1.с.3алесов ПРАКТИЧЕСКИЙ
" фига₽овскии МЕТОД РАСЧЕТА
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
ПО ДЕФОРМАЦИЯМ
Москва Стройиздат 1976
и И
< и
. Залесов, . Фигарозский
ПРАКТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПО ДЕФОРМАЦИЯМ
МОСКВА СТРОЙИЗДАТ 1976
УДК 624.012.45.044
Печатается mo решению секции литературы по строительной физике и строительным конструкциям реадкци-онного совета Стройиздата.
Залесов А. С., Фигаровский В. В. Практический метод расчета железобетонных конструкций по деформациям. М., Стройиздат, 197'6, 101 с.
Подробно рассмотрен метод расчета железобетонных конструкций по деформациям с разъяснением принятых в новых нормах (предпосылок и расчетных зависимостей.
Приводятся приближенные методы расчета, разработанные на основе новых норм, и рекомендации для их использования в практике проектирования. Изложенные методы проиллюстрированы примерами расчета.
Книга предназначена для инженерно-технических и научных работников проектных и научно-исследовательских организаций.
Табл. 6. рис. 17.
30205--318- 102-76
047(01)-76
© Стройиздат, 1976
ВВЕДЕНИЕ
В соответствии с требованиями норм проектирования железобетонных конструкций их расчет по деформациям обязателен. Во многих случаях он является определяющим при установлении геометрических размеров и характера армирования элементов. Однако, несмотря на то, что регламентация предельных прогибов железобетонных конструкций, а следовательно, и их расчет по деформациям появились в нормах ряда стран (СССР, Англии, Австрии и др.) еще на заре применения железобетона в строительстве, расчет по деформациям лишь в последние два десятилетия начал постепенно получать права гражданства. Объясняется это прежде всего тем, что на протяжении многих лет в железобетонных конструкциях использовались сравнительно низкопрочные бетон и арматура. Естественно, что для обеспечения необходимой прочности конструкции приходилось делать весьма массивными, а их жесткость вследствие этого оказывалась значительно больше требуемой. Поэтому на первом этапе вопросам изучения деформативности железобетонных конструкций практически не уделялось внимания, а расчет перемещений допускалось выполнять по формулам строительной механики как для сплошного упругого тела с учетом или без учета арматуры.
По мере все более широкого использования железобетона в различных областях строительства и применения более высоких марок бетона и арматуры становилось ясным, что такой подход к оценке деформативности изгибаемых железобетонных элементов не оправдан. Особенно наглядно это было выявлено в экспериментально-теоретическом исследовании, проведенном в 1936—1938 гг. в ЦНИПСе проф. В. И. Мурашевым, которое показало, что между фактическими прогибами железобетонных элементов и их теоретическими значениями, подсчитанными как для сплошных упругих тел, имеются значительные расхождения. Причем какой-либо закономерности в этих отклонениях выявлено не
О(0.25) Зак. 167
3
было. Это говорило о том, что при определении жесткости изгибаемых железобетонных элементов рассматривать их в качестве сплошных упругих тел, по существу, неправильно.
В 1940 г. В. И. Мурашевым был предложен метод расчета жесткости изгибаемых железобетонных элементов, базирующийся на учете их фактической работы в стадии эксплуатации (наличие трещин и работа растянутого бетона между трещинами), который обеспечивал достаточную точность. Но сложность этого метода не позволила уже тогда использовать его в практических расчетах и только в 1955 г., после экспериментальных исследований Я- М. Немировского, он был доведен до практически удобных формул, которые и были приняты в НиТУ 123-55 для расчета жесткости изгибаемых элементов при кратковременном действии нагрузки.
При разработке проекта СНиП П-В. 1-62 была сделана попытка распространить метод В. И. Мурашева на расчет предварительно-напряженных как внецентренно-сжатых, так и в'нецентренно-растянутых элементов и при этом учесть длительность действия нагрузки. Но непосредственная реализация этого замысла привела к ряду затруднений, поэтому проф. А. А. Гвоздевым были внесены в метод расчета существенные коррективы, что позволило получить единые формулы для определения кривизн фактически любых железобетонных элементов как при кратковременном, так и при длительном действии нагрузки.
В последние годы продолжалось дальнейшее совершенствование метода расчета по деформациям, нашедшее отражение в новой редакции главы СНиП. В целом для использования в практике проектирования этот метод остается весьма сложным и трудоемким. Поэтому наряду с уточнением и совершенствованием метода расчета по деформациям исследователями изучалась возможность упрощения расчетных формул. Некоторые предложения в этом направлении оказалось возможным использовать в руководствах по проектированию обычных и предварительно-напряженных железобетонных конструкций в качестве приближенных методов расчета.
Таким образом, за 15—20 лет практические методы расчета железобетонных конструкций по деформациям претерпели существенные изменения. Возросла и значимость расчета по деформациям; из поверочного, каким он
4
фактически был до 1955 г., он стал во многих случаях определяющим при установлении геометрических размеров и армирования железобетонных элементов. Это в свою очередь повысило интерес инженеров и исследователей к развитию практических методов расчета железобетонных конструкций по деформациям.
В книге ставится задача познакомить читателя с основными этапами развития теории деформаций железобетона, принципами, на которых базируются современные методы расчета железобетонных элементов по деформациям, с расчетными формулами, а также показать на примерах, как практически производится такой расчет по точным и приближенным формулам.
Авторы приносят благодарность инж. Л. Л. Лемышу (ЦНИИПромзданий), предоставившему разработанные им материалы по приближенным методам расчета железобетонных элементов по деформациям, и канд. техн, наук Л. Н. Зайцеву (НИИЖБ) за помощь при написании раздела, касающегося учета деформаций сдвига.
2 Зак. 167
Глава I
РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ПО ДЕФОРМАЦИЯМ
1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕТОДА В И. МУРАШЕВА
Развитие теории деформаций железобетона неразрывно связано с именем проф. В. И. Мурашева, который в 1940 г предложил принципиально новый метод оценки перемещений железобетонных элементов, основанный на учете их действительного состояния во всех стадиях работы под нагрузкой, а именно: возможности образования трещин в растянутой зоне, развития неупругих деформаций в бетоне сжатой зоны, работы растянутого бетона между трещинами.
В дальнейшем на этой основе им были разработаны расчетные формулы для определения жесткости железобетонных элементов, работающих с трещинами в растянутой зоне, которые и были приняты в НиТУ 123-55 Для расчета по деформациям изгибаемых элементов при кратковременном действии нагрузки. Основные предпосылки метода В. И. Мурашева использованы и при разработке формул для определения кривизн железобетонных элементов, принятых как в СНчП I1-B.1-65. так и в СНиП П-21-75, поэтому рассмотрим их более подробно.
Коротко основные предпосылки метода В. И. Мурашева сводятся к следующему: 1) изгибаемые железобетонные элементы при эксплуатационных нагрузках работают с " _ 12м в растянутой зоне; 2) бетон рассматривается как упругопластический 'материал; 3) учитывается работа бетона в растянутой зоне между трещинами; 4) для средних деформаций бетона и арматуры принимается гипотеза плоских сечений; 5) эпюра напряжений в сжатой зоне бетона принимается прямоугольной.
6
Было бы неправильным утверждать, что все эти положения в то время были новыми. Действительно, уже в 1930 г. проф. И. С. Подольский предложил определять кривизны изгибаемых элементов, работающих с трещинами в растянутой зоне, по деформациям растянутой арматуры. При этом он не учитывал работу бетона растянутой зоны, а высоту сжатой зоны бетона принимал постоянной. Р. Залигер предлагал при определении прогибов пользоваться переменным модулем упругости бетона, значение которого зависело от напряжений в бетоне и процента армирования. Все эти предложения базировались на «классической» теории и имели целью приспособить ее аппарат для оценки перемещений железобетонных элементов, работающих с трещинами в растянутой зоне. Однако пластические деформации в сжатой зоне бетона и работа растянутого бетона между
трещинами не учитывались, что приводило к значительным расхождениям между опытными и теоретическими прогибами.
Заслуга же В. И. Мурашева заключается не только в том, что он предложил учитывать эти две важные особенности железобетона при определении перемещений, но и. в том, что он выявил существенное влияние образования трещин на жесткость элемента, впервые связал эти два воп-
Рис. 1. Схема деформирования железобетонного элемента с трещинами при изгибе
роса воедино и дал общую теорию жесткост-ти и трещиностойкости железобетона.
Основываясь на приведенных выше предпосылках и приняв деформации железобетонных элементов по схеме, приведенной на рис. 1, В. И. Мурашев записал выражение для определения средней кривизны оси изгибаемого элемента при чистом изгибе в виде
2' Зак. 167
7
1_______еа,с	еб.с еа.о ~Ь еб.с
р — hB — хс =хс = Ло ’	W
где ба.с и бо.с—соответственно средние относительные деформации растянутой арматуры и крайнего волокна сжатой зоны бетона;
хс — средняя высота сжатой зоны бетона, определяемая из выражения
еб.с хс =------;---- h0.	(2)
еа.с + 6б.с
В выражение (1) входят средние значения деформаций растянутой арматуры и сжатого бетона, а также высоты сжатой зоны бетона. Дело в том, что в изгибаемом железобетонном элементе наличие трещин в растянутой зоне приводит к местным 'неравномерностям продольных деформаций растянутой арматуры и сжатого бетона. Поэтому, например, очевидно, что в сечениях 1—1 и 2—2 (см. рис. 1) деформации арматуры и бетона, а также высота сжатой зоны будут неодинаковыми. Но в то же время принимается, что общее деформированное состояние элемента будет определяться средними относительными деформациями арматуры и бетона, поэтому аналитическое решение задачи и должно сводиться к отысканию именно этих величин.
Посмотрим, как решает эту сложную задачу В. И. Мурашев исходя из принятых им предпосылок. Для этой цели он вводит понятие о среднем условном модуле упругости арматуры в бетоне Еа.с, равном
Ег.с = ^а/’Ра»	(3)
где чра — коэффициент, учитывающий работу бетона растянутой зоны и представляющий собой отношение средних деформаций растянутой арматуры на участке между трещинами к деформациям арматуры в сечении с трещеаной, в юторои работа бетона над трещиной не учитывается, т. е. принимаются деформации «свободного металла»
= еа с еа,	(4)
и модуле упругопластичности сжатого бетона £о.с, равном
£б.с='£б.	(5)
где v — коэффициент, характеризующий упругие свойства бетона и представляющий собой отношение упругих деформаций бетона к его полным деформациям.
Записав далее выражение (I) в виде
1_____________________ Сб
р ^в.с (*о хс) Е6 с хс
8
и введя значения упругопластических моментов сопротивления сечения железобетонного элемента по растянутой и сжатой зонам, равные
U7p = M/<Ja, U7c = M/cr6,
а также несколько преобразовав уравнение (6), В. И. Мурашов получил выражение для определения жесткости (по растянутой зоне) изгибаемого железобетонного элемента в виде
Е.
в = Га (ho - хс) (ho - 0,5 хс).	(7)
Фа
При определении средней высоты сжатой зоны В. И. Мурашев исходит из условия равенства нулю суммы проекций внутренних сил в сечении с трещиной на нормаль к сечению
craEa = cr66gh0,	(8)
где |=х/Л0-—относительная высота сжатой зоны в сечении с трещиной.
Принимая, что g<gc, а Об>Об.с и что плечо внутренней пары сил в сечении с трещиной, как показали исследования Я- М. Немировского, незначительно отличается от среднего плеча внутренней пары на участке между трещинами, В. И. Мурашев принял допущение:
<Тб? = <тбс?с.	(9)
которое позволило ему получить недостающее условие, необходимое для решения уравнения (8), поскольку в него входят две неизвестные величины — g и об. Замена же в этом уравнении g на gc сделала возможным использовать для его решения гипотезу плоских сечений. Тогда, выразив Об.с через оа и сделав некоторые преобразования в выражении (8), можно записать
где iji —• коэффициент армирования;
п — отношение модуля упругости арматуры к модулю упругости бетона и, следовательно,
gc = —а/2 ± Vа2/4+а .	(11)
Из выражений (7) — (11) видно, что для определения жесткости изгибаемого железобетонного элемента помимо его основных характеристик (геометрических размеров, прочности бетона и армирования), которые обычно задаются при проектировании, необходимо знать
9
значения коэффициентов фа и v. Из этих же выражений видно, что и вообще точность определения В в формуле (7) будет фактически определяться точностью определения этих коэффициентов и особенно коэффициента фа.
Это обстоятельство в дальнейшем предопределило направленность экспериментально-теоретических исследований деформативности железобетонных элементов, которые вследствие этого сводились главным образом к отысканию зависимости коэффициента фа и v, а также средней высоты сжатой зоны хс от различных факторов: значения и характера изменения нагрузки, геометрических размеров, прочности бетона, диаметра и профиля арматуры и др. Поэтому целесообразно рассмотреть здесь эти вопросы более подробно.
Коэффициент фа- В трактовке В. И. Мурашева коэффициентом фа учитывается работа бетона растянутой зоны. В соответствии с этим, как говорилось выше, он представляет собой отношение средних деформаций растянутой арматуры на участке с трещинами к деформациям «свободного металла» в сечении с трещиной и, следовательно, согласно формуле (4)
Фа = еа.с/еа = (та.е <та.	(12)
Рис. 2. Схема распределения напряжений в растянутой арматуре изгибаемого элемента после появления трещин
Са—напряжение в арматуре в сечении с трещиной;
т— напряжение в арматуре, соответствующее моменту образования трещин; оа х — напряжение в арматуре в середине блока между трещииам-и; сга 2 — разность напряжений в арматуре по трещине ги в середине блока; /т — расстояние между трещинами
Исходя из схемы распределения напряжений в растянутой арматуре по длине изгибаемого элемента после появления трещин, приведенной на рис. 2, можно записать
Па с/т = <Та/т <01(Та2/т,	(13)
где W1 — коэффициент полноты эпюры напряжений в бетоне на
10
участке между'трещина’ми, который В. И. Мурашев принял равным %;
(Таг — разность напряжений в арматуре по трещине и в середине блоков между трещинами, равная
Са2 = аа.т-аа1,	<14)
(<Та.т — напряжение в арматуре в трещине, соответствующее моменту ее появления).
Записав далее выражение для определения oai в виде
 I	1 —у \
*al = "pKp 1 +	’	(15)
В. И. Мурашев получил следующую формулу для коэффициента фа:
В формулах (15) и (16):
Ср — напряжение в крайнем волокне бетона растянутой зоны в середине между трещинами;
,	2	£а.с
п_ =--- п'\ п' = —— =------- ;
®	£б.с	Ч’а v
п
у = сгр/7?р; ax = 2pn.
Формула (16) из-за своей сложности оказалась фактически непригодной для практических расчетов. Этим, в частности, и объясняется то, что в НиТУ 123-5'5, в которых расчет деформаций изгибаемых железобетонных элементов выполнялся по методу В. И. Мурашева, коэффициент фа определялся по специальным таблицам. Поэтому многие исследователи пытались упростить решение этой задачи. Наиболее удачным в этом отношении следует признать предложение Н. В. Никитина и Я. М. Немировского выражать напряжения в арматуре в сечениях с трещинами и в середине между ними через соответствующие моменты. При этом, естественно, допускалось, что плечи внутренних пар в этих сечениях незначительно отличаются друг от друга.
Это позволило записать формулу для определения коэффициента фа в виде
Д,Ы
4’а = 1““м’	(17)
11
где со — коэффициент полноты эпюры моментов, воспринимаемых бетоном между трещинами;
Мс —-момент, воспринимаемый бетонным сечением элемента в середине между трещинами.
Исследования, проведенные Я. М. Немировским, показали, что значения со и Me не являются постоянными и зависят от целого ряда факторов и, следовательно, их непосредственное использование в формуле (17) привело бы « известным трудностям, связанным с их определением. Поэтому Я- М. Немировский предложил ввести в эту формулу ТИб.т вместо Мб, т. е. момент, воспринимаемый бетонным сечением непосредственно перед появлением трещин. Очевидно, что Мел>Ме, а соотношение между ними может быть выражено с помощью коэффициента х=Мб/Л1б.т. Тогда формула (.17) примет вид
Мбт фа=1—соу-^—.	(18)
Каждое в отдельности, значения со и х являются переменными. Однако, как установил Ю. А. Суслов, их произведение может быть принято постоянным, равным для случая кратковременного действия нагрузки 0,85, т. е.
фа = 1-0,85^-	(19)
Выражение коэффициента фа через моменты значительно упростило процесс нахождения его значения и поэтому было принято в СНиП П-В. 1-62 при разработке соответствующих формул.
В соответствии с принятыми В. И. Мурашовым предпосылками и допущениями, а также согласно формуле (12), опытные значения коэффициента фэ определялись следующим образом. В зоне чистого изгиба опытных образцов, обычно балочных прямоугольного поперечного сечения с расположением растянутой арматуры в одном ряду, замерялись деформации растянутой арматуры и крайнего волокна бетона сжатой зоны.
Значения еа, которые, согласно предпосылкам В. И. Мурашева, должны представлять собой деформации «свободного металла» в сечении с трещиной при принятой форме эпюры напряжений в сжатой зоне бетона (в данном случае прямоугольной), нельзя получить непосредственно из опыта. Действительно, даже если бы й удалось в опыте замерить деформации растянутой
12
арматуры непосредственно в трещине, то и в этом случае они не были бы деформациями «свободного металла», так как в сечении с трещиной некоторую долю растягивающих усилий (которая, по данным Я. М. Немировского, может быть весьма значительной) воспринимает растянутый бетон над трещиной и, кроме того, действительная эпюра напряжений в сжатом бетоне над трещиной может быть весьма далека от прямоугольной.
Поэтому значения еэ определялись по формуле
г ~~ С С I, II Л Ct \ 1 “О 0,5 Бе)
в которой значения М, Еа, Fa и ho устанавливались опытным путем, a gc — по формуле
(21)
5с =----.
еа.с +еб с
в которой значения еа.с и ee.c также получали непосредственно из опыта.
Отношение полученных таким образом значений еа.с и Еа и принималось за опытное значение коэффициента фа.
В первых исследованиях, когда изменение коэффициента фа было принято выражать в зависимости от напряжений в растянутой арматуре оа, характер кривых имел вид, приведенный па рис. 3. Если же выражать
Рис. 3. Опытные значения коэффициента в обычных изгибаемых элементах по данным Я. ЛА. Немировского
О — балки с ц =0,65%, R= =200:	•	— балки с и=
= 3,5%. /?=300
коэффициент фа через моменты, график изменения его опытных значений имеет вид, показанный на рис. 4. Из этих графиков видно, что коэффициент фа изменяется с ростом нагрузки от сравнительно небольших значений (0,15—0,3) в момент появления трещин до значений, близких к единице, при напряжениях в арматуре или моментах, соответствующих началу текучести арматуры.
13
Причем, чем большую долю растягивающих усилий воспринимает бетон растянутой зоны, тем меньше значения фа- Отсюда нетрудно установить и эффективность учета этого фактора при оценке жесткости изгибаемых железобетонных элементов с различным армированием при кратковременном действии нагрузки.
Так, в средне- .и особенно в слабоармирован-ных элементах, для которых эксплуатационная нагрузка незначительно превышает нагрузку, соответствующую появлению трещин, т. е. Л?б.т/М близко к единице, бетон растянутой зоны воспринимает значительную часть растягивающего усилия и его учет позволяет существенно повысить расчетную жесткость элемента. Для сильно же армированных элементов учет этого фактора менее эффективен.
в ходе эксперимента стре-замерить деформации рас-трещиной, полагая, что действительно опытные условно опытные, како-при их определении по Конечно, такие данные
с
Рис. 4. Значения коэффициента фа для обычных изгибаемых балок прямоугольного сечения с арматурой периодического профиля по данным В. В. Фигаровского. Теоретическая кривая вычислена по формуле фа=1—0,85
Некоторые исследователи мятся возможно более точно тянутой арматуры в сечении
тем самым они смогут получить значения коэффициента фа, а не выми они фактически являются рассмотренной выше методике, представляют несомненный интерес, поскольку они по-
зволяют более глубоко изучить механизм образования и развития трещин, а также более четко проследить за ходом изменения деформаций растянутой арматуры в трещинах и между ними, но их использование для определения опытных значений коэффициента фа в методе В. И. Мурашева будет неправильным.
Дело здесь в том, что благодаря работе растянутого бетона непосредственно над трещиной, замеренные значения еа не будут уже представлять собой деформации «свободного металла» и, кроме того, они не будут отвечать принятой и постоянной форме эпюры напряжений в
14
сжатой зоне бетона. Поэтому отношение значений еа.с и еа, замеренных непосредственно в ходе эксперимента, не будет уже характеризовать работу бетона растянутой зоны на участке элемента с трещинами, а будет только отражать неравномерность развития деформаций растянутой арматуры на этом участке.
Коэффициент v, которым характеризуются упругие свойства бетона, непосредственно не входит в формулу (7), а его влияние на жесткость элемента, при ее оценке по растянутой зоне, сказывается лишь при определении средней относительной высоты сжатой зоны бетона дс по формуле (11). Поэтому в дальнейшем при разработке метода В. И. Мурашова экспериментальному изучению этого коэффициента уделялось значительно меньше внимания, чем, например, изучению коэффициента фа. Но поскольку этот вопрос важен для понимания подхода В. И. Мурашова к оценке деформативности железобетонных элементов, а также структуры формул, принятых в НиТУ 123-55, рассмотрим его более подробно.
Как известно, при испытании бетона на сжатие и растяжение в нем помимо упругих деформаций возникают и неупругие, которые проявляются сразу же после приложения нагрузки и возрастают с течением времени, причем рост их постепенно замедляется. При этом величина неупругих деформаций бетона зависит от целого ряда факторов, из которых основными являются значение напряжений и продолжительность их действия. Поскольку даже при кратковременном испытании бетона на сжатие и растяжение неупругие деформации могут быть весьма значительными, В. И. Мурашев предложил учитывать их при оценке деформаций железобетонных элементов с помощью коэффициента у.
В соответствии с данным выше определением сущности коэффициента у, для вычисления его необходимо знать упругие и полные деформации сжатого бетона. Для случая центрального сжатия значения этих деформаций могут быть получены непосредственно из опыта и поскольку в этом случае известно соответствующее им значение напряжений в бетоне, то представляется возможным установить зависимость
£б\ R )
(22)
В
изгибаемых железобетонных элементах, работаю-
15
щих с трещинами в растянутой зоне, установить действительное значение напряжений в крайнем волокне бетона сжатой зоны фактически невозможно, поскольку не известна форма эпюры напряжений в бетоне. Но, кроме того, следует иметь в виду, что коэффициент v в формуле (10), как и фа, должен соответствовать напряжениям в бетоне, полученным при принятой расчетной схеме распределения внутренних усилий в поперечном сечении элемента. Поэтому опытные значения коэффициента v в изгибаемых элементах определяют как отношение вычисленных по формуле (23) упругих деформаций бетона
М еб.у =-----о-------------- (23)
Еб bhfa (1 - 0,5 ^с)
к замеренным в процессе эксперимента средним деформациям крайнего волокна бетона сжатой зоны ео.с, т. е.
^ = еб.у/еб.с	(24)
Рис. 5. Опытные значения коэффициента v
/— при центральном сжатии (опыты
М. С. Бориш а некого); 2—в изгибаемых элементах при треугольной эпюре напряжений; 3— в (изгибаемых элементах при прямоугольной эпюре напряжений; а — сильноармированиых; б — слабоар-мированных
щин. Но даже если для этой принять треугольную форму '
Полученные таким образом опытные значения коэффициента v оказываются, как правило, в 2 и более раза меньше опытных значений этого коэффициента, получаемых при испытании бетонных образцов при центральном сжатии, да и характер их изменения с ростом напряжений различный (рис. 5). Объясняется
это прежде всего тем, что расчетные напряжения в бетоне, вычисленные при прямоугольной эпюре, могут оказаться значительно меньше действительных, особенно в начальной стадии образования тре-стадии работы элемента пюры напряжений, то, как
видно из рисунка, и в этом случае значения va сущест-
венно отличаются от vnp.
Очевидно, на значение и характер изменения коэф
16
фициента v при изгибе должны также оказывать влияние особенности развития трещин в элементах с различным содержанием арматуры и неравномерность напряжений в бетоне сжатой зоны в трещинах и между ними, которые не учитываются при таком способе определения ' опытных значений коэффициента v.
Обращает внимание (см. рис. 5), что, в отличие от vnp, значение vH сразу же после появления трещин в растянутой зоне сравнительно резко уменьшается, но зато потом (в диапазоне напряжений в бетоне от 0,3 до 0,6 разрушающих, что примерно соответствует эксплуатационной стадии работы элемента) практически не изменяется и находится в пределах 0,3—0,4.
На это обстоятельство впервые обратил внимание Я. М. Немировский, который использовал его при разработке формулы для определения средней относительной высоты сжатой зоны бетона, о чем будет сказано далее.
Экспериментальное определение коэффициента v в изгибаемых элементах имеет еще одну особенность. Как уже было сказано, неупругие деформации в сжатом бетоне начинают проявляться сразу же после приложения нагрузки и потом с течением времени постепенно затухают, причем наиболее интенсивно они нарастают в первые 10—15 мин после приложения нагрузки. Учитывая, что при испытании железобетонных конструкций на деформации используется большое количество измерительных приборов и одновременное снятие отсчетов по ним практически невозможно, а это может привести к существенному искажению результатов опыта, то обычно принято после приложения нагрузки снимать отсчеты по приборам дважды — сразу после нагружения и после 15-минутной выдержки под нагрузкой. Причем для анализа используются данные, полученные после выдержки. Поэтому полученные по такой методике опытные значения коэффициента v соответствуют вполне определенной продолжительности испытаний (обычно 3—4 ч) и, следовательно, не могут рассматриваться как абсолютный показатель упругих свойств бетона. Действительно, если бы, например, общая продолжительность эксперимента была принята большей, то это привело бы к уменьшению опытных значений v, и наоборот.
Учитывая это обстоятельство, многие исследователи, в том числе И. И. Улицкий, предлагали производить
8
17
нагружение опытных конструкций максимально быстро с тем, чтобы избежать влияния фактора времени на нарастание неупругих деформаций бетона. По их мнению, с чем, очевидно, можно согласиться, это позволило бы при разработке расчетных формул для случая кратковременного действия нагрузки не учитывать коэффициент v, так как он был бы близок к единице, что упростило бы расчет. Однако быстрое загружение опытных образцов делает практически невозможным изучение процессов образования и развития трещин, а следовательно, и выявление закономерностей в развитии их деформаций. Учитывая же, что результаты эксперимента являются основным критерием при разработке расчетных формул и установлении значений входящих в них параметров, с нашей точки зрения методика испытаний, принятая В. И. Мурашовым, является наиболее приемлемой, хотя и приводящей к некоторым искажениям физического смысла и значений ряда параметров (включая и коэффициент v), входящих в расчетные формулы.
Из приведенного анализа нетрудно установить, что теоретическая оценка коэффициента v достаточно затруднительна, так как для этого потребовалось бы определить значение gc, которое в свою очередь зависит от v. Далее показано, как удалось решить эту задачу.
Средняя высота сжатой зоны бетона хс. Этот параметр непосредственно входит в формулу (7) и поэтому его изучению посвящен ряд экспериментально-теоретических исследований.
Опытные значения хс или gc нетрудно получить исходя из формулы
по замеренным средним значениям относительных деформаций арматуры и бетона. При определении же теоретических значений [см. формулы (flO), (И)] исследователи столкнулись с трудностью, так как тре бовалось установление математических закономерностей для определения коэффициентов фа и v или хотя бы их произведения. Мы уже видели, какие трудности возникали при теоретическом определении коэффициента фа. Теоретическая же оценка коэффициента v оказалась вообще невозможной. Поэтому важную роль сыграло экспериментально-теоретическое исследование Я. М. Немировского, который не только выявил закономерность
18
изменения коэффициентов фа и v при изгибе, но и показал, что их произведение при работе элементов во второй стадии может быть принято постоянным и равным 0,33, т. е. оказалось возможным принять, что
Это не только позволило дать теоретическое решение для определения gc, но и существенно упростило решение исходной задачи.
Критика и дальнейшая разработка метода В. И. Мурашева. Итак, мы рассмотрели основные аспекты метода расчета деформаций железобетонных конструкций, предложенного В. И. Мурашовым. Этот метод был положен в основу при разработке формул, принятых в НиТУ 123-55. Современные формулы для расчета деформаций железобетонных конструкций, принятые в СНиП П-В. 1-62 и СНиП П-21-75, также в значительной мере базируются на положениях этого метода.
В то же время по ряду положений этого метода некоторые исследователи высказывали и продолжают высказывать критические замечания, основные из которых мы здесь рассмотрим. Можно сказать, что наибольшую критику вызвало допущение В. И. Мурашева о форме эпюры в сжатой зоне бетона, которую он принял прямоугольной. Взамен предлагались другие формы эпюр: треугольная, трапециевидная, криволинейная.
Современная измерительная техника не позволяет исследователям получить достаточно точную эпюру напряжений в сжатой зоне бетона изгибаемого элемента. В то же время косвенные экспериментальные данные позволяют считать, что к моменту образования трещин в растянутой зоне эпюра напряжений в сжатой зоне близка к треугольной. По мере же роста напряжений и развития вследствие этого неупругих деформаций в сжатом бетоне эпюра напряжений будет постоянно искривляться, приближаясь в момент разрушения элемента к прямоугольной. Форма' эпюры напряжений будет различной в сечениях с трещинами и между ними. Например, в слабоармированных элементах вследствие резкого развития трещин по высоте сечения уже в момент их образования напряжения в сжатом бетоне над ними могут быть близки к предельным, в то время как в сечениях между трещинами они еще будут незначи
19
тельными. Поэтому, если бы даже и удалось измерять напряжения в бетоне сжатой зоны в любых сечениях и при любых нагрузках, то и в этом случае использование этих данных для разработки расчетных формул вряд ли оказалось возможным.
Это, собственно говоря, и предопределяет необходимость принятия для практических расчетов какой-либо одной, постоянной эпюры напряжений в сжатой зоне бетона. Какая же из них предпочтительнее? Очевидно, та. которая будет обеспечивать большую точность расчета. Но с этой точки зрения ни одна из приведенных выше эпюр не имеет преимущества перед другими. Дело в том, что критерием точности формулы является опыт, на основании которого в соответствии с принятыми предпосылками и допущениями устанавливаются значения входящих в нее параметров. Поэтому каждой форме эпюры напряжений будут соответствовать свои значения коэффициентов фа и v, а также высоты сжатой зоны и плеча внутренней пары сил в поперечном сечении элемента. Точность же расчетов во всех этих случаях можно получить практически одинаковую.
Важным условием принятия той или иной эпюры является простота расчета. С этой точки зрения прямоугольная эпюра предпочтительнее. Форма эпюры долж- » на обеспечивать значения параметров в расчетной формуле, близкие к опытным и отвечающие их физическому смыслу. Наилучший результат, очевидно, можно получить с помощью криволинейной эпюры, полнота которой изменяется с ростом напряжений. Но даже и в этом случае входящие в формулу параметры не будут соответствовать истинным, так как помимо допущения о форме эпюры делаются и другие допущения, например не учитывается работа растянутого бетона над трещиной, принимается гипотеза плоских сечений и ряд других. Поэтому, с нашей точки зрения, для практических расчетов все же более приемлема прямоугольная эпюра напряжений в сжатой зоне.
Второе положение метода В. И. Мурашева, которое в последнее время также стало подвергаться известной критике и дальнейшей разработке, — это неучет работы растянутого бетона над трещиной. Прорабатывая этот вопрос, Я- М. Немировский сначала теоретически, а затем и экспериментально показал, что в начальной стадии трещиьообразования растянутый бетон над тре
10
щиной воспринимает существенную часть растягивающего усилия и что учет этого фактора позволяет более правильно (с точки зрения физики явления) оценить и математически описать процесс образования и раскрытия трещин. Однако сложность такого подхода не позволяет пока использовать его в практических расчетах.
Надо отметить некоторую условность использования гипотезы плоских сечений в расчетных зависимостях, так как на самом деле в железобетонном элементе с трещинами схема деформирования сечения далека от плоского поворота. Проф. А. А. Гвоздев показал, что оставаясь в этом вопросе на позициях В. И. Мурашева, но не привлекая гипотезу плоских сечений, можно найти вполне приемлемое решение поставленной задачи. Далее мы рассмотрим это более подробно. Метод В. И. Мурашева использовался в прямом виде (НиТУ 123-55) только для определения перемещений изгибаемых элементов при кратковременном действии нагрузки. При расчете же перемещений таких элементов при длительном действии нагрузки, а также предварительно-напряженных элементов приходилось использовать различные искусственные приемы. Поэтому при разработке проекта СНиП П-В.1-62 потребовалась разработка общего метода расчета по деформациям предварительно-напряженных внецентренно-сжатых и внецентренно-растянутых элементов при кратковременном и длительном действии нагрузки, который бы распространялся на любые виды железобетонных элементов и нагрузок. Решение этой задачи было дано А. А. Гвоздевым.
Метод расчета по деформациям железобетонных конструкций, разработанный В. И. Мурашевым и его последователями, сыграл важную роль в развитии практических расчетов по второму предельному состоянию, оставаясь и сейчас основой, на которой базируются современные расчеты.
2. ДАЛЬНЕЙШЕЕ развитие метода расчета ПО ДЕФОРМАЦИЯМ НА ОСНОВЕ ПРЕДЛОЖЕНИЙ А. А. ГВОЗДЕВА
При составлении проекта СНиП П-В.1-62 предусматривалось распространить метод В. И. Мурашева на расчет перемещений любых (изгибаемых, внецентренно-сжатых и внецентренно-растянутых, а также предвари
3 Зак. 167
21
тельно-напряженных) элементов как при кратковременном, так и при длительном действии нагрузки. Однако при решении этой задачи возник ряд трудностей.
А. А. Гвоздев показал, что слабой стороной метода является использование гипотезы плоских сечений. Поэтому он предложил в проекте СНиП П-ВЛ-62 для расчета железобетонных элементов по деформациям сохранить все основные положения теории В. И. Мурашева, но высоту сжатой зоны бетона определять непосредственно над трещиной без привлечения гипотезы плоских сечений и, кроме того, ввести в расчетные формулы коэффициент неравномерности деформаций сжатого бетона.
Одновременно с этим он показал, что для железобетонных элементов при действии кратковременных и длительных нагрузок, а также моментов и продольных сил нецелесообразно устанавливать их жесткость, а лучше определять перемещения элемента прямым путем, непосредственно через кривизну.
Таким образом, и в этом случае исходной формулой для определения перемещений является выражение (1), которым пользовался и В. И. Мурашев. Но, как считает А. А. Гвоздев, пользуясь формулой (1), не принимаем ли мы молчаливо гипотезу плоских сечений? На этот вопрос надо ответить отрицательно. Когда определяют прогиб раскосной фермы с шарнирными узлами, пренебрегая деформацией решетки, пользуются, в сущности, аналогичной зависимостью; взаимный угол поворота соседних стоек равен сумме абсолютных значений деформаций обеих панелей поясов, деленной на высоту фермы. О гипотезе плоских сечений здесь, понятно, не может быть и речи. Нетрудно представить себе и другие системы, в которых гипотеза плоских сечений будет, очевидно, нарушена, тогда как равенство (1) останется в силе.
Следовательно, задача сводится к определению средних деформаций арматуры еа.с и крайнего волокна бетона сжатой зоны Вб.с. Для определения усилий в сжатой зоне бетона над трещиной и в растянутой арматуре А. А. Гвоздев рекомендует принимать момент от внешних сил относительно центра тяжести растянутой арматуры. Тогда для элементов прямоугольного сечения можно записать, что:
е<5с~ 1
(27)
22
а общая формула для определения кривизны изгибаемых железобетонных элементов примет вид:
± =	____Фб___\
Р zh0 \ EaFa т lbh0E6v )	1 J
В формулах (27) — (29):
фа = 1 —0,85
^б.т . м ’
(30)
М — момент относительно оси, нормальной к плоскости изгиба от всех внешних усилий, приложенных по одну сторону сечения;
§ — относительная высота сжатой зоны бетона в сечении с трещиной, а не средняя, как это принято у В. И. Мурашева;
z — плечо внутренней пары сил;
фб — коэффициент, учитывающий неравномерность распределения деформаций крайнего волокна бетона сжатой зоны иа участке между трещинами.
Определение коэффициента v было дано выше.
Таким образом, можно видеть, что А. А. Гвоздев, сохранив основные положения метода проф. В. И. Мурашева, получил единую формулу для определения кривизн практически любых железобетонных элементов. Причем формула (29) может быть использована не только в случае кратковременного, но также и длительного действия нагрузки.
При сопоставлении формул (7) и (29) прежде всего обращает на себя внимание то, что если в первой искомыми являются лишь два параметра — фа и g, то во второй к ним добавляются еще два — фо и v.
Нетрудно также заметить, что роль и значение указанных параметров в этих формулах также не совсем одинаковы. Так, если в формуле (7) коэффициент фа оказывает непосредственное влияние на жесткость элемента и ошибка в его определении приводит к такой же погрешности в оценке жесткости, то в формуле (29) он оказывает влияние только на средние деформации растянутой арматуры еа.с. Высота сжатой зоны бетона в сечении с трещиной в формуле (29) влияет не только на кривизну элемента в целом (через плечо внутренней пары сил г), но и на средние деформации крайнего волокна бетона сжатой зоны Еб.с. Возросло влияние и коэффициента v, от значения которого в значительной мере зависят значения второго члена в скобках в формуле
3* Зак. 167
23
(29), т. е. Еб.с- Дополнительно в формулу (29) вводится коэффициент фб, который учитывает переход от значений gc в формуле (7) к значениям g в формуле (29).
Ниже приведены особенности и способы определения значений фа, фб, £ и v, входящих в формулу (29). Рассмотрим сначала группу параметров (фб, v), которые служат для определения еб.с-
Коэффициент фб. Использование в формуле (29) значений g вместо gc потребовало, естественно, учета неравномерности распределения деформаций крайнего волокна бетона сжатой зоны, что и осуществляется с помощью коэффициента фб-
Опытные значения этого коэффициента применительно к принятой расчетной схеме и по аналогии с коэффициентом фа могли бы быть определены как отношение еб.с/еб, где £б — относительная деформация крайнего волокна бетона сжатой зоны в сечении с трещиной, определяемая по формуле
______М___________<тб
Сб- z%bh0E6v -	’	(3*
Но, к сожалению, в формулу (31) входят две неизвестные величины — g и v, что делает невозможным прямое определение опытных значений ео, а следовательно, и фб. В то же время прямые замеры деформаций сжатой грани бетона в сечениях над трещинами в изгибаемых элементах при кратковременном и длительном действии нагрузки, выполненные в опытах В. П. Артемьева, Е. А. Гузеева и Я. М.. Немировского, позволили получить фактические значения коэффициента фб, которые оказались в обоих случаях в пределах 0,8—1. При этом не выявилось какой-либо определенной зависимости этого коэффициента от процента армирования элементов и значения нагрузки. Это позволило принять в формуле (29) коэффициент фб = 0,9 и, как будет показано ниже, облегчило определение v и g.
Коэффициент v. В связи с тем, что в методе А. А. Гвоздева не используется гипотеза плоских сечений, а вместо средней высоты сжатой зоны принимается высота сжатой зоны в сечении с трещиной, изменился и подход к определению опытных значений коэффициента V. Собственно говоря, опытные значения коэффициента v применительно к принятой расчетной схеме могли бы быть определены по формуле
24
zgbft0E6e6c -	(32)
но благодаря отказу от гипотезы плоских сечений и, следовательно, невозможности получить значения g непосредственно из опыта, как это делалось в методе В. И. Мурашева для gCp, такой подход оказался неприемлемым. Поэтому для установления опытных значений коэффициента v был использован условный прием, основанный на следующих соображениях.
Прежде всего при кратковременных испытаниях коэффициент v должен зависеть от напряжений и, следовательно, представлять собой функцию отношения
V=Z(?)- (33)
Кроме того, его значения должны соответствовать принятой расчетной схеме, т. е. прямоугольной эпюре напряжений в сжатой зоне бетона. По своему физическому смыслу коэффициент v не может быть больше единицы, а в начальной стадии образования трещин в обычных изгибаемых элементах фактическая эпюра напряжений в сжатой зоне близка к треугольной, т. е. ®=0,5, и, следовательно, в этом случае (ov=O,5-'l=O,5. По мере роста напряжений в сжатой зоне бетона и развития в ней
неупругих деформаций полнота эпюры напряжений ю будет постоянно увеличиваться, приближаясь в пределе к единице, а коэффициент v уменьшается. Его значение в момент разрушения сжатой зоны бетона, т. е. при вб—Ки, оказывается возможным подсчитать. Оно приблизительно равно 0,15. Таким образом, фактическое значение wv в обычных изгибаемых эле-
Рис. 6. Зависимость значений коэффициента v, принятая для изгибаемых элементов при прямоугольной эпюре напряжений в сжатой зоне
ментах изменяется с ростам нагрузки от 0,5 до 0,15.
Поскольку же в соответствии с принятой расчетной схемой для всех стадий нагружения изгибаемого элемента принимается постоянная эпюра напряжений, а именно — прямоугольная, то в этом случае коэффициент v должен быть численно равен фактическим значениям
25
Произведения cov, т. е. он тоже должен изменяться в этих пределах.
Первоначально кривая, определяемая уравнением (33), была принята близкой к кривой на рис. 5. Однако, когда установленные таким образом опытные значения коэффициента v были использованы для определения опытных значений g, выяснилось, что последние в ряде случаев оказывались больше значений gc, определенных с помощью гипотезы плоских сечений; это противоречило результатам замеров распространения трещин по высоте сечения элементов. Поэтому кривая была несколько скорректирована и приняла вид, приведенный на рис. 6.
Учитывая, что до значений напряжений в сжатом бетоне, не превышающих 0,6 коэффициент v практики
чески не уменьшается и с целью упрощения расчетов его значения при кратковременном действии нагрузки в формуле (29) были приняты равными 0,45.
Поскольку формула (29) может быть использована для определения кривизны железобетонных элементов и в случае длительного действия нагрузки, появилась необходимость установления опытных и расчетных значений коэффициента v и для этого случая.
Непосредственное определение опытных значений коэффициента v в изгибаемых элементах при длительном действии нагрузки практически невозможно по тем же причинам, что и в случае кратковременного действия нагрузки. Поэтому для решения задачи были использованы опытные данные об изменении этого коэффициента во времени при испытании бетонных призм при центральном сжатии. Из рис. 7 видно, что при средних температурно-влажностных условиях окружающей среды и постоянном напряжении в бетоне Об=0,25 /?пр коэффициент v за 270 дней уменьшился от 1 до ~0,35. Причем характер кривой изменения v во времени позволяет считать, что процесс его уменьшения на этом еще не закончен. Опираясь на эти данные, можно приступить к анализу изменения коэффициента v во времени в изгибаемых элементах, принимая следующие предпосылки:
1) коэффициент v и в этом случае должен соответствовать принятой эпюре напряжений в сжатой зоне, т. е. прямоугольной;
2) допускается, что модуль упругости бетона и высота сжатой зоны не изменяются во времени.
26
Тогда, согласно формуле (24), изменение коэффициента v в изгибаемых элементах будет определяться только изменением средних деформаций бетона, поэтому, подставляя в нее опытные значения Еб.с и условно — опытные значения g (порядок определения послед-
v
ОД
Рис. 7. Изменение коэффициента v во времени при испытании бетонных призм на сжатие по данным И. И. Улицкого
а — изменение средней температуры воздуха, °C; б — изменение относительной влажности воздуха 6, %
них приведен в следующем разделе), можно установить значение и характер изменения по времени v для случая изгиба. Определенные таким образом опытные значения v в изгибаемых элементах приведены на рис. 7.
Сопоставляя кривые, приведенные на рис. 8, можно видеть, что при принятых предпосылках характер изменения v во времени в изгибаемых элементах примерно такой же, как и при центральном сжатии бетона.
27
Если сравнить уменьшение значений коэффициента v в обоих этих случаях, то за рассматриваемый отрезок времени (250 дней) оно также оказывается практически одинаковым—примерно 2,5. Поскольку же нет особых оснований считать, что форма эпюры напряжений может оказать существенное влияние на неупругие
Рис. 8. Изменение опытных значений коэффициента v во времени в изгибаемых железобетонных элементах (по данным В. В. Фигаров-ского)
а — изменение средней температуры воздуха, °C; б — изменение относительной влажности воздуха 6, %
свойства бетона, то тот факт, что интенсивность и характер изменения коэффициента -v во времени в призмах и балках оказались примерно одинаковыми, косвенно подтверждает правомерность принятия значений £ неиз-меняющимися во времени.
При расчете деформаций железобетонных элементов важно установить их прогибы при длительном действии нагрузки. Поэтому в формулу (29) следует подставлять предельные значений коэффициента v Для данных условий работы элементов. Предельные минимальные значения коэффициента v при длительном действии нагрузки 28
будут, естественно, соответствовать моменту полного прекращения роста деформаций бетона сжатой зоны. Многие исследователи считают, что процессы стабилизации деформаций ползучести и усадки бетона практи чески полностью заканчиваются в первые три года. Поэтому значения v, соответствующие этому периоду времени, очевидно, можно рассматривать как предельные. Для практических расчетов предельные значения v при длительном действии нагрузки и для средних температурно-влажностных условий окружающей среды были получены путем экстраполяции опытных значений до 1000 дней (см. рис. 8). Как видно, они оказались в пределах 0,11—0,2, и поскольку не удалось выявить какой-либо зависимости минимальных значений v от таких параметров, как процент армирования элемента, прочность бетона на сжатие и отношение Об/Ли, то минимальное значение м для изгибаемых элементов, которые находятся в нормальных температурно-влажностных условиях, было принято постоянным и равным 0,15.
Относительная высота сжатой зоны бетона в сечении с трещиной Наибольшую трудность при разработке метода А. А. Гвоздева вызвало установление опытных значений ? и вывод расчетной формулы для определения Дело в том, что при отказе ют гипотезы плоских сечений для определения ? остается лишь одно уравнение (27), в которое, если его записать в виде
5 (1-0,5?) =
фбМ
Ь1г0еб.с Е& v
М bh^o6
(34)
входят две неизвестные величины — ? и сто, что делает невозможным непосредственное определение из него ?. Для решения этой задачи А. А. Гвоздев предложил оригинальный графоаналитический метод (смысл его легко понять из схемы, приведенной на рис. 9), с помощью которого по полученным из опыта значениям М, фб и еб.с, а также на основании зависимости м=/(об/Ди) можно определить соответствующее им значение стб и далее из уравнения (34)—значение ?.
Рассмотрим структуру этой схемы (рис. 9), предварительно записав выражение (34) в виде
? (1—0,5 ?) = £/$,	(35)
М	Ок
где £ =-------; S =
6 hg Ru	R*
29
На этой схеме по осям О — б и О-—в отложены значе-
ния L, а по оси О — а значения оси О — S приведены значения
-6 crf6 =а. Там же по Фб Яи
v в зависимости от от-
ношения Стб//?и=<$. Масштабное соотношение между S и а подбирается таким образом, чтобы удовлетворялось условие v=S/a.
Рис. 9. Схема для определения опытных значений g графоаналитическим способом
Сначала по опытным данным строится кривая 1. Затем, последовательно задаваясь значениями S и деля их на соответствующие им по кривой 2 значения v, определяют значения а. Далее, с помощью кривой 1 по значениям а устанавливают значения L. После этого значения L с оси О — б переносят на ось О — в и проводят вертикаль до пересечения с уровнями, соответствующими принятым значениям S. Соединяя эти точки пересечения, получим кривую, характеризующую изменение £ (1—0,5 g), а следовательно, и g с ростом нагрузки.
Проанализировав большое количество результатов испытаний изгибаемых железобетонных элементов с различными значениями цп, С. А. Дмитриев установил определенную зависимость, связывающую L, S и цп:
30
10 ji n
Исходя из этой формулы и использовав зависимость
S/L—-0,7 »	(37)
предложенную А. А. Гвоздевым взамен формулы (35) для практических расчетов, С. А. Дмитриев получил выражение для определения g в изгибаемых элементах прямоугольного сечения и таврового с полкой в растянутой зоне в виде
Юр. п
Анализ формул (36) и (38) показывает, что ни L, ни g не зависят от коэффициента v.
В то же время из графика на рис, 9 видно, что коэффициент v оказывает существенное влияние на характер изменения кривых L — S при S>0,6.
Уменьшение коэффициента v в результате развития пластических деформаций в бетоне сжатой зоны приводит к увеличению отношения L/S, а следовательно, и g. Поскольку в формуле (38) это не учитывается, ее можно использовать лишь для расчета деформаций элементов, в которых отношение uelRu не превышает 0,6.
Коэффициент фа. Замена А. А. Гвоздевым в формуле (29) gc на g привела к некоторым количественным изменениям и опытных значений коэффициента фа. Дело в том, что опытные значения g, определенные по методике А. А. Гвоздева, оказываются, как правило, несколько меньшими опытных значений gc в этих же элементах. Это привело к тому, что плечо внутренней пары сил в сечении с трещиной увеличивается, а значение Ба, определяемое по формуле (20), уменьшается. Вследствие этого опытные значения фа несколько увеличиваются и, как видно из рис. 10, уже при ЛД.т/Al—0,2—0,3, достигают единицы. Поэтому использование в этом случае формулы (19) привело бы к расхождению с опытными данными. Скорректированная формула (19) приняла вид
31
(39)
Л1бт ta=l,3-1,1 —й~
что позволило получить лучшее совпадение расчетных и опытных значений фа (рис. 10).
Рис. 11. Изменение средних деформаций растянутой арматуры во времени в изгибаемых железобетонных элементах (по данным В. В. Фига-ровского). Экспериментальные кривые соответствуют различным уровням нагрузки
Опыты показывают, что в изгибаемых железобетонных элементах при длительном действии нагрузки происходит некоторое, иногда весьма значительное увеличение средних деформаций растянутой арматуры Еа.с (рис. II). Как видно, в отличие от нарастания деформаций сжатого бетона, которое продолжается несколько лет, рост деформаций растянутой арматуры протекает значительно быстрее и заканчивается практически полностью через 20—50 дней. Аналогичное явление наблюдается и при других видах загружения железобетонных элементов. К причинам, вызывающим это явление, можно отнести: образование новых и развитие старых трещин в растянутой зоне, дальнейшее .нарушение сцепления между растянутой арматурой и бетоном.
32
возможное уменьшение плеча внутренней пары сил вследствие развития неупругих деформаций в бетоне сжатой зоны.
Сопоставление результатов испытаний обычных изги-. баемых элементов с различными процентами армирования и прочностью бетона при длительном действии нагрузки показывает, что наибольшее приращение средних деформаций арматуры (до 60% от деформаций в момент загружения элемента) наблюдается в элементах, в которых отношение Мъл/М близко к единице, а наименьшее (10—>15%) —в элементах с отношением Мб.т/М=0,2—0,3.
Такая закономерность увеличения значений еа.с во времени позволяет использовать для их оценки коэффициент фа.
Из рис. 12 видно, что замена в формуле (39) в этом случае коэффициента 1,1 на 0,8 перед Л1С.Т/Л4 дает в целом удовлетворительный результат.
I 0,9 0J3 0,1 0,6 0,5 0,5 0,5 0,2 0,1 мб.т!м
Рис. 12. Значения коэффициента фа в изгибаемых элементах при длительном действии нагрузки /—в элементах с,гладкой арматурой; 2—<в элементах с арматурой периодического профиля (по опытам В. В. Фигаровского)
Особенности определения перемещений предварительно-напряженных внецентренно-сжатых и внецентренно-растянутых элементов по методу А. А. Гвоздева. Очевидно, что при воздействии на элемент момента и сжимающей или растягивающей продольной силы задача должна сводиться к отысканию зависимостей для определения средних деформаций растянутой арматуры еа.с и сжатой грани бетона еб.с. При этом, если учитывать технологию изготовления таких элементов, то сначала следовало установить деформацию элемента от силы No, вызывающей его обжатие. Эта деформация, поскольку сила No приложена обычно в центре тяжести растянутой арматуры или вблизи от него, т. е. внецент-ренно по отношению к центру тяжести приведенного поперечного сечения элемента, является противоположной по знаку той деформации, которая возникает при действии на элемент полезной нагрузки. Следовательно,
33
в этом случае результирующий прогиб элемента представлял бы собой разницу между выгибом элемента от внецентренного обжатия и прогибом от полезной нагрузки, т. е.
f=~fNoe + fM'
а при вычислении fM пришлось бы учитывать напряженное состояние элемента от силы обжатия No._
Поскольку последнее обстоятельство могло существенно усложнить расчет, А. А. Гвоздев предложил при разработке расчетных формул для определения ва.с и Вб.с исходить из рассмотрения «недеформированного» состояния элемента. Тогда, очевидно, средние деформации растянутой арматуры можно найти из выражения
Такая запись формулы (28) означает, что сила No приложена в центре тяжести растянутой арматуры. Поскольку, однако, сила обжатия No не всегда совпадает с центром тяжести растянутой арматуры (например, при обжатии не только нижней зоны элемента, но и верхней), то в формуле (28') для учета этого обстоятельства вместо момента от внешних сил принимается заменяющий момент М3. Заменяющий момент М3 — это момент от всех внешних усилий, приложенных по одну сторону сечения, и от силы предварительного обжатия (определяемой с учетом всех потерь) относительно оси, нормальной к плоскости изгиба и проходящей через центр тяжести арматуры растянутой зоны, т. е.
М3 = М -|- Noet
где е — расстояние от точки приложения силы No до центра тяжести растянутой арматуры.
Значение средних деформаций сжатой грани бетона Вб.с может определяться по формуле (27) с заменой в ней М на Л43. Таким образом, выражение (2,9) в случае определения кривизны предварительно-напряженного изгибаемого элемента примет вид
-L e A	) _N _Фа_ 2
р zh0 \EaFa %bh0E6v )	° EaFa
Параметры фа, фбД и v в формуле (29') имеют тот же физический смысл, что и в формуле (29), но при определении их значений (за исключением коэффициента
34
фб) приходится вводить те или иные коррективы, учитывающие влияние силы обжатия No.
Значение фа в этом случае следует определять пс формуле:
1 —т
Фа = 1,3 — 1,1 т — ———-----------,
6 — 4,5 т
(39')
М? — Nо Zqt где т =---------.
M-N0Zo
Здесь Z0T — плечо внутренней пары сил в сечении с трещиной непосредственно после образования трещин, а Zo— в стадии, для которой определяются деформации.
И,з формулы (39') видно, что и при определении коэффициента фа сохраняется тот же подход, ’ что и при определении кривизны элемента, т. е. расчет ведется по «недеформированной схеме». Третий член в формуле (39'), с одной стороны, учитывает то обстоятельство, что значение т в этой формуле хотя и близко, но все же не равно отношению	в формуле (39), а с дру-
гой— некоторые особенности изменения средних деформаций растянутой арматуры в предварительно-напряженных элементах по сравнению с обычными.
При определении относительной высоты сжатой зоны g в предварительно-напряженных изгибаемых элементах в формуле (38) добавляется второй член, и для прямоугольных сечений она принимает вид
1____
1 +5 £
1,5
6 =
(38')
11,5 ~~ —5 ho
где ei — эксцентрицитет силы No относительно центра тяжести арматуры растянутой зоны, соответствующей изгибающему моменту М3.
Вторым членом в формуле (38') учитывается тот факт, что в 1предва|рительно-на'пряженных элементах, работающих с трещинами в растянутой зоне, к усилию в сжатой зоне от внешнего момента добавляется усилие от силы обжатия No, т. е. в предварительно-напряженных элементах сжатая зона бетона оказывается значительно больше, чем в обычных. Аналогично изложенному решается задача по определению перемещений вне-центренно-сжатых и внецентренно-растянутых обычных и предварительно-напряженных элементов.
10 р. п
35
3 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ, СВЯЗАННЫЕ С РАСЧЕТОМ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПО ДЕФОРМАЦИЯМ
Расчет элементов без трещин. Выше было показано, как решается задача по определению деформаций железобетонных элементов, в которых допускается образование трещин в растянутой зоне. Однако в некоторых железобетонных конструкциях не допускается появления трещин ни при монтаже, ни при эксплуатации. Расчет деформаций таких элементов, очевидно, может выполняться по правилам строительной механики, как для сплошного упругого тела, что, собственно говоря, и делается на практике. И хотя решение задачи благодаря этому существенно упрощается, приходится и в этом случае учитывать специфику железобетона.
Так, для случая изгиба жесткость железобетонного элемента при кратковременном действии нагрузки определяется по формуле
Вк —Кп£б-^п>	(40)
где /п -— момент инерции приведенного сечения;
Кв — коэффициент, учитывающий увеличение деформативности элемента за счет неупругих свойств бетона и принимаемый для всех случаев расчета равным 0,85.
Здесь прежде всего обращает на себя внимание то, что в расчет вводится та ; называемое приведенное сечение.
Дело в том, что поперечное сечение железобетонного элемента не является однородным, поскольку включает помимо бетона то или иное количество стальной арматуры, модуль упругости которой в несколько раз выше чем у бетона. Для того чтобы учесть это, такое сечение и приводится к однородному бетонному, площадь которого определяется по формуле
^п = Вб + п-Ра.	(41)
где п=Еа/Еа (Fq — полное сечение бетона с учетом его ослабления каналами, пазами и т. п.).
Коэффициент Кп принимается для учета неупругих деформаций бетона, которые возникают в нем даже при кратковременном действии нагрузки.
Если на элемент действует только 'длительная нагрузка, то и в этом случае его кривизна может быть определена по жесткости Вк, вычисленной по формуле (40), но при этом значение кривизны должно быть ум
36
ножено на коэффициент с, которым учитывается увеличение деформаций элемента вследствие ползучести бетона во времени, т. е.
Значение с рекомендуется принимать равным: при влажности воздуха 40% и ниже с=3; при влажности воздуха более 40% с—2.
Здесь мы рассмотрели только принцип, на котором базируется расчет деформаций железобетонных элементов без трещин в растянутой зоне. Конкретные рекомендации по определению деформаций таких элементов, принятые в СНиП, приведены во второй главе.
Приведенные выше указания по определению деформаций относятся не только к тем случаям, когда элемент в целом работает без трещин, но и к отдельным участкам элемента без трещин.
Определение деформаций при совместном действии кратковременной и длительной нагрузок. В этом случае полная деформация элемента будет меньше, чем только при длительно действующей нагрузке, но больше, чем в случае только кратковременного действия нагрузки.
Для элементов, работающих без трещин в растянутой зоне, это обстоятельство не приводит к дополнительным трудностям при определении их деформаций, поскольку длительность действия нагрузки учитывается коэффициентом с, который не зависит от значения нагрузки. Поэтому полные деформации элемента при совместном действии кратковременной и длительной нагрузок могут определяться как алгебраическая сумма кривизн от кратковременной и длительной нагрузок.
Несколько усложняется определение деформаций при совместном действии кратковременной и длительной нагрузок в элементах, работающих с трещинами в растянутой зоне. Формула (29) для определения кривизн таких элементов включает два члена, коэффициенты фа и д, значения которых зависят от значения действующей нагрузки, причем зависимость эта нелинейная. Так, например, согласно формуле (39) при кратковременном действии нагрузки и приЛ4=Л4т фа=0,2. Если же внешний момент увеличить в 2 раза, то фа возрастет до 0,75, т. е. почти в 4 раза. Поэтому кривизна продольной оси такого элемента от нормативной нагрузки будет, как
4 Зак. 167
37
правило, больше, чем полная кривизна продольной оси этого же элемента от нескольких нагрузок, в сумме равных нормативной.
В связи с этим при определении кривизн элементов, работающих с трещинами в растянутой зоне, от совместного действия кратковременной и длительной нагрузок поступают следующим образом. Сначала определяют кривизну элемента от кратковременного действия суммарной нагрузки (кратковременной и длительной) 1/рь Затем к ней прибавляют полную кривизну, вызванную действием длительной нагрузки 1/рз-
Но поскольку последняя включает в себя кривизну от кратковременного действия длительной нагрузки, которая уже была учтена в 1/рь то из 1/pi вычитают кривизну 1 /р2 от кратковременного действия длительной нагрузки, т. е. истинная кривизна такого элемента определяется по формуле
1/Р=1/Р1-1/Р2+1/Рз-	(43)
При желании нетрудно установить, что кривизна элемента, работающего с трещинами в растянутой зоне, определенная по формуле (43), будет в большинстве случаев больше, чем вычисленная по формуле
(1/р)у=1/Р«+1/рй,	(44)
где 1/ри — кривизна от кратковременно действующей нагрузки;
1/Pi — кривизна от длительно действующей нагрузки.
Определение прогибов по кривизнам в среднем сечении элемента. Поскольку кривизна продольной оси железобетонного элемента, работающего с трещинами в растянутой зоне, изменяется не пропорционально изменению внешнего момента, то при определении прогиба элемента', у которого момент изменяется по его длине, практически пришлось бы сначала разбивать его на несколько участков, принимать для каждого из них постоянное значение момента и определять соответствующую ему кривизну участка. И только после этого, путем интегрирования по отдельным участкам, можно было бы определить максимальный прогиб элемента.
Такой путь достаточно трудоемок. В то же время экспериментальные исследования показывают, что если кривизну определить для точки оси, соответствующей наиболее напряженному сечению, и принять, что она изменяется пропорционально изменению изгибающего момента вдоль оси элемента, то вычисленный при этой]
38
предположении прогиб будет близок к фактическому. Объясняется это прежде всего тем, что для большинства железобетонных элементов (исключая слабоармиро-ванные) на наиболее напряженных их участках, влияние которых на общий прогиб элемента является решающим,, расчетные значения коэффициента фа близки к единице. А в этом случае кривизна сечения изменяется практически пропорционально изменению момента. Поэтому для практических расчетов и разрешается делать такое допущение, существенно упрощающее определение прогибов.
Для слабоармированных элементов, для которых при нормативных нагрузках значения коэффициента фа существенно ниже единицы, а также велики участки без трещин, такое допущение приводит к некоторому завышению расчетных прогибов по сравнению с фактическими (до 30%). Поэтому при определении прогибов этих элементов с учетом такого допущения в расчет вводятся некоторые коррективы, о которых будет сказано ниже.
Прогибы элементов постоянного сечения согласно СНиП П-В.1-62 и СНиП П-2'1-75, рекомендуется определять по кривизне, соответствующей наиболее напряженному сечению, принимая в остальных точках оси кривизны изменяющимися пропорционально изменению внешнего момента согласно формуле
f=~^— SI2,	(45)
Рмакс
где S — коэффициент, учитывающий схему загружения и условия опирания элемента.
В большинстве случаев вычисленные таким способом прогибы хорошо совпадают с опытными. Но для элементов, у которых нормативный момент незначительно превышает момент образования трещин 7ИТ (к таким элементам относятся слабоармированные элементы и некоторые типы предварительно-напряженных), вычисленные таким способом прогибы, как правило, превышают опытные.
Для того чтобы избежать этого «Инструкция по проектированию железобетонных конструкций» рекомендует при определении прогибов таких элементов учитывать переменность жесткости по длине элемента.
Объясняется это тем, что трещины в растянутой зоне элеме та образуются только на тех участках, на кото
4* Зак. 167
39
рых значение момента превышает Мт. На остальных участках, а они в таких элементах могут быть весьма большими, трещины обычно не образуются. Жесткость таких участков, определяемая по формуле (40), значительно выше, чем жесткость участков с трещинами. Учитывая это, «Инструкция» рекомендует для указанных элементов пользоваться формулой
i f=^Mxl/fxdx,	(46)
о
где 1/рх — кривизна точки оси элемента с координатой х;
Мх — изгибающий момент в сечении с координатой х от действия единичной силы по направлению искомого перемещения элемента, приложенной в точке, в которой определяется прогиб;
I — пролет элемента.
Для элементов, у которых нормативный момент незначительно превышает момент образования трещин, такой подход может привести к существенному снижению значений расчетных прогибов по сравнению с их значениями, вычисленными по формуле (45). Так как к моменту разработки инструкции это не было подкреплено достаточным количеством экспериментальных данных и существовало опасение, что образование наклонных трещин может дополнительно снизить жесткость элемента на приопорных участках, было введено следующее ограничение: прогибы предварительно-напряженных элементов, вычисленные по формуле (46), должны приниматься не менее С,67 прогибов, вычисленных по формуле (45), а прогибы обычных слабоармированных элементов — соответственно 0,8.
Дальнейшее изучение этого вопроса, проведенное я. М. Немировским и Л. Л. Лемышем, показало, что поскольку в новых нормах СНиП 11-21-75 и руководствах к ним предусматривается учет 'влияния наклонных трещин на прогиб элемента и, следовательно, роли изгибающего момента придается несколько меньшее значение, можно не вводить указанные ограничения при определении прогибов по формуле (46).
Учет деформаций сдвига. При экспериментальном изучении работы коротких (с отношением высоты сечения к пролету /г//='/? и более) предварительно-напряженных железобетонных балок, выполненном И. К. Белобровым, было установлено, что их прогибы обычно
40
оказываются несколько больше прогибов, вычисленных по жесткости Вк, определенной по формуле (40). Как показал анализ опытных данных, это объясняется тем, что на приопорных участках балок не учитываются деформации сдвига. Поэтому в главе СНиП П-В.1-62 при-определении прогибов балочных элементов таврового и двутаврового сечений постоянной высоты с отношением /z/Z=J/7 и более, подвергающихся действию значительных сосредоточенных нагрузок (подкрановые балки и т. п.), рекомендовалось снизить их жесткость на 20%. Дальнейший анализ отечественных и зарубежных исследований по определению деформаций сдвига показал, что принятое в нормах снижение жесткости оказалось в некоторых случаях недостаточным, особенно в балочных элементах без предварительного напряжения. Было также установлено, что деформации сдвига зависят от многих факторов, таких как высота сжатой зоны, положение груза, геометрические характеристики сечения, поперечное армирование и др.
Л. Н. Зайцевым был разработан более дифференцированный подход к учету деформаций сдвига в железобетонных элементах на базе метода, принятого в сопротивлении материалов.
При анализе экспериментальных исследований статически определимых и статически неопределимых балочных систем была отмечена пропорциональность между изменением перемещений от изгиба и изменением углов сдвига после появления трещин. Если сравнить значения угловых перемещений от изгиба до (бупр) и после появления трещин (6Т) с угловыми перемещениями от сдвига до (уупр) и после появления трещин (ут) на участке балки AZ, то можно записать:
Приняв, что углы сдвига в элементе с трещинами можно выразить через углы сдвига в сплошном упругом теле (Тт=|₽Тупр), из выражения (47) значение коэффициента ₽ определяется следующим образом:
_ ет	1/рт
₽ = =fe=	(48)
° у пр	VPynp
При отсутствии нормальных трещин и при наличии наклонных трещин а=1, а значение k будет определять
41
ся из условий работы элемента с наклонной трещиной при действии поперечных сил («чистый сдвиг»).
Рассмотрим элемент балки, ограниченный нормальными к продольной оси балки сечениями, проходящими через основание и вершину наклонной трещины (рис. 13). Исходя из равенства
деформаций сдвига по верхней и нижней граням элемента балки можно записать:
Лб = да = дх- (49)
В этом случае угол поворота сечения при «чистом сдвиге» (ус) может быть определен как
।---------------£------------------1
Рис. 13. Схема для определения деформаций сдвига в железобетонном элементе с трещинами
дб k с	C6F6 ’
(50)
где Qc — поперечная сила, воспринимаемая бетоном после образования трещины;
Go — модуль сдвига бетона;
Fe — площадь бетонного сечения;
к—коэффициент, характеризующий эпюру распределения касательных напряжений по высоте сжатой зоны бетона.
Приведенная жесткость при сдвиге бетонного сечения будет равна
Вертикальные перемещения хомутов, равные максимальному значению в середине наклонной трещины,
Qx А
дх = -
^х Fa и
(52)
и соответственно приведенная жесткость хомутов
с
Sx — ^х.Е&.с ~
(53)
42
Вертикальные перемещения продольной арматуры и соответственно ее жесткость в месте пересечения с трещиной можно оценить условно из рассмотрения совместной работы бетона и арматуры при ее поперечном смещении. Тогда
Ея Fa
Sa = -^,	ч (54)
где Р — коэффициент, учитывающий податливость бетонного основания поперечным перемещениям стержня.
Поперечная сила на участке наклонной трещины воспринимается бетоном сжатой зоны (Об), хомутами (Qx) и продольной арматурой (Qa), величины которых зависят от жесткостных характеристик. Учитывая выражения (49), (51), (53) и (54), можно записать выражения для угла поворота поперечного сечения при «чистом сдвиге»:
Yc =------------- =--------------------------. (55)
Sg + sx -|- Sa Gf, Fq EdFxc Ea Fa k	и	p
Вынесем в правой части равенства (55) Q^/Ggf—уупр, т. е. угол поворота сечения при сдвиге до появления трещин. Тогда
’’«“’’’"И Л. + 1 + ». )	<S6)
Выражение в скобках определяет значение коэффициента снижения жесткости элемента при «чистом сдвиге» после образования наклонной трещины. На основе анализа экспериментальных данных для сечений с различными параметрами, армированных в соответствии с требованиями отечественных норм, принято значение коэффициента увеличения деформаций сдвига после образования трещин: наклонных ||3=&=4,8; наклонных и нормальных [см. выражение (48)]
Р =	=3.	(57)
VPynp VPynp
43
Глава II
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИВИЗН И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ПО СНиП 11-21-75
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИВИЗН
Перемещения (прогибы, углы поворота) железобетонных элементов определяются по значениям кривизн для отдельных участков элементов. Прогибы отсчитываются от начального (недеформированного) состояния элемента. Для предварительно-напряженных элементов это отвечает состоянию элемента до предварительного обжатия.
Метод расчета кривизны зависит от того, имеются или отсутствуют на рассматриваемом участке элемента трещины в растянутой зоне. Оценка возможности появления трещин в растянутой зоне производится в нормальных сечениях при нормативной нагрузке1 и при нормативных характеристиках материалов.
Для участков элемента, где в растянутой зоне трещины не образуются, кривизны определяются как для сплошного тела; при этом учитывается увеличение деформаций от ползучести бетона.
В общем случае кривизна изгибаемых, внецентренно сжатых и внецентренно растянутых элементов различных сечений определяется по формуле
1 М с
—(58) Р Ап^б^п
Значение момента М определяется от действия всех внешних сил, продольных и поперечных, относительно центра тяжести приведенного сечения.
Коэффициент с учитывает увеличение деформаций элемента вследствие ползучести бетона при длительном нагружении. При кратковременном действии нагрузки с=1. При длительном действии нагрузки значение коэффициента с зависит от влажности окружающей среды: при влажности воздуха выше 40% с=2, при влажности 40% и ниже о=8.
1 Для удобства в тексте используется термин «нормативная нагрузка» вместо термина «расчетная нагрузка с коэффициентом перегрузки, равным единице».
44
Коэффициент Кп учитывает увеличение деформаций элемента вследствие кратковременной ползучести бето-, на и для всех случаев принимается равным 0,85.
Момент инерции 7П определяется по приведенному сечению, в котором площадь сечения арматуры вводится с коэффициентом приведения п—Еа1Е$.
При действии на элемент кратковременной и длительной1 нагрузки полное значение кривизны определяется как сумма кривизн от кратковременной и от длительной нагрузки
1/Р = 1/Рк:+ 1/Рд-	(59)
Для предварительно-напряженных элементов конечная кривизна определяется с учетом действия усилий предварительного обжатия. В этом случае от кривизны, вызванной внешней нагрузкой, отнимается кривизна, обусловленная выгибом от кратковременного действия усилия предварительного обжатия и его длительного действия
I/р = 1/Рк + 1/Рд — 1/Рв — VPg.n.	(60)
Кривизна от кратковременного действия предварительного обжатия вычисляется по формуле, соответствующей общей формуле (40)
— = - ЛГ°е°  .	(61)
Рв Еп
Кривизна от длительного действия предварительного обжатия определяется непосредственно деформациями ползучести и усадки бетона на нижней и верхней гранях элемента по общей формуле
Непосредственные значения деформаций усадки и ползучести в нормах не устанавливаются. Однако они могут быть найдены по соответствующим значениям потерь напряжений в арматуре, вызванных усадкой и ползучестью бетона, которые приводятся в нормах
= ап/Еа', еп = &П/ЕЯ.	(63)
Таким образом, необходимо вычислить условные потери напряжений от усадки и ползучести бетона по верхней грани элемента и на уровне растянутой продольной
1 Под длительной нагрузкой здесь понимается 'постоянная и временная длительная нагрузка.
45
арматуры <7П и сгп и разделить их на модуль упругости арматуры Еа.
В предварительно-напряженных элементах на стадии предварительного обжатия, транспортирования и монтажа могут образоваться трещины в верхней зоне. После приложения внешней нагрузки эти трещины оказываются в сжатой зоне и будут закрыты и зажаты, но все же они несколько снижают жесткость элемента. Поэтому, если такие трещины могут образоваться, значение кривизны от кратковременного действия внешней нагрузки увеличивается на 15%; соответственно кривизны, связанные с выгибом от действия предварительного обжатия 1/рв и 1/рвп увеличиваются на 15 и на 25%.
В предварительно-напряженных элементах 2-й категории трещиностойкости допускается образование трещин в растянутой зоне при полной нагрузке и при условии, что эти трещины будут закрыты и зажаты при длительном действии нагрузки. Однако, такие трещины несколько ослабляют элемент, поэтому кривизны в этом случае увеличиваются на 20%.
На участках, где образуются нормальные трещины, кривизна железобетонного элемента определяется по правилам расчета элементов с трещинами.
В общем случае для изгибаемых, .внецентренно сжатых и внецентренно растянутых элементов с достаточно большими эксцентрицитетами (eo^O,8/ic) предварительно-напряженных и без предварительного напряжения кривизна определяется по формуле
1 = М3 Г фа ______________Фо______1 _ Л'е фа
Р hBZ! L Еа Fa (у' + £) bh0E6v J h0 EaFa
где М:, — момент всех внешних сил, в том числе и усилия предварительного обжатия Д':, относительно центра тяжести площади сечения арматуры в растянутой зоне, так называемый заменяющий момент;
N, — равнодействующая всех внешних продольных сил, в том числе и усилия предварительного обжатия No;
5 — относительная высота сжатой зоны бетона в сечении с трещиной;
у' — относительная площадь сечения свесов сжатой полки и арматуры в сжатой зоне;
Zi — расстояние от центра тяжести площади сечения арматуры в растянутой зоне до центра тяжести сжатой зоны т. е плечо внутренней пары сил;
фа—коэффициент, учитывающий работу растянутого бетона на участке с трещинами;
46
фб — коэффициент учитывающий неравномерность распределения деформаций крайнего сжатого волокна бетона по длине участка с трещинами;
v — коэффициент, учитывающий деформации кратковременной и длительной ползучести бетона.
Как видно, формула для кривизны имеет универсальный характер, а входящие в нее параметры — ясный физический смысл. Сама по себе представленная зависимость не вызывает каких-либо затруднений в расчете; все трудности связаны с определением отдельныхлара-метров.
Заменяющий момент Л43. Для обычных изгибаемых железобетонных элементов без предварительного напряжения заменяющий момент, очевидно, равен изгибающему, т. е. М3=М. Для предварительно-напряженных изгибаемых элементов Л43=Л4-)-Доеа, где еа — эксцентрицитет усилия предварительного обжатия No относительно центра тяжести растянутой арматуры; при обычной напряженной арматуре, когда усилие No действует в центре тяжести растянутой арматуры, еа=0 и 7И3=Л4. Для внецентренно сжатых и внецентренно растянутых элементов без предварительного напряжения M3=NeBx, еаЛ- — эксцентрицитет силы N относительно центра тяжести растянутой арматуры, а для предварительно-напряженных элементов добавляется еще момент от усилия No, т. е. Af3=7VeaJV-|-JVoea.
Равнодействующая продольных сил Nc. Очевидно, что для обычных изгибаемых элементов Nc~0, а для изгибаемых предварительно-напряженных Nc=Nn. Для внецентренно сжатых элементов без предварительного напряжения NC=N, а для внецентренно растянутых Wc=—N, для предварительно-напряженных добавляется еще усилие No, т. е. Nc=±N-\-No.
Относительная высота сжатой зоны бетона £ представляет собой соотношение между высотой сжатой зоны х и рабочей высотой сечения ho, т. е. %=x/h0, и определяется .по эмпирической формуле
-	1	1»5 + у'
1+(£ + П^ еас J-8+ юргГ п>5-йГ±5
(65)
Зависимость (47) построена эмпирически таким образом, чтобы в определенном диапазоне расчетные значения совпадали с опытами. Поэтому формально получаемые по ней значения £ могут быть и больше 1. Однако
47
такие значения £ не имеют физического смысла, поэтому I следует принимать не более 1.
Входящие в первый член формулы (47) параметры L и Т представляют собой относительный заменяющий /И
момент (т. е.  3——) и относительный статический мо-мент сжатых свесов и сжатой арматуры (т. е. статический момент, деленный на ййо)
( h 'n \
(67)
Формула для Т дана в приближенном виде и учитывает то, что сжатая арматура располагается вблизи середины сжатой полки. Очевидно, что при отсутствии сжатой полки в формулу (67) вместо Лп следует подставить 2а', а при отсутствии и полки, и сжатой арматуры значение Т равно нулю.
Коэффициенты р, и п представляют собой отношения
Второй член в формуле (65) учитывает влияние усилия предварительного обжатия No и продольных сил сжатия и растяжения N. Если равнодействующая продольных усилий Nc сжимает элемент, то высота сжатой зоны увеличивается и следует принимать верхние знаки; при растягивающем усилии Nc — наоборот.
Учет влияния продольных сил производится через эксцентрицитет их равнодействующей Nc, отвечающий заменяющему моменту М3, т. е. ea.c=MB/Nc. Очевидно, чем больше будет эксцентрицитет, тем влияние продольных сил будет меньше.
Относительная площадь свесов сжатой полки и сжатой арматуры у' определяется по формуле
.	. п
(6п-6)/гп + т- Fa
Y' =--------77-------•	(68)
о п0
Плечо внутренней пары сил определяется по формуле:
48
Zj = hD
i hB у' + I2
(69)
2 (T' + E)
Формула для Z] дана также с некоторым приближением. Принимается, что сжатая арматура располагается вблизи середины полки. При отсутствии полки в формуле (69) вместо Ил подставляется значение 2а'. Для прямоугольных сечений с одиночной арматурой вместо (69) имеем простую формулу
г1 = Л0 (1-0,5?).	(70)
Коэффициент фа- Наибольшие трудности (наряду с определением относительной высоты ежа гой зоны Е) представляет определение коэффициента фа, хотя в последнее время сделан ряд упрощений. В общем случае коэффициент фа определяется по эмпирической формуле
1 — т2
фа=1,25 — Sm~------------------- •	(71)
(72)
еа с
(3,5— 1,8m) —j—
<‘О
Параметр т характеризует соотношение между усилием, воспринимаемым сечением перед образованием трещин, и усилием, действующим на сечение, т =----------------------------------.
Из расчета конструкций по образованию трещин:
7И” — момент внешних сил относительно точки ядра сечения, наиболее удаленной от растянутой зоны;
Мяо— момент усилия предварительного обжатия No относительно той же точки;
117т — момент сопротивления сечения с учетом неупругих деформаций.
С увеличением усилий от внешней нагрузки параметр т уменьшается, а коэффициент фа увеличивается, и наоборот. Однако по своему физическому смыслу параметр т принимается не более 1, что соответствует минимальному значению фа. С другой стороны, коэффициент фа принимается не более 1, когда параметр т резко уменьшается.	х!
Третий член в формуле (71) характеризует влияние продольных сил на коэффициент фа, которое, так же как и для значения выражается через эксцентрицитет ба.с-
49

Коэффициент S учитывает влияние вида рабочей арматуры и длительности действия нагрузки на коэффициент фа, что связано с нарушением сцепления арматуры с бетоном. При кратковременном действии нагрузки для горячекатаной и термически упрочненной арматуры периодического профиля S = l,l, а для горячекатаной гладкой и проволочной арматуры IS= 1; при длительном действии нагрузки во всех случаях 5=0,8.
При действии многократно повторяющейся нагрузки фа принимается равным 1.
Коэффициент фб обычно принимается равным 0,9. При действии многократно повторяющейся нагрузки фб принимается равным 1.
Коэффициент v зависит от длительности действия нагрузки и влажности окружающей среды. При кратковременном действии нагрузки во всех случаях v=0,45, а при длительном действии нагрузки, когда средняя относительная влажность воздуха более 40%, v=0,15, а при влажности 40% и менее v=0,l.
Влияние ослабляющих сечение начальных трещин учитывается путем снижения усилия предварительного обжатия на величину &NO, определяемую по уменьшению момента трещинообразования на величину АЛ4Т
ДМ, ддго=-----
(73)
где ея — эксцентрицитет усилия предварительного обжатия No относительно точки ядра сечения, наиболее удаленной от растянутой зоны.
Уменьшение момента трещинообразования учитывается коэффициентом 0
дмт = омт,
который определяется по формуле
1 — е = (0,8—0,5/с) --
т
(74)
(75)
(76)
// — расстояние от центра тяжести приведенного сечения до грани, растянутой внешней нагрузкой.
Значения параметра т было указано выше, однако его нужно определять для зоны с начальными трещинами, т. е.
50
< ±мяв
(77)
и принимать не менее 0,5.
В тех случаях, когда правая часть (75) оказывается отрицательной, коэффициент 0 принимается равным нулю.
При действии на элемент кратковременной и длительной нагрузки полная кривизна определяется по формуле
1/р = 1/р1-1/р2 + 1/рз,	(78)
где 1/pi — кривизна от кратковременного действия всей нагрузки;
1/р2 — кривизна от кратковременного действия длительной нагрузки;
1/рз— кривизна от длительного действия длительной нагрузки.
Таким образом, при вычислении кривизн 1/pi, 1/р2, 1/рз следует учитывать значение нагрузки (полная и длительная), которая учитывается вводимыми в расчетные формулы соответствующими усилиями (например, изгибающим моментом М), и характер действия (кратковременное и длительное), который учитывается соответствующими значениями коэффициентов фа и v.
Для предварительно-напряженных элементов значения кривизн, входящих в формулу (78), определяются с учетом влияния усилия предварительного обжатия Л\>-Кроме того, в формулу (78) вводится кривизна обратного знака, дополнительно учитывающая влияние выгиба от длительной ползучести бетона при действии предварительного обжатия и определяемая по формуле (62)
1/Р = 1/pi — >/?2 + 1/Рз — 1/Рв.п.	(79)
Каково бы ни было значение длительной нагрузки, кривизна вычисляется в предположении, что трещины образуются в растянутой зоне. Когда усилия от внешней нагрузки меньше усилия образования трещин, порядок расчета не меняется, но коэффициент фа принимается постоянным и равным своему минимальному значению.
В предварительно-напряженных элементах при относительно малых значениях длительной нагрузки кривизны 1/р2 и 1/рз могут получить отрицательные значения из-за обратного действия усилия предварительного обжатия . No. В этом случае при длительном действии нагрузки кривизна будет уменьшаться, и, следовательно, наибольшее значение кривизна будет иметь при кратко
51
временном действии нагрузки, что следует учесть в расчете, принимая 1/р2 и 1/р3 .равными нулю и 1/р=1/рь
2. УЧЕТ ДЕФОРМАЦИЙ СДВИГА
(80)
Угол сдвига поперечного сечения железобетонного элемента определяется по формуле
1.5Qc
Yc G6bh Р'
Коэффициент |3 учитывает наличие или отсутствие нормальных и наклонных трещин на рассматриваемом участке.
На участках, где отсутствуют нормальные и наклонные трещины, Р—1; на участках, где имеются только наклонные трещины, р = 4,8; на участках, где имеются только нормальные или нормальные и наклонные трещины, р вычисляется по формуле
3 Eq J п “
₽=--------₽
н м
Коэффициент с, учитывающий длительность действия нагрузки, определяется как указано выше.
(81)
3.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОГИБОВ
Полный прогиб элемента в общем случае определяется с учетом деформаций изгиба и сдвига
f = + f<2 ,	(82)
где [м — прогиб, обусловленный деформациями изгиба (зависящий от изгибающих моментов);
fQ — прогиб, обусловленный деформациями сдвига (зависящий от поперечных сил).
Прогибы вычисляют по правилам строительной механики, используя полученные значения кривизн и сдвигов по точным или приближенным формулам. Наиболее общей и удобной зависимостью для определения прогибов является интеграл Мора.
Формула для определения прогиба от деформаций изгиба при использовании кривизн получает следующий вид
52
Здесь	—-— —кривизна оси элемента в некотором сечёнйи х, ой-
t Рх
ределенная для нагрузки, при которой определяется прогиб;
Мх — изгибающий момент в сечении х от действия единичной силы по направлению искомого перемещения элемента;
I — пролет элемента.
Очевидно, что для вычисления интеграла необходимо иметь значение кривизн 1/рж. Кривизна 1/ря определяется по точным либо приближенным формулам, рассмотренным выше, для участков с трещинами в растянутой зоне и без трещин. При этом, несмотря на то, что прогибы могут определяться только от длительной нагрузки, возможность образования трещин устанавливается при действии полной нормативной нагрузки.
Рис. 15. Схема замены криволинейной эпюры кривизн прямолинейными участками
Рис. 14. Схематичная эпюра кривизн в изгибаемых элементах
В общем случае криволинейная эпюра кривизн (рис. 14) может быть заменена ломаной (рис. 15). Тогда прогиб в середине пролета элемента, определенный по (83) при четном числе одинаковых участков, будет:
—) + (Зп-2) —
PZ п /	Ре
(84)
53
1 1 . ..
где ---- и ——кривизны по границам участков, симметричных ог-
Pz л Pz п
носительно середины пролета;
1
---— кривизна в середине пролета;
Рс
п — число участков.	•
Число участков, для того чтобы получилась достаточно высокая точность, рекомендуется принимать не менее 6.
. Прогиб, обусловленный деформацией сдвига, определяется по формуле
i
fQ = J Qx Tex'**. О
(85)
где усх — угол сдвига в некотором сечении х по длине пролета элемента;
Qx — поперечная сила в сечении х от действия единичной силы то направлению искомого перемещения элемента.
Так же как и при определении прогибов от изгиба, формула для прогиба в середине пролета элемента от сдвига может быть приведена к виду
/	ft/2-l \
'« = 17 ('«.+2 2ч1-	<“>
где Уфо и Yq —сдвиговые Деформации на опоре и в i-м сечении.
Деформации сдвига оказывают существенное влияние на прогибы только в высоких и коротких балках, т. е. с большим соотношением h/l. Однако для таких элементов прогибы обычно оказываются меньше допускаемых. Поэтому в большинстве случаев деформации сдвига могут не учитываться.
Для тонких плит, армированных плоскими сетками и имеющих трещины в растянутой зоне, небольшое возможное отклонение арматуры от проектного положения по высоте сечения может привести к существенному увеличению прогиба конструкции. Поэтому для плит толщиной менее 25 см значение прогибов следует умножать на повышающий коэффициент —уу)  но не более 1,5, где ho — рабочая высота сечения в сантиметрах.
54
4.	ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПРОГИБОВ
Расчет по деформациям входит во вторую группу предельных состояний, обеспечивающих эксплуатационную пригодность конструкции.
Задача расчета по деформациям заключается в проверке условия
/< /пред.	(87)
где f — прогиб элемента от внешней нагрузки;
/пред — предельный прогиб элемента.
Предельные прогибы элементов устанавливаются в зависимости от технологических, конструктивных и эстетических требований. Технологические требования определяются условиями нормальной эксплуатации оборудования, размещаемого на строительных конструкциях. К таким конструкциям относятся подкрановые балки, эстакады, перекрытия, на которых размещено оборудование и т. п. Нормируемые значения предельных деформаций зависят от характеристик оборудования и должны устанавливаться техническими условиями на эксплуатацию машин, механизмов и т. д.
Для подкрановых балок СНиП устанавливаются предельные прогибы в зависимости от вида кранов: при ручных кранах — //500; при электрических — //600, где / — пролет элемента.
Для конструкций, по которым укладываются рельсы (подкрановые балки, эстакады), также ограничивается общее значение перемещений от положения равновесия при действии только постоянной нагрузки (с учетом усилия предварительного обжатия) до положения равновесия при действии полной нагрузки (с учетом крана и т. п.), т. е. прогибы конструкции при перемещении крана. Допустимые значения таких перемещений устанавливаются специальными техническими условиями.
Конструктивные требования к перемещениям определяются работой примыкающих конструкций, креплений, условиями сохранности штукатурного слоя, необходимостью выдерживания заданных уклонов и т. п.
В СНиП П-21-75 исходя из конструктивных требований даны предельные прогибы для навесных стеновых панелей (при расчете их из своей плоскости) в зависимости от пролета /:
65
при Z<6 м................. Z/200;
» 6 m^Z^7,5 м . . . 3 см;
» Z>7,5 м ...............Z/250-
Эстетические требования определяются неблагоприятным впечатлением, которое производит на людей сильно прогнувшаяся конструкция. Предельные прогибы, связанные с эстетическими требованиями, устанавливаются на основе многолетней практики эксплуатации конструкций. Для элементов покрытий и перекрытий в СНиП П-21-75 приняты следующие предельные прогибы, определяемые эстетическими требованиями:
а)	элементы перекрытий с плоским потолком и элементы покрытий: при (<6 м............Z/200;
» 6 m^Z^7,5 м . . . 6 см;
» Z>7,5 м..........Z/250;
б)	элементы перекрытий с ребристым потолком и элементы лестниц; при Z<5 м............Z/200;
» 5 im^Z^IO м . 2,6 см;
» Z>10 м...........Z/400.
Значения предельных прогибов, устанавливаемых по эстетическим требованиям, зависят от характера обозреваемой конструкции (плоские или ребристые потолки, элементы покрытий или перекрытий и т. д.).
Следует иметь в виду, что при этом нормируется видимый прогиб конструкции. Например, если в нижележащем помещении с гладким потолком имеются расположенные поперек пролета элемента постоянные перегородки, не являющиеся опорами, то ограничивается прогиб элемента только в пределах расстояния между перегородками. При этом прогиб участка элемента между перегородками отсчитывается от линии, соединяющей точки на изогнутой оси элемента по концам этого участка, а предельный прогиб устанавливается по длине 1Ь равной расстоянию между перегородками.
В железобетонных конструкциях со строительным подъемом значения предельных прогибов могут увеличиваться на размер строительного подъема, так как он ослабляет неприятное впечатление от прогиба конструкции.
При расчете консольных элементов для определения предельных прогибов значения I принимаются равными удвоенному вылету консоли.
Абсолютное значение предельного прогиба принято в зависимости от пролета элемента и увеличивается с уве-56
личением пролета. Однако относительное значение предельного прогиба с увеличением пролета уменьшается. В связи с дискретным характером нормирования предельных прогибов во избежание скачков установлена промежуточная зона пролетов с постоянным предельным, прогибом таким образом, чтобы значения предельных прогибов на границах совпадали.
Расчет прогибов производится на действие нормативных нагрузок. Однако, если при ограничении прогибов технологическими или конструктивными требованиями учитывается полное значение нормативной нагрузки, то при ограничении прогибов эстетическими требованиями расчет производят только на действие длительных нагрузок, считая, что кратковременное превышение прогиба не воздействует неблагоприятно на человека.
Независимо от требований технологического, конструктивного и эстетического характера, общий прогиб элемента от полной нормативной нагрузки не должен превышать //150, так как большие значения прогибов отвечают состоянию конструкции, близкому к разрушению.
Следует отметить еще один вид предельного состояния по деформациям — большие кратковременные прогибы железобетонных плит перекрытий, лестничных маршей и площадок при перемещении человека. Для того чтобы человек не испытывал при этом неприятных ощущений, предусматривается проверка конструкции по зыбкости. В этом случае добавочный прогиб от кратковременно действующего сосредоточенного груза весом 1 кН должен быть не более 0,7 мм.
Колебания конструкций от динамического воздействия оборудования (вибрации) также могут оказывать вредное влияние на здоровье людей и ограничить возможность их пребывания в этих условиях. Поэтому для конструкций, на которые действует многократно повторяющаяся нагрузка, помимо проверки статических прогибов предусматривается проверка динамических амплитуд колебаний.
Глава III
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ПО ДЕФОРМАЦИЯМ
1. АНАЛИЗ РАСЧЕТНОГО АППАРАТА
Многие проектировщики обращали внимание на сложность и трудоемкость определения перемещений по СНиП.
Эти трудности носят чисто вычислительный характер и уже в настоящее время быстродействующие электронные машины позволяют довести эти расчеты до уровня стандартных программ. Однако это не означает, что проблема создания новых приближенных методов расчета утратила актуальность.
На стадии вариантного проектирования, при разработке новых конструктивных форм инженер по-прежнему нуждается в простых и достаточно достоверных методах расчета. По-видимому, и в нормативных документах эти методы в ближайшие годы сохранятся. Лучшие из них, как правило, пополняют соответствующие разделы теории расчета и играют немаловажную роль в подготовке высококвалифицированных инженерных кадров.
Поэтому в настоящей главе анализируются приближенные методы расчета, которые обладают сравнительной простотой и достаточной точностью и в той или иной мере используются в инженерной практике.
Анализируя схему расчета изгибаемых элементов без предварительного напряжения, можно отметить следующее.
Для вычисления кривизны элемента помимо действующих усилий, геометрических характеристик сечения, площади арматуры, значений модулей упругости бетона и арматуры, необходимо определить целый ряд дополнительных параметров, таких как коэффициенты фа и фо, значения Zb у', g и коэффициент v.
Коэффициенты фа и у выражаются в виде функций ряда величин для различных условий загружения.
Значения Zb у' и g вычисляются по специальным формулам, в которых используются промежуточные относительные параметры L, п, р, Т.
58
Особенно трудоемко вычисление коэффициента фа; Для его определения необходимо прежде всего найти момент сопротивления сечения с учетом неупругих деформаций WT, момент трещинообразования Л1т и коэффициент S, а затем подставить их в общую формулу.
Для определения кривизны элемента прямоугольного сечения с одиночной арматурой (наиболее простой случай расчета) проектировщику необходимо произвести вычисления, используя около полутора десятков формул, а для определения кривизн тавровых сечений с арматурой в сжатой зоне — около двух десятков формул. При этом необходимо учитывать различные ограничения и условия пользования формулами СНиП.
Особенно возрастает трудоемкость расчета, когда длительная нагрузка составляет часть от полной нагрузки. В этом случае необходимо вычислить три различных значения кривизны.
Значительно более сложен расчет предварительно-напряженных элементов. Для этих элементов усложняется вычисление отдельных параметров, таких как фа и а в формулу кривизн вводится усилие предварительного напряжения. Сложность и трудоемкость расчета по СНиП заставили различных исследователей в этой области искать способы упрощения расчета.
Разработка практических методов расчета в основном развивалась двумя путями.
Первый путь — непосредственное упрощение расчета по СНиП путем выделения обобщенных коэффициентов, которые определяются по таблицам и графикам. Второй путь заключается в составлении интерполяционных зависимостей для кривизн между двумя граничными значениями в момент образования трещин и в момент разрушения, которые могут быть определены достаточно простыми способами.
Здесь уместно затронуть вопрос об общем подходе к приближенным методам расчета. Вообще говоря, всякий метод расчета является приближенным, поскольку он дает отклонения от опытных данных. Но в рассматриваемом случае под приближенными методами будем понимать такие методы, в которых приближенность оценивается не по отношению к опыту, а по отношению к основному методу, принятому за эталон. Таким эталонным методом следует считать метод, принятый в нормах, независимо от степени его фактической точности.
59
Имеется много случаев, когда авторы, предлагая тот или иной метод для использования в инженерной практике, оценивают его точность по сравнению с имеющимися в их распоряжении опытными данными, получая даже в отдельных случаях более высокую точность, чем по СНиП. Такой подход нельзя считать правильным. В данном вопросе имеется только два пути: либо новый метод предлагается взамен метода СНиП и тогда, естественно, справедлива его оценка по опытным данным, либо этот метод предлагается в развитие СНиП для практических расчетов, и тогда его степень точности должна оцениваться в сравнении со СНиП-
В основе метода расчета, принятого СНиП, лежат фундаментальные теоретические исследования, поэтому он охватывает широкую расчетную область. В силу этого в отдельных случаях он может давать некоторые отклонения от опытных данных. Но это не значит, что отдельные расчетные зависимости, может быть более точные, но и более узкие, будут лучше, чем общий универсальный метод. Безусловно, общий универсальный метод, имеющий физическую основу, является более предпочтительным, так как содержит в себе возможности дальнейшего развития.
Другим вопросом является допустимая степень отклонения упрощенных методов от метода СНиП. По этому вопросу в настоящее время нет ясности, и допустимые отклонения не нормируются. Однако всякое упрощение связано с отклонениями от точного метода и при создании приближенных методов мы неизбежно будем иметь определенные погрешности. Вопрос заключается в том, какую степень погрешности можно допустить и в какую сторону: только в сторону безопасности, либо как в ту, так и в другую сторону. Допустимый уровень погрешности, по-видимому, связан с двумя факторами: степенью ответственности расчета и точностью самого исходного метода. Под ответственностью расчета мы понимаем тот ущерб, который принесет отклонение от исходного метода. Этот ущерб зависит от вида предельного состояния и характера конструкций. Для первой группы предельных состояний отклонение может привести к разрушению конструкции, поэтому отклонения могут быть допущены только в сторону увеличения запаса, а в сторону уменьшения запаса должны быть исключены либо существенно ограничены. Для второй
60
группы предельных состояний, в которую входит расчет по деформациям, отклонение может привести лишь к затруднениям в эксплуатации, что менее опасно, и потому можно, очевидно, допустить погрешности в обе стороны и большей величины. Для конструкций массового использования (типовых) требуется более высокая точность расчета, чем для индивидуальных сооружений, так как применение грубых, приближенных методов здесь может привести к значительному перерасходу материалов.
В отношении точности самого исходного метода дело обстоит следующим образом. Известно, что не бывает идеальных методов расчета и любой метод дает отклонения от фактических результатов, которые имеют статистический характер. Предположим, что исходный метод имеет относительную среднеквадратичную ошибку результата бь Применение приближенного метода дает нам дополнительную ошибку 62. Общая относительная ошибка результата будет определяться ошибками 61 и 62 в соответствии с формулой
б =	+	(88)
При больших значениях бь т. е. когда точность исходного метода не велика, ошибки 62, связанные с применением приближенного метода, не слишком скажутся на общей точности расчета, т. е. общая ошибка не слишком изменится. Например, если отклонение 61 составляет 30%, то при 62=10% общее отклонение увеличится всего лишь до 31,5%, что легко можно получить из формулы (88). Здесь имеется ,в виду, что отклонения 61 и 6'2 равновозможны в обе стороны от исходных данных, т. е. в среднем приближенные и исходные данные совпадают. Таким образом, при сравнительно невысокой точности исходного метода, мы вправе применять приближенные методы с достаточно высоким уровнем отклонений. Точность расчета по деформациям слагается из двух компонентов: из точности самих расчетных зависимостей для определения прогибов и из точности предельно допустимых значений прогибов. Необходимо констатировать, что точность обоих этих компонентов не слишком велика. Для расчетных зависимостей причина существенных отклонений прежде всего связана с очень сложным характером деформирования железобетонного элемента, имеющего нормальные и наклонные трещи
61
ны, неупругие деформации бетона, нарушение сцепления арматуры с бетоном и т. д. Если кривизны для участка элемента, имеющего нормальные трещины, мы можем рассчитать достаточно точно, то при определении прогибов элемента в целом содержится уже много приближений. В общем случае железобетонный элемент имеет участки как с нормальными, так и с наклонными трещинами, с трещинами, образовавшимися ранее в сжатой зоне, участки без трещин. И для таких случаев наши методы определения деформаций поворота и сдвига еще недостаточно разработаны. Еще большие трудности встречаются при расчете статически неопределимых систем, в которых происходит перераспределение усилий в процессе деформирования.
Предельные прогибы для основных типов конструкций назначаются по эстетическим соображениям, т. е. таким образом, чтобы прогибы не вызывали неприятных ощущений у людей, находящихся в помещении. Естественно, что при таком назначении прогибов точность является весьма приблизительной. Принятые в настоящее время предельные значения являются достаточно большими, и значительное увеличение прогибов сверх предельных становится нежелательным.
Учитывая все вышеприведенные обстоятельства, можно считать вполне оправданным применение для расчета по деформациям приближенных методов, причем можно допустить достаточно большие отклонения как в сторону увеличения запаса, так и в сторону его уменьшения, в основном до 10% ив отдельных случаях до 20%.
Итак, перейдем к рассмотрению различных предложений по упрощению методов расчета.
2. ПРЕДЛОЖЕНИЯ ПО УПРОЩЕНИЮ РАСЧЕТА
И. К. Никитиным проведен анализ зависимости кривизны от различных параметров и установлена возможность выразить влияние формы сечения (у7), армирования (jin) и относительного момента (L) через один комплексный коэффициент Р. В результате кривизна вычисляется по формуле
J_______
Р Pbh^E6
62
а значение коэффициента Р находится по таблице в зависимости от указанных трех параметров.
Отличительной чертой предлагаемого расчета является высокая степень упрощения, универсализация расчета для прямоугольного и таврового сечений, определение кривизн для любых значений изгибающих моментов, высокая точность по сравнению с методом СНиП (отклонения в пределах ±10%).
Однако пользование таблицей для определения коэффициента Р по трем параметрам (у, рп и L) представляет значительную сложность. Кроме того, при интерполяции по трем параметрам неизбежны неточности вычисления, что практически увеличивает погрешность расчета. Метод разработан только для обычных железобетонных элементов без предварительного напряжения.
Аппроксимируя графики зависимости момент — жесткость для прямоугольных сечений с одиночной арматурой, Э. А. Неустроев получил сравнительно несложную формулу, которая для определения кривизны имеет вид
Значения коэффициентов с и а определяются по графикам или таблицам в зависимости от марки бетона, процента армирования и класса стали.
Поскольку коэффициенты с и а не зависят от внешнего момента М, график кривизна — момент, построенный по формуле (89), представляет собой прямую, отсекающую на оси моментов отрезок, равный
М = -у
Метод дает высокую точность, обусловленную тем, что автор нашел аналитическую зависимость, достаточно хорошо описывающую построенные по формулам СНиП графики. Недостатками его являются: ограниченность области применения (только для прямоугольных сечений с одиночной арматурой и тавровых сечений, рассчитываемых как прямоугольные, обычных элементов без предварительного напряжения), а также необходимость использования большого количества вспомогательного материала.
63
С. 10. Цейтлиным Предложена параболическая интерполяция кривизны между двумя ее граничными значениями: в момент образования трещин и в момент разрушения. Формула для расчета выглядит следующим образом
1 =	(1..Д	(90)
р Рр Г Мр— Мт \рр рт /’	7
где Мр — разрушающий момент, определяемый при нормативных сопротивлениях материалов;
Л1Т — момент трещинообразования;
1/Рр — кривизна при разрушающем моменте;
1/рт—-кривизна при моменте трещинообразования.
Кривизна при разрушающем моменте определяется исходя из предельных деформаций центра сжатой зоны бетона и растянутой арматуры
1	*4~ 8д
—	(91)
Рр	Z
где
ее = 2 7?/Еб;	(92)
еа = RKa/Ea-,	(93)
Z находится как плечо внутренней пары сил.
Кривизна при моменте трещинообразования определяется из расчета элемента как упругого тела
рт	0,85 £gJn
Рассматриваемый расчет проще, чем даваемый в СНиП, однако все же достаточно трудоемок, так как требует вычисления по 12—16 формулам- Отличительной особенностью его является отсутствие вспомогательного материала (графиков, таблиц).
И. К. Белобровым также предложена интерполяция, но не кривизн, а деформаций сжатого бетона и растянутой арматуры между граничными значениями в момент образования трещин и в момент разрушения.
Кривизна железобетонного элемента с трещинами вычисляется по общей формуле
<») Р	/10
В момент образования трещин Мт деформации в бетоне на сжатой грани элемента ее.т и деформации рас
64
Тянутой арматуры Еа.т Согласно опытным данным принимаются равными 12-10-5.
В качестве предельных деформаций арматуры рассматриваются значения, когда напряжения в стержнях достигают физического или условного предела текучести. В результате предельные деформации в арматуре" могут быть найдены по формуле
еа,р=ВД.	<96>
причем для арматуры с условным пределом текучести, отвечающим остаточным деформациям 200-10-5, необходимо вычесть эту величину. Указанные деформации отвечают предельному моменту по арматуре
Afpi==7^faZ.	(97)
Предельные деформации в бетоне на сжатой грани принимаются равными некоторым средним значениям 300-1 (К5. Эти деформации отвечают предельному моменту по сжатому бетону
М = Rnpbxrp (h0 —0,5хгр) + Ra с f' (Ло — а').	(98)
Изменение деформаций в бетоне и арматуре между граничными значениями при моменте образования трещин Л4Т и предельных моментах AfPi (Alps) принимается по линейному закону. В результате получаются ющие зависимости для определения деформаций
12 (мр1-М) + еа р 10Б (М-Л1Т)
6а~	Л4р1 —Л4Т	:
12 (/Ир2 — Л1) + 300 (М — Мт) ®б=	Л4рг-Мт	*
Способ расчета, предложенный И. К. Белобровым, так же как и предложенный С. Ю. Цейтлиным, проще, чем расчет по СНиП, однако все же достаточно трудоемок. Кроме того, по сравнению с расчетом по СНиП он может давать существенные отклонения.
В рекомендациях Европейского комитета по бетону содержатся следующие предложения по расчет)7 деформаций.
Полная кривизна при действующем моменте М определяется как сумма двух составляющих
1/₽= 1/Pi + 1/РП.	(101)
65
следу-
(99)
(ЮО)
где 1/Pj —кривизна от действия момента Образования трещин Л1т, определяемая из расчета элемента как сплошного упругого тела,
1 Л4Т
Pt £б Jn
(Ю2)
1/Pjl—кривизна от действия момента М п —М— Mt, определяемая из расчета элемента с трещинами,
1
— =--------------------------7-----2~\ ;	<103)
Рп 0,75 Еа Faftjj (1—2а) 11 ——а)
\	3 J
а, — механический коэффициент армирования,
R Я” а = ----- --- :
ЬЛ0 pH 'пр для тавровых сечений Ь=ЬП.
(Ю4)
При этом кривизна 1/р не должна превышать значения
Р £aFaft2(l-2a) ^1—|-aj
Кривизна от длительно действующей нагрузки увеличивается в 3 раза против вычисленной по данному методу. При анализе метода обращает на себя внимание тот факт, что знаменатель формул для определения кривизны по структуре своей аналогичен формуле для определения жесткости по методу В. И. Мурашева- В то же время этот знаменатель равен тангенсу угла наклона графика кривизна — момент.
Данный метод значительно проще метода СНиП. Существенным преимуществом его является то, что упрощение достигается без использования вспомогательного материала (таблиц, графиков). К недостатку метода следует отнести ограниченность области его применения и большую погрешность (±20%).
Рассмотренные предложения по упрощению расчета деформаций имеют ряд недостатков. Предложения, связанные с непосредственным упрощением метода СНиП (Э. А. Неустроева, И. К. Никитина), требуют от проектировщика использования значительного количества вспомогательного материала (таблиц, графиков), что представляет определенную сложность. Кроме того, при использовании вспомогательных материалов возможны
66
неточности, что ведет к увеличению общей погрешности расчета. Упрощение расчета по СНиП путем использования таблиц и графиков ограничивает области его применения (например, только прямоугольными и тавровыми сечениями при сжатой зоне, расположенной в полке). Применение же рассмотренных методов для других форм сечений при сохранении необходимой точности приводит к резкому увеличению таблиц и графиков либо к их усложнению.
Интерполяционные методы дают универсальные решения без дополнительных вспомогательных материалов. Они существенно проще метода СНиП, однако для практических массовых расчетов все же достаточно сложны и, кроме того, могут давать значительные отклонения от СНиП.
Далее подробно остановимся на практическом методе расчета, идея которого предложена авторами книги, разработанном инж. Л. Л. Лемышем (ЦНИИПромзда-ний). Этот метод принят для включения в Руководства по проектированию железобетонных конструкций, составляемые в развитие новой главы СНиП «Бетонные и железобетонные конструкции. Нормы проектирования».
3. ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИВИЗНЫ ЖЕЛЕЗОБЕТОННОГО ЭЛЕМЕНТА
Элементы без предварительного напряжения. При рассмотрении значительного количества графиков зависимости кривизны от изгибаемого момента, вычислеп-
Рис. 16. График кривизна — момент в изгибаемом железобетонном элементе без предварительного напряжения
ной по формулам СНиП, была выявлена закономерность, заключающаяся в том, что после образования трещин указанная зависимость близка к прямолинейной.
В общем случае график кривизна — момент имеет вид, близкий к показанному на рис. 16.
При анализе графиков кривизна — момент можно ус
67
тановить три характерных участка. Участок 0—1' соответствует деформациям элемента без трещин в растянутой зоне; участок 1—Г — резкому увеличению деформаций в момент образования трещин (скачок); участок /—2 — деформации элемента с трещинами.
Участок 1—2 графика может быть принят прямолинейным с углом наклона а. Продолжая график 1—2 до оси моментов, будем отсекать некоторую часть момента Мх. В результате график деформаций элемента с трещинами будет характеризоваться двумя параметрами: углом наклона а и ординатой Afj. Это и положено в основу рассматриваемого метода расчета.
На основании графика формула для определения кривизны записывается в виде
где Bi=tga.
Можно показать, что близость графиков к прямолинейным вытекает из самих формул СНиП.
Преобразуем формулу СНиП для кривизны, подставив в нее значение фа, к виду
М~
2 р
——-------- DH
фби.п Dn Kv
1,25-4--—
(ТЛ + g) 
E&Fzhl------------------
Фб 1,25 +------—
(Y'+?) *
где у = 0,292 -}-0,75 (Yi+2 |хп) + 0,075 (у1 + 2 ц' п);
*>oYi + S2 * * 5
г; = 1 —-------------- .
'	2(Y' + £)
(Ю7)
(Ю8)
(109)
В этой формуле изгибающий момент М не только присутствует в явном виде в числителе, но от него также зависят относительная высота сжатой зоны g и относительное плечо внутренней пары сил ц. Однако изменение изгибающего момента незначительно отражается на значении g, например, увеличение внешней нагрузки в
5 раз вызывает уменьшение высоты сжатой зоны только на 20—30%. Еще меньше сказывается внешний момент
фл ц. п	~
на выражении 1,254-—---------- . Отсюда видно, что
(Y +1) ?
65
второй член числителя мало зависит от изменения момента М. Его значение невелико и не оказывает большого .влияния на кривизну.
Знаменатель формулы (107) оказывает на значение, кривизны большее влияние, но в то же время меньше зависит от изгибающего момента. Изменение изгибающего момента мало отражается на относительной высоте сжатой зоны бетона Еще меньше изменяется относительное плечо внутренней пары сил т]. Одновременно с этим изменения и к] в знаменателе взаимно компенсируют друг друга, так что в целом знаменатель формулы (107) практически не зависит от внешнего момента М.
Таким образом, формула для кривизны может быть записана в виде
1 M — K2bh2R" — =-----------гЛ	О10)
Р КгЕаТаЛо
где выражения Kzbh2R^ п KiEaFaho представляют собой параметры Afi и В\ на графиках кривизна — момент _ (см. рис. 16).
Можно заметить, что величина Mi=Kzbh2Rp связана с моментом образования трещин Мт.
Точные значения коэффициентов Ki и Кг были получены из расчета по формулам СНиП с помощью ЭВМ. В общем случае эти коэффициенты зависят от следующих параметров: относительного момента L. характеристики армирования ци, характеристики формы сечения у', марки бетона и длительности действия нагрузки.
Проведенные расчеты выявили следующее:
1) коэффициенты К\ и Кг для различных значений L меняются незначительно, что подтверждает близость принятого графика зависимости кривизны от момента к прямолинейному. В результате коэффициенты К\ и Кг приняты не зависящими от момента;
2) коэффициенты К\ и Кг несущественно отличаются при изменении марок бетона в диапазоне наиболее употребляемых марок: 200—600, поэтому были приняты средние значения коэффициентов для этих марок. Таким образом, значения коэффициентов К\ и Кг определяются параметрами рп, у' и длительностью действия нагрузки. Для их нахождения составлена табл. 1.
69
Таблица I
Значения коэффициентов Kt и Кг
Приведенная форма сечения				Y	р. п									
					0,04	0,07	0,10	0,15	0,20	0,30	0,40	0,50	0,04-0,2	0,2-0,5
													Кг	
	, ъ			у=у'=0	0,53 0,34	0,47 0,29	0,43 0,25	0,39 0,21	0,34 0,18	0,29 0,14	0,25 0,11	0,22 0,10 »	0,22 0,12	0,23 0,10
	. ь			у'=0,2	0,59 0,41	0,55 0,37	0,53 0,34	0,49 0,28	• 0,44 0,24	0,37 0,19	0,32 0,16	0,28 0,13	0,27 0,13	0,28 0,12
	L г		d	Y'=0,6	0,63 0,47	0,60 0,44	0,59 0,42	0,58 0,38	0,56 0,34	0,49 0,28	0,44 0,23	0,40 0,20	0,34 0,17	0,38 0,16
	— -	ь ,		у'=1,0	0,65 0,49	0,63 0,46	0,62 0,44	0,61 0,42	0,60 0,40	0,56 0,34	0,54 0,30	0,47 0,26	0,37 0,20	0,43 0,18
-г-	-		*		у=0,2	0,55 0,40	0,49 0,32	0,45 0,28	0,41 0,23	0,36 0,19	0,30 0,15	0,26 0,12	0,23 0,11	0,34 0,18	0,29 0,13
	ГЛ 1		зг	у=0,6	0,54 0,39	0,48 0,32	0,44 0,27	0,40 0,22	0,35 0,19	0,30 0,14	0,26 0,11	0,23 0,10	0,50 0,27	0,40 0,18
			Д-	у=1,0	0,53 0,38	0,47 0,31	0,43 0,26	0,39 0,21	0,34 0,18	0,29 0,14	0,25 0,11	0,22 0,10	0,63 0,35	0,47 0,21
•t	Ьп	[4		,у='у'=0,2	0,61 0,51	0,56 0,40	0,53 0,35	0,48 0,29	0,44 0,25	0,37 0,19	0,32 0,16	0,29 0,14	0,39 0,21	0,37 0,16
4 > г		Fa		'у=Т/=0,6	0,64 0,57	0,61 0,52	0,58 0,48	0,55 0,40	0,53 0,34	0,47 0,28	0,42 0,23	0,38 0,20	0,76 0,39	0,67 0,28
I	Ьп	5		у=-у' = 1 ,0	—	0,63 0,56	0,61 0,53	0,59 0,50	0,57 0,44	0,53 0,34	0,49 0,29	0,45 0,25	1,05 0,67	1,00 0,44
^-b)h'n+~F[	(bn-b)hn	Fa Еа
У	bh0 ; У bh0 ’ |АП bhB Еб '
Примечание. Значения коэффициентов и Кг, находящиеся в числителе, применяются при определении кривизн элементов от кратковременного действия нагрузки, а находящиеся в знаменателе — от длительного действия нагрузки.
В результате сделанных допущений возникают определенные отклонения предложенного метода от метода СНиП. Однако эти погрешности невелики и для наиболее массовых случаев нормативных моментов, составляющих 0,65—0,85 несущей способности, не превышают ±10%.
Очевидно, если действующий момент М меньше момента образования трещин Л1Т, то кривизна вычисляется по общим правилам, как для элемента без трещин.
Для универсализации расчета можно распространить рассмотренную методику и на зону без трещин. Для этого Мт выражается приближенно как удвоенное значение Мг.
MT = 2K2bh^R”,	(ill)
а расчетный график принимается от начала координат с углом наклона, равным удвоенному значению Д, отсюда при М^Мт расчет производится по формуле
Р 2K1EaFahi0
Здесь в любом случае значения Ki и Лг принимаются как для кратковременного действия нагрузки, но при длительном действии кривизна умножается на коэффициент С (см. гл. II).
Такой расчет дает несколько 'большие значения кривизн, однако, как правило, в этой области расчетные значения прогибов значительно меньше допустимых, так что такие отклонения не имеют существенного значения.
При одновременном действии кратковременной и длительной нагрузки трехчленная формула приводится к виду:
J_____1__J_	1 M-K2Kpbh^H
Р Pi Ps Рз Кт кр Еа Fa hg
Млл~К2кр Ы1? R* М„-К2ляьн»
К1 кр Та Та %	Кт дл Та Та %
1	( Мкр Мдл Кчр,п bh2 Ry \
=-------Г	’	<113>
ТаТа% уДкр	дл	у
где M=AfFp+Al„a;
— часть момента, которая действует только кр атковременно;
72
Ждл — часть момента, которая действует только длительно;
KiBp, К|дл, Кгкр, Кгдл — коэффициенты К\ и Кг при кратковременном и длительном действии нагрузки.
Если М^МТ, то расчет производится по формуле
1	Мкр + Мдд С
— =  -----"---,	(114)
р 2 Ki кр Еа FB hy
т. е. длительный момент умножается на коэффициент С, учитывающий увеличение деформаций при длительном действии нагрузки в элементе без трещин.
Сравнение коэффициентов и Кдл показало, что их отношение довольно устойчиво и находится в пределах, близких к 2. Отсюда следует, что отношение длительной и кратковременной кривизн также устойчиво и характеризуется коэффициентом
0 = 1/РД1 .
1/Ркр
Специальный анализ показал, что указанные соотношения в основном зависят от формы сечения, характеризуемой коэффициентом у, и содержания арматуры (коэффициент цп) и в меньшей степени — от значения внешнего момента и марки бетона. Усредненные значения коэффициента 0 приведены в табл. 2. Как видно, для прямоугольных сечений значение коэффициента 0 колеблется от 2 до 2,2; для тавровых сечений — от 1,5 до 2. Использование полученных значений не будет давать погрешности в значениях кривизн более 10%. Исключение составляют слабоармированные элементы, для которых погрешности 'возрастают до 20%, однако, как указывалось выше, из-за малости абсолютных значений кривизн эти погрешности не оказывают существенного влияния на результат расчета.
Используя значения коэффициента 0, можно получить более простую расчетную формулу при действии кратковременной и длительной нагрузки:
1 Мкр + е (Мдл-К2кр«"Ь^) — =--------------Е------------•	(115)
Р	Ki кр Fa FB h0
Однако эта формула имеет и существенный недостаток. Если длительная нагрузка близка к полной нагрузке, то общая погрешность определяется погрешно
73
стью в коэффициенте 0 и погрешностью в коэффициентах Ki и К2, т. е. существенно увеличивается.
Таблица 2
Значения коэффициента 0
Приведенная форма сечения							V	|-L П		
								0,04-0,12	0.13—0,24	0,25-0.50
	1						у' = 0,4	1,7	1,9	—
	л									
•>?										
							у' =0,8	1,5	1,7	1,9
		,ъ	го.							
			'О,				У' = 1	1,5	1,6	1,8
	ч									
Чг	уЪ						у = 0,4	2,1	2,3	—
•4“			L_Z					у = 0,8	2,2	2,4	—
					4?					
							у = 1,0	2,3	2,5	—
	Ъп									
										
							у=у'=О	2,0	2,2	—
		ъ								
(4>п — b) hn -------------------- (J. п =
(b'n-b)hn + ~F’a
У'= ГЙ0 1 Y = bh0
_ ^а ^а bh0 Eg
Коэффициенты Л\, К2 и 0 получены для наиболее часто встречающихся в практике случаев: нормальный влажностный режим и арматура из горячекатаных сталей.
Расчет на действие длительной нагрузки, составляющей часть от полной нагрузки Л4дл=<рМ, можно еще упростит^, если принять условие
74
(116)
1/р2 M/VI
---- = '	= <Р, 1/Р1 М
где 1/Р1—кратковременная кривизна от действия полной нагрузки; l/Ps — кратковременная (начальная) кривизна от действия длительной нагрузки.
Такое допущение основано на том, что при расчете реальных конструкций длительная нагрузка составляет значительную часть от полной и если при этом принять график кривизна — момент условно проходящим через начало координат [в этом случае справедливо условие (116)], то погрешность будет не слишком велика.
Преобразуя формулу для кривизны в .соответствии с принятым условием, получим
Р Pl Р2 РЗ Pl L 1/Р1	1/Р1 J
= - [1+^ (6-1)1.
pi L м J
(Н7)
Значение кривизны 1/pi находится по приведенной выше методике.
Однако полученная формула имеет еще большую погрешность (для обычных случаев до 20%-).
Итак, кривизна элемента с трещинами определяется по формуле
1 М —
Р “ KrEaFaftg
(Н8)
где коэффициенты и Лг находятся по табл. 1 в зависимости от характера действующей нагрузки (кратковременной или длительной).
При совместном действии кратковременной и длительной нагрузки кривизну более целесообразно определять по формуле
1 1
Р Еа Еа %
Л4кр Л1дл — Кз дл b h2 кр	Кл дл
(119)
которая дает не слишком большие усложнения и достаточно высокую точность.
Предварительно-напряженные элементы. Проведем анализ формулы СНиП для определения кривизны из-
75
гибаемых предварительно-напряженных элементов так же, как это сделано для обычных элементов без предварительного напряжения. Подставив значение коэффициента фа и приняв упрощенно т=Мт1М, преобразуем формулу кривизны к виду
1 — от2
+ Л° 3,5 —1,8от
ФбР"
. (120)
Из сопоставления формулы (120) с аналогичной формулой (107) для ненапряженных элементов видно, что их отличие в основном заключается в дополнительном уменьшении внешнего момента на некоторую вели-
Рис. 17. График кривизна — момент в предварительно-напряженном изгибаемом элементе
1— по экспериментальным данным; 2— по СНиП; 3— по приближенному методу
чину, вызванную моментом силы .предварительного обжатия. Графически это выражается в увеличении отрезка Mi, отсекаемого продолжением участка графика кривизна— момент, отвечающего работе элемента с трещинами, до оси ординат (рис. 17).
76
Анализ формулы (120) показывает, что с ростом изгибающего момента кривизна предварительно-напряженного элемента изменяется в большей степени, чем обычного элемента, и что с ростом предварительного обжатия угол наклона графика кривизна — момент увеличивается. Однако эти отклонения не слишком велики, что позволяет рассматривать графики при различных уровнях предварительного напряжения как прямолинейные и параллельные друг другу.
Исходя из этого расчетная формула для предварительно-напряженных -элементов получает вид
— =-------------Р—--------,	(121)
Р	Ki Еа
т. е. отличается от формулы для обычных элементов только добавочным членом
Мюб =W>ei-	(122)
Остается установить значения и Кз-
Рассматривая слагаемое в формуле (121), характеризующее момент от усилия обжатия No, можно установить, что плечо этой силы, как правило, незначительно отличается от значения Z\. Но поскольку вычисление плеча внутренней пары сил Zi само по себе представляет определенную сложность, целесообразно заменить его близкой величиной, которую легко было бы определить. В качестве такой величины удобно принять расстояние от усилия No до условной ядровой точки, т. е.
ei = ₽o+^,	(123)
поскольку она используется при оценке момента трещинообразования. Запись в таком виде добавочного члена Л4юб тем более оправдана, что суммарный параметр ЛЬ+Мюб , как это вытекает из графика, непосредственно связан с моментом образования трещин.
Значения коэффициента Кз были получены из расчета по формулам СНиП на ЭВМ, исходя из принципа прямолинейности и параллельности графиков кривизна— момент. При этом коэффициент Кз принимался как среднее значение для двух уровней изгибающего момента М, равных 0,5 и 0,8 от предельного момента по прочности МПр, и для двух уровней предварительного обжатия: сгс=0,35 R” и оо = 0,7 Ra,
77
Таблица 3
Значения коэффициента К3
Приведенная форма сечения				V	fl п							
					0,04	0,07	0,10	0,15	0,20	0,30	0 40	0,50
												
«				y=y'=o	1,05 0,95	0,98 0,85	0,93 0,77	0,90 0,70	0,80 0,60	—	\	—
4			Ха	у'=0,2	М)9 0,97	1,05 0,86	0,98 0,78	0,93 0,71	0,87 0,64	0,75 0,54	—	—
		,ь										
					1,16 1,05	1,05 0,87	0,99 0,79	0,93 0,71	(\88 0,65	0,80 0,55	0,76 0,51	0,69 0,46
				у'=0,6								
с?												
	н											
				y'=i,o	. 1,16 1,06	1,05 0,89	1,00 0,82	0,94 0,74	0,90 0,68	0,83 0,59	0,77 6,52	0,76 0,49
•J				ft			Т=0,2	1,16 1,09	1,09 0,94	1,02 0,85	0,97 0,77	0,83 0,66	—	—	—
					/а4		у=0,6	1,21 1,17	1,13 1,02	1,09 0,92	1,00 0,82	0,84 0,70	—	—	—
	£														
															
			0/7				Y=l,0	—	1,24 1,12	1,09 1,00	1,00 0,85	—		—	—
															
ё мен		А '					•у=у'=0,2	1,21 1,10	1,07 0,89	1,02 0,81	0,97 0,73	0,90 0,67	0,77 0,56	—	—
						Й	у=у'=0,6	—	1,16 1,00	1,05 0,87	0,99 0,76	0,96 0,69	0,86 0,60	0,80 0,54	0,72 0,48
			Г.	Л	ъ_	м									
		п но	•>с ри '0 д	Ьп м е ч а н ействия		Y' и е. Знач< нагрузки,	у=у'=1,0 h & >ния коэффици а находящиес	, п ft, гита Хз» * я в зиаме	 ; Y-аходящиесу иателе — от	1,12 0,98 (Ьп-Ь) bh0 в числите, длительног	1,03 0,83 —; Iх л ле, примени о действия	0,98 0,75 Fa bh0 ЮТСЯ при Е нагрузки.	0,93 0,65 Еа Е6 ычислении	0,86 0,58 кривизн от	0,83 0,54 краткооре-
Полученные значения коэффициента К3 приведены в табл. 3.
Очевидно, что между значениями кривизн, вычисленных по формулам СНиП и по приближенной формуле (121) с использованием табличных коэффициентов К), К2, Кз, имеются расхождения. Эти расхождения, как видно из рис. 17, тем больше, чем меньше значение кривизны, т. е. чем ближе действующий момент М к моменту трещино-образования Л1т. Поэтому при анализе погрешностей рассматривались только те из них, которые соответствуют прогибам, большим предельных (//1>'/4оо)- Вычисленные с этим условием погрешности не превысили 20%.
Если момент от действующей нагрузки меньше момента трещинообразования, т. е. Л4<Л4Т, то для этого случая кривизна приближенно может определяться по формуле	.
1	1	М — Noeo
	= — 	(124) Р--------Рт	MT-Woe„	’	1	’
где 1/рт—кривизна, вычисленная по формулам (120), при Л1=Л1Т.
При наличии длительной части нагрузки кривизна определяется по формуле, полученной так же, как и для обычных элементов без предварительного напряжения:
2
Л4кр Л1дл ДЛ 1% К3 ДЛ ^0 е1 . кр	дл
----—Т- (125)
4. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОГИБОВ
Для определения полного прогиба, учитывающего деформации сдвига, хорошую степень приближения дает формула
f = tM [1+ К (у-)2 .	(126)
Второй член в квадратных скобках определяет влияние сдвигов. Коэффициент К зависит от наличия трещин и условий опирания и загружения элемента и при отсутствии как нормальных, так и наклонных трещин принимается равным K=0,5/S; при нормальных или наклонных трещинах K=d,5/S.
Влияние условий опирания и загружения в коэффициенте К учитывается коэффициентом S.
80
Из формулы (126) видано, что нри ///iP^10 значение К (h0/l)2 становится весьма малым и им можно пренебречь.
Прогиб от изгиба fM приближенно может быть найден по кривизне 1/рмакс в наиболее нагруженном сечении с моментом Ммакс, если принять на остальных участках кривизну 1/рх изменяющейся пропорционально изменению изгибающего момента Мх, т. е.
=	J— .	(127)
Рх ;^ыакс Рмакс
Используя эту зависимость для кривизны, прогиб элемента можно представить в виде
fM = S---— /2.	(128)
Рмакс
Численные значения коэффициента 5 для определения прогиба в середине пролета свободно опертой балки и на конце консоли для наиболее распространенных случаев загружения приведены в табл. 4.
Значение коэффициента S
Таблица 4
Схема загружения	Коэффициент S	Схема загружения	Коэффициент 5
/1			
			/	
*. И'1ШиН <.	1	1/4	4-	4-	5/48
			
а Р\		0,51 , 0,51	
1 j,	1/3	А			а 1	1/12
			
		al r al	
		ott	
	а (1/2—		1/8—
<	1	[	—а/6	- 4	а	X	—а2/6
4			f		1 1	
81
Принимая кривизну изменяющейся пропорционально изгибающему моменту, мы тем самым как бы рассматриваем элемент с постоянной жесткостью
_Ммакс
1/рмакс
В этом случае для вычисления прогибов можно использовать известные формулы для упругих материалов, заменяя жесткость Е, значением В. Например, для равномерно распределенной нагрузки прогиб в середине пролета равен
5 q Р 5 qP 1	5	1	,	„	1
f = — — -----------------=-----------Р = S ------- Р.
384 В 384 q Р/9> рмакс 48 Рмакс	Рмакс
Если известны коэффициенты S» для отдельных видов загружений, коэффициент S для суммарной нагрузки определяется по формуле
где Mi — наибольший изгибающий момент от какого-либо одного вида загружения;
М — наибольший изгибающий момент от всей нагрузки.
Рассмотренный приближенный способ определения прогиба /м относится к свободно опертым и консольным элементам с постоянным сечением по длине пролета. Причем этот способ всегда дает большее значение прогиба, чем точный метод, так как на самом деле кривизны по длине пролета на участке с трещинами уменьшаются непропорционально уменьшению изгибающего момента, а в большей степени, и, кроме того, на участках без трещин у опор кривизны имеют существенно меньшие значения, чем на участке с трещинами. Очевидно, погрешность этого приближенного способа возрастает с увеличением в элементе участков без трещин, т. е. для предварительно-напряженных элементов и слабоарми-рованных элементов без предварительного напряжения. Для элементов без предварительного напряжения с ^0,5% приближенный способ дает результаты, весьма близкие к точным, и им можно пользоваться всегда вме-то точного метода. Для слабоармированных элементов без предварительного напряжения и предварительнонапряженных элементов этим способом можно пользоваться только в качестве первого приближения. Если прогиб получается больше допускаемого, следует вто
82
рично провести расчет по точным формулам, которые дают меньшее значение прогиба.
5. ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА ДЕФОРМАТИВНОСТИ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Для приближенной оценки деформативности железобетонных элементов удобно пользоваться граничными соотношениями пролета элемента к рабочей высоте поперечного сечения l/h0, при которых прогиб элемента не превосходит допустимого. В большом числе случаев определяющим является расчет прочности или трещино-стойкости элементов, и требуемая жесткость обеспечивается автоматически, т. е. выдерживаются граничные соотношения l/h0 и расчет по деформациям не требуется.
На основе анализа, проведенного ЦНИИПромзданий (Л. Л. Лемыш), было установлено, что для наиболее массовых случаев может быть получена достаточно компактная система граничных соотношений l/ho (АГр).
Для изгибаемых свободно опертых элементов с арматурой из горячекатаных сталей классов А-П и А-Ш, загруженных равномерно распределенной нормативной нагрузкой (максимальной, равной 90% разрушающей), при длительном ее действии, нормальном влажностном режиме и предельном прогибе, равном '/гоо, значения граничных соотношений приведены в табл. 5.
Как видно, значения ХГр зависят от формы поперечного сечения, характеризуемой коэффициентами у и у', и количества продольной арматуры (рм).
В большинстве случаев в настоящее время расчет ведется на действие длительной нагрузки, которая может составлять некоторую часть полной нормативной нагрузки или быть равной ей. Если длительная нагрузка составляет некоторую часть полной нормативной, то табличные значения Хгр, очевидно, следует увеличить, умножив их на соотношение моментов от полной нормативной и длительной нагрузки Мн/Мял. Поскольку при составлении таблицы принято, что А4н=0.9 то правильнее умножать Хгр на соотношение (0,9 Мр)/М, где AJ — момент, при котором определяется прогиб.
Если предельные прогибы элементов меньше '/гот, то табличные значения Хгр должны быть соответственно уменьшены во столько раз, во сколько предельный прогиб данного элемента меньше '/гот-
83
2
Таблица 5
Значения /.гр
Приведенная форма сечения						V	1 J. n							
							0,04	0,07	0,10	0,15	0,20	0,30	0,40	0.50
X							17	14	12	10	9	10	11	H
		=-												
		c *5				Y=y'=0	12	10	9	~8~	~8~	~io"		ТГ
														
, & 1’						y'=0,2 Y=0	22 16	18 13	16 11	12 9	10 8	10 10	11 11	11 11
Fa<														
						y'=0,4 Y=0	25 17	23 15	22 12	14 10	11 8	10 9	10 9	11 11
														
	i	n		+		у'=0,6 Y=0	28 20	24 17	26 14	16 12	13 9	11 9	10 10	11 11
Fa	~~r '/				]		Y'=0,8 Y=0	30 21	{25 18	19 15	18 13	15 10	12 9	10 9	10 10
ra "		b				Y '=1,0 Y=0	33 21	26 19	23 17	20 14	17 12	14 9	11 9	10 10
	•	ъ b,				Y=0,2 y'=o	17 12	14 10	12 9	10 8	9 8	10 10	11 11	11 11
				'a 4	1	Y=0,6 Y'=0	20 13	15 10	13 9	10 8	9 9	10 10	11 11	12 12
						Y=l,0 y'=o	23 14	16 10	13 9	10 8	9 9	10 10	11 11	12 12
	Ъ'п +——л			*		Y=y'=0,2	25 17	19 14	15 11	12 9	10 8	10 10	11 11	11 11
4 Fa	^7 Fa- TT	£	—			Y=y'=0,6	44 25	26 18	21 14	16 12	15 9	11 8	10 10	11 11
	'I °n				Y	y=y'=i ,0 / 		i? A"+V &йв	36 21 ; y =	26 17 _ bhe	20 14 ) > p.	17 12 Fs n~ bh0	14 9 Ha_. E6	11 9	10 10
														
Примечание. Значения Лгд, находящиеся в числителе, применяются при расчете элементов, армированных сталью клас-“ са А-П, в знаменателе — класса A-III,
Если нагрузка отличается от равномерно распределенной, то табличные значения могут быть приведены к рассматриваемой нагрузке путем умножения их на соотношение прогибов при равномерно распределенной и данной нагрузке с одинаковой кривизной в месте максимального момента. Как было показано выше, прогибы элементов могут быть выражены формулой (128), где коэффициент S зависит от вида нагрузки (см. табл. 4). Очевидно, что значения Хгр должны быть умножены на отношение S^Sz, где Si отвечает равномерно распределенной нагрузке, a S2 — данной нагрузке.
Если расчет ведется .на нормативные нагрузки, которые включают в себя как кратковременные, так и длительные, то табличные значения tap могут быть увеличены за счет того, что часть нагрузки действует кратковременно. В этом случае табличное значение Хгр умножается на величину
е
К =
(130)
Значения этого коэффициента и входящих в него параметров рассматривались выше.
Таким образом, проверка деформативности производится из условия
l/hoK^rp-	(131)
При //Zio^Xrp прогибы конструкции будут всегда меньше допускаемых и расчет по деформациям может не производиться. Если //ta>>taP, то прогибы могут как превышать предельные значения, так и быть меньше их. В этом случае, если требуется точное решение, следует определить с помощью точного расчета прогиб конструкции. Если же точного решения не требуется, то принимаются меры по увеличению жесткости конструкции (увеличение размеров, количества арматуры и т. д.).
- Помимо деформаций изгиба следует учитывать и деформации сдвига. В этом случае условие для проверки граничного соотношения выглядит следующим образом:
I	h0'
. + 16 <tap-	(132)
«о	« !
Второе слагаемое в левой части неравенства учитывает влияние сдвигов. При l/h0 более 12 оно становится 86
мало по сравнению с первым слагаемым и его можно не учитывать.
Для ориентировочной оценки деформативности железобетонных элементов может быть использована более простая табл. 6 значений tap. Эти значения даны как для элементов без предварительного напряжения, с арматурой из горячекатаной стали классов А-П и А-Ш, так и для предварительно-напряженных элементов со стержневой и проволочной арматурой. При составлении таблицы предварительное напряжение о0 без учета потерь принималось максимальным: для стержневой арматуры равным 0,9 Д”, для проволочной — 0,7 Да-
Таблица 6
Значение tap
Примечание. В числителе даны значения 2.гр для элементов без предварительного напряжения с арматурой класса А-П и для предварительно-напряженных элементов со стержневой арматурой; в знаменателе — для элементов без предварительного напряжения с арматурой класса А-Ш и для предварительно-напряженных элементов с .проволочной арматурой.
87
Глава IV
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
Пример 1. Рассчитать свободно опертую балку прямоугольного сечения с размерами 0,3X0,7 м из бетона марки 300, продольной растянутой арматурой из стали класса А-Ш с площадью поперечного сечения Fa — =0,0035 м2.
1-й вариант. Балка проставляет собой ригель перекрытия с расчетным пролетом /=5 м. На балку действует равномерно распределенная нагрузка, причем длительно действующая ее часть составляет 80% полной нормативной нагрузки.
Прежде всего сделаем общую оценку деформативнос-ти элемента из условия
I ho ho + 16 j ^rp-
Значения ХГр определяем по табл. 5. Для этого нужно вычислить параметр
Расчетная высота сечения Ло=О,63 м, модуль упругости арматуры из стали класса А-Ш Еа=2-105 МПа, модуль упругости бетона марки 300 Еб=2,9-104 МПА. Отсюда
0,35	2-106
ц п =----------------= 0,124.
г 0,30-0,63 2,9-101
Для прямоугольного сечения с продольной растянутой арматурой класса А-Ш при цп=0,124 по табл. 5 ЯгР=8,5.
Рассмотрим поправки, которые следует учесть при назначении Лгр.
Табличные значения Хгр вычислены при действии нагрузки, составляющей 0,9 предельной по прочности. Между тем ригель является элементом перекрытия, для которого в обычном случае прогибы проверяются только при действии длительной нагрузки, которая в данном случае составляет 0,8 полной нормативной и значит существенно ниже, чем 0,9 предельной по прочности. Поэтому Хгр может быть повышена за счет пониженной нагрузки, на которую рассчитывается прогиб, путем умножения на (0,9
88
Предельный момент, вычисленный по обычным формулам расчета прочности, Л1р=5,85-105 Н-м. Наибольший момент в середине пролета балки от длительно действующей части нормативной нагрузки Л1=4-105 Н-м. Отсюда искомое соотношение равно
0,9Мр 0,9  5,85-10* _ t М ~	4-10*	— ’
Таким образом, табличное значение %гр нужно умножить на 1,3, т. е.
Хгр= 1,3-8,5= 11.
Табличные значения Хгр получены для предельного прогиба 1/200- Предельный прогиб для элементов перекрытий пролетом Z—5 м составляет также //гоо- Поэтому соответствующая поправка, связанная с различными предельными прогибами, не вводится.
Табличные значения Хгр вычислены для равномерно распределенной и длительно действующей нагрузки, что также совпадает с условиями примера.
Итак, проверим условие деформативности
— + 16 ^-=—— + 16	= 84-2= 10<Лгр = 11,
Л, I 0,63	5	гр
т. е. условие удовлетворяется, требуемая жесткость элемента обеспечена и расчет по деформациям может не производиться.
2-й вариант. Балка представляет собой также ригель многоэтажного перекрытия, но с расчетным пролетом 1=6 м.
Оценка деформативности производится таким же образом, как и в 1-м варианте. Однако следует уточнить поправку, связанную с предельным прогибом элемента. Для элементов перекрытий с ребристым потолком пролетом 1=6 м предельный прогиб составляет 0,025 м, а предельный прогиб, принятый для табличных значений, Хгр—|//2оо:=6/2оо=О,ОЗ м. Отсюда табличные значения Хгр следует умножить на 0,025/0,03=0,83, откуда окончательное значение ЛГр=11-0,83=9,1.
Проверим условие деформативности:
I h0 6	0,63
— 4-16	4-16 -т—= 9,5 4-1,7=11,2>Хгр = 9,1,
п0 I 0,63	6
т. е. условие не удовлетворяется и требуемая жесткость элемента заранее не гарантирована. Поэтому следует провести расчет по деформациям.
89
Расчет по деформациям
Расчет по приближенным формулам. Б общем случае прогиб элемента с учетом деформаций сдвига определяется по формуле
Г I Ло VI f=fM р+
Поскольку в нашем примере -у-~0,1 влиянием сдвигов можно пренебречь, и прогиб элемента определять только с учетом деформаций изгиба f—fm.
Для балок постоянного сечения без предварительного напряжения с 0,5% прогиб определяется по формуле
Ли =S —— Р.
Рмакс
В нашем примере балка удовлетворяет указанным выше условиям
100 = 1,85% , bh0	)
поэтому для расчета прогиба может быть использована приведенная выше зависимость.
Коэффициент S находится из табл. 4. Для балки с равномерно распределённой нагрузкой S=5/48.
Кривизна в середине пролета элемента 1/рМакс определяется по формуле
Рмакс	Ki Ег Fa Лр
Расчет ригеля перекрытия прозводится на действие длительной нагрузки. Максимальный момент .в сечении посередине пролета от этой нагрузки составляет Л4макс=4-105 Н-м.
Коэффициенты Ki и К2 находятся по табл. 1. При длительно действующей нагрузке и рп = 0,124 для прямоугольного сечения с одиночной арматурой /(1=0,23; К2=0,12. Нормативное сопротивление бетона растяжению для бетона марки 300 Rp =К6 МПа.
Вычисляем кривизну
1 4-105—0,12-1,6-106-0,3-0,72-10	_3
р - 0,23-2.1010-3,5-10“3 -0,632- 10 = 5’8' 10	1/М'
90
Вычисляем прогиб
Л, = — 5,8-10~3 -62 = 0,022 м.
,м 48
Предельный прогиб /пр=0,025 м. Сравниваем прогиб . с предельным /м=0,022 м <fnp=0,025 м, т. е. прогиб ригеля меньше предельного. Для сопоставления продемонстрируем расчет кривизны по точным формулам.
Расчет кривизны по точным формулам. Кривизна определяется по формуле
1 м Г ta ,	1
р h0	[ Ег Fа	I b h0 Еб v ]
Максимальный момент в середине пролета балки Л4=4-105 Н-.м.
Относительная высота сжатой зоны бетона определяется по формуле
Параметр L равен
М	4-Ю5
L =--------=--------------------=0,185.
1,8-10в-0,3-0,632-10
Параметр р,п=0,Г24.
Вычисляем
=	1+0,85-5 = °>36-
1,8 + 10-0,124
Плечо внутренней пары сил
21 = Л0 (1 —0,5g) =0,63 (1 -0,5-0,36) =0,52 м.
Коэффициент <ра определяется по формуле
•фа = 1,25 — Sm.
При длительном действии .нагрузки S=0,8.
Параметр
R"WT 1,6-105-4,3 • 10-2-10 +_____ -_____________________ Л 17
(момент сопротивления сечения с учетом неупругих деформаций приближенно составляет IFT=4,3-ГО-2 м3).
Вычисляем
фа= 1,25 —0,8-0,17= 1,11.
91
Поскольку коэффициент фа не может быть больше 1, принимаем его равным 1.
Коэффициент v при длительном действии нагрузки и нормальном влажностном режиме (влажность 40% и выше) равен 0,15.
Коэффициент фо =0,9.
Вычисляем значение кривизны
1	4-ю5
1
Г3 -10
Рмакс
0,63-0,52	2-101о-3,5-10
0,9
= 5,5-10	1/м.
0,3-0,63-29-10®- 0,15 • 10
Сравнивая значения 1/рмакс, вычисленные по точной и приближенной формулам, можно видеть, что разница получилась весьма незначительной (около 5%), что находится в пределах точности вычислений. Однако трудоемкость вычислений по точной формуле значительно выше.
3-й вариант. Рассмотрим случай, когда, согласно специальным требованиям, прогиб от полной нормативной нагрузки не должен превышать 0,025 м.
Оценка деформативности производится таким же образом, как в 1-м и 2-м вариантах. Однако в связи с увеличением нагрузки следует откорректировать поправку, определяемую значением действующего момента, а также ввести поправку, связанную с тем, что часть нагрузки действует кратковременно.
Наибольший момент в сечении посередине пролета балки от полной нормативной нагрузки М — 5-105 Н-м. Тогда соотношение
0,9 Мр 0,9-5,85-106
—М =	5U0*	= 1•05•
и первый поправочный коэффициент равен 1,05.
Второй поправочный коэффициент определяется по формуле
2,2
= 1,1
_____6
1+^(6-1) Sl+0.8 (2,2-1)
м
(коэффициент 0, характеризующий увеличение деформаций при длительной нагрузки, для прямоугольных сечений с цп=0,124 равен 2,2).
92
Поправка, связанная с предельным прогибом элемента, равная 0,83, остается в силе.
Окончательное значение Хгр=8,5-0,83-4,05-1,1=8,1.
Проверяем условие деформативности:
1	,	6 I1R 063	11 9->>	8 1
-- + 16 -- =---- + 10 ----= 11,2 > Лгп = 0,1, ft, Т I 0-63 т 6----------р
т. е. условие не удовлетворяется, и требуемая жесткость элемента заранее не гарантирована, поэтому следует провести расчет по деформациям.
Расчет по деформациям
Расчет по приближенным формулам. Как и в предыдущем варианте, прогиб определяем по формуле
f = S —-—/2, Рмакс
однако кривизна 1/рмаке в данном случае определяется от совместного действия длительной и кратковременной нагрузки.
Значение кривизны вычисляется по формуле
1	1	/ Мер , Л^дл — Кг дл Вр \
Рмакс Ел Fa It® \ К1 кр	К1 дл I
Моменты от кратковременной нагрузки и от длительной нагрузки составляют АКР=1-105 Н-м; Мдл= = 4-105 Н-м.
Коэффициенты К1кр, К1дл и Л'гдл находятся по табл. 1. Для прямоугольного сечения с одиночной арматурой при рп=0,124 К1кр=0,41; /С1дЛ=0,23; Кгдл-— 0,12.
Вычисляем кривизну
Рмак« “ 2-101в-3,5-10—3 -0,632- 10	0,41 +
4-10Б — 0,12-1,6-10‘-0,3-0,72-10 \	,
+--------------Чд-------------- = 6,6- 10-3 1/м.
0,23	)		'
Вычисляем прогиб 5	,
fv =— 6,6-IO-3 -62 = 0,025 м. /м 48
Сравниваем полученный прогиб с предельным fM= = 0,025 м—fnp—0,025 м, т. е. прогиб элемента не превосходит предельного значения.
93
Для сопоставления продемонстрируем расчет кривизны по точным формулам.
Расчет по точным формулам. При действии на элемент кратковременной и длительной нагрузки полная кривизна определяется по трехчленной формуле
1111 = — + Р Pl Р2 РЗ
Таким образом, нам необходимо вычислить три значения кривизны.
Кривизна во всех случаях определяется по общей формуле:
1 _ М / фа фб \
Р /i0Zj \Eafa ^bhE6y)'
Первое значение кривизны 1/pi —кривизна от кратковременного действия всей нагрузки — определяется по моменту от полной нормативной нагрузки и по коэффициентам фа и v, отвечающим кратковременному действию нагрузки.
Максимальный момент в середине пролета от полной нормативной нагрузки М=5-105 Н-м.
Для нахождения относительной высоты сжатой зоны g вычисляем параметр L:
М	5-10Б
L =--------=----------------- =0,24.
bh.2 1,810« 0,3-0,63-10
Лпр и Г1О	’
Высота сжатой зоны
=	1 + 0,23-5 = 0 36 •
1>8+ 10-0,124
Плечо внутренней пары сил
Zi = ft0 (1 —0,5g) =0,63 (1 — 0,5-0,36) =0,52 м.
Для нахождения коэффициента фа определяем коэффициент S и параметр т.
При кратковременном действии нагрузки и арматуре класса А-Ш коэффициент S = l,l.
Параметр т:
1,6-10Б-4,3-ю—2 -10
Отсюда
фа= 1,25-1,1-0,14= 1,1.
94
Поскольку коэффициент фа не может быть больше 1, принимаем его равным 1.
Устанавливаем коэффициент v. При кратковременном действии нагрузки v=0,45.
Коэффициент фб=0,9. Вычисляем кривизну 1/pi:
1 _ 5-Ю6	/_________1______
Pi “0,63-0,52 к21О10  3,5 • 10“3-10 + 0,9	\	о
+---------------5------------ =3,6- 10“3 1 / м.
0,36-0,30-0,63-2,9-10е-0,45 10 /
Переходим к определению кривизны 1/р2- Это — кривизна от кратковременного действия, но только длительно действующей части нагрузки и определяется она по моменту от длительной нагрузки, но по коэффициентам фа и v, отвечающим кратковременному действию нагрузки.
Максимальный момент в середине пролета от длительно действующей нагрузки М=4- 10s Н-м.
Для нахождения относительной высоты сжатой зоны g вычисляем параметр L:
р» bh2	1,8-10в.0,3-0,632-10
Лпр ип0 ’
Высота сжатой зоны
£ =	1 +0,185 • 5 = 0•36•
1>8+ 10-0,124
Плечо внутренней пары сил
z1 = fto (1 —0,5g) = 0,63 (1 —0,5 0,36) =0,52 м.
Для нахождения коэффициента фа определяем коэффициент -S и параметр т. При кратковременном действии нагрузки и арматуре класса А-Ш 5= 1,1. Параметр т:
1,6-10Б-4,3-10“2 • 10 __ _	__------------------------- П 17
Отсюда фа=1,25—1,1-0,17=1,04.
Поскольку коэффициент фа не может быть больше 1, принимаем его равным 1.
Коэффициент v при кратковременном действии нагрузки равен 0,45.
Коэффициент фб=0,9.
95
Вычисляем кривизну l/ps:
1	4-10»	/_________1_______
р2 — 0,63-0,52 \ 2-10w-3,5-10-3-10 + 0,9	\	,
I -------------’----------1 = 29- 10“3 1/м
т0,36-0,3-0,63-2,9-102  0,45-10/
Наконец, определим кривизну 1/рз — это кривизна от длительного действия длительно действующей нагрузки. Она определяется по моменту от длительно действующей части нагрузки и по коэффициентам фа и v для длительного действия нагрузки.
Максимальный момент в середине пролета от длительно действующей части нагрузки М=4-105 Н-м.
Высота сжатой зоны и плечо внутренней лары сил будут такими же, как и при .вычислении кривизны 1/рг; 1=0,36; Z,=0,52 м.
Определяем коэффициент фа.
Коэффициент S при длительном действии нагрузки равен 0,8, а параметр т остается таким же, как и при вычислении кривизны 1/р?. Тогда
ipa= 1,25 — 0,8-0,17 = 1,11
(принимаем фа=1).
Коэффициент v при длительном действии нагрузки равен 0,15 (нормальный влажностный режим, влажность более 40%).
Коэффициент фб=О,9.
Вычисляем кривизну 1/р3:
1	4-Ю6	/_________1_______
Рз ~ 0,63-0,52 \ 2 101о-3,5-10~3 -10 +
+___________0,9_____________\ _	_3
0,63-0,36 0,30-2,9-10»-0,15- ю) ~5’5' 10	1/м’
Полная кривизна равна
1/р= З,6-1О~3 -2,9- 10“3 4-5,5- 10-3 =6,3- 10“3 1/м.
Как видно, разница между кривизной, вычисленной по точной и приближенной формулам, невелика, однако трудоемкость вычислений по точным формулам значительно возрастает, так как приходится вычислять три различных значения кривизны.
Пример 2. Рассчитать свободно опертую плиту прямоугольного сечения толщиной 0,3 м из бетона марки 200 с продольной растянутой арматурой из стали класса
96
А-Ш, площадью поперечного сечения на 1 м ширины плиты /'а=0,001 м2.
Плита представляет собой элемент перекрытий с расчетным пролетом (=4 м. На плиту действует равномерно распределенная длительная нагрузка.
Общая оценка деформативности элемента производится из условия l/ho^-hr? (поскольку в данном случае ///z=4/0,25= 1 б2>'12, второй член 16 h0/l ввиду его малости не учитывается).
Значение Хгр определяем по табл. 5.
Для этого необходимо вычислить параметр , 6а Ея
Расчетная высота сечения /го=О,25 м, модуль упругости арматуры из стали класса А-Ш Еа=2-105 МПа, модуль упругости бетона марки 200 Дб==|2,4- Ю4 МПа. Отсюда по деформациям.
ыо-з 2-10s
1-0,25 2,410* -0-033-
Для прямоугольного сечения с продольной растянутой арматурой класса А-Ш при р.п=0,333 по табл. 5 находим Лгр=113, ///io=|16>%rp= 13, т. е. условие не удовлетворяется и требуемая жесткость элемента заранее не гарантирована, поэтому следует провести расчет по деформациям.
Расчет по деформациям
Поскольку рассматриваемая плита представляет собой слабоармированный элемент, необходимо проверить возможность образования нормальных трещин в наиболее нагруженном сечении посередине пролета.
Проверка по образованию трещин производится из условия М^МТ.
Момент от полной нормативной нагрузки в сечениии посередине пролета А1=6,8-104 Н-м. Момент трещино-образования Мт вычисляется по формуле
Л4Т = r* wT.
Для бетона марки 200 нормативное сопротивление бетона растяжению Рр=1,2 МПа. Момент сопротивления сечения с учетом пластических деформаций приближенно равен ^т=4,5-10-2 м3. Отсюда момент трещино-образования
97
Мт= 1,2- 10s-4,5-10~2 -10 = 5,4 I04 Н м.
Проверяем условие образования трещин
Л4 = 6,8-104 Н-м >Л4Т = 5,4-104 Н-м,
т. е. трещины в середине пролета образуются, и расчет по деформациям должен производиться с учетом трещин в растянутой зоне.
Расчет по приближенным формулам
Поскольку значение	прогиб элемента опре-
деляем без учета деформаций сдвига, т. е. f=fM-
Раосматриваемая плита имеет относительно слабое продольное армирование:
Fa 1  10“3
Р = bK =	- ЮО = 0.4% <0,5о/„.
Поэтому определение прогиба по кривизне в середине пролета может производиться только в качестве первого приближения.
Итак, в первом приближении определяем прогиб по формуле
fM = S—— ?
Рмакс
Коэффициент S находим из табл. 4. Для свободно опертого элемента с равномерно распределенной нагрузкой S = 5/48-
Кривизна в середине пролета элемента 1/рМакс при действии только длительной нагрузки определяется по формуле
1	Ммакс-Кг^Ь/г2
Рмакс	Ki Ea Fz hg
Коэффициенты и Кг находятся по табл. 1. При длительно действующей нагрузке и |in = 0,093 для прямоугольного сечения с одиночной арматурой Ki = 0,34; Кг=0,12.
Вычисляем кривизну:
1	6,8-104— 0,12-1,2-10s-1,0-0,32-10 _	_2
Рмакс =	0,34-2-1010-1-10—3 -0,252-10	— В25’10 Vм-
Вычисляем прогиб:
,	5	9
/л« = 5Г 1,25-10—2 -42 = 0,021 м.
48
98
Предельный прогиб для .плиты перекрытия пролетом 1=4 м равен	-»
I	4
/по =------= — = 0,02 м.
/пр 200	200
Сравниваем прогиб от действующей нагрузки с предельным
fM = 0,021 м>/пр = 0,02 м,
т. е. прогиб элемента, вычисленный в первом приближении, получился больше предельного.
Следовательно, нужно вычислить прогиб по более точной формуле, с учетом участков элемента без трещин:
Разбиваем элемент на 6 участков, т. е. п=6. Тогда
Кривизна в сепедине пролета известна: 1/рс~ = 1/рмакс ='1,25-10-21/м. Остается найти кривизны по границам участков на расстоянии 7е I от опоры l/pin = = 1/pin и на расстоянии 7з / от опоры 1/ргл= l/pzn-
Момент от действующей нагрузки на расстоянии 7б I от опоры Mi=3,8104 Н-м, на расстоянии 7з I от опоры М2=6,1104 Н-м. Сравним действующие моменты по границам участков с моментом трещинообразования AfT.
На границе первого участка Л4|=3,8-104 Н-м<Л4т= = 5,4-104 Н-м, т. е. трещины на границе этого участка не образуются и вычисление кривизны 1/pi производится как для сплошного тела без трещин по формуле
_1__ Мс
Pi М, -^п
. Коэффициент с при длительном действии нагрузки и нормальном влажностном режиме (влажность более 40%) равен 2. Коэффициент Кп=0,85. Момент инерции сечения приближенно равен /п—2,25-10-3 м4. Отсюда кривизна
1	3,8104-2	-
— =----------------------ч---=1,65 -10~3 1/м.
рх	0,85-2,4-10»-2,25-10~3-10
99
Сравним теперь момент на границе второго участка М2 с моментом трещинообразования Мт : Л12=6,1Х ХЮ4 Н-м>/Ит = 5,4-Ю4 Н-м, т. е. трещины на границе этого участка образуются и кривизна 1/р2 определяется с учетом трещин в растянутой зоне по обычной формуле.
Коэффициенты Ki и К2 остаются прежними.
Вычисляем кривизну
1	6,1-10*—0,12-1,2-10М,0-0,32-10	,
р2 0,35-2-Ю10-10~3-0,252-10
Теперь остается вычислить прогиб
К (1,65- 10-3 +1.65-10-3) 4- 12 (1,09-10—2 + 1,09х
Х10-2) + 16-1,25 - 10-2] = 0,018 м.
Сравниваем полученный прогиб с предельным f= = 0,018 м</пр=0,02 м, т. е. прогиб от действующей нагрузки меньше предельного и, следовательно, требование -по деформациям обеспечено.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр
Введение.......................................  :::	3
Глава I. Развитие методов расчета железобетонных элементов по деформациям............................... 6
1.	Основные положения метода В. И. Мурашева . .	6
2.	Дальнейшее развитие метода расчета по деформациям на основе предложений А. А. Гвоздева . .	21
3.	Некоторые вопросы, связанные с расчетом железобетонных элементов nd деформациям............. 36
Глава II. Определение кривизн и перемещений железобетонных элементов по СНнП 11-21-75	44
1.	Определение кривизн......................... 44
2.	Учет деформаций сдвига...................... 52
3.	Определение прогибов........................ 52
4.	Предельные значения прогибов................ 55
Глава III. Приближенные методы расчета железобетонных элементов по деформациям ............................ 58
1.	Анализ расчетного аппарата.................. 58
2.	Предложения по упрощению расчета............ 62
3.	Приближенный метод определения кривизны железобетонного элемента.......................... 67
4.	Приближенные методы определения	прогибов . .	80
5.	Приближенная оценка деформативности железобетонных элементов........... .	...	83
Глава IV. Примеры расчета................. . .	88
Александр Сергеевич Залесов, Владимир Васильевич Фигаровский
ПРАКТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПО ДЕФОРМАЦИЯМ
Научный (редактор А. Я. Дривинг
Редакция литературы то 1строительны.м материалам И КОНСТРУКЦИЯМ
Зав. редакцией И. А. Рабинович
Редактор И. С. Бородина
Мл. редактор Э. И. Федотова
Внешнее .оформление художника А. А. Бекназарова
Технический редактор Т. В. Кузнецова
Корректор В. И. Галюзова
Сдано в набор 23.П1. 1976 г. Подписано в печать 26.V. 1976 г.
Формат 84Х108'/з2	Бумага типографская № 3
5,46 усл. печ. л. (уч.-изд. л. 5,1).
Тираж 10000 екз. Изд. № AVI-4129 Заказ№ 167 Цена 26 коп.
Стройиздат
103006, Москва, Каляевская ул., д. 23а
Подольская типография Союзполиграфпрома
при Государствен и ом комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии >и книжной торговли
г. Подольск, ул. Кирова, д. 25
СТРОЙИЗДАТ ГОТОВИТ к ВЫПУСКУ В СВЕТ:
Тихий М., Ракосник И. Расчет железобетонных рамных конструкций в пластической стадии. Перераспределение усилий и моментов. Пе,р. с чешек. 15 л. с ил., 10 000 экз.
Приведены современные данные из трудов чешских и зарубежных авторов, посвященных теории расчета и практике проектирования статически неопределимых обычных и предварительно-напряженных железобетонных конструкций с учетом пластической работы бетона и арматуры. .Теоретические выкладки сопровождаются примерами, иллюстрирующими применение различных способов расчета конструкций.
Книга предназначена для инженерно-технических и научных работников проектных и научно-исследовательских организаций.
Предельные состояния элементов железобетонных конструкций. Под ред. С. А. Дмитриева. 15 л. с ил. (Госстрой СССР. Науч.-исслед. ин-т бетона и железобетона), 3000 экз.
Обобщены особенности изменения напряжений и деформаций предварительно-напряженных железобетонных конструкций и конструкций с ненапрягаемой арматурой, которые необходимо учитывать при расчете по предельным состояниям второй группы. Даны предложения по расчету трещиностойкости и деформаций элементов, сопоставлены результаты опыта и расчета при использовании отдельных рекомендаций новых норм проектирования железобетонных конструкций. Изложены результаты исследований по расчету железобетонных плит с трещинами при действии моментов и продольных сил. Даны предложения по учету влияния наклонных трещин на деформации— перемещения массивных железобетонных балочных и рамных конструкций.
Книга предназначена для научных и инженерно-технических работников научно-исследовательских и проектных организаций.
103
Сборные железобетонные |Конструкции из высокопрочного бетона. Под ред. А. П. Васильева. 10 л. с ил. (Госстрой СССР. Науч.-исслед. ин-т бетона и железобетона), 3000 экз.
Изложены особенности работы под нагрузкой железобетонных элементов из высокопрочных бетонов. Дан анализ работы внецентренно-сжатых колонн, изгибаемых элементов, а также элементов, подвергающихся одновременному воздействию изгибающих моментов и поперечных сил. Рассмотрены возможность использования конструкций из высокопрочных бетонов в промышленных и общественных зданиях, технико-экономическая эффективность применения высокопрочного бетона в железобетонных конструкциях.
Книга предназначена для научных и инженерно-технических работников научно-исследовательских и проектных организаций.
Цена 26 коп.