В. Д. КУПРАДЗЕ
МЕТОДЫ
ПОТЕНЦИАЛА
В ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ
ИНВ № 33 }
. НЕ БОЛЕЕ Ю КНИГИ В \
ОДНИ РУКИ И 2Х В ДВЕ \
КОЯОХЗА
ОСКОР^А
ш
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1963

531
К 92
УДК 531. 26: 539. 30
Виктор Дмитриевич Купрадзе
Методы потенциала в теории упругости
М., Физматгиз, 1963 г. 472 стр. с илл.
Редактор В, Л. Добровольский
Техн. редактор И, III. Аксельрод Корректор Т. С. Плетнева
Сдано в набор 25/111 1963 г. Подписано к печати 20/V111 1963 г. Бумага 6dx9D/i,.
Физ. печ. л. 29,5. Условн. печ. л. 29,5. Уч.-изд. л. 30,04. Тираж 6500 экз.
Т-09044. Цеиа книги 1 р. 70 к. Заказ J* 1276.
Государственное издательство физико-математической литературы.
Москва, В-71. Ленинский проспект, 15.
Типография № 2 им. Евг. Соколовой УЦБ и ПП Леисовиархоза.
Ленинград, Измайловский пр., 29.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие • 7
Введение 9
Глава I. Некоторые основные уравнения и формулы теории
упругости 13
§ 1,- Системы дифференциальных уравнений. Формулы Бетти ... 13
§ 2. Фундаментальные решения 19
§ 3. Обобщенные фундаментальные решения 25 .
§ 4. Фундаментальные решения первого и второго рода 27
§ 5. Фундаментальные решения третьего рода 31
§ 6. Упругие потенциалы (эластопотенциалы) изотропной среды . . 35
§ 7. Формулы Пуассона 42
Глава II. Интегральные уравнения граничных задач для одно-
однородных тел 49
§ 1. Граничные свойства потенциалов 49
§ 2. Постановка граничных задач и приведение к интегральным
уравнениям 54
Глава III. Условия на бесконечности. Теоремы единственности . 58
§ 1. Неоднозначность решений уравнения колебаний 58
§ 2. Условия излучения. Асимптотические оценки 62
§ 3. Формула Бетти для бесконечной области 69
§ 4. Теоремы единственности для однородных и неоднородных сред 71
Глава IV. Интегральные уравнения граничных задач для неодно-
неоднородных тел 79
§ 1. Постановка граничных задач 79
§ 2. Интегральные уравнения задачи (А) 80
§ 3. Интегральные уравнения задач (В,) и (В2) 88
§ 4. Интегральные уравнения статических задач (В[) и (В2) .... 90
§ 5. Интегральные уравнения статических задач (С{) и (С2).... 96
§ 6. Случай равных постоянных Пуассона 98
§ 7. Некоторые другие условия контакта 101
Глава V. Элементы теорви свстем многомерных сингулярных
интегральных уравнений 103
§ 1. Поверхности Ляпунова. Главное значение сингулярного инте-
интеграла 105
§ 2. Классификация ядер 108
§ 3. Троремы Жвро ПО
§ 4. Преобразование к локальным координатам .......... 113
V
*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5." Задача регуляризации 117
§ 6. Теоремы о символах 126
§ 7. Оператор локальной регуляризацнн 132
§ 8. Оператор глобальной регуляризации 140
§ 9. Функциональные уравнения резольвенты. Первая теорема Фред-
гольма 141
§ 10. Следствия нз функциональных уравнений резольвенты .... 147
§ 11. Вторая теорема Фредгольма . 151
§ 12. Элементы теории резольвенты 155
§ 13. Третья теорема Фредгольма 158
Глава VI. Теоремы существования. Однородные среды 162
§ 1. Свойства резольвенты 162
§ 2. Теоремы существования для статических задач (?>;) и (Та) . . 166
§ 3. Однородные статические задачи (?*„) и (^) "... 167
§ 4. Решение эластостатической задачи Робэна 170
§ 5. Теоремы существования решений статических задач (D^) h (T*f\ 171
§ 6. Теоремы существования для задач (Мг) и {Ма) 174
§ 7. Доказательство существования статических тензоров Грнна . . 175
§ 8. Однородные динамические задачи (D?) и (Т^Х Спектр соб-
собственных частот 184
§ 9. Обобщенная теорема Ляпунова — Таубера 186
§ 10. Связь между решениями однородных задач н уравнений (?>°),
(f>)n(T'i),(D°) 190
§ 11. Исследование полюсов резольвенты 195
§ 12. Теоремы существования для динамических задач (Da) и (Та) . 199
§ 13. Теорема существования для внешней смешанной динамической
задачи (Ма) 202
§ 14. Замечание относительно полюсов высших порядков 205
Глава VII. Теоремы существования. Неоднородные среды . . . . 206
§ 1. Случай равных постоянных Пуассона. Доказательство суще-
существования решения задачи (А) 206
§ 2. Теоремы о характеристических числах интегральных уравне-
уравнений задач (А) н (В,) 212
§ 3. Теоремы существования для задач (В,) и (В2). Случай равных
постоянных Пуассона 217
§ 4. Теорема существования для задачи (А) в общем случае . . . 219
§ 5. Теоремы существования для динамических задач (В|) н (В2) . 228
§ 6. Теоремы эквивалентности. Вспомогательные предложения . . . 229
§ 7. Теорема эквивалентности для задачи (А) 234
§ 8. Теоремы эквивалентности для динамических задач (Bt) и (В2) 239
§ 9. Теорема эквивалентности для статических задач (Bi) н (В2) . . 243
Глава VIII. Анизотропные тела. Теория плоской задачи 251
§ 1. Основные уравнения и фундаментальные решения 252
§ 2. Обобщенный оператор напряжения. Операторы напряжения и
псевдонапряжения 255
§ 3. Упругие потенциалы (эластопотенциалы) анизотропной среды 260
§ 4. Формулы, аналогичные формулам Бетти 263
§ 5. Интегральные уравнения граничных задач. Теоремы существо-
существования и единственности 265
§ 6. Доказательство основных теорем существования ,....,, 268

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 7. Равновесие кусочио-неодиородного анизотропного тела .... 270
§ 8. Случай равных постоянных Пуассона 276
Глава IX. Решения некоторых частных задач 281
§ 1. Круговая изотропная пластинка 281
§ 2. Бесконечная изотропная плоскость с круговым вырезом .... 289
§ 3. Анизотропная круговая и эллиптическая пластинки. Решение
первой граничной задачи 293
§ 4. Решение второй граничной задачи для анизотропного круга и
эллипса 300
§ 5. Решение первой граничной задачи для бесконечной анизотроп-
анизотропной плоскости с круговым или эллиптическим отверстием . . • 305
§ 6. Решение второй граничной задачи для бесконечной анизотроп-
анизотропной плоскости с круговым или эллиптическим отверстием . . 307
§ 7. Замечания относительно других задач, решаемых явно .... 308.
§ 8. Изотропная плоскость с упругим изотропным круговым или
эллиптическим включением из другого материала 308
§ 9. Ортотропная плоскость с упругим круговым илн эллиптическим
включением из другого материала 309
§ 10. Плоские задачи о запрессованных деталях. Анизотропная эллип-
эллиптическая пластинка с вложенной или впаянной упругой шайбой 310
§11. Решение некоторых пространственных задач о запрессованных
деталях 311
§ 12. Применение метода последовательных приближений 315
Глава X. Приближенные решения 319
1. Дифракция упругих волн 321
2. Решение задачи (D2) 327
3. О приближенном решении статической задачи G/) 330
4. Решение задачи (иа) 335
5. Решение задачи (Та) 337
§ 6. О приближенном построении тензоров Грина 339
§ 7. Решение некоторых частных задач для двусвязных областей . . 339
§ 8. Решение первой основной граничной задачи для двусвязной
области 345
§ 9. Решение второй основной граничной задачи для двусвязной
области 350
§ 10. Смешанная задача для двусвязной области. 355
§ 11. Задача о рассеянии звука 356
§ 12. Доказательство Существования обратного оператора 358
§ 13. Оценка погрешности 361
§ 14. Различные замечания. Применение способа наименьших ква-
квадратов 362
§ 15. Численные примеры. Приближенное решение функционального
уравнения Гаусса 364
§ 16. Численный пример. Приближенное решение задачи Дирихле для
эллипса 369
§ 17. Численный пример. Задача Дирихле для двусвязной области 378
§ 18. Численный пример. Приближенное решение первой основной
задачи для изотропного упругого круга 383
§ 19. Заключительные замечания относительно метода канонических
уравнений 388
§ 20. Метод обобщенных рядов Фурье. Вводные замечания 394
§ 21. Решение задачи Дирихле для односвязной области 395
§ 22. Решение внешней задачи Дирихле 403
§ 23. Решение задачи Дирихле для многосвязной области 405

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 24. Решение внутренней задачи Неймана для односвязной области 407
§ 25. Решение внешней задачи Неймана 411
§ 26. Решение задачи Неймапа для многосвязной области 413
§ 27. Решение смешанной граничной задачи теории потенциала . . . 414
§ 28. Применение метода обобщенных рядов к задачам теории упру-
упругости. Решение задачи (D,) для односвязной области 422
§ 29. Решение первой граничной задачи для внешней области . . . 429
§ 30. Решение задачи (D{) для многосвязной области 431
§ 31. Решение второй внутренней задачи для односвязной области . 432
§ 32. Смешанная (четвертая) граничная задача для изотропного
упругого тела 441
§ 33. Некоторые сведения из теории сингулярных интегральных
уравнений типа Коши с разрывными коэффициентами .... 445
§ 34. Продолжение. Смешанная задача для изотропного тела. Тео-
Теорема существования 446
§ 35. Приближенное решение смешанвой задачи для изотропного
тела 449
§ 36. Смешанная (четвертая) граничная задача для анизотропного
тела. Теорема существования 454
§ 37. Приближенное решение смешанной задачи для анизотропного
тела 461
§ 38. Различные замечания. Некоторые новые задачи 462
Литература 467
Именной указатель ¦ 470
Предметный указатель 470

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая книга посвящена применению методов потенциала
к основным граничным задачам теории упругости. Исследования
на эту тему занимали автора и раньше [13 а, г, е], но настоя-
настоящая работа отличается от прежних тем, что в ней впервые, наряду
с однородными телами, рассматриваются также кусочно-неоднород-
кусочно-неоднородные 1 и доказываются теоремы существования для основных гранич-
граничных задач таких тел. Второй особенностью книги является построе-
построение всей теории граничных задач на базе теории сингулярных
интегральных уравнений. Это позволило, с одной стороны, расширить
круг исследуемых граничных задач (контактные задачи, смешанные
задачи) и, с другой стороны, обнаружить новые возможности метода
При точном и приближенном решении многих задач2. Наконец, третья
особенность книги заключается в том, что в ней впервые излагаются
два новых способа приближенного решения граничных задач.
В главах I—VII и X рассматриваются колебания и равновесие
изотропных однородных и кусочно-неоднородных пространственных
тел; доказательство основных теорем единственности дано в главе III.
Двумерные задачи о равновесии анизотропных однородных и кусочно-
неоднородных тел рассмотрены в главах VIII—IX.
Метод, положенный в основу исследования этих проблем, пред-
представляет собой некоторое развитие метода Фредгольма, который,
как известно, заключается в применении теории потенциала в соеди-
соединении с теорией линейных интегральных уравнений. Распростране-
Распространение метода Фредгольма на сингулярные интегральные уравнения гра-
граничных задач теории упругости как для однородных, так и для
кусочно-неоднородных тел позволило получить основные теоремы
1 Кусочно-неоднородным упругим телом мы называем тело, составлен-
составленное из отдельных однородных частей, различающихся своими упругими
свойствами. Некоторые авторы называют такие тела кусочно-однородными.
2 Недавно Т. Г. Гегелия, пользуясь теорией сингулярных интегральных
уравнений и несколько другим подходом к проблеме, получил теоремы
существования для основных граничных задач эластостатики в случае од-
однородных упругих тел, ограниченных поверхностями более широкого класса,
чем поверхности Ляпунова [5е].

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
существования; при этом для первых — в общем случае, а для вто-
вторых— при некоторых, не очень существенных ограничениях
физических параметров. Эти результаты изложены в главах VI и VII.
В главах IV и IX рассматривается ряд задач, интересных для при-
приложений, и даются их решения явно или с помощью последователь-
последовательных приближений. В главе X излагаются два способа приближенного
решения граничных задач и применения в теории упругости.
В основу книги легли лекции, которые читались автором в 1959—
1962 гг. в виде различных специальных курсов на механико-мате-
механико-математическом факультете Тбилисского университета, а также отдельные
сообщения, которые делались на семинарах молодых научных работ-
работников и аспирантов университета.
Автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю бла-
благодарность Л. Г. Магнарадзе и С. Г. Михлину, прочитавшим рукопись
и сделавшим много ценных замечаний. Отдельные главы книги были
прочитаны также участниками семинаров; особенно большую работу
проделали М. О. Башелейшвили, Т. В. Бурчуладзе и Т. Г. Гегелия.
Расчеты и таблицы главы X выполнены сотрудницами Вычисли-
Вычислительного центра Академии наук Грузинской ССР Н. Арвеладзе
и Л. Хачапуридзе. Автор с искренним признанием отмечает Этот труд
своих молодых коллег и выражает им благодарность.

ВВЕДЕНИЕ
Метод потенциала и теория линейных интегральных уравнений
для решения первой граничной задачи теории упругости были впер-
впервые применены Фредгольмом *.
Вслед за работой Фредгольма применению его метода для иссле-
исследования статических задач было посвящено много известных работ,
некоторые из которых справедливо считаются выдающимися. Не-
Несмотря на это, даже теорию статических задач, за исключением не-
некоторых ее разделов, все еще нельзя признать разработанной с до-
достаточной полнотой ни с точки зрения общей теории, ни с точки
зрения нахождения решений отдельных задач. Одной из причин та-
такого положения, по нашему мнению, является недостаточность тео-
теории интегральных уравнений Фредгольма в ее классическом виде
для исследования второй основной граничной задачи (на границе за-
заданы напряжения) и третьей и четвертой основных граничных задач
(на границе заданы значения некоторых комбинаций смещений и на-
напряжений).
Система дифференциальных уравнений статики упругого тела, за-
записанная в смещениях, есть эллиптическая система, и задача ее ин-
интегрирования при заданных на границе смещениях (первая основная
граничная задача) есть задача Дирихле, аналогичная классической
задаче Дирихле для гармонической функции; поэтому для областей
достаточно общего вида первая основная граничная задача теории
упругости исследуется методом Фредгольма так же хорошо, как и
обычная задача Дирихле для гармонических функций. После Фред-
Фредгольма это было показано еще в работах Лауричелла2 и Марколонго3.
Обращаясь ко второй основной граничной задаче теории упру-
упругости, мы не можем ожидать подобной аналогии со второй гранич-
граничной задачей теории гармонических функций (задача Неймана). Дело
в том, что вектор напряжения, задаваемый во второй задаче на
1 F r e d h о 1 ш, Solution d'un probleme fondamental de la theorle de
I'elastlclte (Arklv fur Matematik, Astronoml och Fysik, т. 2 A906), № 28, стр. 3—8.
2 Lauricella О., Atti della Reale Academla del Llncei, т. XV A906),
стр. 426—432.
3 Marcolongo R., ibid., т. XVI A907), стр. 742—749.

Ю ВВЕДЕНИЕ
границе области, выражается линейной комбинацией первых производ-
производных смещения, не сводящейся к конормальной производной. Поэтому
вторая граничная задача теории упругости существенно отличается
от задачи Неймана, для которой характерно задание на границе зна-
значений конормальной производной искомой функции. В отличие от за-
задачи Неймана, вторая задача теории упругости методами' потенциала,
вообще говоря, непосредственно к регулярному интегральному урав-
уравнению Фредгольма не приводится. То же самое верно относительно
третьей и четвертой задач. Несмотря на это, во всех работах,
старых и новых, в которых эти задачи рассматриваются методом
Фредгольма, делались и делаются попытки свести их именно к ре-
регулярным уравнениям Фредгольма непосредственно, минуя сингуляр-
сингулярные уравнения. По этой причине большая часть указанных работ
содержит дефекты, заключающиеся либо в нерегулярности ядер со-
соответствующих интегральных уравнений и незаконности примене-
применения теории Фредгольма, либо в неэквивалентности полученных уравне-
уравнений исследуемым задачам.
Из наиболее известных старых работ этого рода работы Корна1
и Боджо 2 подверглись критике Вейля3.
Говоря о первой граничной задаче, Бейль отмечает существование
двух различных способов ее решения; один из них был развит Фред-
гольмом, Лауричелла, Марколонго; другой — Корном и Боджо. Но
в то время как первый из этих способов аналогичен методу Неймана —
Фредгольма в теории потенциала, второй, по словам Вейля, «приво-
«приводит к интегральным уравнениям со сложными, трудно исследуемыми
ядрами, в противоположность мнению Боджо, который ошибочно счи-
считает их регулярными». В этой работе Вейля содержится известное
сведение второй граничной задачи теории упругости к регулярным
уравнениям Фредгольма при помощи так называемого антенного по-
потенциала (см. стр. 31 — 35 этой книги). Уравнения Вейля, однако,
не эквивалентны исследуемой задаче, и из теоремы единственности для
последней нельзя сделать заключение об отсутствии нетривиальных ре-
решений у соответствующих однородных интегральных уравнений Вейля.
Для того чтобы в этих условиях доказать разрешимость своих неод-
неоднородных уравнений, Вейль пользуется не доказанным в общем слу-
случае положением о возможности биортонормирования совокупностей
фундаментальных решений пары союзных интегральных уравнений
Фредгольма второго рода (см. стр. 172, 198, 205 настоящей книги).
1 К о г n A., Ober die L6sung der ersten Randwertaufgabe der Elastizitats-
theorle, Rend, del Clrc. Matem. Palermo, т. XXX A910), вып. 2.
2 Bogiо Т., Nuova rlsolutione di un problema fondamentale della teoria
dell'elastlcita, Attl della Reale Academia del Lincel, т. XVI A907), вып. 2.
3 W e 11 H., Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenschwlngungen
eines beliebig gestalteten elastlschen Korpers, Rend, del Clrc. Matem. Palermo,
т. XXXIX A915), вып. 1.

ВВЕДЕНИЕ 11
Из более поздних работ, касающихся метода Фредгольма, следует
указать на известную работу Лихтенштейна1. Здесь, однако, прихо-
приходится вводить жесткие ограничения для рассматриваемых поверхно-
поверхностей; кроме того, способ Лихтенштейна пока еще не нашел приме-
применения ко второй, третьей и четвертой основным граничным задачам.
Остановимся еще на сравнительно новой работе A956 г.) Кино-
Киносита и Мура2, в которой методом потенциала построены интеграль-
интегральные уравнения для первых двух основных граничных задач статики
пространственной теории упругости. Как и следовало ожидать, эти
уравнения, являющиеся союзными, не принадлежат классу уравнений
Фредгольма и являются сингулярными; несмотря на это, авторы при-
применяют к ним теоремы и альтернативу Фредгольма и получают хотя
и правильные, но лишенные обоснования выводы3.
До сих пор мы имели в виду статические задачи. Мы видели, что
существующие здесь трудности преодолены в методе Фредгольма
лишь частично. Легко предвидеть новые трудности, которые возни-
возникают при переходе к динамическим задачам даже в простейшем слу-
случае установившихся колебаний4. Эти трудности возрастают еще бо-
более, если вместо однородных тел рассматриваются упругие тела, со-
составленные из отдельных, сопряженных друг с другом тем или иным
способом частей с различными упругими свойствами. Изучая колеба-
колебания или равновесие подобных кусочно-неоднородных тел, мы должны
считаться не только с граничными условиями типа первой, второй,
третьей или четвертой граничных задач на геометрической границе
тела, но и с условиями сопряжений отдельных частей, нз которых
тело составлено, с условиями контактов на границах раздела раз-
различных сред.
В этой книге рассматривается совокупность всех гранич-
граничных задач, описанных выше, от статических для однородных
до динамических для кусочно-неоднородных упругих тел на
основе теории потенциала и многомерных сингулярных интег-
интегральных уравнений, дается доказательство основных теорем
существования и указывается эффективный приближенный
способ их решения.
Теория кратных интегральных уравнений с сингулярными ядрами
определенного типа, главным образом для одного уравнения, была по-
получена сравнительно недавно в работах Жиро и С. Г. Михлина. Но
'Llchtenstein L., Ober die erste Randwertaufgabe der Elastizitats-
theorie, Mathematisclie Zeitschrift, т. 20 A924).
2 К 1 n о s h 11 a M., M u г а Т, On boundary value problem of elasticity
(Research Reports of the Faculty of Engineering, Meijl University, № 8 A956),
стр. 56 — 82.)
3 Интегральные уравнения, указанные в этой работе, были получены
раньше и в более общем виде автором в работе [13г].
4 Общий случай может быть приведен к этому с помощью преобразо-
преобразования Лапласа.

12 ВВЕДЕНИЕ
в теории упругости приходится иметь дело почти исключительно с си-
системами уравнений; поэтому встала задача распространения теории
Жиро — Михлина на системы сингулярных интегральных уравнений
теории упругости для замкнутых многообразий. Эта задача, которая
по словам Г. Фикёра1, является «tutt'altro che semplice» и которой
посвящена глава V настоящей книги, оказалась не столь трудной2.
1 F i с h е г а О., Sull'eslstenza e sul calcolo delta soluzioni del problemi
al contorno, relativl all'equillbrlo dl un corpo elastico, Annali d. Sc. norm,
super, di Pisa, Ser. Ill, т. IV A950), стр. 36. В этой интересной работе содер-
содержится доказательство теорем существования основных граничных задач эла-
стостатики методом, отличным от метода Фредгольма.
2 Когда рукопись настоящей книги была сдана в набор, мы познакоми-
познакомились с недавно вышедшей книгой С. Г. Михлина [22в], в которой дается дру-
гое изложение теории систем многомерных сингулярных интегральных урав-
уравнений на замкнутых многообразиях.

ГЛАВА I
НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 1. Системы дифференциальных уравнений. Формулы Бетти.
В прямоугольной прямолинейной системе координат Охгх2х3 приняты
обозначения: v (vv v2, v^) — вектор упругих смещений, v,h— со-
составляющие тензора деформации,
1 Idvt дьь\
vl*=2\dFk + d7]) С/. Л = 1. 2, 3;).
х,к (v) или х,ь т— составляющие тензора напряжения, соответствующие
смещениям v, Xjk связаны с Vjk зависимостями, выражающими закон
Гука
3 3
V=S ^cJkmnvmn (y, k = l. 2, 3).
Коэффициенты Cjkmn удовлетворяют соотношениям
вследствие которых
Cjkmn — cmnjk — Cbjmn'
Следовательно, число независимых коэффициентов сокращается до 21.
Если тело изотропно, независимыми являются лишь два коэффициента.
Для однородного тела они обычно выражаются через постоянные
Ламэ X и jj. по формулам
остальные коэффициенты Cjkmn равны нулю.
Закон Гука в этом случае принимает следующий вид:
el-2>

14 НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. I
Уравнения движения упругого тела, находящегося под действием
объемных сил F, имеют следующий вид:
з
dxih o2vt
^k+F)=-d (/=».2.з).
Подставив сюда значения tjk из закона Гука для однородного изо-
изотропного тела, получим основную систему дифференциальных урав-
уравнений в смещениях:
pbv-+-(X-(-|j.)grad divv-j-F=r?, (*)
где Д — оператор Лапласа.
Если сила F зависит от времени по закону
F(x, t) = ФA) (дг) cos wt -\- ФB) (х) sin wt (ш — постоянная),
где х есть точка с координатами xv x2, хл, аФA>D ФB)(дг) от вре-
времени не зависят, то вектор смещений v(x, t) будем искать в виде
v (jc, f) = va) (x) cos mt -+- vi2) (x) sin wt.
Введем комплексные величины
где и есть вектор с составляющими их, и2, и3. Тогда
F(x, Ц — Яе[Ф(х)е-ш}, v(x, t) = Re [а(х)е~
здесь Re обозначает действительную часть стоящего в скобке ком-
комплексного выражения. Внеся эти значения F(x, f) и v(x, t) в уравне-
уравнение движения (*), лолучим
(дг) + (X -f- \x) grad div а (дг) + ш2и (*) + Ф(х) = 0. (**)
Оператор
[хД —|— (> |— (х) grad div s= (X -|- 2{x) grad div — jj. rot rot
в теории упругости играет такую же роль, какую оператор Лапласа
играет в теории гармонических функций, и в частном случае при
р=1, Х = —1 обращается в оператор Лапласа Д. Поэтому пред-
представляется удобным ввести обозначение
Д*==(Х-|- 2A.) grad div — р rot rot = {1.Д + (Х -(-р) grad div
и записать уравнение (**) в следующем виде:
Д*И(х)-г-ш2и(дт) = —Ф(дт). . A.1)

§ 1] СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. ФОРМУЛЫ БЕТТИ 15
Эта система уравнений, которая ниже иногда будет называться
просто уравнением упругости, является основной системой дифферен-
дифференциальных уравнений установившихся упругих колебаний.
В частном случае, когда ш = 0, уравнение A.1) принимает вид
Д*и (х) = — Ф (х); A.2)
это основное уравнение равновесия в смещениях.
Вместе с A.1) и A.2) будем рассматривать также однородные
уравнения
Д*и(дг) + ш2и = 0 A.10)
и
Д*и(х) = 0. A.20)
Перейдем к выводу формул Бетти. Пусть Bt есть конечная
область трехмерного пространства, заполненная упругой средой, 5 —
ее граница, п — единичный вектор внешней нормали к поверхности 5,
dS — элемент поверхности и dv— элемент объема. Пусть аир —
произвольные действительные числа, ограниченные единственным
условием
оН-р = Х + р. A.3)
Применив тождество
«¦+»/*&:«•-
Bi
= а f !^-cos(«, xm)dS + $ f^cos(n, x{)dS (I, m = \, 2, 3)
(xm — орт координатной оси Oa;J, получим
J tfudv= fpWudS,
B[ S
где
pw« = />A)cos(ra, *1)+^B)cos(«, *2) + />'3)cos(«, *3), A.4)
причем
И (Я1*> W2ft> W3ft) V«— 1> *< 6)
обозначает вектор с составляющими
ди,
J / 3 I t\
.5)

16 НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 1ГЛ. 1
Вектор Р(л)и будем называть вектором обобщенного напряжения
на поверхностном элементе с нормалью ге.
Пусть и и v — два вектора, удовлетворяющие в В{ и на S усло-
условиям, при которых применима формула Гаусса — Остроградского. Усло-
Условимся обозначать скалярное произведение векторов а и Ь в виде а • Ь
или аЬ и векторное произведение вектора а на вектор Ь в виде о X Ь.
Рассмотрим скалярное произведение и • Р(п)<& и представим его в виде
в • Р(л)г» = Qt cos (re, x{) -\- Q2 cos (re, x2) -f- <33 cos (re, .%), ¦
где
з
C»=S*y*(tO«/ (*=I. 2, 3).
Введем вектор Q(QV Q2, <?з) и рассмотрим его расходимость
С помощью формул A.5) нетрудно проверить, что
i дх, ~*~дх3 dxJ~T~\dxs дх3 ~*~ дхг
dv2 ^ диг
диг dv9 . ди
3
дх3 дх2)]~т~а1\дх2 дхх "t~дх1 д
f ди2 dv3 , ди^
1ал, дх2 "Т" dx2
ё(и, г») представляет собой билинейную форму относительно произ-
duj dvt
водных -g— и ^—; она, очевидно, симметрична относительно век-
векторов и и г».
С другой стороны, подставив значения ^,-^@) из A.5), заметим,
что
где
Ajp = [^Д^ + (X + ц) -^|- div V,
И поэтому
dQ A*g(B, v), A.7)

§1] СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. ФОРМУЛЫ БЕТТИ 17
причем и • Д*г> есть скалярное произведение вектора и на вектор Д*0,
составляющие которого имеют вид
^V^^Vf + il-j-^ — uivv (У=1. 2. 3).
Применив к A.7) формулу Гаусса-Остроградского, получим
fu-tfvdv = J и • Р("'г> dS — f$(u, v)dv. A.8)
Bl s b(
Положив в этом равенстве и = г>, получим
fu-tfudv= fa-P{n)udS— f$(u, u)dv. A.9)
Bi s Bt
Далее, меняя в A.8) и и г» местами, вычитая полученное равенство
из равенства A.8) и учитывая, что
$(и, v)=z$(v, и),
получим
J (и • Д*г> — v • Д*и) dv = J (и ¦ P{n)v — v ¦ Р(п)и) dS. A.10)
Bi s
Формулы A.8), A.9), A.10) можно называть первой, второй и третьей
(обобщенными) формулами Бетти. Придавая постоянным а и J3 различные
значения, удовлетворяющие условию A.3), получим другие формулы,
в частности, формулы Бетти, известные из теории упругости. Если
то, как легко обнаружить простым сравнением формул A.5) с фор-
формулами для т/й (стр. 13), будем иметь
яд = > С/. к = \. 2, 3).
и вектор обобщенного напряжения Р<л)а обратится в вектор напря-
напряжения
T(")«=rA)cos(», *1)+rB)cos(», *2)+rC)cos(re, xj, A.11)
где 71*', T ', Т '—векторы напряжения, действующие соответственно
на элементы с нормалями, параллельными осям xv хг, х3, и имею-
имеющие составляющие
(¦Сц. ^ц. ^13). (г21- ^2- Х23)' (Х31- Х32- хЗз)'
Формулы A.8), A.9), A.10) обращаются соответственно в первую
формулу Бетти:
f f, v)dv, A.8')
s Bi
2 В. Д. Купрадзе

18 НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. I
во вторую формулу Бетти:
j и ¦ b?udv= j и ¦ J{n)adS ~ JW(u, a)dv A.9')
в( s в,
и в третью формулу Бетти:
f (и • Д*г> — v ¦ !\*u)dv= f(u ¦ Jl%— v ¦ Т{п)и) dS, A.10')
Bt ' s
где W(u, и) s=S (и, v) при •» = «, a:=|x и Р = Х, т. е.
W(u, «)-2i2(«22 + «23 + «21)+|;(gjJl+X(div«J. A.12)
Простые преобразования показывают, что формулы A.4) и A.11)
могут быть еще записаны в следующем виде:
(» | A.13)
^ A.14)
Кроме тождеств A.8'), A.9'), A.10'), мы будем также пользоваться
соотношениями, которые получаются из A.8), A.9), A.10) при сле-
следующих значениях параметров:
Вектор Р и при этом обращается в вектор псевдонапряжения,
который принято обозначать через N*"'a:
A.16)
Билинейная форма $ (и, ч?) при г» = и и для аир, заданных ра-
равенствами A.15), принимает следующий вид:

§2] ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ 19
и мы будем иметь три новые формулы Бетти:
fu-b.*vdv=fu- N("WS — JW,(e, v)dv, A.8")
Bi s Bi
fub.*udv=fu- N(n)«dS — f Wt(u, u)dv, A.9")
f (и • Д*г> - v • Д*и) dv = J (и • N(n)t> - v • N(n)«) rf5. A.10")
В дальнейшем вместо обозначений Р(п), Т(л), N(n) будем пользоваться
обозначениями Р, Т, N, помня, что направление нормали всегда
совпадает с направлением п. Векторный дифференциальный оператор
Р = (а +11) ~ + pn div + а (я X rot)
будем называть оператором обобщенного напряжения; как частные
случаи, из него получаются оператор напряжения
Т = 2|i — + X» div + р (я X rot)
и оператор псевдонапряжения
i+
Фундаментальное значение первого из них в теории граничных задач
определяется механическим смыслом вектора Ти(х), который выражает
напряжение в точке х на элементарной площадке, проходящей через х
и имеющей нормалью »; смысл оператора N, введенного выше, под-
подробнее будет выяснен в § 4.
§ 2. Фундаментальные решения. Сила Ф (л:), стоящая в правых
частях уравнений A.1) и A.2), отлична от нуля, вообще говоря,
только в некоторой, конечной части пространства В. Рассмотрим
скалярный и векторный потенциалы
A.18)
причем г(х, у) есть расстояние между точками х(хх, х2, х^) и
У(Уг> Уг> Уз)> ^"у — элемент объема и dSy — элемент поверхности
в точке у. Если х?В, то из A.18) вытекает
ф (х) = grad Ф' (х) -j- rot W (x).
2*
ф' <*> = - i / * (У) ¦ i?ad, т^ dvy.

20
НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 1
Вектор смещения и (х) представим в виде суммы:
«(x) = grad(p(Ar)-f-rot4i(x). A.19)
Эти значения Ф(х) и и(х) подставим в A.1); тогда найдем, что
уравнение A.1) будет удовлетворено, если скалярный потен-
потенциал <р(дг) и векторный потенциал ф (•*) определены соответ-
соответственно из уравнений
A.20)
здесь
Особый интерес представляет изучение случая, когда сила Ф(х)
есть сосредоточенная в точке постоянная сила. Пусть точка прило-
приложения этой силы есть у (у^ у2, у3), величина ее равна 4тс и напра-
направление действия совпадает с осью хх. Представим ее как предел
результирующей некоторой системы сил Ф*(х'), непрерывно распре-
распределенных по сфере о (у; е) радиуса е с центром в точке у, когда
радиус сферы е стремится к нулю. При этом будем считать, что
составляющие силы Ф*(дг') по осям х2 и дг3, Фг(х') и Ф*(х'),
остаются ограниченными,
так, что
lim
а составляющая по xv Ф*(х'), растет
/ф!(
'(у; *)
Определив таким образом силу Ф(х), будем иметь из A.18)
С 1 уг* / \ /Ч
ф' (х) = —
r (х, у) '
A.21)
2^ > дх3 r(x,y)' 3V ' дхг г(х,у)
Подставив эти значения Ф' (х) и *Р(х) в правые части уравнений A.20),
будем иметь
A.22)

I ?1 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ
Нетрудно проверить, что функции
ч * д (eikir
д
. 1 д /V*»r 1\
elk*r
21
A.23)
A.24)
являются соответственно решениями уравнений A.22) при фиксиро-
фиксированной точке у, когда х Ф у.
Введем векторы
ир(х, у) = gradcp(х; у) и us(x, y) = tot$(x, у). A.25)
Первый из них — потенциальный вектор, на что будет указывать
индекс р; второй — соленоидальный вектор, что будет отмечаться
индексом s.
До сих пор мы предполагали, что сосредоточенная в точке у
сила, действующая на тело, направлена параллельно оси хх; это
обстоятельство мы будем отмечать индексом A), поставленным сверху
при <р(*; у), $(х; у), ир(х, у), us(x, у).
Формулы A.23), A.24) и A.25) дают для составляющих векто-
векторов и^(х, у) и uW(x, у) следующие выражения:
<'.
Jk,r
A.26)
где
m2 dX]dXi
(У=1, 2, 3),
0.
Поэтому для искомого решения уравнения A.1), когда сила, дей-
действующая на тело, выбрана указанным выше способом, будем иметь
согласно A.19)
. у) =
C/-1. 2.8). A.27)

22
НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. I
Повторив предыдущие рассуждения для тех случаев, когда сосредо-
сосредоточенная в - точке у сила действует параллельно осям х2 и лг3,
получим
(k, j—\, 2, 3),
где
Нетрудно проверить, что A-27) можно еще переписать в следую-
следующем виде:
и<*> (х, у) = rot rot f 8<*> i^.) — grad div (8<ft) ~^) A.28')
(Л = 1, 2, 3),
где 8<ft) обозначает вектор с составляющими bkl, bk2, bk3.
Векторы «<1)(лг, у), «<2>(лг, у), »<3)(дг, у) с составляющими, задан-
заданными в прямоугольных прямолинейных осях координат форму-
формулами A.28), служат фундаментальными решениями уравне-
уравнения A.1°). Легко понять их механический смысл: если с помощью
вещественных и мнимых коэффициентов этих комплексных векторов
составим выражение для вектора смещения v(x, t) по формулам,
приведенным на стр. 14, то будем иметь решения уравнения (*)
(стр. 14), т. е. получим смещения, возникающие в бесконечном изо-
изотропном и однородном пространстве, подверженном действию сосре-
сосредоточенных в точке y(yj, у2> Уз) и действующих параллельно осям
координат сил, периодически зависящих от времени.
Ввиду особого значения этих решений для дальнейшего, введем
для них специальные обозначения, а именно:
и{к)(х, у) = Г<*)(лг, у) (Л=1, 2, 3) A.29)
и для составляющих
uf (х, у) = If (х. у) U = 1, 2, 3).
Из A.28) видно, что
rf(*, y) = lV (у, x) = \*i\x, у).
Квадратную матрицу третьего порядка
A) ГB) ГC,
A.29')
A.30)
A.31)

§ 21 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ 23
столбцами которой служат векторы
Т^(х, У). Г<2)(х, у), Г<3>(х, у),
обозначим через Г(лг, у) или {ГA), Г<2), Г'3)) и будем называть
матрицей фундаментальных решений уравнений A.1°). Из пре-
предыдущего можно получить в качестве частного случая матрицу фун-
фундаментальных решений для уравнения статики упругого тела A.2°).
Для этого следует в формулах A.23), A.24) положить ш = 0 и
выполнить простые преобразования, связанные с раскрытием возни-
возникающих неопределенностей. Построив таким образом <?(х, у) и
ty№(х, у) (k=\, 2, 3) для этого случая и затем поступая так же,
как в случае шфО, получим вместо A.28)
Г^ (л:, у) = grad div (s(ft) -~\ — rot rot (sw -~j . A.32')
Разумеется, A.32) и A.32') можно получить и непосредственно
из A.28) и A.28'), раскрыв неопределенности. Матрицей фундамен-
фундаментальных решений уравнений, статики будем называть матрицу
о ( о о о I
р^ y^__|p(i)i рB)| г'3м, A.31°)
о
где Г( 1(х, у) (k = l, 2, 3) — векторы с составляющими, которые
определяются из формул A.32) или A.32'). Разность
Q<*)(je, y) = r<*)(je, y) — V<k)(x, у) (k = l, 2, 3) A.33)
остается ограниченной при г = 0; первые производные этой разности
по координатам х и у в точке г = 0 имеют полюс первого порядка.
Укажем еще некоторые простые формулы, которые будут исполь-
использованы в дальнейшем:
С У) = ^яТГ-~ (* = 1.2,3) A.34)
A.35)
*-1

24 НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. I
Первая следует из A.19) и A.23). В самом деле, на основании этих
последних имеем
,м k\ д eik'r 1 д elk'T
(ft = l. 2, 3).
Чтобы получить равенство A.35), заметим, что
где через iv /2, f32 обозначены орты координатных осей, и рас-
рассмотрим дивергенцию матрицы Г (л:, у), которая по определению
равна сумме
Поэтому
и равенство A.35) доказано.
Наконец, укажем еще простой способ построения векторов
rotr<ft)(;t, у), которые ниже часто встречаются. Из A.19), учитывая
равенство
rot rot = grad d i v — Д,
получим
rotr<i>(x. y) =
Отсюда согласно A.24) следует
дх,
A.34')
Циклической перестановкой из предыдущих выражений получаются
формулы для rotr<2) и rotr'3).
* Иногда координатные орты обозначаются через хщ, m — 1, 2, 3,

$3]
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ
25
§ 3. Обобщенные фундаментальные решения. Рассмотрим век-
векторы обобщенного напряжения РГ(А) (jc, у) (k=l, 2, 3), соответ-
соответствующие смещениям бесконечного пространства, находящегося под
действием сосредоточенных сил; эти векторы получены в результате
воздействия оператором Р на векторы Г'*' (х, у), и, так как послед-
последние зависят от двух точек хну, необходимо указать явно ту из
точек, по которой оператор Р действует; поэтому введем обо-
обозначения
р<*>Г<*> (х, у) и Р<У>Г<*>(*, у),
которые указывают, что в первом случае оператор Р приложен
к точке jc и во втором к точке у. Для составляющих этих векторов
будем пользоваться обозначениями
P{f?k)(x, у) и Р<У)Г<*>(*, У) (s=l,2,3).
Условимся также через пх и пу обозначать соответственно единичную
нормаль в точках jc и у к элементам, проходящим через эти точки;
тогда будем иметь
, у)), A.36)
<*>(*, у)) A.36')
опх
и для составляющих по осям xs (s=l, 2, 3)
+ p cos (nx, xs) div, Г<*> (x, y) + a (nx X rot, Г<*> (x, y) )x$, A.37)
+ а («у X roty Г<*> (х, у) )v A.37')
Обозначим через Р(д:)Г(лг, у) матрицу:
,*)рB) р(*)рC}'
A.38)

26
НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. 1
и через II (лг, у) союзную матрицу, получающуюся из предыдущей
перестановкой строк и столбцов и точек х и у:
Щх, у) =
р(у)ГA)
р(У)ГB)
= {ПA\ П<2\
A.38')
Столбцы-векторы союзной матрицы П назовем ПA)ПB)П<3), а их
составляющие П^^лг, у):
n(ftV, у) = РГг(*)(лг> у) (s, k = l, 2, 3). A.38")
Теорема 1. Столбцы матрицы A.38'). рассматриваемые
как векторы, относительно точка x(xv x2, х3) удовлетворяют
уравнению A.1°).
В самом деле, нужно доказать, что
, у) + (X + V)
(" (х, у) + (о2П^ (д:, у) = 0
Найдем значение
Согласно A.38")
(s, Л=1, 2, 3).
(лг, у).
A.39)
Подставив значения
= 2
, у) из A.37'). получим
IK1'^, y) =
cos ("у *'>dl
Пользуясь симметрией матрицы Г(лг, у) и формулой A.35), можем
написать
eik'r
1 e
Здесь через ?(лг, у) обозначена функция -^f—f

§4] ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 27
Подставив найденные выражения в A.39) и развернув их по фор-
формуле A.37'). будем иметь
а («у X ЦД roty Г<*>)^ + (а + (х) -±- (К + р) -±- dlv
cos (яу, *s) A, divx Г<*> Ч- (
cos (яу, *,) dlvy Г«») + Л (яу X roty
+ а [я, X И roty Г(*) + *>2 roty r«*))]v A.39')
Из равенства
<> (ft)(ft' (а)
следует, что
X (*' 2(ft» (b)
(с)
Но в правой части A.39') в квадратных скобках стоят левые части
соотношений (а), (Ь), (с), поэтому она равна нулю; теорема до-
доказана.
§ 4. Фундаментальные решения первого и второго рода.
В § 1 было замечено, что вектор обобщенного напряжения превра-
превращается в вектор напряжения, если
Поэтому, считая в матрице A.38') постоянные аир выбранными
именно так и введя для матрицы в этом специальном случае обо-
обозначение
ЦС*. у).
Так как -т— <р == div,Г**) (сц. A.34)).

28
НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. I
на основании теоремы 1 § 3 можно утверждать, что каждый стол-
столбец матрицы
Т(У)Г<1)
т<у'г<3) т!у>гC' т<у>г<3)
рассматриваемый как вектор, относительно точки x(xv х2, лг3)
удовлетворяет уравнению A.1°) в каждый столбец матрицы
*,(». „-{{р. !р. *Н
рассматриваемый как вектор, относительно точки x(xv jc2, ЛГ3)
удовлетворяет уравнению A.2°). Эти решения будут называться
соответственно фундаментальными решениями первого рода
уравнений A.1°) и A.2°). Из формул A.37'), A.34) и A.34')
следует
( ^+
д eik'r « д elh
A.40)
l- 8yft^-l. A.400)
Союзные с Fj (лс, у) и ^(лг, у) матрицы имеют следующий вид:
. y) =
(
(l) Ort
A.41)

$4] ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 29
причем
cos <Vy> i T+
1. A.420)
Кроме оператора напряжения Т. из обобщенного оператора напря-
напряжения, очевидно, можно получить множество других операторов,
придавая параметрам аир различные значения, так, чтобы
Среди этих операторов, наряду с Т особое значение имеет опера-
оператор N, называемый оператором псевдонапряжения, играющий
в теории упругости такую же роль, какую оператор нормальной
производной играет в теории гармонических функций. В § 1 указы-
указывалось, что для получения из оператора Р оператора N нужно по-
постоянным аи^ придать значения
Чтобы пояснить этот выбор постоянных аир, найдем выражение
вектора псевдонапряжения в бесконечном пространстве, подвержен-
подверженном воздействию сосредоточенной силы; говоря иначе, найдем значе-
значения векторов
№*>(х, У) (Л = 1, 2, 3).
Для этого заметим, что из A.32) следует
дТ*Р(х,у) аг + Ь* д 13 (а2 —б8) дг дг д 1
dxj
a? — b*
COS I
± + cos (nx, xk) ^j I);
2a2b2
подставив это значение нормальной производной в A.37) и полагая

30 НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ {ГЛ. I
(о = 0, получим
(g2 — ft»)
^_g___
2a262 dx* to, f бл, г (а:, у)
»(*^4r4- 0-48)
Ho
a2
так как в силу A.3)
поэтому A.43) переписывается в следующем виде:
(a»—б2) дг дг \ д 1
\ д 1 . ¦
A.44)
Выберем здесь произвольную постоянную а так, чтобы
Или, переходя к постоянным X и (а,
но тогда, согласно A.3), для р имеем
Р-
Таким образом, для параметров а и [Г получены значения, кото-
которые указаны в § 1; при этом в выражении Р/'Р (ж, у) в фор-

5]
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ТРЕТЬЕГО РОДА
31
муле A.44) сохраняются лишь нормальные производные; все
другие производные исчезают, и
с у)= , V 2и.8,ь4-3 (Х-4-р.)Г --^- — -
¦" A -j- 3(л L ; oxk oxj J дпх г (х, у)
A.45)
Легко проверить, что при г(х, у) —0 векторы N'^T'*'(лг, у) и
о
Ы(ДГ)Г(*' (лг, у) имеют тождественные особенности; действительно, со-
согласно A.33) имеем
N'/'Г'*' (х, у) = NpOw(ж, у) + N'/'r1*1 (х, у), A.45')
и первое слагаемое в правой части при г —0 допускает «слабую»
(по сравнению с главной) особенность. По аналогии с матрицами
Т(ДГ)Г (лг, у). Г, (лг, у), Т(ДГ)Г (лг, у), Г! (ж. у)
введем четыре новые матрицы
. У) I A-46)
и союзные к ним
Значения N(/)r<ft) (*. У) и Ы'/'Г^Ос, у) даются формулами A.45')
и A.45), в которых точки х и у следует поменять местами. Оче-
0
видно, столбцы матриц Гц(х, у) и Гц(х, у) удовлетворяют
в любой точке x(xv лг2, х3) соответственно уравнениям A.1°)
и A.2°). Будем называть их фундаментальными решениями вто-
второго рода.
§ б. Фундаментальные решения третьего рода. Рассмотрим
замкнутую поверхность S, обладающую следующим свойством: внеш-
внешняя нормаль к 5 в произвольной точке, продолженная до бесконеч-
бесконечности, нигде более с поверхностью 5 не встречается; пусть у (ур у2, у3)
лежит на 5 и лг (xv x2, х? — произвольная точка. Рассмотрим
функцию
v(x, y) = rcos(r0> «y)ln[r + rcos(r0, ny)] — r, A.47)
1 На этот способ построения оператора N обратил мое внимание
М. О. Башелейшвили.

32
НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. t
где пу есть орт внутренней нормали в точке у, г0 — единичный век-
вектор отрезка г(х, у), направленного от у к х.
Покажем, что v(x, у) есть гармоническая функция относительно
точки х. В самом деле, так как
з
г cos (г0> яу) = гпу = 2 (х„ — у„) (пу)ь,
то
Но
3
k-1
дг
- = iny)k in [r -f (r«y
у
г+(г„у)
г+(ГИу)
+(*».)
дЛ
y'\r+{ray)
, ¦ cos (г„, иу)
• = ^ г— : г
- з
дгг
дг
J
Поэтому окончательно имеем
з
*-1 *
Так как v(x, у) не зависит от положения начала и ориентации си-
системы координат, выберем последнюю так, чтобы начало лежало
в у и положительное направление оси л:1 совпадало с внутренней
нормалью »у; тогда будел иметь
v = xl In (г 4- *i) — г. A.48)
В силу свойства нормали к поверхности S, указанного выше, для
точек, лежащих во внутренней области, хг 4- г ф 0.

§5] ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ТРЕТЬЕГО РОДА
Построим матрицу
d2v d*v d2v
дх\ dxs dxt дх3 дх}
33
d*v
dxt дх2 дх\
дхг дх^ дх2 дхА дх\ дх\
КОЛОХ2А
¦(¦^1 + /-)
/¦(¦*,
7+-Т
• A-49)
Каждый столбец этой матрицы, рассматриваемый как вектор, удо-
удовлетворяет по точке x(xv x2, х^) условиям
div Z(ft) = rot rot Z(ft) = 0 (k = 1, 2, 3).
Но в таком случае матрица Z(x, у) есть матрица решений уравне-
уравнения равновесия A.2°). Рассмотрим еще матрицу, введенную Вейлем [4а]:
м <*• У) =
1 -50)
Эту матрицу, которая, очевидно, удовлетворяет уравнению A.2°),
будем называть фундаментальным решением третьего рода (по
точке x(xv x2, дгз)) уравнения равновесия A.2°). Это решение опре-
определено только для тех точек х, которые принадлежат к конечной
области, ограниченной поверхностью 5.
Установим теперь одно важное свойство матрицы М (х, У), кото-
которое оправдывает введение решений третьего рода. Построим поле
напряжений, соответствующее полю смещений, заданному матрицей
М(х, у), т. е. найдем векторы
Т(Ж)Л1<*> (х, у) (k — l. 2. 3).
! НЕ БОЛЕЕ 1Й КИНГИ В
\ ОДНИ РУКИ И 2ХВДВЕ }
С этой целью найдем сначала, векторы J^Z'*' (x, у). Для сокра-
сокращения вычислений рассмотрим площадку, проходящую через точку X
3 В. Д. Купрадзе

34
НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
1ГЛ. I
и ориентированную так, чтобы нормаль к ней пх была параллельна \
направлению пу. В этом случае по формуле A.11) будем иметь
Подставив сюда последовательно столбцы матрицы A.49), получим
A.51)
где / обозначает единичную матрицу. Обратимся теперь к формуле A.44)
предыдущего параграфа и подставим в нее значения а = [х, C = Х;
так как оператор Р при этом обращается в оператор- Т. то будем
иметь
0 -
д
дхг
д
дх.
д
~ дх2
0
0
д
дх3
0
0
1
г
+ р (cos (nxxk) J-L-cos (»,, Xj) ?- 1) }. A.52)
В силу выбора кеординатной системы и ввиду того, что без огра-
ограничения общности можно Считать пх параллельным яу, полученное
для Ty'p*' выражение упрощается и окончательно для матрицы Т(-Г)Г
получаем следующее выражение:
X
/ дг у дг дг дг
\dxi) dxi Ъ~х~1 д~х[
дг I дг \г дг дг
дх2 \дх2) дх2 дх3
дг _дг
дх.
дг_ jh_
)Xi дх3
дг
дха
дг
дг
дх3
дг дг
дх2 дх3
!аJ
дхг)
д 1
0
д
дхг
д
дхг
д
дха
0
0
д
dxs
0
0
11
A.53)

УПРУГИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ
35
Умножив выражения A.51) и A.53) на постоянные и составив их
сумму, получим искомое поле напряжений, соответствующее полю
смещений М:
/дг\2 дг_ дг_
\dxi) дх2 дх{
дг дг (drV
T(jr)Af =
г дг I дг
дху дх2 \дх2
дг дг дг дг
дх2
дг дг
дх3 dxi
дг дг
дх2 дх3
дг\2
AL дг ( дг V
дх2 dxt \дх3)
Таким образом, установлено, что оператор Т, действуя над фунда-
фундаментальным решением третьего рода, допускает в точке д; = 0 осо-
особенность вида -s , т. е. ведет себя так, как оператор псевдона-
о
пряжения, действующий над фундаментальным решением Г. Благодаря
этому свойству фундаментальные решения третьего рода оказываются
полезными в теории граничных задач. В одном частном случае это
впервые показал Вейль [4а]. Некоторые обобщения, а также распро-
распространение на уравнение A.1) указаны в работах [13а] и [13г].
§ 6. Упругие потенциалы (эластопотенциалы) изотропной
среды. Пусть х (х; е) есть сфера, описанная из точки х как из центра
радиусом е, и <з{х\ е) — ее поверхность. Пусть x?Bt, где Bt есть
область, ограниченная замкнутой поверхностью S, и е настолько
мало, что х(х, е) целиком расположено в Bt; применив обобщенную
формулу Бетти A.10) в области Bt — х(х; е) к некоторому регу-
регулярному вектору v(y) и вектору
= Г<*>(лг, у)
= I, 2. 3).
будем иметь
J Г<*>(лг, у)[Д'
B
= J [Г<*> (х, у) Pv (у) — -о (у) р<»Г<*> (х, у)] dSy (k=l, 2, 3).
S+<s (x;«)
A.55)
Вследствие того что V (у) регулярно в Bt, а Г(й) (дг, у) имеет лишь
полюс первого порядка в точке у = х, легко получим оценку:
. y)Pv(y)dSi
<Се
=l, 2, 3).

36 НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. I
где С — конечная постоянная. Далее,
w(y) РГ<*> (*,
[v(y) — v (х)] РГ<*> (х, у) dSy + v(x) f P<>'T<*> (x, у) dSr
• (х;«) с (х; г)
A.56)
и первый интеграл в правой части стремится к нулю вместе с е;
что касается второго интеграла, то, переписав его в виде
)<
f Р<»> (г(*> — I*k))dSy + v(xy { р(у)Г<*) (х, y)dSy
а (Х\ t) о (х; 6)
и приняв во внимание свойства разности A.33) и ее первых про-
производных, получим
Нш Г v(у) РГ<*> (х. у) dSv = lim \v (х) Г рЦк)(х, у) dSv] =
. A.57)
4 ,u A-570
Подставив сюда значения из A.43) и приняв во внимание, что
С д 1 ( 0, j-фк,
J cos("y XP^^W
найдем
Нт / vi
Интегралы справа легко вычисляются. Пусть
уг = jcj -|- r sin 9 cos cp, y2 = jc2-f-rsin9sincp, y3==
Считая положительным то направление, которое ведет от точки х
к точке у, а для нормали — направление от рассматриваемой области

УПРУГИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ
37
вовне (внешнее по отношению к Bt — х(х; е), будем иметь в точках
на поверхности сферы
Поэтому
д 1 д_]_
дпу г(х, у) дг г
J
it 2it
о о
х 2я
Г дг дг д 1 _/¦/• (У/—^у
/ <?уу dyft <Эпу г (jc, у) "°У~,/ ./
)
0 0
A.57")
с о*;«)
и из A.58) получаем
lim
«1^ ¦
Наконец, из A.55) и A.57) следует
S
(fc=i, 2, 3). A.58')
, y)dSy-
. A.59)
В частности, если регулярный вектор v(y) выбран так, что
то
г, y)dSy
=l, 2, 3),
A.60)
До сих пор мы считали точку х лежащей в Bt; но, очевидно,
наши рассуждения применимы и в тех случаях, когда. х?Вв или

88
НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. I
x?S, где Ва есть дополнение Bt до полного (бесконечного) про-
пространства. Следовательно, имеет место общая формула
8 (jc) vk (x) =
[Г<*> (*, у) Pv (у) - «(у) РГ<*) (х, у)} dSy
=l, 2, 3),
A.61)
где
Ь(х) =
1,
0.
Теперь условимся относительно некоторых правил матричной записи.
Пусть А(х, у) есть матрица:
А(х, у) =
ап(х, у) аа(х, у) аа(х, у)||
а21(х, у) а22(дг, у) а2ъ{х, у)\
«31 (х, у) а32(х, у) а33(х, у)\\
Под произведением матрицы А (х, у) и зектора qp (у) будем под-
подразумевать матричное произведение матрицы А(х, у) и одноколонной
матрицы
т. е. будем считать, что Л(р есть вектор, выражаемый одноколонной
матрицей
з
2 в» (*. у) т* (у)
Л (л;,
2e»(*. у)?*'
3
2дз
У) Т*. (У)
Подобным же образом произведение вектора (р (л:) на матрицу А (х, у)
будет означать матричное произведение однострочной матрицы :

} «] УПРУГИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ 39
?(*)=H<Pi(*). %'(*)• Ч*з С-^) II на матрицу А(х, у), т. е. вектор, вы-
выражаемый однострочной матрицей
II 3 3
<f(x)A(x, у) =[2 «*«(*. У) ?*(*)• 2«*2(^. У) ?*(*)•
з в
2ч*з(*. у) ?*(*)!•
При таком определении произведения справедливо равенство
А (х, у) (р (у) = f (у) Л* (*, у). . A.62)
где А*(х, у) есть транспонированная матрица по отношению к ма-
матрице А(х, у), т. е. получена из последней перестановкой строк и
столбцов.
Приняв во внимание A.380. симметричность матрицы Г (я, у) и
воспользовавшись определением произведения матрицы на вектор и
вектора на матрицу, формулу A.61) можем записать в виде следую-
следующего векторного равенства:
8(*)«(*) = ¦?¦/ Г(х, у) Pv(у)dSy- JL f И(х, у) v(у)dSy. A.61')
i s
Придав постоянным а и C значения
из A.61') получим
= з;/Г (*. У)Т»(у)й5у —^Уг,^, y)v(y)dSr A.63)
i
. A.64)
где (p(y) — вектор, определенный на 5 (удовлетворяющий, например,
условию Гельдера) относительно точки х (xv x2, х^), не лежащей
на 5, удовлетворяют однородному уравнению A.1°I. Будем назы-
называть их соответственно потенциалом простого слоя и потенциа-
потенциалом двойного слоя первого рода.
Подобным же образом, считая аир равными
/
i s
Векторы
1 Это следует из теоремы 1 § 3.

46 НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. 1
в соответствии с обозначениями § 4 получим вектор
который будем называть потенциалом двойного слоя второго
рода. Вектор А (х), составленный с помощью фундаментальных ре-
решений третьего рода.
А <*> = -к Iм (х> у) * w dSr A -65'>
S
Который, очевидно, удовлетворяет уравнению Д*а = 0, иногда назы-
называют антенным потенциалом. Этот потенциал определен только для
тех точек, которые принадлежат конечной области, ограниченной
поверхностью S.
Наконец, вектор
i/(*. у)?(у)^у. A-66)
который встречается в общем представлении регулярного вектора v(x),
назовем объемным потенциалом.
Каждый из построенных выше потенциалов (колебания) при ш = О
обращается в аналогичный потенциал равновесия (статики). Эти по-
потенциалы (первые три) являются интегралами уравнения A.2°), и
мы будем обозначать их следующим образом:
V (х) = -^ / Г (х, у) f (у) dSy W, (х) = ± f Г, (*. у) (р (у) dSy,
S S
Wtt {x) = ~f Г„ (х, у) ? (у) rf5y, U{x) = ± [v {х, у) f (у) dWy.
i Bi
A.67)
В дальнейшем будем рассматривать напряжения, соответствующие
смещениям, выражаемым потенциалами введенных выше типов.
Выясним в связи с этим, что следует понимать под символом
Vx)[V{x. y)?(y)].
Согласно принятому определению произведения матрицы на вектор,
Г (*. У) f (У) = 2 2 if? {х, у) ?* (У): A -68)

$ 6) УПРУГИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ 41
по определению оператора Т имеем
+ lnx<Uvx(T(x, у)у(у)) + р(пхХго\Г(х, у)ср(у)).
Подставив сюда значение вектора Г(х, у)ср(у) из A.68), найдем
Т<ж) [Г (х, у) ср (у)] = 2р JL (Г (х, у) ср (у)) +
»^ (у div Г) -{- р (Я;с X rot Гер)), A.69)
где div Г, согласно с A.34) и A.35), обозначает вектор с составляющими
», div,r<2>. di
a rot (Гер) обозначает вектор
Проектируя вектор Т(ж) (Г {х, у) ср (у)) на ось jCj, будем иметь
на основании предыдущих формул и обозначений
(У)dlv- ГC) (^- У)] +1* {cos (»ж, х2) \Ь (у) (totx
J-cos (пх,
+ срз (у) (rotx К») J},
так как оператор Т. Действует здесь в точке дс, от которой век-
вектор (р(у) не зависит, можем записать
Ж7 + Х cos (»*• *i>div^ Г<2) + (* (»* X
"t- Ъ (У) [sp. ^ + a cos (ях1 ж,) divx Г<з) + (х (я, X rot,
V, у)Ь(У). (Ь70)

42 НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. I
С другой стороны, по определению произведения матрицы на вектор
и из обозначения A.41) будем иметь
Сравнив с A.70) и приняв во внимание, что при замене х1 на х2 и дг3
приведенные выше рассуждения сохраняют силу, получим
Т(лг) [Г (х, у) f (у) ] = (VX)'T (х. у)) f (у), A.71)
и аналогично
). A.72)
§ 7. Формулы Пуассона. Объемный потенциал
в котором Г(а) (х, у) обозначает матрицу Т(х, у) при Х = Ха и
ji = jia, а ср (у) предполагается непрерывным и дифференцируемым
вектором в Bt, играет ниже существенную роль, в частности, нас
будут интересовать при х ? Bt значения выражений
(Д(*а)+ (о2) U(x).
где
Д*/) = ^Д + (X/ + fc) grad di v,
* div.
Пусть точка хо?В; исключена сферой т(лг0; е) и x?t(xQ; в). По-
Положим
где

J7] ФОРМУЛЫ ПУАССОНА 43
Для проекций U на координатные оси имеем выражения
, (/=1.2,3)
и аналогично для U^ и ^
В выражении для ?/A) (лг) оператор (д*г) -f- ш2) можно внести под
знак интеграла; поэтому
<р (у) Г(в) (х, у) dvy.
t (ха; г)
Теперь найдем
Af/f (*) и grad div U{2) (*).
Рассмотрим производные
t (л,,; г) т (л;0; в)
=l, 2, 3). A.74)
Здесь »у есть единичная внешняя нормаль в точке у на сфере х (х; е),
за положительное направление отрезка
г = У(У1 — ^oiJ + (Л - Ло2J + (Уз —
принимаем направление от х0 к у, так что на сферической поверх-
поверхности имеем
cos (г, *,) = cos (я,, Хк) = Ук~Х°к (ft == 1, 2,3).
Первый интеграл в правой части A.74) можно дифференцировать
по координатам х, так как х не лежит на <з(хй\ е); второй интеграл

44 НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. !
также дифференцируется, как объемный потенциал с непрерывной
плотностью X ¦ Поэтому существуют вторые производные
и вместе с ними вторые производные
дгУ{х)
дхъ дх) '
равные сумме
to не зависящие от е.
Из A.74), дифференцируя по х}, будем иметь
дхь dxj ' 4я
,; t)
т (jr0; г)
~i f Щ (A )cos («у- **) <*S» = Л + /2 + /з. A -75)
= (*o; i)
где через Iv /2, /3 обозначены соответственно первое, второе и
третье слагаемое в правой части равенства A.75).
Перейдя к пределу в этом равенстве при е->0, получим
lim /1 = lim /2 = 0,
и следовательно,
где
1 /•
W = ~^ J Ь (У)
о
(
cos

§7] ФОРМУЛЫ ПУАССОНА 45
В соответствии с формулой A.32) можем записать:
W, у)
8W J ЪМ-Ш\ Р )Cos(ny, xk)dSy =
)
. __ а2— б2 .'
где
COS (Я, Хь) COS (Г, Ж/)
УМУ) '
; е)
/COS (Я, Хь)
УМУ) г
Пусть х = х0— полюс сферической системы координат
j»j = хх-\-гsin 9cos(p, y2 = л:2-|-r sin 6 sin cp, y3 = x3-f-rcos6;
тогда
cos (»y, *i) = У'~~Л:' = sin б cos (p, cos («у, я2) = sin б sin (p,
COS(»y> Лз) = 1
Имеем
a? — Ьг .. /¦./¦ . ,' . .r \
8ядгЙ~ ^ lln ' 21U "T~ 3111/'
/coss (nv, Xi) Г cos2 (я«, хА
9х(У) -^-dS^ j (cftOO-TiW) V!L-irf5y+
[x\ «)
/¦
*; t)
cos2 (Иу, je,)
•*; •)
/cos2 (nv, жЛ
^ dSy =
-*°.1««>
cos2 (д, jcQ + cos2 («, жа) + cos2 (д, xs) ,p __
1 . r dSy 4
• (*;«)

46 НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. I
Так как 821 = S31 = 0, то
= -2
в (х; «) .«(х\ г)
Г'пп - - |
пп - - |«ft <*) + 3* (*)
я 2я
COS4 б Sin б rf6 dcp I = — -i-
о о
Продолжая эти вычисления, находим
й аналогично
откуда
Повторив рассуждения, приведенные Выше для Uf* (x), в отноше-
отношении U{i\x) и Uf](x), получим
lim ( Д<*) + о>2) t/<2) (х) = — 4т:/» (д:),
«->о
где
Для ^ = Хв, {1,^ = ^ имеем /=1.
1 / ^y— dSy мы заменили равным ему интегралом
• №«)
J ¦ pi di>r
• (*;•)

§7] ФОРМУЛЫ ПУАССОНА 47
Выше было показано, что в каждой точке х?Bt существуют
дги
вторые производные -т—^— . равные сумме
dxk dxj +
для произвольного значения s; поэтому
и (
[™0{ дх„дх}
где
(л:)
Г
(л:) /*
С другой стороны, мы показали, что существует предел
следовательно, существует предел
lim / SxTSxl(?(у) Г(«>{х> y»dvy (*• У = 1 • 2- 3).
Его следует понимать в смысле главного значения, так как он полу-
получен путем предельного перехода при удалении особой точки с по-
помощью шара.
Принимая сказанное во внимание, приходим к равенству
») J? (у) Г(в) {х, у) dvy = -
A.76)
Эта формула—аналог формулы Пуассона. Теперь мы ее несколько
преобразуем. Имеем
±ii grad div + ?
()(*. у)) +
i grad div (?Г(в)) + ш2 (l _ _^_) (?Г(в)) =
= i grad div (<?TM) + .«(l - i±) (?Г(в)),

48 НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. I
где
Следовательно,
Су) г(в) (*
- Ыу (*) + «J (l — ?-) f ? СУ) Г(в) (л, у) rfz;y +
-Ь ^- /* ? (У) grad div Г(в) (х, у) dvy. A.77)
Если
то
/=1, Д(*/) = Д(*а) ^ Д*. 7» = 0,
и мы приходим к формуле Пуассона для x^Bt:
(Д*+ aJ). J <р(у)Г (*, у) dvy = — 4яср(je). A.78)

ГЛАВА II
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ ТЕЛ
§ 1. Граничные свойства потенциалов. Поведение построенных
в гл. I потенциалов вблизи границ аналогично поведению обычных
гармонических потенциалов, свойства которых хорошо изучены и по-
подробно изложены во многих книгах по теории потенциала. Поэтому
мы не будем приводить детальных доказательств, но для облегчения
ссылок формулируем основные граничные свойства эластопотенциалов
в виде отдельных теорем. Мы будем предполагать, что поверхность S,
несущая плотности, возбуждающие те или иные потенциалы, есть
замкнутая поверхность Ляпунова', а плотность выражается не-
непрерывной функцией или функцией, удовлетворяющей условию
Гельдера с показателем f ^ 1 (т. е. принадлежащей классу //(?))•
За положительные направления нормали п и вектора г(х, у)
примем соответственно направление внешнее и направление от точки
x(xv х2, #з) к точке у (у,, у2> Уз)« где расположены возбуждаю-
возбуждающие массы.
Теорема 1. Потенциал простого слоя
с непрерывной плотностью ер (у) непрерывен всюду.
Теорема 2. Потенциал двойного слоя первого рода
s
с плотностью у (у) класса #(?) стремится к конечным пре-
пределам, когда точка х стремится к точке х0 на S, xo?S,
1 В тех случаях, когда нам придется несколько сузить этот класс, это
будет оговорено особо.
4 В. Д. Купрадз»

50 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НИЯ ГРАНИЧ. ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОРОДН. ТЕЛ [ГЛ. II
изнутри или извне, и эти пределы соответственно равны
Щ, i (*о) = - ? (*о) 4- i / Г, (х0, у) ср (у) dSy,
/ BЛ)
Г1 (*о. У) ? 00 <*Sy.
Здесь (и всюду дальше, если противное йе оговорено особо) нижние
значки I и а при переменных величинах всегда указывают на пре-
предельные значения в точках границы при стремлении к граничной
точке изнутри и извне соответственно.
Интегралы, стоящие в правых частях формул B.1), следует пони-
понимать в смысле главного значения, т. е. как предел при е->0
интеграла, взятого по 5 — S (ха; е), где S(x0; e) есть определенная
окрестность точки xo?S с диаметром, равным 2е. Более подробно
к понятию главного значения мы вернемся в гл. V. Доказательство
теоремы 2 получается из рассмотрения Wx (x), представленного в сле-
следующем виде:
,(*. y)<?(xo)dSy.
B-2)
о
Вследствие того что ср(У)^Я(^) и разность Г,(лг, у) — Г, (х, у)
имеет при г = 0 лишь полюс первого порядка, первые два интеграла
в правой части B.2) оказываются непрерывными; последний интеграл
вычисляется явно. Воспользуемся для этого формулой A.63). Пусть
о) = 0," тогда A.63) принимает вид
JL /[Г(*. y)Jv(y)~Vl(x, y)v(y)]dSy.
s
Рассматривая это тождество в частных случаях, когда вектор v(x)
совпадает с одним из ортов координатных осей, и проектируя его
каждый раз на оси, находим для диагональных элементов матрицы
о
С У)
— 4ir, x?Bt,
— 2is,x?S. (A = 1, 2, 3) B.3)
О,

S I] ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛОВ 51
и для недиагональных элементов
/ (г, (л:, y))kdSy = 0 (кфЛ B.3')
s
при любом положении точки х. Под Wi(x^) будем понимать значе-
значение Wt(x) в точке xQ?S. Перейдем к пределу в равенстве B.2) при
стремлении точки х к точке xQ?S изнутри и извне; приняв во вни-
внимание формулы B.3) и отмеченную выше непрерывность первых двух
слагаемых в правой части равенства B.2) и сравнив предельные зна-
значения с \Уг (х0), получим
Wh , (х0) + 2? (*0) = W, (х0) + f (х0) = Wh a (*„).
откуда и следуют равенства B.1).
Аналогично доказывается
Теорема 3. Потенциал двойного слоя второго рода
с непрерывной плотностью ср (у) стремится к конечным пре-
пределам, когда точка х стремится к точке xQ на S изнутри или
извне, и эти пределы равны соответственно
Wh, i (*о) = — f (*„) + ^ f Г„ (д;0> у) f (у) dSy,
1 / B'4)
^r J Г„(*о. y)<f(y)dSy.
Заметим, что для справедливости равенств B.4) достаточно по-
потребовать от вектора ср (у) простой непрерывности, тогда как при
выводе равенств B.1) предполагалось, что ?(.y)?#(f). Это связано
с тем, что потенциал двойного слоя второго рода построен с помощью
оператора псевдонапряжения N. который в точке хо = у ведет себя,
как нормальная производная от —-.—-г-, где г — расстояние между
' 1-*о> У)
точками х0 и у на S. Вследствие этого интегралы в B.4) имеют
смысл обычных несобственных интегралов. В равенствах же B.1),
наоборот, интегралы понимаются только в смысле' главных значений.
Теорема 4. Т-оператор от потенциала простого слоя V(x)
с плотностью ср(у) класса #(f) стремится к конечным пре-
пределам, когда точка х стремится к граничной точке xo?S
4*

52 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НИЯ ГРАНИЧ. ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОРОДН. ТЕЛ [ГЛ. II
изнутри или извне, и эти пределы равны соответственно
(TV), = f (*0) + ~ f (Т(*о)Г (*0, у)) ср (у)dSy
и B.6)
(ТV)a » - ср (*0) + ^ f (Т^'Г (*0, у)) ср (у) rf5y.
s
Доказательство опирается на возможность представления JV(x)
при л:, не принадлежащем S, в следующем виде:
ТV (х) = JL / (Т(^Г (*.
B.6)
Последнее слагаемое в правой части есть потенциал двойного слоя
первого рода, и его поведение вблизи границы устанавливается тео-
теоремой 2; что же касается первого слагаемого, то можно показать,
что оно непрерывно зависит от точки х. Обращаясь к формуле A.44)
и подставив в нее
будем иметь
cos (•„ xk) ^-1 - cos (nx, xs) -щ
С другой стороны,
Т<*>Г (х, у) + Т(У)Г (*, у) = (Т<* + Т(у)) Г (*. у) + L (х, у), B.8)
где L(x, у) есть матрица со слабой особенностью. Так как
з
г(*, У) =2 '*(У* — **).
то
' к 'к
О О
Поэтому, после внесения в B.8) значений TwT(x, у) и Т(у)Г(л:, у)

{ 1] ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛОВ S3
из B.7), будем иметь для sA-элемента
cos (г, п.) — cos (r, nv)
— (cos (»,, *4) — cos (»y, *,)) —¦ I] + Lsk (x, y)}.
Отсюда и в силу свойств поверхности Ляпунова вытекает непрерыв-
непрерывность первого слагаемого в правой части равенства B.6), а вместе
с этим и равенства B.5).
Аналогично доказывается
Теорема 5. Ы-onepamop от потенциала простого слоя V(x)
с непрерывной плотностью «р (у) стремится к конечным пре-
пределам, когда точка х стремится к граничной точке х0 на S
изнутри или извне, и эти пределы равны соответственно
(NV), = f (*о) + 5Г / (N(*o)T (Xoy)) ? (у) dSy,
* B.9)
()
Ядро потенциала антенного слоя (матрица фундаментальных ре-
решений третьего рода), как мы видели в § 5 гл. I, есть ядро типа
потенциала простого слоя, и Т-оператор от него образует ядро типа
потенциала двойного слоя второго рода. Поэтому относительно по-
потенциалов антенного слоя справедливы следующие две теоремы.
Теорема 6. Потенциал антенного слоя (потенциал про-
простого слоя второго рода) с непрерывной плотностью ср (у)
= ± f M{x, y)<f(y)dSy B.10)
s
непрерывен всюду в замкнутой области Bt.
Теорема 7. Т-оператор от потенциала антенного слоя
с непрерывной плотностью «р(у) стремится к конечному пре-
пределу, когда точка х стремится к граничной точке х0 на S
изнутри, и этот предел равен
(ТА), = — ?(*„)-^ /(Т<у)Ж(л:оу))?(у)й5у. B.11)
Заметим, что теоремы 6 и 7 относятся только к внутренней
области Bt, так как потенциал антенного слоя определен только для
точек, принадлежащих Bt.

54
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НИЯ ГРАНИЧ. ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОРОДН. ТЕЛ [ГЛ. II
Кроме приведенных выше теорем, характеризующих поведение
эластопотенциалов вблизи границ, важную роль в теории граничных
задач играют некоторые теоремы типа теоремы Ляпунова — Таубера
из теории гармонических потенциалов, а также теоремы относительно
некоторых других типов потенциалов. Их мы рассмотрим позже.
§ 2. Постановка граничных задач и приведение к интеграль-
интегральным уравнениям. Мы примем, что пространство, занятое телом,
составлено из двух частей: внутренней области В1 и внешней об-
области Ва\ область В1 всегда будет считаться конечной, область Ва —
связной. Общая граница Bt и Ва, которая будет обозначаться через S,
может состоять как из единственной, так и из конечного числа
замкнутых непересекающихся поверхностей Ляпунова. Обозначив эти
Рис. 1.
Рис. 2.
поверхности через 5(*\ k=l, 2, .... п, а внутренние области, ими
ограниченные, через В\к\ k = \, 2 я, будем иметь
2
ft-I
*-I
В том случае, когда внешняя область Ва не содержит бесконечно
удаленной точки и, следовательно, имеет конечную внешнюю гра-
границу, будем обозначать последнюю через Sa. На рис. 1 заштрихо-
заштрихованная область есть Bt, незаштрихованная — Ва, на рис. 2 заштри-
заштрихованная часть представляет область Ва, а незаштрихованная (ко-
(конечная) — область Bt.
Говоря об области, мы не будем причислять к ней границы;
область В вместе с границей будем называть замкнутой областью
и обозначать знаком В. Условимся называть вектор U(x) регуляр-
регулярным решением уравнения A.1°) в области В(, если U(х) удовлетво-

§2) ПОСТАНОВКА ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ 55
ряет в Bt уравнению A.1°), а в Bt для него справедливы формулы
Бетти.
Условимся называть вектор U(x) регулярным решением уравне-
уравнения A.1°) в области Ва, если V' (х) удовлетворяет в Ва уравне-
уравнению A.1°), а в Ва — условиям применимости формул Бетти, сводя-
сводящимся на бесконечности к некоторому закону затухания, называемому
условием излучения (см. гл. III).
Будем рассматривать следующие основные граничные задачи (рис. 1):
Первая внутренняя за дача. Найти регулярное в Bt реше-
решение уравнения A.1°), если известно, что его предельные «изнутри»
значения на 5 совпадают с заданным вектором класса Н G).
Вторая внутренняя задача. Найти регулярное в Bt ре-
решение уравнения A.1°), если известно, что предельные «изнутри»
значения на 5 вектора напряжений совпадают с заданным на 5 век-
вектором класса H(f).
Первая внешняя задача. Найти регулярное в Ва решение
уравнения A.1°), если известно, что предельные «извне» значения
на 5 вектора смещений совпадают с заданным на 5 вектором
класса Н (?).
Вторая внешняя задача. Найти регулярное в Ва решение
уравнения A.1°), если известно, что предельные «извне» значения
на 5 вектора напряжения совпадают с заданным на 5 вектором
класса Н (т).
Третья внутренняя задача. Найти регулярное в Bt ре-
решение уравнения A.1°), если задано предельное «изнутри» значение
класса Н (?) для выражения Ju (х) -f- аи (х) на S, где о(лг), х ?S,—
скалярная положительная функция класса Я Су).
Третья внешняя задача. Найти регулярное в Ва решение
уравнения A.1°), если задано предельное «извне» значение класса
Я (if) для выражения Та (х) ~\- aja (х) на S; Imo,^s.O.
Четвертая (смешанная) граничная задача. Найти
регулярное внутри области решение уравнений упругости, если на
одной части границы заданы смещения, а на остальной — напряжения.
Если всюду в предыдущих формулировках считать ш = 0, полу-
получим формулировки основных граничных задач равновесия (статики);
характер затухания на бесконечности при этом автоматически полу-
получается из условия излучения.
Перейдем теперь к составлению интегральных уравнений.
Решение первой внутренней задачи достаточно искать в виде
потенциала двойного слоя первого рода, чтобы на основании тео-
теоремы 2 § 1 для неизвестной плотности «р(*0) иметь интегральное
уравнение

56 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НИЯ ГРАНИЧ. ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОРОДН. ТЕЛ [ГЛ. II
где f(x0) есть заданный на 5 вектор класса Н (j). Это уравнение
ииже удобно обозначать символом (Dj).
Решение второй внутренней задачи следует искать в виде потенци-
потенциала простого слоя, для того чтобы на основании теоремы 4 § 1 по-
получить для неизвестной плотности следующее интегральное уравнение:
? (*о) + i / (Т(*о!Г (*оу))f (у) dSy =/(*„). (Tt)
s
Это уравнение ниже будет обозначаться символом (Tt).
Решение первой внешней задачи, подобно первой внутренней,
также ищется в виде потенциала двойного слоя первого рода,
и тогда для неизвестной плотности имеем на основании теоремы 2 § 1
интегральное уравнение
? (*о) + ¦§¦? / ri (*о. У) ? (У) dSy =/(*„). (DJ
s
которое удобно обозначать через (Da).
Решение второй внешней задачи, подобно второй внутренней,
ищем в виде потенциала простого слоя, и тогда на основании тео-
теоремы 4 § 1 имеем
»(*°) ~ i / (Т(*>Г (*о. У)) ? (У) dSy = -/(*0). (Та)
s
Это уравнение будет ниже обозначаться через (Та).
Чтобы получить интегральные уравнения для третьей задачи,
внутренней и внешней, будем искать решение в виде потенциала
простого слоя и тогда в силу теоремы 4 § 1 получим для плотности
в случае внутренней задачи интегральное уравнение
»(*<•) + i / [TU)r (*• У) + «(*о) Г(*о. У)] ? (У) ^5у =
. s
а для внешней задачи интегральное уравнение
о. (*о>Г («о- У)] ?
Интегральные уравнения четвертой (смешанной) граничной задачи
будут выведены в гл. X, где эти задачи и исследуются.
Однородные уравнения, которые соответствуют уравнениям (pt),
(DJ, (Tt), (TJ, (Mt), (Ma), при /(дг„) = О будем обозначать соот-
соответственно через (D?), (D°a), (т% (Г°а), (М% (J[Q. Граничные за-
задачи, соответствующие этим уравнениям, будут обозначаться этими же
символами.
Существенным обстоятельством, которое следует иметь в виду
при пользовании интегральными уравнениями этого параграфа.

it] постановка граничных задач 5?
является То, что входящие в них интегралы — сингулярные и могут
пониматься только в смысле главных значений; поэтому эти урав-
уравнения, хотя формально имеют вид уравнений Фредгольма второго
рода, являются сингулярными, и при этом многомерными (двумер-
(двумерными), и требуют специального исследования для решения вопроса
о возможности применения к ним теории Фредгольма. Вторым
важным моментом служит тот факт, что уравнения (?>?) и (Т°а), (Т10)
и (?>в) оказываются попарно взаимно-союзными уравнениями, что
следует из вида их ядер.
Для перехода к интегральным уравнениям статики- достаточно
в предыдущих уравнениях положить ш = 0; это формально равно-
0
сильно замене матрицы Г (л:, у) на матрицу Т(х, у).
Уравнения (Dt), (Dj, (Jj)(J^ можно записать в компактной
форме. С этой целью условимся в следующих обозначениях. Пусть
К(х, у) есть квадратная матрица третьего порядка
Ж*. У) = 11*1* (*• У) II (/.Л =1.2.3).
пусть К*(х, у) есть матрица, транспонированная по отношению
к К(х, у), т. е. получена из К(х, у) перестановкой строк и столбцов:
*•(*. у)=И*«(*. у)II;
пусть, наконец, К'(х, у) есть матрица, союзная с К(х, у), т. е.
получена из К(х, у) перестановкой строк и столбцов1 и аргумен-
аргументов хну:
К'{х, у)=
Очевидно,
К'(х, у) = К*(у. х).
Обозначим
тогда матрица -н— Г, (л:, у), по определению союзная с -н— T(JfT (л:, у),
будет равна матрице К* (у, х), и на основании равенства A.62)
вместо уравнений (?>г) и (Da), (Гг) и (TJ можно писать уравнения
<?(*)-* f?(y)K(y. x)dSy=f(x) B.12), (D)
s
и
? (л) — x $ К (х, у) ср (у) dSy =/' (*), B.13), (Т)
s
которые при х = -\-1 и /' = —/ обращаются в уравнения (Dj)
и (Га), а при х = — 1 и /' =/— в уравнения (DJ и (Гг) соот-
соответственно.

ГЛАВА III
УСЛОВИЯ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ
§ 1. Неоднозначность решений уравнения колебаний. Когда
граничная задача математической физики относится к области, содер-
содержащей бесконечно удаленную точку, необходимо особо рассмотреть
вопрос О поведении решения на бесконечности: исследовать асимпто-
асимптотический характер решения в зависимости от пространственных ко-
координат. В условиях задачи обычно нет непосредственных указаний
относительно этого характера, и он должен быть определен из кос-
косвенных соображений в соответствии с физическим содержанием во-
вопроса, причем забота о том, чтобы принятый на бесконечности характер
решения обеспечивал единственность искомого решения, является важ-
важнейшей. Ясно, что условие, обеспечивающее единственность, само,
вообще говоря, не является единственным, и задача состоит в выборе
этого условия наиболее целесообразным образом, и прежде всего так,
чтобы решения с заданным характером на бесконечности существо-
существовали. Формулы Грина и им подобные, в частности в теории упру-
упругости формулы Бетти, служат средством, позволяющим делать этот,
выбор; однако после того, как из физических соображений или на
основании указаний, которые черпаются из формул Грина, мы оста-
остановились на том или ином асимптотическом характере решения, не-
необходимо доказать, что такое решение действительно существует
и является единственным. Подобный выбор асимптотического харак-
характера решения граничных задач для уравнения мембраны (скалярное
уравнение колебаний), основанный на применении формулы Грина,
был сделан впервые в 1898 г. А. Зоммерфельдом и вошел в лите-
литературу под названием условия излучения; доказательство суще-
существования и единственности решений основных граничных задач
колебаний, удовлетворяющих условию излучения Зоммерфельда,
было дано автором в 1933—1934 гг.1 [136, в, д].
1 К. Мюллер, по-видимому незнакомый с нашими работами, пишет
в недавно вышедшей книге [23а], что доказательство теоремы единствен-
единственности было даио Реллихом в 1943 г., а доказательство теоремы существова-
существования — Г. Вейлем в 1952 г. (см. [46] и [236]).

§1] НЕОДНОЗНАЧНОСТЬ РЕЩЕНИЙ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ 59
Здесь мы распространим «модель» Зоммерфельда, а затем и наше
доказательство единственности и существования на основные гра-
граничные задачи теории упругости [13г]. Рассмотрим сначала про-
простейший случай: бесконечное пространство, подверженное воздействию
точечно-сосредоточенной силы. Мы знаем, что в этом случае реше-
решение уравнения A.1°) выражается матрицей фундаментальных реше-
решений Г(аг, у). При построении этой матрицы с помощью формул A.28)
из двух теоретически равноправных знаков в показателе степени
в выражении
±«±'«, в—J1, "C.1)
мы остановились на положительном знаке. Выясним теперь, чем был
продиктован этот выбор. Как указывалось в § 1 гл. I, для пере-
перехода от вектора ГF) (аг, у) к реальному вектору смещения необхо-
необходимо умножить его на е~ш и затем взять вещественную часть про-
произведения; сделав это, как нетрудно убедиться, будем иметь
и?(х, y) = Af(x. у)!»Щ=р- + 1ф{х. у) C0Sr(%
С/. k= 1,2.3), C.2)
где
. л -i(??)-('??- V)(,i+i
Если же в выражении C.1) остановимся на знаке минус, то в вы-
выражении для ГF) (аг, у) будем иметь вместо е+1сг величину е~ш
и указанное выше выделение вещественного вектора смещения при-
приведет к выражению
uf (х, у) = Af (х, у) cos(*'f + "'>+ Bf (x, у)
+ Bf (x, у) y
Г(Х, у) ~ J V *' Г (X, y)
(k, j =1,2,3). C.3)
Таким образом, оба значения вектора смещения, C.2) и C.3), удо-
удовлетворяют уравнению (*) гл. I, § 1 при отсутствии объемных сил,
1 Мы будем пользоваться символами
х=О(у) и х = о(у);
X X
первый означает, что— ограничено, второй — что— с возрастанием \у\
стремится к нулю.

60 УСЛОВИЯ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ [ГЛ. III
и оба имеют в точке г = 0 особенность, соответствующую наличию
в этой точке источника. С другой стороны, между этими решениями
имеется существенное различие: первое из них, C.2), представляет
две группы волн, распространяющихся из точки у = х со скоростями,
соответственно равными т- и -г—, и исчезающих на бесконечности;
A, k2
второе же, C.3), также представляет собой две группы волн, кото-
которые возникают в бесконечности и распространяются в обратном
направлении, т. е. из бесконечности, со скоростями, равными
— -г- и — т- • По этой причине эти последние волны и, следова-
«1 «2
тельно, решения вида C.3) не могут иметь, вообще говоря, физи-
физического смысла и должны быть исключены из рассмотрения; это
соответствует предположению, что на бесконечности не существует
каких-либо истинных источников энергии или ее отражателей, кото-
которые могли бы генерировать возмущения. Эти соображения послу-
послужили основанием для выбора знака плюс в выражении A.22)'.
Заметим еще, что если бы решения вида C.3) не были исклю-
исключены, линейно комбинируя C.2) и C.3), можно было бы построить
еще две группы решений:
Af {х< у) SBillH cos at + #*> (x, y) <^? cos «rf, C.4)
(J, k—\, 2, 3),
y) ™pL sm Ы + Bf (x, y)s^- sin u,f C.5)
и последнее, как не имеющее в точке г = 0 особенность, умножен-
умноженное на постоянную, могло быть добавлено к Г^ (•*> У)> что нару-
нарушило бы однозначность решения. Решения вида C.5) называются
собственными решениями для бесконечного пространства или соб-
собственными колебаниями бесконечного пространства.
До сих пор мы рассматривали конкретные решения и могли
делать выбор в соответствии с описанным выше физическим прин-
принципом. В общем же случае, очевидно, необходимо формулировать
аналитический признак, который позволял бы делать этот выбор
и включал бы, в частности, рассмотренный конкретный сйучай. Этот
признак можно получить следующим образом: функция
ikr
/ = , k = const, r — r(x, у),
1 Конечно, если бы для перехода к вещественным векторам условились
умножать на множитель e+l0>t (что вполне равнозначно), знак перед k изме-
изменился бы на противоположный.

§1] НЕОДНОЗНАЧНОСТЬ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ 61
удовлетворяет условиям
lim/ = 0, lim r (M-— ikf) = 0; C.6)
при этом стремление к пределу равномерное относительно всех на-
направлений г; функция же
в-1кт
удовлетворяет условиям
lim / = 0, lim r[%--{-lkf) = O. C.7)
Можно показать, что векторы Г(*> (х, у), так же как их потен-
потенциальные и соленоидальные составляющие, удовлетворяют условиям
вида C.6). Чтобы в этом убедиться, перепишем формулы A.26)
в следующем виде:
«<«,(*. У) =
1(дгдг\ C дг дг К 1^
C.9)
тогда легко проверить, что
/ ди„ \
lim up = 0, lim r -jf — lkxtt. =0, C.10)
Г->СО Г ->- СЮ \ иГ • I
lim as = 0, lim r f-^- — ik2as) = 0. C.11)
r->co r->co\G' /
Эти условия будем называть условиями излучения теории упругости.
Рассмотрим связь этих результатов с выводами, которые можно
извлечь из формулы Бетти.
Пусть в некоторой конечной части пространства В действуют
силы F(x) и требуется определить соответствующее решение уравне-
уравнения A.1) для всего пространства. Имеем
C.12)

82 УСЛОВИЯ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ [ГЛ. III
где F(x) есть локальный вектор, отличный от нуля в В и равный
нулю вне В. Согласно A.59) решение уравнения C.12) может быть
представлено формулой
Н(*) = i /Г(А) (*¦ У)Т«<y)dSy-± fU(y) ТГ(« (х, у)dSy-
— JL У (Д*а + А) Г<») (ж, у) *>,. C.13)
Bi
которая получается из равенства A.59) подстановкой a = |i, p = X;
здесь Bt — сфера произвольного радиуса R и Бл — ее поверхность.
По определению F (х) а с учетом C.12) выражение C.13) при-
принимает следующий вид:
в
¦+ i /11^0 (Xl y) Ти (^> ~ Г'Й) (*• y) a (y)l rf5y• C-! 4>
Но так как поле однозначно определяется заданием F(x), последние
два члена в C.14) должны в сумме обратиться в нуль. Ввиду произ-
произвольности R его можно взять сколь угодно большим, и мы приходим
к выводу о необходимости потребовать от искомого решения такого
поведения на бесконечности, которое обеспечивало бы обращение
в нуль указанных выше поверхностных интегралов.
Позже будет показано, что для этого достаточно считать
г (Тир — 1ашд) = оA), ар ¦ 1<*> = о (/Г2), C.15)
г (Те, — lbwas) = o(l), Us-iy^oiR-2), C.16)
теперь же мы покажем, что эти условия есть простые следствия
условий излучения C.10) и C.11).
§ 2. Условия излучения. Асимптотические оценки. Сначала
несколько уточним определение регулярных решений, данное
в гл. II, § 2.
Пусть и (х) есть решение уравнения
0 C.17)

§ 31 УСЛОВИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ 63
в бесконечной области Ва вне некоторого ограниченного объема
с граничной поверхностью S. Пусть ар(х) и us(x) — потенциальная
и соленоидальная составляющие вектора и(х), тогда
Дор (*) + *»«,(*) = 0, C.18)
totup(x) = 0, C.19
Д», (*) + *»»,(*) = <), C.20)
dlv us(x) = 0. C.21)
Мы будем говорить, что и(х) есть регулярное в Ва решение, если
оно удовлетворяет следующим условиям:
1. и(х) непрерывно, имеет непрерывные частные производные
первого и второго порядка и удовлетворяет уравнению C.17) в об-
области Ва.
2. Для всех достаточно удаленных точек д; (л^, х2, xj и (х) удо-
удовлетворяет условиям
ир(х) = оA), C.22)
о(О. C-23)
«,(*) = оA). C.24)
0О) C.25)
равномерно относительно всех направлений г(х, у) при любой фик-
фиксированной точке у.
3. и(х) допускает в Ва Р-операцию, удовлетворяющую условиям
применимости формулы Бетти.
Заметим, что ир(х) и us(x) при заданном и(х) определяются по
формулам
ир (х) = — ~2 grad div и (х), as (х) = — grad div и (х) -\- а (х).
C.26)
Действительно, из C.26) следует
up(x) + us(x) = u(x)
и
toiup(x) = 0, divus(x) = O,
ввиду того что
Д (div и) + k\ (div и) = 0. C.27)

64 УСЛОВИЯ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ [ГЛ. III
Кроме того, так как для любого дважды дифференцируемого вектора
Да = grad div а — rot rot а, -
можем записать на основании C.27)
Aup-j- k\up = 2" grad Д (div о) — grad (div о)— О
и
Дв^ -f k\as = -j grad Д (div в) + grad divв — rot rot в -f
-)—\ grad div в + Щи = — grad div в -f- grad dive — rot rot в -\-
n
= —[(X + 2fi) grad div «—fi rot rote+ (o2o] = 0.
Покажем, что из условий C.22) — C.25) вытекают асимптотиче-
асимптотические равенства C.15), C.16) равномерно относительно всех напра-
направлений г и прежде всего равенства
г(Тор — /швар = 0A). C.28)
г (То, —/а>0о4) = 0A), C.29)
как было указано в конце предыдущего параграфа.
Так как ир(х) и us(x) являются решениями соответственно урав-
уравнений C.18) и C.20) и удовлетворяют условиям C.22) — C.25),
каждый из них в области Ва может быть представлен формулой
Грина ([13а], стр. 21—22):
lk>r дир д eik'r
Здесь r — r(x, у) — расстояние между точками х (xv x2, х^) и
У(Уг Уг- Уз)?$< ~л нормальная производная в точке у, нормаль
направлена из Bt в Ва. Пусть R и р — радиус-векторы точек хну
и Ro, р0 — соответствующие единичные векторы; пусть, наконец, г0
есть единичный вектор радиус-вектора г.
Из C.30) имеем
~^~ ~5ГГ*+ ( }> (k= 1,2,3). ( °

§ 2] ' УСЛОВИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ 65
В самом деле, так как точка х находится вне S, можем написать:
дир(х) _ 1 г д I е1"' дир д eik>r \ дг
/ ~ \ а ^ )
или
_ 1 г д I е1"
— 4^ ./ ~дг \ г (х,
S
дхк — 4^ ./ ~дг \ г (х, у) ~Щ ~ аР ^ Ш^ г {х, у)
S
У
дир (х) _ 1 /• д ( е'к'г дир д elf!>r \ dR дг
_ 1 /• д ( е'к'
dR
Но -g- = cos е, где е есть угол между гог и R0R, и из треуголь-
треугольпика
Оху следует
cos e =
С другой стороны,
dR
дхк
дг хк
дхк R
имеем
xk-yk _
г
_ .
-2).
— хъ
Х\У\-
Jl = 14- О (/?"')•
f 1 1\_, -у*
U !¦;+ г
\- х2у2 + х3у3 + (у\ + у\
Rr(r+R)
+ Уг) , У»
1 г
Отсюда видно, что, когда точка х стремится к бесконечно удален-
удаленной точке, а точка у остается в конечной части пространства (на S),
имеем
._J^ = о
дх
Поэтому
йнр (л:) \ Г д ( e!k>r дир д е1к>г
о
Аналогичная формула получается и для us(x).
Теперь можно показать, что
= о (/?"') C.32)
= о(«Л C-33)
5 В. Д. Купрадзе

66 УСЛОВИЯ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ [ГЛ. III
Действительно, из условия div us(x) — 0 по формуле C.31') получаем
dxk dR
з ,
Таким же образом из условия rotap(x) = 0 и из формулы C.31)
следует
vi5L) _ dR dup ft+2 dR dupk+i _
Х j ~
ft+1 dR дхк+2 OR
Условия C.22) — C.25) перепишем в следующем виде:
" (ж ~'*«"')=0A)- C-34)
Умножив скалярно вектор /?0 на вектор 1-^ ik2uA и используя
C.32) и C.34), получим
(.Ro-"s(x)) = °(R~1)- C.35)
Умножив векторно Ro на |-^| Ш^иАи. используя C.33) и C.34),
получим
(Яо X «,(*)) = о (*"')• C.36)
Наконец, скалярное умножение векторов Ro и 1-^ 1кхир\ в салу
C.31) дает
(я0 . -^-) - /*, (Яо • »р) = div ир - lkx (Ro ¦ Up) + о (Z?-1) = о (R-1),
и векторное умножение /?0 на вектор -5^-—ik2us в силу
1 Здесь всюду й= 1, 2, 3; значения й = 4 и й = 5 следует заменить со-
соответственно значениями 4 = 1 и 4 = 2.

§ 2] УСЛОВИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ 67
C.31') дает:
оХ "Ж") ~ '^ (*о X »,) = rot в,-^ (/?0 Xfls) + o (/Г1) = о (/Г1)-
Поэтому имеем
ap(*) = o(i). divW/J(*) — ik^Rt-uJ^oiR-1). C.32')
a,(x) = o(l). rot в, (ж) — iA2(^oX«,) = o(/?-1)- C-33')
Согласно формуле A.14) для Ти(х) по свойствам C.19) и
C.21) векторы напряжения, соответствующие потенциальному и
соленоидальному полю смещений, будут соответственно иметь сле-
следующий вид:
ди„
^ + hkup, C.34')
«*в,). C.35')
Пусть точка х (хх, х2, х3) лежит на сфере ?д достаточно боль-
большого радиуса R с центром в точке О. Так как на ?# » = /?0, из
C.34) и C.32') получаем
Та (х) = 1^lkxu, (х) + Х^Яо(ир) +o(R~'),
но
= вр-'(вД. C-360
где (« )„ есть проекция вектора ^(д:) на направление нормали,
а (« (д;)), — проекция на некоторое касательное направление и t—
соответствующий этому направлению орт; но (up)t равна длине век-
вектора (/?0 X »р) и, следовательно, имеет порядок o(R~1), и со-
согласно C.36') запишем
Т«р (х) = 2|*/А,ор W + ^i«p (¦«) + о (/Г1)
или
*) = о(/?~1). C-28)
Но
Таким же образом получим
Те, (*) = '2^ik2as (х) +1* (Яо X rot as (x)) + о

68 УСЛОВИЯ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ [ГЛ. III
В самом деле, из C.33') имеем на основании C.35) и согласно
свойствам векторного произведения трех векторов
(Яо X rot о,) = ik2 [Ro X (Яо X «,)] + о (/Г1) =
= lk2 [Ro (Ro • о,) — us (Ro • Яо)} -f- о (/?-') = — lk2us4- о (/?-').
Поэтому окончательно получим
Т*,(ж) —/ш*о,(*) = о (/?-')• C.29)
Заметим теперь, что условиям, аналогичным C.28) и C.29) (и
даже более точным), удовлетворяют векторы J*jj\x, у) и Т^\х, у),
потенциальная и соленоидальная составляющие вектора Г<*> (д:, у).
Из явных выражений проекций этих векторов, заданных формулами
(L.26), устанавливаются следующие оценки:
ТГ^' (х, у) — ШТ^Р (х, у) = О (R-2), C.37)
ТГГ (ж; у) - /сой?' (дг, у) = О (/?) (k = 1, 2, 3). C.38)
Кроме того, из тех же явных выражений вытекают оценки
0(R-2), C.39)
О(/?-2) (* = I, 2. 3). C.40)
Теперь из C.36) и C.40) имеем
- If' X (Ro X ир) - ир {Ro • Г</») = о (R-2). C.41)
Применив правило двойного векторного произведения
АХ(ВХС) = В(А- Q — С (А ¦ В),
будем иметь
и после скалярного умножения на /?0 получим
r</».«,W = o(/?-2)
или
/?2(«p-ll*)) = o(l) (Л = 1. 2, 3). C.42)
Таким же образом из оценок C.35) и C.39) получаем
Я2(и, • Гр') = оA) (k = 1, 2, 3). C.43)
Таким образом, формулы C.15), C.16) получены как следствия усло-
условий излучения.

§ 3] ФОРМУЛА БЕТТИ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОЙ ОБЛАСТИ 69
§ 3. Формула Бетти для бесконечной области. С помощью
оценок, установленных в § 2, мы можем вывести формулу Бетти
для бесконечной области. Пусть дс ? Ва, опишем вокруг точки дс
сферу достаточно большого радиуса 11R, содержащую область Bt;
область, ограниченную поверхностями 5 и Ък, назовем Qp. Считая
и(х) регулярным в Ва решением уравнения упругости, можем за-
записать
"* <*> = i / Г(й) (*• у> Та (у) dSy -
— ^ fu(y)T<»r<*>(x,y)dSy (A=l. 2, 3). C.44)
Представим векторы и (х) и Г<*> (д;, у) в виде
а (х) = ир (х) + as (х) Г<*> (х, у) = if (x, у) + 4Й) (х, у)
и перепишем равенство C.44) следующим образом:
х)= f №Tu
- J («pTlf^^Trf»)dSy+ J (I<« Те,
В этом равенстве первые два интеграла, распространенные по
представим так:
j Г(р*> (Т«Р - iha2up) dSy + J if* (Ти, - tk2b\^dSy —
и последние два интеграла по ?^ таким образом:
J Гр*' (Ти, — lk2b2us) dSy +
-/А1ва J (us^p'-«plf >) d5y - ik2b2 j {iip^ - a,rf) dSr

70 УСЛОВИЯ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ [ГЛ. III
Теперь перейдем к пределу при R —>со, используя при этом оценки
C.28), C.29), C.37), C.38), C.42), C.43); тогда интегралы по Е^
в пределе обратятся в нуль, и мы получим формулу Бетти для об-
области Ва:
Ва
ик (х) = ~ f [Г(*) (х, у) Та (у) - а (у) Т<у> Г<*> (х. у)) dSy, х
s
(k=l, 2, 3). C.45)
Из формулы Бетти для бесконечной области вытекает ряд важ-
важных следствий.
Следствие 1. Для регулярного в Ва решения уравнения
Д*« -)- и2» = 0 имеет место оценка
Ru(x) = O(l), Rup(x) = O(l), Rus(x) = O(l). C.46)
Следствие 2. Регулярное во всем пространстве решение
уравнения Д*»-)-(о2и = 0 есть тождественный нуль.
Следствие 3. Регулярное в В a Bt решение уравнения
Д*« -|- «2» = 0, удовлетворяющее на 5 условиям
C.47)
¦есть тождественный нуль.
Первые два следствия очевидны. Для доказательства следствия 3
достаточно написать формулу Бетти C.45) для области Ва (Bt), в ко-
которой лежит точка х, и затем для области Bt (Ba), в которой она
не лежит; в этом последнем случае в левой части формулы Бетти C.45)
будет стоять нуль. Составляя разность полученных таким образом
двух равенств и учитывая граничные условия, получаем и(х)==0 в Ва
и аналогично а(л:)==0 в Bt.
* Сделаем еще одно замечание, имеющее значение для физической
интерпретации полученных результатов. Согласно C.46) потенциальная
составляющая а„{х) убывает на бесконеяности, как —ъ—, а ее ка-
сательная составляющая (up)t, согласно C.36) и C.36'). убывает
при этом, как о^), т. е. быстрее. Что касается соленоидальной
составляющей us(x), которая, согласно C.46), убывает, как со"8 ,
то для нее, наоборот, нормальная составляющая, как показывает C.35),
убывает, как о (/?"'). т. е. быстрее. Отсюда заключаем, что на да-
далеких расстояниях ир (х) направлен перпендикулярно к фронту волны,
a us (x) лежит в касательной плоскости к этому фронту; это и озна-
означает, что первый выражает продольные колебания, второй — по-
поперечные.
Теперь можно установить некоторые другие оценки, которые
окажутся полезными в дальнейшем.

§ 4] ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ 71
Пусть
= «(*)-HP (ж) C.48)
х). C.49)
Из C.35) и C.36), отделяя вещественную и мнимую части, будем
иметь
C.50)
аналогично из C.46) получим
#)=о(/?->), «<2>=о(/г1). p^ofa-1). pp)=o(/?-1j.
C.51)
Из C.50) и C.51) имеем
«B) X (*0 X «A)) + «A) (*„ • «B)) = о С/?);
применяя, как и выше, формулу двойного векторного произведения,
получим
Л0(«Р> • «(D)— «С1» («<2> • /?0) + «О (Ло • «^ ) = О (R-2),
ИЛИ
(«A) . «B)) = о (/Г2). C.52)
Аналогично получается оценка
Г-РB))=о(/Г2). . C.53)
Согласно C.50) и C.51) имеем
РB) X (*0 X «A)) + «A) (*„ • РB)) = о (Z?-2);
вычисляя первое слагаемое слева, получим
/?0 (p»d^>) - «A) (РB) • /?0) + «A) (*0 • f) = о (R-%
(«A).П = о(/?-2). C.54)
Аналогично имеем
(««.p^oC?-8). C.55)
Наконец, из C.52) — C.55) следует
/?2(«р.«,) = оA). C.55')
§ 4. Теоремы единственности для однородных и неоднород-
неоднородных сред. В этом параграфе доказывается несколько теорем един-
единственности, которые охватывают все рассматриваемые нами случаи
граничных (в том числе и контактных) задач, Известно, что полная

72 УСЛОВИЯ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ [ГЛ. Ill
энергия упругого тела складывается из потенциальной (?/) и кинети-
кинетической (К) энергии, причем
U=
в
где В есть объем, заполненный упругим изотропным телом, vik —
элементы тензора деформации, t—время. Следует иметь в виду,
что здесь под v(x, t) подразумевается реальный вектор смещения,
удовлетворяющий уравнению
рДг» + (X + ji) grad d i v ч> = ~
и связанный с комплексным вектором смещения зависимостью, ука-
указанной в § 1 гл. I. Основная теорема энергии в теории упругости
утверждает, что
^ f(^)S. C.56)
s
Так как
Ту!» = 1д cos (я, ДгО —f- "p/2cos С». x2)-\-vf3cos(n, Д?з) G = 1. 2, 3),
(-г dv \
для скалярного произведения I Tv ¦-^) можем записать
з з
^ЬЬ и stcos
Введем вектор F с составляющими
з
Fj^-^ИЖ (/=1.2.3). C.57)
Тогда будем иметь
з
- (lF • Т«) = ? Ficos (»• */) = рп- C-58)
Вектор F, определенный равенствами C.57), представляет собой
вектор потока энергии, т. е. меру количества энергии, проходящей
в единицу времени через единицу площади поверхности 5.

§ 4) ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ 73
Теорема 1. Регулярное в Ва решение уравнения Д*« + ш2и = О,
удовлетворяющее на S одному из следующих граничных условий:
1) иа(х) = 0.
2) (Та (*)). = О,
3) иа(х) = 0 на Sv (Ти(х))а = 0 на 52, где S1-\-S2 = S.
есть тождественный нуль.
Пользуясь обозначениями ?Л и QR, введенными в § 3, применяя
в QR теорему энергии C.56) и учитываая, что на 5 обращается
в нуль либо v, либо Tv, будем иметь
•?(?/+*) = - /(¦§?• • lv)dS. C.560
Iff
В силу того, что
v(x, t) — Re(ae-ia>i)
имеем
•о {х, t) — a (x) cos Ы -\- р (лг) sin Ы. C.59)
Внеся в условия C.28) и C.29) обозначения согласно C.49) и отде-
отделив вещественные и мнимые части, получим
Ри(лг) =оA), (TP(s)(x) — kscsa{s)) = o(R~1) (s=l,2), C.60)
где
а2, если s=l,
Ь2, если s = 2.
Кроме этого мы имеем оценки C.46), которые теперь дают
«<*>(*)= о (/Г1). р(*)(лг) = о(/?~1) E=1,2). C.61)
Представив v в виде суммы г»A) и г»B), где фA) есть потенциал1,-
ная, а р<2) соленоидальная составляющие v, будем иметь
2 2
Используя выражение C.59), находим
Л == — ю (р<*> cos ш^ — e<ft) sin («0 (T«(s) cos at +
sin wt) = — a> (P(ft) cos (o^—«<*> sin at) [(Jels)-\-kscsPs)) cos (o
+ (TP(S) — ft//1') sin at] +
cos wt — «(*> sin <ot) (P(i) cos <d/ — e(f) sin a>0 (s, Л = 1, 2),

74 УСЛОВИЯ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ 1ГЛ, III
и, наконец, ввиду C.52), C.53), C.54), C,55) получим
2
Fп = 2 kscs<» Ф{&) cos <** — a(s) sin <s>t? + о (/Г2). C.62)
4=1
Тот факт, что F'„ — нормальная проекция вектора потока энергии
при больших R— есть положительная величина, указывает на то,
что в точках сферы Е# вектор потока энергии направлен вовне; это
соответствует переносу энергии в бесконечность, как и следует из
физической интерпретации условия излучения, отмеченной в § 1.
Подставив в C.56') значение Fn из-C.62), получим
~~*О~ V.*-* —I— л^ ) *"'" / 1 'V«L>с4" / \Р vuo w» ~" Я Sin Cot) wo 'l~ (J i 1 )• (О• DO)
5 = 1 ^
Покажем, что отсюда вытекает
lim j[^s)(x)]2dSx = 0 и lim j [^s1 (x)]2dSx = 0 (s=l,2).
C.64)
Пусть C.64) не верно. Тогда правая часть равенства C.63) для до-
достаточно больших R неотрицательна; левая же часть, как нетрудно
убедиться, знакопеременна. В самом деле, пусть olj и ру (у = 1, 2, 3)—
составляющие векторов a (x) и ? (х), не зависящих от времени,
a^, ftp — составляющие потенциальных векторов а*1' (х), ^^ (х) и
a!j\x), fyj(x) — составляющие соленоидальных векторов а*2' (х),
${2)(х). Пусть
a (x) = diva (x),
1 / daj дад
тогда
divz»(x, tj = а (х) cos wt-\-b (x) sin wt;
"°jk (x> 0 = a/* cos ш^ ~\~ P/ft s'n ш^
Эти выражения, а также C.59) подставим в правую часть равенства

§ 4]
ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ
75
Тогда получим, что
г) [
= I J 1ш (a cos wt + b sin wt) (b cos u>t—asin(oA-|-
i 1
3
«y* C0S Ш* + fijk Sin Ш0 Фу* COS °>* ajk Sitl Ш0
з
— со2 V
sin
k=i
. C.65)
Рассматривая это выражение для двух моментов времени ( = 0 и
t=-?-, будем иметь
3
~ {U + /f)]<_o = /
(х) 6 (х) + 2(iW J] a/t (x) $ik (x) -
А *
(f/ + К)
¦U-/[
2ш 2р L
(х) 6 (х) +
V, C.66j)
v. C.66j)
Мы можем считать
J r
2д L
A*
ибо в противном случае из C.63) сразу следовало бы C.64); тем
самым знакопеременность выражения -=rr{U-\-K) доказана. Пусть
А > 0; тогда из C.662) и C.63) следует, что
lim f|a(S)]2rf5 = 0 C.67)
равномерно по всем направлениям. Но a(i) (x) есть решение уравне-
уравнения мембраны
С другой стороны, известна [13а].

76 УСЛОВИЯ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ [ГЛ, III
Теорема 2. Если и есть решение уравнения мембраны
Аи -j- k2u = О (k2 > 0) и при этом
lim
равномерно по всем направлениям, то и(х) есть тождествен-
тождественный нуль 1.
В силу этой теоремы имеем
«<*>(х)==0 (s = l, 2).
Но в таком случае, согласно C.63),
JL (U + К) = J1 *Л» cos2 atf f [pO (x)]2 d5 + о A)
и из знакопеременности левой части следует
lim [[^s)(x)]2dS = 0; C.68)
«4
P(s) (д;) есть решение уравнения мембраны, и в силу C.68) на осно-
основании, теоремы 2 |3(S) (x) равно нулю. Из доказанного следует, что
«<•>(*) = «<•> (x)-|-P(s)W = 0 (s=I. 2)
и, следовательно,
и (х) = «A) (д:) -|- «B) (д;) = 0,
что и нужно было показать.
Теорема 3. Регулярное в Ва решение уравнения Д*и-(-
-)-ш2и = 0, удовлетворяющее на S граничному условию
(Ти(х) + о(х)и(х))а = 0. Imo>0,
есть тождественный нуль.
Доказательство этой теоремы, основанное на применении оценок
C.50) — C.55) и формулы Грина, дано в работе [2а].
Теорема 4. Регулярный вектор и(х), удовлетворяющий
уравнению
^ Аи + (X, -|- fr) grad div и -f- ш2 и = 0
при x?Bt и уравнению
ра Аи +¦ (Ка + 1>.а) grad dlv «-f- ш2« = 0
1 Эта теорема в литературе иногда называется леммой Реллиха (см.,
например, [46]). Реллих получил ее в 1943 г. в работе [26]. Значительно
раньше указанная теорема впервые была доказана автором A933 г., см. [136]).
См. также [13а], и [3, а].

§ 4] ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ 77
при х?Ва, а на границе S предельным условиям
где С/, Ci, Са, Са — постоянные, отличные от нуля, есть то-
тождественный нуль.
Доказательство этой теоремы, которая будет иметь важные при-
применения в гл. VII, аналогично доказательству теоремы 1; в самом
деле, пусть U\, Kt, Ua, Ka — потенциальные и кинетические энер-
энергии соответственно для областей В{ и Ва. Теорема энергии дает
Tv)
d,.
Умножив первое равенство на Cfii, а второе — на СаСа и приняв
во внимание противоположные направления нормалей на S, составим
тех сумму, тогда, согласно граничным условиям, интегралы по 5 со-
сократятся и мы будем иметь
A {CtC't (Ut + К,) + СаС'а (Ua + Ка)) = - СаС'а f D|- • Tv) dS.
Это соответствует формуле C.56'), и дальнейшие рассуждения по-
повторяют приведенные выше.
Утверждения теорем 1, 3 и 4 остаются в силе и в случае ш = 0,
при этом условия регулярности на бесконечности принимают следую-
следующий вид:
IoC/r1) C.69)
и имеет место
Теорема 5. Регулярное в Bd решение уравнения
Д*« = 0.
удовлетворяющее на S любому из граничных условий теорем
1, 3, 4, есть тождественный нуль.
До сих пор мы рассматривали теоремы единственности для обла-
областей, содержащих бесконечно удаленную точку; эти теоремы играют
фундаментальную роль в теории внешних граничных задач. В слу-
случае конечных областей для внутренних задач колебания единствен-
единственность не имеет места вследствие существования дискретного спектра

78 УСЛОВИЯ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ [ГЛ. III
частот собственных колебаний (см. гл. VI, § 8). Однако для задач
статики и в случае конечных областей имеют место следующие тео-
теоремы единственности.
Теорема 6. Регулярное в В( решение уравнения Д*и = О,
удовлетворяющее граничному условию
«(. (х) = 0 или (Т« + аи){ = О, о > 0,
есть тождественный нуль.
Теорема 7. Регулярное в В1 решение уравнения Д*« = 0,
удовлетворяющее граничному условию
(Тя (*)), = <>.
равно А-\-В(х), где А — произвольный постоянный вектор, а В(х)—
вектор с составляющими
qx3 — rx2, гхг
причем р, q, r — произвольные постоянные.
Обе теоремы доказываются просто на основании тождества A.9')
и формулы A.12). Решение А-\-В{х) выражает движение тела как
целого (жесткое смещение).

ГЛАВА IV
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ
§ 1. Постановка граничных задач. Пусть упругая среда Ва,
характеризуемая постоянными \а и [ао, заполняет трехмерное про-
пространство всюду, за исключением некоторого (конечного) числа огра-
ограниченных непересекающихся областей В^ (k = 1, 2, 3 п), за-
заполненных упругими средами, характеризуемыми соответственно
постоянными X'ft) и р\к) (Л = 1, 2, 3, .,., п) и образующими п раз-
различных включений в среду Ва. Предположим, что каждое из вклю-
включений ограничено замкнутой поверхностью Sk (k =1, 2, ..., п)
(рис. 1), вдоль которой реализуется какое-либо механически допусти-
допустимое сопряжение данной среды со смежной. Пусть в некоторой
точке xt включен источник периодических по времени колебаний
данной мощности и постоянной частоты ш. Требуется найти напря-
напряженно-деформированное состояние, возникающее под воздействием
этого источника в рассматриваемой неоднородной среде.
Эту задачу будем называть кратко задачей (А).
Кроме задачи (А) рассмотрим еще задачу (В). Пусть внешняя
среда Ва не простирается в бесконечность, а имеет внешнюю гра-
границу Sa, которая также представляет замкнутую поверхность (рис. 2).
Пусть на этой поверхности заданы либо а) смещения, либо б) напря-
напряжения, либо в) линейная комбинация смещений и напряжений; вдоль
внутренних границ 5<ft) (k=l, 2, ..., п) по-прежнему задаются не-
некоторые механически реализуемые условия сопряжения сред. Тре-
Требуется определить напряженное состояние системы. Эти задачи будут
называться соответственно задачами Ej), (В^) и (В3).
Важным частным случаем является тот, когда Sa есть бесконеч-
бесконечная плоскость, а
есть полупространство с включениями; эти задачи, которые ниже

80 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НИЯ ГРАНИЧ. ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОДНОРОДН. ТЕЛ [ГЛ. IV
будут называться задачами (С), представляют особый интерес для
теоретической геофизики.
В качестве условий контакта на границах раздела сред рассмо-
рассмотрим два типа сопряжения:
а) жесткий контакт, когда при переходе через поверхность раз-
раздела смещения и напряжения изменяются непрерывно;
б) свободный контакт, при котором напряжения остаются непре-
непрерывными, но смещения при переходе через границу раздела смежных
сред терпят заданные разрывы.
Считая названные задачи достаточно типичными, мы не будем
останавливаться на других видоизменениях граничных и контактных
условий.
Все приведенные выше задачи колебания при ш = 0 обращаются
в соответствующие задачи статики, и решения последних в том слу-
случае, когда ш не есть характеристическое число, получаются из реше-
решений первых простой подстановкой ш = 0. Случаи характеристических
значений требуют особого рассмотрения и также решаются до конца.
Сначала рассмотрим подробно задачу (А), которая в известном
смысле является моделью для остальных задач, и лишь затем перей-
перейдем к рассмотрению последних. Так как случай п > 1 отличается
от случая п—\ лишь формально, то для сокращения изложения
остановимся на рассмотрении одного включения Bt. Полагаем, что
границей В1 является 5 и что включение характеризуется постоян-
постоянными Ламэ Xt и [а(. Рассмотрим условия жесткого сопряжения и сво-
свободного контакта вдоль 5.
§ 2. Интегральные уравнения задачи (А). Пусть точка хл,
в которой помещен источник, принадлежит области Ва. Пусть Е(х, xt),
где x{xv х2, АГз) — произвольная точка, есть поле смещений, кото-
которое создается заданным источником в полном (однородном) беско-
бесконечном пространстве с постоянными Ха, [ла, удовлетворяет уравнению
и имеет заданную особенность в точке xt. Решением задачи (А)
будем называть вектор и (х), удовлетворяющий следующим условиям:
1°. Для x?Bt
Д(* )И (*) + ш2и (х) = (X, + 2ft) grad div и (я) —
— ft rot rot и (х) + ш2в (х) == 0.
2°. Для х?Ва
д*а)» (*) + <°2" (*) = Q-а + 2(*J gfad div и (х) —
— [Аа rot rot и (х) -f- ш2в (#) = 0.

§ 2] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЗАДАЧИ (А) 81
3". Для x?S
щ (х) = иа (х), (Т(()в (х)), = (Т<а)в (х) )а.
где
Т<'>в (х) = 2|i, -gj- + Х;и div и (х) +1», (и X rot в (х) ),*
Т<а>« (х) = 2цв Jj[. + >.e div в (х) +>а (и X rot в (я))
суть векторы напряжений в Bt и Ва 1.
4°. Вектор D (х; хт) = и{х) — Е (х, xt) есть регулярный
(в смысле § 2 гл. III) в Ва вектор.
Для того чтобы оправдать такое допущение2, очевидно, нужно
показать существование вектора и{х), его единственность и непре-
непрерывную зависимость от данных задачи.
Условимся относительно некоторых новых обозначений.
Операторы, матрицы и векторы, введенные в гл. I,
Д*. Р. Г, Т. N, I44. f$\ lf>
и другие, как мы знаем, зависят от параметров X и [а; поэтому можно
записать
Д* = Д'(Х, |»), Р = Р(Х, [л), Г = Г(Х, [х), Т*=Т(Х, |»),
|,*)(Х, [х) и т. д.
В этой главе мы будем также пользоваться обозначениями
А?,,. а;}> Т(", Т(а), Р('\ Р(а), Г(|), Г(а), Г®. I®. 4%, Р«мет.д..
с некоторыми из которых уже встречались в гл. I, § 7 и под кото-
которыми подразумевается следующее:
д@ ^ (\ + 2!*г) grad di v — [хг rot rot s цгД + (X, + jj.,) grad dl v,
4») = (Xa + l*a) &rad div — Pa rot rot = f\A + (Xa + ^e) gfad dlv,
= T (X,. (хг), T<a> = T (Xa,
и аналогично для других.
1 Напомним, что в § 1 гл. II мы условились относительно нижних ин-
индексов / и а; поставленные при переменных величинах, оии обозначают пре-
предельные значения в точках границы при стремлении к граничной точке
соответственно изнутри и извне. Если же i и а поставлены в скобках снизу
или сверху или поставлены при постоянных величинах, то в этих случаях
оии играют роль обычных индексов.
2 То есть предположение, что и(х), удовлетворяющий системе усло-
условий 1°, 2°, 3°, 4°, есть единственное и устойчивое решение задачи (А).
6 В. Д. Купрадз*

82 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НИЯ ГРАНИЧ. ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОДНОРОДН. ТЕЛ [ГЛ. IV
Интегральные уравнения для задач с неоднородными средами
нельзя конструировать по способу, который был применен при полу-
получении интегральных уравнений граничных задач однородных сред.
Теперь, . применив формулы Бетти и их линейные комбинации, мы
попытаемся исключать из полученных выражений некоторые «неже-
«нежелательные» члены. Это будет подробно показано на примере за-
задачи (А).
Допустим сначала, что задача (А) имеет регулярное решение,
обозначим его через а(х). К вектору и(х) или D(x; х^) = и(х)—Е
и вектору Г(д}(лг, у) (А=1, 2, 3I будем применять формулу Бетти
A.10'). При этом рассмотрим отдельно два случая: точка x?Bt и
точка х?Ва. В каждом из этих случаев формула A.10') применяется
два раза: в области Bt с оператором Д(*) и в области Ва с опера-
оператором Д@). Комбинируя полученные аыражения и пользуясь усло-
условиями, заданными на границе раздела тел В{ и Ва, мы сможем
исключить члены, содержащие Ти(х). Конечно, применяя формулу
Бетти, каждый раз необходимо исключать из области интегрирова-
интегрирования полюс вектора Г$(лг, у). Это достигается при помощи малой
сферы t(x; в) с центром в полюсе и радиусом е; а(х; е) будет обо-
обозначать поверхность сферы х(х; г).
Пусть х ? В{. Тогда
J [и (у) ¦ 4^*') (х. у) — Г™ (х, у) • Д(Оа (у)\ dvy =
к (У) • ТЗД (*. У) - Г« > (х, у) (Tw« (у)),] dsy. 2 D.1)
S+«(*;
Так как по предположению решение задачи существует, можем пи-
писать
= — о>2« (У). У 6 Bv
1 Если источник возмущений лежит в Bit вместо Г^ (х, у) нужно рас-
рассматривать вектор Г[*)'(-*> у).
2 Выражение T^r|*^(jc, у) обозначает результат воздействия операто-
оператором ТЮ по точке у на векторе г|*|(лг, у); в гл. I и II этому соответствует
обозначение T(l)yl|*|(Jc, у). В дальнейшем для краткости иногда будут опу-
опускаться аргументы или некоторые индексы, если это не может вызвать не-
недоразумений.

S 21 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЗАДАЧИ (А) 83
Кроме того,
Д(, • е <*. у) = р, (<>, Ч- ±$Ь grad div ТЩ =
gniddivI$(Ar. у), D.2)
где
« = ^в — Ха^- D-3)
Поэтому равенство D.1) можно переписать в следующем виде:
2
0) (й) /
" Bri(x;t)
+
Г / и (У) Sd div
re
y. D.4)
Но
в (у). Т(у°Г(*1 (at, у) tfSy - / [и (у) - и (ж)] ¦ ТЗД dSy
о (jr; г) . о (х\ е)
Предел первых двух слагаемых справа в последнем равенстве при
¦О равен нулю. Найдем
lira «(*) [ Yftftlix, y)dSy (k =1,2,3).
г-*0 ^ ч У
« W «)
Подставив в формулу A.43) значения а = (х(-, р = Хг, получим
6»

84 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НИЯ ГРАНИЧ. ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОДНОРОДН. ТЕЛ [ГЛ. IV
Отсюда на основании A.57') и A.57") имеем
з
lim и (х) [ Tj/'rgj (х, у) dSy = lim V а. (х) [ (тЙй (*• У))/«Ю,=
t->0 J t->0 лвт ' J ' ' •
где
Перейдем к пределу при е—>0 в равенстве D.4) и, руководствуясь
тем, что
lim
Г и (у) grad div Г|^ (*. У) dvv= [и (у) grad div T$\ (x. у) dvy
существует1 в смысле главного значения, как показано в гл. I, § 7,
получим
-f « J e(y) grad div Г{Й(*.
/ WS (Jt. y) (Ttt{% - e, (y) (Tif^O] <*S, (ft = 1. 2. 3). D.6)
По условию разность Z) (дс; *.) = и (х) — Е (х; х„) есть в Ва регу-
регулярный вектор, поэтому если x?Bv то можем написать
J [D (у; xj Afe)r{*| (*. у) - r{*j (ж, у) Д^ D] dvy =
Далее, так как при у?Ва для точки у выполняются равенства
[*JГ|*> = 0 (*-1, 2. 3).
1 Для справедливости этого утверждения достаточно предположить
)//(H<1 €В [24].

S 2] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЗАДАЧИ (А) 85
то окончательно получаем
y = 0. D.7)
s
В этом равенстве, так же как в равенстве D.6), нормаль к 5
направлена из Bt в Ва.
Складывая равенства D.6) и D.7) и учитывая на 5 граничные
условия
«( = «а, (Т"> а), =
получим
(ха luk (х) = (цв - [*,) 0J f и (у) Г$ {X.
где
и
Fk {х; xt
Так как
и
+ т
i
+ «¦*/«
) = -/?(у; х,
s
Bi
Ja(y)grad
^(У)Т*уГ|а|(
т*=т(о)-
dlvl18*y+1
*.y)dSy+47:
y)^Sy4-
' T$(x; y)(V
X? t
¦•
D.8)
D.9)
будем иметь по формуле A.60)
Ек(х; ^) = ^ /[rg|(*. y)(Va>E)-E(y; xt)Yya)
s
Таким обравом, D.8) принимает следующий вид:

86 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НИЯ ГРАНИЧ. ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОДНОРОДН. ТЕЛ [ГЛ. IV
Пусть теперь х?Ва. Тогда, как легко видеть, вместо D.4) тем же
путем получим равенство
"И f *&№(*- ^dvy + f; fu(y)grad<livl\%(x,y)dvy-
B
= 0. D.40
Применяя формулу A.10') в Ва к Г$)(лг, у) и D(x\ xj = u(x) —
— Е(х, xt) и принимая во внимание, что в Ва
будем иметь
4nDk (х) = J [D.tfit) (х, у) - Щ (х, у) (Т^ D)a]dSr D.4")
где нормаль направлена из В1 в Ва.
Складывая равенства D.4') и D.4") и учитывая при этом условия
на 5, получим
= ~ ( ft». - I»,) / и (у) Г$ (х, у) dvy +
Bt
Но последнее слагаемое в правой части равно нулю, так как при
х?Ва
/ [Е (у, х,) If >Г$ - Г® (х, у) (Т<а> Е)\ dSy =
= j[E (У, х,) Д^)Г|*) (ж. у) - Г$ (х, у) Ца) Е (у; xj] dvy = 0; •

§ 2] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЗАДАЧИ
поэтому имеем для х ? Ва
аик (х) = (о2 (j»e — p}fu (у) Г$ {х, у) dvy +
87
+ « / «(У) grad divr$ (х.
J «* (У) Tjrtf*dSy + 4-(xflf, (ж; xj. D.10fl)
s
Пользуясь определением произведения вектора на матрицу и уславли-
уславливаясь считать для матрицы Л = {ЛA), ЛB), ЛC)}
grad div A =
дх,
дхг
д
дх3
д
div4<3)
где 4A), ЛB), 4C> есть векторы-столбцы в матрице А, можно D.10г)
и D.10о) записать в следующем виде:
Ш (х) = ш2 (ра — pdju (у) Г(о) (*, у) dvy
f «(У) grad div Г(а) dvy -+- (xfl J
Д 5
« (^) = <«2 О** — I*/)/» (У) Г(
, D.10,)
я*
div r
(fl)
««(У) Ty
D.10J
Таким образом, доказана
Теорема 1. Регулярное решение задачи (А) есть решение
функциональных уравнений D.10,), D.1 Од).
В гл. VII в § 7 будет доказана обратная теорема (теорема экви-
эквивалентности) и в § 4 — теорема существования решения системы
уравнений D.10,), D.10о).

88 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НИЯ ГРАНИЧ. ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОДНОРОДН. ТЕЛ [ГЛ. IV
§ 3. Интегральные уравнения задач (?t) и (В2). Эти задачи от-
отличаются от задачи (А) тем, что внешняя область Ва теперь не про-
простирается в бесконечность, а ограничена замкнутой конечной поверх-
поверхностью Sa. В связи с этим в задачах (Sj) и (В2) сохраняются, все
условия задачи (А), кроме условий на бесконечности; эти последние
заменяются граничными условиями на Sa, а именно: в задаче (Bj) —
смещения, а в задаче (В2) — напряжения принимают на Sa заданные
значения. С этим связано также следующее обстоятельство, отличаю-
отличающее задачи (В) от задачи (А): вместо матрицы фундаментальных ре-
решений Г(д) (л:, у) теперь необходимо пользоваться матрицами (первого
и второго) тензора Грина.
Пусть Ва — область, ограниченная поверхностями 5 л 5в, В —
область, ограниченная поверхностью Sa, равная Bt -\- Ва\ В'а — область,
дополняющая В до полного пространства.
Первым динамическим тензором Грина для области В называется
квадратная матрица третьего порядка G(x, у) (см. обозначение
матриц на стр. 22—23):
A) 0B) 0C)
О (х, у) == {ОA) (л:, у), G<2> (л:, у), G<3) (л:, у) =
Of Of
of of
зависящая от точек х и у н удовлетворяющая следующим условиям:
а) для х ? В и х + у
{a) , у) = 0>;
б) для х, у? В
lim G^(x,y) — 0, xo?Sa (* = 1, 2, 3);
JC->JCo
в) для х, у?В G(x, у) допускает представление
О(х, у) = Г(в)(ж, у) — v{x, у),
где v{x, у) есть некоторая матрица регулярных в В решений урав-
уравнения Д*г»+<й2о = 0.
Существование первого тензора Грина вытекает из существования
решения задачи (D,) (см. гл. II, § 2) для значений а>, отличных от
некоторых дискретных величин, называемых характеристическими или
собственными частотами задачи (dJ) для области В; соответствующая
теорема существования доказывается в гл. VI, § 8. Пользуясь свой-
1 Это означает, что каждый столбец матрицы G(x, у), О(*) {х, у)
(ft = 1, 2, 3), рассматриваемый как вектор, удовлетворяет указанному урав-
уравнению.

§ 3] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЗАДАЧ (В,) и (В,) 89
ствами тензора Грина и повторяя преобразования, которые были при-
применены при выводе уравнений D.10г), D.10J, теперь получаем:
Теорема 2. Если ш отлично от собственных частот за-
задачи (D?) для области В, то регулярное решение задачи (Bj)
есть решение функционального уравнения
4тга (л:) В (х) = со2 ftie — ft) J в СУ) С? (*. У) «*», +
+ т f u(y) grad div G dvy -f-
ir). D.11)
/()
на Sa, и
где /(л:) есть заданный на Sa вектор, т. е. граничное значение а (л:)
S
l\xa, х f В,,
*?в DЛ2)
Вторым динамическим тензором Грина для области В называется
квадратная матрица третьего порядка Н(х, у)= {ЯA), Я'2', ЯC)},
зависящая от двух точек и удовлетворяющая следующим условиям:
а) для л:? В и хФу
б) для х, у?В
lim Т^Я (ж. у) = 0, д;0 ^ 5а (* = 1. 2. 3);
в) для л:, у ? 5 Я (л:, у) допускает представление
Я (ж, у) = Г(в)(*,у) — «(ж, у).
где w(jf, у) есть некоторая матрица регулярных в В решений урав-
уравнения ^*w -f- iu2™ = 0.
Существование второго динамического тензора Грина вытекает из
существования решения задачи (Т() для тех значений ш, которые от-
отличны от собственных частот второй однородной задачи (if} для об-
области В; соответствующая теорема существования доказывается
в гл. VI, § 8.
Повторив рассуждения, которые в § 2 привели к уравнениям
D.10^), D.10о), теперь будем иметь:

90 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НИЯ ГРАНИЧ. ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОДНОРОДН. ТЕЛ (ГЛ. IV
Теорема 3. Если ш отлично от собственных частот за-
задачи (Tf) для области В, то регулярное решение задачи В2,
есть решение функционального уравнения
4тг* (л:) и (х) = ш2 ([Аа — [а,) Г а (у) Н (х, у) dvy -f-
Bi
-\-т J a(y)graddiv^(x, y)dvy -f-
Bi
+ V-aj ul(y)TyHdSy~]xa ff(y)H(x, y)dSr D.13)
S S*
где f(x) есть граничное значение Та(х) на Sa.
§ 4. Интегральные уравнения статических задач (Вг) и (В2),
Эти задачи получаются из соответствующих динамических задач при
значении ш = 0. Однако для того, чтобы уравнения D.11) и D.13)
сохранили при этом смысл, необходимо выяснить, не является ли
значение ш = 0 собственной частотой однородных задач (D?) и (Г?),
так как динамические тензоры Грина были построены выше в пред-
предположении, что ш отлично от собственных значений. Ответы на этот
вопрос даются теоремами единственности 5 и 6 гл. Ill, § 4.
В самом деле, при ш = 0 динамические задачи (Dt) и (Tt) обра-
обращаются в соответствующие статические задачи; по теореме 5 одно-
однородная статическая задача (?>?) имеет лишь тривиальное решение, и
следовательно, для динамической задачи (Dt) значение ш = 0 не
является характеристическим. По теореме же 6 однородная статиче-
статическая задача (т1) допускает отличные от нуля решения вида
где a, b, с, р, q, r — произвольные постоянные; эти решения выра-
выражают жесткое смещение тела как целого. Следовательно, для дина-
динамической задачи (Tt) значение ш = 0 является характеристическим, и
при этом в уравнении D.13) теряет смысл тензор Грина.
Таким образом, функциональные уравнения статической задачи (В^)
могут быть получены из уравнений D.11) подстановкой ш = 0 и
имеют следующий вид:
Г °
4тг/ (х) u(x) — m J и (у) grad div G (х, у) dvy -f-
Bi
?a J ut (y) t; G (x, y) dSy -H (xa J f(y) T^ G (x, y) dSy, D.14)
S
Sa

§ 4) ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (В,) И (В2) 91
О 0 0
где G(x, y) = G(x, у, ш)\ш0 = Га(х, у) — v(x, у) есть статический
тензор Грина.
Интегральные уравнения задачи (В2) не могут быть получены из
уравнений D.13), если положить ш = 0. Второй статический тензор
о
Грина, обозначим его Я (л:, у), должен быть построен самостоятельно,
и это будет сделано в гл. VI, § 6. Здесь укажем его определение
и некоторые из главных свойств и обратимся к выводу функцио-
функциональных уравнений статической задачи (В2).
о
Пусть Я( J (л:, у) при фиксированном k обозначает й-й столбец
о о
матрицы Я (л:, у), рассматриваемый как вектор, и пусть Н\ '(х, у),
Н2к)(х,у), Н^\х,у) суть его проекции на координатные оси. Далее,
о о
пусть Hw(x, у) представляет k-ю строку матрицы Н(х, у), рассма-
°1 °2 °3
триваемую как вектор, и пусть Я(А)(лг, у), Н^)(х, у), Нщ(х, у) суть
проекции этого вектора.
Вторым статическим тензором Грина области В будем называть
матрицу третьего порядка, зависящую от двух точек х и у, удовле-
удовлетворяющую следующим условиям:
а) Для х, у?В относительно х при фиксированном уфх
$a)H{k) (х, у) = 4тг 2 Ш!(к) (х, у) (А = 1, 2, 3) D.15^)
s=l
и относительно у при фиксированном х Ф у
А?аД*) (*. У) = 4*2 »(*»)(*. У)' DЛ5»)
s=l
вектор $$s(k)(x, у) есть й-й столбец, а вектор 2?^>(л:, у) — k-я строка
матрицы
<^2)(х)^!)(у) «Й
U2s)(y) 8Й
! = 1. 2, .... 6, D.16)
где
= (±, 0, 0), »(» = @,^ , 0), 21C) = (о, о, ^) ,
= (- ^, 0. ^) , 31*5) {х) = ^; _ ?|_, о),
ж) = (о. ^, -%). D.17)

92 . ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НИЯ ГРАНИЧ. ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОДНОРОДН. ТЕЛ [ГЛ. IV
причем М2 есть масса тела В при плотности, принятой за единицу,
a R2, S2, Т2 — главные моменты инерции относительно системы коор-
координат, имеющей начало в центре тяжести тела, и оси, совпадающие
по направлению с главными осями инерции.
б) Для граничных точек д;0 ? Sa при х, у ? В
J,y) = 0 (k = l, 2, 3). D.18)
дг->дг0
в) Для х, у?В имеет место представление
Н(х, у) = Г(*. у) — v(x, у),
о
где v (x, у) — некоторая матрица регулярных в В решений уравнения
Д*в) и (х) s 1*вДи (х) -j- (Xe -j- \>.a) grad di v и (х) = О
и
б
= Г(в) (*. у) -
- 2 J Г(ДГ, -ф W> G1)
S-1JJ
6 о
) * 21(г) (У) / / 21D) E) Г ($, т) «О (ч) rf^ dv4. D.19)
s-l r-1
1 Имеет место соотношение симметрии
о о
где Н*(х, у) есть матрица, транспонированная относительно Н(х, у).
Теперь приступим к выводу интересующих нас функциональных
уравнений. Пусть и(х) есть регулярное решение задачи (Aj) при
(в = 0. Применяя формулу Бетти A.10') в Bt при х?В1 к векторам
о
и(х) и Н{к)(х, у) (А=1. 2, 3), получим
J [а (у) Д(<)Я(А) (д?, у) — Я(а, (х. у) Д<%в (y)J dt»y =
= / [я. (У)(т1,"Д*))— Яда (*. у) (Т1<) и (У)),-] dSr D.20)
5
/
5 -t a (дг; s

§ 4] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (В,) И (Ва) 93
причем все операции дифференцирования под знаками интегралов
ведутся по точке у.
Но
. у) = h (Д + ^р grad div) H(k) (х, у) =
= Л (А + ^J^Srad div) tf(fc) (х, у) -
grad div HW (x, y) =
Поэтому равенство D.20) принимает следующий вид:
б
г
в (У)!
= / [т (У) (т^Д*)), — Нт (х, у) J(i) a (у)] dSy. D.22)
Предельный переход в равенстве D.22) (ввиду того, что век-
о о
тор Н(к) (х, у) отличается от вектора Г(д) (д;, у) лишь аддитивным
регулярным вектором) выполняется так же, как на стр. 83—84 в фор-
формуле D.6), и так как в нашем случае и> = 0, то на основа-
основании D.15Й) получим
г °
,e/afc (х) = т J a
Bi
H(k) (x, y) [(T(/)« (y)), - щ СУ)(Т^ЯJ] dSy + 2 C&f (x),
s s-i D.23)
где постоянные Cs определяются следующим образом:
з
С; = 4*,х, J У] Uj (y) %f (у) dvy E=1,2,3,..., 6). D.24)
вi i-i

94 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НИЯ ГРАНИЧ. ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОДНОРОДН. ТЕЛ [ГЛ. IV
Продолжая считать л: ? Bt, в силу свойства б) тензора Грина
можем записать
г Г • ° ° * 1
J 1« Су) Д(*)#(*) (*¦ у) — H(k) (•*¦ у) д(«)« (у)\ dvn =
у- ff(y)H{k)(x, y)dSy,
sa
где /(*) есть значение Та (д;) на Sa.
Так как в Ва Д(а)и = 0, на основании D.15 &) получаем
4* J « (У) Л »(?)(*.
к)~к (х, у) (T(e)aO0)J dSv- ff(y) ЯD) (д:,
и так же, как выше, после перемены направления нормали
0= / [«« Су) (т!,в)Я(»,) - Нф) (х. у) {Га Cv))J dS, -
- //СУ) Я(*) (ж. У) ^у + 2 <$№ (*)¦ ' D-25)
где постоянные Cs определяются из формул
C"S = ^C'S E=1, 2 6). D.26)
Складывая равенства D.23) и D.25) (после умножения последнего
на |ха) и учитывая при этом граничные условия на S, получим
г °
х) = т j а (у) grad div H{k) (x, y)dv
f «< (У) Tytfw (*.
y +
6
где
C, = Ci-|-C; (s = l, 2, .....6).

§ 4] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (В,) И (В2) 95
Пусть теперь точка х?Ва. Тогда, очевидно, вместо равен-
равенства D.23) тем же путем получим
г °
О = т J в (у) giad div #(ft) (х, у) dvy +
Bi
+ h, / [Д*> (*• У) (Т(/)« (У))/ - я, (У) (Т^Д*))] dSy -f 2 С&*' (*)¦
s i=1 D.28)
Далее, применяя формулу Бетти в Ва при х?Ва к и (у)
о
и H(k)(x, у), получим
0=—4ив,(д;) + J [ва(у)(т(уа)Яда(д:, У))— Я(*,(*.
- //(У) Я(й) (х,
при направлении нормали из Bt в Ва.
Складывая равенства D.28) и D.29), предварительно умножив
последнее на \*.а, и учитывая условия на S, получим:
с
auk (х) = т J a
Н- Ра / «/ (У) Ту* Д*) (*. У) rf5y - (ха J f(y) H(t) (x,
s-1
re
Ко всякому решению задачи (В2) можно добавить произвольную
линейную комбинацию векторов
•«<•>(«) (s = l, 2 6) D.31)
и это не изменит ни одного из условий задачи, так как ЭД(*) (д;), как
вектор жесткого смещения, непрерывен всюду и
w(*) = 0, A<*t)flw(*) = 0. ^e)flw(*) = O. D.32)

96 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НИЯ ГРАНИЧ. ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОДНОРОДН. ТЕЛ [ГЛ IV
Поэтому решение задачи (В2) определяется с точностью до аддитив-
аддитивного слагаемого, выражающего деформацию тела как жесткого
целого, и в уравнениях D.27) и D.30) слагаемые
2а?D %С&?(х) D.33)
5=1 i=l
можно отбросить. Таким образом, доказана
Теорема 4. Регулярное решение статической задачи (Б,)
есть решение уравнения
о
/о
«OOgraddivG*** (лг, y)dvy~\-
а)(*> D.34)
Sa
а регулярное решение статической задачи (В2) есть решение
уравнения
Г °
х) uk {х) = т J u(y)graddivH(k)(x, y)dv
Bi
f
»(*, У)</5у-|гв//(у)ЯD)(ж. y)tfSy
5
(k=l. 2, 3). D.35)
определенное с точностью до жесткого смещения.
§ 5. Интегральные уравнения статических задач (С\) и (С2).
Задачи (С) отличаются от задач (В) тем, что поверхность 5а теперь
совпадает с бесконечной плоскостью и область Ва обращается в полу-
полупространство, содержащее включение В(. Уравнения D.34) и D.35)
при тех требованиях на бесконечности, которые приняты выше
(см. C.69)), сохраняют смысл при условии, замены тензоров
о о
Грина G(x, у) и Н(х, у) аналогичными тензорами для полупро-
полупространства. Существенное упрощение, которое здесь имеет место по
сравнению с уравнениями D.34) и D.35), достигается за счет того,
что тензоры Грина для полупространства могут быть построены
в замкнутом виде.

§ S) ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ <С.) И (С,) 9?
Первый тензор Грина (статический) для полупространства имеет
о to о о у
следующий вид: G(x, у) = \ GA) (#, у), ОB) (я, у), GC) (я, у)/, где
+ 00
0(*'(х, у) = 1$(*. У) +^ / Г„ («,(*; *'IЦо(*'; у)^*'
— оо
(* = 1. 2, 3), D.36)
о
Г„ есть ядро потенциала двойного слоя второго рода для области Ва
(см. гл. I, § 6), это можно проверить следующим образом. Напи-
0 *
санное выражение для G(x, у) есть решение уравнения Д(а)в = О;
это следует из того, что интеграл
+ 00
О . ..О
^(х. y)dS
x.
существует и, как потенциал двойного слоя второго рода, удовле-
удовлетворяет тому же уравнению. Удовлетворяется и граничное условие
при xo?Sa:
limG(ft)(x. У) = О (k = \, 2, 3);
ДГ->ДГо
в самом деле, из формул B.4) имеем
+оо
Ч3 i / ( /)fe(/
а из равенства A.45) следует, что если обе точки х0 и х' лежат
на плоской границе (как в данном случае), то
Г,,(*о. л/) = 0.
Второй тензор Грина (статический) для полупространства есть
квадратная матрица третьего порядка
Н(х, у) = { #<» (*. У). Ж» (ж. у), #<3>(х, у)},
где
+ 00
<«(* .y) = fe(*. У) +^ /
D.37;
(* = 1. 2, 3).
7 В. Д. Купрадзе

98 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НЙЯ ГРАНИЧ. ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОДНОРОДН. ТЕЛ [ГЛ. IV
М(х, у) есть матрица фундаментальных решений третьего рода,
определяемая равенством A.50)'.
Так как потенциал антенного слоя
+ 0О
± f M{a)(x; х')(т,'Г{й(х'; y))dSx, (A = l, 2, 3).
согласно A.65'), удовлетворяет уравнению Даи(х) = 0, этому же
уравнению удовлетворяет и D.37). Граничное условие
lim jJfW (х. у) = 0 {к = 1, 2, 3), *0 ? Sa,
вытекает из свойства антенного потенциала, выражаемого равен-
равенством B.11), и из того, что когда обе точки д;0 и х' находятся на
граничной плоскости, TXl>M (х0; х') = 0, как это ясно из A.54).
§ 6. Случай равных постоянных Пуассона. В одном частном,
но важном для практики случае интегральные уравнения §§ 2—5
значительно упрощаются. Это — случай равных постоянных Пуассона.
Коэффициентами Пуассона для сред В( и Ва, как известно, являются
соответственно числа
°'=711Г и °="rfir- <438>
Они выражают отношение относительного удлинения в продольном
направлении к относительному сжатию в поперечном направлении
(точнее, в двух перпендикулярных направлениях, которые для боль-
большинства упругих тел постоянны). Измерения показывают, что для
материалов, применяемых в технике, коэффициенты Пуассона лежат
в интервале 0,25 (стекло) — 0,45 (свинец); для геологических пород,
смежно залегающих в земной коре в естественных условиях, они
изменяются еще медленнее, отличаясь друг от друга лишь сотыми
долями. По этой причине коэффициент Пуассона долго считался
постоянным числом для всех упругих тел (Коши). Если примем эту
гипотезу Коши, можем считать
т = Х/(ха-Ха(х/ = О. D.39)
1 Это упрощение определения второго статического тензора Грнна по
сравнению с данным в § 4 есть следствие того, что единственным регуляр-
регулярным решением уравнения Д*и = 0 в бесконечной области является тождествен-
тождественный нуль.

$ 6]. СЛУЧАЙ РАВНЫХ ПОСТОЯННЫХ ПУАССОНА 99
тогда
= 1\ О ft I ft ft j_ ft.
3 I fla ^ fla K_ + 2J Pa
и уравнения D.10,), D.1 Од) принимают следующий вид:
= со2 (ра — (I,,) J а (у) Г(в) (дг; yjdvy +
/ («; ж),
s
а (дг) = a»2 (t»e—v-i)ja (у) Г(в) (дг, y
Bt
«i (У) Т*Г(в) (дг, у) dSy + bvJB (х; х), х ? Ва,
4ы {х) а {х) = со2 (^в — ft) J в (у) Г(в) (ж, у) «ftr, +
в, (У) ТТ(в) d5y + 4кр.в? (*; д;,), D.40)
или
s
где
Согласно D.39) можно писать
откуда
Т* Ра — (Ч т(")
Г Й~ ' '
и уравнение D.40) принимает следующий вид:
(дг) и (х) = a»2 ((i.e — р,,) J и (у) Г(в) (д;, у) dvy
/ I (У) Ту° Г,а) (ж', у) dSy + 4тг|хв? (*; *.). D.41)
s
1*

100 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НИЯ ГРАНИЧ. ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОДНОРОД. ТЕЛ [ГЛ. IV
Отсюда, между прочим, следует, что при y-i — \>-a или Х, = Хв
имеет место равенство
и(х) = Е(х; xj.
Можно определить значение разрывного коэффициента %{х) в точках
границы. Перейдем к пределу изнутри и извне в уравнении D.41)
при стремлении точки х к граничной точке хй. Учитывая граничное
равенство
ut = иа на 5
и формулы разрывов для потенциала двойного слоя первого рода B.1),
будем иметь
7а, (х0) = ш2 (р,в — Р-/) / « (У) Г(в, dvy — 2ти (р,в — р..) щ
;0; *,) D.41')
= щЯ (р-в — ^) / и (У) г(а) dy
- ^) / ««(У) Т<а)Г(а) d5y + 4ic|i.?(*0; xj. D.41")
Рассматривая прямое значение обеих частей равенства D.41) в точке xQ
и пользуясь равенствами D.41') и D.41"), будем иметь по непре-
непрерывности вектора и\х)
1
Таким образом, доказана
Теорема 5. Если при выполнении гипотезы Коши D.39)
задача (А) имеет решение, оно будет решением системы
функциональных уравнений D.41).
В гл. VII будет доказана обратная теорема и теорема существо-
существования решений функциональных уравнений D.41).
Мы рассмотрели вид, к которому приводятся интегральные урав-
уравнения задачи (А) в условиях гипотезы Коши; ясно, что другие инте-
интегральные уравнения, полученные в §§ 3—5, упрощаются аналогично,
если в них произвести изменения, вытекающие из гипотезы Коши.
На этом мы останавливаться не будем.

§7] НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ УСЛОВИЯ КОНТАКТА 101
§ 7. Некоторые другие условия контакта. Мы рассмотрели
случай жесткого сопряжения сред. Можно тем же путем составить
уравнения и для других случаев контакта.
Остановимся снова на задаче (А) и предположим, что вместо
включения Bt первоначально в среде Ва имелась каверна, ограни-
ограниченная поверхностью 5. Пусть, далее, в эту каверну вставлено дру-
другое тело той же формы S, но несколько больших размеров; можно,
например, представить случай заполнения каверны под давлением
расплавленной массой, которая в свободном состоянии после затвер-
затвердения имеет объем, несколько больший объема В{. Сюда же отно-
относятся задачи на замерзание жидкости, заполняющей каверну, задачи
о так называемой горячей и прессовой посадках, применяемых
в машиностроении. В этих задачах можно предположить, что вдоль
поверхности 5 осуществляются следующие условия контакта:
где g(x) — заданный вектор. Повторив рассуждения, которые были
применены для получения уравнений D.10г), D.10а), теперь придем
к уравнению
4™ (х) а (х) = оJ (|ха — ft) J а (у) Г(а) (*; у) dvy +
Bi
¦+¦ » / «(У) g«d div Га (х, у) dvy -f ft, J щ (у) ТуГ(а) (*. у) dSy +
' g(у) Т(а)Г(в) (*, у) dS + 4ку,аЕ {х; xj. D.43)
s
Для статических задач, когда ш = 0, если запрессованное тело
изготовлено из того же материала, что и внешняя среда Ва, будем
иметь
г=т(а) - т<'> = о, г(а) (*. у)=г (*, у),
и решение задачи получается в явном виде:
и (х) = JL [ g (у) ТУГ (*. у) dSy + Е (х; д^. D.44)
s
Подробнее это будет показано в § 11 гл. IX. Там же, в частности,
показывается, что D.44) дает решение рассматриваемой задачи и
о
в случае а> =? 0, если Г(д;, у) заменена на Г (я, у).
Рассмотрим еще следующую задачу о запрессованных деталях.
Пусть Ва есть конечное тело, ограниченное замкнутой поверх-

102 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НИЯ ГРАНИЧ. ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОДНОРОДН. ТЕЛ [ГЛ. IV
ностью Sa; пусть в Ва имеются п каверн, ограниченных непересекаю-
непересекающимися поверхностями S(ft> (k = l, 2 re), и пусть все каверны
заполняются вышеуказанным способом включениями из того же мате-
материала, что и Ва. Тогда вдоль S(ft> соблюдаются условия
где gk(x) (А=1, ..., ге) — заданные векторы; кроме того, на по-
поверхности Sa известны граничные значения смещения и(х) или напря-
напряжения Т« (х), которые обозначим через f(x).
Рассуждая так же, как при выводе уравнений D.34) и D.35),
теперь получаем
= i S
1 s<« «а D.45)
Jf(y)H'(x. y)dSy.
*-' s* sa D.46)
Если, в частности, тензоры Грина для полной (односвязной)
области, заключенной внутри Sa (при отсутствии включений), заданы,
равенства D.45) и D.46) дают явные решения новых задач (первой и
второй) о запрессованных деталях.
Известно, что в плоской теории упругости для большого числа
замкнутых контуров, имеющих применения в технике, тензоры Грина
действительно строятся явно [24]; уравнения §§ 1—6 для неоднород-
неоднородных сред сохраняют смысл без всяких изменений (см. гл. VIII—IX)
для плоских задач, и во всех указанных случаях равенства D.45), D.46)
дадут явные решения задач о плоских запрессованных деталях
(см. гл. IX).
Вернемся к пространственным задачам. Пусть, в частности, Sa
совпадает с плоскостью лг3 = 0; тогда, как показано в § 5, первый
и второй тензоры Грина задаются равенствами D.36) и D.37),
и в этом случае обе задачи оказываются решенными в замкнутом
виде.
В § 11 гл. IX будет показано, что выражения D.45), D.46)
действительно дают решения первой и второй задач о запрессован-
запрессованных деталях.
Представляет интерес исследование других задач, решения кото-
которых могут быть получены вышеуказанным методом в явном виде.
Некоторые из таких задач будут рассмотрены в § 11 гл. IX.

ГЛАВА V
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ МНОГОМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Интегральные уравнения граничных задач гл. II представляют
собой частный случай систем двумерных сингулярных интегральных
уравнений следующего вида:
(8-0
где 5—замкнутая поверхность Ляпунова, г(х°, х)— расстояние
между точками х° и х, а (х°) и F (лг°, лг) — заданные матрицы,
g(x°) — заданный вектор, удовлетворяющие условию Гельдера; вектор
^р (х) ищется в том же классе функций.
В гл. VII будет показано, что функциональные уравнения для
неоднородных сред, полученные в гл. IV, также приводятся к инте-
интегральным уравнениям вида E.1). Таким образом, исследование усло-
условий разрешимости уравнений этого вида имеет важное значение для
наших целей, и его подробному изложению посвящена настоящая
глава.
В точке х = х° ядро рассматриваемого уравнения обращается
в бесконечность второго порядка, и поверхностный интеграл, вхо-
входящий в уравнение, может пониматься только в смысле главного
значения Коши. Поэтому уравнения вида E.1) называются сингуляр-
сингулярными, в отличие от регулярных уравнений с несобственными интегра-
интегралами, сходящимися в обычном смысле. Одно из главных различий
между двумя указанными типами уравнений состоит в том, что обыч-
обычный способ итерации, который в случае регулярного уравнения при-
приводит неограниченные ядра к ограниченным, не позволяет сделать
то же самое б случае уравнений сингулярных.
Но, оказывается, можно указать некоторый обобщенный процесс
итерации, с помощью которого для уравнения E.1) во многих слу-
случаях доказываются основные теоремы и альтернатива Фредгольма.

104 Многомерные сингулярные интегральные уравнения [гл. V
Обычный способ изучения уравнений вида E.1) заключается в сле-
следующем: относительно записанного в операторной форме уравнения
A<( = g E.1')
ставится вопрос о разыскании такого оператора В типа А, чтобы
к уравнению
BA Bg- E.2)
была применима классическая теория Фредгольма. В этом случае
оператор В называется регуляризирующим оператором или, кратко,
регуляризатором. Как мы увидим, таких операторов, вообще говоря,
можно построить бесконечное множество, и следующая задача за-
заключается в выборе того регуляризатора, который осуществляет экви-
эквивалентную регуляризацию, т. е. такую регуляризацию, при которой
уравнения E.1') и E.2) остаются эквивалентными. Обе эти задачи
для случая одного уравнения вида E,1) были поставлены и решены
Жиро [10а, б]. Оператор В, осуществляющий регуляризацию на
всей поверхности S и называемый глобальным регуляризатором,
Жиро получает не сразу, а путем «склеивания» конечного числа не-
некоторых частных регуляризаторов, которые осуществляют регуляри-
регуляризацию только в малой окрестности произвольно заданной на S точки.
Такие операторы будем называть локальными регуляризаторами.
Способ построения локальных регуляризаторов, которым пользуется
Жиро, в применении к системам уравнений встречает принципиаль-
принципиальные затруднения, пока еще не преодоленные. С другой стороны,
способ регуляризации л-мерных сингулярных уравнений с областью
интегрирования, совпадающей с бесконечным re-мерным евклидовым
пространством, был указан С. Г. Михлиным [22а, в]'.
И. А. Ицкович [9] рассмотрел интегральные уравнения вида E.1)
на замкнутой, поверхности гомеоморфной сфере (а также некото-
некоторые другие случаи) и показал, что при помощи некоторой системы
отображений задачу регуляризации в этом случае можно свести
к задаче С. Г. Михлина. В нашем случае для систем уравнений
вида E.1) на замкнутой поверхности Ляпунова при решении за-,
дачи эквивалентной регуляризации мы поступаем следующим обра-
образом. На поверхности S выделяем произвольно фиксированную часть So
с достаточно малым диаметром. Используя, в основном, способ отобра-
отображений, указанный Ицковичем, отображаем So сначала на плоский
круг у в касательной к So плоскости, а затем у на всю евклидову
плоскость П. Таким образом, уравнение E.1) с областью интегри-
интегрирования So приводится к эквивалентному уравнению с областью
интегрирования П. Применяя далее способ Михлина, мы строим регу-
ляризатор для полученного уравнения и, наконец, с помощью обрат-
1 См. примечание 2 на стр. 12.

§ I] ПОВЕРХНОСТИ ЛЯПУНОВА 105
ного отображения получаем регуляризатор для уравнения E.1). По-
Построив таким путем локальные регуляризаторы для конечного числа
кусков поверхности 5, аналогичных So, и используя, в основном,
метод «склеивания» Жиро, получаем глобальный регуляризатор для
уравнения E.1). Наконец, обобщая для систем уравнений теорию
резольвенты Жиро, указываем способ эквивалентной регуляризации
и доказываем теоремы и альтернативу Фредгольма для наших урав»
нений.
§ 1. Поверхности Ляпунова. Главное значение сингулярного
интеграла. Конечная, замкнутая поверхность S называется поверх-
поверхностью Ляпунова, если удовлетворяет условиям:
1. Имеет в каждой точке непрерывную касательную плоскость.
2. Если Ь — острый угол между нормалями в точках х и у на 5
и г (лг, у) — расстояние между точками х и у, то
Ъ<Сг*(х, у), 0<8<1,
где С и 8'—постоянные.
3. Существует достаточно малое положительное число е0, по-
постоянное для всех точек S, такое, что прямые, параллельные нор-
нормали пх, пересекают не более чем в одной точке ту часть поверх-
поверхности S, которая содержит точку х и заключена внутри цилиндра
С (х; е0) с осью, совпадающей с пх, и диаметром, равным 2е0.
Обозначим эту часть поверхности S через S(x; е0), а ее допол-
дополнение до полной поверхности S через S' (лг; е0). Аналогично опре-
определяются S(x; е) и S'(х; е) для любого е, 0<е.<ео.
Возьмем некоторую фиксированную точку лг° на S и рассмотрим
координатную систему Ol-fi2^ начало которой совпадает с точкой лг°,
ось О?3 совпадает с направлением внутренней нормали поверхности S
в точке лг°, а плоскость О$]|2 совпадает с касательной плоскостыр
поверхности S в точке лг°. Пусть
есть уравнение поверхности S(x°; e) (e<eg); обозначим ее для
краткости через So. Функция bQ(iv ?г) непрерывна и имеет непрет
рывные частные производные, удовлетворяющие условию Гельдера
в области у : Ц -(- Ц < а2 (е <; а < е0), являющейся проекцией So на
плоскость О^.
Очевидно, что
—о
. 0)_

106 МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V
Если х и у есть две точки, принадлежащие So, с координатами
$!, i2, $3 и 4i> тп< ^ соответственно, то величины
р(х)
будут достаточно малыми при достаточно малом диаметре области.
Кроме того, из свойств 1, 2, 3 вытекает, что для достаточно ма-
малого е имеем
<ЗСР8, E.3)
Эти свойства поверхности Ляпунова позволяют определить на
поверхности главное значение сингулярного интеграла. Будем счи-
считать, что
S S' (jto; t)
предполагая, что предел, указанный в правой части равенства, суще-
существует.
Ясно, что для этого необходимо знать поведение F(x°, x) при
х—>х°, т. е. значение предела
Hm F(x°, х).
х-ь-х*
Если этот предел существует, он зависит, вообще говоря, от пути,
по которому точка х стремится к точке х° при е—>0. В достаточной
близости от х° этот путь характеризуется двугранным углом 60,
образуемым плоскостью, проходящей через нормаль я*о и точку х,
с некоторой постоянной плоскостью, принятой за плоскость отсчета.
Линейный угол этого двугранного угла будет отчитываться в каса-
касательной, в точке лг°, плоскости. Пусть
lim F(x<>, x) = f(x°; 6^.
Будем считать, что
| F (x°, x) — f (лг°; 60) | < C'r* (jfi, x), 0 < a < 1, С — постоянная.
Функцию или матрицу / (х°, бр), удовлетворяющую указанным двум

} I] ПОВЕРХНОСТИ ЛЯПУНОВА 107
условиям, будем называть характеристикой сингулярного интеграла
или интегрального уравнения E.1). Теперь можно написать
-./ Г*(х°,Х) VWdSx
Второй интеграл справа — обыкновенный несобственный интеграл,
первый по-прежнему — сингулярный. Представим его в виде суммы
трех слагаемых:
S' (х*; •)
S (Ж«; .) S (.го; .)
E.4')
Пусть у(х)?Н(а.'), т. е.
f) — <?(x")\<M\x'—x"f, 0<а'<1, M = const,
х', x"
Тогда первые два слагаемых в E.4') суть обыкновенные интегралы
и остается выяснить условия сходимости третьего слагаемого. Про-
Проекция (ортогональная) ? точки х на if имеет своими полярными ко-
координатами р и б0. Имеем
S.
где
Г /С*0: До) ^с __ Г
./ l*(xVx) X~J
S
Из E.3) следует
Поэтому
Г /(дс°; 6o) rfc _
J t*{#,x)dS*-

108 МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V
Предел последнего интеграла при е-»-0 равен нулю. Первый инте-
интеграл равен
/(¦*°; «о) ~ м _ „„, Г /(¦*»; в,)
с
J
T •' < p <a
2ic a 2it
lira ff(x°; Ojd% f?-=llm In-f [ f (x*
Последний предел существует в том и только в том случае, если
выполнено равенство
2it
= O. E.5)
E.5) является необходимым и достаточным условием существования
предела E.4), который называется главным значением сингулярного
интеграла
J-?bbfr*(x)dS''
s
§ 2. Классификация ядер. Пусть Ег есть трехмерное евклидово
Пространство, х и у — точки Е3. Условимся говорить: функция F (х, у)
принадлежит классу N(a\ F (х, у) ? Л^а>, если выполняются условия:
1°. F (х, у) непрерывна для всех пар значений х и у из огра-
ограниченного, замкнутого множества $ с Е3, для которых х ф у.
2°. Существует число а такое, что равномерно в § F (х, у) =
*=O[r*-s(x, у)], когда 0<<х<3, uF(x, y)==o[ln ,C . 1 (С —
L г (х, у) J
постоянная), когда а = 3.
Будем говорить, что F (х, у) принадлежит классу N(a> l\
Р(х> УN^<а' '• если выполнены условия:
1°. F{x, y)?N(a\
2°. Существует положительное число X, 0<Х^1, Х-^а, такое,
что
F (х', y)-F (х", у) = О [гх(х, х")еу-х-3{х, х")\, (*)
где х', х", у — точки Е3, 1у (х' х") ш1у — расстояние от точки у
до отрезка х'х".

$2] КЛАССИФИКАЦИЯ ЯДЕР 109
Если условие (*) выполняется одновременно как для первого,
так и для второго аргумента, будем говорить, что F (х, у) принад-
принадлежит классу N^' k\ и писать
F (х, у) ? N^ х>.
Имеет место следующая
Теорема 1. Функция
F (х, у) = —т^—г
v у> г(х, у)
принадлежит классу Л/f'1), и функция
Fk(x, у) = ^ у^—т- (k=l, 2, 3)
кК >> дхк г{х, у) К >
принадлежит классу A/f':).
Доказательство. Функция
очевидно, принадлежит классу Л/<2), а функции
р (х у)
Гн\*' У>— Г(х, у) г*(х, у)
принадлежат классу Л/A); отсюда следует первое утверждение тео-
теоремы. Перемещая точку х по некоторому направлению t из поло-
положения х' в положение х" при неизменном у, будем иметь по тео-
теореме о среднем
з
F(x", у)-Fix1, У) = 1] dFdxky)c°S(Xk' ()Г{Х'' X'%
k=\
где ? — некоторая точка на отрезке х'х".' Отсюда имеем
| F (х", y)-F (х\ у) | < const Щ^~,
но
гA у)>1у(х'\ х"),
и, следовательно,
| F (х", y)-F (х\ у) | < const $+& ¦
ly \Х ,Х )
Согласно (*) это и означает, что
F(x,
Для функции
F (V .л— Д* 1
Г Ik {X, У) —
.( у) — г5 {х у) гз {х> у)

110 МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V
имеем
Flk (х, у) ? /V@) (/,« = 1,2.3);
применив к функции Fk (x, у) рассуждение, которое было применено
выше к функции F (х, у), получим
и, ввиду симметрии относительно а; и у,
Из теоремы 1 вытекает следствие:
Функция F (х, у), равная
fix, у)
г*-'(х, у) '
где f(x, у) — функция класса #(Х) относительно х, принадлежит
классу iV'"'11', р = тт(а, X) [24].
Рассматривая интегралы по поверхности 5 вида
<?(y)F(x,y)dSy,
f
s
где ср(у) — функция класса Гельдера, а F(x, y)?N^*\ будем гово-
говорить, что ядро F(x, у) имеет слабую особенность, если <х>1,
и является сингулярным, если а=1.
§ 3. Теоремы Жиро. В этом параграфе приводятся некоторые
теоремы Жиро, на которые мы в дальнейшем будем ссылаться.
Теорема 2. Если F1(x, у) и F2(x, у) — ядра со слабыми
особенностями класса N^a' ' и Л^' соответственно, то функция
s
принадлежит классу л^(а+ ^^ где р — положительное число
не больше X и меньше (а—1) при а + р^4; если же а-(-р>4
и р<3, то функция F3(x, у) принадлежит классу //([*) отно-
относительно х и !*<Х, {j,<a-(-p — 4.
Теорема 3. Если F(х, у) есть ядро со слабой особенно-
особенностью класса N^' ' и ср (л;) — непрерывная функция, то интеграл
(*, y)f(y)dSy
принадлежит классу #(р.) и р < (а—1),

5 3] ТЕОРЕМЫ ЖИРО
Теорема 4. Если
F(x, y) = F1(x, y)-\-F2(x, у)
и
а) F2(x, у)^1^"'к), а> 1,
б) F^x. y)-=f(xl — yv x2—y2, x3 — y3; v(a;)),
в) / (o)j, (o2, (o3; v) « -з положительные однородные формы
порядка — 2 относительно (olf (o2, <о3,
г) -г^- (/=1, 2, 3) — положительные однородные формы по-
порядка —3 относительно av ш2 ш3,
д) существует главное значение интеграла
\(х, y)dSr
е) ср(л?» ( |
то функция, определенная интегралом
D(x)= J F(x, y)<?(y)dSy,
принадлежит классу Гельдера с показателем jj..
Теорема 5. Если F(x, у) есть та же функция, что в тео-
теореме 4, и
а) Н{х, y)^N^\ а>1,
б) ср
то
f Н(х, у) dSy f F (у, 6) с? F) d55 = J <p F) rf55 fH(x,y)F (y,
S S
и функция
принадлежит классу Ni<1'' v\ а' > 1.
Теорема 6. Если F(x, у) есть та же функция, что в тео*
реме 4, и
Э) Н(х, {*^\

112 МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |ГЛ V
б) (?(х) непрерывна,
то
JF(x. y)dSy JH(y. S)?F)rfSe= J<p(S)rfSe f F(x. у)Жу, 5)rfSy
s s s s
и функция
L'(x. y) = f F(x, 6) Я (?. y)rfSj
s
принадлежит классу N{'"'x'\ a" > 1.
Теорема 7. Если /=¦(*, y) = Fj(jt, y)H-F2(A:, у) и Н(х, у) =
= Я, Ос. у) Н- Я2 (д;, у) и
а) F] (х, у) есть та же, что в теореме 4,
б) F,(x. у)^^"'. «>1.
в) Я: (а;, у) аналогична Fl (x, у),
г) //„(*, yN^V(a'X), a>l,
д) существует главное значение интеграла ГНх{х, y)dSr
s
то функция, определенная интегралом
принадлежит классу Nw.
Теорема 8. Если F(x, у) и Н(х, у) удовлетворяют усло-
условиям теоремы 7 и если существует главное значение интеграла
fL(x, y)dSy,
где
то
Цх, у)= J F(x, 5)Я(?. y)dSit
У
5
f F(x, y)dS
и при атом
Ф (х) = lim Г Г F (х,
S S(>r; it
Доказательства этих теорем Жиро приведены в раОоте [10а|.

5 4]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К ЛОКАЛЬНЫМ КООРДИНАТАМ
Щ
Рассуждения Жиро иногда весьма сжаты. Другие доказательства
более общих теорем, из которых теоремы Жиро получаются как
следствия, недавно указал Т. Гегелия [5а, б, в, г].
§ 4. Преобразование к локальным координатам. В этом па-
параграфе мы возвращаемся к интегральным уравнениям гл. II (Dt),
(Та), (Da), (Tt) и займемся преобразованием их ядер.
Имеем
К(х, у)=±т}(х, y) + ^Tx[r(*. у)-Т(х.
Согласно A.52) элементы этой матрицы имеют следующий вид:
(У. * = 1.2.3),
где (TXQ (x, у) )jk — элементы матрицы
. у)-Г(х. у)].
допускающей в точке х = у слабую особенность.
Положим
К(х. у) = К1(х, у) + К2(х, у),
где
1
— б13 — °
¦. у)
— (*з — Уз)cos
23
E.6)
sT^(*. У). E.7)
В силу теоремы 1 § 2
Кг (х, у) ? М1'J) и /С2 (х, у)
Сингулярный интеграл, входящий в исследуемые сингулярные урав-
уравнения, имеющий вид:
. y)<9(y)dSy,
8 В. Д. Купрадзе

114 МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V
перепишем с помощью характеристики (см. § 1) так :
где 9 есть двугранный угол, образуемый плоскостью, проходящей
через пх и точку у, с некоторой фиксированной плоскостью. Первый
из операторов, входящий в предыдущее выражение, есть сингулярный
оператор, и, как нетрудно проверить, необходимое и достаточное
условие его существования
2*
J
о
выполнено. Второе слагаемое есть фредгольмов оператор. Такие опе-
операторы ниже для краткости иногда мы будем обозначать символом ФО
(фредгольмов оператор).
Пусть поверхность 5 полностью покрывается конечным числом кусков
при этом некоторые из них могут иметь общую часть с одним или
несколькими соседними кусками. За Sk, A=l, 2 т, можно,
например, принять поверхности S(x°; е), 0 < е < е0 (см. стр. 105),
где jc° — переменная точка на 5 и 2s — диаметр цилиндра С (х°; s)
с осью вдоль пм. Пусть точки а; и у принадлежат одному из кус-
кусков, например $р найдем выражение ядра К (х, у) в системе коор-
координат |j, §2, |3 с началом в точке jc°^5j и осью §3, направленной
вдоль я*о. Пусть X и у\ — проекции точек а; и у в касательной
(в точке лр°) плоскости, %v ?2. ^з и 'Ii- ^г- 'Чз — координаты в мест-
местной системе. Согласно формулам преобразования имеем
xt-yt = аи (Jt») (Sj — tj,) + ow (л») & - ъ) + а (*>) A )
и (Jt») (Sj — tj,) + ow (л») & - ъ) + аы (*>) A3 - ъ)
A=1. 2, 3),
где fly (а;0), /, /=1, 2, 3 — косинусы углов между старыми (х{) и
новыми (§г) осями, зависят от положения точки а;0 и удовлетворяют
соотношениям
ifl^ = 8j7
В новых координатах будем иметь
з
°12 = 2 [(«и cos (ях, д;2) — ая cos (я^., д;,)] (** — f\k).
C0S (»*• -«З) — «АЗ C0S (»*• *l)l (Sft — 4*).
= 2 l(«*s cos (nx- хз) — а*зc08 (»*• *«I (?* — 4*) •
F.8)

$4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К ЛОКАЛЬНЫМ КООРДИНАТАМ
Обозначим
Ах (х) = ап (х°) cos (nx, х%)—ап (х°) cos (пх, Jfj),
А2 (X) = п21 (Х°) COS (Пх, ДГ2) —«22 (Х°) C0S («*• -*l)'
А (х) = а31 (л;0) cos (я,, х2)— я32 (х°) cos (я,,, д^),
Аг (х) = «„ (лг°) cos (яд., *g)-a18 (дг°) cos(пх, хг),
А4 (X) = О„ (Л°) COS (Яж, *з)-«23 (^°) C0S (»*. *l).
В (л;) == «si (л;0) cos (ях, *з)— «33 (-v0) c«s (ях, л,),
Л5 (л;) = а12 (л;0) cos (пх, Хг)—а13 (х°) cos (nx, х2),
Аь{х) = a^(a;0)cos(nx, x?—a2S(x°)cos(nx, x2),
С (х) = а32 (л;0) cos (пх, лгз)—«зз (-*0) cos (я^., д;^.
В частности, при х = х°
Ах (jcO) = о„
Л2 (л;») = а21 (л;0)
115
— a
=.а
п
Л4 (л;0) = «21 (л;0) «з
Аь (л;0) = «и (л;0) «з
= а22 (л;0) «з
l2
— «is
— «
a31
/1 (л;0) = В (л;0) = С (д;0) = 0.
Пусть
Р E.
«si
агх
«за
У) =
г !L
Ядро Кг(х, у) переписывается в следующем виде:
О А* А"
¦ А* О А—
¦ А- —А"* О
где
Р2(«. 1)
Р2

116 МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V
Можно показать, что (см. стр. 122)
Р2 _
lim г* — 14- [/>(?) cos О,
если еще обозначим
: = cos6j,
sin 6,]*'
¦¦ sin Of
Но р(%) и q($) можно сделать сколь угодно малыми вместе с е0;
поэтому
'6 „\ 1> •
где (Aeo(S, ¦>]) и \0(е. ?]) — вполне определенные функции, которые
стремятся к нулю вместе с е0. Приняв во внимание эти замечания,
можем писать
1
-[
Д, (jr) cos в, + Д2 (•«¦) sin в, Д3 (•«¦) cos в, + Л, (jr) sin в, ||
sine,] 0 Л(дг)соз9, + Лв(лг)з1пе, U
- [А, {х) cos e, + ^s(jr) sine,] 0 ||
А(х)-
и—>
В(х).
-А(х)-
С(х)-
TJr>
где А(х), В{х), С{х) стремятся к нулю вместе с е0. Поэтому,
обозначив
О А, (х) cos 6,4- А3 (a-) cos 6,4-
-\-A2(x)sin в, + А (•*) sin в,
— [А, (х) cos 6,4- О А5 (х) cos в, 4-
4- Аг (х) sin в,] + Л (х) sin в,
— [А3 (х) cos в, 4- —1^5 (х) cos 8,4- О
+ А4(х)аа91] + Ae (at) sin в,]
E.10)
и приняв во внимание сказанное о р.1в и Хвв, будем иметь окончательно
/\ 1 (X, V) === 5~77 ^ 1 —о~7? ^— » E- * * )
где /*(*; 6,) есть определенная матрица, модуль которой можно
сделать сколь угодно малым, уменьшая е0.

§8] ЗАДАЧА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ 117
Введем еще обозначение
тогда
А F: 6i) = /(*: в). E.110
§ б. Задача регуляризации. Остановимся на исследовании урав-
уравнения B.13), соответствующего задачам (Tt) и (Та). Другие уравне-
уравнения исследуются аналогично. Перепишем B.13) в следующем виде:
9 (*) - х f К (х, у) f (у) dSy =/(*) E.12)
s
или в операторных обозначениях:
/ F.12')
где / — единичный оператор и /Сер — оператор, определенный в пре-
предыдущем параграфе.
При х =—1 уравнение E.12) обращается в уравнение (Tj) § 2,
гл. II.
Задачу регуляризации системы уравнений E.12) ставим следующим
образом. Найти интегральный оператор
= fH(x, у;
с сингулярным ядром Н (х, у; х), зависящим, кроме точек х и у,
еще от параметра х так, чтобы система уравнений
была системой интегральных уравнений Фредгольма второго рода.
Если такой оператор существует, то, учитывая, что по тео-
теореме 8 § 4
= —х» fH(x. у, x)*Sy fK(y, S)?(S)d55 =
; x) 9 (x) — x2 Г Г Н (х, у, х) К (у,
I
J
получим
, у; х)-

118 МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V
ИЛИ
; *)] <р (л;) + * J> (х, у; х) <р (у) rfSy = ЛГ(лг), E.13)
где
F(x,y;%)=H(x,y,Y)—K(x,y)—*.fH(x, ?; х)
E.14)
J
и Ф (л:; х) есть матрица, введенная в § 3 (теорема 8).
Для того чтобы система E.13) была системой Фредгольма, до-
достаточно удовлетворить двум условиям:
1°. F(x, у; *) = О [г-2+5'(#, у)], S'>0.
2°. det || (/ + *2Ф (х; ч) || Ф 0, х g 5.
Мы допустим, что матрица Н(х, у; х) имеет вид
Н(х. у; ч) = 7Т^9(д;1 в;
где матрица Q(jc, 6; х)= ||а>/л (ж, 6; х)||, /, А = 1, 2, 3, и функции
ш/А (х, б; х) являются искомыми, удовлетворяющими условиям
f u>ik(x, 6; x)rf6 = 0 (/, Ы, 2, 3). E.15)
о
Эти условия, согласно E.5), необходимы и достаточны для суще-
существования сингулярного интеграла с ядром, равным Н(х, у; х).
Выражение, стоящее слева в E.13), перепишем в следующем
виде:
. у; *) — К(х, у)-
_ х J Н(х,Ъ;%)К$,у) dS^-% f Н(хЛ;*)КAу) rfStj X
J [H(x.y.%)-K(x, y)-x J
s'(^'o)L s'(*°:
X /C E. y) dSk — x J Я (x, ?; x) AT E, у) <юЛ ср (у) d5

JSj ЗАДАЧА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ 119
и исследуем различные композиции интегралов, встречающихся здесь,
считая х ? 5 (х°; е) @ < е < е^. Интегралы
J Н(х, у; *L<y)dSr f К(х, y)<?(y)dSr
s(*V0) s(*°;«0)
очевидно, представляют сингулярные операторы. Рассмотрим инте-
интегралы
J f Н(х, !¦; x)ffF
J f H(x, 5;
внутренний интеграл в первом, согласно теореме 7 §34 имеет
порядок О[г~2(х, у)], и он — сингулярный оператор. Второй инте-
интеграл, согласно теореме 4, является фредгольмовым оператором (ФО),
так как подынтегральное выражение имеет порядок О(/—2+5(х, у)).
Наконец, интегралы
J / / Н(х, 5; х) /С (?, y)dSi\(f(y)dSr
S(A'0)\s'(x°;t0) J
J Л(*. 5; x)AT(S, y)d55\<p(^)d5y,
также представляют фредгольмовы операторы.
Из предыдущего ясно, что E.13) можно записать в следующем виде.
/ \Н(х, у; х) — К(х, у) —
o;«o)L
— х J Н(хЛ; *)K(t, y)dS{\<?(y)dSy + 0O = X(x), E.16)
J
где через ФО здесь и в дальнейшем для краткости обозначаем фред-
фредгольмовы операторы в указанном выше смысле. Левую часть этого
уравнения' представим в виде композиции операторов:
J K(x.
J H(x, у;
1 Как выяснится в § 7, aik {х, в, *) действительно являются функциями,
которые допускают применение теорем 7 и 8,

120 МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V
Так как здесь х ?S(х°; е), y?S(x°; е0), е < е0, можно еще для
представления указанной левой части воспользоваться композицией
операторов
l?\ ан ? (*) — * f К (х, у) <р (у) dSy 4- ФО. E.17^
I™? = <р (х) 4- * / Я (ж. У. х) ? (У) rfS, 4- ФО, E.
S(x0;.)
в которых х и у изменяются в области S(x°; е)^50. Проектируем So
ортогонально на круг -p. %l-\-tl<a; проекции точек хну обо-
обозначим соответственно через S и 7) и проекцию г (х, у) через р ($, 7)).
Положим
/ , у) и ?' (S) = ? (х). E.18)
Тогда оператор L^\ примет следующий вид:
41'? = ?' (Е) — * / АГ' F. п) <Р' A) rf4i rfii + ф0>
т
при этом интеграл с звездочкой в этом выражении, равный инте-
интегралу
jK(x, y)<?(y)dSr
So
нужно понимать в следующем смысле: при проектировании So на f,
окружность с центром в точке х и достаточно малого радиуса Vj < s,
лежащая на касательной плоскости в точке х, переходит в эллипс: '
о =p,Fj; ^)= ж "' E.19)
У1 + [р E) cos в, 4 Я E) «in в,]2
где угол 6t в точке S(Sj, ?2) отсчитывается от прямой S2 = const
против движения часовой стрелки. Поэтому
#
Г ^ (S. -П) ? (Ч) ^41 rfrj2 = lim Г /С' F, ?) ?' (уд *Пх аЪ
т т-е (Е; »¦)
где е(?; Vj) означает область, лежащую внутри эллипса рг == р2 (бх; Vj).
Представим предыдущее равенство в виде
/} <520)

5 8] Задача регуляризации 121
где Ti есть КРУГ с центром в точке 5 и радиуса v,. Ввиду соотно-
соотношений E.18) и E.10)—E.11') имеем
[ ^'E,71)
= lim f rf6t f К' (I 7)) <p' G)) p E, 7)) rfp =
V. -» 0 « ^
V,->0
2*
= lim / dS
2it
= lim f rf6,
где
/,Й е,)а/(*; б)- E.21)
Приняв теперь во внимание, что
r ?/ GJ) ^ Я (а') @ < а' < 1),
можно записать
2х
^ е,) х
cos9,+ ?(Q sin 0,1*d9,. E.22)
Из равенства E.20) на основании предыдущего следует существова-
существование предела
lim Г К' (I Ч) Т' (Ч) rf4i d% = Г К' (Е. 7)) ?' (Tj) rfrj! drj2,
где интеграл справа нужно понимать в смысле главного значения
Коши. Поэтому на основании соотношений E.19)—E.22), оператор
/41'/ можно переписать в следующем виде:
где
I}}\ sb а' F) <р' (I) — х J АГ (?, rj) ?' (т|) rfTji drj2 + ФО. E.23)
г
а' (&)=/+ Y:nrPYW+W) f fx (?; в,) X
о
X log /!+[/> (Е) cos 0,4- 9 (Q sin в,р rffl,. E.24)

122 МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V
При достаточно малом диаметре области So, р(%) и q (?) достаточно
малы и а'(?) мало отличается от /.
Найдем характеристику сингулярного интеграла в E.23). Имеем
согласно E.18)
lim {p2(S, ~фК'($., VJ)} = Hm < |Л -|- р2 (ч) Н~Я2 ("Ф Р2 / ' \ /i (^ ^i)f-
Отношение
Р2 (?, ^)
1 \Л1 У)
в пределе равно отношению первых квадратичных форм плоскости
и поверхности So, вычисленных в точке л:; это дает [9]
Игп -J-— -дг _ '-¦¦ ¦-' ¦ . — — — -
!\ г* \ + [р (I) cos б! 4- q (?) sin e^2
Поэтому искомая характеристика имеет следующий вид:
cos 6, + у F) sin
Между углами 6 и 9г существует зависимость
dbl — 1 + [р E) cos 6,4-? E) sin 6,J2 "
Она дает возможность проверить условие, необходимое и достаточ-
достаточное для существования сингулярного интеграла в равенстве E.23).
В самом деле,
j /2E, B,)rfe,_y /,(?, в,) 1 + [/,
о
2х
(je; 6) rf6 = 0. E.250
Теперь отобразим круг f на бесконечную евклидову плоскость П
с помощью формул

Имеем
ЗАДАЧА
D E„ 52)
D(uvu2)
РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
а4
(а?+4+ 4?
123
Точки ?(?(, tj) и ^(yjp t^) перейдут соответственно в точки u(uv u2)
и v(vv v2). Расстояние между точками и и г» обозначим через р(и, v).
Положим
Тогда из равенства E.23) получим
*
L<\ в а[ (и)<р" (и) — х Г К" (и, г») ?*(w) dvl dv2 -f- ФО, E.26')
п
где интеграл, равный интегралу в выражении E.23), понимаемому
на f в смысле главного значения Коши, на П понимается в следую-
следующем смысле. При отображении -f на П окружность с центром
в точке к и достаточно малого радиуса v2, лежащая в -f> переходит
в алгебраическую кривую четвертого порядка
р2 = р2 F2; Vg) = , ¦ n i ^ ¦ an ~\~ VV' E-26")
где
В E.26") 62 означает угол, получаемый отображением угла В1 и
в точке и (Hj, h2), отсчитываемый (против движения часовой стрелки)
от фиксированной прямой А^, — касательной к кривой, являющейся
отображением прямой ?2 = const. Пусть 60 есть угол между прямой Ло
и осью Ouv отсчитываемый от оси Ои} против движения часовой
стрелки. Положим 63—0о~г-®2- Можно показать 19], что между
углами 62 и 6t имеется следующая зависимость:
d\ (а2 + 4 + 4f (А СО82 е2 + 2В cos е2sin е2 + с sin2 9г)
Интеграл в равенстве E.26') понимается в следующем смысле:
f К" (и, v) <?" (v) dv{ dv2 = lim f К" (и, v) <?"(v) dvx dv2.
E.27)

124 МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ V
гдеО(н; v2) означает область, лежащую внутри кривой р2 = р2 (fl2; v2).
Отсюда следует, что
Г = lim Г Г - Г 1. E.27')
где Yi есть круг с центром в точке и и радиуса v2. Но в силу E.26)
и E.26") имеем
lim f К"(и, v)y"(v)dv1dv2 =
2я
= lim f dB, f К" («. V) ?" (V) р dp = - ,0*2, 242 f Л («I вв) X
X log |/.Л cos2 б3 -(- 2fi cos 63 sin 63 -(- С sin2 63 db3, E.27")
где
/3(и; 6з) == /2(?; б,)... . E.28)
Теперь из равенства E.27') следует, что существует предел
lim / =
где интеграл на П понимается в смысле главного значения Коши.
Поэтому в силу соотношений E.26)—E.27') оператор $\ можно
представить таким образом:
г а2 (и) у" (и) — х J К" (и, v) ч" (v) dvx dv2 + ФО, E.29)
п
где
/з («; 9з) X log VA cos2 бз Ч- 2fi cos 8зsin ез + с sin2 8з
о
Легко проверить, что а2 (й) мало отличается от а'х (и) = а' ($) и,
следовательно, от единичной матрицы, так как диаметр области So
достаточно мал. Найдем характеристику сингулярного интеграла
в равенстве E.29). Имеем
/4 (и; 0а) = Ит Р2 («¦ ") К" («. v) =
р (И, »)->0
о4
= /з(й; 9з) (а2 + и] + <4J (Л cos2 62 + 2В cos 62 sin 02 + С sin2 62) ' E>30)

JS] ¦ ЗАДАЧА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ 125
Зависимость E.27) дает возможность проверить условие, необходи-
необходимое и достаточное для существования сингулярного интеграла
в равенстве E.29). Действительно, на основании формул (б.30)
и E.25') имеем
2*
5; 6) rfQ = 0. E.30')
2x
J/4 («;
0
Теперь
2я
; 6з)й63 = //4(и;
0
2it
= //з(«; в,) «и,
0
положим
а2(и)==а(в), f
62)rf62 =
2-it
0
i" (a) = ф
AT" (". «) = ^(и, ¦»).
Равенство E.29) принимает следующий вид:
Z,!1^ == а (и) ф (а) — х J & (и, v) ф (г») dvl dv2 + ФО. E.31)
п
Характеристика сингулярного интеграла в выражении E.31) на осно-
основании формул E.30), E.28), E.25) и E.21) имеет следующий вид:
/4(И; e2)=c«
+ ?(?)sin61]2}(a2 + ^+J(^cos262 + 2ficos92sin92 + Csin262)}-1
F.32)
и ввиду E.30') удовлетворяет условию
2х
являющемуся необходимым и достаточным для существования сингу-
сингулярного интеграла в равенстве E.31).
Рассматривая значения величин, входящих в правую часть равен-
равенства E.32), легко заметить, что, уменьшая диаметр области So,
можно сделать /4 (и; 62) сколь угодно мало отличающимся от /, (?; 6j),
а а (и) — от /. Это замечание будет иметь существенное значение
в § 7.
Из предыдущего ясно, что если будет найден оператор, регуля-
ризирующий сингулярный оператор E.31), то отображения, обратные
тем, которые привели нас к E.31) от E.17Х), дадут оператор, регу-
ляризирующий последний. Заметим еще, что для того, чтобы опера-
оператор E.23) привести к виду E.31), можно было не производить фак-
фактического отображения круга f на плоскость П, а продолжить все
элементы оператора E.23) из f на П с соблюдением необходимых

126 МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [РЛ. V
условий непрерывности и условий на бесконечности. Приведенное
выше преобразование представляет собой одну из возможных реали-
реализаций такого непрерывного продолжения.
§ б. Теоремы 6 символах. Для регуляризации сингулярных
операторов типа E.31) С. Г. Михлин предложил способ, основанный
на понятии символа сингулярного оператора. В этом пункте изла-
излагаются (с некоторыми изменениями) теоремы о символах, принадлежа-
принадлежащие С. Г. Михлину [22а]. Рассмотрим интеграл
где п — целое число, П — бесконечная плоскость, х, у, у', ...—
точки на плоскости, dax — элемент плоскости в точке х, 6 — угол,
образуемый лучом ху с некоторым направлением, <р(у) — функция
класса Н, исчезающая на бесконечности достаточно быстро. Если
введем обозначение /= Ая<р, то можно показать, что
Рассмотрим оператор
п
где йо(х) и f(x; б)— функции класса Н. Пусть
оо
/(*;«) = 2«.
— оо
причем
2it
Будем иметь формально
= а0 (х) <р (х) + 21«,
-оо П
— 00
Если для целых положительных п положим
W =Ц- «я (*). а_п (X) = (-1)" ^а_„ (х),

{в] ТЕОРЕМЫ О СИМВОЛАХ 127
ТО
Функция
если она существует, называется символом оператора L. Пусть
заданы два оператора
и соответствующие им символы
Имеем (по определению) следующую теорему.
Теорема 9. Символ суммы операторов равен сумме сим-
символов слагаемых операторов.
Рассмотрим композиции сингулярных операторов
Имеем
Л=— со
2 2-.fl«
П
х J
П
со
ft»— CO
ет'

128 МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ <t
Так как Ьп (у) ? //, первое слагаемое справа, как композиция ядра
со слабой особенностью с сингулярным ядром, согласно теоремам 5
и 3 § 4 есть ФО. Второе слагаемое содержит степени пп+к, и
окончательно имеем
= 2 2
Я-—ООЯ1-—СЮ
Поступая аналогично, можно показать, что
СО ОО
и?^ = 2 *„ (*) 2 «* w а"+
— СО —ОО
Полагая k = m — п и заменяя индексы, получаем
ft-—оо т- -л
Отсюда следует
Теорема 10. Композиция' сингулярных интегралов ком-
коммутативна с точностью до аддитивного ФО. Эта композиция
строго коммутативна, если отсутствуют ФО и коэффи-
коэффициенты а„(х) и Ьп{х) постоянны.
Согласно определению символом композиции I}1' ]^L{)L{I или
iQ^ssLPl^ является функция
ЧГ(*;в)-2( 2 ая_и{х)Ък(
— оо \k - - оо
00 . Л 1\ СО /. Я \
( ?) 2 »() ( 2)^1)( в)ЧГ'»(; б),
т. е. справедлива
Теорема 11. Символ композиции операторов равен произ-
произведению символов компонент.
Жиро указал [106] формулу, которая позволяет определить сим-
символ W(x, б) непосредственно по характеристике /(х; 6), не прибегая
к разложению в ряд. Вывод этой формулы
l= /In
O-it
6-Ц
дан И. А. Ицковичем в работе [9].

§61
ТЕОРЕМЫ О СИМВОЛАХ
129
Теоремы о символах распространяются на системы операторов.
Рассмотрим систему сингулярных уравнений
л
2 =Fj G=1.2 Я),
2
где
Пусть
Ь
4V
A) /(И
/A)
• • • *-лл
? = (?!• % <Рл). ^=(Л- /'а. .... ^л):
тогда система уравнений запишется в следующем виде:
Ho LW <pft = 2 a'{k (x) /z"<pft -\- ФО и имеет своим символом ЧГ(/1 (л:; 8)=
¦* —оо
^ 2 а{^к) (х)е 2 (значения а^к)(х) понятны без пояснений!
— со
Поэтому матрица
fffO; 8) Ф$(*; 8) ... ФЙ(дг; 6)
г, 8) = [
может быть названа символом (или символической матрицей) матрич-
матричного оператора LA).
Пусть ?B) есть другой матричный оператор типа L(I) с элементами
Су) л, + фо
и символической матрицей
[ФЙЧ*; 9) Ч$(*; б) ... Ч?Й(Х; б)
; б) = |
^ gJ 9) ¦.. WJ^(jc; в>
где ^/*(л; 8) есть символ оператора L{f
9 В. Д. Купрадзе

130 МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |П1. V
Рассмотрим композицию
По определению символической матрицы и согласно с теоремами 9
и 11 символической матрицей для композиции lP" ''ер будет матрица
; 6) =
:; 8);
отсюда вытекает:
Теорема 12. Символическая матрица композиции LB>!)
есть произведение символической матрицы оператора LB) яа
символическую матрицу оператора LA).
Теорема 13. Матрица LB>1) совпадает с транспонирован-
транспонированной матрицей (LB> ]))* с точностью до аддитивного ФО, т. е.
где LA)* и L<2)* обозначают транспонированные относительно.
) ()
u)
B)
Lu) и LB) матрицы.
Это следует из того, что на основании теоремы 10 имеем
2
J
2
i
'-jUn)
+ФО =
ФО.
Теорема 14. По заданной символической матрице соот-
соответствующий сингулярный оператор восстанавливается с точ-
точностью до аддитивного ФО.
Справедливость теоремы очевидна из предыдущего. Пусть теперь
требуется выбрать оператор LB) так, чтобы композиция L^U-l) ока-
оказалась фредгольмовым оператором. Так как в этом случае в выра-

1*1
ТЕОРЕМЫ О СИМВОЛАХ
181
жении последнего оператора отсутствует сингулярный интеграл, харак-
характеристика последнего равна нулю и все c^ft> (х) = 0 (п ф 0); поэтому,
согласно определению, символическая матрица фредгольмова опера-
оператора будет равна матрице
с*11» с»2' ... с<1л
С0(Х):
с(ол1>
Для того, чтобы сохранились теоремы и альтернатива Фредгольма,
достаточно условия
det Ао (х) Ф 0, лг?П.
В частности, достаточно потребовать, чтобы, символическая матрица
равнялась единичной матрице. По теореме 12 символическая матрица
композиции U2)LW равна произведению WW (x; B)WW (х; 8), и сле-
следовательно,
(х; 8) =
(х; б)]
~\
или
f B) (*; 6) =
det
{x; 6)
*н (*; 9) ^2 (х; б) ... ЧГ1Я (х; б)
К (х; 6) ЧГЮ (х; 6) ... W*2n (x; 8)
; б)
: 9) ...
где Wjb (х; 8), _/, /г = 1, 2 п, есть алгебраическое дополнение
элемента Wkj (x; б) в определителе
r. б) =
; 9)
; б) ...
*; б)
; 6)
Отсюда следует
Теорема 15. Если WJk (x; 8) относительно х удовлетворяют
условию Гельдера, а относительно б бесконечно раз дифферен-
дифференцируемы, то необходимым и достаточным условием для суще-
существования *РB) (х, б) — символической матрицы регуляризующего
оператора — служит неравенство
для всех х ? П.

132 МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V
§ 7. Оператор локальной регуляризации. Согласно § 5 по-
построение регуляризующего оператора сводится к задаче построения
регуляризатора для оператора
а (я) ф (я) - * / У^ ф (v) dv,
п
Как мы уже знаем, эта задача в свою очередь приводится к, дока-
доказательству того, что определитель символической матрицы опе-
оператора отличен от нуля. Мы, однако, фактически построим не этот
определитель, а другой, который можно сделать сколь угодно мало
отличающимся от первого, выбирая-для этого е0 достаточно малой.
В самом деле, мы знаем, что при достаточно малой е0 характери-
характеристика /4(«; б2) сколь угодно мало отличается от матрицы /j(S; Ь{),
заданной в круге -г, а эта последняя — от матрицы f[ (?; 8^, опре-
определенной формулой E.10). Поэтому сколь угодно близкими будут
их коэффициенты Фурье, и следовательно, символический детерми-
детерминант матрицы /4(«; бг) будет сколь угодно близок к тому детерми-
детерминанту, который можно получить, если формально применить к ма-
матрице /j(?; 8Л способ построения символической матрицы и ее детер-
детерминанта, описанный в § 6. При этом следует помнить, что символ
зависит также от коэффициента при внеинтегральном члене, который
в нашем случае сколь угодно близок к единичной матрице. Из ска-
сказанного вытекает, что дело сводится к формальному построению по
формулам § 6 символического определителя для оператора
Обозначив через L{1) элементы матричного оператора Z.A>, как при-
принято в § 6, и вычисляя символы каждого из этих операторов по
формулам § 6, получим
б,) = 1, Ф$ (*; 00 = — 2-ы [Л, (х) cos в, + А2 (х) sin в,],
Ч№ (х; Si) = — 2тс/х/ [ Л3 (х) cos в, + А4 (х) sin в,],
в,) = 1, W$ (х; 6,) = 2тгЫ [А, (х) cos б, + А2 (х) sin 6J,
Ч® (*; Si) = - 2rfx/ [As (x) cos в, + Л6 (х) sin в,],
дг; 60 = 1, WiV (х, 60 = 2тгЫ [А3 (х) eos б, + Л4 (х) sin 6J.
*U' (д:; 6,) = 2к/х/ [Л5 (дг) cos 6j + Л§ (дг) sin 6j].

§7] ОПЕРАТОР ЛОКАЛЬНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ 133
Построив символическую матрицу 1*A)(д:; Sj) и вычислив определи-
определитель detfA) (x; 9,), находим
det4rt»(*; 8,)= 1 - 4*
где
^12 — А\ (Х) C0S 91 ~\~ А2 (Х) S*n 91-
^56 = А5 (*) COS 9, + A6 (X) Sitl 0,.
Введем обозначения
Tlj (X, X°) = COS («,, Xj) — COS («лго, *y) (/ = 1, 2, 3).
Тогда E.9) запишется в следующем виде:
Л! (х) = Ах (*°) -f- [а„ (*о) тJ (х, д;0) - al2 (x«) tj, (х. *°)Ь
- а1
Слагаемые, зависящие от ^(дг, д;0) в выражениях для Ak(x) (k=\,
2 6), обозначим через
Сй(лг, лг°) (Л = 1, 2 6).
По свойству поверхности Ляпунова
IV*. *°>I <СгЬ (*' х0) (J = u 2- 3>-
Поэтому, выбрав е0 достаточно малым, можно сделать все X,k (x, х°)
(k=l, 2 6) по модулю меньшими произвольно малого поло-
положительного числа. Отсюда
, х0)].
C0S 61 +
V-l = (Аз (*°)cos 9i -h Л (*°)sin 9,J И" ^2 (*• x°)'
Vn = (As (*°)cos ei -h ^6 (*°) sin eiJ И"^з (*• x°),
где g"^^, л°), g(A;> x°), g3(x, x°) — определенные функции х, х°
. на Sp которые можно сделать по модулю произвольно малыми вместе
с е0. С другой стороны, пользуясь выражениями направляющих коси-
косинусов ау(х0) (t, j=\, 2, 3) с помощью углов Эйлера:
ап (х°) = cos <p cos ф — sin cp sin ф cos ft,
а21 (д;0) = — sin <р cos ф — cos 9 sin ф cos Ь, а31 = sin ф sin ft,
а12 (лг°) = cos <p sin ф + sin <p cos ф cos ft,
а22 (лг°) = — sin cp sin ф -(- cos <p cos ф cos ft, а32 = — cos <p sin ft,
a23 (x°) = cos <f sin ft, ajj = cos ft;

134 МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V
можно убедиться, что
(Л, (л:0) cos б! + А2 (х°) sin б^^ (Л3 (*°) cos Qt -f Л4 (л;0) sin б^2 -f
+ (Л5 (лг°) cos б! + А6 (х°) sin б^2 = 1.
Следовательно,
det Ч7<]> (х; 9^ = 1 — 4тЛс2/2 (I + v (х, л:0)),
где
у(х, x«) = gl(x, x°) + g2(x, x*) + g3(x, jfi).
Таким образом, взяв е0 достаточно малым, можно добиться, чтобы
значения ¦*., удовлетворяющие уравнению
и равные
х=±.
ЪЛ У 1 + v (л;, лт°)
были сколь угодно близки значениям
Итак, для значений г., отличных от только что указанных корней,
расположенных сколь угодно близко от точек E.31'). может быть
построена символическая матрица W^ (х; 9j), по которой затем кон-
конструируется регуляризующий оператор.
Считая это условие относительно t. выполненным, по формулам
§ 6 строим матрицу Ч7B)(д;; 9j); вычисления Ч7*й (л:; 9j) дают
VJ, (х; В,) = Т#Ф$ - wMf = 1 - 4А2/2 [^ (л) cos\+Аь {х) sin б,]2,
v« (•*; ei) = ^1Мв/ - *VMi - 2«w [A wcos ei+^2 wsin &ii +
+ At.44* [A3 (лг) cos 8, + A (x) sin 6,] [Л5 (х) cos 8, -f Л„ (х) sin 0,],
?*3 (.:; 8,) = WiM - ^M/ = ^^ 1^3 W cos h + \ M ^n B,] -
— 4*W [Л, (л;) cos 6, + A2 (лг) sin 8,] [As (x) cos 6, -f Л„ (лг) sin 8,],
*21 (^ ei) = ЧМ? - VW4® - -2*'*' [A (^) <=°s в, + A, W sin flil +
+ 4я»*»;» [i48 (л;) cos 8, + Ak (x) sin 8,] [As {x) cos 8, + A6 (x) sin 0,],
ЧГя (jc; в,) = Ч^ЗД - ^I^V = 1 - 4*W [A3 (x) cos 8, + A4 (x) sin 8, ]2,
^23(x\ 80 = VtMt-^iMl - 2л«' [^5<*> c°s 6, + A,(x) sin 6,] +
4-4tcV/2 [At (x) cos 6, -f-^, (лг) sin 9,] [A3 (*) cos 6, -\-AA (x) sin 8,].
К (x; в,) = *M- IM? = -2лЫ [^з W cos 8! + A4 (x) sin 8,] -
— 4л2х2/2 [^4, (jc) cos e, 4. A2 (x) sin 6,] [As (x) cos 6, -f- Лб (л:) sin 0,],
«32 ('. 9i) = «I'MV ~ MM/ - ~ 2"w [A5 W cos в, + Аз (x) sin 8,j +
(л:) cos в, + А, (лг) sin 8,] [A3 (x) cos 9, -J- Л4 (л;) sin в,]
V Hi (*) cos B} + A2 (x)sin 6,]2

§7) ОПЕРАТОР ЛОКАЛЬНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ 135
И
где
Применяя теорему 14 § 6 и обозначая
Д = 1 - 47TV/2, Д' = 2тА.2/2,
находим регуляризующий оператор с элементами
^1 »* (Ч)Л + ФО (/. /г = 1, 2, 3),
где
4" ^л«(х) — л*(х)}cos 2Sl ~2ИзИб sin
х (л 1cos е'+л2sin 9i> -
+ ЛИб) sin 29, + (А3А5 - А,А5) cos 26,];
/A2з} E: в,) = тг (Из cos 0i + Л4 sin 8,) +
-J- КАЛ Н- ^2^5) sin 29, + (АХАЪ - Л2Л6) cos 26,];
Л? E; е,) = - ^- (л, cos 8,+л2 sin е,) -
№Л Н ^Hs) sin 29, + (Л3Л5 - А4А5) cos 26J;
; 8,) = - А1 [(Л1 — At) cos 28, - 2 Л3Л4 sin 29,];

136 МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V
;COSb
-ill
д
sin 9i) ~
sin
1,Л3 — i42i44)cos26,];
К.
д
I 26, + (Л,А5 — Л2Л6) cos 26,];
9i) = — X (Л5 cos 9» + Лб sin 6J ~
Л' " " " ' * Msin26,-f (Л,Л3— A2AJcos2bl];
; 6Л = — -^ [(Л2 — Л?) cos 26, — 2Л,Л2 sin 26,].
Заметим, что для получения этих выражений достаточно выполнить
вычисления лишь для одного диагонального и одного недиагонального
элемента; другие элементы получаются по очевидному правилу фор-
формальной замены коэффициентов.
Пусть
E.32')
. E.33)
Д'(Л3Л5-ЬЛ4Л6)
*Р2 E,
Необходимо найти те значения х, которые удовлетворяют уравнению
detJ5(S; x) = 0. Из вида ЛА (д:), ЛА (д;0) и 5E; х) следует
det В (S; х) = det J5 (д;0; х) -f tj (дг, х°),
где 7j(x. д:0) — определенная функция дг, д;0, которая может быть
сделана по модулю меньше любого положительного числа вместе

§7] ОПЕРАТОР ЛОКАЛЬНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ 137
с е0. При этом искомые значения х расположатся сколь угодно близко
от корней уравнения
detB(*°; x) = 0.
Найдем последние. Подставив значения Ak (x°), будем иметь
detB(*°; x) =
1 — Д' A — sin2 9 sin2 40 Д' sin2 9 sin i cos ф Д' sin ф sin 9 cos 9
= 4- Д' sin2 9 sin ф cos ф 1 — Д'A—sin2 9 cos2 ф) Д'cos ф sin 9 cos 9
Д
Д' sin ф sin 9 cos 9 Д' cos ф sin 9 cos 9 1 — Д' sin2 9
= 1 [— Д'3 sin4 & -+-Д'2 A -|- sin2&H- sin4») — Д' B -j- sin2») -f l].
Уравнение
имеет три вещественных положительных корня:
.,_ , _ A -f sin2 9) ± V\ + 2 sin2 9 — 3 sin4~9
ai~ '• a2,3— 2liF9
Вещественность следует из неравенства
1 +- 2 sin2 & > 3 sin4 ft;
положительность вытекает из неравенства
l-(-sin2a> V 1 +¦ 2 sin2& — 3 sin4 &.
Кроме того, из неравенства
A + sin2 &) ± У l-f-2sin2& — 3sin4& > 2 sin4 Ь
следует, что минимальные абсолютные значения корней Д? и Д^ ие
могут быть меньше единицы:
наконец, максимальные значения достигаются при 9 = 0 и равны бес-
бесконечности.
Очевидно, нулями det?(*°; x) являются следующие значения
параметра х:
±

138 МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V
На комплексной плоскости / вдоль вещественной оси проведем
разрезы в интервалах I ± -щ-, ± оо ) и назовем такую плоскость
с разрезами плоскостью II'.
Ясно, что точки /Ь2, /34, /56, а также точки х= ± -трг > кото-
которые в соответствии с E.31') должны быть исключены, плоскости II'
не принадлежат.
Так как на IF
' det В (?; /) ф О,
то существует обратная матрица
В~\\; *),
определенная для всех ??f и х?П'. Вместе с оператором
который только что был построен, регуляризующим оператором,
очевидно, является и оператор
?; к) D (?, т); /) ? (rj) ds + ФО-
Теперь вернемся к тому, что было сказано в начале настоящего
параграфа, и вспомним, что матрица В~х & *)?>($, Ч> *)• которую
мы построили, хотя не является той матрицей, с помощью которой
осуществляется регуляризация уравнения
«(и) ф (и) - х f f^2 g у ф (р) rfa, + ФО, E.34)
п
но из существования матрицы В (?; /)D($, tj; /) следует и суще-
существование искомой регуляризующей матрицы. Более того, если обо-
обозначим ее через Я' (и, V, /), то будем иметь
Я'(и, v; /) = B($; *)D(S, rj; x)+ /?„(«, г»; /),
где R4(u, v; x) есть матрица, стремящаяся к нулю вместе с е0.
Сделав преобразования, обратные тем, которые применялись в §¦ 5
для приведения уравнения E.12) к уравнению E.34) или к E.31),
мы преобразуем матрицу Н'(и, v\ x) в матрицу Н(х, у; х), опре-
определенную на поверхности So, которая и будет той матрицей, с по-
пощью которой можно осуществить регуляризацию уравнения E.12)
ча 5р. Оператор
B) F.35)

IЯ ОПЕРАТОР ЛОКАЛЬНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ 139
где Н есть интегральный оператор с ядром Н(х, у; х), будем назы-
называть оператором локальной регуляризации. Можно показать, что
этот оператор обладает свойствами, указанными в теоремах 7 и 8
§ 3 [6; а, б].
Теперь найдем матрицу Ф (л;; /), введенную в § 5. Известно, что
(см. § 3)
( Г Н(хА; *)/С($, y)dS^\dSr E.36)
/
Можно, однако, ее найти еще проще. Очевидно,
ML{1)<$ = (В + *D) (I — -аК)<f = B<?-{-x(D — ?
По теореме 8 § 3
DK<? = — Ф.(*; х)9(*)Ч-/ф(У)^5у fD(x, $; y.)K(l y)dSv
s i
следовательно,
где ^С»(л;, S; х) есть определенная матрица, которую нетрудно выпи-
выписать. Так как М есть регуляризатор, то Kt{x, \\ /) есть фредголь-
мово ядро и символ оператора Ml}l\ равный В-\-у.2Ф^(х; /), можно
сделать равным единичной матрице /. Но тогда
С другой стороны,
где F(x, у; /) есть фредгольмово ядро. Сравнивая с выражением,
стоящим слева в F.13), находим
Ф(ж;х) = -л-Я~1(*;х)[/ —В(дг;хI. E.37)
Что касается условия 2° § 5:
то оно также выполнено, так как на IF

140 МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V
§ 8. Оператор глобальной регуляризации. На заданной зам-
замкнутой поверхности 5, удовлетворяющей условиям Ляпунова, рас-
рассмотрим ге фиксированных точек x(k\ A=l, 2 п. Пусть
Ek есть область на S, состоящая из всех тех точек х, расстоя-
расстояние которых от точки jc(ft) меньше, чем 8, т. е. г (х, х(*') < 8, где
0 < 8 < е0. Очевидно, что, взяв п достаточно большим, точки x(k\
k = l, 2 re, можно подобрать так, чтобы теоретико-множе-
теоретико-множественная сумма областей Ек полностью покрывала поверхность S,
т. е. любая точка х ? 5 являлась внутренней точкой по крайней
мере одной из областей Ek\ ясно, что EkczS(x^'1^; e0). В каждой
области 5(Jf(ft); e0) по способу, указанному выше, построим матрицу
#(ft) (х, у; /), с помощью которой строится оператор локальной
регуляризации для х, y?S(x{k); е0). На множестве 5 — 5(х(А); е0)
матрицу Н(к) (х, у; /) определим так, чтобы она как функция от х,
хф у, принимала конечные значения, а как функция от у, у Ф х,
удовлетворяла условию Гельдера на всей поверхности S. Таким
образом, матрица Я(А) (х, у; /) определена на всей S. Теперь задача
состоит в том, чтобы найти такую матрицу Н(х, у; /), которая
позволила бы построить оператор глобальной регуляризации для
х, y?S. С этой целью мы воспользуемся кратким указанием Жиро
[10а] и еще одним приемом, который часто применяется для ана-
аналогичных целей1.
Положим
/ [82 — Г2(х, *<*>)]» для x?Ek,
0 для x?S-Ek.
Очевидно, Fk(x), k = l, 2 re, непрерывны и непрерывно диф-
дифференцируемы для всех х ? S. Далее, имеем
ибо любая точка х ? 5 по условию является внутренней точкой по
крайней мере одной из областей Ek, k=\, 2 п, где соответ-
соответствующая Fk (x) > 0. Теперь положим
= \,2 я).
1 Заметим, что рассуждения Жиро, по нашему мнению, не вполне убе-
убедительны, и мы даем здесь несколько иное обоснование его окончательного
вывода.

$9] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 141
Очевидно, что
п
2Мх)=1. (е)
Рассмотрим матрицу
я
hi ( у \г у^ ~~— ^i й (у\ М( ^ (y \у 'Л ^ЬП
и докажем, что она является искомой.
В окрестности точки у = х функция Я(А) (х, у; /) имеет главную
часть -2-т ^ 2<ft) (л:, 8; /), причем (х, y)^S(x(ft); е0), А = 1, 2 «.
Далее, Q(ft) (х, 8; /) = Q(/) (x, 8; /), когда х принадлежит общей
части областей S(x(ft); е0) и S(x(-", е0) при k, j =z I, 2 re.
Функция Я(х, у; х) удовлетворяет всем условиям, указанным
в §§ 5 и 7.
§ 9. Функциональные уравнения резольвенты. Первая тео-
теорема Фредгольма. Задача, которая встает перед нами после того,
как указан способ регуляризации системы уравнений, состоит в до-
доказательстве того факта, что для этой системы остаются в силе
основные теоремы и альтернатива Фредгольма. При доказательстве
этого мы будем следовать Жиро, иногда внося в его рассуждения
существенные изменения и дополнения, отличающие теорию систем
от теории одного уравнения, которая была исследована Жиро.
Итак, уравнение E.12) мы привели к уравнению Фредгольма E.13):
F(x, у; *)y(y)dSy = X(x),
s
где F(x, у; ¦*) и Х(х) определены равенствами E.14), а Ф (х; /) —
равенством E.37). Введя обозначения
[/ + *2Ф (х; z)] F (х, у; у.) = F, (х, у; /),
запишем уравнение E.13) в следующем виде:
С + *^«) ? = *,• E.38)
Известно, что конечным числом итераций это уравнение можно
привести к виду
П-1

142 МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V
где F[p) есть р-л итерированная матрица, определяемая равенствами
р@) р е(п) р(п-1)р
Известно, что для некоторого (конечного) значения р, Ff^(x, у; у.)
становится непрерывной функцией от х л у при ¦/ ? II' и решение
<р(х) уравнения E.13), представляется в виде:
у (*)=$(*)+ S *^Г% E-38')
где <|i (х) есть решение уравнения с непрерывным ядром
(/ + *р+1/=<Л4 = *.. E.39)
Для любых конечных значений * на плоскости IF, не являющихся
полюсами резольвенты уравнения E.39), решение уравнения E.13),
согласно первой теореме Фредгольма, может быть представлено
в виде
' / E.40)
где матрица Nx (x, у; /), как нетрудно убедиться, имеет следующий
вид:
N{(x, у; х) = [/ + к2Ф(*; х)]~1Н(х, у; v.)-\~O[r~2+"(x, у)] (А > 0)
E.41)
и представляет мероморфную функцию / на IF с полюсами, не
зависящими от л чу. Если вектор f(x) принадлежит классу Гель-
дера, то из E.40), на основании теоремы 4 § 3, вытекает, что
и ^р (х) будет принадлежать тому же классу и, следовательно, этот
вектор может быть подставлен в уравнение E.12), решение кото-
которого ищется в классе Н. Но в то время как E.12) не может иметь
иного решения, кроме E.40), нельзя утверждать заранее, что это
последнее действительно будет решением. При ближайшем рассмо-
рассмотрении, однако, оказывается, что E.40j на самом деле является
решением, и притом единственным, для системы, если только у. ? IF
отлично от полюсов матрицы Nl (x, у; /).
Сначала установим .одно важное соотношение для N1(x, у; v).
Пусть в уравнении E.12) <р(х) есть произвольный вектор класса Н
и f(x) — соответствующее значение его правой части. Внесем это

§9] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 143
значение f(x) в E.40) и применим теорему 8 § 3, тогда получим
? (х) = [/ + *2Ф (*; х)] [/ +¦ *2Ф (*; ¦'.)] ? (х) +
^x, у; х) — [/-М2Ф(х; х)] АГ(дг, у) —
s
Отсюда, ввиду произвольности у(х), вытекает
Л^ (л;, у; у.)—[/-рл2Ф (л:; х)] К (х, у)—у. Г Afj (л;, ?;
E.42)
Покажем, что уравнение E.12) для всех значений л на IF, за
исключением дискретных, действительно имеет решение в классе Н.
Пусть решение представлено в виде
f (х) = 7 (х) — х f Я* (х, у; х) 7 (у) rfSy, E.43)
где и (у) есть неизвестный вектор класса Я и Н*(х, у; /) — матрица,
транспонированная по отношению к матрице Н(х, у; х). Подставив
E.43) в E.12), будем иметь на основании теоремы 8 § 3
[/_X2W(X; x)]9(*)—xj \Н*(х, у; х) + ДГ(*. у) —
— х Г /С (лг, S) Я* (S, у; /) Й5Л и (у) rfSv =/(лг) E.44)
/ J
или, в операторной форме,
(/ — *АГ) (/ — /Я*) <т =/; F.44')
где
Уравнение E.44) есть уравнение Фредгольма. Чтобы показать
это, заметим, что вместе с оператором
1<2' т)? = L^L'1^ = (/ + /Я) (/ — //С) 9,
который для x?IF является оператором Фредгодьма, таким же опе-
оператором будет и
Z2)Z1)
ТЗК как «и —х, одновременно принадлежат плоскости П',

144 МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V
В силу теоремы 13 § 6 имеем
Где L{1)* и Z<2)* есть транспонированные относительно ?A) и D '
матрицы.
С другой стороны,
L(I)*? = (/-+-**:,)> 4-ФО.
Из вида матрицы К^ (X, у), заданной равенством E.6), следует, что
Поэтому
и
U4{\ = 1<П1B)> = (/- **,)(/ - у.я*)? + фо.
Из того, что левая часть есть оператор Фредгольма, следует, что
и оператор
также является оператором Фредгольма. Уравнение E.44) переписы-
переписывается в следующем виде:
(/ — z/f,) (/ — /Я*) 7-\-Ф0=/
и, следовательно, в силу предыдущего представляет уравнение Фред-
Фредгольма.
Исследуем матрицу W(jc, /), входящую в равенство E.44). Со-
Согласно теореме 8 § 3 имеем
Г К(х; %)Н*{\, у; ^dS^dS,, E.44")
U )
или
W (x; /) = lim Г ( Г К, (х, %) Н* (I у; х) dS^ dS-
отсюда транспонированная матрица
f H(l y; *)*?(*
= - lim Г / Г H {%, y; x) К, (x, 5) <*sA d5y =
= —lim f dSy Г Я (л;, fc
• ->o у '„У. ,
{/
y, ^

§9] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 145
Как показал Жиро [1а, в] (стр. 290—291 и 323—324), что
= О [г
поэтому и на основании E.36)
но так как, согласно E.37),
/2Ф(л;; %) = В~1(х; /) — /
и, следовательно, Ф (л;; /) есть симметричная матрица, ^о
W* = W или f (х; х) = — Ф (*;•/). •' E.44")
Этот же результат мы могли получить, вычисляя W (х; /) непосред-
непосредственно по формуле E.44').
Возвращаясь к уравнению E.44), можем записать
; *)]7(Х) —
X*(y)dSy=f(x). E.45)
Пусть х принимает на IF значения, отличные от полюсов резоль-
резольвенты этого уравнения. По первой теореме Фредгольма находим
*(*• У, *)
где R*(x, у, /) — резольвента Фредгольма.
Подставив это значение 7 (х) в E.43), получим
? (х) = [/+ *2Ф (х\ *)Г1/(х) +
Г(х, у,
S
'(X. У,
отсюда на основании теорем 5 и 6 § 3,
f у, /)
S
10 В. Д. Купрадзе

146 МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V
или, введя обозначение
N2(X, у, *) = — Н*{Х, У, /)[/ + /2ф (у; к)] + 0 (/-«+*' (X, у)),
E.46)
получаем окончательно
7 / У, *)f(y)dSy. E.47)
Из способа, которым был получен вектор <р (x), определенный
равенством E.47), видно, что он удовлетворяет уравнению E.12);
поэтому
N2(x, у у)-К (х, у)[/ +
— / J К (х, \) N2 (I у, /) dSz — 0. E.48)
s
Подводя итог этому исследованию, приходим к выводу:
а) Для х, отличных от некоторых дискретных значений, являю-
являющихся полюсами некоторой мероморфной на IF функции, уравнение
E.12) может иметь решение лишь вида E.40).
• б) Для •/, отличных от некоторых дискретных значений, пред-
представляющих полюсы некоторой мероморфной на IF функции, уравне-
уравнение E.12) действительно имеет, и притом единственное, решение,
выражаемое равенством E.47).
Отсюда следует, что для ¦/, отличных от некоторых дискретных
значений, уравнение E.12) имеет, и притом единственное, решение,
которое представляется одновременно двумя выражениями: E.40)
и E.47); составив разность этих выражений и приняв во внимание
произвольность f(x), получим
Ni(x, у %) = N2(x, у; х) E.49)
тождественно относительно х и у для / ? IF, отличных от некото-
некоторых изолированных значений. Но так как тождество E.49) есть
тождество мероморфных функций, то Nt(x, у; /) и Af2(x, у; *)
должны иметь общие полюсы, и тождество E.49) сохраняет силу
для всех х, кроме тех, которые совпадают с полюсами. Обозначив
общее значение Nt(x, у, х) и N2(x, у; /) через N(x, у, /), пере-
перепишем E.42) и E.48) таким образом:
N(x, у, /) — [/+х2Ф(х, у.)]/^*, y)—xJN(x, i\ x)K(l y)rfSj —0,
s
E.50)
N (x, y,*) — K(x, у) [/ + *2Ф (у; z)]-/ J К (х, I) N (I у х) dSg = О,

§ 10) СЛЕДСТВИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 147
Итак, доказана следующая теорема:
Существует матричная резольвента М(х, у; х), которая
является мероморфной функцией от х на плоскости II', такая,
что для всех /, отличных от полюсов, система уравнений E.12)
имеет единственное решение, выражаемое равенством
v E.52)
причем N(x, у; %) удовлетворяет уравнениям E.50) и E.51).
Этот результат, очевидно, представляет собой первую теорему
Фредгольма для системы E.12).
Уравнения E.50), E.51)—основные функциональные уравне-
уравнения резольвенты.
§ 10. Следствия из функциональных уравнений резольвенты.
В уравнении E.50) заменим у на t\, умножим справа на vjV(t), у; v)
и проинтегрируем по S относительно г\, тогда
' [N(x, f)\
s
У, v)dS5 = 0. E.53)
В уравнении E.51) заменим х на t\, % на v, умножим слева на
xN(x, % х) и проинтегрируем по S относительно tj:
s
fN(x, ij; *)М(Ч. у, v)dS4—х f N(x, %
s
— v/ J N (x, щ; z) rfS^ J К (ч, Е) Л^ (E, y; v) rf5e = 0. E.54)
' S
J
i'
Рассмотрим разности
i, у; v)dSn—xfN(x, -q; /) X
1 fK(x,
s
y, v)rfSe-
i\ /) dS4 J /C G), 5) ЛГ E, y; v) dSv
s s
10*

148 МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |ГЛ. V
В выражении для А заменим интегралы их значениями из E.50)
и E.51), тогда
, У, v) — К (*, у) [I + v2<? (у; ч)]} —
у, х) —[/ + а
В выражении для В взаимно поменяем во втором члене обозна-
обозначения переменных интегрирования:
у, v)rfSs —
5; х) dS% JКE, f\)NOj, у; v,
s s
Выделим на S некоторую область, содержащую точку х, и назовем
ее Sx, считая точку у лежащей вне S/, оставшуюся часть поверх-
поверхности S назовем Sy, очевидно, у лежит на Sy. Представим В сле-
следующим образом:
f
sy
f
SX Sy Sy Sy
-f ...dS,f ...dS^-f ...d
\sy
y sx sx sy I \sx
... dS,-
If(fff
sy sx J \sx sx sx sx
В первой скобке обе переменные пробегают область 5у, и, оче-
очевидно, в интеграле
jN( 5 & у,
sy sy

i 101 СЛЕДСТВИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 149
матрица N(x, I; х) остается непрерывной; поэтому после применения
теоремы 8 § 3, имея еще в виду E.46) и E.44"), получим
— N (х, у; х) Ф (у; v) [/ -f ^ф (у; v)] \
Во второй скобке интегрирование ведется по v\ в S и по точке 5
в Sx\ поэтому i\ может совпасть с ? только на общей границе
областей Sy и Sx. Выделим около этой границы некоторый «пояс»
на S, содержащий упомянутую границу целиком внутри, но не
содержащий ни внутри, ни на своих границах точек х и у. Та часть
разности, которая соответствует «поясу», будет нулем, так как на
«поясе» матрицы N(x, S; х) и N(% у; v) непрерывны. Рассмотрим
остальную часть (она будет обозначаться штрихом, поставленным
сверху при S), в которой ядро К (I, f}) непрерывно, и перепишем
вторую скобку в следующем виде:
У. v)rf55 —
Sy Sx
J| ' ' у
+ (dSnf N(x, I; x) AT (x, y)N(n. у; v) dS^ —
r i
— J Л^(дг, 5; %)dSiJK(x, y)N(ri, y;
Заметив, что в последних двух слагаемых переменные интегрирова-
интегрирования разделились, легко заключаем, что все выражение равно нулю.
В третьей скобке по f\ интегрирование ведется в области Sx,
а по % — в области Sy; при этом матрицы Л^(дг, 5; х) и iV(rj, у; v)
остаются непрерывными, и третья скобка поэтому равна нулю.
Наконец, в четвертой скобке обе переменные пробегают область Sx
и в интеграле
-f...dS,f...dSn
sx sx
непрерывна матрица AfGj, у; v); поэтому после применения тео-
теоремы 8 § 3, приняв еще во внимание равенство E.41), получим
[У + х2ф(лг; х)]"'Ф(дг; х)Л/(х. у, v).

150 МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V
Объединяя эти результаты и составляя разность равенств E.54)
и E.53), получаем
— N(x,
или
(x-v) Г
XV-
N(x, tj; x)jV(t), у; v)dS.
у;у)[/4->2Ф(у; v)] —>
4-[/4-x2c
N(x, 7j; x)AfG], y; v)dS,
wN(x, y,
Е>(лг; x)f
/2ф (л:; х)]'
х)Ф(у;>)[^
у; *)[/4-
¦[/ + «фс
'lN(x, у; v)
г4->2Ф(у; v)]"
i Л^ (л", у; v) =
xv® (у; v)] X
E
¦'4-
= 0,
;v).
.55)
Последнее соотношение можно.еще записать в следующем виде:
f N(x, tj; х)Л^(т;,, у, v) dS, = ^~ [W(*. у; %) — N(x, у,
i
+ v^V(x, у; х)Ф(у; v)[/+v2ф(y; v)f' +
]
+ x [/ + х2ф (*; x)]® (*; x) iV (*, у; v), ... E.56)
Для того чтобы в этом убедиться, достаточно умножить E.56)
на (х—v), после чего будем иметь
(х —v)j7V(x, % xOVG), у; M)dSn = N(x. у; х) [/ + ^Ф (у; v)] X
у; v
— v)vA^(x, у; х)Ф(у;
— v) х [/ + х2Ф (лг; х)]"' ф (лг; х) N (дг, у; v),
откуда E.55) получается очевидным образом.
Из E.50) следует, что при х = 0 имеем
N(x, у; 0) = К(х. у); E.57)
поэтому, полагая в E.55) v = 0, получим
это совпадает с E.50); таким же образом при х = 0 E.55) обра-
обращается в E.51).

ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ФРЕДГОЛЬМА
151
§ 11. Вторая теорема Фредгольма. Пусть *0 есть полюс резоль-
резольвенты N(x, у; -л). Для значений •/., близких к *0, имеем
р
N (х, у, х) = 2 Я(а) (х, у) (* -
1
, у) (у. - •/<
E.58)
)(х, у) и
Пусть
у) — определенные матрицы.
С, у) S(i2
с, у) fljg
с. У) Я$
р. У)
С У)
с, у)
'. У)
и В (х, у) — транспонированная относительно В^(х, у) матрица.
Для столбцов матриц В(а)(х, у), S(a) (x, у), рассматриваемых как
векторы, примем обозначения В^\х, у), Е$ (х, у), Л = 1, 2, 3.
Покажем, что В^1{х, у), j=\, 2, 3,—непрерывные функции от д:
и у, а функции A^jl (х, у) имеют в точке- х = у полюс второго
порядка. Из § 9 известно, что решение уравнения E.12) имеет вид
где ф (х) является решением уравнения E.39) с ядром F[p)(x, у),
непрерывным в смысле Гельдера. Поэтому, как легко убедиться,
у;
— х"/? (х, у; х)

*2ф (у; к)] -
— x"+i f R(x, \;
; xjf'w^, ^; %)dSAf(y)dSy,
\
где /?(дг, у; х), как резольвента ядра Ff\x, у), есть непрерывная
в смысле Я(т) функция, мероморфная относительно х; оче-
очевидно, сумма
п-=1
которая получается умножением ф (у) на голоморфные относительно *

152 МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. V
ядра со слабой особенностью и последующим интегрированием, по
теореме 4 § 3 будет непрерывной в смысле Н мероморфной функ-
функцией от х.
Окончательно имеем
; *)]'1Н(х,у, *) + Р(х. у; *))f(y)dSr
где Р(х, у; х) есть непрерывная в смысле Н мероморфная относи-
относительно х матрица.
Сравнивая это выражение с E.40), находим
N(x, у; х) = [/-(-х2Ф(лг; v.)flH(x, у; *) + Р(х. у; *). E.59)
Таким образом, первое слагаемое в правой части E.59) есть голо-
голоморфная, второе—мероморфная функции от х на П'. Отсюда ясно,
что в разложение по степеням (х — Хд) отрицательные степени могут
войти только от последнего слагаемого, и потому В<а) (х, у) должны
быть непрерывными. Точно так же положительные степени (х — х0)
войдут в разложение первого слагаемого, вследствие чего А®\х, у)
должны иметь в точке х = у полюс второго порядка.
Внесем разложение E.58) в уравнения E.50), E.51) и сравним
коэффициенты при степенях (х — х„) р, (х — "*-^~р, (* — rof> тогда
получим
*. у) — х0 J ВС) (*. 5) К E, у) dSt = 0, E.60,)
s
#*-»(*. у) — f
s
— х„ J BSp-V (х, 5) К E. 7j) dSk •= 0, E.60,)
х, у) - [/ + «§ф (*; хо)]~' ^ (*. у) -
J В<'> (х, 5) К E, у) dSz — ^f А° (х, 5) К E, у) rfSj = 0 E.60j)
S
f> У) —*о| К(х, \)В(р>$, y)dS% — Q, E.6Ц)

S II] ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ФРЕДГОЛЬМА 153
f = 0, E.612)
(а:, у)-^(АГ, у)[/+х2ф(у; x^]—J>(x. У S<D (?, y)rfS6-
— *0JK(x, 6)i4«»F, y)rfS5 = 0. F.6I3)
Девять равенств E.61 j) сведем в три группы, по три равенства
в каждой, следующим образом:
Й" (*. У) - «о / К (х, Е) Д^> E, у) dS4 = 0 (ft = 1, 2, 3). E.62)
Рассматривая точку у как параметр, заметим, что E.62) есть не что
иное, как однородная система, соответствующая системе уравнений
E.12) при значении х, равном х,,:
0. E.12")
Следовательно, однородная система E.12°), соответствующая неодно-
неоднородной системе E.12), удовлетворяется каждым из трех векторов
МГ''(*• У)> Л=1, 2,- 3, для любого значения параметра у. Так как
В№ (х, у) не есть тождественный нуль, то хотя бы один из этих век-
векторов отличен от тождественного нуля. Кроме того, так как реше-
решение уравнения E.12°) одновременно является и решением однород-
однородного уравнения Фредгольма E.13°), а это последнее имеет лишь
конечное число линейно-независимых решений, то уравнение E.12°)
также может иметь только конечное число таких решений, и из
бесконечного многообразия решений, получающихся из В^ (х, у),
k=\, 2, 3, при частных значениях параметра у, лишь конечное
число решений является линейно-независимым. Пусть эти реше-
решения суть
?,(х), % (х)
тогда В^ (х, у) представляется их линейной комбинацией с коэф-
коэффициентами, зависящими от у:
• г
W (х, у) = 2 Фу* (У) Ь (х) (k = 1. 2, 3). E.63)

154
МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V
Отметим, что здесь <fj(x), j=\, 2 г, есть векторы,
tyjk (У). У> k = 1, 2 г. — скаляры.
Из E.63) можно заключить, что ij>yft (у) — непрерывные функции у.
Считая k=l, 2, 3 фиксированным, проектируем векторное равен-
равенство E.63) на координатные оси xs, s=l, 2, 3. Условимся обо-
обозначать проекцию вектора В^\х, у) на ось xs индексом s, поста-
поставленным снизу и слева от индекса k. Тогда получим
г
В$ (*. у) = 2 ср,у (х) фуА (у) (Л, s = 1, 2, 3). E.64)
Придадим точке л; г различных значений на S так, чтобы детер-
детерминант
ФО;
это можно сделать, так как, если бы для всех 5=1, 2, 3 имело
место противное, функции cpiP <pd cpir были бы линейно-зависи-
линейно-зависимыми, что в свою очередь означало бы линейную зависимость век-
векторов «р, (х), fyix)> •••• TrW- Решив систему E.64) относительно
tyjk (У)> У=1> 2, .... г, выразим их в виде линейной комбинации
функций В$ (х<1\ у), 1=1, 2 г, откуда и следует непре-
непрерывность
VGO (*=1. 2, 3; у=1, 2 г).
Теперь обратимся к равенствам E.60,) и соберем их в три
группы следующим образом:
? E.65)
, у) — *0 J В?ьр)* (х, I) К (I у) dSk = 0,
где fljf'* (#, у) есть k-Я столбец транспонированной матрицы
$р)*{х, уI. Считая х за параметр, мы видим, что система E.65)
есть однородная система уравнений, союзная с системой E.12°):
4? (У) — "о / Ф (?) * E,
= 0.
E.66)
1 Его проекция на ось xs будет BJ^'*, т. е. проектирующий индекс
стоит справа от индекса к, указывающего номер вектора; иначе говоря,
В$* есть проекция на ось ха k-й строки матрицы В(р) (X, у), рассматри-
рассматриваемой как вектор.

§ 12) ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 155
Следовательно, однородная союзная система E.66) удовлетворяется
каждым из трех векторов BkP)*(x, у) при любом значении параметра лг.
Так же, как выше, заключаем, что хотя бы один из этих векторов
отличен от тождественного нуля. С другой стороны, так как реше-
решения уравнения E.66) удовлетворяют и некоторой однородной системе
уравнений Фредгольма, то существует лишь конечное число линейно-
независимых решений однородной союзной системы — E.66).
Введем векторы ф/(У)> j'= 1, 2 /•, с проекциями на ось xk,
k — \, 2, 3, равными фу* (у), k=\, 2, 3; тогда E.64) можно рас-
рассматривать как проекцию на ось xk векторного равенства
* (х, у) - ^ ?sj (x) fy (у), E.67)
где В(/'* есть s-я строка матрицы В<р)(х. у). Но так как в[р*(х, у),
рассматриваемые как вектор-функции от у, суть решения уравне-
уравнений E.65), то вследствие линейной независимости функции «р^(лг),
tyj(y), /=1,2 г, оказываются решениями уравнений E.65). Таким
образом, число линейно-независимых решений уравнения E.66) гф,
которое, как было показано выше, есть конечное число, не может
быть меньше г:
Повторив теперь рассуждения, приведшие нас к последнему не-
неравенству в другой последовательности, в которой переставлены
местами уравнения E.61^ и E.60х), очевидно, придем к неравенству
Отсюда следует
и тем самым для сингулярной системы уравнений E.12) доказана
вторая теорема Фредгольма.
§ 12. Элементы теории резольвенты. Результаты, установлен-
установленные в предыдущих параграфах, позволяют развить для резольвенты
сингулярной системы E.12) теорию канонических ядер и главных
функций, аналогичную теории Гурса для резольвенты уравнений
Фредгольма; для одного уравнения это показал Жиро [10а, б].
Обозначим
# ( ) () У» »)¦

156 МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V
где
2 "
А(х. у; х) =
Пусть
Внеся это в E.56) и сравнив коэффициенты слагаемых, которые
содержат обе переменные и и v в отрицательных степенях, получим
(* — v) / Т (*• % *) Т A. У< v) d54 = Т(*. У< *)'
s
Если же произвести сравнение коэффициентов тех слагаемых, кото-
которые содержат и и v в положительных и нулевых степенях, то
получим
A(x, tj; х)А(я, у, v)d5, = (x —v)^^, у; х) —
s
— Л(лг, у; v)] + ^(x, у; х)Ф(у; v)[/ + v2®(y; v)f' +
+ х[/+х2Ф(лг; x)]~^(at; х)Л(лг, у; v). E.69)
Это показывает, что А (х, у; у) есть резольвента ядра, равного
А (х, у; 0); чтобы в этом убедиться, достаточно подставить в пре-
предыдущее равенство v = 0 и полученный результат сравнить с E.50).
Помимо этого, из E.57) следует, что
К(х, у) = т(*. У. 0) + Л(*. у, 0), E.70)
причем, как мы уже знаем, f(x, у, 0) есть непрерывная функция
от лг и у. Продолжая сравнение коэффициентов, находим, что те
слагаемые, которые содержат и в положительной и нулевой сте-
степени, дают
fA(x, tj; x)T(tj, у; v)rfS, = хФ(дг; х)[/ + *2Ф(*. х)"^ (*. у; v),
, S . E.71)
и наконец, сравнение коэффициентов у остальных слагаемых при-
приводит к равенству
, у, 4)dSn = i(x, у, у)>Ф(у; >)[/ + >2Ф(у; v)].
E.72)

I 12] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 157
Полагая в E.71) х = 0 и в E.72) v = 0, получим
J А (х, т); 0) т 0?. У; v) dS1t=f^ (х, Ч; х) А (т), у; 0) dS^ = 0 E.73)
s s
и отсюда при v = 0, х = 0
tj; О)Т(К). У! 0)^5ч = |Т(х, tj; 0)Л(Ч. у; 0)^ = 0. E.74)
Из формул, установленных в этом параграфе, так же, как это
делается для обычных уравнений Фредгольма, можно получить теорию
главных функций и канонических ядер для наших сингулярных урав-
уравнений. На этом мы не будем останавливаться в общем случае, когда
1с = х0 есть кратный полюс резольвенты, и рассмотрим детально
только случай простого полюса. С точки зрения приложений в теории
упругости именно этот случай представляет наибольший интерес;
задачи теории упругости, как будет показано в §§ 1 и 2 гл. VI,
приводят к таким уравнениям, которые допускают только простые
полюсы соответствующих резольвент.
Итак, пусть р=1; тогда из E.58) имеем
,-хоТ(х, у, 0) = В{1)(х, у); E.75)
поэтому уравнение E.61j) можно переписать в следующем виде:
Т(х, у; 0)-х0 JK(x, 5)тE, у;
5
Внесем сюда значение *[(х, у; 0) из E.70) и используем свойство
ортогональности матриц А(х, у; 0) и f (лг, у; 0), выражаемое фор-
формулами E.74); тогда
Т (х, у; 0) - хо J Т (х, 5; 0) Т (I у; 0) dS^ = 0. E.76)
5
Подставив сюда значение i(x, у; 0) из E.75), получим
?A) (*. У) + / ЯA) (*. 5) В™ E. У) dSk = 0
5
или еще
з
flS (*. у)+/ 2 flS (*. о 4V (^. у) ^ = о.
5
Внесем в последнее уравнение вместо В^У (лг, у), В'^ (х, 5), В$ (?, у)

158 МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V
их значения из E.64); будем иметь
г 3 г г
2 tV (*) т> (У) + / 2 2 ^(*) Фл ® 2 Ъ1 ® Ьн (У) dSi = о
(s, ft = l, 2, 3); • E.77)
произведение подынтегральных сумм по t и j дает1
и после суммирования по <7 получаем
Что касается внеинтегральной суммы, то она равна
Внеся эти значения сумм в E.77) и сравнив коэффициенты, находим
? ;;;; E.78)-
где под 9™(*) Фп (*) понимается скалярное произведение векторов.
§ 13. Третья теорема Фредгольма. Пусть х = х0 есть полюс
резольвенты и собственное число однородного уравнения E.12°).
Предположим сначала, что уравнение
/(*) E.79)
s
имеет решение. Умножив на у
¦i(*). <Ы*)- •••• фг(*) E-80)
1 Будем считать, что 0 и 1 в качестве верхних индексов указывают
на то, что аргументом служат соответственно точки х и 6; при отсутствии
верхнего индекса аргументом является точка у.

§ 1S1 ТРЕТЬЯ ТЕОРЕМА ФРЕДГОЛЬМА 159
суть полная система решений союзного уравнения, и интегрируя по S.
получаем
f$j(x)f(x)dSx = 0 G=1,2 '#¦). E.81)
s
Это доказывает необходимость (для существования решения) условий
ортогональности вектора f(x) к полной системе фундаментальных
решений однородного союзного уравнения.
Чтобы показать, что эти условия также и достаточны, докажем
предварительно одно вспомогательное предложение1.
Пусть w (л:) и а (л;) есть решения уравнений
»(*) — «о / Т (*• У- °)ю 00 dSy ="/(*)¦ E-82)
s
а (х) - «о f А (х, у; 0) а (у) dSy =/(*), E.83)
s
ядра которых, согласно E.74), ортогональны. •
Уравнение E.83) есть уравнение с сингулярным ядром А(х, у; 0);
его резольвентой, согласно E.69), является А(х, у; %), поэтому х = у.и
не является собственным числом для уравнения E.83), и решение
этого уравнения находится по первой теореме Фредгольма, доказан-
доказанной для сингулярных уравнений в § 9.
Покажем, что если найдено ы(х) из E.82), то выражение
9 (*) = »(*) + *(*)—/(*) E.84)
будет решением уравнения E.12). Действительно, по формуле E.70),
уравнение E.12) принимает следующий вид:
. У, 0)] ф (y)rfSy =/(*).
Подставив сюда E.84) и приняв во внимание E.82) и E.83), получим
/т(*. у 0I*00—/C>)]«*sy+
б'
+ jA(x, у; 0)[ш(у) —f(y)] dSy = 0. E.85)
Заменив в E.82) и E.83) х на у и у на ?, умножим первое
на А(х, у; 0)dSy, второе на ч(х, у; 0)dSy слева и проинтегрируем
1 Это предложение имеет и самостоятельное значение, указывая на способ
фактического решения уравнения E.12) в том случае, когда * = ?.о является
полюсом резольвенты.

160 МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V
по 5. Тогда, выполнив еще допустимые здесь перестановки инте-
интегралов и приняв во внимание формулы ортогональности E.74), найдем,
что каждый из интегралов, стоящих в E.85), равен нулю и, следова-
следовательно, выражение E.84) действительно является решением урав-
уравнения E.12).
Как уже было сказано, я (х) находится из .E.83) непосредственно;
что же касается вектора ы(х), то он может быть построен лишь
в том случае, если f(x) удовлетворяет некоторым дополнительным
условиям. В самом деле, уравнение E.82) есть уравнение Фредгольма
с непрерывным ядром f (л:, у; 0), и из уравнения E.68)
. у; *) — т (•*> у;v) = (*—v) / т (*• b *) т (*• у;
как известно (см. Гурса [7], т. 3), следует, что f (л:, у; х) есть
резольвента ядра i(x, у; 0); следовательно, х = х0, как полюс для
f (л:, у; х), есть собственное число для уравнения E.82), и по третьей
теореме Фредгольма для разрешимости этого уравнения необходимо
и достаточно, чтобы выполнялись условия
=;0, E.86)
где 1Л*(х), /=1. 2, ..., /, суть I линейно-независимых решений
однородного союзного уравнения
(л* (х) — у.о Г f * (у, х; 0)<s)*(y)dSy = Q,
i
которое запишем еще в следующем виде:
to* (у) — х0 Г to* (?) f (?, у; 0) dSk = 0. E.87)
Остается показать, что ! = г и что система векторов ы*. (х) совпа-
совпадает с системой фундаментальных решений уравнений E.66). Сравним
для этого уравнение E.87) с уравнением E.76):
Т(*. У. 0)-x0Jt(a:, 5; 0)ТA, у; 0)rfSe = 0.
s
Произведя группировку таким образом, как это было сделано для
получения уравнения E.65), можем написать
у, 0)rf54==0 (A=.l, 2, 3).

§ 13] ТРЕТЬЯ ТЕОРЕМА ФРЕДГОЛЬМА 161
Рассматривая здесь х как параметр и сравнивая с E.87), находим
и*(у) = Гк(х- у; 0).
Но по E.75) и E.67) получаем
w* (У) = —? В0/ (х, у) = — J-
Таким образом, произвольное решение уравнения E.87) предста-
представляется в виде линейной комбинации линейно-независимых векторов
(JijC*), 4|2(д:) Фг (¦*-)¦ и следовательно, эти последние составляют
полную систему фундаментальных решений уравнения E.87), причем
условия E.86) обращаются в условия E.81); это доказывает доста-
достаточность условий E.81), а вместе с тем и третью теорему Фред-
гольма для системы сингулярных интегральных уравнений E.12).

ГЛАВА VI
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. ОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ
§ 1. Свойства резольвенты. В гл. II, § 2 мы показали, что
интегральные уравнения первых двух основных граничных задач
упругого однородного тела: первой внутренней и первой внешней
задачи (D^ и (Da) и второй внутренней и второй внешней задачи (Tt)
и (Гв) — имеют следующий вид:
=f'(x). F.1)
ср (х) — % f К (х. у) ? (у) dSy =/' (*). F.2)
s
При этом первое из них при х == —f— 1 и f = —/ соответствует
задаче (D(), а при х =— 1, f =f—задаче (De), второе при х = — 1
и /'=/ соответствует задаче (Tj), а при x = -f-l /' = —/—за-
—/—задаче (Та).
В гл. V было показано, что системы уравнений F.1) и F.2)
являются сингулярными системами интегральных уравнений, для
которых сохраняются основные теоремы и альтернатива Фред-
гольма, если только параметр х принимает значения на плоскости П/
с разрезами вдоль вещественной оси в интервалах
Для дальнейшего, очевидно, существенно, чтобы значения х = ± 1,
которые соответствуют основным граничным задачам (?>) и (Г), не
принадлежали разрезам; это условие выполняется, так как
и, следовательно,

I I] СВОЙСТВА РЕЗОЛЬВЕНТЫ 163
На основании B.1) и B.5) можно написать
(l-x)We—i-(l+x)W/ = ?(*)-
i
5-(l+x)(TV)e = ?(*)-x/
s
Применив обозначения, принятые в гл. II, § 2:
^-ТхГ(х,у) = К(х, у),
будем иметь
J /, *)rfSy, F.8)
. F.4)
Кроме этих формул, на которые мы в дальнейшем будем опираться,
выпишем однородные интегральные уравнения, соответствующие
однородным задачам:
ср(лг) — xJcpOWy, x)dSy = 0, F.5)
s
V(*. y)y(y)dSy = 0. F.6)
s
Докажем ряд теорем относительно свойств резольвент этих уравне-
уравнений. Эти свойства аналогичны известным свойствам резольвент инте-
интегральных уравнений задач Дирихле и Неймана в теории гармонических
функций, а метод их доказательств аналогичен методу доказательств
для гармонических функций, ставшему теперь классическим (см.,
например, [12]).
Статический и динамический случаи будем исследовать отдельно.
В этом параграфе рассматриваются интегральные уравнения F.1),
F.2), F.5), F.6) в предположении ш = 0, т. е. рассматриваются
задачи статики.
Теорема 1. Все характеристические числа ядра К(х, у) —
вещественные числа.
Допустим противоположное, и пусть х == а —|— р/, где аир веще-
вещественны и отличны от нуля, есть характеристическое число ядра К (х, у).
Для этого значения параметра х уравнение F.6) будет иметь решение
11*

164 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. ОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VI
?i-j~Kp2' не равное тождественно нулю. Построив соответствую-
соответствующий потенциал простого слоя V(x) = Vl(x)-\-tVJ(x), можем убе-
убедиться, что его первые производные непрерывны в Bt и Ва
(обозначения § 2 гл. II). Подставив значение V(x) в F.4) и разделив
вещественную и мнимую части, будем иметь
A - a) (Т V,), - A + а) (JVOa + р (ТV2\ + р (Т V2)a = 0, F.7)
A -а) (TVj), —(l+a)(TVj)e —p (TVU-PCTV^^O. F.8)
Умножим эти равенства соответственно на V2 и У\< составим раз-
разность и проинтегрируем по S; тогда, принимая во внимание формулу
Бетти A.1 (У), которая, как показано в гл. III, остается справедливой
в бесконечной области для регулярных векторов, будем иметь
a) f
Bi
+ Р / {[V2(TV2)*+ Уi (TV,),] + [V2(TV2)a+ V,(TV,)a]} dS = 0
s
и, так как A*V\ = 0 и ДТ2 = 0, получаем
rf5=0. F.9)
Но согласно формулам Бетти A.9'), также справедливым не только
в конечной, но и в бесконечной области для регулярных векторов,
можем записать
= f
f
S
^-f {W(VV V,) + W(V2, V2)}da,
где W (и, и) — существенно положительная форма, определенная
равенством A.12).
Введем обозначения
Vj. Vj) da, j'j=*fw (Vj, Vj) da (J = 1, 2),
ва
тогда равенство F.9) примет следующий вид:
Bi
F.10)

9 I] СВОЙСТВА РЕЗОЛЬВЕНТЫ 165
Умножим F.7) и F.8) соответственно на V1 и V2. составим сумму
и проинтегрируем по S; тогда в силу тех же формул получим
A—а)(У1+^) + A+а)(у} + У5) = 0. F.11)
Рассматривая F.10) и F.11) как систему уравнений относительно
(У! + У2) и (-А + Л) и имея в виду, что по предположению р Ф 0,
находим
У, = у2 = j[ = j'2 = о,
так как отрицательных значений они иметь не могут. Но в таком
случае, вследствие существенной положительности квадратичной формы
W (а, а), а также по свойствам потенциала простого слоя, получим
Кроме того, из формул B.5) следует, что уг (х) = ;р2 (¦*) = 0.
Это противоречие показывает, что детерминант системы F.10),
F.11), равный 2р, есть нуль, и следовательно, вещественность харак-
характеристических чисел доказана.
Теорема 2. Характеристические числа ядра К{х, у) по
абсолютному значению не меньше единицы.
В самом деле, ввиду того что ф = 0, равенство F.11), очевидно,
имеет вид
р азрешив его относительно а, находим
и теорема доказана.
Теорема 3. Характеристические числа ядра К(х, у)
являются простыми полюсами резольвенты.
Допустим противоположное, и пусть, например, х = х0 есть полюс
резольвенты второго порядка; тогда согласно E.58) имеем разложение
N(x, у; х)=2( У)(оГЧ2
а-1 Р=0
и Ef*\x, у) отлично от тождественного нуля; подставив это выраже-
выражение N(x, у, х) в функциональное уравнение резольвенты E.51), будем
иметь согласно E.61 х) и E.612)
y)—»ofK(xAM<2)E. У)dSz = 0, F.12)
s
) (*, у) -*О/К (х, 5) fiA) E, у) dSi = 1- В{2) (*, у). F.13)

166 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. ОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VI
Рассматривая у как параметр, обозначим
Bf (х, у) = ф, (х), &? (х, у) = ф2 (*)•
где k имеет одно из значений 1, 2, 3, и построим потенциалы про-
простого слоя с плотностями, равными $х(х) и фаМ- Эти потенциалы
будут удовлетворять условиям
A - Х0) (Т V,)l - A + Хо) (JVOa = 0, 1 j
которые вытекают из представления F.4) и уравнения F.12) (первое),
а также из F.4), F.13) и равенств B.5) (второе).
Умножим равенства F.14), первое на —V2> второе на Vv сложим
и проинтегрируем по S, тогда получим
У!— j[ — 0; F.15)
если же первое равенство F.14) умножим на Vx и проинтегрируем
по S, то получим
Л=0. F.16)
Равенства F.15) и F.16) совместны только в том случае, если
71 = ./i = 0; отсюда следует, что Vx(x)=() и, следовательно, tj»i(дг)=О;
это противоречит предположению о том, что порядок полюса выше
первого, и следовательно, теорема доказана.
§ 2. Теоремы существования для статических задач (Dt)
и (Та). Рассмотрим случаи многосвязной области (рис. 1, стр. 54).
Однородные уравнения
ср (*) — f ср (у) К (у, х) dSy = 0. ' (D?)
s
ср (х) - f К (х, у) ср (у) dSy = 0. (Т°а)
s
допускают только тривиальные решения. Допустим противное, и
пусть ty(x) есть некоторое, отличное от тождественного нуля, реше-
решение уравнения (го). Потенциал простого слоя
V(x; 4') = -^ ff(x.
s
обладает следующими свойствами:
а) ДТ(л:; ф) = °>
б) (TV (л:; ф))в = 0 на 5.

it] ОДНОРОДНЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ (D«) И G^)
в) на бесконечности удовлетворяет условиям (см. C.69))
Согласно теореме 1 гл. III, § 4 такой вектор есть нуль; таким
образом,
V(x, ф) = 0 (
ввиду непрерывности потенциала простого слоя
Q = Vi(x; ty = Va(x; ф).
и отсюда на основании теоремы 6 гл. III, § 4 получаем
У(х\ ф) = 0 (
Но тогда согласно равенствам
мы приходим к противоречию, откуда следует доказываемое пред-
предложение относительно уравнения (Т^). Так как (D?) и (Т°а) — союзные
системы сингулярных уравнений, то согласно второй теореме Фред-
гольма, доказанной для таких систем в гл. V, § 11, нетривиальных
решений не имеет и уравнение (D°).
Отсюда на основании третьей теоремы Фредгольма (гл. V,
§ 13) неоднородные интегральные уравнения (Df) и (Та) имеют,
и притом единственные, решения, которые строятся согласно первой
теореме Фредгольма (гл. V, § 9), и, наконец, отсюда следует:
Теорема 4. Задача (Dj) для вектора f(x) класса #(f)
имеет, и притом единственное, решение, которое предста-
представляется потенциалом двойного слоя.
Теорема 5. Задача (Та) для вектора f(x) класса #(f)
имеет, и притом единственное, решение, которое предста-
представляется потенциалом простого слоя.
§ 3. Однородные статические задачи (Dl) и (т°). Вектор Ш(х)
с проекциями на осях (х{, х2, х3)
F.17)
где а, Ь, с, р, q, r — произвольные постоянные, является решением
уравнения Д*и = 0 и на 5 удовлетворяет граничному условию
F.18)
Так как равенство Д*21(д;) = 0 очевидно, остается проверить гра-
граничное условие F.18).

168 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. ОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. Vt
Проектируя это равенство на ось xv получаем
= 2[а (q cos (и, Jfg) — г cos (и, л;2)) -f- X cos (и, лгг) div 21 4-|* (я X гоШ)^
но
div 21 (д?) = 0, (я X rot 2l)j = 2r cos (я, хг) — 2? cos (я, jtg),
и следовательно,
T1ai(jc) = o.
Аналогично для двух других составляющих Тг21 (дг) = Т321 (х) = О,
и окончательно будем иметь
0. F.19)
Из теоремы 7 гл. III, § 4 вытекает, что вектор 21 (дг) является
единственным решением статической однородной задачи (Tf). Он
называется вектором жесткого смещения. Вектор 21 (х) может быть
представлен в виде потенциала двойного слоя. Так как 21 (дг) есть
регулярное в Bt решение уравнения Д*я = 0, то по формуле A.60)
можем записать
21 (дг) = ± f [г (х, у) Т21 (у) - 21 (у) ТУГ (х. у)} dSy
s
и, вследствие F.19),
ТуГ(дг, y)dSy = — jfm(y)K(y, x)dSy.
/ y.
s s
F.20)
Вектор 21 (дг) удовлетворяет интегральному уравнению
21 (jc) + f 21 (у) AT (у, х) dSy = 0 (дг е 5). (D°).
.v
Для того чтобы это показать, перейдем к пределу в равенстве F.20),
когда точка х. изнутри стремится к граничной точке на S; по фор-
формулам B.1) будем иметь
Ш(х) = ±Ш(х) — ±-/Ш(у)К(у, x)dSy (x?S)
s
или
«(*)+ /21 (у)/С (у, x)dSy = 0 (D°). ¦ F.200
что и нужно было показать.

5 3] ОДНОРОДНЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ (D°) И (Г°) 169
В выражении для вектора жесткого смещения
31 (х) = *i [а + (дх3—гх2)\ ¦+ l2 [b + (гдг,—рх3)] + *з Iе + (Р*2—
будем считать, последовательно, одну из постоянных отличной от
нуля, а пять остальных — равными нулю; тогда получим систему
векторов
«<*> (ж) (А = 1, 2, 3, 4, 5, 6), F.21)
составляющих линейно-независимые решения уравнения (D%).
Введем систему 6ft векторов
[ & = 1, 2, 3, 4, 5, 6,
.*' ;\ 7 = 1,2,3 я.
определенных следующим образом:
на
' w " ' "¦" F.210
0 на всех других поверхностях.
Ясно, что каждый из этих 6ft векторов есть решение уравне-
уравнения (Da) и они линейно-независимы; по второй теореме Фредгольма
союзное уравнение
Ч (х) + / К (х, у) ер (у) dSy = 0 (Г°)
s
также имеет по крайней мере 6« линейно-независимых решений.
Введем для них обозначения
4>(*>(дг) (Л = 1, 2, 3 6ft) F.22)
и докажем, что последовательность F.22) образует полную систему
линейно-независимых решений уравнения G1?). Допустим противопо-
противоположное, и пусть ф (х) есть решение уравнения (Г?), линейно-неза-
линейно-независимое от векторов ф(й) (х). Потенциалы простого слоя
1 /• О
s
V(X;^k)) = -^fT(x, у)фк)(у)dSy (Л=1, 2 6ft),
s
как решения задачи

170 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. ОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VI
должны представлять собой векторы жесткого смещения, и, поскольку
последние 6п потенциалов образуют полную систему таких векторов,
первый должен представлять их линейную комбинацию, т. е.
6л
V (*; ф) = 2 с*У (дг; 4>(*>). F.23)
Перепишем F.23) в следующем виде:
Г 6" 1
. у)\ ф(у)-2с»ф<*>(у) </Sy = 0;
в левой части равенства стоит потенциал простого слоя с «плот-
«плотностью», равной вектору
6л
обозначив этот потенциал через Vt(x), получим
Vt(x) = 0 (x^Bt). F.24)
Ввиду непрерывности потенциала простого слоя
0 = (V.(*)), = (V.,(*))e
и по теореме 5 гл. III, § 4
V.WsO (x?Ba). F.24')
Из F.24) и F.24'), согласно равенствам B.5), следует
[6л "I
[
Ф (*о) - 2 С,ф<*> (лго) J при а:0 ^ 5,
но это противоречит предположению о линейной независимости век-
вектора ф (л:) от векторов <J>(fc) (дг), & = 1, 2 6я, и тем самым
наше утверждение о том, что система векторов 4»(ft) (дг), k=l, 2 6л,
образует полную систему линейно-независимых решений уравне-
уравнения (Ti), доказано. Отсюда следует полнота союзной системы F.21'),
а из теоремы единственности 5 гл. III, § 4 вытекает, что потен-
потенциалы двойных слоев
W(x; ?<;>) = 0 (*??„)(*= 1,2 6; / =1,2,3 п). F.25)
§ 4. Решение эластостатической задачи Робэна. Пусть в бес-
бесконечной упругой среде Ва имеется п включений из абсолютно
жестких тел, ограниченных поверхностями S(*\ k = \ п.
Требуется найти поле, возникающее в Ва в результате движения

$ S] ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ (D°) и G*) 171
включений. Эту задачу, по аналогии с известной электростатической
задачей Робэна, будем называть эластостатической задачей Робэна.
Движение любого из включений, очевидно, может быть лишь движе-
движением соответствующего тела как целого (жесткое смещение). Будем
считать эти движения заданными и обозначим их через
Щ\х) (ft=l, 2 6; j=\, 2 л).
Вследствие линейной независимости векторов V(x;ty(k)), ft=l,
2, 3, .... 6л, любая новая последовательность, состоящая из 6л век-
векторов, линейно-независимых и составленных из- однородных линей-
линейных комбинаций V(x; 4»(ft)). будет эквивалентна первой. С другой
стороны, так как V(x; 4>(ft)), согласно предыдущему параграфу,
образуют систему векторов жесткого смещения, можно построить
из последовательности V(x', ф(й)) новую последовательность Vb(x)
так, чтобы
*=1. 2 6;
ft = 7, 8, 9, 10, 11, 12;
ft = 13, 14, 15 18;
О,
А=6л—5, 6л—4 6л.
0, x
Тогда, очевидно,
6я
представит решение поставленной выше эластостатической задачи
Робэна.
§ 5. Теоремы существования решений статических задач
{Da) и G1?). Согласно третьей теореме Фредгольма (гл. V, § 13)
необходимым и достаточным условиями разрешимости неоднородного
уравнения
? (*) + / ? (У) К (У. х) dSy =f (x) (DJ
1 Символ jffS<*)+Bi + Ba понимается так: х не принадлежит S<*),
и Ва, т. е. х принадлежит одной из поверхностей 5A), SB) S'*',

1?2 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. ОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VI
служат равенства
(дг) ф<*> (х) dSx = 0 (k =1,2 6ft), F.26)
f де ф'й) (дг) -— полная система линейно-независимых решений уравне-
уравнения (Г°), построенная в § 3. Наряду с этой системой мы будем рас-
рассматривать полную систему линейно-независимых решений однород-
однородного уравнения (D°\, которая в § 3 была обозначена через ср(*>(дт),
у = 1, ..., ft, и которую теперь для удобства будем обозначать
?д (•*)¦ ft—1 6л. В гл. V, § 12 показано, что системы векто-
векторов ф(й) (дг) и у* (а;) допускают возможность взаимного биортонор-
биортонормирования, так как соответствующие характеристические числа
являются простыми полюсами резольвент '.
Предположим биортонормирование выполненным и, чтобы не
вводить новых обозначений, сохраним для биортонормированной си-
системы старые. Введем вектор
6л
F(x)=f(x) — 2j Cjd*(x),
k=\
Где постоянные Ck определены следующим образом:
Ck= ff(x)^k>(x)dSx (ft = l, 2 6л).
Очевидно, вектор F(x) ортогонален ко всем векторам фD) (х),
s=l, 2 6л, и следовательно, с помощью решений интеграль-
интегрального уравнения
ср (дг) 4- / ? (У) К (у, х) dSy = F(xy
s
можно построить такой потенциал двойного слоя, который прини-
принимает на 5 предельное извне значение, равное вектору F(x). С дру-
другой стороны, из F.21') мы знаем, что векторы
(ft=l. 2 6; 7=1. 2 ft)
равны на каждой из поверхностей 5(^ некоторому вектору жесткого
смещения и поэтому могут быть представлены в виде линейной
комбинации векторов V(дг; ф'^), s=l, 2 6л, которые суть
1 Если полюс кратный, то системы решений союзных уравнений нельзя
биортонормировать, но существуют системы главных союзных векторов,
для которых биортонормирование осуществимо (см. об этом [13а], стр. 43—50
и 157—159). В работе [4а] Вейль не обратил внимания на это обстоятель-
обстоятельство, и соответствующее место этой работы нуждается в дополнении.

§5] fEOPEMbl СУЩЕСТВОЙАНЙЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ (D^) И (Г^) 173
потенциалы простого слоя и, как показано в § 3 для x?Bit сами
образуют полную систему векторов жесткого смещения. Составив
эту комбинацию и добавив ее с соответствующим знаком к найден-
найденному выше потенциалу двойного слоя, мы добьемся того, что полу-
полученная сумма будет представлять решение уравнения Д*и = 0, кото-
которое принимает на 5 предельное извне значение, равное заданному
вектору f(x). Таким образом, доказана
Теорема 6. Статическая неоднородная задача (Da) раз-
разрешима для любого вектора f(x) класса Н, причем решение
выражается в виде потенциала двойного слоя или в виде его
комбинации с потенциалами простого слоя.
Ясно, что к решению, о котором говорится в теореме, можно
добавить потенциалы двойного слоя AWW(x; ерФ>) с произвольными
постоянными AW, так как W(x; ер<?>) суть решения однородного
интегрального уравнения (D°a). Но эти потенциалы на основании F.25)
равны нулю в Ва; это соответствует теореме единственности для
первой внешней статической задачи, доказанной в гл. III, § 4.
Обратимся к исследованию неоднородной задачи (Tt) и соответ-
соответствующего интегрального уравнения
? (jc) + f К (ж. у) ер (у) dSy =/(*). {Tt)
s
Так же, как и выше, по третьей теореме Фредгольма необходимые
и достаточные условия разрешимости имеют вид
//(*) ?* (*) dSx = 0 (s = l,2 в»), F.27)
s
где вр*(дг), s=l, 2 6я, есть полная система фундаментальных ре-
решений уравнения (D°a). Условия F.27), в отличие от F.26), играют
здесь роль не только условий представимости решений в определенном
виде, но выражают существенное механическое свойство вектора,
регулярного в Bt и удовлетворяющего здесь уравнению Д*я = 0 и
граничному условию 1ia=f(x) на 5. В самом деле, вспомнив, что
,р*(л:) представляется равенствами F.2Г). где шесть векторов Ш{к) (х)
суть следующие:
(о, 0, 0). ««) @, Ь, 0), 21<3) @, 0, с),
(<7*3, 0, - qxj. 2l<5> (- гдг2, rxv 0), »<«> @, -рх3, рх2),
вследствие произвольности а, Ь, с, р, q. r находим, что условия

1?4 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. ОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VI
F.27) равносильны следующим:
J/, (х) dSx = / /2 (х) dSx = J /3 (ж) dS, = О,
СЛ*а — /»*i>rf5* = 0. / (/2*1 — /1*2) dS* == О-
f(f3x2 — fiX3)dSx = 0 (ft = l, 2 и),
F.28)
которые выражают равенство нулю главного вектора и главного
момента приложенных к 5 внешних сил.
Необходимость условий F.28) (для разрешимости задачи (Тг))
доказывается элементарно; это вытекает, например, из формулы A.8'),
в которую нужно подставить и = 2l(ft) (д:) и v, причем v является
решением задачи G";). Достаточность этих условий доказана здесь,
по-видимому, впервые. Таким образом, имеет место
Теорема 7. Неоднородная статическая задача (Т{) раз-
разрешима для вектора f{x) класса Н только при выполнении
условий F.28). Решение представляется потенциалом простого
слоя и определено с точностью до аддитивного вектора жест-
жесткого смещения.
§ в. Теоремы существования для задач (М,) и (Ма). Одно-
Однородное уравнение \Mi) допускает только тривиальное решение. Пусть
это не так, и пусть ф (дс) есть некоторое нетривиальное решение
этого уравнения. Потенциал простого слоя
V(x; Ф) = -5
5
удовлетворяет на 5 граничному условию
(TVH-oV0, = 0, o>0. F.29)
С другой стороны, из формулы Бетти A.9') получаем
/ V, • GV),dS = J W (V, V) dx.
S В{
Подставив здесь в левую часть значение (TV)( из F.29), получим
W(V, V)dx = 0;
f
отсюда, вследствие существенной положительности формы W (и, а),
имеем V(x, <JO = 0 в Bt и, ввиду непрерывности, Va(x; ф) = 0. Но

§7) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СУЩЕСТВОВАНИЯ ТЕНЗОРОВ ГРИНА 175
тогда по теореме 5 гл. III, § 4 имеем V (х; ф) = 0, х?Ва\ наконец,
из этого результата на основании равенств B.5) следует ф (х) = 0.
Полученное противоречие доказывает наше утверждение. Аналогич-
Аналогичные рассуждения проводятся для однородного уравнения (Мд), и,
опираясь на теорему единственности 3 гл. III, § 4, можно доказать,
что это уравнение допускает только тривиальное решение. Таким
образом, доказана
Теорема 8. Неоднородные статические задачи (М{) и (Ма)
для граничных значений класса И имеют, и притом единст-
единственное, решение. Решения представляются потенциалами про-
простых слоев.
§ 7. Доказательство существования статических тензоров
Грина. Понятием и свойствами тензоров Грина мы воспользовались
в гл. IV, §§ 3, 4, 5. Напомним определения этих тензоров и докажем
теоремы относительно их существования.
Первым статическим тензором Грина для области В называется
о
квадратная матрица О (х, у), зависящая от двух точек х и у, удо-
удовлетворяющая следующим условиям:
о
1) для х?В и не равных у G(x, у) является решением уравнения
2) для граничных точек х0 ? 5
о
lim G(x, у) = 0, у
S
3) в В имеет место представление
0 0 0
G(x, у) = Т(х, y) — v(x, у), х,
о
причем v(x, у) есть матрица регулярных в В решений уравнений
Д*И = 0.
о
Для того чтобы построить матрицу G(x, у), очевидно, доста-
0
точно найти регулярную в В матрицу v(x, у) из условий
0 .00
Д'«(дг, у) = 0, X, у?В; lim v(x, у) = Г(дг0; у) y^S,
B5?S
но это есть статическая задача (Dj) для области В с граничным
значением класса И. Согласно теореме 4 § 2 настоящей главы эта

176 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. ОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VI
задача разрешима, и, следовательно, существование первого тензора
Грина доказано.
Сложнее обстоит вопрос с теоремой существования второго ста-
о
тического тензора Грина Н(х, у). Его нельзя для ограниченной
области В определить как решение уравнения Д*я = 0 из условий
a) lim TxH(x, y) = Q, y?S;
б)
в)
0
Н(х, У)
0
A*W (дг,
0
= Г(дг,
у) = 0,
0
y) — W(x,
х, yf В
У).
о
так как при этом для определения W (х, у) пришлось бы решать
задачу
b*W(x, у) = 0, х. у ? В; lim JXW (x; у) = Ъ,Г(дг0; у), y?S,
B^x?S
которая, согласно с теоремой 7, § 5 настоящей главы, разрешима
лишь при соблюдении граничных условий F.28); но из F.20) ясно,
о
что Т^Г(дг, у) не удовлетворяет этим условиям. Вейль [4а] указал
способ, который позволяет избежать это затруднение Ч Ограничимся
случаем я=1 и введем прямоугольную и прямолинейную систему
координат с началом в центре тяжести тела и с осями, направлен-
направленными вдоль главных осей инерции относительно центра тяжести;
тогда система векторов F.27'), составляющих полную систему
линейно-независимых решений однородной задачи, может быть запи-
записана в следующем виде:
F.30)
где М2 — масса тела, R2, S2, Т2 — главные моменты инерции. Бла-
Благодаря выбору координатной системы выполняются условия ортонор-
мируемости
1D)(дг)91^(дг)^ = { j' Ss^q' s, 9 = 1,2,3.4. 5, 6. F.31)
= (—^-, о, ^-). 91<5> (ж) = (^, =?*-, О),
1 Вейль не пользуется сингулярными интегральными уравнениями, и его
доказательство ие является полным.

§ 7] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СУЩЕСТВОВАНИЯ ТЕНЗОРОВ ГРИНА
Матрицу
177
. У)
. У)
(ж. У) А2) (ж. У) Л?' (дг, у)
Я (ж. у) =
будем называть вторым статическим тензором Грина, если
а) для х?В и не совпадающих с у выполняются соотношения
о е
Д*#(*>(*. у) = 4* 2 BJ(ft)(*. у) (? = 1, 2, 3), F.32)
1
о
причем Н^(х, у) суть векторы-столбцы матрицы Н(х, у), а век-
вектор %s{k)(x, у) определен в § 4 гл. IV (стр. 91);
б) для xo?S и ?В
lint ТУ/(лг, У)^0;
F.33)
в) для а;, у ? Б
Я(дг, у) = Г(дг,
, у).
где Г(дг, у) есть матрица
Г?* (х, у) fi2) (дг, у) fi3) (дг, у)
Г (ж. У) =
ft" (ж. у) ft2>(Ar, У)
ft1» (ж, у) ff(x, J)
г. У)
определенная формулой D.19) § 4 гл. IV (стр. 92), а ^(дг, у)
есть регулярное решение уравнения
[л Ди + (*•+1*) grad div и = 0.
*
Укажем сначала некоторые свойства матрицы Г(дг, у).
Лемма А. Столбцы матрицы Г(дг, у) по переменной х удо-
удовлетворяют уравнению
» б
ДТ<*> (х, у) = 4т: 2 В*(й) (ж, у) (А = 1, 2, 3). F.34)
l
12 В П. Куппалзе

178 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. ОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VI
*
Лемма В. Строки матрицы Г (л;, у) по переменной у удо-
удовлетворяют уравнению
ДТ(Й) (х. у) = 4тг S »<*) (*. у) '• F.35)
Для доказательства леммы А заметим, что повторный интеграл,
*
стоящий справа в выражении для Г (л;, у) в формуле D.19), пред-
представляет собой число, зависящее от двух индексов; обозначим его
через fsq, тогда можно записать
* о
Г(х, у) = Г(лг, у) — L — M-\-N,
где матрицы L, М, N имеют следующие значения:
L = 24$Vs)(x)* J Г (у,
s-l В
6
М =
*-1 В
Согласно определению произведения а * Ъ /-я составляющая
ft-ro вектора-столбца в матрице L, Z,'/' имеет вид
(/=1, 2, 3), F.35')
где Щ\х) и
ft
обозначают проекции на оси Xj и xk векторов Ш^ (х) и
J Г (у,
1 Вектор !8jft) (л;, у) определен в § 4 гл. IV (стр. 91).

§Я ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СУЩЕСТВОВАНИЯ ТЕНЗОРОВ ГРИНА 179
Элементы столбцов матрицы М (х, у) имеют вид
Mf (х, у) = J ( { Г (х. т)Щ(*> (ij) dc\ Яр (у) (/. ft = 1, 2, 3),
s=i Vs ' /у
F.36")
и, наконец, элементы столбцов матрицы N(x, у) имеют вид
N?4x. у) = 2 2 Ь^Т(х)ftf' (у) С/, ft = 1. 2. 3). F.35'")
Установив это, произведем операцию Д* по переменной л: и по
столбцам над матрицей Г(дг, у); тогда- h*L и h*N обратятся в нули,
ввиду того, что Д*21D) (л;) = 0. Поэтому использовав формулу
Пуассона A.78) при вычислении Д*Ж, получим
4я 2 aw(*)«jf)(y)=4ir 2 «"'Ч*. у)-
s=1 s-l
Тем самым лемма А доказана.
Доказательство леммы В аналогично, если иметь в виду, что
теперь оператор Д* выполняется построчно и по переменной у.
Лемма С. Вектор Т^Г*** (л:, у) ортогонален к системе век-
векторов F.30), т. е.
= 0 (p = l, 2 6; ft = l, 2, 3).
Для доказательства заметим, что так как Tx^s) (х) = 0, то из
F.35') и F.35") имеем
(ж. у) = ТУУ<*> (х, у) = 0 (ft = 1, 2, 3).
и поэтому
J WHx) ¦ ljt{k) (x, y)dSx= J Ш{р) (х) • T/(*> (х, y)dSx —
s s
— J 5l<*> (jc) • TXM^ (x, y) dSx. F.36)
12*

180 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. ОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. Vt
Но
= 21 /Г/
что следует из формулы F.35").
С другой стороны, из F.20') видим, что
J ЭД<» (ж) Т,Г (ж, TtfdS, =
S
Подставив это значение в предыдущее выражение и приняв во вни-
внимание формулы ортонормирования F.31), получим
y) (ft = 1, 2, 3).
Наконец, внеся это выражение в F.36), получим
x = 0 (/>=1, 2 6; ft = 1,2.3), '
5
и лемма С доказана.
Теперь нетрудно получить доказательство теоремы существования.
о
Для построения матрицы W(x, у) необходимо решить гранич-
граничные задачи
lirn Т,Г<*> (jc, у) = ТЖоГ<*> (ж0. у) (ft = 1, 2, 3), ж.
Условия, необходимые и достаточные для разрешимости этих за-
задач (rt), выполнены на основании леммы С и теоремы 7 § 5 настоя-
настоящей главы. Построив таким образом матрицу W(x, у), получим
Н(х, у) = Г(дг, y)-W(x,y).
Эта матрица в силу лемм А и В удовлетворяет всем условиям, ко-
которым по определению должен удовлетворять второй статический
тензор Грина. Из леммы В вытекает также, что по переменной у
о
и построчно матрица Н(х, у) есть решение уравнения
о 6
д*#(*) (*. У) = 4тг 2 8?»(ж, у), F.37)

§7] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СУЩЕСТВОВАНИЯ ТЕНЗОРОВ ГРИНА J8l
где Вш(дг. у) есть k-я строка матрицы ^\х)*Ш{3) (у) (стр. 91).
о
Так как матрица Н(х, у), очевидно, определена с точностью до
б
аддитивного члена вида 2 a*$(i) (*). гДе a* (k=l, 2, 3) не зависит от х,
мы можем выбрать эти последние так, чтобы имели место «формулы
ортогональности»
JH(x,
—1,2 6). F.38)
Введем для этого вместо Н(х, у) новую матрицу со столбцами
о о б
#(*> (х, у)=//<*> (х, у)~2 «'Я'4 (*). х,у?В,
(ft=»l, 2, 3)
и потребуем, чтобы
Wl) = ° (i = l. 2 6).
В силу формул F.31) для этого достаточно выбрать а* следующим
образом:
а*
= J //(*> (*, у) ад(') (ж) ^ж (ft == 1, 2 6).
S
В
Возвращаясь к старым обозначениям, получим F.38). Из формулы
Бетти A.10'), из F.37) и свойства ортогональности F.38) вытекает
симметричность тензоров Грина, а именно:
О @ \* 0 { О V»
И (у, х) = [Н(х, у)), О (у, х) = {0(х, у)).
В приложениях к граничным задачам для неоднородных тел мы
воспользовались представлением решений задач (D^ и G^) с по-
помощью первого и второго тензоров Грина (см. стр. 90—96). Выве-
Выведем здесь соответствующие формулы. Применяя формулу A.61)
к вектору И (х) — решению задачи (Dj), существование которого уже

182 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. ОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VJ
О О О
доказано, и к тензору Грина G (х, у) = Т(х, у) —г» (л-, у), будем
иметь
i fu(y)TyO(x, y)dSyK x?B.
Но в силу симметрии и свойства 2) тензора Грина получаем
о
G(x,y) — 0 при х?В и у ?S
и
а <*> = 5Г
где /(д:) есть граничное значение вектора и (х).
Отсюда следует, что
(f(y)TyQ(x, y)d5, = W(*o). F.40)
Обратимся к выводу формулы представления для решения второй
задачи, т. е. задачу G^). Пусть выполнены условия F.28), тогда по
теореме 7 § 5 решение существует. Обозначим его через а (х)
и применим формулу Бетти в области В к векторам а (х)
о
и Н{к)(х, у), ft=l, 2, 3. Так как
Щх. у) = $(х. y) — W(x, у),
в точке у = х имеется полюс. Из области интегрирования исклю-
исключаем сферу z(x; e), описанную около точки х как центра; принимая
о
во внимание уравнение F.37), которому удовлетворяет Н(к)(х, у),
ft = l, 2, 3, будем иметь
б
4* / а (у) J] »<•> (у) * 5l<*> (x) doy=
= J [- k(x. у) Та (у)+(ту Н(х, у)) и (у)] dSr
1 Здесь, в отличие от формулы A.61), за положительное направление
принято направление внутренней нормали.

J7] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СУЩЕСТВОВАНИЯ ТЕНЗОРОВ ГРИНА 183
Но
ТуН{к)(х. у) = 0.
Т«(у)=/(у). у 6 5,
поэтому, переходя к пределу при е-»-0, получаем (§ 6 гл. I)
s в *1
F.41)
К этому решению можно добавить произвольную линейную комби-
комбинацию векторов 5l(lS) (x), представляющих собой решения однородной
задачи. Если, однако, введем нормирующие условия
= 0 (s=l,2 6), F.42)
то решение определится однозначно, как это вытекает из F.31).
Из условий F.42) следует
б
В S-1
В самом деле, согласно определению произведения а *Ъ имеем
6 6
fa (у) 2 Ws) (У) * 51(*> (х) *>,=
В i-l
Поэтому F.41) принимает следующий вид:
Ввиду F.38) решение, выражаемое этим равенством, действительно
удовлетворяет условию
,-0 (*=1, 2 6).
в
Из F.43) вытекает, что
Urn
х [Н(х, y)f(y)dSy = — 4«f(xJ. F.44)
На этом заканчиваем рассмотрение статических задач для одно-
однородных тел и переходим к рассмотрению задач о колебаниях.

184 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. ОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VI
§ 8. Однородные динамические задачи (#?) и (т1). Спектр
собственных частот. Решения однородных динамических задач
(D?) н (т]) можно выразить через решения некоторых однородных
систем интегральных уравнений Фредгольма с симметричными ядрами.
Для задачи (?)?) эти уравнения имеют вид
«(*) = ?/ О (*¦ У)«(У) dar F-4l°)
в
о
где О (х, у) есть первый статический тензор Грина, а для задачи
это будут уравнения
а {х) = i I н {х-у) а (у) dcr F-42°)
в
о
где Н(х, у) есть второй статический тензор Грина.
Выполнив операцию Д* над обеими частями равенства F.41°),
получим на основании формулы A.78)
Д*и(лг) + (о2и(д;)==0. F.43°)
С другой стороны, переходя к пределу в равенстве F.41°) при
x->xo?S, учитывая свойство 2) для первого статического тензора
Грина, получаем
lim и(лг) = О. F.44°)
?S
Таким образом, вектор и(х), удовлетворяющий однородному инте-
интегральному уравнению F.41°), удовлетворяет также уравнению F.43°)
и граничному условию F.44°), т. е. является решением динамической
задачи (Д-).
Подобно предыдущему, совершая операцию Д* над обеими ча-
частями'равенства F.42°), учитывая формулу A.78), получаем
Д*и (*) + о>2й (*) = -g f Д* [ Н (х, у) а (у)] dar
в
Но на основании F.32) выражение, стоящее справа под интегралом,
есть
(?Н(х, у)) и (у) = 4тг B 2Р> (х) * «о (у)) а (у),
и ввиду F.42°) и F.38) интеграл по объему В от этого выражения
равен нулю; итак, окончательно имеем

§8] ОДНОРОДНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ (D°) И (Т?) 185
С другой стороны, составив выражение Та (х) и перейдя к пре-
пределу при х->х0, получим из F.42°), учитывая граничное свойство
второго статического тензора Грина,
Mm 7а(х) = 0. F.45°)
Отсюда ясно, что вектор и (х), удовлетворяющий однородному ин"-
тегральному уравнению F.42°), удовлетворяет также уравнению F.43°)
и граничному условию F.45°) и, следовательно, является решением
динамической задачи G^). Однородные интегральные уравнения
¦? /О(х, y)U(y)day = 0, F.41°)
а {х) — ТБГ / Н(х< У)« (У) day'= ° F-42°)
в
на основании свойств статических тензоров Грина являются одно-
однородными системами Фредгольма с симметричными ядрами; отсюда
по теореме Гильберта следует существование дискретного спектра
собственных чисел или собственных значений параметра и>2, для
которых уравнения F.41°) и F.42°) имеют отличные от нуля реше-
решения. Имея в виду механическое значение параметра со2, будем
называть эти числа собственными частотами однородных задач (Df)
и (Г?); иногда мы будем их называть также характеристическими
числами.
Покажем теперь, что собственные частоты однородных задач (D?)
и (Г?)—неотрицательные числа. Пусть ш? и (о| — некоторые собствен-
собственные числа соответственно задач (Df) и (Г?), а иA) (х) и иB) (х) — со-
соответствующие решения уравнений F.41°) и F.42°). Подставим эти
значения ш2, ФЦх) и со2, а^2)(х) в формулу Бетти A.9'), в обоих
случаях в силу граничных условий получим
J [
в
J [W («<*». «<*>) — g>2«<*> • И<*>]dax=0 (k = 1, 2)
в
— равенства, которые не могут иметь места для отрицательных
значений ш2, ft=l,2, но могут реализоваться при 0J = 0, если
только иB) (х) есть вектор жесткого смещения. Таким образом,
доказана
Теорема 9. Внутренняя однородная динамическая за-
задача (Df) имеет дискретный спектр собственных частот,
являющихся характеристическими числами интегрального
уравнения F.41°); эти числа строго положительны.

186 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. ОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VI
Внутренняя однородная динамическая задача (Г?) имеет
дискретный спектр собственных частот характеристических
чисел интегрального уравнения F.42°). Эти числа положи-
положительны или равны нулю, причем а>2 = 0 есть собственное число
шестого ранга и соответствующие решения выражаются
системой векторов F.27').
§ 9. Обобщенная теорема Ляпунова — Таубера. По аналогии
с известной теоремой из теории гармонического потенциала о непре-
непрерывности нормальной производной потенциала двойного слоя здесь
доказывается
Теорема 10. Если существует один из пределов (TW(x))a
или (TW4#))i. принадлежащий классу Н (классу Гельдера),
регулярного соответственно в Ва и Bt потенциала двойного
слоя W(x), то существует и другой и при этом имеет место
равенство
a
Эту теорему мы называем обобщенной теоремой Ляпунова —
Таубера, имея в виду указанную выше аналогию. Очевидно, дока-
доказательство ее без ограничения общности можно вести в предположе-
предположении (о = 0.
Пусть существует предел извне (TW(x))a класса Н. Построим
в области Bt потенциал простого слоя
/
s
удовлетворяющий граничному условию
Для неизвестной плотности ф (У)> учитывая формулы B.5), полу-
получаем интегральное уравнение
* (*о) + J К (х0, у) ф (у) dSy = TaW (дго) К F.45)
Как мы уже знаем из § 5 настоящей главы, для разрешимости
этого уравнения необходимо и достаточно, чтобы выполнялись усло-
условия (см. F.27))
/ (TeW(y)) tp' (у) dSy = 0 (s = 1, 2 6п), F.46)
1 TelV(Ar0) здесь обозначает lim (TW (*))', причем х?Ва, xo?S.

g 8] ОВОВЩЕННАЯ ТЕОРВМА ЛЯПУНОВА - ТАУВЕРА 187
где <?*s(x), s = l, 2 6я, есть полная система линейно-независи-
линейно-независимых решений союзного однородного уравнения (?>о):
Ч, (*) + f Ч', О» К (у, х) dSy = 0. F.47)
Мы знаем также, что векторы if*(x), 5=1,2 6я, опреде-
определены формулой F.21') и могут быть выражены в виде линейной
комбинации потенциалов простого слоя (см. § 3)
V(x; ф<*>).
где $w (x), s=l, 2, .... 6п, есть полная система решений одно-
однородного уравнения, соответствующего уравнению F.45). Поэтому
условия разрешимости могут быть записаны в следующем виде:
fv(y; Vs))TaW(y)dSy = 0 (s=l, 2, 3 6я). F.46')
s
Записав предельное значение заданного потенциала двойного слоя
«извне», по формулам B.1) получим
Wa (х)=? (х) + / ? (у) К (у, х) dSy.
Рассматривая это равенства как интегральное уравнение относи-
относительно {р(лг) при заданном Wa(x) и применяя третью теорему Фред-
гольма, получаем
= 0 (s=l, 2, 3 6«). F.48)
Так как V(x, фD)) и W(x) — регулярные в Ва решения уравнений
теории упругости, то в Ва к ним применима формула Бетти
0= f[V(x; ф<4>)A'W(*)— W(x)b*V(x;
TaW- Wa(TV)a]dSx. F.49)
Ba
5
Согласно B.5) имеем
(xo?S), ... F.50)
Но в данном случае

188 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. ОДНОРвДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VI
поэтому из F.50)
{IV{х; ф«))в = Urn TV(x; ф<*>) = -2ф<
х?Ва, x^S (в=1, 2 6л).
и, следовательно, ввиду F.48) из F.49) имеем
= 0 E=1,2 6л), F.46')
что и нужно было показать. Рассмотрим вектор
<*¦у) *(у) dSy —к f^(х'у) *(у) dSr F-5
i i
где V (х; «J») — потенциал простого слоя, только что построенный.
Пользуясь формулой B.5)
(TV (х; ф))в —(TV(*; ф) )i = - Ц
и учитывая, что согласно построению
из F.51) получаем
(ТО(*))в = ф(*о). F.52)
Ввиду того что Q(x) есть регулярное в Ва решение уравнений
упругости, его можно выразить с помощью формулы Бетти таким
образом:
О (*) = -5Г / ft (*¦ У) 2а (У) - Г (х, у) (TQ (у) )а] dSy. F.53)
i
Составляя разность F.53) и F.51) и учитывая F.52), будем иметь
i" / Г, (х, у) [Qa (у) - f (у)] dSy = 0, д; ^ Ва. F.54)
i
В последнем равенстве перейдем к пределу извне при стремлении
точки jc к точке jc0 на S, тогда по формулам B.1) получим
[Qa (*0)^-cp (jt0)] + f [Qa (у) - ср (у)] К (у, х$ dSy = 0. F.55)

$9] ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА - ТАУВЕРА 189
Это однородное уравнение (D°a), и его общее решение, как известно
из § 3, имеет вид
. 6я
S4 S S
где Cs — произвольные постоянные; поэтому
®а (*о) = ? (*о) + 2 Сш* (jc0). F.56)
2
Пусть теперь точка х лежит в Bt, тогда
О = / [г, (х, у) Qa (у) - Г (х, у) (TQ (у)) J dSy,.
5
5
и на основании F.52) и F.56) можем записать
fin
о
Г, (*, У) ? (У) dSy + 2 Cs f Г1 (л- У) Я
1 S
— J Г (дг, у) ф (у) dSy = 0, jc g Вг. F.57)
s
/
S 4=1
J
s
Заметим теперь, что потенциалы двойного слоя
W(x, 9^ (в=1. 2 6л),
как регулярные в 5а решения однородных задач
равны в Ва тождественным нулям. Согласно теореме 5 гл. III, § 4
на основании формул B.1) можем написать
6я 6я
Выбрав произвольные постоянные так, чтобы 9*0*0 совпали с пре-
предельными значениями потенциалов простых слоев V(x; $(i))> s = l,
2, .... 6л, будем иметь
где Л^ — подобранные должным образом постоянные. Подставив W*(x)
в F.57), получим
бп
W(x;Q—V(x; ф) + 2 Л,V(*; фD)) = 0.

190 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. ОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VI
но (TV(x; <5>(i)))f = 0, и, следовательно,
(TW(x; 9)), = (TV(*; ф)),.
Заменив правую часть равным значением, получим
(JW(x; <p))t = (JW(xi 9))e.
и теорема 10 доказана.
§ 10. Связь между решениями однородных задач и уравне-
уравнений (Di), (T°i) и (Т°а), (/>?). Существует связь между решени-
решениями внутренних и внешних однородных задач, которая основана
на следующих теоремах.
Теорема 11. Необходимым и достаточным условием для
того, чтобы уравнение (D°a) имело нетривиальное решение,
является равенство параметра ш2 одной из собственных
частот задана (Г?).
Если ш2 есть ^-кратная собственная частота для задачи (Г?),
то интегральное уравнение (D°a) имеет v линейно-независимых
решений, и они совпадают с граничными значениями решений
задачи (Г°).
Теорема 12 Необходимым и достаточным условием
существования нетривиального решения уравнения (Т°а) является
равенство параметра ш2 одной из собственных частот за-
задачи (р%
Если ш2 есть ч-кратная собственная частота для за-
задачи (Dj), то интегральное уравнение (Га) имеет v линейно-
независимых решений, и они совпадают с граничным значе-
значением "[-операции от решений задачи (D?).
Заметим, что частным случаем теоремы 11 при ш = 0 мы вос-
воспользовались в §§ 5 и 9, когда фундаментальные решения ?*(#),
s=l, 2 6л, выразили в виде линейной комбинации векто-
векторов V(x; ф<*>).
Докажем теорему 11. Необходимость. Если ш2 отлично от
собственных частот задачи (Г?):
-!>(*) = 0,
х -> х0 ? S,
то уравнение (D°a):
? (*о) + / ? (У) К (У, х0) dSy = 0 (D°)

§ 10] СВЯЗЬ МЕЖДУ РЕШЕНИЯМИ ВНЕШНИХ И ВНУТРЕННИХ ЗАДАЧ 191
имеет только тривиальные решения. Допустим противоположное.
Тогда, по второй теореме Фредгольма, союзное уравнение
Ф(*о)-Ь (К(х0, x)^{x)dSx — Q (Г?)
также будет иметь нетривиальные решения ф^ ф2 и потенциалы
простого слоя V(x; фй), для которых плотностями служат эти
решения, будут в свою очередь решениями задачи (Г?). Но так как со2
отлично от собственных частот этой задачи, по теореме 9 найденные
решения должны быть тождественными нулями в Bt, т. е.
V(jc; ф4) = 0. x^Bt.
Отсюда из непрерывности потенциалов простого слоя следует
и так как на бесконечности V(x; фл) удовлетворяют условиям излу-
излучения, то по теореме 1 § 4 гл. Ill V (х; фй)==0 в Ва, и отсюда
по свойству потенциалов простых слоев, согласно с B.5), фА(лго) = О,
Л=1. 2, ...
Это противоречие доказывает необходимость условия.
Достаточность. Пусть со2 есть v-кратная собственная частота
задачи (Г°) и иA) (х), иB) (х), .... a(v) (x) — соответствующие линейно-
независимые решения ее. Пусть — 2r(l)(jc), —2rB) (jc), ..., —2f(x)
есть граничные значения a(ft) (дг) на S. Последние также линейно-
независимы. В самом деле, если бы имела место зависимость
ъ *
r<m> (ж) = 2' сьг(к) (х) '¦ т0 вект°Р «(*) = «(/B) (*) — S' cft«(ft) (*)
*=i *=i
был бы решением уравнений теории упругости, удовлетворяющим
на 5 граничным условиям иг = 0, (Ja)i = 0. Но такое решение, как
это ясно из A.60), есть тождественный нуль, и мы имели бы
v
«С") (#)= 2'САа(А) (х), что противоречит линейной независимости
k = 1
векторов a(ft) (jc). Векторы a(ft) (дг), А=1, 2 v, по теореме 9
настоящей главы удовлетворяют интегральному уравнению F.42°), и
поэтому их первые производные в замкнутой области В принадле-
принадлежат классу Гельдера (см., например, [21], гл. II). Этого, очевидно,
1 Штрих при знаке суммы подразумевает пропуск значения k = m при
суммировании.

192
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. ОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ
[ГЛ. VI
достаточно для того, чтобы к этим векторам применить формулу
A.63). Учитывая при этом, что Т^(А> (х0) = 0, будем иметь
=l, 2 v), F.58)
где
Ь(х) =
1.
0.
х?В,
Полагая х ? В Ц- 5, переходим к пределу при стремлении точки
к граничной точке jc0 извне. При этом получаем
(*о> + i
(У) rf5y = 0
или, так как (см. стр. 57)
^ Г, (х0. у) г<*> (у) = /f• (у, х„) г<*» (у) = г<*>
окончательно будем иметь
r{k) {x0) -f J r<*> (у) К (у; х0) dSy = 0.
(у, х0),
{D°a)
Это показывает, что r(ft) (jc0), ft=l, 2, ..., v, действительно
являются решениями уравнения (D*?), как это утверждается в тео- •
реме 11. Остается показать, что это уравнение других линейно-
независимых решений не имеет. Допустим противоположное. Тогда,
по второй теореме Фредгольма, вместе с уравнением (D°a) и уравне-
уравнение (Г?) имеет р. > v линейно-независимых решений
Х0 6 S.
Ясно, что потенциалы простого слоя
V(x; <jk) (k=\, 2 (г)
суть решения задачи (Гг), но так как эта задача для данного значе-
значения (в2 имеет лишь v линейно-независимых решений, то
V(x; *,)=

§ 10] СВЯЗЬ МЕЖДУ РЕШЕНИЯМИ ВНЕШНИХ И ВНУТРЕННИХ ЗАДАЧ 193
ИЛИ
= О,
(r = v+l, v+2, (j.).
Рассмотрим потенциал простого слоя
уМ />\ _ JL / Г (х 1
F.59)
-¦5 =
На основании F.59), а также вследствие непрерывности потенциала
простого слоя
и вследствие выполнения на бесконечности условия излучения
V^r)(je) = O, x?Ba, но тогда по формулам B.5) получим
= v+l, v
это противоречие доказывает, что (х = v. Достаточность, а с нею и
теорема 11 доказаны.
Перейдем к доказательству теоремы 12.
Необходимость. Пусть ш2 не есть собственная частота задачи
тогда уравнение
будет иметь только тривиальное решение. Допустим противополож-
противоположное; тогда по второй теореме Фредгольма союзное уравнение
Щ(х) = 0,
I- {К(х0,
— J $(x)K(x, xo)dSx = O
s
также будет иметь нетривиальные решения <J>i (jc), ф2 (jc) фг (д;).
Построим потенциалы двойного слоя, для которых плотностями будут
эти решения:
W(x; ^)^~
= l, 2 г).
13 В. Д. Купрадзв

194 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. ОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VI
Эти потенциалы, очевидно, представляют собой решения задачи (D?).
Но ввиду того, что ш2 отлично от собственных частот этой задачи,
по теореме 9 настоящей главы (D?) имеет лишь нулевое решение,
и, следовательно,
W(x; фА) = 0, Х?В, (*=1. 2 г).
Отсюда, учитывая теорему 10 настоящей главы, получаем
(TW(x; фА))а = 0 (*=1, 2 г),
и так как, кроме того, W(jc;' <j»ft) удовлетворяют на бесконечности
условию излучения, то по теореме 1 § 4 гл. Ill W(x; фА) = 0, х?Ва.
Отсюда же с помощью равенства B.1) получаем, что <j»ft (jc0) = 0,
ft=l, 2 г. Это противоречие доказывает необходимость усло-
условий теоремы 12.
Достаточность. Пусть ш2 есть v-кратная собственная частота
задачи (D?) и иA) (х) . . . e(v)(jc)— соответствующие линейно-независи-
линейно-независимые решения. Из F.4Г) следует, что их первые производные при-
принадлежат классу Н в замкнутой области В (см. [21], гл. II).
Обозначим через 2г1 {х), 2г2 (х) 2г„ (jc) граничные значения
Тг»(А) (х), k = l, 2, ..., v, на S; линейная независимость гк (х)
в данном случае доказывается так же, как выше это было сделано
относительно r<*'(jc). Применяя снова A.63) и учитывая граничные
условия, найдем
(*.«г,(У)йу-( Q х|_ F.590
Рассмотрим Т-операцию от второго из последних равенств и
перейдем к пределу при стремлении извне точки jc к граничной
точке jc0 на S; тогда по формулам B.5) получим
Это доказывает, что векторы гк (х0), k=\,2 v, действительно
являются решениями уравнения (Г„), как это утверждается теоре-
теоремой 12. Остается показать, что уравнение (Т°а) не имеет других ли-
линейно-независимых решений. Допустим противоположное, и пусть
уравнение (Г„) имеет jj. > v линейно-независимых решений; тогда по
второй теореме Фредгольма союзное уравнение (D?) тоже имеет р. > v
решений OTj (jc) ог^ (jc); построим потенциалы двойного слоя
W(jc; ог4), которые, очевидно, суть решения задачи (D"). Но так как

{ II] ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛЮСОВ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 195
для данного ш2 эта задача имеет лишь v линейно-независимых реше-
решений, то для x?Bt должно быть
V
W(x; <тг) = 2 CkrW(x; <зк) (r = v+l, v + 2, .... ц). F.60)
Рассмотрим потенциалы двойного слоя
dSy
S _ ft=I _
(r = V-4-l, V-4-2 [A).
Из равенства F.60) следует, что в В{ эти потенциалы равны нулю;
поэтому по теореме 10 настоящей главы будем иметь
(TW*V))e = 0 (Г = v + 1. v + 2 р.).
и так как W^\x) удовлетворяют на бесконечности условиям излу-
излучения и являются решениями уравнений упругости, то по теореме I
§ 4 гл. Ill W{? (х) — 0, х?Ва, но тогда по формулам B.1)
что противоречит линейной независимости векторов sk (x), k = \,
2, ..., (j.. Это показывает достаточность условий теоремы 12 и вместе
с тем доказывает теорему полностью.
§ 11. Исследование полюсов резольвенты. Из теорем 11 и 12
предыдущего параграфа очевидно, что при некоторых значениях пара-
параметра ш2х — — 1 есть характеристическое число для уравнения
y = 0 .F.61)
s
и х = -(-1 есть характеристическое число для уравнения
= 0. F.62)
Покажем, что эти характеристические числа являются простыми по-
полюсами соответствующих резольвент. Допустим противоположное, и
пусть х = —1 есть полюс р-того порядка, где р > 1. Тогда согласно
E.6Ц) и E.612) будем иметь ,
. У) -4- / ЛГ (лг,
5
F.63)
13*

196 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. ОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VI
при этом 5(p)(jc, у) и В*р~1\х, у) тождественно в нули обратиться
не могут. Отсюда на основании третьей теоремы Фредгольма сле-
следуют равенства
= Q (* = 1. 2 v), F.64)
где y*k(x), A=l, 2, .... v есть полная система линейно-независи-
линейно-независимых решений союзного однородного уравнения
По теореме 11 эти решения совпадают с граничными значениями
потенциалов простого слоя, в которых линейно-независимые решения
уравнения
$(x) + fK(x. y)$(y)dSy = 0, (Г?)
. s
будут плотностями и которые имеют следующий вид:
(*=Ь 2, .... v). F.65)
Покажем, что вместе с этими потенциалами и комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженные потенциалы (это будет обозначаться волнистой чертой)
V (х, $ft) = JL / Г (х. у) $4 (у) rf5y F.66)
образуют своими граничными значениями полную систему фундамен-
фундаментальных решений уравнения (/)„). В самом деле, с помощью фор-
формулы Бетти A.63) потенциалы V(x; $t) представляются на 5 сле-
следующим образом:
V (*„: $*) = ^г / 1Г (*о. У) (ТVL—Г, (*„. У) V (у;
r
s
Но (TV); = 0, потому что (TV)[ = 0, и, следовательно,
v (у; фй) ^ (у. Хй) dS^O.

§ 11] ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛЮСОВ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 197
Это как раз то, что нужно было показать. Поэтому условия разре-
разрешимости F.64) могут быть еще записаны в следующем зиде:
J В<" (*, у) ¦ V (х; $t) dSx = 0. F.67)
Пусть за вектор В^ (х, у) выбрано некоторое решение^уравнения
(Г?), например ф? (х), q ^ v; оно должно быть ортогонально ко всем
V(x; фй) и, в частности, к V(x; ^T?). Нетрудно заметить, что
V(x; %)•% — %• V(x; ^) = 2ilmlV(x; $g). ф?]. F.68)
В области В'а, заключенной между S и сферой Ел достаточно боль-
большого радиуса R с центром внутри В, применим формулу Бетти
к векторам V(x; ф?) и V(x, ф?).
Так как оба эти вектора являются здесь регулярными решениями
уравнения
Д*»-Н(в2«^=0,
то будем иметь
[V(x; %)-(JV(x; ^))a-V(x; $e).(TV(x; ^))e]d5x = 0. F.69)
Но ввиду того, что (TV)(- = 0 по условию, из B.5) следует, что
на S
(IV(х0; ф,))в = -2фв
поэтому из F.69) получаем
f[V(x; ^g)^q(x)~ V(x; $q)$t
s
— JlV(x;
или, ввиду F.68) и F.67),
f[V(x; ^)(JV)-V(x;
s
J = 0. F.69')

198 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. ОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VI
С другой стороны, справедливо равенство
f IV,(TV,) - Vq (TV,)]* dSx = J [V,,„(TV,,,-to yT+ljTv,, p)-f-
Выражение, стоящее справа, упрощается ввиду условий излучения
C.15), C.16), C.52) — C.55),* и на основании F.69') получаем
Отсюда
и на основании теоремы 2 § 4 гл. III
ф,) = 0. х?Ва (д=\, 2 v).
Отсюда, ввиду того что ГУ (х; ф?)г = 0. а также по свойствам
потенциала простого слоя, вытекает ф? (х0) = 0; это противоречие
показывает, что
Р=1.
Этот результат (см. следующий параграф) играет важную роль
в теории граничных задач эластопотенциалов. Существенно поль-
пользуется им и Вейль для своих задач в работе [4а], но без необходи-
необходимых доказательств; при этом в некоторых случаях, которые рассмо-
рассмотрены Вейлем, по крайней мере неприменимо приведенное выше
доказательство.
1 Здесь Vq=V(x; ф,), Vq = V(x; <р„), Vq, p и Vq, p — потенциальные
составляющие; Vq и Vq, Vq,s и Vq, s — соленоидальные составляющие.

I 12] ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАВ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (Da) И (TQ) 199
§ 12. Теоремы существования для динамических задач (Da)
и (Та). Результаты, установленные в §§ 11 и 10, позволяют дока-
вать следующие теоремы существования для внешних задач (Da)
и (TJ.
Теорема 13. Внешняя неоднородная динамическая задача
(Da) имеет, и притом единственное, решение для произволь-
произвольного граничного задания класса Н и при любом значении пара-
параметра и2. Решение выражается потенциалом двойного слоя
{первого рода), если м2 отлично от собственных частот вну-
внутренней задачи (T°i), и линейной комбинацией потенциала двой-
двойного слоя с некоторыми потенциалами простого слоя, если м2
есть одна из собственных частот задачи (Т1}).
Теорема 14. Внешняя неоднородная динамическая задача (Та)
имеет, и притом единственное, решение для произвольного
граничного задания класса Н и при любом значении пара-
параметра и2. Решение выражается потенциалом простого слоя
(первого рода), если м2 отлично от собственных частот вну-
внутренней однородной задачи (Di), и линейной комбинацией потен-
потенциала простого слоя с некоторыми потенциалами двойного
слоя (первого рода), если «о2 совпадает с какой-либо собствен-
собственной частотой задачи (Di).
Докажем теорему 13. Для этого рассмотрим отдельно случаи,
когда: а) и2 не является собственной частотой задачи (Г?) и б) и2
есть собственная частота задачи G\). В'случае а) согласно теореме 11
однородное интегральное уравнение (D^) имеет только тривиальное
решение и, следовательно, по первой теореме Фредгольма неодно-
неоднородное уравнение (DJ имеет, и притом единственное, решение, кото-
которое и является решением задачи (DJ. Однородная задача (D°a) по
теореме единственности имеет лишь нулевое решение, и, следова-
следовательно, решение неоднородной задачи (Da) выражается единственным
образом в виде потенциала двойного слоя (первого рода). В случае б)
согласно той же теореме 11 неоднородное уравнение (Da) разрешимо
только при выполнении условий
, = 0 (k=\, 2 v), F.70)
где f(x) есть заданный вектор класса Н граничных извне значе-
значений, а |фа(х)}, Л=1, 2, ..., v, — полная система фундаментальных
решений союзного однородного уравнения (Г?). Ввиду произвол1 -
ности f(x) условия F.70), вообще говоря, не будут имгть места,
поэтому вместо f(x) введем вектор

200 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. ОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VI
определенный на 5 и удовлетворяющий здесь условию Гельдера, так
как векторы «pi (*)• Ъ (*) ?v (*)• как решения однородного
интегрального уравнения (Da), принадлежат классу Н. Ввиду тоге
что полюс резольвенты согласно доказанному в § 11 простой, можно
воспользоваться для союзных систем фундаментальных векторов
фх. Фа Ф, (*)
формулами биортонормировки E.78), и тогда, если постоянные Ak
выбраны так, что
Ak = Jf(x)$k(x)dSx (ft = l. 2 v),
будем иметь
J = l. 2 v).
J
Решив интегральное уравнение
>, x)dSy = F(x),
по третьей теореме Фредгольма построим потенциал двойного слоя
W(x; «p), граничное значение извне которого будет равно F(x).
Рассмотрим вектор
U(x)=W(x; ?)-S^V(дг; ф4).
ft=i
где V (х; <j»ft) — потенциалы простого слоя — решения задачи (Г?).
По теореме 11 на граничной поверхности 5 они совпадают с реше-
решениями уравнения (?>а): <$\(х) ... 5pv(x). Следовательно, вектор U(х)
принимает на 5 предельное извне значение, равное f(x). С дру-
другой стороны, этот вектор в Ва удовлетворяет уравнениям Д'и-f-
-(-(в2а = 0, а на бесконечности — условиям излучения. Мы построили
регулярное решение задачи (D^; оно выражается единственным обра-
образом в виде линейной комбинации потенциалов двойного и простого
слоя, и, следовательно, теорема 13 доказана.
Докажем теорему 14. Как и в предыдущем случае, здесь разли-
различаются два случая. Когда и2 не совпадает с собственной частотой
задачи (D°), уравнение (Га) по теореме 12 § 10 настоящей главы
имеет лишь тривиальное решение, и неоднородное уравнение (Га)
разрешимо по первой теореме Фредгольма. Так как задача G^) по
теореме единственности имеет лишь нулевое решение, задача (Та)

$12] ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАН. ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (Оа) И (Та) 201
в рассматриваемом случае имеет единственное решение, которое
выражается при помощи потенциала простого слоя. Рассмотрим теперь
тот случай, когда м2 принимает значение одной из собс^енных частот
задачи (D°). В этом случае согласно теореме 12 для разрешимости
уравнения (Та) необходимо и достаточно соблюдение условий
= 0 (А=1, 2 v),
где f(x) есть заданный вектор (класса Н) граничных извне зна-
значений, а орх (л:) epvM — полная система фундаментальных реше-
решений однородного союзного уравнения
?(*) — /*(У)*(У. x)dSy = 0. (D?)
s
Как и выше, вводим вектор F(x) класса Н, определенный на 5:
=/(*)+2 л*Ф*(*)-
А 1
Здесь 4»i (х), ..., ф,(л) — полная система линейно-независимых реше-
решений уравнения (Та). Интегральное уравнение
? (х) — J К(х, у) f (у) rf5y = F{x) F.71)
разрешимо по третьей теореме Фредгольма, если постоянные Ak
выбраны следующим образом:
(k=l. 2 v).
Это следует из формул биортонормируемости E.78), которые и
в данном случае, очевидно, остаются в силе. Решение уравнения
F.71) позволяет построить потенциал простого слоя V(x; ер), и
Т-операция над этим потенциалом в пределе извне на 5 равна
вектору F(x).
Рассмотрим вектор
где W(x; ер*). А=1. 2, ..., v — потенциалы двойного слоя — ре-
решения задачи (Di), Т-операции над которыми согласно теореме 12
§ 10 принимают на 5 предельные изнутри значения, равные фА (х),
т. е. равные решениям уравнения (Т°а).

202 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. ОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VI
По теореме 10 § 9 настоящей главы эти же значения принимают
Т-операции от W(x; qps) извне на 5. Отсюда ясно, что вектор
TU(х) принимает на 5 предельные извне значения, равные f(x).
С другой стороны, U (х) есть регулярное в Ва решение динамиче-
динамических уравнений теории упругости и по теореме единственности
является однозначно определенным решением задачи (TJ.
Теорема 14 доказана.
§ 13. Теорема существования для внешней смешанной дина-
динамической задачи (Ма). Опираясь на теорему единственности 3 § 4
гл. III, можно доказать следующее положение.
Теорема 15. Смешанная динамическая внешняя задача (Ма)
имеет, и притом единственное, решение для произвольного
граничного задания класса Н. Решение выражается потен-
потенциалом простого слоя, если ш2 отличны от собственных час-
частот задачи (D?), и представляется в виде линейной комбина-
комбинации некоторых дискретных потенциалов типа простого слоя,
если ш2 совпадает с одним из исключенных выше значений.
Ищем решение задачи (Ма) в следующем виде:
= ~fr (х, у) f (у) dSy
где As— неизвестные постоянные, г — некоторое, пока не опреде-
определенное натуральное число, y(iS) — фиксированные точки, лежащие
в Bj, Г(*'(д;, у), А=ж 1, 2, 3, — А-й вектор-столбец матрицы Г(лг, у).
Тогда, учитывая формулы B.5), для неизвестного вектора ф (у) по-
получим интегральное уравнение
F.73)
Покажем, что однородное уравнение, соответствующее уравнению
F.73), имеет лишь тривиальные решения в том случае, когда пара-
параметр иJ отличен от частот собственных колебаний задачи (D?). Для
этого допустим противоположное, и пусть ф (х) есть нетривиальное
решение уравнения
У) + о (*).Г (*. У)] ф (У) dSy = 0.

$ 13] ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ ЗАДАЧИ (.WQ) 203
Воспользуемся этим решением как плотностью для построения потен-
потенциала простого слоя V (х; ф), тогда получим граничное равенство
(IV (х; ty + a(x)V(x; ф))в = 0. F.74)
С другой стороны, ввиду того что во внешней области Ва V(х; ф)
является регулярным решением уравнений упругости, из теоремы
единственности 3 § 4 гл. III и из условия F.74) вытекает, что
V(x; ф) = 0 в Ва. Отсюда ввиду непрерывности потенциала про-
простого слоя имеем на 5 изнутри
V,(x; ф) = 0;
но в Bt V (x; ф) также есть решение уравнений упругости, и так
как ш2 отлично от характеристических значений, то V (х; ф)==0
в В{, отсюда на основании B.5) Следует, что ф(л:)==О. Это проти-
противоречие доказывает наше предложение, и в этом случае неоднород-
неоднородное уравнение F.73) разрешимо в предположении, что As — 0, s= 1,
2 г. Решение задачи выражается потенциалом простого слоя,
и первая часть теоремы доказана. Пусть теперь со2 принимает одно
из характеристических значений, исключенных выше, и пусть й, (л:),
$2(х) tyr(x) СУТЬ полная система линейно-независимых решений
союзного интегрального уравнения
— ф (х) + / ф (у) [К (у, *) + о(у)Г(у. x)]dSy = 0. F.75)
s
Тогда необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения
F.73) могут быть записаны в следующем виде:
()) = /m («=1. 2 г, А=1. 2, 3). F.76)
s = \
где
Ясно, что если из системы уравнений F.76) можно найти постоян-
постоянные As, s=l, 2 г, то F.72) даст решение задачи, и тео-
теорема 15 будет доказана. Но для того, чтобы из F.76) можно было
определить As, достаточно показать линейную независимость D(m(y),
т=\, ..., г, при y^Bi хотя бы для одного из значений k=l,
2, 3. В самом деле, в этом случае можно выбрать г точек y(i) в Bf

204
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. ОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ
[ГЛ. VI
так, чтобы хотя бы для одного из k = l, 2, 3 соблюдалось условие
...М*>(у,)
• ¦ • DP (у,)
ф 0.
F.77)
Допустим, что предположение о линейной независимости D{m(y)
при у?В( неверно и
а {х) Г<*> (*; у)]
= 0,
где
2
5=1
F.78)
F.79)
и хотя бы одна из постоянных Cs отлична от нуля. Тогда, следуя
работе Т. Бурчуладзе [2; а], рассмотрим смешанный потенциал, опре-
определенный во всем пространстве у ? Bt -f- Ba:
Q (у) = W(y; ф) + V (у; оф), F.80)
где
о (х)
V (у; вф) = ^
Нетрудно заметить, что, когда у ? Bt, из F.78) имеем
О 00 = 0. F.81)
Пользуясь свойствами потенциалов простого и двойного слоя B.1)
и B.5), можем записать на основании F.80) и F.81')
0 = Q2 (у0) = — Ф (Уо) 4- W (у0; ф) + V, (у„; оф) уо € 5,
Оя Со) = Ф Со) + W(у0, ф) + Ve (у0; оф) = Qt (у0) + 2ф (у<) = 2ф (у0)
и
O = T,Q(yo) = T(W(yo; ф) + о(у0)ф(у0) + Т^(у0; оф), F.82)
TaQ(y0) = TeW(y0; ф) - о (у0) ф (у0) + TV (у0; оф), у0 6 5. F.83)
Отсюда, применяя обобщенную теорему Ляпунова — Таубера и учи-
учитывая, что существование TjW(y0; ф) вытекает из F.82), получаем,
вычитая F.82) из F.83),

Я4] ЗАМЕЧАНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОЛЮСОВ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 205
Окончательно Q(y) оказывается решением следующей задачи:
' Д«О (у)+ «42 00 = 0. у?Ва,
Так как на бесконечности Q(y) удовлетворяет условию излучения,
то из теоремы 3 § 9 гл. III вытекает, что
0, y?Ba. F.84)
Из F.78) и F.84) следует, что ф (x) — '2lCstys(x) = 0, т. е. век-
векторы tys(x) линейно-зависимы. Это противоречит заданному условию,
и отсюда следует линейная независимость векторов Dm\y), )>??,-,
и, следовательно, разрешимость системы уравнений F.76) относи-
относительно постоянных As, s—1, 2 г.
Внеся найденные таким образом коэффициенты As в F.72), полу-
получим решение задачи (Ма) и вместе с тем доказательство теоремы 15.
§ 14. Замечание относительно полюсов высших порядков.
Теоремы существования, которые мы доказали выше, опираясь на
теорему о простоте полюсов резольвенты, могут быть доказаны и
в том случае, когда полюс резольвенты не предполагается простым. Для
интегральных уравнений Фредгольма и для задач о колебании мем-
мембраны и об упругих колебаниях это было показано автором в рабо-
работах [13а, д.]. Позже A952 г.) к тем же результатам в частном
случае задачи Дирихле и только для уравнения мембраны
пришел Вейль в работе [46]. Для того чтобы указанный метод рас-
распространить на системы сингулярных интегральных уравнений,
необходимо теорию этих уравнений, изложенную в гл. V, дополнить
теорией главных функций и канонических ядер Гурса [7], что, ко-
конечно, нетрудно сделать. Мы, однако, на этом не останавливаемся,
так как в теории упругости, как мы видели, случаи полюсов высших
порядков не встречаются.

ГЛАВА VII
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ
§ 1. Случай равных постоянных Пуассона. Доказательство
существования решения задачи (А). В предыдущей главе были
доказаны основные теоремы существования для однородных тел.
В этой главе доказываются теоремы существования для граничных
задач неоднородных сред, рассмотренных в гл. IV. Начнем с задачи (Л)
в том случае, когда постоянные Пуассона для сред В1 и Ва одина-
одинаковы. Как было показано в § 6 гл. IV, функциональные уравнения
задачи (А) в этом случае имеют следующий вид:
= ^со2Оа_jj,.) у w(у)Г(а)(х, у)day +
-f i (Ре - F-i) / »«(У) Т'Л) (*. у) dSy + pjz (х; *,). G.1)
Покажем сначала, что если это уравнение имеет регулярное
решение, то оно будет решением задачи (А) (обратная теорема).
Пусть точка х принадлежит области Bt. Выполняя операцию Д(а'-|-ш2
над обеими частями уравнения G.1) и воспользовавшись свойствами
объемного потенциала и потенциала двойного слоя, а также учиты-
учитывая, что &Е-\-и>2Е=0, получим
I*, (Д(*вL- ">') »(*) = - ">2 (Р« - Pi)«(*)• G.2)
Но так как в силу равенства постоянных Пуассона имеем
V«-^i = 0. G-3)
то G.2) принимает вид
Д*ои (х) + ш2и (*) = 0, х g 54. G.4)
Пусть теперь точка х принадлежит области Ва. Выполняя ту же
операцию (Д(*аL ш2) над обеими частями уравнения G.1), причем
теперь ее можно внести под знаки интегралов, получим
4 Л(*) = «1 х?Ва. G.6)

i I] СЛУЧАИ РАВНЫХ ПОСТОЯННЫХ ПУАССОНА 207
Рассмотрим разность
Из теорем о непрерывности объемного потенциала и о скачках по-
потенциала двойного слоя следует
т. е.
М*о) = »«(*<>>¦ *o€S- G-6)
Рассмотрим разность
подразумевая иод й(х) регулярное решение уравнения G.1). По
теореме о непрерывности первых производных объемного потенциала
и на основании обобщенной теоремы Ляпунова — Таубера (теорема 10
§ 9 гл. VI) эта разность равна нулю:
) = 0. G-7)
Но ввиду G.3) можем записать
МТ<в)в), ^№*[2 (Э.+^(^«)( + (»Хго*»),] = ^(Т
G.7')
Заменив в равенстве G.7) jj,(- (Т'а*И)г на jJ.a(T(*'w)j> получим
G.8)
Наконец, составив разность ра[и(х) — Б(х; л:,)] и приняв во
внимание, что интегралы, стоящие в правой части G.1), суть регу-
регулярные решения уравнения Д*а)и -j- <о2И = 0 в Ва, убеждаемся, что
и(х)—Е(х; xj также является регулярным решением этого урав-
уравнения.
Таким образом, мы показали, что, если интегральное уравне-
уравнение G.1) имеет регулярное решение, оно будет удовлетворять ра-
равенствам G.4), G.5), G.6), G.8) и разность tt(x)—Е(х\ xj будет
регулярным в Ва вектором, но тогда а (х) есть решение задачи (Л),
и наше утверждение доказано.
Из этого анализа видно, что решение однородного интеграль-
интегрального уравнения
х (х) и0 (х) — -L а,2 (н,а _ ^) I Uq (у) г(а) (х, у) day —
- i (I*» - V-д f «о (У) Ti,a)T(a) (x; у) dSy = 0 G.10)

208 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VII
будет решением однородной задачи (Л°), и так как по теореме
4, § 4 гл. III эта задача имеет лишь тривиальное решение, то спра-
справедлива
Теорема 1. Однородное уравнение GЛ°), соответствующее
уравнению G.1), допускает только тривиальное решение.
Теперь перейдем к доказательству теоремы существования и сна-
сначала предположим, что уравнение G.1) действительно имеет регу-
регулярное решение. Введем обозначение
at(y)V^Tia)(x, y)dSy, G.8')
о
тогда G.1) для х?В[ перепишется в следующем виде:
и(х)-\-\ fa (у) Г(в) (*, у) day = Ф (х), G.9)
где
Так как мы допустили существование решения, то, очевидно,
существует вектор а(х), который удовлетворяет равенству G.9),
рассматриваемому как интегральное уравнение Фредгольма второго
рода. Принимая Ф (х) за «правую» часть этого уравнения, можно
его решение представить с помощью первой теоремы Фредгольма,
если только существует резольвента Фредгольма, соответствующая
ЯДРУ Г(а)(лг, у).
Для того чтобы резольвента существовала, достаточно показать,
что однородное уравнение
ю(х) + X, f v (у) Г(а) (х, у) day = 0. х ? Bt, G.10)
имеет только тривиальное решение. Допустим противоположное.
Пусть <о (х) есть решение уравнения G.10), не равное в Bt тожде-
тождественному нулю; рассмотрим вектор
= — \ fv(y)T{a)(x, y)day x^Bt + Bi. G.10')
определенный во всем пространстве, и покажем, что он равен нулю.
Применяя операцию (Д(*а)-|- ш2) к обеим частям равенства G.10'),
получаем при x?Bt

$ I] СЛУЧАЙ РАВНЫХ ПОСТОЯННЫХ ПУАССОНА 209
или, ввиду G.3),
(д;о+ш2)ф = 0
и при х ? Ва
Из непрерывности объемного потенциала и его первых производных
следует
(вЧ <в)в. G.11)
Но согласно G.7')
и второе равенство G.11) принимает вид
МТ('Ч = МТ(в
Таким образом, вектор v(x) удовлетворяет системе условий
«/ (*о) = ««(*о). ^ (Т('Ч = 1
и на бесконечности выполняется условие излучения.
По теореме 4 § 4 гл. III такой вектор есть тождественный нуль,
и, следовательно, наше предложение доказано.
По первой теореме Фредгольма из G.9) получаем
и (х) = Ф (х) — X, J" Ф (у) Я (у, х) db, . G.13)
Bi
где R (у, х) есть резольвента Фредгольма, существование которой
только что было показано.
Подставив в G.13) значение Ф(х) из G.8'), после простых пре-
преобразований получим
"--г / ai (У) Т(а) Г(в) (х, у) d5y + \ f ut (у) Z. (х,
s s
G-14)
где x?Bt и
L (x, у) = / T(e) Г(в) (?, у) /? (S,
14 В. Л. Купоадзе

210 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VII
Ядро L(x, у) может иметь только логарифмическую особенность.
В самом деле, по теореме 1 § 2 гл. V ядро Т{а)Г(а)(х, y)?NA>1);
резольвента же Фредгольма, как известно, принадлежит тому же
классу, которому принадлежит соответствующее ядро, так что
{2)
Утверждение относительно ядра L (х, у) следует. из теоремы
Жиро: Если /(,(*, у)?М(аЛ) и К2(х, y)?Nifl) при некоторых а, $
и если а-{-ф'^.т, где т есть размерность пространства, то
композиция ядер вида
принадлежит классу AT("+P>tl), где Х^.^, а > р. Эта теорема ана-
аналогична теореме 2 гл. V § 3, и ее доказательство можно найти
в [10а].
В уравнении G.14) перейдем к пределу, когда точка х изнутри
стремится к граничной точке у0 на 5. Формулы B.1) (§ 1 гл. II)
показывают, что
y)dSy = F(y^. G.15)
s
Заметив, что
можем утверждать, что G.15) есть сингулярное интегральное урав-
уравнение того типа, который изучен в гл. V и VI и для которого
имеют место теоремы и альтернатива Фредгольма.
До сих пор предполагалось, что задача (Л) в условиях гипотезы
G.3) имеет решение. Это предположение привело нас к уравне-
уравнению G.15). Теперь отбросим допущение о существовании решения
и будем рассматривать интегральное уравнение G.15) в качестве
исходного. Покажем, что ур&внение G.15) разрешимо и что с по-
помощью его решения строится решение уравнения G.14) и, далее,
решение уравнения G.1). Пусть однородное уравнение, соответ-
соответствующее уравнению G.15), имеет отличное от нуля решение йо(уо).
Рассмотрим вектор, заданный в В{.
•о (*) = - -?г / «о (У) tya)Tia) (х, у) dSy - Х2 f a0 (у) L (х, у) dSy.

{ I] СЛУЧАЙ РАВНЫХ ПОСТОЯННЫХ ПУАССОНА 211
Предельным переходом из В1 к границе находим ввиду G.15)
«i (Уо) = j (l - %) «о (Уо) - ^ / «о (У) Т^Г(а) (у0,
S
S
— \fuo{y)L(у0,
S
Пусть wo(jc) есть вектор, определенный в Bt равенством
тогда
г / «о (У) Т(уа)Г{в)(*, у) rfSy + Х2 f «0 (у) ? (*. у) rfSy =
S S
Это есть однородное уравнение, соответствующее уравнению*G.14)
при ?=0, или, что то же самое, однородное уравнение, соответ-
соответствующее уравнению G.1) при ?=0. По теореме 1 (стр. 208)
имеем и0 (х) = 0, x?Bt, и по альтернативе Фредгольма разрешимость
уравнения G.15) доказана. Рассмотрим вектор
«.(*) = —?f / «* (У) Туа)Г{а) (х, у) dSy -
, y)dSy-{-F(x), G.16)
где и» (у) есть решение неоднородного уравнения G.15). Перейдя
вдесь к пределу, когда точка х из Bt стремится к точке у0 на S,
получим так же, как и выше,
Пусть at(x) есть вектор, определенный в В{ равенством
GЛ7)
тогда
^/^ J , y)dSy=F(x).
Это совпадает с уравнением G.14), и вектор а„(х), определенный
равенствами G.17) и G.16), в последнем из которых ««(у), у ? S,

212 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VII
находится из G.15), есть решение. Из вывода уравнения G.14)
ясно, что его решение есть также решение уравнения G.1). Таким
образом, доказано существование решения уравнения G.1). Если это
решение оказывается регулярным вектором (т. е. допускает приме-
применение формул Бетти), то этот вектор будет также решением задачи (А)
при соблюдении гипотезы G.3); если же найденное решение уравне-
уравнения G.1) не является регулярным, то задача (А) не имеет решения
в обычном смысле, и Ut(x) можно считать ее обобщенным реше-
решением.
Условия, при которых реализуется первый или второй из этих
случаев, исследованы в работе 3. М. Гогниашвили [66] (см.
также § 4).
§ 2. Теоремы о характеристических числах интегральных
уравнений задачи (А) и (В^. В условиях гипотезы G.3) в стати-
статическом случае а> = 0 можно для интегральных уравнений задач (А)
и (BXV доказать ряд теорем о характеристических числах, имеющих
важные применения (см. § 12 гл. IX). Для ш = 0 уравнение G.1)
обращается в следующее уравнение:
х (х) а (х)
= ±- fti. — ^) f Щ (у) тА) (х, у) dSy + ца? (х; хФ). (А)
Точно так же уравнения D.34) и D.35) статических задач (Вг) и (В2)
(§ 4 гл. IV) вследствие условия G.3) принимают вид
= ~(}ха — ft) f щ (у) YfG (х, у) dSy +
s
+ i ft, / / (У) if >G (x, у) dSr (В,)
. (х) и (х) = ~ ([ха — fc) f щ (у) ifH (х, у) dSy —
S
-l&V-a f fiy)H{x, y)dSy, (B2)
sa
0 0
где G(x, у) и Н{х, у) есть первый и второй тензоры Грина для
области B = Bt-\-Ba.

§ 2] ТЕОРЕМЫ О ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЧИСЛАХ 213
Перейдем к пределу в этих функциональных уравнениях, когда
точка х из В{ стремится к граничной точке у0 на 5, и выпишем со-
соответствующие интегральные уравнения:
. (в'2)
sa
Ядра полученных интегральных уравнений зависят только от пара-
параметров jia и \а, а от параметров цг и Хг не зависят; поэтому, считая
Ха и [*а фиксированными и вводя обозначение
мы можем считать ядра уравнений (Л'). (#i), E0 не зависящими
от параметра х. Введем еще следующие обозначения:
К (у, х) = ±- it^ (*. у), ? (У. х) = JL- TJC'O (*. у),
М(у, x) = ±lfH(x, у);
тогда уравнения (л'), (^Q, (B2) запишутся таким образом:
Щ (Уо) — х / «* (У) ^ (У- Уо) d5y = ;^^ ? (у0; х,), (А1)
s
Щ (Уо) ~ * f Щ (у) L (у, у0) rf5y = fr^Vp) //(У) ^ (У. Уо). W)
Щ(Уо)-'"/в!(У)
s sa
Уравнение (А') совпадает с уравнением F.1) (§ 1 гл. VI), для

214 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VII
которого справедливы теоремы 1, 2, 3 (см. стр. 163—166). Здесь мы
покажем, что эти теоремы имеют место также для уравнения (в'х).
о
Теорема 1'. Характеристические числа ядра L (у0, у)
вещественные числа.
Наряду с однородным уравнением (в1) рассмотрим сопряженный
оператор
Введя потенциал простого слоя
? (Уо) — * / L (Ус У) ? (У) dSy.
V (x; ?) = JL У О (х, у) f (у) dSy,
s
равенство
I A - x) (T V)i -1 A + x) (T V)e =
s
легко проверить равенство
G.18)
Пусть некоторое характеристическое число — комплексное: -л — a -f- pi;
р не равно нулю; пусть qp = qpj —|— ly2 есть решение, соответствующее
этому характеристическому числу. Приняв решение за плотность,
построим потенциал простого слоя V=V1-\-lV2- Внеся V в G.18)
и разделив вещественную и мнимую части, получим
= 0, G.19,)
A - a) avjt - A + a) (T V2)a - p (ТТЛ - P (T V,)e = 0. G.192)
Умножим эти равенства соответственно на V2 и V,, составим раз-
разность, проинтегрируем по поверхности 5 и добавим выражение
A + a) f[V1TV2 — VjTVjd^ + p f[V1TVI-|-V2TV2]d5,
которое, ввиду свойства первого тензора Грина, равно нулю; тогда
будем иметь
A-a) f (VJ^-VJV^rfS+O+a) f (V,TV2-1
s+sa

J2J ТЕОРЕМЫ О ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЧИСЛАХ 21S
Воспользовавшись формулой Бетти A.10'), можем записать
A - a) J ( V2 ^а) V! - V, Д("а) V2) dv +
/(VJV.4-1
и, так как Д(а) Vi = Д(а) V<i ж= 0, имеем
Р / (VJV, + V2TV2)f rf5 + p J (V,TV, -f V2TV2)a rf5 = 0.
s s+sa
Применяя теперь формулу Бетти A.9') и учитывая направление нор-
нормали из Bt в Ва, получаем
s+sa
= f[W(Vv VJ + W(V2, V2))dv,
^- f[W(Vv VJ + W<yt, V2)]dv,
где W(а, и) — существенно положительная форма, задаваемая ра-
равенством A.12). Обозначив
j = (V(V, V,)dv, fj= [W(V,, Vj)dv C/=I, 2),
j j it ' j ii
Bl Ba
равенству (*) можем придать следующий вид:
Умножим равенства G.19Х) и G.192) соответственно на Vx и V'2,
составим их сумму, проинтегрируем по поверхности 5, добавим
слагаемое, равное нулю, так же, как выше, и тогда в силу тех же
формул получим
= 0. (**)
Из этих равенств, а также из предположения р Ф 0 следует

216 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VII
Отсюда вытекает равенство нулю деформации, вследствие чего по-
потенциалы Vj(x) и V2(x) должны быть векторами жесткого смеще-
смещения и
TV*(x) = 0 (k = l, 2);
теперь из формул B.5) следует ср2 (х) = ср2 (л:) = 0. Это противоре-
противоречие показывает, что 2^ = 0, и теорема 1' доказана.
о
Теорема 2'. Характеристические числа ядра L(y0, у) по
абсолютному значению не меньше единицы.
В силу того что Р = 0, равенство (**) принимает следующий
вид:
Разрешив его относительно а, получим
'— т г' *
откуда
и теорема 2' доказана.
о
Теорема 3'. Характеристические числа ядра L (у0, у) суть
простые полюсы резольвенты.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.
о
Представляет интерес доказательство этих теорем для ядра М (у0, у).
Теорема 4'. Решения интегральных уравнений (л') и (в[)
есть в то же время единственные решения функциональных
уравнений (Л), (BJ соответственно.
Уравнения (л), (в'х) — сингулярные уравнения. По теореме 2'для
|х|< 1 они разрешимы. Так как в данном случае
11 V-a + H
то по первой теореме Фредгольма (§ 9 гл. V) (Л ) и (в[) имеют, и
притом единственные, решения. Подставив эти решения в (Л) и (Bj),
получим
% (х) ф) (х) = -^ (\>.а — |i,) f tti (у) it>Г(а) (х, у) dSy + N? (x; xj,
s
%(х) v® (х) = -^(ра— ы f Ui (у) T\,a)G(х, у)dSy +
Г, y)dSy.

§ 3] ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ ЗАДАЧ (Bi) И (Bj) 217
Легко проверить на основании G.4), (л') и (в[), что
Д^A) = 0, lim vw (х) = tti (у0); >B) B)
откуда теорема существования получается сразу. Если бы функцио-
функциональные уравнения (А) и (В{) допускали два решения, то однородные
уравнения, соответствующие им, имели бы ненулевые решения; но
тогда нетривиальные решения имелись бы и у однородных уравне-
уравнений (а)° и (в[)°; это противоречит теореме 2'. Теорема 4' доказана.
§ 3. Теоремы существования для задач (#i) и (?2). Случай
равных постоянных Пуассона. Уравнения динамических задач (Вх)
и (В2), как показано в § 3 гл. IV, имеют вид D.11) и D.13). Счи-
Считая в этих уравнениях Х^в — Хв^ = 0, получим
+ i fr« — V-й f tti № Tve> G (*•
s
+i ^ //(У) if >G (дг, у) rfS, G.20)
= ^-(й2([*„ — [*,) ftt(y)H(x, y)A»y +
+i (^ -11') / »' Су) TlT1 я (*. у) rf5y -
. G.21)
Сравнивая эти уравнения с уравнением G.1), замечаем, что и в дан-
данном случае будут иметь место уравнения и граничные условия G.4).
G.5), G.6) и G.8) для решения уравнений G.20) и G.21). Это след-
следствие того, что объемные потенциалы и потенциалы двойного слоя,
образованные с помощью ядер G (х, у), Н(х, у), J^a)G(x, у),
Т^Н(х, у), имеют те же свойства внутри области и на ее грани-
границах, как и соответствующие потенциалы, образованные при помощи
ядер Г(а) (х, у), Т(а)Г(в) (х, у). При этом условия на бесконечности

218 ТНОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VII
заменяются поведением тензоров Грина на внешней поверхности $а;
кроме того, надо иметь в виду, что
о 6
Проверим теперь выполнение граничных условий на Sa.
Выполнив над обеими частями уравнения G.21) операцию Т(а) и
перейдя затем в G.20) и G.21) к пределу при стремлении точки х
к точке у0 на Sa, будем иметь, по определению тензоров Грина,
О(у0; у) = 0, ТУоЯ(уо; у) = 0, yo?Sa, yeSa.
Поэтому G.20) и G.21) примут следующий вид:
lim «(*)«¦!-lim ff(y)TfG(x, y)dS
lim
= -ilimT(a' ff(y)H(x, y)dSy.
a
>C другой стороны, согласно F.40) и F.44) имеем
Hm ff(y)T?G(x,
**a
Hm T(a) ff(y)H(x,
•откуда ясно, что необходимые на Sa условия действительно выпол-
выполняются. Теперь мы можем сформулировать следующую обратную
теорему для задач (В{) и (В2): регулярные решения интегральных
уравнений G.20) и G.21) есть решения задач (В{) и (В2) соот-
соответственно.
Учитывая эту теорему и опираясь на теоремы единственности
§ 4 гл. III, так же как в § 1 настоящей главы, докажем следую-
.щую теорему.
Теорема 2. Однородные уравнения, соответствующие
уравнениям G.20) и G.21), имеют только тривиальные решения.
Пользуясь этой теоремой и повторяя рассуждения § 1, мы полу-
получаем теоремы существования для задач (Вг) и {В2) в динамическом
случае, если ш2 отлично от собственных частот колебаний области В
и постоянные Пуассона для тел Bt и Ва равны. При этом получен-
полученное решение следует понимать в обобщенном смысле, когда оно не
.является решением в обычном смысле (см. конец § 1, стр. 212).

§4) ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ ЗАДАЧИ (Л) В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 219
Полагая ш = 0, выводим из G.20) и G.21) уравнения статических
задач
4ях (х) а (х) = fti. — щ) f tti (у) Yya) Q (х, у) dSy +
s
+ Ъ ff(y)T{ya)G(x, y)dSy G.22)
и
4™ (х) а (х) = (р. - pi) f tti (у) ifH (х, у) dSy —
s
~V-a ff(y)H(x, y)dSy, G.23)
Sa
О О
где G(x, у) и Н(х, у) есть первый и второй статические тензоры
для области В = Bt-\- Ba, определение которых дано в § 4 гл. IV.
Разрешимость уравнения G.23) следует из предыдущего, если при-
принять во внимание равенство
которое будет доказано в § 9.
В гл. IX, § 12 будет еще показано, что уравнение G.22) решается
методом последовательных приближений.
§ 4. Теорема существования для задачи (А) в общем случае
Преобразуем уравнение D.10,). Для x?Bt будем иметь
(х, у) — тщ dlv»rgg (х, у)
(ft = l. 2, 3),
поэтому D.10^) можно переписать в следующем виде:
+ (f*« — I*/) / »<• (У) "
— mj ut{y)nyuivyl$(x, y)dS9-t-peEt(x; xj. G.24)

220 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VII
Будем искать решение этого уравнения в виде ряда по степеням
малого параметра т = \\ха — Х^:
я (*) = 2 *'»w (*)• G.25)
«-о
тде u(s) (х), s=l, 2, 3 —новые неизвестные векторы. Пред-
Предположим, что ряд G.25) равномерно сходится и что сумма его,
так же как каждое я'*' (х), s = 0, 1, 2, .... принадлежит классу
Гельдера с некоторым показателем а. Внесем ряд G.25) в уравне-
уравнение G.24) и сравним коэффициенты при одинаковых степенях т,
тогда получаем
- tffa - Ь) f »<°> (у) Г$ (х, у) day -
Bi
- (Ufa ~ Ъ) f и?' (У) T?J T$\ (х, У) dSy = ?aEk (x; xj, G.26o)
- Pl) J «A> (у) • Г|*| (*, у) rfOy -
(х; Jfj. G.260
- U>^ (^ — ^) J u{s) (у) Г|*| (*, y) day -
У) rf5y = /f> (*; jfj, G.26,)
Bi
Bt
s
где
B\
- / «Г1' (У) |ji, divy Г^> (*, y)] dSy -
(s=l, 2. 3 ft=l, 2, 3).
В правой части уравнения G.260) стоит аналитическая в В{ функция
paEk (x; xj; это уравнение совпадает с уравнением G.1), рассмо-
рассмотренным в § 1, и его решение af^(x), k = l, 2, 3, задаваемое фор-

f4] ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ ЗАДАЧИ (Л) В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 221
мулами G.16) и GЛ7), принадлежит классу Н в Bt. Уравнение G.26j)
также совпадает с уравнением G.1), но имеет в правой части
функцию
/ @) (У) grad div 1$rfoy -
3
причем »(°>(x), как уже сказано, есть решение класса Н уравнения
G.260). Пусть показатель Гельдера для а^°Цх) есть а; можно по-
показать, что /=й1) (jc; я*) также принадлежит в Bt классу Н. Это
мы покажем позже. Отсюда следует, что решение уравнений G.26J
и^Цх) принадлежит в Bt классу Н. Продолжая этот процесс, ввиду
того, что все уравнения G.26^) совпадают с G.1) и имеют своими
правыми частями функции класса Н, мы построим последовательность
векторов
(в = 0, 1, 2, ...).
принадлежащих в Bt классу Н. Остается доказать равномерную схо-
сходимость ряда G.25) и принадлежность его суммы классу Н.
Покажем сначала, что
— / [nf (У) — u(s (x)] tiy div Tf*> dSy. G.27)
Обозначив правую часть этого равенства через J, можем написать
для B
Обозначим через У* множитель при uis\x), стоящий в квадратных
скобках, и примем во внимание, что согласно A.34)
dlvl$(*. У) — -¦
dyk

222 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VII
тогда будем иметь
I д elhlT\ Г д
По определению главного значения интеграла
./ ду, I ду. г I у е ,ц ,/ ду. \ ду. г
В1 ' В;-т(дг; г) ' *
(J. k=\, 2, 3). G.27')
Но
J ду, \ дуь г } у J ду. г ^ у' i у '
Гд Р1к^г Г д plk'r
g .гпс/я »-A//.Q / гг.с 1*ш *¦ \ и Н^ .
J FT" cos <»r ^ d5v = J cos (»r ^ 4 -Г dS>
дг;«)
/cos(»r
«№ «)
/cos(«y, Xj)-^-ydSy. G.27")
<r(jr;s)
Последний интеграл в правой части вычисляется, а именно:
- — cos («у, Xj)dSy = — / -т cos (г,
<г(*Ге) *
f 4
.(г/., ^<*-у) У jo.
= f cos (r, <t) cos (г,
Кроме того,
Ит / cos(«v, д:,) ^—\~ )rf5v = 0.
Внесем в правую часть G.27') под знак предела значение интеграла
из G.27") и перейдем к пределу; тогда получим
где Ь{к) — вектор с составляющими 8Н, 8ft2, bkz, а Ьк} — символ
Кронекера. Внесем это значение объемного интеграла в выражение
для Jk, получим

$4] ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ ЗАДАЧИ (А) В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 223
и, наконец, внеся это значение в (*), приходим к соотношению G.27).
Условимся относительно некоторых новых обозначений, которых
будем придерживаться ниже в этом параграфе. Пусть функции
точки fk(x), k = l, 2, 3, в замкнутой области В{ удовлетворяют
условию Гельдера
!/*(*') —/*(*") К Я* I*'-*" f* @<а,<1),
где х' и х" — произвольные точки, принадлежащие 5,; Hk и <x.k —
положительные постоянные, не зависящие от выбора точек х' и х".
Нижнюю грань чисел Hk, удовлетворяющих приведенному неравен-
неравенству, будем иногда обозначать через H(fk, a.k\ В^.
Символом C(fk, Bt) будем обозначать число
Наибольшую из этих величин, когда индекс k пробегает значения 1,
2, 3, будем обозначать теми же символами, но без индексов, на-
например:
Я(/, a, BL)= max {Я(Д, аА; Ъь)}, С(/; Bt)= max {С(fk; В,)}
(k=\, 2, 3)?
Выше мы воспользовались предложением:
Если u(s) (x) в замкнутой области Bt принадлежит классу
Гельдера с показателем а, то F*s+l)(x;xj также принадлежит
в Bt классу Гельдера с некоторым показателем, не превосходя-
превосходящим а-. Доказательство для обоих интегральных слагаемых, входящих в
выражение для /?(*+1)(дг; xf), ведется одинаково; приведем его основ-
основные моменты для слагаемого
f uis)(y)
, y)dar G.270
Достаточно показать справедливость высказанного предложения для
интегралов вида
.ду. г(х, у)
G.27J)
viz
Аналогично определяются символы С (/*, В,-) и С (Д, 5).

224 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VII
в случае трехмерном и для интегралов вида
lnr(x'
в
в случае двумерных задач. В последнем случае вычисления упро-
упрощаются, если использовать комплексные выражения
= С, С — г = о; \а\ = г(х, у),
In г (х, у) = In | о | = Re In о;
тогда
/б2 С и^ (у
Up (у) -д—g— In r da = i,k Re / —^.._1'
(/. A = l, 2),
v л
где Re обозначает знак вещественной части и f jk (J, k = 1, 2) —
определенные постоянные, значения которых нет необходимости вы-
выписывать.
Для интегралов вида
g{z)== С ^^\^,
¦ Bi
где ер (С) есть функция класса Гельдера с показателем 7. 0<у^1,
в замкнутой области Bt, известно неравенство
| g (z') — g (z") |< AC (cp
где А — постоянная, зависящая от f и В11.
Отсюда следует доказываемое свойство для интегралов вида
G.27i), и, следовательно, G.27г).
Поэтому для произвольных х' и х" из Bt справедливо неравен-
неравенство
|/t+1)(*'; xj-rt+^x'; xMKAfiiu^, ВУ{х\ х"). G.28)
Из G.27) имеем
а, 5г<( ,( Ц
G.29)
1 Доказательство можно найти, например, в [36], стр. 73—75; там же
указывается, что это предложение впервые доказано Жиро [10а].

§4] ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ ЗАДАЧИ (Л) В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 225
где
Ж (а, ?,)> ( f\r'(x, y)graddivr<*>(*, y)\day +
(х. У) »у div Г$ | аГ5у) (? = 1. 2, 3)
j
и зависит только от а и Bit H(u(s\ а, В() есть наибольшее из по-
постоянных Гельдера для «jfc*) (& = 1, 2). Из G.28) и G.29) следует
C(F<g+l\ В{)^Мг(а, Bi)C(u<s\ Bt), G.30)
где
Ж, (а, Б/)>{Л1 + Ж(а, В,)}.
Функциональное уравнение G.26^), как показано в § 1 приводится
к интегральному уравнению
uf (x0) + \{ uf (у) Т(а) Г|*> (хо, у) dSy +
/ uf (y)L(x0, y)dSy = PV(x0, л;.), G.31)
здесь л;0^5,
. у)= /т(а)г(а)(?, у)/г а. лг0
R (x, у) есть резольвента Фредгольма, причем
R(x, у)
и L{x, у) — ядро, допускающее логарифмическую особенность. Су-
Существование решения уравнения G.31) было доказано в § 1 этой
главы. Согласно. E.52) это решение может быть представлено в виде
N(xQ, 5; х)Я<*>E; x^dS^1, xo?S.
s
1 Мы пишем здесь % вместо А,.
15 В. Д. Купрадзг

226 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VII
где Ф (х0; ¦*) регулярна и задана равенством E.37), а мероморфная
матричная функция N (х0, $; ж), заданная равенством E.41),—имеет
в точке хо = % полюс первого порядка. Введем обозначение
[/+х»Ф(*0; v)\-lP^{x0\ xJ = Y^{xQ; xj
и покажем, что Y(s) (х0; л:.) на 5 принадлежит классу Гельдера
с показателем а и что для него имеет место неравенство вида G.30).
Для этого достаточно показать справедливость тех же свойств для
P<J) (x0; xt). Первое из указанных свойств для Я<*> (xQ; xt) вытекает
из G.28) и из того, что интеграл
/(i) (*о) = / FW (У! х*) R (У- *о) dSy, х0 ? S,
s
ввиду того что R(x, y)?7VB), сам принадлежит классу Гельдера
с показателем а. Для того чтобы доказать второе свойство, нужно
показать, что
?(/?>: SXAjC^*-1); 54)(Л2 — постоянная) (fc = l, 2). G.32)
Но на основании G.29) имеем
2
Ы К
Су; *J ^* (у.
шах
где М2 (a, Bt) зависит только от a и Bt. С другой стороны, ввиду
G.29) можно писать для (лГд, х'{\ ^ S
2
max | Ff(x0; xj\ f \ RJk(y, X'Q)-Rfk(y, xfi
x°?s s
отсюда вытекает G.32). Этим доказано наше утверждение относи-
относительно Y(s){xQ; xj.
Покажем теперь, что для интеграла
?(*) (\* \ I Л/ t V ?'

§4] ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ ЗАДАЧИ (-4) В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 227
также соблюдаются неравенства вида G.28) и G.30). Для этого за-
заметим, что согласно E.41)
N(x0, 5; х) = [/ + *2Ф(*0; *)Г1Н(х0. 5; х) + О(^-Цх, ?)), А>0,
Рассматривая элементы матриц E.32') и E.33) гл. V в кото-
которых теперь в соответствии с плоским случаем, который здесь
имеется в виду, вместо р~2(х, у) следует рассматривать р^- У)>
заметим, что они представляются линейной комбинацией слагаемых
вида
?-1пр(*0, у) (k = l, 2),
где 9 есть угол, образуемый направлением р (х0, у) с одной из коор-
координатных осей, а х(9) есть достаточно гладкая функция; поэтому
доказательство, приведенное выше, применимо и в данном случа.'
для <?^(хЛ (&=1> 2), и неравенства G.28) и G.30) получаются с
точностью до постоянных множителей.
Записав решение уравнения G.31) в проекциях, будем иметь
2
*?> (*о) = к*' (*о! xJ + х S / Л^;А (*0, h; х) РУ»E; *J й?53 (Ь1, 2),
откуда
q"!^ G-33)
С другой стороны, для произвольных (лГц, •^о)^'^
\»t)(xo)-uV(xd\<M^' 5)C(a<'-». 5,)|*J-*JJ'. G.33,)
Из G.33) и G.330 следует
С (ер. 5)<Ж5(а, Я,)С(а««-1>; Я,).- G.34.)
До сих пор точка д:0 лежала на 5. Если же она принадлежит Bt,
то решение уравнения G.31) представится равенством G.16)
(стр. 211), и поэтому, использовав G.33), G.330! G>34) и применив
снова прежнее рассуждение, получим
Наконец, объединив этот результат с G.34), найдем
С (ер. В,)<М7(а. Я,) С (»<'-»; В,) </>С (»('-»); 5,),
15*

228 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VII
где М7 (a, Bt) — положительная постоянная, зависящая от а и Bt, и
постоянная D>. M7(a, Bt). Мажорантный ряд для G.25) имеет вид
и, следовательно, для
\m\<D~l ФФО)
он сходится равномерно. Принадлежность суммы ряда G.25) классу Н
очевидна. Можно получить точную оценку верхней грани для по-
постоянной D. Приведенное здесь доказательство сходимости получено
Ж. Рухадзе [27]. Мы привели его с некоторыми сокращениями и
изменениями.
Если сумма ряда G.25) определяет регулярный в Bt вектор и(х),
то, подставив его в D.10J, получим продолжение и (х) на Ва, и
построенное таким образом регулярное решение системы функцио-
функциональных уравнений D,10г) и D.10J будет единственным решением
задачи А, как это показано в § 7 этой главы. Если же ряд G.25)
определяет вектор, нерегулярный в Bt, т. е. такой, к которому
нельзя применить формулу Бетти, то этот вектор, будучи продолжен
на Ва, представит решение уравнений D.10,), D.10а), но не будет
решением задачи в обычном смысле. Он может быть принят за сла-
слабое или обобщенное решение задачи (А). Ясно, что в этом случае
задача (А) решения в обычном смысле не имеет вообще.
В работе 3. Гогниашвили F6) выяснены условия, при кото-
которых обобщенное решение обращается в обычное. Для этого доста-
достаточно потребовать от функции, входящей в уравнение «куска» S(x; e0)
в локальной системе координат (§ I гл. V)
существования вторых производных, принадлежащих классу Н.
В работе [6а, в] дано доказательство сходимости ряда G.25) в
трехмерном случае.
§ 5. Теоремы существования для динамических задач (В{)
и (#г). Уравнения этих задач в общем случае, как показано в § 3
гл. IV, являются функциональными уравнениями D.11) и D.13). Разы-
Разыскивая решения в виде рядов типа G.25) и сравнивая коэффициенты
при степенях т. так же, как в предыдущем параграфе, получим урав-
уравнения и формулы, аналогичные G.260), G.26t) ... G.26,), G.27),
с той лишь разницей, что теперь матрица Г(а) (л;, у) заменяется тен-
тензором G(x, у) в уравнениях задачи (В{) и тензором Н(х, у) в урав-
уравнениях задачи (В2). Уравнения, соответствующие G.26о), будут иметь

$6] ТЕОРЕМЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ, ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ 229
при этом следующий вид:
4и* (х) и@) (х) = (ра — ^) ш2 f и@) (у) О (х. у) day +
-Ъ) { в? (У) Tt'G (х. у) dSy+p.a J в? (у) Т^О (х. у) rfS,. G.35)
S Sa
»@) (x) = (txe — p^) a>» J и<°) (у) Я (x. у) day +
e - ft) / a?>(y) т1,а)Я(л:, у) rf5y - цв J (T(a)^ (у)) Я (х. у) rf5y.
s . sa
G.36)
Разрешимость этих уравнений доказывается так же, как в § 3. Реше-
Решения уравнений G.35), G.36) определяют правые (заданные) части по-
последующих интегральных уравнений, и дальнейшие рассуждения ана-
аналогичны тем, которые изложены в предыдущем параграфе. При этом
исключаются те значения ш, для которых однородные задачи (Вг)
и (В2) имеют ненулевые решения; это замечание, конечно, относится
и к теореме 2 § 3. Задачи (С), а также статические задачи (А), (В)
особого рассмотрения не требуют.
§ 6. Теоремы эквивалентности. Вспомогательные предложе-
предложения. В предыдущих параграфах рассматривались теоремы существо-
существования для интегральных уравнений задач (А), (В), (С). В следующих
параграфах будет показано, что регулярные решения указанных инте-
интегральных уравнений есть решения соответствующих задач (А), (В), (С).
Эти обратные теоремы, называемые теоремами эквивалентности, вместе
с упомянутыми выше теоремами существования дают теоремы суще-
существования решений задач (А), (В), (С). Сначала укажем несколько
простых вспомогательных предложений. Пусть А (х, у) есть матрица
А?(х. У) А?\х, у) А<?\х, у)
, у)= А$\х, у) АЧ\х, у) 43>(л;, у)
4V. У) АЧ\х, у) 48)(*. У)
и ф (у) — некоторый вектор, не зависящий от л;. Тогда имеем два
вектора:
А (х, у) <р (у) = 2 2 Mf (*. У) Ъ (у)
к
ф (У) А (х, у) = 2 2 *«4" (х. у) <Р* (У).

230
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ
[ГЛ. VII
Лемма А. Вектор А(х,у)<р(у) есть решение уравнения
к*и-\-ш2и = 0, если каждый столбец матрицы А(х, у), рассмат-
рассматриваемый как вектор, удовлетворяет по точке х тому же
уравнению.
Доказательство сводится к простой проверке.
Следствие. Вектор у(у)А(х, у) есть решение уравнения
Д*и -f- ш2и = 0, если строки матрицы А(х, у), рассматриваемые
как векторы, по точке х удовлетворяют тому же уравнению.
Это следует из леммы А, если учесть, что
?(у)Л(х, у) = А*(х, у)? (у).
Лемма В. Потенциал двойного слоя
w <*> = i / * (у)
S
для х, не лежащих на S, есть интеграл уравнения Д*а)«-|-
+ <о2а = 0.
Очевидно, достаточно показать, что
(Д*а) + со2), (<р (у) Tj°r(e)(*, у)) = 0,
а для этого, согласно следствию леммы А, достаточно показать, что
столбцы матрицы
T(i) Г<2) Т(г) ГB) Т('> Г'
ll y-l(a) 12, yl(a) I 3 у^(
ll, у 1 ()
) Т('> ГC)
а) Т2,у1(а)
') Г<3)
,уА(а)
транспонированной по отношению к матрице Ту^Гдо (*, у), удовле-
удовлетворяют уравнению Д(а)И(л;) + (о2и(д:) = 0. Докажем это. Пусть А-й
столбец (вектор) матрицы Л(х, у) есть Wk)(x, у), его проекция на
ось лг5 равна
лг, у) =
X, cos (пу, xk) div
Из формул A.30) и A.34) гл. I, .§ 2 известно, что
Г</> (х, у) = if > (у, х), div, Г<*> (х, у) =-?- Ф (л;, у),
у) +
. G.37)
G.38)
1 В данном случае мы знаем также явный вид фуикцнн Ф (х, у), но для
доказательства леммы это несущественно.

§ в] ТЕОРЕМЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ 231
Из равенства
?а ДГ$ (*. у) + (ка + nj grad div Г$ (х. у) + ">2Г|*| (*. у) = 0, G.39)
рассматривая дивергенцию и ротор от обеих частей, получаем
(К + 2Ра) A (div О4- «о2 div Г$ = 0, G.40а)
^аД (rot Г}$ +¦ <о2 rot Г{*> = 0. G.40ь)
Отсюда заключаем, что Ф (х, у) также есть решение уравнения
Найдем значение dlv^II'*' (x, у) из G.37). Имеем
S
д xri dlts> (x, у) v-i дТ& (х, у)
Но
s k s к
dxs
Поэтому
<11ухП<*>(д:. y) = 2v.l-?rdivTM(y, x) — \cos(nr х„)\Ф(х, у)
» ~ ° H cos
Вносим это значение d\vxTL{k)(x, у) и значение njw(jc у) в ле-
левую часть доказываемого разенства
(х. у) + (К + ix.) ^j div П<*> (л, у) + <о2П^ (*. У) = 0.

232 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VII
Тогда будем иметь
/Cos(»y. x
со* divyr<*> (*. у)] + р, [(»у X ftAr (roty
Выражение, стоящее в первой квадратной скобке справа, ввиду
того что
переписывается в следующей форме:
и обращается в нуль ввиду G.39).
Выражение, стоящее во второй квадратной скобке, ввиду того
что на основании G.38) и G.40J
2
= - о.2 divy ГО (х, у) = (Хв + 2^в) Дх (div Гй (*. у)),
-~
= - о.2 divy
может быть записано в виде
(*» + Pa) A (divy Гй (jc, у)) + ш"ГЙ (*, у)
и равняется нулю ввиду G.40а).
Выражение, стоящее в последней квадратной скобке, имеет сле-
следующий вид:
и равно нулю на основании G.40ft). Таким образом, лемма В дока-
доказана.
Следствие. Полагая \ = Ха, ^ == ^а, из доказанной леммы
получаем равенство
(Д(*в) + ш2), J ? (у) Т(уа)Г(а) {х, у) dSy = 0, G.41)
s
которым мы пользовались и раньше.
Лемма С. Для х, не равных у, имеет место равенство
\ div rw (л. у)) = 0. G.42)

§6] ТЕОРЕМЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ 233
По определению имеем
gradydivyr[(x, y)] =
^y7u"
div.. Г<» -Л- div.. Г<2> -Л- div,. Г<3)
_^_div Г*1' -^-div Г<2) —div ГC>
dyt У йу3 у йу3 "
поэтому
? (У) grady divy Г(в) (*. у) ==
т и
Проектируя на ось xs вектор
&)-\-а>\[? (У) grad divy Г(в) (х, у)],
будем иметь
(а) (*. У) +
(У)
Но
= (^ + ^в)-
ivy22^
т п
ivy 2in div
п
:Ф(х, у) = -
г. У)
.Г<п>(у, jc) =
7J- ДхФ (*• У)

234 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VI.
Так как для функции Ф(х, у) имеем
Д,Ф (*. у) = — Ха^ Ф (х,
предыдущее выражение принимает вид
Внесем это выражение в правую часть равенства (¦); -тогда будем
иметь
ft
Кr(s) <*¦
и
выражение, которое обращается в нуль ввиду G.40а), и лемма С
доказана.
Сделаем теперь одно замечание, важное для дальнейшего. Дока-
Доказательства лемм А, В, С и их следствий могли бы быть упрощены,
если бы мы воспользовались тем, что в данном случае известен кон-
конкретный вид функции Ф (х, у), а именно:
Мы, однако, не воспользовались этим обстоятельством, и благодаря
этому приведенное доказательство сохраняет силу и в тех случаях,
когда явное выражение функции Ф(х, у) не задано, но известны ее
свойства, выражаемые формулами G.38), на которые доказательство
опирается по существу. С таким случаем встречаемся в задачах Ej)
и E2), в которых вместо матрицы Г(а) (х, у) используются первый
и второй тензоры Грина (для этих тензоров существуют функции
Ф (х, у), обладающие требуемыми свойствами). Имеет место сле-
следующая
Лемма D. Леммы А, В, С и их следствия остаются в силе,
если матрица Г(в) (х, у) заменена матрицей G (х, у) или ма-
матрицей Н(х, у).
§ 7. Теорема эквивалеитиости для задачи {А). В этом пара-
параграфе доказывается
Теорема 3. Регулярное решение функциональных уравне-
уравнений D.10J, D.10J есть решение задачи (А).

g 7] ТЕОРЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДЛЯ ЗАДАЧИ (А) 235
Уравнения D.10;), D.10л) имеют следующий вид:
4ях (х) и (х) =
= (ft, — ftO ">2/«(У)г<«)(*- У)*»,4"mju(y)graddivГ(в)tfOy +
+ ft, / »i GO ТуГ(а) (*, y) tfSy -+. 4*цв?(x; jcJ. G.43)
5
Пусть точка jc лежит в Ва. Применяя оператор (Д*а)-}-ш2) по
точке х к равенству G.43), причем оператор вносится под знак инте-
интегралов, и пользуясь леммами В и С, а также принимая во внимание
равенства
D) + ш2) Г(в) (х. у) = (Д(Л) + со2) Е (*; jO = 0 лг е Яв.
получаем
Д*а)й(х) + "J»(л)==0 х?Ва. G.44)
Таким образом, регулярное в Ва решение уравнения G.43) есть
интеграл уравнения G.44).
Пусть точка х лежит в области Bt. Применив формулу Бетти
к векторам а (у) и Т^(х, у) (А=1, 2, 3) в области Bt и удалив
для этого из- Bt сферу т (х; е), будем иметь
J [ в (у) Д(оГ$ (х, у) — Г{*$ (х,
B)
)
(А*=1, 2, 3)
Здесь, в отличие от соответствующего места из § 2 гл. IV, где мы
также пользовались последней формулой, нельзя воспользоваться
равенством
2
и поэтому после перехода к пределу при е->0 (см. § 2 гл. IV)
получаем
аик (х) = — «fyt J а
х,
Bi
® (*. У)Д(О» (У) doy + m Ju (у) grad div Г|*| rfoy +
ft, / WSJ (* У) (T@« (y))t - ttt (у) (Т1ЗД] dSy G.45)

236 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VII
Применяя еще раз формулу Бетти теперь в области Ва к векто-
векторам D (у) = а (у) — Е (у; xj и Т\„\ (х, у), считая по-прежнему точку х
в В[, получим
. у) — Г$(х ]y
ЛГГ® - 1$ (*. у) (T(e)Z> ад)J
Но так как выше было показано, что решение уравнения G.43) в В
2
2»
а
удовлетворяет уравнению Д(а)» -j- со2» = 0, так же как и заданный
вектор Е(х, xj, можем записать
(х, у) (ta)D)a - Da (у) (T<e)C (х, у))] dSy = 0. G.45')
В этом равенстве будем считать нормаль направленной из Bt в Ва.
Умножив последнее равенство на j—рв. сложим с равенством G.43)
при х ? Bt, что можно сделать, так как точка х в обоих равенствах
предполагается лежащей в В{, тогда вследствие того, что
s
будем иметь
iib (х) = (j»e — ji,) со2 J »(у) Г{2 (х, у) day +
в,
+/» J и (у) grad div rgj (х. у) day + (*e J {щ - «J T^| (*. у) dSy—
в, s
-1- pe J I® (*. У) {Ta)tt)a dSy.
s s
Вычитая равенство G.45), будем иметь
(> + со2я (у)) rfoy + / (», - »J T^rfS (х, у) tfSv 4-
U - (Г*и)д dSy = 0

§7) ТЕОРЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДЛЯ ЗАДАЧИ (А) 237
или, в матричной записи,
J (Д(Ой + Л (у))Т(а) (х, у) dzy +/(«/- иа) Т<?>Г(а) {х, у) dSy +
Bl s
+ f l(T<e)»)e - (Т<г>й)г] Г(в) (л;, у) tfSy = 0.
Обозначив для краткости выражение, стоящее слева, через Qa(x),
имеем
Qtt(x) = 0, x?Bt. G.46)
Теперь необходимо найти значение Qa(x) в области Ва. Фикси-
Фиксируем с этой целью точку х в Ва и применяем формулу Бетти к век-
векторам а (у) и Т$(х, у) в Bt. Так как
получим
C(*. y)day —
J
Bi
m f a(y) grad div Г((*} (д:, у) dcy + ,xe J rJg^
y = O. G.47)
Применив еще раз формулу Бетти к векторам D(y) = a(y) —
— Е(у; xt) и тЦ\(х, у) в Ва при х?Ва и учитывая, что по дока-
докаа
занному в Ва имеем Д(а)й-|-со й = 0, получим
и <*>=i / Iя* (У) T^w (*• у)-г(«> <*• у) (т(в>й Cy))J «,
G.470
причем нормаль здесь направлена из Bt в 5в. Составим разность
равенств G.43) и G.47'), предварительно сократив первое на p,e;
после некоторых упрощений получим
Bi ° Bi
.+ / (a, - e.) Tya)Tw (x, y)dSy —fut (y) Ty%a) (x, y) dSy +
rf5y - 0.

238 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VII
Наконец, это равенство сложим с равенством G.47), сократив пред-
предварительно последнее на ца; тогда получим
Qa(x) = 0, х?Ва. G.48)
Составим разности предельных значений по равенствам G.46)
и G.48):
(Qa(x))i — (Qa(x))a и (Т(а)<2й(х)); — (Va)Qu(x))a.
Для этого воспользуемся теоремами о непрерывности объемного
потенциала, его первых производных и потенциала простого слоя,
теоремами о скачках на границе потенциала двойного слоя и Т-опе-
ратора от потенциала простого слоя и, наконец, обобщенной теоремой
Ляпунова — Таубера о непрерывности Т-оператора от потенциала
двойного слоя, применимость которой здесь очевидна; тогда будем иметь
щ — йа = 0, G.49)
0. G.50)
Если же к равенству G.46) при x?Bt применим оператор
то на основании формулы Пуассона получим
0, x?Bt. G.51)
Равенства G.44) и G.49) —G.51) доказывают теорему эквива-
эквивалентности для динамической задачи (А). Ясно, что как частный слу-
случай отсюда получается теорема эквивалентности для статической
задачи (Л°).
Теорему эквивалентности при некоторых дополнительных пред-
предположениях можно также получить непосредственной проверкой до-
доказываемых свойств решения функциональных уравнений D.10Ла);
Покажем это вкратце для уравнения G.51). Из формулы Пуас-
Пуассона A.77) имеем
m j a(y) grad div Г(в) (х, у) day =
(x) — со2 (pa — pjfu (y) V(a) (x, y) day +
Bi
Bi
Bi
Внеся это значение в уравнение D.10,), получим
П(«)(х- У)а°уЛ-
Bi
Щ (У) ТуГ(в) (*. У) dSy + 4тг? (*; jc^ = 0.
S

§ 8] ТЕОРЕМЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДЛЯ ДИНАМИЧ. ЗАДАЧ (ВО И (В2) 239
Применяя к этому равенству оператор (A(a)-f~(o) и учитывая, что
получим
D,, + «^.(Ди)+ш2) J «(У) Г(а) (х, у) rfay = 0.
*/
Переставим здесь операторы (Д*а)-|-а>2) и (д*;) -\- с»2), допуская закон-
законность этой операции и пользуясь формулой Пуассона A.78); по-
получим
Д(* )Я (х) -f- со2я (х) = О, х ? 5,;
это совпадает с уравнением G.51).
§ 8. Теоремы эквивалентности для динамических задач (Bt)
и (Яг). Остановимся подробно на задаче (Z?i) и соответствующих ей
уравнениях D.11), которые для удобства здесь выпишем:
4it/ft,tt (х) = (в2 ([Аа—ft) Г я (у) G (jc , у) d<3y-\-m Г я (у) grad d iV G doy -f-
+ ft, / «; (У) T^G d5y + ft, J / (y) f;'G d5y, G.52,)
Ьк\хаа (x) = (o2 (ft,—ft) J я (у) G (x, у)У<зу+»г J я (у) grad div G doy+
5,. G.52J
5a
Повторив рассуждения, которые были применены в § 7 для дока-
доказательства равенства G.44), и пользуясь леммой D § 6, найдем, что
регулярное решение уравнений G.52J в области Ва удовлетворяет
уравнению
Д*а)я(л:)Н-(о2я(л:) = 0. G.53)
Пусть х ? В(. Применяя формулу Бетти к векторам я (у) и G(*> (x, у)
(k — 1, 2, 3) в Bt и поступая так же, как в § 7, получим
Л (*) = - CO^ft J Я (У) О<*> (*. У) d*y -
Bi
— V-af gW (*• У) *<> (У) dey + m fa (у) grad div O<*> rfoy +
ft) (Т("я),- - я, (Т^О(*>)] rf5y. G.54)
Bi

240 - ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VI!
Применяя формулу Бетти к тем же векторам в области Ва,
получим
J [а (у) Д(а)О(й) (х, у) — О(к) (х, у) Д(а)я (у)] dcy =
Ва
= f [*« (T(a)G<*>) - G<*> (Т(а)я)а1 dSy + ff(y) T(a)G(ft) dSy,
S Sa
где /(л;) есть граничное значение и(х) на S.
Вследствие того что в Ва выполняется равенство G.53), имеем
из предыдущего
(x, y))]dSy-
//(У)T^G'V, y)dSy = 0 (k= 1,2,3), G.55)
причем за положительную нормаль здесь принята нормаль из Bt в Ва,
внутренняя по отношению к Ва.
Умножив G.55) на \ха и сложив с равенством G.52г) будем иметь
«a (x) = m fa (у) grad div G<ft) da
(a, — ua)Vy'Ow(x, y)dSy — \>.a La, GO TyOw(*. У) —
s s
— G<*> (ж/ у) (Т(л)й (У))J dSy. G.56)
Наконец, составим разность равенств G.56) и G.54), тогда
получим
О = J G(ft) (*, у) (Д*,,а + со2я (у)) dey +
' G(ft» (дг, у) [(Т(а)й)Л — (Т(|)а),] d5w + "
" (а, — «J T?OW (х, у) rfSy. G.57)
Пользуясь матричной записью и введя такое же обозначение, как
в § 7,
Qa(x)=
+ / КТ(а)й)в - СП0*),] G (ж, у) dSy

§ 8] ТЕОРЕМЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДЛЯ ДИНАМИЧ. ЗАДАЧ (В,) И (В2) 241
запишем равенство G.57) сокращенно.в виде
Qu(x) = 0, x?Bt. G.58)
Найдем теперь значение Qa (x) для х ? Ва. С этой целью при-
применим формулу Бетти к векторам й(у) и 0{к) (х, у) (k = l, 2, 3)
в области В[г считая х ? Ва.
Так как
Д*,-)О'*' (х, у) = — <в2 —— О'*' (х, у) -| grad div G'** (х, у),
будем иметь
- т f а (у) grad div G<*> (x. у) dcy + ^ J G(*' (x, у) 4)« СУ) ^y +
5y = 0. G.59)
Bi
Наконец, применим формулу Бетти к тем же векторам в об-
области Ва\ получим
*> (*. y))«,; G.60)
здесь положительная нормаль направлена из Bt в Sa.
Из равенства G.52а), сократив его предварительно на (Аа, вычи-
вычитаем равенство G.60); после элементарных упрощений, будем иметь
~ J и (у) grad div О<"> (х, y)d<3y + J (я,—йв)Ту Gw (x, y)rf5y—
— f [Ui(Vl)G(k)) — Gw {Va)u)a\dSy G.61)
i
16 В. Д. Купрадзе

242 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VII
и, сложив равенства G.59) и G.61), окончательно для х?Ва по-
получаем
Qa (х) = / (Д!а (у) + ш2а (у)) G (х, у) day +
Bi
+ /(«,— иа) ifG (х, у) dSy +
s
+ / [(Т<а)«)а-(T(l>a),] О (x, у) dSy = 0. G.62)
Таким образом, показано, что равенства G.58) и G.62),
= 0, G.63)
имеют место как в Bt, так и в Ва.
Найдем значения разностей
Для этого применим теоремы о свойствах потенциалов: непре-
непрерывность вместе с первыми производными объемного потенциала,
непрерывность потенциала простого слоя, разрывы потенциала двой-
двойного слоя и Т-операции от потенциала простого слоя и, наконец,
обобщенную теорему Ляпунова — Таубера о непрерывности Т-опе-
Т-операции от потенциала двойного слоя; тогда получим
»,—иа = 0. G.64)
(Т<в>а)в —(Т(И = 0. G.65)
Применяя, наконец, к равенству G.63) в области В( оператор
Д(а) Ч~ш > получаем на том же основании, как и в § 7,
^i)a(x)-\-(a2u(x) = 0, x?Bt. G.66)'
Остается проверить условие на Sa. Для этого найдем значение,
которое и(х) принимает, когда х из Ва стремится к точке х0,
лежащей на Sa. Обращаясь к уравнению G.52а), которому в Ва
удовлетворяет а (х), заметим, что вследствие того, что первый тен-
тензор Грина обращается в нуль, когда одна из точек лежит на Sa,
а другая не лежит на Sa, в правой части G.52а) обратятся в нуль
все слагаемые, кроме последнего. Последнее же согласно равен-
равенству F.40) принимает значение, равное (ла/(лг0), и окончательно
lim »(дг)=/(дг0). G.67)
Равенства G.53) и G.64) — G.67) доказывают теорему эквива-
эквивалентности для задачи EХ).
Доказательство теоремы эквивалентности для задачи (В2) фор-
формально не отличается от предыдущего; несущественное различие

ТЕОРЕМЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДЛЯ СТАТИЧ. ЗАДАЧ (В,) И (В2)
243
состоит лишь в том, что теперь граничное условие на Sa выпол-
выполняется ввиду того, что Т-операция от второго тензора Грина обра-
обращается в нуль на Sa и предел
Т, ff(y)H(x, y)dSy
s
согласно F.44) равен —4тг/(лг0); поэтому в уравнении D.13) при
х ? Ва (после того, как будет составлен Т-оператор- от обеих ча-
частей равенства и после перехода к пределу Ва 5 х —> х0 ? Sa) все
слагаемые справа уничтожатся, кроме последнего, которое в свою
очередь обратится в 4ъра/(х0). Этим теорема эквивалентности для
задачи (В2) доказана.
§ 9. Теоремы эквивалентности для статических задач (В\)
и (Яг). Вследствие того что значение ш = 0 есть характеристическое
число для задачи (Tf), доказательство теоремы эквивалентности для
задачи (В2), которая, естественно, содержит элементы задачи (Г?),
несколько отличается от доказательства, которое было дано в § 8
в динамическом случае, когда предполагалось, что ш отлично от
характеристических значений. Для задачи (Вг) это различие не имеет
места, и для нее теорема эквивалентности следует непосредственно
из результатов § 8. Поэтому здесь мы подробно рассмотрим за-
задачу (В2).
Напомним некоторые обозначения и определения.
Матрицу, изображающую второй статический тензор Грина, мы
о
обозначаем через Н(х, у):
И(х,у) =
к]
о
Векторы-столбцы этой матрицы обозначаются через Я( > (х, у)
(k= 1, 2, 3), так что
О ГО О О Л
//(jff у) =(//(!), ЯB), H^J.
о
Векторы-строки, составляющие матрицу //(лг, у), обозначаем через
H(k)(x> У) Ф = \, 2, 3), так что для транспонированной матрицы
имеем
16*

244
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VII ,
Составляющие по осям векторов Н^к) (х, у) (А = 1, 2, 3) будут
Н?\ Н{2к\ н?\ и составляющие векторов Н(к)(х, у) (ft=l, 2, 3)
0 0 0
0 0
суть Н(к), Н?к), Щк). Ясно, что
Я<*>(лг, у) = .
Далее, Т* есть оператор
с, у) (s, k = l, 2, 3).
Г = 2 (ft, — ft) ^- + (Ха - \) я div + (ft, — ft) (я X rot)
, y) =
»о
где
^ -Хг)cos (яу, y(s
+ 0*. — I*/) (я, X roty Д., ^
о
Наконец, введем еще для векторов-строк матрицы 7*Н*(х, у) обо-
о
значения П^, ПB)> П(з) и под символом graddivH*(x, у), как и ?
раньше, будем понимать матрицу !
C)
Уравнение D.35), которое дает решение задачи E2), может быть
записано в следующем виде:
4то (х) и(х) — т J »(у) grad div Я* (дг, у) rfoy -j-
«(У) f
.* °*
G.68)

§ 9] ТЕОРЕМЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДЛЯ СТАТИЧ. ЗАДАЧ (В,) И (Й2) 245
Нужно показать, что регулярное решение этого уравнения есть
решение, задачи (В2) при ш = 0.
В гл. VI, § 7 (см. еще гл. IV, § 4) было показано, что
А*а)Я(*' (х, у) = 4« 2 »*{к) (х, у), G.69)
*? (А =1,2,3),
Д*а># (*> (*. У) = 4тг 2 »(*, (х, у) G.70)
причем в первом из этих уравнений оператор Д(О) действует по
о
точке х и по столбцам матрицы Н(х, у), а во втором — по точке у
о
и по строкам матрицы Н(х, у).
Векторы %islk)(x, у) и 23fft)(x, у) определены следующим обра-
образом: %&*{к) (х, у) есть А-й столбец, а 23(й)(х, у) — k-я строка
матрицы
(у) Я?
Составим div и rot по точке у от обеих частей равенства G.70):
(divy Нш (х. у)) = 4к 2 cHvy25fft) (*. у),
(х, у),
t
0 N X
Яй (х, y)J= 4« 2
i
и вычислим значения правых частей этих равенств. Исходя из фор-
формул F.30) и определения векторов %&s{k)(x, у) и 58(*)(х, у), находим
при k = l, 2, 3 и для всех s;
для k = l. 2, 3, sal, 2, 3
roty2Sfft) (х, у) = 3tf» (x) roty2l(s) (у) = 0.
а для s = 4, 5, 6 и ft=l, 2, 3
. У) = 3li4) (x) (О. - J-. О).]
roty»fft) (x, у) = »P (*) (О, 0. —i), G.71')
roty8fft) (jc. у) = ШР (x) (-1-. 0. O).'

246 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VII <
Подставив эти значения div 23(*)(х, у) и rot 23(*)(х, у) в уравне-
ния G.71), получим
b(dlvyHik)(x,y) = 0, G.72)
(ft = l. 2, 3). G.73)
Докажем леммы:
Лемма А0. Для х?В и не совпадающих с у
= 0.
Лемма В0. Для х?В и не совпадающих с у '
= 0.
Лемма С0. Для х, не лежащих на S,
, у) dsy\ = о.
н ( { »(у) Т*я* (
Для доказательства леммы А0 (ввиду следствия леммы А § 6)
достаточно показать, что для любого k=l, 2, 3
2)U(k) (x, y))xs = (АаШ(*) (х, у) + (ка + pa) j^- div П(А) (х, у) = О
(8=1, 2, 3). • G.74)
Найдем
div, П(л, (x, у).
Так как Т*цН{т) (х, у) = П(% (х, у), имеем
з
С Tl'fft г \
[2 ^- ~ ^ ж- ^*m)(Xi
у
^*m)(X у)+^ - х<)cos
т у
о / о ¦]
X div у Яы (ж, у) + (j*e — ^ ^яу X г<*„ЯЫ (х, у)хJ.

§ 9] ТЕОРЕМЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДЛЯ СТАТИЧ. ЗАДАЧ (В,) И (В2) 247
Но
о о
Л дН{т)(х, у) = у у <W("CT)I ^у »
= gradJrФ(x, у) = —grad Ф(лг, у).
Поэтому
д °
divn(ft) (х, у) = 2CfJ-л—fJ-i) т;—¦ й1у,Я<*) (лг, у)—(X,—ХЛ cos (»v, дгй) о (у),
опу у
где о (у) от точки л; не зависит. Кроме того,
д' ( °
с, у) = 2 (|ie — fj.,) -д—V(J.O /!
If fly
Внесем найденные значения div^ 11(й> и [ХдДП^) в G.74) и применим
G.72), тогда
. У))*. = 2 (ра — pt) -5— PabxH(s) (X, У) +
s апу l
+ ft* 0*e — I*/) [ («у X Д* rotyW(s) (х, у) ) ]
или, ввиду соотношений симметрии,
= 2 (^ -1*0 -— [|*«ДА», (у,
О». ~ ft) [»у X Д, rotyW(s) (х, у))хJ . G.74')
)хJ
Здесь справа в первой квадратной скобке стоит выражение, ко-
которое представляет результат проектирования на ось xs операции /\O),
о /
выполненной по точке х над k-Vi строкой матрицы Я (у, х) \но не
о \
; из G.70) следует, что
0 ¦ ?
2 »(*) (У, х). G.75)

248 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VII
Проектируя 2?(*)(у, х) на ось xs и дифференцируя по нормали
в точке у, получаем
6
4«2 (ft, — ft) ¦w- 2 (93(ft) (У. х))х$ =
= 87T(ft, —ft)
Внесем это выражение в G.74') справа в первую квадратную '-
скобку и выражение, стоящее там же во второй квадратной скобке, *
заменим равным ему значением по формуле G.73), тогда получим
'¦ У))х. = 0- *
Пусть, например, й=1, s = 2; в этом случае из F.30) имеем
г **>' Тп~
и
б
cos (пг х2) ^—cos(«y, ДГз)-
С другой стороны, из G.73) имеем
— 8п (ft, — ft-) [ny X Д (roty ЯB) (лг,
/ «Р> (л:) 8li ()
= — 8п (ft, — ft) ^—т—cos (яу, *,) § cos (яу
и после внесения в G.74') получаем
Таким образом, лемма А0 доказана.
Останавливаться на доказательствах лемм В0 и С0 нет необхо-
необходимости, так как эти леммы доказываются так» же, как были дока-
доказаны аналогичные леммы в § 6; при этом следует опираться на
лемму А0, доказанную выше.
Теперь можем обратиться к вопросу, составляющему главный
предмет этого параграфа, — доказательству теорем эквивалентности.
Предположим, что вектор /(у), задаваемый равенством

§ g] ТЕОРЕМЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДЛЯ СТАТИЧ. ЗАДАЧ (Я,) И (В2) 249
удовлетворяет условиям ортогональности
)dSy = 0 (j»=l, 2 6), G.76)
sa
которые, согласно теореме 7 гл. VI, необходимы и достаточны для
разрешимости задачи (Tt).
Покажем, что регулярное решение уравнения G.68) в области Ва
есть интеграл уравнения
Действительно, пусть х?Ва; применяя оператор Д*а) к обеим ча-
частям равенства G.68) и внося при этом операторы дифференциро-
дифференцирования под знак интегралов (это в данном случае, очевидно, допу-
допустимо), замечаем, что на основании лемм А0, В0, С0 имеет место
соотношение
= - *а / [Д(О, Н (X, у) ] f (у) dSy
Но согласно G.69) при воздействии оператором Д(а) по х на
столбцы имеем
Д(а,Я (X, У) = 4тг ^ Ш(т) (X) * Ш(т) (У)
т=1
и
6
[F> (AT) + h%f] (X)
m-i
отсюда, учитывая условия разрешимости G.76), получаем
G.77)
что и нужно было показать.
Из предыдущих параграфов мы знаем, что, исходя из G.77),
доказательство теорем эквивалентности во всех случаях можно вести
одним и тем же способом; поэтому повторять здесь эту часть дока-
доказательства нет надобности. Таким образом, теорема эквивалентности
для статической задачи (В2) доказана.
Что касается статической задачи (Bj), то по причинам, о которых
было сказано в начале параграфа, теорема эквивалентности получается
из § 8.

250 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ. НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ [ГЛ. VI;
Отметим, что условия G.76), которые являются необходимыми и
достаточными для разрешимости второй внутренней статической за-
задачи (Т{) для однородных тел (см. гл. VI, § 5), играют такую же
роль, как мы убедились, и в неоднородных средах. Это обстоятель-
обстоятельство согласуется с тем, что, когда включение Bt, образующее не-
неоднородность среды, исчезает, например, вследствие «стягивания» В(
в точку, уравнение G.68) принимает следующий вид:
а (х) == — ~ j H(x, y)f(y) dSy,
который дает представление решения задачи (Т() для однородной
среды при помощи тензора Грина, если доказана теорема суще-
существования.

ГЛАВА VIII
АНИЗОТРОПНЫЕ ТЕЛА. ТЕОРИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ
Методы потенциала, при помощи которых в предыдущих главах
были рассмотрены граничные задачи для однородных и кусочно-не-
кусочно-неоднородных изотропных тел, могут быть распространены на анизо-
анизотропные упругие тела. Для этого необходимо, с одной стороны,
более подробно разработать теорию фундаментальных решений раз-
различных родов для систем эллиптических уравнений с разрывными
коэффициентами и, с другой, распространить теорию многомерных
сингулярных интегральных уравнений на системы уравнений, ядрами
которых будут служить эти фундаментальные решения. Эти вопросы,
при решении которых потребуется преодоление новых трудностей,
заслуживают интерес и должны стать предметом будущих исследо-
исследований.
В одном частном, но достаточно важном случае методы преды-
предыдущих глав могут быть почти полностью применены к анизотропным^
телам уже сейчас, мы имеем в виду теорию плоской задачи. В этой
и следующей главе будет рассмотрено несколько типичных задач этой
теории, которые (другими методами) и раньше рассматривались мно-
многими авторами.
Исследования в области плоской задачи анизотропных тел осо-
особенно интенсивно стали развиваться с тридцатых годов нашего сто-
столетия. Главное направление, по которому эти исследования велись
с самого начала, состояло в применении к анизотропным телам ме-
методов теории функций комплексного переменного, которые в работах
Г. В. Колосова и, особенно, Н. И. Мусхелишвили привели к важным
результатам в теории плоской задачи для изотропных тел. Уже
в сороковых годах теория анизотропной плоской задачи была доста-
достаточно продвинута на этом пути благодаря работам С. Г. Лехницкого [17],
Г. Н. Савина [28], С. Г. Михлина [22г], Д. И. Шермана [29] и
других. Эти работы основаны на представлении смещения и напря-
напряжения при помощи аналитических функций комплексных переменных,
касаются задач статики и, главным образом, однородных тел; случай
кусочно-неоднородного тела рассмотрен в работе [29].

252
АНИЗОТРОПНЫЕ ТЕЛА. ТЕОРИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ
[ГЛ. VIII
В 1954 г. в работе автора и М. О. Башелейшвили [14] был
предложен другой метод изучения плоской задачи анизотропных
тел, основанный на применении методов потенциала и интегральных
уравнений; в ней было впервые показано, как результаты, полученные -
этими методами для изотропного тела, распространяются на анизо-
анизотропные тела. Основная идея этой работы была затем развита и
применена в различных направлениях в работах Т. В. Бурчуладзе
[2а, б, в, г], К. М. Месхи [20], Ж. А. Рухадзе [27] и других'.
Наконец, ,в новых работах М. О. Башелейшвили [1а, б, в, г] теория
граничных задач, основанная на применении указанных идей, была
изложена наиболее компактно. Следует отметить, что в работах :.
[1а, б, в] показана применимость нового метода для построения явных
решений граничных задач в некоторых из тех случаев, когда такие реше-
решения могут быть получены, например, методами теории функций ком-
комплексного переменного. В §§ 1—6 этой и следующей главы эти
результаты будут изложены с некоторыми сокращениями и измене-
изменениями.
§ 1. Основные уравнения и фундаментальные решения. Урав-
Уравнения плоской деформации в однородном анизотропном теле при
отсутствии объемных сил могут быть записаны в следующем виде:
дх,
= Апип
= А\За\1 4- ^23И22 4-
^ дх2
+ Лз«12.
= 0;
(8.1)
(8.2)
где Ап, Ап, Л13, А<п, А^, А& — упругие постоянные материала,
отнесенные к системе координат
удовлетворяют условиям
0,
41
xs; предполагается, что они
А А л
"*11 ^^12 "^14
13 ^23
*33
> 0. (8.3)
Полагая компоненты деформации ип, ип, ап связанными с компо-
компонентами вектора смещений и {uv u^) соотношениями
1 Еще раньше эти же идеи были использованы в работе Н. С. Кахниа*
швили [11] при изучении плоских задач для изотропных тел.

5 I] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ 253
и подставляя их в (8.2), из уравнений (8.1) получаем
л д*и1 i о и д*иг i л
М-Ли -ц + 2Аз-ц? + 4»
* .
= 0,
(8.4)
или еще
Д*й = О,
где под А* следует понимать дифференциальный векторный оператор
с проекциями, равными
Ai и А2.
Мы получили основную систему дифференциальных уравнений в сме-
смещениях для плоской статической задачи при отсутствии объемных
сил. Можно показать, используя неравенства (8.3), что уравнения
(8.4) являются системой эллиптических дифференциальных уравнений
и соответствующее ей характеристическое уравнение
(Л22Лзз — Ah) а + 2 (АиАп — А^ а3 +
+ (Лц Л22 -Ь 2 ЛиЛгз — Л22 — 2 Л12Лзз) а2 + 2 (Лц Лгз — Л^
+ (Л„Лзз —Л?3) = 0 (8.5)
допускает лишь комплексные корни
ak = ak + ibk, a.k — ak — ibk, bk>0 (k=l, 2). (8.6)
Пусть

254
АНИЗОТРОПНЫЕ ТЕЛА. ТЕОРИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ
[ГЛ. VIII
Подставив в (8.5) вместо их и и2 (8.7,) или (8.72), мы прилем для
функции ф к одному и тому же дифференциальному уравнению чет-
вертого порядка:
Л2з — А\2— 2А^
4- 2 (АзАя - Л]2Л23) -^-д- + (Л22Л33 - Ah) ^L = 0. (8.8)
ОХ} ОХ2 ОХ2
Разыскивая фундаментальные решения уравнения (8.8) известным
способом [18], нетрудно убедиться, что этому уравнению удовлетво-
удовлетворяет следующая функция:
2
где
; у) = a Im 2j dkak In ak,
k=i
— У2). « =
(8.9)
(8.10)
а в?» есть алгебраическое дополнение элемента <х|, деленное на d, и-
а! а?
2 3
а2 а2 а2
а ос
а2
= —4*,*2 [(а, — о
наконец, x(xv x? и y(yv y2) — точки плоскости.
Можно показать, что
2
(8.11)
2
*"* — ~ЧЬф2 [(д, _
эти равенства позволяют внести полезные упрощения ь последую-
последующие вычисления.

§ 2) ОБОБЩЕННЫЙ ОПЕРАТОР НАПРЯЖЕНИЯ 255
Внеся значения ф из выражения (8.9) в (8.7Х) и (8.72) и приняв
их за столбцы, введем матрицу
2
„* ** 1пой, (8Л2)
# Ч II
где
Ak = la yA^k ~r~ 2 Аза* ~r~ Аз) ^s>
5* = —2а [Л2з4 + (An + Лзз) ай + Л]3] dk, (8.13)
Ck = 2fl (Лзз4 + 2Л]3а, + Д„) d, (ft = 1, 2).
Г(дг, у) будет называться матрицей фундаментальных решений си-
системы (8.4). Можно проверить непосредственно, что системе (8.4)
удовлетворяет также каждый столбец матрицы
2
в
Л
где
]2 + Л33) ч + Л]3]
]2 + Л33) «ft + Аз]
D'k = (Л33а! + 2Л13а, + Лн) ^^
и
рк == (Л22Лзз — Ли) а! -|- (Л^Ли — Л^з) ak + (ЛиАц — Л]2
Лзз— Л?3).
рассматриваемые как векторы. Матрицу М (х, у) будем называть
вторым фундаментальным решением системы (8.4).
§ 2. Обобщенный оператор напряжения. Операторы напря-
напряжения и псевдонапряження. Векторный оператор П« с компонен-
компонентами на осях, равными
Л / 4 1 (8.15)
им, , дм, . . дм,\, .
^ + -12 ^ + ^22 ^>OS (». *,).

256 АНИЗОТРОПНЫЕ ТЕЛА. ТЕОРИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ (ГЛ. VIII ';
где Pj, p2, fi. Тг- 81« ^2- Vv '"fe— произвольные действительные числа,
удовлетворяющие соотношениям
Pi-r-p2=2A3> TiЧ-Тг = ^12 + Аз« /о «ел
(8.16) .»
будем называть обобщенным оператором напряжения. Оператор, '.
в который обращается П. когда в его. выражении произведены
взаимные транспозиции букв ф,, C2), (t)v т^), (f,, 82), (f2. Sj), будем
называть сопряженным с П обобщенным оператором и обозначим
через П*.
Если в равенствах (8.16), в частности, положим
Pi = 4b. р2 = Л]3, 7i = ^i2. Тг = ^зз. ;
то оператор П обратится в оператор напряжения Т и при этом
к
-в
Найдем результат действия оператора П по точке у над матрицей |
Г(дг, у). Для этого заметим, что
—— In ak = -^— In ak COS (fly, Xt) — -^— In ak COS (» , X2) =
= (COS {Пу, #2) — «ft COS (ду> x0 )¦ (8- ^ ^) •*
и что ak удовлетворяет уравнению
как это можно проверить на основании (8.5) и (8.13). Кроме того,
нетрудно проверить равенства
«к) Bk ^-(Tfe+^a,) Ck].
Выполняя операцию П над столбцами матрицы Г(дг, у) по точке у
и учитывая сказанное, получим
j

§ 21 . ОБОБЩЕННЫЙ ОПЕРАТОР НАПРЯЖЕНИЯ 257
где
Рк = - 1(Ра -4- Лза*) Л» + G2 + 4«Л) 5*1.
Q* = — f(82 + ^V») Ak + (tj2 + ЛаЛ) Bk\, ^
#* = - KP* + ^«) Я + G + A&) Cl
Рассмотрим матрицу
полученную из матрицы ПуГ(лг, у) перестановкой строк и столбцов;
тогда так же, как это было сделано в гл. I, § 3, можно доказать,
что каждый столбец матрицы (8.19), рассматриваемый как
вектор, относительно точки х удовлетворяет системе урав-
уравнений (8.4).
Введем обозначение
о = (*1 — уг) -Ь / (х2 — у2)
и перепишем матрицу ПуГ(лг, у) в следующем виде:
Но выражение
д <Jk (xl
— In— = tf-ccft) . —
' У>cos (r> ">>' г = VC-^i ~ УiJ
очевидно, допускает' в точке у = х интегрируемую в обычном
смысле сингулярность; поэтому для того, чтобы и матрица ПуГ(лг, у)
допускала лишь такую сингулярность, необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись условия
2 2 2 2
Im2^ft—0, Im2Qft = 0, Im2#ft = 0, Im2Sft = 0. (8.22)
*¦! ft-i ft-i ft-i
1 На кривой Ляпунова.
17 В, Д. Купрадзе

258
АНИЗОТРОПНЫЕ ТЕЛА. ТЕОРИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ . [ГЛ. VttJ
Эти условия будут выполнены, если постоянные fJ2, 7г> ^2>
выбраны следующим образом:
1
— Im
2
С
А* '
2 -
'ft
С ;
где
со =
* = 1т % Л. =
[1 - (ВС - ЛЯ.
Л12 Л13
Л12 Л 22
33
Воспользовавшись формулами (8.11), заметим, что
(8.23)
(8.24)
(8.25)
где
Л, В, С отличны от нуля и, кроме того,
(8.27)

§ 2]
ОБОБЩЕННЫЙ ОПЕРАТОР НАПРЯЖЕНИЯ
259
Внесем значения постоянных р2, у2, 82, 7j2, определенные из соот-
соотношений (8.23), в выражения (8.18) для Pk, Rk и Qk, Sk и затем
эти последние внесем в матрицу (8.19); тогда получим новую матрицу,
которую обозначим через МуГ(лг, у) = Г11(л;, у):
2
г\|.,Г(л;, у) = Гп(л:, y) = Im
(8.28)
где
F —
В2С\
В, С,
(8.29)
Эта матрица содержит только такие сингулярности, которые инте-
интегрируются в обычном смысле. Найденный таким образом оператор N
назовем оператором псевдонапряжения, а матрицу (8.28), каждый
столбец которой, очевидно, является относительно точки х решением
системы (8.4), — фундаментальным решением второго рода.
Фундаментальным решением первого рода будем называть матрицу
решений (8.19) при следующих значениях постоянных:
При этом, как уже указывалось выше, оператор П обра-
обращается в оператор Т и матрица ПуГ(л:, у) обратится в матрицу
ТуГ(*. у) = Г,(%, у):
(8.30)
где постоянные Л^, Mk, Lk, Hk определяются из равенств (8.24).
Ввиду соотношений (8.25) матрица фундаментальных решений пер-
первого рода Fj (х, у) при совпадении точек х и у на кривой Ляпунова
будет иметь полюс первого порядка.
Кроме того, из сказанного ясно, что
V = J, N'==N. (8.31)
Отметим еще одно важное свойство второго фундаментального ре-
решения М (х, у).

260 АНИЗОТРОПНЫЕ ТЕЛА. ТЕОРИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ (ГЛ. VIII
Составив Т-операцию по точке х от матрицы М (х, у), найдем
2 „
V Р еь St
ТЛМ (х, у) = Im /, I .
где
а,-а2 «,_., (833)
S* «1—«2 ' У* «ft(al—«2)
Отсюда легко проверить, что
2 2 2 2
Im 2 «* = Im S tf* = Im S A Im S /* = 0> (8 34)
ft-l ft-l ft-l S = l
Поэтому и в силу (8.21), JxM(x, у) при совпадении точек х и у
на кривой Ляпунова допускает особенности, интегрируемые в обыч-
обычном смысле, подобно тому как это имеет место для N-операции
от матрицы Г (х, у). Этим замечательным свойством второго фунда-
фундаментального решения мы впоследствии существенно восполь-
воспользуемся.
§ 3. Упругие потенциалы (эластопотенциалы) анизотропной
среды. Пусть / есть замкнутая кривая Ляпунова. Будем называть
интегралы
Vi (х) = 1 / Г (х, у) ср (у) dly, Vtt (x) = 1 f Щх, у) ср (у) dly
где ^ (У) есть вектор класса H(i), соответственно, потенциалами
простого слоя первого и второго рода, а интегралы
W, (*) = \ f Г, (х, у) ср (у) dlr Wn (x) = 1 f Г„ (дг, у) ср (у) dly
потенциалами двойного слоя первого и второго рода; потенциал
простого слоя второго рода Уц (дг) является здесь аналогом потен-
потенциала антенного слоя гл. I, § 6 и иногда будет называться антенным
потенциалом.

$3] УПРУГИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ 261
Наконец, мы будем пользоваться также потенциалами вида
где St есть область на плоскости, ограниченная замкнутой гладкой
кривой / Ляпунова, называя их потенциалами масс!
Свойства плоских потенциалов, введенных выше, аналогичны
свойствам пространственных потенциалов, изученных в гл. I и II,
и доказательства их также не отличаются по существу от доказа-
доказательств, приведенных в гл. I. Имеют место теоремы:
Теорема 1. Потенциал простого слоя первого рода непре-
непрерывен всюду.
Теорема 2. Потенциалы двойного слоя первого и второго
рода стремятся к конечным пределам, когда точка х стре-
стремится к точке х0 на I изнутри или извне, и эти пределы
равны соответственно
ifi(x0. у)9(У)«Я,.
(8.35)
^ / Ги (*0. у) ? (у) Л,,
у)9(у)Л,.
Интегралы в этих выражениях, в правых частях первых двух ра-
равенств, следует понимать в смысле главного значения по Коши.
Теорема 3. J-операторы потенциалов простого слоя пер-
первого и второго рода стремятся к конечным пределам, когда
точка х стремится к граничной точке хо?1 изнутри или
извне, и эти пределы будут:
для простого слоя первого рода
(JVOi — 9 (*о> + 7 / OV (*о. У)) <Р (У) Л,.
' . (8.36)
(TV,). = + ? (аго) + 7 / (TV (*о. У)) ? (У) dlr

262 АНИЗОТРОПНЫЕ ТЕЛА. ТЕОРИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ [ГЛ. VIII
для простого слоя второго рода
(TV,,), = - ? (х0) +1 f (Ь0Ж (х0> у)) ? (у) Лу,
i
(ТV,,)e.= + op (x0) +1 f (JXoM (х0, у)) ? (у) Лу.
г
При доказательстве этой теоремы надо воспользоваться тем, что
k = \
и непрерывностью функции
д . . д ,
1+V
= -^- taft
COS (Яу, *!>) — (COS (Я,. Д?2) — COS (Яу. Д?2) )]
при переходе точки х через кривую /.
Теорема 4. Если существует один из пределов (TW,(х))в
или (JW\(x))t класса Я(?) (класса Гельдера с показателем f
О < т ^ 1), регулярного соответственно в Sa и 5,-, потенциала
двойного слоя первого рода Wl (x), то существует и другой
предел и при этом имеет место равенство (TW, (х))(- =
= (lW\(x))a. Здесь S-t есть область, заключенная внутри замкнутой
кривой /, Sa — внешняя, бесконечная область; определение регуляр-
регулярности . такое же, как в пространственном случае, с тем различием,
что на бесконечности регулярное решение ограничено. Эта теорема
есть обобщенная теорема Ляпунова — Таубера на плоскости, и ее
доказательство аналогично доказательству, приведенному в
гл. VI, § 9.
Теорема 5. Потенциал масс
U(x) = ± fr(x,y)<?(y)dSy
удовлетворяет в 5?- уравнению Пуассона
(8.37)

§4]
ФОРМУЛЫ, АНАЛОГИЧНЫЕ ФОРМУЛАМ БЕТТИ 263
§ 4. Формулы, аналогичные формулам Бетти. Пусть а и
•о — два вектора, определенные в St, и пусть для них справедливы
здесь формулы Грина. Рассмотрим выражения
= Аг cos (»у, дг,) + Л2соз(»у> х?, (8.38)
= 51cos(»y> *,)-|-52cos(«y, x2), (8.39)
где y?Sj + /, П* есть оператор, сопряженный с оператором П и
определенный в § 2, наконец, Av Л2, 55, В2 имеют следующие
значения:
23 y7 ^~7)l 77 + 22 53^;'
(840)
du2 , . du2\ \ • v
Применяя формулу Грина
/(PCOS(">' ^
и используя формулы (8.38), (8.39), (8.40,). (Ъ.Щ, получаем
— fE(u, v)dS, (8.41)
s
J*>Д*«dS = J«ПиЛу — f E(v, u)dS, (8.42)
sl i s

264 АНИЗОТРОПНЫЕ ТЕЛА. ТЕОРИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ (ГЛ. VIII
где
_., . „, ч . ди, dv, , о ди, dv, , . ди, dv.
"*" 2 «Ъ-i 5у "^^з dy, lyT"^ dy, "dy^"
4
а Д*(Д*. Дг) есть здесь оператор с проекциями на оси хг и Jf2:
(8.44)
= ^13—-
Из соотношений (8.41), (8.42) и (8.43) следует равенство
J (*>Д*а — иД**>) ^5 = J («Пи — иП**>) Л. (8.45)
и, в частности, когда П^Т и, следовательно, Т* = Т. получаем
формулу Бетти
f l. (8.46)
si
Положив в формуле (8.42) u = v, П = Т и Д*и = 0, будем иметь
JE(a, a)dS = jiiXudl, (8.47)
l
si
где
E (и, и) = xnuu + -:22и22 + xM«u = Anu\x + 2Л12«пи22
Можно показать на основании (8.3), что выражение (8.48) предста-
представляет существенно положительную форму.

$ 5] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ 265
Если векторы вив определены в области Sa и на бесконеч-
бесконечности удовлетворяют условиям
J—o<i\ rzl — om (8<49)
dR —UV>> г dR UV>
где R есть произвольное направление, а г — расстояние от точки х
до некоторой фиксированной точки в St, то формулы (8.41), (8.42),
(8.45), (8.46), (8.47) остаются справедливыми также во внешней
(бесконечной) области Sa, при этом в правых частях названных
формул знаки изменятся на противоположные.
Пусть F(S) (x, у) обозначает k-Vi столбец матрицы Г(дг, у); в фор-
формуле (8.46) примем v = Г(*> (х, у), тогда так же, как это сделано
в гл. I, § 6, теперь получим
Ь(х)иь (х) = 1 f [«T/W (х, у) - П*> (х. у) Те (У)] dly +
i
+1 /* Г<*> (х, у) Д*и (у) d5y • (ft = 1, 2), (8.50)
где
Та же формула (8.50) сохраняется в Sa, если выполнены усло-
условия (8.49). В частности, при Д*ц = 0 имеем
8 (*) ик (х) = \Ju (у) ТУГ<*) (х, у) dly -
(ft=l. 3), (8.51)
или
,—±fr(x,y)(Tu)dly. (8.51')
§ 5. Интегральные уравнения граничных задач. Теоремы су-
существования и единственности. Рассмотрим первую и вторую
основные граничные задачи; с постановкой этих задач мы познако-
познакомились в § 2 гл. II. Правда, здесь речь идет уже о построении ре-
решения системы уравнений (8.4). Разыскивая решение первой задачи
в виде потенциала двойного слоя первого рода, а решение второй —
в виде потенциала простого слоя первого рода, получим на основании

266 АНИЗОТРОПНЫЕ ТЕЛА. ТЕОРИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ [ГЛ. VIII
теорем 2 и 3 § 3 интегральные уравнения
? (*о) + -г / Г, (*0. у) ? (у) Л - /(х0), (Д.)
— <P (*o) + zr / (Тл-J1 (x0, y)) cp (y) dl = f(x0). (Tt)
I
if<J*F(*» У))?(У)<" =
\
При этом (Dj) и (Tt) — уравнения, соответствующие внутренним за-
задачам, a (DJ и (Га) — уравнения внешних задач; вектор f(x0) задан
на Z, это вектор класса Н. В §§ 36—37 гл. X будут построены и
исследованы уравнения смешанной задачи.
Полученные интегральные уравнения — сингулярные; в отличие
от соответствующих уравнений гл. II, они представляют собой кон-
контурные или одномерные сингулярные интегральные уравнения. Урав-
Уравнения (8.52) являются частным случаем систем сингулярных уравне-
уравнений, рассмотренных в гл. V, и для них можно развить совершенно
так же, как это сделано в гл. V, аналогичную теорию разреши-
разрешимости; при этом мы убедились бы, что остаются в силе три основ-
основные теоремы и альтернатива Фредгольма.
Однако нет необходимости делать это. Теория систем одномер-
одномерных сингулярных интегральных уравнений с ядрами типа Коши об-
общего вида была разработана достаточно подробно еще в сороковых
годах и изложена в [246] и в [13а]. Было показано, что, в отличие
от систем уравнений Фредгольма, для систем сингулярных уравнений,
вообще говоря, не имеет места теорема о равенстве нулю разности
чисел линейно-независимых решений1 данной и сопряженной систем;
доказывается, что эта разность равна так называемому индексу си-
системы, введенному в простейшем случае одного уравнения Неттером
и распространенному для систем уравнений Мусхелишвили [246]. Та-
Таким образом, только в том частном случае, когда индекс системы
сингулярных уравнений равен нулю, мы имеем случай Фредгольма
и теорию разрешимости, аналогичную теории Фредгольма. Ниже будет
показано, что уравнения (Dt), (DJ, (Т{), (Т^ относятся именно
к этому типу и для них, в частности, остаются справедливыми основ-
основные теоремы и альтернатива Фредгольма; кроме того, уравнения (D^,
(Та) и (Da), (Tt) являются попарно взаимно-сопряженными. Основываясь
на этих свойствах полученных уравнений, в следующем параграфе
мы докажем теоремы существования для первой и второй задач.

§ В] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ 267
В плоской задаче можно, однако, избежать использования сиа-
гулярных уравнений. В самом деле, если решение первой задачи
ищется в виде потенциала двойного слоя второго рода, а решение
второй — в виде потенциала простого слоя второго рода, то на
основании теорем 2 и- 3 § 3 получим интегральные уравнения
f
I
f
I
^ / гп (*о. У) 9 (У)dl = /(*o). (А)
i
1 / Гц (х0, у) ? (у) dl =/(x0), (De)
.
Л (*о- У)) ? (У) Л - f{x,), {Tt)
(8.53)
Из соотношений (8.28) и (8.32) следует, что если контур интегри-
интегрирования / есть кривая Ляпунова, то уравнения (8.53) являются обыч-
обычными уравнениями Фредгольма; благодаря отмеченному обстоятель-
обстоятельству эти уравнения в некоторых случаях могут иметь известное пре-
преимущество перед сингулярными уравнениями (8.52); так, например,
пользуясь уравнениями (8.53), нет необходимости предполагать век-
вектор /(х0) принадлежащим классу Н, а достаточно считать его, на-
например, непрерывным в обычном смысле. Но, с другой стороны,
уравнения (8-53) не обладают свойством сопряженности, которым,
как было сказано выше, обладают системы (8.52). Указанное обстоя-
обстоятельство будет использовано ниже при исследовании интегральных
уравнений (8.52). К этому вопросу мы вернемся в следующем пара-
параграфе.
Укажем некоторые теоремы единственности, которые почти непо-
непосредственно следуют из выведенных в предыдущем параграфе формул.
Допустим, рассматриваемые граничные задачи имеют два различ-
различных регулярных решения. Составив разность решений, которая на /,
очевидно, равна нулю, и применив к этой разности формулу (8.47)
один раз во внутренней, затем во внешней области, получим сле-
следующие теоремы.
Теорема 6. Регулярное решение системы уравнений (8.4)
в Si или Sa, обращающееся в нуль на границе, есть тожде-
тождественный нуль.
Теорема 7. Регулярное решение системы уравнений (8.4)
в 5г или Sa, J-onepamop от которого обращается в нуль на I,
есть вектор жесткого смещения в St и равно постоянному
вектору в Sa.

268
АНИЗОТРОПНЫЕ ТЕЛА. ТЕОРИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ
[ГЛ. VII!
§ в. Доказательство основных теорем существования. Сна-
Сначала покажем, что интегральные уравнения (8.52) действительно
являются сингулярными в смысле Коши, одномерными интегральными
уравнениями. Рассмотрим уравнение (D,) из группы (8.52). Согласно
(8.30) ядро этого уравнения Г) (х0, у) равно
2 Л ли д
Р*у
На основании (8.21) имеем :
(8.54)
С другой стороны,
д , ,, dr dt
ni;[nrdly=-r=T=T0
где t и tQ — соответственно дуговые абсциссы точек у и х0 на кри-
вбй /. Поэтому уравнение (Dt) на основании (8.25) принимает сле-
следующий вид:
— АС ¦ *>" (8#5б)
— В А
где
и Nk, Mk, Lk, Hk определяются из равенств (8.24).
Ktp — вполне непрерывный оператор, и уравнение (8.55) есть
одномерное сингулярное интегральное уравнение. Для такого урав-
уравнения справедливы основные теоремы и альтернатива Фредгольма,
если индекс равен нулю. Индексом системы уравнений вида (8.55)
называется число
где
о
1+м —а я
Bt \-AiV
I — At Ci
— Bi 1+Л,
1 Напоминаем, что волнистая черта указывает на комплексное сопря-
сопряжение.

$6] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНЫХ TEOt>EM СУЩЕСТВОВАНИЯ 269
и знак [... ]г указывает на приращение заключенной в скобке вели-
величины при обходе переменной точкой замкнутого контура /. Поскольку
в данном случае эта величина постоянная, достаточно доказать, что
она отлична от нуля и от бесконечности. Но
detS = detD= I + А2 — ВС,
и, следовательно, нужно показать, что
1 + Л2 — ВСфО (или оо).
Это неравенство есть следствие следующей системы равенств и не-
неравенств:
0. (8.55')
откуда и на основании (8.27) имеем
1+Л2 — ВС--
Уравнение (Т() также приводится к виду (8.55), и, заметив, что вы-
выражение
д д_
остается непрерывным при переходе точки х через контур /, без
труда находим, что в данном случае индекс системы равен
det S' 1
где
И—i + л* —а и I—I — At а л
•=> —| В1 —\—А1\' I — В1 — 1 + Л/ I'
отсюда
det5' = detD'=l + Л2 — ВС и х = 0.
Мы показали, что индексы систем уравнений (Dt) и (Г^) равны нулю;
но разность чисел линейно-независимых решений сопряженных си-
систем, согласно теореме об индексе [246], равна индексу системы;
следовательно, системы уравнений (Та) и (Da), которые являются со-
сопряженными соответственно для уравнений (Dt) и (Гг), HMerof
столько же линейно-независимых решений, как и эти последние.
Таким образом, доказана вторая теорема Фредгольма; легко дока-
доказывается также первая и третья теоремы Фредгольма, эти доказа-
доказательства можно найти, например, в книге автора [13а].

270 АНИЗОТРОПНЫЕ ТЕЛА. ТЕОРИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ [ГЛ. Vltl
После того как для уравнений (8.52) доказаны теоремы Фред-
гольма, а также теоремы единственности б и 7 предыдущего пара-
параграфа, доказательство теорем существования получается так же, как
и в случае изотропного тела [1а].
В самом деле, в гл. VI, §§ 2 и 5 мы видели, что доказательство
существования полностью опирается на упомянутые выше два факта,
и только на них. В работе [1а] теоремы существования доказаны
также с помощью регулярных уравнений Фредгольма. Из сказанного
вытекает существование первого и второго тензоров Грина; доказа-
доказательство сводится к повторению рассуждений гл. VI.
§ 7. Равновесие кусочно-неоднородного анизотропного тела.
Способ исследования граничных задач для кусочно-неоднородных
изотропных тел, изложенный в гл. IV и VII, очевидно, может быть
применен и к анизотропным телам; здесь остановимся на случае
ортотропных тел, который был рассмотрен Ж. А. Рухадзе [27].
В ортотропных телах постоянные Гука Л13 и Л23 равны нулю,
и уравнения (8.4) упрощаются. Пусть некоторое плоское ортотроп-
ное тело с постоянными Гука Аи, Л°2. ^зз. Аи и с границей 1а
содержит целиком внутри себя конечное включение из другого
ортотропного материала, характеризуемого постоянными An, A\y
Азз. А\ч и ограниченного кривой I. Обозначим область, занятую
включением, через Slt а остальную область через Sa. Введем обо-
обозначения:
где
?(a)U = Au
дх\ ' м дх\
Д2 («)И - Л33 -ц- + Л22
_
где
а).

§ 71 РАВНОВЕСИЕ КУСОЧНО-НЕОДНОРОДНОГО АНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА 271
где
где
4- *L) сов<„, л:,
Рассмотрим следующие граничные задачи:
Найти регулярный вектор и(х), удовлетворяющий условиям:
1) для
2) для
3) для х ? I и,== иа. (Т( = (Т(а)и)а;
4)длял:0^/а lim u(x)=f(x0) (f(x0
Это — задача (Л) для кусочно-неоднородного ортотропного тела двух
измерений. Задача (В) будет заключаться в отыскании регулярного
вектора а(х), удовлетворяющего тем же первым трем условиям,
а условие на 1а следует заменить требованием, чтобы
lim T{a)u(x)=f(x0),
Рассмотрим сначала задачу (А) и приведем ее к эквивалентным ин-
интегральным уравнениям. Обозначим через 5 область, ограниченную
кривой la: S = Si-\-Sa. Пусть G(x, у) есть первый статический
тензор Грина области 5 для уравнения Даи = 0:
О(х, у) = Т(а)(х, y) — v(x, у),
где
2 II да да\\
2 ' Д]
s=i\\Ds

272 АНИЗОТРОПНЫЕ ТЕЛА. ТЕОРИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ (ГЛ. VIII
причем G(ft) будет обозначать &-й столбец матрицы G (х, у) (&=== 1, 2).
Предположим сначала, что задача (А) имеет решение а (х). Приме-
Применяя к а (у) и G(ft) (x, у) формулу (8.46), будем иметь для
= / [»O0T(OG<ft)O<:. у) — G<ft>(*, y)(T(Oa(y))]d/. (8.56)
г +t(jt;i)
где "с(д;; е) есть круг с центром в точке х и радиусом, равным е;
t(x; e) — соответствующая окружность.
Имеем по определению
(*)
С другой стороны, ввиду того что
можем написать
где
¦¦ . . HP ——
АО. I Аи *
J2 ~Т~ 33 12 ~Ь "^33
1 '2* / \
Составив разность (*) и (**), получим
¦Gw d2G{k) \
(8.57)
'33 Л12 "Г Л33 ^12 "Г" ^33

§ 7] РАВНОВЕСИЕ КУСОЧНО-НЕОДНОРОДНОГО АНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА 273
Далее, имеем
J a(y)Tlt)GW(x, y)d/y =
== / [»О0 — u{x)\Vl)O^dl-\~u{x) f J^G^(x, y)dly (8.58)
и, переходя к пределу при е->0, получаем
lira fu(y)t')G{k)(x, y)dly = <tlkkauk{x), (8.59)
7(jr; s)
где a.^ka (ft=l, 2)—определенные постоянные, которые вычи-
вычисляются без труда.
Перейдя к пределу при е->0 в (8,56), на основании соотноше-
соотношения (8.59) получим
= /« (У) A@<5(ft) (*. У) ^у1 +
si
J [Gfft) (ж. у) Т@ и (у) — а (у) Т@ G'ft) (x, у)] dly. (8.60)
si
Продолжая считать х ? St, можем написать
*, У) — <
и так как в Sa Д(а)О(==0, Д(а)Я = 0 и G( '(л;, у) = 0 при
то
/ [«(У) T<a)G<*> (л, у) — О«*> (х, у) Т(а)« (у)] d/ +
Это равенство сложим с равенством (8.60), приняв во внимание
граничные условия на /:
1 Этот интеграл следует понимать в смысле главного значения; его су-
существование вытекает из § 7 гл. I.
18 В. Д. Купрадэ?

274 АНИЗОТРОПНЫЕ ТЕЛА. ТЕОРИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ [ГЛ. VIII
при этом получим
<А (*) = / * (У) Aw0(ft> (¦*• У) day + J ** (У) T'G<*> (*, у) dly +
+ //(У) Т(а) О<*> (*. y)rf/y ¦(*=!, 2), (8.61,)
где x?St и Т* = Т(а)—Т('\ а /(лс) есть значение а(х) на /а.
Пусть теперь x?Sa, тогда, поступая так же, как и выше, вместо
равенства (8.56) будем иметь
= Г [«, (У) T('>G(*' (х, у) — G<*> (*, у) (Т<"а)] Л,- (8.62)
Г •
Наконец, применяя еще раз формулу (8.46) в Sa, получаем
с, у) - Gw (х, у) (Т(а)й (y))J (k = 1, 2),
где a°ft — определенные, легко вычисляемые постоянные.
В этом равенстве нормаль считается направленной из St в Sa.
Складывая последнее равенство с равенством (8.62) и учитывая при
этом условия на /, получим
а* А (*) = / " (У) А(')°(Й)(*• У) day + fai (У) T*OW (*. У) dly +
«I «
+ ff(y)Va)Gw(x,y)dly (8.61.)
(ft=l, 2) (
Таким образом, доказана
Теорема 8. Регулярное решение задачи (А) для кусочно-
неоднородного ортотропного тела является решением функ-
функциональных уравнений (8.61г), (8.61д).

§ 7] РАВНОВЕСИЙ КУСОЧНО-НЕОДНОРОДНОГО АНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА 275
Подставив значения A*(i)G(ft) и A2(j)G(ft) из соотношений (*), пере-
перепишем уравнения (8.61,), (8.61а) в следующем виде:
/* Г
ч(у)
f
1 с
Jday + J atСу)
f{y)l(aH{k\x, y)dly (x?Sj. (8.610
<&«* (*) = (A[2 + ЛУ f в, (у) (t,
+ «2 (У) К -ji—H ^з -jT- ) d°y + / «i СУ) Т*О1Л) (*. У) rf/v
4- //(У)
. у)rf/y
'«
Эти уравнения аналогичны соответствующим уравнениям, полученным
для задачи (В{) в статическом случае для изотропного тела (гл. IV);
нетрудно убедиться, что и для других задач, рассмотренных в гл. IV,
могут быть составлены уравнения, аналогичные уравнениям, построен-
построенным для изотропных тел. Приведем теперь краткое доказательство
теорем единственности для задач (А) и E).
Написав формулы (8.47) для области St и для области Sa и сло-
сложив их, получим на основании граничных условий на /
J E(u, u)da-{-JE(u, a)da = f ajudl. (8.63)
Допустив существование двух различных решений у задачи (А)
или (В) и составив равенство (8.63) для разности этих решений v,
будем иметь
JE(v, v)do-\- JE(v, v)do = 0.
sl sa
Отсюда следует, что v представляет вектор жесткого смещения как
в Sit так в Sa; в случае задачи {A) v = 0 на 1а и, следовательно,
18*

276 Анизотропные тела, теория плоской задачи [гл. vitf
« = 0 всюду в 5вь, но в таком случае «, = *>„ = О на / и v равно
нулю всюду в St. Отсюда следует
Теорема 9. Однородная задача (А) и однородная задача (В)
для кусочно-неоднородного ортотропного тела имеют: первая—
тривиальное решение, вторая — решение, выражающееся век-
вектором жесткого смещения.
§ 8. Случай равных постоянных Пуассона, Если в уравне-
уравнениях (8.6li) и (8.6ll)
11 = Ъ = т3 = 0, (8.64)
то будем иметь
«8«* (*) = / Щ (У) T*G(ft) (дг, у) dly +
i
+ ff(y)T{a)O(k)(x,y)dly (x?S). (8.64,)
la
а**и* (дг) = J щ (у) VGW (х, у) dly +
i
+ //(У) taHW (х, у) dly (х е Sa) (ft = 1. 2). (8.64Й)
'a
Этот случай можно условно называть случаем равных постоянных
Пуассона. Для изотропных тел
и условия (8.64) равносильны условию
которое в изотропном случае действительно является следствием
равенства постоянных Пуассона; поэтому можно предполагать, что
постоянные tj, т2, т3 в этой теории играют такую же роль, какую
постоянная т (число, пропорциональное разности постоянных Пуассона
смежных сред) играет в теории изотропных кусочно-неоднородных тел.
Из условий (8.64) вытекает
кроме того, при этом оказывается, что
аа1 — аа1 аа — па
а
22'
а — па
11— 22"
1 Предполагается, что la содержит три точки, не лежащие на одной
прямой.

I 8) СЛУЧАЙ РАВНЫХ ПОСТОЯННЫХ ПУАССОНА 277
Отсюда нетрудно проверить, что
для х ? St Д*ои (х) — 0; длялг?5в Д*а)я (х) = 0. (8.65)
Перепишем (8.64г>а) в виде
, y)day.
= //(У) TwG(ft) (х. у) dcy, x 6 5e. (8.64;)
и перейдем к пределу при х->хо?1, получим
//MTMo(B(*,.
* a
Составив разность этих выражений, будем иметь
Но из условий (8.64) следует

278 АНИЗОТРОПНЫЕ ТЕЛА. ТЕОРИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ
поэтому
[ГЛ. VIII
& — А\2 — Л33
Л12 + Л33
и
наконец, так как a.ak =f= О,
=1. 2).
т. е.
= ua на
(8.66)
Составив Т(а>-операцию от обеих частей равенств (8.64,') и (8.64а),
рассмотрим их разность; тогда на основании теоремы Ляпунова —
Таубера, так же как и выше, после перехода к пределу при
х->хо?1 в первом равенстве изнутри, а во втором — извне, получим
где а.'" обозначает матрицу
а а." — матрицу
о «й
«11 °
Но из (8.64) следует, что
и, так как, с другой стороны,
А% + Л
¦^12 + -^33
>«(*). '
из равенства (8.67) получаем
отсюда же, ввиду того что agft Ф 0, имеем
(8.68)
Наконец, устремляя точку х к точке л:0 на 1а, получаем из выра-
выражения (8.64О) на основании свойств тензора Грина
lim a(x)=f{x0). (8.69)
<,?'a

§ 6] СЛУЧАЙ РАВНЫХ ПОСТОЯННЫХ ПУАССОНА 279
Равенства (8.65), (8.66), (8.67) и (8.69) показывают, что решение
уравнений (8.64^ а) действительно является решением задачи (А)
о равновесии кусочно-неоднородного ортотропного тела.
Теперь докажем теорему существования для уравнений (8.64/>а).
Для этого прежде всего заметим, что из предыдущего и из теоремы
единственности для задачи (А) (теорема 9) вытекает, что однородные
уравнения, соответствующие уравнениям (8.64/. а), могут иметь толь-
только тривиальные решения. Обращаясь к построению решения си-
системы (8.64^ а), замечаем, что из (8.64/) можно получить ддя точек
предельным переходом изнутри уравнение
, у)Л,-
0, y)db ... (8.70)
Это сингулярная система интегральных уравнений того вида, с которым
мы уже встретились в § 6; так же, как и там, можно показать,
что ее индекс равен нулю; поэтому сохраняет силу альтернатива
Фредгольма. Остается показать, что однородное уравнение, соот-
соответствующее уравнению (8.70), имеет только нулевое решение. Чтобы
показать это, допустим противоположное, и пусть и*АхЛ есть отлич-
отличное от нуля решение. Рассмотрим векторы
\2 -Г ^33 i
ГАк f а'(У)T(a)ow(х, у)л,.
33
Отсюда, переходя к пределу изнутри, получаем
12
Итак, если введем вектор, равный

280 АНИЗОТРОПНЫЕ ТЕЛА. ТЕОРИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ [ГЛ. VIII
то будем иметь
Но это однородная система, соответствующая неоднородной (8.64/, „)•
и, следовательно, по теореме единственности она допускает только
нулевое решение; отсюда следует, что
ю*(лго)з=О на /,
и, по альтернативе Фредгольма, разрешимость неоднородной си-
системы (8.70) доказана; тем самым доказана теорема существования
решения задачи (Л) для кусочно-неоднородного ортотропного тела
при равных постоянных Пуассона. Ж. А. Рухадзе рассмотрела за-
задачу (А) в общем случае и доказала теорему существования для
малых значений параметров tj, т2, т3 [27].
В самом общем случае уравнения с постоянными коэффициентами
для двух независимых переменных и связанные с ними граничные
задачи исследовал методами теории потенциалов и интегральных
уравнений Т. В. Бурчуладзе [2а, б, в, г]. В работах [2д, е] он полу-
получил также асимптотические оценки для собственных функций не-
некоторых граничных задач.

ГЛАВА IX
РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЧАСТНЫХ ЗАДАЧ
В этой главе метод потенциалов применяется к ряду частных
задач, когда решение может быть получено в явном виде. Среди
этих задач есть и такиет(§§ 8—11), которые до сих пор в явном зиде
другими методами решены не были.
§ 1. Круговая изотропная пластинка. Циссмотрим вторую гра-
граничную задачу. Пусть начало координат помещено в центре круга.
Пусть R — радиус круга, r{x, y) = Y(xl — ylf-\~{x2— у2J и за'
положительную нормаль принята внешняя. Обозначим контур через s,
элемент дуги через ds. Решение задачи ищем в виде потенциала
простого слоя (первого рода):
(9.1)
дг дг
дг дг ( дг \2
— /м-з з— п\аг — т -з—
дх{ дх2 \дх2)
(9.2)
Выполнив над (9.2) операцию Тх, получим
(9.4)

282 РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЧАСТНЫХ ЗАДАЧ !ГЛ. IX
где
д д . д
JL = JL Is (Г Го - JL is (n *х]) (9'5)
Основываясь на этих формулах и переходя к пределу при х->ха
и аг0, лежащей на окружности, на основании формул (8.36) будем
иметь для определения ср(у) сингулярное интегральное уравнение
\ f
(9.6)
где /(аг0) — заданное на окружности значение вектора напряжения;
мы будем считать, что вектор f(x) принадлежит классу Н. Найдем
выражение для Тх?(ХщУ)- Перейдя к полярным координатам, будем
иметь
¦gjL In r (xQ, y)dsy=\db, -^- In(х0, у)rf5y .= - \ ctg -i=^rf6.'
На основании этих формул, учитывая равенство a-\-b=l, получаем
1—6 cos @ -h 60) actg-—^--
=4 6_в . II db.
2 — actg—^ — 6 sin @ -f- 0O) -1+ftcosi
(9.7)
Введем обозначения:
2л 2it 2it
f
06 0
10 111 llcos0o sin90|l II — sin0o cos 0O
Л()| | °V> \
ft __
-1 0Г Л(о)"~||8т80 -cos60|' °Vo> — \ cos0o sin6o
(9.8)

§ 1] КРУГОВАЯ ИЗОТРОПНАЯ ПЛАСТИНКА 283
Ввиду соотношений (9.7) и (9.8) основная система интегральных
уравнений (9.6) принимает следующий вид:
2*
К?^-? F0) + ^Л /ctg-Ц-Ц(9)rf6 +
о
^«-MFoH-W?Fo)Y=/(eo), (9.9)
где, очевидно,
?О0==?(/?, 6)=н?(8), /(*0)==/(80).
Рассмотрим регуляризующий оператор
¦ 2*
Мф^-фсе^-^л/сй-ЦрЦ^в. (9.Ю)
о
Воспользовавшись известными формулами
о
2* 2it
Г 1
о (9.11)
111 О
||0 1 = —Л
2*
после воздействия оператором М на К? в результате некоторых
упрощений получим
МК? э= A - а2) ? F0) - A - а2)« + Ъ A + а) А F0) р -+.
и, так как &=1—а, последнее уравнение принимает вид
f F0) - а -Н А (во) 0 + 5 (во) Y = у-1^ М/Fо). (9.12)
Мы получили уравнение с разделяющимися переменными. Умножая
обе части равенства (9.12) последовательно на множители -д— dBa,

284 РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЧАСТНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. IX
-H-cos90d90, -=-sin90d90 и интегрируя в интервале @, 2тс), получаем
в обозначениях (9.8)
2«
(9ЛЗ)
2*
Но, как нетрудно проверить,
2ic 2it
(/* й Д/ \
это следует из того, что I ctg—g—d9' = 0l.
о /
Из (9.13) имеем условие
2*
f/(9)rf9 = O, (9.15)
{
которое означает не что иное, как равенство нулю полного вектора
внешних сил; таким образом, при соблюдении этого условия вектор «
определяется из равенства (9.13) (он оказывается произвольной по-
постоянной).
Перепишем систему (9.14) в проекциях в следующем виде:
2л
1
2л
г(Г=Бк/(М/(в))а81пвЛ, (9.16)
о
2я
2я
, (9.17)

g 1] КРУГОВАЯ ИЗОТРОПНАЯ ПЛАСТИНКА 285
Определитель системы (9.16) отличен от нуля, и (^ и т2 опреде-
определяются однозначно. Ниже нам понадобится значение рг —{— Тз^ из
равенства (9.16) имеем •
2«
Pi + Та = 4* (I-*2) / l(M/)l C°S 9 + (М/)г C°S 91 db' (9'l8)
Для того чтобы p24~Ti можно было определить из соотношения (9.17),
необходимо соблюдение условия
2« 2ic
J (MA cos 9 d9 — J (MA sin 9 d9 = 0.
о о
Но нетрудно проверить, что
2x 2л
J l(M/J cos 6 — (MA sin el <*9 = A -Ь a) J (/2 F) cos 9—Д (9) sin 9) db.
о о
Так как l~\-a Ф0, приходим к условию
2*
f [f2 (9) cos 9 — Д (9) sin 9] db = 0. (9.19)
0
Это условие есть не что иное, как условие равенства нулю полного
момента внешних сил. Следовательно, при выполнении последнего
условия сумма р2 ~t~ Ti определяется из (9.17).
Учитывая сказанное выше, можно записать выражение (9.12)
в следующем виде:
(9.20)
где pi + fa дано равенством (9.18), а является произвольным по-
постоянным вектором, а ф2 — fх) выбирается согласованно с ра-
равенством (9.17). (9.20) представляет общее решение системы урав-
уравнений (9.6), и остается только подставить найденное значение у (у)
в выражение потенциала простого слоя (9.1), чтобы иметь решение
задачи; оно будет иметь следующий вид:

' ¦ 1
286 РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЧАСТНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. IX
Здесь р, в — полярные координаты точки х. Полученное выражение
для искомого решения можно упростить.
* Простые вычисления показывают, что
1 у»1 л In /? — -у О
1 /Г(р. 8;Я,е')й6' = 2
У
2ie
, 0j /?, 0 )
о
Пользуясь этими формулами, можно (9.21) переписать в следующем
виде:
/г<Р-9; *¦ 9')
О
II2лIn/?—л»
|| 0
Последние два слагаемых в этом выражении представляют вектор
жесткого смещения, и, так как задача на основании теоремы 7
§ 5 гл. VIII, решается с точностью до такого вектора, мы можем его
сейчас отбросить, и тогда будем иметь
2л
) Г <Р- 6: *• ^ М/F')ав + T^W B) <Pi + Та) • (9-
о
Для дальнейшего упрощения этого выражения нужно вычислить зна-
значение интеграла
2и
о.
Это можно сделать на основании известных соотношений
2ie
где
i f In г (х, у) ctg 6'7^ dB' = arctg^~ya — f = ф — f,

§1)
КРУГОВАЯ ИЗОТРОПНАЯ ПЛАСТИНКА
28?
a R н <|»' —- полярные координаты точки y?s. причем
2*
2it
1 Г t дг (х, у) \2 , 8' — у .«-, дг (х, у) дг (х, у)
Н J \ дх[ j cg 2 ~ dx~i дх~г '
1 Г дг (х, у) аг (х, у) . 6' - у ., _ I дг (х, у) \а 1
2^-./ ~Ш, ШГ~с^~Т~т —[ дх, ) —?•
2it
1 Г I дг (х,
HJ { дх2
у) \а 6^ - f ., _ дг (х, у) дг (х, у)
) ctg—г—d9 -—Ш Щ
о
Из этих равенств следует
2я
, (9.24)
откуда
2«
На основании последних зависимостей получаем
2с 2с ¦
о о
i] Г*
(9.25)

288
РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЧАСТНЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. IX J
причем в правой части г>=У^(х1— 3>i +
перь выражения (9.23) в следующем виде:
— УгJ- Перепишем те-
о о
Далее, воспользуемся формулой (9.25) и после простых преобразо-
преобразований получим
x/
дг дг
drV
х
)- (9-250
Замечая теперь, что
п
па
и снова отбрасывая вектор жесткого смещения, получаем из соотно-
соотношения (9.25')
и (х) = — 1 f [M (х, у) + А (х.
sy;
(9.26)
здесь
1
2(x+rt
(9.27)

21 БЕСКОНЕЧНАЯ ИЗОТРОПНАЯ ПЛОСКОСТЬ С КРУГОВЫМ ВЫРЕЗОМ 289
Приведенный вывод принадлежит М. О. Башелейшвили.
Этим же методом Н. С. Кахниашвили [11] еще раньше была
решена несколько более простая первая задача для круга. См. также
[1в, г].
§ 2. Бесконечная изотропная плоскость с круговым выре-
вырезом. Рассмотрим вторую задачу. Ищем решение в виде потенциала
простого слоя (первого рода)
й (•*) = \ / Г (*, у) f (у) dsy (9.28)
s
Воспользовавшись формулами (8.36), получим
i f CUT(•*<>. У))?(У)dsy = f(x0). (9.29)
Повторив рассуждения предыдущего параграфа, придадим выраже-
выражению (9.29) следующий вид:
2л
К?=9(хо)+-^ /х/ ctgЦ^ср F)dB +а - ЬА F0)р - ЪВ (90)Y =/(*„).
(9.30)
Применяя к (9.30) регуляризующий оператор
^^ (9.31)
о
и используя формулы (9.11), получаем
— b A - а) В (во) Y = Mf (во). (9.32)
Умножая эту систему последовательно на -^dbr,, ^-cos80rf80,
2^-sin80d90 и интегрируя в интервале @, 2тс), получаем в обозначе-
обозначениях (9.8)
A - а2) а + A + я2)« = ^ / М/(9о) d6°' (93)
19 В. Д. Купр&дзе

290
РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЧАСТНЫХ ЗАДАЧ
[Т.Ч. IX
1 О
О —1
0 1
1 О
2%
Ь(\-а)
b(\—a) II-1 011
(9.34)
Из равенства (9.33) имеем
о
2л
Известно, что для ограниченности «плоского» потенциала простого
слоя на бесконечности необходимо соблюдение условия
2л
Это последнее вместе с соотношением (9.35) дает
2л
О
(9.36)
что равносильно равенству нулю полного вектора внешних сил.
Таким образом, .для того чтобы иметь ограниченное на бесконеч-
бесконечности решение, необходимо потребовать соблюдения условия (9.36),
и в этом случае
а = 0. .
Перепишем систему (9.34) в проекциях в следующем виде:
(l + a)Pi-4Pi-4^= 2* A-е) /(M/)iCosM80,
(l+«)T2-4Pi-4T2=2iT(r^r/(M^sin6o^o.
(9.37)
(9>38i)
О + С) Р2 + 4 02- 4 Ti = 2* Q-а)
(М/)гC°S
2л
О + а) т, - 4 Р2 + 4 Ti = 2*(l-a) f(M/)l Sin

§ 2] БЕСКОНЕЧНАЯ ИЗОТРОПНАЯ ПЛОСКОСТЬ С КРУГОВЫМ ВЫРЕЗОМ 291
Определители этих систем равны соответственно 1а A + а) и 2 A + а),
и, так как ни а, ни 1+а нулю не равны, из равенств (9.38) и (9.39)
однозначно определяются неизвестные Pj, f2> Рг> Ti-
Для дальнейшего нам нужно иметь значения р2 — Ti и Pi + Ъ-
Сложив почленно равенства (9.38j) и (9.382), получим
1 Г
Р1 + ъ ~ Аш{\-а) J [(М^!cos 6о +(М A sin sol d% =
2it
/l COS
0
и, составив разность равенств (9.39X) и (9.392), получим
2ч
Pa — 7i= ^(/-a) / KM A cos 90 - (M/)x sin So] d% =
(9.41)
На основании соотношений (9.37), (9.40) и (9.41) равенство (9.32)
принимает следующий вид:
(9.42)
где Ф1-Г-Т2) и Фг — Ti) задаются равенствами (9.40) и (9.41). Вы-
Выражение (9.42) представляет собой решение системы уравнений (9.29).
Внеся (9.42) в (9.28), будем иметь
2я
о
19*

292 РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЧАСТНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. IX
Можно последнее выражение упростить еще более. Для этого заме-
заметим, что, когда точка л: находится во внешней к кругу области,
имеют место формулы
. , ч , V /#\* cos ft (8' —в)
\nr(x,y) = \np — 2j[j) k •
sin k F' — 6)
k
> 4,„s<e<+e)+
Учитывая эти зависимости, можно показать, что
2%
0 (9.43)
0
fl' ^ / Sinfl\
Ik
#. 6; R. 6')M/rf9'= J/{iH(p. 6; /?, 6')
J
о
2(A.+3fx) p 1 sin (в + в
~ cos F + в') sin F + 6')

§3]
АНИЗОТРОПНАЯ КРУГОВАЯ И ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПЛАСТИНКИ
293
причем матрица М(р, 0; R, 0') задается формулой (9.27). Используя
теперь формулы (9.40), (9.41) и (9.43), получаем
R 1—a
я 1 -\-a
2it
. 9; R. в')
/"я cos (е+ ео sin (e + в') ii. fl
J p sin(O-fO') — cos(O-fO') F4 '
0
Учитывая эти равенства и совершив простые преобразования, полу-
получим из (9.29)
— x2y2 x2yt+xty2 II ]
Р2
f(y)dsr
Это решение задачи с круговым отверстием также получено
М. О. Башелейшвили. Аналогичное решение первой задачи для изо-
изотропной плоскости с круговым отверстием этим же методом было
получено впервые Н. С. Кахниашвили [11]. См. также [1в, г].
§ 3. Анизотропная круговая и эллиптическая пластинки. Ре-
Решение первой граничной задачи. Мы подробно рассмотрим случай
эллипса, так как задача для круга отсюда получается как частный
случай. Решение этой задачи методом упругих потенциалов можно
получить как с помощью . регулярных интегральных уравнений, так
и с помощью сингулярных уравнений; в предыдущем параграфе это
было сделано для второй задачи в случае изотропного круга.
Приведем сначала решение, полученное способом регулярных
уравнений. Ищем решение в виде потенциала двойного слоя второго
рода
ср (у) есть
равно
i
искомый вектор, а Гц (х, у) согласно равенству (8.28)

294 РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЧАСТНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. IX 1
¦'J
где постоянные Ek, Gk, Fk и 1к определяются по формулам (8.29). >
По формулам (8.35) из граничного условия имеем для вектора ср (л:0) "\
интегральное уравнение ]
? (*о> + i / ru (*» У) 9 GO dSy =/(*о). 1
I ¦ "i
где f(x0)-—заданный непрерывный вектор, зависящий от точек кон- j
тура /. Из уравнения эллипса :
на основании (8.17) вытекает
где
f
Г*1- a — tbak ' Г«~~ а — 1Ьак '
zk — х1-\-аих2 (А=1. 2).
Когда точка л; принадлежит 5?, где S( — внутренность эллипса, то
1'«1<1. Ы<1 (А = 1. 2).
Когда же х0 принадлежит /, где / — эллиптический контур, то
где ш0 есть параметр точки х0 на эллипсе и
Заметив теперь, что на /
/
e' —i
(9.44)
на основании соотношения (8.29) можем переписать интегральное
уравнение задачи в следующем виде:
р

§3] АНИЗОТРОПНАЯ КРУГОВАЯ И ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПЛАСТИНКИ 295
где
1
2it
2ти
Введем обозначения:
/л = тг- ff(m)elnadio, я = 0, ±1, ±2, ...
!¦ (9.46)
(9.47)
Умножая последовательно равенство (9.45) на -^-elna>« dio0 и
е-(/м>о ^fu^ и интегрируя в интервале @, 2тг), можно согласно
обозначениям (9.46) и (9.47) получить уравнения
=/о> (9-48)
*я-
0,
Из (9.48) имеем
v 1 *
л0 — "о"-Л)-
(я=1, 2, 3, ...). (9.491
(9.50)
Из второго уравнения системы (9.49) находим Х_п и внесем его
значение в первое уравнение, тогда
?-
хг
l?ft ^ft
(9.51)
Где ? — единичная матрица. Простые вычисления показывают, что
/ 2 „ „ _ „ 2 п ~ ~
к Г ft
- Х2) (X, -Х2) Я (.,. «2) Р (а, %
~ **) (^ - ^). (9-52)
1 Напоминаем, что тильда, поставленная сверху, указывает на ком-
плексно-сопряжениую величину.

296
РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЧАСТНЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. IX
где
Р(а. р) = И3;
Заметив, что
. (9.53)
Р (а„ а,) Р (а2, а2)
PK а2)/>(а„а2)
и что при и->оо Дя->1, можно показать, что для я=1, 2, 3, ...
Поэтому из равенства (9.51) получаем
где
2 2
1 - ^ \о*?.+ш >¦№
xjx;
ft,
ft,
2 2
Из соотношения (9.54) вытекает
2 ., _
Gs) \fkns
(9.55)
(9.56)
Если выражения (9.50) и (9.56) учтем в (9.45) и затем значение <р(«>0)
внесем в исходный потенциал, то решение задачи представится сле-
следующим рядом:
2 оо
ft-l л-1
З^»
в котором Х_а определяется из формулы (9.56); сходимость ряда
вытекает из неравенств, указанных на стр. 294, и решение первой
задачи для анизотропного эллипса получено в виде ряда (9.57).
Решение с помощью сингулярных уравнений. Рассмотрим ту же
задачу, используя сингулярные интегральные уравнения. С этой целью
будем искать решение в виде потенциала двойного слоя пер-
первого рода
(9.58)

§3] АНИЗОТРОПНАЯ КРУГОВАЯ И ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПЛАСТИНКИ 297
причем матрица Г^л:, у) дается формулой (8.30) и равна
?l5#|? (9-59)
s-i
Согласно формулам (8.52) из граничного условия получаем для опре-
определения .вектора <р (у) систему сингулярных интегральных уравнений
? (*о) +т / ri (*о. У) ? (У) *?, = / (*о>. (9-60)
/
где /(Jf0) — заданный на / вектор класса #(?)• Ввиду того что
t-i
A/»
еы-е
2\ В —А
где Л, В, С определяются из соотношений (8.26), и на основании
равенств (9.39), (9.41) и (9.42) уравнение (9.60) можно переписать
в следующем виде:
2*
Л -С
о
2 оо
2 Re
21
- =/(-0).
где Хо и Х_а определяются по формулам (9.46). Оператор, регу-
ляризующий уравнение (9.61), выбираем в следующем виде:
А —С
В —С
(9.62)
и воспользуемся формулами
2* 2я
2тс
Л
В
—С
—Л
Л
В
—С
—Л
= ±1. ±2.
= (Л2 — ВС)Е.

298 РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЧАСТНЫХ ЗАДАЧ
Тогда с помощью элементарных вычислений найдем
[ГЛ. IX
1 — iA 1С
— IB I + iA
2 оо
U Нь
+ 1
1+М —/С
1В 1 — М
2 оо
ft = l
и нь
. (9.63)
Повторив теперь те рассуждения, которые выше были применены
для нахождения величин Хо, Хп и Х_п, получим
A + А2 __ ВС) Хо + A - А2 + ВС) Хо =/0,
2
(9.64)
1 — 1А 1С
— IB 1+
Из равенства (9.64) имеем
1 — iA iC
— IB 1+M
— iC
Ш 1—
(9.65)
ft=i
/,
T —
о — "
(9.63')
Соотношение (9.65) переписывается в следующем виде:
IB 1 — i
1 — М iC
(9.65')
Из второго уравнения последней системы находим .АС,, и вносим
это значение в первое уравнение; тогда, учитывая формулы
= Ek (I - М) -
Ж, =
= С* A - М) - lBIk. Hk = iCGk + A + iA) Ik.
(9.66)

§3] АНИЗОТРОПНАЯ КРУГОВАЯ И ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПЛАСТИНКИ 299
в справедливости которых нетрудно убедиться, получим
Лм_|_М -1С
1В 1-М II -« О, Ik |П~И V Нк
*=il
^к'-п- (9-67)
После достаточно длинных, но, по существу, элементарных вычисле-
вычислений получим
Det
— 1С
IB
-"- _У ?«- t
2 "-. ^LsVl^ Л*
—ВС)ДЛ, (9.68)
причем Д„ определено формулой (9.52). Решив систему (9.67),
найдем
1 II 1-М 1С \D I f _у|?* Л
— 1В \-\-iA\ n\Jn Ы Gu lu
где Dtt определяется соотношением (9.55). Если найденные значе-
значения Хо, Хп и Х_п внесем сначала в равенство (9.63) и затем зна-
значение ср (ш0) внесем в равенстро (9.58), то получим
«(*)=/о +
+ 2Re
2
2
/J д
(9.57')
выражение, совпадающее с выражением (9.57), полученным выше
другим путем.
Случай круглой пластинки. Полагая в найденных реше-
решениях а — Ь, получим решение первой граничной задачи для анизо-
анизотропного круга. Любопытно, что никаких существенных упрощений
в этом случае не получается, и решение задачи для круга или
эллипса, по существу, представляет задачу одной и той же труд-
трудности. Выбирая постоянные Гука соответствующим образом, можно
из решения, данного в этом параграфе, получить решение первой
задачи для изотропного круга и эллипса. За подробностями по этим
вопросам отсылаем к работе [1а].

300 РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЧАСТНЫХ ЗАДАЧ ГГЛ. IX
§ 4. Решение второй граничной задачи для анизотропного
круга и эллипса. Эту задачу также можно решать, используя как
регулярные, так и сингулярные уравнения. Сначала рассмотрим
решение с помощью регулярных уравнений.
1°. Ищем решение в виде потенциала простого слоя второго рода
)dsr (9.69)
i
где матрица М{х, у) определена равенством (8.14) и равна
2 II .' о' ||
М (х. у) = 1ш У * * in aft. (9.70)
Выполняя операцию Т над потенциалом простого слоя второго
рода, получаем на основании формулы (8.34)
k=l
где постоянные ek, gk, hk, fk определены равенствами (8.33).
Согласно формулам (8.36) для определения ср (у) пользуемся урав-
уравнениями Фредгольма
2
ft = l l У
где F(x0) — заданный на / непрерывный вектор. Из уравнения
эллипса можно получить
д |п 0 __ 2 (ak cos (nxi) — cos (пхг)) I tk2 tkl \ g 73-
dsx * {a-iakb){tkl-tki) \e^-tki «*•-<*,/'
где tkl и tk2 имеют значения, указанные на стр. 294.
Уравнению (9.72) можно придать следующий вид:
2 оо
- ф К) + Хо+ 2 Re 2 2 *к ** Ыг""*Х-п =/Ы. (9.74)
где
ф (ш) = <р (ш) У a2 sin2 и -|- Ь2 cos2 ш, /(ш) = F(u>) /a2 sin2 ш-f *2 cos2 <o l
(9.75)
и Jf0, Xn, Х_п определены по формулам (9.46). Если будут

$41 АНИЗОТРОПНЫЕ КРУГ И ЭЛЛИПС 301
повторены теперь рассуждения § 3, которые применялись для опре-
определения Хо, Хп, Х_п, получим
2« 2«
- Хо + Хо = -^ //И d<o=J^f F(y) dsr (9.76)
о
2
Для того чтобы из соотношения (9.76) можно было определить Хо,
необходимо выполнение условия
¦у = 0. (9.78)
Полагая условие (9.78) выполненным, можем Хо, считать произволь-
произвольной постоянной, и, как станет ясно из последующего, Хо не входит
в выражение вектора напряжения.
Если из второго уравнения Системы (9.77) определим Х_п и
внесем в первое уравнение, то получим
(9.79)
Выполнив элементарные вычисления, будем иметь
/ 2 „
si;1
(9.80)
Ясно, что при и = 1 Д1 = 0; легко показать также, что при
Д„ ф 0. При га= 1, если только главный момент внешних сил равен
нулю, т. е.
/ \У\рч. (У) — Учр\ Ш dSy = J [a cos со • /2 (т) - J sin m • /х (ш)] <fm = 0,
1 1 (9.81)
из равенства (9.79) определится Хх.

302
РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЧАСТНЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. IX
Если
причем
2, то по формуле (9.79) получаем
2
X =-—1
п д„
ft-1
hk
?.(**
- 2 (aA+/А) х# -1+2 («л+«A
Rt S ft, S
(9.82)
(9.83)
Если значения А"о и Jf_n внести в уравнение (9.74) и затем найден-
найденный отсюда вектор $(<в0) внести в равенство (9.71), то вектор
напряжения определится формулой
Та (х) = f_1e'u> + /^e-1» +
aft cos (я,
cos (п,
-п> (9-84)
где
А"_„ =
ЧА
В частности, при а=Ь имеем f(m) = aF(m); таким образом, для
круга никаких других упрощений не получается.
Для того чтобы получить вектор смещения, очевидно, достаточно
найденное значение вектора фС^о) внести в формулу (9.69). Решение
определяется с точностью до аддитивного вектора жесткого смеще-
смещения; при выполнении условия равенства нулю главного вектора внеш-
внешних сил смещения определяются однозначно.
2°. Решение с помощью сингулярных уравнений.
Ищем решение в виде потенциала простого слоя первого рода
, y)?(y)dSy,
(9.85)
тогда, как мы уже знаем,
li
k=\
i
и на основании формулы (8.36) для определения $ (у) приходим
к сингулярным интегральным уравнениям
2
II /
i*m 2

§4]
Ввиду того
что
AHHdUlFUUHblE K.I
г>УГ И
, 1 ,
?. С
элл
со
ь
ипс
— «о
9.
303.
представление (9.73) и рассуждения § 3 позволяют придать уравне-
уравнению (9.87) следующий вид:
2*
2 оо
причем векторы фи/ определяются из соотношений (9.75), а Хо
и .ДС — из равенств (9.46). Регуляризующий оператор выбираем
в следующем виде:
- (9-89)
=—хы—i[_c _
Тогда так же,'как и в § 3, получим
= A + Л2 — ВС) [ф (оH) - jy —
(9.90)
и отсюда приходим к следующим уравнениям для постоян-
постоянных Хо, Хп, Х_п:
— ВС)(Х0 — Х0) =-L f Mfdw =
2ic
— гС 1 —
1 — IA —IB
iC
ft =
(9.92)

304 РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЧАСТНЫХ ЗАДАЧ (ГЛ. IX
Как отмечалось выше, для определения Хо необходимо соблюде-
соблюдение условия равенства нулю главного вектора внешних сил; при
этом Хо оказывается произвольным постоянным вектором.
Для того чтобы найти Хп и Х_п, второе из уравнений си-
системы (9.92) умножим слева на матрицу
2
II я " \,
»TiJ** /ft
являющуюся неособенной, так как
2
и примем во внимание равенство
gk\\ 1-М -,
lLl HI I
k Hj \hk /Jll iC I + Ml1
которое нетрудно проверить. При этих условиях, складывая соот-
соотношения (9.92), получаем
il l^-- (9-9з)
Простые вычисления показывают, что
где Д„ определяется по формуле (9.80).
Когда п=*\, Дг = 0 и для определения (Л",), и (Х^ из уравне-
уравнения (9.93) необходимо выполнение требования равенства нулю глав-
главного момента внешних сил.
Когда п>2, то из (9.93) имеем
1С
(9.95)

§5) ПЕРВАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛОСКОСТИ 305
Значения векторов А*о, Xv Xn и Х_п внесем в (9.90) и повторим
аналогичные рассуждения, тогда из уравнения (9.86) увидим, что
вектор напряжения выражается той же формулой (9-84), однако при
этом необходимо воспользоваться тем, что
1 [I Nk LkU\+lA iB \\\\ek gk
-Вс\\мк ИкЦ -1С 1-МЦ— \\hk fk
§ 5. Решение первой граничной задачи для бесконечной
анизотропной плоскости с круговым или эллиптическим отвер-
отверстием. Эта задача несколько проще предыдущих. Объясняется это
тем, что во внешней области функции tkl и tk2 однозначны и благо-
благодаря этому можно избежать некоторых преобразований, неизбежных
для униформизации неоднозначных выражений, встречающихся во
внутренних задачах.
Решение задачи теперь ищем в следующем виде:
2
причем со есть параметр точки у на эллипсе и начало координат
расположено в центре эллипса. Используя формулы скачков для
потенциала двойного слоя второго рода, из граничного условия
получаем для определения ерОО регулярное уравнение Фредгольма
2
A-l
где f(x0) — заданный на / непрерывный вектор.
Из рассуждений § 3 следует, что, когда точки х0 и у при-
принадлежат / (эллипсу), имеем
и из (9.97) получаем
20 В. Д. Купрадзе

306
РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЧАСТНЫХ ЗДДАЧ
[ГЛ. IX
Внеся это значение ^р (у) в выражение (9.96) и выполнив некоторые
очевидные преобразования, найдем решение задачи в следующем виде:
5 2it . ,
Г 1 + *пг
Когда точка х находится во внешней области, тогда \tni < 1.
Решение с помощью сингулярных уравнений. Ищем решение
в виде следующего потенциала:
Используя формулы скачков для потенциала двойного слоя первого
рода, находим
= A">0). (9-100)
Выбирая регуляризующий оператор в виде
2л:
будем иметь, как и в предыдущих параграфах,
МКср в A + Д« — ВС) f (ш0) — (Д2 _ вс) Хо = M/(a>o). (9.101)
Отсюда
^о== /о-
и решение уравнения (9.101) представится в следующем виде:
(9.102)
Внеся это значение ^р(у) в выражение (9.99), найдем решение
задачи в следующем виде:
Можно показать, что равенство (9.103) приводится к (9.98).
(9.103)

§6] ВТОРАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛОСКОСТИ 307
§ 6. Решение второй граничной задачи для бесконечной
анизотропной плоскостн с круговым или эллиптнческим отвер-
отверстием. Решение этой задачи ищется в виде следующего видоизме-
видоизмененного потенциала простого слоя второго рода:
gk
fk
/in (.'--¦
(9.104)
Тогда
Ти (х) = - Im
|aftcos(rt,ji;i) — cos(n,x2) Г tkl
Db
I ^-—- Cp (со) rfto.
(9.105)
Используя формулы для скачков потенциала простого слоя второго
рода, будем иметь
2 2*
ф (ш0) -\— Im V —— ' — / —*' ^р (ш) <f ш =
= ^(«>о). (9.Ю6)
где
= tj» (оH) ^/a2 sin2 со0 -f- i2 cos2 to0>
= F (ш0) ya2si
&2 cos2 ш0.
При помощи элементарных преобразований уравнение (9.106) при-
приводится к виду
2тс
-2^J
Учитывая условие ограниченности потенциала простого слоя на
бесконечности:
2*
получаем
I ^р (со) <tfo) = 0,
Внеся это значение ^р(со) в формулу (9.105), получим
2
Ak Ck || ak cos (я, jct) — cos (n, x2)
[
(9.107)
20*

308 РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЧАСТНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ'. IX
При этом мы воспользовались тем, что
•2%
f
о
f
о i
Поэтому соотношение (9.107) имеет место в том случае, когда
полный вектор внешних сил равен нулю.
Подобно тому как это было сделано в предыдущем параграфе,
задачу можно решать и в сингулярных интегральных уравнениях.
Полагая а = Ь здесь и в предыдущем параграфе, получаем решения
соответствующих задач для кругового выреза.
§ 7. Замечания относительно других задач, решаемых явно.
Можно получить решения граничных задач для контуров близких
к окружности и эллипсу. Можно ожидать, что решения в явном виде
могут быть получены для улитки Паскаля, для эпитрохоиды, гипо-
гипотрохоиды и для некоторых других кривых. Представляет интерес
попытка доказательства предложения о том, что явные решения из-
изложенным здесь методом можно получить также для простых обла-
областей, отображаемых на круг при помощи рациональных функций.
Можно ожидать, что «обозримые» решения могут быть получены
для некоторых концентрических областей. Эти вопросы требуют
дальнейшего изучения.
§ 8. Изотропная плоскость с упругим изотропным круговым
или эллиптическим включением из другого материала. Рас-
Рассматривая статическую задачу, согласно выводам § 2 гл. IV будем
иметь функциональные уравнения:
для х ? St
2n\xalu(x) = m j a(y)grauuivV{a)(x, y)dSy-{-
- Pa f Щ (У) TT(u) dSy -f 2краЕ (x; xt); (9.108,)
для
,e (л:) = т Г и I
+ V-a f »i (У) Т* Г(в) dsy + 2^aE (x; xj, (9.108a)
dr dr
2

$ 9] ОРТОТ^ОПНАя ПЛОСКОСТЬ ИЗ ДРУГОГО МАТЕРИАЛА 30§
другие символы имеют те же значения, что и в § 2 гл. IV и в § 1
настоящей главы. Если постоянные Пуассона смежных сред примем
равными и перейдем к пределу в (9.108^) при х->х0 (xo?S), то
получим интегральное уравнение
/
о
Это уравнение не отличается от уравнения (9.60), и его решение
может быть построено явно; оно будет отличаться от (9.57) только
значением постоянных коэффициентов и строится аналогично.
Найденное таким образом и^у) вносим в уравнение (9.108^); это
дает значение и(х) в 5f; далее из (9.108J находим значение и(х)
в Sa. Решение в общем случае (без гипотезы о равенстве постоян-
постоянных Пуассона) получается в виде ряда G.25), в котором каждое
слагаемое «(*>(дг) (k=l, 2, 3, ...) является решением одного и того
же интегрального уравнения (точнее, интегральных уравнений, отли-
отличающихся только правыми, заданными частями F(x))
2™ (х) <v(X) — v.afv (у) ТТ(в) (*, у) dSy = F(x), x ? St.
s
которое также является уравнением типа (9.60) и решается явно.
Вследствие того, что ряд G.25) оказывается построенным фактически,
условия сходимости можно проверить непосредственно.
§ 9. Ортотропная плоскость с упругим круговым или эллип-
эллиптическим включением из другого материала. Применив рассужде-
рассуждения § 2 гл. IV и § 7 гл. VIII, можно показать, что статическая за-
задача приводится к следующей системе функциональных уравнений:
для х ? S
fu(y)TT\ka\(x, y)dSy+E(x; xj; (9.109,)
для x?Sa
(x) =
x; xj. (9.109.)

310 РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЧАСТНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. IX
Считая сначала постоянные т1( т^ т3 равными нулю и пере-
переходя в (9.109,) к пределу, когда точка х стремится к точке х0 на
границе, приходим к интегральному уравнению
? - л[, - 4s
Это уравнение несущественно отличается от уравнения (9.60) и ре-
решается явно так же, как последнее; при этом решение имеет вид
выражения (9.57).
Внеся это значение (uk(y))i в (9.109t-), получим значение ик (дг)
в 5, и, далее, внеся в (9.109а), будем иметь значение uk (x) в Sa.
Если же постоянные Пуассона принимаются различными, то реше-
решение ищется в виде ряда по степеням параметров т,, т2, -:3; при этом
метод неопределенных коэффициентов приводит так же, как
в гл. VII, § 4, к рекуррентной совокупности уравнений, которые
отличаются друг от друга только известными правыми частями.
Эти уравнения того же вида, что и уравнение (9.60), и, подобно
последнему, решаются явно, как было показано в § 3 настоящей
главы.
§ 10. Плоские задачи о запрессованных деталях. Анизотропная
эллиптическая пластинка со вложенной или впаянной упругой
шайбой. Пусть в анизотропной пластинке, ограниченной эллипсом /,
до деформации было вырезано отверстие некоторой формы с конту-
контуром 7> в которое затем вставлена анизотропная пластинка из того
же материала и той же формы, но несколько больших размеров.
Применяя рассуждения § 7 гл. IV и § 7 настоящей главы и считая,
что вдоль эллипса соблюдаются граничные условия первой задачи,
найдем для решения статической задачи следующее выражение:
и(х) = -^ / g(y) TO (х, у) dS,+ff(y) TO (a-, y)dlr (9.110)
т '
где g(y) — заданный на -у вектор и G (х, у) — тензор Грина первой
задачи для эллиптической области (анизотропного тела). Построение
тензора G(x, у) приводится к решению первой граничной задачи
для эллипса; эта задача была решена в явном виде в § 3 настоящей
главы. Внеся значение тензора Грина в выражение (9.110), получим
явное решение первой задачи о запрессованной эллиптической ани-
анизотропной пластинке. Если вдоль внешней гриницы эллипса вместо
смещений заданы напряжения, будем иметь вторую задачу о запрес-

§ II] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ О ЗАПРЕССОВАННЫХ ДЕТАЛЯХ 311
сованной анизотропной эллиптической пластинке. Решение этой за-
задачи сводится к построению второго тензора Грина для анизотроп-
анизотропного эллипса. Эта задача в свою очередь приводится к решению
второй основной граничной задачи для эллипса, которая была ре-
решена в § 3 этой главы. Мы не будем более подробно останавли-
останавливаться на рассмотрении других плоских задач о запрессованных
деталях; заметим только, что во всех случаях, когда соответствующие
тензоры Грина строятся явно, решения упомянутых задач также по-
получаются явно, как мы могли в этом убедиться на рассмотренных
примерах.
§ 11. Решение некоторых пространственных задач о запрес-
запрессованных деталях. Эти задачи кратко были рассмотрены в § 7
гл. IV. Рассмотрим их здесь более подробно. Предположим, в изо-
изотропном теле Ва произвольной формы Sa до деформации имелась
каверна (пустота), ограниченная поверхностью S; в каверну встав-
вставляется тело Bt той же формы S, но больших размеров. В машино-
машиностроении, при проектировании стволов артиллерийских орудий
и в других технических задачах встречается необходимость расчета
многослойных стволов, труб, колес и других конструкций; эти расчеты
сводятся к расчету деформаций тел различной формы, кусочно-за-
кусочно-запрессованных однородными или разнородными материалами. В тех
случаях, когда условия на границах контакта запрессованных частей
приводятся к равенству напряжений и заданному скачку смещений,
т. е. к условиям вида
»* —»« = *(У). (Т(/)«(у)), = (Т(в)«(у))в. У €5,
где g(y)— заданный вдоль границы контакта вектор, можно для
получения явных решений применить наш метод. Считая сначала
размеры вставленной детали по сравнению с размерами основного
тела малыми, можем применить схему решения задачи (А) § 2 гл. IV
и тогда будем иметь уравнения
4™ (*) а (х) = ш2 (ца - [х.) J и (у) Г(в) (х, у) dvy +
d!vr(e)(*, y)dvy + y.a J «,(у) TT(e) (x.
x0), (9.111)
*l
V-a ПРИ х?Ва.
Если рассматривается статическая задача со = 0 и деформации возни-
возникают от различия в размерах первоначального отверстия и запрес-

312 РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЧАСТНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. IX
сованного под давлением тела, т. е. когда источник внешнего воз-
возмущения (помещенный' по условию задачи (Л) в точке xj отсутствует,
уравнение задачи будет иметь следующий вид:
г °
4я х (х) и (х) = т I «O0graddivr(a)(*, y)dvy-\-
+ Va / *i(У) Т*Г(а) (х, у) dSy + цв J" g(y) Т<а>Г(а) (х. у) dSy. (9.112)
Решая уравнения (9.111) и (9.112) получаем решения задач в дина-
динамическом и статическом случаях.
1°. В одном важном для приложений случае эти решения полу-
получаются без применения теории интегральных уравнений. Это случай,
когда запрессована деталь из того же материала, что и основное,
несущее тело. В этом случае
Х, = Ха = Х, {i, = jj.a = {j,; m = Q, /=1, * (х) = j*a = jj.;
Г==Т(«)_Т@ = о, r(e)(jc, y) = V(x, у); Д*? + (в2? = 0, (•)
и из уравнения (9.111) имеем для решения динамической задачи
4яи (*) = f g (у) ТГ (х, у) dSy + 4я? (х; xj, (9.113)
а из уравнения (9.112) для решения статической задачи
4*в (х) = J g (у) ТГ (х, у) dSy. (9.114)
s
Конечно., то, что выражения (9.113) и (9.114) действительно явля-
являются решениями поставленных здесь задач, вытекает из общей теории,
изложенной в соответствующих местах выше, но можно это проверить
и непосредственно. Поясним это на примере решения (9.113); для
(9.114) доказательство аналогичное.
Из формул (*) имеем в Вг и в Ва
co2B = 0. " (9.115)
Далее, так как интеграл, стоящий в правой части равенства (9.113),
есть потенциал двойного слоя (первого рода), по формулам B.1)
имеем
(9.116)
Применим, далее, обобщенную теорему Ляпунова — Таубера; потен-
потенциал двойного слоя при условии двукратной дифференцируемости
плотности1 обладает непрерывным Т -оператором. В результате при-
Это условие является достаточным.

§ it] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ О ЗАПРЕССОВАННЫХ ДЕТАЛЯХ 313
менения Т-операции к обеим частям равенства (9.113) и перехода
к пределу при стремлении точки х к границе изнутри и извне бу-
будем иметь
(9.П7)
В точке xt решение обладает нужной особенностью, как это видно
из равенства (9.113). Поэтому равенства (9.115) — (9.117) показы-
показывают, что выражение (9.113) действительно является решением за-
задачи о колебании запрессованного указанным способом тела.
2°. Многослойно запрессованное тело. Предположим,
что тело В{, запрессованное в Ва, само содержит внутри себя
отверстие формы Sv в которое затем вставляется тело той же
формы Sv но несколько больших размеров, из того же материала.
Деформированное состояние такого» тела будет описываться вектором
4«»(х)= fg(у)ТГ(х, у)dSy + f gl(у)ТГ(х, у)dSly, (9.118)
причем здесь g\(y) — вектор, заданный в точках контакта по
поверхности Sv
Доказательство совпадает с предыдущим. Ясно, что в случае
д-слойно запрессованного тела решение имеет следующий вид:
4*»(x) = 2l J «*(У>ТГ(*. y)dSky; (9.119)
*=osft
где gk (у) — векторы, заданные на поверхностях контактов Sk,
k=i, 2 д и 50 = 5.
3°. Запрессованное тело конечных размеров. Пусть
Ва есть конечное тело, ограниченное замкнутой поверхностью Sa;
пусть в Ва заданы п каверн, ограниченных непересекающимися по-
поверхностями Sk, A=l, 2, ..., я; пусть, далее, каверны заполня-
заполняются вышеуказанным способом телами из того же материала, что
и Ва, и притом так, чтобы по поверхностям Sk, к = 1, 2 »,
соблюдались условия
»e — »j = ft (У). (Т»(У)), = (Т*(у))в. y?Sk (A=l, 2 »);
здесь gk(y), A = l, 2, ..., п, — заданные на Sk векторы. Предпо-
Предположим, далее, что на поверхности Sa заданы либо а) смещения,
либо б) напряжения, значения которых обозначим через f(x).
Повторив рассуждения § 4 гл. IV, придем теперь в случае а)
к выражению
" о
Ажи {x) = Yi !ёк(УПО(х, у) dSy -f / /ОТО (х, у) dSy (9.120)

314 РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЧАСТНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. IX
и в случае б) к выражению
4тг»(х) = 2 /«*(У)ТЯ(*, y)dSy~ ff(y)H*(x, y)dSy, (9.121)
*-i sk sk
о о
причем Q (x, у) и H(x, у)— соответственно первый и второй ста-
статические тензоры Грина для полной области В, ограниченной по-
поверхностью Sa.
Таким образом, в тех случаях, когда для области В найден
соответствующий тензор Грина, формулы (9.120), (9.121) дают ре-
решения поставленных задач.
Известно, что в плоских задачах для многих 'контуров, имею-
имеющих применение в технике, тензоры Грина действительно могут
быть построены явно, и тогда равенства (9.120) и (9.121), которые
сохраняют силу для плоского случая, могут быть использованы
для получения явных решений задач о запрессованных плоских
деталях.
4°. Полупространство с запрессованными включе-
включениями. Рассмотрим тот случай предыдущей задачи, когда поверх-
поверхность Sa совпадает, в частности, со всей плоскостью х3 = 0.
В § 5 гл. IV было показано, что первый и второй тензоры Грина
для полупространства имеют соответственно следующий вид:
г„ (jc.
+ СО
(A=l, 2, 3).
Следовательно, в этом случае формулы (9.120) и (9.121) дают в зам-
замкнутом виде решения задач о деформациях полупространства с запрес-
запрессованными включениями. Можно непосредственно проверить, что таким
путем действительно получаются решения обеих граничных задач.
Применим к равенствам (9.120) и (9.121) оператор {«.Д-Ь
-f-(X-]-jj.) grad div; тогда, учитывая свойства тензоров Грина (§§ 3
и 4 гл. IV) и ввиду того, что Д*Т//(*, у) = 0 (§ 9 гл. VII), получаем
Д*й(х) = 0. (9.122)
При этом, конечно, в случае, задачи с заданными на Sa напряже-
напряжениями следует использовать еще условие разрешимости (гл. VII, § 9).
Далее, так как каждый из определенных интегралов вдоль поверх-
поверхностей Sk, А = 1, 2 п, фигурирующих в правых частях ра-

§ 12] ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 315
венств (9.120), (9.121), есть потенциал двойного слоя, по теореме
о скачках этого потенциала на границе и по теореме Ляпунова — Тау-
бера будем иметь на 5А, &=,1, 2 я,
»в —»* = ftC0. (Тв(*)), = (T«(*))e »eSk (?=1,2 я).
(9.123)
Проверим условия на внешней границе. Когда точка х стремится
к точке у0 на Sa, по свойствам тензоров Грина (§§ 3, 4 гл. IV)
о о _
lim G(x, y) = 0, lim 1хН(х, у) = 0, y?Sa;
кроме того (гл. VI, § 7),
|7(ЗО
. y)dS = —
На основании этих формул после перехода к пределу при
в равенствах (9.120) и (9.121I получим
lim и (х) =/(у0),
*"** (9 124)
lim Гв(*)=/(У) ( ^
Эти равенства показывают, что граничные условия первой и второй
задач на Sa также выполняются. Таким образом, равенства
(9.122) — (9.124) доказывают, что (9.120) и (9.121) действительно
дают решения первой и второй задач о деформациях упругого конеч-
конечного тела, запрессованного л-упругими включениями.
§ 12. Применение метода последовательных приближений.
Некоторые из функциональных уравнений общих задач, построенных
выше, решаются методом последовательных приближений. Такими
являются, например, уравнения статических задач (А) и (Bj) в случае
равных постоянных Пуассона; как показано в § 2 гл. VII, эти урав-
уравнения имеют следующий вид:
у.(х)и(х) = ~(^а-^) f tti(y)Yya)T{a)(x, y)rf5y + (xa?(x; xj (9.125)
i
Предварительно составив Т-операцию.

316 РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЧАСТНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. IX
(х) а (х) = J- (цв - ft) У* вг (у) T(ya)G (jc. y
+ -Й //(У) Т(уа)О (х, у) rfSy. (9.126)
Перейдя к пределу, когда точка х из Bt стремится к точке у0 на 5,
приходим к интегральным уравнениям
Щ(Уо) - ? / «* (У) Т(А) (Ус У) а$у = ^fj^ * (Уо! *J (9-125')
¦з
и
«/ (Уо) — ?f*i (У) Туа)О (Уо. y
i
f (9.1260
причем параметр х имеет значение
't7't' (9.127)
Ядра интегральных уравнений (9.125') и (9.126'), очевидно, от пара-
параметров \i ft не зависят, а зависят только от параметров Ха, {«,а. Считая
эти последние фиксированными, можем утверждать, что рассматри-
рассматриваемые ядра не зависят от х. Согласно теореме 4' § 2 гл. VII для
того, чтобы иметь решения функциональных уравнений (9.125)
и (9.126), достаточно найти решения интегральных уравнений (9.125')
и (9.126'). Эти сингулярные уравнения, как следует из гл. V, допускают
решения в общем случае лишь для тех значений х, которые не являются
полюсами резольвенты. Резольвента представляется в виде отношения
двух сходящихся всюду степенных относительно х рядов, и полюсом
резольвенты может быть только нуль степенного ряда, стоящего
в знаменателе. По теореме 2 § 1 гл. VI и по теореме 2' § 2 гл. VII
характеристические числа уравнений (9.125') и (9.126'), т. е. нули
знаменателя резольвенты, не могут быть по модулю меньше единицы,
и, так как согласно равенству (9.127) jxj < 1, они не могут быть
характеристический числами. Поэтому резольвенты уравнений (9.125')
и (9.126) представляют собою степенные ряды относительно х, сходя-

§ 12] ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 317
щиеся на комплексной плоскости % в круге |х| < 1. Исходя из этого,
можно искать решения в виде сходящихся в названном круге рядов
вида
S*Vft)(yo). . (9-128)
где «p(ft) (Уо) (k = 0, I, 2, ...) — неизвестные векторы. Из единствен-
единственности решения, которое, как мы знаем из гл. VII, имеет место,
вытекает, что выражение (9.128) является также решением урав--
нения Фредгольма, которое может быть построено согласно гл. V
и которое эквивалентно уравнениям (9.125'), (9.126'). Если бы мы
внесли выражение ряда по степеням и (9.128) в это уравнение Фред-
Фредгольма, то, очевидно, обычным путем получили бы для определения
{р(*)(у„) (& = 0, 1, ...) известные рекуррентные зависимости. Однако
эквивалентное уравнение Фредгольма не задано явно, и мы не можем
воспользоваться указанным путем. Поэтому мы используем следую-
следующий простой и удобный способ. Из сказанного о рекуррентных фор-
формулах, которые следуют из уравнения Фредгольма ясно, что <рD)(Уо)
(& = 0, 1, ...) суть векторы класса Н. Переписав уравнения (9.125'),
(9.126') в следующем виде:
| со In
Щ (Уо) - ? f |2 ** [?<*> (У) - ?<*> (УоI Tf^a) (Уо. У) dSy -
U J
U=o
G (y0
что можно сделать, так как существуют сингулярные интегралы
о. У) dSy, f t^G (y0, у) dSy,
s s
мы можем, вследствие абсолютной сходимости первых слагаемых,
поменять в них местами знаки суммы и интегралов и тогда, как

318 РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЧАСТНЫХ ЗАДАЧ 1ГЛ. IX
легко видеть, получим
*=0 ft=O S
-?(y0. л:,),
ft=O ft-0 S
Сравнивая теперь коэффициенты при одинаковых степенях ч, последо-
последовательно определяем все <р*.(у0) (А=1, 2, ...). Нет необходимости
особо доказывать сходимость ряда (9.128), так как на основании
сказанного это вытекает из теоремы существования и единственности.

ГЛАВА X
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
Функциональные уравнения, которые в предыдущих главах исполь-
использовались для доказательства теорем существования, могут быть также
применены для построения приближенных (численных) решений [15].
Для этой цели мы воспользуемся приемом, основанным на замене инте-
интегральных (функциональных) уравнений системами линейных алгебраи-
алгебраических уравнений, эквивалентными, в некотором смысле, исходным
уравнениям, (§§ 1 — 19) и методом разложения в обобщенные ряды
Фурье по некоторым полным системам функций (§§ 20 — 37).
Сначала напомним известные факты. Рассмотрим интегральное
уравнение Фредгольма второго рода
ь
?(*)+/*(*• У)«Р(У)*У = /(*)¦ 00.1)
а
где К(х, у) и f(x)— дифференцируемые до некоторого порядка
функции; пусть, кроме того, известно, что в некотором классе функ-
функций существует единственное решение этого уравнения. С помощью
формулы механических квадратур уравнение A0.1) можно записать
в следующем виде:
N
4^(х, yt) <р(у,)+ 8 (х; <р) = /(*). A0.2)
где N—число разбиений интервала (а, Ь) точками (узлами) уг, АУ '
и \){ — постоянные для данного промежутка и для данной формулы
числа, а 8 (х; ср) — погрешность. При этом обычно
2
Например, для формулы прямоугольников
i b — а . ... ,, Ь — а , Ь—а
y y a+y a + (Nl) A ;

320 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ (ГЛ. X
для формулы Гаусса
yt==a + {b-.a)yf\ А\"> = ф-а)С?\ A0.3)
где y\N) — точки Гаусса (корни полинома Лежандра), а С^—коэф-
С^—коэффициенты Гаусса, составленные для интервала @, 1). Погрешность
в формуле прямоугольников оценивается неравенством
где
и в формуле Гаусса
,.., м ^ (Ь — g)w+1 (ЛПLAf , .
где
| . У) <Р (У)}(у1\ 1. 16 («• »)• О0-4')
Равенство A0.2) имеет место для любых значений х из интер-
интервала (а, Ь) и, в частности, для значений лг^ —у,, i= 1, 2, .... Л/; при
этом 8(^1 ср), /=1, 2 Af, остаются ограниченными. Считая их
для достаточно больших N малыми величинами, можем вместо A0.2)
рассматривать систему уравнений относительно tpO>;), у = 1, 2 N:
S (У/) + 2Л" (УУ. Уг) т (У/) = / (У;) G=1.2 Л/) A0.5)
в качестве приближенного представления интегрального уравне-
уравнения A0.1). Здесь через ср(уА) обозначено приближенное значение
функции <р(у) в точке yk.
Если Ды есть алгебраическое дополнение элемента А-й строки
и t-ro столбца в определителе системы A0.5), который обозначим
через Д, то для отклонений точных значений решения в точках yk от
приближенных значений в тех же точках, будем иметь из сравнения
решений систем A0.2) и A0.5)
л
A0.50
В правой части участвует неизвестная ср; выразив ее через известные
элементы с помощью рещения уравнения A0.1), можно найти постоян-
постоянную М, участвующую в формулах погрешностей, и тогда фор-
формула A0.5') представит достаточно удобную оценку ошибки прибли-
приближения при заданном N.

§ и дифракция упругих волн 321
Таким образом, в том случае, когда ядро и «правая часть»
интегрального уравнения обладают той степенью гладкости, которая
необходима для описанной редукции, дело сводится к решению
системы алгебраических уравнений первой степени с числом неиз-
неизвестных и уравнений, равным N. К сожалению, когда речь идет
об интегральных уравнениях математической физики, на этом пути
встречаются принципиальные трудности: в большинстве случаев ядра
уравнений не только не дифференцируемы, но даже не обладают
простой непрерывностью и система уравнений A0.5) не может быть
составлена. Интегральные уравнения теории упругости являются в этом
смысле типичными.. Однако, как мы увидим ниже, исходя из теории
граничных задач, изложенной в гл. IV — VII, можно получить такие
функциональные уравнения, которые допускают приближенное реше-
решение указанным выше путем. Рассмотрим несколько примеров.
§ 1. Дифракция упругих волн. Пусть В1 есть конечная, плоская
или пространственная область с замкнутой границей 5 типа Ляпунова;
пусть Ва есть бесконечная область,- дополняющая В{ до полного
пространства, и пусть она заполнена упругой средой с постоянными
Ламэ Ха, |ла. В точке xt ? Ва помещен источник периодических
(по времени) упругих колебаний частоты ш, отличной от частот
собственных колебаний области Bv Пусть Е{х; xt) есть поле сме-
смещений, которое этот источник. создает в бесконечном однородном
пространстве с постоянными Ха, (ia; такое поле легко определяется
и может считаться заданным: очевидно,
Д(*а)?-г-ш2? = 0> x?Bt-{-Ba, хфх,. A0.6)
Задача дифракции около отверстия в установившемся- поле приво-
приводится к определению вектора и (х) из условий:
1°. * 2
2°.
3°. Разность и(х) — Е(х\ xt) является регулярным вектором в Ва.
Прежде всего для этой задачи нетрудно получить теорему суще-
существования. Представим решение в виде
=i / *(у) г <*• у> dSy+Е (*; *•>• х ^ в*>
тогда, воспользовавшись граничным условием 2°, на основании тео-
теоремы 4 (§ 1 гл. II), ввиду непрерывности на 5 вектора JE{x\ xt)
получим для (р (у) интегральное уравнение
/<у>тгсу у)dSт^(у; *) (ю-8)

322 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
Это сингулярное уравнение изучено в § 12 гл. VI; оно разрешимо
единственным образом и дает решение задачи в виде выражения A0.7),
которое удовлетворяет- всем поставленным условиям.
Заметим, что уравнение A0.8) нельзя привести к системе линей-
линейных алгебраических уравнений способом, указанным выше: ядро этого
уравнения, выраженное матрицей ТУоГ(уо, у), имеет полюс в точке
у = у0; диагональные коэффициенты системы A0.5) не имеют смысла.
Поэтому мы поступим следующим образом. Предположим сначала,
что область В{ не является «пустотой», а заполнена упругой средой
с постоянными Ламэ \, [д.;, и пусть эта среда сопряжена с внешней
средой, занимающей область Ва, условием свободного контакта вдоль
поверхности 5 (см. § 7 гл. IV). Тогда, как было показано в гл. IV, § 7,
поле точечного источника описывается системой функциональных
уравнений следующего вида:
у. (*) и (х) = ш2 (ца — p.) J и (у) Г(в) (х, у) dvy 4-
Bi
+ т j и (у) grad div Г(а) (х, у) dvy -\~Vaf ui (У) Т^Г(а) (х, у) dSy -f-
s
(У)Т|,в)Г(в>(*. y)dSy-j-4~v.aE(x, xt), A0.9)
в которой ср обозначает разность
другие обозначения имеют тот же смысл, что и .в § 7 гл. IV,
в частности:
4
x?Ba.
Мы видели (см. гл. VII), что для достаточно малых значений пара-
параметра \т\,
уравнение A0.9) имеет единственное решение, являющееся одновре-
одновременно решением в обычном или обобщенном смысле следующей
задачи теории упругости:
a) A|i,«(*) + <»2«(*) = 0. x^Bu A0.10^
b) Д|"в)в(*) + ш2о(*) = 0, х?Ва, A0.10g)
c) иа{х)~ в|(*) = ?(х), x?S, A0.10a)
d) (T(')«(x)), = (T<e)«W)e. x?S, (Ю.1О4)

§ I] ДИФРАКЦИЯ УПРУГИХ ВОЛН 323
е) и{х) — Е(х; xt), х?Ва, есть регулярное в Ва решение
уравнения A0.6). Допустим теперь, что Х< = [а; = 0; тогда т = 0, и
теорема существования для уравнения A0.9) остается справедливой.
При этом ввиду условия (IO.IOj) в Bl u(x) — Q, и, следовательно,
ul(x) = Q на 5, поэтому согласно условию A0.103)
<f{x) = ua{x) для x?S, . A0.11)
и согласно A0.104)
(Т<а)и(х))а = 0 для x?S, A0.12)
и, наконец, само уравнение A0.9) принимает следующий вид:
и (*) = ± f ? (У) Т?К) (*¦ У) dSy + Е (х; хД х ? Ва, A0.13,)
s
0 = ± f ср(у) Т^Г(а) (х, у)dSy + E{x; xt), х б В,. A0.132)
Можно прийти к этому результату непосредственно. В самом деле,
по доказанному выше рассматриваемая задача дифракции имеет реше-
решение, и оно представляется в виде A0.7). Отсюда следует, что вектор
D (x; xJ = u(x) — E(x; xj.
где и (х) есть указанное решение, является регулярным в Ва реше-
решением уравнения A*a)D-j-u) Z) = 0; в § 3 гл. III мы видели, что для
регулярных в Ва решений уравнений упругости имеет место формула
Бетти. Считая точку х сначала лежащей в Ва, а затем в Bt и приме-
применяя в обоих случаях в Ва формулу Бетти к векторам D(y; x^) и
Г(а) (х, у), будем иметь
= f[Da(y)l(ya)Via)(x, y)-Via)(x,
x?Ba,
y) — Vw(x. y)(Va)D(y))a\dSr
или, учитывая граничное условие 2°, а также равенства
0 = fE(y, xt)tya)ria)(x, y)dSy — fV{a)(x, y)ty)E(y; x,)dSy,
/ rW) {x. y) Vya) E (y; x,) dSy, x ? Bt,

324 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
которые получаются применением формулы Бетти в В1 (но с опера-
оператором Д(а)) к векторам Е(у; xj и Г(а)(л;, у), мы приходим к равен-
равенствам A0.13j), A0.132). Таким образом, если вектор «р(У) найден из
уравнения A0.132), то вектор и(х), определенный равенством A0.13!),
ввиду A0.102) удовлетворяет уравнению
Д@)И (*) + ш2и (х) = 0, х ? Ва,
и ввиду равенства A0.12) граничному условию 2° на S; кроме того,
из соотношения A0.13j) видно, что выполнено условие е), которое
входит в число основных условий. Из этого следует, что равенства
A0.13j) и A0.132) действительно определяют решение поставленной
задачи. Эти выводы из общей теории гл. VII можно установить также
непосредственно, а именно: можно показать, что вектор и(х), удо-
удовлетворяющий уравнениям A0.13j) и A0.132), а) существует,
Ь) является единственным, с) удовлетворяет условиям 1°, 2°, 3°.
Вектор ср(у) класса Гельдера, определенный для точек ji^S и
не зависящий от х, будем называть решением функционального
уравнения A0.132), если последнее после подстановки «р(У) тожде-
тождественно удовлетворяется для всех х ? Bt.
Функциональные уравнения типа A0.132), которые не содержат
ср (у) вне знака интеграла и для которых области изменения точек
х и у не тождественны, будем для краткости называть канонике-
¦ скими функциональными уравнениями.
Перейдя в уравнении A0.132) к пределу при стремлении точки х
из Bt к точке у0 на 5, по теореме 2 § 1 гл. II будем иметь
- i / ЧР GO Ту0)Г(Уо. У) dSy = 2? (У0; *.)¦ (Ю.14)
s
Это — сингулярное интегральное уравнение задачи (Z);) с граничным
значением для искомого вектора, равным —2Е(у0; х„). Вследствие
того что по условию число о) отлично от характеристических чисел
задачи (D?), уравнение A0.14) разрешимо (§ 8 гл. VI), и решение
строится единственным образом по первой теореме Фредгольма (§ 9
гл. V). Покажем, что это решение является также единственным
решением для функционального уравнения A0.132). Подставив значе-
значение {р(У)« найденное решением интегрального уравнения A0.14),
в функциональное уравнение A0.132), будем иметь
v (х) = -^ / 9 (У) Т^Г(а) (х, у) dSy + Е (х; xj, х ? Bv
s
Очевидно,

§ 1] ДИФРАКЦИЯ УПРУГИХ ВОЛН 325
н так как ш не есть собственная частота для однородной внутренней
задачи (D?), то по теореме 9 гл. VI v(x) = 0 при x?BL, и утвер-
утверждение о существовании решения доказано. Единственность вытекает
из того, что однородное уравнение
ЗГ / ? (У) Т$%й (х, у) dSy = О, х ? В,, A0.15)
i
допускает только тривиальное решение. Допустим, это не верно, и
пусть фо(у) есть нетривиальное решение однородного функциональ-
функционального уравнения A0.15); тогда потенциал двойного слоя
5
W(x; <ро) = JL у ?0 (у) Т(«>г{в) (*,
будет тождественным'нулем в области Bt, поэтому и
(Va)W(yQ; ?o))« = O.
Но тогда по теореме Ляпунова — Таубера (§ 9 гл. VI)
и, так как в Ва W(x; y0) есть регулярное решение уравнений упру-
упругости, по теореме 1 § 4 гл. HI W(x; cp0) есть тождественный нуль
и в области Ва. Отсюда согласно теореме 2 § 1 гл. II следует, что
^0(у) = 0, и теорема единственности доказана. Обращаясь к дока-
доказательству пункта с), заметим, что выполнение условий 1° и 3° прямо
вытекает из вида равенства A0.13!), если учесть еще условие
A0.6). Для доказательства свойства 2° заметим, что из равен-
равенства A0.132) следует существование предела изнутри
\
отсюда по теореме Ляпунова —-Таубера следует существова-
существование аналогичного предела извне и равенство этих двух преде-
пределов. Поэтому, составив Т(а)-операцию от обеих частей равенств
(ЮЛЗ^ и A0.132) и рассмотрев разность их предельных значений
на S, получим условие A0.12), которое и составляет свой-
свойство 2°. Таким образом, доказаны все три пункта а), в), с). Введя
обозначение
К(х, у) = -~Т^Г(т(х, у).
перепишем уравнения A0.13i) и A0.132):
A0.

326 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
Эта система допускает применение способа приближенного решения,
о котором говорилось во введении. В самом деле, заменив в урав-
уравнении ПОЛЗ^) интеграл суммой по одной из формул механических
квадратур, будем иметь
2 Л (У«) К (у„ х) = - Е (х; xt) х е Blt A0.16)
где A^N) и yt — заданные числа для выбранной формулы, «р(У-г)
B=1, 2 N) — приближенные значения вектора «р(У) в т04"
ках уг и
К(У1,х) = \\ к А A = 1, 2 N)
— заданная матрица. Так как приближенное равенство A0.16) имеет
место для всех х из Bt, можно выбрать их произвольно, строго
внутри Bt, и тогда будем иметь
2 ТЧ> (У|)К (Уг xj) = -Е(ХГ **) С/ = I• 2. .... АО Xj?Bt
A0.17)
или, в проекциях,
2 i
2 2
Возможность выбора точек X] (у=1, 2, ..., Л/) строго внутри Вг
гарантирует ограниченность коэффициентов системы A0.17); тот же
факт, что в уравнении ПО. 13^) отсутствует внеинтегральное слагае-
слагаемое, содержащее ср (х), обеспечивает равенство числа неизвестных
числу уравнений в этой системе.
Теперь приближенное решение задачи дифракции получается из
уравнения A0.13i) в следующем виде:
N
5
где tp (yt) = (ср, (у;), ср2 (уг)) A=1, 2 N) есть решение системы
линейных алгебраических уравнений A0.17'). Оставляя открытым
вопрос о сходимости, заметим, что величина отклонения приближен-
1 Здесь для простоты мы ограничились случаем плоской задачи; оче-
очевидно, пространственный случай принципиально от плоского не отличается.

§2] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ (D;) 327
ного решения A0.18) от истинного зависит от выбранных точек xlt
х2 xN и оценивается с помощью формулы A0.5') погрешности
для использованной формулы квадратур, которая зависит от Xj (/— 1,
2, ..., N) как от параметров (см. формулы A0.3) и A0.4)). Общие
соображения и численные примеры, которые изложены ниже, дают
основание полагать, что существует наилучшая область значений х,
из которой наиболее целесообразно в данной задаче выбирать вспо-
вспомогательные точки Xj (y=l, 2, ..., N). Однако этот вопрос, так
же как вопрос сходимости в общем случае, еще не достаточно
исследован.
§ 2. Решение задачи (Dt). Пусть область Bt заполнена упругой
средой с постоянными \, [а. Как известно, задача (D;) приводится
к определению вектора и(х), который является регулярным в Bt
решением уравнения
[а Ди (дг)Н- (Х+ |л) grad div и (*) + ш2и (дг) = 0, х ? Bt,
при соблюдении граничного условия
Вектор f(y) здесь будем считать дважды непрерывно дифференци-
дифференцируемым. Применяя общие рассуждения, аналогичные тем, которые
были применены в предыдущем параграфе, или используя формулы
Бетти A.63) (§ 6 гл. I), найдем, что решение задачи следует искать
в виде решения системы функциональных уравнений
l(x. y)f(y)dSy, Х?В,.
A0.19,)
0 = i / Г <*• у) * W dSy — ^ / Г, (х, y)f(y) dSy х? Ва,
A0.192)
где f (у) есть вспомогательный вектор, который должен быть опре-
определен из уравнения A0.19^). Допустим сначала, что это уравнение
имеет решение в классе Н (в классе функций, удовлетворяющих
условию Гельдера). Так как в правой части уравнения A0.19,) стоят
потенциалы простого и двойного слоя, составленные с помощью
решения Г(л\ у), очевидно,
Чтобы проверить граничные условия, составим разность предельных
значений A0.19,) и A0.192) соответственно изнутри и извне и вос-
воспользуемся теоремами о непрерывности потенциала простого слоя и

328 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ |ГЛ. X
о разрывности потенциала двойного слоя вдоль поверхности 5 (тео-
(теоремы 1 и 2 § 1 гл. II), тогда получим
Наше утверждение доказано. Теперь покажем, что функциональное
уравнение A0.192) имеет, и притом единственное, решение в классе Н.
Произведем Т-операцию над обеими частями равенства A0.192) и
перейдем к пределу при х, стремящемся к xo?S извне. Ограниче-
Ограничение, наложенное на вектор /(у), гарантирует существование предела
Т-операции от потенциала двойного слоя в равенстве A0.192), и по
теореме 4 § 1 гл. II можем записать
<Р (*о) - i f CUr (*о. У)) <Р (У) а$у = - (Та W(xq; f) )a, A0.20)
5
причем через W(x; f) обозначено
W(x; /) = -L J" Г, (x, y)f(y) dSy.
s
Уравнение A0.20) есть интегральное уравнение задачи (Та); если ш
отлично от характеристических значений (от частот собственных
колебаний) задачи (D?), что мы предполагаем, как в § 1, то согласно
теореме 12 § 10 гл. VI уравнение A0.20) разрешимо и имеет един-
единственное решение, которое строится по первой теореме Фредгольма.
Нужно показать, что это решение является одновременно и решением
функционального уравнения A0.192). Рассмотрим сначала случай трех
измерений и допустим, что доказываемое предложение не верно;
тогда, введя обозначение
(у)dSy—ifri(x- у)/(у)dSr
S S
A0.21)
где под «р (у) подразумевается решение интегрального уравнения
A0.20), можем записать
С другой стороны, как легко проверить,
(Т« (*)). = 0,
кроме того, на бесконечности <о (х) удовлетворяет условию излуче-
излучения; по теореме 1 § 4 гл. III
Это противоречие доказывает наЪие предложение.

§ 2] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ (D{ ) 329
Некоторых изменений требует доказательство для плоской задачи.
В этом случае из вида вектора v(x), аналогичного выражению A0.21).
а именно:
•о (х) = \ [ Г (х, у) f (у) dS9 — -^fvl(x. у) f(y) dSr x? Ba,
S S
вообще говоря, не следует, что он удовлетворяет условию излуче-
излучения, так как плоский потенциал простого слоя стремится асимпто-
асимптотически к бесконечности; для того, чтобы он стремился к нулю,
достаточно потребовать выполнения условия
y = O. . A0.22)
s
Покажем, что это условие в данном случае действительно выполнено.
Заменим в A0.20) перед интегралом коэффициент -д— на —, умно-
жим на dSXo и проинтегрируем по S; учитывая, что
y = — iz при xo?S,
S'
получим
f f (x0) dSXa = — ~ f (T,o W (x0; f) )a dSXi. A0.23)
s s
Так как существует предел (TxW(x, f))a, то по теореме Ляпу-
Ляпунова— Таубера существует (JxW(x, /))г и
(JW(x; f))t = (TW(x; f))a. A0.24)
Применим формулу Бетти в области Bt к векторам ik (k=\, 2, 3)
* (координатным ортам) и к потенциалу двойного слоя W(x, /); тре-
требования, наложенные на f(x), позволяют это сделать. Тогда
0 = J
B
dS
и, следовательно,
s
отсюда ввиду соотношения A0.24)
J(TW(x;f))adSx = Q.
s
и равенство A0.22) доказано. Дальнейшее совпадает с доказатель-
доказательством, указанным для трехмерного случая.

330 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
Остается показать единственность решения. Пусть у функциональ-
функционального уравнения A0.192) имеется два различных решения в классе Н:
«Pi Й f$ для разности ft, —?i — ?2 будем иметь
Отсюда ввиду непрерывности потенциала простого слоя и по тео-
теореме 1 § 4 гл. III
и, наконец, из этих двух равенств согласно теореме 4 § 1 гл. II
?0(у)==0.
Функциональное уравнение A0.192), для которого доказаны теоремы
существования и единственности, принадлежит к каноническому типу
(в смысле § 2, стр. 324), и поэтому к нему применим способ при-
приближенного решения, описанный в § 1.
Приближенное решение задачи (Dj) будет иметь следующий вид:
а (*>=i 2 A^v (*' и> ? <и> - i f
где
¦9 (У1>. ? (У2)
есть приближенные значения решения уравнения A0.192) в точках
ур у2 Улг1 найденные решением системы линейных уравнений
jl{xl, y)f{y)dSy,
^•6^ У/€5 G=1. 2 ЛО-
§ 3. О приближенном решении статической задачи (Tt). Пусть
ищется вектор и{х) из условий
причем f{x) есть вектор класса Н, заданный на поверхности 5.
Согласно теореме 7 § 5 гл. VI эта задача имеет решение лишь
в том случае, если выполняются условия
Jf(x)dSx = Q, ff(x)Xr(x)dSx = 0, A0.25)

§ 3] О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ СТАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ (Г;) 331
где г(х) есть радиус-вектор точки х. Будем считать, что усло-
условия A0.25) удовлетворены. По аналогии с предыдущими парагра-
параграфами решение задачи (Гг) представится решением системы функцио-
функциональных уравнений
0=-к I ***• у)/(у) dSy+i / ^(х- у) *(у)dSr х ? в"'
A0.26!)
и (х)=i / *"(х-у) /(у> rf5v+i / ^i-<*•у) * ^ rf5v x € в,.
A0.26а)
Покажем это. Допустим сначала, что уравнение A0.26j) имеет ре-
решение в классе Н. Из существования предела Т-операции от потен-
потенциала простого слоя
^ /Г(х. y)f(y)dSy
извне при стремлении точки х к точке л:0?5 следует существова-
существование такого же предела извне для Т-операции от потенциала двой-
двойного слоя
s
Но тогда по теореме Ляпунова — Таубера существует
(xfl y)<p(y)dSy
J
a
Пользуясь этим, произведем Т-операцию над обеими частями равенств
A0.26!) и A0.26J) и рассмотрим разность их предельных значений
соответственно извне и изнутри, тогда по теореме 4 § 1 гл. II
будем иметь
(Т« (*)),=/(*).
Кроме того, из самого вида A0.262) ясно, что

332 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ (ГЛ. X
Таким образом, наше предложение доказано. Остается показать
существование решения функционального уравнения A0.26)). Перейдя
к пределу при х —>xo?S извне, получим по теоремам 2 и 1 § 1
гл. II
= -± fv(xo,y)f{y)dSr A0.27)
s s
Это — интегральное уравнение задачи (Da), и согласно § 5 гл. VI
необходимыми и достаточными условиями его разрешимости являются
равенства
( / Г (*„. У)/(У) dSy\ dSx, = 0, E=1,2 6) A0.28)
s \s /
где <J»(lJ) (x0) (s = l, 2, 3 6) есть полная система линейно-
независимых решений уравнения
* (*о) + i / Тж. Г (х0, у) ф (у) rf5y = 0, (Г?)
s
разрешающего задачу (Г;). Решения этой задачи имеют вид
s
и, как извертно, представляют собою (см. § 3 гл. VI) векторы жест-
жесткого смещения. Поэтому из условий A0.25) имеем
/с °
4»(lS) (х0) dSXo J Г (лг0, у) f (у) dSy =
s i
0 ч
= /(/¦
и условия разрешимости A0.28) выполнены. Покажем, что решения
интегрального уравнения A0.27) являются решениями функциональ-
функционального уравнения A0.26^. Составим вектор
v (х) = ^г / Г (х, у)/(у) rf5y + -L / Г, (х, у) <р (у) rf5y, х ^ Ва.
S S
A0.29)
здесь <р(у) есть решение уравнения A0.27). Очевидно, для х?Ва
Д*и(лг) = 0 и для x?S va(x) = 0, и так как на бесконечности v(x)

§ 3] О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ СТАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ (Г() 333
удовлетворяет условиям регулярности, то по теореме 5 (§ 4 гл. III)
v (х) = 0 для л: ? Ва. Это доказывает наше утверждение. Доказа-
Доказательство требует некоторых изменений в этом пункте в двумерном
случае. В этом случае V (х) не исчезает на бесконечности, а неогра-
неограниченно возрастает; несмотря на это, доказательство можно довести
до конца, если воспользоваться условиями разрешимости A0.25).
о
В плоском случае Г(х, у) есть матрица (9.2), приведенная в § 1
гл. IX; поэтому в состав потенциала простого слоя, исчезновение
которого на бесконечности надо показать, войдут слагаемые вида
/ЛСУI
fe;4
s
(ft=l. 2; t, j=\, 2). A0.30)
Пусть x'(x[, х'Л есть произвольная фиксированная точка в Bt; вве-
введем расстояние г (л:', х) и перепишем выражения A0.30) в следую-
следующем виде:
/д(уIпг(х,
S
= ffk (у) In ;g,' У)х) dSy + In г (*', x) ffk(y)dSr A0.31!)
s ' s
Г e , . dr dr ,c
— J /* (У) [ Г2 (^ y) г= (У, x)
s
r af(^, x) dr(x',x) ff()dS = /• /ПУ)
',x) f
*i - *02 + (X2 - x'2?] -
- (xtxj -xrf- xjX't - x\x)) [(x, _
Последние слагаемые в обоих выражениях обращаются в нуль ввиду
условия A0.25); что касается первых слагаемых, то при х, удаляю-
удаляющемся в бесконечность, в выражении A0.31 Л имеем

334 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ 1ГЛ. X
а в A0.312) порядок этого слагаемого равен О (—-, Л, вследствие
чего стремление к нулю также обеспечено. Таким образом, v(x),
определяемое равенством A0.29), удовлетворяет условию регулярности
на бесконечности и в плоской задаче. Дальнейшее совпадает с до-
доказательством для трехмерного случая. Решение уравнения A0.26!)
неоднозначно; это вытекает из того, что однородное функциональ-
функциональное уравнение
-L f Г, (х, у) ? (у) dSy = 0, х ? Ва, A0.32)
s
имеет своим решением произвольный вектор жесткого смещения, что,
в свою очередь, следует из рассмотрения интегрального уравнения,
получающегося из уравнения A0.32) после перехода к пределу при
стремлении точки х из Ва к точке х0 на S. Полученное таким
образом интегральное уравнение есть уравнение однородной задачи (Da),
которое, как было показано в § 3 гл. VI, удовлетворяется векто-
вектором жесткой деформации и только им и, следовательно,'допускает
шесть линейно-независимых решений. Таким образом, решение функ-
функционального уравнения A0.26!) определяется с точностью до аддитив-
аддитивного вектора жесткого смещения, и поэтому можно удовлетворить
дополнительным условиям, исключающим жесткое смещение. Система
алгебраических уравнений, соответствующая функциональному урав-
уравнению A0.26х):
N
Af] Г, (xj. У1) ? (у,) = -1 / Г (Xj, y)f(y) dSy U = 1 ¦ 2, ..., AT),
s
A0.33)
при М, достаточно большом, разрешима, хотя однородная система,
ей соответствующая, допускает шесть линейно-независимых нетри-
нетривиальных решений и ранг матрицы коэффициентов равен (ЗЛА—6);
фиксируя шесть неизвестных произвольно, по числу линейно-неза-
линейно-независимых решений однородной системы, выразим остальные неизвест-
неизвестные через них, и при этом.будет удовлетворена вся система A0.33).
Приближенное решение задачи выразится равенством
^ ^ i / в.
где ср СУ/) (*=1, 2 N)—решения системы A0.33). Мы рас-
рассмотрели статическую задачу подробно именно вследствие этой ее

§ 4] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ (Dа) 335
особенности. Динамическая задача в том случае, когда ш отлично
от частот собственных колебаний, разрешима однозначно так же,
как это имело место в случае задачи (?);).
§ 4. Решение задачи (Da). Эта задача, как известно, заклю-
заключается в отыскании регулярного в Ва вектора и(х) из условий
(Д* +с»2) «(*):= 0 х?Ва; яв (*)=/(*) x?S.
Будем предполагать, что вектор f(x) дважды непрерывно дифферен-
дифференцируем. В § 12 гл. VI мы видели, что задача (Da) однозначно раз-
разрешима при любых значениях частоты ш; при этом в некоторых-
случаях (указанных в теореме 13 § 12 гл. VI) решение выражается
потенциалом двойного слоя, в других — комбинацией потенциалов
двойного слоя и простого слоя. Теперь решение будем искать в виде
решения системы функциональных уравнений
=i / г' <*¦ л/<у) dSy+i / г <*•у) * (у> dSr х € ва>
S S
A0.340
S S
A0.342)
Сначала рассмотрим статический случай. Пусть уравнение A0.342)
имеет решение в классе Н. Из уравнения A0.34,) следует
Д*« (х) = 0, х ? Ва.
Далее, рассматривая разность предельных значений равенств A0.34!)
и A0.342) на S извне и изнутри, получим на основании теорем 2
и 1 § 1 гл. II '
Таким образом, если функциональное уравнение A0.342) имеет реше-
решение, то равенство A0.34j) дает решение задачи (Da).
Сначала покажем, что функциональное уравнение A0.342) может
иметь лишь одно решение. Допустив противное, получим, что одно-
однородное функциональное уравнение
у = 0, x?Bt, A0.35)
s
имеет нетривиальное решение. Пусть это решение есть сро(у), тогда
для потенциала простого слоя

336 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
имеем V(x; <ро) = О, x?Bt; O = V,(xo; <?0) = Va(x, ?0); в Ва этот
потенциал есть регулярное решение уравнений упругости (мы рас-
рассматриваем здесь трехмерный случай), и поэтому по теореме 5 § 4
гл. III V (х; у0) = 0, х ? Ва; следовательно, по теореме 4 § 1 гл. II
<ро(хо) = О, и наше утверждение о единственности решения уравне-
уравнения A0.342) доказано. Чтобы доказать существование решения для
уравнения A0.342), рассмотрим предельное значение Т-операции над
равенством A0.342); при x->xo?S имеем
? (*о) H-ST / [Тж0Г (*„, у)} <р (у) dSy =
/i(*c y)f(y)dSr (rj
Это — интегральное уравнение задачи G^); согласно теореме 7 § 5
гл. VI для его разрешимости необходимо (и достаточно) выполнение
условий .
(х, y)f(y)dSy) A0.36)
s
(A==l, 2, 3 6),
где 5t(ft)(x), A=l, 2, 3 6,-7 полная система линейно-незави-
линейно-независимых решений сопряженного однородного уравнения; напомним,
что эта система решений может быть задана в виде векторов жест-
жестких смещений
(а, 0, 0), 31B)@, Ь, 0), SI"'@, 0, с), ЗД«> (qx3, 0, —qxj,
Ш{5)(—гх2, rxv 0).
Услозия A0.36) действительно выполняются автоматически. Чтобы
убедиться в этом, достаточно к вектору W(x; /) и к каждому из
векторов 5l(*' (x), k=\, 2 6, применить в области Вг фор-
формулу Бетти. Ограничение, наложенное на f(x), позволяет это сде-
сделать. Пусть yt(x) есть некоторое частное решение уравнения (Tt).
Мы утверждаем, что вектор у (лг) = yt (x)-f- <J» (jc), где фС-*) есть
некоторое решение однородного уравнения
(У) ^ = 0, A0.37)

§5] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ (Та) 337
является решением функционального уравнения A0.342). В самом
деле, подставив <р (х) — <р*(х) + $(jr) в A0.342), будем иметь
. A0.38)
Первые два слагаемых справа, как нетрудно убедиться на основа-
основании G^), равны в сумме некоторому вектору жесткого смещения
А-\-В(х), где А — постоянный вектор, а В(х) — вектор с проек-
проекциями д^З ГХ2< ГХ\ РХ3< РХ2 — ЧХ\' и ПРИ ЭТОМ ^> Р< Я' г
вполне определенные постоянные; что касается третьего слагаемого,
то, выбрав ф (х) так, чтобы это слагаемое равнялось —[А-\-В(х)],
будем иметь v (х) = 0, и предложение доказано.
Уравнение A0.342) есть функциональное уравнение канонического
типа, и, следовательно, к нему можно применить способ нахождения
приближенного решения путем сведения к системе линейных урав-
уравнений. Приближенное решение задачи на основании уравнения A0.34j)
имеет следующий вид:
N
и <*>=i S А{^ г (*- у*) * w+i / ri <*¦ у)^у) dSr
где фСУх), ?(Уг)> ••-> ?(Улг) есть решение системы уравнений
N
^Af^ixj. уд 9 (Уд = - у
t-i
(/=1.2 ЛА) ху
Динамическая задача (Da) рассматривается аналогично, если сде-
сделано предположение, что ш отлично от характеристических значений.
§ б. Решение задачи (Та). В области Ва ищется регулярное
решение из условий
Д*а(х) + ш2И(л;) = 0, х?Ва; (Т« (ж) )„-/(*). х?Ва, (Та)
где f(x) — заданный на 5 вектор класса Н. Решение этой задачи
может быть представлено вектором
*№ = —& S Г<*' V)/(y)d5, + i/ri(^ y)f(y)dSy A0.390
22 В. Д. Купрадз»

338 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
если tp(y) есть вектор, удовлетворяющий функциональному уравнению
x€Bl. A0.392)
S S
В .самом деле, вектор и(х), определенный из уравнения A0.39j),
удовлетворяет уравнению упругости в Ва и является регулярным
вектором, а разность предельных значений на S оператора Т от
обеих частей равенств A0.39^ и A0.392) дает, на основании тео-
теоремы 4 § 1 гл. II и теоремы 10 § 9 гл. VI,
(Ти (*))«=/(*). *?S. A0.393)
Это доказывает наше утверждение. Существование решения уравне-
уравнения A0.392) показывается следующим образом. Предельный вид этого
уравнения, когда х стремится к х0 на 5 изнутри, будет следующим:
* (х°) - i / ri (JC°'у) *(у) dSy=~ i /г (хо'у)/ (у) rfSv A0-40)
s i
Но это есть интегральное уравнение задачи (Dt), и, если ш не сов-
совпадает с ее характеристическим значением, что мы и будем предпо-
предполагать, оно разрешимо и имеет единственное решение. Решение
уравнения A0.40) является также решением функционального уравне-
уравнения A0.392). В самом деле, построим потенциал
s • - s
взяв решение уравнения A0.40) в качестве плотности, тогда будем
иметь
и так как со отлично от характеристического значения задачи (D^), to
ч?(х)==0, x?Bt.
Это доказывает наше утверждение1. Покажем, что найденное реше-
решение уравнения A0.392) является единственным. Допустим противопо-
противоположное. Тогда функциональное уравнение
= 0, x?B,, A0.41)
1 Заметим, что при рассмотрении плоской задачи следует еще потребо-
потребовать выполнение условия
s
которое необходимо для того, чтобы и (х) обращалось на бесконечности
в нуль.

§ 7] НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДВУСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ 339
должно иметь отличное от нуля решение. Из A0.41) следует
(JW(x; 9)), = 0, x?S,
а отсюда по теореме Ляпунова — Таубера
(JW(x; ?))e = 0. x?S.
На бесконечности W(x; ср) удовлетворяет условию излучения, и
поэтому
' W(x; (р)эаО, х?Ва.
Из полученного тождества и из уравнения A0.41) следует, что
tp (х) = 0, и утверждение доказано. Функциональное уравнение A0.392)
канонического типа, и приближенное решение задачи представляется
следующим образом:
N
и (х) = -^ 2 А^ (*• У/) «Р (У/) - i / Г (*• У)/(У) <*5у- * € В..
г=1 s
причем cp(yj), tp(y2) ?(Уя) есть решение системы уравнений
Л'
^ А^Г: (xj, yt) tp (у,) = -| / Г (xy., у) / (у) rfSy (/=1,2 N),
t=i s
где х^В, ?S
§ 6. О приближенном построении тензоров Грина. Как пока-
показано в гл. VI, доказательство существования первого и второго
тензоров Грина приводится к решению задач (Ог) и (Г:) для об-
области Bt. Поэтому на основании сказанного в §§ 2 и 3 приближен-
приближенные значения этих тензоров можно найти путем решения систем
алгебраических уравнений, полученных редукцией функциональных
уравнений канонических типов.
§ 7. Решение некоторых частных задач для двусвязных об-
областей. Пусть область Ва ограничена двумя замкнутыми непересе-
непересекающимися поверхностями (кривыми) Ляпунова Sj и 52. Пусть 5,
есть внутренняя, a S2 — внешняя граница для области Ва. Область,
заключенную внутри <6V назовем, как и раньше, Bt. Упругая среда
с постоянными X, ja занимает область Ва\ требуется найти вектор и (х),
удовлетворяющий условиям:
1°. Д*и (х) + со2и (х) == 0, х?Ва.
2°. (Tb(*)) = 0,
3°. u(x)=f(x),

340 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
ИЛИ i
1°'. Д*»(л:)+ш2а(л:) = 0,
2°'. (Та (*)) = (), x?Sv
3°'. (Та (*))=
Чтобы найти функциональные уравнения, пригодные для приближен-
приближенного решения этих задач, можно поступить так же, как в § 1.
Предположим сначала, что область В{ заполнена упругой средой
с постоянными Ламэ Хг, ft; постоянные Ламэ в области Ва будем
временно обозначать через \а, ]ха. Пусть рассматривается тот слу-
случай, когда область Bt сопряжена с областью Ва свободным контак-
контактом. Согласно §§ 3 и 7 гл. IV функциональные уравнения, соответ-
соответствующие этой задаче, когда на S2 задан вектор смещения, имеют
следующий вид:
* (а) а (х) = с»2 (t*a — ft) J а (у) О (х, у) dvy +
Bt
-f » Ja(y)graddivG(x, y)dvy + paj ut(y)T*yG(x, y)dSy +
S
, y) dSy i, A0.42)
s, s,
где под О (х, у) понимается первый динамический тензор Грина для
области B = Bi-\-Ba. Другие обозначения имеют" прежний смысл,
в частности, f(xo)= lim tt{x). Если же на S2 заданы значе-
ния сил
f(xo)= lim Та (л),
?5
то функциональные уравнения задачи имеют следующий вид:
ч (а) а (х) = ш2 (ца — ft) J и (у) Я* (х, у) fitoy +
+ от / и (У) grad div W (х, у) йг;у + цв J и, (у) Tj// (ж. у) rfSy +
+ ^ / ? (У) T?^(x. у) dSy - ft, J / (у) Я* (х, у) <*Sy( A0.43)
1 Предполагается, что ш отлично от частот собственных колебаний об-
области В = Bt -f Ba в однородной задаче (D").

§ 7] НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДВУСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ 341
где Н(х, у) есть второй динамический тензор Грина для области В,
а Н* — сопряженный с ним тензор. Из теорем существования и
эквивалентности, доказанных для этих уравнений в гл. VIII, выте-
вытекает, что решения системы A0.42) и системы A0.43) соответственно
являются в то же время решениями в обычном или обобщенном
смысле для задач:
a)
б)
в)
г) „
д) lim u(x)=f(x0) в первом случае;
%S
д') lim Jtt(x)=f(x0) во втором случае.
Пусть теперь
тогда так же, как и. в § 1, найдем, что уравнения A0.42) и A0.43)
примут вид
Si '
я<*>=i/*(у> Jy)G(х- у)dSy+
?1 x?Ba; A0.440
t, A0.44a)
s,
f*(x,y)dSy, x?Ba; A0.45,)
''^f x^Bt. (I0.45j)

342 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ (ГЛ. X
Хотя из общей теории следует, что решения этих уравнений удо-
удовлетворяют соответственно условиям 1°, 2°, 3° и I0', 2°', 3°', ука-
указанным в начале параграфа, мы докажем здесь это непосредственно
при помощи элементарных рассуждений. По определению первого
динамического тензора Грина имеем
lim О(х, у) = 0, у?В;
(д;а) + ш2) J ф (у) ifG (х, у) dSy = О, х € S,
S
и по свойству, доказанному в § 7 гл. VI, s
Г ф (Ц) if G (х, у) dS = Щ (хоу,
приняв во внимание эти свойства тензора Грина и применив к урав-
нению A0.44j) оператор (Д(а)-|-ш), получим
(^) = 0, х?'8а. A0.46,)
Если же в том же уравнении A0.44,) перейдем к пределу при
х0 ^ 52, тр получим
lim и(д:)=/(д;0). A0.462)
Обращаясь теперь к уравнению A0.442), заметим, что так.как суще-
существует предел в точках поверхности S1
(if f f (у) if О (х, у) dSy\, x?Blf xo? Su
то должен существовать также предел
lim (if f ? (у) If О (х, у) dSy\, x ? Bt, xQ ? 5,;
но тогда по теореме Ляпунова — Таубера существует также внешний
предел и
lim if f f <f (у) if О (х, у) dSy\ =
lim __ T?Y (<f(y)lfQ(x, y)rf5yV!
y
Приняв это во внимание, построим Т(а)-операцию от обеих частей

§ 7] НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДВУСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ 343
равенств (Ю.44г) и A0.442), перейдем к пределу при стремлении
точки х соответственно извне и изнутри к точке дг0 на Sr и рас-
рассмотрим разность; получим
(Т« (*))„ = О, *?S,, A0.46a)
Соотношения A0.46j), A0.462) и A0.463) доказывают высказанное
утверждение относительно системы A0.44). Наше доказательство
касалось динамического случая; но, так как ш = 0 не является соб-
собственным значением для динамической задачи (D?), доказательство
сохраняет силу и в статическом случае. Совершенно аналогично до-
доказывается, что решение системы A0.45) удовлетворяет условиям
а), б), в), г), д'), приведенным на стр. 341, если ш Ф 0. В стати-
статическом случае, однако, доказательство несколько меняется; это вы-
вызвано тем, что значение со = 0 есть характеристическое число для
динамической задачи (Tf). Мы знаем из § 9 гл. VII, что статическая
граничная задача с условием д'), т. е. граничная задача с задан-
заданными на границе напряжениями, имеет решение только при выпол-
выполнении условий
J =l, 2, 3 6). A0.47)
s,
Поэтому, предполагая эти условия заданными, будем иметь из
уравнения A0.45г) в результате операции Д*а) и на основании леммы С0
§ 9 гл. VII
f? A0.48)
Но согласно равенству D.15а) (§ 4 гл. IV)
Д;,Я(*'(*. y) = 4wij»(e>*)(*,.y).
.5=1
и, следовательно (см. стр. 91),
iV* = ^ДиЯ(*, у)/(у)==
W(s) (У)) /(У) = S W\s) (х) 2lw (у) • /(у) +
• /(у) + ti№ (х) »w (у) • /(у) =
= 2 21ет (х) Bl(J) (у) • /(у)) (* = 1,2 6).
Опираясь на этот результат, ввуду соотношений A0.47) и A0.48)
имеем
**) = 0, х?Ва. A0.49,)

344 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
Далее, в силу F.44) и на основании свойства второго тензора
Грина
lim
совершая операцию Т<а> и перейдя к пределу при стремлении
точки х из Ва к точке х0 на S2, получим из A0.45J
lim (Тя(*))=/(*о). A0.492)
xZS
Остается проверить выполнение граничного условия на поверх-
поверхности Sv Из уравнения A0.452) следует существование предела на Sj
изнутри:
lim Т? ( | <р (у) tpH* (х, y)dSA, x? Bt, xQ 6 5,;
отсюда по теореме Ляпунова—Таубера, применяя Т(а)-операцию
к обеим частям равенств A0.45^ и A0.452), перейдя к пределу извне
и изнутри и рассматривая разность, получим
lim Ju(x) — 0, x?Ba, xo?Sv A0.49;,)
Равенства A0.49г), A0.492), A0.49з) доказывают высказанное пред-
предложение относительно системы A0.45) в случае и> = 0.
Теперь необходимо доказать существование решений функцио-
функциональных уравнений A0.442) и A0.452). Это будет сделано для слу-
случая u) = 0. Из первого предельным переходом изнутри к точке,
лежащей на Sv получим по формулам скачков для потенциала
двойного слоя
»(•*«) - i [ ? (У) ТТ'О (*о: У) dSy = ± //(у) If О (х0, у) dSy.
S, S,
A0.50)
Однородное уравнение, соответствующее этому неоднородному, не
может иметь решений, отличных от тривиальных. Если бы это было
не верно, то союзное уравнение

§ 81 ПЕРВАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДВУСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ 345
также имело бы ненулевое решение, и, построив потенциал про-
простого слоя, в котором плотностью является решение союзного
уравнения
а (х)=
мы имели бы
lim (ТиИ) = 0 A0.52)
ДГ->ДГо
при стремлении х к х0 ? 5г из Ва. С другой стороны, по самому
свойству первого тензора Грина, когда х стремится к точке х0 на 52
из Ва, имеем
limtt(*) = 0. A0.53)
Но при этих условиях из формулы A.9') следует
й(д;) = 0, х?Ва. A0.54)
Из предыдущего следует, что а(х) = 0 также и в Bt; наконец,
из этих двух фактов вытекает, что ^(дг) = О, и тем самым суще-
существование единственного решения уравнения A0.50) доказано. Это
решение является в то же время единственным решением функцио-
функционального уравнения A0.442). Доказательство этого свойства анало-
аналогично тому, которое неоднократно приводилось в предыдущих па-
параграфах.
§ 8. Решение первой основной граничной задачи для дву-
связной области. Регулярное в Ва решение уравнений упругости,
принимающее на Sx значения /A) (х) и на 52 значения /*2' (дг), где
/A) (дг) и /<2) (х) — заданные векторы, относительно которых здесь
предполагается двукратная дифференцируемость, можно искать в виде
решения следующей системы функциональных уравнений:
L //A) (у) jfG (х, у) dSy + JL у*/2' (у) T<f'О (х. у) dSy +
s, s,
. + i/0(*-y)9(y)rfS,. x?Ba, A0.55,)
ridS/, x?Bt. A0.552)
Si
1 За положительное принято направление внутренней нормали. Вид этих
уравнений указывает на нх связь с формулами Грина. В этом параграфе
мы исследуем статическую задачу, которая представляет особый интерес.

346 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ 1ГЛ. X
На доказательстве этого предложения останавливаться не будем; оно
проводится так же, как и в предыдущих параграфах.
Мы покажем, что уравнение A0.552) имеет решение. Для этого
составим Т(а)-операцию от равенства A0.552) и рассмотрим его
предел, когда точка х из Bt стремится к точке х0 на 5^ будем
иметь
^ y)dSy\. A0.56)
Рассмотрим однородное уравнение, соответствующее данному
s,
и союзное однородное уравнение
/ * (У) TfG (У ) rf5 = 0. A0.58)
Покажем, что уравнению A0.58) удовлетворяют векторы жесткого
смещения 21A)(х) (/=1, 2, 3, .'.., 6). Вспомнив, что первый тен-
тензор Грина для области В = В,-{-В ограниченной поверхностью S,,
0 0 0 0
имеет вид G (х, у) = Г(дг, у) — v(x, у), где v(x, у) есть регулярное
в В для любых х и у решение уравнений упругости, перепишем
уравнение A0.58) в виде
* (*о) + i /Ч (У) ТЦ"Г(в)(У. *о)^у—gj-/ ф (у) тК(У. *о)dSy = 0.
Но (§ 3 гл. VI)
2lW () + ^
v = ° (* = 1 ¦ 2 6).
A0.59)
о
С другой стороны, ввиду указанного свойства v(x, у), имеют место
равенства
fv(y, xQ)dSy = 0 (* = 1, 2. 3 6). A0.59')
Si

§ 8] ПЕРВАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДВУСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ 347
Чтобы в этом убедиться, достаточно применить в области Bt к век-
векторам Ш(к\х) (А=1, 2 6) и v<sHy. х) E=1, 2, 3), где
о о
v<s)(y, x) есть 5-й столбец матрицы v(x, у), формулу Бетти. Тогда
вследствие того, что Д^С*. У) = 0, А*Л{к) (х) = 0, ТШ{к)(х) = 0,
получим равенство A0.59'). Таким образом, доказано, что ЧХ^к)(х)
(к = 1, 2 6) удовлетворяют уравнению A0.58). Покажем теперь,
что эти решения образуют полную систему решений уравнения A0.58).
С этой целью рассмотрим векторыep<ft)(jc) — решения уравненияA0.57).
Из предыдущего ясно, что среди этих векторов по крайней мере
шесть линейно-независимых. Покажем, что они образуют полную
систему решений уравнения A0.57). Пусть верно противоположное,
и пусть срж(лг) есть некоторое решение уравнения A0.57), линейно
не зависящее от cp<ft) (x) (А=1, 2 6). Потенциалы простого слоя
V(x; <p(*>) = ^-fefm(y)G(x, у)dSy, х^Вь, A0.60)
как решения уравнений упругости, удовлетворяющие граничным
условиям
(TV(*0; ?<*>)), = 0, *0GS, (ft = l. 2, 3 6),
представляют собой в Bt векторы жесткого смещения. Они линейно
независимы. В самом деле, если бы существовала линейная зависи-
зависимость, т. е.
6
%CkV(x; ?(*>)=0, x?Bt.
тождественно для всех х из Bt, когда не все Ck равны нулю, то
потенциал простого слоя
V(x; 40 = -52- [i.(y)Q(x, y)dSr
I
где
обладал бы граничным свойством
lim V(x; ф,) = 0. A0.61,)
которое было бы следствием равенства

348 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ X
ввиду непрерывности потенциала простого слоя. С другой стороны,
по свойству первого тензора Грина
lim V(*;4O = 0. A0.612)
Из соотношений A0.61,) и A0.612) вытекает
V(x; ф,) = 0 ¦ х?Ва. A0.62,,)
Отсюда так же, как в предыдущем параграфе, следует ф, (у) = 0.
Тем самым линейная независимость векторов V (х; ф(*>) (А = 1,
2 6) доказана. Но векторы V(x; ср<*>) (k = 1, 2 6) образуют
в таком случае полную систему векторов жесткого смещения, и любой
другой такой вектор может быть выражен их линейной комбинацией;
в силу этого и так как V (х; {рж), x^S^ecTb вектор жесткого сме-
смещения, <р* (х) не может быть линейно-независимым от <pW (x) (k— 1,
2 6). Доказательство последнего утверждения аналогично
тому, которое было приведено в § 3 гл. VI (см. стр. 16S —170I.
Таким образом, доказано, что уравнение A0.57) имеет лишь
шесть линейно-независимых решений. Поэтому по второй теореме
Фредгольма и уравнение A0.58) имеет столько же линейно-независи-
линейно-независимых решений; этими решениями, очевидно, являются векторы
«<*>(*) D = 1. 2, 3, ... 6), x?Sv
Теперь мы можем утверждать, что необходимым и достаточным
условием разрешимости уравнения A0.56) является выполнение ра-
равенств
/Л y = 0 (k = l, 2 6), A0.63)
s, t=i
где для краткости введено обозначение
W(fll): x) = ^f f(i) (У) "If' О (х, у) dSy. (/=1,2)
Но условия A0.63) действительно имеют место. Чтобы убедиться
в этом, достаточно применить в области В{ к векторам 5t(ft) (x)
(k = l, 2 6) и W(fl); х) A=\, 2) формулу Бетти. Ограниче-
Ограничения, наложенные на векторы /(i) (x), позволяют это сделать. Тогда
легко найдем условия A0.63). Теперь нужно показать разрешимость
функционального уравнения A0.552). Пусть <р*(х) есть частное ре-
решение уравнения A0.56), а ф*(дс) — некоторое, вполне определенное
1 Вместо условия на бесконечности здесь будет использовано поведение
тензора G (х, у) около и на поверхности St.

§ 8] ПЕРВАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДВУСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ 349
(способом, который будет указан ниже) решение однородного урав-
уравнения A0.57). Подставив в A0.552) вместо «р(у) вектор «р*(У). най-
найдем вектор
«W = i ffa)(У)if O(x.y)dSy +
i,
^ О (*• У) 9* (У) ^y, * 6 S/.
который удовлетворяет условиям
и поэтому является в Вг некоторым вектором жесткого смещения
А-\-В(х). Выбрав $*(х) так, чтобы
± f О (х, у) ф* (у) rf5y = - [А + в (*)),
Si
находим, что сумма «р* + ф* есть решение уравнения A0.552).
Докажем наконец, что это решение единственное. Для этого пока-
покажем, что функциональное уравнение
V (х; <р<°>) = ^ f ?(°> (у) О {х, у) dSy - 0, х ? Bt.
имеет лишь тривиальное решение. Пусть «р'°'(у) есть его нетриви-
нетривиальное решение. Тогда
lim(TV(*: ?@))) = 0, xo€Sv ¦ A0.64J
Х+Х
Кроме того, ввиду непрерывности потенциала простого слоя V(x; «p(°>)
и в силу того, что тензор G (х, у) на поверхности S2 обращается
в нуль, имеем
lim V(x; 9<°>) = 0, х
lim V(x; ?№)) = 0. д:
отсюда, как мы видели выше, вытекает, что
V(x; 9@>) = 0, х?Ва. (Ю.642)
Из соотношений A0.64,) и A0.642) следует «р(°)(дг)^О, и единст-
единственность доказана.
Уравнение A0.552) канонического типа, и к нему может быть
применен метод редукции к системе линейных алгебраических

350 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ |ГЛ. X
уравнений с помощью формул механических квадратур. Приближен-
Приближенное решение задачи будет иметь следующий вид:
/ ЛТ\ . 1 m щ _ . ..
'; х).
где ср (yj), ср (у2) ср (yN) есть решение системы
5МГ°(*у у,)? (у,) = - *2 W(/@; *,) (У = 1.2 л/),
причем
§ 9. Решение второй основной граничной задачи для двусвяз-
ной области. Пусть на поверхностях 5, и 52 заданы значения Та (дг):
Игл Т« (х) = /2 (xQ), xQ ?S2, x? Ba,
и при этом
J/i (У) Ш(к) (у) dSy + ff2 (у) W{k) (у) dSy = 0. (*)
s, s2
Тогда существует решение системы функциональных уравнений
О]
. y)My)dSy— fH(x,
+ / 9 (У) Tf Н* (х, у) dSy х ? Ва, A0.65!)
s,
О .0
Н(х, y)f1(y)dSy— J H(x, y)&(y)dSy-\-
s, s,
*??,, A0.652)
которое является решением, в обычном или обобщенном смысле, для
задачи
2»W = 0, x?Ba; lim T«(*)=/i(a:0). Лоб^;
*"** A0.66)
lim Ja(x)=f2(x0), ?S
Доказательство этого предложения основано на условиях (*) и про-
проводится подобно тому, как в предыдущих параграфах доказывались
аналогичные предложения,

§ 9] ВТОРАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДВУСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ 351
Докажем теорему существования для функционального уравне-
уравнения A0.662). Предельная форма этого уравнения на S1 изнутри пред-
представляет следующее интегральное уравнение:
- i f *(у} т^* (*°! у) dS> =
y)/i(y)^5yH-^ ///(*0. y)f2(y)dSr A0.67)
s, i,
Рассмотрим соответствующее ему однородное уравнение
?о (*о) — i / ?о (У) ТГ^* <*о. У) <Ю, = 0 A0.68)
Si
и покажем, что оно допускает только тривиальное решение. Пусть
' верно обратное, и ср0 (дг0) есть отличное от нуля решение. Потенциал
двойного слоя
Щх; ?о) = ^ / ?о (У) 1{?"* (*' У) dS> (
является решением уравнения Д(а)и = 0 (как в Б;, так и в Ва) со-
согласно лемме С0 (§ 9 гл. VII), следовательно,
W(x; <po) = O. -^б5;; A0.69)
тогда по теореме Ляпунова — Таубера
lim JW(x; cpo> == °- х^Ва, xQ?Sv
С другой стороны, по свойству второго тензора Грина
lim JW(x; cp0) = 0, х ? Ва, xo?S2.
Из двух последних равенств и из того, что в Ва A(a)W = 0, следует,
что этот вектор является вектором жесткого смещения в Ва. Отсюда
и из равенства A0.69) вытекает
б
Таким образом, если уравнение A0.68) имеет отличное от нуля ре-
решение, оно будет лишь вектором жесткого смещения и
б • б 0
(xQ) _ _L ? «* / 21'*» (у) Т^Н* (xQ, у) dSy = 0.

352
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
[ГЛ. X
Воспользовавшись свойством второго тензора Грина Н* (jc0, у) =
о
— Н(у, х0) (§7 гл. VI), перепишем это равенство в следующем
виде:
Но интегралы
= 1, 2, .... 6)
равны нулю, как это следует из формулы Бетти, если она приме-
о
нена к векторам 9Х( > (у) и матрице W (у, х) в области Bv где
о
(х) и 11^(л:, у) являются регулярными решениями уравнений
упругости; поэтому предыдущее равенство принимает вид
б
(i fnW(y)T?*(y. xo)dSy) = O. A0.70)
st ¦ i
Пользуясь обозначениями § 7 гл. VI, можем записать
». y)dSx -
(x, y) — N(x, yridS,, A0.71)
где L(x, y), M(x, y), N(x, y) — матрицы, k-e (k = l, 2, 3)
столбцы которых являются соответственно следующими векторами:
2
Г (у, I) «<•) (Е) dvi
A0.72)

§ 9] ВТОРАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДВУСВЯЗНОИ ОБЛАСТИ 353
причем В— полная область Bj-\-Ba, в которой Н(х, у) предста-
представляет собой второй тензор Грина. Ясно, что в любой области, цели-
целиком лежащей внутри В, в частности в области Bv матрица Н(х, у)
вполне определена. Для любой замкнутой поверхности Ляпунова
можно писать
fmis)(x)fxa)r(x, y)dSx=i-2T:mis)(y). A0.73)
s,
Принимая во внимание выражения A0.72) и равенство
будем иметь для проекции на ось хк
= / »w (*) T?W<*> (x, у) dSx = 0. A0.74)
s,
Что касается слагаемого
45>=- / m{s) (x) TjfW*» (x. у) dsx (ft = l. 2.3).
Si
то для него имеем
/
/
S, /
и ввиду соотношения A0.73) получим
б
/ J <*> (р) o N %Т (у) (ft = 1. 2, 3).
/
Из формул ортонормировки F.31) имеем
jV=2«tft>(y). A0.75)
Подставив выражения A0.73), A0.74) и A0.75) в A0.71), будем
иметь
# =1. 2, 3, 4, 5, 6). A0.76)
Внеся равенство A0.76) в A0.70), придем к противоречию с линей-
линейной независимостью векторов 2l(f)(.xr), $=1, 2, 3 6.
23 В. Д. КУПР1Д91

354
Приближенные решений
[гл.
Это противоречие показывает, что уравнение A0.68) допускает
лишь тривиальное решение; в таком случае и союзное уравнение
имеет лишь тривиальное решение, и поэтому уравнение A0.67) раз-
разрешимо. Это1 решение есть решение функционального уравнения
A0.652). Если допустить обратное и образовать потенциал
= - fH(x, y)fl(y)dSy- JH(x, y)f2(y)dSv +
s, s}
s,
то будем иметь
В самом деле, имеем
Д(в) v (х) = - / (д'а)Я (х, у))/, (У) dSy - J (<в)Я (*. у))/2 (у) dSy +
S S
/
Si
J
S,
, y)dSy;
последнее слагаемое обращается в нуль по лемме С0 § 9 гл. VH;
чтобы показать, что и первые два слагаемых справа также равны
нулю, заметим, что ввиду D.15а) (§ 4 гл. IV)
(у)
(У)
(У) №(х)Ш? (у)
следовательно,
J (д;в)Я (*. у))/х (у) rf5y =
*'в)Я (х. у)/2 ОД rf5y = 4тг>^'
5> «>1
> (х) J «ЦE) (у)/2 (у) dSy,
S

5 10] СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДВУСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ 355
и согласно условию разрешимости (*) имеем то, что нужно было
показать. С другой стороны, ясно, что
и, следовательно,
v(x) = 0, x? Bt.
Таким образом, решение интегрального уравнения A0.67) оказывается
решением функционального уравнения A0.652). Легко также показать
единственность этого решения. Уравнение A0.652) есть функциональ-
функциональное уравнение канонического типа, и поэтому для него применим
метод сведения к системе алгебраических уравнений с помощью
формул механических квадратур.
§ 10. Смешанная задача для двусвязной области. Пусть
теперь на одной из границ, например на Sv заданы напряжения,
а на другой, т. е. на S2, — смещения.
Решение может быть получено как решение системы уравнений
0 = - ~ f Q (х, у)/, (у) dSy + i /Л (У) T?G (х, у) dSy +
ii s,
y)dSr x?Bt, A0.76,)
s,
и {х) = - JL f 6 (x, у)/, (у) dSy + -& ffi (У) TfG (x, y)dSy +
i, s,
Jr^J4(y)lf0{x,y)dSr x?Ba. A0.76a)
s,
Это следует из того, что О (х, у) и Ту°'О (х, у) относительно точки х
удовлетворяют уравнениям упругости (по определению первого тен-
тензора Грина и согласно теореме 1 § 3 гл. I). Покажем, что функ-
функциональное уравнение A0.76х) разрешимо.
Для этого, как и прежде, рассмотрим его предельную форму
на Sj изнутри. Будем иметь по теореме 2 (§ I гл. II)
? (*о) ~ i / ? (У) Туп)° (*о. У) dSy ==
/ y ftfft(y)T?>O(xQ, y)dSy. A0.77)
Si
23*

356 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
Однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному,
имеет только нулевое решение; в самом деле, если <pt(x0) есть его
решение, отличное от нуля, то потенциал двойного слоя
W (?., х) = -^ / чр. (у) ТГО (*. у) dSy,
s,
как решение уравнений упругости, обращающееся в пределе в нуль
на St изнутри, будет тождественным нулем в В(\ поэтому
—0.
по теореме Ляпунова — Таубера
(TW(?.; *„))„ = О, xo€Sv A0.78)
С другой стороны, по свойству первого тензора Грина
lim О (х, у) = 0,
поэтому
lim W(q>,; дг) = О. A0.79)
S3C
Из соотношений A0.78) и A0.79) следует, что
следовательно,
Этим доказана разрешимость интегрального уравнения A0.77). Реше-
Решение A0.77) есть также решение функционального уравнения A0.76г);
доказательство очевидно. Уравнение A0.76j) канонического типа и
приближенно решается редукцией к системе алгебраических уравне-
уравнений при помощи формул механических квадратур.
§ 11. Задача о рассеянии звука. Метод, прн помощи которого
в предыдущих параграфах строились приближенные решения раз-
различных граничных задач теории упругости, может быть применен
и для приближенного решения многих других задач математической
физики. Рассмотрим для примера задачу о рассеянии звука твердым
препятствием. Эта задача приводится к интегрированию скалярного
уравнения колебаний
Aa~j~A2a = O A0.80)
в бесконечном пространстве Ва, в котором помещается абсолютно
твердое тело, ограниченное поверхностью S, на которой выполнено
граничное условие
^ y?S (л —нормаль).

i 11) ЗАДАЧА О РАССЕЯНИИ ЗВУКА 357
Здесь &= —, ш — частота падающей волны, а = |/ f скорость
звука, ? — показатель адиабаты, h и р — давление и плотность
среды Ва в невозмущенном состоянии, наконец, и(р) есть давление
рассеянной волны.
На бесконечности должно удовлетворяться условие излучения
Зоммерфельда. Решение задачи имеет следующий вид:
1 Г eikr 1 Г й aHf
«О—ИГУ fV>7Wb&,+¦*} f^7k^dSr *?*"
A0.81,)
причем
A0.81а)
Интегралы
суть потенциалы простого и двойного слоя — решения скалярного
уравнения A0.80) — обладают свойствами потенциалов, установлен-
установленными в гл. II для эластопотенциалов. В частности, верна теорема:
если существует один из пределов
eikr \ ( д
или
то существует и другой, и они равны друг другу.
Предположим сначала, что уравнение A0.81^ имеет решение;
тогда существует предел изнутри
следовательно, существует и предел извне, равный предыдущему.
Рассматривая нормальные производные от обеих частей равенств
A0.81j) и (IO.8I2) и строя их разность, находим, по свойству потен-
потенциала простого слоя и на основании теоремы Ляпунова — Таубера,

358 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
Таким образом, и (х), определенное равенством A0.81,), действи-
действительно удовлетворяет заданному граничному условию; удовлетво-
удовлетворяется также условие излучения в силу выбора ядер потенциалов.
Существование решения функционального уравнения A0.812) сле-
следует из рассмотрения его предельной формы на S изнутри:
Это — интегральное уравнение задачи (Dt) [для уравнения A0.80)],
и если ш не совпадает с характеристическим числом задачи, то
соответствующее однородное уравнение имеет только тривиальное
решение (см. [13, а]). Легко показывается единственность найденного
решения. Уравнение A0.812) есть каноническое функциональное урав-
уравнение, и его приближенное решение строится способом, указанным
выше.
Эту схему решения, разумеется, можно применить для решения
других задач электромагнитной или акустической дифракции, которые,
по существу, всегда приводятся к задаче Дирихле или Неймана или
их комбинации в среде, содержащей различные включения.
§ 12. Доказательство существования обратного оператора.
Тот факт, что построение приближенного решения приводится к рас-
рассмотрению функционального уравнения канонического вида, имеет
существенное значение; именно это обстоятельство обеспечивает
равенство числа неизвестных числу уравнений, а также ограниченность
коэффициентов в системе линейных алгебраических уравнений, к ко-
которой функциональные уравнения задачи приводятся применением
формул механических квадратур. В этом и следующем параграфах
мы исследуем эту систему и покажем, что
а) она разрешима и решение может быть найдено методом после-
последовательных приближений [15],
б) можно оценить погрешность приближения в зависимости от
классов поверхностей и граничных значений заданных функций.
Для простоты рассмотрим эти вопросы на примере плоской
задачи Дирихле для уравнения Лапласа и для области, ограниченной
простой замкнутой кривой Ляпунова S.
Решение внутренней задачи Дирихле с заданной на S граничной
функцией f (х) имеет следующий вид:
A0.82,)

§ 12] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СУЩЕСТВОВАНИЯ ОБРАТНОГО ОПЕРАТОРА 369
где функция <р (У) есть решение функционального уравнения
A0.822)
Предположим, f(x) допускает первые производные по координатам,
принадлежащие классу Н, и докажем, что при этом уравнение A0.822)
имеет решение. Для этого дифференцируем равенство A0.822) по
нормали и рассмотрим предельное значение при стремлении точки х
(извне) к точке лг0 на S:
0
где
\ f ? (У) -s~ Ш г (х0, у) dSy = ffizjf-) • A0.83)
о
F(x)=±;ff(y)*lnr(x.y)dSr
Существование предела в правой части A0.83) гарантировано огра-
ограничением, которое наложено на функцию /(у) — плотность потенциала
двойного слоя. Уравнение A0.83) является интегральным уравнением
внешней задачи Неймана и, как известно, разрешимо. Решение урав-
уравнения A0.83) является вместе с тем единственным решением функ-
функционального уравнения A0.822). Заменив в A0.822) интеграл форму-
формулой квадратур, получаем
2 ЛР? №1п г(**- Уд = — *Р (**) (А = 1. 2 М), A0.84)
где yu? a
Покажем, что хк (А=1 N) можно выбрать в Ва таким
образом, что система A0.84) окажется разрешимой и решение
найдется методом итераций. Проведем в Ва параллельную к S
кривую S' на расстоянии 8 по нормали от 5 и рассмотрим те точки
хь (Assl, 2 N) на S', которые лежат на нормали к S, про-
проведенной в точке ук (т. е. на пу Л. Ввиду конечности N число 8
можно выбрать настолько малым, что будет иметь место неравенство
(А=*1, 2 ДО.

?60 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
Введем обозначения:
г(хл, у}
1
0
[ГЛ. X
A0.86)
и векторы ^p=:(cpj, <р2 <?N), ф = C4*i» Фг Флг)> тогДа система
A0.84) запишется в следующем виде:
у — А? = ф. A0.87)
Оператор А представляет линейное преобразование, определяемое
матрицей
Это преобразование переводит Af-мерное векторное пространство mN
g ==(SV «2 *n)
с нормой
| (/=1,2 N)
в самое себя, и норма оператора А равна
||A||=maxS|e«| D=1, 2 N).
На основании обозначений A0.86) и ввиду неравенства A0.85) по-
получаем
По теореме Банаха, если ||А|| =д < 1, то уравнение у—А? = ф
имеет, при всяком ф, единственное решение, и оно может быть
найдено последовательными приближениями, начиная с произ-
произвольного ?<0); иными словами, если выполнено условие ||А||=?< 1,
операция (I — А) имеет обратную операцию

t 13] ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ 361
и при этом
В самом деле, имеем из уравнения A0.87) формально
но ряд
сходится, так как
и, следовательно,
С другой стороны,
Ф = Вф = !ф + Аф-+- А2ф
есть решение A0.87), так как
— А) = ф (I — А)-г-А[фA
Таким образом, доказано существование решения и, кроме того,
возможность приближения к нему с помощью итераций:
,<»> = A?(Oi -f- ф. ?B) = А?A) + Ф = АB)?° + Ф + Аф,
и так как при л->со ПтАя?° = 0. то
Um <p(") = В
Теорема Банаха указывает лишь достаточные условия существования
обратного оператора. Практически может оказаться более выгодным
иной выбор вспомогательных точек xk в Ва, чем тот, который был
сделан выше, для того чтобы удовлетворить достаточным условиям
упомянутой теоремы. Примеры, рассмотренные ниже, указывают
на такую возможность.
§ 13. Оценка погрешности. Как известно [25], существуют ква-
квадратурные формулы, для которых погрешность в том случае, когда
интегрируемая функция принадлежит классу Н с показателем а, имеет
порядок O(N~a), и равна O(N~a), когда допускает непрерывные
производные ДО (»—1) порядка и имеет кусочно-непрерывную

362 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
производную га порядка. Поэтому в силу A0.5') для оценки отклоне-
отклонения точных значений от приближенных будем иметь в первом случае
N
1?(У*)-?(У*)К-^1—О(Л/-в) A0.88)
и во втором
N
{1). A0.89)
Решая уравнение A0.83), имеем
7 (х0) = Ф (*0) + J R (х0. у) Ф (у) dSy< A0.90)
где
R(x0, у) = К(х0, y) + Ki2)(x0, y) + Rf)(x0, у)П+КЦх0, у)],
i^0, у).
причем K^ixQ, у) есть итерированное ядро и /?f (х0, у) — соответ-
соответствующая этому ядру резольвента (непрерывная). Из теории потен-
потенциала известно, что если кривая 5, несущая притягивающие массы
и плотность распределения этих масс, допускает некоторое число
производных, то потенциал двойного слоя, создаваемый указанным
распределением, также имеет некоторое число производных на 5.
Доказательство этого предложения можно найти, например, в [8].
См. также [5в]. Очевидно, оба слагаемых, стоящих в правой части
формулы A0.90), являются потенциалами двойного слоя, и, следова-
следовательно, если 5 и /(у) обладают некоторым количеством непрерыв-
непрерывных производных, то искомая функция имеет производные до не-
некоторого порядка. В этом случае произведение К (х, у) <р (у) при х?Ва
также имеет столько же производных и мы можем применить
оценки A0.89).
§ 14. Различные замечания. Применение способа наимень-
наименьших квадратов, а) Когда вспомогательные точки xk, k= 1, 2, ..., N,
выбираются близко от контура 5, как это сделано в § 12, возра-
возрастает погрешность формул механических квадратур; это ясно из
формул A0.4) и A0.4'). Однако можно показать, что при произ-

I 14] РАЗЛИЧНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 363
вольном фиксировании N точек xk в Ва детерминант Д систему
A0.84) будет отличен от нуля с вероятностью, сколь угодно близ-
близкой к единице. Несколько теорем такого и более общего содержания
будут приведены в § 19 (см. [15]).
б) Выбрав произвольно в Ва достаточно большое число точек
*!¦ Х2 *ЛГ-1- XN< XN+l ХМ (M^>N),
можно ожидать, что среди них окажется по крайней мере одна
система N точек, для которой выполняется условие Д =? О и ранг
матрицы коэффициентов системы М уравнений с N неизвестными
N
^ 4 <* = !. 2. 3 М) A0.91)
будет равен N. Пусть
Рассмотрим систему N векторов в Ж«мерном пространстве
1=1, 2, 3 N, с составляющими
Эти векторы линейно-независимы. Допустим противное, т. е. допу-
допустим, что имеет место равенство
N
2(V<'> = 0, A0.92)
в котором не все постоянные Ct, / = 1, 2, .... N, равны нулю.
Проектируя на оси координат, получаем
^CtP^ — O (*=. 2 Ж).
Ранг матрицы коэффициентов этой системы равен N. Отобрав из нее
соответствующие N уравнений и рассматривая их отдельно, найдем
С, = 0 (/ = 1, 2 N).
Ищем решение системы A0.91) по методу наименьших квадратов.
Требуется определить «рО^) <р (у2) • • • ? (Улг) из условия минимума
выражения
М
2
*»1

364
где
ПРИБЛИЖЕННЕЕ РЕШЕНИЯ
!ГЛ. X
Дифференцируя по <р, и приравняв производные нулю, получим
М / N \
UMV 1^ = l, 2, .... N),
k=l
ИЛИ
N / М
М
Введя для скалярных произведений обычное обозначение, можем
написать
N
=l, 2 N).
Определитель этой системы
есть определитель Грамма для векторов P(i), s=l, 2 ЛГ, и
отличен от нуля ввиду линейной независимости последних.
§ 15. Численные примеры. Приближенное решение функцио-
функционального уравнения Гаусса. Простейшим, но достаточно типичным
функциональным уравнением канонического типа является уравнение
где 5—окружность единичного радиуса, (ху, пу) — угол между
нормалью в точке у на 5 и направлением ху; г (х, у) — расстояние
между точками х и у, причем х лежит во внутренней области Bt
(внутри круга); у (у) есть непрерывная функция точек контура,
удовлетворяющая уравнению A0.93) тождественно для любых значе-
значений х из В[. Уравнение A0.93) будем называть функциональным
уравнением Гаусса. Очевидно, ему удовлетворяет функция <рз=1,
так как для этого значения <р уравнение обращается в интеграл
Гаусса

A51
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ГАУССА
365
Нетрудно также показать, что <psl есть единственное решение.
Если допустим противоположное, то для разности двух различных
решений будем иметь, после предельного перехода к контуру изнутри,
известное интегральное уравнение Фредгольма для внутренней одно-
однородной задачи Дирихле, которое имеет лишь тривиальное решение.
Для приближенного решения функционального уравнения Гаусса
используем формулы приближенного вычисления интегралов различ-
различной точности, формулу прямоугольников и формулу Гаусса. Чтобы
рассмотреть типичные случаи, будем считать точки xk расположен-
расположенными в Bt на концентрических окружностях радиуса р, считая р
близким к единице или к нулю.
Применив формулу прямоугольников, разобьем интервал @, 2тс)
на N равных частей точками yk; будем иметь приближенное равенство
cos (xy.iiy)
1
сов(*^.я)
где aLt = i-jj-, /=1, 2, .... N. Нетрудно заметить, что
COS |
r(xk,yd 1 + Р2 — 2Р cos (/ — А) о>
= -^; t,k = l, 2, 3 Л/),
и, следовательно, имеем систему уравнений ч
Sl-p
14-p2_
l-pcoe(/-.ft)»
N
(k—\ 2
ПО
где каждая точка xk расположена на концентрической окружности
радиуса р на кратчайшем расстоянии от точки ук, лежащей на 5.
Приведем результаты вычислений для пяти различных вариантов
выбора вспомогательных точек хк (k= 1, 2, 3, ,.., N) при N = 40.
Г. Р = 0,95, N = 40, со = 9°,
40
1— 0,95 cos (i — k)u>
9 cos (i-k)
S1— 0,95
1,9025 -1,
==1' 2
Детерминант системы имеет следующий вид:
*38
•*40
•*38

366
приближенные решения
[гл. х
где
«1
«2
«3
«4
«5
«6
«7
«8
«9
«10
= 20
= 2
— 1
= 0
= 0,
= 0,
= 0,
= 0,
= 0,
= 0,
,382804
,010510
,732599
,633427
,587209
562045
546878
537061
530368
«и
«12
«13
«14
«15
«16
«17
«18
«19
«20
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0,
= 0,
,525624
,522161
,519581
.517630
,516146
,515018
,514173
= 0,513558
= 0,
513141
512899
«21
«22
«23
«24
«25
«26
«27
«28
«29
«30
= 0,512820
= 0,512899
= 0,513141
= 0,513558
= 0,514173
= 0,515018
= 0,516146
= 0,517630
= 0,519581
= 0,522161
«31
«32
«33
«34
«35
«36
«37
«38
«39
«an
= 0,525624
= 0,530368
= 0,537061
= 0,546878
= 0,562045
= 0,587209
= 0,633427
= 0,732599
= 0,010510
= 2,382804
Легко проверить, что
<Р =
-#- = 0,87.
A0.95)
2°. p = 0,90, iV=40, со = 9°,
40
c, =10 c,,=
a2 =3,453882 an
a3 =1,468416 a,3
a4 =0,960743 a14
a5 =0,768536 a15
a6 =0,676840 a,6:
a7 =0,626332 a,7:
a8 =0,595687 e18 =
a9 =0,575577 a19 =
aio = 0,562155 a20 =
Подставляя эти значения коэффициентов в формулу A0 951
получаем v ' ;>
$ = 0,91.
1,81
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0,
—1,8 cos
,552486
,545420
,540148
,536160
,533123
= 0,530816
= 0,
= 0,
= 0,
= 0,
529085
527828
526974
526478
(i-k)
«21 =
«22 =
ш *'— ™-
: 0,526315
= 0,526478
a23 = 0,526974
«24 =
«25 =
«26 =
«27 =
«28 =
«29 =
«30 =
¦¦ 0,527828
0,529085
0,530816
0,533123
0,536160
0,540148
0,545420
«31
«32
«аз
«34
«35
«36
«37
«38
«39
«4П
= 0,552486
= 0,562155
= 0,575771
= 0,595687
= 0,626332
= 0,676840
= 0,768536
= 0,960743
= 1,468416
= 3,453882

15] ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ГАУССА
3°. р = 0,1. N=40, ш = 9°,
40
Iv
1— 0,1 cos (i — k) to
01 — 0,2 cos (/ — k) ю
__4п
J67
a, =1,11111
a2 =1,10926
a3 =1,10381
a4 = 1,09509
a5 = 1,08359
a6 =1,06990
a7 =1,05466
a8 =1,038151
a9 =1,02204
alo= 1,00577
Оц = 0,90909
Oj2 = 0,909925
Oi3 = 0,91243
au = 0,91660
Oi5 = 0,91242
ole = 0,92990
017 = 0,93900
018 = 0,94967
019 = 0.96184
020 = 0,97537
a2i = 0,90900 a3l =
2 = 0
«23 = «19
«24 = «18
«25 = «17
«26 = «16
«27 = «15
«28 = «14
«29 = «13
a30 = a
l2
2 — 0
«33 = «9
a35 = a7
ax = a6
a37 = a5
a38 = a4
a39 = a3
Подставляя эти значения коэффициентов в формулу A0.95), полу-
получаем для приближенного значения решения
9=1.00002.
Наконец, рассмотрим случай еще большего отдаления вспомогатель-
вспомогательных точек от контура.
4°. р = 0,01. N=40, (.. = 9°,
40
1 —0,01 cos (I— k) а
1,0001 — 0,02 cos (i — k) <o fl *
a2 =
O4 =
«5 =
a6 =
a7 =
«8 =
«9 =
1,01010 an
1,00997 ^2
1,00959 ^3
1,00897 a,4
1,00812 a15
1,00707 a16
1,00584 a17
1,00448 a18
1,00301 a19
1,00147 a20
0,99990
0,99834
0,99683
0,99540
0,99409
0,99293
0,99194
0,99115
0,99057
0,99022
«21 =
«22 =
«23 =
«24 =
«25 =
«26 =
a27 —
«28 =
«29 =
«30 =
0,99010
0,99022
0,99057
0,99115
0,99194
0,99293
0,99409
0,99540
0,99683
0,99834
¦asl = 0,99990
a33=
034=
1,00301
1,00448
37
o39
1.00707
1.00812
1,00959
1,00997

368 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ !ГЛ. X
В этом случае точность приближения повышается еще более и
формула A0.95) дает
<р= 1,000005.
5°. Вместо формулы прямоугольников, которая применялась
в предыдущих случаях, теперь воспользуемся формулой Гаусса для
пяти ординат; вспомогательные точки xk, k=\, 2, .... 5, выберем
следующим образом:
При этом значения неизвестных оказываются в интервале [0,99—1,101].
Этот простейший пример позволяет сделать некоторые наблюдения,
главным из которых является следующее: решение алгебраической
системы линейных уравнений, к которой функциональное урав-
уравнение канонического типа сводится применением 'формул меха-
механических квадратур, достаточно хорошо аппроксимирует
решение функционального уравнения, и степень приближения
зависит, при данном числе узлов для данной формулы квадра-
квадратур, от рационального выбора расположения вспомогатель-
вспомогательных точек.
В рассмотренном примере хорошо видно, что при близком рас-
расположении контура вспомогательных точек от основного контура
точность приближения ниже, чем при более отдаленном его распо-
расположении. Максимум ошибки, допускаемой при пользовании формулой
механических квадратур, ограничивается соответствующим остаточным
членом. Для формулы прямоугольников и для интервала (а, б) этот
остаточный член имеет вид
^ (Ю.96)
а для формулы Гаусса он выражается равенством
Kn— BNIK BN +1)
Выбирая вспомогательные точки хк, как в случаях 1° и 2°, вблизи
контура, а именно на расстоянии 0,05 и 0,1 соответственно,
мы вносим * формулу A0.96) значения вторых производных функ-
функции 1пг(дг, у) при минимальных значениях r(xk, y^; в рассматри-
рассматриваемых случаях это, очевидно, большие числа, что и понижает точ-
точность приближения согласно неравенству A0.96). С другой стороны,
следует отметить, что при достаточно близком расположении контура
вспомогательных точек решения могут быть построены методом
последовательныл приближений, как было показано в § 14.
Относительно отдаленного расположения контура вспомогатель-
вспомогательных точек, которое, как видно из рассмотренного примера, вообще

$ 16! ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПСА 369
говоря, дает лучшее приближение, следует заметить, что в этом
случае детерминант системы обычно становится малой по модулю
величиной, и это служит источником искажений от ошибок округле-
округления, которые неизбежны в приближенных вычислениях. В рассмотрен-
рассмотренных выше примерах влияние ошибок округления незначительно вслед-
вследствие того, что симметрия, присущая задаче, позволяет найти реше-
решение системы непосредственно по формуле A0.95). Кроме того,
следует иметь в виду, что существование обратного оператора в этом
случае не вытекает из рассмотрений § 14 и должно быть дока-
доказано особо.
§ 16. Численный пример. Приближенное решение задачи
Дирихле для эллипса. Рассмотрим решение задачи Дирихле для
эллипса, которая достаточно типична для иллюстрации обсуждае-
обсуждаемого метода.
Итак, речь будет идти о нахождении гармонической функции и(х)
внутри эллипса 5
xl = a cos t, хг = Ь sin t
при граничном условии
a(x) = f(x), x?S.
Для того чтобы получить численный результат, который можно
было бы сравнить с точным решением задачи, остановимся на сле-
следующих конкретных значениях:
а = 1, * = 0,5; /(*) = 0.5 (** + *»). A0.97)
Как легко проверить, точное решение задачи имеет следующий вид:
(д:2 — *«). A0.98)
Теперь мы найдем решение приближенным способом. Применяя рас-
рассуждения, многократно встречавшиеся в предыдущем изложении,
находим, что задача приводится к системе функциональных урав-
уравнений
1 с cos (ху, nv) 1 г
»(*) = -& J /(У) r\x.y) dS* + 7] 9(У)^г(х, y)dSy, x?Bit
s ' s A0.99^
0 = h f * (У> '"г {[х'у)У) d5V + Г / * (У> 1П Г <*- Л^Г X?Ba-
« ' * . A0.99,)
24 В. Д. Купрадз?

370 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
Для приближенного решения уравнения A0.992) используем формулу
Гаусса для интервала (— 1, + О с 16-ю ординатами. Коэффициенты
и узлы в этом случае имеют следующие значения:
416)= ЛA66) = 0,027152459; ЛB16)= A[f = 0,06225*3524;
ЛC16)== Л(н6) = 0,097158512; а[щ = А^ = 0,12462897;
А$в)= Л$26) = 0,14959599; л?6) = 4i6) = 0,16915652;
' = 0,18945061;
= 0,94457502;
= 0,75540441;
= 0,45801678;
= 0,09501251.
Положение точки у на 5 в уравнении A0.992) определяется пара-
параметром t, который изменяется в интервале @, 2тс); введя новую
переменную t = A -\-а.) к, перейдем к интервалу (—1, -(-1), и урав-
уравнение A0.992) примет следующий вид:
+i
/ 9 («) 'n V' la cos A -|- а) п — хх]2 -\- [b sin (I -f- а) те — х2]2 da. =
-1
л(/6)=
а^« =
af) =
аA6' =
7
AW
-а.т
аAб)
аAб)
¦=о
,18260342;
= 0; 98940093;
= 0
= 0,
= 0,
,86563120;
61787624;
28160355;
Произволом в выборе точек х в области 5в воспользуемся для упро-
упрощения вычислений; в данном случае удобно расположить точки дг(*)
(?=1, 2, 3 16) в Ва на конфокальном эллипсе
A0.101)
так, чтобы значения узлов Гаусса, соответствующие этим точкам,
совпадали с узлами у<*> (А = 1, 2, 3 16) на основном эллипсе;
сделав это и учтя, что
cos (xy, nv) d b sin t — bt sin t
' — arctff =
r {x, y) dt 6 a cos f — Я| cos т
ab — g^cosf cos-c — д^! sintsinт
*" гЦх, у)

f 16] ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПСА 371
из выражения A0.100), после применения формулы квадратур Гаусса,
получим
16
Aii6)* соin {иcos о+ai)%- ai c°s
ab—a{b cos (l+a^) я cos (l-\-aj) я—abx sin (l-fai) я sin (l+aj)n
^ih)
U= 1.2,3 16). A0.101')
Рассмотрим сначала тот случай, когда вспомогательный эллипс A0.101)
расположен близко от основного; (пусть, например, а1 = 2, Ь1=\);
тогда, подставив еще a=l, b — -n> получим
16
lcos 0 + аг)я - 2 cos ( + у)
16
+ [0,5 sin A + Ч)п —sin A + «/)
0,5—COS [A + аЛ я—A+ау) я]
+ 0,25 rin«(l+«,)«]- VL у/ (У = 1'2 16)< A0Л02)
г [х., у{)
Ввиду специального выбора точек *(ft) имеем (для упрощения
вместо л(А) пишем xk)
и как нетрудно убедиться,
|) (/ = 1, 2. .... 16), A0.103>
вследствие этого система 16 уравнений A0.102) приведется к системе 8
уравнений. В таблице А выписаны коэффициенты при <p(yt)
A=1, 2 8) и правые части (Ь).
Решение системы следующее:
<р(у„) = 20,0201504, <р (у2) = — 12,7255234,
3,33231100, (р(у4) = — 1,01333008,
= 0,40868940, <р(Уб)= 0,070016210,
= 0,05396402, <f(ys) = — 0,13162008.

372
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
[ГЛ. X
Таблица А
0,7056690-10~5
—0,777287 • 10~3
—0,445645 • 10~2
—0,106619- КГ1
-0,154312-10~2
0,256990-10
0,4742860-10
0,5830134.10
?(У«>
0,704409 • КГ1
0,669288 -10
0,5915418 ¦ КГ1
0,140368.10~2
—0,361374 ¦ 10
0,832118 КГ1
0,1910762
0,2447090
?(Уг>
0,3574148
0,3541655
0,3375693
0,2899972
0,185959
0,213925-10~2
-0,340888 • 10~2
0,112886
?(У*) •
0,225080-10~2
0,437733 • 10~3
—0,814582 • 10~а
—0,235192 • 10
—0,446667 • 10~2
0,580715-10
0,1080855
0,1331035
<Р(У5)
0,159167
0,155506
0,136775
0,830037 • 10
—0,238976-10"!
0,386139-10
0,1827931
0,2540837
?(У.)
0,4109894
0,4078786
0,3920035
0,3466244
0,2479454
0,710876 • 10
—0,730354 10
0,3371127-10
?(у.)
0,192227 • КГ1 '
0,164132-10~х
0,266067 • 10~2
—0,274808-10"!
—0,136913 ¦ 10
0,821648 • 10
0,1601319
0,1990737
<Р(Уш>
0,2648224
0,2613435
0,2435480
0,1923034
-0,176667.10
-0,452015-10
0,116503
0,211360
ь
0,0129680
0,0130195
0,0130689
0,1025823
—0,0141866
—0,0314054
0,0063592
0,0130801

16]
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПСА
Значения <р (у9) ... <р (у16) получаются по формуле A0.103).
Функцию и(х), задаваемую равенством A0.ЭЭ^, представим с по-
помощью формулы Гаусса с 16 ординатами. Воспользуемся для этого
найденными значениями <р (yt). Тогда для приближенных значений и (х)
в произвольной точке внутри эллипса будем иметь
г2 (х,
16
Подставив сюда координаты точки х из Bt и произведя простые
вычисления, получим приближенное значение решения задачи в точке х.
Ниже приводится таблица, в которой указаны для четырех различных
точек внутри эллипса приближенные значения и(х), вычисленные по
формуле A0.104), и точные значения, найденные по формуле A0.98);
кроме того, указываются модули отклонения приближенного значения
от точного.
X
0,01; 0
0,1; 0
0,5; 0
0,9; 0
и(х)
0,19993
0,199247
0,28309
0,405242
и(х)
0,20003
0,20300
0,27500
0,44200
\и(х)-и(х)\
0,00010
0,00371
0,00809
0,03775
Рассмотрим теперь случай более удаленного расположения кон-
контура вспомогательных точек; пусть, например, за этот контур взят
эллипс
JC j =~ О COS Г, Х% ^= о Sin t\
тогда вместо формулы A0.102) будем иметь
16
?6'?(Mln{lC0S
+ [0,5 sin (I -
40,25 81п*A4а*)те]
« - 5 cos
16
те — oSJn (I -t-olj) n\Y ==~""J"
0,5—2,5 cos A4<х4) те cos (l+aj) те—3 sin A4аг) те sin (,l-\-aj) те
____
(У-1,2,..., 16).

374
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
[ГЛ. X
Соображения симметрии сводят эту систему 16 уравнений к системе 8
уравнений. В таблице В приводятся значения коэффициентов и пра-
правых частей этой системы.
Таблица В
Т(УО
0,0752699
0,0747264
0,0720349
0,0653164
0,0580352
0,0665271
0,0848429
0,0958882
?(Уа)
0,1730547
0,1718091
0,1656363
0,1501869
0,1331898
0,1522498
0,1942006
0,2195407
?<Уб)
0,5547294
0,5516019
0,5357863
0,4923138
0,4132172
0,3696079
0,4543481
0,5274618
?(Уз>
0,2681332
0,26623310
0,2567916
0,2328661
0,2046733
0,2306135
0,2943752
0,3333182
?(У/)
0,6320834
0,6288618
0,6125266
0,5670684
0,4788839
0,3949311
0,4510483
0,5287958
<МУ<)
0,3631916
0,3607252
0,3484000
0,3163336
0,2727523
0,2949523
0,3767454
0,4284564
¦МУв)
0,6760895
0,6728463
0,6563853
0,6103583
0,5188632
0,4144059
0,4414421
0,5182005
?(У»)
0,4604444
0,4575569
0,4430299
0,4040258
0,3413289
0,3401015
0,4318289
0,4953056
ь
—0,0019034
—0,0018967
—0,0018337
—0,0013162
—0,0018202
-0,00445297
—0,00085351
—0,00187779
Решение системы следующее:
ср (у,) = — О Л 428199,
(р(у3) = —0,0327377,
?(ys)— 0,1189288,
(р(у7)= 0,03063215,
cp(y2) = —0,3384742,
(р(у4) = — 0,0282381,
<р(у6)= 0,14184350,
ср(у8)== —0,1243106.
A0.105)
В формулу A0.104) для приближенных значений и(х) в произ-
произвольной точке х внутри эллипса теперь следует внести значения <р (у,)
из A0.105) и считать
= 5cos(t),
= 3 sin (/)•
В следующей таблице указаны для семи различных точек внутри
эллипса приближенные значения и(х), полученные по формуле A0.104),
и точные значения, вычисленные по формуле точных решений A0.98);

S 16]
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПСА
375
кроме того, указаны модули отклонений приближенных значений от
точных.
0,01
0.1;
0,5;
0,9;
0,2;
0;
0.8;
X
; о
0
0
0
—0,2
0,3
0,1
и(лг)
0,19993
0,20290
0,27486
0,44282
0,20010
0,17257
0,38860
и{х)
0,20003
0,20300
0,27500
0,44300
0,20000
0,17300
0,38900
l«W-aWl
0,00010
0,00010
0,00014
0,00017
0,00010
0,00043
0,00039
Эта таблица показывает существенное улучшение точности прибли-
приближения даже при незначительном удалении эллипса вспомогательных
точек от основного эллипса. Как мы знаем, вспомогательные точки
можно выбирать по любому закону, и, таким образом, вероятно,
возможно добиться и большей точности при данном числе узлов и
при выбранной формуле квадратур.
Для выявления этой закономерности были рассмотрены еще сле-
следующие значения:
а, = 4, ft. =2
Ниже приводятся соответствующие детерминанты и правые
части.
Таблица С «i = 3,
1,5
<Р(У|)
0,7526011-10"'
0,7377617-10"'
0,6638950-10"'
0,4814593-10"'
0,3661240-10"'
0,7733745-10"'
0,1237079
0,1475896
0,1745802
0,1711861
0,1542674
0,1121586
0,8366170-10"'
0,1760815
0,2826170
0,3375149
?(у8)
0,2818152
0,2766964
0,2510312
0,1850473
0,1265848
0,2596753
0,4241774
0,5092041
<Р(У<)
0,4165566
0,4101329
0,3776196
0,2894817
0,1709528
0,3064286
0,5272195
0,6426415
?(У.)
0,5893938
0,5823205
0,5462728
0,4447045
0,2569628
0,2928396
0,5643688
0,7128290

376
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
[ГЛ. X
Продолжение
<Р(У«) ¦
0,7804797
0,7733356
. 0,7368488
0,6326348
0,4151936
0,2430581
0,5148092
0,6998007
?(У;)
0,9462359
0,9392726
0,9037093
0,8019363
0,5836528
0,2755580
0,3974565
0,6106538
<р(у«>
1,0423776
1,0355696
1,0008112
0,9013891
0,6870789
0,3486804
0,3047832
0,5125636
ь
—0,2175468 • ЦТ1
—0,2188336 • 10"
—0,2228166 • 10"
—0,1963791-10"
0,2031618 • 10"
0,6273127-10"
—0,1531830-10"
—0,2209416 • 10
Таблица D а, =4, *, =2
?(У|)
0,1192883
0,1178791
0,1107854
0,9211774
0,7070599-10"'
0,9958654-10"'
0,1465274
0,1716788
0,9644514
0,9572263
0,9203521
0,8154628
0,6024533
0,4570063
0,7148036
0,8978073
<р(У»)
0,2748023
0,2715788
0,2553446 .
0,2124976
0,1623435
0,2274045
0,3353572
0,3929098
<Р(У7>
1,1222204
1,1150097
1,0781916
0,9730379
0,7513576
0,4869380
0,6567247
0,8642387
*<УО
0,4297982
0,4249299
0,4003544-
0,3346410
0,2503948
0,3405744
0,5062894
0,5951590
?(У«>
0,5948556
0,5836897
0,5574234
0,4717101
0,3404511
0,4217119
0,6403666
0,7599801
?(У.)
1,2129659
1,2058270
1,1693772
1,0652039
0,8432376
0,5342380
0,6010951
0,8147520
<Р(У5>
0,7773952
0,7704471
0,7350634
0,6356957
0,4534192
0,4551168
0,7148042
0,8659264
ь
—0,1200486- КГ1
—0,1208226 • 10
-0,1235026 -10
—0,1123376-10
0,1018639- ИГ1
0,3671170.10-»
—0,9140302 • 10-2
—0,1221528 -10-1

1Й] ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПСА 377
Таблица Е а, = 7, bt — 3,5
¦eO-i)
0,1945633
0,1942516
0,1865981
0,1683188
0,1392820
0,1496218
0,1958901
0,2225185
9 0-s)
1,3305995
1,3232816
1,2859653
1,1803082
0,9721584
0,8528505
1,1017112
1,2826390
?(У>)
0,4467118
0,4437088
0,4284742
0,3865892
0,3197231
0,3425712
0,4486045
0,5097276
Т(У»)
1,4852525
1,4777089
1,4392146
1,3297231
1,1061113
0,9066793
1,1260646
1,3273836
0,6875753
0,6830180
0,6598843
0,5960635
0,4917547
0,5200706
0,6817290
0,7757032
ТО-4)
0,9165759
0,9107206
0,8809577
0,7982160
0,6555539
0,6691179
0,8787012
1,0036874
1,5714454
1,5638384
1,5250124
1,4143866
1,1850845
• 0,9420934
1,1343579
1,3457654 *
1,1438488
1,1270636
1,0925119
0,9954875
0,8157245
0,7791161
1,0221028
1,1763909
*
—0,3857165- ИГ2
—0,3883625-10~2
—0,3981773 ¦ 10"*2
—0,3710540- КГ2
0,2929478 • ИГ2
0,1242199-10
—0,3114384-10" 2
-0,3930370-10
В таблице 1 даны точные значения искомого решения в точ-
точках @,1; 0), @,9; 0), @,5; 0), @,01; 0), @; 0,3), @,2; 0,2) (пер-
(первая строка) и приближенные значения, соответствующие разным
значениям ах и bv
Таблица 1
a,ft,
№ Ч
C; 1,5)
D; 2)
E;3
G; 3,5)
@,1; 0)
0,20300
0,19925
0,20433
0,20347
0,20290
0,18188
@,9; 0)
0,44300
0,40524
0,45700
0,44096
0,44282
0,02032
@,5; 0)
0,27500
0,28309
0,27287
0,27427
0,27486
0,23679
@,01; 0)
0,20003
0,19711
0,20072
0,20028
0,19993
0,19274
@; 0,3)
0,17300
0,17257
0,12715
0,12720
0,17257
0,15417
@,2; 0.2)
0,20000
0,20010
.0,15780
0,15298
0,20010
0,06980

378
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
[ГЛ. X
В таблице 2 даются погрешности tt (л:'1', д;<21) рассмотренной за-
задачи.
Таблица 2
1 @,1; 0)
2 @,9; 0)
г» @,01; 0)
@,2; 0,2)
>в @,5; 0)
j_y,
6 ?4 'I
B; 1)
C; 1,5)
D;2-
G; 3,5)
0,00375
0,00133
0,00047
0,00010
0,02112
0,03776
0,01400
0,00204
0,00018
0,42268
0,00292
0,00069
0,00025
0,00010
0,00729
0,00043
0,04585
0,04580
0,00043
0,01883
0,00010
0,04220
0,04702
0,00010
0,13020
0,00809
0,00213
0,00073
0,00014
0,03821
0,05305
0,10620
0,09631
0.00105
0,63833
0,00884
0,017700
0,016052
0,00017
0,10638
Погрешность е приближенного решения функционального уравне-
уравнения A0.992) оценивается следующим образом:
¦ -1
ИЛИ.
где L — оператор, соответствующий системе A0.101'), a R — вектор
остаточных членов (нормы взяты того пространства, где требуется
оценить е). Нетрудно заметить, что путем удаления точек хк от
основной границы S R можно сделать сколь угодно малым, однако
при этом ухудшается обусловленность матрицы L, и наоборот, при
приближении точек х, к5 улучшается обусловленность матрицы L,
но ||Л||->оо. Поэтому естественно предположить, что существует
некоторое оптимальное расположение точек xk. Обозначим через е'-')
вектор погрешности, когда значения параметра х взяты на кри-
кривой Si. Будем говорить, что кривая Sk является оптимальной в смысле
метрики А среди семейств кривых S, (/=1, 2 N), если
Как видно из таблицы 2, оптимальной кривой для нашего случая
(N=6) как в смысле евклидова пространства, так и в смысле
метрики пространства С является эллипс со значениями для полу-
полуосей ах = 5; Ьх = 3.
§ 17. Численный пример. Задача Дирихле для двусвязной
области. Ищется гармоническая в кольце Bt функция, принимающая
на внутренней окружности 5, радиуса R (Sx) = 1 нулевые значения,
а на внешней окружности S2 радиуса R (S2) = 2 — значение In 2.
Точное решение, как нетрудно проверить, есть \nr(xQ, х), где х0 —

§ !7] ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ДВУСВЯЗНОИ ОБЛАСТИ 379
общий центр окружностей S1 и 52. Если учесть граничные усло-
условия, то основные функциональные уравнения для поставленной за-
задачи примут следующий вид:
и(х) = — In2 — ~j\nr(x,
~w flnr <*• у) ? (у) dSr x € 5<;
i
0=--^-/lnr(*. y)<p(y)rf5y—± f\nr(x,
i, s»
. (A)
Значения параметра д: для решения функционального уравне-
уравнения (А) возьмем на концентрических окружностях 53 и 54, радиусов
= 3 и R{S^) = -x, с центром в точке д:0:
xf = 3 cos j^-, xf = 3 sin;M С/ = 1. 2 iV3),
^8|п" (/712^
Здесь je(?) и д;(?> обозначают координаты точки х,.
Заменяя интегралы в (А) с помощью формулы прямоугольников
(в данном случае формула прямоугольников совпадает с формулой
трапеций), получим:
5 i$
при
При
где
2_

380
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
[ГЛ. X
Были взяты следующие значения: Nl = N2= N3 = N4 = N= 5,
10, 20, 40. При этом получаются системы из 10, 20, 40 и 80 урав-
урав(ЛГ)
нений. Детерминант Д(ЛГ) системы
Л-
logl0 г2
= 0
имеет следующий вид:
где все
iW
симметричны и
кроме того,
элементы:
с».
I, N)
а{1- w
(А !>¦ 2). Поэтому приводим следующие
4М0) = 0,6020600
41'40' = 0,6100072 .
41>40) = 0,6328278
ea,4u) = 0,6678227
41>40) = 0,7114611
41>40) = 0,7602234
ef'40) = 0,8111249
41>40) = 0,8618961
41>40) = 0.9109390
¦ 0,9571950
.1,0000000
<4>40J = 1,0389620
a<fem «= 1,0738686
а<114'40>= 1,1046218
а^40*- 1,1311922
eJV40) = 1,1535905
flf7l40)= 1,1718464
а|у40>== 1,1859963
й^40»^ 1,1960750
л^-40>== 1^021102
4V40* «= 1,2041200

17]
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ДВУСВЯЗНОИ ОБЛАСТИ
381
42-40'
42>40)
42И0)
42'40>
42-40»
42-40'
42.40)
42>40)
42-40)
4o4o)
flBi40)
flB,40)
flB,40)
«ft*
а15>40)
426>40)
42/°)
4|>40)
4!'40)
420>40)
= — 0,6020600
= — 0.5811824
= — 0,5244109
= _ 0,4449134
= — 0,3555782
= — 0,2652856
= — 0.1790012
= — 0,0990818
= - 0,0264182
= 0,0388448
= 0,0969100
= 0,1481195
= 0,1928508
= 0,2314672
= 0,2642947
= 0,2916145
= 0,3136599
= 0,3306180
= 0,3426312
= 0,3497996
= 0,3521825
„C.40) я 0
43-40' = 0,1196874
43-40) = 0,4013300
43'40» = 0,7264422
43-40)= 1,0348658
43l40)= 1,3092614
43'40>= 1,5485340
43-4°)» 1,7561370
43-40)» 1,9361994
430-40) = 2,0924272
43,'40> = 2,2278868
flf2-40) == 2.3450432
4|'40> = 2,4458596
flC,40) _ 2,6043770
aj3'40» = 2,6642822
43>4°) = 2,7123656
af8'40» = 2,7492062
aff» = 2,7752310
430>40) =» 2,7907316
of».*»*» 2,7958800
aD,40) = OJ043650
44'40' = 0,7138190
44-40) = 0,7413544
flD,40) = 0,7846858
44.4°) = 0,8405606
44'40) = 0,9053470
44-40) = 0,9755292
44>40) = 1,0480178
44>40)= 1,1202836
440'40) = 1,1903596
44!-40' = 1,2567778
4}щ =1,3184760
44'40) = 1,3747072
aff* = 1,4249594
44>4°)= 1,4688908
fl|46'40> = 1,5062792
44.4°)= 1,5369852
44>40>= 1,5609244
fl<4.40) = 1,5780486
4440) = 1,5883314
44-4J) = l,5917C00
Элементы матриц А^ при N = 5, 10. 20 получаются из приве-
приведенных выше элементов матриц А^0) следующим образом':
N
- + 1
1 Здесь, как и d других примерах, полностью приводятся соответ-
соответствующие матрицы. Дело в том, что матрицы всех приведенных здесь чи-
численных примеров могут быть использованы для решения задач с другими
граничными значениями. Так, например, приведенной выше матрицей можно
пользоваться при решении задачи Дирихле для рассматриваемого кольца
прн произвольных граничных значениях U ^ = fx (S), U \Si = /а (S). Дру-
Другими словами, значения элементов детерминанта системы, при фиксирован-
фиксированных значениях параметра х, зависят от геометрии области, а правые части —
от граничных значений. Это обстоятельство дает возможность для конкрет-
конкретных областей составить таблицы, облегчающие решение граничных задзч
для этих областей.

382
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
[ГЛ. X
Нетрудно заметить, что решением функционального уравнения (А)
является
1_
1
Полученную линейную алгебраическую систему можно решать
двумя способами: 1). Решить два уравнения (при x?S3 и при x?S4),
полагая, что <?\s =CV :p|s ^=С2, где Cj и С2 — постоянные,
подлежащие определению. 2) Решить полученную систему непо-
непосредственно.
Сравнив результаты, установленные этими двумя -способами,
можно составить представление об обусловленности матрицы A{N).
В приведенной ниже таблице даются значения С[ ) и С^, полу-
полученные первым способом, значения решения задачи Дирихле и (х)
в точке х(хЮ, jc<02>), где *<!>:= 1,5 и х^ = 0, и соответствующие
I л s>№ I W) 1
погрешности
1
N
5
10
20
40
—0,9666646
—0,9982690
—0,9999863
—1,0000000
0,4957121
0,4999297
0,4999999
0,4999999
0,3049905
0,3971241
0,4052856
0,4054650
0,0333354
0,0017310
0,0000137
0,0000000
0,0042879
0,0000703
0,0000001
0,0000001
.f)
0,1004747
0,0083411
0,0001796
0,0000002
Для системы из 10 (N = 5) и из 20 (N=10) уравнений полу-
получены на машине следующие значения решений:
9 (У1) =
9 (Уз) -
?(Уз) =
9(у4) =
— 0,966664518
— 0,966664516
— 0,966664520
-0,966664510
— 0,966664518
= 0,495712068
= 0,495712068
<р (у8) = 0,495712070
?(Ув)= 0,495712068
Ч (Уп) = 0,4957}207Q

§ IS] ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ИЗОТРОПНОГО УПРУГОГО КРУГА 383
<р (у,) = — 0,998268836 <р (у,,) = 0,499929796
<р (у2) = — 0,998268468 <р (у,,) = 0,499929706
<р (уз) = — 0,998269560 ч (у, 3) = 0,499929706
<р (у4) = — 0,998267464 <р (у 14) = 0,499929748
<р (у6) = _ 0,998269428 <р (у16) == 0,499929706
<р (у,) = — 0,998268544 <р (у ,„) = 0,499929700
<р (у7) = _ 0,998268928 <р (у 17) = 0,499929796
<р (>-8) = — 0,998268852 <р (у18) = 0,499929798
<р (у9) = — 0,998268574 <р (у 19) = 0,499929794
? (уш) = —0,998268894 <р (у20) = 0,499929796
С их помощью получаются: иE)(д;0) = 0,3049905 и и(:о)(д;о) =
= 0,3971240.
Точное решение задачи в этой точке равно и (д;0) = 0,4054652.
Этот численный пример был рассмотрен для того, чтобы иметь
представление об обусловленности получающихся при решении функ-
функциональных уравнений систем. Из приведенного сравнения видно,
что детерминант системы при N = 5 и N=10 хорошо обу-
обусловлен.
Заметим также, что несмотря на то, что log 2 = 0,3010300 был
взят с семью верными знаками, окончательные погрешности полу-
получились малыми, особенно при N=20 и Л^ = 40.
§ 18. Численный пример. Приближенное решение первой
основной задачи для изотропного упругого круга. Рассмотрим
случай ш = 0. Пусть в точках у окружности 5 (у?S) заданы зна-
значения составляющих смещения /
и, (У) = - 1 + *У\ + 6у,У2 = /, (У),
Считая радиус равным единице и обозначая через A, ф) полярные
координаты точки у, можно'предыдущим условиям придать следую-
следующий вид:
«,A. ф)=
и2A, ф)=1—
Ищется регулярное внутри круга.решение двумерных уравнений ста-
статической теории упругости
Д*и (х) = 0,

384
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
tr\n. х •
которое удовлетворяет граничным условиям A0.106). Точное решение
этой задачи имеет следующий вид1: *
A0.107)
Найдем приближенное решение и сравним его с точным реше-
решением A0.107). Пусть Х = 2 и [л=1. Тогда равенства A0.107) при-
принимают следующий вид:
2,8 + 0,2*2 — 3,8*!+ 6х^
3,4 —
A0.108)
1 Решение этой задачи может быть получено многими различными спо-
способами. Один из наиболее простых способов ее решения основан на приме-
применении потенциалов двойного слоя второго рода (см. гл. IX); этот способ
приводит задачу к легко решаемой системе регулярных интегральных урав-
уравнений Фредгольма. Этим путем указанная задача (а также некоторые другие)
была решена Н. С. Кахниашвили [11]. Пользуясь теми же потенциалами вто-
второго рода, М. Башелейшвили выразил решение задачи в следующем виде:
(рсовф-Ясов^оНрвтф-
(р sin ф — R sin <poJ
R
— 1
р sin (ф + ?о)
R
R
где R — радиус, (p, <p0) — полярные координаты точки х, А
В
-, / — единичная матрица, /(ф)-
2|х
вектор граничных значений и.
Эта формула обобщает интеграл Пуассона в теории упругости. В частном
случае а = — ц = — 1 она обращается в формулу Пуассона
и (Р. 9о)
1 Г R2-
_р2

i 18) ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ИЗОТРОПНОГО УПРУГОГО КРУГА 365
Согласно § 2 приближенное решение находится из системы функ-
функциональных уравнений A0.19,), A0.192), которые теперь будут
выглядеть так:
и (*) = I / Г (х, у) ср (у) dSy — ±[ Г, (х, у) f(y) dSy. x? Bt.
s s
A0.19',)
o = i
i
причем (см. § 1 гл. IX)
п\пг(х, у) — i
. У) =
— т
дг дг
i дх3
т
A0.19'j)
¦т
дг дг
дх, дх,
- -ШТ
дг дг д
\2 д
)
^cos(яу, gj),
Внеся значения /id») и /2(ф) из A0.106), найдем значение интеграла
а именно:
A0.109;
+
2 —I)(cos4y04-2sm4y0)
|
h
2(Ь4ц)
1 — l)(sin4<y0 — 2 cos 4y0) 1
п J.
25 В. Д. Купрадэе

386 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЙ (ГЛ. X
и функциональное уравнение для определения ср (у) может быть
записано в следующем виде:
J [if1 {X, у) ср, (У) + if (*, у) ср2 (у)] Щ = nWl (Jt; Д
^ 0 A0Л10)
Г [it11 (х, у) cpj (у) -J- Г22) (х, у) ср2 (у)\ й?ф = тг№2 (x; Д
о
Для приближенного решения этой системы остановимся на формуле
Гаусса с 12 ординатами. Соответствующие значения коэффициентов
и точек Гаусса приводятся ниже:
— 412) = + Мг2' = 0,9815606
4I2) = 4I? = 0,0471753 4'2) = 412)=0,2031674
-4"' = +
-412> = +
Уравнения
•2 ГО
V /iA2) л(
>1 Л) 111
12 ГО
VI .A2) W
_2j л) [1 ^
1 = 1
A0.
11 (х
1](х
= 0,7699027
= 0,5873179
= 0,3678315
= 0,1252334
412) = а^ = 0.1069393 412) = 412-0'2334925
*•-
= А{$ = 0,1600783 4'2) = ^712)= 0,2491471
ПО) приближенно сведутся к уравнениям
• Уд Ь (Уд ~
0
1х,удъ(Уд}=^х;Л{Х^Ва)'
A0.110')
Вспомогательные точки xb(pk, <pOi й). A=l, 2 12, возьмем
на концентрической окружности радиуса, равного 6, так, чтобы
точка Xj лежала на радиусе, проходящем через точку у/, тогда
будем иметь систему 24 линейных алгебраических уравнений
2>[к удъШ+&ъ у,)й(у,)],(*»; Д-
'п о A0.111)
2 A{i2) [к\х„. yt)Vl(yt) + Й2)(л:й, у()ъ(у,)] =

18} ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ИЗОТРОПНОГО УПРУГОГО КРУГА 387
Численные значения коэффициентов этой системы и ее правые части
находятся по выбранным коэффициентам и узлам Гаусса из выра»
о
жения для элементов матрицы Т(х, у) и по формулам A0.109).
Решая систему A0.111), находим
<р,(у,) = — 3,2898639
ср,(у2) = — 4,8003739
= — 4,7148752
= 0,0943634
<р,(у5) = 5,1369463
ср,(у6) = 1,1388360
<р,(у7) = — 5,0928226
сра (у8) = — 1,3594572
<р,(у9) = 4,6837652
<р,0>,0) = 4,0164068
= 0,1862522
= —2,2725934
= 0,3048392
<р2(у2) = — 0,1237495
(р2(Уз) = — 0,7438623
ср2(у4) = — 0,7585132
<г2(У5) = 0,3207615
(р2(у6) = 0,8489420
(р2(у7) = — 0,2840868
ср2(у8) =— 0,8604027
ср2(у9) = 0,0759234
0,8436435
0,7829098
0,4897975
<?2(Уи)=
Эти значения <рА(У/) можно получить в данном случае и не решая
систему A0.111). Пользуясь тем, что, как ясно из уравнений (lO.19i)
и (l0.192), G^ = 2^. строим вектор напряжения 7и(х) при р=1,
имея поле смещений, выражаемое формулами A0.108). Вычислив для
этого элементы тензора напряжения
U2X + 3^) х + GХ + 9A) х2)
находим затем
Т> (у) == -щ-
Т2« (у) =
К2Х + 3|i) cos 2<j» + (ЗХ 4- 5(i.) sin Щ = 2(р,
— X) cos 2ф 4- X sin 2ф] = 2<р2 (у).
Подставив сюда значения углов fy, совпадающие с узлами Гаусса,
находим значения cpi (Уд и ТгО^)- совпадающие с выписанными выше
до седьмых десятичных знаков.
Остается подставить найденные значения <Pi()»/) H<pj(y,) в (lO.19i).
и тогда приближенные значения и(х) в произвольной точке внутри

388
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
[ГЛ. *
круга будут определяться равенством
12 „
. 112)
Приводим таблицу, в которой для трех различных точек х внутри
круга даны: а) приближенные значения компонент <р, и <р2, вычислен»
ные по формуле A0.112); б) точные значения тех же величин,
вычисленные по формуле A0.108), и в) отклонения приближенных
значений от точных.
ь(х)
fi(x)
?.<•*)
Ъ(х)
Координаты
точки х
0; 0,1
0; 0,1
0.5; 0.5
0,5; 0.5
0,5; 0
0.5; 0
Приближенные
значения чч " ?j
2,763
3,385
3,450
2,730
2,851
2,549
Точные
значения <Pi и <р.
2,762
3,386
3,40
2.70
2,850
2,550
Модуль
погрешности
0,001
0,001
0,050
0,03
0,001
0,001
Некоторое снижение точности приближения по сравнению с реше-
решением задач, рассмотренных в предыдущих параграфах, следует от-
отнести за счет того, что здесь мы ограничились формулой Гаусса
с меньшим A2) числом ординат; кроме того, сама задача в данном
случае с вычислительной точки зрения значительно сложнее простой
задачи Дирихле, и в связи с этим, естественно, возрастает влияние
погрешностей округления. Однако достигнутая здесь, уже для 12 орди-
ординат, точность является вполне удовлетворительной, по крайней мере
с точки зрения прикладной теории упругости, и указывает на перс-
перспективы, которые открываются при решении прикладных задач.
§ 19. Заключительные замечания относительно метода кано-
канонических уравнений. В §§ 12-^14 мы уже коснулись некоторых те-
теоретических вопросов относительно сходимости метода. После того как
рассмотренные численные примеры показали достаточно высокую
степень точности, которая достигается при пользовании этим методомх,
1 К моменту, когда эта книга печаталась, в Вычислительном центре
АН ГрузССР были получены этим методом приближенные решения дру-
других типичных задач, во всех случаях с удовлетворительной точностью. В ча-
частности, решалась задача Дирихле для квадрата с разрывными граничными
значениями (очевидно, в атом случае ие выполнены достаточные условия
применимости метода), н при атом получены удовлетворительные прибли-
приближения даже при небольшом числе ординат. Результаты сравнивались с дан-
данными, приведенными в работе: D. Joung, ORDV ас solutions of the Dirlchlet
problem, Journal of the Association for computing Machinery, v.2, J4 3, 1956.

} 19] ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ КАНОНИЧ. УРАВНЕНИЯ 389
мы вернемся к этим вопросам и рассмотрим их более подробно [15].'
Для простоты остановимся на внутренней задаче Дирихле и, в отли-
отличие от § 12, рассмотрим пространственный случай. Система ура в-
нений, аналогичная системе A0.84), теперь будет иметь следую-
следующий вид:
-1. 2. 3
A0.1120
где xv х2 xN есть N различных значений параметра х; N—
число узлов yv уг yN,. в применяемой кубатурной формуле,
А^ — коэффициенты кубатурной формулы, <р,— приближенные вна-
чения неизвестной функции в узле уг При этом мы отбросили оста-
остаточный член R(xk, N, <р).
Пусть минимальное расстояние между узлами yt есть А. Можно
доказать, что для любого iV в А>0 найдутся такие N значе-
значений xk параметра х, что система A0.112') будет разрешима
и решение найдется методом последовательных приближений
начиная с произвольного вектора <р0. Эта теорема уже доказана
в § 12; остановимся на ней здесь несколько более подробно. Запи-
Запишем систему A0.112') в векторной форме v.
где матрица Н состоит из элементов
''* ( 0,
Будем рассматривать Н как оператор, отображающий простран-
пространство mN (см. § 12) в самого себя. Тогда для нормы ||Н|| имеем
N
1|Н||„„=
, Уд
г{хк,
A0.113)
Ясно, что r(xt, yd можно сделать сколь угодно малым, тогда как
сумма в правой части равенства A0.113) при условии А>0 остается
N
ограниченной числом j ^J| А{ь°\. Поэтому можно так выбрать точки xt.
k-i
/=1, 2, .... N, что
ЦН||тдг<*<1.-
(ЮЛИ)
Так как mN есть пространство типа Банаха, мы можем воспользо-

390 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
ваться теоремой Банаха, приведенной в § 12. Для нормы обратного
оператора (I — Н), где I — единичная матрица, при условии A0.114),
получается следующая оценка:
• ||(I_H)-M|mjv<Ti7. A0.115)
Так как погрешность 8, обусловленная отбрасыванием остаточных чле-
членов в системе A0.112'), удовлетворяет той же системе уравнений
с остаточными членами в правой части 8 — //? = /?, где R[=
= r ^^J1^ R (*,-, N. ср), то для 8, в силу A0.115), получаем
^ (/=1.2. .... iV).
A0.116)
где bi = (f(yl) — tfy. Оценка A0.116), однако, не дает возможности
доказать сходимость построенных приближений, т. е. мы не можем
еще утверждать, что ||8||—>0 при N—>oo. Объясняется это тем,
что при N-*oo, точки xk стремятся к узлам yk, и поэтому подын-
подынтегральная функция <в(у)[г(х, у)]~ и ее производные, входящие
в остаточные члены R (xk, N, ср), стремятся к бесконечности. В при-
примерах, рассмотренных в §§ 15—18, было видно, что на практике более
целесообразно брать значения параметра х не очень близко от гра-
границы 5. В связи с этим представляет интерес следующее предложение:
в любых окрестностях s(xk) любых гКочек xk найдутся новые
точки xk (в частности, они могут совпадать с xk) такие,
что детерминант системы A0.112') будет отличен от нуля
для любой кубатурной формулы. Приведем доказательство. Обо-
Обозначим через Hk (JCj, x2 xk) детерминант, соответствующий
первым А-строкам и А-столбцам системы A0.112') (это детерминант
А-ro порядка в верхнем левом углу матрицы системы A0.112')). Ясно,
что Н1 (х{) = /^[/-(jCj, У,)] Ф 0, так как А^ ф 0 ввиду того, что у1
есть уаел кубатурной формулы, a r(xk, y^)< оо для всех k, 1=1,
2 N. Покажем, что если Hk{xx, x2 хк)Ф0, то в любой
окрестности t(xk+1) любой точки xk+l найдется точка xk+1 такая,
что #A+1(JCj, x2, .... хк+1)ФО, что и будет доказательством выска-
высказанного предложения. Разложим Hk+X (xv x2 xk, xk+l) по эле-
элементам (А-}-1)-й строки:

4 19] ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ б МЕТОДЕ КАНОНЙЧ. УРАВНЕНИЙ 3d!
где хх. х2 xk — те точки, для которых Нк(х1, х2 хк) Ф 0.
a xk+i — пока произвольная точка из t(xk+l) и
к
Hk+lli — адъюнкты элементов (А + 0-й строки. Пусть Sk+l замкнутая
поверхность, целиком лежащая в е(хк+1), а Вк+1 — объем, ограничен-
ограниченный этой поверхностью. Покажем, что существует точка xk+l?Sk+v
где Hk+1(xv x2, ..., хк+1)Ф0. Допустим обратное:
для любой точки xk+1?Sk+l. В силу гармоничности Hk+l(xv x2, ...
..., хк+1) по переменному хк+1, Нк+Х = 0 для любой точки jca+1 ? Bk+V
но тогда Hk+l = 0 всюду в области аналитичности. Устремим xk+l
к yft+i- Тогда [r(xk+l, yft+1)]"'I->-oo> и так как А^Н^фО, то пер-
первое слагаемое в A0.117) стремится к бесконечности, тогда как вто-
второе слагаемое W остается ограниченным. Это противоречие доказы-
доказывает наше предложение. Заметим, что в приведенном доказательстве
существенно был использован тот факт, что значения х могли быть
взяты произвольно из области Ва. Если же значения xk зафиксиро-
зафиксированы, то детерминант системы A0.112')
det (I — Н)
будет функцией N переменных у (узлов кубатурной формулы), При*
нимающих на 5, вообще говоря, любые значения. При этом учиты-
учитывается, что det (I — Н) зависит от узлов как непосредственно (члены
[г (хх, уг)]~'), так и косвенно через А^, так как значения узлов
кубатурной формулы в известной степени определяют коэффициенты
этой формулы. Рассмотрим 2М-мерное евклидово пространство и пусть
J(i>v У>2- • • •' ^2лг) " точка этого пространства, где y2ft-i и Уг* опре-
определяют &-й узел применяемой кубатурной формулы. Очевидно, 2Л^-мер-
ная мера множества точек J(yv y2 y2N) пространства R2N,
для которых det (I — Н) = 0, равна нулю. Действительно, равенство
det (I — Н) = 0 определяет гиперповерхность в пространстве R2N
и 2Л^-мерная мера точек этой гиперповерхности равна нулю. Поэтому,
если взяты случайные значения узлов, то с вероятностью,
почти равной единице, детерминант системы A0.112') будет
отличен от нуля. Аналогично, если зафиксируем значения узлов ук,
то детерминант системы A0.112') будет функцией N переменных х,
принимающих в области Ва произвольные значения. Пусть E(xv х2, ...
.... x3N) — точка ЗМ-мерного евклидова пространства, где хгк_2,
хз*-1- -^з* определяют &-е значение параметра х. Очевидно, ЗЛ^-мер-

392 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
ная мера множества точек E(xv х2 x3N) ЗМ-мерного евкли-
евклидова пространства R3N, для которых det (I — Н) — 0, равна нулю.
Это значит, что если берутся случайные значения параметра х,
то с вероятностью, почти равной единице, det (I — Н) будет
отличен от нуля.
Кубатурный процесс
1-1
назовем общим усложненным кубатурным процессом, если имеют
место асимптотические равенства
==0YW) (/=1> 2 N" N->o°)- (Ю.118)
По-видимому, все наиболее часто применяемые на практике куба-
турные процессы являются общими усложненными. Так, например,
если интеграл в каноническом уравнении заменяется римановой сум-
суммой, соотношения A0.118) будут справедливы. Докажем следующее
предложение: если
<С[а<оо; k, t=\, 2 N; N->oo,
A0.119)
и для решения канонического уравнения применяется общий
усложненный кубатурный процесс, то для наименьшего собст~
венного значения \ матрицы L системы A0.112') справедливо
асимптотическое неравенство
Х1<О(ЛГ1/2), A0.120)
Если же при условии A0.119) матрица L окажется положи-
положительно определенной, то вместо неравенства A0.120) будет
иметь место следующее асимптотическое неравенство:
Xi<O(^"!). A0.120')
Докажем сначала A0.120). Рассмотрим двойную сумму
N N _j
Из определения общего усложненного кубатурного процесса, учитывая
A0.119), получаем
N N- _ .. ._,
«•-1 »^1"

§ 19] ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ КАНОНИЧ. УРАВНЕНИИ 393
где М — не зависящая от N постоянная. Применяя для системы A0.112')
известное неравенство Шура и учитывая A0.121), получим
21М2<М, A0.122)
где (Xj, Xj, ... , \N) — спектр собственных значений матрицы L.
Из A0.122) непосредственно следует, чтоN|Xj|2<^M или \ = О(N~4').
Докажем теперь неравенство A0.120'). Рассмотрим след матрицы L
системы A0.112'):
N 1
sPL=2>i(JV)
Для общего усложненного кубатурного процесса, учитывая A0.119),
получаем
SpL<Mi, A0.123)
где Mj — не зависящая от N постоянная. Учитывая, что
SpL = S\ A0.123')
г-i
и положительную определенность матрицы L (все собственные значе-
значения положительны), из A0.123) получаем
N N
2X, = 2|^|<^i или Х,<О(ЛГ1)-
i=i г=1
Из доказанного предложения следует, что если L — симметричная
1 Y
матрица, то ЦЬ^ ^O(Y^)< а если L — симметричная положи-
положительно определенная матрица, то ||L||7f1iV^-0(iV)-
Последнее утверждение основывается на том, что если L — сим-
симметричная матрица, то и L симметрична и что собственные значе-
значения матрицы L равны ХГ .гдеХ, — собственные значения матрицы L.
Известно, что для произвольной матрицы L !
где Хя — наибольшее собственное значение матрицы L~ (L *)*, при-
причем (L )* есть матрица, сопряженная с матрицей L , которая для
нашего случая, когда L есть вещественная матрица, совпадает с тран-
транспонированной матрицей (L)'. Элементы матрицы L*L имеют вид
N
п*]\ __ V л(ЛГ) 1 . .(

394 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
поэтому для них также справедливо асимптотическое равенство
(L*L)lt ^ОСЛГ1).
и, следовательно, неравенство
Sp L*L < Ж3.
где М2 и Ж3 — не зависящие от N постоянные. Учитывая, что мат-
матрица (L*L) всегда положительно определенная, и применяя равенство
A0.123') к матрице (L*L), получаем следующее асимптотическое не-
неравенство:
l»i < О (ЛГ1), A0.124)
где |tj — наименьшее собственное значение матрицы L*L. Так как
1A) 1(I (I
) () я
Окончательно имеем следующий результат: для произвольной мат-
рицы L справедливо асимптотическое неравенство
Если L — симметричная положительно определенная мат-'
рица, то
\\^1\\rn>0{N).
То что мы установили в этом параграфе для задачи Дирихле, легко
распространяется на все другие задачи, рассмотренные в предыду-
предыдущих параграфах. Однако так как эти результаты не решают в общем
случае вопрос о сходимости процесса приближения, применяемого в
этом методе, мы не будем рассматривать другие задачи, и снова,
сославшись на хорошие результаты, обнаруженные на численных
примерах, свидетельствующие о возможности получения общего дока-
доказательства сходимости, дадим в следующих параграфах еще один
способ приближенного решения интересующих нас задач, родствен-
родственный первому и для которого удается доказать сходимость.
§ 20. Метод обобщенных рядов Фурье. Вводные замечания. Рас-
Рассмотренные в предыдущих параграфах численные примеры показывают,
что метод канонических функциональных уравнений может быть исполь-
использован для получения приближенных решений граничных задач. Однако
общего доказательства сходимости процесса приближения, применяемого
в этом методе, мы не имеем, и теоремы § 19 дают доказательство
сходимости лишь в частных случаях. Теперь мы укажем другой спо-
способ приближенного решения граничных задач, в котором нам удалось
доказать сходимость. Этот метод позволит получить решения в виде
рядов по некоторым полным системам ортогональных функций и ко-
конечные их отрезки представляют приближения к точным решениям,

§Я] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОДНОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ Ш
Идея представления решений граничных задач рядами по ортогональным
функциям есть одна из основных идей математической физики и различ-
различные ее реализации применялись неоднократно. Достаточно подробный
обзор соответствующих результатов и их применений можно найти,
например, в известной книге Л. В. Канторовича и В. Й. Крылова «При-
«Приближенные методы высшего анализа» (Гостехиздат, 1949, М.—Л.).
Главное затруднение, с которым приходится иметь дело при пользо-
пользовании этим способом, состоит в указании систем функции, по кото-
которым следует разлагать искомое решение, для того чтобы обеспечить
сходимость к точному значению. Кроме того, во многих случаях
необходимо иметь функцию Грина и ей подобные другие функции,
чтобы завершить доказательство сходимости. Дополнительные труд-
трудности возникают при рассмотрении задач с многосвязными областями.
Способ обобщенных рядов Фурье, который мы изложим ниже, как
нам кажется, свободен от этих недостатков. В §§ 21—38 он будет
применен к граничным задачам для одного уравнения и для систем
уравнений. Эти результаты (за исключением тех, которые относятся
к смешанным задачам) получены в совместной работе автора и
М. А. Алексидзе [15] и излагаются здесь с некоторыми изменениями
и дополнениями.
§ 21. Решение задачи Дирихле для одиосвязной области. Рас-
Рассматривая случай трех измерений, представим решение, как и выше,
в виде
A0.125!)
где <р(у) есть неизвестная функция, решение канонического функцио-
функционального уравнения
dS' =F(x), x?Ba, (Ю.1252)
(x)= f
т^—г dSv,
r(x, у) У
и /(У) (граничное значение искомой гармонической функции) — функция
достаточно гладкая, для того чтобы функциональное уравнение A0.1252)
имело решение. Дифференцируя по нормали и переходя к пределу,
когда точка х из Ва стремится к точке уо?5, получаем из A0.1252)

396 Приближенные решения [гл.х
это интегральное уравнение, соответствующее внешней задаче Неймана,
разрешимо для произвольной непрерывной правой части. То, что его
решение является одновременно решением функционального уравне-
уравнения A0.1252), вытекает из рассмотрения функции
которая представляет гармоническую в Ва и обращающуюся в нуль
на бесконечности функцию, нормальная производная которой на гра-
границе обращается в нуль. (В случае двух измерений это есть следст-
следствие равенства / <f(y)ds—O, вытекающего из интегрального урав-
s
нения, которому <р(у) удовлетворяет, если учесть, что
Из предыдущего легко вытекает также единственность найденного ре-
решения уравнения A0.1252). Пусть S1 есть произвольная гладкая зам-
замкнутая поверхность, граница конечной области В, содержащей це-
целиком внутри область Вр так что
minrE, S1)>0,
где minr(.S, Sj) означает кратчайшее-расстояние от поверхности S
до 5j. Введем функции
I'(xt. У)]'1 = <о<(у) (/=1.2.3,4. ...).
где у ? S и элементы счетного множества точек xt ? St расположены
всюду плотно на поверхности Sv Здесь будет доказана основная тео-
теорема: Система функций {т{ (у)} является линейно независимой
и полной в пространстве L2 интегрируемых с квадратом функ-
функций, заданных на поверхности S. Это значит, что для любой функ-
функции на5, 7 (У) € ^2- [ Г G (У)]2^у<оо j и для любого е>0 найдется та-
такое положительное число Мо и система коэффициентов ^ (/=1,2,3, ...),
что если N > Af0, то
It Су> — 2*i»i(y)i8rf5 <6- 00.126)
)
Предположим, что система (шДу)} линейно зависима. Тогда найдутся
такие постоянные С{ (/=1,2,3, ... , я), среди которых по крайней

f Я) РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИхЛЁ ДЛЯ ОДНОСВЯЗНоЙ ОВЛАСТИ 397
мере один, например Сг, г<[я, не равен нулю, что
для всех y?S и для хотя бы одного конечного п. Из последнего
условия вытекает, что регулярная и гармоническая в В{ функция
и (У) = S Ci т>ц GO есть в &i тождественный нуль. Отсюда ясно, что
она будет нулем во всей области гармоничности и, в частности, в об-
области В. Приближая точку у к хк из В достаточно близко, мы мо-
можем сделать слагаемое Cr coft (у) сколь угодно большим по модулю,
все остальные же слагаемые при этом остаются ограниченными; это
приводит к противоречию с доказанным выше равенством нулю функ-
я
ции ^^iwk,(y) и- следовательно, опровергает допущение о линейной
1
зависимости системы {шг(у)}. Обращаясь к доказательству полноты
системы {шг(у)) в ?2, заметим, что достаточно показать полноту
в пространстве Сц непрерывных на 5 функций. Из полноты в Сц
следует и полнота в L2. В самом деле, известно что множество
всех непрерывных функций является всюду плотным в пространстве ?2;
поэтому для любой функции 7 (у) ? ?2 найдется такая непрерывная
функция а. (у), что
{
где е>0 — произвольно малое число. С другой стороны, ввиду полноты
в Сц, можно подобрать такие коэффициенты at (t = 1,2,3, ... , N),
что при достаточно большом N будем иметь
N I2
W dS<
Г
/ U
si
si t-i J
Поэтому, на основании последних двух неравенств и на основании
неравенства Минковского (неравенство треугольника метрики ?2),
получим
N -т2 V/,

398 Приближенные решений 1ГЛ. я
что и нужно было показать. Для доказательства полноты системы!
{ш; (у)} в Cl,(S), достаточно показать, что если а (у) есть непре-
непрерывная функция на 5 и если
J а (у) ш, (у) dSy = 0 (/ = 1.2,3,...). A0.127)
ТО
Это свойство ниже будет называться еще свойством замкнутости
в CL,(S).
Рассмотрим потенциал простого слоя:
"м-
S
с плотностью, равной а(у). Согласно условию этот потенциал почти
всюду на 5j обращается в нуль, и так как здесь он непрерывен, то
Так как, с другой стороны, на бесконечности V(x) = 0, то по тео-
теореме единственности решения внешней задачи Дирихле, имеем V(xM=Q
при х ? Ва— В. Отсюда следует равенство нулю во всей области гар-
гармоничности, и следовательно,
Из непрерывности потенциала простого слоя и из единственности ре-
решения внутренней задачи Дирихле следует
и, наконец, а(у)==0, у ?S. Этим замкнутость рассматриваемой системы
в Сц и, следовательно, полнота в ?2 доказана. В приведенном доказа-
доказательстве мы существенно воспользовались обращением в нуль на беско-
бесконечности потенциала простого слоя. Как известно, в двумерном случае
это свойство не имеет места. Поэтому в плоской задаче доказательство
требует некоторого изменения. Вместо системы {ш; (у)} (/= 1, 2, 3, ...)
рассмотрим систему {ifyOO} (/ = 0,1,2,3, ...), где шо(у) означает
произвольную постоянную, отличную от нуля, и докажем теорему: Си-
стема {ml(y)}l = 0, 1,2,3, ... линейно независима и замкнута
в пространстве Сь,. Первая часть теоремы доказывается аналогично
предыдущему. Что касается доказательства замкнутости, то и здесь все
рассуждения, с помощью которых была доказана замкнутость в Сц
в случае трех измерений, пройдут до конца, так как теперь к задан-

$ 21] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОДНОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ 399
ным условиям A0.127) добавляется еще условие
/ а (у) (о0 (у) dSy = const J а (у) dSy = 0,
5 5
которое обеспечивает обращение в нуль на бесконечности логарифми-
логарифмического потенциала простого слоя
= fa(y)\nr(x, y)dSy.
s
Заметим теперь, что в силу доказанной линейной независимости, и>0(у)
не может быть представлена линейным агрегатом конечного числа
других элементов системы {шг(у)} (/= 1, 2, 3, ...); однако такое пред-
представление возможно, если будет использована бесконечная последова-
последовательность функций (Oj(y), (o2(y), ... Для того чтобы это показать,
рассмотрим потенциал простого слоя
= /ф (ж) In г (ж. y)dSx.
s,
с неизвестной плотностью ty(x) и определим ее так, чтобы
hm -у- = 0.
Как известно, это приводит к интегральному уравнению, допускаю-
допускающему единственное нетривиальное решение, и соответствующий
потенциал простого слоя равен в В постоянной; таким образом,
будем иметь
i>(y) = const1), х?В.
Заменяя теперь интеграл какой-либо формулой механических квад-
квадратур, получим
оо
ш0 (у) = const =2 Atmt (у)- At — известные постоянные.
/-1
В силу равномерной сходимости ряда отсюда следует, что нужно.
Ввиду особого значения этой теоремы для дальнейшего приведем
еще одно доказательство, могущее также представить самостоятель-
самостоятельный интерес. Из теорем, соответствующих теоремам Вейерштрасса
в комплексной области, следует утверждение о том, что гармонические
полиномы pt(x) образуют в пространстве С полную систему на контуре
для любой односвязной области, ограниченной спрямляемой кривой
') Ввиду произвольности S, эту постоянную можно считать отличной от
нуля,

400
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
1ГЛ. X
Жордана. Таким образом, для любой функции ?(у)?С и для любого;
е>0 найдется такое положительное число No и система коэффи-'
циентов di (t = 1, 2 М), что если N > No, то
N
max
ТОО —
2-1
<?¦
Рассмотрим в области В задачу Дирихле
N
Ди(л:) = 0, lim и(*)=Е
и, считая контур достаточно гладким для того, чтобы решение за-
задачи представлялось потенциалом простого слоя, построим его в виде
r{x, y)dSv
Из теоремы единственности очевидно, что
N
Рассмотрим значение и(х) при х ?S и заменим интеграл рима-
новой суммой с числом слагаемых Л/j (или какой-либо квадратурной
формулой с узлами в точках г\к ? SJ так, чтобы
max
ф(У) 1п г (х, у)dS1 —^.а
/
S,
Пусть N2 = max(M
N,
max
i-i
/-1
тогда получим
•< max
TOO —
2^ diPi(y)—2л п1Щ1 ^
и теорема доказана. Это доказательство может быть применено и
в пространственном случае на основании того, что любую непре-
непрерывную на поверхности односвязной области 5 функцию "]f (у) можно
равномерно приблизить посредством гармонических полиномов,

$ 21] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОДНОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ 401
Дальнейшие рассуждения идентичны для случая трех или двух
измерений, и мы будем рассматривать первый.
Известно, что если {шДу)} — система линейно независимых эле-
элементов гильбертова пространства, то можно построить такую орто-
нормированную систему {<Р/(у)}, что ее элементы будут линейными
комбинациями элементов системы {шДу)} и наоборот. Применяя
ортонормирование по Шварцу, получим
i i
Ъ (У) = 2 Akiuk (у), ш, (у) = 2
?1 k 1
Так как и>,(у)??2, то из основной теоремы и из первого из преды-
предыдущих соотношений получаем, что ортонормированная система {«рДу)}
является линейно независимой, а в силу второго соотношения она
является полной в L2.
Обозначим через Ф, коэффициенты Фурье разложения функции
(у) в ряд по функциям {<р/О0}:
/РУ)Р*(У), /=1.2.3.4, ...
s
Положим в уравнении A0.1252) x=X{?Sv l=\, 2, 3, ..., умножим
первые / уравнения на Aki (k = 1, 2 /) и сложим, тогда получим
i i
? (У) S Л*'ш* СУ) dSy = J т (у) ь (y)dSy = Ф« =
*1
Так как F (х) — заданная функция, а числа Аи находятся в про-
процессе ортонормализации, все Ф,- — коэффициенты искомой функции
?(У) — определены. Но в полном гильбертовом пространстве ряд
Фурье любого элемента, по полной ортонормированной системе
базисных элементов, сходится к этому элементу. Поэтому из полноты
пространства ?2 следует
lim
ЛГ->оо
Введем обозначения:
N
(х) = 1 [ ^Ц dSy-±F (х).
' 4it ,/ г (х, у) У 4я
26 В. Д. Купрадзе

402 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
Теперь можно сформулировать теорему: Для любой внутренней
точки х области Bt и для любого е > 0 найдется такое No,
что для N> No будет справедливо неравенство
В самом деле, обозначим минимальное расстояние от точки х до
границы 5 через о. Тогда нетрудно убедиться, что
| и (х) - и <"> (х) | = ± f jj~ [ср (у) - cp<^> (у)] dS
S
y <
s
В силу соотношения A0.128) можно выбрать такое N, что
где | 51 — площадь поверхности S. Применяя неравенство Шварца
к A0.129) и учитывая последнее неравенство, получим окончательно
V\S_\
и теорема доказана. Очевидно, отрезок бесконечного ряда в пра-
правой части формулы
N
и (х) = Iim -д— / —. г- 2j ^ifi (y)dSy — ~т~ f (¦*-)> х € &i>
ЛГ">О° s ' i=\
представит приближенное решение задачи.
Сделаем еще несколько замечаний. После того как доказана
основная теорема, дальнейшие рассуждения можно продолжить раз-
различными способами; можно, например, привести задачу к бесконеч-
бесконечной регулярной системе линейных (алгебраических) уравнений или
применить способ, принадлежащий Пиконе и др. Рассмотрим вкратце
способ Пиконе. Для заданной функции f(y) (граничные значения
искомой гармонической функции и{х)) составим ряд Фурье по

I я] Решение внешней задачи Дирихле 463
базису {?i(y)J:
тогда, в силу сказанного выше о полноте в смысле метрики Lit
можем писать
/О») -%/п9„(У)
11=1
т. е. частичные суммы написанного ряда сходятся в среднем к функ-
функции /(у). Теперь можно показать, что ряд
оо
«(*) = д2/„?„(*)¦ х?В1ш
для любой точки х, лежащей внутри Bt, сходится равномерно и
представляет решение задачи. В самом деле, пусть О (д;, у) есть
функция Грина задачи Дирихле для области Bt. Тогда из теоремы
существования вытекает, что решение может быть представлено в виде
Введем обозначение
N г. N dQ
«W (х) = 2 /„?„ (х) = / 2 /„?- (У) -dV<iSy * € Bt,
l ^ l
и рассмотрим разность
Применяя неравенство Шварца и учитывая, что для x?BL интеграл
Л да f
—з—
dSy есть конечная величина, находим, как и выше,
N
«(*)= Нт 2//?<(*)•
Это доказывает наше утверждение.
§ 22. Решение внешней задачи Дирихле. Когда гармоническая
функция по граничным значениям ищется в области Ва (внешняя
задача), вспомогательную поверхность Sx следует взять внутри
26*

404 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
области Bt, так как уравнения A0.125,), A0.1252) теперь заменяются
следующими:
Пусть рассматривается пространственная задача. Оставив обозначе-
обозначения предыдущего параграфа, покажем линейную независимость и
замкнутость вCL,(S)системы функции \r(xt, у)}~1={Ш1(у)}, где xi^S1
и, как уже сказано, S, есть произвольная гладкая замкнутая поверх-
поверхность, целиком лежащая внутри Вг Пусть существуют постоянные
С^(/=1, 2, 3, ...), среди которых хоть одна, например Сг, отлична
от нуля, такие, что по крайней мере для одного конечного я имеет
место тождество
ft (у) = 0, у ? S;
тогда функция
l ?п
как гармоническая и регулярная в Ва, по теореме единственности равна
нулю тождественно всюду в Ва. Поэтому во всей области гармонич-
гармоничности и, следовательно, всюду в (Bt — В) также обращается в нуль.
Приблизив переменную точку х из (В, — В) сколь угодно близко
к точке Хц , мы приходим к противоречию, так как слагаемое
Cr<ot (х) по модулю превосходит произвольно большое положитель-
положительное число, а другие слагаемые, входящие в состав v(x), остаются огра-
ограниченными и сумма не может быть равной нулю. Этим линейная
независимость системы {r(xt, у)} = (шДу)}, y^S, xt?St?Bt,
доказана. Для доказательства замкнутости в пространстве Сц (S) пред-
предположим, что для произвольной непрерывной на S функции а (у)
выполняются условия
= 0 (/=1,2,3,...);
покажем, что тогда a(y)==Q, y?S. В самом деле, потенциал про-
простого слоя

I 2$] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ МИОГОС&ЯЗНОЙ ОБЛАСТИ 405
почти всюду на 5, равен нулю по условию, и ввиду непрерывности
По теореме единственности
и так как это равенство должно соблюдаться во всей области гар-
гармоничности, то
V(jk)==0,
Из непрерывности потенциала простого слоя и ввиду обращения
в нуль на бесконечности
и, наконец, отсюда
а(у)==0,
что и нужно было показать. Построив ортонормированную систему
{fyOOb как эт0 было сделано в предыдущем параграфе, и повторив
те же рассуждения, приходим к следующей теореме: Для любой
внутренней точки внешней области Ва и для любого е > 0
найдется такое Л/о, что для N > Л/о
\u(x) — uSN)(x)\ <e,
где и{х) есть точное решение внешней задачи Дирихле, а
а как регулярное в Ва решение уравнения Лапласа предста-
представляет приближенное решение той же задачи.
§ 23. Решение задачи Дирихле для многосвязиой области.
Пусть В{ есть конечная, связная область, ограниченная конечным
числом замкнутых простых поверхностей (контуров) Ляпунова. Таким
образом, граница Вг теперь состоит из конечного числа замкнутых
поверхностей (кривых) 5,, 52 Sm, Sm+V не имеющих общих
точек, из которых одна, например Sm+l (которую мы будем обозна-
обозначать еще через So), охватывает все остальные, а эти последние друг
друга не охватывают. Область, заключенную внутри Sk, k= 1,2 т,
обозначим через В^К область внешнюю по отношению к «^(беско-
«^(бесконечная область) назовем В%\ Введем еще обозначения
т т
Оа — Z. аа . О = Z) «Jft-
ft0 ft0

406 приближенные решения |ТЛ. х
Очевидно, Ва есть дополнение Bl = Bl-\-S до полного пространства.
Нормаль будем считать направленной из BL в Ва. Рассматривая про-
пространственную задачу, ищем решение в виде
A0.130,)
где <р(у) есть неизвестная функция, решение функционального
уравнения
В этом параграфе мы будем предполагать, что (внутренняя) задача
Дирихле для области В1 и для граничных заданий /(у) имеет реше-
решение (единственное), к которому может быть применена формула
Грина. Тогда нетрудно показать, что функциональное уравнение
A0.1302) также допускает в классе С единственное решение. Мы
ставим задачу построения приближенного решения задачи Дирихле
в произвольной внутренней точке области Вг Пусть S'k есть произ-
произвольная гладкая замкнутая поверхность, целиком заключенная
в области В^аК a «So — такая же поверхность, охватывающая So и
целиком расположенная в В^. Обозначим
На 5' произвольно, но всюду плотно фиксируем счетное множество
точек xk и рассмотрим последовательность функции
{»-(*,. у)} = К (у)). *i€ s1, y€S.
Имеет место теорема: система [wt, (у)} линейно независима и
замкнута в пространстве Сц E). Допустив линейную зависимость,
составим из (оДу) некоторый конечный линейный агрегат, который
представит в В1 регулярную гармоническую функцию, обращающуюся
на 5 в нуль, и, следовательно, равную тождественному нулю всюду
в Bt. Отсюда, пользуясь тем, что этот агрегат равен нулю во всей
области гармоничности, мы приходим к противоречию, совершенно
так же, как в § 21. Этим линейная независимость доказана. Для
доказательства замкнутости покажем, что произвольная непрерывная
функция а (у), определенная на 5, которая удовлетворяет условиям
= O (/=1,2,3,...)

j 24] РЕШЕНИЕ ВНУТР. ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ ОДНОСВЯЗН. ОБЛАСТИ 407
есть тождественный нуль. Рассмотрим потенциал простого слоя
с плотностью ос (у), заданной на S,
V(x) = fa (у) ,dy . ¦
В силу условия этот потенциал равен нулю на S' почти всюду и
по непрерывности
V(x)saQ, x?S'.
Рассматривая переменную точку х в В^ и замечая, что на беско-
бесконечности потенциал обращается в нуль, заключаем что в области В^
он представляет тождественный нуль и, следовательно, по непре-
непрерывности • .
lim V(x) = 0.
Рассматривая переменную точку х в области Effl и внутри Sk,
заметим, что вследствие обращения V(х) в нуль, когда х?Sk, и
ввиду того, что внутри Sk V (x) есть регулярная гармоническая
функция, V (х) == 0, и так как это свойство должно сохраниться во
всей области гармоничности, V (х) =s 0, х ? В$\ отсюда же ввиду
непрерывности
lim 1/(» = 0 (Л=1, 2, 3, ..., /и).
Но тогда V(#)s0, Jf^B;, и, следовательно, ос(у)==0, что и нужно
было показать. Дальнейшие рассуждения полностью совпадают с рас-
рассуждениями § 21 и приводят к теореме: для любой внутренней
точки многосвязной конечной области В1 решение внутрен-
внутренней задачи Дирихле представляется в виде
I s i**i )
и частичные суммы, стоящие справа, дают приближенные
значения решения.
§ 24. Решение внутренней задачи Неймана для односвязной
области. В этом параграфе область В1 есть односвязная область,
ограниченная единственной поверхностью S. Решение уравнения
Лапласа, удовлетворяющее граничному условию
ди
дп

408 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
следует искать в виде
A0.131,)
где ср(у) есть неизвестная функция, удовлетворяющая функцио-
функциональному уравнению
Как известно, внутренняя задача разрешима лишь при условии
ff(y)dSy = O,
s
и решение определяется с точностью до аддитивной постоянной.
Легко видеть, что условие резрешимости задачи обеспечивает также
разрешимость уравнения A0.1312). В самом деле, перейдя к пределу
при стремлении точки х из Ва к точке у0 на S, будем иметь
Мы получили интегральное уравнение внешней задачи Дирихле;
однородное уравнение, как известно, имеет единственное нетри-
нетривиальное решение и потенциал простого слоя с плотностью <f(y),
равной решению союзного однородного уравнения, есть постоянная
в В(. Поэтому условие разрешимости неоднородного уравнения
выполнено в силу условия разрешимости задачи. Найденное таким
образом ср(у) удовлетворяет и функциональному уравнению A0.1312).
Это следует из рассмотрения гармонической и регулярной в Ва функции
с '

{ 24] РЕШЕНИЕ ВНУТР. ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ ОДНОСВЯЗН. ОБЛАСТИ 409
(в случае двух измерений регулярность 2 (л;) есть следствие усло-
условия разрешимости задачи).
На поверхности Sl (см. § 21) произвольно и всюду плотно фикси-
фиксируются точки xt и рассматривается совокупность функций {
(/ = 0, 1, 2, ...), такая, что
vo = const *0. v^^-j^L-p I-1.2 y?S.
Имеет место теорема: система функции {vt(y)} линейно незави-
независима и замкнута в пространстве С/,2E). Предположив линейную
зависимость, будем иметь, тождественно относительно у ? 5,
i = \
где среди Со. С,, С2, ..., Сп по крайней мере один отличен от нуля
и п — произвольное целое число (конечное). Рассмотрим функцию
Очевидно,
Inn -д- = Cnvn.
Но это возможно лишь в том случае, если С0 = 0, ибо интеграл
по S от левой части, как интеграл по поверхности от нормальной
производной гармонической в BL функции, равен нулю, в то время
как интеграл правой части отличен от нуля, если Со Ф 0. Поэтому
будем считать Со = 0. Но тогда
v (х) = const; х ? Bt.
Рассмотрим гармоническую функцию vt (x) = v (x) — const, которая
в BL равна нулю и, следовательно, равна нулю во всей области гар-
гармоничности, в частности в области (В — Bt). Приближая точку х
из (В — Bj) сколь угодно близко к точке хь , приходим к проти-
противоречию (см. § 21), и линейная независимость системы {^(у)} дока-
доказана. Для доказательства замкнутости рассмотрим потенциал двойного
слоя
к" dnv r (х, у) У
s
плотностью которого является произвольная непрерывная на S функ-
иия а (у); покажем, что если эта функция удовлетворяет условиям
и Л 1 о Ч \

410 приближенные решения (гл. *
то ос(у) = 0. В самом деле, при выполнении последних условий можем
писать
учитывая поведение на бесконечности, заключаем, что №(л;)==0,
— В, и далее во всей области гармоничности
Но плотность потенциала двойного слоя, который во внешней области
есть тождественный нуль, равна постоянной и ос (у) == const. Из усло-
условия
следует а(у)==0, и замкнутость системы {^(у)} доказана. Применяя
ортонормализационный процесс Шварца, построим из системы vt (у),
v2(y), v3(y), ... новую ортонормированную и линейно независимую
систему
{Ш ('=!¦ 2, 3, ...)
и рассмотрим полную ортонормированную систему
Пусть
/
s
Перепишем уравнение A0.1312) в следующем виде:
и придадим точке х i различных положений на Sv Умножив первые
/(/= 1, 2, ,. .) уравнения на Аы (А= 1, 2 /) и сложив, найдем
значения коэффициентов
k-l
Введем обозначения
л-

§25] РЕШЕНИЕ ВНЕШНЕЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА 411
Тогда, так же как в § 24, можно показать, что
и(х) = lim «<">(*).
N
Очевидно, частные суммы найденного ряда, дают приближенные зна-
значения решения во внутренних точках области Bt. Как и следовало
ожидать, решение определено с точностью до аддитивного постоян-
постоянного. Ясно, что, воспользовавшись системой | - , ср? (у) \, реше-
решение можно получить (в несколько более простом виде) способом
Пиконе (см. § 21).
§ 25. Решение внешней задачи Неймана. Мы будем искать
решение, обращающееся на бесконечности в нуль, в виде
S S
A0.132!)
где ср (у) есть неизвестная функция — решение канонического уравне-
уравнения
A0.132а)
Существование и единственность решения этого уравнения выте-
вытекает из рассмотрения интегрального уравнения
представляющего предельный вид уравнения A0.1322) при В(^х-*
—>Уо€>5- Это уравнение, как интегральное уравнение внутренней
задачи Дирихле, разрешимо, и его решение удовлетворяет и функ-
функциональному уравнению A0.1322). Поверхность St теперь, как в
§ 22, берется в В( и рассматривается система функции на S
v,(y) = -^[r(*ly)f1 (/=1. 2, 3, 4, ...; *,€$,. y?S)-
Докажем, что эта система линейно независима и замкнута в простран-
пространстве CL2(S).
Пусть

412 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
для всех y?S и не при всех С,, равных нулю.- Введем гармониче-
гармоническую в8,и регулярную функцию
Из теоремы единственности решения внешней задачи Неймана, обра-
обращающегося в нуль на бесконечности, следует v(x)^0, х?Ва.
Ввиду непрерывности вместе со всеми производными, продолжив
v(x) внутрь Bt, найдем, что v(x) = Q, х?(В{ — В). Но, приближая
точку х к точке хи сколь угодно близко, приходим к противоре-
противоречию; тем самым линейная независимость доказана. Пусть а (у) есть
произвольная непрерывная, определенная на 5 функция, и пусть
fa(y)^(y)dSy = 0 A=1, 2, 3, 4, ...).
s
Покажем, что тогда а (у) = О, у 6 ^. Рассмотрим потенциал двой-
двойного слоя
В силу условия W(x() = 0, x{?Slt и по непрерывности W(x) = O,
x?Slt следовательно, рассматривая точку х в В, найдем, что
W (х) = 0, х?В, отсюда имеем во .всей области гармоничности
W(x) = 0, x?Bt. Написав предельное значение W(x) изнутри на 5
и приравняв его, в силу доказанного, нулю, получим интегральное
уравнение Фредгольма для внутренней однородной задачи Дирихле,
которое, как известно, допускает лишь нулевое решение, иа(у)==0,
что и следовало показать. Заменим систему {v,(y)j эквивалентной,
полной и ортонормированной по Шварцу системой {<р,-(у)}; обозна-
обозначим через Фг коэффициенты разложения в ряд Фурье функции
по функциям {ft(y)\, т. е.
Эти коэффициенты, как и выше, находятся из уравнения A0.1322).
Для этого достаточно придать точке х i различных положений на Sv
умножить первые / (/= 1, 2, 3, ...) уравнений на постоянные
Ак1 — коэффициенты в выражении <рг(з>). как линейной комбинации
функции vft(у) (k = l, 2 /), и составить сумму этих равенств;
тогда получим

$ 26] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ МНОГОСВЯЗНОП ОБЛАСТИ 413
Далее, пользуясь тем, что из замкнутости в Сц следует полнота в Lj,
находим
Это позволяет, вместе с A0.132j), показать, что если
то для любого е > 0 найдется такое No, что для N > No
Так как, с другой стороны, «(/v) (а:) есть регулярная гармоническая
функция в Ва, то последний результат показывает, что «(/v) (а:) есть
приближенное значение точного решения в произвольной внутренней
точке внешней области Ва. Это решение, как и следовало ожидать,
единственно.
§ 26. Решение задачи Неймаиа для миогосвязной области.
В этом параграфе мы будем придерживаться обозначений § 23. На
т ¦ . ¦
поверхности S'=2-Sft фиксируем произвольно и всюду плотно
*-о
точки xk и докажем, что система функции {^(у)} (/ = 0, 1, 2,
3, ...). где
т
v0C0 = const^0. vft(y)=-A_[r(*ft, у)],
у io
*=1. 2, ...
линейно независима и замкнута в пространстве Cit(S). Линейная
независимость доказывается вполне аналогично тому, как это было
сделано при рассмотрении внутренней задачи Неймана для односвяз-
ной области.
Замкнутость будет показана, если из условий
= 0 k=\, 2, 3, 4
где а (у) есть произвольная, непрерывная, определенная на 5 функ-
функция, будет следовать, что сс(у) = О. Рассмотрим потенциал двой-
двойного слоя

414 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
Из условий, наложенных на плотность этого потенциала, вытекает,
что
В частности, из равенства W (х) = 0, х ? So, и из поведения потен-
потенциала двойного слоя на бесконечности вытекает, что W (х) ев О,
х^В(а}. Из условия же W(x) = 0, x?S'k (k — l, 2 т), сле-
следует, что W (х) = О, х ? Ва \ На основании теоремы Ляпунова —
Таубера о непрерывности нормальной производной потенциала двой-
двойного слоя и из доказанного следует, что
Urn № = 0.
и так как W(x) в области Bt есть регулярная гармоническая функ-
функция, то
= const, x^Bf
Наконец из того, что
0. х 6 В.,
т (у\ ^ а
W~const, x?Bt,
вытекает, что
а (у) = const, у ^ 5.
Учитывая условие
заключаем, что
и замкнутость доказана. Дальнейшие рассуждения есть повторение
аналогичных рассмотрений § 24 и в силу функциональных уравнений
вида A0.131j), A0.1312), которые и в данном случае сохраняются,
приходим к выражению для приближенных значений решения, вполне
аналогичных тем, которые построены в § 24.
§ 27. Решение смешанной граничной задачи теорни потенциала.
Смешанной называется граничная задача, в которой на одной части
границы заданы условия первой граничной задачи, а на остальной—
условия второй граничной задачи. В частности, для уравнения Лапласа
смешанная задача состоит в построении гармонической внутри Bt
функции, если известны ее значения на части Sl общей границы 5 и
ее нормальная производная на остальной части S2 = S — 5j границы.
Смешанные задачи оказались более трудными, чем первая, вто-
вторая и третья задачи, и в литературе можно указать не много работ,
им посвященных. Еще в 1910 году Заремба рассмотрел ату

27]
РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ
415
задачу для гармонической функции и доказал теоремы существования
и единственности. Однако работа Зарембы, по-видимому вследствие
сложности и искусственности применяемого метода, не получила до-
достаточного развития и распространения. В 1956 году Фикера [30]
рассмотрел смешанную задачу для эластостатики. О других работах по
смешанным задачам теорий упругости см. Н. И. Мусхелишвили [24, б].
Ниже приводится простой способ изу-
изучения смешанной задачи; он основан на
идее, использованной в предыдущих рас-
рассмотрениях, и позволяет не только по-
получить теоремы существования, но и
фактически вычислить решение прибли-
приближенно, с произвольной точностью. Здесь
этот способ будет изложен для уравне-
уравнения Лапласа; при этом достаточно отчет-
отчетливо наметятся направления возможных
обобщений для задач эластостатики и даже
эластодинамики, которые будут рассмот-
рассмотрены §§ 32—38.
Пусть (см. рис. 3) ACBDA = S, ADB — SV ACB = ,
BEA — S3 (ADBEA = S1-±-S3), AFB = S'. Области, ограниченные
замкнутыми кривыми E2 -f- 53) и {Sx -\- S'), обозначим соответственно
через Ва и В'. В области Bt, ограниченной замкнутой кривой
S= ACBDA, ищется гармоническая функция и(х), для которой
известно, что
Рис-
lim
lim ^H. =
х0 ф
хоф В.
Класс, к которому относятся функции /A) (а:) и /B) (х), мы уточ-
уточним ниже. Кривую Sx = ADB дополним кривою S3 = BEA так, чтобы
область Ва, ограниченная замкнутой кривой 52 + 53 = АСВЕА, не
имела общих точек с областью Bt. Пусть О (а:, у) есть функция
Грина задачи Дирихле для односвязной области Bt-\~Ba-\-S2, огра-
ограниченной замкнутой кривой 5: -f- 53 = ADBEA. Имеем
a)
b) lim
lim О(х, 30 = 0,
?SS)
/
c) G(x, y) = v(x, y) — In л причем для у, не принадлежащих
границе, v (x, у) есть регулярная гармоническая функция;
d) О(х, у) = О(у, х).

/I
416 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ (ГЛ. XЧ
Предположим сначала, что задача имеет такое решение, к кото-?
рому б Bt можно применить формулу Грина. Тогда, используй'
в качестве фундаментального решения G (х, у), напишем представле-
представление для решения, вытекающее из формулы Грина,
Приняв во внимание граничные значения и и -j— и свойства функ-|,
ции Грина a), d), можем написать
и (*>=i / /<2) су) G (*
S,
0 = i / /B) W ° С* у) «, - i / /A) Cy) 4^ ^y -
Обозначим
. y) rf5y -/•/«> (У) -g- dSy = F (x).
s2 s,
Теперь отбросим предположение о существовании решения и ищем
его в виде
где <р(у) — неизвестная функция, подчиненная условию
x?Ba. A0.133а)
Несколько ниже мы покажем, что если это функциональное уравне-
уравнение имеет решение <р(у). не зависящее от а:, непрерывное на откры-
открытой кривой S2 и допускающее на концах А и В особенности порядка

$ 27] РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ
не выше 1/2, то, подставив его в предыдущее выражение для и{х),
будем иметь решение задачи. Теперь же, имея в виду показать
существование решения уравнения A0.1332) в указанном классе,
рассмотрим предельный вид функционального уравнения
когда точка х из Ва стремится к точке у0 на 52, не совпадающей
с концами. Очевидно, этот предельный вид будет следующий:
™Р(Уо) + / У (У) д° (дУп°' У) dSy=-F (yu),
52 у
Мы получили интегральное уравнение Фредгольма. Выясним, какими
особенностями обладает решение этого уравнения (если оно суще-
существует) на концах интервала интегрирования в зависимости от свойств
(в этих точках) функции F(y0). Пусть заданные функции /A) (Уо)
и /B) (у0) непрерывны и ограничены соответственно на S1 и 52, вклю-
включая концы. Тогда функция F(y0). очевидно, имеет, например на
конце А, особенность интегралов
f»(A)f\nr(y0, y)dSy~/^(A)f-^rlnr(y,, y)dSy.
Оба этих интеграла в точке А ограничены; следовательно, при
сделанных допущениях относительно fw(x) и /<2)(л0 функция F(y0)
оказывается на концах ограниченной. Пусть R(y0, у) есть резоль-
резольвента, соответствующая ядру ^ ' ; известно, что она обладает
^
особенностями ядра, поэтому интеграл
также остается ограниченным на концах интервала интегрирования.
С другой стороны, если рассматриваемое интегральное уравнение
Фредгольма имеет решение, оно будет иметь следующий вид:
<р (у0) = C,F (yQ) + С2 J F (у) R (у0, у) dSy, (Cv C2 — постоянные),
и из предыдущего следует, что это решение ограничено на концах
(и непрерывно на 52J.
1 Нетрудно также указать достаточные условия для /<¦) (х) и /W (дс),
при которых <f (у0) будет допускать производные порядка / >• 1 [8J.
97 Н П KvnnaM»

418 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X j
Чтобы доказать существование решения, рассмотрим союзное одно-
однородное интегральное уравнение ;
«Ф(Уо> +
Уо
Если бы мы решали задачу: найти в Bt гармоническую функцию,
удовлетворяющую граничным условиям
lim в(х) = 0, lim 4^ = 0,
es ^ an :
и стали бы искать это решение в виде потенциала простого слоя
*. y)dSy.
то пришли бы к рассматриваемому однородному интегральному урав-
нению. Поэтому, допустив, что это уравнение имеет ненулевое ре-
решение ф (у), мы будем иметь для решения вспомогательной смешанной
однородной задачи выражение
V(x)= J <|>(y)O(x, y)dSy; ¦
для того чтобы извлечь необходимые выводы для дальнейшего из ?
этого результата, нужно показать, что
К(х) = 0, xgS,. ¦}
Что это действительно так для гармонической функции, непрерыв- .
ной в Bt, каковой является в данном случае V (х), нетрудно пока-
показать с помощью так называемой формулы Грина, но мы приведем |
здесь другую теорему единственности, на которую будем ссылаться ,
и ниже и из которой во всех встречающихся здесь случаях следует
нужный результат. Эта теорема была мне сообщена И. Н. Карци- "
вадзе и может быть сформулирована в следующем виде.
Функция и(х) гармоническая в Bt, непрерывная в замкнутой ,
области Bt всюду, кроме точек А и В, такая, что в окрест- .
ности этих точек
\\m\u(x)\Vr(x, Л) = 0, \\m\u(x)\Vr(x, B)=0, A0.134) -
где г(х, А) и г(х, В) — расстояния от х до точек А и В соот-
соответственно, и удовлетворяющая на Sx граничному условию
и = 0, а на S2 граничному условию -«— = 0, есть в Bt тожде-
тождественный нуль.

$ 27] РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ 419
Теорема остается в силе, если точки А и В являются про-
простыми угловыми точками для кривой S, а также в том слу-
случае, когда на 52 задано граничное условие и = 0.
По доказанному выше i}»(y) ограничена в точках А и В; поэтому
V(x) удовлетворяет условиям теоремы и У(лг)===0, x?Bt. Рассма-
Рассматривая V (х) в Ва и воспользовавшись, с одной стороны, непрерыв-
непрерывностью потенциала простого слоя, и с другой — свойством а) функции
Грина, находим, что V(x) равно нулю на контуре области Ва. При-
Применяя снова теорему единственности, находим V(x)s=0, х?Ва, и,
наконец, ф(у)==О.
Таким образом, доказано, что интегральное уравнение, которое
было получено в качестве предельной формы основного функциональ-
функционального уравнения, разрешимо и имеет единственное решение; это ре-
решение непрерывно на 52 и ограничено на концах. Это обстоятельство
позволяет доказать, что оно удовлетворяет также самому функцио-
функциональному уравнению. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим функцию
Как нетрудно проверить, эта функция, гармоническая в Ва, обра-
обращается в нуль на S2 и S3. Кроме того, по доказанному выше, она
удовлетворяет условиям теоремы единственности (соответственно
измененными граничными условиями); поэтому 2(лг) = 0, х?Ва, и
предложение доказано. Единственность решения очевидна. Наконец,
ясно, что найденное решение не зависит от параметра х, непрерывно
на S2 и ограничено на концах. После того как найдено ср (у), согласно
тому что было сказано в начале параграфа, решение задачи должно
иметь следующий вид:
Эта функция действительно ' гармоническая в Bv Кроме того, из
свойств функции Грина а) и Ь) следует, что
lim и(х) = р»(х0).
Для того чтобы проверить второе граничное условие, дифференци-
дифференцируем по нормали и переходим к пределу при Bt Э х -> х0 ? 52. Тогда
получим
lim l[
(ж dS) •
s,
07*

-20 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
Но <р(у) найдена так, что
- lim ( *-
j Xo b^x^x^sAx/
Приняв это во внимание, из предыдущего равенства получаем
И
Этим доказано сказанное и, следовательно, доказана теорема суще-
существования для рассматриваемой смешанной задачи.
Переходим к вопросу о приближенном решении задачи. Проведем
в Ва линию S', как указано на рисунке, и возьмем на ней произ-
произвольно, но всюду плотно счетную последовательность точек хк. Рас-
Рассмотрим счетную последовательность функции < -^— О (хк, у) > и пока-
покажем, что она линейно независима и замкнута в пространстве
непрерывных и ограниченных на S2, включая концы, функций.
Для доказательства первой части этого утверждения допустим, что
для всех у S
где среди постоянных С* (г— 1, 2, . . ., N), есть хоть один отлич-
отличный от нуля.. Рассмотрим функцию
N
* 1 F \ F /
Легко проверить, что v(x) есть гармоническая в Bt функция, кото-
которая удовлетворяет всем условиям теоремы единственности. По не-
непрерывности v{x) вместе со всеми производными вдоль S2 находим,
что v (х) равно нулю и вне В{ в некоторой области, в частности
в области (В' — Bj) между кривыми S2 и S'. Приближая переменную
точку х достаточно близко к точке xk., мы убедимся, что слагаемое
Ck.G(xk., х\ станет по модулю сколь угодно большим, в то времл
как другие слагаемые остаются ограниченными и в сумме друг друга
уничтожить не могут. Это противоречие доказывает линейную неза-
независимость рассматриваемой совокупности. Для доказательства зам-
замкнутости покажем, что из условий

i 27] РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ 421
где а (у) есть произвольная, непрерывная и ограниченная на всей S%
функция, вытекает а (у) = 0. Ввиду того, что на S' почти всюду
функция
W(*)= РоЦу)*0(х, y)dSr
непрерывная на S', равна здесь нулю всюду:
С другой стороны, по свойству функции Грина a), W(x) = 0, x?S3,
и так как в области, ограниченной замкнутой кривой S' -\- S3 = AFBEA,
W(х) удовлетворяет теореме единственности (поведение в окрестно-
окрестности точек А а В а обращение в нуль во всех других точках гра-
границы), то W(x) = 0 внутри рассматриваемой области. Отсюда, по
непрерывности, как и выше, W(x)—Q в области (В' — Bt) между
кривыми S' и 52. По теореме Ляпунова — Таубера
lim -f
O
и по свойству а) функции Грина
lim
Применяя в Bl снова теорему Карцивадзе, получаем U7(x) = 0, x?Bt,
и а (у) ^ 0, что и нужно было показать. Пользуясь линейной неза-
независимостью совокупности | у— О (х.^, у) \, заменим ее ортонорми-
рованной (эквивалентной) совокупностью
Теперь, так же как в предыдущих параграфах, из уравнения
находим коэффициенты Фурье
к
ф*= Г ? (У) 9к (У)dS — ~
5,

422 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ (ГЛ. X
Введем обозначения
N
s,
Применяя неравенство Шварца, совершенно аналогично тому, как это
было сделано выше, убеждаемся, что
Мха «W (х) = и (х).
N-юо ' ;
В §§ 32—37 излагается другой способ исследования смешанных ;
задач.
§ 28. Применение метода обобщенных рядов к задачам теории *
упругости. Решение задачи (?>/) для односвязной области. Со- ¦¦
гласно § 2 гл. X решение задачи (Dt) дается решением функциональ- ;
ных уравнений A0.19,) и A0.192). Для плоской задачи эти уравнения
принимают следующий вид:
=i f г (х'у) *(у) dSy—i / Fi (*•y)f(y) dSr
0 = i/r^* y)*(y)dSy~if r'<*¦
s s A0.1352)
где
Г(лг, у)={ГA>(х, у)
-^агГдгГ «Шг(*. y)-
(|j, |j) — координаты точки х, (¦>),, tj2) — координаты точки у;
1 Для краткости здесь ограничимся рассмотрением плоской задачи. Все
рассуждения без всяких изменений (а в некоторых пунктах даже с упроще-
упрощениями) переносятся на соответствующую пространственную задачу.
Кроме того в этом и следующих параграфах при рассмотрении стати-
статических задач не будем ставить значок 0 над матрицами и векторами там,
где это не может вызвать недоразумений.

§ 28] ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ОБОБЩЕННЫХ РЯДОВ 423
И
Г( (х, у) = (г!1* (х, у)
a\nr(x, y)+2&(|^/-inr, а?-\пг+2Ь^^
arty ¦" Vonji/ any osy ' di\i дч\г дпу
д . . о. дг дг д , д . , о. (дг\2 д .
— а д— In г -f- 26 -х—-5—-^—1пг, а-5—In r-\-2b l^—) 5— пг
i,, i2 — координатные орты.
Все другие обозначения сохраняются предыдущих параграфов.
Теорема. Система векторов (Г(г) (xk, у)} (/=1, 2; Л=1,
2, 3, ...) ге/ш счетном множестве точек jfft, всюду плотно рас-
расположенных на Sv линейно независима и полна в простран-
пространстве L2, интегрируемых с квадратом векторов, определенных
на S. Эта теорема утверждает, что для любого вектора Y 006^2-
Г (Y " Y) ^у < °о> заданного на 5, и для любого в > 0 можно ука-
s
зать такое число No и систему коэффициентов bttk (/=1, 2; k= I,
2, 3, ...), что если N > No, то
/ Т(У)-2»1,Л*(У) ^у <е,
где для краткости введены обозначения
. y) = »/tt(y) (/=!. 2; Л = 1. 2, 3, ...).
Предположим, что система векторов (wiift(y)} линейно зависима.
Тогда найдутся такие постоянные Cltk (/ = 1, 2; &—1, 2, 3 re),
среди которых по крайней мере один из Clif, г^и, не равен нулю,
2 л
что 2 2 С,-Ло>,- ft (у) == 0 для всех у ? 5 и для хотя бы одного ко-
нечного га. Но в этом случае регулярное в Bt решение уравнений
упругости
28"

424 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ (ГЛ. X
будет тождественным в Bt нулем. Вследствие непрерывности вместе
со всеми производными отсюда следует, что ©(*;)== О, в частности
в области В— Bt. Приближая точку х к хк из (В — Bj) достаточно
близко, заметим что в проекциях на оси
,) S {,,,(,. *, ()
•02 (*) = 2 {С,,,(«,, *, (У)J + С2, ,(m2i ks (у)J|,
станут сколь угодно большими по модулю, соответственно, слагаемые
а другие слагаемые останутся ограниченными. Это противоречит до-
доказанному выше равенству нулю вектора v(x) в {В — В^, и линейная
независимость системы {w,ift(y)} (/=1, 2; k=l, 2, 3, ...) доказана.
!! Обращаясь к доказательству полноты системы в L2, по тем же
соображениям, что в § 21, достаточно показать замкнутость в прост-
пространстве Сц (S). Пусть а (у) есть произвольный непрерывный вектор на S,
и пусть равны нулю скалярные произведения
J(«- <o/ift)tfS=0 (/=1. 2; k=l, 2, 3, ...).
s
Покажем, что тогда a(y) = 0, у ?S. Рассмотрим упругий потенциал
простого слоя
V (*) = /« (у) Г (ж, y)dSy.
Согласно условию имеем для проекций V
Vt (**) = / [«1 (У) г<1г)(**. У) + а2(У)ri"(ж*, у)]d5y =
S
= J («(у), <ог>, (у))dSy = 0 (/=1, 2),
и эти равенства выполняются почти всюду на Sv Отсюда, ввиду непре-
непрерывности V(x) на 5,, следует, что V(x)==0, x?Sv Теперь мы
покажем, что потенциал простого слоя V (х) обращается в нуль на
бесконечности. Как известно (см. § 3, гл. X), для этого достаточно,
чтобы

% 88] ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ОБОБЩЕННЫХ РЯДОВ 425
Покажем, что'в нашем случае это условие есть следствие нало-
наложенных выше на вектор я (у) условий ортогональности к системе
{т1,к(У)}- Введем для этого новый потенциал простого слоя
. y)dSx
s,
с неизвестной плотностью ф (у) и определим ее так, чтобы
lim
Из § 3 мы знаем, что это приводит к интегральному (однородному
и сингулярному) уравнению, допускающему три линейно независимых
решения (в пространственном случае число линейно независимых ре-
решений равно шести), и соответствующие потенциалы простого слоя
представляют в В составляющие жесткого перемещения1. Таким
образом, можно, в частности, выбрать указанные решения так, чтобы
два вектора жесткого перемещения Е,A, 0) и ?2@, 1) выражались
при помощи потенциалов простых слоев
?, = J ф<»> (х) Г (ж, у) dSx, E2 = f фР> (х) Г (х, у) dSx, . у ? В.
S, S,
Заменим интегралы в правых частях этих равенств при помощи
какой-либо формулы квадратур, взяв за узлы точки хк на Sv тогда
будем иметь
оо оо
El = ^akT(xk, у), E2=^bkT(xk, у),
где ak и Ьк — определенные постоянные векторы, вычисляемые по
известным формулам, и ряды равномерно сходятся. С другой сто-
стороны, имеем
V(xk) = f*(y)T(xt, y)dSy = 0 (k=l, 2, 3, ...)•
s
Умножив k-e равенство на ak и сложив, получим
ft-l S
Далее умножим k-e равенство на Ьк и сложим, получим
1 Ввиду произвольности контура S[ мы можем считать их отличными
от нуля.

426 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ (ГЛ. X
Ввиду равномерной сходимости рядов полученные выражения пере-
переписываются еще в следующем виде:
S k=l
или, согласно доказанному,
J (я, ?,) dS = J («, Е2) dS = О,
5
и следовательно.
это и есть доказываемое свойство вектора я (у). Как мы знаем, по-
последнее условие обеспечивает обращение в нуль плоского упругого
потенциала простого слоя на бесконечности и в соединении с равен-
равенством
которое было установлено выше, дает по теореме единственности
(Заметим, что в этом пункте пространственная задача оказывается
более простой, так как обращение в нуль, на бесконечности простран-
пространственного потенциала простого слоя выполняется автоматически и
необходимость приведенного выше построения отпадает.) Из условия
V(x)s=0, х?Ва — В, вследствие непрерывности V(x) и всех его
производных вплоть до точек кривой 5 вытекает
V(x)==0, x?Ba.
Отсюда, в свою очередь, по непрерывности потенциала простого слоя
на «несущей» кривой и ввиду единственности решения внутренней
задачи ?>,-, получаем V (х) = 0, х ? Bt, и, наконец, а (у) ==0, у ? S,
что и нужно было показать. Как уже сказано, из замкнутости в CiaE)
следует полнота в ^E) (см. § 21), и теорема доказана.
Введем некоторые новые обозначения. Пусть
«1, * (у)=Г*' (у), «г, * (у)=
Систему {4»A) (У)} заменим эквивалентной системой {?{$}. полученной
ив первой ортонормализационным процессом Шварца,

§ 28] ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ОБОБЩЕННЫХ РЯДОВ 427
где
X(i) (у) = 4><!> (У).
ХC) (у) =
(напомним, что (а • Ь) есть скалярное произведение векторов а и b
и |а| обозначает длину вектора а). Имеем по формулам Шварца
<р<« (у) = 2 Агкф*> (У) E=1.2,3,4,...).
где Ask — заданные постоянные. Из функционального уравнения
A0.1352), которое теперь запишем в виде
|Г(х, y)<?(y)dSy = F(x), x?Ba, A0.1352)
s
где
,(x, y)f(y)dSy,
s
можно найти коэффициенты Фурье для неизвестного вектора ф (у)
Придав переменной х значения xv x2, х3, ..., xt, перепишем ра-
равенство A0.1352) в проекциях в следующем виде:
+ [b (У) V? (У) Н- <Р2 (У) 1f (У)] У dSy = F(xx).
/ {[<РХ (У) If' (У) + 92 (У) If' (У)] *, +
(У) ti4' (У) + <Р2
(У) ФР'" " (У) + Та (У) If "'' (У)] <! Н-
+[<рх (у) if'1 (у)+92 (у) ФР ° (у)] М rf5y=/7(^«)-
Имея в виду найти s-й коэффициент Фурье, где s = 2/— 1 или
* = 2Л умножим первое равенство на вектор ASt г = Att ^ ¦+• ASt 2i2.
второе — на вектор Л4B = i4Si 31г-\- ASi4i2 и т. д., t-t равенство — на
вектор ASlS— As,sh ПРИ s нечетном и на вектор Ass— А3_и^г -f- Assi2
при s четном. Сложив полученные / равенств и приняв во внимание

428 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
значение ф№ (у), получим
[ГЛ.Х
Г
= / (? (У). ?w (У)) ^5у = Ф, =
*•
Таким образом, ряд Фурье для вектора <р(у), сходящийся в среднем
к ср(у), имеет следующий вид:
со (
и |—t- обозначает целую часть числа —S—• Введем обозначение
s
V Ф
(у) ] Г (х.
- 1 F (х).
Очевидно, u(N)(x) есть регулярное в S,- решение уравнений упру-
упругости. При N-*oo он имеет своим пределом точное решение рас-
рассматриваемой задачи. В самом деле, составив разность и(х) — «'^
х ? Bt, рассмотрим проекции на оси
Я> (х) - «f (х) | < 1 J
N
||
«р, (у) - 2 Ф,<р}*> (У) ГУ» (х, у)
dSy
. y)\dSy (/=1.2).
Применив неравенство Шварца, будем иметь
^V f (?i(y)~2ф*^(
y = l. 2).

§ 29] РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВНЕШНЕЙ ОБЛАСТИ 429
откуда в силу установленной выше средней сходимости следует до*
называемое свойство. Окончательно имеем
? Фз?(" (У)\ г(*. y)dSy - ± F(x), х 6 В,.
„ S ¦ I /
Заметим, что так как для задачи D,-, как было показано в гл. VI,
§ 7, доказано существование (первого) тензора Грина, решение
может быть представлено также равномерно сходящимся рядом
где fk есть коэффициенты Фурье заданного вектора /(у), у?S,
в разложении по элементам полной системы {?(S)(y)}- (См. § 38; 2°.)
§ 29. Решение первой граничной задачи для внешней области.
Рассмотрим здесь пространственную задачу, функциональные уравне-
уравнения которой согласно § 4 гл. X имеют следующий вид:
+ i / Г (*'
S S
0 = ^ /г, (ж. y)/(y)d5y + ^ /г(ж.
S S
где (см. §§ 3—4, гл. I)
Г (ж. у) = I Г?' (х, у) |], Г, (х, у) = I If k I (/. ft = 1. 2. 3);
.. д 1
cos(«y, j,)^--
*S(V> ?2> У. y^^i- 'Чг. "'Is'»- 'i- rV *з~коорд. орты
8'* = o! /^fe' ('¦* = »¦ 2,3).
Эта задача решается методом обобщенных рядов аналогично внутрен-
внутренней задаче, рассмотренной в предыдущем параграфе. Различие состоит
лишь в том, что теперь вспомогательную поверхность Sx следует
строить внутри области Bv Это обстоятельство вызывает незначи-

430 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
тельные изменения в рассуждениях, и мы остановимся именно на
яих. Линейная независимость системы векторов
' (*=1. 2, 3;Л=1, 2,3, 4, ...).
где, как уже сказано, точки хк расположены в Bt, доказывается
допущением от противного. Пусть система e>it k (у) линейно зависима.
Тогда найдутся постоянные CUk (/=1, 2, 3; k=l, 2, 3, 4, ...),
среди которых по крайней мере одно, например одно из С-и r, r <J re,
не равно нулю, и соблюдается тождество
для всех уE и хотя бы для одного конечного п. Но в этом слу-
случае регулярное в Ва решение уравнений упругости
з п
v(x)=X 2c«,^,ftsW
<5удет нулем всюду в Ва. Вследствие непрерывности вместе со всеми
производными вдоль S отсюда следует, что и в (Bt — В) имеем
4j(jc) = O. Приближая переменную точку х из (В{ — В) сколь угодно
близко к точке xft на Sv заметим, что в выражениях для проекций
v^(x) и v2(x) слагаемые Clir(wlit (x)V и C2i r(uJi ft (x)J станут по
модулю сколь угодно большими, в то время как остальные слагаемые
ограничены. Из этого противоречия следует доказываемое свойство
•системы {w(>s(y)}. Полнота системы {<«>/, s (у)} показывается так же
просто. Пусть «(у)—произвольный непрерывный вектор на 5, и
пусть
Г (а (у), taiiS(y))dSy — 0 A=1, 2, 3; s=l, 2, 3, 4, ...).
s
Покажем, что тогда а(у) = 0. Рассмотрим потенциал простого слоя
V(x)= |«(у)Г(х, y)dSy.
S
Согласно условию
V(jca) = 0 (xk^Sv k=l, 2, 3, 4, ...).
причем эти равенства выполнены почти всюду на Sx. Поэтому
V (х) = 0, х ? Sv
я по теореме единственности первой внутренней однородной задачи
Вследствие непрерывности V (х), вместе со всеми производными
вдоль Sv отсюда следует V(x) = 0, x?B(, и по непрерывности

§ 30] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ (D{) ДЛЯ МНОГОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ 431
потенциала простого слоя на несущей поверхности и в силу обра-
обращения в нуль на бесконечности V(x) = 0, х?Ва. Составив разность
предельных значений Т-операции от потенциала простого слоя V(x)
на 5 извне и изнутри, получим а (у) = 0, у ? S, и полнота в L2 (S)
доказана. Дальнейшие рассуждения совпадают с предыдущим пара-
параграфом, и если для простоты сохраним старые обозначения, получим
следующий окончательный результат:
1
y)f(y)dSr
§ 30. Решение задачи (Di) для многосвязной области. Вид
многосвязной области и все обозначения сохраним § 23. Дока-
Докажем теорему: Система {tait k (у)) линейно независима и замкнута
в пространстве Cl2(S). Допустив, что линейная независимость не
имеет места, мы сможем составить некоторый конечный линейный
агрегат из элементов последовательности {о)г> k(y)}, который представит
в Bt регулярное решение уравнений теорий упругости и поэтому
равен нулю всюду в Bt. Отсюда вследствие непрерывности вместе
со всеми производными вдоль границы S, находим, что рассматри-
рассматриваемый агрегат равен нулю и вне Bt, в некоторой области, в част-
частности в области между поверхностями SQ и SQ и S* и 5* (& —1, 2,
3, ..., т). Поэтому, повторив те рассуждения, которые в этом слу-
случае применялись в двух предыдущих параграфах, мы придем к про-
противоречию и линейная независимость {w(>ft(y)} доказана. Теперь по-
покажем, что произвольный непрерывный в смысле Н вектор на S,
удовлетворяющий условиям
/ «(У) «г, k (У) dSy = ° ('=1. 2, 3; k=\, 2, 3, 4, ...).
есть тождественный нуль. Рассмотрим потенциал простого слоя
V(x)= f«(y)V(x, y)dSy.
s
По условию этот потенциал равен нулю на 5' почти всюду и по
непрерывности
Рассматривая переменную точку х в Sj,' и замечая, что на беско-
бесконечности потенциал обращается в нуль, заключаем что в области Ва
он равен нулю. Отсюда по непрерывности следует
lim V(x)=0.
€

432 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
Рассматривая переменную точку х в области B(f {k = 1, 2, 3, .... т.),
внутри областей, ограниченных поверхностями 5*, заметим, что вслед-
вследствие обращения V(x) в нуль, когда х ? S*, и ввиду того, что
внутри Sk V(x) есть регулярное решение уравнений упругости,
V(x)s=0. Из непрерывности, вместе со всеми производными, отсюда
вытекает, что У(х)н=0, х?В%\ и, наконец, отсюда, по непрерыв-
непрерывности потенциала простого слоя,
lim V(jc) = O (/8=1,2,3 т).
Но в таком случае V(;c) = 0, x?Bt, и следовательно, а(у) = 0,
что и нужно было показать. Дальнейшие рассуждения остаются без
изменений и при условии существования решения приводят к следую-
следующему результату:
Для любой внутренней точки многосвязной конечной об-
области Bt решение первой внутренней задачи представляется
в виде предела
n \
\
I
± /Т(х, У)%ФЯ{1> (У)dSy\-
s /=i
и частичные суммы ряда дают приближенные значения ре-
решения.
§ 31. Решение второй внутренней задачи для односвязной
области. В этом параграфе Bt есть односвязная область, ограничен-
ограниченная поверхностью S. В области В( ищется регулярное решение си-
системы уравнений
{а Ди (х) + (X -f- (i) grad div и (x) == О,
удовлетворяющее граничному условию
lim (Ju(x))=f(x0).
причем f(x0) есть вектор класса Н, заданный на поверхности. Как
мы знаем из § 5, гл. VI, эта задача имеет решение лишь в том
случае, если выполняются условия
ff(y)dS,=*0. f (/(у) X г (у)) dSy = О,

{ 31] РЕШЕНИЕ ВТОРОЙ ВНУТР. ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ 433
где г (х) есть радиус-вектор точки х. В этом случае решение (см. § 3,
гл. X) представляется решением системы функциональных уравнений
x^Bt, A0.1360
х?Ва, A0.1362)
s"
где
= /Г(х, y)f(y)dSr
Для облегчения выкладок, которые мы проведем здесь подробно,
напомним вид матрицы
Ifi if i
If, If,| =
Tlr<3) т2гC>
Согласно принятому правилу умножения матрицы на вектор уравне-
уравнение A0.1362) может быть записано в виде
(Ю.1365)
гдеГ1D)(х, у) обозначает k-ю строку матрицы Г](лг, у), рассма-
рассматриваемую как вектор. Очевидно, проекциями этого вектора на ко-
координатные оси будут Г', (ft) (/=1, 2, 3); иначе говоря,
11, [к) — 11, *>
т. е. проекция на 1-ю ось А-го вектора-строки равна проекции на
k-ю ось /-го вектора-столбца. На поверхности Sj зафиксируем,
всюду плотно, счетную последовательность точек xs и рассмотрим
систему векторов
vo(y). v», ,G0 = Г,, ,*,(*,, у) (k=l, 2, 3; s=l, 2, 3, 4, 5, ...),
где vo(y) есть вектор жесткого перемещения, a vft s(y) есть значение
А-го вектора-строки матрицы Г] (х, у) в точке х = ху Покажем,

434 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ¦ [ГЛ. X
что эта система линейно независима и замкнута в простран~
стве ChLl(S) непрерывных в смысле Н и заданных на S векторов.
Для доказательства первой части утверждения допустим обратное.
Тогда найдутся такие постоянные Со, CXs, C2s, C3s, не равные
нулю, что
3 л
-Covo + 21 2Ck, ,.v*. н (у) = 0, у ? S, A0.137)
хотя бы при некотором конечном п и для всех у на S. Введем
вектор
= 2 2 Cki s r;ft) (л..
В области Bt этот вектор является регулярным решением уравнений
упругости. Покажем сначала, что Со = 0; в самом деле, если бы это
было не так, то из A0.137) следовало бы, что
Умножив на dS и интегрируя вдоль S, приняв во внимание еще, что
получим Covo| S| = 0, где | S| — площадь поверхности S. Это противо-
противоречие показывает, что если допущение A0.137) имеет место, оно
должно иметь следующий вид:
Но отсюда по теореме единственности для второй задачи вытекает,
что внутри Bt
где v(;t) есть некоторый вектор жесткого перемещения. Рассмотрим
вектор
V (*) = «(*) — v(*).
Он равен нулю в Bt ч вследствие непрерывности вместе со всеми
производными вдоль S равен нулю и в некоторой области вне В1У
в частности в области (В — Bt). Проектируя на координатные оси,
будем иметь
Vj (х) = 21 2 С„, s.Tf (xs., x) (/ = 1. 2, 3).

§ 31) РЕШЕНИЕ ВТОРОЙ ВНУТР. ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ 43&
Приближая переменную точку х из В— Bt к точке xs на Sv заме-
заметим, что в силу вида векторов T*k)(xs., х\ по одному слагаемому
в каждой проекции, а именно слагаемые
C,.,,lf(*v x), C2,sTf(xSf. x), Cbtlffa. x),
неограниченно возрастают по модулю, в то время как другие сла-
слагаемые остаются ограниченными. Поэтому, если хоть одно из чисел
?i, v ^2, sr> О, s отлично от нуля, мы приходим к противоречию,
и предположение A0.137) отпадает. Линейная независимость доказана.
Переходим к доказательству полноты. Пусть а (у) есть произ-
произl
вольный элемент пространства Clt(S), и пусть
s s
(k = l, 2, 3; s=l, 2, 3, 4, 5, ...).
Покажем, что тогда а(у)==0. Из заданных условий вытекает
з
/Г, (xs, у) а (у) dSy= I У (Г,, w (*,. у) • а (у)) *4 rfSy =
S ft-l
Рассмотрим вектор
W(x)= J Г,(х,
Так как согласно только что показанному этот вектор равен нулю-
на Sj почти всюду, и так как на Sx он непрерывен, W(x) = 0 на
всей Sv
С другой стороны, W(x) есть упругий потенциал двойного слоя,
обращающийся в нуль на бесконечности, и по теореме единственности
для первой внешней задачи имеем
Но W(x) вместе со всеми своими производными непрерывен вдоль Sv.
и потому
Таким образом, рассматриваемый потенциал двойного слоя равен
нулю во всей внешней области Ва. Отсюда и из результатов § 3.
гл. VI следует, что плотность потенциала равна вектору жесткого

436 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
перемещения, т. е. а (у) = ji0 (у), где |г0 есть некоторый вектор
жесткого перемещения. Но по условию
и ввиду произвольности вектора жесткого перемещения v("! (у) отсюда
вытекает
|г0 (у) = а (у) = 0.
Это доказывает замкнутость рассматриваемой системы в С\г (S). Так же
как это было сделано в § 21, полнота доказывается и в простран-
пространстве Z.2. Введем обозначения:
Очевидно, последовательность {4>да(У)} линейно независима. С ее
помощью построим ортонормированную последовательность {ср^' (у)}:
где Bsk — известные постоянные. Присоединив сюда нормированный
вектор жесткого перемещения ср<°> (у), рассмотрим последовательность
Ws)(y)) E = 0, 1, 2, 3, 4, ...).
Очевидно, эта последовательность полна и ортонормирована; в са-
самом деле
0 х f В ,
к, у) rfSv = ч "
* const ср<°> (х) х ? В^,
из которой и следует, что вектор ср@) (У) ортогонален ко всем про-
прочим элементам совокупности.
Согласно § 3, гл. X функциональное уравнение (li
имеет решение в классе Н. Поэтому
где через Фт обозначен коэффициент Фурье в разложении решения
по системе полной и ортонормированной совокупности {ср№ (у)}:
фт = J (? (У) • ?(mi (У) )*S (« = 0. 1.2....).
S

$ 31) РЕШЕНИЕ ВТОРОЙ ВНУТР. ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОСВЯЗНОЯ ОБЛАСТИ 437
Можно определить указанные коэффициенты Фурье из уравнения
A0.1362). Действительно, как было показано выше для точек xt,
лежащих на Sv это уравнение записывается в следующем виде:
О1..
s k=\
('=1. 2. ...)¦¦
Желая, например, найти число Ф,„, /ге-й коэффициент Фурье, пред-
представим число т. в одном из следующих возможных видов m = bs — 2,
m = bs — 1, m = bs. Умножим первое уравнение (т. е. то, которое
соответствует значению /=1) скалярно на вектор В,п1 = 5,nlij-(-
BBJz. второе уравнение (i = 2) на вектор.Вт2 = В^4
/3 и т. д., *-е уравнение (Z = s) умножается на вектор
Вт,тЦ,
Сложив эти произведения, будем иметь
з
если s =
если s = ¦
s = -
ЧРСУ)
= Фт = —

433
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
[ГЛ. X
После того как таким образом найдены коэффициенты Фурье для
неизвестного вектора tp (у) мы можем построить вектор
«w С*) = ± [ Г, (л-, у) 1™ (у) dSy + ±
Очевидно, этот вектор является в Bt регулярным решением уравне-
уравнений упругости. Кроме того, нетрудно убедиться, что его значения
во внутренних точках Bi сколь угодно хорошо аппроксимируют с воз-
возрастанием N точное решение задачи. Напомним также, что в гл. X, § 3
было показано, что решение действительно существует и предста-
представляется равенством A0.136j).
Рассматривая проекции на координатные оси разности
находим
а (х) _ в(ло (х) | < _L if
т\ и) (х, у) «р, (у)
(У) dSy
J
4-
Г? U) (x, у) ъ (у)
L
Л"
&» (у)
dS.,
s=0
dS,,
и в силу неравенства Шварца
S \ s=l / S
и на основании A0.138) получаем окончательно
lira иШ) (х) = и (х).

§31] РЕШЕНИЕ ВТОРОЙ ВНУТР. ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ 439
Таким образом, когда условия разрешимости задачи, указанные
в начале параграфа, выполнены, вторая внутренняя задача теории
упругости имеет решение, которое представляется формулой
" (*) = i lim f ri (*• у) tm W dSy +4тс/? (*)• x € Br
Очевидно, конечные отрезки ряда, стоящего в правой части, дают
приближенные значения решения в точках, лежащих внутри В{.
Заметим еще, что вследствие того, что ^>@) (у) есть произвольный
вектор жесткого перемещения и
J Г, (х, у) Фо?<°> (у) dSy = const • <р<°> (х), х ? В,,
S
полученное решение определено с точностью до аддитивного про-
произвольного вектора жесткого перемещения.
Теорема о полноте системы {vfc(i(y)} и результаты, установлен-
установленные в гл. VI, § 7 относительно свойств второго тензора Грина,
позволяют использовать идею Пиконе (см. § 21, стр. 401)
для получения решения рассматриваемой задачи в несколько ином
виде. Укажем здесь эти соображения вкратце. Напишем обобщенный
ряд Фурье по ортогональной системе [^s) (у)}, соответствующий
заданному граничному вектору f(y):
?VP(y). (Ю.139)
s-0
где
Очевидно, 9<s) (У) можно выразить в виде линейной комбинации
4>(s)(y), а эти последние выражаются с помощью vfc>,(y). Внеся эти
значения в правую часть ряда A0.139), построим выражение, соот-
соответствующее первым N членам,
3 Л'
«pW(y)=2 S^svb0i) (Asll — заданные постоянные).
Составим вектор
«<"> (*) = 2 2 ASi ,Г<*> (xs, x), x ? Bt.

440 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
Очевидно, lim Т«(лг) (x) = v{N) (у), с другой стороны, иш) (х) есть
лг->У
регулярное в В1 решение уравнений упругости, так как каждое
слагаемое является таковым. Рассматривая эти слагаемые как инте-
интегралы уравнений упругости, Т-оператор от которых равен на 5
изнутри вектору 7T(ft) (xs, у), у ?S, будем считать их решениями
соответствующих частных вторых задач в области Bt и, обозначив
через Н (х, у) второй тензор Грина для этой области, можем писать
согласно § 7, гл. VI (стр. 183), с точностью до слагаемого вектора
жесткого смещения:
и, следовательно,
Г<*>(*,. x)=JL ///(*. у)(ТуГ<*>(*,. y))dSy,
«(ЛГ) (х) = ^ /' Н (х, у) *<"> (у) dSy.
s
С другой стороны, если выполнены условия разрешимости задачи,
ее точное решение имеет следующий вид, с точностью до слагае-
слагаемого вектора жесткого смещения:
«(*) = — ^- у tf(jC,
i
Поэтому
| и (х) — »<"> (х)\К-Ь H{x,yy\f{y)—\ /><*> (у) dS
У
В силу сходимости в среднем ряда A0.139) и в силу того, что
интеграл
f\Hf(x,y)\2dSy
S
для любой точки х, лежащей в Bit ограничен, имеем
«(*)= lim ttiN)(x).
При этом, очевидно, решение определено с точностью до аддитив-
аддитивного жесткого смещения. Относительно этого способа см. еще § 38, 2°.
Мы рассмотрели внутреннюю задачу.
Внешняя задача решается способом, описанным выше, так же, как
это было сделано при рассмотрении внешней задачи Неймана в § 25.
Ввиду полной аналогии более подробно на рассмотрении этого
вопроса, а также на задачах с многосвязными областями не оста-
останавливаемся.

i 32]
СМЕШАННАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА
441
§ 32. Смешанная (четвертая) граничная задача для изотроп-
изотропного упругого тела. В этом параграфе рассматривается статическая
плоская смешанная задача. Сначала будет доказана теорема суще-
существования решения, а затем указан спо-
способ его приближенного построения. 4г
Пусть тело занимает конечную об-
область BL, ограниченную простым замкну- а><
тым гладким контуром S. Пусть на S
взяты дуги S'k = akbk (й = 1, 2,
3 п) (на рис. 4 сплошные линии),
не имеющие общих концов, и дуги
(пунктирные линии), дополняющие
сплошные дуги до полного контура S. 4/
Будем называть совокупность дуг S'k
(k=l, 2 п), следующих друг за
другом против движения часовой стрел-
стрелки в натуральном порядке индексов,
линией. 5', а совокупность дуг S'k(k —
=1, 2, 3 я), рассматриваемых в той Рис. 4.
же последовательности, — линией S".
Мы будем решать следующую задачу: определить упругое рав-
равновесие тела В[ из условий
lim u(x)=f{l)(x0),
lim
A0.140)
где /ц (jc0) и /й (jfo) — заданные, соответственно на S' и S", до-
достаточно гладкие векторы. Соединим точки bk и ak+l (k = 1, 2, 3, ...
..., п) произвольными гладкими линиями .b\ckak+1 (an+1^a1), це-
целиком расположенными вне Bt, и будем называть совокупность этих
дуг, рассматриваемых в указанной последовательности, линией SJ.
Проведем еще дуги (пунктирные) b'ha'k+v не имеющие общих точек
с S' и S", и назовем совокупность этих дуг S'2; наконец, совокуп-
совокупность дуг b'kcka'k+x назовем S'z. Несвязную область, ограниченную
линиями S" и S'y будем обозначать Ва и называть внешней областью,
расширенную область (Bi~\-Ba) будем обозначать через В; область
(часть Вв), заключенную между дугами bkak+l и b'ka'k+l назовем
В'к ft+1 и область, заключенную между дугами b'ka'k+1 и Ь'ксka'k+l,
обозначим через В"к к+1; несвязную область, представляющую сово-
29 В. Д.;Купрадзе

442
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
[ГЛ. X
купность областей B'k k+l (k—\, 2, 3 и), назовем В'а, и не-
несвязную область, представляющую совокупность областей В"к . v
назовем В"а (Ва = В'а + В"а).
В дальнейшем поставленную задачу удобно решать для того
случая, когда вектор j*l)(x0) равен нулю. К этому приводится общий
случай. В самом деле, пусть Ф(х) есть дважды непрерывно диффе-
дифференцируемый в Bi вектор, с непрерывными первыми производными
вплоть до контура, принимающий в точках линий S' значения, со-
совпадающие с fw(x0). Пусть
v (х) = и (х) — Ф (х), A0.141)
где под и(х) подразумевается решение задачи A0.140). Тогда будем
иметь
Д*т (х) = р (х), х?В[, lim v(x) — 0,
lim
Tv(x)=f(xQ),
A0.142)
где
p (x) = — Д*Ф (x), f(x0) =/2) (xQ) - ТФ (x0).
Найдя решение задачи A0.142), решение задачи A0.140) получим
из A0.141). Пусть О (х, у) есть тензор Грина (статический) пер-
первой задачи (первый статический тензор Грина) для области В. Со-
Согласно определению (§ 7 гл. VI)
о
G(x, у) = Г(х, у) — v(x, у) (х,
где в данном случае плоской (статической) задачи
га In r (х,
(*. у) =
х, у)
т
— уг)
гг(х,у)
(xv х^ и (ур у2) — координаты точек х и у в прямоугольной пря-
прямолинейной системе координат.
Напомним, что
lim G(x,
= G(y, x), '
Д* J О (х, у) р (у) day = _
A0.143) :

§ 32] СМЕШАННАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА 443
Решение задачи A0.142) можно искать в следующем виде:
v(x)= J G(x, у)9(У) dSy — -^ JQ(x, y)f>(y)dyldy2, A0.144)
s- в1
где <p (у) — неизвестный вектор класса Н на S", допускающий на
концах линий S" особенности логарифмического порядка. При этом
первые два условия задачи окажутся выполненными ввиду A0.143),
а последнее приводит для ф (у) к соотношению
- Щ (х0) + / (Т*О (х0, у)) ? (у) dSy =
(у2. A0.145)
Это равенство представляет собой систему одномерных сингулярных
интегральных уравнений на разомкнутом контуре. Теория разреши-
разрешимости, изложенная в гл. V для систем сингулярных интегральных
уравнений на замкнутой поверхности Ляпунова, в одномерном слу-
случае может быть распространена на систему уравнений A0.145), рас-
рассматриваемых на разомкнутой линии Ляпунова, ввиду ее специаль-
специального характера. Однако существует и общая теория этих уравнений,
разработанная Н. П. Векуа и изложенная в книге «Системы сингу-
сингулярных интегральных уравнений» (Москва, 1950).
Рассмотрим интегральное уравнение, союзное с однородным
уравнением, соответствующим A0.145):
fo,(x0,
$
A0.146)
Здесь G/(jc0, у) обозначает матрицу, полученную из матрицы
(ТХО (х, у)) перестановкой строк и столбцов и точек х а у.
Можно легко показать [11], что это уравнение переписывается еще
в следующем виде:
L(x0,
S"
A0.146')
где матрица L(x, у) есть
L{x, y) =
0 -1.?
г dSy
29*

444
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
[ГЛ. X
-т= касательная производная в точке у, К\ (х0, у) — определенное
на S" фредгольмово ядро и
$ 00.147)
Если t есть дуговая абсцисса точки у и t0 — дуговая абсцисса
точки х0 на S", то [246]
г0 — i — re ,
где
r = \to — t\. b = aig(to — t).
и, логарифмируя и дифференцируя по t, получим
dr dt , db JO
г
так как [246]
db
dS
имеем окончательно
dr
г
t — t0
d
~ dn
dt
t — U
Воспользовавшись этим, придадим уравнению A0.146') следующий
вид:
f?PL f=:0, A0.146")
S"
где
0 — а
а 0
и /С2(х0, у) — фредгольмово ядро. Введем две новые матрицы, опре-
определенные на замкнутой линии S следующим образом:
0> A(to) (o€y
В точках ak и Ьи (k = 1, 2, 3, ..., и) эти матрицы имеют раз-
разрывы первого рода.
Рассмотрим систему интегральных уравнений на замкнутом кон-
контуре S:
^ /'^/' = 0. A0.148)

§ 33] СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ СИНГУЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ 445
Очевидно, если эта система имеет решение в классе Н, допускаю-
допускающее в точках ак и bk (*= 1, 2, 3, . . ., я) особенности не более
«сильные», чем логарифмические, то оно будет также решением
уравнения A0.146"). Как уже отмечалось выше, для уравнений
типа A0.148), когда заданные элементы — достаточно гладкие функ-
функции точки на интервале интегрирования, допускающие конечные
разрывы в отдельных точках, разработана общая теория (Н. П. Ве-
куа). Уравнение A0.148), коэффициенты которого — кусочно-постоян-
кусочно-постоянные функции, есть частный случай таких уравнений; поэтому в сле-
следующем параграфе мы приведем некоторые сведения из упомянутой
общей теории систем одномерных сингулярных интегральных урав-
уравнений, достаточные для наших целей.
§ 33. Некоторые сведения из теории сингулярных интеграль-
интегральных уравнений типа Коши с разрывными коэффициентами. Как
и в гл. V, условимся называть слабой особенностью особенность
типа полюса ниже первого порядка. Если в точке а с афиксом а
функция if{t) имеет такую особенность, что выражение (t — <x)etp(?),
где е — произвольно малое положительное число, принадлежит
классу Н, будем условно говорить, что в точке а имеется логариф-
логарифмическая особенность. Обозначим временно точки ак, Ьк (fc =
= 1, 2, ..., я) через Cv С2, С3 Сд. По некоторому признаку,
который будет пояснен на примере уравнения A0.148) в следующем
параграфе, разобьем эти точки на две группы; точки одной будем
называть особенными, точки другой группы — неособенными. Точки
первой группы существенно отличаются от точек второй тем, что
в них (т. е. в особенных точках) решение интегрального уравнения
имеет логарифмическую особенность, в точках, же второй группы
(т. е. в неособенных точках) решение может иметь слабую особен-
особенность или логарифмическую особенность по нашему желанию. Пусть
точки Cj, С2, ¦ . ., Ср (р < q) — особенные, а остальные Cp+V Ср+2, . . .
..., Cq — неособенные. Разобьем неособенные точки произвольно на
две группы: Ср+1, Ср+2 С, (г < q) и Cr+V Cr+2 Cq. Будем
называть некоторое решение решением класса fi(Cp+v Ср+2 Сг),
если в точках Ср+1, Ср+2, .... Ст оно ограничено или допускает
только логарифмические особенности (вблизи других неособенных,
а также особенных точек никакие дополнительные условия не нала-
налагаются). Доказываются следующие теоремы:
А. Для того чтобы данная неоднородная система сингу-
сингулярных уравнений с разрывными коэффициентами имела ре-
решение класса h(Cp+l, Cp+2 Сг), необходимо и достаточно,
чтобы правая часть была ортогональна ко всем линейно-не-
линейно-независимым решениям союзного однородного уравнения класса
h(C,+v Сг+2 Cq).

446
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
[ГЛ. X
В. Если к есть число линейно-независимых решений класса
h(Cp+l С,) для данной однородной системы, а (а — число
линейно-независимых решений класса h(Cr+1 Cq) для союз-
союзной системы, то X — (* = /; число % называется индексом (сум-
марным) системы класса h(Cp+l, .... Сг), и не зависит от
К (t0, tj. Весьма важно, что суммарный индекс вычисляется явно.
Как это делается, мы покажем ниже на примере уравнения A0.148).
Если, в частности, неособенных точек нет вовсе (иначе говоря, если
все точки разрыва матриц A (t0) и К (t0, t) суть особенные точки),
то, очевидно, в приведенных выше теоремах, вместо решений клас-
классов h(Cp+1, Cp+2, .... Сг) и' h(Cr+1, Cr+2, .... Cq), речь будет
идти о решениях, допускающих в точках разрыва лишь логарифми-
логарифмическую особенность. Подробности по этим вопросам см. в [246];
там же приводится подробная библиография.
§ 34. Продолжение. Смешанная задача для изотропного тела.
Теорема существования. Для того чтобы применить теоремы пре-
предыдущего параграфа необходимо выяснить, какие из точек разрыва
матриц A (t0) и К (t0, t) являются особенными и какие неособенными.
Согласно правилу, установленному для этой цели (см. книгу
Н, П. Векуа, упоминавшуюся на стр. 443), поступаем следующим об-
образом: составляем матрицы
— 1 —ai
ai
—1
-1 ai
¦ai —1
где / — единичная матрица. Отсюда выводим:
[ 1 — а2
0о
и так как в силу A0.147) 1 — а2 ф 0, то det a (t0) — det d (t0) Ф 0
на всей кривой S. Введем матрицу g(to) = a~l (to)d(to):
1-fa2 — 2ai
2ai 1 + a2
(t0 6 S"),
('о
A0.149)

§ 34] СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА
Нетрудно проверить (см. рис. 4), что
I 1 + а2 — 2ai II
~ 2а/ 1-+-а2|'
= 1, 2, 3 я)
447
1
1+а2 -
2а/ 1
¦2а/
Ьа2
г=1, 2, 3 л).
Рассмотрим матрицы
1 -j- а2 — 2а/
2а/ 1 -+- а2
! | 1 + а2 2а/
1-й2 I — 2с; 1 ¦+- а2
(А = 1, 2, 3 я)
G(aj) = 7 (аг)== ••• ==7(ал)> 7 (^i)= 7 Фт)< •••
и найдем корни уравнений
det [7 (ак) — /v] =r 0, det [7 (bk) — /v] = 0.
Имеем
4a'
O—o»)*
= 0
и аналогично для уравнения dei [7 С**) — /v]=0. Обозначив через Vj,
v2 корни, будем иметь
_ 1—а _ 1+Д
vi— 14-a ' V2~" 1— а "
Принимая во внимание значение а по формуле A0.147), из которого
следует, что 0 < а < 1, делаем важный для дальнейшего вывод:
числа Vj, v2 положительные. Введем числа
P, = -E7-Inv/ (/=1.2).
Ввиду положительности v*, ветви логарифмов можно выбрать так,
чтобы
= 0 G=1,2).
Точки разрыва, обладающие этим свойством, называются осо-
особенными точками. Те точки разрыва, в которых реальные части
хотя бы одного из чисел ру (_/=!, 2) не являются целыми

448 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
числами, будут неособенными. Таким образом, в нашем случае все
точки, в которых решение может иметь особенности, суть особен-
особенные точки, и особенности (решения) здесь могут быть не «сильнее»
логарифмических. Чтобы найти число х (индекс уравнения), следует
построить для всех точек ak, bk (k — 1, 2, 3 п) матрицы
(г-г0Г О
О (г-г0Г
где z0 есть аффикс произвольной точки, фиксированной в Bt. Тогда,
так как в нашем случае р1 и р2 в точках ак и Ьк (k~ 1, 2, 3, ..., я)
соответственно постоянны,
1
где знак {. . . }s указывает изменение выражения, стоящего в скоб-
скобках, когда переменная точка г описывает замкнутую кривую 5. Со-
Согласно A0.149) &zig(z)~\ и, следовательно, arg det g (z) не пре-
претерпевает изменений при указанном обходе. Далее, так как
detx(*)=l,
и arg det x (z) также остается неизменным. Отсюда следует, что
х = 0, и теоремы, приведенные в предыдущем параграфе, о разре-
разрешимости уравнения A0.148) обращаются в основные теоремы Фред-
гольма. Теперь мы можем доказать однозначную разрешимость
уравнения A0.145) в классе Н, допуская для решения на концах
дуг S'k и S^ особенности не «сильнге» логарифмических. Так как
по доказанному для уравнения A0.145) верны теоремы Фредгольма,
достаточно показать, что однородное уравнение имеет только три-
тривиальное решение. Пусть верно противное и 9о(*о) есть отличное
от нуля решение однородного уравнения, допускающее на концах
логарифмическую особенность. Введем потенциал простого слоя
= fG(x, y)<@(y)dSy.
Ядро этого потенциала, первый тензор Грина, имеет в точке х = у
логарифмическую особенность; плотность потенциала ?0(У) п0 Усло*
вию также может иметь в точках ак и bk (k — I, 2, 3, ..., я) ана-
аналогичную особенность; очевидно, при этих условиях рассматриваемый
потенциал простого слоя будет ограниченным всюду, в том числе
и в точках ak и bk. Как мы видели выше, Т-операция от потен-

§ 35] РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА 449
циала простого слоя приводит к интегралу типа Коши (с добавле-
добавлением вполне непрерывного оператора). Поведение интеграла типа
Коши вблизи концов интервала интегрирования (в данном случае
вблизи точек ак и Ьк) хорошо изучено [246]; установлено, в част-
частности, что Tvo(x) имеет в точках ак и bk интегрируемую особен-
особенность. Поэтому в области Bt, из которой исключены точки ak и bk
(k—1, 2, 3 й) (малыми дугами, описанными из этих точек,
как из центров, и лежащих в Bj), применим формулу Бетти A.9')
(§ 1 гл. I) к вектору vo(x) и затем перейдем к пределу при стя-
стягивании указанных дуг к центрам; тогда, если еще примем во вни-
внимание, что на основании определения О(х, у) ©e(x) обращается
в нуль на S', a Tvo(x)=0 на S" в силу определения <ро(у). то по-
получим
vo(x) = O (x€Bt).
Ввиду непрерывности потенциала простого слоя отсюда следует
lim vo(x) = O.
На основании свойств тензора О (х, у)
lim
Таким образом, упругий потенциал простого слоя vo(x) равен нулю
всюду в точках линий 5" + 5(, ограничивающей конечную несвязную
область Ва, в которой указанный потенциал является регулярным
решением уравнений упругости. Отсюда по теореме единственности
следует, что vo(x) = O, х?Ва, и, следовательно, . <fo(y) — 0. На
основании приведенной выше теоремы об индексе отсюда следует
однозначная разрешимость уравнения A0.145) и, следовательно, су-
существование решения задачи A0.142), которое выражается форму-
формулой A0.144). Решение задачи A0.140) дается формулой A0.141).
Теорема существования доказана.
§ 35. Приближенное решение смешанной задачи для изо-
изотропного тела. Опираясь на теорему существования, доказанную
в предыдущем параграфе, можно получить приближенное решение
рассматриваемой смешанной задачи как способом канонических урав-
уравнений, так и способом разложения в обобщенные ряды Фурье. Мы
рассмотрим последний.
К вектору v(x), решению смешанной задачи, выражаемому фор-
формулой A0.144), как выяснено в предыдущем параграфе, можно

450 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
применить формулу Бетти в области Bt. При этом будем иметь
2*v(x)= ({T G(x, y))v(y)dSy— [G(x, y)Tv(y)dS +
s s
4- (O(x, y)p{y)day
Bi
0= f(TyG(x, y))v(y)dSy— f O(x, y)'
s s
4- J О (x, у) р (у) dcy (x?Ba). A0.1502)
Bi
Приняв во внимание свойства G(x, у) и значения v(x) и Jv(x) на
границе, предыдущие формулы можно переписать в следующем виде:
'(*)--= fGj(x, y)v(y)dSy + F(x) О??г), (l0.150i)
S"
S"
где приняты обозначения
F(x)= fO(x. y)p{y)doy~ fG(x, y)f(y)dSy.
в. s-
Переписав (lO. 150i) в следующем виде:
2м,(х)= fOj(x, y)[v(y) — v(Ck)]dSy +
S'
. +v(Ck) f(O,(x, y))*dSy + F{x),
S"
где Ck есть либо aft, либо bk, и О/ есть транспонированная ма-
матрица О;, принимая во внимание показанную выше ограничен-
ограниченность v (х) в точках ак и bk (k = 1, 2 й) и неограниченность
в этих точках интеграла I Gj{x, y)dSy, заключаем, что ©(aft) = 0,
S"
v(bk) = 0 (ft = l. 2, 3 й).
(lO. 150г) можно еще записать в виде
2
J ? (б/. ,л*01/ </5у = -/'(*) (х ? В.), A0.

§ 35] РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА 451
где Oit (j) обозначает у'-ю строку матрицы Gj (x, у), рассматриваемую
как вектор. На линии $2 фиксируется произвольно и всюду плотно
счетная последовательность точек xk и вводится система векторов
V/,*O0=G/U>(**> У) С/=1- 2; Л =1, 2, 3, .-..)• A0.161)
V}, ft (У) есть значение у-го вектора-строки в матрице Gr(x, у) в точ-
точке x — xk. Докажем, что система A0.151) линейно-независима
и замкнута в пространстве ChLl{S") функций, непрерывных
в смысле Н. Пусть линейная независимость не имеет места. Тогда
можно найти такие постоянные Clk, C2k, не все равные нулю, что
2 п
2 2Су»>Л* (у) = о
; = 1 I = 1 ' '
хотя бы при одном конечном значении я и для всех у на S.
Введем вектор
2 п
и (х) = 2 2 Cjkrf"(**,. *) (xkt ? S'2),
представляющий собой в области Вь регулярное решение уравнений
упругости. Из теоремы единственности для второй задачи и из на-
нашего допущения следует, что в области Bt u(x) есть некоторый
вектор же'сткого перемещения v(jc). Тогда вектор а(х) — v(x), ко-
который равен нулю в Bt, вследствие непрерывности, вместе со всеми
производными на S" равен нулю и в некоторой области вне Bt,
в частности в области Ва. Проектируя на координатные оси, полу-
получаем
2 п
us(х) = 2 2 CjbG(sJ)(xk x) (s = 1, 2).
Приближая переменную точку х из Ва к точке xk на 52, замечаем,
что, в силу определения векторов Gf}\xk, x), по одному слагаемому
в каждой проекции, а именно слагаемые
С, O^fVi. V"\ U С С№ ( Y V\
будет при этом неограниченно возрастать, в то время как другие
слагаемые останутся ограниченными. Поэтому, если хоть одно из
чисел Ci_ ft , Cit k отлично от нуля, мы приходим к противоречию
и предположение о линейной зависимости системы {vj ft(y)j отпадает.
Для доказательства замкнутости поступаем, как во всех предыдущих
случаях. Пусть а (у) — некоторый элемент пространства Cit{S"),
и пусть
= 0 (у = 1, 2, k=\, 2, 3, ...)•

452 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
Нужно показать, что а(у) = 0. Из предыдущего вытекает
2
f О,(хк, у)«(у)dSy = J ]? [G/, (л(*». у)«(у)] *,dS =
5" S" / = 1
2
_ . «(у)«(у)]/;rf5y = О (Л=1, 2, 3, ...)•
-JS
Рассмотрим вектор
W(x)= f0,(x, y)x(y)dSy.
S"
Так как на 5г почти всюду этот вектор равен нулю, по непрерыв-
непрерывности он равен нулю всюду на 5г. С другой стороны, W(x) есть
упругий потенциал двойного слоя, определенный в области Ва,
обращающийся в нуль на 5з; следовательно, он равен нулю всюду
в области Ва\ вследствие непрерывности вместе со всеми производ-
производными вдоль Si (при переходе через S^), W(x) равен нулю и в Ва
всюду, вплоть1 до линии S". Поэтому будем иметь для предельных
извне значений на S"
Мы получили систему сингулярных интегральных уравнений на ра-
разомкнутом контуре, совпадающую с системой A0.146), рассмотрен-
рассмотренной в § 32. Как было уже установлено, эта система имеет лишь
тривиальное решение и а(у) = 0, что и следовало показать. Из
полноты в Сц {S") вытекает полнота в L2, и это доказывается так же,
как в § 21.
Введем обозначения:
Последовательность {({"'''(У)} линейно-независима. Построим из сово-
совокупности (ф('Чу)} ортонормированную последовательность {?(<)(У)}:
где Bsl — определенные постоянные. Пусть
2

33] РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА 453
есть ряд Фурье для вектора Ф(у) (решения функционального урав-
уравнения (ЮЛбОг), существование которого было доказано в § 34) по
базисным векторам {^'Чу)}- Тогда
= J" (* (У)- ?(т> (У)) dSy (w = 1. 2, ...)
N
lim ft» (у) - У Фт<((т) (у) dSy = 0. A0.152)
Для определения коэффициентов Фт обратимся к (l 0.1500, подста-
подставив х — Xk ? 5г.
2
(*=1, 2, 3, 4, ...).
S" /-1
A0.153)
Для вычисления Фт представим т в одном из видов: т =
= 2s—1, m = 2s. Умножаем первое из уравнений A0.153) (соот-
(соответствующее значению k=l) скалярно на вектор Вт1 = Bmli1 -j-
-\-Вт212> второе уравнение (соответствующее значению k — 2) — на
вектор fim2 = BmZil-f- jB^tg и т. д., s-e уравнение (соответствующее
значению k = s) — на вектор
ят„А при * = ¦ ' *
2 '
Втт12 при s=-J
и складываем полученные произведения; тогда будем иметь
2
Wm) (У) • v (y)) dSy = Фт = - 2 (Bmft • F{xk)).

454 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
Пусть
S" m = 1
Очевидно, г/ '(л:) есть решение уравнений упругости в области
определения О/(х, у). Мы покажем сейчас, что его значения в про-
произвольной точке х?Вг сколь угодно хорошо аппроксимируют зна-
значения точного решения в этой точке. Применим неравенство Шварца
к проекциям разности \v(x) — г»(ЛГ'(л:)[:
dS> I I °) (,, Р dSy +
+ ?У J {"*- Z*m№(y)) dS
S" \ m = \ I S"
откуда в силу A0.152) и ввиду ограниченности интегралов
f\GitU)(x, y)fdSy (/=1,2; у = 1. 2; х?В,
вытекает сказанное. Таким образом, частичные суммы ряда
•
L / о7 (х, у) 2 Фт?(т) (у) й5у+^М (*
2т.
S" т = \
дают приближенные значения точного решения (в смысле метрики С).
§ 36. Смешанная (четвертая) граничная задача для анизо-
анизотропного тела. Теорема существования. Метод, предложенный
в предыдущих параграфах для решения смешанной задачи изотроп-
изотропного тела, распространяется на задачи для анизотропных тел. Итак,
требуется определить упругое равновесие тела Bi из системы диф-
дифференциальных уравнений (8.4) (§ 1 гл. VIII)
л дги, ... , . . дЧг , . дги, ,
2

§ 36] СМЕШАННАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ АНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА 455
и граничных условий
lim
u(x)=fil)(x0),
Так же, как и в § 32, эту задачу можно привести к следующей:
Д*г»(х) = р (х) (х ? В[), lim v(x) = 0,
i- т , I *°r ч A0.154)
hm Tv(x)=f(x0), K '
где Д* есть векторный дифференциальный оператор с составляющими
, * .*
на осях Ai и Дг и при этом
р (х) = - А*Ф (х), f(x0) =,f> (х0) ~ ТФ (х0).
Пусть О(х, у) есть тензор Грина первой задачи для области В,
которая теперь представляет анизотропное упругое тело, зависящее
от шести упругих постоянных. Согласно определению, во внутрен-
внутренних точках области имеем
О(х, У) = Г(х, y)-v(x, у),
A0.154')
где матрица Г(х, у), согласно § 1 гл. VIII, имеет следующий вид:
2
= (Xl — Vl)
— У2).
л2
23
и ak суть корни (комплексные) характеристического уравнения
(см. (8.5))
о^ = ak -\- 1Ьь, а» = о* — ibk (ft = 1, 2),
причем, без ограничения общности можно считать b*k > 0 (ft = 1, 2),

456
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
[ГЛ. X
dk есть алгебраическое дополнение элемента оф деленное на d в опре-
определителе
d —
i a?
1
В дальнейшем важную роль будут играть постоянные (точнее, их
определенные комбинации)
А=-
В =
где
(О —
Согласно (8.27) и (8.24) имеем
А12А13).
A0.155)
2 - ВС =
где
ДС "
¦^22-^33 ~~
¦ (А22В + 2А2ЪА + Л33С) > j-~ > О,
'11 Л12 Л1
1
3
¦^31 -^32 -^33
Подробный вывод этих неравенств изложен в работе [16] Башелей-
швили, которому они принадлежат.
Решение задачи A0.154) будем искать в виде
v(x)= fG(x, y)<((y)dSy — ~ fu(x,
S" B
. A0.156)
где f (у) — неизвестный вектор класса Н, допускающий на концах
линий S" логарифмические особенности. Тогда первые два условия
задачи окажутся выполненными в силу свойств тензора Грина, а по-

§ 36] СМЕШАННАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ АНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА 457
следнее приводит к уравнению для
f(J*°(*o.y))p(y)dyldy2. A0.157)
В § 6 гл. VIII мы уже встречались с уравнением вида A0.157)
и показали, что это — система сингулярных интегральных уравнений
типа Коши; но так как в данном случае уравнение рассматривается
на совокупности линий с концами (в отличие от § 6 гл. VIII), по-
покажем еще раз, что уравнение A0.157) действительно есть система
одномерных сингулярных интегральных уравнений на разомкнутых
контурах.
Уравнение, союзное однородному A0.157), имеет следующий вид:
- *Ф (*о)+ / О; (*0. у) ф (у) dSy = 0, A0.158)
S"
где
и Г;(л:0, у) есть матрица, полученная из матрицы Т^ДЧяо. У) тРан<>
позицией строк и столбцов и точек х0 и у. Аналогично строится
матрица Vj(x0, у) из матрицы Txjo(xo. у). Как известно (см. § 2 гл. VIII),
2
Г7(*. У) = Ii
где
2 2
JiVb = l — Ai, 2 Lb —
/cos (r, rtv)
Введя на линии 5" дуговые абсциссы точек х0 и у и поступая со-
совершенно так же, как в § 32 настоящей главы, убеждаемся, что
уравнение A0.158) приводится к следующему виду:
г f^dt+ /к^0, 0ф(*)Л*0. A0.158')
°
S" ° S"
30 В. Д. Купрадзе

458
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
|ГЛ. X
где матрица
р==
— At а
— Bi At
A0.159)
и Ki(t0, t) есть фредгольмово ядро на линии S". Введем две новые
матрицы К (t0, t) и P(t0), определенные на замкнутой линии 5 сле-
следующим образом:
K(t0, t)
о,
р
о
€50;
в точках ак и bk матрицы К (t0, t), P(t0) имеют разрывы первого
рода. Рассмотрим систему сингулярных уравнений на замкнутом
контуре 5
J
=0. A0.160)
Очевидно, если эта система имеет решение в классе Н, допускаю-
допускаюb (А 12
щее в точках ak и bk (А = 1, 2,
/г) особенности не более
«сильные», чем логарифмические, оно будет также решением си-
системы A0.158'). Теперь следует повторить построения § 34 приме-
применительно к уравнению A0.160). Составим матрицы
-l — At ¦ а |
— Bi — \+Ai\
—1 — At
—I
¦ А2 — ВС) (t0 ? S"),
1 (
Отсюда
Так как в силу A0.155) 8 = 1 + Л2 — ВСфО, имеем для всех
точек 5
Введем матрицу

§ 36] СМЕШАННАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ АНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА 459
Имеем
o-'Co) =
Следовательно,
1
1 — Ai Ci
— Bl 1 -f Ai
Co en
i — ВС
Рассмотрим матрицы
02 + ^C 2Ci
2Bi (\+Aif + BC
I
* — 0) и т(**) =
= l, 2, 3, .. ., «)•
Co ?S>')
'0).
Заметив, что точки (ak-\-0) и (ftft — 0) лежат на S', а точки (ак — 0)
и (*ft + 0) — на 5", находим
— 2В/
Т (f>k) =S
=S~l
X
(! _ А[)г_)_ ВС]
(\-\-Aif-\-BC
2Bi
+
—2С1
— 4ВС
-2С1
Таким образом,
Рассмотрим уравнения
2Ci
=(*«)•
= 0,
det [-г (**)-/>] =
30*
+ вс]
2Ci
2Bi

460 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ X
Имеем
d«t[T(«,)-/vI= Kl-AiY+BCm + AiY + BC] __
(I - Aiy + ВС | (l + Aiy + BC-l о 4ВС _
и аналогично для уравнения det[f(#ft)— /v] = 0.
Решая это уравнение относительно v, получаем
+ BC ГП-А' + ВСТ2 i_
— ВС - Р \1 + Л2 — ВС)
4(ВС — А2) _ A + ВС— А*) ± 2VBC —
~ 1 + А2 — ВС
и, следовательно, в силу неравенств A0.155) оба значения корня
положительны. Обозначим их vt и v2; Vj > 0, v2 > 0.
Поэтому для чисел
lv1 И P2 =
будем иметь
Rep1 = O, Rep2 = 0.
Следовательно, все точки разрыва матрицы P(t0) являются .особен-
.особенными точками уравнения A0.160). Для определения индекса уравне-
уравнения, как указывалось в § 34, следует -построить матрицы y^(z) для
всех точек ak и bk (k= I, 2, 3, ..., п); в данном случае, вследствие
постоянства чисел р, и р2 соответственно в точках ак и bk, ма-
матрицы /(г) сохраняют свой вид в этих точках; затем, поступая
так же, как в § 34, находим число
1 | det,
| '¦ = тг-1 аг& •
т. е. определяем изменение аргумента функции
det g (дг)
вдоль замкнутого контура 5. Из выражения для ^(г) находим, что
на S"
\ tA ~ AiJ + BC] [A + AiJ+ BC] - 1
Далее, вследствие того, что Pi —(— р2 = 25"-'n(vi' V2)=='5^'n * ~0'
имеем

J3/1] РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА 461
Из сказанного и из равенства
2S~ 2и arg det У- (z^s-
следует ч = 0. Как было выяснено в §§ 33, 34, это доказывает, что
к уравнению A0.160) применимы теоремы Фредгольма, и мы можем
теперь показать однозначную разрешимость уравнения A0.157) в клас-
классе//, допуская для решения на концах линий S' и S" (точнее, на концах
кусков Sk и Sk) логарифмические особенности. Для этого доста-
достаточно показать, что однородное уравнение, соответствующее урав-
уравнению A0.160), имеет только нулевое решение. Допустим противное
и обозначим через ер0 (л:) нетривиальное решение однородного урав-
уравнения, имеющее на концах логарифмическую особенность. Рассмот-
Рассмотрим анизотропный потенциал простого слоя
S"
где ядро потенциала О(х, у) дается формулой A0.154') и, как уста-
установлено в гл. VIII, обладает теми же (и только ими) аналитическими
особенностями, как соответствующий тензор для изотропного слу-
случая. Поэтому здесь дословно следует повторить рассуждения, при-
приведенные в § 34 (стр. 448—449), которые, так же как там, приводят
здесь к заключению, что 5ро(У) = О- Это доказывает разрешимость
уравнения A0.157), и формула A0.156) дает решение смешанной
задачи для анизотропного тела.
§ 37. Приближенное решение смешанной задачи для анизо-
анизотропного тела. Теорема существования, полученная в предыдущем
параграфе для смешанной задачи анизотропного тела, позволяет найти
приближенные значения этого решения в произвольной внутренней
точке тела. Это можно сделать как способом канонических уравне-
уравнений, так и способом разложения в обобщенные ряды Фурье. При
этом схема доказательства остается без всяких изменений по срав-
сравнению с аналогичным доказательством для изотропного случая, что
было подробно изложено в § 35. Поэтому здесь мы приведем лишь
окончательный результат: в любой точке внутри тела к точному
значению решения можно приблизиться, в смысле метрики С,
с произвольной точностью при помощи частичных сумм
N
т = \ S"
придавая числу N достаточно большие значения. Здесь G(x, у)
есть первый тензор Грина для анизотропного тела, введенный

462 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ |ГЛ X
в предыдущем параграфе 1):
0,(х, у) = ТуО(х, у),
<*j.k(y) = Oi,U)(x» У) С/=1- 2; А=1, 2, ...; xk?S'2)
и Фт есть коэффициенты Фурье в разложении граничных значе-
значений v(x) на S" по полной и ортонормированной на S" системе
векторов {ф(<)C0}; эти коэффициенты находятся по формуле
ft=l
где В в — определенные постоянные (постоянные ортонормализации
при переходе от векторов ф(''(у) к векторам 9(/)
Bm, 2 = Вт, 3*1 + Bm, 4*2
_ • /к
fim,m-l*l+5mml2 при S = T
= fO(x, y)f(y)doy- fO(x, y)f(y)dSy,
i s"
§ 38. Различные замечания. Некоторые новые задачи.
1°. О сходимости напряжений. В предыдущем изложении мы
исходили из основной системы дифференциальных уравнений теории
упругости в смещениях, и установленные при этом результаты,
в частности сходимость построенных приближений, относятся
к вектору смещения. Как известно, для приложения наибольший ин-
интерес представляют не смещения, а напряжения. В связи с этим
важно заметить, что способы приближенного решения, которые
указаны в этой главе, позволяют найти приближенные значения не
только для вектора смещения, но и для напряжения. Покажем это,
например, для второй внутренней задачи, рассмотренной в § 31.
') Относительно практического вычисления этого тензора см. п. 4 § 38.

§ 38] РАЗЛИЧНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 463
Для приближенного значения смещения было получено следующее
выражение:
Л'
S k = 0
Вектор напряжения, соответствующий этим значениям смещения, будет
N
= i /(ТГ,(*.
ft-0
Точное значение вектора напряжения в точке х, согласно A0.136!),
дается формулой
Ти (х) = -L У (ТГ7 (х, у)) ? (у) fifSy + ^ JF(x).
s
Составив разность проекций и оценив модули по неравенству Шварца,
получим
N .2 |T
К
Л |
T* (У) - S Ф^ (^)J d5y (/=1.2. 3),
где JtlSk)(x, у) обозначает проекцию на ось хь вектора ~\Yf\x, у) и
N
лг
есть проекция на ось хк вектора ? (у) — 2 Ф«?(*'(У)- Вследствие
5 = 0
ограниченности интегралов
f(TAk)(x, yjfdS, A = 1, 2, 3; ft = l. 2, 3)
во всякой точке х, принадлежащей области Bi, целиком располо-
расположенной в Bt, и ввиду среднеквадратичной сходимости ряда (*)
к нулю, можно для произвольно малого е > 0 указать такое зна-
значение числа NQ, что при N > No
\Tia(x)~TiaW(x)\<e.
Это и показывает сходимость приближенных значений напряжения
к точному значению в смысле равномерной сходимости. Ясно, что

464 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
этот же результат таким же путем может быть получен для всех
других задач.
2°. Способ разложения граничных функций. Как мы видели,
строя по методу функциональных уравнений приближенное решение
задачи (D), мы сначала получаем обобщенный ряд Фурье для гра-
граничных значений вектора напряжений; а в задаче G") — ряд Фурье
для граничных значений вектора смещений и лишь затем находим
значения смещения и напряжений в произвольной точке внутри
области. Аналогичную картину имеем и при решении смешанных
задач (см. §§ 32—37). На практике встречаются задачи, в которых
основной интерес представляют именно эти промежуточные вели-
величины, и тогда, очевидно, метод функциональных уравнений особенно
удобен.
Вообще же полные системы векторов, которые мы построили
для приближенного решения различных граничных задач, могут быть
эффективно использованы для тех же целей, если применить часто
используемую в математической физике идею разложения в ряд гра-
граничных функций, задаваемых в задаче. Покажем это на примере
задачи G1,). Пусть граничное значение вектора напряжения есть /(у),
которое, разумеется, удовлетворяет условиям разрешимости задачи (Гг).
Пусть
оо
(у), Fk= f (f(y) ¦ ?(*> (у)) dS. (**)
fc = 0 5
есть разложение вектора f(y) по полной и ортонормированной си-
системе векторов {5р(*Чу)}> построенной в § 31. Выразив tp(ft>(y) в виде
линейной комбинации векторов ф' * (у), а эти последние через век-
векторы v4) k (у), внесем полученные значения в написанный ряд и рас-
рассмотрим сумму первых N членов
2 2
5=1 k = \
Очевидно, вектор
J
JlS *. ^ (») €,)
5 = 1 * = 0
есть регулярное в Bt решение уравнений упругости, удовлетворяю-
удовлетворяющее, на 5 граничному условию
lim
Пусть Н(х, у) есть второй тензор Грина для области В1 (гл. VI, § 7).
Тогда , г
(х) = 4- / Н(х, y)v'NU
S

§ 38] РАЗЛИЧНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 465
Точное решение задачи имеет вид
• y)f(y)dSy-\-p(x),
где $(х)— некоторый вектор жесткого смещения. Пусть у(лг)(*) =
= #)(*) — PC*)- Применим к разности
JH(x,y)
N
неравенство Шварца; тогда, вследствие среднеквадратичной сходи-
сходимости ряда (**) к /(у) и ввиду ограниченности интегралов
f {Hf{x, ytfdSy (i= 1, 2, 3; j=\, 2, 3),
s
в любой точке х внутри области Bi, целиком заключенной в Вг,
будем иметь
U(x)— lim и№(х)-\~ч(х),
Л'-^оо
где у (¦*) — некоторый вектор жесткого перемещения.
Представляет особый интерес применение этого способа для при-
приближенного решения смешанных задач. Опираясь на результаты
§§ 32—37 и поступая, как указано выше, это можно сделать без
особых затруднений; для этого предварительно необходимо по-
построить тензор Грина смешанной задачи в области В1 (см. следую-
следующий пункт).
3°. О тензоре Грина для смешанных задач. Теоремы суще-
существования, доказанные в §§ 32—37 для смешанных задач, могут
быть использованы для получения тензоров Грина для этих задач.
Это позволит рассмотреть ряд новых интересных задач. Предста-
Представляет, например, интерес изучение граничных задач для кусочно-
неоднородных тел со смешанными условиями на внешней границе,
в которых упомянутый тензор Грина будет играть такую же роль,
какую в задачах (fij) и (В2) (см. § 3 гл. IV) играли первый и вто-
второй тензоры Грина (см. также замечание в конце п. 2° и пункт 6°).
4°. Случаи «эффективного» решения смешанных задач. Эф-
Эффективность приближенного решения смешанных задач методом, ука-
указанным в §§ 32—37, несколько снижается благодаря тому обстоя-
обстоятельству, что в вычислениях участвует первый тензор Грина для
некоторой (правда, в значительной степени произвольной) области.
В связи с этим полезно иметь в виду, что первый тензор Грина
следует строить, как указано в § 2 настоящей главы при решении

466 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. X
задачи (Z);). Действительно, поступая таким образом, можно путем
приближенного решения некоторой задачи (Df) получить аналити-
аналитическое выражение для тензора Грина, пригодное всюду в Bt.
В связи со сказанным представляет также интерес рассмотрение
смешанных задач для произвольных контуров, содержащих кусок
окружности или кусок какой-либо другой замкнутой кривой, с внут-
внутренней областью, конформно отображаемой на круг при помощи
рациональной функции. Если на указанном куске заданы смещения,
а на остальной части контура известны напряжения, то при условии,
что «кусок с заданными смещениями» может быть так дополнен до
замкнутого контура, чтобы «кусок с заданными напряжениями» ока-
оказался целиком внутри образовавшейся области, задача может быть
решена (приближенно) эффективно. В самом деле, в этом случае
задача приведется к построению тензора Грина для области, кото-
которая конформно отображается на круг при помощи рациональных
функций. Эта задача [24а] решается эффективно.
5°. О решении динамических задач. Как видно из результатов
этой главы, оба метода приближенного решения (метод канонических
уравнений и метод разложения в ряды) применимы к динамическим
задачам (установившиеся колебания). Все рассуждения, использован-
использованные при исследовании смешанных задач, также остаются в силе в ди-
динамическом случае, если частота колебаний ш отлична от собственных
частот области Bv Такое условие, в частности, выполняется, если
ш есть комплексное число. Это соответствует наличию затухания
колебаний и обеспечивает единственность решения.
6°. Некоторые другие смешанные задачи. Несколько проще,
чем задачи, рассмотренные в §§ 32—37, решаются смешанные за-
задачи в том случае, когда область В1 ограничена некоторым коли-
количеством простых замкнутых кривых (поверхностей) вида, указанного
в § 23 настоящей главы, т. е. когда на некоторых из этих кривых
(поверхностей) заданы смещения, а на других — напряжения. Один
случай такой задачи рассмотрен в § 10 настоящей главы. Более
общие смешанные задачи этого типа в случае двух измерений изу-
изучены Т. Бурчуладзе.
Представляет интерес рассмотрение смешанных задач, в которых
встречаются граничные условия только что указанного типа вместе
с условиями того типа, который рассмотрен в §§ 32—37. При ре-
решении таких задач важную роль будет играть тензор Грина сме-
смешанной задачи, о котором сказано в пункте 3°.

ЛИТЕРАТУРА
1. Б а ш е л е й ш в и л и М. О.: а) Эффективное решение основных гранич-
граничных задач статики анизотропного упругого тела для эллиптической
области и бесконечной плоскости с эллиптическим отверстием (Тр.
Матем. ин-та АН Груз. ССР, т. 28, 1962); б) Решение плоских гранич-
граничных задач статики анизотропного упругого тела (Тр. Вычислительного
центра АН Груз. ССР, т. 3, 1962); в) Аналог формулы Пуассона в тео-
теории упругости (там же, т. 1, 1960); г) Аналог формулы Дини в теории
упругости (там же, т. 4, 1963).
2. Б у р чу л а д з е Т. В.: а) К теории граничных задач колебания упругого
тела (Тр. Тбилисского ун-та, т. 64, 1957); б) О некоторых плоских гра-
граничных задачах для анизотропных упругих тел (Тр. Матем. ин-та
АН Груз. ССР, т. 27, 1960); в) О фундаментальных решениях одной
системы дифференциальных уравнений (Сообщ. АН Груз. ССР, т. 20,
№ 4, 1958); г) О некоторых обобщенных потенциалах для анизотропных
тел (там же, т. 23, № 2, 1959); д) Асимптотические формулы собствен-
собственных функций некоторых граничных задач колебания анизотропного
упругого тела (там же, т. 23, № 4, 1959); е) Об асимптотическом рас-
распределении собственных функций колебания упругого тела (там же,
т. 15, № 4, 1954).
3. В е к у а И. Н.: а) О метагармонических функциях (Тр. Матем. ин-та
АН Груз. ССР, т. 12, 1943); б) Обобщенные аналитические функции
(Москва, 1959).
4. Вей ль Г. (Weyl H.): a) Das asymptotische Verteilungsgesetze der Eigen-
* schwingungen eines beliebig gestalteten elastischen KOrpers (Rend. d. Circ.
Mat. di Palermo, т. 39, 1915); 6) Kapazitat von Strahlungsfeldern (Mat. Zs.,
Bd. 55, H. 2, 1952).
5. Гегелия Т. Г.; а) О композиции сингулярных ядер (ДАН СССР,
т. 135, № 4, 1960); б) О формулах перестановки порядка интегрирования
в повторных сингулярных интегралах (Тр. Матем. ин-та АН Груз. ССР,
т. XXVIII, 1962); в) Дифференциальные свойства некоторых интегральных
преобразований (там же, т. 26, 1959); г) Свойства дифференцируемое™
решений поверхностных сингулярных интегральных уравнений (Тр. Гру-
Грузинского политехнического ин-та им. Ленина, № 1 (81), 1962); д) О гра-
граничных значениях функции типа потенциала (Тр. Вычислительного центра
АН Груз. ССР, т. 2, 1961); е) О некоторых пространственных гранич-
граничных задачах теории упругости (Тр. Матем. нн-та АН Груз. ССР,
т. XXVIII, 1962).
6. Гогниашвили 3. М.: а) О существовании решения одной основной
граничной задачи для неоднородной упругой среды (Тр. Грузинского
политехнического ин-та им. Ленина; № 1 (81), 1962); б) О некоторых
теоремах существования в теории неоднородных упругих тел (диссер-
(диссертация; 1963; хр. в библ. Матем. ин-та АН Груз. ССР).

468 ЛИТЕРАТУРА
7. Г у р с а Е. (Goursat E.), Cours d'analyse math. (т. 3, 1927).
8. Г ю н т е р Н. М., Теория потенциала и ее применение к основным зада-
задачам математической физики (Москва, 1953).
9. И ц к о в и ч И. А., Задача эквивалентности в теории двумерных сингу-
сингулярных интегральных уравнений (Уч. записки Кишиневского гос. ун-та,
т. 5, 1952).
10. Ж и р о Г. (Giraud G.): a) Equations a integrates principals, etude suivie
d'une application (Ann. Ec. Norm. C), LI, F. 3, 1934); 6) Equations
a integrales principales etude suivie d'une application (Ann. Ec. Norm. C),
LI, F. 4, 1936); в) Sur une classe generate d'equations a integrates prin-
principales (C. R., t. 202, № 26, 1936).
И. К ах н и а ш в и л и Н. С, Исследование плоских задач теории упругости
методом теории потенциала (Тр. Тбилисского ун-та, т. 50, 1953).
12. К ел лог О. (Kellog О. D.), Foundations of potential Theory (Berlin,
1929).
13. К у п р а д з е В. Д.: a) Randwertaufgaben der Schwingungstheorie und
Integralgleichungen (Berlin, 1956); 6) Ober das Ausstrahlungsprinzip von
A. Sommerfeld (ДАН СССР, № 2, 1933); в) Метод интегральных уравне-
уравнений в теории дифракции (Матем. сб., т. 41, № 4, 1934); г) Граничные
задачи теории установившихся упругих колебаний (Усп. матем. наук,
т. 8, вып. 3 E3), 1953); д) Некоторые новые теоремы об уравнении коле-
колебания и их применения в граничных задачах (Тр. Тбилисского ун-та,
t. 25а, 1944); е) Граничные задачи теории упругости для кусочно-неод-
кусочно-неоднородных тел (Сообщ. АН Груз. ССР, т. 22, № 2, № 3, 1959); ж) К тео-
теории граничных задач для неоднородных упругих тел (там же, т. 22, № 4,
1959); з) О краевых задачах теории упругости для кусочно-неоднород-
кусочно-неоднородных тел (там же, т. 22, № 5, 1959).
14. Купрадзе В. Д. иБашелейшвилиМ. О., Новые интегральные
уравнения анизотропной теории упругости и их применения для реше-
решения граничных задач (Сообщ. АН Груз. ССР, т. 15, № 6 и № 7, 1950).
15. Купрадзе В. Д. и А л е к с и д з е М. А., Об одном приближенном
методе решения некоторых граничных задач (там же, т. XXX, № 5, 1963).
16. Киношита Н. и Мура Т. (Kinoshita N., Мига Т.), On boundary value
problem of elasticity (Resp. Rep. Fac. Eng. Meiji Univ., № 8, 1956).
17. Л e x н и ц к и й С. Г., Анизотропные пластинки (Москва, 1957).
18. Л ев и Е. (Levi E.), Suite equazioni lineari totalmente ellitiche alle deri-
vate parziali (Rend. Circ. Mat. Palermo, 24, 1907).
19. Лихтенштейн Л. (Lichtenstein L.), Ober die erste Randwertaufgabe
der Elastizitatstheorie (Mat. Zs., Bd. 20, 1924).
20. M e с x и К., О граничных задачах для анизотропных тел (Тр. Вычисли-
Вычислительного центра АН Груз. ССР, т. 2, 1961).
21. Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического
типа (Москва, 1957).
22. М и х л и н С. Г.: а) Сингулярные интегральные уравнения (Усп. матем.
наук, т. 3 B5), 1948); б) К теории многомерных сингулярных интеграль-
интегральных уравнений (Вестник Ленинградского ун-та, № 1, 1956); в) Много-
Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения (Москва, 1962);
г) Плоская деформация в анизотропной среде' (Тр. Сейсмолог, ин-та
АН СССР, № 76, 1936).
23. М ю л л е р К. (Mfiller Cl.): a) Grundprobleme der mathematischen Theorie
elektromagnetischer Schwingungen (Berlin, 1957); 6) Zur Methode der
Strahlungskapazitat von Weyl (Mat. Zs., Bd. 56, H. 1, 1952).
24. M у с х е л и ш в и л и Н. И.: а) Некоторые основные задачи математиче-
математической теории упругости (Москва, 1954); б) Сингулярные интегральные
уравнения (Москва, 1962).
25. Никольский С. М., Квадратурные формулы (Москва, 1958).

ЛИТЕРАТУРА 469
26. Р е л л и х Ф. (Rellich F.), Ober das asymptotische Verhalten der Losungen
von Дц + *.ц = 0 in unendlichen Oebieten (Jahresber. d. Deut. Ver. LHI,
1, H. 1).
27. P у х а д з е Ж. А., а) О краевых задачах теории упругости для кусочно-
иеоднородных ортотропных тел (Сообщ. АН Груз. ССР, т. XXX, № 1,
1963); б) О краевых задачах теории упругости для кусочно-иеоднород-
иых ортотропиых тел. Теорема существования (там же, т. XXX, № 6,
1963).
28. С а в и и Г. Н., Концентрация напряжений около отверстий (Москва, 1951).
29. Шерман Д. И., Плоская задача теории упругости для анизотропной
среды (Тр. Сейсмолог, ин-та АН СССР, № 86, 1938).
30. Фикера Г. (Fichera О.), Sull'esistenza e sul calcolo delle soluzioni dei
problemi al contorno, relativi all'equilibrio di un corpo elastica (Ann. d.
Sc. N. sup. di Pisa, vol. IV, ser. Ш, F. I—II, 1950).

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алексидзе М. А. 395, 468
Банах (Banach S.) 360, 390
Башелейшвили М. О. 8, 252, 289,293,
384, 456, 467, 468
Боджо (Boggio Т.) 10
Бурчуладзе Т. В. 8, 252, 280, 466,467
Вейль (Weyl H.) 10, 33, 59, 205,467
Векуа И. Н. 467
Векуа Н. П. 443, 445, 446
Гегелия Т. Г. 7, 113, 467
Гогниашвили 3. М. 212, 228, 467
Гурса (Goursat E.) 468
Гюнтер Н. М. 468
Жиро (Giraud G.) 11, 104, 155, 224,
468
Заремба (Zaremba) 414, 415
Зоммерфельд A. (Sommerfeld A.) 58,
468
Ицкович И. А. 104, 128, 468
Канторович Л. В. 395
Карцивадзе И. Н. 418, 421
Кахниашвнли Н. С. 252, 289, 293,
384, 468
Келлог О. (Kellog О. D.) 468
Киносита (Kinoshita N.) 11, 468
Колосов Г. В. 251
Корн (Когп А.) 10
Крылов В. И. 395
Купрадзе В. Д. 468
Лауричелла (Lauricella G.) 9
Леви Е. (Levi E.) 468
Лехницкий С. Г. 251, 468
Лихтенштейн (Lichtenstein L.) 11,468
Марколонго (Marcolongo R.) 9
Месхи К. М. 252, 468
Миранда (Miranda С.) 468
Михлин С. Г. 11, 104, 126, 251, 468
Мура (Мига Т.) 11, 468
Мусхелишвили Н. И. 251, 41S, 468
Мюллер К. (Mitller C1.) 59, 468
Никольский С. М. 468
Пиконе (Picone) 402, 41!
Реллих (Rellich F.) 76, 469
Рухадзе Ж- А. 252, 270, 280, 469
Савин Г. Н. 251, 469
Фикёра (Fichera G.) 12, 415, 469
Фредгольм (Fredholm J.) 9
Шерман Д. И. 251, 469
Янг Д. (Jaung D.) 388
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Банаха теорема 360, 390
Бетти формулы для бесконечной об-
области 69
конечной области 17, 263
Вектор обобщенного напряжения 16
— потенциальный 21
— потока энергии 72
— псевдоиапряжения 18
— соленоидный 21
Гаусса уравнение функциональное
364
Гипотеза Коши 98
Грина тензор динамический второй 89
29*
Грина тензор динамический первый 88
— — для смешанной задачи 465
• статический второй 91, 97, 175
первый 97, 175
— функция для задачи Дирихле 415
Гука закон 13
Дирихле задача 9, 369, 378, 395, 403,
405
Дифракция упругих волн 321
Жиро теоремы ПО
Задача внешняя (первая, вторая,
третья) 55

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
471
Задача внутренняя (первая, вторая,
третья, смешанная) 55
— граничная теории упругости (пер-
(первая, вторая, смешанная) 9
— динамическая внутренняя одно-
однородная [задача (TJ)] 184
[задача (?>°)] 184
— Дирихле 9, 369, 378, 395, 403,405
— Неймана 9, 407, 411, 413
— о рассеянии звука 356'
— регуляризации 117
— Робэна эластостатическая 171
— смешанная динамическая внеш-
внешняя [задача (Ма)] 202
для анизотропного упругого
тела 454
для гармонических функций 4 !5
для двусвязной области 355
— — для изотропного упругого тела
414, 441
— статическая внешняя однородная
[задача (??)] 167
— — внутренняя однородная [зада-
ча G°)] 167
Закон Гука 13
Зоммерфельда условие излучения 58,
61, 357
Интегралы сингулярные многомер-
многомерные 56
Колебания бесконечного простран-
пространства собственные 60
Композиция сингулярных интегралов
128
Контакт жесткий 80
— свободный 80
Координаты локальные 113
Кошн гипотеза 98
Ляпунова поверхность 105
Ляпунова—Таубера теорема обоб-
обобщенная 186, 262
Матрица символическая 129
— фундаментальных решений 23, 255
Метод наименьших квадратов 363
— обобщенных рядов 422
Фурье 394 -,
Неймана задача 9, 405, 411, 413
Неравенство Шура 393
Оператор глобальной регуляризации
140
Оператор локальной регуляризации
132
— напряжения 19
обобщенный 256
сопряженный 256
— обобщенного напряжения 19
— псевдонапряження 19, 29
— фредгольмов 119
Пластинка анизотропная 293
— изотропная 281
Плоскость с круговым вырезом
2S9
Поверхность Ляпунова 105
Потенциал антенного слоя 53
— антенный 40, 260
— векторный 19
— двойного слоя второго рода 40,51,
260
первого рода 39, 49, 260
— колебания 40
— масс 261
— объемный 40
— простого слоя 39, 49, 53
—- второго рода 53, 260
— первого рода 260
— скалярный 19
— упругий анизотропной среды 260
Процесс кубатурный общий услож-
усложненный 392
¦Пуассона формулы обобщенные 42
Разложение граничных функций 464
Регулярнзатор глобальный 104
Регуляризация глобальная 140
— локальная 132
Резольвента 141, 162, 195, 205
—.теория 155
Решение задачи внешней второй [за-
[задача (Та)] 56
Дирихле 403
Неймана 411
— ¦ первой [задача фа)} 56,
335, 429
— — внутренней второй [задача
(Г,-)] 55, 432
Неймана 407
— первой [задача (?><)] 55,327
Дирихле для многосвязной об-
области 378, 405
(?>,) для многосвязной обла-
области 431
(Г,) для многосвязной обла-
области 330
Неймана для многосвязной об-
области 413

472
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Решение задачи смешанной 414, 449,
454, 461, 465
— для бесконечного пространства
собственное 60
— фундаментальное 19, 22
— — второго рода 27
— — обобщенное 25
первого рода 27, 259
третьего рода 33
Робэна задача эластостатическая 171
Свойства граничные потенциала ан-
антенного слоя 53
— двойного слоя второго рода
51
— первого рода 49
простого слоя второго рода
53
— первого рода 49, 51,
53
Символ оператора 127
матричного 129
— — сингулярного 126
Спектр собственных частот 184
Таубера — Ляпунова теорема обоб-
обобщенная 186, 262
Тело многослойно запрессованное
313
Тензор Грииа динамический второй
89
— первый 88
для смешанной задачи 465
— — статический второй 91, 97, 175
первый 97, 175
Теорема Банаха 360
— Ляпунова — Таубера обобщенная
186, 262
— существования для задачи (А)
206, 219
(В,) 217
(В[) динамической 228
Щ 217
-- — (В2) динамической 228
(?*а) статической 171
— — (Da) динамической 199
— (Di) статической 166
... .~ (Ма) статической не-
неоднородной 174
(Mi) статической неодно-
неоднородной 174
(Та) динамической 199
(Та) статической 166
смешанной 446
Теорема существования для сингу-
сингулярных интегральных уравнений
445
— эквивалентности для задачи (А)
234
(Bi) динамической 239
(Si) статической 243
— (Bi) динамической 239
(В2) статической 243
Теоремы единственности для одно-
однородных " и неоднородных сред
71
для смешанной задачи 418
— Жиро ПО
— о символах 126
Точки неособенные 448
— особенные 447
Уравнение задачи (А) интегральное
80, 212
(Si) интегральное 88, 90, 212
(Si) функциональное 90
¦ (Вг) интегральное 88
В2) функциональное 96
С]) интегральное 96
— — С2) интегральное 96
(D) интегральное 57
(Di) интегральное 55, 338
(Da) интегральное 56
— — (Mt) интегральное 56
— — (Ма) интегральное 56
(Г) интегральное 57
— — (Tt) интегральное 55
(Га) интегральное 56, 328
смешанной 442
— упругости 15
— функциональное Гаусса 364
канонического типа 388
Условие излучения Зоммерфельда 58,
61, 357
Формулы Бетти для бесконечной об-
области обобщенные 69
конечной области обобщен-
обобщенные 17, 263
— Пуассона обобщенные 42
Фредгольма теорема вторая 151
первая 141
— — третья 158
Фредгольмов оператор 119
Функция Грина для задачи Дирихле
415
Шура неравенство 393
Эластопотенциалы 35, 260