевом и окружном направлении близки друг другу. Форма потери устойчивости с "квадратнымй” волнами p~q наиболее чувствительна к начальным несовершенствам ([9, 14]).
2) Рассмотрим теперь цилиндрическую оболочку с начальным осесимметричным прогибом w = £ cos х. Определим нагрузку, при которой будет происходить бифуркация в неосесимметричное состояние с равными длинами волн в осевом и в окружном направлении. В этом случае докритический осесимметричный прогиб оболочки wq может быть определен из уравнения u , х
d^WQ _ d? (wo + w) _ ^Фо _ d4$o tPwQ _
dxi	dx2 d?x2 ’ dx4 dx2
Задача 8.8
115
или
d4w0 ^cPwo	-Т£
Для неосесимметричных компонент функции прогиба wi и функции усилий Ф1 из (8.53) получим
л2	m32wi	32Фх 52ФХ / 2£ \	д2щ
Л W1	Т дх2	дх2	+ ду2 \2 + t)C°SX	2 + Т ду2	- °’ <8-57)
Согласно (8.56), если форма потери устойчивости цмеет равныедаи-ны волн в осевом и в окружном направлениях, тор = д = 1/2, и мы можем искать форму потери устойчивости в виде w = Wi cos - cos |. В ([9, 14]) показано, что низшая критическая нагрузка соответствует именно этой форме. Из уравнения (8.58) следует, что
О
Ф1 = Fi cos cos+ F3 cos cos 77 Н-----, Fi ~ Wi (1
>	'*	!Н'дк 2-	,2,’;. „-j 4 v ,4 \
Подставляя эту функцию в уравнение (8.57), получим и
4Ж1 (Х + ТЛ1 “ 2 + Т + 2(2
или, принимая во внимание, что при l£l 1 величина Г близка к значению классической критической нагрузки —2:
, z’	" i>> пн; /.? -.'М*	.	. , 'г
2 + Т- -Э^ = 0,.'или Т = -2+Уз£.
2 + Т ’ • :	v -	  
Следовательно, если амплитуда начального осесимметричного несовершенства равна С, то величина критической нагрузки уменьшается на или? в размерных переменных,;
_ Eh2 (	33/4(1-^4^1/2\ гпр
" .^3{l-v2)R\	'	2h>!2	):	Д_/ h'
8*
Глава 9	_	. %р
V	4
Частотный метод исследования устойчивости-
' - - •	.	'	' И t •	• >•,	'	\ < ,д ч U -
' —	 ' -	‘	; М V * ;-ЛЬ .	/
‘	’•	’ < ' (. - ,",	г „ >", /, '  /
Задача 9.1
Дифференциальные уравнения, задающие движение гироскопического креновыравнивателя имеют вид:
где 19 — угол крена объекта, а — величина, ^пропорциональная углу поворота внутреннего кольца карданного подвеса гироскопа, <р(а) — функция, которая описывает закон изменения корректирующего момента, удовлетворяющая следующим условиям:
ЛОО
1 (^(0) = 0, <р(а}а > 0 при ’ а / 0,	/ т V?(a)dcr = оо.
/а '	' >	Jo :	ч -
Исследовать устойчивость сисФемьь ’ i	j *
Решение:
Найдем передаточную функцию (от "входа"к "выходу”сг):
р& = —19 — ст, ра = 1? 4- а —
Задача 9.2	1;Ци, Е $ t ц к	117
Исключим 19, из первого^уравнения:
(р +Д) $ = — а, , 19 =-^—,
р+1
что последодстановки во второе уравнение дает . или
(р2 ’+ р) ст ’= —о + ра +' ст - (р + 1) <р.
Следовательно,	• г
р+1	. р + 1
ст = —W=r-^-- 
Мы имеем критический случай двух нулевых полюсов. Применяя теорему 3 из параграфа 9.4 [6]; получаем <
а = lim р2^^ * = 1 > О,  р-7*0,Г .pZA) ’	,	>	!
d L 9р + 1\ р =- hm у ( р2+-у ) = 1 > 0, р—*о dp \	р* )
Тогда	'	г
W (ш) =	W (iw).= -1
и 7Г (и) = CJ (--------------------) = -1 < 0.
1 \ (V /
Таким образом, данная система абсолютно устойчива.
Задача 9.2
Движение гироскопической системы, которая управляет ориентацией космического корабля в’плоскости тангажа, описывается следующими уравнениями:
ай + Hv = 0, (	,	bv — Ни + ev = <р(сг),
г •	' а = и:	, V . "
118
Глава 9. Частотный метод исследования устойчивости
Здесь Н — момент количества движения'Гироскопа относительно его оси вращения, сг — угол тангажа, v = /?, где /3 — угол прецессии гироскопа, е — коэффициент вязкого трения,' а й b — главные моменты инерции, <р(сг) — нелинейная характеристика управляющего момента, удовлетворяющая следующим условйям?(см. рис. 9.1 и (9.13) из [6]): т
(р(0) =0, 0 < —< 4-оо, a / 0. о
Определить условия абсолютной устойчивости.
Решение:	. r
Найдем передаточную функцию (от ’’входа’’ —р к ’’выходу” сг):
apu 4- Яи = 0,)	г*
ЬрУ "Ни :4-:£V	-V
рсг = и.
Исключим и и v из первого и третьего уравнений: г • 1" > ap ( ар2 и=ра, v	=
что после подстановки во второе уравнение дает abp3 , /	\ аер2
——а - Нра -	= р
ИЛИ	'	‘ 7 /Я ‘
,	° abp3 + аер2 +Н2р^' ,	.
Н
w abp3 4- аер2 4* Н2р - :
Мы имеем критический случай одного нулевого^полюса. f Применяя теорему 2 из параграфа 9.4J6], получаем
р= limpWXp) =	> О,
р-*о - ? Н
___________Н	2 ~ ~Д£^2 + {а-Ьш2 - Я2)
—а£а>2 + ia> (Н2 — abcu2) а2ё2и>^ 4- си2 (Я2 — aba>2)^
Задача9.2 \ 1	' 'л >	л.,	’	‘	119
Теперь проверим частотное: условие (9.14) в [6]:
| + й((1 +W)W(iw)) > 0.	,
При = д это условие принимает вид:
fi, ^а2е2ш4 ф и2 (Н2 -adcv2)2)-|- r г .	. , .
SR ((1 4- гол?) (—aeuA+ icu (a&cv2 — Я2})) > 0	> . .
или	• ;	'• 4
/zd2£2u4 4-jia2b2(J6 — 2рН2аЬа>4 4- р>Н46)2 — afcoA’4- $Я2и2 - tfa&cv4 ’> 0..
।, \	>, яс r y,K -4i. иг j i 1 '	; ' i x ’	< i
Поделив на ал2 > и обозначив и2* = £, имеем ч i < > ч . '. , »
fia2b2t2 4- (да2е2 — 2(1,Н2аЬ — dab) 14- дЯ4 4- dlf2 4- ае >0.
Далее, найдемiдискриминант' т ir,f:	н ч
-< ' ’ D ='(да2£2 — 2/iH2ab — dab)2 — 4да2Ь?<(pH4 4- dH2 — as) = о ц2а4е4 4- 4/i2H4a2b2 + d2a2b2 — ^2Н2а3Ъе2 — 2iida3be2^ 4-4дЯ219а2Ь2 — 4д2Я4а2Ь2 -- 4Я2д19а2Ь2 4- 4да3Ь2е = a2b2d2 — 2/ia3be2d -^ ра3ё([1ае3 4- 4Ь2 — 4дЯ2Ье) < 0.
Необходимо найти такое d, что D < 0. Здесь D — квадратичный полином по d, так что D —> оо при р| —> оо. Если Д > 0, найдется вещественное d, при котором D < 0. Теперь вычисляем
Д = 4д2а®Ь2е4 — 4а2Ь2 (д2а4е4 4* 4да3дЬ2^ — 4д2Я2а3Ье2) > 0, f .
1 ‘ .............. ' J’ '
4д2Я2а3Ье2 — 4/za3b2s > 0	* .
ИЛИ	.	, к	......
^н2‘>ь-.	‘ ' t 7	5
Таким образом, мы полуушли следующее достаточное, условие абсолютной устойчивости:
Не > кЪ,
120
Глава 9. Частотный метод исследования устойчивости
для нелинейностей, удовлетворяющих! условию (9.13) в„ [6], т.е.
0 <	< к при о / 0, <р(0) = 0.
О’	' 1	‘	'	4
Легко проверить, что условие
(Г Не>кЬ ;	* г* г -	<(9.1)
необходимо для абсолютной устойчивости в секторе (9.13) в [6]. Действительно, если положить <^(сг) = Асг, то будем иметь линейную систему, характеристический полином которой ‘
abp3 4- aep2 4- Н2р 4- НХ	*
удовлетворяет условию Гурвица при аеН2 > аЬНХ,'т.е. Не > ЪХ. Если условие (9.1) не выполняется, то существует такое А 6 (0,fc), что Не < ЬХ и линейная система не является асимптотически устойчивой^
Задача 9.3
Система регулирования паровой турбцньгс гидравлическим усилителем, в котором обратная связь осуществляется с помощью подвижной буксы, при учете ее.трения о неподвижный корпус, в упрощающих условиях описывается следующими уравнениями:.
' 	с = 7/2,	
-		‘	т/.тХ.+ Н’й),'.	• 1
Mi +% = -77,
,	.. /	Т2»72+%',=’771 •	ч ...
Второе уравнение описывает работу''промежуточного усилителя; С т/ь 42 и ?) - переменные параметры, которые описывают состояние системы; ту и т2 — относительные постоянные врёмени; ¥>(%) — характеристика силы трения, которая удовлетворяет условию:
</>(0) = 0,	<Р(Т72)Т?2 > 0 ПРИ 7)2 / 0.
Определить условие абсолютной устойчивости.
 У
Решение:
Найдем передаточную функцию (от "входа”—^ к ’’вьтходу"/^): f
,frr '
рС = %, (пр + 1) pi =-< - <р(р2),	(т2р+1)% =7/1.
Задача 9.4 ,
121
Исключая С и т/1, получаем	>	? ;
(пр + 1) (т2р + 1) Т?2 =	- <р
Р
ИЛИ ___________________________________р____________
Т1Т2рЗ 4- (и 4- т2)р2 4-р + 1^’ откуда
арЗ _|_ рр2 _|_ р 1 ’
где а = TJT2 и /3 =гт{ -4-Т2. В примере 1 параграфа 9.5 в [6] показано, что эта передаточная функция удовлетворяет частотному условию (9.14) теоремы 1 параграфа 9.4 [6] при и 4- т2 > Т1Т2.
Задача 9.4
Система регулирования паровой турбины с двумя последовательно включенными усилителями и паровым объемом при наличии нелинейного трения в поршне пружинного сервомотора с проточным золотником описывается уравнениями: ,	.
С = -7Г,	•' ’
+ 7Г =.£. i - I
В этих уравнениях £, ту, £и тг — относительные координаты машины, предварительного усилителя, сервомотора и давления пара соответственно, а 'фт] и — относительные положительные постоянные времени предварительного усилителя и парового объема. Нелинейное трение удовлетворяет условиям:
ЛОО
<р(0) = 0, при	^(сг)сг > 0, 1 /’,i(i^(a)da = 4-00.
Jo
Определить область абсолютной устойчивости.
Решение:
Найдем передаточную функцию (от "входа"к "выходу’’ст): Для этого в системе
X = ф^рр = С~т}, р£ = <р, (Vw>4-l)7r’=f, сг = 77 — £
122
Глава 9. Частотный метод исследования устойчивости
исключим все переменные кроме сг и ср:	т f
£ = !£ 7Г = t	У —
р'	+ 1 pftkrp + i)’
С =	«	=£
V’nP + l' Р(^ч<Р+1) Р?(^тР + 1)(^пР+ 1)'
Таким образом,
•	°	(p2(i/p2 + gp + l) ^р)^’-	' -г
где v = и р = -фГ) + ‘ф7Г. Следовательно,	'
а. •	.	=	,
р2 (up2 + рр + 1)
и мы имеем критический случай двух нулевых полюсов!/ Применяя теорему 9.2, получим:
a = lim p2W(p) = 1 > О р~*?
и	'
Итак, должно выполняться условие	,
р < i ( ИЛИ	1);	,	(9.2)
Последовательно вычисляя	н.
УИ(гол) = ^~^2 + М-1.~	' ; - 
u?2(l — pa;2 4- гид)
91У(г") - + ---------------------------
_ 1 д(1 — дог) — (1 — i/о;2)2 ш ; (1 — реи2)2 4- а>2д2	’
Задача 9:5 \‘	-	’ <	t' ‘	123
получаем ^	'	. н. 	« *ч	t
f \ ЛТТ7/- \	^(1 “ Д^2) “ (1 “ VW2)2
7T(w) = WOW(ш) =	'	'	’ .
(1 — ми2)2 +а;2д2	:	%-> 1
v/ \	\ -- '*> ./ " !••'< ' I, ;r	'>	 ' 41 :/ . ‘ Л*
Условие
. тг(си) < О .(
после замены и2 = t запишется в виде д
д — fi2t — (1 — vt)2 < О
I, '  / , X ' ‘ !
или	,	(	,v
u2t2 4- (д2^- 2м) 14-^1 г- fi > 0.	(9.3)
Так как д2 — 2м =	4- V^)2 “ 2^%^ = *02 + V>2 > 0> то из условия (9.2)
следует, что условие (9.3) выполняется для всех t > 0.
Также в силу (9.2) имеем
Таким образом, по теореме 2 параграфа 9.4 в [6], (9.2) является достаточным условием абсолютной устойчивости системы.
Задача 9.5	/'7	7, ’	\7 \
Работа некорректируемого гиростабйлизатора с принудительным вращением карданного подвеса и трением в оси прецессии описывается следующими уравнениями:	— -
<71 = -и<У\ 4- fty 4- сг2,
•	,	-	<72 =-о-i ^(а2),
V = сг2.
Здесь (71, сг2 и v — относительные координаты гиростабилизатора, м и — постоянные положительные параметры, а нелинейная функция <р(сг2) удовлетворяет условиям:
<^(0) = 0, ДЛЯ (72	0 </?((72)(72 > 0,
124	Глава 9. Частотный метод исследования устойчивости |
I
Определить, при каких условиях гиростабилизатор абсолютно устой- I чив.
;	I .
Решение:	г
Найдем передаточную функцию (от "входа"—к "выходу" 0*2):
(р 4- р)бТ1 = pv + бт2,
Р<?2 pv = СГ2. __	‘	i
Исключаем v и сг^:	।
а2	р<т2 .0*2 р + р
V —  ? ai = -------- -I----_ = ----^<72.
Р	(Р + ^)Р P+v
Находим	1'	'	‘	" 1
р + р	'
Р&2 = —,—;—со*2 “ ¥>W2)	, ,,
р(р4-р)	1	. i ->
или . a - p(p+t/).
2	р3+'р2Ь + р + /Г
и	„
:р(р + ^)'	\ " 7:;.‘ .
(Р>	^+p^+p + tl-	.
Пусть у > д, тогда выполнено условие Гурвица для знаменателя функции W(p) и имеет место некритический случай. Применяя теорему 9.1 при к = оо, 19 = 0, получим	*	> ,
' uujI — си2	yuj^ — iicj2 4- yu^fl — и2)
= SR------5——-------------------------------2 > 0
p — yw2 4- ги(1 — и2) (p — i/cj2)2 4- cj2(1 — (j2)2
Это условие выполняется при (у — д)и2 > 0, т. е. при у>р.
Таким образом, неравенство у > р является условием абсолютной устойчивости.
' 'И с
i ’ ! i Г! i
Литература
[1]	Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1991. 311 с?	. г
[2]	Болотин В'. В; Некдйсёрвативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Наука,1961U340 с?	»	1 .
[3]	Вольмир А. С; Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, \ г 1967.'984 с. . gv с.	' ‘ ' '
[4]	Доннелл Л. Vi Балки, пластины и^оболочки. М.: Наука, 1982. 568 с.
[5]	Меркин Д?РгГироскопические системы. М.: Наука, 1974. 344 с.
[6]	Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения, 3-е изд. М.:( Наука, 1987. 304 с.
[7]	Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки.^.*.' Цаука,4987. 352 с. Ь 1	‘
[8]	Трусделл К. Первоначальны^ курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с.г	; ’ ’
[9]	Хатчинсон Дж., Койтер Б.Т. Теория_ послекритическрго поведения конструкций // Механика. Сб. переводов. 1971. N 4. с. 129-149'	1
[10]	Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций. Mi: Мир‘,’1971.
112 с.	"
[11]	Эйлер Л: Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума. Приложение 1: Об упругих кривых. М.:, Гостехиздат, 1934.	‘ u	*	*
[12]	Chow, S.N., and'Hale, J; K.; Methods of Bifurcation Theory. New York: > Springer, 1996:^525 p.
[13}, Kirchhoff G. Vorlesungen uber matematische PJiysik. Mechanik. Leipzig, 1877.312 р., . .
[14]	Koiter W- T. The effect of axisymmetric imperfections ontheibuckling of cylindrical shells under axial compression. (Mechanics) // Proc. Kon. Ned. Ak. Wet. 1963, B66. pp. 265-279.
[15]	Merkin D.R. Introduction to the Theory of Stability. NY, Springer-Verlag, 1996.304 р.
[16]	Yamaki N., Otomo K., Matsuda K. Experiments on the -. Postbuckling Behavior of the Circular, Cylindrical Shells under Compression. // Experimental Mechanics. 1975. .N 1. pp. 23-28.
Предметный указатель
бифуркация, 90 r . г ?
— точка, 104, ilO
V ‘	.0“
вариация функции вторая, 25
— первая, 25 4	ь ,	(
вектор напряжений, 102
вращение перманентное, 22,24,26,
55 >	< ..j .	..
— собственное, 16	•
— установившееся, 15, 17
гидравлический успокоитель, 65
гирогоризонткомпас, 66
гирокомпас, 65, 67 '
гироскоп, 15, 54, 79, 116
гироскопический креновыравцй- ‘ ватель,116
j. ' 1 .о  1 •
гиростабилизатор, 123
гиросфера, 65
движение установившееся, 52
делители элементарные, 74
интеграл:моментов, 25
— циклический, 17, 52, 79
— энергии, 25
карданный подвес, 116, 123
квадратичная форма, 26
— матрица коэффициентов, 26
колебания нутационные, 83
— прецессионные, 83
координата нормальная, 71
— циклическая, 19, 52 1 космический .корабль,117, коэффициент, вязкого трения, 118 — инерции^ 80 у л л ;
— периодический, .85-	f 1 :<•
критерий Гурвица, 66; 68, -78, 124 — Сильвестра, 21, 22; 26, 34, 86] - Эйлера; 89^90^92, 95j<102,104, 109	4 •	} г’!
— динамический, 94/951, 100
— статический, 90 л h
— энергетический, 92
матрица кососимметричная,1 77, 80,81	г 1
— фундаментальная, 85
J маятник гироскопический, 67, 79 — двойной, 11, 61 t ‘ ^.маятники, система, 32 ; метод Галеркина, 106, А1
— Лагранжа, 94 , и.
— Ритца, .108 ,	/ ; ,	’
множитель инвариантный, к74, 76 момент корректирующий,Л16!< i — маятниковый, 65 — управляющий, 118 момент инерции, 55 — главный, 24 ’ А У — относительно оси, 38	"	!
— полярный, 58	,	\
J.	* *'	\ 1	*
паровой объем; 121 переменные канонические, 51, 74
Предметный указатель
127
перемещение,виртуальное, 92i(, пластина граничные условия,-102
— теория фон «Кармана, 102, 109, 1Ю	-
плоскость тангажа, 117 ,.., полюс, 117,118, 1?2	.
преобразование Рауса*, 53
-ч элементарное матричное* 51,. 70 прицеп одноосный, ,58 0 < , ;
h < I
работа внешних сил, 108
— элементарная, 63
резонанс параметрический, 88
связка интегралов, 23-25, связь голономная, 92
— идеальная, 92
— неголономная, 60
— обратная, 120
сервомотор, 121
сила взаимодействия проводников, 34 i f г
— вынуждающая, 57
— гидростатического давления, 95
— диссипативная, 67
— консервативная, 95 v.
— неконсервативная, 61^95
— обобщенная, 61	'
— объемная, 102	*
— распределенная, 105	. *
— следящая, 61, 100
— трения, 120	3
— трения нелинейная, 121 , силы гироскопические, 77, 78 система гироскопическая, 117
— консервативная, ,92
— потенциальная, 78
— прецессионная, 80
— регулирования/120
случай Эйдера-Пуансо,14
смежные положения равновесия, 92 <	<
степень неустойчивости* *77, 78: . \Ч - '-'г- ' •
теорема Гурвица, 78
— Кирхгофа, 89, 90
— Лагранжа-Дирихле, 92
— Ляпунова об. асимптотической устойчивости, 87 ~'
— Ляпунова об устойчивости, 21-24	.
— Четаева, 87,
— о непрерывной зависимости корней, 82	'
турбина паровая, 120,121 а	.	1	"
угол прецессии, 118
— собственного вращения, 17, 79
— тангажа, 118
у уравнение Матье,<88.
— дискриминант, 119
— ^характеристическое, 50, 80
уравнения Лагранжа, 11
— Эйлера, 14
'— бифуркационные, 90
 — ветвления, 90
— оболочек-с несовершенствами, ' г 1-12
— пологйх оболочек, 112
— тела с'неподвижной точкой, 14,
' ?4 ' " У
усилие сдвига, 109
усилитель, 120
условие частотное, 119
устойчивость абсолютная, 118,119
— асимптотическая, 60, 84
— в большом, 20
128
— в первом приближении, 65, 80
в целом, 20
— вращающейся оболочки, 111
— параметрическая; 95	’
— пластины круглой, 102, 104
---прямоугольной, 107
— по первому‘приближению, 55, 65, 68
— равновесия; 27, 95	~
— ротора, 47 j
— стационарного движения, 27
— стержня, 90
— цилиндрической оболочки, 112
флаттер, 92
форма каноническая Смита, ,71
— нормальная Жордана, 74
— нормальная диагональная, 71, 74	। .
функция Бесселя, 104? •
— Ляпунова, 20, 86
— Раусса, 53 ;
— знакопеременная, 21 >
— квадратичная, 86
— отрицательно определенная, 21
— передаточная, 116,118,120,121, 124
— положительно определенная, 21
— рациональная, 81
— усилий', 113н	4
частота Шулера, 67 ‘ и JUG’ г <(.' t ,
эллипсоид инерции, 22
Д. Р. Меркин, С.	Бауэр, А. Л. Смирнов
Задачи по теории устойчивости
Дизайнер М. В. Ботя Технический редактор А. В. Широбоков Корректор 3. Ю. Соболева
Подписано в печать 11.02.02. Формат 60 х 84^. Печать офсетная. Усл.печ.л. 7,44. Уч. изд. л. 7,53. Гарнитура Computer Modern Roman. Бумага офсетная Ж. Тираж 1100 экз. Заказ № 665.
АНО. «Институт компьютерных исследований» 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1/ Лицензия на издательскую деятельность ЛУ №084’от 03.04.00. ' http://rcd.ru E-mail: borisov@rcd.ru 
Отпечатано в полном' соответствии с качеством ' предоставленных диапозитивов в ГИПП «Вйтка». 610033, г. Киров, ул. Московская, Т22. .