Автор: Залесов А.С.
Теги: сооружения и части сооружений по виду строительных материалов и методам возведения строительство железобетонные конструкции
ISBN: 5-274-00085-1
Год: 1988
Похожие
Текст
А.С. Залесов, Э. Н. Кодыш,
Л. Л.Лемыш, И. К. Никитин
РАСЧЕТ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
ПО ПРОЧНОСТИ,
ТРЕЩИНОСТОЙКОСТИ
И ДЕФОРМАЦИЯМ
А. С. ЗАЛЕСОВ, Э. Н. КОДЫШ,
Л. Л. ЛЕМЫШ, И. К. НИКИТИН
РАСЧЕТ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
ПО ПРОЧНОСТИ,
ТРЕЩИНОСТОЙКОСТИ
И ДЕФОРМАЦИЯМ
МОСКВА
СТСОИИЗДАТ
1988
Г.БК 38.53
Р 24
УДК 624.012.45.044
Рецензент — д-р техн, наук, проф. Г. И. Бердичевский (НИИЖБ),
Печатается по решению секции литературы по строительным конструкциям
редакционного совета Стройиздата
Расчет железобетонных конструкций по прочно-
Р 24 сти, трещиностойкости и деформациям/А. С. Зале-
сов, Э. Н. Кодыш, Л. Л. Лемыш, И. К. Никитин.—
М.: Стройиздат, 1988.— 320 с.: ил.
ISBN 5-274-00085-1
Обобщен материал по расчету железобетонных конструкций
по прочности, трещиностойкости н деформациям. Даны реко-
мендации по расчету в соответствии с СНиП 2.03.01—84 и
пособий к нему. Основное внимание уделено раскрытию фи-
зического смысла основных методов расчета, а также объяс-
нению практических методов расчета.
Для инженерно-технических работников строительных
организаций.
„ 3202000000—442 „„
Р —M7(0ij-S8 1П5~88
ББК 38.53
ISBN 5-274-00085-1
ПРОИЗВОДСТВЕННОЕ ИЗДАНИЕ
Залесов Александр Сергеевич,
Никитин Игорь Константинович,
Лемыш Лев Лазаревич,
Кодыш Эмиль Наумович
РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИИ ПО ПРОЧНОСТИ,
ТРЕЩИНОСТОЙКОСТИ И ДЕФОРМАЦИЯМ
Редакция литературы п& строительным материалам и конструкциям
Зав. редакцией И. X. Н а и а в s-ini или
Редактор Л. И. Круглова
Технический редактор Д. Я. Касимов
Корректор Г. А Кравченко
ИБ № 4229
Сдано в набор 04.09.87. Подписано в печать 21.12.87. Формат 84Х108‘/я,
Бумага тип. № 2. Гарнитура «Литературная*. Печать высокая. Усл. печ.
л. 16,80. Усл. кр.-отт. 17.01. Уч.-изд. л. 16,84. Тираж 25 000 здз.
Изд. № AVI-I741. Заказ № 298. Цена 85 КОП.
Цена 85 коп.
Стройиздат, 101442. Москва, Каляевская, 23а.
Московская типография .№ 13 ПО «Периодика» ВО «СоюзполиграфдрОм» •
Государственного комитета СССР по делам издательств, полиграфии и
книжной торговли 107005, Москва, Денисовский пер., д. 30
© Стройиздат, 1988
ПРЕДИСЛОВИЕ
Одной из основных задач капитального строительства являет-
ся возрастание эффективности строительного производства. Для
этого, в частности, требуется существенное повышение качества
проектных решений железобетонных конструкций.
Совершенствование железобетонных конструкций и конструк-
тивных решений в числе прочих факторов зависит от создания и
внедрения новых методов расчета, обеспечивающих необходимую
надежность и позволяющих получить максимальную экономию ма-
териалов. При этом важная роль принадлежит реализации поло-
жений новых норм по проектированию железобетонных конструк-
ций (СНиП 2.03.01—84), которые отражают достижения отечест-
венной науки н практики проектирования железобетонных конст-
рукций.
Изменения, принятые в новых нормах, были вызваны, во-пер-
вых, развитием самих железобетонных конструкций, совершенство-
ванием технологии изготовления, нередко предъявляющей дополни-
тельные требования к конструкциям, а также появлением и распро-
странением высокопрочных бетонов и арматурных сталей, новых
видов легких бетонов, потребовавшим создания для них необходи-
мой расчетной основы, без которой применение этих материалов
было бы невозможно.
Второй причиной изменения норм является развитие теории же-
лезобетона. Эта теория нуждается в непрерывном совершенствова-
нии, осуществляемом усилиями многочисленных исследователей.
В результате разрабатываются новые методы расчета, приводящие
к снижению расхода арматуры и бетона в железобетонных конст-
рукциях либо к увеличению долговечности конструкций.
Кроме этого, ввод в действие нового СНиП 2.03.01—84 обус-
ловлен специфическими причинами. Это, во-первых, переход в стро-
ительстве на новую международную систему физических величин
(СИ). Во-вторых, переход к контролю прочности бетона не по его
средней кубиковой прочности (марке), а по нормативной кубиковой
прочности, имеющей обеспеченность 0,95 и выражаемой классом бе-
тона. Такой контроль аналогичен контролю прочности арматуры и
должен стимулировать изготовителей бетона к производству более
1*
3
однородного бетона в приводить вследствие этого к экономии це-
мента. В-третьих, это переход совместно со странами СЭВ на новые
буквенные обозначения величин, соответствующих требованиям СТ
СЭВ 1565—79.
В развитие новых норм выпущены пособия, в которых приво-
дятся положения, детализирующие требования норм, приближенные
способы расчета, а также дополнительные материалы, необходимые
для проектирования. Но как в нормах, так и в пособиях к ним не
приводятся с достаточной полнотой предпосылки, положенные в ос-
нову расчетных формул, выводы этих формул, физический смысл
принятых зависимостей, обоснование инженерных и приближенных
способов расчета. Между тем знание этих материалов необходимо
при проектировании железобетонных конструкций. Сознательное,
неформальное применение изложенных методов расчета помогает
избегать грубых ошибок. Понимание физической .сущности приня-
тых зависимостей позволяет творчески подходить к расчету, приме-
нять изложенные методы к ииым случаям, не описанным в по-
собиях. s
Авторы предлагаемой книги, тесно связанные с разработкой
СНиП 2.03.01—84 и пособий к нему, ставили своей целью разъяс-
нить основные положения СНиП 2.03.01—84 — в первую очередь
новые его положения и практические способы расчета, приведенные
в пособиях к СНиП, дать к ним необходимые комментарии.
Содержание книги ограничивается кругом вопросов, рассмот-
ренных в пособиях, выпущенных к СНиП 2.03.01—84: Пособие по
проектированию бетонных и железобетонных конструкций из тяже-
лых и легких бетонов без предварительного напряжения армату-
ры. М.: ЦИТП .Госстроя СССР, 1986 и Пособие по проектированию
предварительно напряженных железобетонных конструкций нз тя-
желых и легких бетонов. М,: ЦИТП Госстроя СССР, 1986, на ко-
торые в дальнейшем изложении делаются ссылки в тексте.
Названия глав книги повторяют названия соответствующих раз-
делов СНиП 2.03.01—84 н указанных пособий. Однако ограничен-
ный объем кннгн не позволил осветить все разделы норм и посо-
бий. В частности, не рассмотрен расчет элементов на местное дей-
ствие нагрузок, расчет закладных деталей, стыков элементов и др.
Каждый из этих вопросов является достаточно самостоятельным,
имеющим свои особенности, и для их изучения следует пользовать-
ся специальной литературой. Не приведены также методы расчета
некоторых элементов (элементы круглого, кольцевого сеченнй, эле-
менты непрямоугольного сечения при действии кручения и др.).
Знание общих закономерностей, изложенных в книге, поможет разо-
браться в расчетах н этих элементов.
Предполагается, что читатель хорошо знаком с указанными по'со-'
4
биями, поэтому 0 книге опущены многие вспомогательные мате-
риалы (графики, таблицы, примеры расчета и т. п.). Книга не
может заменить эти пособия при расчете конструкций, но она, пола-
гаем, поможет лучше их освоить.
Предисловие, гл. 2 и 5 иаписаиы каид. техн, наук Э. Н. Колы-
шем, пп. 3.2.10, 3.2.12, 3.2.13, 3.2.15, 3.3.4-3.3.6 и 3.4.2 гл. 3—
И. К. Никитиным, остальные пункты гл. 3, пп. 1.1 и 1.3 гл. 1 и
п. 4.2.3 гл. 4—д-ром техн, наук А. С. Залесовым, гл. 4 (кроме
п. 4.2.3) и п. 1.2 гл. 1—канд. техн, наук Л. Л. Лемышем.
ЗНАЧЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН И ОСНОВНЫЕ
ОБОЗНАЧЕНИЯ
В соответствии с Государственным стандартом СССР СТ СЭВ
1052—78 значения физических величин в этой книге, так же как и
в СНиП 2.03.01—84 и пособиях, даны в Международной системе
единиц СИ. В частности, силы в этой системе принимаются в нью-
тонах (Н) или килоньютонах (кН), где 1 Н = 0,102 кгс, сопротив-
ления, напряжения, модули упругости и т. п. — мегапаскалях (МПа),
где 1 МПа =10,2 кгс/см2. Поскольку 1 МПа=Н/мм2, при использо-
вании в какой-либо формуле величины в МПа остальные величины в
этой формуле рекомендуется принимать в Н и мм (мм2).
Для облегчения пользования материалом в переходный пе-
риод в таблицах СНиП 2.03.01—84 нормативные и расчетные сопро-
тивления материалов приведены как в МПа, так и в кгс/м2.
Одновременно с введением в СНнП 2.03.01—84 новой системы
единиц измерения СИ в нем была использована новая система бук-
венных обозначений. Эта система была принята в Государственном
стандарте СССР СТ СЭВ 1565—79 «Нормативно-техническая до-
кументация в строительстве. Буквенные обозначения», разработан-
ном на основе стандарта № 3898 «Обозначения и основные символы»
Международной организации стандартизации (ИСО). Этот стан-
дарт введен в действие с января 1984 г. Особенность этой системы
состоит в том, что в соответствии с ГОСТ для индексов используют-
ся буквы латинского алфавита, а соответствующие индексам слова,
как правило, взяты из английского языка. Обозначение состоит из
одного знака и одного или нескольких индексов. Основной знак
может изображаться прописной буквой или строчной буквой латин-
ского алфавита. Все безразмерные величины обозначаются гречески-
ми буквами. Индексы используются буквенные или цифровые. Бук-
венные индексы обозначают, как правило, сокращенное английское
слово-термин и бывают одно-, двух- и трехбуквенными. Цифровой
индекс обозначается арабскими цифрами. Двух- и трехбуквенные
индексы отделяют от однобуквенных запятой. Далее приведены при-
меняемые индексы и соответствующие им русские слова.
5
Прописными латинскими буквами обозначаются не содержащие-
ся в стандарте показатели качества бетона: класс по прочности на
сжатие В (франц, beton) и марки по средней плотности D (англ,
density), морозостойкости F (англ, frost), водонепроницаемости IF,
(англ, water), а также ряд характеристик и усилий.
Однобуквениые индексы
d—случайный (accidental)
b — бетон, сжатый бетон (beton, франц.)
с — сжатие (compressing)
f — полка балки (flange)
f — нагрузка, сила (torse)
I—длительный (long)
I—левый (left)
т — средний (moment)
т — момент (moment)
т — главный (main)
п — нормативный (normative)
п—продольная (нормативная) сила (normal)
р — усилие Обжатия, предварительное напряжение (presfress)
R — расчетное сопротивление
г — правый (right)
г — ядровая точка (расположенная на расстоянии г от центра
тяжести)
s — сталь, арматура (steel)
t—растяжение (tension)
i — кручение (torsion)
и—предельный (ultimate)
w — ребро или стенка балки (web)
Двух- и трехбуквенные индексы
ап — анкеровка (anchoring)
сг — критический (crihcal)
сгс — трещпнообразование (cracking), трещина (crack)
el — упругий (elastic)
ext—внешний, наружный (external)
inc — наклонный, отогнутый (inclined)
int — внутренний (internal)
ov — свес полки (overhang)
pl — пластичный, неупругнй (plastic)
red — приведенный (reduced)
ser — эксплуатационный (service)
s/i — кратковременный (short)
sup—опора (support)
lot—суммарный, полный (total)
web — ребро или стенка балки
6
Глава 1
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
1.1. Группы и виды предельных состояний
При расчете железобетонных конструкций рассмат-
риваются две группы предельных состояний: первая
группа — по несущей способности и вторая группа — по
пригодности к нормальной эксплуатации. Расчеты по
предельным состояниям первой группы включают в себя:
расчет по прочности, обеспечивающий конструкции от
разрушения; расчет на устойчивость, обеспечивающий
устойчивость формы или положения конструкций. Рас-
четы по предельным состояниям второй группы вклю-
чают в себя: расчет по образованию, раскрытию и за-
крытию трещин для предотвращения недопустимого об-
разования трещин или их раскрытия в конструкции;
расчет по деформациям для предотвращения недопусти-
мых перемещений конструкции (прогибов, углов пово-
рота, углов перекоса, колебаний).
Наиболее важной и ответственной является первая
группа предельных состояний, поскольку она предоп-
ределяет само существование конструкции. Как уже
указывалось, для этой группы выполняются два основ-
ных вида расчета — расчет по прочности и расчет на
устойчивость. При расчете конструкций по прочности
усилия от расчетных значений нагрузки не должны пре-
вышать усилий, которые могут быть восприняты сече-
ниями железобетонных элементов при расчетных сопро-
тивлениях материалов (бетона и арматуры) с учетом
соответствующих коэффициентов условий работы. При
расчете конструкций на устойчивость формы расчетное
значение нагрузки не должно превышать значения оди-
наковой по схеме распределения нагрузки, вызывающей
достижение данного вида предельного состояния и де-
ленной на коэффициент, больший единицы. Этим обес-
печивается запас при расчете на устойчивость не мень-
ший, чем при расчете на прочность.
При расчете конструкций на устойчивость положе-
ния отношение расчетных значений нагрузок и вычис-
ленных по ним усилий, благоприятных с точки зрения
7
устойчивости положения конструкций к нагрузкам или
усилиям, неблагоприятных с той же точки зрения, долж-
но быть больше единицы. Предельные значения указан-
ного отношения принимаются в зависимости от точности
предпосылок расчета и ответственности конструкций.
Важным элементом в системе расчета железобетон-
ных конструкций является расчет по второй группе пре-
дельных состояний. Эта группа включает в себя две ос-
новные подгруппы предельных состояний — проверку
трещиностойкости железобетонных конструкций и про-
верку их перемещений (деформаций).
Образование и раскрытие трещин представляет
опасность для нормальной эксплуатации конструкций:
в определенных условиях возникает коррозия арматуры,
ухудшается внешний вид элементов, они становятся бо-
лее проницаемыми под давлением жидкостей или газов.
В зависимости от назначения и условий эксплуатации
устанавливаются различные требования к трещиностой-
кости конструкций, которые должны обеспечиваться рас-
четом по образованию, закрытию и раскрытию трещин.
Необходимость ограничения деформаций связана
с рядом причин: отрицательным психологическим воз-
действием на людей больших видимых прогибов, непри-
ятными ощущениями людей при колебании конструкций,
нарушением условий для нормальной эксплуатации тех-
нологического оборудования и возможным повреждени-
ем смежных конструкций при деформациях элементов
и др. С учетом условий работы и назначения конструк-
ций устанавливаются предельные значения деформаций,
которые должны обеспечиваться расчетом.
1.2. Основные положения по расчету
железобетонных элементов
При расчете железобетонных элементов по предель-
ным состояниям в первую очередь вычисляются усилия
от внешней нагрузки (изгибающие и крутящие момен-
ты, продольные и поперечные силы), действующие в се-
чениях элемента. Далее определяются внутренние пре-
дельные силы, которые может воспринять элемент
в рассматриваемых сечениях исходя из его прочности
и трещинообразоваиия, которые сравниваются с соот-
ветствующими усилиями от внешней нагрузки. Кроме
того, по усилиям от внешней нагрузки находятся шири-
8
на раскрытия трешин и деформации железобетонного
элемента, которые также сравниваются с их предельно
допустимыми значениями.
Первая часть задачи — определение усилий в сече-
ниях элементов, решается на основе статического расче-
та конструкции в целом. Для статически определимых
железобетонных конструкций нахождение усилий в се-
чениях от внешней нагрузки не вызывает затруднений,
они вычисляются из равновесия всех сил, действующих
по одну сторону от рассматриваемого сечения.
Вычисление усилий в статически неопределимых кон-
струкциях (рамах, неразрезных балках и др.) необходи-
мо производить, как правило, с учетом действительных
жесткостей, т. е. влияния трещин и неупругих деформа-
ций бетона и арматуры, а также с учетом влияния
искривления геометрических осей сжатых элементов на
усилия в них (расчет по деформированной схеме). Для
конструкций, методика расчета которых с учетом неуп-
ругих свойств железобетона еше не разработана, допус-
кается вычисление усилий производить как для сплош-
ного упругого тела. Расчеты статически неопределимых
конструкций рекомендуется производить с использова-
нием ЭВМ, современных математических методов рас-
чета, например метода конечных элементов. Для упро-
щения расчетов могут использоваться достаточно обос-
нованные приближенные методы.
При определении усилий, действующих в сечениях
железобетонных элементов, инженер должен также счи-
таться с возможными отклонениями этих усилий от зна-
чений, получаемых из статического расчета. Наиболее
реальными и существенными являются отклонения экс-
центриситета продольной силы, вызванные случайными
причинами, которые не могут быть оценены расчетом.
К ним относятся: неоднородность свойств бетона по се-
чению; начальное искривление сжатого элемента или его
отклонение от вертикали; неучтенные горизонтальные
силы и др.
Для учета этих отклонений в расчет вводится вели-
чина так называемого случайного эксцентриситета, ко-
торая принимается большей из двух величин—1/600
длины сжатого элемента или расстояния между сечения-
ми, закрепленными от смещения и 1/30 высоты сечения
элемента. Кроме того, для конструкций, образуемых
из сборных элементов, следует учитывать возможное
9
взаимное смешение элементов при возведении здания,
зависящее от вида конструкций, способа монтажа и т.п.
При отсутствии соответствующих данных в пособии
к СНиП рекомендуется случайный эксцентриситет при-
нимать не меиее 1 см. Для статически определимых
конструкций случайный эксцентриситет суммируется
с эксцентриситетом, полученным из статического расче-
та. Что же касается элементов статически неопредели-
мых конструкций, то здесь расчетный эксцентриситет
принимается как наибольшее значение эксцентрисите-
тов из статического расчета и случайного. Менее жест-
кое отношение к случайному эксцентриситету в стати-
чески неопределимых конструкциях объясняется тем,
что наличие связей сжатых элементов с другими эле-
ментами конструкции смягчает влияние случайного экс-
центриситета.
Наиболее существенное влияние случайный эксцен-
триситет оказывает в том случае, когда эксцентриситет,
получаемый из статического расчета, мал или равен
нулю. В результате введения случайного эксцентрисите-
та все сжатые элементы, по существу, рассматривают-
ся и рассчитываются как внецентренно сжатые, и такое
понятие, как центрально-сжатые элементы, исключается.
В общем случае наряду с внешними усилиями при
расчете конструкций необходимо учитывать усилия от
вынужденных деформаций, например, от температурных
воздействий. С этим вопросом связано определение
длин температурных блоков, при которых можно не
учитывать усилия от температурных воздействий. В По-
собии к СНиП 2.03.01—84 приведены расстояния между
температурно-усадочными швами, которые в ряде слу-
чаев существенно, превышают значения, ранее принятые
в СНиП 11-21-75.
Опыт эксплуатации зданий и сооружений свидетель-
ствует, что длины блоков по СНиП 11-21-75 во многих
случаях были приняты с неоправданно большим запасом.
Наблюдения за зданиями, в которых эти длины превы-
шали рекомендации указанных норм (в том числе
и в случаях, когда швы были пропущены по невнима-
тельности строителей или проектировщиков), показали
в основном нормальные эксплуатационные качества этих
зданий. В то же время расчеты, в которых усилия в ко-
лоннах определялись в предположении их упругой ра-
боты, не подтверждали принятые в СНиП 11-21-75 рас-
10
стояния между температурно-усадочными швами. Как
показал анализ, основные причины этого несоответствия
следующие: 1) в связи с неупругой работой железобе-
тона, особенно в стадии, близкой к разрушению, жест-
кости колонн существенно ниже вычисленных как для
сплошного упругого тела; соответственно и ниже уси-
лия, возникающие в колоннах при их перемещениях от
температурных деформаций перекрытий (покрытий);
2) при длительных температурных воздействиях (дли-
тельных смещениях) усилия в колоннах снижаются, ре-
лаксируют; 3) вследствие податливости узлов сопряже-
ния сборных элементов общие удлинения (укорочения)
дисков перекрытия (покрытия) меньше обычно прини-
маемых в расчете.
Учет этих факторов и позволил обосновать расчетом
приемлемость рекомендаций СНиП 11-21-75-по длинам
температурных блоков для колонн с гибкостью l/h=9
при расчетном температурном перепаде Д/=40°С. Для
более гибких колонн (///г>9) и при меньшем темпера-
турном перепаде (Д/<40°С) длины температурных бло-
ков могут быть увеличены. Для этого в указанном По-
собии приведены соответствующие поправочные коэф-
фициенты. Если длина температурно-усадочного блока
не превышает допускаемого Пособием значения, то уси-
лия в колоннах и элементах перекрытия (покрытия)
допускается определять без учета температурно-усадоч-
ных воздействий. Но при необходимости длины блоков
могут быть еше больше увеличены; при этом потребует-
ся расчет указанных конструкций на совместное дей-
ствие внешних нагрузок и вынужденных деформаций
с учетом приведенных выше факторов.
1.3. Нагрузки и воздействия
Расчетные значения нагрузок, используемые для пер-
вой и второй групп предельных состояний, определяют-
ся по их нормативным значениям с учетом коэффициен-
тов надежности по нагрузкам и коэффициентов сочета-
ний нагрузок. Кроме того, в расчет вводятся коэффи-
циенты надежности по назначению конструкций, учиты-
вающие степень ответственности и капитальности зда-
ний и сооружений, которые принимаются равными или
меньшими единицы (табл. 1.1).
При расчете элементов сборных конструкций на воз-
11
Таб лица 1.!
Класе ответственности зданий и сооружений Коэффициент на- д ежности по назначению
I. Основные здания и сооружения объектов, имеющих особо важное и (или) социальное значение (корпуса ТЭС, АЭС, телевизионные башни, конструкции ЛЭП, конструкции магист- ральных трубопроводов, спортивные сооруже- ния, театры и т. п.) 1
II. Здания и сооружения объектов, имеющих важное народнохозяйственное и (или) соци- альное значение (объекты промышленного, сельскохозяйственного и жилищно-гражданско- го строительства) 0,95
III. Здания и сооружения, имеющие ограни- ченное народнохозяйственное и (или) социаль- ное значение (склады, теплицы, одноэтажные жилые дома, временные здания и сооружения) 0,9
действия усилий, возникающих при их подъеме, транс-
портировании, монтаже, нагрузку от веса элемента сле-
дует вводить в расчет с коэффициентом динамичности.
Коэффициент динамичности, определенный на основа-
нии исследований и опыта строительства, принимается:
при транспортировании 1,6, при подъеме и монтаже 1,4.
При этом одновременно учитывается и коэффициент на-
дежности по нагрузке. Допускается применять и более
низкие значения коэффициентов динамичности, если они
подтверждены специальными исследованиями и прак-
тикой применения, но не менее 1,25. При расчете пред-
варительно напряженных элементов следует принимать
во внимание величину обжимающего усилия с учетом
потерь предварительного напряжения, соответствующих
рассматриваемой стадии работы, и неблагоприятного
значения коэффициента точности предварительного на-
пряжения.
Самонапряженные железобетонные конструкции сле-
дует рассчитывать с учетом предварительного напряже-
ния, создаваемого расширением бетона и в результате
этого натяжением находящейся в конструкции армату-
ры, а также при иных видах стеснения деформаций
бетона.
12
Сборно-монолитные конструкции рассчитываются до
приобретения монолитным бетоном (дополнительно. уло-
женным) заданной прочности — на нагрузки, действую-
щие на данном этапе возведения конструкций (в том
числе на нагрузку от веса монолитного бетона), и после
приобретения монолитным бетоном заданной прочно-
сти— на нагрузки, действующие на этом этапе возве-
дения и при эксплуатации конструкции.
При расчете бетонных и железобетонных конструк-
ций должно учитываться влияние особого характера на-
гружения — длительного, повторного, динамического.
Бетонные и железобетонные конструкции, находящиеся
под действием длительной нагрузки, рассчитываются
с учетом снижения прочности бетона в результате на-
копления повреждений в бетоне (микро- и макроразру-
шений), а также с учетом повышения его деформатив-
ности в результате ползучести бетона в процессе дли-
тельного нагружения.
Повторные нагружения разделяются на две груп-
пы — немногократно повторяющиеся (малоцикловые)
при повторении нагружений, измеряемых десятками цик-
лов, и многократно повторяющиеся при повторении на-
гружений, измеряемых миллионами циклов. В первом
случае расчет производится с учетом снижения несущей
способности железобетонных элементов в результате
накопления в них повреждений (развитие трещин и т.д.)
при повторных нагружениях. Особенно это проявляется
при знакопеременном действии повторных нагружений.
Влияние немногократно повторных нагружений учиты-
вается при расчете на сейсмические воздействия. Во-
втором случае расчет выполняется с учетом усталостной
прочности бетона и арматуры и характеризуется как
расчет на выносливость. Влияние повторных нагруже-
ний учитывается также и при расчете по второй группе
предельных состояний, поскольку повторные нагруже-
ния увеличивают раскрытие трещин и деформативность
конструкций.
Бетонные и железобетонные конструкции, предна-
значенные для воспринятия кратковременных интенсив-
ных динамических нагрузок, рассчитываются с учетом
динамического упрочнения бетона и арматуры.
При расчете бетонных и железобетонных конструк-
ций следует также учитывать неблагоприятное воздей-
ствие окружающей среды. К ним относятся воздействия
13
технологических повышенных температур от 50 ' до
200 °C, технологических высоких температур выше
200°С, технологических отрицательных температур от
минуса 40 °C и ниже, сухого и жаркого климата, холод-
ного климата, пожара, агрессивных сред (газовых, при
высокой влажности, жидких и твердых) и т. д. В общем
случае расчет производится на совместное действие
внешней нагрузки и внешней среды, при этом учитыва-
ется изменение физико-механических и упругопластиче-
ских свойств бетона и арматуры и зависимость от ха-
рактера внешнего воздействия.
Глава 2
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИИ
2.1. Бетон
В настоящее время для железобетонных конструк-
ций применяется множество различных видов бетона,
отличающихся своим составом и свойствами, поэтому
для их упорядочения потребовалась классификация, со-
гласно которой бетоны разделяются по структуре, на-
значению, виду вяжущих, виду заполнителей, зерново-
му составу заполнителей, условиям твердения.
По структуре бетоны разделяются на бетоны плот-
ные, крупнопористые, поризованные и ячеистые. В плот-
ных бетонах до 94 % пространства между зернами за-
полнителей занято затвердевшим вяжущим. В крупно-
пористом малопесчаном или беспесчаном бетоне про-
странство между зернами крупного заполнителя не пол-
ностью занято мелким заполнителем и затвердевшим
вяжущим. В поризованном бетоне пространство между
зернами крупного заполнителя занято поризованным за-
твердевшим вяжущим. Ячеистый бетон весь состоит из
поризованного затвердевшего вяжущего кремнеземисто-
го компонента.
По виду вяжущих бетоны разделяются на цементные,
силикатные (на известковом вяжущем), на шлаковом
вяжущем, на гипсовом вяжущем, на смешанных вяжу-
щих, например, известково-цементных, на специальных
вяжущих. Бетоны могут быть на плотных заполнителях,
на пористых и специальных заполнителях. По зерново-
му составу заполнителей бетоны разделяются на круп-
14
нозернистые (с крупным и мелким заполнителем) и мел-
козернистые (только с мелким заполнителем, т. е. пес-
ком). В зависимости от условий твердения бетоны могут
быть естественного твердения, подвергнутые тепловой
обработке при атмосферном давлении, подвергнутые
тепловой обработке при повышенном давлении (авто-
клавная обработка).
В приведенной классификации выделены только глав-
ные признаки. В свою очередь, эти признаки могут
иметь более мелкие подразделения. Например, пористые
заполнители могут быть самых различных видов: ке-
рамзит, аглопорит, шлаковая пемза и т. д. В бетоне при
пористом крупном заполнителе мелкий заполнитель мо-
жет быть либо плотный (кварцевый песок), либо по-
ристый. От этого также зависят свойства бетонов.
В связи с таким большим количеством признаков
в классификации бетонов встает вопрос о наименова-
нии видов бетона. Очевидно, что наименование бетонов
в точном соответствии с классификацией, хотя и наибо-
лее правильно по форме, тем не менее громоздко
и неудобно в использовании. Например, обычный бетон
потребовалось бы называть: бетон плотной структуры,
на цементном вяжущем, на плотных крупных и мелких
заполнителях.
Поэтому для основных видов применяемых бетонов
приняты краткие наименования по наиболее характер-
ным признакам. Так обычный бетон, имеющий сумму
указанных выше признаков, называется тяжелым бето-
ном. Бетоны, отличающиеся пористым заполнителем,
называются легкими бетонами, а бетоны ячеистой струк-
туры с искусственно созданными порами — ячеистыми
бетонами. Если появляются еще какие-нибудь признаки,
то к основному наименованию добавляется дополнитель-
ное— по названию этого признака. Например, при на-
личии только мелкого заполнителя — мелкозернистый
бетон.
Основной контролируемой характеристикой бетона
является его прочность на сжатие, определяемая терми-
ном «класс бетона». Понятие «класс бетона» и целе-
сообразность введения классов бетона вместо марок
приведены в п. 2.3. Для изготовления бетонных и же-
лезобетонных конструкций в практике используются бе-
тоны следующих классов: В2,5; В3,5; В5; В7,5; В10;
15
В12.5; В15; В20; В25; ВЗО; В35; В40; В45; В5О; В55;
В60.
Следует отметить, что слишком мелкое дробление
ряда классов бетона может привести только к кажуще-
муся экономическому эффекту, поскольку большая но-
менклатура классов бетона создает трудности на бетон-
ных заводах при изготовлении железобетонных конст-
рукций и, кроме того, отклонения величины прочности
в силу естественной изменчивости начинают превышать
разницу между классами.
Бетоны в зависимости от их составляющих и техно-
логии изготовления позволяют получить различные клас-
сы по прочности на сжатие. Для мелкозернистых бето-
нов групп: А (естественного твердения или тепловой об-
работки на песке с модулем крупности 2,1 и более)
В3,5—В40; Б (то же, но на песке с модулем крупности
менее 2,1) В3,5—ВЗО; В (автоклавной обработки на пес-
ке с модулем крупности не менее 1) В15—В60. Подоб-
ные пределы классов по прочности на сжатие установ-
лены в СНиП для легких, ячеистых и поризованных
бетонов.
Класс бетона по прочности на сжатие назначается
в возрасте бетона, как правило, 28 дней. Известно, од-
нако, что прочность бетона со временем увеличивается,
поэтому в тех случаях, когда выяснены достаточно точ-
но сроки загружения конструкции, превышающие
28 дней от момента изготовления, целесообразно учиты-
вать повышение прочности бетона к этому сроку. Сле-
дует иметь в виду, что повышение прочности бетона
зависит не только от времени твердения, но и от усло-
вий твердения бетона (влажности, температуры), сорта
применяемого цемента и т. д., поэтому при назначении
более высокой прочности необходимо учитывать все ука-
занные факторы и прибегать к ней только тогда, когда
последние хорошо известны. Методы оценки прочности
бетона в течение времени излагаются в специальной ли-
тературе.
Для сборных железобетонных конструкций помимо
класса бетона устанавливается также максимальная
и минимальная отпускная прочность бетона, т. е. проч-
ность бетона в момент отпуска конструкции с завода,
контролируемая по той же методике, что и класс бето-
на (см. п. 2.3). Правильное определение этого пара-
метра весьма важно, так как его завышение потребует
16-
либо значительного увеличения территорий заводских
складов, либо удорожания конструкций вследствие воз-
действия одного или нескольких следующих факторов:
возрастания расхода цемента, времени пропаривания
или изменения его режима и т. д., а занижение может
привести к повреждению конструкции во время транс-
портировки, монтажа или начальной стадии эксплуата-
ции. Особенно опасно занижение отпускной прочности
в зимний период из-за замедления набора прочности.
Для точного определения отпускной прочности необ-
ходимо знать состав бетона, режим термовлажностиой
обработки, условия перевозки и монтажа, характер за-
гружена. В большинстве случаев не представляется воз-
можным определить заранее на стадии проектирования
все указанные параметры и поэтому в ГОСТ 130150—83
(с изм.) приводятся максимальные и минимальные зна-
чения отпускной прочности наиболее часто применяе-
мых изделий в процентах от класса бетона. Различие
этих процентов определяется особенностями конструк-
ций. Так, например, этот процент относительно высок
для колонн, которые испытывают большие нагрузки
в доэксплуатационной стадии при перевозке, и мал для
санитарно-технических кабин, вентиляционных блоков,
шахт лифтов, в которых прочность бетона относительно
слабо влияет на несущую способность конструкции. Ми-
нимальное значение нормируемой отпускной прочности
бетона на сжатие следует принимать (в процентах от
класса или марки бетона по прочности на сжатие)
не менее:
50 — для конструкций из бетона класса В 12,5 н выше
или марки М150 и выше;
70 — для конструкций из бетона класса В10 и ниже
или марки М100 и ниже;
80 — для конструкций из легкого бетона класса В10
и ниже или марки М100 и ниже;
100 — для конструкций из бетона автоклавного твер-
дения.
Для предварительно напряженных конструкций зна-
чение нормируемой отпускной прочности бетона, долж-
но приниматься не ниже нормируемой передаточной
прочности бетона.
Значения максимальной отпускной прочности для
наиболее часто встречающихся конструкций приведены
в табл. 2.1.
17
Т аблиц а 2.1
Наименование конструкций Максимальная прочность, % от класса бетона по прочности на сжатие в период
теплый ХОЛОДНЫЙ
1 2 3
Блоки фундаментов 70 80
Фундаменты стаканного типа 70 90
Колонны одноэтажных зданий и 70 90
сооружений Колонны многоэтажных зданий 70 85
Фермы и балки покрытий 70 90
Ригели междуэтажных перекрытий 70 85
Плиты перекрытий и покрытий 70 85
Блоки стен подвалов сплошные из 50 70
бетона класса В12,5 и выше То же, из бетона класса В10 и ни- 70 90
же
Блоки внутренних стен, не несущие 80 90
панели и блоки наружных стен из легкого бетона класса В10 н ниже
Элементы балконов, лоджий, плиты 70 85
карнизные и парапетные Сапнтарно-техпические кабины, вей- 70 80
тиляциопные блоки, элементы шахт лифтов 70
Перемычки 90
Трубы напорные и безнапорные 70 90
Элементы подземных каналов и кол- 70 90
лекторов для прокладки комму- никаций и т. д.
При соответствующем технико-экономическом обое-»
новании, по согласованию с изготовителем допускается
повышение отпускной прочности бетона до 90 % класса
бетона по прочности на сжатие. Для свай, шпунта, кон-
струкций мостов, а также для других конструкций, для
которых определяющим является расчет на усилия, воз-
никающие в доэксплуатационной стадии, при обоснова-
нии допускается устанавливать значение отпускной
прочности бетона, равное 100 % класса бетона.
При назначении отпускной прочности бетона, раз-
личной для холодного (зимнего) и теплого периодов
года, за холодный период года принимается период, на-
чиная и кончая месяцем, характеризующимся средне-
месячной температурой наружного воздуха О’С и ниже?
за теплый период — остальное время года. Климатиче-»
18
ское районирование территории СССР приведено в
СНиП 2.01.01-82.
Для предварительно напряженных элементов уста-
навливается минимально допустимая величина класса
бетона, а также передаточная прочность бетона Rbp,
т. е. прочность бетона к моменту его обжатия, опреде-
ленная в соответствии с государственными стандартами
и контролируемая по той же методике, что и класс бе-
тона (см. п. 2.2.3). Эти параметры нормируются для
обеспечения надежной передачи предварительного на-
пряжения арматуры на бетон, отсутствия ее проскаль-
зывания и улучшения сцепления с бетоном в момент
отпуска предварительного напряжения. Минимальный
класс бетона назначается в зависимости от вида и клас-
са, а также диаметра арматуры, причем, чем выше
класс арматуры, а отсюда и допустимое предваритель-
ное напряжение, а также чем больше диаметр армату-
ры, уменьшающий относительную поверхность сцепле-
ния, тем выше должен быть класс бетона.
Для элементов с проволочной арматурой устанав-
ливаются следующие минимально допустимые классы
бетона:
для класса В-П (с анкерами)..............В20
для класса Вр-П (без анкеров):
при диаметре до 5 мм включительно В20
при диаметре 6 мм и более •........ВЗО
для класса К-7 и К-19....................ВЗО
для стержневой арматуры (без анкеров)
устанавливаются следующие минимально допу-
стимые классы бетона:
для класса A-IV:
при диаметре 10—18 мм включительно В15
при диаметре от 20 мм и более .... В20
для класса A-V:
при диаметре 10—18 мм включительно В20
при диаметре от 20 мм и более . . . В25
для класса At-VI:
1 при диаметре 10—18 мм включительно ВЗО
при диаметре от 20 мм и более .... ВЗО
Передаточная прочность RbP должна быть не менее
И МПа, а при стержневой арматуре класса At-VI, ар-
матурных канатах и арматурной проволоке без выса-
женных головок не менее 15,5 МПа. Эти величины со-
ответствуют ранее приведенным в СНиП 11-21-75 мини-'
мальным значениям передаточной прочности 140 и
200 кгс/см2, контролируемым по той же методике, что
19
и марки бетона. Кроме того, передаточная прочность бе-
тона принимается не менее 50 % принятого класса
бетона.
Если проектный класс бетона принят выше мини-
мально допустимого, передаточная прочность может
оставаться на указанном уровне, но быть не менее 0,5
принятого класса бетона. Однако при воздействии мно-
гократно повторяющейся нагрузки на предварительно
напряженные конструкции, армированные проволочной
или стержневой арматурой классов A-IV и A-V, выше-
приведенные минимальные значения класса бетона и пе-
редаточной прочности должны быть увеличены на одну
ступень, т. е. на 5МПа. В железобетонных конструк-
циях, форма которых обеспечивает пространственную
работу элемента, например в монолитных круглых, пред-
варительно напряженных резервуарах или трубах, ар-
мированных только спиральной или кольцевой армату-
рой, допускается применять бетон класса В 12,5 и пере-
даточную прочность не менее 10 МПа.
Эти требования снижены также -при проектировании
однослойных ограждающих теплоизолирующих конст-
рукций стен из легкого бетона. При относительной ве-
личине обжатия бетона оьр//?&р = 0,3 и более и напря-
гаемой арматуре небольшого диаметра (до 14 мм при
классе A-IV), обеспечивающей хорошее сцепление ар-
матуры с бетоном, допускается использовать бетон клас-
сов В7,5—В 12,5. Передаточная прочность бетона при
этом должна быть не менее 80 % класса бетона.
Класс бетона на заводе оценивается по кубиковой
прочности бетона, что связано с удобством производст-
ва. Однако при определении кубиковой прочности бето-
на значительное влияние на форму разрушения оказы-
вают силы трения, возникающие между поверхностью
куба и подушками пресса. Эти силы препятствуют по-
перечным деформациям бетона.
В расчетах для оценки прочности бетона на сжатие
используется Призменная прочность бетона, т. е. проч-
ность на сжатие призм размером 15X15X60 см, по-
скольку при отношении высоты призмы к ребру осно-
вания, равном или большем 4, трение, о котором сказа-
но ранее, практически не сказывается и призменная
прочность ближе соответствует прочности бетона на сжа-
тие в сжатой зоне реальных конструкций. Зависимость
призменной прочности Rb от кубиковой установлена
20
многочисленными испытаниями и выражается для тя-
желого и легкого бетона формулой
Rb=Rm (0,77—0,001 Ят), (2.1)’,
но не менее 0,72/?™, где Rm — кубиковая прочность бетона, МПа.
Таким образом, коэффициент призменной прочности
для наиболее слабых бетонов получается 0,77, умень-
шаясь с ростом класса бетона до 0,72 и оставаясь далее
постоянным. Формула эта несколько условна и дает за-
ниженные данные, учитывающие крайне большой раз-
брос значений этого коэффициента при экспериментах.
Для ячеистого бетона
Rb=Rm(fi,95-0,005/?™). (2.2)
Прочность растянутого бетона оценивается сопротив-
лением бетона осевому растяжению Rt>t- Его величина,
отвечающая стандартным испытаниям бетонных образ-
цов на изгиб, в зависимости от кубиковой прочности бе-
тона может выражаться эмпирической формулой
/?w= 0,5^71- (2.3)
ДЭбычно на производстве контролируется только ку-
биковая прочность бетона на сжатие Rm, а призменная
прочность Rb и прочность бетона на растяжение Rbt оп-
ределяются по указанным выше зависимостям. Однако
в некоторых случаях, когда прочность на растяжение
имеет важное значение (например, в бетонных плитах,
где прочность элемента на действие изгибающих момен-
тов или растягивающих сил зависит от прочности бето-
на на растяжение), устанавливаются специальные клас-
сы бетона на растяжение Вг, которые контролируются
непосредственно на производстве в соответствии с Госу-
дарственными стандартами. Для тяжелых и легких бе-
тонов принята следующая номенклатура классов бетона
на растяжение: Вг 0,8; В, 1,2; Вг 1,6; Вг 2,0; В( 2,4;
Вг 2,8; В( 3,2.
В новых нормах большое внимание уделено маркам
бетона по морозостойкости и водонепроницаемости
с тем, чтобы повысить эксплуатационную надежность
конструкций. Условия работы дифференцированы для
конструкций, работающих в водонасыщенном, в эпизо-
дически водонасыщаемом и воздушно-влажностном со-
стоянии при различных расчетных зимних температурах
наружного воздуха. Для всех этих случаев, включая
21
предварительно напряженные конструкции и их стыко-
вые соединения, рекомендуются конкретные марки бе-
тона по морозостойкости и водонепроницаемости. Марка
бетона по морозостойкости характеризует число выдер-
живаемых циклов попеременного замораживания и от-
таивания в насыщенном водой состоянии и колеблется
для тяжелых и мелкозернистых бетонов в пределах
F50—F500, для легкого бетона F25—F500, для поризо-
ванного F15—F100. Марка бетона по водонепроницае-
мости характеризует предельное давление воды, при ко-
тором не наблюдается еще просачивание ее через испы-
тываемый образец и меняется от W2 до WI2.
2.2. Арматура
Для армирования железобетонных конструкций при-
меняются два вида арматуры — стержневая и проволоч-
ная. Стержневая арматура разделяется на горячеката-
ную—гладкую класса A-I и периодического профиля
классов А-П, A-III, A-IV, A-V, A-VI, термически или
термомеханически упрочненную — периодического про-
филя классов Ат-ШС, Ат-lV, At-IVK, At-V, Ат-VCK,
Ат-VI и Ат-VI и упрочненную вытяжкой класса А-Шв.
Проволочная арматура разделяется на арматурную
холоднотянутую проволоку — обыкновенную периодиче-
ского профиля класса Вр-I; высокопрочную гладкую
класса В-П и периодического профиля класса Вр-П; ар-
матурные канаты — семипроволочные класса К-7 и де-
вятнадцатипроволочные класса К-19. В качестве кон-
структивной арматуры допускается применять обыкно-
венную гладкую проволоку класса В-I. Класс арматуры
(кроме канатов) определяет уровень ее прочности — чем
выше класс, тем больше ее прочность.
Механические свойства арматурных сталей характе-
ризуются диаграммой напряжения — деформации или
os—es. В зависимости от механических свойств арма-
турные стали разделяются на две подгруппы: так назы-
ваемые «мягкие» и «твердые». Мягкие стали имеют диа-
грамму о.,—es с горизонтальной площадкой текучести,
отвечающей физическому пределу текучести стали от
(рис. 2.1). Диаграмма os—es у твердых сталей не имеет
площадки текучести; за условный предел текучести для
таких сталей принимается напряжение о0,2, отвечающее
остаточному удлинению, равному 0,2 % (рис. 2.1). Кро^
22
стали
а — мягкой; б — твердой; / — физический предел текучести; 2 —условный
предел текучести; 3 — условный предел упругости; 4 — предел упругости
ме физического или условного предела текучести меха-
нические свойства стали характеризуются временным
сопротивлением ои — напряжением, предшествующим
разрыву, условным пределом упругости ао.о2 — напряже-
нием, при котором остаточные деформации . равны
0,02 %, пределом упругости о«,е!<оо,о2 и модулем упру-
гости. К мягким сталям относятся горячекатаные арма-
турные стали классов A-I, А-П, А-Ш и обыкновенная
арматурная проволока. К твердым — горячекатаные ста-
ли классов A-IV; A-V и A-VI, термические упрочненные
стали, а также высокопрочная арматурная проволока
и канаты.
Выбор арматуры для железобетонной конструкции
прежде всего определяется возможностью использова-
ния ее прочности. В качестве ненапрягаемой арматуры
Изгибаемых элементов следует преимущественно приме-
нять арматуру классов А-Ш, Ат-ШС, а также класса
Вр-I. Арматура более высокого класса без предвари-
тельного напряжения, как правило, не применяется или
используется класса A-IV при наличии технико-эконо-
мического обоснования, так как ее высокую прочность
(напряжения выше 500 МПа) трудно полностью ис-
пользовать в связи с возможностью раскрытия нормаль-
ных трещин и большими прогибами конструкции.
В сжатых элементах продольную ненапрягаемую ар-
матуру также следует в большинстве случаев применять
из горячекатаной стали класса А-Ш, поскольку макси-
мально возможные напряжения в арматуре ограничива-
23
ются предельными деформациями укорочения сжатого
бетона порядка 400 МПа, при отсутствии специальных
мероприятий типа косвенного армирования. При нали-
чии обоснования экономической целесообразности до-
пускается использовать в качестве сжатой “арматуры
сталь классов A-IV, A-V, A-VI и их модификаций. В ка-
честве напрягаемой арматуры в предварительно напря-
женных элементах применяют арматуру более высоких
классов, так как предварительное напряжение, повышая
нагрузку, при которой образуются трещины, значитель-
но уменьшает ширину их раскрытия и прогибы и позво-
ляет тем самым использовать высокую прочность стали.
Выбор того или иного класса арматуры определяется
взаимосвязанными требованиями прочности и деформа-
тивности. Для элементов небольшого пролета (до 12м),
как правило, оказывается достаточным применение го-
рячекатаной стали Ат-IV, A-IV, A-V, A-VI и термине*
ски упрочненной стали классов Ат-IVC, At-IVK, At-V,
At-VCK, At-VI и At-VIK, допускается также примене-
ние менее эффективной стали класса А-Шв, а для эле-
ментов больших пролетов необходимо применять высо-
копрочную арматурную проволоку классов В-П и Вр-П,
а также арматурные канаты классов К-7 и К-19. При-
менение арматурных канатов в конструкциях длиной 6 м
и менее нецелесообразно из-за затруднения с обеспече-
нием надежной анкеровки.
В качестве поперечной арматуры обычно применяет-
ся арматура более низких классов—горячекатаная сталь
классов A-I, А-П, А-Ш и обыкновенная арматурная про-
волока класса Вр-I. Если по расчету получается зна-
чительное раскрытие наклонных трещин, то высокая
прочность стали не всегда может быть использована
в силу ограничений ширины раскрытия наклонных тре-
щин и в этих случаях рекомендуется применять сталь
более низкого класса A-I и А-П.
Помимо приведенных основных факторов на выбор
арматурной стали влияют и многие другие условия,
в том числе температурные условия эксплуатации кон-
струкций, степень агрессивности среды, наличие дина-
мических или многократно повторяющихся нагрузок,
требования к трещиностойкости конструкции, выполне-
ние арматуры в виде сварных каркасов и сеток, усло-
вия унификации и т. д. Эти условия изложены в СНиП
2.03.01—84 и развивающих их пособиях.
24
2.3. Факторы запаса. Нормативные и расчетные
сопротивления
Прочность сечения железобетонного элемента опре-
деляется, с одной стороны, усилиями от внешних на-
грузок, а с другой стороны, внутренними предельными
усилиями, которые может воспринять сечение. Внутрен-
ние предельные усилия зависят, в свою очередь, от
прочности бетона и арматуры, размеров сечения, коли-
чества и расположения арматуры. Вопросы, связанные
с действующими на элемент нагрузками, являются об-
щими для любых конструкций и освещаются в специ-
альной литературе, поэтому не останавливаясь на них
рассмотрим факторы, характеризующие внутренние пре-
дельные усилия в сечении железобетонного элемента.
Прочностные характеристики бетона и арматуры, так
же как и любых других материалов, являются изменчи-
выми величинами для бетона или арматуры данных
классов, изготовленных на заводах в соответствии с дей-
ствующими стандартами. Так, например, прочность бе-
тона, даже изготовленного из одной смеси, может ме-
няться в значительных пределах в зависимости от раз-
меров и формы изделия, характера приложения нагруз-
ки и длительности ее действия, условий и сроков твер-
дения, многих технологических факторов и т. д. Поэто-
му для того, чтобы обеспечить достаточную надежность
конструкции, необходимо для бетона или арматурной
стали данного класса назначить такие величины сопро-
тивлений, которые в подавляющем большинстве случа-
ев были бы ниже возможных фактических сопротивле-
ний бетона и стали в конструкциях. Изменчивость проч-
ностных характеристик бетона и арматуры имеет в це-
лом случайный характер и подчиняется вероятностно-
статистическим законам. Поэтому для оценки прочност-
ных характеристик бетона и арматуры, которые необхо-
димо ввести в расчет, используются вероятностные ме-
тоды расчета.
Изменчивость прочности бетона и арматуры харак-
теризуется кривыми распределения прочности. Послед-
няя представляет собой график, на оси абсцисс которо-
го откладывается та или иная величина прочности бето-
на или арматуры 7?, получаемая из испытания большо-
го количества образцов одного класса (с округлением),
а на оси ординат « — частота случаев появления того
25
Рис. 2.2. Кривые распре-
деления прочности
/ — при ма лой изменчиво-
сти; 2 — п[-14 больший из-
менчивости
или иного значения прочности (рис. 2.2). На основании
имеющихся статистических данных о прочности мате-
риалов и полученной по ним кривой распределения мо-
гут быть выведены следующие обобщенные статистиче-
ские характеристики.
Средняя величина прочности
- _ /?, и. + /?, л, + .. + /?„ п„
R Л, + И,+ • (2Л)
В соответствии с законом больших чисел при увели-
чении числа испытаний £ будет приближаться к мате-
матическому ожиданию.
Рассеивание величины относительно математическо-
го ожидания называется дисперсией
(/?,- W п, + (К, —~RY щ + ... + (/?,, —~ЙУ пп
U{R) п. +п, + ... + п„
а положительное значение квадратного корня из дис-
персии называется средним квадратичным отклонением
или стандартом
а=/Ж. (2.5)
Дисперсия и стандарт характеризуют отклонение зна-
чения случайной величины от ее среднего значения.
Кривые распределения прочности бетона и арматуры
имеют, как правило, симметричный характер, поскольку
причины, вызывающие отклонение величины прочност-
ной характеристики от средней величины в ту или дру-
гую сторону, действуют в одинаковой мере. Такие кри-
вые называются кривыми нормального распределения.
Следует отметить, что кривые распределения прочност-
ных характеристик асимптотически приближаются к оси
абсцисс, не пересекая ее, так что в принципе не суще-
ствует определенной граничной, минимальной или мак-
симальной величины прочности материала.
26
В качестве теоретической функции распределения
случайных величин принято удовлетворяющее условиям
нашей задачи нормальное распределение (закон Гаусса),
п(Я) =----231 , (2.6)
о у 2я
соответствующее кривой, показанной на рис. 2.2.
Из кривой распределения можно видеть, что сред-
няя прочность R соответствует пику этой кривой, т. е.
наибольшей частоте случаев. Остальные значения откло-
няются от среднего в ту или другую сторону, причем чем
больше это отклонение, тем реже оно наблюдается. Та-
ким образом, для использования в расчете можно на-
значать такое сопротивление, выраженное через откло-
нение от среднего значения, частота появления которого
была бы заранее задана:
R = RmSn=R—ka,
где k — число, характеризующее площадь, ограниченную осью абс-
цисс и кривой распределения случайных величин.
Эту же характеристику можно выразить и в отно-
сительных величинах
R/R= (R—ko)/R = l—k(o/R).
Отношение v=o/R называется коэффициентом из-
менчивости или вариационным коэффициентом.
Таким образом, кривые_распределения, имея одина-
ковую среднюю величин)' R, могут отличаться по своей
форме (см. рис. 2.2), которая характеризуется коэффи-
циентом изменчивости v. Более пологие кривые распре-
деления имеют повышенный коэффициент изменчивости
v и, следовательно, больший разброс результатов. На-
против, более крутые кривые имеют низкий коэффици-
ент изменчивости и более постоянные результаты, близ-
кие к среднему. Видим, что для некоторой минимальной
частоты случаев появления сопротивление материала
для пологой кривой распределения должно быть приня-
то значительно ниже, чем для крутой.
Кривые распределения, полученные из опыта,— эм-
пирические и не могут дать точной вероятности появле-
ния той или иной величины прочности материала. Для
определения этих значений и используется закон нор-
мального распределения Гаусса. Исходя из этого зако-
на может быть установлена нормативная прочность Rn,
27
которая бы отвечала некоторой заданной обеспеченно-
сти Р, определяющей относительное число случаев, при
которых прочность материала окажется выше норма-
тивной.
Для определения нормативных характеристик мате-
риалов принимается значение обеспеченности Р не ме-
нее 0,95, которое показывает, что не менее чем в 95 слу-
чаях из 100 прочность материала будет выше норматив-
ной прочности Rn- Такая обеспеченность является
весьма высокой и дает большой запас прочности кон-
струкции.
Нормативная прочность бетона была принята с до-
верительной вероятностью 0,95. Это наименьшее значе-
ние было установлено в СНиП II-A.10-70. Поэтому
связь между нор_мативным сопротивлением Rn и сред-
ней прочностью R выражалась формулой
/?„=J?(l-l,64v). Х2.7)
Таким образом, вероятность получения значений R,
больших R—1,64о, составляла 0,95, т. е. величину, близ-
кую к единице, о чем уже упоминалось.
В течение многих лет основной контролируемой ха-
рактеристикой бетона являлась марка бетона. Марка
бетона соответствовала среднему сопротивлению сжа-
тия эталонного образца-куба (средняя кубиковая проч-
ность) с ребром 150 мм. Коэффициент изменчивости v
был получен из анализа многочисленных испытаний об-
разцов бетона на различных заводах и характеризовал
средний уровень коэффициента изменчивости по стране.
Для тяжелого и легкого бетонов в нормах он был при-
нят 0,135. Следует отметить, что принцип определения
нормативных значений сопротивления арматуры отли-
чался от описанного выше. Вместо контролируемого
среднего значения при определений нормативного сопро-
тивления арматурных сталей принимался контролируе-
мый браковочный минимум предела текучести, физиче-
ского или условного, соответствующий обеспеченности
примерно 0,95.
Повышение качества изготовления бетонных смесей
на заводах сборного железобетона приводит к уменьше-
нию значения коэффициента изменчивости по сравнению
с нормативным, что, в свою очередь, увеличивает нор-
мативную прочность бетона в сравнении с принятой
в нормах, т. е. повышает обеспеченность нормативной
прочности бетона. Чтобы исключить это неоправданное
28
увеличение, был введен ГОСТ 18105.0—80 по контролю
прочности бетона статистическим методом, при котором
прочностные характеристики бетона регламентировались
с учетом фактического коэффициента изменчивости v,
что позволяло достигать постоянства принятой обеспе-
ченности нормативного сопротивления, т. е. соответствия
фактических нормативных сопротивлений' значениям,
принятым в нормах.
Если на каком-либо отдельном бетонном заводе ко-
эффициент изменчивости v оказывался ниже норматив-
ного (что подтверждалось массовыми испытаниями об-
разцов), то, очевидно, фактическое нормативное сопро-
тивление бетона (т. е. сопротивление с обеспеченностью
0,95) на этом заводе выше, чем заложено в проекте для
соответствующей марки бетона при v=0,135. Тогда на
заводе могут снизить расход цемента до такого уровня,
чтобы нормативные сопротивления бетона при более
низком значении v оказались равными величине, зало-
женной в проекте. В этом случае марка бетона теряет
смысл контролируемой величины и поэтому было реше-
но контролировать непосредственно нормативную проч-
ность. Взамен марок бетона были введены классы бе-
тона по прочности на сжатие, численно равные гаран-
тированной прочности на сжатие бетонного куба с реб-
ром 150 мм с обеспеченностью 0,95 и измеренные в МПа.
Численное соотношение между маркой М и классом
В бетона такое же, как и между нормативной и сред-
ней прочностью, т. е. В = М(1 — l,64v).
• В табл. 2.2 приведены зависимости между марками
и классами бетона исходя из усредненного значения
v=0,135.
В табл. 2.2 даны все классы тяжелого бетона, кото-
рые ’ могут применяться в настоящее время для бе-
тонных и железобетонных конструкций. Использование
промежуточных классов 22,5 и 27,5, которые соответ-
ствуют маркам бетона 300 и 350, целесообразно исполь-
зовать в переходный период освоения новых норм.
В дальнейшем их применение должно обосновываться
соответствующими технико-экономическими данными.
Изменчивость прочности бетона учитывается вероят-
ностным методом. Однако на дальнейших стадиях изго-
товления конструкции: при транспортировании бетонной
смеси, укладке бетона, вибрировании, твердении — мно-
гие факторы приводят к возможным отклонениям проч-
29
Та 6 J' i-.ua 2.2
Класс бетона (В), МПа Марка (М), кгс/см’ Класс бетона (В), МПа Марна (М), кгс/см*
В3,5 45,8 В25 327,5
В5 65,5 В27.5 353
В7,5 98,3 ВЗО 393
В10 131 В35 459
В12,5 164 В40 524
В45 590
В15 197 В50 655
В20 262 I В55 721
В22.5 296 В60 786,5
ности бетона от нормативной, имеются также от-
клонения фактических размеров. Учесть эти откло-
нения статистическим путем пока не представляется
возможным, поскольку отсутствует достаточное количе-
ство точных данных по прочности бетона непосредствен-
но в конструкции. Поэтому возможное отклонение проч-
ности бетона в конструкции учитывается специальным
коэффициентом надежности уъ (в предыдущих нормах
это был коэффициент безопасности Кг>), большим еди-
ницы, на который делится нормативное сопротивление
бетона. Тогда сопротивление бетона, учитываемое в рас-
чете (так называемое расчетное сопротивление бетона
для предельных состояний первой группы) определяется
по формулам:
Rbt Rblnlybit
Такой метод установления расчетных сопротивлений
называют полувероятностным. Коэффициенты надежно-
сти бетона всех видов, кроме ячеистого, работающего
на сжатие, принимаются уйс=1.3, на растяжение
1,5.
Прочность бетона на растяжение, определенная че-
рез прочность на сжатие по формуле (2.3), имеет боль-
шую изменчивость, чем прочность на сжатие, поскольку
на нее влияет неточность формулы, поэтому коэффи-
циент надежности по прочности на растяжение уы при-
нят выше коэффициента у6с. При непосредственном кон-
троле прочности на растяжение путем установления
класса бетона по прочности на растяжение Bt коэффи-
циент надежности ybt принимается таким же, как для
30
прочности на сжатие, при этом за Run принимается зна-
чение класса Bt. #
Расчетные сопротивления бетона для предельных со-
стояний второй Группы Rb.ser И Rbt.ser ПрИНИМЭЮТСЯ рЭВ-
ными нормативным сопротивлениям. В этом проявляет-
ся фактор запаса, вводимый в расчет с тем, чтобы обес-
печить достаточную надежность конструкции.
Такая же система установления расчетных сопротив-
лений принята и для арматуры. В качестве норматив-
ных сопротивлений арматуры Rtn принимаются значе-
ния прочности арматурной стали, контролируемые непо-
средственно на металлургических заводах в соответ-
ствии с Государственными стандартами, с обеспечен-
ностью не менее 0,95. При этом для стержневой арма-
туры, высокопрочной проволоки и канатов эти наимень-
шие контролируемые нормативные сопротивления пред-
ставляют собой физический или условный (при остаточ-
ных относительных удлинениях 0,2 %) предел текуче-
сти, а для обыкновенной арматурной проволоки — 0,75
временного сопротивления разрыву.
Расчетные сопротивления арматуры определяются
делением нормативных сопротивлений на коэффициент
надежности по арматуре ys, принимаемый в зависимо-
сти от вида и класса арматурной стали:
для стержневой арматуры классов A-I и А-П — ys—
= 1,05; Ат-ШС и A-III диаметром 10—40 мм — ys= 1,07;
A-1II диаметром 6—8 мм —у«=1,1; А-Шв с контролем
удлинения и напряжения — ys=l,l; А-Шв с контролем
удлинения—ys=l,2; A-IV и A-V — ys=l,15; A-VI —
ys= 1,2;
для проволочной арматуры классов Вр-1 — ys=l,l;
В-П и Вр-П-ys= 1,2; К-7 и К-19 —ys=l,2.
Расчетные сопротивления арматуры для предельных
состояний второй группы принимаются равными норма-
тивным сопротивлениям. Коэффициенты надежности ар-
матуры учитывают возможные отклонения в положении
арматуры внутри конструкции по сравнению с проект-
ным положением и другие факторы. Из сопоставления
СНиП П-2 1-75 с новыми нормами видно, что коэффици-
енты надежности (ранее они назывались коэффициента-
ми безопасности арматуры k&) понижены и в результате
этого повысились расчетные сопротивления арматуры Rs.
Повышение расчетных сопротивлений арматуры было
31
вызвано улучшением качества выпускаемой стали и
углубленным изучением ее характеристик.
Таким образом, на основе полувероятностного мето-
да устанавливаются расчетные сопротивления бетона
и арматуры, определяющие надежность железобетон-
ных конструкций.
Как указывалось, при назначении проектного клас-
са бетона по прочности на сжатие В, характеризуемой
кубиковой прочностью бетона Rm, прочность бетона на
сжатие в конструкции оценивается его призменной проч-
ностью Rbn, а прочность бетона на растяжение — сопро-
тивлением Rbtn, определяемым как функция от куби-
ковой прочности бетона. Поэтому для расчета необходи-
мо иметь нормативные и расчетные сопротивления. Эти
значения вычисляются указанным ранее полувероятност-
ным методом. Численные значения полученных норма-
тивных и расчетных сопротивлений для тяжелых и лег-
ких бетонов приведены в СНиП 2.03.01—84 и в посо-
биях.
При установлении дополнительного класса по проч-
ности на растяжение (и соответствующем контроле)
нормативные и расчетные значения сопротивления бе-
тона растяжению для тяжелых и легких бетонов можно
найти в СНиП 2.03.01—84 (табл. 14).
При расчете прочности железобетонных элементов
в расчетные сопротивления вводятся так называемые
коэффициенты условий работы у6, меньшие или боль-
шие единицы, которые учитывают изменения прочност-
ных характеристик бетона от влияния различного рода
факторов. Коэффициент уы учитывает влияние много-
кратно повторяющихся нагрузок. Наибольшее влияние
на значение этого коэффициента оказывает асимметрия
цикла загружений, т. е. отношение наименьшего напря-
жения в бетоне к наибольшему в пределах цикла изме-
нения нагрузки рь = а6,ты/аь,тах.
В конструкциях, на которые действуют многократно
повторяющиеся нагрузки, коэффициент уы использует-
ся при расчетах на выносливость и по образованию
трещин. При расчете по прочности берется коэффициент
уь2- Коэффициент у62 учитывает различие между вре-
менным и длительным сопротивлением бетона. Это раз-
личие, как показали эксперименты, достигает 20—25 %.
Кроме того, на коэффициент влияет возможность на-
растания прочности бетона и его состав. Значения этого
23
32
коэффициента и порядок его использования приведены
в п. 3.2.3.
Коэффициент уьз учитывает понижение прочности
верхней части слоя бетона при высоте слоя, укладывае-
мого за один раз, более 1,5 м и меняется в пределах
0,85—0,8 в зависимости от вида бетона. Коэффициент
ум учитывает влияние двухосного сложного напряжен-
ного состояния сжатие—растяжение на прочность бе-
тона. Он используется, например, при расчете по обра-
зованию трещин, наклонных к продольной оси элемен-
та, и подробно рассмотрен в п. 4.1.3.
Коэффициент ум, равный 0,85, вводится для моно-
литных бетонных столбов или железобетонных колонн
с наибольшим размером сечения менее 30 см. Он учиты-
вает большое влияние дефектов (раковин и др.) на се-
чение малых размеров. Коэффициент у>>6 относится
к конструкциям, подвергающимся попеременному замо-
раживанию и оттаиванию. В условиях эпизодического
водонасыщения коэффициент ум, меньший 1, вводится
только для тяжелого бетона при расчетной зимней тем-
пературе ниже —40 °C. Этот коэффициент немного выше
для легкого и поризованного железобетона в связи с их
повышенной морозостойкостью. Значение коэффициен-
та колеблется в пределах 0,7—1 и может быть повыше-
но на 0,05 при применении бетонов марки по морозо-
стойкости на одну ступень выше, чем требуется, но его
значение не должно превышать 1.
Коэффициент уб7, равный 0,85, относится к бетонам
конструкций, не защищенных от солнечной радиации
и эксплуатируемых в климатическом подрайоне IVA по
СНиП 2.01.01—82. Бетон в этой зоне нагревается до
температуры 50°C и выше и в связи с этим снижает
свою прочность. Коэффициент ум вводится при расче-
тах на прочность в стадии предварительного обжатия
и учитывает кратковременность воздействия этого фак-
тора и меньшие потери от разрушения в этой стадии.
Различие значений коэффициента от 1,1 до 1,35 обус-
ловлено тем, что уменьшение напряжений, вызванное
деформацией легкого бетона со стержневой арматурой,
составляет более высокий процент, чем для проволоч-
ной арматуры и бетона остальных видов.
Коэффициент у/>у = 0,9 относится к бетонным кон-
струкциям, поскольку принятая методика расчета недо-
статочно точно учитывает упругопластические свойства
2 Зикиз 298
33
в неармированных конструкциях. Коэффициент уыо вво-
дится для бетонных конструкций из высокопрочного бе-
тона при учете коэффициента уьэ и равен (0,3+й), но
это значение не должно быть более 1,
«=«—0,008/?ь,
где и — характеристика сжатой зоны бетона; а — коэффициент,
меняющийся для бетона различных видов от 0,75 до 0,85, который
снижается для бетонов, подвергнутых автоклавной обработке;
Rb — расчетное сопротивление бетона осевому сжатию, МПа.
Этим коэффициентом учитывается повышенная хруп-,
кость высокопрочных бетонов.
Коэффициент убп учитывает повышенную влажность
ячеистых бетонов и меняется от 1 (при влажности 10 %
и менее) до 0,85 (при влажности свыше 25 %). Коэффи-
циент уЬ12. равный 1,15, относится к стыкам сборных
элементов с толщиной шва менее 1/5 наименьшего раз-
мера сечения и менее 10 см и обусловлен сопротивле-
нием поперечному расширению бетона в шве, ограничен-
ному сопрягаемыми конструкциями.
Коэффициенты условий работы вводятся независимо
один от другого, однако так, чтобы их произведение
было не менее 0,45. Коэффициенты условий работы у6ь
?Ь2> уьб, уьъ тьэ, ?Ы1 должны учитываться при определе-
нии расчетных сопротивлений Rb и Rbt, ум — при опре-
делении Rbt.ser, а остальные уьз, Yds, Уью, Уьи толь-
ко при определении Rb- Численные значения приведен-
ных коэффициентов полностью приведены в СНиП
2.03.01—84.
Нормативные и расчетные сопротивления арматуры
растяжению Rsn и Ra определяются в соответствии с из-
ложенным ранее полувероятностным методом. Норма-
тивные и расчетные сопротивления арматуры сжатию
Rsnc и Rsc равны соответствующим сопротивлениям ар-
матуры растяжению, однако их значения, вводимые
в расчет, ограничиваются максимальными напряжения-
ми а, определяемыми предельными деформациями бе-
тона (см. п. 3.2). Так же, как и для бетона, расчетные
сопротивления арматуры вводятся с соответствующими
коэффициентами условий работы ув, учитывающими от-
клонения напряжений в арматуре от номинальных зна-
чений расчетных сопротивлений.
Коэффициенты условий работы учитывают ряд фак-
торов, таких, как характер диаграммы растяжения ста,-,
34
ли, влияние технологии изготовления конструкций, ра-
бота конструкций в условиях длительного действия или
многократной повторяемости нагрузок, воздействие на
конструкции высоких или низких температур, особен-
ности работы арматуры в железобетонных изделиях,
условия анкеровки и т. д. Метод определения коэффици-
ентов условия работы может быть эмпирическим, когда
на основании ограниченного количества опытов, под-
твержденных данными эксплуатации, или на основании
общих соображений, для обеспечения необходимой на-
дежности работы арматуры назначаются коэффициенты
условий работы. Другой, более точный способ позволяет
на основе многочисленных экспериментов установить
влияние того или иного фактора на расчетное сопротив-
ление арматуры с обеспечением необходимой довери-
тельной вероятности, о которой говорилось ранее.
Коэффициенты условий работы арматуры вводят
для расчетов по первой группе предельных состояний.
Для расчетов по второй группе предельных состояний у,
всегда равен 1. Коэффициент ysl, равный 0,8, вводится
на расчетное сопротивление отогнутой и поперечной ар-
матуры всех классов. Он учитывает неравномерность
напряжения в арматуре, пересекающей! рассматривае-
мое наклонное сечение, так как в момент разрушения
не вся арматура достигает предела текучести. Коэф-
фициент ys2, равный 0,9, учитывает возможность хруп-
кого разрушения сварного соединения. Это соединение
продольной арматуры с поперечной по длине рассмат-
риваемого сечения работает на сдвиг с кручением, а по-
перечная арматура — на изгиб с растяжением, что при
низкой пластичности металла в зоне сварки может при-
вести к разрушению. Эксперименты показали, что хруп-
кость стали класса А-Ш значительно повышается в зоне
точечной сварки, когда диаметр хомутов меньше 1/3 диа-
метра продольных стержней. То же положение распро-
страняется на проволочную арматуру класса Вр-I при
использовании ее в сварных каркасах.
Коэффициент ys3 учитывает влияние многократно
повторяющейся нагрузки на продольную и поперечную
арматуру, независимо от класса стали. Значение этого
коэффициента определялось вариационным методом на
основе большого количества экспериментов. Значение
Тез меняется в пределах 0,31 — 1 в зависимости от клас-
са стали и диаметра и от значения коэффициента
35
асимметрии цикла нагрузки ps=as,minM,max. меняюще-
гося в пределах минус 1 до 1.
Коэффициент у84 вводится при наличии сварных сое-
динений в конструкциях, испытывающих воздействие
многократно повторяющейся нагрузки. Сварные соеди-
нения снижают усталостную прочность конструкции, яв-
ляясь дополнительными концентраторами напряжений.
Значения коэффициента меняются в пределах 0,18—1
в зависимости от типа сварного соединения, класса ар-
матуры, диаметра стержней и коэффициента асиммет-
рии цикла ps.
Остановимся подробнее на коэффициенте условий ра-
боты yS5, учитывающем снижение напряжений в арма-
туре на длине зоны анкеровки 1ап или зоны передачи
предварительного напряжения 1Р. При действии на ар-
матурный стержень, заключенный в бетоне, продольно-
го усилия способность стержня воспринять это усилие
зависит не только от прочности арматурной стали, но
и от сопротивления перемещению стержня относительно
бетона. Это сопротивление определяется длиной заве-
дения стержня в бетон относительно того сечения, где
на арматурный стержень действует усилие, а также
прочностью сцепления арматуры с бетоном, характером
напряженного состояния в бетоне, окружающем стер-
жень, и наличием различных анкерных устройств (при-
варенных поперечных стержней, шайб и т. п.) на ука-
занной длине. Для того чтобы арматура могла достиг-
нуть своих расчетных сопротивлений в рассматриваемом
сечении, длина заведения стержня в бетон относитель-
но этого сечения при отсутствии специальных анке-
рующих устройств должна быть не менее некоторой
длины зоны анкеровки которая, очевидно, будет
зависеть от самого расчетного сопротивления арматуры,
а также факторов, характеризующих прочность сцепле-
ния арматуры с бетоном и напряженное состояние в бе-
тоне.
Длина зоны анкеровки арматуры 1ап определяется
по эмпирической формуле
но должна быть не меньше hand.
Первый член в формуле — (йап определяет непосред-
ственную функциональную зависимость длины анкеров-
ки арматуры от нахождения арматуры в бетоне в зоне
36
сжатая или растяжения и от. наличия профиля на по-
верхности арматуры, а второй член представляет
собой учет дополнительного запаса, необходимого для
обеспечения необходимой надежности анкеровки в свя-
зи со значительным разбросом опытных данных.
Значения (лап, АХап, Лзп и /ore,min приведены в соот-
ветствующих таблицах СНиП и пособий. Там же огово-
рены требования к анкеровке в мелкозернистом бетоне,
обязательное наличие дополнительной анкеровки для
гладких стержней и методика определения длины ан-
керов закладных деталей.
При действии продольного усилия на стержень, за-
деланный в бетоне, напряжения в стержне на длине ан-
керовки постепенно уменьшаются от максимума непо-
средственно вблизи сечения, где приложено усилие на
стержень, до весьма малых значений у конца зоны ан-
керовки. Если в начале зоны анкеровки напряжения
в арматуре достигнут расчетных сопротивлений, то по
длине зоны анкеровки они будут падать. Для расчета
принимается упрощенная схема распределения напря-
жений по длине зоны анкеровки /вп в виде треуголь-
ника, с максимумом, равным Rs у начала зоны анке-
ровки, н с нулевыми значениями у конца. Тогда величи-
на предельных напряжений в любом сечении по длине
зоны анкеровки на расстоянии 1Х будет определяться
по формула
Rs, ix^ysiRs, где
Ys5==(*/(an.
(2.9)
Длина 1Х отсчитывается до конца стеожня.
В предварительно напряженных элементах измене-
ние напряжений принимается в пределах зоны переда-
чи предварительного напряжения на бетон 1Р, Ее дли-
на находится по формуле, аналогичной формуле для
определения длины анкеровки
( \
1р = \ ->г> j d.
Напряжение osp при расчете на прочность принима-
ется равным большему из значений расчетного сопро-
тивления и предварительного напряжения о,р, о ко-
тором речь пойдет далее. Значения <ор и А,р находят из
таблиц, приведенных в СНиП и пособиях.
В пределах длины зоны передачи предварительного
напряжения распределение напряжений в арматуре так-
37
же принимается по треугольнику с максимумом, равным
Тогда расчетное сопротивление в арматуре в любом
сечении на этой длине определяется при коэффициенте
условий работы
При наличии специальных анкерных устройств на
концах арматурных стержней вопросы анкеровки арма-
туры решаются в каждом отдельном случае индиви-
дуально.
Коэффициент ys6 учитывает особенности работы вы-
сокопрочной арматуры при напряжениях выше услов-
ного предела текучести. Его значение зависит от клас-
са стали (характер диаграммы растяжения арматуры),
степени армирования сечения, прочностных и деформа-
тивных характеристик бетона, а также от величины
предварительного напряжения (см. п. 3.2.5).
Коэффициент ys7, равный 0,8, отражает пониженную
анкеровку арматуры классов A-I и Вр-I в конструкциях
из легкою бетона класса В7,5 и ниже. Коэффициент
ys8 вводится на характеристики арматуры всех классов
в ячеистом бетоне класса В7,5 и ниже. Коэффициент ysg
учитывает снижение сцепления ячеистого бетона с ар-
матурой, покрытой защитным слоем.
Одним из необходимых параметров для расчета бе-
тонных и железобетонных конструкций является модуль
упругости. Используемый для расчета начальный мо-
дуль упругости Еь соответствует упругим деформациям
бетона, возникающим при мгновенном загружении. Тео-
ретически модуль упругости равен тангенсу угла накло-
на касательной на диаграмме оь—ег>, однако за преде-
лами упругой деформации, выражаемой начальным
модулем упругости, для упрощения расчетов пользуют-
ся так называемым средним или упругопластичным мо-
дулем, представляющим тангенс угла наклона прямой,
соединяющей нулевую точку с точкой на кривой аь—еь,
соответствующей заданному напряжению. Это значение
определяют с помощью нормируемого начального мо-
дуля упругости. Существуют различные эмпирические
формулы, позволяющие определять средний модуль
упругости для бетона различных классов по прочности
на сжатие.
На величину Еь кроме класса бетона влияют такие
фактора, как вид и состав бетона, способ обработки
.(естественное твердение, тепловая или автоклавная об-
38
работка), плотность бетона, солнечная радиация, по-
переменное замораживание и оттаивание. В СНиП
2.03.01—84 и пособиях приведены подробные таблицы
значений Еъ.
Коэффициент линейного температурного расширения
при температуре от 150°C до —40°C зависит от соста-
ва заполнителей и количества цемента. Для простоты
расчета были приняты его усредненные значения для
бетона различных видов:
для тяжелого, мелкозернистого бетонов и легкого
бетона при мелком плотном заполнителе
аб^ЫО-^С-1;
для легкого бетона при мелком пористом заполни-
теле
аы = 0,7-10-5°С-1;
для ячеистого и поризоваиного бетонов
аб< = 0,8-10-s °C-1.
Начальный коэффициент поперечной деформации бе-
тона v (коэффициент Пуассона) принимается 0,2 для
бетона всех видов.
При известных значениях Еъ и v легко определяется
значение модуля сдвига бетона
G6=£d/[2(l+v)J.
При значении v=0,2 получим значение модуля сдви-
га G6=0,4Fb.
Значение модуля упругости арматуры Es с ростом
ее прочности несколько уменьшается. Для арматуры
классов A-I, A-II значение Es составляет 2,1-105 МПа
(2-1 - 10s кгс/см2), а для проволоки классов К-7, К-19 —
1,8-105 МПа (1,8-106 кгс/см2).
Глава 3
РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ПО ПРОЧНОСТИ
3.1. Основные положения по расчету прочности
железобетонных элементов
Расчет прочности железобетонных элементов произ-
водится в виде расчета прочности сечений, нормальных
к продольной оси элемента, наклонных и пространствен-
39
ных. При этом предельное состояние сечения определя-
ется условием равновесия усилий от внешней нагрузки
и внутренних предельных усилий, действующих в рас-
сматриваемом сечении, а расчет прочности ведется на
основе уравнения равновесия предельных усилий в сече-
нии. Прочность сечения считается обеспеченной, если
усилия от внешней нагрузки оказываются меньше или
равными внутренним предельным усилиям. Отсюда рас-
четное условие прочности
F^Futt,
где F — усилие от внешней нагрузки, действующее в сечении;
Fuit — внутреннее предельное усилие в том же сечении.
Таким образом, задача состоит в определении уси-
лий от внешней нагрузки и внутренних предельных уси-
лий в рассматриваемом сечении. Первая часть задачи
решается на основе статического расчета в целом.
Здесь следует руководствоваться правилом, общим для
любых видов сечений, нормальных, наклонных или про-
странственных— усилие в сечении определяется от
внешней нагрузки, действующей по одну сторону от
рассматриваемого сечения, нормального, наклонного
или пространственного.
При определении прочности элемента следует рас-
сматривать предельное состояние по сечению в целом,
которое можно характеризовать как максимальную ве-
личину общего усилия (момента, продольной силы, по-
перечной силы), воспринимаемого сечением. В сечениях
железобетонных элементов действуют усилия в бетоне
и арматуре. В зависимости от характера внешнего воз-
действия сечения могут иметь сжатую и растянутую
зоны, быть полностью сжатыми или полностью растяну-
тыми. Усилия в сжатой зоне воспринимаются бетоном
и арматурой, усилия в растянутой зоне — бетоном и арг-
матурой, а после образования трещин — только арма-
турой. Таким образом, общие усилия, воспринимаемые
сечением железобетонного элемента, определяются си.
лами, действующими в бетоне и арматуре в сжатой
и растянутой зонах.
При нагружении элемента увеличиваются деформа-
ции и напряжения в бетоне и арматуре. При этом мате-
риалы как бы следуют по своим диаграммам напряже-
ния— деформации, проходя вначале упругую, а затем
и неупругую область их работы. Достижение области
неупругих деформаций нр означает еще разрушение ма.
40
териала. Материал продолжает деформироваться с по-'
стоянными либо несколько увеличивающимися напря-
жениями. Разрушение материала наступает тогда, когда
будет достигнута конечная точка диаграммы. Этот мо-
мент будет определять и разрушение сечения в целом,
его предельное состояние.
В сечениях железобетонных элементов, как уже ука-
зывалось, деформируются одновременно бетон и арма-
тура в сжатой и растянутой зонах. Эти материалы име-
ют различные деформативные и прочностные характери-
стики, определяемые диаграммой напряжения — дефор-
мации материала. Кроме того, соотношение между
количеством арматуры и размерами сечения может быть
различно. В силу этого к предельному состоянию сжа-
тый бетон, растянутая и сжатая арматура приходят
не одновременно. Предельное состояние по сечению
в целом наступит тогда, когда один какой-либо из этих
компонентов, сжатый бетон или растянутая арматура,
первым достигает своего предельного состояния. Оче-
видно, что другой компонент при разрушении сечения
может иметь напряжения и деформации ниже пре-
дельных.
Арматура, используемая в железобетонных конструк-
циях, имеет запас по деформациям, т. е. максимальную
величину деформации до своего предельного состояния,
значительно превышающую аналогичную величину в сжа-
том бетоне. Поэтому предельное состояние сечений же-
лезобетонных элементов, как правило, определяется
разрушением сжатого бетона. Растянутая арматура при
этом может в зависимости от ее количества находиться
как в области упругих, так и неупругих деформаций,
работая с напряжениями, равными пределу текучести,
либо выше или ниже его. Сжатая арматура, работая
совместно со сжатым бетоном, получает деформации,
равные деформациям бетона, и ее напряжения перед
разрушением сечения определяются предельными де-
формациями сжатого бетона в соответствии с диаграм-
мой напряжения — деформации арматуры.
Таким образом, усилия в арматуре при разрушении
сечения в общем случае характеризуются напряжения-
ми Os, которые могут быть равными пределу текучести
стали, выше или ниже его.
Усилие в сжатом бетоне определяется всем блоком
напряжений в сжатой зоне. Поскольку предельное со-
41
стояние сечения Сопровождается разрушением бетона,
максимальные напряжения в сжатой зоне будут дости-
гать предельных значений напряжений для бетона,
а форма эпюры напряжений будет определяться ха-
рактером диаграммы напряжения — деформации бе-
тона.
Сформулируем некоторые общие положения, которы-
ми следует руководствоваться при расчете сечений:
1) предельные состояния сечения определяются мак-
симальной величиной общего усилия, воспринимаемого
сечением (момента, продольной силы, поперечной силы);
2) разрушение элемента по сечению, как правило,
определяется разрушением бетона в сжатой зоне, по-
этому усилия в сжатом бетоне характеризуются пре-
дельными прочностными характеристиками бетона. На-
пряжения в сжатой и растянутой арматуре могут не до-
стигать предельных прочностных характеристик стали;
3) расчет сечений производится из уравнений равно-
весия внутренних и внешних условий, действующих в се-
чении в его продольном состоянии.
3.2. Расчет прочности нормальных сечений
железобетонных элементов
3.2.1. Расчетная схема усилий, действующих
в нормальном сечении
В зависимости от внешних усилий нормальное сече-
ние может иметь различное распределение внутренних
усилий в предельном состоянии. При изгибе нормальное
сечение будет иметь сжатую и растянутую зоны. При
внецентренном сжатии в зависимости от эксцентрисите-
та продольной силы нормальное сечение может иметь
сжатую и растянутую зоны (при больших эксцентриси-
тетах) либо быть полностью сжатым (при малых). При
внецентренном растяжении также в зависимости от экс-
центриситета сечение может иметь сжатую и растяну-
тую зоны (при больших эксцентриситетах) либо быть
полностью растянутым (при малых).
В железобетонном элементе сжимающее усилие вос-
принимается бетоном и продольной арматурой, располо-
женной в сжатой зоне. Растягивающее усилие воспри-
нимается продольной арматурой, расположенной в рас-
тянутой зоне. При этом рассматривается нормальное се-
42
Рис. 3.1. Расчетные схемы усилий в нормальном сеченин
а — при наличии сжатой и растянутой зон; б— при полностью сжатом се-»
чении; в — при полностью растянутом сечении; /—/ — расчетное сечение
чение, проходящее по нормальной трещине в растянутой
зоне, и работа растянутого бетона под вершиной тре-
щины не учитывается.
Таким образом, расчетная схема усилий в нормаль-
ном сечении включает в себя:
при наличии сжатой и растянутой зоны (рис. 3.1,а):
усилие Ns — в продольной арматуре, расположенной
в растянутой зоне; усилие Nb— в бетоне сжатой зоны;'
усилие N's — в продольной арматуре, расположенной
в сжатой зоне;
при полностью сжатом сечении (рис. 3.1,6): усилие
N*— в продольной арматуре, расположенной у менее
сжатой грани элемента; усилие Nb— в сжатом бетоне;
усилие N's—в продольной арматуре, расположенной
у более сжатой грани элемента;
при полностью растянутом сечении (рис. 3.1,б): уси-
лие Ns — в продольной арматуре, расположенной у бо-
лее растянутой грани элемента ;усилие N's — в продоль-
ной арматуре, расположенной у менее растянутой гра-
ни элемента.
Для того чтобы определить усилия, действующие
43
в бетоне и арматуре, необходимо установить величину
напряжений в бетоне и арматуре перед разрушением
нормального сечения.
3.2.2. Характер разрушения железобетонного
элемента по нормальному сечению
При нагружении элемента увеличиваются деформа-
ции и напряжения в бетоне и арматуре. Соотношение
между деформациями в сжатом бетоне и продольной
растянутой арматуре определяется условиями дефор-
мативности нормального сечения, которое можно пред-
ставить себе в виде плоского поворота нормального се-
чения (гипотезы плоских сечений, рис. 3.2,а, б). По де-
формациям в соответствии с диаграммами о—е бетона
и арматурной стали устанавливаются значения напря-
жений в бетоне и растянутой арматуре; при этом бетон
и арматура проходят упругую, а затем неупругую об-
ласти их работы. Разрушение элемента по нормальному
сечению наступит тогда, когда бетон или продольная
арматура достигнут своих предельных характеристик
по деформациям и напряжениям, определяемым гра-
ничной точкой диаграммы.
Арматура, используемая в железобетонных элемен-
тах, имеет, как правило, значительно большие предель-
ные деформации, чем бетон (рис. 3.2,и), поэтому в боль-
шинстве случаев первым достигает своих предельных
деформаций сжатый бетон, и предельное состояние по
речном сечении
а — участок элемента с трещиной, б — эпюра деформаций, в — эпюра на-
пряжений; г — диаграммы «напряжения — деформация» для беюна и> ар*
матуры.
44
•нормальному' сечению определяется разрушением, сжа-
того бетона. Продольная растянутая арматура в зависи-
мости от величины ее деформаций и диаграммы о—е
может иметь различные напряжения, равные пределу
текучести, ниже или выше его.
3.2.3. Напряжения в бетоне сжатой зоны
Предельное состояние по нормальному сечению со-
провождается разрушением бетона сжатой зоны, следо-
вательно, бетон достигает своих предельных прочност-
ных и деформационных характеристик, которые опреде-
ляются диаграммой о—е бетона. Если рассматривать
диаграмму а—е в виде восходящей ветви (рис. З.З.а),
то, очевидно, эпюра напряжений в сжатом бетоне полу-
чит очертание в соответствии с этой диаграммой, с мак-
симальными напряжениями у краевого волокна, равны-
ми предельным значениям напряжений в бетоне Rb из
диаграммы о—е. Если учесть также и нисходящую
ветвь диаграммы о—е (рис. 3.3,6), то максимум эпюры
напряжений Rb должен будет в общем случае находить-
ся в пределах сжатой зоны.
Как известно, бетон обладает явно выраженными
неупругими свойствами, что отражается на диаграмме
с—е, которая приобретает криволинейное очертание.
При этом диаграмма не имеет стабильного характера,
поскольку неупругие деформации бетона зависят от мно-
гих факторов: вида и класса бетона, скорости и харак-
тера нагружения и т. д. С увеличением класса бетона
неупругие деформации бетона снижаются, в результате
чего уменьшается кривизна диаграммы о—е и для вы-
соких марок бетона она приближается к линейной.
То же самое происходит и с увеличением скорости на-
гружения. Все это в настоящее время не позволяет при-
нять для расчета какую-либо определенную диаграмму
о—е для бетона и по ней находить эпюру нормальных
напряжений в сжатой зоне. Для расчета принята прямо-
угольная эпюра нормальных напряжений в сжатой
зоне, как наиболее простая по форме и дающая в целом
удовлетворительные результаты (см. рис. 3.3). Замена
криволинейной эпюры на прямоугольную дает сравни-
тельно небольшую погрешность, так как значительно
уменьшая высоту сжатой зоны, в то же время несуще-
ственно меняет плечо внутренней пары сил, а следова-
тельно, и величину момента.
45
Рис. 3,3. Диаграммы а—е для бетона и эпюры напряжений о сжа-
той зоне
а — при диаграмме с восходящей ветвью; б—при диаграмме с восходя-
щей и с нисходящей ветвью
Следует, однако, отметить, что прямоугольная эпюра
напряжений имеет условный характер, поскольку на ну-
левой линии не могут быть напряжения, равные пре-
дельным. В результате применения прямоугольной эпю-
ры нормальных напряжений высота сжатой зоны и по-
ложение линии, ограничивающей сжатую зону, имеют
также условный характер, не соответствующий фактиче-
ской высоте сжатой зоны и фактической нулевой линии,
где напряжения и деформации равны нулю (см.рис.3.3).
Предельные характеристики бетона получаются из
испытания на сжатие бетонных образцов (кубов, призм,
цилиндров и т. д.), но отражать полностью работу бето-
на в сжатой зоне элемента не могут. Поэтому для рас-
чета принимаются характеристики, которые ближе все-
го отвечали бы фактической прочности бетона в кон-
струкциях. В качестве такой характеристики в нормах,
принятых в СССР, используется призменная прочность
бетона Яъ, т. е. прочность на сжатие бетонных призм
размером 15X15X60 см. Таким образом, в бетоне сжа-
той зоны принимается условная эпюра сжимающих на-
46
пряжений в виде напряжений, равных /?/,, равномерно
распределенных по части сечения, ограниченно? прямой.
При определении предельных усилий, воспринимае-
мых сжатым бетоном, следует учитывать также влияние
длительного действия нагрузки. Испытания бетонных
образцов на сжатие показали, что их прочность при
длительном нагружении существенно ниже прочности
при кратковременном загруженпи, причем разница меж-
ду кратковременной и длительной прочностью достигает
20 %. Это явление связано с развитием микротрещино-
образования в бетоне, которое начинается при более
низком уровне нагружения, .чем кратковременная раз-
рушающая нагрузка, и при длительном действии на-
грузки на этом уровне приводит к разрушению бетона.
Для учета этого явления вводится специальный ко-
эффициент условий работы умножаемый на расчет-
ное сопротивление бетона /?*. Величина его для тяже-
лого и легкого бетонов принята 0,9 (меньше единицы)
при длительном загружении и 1,1 (больше единицы)
при кратковременном с тем, чтобы, сохранив необходи-
мую разницу между кратковременной и длительной
прочностью и обеспечив тем самым равнопрочность кон-
струкций, не слишком увеличивать общий расход мате-
риалов в существующих железобетонных конструкциях.
Прочность бетона следует снижать не только при
обычных длительных нагрузках, но и при всех нагруз-
ках, суммарная длительность которых за весь срок
службы здания и сооружения достаточно велика. К ним
относятся также и кратковременные нагрузки (напри-
мер, снеговые, кратковременные нагрузки на перекры-
тия от людей и оборудования), за исключением некото-
рых видов, суммарная длительность которых мала, и ко-
торые для удобства будем называть особо кратковре-
менными нагрузками. Последние включают в себя: кра-
новые нагрузки, нагрузки от транспортных средств, вет-
ровые нагрузки, нагрузки, возникающие при изготовле-
нии, транспортировке и возведении, а также особые
нагрузки, вызванные различного рода авариями, резки-
ми нарушениями технологического процесса и т. п.
Следует подчеркнуть, что в данном случае рассмат-
ривается кратковременная нагрузка с коэффициентом
надежности по нагрузке большим единицы. Например,
такая ветровая нагрузка, соответствующая очень силь-
ному ветру, действует обычно короткое время и прояв-
47
ляется один раз за много лет, поэтому ее суммарная
длительность мала. Напротив, расчетная снеговая на-
грузка, возникнув, может действовать достаточно дли-
тельное время, поэтому ее суммарная длительность бу-
дет велика. Инженер, встретившись с какой-либо новой
нагрузкой, не отмеченной в представленной классифи-
кации, пользуясь рассмотренным выше подходом, мо-
жет самостоятельно установить, к какому классу она
относится. Таким образом, при учете всех нагрузок, за
исключением особо кратковременных, в расчет вводится
коэффициент уь2=0,9. Напротив, если в расчете учиты-
ваются и особо кратковременные нагрузки, то вводится
коэффициент 762=1,1-
При длительном загружении одновременно с пони-
жением прочности бетона следует учитывать и противо-
положный процесс — возможное нарастание прочности
бетона во времени. Поэтому, если железобетонная кон-
струкция эксплуатируется в условиях, благоприятных
для нарастания.прочности бетона (твердение под водой,
во влажном состоянии грунта или на воздухе при влаж-
ности воздуха выше 75%), то вместо коэффициента
у62 = 0,9 принимается коэффициент уъ2— 1-
8.2.4. Напряжения в продольной арматуре,
расположенной у наиболее сжатой грани
элемента
Продольная арматура, расположенная в сжатой
зоне, деформируется вместе с бетоном до его разруше-
ния. Отсюда следует, что она может получить деформа-
ции, равные предельным деформациям сжатого бетона,
и напряжения, соответствующие этим деформациям по
диаграмме о—-е арматурной стали.
В качестве расчетных, значений деформативнести бе-
тона для определения напряжений в продольной арма-
туре принимаются наиболее осторожные значения пре-
дельного укорочения бетона гьи, отвечающие укороче-
нию бетона при равномерном сжатии, полученные в опы--
тах. Эти укорочения для тяжелого и легкого бетонов-
могут быть приняты 0,002. В том случае, когда учиты-
вается снижение прочности бетона в результате дли-
тельного действия нагрузки, что сопровождается одно-
временно увеличением деформативности бетона, пре-
дельное укорочение бетона увеличивается до 0,0025.
Величина напряжений в арматуре, соответствующая
48
Рис, 3.4. Диаграммы а—е для арматурной стали
а — твердой; б — мягкой
этим деформациям, определяется диаграммой о—е ар-
матурной стали. Если деформации не превышают зна-
чений, отвечающих пределу текучести стали (рис. 3.4,а),
то напряжения в арматуре будут определяться по фор-
муле
СЬс == ^sS&U .
Принимая с некоторым округлением Es=2- 105МПа,
получим при е&и=0,002 предельное значение напряже-
ний в арматуре osc=400 МПа, а при e*u = 0,0025 полу-
чим osc=50O МПа.
Если предельные деформации превышают значения,
отвечающие пределу текучести стали (рис. 3.4,6), то
напряжения в ней будут, очевидно, равны пределу те-
кучести, т. е.
Osc =?= Rs (О0.2) •
Таким образом, расчетные сопротивления R„c в ар-
матуре, расположенной в сжатой зоне, принимаются
в соответствии с предельными деформациями сжатого
бетона равными 400 МПа (или 500 МПа), но не более
прочности самой арматурной стали Rs. Для арматуры
класса A-IV деформация еби = 0,0025 соответствует на-
пряжению, несколько меньшему, чем ее условный пре-'
дел текучести Rs(o0,2)—510 МПа, поскольку неупругие
деформации начинают проявляться уже пру относитель-
но небольших напряжениях (~400 МПа). Поэтому при
учете длительного действия нагрузки расчетное сопро-
49
тивление сжатию для этой арматуры принимается сни-
женным до /?яг=450 МПа. В арматуре класса А-Шв
после предварительной вытяжки наблюдается резкое
снижение сопротивления при последующем сжатии. Для
этой арматуры расчетные сопротивления сжатию прини-
маются сниженными до /?.чс=200 МПа.
Предварительно напряженная арматура, располо-
женная в сжатой зоне бетона, к моменту, когда дефор-
мации в бетоне от действия предварительного обжатия
и внешних нагрузок равны нулю, имеет напряжения
растяжения, равные osp. После укорочения бетона до
предельных значений арматура получает напряжения
сжатия, равные 400 МПа (или 500 МПа). В результате
окончательное напряжение в напрягаемой арматуре оп-
ределяется как разность
CJsc —: 400—Osp ИЛИ Osc -—-500—Gsp*
Напряжения osc в зависимости от величины напря-
жений 0Sp могут быть растягиваюшнми или сжимающи-
ми. В последнем случае они принимаются не более со-
противления арматурной стали на сжатие Rsc.
Для нормальной работы сжатой арматуры она долж-
на иметь надлежащее сцепление с бетоном, обеспечи-
вающее их совместные деформации, а также закреплена
от потери устойчивости и выпучивания в поперечном на-
правлении. Последнее достигается защитным слоем
бетона и поперечных стержней, охватывающих продоль-
ную арматуру (в вязаных каркасах), либо приваренных
к ней (в сварных каркасах). При этом расстояние меж-
ду хомутами должно быть при о8С«$400 МПа — не бо-
лее 500 мм и не более 15d в вязаных каркасах и 20d—
в сварных; при ояс>450 хМПа — не более 400 мм и не
менее 12d в вязаных каркасах и 15d — в сварных.
При большом насыщении элемента продольной сжа-
той арматурой (более 1,5%) должно предусматривать-
ся более частое расположение поперечных стержней (на
расстоянии не более 300 мм и не более ЮпГ). То же са-
мое относится к местам стыкования рабочей арматуры
внахлестку без сварки.
Перечисленные требования относятся к сжатой ар-
матуре, фактически расположенной в элементе, незави-
симо от того, учитывается она в расчете или нет, по-
скольку ее выпучивание может привести к разрушению
сжатого бетона. Исключение может быть сделано для
50
стержней малого диаметра, не учитываемых в расчете,
в том случае, когда диаметр сжатых стержней не пре-
вышает 12 мм и половины защитного слоя бетона.
3.2.5. Напряжения в продольной арматуре,
расположенной у растянутой или менее сжатой
грани элемента
Напряжения в продольной арматуре, расположенной
у растянутой или менее сжатой грани, могут изменять-
ся в широком диапазоне, от предельных напряжении
сжатия Rsc до предельных напряжений растяжения Rs.
Их величина зависит от высоты сжатой зоны бетона х.
Чтобы физически представить эту зависимость, рассмот-
рим какую-либо схему деформирования нормального
сечения, например схему деформирования в виде плос-
кого поворота сечения (см. рис. 3.2). Из этой схемы
получим зависимость
8b/es=x/(/io—х). (3.1)
Отсюда деформации арматуры определяются по фор-
муле
е»=еь (Ло—х)/х
или
е3 = 84(1/|-1), (3.2)
где | — относительная высота сжатой зоны бетона, равная х/й0.
При разрушении бетона в сжатой зоне краевые де-
формации в бетоне соответствуют некоторым предель-
ным значениям еъи, которые можно принять как посто-
янную величину. Отсюда видно, что деформации в ар-
матуре es, а следовательно, и напряжения в ней щ, ко-
торые определяются по диаграмме о—е арматурной
стали, являются функцией от относительной высоты
сжатой зоны £. Связь между деформациями арматуры
и высотой сжатой зоны имеет гиперболический харак-
тер. Чем меньше высота сжатой зоны, тем больше на-
пряжения в продольной арматуре и наоборот. Эту зако-
номерность можно увидеть и непосредственно из схемы
деформирования нормального сечения (см. рис. 3.2).
Непосредственное использование рассмотренной схе-
мы деформирования для расчета нормальных сечений
представляется недостаточно корректным в силу услов-
ности самой схемы деформирования применительно
51
Рис. 3.5. Эпюры напряже-
ний в сжатой зоне бетона
а — при частично сжатом сече-
нии; б — при полностью сжа-
том сечении
к железобетонным элементам с трещинами, условного
характера прямоугольной эпюры напряжений в сжатой
зоне бетона и условной величины предельных деформа-
ций укорочения бетона. Поэтому расчетная зависимость
для напряжений в продольной арматуре должна быть
скорректирована иа основе опытных данных.
Использование прямоугольной эпюры нормальных
напряжений в сжатой зоне бетона приводит к тому, что
значение деформаций и напряжений в продольной ар-
матуре получается равным нулю при некоторой высоте
сжатой зоны х0, меньшей h0, т. е. при относительной вы-
соте сжатой зоны меньшей 1 (рис. 3.5). Для того что-
бы учесть это обстоятельство в расчетной зависимости
(3.2), вместо (1/£—1) следует записать (g0/g—1)
es=ez>u(5o/6—1). (3.3)
Тогда при деформации es и напряжения щ,
в продольной арматуре получаются равными нулю. При
значение es исходя из (3.3) становится отрица-
тельным, что соответствует деформациям укорочения,
т. е. в этом случае все сечение становится сжатым.
При равномерном же сжатии деформации укороче-
ния арматуры должны быть равны предельным дефор-
мациям бетона еьиь Если применить для этого случая
зависимость (3.3), то при x=h t==hlhOf& 1,1, а дефор-
мация укорочения арматуры будет es=e6uX(l—£о/1,1)<^
<§(еьи. Однако следует учесть, что краевые деформации
бетона при знакопеременной эпюре деформаций значи-
тельно больше деформаций равномерно сжатого бетона
в связи с деформированием бетона по нисходящей вет-
ви диаграммы о—е. Чтобы учесть это обстоятельство
и обеспечить применение единой формулы для es при
переходе от знакопеременной эпюры деформаций к од-
нозначной, примем величину еьи
Ct>№ = 1 — 5,71,1 ' (3,4)
62
В результате расчетная зависимость (3.2) получит
вид
“ (7~1)- (3-5)
Остается установить значения e()Ui и £0, которые за-
висят от вида и класса бетона.
В качестве расчетного значения е.ьил принимаются
наиболее осторожные значения предельного укорочения
бетона, получаемые из опытов при равномерном сжатии
элемента. Как указывалось ранее (п. 3.2.4), эти значе-
ния для тяжелого и легкого бетонов могут быть приня-
ты 0,002, а когда учитывается длительное действие на-
грузки, то 0,0025.
Величина |0, представляет собой относительную вы-
соту сжатой зоны бетона с прямоугольной эпюрой на-
пряжений, при которой деформации и напряжения
в продольной арматуре равны нулю, т. е. когда факти-
ческая нейтральная линия при фактической криволиней-
ной эпюре напряжений проходит через центр тяжести
продольной арматуры, и фактическая высота сжатой
зоны равна h0. Таким образом, величина £0, по сущест-
ву, характеризует отклонение фактической эпюры на-
пряжений от прямоугольной, т. е. полноту эпюры напря-
жений в сжатой зоне, обозначаемую далее со. Эпюра
напряжений в сжатой зоне бетона определяется харак-
тером диаграмм о—е бетона, который зависит прежде
всего от вида и класса бетона. Например, для легкого
бетона ее кривизна несколько меньше, чем для тяжело-
го бетона. С увеличением класса бетона кривизна диа-
граммы уменьшается, приближаясь к упругой. Это при-
водит к соответствующему изменению кривизны эпю-
ры нормальных напряжений в сжатой зоне бетона, а от-
сюда— к изменению величины ш. Очевидно, с увеличе-
нием класса бетона, а также для легкого бетона со
должна уменьшаться.
Как уже отмечалось, непосредственное использова-
ние диаграммы ст и е для бетона представляет большие
трудности, поэтому величина со определяется по эмпи-
рической зависимости, полученной на основании обра-
ботки опытных данных:
ы = а—0,008/?». (3.6)
Коэффициент а для тяжелого бетона равен 6,85, а для легкого
бетона 0,8 Ro — в МПа,
53
Рис. 3.6. Зависимость дефор-
маций в арматуре от отно-
сительной высоты сжатой
зоны
Рис. 3.7. Зависимость напря-
жений в арматуре от относи-
тельной высоты сжатой зоны
для мягких сталей
На рис. 3.6 показана зависимость деформаций про-
дольной арматуры от относительной высоты сжатой
зоны бетона g—x/h0. Можно видеть, что с увеличением
£ деформации удлинения арматуры es уменьшаются,
проходят через нуль при £=ш, а затем переходят в де-
формации укорочения, которые увеличиваются до пре-
дельных деформаций укорочения бетона ebui при £= 1,1.
Такая зависимость в целом подтверждается опытными
данными.
Напряжения в продольной арматуре определяются
по ее деформациям с йомощью диаграммы о—е арма-
турной стали. Для упругой области работы арматуры
напряжения в арматуре fjs=e,sEs, откуда получим за*
висимость
asc,u (со \
°s = 1—w/lil — <3-7)
ГДС (Jsr1u==E&ul£,s.
Принимая модуль упругости арматуры Es в среднем
2-Ю5 МПа, получим для еьи1 = 0,002 (при кратковре-
менном действии нагрузки) gSCiU=400 МПа, а для
o&ui = 0,0025 (при длительном действии нагрузки)
CTsc>u = 500 МПа.
На рис. 3.7 показана зависимость напряжений в ар-
матуре Os от относительной высоты сжатой зоны Если
деформации выходят из упругой области работы арма-
54
туры, то связь между напряжениями и деформациями
арматуры начинает меняться.
Для мягких сталей, имеющих горизонтальную пло-
щадку на диаграмме о—е, определяющую их физиче-
ский предел текучести (см. рис. 3.4,6), при увеличении
деформаций арматуры выше значений, отвечающих на-
чалу текучести, напряжения в арматуре остаются по-
стоянными и равными ее пределу текучести 7?s. В этом
случае, очевидно, напряжения в арматуре вычислен-
ные по формуле (3.7), должны приниматься не более Rs.
На рис. 3.7 участок графика при os=7?s показан пря-
мой горизонтальной линией.
Относительная высота сжатой зоны бетона £л, при
которой напряжения в арматуре достигают предела те-
кучести (см. рис. 3.7), может быть найдена из формулы
(3.7), подставляя tjs—Rs,
5/? = 1 +(/?Ja5C,„) (1 -,1) • . (3’8)
Для твердых сталей, не имеющих горизонтальной
площадки текучести на диаграмме о—е, криволинейный
участок диаграммы для упрощения расчета был заменен
двумя отрезками прямых: первым отрезком — от преде-
ла пропорциональности, принятого 0,8A?s, до условного
предела текучести Rs, отвечающего остаточным дефор-
мациям стали, равным 0,002, и вторым отрезком — от
условного предела текучести Rs до временного сопро-
тивления арматуры, выраженного через условный пре-
дел текучести в виде tj7?s (рис. 3.8). Коэффициент ц
был принят таким образом, чтобы исключить возмож-
ность разрыва арматуры и развития в ней чрезмерных
деформаций (до 1 %). Для арматуры класса A-IV
и Ат-IV коэффициент 1,2, для арматуры класса A-V,
Ат-V, В-П, Вр-П и К-7 он равен 1,15, для арматуры
класса A-VI — 1,1.
Исходя из принятой упрощенной диаграммы а—е,
напряжения в продольной арматуре определяются по
формуле (3.7) при их величине, не превышающей 0,8/?s.
В пределах 0,8Rs—Rs напряжения в арматуре вычисля-
ются по формуле
/ ^s,el 0,8/?5 \
gj 8 + 0,2^5, (3.9)
где Os,ei — условное напряжение в арматуре в предположении ее
упругой работы, определяемое по формуле .(3,7); 400 —условная ве-
55
Рис. 3.8. Расчетная диа-
грамма «напряжения —
деформации» для твер-
дой арматурной стали
Рис. 3.9. Зависимость напряже-
ний в арматуре от относитель-
ной высоты сжатой зоны для
твердых сталей
личина напряжения в арматуре, соответствующая остаточным де-
формациям 0,002, при упругой ее работе, МПа.
Построение зависимости (3.9) можно проследить по
рис. 3.8. Из формулы (3.7) могут быть найдены ^е1 и
— значения относительной высоты сжатой зоны бето-
на, отвечающие достижению предела пропорционально-
сти 0,8Rs и условного предела текучести Rs, подставляя
вместо os соответствующие значения 0,8/?в и A?s+400:
“ 1 +(0,8/?JaJC,„) (1—<u/l,l) 1 ' <ЗЛ°)
= 1 +[(/?s + 400)/asc,u] * (3.11)
На рис. 3.9 показан участок графика в пределах
0,8Rs—Rs- Заменяя криволинейный график на этом
участке прямолинейным, можно получить зависимость
напряжения os от £ в указанных пределах непосред-
ственно из рис. 3.9, пользуясь граничными значениями
относительной высоты сжатой зоны и Е-д при щ =
.= 0,8/?s и cs=Rs
^ = (0(8 + 0,2-^~)^. (3.12)
Напряжения в арматуре в области, где напряжения
os превышают условный предел текучести Rs, в принци-
пе можно было бы также находить по упрощенной диа-
грамме о~-е, однако это вызывает некоторые затрудне-
66
ния, так как конечная деформация, отвечающая приня-
той расчетной величине временного сопротивления ар-
матуры t]7?s, строго не определена. Поэтому в данном
случае для нахождения напряжений в арматуре прини-
мается линейная зависимость непосредственно между
напряжениями сц и относительной высотой сжатой зоны
бетона Анализ результатов опытов показал, что зави-
симость для напряжения арматуры при os>7?s может
быть принята в виде
= Q — h—— !)j (3.13)
Величина, заключенная в квадратных скобках, в
СНиП 2.03.01—84 выражена как коэффициент условий
работы арматуры
Tje = I — h— 1) ^2-^- -< i). (3.14)
Ранее нами рассмотрено изменение напряжений
в продольной арматуре при ее удлинении. При ее уко-
рочении максимальные напряжения арматуры опреде-
ляются предельными деформациями укорочения бетона
еь и равны сщ (см. п. 3.2.4). Кроме того, эти напряже-
ния, очевидно, не могут быть больше самого сопротив-
ления арматуры сжатию Rsc. На рис. 3.7 и 3.9 показаны
эти граничные значения напряжений сжатию арматуры
в виде горизонтальных линий.
При предварительном напряжении в арматуре к де-
формациям, вызванным удлинением арматуры под ’дей-
ствием внешних нагрузок от момента, когда они равны
нулю, добавляются деформации esp, вызванные пред-
варительным напряжением арматуры. Тогда полная ве-
личина деформации в напрягаемой арматуре будет оп-
ределяться по формуле
£/>„« f СО \
е^т=^гг (--М + е^ (ЗЛ5)
Для упругой области работы арматуры напряжения
в напрягаемой арматуре будут
asc, и / а> \
°* ~ 1—w/1,1 (т“ V + °sp' (3'16)
т. е. напряжения увеличиваются иа размер величины
предварительного напряжения (см. рис. 3.7 и 3.9),
При напряжения в арматуре будут овр.
57
В области неуцругих деформаций напряжения в ар-
матуре определяются прочностными характеристиками
стали в соответствии с диаграммой о—в, не зависящи-
ми от предварительного напряжения. Для мягких ста-
лей— это физический предел текучести /?s, определяю-
щий максимальный уровень напряжений в арматуре.
Для твердых сталей — это предел пропорциональности
0,8/?s, условный предел текучести R3 и временное сопро-
тивление, равное между которыми изменяются
напряжения в арматуре в соответствии с упрощенной
диаграммой о—в. Поэтому для вычисления напряжений
могут быть использованы те же зависимости, что и для
ненапрягаемой арматуры. Однако граничные значения
относительной высоты сжатой зоны, характеризующие
достижение напряжениями в арматуре предела пропор-
циональности lei, а также физического или условного
предела текучести lR, зависят от предварительного на-
пряжения <3Sp, так как они связаны с упругой областью
работы арматурной стали.
Для мягких сталей граничное значение относитель-
ной высоты сжатой зоны, отвечающее достижению фи-
зического предела текучести R3, получается из уравне-
ния (3.16), подставляя os=/?s:
СО
SR “ 1 + —(1 — го/1,1)• (3•17)
Для твердых сталей граничные значения относитель-
ной высоты сжатой зоны бетона, отвечающие достиже-
нию предела пропорциональности 0,8/?s и условного пре-
дела текучести Rs, получаются из уравнения (3.16), под-
ставляя соответственно os=0,8/?s и о.,=/?«-(-400:
Zel “ 1 Ч- [(0,8/?, —(1 — ’ <3.i8)
(О
“ 1 +((/?. +400-a5p)/a5C,„] (1—ш'1,1) 19>
При сжатии бетона максимальные напряжения на-
прягаемой арматуры характеризуются величиной сцс
(см. п. 3.2.4).
На рис. 3.7 и 3.9 показано изменение напряжений
в арматуре в зависимости от относительной высоты сжа-
той зоны при наличии и отсутствии предварительного
напряжения osp, из которых видим, что в упругой об-
ласти работы той и другой арматуры разница в вели-
чине напряжений равна osp. При переходе в неупругую
область разница между напряжениями постепенно
38
уменьшается и приближает-
ся к нулю при достижении в
той и другой арматуре фи-
зического предела текучести
(мягкие стали) или времен-
ного сопротивления (твер-
дые стали). В этом прояв-
ляется так называемое «по-
гашение» предварительного
напряжения.
Граничные значения отно-
сительной высоты сжатой
зоны и gR также отлича-
ются одни от других. При
наличии предварительного
напряжения эти значения
получаются выше, т. е. нап-
рягаемая арматура достига-
ет предела пропорциональ-
ности 0,8 Rs пли предела те-
кучести Rs при более высо-
кой относительной высоте
сжатой зоны
Приведенные здесь зави-
симости, по существу, пред-
ставляют собой условия де-
формативности по нормаль-
ному сечению железобетон-
ного элемента. Ранее были
представлены зависимости,
Рис. 3.10. Расчетная диаграм-
ма «напряжение — деформа-
ции» для твердой арматурной
стали при учете влияния пред-
варительных напряжений
относящиеся к тому случаю,
когда предварительные напряжения osp находятся в об-
ласти упругой работы арматуры. Если же предваритель-
ное напряжение ospi при натяжении арматуры таково,
что оказывается в области неупругой работы арматуры
(рис. 3.10), то при последующем снижении предваритель-
ного напряжения от релаксации и других потерь, а так-
же при передаче напряжения на бетон до <ysp следует
учитывать в расчете дополнительные деформации и нап-
ряжения арматуры Aesp и Aosp, связанные с переходом
предварительных напряжений в неупругую область.
Из рис. 3.10 видно, что полная величина деформаций
предварительно напряженной арматуры es,roe слагается
из трех составляющих
59
's fnt = 8 + 6tp + лEtn (3.20)
где es — деформации арматуры, полученные в результате нагруже-
ния, которые определяются зависимостью
е.р— упругие деформации от предварительного напряжения арма-
туры, определяемые зависимостью esp = ffsp/Es; Де«р— неупругие
деформации от предварительного напряжения арматуры.
Отсюда полные условно упругие напряжения в пред-
варительно напряженной арматуре будут
Os tot = Ks, totЕв вз£з4-взР£а-|-Ае$р/?в, (3.21)
а расчетные сопротивления арматуры
~ £tot Eg-~-(t,002 Eg «• ss E s tgp Eg + Даgp Ets—0,002Eg
aSC, It /co \
= _ (jj——• ly + asp -Mosp —40°. (3.22)
Выразив напряжения через
Osli = (?s + 400—озр—Доар,
получим
®.<г.о I ® \
= 1—Ш/1.1 (3,23)
откуда
01
5р ..= j + • (3.24)
Напряжения Дояр от неупругих предварительных де-
формаций напрягаемой арматуры вычисляются по эм-
пирической зависимости
а so
fosp = 1800 ~ —1200 >0. (3.25)
При этом следует учесть смешение граничной точки,
определяющей начало неупругой области работы ар-
матуры в результате потерь от релаксации арматуры,
до вместо 0,8/?., (см. рис. 3.10). Коэффициент р на-
ходится по эмпирической зависимости
P=0,5(<jsi..//?8) +о,4>О,8. .(3.26)
60
3:2.6. Напряжения в арматуре, распределенной
по высоте сечения
Рассмотрим достаточно часто встречающиеся случая,
когда арматура располагается по высоте сечения
(рис. 3.11,а). Очевидно, напряжения в этой арматуре
будут ниже, чем в арматуре, расположенной у грани
элемента, и нужно уметь определять их величину.
Для определения напряжений в промежуточной по
высоте сечения арматуре принимается линейное распре-
деление деформаций в арматуре между крайними зна-
чениями, соответствующими деформациям арматуры у
граней элемента (рис. 3.11,6). В соответствии с приня-
тым распределением деформаций, деформации арматуры
esl, расположенной на некотором i-м уровне по высоте
сечения, можно записать в виде
еи=еьи(^о<До—1), . (3.27)
где hoi — расстояние от наиболее сжатой грани элемента до центра
тяжести рассматриваемой арматуры.
Учитывая условную высоту сжатой зоны бетона, свя-
занную с прямоугольной эпюрой нормальных напряже-
ний, в формулу (3.27) необходимо ввести поправки так
же, как это было сделано при определении деформаций
в арматуре, расположенной у грани сечения с тем, что-
бы получить совпадение в величине деформаций, пере-
мещая рассматриваемый уровень к растянутой или сла-
бо сжатой грани элемента.
Тогда формула для определения деформаций в арма-
туре, расположенной на некотором йм уровне по высоте
сечения, записывается в виде
_____e»«i
~ 1—«/1,1
<j>hoi
(3.28)
Очевидно, исходя из этой зависимости, напряжения в
промежуточной арматуре будут определяться по форму-
лам (3.7) и (3.12), заменяя в них значения g на |4=
=x/hOi. Йз формулы (3.28) следует, что стержни, распо-
ложенные в сжатой зоне даже вблизи ее границ, могут
попадать в область | eso| >Oso/Ea и, следовательно, их
напряжения должны приниматься равными osc. Напри-
мер, для ненапрягаемых стержней класса А-Ш, распо-
ложенных по середине сечения (hot=0,5) на условной
границе сжатой зоны (/г0, = х) при w=0,76, значение osi
будет
61
Рис. 3.11. Распределение деформаций и напряжений в нормальном
сечении с арматурой, расположенной по высоте сечении
а — схема сечения; б — распределение деформаций; в — распределение на*
пряжений в арматуре; г — распределение напряжений в бетоне
csc, а
°* = 1 — аэ/1,1
Рис. 3.12. Расположение
сжатой зоны для сечения,
несимметричного относитель-
но плоскости действия мо-
мента
/—/ — плоскость действия мо«
мента
500 / 0,76
1—0,76/1,lk I
~ —390 МПа,
что по абсолютной величине превышает osc = /?,c=
= 365 МПа.
В действительности напряжение сжатых стержней,
расположенных вблизи условной границы сжатой зоны,
немного ниже /?«, тем не менее это завышение напряже-
ний для промежуточных стержней незначительно увели-
чивает несущую способность сечений, поскольку в боль-
шей степени на несущую способность влияют напряже-
ния в крайних рядах арматуры. В результате было ре-
шено напряжение арматуры всех рядов определять по
одним и тем же ранее приведенным формулам. Опытные
данные подтверждают правомерность такого подхода,
62
Следует иметь в виду, что для сечений, несимметрич-
ных относительно плоскости действия момента, плос-
кость, перпендикулярная нейтральной оси, не совпадает
с плоскостью действия момента. Значения х и hot, слу-
жащие для определения деформаций и напряжений, из-
меряются как расстояния от крайней наиболее сжатой
точки сечения до нейтральной оси и до осей, проходя-
щих через центры тяжести рассматриваемых стержней
параллельно нейтральной оси (рис. 3.12).
3.2.7. Расчетные уравнения
В общем случае для расчета прочности нормальных
сечений используются три уравнения равновесия внеш-
них и внутренних усилий:
уравнение равновесия моментов внешних и внутрен-
них усилий относительно оси, перпендикулярной плоско-
сти действия моментов, 2Л1=0;
уравнение равновесия проекции внутренних и внеш-
них усилий на нормаль к плоскости сечения 2W=0;
уравнение равновесия моментов внешних и внутрен-
них усилий относительно оси, параллельной плоскости
действия моментов, ZMi=0.
Для сечений, симметричных относительно плоскости
действия момента (рис. 3.13,а, б), достаточно только
первых двух уравнений равновесия. Эти уравнения за-
писываются в виде:
Mlat = ±RtSb±^SiS3f, " (3.29)
RbAb±Z<hiAai±N=0. (3.30)
Здесь Мм представляет собой обобщенное обозначение момен-
та всех внешних сил, поперечных и продольных, действующего
в нормальном сечении.
Уравнение моментов может быть записано относи-
тельно любой оси, перпендикулярной плоскости дейст-
вия моментов. Обычно его записывают относительно оси,
проходящей через центр тяжести наиболее растянутого
или наименее сжатого стержня. Для сечений с армату-
рой, расположенной у нижней и верхней граней элемен-
та (см. рис. 3.13,а), эти уравнения имеют вид: „
Mtat=RbSb+RaeS,-, (3.31)
(з.з2)
Для сечений, несимметричных относительно плоско
сти действия изгибающего момента (при косом изгибе,
косом внецентреином сжатии или косом внецентренном
63
61
Рис. 3.13. Расчетные схемы для нормальных сечений
а — с арматурой, сосредоточенной у краев; б — с арматурой, расположен-
ной по высоте; в — несимметричных относительно плоскости действия мо-
мента; I—1 — плоскость действия момента
растяжении, рис. 3.13,в), дополнительно используется
уравнение моментов относительно осн, параллельной
плоскости действия моментов. Это уравнение записыва-
ется в виде
RbSi,i~^0siSsi\. (3.33)
При косом изгибе уравнение (3.33) выражается в ви-
де условия параллельности плоскости действия момен-
тов внутренних н внешних снл. Прн косом внецентрен-
ном сжатии или растяжении должно соблюдаться усло-
вие, чтобы точки приложения внешней продольной силы,
равнодействующей сжимающих усилий в бетоне н арма-
туре н равнодействующей усилий в растянутой армату-
ре лежали на одной прямой (см. рис. 3.13,в). Во вне-
центренно сжатом элементе, когда вся арматура сжата,
указанное выше условие переходит в условие совпаде-
ния точек приложения внешней продольной силы и рав-
нодействующей внутренних сжимающих усилий.
3.2.8. Расчет нормальных сечений
Решаются две задачи: проверка прочности сечения;
подбор такого поперечного сечения, которое обладает
требуемой прочностью, что в большинстве практических
случаев сводится к подбору необходимой продольной
арматуры, обеспечивающей прочность сечения прн за-
данных размерах сечення н классе бетона.
Первая задача — проверка прочности — состоит в
сопоставлении внешнего усилия, действующего в рас-
сматриваемом сеченни, с внутренним усилием, воспри-
нимаемым сечением в предельном состоянии. Если
внешнее усилие окажется меньше внутреннего предель-
ного усилия, то прочность сечення обеспечена. В против-
ном случае прочность сечення недостаточна. Для про-
верки прочности сечення используется одно из расчет-
ных уравнений равновесия в форме неравенства. Обыч-
но для этого принимается уравнение равновесия момен-
тов относительно осн, перпендикулярной плоскости дей-
Ьд/ствия моментов. Расчетное условие прочности нормаль-
ного сечения, симметричного относительно плоскости
t 3 Заказ № 293 55
действия момента при арматуре, расположенной у грани
элемента (см. рис. 3.13,а), записывается в виде
Mtoi^RbSb+X.cS.. (3.34)
Для вычисления внутреннего предельного момента,
находящегося в правой части неравенства, необходимо
знать высоту сжатой зоны х, характеризующей усилие
в сжатом бетоне, и напряжение Rsc в продольной арма-
туре, расположенной в сжатой зоне, характеризующей
усилие в ней. Напряжение Rsc определяется однозначно
в соответствии с указаниями п. 3.2.4. Высоту сжатой зо-
ны находят, используя уравнение равновесия продоль-
ных усилий
ИьАь-^гИасА'г—a,4,±Af = 0. (3.35)
В это уравнение входят два неизвестных — высота
сжатой зоны бетона х и напряжение os в продольной
арматуре, расположенной в растянутой зоне. Напряже-
ние cts определяется согласно указаниям п. 3.2.5 в зави-
симости от высоты сжатой зоны х (относительной высо-
ты сжатой зоны g=x//i0). Подставив в уравнение (3.35)
выражение для напряжения а., и решая уравнения отно-
сительно х, найдем высоту сжатой зоны бетона х.
Заметим, что в уравнение равновесия (3.35) может
входить внешняя продольная сила N (при внецентрен-
ном сжатии или внецентренном растяжении). Следова-
тельно, высота сжатой зоны и внутренний предельный
момент, воспринимаемый сечением, соответствует неко-
торой заданной продольной силе ЛГ.
Для определения напряжения аа используются раз-
личные выражения в зависимости от области работы
арматуры. Поскольку заранее трудно предугадать, в
какой области будет работать арматура, следует попут«
но вычислить напряжение в ней а, (по найденному зна-
чению |) и сравнить его с граничными значениями на-
пряжений (физическим пределом текучести Rs для мяг-
ких сталей, пределом пропорциональности 0,8Rs и услов-
ным пределом текучести Rs для твердых сталей), чтобы
убедиться, что выражение для вычисления напряжения
в арматуре выбрано правильно. В противном случае
следует принять другую зависимость для as. Вычисления
напряжений щ в продольной арматуре можно избежать,
если сравнивать непосредственно полученную относи-
тельную высоту сжатой зоны с граничными значениями ;
относительной высоты сжатой зоны |д и соответсту
66
вующими достижению продольной арматурой физиче«
ского и условного предела текучести 7?s или предела
пропорциональности 0,8/?.,.
Для мягких сталей при напряжение as в арма-
туре следует принимать равным физическому пределу
текучести Rs, а при использовать зависимость
(3.7) или (3.16). Для твердых сталей при следует
использовать зависимость (3.13); при — за-
висимость (3.9) или (3.12); при — зависимость
/3.7) или (3.16).
При расположении арматуры по высоте сечения (см.
рис. 3.13,6) расчетное условие записывается в виде
Mto^RbSb+Za.iS.t, (3.36)
Для определения внутреннего предельного момента,
находящегося в правой части неравенства, необходимо
найти высоту сжатой зоны х и напряжения a3i на каж-
дом уровне расположения стержней. Так же как и при
арматуре, сосредоточенной у граней элемента, исполь-
зуем второе уравнение равновесия
/?i>-4i:fcS<7JI71Ji:fcW = 0. (3.37)
В это уравнение в качестве неизвестных входят высота
сжатой зоны х и напряжения на каждом уровне распо-
ложения арматурных стержней o,s. Используя выраже-
ния для напряжений ost, приведенные ранее, и, подстав-
ляя их в уравнение (3.37), из решения этого уравнения
найдем х. Зная х, нетрудно вычислить и значения на-
пряжений о si, а. затем внутренний предельный момент,
воспринимаемый нормальным сечением. Для сечений,
несимметричных относительно действия момента (см.
рис. 3.13,в), арматура располагается на разных уровнях
относительно наиболее сжатых и наиболее растянутых
точек сечения, измеряемых по перпендикуляру к нейт-
ральной оси, поэтому для расчета также используется
условие (3.36).
В условии (3.36) удобно рассматривать проекцию
моментов внешних и внутренних сил на плоскость, пер-
пендикулярную нейтральной оси. В этом случае сжатая
зона имеет несимметричную форму и нейтральная ось
не перпендикулярна плоскости действия момента, поэто-
му ее положение определяется не одним параметром —
высотой х, измеренной по перпендикуляру от крайней
сжатой точки к нейтральной оси, но также и углом на-
клона ее р относительно плоскости действия моментов.
3*
67
Для вычисления этих параметров сжатой зоны исполь-
зуются два уравнения равновесия — уравнение равнове-
сия продольных сил (3.37) и уравнение равновесия мо-
ментов относительно оси, параллельной плоскости дей-
ствия моментов (или другой оси, не перпендикулярной
плоскости действия моментов, поскольку эта ось уже
использовалась в расчетном условии)
RbSbi — Sa, iS.ii. (3.38)
Последнее уравнение заставляет принимать такое
положение нейтральной оси, чтобы при косом изгибе
плоскость действия внутреннего момента была парал-
лельна плоскости действия внешнего момента, а при ко-
сом внецентренном сжатии и растяжении — чтобы точ-
ки приложения внешней продольной силы и равнодейст-
вующих сжимающих и растягивающих усилий в сечеиии
лежали на одной прямой. Для напряжений ast исполь-
зуем зависимости, приведенные в п. 3.2.5. Далее из
совместного решения уравнений (3.37) и (3.38) находим
параметры х и р, определяющие положение сжатой зо-
ны, затем напряжения и, наконец, внутренний пре-
дельный момент, воспринимаемый сечением.
Решение второй задачи — подбор поперечного сече-
ния (подбор продольной арматуры) производится из
совместного решения уравнений равновесия, приведен-
ных в п. 3.2.7, по заданным значениям усилий (изгибаю-
щего момента М и продольной силы N). Напряжения в
продольной арматуре также выражаются зависимостя-
ми, приведенными выше.
Расчет по представленной общей расчетной методике
получается достаточно сложным и может быть реализо-
ван последовательными приближениями или на ЭВМ,
поэтому для практических расчетов используются более
упрощенные приемы.
3.2.9. Изгибаемые элементы
Проектирование изгибаемых элементов, как правило,
осуществляется таким образом, чтобы продольная арма-
тура в растянутой зоне использовалась полностью, т. е.
работала с напряжениями, равными физическому преде-
лу текучести (для мягких сталей) или равными и боль-
шими условному пределу текучести (для твердых ста-
лей). В этих случаях изгибаемые элементы можно рас-
считывать из уравнений равновесия, принимая напряже-.
68
ния в продольной арматуре равными физическому или
условному пределу текучести /?s, а для твердых ста-
лей— учитывая повышение напряжений выше условно-
го предела текучести с помощью коэффициента условия
работы ys6 (см. л. 3.2.5), умножаемого на Rs.
Тогда прочность сечения проверяется из условия
MgsfibSb+fitcSs, (3.39)
а высота сжатой зоны определяется из уравнения рав-
новесия
RbAb=ReA,—RscA's. (3.40)
С увеличением количества продольной растянутой
арматуры высота сжатой зоны бетона возрастает и на-
ступает такой момент, когда она достигает граничного
значения |н, выше которого напряжения в растянутой
арматуре будут ниже предела текучести /?а (см. п. 3.2.5).
Это граничное значение определяет так называемую
границу переармирования сечения, т. е. такое количество
арматуры, при превышении которого напряжения в ар-
матуре будут ниже предела текучести. При дальнейшем
возрастании количества продольной арматуры за грани-
цу переармирования происходит последующее увеличе-
ние высоты сжатой зоны, однако оно значительно сла-
бее, чем до этой границы. Одновременно с увеличением
высоты сжатой зоны возрастает и несущая способность
сечения, т. е. предельный момент, воспринимаемый се-
чением;
Mu=RbSb+RtcSs, (3.41)
причем в той же пропорции, что и высота сжатой зоны,
если не учитывать арматуру в сжатой зоне бетона.
Таким образом, за границей переармирования (при
|>|н) увеличение несущей способности сечения сущест-
венно замедляется. Прирост несущей способности за
границей переармирования, как правило, тем больше,
чем меньше сама величина gR, т. е. в тех случаях, когда
применяются либо высокопрочный бетон, либо высоко-
прочная арматура, либо их сочетание. Кроме того, осо-
бенно значителен прирост несущей способности в эле-
ментах с арматурой из твердых сталей. Это связано с
тем, что с уменьшением деформаций в области переар-
мирования такой арматуры напряжения в ней уменьша-
ются не так быстро, как напряжения в арматуре из мяг-
ких сталей (см. рис. 3.4).
69
Рис. 3.14. Зависимость относитель-
ной величины предельного момен-
та от процента армирования
Рис. 3.15. Расположение усилий в
поперечном прямоугольном сече-
нии изгибаемого элемента
Для стали классов A-I, А-П, А-Ш при сравнительно
невысокой прочности бетона несущая способность пере-
армированных сечений возрастает незначительно, что
видно из рис. 3.14. Отсюда можно установить правило,
упрощающее расчет—за границей переармирования не-
сущая способность сечения принимается постоянной и
равной соответствующей величине на границе переарми-
рования. Другими словами, если относительная высота
сжатой зоны g получается больше gR, то в расчетное
условие (3.39) следует вводить высоту сжатой зоны,
равную gR.
В случае необходимости, особенно для предваритель-
но напряженных элементов с высокопрочной арматурой
и бетоном, можно учесть повышение несущей способно-
сти за границей переармирования, применяя более точ-
ный расчет, рассмотренный ранее.
Повышение несущей способности за границей переч
70
армирования можно также учесть более простым спосо-
бом, определяя высоту сжатой зоны из уравнения
RbAb = a,A,—R,cA't, (3.42)
где напряжения в продольной арматуре <js находятся по
формуле
________0,2 + £/?______
°* = 0,2 + I; + 0,35 (^PIRS) (1 - €/g/?)(ЗЛЗ)
3.2.10. Практические методы расчета
изгибаемых элементов
Элементы прямоугольного сечения (рис. 3.15). Про-’
верка прочности. При заданных размерах сечения, ко-
личестве и расположении арматуры прочность сечения
проверяется из условия
М Rbbx (Ло—0,5х) +R,cA', (h0—a'), (3.44)
где высота сжатой зоны х определяется из уравнения
равновесия по формуле
x=(RsAa-R,cA's)/(Rbb). (3.45)'
Если это значение х оказывается больше граничного
значения %nhOt т. е. если сечение переармировано, то в
условии (3.44) используется значение х=1нЬ0. Как было
показано ранее, это указание немного упрощает расчет
в запас прочности. Если для переармированного сечения
не удовлетворяется условие (3.44), то значение х мож-
но увеличить, определив его из уравнения равновесия
(3.35).
Определим это значение х для изгибаемого элемента
прямоугольного сечения с ненапрягаемой арматурой из
мягких сталей, используя формулу (3.7):
г asc, a I hb<& \
Rb bx + RscAs — j ~ — ly As -0.
Вводя обозначения
RsAa , Rsc As . aSC,u/Rs
а*-----Rb<>hb ’ “ Rbbtib ’ “ l-co/l.l’
получим
Г а'+фа, , Л/а'+фаЛ2
Л-Л, I----2--+ у ----2--/
(3.46)
71
Если применяется арматура из твердых сталей, то
при определении из уравнения равновесия (3.35) g=
=x]h0 следует использовать формулу (3.12) с заменой
0,8 на р и 0,2 на 1—р
откуда
f 1—₽ \ ,
X + kel—^R kel)
Л» = 1+аИ1——5/?)
(3.47)
Это значение § должно удовлетворять условию
£я<£<Е<!|.
Если значение х, подставляемое в условие
прочности (3.44), определяется с использованием (3.7),
Rb bx + Rsc^s— 1 — ш/i (] (ч—— 0.
откуда
csp *4 j
a^“ Rb bh„ •
(3.48)
+
На рис. 3.16 показана несущая способность прямо-
угольного сечения с одиночной арматурой из мягких
сталей класса А-Ш и из твердой стали класса A-V в за-
висимости от коэффициента армирования а,=
=7?.As/(^b(’^o). Из него видно, что при мягких сталях
несущая способность сечения в области переармирова-
ния весьма мало возрастает с увеличением армирова-
ния, поэтому прибегать к вычислению по точной, но
сложной формуле (3.46) имеет смысл лишь при значи-
тельном превышении армирования его граничного зна-
чения. При твердых сталях несущая способность в обла-
сти переармирования возрастает сильнее и прибегать к
вычислению х по точным, но сложным формулам (3.47)]|
и (3.48) более оправданно.
72
a)
Рис. 3.16. Несущая способность прямоугольного сечения с одиноч-
ной арматурой
о —при арматуре класса А-Ш, бетоне класса В20 и asp—0; б — при арма-
туре класса А-V, бетоне класса ВЗО и аар—680 МПа (пунктирная кривая
соответствует графику при полном использовании прочности арматуры
при ?,«-!)
При некоторых малых значениях х несущая способ-
ность элемента, найденная из условия (3.44), может
оказаться меньше несущей способности, определенной
без учета сжатой арматуры. Из сопоставления выраже-
ний несущей способности, полученных с учетом и без
учета сжатой арматуры, видно, что это будет иметь мес-
то, если значение х, вычисленное по формуле (3.45) с
учетом половины сжатой арматуры, окажется меньше
а'. В этом случае расчет следует вести без учета сжатой
арматуры, поскольку, очевидно, что сжатая арматура
не может снизить несущую способность.
Следует отметить, что это уточнение расчета, как пра-
вило, незначительно увеличивает несущую способность
и прибегать к нему рекомендуется, если условие проч-
ности (3.44) при учете всей сжатой арматуры не выпол-
няется, а значение а' относительно велико (а'^0,2/го).
При 1<ZIr и при применении растянутой арматуры
73
из твердых сталей ее расчетное сопротивление принима-
ется с учетом коэффициента условий работы yse (см.
п. 3.2.5).
Yse=n-(n-l)(2^B-l)<n. (3.49)
Видим, что равенство у«б='П будет иметь место при
Щн=0,5, т. е. при д<0,5£н, вычисленное по формуле
(3.49), значение yS6 будет всегда превышать т), и, следо-
вательно, в этом случае можно, не пользуясь формулой
(3.49), всегда принимать yS6=11-
Значение l=x/h0, входящее в формулу (3.49), опре-
деляется по формуле (3.45), в которой расчетное сопро-
тивление R8 следует принимать с учетом уз8 и, значит,
коэффициент ys6 при проверке прочности сечения, строго
говоря, следовало бы определять из уравнения
П— (П—l)[2(a»Y«e—а',)Цп— 1]=у«в>
откуда
21-1 +2 h-\)asitR
Однако для прямоугольных сечений.при отсутствии
или небольшом количестве сжатой арматуры использо-
вание формулы (3.49), в которой g вычислено без учета
yS6, дает погрешность «не в запас», не превышающую
1—2 %. Как будет показано далее, для сечеиий с разви-
тыми сжатыми свесами (полкой) эта погрешность может
существенно возрасти.
Подбор арматуры. Арматуру рекомендуется подби-
рать так, чтобы избежать неэкономичного переармиро-
ванного сечения. Для этого определяют необходимое ко-
личество сжатой ненапрягаемой арматуры, соответст-
вующее границе переармирования
д' (3.50)
* Rsciht—a') • ' ’
где Мьп = 5Я(1—|я/2)/?б6/12о — момент усилий в бетоне сжатой зоны
высотой х=5нЛ0 относительно центра тяжести растянутой арма-
туры.
При наличии в сжатой зоне напрягаемой арматуры
A'sp в числитель формулы (3.50) добавляется выраже-
ние — a'spA'sp (h0—а’р).
Если А', получается равным нулю или отрицатель-
ным, это означает, что даже при отсутствии сжатой ар-
матуры сечение не будет переармированным. В этом
74
случае арматуру в сжатой зоне можно не устанавли-
вать.
Если принятая площадь сжатой арматуры близка к
значению A's, определенному по формуле (3.50), то не-
обходимую площадь растянутой арматуры можно нахо-
дить из уравнения равновесия (3.40), принимая х=
т. е.
Д,= (^ЛьЬЛо+Л<(:Д',)//?,. (3.51)
Если принятая площадь сжатой арматуры сущест-
венно превышает значение А'а, вычисленное по формуле
(3.50) (например, при нулевом или отрицательном зна-
чении А’а), и конструктивные требования, предъявляе-
мые к сжатой арматуре, выполнены, то необходимую
площадь сечения растянутой арматуры можно умень-
шить по сравнению с вычисленной по формуле (3.51),
определив ее следующим образом. Вычисляют высоту
сжатой зоны бетона из уравнения равновесия моментов
=Rbbx (Ло—0,5х) -)-R,сД 'в (Ло—&'),
(3.52)
М — Rsc A’s (ha — a’)
OjRlTb
(3.53)
Из уравнения равновесия (3.40)' вычисляют значение
A,= (Rbbx+RScA',)IR.. (3.54)
При этом коэффициент ys6, вводимый на расчетное
сопротивление Ra для арматуры из твердых сталей, сле-
дует определять только по формуле (3.49), используя
(3.53), поскольку здесь £—x/hQ соответствует предель-
ному равновесию.
Подбор арматуры по формулам (3.50) и (3.51) не
всегда может привести к минимальной сумме растяну-
той и сжатой арматуры. Продифференцировав выраже-
ние для суммы Лв-4—<4% по х, где А'а найдено из уравне-
ния (3.52), а Аа из (3.54), и приравняв полученную про-
изводную нулю, можно установить, что при RS=R№ ми-
нимальная сумма 4S-|-4'S соответствует относительной
высоте сжатой зоны g= (\+a'lh0)/2, что приблизитель-
но равно 0,55. Таким образом, во всех случаях, когда
|я>0,55 (что соответствует бетону класса ВЗО и менее
и арматуре классов A-I—А-Ш), минимальную сумму
растянутой и сжатой арматуры можно определить, ис-
75
Рис. 3.17. Форма сжатой зоны в поперечном тавровом сечении
а — при расположении границы сжатой зоны в полке; б — то же, в ребре
пользуя формулы (3.50) и
т. е.
(3.51), заменив на 0,55,
, M-O.Wbbhl
“ Rsc(ht — a') ’
„ 0,55/МЛ. ,
^5 “ £>_ 4"^^*
Элементы тавровых и двутавровых сечений (рис.
3.17). Проверка прочности. При расчете сечений с пол-
кой в сжатой зоне прежде всего устанавливаем, где на-
ходится сжатая зона — только в пределах сжатой полки
или захватывает и ребро. Если соблюдается условие
—RscAfa^zRfjb'fh'f, (3.5a)
то это означает, что сжимающее усилие может быть
полностью воспринято полкой, и сжатая зона распола-
гается в пределах полки. В этом случае расчет ведется
как для прямоугольного сечеиия шириной b'f. Если усло-
вие (3.55) не удовлетворяется, то расчет производится
при границе сжатой зоны, проходящей в ребре. В этом
случае высоту сжатой зоны определяем из уравнения
равновесия
Rbbx+Rb(b't—b)h'/—RsAt+R,cA', — O; (3.56)
Rs Аг - Rsc A'sc — Rb{b'j — b) h'f
x = ~ Rbb
а прочность проверяем из условия
Л1</?6Ьх(Ло-О,5х)+/г(,(6'/—^)й'/(йо-0(5Л,/)4-
+/?.0Л'.(Л0—а'). (3 57)'
Если х>£вйо, сечение переармировано и в условии
,(3.57) используется значение x=IrHq.
76
Для элементов с арматурой растянутой зоны из твер-
дых сталей при необходимости можно учесть более вы-
сокую несущую способность переармированных сечений,
определяя значение х из условия равновесия (3.35) с ис-
пользованием формулы (3.12)
Rb bx + Rt, (bj— b) hj + Rsc&s —^0,8 -ф 0,2 Rs = 0>
откуда
x as (o,8
0,2 X
где
(*/—• b) h'f
af ~ __ t
a,, a't — то же, что и для прямоугольных сечений.
Если то значение х, подставляемое в условие
прочности (3.57), определяется с использованием фор-
мулы (3.7)
Rb bx 4- Rb (b f—b)hf-\-RscAs—'
откуда
а' + а/ + фат — aSp
1 /7 as + а/ + Ф«$ — asp \1 2 |
+ |/ ---------§----------) + “j>
(3.59)
где ’ф — то же, что и для прямоугольных сёчений.
При арматуре из мягких сталей учитывать аналогич-
ным образом более высокую несущую способность пере-
армированных сечений не имеет смысла, поскольку при
наличии сжатой полки несущая способность практиче-
ски не изменится.
Подбор арматуры осуществляется аналогично под-
бору арматуры прямоугольного сечения. Необходимое
77
количество сжатой арматуры принимается соответст-
вующим границе переармирования
, М — М>, — Rb(b'f — b) h'f(ht—0,5h'f)
A< -------:—/е;ж-аТ----------------M
где = t,R/2)Ri>bh2a — момент усилия сжатого бетона, рас-
положенного в ребре при граничной высоте сжатой зоны х=5дЛ0,
относительно центра тяжести растянутой арматуры.
Необходимое количество растянутой арматуры (при
заданной сжатой арматуре) определяется следующим
образом. Проверяем условие
М—RtcA'ffho—a'y^Rnb'th'flhr- 0,5h',). (361)
Если это условие удовлетворяется, сжимающее уси-
лие может быть полностью воспринято полкой, и подбор
растянутой арматуры производится как для прямоуголь-
ного сечения шириной, равной ширине сжатой полки
b'f. Если это условие не удовлетворяется, растянутая ар-
матура подбирается как для таврового сечения.
Определяем высоту сжатой зоны из уравнения рав-
новесия моментов:
М = Rbbx(ho—0,5x)+Rb(b'f—b)h'f (h„—0,5h'f) +R,CA’, (h0—a');
/, M — Ri>(b' —b)h'(h„ — 0,5h'f ) —RscA'^—a'j
ft2_-------------L------ .
(3.62)
Из уравнения равновесия (3.56) находим значение As
A,=[Rbbx+Rb(bfi-b)h'f+R,A’.]/R,. (3.63)'
При этом если x>|r/i0, то следует увеличить количест-
во сжатой арматуры в соответствии с формулой (3.60).
Элементы, работающие на косой изгиб. Под расче-
том на косой изгиб будем здесь понимать расчет нор-
мальных сечений, несимметричных относительно плоско-
сти действия внешнего изгибающего момента. Это отно-
сится как к симметричным сечениям с осью симметрии,
не совпадающей с плоскостью действия момента, так и
к несимметричным сечениям независимо от ориентации
внешнего момента. Таким образом, расчет на косой из-
гиб рассматривается как общий случай расчета прочно-
сти нормальных сечений изгибаемых элементов и поэто-
му требует использования всех трех уравнений равнове-
сия внешних и внутренних усилий (см. п. 3.2.7).
Как правило, в каждом сечении можно выявить ка-
78
кую-либо характерную ось (например, ось симметрии
или ось ребра Г-образного сечения и т. п.), вследствие
чего удобнее всего за оси, относительно которых рас-
сматриваются моменты, входящие в уравнения равнове-
сия, принимать эту характерную ось и ось, ей перпенди-
кулярную. Проведем через центр тяжести растянутой
арматуры оси х и у соответственно параллельно и пер-
пендикулярно указанной характерной оси. Тогда урав-
нения равновесия будут:
Мх=Мхи- (3.64)
Л^Л^и; (3.65)
/?Ь<4(, = /?3Ав—RtcA't, (3.66)
где Мх, Мхи — составляющие внешнего и внутреннего предельного
момента с плоскостью действия по оси х; Му, Муи — то же, по
оси у.
Прочность сечения будет обеспечена, если правая
часть любого из уравнений (3.64) — (3.66) превышает
его левую часть, при этом положение границы сжатой
зоны определяется из двух других уравнений. Удобнее
всего прочность сечения проверять из уравнения (3.64),
а положение границы сжатой зоны находить из уравне-
ний (3.65) и (3.66).
Как известно, при косом изгибе возможно множество
различных форм сжатой зоны, каждая из которых тре-
бует различных формул для определения Аь, Мхи и Муи
и которая до расчета не может быть известна (рис.
3.18). Поэтому сложность выявления формы сжатой
зоны исходя из двух уравнений равновесия обусловила
создание множества различных аппроксимированных
способов расчета на косой изгиб, при которых не требу-
ется определение положения границы сжатой зоны. Раз-
работаны и другие способы расчета, основанные на точ-
ном учете уравнений равновесия с использованием мно-
гочисленных таблиц или номограмм.
Вышеуказанные способы расчета на косой изгиб об-
ладают теми или иными недостатками. Точные способы
расчета сопровождаются большим количеством таблиц
или графиков, по Которым находятся расчетные величи-
ны в общем случае в зависимости от трех или четырех
параметров, что заставляет производить многократную
интерполяцию. Аппроксимированные способы расчета,
не определяя положения границы сжатой зоны, не по-
зволяют выявить соответствующую нормам границу пе-
реармирования.
79
Рис. 3.18. Формы сжатой зоны в таз-
ровом сечении при косом изгибе
Z—6 _. положения границы сжатой зоны
Рис. 3.19. Расчетная форма сжатой
зоны в поперечном сечении при ко-
сом изгибе
а •— таврового сечения; б — прямоуголь*
ного сечения; 1 — плоскость действия из’
гибэющего момента; 2 — центр тяжести
растянутой арматуры
Предлагаемый способ расчета на косой изгиб в зна-
чительной степени свободен от этих недостатков. Он
основан на том, что из всех возможных положений гра-
ницы сжатой зоны (см. рис. 3,18) рассматривается толь-
ко третье, при котором граница сжатой зоны пересекает
верхнюю грань полки и боковую грань ребра. Именно
при таком положении больше всего уменьшается плечо
внутренней пары сил по сравнению с плоским изгибом.
Уравнение (3.65) для формы сжатой зоны, приведен-
ной на рис. 3.19, имеет вид
Му = Муи = (Ьо <//3)4-Soo, vH-/?»eSs, у, (3.671
где Дие»—часть сжатой зоны бетона, приходящаяся на ребро н
80
равная Ди,ь —хг//2; Sot>, v — статический момент сечення наиболее
сжатого свеса полки относительно оси х; Si, у — статический момент
относительно оси х площади арматуры Д'».
После подстановки в уравнение (3.67) значения у—
=2Aweb/x определим размер сжатой зоны по наиболее
сжатой боковой стороне сечения
2 Rt>Aweb
х~ 3 Rb ($. Aweb + Sw>y) + RiCSsy-My-
Значение Aweb находим по формуле
ДмвЬ^Дь—Д<Л!»
где Аъ — площадь сжатой зоны бетона, определяемая из уравнения
(3.66); Аоа — площадь сечения наиболее сжатого свеса полки.
Зная размер сжатой зоны х, вычислим статический
момент сжатой зоны относительно оси у
Sb^S^^+A^btha-xli), (3.69)
где So», х — статический момент площади Aon относительно оси у.
Условие прочности будет
Мх^Мхи=/?ь56х+/?»с5,х. (3.70)
Следовательно, для прямоугольных сечений значения
$ov,x, SOv,v и надо принимать равными нулю.
Сравним значения Sbx, вычисленные по формуле
(3.69), со значениями 5ьж, соответствующими другим
формам сжатой зоны. Очевидно, что при положении
границы сжатой зоны 2 (см. рис. 3.18) расчет можно
вести по вышеприведенным формулам как для прямо-
угольного сечения, принимая b—b'f.
При положении границы сжатой зоны 1 и при Аь^.
sgrXo,, расчет также можно вести как для прямоуголь-
ного сечения, поскольку величина 5&ж изменится незна-
чительно. Действительно, при Аь=АОъ, вертикальном
положении границы сжатой зоны и при отсутствии сжа-
той арматуры значение х, вычисленное по формуле
(3.68) при My—RbAb(bQ+bovl2), будет x—(3/4)h'f и,
следовательно, 5ьж=Лб(Л0—4/9h'f), что превышает точ-
ное значение Sbx~Ab(h0—0,5h'f) на—........— %,
1 —0 ,bhf) Л,
Это составит, например, при /i'///io=O,3, всего 2 %. При
Ab<ZAOv и наклонном положении границы сжатой зоны
расхождение будет еще меньше. Таким образом, при
Ab<.Aov (что соответствует положениям границы сжа-
81
той зоны 1 й 2) расчет можно выполнять как для пря-
моугольного сечення шириной Ь'}.
В то же время граница сжатой зоны может занимать
положение 1 и при Ab>AOv. В этом случае расчет по
вышеприведенным формулам как для таврового сечения
будет приводить к незначительному запасу, не превы-
шающему 5—6 %. При этом, чем меньше значение х,
вычисленное по формуле (3.68), тем больше запас, по-
этому прн x^0,2h'} целесообразно рассчитывать также,
как для прямоугольного сечения шириной b'f.
При у> (t>A-bov) (где bOv — ширина наименее сжато-
го свеса) граница сжатой зоны может занимать положе-
ния 4—6. Поскольку величина Sb при таких формах
сжатой зоны довольно близка значению статического
момента Sb равновеликой сжатой зоны при границе, па-
раллельной оси у, то целесообразно при достаточно
больших значениях у вести расчет по формулам плоского
изгиба (т. е. прн границе сжатой зоны, параллельной
оси у). Границей перехода от расчета по формулам
(3.68) и (3.69) к расчету по формулам плоского изгиба
может быть значение х, вычисленное по формуле (3.68),
при котором Sbx—Sb.
Для прямоугольных сечений имеем:
—х/3); Sb=Ab(ho—Аь12Ь),
Отсюда x = l,5Ab/b, т. е. если х^Л,5Аь/Ь, то рассчиты-
вать можно по формулам плоского изгиба.
Расхождение между Sbx, вычисленным по формуле
(3.69) при х—1,5Аь/Ь, и точным значением Sbx=
=Ab(hv— 0,518Ль/£»), соответствующим трапециевидной
форме равновеликой сжатой зоны при действии такого
же 'момента Му, для непереармированных сечений не
превышает 1,6 %. При других значениях х расхождение
будет еще меньше.
Для сечений с полкой в сжатой зоне значение х, по-
лученное из уравнения Sbx=Sb, выражается весьма
сложно, поэтому для простоты расчета условием пере-
хода на расчет по формулам плоского изгиба прини-
мают
1,5 Лweb
Ь + bav
(3.71)
которое является общим как для прямоугольных сече-
ний, так и для сечений с полкой в сжатой зоне. При
этом расхождения между точными и приближенными
82
Рис. 3.20. К определе-
нию относительной высо-
ты сжатой зоны элемен-
та при косом изгибе
значениями Sbx будут еще меньшими, чем для прямо-
угольных сечений.
Для выявления границы переармироваиия косоизги-
баемого элемента определим относительную высоту сжа-
той зоны бетона, измеренную по нормали к границе сжа-
той зоны B=Xi//ioi. Из рис. 3.20 видно, что Х[ и /toi
представляют собой высоты подобных прямоугольных
треугольников abc и dbe, опущенные на свои гипотенузы.
Следовательно, применяя вышеприведенные обозначе-
ния, имеем
„ Xi Ьс х + ®
С jjgg -И я»Х HSS ...
Л»> be (М- b6v) tg0
(3.72)
Если выполняется условие (см. п. 3.2.5), то
сечение переармировано и в уравнении (3.66) следует
использовать вместо расчетного сопротивления Rs на-
пряжение cjs, определяемое по формулам (3.12) или
(3.16). Расчет в этом случае выполняется последова-
тельными приближениями.
Проверку условия £>£я следует производить в об-
щем случае для каждого растянутого стержня отдельно,
так как при косом изгибе эти стержни могут находить-
ся на весьма различных расстояниях от сжатой зоны.
Однако при арматуре из твердых сталей напряжения в
стержнях, меньшие Rs, меняются не очень резко с изме-
нением расстояния стержней от сжатой зоны и поэтому
для простоты расчета ограничиваются проверкой усло-
83
вия для центра тяжести сечения всех стержней.
Если это условие выполняется, то можно ограничиться
одним повторным расчетом, принимая в уравнение (3.66)
вместо Rs напряжение, равное среднему арифметическо-
му из Ra и напряжения щ, определенного по формуле
(3.12) либо (3.16) при первоначально вычисленном
Если стержни из мягких сталей располагаются на
весьма различных расстояниях от границы сжатой зоны,
условие следует проверять для стержней, наибо-
лее близких к сжатой зоне, принимая в формуле (3.72)
за h0 и Ьо расстояния от рассматриваемых стержней до
наиболее сжатых сторон сечения. При этом также мож-
но ограничиться одним повторным расчетом, принимая
для соответстаующих стержней напряжения, равные
средним арифметическим из Rs и напряжений <т8>. опре-
деленным по формуле (3.7). В этом случае следует
скорректировать расположение осей х и у, проводя их
через точку приложения равнодействующих усилий в
растянутых стержнях.
При расчете косоизгибаемых элементов весьма часто
’бывает необходимо определить предельный изгибающий
момент с плоскостью действия, не совпадающей с глав-
ной осью сечения. В этом случае воспользоваться фор-
мулой (3.68) неудобно, поскольку неизвестна состав-
ляющая Му предельного изгибающего момента. Тогда
значение х находится из условия параллельности плос-
костей действия внешних и внутренних моментов. Это
условие можно представить в виде
Мх Мхи Rb — х/3)] + RscSsx
Aly A1yU л 'Kb с 4. Л к( b — — ‘-’ю, у т nweb з х ) ♦ + Rsc Ssy
откуда
х =• — < + 5 + (3.73)
где
•Sop,у Р Sov
I-Е5 ----------------------------------------- +’
+ *octg₽-A.]; (3.74)
ctg ₽=Л1Х/М1,.
Величиной RsrJRb (Ssy ctg p—Ssx) можно пренебречь,
если площадь сжатой арматуры значительно меньше
площади растянутой арматуры.
84
Рис. 3.21. Случаи расположения растянутой арматуры при расчете
иа косой изгиб
а — растянутые стержни лежат на оси х; б — растянутые стержни распо-
ложены вдоль оси у
Формулу (3.74) вместо (3.68) следует применять в
том случае, если все растянутые стержни лежат на оси к
(рис. 3.21,а). В таких сечениях применение формулы
(3.68) может неоправданно завысить значение Мхи, если
£, полученное с использованием формулы (3.68), оказы-
вается меньше %R, а £, полученное с использованием
формулы (3.74),— больше и поэтому следует резко
снижать учитываемое в расчете напряжение арматуры
(рис. 3.22).
При растянутых стержнях, расположенных вдоль оси
у (см. рис. 3.21,6), этого происходить не может, по-
скольку с увеличением угла наклона плоскости дейст-
вия изгибающего момента fj точка приложения равно-
действующей усилий в растянутой арматуре перемеша-
ется вдоль оси у и значение Муи, несмотря на уменьше-
ние Оз, заметно не снижается (рис. 3.22,6) из-за увели-
чения плеча внутренней пары сил.
Подбор арматуры. Определим необходимое количе-
ство растянутой арматуры из условия (3.70), принимая
2Их=Л4жи. Преобразуем условие (3.70), подставив в него
формулы (3.69), (3.68)
44х -R <с S? х Rb х Rb X
, f 2 ^web \
|X ““ 9 y •
\ /у I
85
Рис. 3.22. Кривые взаимодействия косоизгибаемых элементов
а — для сечений по рис. 3.21, а условие прочности удовлетворяется при рас*
чете с использованием формулы (3.68) и не удовлетворяется при расчете
с использованием формулы (3.74); б —для сечений по рис. 3.21,6 [условие
прочности удовлетворяется прн расчетах с использованием формул (3.68) и
(3.74)]; / — точка с координатами, равными составляющим внешнего момен-
та Мх и Afy; 2 —точка, соответствующая границе переармирования (£вЪд)»
МХЦ| и — предельные моменты в плоскости оси х, вычисленные с ис«
пользованием формул соответственно (3.68) и (3.74)
Обозначив:
^web Мх — Rsc^sx— RbSevlX
/И у RSC $Sy Rb Sgv, у .
ат>
имеем .
/ 2
= g- as_amJ- (3.75)
Решив уравнение (3.75), по значению ag из уравне-
ния (3.66) находят площадь растянутой арматуры
Л.=[ (<х а Ь о h о -f- Л ои) ь 7?»сА' t) ]/R в •
Используя тригонометрические функции, действи-
тельный корень кубического уравнения (3.75) можно
выразить в виде
.— it + ф
as = 1,5 — 2 у р cos —tj—,
ГДв р « 1,5 (1,5 — СЬтх—
1,5 [1,5(1 amyl + Otznxl
Ф = arccos---------------7-=-------------
P У P
86
Однако вычисление аа связано с проверками условий
Ab>AOv, а также (3.71) и £<£я, которые можно произ-
вести, зная площадь растянутой арматуры Аа. Чтобы
упростить подбор арматуры при ручном счете, рекомен-
дуется использовать график, приведенный на рис. 3.23,
На нем исходя из формулы (3.75) построены кривые за-
висимости amx=f(amv) для различных значений
а»= —RiAae—RmA' а) / (Rt>b<iho)
в зависимости от значений:
(Afx-RbSvVfX^RscSsx} /
(Alp—Rb^on,
Условия (3.71) и £<J;r даны в виде ограничивающих
кривых. Так, если точка с координатами атл и ату на-
ходится слева от кривой, соответствующей параметру
(&0v+b)/b0, то выполняется условие (3.71) и расчет ве-
дут по формулам плоского изгиба. Если эта точка на-
ходится справа от кривой, соответствующей параметру
b'ovlbe, то условие |<|я может не выполниться. Во из-
бежание этого следует повышать класс бетона, устанав-
ливать (увеличивать) сжатую арматуру или увеличить
размеры сечения. Кривые, соответствующие параметру
b'ovlb^, построены на графике исходя из равенства £, =
= Вя=0,6О4, которое используется для ненапряженной
арматуры класса A-III и бетона класса В25 при уь2=
=0,9. Для бетона и арматуры большей прочности £я<
<0,604, поэтому условие £<£я следует проверять после
подбора арматуры и определения значения х. Значение
gt вычислялось по формуле (3.72) с заменой на bQ на
boi=O,5t>o.
Таким образом, кривые с параметрами b'0v/b0 при-
ближенно оценивают условие ^<^я, и если наименее
растянутый стержень отстоит от боковой грани на рас-
стоянии, меньшем, чем О,5Ьо, а точка с координатами
dmx и располагается вблизи кривой с параметром
b0v/b0, то следует после подбора арматуры проверить
условие £<§я и прочность сечения.
Условие Ab>AOv (т. е. A„wf)>0) можно представить
в виде атх>0, поскольку значение атх представляет
собой относительный статический момент площади Аж-г>
относительно оси у.
87
Рис. 3.23. Несущая способность элементов прямоугольного, тавро'
кого и Г-образного сечення, работающих на косой изгиб
RR
3.2.11. Внецентренно сжатые элементы
Для виецейтренно сжатых элементов в отличие от
изгибаемых напряжение в арматуре, расположенной у
растянутой или менее сжатой грани, изменяется в зави-
симости не только от количества ее, но и от эксцентри-
ситета продольной силы N, проходя значения от растя-
гивающих напряжений, равных пределу текучести Rg, до
нуля и далее до предельных напряжений' сжатия Rec.
Поэтому для внецентренно сжатых элементов следует
рассматривать две области работы арматуры с напря-
жениями, равными пределу текучести Rs, н с перемен-
ными напряжениями, изменяющимися от предельных
напряжений Rs до предельных напряжений сжатия Ree.
Граница между этими двумя случаями определяется гра-
ничной высотой сжатой зоны |я (см. п. 3.2.5).
Нормальные сечения внецентренно сжатых элемен-
тов рассчитывают из условия
Ne^RbSb+R3eSs. (3.76)
В первом случае, когда высота сжатой зоны
определяется из уравнения равновесия продольных сил,
принимая напряжения в растянутой арматуре равными
пределу текучести Rs,
N+RtA,—RicA's =RbAb. (3.77)
Во втором случае, когда £>£д, уравнение равнове-
сия продольных сил
77“)~CsAs—RscA1—RbAb (3.78)
содержит неизвестное напряжение в арматуре ors, кото-
рое находится по формулам, приведенным выше. Чтобы
упростить расчет, следует найти более простую зависи-
мость, связывающую напряжения в продольной армату-
ре с относительной высотой сжатой зоны
Для элементов из бетона класса ВЗО и ниже с нена-
прягаемой арматурой классов A-I, А-П и А-Ш можно
использовать линейную зависимость напряжений os от
относительной высоты сжатой зоны Для этих сталей
предельные сжимающие и предельные растягивающие
напряжения в арматуре /?5С и Rs равны физическому
пределу текучести Rs. Отсюда расчетная зависимость
будет
°* = ^2 j _ — Q Rt. (3.79)
89
Рис. 3 24. Зависимость
c.=fU) для элементов
из бетона класса ВЗО с
арматурой класса А-Ш
при отсутствии особо
кратковременных натру*
зок
/ — по формуле (3.7); 2—।
по формуле (3.79)
На рис. 3.24 показаны графики, выполненные по точ-
ной (3.7) и упрощенной (3.79) зависимостям, из кото-
рых видно, что кривые не слишком далеко отстоят одна
от другой.
В результате этого упрощения высота сжатой зоны
бетона определяется из совместного решения уравнений
(3.78) и (3.79). Использование зависимости (3.79) упро-
щает расчет, позволяя избежать решения квадратного
уравнения.
3.2.12. Практические методы расчета
внецентренно сжатых элементов
Элементы прямоугольного сечения с арматурой, со-
средоточенной у сжатой и растянутой (менее сжатой)
граней. Проверка прочности. Расчет начинаем с опреде-
ления высоты сжатой зоны х из уравнения равновесия
продольных сил в предположении, что напряжения в
арматуре, расположенной у растянутой грани, равны
расчетному сопротивлению Rs.
N+RaA,—R,cA',=Rbbx; (3.80)
x—(N+R,A,—R,cA',)/(Rbb).
Если l=x/hos^.lR, напряжения в растянутой арма-
туре действительно равны Rs, и в условии прочности
следует использовать вышеуказанное значение х. Если
напряжения в арматуре, расположенной у растя-
нутой (менее сжатой) грани, ие могут достигнуть R, и
высоту сжатой зоны х определяем из уравнения равно-
весия (3.78).
Вычислим значение х для элементов с ненапрягае->
90
мой арматурой из мягких сталей, используя для аа об-,
щую формулу (3.7)
a sc, и f \ . 7
N + As — ю/1>1 • {^Г~ - i; ~ Rsc As~ Rb bx. ,
Вводя обозначения
RSAS t RscAf' N *sc,u!Rs
as = R^bh<>’ ^‘’R^bh, “я“ Rbbh, : “ l-w/1,1 ’
получим
x = h„
“j + фа, —дя ~
2
+фа,ш
(3.81)
Значения |д, co и asc, и — см. в п. 3.2.5.
При использовании упрощенной формулы (3.79),
применяемой для элементов из бетона класса ВЗО и ни-
же, значение х будет
(«л — д') (1 — ё/?) + a, (1 + ?/?)
1—Ед + 2a,
(3.82)
Если применяется арматура из твердых сталей, то
при определении значения х следует использовать для
а, формулу (3.12)
^/?,Л,(0,8 + 0,2^£^)-Л,е4;- Rb bx,
откуда
х ап + а, [0,8 + Ед)]— а'
3=А0= 1 + 0,2а,/(£,,-Ед) - (3-83)
где Ен — см. формулу (3.10).
При этом, если то значение х находится с ис-
пользованием формулы (3.16). В этом случае предвари-
тельное напряжение в предельном состоянии полностью
сохраняется и поэтому значение х можно вычислить по
формуле (3.81), принимая за
an= (N+P)/(RbbhQ).
Вычислив высоту сжатой зоны х, проверяют прочность
сечения из условия
Ne^Rbbx(hb—0,5х)— RScA',{hb—а'), (3.84)
91
Рис. 3.25. Несущая способность внецентренно сжатых элементов
прямоугольного сечения с симметричной арматурой
При расчете внецентренно сжатых элементов внеш-
ние усилия задаются обычно в виде продольной силы V
и момента внешних сил М относительно центра тяжести
сечения, поэтому удобнее проверять прочность сечения
сравнением внешнего момента М и предельного момен-
та Ми при внешней продольной силе N, приложенной в
центре тяжести сечения. Поскольку правая часть усло-
вия (3.84) представляет собой предельный момент при
внешней продольной силе, приложенной в центре тяже-
сти арматуры S, отстоящем от центра тяжести сечения
на (Л/2—а), то значение Л4и будет
, / h \
Л4И = Rb bx(ha — 0,5х) + RscAs(ha—a')—— а)- (3.85)
Для сечений с симметричной ненапрягаемой армату-
рой исходя из формулы (3.85) на рис. 3.25 построены
графики зависимости am=/(an) для различных as при
6=a7/io=O,l, где ат==Ми/(Rbbh2n). Используя эти гра-
фики, проверку прочности можно упростить, для чего
да
по а, и ctn находят значение ат и прочность проверяют
из условия
При изменении значений б от 0,05 до 0,15 кривые
am—f(ап) будут отклоняться от кривых, приведенных
на рис. 3.25, незначительно, что позволяет воспользовать-
ся этими кривыми при 6=0,05—0,15.
Подбор арматуры. Внецентренно сжатые элементы
обычно проектируются с ненапрягаемой симметричной
арматурой, т. е. принимая RaAa=RacA'a. Такую армату-
ру подбирают следующим образом. Определяют относи-
тельную высоту сжатой зоны, предполагая полное ис-
пользование растянутой арматуры
R + Rs As — Rsc As ы
6 _ __ _ an.
Если то из условия (3.84) находят относи-
тельную величину необходимой арматуры
.— (RsAsjKRbbho), принимая x=an/i0, т. е.
z ctffl (1 — 12)
as — a.s •= j — й ,
где
am=Nel(Rbbh20); 6=a'/h0.
Если ап>|л, то значение as также находят из
вия (3.84)
z «т—$ (1 — 6/2)
as ” as = 1 — 5 •
где значение х/Л0 вычисляется из формулы (3.81) нлн
при as = a',, взятом в первом приближении по формуле (3.8
а«=
(3.86)
усло-
(3.82)’
При классах бетона до ВЗО значение а«, полученное
в первом приближении по формуле (3.86), достаточно
точное и второго приближения можно не делать. С по-
вышением прочности бетона неточность такого вычисле-
ния возрастает в сторону «не запаса». Чтобы этого из-
бежать и не усложнять расчет последовательными при-
ближениями, рекомендуется при пользовании формулой
(3.86) принимать значение ап, равным (ам+§п)/2.
По значению аа определяют площадь арматуры
. .> Rb bh,
As-As~ aS-
Если значение а—а' находится в пределах O,O5/io—-
93
0,15/io, то значение as можно также находить по гра-
фику, приведенному на рис. 3.25, исходя из величин ап
и am=M/(Rbbh20), где М — момент внешних сил отно-
сительно центра тяжести сечения.
Если не ставится задача подбора симметричной ар-
матуры, то ненапрягаемую сжатую и растянутую арма-
туру одного класса следует подбирать так, чтобы их сум-
ма была минимальной. Как было показано ранее, это
будет иметь место, если граница сжатой зоны проходит
посередине расстояния между этими арматурами (т. е.
при х— (h0A-a')/2), а растянутая арматура работает с
полным сопротивлением. Тогда необходимую площадь
сжатой арматуры A's можно вычислить из условия
(3.84), задавшись х— (h0+a')/2, но не более gRft0. Пло-
щадь растянутой арматуры определяется из уравнения
(3.80), принимая то же значение х и найденное значение
RtcA't. При a'/ho^OA это значение х будет x=O,55/io,
и формулы для А', и А„ соответствующие минимуму их
суммы, будут иметь вид:
Ne — 0,4/?й
^(Л.-a') = <3-87>
4,= (O,55Wo—^)//?,+4',. (3.88)
Очевидно, при этом должно быть выполнено условие
0,55<£н, что имеет место при классе бетона ВЗО и ни-
же. При более высоких классах бетона
, Ne-Rbbh2otg(l-O,5tR)
Rscih.-a') : (389)
A.= (laRbbha-N)/R.+A',. (3.90)
Если принятая площадь сжатой арматуры из-за кон-
структивных требований значительно превышает значе-
ние А'в, вычисленное по вышеприведенным формулам
(например, если полученное значение А', меньше нуля),
то площадь растянутой арматуры может быть уменьше-
на, исходя из фактического количества сжатой армату-
ры. Для этого нз условия (3.84) определяют высоту
сжатой зоны х, которая в этом случае будет всегда
меньше ^RhQ:
„ Ne — RscAs(ht — а')
х= ht— у h0 о,5 Rb b • (3.91)
Полученное из формулы (3.88) или (3.90) отрица-
94
тельное значение А„ показывает, что эта арматура по
расчету не требуется, и тогда арматуру A's можно
уменьшить, определив ее исходя из отсутствия арматуры
As. Решая систему из двух уравнений равновесия (3.80)
и (3.84), где неизвестными будут только х и A's, можно
вывести формулу для A's
A's [(N-Rbba')-/(N-Rbba'y-N(N—2Rb bht+2Rbbe)\lRse.
(3.92)
Видим, что если по формуле (3.88) [или (3.90)] по-
лучается Ав=0, то значения Л'8> вычисленные по фор-
мулам (3.92) и (3.87) [или (3.89)], будут совпадать.
Если момент внешних сил относительно геометриче-
ского центра тяжести сечения невелик, то этот момент
может быть воспринят только разностью сжимающих
усилий в арматурах S и S' при равномерно сжатом се-
чении. Тогда значение A's можно определить из усло-
отно-
(3.93)
вия равновесия внешних и внутренних моментов
сительно арматуры S' при x=h, т. е.
., (й0 — а' — е) — Rb bh (0,5h — а')
A Rsc(ha~a') ’
и из уравнения (3.80) при Rs=—Rsc находят значе-
ние Л,
A,=~(Rbbh+R,cA',-N)IR.e. (3.94)
Отрицательное значение А3 при этом будет показы-
вать, что площадь растянутой арматуры можно назна-
чать исходя из конструктивного минимума.
Элементы прямоугольного сечения с арматурой, рас-
пределенной по высоте сечения. Если такая арматура
расположена в сечении симметрично, то ее удобно рас-
сматривать как равномерно распределенную по линиям,
проведенным через центры тяжести стержней (рис. 3.26).
Приведение дискретной арматуры к распределенной
производим исходя из равенства статических моментов
дискретной и распределенной арматуры, расположен-
ной по одну сторону от оси симметрии, относительно
этой оси. В этом случае площадь сечения арматуры Л^,
расположенной у одной из граней, параллельных плос-
кости изгиба, будет
— j4all (Л»|+ 1),
где Ann — площадь одного промежуточного стержня этой арматуры;
nsi — число промежуточных стержней этой арматуры.
95
ПЛОСКОСТЬ ИЗГИБА ..
Рис. 3.26. Расчетное расположение арматуры, распределенной по
высоте прямоугольного сечення
Тогда площадь сечения арматуры A»t, расположен-
ной у одной из граней, нормальных к плоскости изгиба,
будет
Ast — А», ш!2—
где Л», — площадь сечення всей арматуры,
Производить расчет сечений удобно, пользуясь отно-.
сительными характеристиками:
a-sl “
5 = x/h — относительная
Rs
(fi— 2a)b Rb
Ast Rs
a^~bh~RT~
N
an= Rbbh ~
относительная
ры Ast-
относительное
₽ы Ast;
относительная
высота сжатой зоны;
интенсивность армату-
количество армату-
велнчина продольной
силы N;
6 «» а/Л.
=<р — относительное
напряжение арматуры,
полученное из формулы (3,7);
При условии работы растянутой и сжатой армату-
ры Ast с полным расчетным сопротивлением (рис, 3.27),
уравнение равновесия сил будет
Об
«st
Рис. 3.27. Расчетная схема и эпюры напряжений бетона и арматуры
при расчете с помощью относительных характеристик прямоуголь-
ных сечений с распределенной по высоте арматурой
а—сечение; б — эпюра напряжений бетона; в — то же. арматуры
Е+а,(+аз| (а;—б)—asl (1— б—а2) — as( = а„, (3.95)
где at, as — относительные расстояния от сжатой грани до уровней,
где напряжения в арматуре равны соответственно —Rt, R, (т. е.
где значения а( равны —1 и 1).
Найдем эти величины из уравнений а, =—1 и а<=1:
гр((ва1/5—1)=—1, ai=(ip— l)g/(i|xo);
гр((ва2/£—1) = 1, а2= СФ+1)£/(1Н).
После подстановки выражений для сц и а2 в уравне-;
ние (3.95) получим
«л + а.,1
£ = 1 + 2ast/a ‘
(3.96)
Предельный момент относительно оси, проходящей
через центр тяжести сечения, будет
ел
= Rbbh‘ ' — 5) + a«z(5« —®) х!
1 -I
Х(1-е.-Ь)-----з--р-+а^(1-25), (3.97)
где £,=£/ю.
При этом, очевидно, должно выполняться условие
а2<1—б, т. е.
фц)1’'’ <1—8 или е< (1— 8)-6да(1— 8).
Если £>£л(1— б), то напряжение в растянутой ар-
4 Заказ № 298 97
Рис. 3.28. Несущая способность элементов прямоугольного сечения
с арматурой, распределенной по высоте, при бетоне класса В25, ар-
матуре класса А-Ш
матуре Ast будет меньше Rs, и относительную высоту
сжатой зоны следует определять из уравнения
1 + а (1 — а)
6 + <*st + — 5) + ast —2------£------а “ an,''
где а — ф[и>/5 (1 — 5) — 1).
В этом случае выражения для g и ат получаются
весьма сложными. Построение графиков зависимости
am—f(an) для различных сечений с распределенной ар-
матурой по общим формулам показало, что эта зависи-
мость при изменении g от |я(1— б) до 1 весьма близка
к прямолинейной (рис. 3.28). Вследствие этого для уп-
рощения расчета целесообразно предельный момент Ми
определять по линейной интерполяции между моментом
Л1и = 0, соответствующим центральному сжатию, и мо-.
98
ментом Mu=Afui, соответствующим граничной высоте
сжатой зоны §=5л(1—д) (см. пунктирную прямую на
I яс. 3.28).
Для уменьшения запасов на этом диапазоне целесо-
образно граничную высоту сжатой зоны несколько уве-
личить, доведя ее до £=£д. При этом в диапазоне из-
менения g от £д(1—б) до £д расчет будет произво-
диться по формулам (3.96) и (3.97), что приведет к не-
которому завышению несущей способности. Однако в
связи с малостью этого диапазона завышение будет
весьма незначительным.
Относительная предельная продольная сила, соот-
ветствующая центральному сжатию,
ana=Na/(Rbbh) = 1+Л.Л., wKRbbh). (3.98)
Относительные граничные предельный момент и про-
дольную силу при g = gfl обозначим через атя и сид.
Тогда значение ат при g>gfl будет
При этом значение апд вычисляется из формулы (3.96),
т. е.
ая/?-8₽ + а^ (2^-1). (3.100)
а значение атд определяется по формуле (3.97).
При небольших продольных силах высота сжатой
зоны может оказаться настолько мала, что сжатая ар-
матура Ast должна иметь напряжения, меньшие R*-,
т. е. при Учет этого обстоятельства, как показали
пробные расчеты, весьма незначительно изменяет пре-
дельный момент ат, определенный по формуле (3.97),
поэтому формулами (3.96) и (3.97) можно пользовать-
ся во всех случаях при g<gfl.
Сопоставительные расчеты сечений с дискретной ар-
матурой и равномерно распределенной арматурой дали
весьма близкие результаты, однако в случае большой
неравномерности расположения промежуточных стерж-
ней арматуры 4S( расхождения могут быть значитель-
ными. Поэтому, если промежуточные стержни распола-
гаются только в пределах крайних четвертей высоты
h—2а, то расчет лучше производить как для сечений с
арматурой, сосредоточенной у сжатой и растянутой гра-
ней. Кроме того, если некоторые промежуточные стерж-
4*
99
ни расположены вблизи угловых стержней, то целесо-
образно относить к арматуре Ast не только один ряд
стержней, но и эти промежуточные стержни, принимая
размер а до центра тяжести всех этих стержней.
Расчет на косое внецентренное сжатие. При дейст-
вии на сжатый элемент моментов одновременно в двух
направлениях производят расчет на косое внецентренное
сжатие.-Так же, как и при расчете на косой изгиб (см.
п. 3.2.10), при этом требуется использование всех трех
уравнений предельного равновесия.
Сечения кососжатых элементов, как правило, проек-
тируются симметричными относительно двух осей с сим-
метрично расположенной арматурой, поэтому внешние
и внутренние моменты, входящие в уравнение равно-
весия, удобнее всего определять относительно осей сим-
метрии. Тогда уравнения равновесия будут:
Мх=Мхи; (3.101)
Му=Муи; (3.102)
RbAb—2анА„{—tf=0, (3.103)
где Мх, МХи-—составляющие внешнего и внутреннего моментов в
плоскости оси х относительно оси у, Му, Муи—то же, в плоскости
оси у относительно оси х.
Находить положение границы сжатой зоны из урав-
нений (3.102) и (3.103) или из уравнения (3.103) и
Мх/Му=Мхи/Муи, как это делалось при косом изгибе,
не совсем удобно, поскольку арматура кососжатых эле-
ментов обычно распределена по контуру и определить до
расчета, какой стержень будет работать с полным рас-
четным сопротивлением Rs или Rsc, а какой с меньшими
напряжениями, довольно трудно. Поэтому при ручном
расчете таких сечений лучше использовать метод кри-
вых взаимодействия. Суть этого метода состоит в сле-
дующем.
Предельный момент Mvxu, воспринимаемый сечением
в плоскости оси х при действии продольной силы в цент-
ре тяжести сечения, зависит от внешнего момента Mv,
действующего в плоскости оси у, и меняется от макси-
мального значения Мхи до нуля при увеличении внеш-
него момента Му от нуля до предельного момента Муи,
который может восприняться сечением в плоскости
оси у. Аналогично предельный Мхуи будет уменьшать-
ся от максимального значения Муи до нуля при увели-
чении внешнего момента Мх от нуля до Мхи. Продоль-.
100
Рис. 3.29. Кривая взаи-
модействия для элемен-
та, работающего на ко-
сое внецентренное сжа-
тие
/ — область обеспеченной
прочности; // — область не
обеспеченной прочности
ную силу при этом считаем неизменной и приложенной
в центре тяжести сечения.
Таким образом, предельные моменты Mvxu и Мхуи по
обеим осям х и у связаны для рассматриваемого сече-
ния и продольной силы определенной зависимостью,
которая характеризует предельное состояние сечения и
может быть представлена в виде уравнения
f(MvXu, M*vu)=*o (3.104)
или в виде кривой взаимодействия, проходящей от точ-
ки с координатами (Мхи, 0) до точки с координатами
(0, Муи) (рис. 3.29).
Очевидно, что если точка с координатами (Мх, Ми)'
находится внутри области, ограниченной кривой взаимо-
действия и осями координат х и у, прочность сечения
будет обеспечена, если вне этой области—прочность се-
чения не обеспечена. Координаты каждой точки на кри-
вой взаимодействия определяются следующим образом.
Задаются некоторым углом у наклона прямой, огра-
ничивающей сжатую зону, к оси у и последовательны-
ми приближениями находят положение этой прямой
так, чтобы сумма внутренних сил была равна внешней
продольной силе N, вычисляя напряжения в арматуре
по формуле (3.7) и принимая их не более /?8 и не менее
Rsc, при этом угол у сохраняется неизменным. Затем
определяют моменты внутренних сил относительно осей
х и у, которые и являются координатами любой точки
на кривой взаимодействия. Углы у принимаются от О
до 90°. Задаваясь различными продольными силами,
101
строят на одном графике серию кривых взаимодействия.
Если заранее известен сортамент сечений колонн, то
для каждого сечения строят такой график, и подбор се-
чения колонны при любых комбинациях Л!х, Му и N
сводится к отысканию такого графика, в котором точка
с координатами (Мх, Му) находилась бы максимально
близко к кривой, соответствующей заданной продоль-
ной силе N, оставаясь внутри области, ограниченной
этой кривой и осями координат.
В то же время проектировщику часто бывает зара-
нее неизвестно, какие сечения наиболее выгодны для
его случая, а строить кривые взаимодействия для всех
возможных сечений весьма трудоемко, поэтому кривые
взаимодействия для сходных сечений, например прямо-
угольных, целесообразно обобщать. Для этого по оси
ординат откладывают не сами моменты Mvxy, а отноше-
ния атх=Миху1Мхи, а по оси абсцисс вместо Миу отно-
шение ату==Мхуи1Муи. Тогда кривые взаимодействия
Цатх, amS}=0 для любых сечений и продольных сил
будут соединять точки с координатами (1, 0) и (0, 1).
Очертание этих кривых будет меняться в зависимости от
относительной продольной силы an=N/(Rbbh), количе-
ства арматуры а8=/?Л«, totl(Rbbh), расположения и ко-
личества стержней арматуры и отношений ax/h и av/b.
Чтобы не учитывать влияние количества стержней ар-
матуры на характер кривых f(amx, am{/)=0, дискрет-
ную арматуру кососжатого элемента рассматриваем как
равномерно распределенную (рис. 3.30). При этом, если
промежуточные стержни отсутствуют, то площади сече-
ния угловых стержней распределяются между армату-
рой Asx и Asy пропорционально значениям Mx/h и Ми/Ь,
т, е.
л81(=2Л4о/ (р+1);
л«=2Л0₽/(Р+1);
$=мхьцмун),
где Лг0 —площадь сечения углового стержня.
Сопоставительные расчеты иа косое внецентренное
сжатие сечение с четырьмя угловыми стержнями и сече-
ние с армированием, распределенным вышеуказанным
способом, показали весьма близкие результаты.
При наличии промежуточных (не угловых) стержней
арматура распределяется с учетом приведенных ранее
Рис. 3.30. Расчетное расположение арматуры прн расчете на косое
виецентреииое сжатие прямоугольного сечення с симметричной ар-
матурой
указаний как для арматуры, распределенной по высоте
сечения. Тогда
A,y=A,}V(nv-{-\) + (2А3о—А, |х—Asiy)/(P4-l)j
А»х=Ах|х(лх“Р 1) + (2Аво—А, |х—A siy) Р/(Р-Р 1),
где Алу, Аг1х — площадь каждого на промежуточных стержней, рас-
положенных у одной нз сторон сечення, нормальных к осям у н х;
Лу, пх—количество промежуточны* стержней, расположенных у од-
ной нз сторон сечения, нормальных к осям у и х.
Для прямоугольных сечений при различных значе-
ниях
an=NI(Rbbh), as=R,A,, l0tl(Rt,bh), с=А,у/А,х
были построены кривые взаимодействия f(amx, ату]=0.
Установлено, что кривые с различными значениями с
мало отличаются одна от другой и поэтому расчетные
графики f(amx, ату)=0 приняты одинаковыми для лю-
бых значений с. То же самое относится и к величинам
ax/h и ау/Ь.
Расчетные графики [(атх, ату)=0 для прямоуголь-
ных сечений приведены на рис. 3.31. Чтобы проверить
прочность по этим графикам, следует определить пре-
дельные моменты Мхи и Муи соответственно в плоскос-
тях осей х и у при действии внешней продольной силы
Д' * в центре тяжести сечения, принимая арматуру рав-
номерно распределенной согласно вышеуказанному. При
этом используются формулы (3.97) и (3.99). Затем на
графике, отвечающем параметру а», находится точка с
координатами атх=Мх1Мхи и amy — MvIMyu. Если эта
103
Иу/М.и
104
MxlMxa
0,9
0,8
0,7
О,В
0,3
0,2
0,1
О
Г ' ' -0,6
О' у,
5е\\М О' \ЛЛЧ
0.7 0,2 0,3 0,9- 0,5 0.5 0.7 0.8 0,9. 1
». Рис. 3.31. Несущая способность элементов прямоугольного сечения с симметричной арматурой, работающих на
g косое внецентрениое сжатие
точка находится внутри области, ограниченной кривой,
отвечающей параметру ая и осями координат, проч-
ность считается обеспеченной.
3.2.13. Продольный изгиб
При расчете внецентренно сжатых элементов следу-
ет учитывать влияние прогиба элемента на увеличение
эксцентриситета продольной силы, т. е. влияние продоль-
ного изгиба. В общем случае, когда сжатый элемент яв-
ляется составной частью статически неопределимой си-
стемы, влияние продольного изгиба согласно нормам
учитывается расчетом конструкции по деформированной
схеме. Такой расчет производится обычными методами
строительной механики, однако, при определении дефор-
маций от единичных и внешних усилий в основной си-
стеме метода сил следует учитывать добавочные момен-
ты, равные произведениям продольной силы на прогибы
элемента в данном сечении. Поскольку прогибы до рас-
чета неизвестны, они должны находиться последователь-
ными приближениями.
В том случае, если жесткости сжатых элементов при-
няты постоянными по длине, разработан метод началь-
ных параметров1, позволяющий рассчитывать по дефор-
мированной схеме, не прибегая 'к последовательным при-
ближениям. Так как железобетонные элементы работают
неупруго (особенно в стадии, близкой к разрушению),
их жесткости переменны по длине элемента и неизвест-
ны до расчета, поскольку зависят от действующих уси-
лий. Поэтому невозможно обойтись без многократных ите-
раций с многократным вычислением жесткостей для от-
дельных участков каждого элемента. Все это делает
расчет конструкций по деформированной схеме весьма
трудоемким.
Для упрощения учета продольного изгиба рассмот-
рим способ критических сил, принятый в нормах. Если
принять, что упругая линия внецентренно сжатого эле-
мента с шарнирными закреплениями по концам имеет
вид синусоиды, т. е. y=fsinn,x/l (где f—прогиб эле-
мента в середине пролета, рис. 3.32), то добавочный из-
1 Н. В. Корноухое. Прочность н устойчивость стержневых си-
стем,—М.: Стройнздат, 1949,
106
Рис. 3.32. К определению
прогиба при продольном из-
гибе элемента е шарнирно
вакрепленнымн концами
гибающий момент, вызванный действием продольного
изгиба, будет
M*=Ny=Nf sin nx/l. (3.105)
Тогда полный прогиб f можно определить из урав-»
нения
I
~ ах + /„ (3.106)
о
где f0 —начальный прогиб, вызванный действием поперечной на«
грузкн; ^ = 0,5 х — момент от поперечной единичной силы, прило»
женной в середине пролета.
После подстановки (3.105) в (3.106) получим;
i
2 f^/sin ^-0,5хах
о 1 . , 7VZ’
£/ +Д- / + Л:
' “ 1 — NVHp'EI) •
Полный момент в середине пролета
М - М, + Nf = Al, + \Z^NPj(^El) •
где Af0—«момент в середине пролета от поперечной нагрузки.
Принимая fo=pmW2/(EI) (где рт— см. п. 4.4.6),
получим
.. м° Г. . №' ( JLYI
м ~ 1 —NI'K^EI) Р + EI \ рт ~ «’ /]• 7
Поскольку 1/л2=0,1013, а рт меняется от 0,083 до
0,125, можно приближенно принять рт«1/л2, т, е,
А4=Л1оТ],
где
1
Ч ” 1 —Nl'l^EI) * 1075
107
Принимая во внимание, что л2£7//2— эго Эйлерова
критическая сила Ncr, формулу (3.107) запишем в виде
T—N,'Ncr • <ЗЛ08>
При другом характере закрепления концов стойки
ее длина в формуле для Ner заменяется расчетной дли-
ной 1о, определяемой из расчета стойки на устойчивость.
Значение можно рассматривать как сумму критиче-
ских сил для бетонного сечения ^Cr,ь и сечения армату-
ры NСТ, S*
Поскольку железобетонный элемент работает неуп-
руго (особенно в стадии, близкой к разрушению), на
основании экспериментальных исследований шарнирно
закрепленных стоек на кратковременное действие про-
дольных сил с постоянными по длине стойки началь-
ными эксцентриситетами, величины NCr,b и NCT, а были
выражены в виде формул:
хсг,о - -уг- °.9 (б..ГТГ + 0: (3-,09>
*0 \ . । е z
JVer.,=8£J,/Pq, (3.110)
где 6„=-eijlh, ео —начальный эксцентриситет.
С увеличением е0 трещины в стойке раскрываются
больше, жесткость элемента падает и, значит, умень-
шается критическая сила Ncr.b- С уменьшением е0 кри-
тическая сила по формуле (3.109) увеличивается, при-
ближаясь к упругой Эйлеровой силе. Однако, согласно
данным, при уменьшении эксцентриситета от некоторого
значения eamin, когда растягивающие напряжения в про-
дольной арматуре S приближаются к нулю, увеличение
критической силы резко замедлялось, а затем сменя-
лось некоторым уменьшением. Это связано с ростом
предельных значений N и соответствующим увеличени-
ем неупругих деформаций сжатого бетона, уменьшаю-
щих жесткость. Чтобы учесть это обстоятельство, вели-
чину бв в формуле (3.109) принимают не ниже некото-
рого значения бе, min, определяемого по формуле
бв, тш-0,5—О,О1/о/Л—0.01Л». (3.111)
Предварительное напряжение повышает жесткость
железобетонного элемента, а следовательно, и критиче-
скую силу NCT, ь. Влияние предварительного напряжения
108
учитывается коэффициентом фр, большим единицы, на
который делится величина 6е.
Для элементов с симметричным расположением на-
прягаемой арматуры в сечении коэффициент <рр опреде-
ляется по эмпирической зависимости
<рр = 1 + 12^-—, (3.112)
где 0ьР — напряжение в бетоне от действия усилия предварительно-
го обжатия с учетом всех потерь напряжения; е0/й — принимается
не более 1,5.
Из полученной зависимости видно, что влияние пред-
варительного напряжения возрастает с увеличением до
определенного предела эксцентриситета продольной си-
лы е0 и с увеличением предварительного обжатия аЬр.
Предварительное обжатие отдаляет момент трещинооб-
разования и способствует уменьшению раскрытия тре-
щин, т. е. значительно увеличивает жесткость элемента в
тех случаях, когда без предварительного напряжения
образуются большие трещины, т. е. при больших экс-
центриситетах продольной силы.
При длительном действии нагрузки под влиянием
ползучести бетона прогибы элемента дополнительно воз-
растают, в результате чего увеличивается эксцентриси-
тет продольной силы. Влияние длительного действия на-
грузки учитывается коэффициентом q>z, большим едини-
цы, на который делится величина I, что уменьшает кри-
тическую силу Ncr.b, а отсюда и увеличивает расчетный
эксцентриситет.
Коэффициент приближенно можно выразить че-
рез характеристику ползучести фоо и соотношение мо-
ментов относительно наименее сжатой или растянутой
арматуры от длительно действующей части нагрузки и
полной нагрузки
<р( == 1 -f-tpcoAln/Afi,
Если принять для тяжелого бетона характеристику
ползучести в среднем ф«,==2 и учесть, что часть дефор-
маций ползучести (примерно половина) проявляется при
кратковременном загружении и уже учтена в формуле
(3.109), то коэффициент фг получается
фг=,1+рмиж, (3.113).
где р=1.
Для мелкозернистого бетона групп А и Б, а также
109
для легкого бетона на мелком пористом заполнителе
ползучесть проявляется сильнее, н коэффициент р уве-
личивается.
С учетом коэффициентов <рр и <р( формула (3.109)
приобретает вид
Ncr' “ “ <₽( il °’9 + О’
ПоДСТаВИВ ЗНачеННЯ NCr, Ь И Ncr, s В формулу Ncr—'
— N„, b+Ncr.s и введя коэффициент 0,8, учитывающий
изменчивость жесткости, после преобразования и округ-
ления коэффициентов получим
где а — Es/Eb.
Для прямоугольного сечения формула (3.114) приоб-
ретает вид
1,6£Й6ЛГ 0,1! /Л,—a'V]
N"~ (W [ЗфД0,1+Ве/ч>р) +*Л“< Л ) ]•
где ц= (А,4-А',)/ЙЛ.
Напомним, что формулы (3.108) и (3.114) получены
на основе экспериментальных исследований шарнирно
закрепленных стоек, нагруженных продольными силами
с постоянными начальными эксцентриситетами по дли-
не. В стойках с другим характером закреплений концов
и распределения начальных эксцентриситетов такой учет
продольного изгиба будет давать некоторую погрешность
в запас прочности, если расчетную длину стойки опре-
делять из классического расчета на устойчивость. Одна-
ко определить достаточно просто расчетные длины мож-
но только для отдельно закрепленных элементов, для
которых начальные эксцентриситеты и расчетные длины
не зависят существенно от жесткостей и неупругой ра-
боты рассматриваемой стойки и других связанных с ней
элементов. Это могут быть колонны связевых каркасов,
сжатые элементы раскосных ферм, отдельно стоящие
столбы, фахверковые стойки и т. п.
Для других сжатых элементов, являющихся частями
статически неопределимых систем, вычисление расчет-
ных длин, во-первых, связано с большой неопределен-
ностью предпосылок. Критическую силу рассматривае-
110
мой стойки можно найти, либо повышая до критиче-
ской продольную силу только рассматриваемой стойки
(расчет на местную устойчивость), либо увеличивая до
критических продольные силы всех связанных стоек про-
порционально внешним силам (расчет на общую устой-
чивость). Получаемые при этом расчетные длины весьма
различны. Правильное значение расчетной длины, по-
видимому, должно зависеть от соотношения продольных
и поперечных воздействий на ,стойку. Во-вторых, рас-
четные длины в обоих случаях зависят от большого ко-
личества факторов, включая соотношения жесткостей и
продольных сил различных стоек. Кроме того, если рас-
четные длины определять исходя из соотношения момен-
тов, полученных из деформированной (AG) и обычной
(Л10) схем, т. е. из уравнения
MN 1
Л10 “ \—NjN^r ’ (3.115)
то к факторам, влияющим на значение расчетной дли-
ны, добавляются еще места расположения расчетных
сечений, процент армирования и пр. Все это не позво-
лило создать общую методику определения расчетных
длин для учета продольного изгиба железобетонных эле-
ментов методом критических сил.
В нормах для наиболее часто встречаемых конструк-
ций приведены значения расчетных длин, основанные на
некоторых расчетах и соображениях и подтвержденные
практикой проектирования и эксплуатации.
Следует отметить, что для сжатых элементов, имею-
щих несмещаемые концы, или не связанных с другими
элементами, расчетные длины, найденные из расчета на
местную устойчивость и полученные из уравнения
(3.115), будут близки друг другу только при определе-
нии окончательных моментов в тех местах, где эти мо-
менты наиболее сильно увеличиваются с ростом продоль-
ной силы. Такими местами являются, примерно, средняя
треть длины элемента, а также крайняя треть длины,
примыкающая к жесткой заделке в фундамент. В опор-
ных сечениях, поворачивающихся, но не смещающихся
под действием нагрузки (например, в колоннах рам при
действии вертикальной нагрузки на ригелях), моменты
MN никогда не превышают моментов Мо, т. е. для этих
111
сечений следует принимать i] = 1. При действии вынуж*
денных деформаций (т. е. деформаций, не зависящих от
жесткости данного элемента, например от температур-
ных воздействий, осадок опор и т. п.) опорные моменты
MN также всегда меньше Л10. Это связано с тем,- что при
расчете по деформированной схеме увеличение силы V
при неизменяющихся жесткостях влияет на моменты так
же, как уменьшение жесткости, т. е. сила N увеличивает
изгибную деформативность сжатых элементов, что и
приводит к указанным эффектам.
Таким образом, для более точного, но нетрудоемкого
учета продольного изгиба представляется целесообраз-
ным коэффициенты т) определять дифференцированно, в
зависимости от вида воздействий, и окончательный мо-
мент вычислять по формуле
Л1=Л11г|1Н-Л12г|2Н-Л13, (3.116)
где Mi—момент, вызванный поворотами концов элемента; Л12— то
же, горизонтальными силовыми воздействиями; Мз — то же, вы-
нужденными горизонтальными смещениями.
Для сечений, расположенных в средней трети длины
элемента, а также в крайней трети длины, примыкающей
к жесткой заделке в фундамент, коэффициент -qi можно
вычислять по формулам норм, принимая расчетную дли-
ну из расчета стойки на местную устойчивость. Для ко-
лонн каркасов «в запас» можно принимать 1^=1^, при-
чем для сечения у заделки в фундамент /0=О,7, где Н—•
высота этажа. Для других опорных сечений следует
принимать 1)1=1, определяя ip для промежуточных се-
чений по интерполяции.
Для коэффициента г)2 расчетную длину следовало бы
находить из расчета на общую устойчивость, однако ряд
расчетов многоэтажных железобетонных рам со всеми
жесткими узлами по деформированной схеме показал,
чго расчетная длина, полученная по формуле (3.115),
дает существенно меньшие значения, чем принятые в
СНиП значения 10=Н (порядка 0,5—0,7Н). Это вызва-
но тем, что жесткость колонн, используемая в формуле
(3.114), значительно меньше средних жесткостей колонн,
используемых при расчете по деформированной схеме.
Учитывая сложность определения расчетных длин для
т)9 в пособии к СНиП для многоэтажных рам, рекомен-
довано принимать в некоторый запас прочности 10=Н.
Следует отметить, что такой подход к вычислению i]2
не учитывает многих важных факторов, влияющих на
112
Рис. 3.33. Расчетная схе-
ма . рассматриваемого
этажа ири учете откло-
няющих сил
отношение в частности значения жесткостей и
продольных сил других колонн рассматриваемого эта-
жа. Кроме того, большая жесткость или меньшая про-
дольная сила для какой-либо колонны перераспределяет
горизонтальные усилия в сторону увеличения моментов
на этой стойке, поэтому при определении коэффициента
т]2 целесообразно вообще отказаться от метода крити-
ческих сил, требующего значения расчетных длин.
В США было предложено учитывать влияние про-
дольного изгиба в колоннах каркасных зданий при го-
ризонтальных смещениях перекрытий добавлением к
внешним горизонтальным силам так называемых откло-
няющих сил, равных проекциям продольных сил в на-
клонных колоннах на горизонталь (рис. 3.33), т. е. рав-
ных tiSN/H, где А — смещение верхнего перекрытия от-
носительно нижнего в рассматриваемом этаже с учетом
продольного изгиба; 2N — сумма продольных сил во
всех стойках этажа; Н — высота этажа.
Затем рама рассчитывается на действие суммарных
горизонтальных сил по недеформированной схеме. Если
ввести обозначения: Ai—относительное смещение пере-
крытий от действия единичной силы без учета продоль-
ного изгиба; 2W — сумма горизонтальных сил, прило-
женных ко всем вышележащим перекрытиям, то можно
записать
Д=Д1[2№'+(Д2^Я)],
откуда
Д=Д12117/(1—
Принимая Ai = Aq/SIV'i где До — относительное сме-
щение перекрытий без учета продольного изгиба, полу-
чим
А,
Л~ 1— 1 (3.117)
Сопоставление результатов расчета по формуле
113
(3.117) и по деформированной схеме показало, что эти
результаты будут достаточно близки один другому при
учете несколько увеличенных отклоняющих сил, по-
скольку максимальный угол наклона колонн вследствие
их искривленности превышает угол Д/Я. Более правиль-
ная формула имеет вид
Д = Т^1,2(Д./Я) (2Я/21Г) ’ (3.118)
Принимая, что горизонтальные смещения и моменты
от них при учете продольного изгиба изменяются про-
порционально, получим коэффициент г]2
1
’1,“ 1 — 1,2(AO///)(1W/Sin * (3.119)
Сопоставление моментов, определенных с помощью
формулы (3.119) и из расчета по деформированной схе-
ме, показало, что формула (3.119) более правильно, чем
формула (3.108), отражает влияние продольного изгиба,
поскольку учитывает работу всех колонн этажа. Хотя
эта формула не в полной мере учитывает перераспреде-
ление усилий от горизонтальных нагрузок, имеющее
место при колоннах рассматриваемого этажа с различ-
ными продольными силами или жесткостями, тем не ме-
нее она всегда приводит к запасам прочности.
Следует отметить, что значение До в формулах
(3.118) и (3.119) предполагает учет неупругой работы
железобетона и наличие трещин, т. е. использовать фор-
мулы (3.118) и (3.119) можно только при расчете рамы
с учетом физической нелинейности. При традиционном
расчете рамы этими формулами можно пользоваться в
случае, если имеются хотя бы приближенные данные об
увеличении смещений перекрытий вследствие учета не-
упругих деформаций.
3.2.14. Внецентренно растянутые элементы
При расчете нормальных сечений внецентренно рас-
тянутых элементов в зависимости от положения про-
дольной силы могут возникнуть два случая. Первый —
когда продольная сила N расположена между равно-
действующими усилий в арматуре, находящейся у более
растянутой и у менее растянутой граней элемента
(рис. 3.34, а). При этом принимается, что в предельном
состоянии нормального сечения вся арматура растяну-
114
A
AS2
35 N
S) A
$SASt
^SAS2
*SAS* -
R$ASf
Rs As9
_£&.Asi>
SsAru
_£sAs$
Рис. 3.34. Схемы усилий в пол-
ностью растянутом сечении
а — при арматуре, сосредоточенной
у краев; б — при арматуре, рас-
положенной по высоте; в — при
арматуре, несимметричной относи-
тельно плоскости действия момента
та и достигает своих расчетных сопротивлений растяже-
нию Rs. Следовательно, должны удовлетворяться два
уравнения равновесия:
моментов относительно какой-либо оси, перпендику-
лярной плоскости действия моментов
Ne=Rt,Sb+R,cS, (3.120)
и продольных сил
R,A,—R,cA'.—N=RbAb (3.121)
либо два равновесия моментов, ио относительно осей, ие
совпадающих одно с другим.
Отсюда, расчет состоит в проверке двух условий, по-
лучающихся из уравнений равновесия. При этом удоб-
нее рассматривать два уравнения равновесия моментов
относительно осей, проходящих через точки приложения
равнодействующих усилий в арматуре, расположенной у
более растянутой и у менее растянутой граней;
Ne=R,A',(hb—а'); (3.122)
Ne' = RaA,(ho-a'). (3.123)
В частном случае, когда точка приложения продоль-
ной силы совпадает с точкой приложения равнодейст-
вующей предельных усилий во всей растянутой арма-
туре, т. е. при центральном растяжении прочность се-
чения рассчитывают из одного условия
N^R,A,+R,A',. (3.124)
При расположении арматуры в несколько рядов по вы-
115
Рис. 3.35. Усилия во внецентренпо растянутом сечении при нали-
чии сжатой зоны
соте сечения рассмотренная расчетная схема принима-
ется, когда продольная сила расположена между край-
ними рядами арматуры (рис. 3.34,6), Расчетные усло-
вия имеют вид;
(3.125)
Ne'^R.S.. (3.126)
Для сечений, несимметричных относительно плоско-
сти действия момента, эта расчетная схема относится к
случаю, когда продольная сила располагается внутри
контура арматуры. Расчет производят из условий (3.125)
и (3.126), рассматривая моменты усилий относительно
осей, перпендикулярных плоскости действия внешнего
момента и проходящих через центры тяжести крайних
стержней (рис. 3.34, в). Стержни арматуры, располо-
женные вблизи крайнего наименее растянутого ряда,
могут и не работать с полным расчетным сопротивлени-
ем Rs, однако влияние усилий в этих стержнях на зна-
чение lERsSsi невелико и этим обстоятельством прене-
брегают. Для элементов с симметричным армированием
арматура, расположенная у наиболее удаленной от про-
дольной силы грани элемента, не будет иметь напряже-
ний, равных /?8, поэтому в данном случае используется
только условие (3.126).
Второй случай работы нормального сечения возмо-
жен тогда, когда продольная сила /V располагается за
пределами расстояния между равнодействующими уси-
лий в арматуре, расположенной у более растянутой и
менее растянутой граней элемента (рис. 3.35) . При этом
116
сечение имеет сжатую и растянутую зоны, и расчет про-
изводится по общей методике, рассмотренной ранее. Для
внецентренно растянутых элементов еще в большей сте-
пени, чем для изгибаемых элементов, продольная растя-
нутая арматура работает, как правило, с напряжения-
ми, равными пределу текучести R„ или выше его, по-
этому прочность рассчитывается из условия
Ne'^RbSb+RtcS., (3.127)
а высота сжатой зоны определяется из уравнений рав-
новесия
RbAb==RaAt—R3eA',—N, (3.128)
В том редком случае, когда сечение оказывается пе-
реармированным, т. е. напряжения в арматуре не дос-
тигают предела текучести Rs и относительная высота
сжатой зоны g превышает граничное значение gR, так
же, как для изгибаемых элементов, несущая способность
за границей переармирования принимается постоянной и
равной соответствующей величине иа границе переарми-
рования, т. е. в расчетное условие подставляется значе-
ние g, равное gR. Если высота сжатой зоны получается
меньше нуля, расчет производится без учета сжатой ар-
матуры или из условия (3.126).
3.2.15. Практические методы расчета
внецентренно растянутых элементов
Проверка прочности. Сперва определяют эксцентри-
ситет е' продольной силы относительно арматуры S',
наиболее удаленной от продольной силы. Если e'<_h0—
—а' — будет первый случай внецентренного растяже-
ния, и прочность сечения проверяется из двух условий:
Ne'^RsAe(,hQ—а'); (3.129)
Ne^R3A'a(ha—a'). (3.130)
Очевидно, при симметричной арматуре (когда RSAS=
=RSA'S), достаточно проверить только условие (3.129).
Если e'^hg—a' — имеем второй случай внецентрен-
ного растяжения, и прочность сечения проверяется ана-
логично изгибаемым элементам из условия
№?< Rbbx (ha—0,5х) +/?SCX's (й0—а'). '(3.131)
где высота сжатой зоны х определяется из уравнения
равновесия продольных сил по формуле
х = (R.A.-R.eA'.-N)l(Rbb), (3.132)
117*
• Приведенные формулы даны для прямоугольной фор-
мы сжатой зоны шириной Ь, что характерно для вие-
центренно растянутых элементов, в которых значения х,
как правило, невелики.
Для сечений с полкой в сжатой зоне можно приме-
нить условие (3.132), принимая b — b'f, если значение х
оказывается меньше высоты сжатой полки Л'/. В про-
тивном случае высота сжатой зоны х находится по фор-
муле
Rs Rsc A s~~ Rb (bf~~ b) hf—N
x _------------------- -------------L-------, (3. i33)
а условие прочности имеет вид
Ne^.Rbbx(ha—0,5х) (&'/—&) h'f (ft0—0,5/1' у) +’
-j-Rs<iA't[hg—a'). (3.134)
При этом значение х принимается не более
Если значение х оказывается меньше нуля, расчет
элементов так же, как при изгибе, следует производить
из условий (3.131) и (3.132) без учета сжатой армату-
ры, принимая плечо внутренней пары сил (Ло—0,5х) не
менее hQ—а'. Видим, что если плечо внутренней пары
сил равно ho—а', условие (3.131) становится идентич-
ным условию (3.129). Поэтому для упрощения расчета
элементы с симметричной ненапрягаемой арматурой
(т. е. когда RsAa=RscA's и х<0) независимо от величи-
ны е' с некоторым запасом можно проверять только из
условия (3.129).
Если высота сжатой зоны, определенная без учета
сжатой арматуры, х— (RaAs—N)l(Rbb) будет меньше
2а', можно учесть повышенную несущую способность,
проверяя прочность без учета сжатой арматуры.
Как было показано ранее, при применении арматуры
из твердых сталей ее расчетное сопротивление Ra при-
нимается с учетом коэффициента условий работы ys.
При первом случае внецентренного растяжения этот
коэффициент принимается равным его максимальному
значению т), поскольку сжатая зона практически отсут-
ствует и £=0. При втором случае внецентренного рас-
тяжения этот коэффициент определяется по относитель-
ной высоте сжатой зоны &=x/h0, вычисляемой по фор-
муле (3.132).
Подбор необходимой арматуры при первом случае
118
внецентренного растяжения (e'^.h0—а') следует произ-
водить по формулам:
A^N'el[R4h<r-a')]', A'.=Nel[R,(h9-a')l (3.135)
При втором случае внецентренного растяжения
F(e'>h0—а') подбор растянутой арматуры выполняют в
следующем порядке. Из условия равновесия моментов
определяют высоту сжатой зоны х:
Ne= Ri>bx( ha—Q$x) -[-/?,СЛ ’> (Ло—a'};
I /,ne — Rsc A!s(h9 — a')
x = ft0— |/ ft0 0,5/?& ’ (3.136)
Затем из уравнения равновесия продольных сил вычис-
ляется необходимое значение
A. = (Rbbx+R.eA',+N)IRt. (3.137)
Здесь b — ширина сжатой зоны.
Если значение х превышает gB/i0> то следует увели-
чить ненапрягаемую сжатую арматуру или класс бето-
на так, чтобы значение х оказалось по крайней мере
равным 5я/1о- Если для тавровых или двутавровых сече-
ний значение х превышает высоту сжатой полки h'f, ар-
матуру подбирают по формуле (3.63) с добавлением в
числителе значения N и при значении х, найденном по
формуле (3.62) с заменой М на Ne. Если значение х
оказывается меньше нуля, площадь арматуры .4, опре-
деляется по формуле (3.135). При необходимости это
значение As можно уменьшить, если высота сжатой зо-
ны х', вычисленная по формуле (3.136) без учета сжа-
той арматуры, окажется меньше 2а'. В этом случае А»
находится по формуле (3.137) при х—х' и A's=0.
Расчет на косое внецентренное растяжение элемен-
тов прямоугольного сечения. При действии на симмет-
рично армированный элемент прямоугольного сечения
моментов в двух направлениях Мх и Му и растягиваю-
щей продольной силы N расчет производится следую-
щим образом. При первом случае внецентренного растя-
жения, когда продольная сила располагается внутри
контура арматуры, т. е.
Mx/N<ax; Mf/N<av
(рис. 3.36), расчет ведется с учетом всей арматуры
SAsi из условий:
M^(2,R,A,f—N}ax-. (3.138)
MII^C&R,A„-N)av. (3.139)
119
Рис. 3.36. К расчету эле-
ментов на косое внецент-
ренное растяжение
1 — плоскость действия момен-
та; 2 — точка приложения про-
дольной СИЛЫ
При втором случае внецентренного растяжения мож-
но воспользоваться кривыми взаимодействия, построен-
ными для косого внецентренного сжатия (см. рис. 3.30).
С некоторым запасом можно использовать кривые, со-
ответствующие ап=0. При этом вычисляют предельные
моменты Л!Жи, Муи, действующие в осях х и у при на-
личии растягивающей силы в центре тяжести сечения,
равные правым частям условий (3.138) и (3.139).
Прочность сечения будет обеспечена, если точка с
координатами Мх1Мхи и Му1Муи находится между кри-
вой взаимодействия и осями координат.
3.3. Расчет железобетонных элементов
по наклонным сечениям
3.3.1. Формы, разрушения
При совместном действии изгибающих моментов и
поперечных сил в железобетонном элементе возникает
система наклонных трещин, разделяющих элемент на от-
дельные блоки, которые связаны между собой продоль-
ной арматурой в растянутой зоне, поперечной армату-
рой и нетреснувшей частью бетона над вершиной на-
клонной трещины в сжатой зоне (рис. 3.37). Разруше-
ние железобетонного элемента может происходить по
наклонной трещине при текучести поперечной арматуры
от разрушения бетона над вершиной наклонной трещи-
ны (разрушение по сжатой зоне) или от текучести, или
нарушения анкеровки продольной арматуры (разруше-
ние по растянутой зоне). Разрушение по сжатой зоне
наблюдается при сильной, хорошо заанкеренной про-
дольной арматуре, а разрушение по растянутой зоне —,
120
a)
местном действии моментов и поперечных сил
о — по наклонной трещине и сжатой зоне бетона; б —по наклонной тре«
щине и растянутой арматуре; в — по сжатому бетону между наклонными
трещинами
напротив, при ослаблении продольной арматуры в про-
лете в результате ее обрывов или ослабления анкеровки
продольной арматуры на опорах. Помимо разрушения
железобетонного элемента по наклонной трещине мо-
жет произойти разрушение бетона в блоках между на-
клонными трещинами. Этот вид разрушения наблюдает-
ся при сильной поперечной арматуре и слабой тонкой
стенке в тавровых и двутавровых элементах.
В результате расчет, требующийся для обеспечения
прочности железобетонного элемента, сводится к двум
основным случаям. Первый — это расчет по наклонной
трещине, по сжатой и растянутой зонам, и второй — по
бетонному блоку (или наклонной бетонной полосе),
расположенному между наклонными трещинами.
3.3.2. Расчет по наклонной трещине
Рассматривается расчетная схема внутренних сил,
действующих по наклонному сечению, проходящему по
наклонной трещине и бетону под ее верщиной. В общем
121
случае в этом наклонном сечении действуют: продольная
и поперечная составляющая сил в бетоне под наклон-
ной трещиной, продольная и поперечная составляющие
сил в поперечной арматуре (хомутах и отгибах), кото-
рые пересекают наклонную трещину, продольная и по-
перечная составляющие сил в продольной арматуре, пе-
ресекающей наклонную трещину, продольная и попереч-
ная составляющая сил зацепления по берегам наклон-
ной трещины. Расчет в общем виде должен производить-
ся из совместного решения трех уравнений равновесия
внутренних и внешних продольных сил и моментов для
блока железобетонного элемента, выделенного наклон-
ным сечением SQ=0, 2Л1=0. Предельное со-
стояние по сжатой и растянутой зонам определяется со-
ответствующими усилиями, вводимыми в общую систе-
му уравнений.
Следует отметить, что решение этой задачи в общем
виде встречает большие трудности и до сих пор еще не
найдено приемлемого решения. Поэтому для практиче-
ских инженерных расчетов используют приближенные
приемы и методы.
Согласно указаниям норм расчет по сжатой и рас-
тянутой зонам наклонной трещины выполняется неза-
висимо один от другого. При этом для оценки прочно-
сти по сжатой зоне используется уравнение равновесия
поперечных сил, а по растянутой зоне — уравнение рав-
новесия моментов в наклонном сечении, считая, что раз-
рушение по сжатой зоне происходит при преимущест-
венных деформациях сдвига, а разрушение по растяну-
той зоне — при преимущественных деформациях пово-
рота двух блоков, разделенных наклонной трещиной,
относительно один другого.
Соответственно эти два случая рассматриваются как
расчет по наклонному сечению на действие поперечных
сил и расчет по наклонному сечению на действие изги-
бающих моментов.
3.3.3. Расчет железобетонных элементов
по наклонным сечениям на действие
поперечных сил
Расчетное условие. Рассчитывают железобетонные
элементы по наклонным сечениям, проходящим по на-
клонной трещине, на действие поперечных сил из ус-
ловия
122
QsSQ.4. (3.140X;
где Q — поперечная сила от внешней нагрузки, действующая в рас-
сматриваемом наклонном сечении; QSb — внутренняя поперечная си-
ла, воспринимаемая арматурой и бетоном в наклонном сечении.
Поперечная сила Q в наклонном сечении. В данном
случае рассматривается система внешних и внутренних
сил, приложенных к блоку железобетонного элемента,
отделенному наклонным сечением, проходящим по на-
клонной трещине. Поэтому и поперечная сила Q от
внешней нагрузки, действующая в наклонном сечении,
находится как суммарная величина (или равнодейст-
вующая) всех поперечных сил от внешней нагрузки,
приложенной к рассматриваемому блоку (рис. 3.38).
Поперечная сила в наклонном сечении определяется как
проекция на нормаль к продольной оси элемента рав-
нодействующих всех внешних сил, которые действуют
на элемент по одну сторону от рассматриваемого наклон-
ного сечения.
Независимо от того, где приложены нагрузки (свер-
ху, снизу или в пределах высоты элемента), а также в
каком направлении она действует, всегда следует исхо-
123
дить из общего правила, рассматривая приопорную часть
элемента, отсеченную наклонным сечением от остальной
части. Таким образом, отличие поперечной силы в нак-
лонном сечении от обычной поперечной силы в нормаль-
ном сечении состоит в том, что для ее определения рас-
сматривается часть элемента, отсеченного по нормаль-
ным и наклонным сечениям. При вычислении расчетной
поперечной силы в наклонном сечении следует учиты-
вать: расположение внешней нагрузки в пределах бло-
ка, отделенного наклонным сечением, по длине элемен-
та; расположение внешней нагрузки в пределах блока,
отделенного наклонным сечением, по высоте элемента.
Если нагрузка приложена к верхней с точки зрения
наклонного сечения грани элемента, то расчетная попе-
речная сила в наклонном сечении будет выражаться
Q == Qmax— (Sfi+qc), (3.141)
где Qmax — поперечная сила на опоре; S/ч, q— сосредоточенные и
равномерно распределенные нагрузки в пределах блока, отделен-
ного наклонным сечением.
Отсюда видно, что нагрузка, приложенная в преде-
лах блока, отделенного наклонным сечением, уменьша-
ет поперечную силу в наклонном сечении по сравнению
с поперечной силой на опоре.
Если эта нагрузка (или часть ее) является времен-
ной и может быть перемещена, то может оказаться, что
ее отсутствие только в пределах блока, отделенного нак-
лонным сечением, приводит лишь к незначительному об-
щему уменьшению поперечной силы на опоре элемента,
но к существенному локальному увеличению поперечной
силы в рассматриваемом наклонном сечении, так как
разгружающее действие этой нагрузки уже не учитыва-
ется. Поэтому при наличии временной нагрузки следует
рассматривать наиболее"невыгодный вариант с точки
зрения загружения участка элемента, отсекаемого нак-
лонным сечением. Наиболее осторожное и простое ре-
шение состоит в том, что поперечная сила на опоре
вычисляется от полной нагрузки, а при определении по-
перечной силы в наклонном сечении разгружающее вли-
яние временной нагрузки не учитывается.
Если нагрузка располагается не по верхней грани
элемента, а на некотором уровне в пределах высоты
элемента, то следует учитывать возможное неблагопри-
ятное положение наклонного сечения, которое находит-
ся над площадкой приложения нагрузки. Тогда, оче-
124
Рис. 3.39. Усилия, действующие на блок элемента, отделенный се*
чением, проходящим через наклонную трещину
видно, разгружающее действие нагрузки, расположен-
ной под наклонным сечением, не может быть учтено, и
расчетная поперечная сила определяется от действия
нагрузок, непосредственно приложенных к блоку над
наклонным сечением.
Поперечная сила Qsb в наклонном сечении. В общем
случае поперечная сила Qsb в наклонном сечении, про-
ходящем через наклонную трещину, слагается из попе-
речных составляющих усилий в бетоне под наклонной
трещиной, в арматуре, пересекающей наклонную трещи-
ну, и сил зацепления, которые действуют по берегам
наклонной трещины. Однако пока еще не найдено удов-
летворительных методов определения каждой из этих со-
ставляющих, поэтому в инженерных расчетах, как пра-
вило, выделяются две компоненты поперечной силы Q8&:
поперечная сила Qs, воспринимаемая поперечной арма-
турой, и поперечная сила Qb, воспринимаемая бетоном
(рис. 3.39),
QSb=Qb+Q.. (3.142)
Поперечная сила Qs, воспринимаемая поперечной ар-
матурой. Железобетонный элемент по наклонной трещи-
не разрушается в целом при достижении напряжениями
в поперечной арматуре, пересекающей наклонную тре-
щину, сопротивлений арматуры растяжению Ra. Тем не
менее при вычислении общей поперечной силы Qs, вос-
принимаемой поперечной арматурой в наклонной тре-
125
щине, следует считаться с неодинаковым растяжением
стержней поперечной арматуры по длине наклонной тре-
щины и с неопределенностью положения концов наклон-
ной трещины относительно дискретно расположенных по
длине элемента стержней поперечной арматуры. Эти об-
стоятельства могут быть учтены с помощью коэффици-
ентов условий работы и уя2 (см. п. 2.3), которые при-
водят к пониженным расчетным сопротивлениям, при-
нимаемым для поперечной арматуры RSw=VsiVs2Rs- В ре-
зультате поперечная сила Qs определяется как суммар-
ная величина усилий в отдельных стержнях поперечной
арматуры с расчетными сопротивлениями Rsw на неко-
торой расчетной длине с0 проекции наклонной трещины
на продольную ось элемента (см. рис. 3.39).
Для поперечных стержней, нормальных к продоль-
ной оси элемента, усилие Qs вычисляется по формуле
3W>
(3.143)
а для поперечных стержней (отгибов), наклонных к
продольной оси элемента, по формуле
Qa, inc=z£Rau>Aa. <nc SlTl 0, (3.144)
где 0 — угол наклона стержней к продольной оси элемента.
Если поперечные стержни на некотором участке эле-
мента располагаются равномерно (с одинаковым шагом
и одинаковым диаметром и достаточно близко один к
другому, что определяется обычно конструктивными тре-
бованиями), то их можно рассматривать как попереч-
ную арматуру, непрерывно распределенную по длине
элемента, и усилие Qsw находится по формуле
Qaw===QawCot (3.145)
где qam — интенсивность усилия в поперечной арматуре на едини-
цу длины элемента, q,w = RawAaw/S-, с0 —длина проекции наклонной
трешины.
Поперечная сила Qb, воспринимаемая бетоном, опре-
деляется из анализа опытных данных. Установлено, что
основными компонентами, характеризующими попереч-
ную силу Qb, являются: прочность бетона на растяже-
ние Rbt, ширина сечения b и рабочая высота сечения /i9,
т. е. исходным выражением для поперечной силы Q&
будет Rbtbho. Установлено также, что поперечная сила Q*
существенно зависит от так называемого относитель-
126
ного пролета среза с/й0*, т. е. от относительного рас-
стояния от сжатой зоны бетона над вершиной наклон-
ной трещины до опоры (см. рис. 3.39). С увеличением
с/йо происходит резкое падение поперечной силы Qb, ко-
торое приближенно описывается для средних значений
с/й0 гиперболической зависимостью
ф»! Rbt bh, Rm bhf
---------- или-------------.
При малых и больших значениях относительного проле-
та среза поперечная сила Q сохраняет близкие к посто-
янным значениям соответственно Qb,max=2,5Rblbha и
Qb,min=<f>b3Rbtbh0. В результате для обычных изгибае-
мых элементов прямоугольного сечения поперечная си-
ла Qb определяется по формуле
<2г. = Ф«Л,М2о/с, 13.146)
но не более 2,5Rbtbh0 и не менее <рьзКыЬ1г0.
Численные значения коэффициентов и фь3 полу-
чаются из обработки опытных данных. Для тяжелого
бетона эти значения фь2=2 и <р&3=0,6. Для бетона дру-
гих видов в.соответствии с экспериментальными данны-
ми принимаются такие или пониженные значения коэф-
фициентов:
для мелкозернистого бетона . . . <р*,=1,7; <рг>а==0,5;
для легкого бетона:
при марке по средней плотно-
сти D 1900 и более..............Ф*»*=1 >9; фг,з=0,5;
при марке по средней плотно-
сти D 1800 и менее:
при мелком плотном запол-
нителе ...................... фг,, = 1,75; <рг>3=0,4;
при пористом мелком за-
полнителе ................фг>1 = 1,5; Фй8=0,4;
для ячеистого бетона................Фйз=2; <рг,з=0,6.
Эксперименты показали, что наличие полки, распо-
ложенной в сжатой зоне элементов таврового и двутавро-
вого сечений, существенно увеличивает прочность элемен-
та по наклонному сечеиию (рис. 3.40). Для учета сжатой
полки в расчетную зависимость вводится специальный
* В СНиП 2.03.01. — 84 и в пособиях пролет среза с назван
проекцией наклонного сечения.
127
al
№ttMa
Рис. 3.40. Изменение разрушающей нагрузки в тавровых балках
в — с увеличением ширины свесов полки; б — с увеличением высоты полки
коэффициент фу, связанный с геометрическими размера-
ми полки, полученный из анализа опытных данных,
ф/= 0,75 —(3.147)
В этом случае сила Qb определяется по формуле
04=Фб2(1+ф/)/?«т/с (3.148)
Следует отметить, что сопротивление действию попе-
речных сил оказывает не вся полка, а только часть ее,
примыкающая к ребру, причем тем ббльшая, чем зна-
чительнее высота полки, поэтому в расчет вводятся све-
сы полки b'f—b, не превышающие утроенной высоты
полки ЗА/.
Сжатая полка будет эффективно включаться в рабо-
ту на действие поперечных сил только в том случае,
если она связана с ребром поперечной арматурой, в свя-
зи с чем учет сжатой полки производится только в эле-
ментах с поперечной арматурой, надежно заанкеренной
в полке. Кроме того, для обеспечения эффективной ра-
боты сжатой полки требуется также армирование самой
полки в поперечном направлении. Полки, расположен-
ные в растянутой зоне, как показывают отдельные экс-
перименты, не дают существенного увеличения несущей
способности элементов при действии поперечных сил. Из
128
Рис. 3.41. Влияние про-
дольной сжимающей си-
лы на поперечное уси-
лие, воспринимаемое бе-
тоном
2 —опытный график; 2
расчетный график
осторожности коэффициент <р/ принимается не более 0,5,
т. е. повышение несущей способности элемента по на-
клонным сечениям за счет дополнительного влияния
сжатых полок учитывается не более чем до 1,5.
Эксперименты показали, что продольные силы—
сжимающие и растягивающие — существенно влияют на
прочность железобетонных элементов при действии по-
перечных сил, причем сжимающие влияют положитель-
но, т. е. увеличивают прочность элементов по наклонным
сечениям, а растягивающие — отрицательно, т. е. умень-
шают прочность элементов по наклонным сечениям
(рис. 3.41). Влияние продольных сил учитывается коэф-
фициентом <р„, полученным из анализа эксперименталь-
ных данных, который для продольных сжимающих сил
определяется по формуле
Ф„=0,1Л7(Я6№), (3,149)
а для продольных растягивающих сил — по формуле
<ря=0,2Л7(Яь№). (3.150)
В этом случае сила находится по формуле
Qi,=<pM(l±<Pn)/?6f6^20/c. '(3.151)
Коэффициент <р„ при наличии продольных сжимаю-
щих сил вводится в формулу (3.151) со знаком «плюс»,
а при наличии продольных растягивающих сил — со зна-
ком «минус».
Из осторожности коэффициент <р„ при действии про-
дольных сжимающих сил принимается не более 0,5, т. е.
повышение несущей способности элемента по наклонным
сечениям за счет дополнительного воздействия продоль-
ных сжимающих сил учитывается не более чем до 1,5.
В то же время, чтобы ие слишком занизить несущую
способность, коэффициент <ря при действии продольных
растягивающих сил принимается не более 0,8 (по абсо-
лютной величине), т. е. понижение несущей способности
5 Заказ № 298 J29
элемента по наклонным сечениям вследствие дополни-
тельного воздействия продольных растягивающих сил
учитывается не более чем до 0,2.
В качестве продольных сжимающих сил, повышаю-
щих несущую способность элементов по наклонным се-
чениям, учитывается также и усилие предварительного
обжатия напрягаемой арматурой. При этом в расчет
вводится только усилие от напрягаемой арматуры, рас-
положенной в растянутой зоне. Следует отметить, что
положительное влияние продольных сжимающих сил, в
том числе и от усилия предварительного обжатия, учи-
тывается только в том случае, если эти усилия дают мо-
мент, обратный моменту от поперечных сил.
В целом, при наличии сжатых полок и продольных
сил, например в тавровых и двутавровых предваритель-
но напряженных элементах, поперечная сила Qb опре-
деляется по формуле
Q6=Ah,/c, (3.152)
где
Mb=q>bdl+<ff+<fn)Rt>tbh2<). ' (3.153)
При этом суммарный поправочный коэффициент, учи-
тывающий влияние сжатых полок и продольных сжима-
ющих сил ф/4-фп также из осторожности принимается не
более 0,5, т. е. повышение несущей способности элемен-
та по наклонным сечениям за счет совместного воздейст-
вия обоих этих факторов учитывается не более чем
до 1,5.
Расчетная длина проекции наклонной трещины. Важ-
ным моментом является определение длины с0 проекции
наклонной трещины на продольную ось элемента, на ко-
торой учитывается усилие в поперечной арматуре. Пред-
положим, что длина наклонной трещины совпадает с
пролетом среза с. Рассмотрим, как изменяется несущая
способность элемента по наклонному сечению, т. е. сум-
марная величина поперечных сил Q& и Qs, воспринимае-
мых бетоном и поперечной арматурой, с изменением
длины с (см. рис. 3.42). При увеличении длины с попе-
речная сила Qb уменьшается, так как эта сила, соглас-
но формуле (3.152), обратно пропорциональна длине с,
а поперечная сила Qs увеличивается, так как, согласно
формуле (3.145), она прямо пропорциональна длине с.
При определенной величине с, равной с0, поперечные си-
лы Qb и Qs становятся взаиморавными, т. е.
Qt>—Qs,
130
откуда
МЬ! Cq — QswCfy
и длина Co
c0 = VMblqsw. (3.154)
Эта длина соответствует минимуму несущей способ-
ности, т. е. минимальному суммарному значению попе-,
речных сил Qb и Qs, определяемому из уравнения
rf/dcCQs+Qa) =0
или
rf /ЛЬ \ п
ас \ с + ^Sw с) = 0’
М» , п
--------------------- с‘ + Qsw = б,
откуда длина с0 также равна:
Со = / Mblqsw. (3.155)
Таким образом, получается, что при длине с, мень-
шей с0= VMb/qsw, несущая способность Qb+Qs с уве-
личением длины с снижается до тех пор, пока при с, рав-
ной с0, не достигнет минимума, а затем при дальней-
шем возрастании длины с свыше с0 увеличивается. Од-
нако это противоречит опытам, из которых следует, что
с ростом длины с несущая способность элемента с по-
перечной арматурой постоянно уменьшается. Чтобы
снять это противоречие, необходимо остановить увеличе-
ние поперечной силы Qs после того, как длина с оказы-
вается больше с0, т. е. принять длину наклонной трещи-
ны, на которой учитываются усилия Qs в поперечной ар-
матуре, постоянной и равной с0. В результате, после
того, как длина с перешла граничное значение с0, с рос-
том с поперечная сила Qb продолжает уменьшаться, а
поперечная сила Q3 остается постоянной, а в целом сум-
марная поперечная сила Qb+Qs также снижается
(рис. 3.42).
Таким образом, длина проекции наклонной трещи-
ны, на которой учитываются усилия в поперечной арма-
туре, при длине с, меньшей с0, принимается равной с, а
при длине с, большей с0, принимается равной Со. Или
другими словами — длина проекции наклонной трещины
принимается с0, но не более длины с.
Следует обратить внимание, что длина с0 зависит от
интенсивности поперечного армирования qsw', с умень-
шением qsw она увеличивается, а с увеличением qsw—
5* 131
Рис. 3.42. Изменение усилий, воспринимаемых хомутами и бетоном
при увеличении относительного пролета среза
уменьшается, что в целом соответствует опытным дан-
ным. Однако в реальных условиях увеличение длины с0
не может быть безграничным, поэтому устанавливаются
некоторые пределы изменения с0, основанные на опыт-
ных данных. Принимается, что длина с0 не должна быть
больше 2h0 и не меньше Ао, если, разумеется, с больше,
чем h0.
В общем случае при любом поперечном армирова-
нии принято условие, что длина с0 проекции наиболее
опасной наклонной трещины находится из минимума
суммарного выражения, определяющего несущую спо-
собность элемента по наклонной трещине, т. е. из мини-
мума выражения Qb+Q™>+Qs, inc, где в величине Q&
учитывается та же длина наклонного сечения, что и при
вычислении усилий Qsw и Qs, inc, т. е. при с=с0.
Минимальное поперечное армирование. При неболь-
шом количестве поперечной арматуры существует опас-
ность, что после образования наклонной трещины попе-
речные усилия, воспринимаемые до этого бетоном, не
132
смогут быть восприняты поперечной арматурой и прои-
зойдет внезапное хрупкое разрушение элемента. Особен-
но это опасно при больших пролетах среза, когда при
действии поперечной силы разрушение наступает сразу
вслед за образованием наклонной трещины. Для того
чтобы быть гарантированным от внезапного хрупкого
разрушения, поперечную арматуру следует устанавли-
вать в количестве не менее некоторого минимального
предела, при котором она может полностью воспринять
поперечную силу, воспринимаемую в этом случае бе-
тоном.
При больших пролетах среза поперечная сила, вос-
принимаемая бетоном, определяется минимальной вели-
чиной Qb
Qb. min =фбз(1+ф/+фп)Лб(&/1о, (3.156)
а поперечная сила, воспринимаемая поперечной армату-,
рой — величиной Qs при максимальной длине проекции
наклонной трещины, равной с0=2/г0;
Qs e <7swCo==: Ц iw (2/lo) «
Из равенства Qbmin=Qs или
фи (1 +ф/+фп) Rb t ь ho = 2qSwha
получим минимальное количество поперечной арматуры
<?sw, т/п3=фьз( 1 +ф/ + фп)Лб<&/2 (3.157)
или соответственно условие для поперечной арматуры
<7«ю>фи(1+ф/+фп)Ям6/2. (3.158)
Помимо хрупкого разрушения минимальное ограни-
чение поперечной арматуры предохраняет от чрезмерно-
го раскрытия наклонных трещин, о чем будет сказано
далее.
Следует отметить, что условие (3.158) содержит оп-
ределенную неточность. Увеличение прочности бетона
Rbi или ширины сечения Ь, вызванное каким-либо иным
соображением, а не расчетом по наклонным сечениям,
ведет за собой одновременное увеличение количества
поперечной арматуры qsw независимо от того, увеличи-
вается нагрузка или нет. Чтобы избежать эту нелогич-
ность, рекомендуется использовать следующий прием.
В расчете можно учитывать и меньшее значение qsw, чем
qsw, min, но одновременно следует вводить в расчет не-
которое условное меньшее значение Rbtb, при котором
133
сохраняется равенство (3.157). Если при этом прочность
обеспечивается, т. е. удовлетворяется условие (3.140), то
увеличения поперечной арматуры не требуется.
При большом шаге поперечной арматуры может про-
изойти разрушение по наклонной трещине, располагаю-
щейся между поперечными стержнями. Во избежание
этого максимальное расстояние между поперечными
стержнями smax должно устанавливаться так, чтобы была
обеспеченна прочность по наклонному сечению как для
элементов без поперечной арматуры, принимая длину с,
равной расстоянию между поперечными стержнями.
Из условия
заменяя значение с на s, имеем
Зтах^^ Ср64 (1 4"СРл ) Rblbh^lQ (3.159 jj
или
5<фИ(1+ф«)ЫВД (3.160)
Следует отметить, что увеличение шага поперечных
стержней приводит к завышению прочности поперечной
силы, воспринимаемой поперечной арматурой в пределах
расчетной длины проекции наклонной трещины, которое
может и не компенсироваться введением коэффициента
условий работы к расчетным сопротивлениям попереч-
ной арматуры. Поэтому устанавливаются дополнительно
конструктивные требования к максимальному шагу по-
перечной арматуры в зависимости от высоты сечения
элемента.
На приопорных участках, равных при равномерно
распределенной нагрузке */4 пролета, а при сосредото-
ченных нагрузках — расстоянию от опоры до ближайше-
го груза, но не менее */4, поперечная арматура должна
устанавливаться с шагом при высоте сечения элемен-
та h:
равной и менее 450 мм........не более й/2 и не
более 150 мм
свыше 450 мм.................не более Л/3 и не
более 500 мм
На остальной части пролета при высоте сечения эле-
мента h свыше 300 мм поперечная арматура устанавли-
вается с шагом не более s/th и не более 500 мм.
Для того чтобы поперечная арматура включилась в
134
работу с расчетными сопротивлениями RaWt она должна
иметь надежную анкеровку по концам. Эта анкеровка
обычно достигается приваркой поперечной арматуры и
продольной арматуры или ее охватом с помощью заги-
ба, обеспечивающих равнопрочность поперечных стерж-
ней и их соединений с продольной арматурой.
Элементы без поперечной арматуры. Некоторые кон-
струкции проектируются без поперечной арматуры. Это,
например, сплошные плиты, многопустотные плиты или
аналогичные часторебристые конструкции высотой ме-
нее 300 мм, балки и ребра менее 150 мм. В этом случае
прочность по наклонным сечениям должна быть обес-
печена за счет сопротивления поперечным силам только
одного бетона. Железобетонные элементы на действие
поперечных сил рассчитывают из условия
Q<Q6l. (3.161)
Поперечная сила Qbi, воспринимаемая бетоном, оп-
ределяется по формуле, аналогичной формуле (3.151)
для поперечной силы:
Оя=фм(1-|-фп)/чь1&Л2о/с, (3.162)
но не более 2,5Rbtbh0 и не менее фь3(1+фл)/?ь/^о.
Отличие зависимости (3.162) от (3.151) состоит в том,
что численный коэффициент <рм в целях повышения
безопасности для элементов без поперечной арматуры
принимается пониженным по сравнению с коэффициен-
том фЬ2 в формуле (3.151):
для тяжелого и ячеистого бетона . . . . . <p*4=l,5
для мелкозернистого бетона...............ф*4=1,2
для легкого бетона;
при марке по средней плотности D 1900
и более..............................Фй<=1,2
при марке по средней плотности D1800
и менее..............................Фл*=1
Кроме того, в зависимость (3.162) не вводится коэф-
фициент ф/, учитывающий влияние сжатых полок в тав-
ровых и двутавровых элементах, поскольку отсутствует
поперечная арматура, связывающая полку с ребром.
Следует отметить, что при отсутствии нормальных
трещин в зоне действия поперечных сил прочность желе-
зобетонных элементов по наклонным сечениям на дейст-
вие поперечных сил можно оценивать из условия обра-
зования наклонных трещин, определяемых как для
135
сплошного упругого тела, но с уровнем надежности, ко-
торый принимается при расчете по прочности, т. е. при
расчетных сопротивлениях бетона, отвечающих первой
группе предельных состояний.
Для большинства изгибаемых железобетонных эле-
ментов, в том числе предварительно напряженных, оцен-
ка образования трещин производится из условия
(3.163)
Если выразить главные растягивающие напряжения
Omt через нормальные напряжения ах и av и касатель-
ные напряжения гху
+ °у
4mt “ — О
а касательные напряжения через поперечную силу Q
txy — QSred/ {blred) (3.164)
и приравнять главные растягивающие напряжения omj
расчетным сопротивлениям растяжению Rbt
Cmt—Rbt,
то условие (3.163) может быть выражено через попе-
речную силу
/ ах °у
Q < Rt>t у 1 Н—з"
г КМ
°л+°у ITed b
+ Rot Srea '
(3.163а)
При этом предполагается, что уь4=1 (см. п. 4,1.3).
Сравнение условия (3.161) с условием (3.163а) пока-
зывает, что при наличии предварительного напряжения,
влияние которого в условии (3.163а) проявляется через
напряжение ож на уровне центра тяжести сечения, а в
условии (3.161) через коэффициент <ря, в определенных
случаях формула (3.163а) дает более высокое значение
поперечной силы, чем формула (3.161). В этом случае
при отсутствии, как уже указывалось, нормальных тре-
щин для расчета используется условие (3.163а)..
Возможность образования нормальных трещин про-
веряется также из расчета элемента как сплошного уп-
ругого тела, но с уровнем надежности, который принима-
ется для расчета по прочности, т. е. при расчетных со-
противлениях бетона растяжению Rbt, отвечающих пер-
вой группе предельных состояний. Для предварительно
136
напряженных элементов это условие записывается в
виде
Л1 Vpi+Z3 (ео+г)«
Характерный пример использования условия
(3.166)—многопустотные плиты. Здесь преимущество
формулы (3.166) может проявиться как благодаря учету
предварительного напряжения, так и вследствие более
полного учета формы сечения.
Следует обратить внимание на особенность работы
сплошных широких плит. Согласно решениям, из теории
упругости в широких плитах не сохраняется равномер-
ность распределения касательных напряжений по шири-
не сечения. У свободных краев касательные напряжения
резко возрастают, а в середине, напротив, существенно
уменьшаются по сравнению со значениями, получающи-
мися из формулы (3.164), таким образом, что суммарная
эпюра касательных напряжений по всему сечению отве-
чает поперечной силе Q. При этом с увеличением шири-
ны плиты эта неровность распределения касательных на-
пряжений все более и более возрастает.
Чтобы воспринять этот всплеск касательных напря-
жений, у свободных краев плит следует устанавливать
специальную поперечную арматуру. В этом случае со-
ответственно может быть увеличена предельная попе-
речная сила Qb, воспринимаемая бетоном, за счет по-
нижения касательных напряжений в пределах сечения
плиты. То же самое относительно увеличения попереч-
ной силы Qt, может быть отнесено и к плитам, имеющим
закрепления по боковым краям в виде опор или примы-
кающих элементов, которые могут воспринять всплески
касательных напряжений. Подробнее см. на с. 160.
3.3.4. Практические методы расчета элементов,
армированных хомутами без отгибов,
на действие поперечной силы
Расчет на действие равномерно распределенной на-
грузки q. Элементы постоянной высоты сечения. Как
уже указывалось (п. 3.3.3), длина проекции наклонно!)
трещины с0, определяющей поперечное усилие Qsw, вос-
принимаемое хомутами, всегда принимается равной наи-
меньшему значению из трех величин: с, 2h0 и V MblqSw.
При этом, если К Mblqsw<.ho, Со, следует принимать
137
равным h0, но не менее с. Следовательно, предельное
значение поперечной силы на опоре Qmax должно вы-
числяться по четырем разным формулам, соответствую-
щим четырем случаям. _____
Случаи 1. Со— 1^” MblQsw^^hb Т. е. Qsw===^su?l^'М-ъ!Qsw —
— КMbqsw. Расчетные значения Q, согласно п. 3.3.3, оп-
ределяем в конце наклонного сечения, т. е.
Q = Qmax qc=Q6+Q
Тогда, учитывая, что Qb = Mb/c, имеем
Qmax ~ Мь/с + qc + -/Mbqsw . {3.165)
Находим невыгоднейшее значение с, приравнивая нулю
производную по с правой части выражения (3.165):
dide (Мь/с + qc + •/Mbqsw ) = Мь/с" -f- q — 0.
Отсюда имеем
с = / Мь/q,
и, следовательно,
Qmax = 2 /+ VMb qsw . (3.166)1
Случаи 2. Со——"УМь/qsw т. е. Qsw—=q sw^c- Анало-
гично определяем Qmax
Qmax =M6/c+qc+q ew/lo*
Поскольку, как и в случае 7, Qsw не зависит от с,
с^у^ьй?,
тогда
Qmax = 2 Мь q -f- qsw .(3.167)
Случай 3. с0=с, т. е. Qsw—QswC:
Qmax = Mb/c+qc+q swCe
Аналогично находим невыгоднейшее значение с
dQmax Mb ~\f
-5Г-=-'-+?+^ = 0, с -у
И тогда
Qmax = 2 1^Мь (?4-qsw)- (3.168)
Случай 4. c0—2h0, т. е. Qsw=2h0qsw:
Qmax — Mb/c+qc+ihoQ sw*
Здесь так же, как и в случаях 1 и 2, c=VMblq.
[Тогда
Qmax = 2/Л4(,? + 2Л0 qsw. (3.169)
138
Найдем области применения каждого расчетного слу-<
чая. Поскольку при случаях 1, 2 и 4 расчетные значения
с одинаковы, границы между этими случаями будут оп-
ределяться равенством соответствующих значений с0.
Граница между случаями 1 и 2 будет определяться ра-
венством V Mb/qsw=hQ, т. е. qsw=Mb/h20, а граница
между случаями 1 и 4 — равенством К Mblqsw—2h0,
т. е. qsw= Mb/(4h20). Граница между случаями 1 и 3 бу-
дет, очевидно, определяться равенством
2 У Mb qV Mb q sw = 2 У Мь(ц-\-qsw),
которое после алгебраических преобразований приобре-
тает вид
<7 = 9/16^. (3.170)
Аналогично найдем границы между случаями 2 и 3,
а также 4 и 3:
2/Mbq + qSwh0 = 2 yfMb(q + qsw);
2y/~Mbq + 2?1И, fi0 = 2 /M6(q + qsw).
После алгебраических преобразований эти равенства
приобретают вид соответственно:
q=(Mb-qsah%/4)2/(Mbh20); р.171)
q= (Mb-q„h\yi(4Mbh20). (3.172)
Области распространения расчета по всем четырем
случаям проиллюстрированы на рис. 3.43.
Следует отметить, что при <?sw>Afb//i2() и. (Af&—
—qswh20/4)-l(Mbh20) значение Qmax, как правило, не удов-
летворяет условию (3.253), поэтому при qsw>Mb/h20 нет
необходимости выявлять границу между случаями 2 и 3
по формуле (3.171), а сразу использовать только фор-
мулу (3.167) для случая 2.
Итак, если выполняются условия q^9/16qsw и qsw^
>A4b/(4/i20), имеем случай 1 расчета [формула (3.166)].
Если выполняется условие qsw>Mbh20, имеем случай 2
расчета [формула (3.167)]. Если выполняются условия
<?>9/16<?з«5 и <?> (Мь—qswh20)2/(4Mbh20), имеем случай-?
расчета [формула (3.168)]. Если выполняются условия
qSw<Mb/4h20 и q<. (Mb-—qswh2Q)2/(4Mbh20), имеем слу-
чай 4 расчета [формула (3.169)]. Поскольку формула
(3.172) довольно трудоемка, при выполнении условия
qsw<Mb/4h20 проще проверить дважды прочность на-
клонного сечения по случаям 3 и 4.
139
Рис. 3.43. Область распространения формул для значений с и с0 по
четырем случаям при действии равномерно распред елейной нагруз-
ки q, при постоянной интенсивности хомутов ijsw и постоянном се-
чении
Значение Qb не следует принимать меньше Q6,min=i
'=<рьз(1-|-(р/-|-(рп)/?Ь(Ьй(), поэтому вычисленное значение
с принимается не более (фьэ/фьз) ^о. что для элементов
из тяжелого бетона соответствует 3,33/г0- Однако для
элементов, нагруженных равномерно распределенной на-
грузкой q, с постоянной интенсивностью хомутов это ука-
зание, как правило, приводит к весьма незначительному
увеличению несущей способности, поскольку, зани-
жая с, уменьшается разгружающее влияние .нагрузки q.
Поэтому приведенными указаниями для простоты расче-
та можно пренебречь, что дает весьма небольшой до-
полнительный запас прочности.
Во всех случаях при вычислении расчетного значе-
ния Q учитывалось разгружающее влияние распреде-
ленной нагрузки, приложенной к элементу в пределах
наклонного сечения. Тем не менее при расчете между-
этажных перекрытий чаще имеют дело с эквивалентной
равномерной нагрузкой, когда предполагают, что факти-
ческая временная нагрузка может иметь произвольный
характер, а эпюра изгибающих моментов Af от такой
нагрузки нигде не превосходит эпюру М от принятой
эквивалентной временной нагрузки v. При этом вре-
менная нагрузка может отсутствовать в пределах при-
опорного участка длиной с и тогда учет разгружающего
110
влияния неправомерен. Однако в этом случае значение
Qmax снижается. Определим, как снизится Qmax при са-
мом неблагоприятном случае, т. е. когда временная на-
грузка отсутствует на всей длине с, но изгибающие мо-
менты в конце наклонного сечения от фактической и
эквивалентной временных нагрузок взаиморавньп
^/dc< = Mecv> Qmax, fact С = Q'max.ecv c~v~2 ’
Qmax, fact = Q^xecV~0,5vc.
Отсюда видим, что минимальное уменьшение Qmax
соответствует учёту разгружающего влияния половины
временной эквивалентной нагрузки v. Очевидно, что раз-
гружающее действие постоянной нагрузки g следует
учитывать всегда. Таким образом, при расчете элемен-
тов на действие эквивалентной равномерно распределен-
ной нагрузки значение q в вышеприведенных формулах
следует принимать
<Z=g4-v/2.
Выведем формулы для определения минимально до- пустимой интенсивности хомутов, выражаемой через qSw Введя обозначения QW = 2K Mbq, вычислим значение qsw из формул (3.166) — (3.169): случай I
Qsw ~~~ (Qmax Qdl) %/Мъ* (3.173)’
случай 2 Qsw's=st {Qmax—Q&l)/^0* (3.174).
случай 3 ^w«(Q2max-Q2M)/(4Md); (3.175);
случай 4 ^<w=s (Qmax-~~Qb\)/(2/lo)• (3.176)
Определим границы между приведенными случаями
без использования qsw, подстановкой в формулы границ
соответствующих формул (3.173) — (3.176).
Как было показано ранее, граница между случая-,
ми1 и 2 выражается равенством
После подстановки в него (3.173), получим
Qmax = Qbt4-Mi>/ha.
141
В формулу (3.170) границы между случаями 1 и 3 под-
ставляем (3.173):
9 {Qmax Qin)'
q “ 16 Mb
После алгебраических преобразований, получим Qmax=
= Qbi/0,6.
Аналогично определим формулы для границ между
случаями 1 и 4, а также между 3 и 4:
Mb Qniax Qtn
Л . т ...« „ — ' 17^. .. вве f Ь.. -J— — — •
(Мь — qsw fi0)z
Я ~ 7u 75 > Я — \M i) — (Qmax Qin) Ло),
iIq
n _ о
чтах wi*
Границы между случаями 2 и 3, согласно изложен-
ному выше, можно не выявлять. На рис. 3.44- показаны
области распространения расчета по перечисленным
случаям вычисления qsw.
Отметим, что все формулы, определяющие границы
между четырьмя случаями расчета, можно также вы-
вести из приравнения одна другой формул для qsw смеж-
ных областей. Если значение qsw, найденное как указа-
но выше, не удовлетворяет условию (3.158), то следует
так скорректировать значение Мь, чтобы это условие
удовлетворялось. Поскольку скорректированное значение
Мь зависит от правильного значения qsw, которое пока
неизвестно, пользоваться формулами (3.173) — (3.176) в
этом случае нельзя.
Прежде всего найдем, при каких значениях Qmax не
будет выполняться условие (3.158), т.
< Qfe, min! (2/lo) . В этом случае выражение М)ь/qsw
всегда будет превышать 2/io, поскольку всегда
Mb/Qb,min= ((Pb2/q>b3)h0>2h0. Тогда с0 принимается рав-
ным 2/г0 либо с, а это соответствует случаям 4 либо 3.
При случае 4 расчета значение qsw определяется по
формуле (3.176) и следовательно, условие qsw<Z
t<ZQb,minl2h0 превращается в условие
Qmax — Qbi ^.Qbmin
2h0 ми
Qmax min. (3.177)
142
2(h,mvn, 1JMblh0 =
Рис. 3.44. Области распространения формул для определения ми<
иимально допустимой интенсивности хомутов q™ по четырем слу*
чаям при действии равномерно распределенной нагрузки q и по*
стояииом сечении
143
При случае 3 расчета
QLx~Qh Qb'mi"
---4МЬ---< 2Л, или
Qmax<- Qbi + Qbmln • (3.178)
Теперь выведем формулу для qsw из формул ’(3.168)
и (3.169), соответствующих случаям 3 и 4, подстанов-
кой в них скорректированного значения Мь. Согласно
п. 3.3.3, это скорректированное значение
ЛЬ=2/гМ«Ифм/ф»з).
Тогда для случая 3 имеем
Qmax “ 2 у 2fiaqsw~~ (q + qsw) ,
1 тоз
а после алгебраических преобразований
п „ _ Я- 4- 1/Г—У -4- Г^а<У сз 17Ш
2 + Г V 2/ 2Д, ) 2<р&,‘
Для случая 4 имеем:
1 / 9 ФЙЗ
Qmax = 2 У 2Л0 qsw q -\-'lh^qsw или
r Ч Di
(Qmax । Ф*А ~l/~(Qmax , Ф*А2 (Qmax\2 . йп
MwM" V гаг+w -\^hT) • (3-180)
Весьма часто, когда уац?<Рб, tnin/(2/ip), нагрузка q
настолько мала, что значение c=VMblq превышает
свое предельное значение (фь2/фьз)йо- В этом случае
Qb=Q.b,min, а значение Qb, min принимается таким, что-
бы выполнялось условие'(3.158), т. е. Qb, min=2hoqsw.
Тогда значение qsw следует определять из условия проч-
ности, принимая:
с “ _ fh, Qb 2Ао qsw< Qsw = 2й0 qsxo.
фйг
Q = Qmax— У. 4 ~ Ql> Qsw
то®
= 2Л9 qsw Т 2q^w*
Qmax (фд*/фг>д4 h^q
4sw^ 4Ло
(3.181)
144
Приравнивая правые части формул (3.180) и (3.181),
получим условие применения этих формул
Qmajc фйч 1 /"( Qmax , фйд V / Qmax \
‘2ha "г ф*8 ? — V \ 2до + <P*s ? / \ 2Л0 /
= Qmax~ (ф&з/фм) М/4йо-
После алгебраических преобразований получим
Q max = 3(фб2/ф6з)Лоф,
Таким образом, при Qmox< 3(фь2/фьзЖд следует при-
менять формулу (3.180), в противном случае — форму-
лу (3.181). _____
Случаи, когда с=КЛ16/^> (ф^/фиЖ и при этом
выполняется условие (3.158), как правило, имеют мес-
то в элементах с весьма большим отношением ljha. Кро-
ме того, уточнение определения qsw приводит к незначи-
тельному снижению результатов, поэтому такие случаи
можно специально не рассматривать.
На некотором расстоянии от опоры интенсивность хо-
мутов можно уменьшить. В этом случае следует также
проверить наклонное сечение, заходящее в участок с
меньшей интенсивностью хомутов, причем наиболее опас-
ная трещина будет располагаться в конце участка дли-
ной с, т. е. будет пересекать хомуты меньшей интенсив-
ности по максимальной длине с—Ц [11—длина участка
большей интенсивности хомутов (рис. 3.45)]. Тогда уси-
лие Qsw, воспринимаемое хомутами, выражается фор-
мулой
Qs® == фзоцСо—.(^swl—tfswi) (с—It), (3.182)
где q3Wt и qSW2 — соответственно большая и меньшая интенсивность
хомутов.
Длина проекции наклонной трещины с0 должна со-
ответствовать минимуму выражения Qsw-\-Mb/c0, т. е,
& Ср (Qswi ' ЯswQ (С Л) 4~ М^/Ср]
dca = У>
откуда
44j/Cq= 0, Со = Mj,,qswi .
При этом остаются в силе все ограничения, вводимые
на величину с0. Используя формулу (3.182), выразим
предельное значение опорной поперечной силы Qmax
Qmax^^^b/c-yqgwtCg—.(<7swt—qswi} (с—£3.183)
115
Рис.. 3.45. Схема, принимаемая при расчете элементов с переменной
интенсивностью хомутов
Определим невыгоднейшие значения с приравнива-
нием нулю производной dQmaxIdc. В случае если с0=
•= V" MblQswX'^.C,
В случае если V tAblqaw\>c, принимаем с0=с.
Тогда
Qmax =Mi,/c+q SWC- (qswx—qswi) (с—A) +qct
ИЛИ
Qmax—Мь/с-]- (q-\-qsw2)c-\- (qswi—qsw2)l\’, .(3.185)
dQmaxldc = — (Mb/c*) +<?+<Zw2 = 0,
откуда
c - /MbKq + qsw,). (3.186)
Чтобы выявить границу областей применения фор-
мул (3.184) и (3.186), приравняем значение Qmax, вы-
численное по формуле (3.183) с подстановкой (3.184),
значению Qmax, вычисленному по формуле (3.185), с
подстановкой (3.186). Это равенство после алгебраиче-
ских преобразований принимает вид, аналогичный
l(3.170).:
9
q (qstz'i qи j5 qswi* (3.187)
В случае если К Mb/qswi>2h0 (т. е. при qswi<^i
146
в формулу (3.183) следует подставлять
Со=2йо и тогда указанное равенство после алгебраиче-
ских преобразований приобретает вид, аналогичный
/3.172):
q Qsw*) =
(/Щ —уЛт1 йр)*
(3.188)
Таким образом, можно видеть, что при проверке на-
клонных сечений, заходящих в область с меньшей ин-
тенсивностью хомутов, формулы для невыгоднейшего
значения с и области применения этих формул анало-
гичны выведенным выше формулам и их областям при-
менения при постоянной интенсивности хомутов с заме-
ной значения q на выражение
У—(y«wt—ysws), з qsw на q*wi'
Итак, если выполняются условия:
q (qswt qsw*)"> iQ qswt'
(Mj Qsw^o}^
Я — (Qswi — Qsw*) > 4Mbha
принимаем
c - c„ - /Mb/(q + qsm,).
При невыполнении любого из этих условий и при
q—(qswi—<7slc2)>0 принимаем
............................. ..
' Q (Qs'wi Qsw^y
но не более (фьг/фьз)ho и с0= V Mbfqsw\, но не бо-
лее 2й0.
Область применения различных формул с и с0 пока-
зана на рис. 3.46. Условие (3.188) следует проверять, как
видно из рис. 3.46, только при <7swi<Л46/(4/г20), а это
условие будет выполняться лишь при qsw2> (2грйз/фЪ2)Х
X<7swi~O,6<7swi, что на практике встречается редко. Дей-
ствительно, при <7swi<A4&/(4/i20) и <7««>2<(2фъз/фб2)<7в»1
будет иметь место неравенство
<pz>s Mb Qb.mln
2<p41 “ 2Д. >
т. е. меньшая интенсивность хомутов не будет удовлет-
ворять условию (3.158), что потребует применения в рас-
четах уменьшенного значения Мь, равного 2h2Qqsw2X
147
Рис. 3.46. Области распространения формул для значений с и Со
при наклонном сечении, заходящем в участок с интенсивностью хо-
мутов (fsw2<<lswi, и действии равномерно распределенной нагрузки q
Х(фм/ф*з) (см. ранее), при котором <7swj будет превы-
шать Mb/(4h20).
Зная невыгоднейшее значение с и значение с0, мож-
но из формулы (3.183) определить минимально допусти-
мую длину участка с наибольшей интенсивностью хому-
тов qswi
Мь/С + qswiCo — Qmax4~qc 1fiQ.
А — с —-----------— -----------. (3.1«У)
Ч SW’i
Однако, если при проверке прочности участка с по-
стоянным армированием значение c=V Mblq оказалось
более (фб2/фьз)/1о, невыгоднейшее наклонное сечение,
заходящее в участок с меньшей интенсивностью, очевид-
но, будет иметь с> (фи/фьз)^о- В этом случае невыгод-
нейшее значение с должно превышать длину 1\ настоль-.
148
ко, чтобы наклонная трещина точно размещалась меж-
ду участком длиной 1\ и концом наклонного сечения,
проходя, таким образом, только через участок с мень-
шей интенсивностью хомутов. Тогда c=/j4-Cq. Большее
значение с приводит к уменьшению расчетной внешней
поперечной силы Q при неизменной предельной попе-
речной силе Qu, а меньшее значение с — к большему
увеличению Qu по сравнению с возрастанием Q, по-
скольку в этом случае qswi>q. Значение h тогда опре-
деляется из уравнения
Ртм—•(l;4-Coi)?==Qi>,
откуда
Qmax — (Qb, mln^~ Ч
*1 _ --------------------------_ CgU
(3.190)
Границы применимости этой формулы можно найти
приравниванием формул (3.190) и (3.189) при с==
*= (фь2/фьз)^о- После алгебраических преобразований
полученное равенство приобретает вид
Я a w Г*"Q в w2:в »
т. е. формулу (3.190) следует применять при q<.qsvl\—~
^-qSw2- При этом, если не выполняется условие (3.158)
при qsv,=qsv>2, в формуле (3.190) следует скорректиро-
вать значение Qb.min так, чтобы это условие преврати-
лось в равенство, т. е. принять Qb, min—2haQsw2, а по-
скольку выражение (Qb,min+qsw2Co) представляет собой
предельную поперечную силу в наклонном сечении, то
это выражение не должно приниматься менее нескоррек-
тированного ЗНачеНИЯ Qb.min.
Элементы переменной высоты сечения. Как извест-
но, для элементов с переменной высотой сечения в каче-
стве рабочей высоты принимается наибольшее значение
ho в пределах рассматриваемого наклонного сечения, по-
этому для элементов с высотой, увеличивающейся от
опоры к пролету, значение hQ становится зависящим от
значения с.
Рассмотрим изложенные выше случаи расчета для
балок или плит с высотой, линейной увеличивающейся
от опоры к пролету. Обозначим рабочую высоту в опор-
ном сечении через hoi. Тогда расчетное значение рабо-
149
чей высоты для сечения, проходящего через конец иак-,
лонного сечения, будет
*o=ftoi+c-tg Р, ч
где 0— угол между растянутой и сжатой гранями балки.
Предварительно условно примем, что коэффициенты
<рЬ2(1 +ф/+фп) для опорного сечения и для сечения, про-
ходящего через конец наклонного сечения, равны один
другому. Тогда расчетное значение Мь можно выразить
через это же значение Мь, но вычисленное для опорного
сечения (без учета опорного уширения стенки) —Мы,
f с V
Мь = Мы (J +....- tg PJ,
при этом усилие Qb будет
М/, Мщ . ^Mtn Мт . . o Л
Случай 1.
Cq “== 1/ , T. e. Qsw “ e fl + Qsw*
r Qsw \ “ol /
Предельное значение поперечной силы на опоре
/-> п . г, , Mbt „ Мы М t>i
Qmax “ Qb + Qsw + qc= —- + 2-T— tg P + —T tg’M+
c Й»’ Л01
+ Mb, qsw + + qc. (3.191)
Находим невыгоднейшее значение с, приравнивая ну^
лю производную выражения (3.191):
dQmax Mbi [Мй! , tg р /• ——- 1
—-------= — -д- + —2" fg ₽ + ~Г~ V Мщ qs^, + q = 0.
йе I ^01 J
Приняв qinc= (Albi//t2oi)tg2p, получим
с= 1/---------—у —--------- (3.192)
У q inc Л- q v q inc qsi><
Подставим (3.192) в (3.191). Тогда
Qmax = 21ЛМы (q inc + q + Vq inc qsw) +
+ 2Mftltgp/A0,+ (3.193)
Случай 2.
СЛ = h о > j/~Мь/ qsw, T‘ e‘ Qsw “ qsw he = 4sw f’nt + Vsn, tgP’d
Qmax = 2 tgP +ЧГ + qswh<,i + 4sw Ш ₽c + ?cl
с noi /гП1
150
dQmax ^bi . ! Mbl .... ... \ . i
—Tc--------------- + I "72"fg ₽ + Qsw fg ₽ + q = °;
\ ”01 /
c - /Mbl/(qinc+ q tg P). (3.194)
Qmax” 2/Mbt(q + qtnc + qswtg$)+2Mbiig$lh„-\-qswhH. (3.195)
Случай 3.
Cq —— С, T. в. Qaw==^sw^J
л Af^i Mtn
Qmax = — + 2 -7— tg ₽ 4- —5— tg’ p-c + qsw c 4- qc,
Па' «01
7c~ = — THg ₽ + + q =0;
\ «01 /
c = l^MDjtqinc+q^ + q);
у-_______________ tg 8
Qmax = 2 V Mbi (qinc 4" qsw 4- ?)4"244*, -r .
“01
Случай 4.
cb=2ho, T. e. Qsw=2h0qaw. >
Аналогично определяем с и Qmax’
с = /MbJ(qinc+q + 2qsw tg ₽);
(3.196)
(3.197)
(3.198)
Qmax = 2 if Mbl(q 4- qinc 4- 2qsw tg ₽) 4- 2Mat tg P / h<n 4- 2§4W Л01.
(3.199)
Определим область применения каждого расчетного
случая. Из сопоставления формул (3.192) и (3.194) ви-
дим, что значения с для случаев 1 и 2 будут взаимо-
равны, если qswtg$=V qincq,»», т. е. если qsw=
=Mbi/h20i. А при таком значении q^ усилие Qsw, а сле-
довательно и Qmax для этих случаев также будут взаи-
моравны. Таким образом, границей между случаями 1
и 2 так же, как и для элементов с постоянной высотой
сечения, является равенство
qsw== 44ь|/А%|.
Аналогично находим границу между случаями 1 и 4
q sw=1Лъ\! (4/1^01) •
Граница между случаями 1 и 3 будет, очевидно, оп-
ределяться равенством
2 Умь> (qinc + q + /q тс qsw) + 2Л4й,-Я^ 4- / м bi qsw °-’
»*ol
f tg 3
' = 2 v Mbi (qinc-\-q4- qjo>)4-244bt , ,
“ai
151
Рис. 3.47. Области распространения формул для значений с и с0 по
четырем случаям расчета при линейно изменяющейся высоте сече-
ния и при действии равномерно распределенной нагрузки q
которое после алгебраических преобразований приобрел
тает вид
q = pj /qinc qsw (3.200)
Аналогично определим границы между случаями 2 и
3, а также 4 и 3
2 /Mbl (q + qinc sw tg₽) + Aot = 2 Мы (q +- q inc + qsw)»
2 /Мй(? + q inc+^q₽) + 29jw Й01 —
= 2 /Мы (q + qinc + 9«®)-
После алгебраических преобразований эти
ва будут соответственно
(ЛЪ1 —/ 2M»t
Мы h qj \ йр!
tg р;
равенств
(3.201)
(Мы —
4М
Мы
*01
+ qsw ) tg
(3.202)
+
q
Области распространения расчета по всем четырем
случаям показаны на рис. 3.47.
Следует отметить, что при А4ы//г2О1 и при
(Mb-qswh2mlW _
Мы
( 2Mbt-
к й§2
f ^SW I Q
+ ~2~ I 'g ₽
значение Qmax, как правило, не удовлетворяет условию
(3.253), поэтому при qSw^>^bi/^2oi можно всегда поль-
зоваться только формулой случая 2 (3.195), не прибегая
к формуле (3.201). Поскольку формула (3.202) весьма
152
трудоемка, то при выполнении условия qsW<Mbil(4/i201J
проще условие прочности наклонного сечения проверять
дважды — по случаям 3 и 4.
В случае если сумма коэффициентов (ф/+фл)<0,5
и не равна 0, она становится зависящей от h0, следова-
тельно, и от с. Проследим, как изменяются выведенные
ранее формулы для с. Обозначим коэффициенты фу и
Фп для опорного сечения через фд и фП1 и примем
M'bi = (pb2bh2QiRbt, тогда значение Мь можно выразить
следующим образом»
Мь = ф*5
1 + (ф/j + Фя1) V1
«*о
Rbt =4
- ф*. bh 01 Rbt (1 + tg ₽) +
"+ фйа (ф/1 + ф»1) bhqiRbt tg = .
= М bi + Rf'bi (2 + ф/t + ф«1) с + Mbi "ТГ"с’-
Определим усилие Q&
Qb - —= » ~+м'пп£ (2 + ф/» + %;с'
Проделав аналогичный вывод всех формул для зна-
чений с, видим, что эти формулы не будут отличаться от
ранее выведенных, если за ^,Пс принять выражение
l(Af/6i//i20i)tg2p, т, е.
?.пс = Фи4/?Ь( tg23. ' (3.203)
Таким образом, если сумма коэффициентов фд+фл1
равна нулю или существенно превышает 0,5 (что дает
основание предполагать, что ф/+фл^0,5), значение
Qmax можно вычислить по формулам (3.193), (3.195),
(3.197) и (3.199), принимая в них, а также в условии
(3.200) перехода от случая 1 к случаю 3 q\nC=
= (Mbi//i2oi)tg2p. Если же 0< (фд+фш) ^0,5, значение
Qmax вычисляют по общей формуле (3.191), используя
значения с, определяемые по формулам (3.192), (3.194),
(3.196) и (3.198) при ^inc= (Ж1//г2о1)1§2р = фь2^^ы tg2p.
Следует отметить, что применение этой формулы во всех
случаях может приводить к погрешности в вычислении
Qне более 3 %.
153
При уменьшении интенсивности хомутов от опоры
к пролету (93102) следует также проверить наклон-
ное сечение, заходящее в участок с меньшей интенсив-
ностью хомутов. При этом можно воспользоваться вы-
шеприведенными формулами, предварительно скорректи-
ровав их так же, как для элементов постоянной высоты
сечения, т. е. заменяя q на q—(qswi—q^) и qsw на qswi-
Если 9sW2), следует принять
________А 01____
с = ф/>»/Фй. — tg р
соответствующее Qb— Qb, min- Если длина приопорного
участка балки с переменной высотой сечения оказыва-
ется меньше невыгоднейшего значения с, очевидно, что
расчет наклонного сечения следует производить как для
элемента с постоянной высотой сечения, т. е. без учета
приопорного уменьшения высоты сечеиия.
Рассмотрим консоли с высотой сечения, линейно
уменьшающейся от опоры к свободному концу. Если та-
кие консоли нагружены равномерно распределенной на-
грузкой, то расчетная поперечная сила, действующая на
наклонное сечение, будет Q=qlh где /( — расстояние от
начала наклонного сечения в растянутой зоне до свобод-
ного конца. Следовательно, чем дальше отстоит начало
наклонного сечения от свободного конца, тем больше
будет расчетная поперечная сила. С приближением на-
клонного сечения к опоре увеличивается расчетная рабо-
чая высота й0 и, значит, несущая способность наклонно-
го сечения Qsb также увеличивается. Но, как показывает
анализ формулы для Qst> (см. п. 3.3.3), увеличение Q.&
с ростом /] будет происходить значительно медленнее,
чем увеличение Q. Следовательно, невыгоднейшее на-
клонное сечение следует всегда заканчивать на опоре и
принимать, таким образом, максимальное значение ha
для опорного сечения независимо от длины проекции с.
Принимая li = l~c н Qmax=ql, видим, что расчетное
значение
Q — qli — Qmax—qc,
т. е. определяется по той же формуле, что и значение Q
для балочных элементов. Следовательно, такие консоли
можно рассчитывать так же, как и расчет балок посто-
янной высоты сечения.
154
Расчет при действии сосредоточенных сил. В этом
случае, согласно п. 3.3.3, проверяются все наклонные се-
чения с длиной проекции с, равной расстояниям от опо-
ры до каждой сосредоточенной силы. При постоянной
интенсивности хомутов значение с принимается не более
Фь2Йо/фьз, а при переменной их интенсивности следует
обязательно проверить наклонное сечение, заходящее в
участок с меньшей интенсивностью, даже если с>
>ф&2Йо/фЬЗ.-
При подборе необходимой интенсивности хомутов на-
ходят значение qsw для каждого рассматриваемого на-
клонного сечения при с<фь2й0/фьз- За расчетное прини-
мают наибольшее значение qsw. Трудность определения
значения qsw из общего условия прочности наклонного
сечения даже при известном значении с состоит в том,
что на с0 влияет еще неизвестное значение qm и, кроме
того, если полученное значение qi№ не удовлетворяет
условию (3.158), то следует корректировать значение
Мь опять-таки в зависимости от неизвестного еще зна-
чения qsw.
Выведем формулы для qiw исходя из различных со-
отношений У Mblqsw, с, 2й0 и й0, а условия перехода от
одной формулы к другой определи^, используя эти вы-
веденные формулы. Обозначим через с0 меньшее из ве-
личин с и 2й0. Тогда при V Mblqaw^сQ = Qb+qswCn
и, следовательно,
qsw— (Q—Qb)/c$. (3.204)
Используя формулу (3.204), условие УMblqsw<Co.
можно преобразовать в условие Q<Q&+Qb(c/c0). При
йо^УMb/qsw<,c0 (где й0 принимается не более с) Q =
.= Qb-^-q sw V Mb! qsw t. e.
?«=(Q-Qb)W6. (3.205)
Подставляя (3.205) в приведенное выше условие, по-
лучим Qfe+Qb(c/ft0)>Q>Qb+Qb(c/c0). При Йо»
> У Мь/q SW Q—Qb+qsw^Oi т. е.
gsw—(Q—Qb)i'hs, (3.206)
а условие 710>УМ’У.-;«; превращается в условие Q>
>-Qb+Qb(c/ho). Выясним, как определять qsw, чтобы ус-
ловие (3.158) всегда выполнялось при соответствующей
корректировке Мь.
155
Из п. 3.3.3 следует, что если qaw<Qb,min/(2h0), то
Mb= (2hoqSWIQ Ъ, min )Qbc, тогда Q=Mb/c^qavc0=2h0'%
i^Qb/Qb, minqsw~\~qswCо и, следовательно,
Q
4sv ~ 2A0Qfi/Qfi, min + ce'
(3.207)
После подстановки (3.207) в условие (3.158) имеем
Q<Qi>+Qi>, min (Co/2/lo)
Если ввести обозначение и= (Q—Qb)!Qt>, то все ус-
ловия перехода от одной формулы к другой можно пред-
ставить в более простом виде:
, Qb, ф1п сч Q .
* <*• == Qb 2Л, Qsw ~ Со *
Ио^и<с1со qaw = (Q—Q&)/со»
’с/со<х<с/Ло ?«n> = .(Q—Q^Wsi
K>c[ho qus^lQ-bQbillio.
8.3.5. Расчет элементов, армированных
отогнутыми стержнями, на действие поперечной силы
Для рационального использования продольной арма-
туры вязаных каркасов балок ее отгибают из растяну-
той зоны в сжатую. Эти отогнутые стержни можно
учесть при расчете наклонных сечений. В соответствии
с п. 3.3.3 отгибы, пересеченные наклонной трещиной,
увеличивают несущую способность наклонного сечения
на величину
Qs, lnc%, incRiw sin 0, (3.208)
где Л3, inc — площадь сечения отгибов, пересекающих наклонную
трещину; 0 — угол наклона отгибов к продольной оси элемента.
Порядок расчета следующий. Сначала проверяют на-
клонные сечения со значениями с, равными расстояниям
от опоры до концов плоскостей отгибов (т. е. с—с^ и
с=с2, рис. 3.48), при этом расстояние до первой плос-
кости отгибов можно не учитывать. Для этого по фор-
муле (3.154) определяют значение cQ=cQw — длину про-
екции опасной наклонной трещины, при котором выра-
жение Qd=Mb/cOw-\-qswCow принимает минимальное зна-
чение. Если наклонная трещина пересекает отгибы с не-
сущей способностью Qs.inc, то это же значение Cow так-
же будет соответствовать минимальному значению выра-
жения Qd — Mt>ICQw-\-qswCow~\-Qs, inc.
156
Рис. 3.48. Расчетные наклонные сечения'для элементов, армирован-
ных отгибами (7—4). Хомуты условно не показаны
Рис. 3.49. К определению со при расчете элементов, армированных
отгибами
При пересечении трещиной меньшего количества от-
гибов значение Qd может уменьшиться, несмотря на уве-
личение выражения Л1ь/с0+^5Юс0. Таким образом, за рас-
четное значение с0 принимается либо Cq«jCc, либо мень-
шая длина проекции с0 наклонной трещины, проходя-
щей от конца наклонного сечения до начала плоскости
ранее учтенных отгибов (рис. 3.49). При этом наклонные
трещины, не пересекающие отгибы, могут не рассматри-
ваться. Окончательно принимается Со, соответствующее
минимальному значению Qd.
Затем проверяется наклонное сечение, пересекающее
последнюю плоскость отгибов. Конец этого наклонного
сечения располагается на расстоянии сОи от начала
предпоследней плоскости отгибов (т. е. с = Сз, см.
157
рис. 3.48), и тогда в расчете учитывается только послед-
няя плоскость отгибов при cq=Cqw. При этом длина про-
екции наклонного сечения должна превосходить невы-
годнейшее значение с, определенное как для элемента
без отгибов.
Достаточность удаления от опоры последней плоско-
сти отгибов проверяется расчетом наклонного сечения
без учета отгибов при расположении наклонной трещи-
ны за последней плоскостью отгибов на длине cOw, т. е.
наклонное сечение заканчивается на расстоянии cQw от
начала последней плоскости отгибов (т. е. с=с<, см.
рис. 3.48). При этом наклонную трещину с меньшей дли-
ной проекции с0 не рассматриваем (даже если при ней
значение Qd оказывается меньше, чем при наклонной
трещине, пересекающей последнюю плоскость отгибов),
поскольку в этом случае несущая способность наклон-
ного сечения может оказаться меньше несущей способ-
ности, подсчитанной без учета отгибов. При проверке
прочности наклонного сечения не следует забывать, что
при с> (фЬ2/<рьз)^о принимается Qb = Q Ъ, min- При дей-
ствии на элемент сосредоточенных сил проверяются так-
же наклонные сечения, проведенные от опоры до мест
приложения этих сил.
Расстояния s2 между опорой и концом отгиба, а так-
же между началом предыдущего и концом последующе-
го отгиба (см. рис. 3.48) определяются расчетом наклон-
ного сечения с длиной проекции, равной s2 как для эле-
мента без поперечной арматуры, т. е. из условия
(3.209)
где Q — поперечная сила в поперечном сечении, проходящем через
конец отгиба.
При этом правая часть условия (3.209) может ис-
пользоваться без ограничения ее значением 2,5 Rbtbh0.
Отсюда максимально допустимое значение s2
$2“фб4(1 -\-^n)Rbtbh2olQ, (3,210)
3.3.6. Практические методы расчета элементов
без поперечной арматуры на действие
поперечной силы
Рассмотрим вначале изгибаемые элементы без пред-
варительного напряжения арматуры, т. е. когда <рп=0.
Из сопоставления правой части условия (3.161) и мини-
158
мального ее значения Qb, min “— ffbzRbtbho получим, что
при любой длине проекции наклонного сечения с, пре-
вышающей (<pb4lqb3)h0tt2,5hQ, предельная поперечная
сила неизменна и равна минимальному значению, и
следовательно, расчетное значение с, подставляемое в
формулу (3.162), не должно превышать стах=2,5йо.
Следует отметить, что если поперечная сила близка к
предельному ее значению, то на участке длиной с не-
пременно будут нормальные трещины. Действительно,
даже при отсутствии поперечной нагрузки в пределах с
момент в балке на расстоянии с от опоры будет
М=QmaxC:== =1,5 R ь ibhh,
что значительно превышает момент трещинообразования
AfCrc~0,292/?6tb/i2 (см. п. 4.1.2). Следовательно, мини-
мальное значение поперечной силы, соответствующее об-
разованию наклонных трещин в сплошном элементе,
здесь определять не следует.
Из, сопоставления правой части условия (3,161) и
максимального ее значения получаем, что при любом,
как угодно малом значении с, предельная поперечная
сила не будет превосходить 2,5Rbtbh0. Значит, всегда
должно выполняться условие
'(3.211)
где Qmax— поперечная сила в начале наклонного сечеяия у грани
опоры.
Определим невыгоднейшие значения с. При действии
на элемент сосредоточенных сил, очевидно, невыгодней-
шие наклонные сечения должны быть направлены от
опоры к местам приложения этих сил, поскольку только
при таких положениях наклонных сечений для каждого
постоянного участка эпюры Q значение с максимально,
и следовательно, значение минимально. При дей-
ствии на элемент равномерно распределенной нагруз-
ки q невыгоднейшее значение с находим, приравняв ну-
лю производную от разности между предельной попе-
речной силой Q6l, выражаемой из условия (3.162), и
внешней поперечной силой Q = Qmax—qc
d ( ^biRbtbh^ \ <(btR.bt bhg .
I c Qmax + I = — J» 4-^ = 0,
Отсюда
c «=. ]/"bhhq, (3.212)
159
но не более
Стах— (фы/фьз) до-
предельная поперечная сила у опоры
Quo=Qbi+qc=ybiRbtWo/c+qc. (3.213)
После подстановки в это выражение формулы (3.212)
получим
» 1Г q -1 / Rbtbhq
Quo-WnRbtbho у ^biRbt Ьи; + ? V q
-г]/" ^baRbtbhlq,
Напомним, что эта формула годится лишь при c<Zcmax.
Если же с= Учъ&ыЬ№ь1ц>стаж= (фь4/фьз)Л0, т. е. ес-
ли а< (ф2ьз/фь4)/?ьД то невыгоднейшее значение с рав-
но (фы/фьз) h0, а после подстановки его в выражение
((3.213) получим
Quo=bh0+ (фы/фм) hoq.
Принимая для тяжелого бетона фм=1>5; фьз=0,6;
Ф2ьз/ф64=:0,2.4; фЬ4/фьз=2,5, условие прочности (3.161)
элемента из тяжелого бетона при действии равномерно
распределенной нагрузки q можно записать так:
если Qmax^ 6Rt,sbh2sq, но не более 2,5/?4г&/г0;
если <?< 0,24 Rbtb, Qmax OfiRt>tbho-}-2,5hoq.
Если равномерно распределенная нагрузка q пред-
ставляет собой эквивалентную по изгибающему момен-
ту нагрузку, значение q следует скорректировать в со-
ответствии с п. 3.3.4.
Если элемент представляет собой сплошную плиту
без свободных боковых краев шириной 6>5/i, то исхо-
дя из п. 3.3.3 коэффициент фЬЗ умножается на 1,25, и
тогда указанные условия приобретают вид:
при
<7^0,375/?ь -Qmax^ 6Rt>tbh20q,
при
<7*С0,3757?ь(6 Qmax0,757?ьtbho~[~2hoq*
последнему случаю соответствует значение с=сТОО0С=)
=2,5й0/1,25=2/10.
Если принять для свободно опертой балки значение
Qmax—2 ql/2 и подставить его в первое условие прочно-
160
сти, то можно определить предельную поперечную на-
грузку q из уравнения
— ^biKbtbhlq,
а подставив последнее значение в формулу (3.212), по-
лучим
ч/ qbiRbt bh20
С ==“ 1/ ........... 9
* 16(р£4/(^$Лд
1 4 «
т. е. для свободно лежащих балок (плит)’, нагруженных
сплошной равномерно распределенной нагрузкой, невы-
годнейшее значение с всегда будет равно четверти про-
лета, но не более стах. Аналогичные выкладки для кон-
соли дают невыгоднейшее значение с, равное половине
вылета консоли.
Если сплошная нагрузка линейно изменяется, то вы-
числение невыгоднейшего значения с. связано с реше-
нием кубического уравнения, что делает расчет неоправ-
данно трудоемким. Для упрощения расчета в этом слу-
чае рекомендуется использовать формулу (3.212), при-
нимая за q среднее значение нагрузки в пределах прио-
порного участка элемента длиной 1/4 для балки или Z/2
для консоли, но не более стах- Такой расчет, как прави-
ло, приводит к незначительной погрешности «не в за-
пас». При резком (в несколько раз) изменении нагрузки
в пределах длины с погрешность может заметно возрас-
ти, в этих случаях расчетное значение с рекомендуется
немного уменьшить, если нагрузка убывает от опоры к
пролету, и немного увеличить, если нагрузка возрастет
по сравнению с вычисленным по формуле (3.212).
Если элемент имеет переменную по длине высоту се-
чения, то в условии (3.161) следует принимать за h9
среднее значение рабочей высоты в пределах наклонно-
го сечения. Тогда при линейном изменении высоты сече-
ния расчетное значение h0 будет
feo=A01:FO,5c tg р,
где До! —рабочая высота в опорном сечении; р —угол наклона гра-
ни элемента к продольной оси.
Максимальное значение с получим из уравнения
е = а — (hlt -fc. 0,5с tg Р).
Ч0» 4bi
6 Зака» М 298
161
В результате имеем
С — стах
tybtl <Р&» , .
1+0,5— tg р
Ф&а
(3.214)
При действии на элемент равномерно распределенной на-
грузки q определим невыгоднейшее значение с анало-
гично приведенному для элемента с постоянной высотой
сечения
d r%№*(AOI±O,5c.tg₽)’ п , 1
__ [-----------------------_ Qmax + _
tybtRbt
---------?------+ 0,25<pft4/?z,zi tg’ ₽ + q = 0.
Отсюда
“1/
C Г 0,25cp61/?4Z6 tg’p + ? '
но не более cmax.
Предельная поперечная сила у опоры
п n , VbiRbt Ь (+ 0,5с tg ₽)’
Quo = Qbt + qc----------------———— +- qc.
(3.215)
(3.216)
После подстановки в это выражение формулы (3.215)]
получим
Quo ~ 4<рbiRbt b+ ^’ + (3.217)
где '
A = ^boRbtbho> tg р.
При этом здесь и ниже верхний знак соответствует
уменьшению высоты сечения от опоры к пролету, а ниж-
ний знак—увеличению высоты сечения от опоры. Напом-
ним, что формула (3.217) годится лишь при с<стах.
Если же
q>biRbt bfiQ]
0,25<pblRbtb tg* р + 9 “
। Фги/фб»,
1+0,5 — tg р
~ <рь. s
,т. е. если1
q < -(cZJLy ± 0,25фй4 Rbtb tg’Р =
- W»Rbtb (“ ±!g р).
МРгн *
162
невыгоднейшее значение с равно стах, а после его под-
становки в выражение (3.216) получим
n ybtRbtbh* + (фги/фд,) Ь„д
Va°“ 1 4- П Ч фй< R
1 4; 0,5 — tg p
Итак, для элементов с переменным сечением из тя-
желого бетона (т. е. при фь4=1,5, фьз=0,6) при дейст-
вии равномерно распределенной нагрузки q условие
прочности имеет вид:
при q > QfiRbt b (0,4 + tg ₽)
Qmax^ SRbtbh^q-{ A*4- A,
но не более 2,5/?6i6/i0i,
при q < 0,67?^ b (0,4 + tg P)
„ О,67?й/»йм 4-2,5/?oi?
Qmax^ l±l,25tg₽
При этом, если элемент представляет собой сплош-
ную плиту без свободных боковых краев шириной &>5/i,
т. е. при фьз=0,6-1,25=0,75, указанные условия имеют
вид:
при q > 0,75Rbt b (0,5 + tg ₽)
Qmax^lf eRbibh^q + A' + A,
при q < 0,75Rbtb (0,5 + tg ₽)
. ^>7bRbtbhei 4-2Ло1 q ,
l±tg₽
Если сплошная нагрузка линейно изменяется, то рас-
чет производится по общему условию (3.161) с исполь-
зованием формулы (3.215), в которой значение q мож-
но определить так же, как и для элемента с постоян-
ной высотой сечения, т. е. принимать равным среднему
значению нагрузки в пределах приопорного участка
длиной 1/4 для балки или 1/2 для консоли, но не более
Стах, определенному по формуле (3.214).
Для предварительно напряженных элементов сопо-
ставление правой части условия (3.161) и минимально-
го ее значения также приводит к значению
a^(l_+<Pg) _ •
тах Фйз(1 +фл) 0~2,
Для этих элементов на приопорном участке длиной 2,5/гп,
как правило, нормальные трещины не образуются, по-
этому за минимальное значение предельной поперечной
силы можно принимать поперечную силу, соответствую-
6»
163
юную образованию наклонных трещин в сплошном, эле-
менте.
Определим эту поперечную силу из условия (4.28)
п. 4.1.3. Поскольку здесь рассматривается расчет по
прочности, значения Rbt, вег н Rb, вег заменяем соответст-
венно на Rbt и Rb- Если принять ум=1 (что всегда име-
ет место при классе тяжелого бетона не более ВЗО и при
От«<0,5/?ь) и Оу—0, условие (4.28) принимает вид
—°х/2 + ]/"(°-г/ 2)’ 4- — Rbt,
где
Оз,^^Р1Атей\ Txu^^QSred/kRedb)^
тогда
О - о™ - Л, /1 + (3.218)
Для встречаемых на практике сечений выражение
IrectblSred бывает в пределах 0,7—1 от Ыг0, т. е. даже
при Р=0 значение Qcrc превышает <2пНп = фм(14-’
+<pn)Rbtbh0. С увеличением Р разница между этими зна-
чениями еще более увеличивается. При ум < 1 значение
QCrc немного снижается по сравнению с вычисленным по
формуле (3.218), но поскольку это соответствует боль-
шим значениям Р, то Qcn н в этом случае всегда будет
превышать Qmi„. Формула для Q„c, полученная из усло-
вия (4.26) при уь4-<1 и оу=0, имеет вид
-• / RbRbt + °х(Рь'г- — Pbt) — / Рь
х V Rbt + Rb* V R^T' (3'219)
где и=0,2+ аВ > 0,5 (см. п. 4,1.3).
В связи с трудоемкостью вычисления Qcrc по форму-
ле (3.219) рекомендуется использовать график, помещен-
ный в пособии по проектированию предварительно на-
пряженных конструкций (рис. 3.18). Следует отметить,
что необходимость в использовании формулы (3.219)
(т. е. когда уЬ4<; 1) на практике встречается редко.
Найдем невыгоднейшее значение с для участка без
нормальных трещин приравниванием правой части усло-
вия (3.161) к Qcrc:
Ч>Ь4 (1+фп) Rbt bWtJc=Qcrcj
откуда
c=фь4 (1 +фп) Rbtb^elQcrc*
164
Очевидно, если QCrc>2,5Rbtbh0, то определяющим бу-
дет условие прочности (3.211).
Если наклонные сечения заходят в участок, где об-
разуются нормальные трещины, то предельная попереч-
ная сила принимается Qmi„. Невыгоднейшим значением
с при этом будет длина приопорного участка li, где не
образуются нормальные трещины, т. е. выполняется ус-
ловие М^Мсп. Здесь так же, как и при определении
Qcrc, используется расчетное сопротивление Rbt. Если
Zi<2,5/i0 (что бывает весьма редко), то следует исполь-
зовать условие (3.161) при c=Zb
При действии на элемент сосредоточенных сил учет
напряжений оу при вычислении Qcrc может немного уве-
личивать это значение. Однако, принимая во внимание,
что в промежутках между грузами поперечная сила
обычно меняется слабо, а оу с удалением от груза резко
уменьшается, учитывать оу в большинстве случаев не-
цел есообр аз но.
3.3.7. Расчет железобетонных элементов
по наклонным сечениям на действие
изгибающего момента
Расчетное условие. Расчет железобетонных элементов
по наклонным сечениям на действие изгибающего мо-
мента производится из условия
M^MSU, (3.220)
где М — момент от внешней нагрузки, действующий в рассматри-
ваемом наклонном сечении; Мви — внутренний момент, воспринимае-
мый арматурой в наклонном сеченни.
Моменты М и Маи определяются относительно точки
приложения равнодействующей усилий в сжатой зоне
наклонного сечения. Наклонное сечение представляется
в виде ломаной поверхности с наклонной к продольной
оси растянутой зоной, где проходит наклонная трещина,
и нормальной к продольной оси сжатой зоной над ее
вершиной;
Момент М в наклонном сечении. Рассматривается
система внешних и внутренних сил, приложенных к бло-
ку железобетонного элемента, отделенному наклонным
сечением, поэтому и момент М от внешней нагрузки,
действующий в наклонном сечении, определяется как
суммарная величина (или равнодействующая) момента
165
Рис. 3.50. Определение расчетного значения момента М при расчете
наклонного сечения
а — для свободно опертой балки; б — для коисоли
всех сил от внешней нагрузки, приложенной к рассмат-
риваемому блоку относительно рассматриваемой точки
(точки приложения равнодействующей усилий в сжатой
зоне наклонного сечения Nb рис. 3.50). Если нагрузка
приложена по верхней грани свободно опертой балки,
то расчетный момент в наклонном сечении находится как
Л1=Fy—0,5qy2—Ftyi,
где у и yt — расстояния от равнодействующих/ усилий F и F, до
конца наклонного сечення. '
т. е., по существу, он представляет собой момент в нор-
мальном сечении, проходящем через конец наклонного
сечения. При этом возможное отсутствие временной на-
грузки в пределах наклонного сечения не учитывается.
Когда изгибающий момент уменьшается от опоры к
пролету (консоли, опорные участки неразрезных балок)
и нагрузка, приложенная к грани элемента, действует в
его сторону, расчетный момент определяется без учета
нагрузки, расположенной в пределах наклонного сече-
ния, т. е.
M=M1+Q1c,
где Mh Qt— момент и поперечная сила в нормальном сечении, про-
ходящем через конец наклонного; с —длина проекции наклонного
сечения на продольную ось элемента.
Во всех случаях, когда нагрузка приложена в преде-
лах высоты сечения, допускается расчетный момент в на-
166
Рис. 3.51. Расчетная схема усилий в наклонном сеченни при рас-1
чете его на действие изгибающего момента
клонном сечении вычислять согласно указанному выше,
если поперечная арматура, установленная на действие
отрыва, не учитывается в данном расчете.
Момент Маи в наклонном сечении определяется как
суммарная величина моментов, воспринимаемых продоль-
ной арматурой А13, поперечной арматурой Maw и отги-
бами Ma,inc, пересекающими растянутую зону наклонно-
го сечения, относительно точки приложения равнодейст-
вующей усилий в сжатой зоне (рис. 3.51)
AiSu==Ai,+Al,„+Als, jne. (3.221)
Момент Ма, воспринимаемый продольной арматурой,
определяется по формуле
M. = R,A,z,. (3.222)
Момент Maw, воспринимаемый поперечными стержня-
ми, — по фор муле
M,w=tRamAswzsw. (3.223)
или, рассматривая поперечную арматуру как непрерыв-
но распредел енную по длине элемента с интенсивностью
qsw, по формуле
Ale«=9swCs/2, (3.224)
где с —длина проекции наклонного сечения на продольную ось
элемента.
167
Момент Afs, in(~, воспринимаемый отгибами, вычисляв
ется по формуле
inc==RsieAa, incZs, inc* (3.225)
В формулах (3.222)—(3.225) значения га, Zsw И Za, ini
представляют собой расстояния от равнодействующих
усилий в соответствующей арматуре — продольной N,,
поперечной Naw и отогнутой N,, {пе до равнодействующей
усилий в сжатой зоне Nb*
Высота сжатой зоны наклонного сечения определяет-
ся из условия равновесия всех внешних и внутренних
продольных сил, действующих на блок железобетонного
элемента, отделенного наклонным сечением. При нали-
чии отгибов учитывается продольная составляющая уси-
лйя в отгибах. В общем случае уравнение имеет вид
ino cos 0. (3.226)
Для изгибаемых элементов с поперечными стержня-s
ми, нормальными к продольной оси элемента, имеем
Nb—N,=0 или
Rbbx=RaA,,
откуда высота сжатой зоны наклонного сечения находит-
ся по формуле, аналогичной формуле для нормального
сечения,
x=R,A.I(R„b), (3.227)
а расстояние от равнодействующей усилий в продольной
растянутой арматуре Na до равнодействующей усилий в
сжатой зоне бетона определяется по формуле
г,=Л0—0,5х. (3.228)
Случаи расчета по наклонным сечениям на действие
изгибающего момента. Для обычных элементов с про-
дольной арматурой, полностью доведенной до опоры и
имеющей анкеровку, обеспечивающую восприятие рас-
четных сопротивлений арматуры, расчет по наклонным
сечениям на действие изгибающего момента не требует-
ся. Очевидно, что если обеспечена прочность по нор-
мальным сечениям, то будет обеспечена прочность и по
наклонным сечениям, поскольку момент Ма, восприни-
маемый продольной арматурой, остается постоянным по
длине элемента и равным моменту, воспринимаемому
продольной арматурой в нормальном сечении, причем к
нему добавляется момент от поперечной арматуры в рас-
168
тянутой зоне наклонного сечения Msw, а момент от внеш-
ней нагрузки М будет меньше или равен моменту в нор-
мальном сечении.
Расчет наклонных сечений на действие момента дол-
жен производиться в местах обрыва или отгиба продоль-
ной арматуры по длине элемента, а также в приопорной
зоне балок и у свободного края консолей иа длине зоны
анкеровки продольной арматуры. Кроме того, наклонные
сечения на действие момента рассчитывают в местах
резкого изменения конфигурации элемента (подрезки и
т. п.). Во всех этих случаях расчет по наклонным сече-
ниям может оказаться опаснее расчета по нормальным
сечениям, проходящим через начало наклонного сечения
в растянутой зоне, так как момент от внешней нагрузки
в наклонном сечении будет больше, чем в нормальном,
проходящем через начало наклонного сечения в растя-
нутой зоне, и требуется его компенсировать моментом от
поперечной арматуры.
Расчет по наклонным сечениям на действие изгибаю-
щего момента вообще можно не выполнять, если расче-
том гарантировано, что наклонные трещины не образу-
ются при уровне нагрузки и расчетных сопротивлениях
бетона, отвечающих первой группе предельных состоя-
ний, т. е. при Rbt и Rb. При отсутствии нормальных тре-
щин в рассматриваемой зоне отсутствие наклонных тре-
щин проверяется исходя из расчета по главным напря-
жениям как для сплошного упругого тела. При наличии
нормальные трещин проверка на отсутствие наклонных
трещин производится из расчета по эмпирическим зави-
симостям, используемым для оценки прочности элемен-
тов без поперечной арматуры на действие поперечных
сил (см. п. 3.3.6) с включением коэффициента 0,8, вво-
димого на фь< и снижающего приближенно поперечную
силу до уровня образования наклонных трещин.
Расчет по наклонным сечениям на действие момен-
тов в приопорной зоне балок и у свободного края кон-
солей (рис. 3.51) в общем случае производится из ус-
ловия
(3.229)
где N, — усилие, которое может воспринять продольная арматура
в наклонном сеченин вследствие сопротивления ее анкеровки.
Для продольной растянутой арматуры, не имеющей
специальных анкеров, при пересечении ею наклонного се-
169
чения в пределах зоны анкеровки арматуры 1ап на рас-
стоянии 1Х от конца арматуры усилие N, принимается
линейно уменьшающимся от полной величины Nn — RsA.,
при 1Х—1ап до нуля при (ж=0. Это снижение учитыва-
ется специальным коэффициентом условий работы ys=
= lijlan, вводимым к расчетному сопротивлению арма-
туры Rs, В результате усилие определяется по фор-
муле
A?s=Ys/?^s. (3.230)
Если в пределах зоны анкеровки имеется специаль-
ная косвенная или поперечная арматура в виде спира-
лей, сеток или хомутов, охватывающих продольную арма-
туру, то усилие Ns увеличивается за счет повышения со-
противления раскалыванию бетона. В расчете это мож-
но учесть соответствующим снижением расчетной длины
анкеровки арматуры 1ап. При наличии на длине 1Х за
рассматриваемым наклонным сечением приваренных по-
перечных стержней усилие анкеровки Ns может быть
увеличено на Nw, определяемую дополнительным сопро-
тивлением анкерующих поперечных стержней. Усилие
Nw, связанное с сопротивлением бетона раскалыванию
от действия поперечных сил анкерующих стержней, оп-
ределяется по формуле
Л?ш=0,7<рш/м/М?м, (3.231)
а то же усилие Nw, но связанное с прочностью самих
поперечных анкерующих стержней, вычисляется по фор-
муле
A?«, = 0,8n«42J?s. ' (3.232)
В расчете учитывается меньшая величина Nw, най-
денная по формулам (3.231) и (3.232).
В формулах (3.231) и (3.232): пш — число приваренных анке-
рующих стержней на длине lx; dw — диаметр приваренных анкерую-
щих стержней; фш— специальный коэффициент, принимаемый в за-
висимости от диаметра анкерующих стержней.
Длина зоны анкеровки арматуры 1ап определяется по
эмпирическим формулам в зависимости от прочности
бетона и арматуры, ее профиля и диаметра. При этом
следует иметь в виду, что для свободных опор балок
учитывается заделка продольной арматуры в сжатом бе-
тоне (от действия опорной реакции), что уменьшает дли-
ну акеровки и тем самым увеличивает усилие, восприни-
маемое продольной арматурой в наклонном сечении.
170
Для свободных концов консолей этот эффект отсутст-
вует.
Для предварительно напряженных элементов измене-
ние предельного усилия, воспринимаемого продольной
арматурой, учитывается на длине зоны передачи пред-
варительных напряжений продольной арматуры 1Р, по
тем же правилам, что и для ненапрягаемой арматуры на
длине зоны анкеровки 1ап. При этом длина зоны пере-
дачи предварительных напряжений зависит помимо ос-
тальных факторов от величины предварительного напря-
жения арматуры и характера передачи предварительно-
го напряжения — мгновенного или постепенного. При
мгновенной передаче предварительного напряжения рас-
четная длина 1Р увеличивается и отодвигается от торца
элемента.
От действия усилия предварительного обжатия на
концевых участках элемента у продольной арматуры
возникают нормально к оси арматуры растягивающие
напряжения и трещины раскалывания, которые могут
значительно снизить сопротивление арматуры продерги-
ванию и, следовательно, уменьшить размер величины
усилия, которое может быть воспринято продольной ар-
матурой после образования наклонной трещины у опоры
от последующего действия внешней нагрузки. Наличие
специальной косвенной арматуры, расположенной в зо-
не передачи предварительного напряжения, даже при
образовании трещин раскалывания обеспечивает надеж-
ную анкеровку предварительно напряженной арматуры
в приопорной зоне.
Из сказанного следует, что чем ближе начало на-
клонного сечения к концу арматуры, тем меньше учиты-
вается расчетное сопротивление продольной арматуры и
тем опаснее наклонное сечение. Следовательно, для сво-
бодных опор балок за начало наклонного сечения необ-
ходимо принять внутреннюю грань опоры. Для свобод-
ных концов консоли, нагруженной сосредоточенными
грузами, начало наклонного сечения принимается у гру-
зов, расположенных вблизи свободного конца консоли.
При действии на консоль только распределенной нагруз-
ки, приближая начало наклонного сечения к свободно-
му концу консоли и снижая усилие в продольной арма-
туре Ns, одновременно уменьшаем и момент от внеш-
ней нагрузки. В этом случае невыгоднейшее расположе-
ние начала наклонного сечения можно определить
171
Рис. 3.52. К определению невы-
годнейшей длины Со проекции
наклонного сечения для балок
а — постоянного сечения; б — с
наклонной сжатой гранью; в — с
наклонной растянутой гранью
исходя из минимальной разницы между несущей спо-
собностью наклонного сечения момента от внешней на-
грузки.
После того, как установлено положение начала на-
клонного сечения, решается вторая задача — определе-
ние невыгодной длины с горизонтальной проекции на-
клонного сечения (рис. 3.52). С возрастанием длины с,
с 'одной стороны, увеличивается внешний момент М,
действующий в наклонном сечении, а с другой стороны,
возрастает также внутренний момент, поскольку повы-
шается момент, воспринимаемый поперечной арматурой в
наклонном сечении. В связи с этим наиболее невыгодней-
шая длина с соответствует минимальному значению раз-
ности внешнего и внутреннего момента и определяется
из уравнения
d/ddM—(N.z.+0,5qswc^]=0. (3.233)
Из решения уравнения (3.233) получим условие для
вычисления невыгоднейшей длины наклонного сечения
Q^—q&wC, (3.234)
Таким образом, наиболее опасным наклонным сече-
нием является сечение, в котором поперечная сила о г
внешней нагрузки уравновешивается усилиями в попе-
речной арматуре, пересекающей наклонную трещину.
172
Если в пределах длины с наклонного сечения нагру-
зок не имеется (которые следовало бы учитывать), то
невыгоднейшая длина с находится по формуле
(3.235)
Если же в пределах наклонного сечения свободно
опертой балки действуют сосредоточенные и распреде-
ленные нагрузки, то поперечная сила Q, действующая в
наклонном сечении, будет сама зависеть от длины с на-
клонного сечения. Выразим поперечную силу Q через
поперечную силу Qi в начале наклонного сечения
Q=Qi—qC—Ft. (3.236)
Тогда из формул (3.234) и (3.236) наиболее невыгод-
нейшая длина Со проекции наклонного сечения полу-
чается
с0=((?1-Л)/(<7,и,-|-9). (3.237)
При этом если значение с0, вычисленное с учетом со-
средоточенной силы Fi, оказывается меньше расстояния
от начала сечения до этой силы, а определенное без
учета этой силы Fi больше этого расстояния, то за зна-
чение Со следует принимать расстояние от начала на-
клонного сечения до силы Fi.
В балках с переменной высотой по длине элемента
при изменении длины с наклонного сечения внутренний
момент изменяется не только в результате действия по-
перечной и отогнутой арматуры, но и вследствие увели-
чения плеча момента продольной арматуры (см. рис.
3.52). Используя указанный подход, можно получить за-
висимость для определения невыгоднейшей длины со
наклонного сечения:
в балках с наклонной сжатой гранью
Co=(Qi-/?i-7?84stgP)/(9s„-|-<7); (3.238)
в балках с наклонной растянутой гранью
Со= (Qi—Fi—RsAe sin ₽)/(<7sw+<7). (3.239)
Для консолей и опорных участков неразрезных балок
при определении Со по формулам (3.237) — (3.239) не
следует учитывать нагрузки q и Fi, приложенные в пре-
делах длины проекции наклонного сечения, поскольку
эти нагрузки, как уже указывалось, не учитываются при
вычислении расчетного момента. Очевидно, значение с0
173
в этом случае следует принимать не более расстояния от
опоры до начала наклонного сечения к растянутой зоне.
Для консоли, рассчитываемой на действие равномер-
но распределенной нагрузки, чем ближе к опоре начало
наклонного сечения, тем больше значение Qi и, следо-
вательно, значение расчетного момента. Поэтому в этом
случае за значение с0 всегда следует принимать рассто-
яние от опоры до начала наклонного сечения. В то же
время, приближая начало наклонного сечения к свобод-
ному концу консоли, уменьшается внутренний момент.
В связи с этим невыгоднейшее значение со будет соот-
ветствовать минимальному значению разности внешнего
и внутреннего моментов. Принимая ys=(l—c)jlan, внут-
ренний момент будет
I__£
J” *75W 9 ’Ь ^-S^S^S / I
z lan
а внешний момент
Тогда:
d(Ms — М) d f с’ , „ , 1 —с
de ас ^^2 + 1ап
qswc+qc—(R,Aez,llan) =0;
RsAszs
0 laniq/sw q)
(3.240)
Для напрягаемой арматуры значение 1ап в формуле
;(3.240), очевидно, следует заменить на 1Р.
Если вычисленное значение с будет меньше I—1ап,
т. е. начало наклонного сечения находится вне зоны ан-
керовки, то при отсутствии обрывов арматуры расчет
наклонного сечения по моменту не производится.
Если в балочных элементах qsw н Я весьма малы,
длина проекции наклонного сечения Со, вычисленная по
формулам (3.237) — (3.239), может достигать нормаль-
ного сечения, в котором М=Мтах. Тогда для обеспече-
ния прочности такого наклонного сечения потребуется
почти полное использование прочности всей продольной
арматуры, что при отсутствии анкеровки на опорах осу-
ществить невозможно. В то же время при отсутствии на-
клонных трещин в пределах длины с прочность такого
сечения следует считать достаточной. Учитывая, что с
образованием наклонных трещин несущая способность
элемента, имеющего хомуты, не может резко уменьшить-
174
ся, целесообразно при проверке наклонного сечения по
моменту ограничивать значение са длиной приопорного
участка li, вне которого гарантировано отсутствие на-
клонных трещин. Для элемента с нормальными трещи-
нами, нагруженного равномерно распределенной нагруз-
кой, эта длина выражается формулой
h —(Qmax—~Qb, min)/qa ' (3.241)
При этом, если /1<стаж=2А0, то Qb.min следует заме-
нить правой частью условия (3.161), умноженной на ко-
эффициент 0,8, гарантирующий отсутствие наклонных
трещин. Тогда Ц определится из уравнения
Qmax—qili=Mbills, где Л1д1=О,8ф64(1+фп)Лб(6Л2о,
откуда
h*^Qmaxl<^4i—9sw)‘ (3.242)
При отсутствии нормальных трещин li=(Qmax—
'—Qerc)/l\, где Qcrc — поперечное усилие, соответствую-
щее образованию наклонных трещин.
Расчет по наклонным сечениям на действие момента
в местах обрыва продольной арматуры (рис. 3.53) в об-
щем случае производится из условия
M^Naz„+0,5qiwc\ (3.243)
где У,— усилие, которое может воспринять оставшаяся после об-
рыва продольная арматура в наклонном сечении в месте обрыва
основной продольной арматуры.
Усилие Ns вычисляется по формуле
N,=R,Aaj, (3.244)
где Лв1 —площадь сечения оставшейся после обрыва продольной
арматуры.
При расчете рассматривается наклонное сечение с
растянутой зоной, начинающейся непосредственно в мес-
те обрыва продольной арматуры.
Момент М в наклонном сечении определяется по фор-
муле
М---—Pith—0,5qc2, (3.245)
где Af0, Qo—изгибающий момент и поперечная сила в нормальном
сечении, проходящем через конец наклонного сечения в растянутой
зоне; Ft, at — сосредоточенные нагрузки в пределах наклонного се-
чения и расстояния от их места расположения до конца наклонного
сечения в сжатой зоне; q — равномерно распределенная нагрузка в
пределах наклонного сечения.
175
Рис. 3.53. К расчету на-
клонного сечения на дейст-
вие момента в месте обры-
ва продольной арматуры
Рис. 3.54. К определению
места обрыва продольных
стержней
1—1 — сечение в месте тео-
ретического обрыва
С увеличением длины с проекции наклонного сечения
на продольную ось элемента, с одной стороны, возраста-
ет момент М от внешней нагрузки в наклонном сечении,
как это следует из формулы (3.245), независимо от раз-
гружающего действия сосредоточенных и распределен-
ных нагрузок, приложенных в пределах наклонного се-
чения, а, с другой стороны, также увеличивается момент
Msw, воспринимаемый поперечными стержнями в на-
клонном сечении. Поэтому в общем случае должно быть
рассмотрено несколько наклонных сечений с различны-
ми значениями длины с, чтобы найти самое опасное. Для
наиболее опасного сечения длина с может быть найде-
на также по формуле (3.237).
Необходимую длину обрываемой продольной арма-
туры можно определить следующим образом. Продоль-
ную арматуру нужно продолжить за точку теоретиче-
ского обрыва (т. е. за нормальное сечение, в котором
несущая способность этого сечения без учета обрывае-
мой арматуры равна внешнему изгибающему моменту)
на такое расстояние w, при котором прочность любых
наклонных сечений, начинающихся за обрываемым
стержнем, будет обеспечена.
На рис. 3.54 показан участок балки, армированный
продольной и поперечной арматурой, и соответствую-
176
щий участок эпюры М. Пусть в сечения 1—1 несущая
способность балки без учета стержня № 1равна .внеш-
нему моменту Мо (место теоретического обрыва стерж-
ня № 1), стержень № 1 оборван на расстоянии аа от се-
чения 1—1, а невыгоднейшее наклонное сечеиие начи-
нается в месте обрыва и заканчивается за сечением 1—1
на расстоянии х от него. Тогда момент, воспринимае-
мый поперечной арматурой в этом наклонном сечении,
должен быть равен или больше (Мх—Мо), где Мх— из-
гибающий момент в нормальном сечении, проходящем
через конец наклонного сечения
qSw(w+x)2/2=’Mx—Ma, (3.246)
Пренебрегая влиянием нагрузки, расположенной в
участке х, принимаем Mx—Qx^-Ma, где Q — поперечная
сила в сечении 1—1, В результате получим1
<7sw(®+x)2=2Qx;
® = V ^Qxjqsw —X. (3.247)
Наименьшее значение w, обеспечивающее прочность
в любом наклонном сечении, определяется из условия
dx \ Г qsw х] и’
что соответствует
x=Q/(2gSw).
Подставляя это значение х в формулу (3.247), получим
w=Q/(2<7sw). (3.248)
Поскольку обрываемый стержень не сразу включает-
ся в работу, длина w увеличивается на 5а
к* (2<7,и)(3.249)
Аналогично выводится формула для w при перемен-,
ной высоте балок.
В балках с наклонной сжатой гранью,
® “----------------ттг-----+ 5</.
SW
В балках с наклонной растянутой гранью
Q — RsAs sin [3
№=--------------------------+ 5d.
Таким образом, если обрываемая продольная арматура’
продолжена за точку теоретического обрыва на расстоя-
ние w, прочность наклонных сечений будет обеспечена.
177,
Кроме того, чтобы обеспечить работу обрываемой
арматуры с полным расчетным сопротивлением в сече-
нии с максимальным моментом, место обрыва должно
отстоять от этого сечения на расстоянии не менее длины
зоны анкеровки 1ап.
При отсутствии хомутов обрыв стержней можно осу-
ществить только в случае невозможности образования
наклонных трещин, т. е. при Qb.min, когда расчет
наклонного сечения по изгибающему моменту не произ-
водится. В этом случае, казалось бы, можно принимать
да = 0, однако образующиеся нормальные трещины даже
при столь малой поперечной силе могут немного накло-
няться, поэтому значение w принимают без расчета ПИ,
но не менее h0.
1 Расчет по наклонным сечениям на действие момента
при отгибах продольной арматуры в общем случае про-
изводится по изложенным ранее правилам. При отгибе
продольной растянутой арматуры сразу от того нормаль-
ного сечения, где оно полностью используется, в наклон-
ных сечениях с тем же изгибающим моментом отогнутая
арматура будет работать с меньшим плечом, следова-
тельно, прочность наклонного сечения может оказаться
недостаточной (рис. 3.55). Во избежание этого отгиб
необходимо начинать на таком расстоянии х от нор-
мального сечения (где он полностью используется), при
котором плечо отогнутой арматуры в наклонном сечении
было бы не менее ее плеча в нормальном сечении, т, е,
Zg, inc^Zg,
где ’
2,. <ne = 2, COS а+х SIH И,
Отсюда '
1—cos а а
X 2 г ;------ " 2 < tg -?г-.
s sin а Л * 2
При максимально допустимом угле наклона отгиба к
горизонтали а=60°
х=0,58г,«0,5/1о. (3.250)
С некоторым запасом при любом наклоне отгибов
можно рекомендовать отгибать арматуру на расстоянии
не .менее О,5йо от того места, где она полностью исполь-
зуется. Следовательно, если отгиб начинается на рассто-
янии не менее О,5Ло от того места, где он полностью ис-
пользуется, прочность наклонных сечений будет обеспе-
чена.
178
3.3.8. Расчет железобетонных элементов
по наклонным полосам бетона,
расположенным между наклонными трещинами
Если железобетонный элемент обладает высокой не-
сущей способностью по наклонной трещине, разрушение
элемента может произойти от разрушения бетона между
наклонными трещинами.
Образующейся системой наклонных трещин в стенке
балки выделяется система наклонных бетонных полос,
расположенных между трещинами. Бетонные полосы ис-
пытывают воздействие сжимающих сил, направленных
вдоль бетонной полосы, и растягивающих сил от попе-
речной арматуры, пересекающих наклонные и бетонные
наклонные полосы (рис. 3.56), а также касательных сил,
которые действуют по берегам наклонных трещин и по
границам верхнего и нижнего поясов элемента, связы-
179
вающим наклонные полосы в стенке балки. Однако опре-
деление усилий, действующих на выделенную наклонную
полосу, затруднительно, поэтому прочность наклонных
сжатых полос в стенке балок рассчитывают по эмпири-
ческим зависимостям, полученным из обработки опыт-
ных данных.
Установлено, что предельная сила Q, воспринимае-
мая элементом перед разрушением бетона стенки балок,
пропорциональна ширине стенки Ъ и рабочей высоте
элемента h0, но так как бетон в основном разрушается
от сжатия, в расчетную зависимость вводится расчетное
сопротивление бетона на сжатие Rb. Поскольку же бе-
тон в наклонных полосах испытывает и сжатие, и растя-
жение, т. е. находится в условиях плоского напряженно-
го состояния, а прочность на растяжение всегда отстает
от прочности на сжатие с увеличением класса бетона, то
несущая способность возрастает не пропорционально
прочности бетона на сжатие, а несколько слабее. Это
обстоятельство учитывается дополнительным введением
в расчетную зависимость коэффициента cp*i, который
определяется по формуле
Фи = 1-р/?6, (3.251)
где р — коэффициент, принимаемый равным для тязкелого, мелко-
зернистого и ячеистого бетона, 0,01; для легкого бетона — 0,02.
Видим, что с увеличением прочности на сжатие Rb
коэффициент <ры отклоняется от единицы все ниже и
ниже.
На несущую способность наклонной сжатой полосы
существенно влияет арматура, пересекающая бетонную
полосу. Прямое выявление усилий, воспринимаемых по-
перечной арматурой, в общем случае располагающейся
под некоторым углом к наклонной полосе, вызывает зна-
чительные трудности, поэтому влияние поперечной ар-
матуры оценивается эмпирическим коэффициентом <pwl,
полученным из анализа опытных данных. Коэффициент
определяется по формуле
ф»1=14-5ацМ1 (3.252)
где а — соотношение модулей упругости поперечной арматуры и бе-
тона а=Е1!Еъ\ и® — коэффициент поперечного армирования, цш =
=Д,„/(Ь).
Поскольку несущая способность с увеличением коли-
чества поперечной арматуры возрастает нелинейно, то
для обеспечения необходимой безопасности расчета ус-
180
танавливается граничное значение коэффициента <pu,i,
равное 1,3. Следует отметить, что численная величина
в коэффициенте cpwi соответствует поперечной арматуре,
расположенной нормально к продольной оси элемента.
Поперечная арматура, расположенная наклонно к про-
дольной оси элемента, оказывает большое влияние на
несущую способность по наклонной сжатой полосе, по-
скольку угол наклона по отношению к наклонной полосе
приближается к прямому. Для такой поперечной арма-
туры численная величина в коэффициенте фш, будет боль-
ше. При разрушении по наклонной сжатой полосе попе-
речная арматура в наклонной трещине не достигает пре-
дела текучести. В целом при постепенном увеличении по-
перечной арматуры вначале происходит разрушение по
наклонной трещине с напряжениями в поперечной арма-
туре, равными пределу текучести. При этом интенсивно
возрастает и несущая способность элемента. Наконец,
наступает такой момент, когда напряжения в поперечной
арматуре в наклонной трещине уже не достигают преде-
ла текучести, и происходит разрушение элемента по на-
клонным полосам бетона между наклонными трещина-
ми. При дальнейшем увеличении поперечной арматуры
и разрушении по наклонной сжатой полосе рост несущей
способности замедляется. Можно сказать, что две фор-
мы разрушения — по наклонной трещине и по бетону
между наклонными трещинами взаимосвязаны. Первая
форма сопровождается текучестью поперечной армату-
ры, при второй форме напряжения в поперечной ар-
матуре остаются ниже предела текучести.
Следует также отметить, что разрушение по бетону
между наклонными трещинами характерно для тавровых
и двутавровых балок с относительно тонкой стенкой.
В этом случае несущая способность по наклонной тре-
щине вследствие дополнительного сопротивления полок
возрастает, а несущая способность бетона стенки при
относительно тонком ребре снижается.
Расчет железобетонных элементов по наклонным
полосам бетона между наклонными трещинами произ-
водится из условия, полученного эмпирически из обра-
ботки опытных данных
Q ^0,3<pbt<pwlRbbha. (3.253)
При этом рассматривается поперечная сила Q в се-
лениях, нормальных к продольной оси эдемента.
181
3.4. Расчет по прочности пространственных
сечений железобетонных элементов
3.4.1. Общая схема разрушения и расчетные
уравнения равновесия
Разрушение железобетонных элементов по простран-<
ственным сечениям может происходить в том случае,
если на элемент помимо изгибающих моментов, по-
перечных сил, продольных сил действуют крутящие мо-
менты. При действии крутящих моментов в железобе-
тонном элементе образуется спиральная трещина, кото-
рая в пределах трех граней элемента вместе с замыкаю-
щей ее сжатой зоной по четвертой грани образует про-
странственное сечение. При этом возможны три схемы
расположения сжатой зоны: у верхней грани элемента,
сжатой от изгиба (схема /), у боковой грани элемента,
параллельной плоскости изгиба (схема /7), у нижней
грани элемента, растянутой от изгиба (схема III)
(рис. 3.57).
Железобетонный элемент разрушается по простран-
ственному сечению в результате достижения в арматуре
(продольной и поперечной), пересекающей спиральную
трещину, предела текучести, после чего происходит раз-
рушение бетона в сжатой зоне. Поэтому в качестве рас-
четной схемы рассматривается пространственное сечение
с нормальными напряжениями в сжатой зоне бетона,
равномерно распределенными в пределах ее площади и
равными Rb, и с напряжениями в продольной и попереч-
ной арматуре, пересекающей спиральную трещину, рав-
ными соответственно Rs и Rsw. При этом учитываются
только усилия в арматуре, расположенной у грани, про-
тивоположной той, у которой находится сжатая зона.
Расчет пространственных сечений производится из
уравнения равновесия моментов всех внутренних и
внешних сил в плоскости, нормальной к линии, ограни-
чивающей сжатую зону пространственного сечения, от-
носительно оси, перпендикулярной этой плоскости и про-
ходящей через точку приложения равнодействующей
усилий в сжатой зоне
(3.254)
Для определения расчетных моментов внутренних и
внешних сил, действующих в рассматриваемой плоско-
сти, необходимо спроектировать внешние и внутренние
182
Рис. 3.57. Расчетные схемы пространственных сечений
а —схема I; б — схема II; в —схема III
усилия на эту плоскость. В качестве внешних усилий в
схеме I разрушения действуют крутящий момент Т и
изгибающий момент М, в схеме II — крутящий момент
Т и дополнительный момент от поперечной силы Q, дей-
ствующей по оси сечения относительно центра тяжести
сжатой зоны у боковой грани, принимаемый приближен-
но Qh/2, в 3-й схеме III — крутящий момент Т и изги-
бающий момент М с обратным знаком. Заметим, что
183
крутящий момент Т определяется от поперечной нагрузи
ки относительно оси сечения.
В общем случае здесь действует тот же принцип, что
и для наклонных сечений — для определения расчетного
момента внешних сил учитываются нагрузки, располо-
женные по одну сторону от рассматриваемого простран-
ственного сечения. Это особенно важно помнить в том
случае, когда нагрузки расположены в пределах высоты
сечения. При учете нагрузок, расположенных по длине
элемента в пределах пространственного сечения, прини-
мается такое правило: расчетный крутящий момент Т,
изгибающий момент М и поперечная сила Q определя-
ются в поперечном сечении, проходящем через центр
тяжести сжатой зоны пространственного сечения.
Как видно из рис. 3.58, проекции расчетных усилий в
пространственном сечении определяются умножением
крутящего момента Т и соответствующей величины Qh/2
на соотношение с^Ц и изгибающего момента М на соот-
ношение bjli, где Ci — длина проекции линии, ограничи-
вающей сжатую зону, на продольную ось элемента; Ц —
длина отрезка, ограничивающего сжатую зону. Величи-
ны Ь{ и hi здесь и в дальнейшем будут обозначать раз-
меры сторон поперечного сечения, параллельных и пер-
пендикулярных проекции на поперечное сечение линии,
ограничивающей сжатую зону. Поскольку положение
сжатой зоны неодинаково для различных схем разруше-
ния, в общем случае обозначения даются с индексом i,
а в конкретных схемах разрушения им присваиваются
соответствующие номера 1, 2, 3.
В качестве моментов внутренних сил учитываются
моменты от усилий в продольной и поперечной армату-
ре. Момент от усилий в продольной арматуре АЛ«<Х
X (hoi—0,5x0= Msi, где Л8< —площадь продольной ар-
матуры, расположенной у грани, противоположной сжа-
той зоне. Усилия в поперечной арматуре представляются
в виде распределенного усилия RsWA.,wi/Si=qwsi, где
Aswi и — площадь одного стержня н шаг поперечных
стержней на грани, противоположной сжатой зоне. Дли-
на проекции участка спиральной трещины по этой грани
иа продольную ось элемента определяется соотношением
Ci[bil(2hr]-bi)]==Cif)i (рис. 3.58). В результате внутрен-
ний момент от усилия в поперечной арматуре будет
Si 2ht + bt ci(ho — ^i)'
184
Рис. 3.58. Развертка про-
странственного сечения
1 — направление спиральной
трещины; 2 — линия, ограничи-
вающая сжатую зону; 3 — рас»
четная плоскость, нормальная
линии 2
Для определения проекции внутренних усилий в прост-
ранственном сечении момент от усилия в продольной
арматуре умножается на соотношение Ь{Щ, а момент от
усилия в поперечной арматуре—на соотношение Cf/Zj.
Исходя из рассмотренного выше, расчетные условия
для каждой схемы разрушения запишутся в следующем
виде:
• для схемы I разрушения (см. рис. 3.57,a)j
TCi + Mbt (7?i»44i) bi (Л01 — 0,5X1) +
+ &S&31* С1) Cl (htt - 0,5X1); (3.255)
для схемы II разрушения (см. рис. 3.57,6J' *
Тса 4~ (q (Ztoa — 0,5xs) 4*
Ct (hst _ 0>5Xa)J (3 256)
для схемы III разрушения (см. рис. 3.57,e)J
Тс3 — М b3 5з) b3 (ho3 — 0,5х3) 4“
-+^^(__2^С8)Сз(Йоз_О)5Х8). (3>257)
Значения /ь 12 и Z8 в расчетных условиях сокраща-
ются.
. Многочисленные эксперименты показали, что угол
наклона спиральной трещины к продольной оси элемен-
та никогда не бывает меньше 45°, поэтому длина проек-
ции пространственного сечения с при любой схеме раз-
рушения принимается не более 2/ii+bj.
Высота сжатой зоны для каждой схемы разрушения
определяется из уравнения равновесия проекции внут-
ренних усилий в пространственном сечении на продоль-
185
ную ось элемента. В это уравнение входят усилие от
продольной растянутой арматуры, расположенной у
грани, противоположной сжатой зоне ЯИи. усилие в
продольной арматуре, расположенной в сжатой зоне
RsA'si, и усилие в сжатом бетоне. Усилие в сжатом бе-
тоне, нормальное к плоскости сжатой зоны, R^t-iXi, а его
проекция на продольную ось элемента составляет
(RbliXi'Ibi/li—RbbiXt. Отсюда расчетное уравнение для
определения высоты сжатой зоны Xi имеет вид
В расчетные условия вводятся продольная и попереч-
ная арматура со своими расчетными сопротивлениями.
Однако при большом количестве продольной арматуры
по сравнению с поперечной напряжения в ней могут не
достигать предела текучести при разрушении сжатого
бетона в пространственном сечении, в то время как на-
пряжения в поперечной арматуре будут равны пределу
текучести. Обратная картина наблюдается пр и большом
количестве поперечной арматуры по сравнению с про-
дольной, что бывает значительно реже. Условия, харак-
теризующие работу с пределом текучести продольной и
поперечной арматуры, получены соответственно в виде
RsAsl(h,i-0,5 xi) < 2 ^(/^-О.бхЛ + М (3.258)
(Л,-0,5л/)-М]. (3.259)
Если эти условия не выполняются, то в расчете сле-
дует учитывать такое количество арматуры (продоль-
ной или поперечной) с полным расчетным сопротивле-
нием, при котором условия (3.258) или (3.259) будут
удовлетворены.
Для схемы III значение М подставляется в условия
(3.258) и (3.259) со знаком минус, а для схемы II при-
нимается Л1=0. В общем случае для каждой схемы раз-
рушения проверяется последовательный ряд пространст-
венных сечений, характеризуемых различным положе-
нием по длине элемента и различной длиной проекции
сжатой зоны на продольную ось элемента с.
При расчете по всем трем схемам разрушения преж-
де всего рассматриваются пространственные сечения,
расположенные у опоры, где действуют наибольшие кру-
тящие моменты и поперечные силы, а затем для схем I
и III разрушения и другие положения прост ранственно-
186
го сечения по длине пролета в зависимости от эпюры
изгибающего момента. Для схемы / разрушения может
оказаться более опасным положение пространственного
сечения, где при меньших по величине крутящих момен-
тах действуют большие изгибающие моменты, а для
схемы III разрушения — положение пространственного
сечения, где действуют небольшие по величине изгибаю-
щие моменты, так что их разгружающее влияние будет
проявляться не слишком сильно.
При выборе расчетного положения пространственно-
го сечения следует учитывать также изменения про-
дольного и поперечного армирования по длине элемен-
та. Для каждого положения пространственного сечения
определяется наиболее невыгоднейшая длина его рас-
пространения, характеризуемая длиной проекции нейт-
ральной линии на продольную ось элемента с, где раз-
ница между внешними и внутренними усилиями наи-
меньшая.
Проверка производится для всех трех схем разруше-
ния, поскольку заранее трудно установить, какая из
схем разрушения наиболее опасна. Разрушение по той
или иной схеме зависит от соотношения между крутя-
щими моментами, с одной стороны, и изгибающими мо-
ментами и поперечными силами, с другой, от размеров
поперечного сечения и армирования граней элемента.
Например, разрушение по схеме III, несмотря на обрат-
ное действие изгибающего момента, может оказаться
опасным в том случае, если продольная арматура, рас-
положенная у верхней грани, значительно слабее, чем у
нижней.
При уменьшении крутящего момента схема I разру-
шения постепенно переходит в разрушение по нормаль-
ному сечению. По-иному обстоит дело со схемой II раз-
рушения. Рассмотрим элемент, загруженный двумя по-
перечными сосредоточенными грузами, смещенными от-
носительно продольной оси элемента, которые создают
поперечную силу Q и крутящий момент Т. Поперечная
сила Q стремится вызвать образование наклонной тре-
щины по обеим боковым граням элемента. Крутящий
момент способствует развитию наклонной трещины на
одной из боковых граней и ее распространению на верх-
нюю и нижнюю грани и, напротив, препятствует ее раз-
витию на другой боковой грани. При достаточно боль-
шом крутящем моменте Т по сравнению с поперечной
187
Рис. 3.59. Расположения
поперечной нагрузки, вы-
зывающей изгиб с кру-
чением
силой Q будем иметь эту боковую грань элемента пол-
ностью сжатой, а на остальных гранях — спиральную
трещину, т. е. имеем разрушение по схеме 12 простран-
ственного сечения.
Смещая поперечные грузы к оси элемента, будем
уменьшать крутящий момент при постоянной поперечной
силе. При некотором эксцентриситете поперечных сил,
обратном величине крутящего момента, на противопо-
ложной грани окажется недостаточным и произойдет
образование наклонной трещины по обеим граням н раз-
рушение не по пространственному, а по наклонному се-
чению. За такой граничный эксцентриситет принимается
его величина, равная половине ширины сечения элемен-
та (рис. 3.59). Отсюда условие перехода от расчета про-
странственного сечения к расчету наклонного сечения
запишется в виде
7cQ(&/2). ' (3.260)
Если это условие удовлетворяется, то рассчитывает-
ся прочность наклонного сечения. В противном случае
расчет пространственного сечения необходимо вести по
схеме II разрушения.
Действие крутящих моментов, хотя и небольших по
величине, существенно влияет на прочность наклонных
сечений, снижая их несущую способность. Для расчета
прочности наклонных сечений с учетом влияния крутя-
щего момента, т. е. когда удовлетворяется условие
(3.260), используется условие
Q^Qb+Qsw—ЗТ/Ь, (3.261)
1 88
полученное эмпирически. Здесь b всегда ширина эле-
мента, ,т. е. размер грани, перпендикулярной плоскости
изгиба. Из условия (3.261) видим, что с уменьшением
крутящего момента Т несущая способность наклонного
сечения увеличивается, а при крутящем моменте, равном
нулю, она становится равной обычной величине Qb+QSv>,
характеризующей прочность наклонного сечения. Сле-
дует иметь в виду, что расчетные условия, определяю-
щие прочность пространственного сечения по схеме II
разрушения и прочность наклонного сечения с учетом
действия крутящего момента, не стыкуются непосредст-
венно одно с другим, так как выведены из разных пред-
посылок.
Помимо разрушения элементов по пространственным
сечениям возможно также разрушение бетона от сжа-
тия между спиральными трещинами аналогично разру-
шению бетонных полос от сжатия между наклонными
трещинами, как это описывалось в п. 3.3.8. Такое разру-
шение может происходить при большом насыщении эле-
мента продольной и поперечной арматурой. Расчет
прочности при этом виде разрушения производится из
условия
T^0,lRbb2h, (3.262)
полученного эмпирически. Здесь b и h всегда меньший
и больший размеры граней элемента.
Здесь так же, как и для бетона, расположенного
между наклонными трещинами, можно полагать, что
прочность бетона между спиральными трещинами будет
возрастать не пропорционально прочности бетона на
сжатие, а значительно слабее, что проявляется в основ-
ном для бетонов высоких классов. Достаточные экспе-
риментальные данные, описывающие этот вид разруше-
ния для элементов из высокопрочных бетонов, в настоя-
щее время пока отсутствуют. Поэтому для обеспечения
необходимой гарантии безопасности для элементов из
бетона класса выше ВЗО повышение несущей способно-
сти не учитывается и в расчет вводится расчетное со-
противление Rb, такое же, как для бетона класса ВЗО.
3.4.2. Практические методы расчета
пространств енных сечений на действие
кручения с изгибом
Упрощение расчета по схеме II разрушения. Как по-
казала практика проектирования, в большинстве слу-
189
Рис. 3.60. Обозначения, приня-
тые в п. 3.42
Ось симметрии — плоскость
действия изгибающего момента
чаев при наличии кручения в первую очередь требуется
увеличивать поперечное, вертикальное армирование ис-
ходя из расчета на действие поперечной силы и крутя-
щего момента. Выведем формулы, необходимые для
подбора этой арматуры.
Если T>Qb/2, то производится расчет пространст-
венного сечения по схеме II разрушения из условия
(3.256). Приняв Ms=RsAs2(b0—0,5х2) и т3№—
= R3wA3W2lS2(bOw—0,5x2) (рис. 3.60), это условие пред-
ставим в виде
h
Т + 0,5Qb^Ms — +тХ№Ъ,с,. (3.263)
(Тогда минимально необходимое значение mstB будет
h
Т + 0.5Q6 —
-------—--------!_ • (3.264)
Определим невыгоднейшую длину проекции пространст-
венного сечения с2 исходя из того, что Т и Q не зависят
от с2, а продольная и поперечная арматура учитывается
в расчете полностью, т. е. выполняются условия (3.258)
и (3.259), преобразованные в
msw Л Л
В этом случае невыгоднейшее значение с2 соответст-
вует минимальному значению m3W, т. е. определяется из
уравнения dmsw/(dc2) =0, т. е.
^К7' + 0,5<?*)/(8аС1)-Л45 Л/М)1
ас, “
r + 0,5Q6 . 2Msh
— хи2 » „з •“ °*
“2 С2 °2 е2
190
Отсюда
c2=2hM,/(T+0,5Qb}. (3.265):
Подставляя (3.265) в формулу (3.264), получим
т„и=(7’+0,5<2&)2/(4Л1в62/г). (3.266)
В случае если Ms>m8Wh/0,5, в условии (3.263) следует
принимать Ms — mswh/0,5, т. е.
2ft’
Т + Q,5Qb = msw + b,c,msw или
T + 0.5Q6
2Л’/с2 + 62 с2 * (3.267)
Аналогично определим невыгоднейшее значение с%
для этого случая
(T + 0,5Qg)c,
2Л’ + 6, с\
d
dc9 ~ dc2 “•
(Т + 0,5Q6) (2ft2 + 82 с2) — (Г + Qb) С2.282 с,
(2Л2 + 8, с2)2 “ °’
откуда
c,= h-/2/b,. (3.268)
После подстановки (3.268) в (3.267) получим
тл№ = (7 + 0,5<36)/(2Л/ж). (3.269)
Таким образом, формулой (3.269) можно пользоваться
при
T + 0.5Q6 r + 0,5Q6
2mswh- <MS или <1‘
Если же Ms<_mswh/\,5, то в условии (3.263)’ следует
принимать msw—\,5Ms/h, т. е. прочность пространствен-
ного сечения перестает зависеть от количества попереч-
ной арматуры. В этом случае следует увеличить количе-
ство продольной арматуры так, чтобы выполнялось
условие Ms>mswh/\,5. Подставляя в это условие зна-
чение msw по формуле (3.266), будем иметь
-^2^ </3-^73.
/ ‘2b,-Ms
Обозначив левую часть этого условия через <р*, фор-
мулы (3.266) и (3.269) можно представить в виде соот-
ветственно
m.w = Al.<P2(/(2/i); mt„ — Me<ft{(2h).
191
Таким образом, подбор поперечной арматуры, рас-
положенной у одной вертикальной грани (параллельной
плоскости изгиба), производится следующим образом:
r + 0,5Qi _ Ms
При <р =
* л
при 1,73><р/>1 fttsw Vt-
При <рг> 1,73 следует увеличить значение М« так, чтобы
выполнялось условие <рг ^1,73. Следует заметить, что в
практике проектирования последний случай встречается
весьма редко.
Здесь: Ма — внутренний предельный момент, определяемый по
продольной арматуре, располагаемой у вертикальной грани, т. е.
A1s=/?8As2(&o—0,5х2); (3.270)
m3W — внутренний предельный момент, определяемый по поперечной
арматуре, расположенной у той же грани на единице длины эле-
мента, т, е.
mew= (RsmAsmlsi) (60и—0,5х2). (3.271)
Вычислив msw, из формулы (3.271) легко подобрать не-
обходимый шаг и диаметр вертикальных хомутов.
Значение х2 в формулах (3.270) и (3.271), как было
уже указано, определяется как для плоского поперечно-
го сечения изгибаемого элемента при данной схеме рас-
положения сжатой зоны. Однако в связи с симметрич-
ностью продольной арматуры относительно вертикаль-
ной оси значение х, вычисляемое по формуле (3.45),
всегда будет равно нулю, что требует иеучета сжатой
арматуры, поэтому рекомендуется Х2 вычислять по этой
формуле без учета сжатой арматуры, но принимать не
более 2а'.
При действии на элемент распределенной нагрузки
величины Т и Q меняются по длине элемента. В этом
случае, если начало пространственного сечения распола-
гать у опоры (где Т и Q, как правило, имеют макси-
мальные значения), расчетные значения Т и Q, приня-
тые в поперечном сечении, проходящем через середину
длины проекции с2, будут зависеть от этой длины и вы-
веденные выше формулы для невыгоднейших значений
с2 и msw должны быть скорректированы. Но, как пока-
зал анализ, использование в этом случае формул
(3.266) и (3.269) при T=Tmr,r и Q=Qmejt приводит, как
192
правило, к незначительной погрешности в запас проч-
ности.
В случае если T<0,5Q&, поперечную арматуру сле-
дует подбирать из расчета наклонных сечений согласно
п. 3.3. При этом во всех формулах к поперечной силе
следует добавлять ЗТ/b (где Т — крутящий момент в
том же поперечном сечении, что и Q), а величина q
умножается на коэффициент 1-|-3(ед/Ь), где е, — экс-
центриситет поперечной равномерно распределенной на-
грузки q, вызывающий кручение. Отгибы в таком рас-
чете можно учитывать лишь при 7'^0,25Q&.
2. Упрощение расчета по схеме 7 разрушения. Чаще
всего расчет по схеме / становится определяющим для
приопорных участков неразрезных балок и консолей, по-
скольку в этих местах крутящие и изгибающие моменты
достигают максимальных значений. В этом случае на-
чало расчетного пространственного сечения, очевидно,
следует располагать у опоры. При действии на элемент
сосредоточенных сил, вызывающих изгиб и кручение,
пространственные сечения следует располагать у мест
приложения этих сил со стороны участка с ббльшими
крутящими моментами. Если же пространственные сече-
ния располагать со стороны участка с меньшими крутя-
щими, но с ббльшими изгибающими моментами, то это
сечение будет менее опасно по сравнению с пространст-
венным сечением, расположенным на том же участке
(т. е. с тем же значением Т), но в зоне больших изги-
бающих моментов (рис. 3.61). Во всех случаях начало
пространственного сечення фиксировано и находится в
сечении с максимальным изгибающим моментом, и сле-
довательно, значение М, входящее в условие прочности,
всегда будет зависеть от длины проекции пространст-
венного сечения.
Рассмотрим случай, когда в пределах длины проек-
ции пространственного сечения отсутствуют поперечные
нагрузки, и следовательно, изгибающие моменты изме-
няются линейно, а крутящие моменты постоянны. Рас-
четный изгибающий момент в поперечном сечении, про-
ходящем через середину пространственного сечения, бу-
дет
(3.272)
Обозначив аналогично вышеприведенному Ms — RsA,t%
(^о~“0,5х) и , и,- учтя
7 Заказ № 293
Рис. 3.61. Расположение расчетных пространственных сечений пер*
вой схемы в балке, нагруженной сосредоточенными силами
1, ? — расчетные пространственные сечения: Мъ Л, Qi — расчетные усилия
для пространственного сечення /; Мг, Тг. Qs — то же, длл пространственно’
го сечения 2 4
формулу (3.272), условие прочности (3.255J представим
в виде
b ь
T—0,5Qb +Afmax— — + et.
vj €1
(3.273)
Тогда минимально необходимое значение та1в будет
T-0,5Qb-(Ms —
и
= 8, с,
Определим невыгоднейшее значение С\, принимая,
что продольная и поперечная арматура учитывается
194
полностью, т. е. выполняются условия (3.258) и (3.259J,
преобразованные в
. ffi.w 6
1,5 — М < 0^5 .
Для этого решим уравнение
d [(Г -0,5QJ)/(»le,)-(M,-Afm„) S/(J, с®)]
— :-------}
Т —— 0,5Q/> _ b
1----------- +2(Л4,-Л1»1>х)-^- - О,
с* “ 24 7 —0,5Qi • (3.274)
Подставляя (3.274) в (3.273), получим:
т (Г—0.5Q6)» .
т^~ 4Ъ,Ь(Мг-Мтад 1 <3'273'
и и , r4T~O,5Qb)'
Ms - Mnax + 48( bm^ . (3.276
Очевидно, что если 7^0,5Qb, то поперечной арматуры
по расчету на кручение не требуется, продольная арма-
тура определяется расчетом на чистый изгиб.
В случае если М,—M>mswb/0,5, то в условии (3.273)j
следует принимать т. е.
.. ь 2Ьгт,а
7 -< (Ms — М) — -f- msw », ct —---F
И и
/2*’ х
+ msw 8, Ct — msw I —- + 5( ct}.
\ /
Как видно, прочность в этом случае зависит только от
поперечной арматуры. Вычислим минимально необхо-
димое ее количество
Т Тс
--“-2W+^"lFTbr- (Х2?7)
Определим для этого случая невыгоднейшее значение ct
dmsw T^+itc^-Tcv^ct
det " (2$’+м0*
откуда
С,-б/27»Г. (3.278)
7* 195
После подстановки (3.278) в (3.277) получим
' mfw-T/(2b/2#r). (3.279)
Если значение msw, вычисленное по формуле (3.279),
оказывается больше значения mSWl найденного по фор-
муле (3.275), то следует поперечную арматуру прини-
мать в соответствии с формулой (3.279), поскольку в
противном случае условие (ЛЕ—Л4) <msw6/O,5 будет вы-
полнено и использование формулы (3.275) будет непра-
вомочно. Следует отметить, что совпадение вычислений
msw по формулам (3.275) и (3.279), строго говоря, не
будет иметь место при Ms—A4=mswd/O,5, так как эти
формулы соответствуют различным значениям cj. При-
чем, когда С], вычисленное по формуле (3.278), превы-
шает ci, определенное по формуле (3.274), следовало бы
для стыковки результатов вычислять msu> по формуле
(3.277) с использованием формулы (3.274), что привело
бы к снижению msw по сравнению с вычислением его по
формуле (3.279). Однако это привело бы к тому, что
меньшему изгибающему моменту Мтах стало бы соот-
ветствовать большее значение й, и следовательно, боль-
шее значение msw, что нелогично. Поэтому в пособии к
СНиП 2.03.01—84 записано, что горизонтальная по-
перечная арматура всегда должна соответствовать зна-
чению msw, не менее вычисленного по формуле (3.279).
В случае если ЛЕ—Af<msrob/1,5, в условии (3.273)
следует принимать msw— 1,5(ЛЕ—М)/Ь, т. е. прочность
сечения перестает зависеть от поперечной арматуры, и
необходимую продольную арматуру определяют по фор-
муле (3.276), где значение msw принимается равным гра-
ничному значению 1,5 (ЛЕ—М)/Ь. Выведем формулу для
этого граничного значения без использования характе-
ристик продольной арматуры. Принимая Ма по формуле
(3.276), М по формуле (3.272), a по формуле (3.274),
после алгебраических преобразований имеем
т(а), = 0,612 /Г4 —(0,5Qi)’7(i/Q, (3.280)
Поскольку второй член формулы (3.276) в этом случае
весьма мал по сравнению с первым членом, в пособии к
СНиП 2.03.01—^4 приведено упрощенное выражение
msw, = 0,67'/fo Кб1).
При действии в пределах длины проекции ct распре-
деленных нагрузок усилия Т и Q будут меняться в пре-
делах длины й, а изменение момента М будет нелиней-
196
но, что приведет к изменению выведенных формул для
Ct, М, н msv>. Однако, как показал анализ, использова-
ние в этом случае формул (3.275), (3.276), (3.279) при
усилиях Т и Q, расположенных в сечении с наибольшим
изгибающим моментом (т. е. в начале пространственно-
го сечения), приводит к незначительной погрешности в
запас прочности.
Если на элемент действует только равномерно рас-
пределенная нагрузка, а в сеченнн с максимальным из-
гибающим моментом Мтах имеет место крутящий мо-
мент То, следует рассмотреть пространственное сечение
с серединой в поперечном сечении, в котором изгибаю-
щий момент близок к Мтах, а крутящий момент сущест-
венно больше То. Здесь требуется, во-первых, определить
невыгоднейшую проекцию сечения при известных рас-
четных усилиях М иТ, которые действуют в поперечном
сечении, проходящем через середину пространственного
сечения, и, во-вторых, найти невыгоднейшее место рас-
положения середины пространственного сечения, учиты-
вая характер изменения усилий М и Т по длине пролета.
Для решения первой задачи из условия прочности
(3.273), принимая указанные выше обозначения Ms н
msw, выведем формулу для минимально необходимого
значения msw
msw ~ 8, С,
Значение ct определим из уравнения
г т Ь 1
d [б, С, ~(Мз~М) -^г]
—— =
ь
+ 2(М,-М)~ —г =
С1
" с1=2А(Л1,-М)/Г.
Подставляя (3.282) в (3.281), пол
fft,„=r2/[46i6(A'fJ—Л4)1;
Afs=Af-f-7'2/(46i&m 8 w) .
Для решения второй задачи выразим расчетные уси-
лия М и Т через известные усилия Мтах и То — крутя-
щий момент в пролетном сечении, где действует Мтах-
M=Mm«41-(x//m)2l и . .
197
(3.281)
^2. =0, т. е.
de,
Т
- .,4 +
о.
(3.282)
чим:
(3.283)
(3.284)
T=T0(l+x/Z<), (3.285)
где x— искомое расстояние от сечення, где действует Мmax ДО Св*
редины невыгоднейшего пространственного сечения; 1т и It — рас-
стояния от указанного сечения до нулевых точек соответственно
эпюр М и Т.
Подставим формулы (3.285) в (3.283):
Т20 (1 + хЩ}'
т™~ 4ЪЬ[Мх-Мтах + Мтах(х/1тГ} • (3'286)
Значение х определим из уравнения—=0, т. е.
г_______(1 +x/ity_______у /2_ , 2_ \/«л «
[ м*-мтах+мтах {хчту J “ + /2 J Мглол +
х’ \ [ п х х' \
+ Мтах—2- ] — 2 I 1 +2 -j- +—j-l.
1т ) \ 1 ]
Решая это уравнение, получим
Подставляя (3.287) в формулу (3.286) и проделав
алгебраические преобразования, получим формулу для
вычисления необходимого количества продольной арма-
туры
Л1$ ™ Rs Ast (й, 0,5Xi) ™
Л
-Л*ям + ^2 z/m \2 (3.288)
4Ь, bmsw -г; \ It )
ттаХ
Значения 1т и lt удобнее выразить через равномерно
распределенную нагрузку q и равномерно распределен-
ный крутящий момент на единицу длины t
lm “ ^Mmaxl q и It *= TJt
Тогда формула (3.288) приобретает вид
RsASi (Л. — 0,5х.) = 48,*^и)(Лв—0,5xt) —2^/?- <3-289)
Как видно из формулы (3.289), при 7’о=О расчет на
кручение пространственного сечения, расположенного в
пролете, можно не выполнять. Следовательно, для сво-
бодно опертых балок, а также для неразрезных (заде-
ланных) балок с одинаковыми опорными моментами,
нагруженных эксцентрично приложенной равномерно
198
распределенной нагрузкой, прочность на кручение про-
веряется только в приопорных участках. Для значения
в формулах (3.288) и (3.289) применимы те
же указания, что были даны выше, т. е. msw должно оп-
ределяться по формуле (3.279) при максимальном зна-
чении Т на данном участке интенсивности горизонталь-
ных хомутов, и учитываемое в формуле (3.276) значение
mswb принимается не более О.бТ/Игде Т находится
по формуле (3.285).
В некоторых местах элементов, где действуют весьма
малые изгибающие моменты, но большие крутящие мо-
менты, спиральная трещина возможна в зоне, сжатой
от изгиба, и если в этой зоне расположено немного про-
дольной и поперечной арматуры, то такая трещина
может привести к разрушению. В нормах эта схема раз-
рушения названа третьей. По этой схеме следует прове-
рять пространственные сечения, расположенные у опор
свободно опертых балок, а также вблизи нулевых точек
неразрезных балок, принимая середину пространствен-
ного сечения у места обрыва верхней продольной арма-
туры, если эта арматура заходит в зону, сжатую от из-
гиба. Поскольку схема III отличается от схемы I по су-
ти только знаком изгибающего момента, первые из ука-
занных пространственных сечений можно проверить по
формуле (3.287) или (3.288), принимая Т, Q И Мтах В
опорном сечении (т. е. Мтах=0), а вторые — по форму-
ле (3.296), принимая М в месте отрыва продольной ар-
матуры с обратным знаком. Очевидно, в обоих случаях
следует учитывать продольную и поперечную арматуру,
расположенную в сжатой от изгиба зоне, а значение/п.,®
принимать не менее определенного по формуле (3.291).
Формулами (3.295) и (3.296) можно пользоваться во
всех случаях, если есть уверенность, что невыгоднейшее
пространственное сечение с длиной проекции опреде-
ляемой по (3.294), не выйдет за пределы элемента или
за пределы участка с однозначными и ненулевыми зна-
чениями Т. Кроме приведенных случаев это может быть
при наличии крутящих моментов, которые превышают
крутящий момент иа опоре (например, при действии со-
средоточенных сил с противоположными эксцентриси-
тетами). В этом случае за середину пространственного
сечения принимается нормальное сечение с наибольшим
изгибающим моментом в пределах участка с наиболь-
шими крутящими моментами.
199
Г л я в a 4
РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ СОСТОЯНИЯМ ВТОРОЙ ГРУППЫ
4.1. Расчет железобетонных конструкций
по образованию трещин
4.1.1, Категория требований к трещиностойкости
Требования к трещиностойкости конструкций уста-
навливаются в зависимости от их назначения, условий
эксплуатации и чувствительности арматуры к агрессив-
ным воздействиям. Поскольку части конструкции могут
эксплуатироваться в неодинаковых условиях и быть ар-
мированы разными сталями, к частям одного и того же
элемента могут предъявляться различные требования.
СНиП 2.03.01—84 устанавливает три категории трещи-
ностойкости: 1-я — не допускается образование трещин;
2-я — допускается ограниченное по ширине непродолжи-
тельное раскрытие трещин асгс i при условии обеспече-
ния их последующего надежного закрытия (зажатия);
3-я — допускается ограниченное по ширине непродолжи-
тельное aCrci и продолжительное am.i раскрытие трещин.
Требования 1-й категории предъявляются к конструк-
циям, которые перестают выполнять свое назначение с
образованием трещин (напорные трубы, резервуары и
другие элементы, воспринимающие давление жидкостей
или газов при полностью растянутом сечении), а также
при использовании арматуры, весьма чувствительной к
коррозии в условиях среды ее эксплуатации. Последнее
относится прежде всего к конструкциям с высокопроч-
ной проволочной арматурой в агрессивных средах, ког-
да даже непродолжительное раскрытие трещин порядка
0,05—0,1 мм может привести к хрупкому коррозионному
разрушению. Образование трещин в этих случаях не до-
пускается при действии полной расчетной нагрузки,
включающей постоянные, длительные и кратковремен-
ные нагрузки при коэффициенте надежности по нагруз:
ке у/>1 (т. е. учитываются те же нагрузки, что и при
расчете по прочности).
Требования 2-й категории трещиностойкости предъ-
являются к конструкциям, когда ограниченное непро-
должительное раскрытие трещин не оказывает вредного
влияния иа арматуру. Примером таких конструкций мо-
гут быть опоры ЛЭП. Для них образование трещин до-
200
пускается при действии нормативной кратковременной
(ветровой) нагрузки, при этом раскрытие трещин не
должно превышать допустимых значений асгс ь Однако
при действии постоянных и длительных нагрузок (с уче-
том усилия предварительного обжатия) трещины долж-
ны быть зажаты, т. е. на грани сечения с трещиной
должно действовать сжимающее напряжение не менее
0,5 МПа.
Расчет по непродолжительному раскрытию трещин
производится на постоянные, длительные и кратковре-
менные нагрузки, по закрытию трещин — на постоянные
и длительные нагрузки; коэффициент надежности по
нагрузке у/= 1.
Требования 3-й категории предъявляются к железо-
бетонным конструкциям (таких большинство), для ко-
торых ограниченное непродолжительное и продолжи-
тельное раскрытие трещин не представляет опасности.
Расчет на непродолжительное раскрытие трещин произ-
водится на совместное действие постоянных, длительных
и кратковременных нагрузок, на продолжительное рас-
крытие— на действие постоянных и длительных нагру-
зок; коэффициент надежности по нагрузке у/=1.
Требования 1-й и 2-й категорий предъявляются обыч-
но к предварительно напряженным конструкциям. Эле-
менты без предварительного напряжения работают, как
правило, с трещинами в растянутой зоне. Если в конст-
рукциях или их частях, к которым предъявляются тре-
бования 2-й категории, трещины не образуются от пол-
ной расчетной нагрузки 1), т. е. вероятность обра-
зования трещин весьма мала, то для них не требуется
расчет по непродолжительному раскрытию и закрытию
трещин. Если в конструкциях или их частях, к которым
предъявляются требования 3-й категории, трещины не
образуются от полной нормативной нагрузки (у/=1),
то расчет по раскрытию трещин не требуется. Приведен-
ные категории трещиностойкости относятся к расчету
как нормальных, так и наклонных трещин.
Помимо нормальных и наклонных трещин в железо-
бетонных конструкциях могут образовываться и другие
трещины, методы расчета которых еще не разработаны.
К ним относятся продольные трещины (в растянутой, а
иногда и в сжатой зоне), ответвления от основных тре-
щин, различные виды технологических трещии и др. Во
избежание раскрытия этих трещин выполняются конст-
201
руктивные мероприятия (например, устанавливается со-
ответствующая поперечная арматура). Кроме того, для
предварительно напряженных элементов ограничивают-
ся сжимающие напряжения в стадии обжатия — отно-
шение QbvIRb? не должно превышать значений, установ-
ленных СНиП 2.03.01—84. В стадии изготовления, транс-
портирования и монтажа в необходимых случаях на-
грузки учитываются в расчете с коэффициентом дина-
мичности.
4.1.2. Расчет по образованию трещин,
нормальных к продольной оси элемента
Трещииообразование. Появлению видимых трещин в
в растянутом бетоне изгибаемых элементов предшест-
вует интенсивное образование микротрещин. Можно вы-
делить четыре этапа процесса трещинообразования.
Первый этап характеризуется нарушением равномерно-
сти распределения деформаций бетона растянутой гра-
ни— деформации в тех сечениях, по которым в даль-
нейшем пройдут видимые трещины, интенсивно увеличи-
ваются. Это связано с развитием микротрещин в этих
сечениях. На втором этапе микротрещины достигают
уровня арматуры, появляется неравномерность распре-
деления деформаций по длине арматурного стержня.
Третий этап соответствует более высоким нагрузкам.
При этом в графиках нагрузка — средние деформации
арматуры образуется перелом. Обнаруживаются види-
мые трещины (асгс=0,05—0,1 мм). Соответствующая на-
грузка в опытах обычно принимается за нагрузку тре-
щинообразования. На четвертом этапе при росте на-
грузки трещины развиваются по высоте сечения. При
этом целая (над трещиной) часть сечения находится в
условиях продолжающегося трещинообразования. За-
канчивается этап тогда, когда образуются и достигнут
своей максимальной высоты все основные трещины.
Предельное удлинение бетона. В неар мированных
бетонных изгибаемых и внецентренно растянутых эле-
ментах возникновение трещин вызывает внезапное об-
рушение. Относительное предельное удлинение неарми-
рованного бетона составляет примерно ебг=7-10~5...
20-10-5.
Арматура, расположенная в растянутой зоне сече-
ния, изменяет процесс образования трещин, придавая
202
железобетону свойства так называемой фиктивной плас-
тичности. С увеличением процента армирования рас-
крытие трещин уменьшается. Процент армирования с
соответствующим повышением количества стержней
можно довести до такой величины, при которой трещи-
ны при возникновении будут иметь столь малое раскры-
тие, что их даже трудно обнаружить приборами. В ре-
зультате возникла гипотеза о повышении предельной
деформации растянутого армированного бетона при уве-
личении процента армирования и уменьшении толщины
бетонного покрова. Однако исследования не подтверди-
ли повышения пластических свойств армированного бе-
тона при повышении процента армирования, поэтому
при расчете железобетонных конструкций по образова-
нию трещин независимо от насыщения элемента арма-
турой в нормах проектирования принято предельное
удлинение бетона 2RbdEb.
Тем не менее и в настоящее время имеются различ-
ные точки зрения относительно предельной растяжимо-
сти бетона. Так, некоторые исследователи в расчетах по
образованию трещин используют диаграммы сжатия и
растяжения бетона с нисходящей ветвью (рис. 4.1,а).
В этом случае расчетному моменту образования трещин
Мсгс может отвечать деформация наиболее растянутого
волокна, превышающая предельные деформации бетона
при осевом растяжении, причем эта деформация зави-
сит от процента армирования, формы сечения, класса
бетона и других факторов.
Основные положения расчета образования трещин по
методу норм. Для изгибаемых, растянутых и внецентрен-
но сжатых железобетонных элементов усилия, воспри-
нимаемые нормальным сечением в предельном состоя-
нии перед образованием трещин, определяются исходя
из следующих основных положений.
1. Сечения после деформации остаются плоскими,
т. е. деформации по высоте элемента изменяются по ли-
нейному закону (рис. 4.1).
2. Наибольшее относительное удлинение крайнего
растянутого волокна бетона равно 2Rbt, serlEb. Предель-
ные деформации растянутого бетона, равные этой вели-
чине (8...12) 10~5, с запасом оценивают растяжимость
бетона в сечении перед образованием в ней трещины.
3. Напряжение в бетоне сжатой зоны определяется с
учетом упругих (для изгибаемых ненапряженных и рас-
203
Рис. 4.1. К построению метода расчета по образованию нормаль-
ных трещин
а — диаграмма работы бетона; 6 — схема расчетного сечения; в — наиболее
вероятные схемы деформаций и напряжений в бетоне непосредственно пе-
ред образованием трещины; г —то же, принятые для расчета по СНиП
2.03.01—84; д — ядровое расстояние г при линейной эпюре сжимающих на-
пряжений в бетоне; е — то же, при криволинейной эпюре; /—центр тяже-
сти приведенного сечения; 2— ядровая точка; 3— линейная эпюра напря-
жений в сжатом бетоне; 4 — то же, криволинейная эпюра
тянутых элементов при растягивающей силе Л/, большей
усилия предварительного обжатия Р) нли неупругих де-
формаций бетона (для предварительно напряженных
изгибаемых и внецентренно сжатых элементов); при
этом неупругие деформации учитываются уменьшением
ядрового расстояния г.
Этот подход условен и имеет целью упростить рас-
четный аппарат, но он не лишен и физического смысла.
Для растянутых (N>P) и изгибаемых элементов без
предварительного напряжения момент образования тре-
щин сравнительно небольшой и при нем нелинейные де-
формации бетона сжатой зоны (если она есть) проявля-
ются незначительно. В этом случае эпюра напряжений
в сжатой зоне близка к треугольной. Для предваритель-
но напряженных изгибаемых и внецентренно сжатых
элементов при напряжениях в бетоне оь>0,6/?ь,ввг за-
метно проявляется нелинейная ползучесть, эпюра напря-
жений в сжатой зоне искривляется. При расчете по ме-
тоду ядровых моментов (см. выше) практически важно
учесть связанное с этим искривлением уменьшение рас-
стояния до ядровой точки г (сжимающая сила, прило-
женная в этой точке, вызывает на растянутой от внеш-
них нагрузок грани элемента нулевые напряжения).
4. Напряжения в бетоне растянутой зоны распреде-
лены равномерно и равны по величине Rbt, вег, т. е. эпю-
ра напряжений в растянутой зоне бетона прямоугольная
при Cbt = Rbt, вег- Фактическая эпюра напряжений в рас-
тянутом бетоне отличается от прямоугольной и имеет
криволинейное очертание. Однако пока отсутствуют еще
надежные способы непосредственных замеров напряже-
ний в бетоне. В последнее время некоторыми исследова-
телями в расчет вводится эпюра напряжений, отвечаю-
щая диаграмме растяжения бетона оы—ем с нисходя-
щей ветвью. В связи с этим можно отметить, что приня-
тие прямоугольной эпюры упрощает расчет и, как пока-
зали многочисленные сопоставления теоретических и
экспериментальных значений момента образования тре-
щин Мсгс, приводит к неплохой сходимости расчета и
опыта.
5. Напряжения в ненапрягаемой арматуре равны ал-
гебраической сумме напряжений, отвечающих прираще-
нию деформаций окружающего бетона, и напряжений,
вызванных усадкой и ползучестью бетона. Напряжение
в такой арматуре, расположенной вблизи крайнего рас-
тянутого волокна (без учета начальных напряжений от
упадки и ползучести бетона) равно (2Rbt,ser/Eb)Ee=-
==2aRbt, Jer^30 МПа.
. 6. Напряжения в напрягаемой арматуре равны алгеб*
а»
Рис. 4.2. Схемы усилий, напряжений и деформаций в поперечном
сечении изгибаемого ненапряженного элемента цри его расчете по
образованию нормальных трещин
раической сумме ее предварительного напряжения (с
учетом всех потерь) и напряжения, отвечающего прира-
щению деформаций окружающего бетона. Если такая
арматура расположена вблизи крайнего растянутого во-
локна, то напряжение в ней 2a/?fe(, ser4-o«p.
Определение момента образования трещин в изгибае-
мых ненапряженных элементах. Рассмотрим сечение,
симметричное относительно плоскости действия сил, же-
лезобетонного элемента с сжатой S' и растянутой S не-
напрягаемой арматурой. В соответствии с принятыми
основными положениями расчета эпюры напряжений и
деформаций имеют вид, показанный на рис. 4.2. Опре-
делим напряжения в арматуре и сжатом бетоне. Напря-
жение в бетоне на уровне крайнего сжатого волокна при
у—1 (неупругие деформации бетона не учитываются).
, 2/?w . ser X „ - X
“ 7ГЬ ' h^"x Еь 4 “ 2/?«. «г h — х-
Напряжение в бетоне на уровне центра тяжести пло-
щади сжатой зоны (среднее напряжение)
<Т'бт = а'ь(/-п/х).
Напряжения в растянутой и сжатой арматуре (без
учета напряжений от усадки и ползучести бетона) соот-
ветственно:
, set
°* “ E~t> h — x Bs “ feT " Л — х "
“IRbitser h — х — a h — х~а
as — h — x — 2 RBl, set д_______x a-
206
Отсюда усилия, воспринимаемые бетоном и армату-
рой непосредственно перед образованием трещин:
• r OD х Ут л %Rbt, ser^b.O
^•b-^Rbt.ser к_х х Ab- h_x !
-j nri x — a' , %Rbt, seraSs,o
Nt~^U,ser h_x^As- h_x
.. nn Л — X— a , ^Rbt.ser
Nt — 4Rbt,str h_x aAt- h_x
Rbt—Rbt, terAbti
где S’b, o, S',, o, S,. о — статические моменты площадей сечения соот-
ветственно сжатой зоны бетона, арматуры S' и S относительно
нулевой линии; Аы—площадь сечения растянутой воны бетона.
Из условия равенства нулю суммы проекций всех
продольных сил получим выражение
2 , , ,
ft^T(S»^ + aSa,0-«S^)-^-0. С4-1)
или формулу, приведенную в СНиП 2.03.01—84,
S ъ, o+aS',. о—aS,, 0= (Л—х)Аы/2. (4.2)
Из равенства (4.2) можно найтн положение нулевой
(нейтральной) линии. После этого можем определить
момент внутренних сил относительно нулевой линии. Он
равен внешнему моменту МСГс непосредственно перед об-
разованием трещин
Л4С„—N'bV'b+N's (х—а') +N,(h—x—a) +Nbtybt
или, подставляя найденные выше выражения для усилий
в бетоне и арматуре, получим
Г 2
Mcrc - Rbt.ser Y^X (S»-0 У'» + aA'‘ “ “O’ +
;j-a4s (h — x — a)’) + 4w yw
где у'ь — расстояние от равнодействующей усилий в сжатой зоне до
нулевой линии, у'ъ^1ъ, o/S'b. о; уы — расстояние от равнодействую-
щей усилий в растянутой зоне до нулевой линии.
207
- Отсюда можно
СНиП 2.03.01-84:
где
Wpt-
записать выражение, принятое в
= .в,Гр!,
(4.3)
2(/4, 4-a/Je4-a/^)
к — х + St>»’
(4.4)
h. о, /« о, о — моменты инерции площадей сечення соответствен-
но сжатой зоны бетона, арматуры S и S' относительно нулевой ли-
нии; Wpi — момент сопротивления приведенного сечеиия для край-
него растянутого волокна (с учетом неупругих деформаций растя-
нутого бетона). Это геометрическая величина, отвечающая приня-
тым эпюрам напряжений в сжатой (треугольной) и растянутой (пря-
моугольной) зонах сечения.
Исходя из формулы (4.2), определим высоту сжатой
зоны двутаврового сечения как сечения общего вида —
прямоугольного, таврового и двутаврового (обозначения
приведены на рис. 4.2). Используемые в этой формуле
величины равны:
h 1 f h‘ \
8'ьл - -у + (*/-*) Л/ (х--у];
(х—о?) j «Sg.o5^Лй (Л——х—д) j
Abt^b(h^x) + (bt-b)ht.
После подстановки и преобразований получим
bh* 4- (bf — b)hfh+ (b'—b) h'l 4- 2a As (h—a)+2aArs a'
X e ---------------------/------------------------------
2b h 4- 2 (iy — b) hf 4- (*/— b) hj 4- 2a (Af 4- AJ
или
ЙЛ’ » , { hf\ r
•y 4- (fy— b) 4- aAs a 4- «А s (k — af)
h~X bh + (b'f-b)h'f +a.{As + A's)^{bf-b} hf;2 ‘
Выражение для h—x можно записать обобщенно
k~^X^^Sred/Ar«d» (4.5)
где Srod — статический момент площади приведенного сечеиия, вы-
численный без учета площади сечения растянутых свесов, относи-
тельно растянутой грани; Ar»d — площадь приведенного сечения, вы-
численная без учета половины площади сечеиия растянутых свесов.
Для упрощения вычислений №р1 составлены табли-
цы, приведенные в пособиях к СНиП 2.03.01—84. В них
даны значения коэффициента у, с помощью которого
момент сопротивления вычисляется по формуле
B7?I=vr,ed, (4.6)
где Wrtd — момент сопротивления приведенного сечения, определяе-
мый как для упругого тела.
2U8
Момент WPi также может быть вычислен по прибли-
женной формуле
W'Pj=[0>292+0,75(yt+2gla)+0,075(Y',+2|*,la)]&/i2, (4.7)
(bf—b)hf 2(b'f-b)h'f
меь»--------j-h----; т,--------п-------=
Ui=4,/(M); n't=A',/(bh); a.=EJEi>.
При выводе этой формулы было принято: x=0,5h
a//i = 0,08; а7Л=0,08. При значениях р.аг^0,25 и y'i^
^0,3 погрешность вычисления Wpl по формуле (4.7) не-
значительна .
Определение момента образования трещин в пред-
варительно напряженных изгибаемых и внецентренно
сжатых элементах. Как уже отмечалось, для этих эле-
ментов важным является учет нелинейных деформаций
бетона сжатой зоны. Принятие треугольной эпюры на-
пряжений в сжатом бетоне нередко приводит к замет-
ной неточности расчета. Это наглядно показали экспе-
рименты с внецентренно сжатыми бетонными и железо-
бетонными элементами. При расположении продольной
силы на границе упругого ядра сечения н даже внутри
его, но вблизи этой границы, указанная сила вызывала
трещины на грани элемента, которая по формулам со-
промата должна была иметь либо нулевое, либо сжи-
мающие напряжения (рис. 4.1,д).
Имеется еще одно обстоятельство, снижающее тре-
щиностойкость рассматриваемых элементов. Как пока-
зали исследования бетонных и железобетонных образ-
цов, прочность тяжелого бетона на растяжение может
снижаться после его длительного обжатия усилиями на-
прягаемой арматуры или внешней нагрузкой. При этом
происходит некоторое изменение его модуля упругости.
Однако такое уменьшение прочности бетона на растяже-
ние обычно не существенно сказывается на трещино-
стойкости, так как при больших сжимающих силах
должен быть приложен значительный момент, чтобы по-
гасить напряжения сжатия бетона и только после этого
в нем возникнут растягивающие напряжения.
Точный учет этих и некоторых других обстоятельств
(например, влияния длительности действия нагрузки)
сложен и значительно усложнил бы расчет, поэтому в
настоящее время в нормах принят приближенный способ
расчета, основанный на расчете по ядровым моментам.
Поясним его сущность. Рассмотрим сначала упругий
Рис. 4.3. Схемы внешних (а) и заменяющих усилий (б, г), напря-
жений в бетоне, определенных как для упругого материала (в) и
принятых в СНиП 2.03.01—84 с учетом иеупругих деформаций (б),
при расчете по образованию нормальных трещин
элемент, а затем в полученные зависимости внесем кор-
рективы, связанные с неупругой работой растянутого и
сжатого бетона.
Пусть на упругий элемент (рис. 4.3) действуют: мо-
мент от внешней нагрузки М, момент от усилия предва-
рительного обжатия Peov, усилие предварительного об-
жатия Р и внешняя сила (равнодействующая этих
сил сжимает сечение). По известной формуле сопротив-
ления материалов краевое растягивающее напряжение,
вызванное этими усилиями,
Р±Н М—Ре,р
аЫ-----+ вГЗ • <4‘8^
п red w red
Примем, что в момент образования трещин aw=-
!== Rbl.ser-
Имея в виду, что Wrfd.!Are<i представляет собой рас-
стояние г от центра тяжести до наиболее удаленного от
растянутой грани края ядра приведенного сечения, по-
лучим
Л4 ±yr=/?btllerW'rS4+P{eop-|-r). (4.9)
Правая часть выражения (4.9) представляет собой
момент, который может воспринять сечение перед обра-
зованием трещин при принятых предпосылках (тре-
угольная эпюра напряжений в сжатой и растянутой зо-
нах). Поэтому
,„.r„d+P(e0P+r). (4 10)
Левая часть выражения (4.9) представляет собой
сумму моментов внешних сил относительно ядровой точ-
ки (Мг). Отсюда следует, что трещины в сечении не об-
разуются, если
AlrCMcrc, (4.11),
210
Первый член правой части формулы (4.1G) есть мо-
мент трещинообразования изгибаемого железобетонного
элемента без предварительного обжатия, вычисленный в
предположении упругой работы элемента. Но неучет
пластических деформаций растянутого бетона приводит
к недооценке момента образования трещин; чтобы избе-
жать этого, в формулу (4.10) вместо Wmt следует ввес-
ти упругопл астический момент сопротивления Wpl.
В то же время принятие расстояния г как для упру-
гих материалов приводит к завышению второго члена
формулы (4.10). Чтобы избежать связанного с этим пре-
вышения расчетных значений Мсгс над опытными для
предварительно напряженных и внецентренно сжатых
элементов, необходимо снизить величину г с учетом не-
упругих деформаций сжатого бетона. Развитие этих де-
формаций тем больше, чем выше отношение сжимающе-
го напряжения пь к сопротивлению бетона /?&, ser. Это
учитывается в СНиП 2.03.01—84 умножением величины
г, найденной как для упругих материалов, на эмпириче-
ский коэффициент ф^1. При этом уточненное расстоя-
ние г находится по формуле
г=ф(Г„<гМг.й), (4.12)
где
ф=1,6— (аъ/Rb, вег), (4.13)
но не менее 0,7 и не более 1; оь — максимальное напряжение в сжа-
том бетоне от внешней нагрузки и усилия предварительного напря-
жения, вычисляемое как для упругого тела по приведенному се-
чению.
С учетом неупругих деформаций в растянутом бето-
не, выразившимся в замене Wred в формуле (4.9) на мо-
мент сопротивления WPi, и в сжатом бетоне, выразив-
шимся в уменьшении расстояния от центра тяжести при-
веденного сечения до ядровой точки г, получим прибли-
женную формулу для определения момента образования
трещин в рассматриваемых элементах (равнодействую-
щая продольных сил P±:N сжимает сечение):
Merc =: Rm, ser (4.14)
где Mrp—момент усилия Р относительно ядровой точки.
При этом момент внешних сил Мг также определяет-
ся относительно ядровой точки, найденной с учетом не-
упругих деформаций бетона по формуле (4.12). Этим
учитывается влияние указанных деформаций при расче-
те внецентренно сжатых элементов. Приближенность
211
~alpFsp{t
^S/2.
' )^S/3
6sp)Asp/i
Рис. 4.4. Усилия, деформации (а) и напряжения (6) в поперечном
сечеиии центрально-растянутого элемента прн расчете его по обра-
зованию нормальных трещин по методике СНиП 2.0301—84
формулы (4.14) состоит в том, что при вычислении Wpi
не учитывается влияние нормальной силы иа высоту
сжатой зоны сечения х. С увеличением сжимающей си-
лы P±N высота сжатой зоны возрастает, соответствен-
но снижаются высота растянутой зоны и момент от уси-
лия в ней относительно равнодействующей сил в сжатой
зоне сечения. Однако чем больше разница между дейст-
вительной высотой растянутой зоны и принимаемой в
расчете величиной h—х, тем меньше влияние величины
Rbt,serWvi в суммарном моменте, определяемом по фор-
муле (4.14).
Теоретический анализ показал, что способ ядровых
моментов приводит к погрешности против более точного
расчета, в котором учитывается изменение величины
h—х в связи с наличием продольной сжимающей силы,
для наиболее часто встречающихся случаев предвари-
тельно напряженных элементов до 5—7 %. Сопоставле-
ние с экспериментальными данными указывает на доста-
точно высокую точность этого способа расчета.
Особенности расчета по образованию трещин растя-
нутых элементов. Рассмотрим центрально растянутый
предварительно напряженный элемент с симметричной
арматурой (рис. 4.4) при N>P. В соответствии с основ-
ными положениями расчета усилие Nere непосредственно
перед образованием трещин
/ 2Rbl, set
NCfC = pbti sef A -f- Es + asp) Asp -f-
/ set \ •
+ —esbj^t (4.15)
212
или
Л^егс — Rbt. .«r[4-|-2a(4ip4-4,)]4-P,
где <т>р — предварительное напряжение в напрягаемой арматуре
с площадью А,р\ <з,ь — напряжение в неиапрягаемой арматуре с
площадью А,, вызванное усадкой и ползучестью бетона.
Зависимость (4.15) можно также получить из равен-
ства внешних и внутренних моментов относительно яд-
ровой точки, расстояние до которой от центра тяжести
приведенного сечения г, согласно СНиП 2.03.01—84:
г = Гр!/[Л+2а(Д3+Д'.)]; (4.16)
Л/сгсГ = /?Ь(, eerWpt-j-Pr. (4-17)
После подстановки в формулу (4.17) выражения
'(4.16) для величины г получим зависимость (4.15). При
этом сумма Ag-f-A', в формуле (4.16) заменяется сум-
мой ASP4-AS. Аналогично можно определить N„e и при
внецентренном растяжении. Таким образом, принятый в
нормах подход обеспечивает плавный переход при рас-
чете изгибаемых, внецентренно растянутых и централь-
но растянутых элементов.
Из рассмотрения изгибаемых, сжатых и растянутых
элементов (в том числе и центрально растянутых), сле-
дует, что расчет по образованию трещин можно выпол-
нять по одному, общему для них всех условию
MrRbt, вегpl — Мгр, (4.18)
где МГр — момент усилия Р относительно ядровой точки. Знак
«плюс» принимается, когда момент Л4гр сжимает растянутую от
внешних нагрузок грань сечения, «минус» — когда ее растягиваем;
Мг — то же, что и в формуле (4.11).
Учет усадки бетона в элементах без предваритель-
ного напряжения. Укорочение бетона от усадки, как по-
казывают различные исследования, может доходить до
(20...30) • IO—5, т. е. превышать предельное удлинение
бетона при разрыве. При наличии препятствий для сво-
бодного укорочения бетона (например, в виде армату-
ры) в нем образуются растягивающие напряжения и
могут возникнуть трещины.
Согласно основным положениям расчета по образо-
ванию трещин напряжения в неиапрягаемой арматуре
равны алгебраической сумме напряжений, отвечающих
приращению деформаций окружающего бетона
(2aRbt, ser), и напряжений, вызванных усадкой и ползу-
честью бетона. Напряжения в арматуре от усадки бето-
на можно принять численно равными потерям предвари-
213
тельного напряжения от усадки бетона, напряжения от
ползучести бетона проявляются в результате напряже-
ний сжатия от внешних нагрузок и зависят от величины
этих напряжений. Для ненапряженных элементов при
расчете по образованию трещин практически важно
учесть напряжения от усадки бетона. Для ненапряжен-
ного элемента с симметричной арматурой без внешней
нагрузки условие образования трещин от усадки бетона
можно записать в виде
Rbt. ввг^4“Ь (2aRbt, ser ) s =s= б.
Отсюда можно найти коэффициент армирования
lishr=As/A, при котором возможно образование трещин
в результате препятствий укорочению бетона при его
усадке со стороны арматуры
Rbt, лет I (Oshr—%CbRbl, ger)
где o,hr — напряжение в арматуре от усадки бетона.
Например, при бетоне естественного твердения клас-
са ВЗО и арматуре класса А-Ш коэффициент армирова-
ния [xs/ir=9,8 %, т. е. появление рассматриваемых тре-
щин происходит при весьма большом насыщении арма-
турой (имеется в виду, что другие препятствия усадке
бетона отсутствуют).
При одностороннем армировании влияние усадки
возрастает из-за внецентренного приложения усилия
Pshr=—aShrAs. Усилие P=Pshr и эксцентриситет его при-
ложения еор, так же как и усилие предварительного об-
жатия и его эксцентриситет, можно определить по фор-
мулам (8) н (9) СНиП 2.03.01—84, принимая asp=
=o'sp — ashr. Исходя из способа расчета по ядровым мо-
ментам, вычислим момент образования трещин в нена-
пряженных элементах с учетом влияния усадки бетона
Л4сгс== Rbt, eerWpt—6»hr (^g-f-^s) (^0р4“Г). (4.19)
При расчете по образованию трещин предварительно
напряженных элементов специального учета ползучести
и усадки бетона не требуется, так как они уже учтены
при вычислении Р.
Определение момента Мсгс с учетом усадки бетона
усложняет расчет элементов без предварительного на-
пряжения, однако при сравнительно небольших процен-
тах армирования влияние усадки невелико. Это позво-
ляет для элементов с небольшим ц упростить расчет.
С увеличением количества арматуры растут Wpt и
214
Рис. 4.5. К расчету по образованию нормальных трещин в предва-
рительно напряженных элементах в стадии изготовления, транспор-
тирования и монтажа
а — положение расчетных сечений; б — эпюра изгибающих моментов от еоб-
огненного веса конструкция; в — схема усилий я напряжений в расчетных
сечениях; / — центр тяжести приведенного сечения; 2 — ядровая точка, наи-
более удаленная от растянутой грани; 3 — монтажные петли; Mg— момент
от собственного веса
(TshrMs+^'s), но рост этих величин, как видно из фор-
мулы (4.19), оказывает на момент Мсгс взаимонейтрали-
зующее влияние. Поэтому в целом (особенно для эле-
ментов с низким процентом армирования) для большин-
ства встречающихся в практике проектирования случаев
момент МСГс несущественно зависит от коэффициента ар-
мирования ц. Как показал анализ, для элементов с цйС
% вполне допустимо вычислять момент Мсте без
учета арматуры, принимая Wpi=WPi, ь, (т. е. Wpt вы-
числяется при AS=A'S = O) и Pshr=®'> при этом
Мете = Rbt, eerWpl, Ь- (4.20)
Расчет по образованию трещин предварительно на-
пряженных элементов в стадии изготовления, транспор-
тирования и монтажа. В результате совместного дейст-
вия усилия предварительного обжатия Р и усилий, воз-
никающих под действием собственного веса при подъе-
ме, перевозке, складировании и т. д., в элементе возни-
кают растягивающие напряжения и могут образовывать-
ся трещины. Это происходит вследствие внецентренного
приложения усилия Р (предварительно напряженную
арматуру в изгибаемых элементах располагают обычно
вблизи растянутой в стадии эксплуатации грани). Влия-
ние собственного веса может быть двояко: в середине
пролета момент от него обычно препятствует образова-
нию рассматриваемых трещин; вблизи опор, подъемных
петель— способствует их появлению (рис. 4.5).
Расчет по образованию трещин в рассматриваемых
стадиях производится по общим формулам ядровых мо-
ментов; при этом необходимо учитывать прочность бето-
на и потери предварительного напряжения, соответст-
215
вуюшие данной стадии. Так, для стадии изготовления в
расчет вводится величина R$stf —значение Ri>t,»er
при классе бетона, численно равном передаточной проч-
ности Rbp,. и усилие сжатия Pi, определенное с учетом
только первых потерь. Для этой стадии расчет по обра-
зованию трещин выполняется из условия
P^p~rlnf) ±МГ</Щ ser Ws“”, (4.21)
где Mr — момент внешних сил, действующих на элемент в стадии
изготовления (обычно от собственного веса); знак «плюс» прини-
мается, когда направления этого момента и момента усилия Pt
совпадают, «минус» — когда направления противоположны;
—значение Wpi, определенное для стороны сечения, растя-
нутой от усилия Р|; г<п/ — расстояние от центра тяжести приве-
денного сечення до ядровой точки, наиболее удаленной от сторо-
ны, растянутой усилием Р,.
Поскольку влияние стержневой арматуры на величи-
ны WPi и г сравнительно небольшое, для упрощения
расчета значения W™p и rinf допускается определять
при тех же значениях а=Еь/Е3, что и в стадии эксплуа-
тации.
Трещины, образовавшиеся до приложения внешней
нагрузки, при расчете на эту нагрузку рассматривают-
ся как начальные. Особенно заметно влияют на трещи-
ностойкость и деформативность предварительно напря-
женных элементов начальные трещины в сжатой при
эксплуатационных нагрузках зоне элемента.
Расчет по образованию трещин в предварительно на-
пряженных элементах на участках с начальными тре-
щинами в сжатой зоне. При загружении внешней на-
грузкой предварительно напряженного элемента с на-
чальными трещинами в сжатой зоне происходит посте-
пенное закрытие этих трещин. Полное их зажатие на-
блюдается, как правило, еще до образования трещин
в растянутой от внешних нагрузок зоне элемента. Одна-
ко влияние начальных трещин сказывается и после их
закрытия. Как показали исследования, влияние началь-
ных трещин обусловлено следующим:
наличие начальных трещин приводит к уменьшению
целой части сечения в доэксплуатационной стадии (ста-
дии изготовления, транспортирования и монтажа); в ре-
зультате напряжения, вызванные усилиями предвари-
тельного обжатия, и от собственного веса элемента уве-
личиваются, что повышает потери предварительного на-
216
Рис. 4.6. К учету начальных трещин при расчете по образованию
нормальных трещин
а — состояние элемента до приложения эксплуатационной нагрузки; б — по*
перечное сечение с начальной трещиной; Ad* —момент от собственного веса
пряжения от ползучести бетона и соответственно сни-
жает усилия предварительного обжатия Р;
часть внешней нагрузки прикладывается еще до за-
жатия рассматриваемых трещин, когда элемент рабо-
тает с уменьшенным моментом сопротивления сечения.
При этом происходит интенсивный рост деформаций и
напряжений в бетоне и арматуре;
сопротивление бетона растянутой от внешних нагру-
зок зоны элемента снижается из-за образования в нем
микротрещин от значительного предварительного обжа-
тия усилием Р.
В результате момент образования трещин в растяну-
той от внешних нагрузок зоне снижается. Степень влия-
ния этих трещин зависит в основном от коэффициентов
<рт и б. Коэффициент <рт характеризует уровень усилий,
вызвавших образование и развитие начальных трещин,
по сравнению с моментом R{bpt\ser Wsupp, который спо-
собно воспринять сечение перед образованием указан-
ных трещин,
Фт “ Л (*.₽ - Г1п/) ± Мг (422)
принимается не менее 0,45. Параметр б — характеризует
влияние формы сечения и его армирование на развитие
начальных трещин (рис. 4.6)
. У
Л-У Л. + 4’
(4.23)
но не более 1,4, где у — расстояние от центра тяжести
приведенного сечения до крайнего волокна бетона, рас-
тянутого внешней нагрузкой.
217
Чем больше развита сжатая при внешних нагрузках
часть сечения (например, в тавровых сечениях), тем за-
метнее сказываются на работе элемента имеющиеся в
ней начальные трещины. С увеличением площади сжа-
тых полок возрастает и коэффициент 5. Противополож-
ное влияние на 6 оказывает рост количества сжатой ар-
матуры —чем больше этой арматуры, тем меньше
развитие и влияние начальных трещин.
Коэффициенты и б входят в эмпирическую фор-
мулу для определения ДЛ1СГС, на которую необходимо
снижать момент трещинообразования сечения Мсгс на
участках элемента с начальными трещинами.
ДЛ4еге=А.Л4огс, (4.24)
где
>.=[1,5— (0,9/6)](1—<ря)>0. (4J25)
Из формулы (4.25) видно, что с уменьшением коэф-
фициента фт, что соответствует росту усилий, привед-
ших к образованию и развитию трещин в сжатой зоне,
момент AAfcrc увеличивается; с уменьшением коэффи-
циента б, что может быть связано, в частности, с воз-
растанием площади сжатой арматуры, момент AMcrc
уменьшается.
Эмпирическая формула (4.25) получена при анализе
предварительно напряженных конструкций со стержне-
вой арматурой классов A-IV—А-V. При более прочной
арматуре (проволочной и стержневой класса A-VI)
влияние увеличенных потерь предварительного напря-
жения в полной величине напряжения osp снижается.
В нормах проектирования это учитывается снижением
на 15 % значений коэффициента б, определенного по
формуле (4.23) для конструкций, армированных прово-
лочной арматурой и стержневой арматурой класса A-VI.
Проверка возможности исчерпания несущей способ-
ности элементов одновременно с образованием в них
трещин. Исчерпание несущей способности элементов пе-
рекрытий и покрытий одновременно с образованием
трещин приводит к хрупкому, внезапному обрушению
этих конструкций и поэтому особенно опасно. В обыч-
ных случаях предельный по прочности момент Ми1 су-
щественно выше момента образования трещин МСГс, в
связи с чем разрушению предшествуют значительные
трещины и деформации. Это позволяет при эксплуата-
ции конструкций принять своевременные меры: снять
нагрузку, провести при необходимости усиление и т. д.
218
Большие трещины и прогибы как бы сигнализируют о
возможном обрушении; если же Mcrez>Mui, то такие
сигналы отсутствуют. При образовании трещин (в ре-
зультате, например, случайных перегрузок) усилие, ко-
торое обычно воспринимается арматурой после выклю-
чения из работы бетона растянутой зоны, вследствие
малой несущей способности арматуры оказывается не-
уравновешенным; внешнее усилие становится больше не-
сущей способности, происходит хрупкое, внезапное об-
рушение.
В связи с этим, как правило, указанные конструкции
необходимо спроектировать таким образом, чтобы Mui>
>Мт. Если же это трудно выполнимо, то согласно
СНиП 2.03.01—84, п. 1.19, площадь сечения продольной
растянутой арматуры должна быть увеличена по сравне-
нию с требуемой из расчета по прочности не менее чем
на 15 %. В отличие от обычного расчета по образова-
нию трещин, в котором используются сниженные по
сравнению со средними значения сопротивления бетона
растяжению Rbt.ser и коэффициента точности натяжения
арматуры увр< 1, в рассматриваемом случае такое сни-
жение будет неосторожным, так как чем ниже момент
Мсп, тем меньше опасность хрупкого разрушения. По-
этому при сравнении Мсгс и Ми1 используются значения
указанных величин, близкие к средним значениям:
l,2₽b(iSffr и у«р = 1. В остальном определение момента
образования трещин Мсгс производится обычным спосо-
бом.
4.1.3. Расчет по образованию трещин,
наклонных к продольной оси элемента
Основные предпосылки и расчетные формулы. Тре-
щины, образующиеся в зоне поперечных сил, можно
разделить на две группы. К первой группе относятся
трещины, появившиеся сначала у растянутой грани эле-
мента и затем по мере роста нагрузки получающих на-
клон, ко второй — трещины, образовавшиеся в средней
зоне высоты сечения, где имеются значительные каса-
тельные напряжения.
Расчет по образованию трещин первой группы про-
изводится так же, как нормальных к продольной оси
элемента трещин, так как их отклонение от нормали
происходит уже при нагрузках, превышающих нагрузку
219
трещинообразования, а трещин второй группы — в пред-
положении, что нормальные трещины в рассматривае-
мой зоне элемента отсутствуют. При этом напряжения в
бетоне определяются как для сплошного упругого тела.
В средней зоне изгибаемого элемента, где одновре-
менно имеются касательные напряжения хжу, нормаль-
ные напряжения стж, направленные параллельно про-
дольной оси элемента, и возможны нормальные напря-
жения ау, направленные перпендикулярно этой оси,
имеет место плоское напряженное состояние. При плос-
ком напряженном состоянии главные растягивающие
Gmt и главные сжимающие Отс напряжения в любой точ-
ке упругого элемента определяются по известной фор-
муле сопротивления материалов
с, 4- ГI — а„ \2
amt Ы •------Г2- ± У (------<4‘26>
Применительно к расчету железобетонных элементов в формуле
(4.26); Ох — нормальное напряжение в бетоне иа площадке, перпен-
дикулярной продольной оси элемента, от внешней нагрузки и уси-
лия предварительного обжатия; — нормальное напряжение в бе-
тоне на площадке, параллельной продольной осн элемента, от мест-
ного действия опорных реакций, сосредоточенных сил и распреде-
ленной нагрузки, а также предварительного напряжения хомутов и
отогнутых стержней; Тхк—касательное напряжение в бетоне от
внешней нагрузки и усилия обжатия, вследствие предварительного
напряжения хомутов и отогнутых стержней.
Расчет по образованию трещин производится из усло-
вия, по которому главные напряжения, действующие в
бетоне по наклонным площадкам, не должны превосхо-
дить соответствующих предельных значений. Эти пре-
дельные значения также определяются с учетом работы
бетона в условиях плоского напряженного состояния.
При этом в нормах используется так называемый кри-
терий прочности бетона при плоском напряженном со-
стоянии, представляющий собой функциональную связь
между предельными значениями главных сжимающих и
главных растягивающих напряжений.
Имеется много предложений для определения крите-
рия прочности бетона, основанных как на различных
теориях прочности, так и на экспериментальных данных.
Но теоретические модели не в полной мере отражают
особенности сопротивления бетона, а эксперименталь-
ные данные характеризуются разбросом. Тем не менее,
в совокупности они позволяют установить основные за-
кономерности рассматриваемой функциональной зави-
220»
Рис. 4.7. К расчету элементов по образованию трещин, наклонных к
продольной оси элемента
в — расчетный критерий прочности бетона при плоском напряженном со-
стоянии для тяжелого бетона; б — кубик бетона, работающий в условиях
плоского напряженного состояния; в —напряжения по главным площадкам
железобетонного элемента; 1, 2, 3, 4 — соответственно критерии для бетона
класса ВЗО. В40. В50, В60; 5 — мнкротрещнны; 6 — элементарный кубик
симости. Эти закономерности учтены в зависимости
CmtIRbt—OmeJRb, принятой в СНиП 2.03.01—84, график
которой приведен на рис. 4.7, а аналитическая запись
имеет вид
nmt 1- amclRb,rer
Rm,.’er = 0,2+ aB ’
(4.27)
но не более 1, где для тяжелого бетона а=0,01, для мелкозернис-
того, легкого и ячеистого бетона а=0,02.
Для пояснения физической сущности критерия проч-
ности бетона рассмотрим рис. 4.7,6, в. Прежде всего от-
метим, что как при сжатии бетонного элемента (напри-
мер, кубика, см. рис. 4.7,6) по оси У, так и при его рас-
тяжении по оси X, перпендикулярной оси У, разрушение
происходит в результате отделения частей этого элемен-
та друг от друга. Если oJZ==/?b, то рассматриваемый эле-
мент разрушится при сгж=О (разрушение при осевом
сжатии); если ax=Rbt, то разрушение произойдет при
ov=0 (разрушение при осевом растяжении). Если од-
новременно действуют напряжения ох и av (плоское на-
пряженное состояние), разрушение произойдет при ax<Z'
<ZRbt и cy<zRb или, что то же самое, при oml<Rbt и
Omc<Rb- Критерий прочности и позволяет установить
221
предельные растягивающие .напряжения omt в зависимо-
сти от действующих сжимающих напряжений отс.
Небольшие относительные сжимающие напряжения
QmdRb мало отражаются на предельных значениях amt.
При значительных сжимающих напряжениях CmJRb,
вызывающих образование в бетоне микро- и особенно
макротрещии, предельные значения omt существенно
снижаются. Это учитывается принятием критерия проч-
ности в виде ломаной линии. С увеличением прочности
бетона снижаются его пластические свойства, что при-
водит к уменьшению предельных усилий при образова-
нии наклонных трещин. Влияние прочности и вида бе-
тона также приближенно учитывается формулой (4.27).
Таким образом, расчет выполняется из условия
(4.23)
где уб4==о,те/^?м, »ег — коэффициент условия работы бетона н усло-
виях плоского напряженного состояния, определяемый по формуле
Наиболее вероятные места образования наклонных
трещин — центр тяжести приведенного сечения и при-
мыкание сжатых полок к стенке элемента таврового и
двутаврового сечений. В этих местах и рекомендуется
проверять условия (4.28).
Определение нормальных и касательных напряже-
ний в бетоне производится в основном как для упруго-
го материала.
Нормальные напряжения ах на площадке, перпенди-
кулярной продольной оси элемента от внешнего момен-
та М и продольной силы N и от усилия предварительно-
го обжатия Р находятся по известной формуле сопро-
тивления материалов
, N Р „ М Ре*р
= i "1--— ~л----± ------У + "7----У- (4.29)
A red “red ‘red 1 red
Здесь и далее нормальные напряжения (ож н о„)
принимаются со знаком «плюс», если они растягиваю-
щие, и со знаком «минус», если они сжимающие.
Нормальные напряжения av на площадке, параллель-
ной продольной оси элемента, принимаются равными
сумме напряжений от местного действия опорных реак-
ций и сосредоточенных сил aVti0B, а также напряжений
от усилия предварительного обжатия хомутов и отогну-
222
Рис. 4.8. Распределение напряжений сос от действия сосредото-
ченной силы F, Оц, iac=y(Flbh)
тых стержней аур. Формулы для вычисления ay,ioc полу-
чены из решения задачи теории упругости
„ f 2П Р 3 — 2Р ]
°у. loc - bh П [(а*+Д’)’—(1 + a’)’J’ (4,Л’5
где F— сосредоточенная сила иля опорная реакция; а—xlh, Р=
=*ylh— относительные координаты точки (рис. 4.8), для которой
определяются местные напряжения; в месте приложения силы F
х**=0, р=0; при этом ось х направлена параллельно продольной осн
элемента, ось у — нормально к ней.
Учет местных напряжений $y,ioc (так же как и ож, ?оС;‘
Тхц.гое) ограничивается длиной участка х=0,7/г в обе
стороны от точки приложения сосредоточенной силы.
Значение сжимающих напряжений (принятых со знаком
<мннус») от предварительного обжатия хомутов и отги-
бов <зур определяется по формуле
Qsp,w^spw asp, Inc Asp, Inc
°yp “ - S^~b — Sin 9• (4 •31)
Из этой формулы следует, что усилие в напрягае-
мых хомутах, расположенных в одной плоскости, нор-
мальной к оси элемента, площадью A,pw передается на
площадь бетона Swb,. где Sw —шаг хомутов.
При наличии предварительно напряженных отгибов
напряжение аур увеличивается. При этом рассматрива-
223
Рис, 4.9. Криволинейная отогнутая напрягаемая арматура, учиты-
ваемая при определении предварительных напряжений в бетоне,
нормальных н продольной оси элемента и скалывающих
1 — арматура, учитываемая при определении напряжений хху в сечении 0—0;
2 —то же, при определении ауг на участке sinc
ется участок, отстоящий от данного сечения в обе сто-
роны на расстоянии h/4, площадь которого соответствен-
но bh/2. Отгибы, заканчивающиеся в пределах этого
участка (рис. 4.9) площадью Лар, ,Пе. передают на него
усилие а,р, incAsp, inc sin 9. В формуле (4.31) Sinc—h/2,
9 —угол между осью арматуры и продольной осью эле-
мента в рассматриваемом сечении.
Касательные напряжения в бетоне rxlz от внешней
нагрузки определяются по известной формуле сопротив-
ления материалов
b^QSr.dHblrrt), (4.32)
где Sred — приведенный статический момент части сечения, распо-
ложенной выше рассматриваемого волокна, относительно оси, про-
ходящей через центр тяжести приведенного сечения; b — ширина
сечения элемента на уровне рассматриваемого волокна; Q — попе-
речная сила от внешней нагрузки в рассматриваемом сечении; при
этом следует учитывать возможность отсутствия временной нагруз-
ки на участке от опоры до рассматриваемого сечения.
При наличии напрягаемой отогнутой арматуры, за-
канчивающейся на опоре или на участке между опорой
й сечением, расположенным на расстоянии h/4 от рас-
сматриваемого сечения 0—0 (см. рис. 4.9), поперечная
сила Q уменьшается на Qp
inei sin 0, (4.33)
где A,p. <nci—площадь сечения напрягаемой отогнутой арматуры.
Заканчивающейся на указанном участке.
224
В случае необходимости (когда требуется более точ-
ный расчет) напряжения ох и тх)/ могут быть определе-
ны с учетом местного действия опорных реакций и со-
средоточенных сил; при этом напряжения от внешней
нагрузки и предварительного обжатия алгебраически
суммируются с напряжениями от местных воздействий
Ол, /«с и txV, toe- Последние вычисляются по формулам,
полученным из решения задачи теории упругости;
Г 2 1+3(1 +2а’) (1— 20)
loc - bh ц 2(1 + 2а’)
— За(1 —20)arctg-^- — (ct,“ fry]; (4.34)
Р 20 ( а [5 +За’(1—0) —60)
bh д { (1+а’)’ “
— 3(1—0) arctg (4,35)
[Р, а и 0 в формулах (4.34), (4.35) — та же, что и в формуле
(4.30)].
Для упрощения вычислений aViloe, ох, гое и тХу,/ос в по-
собии к СНиП 2.03.01—84 приведены таблицы.
Для элементов, подвергающихся совместному дейст-
вию изгиба и кручения, значение тху принимается рав-
ным сумме касательных напряжений от изгиба, опреде-
ляемых по формуле (4.32), и от кручения т(. Последние
вычисляются по формулам пластического кручения, т. е.
принимается, что к моменту образования трещин напря-
жения т/ имеют одинаковую величину по всему сечению
элемента. Для элементов прямоугольного сечения
Т/ = 6Г/[&2(ЗЛ—6)], (4.36)
где Г —крутящий момент; h, 6 — соответственно больший и мень-
ний размеры сечения.
Особенности расчета элементов без предваритель-
ного напряжения. Приведенная ранее методика расчета
по образованию наклонных трещин в целом удовлетво-
рительно оценивает трещиностойкость предварительно
напряженных конструкций, в приопорных зонах кото-
рых нормальные трещины в момент образования на-
клонных трещин, как правило, отсутствуют. В ненапря-
женных конструкциях, даже в приопорных зонах, нор-
мальные трещины на участках с большими поперечными
силами образуются раньше наклонных в средней части
высоты сечения.
8 Заказ Л’г 293
225
Но если даже для ненапряженных элементов произ-
водить расчет по главным растягивающим напряжениям
как для упругого тела с трещинами в растянутой зоне,
то полученные усилия Qcrc образования наклонных тре-
щин оказываются во многих случаях большими, чем
экспериментальные. Для упругого изгибаемого элемента
с трещинами в растянутой зоне
amI=T4,=Q/6z«Q/M01 (4.37)
или
Qcrc^ Rbtbho. (4.38)
Однако, как показали обобщения опытных данных,
при больших отношениях a/h0, где а — расстояние от со-
средоточенной нагрузки до опоры в элементах без по-
перечной арматуры наклонные трещины образуются в
среднем при QCrc—®fiRbtbh0. При уменьшении отноше-
ния a/h0 на напряженное состояние элемента все боль-
шее влияние оказывают сжимающие напряжения ov,ioa
от местного действия опорной реакции и внешней сосре-
доточенной силы. В результате поперечная сила Qc„, от-
вечающая образованию наклонной трещины, увеличива-
ется.
В настоящее время методика расчета образования
наклонных трещин с учетом действительного напряжен-
но-деформированного состояния элементов еще не раз-
работана. В связи с этим на основе опытных данных
для ненапряженных элементов из тяжелого бетона рас-
чет по образованию наклонных трещин рекомендуется
производить из условия
Q=CQerst (4.39)
где
Qcrc z= вегbh?<Jc,
но не менее OfiRbt, serbha н не более 2,5Rbt, вегЫг0', с — длина проек-
ции на продольную ось элемента наиболее опасного наклонного се-
чения.
4.2. Расчет железобетонных элементов
по раскрытию трещин
4.2.1. Предельно допустимая ширина
раскрытия трещин
Наличие трещин не является показателем потери
эксплуатационной пригодности или долговечности кон-
струкций, если их ширина раскрытия не превышает on-j
226
ределенных значений. Эти значения устанавливаются
исходя из требований долговечности конструкций (недо-
пущения коррозии арматуры) и выполнения ими своего
функционального назначения (например, ограничение
проницаемости), а также конструктивных требований
(например, целостности облицовки) и эстетических тре-
бований (нормальный внешний вид). Кроме того, огра-
ничение раскрытия трещин препятствует значительному
нарушению сцепления арматуры с бетоном, т. е. способ-
ствует обеспечению совместной работы арматуры с бе-
тоном в соответствии с принятой расчетной схемой.
Наиболее важным является выполнение требований по
сохранности арматуры и ограничению проницаемости
конструкций; соответствующие им значения предельно
допустимого раскрытия трещин приведены в СНиП
2.03.01—84 и СНиП 2.03.11—85 для конструкций, экс-
плуатируемых в неагрессивных и агрессивных средах.
Соблюдение этих ограничений обеспечивает, как прави-
ло, выполнение и других требований (эстетики, целост-
ности облицовки и т. д.).
Расчет по раскрытию трещин относится к расчету по
второй группе предельных, состояний, т. е. выполняется
для обеспечения пригодности конструкций к нормальной
эксплуатации. В связи с этим следует отметить, что ре-
монт железобетонных конструкций, пострадавших от
коррозии арматуры, сложен и редко достигает цели: не-
обходимо полное удаление продуктов коррозии с поверх-
ности арматуры и обволакивание ее свежим бетоном,
что трудновыполнимо.
В отличие от металлических для железобетонных
конструкций нельзя использовать и такой способ учета
коррозии, как увеличение сечения арматуры с целью до-
пущения ее частичного разрушения от нее. При относи-
тельно равномерной коррозии на большой площади по-
верхности арматуры образуется значительный объем
ржавчины, давление которой приводит к растрескива-
нию и откалыванию защитного слоя бетона. Но еще
опаснее локальная коррозия, при которой местное
уменьшение сечения арматуры происходит более быстро
и без заметных внешних признаков, что может привести
к внезапному обрыву высокопрочной арматуры. Учиты-
вая все это, при проектировании железобетонных конст-
рукций следует исходить из обеспечения сохранности
арматуры в течение всего срока эксплуатации конструк-
8*
227
Рис, 4.10. Связь между коррозией арматуры в шириной раскрытия
трещин в атмосферных условиях Москвы (а) и при периодическом
увлажнении (б), h — глубина нзв, мк
ции (без ремонтов, усиления и т. д.), т. е. не допускать
начала коррозии.
Трещины, облегчая доступ агрессивных агентов
внешней среды к поверхности арматурной стали, способ-
ствуют возникновению и развитию ее коррозии. Чаще
всего наиболее глубокое'поражение арматуры наблюда-
ется в месте пересечения ее трещиной. По мере удале-
ния от трещины, коррозия резко затухает.
Исследования показали, что коррозия стали под бе-
тоном с трещиной идет вначале быстрее, чем на откры-
той поверхности арматуры. С течением времени в узких
трещинах и при не особенно сильной агрессивной среде
228
Рис. 4.11. Коррозия армату-
ры в зависимости от шири-
ны раскрытия трещин в аг-
рессивных условиях
h — глубина язв, мн,
скорость коррозии замедляется (рис. 4.10). В широких
трещинах и в сильно агрессивной среде это затухание
может иметь временный характер из-за возможного
разрушения защитного слоя бетона, поэтому при огра-
ничении раскрытия трещин исходят, в частности, из того,
чтобы коррозия арматуры имела во времени затухаю-
щий характер.
Установлено также, что увеличение раскрытия тре-
щин свыше 0,3 мм значительно ускоряет процесс корро-
зии в агрессивных условиях (рис. 4.11). В то же время
внутри отапливаемых помещений с неагрессивной сре-
дой и влажностью воздуха не более 60 % нет оснований
опасаться коррозии арматуры даже при весьма больших
трещинах. Здесь ограничение раскрытия трещин в боль-
шей степени связано с иными требованиями (эстетиче-
ские, сцепление арматуры с бетоном и др.).
При использовании высокопрочной проволочной ар-
матуры опасность раскрытия трещин в бетоне сущест-
венно возрастает вследствие высоких напряжений и ма-
лых сечений такой арматуры. Коррозионно опасны так-
же конструкции с термически упрочненной стержневой
арматурой и катанкой, поскольку последние имеют
склонность к коррозионному растрескиванию под на-
пряжением, т. е. может произойти внезапный разрыв
этой арматуры в результате совместного действия на-
грузки и агрессивных веществ, содержащихся в окру-
жающей среде или в бетоне.
На развитие коррозии арматуры значительно влияет
влажность воздуха. При сухой воздушной среде корро-
зия арматуры, как правило, не развивается. Не бывает
обычно коррозии арматуры и в постоянно и полностью
насыщенном водой бетоне. Наиболее интенсивно разви-
вается коррозия при влажности, составляющей около
80%; при влажности воздуха, близкой к 100 %, корро-
229
зия практически останавливается. Особенно опасно пе-?
риодическое увлажнение конструкций (см. рис. 4.10),
Приведенные сведения позволяют лучше понять
ограничения раскрытия трещин, содержащиеся в СНиП
2.03.01—84 и СНиП 2.03.11—85. Значения предельно до-
пустимого раскрытия трещин уменьшаются с увеличе-
нием сопротивления арматуры и снижением их диамет-
ра, а также с ростом влажности среды. Наиболее жест-
кие ограничения в СНиП 2.03.01—85 приняты для кон-
струкций, эксплуатируемых в грунте при переменном
уровне грунтовых вод. Степень повреждения арматуры
от коррозии зависит от продолжительности раскрытия
трещин. При непродолжительном действии агрессивного
агента внешней среды может быть допущена большая
ширина раскрытия трещин, чем при продолжительном
его действии, что учтено в СНиП 2.03.01—84 и СНиП
2.03.11—85.
4.2.2. Определение ширины раскрытия трещин,
нормальных к продольной оси элементов
Зависимость для вычисления раскрытия трещин,
принятая в СНиП 2.03.01—84. Ни в нашей стране, ни
за рубежом еще не сложилось единого мнения о теоре-
тических предпосылках к расчету ширины раскрытия
нормальных трещин и о значимости тех основных пара-
метров, которые должны быть введены в расчет. При
разработке СНиП 11-21-75 было признано целесообраз-
ным перейти к расчету раскрытия трещин по эмпириче-
ской формуле, обобщающей многочисленные экспери-
ментальные данные, поскольку используемый ранее тео-
ретический метод, как было установлено, во многих слу-
чаях не вполне удовлетворительно оценивает результаты
опытов. Эта эмпирическая формула вошла и в новые
нормы — СНиП 2.03.01—84.
Анализ результатов опытов многих отечественных и
зарубежных авторов позволил установить связь между
раскрытием трещин и параметрами, от которых оно су-
щественно зависит. Из них наиболее важными являются
напряжение в растянутой арматуре и процент арми-
рования сечения ц. Кроме того, изучалось влияние проч-
ности бетона, диаметра арматуры, состояние ее поверх-
ности, а также соотношение между средней и макси-
мальной шириной раскрытия трещин,
230
Рис. 4.12. Зависимость
ширины раскрытия тре-
щин от напряжении в
арматуре а,, процента
армирования и диаметра
арматуры
«да
300
200
ЮО
О
0,05 О,!
h.jrQfi-Os'l.tlO-ttHH
о jl =0,622. Ф43им
+ji=1,02V. Ф57мп
—I-------iacrs
0,15 0,2 мм
Было выявлено, что зависимость между напряже-
нием в арматуре <т8 и шириной раскрытия трещин аетв
для большинства опытов близка к линейной (рис. 4.12).
Прямые не проходят через начало координат, но для
упрощения расчета они были приняты проходящими че-
рез начало координат. Это, как показал дополнительный
анализ, не внесло заметных погрешностей в расчет сред-
не- и сильноармированных элементов, но стало одной
из причин превышения расчетных значений асге над
опытными для слабоармированных конструкций. Шири-
на раскрытия трещин уменьшается с увеличением про-
цента армирования сечения, однако при значениях it,
превышающих 2 %, величина асгс практически перестаёт
зависеть от изменения процента армирования.
Анализ влияния диаметра арматуры позволил отме-
тить только тенденцию к росту ширины раскрытия тре-
щин с увеличением диаметра. Было установлено, что из-
менение прочности бетона не сказывается заметно на
асгс- Величина асге сама по себе не является стабильной
и может меняться в широком диапазоне для одного и
того же образца, поэтому было введено понятие о сред-
ней и максимальной ширине раскрытия трещин. Стати-
стическим анализом установлено, что отношение макси-
мальной ширины раскрытия трещин к средней составля-
ет в среднем 1,66. Поскольку наибольшую опасность
представляют трещины с максимальным раскрытием,
принятая в нормах формула составлена именно для этих
трещин. Она отражает связь между указанными пара-
метрами и величиной аСге-
аСге I 20 (3,5 —100 р.) y/~d . (4.40)
231
В формуле (4.40) помимо упомянутых ранее величин
oS) р, и d имеется ряд коэффициентов. Для объяснения
их физической сущности отметим, что при составлении
формулы (4.40) использовались в основном опыты над
изгибаемыми элементами из тяжелого бетона со стерж-
невой арматурой периодического профиля при кратко-
временном действии нагрузки. При длительной выдерж-
ке элементов под постоянной нагрузкой ширина раскры-
тия трещин увеличивается, что учитывается введением в
формулу коэффициента <рг^ 1. Применение гладких ар-
матурных стержней и проволоки, сцепление которых с
бетоном хуже, чем у стержней периодического профиля,
также приводит к некоторому росту раскрытия трещин,
что учитывается коэффициентом 1. Как показывают
опыты, раскрытие трещин в растянутых элементах при
прочих равных условиях больше, чем у изгибаемых и
внецентренно сжатых; для учета этого обстоятельства
в формулу (4.40) введен коэффициент 6^1.
На основании обобщения опытных данных в нормах
принято: 6 = 1 для изгибаемых и внецентренно сжатых
элементов; 6 = 1,2— для растянутых элементов; т] = 1 —«
при стержневой арматуре периодического профиля; т] =
= 1,3—при гладкой стержневой арматуре; гц = 1,2 —
при проволочной арматуре периодического профиля и
канатах; т| = 1,4 — при гладкой проволочной арматуре.
Обоснование значений коэффициента ф; приведено да-
лее. Коэффициент армирования р, принимается равным
отношению площади сечения арматуры Аа к площади
сечения бетона (при рабочей высоте h0 и без учета сжа-
тых свесов полок), но не более 0,02; для элементов пря-
моугольного, таврового и двутаврового сечений
As
и = bhQ + (bf-b](hf — a) <0-02- <4-41)
Принятый способ вычисления коэффициента ц позво-
ляет учесть влияние на ширину раскрытия трещин не
только степени насыщения поперечного сечения элемен-
та растянутой арматурой, но и влияние формы сечения.
Наличие сжатых полок при прочих равных условиях
(при одинаковых значениях as, d и т. д.) не уменьшает
раскрытия трещин, в связи с чем коэффициент р прини-
мается одинаковым для прямоугольных и тавровых с
сжатыми свесами элементов. В то же время развитие
растянутых свесов обычно приводит к увеличению рас-
232
стояния между стержнями арматуры, ухудшает условия
работы растянутого бетона, при этом раскрытие трещин
возрастает. С увеличением площади растянутых полок
коэффициент ц уменьшается и значение ат по формуле
(4.40) повышается.
Величину о, в формуле (4.40) следует рассматривать
как напряжение в обычной арматуре и приращение на-
пряжений в предварительно напряженной арматуре от
действия внешней нагрузки. Другими словами, рассмат-
ривается деформация арматуры, которую она получает
от внешней нагрузки после погашения предварительного
обжатия бетона, когда в нем возникают растягивающие
напряжения. Эмпирическая формула (4.40) построена
таким образом, что диаметр арматуры d подставляется
в миллиметрах и получаемое раскрытие трещин также
измеряется в миллиметрах.
Некоторые исследователи для лучшего отражения
физической сущности раскрытия трещин представляют
формулу (4.40) в виде
Дее = ф. sl/crc, (4.42)
где Zere —расстояние между трещинами, приближенно равное:
lcre-Stj20 (3,5— 100?) frd. (4.43)
Надо отметить, что при выводе формулы (4.40) не
ставилась задача оценить расчетом расстояние между
трещинами 1ете. Тем не менее, как показали некоторые
исследования, зависимость (4.43) качественно правиль-
но отражает связь между процентом армирования сече-
ния, диаметром арматуры, видом поверхности арматуры
и величиной 1СГС.
Зависимость (4.42) по структуре подобна известной
теоретической формуле
Ocre=s:'4,«(<Ts/^s)Zcrc. (4.44)
Если подходить более строго, то раскрытие трещин
представляет собой разность удлинения арматуры и рас-
тянутого бетона на участке между трещинами (рис. 4.13).
1СГС
Qcrc sm Ictc “ J* (^) eW (^)J du, (4.45)
0
где esm, ецт — соответственно средние деформации арматуры и бе-
тона на участке между трещинами,
233
Рис. 4.13. Усилия и напря-
жения в сечениях с трещи-
ной и распределение дефор-
маций растянутой армату-
ры (/) и растянутого бето-
на на ее уровне (2) на уча-
стке между трещинами
Рис. 4.14. Зависимость ко-
эффициента ф; от уровня
нагрузки
I — усредненная по данным
опытов для элементов с раз-
личными процентами армироаа-
ния; 2 — то же, для слабоар-
мироваяиых элементов (р <
<0.008); Pt — постоянная, дли-
тельно действующая нагрузка:
Рсгс — нагрузка, при которой
зафиксировано появление тре-
щин
Обычно же деформациями растянутого бетона из-за
их малости пренебрегают и формула (4.45) переходит в
формулу (4.44). Что касается зависимости (4.42), то в
ней отсутствует коэффициент ф8, учитывающий работу
бетона растянутой зоны. Для средне- и сильноармиро-
ванных элементов, для которых ф8 близок к единице,
это не приводит к заметным погрешностям, но для сла-
боармированных элементов данное обстоятельство явля-
ется одной из причин превышения расчетных значений
Осп над опытными. Вопросы уточнения расчета слабо-
армированных конструкций будут рассмотрены далее.
Учет длительности действия нагрузки. Как отмеча-
лось, влияние длительного действия постоянной (неиз-
меняемой во времени) нагрузки, в результате которого
трещины некоторое время продолжают расти как по ши-
рине раскрытия, так и по высоте сечения, учитывается
в формуле (4.40) коэффициентом <р;. Опытные значения
(fl=acrc/aCrc,sh находились как отношение значений ши-
рины раскрытия трещин при длительном и кратковре-
менном действии нагрузки. Наибольший рост раскрытия
трещин при длительной выдержке под нагрузкой проис-
ходит тогда, когда изгибающий момент в сечении не-
значительно превышает момент образования трещин
[(рис. 4.14). В этом случае различимые в микроскоп тре^
234
щины при длительном нагружении развиваются и часто
становятся видимыми невооруженным глазом. При этом
коэффициент ф/ может быть равен трем и более.
Если рассматривать рост трещин при нагрузке, когда
трещинообразование завершено уже при кратковремен-
ном ее приложении (все основные трещины образова-
лись и достигли своей максимальной высоты), то в этом
случае опытные усредненные значения ф( находятся в
пределах 1,3—1,6 (для элементов из тяжелого бетона),
причем ф/ уменьшается по мере увеличения процента
армирования. Последнее связано и с уменьшением доли
усилия, воспринимаемого растянутым бетоном, и соот-
ветственно со снижением влияния его выключения (не-
полного) в результате длительного нагружения (про-
должающееся нарушение сцепления и т. д.). Для этого
случая коэффициент ф/ определяется по формуле
фг=1,6— 15ц >1,3, (4.46)
что для средне- и сильиоармироваиных элементов позво-
ляет снизить значения ф; по сравнению с ф;=1,5, приня-
того в СНиП 11-21-75. Значения коэффициента ф; для
слабоармированиых элементов, которые при эксплуата-
ционных нагрузках пребывают в стадии продолжающе-
гося трещинообразования, рассматриваются далее.
В водой асыщениом состоянии из-за разбухания бето-
на влияние длительного нагружения меньше сказывает-
ся на росте трещин ф(=1,2. Трещины увеличиваются
заметно, когда длительная выдержка под нагрузкой со-
провождается попеременным водонасыщением и высу-
шиванием; в этом случае фг==1,75. Значения фгдля мел-
козернистого, легкого, поризованного и ячеистого бето-
нов приведены в СНиП 2.03.01—84.
Для элементов, к трещииостойкости которых предъ-
являются требования 3-й категории, расчет по раскры-
тию трещин в общем случае производится дважды: от
постоянных и длительных нагрузок определяется про-
должительное раскрытие трещин, от постоянных, дли-
тельных и кратковременных нагрузок — непродолжи-
тельное раскрытие трещин. Непродолжительное раскры-
тие трещин представляет собой сумму продолжительно-
го раскрытия трещин и приращение раскрытия трещин
от кратковременных нагрузок. Продолжительное рас-
крытие трещин определяется от указанных нагрузок по
формуле (4.40) при фг>1. Определение иепродолжи-
233
Рис. 4.15. Схема, принятая
для определения непродол-
жительного раскрытия тре-
щин от полной нагрузки
Р(ое> включающей длитель-
но действующую нагруз-
ку Рх
тельного раскрытия трещин производится в соответствии
со схемой, показанной на рис. 4.15. В этой схеме
принято допущение о том, что кривые зависимо-
сти нагрузка — раскрытие трещин при первоначальном
приложении кратковременной нагрузки и при ее прило-
жении после длительной выдержки под нагрузкой па-
раллельны, т. е. принято, что длительное (продолжи-
тельное) действие постоянных и длительных нагрузок
не отразилось на характере приращений раскрытия тре-
щин от кратковременных нагрузок. В соответствии с этой
схемой
Cterc “Oerel—Оегс24“ОегсЗ» (4.47)
где aCrci — ширина раскрытия трещин от непродолжительного дей-
ствия всех нагрузок (постоянных, длительных и кратковременных),
т. е. определяемая при коэффициенте <pi=l; аСгс2— ширина раскры-
тия трещин от непродолжительного действия постоянных и длитель-
ных нагрузок (коэффициент <pi = l); acres —ширина раскрытия тре-
щин от длительного действия постоянных и длительных нагрузок
(коэффициент <рх>1).
Для элементов, к трещиностойкости которых предъ-
являются требования 2-й категории, ширина раскрытия
трещин определяется от непродолжительного действия
постоянных, длительных и кратковременных нагрузок
(коэффициент ср(=1).
Зависимость (4.47) можно упростить, имея в виду,
.что
Из этих соотношений имеем:
°з, Го/ 1 1
acrc ” acrct. о ' 77“— асгс» ~Z~ + асгс»> илн acrc ”,
“ acre» [1 + (% totl^sl ~ 1 )/Tzl•
(4.48)
236
Для изгибаемых элементов без предварительного на-
пряжения формулу (4.48) можно дополнительно упрос-
тить, приняв во внимание, что плечо внутренней пары
сил z этих элементов мало изменяется с ростом нагруз-
ки, т. е. можно заменить отношением моментов
Mtot/Mi. Здесь Gsi и Mi — соответственно напряжения в
арматуре и момент от постоянных и длительных нагру-
зок; tot и MtOt— то же, от всех нагрузок. Зависи-
мость (4.48) позволяет для элементов, к которым предъ-
являются требования 3-й категории трещиностойкости,
определять не три значения раскрытия трещин (асгс1,
ЙСГС2, йегсз) , а ТОЛЬКО ОДНО (йегсз) •
Определение напряжений в растянутой арматуре.
При многорядном армировании ширину раскрытия тре-
щин определяют обычно на уровне наиболее растянуто-
го ряда арматуры, хотя при применении арматуры раз-
ных классов (при неодинаковых требованиях по огра-
ничению раскрытия трещин) иногда появляется необхо-
димость находить раскрытие трещин, а следовательно, и
напряжение в арматуре на разных уровнях ее располо-
жения. При этом сначала находится напряжение в арма-
турных стержнях, расположенных фактически или
условно в центре тяжести всей растянутой арматуры As,
а затем с помощью коэффициента б„ вычисляется на-
пряжение в арматуре рассматриваемого ряда.
При определении напряжения сц в центре тяжести
арматуры As расчет производится как при однорядном
армировании. При этом арматура, расположенная в не-
сколько рядов, как бы собирается в один ряд на уровне
центра тяжести всей арматуры Л8. Напряжение в арма-
туре о, находится из условия равновесия внешних и
внутренних сил по формулам:
для центрально растянутых элементов (рис. 4.16,а)
a,= (N~P)/At, (4.49)
для изгибаемых элементов (рис. 4.16Д в)
М—Р (z — esp)
Oi=-----' (4.50)
для внецентренно сжатых элементов (рис. 4.16,г, д)
N (es — z)~P(z — esp)
Oi =--------_----------, (4.51)
для внецентренно растянутых элементов при
^0,8/ie (рис. 4.16,е, ж)
237
a) As/2
Рис. 4.16. Усилия и эпюры на-
пряжений в поперечном сече-
нии элемента при расчете его
по ширине раскрытия трещин,
нормальных к продольной осн
а — при центральном растяжении; б, в — при изгибе; а, д — при внецеитрен-
ром сжатии; е, « — при внецентренном растяжении (при е0, <о/>0,8/т0)и, к—
<о же, при «в, (о(<0,8Ло; 1 — точка приложения равнодействующей усилий в
вжатой или менее растянутой зоне; 2 —центр тяжести приведенного сечения
для внецентренно растянутых элементов при во,«о;<,
<ZO,8ho (рис. 4.16,и, к)
N (zs + es) — P(zs — esp}
°' = --------A77s---------• (4.53)
где z, — расстояние между центрами тяжести арматуры S и S';
знак «плюс» принимается при расположении продольной растягива-
ющей силы за пределами расстояния между центрами тяжести ар-
матуры S и S', знак «минус» — между указанными центрами тя-
жести.
Под внецентренно растянутыми понимаются элемен-
ты, для которых растягивающая сила N больше усилия
предварительного обжатия Р, т. е. когда равнодействую-
щая этих сил растягивает элемент.
Формулы (4.50) —(4.52) получены из равенства нулю
суммы моментов внешних и внутренних сил относитель-
но точки приложения равнодействующей усилий в сжа-
той зоне сечения. Формула (4.53) получена аналогич-
ным образом, но моменты определены относительно
сжатой или менее растянутой арматуры S'; при этом
усилие в сжатой зоне бетона, когда сечение не пол-
ностью растянуто при eo,«ot^O,8/io, за малостью принято
равным нулю, в связи с чем плечо внутренней пары сил
zs равно расстоянию между центрами тяжести арматуры
S и S'.
Вычисление напряжений аа по формулам (4.50)—
(4.52) вызывает определенные трудности в связи с не-
обходимостью при нахождении г использовать ряд гро-
моздких формул, приведенных в п. 4.4.4. Поэтому были
разработаны приближенные способы определения о„
приведенные в пособиях к СНиП 2.03.01—84 по проек-
тированию обычных и предварительно напряженных
конструкций из тяжелых и легких бетонов.
Для изгибаемых элементов без предварительного на-
пряжения упрощение основано на учете того обстоя-
тельства, что плечо г мало изменяется в процессе роста
нагрузок, и для стадии эксплуатации и разрушения мо-
жет быть принята одна и та же величина г. Тогда теку-
щий и разрушающий моменты приближенно: M=a.Asz,
Mui=RsAsz и из отношения этих моментов получим
(4.54)
При применении арматуры разных классов в форму-
лу (4.54) вводится величина R, по более прочной арма-
туре. Необходимо обратить внимание на то, что несмот-
239
сечения
(4.55)
(4.56)
(4.134),
ря на выполнение расчета по 2-й группе предельных со*
стояний, в формулу (4.54) вводятся величины и Mui, ‘
отвечающие первому предельному состоянию. Это сдела-
но для упрощения расчета; в противном случае—прн ис-
пользовании момент ранее найденный при рас-
чете по прочности, потребовалось бы пересчитывать при
сопротивлениях /?И Ръ.иег'
Для изгибаемых предварительно напряженных и вне-
центренно сжатых элементов плечо z при нагружении
изменяется довольно заметно, поэтому для ннх потребо-
вался другой подход к упрощению вычислений <js. Фор-
мулы (4.50), (4.51) можно записать в ином, более об-
щем виде, вводя в расчет равнодействующую сжимаю-
щих продольных сил /Vfotss/V-I-P, момент Afs (заменяю-
щий) всех внешних сил и усилия предварительного об-
жатия Р относительно центра тяжести площади
арматуры S (см. рис. 4.27)
•— N/Ot г
°* = 4, г
или
Ms к» Ms
= "дД; гПГа “ <₽'*ге‘
Принимая во внимание формулы (4.130),
видим, что коэффициент фсгс зависит от трех парамет-
ров; ца, ф/ и esMt, благодаря чему его удобно предста-
вить в табличной форме. Соответствующие таблицы
приведены в пособиях к СНиП 2.03.01—84.
Как отмечалось, при неоднорядном армировании пос-
ле определения напряжений в арматуре os на уровне
центра тяжести всей растянутой арматуры по формулам
(4.50) —(4.53) необходимо перейти к нахождению напря-
жений о* в рассматриваемом ряде арматуры. При этом
исходят из условной схемы, согласно которой напряже-
ния в арматуре линейно зависят от ее расстояния до
нейтральной оси (рис. 4.17). Отсюда нетрудно найти
значение аа для арматуры любого ряда. Для наиболее
растянутого крайнего ряда арматуры поправочный ко-
эффициент бп
6Я==(Л— х—X—а,), (4.57)
где х==|Л0 — высота сжатой зоны; в|, — расстояние от центра тя-
жести площади сечения соответственно всей арматуры S и край-
него ряда стержней до наиболее растянутого волокна бетона,
240
Рис. 4.17. Схемы изменения ширины раскрытия нормальных тре-
щин по высоте и ширине сечения
а—по опытным данным; б — принятые в расчетах; в — принятое в нормах
изменение напряжений в растянутой арматуре прн вычислении коэффициен-
та 6П; а — наблюдаемое в опытах изменение ширины раскрытия трещин по
ширине сечения; / — центр тяжести площади растянутой арматуры; 2 — наи-
более растянутый ряд арматуры; 3—арматурные стержни наиболее растя*
нутого ряда; 4 — боковая поверхность элемента; 5 — берега трещины
Полное напряжение в арматуре (с учетом предвари-
тельного напряжения osp) не должно .превышать физи-
ческого или условного предела текучести, т. е. должно
выполняться условие
вег> (4.58)
Выполнение этого условия преследует две цели. Во-
первых, в настоящее время еще нет пока надежного ап-
парата для определения раскрытия трещин при неупру-
гой работе арматуры, поэтому выполнение условия
(4.58) гарантирует от неконтролируемого раскрытия
трещин. Во-вторых, текучесть арматуры в эксплуатации
241
Рис. 4.18. К учету растянутого бетона над трещинами при расчете
ненапряженных изгибаемых (а) и предварительно напряженных и
внецентренно сжатых (б) элементов; схема усилий и напряжений
в сечении с трещиной (в)
/ — зависимость М~аагс по формулам (4.40), (4.50), (4.51); 2 — характерная
опытная кривая; 3 — зависимость, принятая в расчете при однократном на»
гружении; 4 — то же, при разгрузке
онной стадии нежелательна из-за появления в ней оста-
точных деформаций, что может привести к трудноучи-
тываемым последствиям (например, неучтенное расче-
том искривление конструкций). Выполнение условия
(4.58) часто бывает определяющим. Так при расчете
рам, неразрезных балок и других статически неопреде-
лимых конструкций ограничение перераспределения уси-
лий в некоторых случаях связано с недопущением те-
кучести арматуры в эксплуатационной стадии. Примене-
ние смешанного армирования также может быть огра-
ничено в связи с выполнением условия (4.58).
Особенности расчета слабоармированных элементов.
По формулам (4.40), (4.50) при Af=Afего трещины сра-
зу получают большое раскрытие (рис. 4,18,п), Опытные
242
данные, однако, показывают, что в изгибаемых элемен-
тах, работающих с трещинами при эксплуатационных
нагрузках [ц> (0,15...0,2) %] трещины растут по мере
увеличения нагрузки достаточно устойчиво: различимые
в микроскоп трещины сначала медленно подрастают
(I этап); затем, когда они становятся видимыми невоо-
руженным глазом, их рост заметно ускоряется (II этап);
при приближении вершины трещины к нейтральной оси
развитие трещины снова замедляется (III этап). Для
слабоармированных элементов при эксплуатационных
нагрузках характерен в основном I этап развития тре-
щин. Если рассматривать не отдельную, а некоторую
усредненную для зоны чистого изгиба трещину, то ее
рост характеризуется еще большей устойчивостью, что
связано с неодновременным образованием и неравномер-
ным развитием трещин, когда при нагружении одни тре-
щины обгоняют другие. Поэтому при выводе расчетных
формул рассматривалась как бы усредненная трещина,
а переход к максимальному раскрытию асгс осущест-
влялся с помощью статического коэффициента. Одновре-
менно с развитием трещины по высоте сечения проис-
ходит выключение из работы растянутого бетона над
трещинами. Как показывают исследования, при нагруз-
ках, незначительно превышающих момент образования
трещин, что характерно для слабоармированных конст-
рукций (р.^0,008), растянутый бетон над трещинами
воспринимает значительную часть внешнего момента,
существенно разгружая арматуру.
С учетом сопротивления растянутого бетона над тре-
щинами напряжения в растянутой арматуре ненапря-
женных изгибаемых элементов
os=(M—Mbt)l(Asz), (4.59)
где Mbt=Obtti>bxiZi — момент от усилия в растянутом бетоне над
трещиной относительно равнодействующей усилий в сжатой зоне
бетона (обозначения приведены на рнс. 4.18, в).
Анализ опытных данных показал, что момент Мо,
при котором растянутый бетон над трещинами практи-
чески выключается из работы (Мы~0), для указанных
элементов может быть определен по формуле
Мо=Mcrc+tybWRbt, sert (4.60)
где ip=15pa/T], но не более 0,6. (4.61)
В диапазоне моментов Мсгс^М^Ма напряжение
в арматуре (а значит, и раскрытие трещин) растет бо-
£43
лее быстро, чем при М>Л10, когда МЬ1 — 0. Это видно
из зависимости (4.59), имея в виду, что при увеличении
момента М одновременно уменьшается и Mbt- Чем мень-
ше коэффициент армирования и чем хуже сцепление
арматуры с бетоном [более высокие значения т|, кото-
рые в формуле (4.61) принимаются те же, что и при вы-
числении асгс по формуле (4.40)], тем интенсивнее раз-
виваются трещины в диапазоне Mcrc^.M^.iM0.
Непосредственное использование в расчетах форму-
лы (4.59) вызывает определенные трудности из-за слож-
ности вычисления момента Мы, поэтому для расчета
слабоармированных изгибаемых элементов принят сле-
дующий практический прием. В диапазоне МСгс^М^Мй
зависимость М—асгс принимается линейной (рис. 4.18,а,
б), причем при М—Мсгс; аСГс=0, а при М=М0 величи-
на асгсЛ вычисляется по формулам (4.40), (4.50). Соот-.
ветственно
М — Mcrc 1
«(«-«от.» Ma_Mcfc • (4.62)
Как отмечалось, в диапазоне Mcrc^Ms^M0 происхо-
дит довольно интенсивное снижение усилия, восприни-
маемого растянутым бетоном над трещинами (в связи
с ростом высоты последних), поэтому учет его сопротив-
ления требует осторожности. С этой целью момент Мы
в формуле (4.59) определяется при высоте растянутого
бетона над трещинами Xt, соответствующей полному
нормативному моменту Mtot, имея в виду, что превыше-
ние этого момента в стадии эксплуатации маловероят-
но. Поскольку в практических расчетах формула (4.59)
не используется, близкие и причем более осторожные
результаты могут быть получены при следующих по-
строениях. Независимо от того, рассматривается ли вся
нормативная нагрузка или ее часть, сначала по форму-
ле (4.62) находится aen,tot при M=Mtot, имея в виду,
что в любом случае нагрузка может достигнуть норма-
тивного уровня. Далее, если расчет ведется на момент
M<.Mtot, учитывается разгрузка, при этом для упро-
щения расчета принимается, что при разгрузке зависи-
мость М—а„с графически представляет собой прямую,
проходящую для изгибаемых ненапряженных элемен-
тов через начало координат (см. рис. 4.18,а). Исходя из
этих построений
— Mere М
Serc^aere,, Мм '
(4.63)
244
Из аналогичных построений (см. рис. 4.18) для
предварительно напряженных изгибаемых и внецентрен-
но сжатых элементов получим
Mr,tot—Мстс Мт— МГр
acre- асгсл м9_Меге м;~м -М,р 1 (4'64)
При длительном действии нагрузок а слабоармирс-
ванных элементах продолжается рост высоты трещин
и дальнейшее выключение растянутого бетона над тре-
щинами. В этом случае увеличение раскрытия трещин
при длительной выдержке тем больше, чем ближе мо-
мент от внешней нагрузки М к моменту образования
трещин Мсгс. Зависимость (4.46), составленная для ста-
дии, когда трещинообразование уже завершено (число
трещин и их высота практически установились), не от-
ражает ситуацию, при которой рост трещин связан
в значительной мере с выключением растянутого бетона
над трещинами. Для этого случая на основе анализа
опытных отношений acrc,i/acrc.sh получена эмпирическая
зависимость (см. рис. 4.14)
<p;,=2,7(Mcrc/Mi0/)><p(, J4.65)
где <р< определяется по формуле (4.46).
В практических расчетах слабоармированных элемен-
тов (р.^0,008) целесообразно вычислять раскрытие тре-
щин по формуле (4.40) и только при необходимости,
когда раскрытие трещин от рассматриваемой нагрузки
аСТе больше предельно допустимого, производить уточ-
ненный расчет с учетом работы растянутого бетона над
трещинами. Для упрощения расчета примем, что плечо
z не зависит от уровня нагрузки, тогда для ненапря-
женных изгибаемых элементов а%го==асге(Л1о/Л4) и с уче-
том формул (4.64), (4.65) для случая кратковременно-
го и длительного действия нагрузки запишем равенство
- Mttt Мсгс Л40 Mere
асге "* асге дл ____дд ДЛ, , 1 > ° дл, . >
iv*crc lv4tt
(4.66)
где аОге —ширина раскрытия трещин от постоянных и длительных
нагрузок, определенная по формуле (4.40).
В общем случае для изгибаемых и внецентренно сжа-
тых элементов из тяжелого и легкого бетона величину
аСге, вычисленную по формуле (4.40), допускается умень-
шить умножением на коэффициент ср*, учитывающий
'245
работу растянутого бетона над трещиной и определяе-»'
мый по формуле
<p» = <JWn, (4.67)’
во не более единицы, где ф/ — коэффициент, учитывающий уровень
нагружения, равный
— Mere Мо — Мтр
Ч5/ ” Л4О~,И„С Mr, tgt-M,p • (4<68*
Фи — коэффициент, учитывающий длительность действия нагрузки и
принимаемый равным при учете: кратковременных нагрузок и ие«
продолжительного действия постоянных и длительных нагрузок lj
продолжительного действия постоянных и длительных нагрузок
4>ii = l,8(MCrc/Mr, ш), но не меиее единицы. (4.69)'
Если Mritot>Mo, то коэффициент фь не вычисляется.
В формулах (4.68), (4.69) Мг401 — момент относительно
ядровой точки от полной нагрузки, включающей посто-
янную, длительную и кратковременные нагрузки.
Учет влияния толщины защитного слоя бетона.
С увеличением толщины защитного слоя бетона со сто-
роны растянутой грани элемента заметно возрастает
ширина раскрытия трещин на уровне наиболее растянув
того ряда арматуры и на этой грани. Согласно резуль-
татам исследований, отношение раскрытия трещин на
растянутой грани и на уровне крайнего ряда арматуры
б( приближенно может быть определено по формуле
6(=8«2/(/i—a2), (4.70)
во ие менее 1 и не более 4, где аг—расстояние от центра тяжести
крайнего ряда растянутой арматуры до наиболее растянутого во-
локна (см. рис. 4.17, а, б).
Этой формулой можно пользоваться, когда возника-
ет необходимость оценить ширину раскрытия трещин иа
растянутой грани элемента (например, при ограничении
раскрытия трещин по эстетическим или конструктивным
требованиям — целостность облицовки, защитного по-
крытия и т. д.), а также тогда, когда при известном
раскрытии трещин на растянутой грани надо оценить
раскрытие трещин на уровне арматуры (например, при
обследовании эксплуатируемых конструкций, испыта-
нии плит и др.).
Увеличение раскрытия трещин на уровне крайнего
ряда арматуры связано в основном с увеличением рас-
стояния между трещинами, которое наблюдается при
увеличении толщины защитного слоя. На основе экспе-
риментальных исследований получена формула для ко-
246
эффициеита 6О, учитывающая увеличение псге иа уровне
стержней крайнего ряда арматуры S при росте расстоя-
ния «2,
Sa=(20-y-l)/3, (4.71)’
но не менее 1 и ие более 3.
Необходимо отметить, что эмпирическая формула
Х4.71) отражает раскрытие трещины на уровне армату-
ры на боковой грани элемента. Замеры ширины трещи-
ны непосредственно в месте пересечения ею арматурно-
го стержня представляет собой трудно выполнимую
задачу. Вместе с тем опыты показывают, что по мере
приближения к арматурному стержню раскрытие тре-
щины уменьшается, что обусловлено сцеплением арма-
туры с бетоном (см. рис. 4.17,г). Наибольшее раскры-
тие трещины происходит между арматурными стержня-
ми, например по ширине плит. Однако методика опре-
деления ширины трещин между указанными стержнями
еще не разработана; трещины в этом случае ограничи-
ваются конструктивными мероприятиями — ограничени-
ем расстояния между стержнями арматуры. Уменьше-
ние ширины трещины в месте пересечения ею арматуры
по сравнению с шириной на боковой грани элемента
обычно не учитывается, так как при нормировании пре-
дельно допустимых значений асгс также исходят из ши-
рины трещины, замеренной на боковой грани элемента
на уровне арматуры.
Влияние трещии в сжатой зоне иа их раскрытие в
растянутой зоне элемента. Вопрос о влиянии трещин в
сжатой эоне, образованных до приложения рассматри-
ваемой нагрузки (начальных трещин) детально изучен
только для случая, когда эти трещины вызваны совмест-
ным действием усилия предварительного обжатия и на-
грузок в стадии изготовления, транспортирования и
возведения. Как уже отмечалось в п. 4.1.2, образование
этих трещин приводит к уменьшению высоты целой час-
ти сечения, в результате чего в стадии изготовления
увеличиваются напряжения в бетоне на уровне напря-
женной арматуры и соответственно потери предвари*
тельного напряжения от ползучести бетона. Кроме того,
снижается сопротивление бетона на растяжение при экс-
плуатационных нагрузках вследствие того, что в ста-
дии изготовления он испытывал высокие сжимающие
247
Рис. 4.19. Определение ширины раскры-
тия трещин, нормальных к продольной
оси элемента, в стадии изготовления
с — схема усилий и эпюра напряжений в
бетоне; б, в — расположение расчетных се*
чений (I—! и 2—2) по длине элемента!
1 — центр тяжести площади арматуры S;
2 — точка приложения равнодействующей уси*
лий в сжатой зоне; 3 — монтажная петля (Mt
определяется с учетом коэффициента дина*
мичности; М2 — без такого учета)
напряжения. Все это способствует более раннему появ-
лению и большему раскрытию трещин при эксплуатаци-
онных нагрузках.
Для упрощения расчета при выводе формул норм
все влияние трещин обжатия (начальных трещин) от-
несено к уменьшению усилия предварительного обжа-
тия бетона Р. Это выразилось в том, что снижение уси-
лия обжатия ДР находится умножением Р на коэффи-
циент X [см. формулу (4.25)], учитывающий кроме
снижения Р и уменьшение момента сопротивления
сечения. Это видно из формулы (4.24), где на А умно-
жаются оба слагаемых момента образования трещин
Mere: Rbt.ser^pi и Afrp. Таким образом, учет начальных
трещин при расчете раскрытия трещин предварительно
напряженных конструкций сводится к уменьшению ве-
личины Р на ДР = ХР.
Отметим, что ширина раскрытия трещин обжатия
рассчитывается обычным' способом, т. е. по формуле
(4.40). При этом напряжение в арматуре os находится
от усилия Р, вычисленного с учетом только первых по-
терь и собственного веса конструкции, приложенного
самым невыгодным образом в стадии изготовления,
транспортирования и возведения и определенного в со-
ответствующих случаях с учетом коэффициента дина-
мичности (рис. 4,19). Данное раскрытие рассматривает-
ся как непродолжительное и не должно превышать пре-
дельно допустимых значений acrci для конструкций, ко-
торые находятся на открытом воздухе.
248
Исследования показывают, что для надежной рабо-
ты предварительно напряженных конструкций с началь-
ными трещинами необходимо ограничить не только их
ширину раскрытия, но и глубину (высоту). Согласно
СНиП 2.03.01—84 глубина этих трещин йсгс не должна
превышать половины рабочей высоты сечения (О,5Ло).
Значение Лсгс определяется по эмпирической формуле
hCTC^h-(l,2+ipm)lh0. (4.72)
Значение £ находится по формуле (4.130), фт— по
формуле (4.22). Величина (1,2+фт) %h0— высота сохра-
нившейся (целой) части сечения, причем 1,2|/г0—высо-
та сжатой зоны (коэффициент 1,2 учитывает переход
от прямоугольной эпюры напряжений в сжатой зоне
к действительной), а фт^о — высота растянутой зоны
бетона.
Начальные трещины образуются и в ненапряженных
элементах при их изготовлении, перевозке и складиро-
вании. Они уменьшают целую часть сечения, в резуль-
тате чего снижается момент Мсп и увеличивается рас-
крытие трещин аСгс. Одиако их влияние обычно не столь
велико, как в предварительно напряженных конструк-
циях, где оно проявляется прежде всего в уменьшении
усилия предварительного обжатия. Методика учета на-
чальных трещин для ненапряженных конструкций еще
ие разработана.
Определение приведенного диаметра арматуры. В
формулу (4.40) для вычисления асгс входит величина
3
"И d. При наличии стержней разного диаметра в эту
формулу подставляется приведенный диаметр армату-
ры dred- Далее приводится вывод зависимости для dred,
принятой в пособиях к СНиП 2.03.01—84.
Пусть элемент армирован стержнями арматуры
с диаметрами dlt d2, dt, причем количество стерж-
ней соответственно «ь п2, ..., все стержни распо-
ложены на одинаковом удалении от нейтральной линии
(рис. 4.20), поэтому напряжения у них также одинако-
вы и равны — в сечении с трещиной as и в сечении по-
средине между трещинами asm<Zos. Из условия равно-
весия для каждого стержня выполняется равенство
(Ов—==s~dcrcftd/2. (4.73)
Если подходить строго, то усредненное напряжение
сцепления по длине стержня т не одинаково для всех
249
Рис. 4.20. К определению приведенного диаметра арматуры dr,t
стержней и зависит от диаметра арматуры. Однако,
учитывая, что по формуле (4.40) диаметр арматуры
не влияет существенно иа асгс, было принято, что tj =
==T2=Tt=T. Исходя из этого, можно записать:
' n,(os—о6„1)Пб/2|/4=т/„сПД!П|/2;
пг(а,—о8М) и^2г/4=т1сГСПа2пг/2;
nt oim)Hd2i/4—TZcrcHd.rai/2.
Отсюда
11/4(0, —asm) (rf2inl+d22n2+ - -. +Лг1П{) =т/сгД1 (dini +
-Ь^2^2“Ь •. • 4'^*Hi)/2. (4.74)
Для условных стержней с диаметром d^a
П/4(о,—O«m)d2red(Hl_|“^2_l“ • * * “Ья0 тат/огсП^гейХ
Х(П1+пг+.,.+п,)/2. (4.75)
Разделив (4.74) на (4.75), получим
Д, П| -j- Д; Л, 4- . + d; П1 'У'1 + d.fl, + ... 4d ,Г11
d2fed («I + П, -h ... + ni) dred («I + «» + • • • + nt) ’
отсюда
d2 щ+а1п^+...+d2nt
d'e<t=‘ d2nt+d,n,+...+dtnr (4,76)
'4.2.3. Расчет no раскрытию трещин, наклонных
к продольной оси элемента
Расчет по раскрытию наклонных трещин часто бы-
вает определяющим при вычислении количества по-
перечной арматуры, поэтому уточнению такого расчета
250
при разработке СНиП 2.03.01—84 уделялось повышен-
ное внимание. Методика расчета, принятая в СНиП
П-21-75, основывалась на чисто эмпирических зависи-
мостях и не была прямо связана с положением наклон-
ной трещины. При этом она не учитывала некоторые
важные факторы, а другие факторы учитывала недоста-
точно точно. Нередко эта методика завышала расчетные
значения аСГс по сравнению с опытными данными. В свя-
зи с этим реальная область, где определяющим был рас-
чет по раскрытию трещин для конструкций, эксплуати-
руемых в неагрессивных средах, оказалась значительно
больше, чем область, где главенствующим был расчет
по прочности наклонных сечений. Этим в основном
обусловлена необходимость более детального изучения
раскрытия наклонных трещин.
Вывод расчетной формулы для определения ширины
раскрытия наклонных трещин. При разработке методики
расчета, принятой в СНиП 2.03.01—84, необходимо
было прежде всего уточнить, какое раскрытие наклон-
ных трещин следует оценивать. Ширина раскрытия
наклонных трещин значительно изменяется по длине
трещины, причем в местах пересечения трещин попереч-
ной арматурой она меньше, чем между поперечными
стержнями. Кроме того, различные наклонные трещи-
ны в одной балке также значительно отличаются одна
от другой; наибольшее раскрытие получает так назы-
ваемая критическая наклонная трещина, по которой
впоследствии происходит разрушение.
При выработке критерия для оцениваемой ширины
раскрытия наклонной трещины исходили прежде всего
из коррозионной опасности для поперечной арматуры,
которая может разрушить элемент по наклонному сече-
нию. В связи с этим раскрытие наклонных трещин оце-
нивалось в местах пересечения наклонной трещины
стержнями поперечной арматуры. Кроме того, учитыва-
лось, что разрушение по наклонному сечению происхо-
дит в результате выхода из строя нескольких попереч-
ных стержней, пересекающих наклонную трещину, око-
ло которых ширина раскрытия трещины различна, т. е.
что они находятся в разных условиях с точки зрения
коррозионной опасности. Поэтому в качестве расчетной
принималось среднее из всех значений ширины рас-
крытия, измеренное в местах пересечения хомутов
с наклонной трещиной. Поскольку разрушение проис-
251
ходит- по одной из наклонных трещин, то среднюю ве-
личину ширины раскрытия устанавливали по этой кри-
тической наклонной трещине.
После появления наклонных трещин нарушается
совместность деформаций бетона и поперечной армату-
ры на участках, примыкающих к трещинам. Бетон
в трещине выключается из работы, но по мере удале-
ния от берегов трещины вовлекается в работу силами
сцепления с арматурой. Таким образом, на участках
арматуры, примыкающих к трещинам, образуются зоны
активного сцепления, в пределах которых деформации
арматуры изменяются от максимальных значений в се-
чениях с трещи/1амн до минимальных, равных дефор-
мациям арматуры в момент, предшествующий возник-
новению трещин. За пределами зон активного сцепле-
ния бетон и арматура работают совместно. Очевидно,
что ширина раскрытия трещины представляет собой
накопление взаимных смещений поперечной арматуры
и бетона в пределах зоны их активного сцепления.
Исходя из этих предпосылок, ширина раскрытия
трещины может быть представлена в виде _
°-5>с
осгс = 2 ( tg(x)dx, (W?)
о
где взаимное смещение арматуры и бетона eg'(x) в се-
чении на расстоянии х от трещины
е4(х) = е„(х)- еь(х). (4.78)
Приближенно принимаем, что зона активного сцеп-
ления располагается в пределах расстояния между на-
клонными трещинами /егс. Деформации арматуры и бе-
тона 8SI0(x) и 8ь(х) в сечении на расстоянии х от тре-
щины (рис. 4.21) определяются по формулам:
Р(х)
“* E.s® л R • (4.79)
J©
Р(х)
(4.80)
где — деформации поперечной арматуры в трещине; F(x) — си-
лы, возникающие от действия касательных напряжений т(х), на
расстоянии х от трещины; v — коэффициент, учитывающий неупру-
гие деформации бетона, принимаемый 0,5,
252
Рис. 4.21. Характер распределения напряжений в поперечной ар/
матуре и бетоне на участках между наклонными трещинами
Сила F (х) может быть представлена в виде
X
F (х) = usw Jt(x)rfx, (4.81)
о
где usw — площадь поверхности арматуры на единицу длины
стержня.
Касательные напряжения сцепления по поверхности
контакта бетона с растянутой арматурой на участках
между трещинами приближенно принимаются пропор-
циональными взаимным смещениям арматуры и бетона
т(х) =Gb&g(x). (4.82)
Использование приближенной зависимости (4.82)
приводит к тому, что в среднем сечении между трещи-
нами касательные напряжения т(х) не равны нулю.
Однако это отклонение не влияет существенно на ко-
нечный результат, так как в расчете учитывается ин-
тегральная величина касательных напряжений, которая
с помощью модуля деформаций сцепления (?ь приводит-
ся к значению, эквивалентному фактическому.
Произведя соответствующие подстановки и преобра-
зования, получим
X
eg(x) = eJffi<—т e^(x)dx, (4.83)
где о
ГГ ^l>
m = ^a+scw), « = -£Г.
253
Выражение (4.83) можно дифференцированием пре-
образовать в уравнение
des/dx-|-meg (х) =0, .(4-84)
а решение уравнения (4.84) дает
es(x) —tye~mx. (4.85)
Коэффициент ф находится из условия, что в сечении
с трещиной при х=0, т. е. при е~тх = 1, деформации
бетона равны нулю, т. е. eg(x)=esu,; отсюда ф=е8Ш.
В результате
es (х) = e,we~mx. (4.86)
Подставив eg(x) из (4.86) в (4.77), получим;
acre-2 j iswe-mxdx, (4.87)
о
откуда
2 / 1 \
acre— I 1 0,5ml.I • № • 88)
I g СГС ]
Выражение e°-5micre можно разложить в ряд, удер-
живая два его первых члена
— Z— Z (0) + -1+0,5mlrcr. (4.89)
(4.90)
расстоя-
больше,
правило,
Отсюда после соответствующих подстановок и пре-
образований получим
Cterc===B#wlcre/ (1 +0,5/TlZcrc),
Опыты показали, что для балок, имеющих
ние между опорой и сосредоточенным грузом
чем й0, поперечная арматура пересекает, как
две наклонные трещины. Исходя из этого приближенно
можно принять /сге=О,5йо. Использование только двух
первых членов ряда дает отклонение от исхюдной зави-
симости примерно в 1,3 раза; это отклонение следует
учесть в окончательной формуле.
Модуль деформаций сцепления G&, на основе опыт-
ных данных, приближенно может быть принят
=0,15£б. Входящее в величину т соотношение usw/A^a
можно выразить через диаметр поперечной арматуры
Ildft, 4
n</V4
254
Деформации поперечной арматуры в сечении с тре-
щиной выражаются через напряжения osw и модуль
упругости поперечной арматуры
d bw! Е s* (4.91)
Сделав указанные выше подстановки и соответствую-
щие преобразования, получим
___________0,65cij№ dw______
= £Д</да/йо) + 0,15£д(1+2ар«,)
Возможные отклонения рассматриваемой расчетной
модели от фактического напряженно-деформированного
состояния могут быть учтены изменением значения чис-
ленного коэффициента. Анализ опытных данных и ре-
зультатов расчета по ранее действовавшим нормам по-
казал, что численный коэффициент в формуле (4.92)
наиболее целесообразно принять 0,6. Окончательный
вид расчетной зависимости
acrc-<pz £Д</Ю/ЛО) + О,15£И1+ 2аМю) ’
В полученной зависимости учитывается влияние ос-
новных факторов на ширину раскрытия наклонных тре-
щин: напряжения в поперечной арматуре в наклонной
трещине диаметра поперечной арматуры dw, рабо-
чей высоты сечения элемента /г0, деформативности бето-
на Еь и арматуры Es, насыщения поперечной армату-
рой ц®. Основное влияние оказывает напряжение в по-
перечной арматуре asw, при увеличении которого про-
порционально возрастает ширина раскрытия трещин.
Остальные факторы влияют более слабо на раскрытие
трещин.
В формулу (4.93) введены коэффициенты cpt и г],
которые так же, как и при определении ширины рас-
крытия нормальных трещин, учитывают соответственно
влияние длительности действия нагрузок и сцепления
арматуры с бетоном. Их значения приведены в СНиП
2.03.01—84.
Определение напряжений в поперечной арматуре
производится из уравнения равновесия внешних и внут-
ренних поперечных сил, действующих на блок элемен-
та, отделенный сечением, проходящим через наклонную
трещину (рис. 4.22):
Q—Q>w+Qt>. (4.94)
Поперечная сила Q вычисляется от внешней нагруз-
ки, расположенной по одну сторону от рассматриваемо-
го
Рис. 4.22. Усилия, действующие на участок элемента, отделенный
сечением, проходящим через наклонную трещину
го наклонного сечения. Поперечная сила Qsw, воспри-
нимаемая поперечной арматурой, определяется по фор-
муле
Qsw — (4.95)
где Asw/s — площадь сечения поперечной арматуры на единицу дли-
ны элемента; сяв— длина проекции наклонной трещины на про-
дольную ось элемента.
Расчетная длина csw проекции наклонной трещины,
на которой учитываются в среднем напряжения в по-
перечной арматуре, для обеспечения надежности и уп-
рощения расчета, с учетом опытных данных принимает-
ся равной рабочей высоте сечения элемента hQ.
Поперечная сила, воспринимаемая бетоном Q&, при-
нимается равной значению Qbi, отвечающему попереч-
ному усилию образования наклонной трещины. Отсюда
средняя расчетная величина напряжений в поперечной
арматуре находится по формуле
Q ~ Qt>i
Aswht S'
Как показали опыты, усредненные напряжения в по-
перечной арматуре практически линейно зависят от
256
(4.96)
поперечной силы с момента образования наклонных
трещин вплоть до начала текучести в поперечной арма-
туре. Этому отвечает принятая зависимость (4.96). При
достижении текучести в поперечной арматуре ширина
раскрытия трещин резко возрастает и становится некон-
тролируемой. Поэтому принимается, что величина напря-
жения Osw не должна превышать предела текучести,
соответствующего для расчета по второй группе пре-
дельных состояний расчетному сопротивлению армату-
ры RS:Ser.
Поперечная сила Qbi приближенно может опреде-
ляться по методике, принятой для расчета прочности по
наклонной трещине элементов без поперечной армату-
ры, но с понижающим коэффициентом 0,8 и с расчет-
ными сопротивлениями бетона растяжению Rbt,ser> отве-
чающими второй группе предельных состояний
Р»;=0,8фм(1-Ьф,)RM, serbh20/c, '(4.97)
но не более 2,5Rbt,serbh0 и не менее срьз(1+фп)/?ь/,8еГЬ/г0.
Зависимость (4.97) получена эмпирически для обще-
го случая работы элемента, когда в зоне действия по-
перечных сил вначале образуются нормальные трещины,
а затем происходит образование и развитие наклонных
трещин. В том случае, когда в рассматриваемой зоне
действия поперечных сил нормальные трещины не воз-
никают, что подтверждается расчетом по образованию
нормальных трещин, поперечная сила Qbi может быть
найдена из обычного расчета по образованию наклон-
ных трещин, рассматривая элемент как сплошное упру-
гое тело.
Опыты показали, что с повышением прочности бето-
на его положительное влияние по сравнению с тем, что
показывает принятая расчетная зависимость, ослабева-
ет. Поэтому принято, что расчетные сопротивления бе-
тона Rbi,ser, включаемые в расчетную зависимость,
не должны превышать значений, соответствующих бето-
ну класса ВЗО.
Поперечная сила Q от внешней нагрузки, так же
как и при расчете прочности, зависит от длины горизон-
тальной проекции наклонного сечения с, характеризую-
щего расстояние от опоры до конца наклонной трещины
в сжатой зоне, поскольку величина Q определяется от
всей внешней нагрузки, действующей на блок элемента,
отделенный наклонным сечением, т. е. здесь учитывает-
'© Заказ /Л 298 2 57
ся разгружающее действие внешней нагрузки, прило-
женной к элементу в пределах наклонного сечения. При
этом, если учитывается разгружающее влияние внешней
нагрузки, то с увеличением длины с расчетная сила Q
уменьшается. Поперечная сила Qbi с увеличением с так-
же уменьшается, поэтому при расчете должно рассмат-
риваться наиболее опасное наклонное сечение, характе-
ризующее наиболее опасное положение конца наклон-
ной трещины, т. е. наиболее невыгоднейшая величина с,
при которой разница между поперечными силами Q
и Qm будет наибольшей, а значит, и напряжение aew
и ширина раскрытия наклонной трещины аСГе будут наи-
большими. Таким образом, в расчете учитывается ре-
альное положение наклонной трещины.
При сосредоточенной нагрузке рассматривается наи-
более невыгоднейшее наклонное сечение с длиной с,
равной расстоянию от опоры до сосредоточенного груза,
поскольку при любых с в пределах от опоры до сосре-
доточенного груза поперечная сила остается постоянной,
а минимальное значение поперечной силы Qbi получа-
ется при наибольшем значении с. В результате полу-
чается, что с уменьшением расстояния от опоры до гру-
за величина Qbi возрастает, а следовательно, уменьша-
ется напряжение o,w и ширина раскрытия трещин асгс,
т. е. ширина раскрытия Наклонных трещин зависит от
расстояния груза до опоры.
При распределенной нагрузке, если учитывается ее
разгружающее действие, для нахождения наиболее не-
выгоднейшего наклонного сечения в общем случае рас-
сматривается последовательный ряд наклонных сечений,
поскольку поперечная сила Q наклонного сечения, рав-
ная Q=Qg—qc, не остается постоянной, а уменьшается
с увеличением с и учитывается при определении шири-
ны раскрытия наклонных трещин в наклонном сечении,
в котором разница между Q и Qbi наибольшая. В ре-
зультате ширина раскрытия наклонных трещин при дей-
ствии распределенной нагрузки меньше, чем при дей-
ствии сосредоточенной нагрузки.
Через поперечную силу Qm учитывается влияние иа
ширину раскрытия наклонных трещин продольных’ рас-
тягивающих и сжимающих сил, в том числе и от пред-
варительного напряжения с помощью коэффициента фп,
так же как и при расчете прочности по наклонным тре-
щинам. Чем выше продольная сжимающая сила N или
258
усилие предварительного обжатия Р, тем больше по-
перечная сила Q&i, в результате чего снижаются рас-
четные напряжения в поперечной арматуре при
действующей поперечной силе Q, а значит, и ширина
раскрытия трещин асгс.
4.3. Расчёт железобетонных элементов
по закрытию трещин
4.3.1. Условия закрытия трещин
Исследования условий закрытия (зажатия) образо-
вавшихся трещин начались сравнительно недавно при
разработке СНиП 11-21-75 и связаны с новым подхо-
дом к расчету элементов, к трещиностойкости которых
предъявляются требования 2-й категории трещино-
стойкости.
Выполнение требований СНиП П-В.1-62 к элемен-
там 2-й категории трещиностойкости, которые своди-
лись к недопущению образования трещин при полной
нормативной нагрузке, не обеспечивало их отсутствие —
трещины могли образоваться в доэксплуатациоиной ста-
дии (например, прн перевозке), в результате случайных
перегрузок и т. д. и затем оставаться открытыми. При-
нятый в СНиП П-21-75 подход, заключающийся в допу-
щении ограниченного непродолжительного раскрытия
трещин при полной нормативной нагрузке (включаю-
щей постоянные длительные и кратковременные нагруз-
ки) и их надежном закрытии при действии постоянных
и длительных нагрузок позволил, во-первых, обеспе-
чить более надежную защиту арматуры от коррозии
(непродолжительное раскрытие трещин для арматуры
элементов, к которым предъявляются требования 2-й ка-
тегории трещиностойкости, не опасно) и, во-вторых,
в некоторых случаях получить значительный экономиче-
ский эффект.
Для внедрения же этого подхода необходимо было
разработать метод расчета по закрытию трещин, нор-
мальных и наклонных к продольной оси элемента. Ана-
лиз экспериментальных данных позволил сделать сле-
дующие выводы:
для обеспечения закрытия трещин необходимо, что-
бы напрягаемая и ненапрягаемая арматура работали
упруго, т. е. чтобы при полной нормативной нагрузке
9*
259
в ней не возникали остаточные деформации. Эти дефор-
мации приводят к полному или частичному снижению
предварительного напряжения, после чего уже нельзя
гарантировать закрытие трещин, которое достигается
именно в результате действия усилия предварительного
обжатия Р. Ненапряженная арматура, получившая оста-
точные деформации, сама становится препятствием для
зажатия трещин;
для закрытия трещин необходимо, чтобы их поверх-
ности (берега) были сжаты. Действительное напряжен-
ное состояние элемента при зажатии . трещин весьма
сложно, поэтому для оценки зажатия трещин использо-
ван условный прием, согласно которому на растянутой
от внешних нагрузок грани элемента определяются
напряжения как для сплошного упругого тела. Эти
напряжения (щ>), соответствующие моменту зажатия
трещин, по результатам указанных опытов, находились
в пределах о6=(0...1) МПа.
Чтобы трещины могли быть зажаты, их раскрытие
при полной нормативной нагрузке не должно быть боль-
шим. В противном случае происходит повреждение по-
верхности (берегов) трещин, что препятствует их плот-
ному зажатию. По опытным данным, непродолжитель-
ное раскрытие трещин не должно превышать асгс=
= 0,15...0,2 мм.
Последующие исследования в большинстве своем
подтвердили эти выводы. На их основе в СНиП П-21-75
были включены соответствующие указания, при этом
для закрытия трещин требовалось при постоянных
и длительных нагрузках напряжение сжатия на растя-
нутой от внешней нагрузки грани элемента оь=1 МПа.
Выполнение требований о сжимающих напряжениях
оь^ 1 МПа в некоторых случаях приводит к повышен-
ному расходу напрягаемой арматуры, поэтому в иссле-
дованиях, выполненных после введения СНиП 11-21-75,
основное внимание уделялось изучению требуемой вели-
чины сжимающего напряжения оь.
Как показали испытания с немногократвой повтор-
ной нагрузкой и разгрузкой даже при оь= (1...2) МПа
нередко трещины полностью не зажимаются, а имеют
остаточное раскрытие аегс=0,005...0,03 мм (след на по-
верхности бетона). Такие поверхностные трещины не
представляют опасности сохранению арматуры от кор-
розии. Установлено, что при оь = 0,5 МПа остаточные
260
Рис. 4.23. Раскрытие трещин и
пряжения сжатия в бетоне на
грани элемента
их закрытие в зависимости от иа-
растяиутой от внешних нагрузок
трещины имеют примерно такую же величину, причем
при оь>0,5 МПа они мало зависят от сжимающего
напряжения сь (рис. 4.23). Поэтому нет оснований уве-
личивать расход арматуры, чтобы добиться выполнения
условий МПа. Примерно такой же эффект по за-
щите арматуры от коррозии достигается при о&=
= 0,5 МПа. Уменьшение раскрытия трещин при раз-
грузке до а,.гс^. (0,005...0,03) мм практически можно
считать закрытием трещин. На основе проведенных ис-
следований в СНиП 2.03.01—84 в качестве одного из
условий зажатия трещин принято требование: од долж-
но быть не менее 0,5 МПа.
Условия для зажатия наклонных трещин те же, что
и для нормальных: недопущение неупругнх деформаций
в арматуре; прн действии постоянных и длительных
нагрузок оба главных напряжения в бетоне, определяе-
мые на уровне центра тяжести сечення как для сплош-
ного упругого тела, должны быть сжимающими и не ме-
нее 0,5 МПа; непродолжительное раскрытие трещин от
нормативной нагрузки должно быть не более 0,2 мм.
4.3.2. Расчет по закрытию трещин, нормальных
к продольной оси элемента
Для обеспечения закрытия трещин, нормальных
к продольной оси элемента, должны соблюдаться сле-
дующие требования.
261
а. В напрягаемой и ненапрягаемой арматуре от дей-
ствия постоянных, длительных и кратковременных на-
грузок не должны возникать необратимые деформации,
что обеспечивается соблюдением условий:
ЙГ| (4.98)
а,—а.ьСфЛ, «г» (4.99)
Согласно первому условию, полное напряжение в пред-
варительно напряженной арматуре, равное сумме пред-
варительного напряжения osp и приращения напряже-
ний, вызванного внешней нагрузкой vs, не должно пре-
вышать предела пропорциональности этой арматуры,
примерно равного при заданной обеспеченности 0,8/?S)Ser.
Согласно второму условию, полное напряжение в не-
напряженной арматуре, равное разности приращения
напряжений от внешней нагрузки о., и начального на-
пряжения aSft, вызванного усадкой и ползучестью бето-
на, не должно превышать предела пропорциональности
этой арматуры, который для сталей с физическим пре-
делом текучести (A-I, А-П и А-Ш) примерно равен
Rs,.wr, а для сталей с условным пределом текучести —
Q,8Rs,ser (<pi = l и ф! = 0,8 соответственно для мягкой
и высокопрочной арматуры).
Полное напряжение в напрягаемой арматуре всегда
больше, чем в ненапрягаемой, однако величина RStSer
для ненапрягаемой арматуры может быть существенно
ниже, поэтому в общем случае необходимо проверять
оба условия (4.98) и (4.99). Значения а, находятся так
же, как и при расчете по раскрытию трещин (см.
п. 4.2.2) с учетом коэффициента бп. В формуле (4.99)
величина а«ь равна сумме потерь напряжения от усад-
ки и ползучести бетона.
Начальные трещины в сжатой зоне (см. п. 4.1.2) уве-
личивают потери от ползучести бетона и соответственно
снижают предварительное напряжение арматуры оар
и усилие обжатия Р2- Это учитывается в расчете умно-
жением обеих этих величин на коэффициент 0=1—А;
[см. формулу (4.25)].
б. Сечение элемента с трещинами в растянутой зоне
от действия постоянных, длительных и кратковременных
нагрузок должно оставаться обжатым при действии.по-
стоянных и длительных нагрузок с нормальными на-
пряжениями сжатия ст6 на растягиваемой внешними на-
грузками грани элемента не менее 0,5 МПа. Напряже-
ние аь определяется как для упругого тела от совмест-
262
Рис. 4.24. Внешние усилия (а), заменяющие их усилия (б) и эпюра
напряжений в бетоне аа (в) при расчете элементов по закрытию
трещин [формулы (4,100) и (4.101)]
I — центр тяжести приведенного сечения: 2 — ядровая точка
ного действия усилия предварительного обжатия Р2
(с учетом всех потерь) и внешних усилий (рис. 4.24) по
известной формуле сопротивления материалов
Оь= [P2(e0P+r)-Mr]/W„d. (4.100)
Из формулы (4.100) следует, что для изгибаемых
элементов данное требование (оэ^0,5 МПа) соблюда-
ется при выполнении условия
AfcPsCeop+r)— 0,5Г,.Л. (4.101)
В формулах (4.100), (4.101): величина г — расстояние от цент-
ра тяжести приведенного сечения до ядровой точки, наиболее уда-
ленной от растягиваемой внешними нагрузками грани элемента, рав-
ное r = W„ilArei’, 0,5 — требуемое напряжение сжатия, МПа, на
растягиваемой внешними нагрузками грани элемента.
Начальные трещины в сжатой зоне (если они имеют-
ся, см. п. 4.1.2) влияют на условия зажатия трещин.
По мере снижения нагрузки и зажатня трещин в растя-
нутой зоне происходит снятие напряжений в сжатой
зоне, что нередко приводит даже к раскрытию верхних
’(начальных) трещин. Эти трещины ослабляют сечение
и ускоряют процесс зажатия трещин в растянутой от
внешних нагрузок зоне. В расчетах это учитывается
условным способом путем повышения на 10 % усилия
предварительного обжатия (1—Л)Р2, определенного
с учетом увеличенных из-за влияния начальных трещин
потерь предварительного напряжения. В итоге в форму-
лы (4.100), (4.101) вместо Р2 вводится величина
1,1 (1-Х) Р2.
Как уже отмечалось, одним из условий закрытия
трещин является недопущение их значительного раскры-
263
тия от полной нормативной нагрузки. Это условие учте-
но в СНиП 2.03.01—84, табл. 2 при назначении предель-
но допустимой ширины раскрытия трещин — при требо-
ваниях 2-й категории асге1С0,2 мм.
4.3.3. Расчет по закрытию трещин, наклонных
к продольной оси элемента
Для обеспечения закрытия наклонных трещин оба
главных напряжения в бетоне, определенные как для
сплошного упругого тела, на уровне центра тяжести
приведенного сечения при действии постоянных и дли-
тельных нагрузок должны быть сжимающими и не ме-
нее 0,5 МПа. Это может быть достигнуто применением
Предварительно напряженной поперечной или отогнутой
Продольной арматуры, а также натяжением дополни-
тельной продольной арматуры, расположенной по вы-
соте сечения.
Для вычисления требуемого сжимающего напряже-
ния в бетоне, вызванного влиянием предваригельного
напряжения поперечной арматуры, аИР, запишем равен-
ство Omi — 0,5 МПа в виде ОщДсм. п. 4.1.3):
+ Оу / /в(х)—а(у) \2 7
---2----~у -----------j + ^ = 0,5. (4.102)
Здесь сжимающие иапряжеиия приняты со знаком «плюс», рас-
тягивающие — со знаком «минус».
Из уравнения (4.102) находим
г2
СУ = °>5+(4.103)
Так как Оу=аг/р’+ау,гос> где сгу,/0С—- нормальное на-
пряжение в бетоне на площадке, параллельной продоль-
ной оси элемента, от местного действия нагрузки (опор-
ных реакций, сосредоточенных сил и распределенной
нагрузки), то.искомая величина
х2
0,5 -f- - 0,5* °У' ^ос' (4.104)
Зная оур, из зависимости (4.31) нетрудно опреде-
лить требуемое усилие предварительного напряжения
в хомутах и отгибах.
264
4.4. Расчет элементов железобетонных
конструкций по деформациям
4.4.1. Предельно допустимые прогибы
Ограничение прогибов железобетонных конструкций
связано с необходимостью обеспечения условий для
нормальной эксплуатации зданий и сооружений, в ко-
торых эти конструкции использованы. Предельно до-
пустимые прогибы установлены исходя из требований:
технологических (условия нормальной работы кранов,
технологических установок, машин и т. п.); конструк-
тивных (влияние соседних элементов, ограничивающих
деформации, необходимость выдерживания заданных
уклонов и т. п.); эстетических (впечатление людей
о пригодности конструкции); физиологических (неприят-
ные ощущения при колебании конструкций).
Примером ограничения деформаций по технологиче-
ским требованиям является назначение предельных про-
гибов подкрановых балок. По СНиП 2.03.01—84 проги-
бы подкрановых балок не должны превышать //500—
//600. Как показали исследования, при больших проги-
бах балок ухудшается самочувствие крановщиков при
движении кранов (особенно с большими скоростями).
Также исходя из технологических требований расстоя-
ние (зазор) между нижней поверхностью прогнутых
элементов покрытий и верхней точкой мостового крана
должно быть не менее 100 мм; этот зазор установлен
«Правилами устройства и безопасности эксплуатации
грузоподъемных кранов».
В зарубежной литературе приводится много приме-
ров повреждения, а иногда даже и разрушения перего-
родок в результате прогиба расположенных над ними
несущих изгибаемых элементов. В данном случае огра-
ничение прогибов связано с конструктивными требова-
ниями. Очевидно, прогиб указанных элементов не дол-
жен превышать расстояния (зазора) между их нижней
поверхностью и расположенными под ними перегород-
ками. Обычно из условия надежной заделки этот зазор
не превышает 3—4 см, но при выполнении специальных
конструктивных мероприятий (например, нащельников)
может быть и больше. Возможен прислонный вариант
примыкания перегородок к балкам, когда перегородки
не препятствуют их прогибу. В связи с наличием раз-
личных конструктивных решений установить численные
265
значения предельных прогибов несущих изгибаемых эле-
ментов исходя из целостности расположенных под ними
перегородок весьма затруднительно. Однако при проек-
тировании несущих и ограждающих конструкций необ-
ходимо учитывать такую возможность повреждения пе-
регородок и решать этот вопрос с учетом конкретных
условий.
Также исходя из конструктивных требований — обес-
печения целостности остекления ограничиваются проги-
бы железобетонных навесных стеновых панелей (из
плоскости — под действием ветровой нагрузки их прогиб
не должен превышать //250—//200). Примерно такие же
требования предъявляются к фахверковым колоннам,
ригелям и стойкам остекления. Исходя из конструктив-
ных требований, ограничиваются горизонтальные пере-
мещения каркаса здания. Цель этих ограничений —
обеспечить целостность перегородок, стен, остекления
и других элементов заполнения, которые могут получить
повреждения в результате деформаций каркаса. В прак-
тике проектирования перемещение каркаса многоэтаж-
ных зданий от ветровой нагрузки обычно ограничивает-
ся величиной /7/500, где Н — высота здания.
При ограничении прогибов технологическими или
конструктивными требованиями их расчет производится
на действие постоянных, длительных и кратковременных
нагрузок.
О необходимости ограничения прогибов по эстетиче-
ским требованиям свидетельствует опыт эксплуатации
жилых и производственных зданий. Известны случаи
усиления железобетонных плит перекрытий жилых зда-
ний, получивших со временем из-за ползучести бетона
значительные прогибы, которые вызывали беспокойство
у жильцов. При этом, как показали исследования,
в действительности плиты имели необходимую проч-
ность. Иногда беспокойство вызывали прогибы деревян-
ных ферм производственных зданий, хотя их прочность
была достаточна (материал ферм в данном случае
не имеет значения, так как прогибы деревянной и желе-
зобетонной фермы зрительно воспринимаются одина-
ково) .
Расчет прогибов при ограничении по эстетическим
требованиям производится на действие только посто-
янных и длительных нагрузок. Это означает, что непро-
должительное время, когда сверх упомянутых действу-
266
ют и кратковременные нагрузки, прогибы могут превы-
шать пределы, установленные по этим требованиям.
Согласно СНиП 2.03.01—84, прогибы перекрытий
с плоским потолком и элементы покрытия (кроме по-
крытий сельскохозяйственных зданий производственного
назначения) исходя из эстетических требований не долж-
ны превышать при пролетах: /<6 м —//200; 6 м^/^
^7,5 м — 3 см; 1>7,5 м —//250. Для перекрытий среб-
ристым потолком и элементов лестниц установлены бо-
лее жесткие требования (до //400).
Необходимо, однако, отметить, что повышенные тре-
бования к ребристым перекрытиям представляются не
вполне обоснованными, н они, видимо, будут пересмот-
рены. По мнению многих специалистов, в том числе
архитекторов, прогибы изгибаемых конструкций с реб-
ристым потолком не более заметны, чем с гладким.
К тому же в перекрытиях из многопустотных и других
панелей часто устраиваются русты, искривления кото-
рых видны примерно так же, как и искривление ребер
плит. В нормах США, ЕКБ, стандарте ИСО, как и в оте-
чественных нормах проектирования стальных и дере-
вянных конструкций, не делается различия между про-
гибами конструкций с гладким и ребристым потолком.
Значения предельно допустимых прогибов, установ-
ленных по эстетическим требованиям, могут быть уве-
личены на высоту строительного подъема. В любом слу-
чае прогиб балок и плит от действия всех нагрузок (по-
стоянных, длительных и кратковременных) не должен
превышать 1/150 пролета и 1/75 вылета консоли. Это
ограничение обусловлено тем, что при прогибах, больше
указанных, незначительное увеличение нагрузки может
привести к существенному росту деформаций в связи
с нелинейным деформированием железобетонных кон-
струкций. Как показывают расчеты, этн предельные про-
гибы (//150 и //75) не являются ограничительными для
правильно рассчитанных и запроектированных конст-
рукций, но предупреждают ошибочные решения.
Для несвязанных с соседними элементами плит пе-
рекрытий, лестничных маршей, площадок и т. п. не-
обходима дополнительная проверка по зыбкости —до-
бавочный прогиб от кратковременно действующей со-
средоточенной нагрузки 1 КН при наиболее невыгодной
схеме ее приложения должен быть не более 0,7 мм.
Следует отметить, что данная проверка по зыбкости of
267
движения одного человека с грузом (Р= 1 кН) не яв-
ляется исчерпывающей. Так, ощутимые колебания пе-
рекрытия могут возникнуть от танцующих людей, в про-
мышленных зданиях — от движения автопогрузчика,
кара и др. Методика расчета по зыбкости (ограничение
деформаций по физиологическим требованиям) разра-
батывается в ЦНИИСК им. Кучеренко. Если на, пере-
крытиях имеется оборудование, вызывающее их вибра-
цию, то помимо проверки статических прогибов преду-
сматривается ограничение динамических амплитуд коле-
баний в соответствии с действующим ГОСТ по ограни-
чению вибраций.
В связи с тем, что расчет по деформациям все чаще
из проверочного становится определяющим, в настоя-
щее время в ЦНИИСК, НИИЖБ, ЦНИИпромзданий
при участии других организаций проводится работа по
уточнению предельно допустимых прогибов и перемеще-
ний строительных конструкций из различных мате-
риалов.
4.4.2. Подход к определению деформаций,
принятый в нормах проектирования
Принятый в нормах проектирования (СНиП П-В. 1-62,
СНиП 11-21-75, СНиП 2.03.01—84) метод расчета дефор-
маций является дальнейшим развитием метода, в осно-
ве которого лежит учет наличия трещин в растянутой
зоне (когда они образуются), неупругих деформаций
сжатого бетона, работы растянутого бетона на участке
с трещинами. Высота сжатой зоны бетона находится
без использования гипотезы плоских сечений с помощью
эмпирических формул. Несмотря на некоторые недо-
статки, этот метод уже более 20 лет успешно исполь-
зуется в проектной практике и без принципиальных из-
менений включается в нормы при их переиздании.
Кривизны и прогибы элементов отсчитываются от их
начального состояния, при наличии предварительного
напряжения — от положения до обжатия. Такой подход
обусловлен удобством расчета предварительно напря-
женных конструкций, поскольку усилие обжатия рас-
сматривается как внешняя сила для фактического или
условного состояния элемента, при котором напряжения
в бетоне равны нулю.
Элементы или их участки рассматриваются без тре-.
268
1дин в растянутой зоне, если они не образуются от пол-
ной нормативной нагрузки, включающей постоянные
длительные и кратковременные нагрузки с коэффици-
ентом надежности по нагрузке ?/=1, а также, если
трещины зажаты (см. и. 4.3.2). Специфика расчета же-
лезобетонных конструкций состоит в определении кри-
визн. По найденным кривизнам деформации элемента
(прогибы, углы поворота) вычисляются по формулам
строительной механики, общим для конструкций из раз-
личных материалов.
4.4.3. Определение кривизны на участках
без трещин в растянутой зоне
На участках элемента, где в растянутой зоне не об-
разуются трещины, нормальные к продольной оси эле-
мента, кривизны определяются как для сплошного се-
чения с использованием зависимостей сопротивления
материалов. Неупругие деформации бетона проявляют-
ся и в тех случаях, когда элемент работает без трещин
в растянутой зоне, что сказывается в снижении модуля
упругости бетона Е'ь—Еьч где Е'ь— секущий модуль
бетона (см. рис. 4.1,a), v — коэффициент упругости бе-
тона. Для удобства расчета поперечное сечение желе-
зобетонного элемента, включающее бетон и арматуру,
условно приводят к так называемому приведенному се-
чению—однородному бетонному сечению, площадь ко-
торого определяется по формуле
4red=X;,+ (£s/(£*;))Xs=X;,+i4t. (4.105)
Но обычно для упрощения расчета коэффициент а
принимается a—EslEb, что не вносит заметной неточ-
ности в расчет из-за малого влияния арматурного члена
в формуле (4.105). В тех же случаях, когда арматура
занимает значительную часть поперечного сечения (на-
пример, жесткая арматура), площадь приведенного се-
чения находится с учетом неупругих деформаций бе-
тона.
Кривизна железобетонного элемента при непродол-
жительном действии нагрузки вычисляется по формуле
(l/r),=MI(<pbiEbIreil), (4.106)
где М — момент от внешней нагрузки относительно центра тяже-
сти приведенного сечения; фы — коэффициент, учитывающий влия-
ние кратковременной ползучести бетона; произведение <рыЕь можно
269
рассматривать как секущий модуль бетона, комплексно учитываю-
щий иеупругие деформации в растянутой и сжатой зонах; 1т*л —
момент инерции приведенного сечения .
Вообще говоря, коэффициент еры не является посто-
янной величиной, а уменьшается по мере роста нагруз-
ки. Для изгибаемых ненапряженных элементов в нача-
ле нагружения коэффициент еры близок к единице.
С ростом нагружения все заметнее проявляются неуп-
ругие деформации, при этом в растянутом бетоне, на-
чиная с определенного уровня нагрузки, образуются
и развиваются микротрещины. Учесть в расчетах все эти
процессы весьма сложно и обычно в этом иег практиче-
ской необходимости. Поэтому в результате анализа дан-
ных испытаний обычных и предварительно напряженных
изгибаемых элементов для конструкций из тяжелых бе-
тонов принято усредненное значение фм=0,85.
В то же время необходимо иметь в виду, что во вне-
цеитренно сжатых элементах (например, колоннах мно-
гоэтажных зданий), нагруженных значительными сжи-
мающими силами N, развиваются неупругие деформа-
ции бетона еще до приложения момента М. Для таких
элементов фы<0,85. Это обстоятельство больше связа-
но с расчетом деформаций каркаса, чем отдельных эле-
ментов, и поэтому здесь детально не рассматривается.
При продолжительном действии нагрузки деформа-
ции увеличиваются. Как показывают опыты, прогибы
элементов из тяжелого бетона в условиях нормальной
влажности при длительной выдержке под постоянной
нагрузкой возрастают примерно в 2 раза. С учетом это-
го обстоятельства находится кривизна от постоянных
и длительных нагрузок
воя
ф£| Eb I ted '
(4.107)
где фм — коэффициент, учитывающий влияние длительной ползу-
чести бетона и принимаемый в зависимости от вида бетона и влаж-
ности окружающей среды, для конструкций из тяжелого бетона при
влажности 40—75 % фи=2.
При определении полной кривизны от постоянных,
длительных и кратковременных нагрузок исходят из
допущения о линейной связи между усилиями и вызван-
ными ими деформациями [см. формулы (4.106), (4.107)|,
что дает основание для использования принципа неза-
270
Рис. 4.25. К учету выгиба предварительно напряженных элементов
при расчете деформаций
о —эпюра моментов Pe0JI и Mg; б —схемы изменения кривизн при учете
(/) и без такого учета (2); в —деформации от ползучести и усадки
бетона вь и e'j,; AJg—момент от собственного веса; /р —выгиб элемента
висимости действия сил. В соответствии с этим полная
кривизна элемента без предварительного напряжения
(4.108)
Расчет деформаций предварительно напряженных
элементов без трещин имеет свои особенности. В резуль-
тате внецентренного обжатия бетона силой Р эти эле-
менты получают выгиб (рис. 4.25,а). Сложность расче-
та обусловлена тем, что усилие предварительного обжа-
тия Р вследствие- потерь предварительного напряжения
само уменьшается при длительной выдержке элемента
под нагрузкой. Точное решение этой задачи представ-
ляет значительные трудности. В нормах принят следую-
щий практический способ расчета.
Кривизна ^4_)з ’ обусловленная выгибом элемента
от кратковременного действия усилия предварительного
обжатия Р\ (вычисленного с учетом только первых по-
терь) находится так же, как и кривизна от непродол-
жительного действия внешних нагрузок, г. е.
4b.Eb/red-’ (4J09)
271
При длительной выдержке предварительно напря-
женного элемента без внешней нагрузки (например, на
складе готовых изделий) его выгиб увеличи вается, что
является результатом неравномерного обжатия и соот-
ветственно неравномерной ползучести бетона по высоте
сечения — на уровне центра тяжести арматуры бетон
обжат больше, чем на уровне верхнего волокна бетона
(сжатой грани при эксплуатационных нагрузках)
(рис. 4.25,в). Если же на уровне этого волокна образо-
вались трещины обжатия, то неравномерными будут
не только деформации от ползучести бетона, но и от
его усадки.
С этими же деформациями связаны и потери пред-
варительного напряжения, определяемые по эмпириче-
ским формулам (см. п. 2.4). Зная величину потерь на-
пряжения, нетрудно от них перейти к деформациям
бетона и арматуры, вызвавших эти потери. Так, дефор-
мация бетона на уровне центра тяжести арматуры, рас-
тянутой от внешних нагрузок, составляет еь=оаь/Е3, где
о«ь — сумма потерь напряжения в арматуре от ползу-
чести и усадки бетона. Аналогично находится деформа-
ция на уровне верхнего волокна бетона, причем услов-
но принимается, что на этом уровне имеется арматура
и деформация ее и окружающего бетона от усадки
и ползучести е'ь = о'»ь1Е„ где <Аь находится по тем же
формулам, что и а8ь. Если бетон на данном уровне рас-
тянут, то величина е'ь принимается равной нулю. Раз-
ность деформаций еь и е'ь на рассматриваемых уровнях,
отнесенная к расстоянию между ними h0, и есть кривиз-
на (1/г)4, обусловленная выгибом элемента вследствие
неравномерной ползучести и усадки бетона при его об-
жатии усилием Р, т. е.
(1/г)4 =(66-8'6)/^. 14.110)
Полная величина кривизны от выгиба предваритель-
но напряженного элемента равна сумме кривизн
,(1А)з+(1А)4> но не менее-----я-т----. Причина введе-
Чм Ej 1 red
ния этого ограничения рассматривается далее.
Поскольку кривизны определяются от начального со-
стояния— до обжатия бетона, то полная кривизна пред-
варительно напряженного элемента может быть най-
дена по формуле
(1/О = (1А)1+(1/О2-(1А)з-(1/О.. (4.111)
272
Зависимость (4.111) в большинстве случаев неплохо
отражает опыт, но ее недостаток в том, что усилие пред-
варительного обжатия учитывается только через вели-
чину кривизны от выгиба , где кривизна
\ Г /3 \ < /4
/ 1 \
——) связана со временем приложения внешней на-
грузки. Тем не менее усилие Р продолжает действовать
и после приложения внешней нагрузки. Если принять
Р=Рг, т. е. с учетом всех потерь, и рассматривать это
усилие как внешнюю длительно действующую силу, то
Р* еор Фь, _
вызванная ею кривизна равна:...у . Эта кривиз-
на найдена с запасом, так как определена по минималь-
ному усилию Р, и поэтому может рассматриваться как
нижняя граница суммы кривизн
/ 1 \ / 1 \
( -) -L (—)
\ г h т \ г U •
Трещины в сжатой зоне снижают жесткость, так как
до их зажатия внешней нагрузкой элемент работает
с уменьшенным сечением в местах расположения этих
трещин. Особенно это заметно сказывается для предва-
рительно напряженных элементов, поскольку из-за
уменьшения сечения растут потери предварительного
напряжения арматуры. Для учета этого обстоятельства
при расчете предварительно напряженных элементов
с трещинами в сжатой зоне (начальными), образован-
ными в результате действия усилия Р до приложения
внешней нагрузки, кривизны • (“r‘)2 и (~7”)з Уве‘
личиваются на 15 %, а кривизнана 25 %. Эти по-
правки получены на основе анализа имеющихся опыт-
ных данных.
Снижают жесткость и трещины, образованные в рас-
тянутой зоне от действия полной нагрузки, но зажатые
при рассматриваемой нагрузке, что характерно для
предварительно напряженных элементов, к трещино-
стойкости которых предъявляются требования 2-й кате-
гории. В этом случае кривизны
(4),. а),»
увеличиваются на 20 %.
273
'4.4.4. Определение кривизны на участках
с трещинами в растянутой зоне
Исходное выражение для определения кривизны.
Для участков железобетонных элементов с трещинами
в растянутой зоне способ вычисления деформаций по
формулам сопротивления материалов неприемлем.
В данном случае необходимо исходить из реального на-
пряженно-деформированного состояния элемента.
Для получения исходного выражения кривизны рас-
смотрим участок железобетонного элемента с трещина-
ми в растянутой зоне (рис. 4.26), где Д/& = Еью/сге/2—
укорочение бетона в крайнем волокне ежа гой зоны на
участке длиной Icnfe', Мв—е*т1сгс12— удлинение армату-
ры на том же участке длиной 1т12\ ъып и е«Тп— средние
деформации соответственно крайнего сжатого волокна
бетона и растянутой арматуры.
Из подобия треугольников АВС и DOF, имея в виду
разные знаки деформаций удлинения и укорочения,
можно записать
lerc lero
2r ”* 2Л0
Таким образом, для участков элемента, где в растя-
нутой зоне имеются трещины, нормальные к продольной
оси элемента, кривизна определяется как отношение
разности средних деформаций крайнего волокна сжа-
той зоны бетона и продольной растянутой арматуры
к рабочей высоте сечения элемента. Задача сводится
к вычислению средних деформаций Еьт и Esm от усилий,
действующих в сечении при заданной нагрузке (в том
числе усилия предварительного обжатия).
Вывод расчетной формулы кривизны. Для получе-
ния формулы, общей для изгибаемых, внецентренно
сжатых и внецентренно растянутых обычных и предва-
рительных напряженных элементов, все внешние уси-
лия, включая и усилие предварительного обжатия Р,
приводят к определенной системе—равнодействующую
всех продольных сил Ntot прикладывают в центре тя-
жести арматуры S, и момент всех внешних сил М, оп-
ределяют относительно этого же центра тяжести арма-
туры. Таким образом, все многообразие внешних усилий
заменяется эквивалентными по воздействиям усилиями
274
Рис. 4.26. Кривизна элемента на участке с трещинами в растяну-
той зоне
М, и Ntot- Далее при выводе расчетных формул будем
иметь дело только с этими усилиями (рис. 4.27,а, б).
Рассмотрим теперь внутренние усилия в сечеиии
с трещиной (рис. 4.27,в). Равнодействующая усилия
в сжатой зоне находится исходя из прямоугольной эпю-
ры напряжений в бетоне, которая принята такой услов-
но для упрощения расчетных зависимостей, т. е.
Nb — ObFb — BbEbvAb. (4.113)
При наличии сжатых свесов и сжатой арматуры, ко-
торая приводится к бетону, площадь Аь
Аь=хЬ+ (b'f—b) h't+EeA',l (Ebv). (4.114)
В формулах (4,113), (4.114): v — коэффициент, характеризую-
щий упругопластическое состояние бетона сжатой зоны; v=2v; да-
лее величины v и v будут рассмотрены более детально; еь — дефор-
мация крайнего сжатого волокна бетона в сечении с трещиной.
Работа растянутого бетона над трещиной не учиты-
вается.
275
N
Рис. 4.27. Схемы внешних усилий (а), заменяющих усилий (б), на-
пряжений и усилий в сечении с трещиной (в)
1 — центр тяжести приведенного сечения; 2 — точка приложения равнодей-
ствующих усилий в сжатой зоне; 3 — центр тяжести площади арматуры 8
Поскольку в эксплуатационной стадии напряжения
в арматуре не превышают предела пропорциональности,
усилие в арматуре Ns
(4.115)
где es — деформация растянутой арматуры в сеченни с трещиной.
Деформацию еь найдем из условия равенства нулю
суммы моментов внешних и внутренних сил относитель-
но центра тяжести растянутой арматуры, деформацию
е« из условия равенства нулю суммы моментов внеш-
них и внутренних сил относительно точки приложения
равнодействующей усилий в сжатой зоне:
Ms—NtotZ—е.,Е,Аег — 0; (4.116)
Ms—RbEb’vAbZ — §. (4.117)
Отсюда
es= (Ms!EeAsz)—N iot! (Е,А,}-,
t,b—M,l(EbAbvz).
(4 118)
(4.119)
Необходимо отметить, что деформации е, и еь, вы-
численные по формулам (4.118), (4.119), в значительной
степени условны, так как определены исходя из приня-
той расчетной схемы, содержащей ряд допущений: при-
нятие прямоугольной эпюры напряжений в сжатой зоне
бетона, неучет работы растянутого бетона над трещина-
ми и др. Однако переход к средним деформациям бето-
на и арматуры еЬт и е.,т с помощью коэффициентов фь
и позволяет удовлетворительно (близко к опыту)
оценить значения средних деформаций.
276
(4.120)
Таким образом:
мл Ф, Ntoth
Чт = Es As z ~ Es As
'И м 19n
~ Eb Ab чг ’ (4.121)
где ips — коэффициент, учитывающий работу растянутого бетона на
участке с трещинами; далее величина ф, будет рассмотрена деталь-
нее; фб — коэффициент, учитывающий неравномерность распределе-
ния деформаций крайнего сжатого волокна бетона по длине участка
с трещинами и принимаемый для тяжелого бетона 0,9,
Введем обозначения:
(b'f-b) h'f + (<х/2 х) д'
<р/ = —=-------ьй'----------
х =
(4.122)
и, подставив выражения для esm и еът в зависимость
(4.112), получим формулу для определения кривизны
1_____Ms Г 'Ь , __________ii______"I_ ’Ь
г h„z Д5 + (ср/ + 6) ЬН0 Еь м J й0 Es Д,5 ' ' ' ’
Эта формула общая для изгибаемых, внецентренно
сжатых и внецентренно растянутых элементов при
^одо/^0,8/го, т. е. для тех случаев, когда имеется четко
выраженная сжатая зона бетона. Она применима для
элементов прямоугольного, таврового и двутаврового
(коробчатого) сечений. У внецентренно растянутых эле-
ментов при ео,(о(<0,8/го сжатая зона либо совсем отсут-
ствует, либо настолько мала, что ее обычно не учиты-
вают, при этом считают, что все сжимающее усилие вос-
принимает сжатая или_менее растянутая арматура S'.
Коэффициенты v и v. Коэффициентами v и v учиты-
ваются неупругие деформации бетона сжатой зоны. Ко-
эффициент -у может быть определен непосредственно по
результатам испытания бетонных призм на осевое сжа-
тие: v=E'bJEb, где Е'ъ— секущий модуль деформации
бетона; Еь— начальный модуль упругости бетона; Е'ь —
= (Jb/e,b (см. рис. 4.1,а). Но коэффициент v полностью
характеризует упругопластическое состояние бетона
только при осевом сжатии. При неоднородном напря-
женном состоянии (изгиб, внецентренное сжатие и рас-
тяжение) необходимо еще знать форму эпюры напря-
жений сжатой зоны бетона, которую характеризует пол-
нота эпюры со. Коэффициент со равен отношению пло-
гцади действительной эпюры напряжений к величине Оь*
277
'(см. рис. 4.27,в), но он не может быть получен непо-
средственно из опыта, так как в настоящее время от-
сутствуют надежные способы определения напряжений
прямыми измерениями. Поэтому о величине со можно
судить только косвенным путем на основе теоретиче-
ских построений.
Мнения исследователей сходятся в том, что в начале
загружения бетон работает почти как упругий матери-
ал; при этом со «0,5, v=l. С ростом нагрузки все за-
метнее проявляются неупругие деформации бетона, при
этом со увеличивается, a v снижается. Но, как было
установлено, при эксплуатационных нагрузках произве-
дение v=cov меняется мало, что делает его удобной
величиной для использования в расчетах. Это обстоя-
тельство и было использовано при разработке приня-
того в нормах метода расчета деформаций. Исходя из
этого, запишем выражение для усилия в сжатой зоне
бетона изгибаемого элемента прямоугольной формы се-
чения
Nb — е/, £/, м b ха> = Еь -*Ь х. (4.124)
Значения v можно найти достаточно точно по дан-
ным испытания балок, в которых замерялись средние
деформации бетона еьт и высота сжатой зоны х. При-
нимая z—hQ—(х/2) (принятие той или иной формы
сжатой зоны мало влияет на z, так как z=hQ—(х/2)
и z—hQ—(х/3) отличаются незначительно) и рассматри-
вая нагрузки, существенно превышающие момент обра-
зования трещин, когда работой растянутого бетона над
трещинами можно пренебречь, из равенства моментов
внутренних и внешних сил относительно центра тяжести
растянутой арматуры получим выражение
Значения v, найденные по формуле (4.125), как по-
казали результаты исследований, уменьшаются с рос-
том нагрузки и процента армирования, т. е. в тех слу-
чаях, когда увеличиваются напряжения в сжатом бетоне
(рис. 4.28), однако для эксплуатационной стадии
(оь/Яь^О.б) коэффициент v можно принять постоянным
для обычных и предварительно напряженных изгибае-
мых, внецентренно сжатых и внецентренно растянутых
элементов. В СНиП 2.03.01—84 этот коэффициент для
278
Рис. 4.28. Зависимость коэффициента
v от уровня напряжений в сжатом
бетоне
1 — кривая, усредняющая значения, най-
денные но формуле (4.125) для элемен-
тов из тяжелого бетона классов В20—
В50 с различным процентом армирова-
ния; 2 — коэффициент v по СНиП
2.03.01—84
элементов из тяжелого бетона принят v=0,45 при
непродолжительном действии нагрузки и v=0,15 при
продолжительном ее действии.
В расчетах используются оба коэффициента: v и v.
Последний, как уже отмечалось, применяется для при-
ведения к бетону сжатой арматуры (£sA's/£bv). Анализ
показал, что приближенно v может быть принят 2v.
К такому же результату придем, принимая <о = 0,5, т. е.
v=v/e=2v. Отметим, что, по мнению многих исследо-
вателей, при эксплуатационных нагрузках эпюра напря-
жений в сж:атом бетоне близка к треугольной.
Коэффициент фв. В связи с образованием трещин
железобетонный элемент оказался разделенным иа бло-
ки длиной, равной расстоянию между трещинами 1еп-
Вследствие частичного или полного выключения из ра-
боты растянутого бетона над трещиной деформации рас-
тянутой арматуры es и крайнего сжатого волокна бе-
тона ей в сечении с трещиной больше, чем средние де-
формации на участке между трещинами соответственно
Езт и еЬт. Коэффициент $ь = е.Ьт/е,ь отражает неравно-
мерность деформаций бетона крайнего сжатого волокна
(рис. 4.29,а). Различие между еьт и еь тем заметнее,
чем больше высота (глубина) трещин. Соответственно
для слабоармированных изгибаемых элементов без
предварительного напряжения фь меньше, чем для ана-
логичных сильноармированных конструкций (у них вы-
сота сжатой зоны больше). По тем же причинам значе-
ния фь несколько повышаются для предварительно на-
пряженных и внецентренно сжатых элементов.
В то же время анализ опытных данных показал, что
для указанных элементов различие в значениях фь
не столь существенно. Также незначительно меняется
фь и при росте нагрузки. Все это дало основание для
упрощения расчета во всех рассмотренных случаях при-
нять в нормах одно значение фь; так, для элементов из
тяжелого бетона фь —0,9,
279
Рис, 4.29. Коэффициенты фв и фь
а — схемы распределения деформаций арматуры и бетона на участке между
трещинами: б — схема напряжений н усилий в сечении с трещиной при уче-
те работы растянутого бетона над трещинами; в — то же. без такого учета
в соответствии с принятыми в нормах предпосылками; г — принятая в нор-
мах зависимость Фв—<Рт; / — изгибаемый ненапряженный элемент (cs =
=оо); 2 — предварительно напряженный изгибаемый элемент при е9 ioje3/io;
3 — то же, при е8> fof=ho
Коэффициент ф5. Как уже отмечалось, деформации
растянутой арматуры, имеющей сцепление с бетоном,
неравномерны по ее длине — они больше, в сечении
с трещиной и меньше в сечениях между трещинами
(рис. 4.29,а). Отношение esm/es, полученное по опытным
значениям деформаций es и esm, находится в пределах
0,7—0,95 и так же, как и фь, отражает неравномерность
распределения деформаций на длине между трещинами
lere- Но в связи с тем, что метод расчета деформаций,
принятый в нормах, не учитывает в явном виде работу
растянутого бетона над трещинами (в частности, из-за
того, что такой учет существенно усложнил бы расчет)
подход к определению ф8 значительно отличается от
подхода, принятого при анализе коэффициента фь.
При разработке формул норм коэффициент ф8 нахо-
дился как отношение опытных средних деформаций ар-
матуры г к расчетным деформациям в сечении с тре-
щиной ecsal, определенным исходя из принятых предпо-
сылок: не учитывалась работа растянутого бетона над
280
трещинами, принята прямоугольная эпюра напряжении
в сжатой зоне бетона. В соответствии с этим деформа-
ция е™' для изгибаемых обычных и предварительно на-
пряженных элементов с одиночной арматурой находи-
лась по формуле
icsal = (M — Pz)l(As Es z). (4.126)
Значения коэффициента ф3= при моментах,
близких к моменту образования трещин Мсгс, сущест-
венно меньше значений 0,7—0,95, полученных как отно-
шение опытных величин и &*хр. Это объясняется
тем, что принятый в нормах подход определения коэф-
фициента фл, основанный на учете опытных средних де-
формаций арматуры, отражает не только работу растя-
нутого бетона между трещинами (как это обычно счита-
ют), но косвенно и работу бетона над трещинами. Од-
нако принятая в нормах формула для коэффициента ф3
не позволяет в полной мере отразить влияние указанно-
го бетона на напряжения и деформации растянутой ар-
матуры (иначе потребовалось бы ее намного услож-
нить).
Потребовались усилия многих исследований, чтобы
получить удобную для практических целей и достаточно
универсальную (для различных видов воздействий, форм
сечений и т. д.) формулу для определения коэффици-
ента ф3
1-<Рт
1,25- <pn<pm- (3,5 —1,8фот)е,./0//Л0 ’ (41127)
но не более 1, где:
, ser pl
<Pm = I +Mr + Mrp\ 1
(4.128)
e., tet=M./Ntot, (4.129)
в формуле (4.127) e^tr>ilhQ принимается ие более l,2/<p/s; <pz^ — ко-
эффициент, учитывающий влияние длительности действия нагрузки
и вида арматуры и принимаемый при классе бетона выше В7,5
равным:
рри непродолжительном действии нагрузки и стержневой ар-
матуре периодического профиля <pls=l,l; то же, гладкой стержне-
вой и проволочной арматуре <p/s = 1,
при продолжительном действии нагрузки (независимо от вида
арматуры) фи = 0,8.
Формула (4.127) обеспечивает плавный переход от
расчета обычных изгибаемых элементов к расчету пред-
281
варительно напряженных и внецентренно сжатых эле-
ментов, что достигается введением в третий член этой
формулы относительно эксцентриситета e^tQtlhQ. Для
изгибаемых ненапряженных элементов (es,tot = oo) этот
член становится равным нулю.
С помощью коэффициента <рт учитывается уровень
нагрузки (рис. 4.29,г). Он представляет собой отноше-
ние моментов внешних сил (включая усилие предвари-
тельного обжатия Р) относительно ядровой точки непо-
средственно перед образованием трещин (М'гт) и при
действии рассматриваемой нагрузки (Afrm)- Для изги-
баемых предварительно напряженных элементов:
M'rm=zRbt. aerWpi~^-Mrp—Mrp = Rbt,
Al rm Af гр.
Формулы (4.127), (4.128) «привязаны» к использо-
ванию нормативных сопротивлений бетона на осевое
растяжение. Именно при применении в формуле дляф,
значений Rbt,кг расчет по СНиП 2.03.01—84 приводит
к результатам, близким к усредненным опытным значе-
ниям кривизн и прогибов. Это необходимо иметь в виду
при сравнении результатов расчета и опыта. Поэтому
при анализе точности расчетных формул и использова-
нии фактических средних значений Rbt в формулу
(4.127) следует вводить /?ы,«г=/?ы(1—1,64г>), где v —
коэффициент вариации (для тяжелого бетона v=0,135).
Относительная высота сжатой зоны бетона t=x/h0.
При разработке принятой в нормах формулы для опре-
деления высоты сжатой зоны бетона x=£,h0 в сечении
с трещиной стремились к тому, чтобы она отражала
наблюдаемую в опыте связь между х и процентом ар-
мирования сечения, уровнем нагрузки, а также величи-
ной и знаком продольной силы Ntot-
Данные опытов и теоретический анализ показывают,
что с увеличением процента армирования высота сжа-
той зоны возрастает. С повышением эксплуатационной
нагрузки высота сжатой зоны уменьшается. Для изги-
баемых элементов без предварительного напряжения
сначала происходит интенсивное уменьшение сжатой
зоны, а затем ее высота стабилизируется. При наличии
продольной сжимающей силы снижение величины х
происходит более плавно и продолжается практически
в течение всей эксплуатационной стадии (рис. 4.30).
Очевидно, что возрастание сжимающей силы (2V или Р),
282
Рис. 4.30. Характерные зависимости изменения высоты сжатой эоны
бетона при росте нагрузки для изгибаемых слабоармированных (/),
среднеармнрованных (2) и сильноармнроваииых (3) иенапряжен<
иых и предварительно напряженных (4) элементов
—— по данным опытов; —-----по расчету по формула (4.130)
приводит к увеличению высоты сжатой зоны. Причем
это связано не столько с величиной самой силы Ntot,
сколько с эксцентриситетом ее приложения es,tot', при
расположении силы в пределах ядра сечения все сече-
ние, как известно, сжато.
Все эти обстоятельства учитываются эмпирической
формулой, включенной впервые в СНиП II.В.1-62 и за-
тем перешедшей без изменений в СНиП 11-21-75 и СНиП
2.03.01—84.
я 1 4» 5 (В 4» X)
р+ __
1 >5 + <р/
es, tot
И.5 —i,— +5
ft,
(4.130)
но принимается не более 1.
Для второго слагаемого правой части формулы
)(4.130) верхние знакн принимаются при сжимающем,
а нижние—при растягивающем усилии Моо
В формуле (4.130): р— коэффициент, принимаемый в зависим
мости от вида бетона; для тяжелого бетона р = 1,8; S — коэффици-
ент, учитывающий уровень нагрузки, равный
8=M/(bh\Rb,.er); (4.131)'
283
и X — коэффициенты, учитывающие наличие сжатых свесов и
сжаюя арматуры, равные:
(b'f —b) h'f + (a/2v)4^
Ф/ - —--------; (4.132)
Х=фЯ1—*7/(2Л0)] (4.133)
В формуле (4.130) es,(ot принимается не менее 0,5.
Эта формула обеспечивает плавный переход от расчета
ненапряженных изгибаемых элементов к расчету вне-
центренно сжатых и внецентренно растянутых элемен-
тов (при Л((ог=О, eSi(0(=oo и второй член этой форму-
лы становится равным, нулю).
Несмотря на некоторую громоздкость формулы
(4.130), она позволяет все же сравнительно легко (по
сравнению с решением кубического уравнения, которое
требуется при использовании гипотезы плоских сечений)
находить х предварительно напряженных, а также вне-
центренно сжатых и растянутых элементов. Надо иметь
в виду, что эта формула отражает не действительную,
а условную высоту сжатой зоны, соответствующую при-
нятым предпосылкам. Вывод этой формулы потребовал
проведения больших экспериментально-теоретических
исследований, разработки специальной методики обра-
ботки и анализа опытных данных.
При составлении зависимости (4.130) использовались
результаты кратковременных испытаний железобетон-
ных элементов. Однако нормы допускают ее примене-
ние и для расчета кривизн и прогибов элементов при
их длительном нагружении постоянной (ие изменяющей-
ся во времени) нагрузкой. При длительном нагруже-
нии высота сжатой зоны не остается постоянной. Она
уменьшается в слабоармированных элементах (из-за
продолжающегося трешинообразования и роста высоты
трещин), увеличивается в сильноармированных (из-за
развития неупругих деформаций бетона) и мало меня-
ется в среднеармированных элементах. Учет всего этого
в расчете приводит к заметному его усложнению.
В то же время, как показал анализ, изменение g
в пределах 10—20 °/о несущественно сказывается на из-
менении кривизны 1/г при ее вычислении по формуле
(4.123). Дело в том, что, например, при увеличении g
плечо внутренней пары сил z уменьшается, но при этом
снижаются расчетные значения деформации бетона еьт
и растут деформации арматуры esm; сумма же этих де-
284
формаций и соответственно кривизна 1/г= (е8тЧ-еьт)/Ло
изменяется мало. В этом проявляется одно из досто-
инств формулы (4.123), как практической зависимости.
Этого бы не было при использовании, скажем, формулы
\1г=ъЬт1х, отвечающей гипотезе плоских сечений, где
неточность в вычислении х прямо сказывается на вели-
чине 1/г.
Плечо внутренней пары сил г. Плечо внутренней па-
ры сил z находится как отношение статического момен-
та приведенной площади сечения сжатой зоны (вклю-
чая сжатые бетон и арматуру) относительно центра тя-
жести растянутой арматуры к указанной приведенной
площади, т. е.
S'rea ~ (4~4 4 (Ло-О,54)4-
аЛ
4-.у-/- (Л« —И + хЬ (Ло—0,5х)
аЛ'
+ —п— + xb
1 2м
Примем для упрощения расчета, что a'—h'//2 и пос-
ле преобразований получим
(Л//Л0)<р/ + 6’
2(<р/ + е) -
(4.134)
Учет длительности действия нагрузки. Определение
кривизн при кратковременном (непродолжительном) и
длительном (продолжительном) действии нагрузки про-
изводится по одним н тем же формулам с введением
соответствующих значений коэффициентов v и ф8, чем
учитывается рост деформаций во времени соответствен-
но сжатого бетона и растянутой арматуры. Таким обра-
зом, обеспечивается единство подхода к расчету дефор-
маций прн различной длительности нагружения.
Основное влияние на рост деформаций во времени
оказывает ползучесть сжатого бетона. Как известно, ин-
тенсивное нарастание деформаций ползучести происхо-
дит примерно в течение первых ста суток после нагру-
жения, затем рост их замедляется и после трех лет вы-
держки затухает. Исходя из этого формулы норм отра-
жают длительные деформации элемента, соответствую-
щие выдержке под постоянной нагрузкой в течение
1000 сут. Это необходимо иметь в виду при оценке точ-
285
Рис. 4.31. Изменение опытных значений коэффициента v во времени
в изгибаемых железобетонных элементах
ности формул норм сопоставлением результатов расчета
и опыта. Так как использованные при анализе коэффи-
циента v опытные данные были получены при различ-
ных сроках испытания образцов, полученные на основе
обработки этих данных кривые v—Igt экстраполирова-
лись до /=1000 дней (рис. 4.31). Таким образом, было
получено, в частности, принятое в нормах значение v=
= 0,15 для продолжительного действия нагрузки при
40—75 % влажности окружающей среды. Если возника-
ет необходимость определения деформации элемента от
постоянной во времени нагрузки, действующей /<
<1000 сут, то можно воспользоваться приближенной
зависимостью:
При одновременном действии продолжительных и непродолжительных на*
грузок полная кривизна определяется но формуле
где —кривизна от непродолжительного действия всей нагрузки
(постоянной, длительной и кратковременной); (-у—) —кривизна от не*
продолжительного действия постоянных и длительных нагрузок; (——) —
кривизна от продолжительного действия постоянных и длительных нагру*
285
Рис. 4.32. Схема изменения кривизн при учете постоянных, длитель-
ных и кратковременных нагрузок при расчете ненапряженных (1)
и предварительно напряженных (II) элементов
вок; (----) — кривизна,. обусловленная выгибом элемента вследствие усаЛ*
v /* '4
кн и ползучести бетона от усилия предварительного обжатия.
Смысл первых трех членов формулы (4.135) стано-
вится понятным из рассмотрения зависимости момент —
кривизна по рис. 4.32. Основная особенность этой зави-
симости состоит в допущении о том, что длительное дей-
ствие ранее приложенной нагрузки не отражается на
характере приращения кривизн от вновь приложенной
кратковременной нагрузки (кривые 1—2 и 3—4 на
рис. 4.32 параллельны). Таким образом, полная кривиз-
на элемента без учета кривизны от выгиба (рав-
Г / 1 X
иа элемента без учета кривизны от выгиба ( ~J4
на сумме кривизн от продолжительного действия посто-
янных и длительных нагрузок ( —) и приращения кри-
\ ' /з
/ 1 X /IX
визны от кратковременной нагрузки (— I — ( — I .
.Чтобы пояснить смысл четвертого члена в формуле
287
'(4.135), необходимо напомнить, что метод норм дает ве-
личину кривизны от нулевого состояния (см. п. 4.4.2),
причем в )3* а также в(‘7“)1 и (тХ Уже Учтено
соответственно продолжительное и непродолжительное
действие усилия предварительного обжатия Р. Но при
этом не учтено то обстоятельство, что еще дю приложе-
ния внешней нагрузки от усилия Р образовались оста-
точные деформации, т. е. выгиб, обусловленный ползу-
честью и усадкой бетона. Кривизна этого выгиба (—)
уменьшает полную кривизну, что и учитывается форму-
лой (4.135).
Кривизны ( —) и (— у определяются при значе-
ниях фз и v, соответствующих непродолжительному дей-
ствию нагрузки, кривизна (“)3 — продолжительному
нагружению. Возможна ситуация, когда момент от по-
стоянных и длительных нагрузок меньше момента
образования трещин МСт& но от полной нагрузки, вклю-
чающей постоянные, длительные и кратковременные на-
грузки, трещины образуются. В этом случае кривизна
находится при значении коэффициента <pm=l.
Учет работы растянутого бетона над трещинами.
При определении кривизн по формулам (4.107), (4.123)
в зависимости момент—кривизна при Л4=Л1сге образу-
ется скачок, что обусловлено принятием различных рас-
четных схем для случаев расчета, когда трещины в рас-
тянутой зоне отсутствуют и для случаев, когда они обра-
зовались от рассматриваемой или полной нормативной
нагрузки. В первом случае в расчет вводится полное
сечение элемента, т. е. полностью учитывается сопротив-
ление бетона растянутой зоны, во втором — только сжа-
тый бетон н растянутая арматура, т. е. полностью пре-
небрегается работа растянутого бетона над трещинами.
При М = Мсгс трещины как бы мгновенно пронизы-
вают всю растянутую зону, что не соответствует дей-
ствительности. В опытных зависимостях М--(за ис-
ключением элементов с весьма низким содержанием ар-
матуры, у которых в эксплуатационной стадии трещины
обычно отсутствуют, т. е. момент от нормативных нагру-
зок Mtot меньше момента трещинообразования Мата)
288
увеличение средней кривизны на участке между трещи-
нами длиной 1С,с происходит достаточно устойчиво при
соответствующем повышении нагрузки, что обусловлено
работой растянутого бетона иад и между трещинами.
В то же время в рассматриваемой стадии (стадии про-
должающегося трещинообразования) рост деформаций
более быстрый, чем на последующих этапах нагружения.
Наличие данного скачка нежелательно, так как за-
вышаются расчетные значения кривизн при моментах,
близких к М,.гс, затрудняется расчет статически неопре-
делимых конструкций по действительным жесткостям.
Обеспечить плавный переход от расчета по первой ста-
дии ' напряженно-деформированного состояния (M<Z
<Мт) к расчету по второй стадии (М>Мггс), в прин-
ципе, можно, оставаясь в рамках принятых при выводе
формулы (4.123) допущений. При этом надо исходить,
из того, чтобы усилия, воспринимаемые растянутой ар-
матурой и сжатым бетоном, определенные по формулам
для первой и второй стадии, при М=Меп были равны,
т. е. для изгибаемого ненапряженного элемента:
'ZRbtfSer — д г Ф 5, ere A s > (4.136)
((4.137)
Отсюда можно вычислить минимальное значение ко-
эффициента ф«, т. е. ф8,сгс при М — М„с, и максимальное
значение относительной высоты сжатой зоны бетона £Сгс
при том же моменте Мсгс. Одиако попытки откорректи-
ровать формулы для ф8 и | таким образом, чтобы при
М=Меге они удовлетворяли равенствам ф8=ф«,сгс и £=
— 1сп показали, что это приводит к чрезмерному их
усложнению.
Также с существенным усложнением связано введе-
ние в расчетную схему усилия Nw, воспринимаемого
растянутым бетоном над трещинами. Отметим, что учет
данного усилия, как показали расчеты на ЭВМ, приво-
дит не только к снижению напряжения и деформации
растянутой арматуры, но и к увеличению высоты сжа-
той зоны бетона, что сближает расчет с данными опы-
тов. Поэтому для упрощения расчета принят следующий
приближенный подход. Зависимость м — — представля-
ется в виде ломаной линии (рис. 4.33) с узловыми точ-
Ю Заказ № 238
289
Рис. 4.33. Зависимости М—1/г для слабоармироваимых элементов
(ц< 0,008)
Характерные опытные (/) и расчетные зависимости при кратковременном (2)
и длительном (3) действии нагрузки при учете работы растянутого'бетона
над трещинами: при кратковременном (4) и длительном (5) без такого уче-
та; (1/г)егс ,л. (1/г)0 ,л — кривизны соответственно при М—Afcrc и М—при
кратковременном действии нагруаки; Р/г) (1/г)0< то же, при длнтель,
ном действии нагрузки
ками при М=Мсгс и М=М$. Для М<.Мсте и М>Мд
кривизны вычисляются соответственно по формулам
(4.107), (4.123), а в интервале Л1СГс—Мо по интерполя-
ционной формуле
1 __ /_1_\ Г/_1\ _ /_1_\ 1 М — мсге
Г ~ \ Г ) etc + \ г /о \ г ) etc J м„ — Меге ’
(4.138)
/ 1 \ ^сгсфйе / 1 \
где(~ГЛгс“ ф7,Ъ7^~: (“Л кРивизиа’ определенная по
формуле (4.123) при М =Л10(
Момент практического выключения из работы растя-
нутого бетона над трещинами определяется по формуле
(4.60) с уменьшением коэффициента ф в 2 раза при уче-
те продолжительного действия постоянных и длительных
нагрузок.
Влияние начальных трещин в сжатой эоне. Началь-
ные трещины в сжатой зоне, образованные до приложе-
ния рассматриваемой внешней нагрузки, при ее дейст-
вии обычно зажимаются и, как показали исследования,
не влияют на прочность элемента, но снимают его жест-
кость и трещиностойкость. До определенной нагрузки,
при которой происходит зажатие данных трещин, эле-
мент работает с уменьшенной высотой сечения, что при-
водит к большему нарастанию прогиба.
Детально влияние' начальных трещин в сжатой зоне
изучено для предварительно напряженных конструкций,
290
для которых оно проявляется прежде всего в снижении
усилия предварительного обжатия Р (см. п. 4.1.2). Учет
этого обстоятельства при определении кривизн произво-
дится так ясе, как и при расчете ширины раскрытия тре-
щин—усилие Р снижается на ДР=ЛР [см. формулу
(4.25)]. При этом уменьшается равнодействующая про-
дольных сил Ntot, снижается относительная высота сжа-
той зоны бетона g, увеличивается коэффициент все
это приводит к росту расчетных значений —. Однако
полная кривизна, вычисленная по формуле (4.135), уве-
личивается не столь заметно, так как из-за влияния
трещин обжатия возрастает кривизна от выгиба элемен-
та (-у")-» ’ -П°следняя ПРИ наличии указанных трещин со-
гласно СНиП 2.03.01—84 повышается на 25%.
4.4.5. Определение прогибов, обусловленных
деформацией изгиба
В общем случае полный прогиб железобетонного эле-
мента определяется как сумма прогибов fm и fg, где
fm — обусловлен деформацией изгиба, вызванного дей-
ствием изгибающего момента, fq — обусловлен дефор-
мацией сдвига, вызванного действием поперечных сил.
Причем оба этих прогиба вычисляются по формулам
строительной механики соответственно по кривизнам
и деформациям сдвига
Формула (4.123) для определения кривизны на участ-
ке с трещинами получена для сечений с наибольшим
изгибающим моментом в основном применительно к зоне
чистого изгиба. Однако исследования показали, что при
расчете перемещений в эксплуатационной стадии, этой
формулой можно пользоваться для вычисления кривиз-
ны в любом сечении иа участке с трещинами в растяну-
той зоне.
Как отмечалось, по найденным кривизнам прогибы
определяются по формулам строительной механики.
В эти формулы обычно входит изгибная жесткость В =
—Е1. В железобетонных элементах с трещинами в рас-
тянутой зоне кривизны зависят не только от изгибаю-
щего момента М, как в конструкциях из упругого ма-
- териала, но и от продольных сил N. В связи с этим по-
нятие жесткости для указанных элементов становится
10*
291
в известной степени условным. По этой причине вели-
чина жесткости в формулах СНиП 2.03.01—84 и в посо-
биях к нему не используется. При этом а формулы
строительной механики вместо отношения М/EI (кри-
визны элемента из упругого материала) вводится кри-
визна—, определенная в соответствии с рекомендация-
ми пп. 4.4.3 и 4.4.4 и с учетом того, образуются или от-
сутствуют трещины от полной нормативной нагрузки.
Необходимо отметить, что в некоторых случаях (на-
пример, при расчете сложных статически неопредели-
мых конструкций) отказ от использования понятия
жесткости нецелесообразен. Но надо иметь в виду, что
сама жесткость железобетонного элемента зависит от
продольной силы и изгибающего момента. При необхо-
димости ее можно найти по формуле В= М/ где
у- находится согласно рекомендациям п. 4.4.4.
В соответствии с изложенным прогиб элемента fm,
обусловленный деформацией изгиба, определяется по
формуле
i
fm~^Mx(±-\dx. (4.139)
о
где Мх — изгибающий момент в сечении х от действия единичной
силы, приложенной по направлению искомого перемещения элемен-
та в сечении по длине пролета, для которого вычисляется прогиб;
— полная кривизна элемента в сечении х от нагрузки, при
1
которой определяется прогиб; значения — находятся по формулам
(4.111) и (4.135) соответственно для участков без трещин и с тре-
щинами; знак ~ принимается в соответствии с эпюрой кривизн.
Интеграл можно вычислять перемножением эпюры
кривизны и эпюры единичных моментов М. При этом
обычно пользуются различными методами приближен-
ного интегрирования; например, эпюра кривизны (-у-)
по длине элемента разбивается на несколько участков
в виде кусочно-линейной функции, после чего эпюры
перемножаются по правилу Верещагина. Возможны и
другие способы замены исходной эпюры кривизн при-
ближенной эпюрой, z
293
Рис. 4.34. К выводу формулы (4.140)
а — эпюра кривизн; б — эпюра моментов от единичной силы; / — исходная
эпюра 1/г; 2 — заменяющая кусочно-линейная эпюра 1/г
Рассмотрим элемент с произвольной эпюрой кривизн
по рис. 4.34. Разобьем пролет элемента на п равных
участков (п—четное число). В пределах каждого
участка примем линейное изменение кривизны. Чем
больше число участков, тем ближе принятая эпюра кри-
визны к исходной. Прогиб определяем перемножением
по правилу Верещагина полученной эпюры кривизны
и эпюры моментов от единичной силы. Для прогиба
в середине пролета получим формулу
л/2—1
+6 2 ' [(4-)(О,+(-г)1п,]+(3»-2) (-Ш <4-»»>
где
(Z) 0’
I о—кривизны элемента соответственно на
левой и правой опорах; \ г~/т~КРИВИЗНЫ
елемента в сечении I, в сечении I', симметричном I, (см. рис. 4.34)
и в середине пролета.
Формула 14,140) достаточно общая и при известной
293
эпюре кривизн может быть использована для вычис-
ления прогиба в середине пролета статически определи-
мого и неопределимого элемента с постоянной и пере-
менной по длине геометрией сечения при различных
схемах загружения. При вычислении прогибов статиче-
ски неопределимых конструкций моменты и кривизны
необходимо находить с учетом перераспределения уси-
лий, вызванных образованием трещин и неупругими де-
формациями бетона. Рекомендации по приближенному
определению прогибов приведены в п. 4.4.6.
Особенности расчета прогибов сплошных плит. Из
формулы (4.123) для определения кривизны элементов
на участках с трещинами видим, что изменение рабочей
высоты сечения ho существенно отражается на дефор-
мативности элементов. Статистические данные показы-
вают, что в плитах заводского изготовления, армирован-
ных плоскими сетками, ho меньше проектной величины
в среднем на 7 мм (сетки «всплывают» при вибрации).
В балках, ригелях и других изделиях, где в качестве ра-
бочей арматуры применяются каркасы, й0 меньше про-
ектной величины в среднем на 0,3 мм. Поскольку кри-
визна примерно пропорциональна величине 1/й30, учет
неблагоприятного влияния снижения, hQ удобно осуще-
ствить умножением прогибов, вычисленных по проект-
ным размерам, на коэффициент [йо/(Ло—А)]3, где А —
разность между проектной и фактической величиной й0.
При принятой в нормах обеспеченности расчета де-
формаций, равной 50 % (как показывает практика про-
ектирования и строительства, в более высокой обеспе-
ченности нет необходимости), возможное неблагоприят-
ное отклонение от проекта величины hQ следует учиты-
вать только для балочных плит, армированных плоски-
ми сетками (имеющими тенденцию «всплывать» при
вибрации). В этом случае поправочный коэффициент
,(й0/(й0—0,7)]3, где h0, см.
Поскольку в тонких плитах возможные отклонения
сеток от проектного положения уменьшаются, значение
этого коэффициента принимается не более 1,5.
4.4.6. Приближенные методы расчета деформаций,
обусловленных изгибом
Упрощенный способ определения кривизны. Анализ
графиков М—i/r, построенных по формулам норм, по-
казал, что при М>Мсп приращение кривизны практи-
294
Рис. 4.35. Зависимость момент — кривизна при расчете ненапря-
- женных изгибаемых (a) (W«ot = O) и внецентренно сжатых и пред-
варительно напряженных изгибаемых (б) (Ntot>O) элементов на
участке с трещинами в растянутой зоне
/ — расчет по формуле (4.123); 2 —расчет по приближенной формуле (4.148)
чески пропорционально приращению моментов. Эта бли-
зость зависимости М—1/г к линейной в указанной обла-
сти положена в основу рассматриваемого далее упро-
щенного способа определения кривизн. Отмеченную ли-
нейную связь можно выразить формулой
где Mt — отрезок, отсекаемый иа оси моментов продолжением за-
висимости М—1/г при Л4>Л4сге (рис. 4.35); Л4, тем больше, чем вы-
ше значение Л4СГС, т. е. через Л4, учитывается в формуле (4.141)
влияние на кривизны продольной сжимающей силы Ntot‘, 5i=tga;
Bi характеризует угол наклона зависимости М—— к оси кривизн
(см. рис. 4.35).
Также и а основе анализа графиков М—— было
установлено, что с целью создания единой расчетной
формулы для изгибаемых обычных и предварительно
напряженных, а также внецентренно сжатых конструк-
ций зависимости момент — кривизна при различных
значениях Л1т могут быть приняты параллельными.
В соответствии с этим допущением Bi принимается
295
независимой от величины сжимающей силы (см.’
рис. 4.35).
Для определения и В\ рассмотрим сначала нена-
пряженные изгибаемые элементы. В формулу кривизны
_ _И_| _А_ ,________________________&_______1 (4 142)
г z | Es As + (ф/ + Ь1г„ Еь ч J ' ’ '
подставим выражение
1|>,= 1,25—tpls(Rbt, serWpi/M),
и после преобразований получим равенство
1 М [ 1,25 Фо j <Pz.t Rbt, ser pl
~ = ht, z |£.v Av (ф/ + E) bh„ Eb ч J — zEs As '
которое приводим к виду, подобному (4.141):
4ls Rbt,ser pl
1 M ~ 1,25 + фоЦа/Цф/ + £) v]
= . (4 143)
r P A h2______________г‘ft|> ______
1,25 + фНха,,[(Ф/ + е) Ч
Надо отметить, что по формулам СНиП величина g
для ненапряженных изгибаемых элементов мало меня-
ется при увеличении момента (при росте Л1 в 5 раз
уменьшается только на 20 %, еще меньше меняется пле-
чо г). Кроме того, снижение £ и возрастание z в опре-
деленной мере взаимно нейтрализуют свое влияние на
Это дает основание принять, что Е, и z не зависят
от нагрузки. При таком допущении формула (4.143) вы-
ражает линейную связь между кривизной и моментом.
Сравнивая (4.141) и (4.143), запишем выражения
для Bi и Mi:
В1 = Ф1£8ЛаЛ20,
г/й,
(4.144)
где Ф> ~ Фо ра / ’
1,25 + + Е)
зетч (4.145)
<р, [0,292 + 0,75(11 + 2ща) + 0,075 (т[ 2ц[а)1
где <р, = -------------------------------------------------------
1|25 + -4^/(ф/ +j)
Коэффициенты (pi и <р2 зависят от характеристик эле-
мента (армирования ца и формы сечения yi, y'i), но
практически не зависят от величины нагрузки. Это поз-
волило представить их в пособиях в табличной форме
296
от указанных двух параметров (армирования и формы
сечения). При этом формула для кривизны имеет вид
1 Л4 —ф, bh* Rbt,ser
Г ф1£Ма Ло
(4.146)
Рассмотрим теперь предварительно напряженные и
внецентренно сжатые конструкции. Для этого перейдем
к системе усилий, принятых в формуле (4.123): Мя—мо-
мент от всех внешних сил и усилия предварительного
обжатия Р относительно центра тяжести плошадн сече-
ния арматуры S; М«ог— равнодействующая продольной
силы N и усилия предварительного обжатия Р.
По аналогии с Мсгс момент выразим формулой
All = <pibh2Rbt, «вг+фзЛ^(о<(1/5о4"г)> (4.147)
где f/so — расстояние от центра тяжести приведенного сечения до
центра тяжести сечения арматуры 5; г — расстояние от этого же
центра тяжести до ядровой точки (см. п. 4.1.2).
При таком подходе получим общую формулу, об-
ласть применения которой та же, что и исходной фор-
мулы (4.123):
1 Л4.$ — ф, ЫР ,ser — фз Ntot (Уst, + И
Коэффициенты <рь <р2 и <р3 находились в соответствии
с принятыми предпосылками расчетом на ЭВМ по спе-
циальной программе. При этом принималось, что зави-
симость м для изгибаемых ненапряженных элемен-
тов представляет прямую линию, проходящую через
точки с координатами м - ~-г '—F7T (УРовеньноР‘
мативной нагрузки); м - Мсгс, — -—-— (образование
Г Г стс
трещин в растянутой зоне). При Nt0t>0 прямая м — г|
параллельна прямой при Ntot — O и проходит через точ-
ку с координатами {М — =-------------), см. рис. 4.35.
X Г Гtot f
Формулы (4.146), (4.148) включены в пособия по
проектированию обычных и предварительно напряжен-
ных конструкций к СНиП 2.03.01—84. Там же приве-
дены в табличной форме значения коэффициентов фь
ф2 И фз.
Упрощенные способы определения прогибов. Как
297
уже отмечалось, формула (4.140) достаточно общая
и позволяет вычислять с необходимой точностью проги-
бы в середине пролета статически определимого и неоп-
ределимого элемента с постоянной и переменной по
длине геометрией сечения. В тех случаях, когда элемен-
ты и нагрузка симметричны относительно середины про-
лета, число участков разбиения достаточно принимать
равным шести (и=6). При этом выражение {4.140),
принимает вид
fm-^[(40o+47")i+12(4")2 +8(-r)J- <4-149>
где —кривизны соответствен-
но на опоре, иа расстоянии Z/6 от опоры, иа расстоянии //3 от опо-
ры и в середине пролета; значения кривизн принимаются со своими
знаками согласно эпюре кривизн и определяются по соответствую-
щим формулам в зависимости от отсутствия или наличия трещин
в растянутой зоне.
Для большинства случаев расчет по прогибам мо-
жет быть существенно упрощен. В практике проекти-
рования широкое применение находит так называемый
расчет по минимальной жесткости. Он состоит в том,
что для элементов постоянного сечения, имеющих тре-
щины, на каждом участке, в пределах которого изги-
бающий момент не меняет знака, кривизну допускается
вычислять для наиболее напряженного сечения, прини-
мая ее для остальных сечений такого участка изменяю-
щейся пропорционально значениям изгибающего момен-
та. Такой подход при расчете изгибаемых элементов
без предварительного напряжения (рис. 4.36) дает до-
статочно точный результат и рекомендуется СНиП
2.03.01—84.
Для предварительно напряженных изгибаемых, а так-
же внецентренно сжатых элементов, у которых участ-
ки без трещин занимают значительную часть длины,
погрешность увеличивается, однако и для них во мно-
гих случаях расчет по минимальной жесткости’ позво-
ляет с некоторым запасом удовлетворительно оценить
прогибы.
В соответствии с этим подходом для свободно опер-
298
a)
Рис. 4.36. Эпюры изгибающих моментов и кривизн (при B==Bmin)’
для железобетонных элементов постоянного сечеиия
а —• схеме расположения нагрузки; б — anropj изгибающих моментов; в —
эпюра кривизн
тых или консольных балок прогиб определяется по
формуле
fm - (4-L PmZ’. (4.150)
где -~г — кривизна в сечении с наибольшим изгибающим мо-
меитом; р„— коэффициент, определяемый по таблицам, приведен-
ным в пособиях к СНиП 2.03.01—84.
Значения коэффициента рт находятся преобразова-
нием известных зависимостей строительной механики,
в которые вместо величины Мтах!Е1 вводится кривизна
МЛ , что соответствует замене жесткости Е1 на жест-
\ Г /т
КОСТЬ Bm.in-M.max I(j7~)т' НапРимеР« ДЛЯ баЛКИ при
равномерно распределенной нагрузке прогиб в середине
пролета
, 5 Ч1* JL41LJL 5 „ р
/т ” 384 EI " 48 8 EI “ 48 EI 1 ” 48 \ г •
т, е. рт=5/48.
Для балки, загруженной в середине пролета силой Р,
f рр JLjP£_C. 1 мтах 1 zj_\ /t
fm ” 48BZ ”12 4 EI ” 12 EI 1 " 12 k r )ml •
Для этого случая pm= 1/12,
299
Рассмотрим загружение балки комбинированной на-
грузкой — равномерно распределенной q и силой Р в се-
редине пролета
5 ЧГ I' 1 pl Р
/'"=18 V Е7 + 12 V £/• или
х /А . 1 Pl а П
•'т=’\48 8А1/0/ + 12 4Ми1 ) EI 1'
qP Pl
где M(oZ = —ф—.
Обобщая на большее число комбинаций загружения
и заменяя Мт]Е1 на(^т,т. е. принимая вместо EI
жесткость Bmtn, получим равенство ,
Р = S ₽ (4.151)
l=t
где pmt-, All — коэффициент pm и момент М от Гго вида нагрузки;
Aliot — момент от полной нагрузки.
Исходя из минимальной жесткости, принимаемой
для всей длины элемента, при этом во всех сечениях
( М = _ / Д_\ Мх
\ г /х Bnitn \ >" )т 44тах '
прогиб элемента можно определить и без использова-
ния формулы (4.150) непосредственным применением
зависимостей строительной механики, в которые вмес-
то величины Е1 подставляется жесткость Bmin=
^^Мщах I (•
В некоторых случаях расчет по минимальной жест-
кости может приводить к заметному завышению проги-
бов. Это связано прежде всего с неучетом участков без
трещин, а также в некоторой степени с переменностью
жесткостей и на участке с трещинами. Для свободно
опертых балок с равномерно распределенной нагрузкой
учесть эти факторы можно, определяя прогиб по фор-
муле
-(А+ (4-). (4-|52>
где е~ кривизна в сечении с наибольшим моментом, вы-
300
Рис. 4.37. К выводу фор-
мулы (4.152)
а — эпюра моментов; б —
эпюра кривизн; в — эквива-
лентная эпюра кривизн, при-
нятая при выводе формулы
(4.152); а—эпюра моментов
от единичной силы, прило-
женной в середине пролета;
1—4 — площади фигур, ис-
пользуемые при перемноже-
нии эпюр
численная как для сплошного тела от нагрузки, при которой на«
ходится прогиб, pi — коэффициент, определяемый по таблицам по-
собий к СНиП 2.03.01—84 в зависимости от отношения МСГС/.М1О!
(здесь Mt о! — наибольший изгибающий момент от постоянных, дли-
тельных и кратковременных н
— кривиз-
ны, обусловленные выгибом элемента соответственно от кратковре-
менного и длительного действия усилия предварительного обжа-
тия Р (см. и. 4.4.3).
Выражение (4.152) получено умножением по прави-
лу Верещагина эпюры кривизн, показанной на рис. 4.37,
и эпюры моментов от единичной силы, приложенной
в середине пролета. Эпюра кривизн принята в виде двух
парабол — первая отвечает кривизнам от действующих
усилий, вычисленных без учета образования трещин как
для сплошного тела, вторая — построена на участке
с трещинами в растянутой зоне и отвечает приращени-
ям кривизн, вызванных образованием трещин. При М=&
—М„с скачок в эпюре кривизн отсутствует, что соот-
ветствует постепенному выключению из работы растя-
нутого бетона над трещинами (см. п. 4.4.4).
В результате перемножения эпюр получено, что
^crc (1 4” З^сгс) „ 7crc 1 —-jZ ] Mcrc/Mfaf
Pi яв 19 t ГД6 f^crc— I e 9 »
p2=l/48.
Формулу {4.152) целесообразно использовать при
301
Рис. 4.38. К выводу фор-1
мулы (4.153)
а —эпюра кривизн; б — эк*
вивалентная эпюра кривизн,
принятая при выводе фор-
мулы (4.153); в — эпюра
моментов от единичной си-
лы, приложенной в середи-
не пролета; 1, 2 — площа-
ди фигур, используемые при
перемножении эпюр
расчете ненапряженных слабоармированных изгибаемых
элементов при ц=С0,5 %, а также предварительно на-
пряженных элементов, для которых характерны значи-
тельные участки без трещин в растянутой зоне.
Для элементов с защемленными опорами прогиб мо-
жет определяться по формуле
fm- {(д-)т Рт “ °-5 [(тЪ + (v’)q, г] (Т ” ₽« )} Z’’ (4-153>
I 1 \ / ' \ / 1 \
где \~^у , \~/0 !’ \~/о г—кРивизна элемента соответст-
венно в середине пролета, на левой и на правой опорах.
Выражение (4.153) получено умножением эпюр, по-
казанных на рис. 4.38.
В некоторых случаях прогибы элементов заведомо
меньше предельно допустимых. Чтобы установить это,
достаточно сравнить отношение l/ho с граничным отно-
шением кит, значения которого приведены в пособиях
по проектированию обычных и предварительно напря-
женных железобетонных конструкций из тяжелого и лег-
кого бетонов (к СНиП 2.03.01—84). При l/hu^kum. рао
чет по деформациям не требуется.
4.4.7. Вычисление прогибов, обусловленных
деформацией сдвига
Прогиб fg, обусловленный деформацией сдвига
(рис. 4.39,6,в), определяется по формуле сопротивле-
ния материалов
i
fq = Чх^Х, (4.154)
о
где — поперечная сила в сечении х от действия по направлению
искомого перемещения единичной силы, приложенной в сечении, где
302
4l
Рис. 4.39. Схемы деформаций балки при изгибе (а) и сдвиге (б);
деформации и напряжения при сдвиге в упругом элементе прямо?
угольного сечення (в)
находится прогиб; у« —деформация сдвига, определяемая с учетом
влияния нормальных и наклонных трещин (если они образуются ва
рассматриваемом участке элемента).
При отсутствии трещин величина у* находится по
формулам сопротивления материалов. При этом модуль
сдвига бетона принимается G=0,4£'6> а при учете дли-
тельного действия нагрузки ух увеличивается умноже-
нием на коэффициент <рь2» отражающий в расчете влия-
ние длительной ползучести бетона (см. п. 4,4.3).
Определение деформаций сдвига на участке с тре-
щинами. Как известно из курса сопротивления, материа-
лов, для упругих элементов y=x/G, где
x=(QSr<d)/(Wre<(). (4.155)
Отсюда для элементов прямоугольного сечения без
трещин на уровне его центра тяжести касательные на-
пряжения ттах= l,5Q/(bh), и приближенно сдвиг смеж-
ных сечений (рис. 4.39,е) характеризуется углом у=
= l,5Q/(Gbft). Последняя зависимость с запасом оцени-
вает сдвиг указанных сечений, так как касательные на-
пряжения не постоянны по их высоте. При более точ-
ных вычислениях y=l,2Q/(Gbh), однако в большинстве
случаев, в том числе и в СНиП 2.03.01—84, сдвиг сече-
ний определяется по максимальным касательным напря-
жениям Ттах-
При наличии трещин угловые перемещения увеличи-
ваются. Анализ экспериментальных данных показал,
303
что при только наклонных трещинах значение у в сред-
нем в 4,8 раза больше значений, вычисленных изложен-
ным способом как для сплошного упругого тела. В ре-
зультате анализа опытных данных было также установ-
лено, что при наличии только нормальных трещин или
одновременно нормальных и наклонных трещин рост уг-
ловых деформаций в результате образования этих тре-
щин пропорционален росту кривизн, при этом, в сред-
нем соблюдается равенство
- 3 (y~)crc I (4.156)
где тсгс, ~ соответственно деформация сдвига и кривизн а'
при наличии нормальных или нормальных и наклонных трещин!
TfeZ. i —т0 же’ ПРИ отсутствии как нормальных, так и иа«
клонных трещин, , = М<рь,/(Е1>/геЛ
Таким образом, деформация сдвига находится по
формуле
Ух= (mWG) фсгс» (4.157)
где Фссс“4,8 — при наличии только наклонных к продольной оси
3 (Т")л- Ёь
елемента трещин; ф„с =-------т-.—--------— при наличии толь-
нт х
ко нормальных или нормальных и наклонных к продольной оси
элемента трещин; — определяется по формуле (4.155).
Для элементов прямоугольного сечения формула
(4.157) имеет вид
[ (1,5Qx<Pf>2) / (Gbha) ]фсгс. (4.158)
Практический способ определения прогибов с учетом
деформаций сдвига. Рассмотрим балку на двух опорах,
загруженную симметричной нагрузкой. Соответственно
эпюра поперечных сил также будет симметричной
(рис. 4.40). Мысленно разобьем балку на п участков
(п — четное число). Перемножим по способу Верещаги-
на эпюру у и эпюру поперечных сил от единичной силы,
приложенной в середине пролета (рис. 4.40). В резуль-
тате получим
л/2—1
/9=[//(2л)](Тв + 2 2 Т/). (4.159)
z=i
где уо. Yi — сдвиговые деформации иа опоре и в 1-м сечении,
304
Рис. 4.40. К выводу фор-
мулы (4.159)
а — эпюра поперечных сил;
6 — эпюра сдвиговых дефор-
маций; в — эпюра попереч-
ных сил от единичной силы,
приложенной в середине
пролета
При достаточно большом количестве участков (/iZss
^6) вычисление прогиба fq по формуле (4.159) заменя-
ет определение его по равенству (4.154).
Полный прогиб, в котором, как правило, основной
удельный вес составляет прогиб от изгиба fm, целесо-
образно определять в виде
ftot=fm+fq — fm(\+fqlfm), (4.160)
где выражение в скобках представляет собой поправ-
ку, учитывающую влияние поперечных сил на прогиб
элемента.
Оценим эту поправку для случая загружения сво-
бодно опертой балки равномерно распределенной на-
грузкой. Сначала рассмотрим элемент прямоугольного
сечения. Для него в результате перемножения эпюр
/рис. 4.41) получим:
f 1 1 о _ 1 ’fy/tybt Чсгс I 1,5Мф(ц ffcrc
2 2 2 2bhfi-4 “ bhqG ;
+ bhqG + 1.04 p j. (4.161)
Коэффициент 1,04 в формуле (4.161) получен в ре-
зультате подстановки вместо <рСгс его выражения, соот-
ветствующего наличию нормальных трещин, а также
G=0,4£6 и йо=О,9й.
305
Illlllllillllllllllillllllllllll
Рис. 4 41. К определению прогиба
f<i в свободно опертой балки при
равномерно распределенной на-
грузке в предположении наличия
нормальных трещин по всей дли-
не балки
а — эпюра поперечных сил; б — эпюра
сдвиговых деформаций, определенных
в предположении наличия нормаль-
ных трещин по всей длине балки;
в — эпюра поперечных сил от единич-
ной силы. приложенной в середине
пролета
Аналогично были определены прогибы ftOt при раз-
личных схемах загружения свободно опертых балок
прямоугольного, таврового и двутаврового сечений. На
основе обобщения этих расчетов получена зависимость
<fq(hilY
1 + -
гт
f ttt — f т
(4.162)
где <р,=0,5 при отсутствии трещин; <рд=1,5 — при нормальных или .
наклонных трещинах.
Глава 5
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
Система расчета железобетонных элементов является
общей как для конструкций с предварительным напря-
жением, так и для обычных. При этом железобетон
с неиапрягаемой арматурой можно рассматривать как
частный случай предварительно напряженного железо-
бетона. Изложим два основных способа натяжения ар-
матуры: на упоры с передачей напряжения на бетон
после набора им необходимой прочности и непосред-
ственно на бетон с одновременной передачей обжатия.
Способ натяжения арматуры влияет на учитываемое
при расчете напряженное состояние арматуры и бетона.
Общим требованием является создание такого натяже-
ния арматуры, которое приводило бы к оптимальному
напряженному состоянию бетона и арматуры. При рас-
чете предварительно напряженных элементов в расчет
вводится предварительное напряжение в арматуре osp
и о'ар, отвечающее такому состоянию конструкции, ког-
да под действием усилия предварительного обжатия
и внешних нагрузок напряжение в бетоне на уровне
напрягаемой арматуры равны нулю. Поэтому полные
306
напряжения в арматуре в предельном состоянии кон-
струкции могут определяться как сумма предваритель-
ных напряжений osp и a'sp и приращения напряжений
от деформации растянутой зоны бетона в предельном
состоянии.
Для предварительного напряжения арматуры уста-
навливаются верхний и нижний пределы. Верхний пре-
дел равен Rs,ser, а нижний предел — 0,3/?s,wr. Верхний
предел назначается с тем, чтобы при натяжении армату-
ра не попала в область больших неупругих деформаций
и не произошел ее разрыв арматуры, нижний предел
обеспечивает определенный минимальный уровень пред-
варительного напряжения после проявления потерь. При
этом предварительные напряжения следует назначать
с учетом максимальных допустимых отклонений предва-
рительного напряжения, вызванных технологическими
причинами; при механическом способе натяжения откло-
нение р принимается 0,05crsp, а при электротермическом
или электротермомеханическом натяжении р=304-360Д,
где р измеряется в МПа, а I — длина натягиваемого
стержня (расстояние между наружными гранями упо-
ров, м). При автоматизированном натяжении арматуры
значение числителя 360 заменяется на 90.
Условия для назначения предварительного напря-
жения
Osp+psg/?,,
Ser» Сар—рЭгО.ЗЯ», ser.
Значение предварительного напряжения в арматуре
вводится в расчет с коэффициентом точности натяже-
ния арматуры у8р, учитывающим возможные фактиче-
ские отклонения предварительного напряжения от на-
значенного в проекте. Коэффициент точности обеспечи-
вает необходимую надежность предварительного напря-
жения и играет роль фактора запаса, так же как при
назначении расчетных характеристик материалов. Коэф-
фициент точности предварительного напряжения прини-
мается меньшим или большим единицы в зависимости
ют того, способствует ли оно повышению прочности кон-
струкции или наоборот. В первом случае предваритель-
ное напряжение для гарантии безопасности следует вво-
дить в расчет с коэффициентом уйр, меньшим единицы,
а во втором — увеличивать предварительное напряже-
ние с помощью коэффициента узр, большего единицы.
Например, при расчете прочности конструкции от
307
действия внешних нагрузок предварительные напряже-
ния в арматуре, расположенной в растянутой зоне, по-
вышают прочность сечения, поэтому их надо вводить
с коэффициентом ysp, меньшим единицы, а в арматуре,
расположенной в сжатой зоне, снижают прочность се-
чения, поэтому напряжения надо вводить с коэффи-
циентом ysp, большим единицы. В расчете прочности
конструкции при действии усилия предварительного об-
жатия оказывается, что чем выше предварительные на-
пряжения, тем опаснее для конструкции, поэтому и ис-
пользуется коэффициент ysp, больший единицы.
Коэффициент точности предварительного напряже-
ния определяется по формуле
= 1 + ЧР-
Значение Ду8р при механическом натяжении прини-
мается 0,1, а при' электротермическом натяжении опре-
деляется по формуле
д7 = 0,5 — fl + —L-Y
sp asp \ Т Пр )
где р — допустимое отклонение предварительного натяжения: пр —
число стержней напрягаемой арматуры в сеченин элемента.
Значение Aysp в любом случае принимается не менее
0,1. Значения Ду8р при точном расчете могли бы не-
сколько отличаться для арматуры растянутой и сжатой
зон бетона, что значительно усложнило бы расчет, по-
этому для его упрощения в некоторых пунктах норм
даны уточненные значения Ду8р и ysp. При определении
потерь предварительного натяжения арматуры, а также
при расчете по раскрытию трещин и деформациям зна-
чение Ду«р допускается принимать равным 0, сжимаю-
щие напряжения в бетоне в стадии предварительного
обжатия оьр определяются на уровне крайнего сжатого
волокна бетона при у8р=1, при вычислении граничной
относительной высоты сжатой зоны бетона предва-
рительное напряжение в арматуре asp принимается при
коэффициенте у8р<1.
Напряжение в напрягаемой арматуре сжатой зоны
бетона определяется при у8р>1. При учете влияния
предварительного напряжения арматуры на жесткость
конструкции принимается коэффициент у8р<1 (п. 3.24).
В общем случае расчета сечения при определении пред-
варительного напряжения в i-м стержне, расположен-
ном в растянутой зоне, aspi значение у8р принимается
308
<<1; при проверке возможности исчерпания несущей
способности одновременно с образованием трещин зна-
чение Rt>t,se-r вычисляется при коэффициенте ysp=l.
Искусственно созданные предварительные напряже-
ния в арматуре и бетоне не остаются постоянными, а из-
меняются, особенно значительно в начальный период.
Изменение напряжения может продолжаться длитель-
ное время даже при отсутствии внешней нагрузки; это
связано со свойствами бетона и арматуры, характером
нагрузки, окружающей средой, способом изготовления
конструкции.
Предварительные напряжения вводятся в расчет
с учетом потерь предварительного напряжения, кото-
рые зависят от характера натяжения арматуры (на упо-
ры или на бетон) и от стадии работы конструкции, для
которой производится расчет. Потери, происходящие до
окончания предварительного обжатия, и учитываемые
при расчете в стадии предварительного обжатия, назы-
ваются первыми потерями. Потери, происходящие после
окончания обжатия и учитываемые в расчете совместно
с первыми потерями .называются вторыми потерями.
При натяжении арматуры на упоры в качестве пер-
вых потерь учитываются: потери от релаксации напря-
жений в арматуре, проявляющиеся в натянутой на упо-
ры стенда или формы арматуре; от температурного пе-
репада арматуры между зоной нагрева и упорами при
тепловой обработке изделия; от деформации анкеров,
передающих усилия на упоры; от трения арматуры об
огибающие приспособления; от деформации форм; от
быстронатекающей ползучести бетона, В качестве вто-
рых потерь учитываются; потери от усадки бетона и от
ползучести бетона.
При натяжении арматуры на бетон в качестве пер-
вых потерь учитываются потери от деформации анкеров,
передающих усилия от напрягаемой арматуры на эле-
мент; от трения натягиваемой арматуры о стенки кана-
лов или поверхность бетона конструкции. В качестве
вторых потерь учитываются потери от релаксации на-
пряжений в арматуре; от усадки и ползучести бетона;
от смятия бетона под витками арматуры, наматываемой
на элемент; от деформации стыков между блоками для
конструкций, состоящих из блоков.
Проведено большое количество исследований по оп-
ределению потерь, что связано с определенными коле-
309
баниями величины потерь, получаемыми в различных
экспериментах и зависящих от состава бетона, условий
твердения, характера спуска натяжения, анкерных уст-
ройств и т. п. Эти факторы не всегда можно учесть при
проектировании. В СНиП даются достаточно обобщен-
ные методы, которые должны отвечать требованиям
простоты и надежности расчета в любых случаях, встре-
чающихся на практике. Независимо от расчета суммар-
ные потери при проектировании принимаются не менее
100 МПа.
Кратко охарактеризуем каждый вид потерь напря-
жения.
Первые потери. 1. Релаксация напряжений в арма-
туре при натяжении на упоры, ар Релаксация —это сни-
жение напряжения при отсутствии изменения длины,
зависящее от механических свойств и химического со-
става стали; величина этого снижения возрастает для
термически упрочненной и высоколегированной стали
и упрочненной вытяжкой проволоки. С повышением тем-
пературы арматуры свыше 40 °C, например при элек-
тротермическом и электротермомеханическои способах
натяжения, потери от релаксации в арматуре также
резко увеличиваются. Для учета этого явления в СНиП
приведены эмпирические формулы, которые при меха-*
ническом натяжении имеют вид:
а) для проволочной арматуры
в, = 1о,22-р-----0,11s,»;
\ Ks, set I r
б) для стержневой арматуры
Oi==0,Ioip—20.
При электротермическом и электротермомеханиче-
ском способах натяжения: для проволочной арматуры
ai = 0,05a8p, для стержневой a1=0,03osp. Значение а8р
принимается без учета потерь. Если полученная вели-*
чина потерь при механическом способе натяжения ока-
жется отрицательной, то ее следует принимать равной 0.
2. Температурный перепад при натяжении на упоры,
о2- Под температурным перепадом подразумевается
разность между температурами натянутой арматуры
в зоне прогрева и в зоне устройства, воспринимающего
усилие натяжения при прогреве бетона. Величина по-
терь 02 арматуры, находящейся в твердеющем бетоне,
составляет для бетона классов В15—В40 l,25Af, а для
310
бетона классов В45 и выше 1Л/. Значение температур-
ного перепада &t при отсутствии точных данных, напри-
мер при разработке типовых конструкций, рекомендует-
ся принимать 65 °C.
Существующая технология изготовления конструкций
позволяет при механическом способе натяжения про-
изводить во время термообработки вторичное натяжение
арматуры, так называемое подтягивание на величину,
компенсирующую потери от температурного перепада.
При использовании подтягивания потери принимаются
равными 0.
3. Деформация анкеров, расположенных у натяжных
устройств, аз. При натяжении на упоры величина потерь
определяется по формуле о3= где Д/ — обжа-
тие опрессованных шайб, смятие высаженных головок
и т. д., принимаемое 2 мм; смещение стержней в инвен-
тарных зажимах, определяемое по формуле Л/=1,25+'
-4-0,15с?, где d — диаметр стержня, мм; I — длина натя-
гиваемого стержня, т. е. расстояние между наружными
гранями упоров формы или стенда, мм.
При электротермическом способе натяжения потери
от деформации анкеров в расчете не учитываются, так
как они должны быть учтены при вычислении значения
полного удлинения арматуры. При натяжении арматуры
на бетон потери определяются по формуле
аз=[<А/|4-А4)//]^.
где Д/ —обжатие шайб или прокладок, расположенных между ан-
керами и бетоном конструкции, принимаемое 1 мм; Д/ — деформа-
ция анкеров стаканного типа, колодок с пробками, анкерных гаек
и захватов, принимаемая 1 мм; I — длина натягиваемого стерж-
ня, мм.
Как видно из приведенных формул, величина потерь
в значительной степени зависит от длины конструкции
и увеличивается для коротких элементов. Следователь-
но, для коротких конструкций нужно стараться исполь-
зовать жесткие анкеры.
4. Трение арматуры, о4 об огибающие приспособле-
ния при натяжении на упоры определяется по формуле
°* = — рг)> гДе е~ основание натуральных ло-
гарифмов; 6 — коэффициент, принимаемый 0,25; 0 —
суммарный угол поворота арматуры, рад.; osp принима-.
ется без учета потерь.
311
НАТЯЖНОЕ УСТРОЙСТВв
Рис. 5.1. К определению
потерь напряжений ар-
матуры, вызванных тре-
нием ее о стенки кана-
ла, при натяженнн ар-
матуры на бетон
Объем применения конструкций с оттянутой арма-
турой, где учитываются эти потери, в последнее время
значительно возрос. Трение арматуры о стенки каналов
или о поверхность бетона конструкций при натяжении
на бетон вычисляется по формуле
Л 1 \
с4 = asp 11 — е<1>х + 80 ) '
где е — основание натуральных логарифмов; ® — коэф-
фициент, учитывающий отклонение арматуры от проект-
ного положения; б — коэффициент, учитывающий трение
(эти значения приведены в СНиП 2.03.01—84 табл. 6);
х — длина участка от натяжного устройства до расчет-
ного сечения, м; 0 — суммарный угол поворота армату-
ры, рад. Эти обозначения приведены на рис. 5.1. Зна-
чение (is? принимается без учета потерь.
Потери предварительного напряжения увеличивают-
ся в арматуре, имеющей больший угол соприкоснове-
ния. Для снижения потерь используют облицовку кана-
лов листовой сталью, электротермическое натяжение
или натяжение с двух сторон и т. п.
5. Деформация стальной формы при изготовлении
предварительно напряженных железобетонных конст-
рукций, о5. Потери учитываются в зависимости от спо-
соба и последовательности натяжения. Так, при группо-
вом натяжении всей арматуры этн потери принимаются
равными 0. Они также равны 0 при электротермическом
способе натяжения, так как учитываются при опреде-
лении полного удлинения арматуры. При натяжении
арматуры одиночными стержнями, группами или намо-
точной машиной потери вычисляются по формуле os==
=tj(A///)Es, где коэффициент г; при натяжении армату-
ры домкратами — т]=(п—1)/2п; при натяжении намо-
точной машиной электротермомеханическим способом
(50 % усилия создается грузом) х\—(п—1)/4п, где п —
число групп стержней, натягиваемых неодновременно;
/ — расстояние между наружными гранями упоров; А/—
сближение упоров по линии действия усилия обжатия,
определяемое из расчета деформации форм в упругой
312
стадии работы. Для вычисления деформации форм не-
обходимо знать линейные и жесткостные характеристи-
ки, точку приложения усилия. При отсутствии данных
о технологии изготовления и конструкции формы потери
от ее деформации принимаются 30 МПа.
6. Быстронатекающая ползучесть бетона, о6 ха-
рактеризует способность последнего к неупругим дефор-
мациям при непосредственном воздействии усилий об-
жатия и происходит в направлении действия усилий.
Физическая природа ее достаточно сложна. Это явле-
ние происходит в начальный период обжатия и связано
с перемещением свободной воды в капиллярах и воз-
действием усилия на гель, заполнитель и кристаллы.
Величина ее зависит от вида, прочности бетона и тех-
нологии изготовления. Для бетона естественного твер-
дения <т6=40((тг,2>//?ьг>) при оьр/ДьрСа и а6=40а4-
4-85p[(<jbp/J?62>)—а] при Obp/Rbp>a, где коэффициент
а=0,254-0,()25/?Ьр, но не более 0,8; коэффициент £=
= 5,25—0,185/?бр, но не более 2,5 и не менее 1,1; ob2> —
напряжение, определяемое на уровне центра тяжести
продольной арматуры S и S' с учетом потерь оь <т2, Оз,
04. <тз- Для легкого бетона при передаточной прочности
11 МПа и ниже вместо множителя 40 при вычислении о6
принимается множитель 60. Для бетона, подвергнутого
тепловой обработке, вышеполученные значения ов умно-
жаются на коэффициент 0,85.
Вторые потери. 1. Релаксация напряжений в армату-
ре при натяжении на бетон о?. О физической сущности
явления уже говорилось при описании релаксации на-
пряжения в арматуре при натяжении на упоры. Эти
потери определяются по тем же эмпирическим фор-
мулам:
а) для проволочной арматуры
/ °sp \
о, — 0,22 -к---—0,11 а5);
\ ser / и
б) для стержневой арматуры
07=О,1с,р—20,
где значение osp принимается без учета потерь, МПа.
Если полученное значение о? окажется отрицательным,
то его следует принимать равным 0. Способ перетяжки
арматуры, описанный при определении <т2> может быть
также применен и в этом случае.
2. Усадка бетона, сг8- Свойство бетона уменьшаться в
313
объеме в процессе твердения называется усадкой. Она
зависит от вида, класса и состава бетона, включая ко-
личество и вид цемента, заполнителей, воды, способа
твердения и возраста. Физическая сущность явления
состоит в испарении избыточной влаги и уменьшении
объема геля при превращении его в цементный камень.
Значение о& определяется по табл. 4(5) (поз. 8) посо-
бия к СНиП 2.03.01—84.
При заранее известном сроке загружения конструк-
ции потери от усадки следует умножать на коэффи-
циент ф/=4//(100+3/), где t — время, сут, отсчитывае-
мое со дня окончания бетонирования. Для конструкций,
эксплуатируемых при влажности воздуха ниже 40 %,
потери должны быть увеличены на 25 %, а для кон-
струкций из тяжелого и мелкозернистого бетона, экс-
плуатируемых в IVA климатическом подрайоне и не за-
щищенных от солнечной радиации, значение о8 увеличи-
вается иа 50 %.
3. Ползучесть бетона <т9 при натяжении на упоры и
бетой. Природа этого явления выражается в росте де-
формаций с течением времени при неизменных напря-
жениях. Значение <т9 зависит от вида бетона, условий
твердения, величины напряжения и времени его дей-
ствия. Для тяжелого и легкого бетонов при плотном
мелком заполнителе:
. <т3=150а(<тьр/Яьр) при O6P//?6psg0,75;
а9=300а (otp/Rbp—0,375) при ог>р//?бР>0,75,
где оьр определяется на уровне центра тяжести продольной арма-
туры S и S' с учетом alt <т2, Os, <т4, о$, <тв, коэффициент а прини-
мается для бетона естественного твердения 1, подвергнутого тепло-
вой обработке при атмосферном давлении — 0,85. Для мелкозернис-
того группы А — так же, как и для тяжелого и легкого бетонов, но
с умножением результата на коэффициент 1,3; для группы Б —с
умножением на коэффициент 1,5; для группы В — по тем же фор-
мулам при а=0,85. При известном сроке загружения, так же как
и при потерях от усадки, вводится коэффициент <pi — 4t/( 100+3/);
где t — время, сут, отсчитываемое со дня передачи обжатия на бе-
тон; для эксплуатации при малой влажности воздуха —коэффициент
1,25, при солнечной радиации — 1,5.
4. Смятие бетона под витками спиральной или коль-
цевой арматуры при диаметре конструкций до 3 м, о10.
О10=70—0,22dest, где dext — наружный диаметр конст-
рукции, см. При большем диаметре конструкции ради-
альное сжатие уменьшается и потерями <тю можно пре-
небречь.
314
5. Деформация обжатия стыков между блоками для
конструкций, СОСТОЯЩИХ ИЗ блоков, Оц. Оц= (пД///)£«,
где п — число швов конструкции и оснастки по длине
натягиваемой арматуры; Д/ — обжатие стыка, прини-
маемое: для стыков, заполненных бетоном 0,3 мм, при
стыковании насухо 0,5 мм; / — длина натягиваемой ар-
матуры, мм. Следует отметить, что потери в напрягае-
мой арматуре S' определяются так же, как и в арма-
туре S.
Назначенное для расчета предварительное напря-
жение должно быть обеспечено при изготовлении пред-
варительно напряженного элемента. Для этого устанав-
ливаются так называемые контролируемые предвари-
тельные напряжения oCOni и o'coni, которые указываются
в проекте и контролируются при натяжении арматуры
на заводе.
При натяжении арматуры на упоры контроль натя-
жения происходит до обжатия бетона, когда элемент
не деформирован, т. е. деформации его равны нулю.
Поэтому контролируемые напряжения oCOni, o'COni в на-
прягаемой арматуре S и S' по окончании натяжения на
упоры равны назначаемым в расчете предварительным
напряжениям asp и a'sp за вычетом потерь от деформа-
ции анкеров и трения арматуры а3 и а4.
При натяжении арматуры иа бетон контроль напря-
жений в арматуре происходит в процессе обжатия бе-
тона, т. е. при деформировании элемента. Деформации
изменяют напряжения в арматуре по сравнению с теми,
которые были бы в ией, если бы эти деформации отсут-
ствовали. Поэтому при назначении контролируемого на-
пряжения СсОп2 и o'coni в напрягаемой арматуре S и S'
следует учесть деформации в бетоне от действия усилия
предварительного обжатия и связанные с ними измене-
ния напряжений в самой напрягаемой арматуре.
Деформации и напряжения определяются из расчета
железобетонного элемента как сплошного упругого тела.
Напряжения в бетоне на уровне арматуры в рассмат-
риваемом сечении от действия усилия предварительного
обжатия находятся по формуле
Р +Ре9ру
br> A red 1 red *
где Р —усилие предварительного обжатия; еор — эксцентриситет
усилия предварительного обжатия относительно центра тяжести при-
веденного сечения; Агел и 1геа — площадь и момент инерции приве-
315
денного сечения; у — расстояние от центра тяжести приведенного
сечения до рассматриваемого уровня.
Деформации арматуры, имеющей сцепление с бето-
ном и деформирующейся вместе с бетоном, равны де-
формациям бетона, т. е. es=8fe.
Для определения напряжения в сечениях предвари-
тельно напряженной железобетонной конструкции до
образования трещин рассматривается сечение, в кото-
ром площадь арматуры заменена приведенной пло-
щадью бетона. Коэффициент приведения a~EJEb.
Напряжения в напрягаемой арматуре S и S' при
натяжении на бетон, контролируемые в месте прило-
жения усилия натяжения принимаются осо,(2 и о'С0П2,
определяются исходя из обеспечения в расчетном сече-
нии напряжений оар и о'8р по формулам:
( Р . Pe«pysp}
\ д . 4” / /’
у К ™red ‘ red /
f t { Р У$р\
°ем’= %, ~ {геа }
В этих формулах oap, а'вр определяются без учета
потерь предварительного напряжения. Формулы для вы-
числения значения Р и еор приведены ниже, причем Р
и еор находят при osp и за вычетом первых потерь
напряжения.
Напряжения в нормальных сечениях определяются
как для упругого тела. При этом принимают приведен-
ное сечение с учетом ослабления его каналами, пазами,
а также приведенное сечение всей продольной напря-
гаемой и ненапрягаемой арматуры. Если части сечения
выполнены из бетона разных классов или видов, их при-
водят к одному классу или виду, исходя из соотноше-
ний модулей упругости бетона.
Усилие предварительного обжатия Р определяется
как равнодействующая усилий от предварительного на-
пряжения во всей напрягаемой и ненапрягаемой арма-
туре. В напрягаемой арматуре верхней и нижней пред-
варительные напряжения равны osp и </sp. В ненапря-
гаемой арматуре предварительные напряжения о, и о',
возникают от действия ползучести и усадки бетона.
В результате усилие предварительного обжатия нахо-
дится по формуле
Р = О^рД ’SQ 0S Д S S Д
316
Рнс. 5.2. Усилия в попе-
речном сечении предва-
рительно на пряженного
элемента
а его эксцентриситет относительно центра тяжести при-
веденного сечения
бор = (<3spAspysp~\~®'sA'sy/s—О spA ярУ sp бзАзУя) /Р,
где ysp, у'зр, у, и у', — расстояния от центра тяжести приведенного
сечения до точек приложения равнодействующих усилий соот-
ветственно в напрягаемой и ненапрнгаемой- арматуре S и S'
(рнс. 5.2).
При криволинейной напрягаемой арматуре необхо-
димо учитывать углы наклона арматуры к продольной
оси, умножая csp и c'sp на cos0 и cos0'. Напряжение
в арматуре csp и c'sp принимают в стадии обжатия бе-
тона с учетом первых потерь, а в стадии эксплуатации
с учетом первых и вторых потерь. Напряжения crs и o's
принимают в стадии обжатия бетона равными потерям
от быстронатекающей ползучести, а в стадии эксплуата-
ции— сумме потерь от быстронатекающей ползучести,
усадки и ползучести бетона. Отношение сжимающих на-
пряжений в бетоне в стадии предварительного обжатия
к передаточной прочности оъР1КьР не должно превы-
шать значений, приведенных в табл. 5.1.
Обжатие бетона должно назначаться с учетом того,
что чрезмерное обжатие может вызвать в бетоне обра-
зование микро- и макротрещин, возрастание деформа-
ций ползучести, образование продольных трещин и
усложнение анкеровки напрягаемой арматуры.
Для конструкций с натяжением арматуры на бетон
напряжения обжатия снижены по сравнению с конст-
рукциями, где арматура натягивается на упоры. Это
обусловлено тем, что при натяжении арматуры на бе-
тон потери от быстронатекающей ползучести компенси-
руются в период обжатия, и еще до натяжения могли
частично проявиться потери от усадки. В этом случае
напряжение обжатия при натяжении арматуры иа бе-
317
Таблица 5,1
Напряженное состояние сечения при действии внешних нагрузок Способ натя- жения арма- туры При расчетной зимней температу- ре наружного воздуха, °C
—40 и выше ниже —40 .
при о 5жатии
нейт- ральном вне- центрен- ном цент- ра льном вне- центрен- ном
Напряжения умень- На упоры 0,85 0,95 0,7 0,85
шаются или не из- На бетон 0,7 0,85 0,6 0,7
меняются То же, увеличива- На упоры 0,65 0,7 0,5 0,6
ются На бетон 0,6 0,65 0,45 0,5
тон могут оказаться более высокими, чем при натяже-
нии на упоры. Кроме того, необходимо учитывать уве-
личение или уменьшение напряжений при действии
внешних нагрузок и влияние наружной температуры.
Напряжения аьР определяются на уровне крайнего
сжатого волокна бетона с учетом потерь <ть о2, <г3, <т4, 05
и о6 при коэффициенте точности натяжения -ysp=l.
Для элементов, изготовляемых с посгепеиной пере-
дачей усилия обжатия, при наличии стальных опорных
деталей и косвенной арматуры с объемным коэффици-
ентом армирования ц» 5з0,5 % на длине не менее дли-
ны зоны передачи напряжений допускается принимать
значение оъР//?ьР=1.
При применении бетона в водонасыщенном состоя-
нии и расчетной температуре воздуха ниже минус 40 °C
значения, приведенные в табл. 5.1, следует уменьшить
на 0,05. Для легкого бетона классов В7,5—В 12,5 зна-
чения сь-plRb-p следует принимать не более 0,3.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ........................................ 3
Значения физических величин и основные обозначения о
Глава 1. Общие положения по расчету железобетон-
ных элементов . ............................... , 7
1.1. Группы и виды предельных состояний ... 7
1.2. Основные положения по расчету железобетонных
элементов .......................................... 8
1.3. Нагрузки и воздействия . И
Глава 2. Материалы для железобетонных конструкций 14
2.1. Бетон...........................................14
2.2, Арматура.................................. 22
2.3. Факторы запаса. Нормативные и расчетные сопро-
тивления ............................................25
Глава 3. Расчет железобетонных элементов по проч-
ности ...............................................39
3.1. Основные положения по расчету прочности желе-
зобетонных элементов................................39
§.2. Расчет прочности нормальных сечений железобе-
тонных элементов................................42
3.2.1. Расчетная схема усилий, действующих в нор-
мальном сечении..............................42
3.2.2. Характер разрушения железобетонного эле-
мента по нормальному сечению ..... 44
3 2.3. Напряжения в бетоне сжатой зоны ... 45
3,2.4. Напряжения в продольной арматуре, располо-
женной у наиболее сжатой грани элемента . 48
3.2.5. Напряжения в продольной арматуре, располо-
женной у растянутой или менее сжатой грани
элемента....................................... 51
3.2 6. Напряжения в арматуре, распределенной по
высоте сечения................................. 61
3.2,7. Расчетные уравнения ....... 63
3.2.8. Расчет нормальных сечений « , , . 65
3.2.9. Изгибаемые элементы . ..... 68
3.2.10. Практические методы расчета изгибаемых
элементов . 71
3.2.11. Внецентренно сжатые элементы .... 89
3.2.12. Практические методы расчета внецентренно
сжатых элементов ......... 90
3.2.13. Продольный изгиб . . . . . , , 106
3.2.14. Внецентренно растянутые элементы . . . 114
3.2.15. Практические методы расчета внецентренно
растянутых элементов .......................... 117
^,3. Расчет железобетонных элементов по наклонным
сечениям 120
3.3.1. Формы разрушения . . . , . , 120
3 3.2. Расчет по наклонной трещине .... 121
3.3.3. Расчет железобетонных элементов по наклон-
ным сечениям на действие поперечных сил . 122
3.3.4. Практические методы расчета элементов, ар-
мированных хомутами без отгибов, на действие
поперечной силы , , , . . ' , , , . 137
319
3.3.5. Расчет элементов, армированных отогнутыми
стержнями, на действие поперечной силы
3.3.6. Практические методы расчета элементов без по-
перечной арматуры на действие поперечной силы
3.3,7. Расчет железобетонных элементов по наклон-
ным сечениям на действие изгибающего момента
3.3.8. Расчет железобетонных элементов по наклон-
ным полосам бетона, расположенным между на-
клонными трещинами . . . ....
3.4. Расчет по прочности пространственных сечений
железобетонных элементов ......
3.4.1. Общая схема разрушения и расчетные урав-
нения равновесия . . . .....
3.4.2. Практические методы расчета пространствен-
ных сечений на действие кручения с изгибом
Глава 4. Расчет элементов железобетонных Конструк-
ций по предельным состояниям второй группы
4.1. Расчет железобетонных конструкций по образова-
нию трещин ... ....................
4.1.1. Категория требований к трещиностойкости
4 1.2. Расчет по образованию трещин, нормальных
к продольной оси элемента ......................
4.1.3. Расчет по образованию трещин, наклонных
к продольной осн элемента ......................
4.2. Расчет железобетонных элементов по раскрытию
трещин............................................
4.2.1. Предельно допустимая ширина раскрытия тре-
щин ....................................
4.2 2. Определение ширины раскрытия трещин, нор-
мальных к продольной оси элементов
4.2.3. Расчет по раскрытию трещин, наклонных к про-
дольной оси элемента ........
4.3. Расчет железобетонных элементов по закрытию
трещин . . . . ........
4.3.1. Условия закрытия трещин . . . . .
4.3 2. Расчет по закрытию трещин, нормальных к
продольной оси элемента . . . . . .
4.3 3. Расчет по закрытию трещин, наклонных к про-
дольной оси элемента . . . . . . .
4.4 Расчет элементов железобетонных конструкций по
деформациям ............
4.4.1. Предельно допустимые прогибы .
4.4.2 Подход к определению деформаций, принятый
в нормах проектирования . . . . . .
4.4 3, Определение кривизны на участках без тре-
щин в растянутой зоне . ......
4.4 4. Определение кривизны на участках с трещина-
ми в растянутой зоне . . . , . . .
4.4.5. Определение прогибов, обусловленных' дефор-
мацией изгиба . . . ......
4.4.6. Приближенные методы расчета деформаций,
обусловленных изгибом .......
4.4.7. Вычисление прогибов, обусловленных деформа-
цией сдвига . . . . .................
Глава 5. Предварительное напряжение . . «
320
156
158
165
179
182
182
189
20Q
200
200
202
219
226
226
230
250
259
259
261
264
265
265
268
269
274
291
294
302
зов