РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
ПРИ СЛОЖНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ
Под редакцией д-ра техн, наук
проф. М. С. ТОРЯНИКА
УДК 624.012.45.044
Авторы: М. С. ТОРДНИК, П. Ф. ВАХНЕНКО, Л. В. ФАЛЕЕВ,
Л. И. СЕРДЮК, А. М. КУЗЬМЕНКО, К. X. ДОЛЯ, Ю. М. РУДЕНКО
Расчет железобетонных конструкций при сложных де-
формациях. Под ред. М. С. Торяника. М., Стройиздат,
1974. 297с. Авт.: Торяник М. С., ВахненкоП. Ф., Фалеев
Л. В. и др.
На основе экспериментальных исследований разра-
ботаны практические способы расчета обычных и предва-
рительно-напряженных железобетонных конструкций,
подвергающихся сложным деформациям: косому внецен-
тренному сжатию, косому изгибу, косому изгибу с круче-
нием, действию поперечной силы при косом изгибе, косому
внецентренному обжатию при изготовлении сборных пред-
варительно-напряженных железобетонных конструкций
с несимметричным армированием. Приведенные номо-
граммы и таблицы позволяют свести расчет при сложных
деформациях к простым' операциям^как И.при обычном
изгибе.
Книга предназначена для инженерно-технических ра-
ботников проектных и строительных организаций, а так-
же для научных работников и аспирантов.
Табл. 24, ил. 106, список лит.; ,81 назв.
80205-666
1147(01)-— 74
© Стройиздат, 1974
ПРЕДИСЛОВИЕ
Проблема уменьшения собственного веса железобетонных кон*
струкций всегда стояла перед строителями и особенно остро она
поставлена в девятой пятилетке. Решается эта проблема приме-
нением высокопрочных материалов, легких заполнителей, прост-
ранственных конструкций, а также разработкой и уточнением
методов расчета, подтверждаемых экспериментальными данными.
К разработке и уточнению методов расчета относятся задачи эк-
спериментальных и теоретических исследований железобетонных
элементов, работающих на сложные виды деформаций: косое вне-
центренное сжатие, косой изгиб, косой изгиб с кручением. Такие
элементы часто встречаются в практике проектирования и строи-
тельства и поэтому исследованиям их работы уделялось и уде-
ляется большое внимание.
Однако используемые в настоящее время способы расчета этих
элементов очень разобщены, слабо подкреплены экспериментами
и, что главное, недостаточно отражают действительное напряжен-
ное состояние элементов.
В этой книге предлагается методика расчета железобетонных
конструкций на сложные виды деформаций, основанная на обще-
принятом методе предельных состояний и подкрепленная много-
численными экспериментами.
Книга состоит из предисловия, введения, семи глав и двух при-
ложений.
В первой главе дан расчет на косое внецентренное сжатие дву-
. тавровых, тавровых и прямоугольных поперечных сечений.
Вторая и третья главы содержат расчет на косой изгиб обычных
и предварительно-напряженных железобетонных элементов.
В четвертой и пятой главах изложены методы расчета обычных
и предварительно-напряженных железобетонных элементов, рабо-
тающих на косой изгиб с кручением.
В шестой главе дан расчет прочности по косому сечению косоиз-
гибаемых элементов.
3
В седьмой главе описай метод расиста йй трёщиностойкость.
Главы и отдельные параграфы написаны: М. С. Торяником —
предисловие, гл. II, III и приложение II, П. Ф. Вахненко — вве-
дение, гл. I и приложение I, Л. В. Фалеевым—гл. IV, А. М. Кузь-
менко — гл. V, К. X. Долей — гл. VI, Л. И. Сердюком — гл. VII
и Ю. М. Руденко и Л. В. Фалеевым — § 14 гл. II.
Авторы выражают глубокую благодарность доктору технических
наук, профессору В. Н. Байкову и кандидату технических наук,
доценту Р. И. Трепененкову за ценные указания по содержанию
книги и лаборантам Г. И. Козловой и Г. В. Бородиной за участие
в оформлении этой книги.
ВВЕДЕНИЕ
Вопросам теории расчета элементов железобетонных конструк-
ций при сложных деформациях, начиная с 30-х годов, посвящен
целый ряд работ отечественных и зарубежных ученых й инженеров.
В нашей стране такие исследования проводили: И. И. Гольден-
блат и Э. Г. Ратц, К. Н. Ратушинский, Н. А. Попович, А. Е. Шавель-
£кий и др. Из зарубежных ученых следует упомянуть: Б. Браслера,
Байера, Л. Нольте, К. Опладена, Г. Линдера, А. Пухера, В. Лёзера
и др.
Однако ранние теоретические исследования базировались на
представлении о железобетоне как упругом материале и основыва-
лись на методике расчета по допускаемым напряжениям с исполь-
зованием зависимостей сопротивления материалов. В результате
эти работы имели существенные недостатки, присущие теории упру-
гого бетона, и их теоретические выводы не подтверждаются экспе-
риментальными данными.
В течение последних десятилетий в отечественной и зарубежной
печати появились работы, посвященные расчету кососжимаемых
и косоизгибаемых железобетонных конструкций по разрушающим
усилиям и по предельному состоянию. Сюда относятся работы
Н. И. Смолина [30], С. И. Глазера [13, 14], О. Н. Тоцкого [47, 48],
В. Н. Байкова [1], М. А. Борисовой и М. 3. Арафата [6] и др.
И. И. Смолин экспериментально и теоретически исследовал проч-
ность ненапряженных балок прямоугольного сечения. Его теорети-'
ческие выводы подтверждены экспериментами.
С. И. Глазер разработал теорию расчета кососжимаемых эле-
ментов прямоугольного сечения и косоизгибаемых элементов пря-
моугольного и таврового сечений. Для упрощения расчетов он со-
ставил таблицы. Однако эти теоретические расчеты не подкреплены
экспериментальными данными.
О. Н. Тоцкий, используя свойства изокривых — изостат и изо-
бент, разработал методику расчета косоизгибаемых и кососжима-
емых железобетонных элементов. Предложенная им методика дает
удовлетворительную сходимость с экспериментами, но является
довольно трудоемкой.
В. Н. Байков, применив теорему об эквивалентности виртуаль-
ной работы момента, вызывающего косой изгиб, и суммарной работы
его компонентов, действующих в двух взаимно перпендикулярных
направлениях, получил довольно оригинальное решение по опре-
делению несущей способности косоизгибаемых железобетонных эле-
5
ментов таврового и прямоугольного поперечных сечений. Теорети-
ческие расчеты дают удовлетворительную сходимость с опытами.
М. А. Борисова и М. 3, Арафат исследовали прочность и трещи-
ностойкость предварительно-напряженных железобетонных эле-
ментов прямоугольного поперечного сечения и сравнивали данные
своих экспериментов с различными способами расчета. Сравнение
показало наилучшую сходимость опытов с теоретическими расче-
тами, основанными на уравнениях предельного равновесия.
Из зарубежных ученых разработкой теории расчета по разру-
шающим усилиям занимались: А. Аас-Якобсен [58], И. Кисель [66],
Р. Фалонг [72], Н. Тёпфер [75] и др.
А. Аас-Якобсен рассмотрел способ расчета по разрушающим уси-
лиям на косое внецентренное сжатие железобетонных элементов
прямоугольного сечения с попарно симметричной арматурой. Для
проверки теоретических расчетов было испытано десять колонн
квадратного сечения с четырьмя стержнями по углам. Нагрузка
прикладывалась в плоскости диагонали поперечного сечения. Для
этого частного случая получено хорошее соответствие теоретиче-
ских расчетов с опытами.
И. Кисель разработал способ расчета по разрушающим усилиям
только для прямоугольного сечения. Его теоретические' расчеты
не подкреплены экспериментами.
Н. Тёпфер дает способ расчета по разрушающим усилиям на ко-
сой изгиб и косое внецентренное сжатие тоже только для прямо-
угольных сечений. Его теоретические расчеты также не подкрепле-
ны опытами.
Таким образом, в перечисленных работах решались частные за-
дачи по расчету элементов железобетонных конструкций при слож-
ных деформациях.
Для разработки более общих методов расчета при сложных ви-
дах деформаций, отвечающих действительному напряженному со-
стоянию, в лаборатории железобетонных конструкций Полтавского
инженерно-строительного института проведены многочисленные
опыты над обычными и предварительно-напряженными железобе-
тонными элементами, работающими на косое внецентренное сжатие;
косой изгиб и косой изгиб с кручением. Исследована прочность
по нормальным и косым сечениям, трещиностойкость, границы
переармирования (прочность сжатой зоны).
На основе экспериментальных данных разработаны практиче-
ские методы расчета, подтверждающиеся опытами. Построенные
номограммы и таблицы позволяют производить расчеты так же
просто, как и при обычных видах деформаций.
Под сложными видами деформаций подразумеваются косое вне-
центренное сжатие, косой изгиб и косой изгиб с кручением. Имеет-
ся в виду, что между ними существует определенная связь. Косой
изгиб является частным случаем косого изгиба с кручением и ко-
сого внецентренного сжатия. Более того, такие простые виды дефор-
маций, как плоское внецентренное и центральное сжатие, плоский
6
изгиб, также являются частными случаями косого внецентренного
сжатия. При разработке описанных здесь способов расчета железо-
бетонных элементов на указанные виды сложных деформаций авто-
ры исходили из этого положения.
В результате расчет железобетонных элементов при всех рассмот-
ренных видах деформаций отличается единством подхода и мето-
дики, которая вместе с тем может быть распространена и на обыч-
ные случаи деформаций — плоский изгиб и плоское внецентренное
сжатие.
В книге освещены вопросы расчета прочности обычных и предва-
рительно-напряженных железобетонных элементов по нормаль-
ному и наклонному сечению, а также трещиностойкость косоизги-
ба^мых элементов. Рассмотрены все практически встречающиеся
виды сечений: двутавровое, Г-образное и прямоугольное/ Двутав-
ровое сечение рассмотрено как исходное, из которого все другие
виды сечений могут быть поручены как частные случаи.
Все способы расчета разработаны на основе многочисленных эк-
спериментов.
Учитывая, что книга может быть использована не только проек-
тировщиками и студентами, но и научными работниками, в соот-
ветствующих главах приведены основные экспериментальные дан-
ные: геометрические характеристики образцов, прочностные пока-
затели арматуры и бетона, несущая способность образцов и др.
Несмотря на общность позиции, с которой рассмотрены различ-
ные виды деформаций, способы их расчета имеют некоторую специ-
фичность. Поэтому структура глав неодинакова.
Косое внецентренное сжатие, как наиболее общий случай дефор-
маций, из которого как частный случай можно получить и косой
изгиб, рассмотрено в главе I. В основу рубрикации этой главы по-
ложена форма сечения. Это позволило сначала изложить расчет
для наиболее общего случая — двутаврового сечения, — а затем
распространить этот расчет на другие формы сечения.
С методической точки зрения за основу рубрикации глав II
и III удобно взять не форму сечения элемента в целом, а форму
сечения сжатой зоны бетона.
Рубрикация остальных глав принята такой же, как и в главе I.
Предлагаемые способы расчета позволяют не только проверять
несущую способность, но также подбирать размеры сечения и ар-
матуру. При этом не возникает специальных ограничений или требо-
ваний к размещению арматуры, что важно для практики заводского
изготовления изделий. Схема размещения арматуры по сечению
(схема армирования) может быть симметричной и несимметричной
в зависимости от назначения элемента и условий его загружения.
Предлагаемые способы расчета позволяют выбрать наиболее
рациональную схему армирования с максимальным использованием
сжатой1 зоны бетона и всей арматуры. Для облегчения вычислитель-
ной работы в приложениях даны номограммы и таблицы, при по-
мощи которых расчет прочности железобетонных элементов на слож-
7
ные деформации так же прост, как при плоском изгибе и внецент-
рейном сжатии.
Во всех главах книги приняты следующие общие обозначения.
Показатели, характеризующие физико-механические свойства
арматуры и бетона:
7? — кубиковая прочность бетона (марка бетона);
7?Пр — расчетное сопротивление бетона на осевое сжатие (приз-
менная прочность);
7?р — то же, на растяжение;
7?т — то же, на растяжение при расчете по трещиностойкости;
7?б — обобщенное сопротивление бетона;
7?а — расчетное сопротивление продольной арматуры на растя-
жение;
7?а>с — то же, на сжатие;
7?а.х—расчетное сопротивление поперечной и отогнутой арматуры
при расчете на поперечную силу.
Геометрические характеристики сечений:
h — высота сечения элемента;
b — ширина прямоугольного сечения или ширина ребра двутав-
рового, таврового и Г-образного сечений;
Ь'п — ширина верхней и нижней полки сечения;
Ьп — ширина верхней и нижней полки сечения за вычетом пра-
вого свеса;
1гп — высота верхней и нижней полки сечения;
&св — ширина верхних и нижних свесов;
Fa — площадь сечения растянутой или (при малых эксцентрици-
тетах) менее сжатой арматуры;
F'a — то же, сжатой (при малых эксцентрицитетах более сжатой)
арматуры;
IFp — упругий момент сопротивления сечения по растянутой зо-
не при наклоне силовой плоскости под углом (3;
Wl — то же, упругопластический момент сопротивления;
— коэффициент упругопластичности.
В основу расчета прочности положен метод предельного равно-
весия, принятый существующими нормами проектирования железо-
бетонных конструкций, со следующими его предпосылками:
1)	влияние сопротивления растянутой зоны бетона на работу
элемента не учитывается;
2)	усилия в растянутой зоне полностью воспринимаются арма-
турой;
3)	напряжение в арматуре в расчетном предельном состоянии
достигает величины:
Ra.c — в продольной сжатой арматуре;
Ra — в продольной растянутой арматуре;
Ra.x — в поперечной арматуре;
4)	эпюра напряжений в сжатой зоне бетона — прямоугольная;
напряжение в расчетном предельном состоянии равно 7?пр. Спра-
8
ведливость этих предпосылок для рассматриваемых сложных видов
деформаций проверена экспериментально.
Дополнительные предпосылки, необходимые для отдельных ви-
дов деформаций, изложены в соответствующих главах.
Расчетные формулы построены в зависимости от случаев поло-
жения нейтральной оси в сечении, т. е. от формы сжатой зоны. Клас-
сификация случаев положения нейтральной оси приведена в соот-
ветствующих главах.
Сложные виды деформаций в нормах проектирования железо-
бетонных конструкций рассматриваются лишь в общих чертах,
причем изменения норм не влекли до сих пор принципиальных
изменений в данном вопросе. Поэтому в ссылках на главу СНиП
«Бетонные и железобетонные конструкции. Нормы проектирова-
ния» здесь, как правило, не назван год издания. Те общие прин-
ципиальные положения, которые с введением новых норм будут из-
менены, уже получили отражение в книге.
ГЛАВА 1
КОСОЕ ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ
1.1.	ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ
Здесь рассмотрен расчет железобетонных элементов по прочно-
сти на косое внецентренное сжатие. Имеется в виду, что централь-
ное и плоское внецентренное сжатие, плоский и косой иагиб яв-
ляются частными случаями этого более общего случая деформаций.
Кроме того, все практически встречающиеся виды сечений, работа-
ющих на косое внецентренное сжатие, — прямоугольные, тавровые,
Г-образные и др. — могут рассматриваться как частные случаи дву-
таврового сечения. Поэтому, рассматривая косое внецентренное
сжатие железобетонных элементов двутаврового сечения, мы будем
иметь в виду возможность распространения полученных выводов
и на другие случаи, отличающиеся характером силового воздей-
ствия или формой сечения.
В основу расчета положен метод, принятый в существующих
нормах проектирования железобетонных конструкций, и следу-
ющие дополнительные предпосылки, полученные из экспериментов:
1.	Положение нейтральной оси практически может быть таким,
как показано на рис. 1.1. В случае I (1-а) левый конец нейтральной
оси пересекает верхнюю грань сечения, в случае II (11-а) —.боко-
вую. Правый конец нейтральной оси в случаях I и II пересекает
боковую грань сечения ниже верхней полки, в подслучаях 1-а
и П-а — в пределах этой полки. При пересечении левым концом
нейтральной оси нижней грани левого верхнего свеса сечение можно
рассчитывать либо по случаю II, если этот конец нейтральной оси
в правой половине указанной грани, либо по случаю III, если он
находится в левой половине этой грани. Все другие теоретически
возможные случаи либо практически нереальны, либо могут быть
сведены без заметной погрешности к одному из показанных [ГО].
2.	Разрушение элементов возможно по двум схемам, которые
различаются как случай больших и случай малых эксцентрици-
тетов; граница между этими случаями определяется условием [601:
S6<£So,	(1.1)
где S6 и $о — статические моменты сжатой зоны бетона и всего
сечения элемента относительно оси а — а (рис. 1.2), проходящей
через точку приложения равнодействующей усилий в растянутой
10
арматуре перпендикулярно силовой линии Fa— N; £— отно-
шение призменной и кубиковой прочности бетона (для бетонов
марки ниже 400 можно принять £ = 0’8).
При соблюдении условия (1.1) — налицо случай больших экс-
центрицитетов, при несоблюдении — случай малых эксцентрици-
ч тетов.
3.	При малых эксцентрицитетах эиюра напряжений в сжатой
зоне криволинейна, а изгибающий момент усилий в этой зоне' отно-
сительно оси а — а имеет постоянную величину
S6R6 = CSotfnp. ’	(1.2)
4.	Напряжения в полностью сжатых свесах полки'приняты рав-
ными Rai. При соблюдении условий ha Vah и Ьав b (рис. 1.1
и 1.2), а также при двух- и более срезных хомутах (поперечных
стержнях), охватывающих свес по всему его контуру, принимают
i = 1; при несоблюдении хотя бы одного из этих условий (при марке
бетона 400 и ниже) i — 0,8 [9].
5.	Расположение продольной рабочей арматуры по поперечному
сечению элемента, вообще говоря, может быть различным в зави-
симости от конструктивных и экономических соображений {8].
Для рационального использования арматуры необходимо, чтобы
расстояние I от стержня до нейтральной оси составляло не менее 0,4
расстояния L от этой оси до наиболее удаленного углового стержня
11
соответствующей зоны (рис. 1.2 и 1.3). Растянутую арматуру целе-
сообразно располагать так, чтобы ее центр тяжести лежал на линии
О — N или находился вблизи этой линии (рис. 1.4). В первом при-
ближении и сжатую арматуру можно расположить так же. Есте-
ственно, отдельные стержни обязательно должны быть поставлены
в углах сечения; если эти стержни выходят за пределы зоны рацио-
нального использования арматуры, то в расчет их вводить не сле-
дует. При проектировании еще до полного расчета и определения
Рис. 1.3	Рис. 1.4
необходимого количества арматуры все эти соображения должны
быть учтены; поэтому положение центров тяжести Fa и F'a будут
известны.
6.	Учитывая, что выбор оси, относительно которой следует со-
ставлять уравнение равновесия, не оказывает влияния на резуль-
таты вычислений, за основу принимается ось а — а (см. рис. 1.2),
проходящая через центр тяжести растянутой арматуры перпенди-
кулярно силовой плоскости. Уравнение получается относительно
простым и позволяет не только проверять несущую способность,
но и подбирать площадь сечения арматуры.
1.2.	ДВУТАВРОВОЕ СЕЧЕНИЕ.
СЛУЧАЙ БОЛЬШИХ ЭКСЦЕНТРИЦИТЕТОВ
1. Основные расчетные уравнения
Исходя из принятых предпосылок, основные расчетные уравне-
ния получим, используя общие условия предельного равновесия.
Для случая больших эксцентрицитетов эти условия представляют
собой:
12
а)	сумму проекций всех сил на ось элемента
2Z = 0;	(1.3)
б)	сумму моментов всех сил относительно оси а — а (рис. 1.5)
Ж-а = 0.	(1.4)
Положение нейтральной оси определяется из условий:
а)	сумма моментов всех сил относительно оси п — п, проходя-
щей через точку приложения внешней нагрузки перпендикулярно
силовой линии
 2Mn_n = 0;	(1.5)
б)	момент равнодействующей усилий в сжатой зоне сечения
(в бетоне и арматуре) относительно линии Fa — N
ZMFa-N = Q.	(1.6)
Все эти условия соответственно можно представить в виде:
N = (Fp +Л.) Rnp +F; Ra. C-Fa Ra;	(1.7)
^ = (FpCp + FnCn)Rnp + KCRa.c;	. (1.8)
FpepRap+FnenRnp + F'ae' Ra.c—FaeRa = 0;	(1.9)
(xa-|-Xa) Fa Ra.c + (*a + *п) Fu Rnp~K^a H~*p) Fp 7?np _
(f/a + i/a) Fa Ra. с + (Уа + f/п) Fn Rnp + (j/a + J/p) Fp Rnp
= Xa+£»=tgB.	(1.10)
(Za + ^y
В уравнении (1.10) числитель и знаменатель левой части ра-
венства представляют собой сумму моментов всех сил в сжатой зоне
(или момент равнодействующей этих сил) относительно осей уг
и %1, проходящих через центр тяжести растянутой арматуры Fa
параллельно центральным осям у и х (рис. 1.6). Чтобы точка прило-
жения равнодействующей лежала на линии Fa — N, т. е. чтобы
было соблюдено условие (1.6), нужно отношение этих моментов
приравнять tgp.
В формулах (1.7) — (1.10):
Fu — вводимая в расчет площадь сжатых свесов; Fp — пло-
щадь оставшейся части сжатой зоны бетода; хп, уп — координаты
центров тяжести площади Fn; хр, z/p — то же, площади Fp; x'a, yi
и ха, г/а — то же, сжатой арматуры Fa и растянутой арматуры Fa;
С, Сп и Ср — расстояния от линии а — <2 до центров тяжести пло-<
щадей Fa, Fn и Fp; еу — эксцентрицитеты внешней силы W от-
носительно центральных осей у и х; е, е', еп, ер— расстояния от
линии п — п до центров тяжести площадей Fa, Fa, Fn и Fp.
Введем дополнительные обозначения:
Я ho — рабочие высоты сечения элемента, измеряемые соот-
ветственно от середины правого свеса* полки на верхней сжатой
13
грани, от точки сопряжения ребра и свеса на этой же гр ани и от
середины верхней сжатой грани до оси а — а\	а'с, а'й —,рас-
стояния по линии, параллельной оси х, соответственно от середины
правого свеса полки на. верхней сжатой грани, точки сопряжения
ребра и свеса на этой же грани, середины верхней сжатой грани и от
центра тяжести сжатой арматуры до силовой линии.
Все эти величины показаны на рис. 1.5 и 1.6 Часть из них не за-
висит от положения нейтральной оси и может быть определена по
формулам:
С = (z/a + //0 cos 0 + Ua + *а) sin £;	(1.11)
c = (^ + z/a)cos0 + (ex + xa)sin0;	(1.12)
e' = (ey — z/a) cos 0 + (ex—xa)sin 0;	(1.13)
ft"o = (i/a + °>5ft)cos ₽ + (*a + 0,56n) Sin 0;	(1.14)
ftg = (ya +0,5ft) cos 0 4-(xa+0,5ft) sin 0;	. (1.15)
fto = (г/а -1-0,5ft) cos 0 + %a sin 0;	(1.16)
an = (xa4-O,5ftn)-(z/a + O,5ft)tg0;	(1.17)
a'P = (xa + 0,5ft)—(z/a + 0,5ft) tg 0;	(1.18)
йс = ха—+ 0,5ft) tg 0;	(1.19)
a'a = (xa+x'a) — (z/a + z/a)tg0.	(1.20)
14
Другие из перечисленных величин зависят, от коэффициенте
<рг и Вх (или,£2 и Bi), определяющих положение нейтральной оси.
Формулы, по которым могут быть определены эти величины, даны
в табл. 1.1.
Если теперь уравнения (1.8) — (1.10) разделить на R^bji?,
а уравнение (1.7) — на Rapbji и неизвестные, зависящие от коэффи-
циентов Bi, <ра и В2, выразить через эти коэффициенты в зависимости
от случая положения нейтральной оси согласно табл. 1.1, то эти
уравнения примут безразмерный вид.
Случай I. Нейтральная ось пересекает верхнюю грань полки
(фх О и боковую грань ребра (Bj>y'):
п = О,5<р151-т-®«+ап—“п;	(1-21)
Л = 0,5д>Л KS-
1
-------ф, sin
К(И-П)
-J-<oi (/(5—0,5у' cos p);
(1-22)
AN = 0,5ф & Гке—Kg + 4" (cos P + y7il ч <Pisin ₽ Y| +
L	3 \	a(!+4)	)\
+®i(Ke—Kg+0,5y'cosp);	(1.23)
0,5 Ф1 Bite—7 I „* - Ф1—tg +<O4 (KA + 0,5t' tgp) + .
□ \ Л (1 -Ь'Ц)	/ J
+ Ka On = 0.
(1-24)
Случай I-a. Нейтральная ось пересекает верхнюю грань полки
(Фх 1) и нижнюю или боковую грань верхнего правого свеса
Qi < ?'):
п = 0,5ф1514-т1В1 + ап—ап;	(1.25)
z4=0^x^te-----;г1 Bicosp+ - 1 - ф^п р
L	\	д(1+т|)
+ ^(№—0,5^ cos Р);
(1-26)
AN = 0,5фхВх |кс—Kg + -7- ( £1cos ₽ + у-,,1, . Фх sin p Yl +
L	о \	’	л(Н-'П)	/.
+ п(Кг—Kg 4-0,5Bi cos P);	(1-27)
о,5фх Bi te—i- (—Ф1+Bi tg p )1+пвик;+o,5Bx x
О \Л (1 -|-тр	/
X tgp)4-Ka«n = 0.	(1.28)
15
Таблица 1.1
Значения геометрических величин, выраженные через £i, <?х, ?2, в зависимости от случая положения нейтральной оси
Расчетная величина	/ Случай положения нейтральной оси				
	I	I -а	II	II-a	III
fn	(6П — b) hn i	(bn- b)hh	(6П &) *	(An-A)Ah	2 (6n 6) hn i
fp	0,56п	Лф1 Ь	0,56nft(h+h)		(hbbhfa + U)
хп	0,56п				0,00
Уп	0,5(ft—й„)	0,5А(1-Ь)	0,5 (А—Лп)	0,5ft (1-^)	0,5 (ft—ftn)
хР	0,56—	1 у &п<Р1	п	1 h + 2h 0,56— „ оп 3 п £г + £г		1 Bi + 2L, 0,56—6 6	- з h+h
	0,5ft-	-у Ah О	05/г		
Ур			и, Jfi —•	il — 3	К1 + ъ2		
Сп	/гq — 0,5/гп cos 0	Лд — 0,5/igi cos Р	/гq — 0,5/гп cos P	ftg-0,51! cosp	—0,56n cos P
Продолжение табл. 1.1
Расчетная
величина
Случай положения нейтральной оси
р 1 Л	+
0	3 I ^+g2
А0 ~~ 4" (й?1 cos 0 +£>п <Р1 sin 0)
и
COS Р +
з х
л^+^+EL,
ХГ ь+ь х
п . ,£1 + 2£2 . п
Xcos Р4-6——— sin Р
51 Н"Ь2
/	е —+0,5/гп cos р	е — Zzq + 0,5 /z^! cos Р	е— +0>5Лп cos Р	е—+	cos р	е~^о+О,5Лп cos Р
ер	е —	cos Р + ^пФ1 sin Р) О ♦		.-Ч + ±(* й + е^+» X °	3 к	§х+Ь X/	ft 1 А	+	• о \ XCOS 0 + &П е , t sin 0 1 51-Г52	/		е“/!о + у X x/Aii±kii±yx х[ ь+ь х XCOS 0+6	sin 0 £1*Г S2
Примечание, i — коэффициент, учитывающий в случае необходимости неполное использование свесов полки.
Случай II. Нейтральная ось пересекаёт боковую грань верхнего
левого свеса (<pj > 1 или 0 < |2	у') и боковую грань ребра
& > У'У	.	;;
п = 0,5(^ + У+<ot+«n—ап;	(1.29)
А - 0,5 &+|2) kg-L [ E»t4*+ELCos р +
+ 7^^^sinp)]+coz(^-0,5y'cosp);	(1-30)
Л* = 0,5 & + |2) [ К-К* + 4 (	+  cos р +
з \	В1+б2
х sin ₽)] +й/ (^~^ + °>5т' cos Р); (1.31)
о,5 (& + I2) Г^Р--- (---*--•	-----
\ыть2^ 3 \К(1+п)	ь + ь	gi+ga
tgp +
+-<oz (К' +0,5у' tg р) +Кк ап = о.	(1.32)
Случай П-а. Нейтральная ось пересекает боковую грань верх-
него левого свеса (<рх > 1 или 0 < Н2 у') и нижнюю или боковую
грань верхнего правого свеса у'):
П = 0,5 (^ + у + Л £1 + Ип—ап,
(1.33)
COS р +
1
яа+л)
х	sin р
61 + 62
+п£1 (№—0,5^008 Р);
(1-34)
л«=о,5(ь+ук к? 4~( COSP+
L	d \	S1+S2
	1 Е1 + 2|а
К(1+П) ’ £х + Ь
о,5 &+ы к;--
sin pjj + Till (^е—A’" + 0,5|1cosp);	(1.35)
- 1	. gl + 2g2	11+11 ga+l2 y
K(l+H) 61 + 62	61+62
Xtgp +T)6i(Xn + O,5|1tgp)+X^ = O.	(1.36)
. Случай III. Нейтральная ось пересекает боковые грани ребра
(6а > ?' И 11 > у'):
п = 0,5 (1 - п) (|х +12) + 2(0/ + ап - ап;	(1.37)
18
A = 0,5(1 -n)& + g2)[^g—7( +gcos₽ +
L	O \	61 + 52
1—n
K(l+4)
£i + 2£2
51+ £2
sin p + 2toi (Kp—0,5/cos p);
(1.38)
Ллг = 0,5(1~т])(^1 + 52) Ке-К* +
1 / £?+£i£z+£|
3 \	£1+52
X COS P
1—Л
K(1 +n)
11+^1? sin p \1+2(0/(Ke—
5i+£2 /J
—Ke 4.0,57'cos P);
(1.39)

£1+252
51 +5г
5i +£15г+5г . R
-----------ig p
51+52
4- 2®/ (Ke + 0,5/ tg p) + K' a„ = 0. (1.40)
В уравнениях приняты следующие обозначения (см. рис. 1.6):
Ка = — ', Ке= — ; п = —--------;au=-^-;
й	й	/?пр +	Rnp h
а' = F'aRi °  А = A'e~~faf?a cC = ”е~кпС 
^ПР + Л	^Пр + №	h
FaRae—F'aRa.ce'	ane—a'e'	d
RnPbnh*	h	d h
t__ Ne Fa.Ra..c,C _we ^11 C . f______dr
#np h2	h	d h
(1-41)
Таким образом, уравнения охватывают все случаи положения
нейтральной оси.
В практике проектирования возникает два типа задач:
1. Известны нагрузка, размеры сечения и прочностные характе-
ристики материалов. Требуется подобрать необходимую площадь
сечения арматуры. Здесь неизвестными будут фх и (или и |2),
а также Ffa (или в безразмерном выражении с учетом обозначений
(1.41) — и Fa (или ап).
2. Известны размеры сечения, площадь арматуры и прочност-
ные характеристики материалов. Требуется проверить несущую
способность элемента. Здесь неизвестными будут фх и (или £2
и |х), а также N (в безразмерном выражении п).
19
При помощи приведенных уравнений можно решить оба типа
задач.
Как уже говорилось, при соблюдении условия (1.1) — случай
больших эксцентрицитетов. Перед началом расчета, когда условие
(1.1) проверить еще нельзя, рекомендуется производить проверку
по соотношению эксцентрицитетов приложения нагрузки и высоты
сечения элемента: в случае больших эксцентрицитетов, как уста-
новлено экспериментально,
—>0,365/г>,	(1.42)
cos р	1
где h± — высота сечения элемента по направлению силовой линии.
2. Подбор сечения арматуры
В уравнении (1.8) выражение в скобках представляет собой ста-
тический момент сжатой зоны бетона 5б относительно оси а — а.
Если теперь принять во внимание, что сжатая арматура нужна
лишь при полном использовании сжатой зоны бетона, т. е. при
граничном условии
(1.43)
то уравнение (1.8) примет вид
Ne - £Soflnp + Оа.сС	(1.44)
или в безразмерном выражении, т. е. после деления на Rnpbnh2
А -	[(1 - п) + 4со]	(1.45)
(К.-см. (1.41)).
В этих уравнениях все величины, за исключением F'a (ап), из-
вестны; поэтому из них легко можно получить рациональную пло-
щадь сжатой арматуры. В случае, если F'a окажется очень мало,
равно нулю или даже отрицательно, следует Fa назначить конструк-
тивно, согласно указаниям СНиП.
Для определения площади растянутой арматуры используются
безразмерные выражения уравнений (1.7), (1.8) и (1.10), которые
получены для каждого случая положения нейтральной оси. При
случае I, например, по уравнениям (1.22) и (1.24) находят коэффи-
циенты, определяющие положение этой оси, затем из уравнения
(1.21) получают ап, а по ней, исходя из обозначений (1.41), —
необходимую площадь Fa. Ход расчета при всех других случаях
положения нейтральной оси — аналогичный.
Как видим, площадь сжатой арматуры определяется незави-
симо от случая положения нейтральной оси. Что касается растя-
нутой арматуры, то для определения ее площади необходимо знать,
формулами какого случая положения этой оси следует пользоваться.
Для предварительного расчета необходимо помнить, что при сжатой
арматуре, принятой в соответствии с уравнением (1.44) или (1.45),
20
при 6 < 15°, как правило, будет случай III. Остальные случаи воз-
можны только при завышенной площади сжатой арматуры или при
больших углах 0. Более точное определение случая положения
нейтральной оси будет рассмотрено ниже.
3. Проверка прочности
При проверке прочности применяют безразмерные выражения
уравнений (1.7), (1.9) и (1.10). Например, для случая I по выраже-
ниям (1.23) и (1.24) вычисляют коэффициенты, определяющие поло-
жение нейтральной оси, затем по уравнению (1.21) находят величи-
ну и, а по ней, исходя из обозначений (1.41), — искомую несущую
способность. Для всех других случаев ход расчета аналогичный.
При такой постановке задачи площадь сжатой арматуры (равно
как и растянутой) является величиной известной и, как правило,
не соответствующей условию (1.43). В этих обстоятельствах
возможны все указанные случаи положения нейтральной оси. Чтобы
выработать рекомендации по предварительному установлению этого
случая, обратимся к безразмерным выражениям уравнений (1.9)
и (1.10), по которым при проверке прочности находят коэффициен-
ты, определяющие положение нейтральной оси.
Как видно из этих выражений, решающее влияние на положение
нейтральной оси при данном сечении оказывают эксцентрицитеты
приложения нагрузки, угол наклона силовой линии, количество
сжатой арматуры и ее размещение.
Границы между различными формами сечений сжатой зоны или,
что то же, между случаями положения нейтральной оси выражаются
неравенствами, указанными в п. 1 при характеристике каждого
из них.
Используя указанные уравнения в их безразмерном выражении
и подставляя в них значения' коэффициентов, соответствующих
'границам между случаями положения нейтральной оси, после не-
сложных алгебраических преобразований получим условия, в ко-
торые входят только известные величины и по которым легко можно
установить случай положения нейтральной оси. Эти условия даны,
в табл. 1.2.
Например, если
<хпе — а'е>у'(0,5еГс + пвГс) и у' (0,5ар —
—
налицо случай I.
Все геометрические величины, принятые в табл. 1.2, даны на
рис. 1.6, а их значения определяют по формулам:
«П = (*а + °-5&п) — [f/a + 0-5 (h—ha)] tg р;	(1.46)
«Р = V	tg Р)—ха—0,56 + (г/а + 0,5й) tg р; (1.46')
3	ч
21
0,5(6n—Mg.P)~ хл~ 0,5fe+(i/a +0,5/i) tgp;	(1.47)
е«акс = e—(xa + 0,5dn) sin p—[^a 4-0,5 (h—hn)] cos 0; (1.48)
вракс = е—(xa4-0,5/>—з"^п) s’nP— ^a + 0,5/i—
—^Jcosp.	(1.49)
o I
Таким образом, приступая к определению точного положения
нейтральной оси и прочности элемента (или площади растянутой
арматуры), мы в самом начале расчета, пользуясь табл. 1.2, можем
установить, формулами какого случая следует пользоваться.
Таблица 1.2
Условия для установления случая положения нейтральной оси
Условия, при которых существует данный случай
П-а
III
у' (0,5е“акс +
+ ле"акС)
I
1.3. ДВУТАВРОВОЕ СЕЧЕНИЕ.
СЛУЧАИ МАЛЫХ ЭКСЦЕНТРИЦИТЕТОВ
При несоблюдении условия (1.1) расчет следует вести по случаю
малых эксцентрицитетов.
Учитывая, что колонны с малыми эксцентрицитетами разру-
шаются начиная со стороны сжатой зоны, основная цель при их
расчете заключается прежде всего в определении необходимой пло-
щади сжатой арматуры, точнее — арматуры более сжатой зоны. Для
этого нужно воспользоваться уравнением равновесия, представ-
ляющим собой сумму моментов всех сил относительно оси а — а
(см. рис. 1.5), которое приводится к виду
Ne = Мб + КС/?а.с.	(1.50) .
22
Первое слагаемое правой части представляет собой изгибающий
момент, воспринимаемый сжатой зоной бетона. Его величина, со-
гласно предпосылке 3§ 1.1, равна ^S07?np. Тогда с учетом равенства
(1.2) уравнение (1.50) примет вид
Ne = tSoflnp + F'zCR^,
совпадающий с формулой (1.44).
В безразмерном выражении с учетом обозначений (1.41)
А =	[(1 - П) + 4(о],
что совпадает с формулой (1.45).
Здесь все величины известны из п. 1.2.
Из уравнения (1.44) или (1.45) определяют необходимое коли-
чество сжатой арматуры. Прочность элемента также проверяют по
этим уравнениям.
Как видйм, Fa в случае малых эксцентрицитетов определяется
так же, как и в случае больших. Иначе говоря, сжатую арматуру
можно определять независимо от случая эксцентрицитетов и неза-
висимо от положения нейтральной оси; все данные для этого есть
в самом начале расчета.
. При малых эксцентрицитетах, когда все сечение сжато, при
наличии сильной арматуры Fa и слабой Fa разрушение может
начаться не на стороне, ближайшей к силе N, а со стороны менее
сжатой и более слабой арматуры Fa. Это возможно при перерас-
пределении усилий вследствие ползучести .бетона. Чтобы этого
не произошло, сечение арматуры Fa должно быть более некоторого
предела.
Для его определения составляют уравнение моментов всех сил
относительно оси а' — а' (см. рис. 1.5), проходящих через центр
тяжести более сжатой арматуры Fa перпендикулярно силовой ли-
нии, принимая и в данном случае
5бЯб = С5оЯпр,
где — статический момент всей площади сечения элемента от-
носительно оси а' — а'.
Тогда расчетное уравнение будет иметь вид
Ne' = £8^вр + ВДа.с	(1.51)
или, с учетом обозначений (1.41),
А' = Ш [(1 -П) + 4®1,	(1.52)
где А' и K'd — см. (1.41).
Отметим, что полученные основные расчетные уравнения для
случаев больших и малых эксцентрицитетов обладают свойством
сходимости, т. е. несущая способность элемента на границе между
этими случаями, найденная по уравнениям первого и второго слу-
чаев, будет одинаковой. Это легко заметить, если обратиться к урав-
нению (1.8), по которому определяется прочность кососжимаемых
23
элементов при больших эксцентрицитетах, и уравнению (1.44),
по которому она определяется при малых эксцентрицитетах. На гра-
нице между этими случаями, как уже говорилось, будет соблюдено
условие (1.43) и так как первое слагаемое правой части уравнения
(1.8) представляет собой левую часть условия (1.43), то это урав-
нение превращается в уравнение (1.44), т. е. на границе оба эти урав-
нения одинаковы.
1.4. ДРУГИЕ ФОРМЫ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ
Уравнения, полученные для расчета элементов двутаврового
сечения, пригодны и для других сечений.
1. Тавровое сечение
При расчете двутавровых сечений растянутые свесы не учитыва-
лись. Поэтому полученные для них уравнения без всяких изменений
пригодны и для расчета тавровых сечений с полкой в сжатой зоне.
Исключение составляет уравнение (1.52), служащее для провер-
ки арматуры Fa в случае малых эксцентрицитетов. Оно будет иметь
такой вид, как при прямоугольных сечениях.
Элементы тавровых сечений с полкой в растянутой зоне рассчи-
тывают по формулам прямоугольного сечения.
2. Прямоугольное сечение
В элементах прямоугольного сечения Ьсв = Ьп —.Ь = 0.
Отсюда Ьп = Ь\ ц = 0; h/b = К; Fn = 0.
Практически возможные случаи положения нейтральной оси
в этих сечениях показаны на рис. 1.7. Как видно из этого рисунка
и рис. 1.1, случаи I и Гав двутавровых элементах здесь объедини-
лись в случай I, а случаи II, II-а и III — в случай II. Случай III
в прямоугольных элементах имеет самостоятельное (только для этих
сечений) применение.
Геометрические величины для прямоугольного сечения, как
и для двутаврового, делятся на две группы. Одни из них — С, е,
е', h?, а'р и аа (рис. 1.8) не зависят от случая положения нейтральной
оси и могут быть получены из выражений (1.11) — (1-13), (1.15),
(1.18) и (1.20). Другие определяются по формулам табл. 1.3.
Учитывая изложенные поправки, в уравнениях (1.7) — (1-Ю)
необходимо исключить слагаемые, содержащие площадь свесов
(fn = 0), а в их безразмерных выражениях принять ц = 0 и со = 0.
Тогда уравнение (1.45), по которому определяется площадь Fa,
примет вид .
А =	‘	(1.53)
Безразмерные выражения уравнений (1.7) — (1.10) в зависимости
от положения нейтральной оси можно представить в таком виде:
24
Случай I
п = 0,5ф1 J-x + an—ап;
(1-54)
Случай II
п = 0,5	+ В2) + а„—«п;
(1.58)
4=о,5(Ш)
7<P__Lp_i±kI-HlcoS₽ +
0 з ( li-Нг
,	1 h + %,2
К Ь + Ь
sin р
(1.59)
Л" = 0№ + У
\e~/<g+^p!+?y-^COSP +
4	3 \	51 + 52
1 £1 + 2^2
К £1 + ^2
sin р

Si +B1B2+B2
В1+?2
(Г.60)
tgP)] +
+ Ка «п = 0.
(1.61)
25
СП
Таблица 1.3
Значения геометрических величин, выраженные через	£2 в зависимости от случая положения нейтральной оси
Геометри- ческая величина	Случай положения нейтральной оси		
	I	11	'	'	III
Рр	0,5ф^ gx bh	0,5 (g, + g2) bh	0,5 (1 4- Фг4- 52 — Ф2 £2) bh
Хр	0,56—76Ф1	1 ?i + 2E2 0,56——б-У-2_м • 3	|1+g2	n ka 1 <- 1+252 + фг + ф2 —Ф2В2 —Ф2Ф2 3	1 4~фг 4~^2“~ф2 ?2
Ур	0,56-4^ О	0>5Л_АЛ11±кк±11 з	Ei + b	л ка * а * 4~2ф2 4- £2 4-£2 — Фг Sa—Фг Si 0,5/г — h 3	14“ф2 4“^2—Фг ?2
ср	X 7 (/г?! cos Р + 6ф! sin Р)	„s-ii/X+bb+Hx ° 3 \	Ei + 52 Xcos Р + 6	sin р') 51+?2	'	АР 1 /а 1 ^Фг	^2 4" ^2 — Фг ^2—Фг ^2	Q b	cos р 4- 3 \	14“ф2 4“?2 — Ф2 S2 1 А 1 -Ь^В2 4-ф2 4-ф!	Ф2 S2	Фг S2 . о \ + Ь	ч	sin В 1 4~ Фг 4-£г — Фг 5г
ер	е—Ао + +-7(^1 cos Р + 6<рг sin Р) О	Л «±ЬЬ±их °	3	g1+g2 Xcos Р+6	sinp'j 514-52	/	АР 1 /а 1 2(Р2 ^2 4- Si — Ф2 S2 — Фг Si "-Ч+з ('	Г+Ф^ь-Ф,!. х с« ₽+»i+3i+s+ieL=Siii=ili.sinfl') 14-фг4“52 — фг S2	'
Случай 111
(1-62)
^4 = 0,5 (1 + ф2 +
и = 0,5(1 -Нф2 + ?2—<р2у + «п — ап;
/ 1 4-2ф2 + Ь4-|2—ф2?2 —Фг?2	о ]
\ I	vUu U ~г"
\	1+ф2 + ?2 — ф2^2
I I ~Ь 2^2 ~Ь ф2 ~Ь ф2 — ф2 %2~ф2 ^2	о\
К	1+фг + ^г—Ф2^2	/
(1.63)
(1-64)
+ К'аа^ = 0.	(1.65)
Xw = 0,5(1 +q>2 + £2—<Р2У KQ —
/ 1+2<р2 + Ь + ?2—ф2^2 —ф2?2	о . 1
А I ----------------------CU о р ~т~ А
\	1+Ф2 + В2 — ф2^2	К
у * 1 +2|2-Ьф2 + ф2—ф2 Ф2 %2 sjп [Л .
1+Ф2+52 — ф2 ^2	/_
0,5 (1 + ф, + S2- ф,И fe —L (-L. 1+к7^+Л‘ ~»-Г~~"
з К	1+ф2 + ?2—ФгЬ
1 +2ф2 +^2 +Q — ф2 ^2 —ф2 0 |g р
1 +ф2 + ?2 — ф2 ^2
Следует отметить, что случай III положения нейтральной оси
при больших эксцентрицитетах встречается очень редко, так как
в этом случае, как правило, S6 > 0,8 So,
При малых эксцентрицитетах уравнение (1.45) для определения
площади Fa при со = 0 и ц = 0 примет вид
А =
(1.53')
а уравнение (1.52) для проверки площади сечения арматуры Fa
будет:
Д' - Ш.	(1.66)
Естественно, что уравнения (1.44) и (1.51) и для прямоугольных
элементов сохраняют свой вид. Их также можно использовать
для определения арматуры Fa и Fa.
Таким образом, при расчете кососжимаемых железобетонных
элементов прямоугольного сечения необходимая площадь арма-
туры Fa (в безразмерном выражении а„) определяется независимо
от положения нейтральной оси и величины эксцентрицитета по фор-
муле (1.44) или (1.53) с учетом обозначений (1.41). Площадь арма-
туры Fa (ап) при малых эксцентрицитетах определяется по фор-
муле (1.51) или (1.66) с учетом тех же обозначений.
При больших эксцентрицитетах площадь арматуры Fa вычис-
ляется в зависимости от случая положения нейтральной оси.
27
Практически кососжимаеМые элементы чаще всёГо работают по
случаю II. Тогда из уравнений (1.59) и (1.61) находят коэффициенты
и а из уравнения (1.58) — величину ап. Используя затем обо-
значения (1.41), по величине ап определяют Fa.
При малых эксцентрицитетах несущую способность прове-
ряют по формуле (1.44) или (1.53) и (1.41).
При‘больших эксцентрицитетах
и при положении нейтральной оси
по случаю II из уравнений (1.60)
и (1.61) вычисляют коэффициенты
и а по формуле (1.58) — ве-
личину п. Затем из обозначений
(1.41) находят несущую способ-
ность N.
Случай III, как правило, бу-
дет при малых эксцентрицитетах,
а случай I — при очень большом
(завышенном против расчетного)
количестве сжатой арматуры. Од-
нако если эти случаи и встретятся
при больших эксцентрицитетах, то
определение площади арматуры
Fa и проверку несущей способ-
ности производят аналогично слу-
чаю II.
Случаи положения нейтральной
оси при прямоугольном сечении
предварительно устанавливают по табл. 1.4, которая получена
аналогично табл. 1.2 или непосредственно из этой таблицы после
подстановки в нее т|' = 0 и сокращения числа случаев. Входящие
в табл. 1.4 величины даны на рис. 1.9 и определяются по формулам:
£р. макс	f % а. "4" А sin [3 f Z/a h\ COS [3*, (1.67)
\ b /	\	6 J
ap = ba + 7ftjtg|,)-|4 + 4fcl- (L68)
\	6	/	\	6	/
Таблица 1.4
Условия для установления случая положения нейтральной оси
Случай поло- жения	Условия, при которых отсутствует данный случай		
нейтральной оси	1	2	
I	аие — а^е' < 0,5бракс	°аап	<0,5а£
II	апе—-а^е <0,5еракс	«аап2	>0,5йр
III	ап е — е 0,5бракс	< “и	>0,5^
28
1.5. НАЦИОНАЛЬНЫЕ СХЕМЫ АРМИРОВАНИЯ
Метод расчета прочности кососжимаемых железобетонных эле-
ментов, изложенный выше, применим не только для любых прак-
тически встречающихся сечений, но и для любых схем армирова-
ния. Для расчета по этому методу необходимо лишь знать принятую
схему и положение центров тяжести Fa и F&.
В практике проектирования встречаются симметричное армиро-
вание с равномерным расположением стержней по периметру се-
чения и несимметричное с различным удалением арматурных стерж-
ней от нейтральной оси и силовой линии. Первый вид армирования,
на который распространяются рекомендации СНиП, является не-
рациональным вследствие недоиспользования отдельных арматур-
ных стержней и сжатой зоны бетона. При соответствующем разме-
щении стержней арматура может быть использована лучше, а не-
сущая способность элемента — выше.
В п. 5 основных предпосылок были указаны некоторые принципы
рационального размещения арматуры по сечению кососжимаемых
элементов, полученные из экспериментов. Ниже приведены неко-
торые теоретические исследования по этому вопросу и даны более
систематизированные выводы о рациональности различных видов
армирования.
1. Влияние положения нейтральной оси
на прочность элемента
Экспериментами установлено, что размещение арматуры в сжа-
той зоне существенно влияет на положение нейтральной оси, которое
в свою очередь сильно сказывается на прочности элемента. В данном
случае имеется в виду не величина сжатой зоны бетона, а угол на-
клона нейтральной оси к оси х. Влияние этого угла у на прочность
можно доказать и теоретически.
Очевидно, что прочность зависит от плеча внутренней пары,
которое, например, в прямоугольном сечении при положении ней-
тральной оси по случаю I (см. рис. 1.7), согласно табл. 1.3, будет
равно:
Ср = hP---l-(h gj cos p + b <px sin p).
О
Величина плеча будет тем больше, чем меньше функция, сто-
ящая в скобках. Найдя минимум этой функции и пользуясь условием
постоянства площади сжатой зоны бетона	= щЫг =
= const, получим экстремальные значения коэффициентов, опре-
деляющих положение нейтральной оси:
/©J Л Ctg ₽ . ? Г (016 tgp
ь ’
29
Разделив срх на получим
?'== мТй ’ или H =	=	(L69)
li btgp фхь
Анализ уравнения (1.69) показывает, что рациональным углом у,
обеспечивающим при всех прочих равных условиях максимальную
несущую способность элемента, является такой, при котором ней-
тральная ось перпендикулярна силовой линии. К такому же вы*
воду можно прийти и при рассмотрении других случаев положения
нейтральной оси. Следовательно, арматурные стержни в сжатой
зоне должны располагаться исходя из этого вывода.
2. Схемы армирования кососжимаемых элементов
Наиболее рациональным размещением растянутой арматуры,
как установлено экспериментами, является такое, при котором ее
центр тяжести будет лежать на линии О — N (см. рис. 1.4), а отдель-
ные стержни — на максимально возможном удалении от нейтральной
оси (/	0,4 L). При этом участок размещения этой .арматуры
(рис. 1.10) будет (0,5 b — а + х) + (0,5/г — а — у). Величины х
и у в зависимости от угла наклона силовой плоскости р могут ме-
няться соответственно от (0,5 b — а) и—(0,5 h — а) при р = 0° (вне-
центренное сжатие в плоскости у) до —(0,5 b — а) и (0,5 h — а) при
Р = 90° (внецентренное сжатие в плоскости х).
При промежуточных значениях р, т. е. при косом внецентренном
сжатии, х и у могут быть получены из формул:
(6-2а)2 Х2 + ^h—2a) (b-2a)* х-0,5 (b-2a)3 (/г -]-0,56 — За) = ,
(А—2а)2х2—(А—2а)(6—2а)2х—0,5 (6—2а)2 (6 + 0,5/z+ 3а) (/z—2а)	gP’ '
h—2a
. у = ------X
b — 2a
(1-71)
30
или по табл. 1.3. В расчете значения хи у не фигурируют. Там ис-
пользуются лишь координаты центра тяжести ха и уа, которые при
известных размерах участков размещения арматуры определяются
обычными приемами, т. е. по формулам
__(0,56— а—у) (0,56 —а)+ (0,56—а—х) [х +0,5 (0,56 — а—х)] е /т 7п\
0,5(/i+6)—2а + х—у	'	'
__ (0,56—а+х) (0,56—а)+(0,56—а—#)] у+0,5 (0,56— а—t/)] zj 73ч
0,5(6+6)— 2а + х—у	» \ • /
или по табл. 1.5.
Требование о максимально возможном удалении отдельных ар-
матурных стержней сжатой зоны от нейтральной оси остается таким
же, как и по отношению к стержням растянутой зоны: /'^0,4 L'.
Рис. 1.11
При размещении центра тяжести сжатой арматуры следует исхо-
дить из требования перпендикулярности нейтральной оси к силовой
линии. Этим и определяется интенсивность распределения сжатой
арматуры по участкам ее размещения, которые и для этой арматуры
будут изменяться от (Ь — 2d) при р = 0° до (6 — 2d) при £ =
= 90°. Возникает, таким образом, необходимость определения ра-
ционального угла ф' между осью у и линией Fa — 0 (рис. 1.11),
соединяющей центр тяжести арматуры Fa с центром сечения.
Предполагая, что с изменением угла р и размеров участков раз-
мещения сжатой арматуры ее центр тяжести будет перемещаться
/по дуге эллипса, можно получить уравнения, связывающие коор-
динаты этого центра с углом ф':
у' = 0.4&/11 Z-----—-----; х'а = 0,46/г 1 /"---1----. (1.74)
|/ &2 + A2tg2i|>'	у 62ctg25p'+ft2	4
Заметим, что в кососжимаемых элементах точка приложения
равнодействующей усилий в сжатой зоне должна лежать на сило-
вой линии. Математически это условие записано в форме зависи-
31
Таблица 1.5
Значения коэффициентов для определения геометрических величин, характеризующих размещение арматуры
(х = Ki Ь\ у = К2 д; ха = К3 b; yA = Ktb; d== К5 Ь)
h b	Величина	tgp										
		0	0,1	0,2	0,3	о ,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
	Ki	0,4	0,36	0,32	0,27	0,23	0,19	0,14	0,1	0,07	0,03	0
	к2	—0,4	—0,36	—0,32	—0,27	—0,23	—0,19	—0,14	—0,1	—0,07	—0,03	—0
1	Кз	0	—0,04	—0,08	—0,12	—0,15	—0,18	—0,21	—0,24	—0,27	—0,28	—0,3
		—0,4	—0,4	—0,40	—0,39	—0,38	—0,37	—0,36	—0,35	—0,33	—0,32	—0,3
	к*	0,4	0,4	0,40	0,4	0,4	0,41	0,41	0,42	0,42	0,42	0,42
	К1	0,4-	0,35	0,29	0,23	0,17	0,11	0,06	0,07	—0,03	—0,07	—о,1
	Ка	—0,65	—0,57	—0,47	—0,37	—0,27	—0,18	—0,1	—0,02	0,05	0,11	0,15
1,5	Кз	0	—0,06	—0,13	—0,18	—0,23	—0,27	—053	—0,32	—0,34	—0,35	—0,35
		—0,65	—0,64	—0,63	—0,61	—0,58	—0,54	—0,5	—0,46	—0,42	—0,38	—0,36
	к5	0,65	0,64	0,64	0,63	0,62	0,6	0.58	0.56	0,54	0,53	0,5
	К1	0,4	0,34	0,27	0,19	0,11	0,05	—0,01	—0,06	—0,1	—0,13	—0,15
	Ка	—0,9	—0,76	—0,61	—0,43	—0,25	—0,11	0,02	0,13	0,22	0,29	0,34
2	Кз	0	—0,07	—0,15	—0,21	—0,28	—0,31	—0,33	—0,34	—0,36	—0,36	—0,37
	К<	—0,9	—0,89	—0,84	-т-0,78	—0,72	—0,65	—0,57	—0,51	—0,46	—0,41	—0,38
	Кб	0,9	0,89	0,85	0,81	0,77	0,72	0,65	0,62	0,58	0,55	0,53
мости (1.10), которая для прямоугольного сечения при Fn = 0
примет вид:
(*а + *а) F'/?а.с + (Ха + *б) Fp /?Пр __ |g р	75)
G/a 4“ #а) Fa /?а.с + (#а #б) Fp/?пр
Если теперь в уравнение равновесия (1.7) применительно к пря-
моугольному сечению (Fn = 0) подставить найденные из совмест-
ного решения уравнений (1.69) и (1.75) коэффициенты и опре-
деляющие рациональное положение нейтральной оси, а значения
Ха и z/a выразить по уравнениям (1.74), то после решения уравне-
ния (1.7) относительно tgip' получим искомое уравнение для опре-
деления рационального угла ф':
(1.76)
(0,4fa/?a.c)2+(^nn)2B2\ (MFaKa.c /
Здесь В — величина, зависящая от случая положения нейтраль-
ной оси (см. рис. 1.7):
случай I
В = п 0,5(/ftgp-l)
(1-77)
случай II
В= 0,5/Сп (1 — п)
1-(1 +0,5 tg2P)l tgp;
J
(1-78)
случай III
В=(1-п)
0,5 (Л tg ₽-1) + -L 1/О$
(1-79)
Из уравнений (1.74) и (1.77) — (1.79) можно найти рациональное
положение центра тяжести сжатой арматуры. Анализируя эти урав-
нения и имея в виду уравнения (1.69) и (1.75), можно прийти к вы-
воду, что рациональным размещением сжатой арматуры является
такое, при котором приведенные статические моменты левой и пра-
вой частей сжатой зоны сечения относительно силовой линии будут
равны между собой, а эта линия будет главной осью приведенного
сечения элемента. Иначе говоря, сжатая арматура должна уравно-
весить относительно силовой линии неуравновешенные участки
сжатой зоны бетона, обеспечивая перпендикулярность между сило-
вой и нейтральной линиями.
Естественно, что для такого уравновешивания форма неуравно-
вешенных участков бетона, а следовательно, и форма сечения вооб-
ще, не имеет значения. Поэтому вывод, полученный для прямо-
угольного сечения, относится к любой форме сечения элемента
(рис. 1.12).
2 Зак. 731
33
Заметим, что перемещение центров тяжести как растянутой,
так и сжатой арматуры параллельно силовой линии не меняет изло-
женных выводов, поэтому при расстановке стержней их необходимо
располагать возможно дальше от нейтральной оси (/i>0,4L) и в удоб-
ных по конструктивным соображениям местах. Последнее делает
предложенную .рациональную систему армирования достаточно
приемлемой и с практической точки зрения.
Эксперименты и расчеты показали, что при таком армировании
достигается экономия арматурной стали ~ 30% по сравнению
с симметричным армированием, равномерно распределенным по кон-
туру сечения.
Рис. 1.12
Выводы, полученные для косого внецентренного сжатия, в рав-
ной мере относятся и к косому изгибу.
При рассмотренном выше наиболее рациональном армировании
сжатой зоны положение центра тяжести арматуры в зависимости от
величины сжатой зоны бетона и угла наклона силовой линии воз-
можно как слева, так и справа от нее; в частном случае он может
лежать на этой линии (см. рис. 1.12). Исходя из этого, при практи-
ческих расчетах можно принимать положение центра тяжести сжа-
той и растянутой арматуры на силовой линии; тогда их координаты
по абсолютной величине будут равны между собой: ха = х'а и уа =
= уа. Такое предположение значительно упрощает расчет. Если
в результате расчета нейтральная ось будет значительно отклонять-
ся от перпендикуляра к силовой линии, можно полученную площадь
арматуры разместить более рационально согласно уравнениям
(1.74) — (1.79) и скорректировать расчет.
В практике проектирования встречаются элементы, работающие
на знакопеременный момент (рис. 1.13, я, б). В этом случае как
сжатую, так и растянутую арматуру необходимо располагать
симметрично по отношению к оси у. Как видно из рис. 1.13, в, зона
34
размещения арматуры занимает верхнюю и нижнюю грани сечения
полностью, а боковые — только частично. Величина этих участков
зависит от угла наклона силовой линии и может быть определена
по формулам (1.70) — (1.71) или по табл. 1.5. В средней зоне сече-
ния размером у + у' арматура по расчету не нужна.
Очевидно, что при таком армировании координаты центра тя-
жести Fa и ха =	= 0, a z/a = у'а могут быть легко найдены.
Таким образом, предлагаемое симметричное относительно оси у
армирование сечений со знакопеременным моментом значительно
экономичней попарно симметричного армирования с арматурой, рас-
положенной вдоль всех граней.
Рис. 1.13
Как видно из рис. 1.13, в и при предлагаемом армировании-
нейтральная ось все же может пройти недалеко от арматуры. В ре-
зультате некоторые стержни окажутся недогруженными и точка
приложения равнодействующей усилий в арматуре не совпадет
с центром ее тяжести, а будет близка к силовой линии или даже по-
падет на нее. Кроме того, не вся площадь арматуры будет исполь-
зована- полностью. Естественно, что при практически встреча-
ющихся небольших углах 0 смещение точки приложения равнодей-
ствующей усилий относительно центра тяжести арматуры, симмет-
ричной относительно оси у, а следовательно, увеличение плеча внут-
ренней пары и уменьшение площади используемой арматуры будут
небольшими. Причем уменьшение площади будет компенсировано
увеличением плеча, и момент внутренней пары практически оста-
нется неизменным. Поэтому в расчете можно использовать либо всю
площадь арматуры, симметричной относительно оси у и координаты
ее центра тяжести, либо только полностью используемую несиммет-
ричную часть площади (рис. 1.13, а, б) с ее координатами. Резуль-
таты расчета будут практически равноценными.
2*
35
Таким образом, для практического применения можно рекомен-
довать три схемы армирования:
1.	Центр тяжести арматуры Fa лежит на линии 0 — N, а раз-
мещение сжатой арматуры обеспечивает совпадение силовой линии
с главной осью приведенного сечения.
2.	Центры тяжести арматур Fa и Fa лежат на линии 0 — N.
3.	Арматура расположена вблизи верхней и нижней граней се-
чения симметрично оси у.
Во всех случаях отдельные стержни ставятся дальше от нейт-
ральной оси и в удобных по конструктивным соображениям местах.
Наиболее рациональной из всех этих схем является первая, наибо-
лее простой с точки зрения расчета и в то же время достаточно ра-
циональной — вторая.
1.6.	РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ КОСОСЖИМАЕМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ПРИ РАЗЛИЧНЫХ СХЕМАХ АРМИРОВАНИЯ
Полученные выше расчетные уравнения пригодны для любой
схемы армирования. Покажем их применение для различных схем
армирования, выбор которых определяется условиями работы кон-
струкции.
В табл. 1.6 представлены геометрические величины, входящие
в расчетные уравнения и зависящие от схемы армирования. Исклю-
чение составляет схема армирования, при которой центр тяжести
Fa и лежит на линии 0 — N. В этом случае по формуле (1.32)
а'а = 0, а безразмерные выражения (1.10) принимают вид:
а)	для двутавровых и тавровых сечений:
случай I (Ф1 < 1;	> /):
О.бф!
^-т(к<4^-М]+
+ ®1(К' + 0,5у' tgfi)==O;	(1.80)
случай I-a (<рх < 1; |х у'):
+ nli(^n + 0I5g1tgP) = 0;	(1.81)
случай II (<рх > 1 или у’ > £2 > 0;	> у')-
0,5(Е1+?2)k;—L(1 р\1 +
L з к(1+л) ь+ь 11+^2 Л
+ ®i(Kn + 0,5y' tg₽) = O;	(1.82)
36
Таблица 1.6
Значения Геометрических величин, зависящих от схемы армирования
Искомая геометри- ческая величина	Значение искомой геометрической величины в зависимости от расположения арматуры			
	произвольное размещение сжа- той и растянутой арматуры	центр тяжести растя- нутой арматуры совмещен с линией 0 — N, а сжатая арматура размещена произвольно	симметричное относительно оси у армирование ха~ха~ 0 • Уа=^	армирование, при котором центры тяже- сти сжатой и растя- нутой арматуры совмещены с линией 0 —АД ха = ха = = (Уа=Уа) ‘S3
d	У a cos р 4- 4-ха sin р	V У2а-х2а = 	Уа	ха cosP	sinP	У a cos Р	1' 4 + у1 = 	 Уа	ха cos р sin р
d'	</acos Р+ х' sinр			
е	(Уа + еу) cos Р + + (ха-Нх) sin Р	(ех4~*а) еу+Уа sin Р	cos Р	(Уа + еу) cosP + + exsinP	ех + ха   еу~\~Уа sin Р	cos Р
' е'	(еу — у a) cos Р+(ех—Ха) sin р		(еУ— 1/а) COS р 4- +ех sin Р	еу У а 	 ех ха cos Р	sin Р
С	(i/a+«/a)coSp + + (ха+ха) sin р	^/а	।	'	о . -H/acosP-F COS Р 4~Ха sin р	%Уа cos Р	2	*а cos Р	sin Р
/Zq	(z/a+0,5/i) cosfH- + (*а+0,5Ьп) X X sin Р	Уа cos р 4-0,5 (h cos Р + 4-&nsinP)	(t/a+0,5/z)cosP4- 4- 0,5bn sin р	У& +0,5х COS Р X (h cos Р 4- + ^п sin Р)
	(f/a+0,5/z)c°sP+ 4~ (Яа“Ь0»5Ь) X X sin Р	Д 4-0.5Х COS Р X (h cos Р+& sin P)	(t/a+0,5ft) cosP+ + 0,56 sin р	\ +°-5х COS Р X (h cos Р4-Ь sin Р)
- *о	(t/a+0,5/i)cosP+ +ха sin Р	4- 0,5/z cos P cos p	G/a+0,5/z) cos P	Уа +0,56 cos р COS Р
ап	(ха + 0 • б^п) ~ —(г/а+°>5/г) tg Р	0,5 (bn-h tgP)	0,56n — —(,»a+0>5/i)tgP	0,5(*п—fttgp)
%	(ха+0,56) — —(Уа+0,5А) tg Р	0,5(6—AtgP)	0,56— —(i/a+0,56) tgp	0,5 (b—h tg Р)
а с	ха — (У а + + 0,5ft) tg Р	—0,5ft tgP	— (</a + 0,56)X x tg p	—0,5/ztg Р
а а	(ха+ Ха) — — (Уа—У a) tg Р	Xa — i/a tg p	— (</a + Уа) X xtgp	0
37
случай II-a (<рх > 1 или £2 > 0; 52	у')'-
ЛС/^ ,	1 I 1	£i+2b	S1+M2+ &2+«й\1 .
о,5 (Е1+w |к„ -т	-------‘s ₽)] +
+ ^i(Kn + 0,5^tgp)^0;	'	(1.83)
случай III (В2 >	> у'):
-Г..,	1 /	1	|1+2|г_
’ L •	3 1Л(1+П)' + &
tg₽)] + 2(0/ (Яс+ 0,5/ tgp) = 0;
о.би-пн^+у к;--т-
_Ё±кк+11
&1+I2
б)	для прямоугольных сечений:
случай I (tpj < 1; Bi < 1):
о \- Л	/
случай II (|2 > 0; 51 < 1):
1 / 1 Jl + %2 gl+glb + gl t g\ =
3 \K &1 + &2	51 + ^2	/
случай III (g2 > 0; ф2 > 0):
1 / 1 1 +2£2 + ф2 + ф2—Ф2&2 —Ф2 £2
3 \ К	1 + ф2 + £2 — ф2 §2
1 +2ф2 + ^2 + |2 —ф2|2 —ф2 |2 |g о\ _
1 + ф2 + 5г — ф2 £2	/
(1-84)
(1.85)
(1.86)
(1-87)
При армировании, симметричном относительно оси х, в безраз-
мерные выражения уравнения (1.7) подставляют ап = а„; тогда
они примут вид:
для двутавровых и тавровых сечений:
случай I (Ф1 < 1; £2 > у'):
п = 0,5 Ф1£1 + coi;	(1.88)
случай I-а (ф1 < 1;	< у'):
п = 0,5 Ф1В1 + n5i;	(1-89)
случай II (0 < |2 < у'; gx > у'):
п = 0,5 (^ + U + (oi;	(1.90)
случай П-а (0 < £2 < у'; С у'):
п = 0,5 (11 + |2) + п5п	(1-91)
38
случай III (g2 > Bi > ?'):
n = 0,5 (1 — 1]) Gk + g2) + 2 <oi;
для прямоугольных сечений:
случай I (ф! <Л;	< 1):
п = 0,5 фх If,
случай II (|2 > 0; |2 < 1):
п = 0,5	+ У;
случай III (£2 > 0; ф2 > 0):
п = 0,5 (1 + ф2 + |2 — ф2|2).
(1.92)
(1.93
(1-94)
(1.95)
Таким образом, порядок расчета кососжимаемых элементов
в случае больших эксцентрицитетов при любой схеме армирования
остается один и тот же. Лишь для схемы армирования, при которой
центры тяжести арматур Fa и F'a лежат на линии 0 — N, безраз-
мерные выражения формулы (1.10), которые применяются при оп-
ределении положения нейтральной оси и количества растянутой
арматуры при проверке прочности, несколько упрощены. Значи-
тельно упростились также безразмерные выражения уравнения
(1.7).
При малых эксцентрицитетах основные расчетные уравнения
сохраняют свой вид для всех схем армирования; лишь входящие
в эти уравнения геометрические величины несколько видоизменя
ются согласно табл. 1.6.
1.7.	РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ КОСОСЖИМАЕМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ НОМОГРАММ
Самым трудоемким, процессом в расчете прочности кососжима-
емых элементов является вычисление коэффициентов, определя-
ющих положение нейтральной оси. Для сокращения этих вычис-
лений и облегчения расчета построены номограммы. В приложении I
приведены номограммы для прямоугольных, двутавровых и тавро-
вых сечений с различными соотношениями размеров. Номограммы
построены по безразмерным выражениям уравнений (1.7) — (1.10)
в предположении размещения арматуры по сечению элемента по
схеме 2 (см. п. 1.5).
' Положение нейтральной оси по этим номограммам определяется
исходя из двух величин: величины tg (3, отложенной по оси абс-
цисс, и величины А, отложенной по оси ординат- Согласно обозна-
чениям (1.41)
;	_ пе—«п С _ Ne—Fa Ra.c С
~ h ~ Ruvbh?
39
При tg р = 0 уравнение (I.1O) и его безразмерные выражения
превращаются в тождество, а уравнение (1.59) принимает такой же
вид, какой оно имеет при плоском изгибе и плоском внецентренном
сжатии. Таким образом, величина А при косом внецентренном сжа-
тии аналогична величине Ао при плоском внецентренном сжатии
и изгибе, а коэффициенты и £2 здесь заменили общеизвестный
коэффициент а. Исходя из этого ось ординат на номограммах может
быть использована для определения положения нейтральной оси
при обычном внецентренном сжатии.
Иначе говоря, номограммы равноценны известным таблицам,
содержащим Ло, а и у0 [57]. Разница заключается лишь в том, что
в номограммах учтен еще и угол |3 наклона силовой плоскости.
Расчет арматуры в кососжимаемых элементах с использованием
номограмм почти ничем не отличается от аналогичного расчета при
плоском внецентренном сжатии. По нагрузке, эксцентрицитетам
ее приложения, размерам сечения и прочностным характеристикам
материалов по формуле (1.45) или (1.53) определяют Затем по
обозначениям (1.41) находят Л, а по нему и по tg |3 из номограмм —
положение нейтральной оси. Наконец, из безразмерного выражения
уравнения (1.7) с учетом обозначений (1.41) получают Fa.
1.8.	О РАЦИОНАЛЬНЫХ ФОРМАХ И СООТНОШЕНИЯХ
РАЗМЕРОВ СЕЧЕНИЯ КОСОСЖИМАЕМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Учитывая, что бетон плохо работает на растяжение и в расчете
прочности его работа не учитывается, следует стремиться к мак-
симально возможному уменьшению размеров растянутой зоны.
С другой стороны, уменьшение размеров растянутой зоны ограни-
чено необходимостью размещения арматуры. Требования констру-
ирования и технологии производства (симметричность сечения,
прямолинейность граней и др.) также имеют немаловажное зна-
чение.
Исходя из этих соображений можно в зависимости от угла накло-
на силовой линии и положения нейтральной оси, определяемой, в ча-
стности, количеством сжатой и растянутой арматуры и формой се-
чения, назначить рациональные области применения различных-
сечений и рекомендуемые соотношения их размеров.
Рассматривая положение нейтральной оси по сечению элемента
(рис. 1.14, а), следует отметить, что положение I совершенно недо-
пустимо; сжатая зона искусственно ослаблена и сечение изгибается
в направлении меньшей жесткости. Мало рациональным является
и положение!-а: здесь допущено некоторое ослабление сжатой зоны
бетона при одновременно большом сечении растянутой зоны.
Наиболее рациональным положением нейтральной оси является
показанное на рис. 1.14, б, характеризуемое величинами (pj = 1 и
40
При этом
tgT
1+Х)
Следовательно, даже при рациональном армировании, при котором
положение нейтральной оси будет самым пологим (у = |3), макси-
мально допустимым углом наклона силовой линии является рмакс =
— arctgy'/G Величины 7( и у' практически ограничены неравен-
ствами:
К С 2; у’ < 1/3;
тогда |Змакс = 33°40'. При достаточно распространенном соотно-
шении размеров сечения /(= 1,5 и / = 0,2 рмакс = 16°40'.
Анализируя безразмерные выражения уравнения (1.10), можно
заметить весьма устойчивую тенденцию к повороту нейтральной
оси при малейших изменениях количества арматуры и ее поло-
жения. Понятно, что приближение центра тяжести сжатой арма-
туры справа налево к силовой линии 0 — N повлечет за собой для
сохранения равновесия относительно этой линии поворот нейтраль-
ной оси в сторону увеличения угла у' (см. рис. 1.14, а). К такому
же результату приведет и уменьшение площади сжатой арматуры
справа от силовой линии. Из уравнения (1.9) и его безразмерных
выражений видно, что с уменьшением общего количества сжатой
арматуры или с увеличением растянутой увеличивается и площадь
сжатой зоны бетона, т. е. нейтральная ось перемещается. Это пере-
мещение будет значительно интенсивней справа от силовой линии,
так как с этой стороны появляется ослабление сжатой зоны бетона.
Последний вывод можно наглядно увидеть на рис. 1.14, б. Даже
незначительное смещение нейтральной оси, показанной на этом
рисунке, параллельно самой себе вниз приведет к резкому наруше-
нию соотношения площадей и еще более — статических моментов
относительно силовой линии левой и правой частей сечения сжатой
41
зоны. Такое нарушение, естественно, автоматически будет ликвиди-
ровано резким поворотом нейтральной оси (увеличением у' и ^),
т. е. восстановлением равенства статических моментов. Образуется,
таким образом, случай I (см. рис. 1.14, а) со всеми его недостатками.
Как видим, в двутавровых сечениях нейтральная ось очень по-
движна; особенно резко она поворачивается при переходе из слу-
чая I-а или П-а в случай I или II. Поэтому применение двутавро-
вых, а также и тавровых сечений, испытывающих косое внецент-
ренное сжатие, возможно с ограничениями.
Практически приемлемыми соотношениями размеров для дву-
тавровых и тавровых сечений можно считать:
—— = 1-4-2;	4-—;
2ba—b	Ь 3	2
, hn 1.1
r h 3	6
Максимально допустимым углом наклона силовой плоскости для
этих сечений следует считать рмакс = 15°. При этом необходимо
добиваться случая I-а или П-а. Этого можно достичь соответству-
ющим подбором площади FL ее расположением и выбором высоты
полки. Уравнения (1.10) и (1.9) в их безразмерном выражении поз-
воляют это делать.
Выбор тех или иных соотношений размеров двутавровых и
тавровых сечений зависит от угла наклона силовой плоскости, ве-
личины нагрузки, эксцентрицитета ее приложения и количества
сжатой арматуры. Иначе говоря, выбор соотношения зависит от
величины А и угла р. В табл. 1.7 указаны рациональные и допусти-
мые пределы соотношений размеров двутавровых и тавровых се-
чений.
Таблица 1.7
Рекомендуемые и допускаемые соотношения размеров сечения
Соотношение размеров			Условия, при которых сечение			
			рекомендуется		допускается	
к 1	1	V'	3	А	₽ 1	1 А
1	Vs	Vs	0—15	0,32—0,24	0—15	0,40—0,38
1	Vs	Vs	0—15	0,18—0,12	0—15	0,33—0,31
1	Vs	Vs	0—15	0,37—0,28	0—15	0,40—0,38
1	Vs	Vs	0—15	0,20—0,14	0—15	0,30—0,28
1,5	V.	Vs	0—10	0,34—0,25	0—15	0,40—0,35
1,5	Vs	Vs	0—10	0,19—0,13	0—15	0,35—0,28
1,5	Vs	Vs	0—10	0,38—0,29	0—15	0,42—0,30
1,5	Vs	V.	0—10	0,21—0,15	0—15	0,33—0,24
2	Vs	Vs	0—8	0,35—0,28	0—15	0,42—0,30
2	Vs	Vs	0—8	0,19—0,13	0—15	0,34—0,23
2	Vs	Vs	0—8	0,39—0,30	0—15	0,44—0,30
2	Vs	Vs	0—8	0,22—0,15	0—15	0,32—0,18
42
В случае больших углов р следует переходить на Г-образные,
коробчатые (рис. 1.14, в, г) или прямоугольные сечения.
Диапазон применимости прямоугольных сечений при косом вне-
центренном сжатии значительно шире. Прямоугольные сечения
применимы при любых углах р. При р = 45° сечение должно быть
квадратным. С уменьшением угла должна увеличиваться высота
сечения, а с увеличением — ширина. При соотношении размеров
сечения h/b = К максимальным углом наклона силовой линии мож-
но считать рмакс = arctg l/Д'. При этом нейтральная ось не будет
пересекать меньшие стороны сечения одновременно. Практически
применимыми следует считать значения Д' = 1 4- 2.
1.9. УЧЕТ ГИБКОСТИ КОСОСЖИМАЕМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Гибкие железобетонные элементы, подвергающиеся косому
внецентренному сжатию,, следует в необходимых случаях рассчи-
тывать с учетом влияния прогибов на величину эксцентрицитетов
продольной силы.
Согласно СНиП влияние прогибов учитывается умножением экс-
центрицитета продольной силы на коэффициент т):
е'у = w> е'х =	(196)
Коэффициенты т] и т]ж, а также расчетную длину 10 определяют
по СНиП.
1.10. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
В примерах приведены характеристики испытанных образцов, что дает
возможность сравнить теоретические разрушающие усилия Дили моменты) с
экспериментальными.
Пример 1.1. Определить разрушающую
нагрузку на колонну (рис. 1.15) при следую-
щих данных: h — 33 см; Ьп = 16 см; b —
= 10 см; Ю см; ех— 4,3 см; еу=16 см;
Fa = 7,35 см2; ха *= 2,6 см; у& = 12,3 см;
Fa = 5,34 см2; ха = 3,6 см; у а = 12,1 см;
/?пр — 262 кг/см2; Ra.c = 3460 кг/см2; 7?а =
= 3250 кг/см2.
Вычисляем необходимые геометрические
величины: j
tg Р =
4~*a
еу + */а
4,34-2,6
164-12,3
= 0,244;
sin Р = 0,236; cos Р = 0,972;
, h 33
/г1==-----~ — '	=34 см.
cos Р 0,972
Рис. 1.15
Так как
gy _ 16
cos Р 0,972
= 16,5 см > 0,365^=0,365 • 34 = 12,4 см,
то, согласно условию (1.42), имеем случай больших эксцентрицитетов.
43
По формулам (1.12) — (1-20) находим геометрические характеристики
сечения:
е = (ev + t/a) cos р + (ех + ха) sin ₽ = (16 + 12,3)0,972 +
+ (4,3 + 2,6)0,236=29,1 см;
е' = (еу—у а) cos Р + (еж—ха) sin Р = (16—12,1) 0,972 + (4,3—3,6) 0,236 = 4 см;
h"a = (г/а + 0,5/г) cos Р + (ха +0,5&п) sin Р = (12,3 + 0,5 • 33) 0,972 +
+ (2,6 + 0,5 -16)0,236 = 30,5 см;
h» ~ (Уа. + 0,5/г) cos Р + (ха + 0,56) sin Р =
= (12,3 + 0,5 • 33) 0,972+ (2,6 + 0,5 • 10)0,236 = 29,8 см;
«п= (xa + 0,56n)-(z/a + 0,5ft)tgP=(2,6 + 0,5 • 16)-(12,3 +
+ 0,5 • 33)0,244 = 3,6 см;
ор = (ха + 0,5&) — (г/а +0,5/г) tgp = (2,6+ 0,5 • 10)—(12,3 +
+ 0,5 • 33)0,244=0,6 см;
а'а = (ха + Ха)-(уа+у'а) tg Р = (2,6 + 3,6) —(12,3+12,1) 0,244 =0,3 см.
По обозначениям (1.41) находим их безразмерные выражения:
bn-b
п =—г~~
Ьп
16—10	hn	10
—— =0,375; Т' = — = — = 0,303;
1 о	п	<3<3
СО = т]Т' =0,375 • 0,303 = 0,114;
h	33
К =---------=-----------= 1,5;
2&п — b 2 • 16—10
Fa
ап = ~Б-Г"7 :
^пр
/ Fa Ra.c,
7,35 . 3250
262 -16-33
= 0,173;
_______	5,34-3460	1
аП ~ Яир bnh~ 262 • 16 • 33 “°’ 33’’
к, апе —	0,173-29,1—0,133-4
=---------------------------------
33
= 0,136;
n W 29,8
= 0,903,
к- A
30,5 •
—— =0,924;
33
h
e	29,1
Ke =-----=---------= 0,882;
e h 33
' a$ 0,6	,	, an 3,6
= 0,109;
= 0,009.
rr r	6Za	0,3
A a = —-— =
h	33
Для установления случая положения нейтральной оси по формулам
(1.46) — (1.49) найдем:
an=(xa + 0,56n)-[J/a + 0,5(A-/in)]tg₽ = (2>6+015 - 16)-
— [12,3 + 0,5(33—10)] 0,244 = 4,8 см;
44
а£=-^- (Ьц—МёР) — *а—0,56 + (z/a+0,56) tg Р= -у-(16—10 • 0,244)—
— 2,6—0,5 • 10 + (12,3 + 0,5 • 33) 0,244 = 3,9 см;
е“акс =е—(ха + О,56п) sin Р — [у а + 0,5 (ft—ftn)] cos Р =29,1 —
—(2,6 + 0,5- 16)0,236—12,3 + 0,5(33—10) 0,972 = 3,5 см;
емакс ха + 0,5& — + Ьп) sin Р— ( t/a + 0,5/i— —-ftn) cosP =
\	3 J \	3 J
/ 1 \
= 29,1 — ( 2,6 +0,5 • 10—— 16 0,236 —
12,3 + 0,5 • 33—ioj 0,972 =
= 3,8.
По табл. 1.2 при
v' (0,5e”aKC + i]e"aKC) = 0,303(0,5 - 3,8 + 0,375  3,5) =0,97<Опе—
— ап е'=0,173 • 29,1-0,133- 4 = 4,5;
Y' (О.бйр— пап)= 0,303(0,5 - 3,9 — 0,375 • 4,8)=0,05>аа ап =
= 0,3-0,133 = 0,04
имеем случай I.
Воспользуемся уравнениями (1.23), (1.24):
Ay = 0,5<pigi Ke—K? + + (?iCosP + —+—- tpisin р 11 +
6 \	д(1+т|)	/]
+(Ot(^-KS+0,5y'cos ₽);
С'
о.бф!^ [<-+ (—Ф1-Ь tg р)1+ coi(Кп+0,5Т'tg р) +
L р з \ К(1 +П)	/1
+ Ка (Zn = 0,
которые после подстановки ранее полученных величин примут вид:
Г	1	11
0,136 = 0,5(pi	0,882 — 0,903 + — (0,972 Ь + ~ ~  0,236 фх +
Т1Ъ1[	3	1,5(1 +0,375) J
+ 0,114 • 1 (0,882 — 0,924 + 0,5 * 0,303 * 0,972);
0,5ф1£1 0,018— — (—-----!------Ф1—0,244	+
’ T S L 3 \ 1,5(1 +0,375) 4	/J
+ 0,114(0,109 + 0,5 • 0,303 • 0,244)+ 0,009 * 0,133 = 0,
откуда фх = 0,86; |х = 0,93.
Теперь по формуле (1.21)
п =0,5ф1 + (о/ + (Zn — czn — 0,5 • 0,86 • 0,93 + 0,114* 1 +
+ 0,173—0,133 = 0,474,
а по обозначению (1.41) находим искомую несущую способность сечения
#т==пЯПр6пй==0,474 * 262 * 16 * 33 = 65 500 кг = 65,5 т.
Экспериментальная разрушающая нагрузка N9 = 65 т.
Пример 1.2. Определить разрушающую нагрузку на колонну при следу-
ющих данных: h = 33 см; Ьп == 16 см; Лп = 10 см; b = 10 см; е9 == 3,2 см;
45
еу = 12 см; Fa = Fa = 6,28 см2; ха = 5 см; уа = 13,5 см; ха == 7,9 см;
у'а = 11,3 см; /?Пр = 243 кг/см2; Ra = 3420 кг/см2, /?а.с = 3480 кг/см2.
Определяем необходимые геометрические величины:
3,2 + 5
tg0 = 1og-=0,322; sin 0 = 0,306; cos 0 = 0,952;
12 +13,5
33
= 0,952 = 34,7 см*
Так как
---—12»3 см =0,365 ^1 = 12,6 см,
cos0 0,952
то имеем случай малых эксцентрицитетов.
Из примера 1.1 т] = 0,375; у' = 0,303; со = 0,114.
Определяем геометрические характеристи-
ки сечения (см. рис. 1.5):
d = 13,5 • 0,952 + 5 . 0,306 = 13,8 см;
d' = 11,3 • 0,952 + 7,9.0,306 = 13,1 см;
С = 13,8 + 13,1 = 26,9 см;
е = (13,5 + 12) 0,952 + (5 + 3,2)0,306 =
= 26,7 см;
d	13,8
^ = — =—^—=0,418.
п	33
По формулё (1.45)
А = lKd [(I — П) +	= 0,8 . 0,418 [(1 —
— 0,375) + 4.0,114] = 0,359.
Теоретическая разрушающая нагрузка по обозначению (1.41)
Tlflnpbn^+Fafla.cC 0,359.243 . 16 • 334-6,28 . 3480 • 26,9
=	е	~	26,7
= 81 100 кг = 81,1 т.
Экспериментальная разрушающая нагрузка NQ = 81 т.
Пример L3. Определить разрушающую нагрузку на колонну при сле-
дующих данных: h = 23,5 см, b = 21 см, еу = 5 см, ех = 1,5 см, /?пр =
= 70 кг/см2, /?а = /?а>с = 2500 кг/см2. Колонна армирована восемью стер-
жнями диаметром 10 мм (рис. 1.16).
Как уже говорилось, при попарно симметричном армировании с равно-
мерной расстановкой стержней по контуру сечения, арматура используется
не полностью. Наиболее рационально будут использованы те стержни, кото-
рые расположены на участках, указанных в п. 1.5 (см. рис. 1.10). В рассма-
триваемом образце' на указанных участках находятся сжатые стержни 1 и 2
(Fa =? 1,57 см2, х'а = 4 см, у а = 9,2 см) и растянутые 5 и 6 (Fa = 1,57 см2,
ха = 4 см, г/а = 9,2 см).
Определим необходимые тригонометрические величины:
4 4-15
tg0 = —=0,388; sin 0 = 0,361; cos 0=0,932.
У,а + и	*
46
Так как
Си 5	h	23.5
---< 0,365 -----------------	 =0,365 	— •
cos Р	0,932	cos Р-0,932
то имеем случай малых эксцентрицитетов.
Определим геометрические характёристики сечения (см. рис. 1.5):
d = dr = 9,2 . 0,932 + 4 . 0,361 = 10 см;
С = 2 • 10 = 20 см;
е = (9,2 + 5) 0,932 + (4 + 1,5)0,361 = 15,2 см;
По формуле (1.53)
А = lKd <= 0,8 . 0,426 = 0,341.
Теоретическая разрушающая нагрузка
N ~ ARnybh*+FaR&'CC 0,341 < 70 > 21 - 23,52 + 1,57 . 2500  20
Т""	е	“	15,2
= 23 400 кг = 23,4 т.
Отклонение теоретически вычисленной разрушающей нагрузки от эк-
спериментально полученной составляет
24—23,4
24
100 = 2,5%.
Как видим, даже без учета слабо нагруженных стержней 5, 4, 7 и 5, т. е.
половины всей арматуры, теоретическая разрушающая нагрузка всего лишь
на 2,5% меньше экспериментальной. Это подтверждает, что не учтенные в рас-
чете стержни, вследствие их близости к нейтральной оси, принимают незна-
чительное участие в работе сечения.
Предположим теперь, что эксцентрицитет внешней нагрузки =
= ±1,5 см — знакопеременный. Тогда арматуру следует располагать, как пока*
зано на рис. 1.13, в. В рассматриваемом образце, на указанных участках на*
ходится сжатые стержни /, 2 и 3 (Fa = 2,35 см2, ха=0 см; у а = 9,2 см) и ра-
стянутые или менее сжатые стержни 5, 6 и 7 (Fa = 2,35 см2, ха = 0 см, i/a «
= 9,2 см).
Расчет ведем в той же последовательности:
tgft =	=0,106; sinP = 0,105; cosP=0,994;
d = d’ = 9,2 • 0,994 = 9,1см;
С = 2 • 9,1 = 18,2 см;
е = (9,2 + 5) 0,994 + .(0 + 1,5) 0,105 = 14,3 см;
Kd= 9’1 =0,388; Я = 0,8 • 0,388 = 0,31.
23,5
47
Теоретическая разрушающая нагрузка
0,31 • 70 • 21 • 23,52+2,35  2500 • 18,2	_	ол п
NT=—----------------:--—---------------=24 900 кг =24,9 т.
14,3
Ее отклонение от экспериментальной составляет
94__24 9
-^-^- 100 =-3,75%.
24
Здесь также получена хорошая сходимость теоретической и эксперимен-
тальной разрушающих нагрузок. Не учтенные в расчете стержни 4 и 8 могут
быть удалены, в результате чего будет достигнута экономия арматуры в 25%.
Заметим, что величины теоретических разрушающих нагрузок, получен-
ные при учете четырех стержней NT = 23,4 т и при учете шести стержней
ЛГТ = 24,9 т, отличаются друг от друга всего лишь на 6,1%, т. е. практически
совпадают. К этому следует добавить, что теоретическая разрушающая на-
грузка, полученная с учетом всех стержней, Ат = 25,34 т, давая также хоро-
шую сходимость с экспериментом (отклонение — 5,6%), отличается от выше-
указанных теоретических величин соответственно на 7,9 и 1,7%, т. е. также
незначительно.
Все это подтверждает экономичность несимметричного расположения
арматуры, а также вывод о том, что при симметричном армировании в расчет
следует вводить лишь арматуру, которая размещена на рациональных участ-
ках.
Пример 1.4. Подобрать арматуру сечения колонны при следующих дан-
ных: h = 60 см; b = 40 см; N = 81 т; ех — 20 см; еу = 30 см. Бетон марки 200;
/?Пр = 95 кг/см2. Арматура из стали класса А-П; = 2600 кг/см2.
Вычисляем величины:
tg0 = tgp=-^=-^- = O,W;
ft У	30
sin Р =0,555; cos р = 0,832.
Из уравнения (1.70)
(6 —2а)2 x2 + (h—2a) (6 —2а)2 х—0,5 (6 —2а)3 (/г + 0,56 — За)
 (6—2а)2 х2 + (6—2а) (6 —2а)2 х—0,5 (6—2а)2 (6 + 0,56 —За)(6—2а) “ gP’
после подстановки получим:
w (40—7)2 х2 + (60—7) (40—7)2 х—0,5 (40—7)3 (60 + 20—10,5)
 (60—7)2х2 —(60—7)(40 — 7)2 х—0,5(40 —7)2 (40 + 30 — 10,5) (60—7) “ ’ 6 ’
откуда х = ±1,1 см, а из уравнения (1.71)
h — 2а	60—7
у=—Г^-Х=-^Г1>1 = ±1’8 см-
Зная размеры участков расположения арматуры (см. рис. 1.13, а),
по формулам (1.72) и (1.73) найдем координаты центров тяжести:
(0,56 — a—у) (0,56 — а) + (0,56—а—х) [х + 0,5(0,56—а—х)]
%а	0,5 (6+ 6) — 2а+ х—у
_ (30—3,5—1,8) (20—3,5)+ (20 — 3,5—1,1) [1,1+0.5(20—3,5 — 1,1)]
~	0,5 (60 + 40)—7 + 1,1 —1,8
= ± 12,5 см;
48
(0,56—а+ х) (0,56—а) 4-(0,56—а—у) [г/ + 0,5 (0,56—а — г/)] .
У&~	0,5 (Л+ 6)— 2а+ х—у
(20 — 3,5 +1,1) (30 — 3,5)+ (30 — 3,5—1,8) 1,84-0,5(30—3,5—1,8)
0,5(60 + 40)—7 + 1,1 —1,8
= ± 18,9 см,
а также величины
d—d' —у& cos Р + ха sin р = 18,9 • 0,8324-12,5 • 0,555 = 22,6 см;
C = 2d = 2-22,6 = 45,2 см; е0 = Уёх + 4 = /202 + 302 = 36,1 см;
е = ёо ~t-d = 36,1 4-22,6 = 58,7 см;
d 22,6
Kd~ h ~ 60
= 0,377.
Л Из уравнения (1.53)
Л=№= 0,8 . 0,377 = 0,301.
По обозначениям (1.41)
Ne—ARnv bh? 81 000 . 58,7 —0,301 - 100 • 40  602
Яа.сС ”	2600 - 45,2
а. с
СХп =
Принимаем сжатую арматуру 3012 (АН) fa = 3,39 см2; тогда
, Fafla.c	3,39-2600	_
	—U.Uoo.
Япр 66	95 • 60 • 40
Поскольку принятая площадь сжатой арматуры соответствует расчет-
ной, то случай I здесь невозможен. Учитывая, что h/btg р = 1, приходим к вы-
воду, что нейтральная ось проходит по случаю III.
Коэффициенты, определяющие ее положение, найдем из решения урав-
нений (1.63) и 1.87):
А =0,5 (1 + <ра + g2—Ф3 Ы [-у ( 1+2<\2*ц24?е	ф2^ cos₽ +
L -3 \	1+ф2+?2 —Ф2§2
, 1	1 +^2 + ф2 + фг — Фг —ф! ^23jng>\ ;
К	1+фг+|2—ф2£2	Л
1 / 1 , 1 + ^2 4-ф2 + ф2-ф2 £2 — ф! %2
3 \ К	1+ф2 + £2—ф2£2
1 4-2ф2 4-^2 4-^2—ф2?2 — ф2^2 z о \
	. -	1+*+ыл tgPJ-Kp-
Предварительно необходимо вычислить постоянные величины, входящие
в эти уравнения:
Л? = (Z/a + 0,5/i) cos Р + (ха + 0,5&) sin р = (18,9 4- 30) 0,832 4-
+ (12,5+ 20) 0,555 = 58,8 Ч:м;
Ор —(ха+0,56) — (r/a+ 0,5/i) tg Р = (12,5+ 20)—-(18,9+ 30) 0,667 =0 см;
49
К=А= J2_=i,5; кр=_^_=_^_=0,980;	=
Ь , 40	Л 60
= i=_2__0; п=.-.Ч-=	.8!-М-°_ ,0,337; 4.1!^.
Л 60	Rapbh 95 - 40 - 60	h
0,337 - 58,7 —0,038 - 45,2 n
E=3	'	— V i tjU*>.
60
Подставляя, получим:
Г 1 / 1 4-2ф2—Bi +В1 — Ф2В2—Ф2В2
0,302 _0.5(1 +ф1 + Ег-ф2Е!) [О.«-Т ( ЛЛДЛЬ ’
х „,332 ‘ 1+Зз±й±^а£=111 о,555)1;
1,5	1+Ф2 + В2 + Ф2В2	/.
1 / 1 . 1 + 2Вг + Ф2 + ф! —ф! В2
3 \ 1,5	1+Ф2 + В2—Ф2В2
1+2Ф2+В2+В2—Ф2В2—ФгВ! п л™\ п
—--------------------------и, о / / I—и,
1+Ф2+В2 — Ф2В2	/
откуда ф2 == В2 = 0,03.
Из уравнения (1.62)
п = 0,5 (1 + ф2 + В2 — Фг^г) + ап — «п
находим
dn = 0,5 (1 + 0,03 + 0,03 — 0,03 • 0,03) + 0,038 — 0,337 = 0,23.
Требуемая площадь растянутой арматуры по обозначениям (1.41)
Яцп Ьп Л 95 • 60 • 40
^ = «11—-------
=20,5 см2.
=0,23
2600
bt>22A!
Рис. 1.17
Вычисляем величины
Принимаем 1 0 28 АП + 4 0 22 АП Fa «=
« 21,36 см2.
Расположение принятых стержней показано
на рис. 1.17. Стержни* в углах приняты кон-
структивно: 2012 АП.
'Таким образом, общий расход арматуры по
этому примеру составляет 5012 + 4022 +
4- 1028, т. е. Fa + Fa + Fkohctp = 27,01 см2.
При тех же данных, но при расчете по
СНиП П-В. 1-62 расход арматуры получается
8025, т. е. Fa + Fa = 39,27 см2, или на 31%
больше.
Пример 1.5. Подобрать площадь сечения
арматуры при следующих данных: на колонну
сечением Л = 60 см и & = 40 см действует наг-
рузка W = 80 т с эксцентрицитетами ех = 9 см,
еу ~ 30 см. Бетон марки 200; /?пр = 95 кг/см2.
Арматура из стали класса А-П; /?а=*2600 кг/см2.
Л б* 9
tgp = _*-c= —=0,3; cos₽=0,96;
Су 30
^__L=n_ _	80000
b 40	’ ’ RnPbh 95-40-60
50
По табл. 1.5 находим размеры рекомендуемых участков арматуры
(рис. 1.10, в); х — 9,2; у — 14,8 см; координаты их центров тяжести: ха =
~ Ха 3 7,2 см; «/а = Уа == 24,4 см; расстояние от этих центров до геометри-
ческого центра сечения d = d' = 25,2 см.
Определяем геометрические характеристики:
C=d + d' =25,2 + 25,2 = 50,4 см; e0=Vel + e$ =/92+ 302 =31,3;
h	60
e = e0 + d = 31,34-25,2 = 56,5 см;	=	— =62,5 см;
cos р	0,96
Так как е0 = 31,3 > 0,365 h± = 22,8 см, то имеем случай больших эк-
сцентрицитетов.
Из уравнения (1.53) и обозначений (1.41)
X=£Kd=0,8 • 0,84 = 0,672;
Afe-Л^пр bh*
а Яа.сС
80 000 • 56,5 — 0,672 • 95 • 40 • 602
2600 • 50,4	< ’
т. е. сжатая арматура по расчету не нужна. Согласно СНиП, минимальное се-
чение Fa = 0,0015 • 40 • 60 = 3,6 см2.
Принимаем 3012 (АП) (Fa == 3,39 см2). Размещение этих стержней по-
казано на рис. 1.18, а. Учитывая что стержень 3 может оказаться расположен-
ным близко от нейтральной оси, в дальнейшем расчете учтем только стержни
1 и 2 (Fa — 2,26 см2) с координатами центра тяжести ха = 8,1 см; г/а =
= 26,9 см. Тогда
' Fа с________
7?Пр bh
2,26 • 2600
95 • 40 • 60 ”
0,025;
d = т/ 26,92 Ч-8,12 = 28 cm;	С = 25,2 4- 28 «= 53,2 см.
51
Из уравнения (1.41)
пе — а!гС 0,333  56,5—0,0 25 - 53,2
Л== Л	60	’
При А =0,277 и tg Р = 0,3 по номограмме приложения 1.1 находим =
= 0,68; g2 = 0,12.
Пользуясь уравнением (1.58), получим
ап = 0,5 (^ + g2) + ah — п = 0,5 (0,68 + 0,12) + 0,025 — 0,333 = 0,105
и по обозначениям (1.41) необходимое сечение арматуры
Япр bh ,95-40-60 Л
f =a —ав----=0,105------— ---=9,4 см2.
л Яа	2600
Принимаем 2 0 18+10 25AII (Fa = 10 см2).
Расположение стержней в сечении показано на рис. V.18, а.
Пример 1.6. На колонну сечением h = 40 см; b = 40 см из бетона марки
200 (7?пр = 95 кг/см2) и армированную сталью класса А-П (Ra = 2600 кг/см2)
действует нагрузка N = 100 т; ех — 4 см; еу = 8 см. Подобрать площадь се-
чения арматуры.
Определяем
ех 4	_	* h 40
tg₽=— =—=0,5; cosp = 0,89; /<=—=—= 1.
ву о	и 40
По табл. 1.5 находим ха = х'л = 7,2 см; уа =	= 14,8 см;
d = d — 16,4 см.
Вычисляем
C = d + d' = 16,4 + 16,4 = 32,8см; е0=Уех + е£=/42+82 = 8,9 см;
e = e0-|-d = 8,94-16,4 = 25,3 см; е'~d — е0 — 16,4 — 8,9 = 7,5 см;
h 40	, d 16,4
1 cos р 0,89	а	h 40
Так как е0 = 8,9 см<0,365 /ix = 16,4 см, то имеем случай малых эксцентри-
цитетов.
Из уравнения (1.53) и обозначений (1.41) получим сечение сжатой арма-
туры:
А =	= 0,8 • 0,41 = 0,328;
,	—ARnV)bh2	100 000 - 25,3 — 0,328 - 95 - 40 - 402
Fa=-------7---------- ----------7777—777;------------= 10,5 см2.
Яа.сС	2700-32,8
Принимаем 3 0 16 АП + I 0 25 АН (Fa = 10,94 см2). ,
Сечение арматуры Fa получим из (1.66) и (1.41): А' = 'QKd = 0,8 • 0,41 =
= 0,328;
Ne'—А' 7?пр
Fa —
bh2 100 000 . 7,5 — 0,328 - 95 ♦ 40 - 402
/?а.сС =	2600 - 32,8	<0’
Принимаем конструктивно 3 0 12 АП (Fa — 3,39 см2).
Пример 1.7. На колонну двутаврового сечения с размерами h = 60 см;
Ьп = 40 см; b == 20 см; Ьп = 30 см; hn = 20 см из бетона марки 300(/?Пр =
«= 140 кг/см2) и армированную сталью класса А-П (Ra «= 2600 кг/см2)
62
действует нагрузка А = 106 т; ех = 3 см, еу = 27 см. Подобрать сечение
арматуры.
Вычисляем
tg₽=—= -^-=0,11; cos₽ = l; К =	= 1,5; i] =
27	ь' 40	1
Ьа—Ь 30—20 _____1_ .
“ Ьп ~	30	- 3
, hn 20	1	111,
h 60	3	1 г 3	3	9
N	106 000
п =----------=---------- =0,368.
Япр^п/i 140-30-60
По табл. 1.5 х' = х' = 2,8 см, уа = уа = 25,6 см, d = d' = 25,6 см.
Далее определяем:
C = d + d'=25,64-25,6 = 51,2 см; е0=4- = ]/ З2 4- 272 = 28,3 см;
h	60
е = е0+d = 28,3 + 25,6 см; h± =-- —----= 60 см;
cos р	1
Так как е0 = 28,3 > 0,365	= 21,9 см, то имеем случай больших экс-
центрицитетов.
Из (1.45) и (1.41)
А = Z%d [(1 — П) + 4с°1 = 0,8 • 0,427 [(1 — 0,333) 4- 4-0,111]= 0,38;
, Ne—AR^bnh2 106 000 . 53,9 — 0,38 - 140 - 30 - 602
Fa~ Ra.cC ~	2600-51,2	<0,
. е. сжатая арматура по расчету не нужна. Принимаем конструктивно
6 0 12 АП (Fa = 6,78 см2). В расчет введем 5 0 12АП (Fa = 5,65 см2);
ха = 2,7 см; уа = 24 см.
Тогда
, FaRa.c	5,65.2600
ctn =--------—------------= 0,065;
ЯпрЬтМ	140-30.60
d'=V2,724-242 = 24,1 см; С = 25,64-24,1 =29,7 см.
Из (1.41)
пе — an С 0,368 • 53,9—0,053 • 29,7
А =-------2--= ---------::----------— = 0,303.
h	60
По номограмме приложения 1.8	= 0,15;	= 0,4.
Из (1.29)
<Хп = 0,5 (^-Нг) +coi + an-n = 0,5 (0,4 + 0,15) + у • -у 1 +
+ 0,053—0,368 = 0,071;
Fa = an bnh-^~ =0,071 • 30 • 60-^-=7,57 см2.
Rn	2600
53

Таблица 1.8
Сравнение экспериментальной и теоретической несущей способности образцов, испытанных
на косое внецентреннное сжатие_________________________________________________________
Марка образца	Размеры сечения, см				Армирование		Марка бетона	Предел текучести, кг/см2	Эксцентрицитеты приложения нагрузки		Несущая способ- ность, т		<V4~WT _i_	± юо%
	h	Лп	^п	Ь		F'a			ех	еу		Ат	XT	1 V V /0 N3
ДК-21 ДК-22 ДК-32 дк-зз ДК-34 ДК-35 ДК-36 ДК-1 ДК-2 дк-з • ДК-4 ДК-5 ДК-6 ДК-7 ДК-8 ДК-1-1 ДК-1-2 ДК-1-3 ДК-2-1 ДК-2-2 ДК-2-3 ДК-3-1 ДК-3-2 дк-з-з ДК-4-1 ДК-4-2 ДК-4-3	33,8 33,9 33,7 33,1 33,2 33 33,1 33,8 33,6 33,8 33,7 33,2 33,7 33,5 33,4 33	10,9 10,8 10,7 10,1 10,1 10,3 10,5 10,7 10,7 10,7 10,6 10,4 10,7 10,4 ’ 10,4 10	22,9 22,8 22,9 22,3 22,1 22,3 22,5 22,6 22,7 22,6 22,7 22,4 22,7 22,5 22,4 22	6,6 6,6 6,5 6,2 6,2 6,1 6 10,6 10 10,1 10,1 10 10,1 10 10 10	4,52 4,52 5,94 4,52 5,94 4,52 5,94 9,17 9,17 9,17 9,17 9,17 9,17 9,23 9,36 12,06	4,52 4,52 3,69 4,52 3,89 4,52 3,89 9,17 9,17 9,17 9,17 9,17 9,17 9,23 9,36 0	292 285 276 253 259 231 226 278 268 201 209 255 264 256 249 149	3340 3280 3220 3250 3290 3250 3260 3500 3530 3670 3480 3650 3550 3580 3650 3530	2 2 4 6 6 8 8 4,3 3,7 2,1 2,7 4,8 3,2 3,2 3,2 4,3	12 15 15 15 15 15 15 16 14 8 10 18 12 12 '	12 16	89,9 75,1 65,7 44,7 47,8 39,5 42,3 100,1 105 107,9 102,3 81,2 105,7 95,3 98,3 29,5	90,6 75,6 65,2 45,2 46,6 39,9 40,9 90,1 95,6 104,5 96,7 79,3 103,8 97,4 98,7 27,1	II	Illi ‘ 00 о to •—1 СЛ OO 1—* 4^- >— to о о о J ►—СЛ tO 00СЛ tO	CO СЛ 00 СЛ oo
	33 32,8 33 32,9 32,6 32,8 33 32,8 33 33,1 33	10,6 9,9 10 10 9,6 9,8 10 10 10 10 10	22 21,9 22 22 21,6 21,8 22 22 22 22 22	10 10 10 10 9,8 9,8 10 9,8 10 10 10	12,06 12,06 6,78 6,78 6,78 6,28 6,28 6,28 7,6 7,6 7,6	0 0 6,78 6,78 6,78 6,28 6,28 6,28 4,91 4,91 4,91	149 149 151 147 144 382 282 281 389 282 285	3850 3550 3290 3250 3270 3260 3260 3460 3640 3520 3640	5,4 2,3 2,3 4,3 5,4 5,4 3,2 4,3 5,4 3,2 4,3	20 8 8 16 20 20 12 16 20 12 16	24 32,9 68 40,1 29,5 58 81 70 66,5 77 74	23,6 37 64,9 42,2 32,4 60,2 81,1 71,1 69,6 75,3 71,9	1,/ —12,4 4,4 —2,7 —9,8 —3,1 —0,1 —1,3 —4,7 2,2 2,8
Продолжение табл. 1.8
Марка образца	Размеры сечения, см				Армирование		Марка бетона	Предел текучести стали, кг/см2	Эксцентрицитеты приложения нагрузки		Несущая способ- ность, т			£юо%
	h		ьп	ь	^а	F'a			ех	еу			™ э
ДК-5-1 ДК-5-2 ДК-5-3 ДК-6-1 ДК-6-2 ДК-6-3 ДК-7-1 ДК-7-2 ДК-7-3 ДК-8-1 ДК-8-2 ДК-8-3 ДК-9-1 ДК-9-2 ДК-9-3 ДК-9-4 ДК-9-5 ТК-1-1 ТК-1-2 ТК-2-1 ТК-2-2 ТК-3-1 ТК-3-2	33 32,9 33 33 33 33 33 33 32,8 32,9 33 33 33,2 33 33,5 33,4 33 33 33 33 33 33 33 33,6	9,6 10 10 9,6 10 10 10 9,4 10 10 10 10 10 10 10 10 10 9,1 10 8,1 8 8 8 21,5 Л 1	21,6 22 22 21,6 22 22 21,8 21,4 22 22 22 22 22 22 22 22,1 21,9 21,8 22 22 22 22 22	10 10 10 10 10 10 10 10 9,8 10 Ю Ю 9,8 Ю 9,6 9,6 10,5 10 9,8 8,1 8,3 5,7 6	6,16 6,16 6,16 8,04 8,04 8,04 6,28 6,28 6,28 7,35 7,35 7,35 3,14 3,14 3,14 3,14 3,14 3,14 3,14 3,14 3,14 3,14 3,14 3,08 4,91 4,91 4,91 4,91 4,91 4,91	6,16 6,16 6,16 4,52 4,52 4,52 6,28 6,28 6,28 5,34 5,34 5,34 1,13 1,13 1,13 1,13 1,13 1,13 1,13 2,26 2,26 2,26 2,26 3,08	357 275 295 314 275 301 351 239 280 369 239 297 233 233 213 209 213 229 226 241 239 233 231 191	3450 3440 3490 3450 3430 3690 3420 3460 3370 3300 3520 3350 3620 3630 3590 3590 3590 3640 3560 3580 3630 3700 3680 3510	5,4 3,2 4,3 5,4 3,2 4,3 5,4 3,2 4,3 5,4 3,2 4,3 2,1 2,7 3,5 3,6 4,3 2,8 2,5 2,8 2,5 2,8 2,5 4,7	20 12 16 20 12 16 20 12 16 20 12 16 8 10 13 14 16 16 14 16 14 16 14 13	56,4 75 69 55,5 69 65 52 69 60 53,4 64,5 65 67,4 55,7 46 42,8 40,1 43 48 38 45 31 40 42	58 76,5 66,4 58,2 71,3 69,7 53,5 70,1 63,1 56,4 67,4 65,5 64,7 56,1 47,3 44,5 39,4 43,9 49,7 37,4 43,4 31,6 41,2 46,9	—2,9 —2 3,8 —4,9 —3,3 —7,2 —2,9 —1,6 —5,2 —5,6 —4,5 —0,8 4 —0,7 —2,8 —4,7 1,5 —1,6 —3,5 1,6 3,6 —1,9 —3,3 —11,6
ПК-1						1,54	249	3550	3,6	10	72	73,3	—1,7
ПК-2	33	21 21,5 21,5 21,1 01 Q				1,64	294	3530	2,9	8	98	97,1	0,9
ПК-3	32					1,54	261	3500	5,1	14	56	58,9	—5,2
ПК-4	33, 1					1,54	. 282	3510	5,8	16	49	46,7	4,5
ПК-5	32,7					1,54	274	3460	4,7	13	62	63,4	—2,3
ПК-6 ПК-7	33 32,9	21, о 22,3	—	—,		1,54	259	3470	4,7	13	62	62	— 1,6
Принимаем 3 0 12 АП + 2018 АП (£а = 8,48 см2). Кроме того,
1 0 12 АП поставим конструктивно в углу сечения, прилегающем к ней-
тральной оси. Расположение стержней в сечении показано на рис. 1.18,6.
Стержни 6 и 12 конструктивные.
1.11. СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИ ВЫЧИСЛЕННОЙ НЕСУЩЕЙ
СПОСОБНОСТИ С ПОЛУЧЕННОЙ ИЗ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
Предложенная методика применима при расчете на косое вне-
центренное сжатие и косое внецентренное обжатие железобетонных
элементов различных практически применимых сечений и при раз-
личном армировании.	к
По изложенной методике определены теоретические разруша-
ющие нагрузки для кососжимаемых железобетонных элементов,
испытанных авторами и имеющихся в литературе [9,10,60]. Сравне-
ние теоретически вычисленных разрушающих усилий с полученны-
ми экспериментально (табл. 1.8) дает хорошую сходимость.
ГЛАВА II
КОСОЙ ИЗГИБ ЭЛЕМЕНТОВ ТАВРОВОГО.
Т-ОБРАЗНОГО И ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЙ
П.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Раздельный способ расчета железобетонных элементов, подвер-
женных косому изгибу в двух взаимно перпендикулярных плоско-
стях, не отвечает действительной работе сечения и требует в не-
которых случаях перерасхода арматурной стали до 40%.
Продольные стержни арматуры, расположенные в полке тавро-
вого сечения балки и рассчитанные на растяжение при изгибе от
скатной составляющей нагрузки покрытия или от тормозного уси-
лия подкрановой балки, в действительности полностью или частич-
но расположены в сжатой зоне, а напрягаемая арматура, располо-
женная в сжатой зоне бетона, в большинстве случаев уменьшает
несущую способность изгибаемого элемента. Поэтому такие эле-
менты следует рассчитывать как работающие на косой изгиб, что
приближает расчет к действительному характеру работы сечения.
Рассмотрим сначала элементы таврового сечения с двойной ар-
матурой, так как из уравнений для расчета этого сечения, как част-
ный случай, получим формулы для расчета на косой и на плоский
изгиб элементов других поперечных сечений с одиночной и двойной
арматурой.
Дискретное расположение арматуры по сечению заменяется рав-
номерно распределенным. Сечение углового стержня относится
к площади Fa, расположенной параллельно оси х.
Общие условия предельного равновесия выражаются уравне-
ниями:
2Z =	0;	(II.1)
%МХ =	0;	(II.2)
ЪМу =	0.	(П.З)
Здесь SZ — сумма проекций всех сил на ось, перпендикулярную
плоскости чертежа; — сумма моментов всех сил относительно
оси Xlf нормальной к плоскости действия момента внешних сил Мх
и проходящей через точку приложения равнодействующей усилий
в арматуре 2МУ — сумма моментов всех сил относительно оси
57
Уъ нормальной к плоскости действия момента внешних сил Му
и проходящей через точку приложения равнодействующей усилий
в арматуре fy.
Из общих уравнений предельного равновесия получим необ-
ходимые расчетные формулы для всех практически возможных
случаев положения ней-
тральной оси (рис. II. 1).
Классификация случаев
аналогична излаженной в
п. 1.1.
П.2. СЛУЧАЙ I ПОЛОЖЕНИЯ
НЕЙТРАЛЬНОЙ ОСИ
В случае I нейтральная
ось пересекает верхнюю и
боковую грани сечения.
<Pi 1 и (h0 > Ijh > /i„)
(рис. II.2, а).
А. ЭЛЕМЕНТЫ С ДВОЙНОЙ
АРМАТУРОЙ
1. Тавровое сечение
Уравнения предельного
равновесия в развернутом
виде:
#пр £1+ Яир (6п— b}h'a — Ra Fa—Ra p'Fa, (11.4)
	^-B1/i') +
2	\-/
+ tfnp (.bn-b) h'a (h-a. —} -
—RacpFa 0,5vh + Ra p'F& (A—2ax);	(11.5)
MV = 4" ^np 6n ( b—a2---<PX bn +
2	\	о /
+	(bn—b) /in b—a2 4
—7?apFa-0,5ub + Rap'Fa (ub—0,5u'b).	(II.6)
58
В этих уравнениях
Fa = fx + ftr. = Рра+1х>
IX
f £	1	/ Fa	t
cpl\ = fy-, P = ~^~< P al = ai-
Разделив правые и левые части уравнения (II.4) на R^b^h,
уравнения (II.5) на 7?прО2 и уравнения (11.6) на 7?пр6п% и обо-
значив
Рис. П.2
получим те же уравнения в безразмерном виде:
-у?1Ф1+® = ай(1—р');	(П-7)
-А-=аОх=4- ъ Ф1 (1 - 6,-4- £i)+
ЯпрЬпЛ2	2 к	3 J
+ ® ^1 —6,—4") — 0,5апсри + апр' (1 —26,);	(П.8)
МУ л 1 е ( , s ,	1	\ ,
----^- = лоу = -Г^(Р1 Р1 — М--Г45! +
Рпрб'пЛ	2 к	3	/
4-ю Р]' —62 т]'4~	—Ободрит)' + anPz («-'0,5м') rf. (11.9)
59
Подставляя в уравнения (II.8) и (II.9) значения |хфх из уравне-
ния (II.7), после преобразования получим:
ЛОх = ап[Л'—+	(11.10)
О	J о
4>у = апГБ'т]-7(1— Р')Ф11 + 4“°^1 + Г1-	<П11)
L	о	J О
Здесь
Д' = (1 —6Х) (1 —р') —0,5сро + р' (1 — 26,);	(II. 12)
Б' = (1 —62) (1 —р')_0,5«р + (и—0,5ы') р';	(11.13)
Вх=у®у';	(11.14)
^ = ^(1-4').	(П-15)
Если и' = и, т. е. если арматура F'a располагается по ширине ребра
сечения на таком же горизонтальном участке, как и растянутая
арматура /х, то
Б' - (1 - 62) (1 - р') - 0,5 и (р - р').	(11.16)
Коэффициенты и <рх, определяющие положение нейтральной
оси, найдем из формулы (II.7) и из отношения
Подставив сюда ДОх, Аву из формул (11.10), (11.11) и из (II.7),
после преобразования и решения квадратного уравнения получим
: -ЗКХ ± V9Ki +8ХП [ап (1 —р')—со]3	щ
1	2 [ап (1 —р')—со]	’	' • ''
где
Ki = А'Хпап — Б'г)'ап — В,ХП — Г,.	(11.18)
Прочность проверяем по формуле
Мх < Л0х7?прО2.	(П.19)
Высоту элемента h и площадь поперечного сечения арматуры
определяем по формулам:
Мх
^0Х ^пр
60
или
у Аох ^пр
ссп Rnp b' h	а7?пр bh
F„ =----------- или F. =--------—
a Ra	a Ra
(11.20)
(11.21)
Fa - p'Fa.	(11.22)
Здесь yh — h!b\ if = blb^.
Величиной а = |л7?а/7?пр, как обычно, задаемся.
По формулам (11.19) — (11.22) поверяем прочность и определяем
высоту и площадь сечения арматуры элемента при любом практи-
чески возможном положении нейтральной оси для всех рассматри-
ваемых видов поперечного сечения с одиночной и двойной арма-
турой при косом и плоском изгибе.
В подкрановых балках и сборных прогонах покрытий значения
коэффициентов, входящих в уравнения, колеблются в таких пре-
делах:
А	пл
— = Vh— » 2 » 4;
О
^- = 61 = 6j—от 0,5 до 0,12;
-^ = 6,=	» 0,08 » 0,15.
6	2	’
Удовлетворяя до некоторой степени условию рационального раз-
мещения арматуры в растянутой зоне бетона, значения v и и можно
определять по формулам:
где
2,5Х2	1
V =--’--—. ,
0,5 + 2,5Х %
м=1— 26а — V-!—,
2	1—2бх
(11.22')
и
Ъ =—•— = tg $yh.
мх ь ™
Из условия удобства размещения арматуры fx по ширине ребра
сечения и в запас прочности можно принимать
и = 1—2 б2.
61
Для подкрановых балок р — F^IF^ ~ 0,2	0,4.
Значение с принимаем равным
Му
Мх
с — %п —
Лох
h f i. о h ,
. — 1] =tgp-*-T)'.
b	b
2. Г-образное сечение 1
а) Свес плиты слева2. Формулы для элементов Г-образного и
прямоугольного поперечного сечения получим из приведенных
выше общих формул.
При отсутствии части плиты, распо-
ложенной с правой стороны таврового
сечения, в уравнениях предельного
равновесия члены, зависящие от этой
части поперечного сечения, приравни-
ваем (нулю, т. е. со = О, Вх = 0, Г\ = 0.
Формулы для расчета Г-образных
сечений принимают вид:
g1 = 2 М1"?.').;	(11.23)
Ф1
ЛОх = апГд'—L(I-p')d; (11.24)
О	J
Лор = «п[б'п'-4-(1-Р')Ф1]; <IL25)
1	*3	I
Ф1=—(П.26)
Здесь
Д1 = (А'Хп-Б'т1')(г-^7).	(II.27)
б) Свес плиты справа. Для Г-образного сечения с плитой справа
(рис. II.3), подставив в уравнения (II.4) — (II.6) значение фхЬ
вместо Ф1&п и разделив уравнение (II.4) на Rnpbh, уравнение (II.5)
на и уравнение (II.6) на R^&h, после преобразования по-
лучим уравнения в безразмерном виде:
1 Кроме расчета на косой изгиб Г-образное поперечное сечение следует
рассчитывать на кручение или на косой изгиб с кручением (см. главу IV).
2 Понятия «свес плиты слева» и «свес плиты справа» связаны с постоян-
ным положением силовой плоскости, определяемым углом 0.
62
Г	(О 1
2 а(1—р')——
= ---------1_!;	(ц.23')
Ф1
Ах = а Г А' -4 (1 -р') 5x1 + 4“(П-24')
L	з	j	з т/
Ду = а[Б'-4-(1-Р')Ф11 + 4-^-(Р1 + Г1;	(П-25')
L	з	j	о «I
-ЗК1±1/ 9/С1 +8Х |а(1-Р')--4]3
Ф1 =-----L_--------1--------11.	(П.26')
Г	(Bl
2 а (1 —р') ——
L	П 1
Кг = А'%а — Б'а — ВД — Гх.	(11.27')
Здесь
D 1 й , г 1	© Л	1 Mv h , a h .
B‘“TVT;
a = _Fa*a.
^np
3. Прямоугольное сечение
При расчете балок прямоугольного поперечного сечения
Б. ЭЛЕМЕНТЫ С ОДИНОЧНОЙ АРМАТУРОЙ
1. Тавровое сечение
В элементах таврового сечения с одиночной арматурой F'a = О
и р' — 0; при этом формулы (II.7), (11.10) — (11.13) принимают
вид:
Е. _ 2(ап—со) . Фс ’	(II. 33)
о К II я и “1“ СГГО + S ст 1	(11.34)
Ав = «п(Б11'	Н—^-юсрх + Гг, \	0/0	(11.35)
А = 1 — бх—0,5сри;	(11.36)
Б = 1 —62 —0,5р«; -3/Q ± Уэ/q +8% (ап—со)3 Фх=	; 2 (<рп—СО)	(11.37) (11.38)
/С1 = А%пап—Бт|'ап—Вх1—Гх;	(11.39)
2. Г-образное сечение
а)	Свес плиты слева. Полагая в формулах (11.33) — (11.39)
со = 0, Вх = 0 и Гх = 0 или формулах (11.23) — (11.27) р' = 0,
получим формулы для Г-образного сечения:
	2ап .	(11.40)
Ах = 1	Ф1	(П-41)
А» = “п(БЧ'	1	со	\ “ о , Ф1 : 2 п	)	(11.42)
3 cpi = —— А ±	|/^-A?+2Xan;	(11.43)
= А%П-БП'.
(11.44)
64
б)	Свес плиты справа. Полагая в формулах (11.23') — (11.27')
р' = 0, получим формулы для рассматриваемого случая:
{	(0 \
2 I а — —~ I
= —(П.40')
Ф1
лОх=а(А—(11,41')
\	3	)	3 т]
Аоу = а(Б—фх + П;	(11,42')
\	3	/ о Т]
—ЗК1 ± 1 f 9Х^+8Х(а—
ф1в5 ----L—----А.. nJ... ; ,	(П.43')
Л W \
2 а ——7 )
\ V /
= АХа —Ба —ВА—ГР . .	(11.44')
3. Прямоугольное сечение
Для прямоугольного поперечного сечения т]' — 1; ап — а:
Хп = X = tgpA/б и формулы (11.40) — (11.44) принимают вид:
с. _ 2а Ъ1 — •	»	(11.45)
Ф1	
\ /	(11.46)
Aj, = a( Б	; \	о	/	(П.47)
Ф1=-4/<1±'|/тл?+2Ха;	(11.48)
Д'1 = АХ —Б.	(11.49)
11.3. СЛУЧАЙ I-а ПОЛОЖЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОЙ ОСИ
В случае I-а нейтральная ось пересекает верхнюю и нижнюю
грани плит; 1 и < hn.
А. ТАВРОВОЕ СЕЧЕНИЕ С ДВОЙНОЙ АРМАТУРОЙ
Для упрощения расчетных формул пренебрегаем небольшой
частью сжатой зоны (рис. II.5). Тогда уравнения предельного рав-
новесия принимают вид:
- 3 Зак. 731
65
-j- ^пр51Й1 bn + ЯПр (6п—b) ^h = Ra Fa (1 —р'); (11.50)
Мх -^пр Si ^Ф1 f Л	Q 5i h 4-
+ #пр (.bn—b) h f h—at—	) — Ra cpFa • O,5vh +
+ RaP' Fa (h—2a&
(11.51)
Рис. II.5
Aft, —-^- Rnp bn [b a2
---7 Ф1^п ) +ЯщЖ — b)^hx
<J	J
X (&-a2 + -^)-RapFa-0,5W6 +
+ Rap’Fa(ub—O,5u'b). (11.52)
В безразмерном выражении эти
уравнения после преобразования
имеют вид:
-i- 5i ч>1+(1—я') 51=% (1 — р');
(11.53)
_ Д =п
Rnpbah2 Ох
—-L(l-il'K?;	'(П.54)
О
Г	1
М— =Л0У = ап Б'т)'-------------(1— р')Ф1 +
&п П
+-|-(i-n')(i-p,)]-4(1-ii')2^	<п-55)
о	о
Значение фх определяется из уравнения (11.53), а — из от-
ношения Хп = AoylAox, из которого после преобразования получаем
кубическое уравнение:
??+^о5?-^о51-й-О,	(11.56)
где
2ап(1— р')	1—Л' .
а(} ------------— ,
1—п	Лп
66
лп (i—л ) L	л	J
Б. ТАВРОВОЕ СЕЧЕНИЕ С ОДИНОЧНОЙ АРМАТУРОЙ
Полагая в формулах (11.53) — (11.56) р' — 0, получим урав-
нения:
+	Ч')£1= «п;	’	(11.57)
4=JA-A)-1(1-i]')£?;	(11.58)
АОу = ап[Бп'—+	(IL59>
L з з J о
где определяется из кубического уравнения (11.56), коэффи-
циенты которого имеют значения:
=гтгп^ [ А%п- Бт1' - 4 (1	•
Ап(1 —n )L	3 J
Значения А и Б определяются по формулам (11.36), (11.37).
В. Г-ОБРАЗНОЕ СЕЧЕНИЕ С ДВОЙНОЙ АРМАТУРОЙ
Свес плиты справа. Подставив в уравнения (11.50) — (11.52)
вместо фх6п и разделив уравнение (11.50) на Rn^bht уравнение
(II.51) на /?пр№2 и уравнение (II.52) на Ravb2h, после преобразова-
ния получим в безразмерном выражении:	t
\ Л /
+vf4-iV1-^]-4(4-iy^	<п-62)
3 \ л / J 6 \т)'	/
Значения коэффициентов, определяющих положение нейтраль-
ной оси, найдем из уравнения (11.60), а — из отношения X =
— Аъу!Аъх-
з*
67
После подстановки значений AOv и АОа- и преобразования по-
лучим кубическое уравнение:
^ + ао1?-М1-со = 0,
(11.63)
где
а0
1
2«(1—р')	Т]'
X
——1
Г]'
Ь,
'о
6а
А'Х-Б' —
с0 = 4а2
(1-р'Р
Г. Г-ОБРАЗНОЕ СЕЧЕНИЕ С ОДИНОЧНОЙ АРМАТУРОЙ
Свес плиты справа. Полагая в уравнениях (11.60) — (11.63)
р' = 0, получим;
4" В1Ф1+ (4—1кх = а;
*	\ Л /
ДОх = а(А-4-^-4-(4—
\	3	/	6 \т]'	/
(11.64)
(11.65)
68
11.4. СЛУЧАЙ II ПОЛОЖЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОЙ ОСИ
В случае II нейтральная ось пересекает боковые грани плиты
и ребра балки; <рх > 1 и /гп.
А. ЭЛЕМЕНТЫ С ДВОЙНОЙ АРМАТУРОЙ
1.	Тавровое сечение
Уравнения предельного равновесия для таврового сечения
(рис. II.6) имеют вид:
ЯПР51 hb'a--±-Rnp Воhb'a + Япр(bn-b)ha = RaFa(l -р'); (11.67)
ЛТд. — 7?прАЬП \h aY
---Rvnlofibn
+ 4-5о^+/?пр(bn-b)-h„ х
X (h~aL-^-RscpFa-0,5vh+
+ Rap’Fa(h-2a^ (11.68)
M^R^hb^b-a*-^-
1	, (	2	\
2~ пр Bo bbn b a2 3* bn J
+ #np(^n— b) h'a (b—a^
+ ~^2^) — R^pFa -0,5ub + Rap' Fa-0,5u'b.	(П.69)
В безразмерной форме:
В1 = ап(1-Р') + -£-Во-®;	(11.70)
—= ЛОх = ап [А' -0,5 ап (1 -р')2 +
^хпр “и
+ ®(l-p')l-^-BS-B2;	(11.71)
^7 = Лр = «п1Б'п'-0,5(1-р')]+ -i-£o + ra.	(11.72)
с?п ”	lx-
69
Здесь
B2 = ±(o(W+V');	(П.73)
Г2 = -Асо(2 —if).
Значение Вх определяется из уравнения (11.70), а Во — из отно-
шения % = Аоу1Аох, из которого после преобразования получим
квадратное уравнение
+ 2В0 - К2 - 0.	(П.74)
Отсюда
^2 — В1' ^0-
Здесь
=- 24 {ап [А' Хп—Б' if-0,5%пап(1 -р')2 + 0,5 (1 -р') +.
+ Хпо)(1-р')]-В2%п—Г2}.	(11.76)
2.	Г-образное сечение
а)	Свес плиты слева. При а = 0, В3 = 0 и Г2 = 0 уравнения
принимают вид:
^ = an(l-p')+-A-U	(11.77)
Аж = ап [А' -0,5ап(1 -р')2]-± Vo;	(П.78)
Айу = ап [Б' if — 0,5 (1 -р')] + А V;	(П.79)
Значение Во определяется по формуле (11.75), но для Г-образ-
ного сечения
А2 = 24ап[А'Хп — Б'п' — 0,5Хап(1 — р')2 + 0,5(1 — р')].(11.80)
б)	Свес плиты справа. Подставив в первый и второй члены урав-
нений (11.67) — (11.69) значение b вместо Ь„ и разделив уравнение
(II.67) на R^bh, уравнение (II.68) на Rnvbh? и уравнение (II.69)
на Ravb2h, после преобразования получим безразмерные выраже-
ния:
В1 = а(1-Р') + -Ав«-Л;	(П-81)
Z	Т]
70
Дж = а [А' -0,5 а (1 -р')2+(1 ~Р')	BS-B2; (11.82)
Ду = а [Б' —0,5 (1 —р')] Д — £0ДГ2;	(11.83)
Лз = 24 {а [А' %—Б' —0,5А.а(1 —р')2 Д0.5 (1 —р') +
+ Х-^(1-р')]-В2Х-Г2к	(11.84)
П	J
Здесь
Г2 = —.
2	2т)'2
Значение £0 определяется по формуле (11.75); |2 =	— |0-
3.	Прямоугольное сечение
Для прямоугольного поперечного сечения при т]' — 1 и ап = а
формулы (11.77) — (11.80) приводятся к виду:
?1_а(1_р') + Д_^;	(П.85)
Дж = а[А'-0,5а(1-р')2]-Ад§;	(11.86)
Ду = а[Б'—0,5(1 —р')]+(П.87)
= 24 а [А'Л, — Б' — 0,5 Ха (1 — р')2 + 0,5 (1 — р')]. (11.88)
Б. ЭЛЕМЕНТЫ С ОДИНОЧНОЙ АРМАТУРОЙ
1.	Тавровое сечение
При F' = 0 и р' = 0 формулы (11.70) — (11.73) и (11.75) — (11.76)
принимают вид:
£1 = «п+-у Во—®;	(11.89)
Дж = ап (А — 0,5ап Д ®) — -Д- £о—В2;	(11.90)
Ду = ап(Бп — О,5) + -^о + Г2;	(11.91)
71
_1±.у1+Кд
So —-----:----
(11.92)
Ki = 24 [ап (AX — Бт]' — 0,5Хац + 0,5 + Хю) — В2Х — Г2].(11.93)
2.	Г-образное сечение
а)	Свес плиты слева. В уравнениях (11.77) — (11.80) при оди-
ночной арматуре р' = 0 они принимают вид:
11 = «п + 4-Во;	(П.94)
АОх = ап(А-0,5ап)-^;	’	(П.95)'
Л0» = ап(Бт)'-0,5)+~6о;	"	(11.96)
Кг = 24 ап (АХП - Бт)' - 0,5Хпац + 0,5).	(П.97)
б)	Свес плиты справа. Уравнения (П.81) — (11.84) при р' = 0
принимают вид:
В1 = а + -у&>-~;	(П.98)
Дж = а(А-0,5а + -^-)-^-В2;	(П.99)
Аов = а(Б—O,5) + -i-Bo + ra;	(П.100)
К2 = 24 |а^АХ—Б—0,5Ха + 0,5 + X -р-) —В2 X—Г2] . (II. 101)
3.	Прямоугольное сечение
Уравнения (11.85) — (11.88) при р' = 0 имеют вид:
^ = <* + 4-^	'	(И-Ю2)
АОж = а(А —,0,5а)—(11.103)
Лоу = а (Б- 0,5)+ -!&;	(11.104)
К2 = 24 а (АХ — Б — 0,5 Ха + 0,5). (II. 105)
Значение £0 определяется по формуле (11.92); А и Б по формулам
(П.36) и (11.37).	. ’		'
72
П.5. СЛУЧАЙ П-а ПОЛОЖЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОЙ ОСИ
В случае П-а нейтральная ось пересекает боковую и нижнюю
грани плиты; фх > 1 и < Ап. Случай возможен при тавровом
и Г-образном сечении со свесом плиты справа.
А. ТАВРОВОЕ СЕЧЕНИЕ С ДВОЙНОЙ АРМАТУРОЙ
В тавровом сечении (рис. II.7), пренебрегая небольшой частью
сжатой зоны плиты, для упрощения расчетных формул уравнения
предельного равновесия можно представить так:
^пр	2~^ПР ^п"Ь^пр (^п
— 6)^^ = ^аГа(1—р'); (11.106)
Мх ~ ^пр S1 %------—
—^-/?пр^ЛбЦЛ—а1—^1й +
+	+^?пр(^п—
О	/
X (h— ay-RacpFax
X 0;5vh + Rap’Fa (h—ZaJ-, (II. 107)
Л1 и = 7?Пр /г&п а2 —	—
—Т^прIohb^b-a^-^-6п) + япр(6'_6)_
— RapF&.0,5ub + Rap'Fa-0,5ub.	(11.108)
В безразмерном выражении:
51 = ..2«п(1-р,)+^	(II. 109)
2(2—п')	V
лОж=оф'-0,5^-Jl-P')2ап]-^(4-^) Во; (П.И0)
Л0у = ап[Б'т1'-0,5(1-р')т1']+^-(4-Зг1')1о. (П.Ш)
Коэффициенты £1 и 5о определяются из равенства (11.109) и отно-
шения Хп = Aqu/AOx', после подстановки значений ЛОд: и Ао#,
преобразования и решения квадратного уравнения получим
73
_(4-Зт1')±1/ (4-34')* + ^ 4---------;
-----------------------—-----л , (П.П2)
где
= 24апFa' 7П—Б' П' ~0.5^п ~~Р оСп + 0,5(1 —р') т)' 1.
L	2—т]'		J
(11.113)
Б. ТАВРОВОЕ СЕЧЕНИЕ С ОДИНОЧНОЙ АРМАТУРОЙ
При р' = 0 уравнения (11.109) — (11.113) имеют вид:
1
+	.	(11.114)
2(2— т]')	2 — 1]'
& (11.115)
(ПИ6)
Л2 = 24ап( АХП—Бп' —0,5Хп—!—ап.-0,5п' V (11.117)
\	2—т]'	J
В. Г-ОБРАЗНОЕ СЕЧЕНИЕ С ДВОЙНОЙ
И ОДИНОЧНОЙ АРМАТУРОЙ
а)	Элементы с двойной арматурой. Подставив в первые два члена
уравнений (11.106) — (11.108) b вместо Ь'а и разделив эти уравнения:
(11.106) на Ruvbh, (11.107) на 7?npWi2 и (11.108) на 7?np62/i, после
преобразования получим уравнения для Г-образного поперечного
сечения в безразмерном выражении:
g1 = [a(l-p') + -i-go]n';	(П-118)
АОх = а [А' -0,5а (1 -р')2 n']-J- (4-3n') (II. 119)
АОу = а Б'—0,5 (1 —р')
+tH4-3(2“v)>
(11.120)
74
Значения коэффициентов и £0 определяются из равенства
(11.118), и после подстановки значений AQy и АОх в отношение
X = Aq /Aqx, преобразования и решения квадратного уравнения
получим
где
/С2 = 24а [А' Z—Б' — 0,5Za (1 —р')2 т)' +
+ 0,5(1— р') (2--Ml.	(11.122)
\ Л' /J
б)	Элементы с одиночной арматурой. Приняв в уравнениях
(11.118) — (11.122) р’ = 0, получим
Bi = (a + yBo)+:	(П.П8')
Ax = a(A-0,5an')-^-(4-3r1')g§;	(П.119')
Д, = а(Б-0,5) (2---------М + -М4—3 (2—MR; (11.120')
\ л ) 12 L Ал /J
К2 = 24а
АХ—Б —0,5%ат]' +0,5 ( 2-М].
\ Л' Л
(11.122')
П.6. СЛУЧАИ III ПОЛОЖЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОЙ ОСИ
В случае III нейтральная ось пересекает боковые грани ребра;
hh > йп и > h„.
А. ЭЛЕМЕНТЫ С ДВОЙНОЙ АРМАТУРОЙ
1. Тавровое сечение
При тавровом сечении (рис. II.8) уравнения предельного равно- *
весия для этого случая положения нейтральной оси имеют вид:
Япр 11 hb—i- Япр hb + /?пр 2 (&' -Ь) к = Ra Fa—Ra р' Fa, (II. 123)
Mx = Rlwh hb (h—ci!—X-^h 'j —
---\_Rn^b	+	+
/
75
+ 7?np2(6'-6)/i'(/I-a1—h-i
—Ra cpF& • 0,5vh + 7?a p' F&(h—2ar);	(11.124)
My	g a2^	Rnp Bo hb ( b—a2——
\ ~	/	\	о J
4-/?пр 2	— b)h'n ( ~-a2'j — R’pF&-0,5ub +Rap' Fa-0,5u'b.
(11.125)
В безразмерном выражении эти
уравнения после преобразования
представляются в виде:
2	т]'
(11.126)
АОх = а |А'—0,5а (1 — р')а +
(11.127)
 Л0¥ = а(Б' — 0,5(1 — Р/)] + ~"Во,
(11.128)
где
в8=-^ (г-^+т').
п' \ л J
(11.129)
Величину 1о и в данном случае определяем из отношения % =
= Аоу/Аох, а именно:
. _ — 1 i	1 + Кз X
;о~
(11.130)
где
Кз=.24(а[А'Х -Б'—0,5Х(1—р')2а + 0,5(1-р') +
+ 2_^Х(1-р')]-В3%}.
(11.131)
76
2. Г-образное сечение
При свесе плиты слева уравнения предельного равновесия для
этого поперечного сечения имеют вид:
Япр 11 ЛЬ-у Япр Во hb + /?пр(b^-b) h'a = Ra Fa (1 —р'); (11.132)
Мх = #пр Bi hb (h—av—L|х h ) —
—Rnp Bo hb । h——|x h 4- — |o h 'j 4~
Z	\	о )
+ Rnp (b’ -b) h' (h-ax —) -
—Ra cpFa-0,5vh-\- Ra p' Fa (h—2ax);	(11.133)
My = Rnp lxhb (y-a2) - V^nphb (6-a2-4 -
-#np (^n- b) h; + a2) - 0,5fla Fa b (up-u'p'Y (II. 134)
Эти же уравнения в безразмерном виде:
lx = a(l-p') + v^—v;	(IL135)
Дх = а[ A'-0,5(1-p')2 a + 4- (l-p')l~- B§ —(11.136)
L	i]'	J 24
Др = а[Б'-0,5(1-p')] + -Lg0 + r3;	(11.137)
Вз=~Л(Л-н'');	(ILI38)
rJ = 2-.-i.. •	(П.139)
z I]
При определении |0 по формуле (11.130)
А3 = 24{а|А'Х—Б, — 0,5Ц1—р')2а + 0,5(1—р') +
+ у-(1-р')Х|-В^ + Г3}.	(11.140)
При свесе плиты справа расчет производят по формулам (11.81) —
(11.84).
77
Б. ЭЛЕМЕНТЫ С ОДИНОЧНОЙ АРМАТУРОЙ
1. Тавровое сечение
При F'а' = 0 и р' = 0 формулы принимают вид:
сЛгР 11 8 + ND | — cm о to Ч |е		(П.141>
Ах = а ( А—0,5а + 2 \	Л /	24	-В3;	(II.142)
Ар — а (Б—0,5) + —10;		(II.143)
В3 = -^- ( 2 4 + И ;		(11.144)
п \ п	/		
£	—1 ± 1/ 1 + Кз А е S°	X		(II.145)
А3 = 24 Га (АХ—Б—0,5Ха + 0,5 + 2 — х' L \	и' .	J + в3 aJ .	(II.146)
2. Г-образное сечение
При свесе плиты слева для расчета поперечного сечения с оди-
ночной арматурой (р' = 0) формулы (11.135) — (11.137) и (II. 140)
представляются так:
£i = a + -^0—(11.147)
Л0х = а(А-0,5а + 4-)-^-В8;	(П.148)
ЛОи = а(Б—0,5) +-1. g0-Г3;	(П.149)
Рис. П.9
К3 = 24 |а (АХ - Б—0,5Ха + 0,5 +
+ -^-Х")-Вз + Г31. (11.150)
Т) /	J
При свесе плиты справа рас-
чет производится по формулам
(11.98) — (11.101).
В расчете элементов таврово-
го и Г-образного поперечных сече-
ний, при II и III случаях положе-
ния нейтральной оси, она может
пересекать нижнюю горизонталь-
ную грань плиты (слева) и боковую
78
грань ребра (справа) (рис. II.9). В зависимости от величины d рас-
чет производят: при d (6„ — Ь): 2 — по формулам случая II по-
ложения нейтральной оси; при d > (6„ — Ь) :2 — по формулам
случая III.
II.7. СИММЕТРИЧНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ АРМАТУРЫ
В РАСТЯНУТОЙ ЗОНЕ
При переменном знаке изгибающего момента Му косоизгиба-
емые железобетонные элементы следует проектировать с симметрич-
ным расположением арматуры в растянутой зоне (рис. И.2,б). Та-
кое расположение арматуры влияет только на величины изгибающих
моментов от усилий в арматуре, т. е. на величину Л1х>а и Му^.
Полная площадь растянутой арматуры Fa = fx + 2fy. При
f ytfx ~ С
Ра = fx + 2 cfx = fx (14-2 c).'
При этом
fy = cf = cpFa,
где p = 1: (1 4- 2 c).
Изгибающие моменты от усилий в арматуре относительно осей
Д и Ур
Мж,а = Р^Р 2 + Р. (Л-2«1);
Мй1а = — RapFa • Q,5ub' R&cpF&ub 4- Rip'Pa (ub — 0,5 u'b).
В безразмерном выражении эти моменты имеют вид:
Ах,а = —	4- р'ап (1—2 бх);
4У)а = — 0,5 апр«т/ — cpaninf 4- <%пр' (и — 0,5 и') rf.
При этом
А'= (1 -Д) ( 1 - р') - cpv 4- р' (1 - 2 6i); (II.12')
Б'= (1 — 62) (1 — р') — 0,5 ри — сри + р' (и — 0,5 и'). (II.13')
При одиночном армировании р' = F'JFa = 0, и тогда
А = (1 — оу) — cpv\
Б = (1 —62) — 0,5 ри — сри,
где
1	му	h	х о h	.
р =---------; с =—- .— = tgВ — то'.
4- 2с	Mr	bn	SK b 1
79
11.8. РАСЧЕТ НА КОСОЙ ИЗГИБ ЭЛЕМЕНТОВ ТАВРОВОГО
И Г-ОБРАЗНОГО СЕЧЕНИЯ С ПЛИТОЙ
В РАСТЯНУТОЙ ЗОНЕ
Случай косого изгиба элементов таврового и Г-образного се-
чения с плитой в растянутой зоне встречается в ригелях наружных
стен каркасных зданий, при одновременном действии ветровой на-
грузки и нагрузки от заполнения каркаса, а также в неразрезных
подкрановых балках — в сечениях с отрицательными моментами.
При этом практически возможны только два случая положения ней-
тральной оси.
А. ТАВРОВОЕ СЕЧЕНИЕ
Случай I положения нейтральной оси
В случае I нейтральная ось пересекает верхнюю и боковую гра-
ни ребра элемента <рх; 1 (рис. 11.10, а).
hn-2o<
Рис. 11.10
1.	Элементы с двойной арматурой
Уравнения предельного равновесия:
±Rav&i4ib = RaFa(l-p'y,	(П.151>
Мх= -1- R^h^b (Н-а^——
Z	\	о /
- Ra epF Л Лп~2а1. + Ra р' F& (h-taj-	(II.152>
80
МУ	а2---—
-Ra pFa О,Sub + R& cpFa (ba-b) + RaP’Fa (мй-0,5м'b).	(II. 153)
После преобразования в безразмерном виде получаем:
.2а(1~р,) ;	(11.154)
<Pi
Л^а^'—А-О-р')^];	(П.155)
О	J
ЛОу = а^Б1--(1 —д') q>/|,
(11.156)
где
а;=(1—6^(1—р')—срх
х (-J-—6^+ р'(1—26х); (11.157)
Б1 =(1— б2)(1 — р') — 0,5ри + ср х
х f —----Н +р' (и—0,5^').
\ ч /
(11.158)
При расположении арматуры
fx в растянутой зоне на участке
Ьп — 2 а2 (рис. 11.10, б) А( остает-
ся без изменения и определяется
по (11.157), а
Б1' = (1 — 62)(1 — р') + ср (--1) +р' (м—0,5м') —
— 0,5 —!--[м*-( -—2ба—«У] .	(II-.159)
——26.
1
1
- ^2
ч
Вся арматура растянутой зоны располагается симметрично по
отношению к оси Y (рис. 11.11); при этом
А{ = (1 -6Х) (1 -р')- 2ср	+ Р' (1 -26г); (П.160)
б; =(1— б2)(1— р')+ср(1— 2б2)—
—0,5р--------!---- ( ----262V — [-i---1 V] + р' (м — 0,5 м'),
2-L 2S IA Ч /	\ *1	/ J
Г] 2	(11.161)
81
где
„ b	1	1 h„	I	1
ba	1,5	2	' h	8	5
Значение коэффициента фх определяется по формуле (11.31);
при этом
=	Б! (—!—V	(11.162)
\1 — Р' '
2.	Элементы с одиночной арматурой
Полагая в формулах (11.154) — (П.158) и (11.162) р’ = 0, полу-
чим для сечений с одиночной арматурой:
t _ 2а
Si — I
Ф1
АОж = а^ Ах---^-|х) ;
Л» = а(Бх — -уФх) ;
(11.163)
(11.164)
(П.165)
Ai = (l— SJ—cp (y~6i
(11.166)
Бх = (1 — 6Х)—0,5ри-)-ср (—-1
\ П
/С1 = А1%—Бх.
(11.167)
(II. 168)
Рис. 11.12
При расположении арматуры fx
в растянутой зоне на участке
6П — 2а2 (рис. 11.10, б) Аг опре-
деляется по (11.157), а Бх— по
формуле (11.159) при р' = 0.
Если в растянутой зоне арма-
тура расположена симметрично по
отношению к оси симметрии Y
(рис. 11.11), Ах и Бг определяют-
ся соответственно по формулам
(11.160), (11.161) при р' = 0.
Случай II положения
нейтральной оси
В случае II нейтральная ось
пересекает боковые грани ребра;
Фх > 1 (рис. 11.12).
82
1.	Элементы с двойной арматурой
Уравнения равновесия имеют вид:
Япр Bl hb—j- 7?пр ^hb = 7?а Fa (1 —р');	(11.169)
Мх = 7?пр hb (h-ai--L Вхй) -
- v Япр Sohb (h-a^h + -1- Воh\ -
-RacpF&-^^-+Rap'Fa(h-2a1y,	(11.170)
=	lihb(b—a2)—l-Rap %ohb (b—a2—б) —
z	у	О J
— RapFa Q,’bub + RacpFa(bn—b)+Rap'Fa-Q,^u'b. (II.171)
В безразмерном выражении эти же уравнения принимают вид:
В1 = а(1-р') + 4^о;	(11.172)
Аох = а [А; - 0,5 (1 - р')2 а]-% 	(11.173)
- а [Б;-0,5(1-^)]+-^ |0;	(11.174)
в0^ =-1±..К1+^..	(П175)
Л
К2 = 24а[А;1—Б;-0,5Ха(1—р')2+0,5(1—р')].	(11.176)
Коэффициенты А{ и Б( определяются в зависимости от распо-
ложения арматуры в растянутой зоне поперечного сечения: при
расположении арматуры по рис. 11.10, а — по формулам (11.157)
и (11.158); при расположении по рис. 11.10, б — по формулам
(11.157) и (11.159); при расположении по рис. 11.11—по формулам
(11.160) и (11.161).
2.	Элементы с одиночной арматурой
При р' = 0 формулы (11.172) — (11.174) и (11.176)'принимают
вид:
(11.177)
Ах = а(Ах-0,5а)—4"^;	(11.178)
83
. Ау = а(Б1-0,5) + -^|о;	(11.179)
= 24 а (АА — Бх — 0,5 %а + 0,5).	(11.180).
Значение Во определяется по формуле (11.175), а Ах и Бх — по
формулам (11.166), (11.167). При расположении арматуры в растя-
нутой зоне поперечного сечения по рис. 11.10, а или по рис. 11.11,
Ах и Бх определяются по формулам (11.157) и (11.159), (11.160)
и (11.161) при р' = 0.
Б. Г-ОБРАЗНОЕ СЕЧЕНИЕ
1.	Горизонтальная нагрузка со стороны ребра (рис. 11.13).
а)	Случай I положения нейтральной оси
(рис. 11.14). Если арматура fx расположена в пределах ребра на уча-
стке b — 2 а2 (рис. 11.13), сечение рассчитывают как тавровое: при
двойной арматуре — по формулам (11.154) — (11.158) и (11.162):
при одиночной арматуре — по формулам (11.163) — (11.168).
При расположении арматуры fx в растянутой зоне на участке
(Ьа — 2 а2) (рис. II. 15) изменится только значение Б(, которое
при двойной арматуре определяется по формуле (II. 159). Положив
в этой формуле р' = 0, получим для случая одиночной арматуры
Бх = (1 —62) + ср (--1) — 0,5р — -X
k ”	!	— —2б2
Л
Xp2(-J—262-«yj.	(11.181)
б)	Случай II положения нейтральной оси (рис. 11.16).
Расчет производится по формулам (11.172) — (11.176) — при двойной
84
арматуре и по формулам (11.177) — (11.180) при одиночной арма-
туре, но при этом А{, Б{, Ах и Бх определяются в зависимости от
-расположения арматуры в растянутой зоне: при армировании по
рис. П.14 — по формулам (11.157), (11.158)
при двойной арматуре и по формулам (11.166),
(11.167) при одиночной арматуре; при арми-
ровании по рис. 11.15 — по формулам (11.157)
и (11.159) при двойной арматуре и по фор-
мулам (11.166) и (11.181) при одиночной
арматуре.
2.	Горизонтальная нагрузка со стороны
плиты (рис. ПЛ7). В этом случае Г-образ-
ное сечение рассчитывают как прямоуголь-
ное по формулам (П.28)—(11.32), (11.45)—
(11.49), (11.85) —(11.88), (11.102) — (II.105).
Проверка несущей способности и опреде-
ление размеров поперечных сечений во всех
случаях производят по формулам (11.19) —
(11.22).
Рис. 11.17
11.9. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРЕДВАРИТЕЛЬНОМУ
ОПРЕДЕЛЕНИЮ СЛУЧАЯ ПОЛОЖЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОЙ ОСИ.
РАСЧЕТНЫЕ ТАБЛИЦЫ
При расчете на косой изгиб по приведенным выше формулам
случай положения нейтральной оси наперед известен.
Рекомендуется определять случай по неравенствам, полученным
из квадратных уравнений для определения <рх, в которых прини-
мается граничное значение <рх = 1 при случае I положения нейт-
ральной оси.
85
А. ТАВРОВОЕ СЕЧЕНИЕ
1. Двойная арматура
Случай I
3(Б'ап,п'+Г1) — 1«п(1— р') -«]
"" 3(А'ап-В1)-2[ап(1-р')-©]3
Случай II
3 (Б' &п Л' 4~ 1\) — [ап (1 —Р') to]
3 (А' ап —Вх)—2 [ап (1 -р')-со]2
(11.182)
(11.183)
2. Одиночная арматура
Случай I
Случай II
(Б т) ап 4- Гд.) (°^п to)
3 (А ап —Вх)—2 (ап—со)2
3(Бп/ап + Г1) —(схп—to)
3 (А ап —Вх)—2 (ап—to)2
Б. Г-ОБРАЗНОЕ СЕЧЕНИЕ
1. Двойная арматура
а) Свес плиты слева:
случай 1
i-SB'n'—^7
----
2ап (1—р')—ЗА'  -7
1— р
случай II
1-зб'^Г^7
2«п(к-р')-ЗА' ^7
б) Свес плиты справа:
случай I
[оо
СХп (1 — р')——
-----------
I , со “Is
3 (А схп Вх) 2 0Сц (1 р )	~
L	n J
(11.184)
(11.185)
(11.186)
(11.187)
(11.188)
86
случай II
3 (Б' rf ап + Гх) У			ап(1—Р )— — L	п .	
3 (А' ап—Вх)—2 £	ап(1— Р )——Г П	2
(11.189)
2. Одиночная арматура
a) С в е с случай I	плиты слева: 1~ЗБт1'-.-;	(11.190) 2ап — ЗА
случай II	х< 1-ЗБ-.	(11.191) 2ап-ЗА	7
б) С в е с случай I	плиты справа: 3 (Бт)' ап + Гг)	( ап	— X >	;	(11.192) 3 (Аап BJ 2 ^ап , j
случай II	3 (Бг]'ап + Г1) —f ап — ~ X <	>	^~2~ .	(11.193) 3 (Аап—Вх)—2 f ап —	~ к	П /
При тавровых и Г-образных поперечных сечениях (свес плиты
справа) возможны случаи 1-а и II-а.
Случай 1-а в практике встречается относительно редко. Это бы-
вает при толстой плите, когда h < h^-
Случай П-а обычно бывает при расчете подкрановых балок на
совместное действие вертикальной крановой нагрузки и тормозного
усилия тележки крана, при tji < h^.
В. ПРЯМОУГОЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ
1. Двойная арматура
Случай I
1— ЗБ' —Ц-
1—Р
2а (1 —р')—ЗА' —-—
1—р'
(11.194)
87
Случай II
1
1—ЗБ' ----
1—Р
2а (1 —р') — ЗА'--
1—р
2. Одиночная арматура
Случай I
Случай II
Л 1 — ЗВ
Л --------
2а —ЗА
Х<-^_
2а—ЗА
(11.195)
(11.196)
(11.197)
Величины А', Б', А и Б, входящие в эти неравенства, опреде-
ляют по формулам (11.12), (11.13), (11.36) и (11.37); Bi и при тав-
ровом поперечном сечении — по формулам (11.14) и (11.15).
При"свесе плиты справа Г-образного сечения
В1	(0 f	1	00	/1	/\
— — ---V , Ц =— —о“(1 — п').
1	2	Т)' V 1	2 Ч? v 17
Значения ап, а, р', if, у' и (о приведены на стр. 59 — 61.
Установлено, что при обычном коэффициенте армирования по-
ложение нейтральной оси зависит главным образом от величины
а	А/у	h f « q h t
л =--------y] = tgp— Л—при тавровом сечении и
Ь	b
. Му h , D h
л =• — = tgp-----------при прямоугольном сечении,
Мх b	ь
поэтому при определении случая положения нейтральной оси ори-
ентировочно можно пользоваться табл. II. 1.
По приведенным выше уравнениям составлены таблицы значений
АОх для проверки несущей способности и определения размеров
всех рассматриваемых поперечных сечений в двух вариантах.
По первому варианту значения АОх даются в зависимости от А, а,
X, а при Г-образном и тавровом сечениях и от т/ и у'. Первый ва-
риант опубликован в книге «Косое внецентренное сжатие и косой
изгиб в железобетоне». Госстройиздат, Киев, 1961. По второму
варианту (приложение II) АОх при прямоугольном поперечном се-
чении определяются только в зависимости от а и %, а при Г-образном
и тавровом сечениях дополнительно и от rf и у'. Как в первом, так
и во втором вариантах принято 6Х = 0,08 и 62 = 0,10.
При определении АОх по таблицам в них указывается и случаи
положения нейтральной оси рассматриваемого поперечного сечения.
88
Таблица II. 1
Предварительное определение случая положения нейтральной оси
Случай поло- жения нейт- ральной оси	Сечение		
	тавровое	Г-образное	прямоугольное
I	h tgp	Ч > 0,326 b h	h tgp —п > 0,005 b	h tgp— > 0,365 b
1-а	tgp —П > 0,326 и b толстая плита		
II	tg₽-J-n < 0,326 b	h tgp— т) < 0,005 b	tgp-r< 0,365 b
П-а	h tgp —rj < 0,326 и b толстая плита (подкрановые балки)	—	
III	Высокая балка и тон- кая плита	Высокая балка и тонкая плита	—
При помощи этих таблиц расчет на косой изгиб так же прост,
как и на обычный изгиб; это будет показано дальше в примерах
расчета.
11.10. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА СЕЧЕНИЙ
С ДВОЙНОЙ АРМАТУРОЙ
Арматура в сжатой зоне располагается в пределах ширины реб-
ра на участке
и' b = b—2а2,
но при случае I положения нейтральной оси всех рассматриваемых
поперечных сечений и случае 1-а таврового сечения некоторая
небольшая часть этой арматуры может попасть в растянутую зону,
поэтому арматуру сжатой зоны надо учитывать при расчете или рас-
полагать только на участке
L gin
б2 ь.
(11.198)
Из условия расположения точки приложения равнодействующей
сжимающих усилий в бетоне ниже точки приложения равнодейст-
вующей усилий в арматуре сжатой зоны необходимо, чтобы а'
было меньше или равно следующим величинам:
89
а)	тавровое поперечное сечение:
случай I положения нейтральной оси
—Г“ + соу
Ф1 + 2(0
(11.199)
случай 1-а:	у +(1-Т]') а	ф1 + 2(1-т]') ?1/г’	(11.200)
случай II:	+ (51+5i 52+51) + ®y' а' 	/г; Ь+ + 2(0	(11.201)
случай П-а:
’	+ (5? + 5152+51) + (1-Ю 5!		
а	,	/г;	(11.202)
	51+52+2(1-Ю51	
б)	прямоугольное и Г-образное поперечные сечения:
случай I положения нейтральной оси
случай II:
а'
3
3t±kk±iL
(11.203)
(11.204)
, . h
а —
3
Если условия (11.198) — (11.204) не соблюдаются, что может
быть при избыточной площади поперечного сечения арматуры сжа-
той зоны (в практике это встречается очень редко), в соответствии
со СНиП II-В. 1-72, общая площадь арматуры растянутой зоны опре-
деляется по формуле
Мх — RsfaP	— а1 — а') + с (!г — ai — 0,5v/i — а')] (11.205)
или
а = —------------------------1---------------. (П. 206)
Япр^2	р[(1 —61—6')4-с(1—Si—0,5v—6')]	7
Формула (11.205) есть выражение суммы моментов внешних
сил и усилий в арматуре относительно оси, проходящей через центр
тяжести арматуры сжатой зоны и перпендикулярной плоскости из-
гиба моментом Мх.
90
11.11. ПЛОСКИЙ ИЗГИБ ЭЛЕМЕНТОВ ТАВРОВОГО,
Г-ОБРАЗНОГО И ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЙ
Из уравнений для расчета сечений на косой изгиб, как частные
случаи, можно получить формулы для расчета на обычный изгиб,
причем они получают вид, принятый в СНиП. Например, полагая
в уравнениях (П.114) и (II.115) £0 = 0 и v = 0, получим:
^=-^4;	(П.207)
2 —г)
Д^ЦА-0,5-^).	(11.208)
Подставляя в уравнение (11.208) значение ап из уравнения
(11.207) и принимая во внимание, что
^Пр h	Ьп
= gx/i = x, a (2bn-b)
h
при обычном изгибе обозначается через Ь„, уравнение (11.208) при-
водим к виду:
Mx=R^x(h0 —J-V	(П.209)
т. е. к формуле расчета таврового сечения с одиночной арматурой,
когда нейтральная ось находится в пределах плиты.
Точно так же из уравнений (11.102) и (11.103) получим принятую
в СНиП формулу для расчета элементов прямоугольного сечения с
одиночной арматурой.
Следовательно, изложенным выше методом можно рассчитывать
сечения с одиночной и двойной арматурой и на обычный изгиб.
Поверка прочности производится по формуле (11.19):
Мх < АОяЯпр&п/г2, ИЛИ Мх < A0xRnpbh2.
Выстота сечения h и площадь сечения арматуры определяются
по формулам (II.20), (П.21), которые имеют вид:
или
Т Аох -^пр	V -^Ох -^пр
Р ___ аП ^пр	тттттт р __ CLRjjpbh
d	р	d	р
Значение АОх определяется по соответствующей формуле. Этим
методом можно воспользоваться при определении размеров тавро-
вого поперечного сечения с одиночной арматурой, когда нейтраль-
ная ось пересекает ребро.
91
Полагая в формуле (11.142) |0 = 0 (рис. II.8) и в формуле (11.36)
v = 0, получим:
ЛОзс = а(А-0,5а + 2-^j-B3;	(11.210)
Л = 1-61.	(11.211)
т-»	, b	, Ап	А о ал
Величинами г] =----; у =--------; yh = —; ох =— и а за-
h	ь	h
даемся; о) = (1 — п')/; В3^— f2 — +v'V
П' \ n' J
11.12. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
Пример II. 1. Определить несущую способность прогона скатной кровли
с углом наклона (3 = 14°, имеющего тавровое сечение размером: h — 35 см;
b = 15 см; Ьп.т = 27 см; Ьп = 21 см; Ап = 6 см. Бетон марки 300; 7?Пр ==
= 155 кг/см2. Арматура из стали класса А-П; 7?а = 2600 кг/см2; общая пло-
щадь Fa = 4,65 см2; fx — 3,08 см2 (2 0 14); fy = 1,57 см2 (2 0 10). Армату-
ра fy расположена на участке vh = 7 см;
7
*=^=0’2-
Несущую способность вычислим, пользуясь таблицами приложения II:
b 15	1	Ап	6	1
1	21	1,4	А	35	5,85
Л „А	35 15
X = tg₽— т] —0,249—- . — = 0,416;
Ъ	15 21
fy
1,57	4,65-2600
----=0,51; а =-----------
3,08	155-21-35
= 0,106.
По приложению II.4 видим, что полученные данные соответствуют слу-
чаю 1-а положения нейтральной оси; после интерполяции находим Дох =
= 0,086.
Несущая способность сечения
Мх = Дох/?Пр АпА2=0,086-155-21-352==3,44 т-м;
3,44
Л4=----- = ——=3,54 т-м.
cosp 0,97
Пример II.2. Найти необходимую площадь сечения арматуры подкрано-
вой балки таврового сечения размером: А= 65 см; b = 25 см; Ап.т= 49 см;
Ьп = 37 см; hn = Ю см.
Расчетный изгибающий момент в вертикальной плоскости Мх = 20 т-м;
в горизонтальной плоскости Му = 0,6 т-м. Бетон марки 300; /?Пр =
== 155 кг/см2. Арматура из стали класса А-П; /?а “ 2600 кг/см2.
92
Определяем!
2 000 000
, Мх ...................
Аох =-----т— =-----------=0,083;
7?пр&пй2 155.37.65а
. Му h 0,6 65
Л = —.— т)=—.—
Мх b 1 20 25
25
— =±=0,053;
37
___25_________
“ bn ~	~ 1,48 ’
1
_Лп___10___1_
V - h ~ 65 ~6,5
Из приложения II.4 видим, что имеем случай П-а положения нейтраль-
ной оси; интерполируя, находим
ап =0,0812.
Необходимая площадь сечения арматуры
anRnvbnh 0,0812-160-37-65
Га =----------= —---------------=17,5 см2.
а п	2700
Яа
Принимаем с — X = 0,053; тогда
1
1
р =-----=----------= 0,95;
н 1+с	1+0,053
fx==pFa =^0,95-17,5= 16,6 см2.
Подбираем:
2 0 24 АП —9,04 см2
2 0 22 АП—7,6 см2
Итого . . .fx = 16,64 см2
^ = ^ = 0,053-16,6 = 0,89 см2.
Принимаем:
1 0 12 All ^ = 1,13 см2.
Определить размеры таврового сечения прогона скатной
кровли с углом наклона (3 = 16° по уравнениям.
Расчетный изгибающий момент в силовой плоскости Ммакс = 4 т«м.
Бетон марки 200;	= 95 кг/см2. Арматура из стали класса А-П; 7?а =
== 2600 кг/см2.
Составляющие изгибающего момента
Л4Х = 4 cos 16° = 3,84 т«м; Му =4 sin 169=П, 1 т-м.
Принимаем:
Пример II.3.
7л=а=215;
Ь	1
6х = 0,08; S2=0,l; u=0,8; t] = — ж — =0,67;
6п	Ь5
93
hn 1 л Ла 2600
у=—=— = 0,167; a = u —=0,008---------= 0,218;
h 6	Лпр 95
an = aTf =0,218-0,67 = 0,146.
Находим:
X = tg p у- T]' =0,287-2,5-0,67=0,48;
c = X=—= 0,48; p = —J—= ——=0,675;
fx	1+C 1+0,48
2,5X2	1	2,5-0,482	1
v  -------- . —  --------------. — = 0,141;
0,5 + 2,5Z yh 0,5 + 2,5-0,48 2,5
A = 1 — 6X — 0,5cpu = 1 — 0,08 — 0,5 • 0,48 • 0,675 • 0,141 = 0,897;
Б = 1 — 62 — 0,5pu = 1 — 0,1 — 0,5 • 0,675 • 0,8 = 0,63.
При X = 0,48 > 0,326 (см. табл. II.1) расчет производим по формулам
случая I положения нейтральной оси. Коэффициенты (рх и £х, определяющие
положение нейтральной оси, вычисляем по формулам (11.33), (11.38);	—
по формуле (11.39):
- ЗКХ + Уэ/fi+8Х(ап—®)3
ф ---------------------------------
2(ап—со)
_3-0,01 + У+ОД)! +8-0,48(0,146—0,0557 _0,091 ~
—	2(0,146—0,055)	-0,182~ ’ < ’
/Ci==: АХц Бт]f ^4 7* 1 ~
=0,897-0,48-0,146 — 0,63-0,67-0,146 — 0,0046-0,48 — 0,0091 =—0,01;
Вх = 1/2<oy' = 1/2 • 0,055 • 0,167 = 0,0046;
со = (1 — п')?' = (1 — 0,67) 0,167 = 0,055;
Гх = 1/2со (1 — л') = 1/2 • 0,055(1 — 0,67) = 0,0091;
2(ап—со)	2(0,146 -0,055)
г —--------—-------------------— у е
Ф1	0,5
Значение Aqx и основные размеры сечения вычисляем по (11.34), (11.20)
и (11.21):
Лох = ап (a- l/3gx^ 4-1/3 cogx —Вх =
= 0,146 (0,897—1/3-0,364) + 1/3-0,055-0,3Q4—0,0046=0,115;
S/~Mxyhn 3Л 384 000-2,5-0,67
Л-\/ Л±г|/ 0.US 9S
= 39 см.
Принимаем h — 40 см; тогда
it ОУ	/ О 10, /
5 = — = — = 15,7 см« 16 см; Ьп = —г=т_7_~24 см;
уЛ 2,5	т) 0,67
94
Принимаем:
/	/	, h 39
6п.т = 26п— 6 = 2-24—16 = 32 см; /zn =— =----~7 см.
у' 6
Необходимая площадь сечения арматуры
«пЯпрбпб 0,146-95-24-39
Fa =-----7----=-------7777----= 4,98 см2;
/?а	2600
fx = pFa = O,675-4,8=3,24 см2;
/I/= с/х = 0,48-3,24 = 1,55 см2.
/я = 3,39 см2 (3 0 12);
/^ = 1,57 см2 (2 0 10).
Арматуру fx располагаем на участке b — 2а2, a fy — на участке vh =
= 0,141 . 40 = 5,7 см.
Как видно из примера, определение Аох при косом изгибе требует до-
полнительных затрат труда, но с помощью составленных таблиц эта величи-
на определяется достаточно просто.
Пример Найти несущую способность прогона Г-образного сечения
для покрытия с углом наклона (3 = 10°. Размеры сечения: h — 40 см; b =
= 16 см; Ьп = 24 см; hn = 7 см. Бетон марки 200; 7?пр — 95 кг/см2.
Арматура из стали} класса А-П; Ra = 2600 кг/см2; Fa ~ 6,28 см2; /х =
= 4,02 см2 (2 0 16); Л, = 2,26 см2 (2 0 12). Арматура fy расположена на
участке vh => 10 см; v = 10/6 = 10/40 = 0,25.
Определяем:
,__b___16___1_	,__йп____1	.
П ~ 24 —1,5’ V “ h ~ 5,72 ’
, n h	40 18
X = c = tgp —if =0,176 —•—=0,293;
О	lo
Fa7?a 6,28-2600
По приложению II.2 АОх = 0,115.
Несущая способность сечения
Мх=АОх 7?Пр bn № = 0,115-9,5-24-402 = 4,2 т-м;
Мх 4,2
М —------— =------
cos р 0,985
Пример П.5. Определить размеры Г-образного сечения бортовой балки сво-
вертикальной нагрузки Мх = 8,5 т-м, от
марки 300; /?пр = 155 кг/см2. Арматура из
кг/см2.
4,27 т-м.
да. Изгибающие моменты: от
распора Му = 2 т • м. Бетон
стали класса А-Ш; 7?а = 3500
Принимаем:
h
7й=Т=2;
ь
On
Ь5=о,67:
а = и—5- = 0,01
°пр
3500
— =0,226;
100
ап = а'П' =0,226 Дг =0,151.
1,5
95
Вычисляем
Му h 2
1= —.— n' =—.2-0,67 = 0,316
Мх b 1	8,5
и по приложению II.2, интерполируя, находим АОх =0,1.
Тогда
h =
3/ 850 000-2-0,67
/	0,7.1S5-"-42 ж
h
b^ —
yh
, b
bn~--- -
42 _
=—=21 см;
-4
21
——=31,5 см.
т| 0,67
Принимаем /г = 45 см; & = 20	см;	Ьп = 32	см;	Лп	=	7	см;
.	0.151-1S5.31.S.42
Г я —•	__,ЛЛ	—	О,У	см	,
$а	3500
/ж = рра =0,76-8,9 = 6,76 см2;
с=Х=0,316;
fy=cfx = O,316-6,76=2,14 см2;
р = ——=—— =0,76.
Р 1+с	1,316
Арматуру fx располагаем на участке b — 2 а2, a fy — на участке
2,5Х2	1 ,	2,5-0,3162	1-
vh —---------— • — h =---------------• — 45	4,5 см.
0,54-2,5Х yh 0,5 + 2,5-0,316	2
Пример II.6. Найти несущую способность балки прямоугольного се-
чения с двойной арматурой при следующих данных: угол наклона (3 = 8°;
h = 40 см; b = 20 см. Бетон марки 300; 7?пр = 155 кг/см2. Арматура из
стали класса А-П; = 2600 кг/см2; fх = 6 см2 (3 0 16); fy = 1,57 см2
(2 0 10); Fa = 2,26 см2 (2 0 12); арматура fy расположена на участке vh =
= 10 см;
10	10
v =— = — = 0,25.
. h 40
Принимаем = 0,08; 62 = 0,12; и и' = 0,76.
Вычисляем:
л п Ь	40
A, = tg ₽ у=0,140-— =0,27:
FaRa 7,57-2600 о
“ Rnpbh 155-20-40
fy 1,57
с = —=------=0,262;
fx2 6
96
1	1	„ „	, Fa 2,26 „ „
р=-----=------~0,8; р' =— = ——=0,377;
Р 1+с	1,262	’ и F& 6	’
- А' = (1 — 6,)(1 — р') — 0,5 cpv + р' (1—26^= (1—0,08) (1 — 0,377)—0,5X
X 0,262 • 0,8 • 0,25 + 0,377 (1 — 2 • 0,08) = 0,865;
Б'= (1 —62) (1 — р') — 0,5и (р—р')=(1—0,12)(1 — 0,377)—0,5-0,76 (0,8—
— 0,377) = 0,388.
При А. = 0,27 < 0,365 (см. табл. II.1) значение Аозс определяем для
случая II положения нейтральной оси по формулам (11.86), (11.88) и (11.92):
К2 = 24а [А'А, — Б' — 0,5Ха (1 — р')2 + 0,5 (1 — р')] = 24 • 0,159 [0,865 X
Х0.27 — 0,388 — 0,5 • 0,27 — 0,159 (1 — 0,377)2 + 0,5 (1 — 0,377)] = 0,57.
.	-1+T/1+U2 -1+1/1+0,27-0,57
5о =	~	=0,278;
Лх = а[А'-О,5а(1-р')21-7г1о =
24
= 0,159 (0,865—0,5-0,159(1—0,377)2]—-^- 0,2782 = 0,1317;
Несущая способность сечения
Мх = АОх/?пр^2 = 0,1317-155-20-402 =6,52 т-м;
пл Мх 6,52 п п
М =------• =----= 6,6 т-м.
cosP 0,99
Пример II.7. Вычислить необходимую площадь сечения арматуры прогона
прямоугольного поперечного сечения размером h = 35 см; b = 18 см для скат-
ной кровли с углом уклона Р = 15°.
Расчетный изгибающий момент в вертикальной плоскости М = 4,5 т-м;
Бетон марки 300; 7?Пр = 155 кг/см2. Арматура из стали класса А-П; 7?а =
= 2600 кг/см2.
Вычисляем:
МХ=М cos Р = 4,5-0,966 = 4,35 т-м;
Му = М sin Р = 4,5-0,259 = 1,17 т-м.
Определяем:
Мх 435'000
0“-ЯпрМ2 ""155-18-352 _ ’ 7’
X=tgp—=0,268-77 = 0,521.
Ь	18
По приложению II. 1, интерполируя, находим а = 0,18.
Необходимая площадь сечения арматуры
aR^bh 0,18-155-18-35
Fa = — ------=------——-------= 6,75 см2.
Ra	2600
4 Зак. 731
97
Принимаем с = К = 0,521; тогда
р 1+с	1,521
fx=pFa—O,66-6,75 = 4,45 см2.
Принимаем 3 0 14 АП (Jx = 4,62 см2);
^ = ^ = 0,521.4,45 = 2,32 см2.
Принимаем 3 0 10 АП (fy ~ 2,36 см2).
Арматуру fy располагаем на участке
2,5V	1	2,5-0,5212	1 Л
vh ------- . — --------------------.---35 — 6,8 см = 7 см;
0,5 + 2,5Х yh 0,5 + 2,5-0,521 1,95
fx—на участке b—2а%.
Пример II.8. Определить площадь сечения арматуры ригеля фахверка
наружной стены каркасного здания. Изгибающий момент от вертикальной
нагрузки Мх = 8 т • м; изгибающий момент от ветровой нагрузки Му =
= 1 т . м. Бетон марки 300; 7?Пр — 155 кг/см2. Арматура из стали класса
А-П; 7?а — 2600 кг/см2.
Принимаем:
А	Ап	1
?ft = —=2; ?= + = —=0,167; 61==0,08;
b	h	6
Ь 1
62 = 0,12; u = 0,76; 6п = 0,05; ri = — = — = 0,67;
bn 1,5
Му h	1
—•— = — 2 = 0,25;
Мх b	8
2600
а = р=0,009-----= 0,151; Х =
/\пр	155
1
с=Х=0,25; р = —^— = —-----=о,8,
к 1+с	1+0,25
Если X = 0,25 < 0,35 и р' = 0, расчет производим по формулам тав-
рового сечения с плитой в растянутой зоне при случае II положения нейтраль-
ной оси, т. е. по формулам (II.175), (II.178), (II.180), (11.157), (11.158):
—0,08—0,25-0,8 Z-1———0,Об) =0,853;
V 2	/
Ах = 1 —бх—ср
Бх = 1 — 62—Q,5pu + ср f — — 1^ =
= 1— 0,12-0,5-0,8-0,76 + 0,25-0,8
= 0,676;
К2 = 24а (АхХ — Бх — 0,5Ха + 0,5) = 24 • 0,151 (0,853-0,25 — 0,676 — 0,5 X
X 0,25 • 0,151 + 0,5) = 0,0695;
Е -1+VT+MG -1 +1/1+0,25-0,0695
СО =	—	— U, vo4,
0,25
1 2 1
АОх = а(Ах — 0,5а) — — go =0,151 (0,853—0,5-0,153)—— 0,0342 =0,118;
98
.	3 / MxVh.	3 /800 000-2
Л = 1/	- = 1/ ----------ж 44,4 см;
У 4хЯпр	У 0,118-155
h 44,4
Ь = — =-----^22 см;
2	2
^ = 22.-1,5 = 33 см;
h	44
/in = —= —=7,3 см.
6	6
Принимаем h = 45 см; b = 20 см; Ьп = 35 см; Ьп,т = 2ЬП — 6 = 50 см.
Необходимая площадь сечения
арматуры:
0,151.155-22.44
Fa =----------------= 8,7 см2;
2600
fx = pFa = 0,8.8,7 = 6,96 см2;
^ = ^=0,25.6,96 = 1,74 см2.
При расчете тавровых и Г-образных поперечных сечений с плитой в растя-
нутой зоне без большой погрешности АОх можно вычислять по приложению
II. 1 для. прямоугольных сечений; в данном случае после интерполяции
находим Дох = 0,119; размеры поперечного сечения находят так же, как и при
обычном изгибе, '
как консоли.
Пример II.9.
ного поперечного
= 7 см.
Изгибающий
ющий момент с
/?Пр = 195 кг/см2. Арматура из стали класса А-П; 7?а = 2600 кг/см2.
При действии ветра со стороны ребра Г-образное сечение рассчитывается
как с плитой в растянутой зоне, а если ветер действует со стороны плиты,
сечение следует рассчитывать как прямоугольное. Кроме расчета на косой из-
гиб, Г-образное сечение требуется рассчитать на кручение.
Необходимую площадь сечения арматуры определяем при действии вет-
ровой нагрузки со стороны плиты. Для этого воспользуемся приложением II. 1.
Находим:
по формулам (11.20), .(11.21). Свесы плиты рассчитывают
Вычислить площадь сечения арматуры перемычки Г-образ-
сечения размером h = 40 см; 6=18 см;~ 6П = 38 см; /гп =
момент от вертикальной нагрузки Мх = 7 т • м; изгиба-
ет ветровой нагрузки Му = 0,9 т • м. Бетон марки 200;
700 000
-----------= 0,233;
105-18-402
л Мх
Аох р hh 2
/?пр bh
1 л.
Л_Л4Х’ b =
При этих значениях АОх и X, интерполируя, получаем а = 0,345.
Необходимая площадь сечения арматуры
0,345.105.18-40
= 10 см2.
0,9 40
—. — = 0,286.
7 18
Fa =
При с = X = 0,286
2600
1
р =-----= —!—= 0,78;
р 1+с	1,286
fx = pfa=0,78.9,6 = 7,5 см2;
fy = cfx = 0,286-7,5 = 2,4 см2.
4*
99
ПЛЗ. СРАВНЕНИЕ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
ВЫЧИСЛЕННОЙ ТЕОРЕТИЧЕСКИ, С ПОЛУЧЕННОЙ
ИЗ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
Сравнение результатов теоретических расчетов и экспериментов
приведено в табл. II.2. Из нее видно, что результаты теоретических
расчетов балок на косой изгиб соответствуют экспериментальным
данным.
Таблица II.2
Сравнение результатов теоретических расчетов железобетонных
балок на косой изгиб с экспериментальными данными
№ п.п.	[	Параметры сечения					Угол	армату- ры, кг/см*	Rq, кг/см*	Разрушающий изгибающий момент		5 ° К	-м я Б*	
	Ь> см	h, см	Fa, см*	fX, см*	см*				действи- тельный Мэ> кг*м	теорети- ческий Мт, кг«м	Отклон Мэ—М	m
												
1	12	20	2,51	1,26	1,26	20	2340	305	909,6	870	+ 4,3
2	12	20	2,51	1,26	1,26	20	2340	305	999,6	870	4-12,9
3	12,2	20	2,51	1,26	1,26	20	2340	305	969,6	876	4-9,64
4	12	20	2,51	1,26	1,26	10	2340	292	939,6	880	4-6,25
5	12,4	20	2,51	1,26	1,26	10	2340	292	1029,6	895	4-13
6	12	20,1	2,51	1,26	1,26	10	2340	292	999,6	890	4-Ю,9
7	12,2	20	3,98	1,98	2,75	31	3240	274	1449,6	1440	4-0,6
8»	12	20	3,14	1,18	1,96	20	3240	274	1419,6	1375	4-3,14
9	12,3	20	3,14	1,18	1,96	20	3240	236	1389,6	1350	4-2,85
10	12	20	3,14	1,18	1,96	20	3240	236	1359,6	1340	4-1,44
11	12	20	3,14	3,14	0	0	3245	261	1449,6	1410	4-2,73
12	12,6	19,2	3,14	3,14	0	0	3240	261	1419,6	1350	4-6,24
13	11,6	19,6	3,14	1,96	1,18	10	3240	171	1314,6	1250	4-4,9
14	11,5	20	3,14	1,96	1,18	10	3240	171	1269,6	1280	—0,82
15	12,2	19,5	3,93	1,18	2,75	31	3240	236	1449,6	1400	4-3,42
16	12,1	20	3,93	1,18	2,75	31	3240	236	1494,6	1385	4-7,32
17	14	28	3,39	0,565	2,825	27	2270	230	1379	1414	—2,54
18	14	28	3,39	0,565	2,825	28	2308	206	1379	1400	— 1,5
19	14	28	3,49	1,35	2,14	27	2829	317	1996	1710	4-14,3
20	14	28	3,14	Г,35	2,14	27	2837	310	1933	1680	4-13
21	14	28	2,36	о;з9з	1,963	27	2633	289	1154	1180	—2,25
22	14	28	2,36	0,393	1,963	27	2650	297	1186	1190	—0,34
23	15	31,5	5,56	3,02	2,54	10	4320	238	6500	5800	4-10,8
24	15	31,5	5,56	3,02	2,54	10	4320	242	7200	5800	4-19,4
25	15,5	32	5,56	3,02	2,54	20	4320	147	5400	4940	4-8,5'
26	15	31,5	5,56	3,02	2,54	20	4320	182	6000	5060	4-15", 6
Примечания. 1. Среднее арифметическое отклонение теоретических
расчетов от экспериментальных данных 6,31%. Среднее квадратичное от-
клонение 5,45%.
2. Экспериментальные данные взяты из кандидатских диссертаций инж.
Жэнь Бей Юй (Киевский инженерно-строительный институт); доц. Н. И. Смо-
лина (Горьковский инженерно-строительный институт) и канд. техн, наук
Л. И. Сердюка, выполнившего диссертационную работу под руководством
автора этой главы.
100
11.14. РАСЧЕТ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ
НА КОСОЙ ИЗГИБ МЕТОДОМ АППРОКСИМАЦИИ
ИЗОСТАТИЧЕСКИХ КРИВЫХ
1. Расчет сечений с одиночным армированием
Указанный метод расчета сечений на косой изгиб, разработан-
ный на кафедре железобетонных конструкций Полтавского инже-
нерно-строительного института, будучи приближенным, основан
на предпосылках СНиП и следующих допущениях:
1) при перемещении
точки приложения равно-
действующей усилий в рас-
тянутой арматуре вдоль
произвольной прямой (со-
ставляющей некоторый
угол со следом силовой
плоскости) точка прило
жения р ав нодействующей
усилий в бетоне переме-
щается по прямым, ап-
проксимирующим изостати-
ческие кривые (рис. II. 18).
2) перемещение центра
тяжести сжатой зоны бето-
на сечения при условии
постоянного ее статичес-
кого момента относительно
некоторой оси осущест-
вляется по прямым линиям,
аппроксимирующим кри-
вые, которые принято на-
зывать изобентами.
При перемещении точ-
ки приложения равнодей-
ствующей усилий в растя-
нутой арматуре (точки А
на рис. 11.18) вдоль оси
xi — xi точка приложения
р авнодействующей сжи-
мающих усилий в бетоне пе-
ремещается по выпуклым кривым, названным проф. А. А. Гвоздевым
[11] изостатическими линиями, а плечо внутренней пары сил будет
перемещаться параллельно следу силовой плоскости,, изменяясь
по величине.
Специальные аналитические исследования показали, что для пря-
моугольного сечения изостатическая линия относительно осей jq —
— xi и у! — у± может быть представлена четырьмя кривыми второго
порядка [5].
101
При угле наклона силовой плоскости (3 < arctg b/h на участке
от х = 0 до х = 1/6 & (сжатая зона — трапецеидальная) центр тя-
жести сжатой зоны бетона перемещается по параболе
У = У0-^Г~Л	(П.212)
где
В пределах от х = Ь/6 до х —координаты точки пересечения изо-
статической линии и диагонали сечения (сжатая зона в этом случае —
треугольник) центр тяжести сжатой зоны бетона описывает гипербо-
лу
y=hok--------.	(11.213)
*	№	9(0,56—х)	V ’
При угле наклона силовой плоскости р > acrtg blh все законо-
мерности сохраняются, но сечение необходимо как бы повернуть на
угол 90°. При этом кривая перемещения центра тяжести сжатой зоны
бетона в пределах от у = 0 до у = h!§ (сжатая зона — трапецеидаль-
ная) является параболой
х =	(11.214)
а в пределах от у = й/6 до у — координаты точки пересечения изо-
статической линии и диагонали сечения — центр тяжести описывает
гиперболу
Для проверки найденных закономерностей путем совместного
решения уравнений изостатических кривых и плеча внутренней па-
ры произведен (с помощью ЭВМ «Промшь») расчет несущей способ-
ности 35 ранее испытанных балок на косой изгиб [43, 46].
Дальнейшим изучением установлено, что для упрощения практи-
ческих расчетов указанные кривые могут быть аппроксимированы
двумя прямыми, которые описываются:
прямой:
У = У.--^-х,	(11.216)
если р < arctg blh, и прямой
—^-У,	(П.217)
если р arctg blh.
102
При заданных сечении арматуры и положении точки приложения
равнодействующей растягивающих усилий в ней координаты центра
тяжести сжатой зоны бетона определяют по формулам,^получен-
ным в результате совмест-
ного решения уравнения
изостатической линии
(11.216) и уравнения плеча
внутренней пары сил
y=(d+x) ctg 0 (рис.II. 18)
При этом
(11.218)
У^г= ±Х6 ctg р + с, (11.219)
где
с = d ctg р.
Несущая способность
сечения в этом случае
М =	(П.220)
где плечо внутренней пары
сил г может быть вычисле-
но по формуле
Рис. 11.19
+ с \	1	[ с
а/гОк .	sin Р cosp
—— + ctg Р /
b J
(11.221)
Здесь •
a = Fa^a. у—1 — 0,5а.
^ок ^пр
Уравнения изобент могут быть просто получены, если в уравне-
нии изостат выразить F6 через постоянный статический момент S6
относительно выбранной оси х±— хг или у±— уг (рис. 11.18, 11.19):
F6 = A_; F6=-^-.	(П.222)
у	х
Тогда при угле наклона силовой плоскости р > arctg b/h на
участке от х = 0 до х = 6/6 изобента описывается уравнением
У2-/1ок У + — + ^-л:2 =-0,
у ок 27 1 26	6*
(II.223)
103
а в пределах от точки х = Ь/6 до х — координаты точки пересече-
ния изобенты и диагонали сечения — уравнением
У2—h0Ky +-----=0.	(11.224)
При угле наклона силовой плоскости р > arctg blh сечение не-
обходимо рассматривать как бы повернутым на угол 90° аналогич-
но тому, как это было принято ранее для уравнения изостат. Тог-
да уравнение изобенты относительно оси ух—уг в пределах от у = 0
дот/ = h/б будет иметь вид
x2-feOKx+-^- + -^r/2 = °,	,	(11.225)
а от х = Ь/6 до х — координаты точки пересечения изобентой диаго-
нали сечения —
я2—WH--------—----= 0-	(11.226)
ок 9(0,56—у)	’
Анализ проведенных исследований показал, что уравнения
(11.223), (11.224), (11.225), (11.226) могут быть аппроксимированы,
двумя прямыми:
прямой
У = Уе~4(^-°’5/1ок-]/0,25Л2к------%	(П.227)
при р < arctg b/h и прямой
х = хс--1L-0,5&ok-1/0,25^к--4--т-) У (II.228)
п \	|/	о п /
при р arctg b/h.
Сопоставление теоретических расчетов с результатами ранее
проведенных испытаний при использовании зависимостей (11.221) —
(11.228) дает удовлетворительную сходимость.
Таким образом, можно утверждать, что допущения об аппрокси-
мации изостат и изобент (в указанных пределах) прямыми линиями
вполне приемлемы для практических расчетов.
Использование свойств указанных прямых дает возможность,
кроме определения несущей способности, решать вопросы: оптималь-
ного соотношения размеров прямоугольногоs сечения, области ра-
ционального армирования, подбора размеров поперечного сечения
и площади арматуры, вычисления предельного армирования, рас-
чета балок с двойной арматурой.
Оптимальное соотношение размеров поперечного сечения
6on//i0, оп~^оп ПРИ заданном угле наклона силовой плоскости |3 и за-
данном коэффициенте армирования р, можно получить при распо-
ложении нейтральной линии параллельно оси — х±. Равнодей-
104
ствующая усилий в сжатой зоне бетона будет находиться в точке Бо,
а равнодействующая растягивающих усилий в арматуре должна
располагаться в точке А (рис. 11.20). Найденное таким образом
соотношение АОп обеспечивает наибольшее возможное плечо внут-
ренней пары сил при минимальном расходе бетона.
Из рис. 11.20
^-)tgp=°,5&.
Приведя уравнение к безразмерному виду, т. е. разделив правую
и левую части на h0, получим
(2 - a) tgp = Коп,	(П.229)
а==_А_ = _^ = и^.
h0 b bha
Полученное соотношение имеет определенный теоретический
смысл: при поперечном изгибе, когда при tg = 0 и Код = 0 опти-
мальное соотношение будет при h -> со.
Рабочая высота поперечного сечения подбирается по величине
вертикальной составляющей момента внешних сил Мх при заданных
величинах а и Коп как ПРИ обычном изгибе
После подстановки b — КогЛо, оп и преобразований получим
3 Г м
Ло.оп = 1/	<IL23°)
г	^'пр ^оп
где
может быть найдено по заданному а с помощью обычных таблиц
для расчета на изгиб. Оптимальное соотношение, как правило, не
может быть использовано из-за необходимости унификации или окру-
гления размеров поперечного сечения. При этом после унификации
размеров точка приложения равнодействующей растянутой армату-
ры займет положение А 2 (случай I) или А3 (случай II) (см. рис. 11.20).
Случай I будет иметь место при Коп < К, а случай II при Коп > К,
где К — действительное отношение b/hQ (после унификации раз-
меров сечения).
Поскольку по конструктивным соображениям не представляется
возможным использовать дискретное расположение центра тяжести
арматуры в точке А 2, а в точке А3 оно вообще невозможно (так как А3
105
находится за пределами сечения), то приходится размещать точку
А в определенной зоне сечения.
Для обеспечения наибольшего возможного плеча внутренней
пары сил найдены области рационального размещения центра тяже-
сти продольной рабочей арматуры.
Располагая центр тяжести арматуры в пределах рекомендован-
ной области, необходимо стремиться к тому, чтобы точка А
(см. рис. 11.19, 11.18) располагалась как можно ближе к точке 2 —
оптимальному дискретному расположению центра тяжести армату-
ры. При таком расположении центра тяжести арматуры можно мак-
симально использовать несущую способность железобетонных эле-
ментов при косом изгибе.
Рекомендуемые границы области рационального размещения
центра тяжести арматуры (случай I—треугольник 1, 2, 3 или четы-
• рехугольник 1,2, 3, 4, случай II —треугольник 1, 2, 3, см. рис. 11.19,
11.20) назначены исходя из необходимости получения максималь-
ного плеча внутренней пары и конструктивной возможности распо-
ложения арматуры в сечении изгибаемых элементов.
Верхняя граница области рационального-^размещения армату-
ры для случая I определена как след движения точки 1 параллеЛьно
изостатическим линиям, поскольку за условие получения этой
границы принята несущая способность сечения при расположении
центра тяжести арматуры на следе силовой плоскости в точке 1
(см. рис. 11.19).
Границы рационального размещения арматуры для случая II
найдены исходя из тех же соображений (верхняя граница показана
пунктирной линией), однако проведенным анализом установлено,
что для выполнения конструктивных требований граница области
должна^быть, как правило, расширена до треугольника /, 2, 3.
Верхняя граница области рационального расположения арма-
туры ,в относительных величинах SMaKC = aywwJho может быть
106
выражена при принятых значениях а и К по следующим формулам:
для случая I
SMaKC = tg0^-(Vo-0,5);	(П.231)
1\
для случая II
бмакс = (?о tg Р—0,4К) (ctg Р -	,	(11-232)
где
То = (1 — о,5 «);
ст _ . о Fg _	.
К — &Р°	~ 62 >
р0 — угол наклона изостатической линии.
Параметры 5, В, определяющие крайние точки области рацио-
нального армирования, вычисляют по формулам:
случай I
S =O,42/iotg Р;	(11.233)
B = Yo^otgP-S;	(П.234)
случай II
5=0,5 [ft0 tg р (уо + 0,42) - b (у0- 0,42)].	(11.235)
Расположение центра тяжести арматуры в пределах рекомендо-
ванной области всегда будет обеспечено при
0^6^ бмако.
Величина d должна также удовлетворять условиям:
для случая I
5 4-5(2----L^\^d>S+B—— ;	(И.236)
для случая II
0,4b >d^ (0,4b—S) —— ,	(11.237)
Омаке
где
6 = -^-.
Ro
При перемещении (по конструктивным соображениям) центра
тяжести растянутой арматуры из его оптимального положения —
точки 2 в любую точку А области рационального армирования точка
107
приложения равнодействующей в сжатой зоне бетона перемещает-
ся в точку Ба, двигаясь по изобецте.
Рабочая высота поперечного сечения при принятом 6 определяет-
ся как
/гок = Ло (1 — 6).	(П.238)
Для вычисления Fa по величине h0K определяется
л _ Мх
° Япр^ок
и затем с помощью обычных таблиц для изгиба находят ак и ук.
Вертикальную составляющую плеча внутренней пары сил нахо-
дим по (11.240), полученной в результате совместного решения урав-
нения изобенты (11.227) и уравнения плеча внутренней пары:
у = (d + х) ctg р;	(11.239)
Уб = ±4 ctg р + С,	(11.240)
где
± хб = —— • у — у h0; с = d ctg р,
6	tg 0+ctg р	с	1
tg9 = 4fc-0,5^K- |/0,25/?ok— -).
ь \	у	3 ь /
Площадь сечения рабочей арматуры
Fa = ^-.	(11.241)
Размещение арматуры, обеспечивающей положение равнодей-
ствующей усилий в заданной точке, может быть выполнено следую-
щим способом.
Через точку А (см. рис. 11.19) необходимо провести прямую,
параллельную изостатической прямой, под углом
Ро = arc tg F5/b2.
При этом центры тяжести арматур fx n fy, располагаемые вдоль осей
х2 — хг и ух — Ух, должны находиться в точках Ах и Ау. Площади ар-
матуры вычисляем по формулам:
f — р Л») .
х а (АхАу) ’
	(П.242)
$ __р М Ах)
/ X	Н /Л л .	»
(Дх Ау)
где (ААЛ); (ААД, (АХА^) —длины отрезков прямых (рис. 11.19).
108
Размещение, арматуры по осям — х2 и У1 — У1 выполняется в
соответствии с имеющимся сортаментом стержней арматуры и требо-
ваниями СНиП П-В.1-62*.
Пример 11.10. Найти размеры сечения и Га для железобетонной балки,
работающей на косой изгиб, при следующих данных: Мх = 10 т • м; Му =
= 4 т • м. Бетон марки 200. Арматура из стали класса А-П [23].
Угол р определится из условия
4
tgp = — =—=0,4.
к Мх 10
Принимаем а = 0,2033 в соответствии с [23].
Вычисляем оптимальные размеры сечения при а = 0/2033; г0 =?= 2,29;
70 = 0,898
Коп —(2 —а) tg р = (2—0,2033) 0,4 = 0,72;
3/	„„ 1 000 000
./ 2,292 —----— = 42,3 см.
У 95-0,72
,	// 2 Мх
йо,оп-|/ ^RnpXoa
/? = Коп^оп = 0,72-42,3 = 30,4 см.
Принимаем размеры сечения 45 X 30 см; /г0 = 42 см;
b 30
К=— = —=0,71;
Ло 42
КОП=0,72 > К = 0,71, т. е. имеем случай II расчета.
Определяем границы Оптимального армирования:
бмакс (То tg Р—0,4К) (ctg р—	) =
X к /
= (0,898-0,4 —0,4-0,71) (2,5— -7-77-=2,19 см;
\.	0,71 /
S = 0,5 [Ло tg р (у0 + 0,42) — b (у0 — 0,42)] = 0,5 [0,42-0,4 0,898 + 0,42—
— 30 . (0,898 — 0,42)] = 2,6 см.
В связи с тем, что 6макс получено небольшим по сравнению с размерами
сечения, принимаем 6 = 0 и d = 9 см\
/гок = Л0 = 42 см;
, Мх 1 000 000
Ло =--------— =---------=0,197.
₽npW& 95-30-422
По таблицам при Аа = 0,197; ак = 0,22; ук = 0,89 определяем площадь се-
чения арматуры:
Ус=^окук = 42.0,89 = 37,2 см;
« Мх
$б=—
^пр
1 000 000
---—-----= 10 500 см3;
95
109
6 /
tge=— I уа— 0,5/гок
о \
г 2 -Sg
'ок- 3 ь
2	10 500 \	_
0,25-422—— =0,38;
U Ом /
А / '
— (37,2—0,5-42 —
30 \
c = dctgp=9-2,5 = 22,6 см.
хс— с	37,2—22,6 14,6 е
xr =--------=---------=—-=5,07 см;
0 tgO + ctgP 0,380 + 2,5 2,88
Рис. П.21
Уб = xq ctg ₽-Н = 5,07.2,54-22,6 =
=35,3 см.
Мх 1 000 000
Fa=——=----------= 10,4 см3.
а R&ys 2700-35,3
Сечение балки, полученное по рас-
чету, экономичнее по расходу бетона
на 11%, арматуры на 10,6% по сравне-
нию с описанными в литературе 123].
Пример II. 11. Определить несущую
способность предварительно-напряжен-
ной балки (рис. 11.21) при Fn—1,256 см2;
16 000кг/см2; /?Пр = 368 кг/см2;
р = 20°.
Используем образец ПН-1-4а табл.
1 [6].
Так как arctg b/h = 32°>20°, пле-
чо внутренней пары вычисляем по
(11.216), (11.218).
Характеристики поперечного сече-
ния:
Лок=Л — ау=25,2—5,02 = 20,18 см;
c=dctg Р = 3,45-2,74=9,45 см;
_ FsRh _ 1,256-16 000 _
а~ bh0KRap ~ 15,3-20,18-368 - 0,18,
у = 1—0,5а = 1—0,5-0,18 =0,9.
По формуле (11.221) плечо внутренней пары
r = / Т^ок—с \	1	с =
| аЛ0К . .яИ sin р cos Р
—+ctgp /
\ о	/
/ 0,9-20,18—9,45 \	1	9,45
| 0,18-20,18	] 0,342’1'0,94~18’ СМ’
l-i^+2’+
Предельный момент по формуле (11.220)
Л4И = ГН/?н f = 1,256-16 000 = 18,3 =3,64 т-м
НО
В соответствии с табл. 1 [6] для образца ПН-1-4а фактический разруша-
ющий момент Л4* = 3,48 т • м.
Отклонение расчетного предельного момента от экспериментального
(Л4И—Л4*)	(3,64—3,48)
----- —- 100=-------------- 100=4,6%.
длФ	3,48
™в
В этом примере напрягаемая арматура, расположенная в сжатой
зоне бетона, из-за малого ее влияния не учтена. При учете ее влия-
ния сходимость расчетного момента с фактическим улучшается.
2. Определение предельного армирования
Физический смысл формулы (46) СНиП II.-В. 1-62* выражает
отношение фактического момента внутренней пары и предельного.
Оно представлено в виде отношения статических моментов, для кото-
рых расстояния от центров тяжести сжатой зоны бетона Fq и Fg. макс
до рассматриваемых осей является плечами внутренних пар у и у0.
Установлено [58], что условие
-^-<0,-8	(II.243)
So
приемлемо для симметричного (относительно силовой плоскости)
сечения с треугольной сжатой зоной. При этом физический смысл
условия (11.243) тождествен условию (46) СНиП П-В. 1-62. Для эле-
ментов прямоугольного сечения, работающих на косой изгиб, проч-
ность бетона сжатой зоны рекомендуется проверять по формуле
< L	(11.244)
/l+tgp
которая получена исходя из результатов исследования и прибли-
женной эллиптической зависимости между S$X/SGX и S6y/Soy,
а также выполнения граничных условий:
при Мх = 0	S6y/Sox = 0,8;
при Му - о	56x/Sox - 0,8,
где tg р = МУ1МХ.
В этом случае величины статических моментов S§x и S^y согласно
[57] рекомендуется вычислять, используя изостатический метод
[47, 48], основанный на аппроксимации эллиптической зависимо-
стью уравнений кривых перемещения центра тяжести сжатой зоны
бетона.
Анализ формулы (11.244) показывает, что граничное условие
при Мх = 0 S6y/SQy = 0,8 не удовлетворяется, так как левая часть
формулы обращается в неопределенность; в связи с приближенной
111
эллиптической зависимостью между Sax/Sox и SsylSOy, принятой
в (47) СНиП П-В.1-62*, эта формула точно отражает отношение фак-
тического момента внутренней пары к предельному только при
tg р = 0.
Исследования границ армирования и анализ работы [58] показы-
вают, что предельный изгибающий момент, воспринимаемый се-
чением по сжатой зоне бетона при косом изгибе, зависит также от
угла наклона силовой плоскости и от положения равнодействующей
усилий в растянутой арматуре сечения.
Величина наибольшего момента при поперечном изгибе прямо-
угольных сечений (на основании многочисленных исследований) при
х = £гр/г0 определяется как
^45.макс ~ -^о.макс^пр ^^0'
Для косоизгибаемых элементов (при заданном угле наклона си-
ловой плоскости) при принятых в [31] предпосылках и условии, что
.	(П.245)
"ок Тмакс
наибольший момент будет иметь место, если плечо внутренней пары
пересекает вертикальную ось сечения у — у в точке Бо (центре тяже-
сти прямоугольной сжатой зоны бетона), а ось — х± в точке А0, где
располагается равнодействующая усилий в растянутой арматуре.
В этом случае предельная высота сжатой зоны бетона, соответ-
ствующая граничному армированию, оказывается такой же, как и
при поперечном изгибе, а предельный момент
^б.макс	Ао.макс ^пр ^ок	.
cos р
(11.246)
Из рис. 11.22 следует, что содержание арматуры, соответствую-
щее предельной площади сжатой зоны бетона, в этом случае не за-
висит от угла наклона силовой плоскости и численно равно:
р _______ амакс^ок^пр
•“а-макс
*а
в то время как величина наибольшего момента является переменной
и зависит от положения силовой плоскости.
В общем случае при заданном угле наклона силовой плоскости,
когда равнодействующая усилий в растянутой арматуре Fa> макс за-
нимает любое положение на оси хг—xlt отличное от А0, центр тяжести
площади сжатого бетона расположится на линии плеча внутренней
пары, которая пройдет через точку Б (рис. 11.23).
Площадь сжатой зоны бетона и соответствующая величина усилия
останутся предельными (определяющими прочность сжатой зоны
бетона) и численно равными соответственно /^.макс и
^б.макс = ^б.макс ^пр*	(11.247)
112
Изменится лишь форма предельной сжатой зоны бетона (которая
может быть трапецией или пятиугольником) и плечо внутренней
пары сил, которое и определит величину предельного момента
Мр.макс = ^б.макс ^пр ^б'	(11.248)
Эта предпосылка была проверена сопоставлением результатов
исследования [61] с результатами расчета по формуле (11.247).
Среднее отклонение экспериментальных значений Ломакс от
расчетных составляет 4,5%. Плечо внутренней пары сил зависит
от положения точки Б — центра тяжести предельной площади
сжатой зоны бетона.
Рис. П.23
Совместным решением уравнения изостаты, соответствующей пре-
дельной сжатой зоне бетона (11.216), и уравнения плеча внутренней
пары у = (d + х) ctg р (рис. 11.23) при граничном значении у0 —
УмакЛок получено выражение плеча внутренней пары, соответству-
ющее Л4рмакС:
г /ТмаКС%к-с \ _J_ +	> (jj _249)
I амакс ^ок । .a sin р cos Р
\----~ь---+ctg ру
где	с = d ctg р;
Умакс~ 1 0,5о&макс*
Остальные обозначения приняты согласно [57].
Формула (11.249) действительна при углах наклона силовой пло-
скости от р = 0 до р = arctg b!h. При углах наклона р > arctg
113
blh формула сохраняет тот же вид, но сечение рассматривается как
бы повернутым на угол 90°, а угол |3 необходимо отсчитывать от
оси х — х. При |3->0 удовлетворяется граничное условие гб = Уо,
так как первое слагаемое в формуле (11.249) обращается в нуль, а с
стремится к Тмакс^ок (или Тмакс^ок), т* е- случай сводится к обыч-
ному изгибу.
В случае, когда плечо внутренней пары пересекает ось у — у
в точке Бо (рис. 11.22), первое слагаемое формулы (11.249) обращает-
ся в нуль, а плечо внутрен-
ней паря становится равным
c/cos |3 = z/0/cos Р- При этом
формула (11.248) обращается
в формулу (11.246). Очевидно,
что оптимальным расположе-
нием растянутой арматуры
будет такое, при котором рав-
нодействующая усилий в ней
расположится в точке Ао
(см. рис. 11.23), если это воз-
можно по конструктивным
соображениям и сортаменту
арматуры.
Таким образом, критерием!
определяющим границу пе-
реармирования, служит ус-
ловие
Л1И А(рМакс1
где Ми — момент внешних сил от расчетных нагрузок относительно
ОСИ нормальной К СИЛОВОЙ ПЛОСКОСТИ; Л1рмакс вычисляют по
(11.248).
^Предлагаемая методика определения предельного момента А4р макс
проверена сопоставлением опытных данных переармированных ба-
лок [61] с расчетными величинами моментов, полученными по(II.248).
Определение предельного момента Л1рмакс показано в примере
11.12, для которого выбран образец БПН-20-1 [61], но положение точ-
ки приложения равнодействующей усилий в растянутой арматуре
уточнено в соответствии с фактическими опытными напряжениями
в арматуре в момент, предшествующий разрушению.
Пример П.12. Исходные данные: b = 15,5 см; h = 29,5 см; р = 20°;
/?пр = 242 кг/см2; Fa = 9,16 см2 (1 0 14 АШВ + 3 0 18AIIIB); йОк =
= 23,64 см; d= 2,2 см. Опытные напряжения в продольной арматуре 014—
— ста ~ 4260 кг/см2; 0 18 — ста = 4780 кг/см2; 0 18 — оа = 5700 кг/см2;
018 — <та == 5500 кг/см2. Разрушающий момент Л4И = 7,85 т • м.
Равнодействующая усилий в растянутой арматуре
Na = 4260 -1,54 + (4780 + 5700 + 5500) 2,54=47 090 кг = Уб. опыт *
По формуле
Nq. макс — ^б. макс ^пр 0,55&йОк /?пр =0,55* 15,5*23,64*242 =48 900 кг.
114
Отклонение опытного значения от расчетного составляет 3,8%.
По формуле (11.249) находим
(Тмакс^ок—с \	1	, с
---------z--------I +—7" •
Самаке "ОК , . о I sln Р COS р
---------7-+ ctg Р /
Ь	/
Подставляя
у = 0,725; амакс = 0>55 (по табл. 4.8 [31]);
c = d ctg р=2,2*2,75 = 6,05 см,
находим
/0,725-23,64—6,05 \	1	6,05
ГГ>' | 0,55-23,64	|0,342 + 0,Э4“15’51
По формуле
Л/g макс =^б- макс Fnp гб = 0,55&Йок,/?пр гб~
=0,55-15,5-23,64-242-15,51 =755000 кг-см=7,55 т. м.
Отклонение опытного значения от расчетного составляет 3,8%.
3. Расчет сечений с двойной арматурой
Несущая способность косоизгибаемых сечений с двойной арма-
турой при заданных площадях и положении центров тяжести F'a и
Га может быть определена исходя из следующих закономерностей
(см. рис. 11.24). Фактическую площадь растянутой арматуры Fa
можно представить как сумму условных площадей Fa + f&, располо-
женных в точках А" и Ао на пересечении осей — хг со следами пло-
скостей, параллельных силовой плоскости и проходящих через точ-
ку А' и Б. Тогда условные моменты, действующие в этих плоско-
стях,
М: = Р;7?а.сгИрис. П.24),	(П.250)
Л4б = faRar	(II.251)
соответственно равны; из условия равновесия момент Л4И может
быть выражен как сумма условных моментов
Ми = Ж + Л1б.	(11.252)
В формулах (11.250), (11.251) принимается
Ja=Fa-F;^-;
Аа
 Лок—а'
При вычислении несущей способности по (11.252) все величины
известны, кроме г — плеча внутренней пары условного момента
115
Mq, которая определяется путем совместного решения уравнения
изостатической линии и уравнения линии плеча внутренней пары
(11.239) по (11.221). В формулах (11.216), (11.239), (11.221) прини-
мается:
р __ faRa .	_____ faRa
1 б-------- » Cfc - -л-- ’
/?пр	bh0K /?Пр
у = (1—0,5а); z0 = y/iOK;
р j р ! • с р,
F*d~Fа ~Z~ D
d6 =-------——--------; с = d6 ctg Р;
/а
D = (Лок—a') 1g Р ± d'.	(11.253)
Знак плюс в (11.253) принимается, если центр тяжести F'a рас-
положен слева от оси у — у, и минус — если справа от той же оси.
Используя основные положения приведенного метода, можно ре-
шить задачу определения площади арматуры Fa и F'a по заданному
моменту Ми и размерам сечения. Назначим положение центра
тяжести арматуры Fa в зоне ее рационального размещения (четы-
рехугольник /, 2, 3, 4 на рис. 11.24). Границы области рациональ-
ного расположения арматуры F'a найдены исходя из обеспечения
наибольшего возможного плеча внутренней пары га момента Ма,
необходимости выполнения условия Гб < г'а, что аналогично усло-
вию (48) СНиП П-В.1-62 при обычном изгибе и необходимости раз-
мещения центра тяжести арматуры Fa в пределах рациональной для
нее области [5], так как расположение центров тяжести Fa и Fa
в этом случае взаимоувязано.
Момент, воспринимаемый сжатой арматурой Fa и соответству-
ющей ей частью растянутой арматуры:
Л4а = Ми Л1б-макс*>
F' —
Rar' *
После несложных преобразований формулу (11.255)
лучить в виде
р' Ми COS ft—^р.макс^пр^ок
Ra (^ок—а')
Площадь растянутой арматуры
р ___________f	I pf _ амакс^ок^пр ir'^a.c
1 а / а.макс “г г а	~	“г г а ~	>
Аа	Аа
где
£	_ амакс ^ок bRnp
/а.макс — D
а а
(11.254)
(П.255)
можно по-
(11.256)
(11.257)
116
Таким образом, формулы (11.256), (11.257) по структуре и по су-
ществу соответствуют формулам (38), (39) руководства [59] для
определения F& и F'a.
При заданном положении Р'я центр тяжести растянутой арма-
туры расположится в точке А (см. рис. 11.24) с координатой
(по оси х)
— (/а.максН &	(II.258)
\	R& 7 Fa
где D определяется по (11.253), а
= Умакс^ок tg Р-
Формула (11.258) получена в предположении, что центр тяже-
сти предельной прямоугольной сжатой зоны бетона расположен
в точке Бо (см рис. 11.22).
В случае, если по конструктивным соображениям или ограничен-
ности сортамента арматуры, а также при больших углах наклона
силовой плоскости, когда точка А располагается за пределами се-
чения, т. е. при
"ок Умакс
определение Fa и производится следующим образом. Поло-
жение центра тяжести сжатой арматуры Fa назначается аналогич-
но рекомендациям, изложенным выше, а положение центра тяжести
арматуры Fa.MaKC (координата с?б = 0,5-&— по оси хх— jq)
назначим на границе области рационального расположения рас-
тянутой арматуры [51 с тем, чтобы получить наибольший возмож-
ный момент
Макс ” fa.макс гб*	(11.259)
Плечо внутренней пары вычисляют по формуле (II.249). При
этом
с = dQ ctg р.
Площадь сжатой арматуры
f1' — ^и~~~^О.макс) cos Р ,	(11.260)
Fa (^ок— аЭ
a Fa определяется по (11.257). Координата центра тяжести армату-
ры^ Fa по оси хг—Xi вычисляется по (11.258) при d6 = 0,5 b —
При углах наклона р > arctg hlb расчетные*формулы должны быть
скорректированы в соответствии с указаниями п. 1.
Пример ПЛЗ. Возьмем образец ПН -1-46 по табл. 1 [6], а обозначения
примем по рис. 11.24.
117
Определить предельную несущую способность предварительно-напря-
женной балки при следующих данных: Fa = 1,256 см2; Ra = 16000 кг/см2;
Fa =0,126 см2; ос = 4300 кг/см2; £пр = 315 кг/см2; ₽ = 20°; b = 15,3 см;
h = 25,2 см; ах = ау = 4,56 см; а' = 2,2 см; d' = 0; d = 3,09 см.
Предельный экспериментальный момент = 3,69 т • м.
Вычисляем:
/i0K = /i—3^=25,2—4,56 = 20,64 см;
z	h0K—а'
COS р
20,64—2,2
0,94
19,6 см;
г Ос	4300
/а = Fa _ Fa — = 1,256 - 0,126-------= 1,222 см2;
Ra	16 000
faRa 1,222-16 000
а =----------=----------------=0,196;
Япр^ок 315.15,3-20,64
у = 1— 0,5а = 1—0,5.0,196=0,912;
D = (/z0K—a') tg₽ —d' =(20,64—2,2) 0,364 = 6,7 см;
4300
,	1,256-3,09—0,126 —---6,7
Fad — FaVclRaD	16 000 n
dg =----------------=------------——------------= 3 см.
0	f	1,222
fa
c — de ctg p = 3-2,75 =8,2см.
ffl0K — C \	1 + c
a/ioKq-CtgR ) sin₽ c°s₽
. b	;
0,912-20,64—8,2 \	1	8,2
-----------------\-----4"----=18,9 cm;
0,196-20,64	10,342 0,94
15,3
Л4И—Alб 4“ Ala —fa.Ra.r — Fa Oc f'a ==
= 1,222-16 000-18,9 4-0,126-4300-19,6 =3,82 т-м.
Отклонение расчетного предельного момента от экспериментального
А*и-^иФ
3,82—3,69
100=3,5%.
Пример П.14. Вычислить площадь F& и Fa для железобетонной балки
(рис. 11.25) при следующих данных: Ми = 22 т • м; b = 25 см; h = 50 ем;
118
Р « 10°. Бетон марки 200; /?пр — 95 кг/см2. Арматура класса А-Ш; /?а =*»
= 2?а.с —3400 кг/см2. Принимаем Лок = 42 см; а = 2,5 см.
Определяем необходимость двойного армирования:
1
Mg. макс — А). макс
#ПР Мок —= 0,4-95-25*422
F cos р
Л4ц — 22>Л4б. макс —13 т*м*
Необходимо двойное армирование.
По формулам (11.256), (11.257)
f Ми cos Р — Ао. макс ^пр ^ок
ра ....-..	.... —. -
^ас (^ок—а)
2 200 000-0,965—0,4-95-25-422	% (
3400(42 — 3,5)	’
, ОСМакс ^ок ^пр i
Fa = fa- макс 4" Fa =	”	4" Fa
0,55-42-25-95
3400
4-2,03 = 18,9
Принимаем: в растянутой зоне 4 0 22
4- 2 0 16 (Fa = 19,22 см2); в сжатой 1 0
(Fa = 2,01 см2).
Находим положение центра тяжести Fa и
расстановкой сжатой арматуры
= 18 т-м.
Fa* В соответствии с принятой
d' = 12,5—3,5=9 см;
d=(fa’d6 + F'a^-D) у- ;
\	Аа / ^а
= Тмакс ^ок tg Р == 0,725 • 42 • 0,177 = 5,4 см;
D = (/i0K—a')tgp—^ = (42 — 3,5)0,177—9 = —2,2 см:
1g 9 2	2
d=—— 5,44-ТТТ;(—2,2) = 4,62 см.
18,9	18,9
Растянутую арматуру размещаем так, чтобы ее центр тяжести располо-
жился в точке с координатами ау =* 8 см; пх = (12,5 — 4,62)=7,88 см (от-
носительно левого нижнего угла сечения) (см. рис. 11.25).
4. Сравнение несущей способности, вычисленной
методом аппроксимации изостатических кривых,
с полученной из экспериментов
Сопоставление теоретической ~ величины несущей способности
для 47 железобетонных балок (ранее испытанных разными исследо-
вателями) [6, 43, 46], полученной излагаемым методом, с результа-
тами экспериментов (табл. П.З) показывает удовлетворительную схо-
димость.
119
Таблица II.3
Сравнение результатов теоретического расчета прямоугольного
сечения на косой изгиб методом аппроксимации изостатических
кривых с экспериментальными данными
Шифр банки	Угол наклона р, °	Разрушающий момент		Отклонение, % -77— ЮО Л!э
		действитель- ный М9, т*м	по предлага- емому методу Мт, т«м	
Балки с ненапря г аемой арматурой
1	20	0,91	0,89	— 2,7
2	20	1	0,89	— 11,5
3	20	0,97	0,89	— 8,5
4	10	0,94	0,85	— 9,6
5	10	1,03	0,85	—17
6	10	1	0,86	— 14,5
7	31	1,45	1,47	+ 1,4
8	20	1,42	1,33	— 6,5
9	20	1,39	1,31	— 6
10	20	1,36	1,31	— 3,96
13	10	1,31	1,42	+ 8
14	10	1,27	1,46	+ 15,7
15	31	1,45	1,36	— 6,5
16	31	1,49	1,41	— 5,8
17	27	1,38	1,41	+ 2,3
18	28	1,38	1,44	+ 4,1
19	27 .	2	1,67	— 13,82
20	27	1,93	1,67	— 13,82
21	27	1,15	1,09	— 5,5
22	28	1,19	1,1	— 7
БП-10-1,2-1	10	6,5	5,39	—17,1
БП-20-1,1-1	20	5,4	5,04	— 6,58
Балки с напрягаемой арматурой
БПН-10-0,8-1	10	6,2	5,58	—10,07
БПН-10-0,8-2	10	6,05	5,58	— 7,8
БПН-10-1,2-1	10	7,32	6,76	— 7,58
БПН-10-1,2-2	10	7,3	6,76	— 7,58
БПН-10-1,8-1	10	10,5	10,59	+ 0,87
БПН-10-1,8-2	10	10,4	10,59	+ 1,06
БПН-15-1,2-1	15	7,78	7,49	— 3,7
БПН-15-1,2-2	15	7,83	7,49	— 4,3
БПН-15-1,2-1А	15	6,87	6,38	— 7,06
БПН-15-1,2-2А	15	6,87	6,38	— 7,06
БПН-20-0,8-2	20	5,06	4,86	— 4
БПН-20-1,2-1	20	6,45	6,44	+ 0,06
БПН-20-1,2-1	20	6,39	6,44	+ 0,9
ПН-1-2а	10®50'	3,37	3,43	+ 1,78
ПН-1-26	10°50'	3,48	3,53	+ 1,43 .
ПН-1-За	14	3,8	3,75	— 1,18
ПН-1-36	14	3,8	3,91	+ 3,03
ПН-1-4а	20	3,48	3,64	+ 6,1
ПН-1-46	20	3,69	3,9	+ 5,62
ПН-1-6а	30	3,09	3,5	+ 11,7
ПН-1-66	30	3,09	3,5	+ 11,7
ПН-1-6в	30	3,34	3,56	+ 6,18
120
Продолжение табл. Н.З
Шифр балки	Угол наклона 3, °	Разрушающий момент		Отклонение, % Л1э МТ . м3 100
		действитель- ный Мэ, т«м	по предлага- емому методу МТ, т*м	
ПН-1-10а	45	2,84	3,28	+ 13,4
ПН-1-106	45	2,84	3,28	+ 13,4
ПН-1-Юв	45	•	2,84	2,9	+2,06
				Д=—2,48; 0=4,94
Примечания: 1. Балки (шифр 1-22) испытаны доц. Н. И. Смолиным
и инж. Жэнь Бэй Юй [43].
2. Балки (шифр от БП-10-1,2-1 до БПН-20-1,2-1) испытаны асп.
Л. И. Сердюк [46].
3. Балки (шифр от ПН-1-2а до ПН-1-10в) испытаны инж. М. А. Борисо-
вой и канд. техн, наук М. 3. Арафат [6].
ГЛАВА III
РАСЧЕТ СЕЧЕНИИ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО-НАПРЯЖЕННЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ НА КОСОЙ ИЗГИБ ПО НЕСУЩЕЙ
СПОСОБНОСТИ (ПО ПРОЧНОСТИ)
II 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
В этой главе изложен способ расчета прочности сечений предва-
рительно-напряженных элементов двутаврового, таврового, Г-образ-
ного и прямоугольного сечений при их работе на косой изгиб в со-
ответствии со СНиП при всех практически возможных положениях
нейтральной оси (см. рис. II.1).
Рассматривая двутавровое сечение с двойной напрягаемой и обыч-
ной арматурой, можно из уравнений для расчета такого сечения
получить формулы для расчета на косой и обычный изгиб сечений
другого вида.
При выводе расчетных формул принимают те же основные пред-
посылки, что и при расчете на косой изгиб элементов без предвари-
тельного напряжения (см. П.1), но напрягаемая арматура, распо-
ложенная в зоне, испытывающей сжатие от действия внешней на-
грузки, вводится в расчет с напряжением
Ос =3600—тт Од,
где тт и сто принимают согласно указаниям главы СНиП.
Общие условия предельного равновесия выражаются уравне-
ниями:
SZ = 0;	(III.1)
2Мж = 0;	(Ш.2)
2My=^0,	(III.3)
где SZ—сумма проекций всех сил на ось, перпендикулярную
плоскости чертежа (рис. III. 1); 2МХ — сумма моментов всех
сил относительно оси Х1Т нормальной к плоскости изгиба моментов
внешних сил Мх и проходящей через точку приложения равнодей-
ствующей усилий в арматуре fHX и Fa; SMу — сумма моментов всех
сил относительно оси Ylt нормальной к плоскости изгиба моментов
внешних сил Му и проходящей через точку приложения усилий в ар-
матуре /ну (рис. Ш.2).
122
Из общих уравнений (III. 1), (II 1.2) и (И 1.3) получим формулы
для расчета сечений при всех практически возможных случаях поло-
жения нейтральной оси.
Рис. III.1
II 1.2. СЛУЧАЙ I
ПОЛОЖЕНИЯ
НЕЙТРАЛЬНОЙ ОСИ
При случае I нейтраль-
ная ось пересекает верх-
нюю грань плиты и боко-
вую грань ребра элемента:
Ф1&п С b'n\ К (см.
рис.. III.1, III.2).
1. Двутавровое
и тавровое сечения
Уравнения предельного
равновесия для двутавро-
вого поперечного сечения
при расположении армату-
ры /нх и Fa в пределах
ребра на участке ub =
= b—2а2 (см. рис. II 1.1, а)
в развернутой форме имеют
123
у Яир ti h<fi bn + 7?np (bn — b)h'n =
= ЯанЛ,и-рЖ(1-рЗ-РнЯн];	(Ш.4)
Мж=4~ЯщЛ% bn(h—at—Mi h 'j 4-
Z	\	о J
+ Япр (b'n-b) h'n (h— ai~^. V flaHFB Гр'я' (h-ai~a^ +
+ p' PhHh(h—ai—a^—PBcn(l + c$ ( *” 01   + aH~ai)T>
(III.5)
Mp — ^np ^Ф1 bn b 0%
+ £np W-b) h'n (b-a, +*=y-') +Яан FB ШН' +p'p*H*)X
X(ub—0,5»' Ь)—(Рн + Рн Ян) °>5w6 +PhCh (bn—b)—
РнснСн(^п 2a2)].	(III.6)
В этих уравнениях
na_ Zk 	.fa.. D'_ _££• Wa— •
Ph p ’ P~p ’ P«—Пя— n ’
Гн	Га	rH	naH
FH = fBx + fnHU +fiy = fnx [1 + Ch (1 + CH")1;
Ibx= 1 +J(14-C°) =P*Fb’
Г H - •
1 +ch(1 +c„)
Разделив правую и левую части уравнения (II 1.4) на Rapb^h,
уравнения (III.5) на 7?пр b„h? и уравнения (III.6) на 7?пр&п2 h и обо-
значив, как и раньше,
-p-=n'; -7-=^; т- = 'П‘> т=у/; (!—я')¥' = <»; y-=Y;
On	On	Or	ft	h
“L = 6i;-^-=6H; ^.=^.T)' = 62tl';	^- = 6';
h Л H bn b 1	2 1 ’ ft ’ft
л   Ран Ph . л   Mx ' л   My
“'НП n I* ^OX-------- o 1.2 ’ /1°y -iTiT ’
°np h	^?пр	^?np^n h
124
после преобразований получим:
Здесь
g __ 2 (<%нп Д—<0) . 1	(Ш.7)
ах — анп ( Ан ~Д?1 1 + —Вх;	(III.8)
4г/ = анп(БнП'— ^-Дф^+^-Юфх + Гх. \	0/0	(III.9)
А; = (1-61)Д~ЖХ;	(III. 10)
Б' = (1-62)Д-Жу;	(III.11)
д=1 + р* яа(1—р')—РнЯ';	(III.12)
Жя = рнсн(1 + ^) ( т-6*~6н +SH-A)-	
-р; Я= (1 -бх-б;)-р' ра яа (1 -бх-6');	(III.13)
Жу = рн сн	(у—26а j — ( — 1) + 05 (рн + р’Яа) и—
~(р'в Я£ +р' р2 Ян) (u-Q,W).	(III. 14)
Если арматура fBX и Fa расположена на участке Ьа — 2az
(см. рис. III.1, б), то изгибающий момент усилий в арматуре относи-
тельно оси Ур
Мву = #ан Fh | (Рн Нн + р' Рв Нв) (иЬ — 0,Ьи' Ь)~
-(Рн + Р’/Й) (—±—0,5иЧ*) +(Рн + РнНи)х
1
&п—2л2
(Рп	I Ч~ Рн ^*Н (^П Рн^н^н (^П 2^2)
В безразмерном виде Мау получим, вынося за скобку Ь'п и rf
и разделив на /?пр&п2Л; в этом случае после преобразования z
Жу — Рн сн	2ба^
+ (рн+р| Ян) 0,5 —!-----1>- (-
п
—(Рв Ян + р' Рн Ян) (ы—0,5«').
(III.14а) •
125
При симметричном по отношению к оси Y расположении арма-
туры растянутой зоны (рис. III.1, в) площадь арматуры fHX распо-
лагается на участке
bn + (ba-b)-2az = 2bn-b - 2а2;
/л — «П п	1
1ну   /Ну, СН   *•
При этом изгибающий момент от усилий в арматуре относитель-
но оси Уг.
{Г 1	2"
-(рп+раНа) 1	0,5(6п—2а2) +
Zvjj-U-
+ (рн + р* Н„) Г 2	0,5 (ba-ft)2] +
[26п — b — 2a2	J
+ (P' Ян + P' PvH3 (Ub — °’5U' &) + Ph Cn(bn~ b) ~ PH Cn (&п— 2й2)}.
- Произведя указанные преобразования, получим
Жу=РнСн[(-^--2М~(и-----9 +
+ (рн 4- рЖ) 0,5 ——1--Г ('А -2б2Г- ( А- 1
2A_2S t А я )
п
—(РнЯн+р'РнЯ|)(и—0,5ы').	(III. 146)
В тавровом, Г-образном и прямоугольном поперечных сечениях
в уравнениях (II 1.5), (II 1.6) изменяются плечи внутренних усилий
в напрягаемой арматуре и f"v (рис. III.2); вследствие этого
Жх = рнсн(1+^)(0,5и + 6н-61)-р'Я'(1-61-6н)-
—р'рЖ(1 —6Х—6^;	(III.15)
Жи = [рнсн^+0,5(рн+рХ)1 «-(Ph^+pX^)(“-°>5«')- (III-16)
В уравнениях (II 1.8) и (II 1.9)
= 1/2®у';	(III.17)
Л = 1/2® (l—i]').	(III.18)
По формулам (III.10), (III.11), (III.12) значения Ан, Бн и Д
определяют при всех случаях положения нейтральной оси для всех
рассматриваемых сечений; Жж и Жу находят по формулам (II 1.13),
(III.14), (III.14а), (III.146) — для двутаврового сечения, по
формулам (III.15), (III.16) — для таврового, Г-образного и прямо-
угольного сечений с напрягаемой и обычной арматурой.
126
Коэффициенты и <рь определяющие положение нейтральной
оси, так же как и в II.2, найдем из (Ш.7) и отношения
h ,	, h ,
•-П =tg-T)'.
b	b
из формул (111.8), (111.9) и из
АрУ	Щ
Apx
После подстановки Лох, ЛОг/,
формулы (III.7) и решения квадратного уравнения получим
m _ -ЗК1 + Уэк? + 8% (ан-п Д-СО)3
Ф1 —
2 (^гш Д—со)
(III.19)
где
(II 1.20)
Ki — Ан п Бнт| о&н.п Гр
Проверка несущей способности и определение размеров сечений
всех рассматриваемых видов с напрягаемой и обычной арматурой
при любом положении нейтральной оси производится по формулам:
(III.21)
Мх Af)x
——— , или h = V -----;
^OX^npfr	F	^ох ГПр
р <^н.п /?пр h	р ан /?пр bh .
=, или =	,
*<ан	^ан
Гн - РнГн;
fax ~ Ph.Fн,
fny — cj их»
£п ___ .
I ну — сн/ нх,
Га - р* Гн;
Га = р'Га.
(III.22)
(III.23)
х
(II 1.24)
(II 1.25)
(II 1.26)
(II 1.27
(II 1.28)
(II 1.29)
Аох вычисляют по формуле, соответствующей форме сечения и по-
ложению нейтральной оси.
В подкрановых балках и прогонах покрытий коэффициенты
rf; Ох) 62; и ио принимают в пределах, указанных в II.2.
Остальные коэффициенты следует принимать равными:
tin = -т- =--- 1;
|п ьп 2
ь	1.1
Т] =---------;----;
6П	1,5	2
hn 1.1
1 h 8 ‘ 5 ’
127
^-=0,54-0,2;
cH = c=tgp4T1'’
О
<^^ = 0,15-0,2;
•ну
р® =-^-= 0 4-0,2;
н FB
2.	Г-образное сечение
а)	Свес плиты слева. Элемент Г-образного сечения со свесом
плиты слева получаем из двутаврового или таврового сечения
(см. рис. Ш.2) путем удаления правого свеса. Соответственно в урав-
нениях предельного равновесия двутавровых или тавровых се-
чений (Ш.7) —(Ш.9), (III.19) и
(II 1.20) члены, зависящие от этой
части сечения, приравниваем нулю,
т. е. принимаем со = 0; Вх = 0;
Ti = 0. Тогда формулы для расчета
Г-образных сечений на косой изгиб
принимают вид:
2ан.дД .	(Ш.з0)
Фх
Ах = «н.п(а'-4д^;	(III.31)
\ о /
А0!/ = ан.п —	(Ш-32)
Ф1=—|/-|к?+2^н.пд,
(II 1.33)
где
= да - ву) (JL). (Ш.34)
б)	Свес плиты справа. Подставив в уравнения (III.4)—(III.6)
(fjb вместо Ф1&п, учитывая указания III.2 относительно ве-
личины плеч внутренних усилий напрягаемой арматуры тавровых,
Г-образных и прямоугольных сечений и разделив соответственно
•128
уравнение (III.4) на 7?npi>/i, уравнение (Ш.5) на 7?пр bh2 и уравне-
ние (III.6) на 7?npb2/i, после преобразований получим (рис. Ш.З):
Здесь
г^анД-Л )	
.	5! = -^		(Ш.ЗО')
<Р1	
А» = ан (а; —L Д^ +	(Ш.ЗГ)
4у = ан (Бн - ДфЛч- , Ф1 + Гх; \	/	О 7|	(Ш.32')
m	- 3Ki + V 9Kf + 8Х(анД -С0/Ч1)3	иII 330
т1	/	со \	•	
2 анД——	
\	П /	<
Ki ~ АНА/ОСН--БН осн	Г1,	(III.34')
1 $lv -|<n' II Г r-H V- з|> -]<N . II м	
tgp—; а =_Ман_.
Мх b	b	Rnpbh
А'н, Б„, Д, Жж и Жу вычисляют соответственно по (III.10)
(III.12), (III.15) и (III.16).
3.	Прямоугольное сечение
В прямоугольном поперечном сечении = Ь. Поэтому в фор-
мулах (III.30) — (III.34) следует принять т)'= 1 и ан п = ан. Тогда
^1=2анД.	(Ш.35)
<Р1
=	(III.36)
ЛОу == 0£н f Бн-	{II 1.37)
\	о /
ф1=_.	1/±К2 + 2ХавД ;
(III.38)
^^(А'Х-Б,;)-!-. (III.39)
Ш.З. СЛУЧАЕ I-a ПОЛОЖЕНИЯ
НЕЙТРАЛЬНОЙ ОСИ
При случае I-а нейтральная ось
пересекает верхнюю грань плиты
и нижнюю грань правого свеса;
Фх&п'^п,-%ih'<hn (рис. III. ’4).
Рис. П 1.4
5 Зак. 731
129
1. Двутавровое и тавровое сечения
При наличии в поперечном сечении напрягаемой и обычной арма-
туры уравнения предельного равновесия для .этого случая получим
из (III.4) — (III.6), если вместо /г„ подставим в них |х/г. После
преобразований, аналогичных приведенным в Ш.2, эти уравнения
в безразмерном виде следующие:
ф1 = 2[ан.дД-(1-^)Ь].	(III.40)
51
Лх = ан.п ( а; - V	—г -’l') &	(111-41)
А„ = аи.п[Б^'-уДф1 + у(1-П')Д]-у(1-П')Ч1. (Ш.42)
Коэффициенты <рх и |х определяем из уравнения (111.40) и отно-
шения к = А0у/А0х, из которого после подстановки значений АОх,
Аоу из (Ш.41) и (III.42), а <рх из (111.40) и необходимых преобразова-
ний получим кубическое уравнение
^ + «о^-^1-со = 0,	(Ш.43)
где
_   2ан.пД	1—Ц' .
к~’
=	б“Т1'--тД^~^
л(1—т)) L	з	j
. 2	Д2
Cq — 4ссГ[ п .
0	Х(1—11')
2. Г-образное сечение
При свесе плиты справа в уравнения (III.4) — (III.б) подставим
£хт] вместо Лп и <рх£> вместо <рх£>п; учитывая указания, изложенные
в III.2 относительно величины плеч внутренних усилий напрягае-
мой арматуры растянутой зоны тавровых, Г-образных и прямоуголь-
ных сечений, будем иметь уравнения в безразмерном виде:
2 анД— f , — 1 'j £Х1
ф1 = _L-----	(III.44)
61
^ = ав(,А'-4-Д£х')—17-L-lk*;	(Ш.45)
А!,=ан[Б'--^ДФх + 4' (-L- 1) д1-± (-L- 1W; (Ш.46)
L о	о \ т) / J Ь \ т) /
130
(Ш.47)
где
2анД	1/n' —1.
^0	_	~	А	5
1/Т) — 1 к
А„, Бн, Д, Жх и Жр определяют соответственно по формулам
(ШЛО), (III.11), (III.12), (III. 15) и (III.16).
III.4. СЛУЧАЙ II ПОЛОЖЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОЙ ОСИ
При случае II нейтральная ось пересекает вертикальную грань
левого свеса и правую грань ребра: < h„,	> h'n (рис. III.5;
1.	Двутавровое и тавровое сечения
Уравнения предельного равновесия для двутаврового сечейия
-имеют вид:
^пр ЬЬП — /?пр 5о	4~ ^?пр (Ьп—b)hn —
= R^Fn [1 +р; Ян(1 -Р')-Рн Ян];	(111.48)
5*
131
Мх = АР hb^h— а±—l- 5ih) — у /?пр So hb'n (h—a1—%1h +
+ 2.Ы +flnp(^_&) f	4-
О J	\	" /
+ Ан Рн рн Hufh—ai — a„) + p’ p* Hau (h —c^—a'a) —
-Ph<4(1 +<fl (--n~ --^- + Дн-ai)]; (III.49)
My = Rnp li hb'n { b - a -	- V ЯпР So НЬ^Ь-а2-^-Ьн'\ +
+ A₽ (bn - b) h'n[ b— a2 +	+ Ah A [(Ph Hl +
+ p' рн Hl) (ub — 0,5u'Ь)—(ря + plHl) 0,5ub —
-Рн<4сн(6п—2аг) + РяСн(Ьа — Ь)].	(III.50)
После преобразований, аналогичных приведенным в II 1.2,
получим уравнения в безразмерном виде:
^=ан.пД+у5о-®;	(Ш.51)
	Ах = ан.п(лн — 0,5анп Д2 + соД) —5о - В2; 24	(III.52)
	Ав = ан.п (Бн 'И' — 0,5Д) + — So +1\>	(III.53)
где	в2=4® (<•)+?');	(III.54)
	г2=-|-®(2—	(III.55)
Значения коэффициентов и ?0, определяющих положение ней-
тральной оси, найдем из (III.51) и отношения Z, = Аоу/Аох. Подста-
вив в это отношение значения ЛОж и Аоу из уравнений (ПГ.52),
(III.53), a из (III.51) получим квадратное уравнение, из кото-
рого
.	(III.56)
X
при этом
?2 “	-^о-
132
Здесь
К2 = 24 [ан.п (А^-Б; г/ - 0,5Хан п Д2 + 0,5Д + ДсоД) -
— В2Х — Г2].	(Ш.57)
Тавровые сечения рассчитывают по формулам (Ш.51) — (Ш.57),
но Ж» и Жу определяют по (III.15) и (III.16).
2.	Г-образное сечение
а)	Свес	плиты	с левой стороны. Если в	уравнениях	(Ш.51) —
(III.57)	положить	со = 0, В2 = 0 и Г2 = 0,	то для	Г-образного се-
чения они принимают вид:
^«н.пД + Y^	(Ш.58)
Ах	= ан.п(Ан—0,5аип Д2)-1-12;	(Ш.59)
Ау = «н.п (Бн А -0.5Д) +	g0;	(Ш.60)
К2 = 24ан.п (Ан X—Б„ п' -0,5Хан.п Д2 + ОДД). (Ш.61)
б)	Свес плиты с правой стороны. Для этого случая расчетные
уравнения в безразмерном выражении приводятся к виду:
^ = анД + 4-?0—(Ш.62)
2	т)'
Ах = ан( Ан—0,5анД2+-^~ д')-^-В2;	(Ш.63)
Аи = «н(Б.;-0,5Д) + -^о + г2.	(III.64)
Здесь
bAv(7+4	(Ш'65)
г.= —;	(Ш.66)
К2 = 24 |ан (а; X-б; —0,5ХанД2-0,5Д +
4-ХД-Д-) — В2Х—Г2 .	(Ш.67)
133
3.	Прямоугольное сечение
Приняв в (III.58)— (III.61)	= 6; т)' = ЫЬ'п= 1 и аН п = ан,
получим уравнения для прямоугольных сечений: ...
11 = анД + у1о;	' (Ш-68)
Л9Ж = ан (Ан—0,5ан Д2)-^- У;	(Ш.69)
Айу = ан (Б„—0,5Д) +-^ U	(III.70)
К2 = 24ан (А' X—Бд—0,5Хан Д2 + 0,5Д).	(111.71)
Рис. II 1.7
Значение при расчете Г-образ-
ных и прямоугольных сечений опре-
деляют по формуле (II 1.56).
III.5. СЛУЧАЙ П-а ПОЛОЖЕНИЯ
НЕЙТРАЛЬНОЙ ОСИ
При случае П-а нейтральная ось
пересекает вертикальную грань лево-
го свеса и нижнюю грань правого
свеса; < h'n\	(рис. III.7)
1. Двутавровое и тавровое сечения
Уравнения предельного равнове-
сия в развернутом виде получим, если
в (II 1.48) — (II 1.50) вместо Лп подста-
вим После преобразования эти
уравнения в безразмерном выраже-
нии имеют вид:
1
ан.п Д +
£1=—5—А—;	<ш-72)
2—т)
ЛОж = ан.п /А'-ОД —Ц-Д2ан;п\—Д-(4-—(Ш.73)
I	2—Т)	/ 24 \	2—1]' )
4О!/ = ан.п(БнТ1'-0,5Дг]') + -^(4-Зп')^о;	(П1.74)
134
— (4—3t|') + l/ (4-Зт]')2+К2Л 4_-------
Во  ----------------—--------—М---------Tj- -- ; (II1.75)
.	Ва— Bi Во-
Здесь
К2=24ап.п ( А; Х-Б' if—0,5% Д* , ан.п +0,5Д|]' 1 (Ш.76)
\	2 — 1)	/
2. Г-образное сечение
Если сечение имеет свес плиты справа, то расчетные уравнения
в безразмерном выражении имеют вид:
£1=(анД+-^Во)п';	(Ш.77)
Аох = а„ (А,',—0,5аа Д2Я')-J_(4-3if)	(Ш.78)
Л0г/ = ан[Б'-0,5Д (2--^^+-jy[4-3(2—(Ш.79)
—[4-3(2--Ml + 1/ 4-3(2—Ml + K2M4-3ri')
_L—15——О—2—. (Ш.80)
X(4-3tf)
Здесь
К2 = 24оЦАн 1—Бн—0,5Хая Д2 if +
+ 0.5Д (2---LYI. (Ш.81)
\ П' /J
III.6.	СЛУЧАИ III ПОЛОЖЕНИЯ
НЕЙТРАЛЬНОЙ оси
При случае III нейтральная
ось пересекает боковые грани реб-
ра; g2 h > Ап’, gift > ftn (рис. III. 8).
1.	Двутавровое и тавровое
сечения
Уравнения предельного равно-
весия в безразмерном выражении
для этого случая положения ней-
тральной оси (см. рис. II 1.8) полу-
Рис. Ш.8
135
чим из (11.126) — (11.131), если учесть наличие напрягаемой арма-
туры и заменить в указанных уравнениях: (1—Р') на Д; а на ан;
А' и Б' на Ан и Бд. Тогда эти уравнения запишутся так:
^ = анД + -1-|о-2^-;
2	т)'
(III. 82)
Лож = ан( А'-0,5Д2ан + 2^д]-^- Аоу ~ ан (Бн 0,5Д) + J-o,		Го-в3;	(III.83) (III.84)
-1+/1-7<3Х . ёо % ^2 — £1	j b3=4(24-+y' V, К3 -= 24 jaHА,Д—Бн—0,5%Д2ан + 0,5Д—2 — ХД^ — В8Х]. Л' /	J 2. Г-образное сечение Если сечение имеет свес плиты слева (см. рис.		(III.85) (III.86) (III.87) + (III.88) II 1.8), уравнения	
имеют вид: ^Ок =	,Ь-«иД+^- = «„(а;-о,5Д!«„+ “ д) ‘ \	Ч	j	Г-В3;	(III. 89) (III.90)
Здесь 1о и |2 опреде. Дз = 24	Аоу = ан (Б„—0,5Д) 4--±-10-г3. 1	(0 / (0	.	, \ в3- — • , —r+v - 2 Л \ Л	/ - г	1	со А з — ~ • 7Г • 2 rf ляют по (II 1.85) и (II 1.86). При этом а„( А'%-Б'-0,5Д2ан1 + 0,5Д+-^ДХ'		(III.91) (III.92) (III.93)
	—В3 % -f- Г31.	п	(II 1.94)
136
При расчете элементов таврового и Г-образного сечения со
свесом плиты слева в случаях II и III положения нейтральной оси
следует руководствоваться указанием, приведенным в II.6. При
свесе плиты справа расчет производится по (III.62) — (III.67).
111.7.	О РАСЧЕТЕ ЭЛЕМЕНТОВ ТАВРОВОГО
И Г-ОБРАЗНОГО СЕЧЕНИЯ С ПЛИТОЙ
В РАСТЯНУТОЙ ЗОНЕ
Элементы таврового и Г-образного сечения с плитой в растяну-
той зоне рассчитывают как элементы прямоугольного сечения, так
как Ьп — Ь.
При проверке-несущей способности по формуле (II 1.21) и вычис-
лении размеров сечения по (III.22) и (III.23) ЛОж и вспомогательные
величины определяют
Рис. II 1.9
Рис. 111.10
1) при случае I положения нейтральной оси (рис. Ш.9, III.11)
по формулам (III.35), (Ш.36), (Ш.38) и (III.39);
2) при случае II положения нейтральной оси (рис. ШЛО, III.12),
по формулам (III.56), (II 1.68), (III.69) и (III.71). Ан, Бн иД нахо-
дят соответственно по формулам (ШЛО), (III.11), (Ш.12), а Жх и
Жу — в зависимости, от вида поперечного сечения и расположения
арматуры в растянутой зоне.
137
1.	Тавровое сечение
Значение Жж определяют по (III. 13); значение Ж у зависит от
расположения арматуры fBX и ра:
1)	арматура fBX и Fa располагается в пределах ребра на участке
(Ь—2а2) (см. рис. III.1, а)—Ж» определяется по формуле (III.14);
2)	арматура fBX и Fa располагается на участке (6П— 2а2) (см.
рис. III.1, 6):
Жу = Рн Св Гй [ ——26а А - [ -*-1 W(pH+р“ Hl) 0,5 х
L \ ч / \ ч )
X ,, 1 оя [Ц2—(1/п—28а—ц)2]—(рн^+Р'РяЯн) X
X (и—0,5u');	(III.95)
3)	вся арматура растянутой зоны расположена симметрично по
отношению к оси симметрии Y (см. рис. III. 1, в):
= Рн Сн [(1 /я—2S2)—(1 /П — 1)] + (рн +
+ Рн Hi) 0,5	1   Г(— — 26аУ - (l/п-1)21 -
2 1/т)—202— 1	Ч /	J
-(рн Н' + р' раа Hl) (м-0,5и').	(III.96)
138
2.	Г-образное сечение
Если горизонтальная нагрузка действует со стороны ребра
(см. рис. Ш.П, III.12), то Жх определяют по (III.13). Значение Ж»
и в данном случае также зависит от расположения арматуры fnx
и Еа:
1)	арматура fRX и Fa расположена в пределах ребра на участке
(&—2а2) (см.'рис. Ш.П, III.12):
Жу = РнСя[^и-(1/П-1)] +
+0,5 (ря +рн Н н) и (рн Нн +
‘ +р'р2яг)(и-О,5и'); (III.97)
2) арматура fRX и Fa расположена на участке' (Ь„ — 2а,)
(рис. III. 13):
Жр = Рн Ся IcS и - (1 /л -1)] + (рн + рая На) 0,5х
X [ы2—(1/я—262—ы)2]—(рн Я„+р'Рн Ян) (ы—0,5ы')- (1П.98)
Если горизонтальная нагрузка действует со стороны плиты
(рис. III.14), то Жх вычисляют по формуле (III.15,а)
Ж!/ = -^^-КТ-б,-бн)(1/п-262) + (а + 61 + 6н-т)ы] +
+ (Рн + РнЯн)0.5ы —(рнЯн+р'РнЯн)(«—0,5u')- (III.99)
При расчете железобетонных элементов с одиночной арматурой
следует в значениях Д, Жх и Ж^ принять р' = 0 и == 0.
139
III.8. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА СЕЧЕНИЙ
ПРЕДВАРИТЕЛЬНО-НАПРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
НА КОСОЙ ИЗГИБ ПО НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
Пример III. 1. Дано: Л4макс = 2,7 т-м; ₽ = 16°; Мх = 2,7 cos 16° =
= 2,7 sin 16° = 0,75 т-м.
Бетон марки 400; Г?пр = 200 кг/см2.
Напрягаемая арматура из высокопрочной
проволоки периодического профиля диа-
метром 4 и 5 мм (ГОСТ 8480—68); /?ан=
= 8900 кг/см2.
Требуется подобрать площадь сечения
напрягаемой арматуры, пользуясь табли-
цами, и проверить несущую способность
сечения (рис. III. 15).
Принимаем:	= 0,1; 62 — 0,15; и — 0,7.
Вычисляем:
= 2,6 т-м; Му
и —
0,5+2,5Х’
9
--- =0,58;
15,5
= JL = 0,2;
30
30
= 3,33;
b
п ==— =
Ьп
, ' hn
V' = ^1
h
h
b ~~ 9
h
A, = tgp— т] =0,287-3,33-0,58 =0,544;
b
с=А.=0,554; р =
— =0,643;
2,5-0,5542
0,5+2,5-0,554
-+=0,125.
3,33
_ Мх______________270 00Q
Ох~ Rnpbnh? ~ 200-15,5-302—
По приложению II.6 при Ь/ЬП ~ 1/2', hn/h = 1/6;
Дох = 0,101, интерполируя, получим ан,п = 0,126.
Необходимая площадь сечения напрягаемой арматуры
<%u.nRnpbnh 0,126-200-15,5-30
Fh =----------------- 7777
Определим F'H, fBX, и •
При
, F'	fn
р'= -^-=0,2;	=	=0,2;
Н Е*	Н f Л
Гну
сп = X — 0,554; рн ~---7-----—---------------------= 0,6;
8	Ря 1+сн(14Ч)	1+0,554(1+0,2)
140
Fh = Ph FH = 0,2-1,315 = 0,262 см2; принимаем 204 (Fh—0,25 см2)*,
6-1,315 = 0,79 см2; принимаем 207 (fHX = 0,77 cm2);
f^y~cn /^=0,554-0,84 = 0,437 см2’ принимаем 108 (fHy =0,508 cm2);
/^=0,2-0,437 = 0,0875 см2; принимаем 103,5 (f^=0,096 см2).
Проверим несущую способность прогона при подобранном сечении арма-
туры.
Определим положение нейтральной оси и для этого вычислим вспомога-
тельные величины:
Д = 1 — р'п #£ = 1+0,181-0,6 = 1,109.
Здесь:
= А 0,6;
Лан
а = 0,125;
/нх 0,77
Ну 0,508
1+сн(1+^)	1+0,66(1+0,189)
Ж* = 0’5^н^(1+с")-/2X(1-2Sj) =
=0,5-0,125-0,56-0,66-1,189+ 0,181-0,6-0,8 = 0,116;
Ж =р„с с" и + 0,5ри—р'77^-0,5и=0,560-0,66-0,189-0,7 +
+0,5-0,56-0,7 + 0,181-0,6-0,5-0,7 = 0,283;
Ан=(1—61) Д—Жх = (1—0,1) 1,109 — 0,116 = 0,838;
Бн =(1 — 62) Д—Жа =(1 —0,15) 1,109 —0,283 = 0,657;
w=(l—i1)Y'=(l—0,58)0,2 = 0,084;
61=^2 соу'^/а-О,084-0,2 = 0,0084;
Г = 1/2®(1—т]') =-^-0,084 (1—0,58) =0,0176;
ГнЛан _ 1,376-8900	.
аНП ЛпрбпЛ 200-15,5-30	’	’
Лх=(А>-Б; т]') ан п-В1Х-Г1 = (0,838-0,554-
-0,657-0,58) 0,131—0,0084-0,554 —0,0176=—0,0078;
141
- ЗКх + 1/9К| +8% (ан.п Д-®)3
ф =------------------------------------
2 (&н-п Д—®)
3-0,0078 ~|/9-0,00782 + 8-0,554(0,131  1,109—0,084)3
2 (0,131-1,109—0,084)
<Pi Ьп = 0,515-15,5=8 см;
2(ан.пД—®)	2(0,131-1,109—0,084)
<Р1	0;515
ЬЛ=0,237-30 = 7,1 см;
Аож=ан.п (Ан - V3 Д Ь)+=
= 0,131 (0,838—1/3.1,109-0,237) 4-1/3-0,084-0,237—0,0084 = 0,11;
Мх = Аох’Япр 6пА2 = 0,11-200-15,5-302 =3,06 > 2,6 т-м.
160
Рис. III.16
Второй вариант подобранной арматуры
из проволоки диаметром 4 и 5 мм представ-
лен на рис. III. 15.
Пример III.2. Определить несущую спо-
собность железобетонного прогона скатной
кровли с уклоном 1 : 3; прогон имеет тав-
ровое сечение (рис. III.16).
Арматура растянутой зоны:
а)	напрягаемая b 0 14 (FH = 1,54 см2 из
горячекатаной стали класса A-IV; /?ан =
= 5000 кг/см2).
б)	обычная 1 0 6 (Fa = 0,283 см2 из
стали класса A-I; /?а _ 2100 кг/см2).
Арматура сжатой зоны 1 0 6 (Fa =
= 0,283 см2; Яа = 2100 кг/см2).
Бетон марки 300; /?пр = 155 кг/см2.
Изгибающий момент в вертикальной
плоскости М = 1 т-м.
Вычисляем:
МХ = М cos Р = 1 cos 18° 25' ~ 0,95 т-м;
МУ = М sin Р = 1 sin 18° 25' =0,315 т-м;
Гнж=/Л =-^5-=—=0,77 см3;
1вх /нт/ 2	2	।
^=о;	cS=°;и=0;
и' =0; 0 = 0;
р' a=ZjL = l; рн=0;
F а
Л—1—
Р 1+сн 2 н	1.54
142
на==Л_= 2100.^	5000.1,54
“ Лан ’*"5000	’ ’ нп Лпр&пй 155-12-20	’	’
Qi 2,9	2
S‘-T= »-°’145;	,IA,;
3	2
e.= ^=OJ;
b 6
•n' =—- = — = 0,5.
1 bn 12
Данные этого примера взяты из инструкции [57], где этот пример решает-
ся графоаналитическим способом. При р' = 1 и рн = 0 Д = 1;
Жя = РнСн(°’51’ + 6н-«1)-»нНн(1-61-6а) =
=0,5-1 (0 + 0,15—0,145) —1-0,184-0,412(1—0,145—0,1) = —0,0548.
При и = 0 и w'=0 Жу=0;
Ан=(1—61)Д—Жх=(1-0,145) 1 +0,0548 = 0,91;
Бн = (1 — 6,) Д—Жу=(1— 0,33) 1—0=0,67;
X = tgB—п=0,333 —0,5 = 0,555.
Ь	6
Так как % == 0,555 > 0,326 (см. табл. II.1) и
hn _ 5,5_ 1
h 20	3,64 ’
то проверяем несущую способность прогона по формулам случая I-а положе-
ния нейтральной оси.
Коэффициенты, определяющие положение нейтральной оси, найдем из
уравнений (111.40) и (II 1.43):
5?+«oE?-froh-Co=0;
2«н.п Д
а0 = — --—
1-П'

1—П'	2-0,207.1	1—0,5
1—0,5 “ 0,555	°’°84’
6° ="i а - п') [А“ п' - -у Д (1 ~ П')]=
5-0,204	4
———— [0,89-0,555—0,67-0,5—— 1 (1—0,5)] =—2,23;
>5(1—0,5)	3
2 Д2	I2
Со =4ан.п -7—~---4-0,2042 -----------= 0,6;
1(1—1)')	0,555(1-0,5)
^—0,084^+2,23^—0,6 = 0.
Решая это кубическое уравнение, найдем
51 «0,26; 51Л =0,26-20 = 5,2 <Лп =5,5 см;
143
2 [ая .п Д-(1 -Г) Ы 2 [0,204-1 -(1 -0,5) 0,26]
ь	0,26
Ф1=0,57-12— 6,85 см. ,
Ширина сжатой зоны по верху плиты сечения
Ф1 &п + &п—b — 6,85 +12—6 = 12,85 см.
Проверяем правильность полученного положения нейтральной оси из
условия
^пр + Fа Яа~ FH ^?ан~Ь Fa 7?а-
При Fa = Fa это равенство принимает вид
Fб ^?пр ~FH Fan*
6-5,2-160+-у 6,85-5,2-160 = 1,54-5100
7850 кг =7850 кг
Несущую способность проверим по формулам (III.41), (III.21):
Лох = Он.п(Лн- 1/ЗД^)-1/6 (1-=
= 0,204(0,89 —1/3-1-0,26)—1/6(1—0,5)0,262 =0,157;
Mx=4ox/?np6nA2=0,157-160-12-202 = l ,2 > 0,95т.м.
Несущая способность прогона обеспечена.
II 1.9. О ПРОВЕРКЕ ПРОЧНОСТИ СЖАТОЙ ЗОНЫ БЕТОНА
СЕЧЕНИЙ ПРИ КОСОМ ИЗГИБЕ (О ПРЕДЕЛЬНОМ
АРМИРОВАНИИ)
Положение нейтральной оси, отвечающее достаточной прочности
сжатой зоны бетона сечений железобетонных элементов, изгибае-
мых в плоскости симметрии, должно удовлетворять условию
—	(III.100)
Sq
которое проверено многочисленными опытами и принято в СНиП.
При косом изгибе прямоугольных сечений нормами это условие
рекомендовано проверять по формуле (47) СНиП.
Проверку прочности железобетонных элементов таврового,
Г-образного и прямоугольного сечения при косом изгибе предлагает-
ся производить по формуле (II 1.100), принятой для обычного изгиба.
Физический смысл формулы (III. 100) при косом изгибе такой
же, как и при обычном изгибе — момент внутренних усилий при
предельном армировании составляет некоторую часть момента уси-
лий всего полезного сечения, т. е.
^б. макс ~
ИЛИ
^пр ^б. макс 2 ~ Л) ^0*
144
Отсюда S6 < £S0.
При косом изгибе:
So — статический момент сжатой зоны бетона относительно оси а—а,
проходящей через точку приложения равнодействующей усилий во
всей арматуре растянутой зоны и перпендикулярной силовой пло-
скости; So — статический момент полезной площади поперечного
сечения, расположенной выше оси а—а относительно этой же оси
(рис. III.17, III.18).
Рис. III.17
При вычислении статических моментов So и So расстояния от оси
а—а до центров тяжести простейших геометрических фигур, на ко-
торые может быть разбита площадь сжатой зоны, соответственно
равные Яб.ш ^о.п» определяются через координаты центров тяжести
этих фигур, относительно осейХхиУь проходящих через точку при-
ложения равнодействующей усилий в арматуре растянутой зоны
и параллельных центральным осям X и Y (см. рис. III.17, III.18);
координата площади Fo будет
аб1 = (Убх +*б1 tg Р) cos р = y6t cos р + хб1 sin р.
В общем виде координаты определяются известной из аналити-
ческой геометрии зависимостью:
аб.п=*б.п8М + «/б.псоз₽;	(Ш.Ю1)
«о. п = *о. nsinP + l/o. nCOSp.	(III. 102)
Здесь хд „ и г/g п, хо п и у0.п известные координаты центров тяжести
простейших геометрических фигур относительно осей Х\ и ₽ —
угол наклона силовой плоскости к центральной координатной оси.
145
Таблица III.l
Сравнение результатов теоретического расчета косоизгибаемых
железобетонных элементов с опытными данными
Шифр балок	Размеры сечения, см				g	S . о	Ro, кг/см2	g о*	Разрушающий момент, т-м		Отклонение	1 1 Л+	о о	
	высота	ширина ребра b	ширина полки ^пт	толщина полки Ч					экспери- менталь- ный мэ	теорети- ческий Л1т		и л	л
БТ-15-1	31	10	15	6	2,81	2,05	214	5700	5,75	5,33	+ 6,4		
БТ-15-2	30,5	10	15	6,3	4,86	—	214	5700	5,56	5,44	+ 2,2		
БТН-15-3	30,2	10	15	6	2,31	1,56	241	5700	4	4,27	—	6,8	
БТН-15-4	30,7	10	15	6,5	2,31	1,56	241	5700	4,5	4,44	+	1	,3
БТН-15-5	31,3	10	15,5	7,1	2,81	1,27	294	5700	5,25	5,45		3,8	
БТН-15-6 .	31,3	10	15,5	7,1	2,81	1,27	294	5700	5,75	5,45	+	5,2	
БТН-10-3	31	10	15,2	6	2,31	1,56	294	5700	4,82	5,07		5,2	
БТН-10-4	31	10	15,2	6	2,31	1,56	294	5700	5,34	5,07	+	5,1	
БГ-10-1	31	10	21,5	8,3	3,08	—	258	4430	3,17	3	+	5,4	
БГ-10-2	31	10	21,5	8,3	1,56	1,55	258	4430	3,23	3,17	+	1,9	
БГН-15-1	30,7	10	20	7,8	3,08	—	196	5700.	3,5	3,49	+	0,3	
БГН-15-2	30,7	10	20	7,8	3,08	—	196	5700	3,5	3,49	+	0,3	
БГН-15-3	30,7	10	20	7,5	1,56	1,55	196	5700	3,55	3,24	+	8,7	
БГН-15-4	30,7	10	20	7,5	1,56	1,55	196	5700	3,55	3,24	4-	8,7	
БП-10-1	31,5	15	—	—	3,0Г	2,54	288	4320	6.5	5,8	+ 10,8		
БП-10-2	31,5	15	—	—	3,01	2,54	242	4320	7,2	5,8	+ 19,4		
БП-20-1	32	15,5	—	—	3,01	2,54	182	4320	5,4	4,94	+ 8,5		
БП-20-2	31,5	15	—	—	3,01	2,54	147	4320	6	5,06	+ 15,6		
БПН-10-1	31	16	—	—	2,31	1,56	377	5700	6,2	5,75	+	7,3	
БПН-10-2	31	16	—	—	2,31	1,56	377	5700	6,05	5,75		5	1
БПН-10-1	31	15	—	—	3,01	2,54	377	5700	7,32	7,33		0,1	
БПН-10-2	31	15	—	—	3,01	2,54	377	5700	7,3	7,33	—	0,4	
БПН-10-1	30,5	16,5	—	—	5,35	3,81	402	5700	10,5	И	—	4,7	
БПН-10-2	30,5	16,5	—	—	5,35	3,81	402	5700	10,4	И	—	5,8	
БПН-15-1	31	16	—	—	3,01	2,54	368	5700	7,78	7,27	+	6,6	
БПН-15-2	31	16	—	—	3,01	2,54	368	5700	7,83	7,27	+	7,1	
БПН-15-1А	31	16	—	—	3,01	2,54	396	5700	6,87	6,9		0,4	
БПН-15-2А	31	16	—	—	3,01	2,54	396	5700	6,87	6,9	.—	0,4	
БПН-20-1	31	16			—	2,31	1,56	420	5700	6,25	5,34	+ 14,6		
БПН-20-2	30,5	16	—	—	2,31	1,56	420	5700	5,06	5,1	—	0,8	
БПН-20-1	30,5	15,5	—	—	2,81	2,81	291	5700	6,45	6,25	+	3,1	
БПН-20-2	30,5	15,5			2,81	2,81	291	5700	6,39	6,25	+ 2,2		
Отклонения: среднеарифметическое +3,66%;
среднеквадратичное 6,14%.
Примечание: При шифровке балок приняты следующие обозначения:
а)	БПН, БТН, БГН — соответственно балки прямоугольного, таврового и
Г-образного сечения, предварительно-напряженные.
б)	БП, БТ, БГ—то же, без предварительного напряжения.
в)	Числа 10, 1-5 и 20 в составе шифра обозначают угол наклона силовой
плоскости к оси симметрии в град.
146
Т аб л и ца III.2
Результаты экспериментального исследования ^переармированных железобетонных балок при косом изгибе
Шифр балок	Размеры сечения, см				Fa> см’	ц, %	кг/см2	«б, кг/см2	Параметры, определяющие экспериментальное положение нейтральной оси, см			s6/so	
	h	Ь	Ьп	^п.т					hh		Ф1&П	по пред- лагаемому способу	по фор- муле (47) СНиП П-В,1-62*
БПН-20-1	29,5	15,5	—.	—	9,16	2,01	5700	269	22,2	5,7			0,8	1,04
БПН-20-2	30,5	15,5	—	—	9,16	1,94	5700	269	25,8	3,7	—	0,83	0,98
БТН-10-1	30,7	10	—	20	7,62	2,48	5700	127	24,7	8,7	—	0,92	—
БТН-10-2	30,7	10	—	20	7,62	2,48	5700	127	26,2	9,2	—	0,94	—
БТН-15-1	30,7	10	—	20,6	6,62	2,16	5700	165	25,9	—	13,9	0,82	—
БТН-15-2	30,5	10 *	—	20,4	6,62	2,17	5700	165	26,3	—	16,3	0,86	—
Г-1	38,1	12,7	20,3	—	15,48	3,2	3190	228	22,9	3,9	—	0,79	—
Г-2	38,1	12,7	30,4	—	15,48	3,2	3550	158	26,7	—	25,3	0,83	—
Г-3	38,1	12,7	40,6	—	15,48	3,2	ЗОЮ	177	29,1	—	23,9	0,97	—
№ 71	29,5	25	—	—	17,52	2,34.	3325	118	23,6	8,7 <	—	0,95	0,97
№ 81	28	25	—	—	21,9	3,13	3320	136	18,2	9,5	—	0,83	0,93
П римечание. БПН-20-1 —балка прямоугольного сечения,, предварительно-напряженная, Р = 20°;
БТН-10-2—балка таврового сечения, предварительно-напряженная, £= 10°; Г-2—балка Г-образного сечения, без предва-
рительного напряжения, р = 0°.
При этом
S6 — 2Fб*п^б. п и So— 2^о.п^о.п	(III.103)
Эксперименты над переармированными балками дали возмож-
ность сравнить теоретические и экспериментальные отношения
S6/So. Результаты этих сравнений приведены в табл. III.2. Стати-
ческие моменты и So вычислялись при теоретическом и экспери-
ментальном положениях нейтральной оси.
Из таблицы видно, что проверку достаточной прочности сжатой
зоны бетона и установление границы переармирования косоизгибае-
мых балок можно производить по формуле (46) СНиП П-В.1.-62*,
но статические моменты Sq и So надо определять, как показано выше.
Формула (47) СНиП П-В. 1-62*, принятая исходя из достаточно
осторожных положений и рекомендованная для проверки только
прямоугольных поперечных сечений, дает завышенные значения
s6/s0.
В табл. III.2 приведены также результаты проверки прочности
сжатой зоны бетона переармированных колонн № 71 и № 81, испы-
танных на косое_ внецентренное сжатие. Проверка показала воз-
можность использования предлагаемого метода и при косом вне-
центренном сжатии.
При Sq/S0 > 2 следует применять двойную арматуру или увели-
чивать размеры сечения.
ШЛО. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ СЖАТОЙ И РАСТЯНУТОЙ
АРМАТУРЫ ПРИ S6>£ «So
В прямоугольном поперечном сечении значение Sg > £S0 воз-
можно только при трапецеидальной сжатой зоне.
Площадь сжатой арматуры найдем
из условия полного использования сжа-
той зоны бетона при одиночном арми-
ровании, т. е. при S6 = £S0.
Из условия предельного равновесия
(рис. III.19)
Япр Ft. макс + Fa 7?а. с-7?а Fa=0; (III. 104)
M^R^S. + R^FLai (III.105)
Уравнения (111.104), (III.105) явля-
ются соответственно суммой, проекций
всех усилий на ось, перпендикулярную
плоскости чертежа, и суммой моментов
внешних и внутренних усилий относи-
тельно оси а—а, проходящей через точ-
ку приложения равнодействующей уси-
лий в растянутой арматуре и перпен-
дикулярной силовой плоскости.
148
Из уравнения (III. 105) находйм необходимую площадь сжатой
арматуры	pz	/?пр ^о .	(III. 106) ^а.с
Здесь	= 2^о. п ^о. п»
ao.n = *o.nsinp + «/o.ncosp;
а'& = хп> sin 6 + уп' cos 6.
“а	аа
Необходимую площадь растянутой арматуры определим, вос-
пользовавшись уравнением (II 1.104):

^пр^б.макс । п/ Ra.c
(III.107)
В правой части этого равенства неизвестна предельная площадь
сжатой зоны бетона Гамаке- Предельное значение сжимающего уси-
лия при условии полного использования сжатой зоны бетона (с оди-
ночной арматурой) = ^пр^б.макс зависит от предельной вели-
чины площади сжатой зоны и не зависит от ее очертания, поэтому
без большой погрешности можно предельную площадь сжатой зоны
при косом изгибе принять равновеликой площади сжатой зоны при
обычном изгибе, Т. е. -Рб.макс = F6,MaKc. При прямоугольном
СеченИИ 7^6.макс = 7*6.макс ^макс ^0*
При этом
р^= ЯдрИмакс^о .ga.c,	(III.108)
Ra
При бетоне марки 400 и ниже
Fa = °’55^пр bho +	,	(III. 109)
На практике двойная арматура при тавровом поперечном сечении
требуется в исключительных случаях.
Пример III.3. На балку прямоугольного сечения при h = 35 см, b =
~ 20 см под углом Р = 8° к главной оси действует изгибающий момент М =
= 10,9 т*м. Арматура: 4 0 22 АП (fx = 15,2 см2) и 2 0 18 АП (/^=5,1 см2);
/?а = 2600 кг/см2; бетон марки 300; /?Пр = 155 кг/см2.
Проверить, обеспечена ли прочность сжатой зоны бетона. При недоста-
точной прочности подобрать сечение сжатой и растянутой арматуры.
Положение нейтральной оси и все размеры показаны на рис. II 1.20, III.21.
Определим отношение 5б/50:
5б=2Гб"«б. п=+^б2 лб2;
F6i==7,35’20 = 147 см2;
149
Гб2=-^20-19,45 = 194,5 см2;
а^1 = хб1 sin р + усг cos р = 1,56-0,139 + 25,8-0,99 = 25,82 см;
аб2 = Хб2 sin Р + уб2 cos Р = 4,96-0,1394-15,68-0,99 = 16,19 см;
S6 = F61 a614-F62 «б2 = 147-25,8+ 194,5-16,9 = 6960 см3;
5o = 2Fo.n ao.n = 7;’oi ^01 + ^02 + ^02 — F03 Доз*»
Так как FQ2 > F03 только на 0,44 см2 и статические моменты этих площа-
дей имеют разные знаки, то с достаточной точностью
So=F01 aoi=20 - 29,51 -14,75 = 8700 см’;
А=«9=о, 8.
So 8700
Прочность сжатой зоны бетона обеспечена на пределе. При Se/S0 > £
площадь арматуры Fa и Fa можно найти по формулам (III. 106) и (III. 107).
ГЛАВА IV
РАСЧЕТ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ
ПРЯМОУГОЛЬНОГО И ТАВРОВОГО СЕЧЕНИЯ
НА КОСОЙ ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ
Для изучения работы железобетонных балок прямоугольного и
таврового Сечения на косой изгиб с кручением проведены экспери-
ментально-теоретические исследования, направленные на решение
следующих основных задач:
получить экспериментально достоверные данные о действитель-
ном напряженно-деформированном состоянии элементов прямоуголь-
ного и таврового сечения при действии косого изгиба и кручения;
проверить правильность принятых теоретических предпосылок,
убедиться в допустимости приближений и упрощений и на этой основе
разработать практический метод расчета несущей способности эле-
ментов прямоугольного и таврового сечения.
Исследования ограничивались изучением работы балок прямо-
угольного и таврового сечения на совместное действие чистого косого
изгиба с кручением, т. е. при отсутствии на исследуемом участке
поперечной силы. При этом в образцах угол наклона силовой пло- •
скости к главной оси инерции изменялся в пределах от 10 до 27°
при постоянном (для данного образца) отношении крутящего и изги-
бающего моментов, равном 0,1 — 0,33.
Такие условия испытания отображают действительную работу
таких конструкций, как подкрановые балки мостовых и консоль-
ных кранов, горизонтальные элементы фахверков, опоры линий
связи, осветительной и контактной сети в аварийном режиме работы.
Было испытано две серии балок прямоугольного сечения (БП-1
и БП-2) в количестве 20 шт. и две серии балок таврового сечения
в количестве 32 шт.
IV.1. ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ
На основании опытных исследований и анализа напряженно-
деформированного состояния балок серии БП-1 и БТ-1, когда пре-
дельное состояние наступает вследствие исчерпания несущей спо-
собности продольной и поперечной арматуры, пересеченной наклон-
ной трещиной с последующим раздроблением сжатой зоны бетона,
при выводе расчетных формул приняты следующие предпосылки
150, 511:
151
1)	разрушение происходит так, что трещины развиваются под
некоторым углом а (рис. IV. 1) на трех гранях; у четвертой грани
по направлению линии, соединяющей концы трещины на противо-
положных гранях, располагается сжатая зона, очертание которой
зависит от угла наклона силовой плоскости = Мк/Ми',
2)	угол наклона трещины на всех гранях такой, что при разверт-
ке граней трещины образуют прямую линию;
3)	все растягивающие усилия воспринимаются продольной и по-
перечной* арматурой, пересеченной наклонной трещиной. Напряже-
ния в продольной и поперечной арматуре принимают равными /?а;

Рис. IV.1
4)	для упрощения расчета усилия в стержнях поперечной армату-
ры, пересеченной наклонной трещиной, принимают равномерно
распределенными.
Такая замена может привести к заметным погрешностям, посколь-
ку трещина разрушения на концевых участках может не пересекать
отдельных стержней поперечной арматуры, а также возможны не-
донапряжения этой арматуры, если стержни пересечены наклонной
трещиной вблизи сжатой зоны бетона.
Хорошее совпадение с опытными данными достигается, если при-
нять, что усилия, воспринимаемые поперечной арматурой, распре-
делены на участке проекции косой трещины соответственно равном:
для балок прямоугольного сечения
[2 (h — и) + 6] ctg Р;
для балок таврового сечения
[(2й — и) + (b — u)] ctg Р;
152
5)	напряжение в сжатой зоне бетона в предельном состоянии при-
нимают равным 7?пр.
Эти предпосылки (кроме п. 5), положенные в основу определения
несущей способности, исходят из прямого физического смысла рабо-
ты пространственного сечения в стадии, предшествующей исчерпа-
нию его несущей способности, и подтверждены экспериментально.
Предпосылка, изложенная в п. 5, по существу является допуще-
нием. Данные ранее выполненных исследований [56] показывают, что
гипотеза о прямоугольном очертании эпюры напряжений в сжа-
той зоне бетона в предельном состоянии, строго говоря, не подтвер-
ждается; наблюдается депланация поперечных сечений и искривле-
ние нейтральной оси. Однако влияние этих факторовна несущую
способность элементов при косом изгибе незначительно и практи-
чески не учитывается.
Условия работы сжатой зоны бетона при одновременном дей-
ствии косого изгиба с кручением существенно отличаются от усло-
вий работы при чистом косом изгибе. Происходит снижение несу-
щей способности бетона в результате сдвигающих усилий при кру-
чении; специфична также работа бетона при трещинах, прорезающих
бетон параллельно направлению главных сжимающих напряжений.
В исследованиях [4, 21, 56, 27, 22] данные о прочности бетона
сжатой зоны при изгибе с кручением не приводятся. Современное
состояние теории прочности бетона не позволяет решить этот во-
прос теоретически, а из-за отсутствия надежных приборов для не-
посредственного измерения напряжений в бетоне не дает и надеж-
ного экспериментального решения.
При таких условиях работы сжатой зоны прочность бетона це-
лесообразно было бы характеризовать величиной, меньшей чем 7?пр.
Однако из экспериментальных данных автора видно, что с из-
менением марки бетона опытных образцов в широких пределах при
прочих практически равных условиях предельные эксперименталь-
ные моменты оказались близкими.
Как показывают теоретические расчеты опытных балок, сниже-
ние прочности бетона сжатой зоны и изменение формы эпюры напря-
жений (по сравнению с прямоугольной) не приводит к значительному
улучшению сходимости опытных данных с результатами расчетов.
Таким образом, до проведения специальных опытов для непере-
армированных балок, предельное состояние которых характеризует-
ся достижением предельных напряжений продольной и поперечной
арматуры, прочность бетона можно принимать равной 7?пр.
IV.2. РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
НА КОСОЙ ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ
Нейтральная ось в сечении может занимать положение, при кото-,
ром очертание сжатой зоны будет близко к треугольнику или тра-
пеции. Положение нейтральной оси в сечении характеризуется тре-
мя параметрами: случай I — х, у, S, если сжатая зона — треуголь-
153
ник (см. рис. IV. 1); случай II — уъ у2, S, если сжатая зона — тра-
пеция (рис. IV.2).
Для определения х; у; у±, уг используем условия предельного
равновесия:
SZ = 0; ЪМХ = 0;	= 0,
где SZ — сумма проекций всех сил на ось, параллельную оси балки;
— сумма моментов всех сил относительно оси X, нормальной
Рис. 1V.2
к плоскости изгибающего момента Мх и проходящей через точку
приложения сжимающих сил в бетоне; 2Л1 у — сумма моментов всех
сил относительно оси Y, нормальной к плоскости изгибающего
момента Му и проходящей через ту же точку.
1. Случай I. Сжатая зона — треугольник
Уравнения предельного равновесия для случая I (см. рис. IV. 1)
имеют вид:
Яа = V L/?nP Sin Ф = V ЗХС 3Ус Япр!	\ (IV. 1)
2	*	2	р sin ф
Мх = Fa /?а (й0-Ус) -(h—u) [(2Л + b)-h] S2; (IV.2)
+	(IV.3)
где ус и хс — проекции координат точки приложения равнодей-
ствующей сжимающих сил в бетоне на нормальное сечение;
S=~; С0 = 2й + 6;	(IV.4)
Ьо
С — длина проекции нейтральной линии на продольную ось
элемента.
154
Для упрощения преобразований вводим обозначения:
=	(IV.4) <7х = -^; (IV.5)
Д = (h-u) (h + &); Мох = Fa Ra hQ; MOy = Fa Ra b0. (IV.6)
Тогда уравнения предельного равновесия (IV. 1), (IV.2), (IV.3)
примут вид:
d = хоус-,
Мх = MOx--qJ№-FaRayc-,	(IV.7)
Му = Моа + (Fa Ra 4- qx Со S2) хс + q* Со ± S2. (IV. 8)
Из уравнения (IV.6)
хс = —•	(IV.9)
Ус
Разделив (IV.8) на (IV.7) и подставив вместо хс его значение из
формулы (IV.9), после преобразований получим корень квадратно-
го уравнения:
В формуле (IV. 10) приняты обозначения:
д (FaRz+qxCoS^d'
Fa^atgp
b
(Afox—<?x Д52) tg P Moy Qx Co S2
faflatgP
(IV. 10)
(IV. 11)
(IV. 12)
_ Параметр S = &Сй, с помощью которого определяется наклон
косых трещин, можно получить из условия минимума несущей спо-
собности балки по пространственному сечению. Воспользуемся сум-
мой моментов всех сил относительцо оси О—О (см. рис. IV.1), про-
ходящей через точку приложения равнодействующей сжимающих
сил в бетоне и параллельной нейтральной линии:
(Л4Х sin <р + МК cos ф) cos у +МУ sin у = Fa Ra (h0—y0) +
——— tg у 'П sin ф cos у -|-	(ft—u\ hSz sin ф cos у 4-
sin<p /J	и
4- bS cos ф [(/i—yc—a) 4- —c tg у cos у. (IV. 13)
 и	[	sin <p
155
Принимая во внимание, что
/
Mx = M„cosp; 7My = M„sinfJ; Мк =
cos tp = С°-~ ; sinq>=—; tg у = -У— ,	(IV.14)
L	L	L
после сокращения на L уравнение (IV. 13) запишется как
Ма (х cos р +4>С0 S + у sin р) = Fa 7?а |\/г0—Ус) +
+ (к] х + S2 ((h—ti) hx + ЬС0 \(h-yc—a) +
\ ' xc J J	c	L
+ (0’5b-~^Wj.	(iv. 15)
\ Xc Ji)
Здесь
(h0-yc) + (-^=^}yc = ry	(IV.)6)
\ xc /
И
(h-a-yc) + () yc = ryl	(IV. 17)
\ xq j
представляют собой соответственно плечи равнодействующей усилий
в продольной и в горизонтальных ветвях поперечной арматуры, пе-
ресеченной наклонной трещиной, относительно оси О—О.
Для сокращения записей обозначим
До ~ (h-u)hx + ЬСогу^	(IV.18)
G = FJ^ryx-	(IV. 19)
х cos p + у sin p = к.	(IV.20)
Тогда уравнение (IV.14) примет вид
Ми (К + ipC0S) = G + ?х32До,
или
Д4 С + <7х52До	(IV.21)
K+ipC0S	v ’
Для нахождения наиболее опасного сечения приравняем первую
производную dM^dS нулю и получим квадратное уравнение, ре-
шая которое относительно S найдем
S = —+1/< 1.	(IV.22)
СоЯ) г \ СоЯ5 / До
Как видно из принятых обозначений, G, До, К зависят от х, у,
которые в свою очередь зависят от S, но, как установлено, измене-
156
ния х, у мало влияют на S; поэтому при определении производной
dMyJdS в уравнении (IV. 14) полагаем х, у постоянными.
Значение S не должно быть больше единицы, так как направле-
ние трещин на гранях балок как в опытах автора, так и в других
опытах на поперечный изгиб с кручением [22, 27, 56] положе, чем
под углом 45° не наблюдалось (табл. IV. 1).
Таблица IV. 1
Сопоставление опытных и теоретических углов наклона трещин
на гранях балок серии БП
Шифр балки	мк/ма	Экспериментальны е данные		Теоретические данные		S Т 	 Sq д= -V--X Х100%
		а° |		а° |	ST—с/со	
БШ-1	0,098	67	0,425	68	0,4	— 5,9
БП1-2	0,146	62	0,53	59	0,6	+ 13,2
БП1-3	0,196	60	0,58	55	0,7	+20,6
БП1-16	0,161	62	0,53	59	0,6	+ 13,2
БП2-7	0,25	47	0,933	45	1	+ 6,8
БП2-8	0,25	48	0,9	45	1	+ 11,1
БП2-9	0,175	58	0,625	55	0,7	+ 12
БП2-10	0,22	56	0,675	55	0,7	+ 3,7
БП2-11	0,25	50	0,84	51	0,8	— 4,7
БП2-12	0,25	50	0,84	45	1	+ 19
ВП2-13	0,171	66	0,5	59	0,6	+20
БП2-14	0,22	52	0,78	55	0,7	— 10,3
БП2-15	0,3	47	0,933	45	1	+ 6,8
БП2-16	0,27	4&	0,9	45	1	+ 11,1
БП2-17	0,22	47	0,933	45	1	+ 6,8
БП2-18	0,336	52	0,78	59	0,6	+ 23
В некоторых случаях превышение теоретических значений над
фактическими можно объяснить тем, что при выводе формулы (IV.21)
не учтено влияние нетреснувшего бетона ниже нейтральной линии,
сопротивление которого не дает возможности развиваться трещинам
положе, чем под углом 45°.
Значения G, Д0,К, входящие в (IV.21), в первом приближении
можно принять:
G = Fa/W; До = 1(Л-«) h + h0 (2/i0 +'b)]b-,
К = b cos p.
Для вычисления x, у можно также ориентировочно задаваться
величиной S в зависимости отф = Л4К/Л1И. Интервал изменения этой
величины обычно небольшой — от 0,7 до 1; при ф > 0,2, как пра-
вило, S = 1.
После определения х, у по (IV.9), (IV. 10) эти величины могут быть
уточнены повторным вычислением, необходимость в котором встре-
чается редко, так как S после уточнения изменяется незначительно.
Определив положение нейтральной линии, несущую способность
элемента находят по (IV.21).
157
2.	Случай II. Сжатая зона — трапеция
Уравнения предельного равновесия для этого случая положения
нейтральной оси (рис. IV.2) имеют вид:
=	(IV.23)
Мх = FaRa (h0—yc) ^qx (ft - и) (h + ft)S2; (I V.24)
My = FaRa (b0-xc) + qJS (ft/2—xc) C0S. .	.(IV.25)
С учетом принятых ранее обоз-
начений (IV.5), (IV.6'), эти урав-
нения приводятся к виду.\
= +	(IV.26)
Мх = Мох ~ Д<7х S2—Fa Ra ус\
(IV.27)
М^М0, + <7хС0-|-$2 +
+ (fa«a + ^C0S2)xc.. (IV.28)
При трапецеидальной сжатой
зоне батона координаты проекции
точки приложения равнодействующей сжимающих сил в бетоне на
нормальное сечение (рис. IV.3) можно выразить как
У _ У1+У1Уг+у1 .
З^ + уг)	’
6 + 3&1
Ь + 2Ьг
ъ
хс =-----
с 3
С учетом (IV.26)
У1 ~ 41 У 2г
Ь^Ьуг
dj-tyc
Тогда, после подстановки в (IV.29), (IV.30)
,, __ df—thyz + yl .
Ус
Зу2
xc = -^-(d1 + y2).
OUl
(IV.29)
(IV.30)
(IV.31)
(IV.32)
Разделим (IV.28) на (IV.27) и вместо у0, хс подставим их значения
из формул (IV.31), (IV.32), принимая во внимание, что Му: Мх =
= tg Р
Moy + qxS2Cob/2- (F^R.-q^S^C^bidr + yzyiZd,,	 „
M^-qxSbR-FbRzdl-d^z + yl/Zd,.	8 Р’
158
После преобразования получим квадратное уравнение, корень
которого	-
ь--|--]/-т+А'	(IV.33)
В формуле (IV.33) приняты обозначения:
(M9x-qx S2 Д) tg P-Moy + Fa tfa/3 (6-d, tg P)-4- <7xC0 S2bl 3d,
A = —	6 J
^a£atg₽
f а «а (b/d, + tg ₽) +	S2 б| d,
.________________“, _____
F3RM
(IV.34)
В
Параметр S, определяющий наклон косых трещин, получим из
условия минимума несущей способности балки по пространствен-
ному сечению.
Принимая во внимание, что для этого случая
sin <р = b/L; igy = У1 — у2 /L = \y!L, (IV.35)
а также обозначения, принятые раньше, получим уравнение момен-
тов всех сил относительно оси О—О (см. рис. IV.2):
7Ии (b cos р + фС0 S + Ду sin Р) = Fa Ra (h0—y0) +	Ду] +
О	J
+д^ь
{(Л—u) h + Со [(h—ус—а) 4
0,56—хс
b
Ду . (IV.36)
Обозначив
(Ао-Ус)Ду = гу;
(Л—ус—а) + —- Хс Ьу = гу,\
^ = {(h-u')h + Coryi}b; G = FaRaryb-
К = b cos р + Ду sin р,
из уравнения (IV.36) получим формулу (IV.21).
Приравнивая нулю производную dMldS и решая полученное ква-
дратное уравнение, найдем
+1/ РЧ2+-^-.
Соф Г I Соф )
(IV.37)
В табл. IV.2 приведено сопоставление опытных и теоретических
значений S, вычисленных по формулам (IV.22), (IV.38), для балок
159
прямоугольного сечения (серии БП2, БП1). Удовлетворительные
совпадения опытных и теоретических значений S указывают на при-
емлемость предлагаемой формулы. Как будет показано далее на при-
мерах, изменение S даже и в более широких пределах незначительно
влияет на положение нейтральной линии и несущую способность
элементов.
Проверка несущей способности производится по формуле (IV.21)
3.	Разграничение случаев расчета
При определении несущей способности железобетонных элемен-
тов, работающих на косой изгиб с кручением, по формуле (IV.21)
необходимо знать случай положения
нейтральной оси, которое в про-
странственном сечении зависит от
многих факторов. Это угол наклона
плоскости изгиба, отношение крутя-
щего момента к изгибающему, соот-
ношение размеров поперечного сече-
ния, процент поперечного и продоль-
ного армирования, прочностные ха-
рактеристики арматуры и бетона,
расположение арматуры.
При аналитическом решении этой
задачи, предполагая, что сжатая зо-
на — трапеция, за начало координат
удобно принять точку 0 (рис. IV.4),
лежащую на оси сечения и отстоя-
щую от верхней кромки на расстоя-
НИИ 1/4 (f/j + z/2).
Из условий равновесия суммы про-
екций всех сил на ось элемента и
суммы моментов всех сил относитель-
но осей х, у, имеем:
Rapb-*^ = FaRa, (IV.38)
Мх = Fa Ra ( Ло-	(h—ti) S (h + b) S-
\	4 J и
(iv.39)
My = FaRa(b0-b/2)+Rnpb^±^(b/2-xc).	(IV.40)
160
Уравнения (IV.38), (IV.39), (IV.40) с учетом ранее принятых обо-
значений (IV.5), (IV.6) можно преобразовать так:

____ 2/**а-/?а '
^пр &
Мх = Fa Ra	+ 1/27?^ (^с-^/4); (IV.41)
Mv = FaRa (b0—b/2) + 1/27?^ (Ь/2-хс).	(IV.42)
Подставим в полученные уравнения значения хс и уа из (IV.31),
(IV.32). Тогда после преобразований:
Мх = FaRa (й0-б/1/4)-17х§2Д- l/247?npMf + 1 /67?пр X
X М^-1/бЯнрМ;	(IV.43)
Му = FaRa (&о-6/2) + 1/6 BFa7?a-l/6£7?np&2z/2 = FaRa (b0—
-ЫЗ)-1/6 Rnpb*y2.	(IV.44)
Введем обозначения:	
/Й1ж = Fa 7?а (й0—di/4);	(IV.44')'
Mly = FaRa(b0-b/3).	(IV.45)
Тогда	
Мх = М1Ж-<7х32Д- 1/247?пр bdl +	
.	_	+1 /QRaybdj^ у2—1 /67?ПР byl;	(IV.45')
Му = Мы-1/67?прЬ21/2.	(IV.46)
Разделив (IV.46) на (IV.45) и принимая во внимание, что М у :
: Мх = tg 0, после преобразований получим квадратное уравнение
7/2 —(di + &ctgp)z/2 +
ЛГ^Р+^Д-Л^ d? _Q
1/6/?пр&	4
Обозначив:
В — dt + b ctg 0;
А = ^ctgp + faS^Mla d[
~	1/67?Пр&	+ 4 ’
получим уравнение
7/1-Bi/2 + A = O,	(IV.47)
корень которого
У1 = ^_-|/КД.	(IV.48)
6 Зак. 731
161
Из анализа формулы (IV.48) видно, что при А = 0 у2 — 0, т. е.
наблюдается граничный случай, когда нейтральная линия проходит
через верхнее правое ребро.
При А > 0 сжатая зона всегда трапеция;
при А < 0 сжатая зона всегда треугольник.
Итак, критерием для разграничения случаев расчета является:
^ctgp + ^S^-Mw	d2
--------------------k—<О — случаи I;
1/6Япр&	4
М1у Р + Ях 52Д	« тт
--------------------—-> 0—случаи II.
1/67?пр b	4
(IV.49)
(IV.50)
В формулах (IV.49), (IV.50) величину S предварительно прини-
мают в соответствии с рекомендациями, изложенными выше.
4.	Анализ основных формул
Чистый косой изгиб и чистое кручение можно рассмотреть как
частные случаи совместного действия кручения и косого изгиба.
Поэтому расчетные формулы для определения несущей способно-
сти элементов, работающих на косой изгиб с кручением, должны
охватывать весь диапазон возможных значений ф — Мк/Мп от 0
до оо и угла р от 0 до 90°.
Формула (IV.21) в известном смысле универсальна, поскольку,
с одной стороны, она пригодна для определения несущей способно-
сти при всех случаях положения нейтральной оси в прямоугольном
сечении (далее будет показано, что формула (IV.21) также пригодна
и для всех случаев таврового сечения); с другой стороны, из форму-
лы (IV. 13) последовательным исключением составляющих внешних
силовых воздействий можно получить расчетные формулы для вы-
числения несущей способности на поперечный изгиб с кручением,
на косой изгиб, на чистый поперечный изгиб и на чистое кручение.
Покажем некоторые из этих преобразований.
1.	При изгибе с кручением Му = 0. Исходную формулу (IV.13)
перепишем в следующем виде:
Мп (х cos р + у sin р + С0 фХ) = Fa Ra [(Ло—Ус) +	Ус] * +
+ t^S2(h~u) hx + r^S2Co\(h~a-yc) + O'5b-Xc-yc.] (IV.51)
и	и L	ха J
Предположим, что Р = 0; тогда силовая плоскость совпадает
с осью Y сечения и Му=0.
Преобразуем формулу7(1У.51) с тем, чтобы получить формулу
(126) СНиП П-В.1-62*.
При р = 0 cos р = 1; sin р = 0; х -> Ь.
В соответствии с ранее принятыми обозначениями
С = X Со; Со = 2/i + Ь; ф = Мк : Ма.
162
Тогда левая часть формулы (IV.51) примет вид
ЛШ (6 + ФС) = Мк 0/ф + С),
а в правой части слагаемые
b0—*с	0,56—хе.
~---- Ус И -----ус
хс	хс
обратятся в нуль, так как при Му = 0 нейтральная ось перпен-
дикулярна оси Y.
Принимая во внимание, что при выводе формулы (126) СНиП
не учтено влияние на несущую способность поперечной арматуры,
расположенной у граней Л, слагаемое
f-^S4h—u\hx
и
из формулы (IV. 14) необходимо исключить.
Принимая, что
h~a—yc ъ h0—yc,
формулу (IV. 14) перепишем так:
мм+сЦр.к.Ь+1^ь^
В соответствии с обозначениями, принятыми в СНиП,
Ус). (IV.52)
= С = С1; ф = %
При этом после сокращения на b
fxRgC*
жк(1/)! + ад_ WB(2„+b)
(ft0—хх/2). ч (IV.53)
Полученная формула аналогична формуле (126) СНиП без уче-
та продольной арматуры, расположенной в сжатой зоне.
2.	При чистом косом изгибе ф = 0; тогда в формуле (IV.21) Соф5 =
= 0. Второе и третье слагаемые правой части также обращаются
в нуль, так как влияние поперечной арматуры на несущую способ-
ность элемента в данном случае необходимо исключить.
Формула (IV.21) примет вид:
__ б _ ^а^а№о Ус)*М^/*с 1)Ус] х	(IV
И К	х cos р + у sin Р
Нетрудно показать, что формула (IV.54) есть не что иное, как
уравнение предельного равновесия для чистого косого изгиба от-
носительно оси, проходящей через точку приложения равнодей-
6*
163
ствующей сжатой зоны бетона и параллельной нейтральной оси
(рис. IV.5):
Мх cos у + Му sin у = FaRa [(h0—y6) + (60—хс) tg у] X
xcosy.
Учитывая, что
х . у . у Зуе ус
cosy = —;sinv = —; tgy = —= —= —;
r L r L ' x 3xcx0
Mx = Ma cos P; My = Мц sin p,
после сокращения на L, получим
или
Ma (х cos Р + у sin Р) = FaRa [(ft0 — г/с) +
+ (Ьй!хс —
Ра#а[(^о—Ус) + (&о/хс —1)Ус] *
х cos Р + z/ sin р
(IV.55)
Рис. IV.5
Полученная формула совпа-
дает с формулой (IV.54).
3.	При поперечном изгибе
Р = 0 из (IV.21) можно полу-
чить расчетную формулу для
определения несущей способ-
ности элементов, изгибаемых в
плоскости оси симметрии.
Как уже отмечалось, при:’
Р = 0; М у = 0; х -> b\ cos р = 1;
sin р = 0; (60/хс— 1)г/с = 0;
Ма = Мх
и формула (IV.21) принимает
вид
Л*х = FaRa (hQ ус).
т. е. представляет собой уравнение предельного равновесия относи-
тельно оси, перпендикулярной плоскости изгиба и проходящей через
точку приложения равнодействующей сжимающих усилий в бетоне.
4.	При чистом кручении ф = оо, т. е. когда Ми = 0, из формулы
(IV.53) получаем формулу для вычисления несущей способности при
чистом кручении. Пренебрегая влиянием поперечной арматуры, рас-
положенной у грани Л, найдем
<IV-56>
Аналогичную формулу (без учета верхней арматуры) можно полу-
чить из формулы (126) СНиП, полагая % = оо.
164
5.	Примеры расчета
Пример IV. 1. Найти разрушающий момент балки марки БП2-11
(рис. IV.6) при следующих данных (табл. IV.2):
р=20°; ф=0,25; 6 = 30,2см; 6=20,4см;
60=25,2см; 60=12,1см; Fa = fAX + fay =5,49см2;
7? а = 3290 кг/см2;
fx=0,332 см2; « = 15 см;
/?ах =2800кг/см2; /?пр =216кг/см2.
Определим случай расчета по фор-
муле (IV.38), для чего предварительно
вычислим:
по формуле (IV.26)
2F R	2-5,49-3290	, ,
dx= —а_1	!------=4,1 см;
RBpb	216-20,4
по формуле (IV.5)
fR.	0,332-2800	„„
qx — _Л—=------------------= 66,2 кг/см;
и	15
по формуле (IV.6)
Д = (h - и) (h + b) = (30,2 - 15) X
X (30,2 + 20,4) = 770 см2;
по формуле (IV.45)
-	/ di \
Mxl = FaRa \ho-~ 1=5,49-3290 X
f 4,1\
X I 25,2 — — ) =435.103 кг-см;
\	4 J
по формуле (IV.44)
-	/20,4
Л4^1 = 77а7?а (^о—^/З) = 5,49-3290 ( 12,1— у-
В первом приближении примем S = 1; тогда
А' = 6(Mwctgp + gx^ Д-Л41х) + df
4
= 95-103 кг-см.
6 (95-103-2,74 + 66,2-770 — 435-103)	4,12
—	^5^	+ 4 ——192.7.
При А' < 0 сжатая зона — треугольник, т. е. имеем случай I.
Определим положение нейтральной линии:
FaRa 5,49-3290	„
4,57?пр	4,5-216	,5СМ’
165
Cn = ^h+b = 2-30,2 + 20,4 = 80,8 см;
Мйх = Fa R а h0 = 5,49 • 3290 • 25,2 = 455 • 103 кг • см;
МОу = Fa R а Ьо = 5,49 • 3290  12,4 = 220 • 1О3 кг • см;
по формуле (IV. 11)
A(FaRa + gxC0S2)d_ (18-103 + 62,2-80,8-1) 18,5 с5.
Fa/?atg₽	18-103-0,364
В первом приближении принимаем S = l. По формуле (IV. 12)
D_ (Mox-<7xS2fl)tgp-MO!<-?xCoS2fe/2 =
fa^atg<P
_ (455-103 — 62,2-1-770) 0,364 - 220-103 — 62,2-80,8-1 -20,4/2 _
“	18-103-0,364	~
пр формуле (IV. 10)
K0=-y+ ]/ -^-+A =—9,3 + 1/9,32 + 65 =—9,3 + 12,3 = 3cm;
d	18>5 A
xc = — = —-— = 6,15 cm;
Ус 3
У = 3ус = 9 см;
x = 3xc= 18,45 см;
по формулам (IV. 15), (IV.16):
( b0 \	f 12,4
^=-“(^o-z/c)+ —-1	г/с = (25,2—3) + ( ——
1 3 = 25,8 см;
/ 0,56	\
ryi = (h~a-yc) + [-------1	^ = (30,2-2-3) +
\ %с	J
/ 10,2	\
+ ——— 1 3=27,15см;
к 6,15	J
по формуле (IV.20)
К=х cos Р + у sin Р = 18,45-0,94+ 9-0,34 =20,9 см;
До <?х = [(h—“) xh + bC0 гУ1] qx =
= [(30,2—15) 18,45-30,2 + 20,4-80,8-27,15] 62,2=3,32-10® кг-см2;
фСо = 0,25-80,8=20,Зсм;
G=FaRa xry = 18-103-18,45-25,8 =8,6- 10е кг-см2,
Для уточнения расчета по формуле (IV.22) найдем
ФСо V \фС0 I <7хДо 0,25-80,8
+
/0 952 + 8’6-1°6 = —0,95 + 1,87 = 0,92 < 1
’	3,32-10®
166
При этом:
А=62,5; В = —17,6;
п ,	18,5	.
t/c = 3,L см; хс=——= 6 см;
3,1
у = 9,3см; х = 18см;
гу = 25,85см; гУ1 = 27,3 см; К=20см;
До S2 qx = 2,85 • 106 кг • см2;
фС0 5 = 0,25-08-0,92 = 18 см;
G = 8,55-106 кг-см2.
Теоретический разрушающий момент по формуле (IV.21)
т б-Нх52До __ (8,55 + 2,85) 10*
ир“ К + фС05 20 + 18]
Экспериментальный разрушающий
момент согласно табл. IV.2
= 3,3 т«м.
Отклонение от экспериментального
Мт —Л4Э
А = _ир 100 =
Мэ
1 ир
- 3'01-3-3 Ю0—8,5%.
3,3
Пример IV.2. Вычислить разрушаю-
щий момент для балки марки БП2-14
(рис. IV.7) при следующих данных
(табл. IV.2):
(3=10°; *ф = 0,22; Л = 30см; 6 = 20см;
hQ = 26,5 см; bQ = 12,2 см; Fa = fax + fay=
= 5,56 см2; = 0,503 см2; и = 10 см;
Ra =3260 кг/см2; 7?ax =2260 кг/см2;
/?Пр =301 кг/см2.
Определим случай расчета по фор-
муле (IV. 36).
Предварительно вычислим:
, 2Га/?а 2-5,56-3260
1 = _W=“ 301-20	=5’9СМ;
= 3,01 т-м.
Рис. IV.7
= 114 кг/см;
/х#ах	0,503-2260
=--------— -----------
U	10
д = (h—и) (h + b) = (30 — 10)2(30 + 20) = 1.103 см2;
= ^а	(Ло—di/4) = 5,56• 3260 (26,5—5,9/4) =440- 103кг-см;
= Ra (ho 6/3) = 5,56- 3260 (12,2—20/3) =95-103 кг• см.
167
В первом приближении примем S = 1:
6 (Мщ ctg р 4-fa S2 Д—МЖ1)	=
ЯпрЬ	4
6 (95-103-5,62-Ь114-103—440) 10s	5,9	„ „
= —-----------—------------------+ — =222,7.
301-20	4
При А > 0 сжатая зона трапеция, т. е. имеем случай II.
Найдем положение нейтральной оси:
Мох = Fa Fa^о — 5,56-3260-26,5 = 465* * 103кг-см;
Moy = Fa Fa ^ = 5,56-3260* 12,2 =220* 103 кг*см;
Со== 2Л 4~ b = 2 • 30 4~ 20 = 80 см;
по формуле (IV.34)
[(Mox-gx S* Д) tg Р-Л4оу 4- l/3Fa Fa (&-<*! tg р)- l/6gx S2 Со 6] 3dt
Fa*atg₽
[(465-Ю8 —144-103-1)0,176-220-108 4-1/3-18,2-10s (20 - 5,9-0,176)—
18,2-103-0,176
— 1/6 114-80-20] 3-5,9
<----------------J---1— = —280;
18,2-108-0,176
по формуле (IV.34)
D _ [Fa Ro (&Mi + tg P) 4- fa S3 Co b/d,] d,
FaRa tgp
4-114-1-80-20-У 5,9	
5,9J	=125;
18,2-10»-0,176
по формуле (IV.33)
У2 =
2
+ A =
= 62,5—V62,52 — 280 = 2,3 cm;
y1 = d1 — у 2== 5,9—2,3 = 3,6 см;
dl~diy2 + yl 5,92-5,9.2,3 + 2,32
УС Зах	3-5,9
*c = ^-(di + fa) = 7To(5>9+2>3) = 9>2cM;
3uj	3-5,9
ry = (ho—Ус) 4-6? ~ 9 &У = (25,6 — 1,5) 4-
0
12 2_9 2
4- ——— (3,6—2,3) =24,3 cm;
168
О 5ft_х
rV1 = (h—а~Ус)-\-----—2 Д{/= (30—2 — 1,5) +
0,5-20—9,2 п „
+ --------— (3,6—2,3) =27 см;
т 20
G=Fa7?a6rB = 18,2 • 10s • 20 • 24,3 = 8,8-10’ кг-см2;
До?х =feb[(ft—и)/г + Согв] = Н4-20(30 —10)30 + 80-27=6,3-10’ кг-см2;
К =b cos (J + Ду sin (J =20-0,985+ 1,3-0,172 = 20 cm;
Co ф=80-0,22 = 17,6 cm.
Для уточнения расчета по формуле (IV.37) найдем
д____К	, // * V , G 20
Со Ф	V \Соф J ЧхДо	0,22-80
8,8-10’	„
1,132 + "бл1ог=0’7 < h
При S = 0,7:
А =—194; В = 125; t/2 = l,67 см; t/1=4,3 см;
г/с = 1>6 см; хс = 8,5 см;
гу = 24,5 см; ^=26,6 см;
gx S2 ДО==3,78-106 кг-см2;
(? = 8,92-106 кг-см2;
К — 20 см;
С0ф5 = 12,3 см.
По формуле (IV.21) теоретический разрушающий момент
д ,т + ffx S2 До
ир“ K + lt)CoS
(8,92 + 3,78)106
20 + 12,3	”
3,94 т-м.
Экспериментальный разрушающий момент
Л4®р = 3,98 т-м (см. табл. IV.2).
п	А ^и.р ^и.р 3,94—3,98
Отклонение А = ------------— —------------100 = — 1 %,
Мэ
пр
3,98
Таким образом, примеры с экспериментальными данными пока-
зывают удовлетворительную сходимость расчетов.
Изменение S, характеризующей наклон трещин на гранях балки,
даже в широких пределах мало влияет на положение нейтральной
оси и на несущую способность элемента.
169
IV.3. РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ ТАВРОВОГО СЕЧЕНИЯ
НА КОСОЙ ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ
Все практически возможные случаи положения нейтральной оси
в проекции на нормаль косого сечения представлены на рис. IV.8.
Основываясь на расчетных предпосылках, изложенных выше,
находим положение нейтральной оси и несущую способность для
Всех расчетных случаев.
1.	Случай I-а (рис. IV.9)
Как и для прямоугольного сечения, положение нейтральной оси
определяется параметрами X, У, S.
Уравнения предельного равновесия в развернутом виде будут:
^а=уКЗус/?пр;	(IV.57)
Мх = FaRa (h0—yo) - fTRa/u (2h—ti)S2 (h + 6);	(IV.58)
Mv = FaRa (b0—xc) + fxRju (b—u)s (bn/2—xc)C0 S/bn. (IV.59)
Принимая во внимание, что:
S = C/Co; C0^2h + bn + b1 + An;
= fx.RaJw> Mqx — FaRahQ,
Moy = FaRab0-, Д = (2/i-m) (h + b)-,
T = (b—u) C0/bB; xcyc = d,
170
уравнения (IV.57), (IV.58) приводятся к
хсус = d = Га7?а/4,57?пр;	(IV.60);
Мх = МОх + qxS2R-F&Rayc-,	(IV.61)
Му = Моу + 0,5^ S2T6n-(Fa7?a + <?XS2T) d/yc. (IV.62)
Разделив (IV.62) на (IV.61) и принимая Му/Мх = tg 0, полу-
чим квадратное уравнение
решение которого дает координату проекции точки приложения рав-
нодействующей усилий в сжатой зоне бетона на нормальное сечение:
^“•F+'|/t+a-	<iv.64>
Здесь
д. (FaRa+qxS*T)d .
в = (Mox-fa $2Д) tg Р—мог/—о,	smn
Fa Ratg P
Вторую координату — xe определяют по формуле (IV.60)
Для тавровых сечений с узкими ребрами может оказаться, что
b и. Тогда влияние на несущую способность поперечной арма-
туры, поставленной у грани шириной Ь, не учитывается, так как
трещина на этой грани может не пересекать стержней поперечной
арматуры.
В этом случае в формуле (IV.64) необходимо принимать
g  (Мру — Д ) tg Р---------------------------7Vlf),y
F-a Ra tg P
171
Чтобы найти параметр S, с помощью которого определяется на-
клон косых трещин на гранях балки, составим уравнение предель-
ного равновесия относительно оси О—О (см. рис. IV.9), проходящей
через точку приложения равнодействующей усилий в сжатой зоне
бетона и параллельной нейтральной оси:
(Мх sin ср + Мк cos ср) cos у + Му sin у =
= Fa Ra Г(Ло—у0) +	tg у 1 sin ср cos у +
L	sin ср J
+<7Х (2/г—и) S2h sin ф cos у +дх (Ь—и) S cos ф х
X Г(й—а—ус)+ 0,5&п~~*С1 cos у.	(IV.65)
|_	sin ср J
Принимая:
Мх = Ма cos 0; Му = Ма sin 0; Мк = грЛ4п;
sin ф = х!Ц cos ф = COSIL\ tg у = ylL,
где
х = Зхс; у = 3z/c.
После подстановки в (IV.65) и сокращения на L и cos у получим
Л1И (cos 0х + у sin 0 + ipSC0) = Fa Ra [(hQ—yc) + (60/xc — 1)	x +
+ <7XS2 J(2/i —u)hx+(b—м)С0|\/г—a—yc)+(^— 1)	•
Обозначим:	
ry = (^0 Ус) 4“ (bo/xa l)//ci	(IV.66)
rvl = (H — a — yc) + (0,56/xc — 1) z/c;	(IV.67)
x cos 0 + у sin 0 = K;	(IV.68)
Ci = ~FaRa гyX,	(IV.69)
До = (2h — u)hx+ (b — u) C^Vt.	(IV.70)
При b sC и До = (2h — u)hx.
После подстановки и преобразований
МИ (К + гр Со S) = Сх + <7х52Д0,
или
Gi+^Д	IV П)
и	K + 1|)COS	К 7
Положение невыгоднейшего наклонного пространственного се-
чения определяют по обычным правилам отыскания минимума функ-
ции:
/	d (52До1 \ __ Q
K-HfCoS J ' ’
172
После решения квадратного уравнения получим
S = — г^-+1/" (—УН—— <1.	(1V.72)
Соф |/ кСоф/ <7хДо1	V ’
В предварительных расчетах можно принимать
Со ~ 2/i Ц- 6 -|- 3&! -|- hw
а после уточнения S принимать
C0 = 2h + b + 2b1 + (hp—y) + (b-х).
После определения положения нейтральной оси несущую спо-
собность вычисляют по формуле (IV.71).
2.	Случай П-а
Уравнения предельного равновесия в развернутом виде для
этого случая (рис. IV.10):
Га7?а==32^/?пр + ^б;	(IV.73)
Рис. IV.10
= Fa Ra (hb-yj-q^ (2h—u) (h + by, (IV.74)
Mv = FMb9-xc)+qAb-u)S*	(O,560—xc).	(IV.75)
Из уравнения (IV.73), принимая во внимание, что
V6 = 0,87?^/^,
найдем
(IV.76)
173
Проекции координат точки приложения равнодействующей уси-
лий в сжатой зоне бетона на нормальное сечение, согласно
(рис. IV.11),
s^„
Я° Г„ + 0.5«»
5П2 + 0,5xz/ (М-х0)
Fn4-0,5x{/
Рис. IV.lt
где
Л1 = Мп-
Из уравнения (IV.73)
х0 = х/3; у0 = г//3;
получаем
0,5ху =	=	'(iv.79)
°пр
Тогда выражения координат (IV.77),
(IV.78) принимают вид:
„ ./л.
с/С	г? ।	»
__sn2— Л (614-лъ)
Хр------------
Для сокращения дальнейших записей обозначим:
Б = Sn‘ ; П= ?п* ; Е = —5—;
^п + Л	-fn + Л	+ Л
Ус = Б + Е у0-,
(IV.80)
(IV.81)
(IV.82)
хс = Е (&! + djyj + П.	(IV.83)
Уравнения (IV.74), (IV.75) с учетом (IV.82), (IV.83) и ранее
принятых обозначений запишутся так:
Мх = Мох —qx —82Д — FaRa (Б + Еу0);	(IV.84)
М у = МОу + 0,5 qxS2 Т bn - (FaRa-qxS2T) [П + Е (йх +
+ di /у0)].	(IV.85)
174
Разделив (IV.85) на (IV.84) и обозначив Му/Мх = tg р, полу-
чим квадратное уравнение
г/о — В у0 - А = О,	(IV.86)
решение которого
у0 = В/2 + /В2/4 + А.	(IV.87)
Здесь
А = (fa/?a + <?xj2T)_di .	(JV 88\
EaRatgP
(Atox-<7x'S2A-fa Ra Б) tg Moj-y ft S*T&n +
B=----------------------------------------------->
faRatgpE
. +(FaRa + faS2T)(n+Z>1E)
FatfatgpE * .
При b и по соображениям, изложенным ранее, в формуле
(IV.87) надо принимать
A = _^1_ •
tgP’
(Alox-fc 52Д~>а Ra Б) tg р-Мо;; + Fa £а (Е&х + П)
EFaflatgP
После вычисления уй, х0 по формуле (IV.87) можно из (IV.82)
(IV.83) найти хс, у0.
Параметр S, определяющий наклон косых трещин на гранях бал-
ки, будет найден из суммы моментов внешних и внутренних сил от-
носительно оси О—О (см. рис. IV. 10)
(Л1Ж sin <р + Мк cos ср) cos у + Му sin у =
= Fa. Яа [(Л0—Ус) +	tg т] cos у sin ф +
L	sin <р j
+ <7Х (2/г—и) S2h sin ф cos у + qx (b—u)S соэф x
X \(h—a—yc) + O’oo°-* Xc tg Icos ?
Sin <p J
Принимая во внимание, что для этого случая
sin ф = xx/L; cos ф = C0S/L-, tg у = y-jL,
(IV.89)
уравнение (IV.89) можно представить как
МИ (лу cos р + zzi sin р + Со ipS) = FoRoXjy + qx S2X
X Ц2Л — и) hxr + (b — u)C0 raJ.
175
Здесь:
х1 = 61 + х; У1 = у-\~Ь-У- ;
гу = ^-уе) + Ь^У1,
*1
/иг	\ I 0 , 5^п --*с
Гу, = (Я—а—ус) ч——£- yv
•*i
Введем обозначения:
G = F&R^ry-,	(IV.90)
До = (2/г — u)hX1 + (b-u) С^, (IV.91)
К = %i cos Р + У1 sin Р;	(IV.92)
Со « 2/i + & + 36х + /in.	(IV.93)
При b и До — (2h—и) hx.
После подстановки и преобразовании получим
м	G + qxS^'	(IV.94)
“	K+i|>C0S	v 7
Как и в предыдущем случае, условие минимума функции
d/dS(G + q*S2Jl,,}=0
\ К+1|)С0 S )
дает квадратное уравнение, из которого
S = —— +]/' ( — У+— <1.	(IV.94')
Со ф у Х'фСо }	*7х До
После определения положения нейтральной оси несущую спо-
собность находят из выражения (IV.94).
3.	Случай 1-6
Уравнения предельного равновесия для этого случая (рис. IV. 12)
имеют вид:
FaRa-^^bnRnf-,	(IV.95)
Мх = F&R& (h0 - Уа) - q^h - и) S2 (h + b)-,	(IV.96)
Му = FaRa (b0—xe) +	(b—u) S2 (0,5 ba—xc) C0/ba. (IV.97)
176
Из уравнения (IV.95)
Лпр
gc, хс, Со определяют как:
_d?-z/2di+yI2
°- :
xc^^-(y2 + di);
оа j
Со = 2h + bn + ha.
(IV.98)
(IV.99)
(IV. 100)
(IV.101)
С учетом ранее принятых обозначений уравнения (IV.96), (IV.97)
приводятся к виду:
Мх = MOx-qx S^-Fa Ra ± + A- Fa Ra уг-^^-; (IV. 102)
My = MOy + qxS*T h.-(FaRa + qxSn)^-y2. (IV.103)
a	odj
Разделив (IV.103) на (IV.102) и принимая My : Мх = tg 0, по-
лучим квадратное уравнение
yl — В z/2 — А = 0,	(IV. 104)
решая которое получим
=	/В2/4+А,	(IV. 105)
177
где
А=ЛЛо-(\----j-^ctgp— -|-й—
B = [4fLT6n + Hctgp + l/dI.
\^ала	}
При b по соображениям, изложенным ранее,
(IV. 106)
(IV. 107)
А = ГАо— ( &0-4 6П) ctg Р-1- dtД] 3di;
\ о /	о	J
B = &nctgP4-l/di.
Проекции координат точки приложения равнодействующей уси-
лий в сжатой зоне бетона на нормальное сечение хсус теперь опре-
деляются по формулам (IV.99) и (IV. 100).
Чтобы найти параметр' S, с помощью которого можно вычислить
наклон косых трещин на гранях балки, составим уравнение внеш-
них и внутренних сил относительно оси О—О (см. рис. IV. 12), про-
ходящей через точку приложения равнодействующей сжимающих
сил в бетоне и параллельной нейтральной оси:
(Мх sin q> 4- Мк cos ф) cos у + Му sin у =
=	[(Ло—Ус) + &0~*с- tg у] cos у + дх (2/г—и) h.S2 8ШфС05у +
L	sin ф J
+ <?х (Ь—и) S cos ф Г(/г—a—yj + °’5г>п~*с tg у] cos у.
L	sin <р J
Принимая во внимание, что для этого случая
Л1ж = Л1исо8р; Мк — фМи; Му = Мв sin Р;
81пф = 6п£; созф = С05/£; tgy = yi~y2 —— ,
L L
после подстановки и сокращения на L и cos 7 получим
Л4И(6Пcosр + Аг/sin Р + фС0S) = Га(/г0—у— ь*—^Ьу\ 6П4-
4-9х S2 [(2/г-гг) hba + (b-u) Со (h-a-yc + АгЛ] .
L	\	0п	/J
(IV. 108)
Обозначим:
h0-y0 + b-2=^^y = rv-,	(IV. 109)
178
Н-а~ус +	Ду Гу/>	(IV.110)
JJ# = (2h — и) bah + (Ь — и) Coryt- (IV.lll)
К = bn cos p + Ay sin P; G = F&RAryba.	(IV. 112)
Из (IV.108) с учетом (IV.109) — (IV, 112) получим
дд _ G +<?x >52До
и К+фСв$
(IV. ИЗ)
Приравнивая нулю dMIdS и решая квадратное уравнение, най-
дем -	_______________
S = —— + 1/	(IV.114)
Со Ф у	\ Со ф /	Чх До
Несущая способность для этого случая определяется выражени-
ем (IV. 113).
4.	Случай П-б
Уравнения предельного равновесия для этого случая (рис. IV.13,
IV. 14) имеют вид:
а	bni /?пр +	(IV. 115)
Рис. IV.13
Мх = Fa Яа (h0-уе) —(2h-u) (h + b) Sa; (IV. 116)
My = F& R& (&0-xc)+	(b-u) S2 (0,5&п-хс). (IV. 117)
Из уравнения (IV. 115)
У1 + У2 = 2(F^R&~N6} =du,	(IV. 118)
^пр
где
М, = 0,8/? up bthu.
179
Координаты проекции точки приложения равнодействующей уси-
лий в сжатой зоне бетона на нормальное сечение для этого случая
равны:
5п>+О>5Ч(У1+Уг)Уо .
_5Пг+О,56П1(У1 + //2)(хо + 61)
Лс —
(IV. 119)
Fп + 0,5bi (yt + у2)
Из уравнения (IV. 115)
0,5 («/х + г/2) ЬП1
(IV. 120)
- где
Fа —Мб
^пр
Обозначим:
Б^—;
Fn 4- Hi
Пх-	Sn-2—-
(IV.121)
(IV.122)
------; (IV. 123)
Fn+m
(IV.124)
Лт +Л1
Q   Ь1 . С  Ь1 ЛП
dni~ дп2~Т“
Fn — b± hn.
Тогда выражения (IV.119), (IV.120) принимают вид:
Ус - Bi + EjZ/o; — FIj ~Ь Er (Xq 4~ &i)«.	(IV. 125) (IV. 126)
Для сжатой зоны в виде трапеции:	
__ ^11—^11 У^У2 З^п	(IV. 12 7)
XQ = ~ (У2 + du). -3dn Подставляя x0, z/0, получим:	(IV. 128)
yc-^ + ^dh-dHto + yl)- 6an	;	(IV. 129)
^с =3П1 + Е1 —L (у2 + ^п) + ^1 Зб/ц	(IV. 130)
180
После подстановки ус и хс в уравнения (IV. 116), (IV. 117) имеем:
Mx = MOx-qxS^~FaR& (-^п+Б1) +
+ 4-fa^aE1y2-/7a7?a-^-^; '	(IV.131)
О	оиц
му = Моу + q* S2 Т (FaRa + qx S2 Т) Гпх + Ех ( Ьг +	1 -
-(Еа^а-^^Т)-^-^.	(IV.132)
т — (Ь — и) C0/ba', С ~ 2h + ba + ha\
Д = (2А — и) (h + b).
Разделив (IV. 132) на (IV.131), после преобразований получим
квадратное уравнение
Уг — В#2 + А = О,	(IV. 133)
решая которое найдем
у2 = В/2 —/Ва/4—А.	(IV. 134)
В формуле (IV.134):
3d„ (л)0!/ +у Л3»Т6п-(FaFa + <?х«2Т) [пх + Ех (*i +^)]}ctg р-
Fa. Е1
- [Л1оя-?х «2 Д-FaFa (бх+3d„
FaFaEx
в-(-^т + 1КсШ₽+М1.
При
д 3d„ {Atoy-FaFa[nx + Ex(&+6n/3)]}ctgp-
F& Fa Ех
- [Л10Я - h S2Д - Fa Fa ( Бх ~	) ] 3d„
Fa. ^a Ei
В = &nxctgp+l/d„.
Координаты xc, y0 проекции точки приложения равнодейству-
ющей усилий в сжатой зоне бетона на нормальное сечение опреде-
ляются выражениями (IV.129), (IV.130).
181
Находим параметр S для этого случая (см. рис. IV. 13). Составляя
2Л1о_о — О, по аналогии с (IV. 108) найдем
Мя (bn cos р+Ду[ sin р + Со i|>3) = Fa Ra bn rv + qT S2 Ц2Л—u) hxr +
+ (6—w)CorJ.	(IV. 135)
Здесь:
rv = kh0-yc) + !^by'-
bn
rv=(H--a-ye) + ^^-W,
где:
&y' = y'—y2; у' = У1+Ь
un^
Из уравнения (IV. 135)
м	G-p^SM,	-	(IV. 136)
и K+i|>C0S	4	’
Здесь G = FaRabary-,
До = (2/i—u)hbn + (b—u) Co ry;
К = ba cos p + by{ s*n P-
При 6 < u До = (2/i—u) hba.
Из выражения (IV. 136) вычисляют S, соответствующую теорети-
ческому минимуму несущей способности элемента
5=------—+]/' (—V+— <1- (IV. 137)
фСо Г к -фСо 7 <7хДо
Несущая способность определяется выражением (IV. 136).
5.	Случай III
Уравнения предельного равновесия для этого случая (рис. IV. 15)
запишутся так:
FaR3 = 2N6 + 0,5 (z/x + y2)b Rap,	(IV. 138)
где	Ne = 0,8/?пр hjjy,
Мх = Fa7?a (й0—z/c)—(2Л-м) (h + 6)S2; (IV. 139)
Му = Fa/?a (60-хс) + q* (b-и) (0,56п-хо) (IV. 140)
Из уравнения (IV. 138)
У1 + у2= 2(F^a~2^ =d3.	(IV. 141)
^пр
182
Для этого случая координаты проекции точки приложения рав-
нодействующей усилий в сжатой зоне бетона на нормальное сече-
ние:
25П1 + 0,5 (i/i + уbyQ
Ус = 2Fn + 0,5(yi + y2)b ;
(IV. 142)
(IV. 143)
2«$п2 4- 0,5 (г/1 + У2) b (Ь± 4- х0)
2Fn 4- 0,5 (У14- У2) b
Обозначим:
Б _^S_; п8 = -^-;
2Fn—т)2	2Fn4-42
F
3‘ 2Fn4-42 ’
где
Q __ bihn . о __ bl hn е р __ < <
дп— — ' дп2- “
С учетом принятых обозначений формулы (IV.142), (IV.143)
принимают вид:
Ус — Б3 + Е3 z/0;
Xq — П3 4~ Е3 (bi 4“ ^о)’
Согласно (IV. 127), (IV. 128):
иОЗ	OU3
(IV. 145)
(IV. 146)
183
После подстановки х0, Уо в выражения (IV.145), (IV.146) полу-
чим:
Уе = Б3 + -Ь.	-ds у, + z/|);	(I V. 147)
□йз
x0 = n8 + E8[^(«/2 + d8) + d.	(IV. 148)
Подставляя хс, ус в (IV.135) и (IV.140), после соответствующих
преобразований найдем:
Мх -МОх + </х S2 Д-Еа Ra (Б3 + Е3	-
-4fa^aE3//2—±-FaRaEtyl;	(IV. 149)
о	OU3
Му = Mov + Y </х S2 Т6П--(Fa Ra + qx S2 Т) [П8 + Е3 (Ь, + 6/3)] -
-(Л.Яа + М2Т)Е3-^-//2.	(IV. 150)
□йз
Разделив (IV. 150) на (IV. 149) и принимая Му : Мх = tg 0, по-
лучим квадратное уравнение
У1 — В уг + А = 0,	...	(IV.151)
откуда
у2 = В/2—У(В/2)2—A.	(IV.152)
В приведенных формулах:
А - [FaRa tg р + (Fa Ra +-qx S2 T) b/da] ctg |J;
в - ctg ₽ К + i ь S“ T - (F. R, + S’ T) X
x[n34-E3 (Ь1+уЬ)]}-М0х-<7х82Д-Ра/?а (Б3 + Е3 A);
Co « 2 (h + ha + b.) + b.
При b u:
A = tV ( Fa tg ₽ + 7" Fа Ъ ) Ct§ P;
B =-^-[ctgH^-;?a^a[n3+E3(61+ -L ^1U
**a^a \ I	L	/ J J
-Moy-Д-FaRa (Б3 + еЛ)).
184
Координаты хс, ус находим из выражений (IV. 147), (IV. 148).
По аналогии с предыдущими случаями
5= —Г +	(IV.153)
СоФ V к СоФ / 9хДо
Проверка прочности производится по условию
(IV.154)
В формулах (IV. 153), (IV. 154) для этого случая:
G = Ra Гу ьп; K = 6ncos0 + Al/isin0;
До = (2/i—и) bji + (b—и) Co ry;
кУ1 = У1—Уъ, y'^yi + th У1+Уг-,
b
yi^yi + b!——--, r =(h0—уc)+&0^*-c-At/i;
b .	ba
гУ1 = (H—a - yc) +	aF1.
При
До = (2/1—u)bah.
6.	Определение случаев положения нейтральной оси
При расчете тавровых сечений на косой изгиб с кручением для
выбора расчетных формул необходимо предварительно определить
случай расчета (положение нейтральной линии в пространственном
сечении).
Предварительное решение этого вопроса возможно в соответствии
со следующими рекомендациями.
Критерием для разграничения случаев I-а и П-а от случаев 1-6
и II-б может быть величина tg р
оп
при tgP—<0,362 имеем случай I-а или П-а;
Ьп
при tgP —>’0,362 имеем случай I-б или П-б.	(IV. 155)
Ьп
На основании обработки результатов опытов автора и сопостав-
ления расчетных данных для большого количества элементов тавро-
185
вого сечения для разграничения случаев I-а и П-а можно пользо-
ваться признаком:
ПрИ f а < 0 ’ 35Л°	— случай I-a;	(IV.156)
при Fa> °'35АпМпр случай ц.а	(IV.157)
Аналогично для случаев I-б и II-б:
при Fa < 0,5 ---&п	—случай I-б; (IV. 158)
Ra
при F& > 0,5 ?°?п^пр.—случай П-б. (IV. 159)
Ra
Чтобы разграничить случаи I-а и I-б, воспользуемся тем же
способом, что и при прямоугольном сечении: предполагая, что
имеется случай I-б, запишем уравнения предельного равновесия
(рис. IV. 16):
O^np^l + ^Watfa!	(IV. 160)
Mx = FaRa^h0—
-?х (2h-u) S(h + b) S—0,5/?пр&п (У1 + у.)	(IV. 161)
Ми = Fa7?a (b0- &п/2) + -L /?пр Ьп (У1 + z/2) (bn/2-xc), (IV. 162)
откуда
^ = «/1 + 1/2 = ^^.	(IV. 163)
а пр
После преобразований с учетом (IV. 163) уравнения (IV. 161),
(IV. 162) принимают вид:
Мх = FaRa (h0-^-q* Sa Д- ± bd. (yc -	; (IV. 164)
My = FaR&(b-b/\+± R^bdJ^—хД. (IV.165)
Подставив в (IV.164) yc из (IV.99), а в (IV.165) xc из (IV.100)
и разделив (IV.165) на (IV.164), получим
yl - № + bn ctg P) y2++	=0 (IV. 166)
Rnp bB	4
или	y2—В yz -f- A = 0.	(IV. 167)
186
Здесь:
К = Fa/?a (йо-^/4); M19 = FaRa (b0-bn/3)-, ctg0 =
Д = (2/г —n) (h + b) + (b-u)C0;
д>  6 (Miy ctg p 4~?x'S2 Д—M1J । d\l\' (IV 1
Fnp
Из анализа уравнения (IV. 167) следует, что при А = 0 имеется
граничное положение нейтральной оси между случаями I-а и 1-6:
при А' < 0 — случай I-а; при А' > 0 — случай 1-6.
Для разграничения случаев П-а и П-б составим уравнение пре-
дельного равновесия, предполагая случай П-б (рис. IV.17):
0,5 (У1 +1/2) bn /?пр + N6 = Fa /?а;	(IV. 169)
187
Mx = FaRa{ h0 -	S2 Д — [0,5 (У1 + z/2) 6П17?ПР +
+ЛМ (yc-^7^);	(IV. 170
My^FM^-b^ + ^^ + y.) bniRnp + N6](ba/2-xc), (IV. 171)
откуда
. Ух + y^d^	(IV.172)
°np b
где
No = 0,8/?np &x/in.
С учетом (IV.172) и обозначив 0,5dn6ni Rnp + N6 = Дб,
после преобразований уравнения (IV. 170), (VI. 171) принимают вид:
Mx = Mx-q^ Д—Дб (z/c-d„/4);	(IV. 173)
Мр = МУ1 + Дб(6п/2-хс),	(IV. 174)
где
Л4Ж1 = FaRa (Ло dn/4); Л4У1 — FaRa (b0 6п/2).
Координаты хс, у0 определяют по формулам (IV.129), (IV.130).
Перепишем уравнения (IV. 173), (IV. 174) с учетом значений
•'-Ci Ус-
Мх = Мх-q,S2 Д—Дб ( Бх +	+ АИ-дъЬ у2 +
+Дб^-^;	(IV. 175)
Му = Му - До [Пх + Ех (6 /3 + Ьх) - 6п/2] - Дб у,. (IV. 176)
Разделив (IV.175) на (IV.176), после преобразований получим
У1 + (Чctg р- l/d„) у,-Ж-Дб 1ПХ+Ех (6П/3 + bj-
-6п/2]с1ёр-МХ1-<7х52Д-Дб(Б1 + -^и- + ^1-)}-=0 (IV.177)
или	-	‘
У 2 + в 1/2—А' = 0.	(IV. 178)
Здесь:
А' = Ж - Дб- Гп, + Ех (Ьа/3 + 6J —М ctg Р -
Дб v	L	J
-М,	(5, + ^- + ^!-) В - &П1 Ctgp— l/d„.
188
Из анализа уравнения (IV. 178) следует, что при А' = 0 имеем
граничный случай, когда нейтральная ось проходит через верхний
угол полки:
при А' < 0 — случай П-а; при А' > 0 — случай П-б.
Свободный член А' в уравнении (IV. 178) после преобразований
имеет вид
А' =	к0_[П1 + Ех (ЬП1/3 + 6Х)] ctg ₽-h0-dn/4-^-
— (bx+	(IV.179)
Случай III, редко встречающийся в практике проектирова-
ния, имеет место при тонкой полке и узком и высоком ребре. Итак,
разграничение случаев положения нейтральной оси можно осущест-
вить по следующей методике.
В соответствии с (IV.156), (IV.157), (IV.158), (IV.159) ориенти-
ровочно установим случай расчета. Далее уточним:
1)	для случая I-а А' С О
У	^п>
А' определяем по (IV. 168);
2)	для случая П-а А' < О
У = 3«/о > hn,
А' вычисляем по (IV. 179);
3)	при А' > 0 по формуле (IV. 168) для случая 1-6
У1 ^п>
4)	при А' > 0 по формуле (IV. 179) для случая П-б
Уг > hu.
Признак для разграничения случаев П-а, П-б:
1) если окажется, что при А' 0 по формуле (IV. 168)
У1 ^п>
а у' = у + b j xly > h^, то будет случай П-а (см. рис. IV.11);
2) при Д' > 0 по формуле (IV. 168)
У1 <
будет случай П-б.
7. Примеры расчета
Пример IV.3. Определить разрушающий -момент экспериментальной
балки шифра БТ-12 при следующих данных (рис. IV. 18, а):
fi = 15°; ф = 0,2; Н — 31 см; b = 10 см; hn — 7,7см; Ьп — 21 см; =
= 28,9 см; 60 = 11 см; Fa = fax + fay = 4,84 см2; /х = 0,283 см2; ц— 10 см;
Ra = 3425 кг/см2; Rax = 2450 кг/см2; #пр = 287 кг/см2.
189
Ориентировочно по выражениям (IV. 155), (IV. 157) найдем случай расчета!
И	31
tg₽— = 0,268——=0,396 > 0,362;
оп	21
„«^пЛп^пр п „21.7,7- 287 е „
0,35	-	—0,35	——-----= 5 > Fa = 4,84 см2.
Ла	о42о
ЬН0’ бУдет слУчай I-а. Для уточнения воспользуемся выраже-
нием (IV. 168):	г
дл 6(^ctgP+^S2 4-Aflx) . 4
А -	‘+ -- ;
^пр^п
j ZFzRa 2-4,84.3425
“287.21	=5’5 СМ=
—	/ «II	/	5 5 \
Mix == -^а а 4 у =4,84*3425 ^28,9—	—) =455* 10® кг*см:
190
Mly=FaRa(b0 — Z»n/3) =4,84-3425 11--— =66,5-10? кг-см;
\	*3 /
fxRa 0,283-2450
9x“ и =	10
69 кг/см.
При b = u\ Д = (2Л—-м) (Л + &) = (2-23,3 —10) (23,3 +10) = 1,23-10^ см2 при-
нимаем S = 1;
_ 6 [(66,5-3,73 + 69-1,23)—455] 103	5,52 __
“	287-21	+ 4	’
Следовательно, имеем случай I-а.
Для этого случая вычисляем:
FaRa	4,84-3425
d -----------—-------------= 12,54
1	4,5/?пр	4,5-287
MOx = Fa/?a^o = 4,84-3425-28,9 = 479-103 кг-см;
Мщ = Fa R а bQ = 4,84 - 3425 -11 = 184 -103 кг - см.
По формуле (IV.64)
i/c = B/2 + / В2/4+А,
и так как b — и, то коэффициенты уравнения определяем согласно указа-
ниям, изложенным в IV.3, п. 1:
D (A40a-gxS2fl)tgp-M0!/ =
Fatfatg?
_ (479—84) 103 • 0,268—184 - 103 _ _	5-
~ '	4,84-3425-0,268	~~ ’ ’
A = jL__^.=48;
tg cp 0,268
17,5	_ / f 17,5 V "
#c= —	+ |/	\	2	)	48-“2,55 cm;
у = 2,55-3 = 7,65 см;
12,84 r nr
xc =-----—=5,05 cm;
c 2,55
x = 15,l cm.
Проверяем случай расчета.
При
^ = 7,65 < Лп = 7,7; х = 15,1 < Z?n = 21 см
имеем случай 1-а.
Далее определяем:
Гу=(йо-ус) +(— -1) Ус = (28,9 - 2,55) +
\ хс /
+	 —1) 2,55=29,35 см;
191
G = Fa 7?a xry = 4,84-3425-15,1-29,35 = 7,36.10е кг-см2;
Ki = xcos p + y sin P = 15,1 -0,9664-7,65-0,259= 17,2 cm;
С0 = 2й4-&п+Лп4-^1 = 2-23,34-21 4-7,74-5,5 = 80,8 см;
i|>CoS = O,2-80,8 = 16,15 см;
</xS2 До = (2/г—и)Лхдх =(2-23,3—10) 23,3-15,1-69=0,91-10’;
s==__A_ . i/_.............................1Z.,^ .
Соф к \Соф/ Oo 80,8 • 0,2 T
1	, /	7,36.10е
+ 1/ i об2 + “--------- =2,02 > 1.
v k ’	0,9b106
Принимаем S = 1. Тогда по формуле (IV.71)
мт	+ <7x S2 До
Д4 =------------=
И-Р	К+фС05
(7,36 + 0,91) 10б
17,2 + 80,8 • 0,2
кг • см.
Разрушающий экспериментальный момент (табл. IV.3)
Л£ —2 64-105 кг-см.
ир
Отклонение теоретического разрушающего момента от эксперименталь-
ного
ДЛ4 =^к100= (2’5-2’642105 100=—5,3%.
мэ	2,64.105
ир
Пример IV.4. Найти разрушающий момент для экспериментальной балки
серии БТ-20 при следующих условиях (рис. IV. 18, б):
Р = 15°; ф = 0,286; Н = 32 см; b = 10 см; hQ = 29 см; bQ = 11,15 см;
hn = 7,7 см; Ьп = 20,5 см; Fa = fax + fay = 7,07 см2; fx — 0,5 см2; и =
~ 12,5 см; для продольной арматуры 7?а = 3240 кг/см2; для хомутов 7?а,х —
— 2540 кг/см2; /?пр = 262 кг/см2.
Предварительно определяем случай расчета.
Согласно (IV. 157)
Н	32
tg Р — = 0,268—— =0,41 > 0,362;
Z\J . О
согласно (IV. 156)
0.35 М^,=	_	8 си,
Яа	3240	а
Следовательно, имеем случай П-а.
Для уточнения расчета воспользуемся значением А' по формуле (IV. 179):
А=^Г
(Т	/
< Ьо—Пх— Ei I -
V	\
4-&i J ctg р—
^х
Fa7?
ДЗ2-
Б14-
а

We=0,8Дпрйп61=О,8-268-5,5-7,7 = 8,85-10« кг.
192
Здесь:
2(ГаЯа-М)) 2(23-8,85) 103 _
-----------------------------= 5.5;
262-25
du~ n h
^np °П
Fa ^a —^6
^np
fx^ax 0,5-2 540
=-------—-------------= 103 кг/cm,
и	12,5
Геометрические характеристики сечения:

Qx
Snj-
При b < и
(23-8,85) 103
-----—--------= 5,4 см;
262
ftnfci 7,72-5,5
—2—=-----2---= 162 см3;
SnIl —
hnbf	7,7-5,52
-V- = -J—— = 115 см3;
2	2
Fn=Mn=5,5- 7,7 = 42,5 см3;
•Snj
б^—
fn + n
^Пп
Щ =-------—
Fn + П
162
———— = 1,68 см;
42,5 4-54
115
Tii	54
---------=-------------= 0,56
Fn -}- Л 42,5 4- 54
Д = (2/г—rz)(/i4-Z?) = (24,3 - 2 —12,5) (24,3 4-10) = 1,3-103 cm2.
В первом приближении принимаем S = 1. Тогда:
gxS2 Д = 103 • 1,3 • Ю3 = 135-103 кг - см;
3 5 5 (
А'=-..о~5б [11,15- 1,2—0,56 (5,08 4-5,5)] 3,73 —
Г 5,15	135-103
L29~	4	“ 23-Ю3
1,68 4-
1,68-5,5
3
= —38,8.
Таким образом, имеем случай П-а.
Определяем положение нейтральной линии:
Мох=^Ра Ra h0 = 7,07-3240-29 = 665-103 кг-см;
Моу = Fa Rа Ьо = 7,07• 3240-11,15 = 257* 10s кг-см;
, FaRa—N6 7,07-3240 — 0,8.262.7,7-5,5' _
di = —---------=---------------------------= 12 ci
4,57?пр	262-4,5
При b < и:
12
А =^У-=----------= 44,8;
tg ф 0,268
7 Зак. 731
193
(Alox-<7x-S2fl-Fa^aB)tgp-Alo!Z + Faj?a(E&1 + n) =
EFa7?atgp
[(655—135—38,4)0,268—257 + 99,5] 103 g3 -
~	0,56-23.103-0,268	’
r/o = B/2+ Kb3/4 + A =—4,15+ 1^4,153+44,8 =3,3 cm;
y~tyn = 10 cm;
di	12 .
xo—----—----= 3,64 cm; x = 3xo =3,64-311 cm;
z/o	3,3
10
xi = x + 6i = 11 + 5,5 = 16,5 cm; y± = y +&i t//x = 10 + 5,5 -уу- =	cm.
Проверяем случай расчета:
у = 10 см > hn = 7,7 см; х± — 16,5 < bn = 21 см.
Имеем случай П-а.
Согласно (IV.82), (IV.83):
ус = Б + Ег/о = 1,68 + 0,56-3,3 = 3,53 см;
хс = П + Е(61 + хо) = 1,2 + О,56(5,5 + 3,64)=6,32 см.
Тогда
'{/ = (^0—Ус) + ~—— У1 = (29—3,53) +	;6’3^ 15 = 31 см.
Х1	16,0
При b < и:
Д0 = (2/г—и)/гхх = (2-24,3—12,5)-24,3-16,5 = 15-104 см3;
qxS2 До = 103-11,5 - 104 = 1,55-106 кг-см2;
К = хх cos Р + ух sin Р = 16,5-0,966 + 15-0,258 = 19,78 см;
Со = 2/г + & + &! + ЛП + (&п—хД =24,3+10 +
+ 5,5+ 7,7 + (21 —16,5) = 75,2 см;
Со<S4> = 75,2-1 -0,286 =21,5 см;
С = Еа7?а^1х1=23-31.16>5 = 11,8.106 кг-см2;
s=__К-.1/=
C,tT Г k СоМ> J <7хДо
19,78	, /	’	11,8.10е
~~^т+У °'91’+t^-2>l
Принимаем S = 1. Тогда теоретический разрушающий момент
Л?(Т)= С+?х52До
ир K + 1|)COS
(11,8 + 1,55) 108
19,78 + 21,5
3,24-105 кг-см.
194
Экспериментальный разрушающий момент (см. табл. IV.3)
.MrL—3,5-105 кг-см.
ир
Отклонение теоретического разрушающего момента от эксперименталь-
ного
^ир— Л^ир	(3,24—3,5) 10s
ДЛ4И =—25-----25- ЮО = ——----100 =-7,4%.
Мэ	3,5-105
тир
8. Сопоставление экспериментальных
и теоретических значений разрушающего момента
Для оценки точности предлагаемого метода использован обыч-
ный прием: для каждого экспериментального образца определяли
несущую способность М^; после этого по формуле
вычисляли отклонение теоретических значений несущей способно-
сти от действительных в %; затем по формуле
ЛЛ4и.ср = -^-------
подсчитывали среднее отклонение теоретических значений от резуль-
татов испытаний и по формуле
адми
2 <АМи/)2
находили среднеквадратичное отклонение в %.
Сопоставление опытных и теоретических разрушающих моментов
приведено в табл. IV.2 для балок прямоугольного сечения, в табл.
IV.3 — для балок таврового сечения.
Как видно из этих таблиц, теоретические разрушающие моменты,
подсчитанные по фактическим геометрическим размерам в зоне разру- *
шения, хорошо совпадают с опытными разрушающими моментами.
Для балок прямоугольного сечения среднеарифметическое отклоне-
ние ДЛ1и.Ср = 3,14%, а среднеквадратичное аДЛ<и = 4%; для
балок таврового сечения ’ среднеарифметическое отклонение
АЛ4и.ср = 2%, а среднеквадратичное <?дми = 4,2%.
7*
195
<х>
о
Параметры экспериментальных балок серий БП1, БП2 и основные результаты
Таблица IV.2
Шифр балки	Геометри- ческие размеры		«б, кг/см2	Продольное армирование			Поперечная арматура			Условия испытаний		Разрушающий изги- бающий момент		А М
	ширина сечения, см	высота сечения, см		площадь сечения арматуры		Ф гр кг/см2	d, мм	шаг, см	О’ т j кг/см2	ф—-^к’-^и	0е	теорети- ческий т'м	экспери- менталь- ный т« м	А = XI00%
				см2	Fy, см2									
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
БП1-1	_20] 11,3	30,5 27,2	348	2,31	1,37	3360	6,5	15	2960	0,098	15	2,98	3,1	— 3,88
БП1-2	20 ТГ2	30,1 2772	314	2,31	1,32	3200	6,5	15	2960	0,146	15	2,7	2,79	— 3,22
БП1-3	20,4 TTj	30,5	328	3,82	2,41	3040	6,5	15	2940	0,196	15	3,66	3,9	— 6,15г
БП1-4*	20,4 11,7	26,8	355	3,82	2,41	2790	6,5	15	2960	0,25	15	3,27	2,78	+ 14,1
БП1-5*	17,3 9,4	30,5 27,3	343	7,23	3,22	2600	6	10	1 2900	0,161	25	4,5	3,52	+27, &
БП1-6	17 9,7	30 27,3	343	7,23	3,55	2600	6	15	2900	0,161	25	3,98	4,45	—10,6
БП2-7	20,6 ТТ“5	30 ~2б“ ОЛ	360	2,31	1,37	3160	8	15	2200	0,25	20	2,56	2,66	— 3,78
БП2-8	20,4 ТТ“8	30 2675 ОЛ	343	3,82	2,41	2300	6,5	15	2700	0,25	20	2,44	2,87	—13,6
БП2-9	20,6 ТоТз	30 26J)	290	3,01	1	3450	8	15	2480	0,175	10	3,12	3,15	— 0,99*
БП2-10	20 ТТЛ	30 2577	291	3,02	1,8	3400	6,5	15	2860	0,22	20	3,06	3,08	— 2,6
БП2-11	'	20,4 12,1	30,2 25,2	248	3,02	2,54	3290	6,5	15	2800	0,25	20	3,01	3,3	— 8,5
Продолжение табл. IV.2
Шифр балки	Геометричес- кие размеры		^б, кг/см2	Продольное армирование			Поперечная арматура			Условия испы- таний		Разрушающий изги- бающий момент		
	ширина сечения, см	высота сечения, см		площадь сечения арматуры		ат, кг/см2	d, мм	шаг, см	G Т , кг/см2	ф—М к : А4 и	3°	теорети- ческий А^, т’м	экспери- менталь- ный Af^* т«м	А	X XI00%
				Fx. см2	Fy, см2									
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	И	12	13	14	15
БП2-12	20,2 11,7	30,4 26,4	291	3,02	3,01	3380	6,5	15	3060	0,25	15	3,4	3,69	—7,85
БП2-13	20 10	30,5 27,5	313	3,02	1	3410	8	15	2930	0,171	10	3,2	3,12	+ 2,5
БП2-14	20 12,2	30 26,5	346	3,01	2,55	3260'	8	10	2260	0,22	10	‘ 3,94	3,98	— 1
БП2-15	20,1 12	30,1 24,8	301	3,02	2,54	3250	8	10	2500	0,3	20	3,46	3,27	+5,2
БП2-16	23 14,2	30 25,3	325	3,02	3,01	3250	8	10	2300	0,27	10	3,8	3,7	+2,9
БП2-17	20,2 11,4	30 25,7	325	3,02	1,8	3240	8	15	2430	0,22	20	3,06	3,08	—0,65
БП2-18	20,5 12,4	29,5 25,7	360	3,02	2,54	3200	10	10	2725	0,334	10	3,62	3,5	+ 4,3
Примечания. 1. Балки серии БП1-4 и БП1-5, армированные открытыми хомутами, преждевременно разрушились
от раскалывания бетона по неармированной грани.
2. В графах 2 и 3 числитель—полная ширина и высота балки; знаменатель —рабочая ширина и высота.
3. Знаком * отмечены балки, разрушившиеся преждевременно, вследствие раскалывания бетона по неармированной
грани.
Таблица IV.3
Параметры экспериментальных балок серии БТ1 и основные результаты испытаний
Шифр балки	Геометрические размеры сечения, см			«б, кг/см*	Продольная арма- тура			Поперечная армату- ра			5? зГ II •э	3 °	Изгибающие моменты		о <n s’”"	
	высота	ширина	размеры полки		Я к Ь,	о S3J	от, кг/см2	d, мм	шаг попе- речных стержней, см	ат, кг/см2			теорети- ческий т-м И	экспери- менталь- ный Ми, т-м	1 н ЙЙ	СП S II <1
БТ-1	30 27,6	10 11,9	7,5 21	390	4,07	2,06	3500	6	12,5	2600	0,2	15	3,4	3,32	+2,4	
БТ-2	32 28,58	10 10,8	7,5 21	260	6,28	0,57	3320	6	12,5	2480	0,2	15	2,96	3,12	—5	,1
БТ-3	31 28,9	10 И	7,7 21	277	4,02	0,82	3440	6	15,5	2700	0,2	15	2,64	2,66	—0,75	
БТ-4	30,5 27,35	10 11,2	7,5 21,5	250	4,02	0,88	3400	6	15	2480	0,2	15	2,35	2,66	—11,6	
БТ-5	31 28,1	10 10,62	7,5 20	324	4,02	0,87	3450	6	12,5	2540	0,2	15	2,48	2,66	—6,75	
БТ-6	29,5 27,3	10 11	7,5 21	316	4,02	0,84	3450	6	12,5	2680	0,2	15	2,42	2,43	—0,4	
БТ-7	32 29,75	10 Н,1	8 20,5	388	4,07	1,19	3400	8	12	2600	0,25	20	2,58	2,66	—3	
БТ-8	30 26,2	10 11	7,5 20	388	4,02	1,42	3450	8	12,5	2400	0,25	20	2,4	2,54	—5,5	
БТ-9	30 25,6	10 11,25	7,5 20,5	240	4,02	1,54	3400	10	12,5	2650	0,252	25	2,39	2,26	4-6,14	
БТ-10	30 26	10 11,48	7,5 21	240	4,02	1,54	3400	10	12,5 •	2425	0,28	25	2,14	2,26	—4,45	
, Продолжение табл. IV.3
Шифр балки	Геометрические размеры сече- ния, см			«б- кг/см2	Продольная арматура			Поперечная арматура			S II •э	о	Изгибающие моменты			
															cn s 1 ь S	СП S II <1
	высота	ширина	размеры полки		g к	2	S E-t О	2 2 чз	шаг попе- речных стержней, см	2 О			теорети- ческий т-м	экспери- менталь- ный Т-М		
БТ-11	31	10	7,7	320	4,1	0,88	3365	6	10,5	2150	0,2	15	2,46	2,67	—7,9	
	28,85	Н,1	21													
БТ-12	31	10	7,7	330	4,02	0,82	3425	6	10	2450	0,2	15	2,5	2,64	—5,3	
	28,9	10,2	21													
БТ-13	31	10	7,5	300	4,05	1,16	3400	8	10	2700	0,25	20 '	2,5	2,68	—6,7	
	27,86	11,3	21													
БТ-14	31	10	7,7	300	4,02	1,17	3450	8	10,5	2700	0,25	20	2,64	2,66	—0,7	
	28,8	11,2	21													
БТ-15	30	10	7,5	300	4,03	1,45	3400	10	10	2300	0,28	25	2,54	2,6	—2,3	
	25,7	,	Ю,8	20,5													
БТ-16	31	10	7,5	310	4,02	1,47	3475	10	10	2300	0,28	27	2,7	2,68	—0,75	
	27,65	11,2	.20,5													
БТ-17	30	10	7,7	278	5,02	2,02	350Q	10	10	2650	0,28	20	2,78	2,65	+4,9	
	26	11,25	20,5													
БТ-18	30	10	8	282	5,16	2,01	3400	8	10,5	2580	0,28	20	2,64	2,56	-J-3 19	
	25,6	11,65	21													' , * —
БТ-19	30	10	7,5	400	5,22	1,54	3400	6	12,5	2600	0,25	15	3,1	2,86	4-R 4-	
	27,5	Н,1	21													' 9 ж
БТ-20	32	10	7,7	306	5,54	1,5	3240	8	12,5	2540	0,286	15	3,24	3,5	—7 4	
	29	11,15	20,5													9 ж
Продолжение табл, IV.3
	Геометрические размеры сече- ния, см				Продольная арматура			Поперечная арматура					Изгибающие моменты		< с Л S	 О Э э
Шифр балки	высота	ширина	размеры полки	Rq, кг/см2	g ft?	g • Sj ft.	CFT, К Г/CM2	d, мм	шаг попе- речных] стержней, см	ат, кг/см2	5? '"к II •э-	О	теорети- ческий AT?, т•м	экспери- менталь- ныи AfH, т-м	1 Н S	л S II <1
БТ-21	31	10	7	265	6,28	1,37	2500	6	15	2300	0,157	20	2,52	2,66	—5.2	
	26	11,6	21													
БТ-22	30	10	_7	265	6,28	1,37	2500	6	12,5	2500	0,28	20	1,72	1,78	—3 4	
	23,65	11,45	21													
БТ-23	30	10	_7	248	6,28	2	2500	6	15	2300	0,157	20	2,42	2,66	—7.5	
	23,56	11,4	21													
БТ-24	30	10	7	248	6,28	2	2500	6	12,5	2500	0,28	20	1,78	1,97	4-10.2	
	23,56	П,4	21				/									
																
Примечание. В графах 2, 3, 4 числитель—высота, ширина и высота полки; знаменатель—рабочая высота, ра
бочая ширина, ширина полки. 
9. Определение границы переармирования
Опытами [4], [21] установлено, что в ряде случаев при избыточ-
ном количестве продольной и поперечной арматуры возможны слу-
чаи разрушения железобетонных элементов прямоугольного и тавро-
вого сечений, работающих на косой изгиб с кручением, по сжатому
бетону ранее чем наступит текучесть в стержнях продольной и попе-
речной арматуры, пересекаемых наклонной трещиной.
Граница переармирования для элементов, работающих на косой
изгиб с кручением, должна назначаться ниже, чем при чистом косом
изгибе [52]. Это объясняется двумя причинами: во-первых, несущая
способность бетона на сжатие при изгибе снижается из-за сдвигаю-
щих усилий от кручения; во-вторых, к моменту разрушения бетона
от сжатия в теле его перпендикулярно траекториям главных растяги-
вающих напряжений раскрываются трещины, в значительной сте-
пени изменяющие напряженное состояние в зоне раздробления бето-
на. Таким образом, граница переармирования для элементов, рабо-
тающих на косой изгиб с кручением, должна назначаться не только
в зависимости от прочности бетона и геометрических размеров се-
чения, но также в зависимости от соотношения крутящего и изгиба-
ющего моментов.
Очевидно, снижение несущей способности элемента по сжатому
бетону будет тем больше, чем больше гр = Л4К/Л1И.
Для проверки вышесказанного проведено сопоставление опыт-
ных разрушающих моментов экспериментальных балок с предель-
ной теоретической несущей способностью по сжатому бетону в пред-
положении работы их на чистый косой изгиб, т. е. при гр = О
(табл. IV.4).
201
Таблица IV.4
to
о
to
Сопоставление предельных изгибающих моментов переармированных элементов, работающих на косой изгиб с кручением
с расчетной несущей способностью при чистом изгибе
Шифр балки	БПЗ-1	БПЗ-2	БПЗ-З	БПЗ-4	БТ2-1	БТ2-2	БТ2-3	БТ2-4	БТ2-5	БТ2-6	БТ2-7	БТ2-8
Р, . . ,®	15	20	15	20	15	15	25	25	25	20	10	15
ф	0,28	0,25	0,15	0,28	0,28	0,2	0,157	0,28	0,2	0,15	0,3	0,2
Мб.макс — ^б.макс Мб. макс 100 %	—39	—33	—25	—39	—54	—49	—40,4	—52,5	—50	—41	—52	—48,5
Сложность, недостаточная изученность напряженного состояния
сжатой зоны бетона, недостаточное развитие теории прочности бе-
тона — все это делает пока невозможной теоретическую оценку не-
сущей способности переармированных элементов и требует введения
эмпирических зависимостей, обеспечивающих достаточную надеж-
ность таких элементов.	__
В табл. IV.4 даны отношения Мб.макс/Л4б.макс, где ЛГб.макс —
предельный экспериментальный изгибающий момент переармирован-
ного элемента, работающего на косой изгиб с кручением; Л1бмакс —
то же, при работе на чистый
косой изгиб.
Из рис.'IV.19 следует, что
предельный изгибающий момент
Мб.макс уменьшается с увели-
чением ф по гиперболическому
закону. В.результате математи-
ческой обработки опытных дан-
ных получена следующая зави-
симость:
~М — еР
1 б. макс — б^пр 1 _|_	’
(IV. 180)
Рис. 1V.20
£ — ?гр (2	?гр)’
где принимают по СНиП П-В.1-62; к — эмпирический коэффици-
ент; для элементов прямоугольного сечения к — 2,2; для элементов
таврового сечения к — 4,4; Sox; SOy — статические моменты по-
лезных площадей сечения относительно осей х0, у0 (рис. IV.20).
В качестве критерия, определяющего границу переармирования
для элементов прямоугольного и таврового сечения, работающих на
косой изгиб с кручением, предлагается условие
Ми(1+«4>)
1?прГ 4- Sop
(IV.181)
где Ми — изгибающий момент от расчетных нагрузок относительно
оси, нормальной к силовой плоскости.
ГЛАВА V
РАСЧЕТ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
ПРЕДВАРИТЕЛЬНО-НАПРЯЖЕННЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ, РАБОТАЮЩИХ НА КОСОЙ ИЗГИБ
С КРУЧЕНИЕМ
V.I. НЕКОТОРЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
В большинстве косоизгибаемых железобетонных элементов в си-
лу неизбежных эксцентрицитетов внешних нагрузок и внутрен-
них усилий возникают крутящие моменты. И хотя эти моменты редко
достигают значительной величины, нельзя пренебрегать влиянием
кручения на распределение внутренних усилий в сечении, а следо-
вательно, и на несущую способность, жесткость и трещиностойкость
железобетонных элементов.
В результате проведенных экспериментальных исследований пре-
дварительно-напряженных железобетонных элементов при косом
изгибе с кручением получены необходимые данные для теоретиче-
ских расчетов. Разработан изложенный ниже метод расчета несу-
щей способности таких элементов прямоугольного сечения при отно-
шении крутящего момента к изгибающему: ф = А4КМ4И 0,3.
I Эксперименты показали, что первые трещины появляются, как
правило, у наиболее растянутого от изгиба ребра балки под некото-
рым углом а к продольной оси элемента. С увеличением нагрузки
они развиваются по нижней и боковым граням, образуя простран-
ственные трещины. Угол наклона трещин к продольной оси балки
составляет: а = 70 — 45° (рис. V.1).
У верхней грани бетон находится в условиях сложного напряжен-
ного состояния, так как кроме нормальных сжимающих напряже-
ний от изгиба здесь действуют еще и касательные напряжения от
кручения. Исследования железобетонных элементов при изгибе
с кручением и чистом кручении [22], [78] показали, что в предель-
ном состоянии напряженное состояние сжатой части сечения доволь-
но однородно вследствие пластических деформаций бетона и перерас-
пределения напряжений. Поэтому сжатая зона бетона располагает-
ся в вертикальной плоскости, наклоненной под некоторым углом [3
к продольной оси балки. Величина этого угла зависит от многих
факторов: отношения крутящего и изгибающего моментов ф =
= Л1к/7Ии, формы и размеров поперечного сечения, величины и
характера предварительного напряжения продольной арматуры,
204
соотношения поперечного и продольного армирования, марки бето-
на, угла наклона силовой плоскости к главным осям сечения ср и др.
Размеры и форма сжатой зоны бетона также зависят от вышепере-
численных факторов. Она может иметь вид трапеции (рис. V.2),
Рис. V.1
когда трещины развиваются только по трем граням, или вид тре-
угольника, когда трещины с одной стороны выходят и на верхнюю
грань.
Исчерпание несущей способности балок происходило от раскры-
тия одной из пространственных трещин и вращения частей элемента,
Рис. V.2.

разделенных трещиной, относительно оси пластического шарнира,
расположенного в плоскости сжатой зоны, и последующего разру-
шения сжатой зоны бетона.
Экспериментально установлено, что предварительное напряже-.
ние продольной арматуры, расположенной в растянутой от изгиба
части сечения, не влияет существенно на характер разрушения и не-
205
сущую способность железобетонных элементов при совместном дей-
ствии косого изгиба и кручения. Предварительное напряжение ар-
матуры, поставленной в сжатой от изгиба части сечения, оказывает
довольно сложное влияние на работу железобетонного элемента.
Во-первых, оно препятствует возникновению поперечных тре-
щин при обжатии сечения усилиями предварительного напря-
жения в нижней арматуре и задерживает развитие наклонных тре-
щин по боковым граням при нагружении элемента крутящими и из-
гибающими моментами;
во-вторых, усилия в этой арматуре могут снижать общую несу-
щую способность таких элементов в результате увеличения площа-
ди сжатой зоны бетона и соответственного" уменьшения плеча вну-
тренней пары.
Из построенных графиков напряжений в арматуре (один из кото-
рых изображен на рис. V.3,1—5 стержни) видно, что напряжения
в нижней продольной и поперечной арматуре в предельном состоя-
нии, как правило, достигали предела текучести. Обычно сначала на-
пряжения достигали предела текучести в наиболее напряженном
от изгиба стержне нижней продольной арматуры (стержень 2), за-
тем происходило перераспределение усилий между отдельными стер-
жнями продольной арматуры, а также между стержнями продольной
и поперечной арматуры. Напряжения в верхней напрягаемой арма-
туре вплоть до разрушения оставались растягивающими. Величина
и знак этих напряжений зависели от степени предварительного на-
тяжения стержней, потерь предварительного напряжения, марки бе-
тона, соотношения крутящего и изгибающего моментов, угла накло-
на силовой плоскости к главным осям и других факторов.
206
V.2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
1.	В основу вывода расчетных формул положена пространствен-
ная схема, полученная в результате экспериментальных исследова-
ний.
2.	Во всей продольной и поперечной арматуре, пересекаемой
пространственной трещиной, в предельном состоянии достигается
предел текучести.
3.	Дискретное расположение поперечной арматуры заменяется
равномерно распределенным по периметру пространственной тре-
щины.
4.	Пространственная трещина разрушения в развертке принята
за прямую линию.
5.	Угол наклона плоскости сжатой зоны бетона к продольной
оси балки р зависит только от отношения крутящего и изгибающего
моментов ф и может быть определен как
₽ = arctg( I+7-I	(V.1)
\ 5ф J
6.	Поперечные трещины, возникающие по верхней грани балки
при обжатии сечения нижней напрягаемой арматурой, не влияют
на работу сжатой зоны бетона в предельном состоянии.
7.	Напряжения в напрягаемой арматуре сжатой зоны опреде-
ляют по формуле (30) СНиП П-В.1-62*:
Ос = 3600 — тт вq.
Предпосылки пп. 2—4—общепринятые при расчете железобетон-
ных элементов на изгиб с кручением [22, 24] и косой изгиб с кру-
чением [50, 51].
Как показали исследования работы железобетонных элементов
на изгиб с кручением и косой изгиб с кручением [24, 50], а также
исследования автора, охватывающие предварительно-напряженные
элементы при косом изгибе с кручением, в предельном состоянии про-
исходит расчленение объема' сжатой зоны бетона большим количе-
ством наклонных микротрещин на ряд «призм».
Поэтому до проведения специальных исследований можно ре-
комендовать принимать прочность бетона на сжатие при изгибе
с кручением 7?и>к равной призменной прочности бетона 7?пр.
На основании исследований автора, а также исследований балок
при изгибе с кручением [78] угол наклона сжатой зоны бетона может
изменяться от р = 90° (чистый изгиб) до р = 45° (чистое кручение)
и с достаточной степенью точности может быть принят в зависимо-
сти только от величины отношения крутящего и изгибающего мо-
ментов. Формула (V.1) получена исходя из анализа действительного
расположения сжатой зоны бетона опытных балок и возможных тра-
екторий главных сжимающих напряжений по верхней грани.
Предпосылка п. 6 принята на основании анализа эксперименталь;
ного исследования предварительно-напряженных балок при
207
косом изгибе с кручением, а' также исследования ненапряженных
балок с искусственными поперечными трещинами [56].
Определение напряжений в верхней напрягаемой арматуре по
формуле (30) СНиП II.-В. 1-62* согласуется с результатами ис-
следований. Для отношений ф = Л4К/Л1И > 0,3 возможность вы-
числения напряжений а'с по этой формуле должна быть подтвер-
ждена дополнительными экспериментами.
Расчетные формулы выведены для элемента армированного как
нижней, так и верхней напрягаемой арматурой. При этом для пря-
моугольного поперечного сечения практически возможны два слу-
чая положения нейтральной оси:
нейтральная ось пересекает вертикальную и горизонтальную
грань; сжатая зона — треугольник;
нейтральная ось пересекает две вертикальные грани; сжатая
зона — трапеция.
V.3. СЛУЧАЙ I. СЖАТАЯ ЗОНА — ТРЕУГОЛЬНИК
Для вывода расчетных формул (рис. V.1 и V.4) воспользуемся
тремя условиями предельного равновесия:
2Z = 0; 2ЛЕ -0; 2Ми -0,
где 2Z—сумма проекций всех
сил на продольную ось балки;
— сумма моментов всех
сил относительно оси х0, прохо-
дящей через центр тяжести сжа-
той зоны и параллельной грани
fe; — сумма моментов всех
сил относительно оси z/0, прохо-
дящей через центр тяжести
сжатой зоны и параллельной
грани h.
В развернутом виде условия
предельного равновесия имеют
вид:
2Z = 4,5хс ус Rnv—Fn R&h—Fh оё = 0;	(V.2)
2^хв = FHRaw (h0 z/c) Fa ac (t/c ах)
— fxRax я (/i6) ctg2 a—Mx = 0;	(V.3)
~	(*0 xc)	(b0 Xc)
.^ax (0,56—xc) ctg (J ctg a—Л4^ = 0.	(V.4)
208
Из этих уравнений определим положение точки приложения рав-
нодействующей усилий в сжатой зоне бетона. Для этого разделим
(V.3) на (V.4) и подставим в полученное выражение значение х,.
из уравнения (V.2). После преобразований будем иметь квадратное
уравнение, решение которого дает координату центра тяжести сжа-
той зоны
Ус=-у + ]/^ + Л-	(V.5)
Значение координаты хс получим из уравнения (V.2) как
хс = П1/г/с.	(V.6)
В формулах (V.5) и (V.6) приняты обозначения:
= ka 0О ctg ср — h0) + ka (&о ctg ср — а{) + \ ctg ах
х ih (h + b )ctg	a + 0,5 b2, X ctg ф ctg pi;	(V.7)
Ai = П1 ctg q>	(1 + \ b ctg p ctg a);	(V.8)
П1 =	_ Fн^ан~Ь.^н Ос . 4,5/?Пр	(V.9)
V	_	# ан	. ^н^ан + ^н CFc	(V.10)
ka =			Fh Gc	 .	(V.ll)
	^н^ан + Fn Gc	
^x =		fx ^ах	 О'н^ан + Fh Gc) U	(V.12)
В уравнениях (V.3) и (V.4) составляющая момента от усилий
в вертикальных ветвях поперечной арматуры записана в предположе-
нии развития трещин по обеим вертикальным граням элемента без
учета размеров сжатой зоны бетона. Сравнительными расчетами уста-
новлено, что такое допущение весьма мало влияет на точность опре-
деления центра тяжести сжатой зоны при значительном упрощении
расчетных формул.
Ввиду того что величина напряжений в стержне верхней напря-
гаемой арматуры, расположенном у нейтральной линии, довольно
неопределенна, то в первом приближении это напряжение можно
вычислить по формуле (30) СНиП П-В.1-62*.
Пренебрегая незначительной разницей в величине потерь пред-
варительного напряжения в отдельных стержнях этой арматуры,
принимаем напряжение в'с во всех стержнях одинаковым. Тогда
расстояние от точки приложения равнодействующей усилий в верх-
ней напрягаемой арматуре до вертикальной грани
Ьо = 0,5 b.	(V.13)
209
При отсутствий верхней напрягаемой арматуры расчетные фор*
мулы принимают вид:		/V 14Л
	1 4,5Япр ’	
	_ fx Fax . Fн^ан и	(V.15)
	*а = 1;	(V.16)
	k'a = 0.	(V.17)
Если напряжения в верхней напрягаемой арматуре по формуле
(30) СНиП П-В.1-62* окажутся сжимающими, то эту арматуру в за-
пас прочности можно не учитывать и пользоваться выражениями
(V.14) — (V.17).
Расчетные формулы для определения несущей способности эле-
мента при косом изгибе с кручением получим из условия равновесия
внешних нагрузок и внутренних усилий, взяв сумму моментов всех
сил относительно оси, параллельной нейтральной оси и проходящей
через центр тяжести сжатой зоны бетона (см. рис. V.1):
2Шп_п = 0.
Для случая I положения нейтральной оси это условие имеет вид:
2Л1П_П = — (Мх sin 0 + Мк cos 0) cos ух—Му sin ух +
+ {^н Яан (Ао — Ус) Sin р + К Ос (Ус~	Sin 0 +
ctg2 ос sin	0,5£>/г (cos <х—cos0)ctgasin0 гр
+ b ctg а cos 0 (h0—ус)] j cos yj + [FH PaH (b0 — xc) -F
+ F'ao'c(xc —a')]siny1 = 0.	(V.18)
В уравнении (V.18) сделаны следующие допущения: составляющая
момента от усилий в вертикальных ветвях хомутов записана без
учета размеров сжатой зоны в предположении развития трещин по
боковым граням на всю их высоту .а составляющую момента от уси-
лий в верхней напрягаемой арматуре вычисляли без учета усилия
в стержне, расположенном в растянутой зоне около нейтральной
оси (в запас прочности).	____
Имея в виду, что My/Mx=tg <р, ауми = У Мх + М^, вы-
разим в уравнении (V.18) значения внешних силовых факторов через
значение изгибающего момента Л4И согласно зависимостям:
Мх = ми COS ф;	(V.19)
Му = Мя sin ф;	(V.20)
(V.21)
210
После подстановки и преобразований получим выражение для
определения несущей способности:
пп	г' ' '	, /х Fax
Fн ^ан	Ос Zh^ 4- (О
Ми =----------------------------- (V.22)
Sin ф
cos Ф tg р +ф + tg Yi--
cos р
В формуле (V.22) приняты следующие обозначения:
?в = (Ао-Ус) tg ₽ 4-tg Y1;	(V.23)
cos р
	=(^_fl;)tgp + ^MgY1;	(V.24)
1 л	cos р
0) = b ctg а [(й0—ус) 4- (0,56—хс) sin 0 tg Y1] —
— h ctg a [h ctg а + 6 (cos а—cos 0)] tg 0;	(V.25)
tgYi = —sin0.	(V.26)
X
В случае если напряжения в верхней напрягаемой арматуре будут
сжимающими, влияние этой арматуры на несущую способность в за-
пас прочности можно не учитывать. Тогда расчетная формула для
получения несущей способности элементов при косом изгибе с кру-
чением примет вид:
^нЛан^нЧ- ®
ми =------------------.	(V.27) ,
sin ф
COS ф fg Р + Ф + tg	-
cos р
Формулой (V.27) следует также пользоваться в случае отсутствия
верхней напрягаемой арматуры.
V.4. СЛУЧАЙ II. СЖАТАЯ ЗОНА - ТРАПЕЦИЯ
Для этого случая положения нейтральной оси (см. рис. V.2,
V.5) условия предельного равновесия имеют вид:
27 = 0,5 (z/! + у2) bRav—Fs Raa—Fa Ос = 0;	(V.28)
Ж = FaRaa(h0—yc') — F'a<^(yc—a'i) —
— ^^h(h + b)ctg2a~Mx = 0;	(V.29)
ЦМу, =FHRaH (b0 — Xc) + Fh Oc (bo — Xc) 4-
/
+	6(0,56—xc)ctg0ctga—My = 0.	(V.30)
211
В уравнениях (V.29) и (V.30) составляющая момента от усилий
в вертикальных ветвях поперечной арматуры также записана в пред-
положении развития наклонной трещины разрушения на всю высо-
ту вертикальных граней без учета размеров сжатой зоны.
Выполнив действия, аналогичные приведенным для случая I
расчета, после преобразований получим квадратное уравнение,
из которого параметр, определяющий сжатую зону,
находят
тяжести
(V.33)
(V..34)
л=4-]/-?-4“- (v'3i>
Из уравнения (V.28)
У1 = Ъ — Уъ- (V.32)
Координаты центра тяжести
сжатой зоны бетона
как координаты центра
трапеции:
х = (2уа + У1) Ь .
Уг+УгУ1 + У1
3(У1 + У2)
В формулах (V.31) и (V.32) приняты следующие обозначения:
fi2 = '»12 + (1 4- Л-» & ctg Р ctg а) 6 ctg <р;
Иг = Т|г +	{[fta (360—Ь) + 0,5fta Ь +
+ 0,5Хх b2 ctg р ctg a] ctg ф—3 [fta ft0 + k'a а{ —
— Хх ft (ft 4-6) ctg2 a]};
*12 —	“	•
(V.35)
(V.36)
(V.37)
(V.38)
Значения параметров k&, k'a и Xx такие же, как и при случае I
положения нейтральной оси, т. е. их следует определять согласно
выражениям (V.10), (V.ll), (V.12).
При отсутствии верхней напрягаемой арматуры расчетные фор-
мулы упрощаются. При этом
„ __ 2Fh 7?аи
Ы?пр ’
а параметры 6а, &а и %х будут определяться выражениями (V.14),
(V.15) и (V.16). Формулами (V.38), (V.14), (V.15) и (V.16) следует
также пользоваться в случае, если верхняя напрягаемая арматура
в предельном состоянии окажется сжатой.
Формулу для вычисления несущей способности получим из усло-
вия равновесия всех внешних нагрузок и внутренних усилий отно-
212
сительно оси, паралллельной нейтральной и проходящей через центр
тяжести сжатой зоны бетона (см. рис. V.2):
2^п-п = о.
В развернутом виде это условие имеет вид:
Ж-» = — (Мж sin Р + Мк cos Р) cos у2—
— Му sin у2 + {FH R&B (hQ—yc) sin p +
+ Ko' (ya— aI)’sin p	[Л2 ctg2 a sin p+
+ 0,5bh (cos a—cos P) ctg a sin p + b ctg a cos p (/t0 — */c)]} cos y2 +
Ч-^нЯан^о -xc)—Fh<Tc(0,56—xc)]sin y2 = 0.	(V.39)
После подстановки и преобразований, аналогичных приведенным
для случая I положения нейтральной оси, формула для проверки
несущей способности принимает вид:
„	sin ф
cos ф tg Р + 1|> + tg у8,——
Здесь гн и о следует определять по (V.23) и (V.25):
гн, = (г/с—ai')tgP~^77V^tgy2;	(V.41)
cos р
tgY2==^7^?sinP-	(V-42)
D
Если верхняя арматура окажется сжатой или при ее отсутствии
несущую способность следует вычислять по (V.27).
V.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЯ ПОЛОЖЕНИЯ
НЕЙТРАЛЬНОЙ ОСИ И УГЛА НАКЛОНА
КОСЫХ ТРЕЩИН
Изложенная методика расчета, основанная на разделении всех
случаев расчета на два практически возможных, требует от проекти-
ровщика умения предварительно находить случай положения ней-
тральной оси.
Из (V.31) следует, что разграничение случаев расчета возможно
в зависимости от А2:
при А2	0 имеем случай I положения нейтральной оси;
при А2 > 0 — случай II.
213
Преобразуя указанные неравенства к виду, более удобному для
практических расчетов, и произведя некоторые упрощения, полу-
чим параметр
fT) 		ь	 /V 431
3/г0 tg <p	Г	Я	"1 1 На р А/Х(^ + ^) Кпр	J
для предварительного разграничения случаев расчета.
Если m^l, будет случай I положения нейтральной оси;
при т > 1 — случай И.^
В формуле (V.43) |
На'= Fnlbh0.	(V.44)
Ввиду незначительного влияния верхней напрягаемой арматуры
на положение нейтральной оси она при выводе формулы (V.43) не
учитывалась.
Анализ экспериментов, проведенных автором, а также данных
исследования предварительно-напряженных элементов, работающих
на изгиб с кручением [24], показал, что предварительное напряжение
продольной арматуры не влияет существенно на характер распре-
деления наклонных трещин по граням и на угол а наклона их к про-
дольной оси балки.
Это объясняется тем, что наклонные трещины образуются после
погашения нормальных сжимающих напряжений в поперечном се-
чении на уровне образования трещин. Поэтому угол наклона тре-
щин а можно найти из формулы, полученной аналогично зависимо-
сти (IV.22):
ctg„__s2^ + 1/	+	1---- (V45)
ф«р v \ фир )	(«р + h)
где
up = 2h + b.	V.46)
Значение параметра в формулах (V.43) и (V.45) можно опре-
делять без учета верхней напрягаемой арматуры по (V.14). В слу-
чае если величина ctg а по формуле (V.45) окажется больше единицы,
т. е. а < 45°, то необходимо принимать ctg а = 1 и а = 45°, так как
ни в исследованиях автора, ни в других исследованиях угол накло-
на трещин не наблюдался меньше 45°.
V.6. НЕКОТОРЫЕ КОНСТРУКТИВНЫЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
1.	Исследованиями предварительно-напряженных элементов
установлено, что перераспределение усилий между поперечной и про-
дольной арматурой возможно в довольно широких пределах. Из 26
предварительно-напряженных балок, испытанных на косой изгиб
с кручением, 22 балки разрушились вследствие достижения теку-
чести продольной и поперечной арматуры после явного перераспре-
деления усилий между их стержнями.
214
Условие оптимального соотношения Между поперечной и про-
дольной арматурой принято в виде, полученном для предварительно-
напряженных элементов при изгибе с кручением [24] с учетом харак-
тера работы напрягаемой арматуры в косоизгибаемых элементах:
__ Raxfxb ____________1______
2^4» i + 2 т Л ь
ф V 2й+Ь
. При этом
=	(V.48)
где аа1 — установившееся напряжение в стержнях нижней напряга-
емой арматуры с учетом всех потерь; Об1 — установившееся напря-
жение в бетоне на уровне отдельных стержней нижней напрягаемой
арматуры.
Пределы отклонения опытных значений отношения m/mQ от опти-
мального, получаемого по формуле (V.47), в опытах автора составили:
0,58 < — < 1,98.
т0
Однако до проведения специальных исследований для практических
расчетов можно рекомендовать следующие пределы этого отношения:
0,5 <-—<1,5.
т0
2.	Исследования балок, армированных нижней и верхней напря-
гаемой арматурой, позволили выявить особенности работы верхней
напрягаемой арматуры. Предотвращая появление поперечных
трещин при обжатии сечения нижней напрягаемой арматурой, верх-
няя напрягаемая арматура вместе с тем может снижать общую не-
сущую способность, если напряжения в ней в предельном состоянии
окажутся растягивающими.
Во время нагружения балок после образования наклонных тре-
щин на боковых гранях эта арматура задерживает развитие трещин
по высоте и тем самым увеличивает промежуток между появлени-
ем косых трещин на гранях и разрушением элемента. Это видно при
испытании образцов со слабым поперечным армированием или при
его отсутствии. Так, балки, армированные только продольной арма-
турой, после образования первых наклонных трещин выдерживали
еще значительное увеличение нагрузки. Учитывая сказанное, можно
рекомендовать в балках, работающих на косой изгиб с кручением,
напрягать как нижнюю, так и верхнюю продольную арматуру. При
этом верхнюю напрягаемую арматуру необходимо ставить в количе-
стве 15—20% площади сечения нижней арматуры, предварительно
рассчитав сечение по трещиностойкости верхней зоны в стадии из-
готовления, транспортирования и монтажа. Величину предваритель-
ного напряжения верхней арматуры следует выбирать, чтобы в пре-
дельном состоянии напряжения в ней оказывались сжимающими.
215
3.	Специальных исследований переармированных предваритель-
но-напряженных элементов не проводилось. Однако, цсходя из ана-
лиза исследований предварительно-напряженных и обычных эле-
ментов при косом изгибе с кручением, можно рекомендовать опре-
делять максимальное количество продольной арматуры, при котором
разрушение еще происходит вследствие текучести арматуры, из ус-
ловия, аналогичного условию, выведенному для элементов без пред-
варительного напряжения:
Ми(1+2,21|))
ЯпрД/
где Л4И — внешний изгибающий момент; SOx, Soy — статические
моменты части сечения, лежащей выше и правее центра тяжести
сечения продольной арматуры, относительно взаимно перепендику-
лярных осей х0 и у0, проходящих через центр тяжести сечения растя-
нутой арматуры; £ — коэффициент, зависящий от марки бетона
(табл. 22* СНиП П-В. 1-62*).
V.7. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
Пример V. 1. Определить несущую способность предварительно-напряжен-
ного элемента прямоугольного сечения (рис. 1.6) при косом изгибе с круче-
нием, если ф = Л4К/Л4И = 0,15, ф — 10°.
Напрягаемая арматура 3 0 14АШв; /?ан=
= 4500 кг/см2; о0 = 5000 кг/см2. Попереч-
ная арматура 0 6 А1; /?а = 2100 кг/см2;
шаг = 10 см. Бетон марки 400;
/?Пр = 180 кг/см2.
1. Находим по (V.45) угол наклона
пространственных трещин. Предваритель-
но по формулам (V.14) и (V.46) вычислим:
Рис. V.6
0,28-2100
4,62-4500-10
=2,83-10“? 1/см;
Up =2-30 + 18 = 78 см.
Тогда
1
_	18-0,985	18-0,985 \2___________._______ _
ctga 0>15.78	0,15-78 ) + 2,83-10-3(784-30) -0,84’
Угол наклона трещин a = 50°.
2.	Угол наклона плоскости сжатой зоны находим по формуле (V. 1):
₽ = arctg ( 1 + —К 66° 50'.
\ O-U,la )
3.	Для определения случая расчета в зависимости от А2 по формуле (V.37)
получим:
2-4,62-4500
118 “	18-180
= 12,8 см.
216
Далее по формуле (V.36)
Л2 = 12,82 +12,8 {(3,9 —18 + 0,5-2,83-10~3-182-0,428-0,84) 5,67 —
—3 [26,5-2,83-10-5-30 (30 + 18) 0,842]}= —77 см2.
При А2 = —77 < 0 имеем случай I расчета, т. е. сжатая зона — треуголь-
ник.
4.	Определяем размеры сжатой зоны. Находим и Вг по формулам
(V.7) и (У.8).'Для этого по (V.14)
4,62-4500	о
---------——-----=25,65 см2.
4,5-180
*11=
Тогда:
Ai = 25,65 - 5,67 (1 + 2,83 • 10’3 - 18 - 0,428 • 0,84) = 148 см2;
Вг = 9 - 5,67 — 26,5 + 2,83 - 10’3 - 0,84 [30 (30 + 18)0,84 + 0,5 X
X 182 - 5,67 - 0,428] = 28,21 см.
Координаты центра тяжести сжатой зоны по формулам (V.5) и (V.6):
28,21	,//28,21 X2
\/ (“) +148=4,6
5.	Несущую способность сечения при косом изгибе с кручением находим
по (V.22), предварительно определив по формулам (V.23) и (V.25):
гн = (26,5—4,5)2,ЗЗ + '+^+о,79=58 см;
U, оУ
0=18- 0,84 [(26,5 — 4,5) + (0,5 - 18 — 5,7)0,92 - 0,79] — 30 • 0,84 [30 X
X 0,84 + 18 (0,64 — 0,39)] 2,33 = — 1370 см2.
Следовательно, изгибающий момент
0,28-2100
4,62- 4500 • 58 — —— ------ 1370
А4И =--------------------------— = 403000 кг-см.
0,985-2,33 + 0,15 + 0,79-^4-“
’	’	’	0,39
Пример V.2. Определить несущую способность предварительно-напря-
женного элемента прямоугольного сечения (рис. V.7) при косом изгибе с кру-
чением, если ф = 0,2; <р = 10°. Напрягаемая арматура класса А-Шв (7?ан =
= 4500 кг/см2); нижняя — 2 0 18 + 1016; верхняя — 2 0 10; натяжение
на упоры; о0 = 5000 кг/см2; поперечная арматура 0 6 с шагом w=20 см из
стали класса А-I (7?а = 2100 кг/см2). Бетон марки 400; 2?Пр — 180 кг/см2.
1.	Определяем угол наклона пространственной трещины. Предваритель-
но найдем величину напряжений в верхней напрягаемой арматуре по извест-
ной формуле
=3600—тт о'=3600 — 1,1-4000 = —800 кг/см2.
Величина установившегося напряжения Gq в верхней напрягаемой ар-
матуре взята на основе экспериментальных данных.
Затем по формуле (V.12) вычисляем
„	0,283-2100
=--------------------------= 0,89 • 10 ” 3 1 / см.
х (7,11-4500+ 1,57-800) 20
217
Согласно (V.46),
wp = 2 • 30 + 18 = 78 см.
Следовательно,
_ 18 0,985	, /"7 18-0,985 V	1
g“~	0,2-78 + |/	\ 0,2-78 J + 0,89-10~?(78 + 30)
При ctga = 2,26 > 1 принимаем: ctga = 1; a = 45°.
2.	Угол наклона плоскости сжатой зоны бетона находим по формуле
p=arctg(1+W
Рис. V.7
3.	Определяем случай поло-
жения нейтральной оси. По фор-
мулам (V.37), (V.10) и (V.11):
2 (7,11 -4500 + 1,57-800)
112 “	18-180	“
= 20,5 см;
„	7,11-4500
!-----------=0,96;
а 7,11-4500 + 1,57.800
,	1,57-800
k = --------------------—0 04
а 7,11-4500 + 1,57.800	’ ‘
Наконец, по (V.36)
А2 = 20,52 + 20,5 {[0,96 (3 • 10,4 — 18) + 0,5 • 0,04 • 18 + 0,5 • 0,89 х
X IO”3 • 182 • 0,5 • 1 ]5,67 — 3 [0,96 - 24,3 + 0,04 - 2 — 0,89 • IO"3 X
ХЗО (30 + 18)12]} = 554 см2.
При Л2 > 0 имеем случай II положения нейтральной оси, т. е. сжатая
зона—трапеция.
4.	Вычисляем размеры сжатой зоны:
А2 = 554 см2.
По (V.35)
В2 = 20,5 + (1 + 0,89 • 10’3 • 18 • 0,5 -1) 18- 5,67 = 123,5 см.
По формулам (V.31) и (V.32):
123,5	, / ( 123,5 V ~
Уг=—— ~у \~2~J ~554 = 4>8см-
= 20,5 — 4,8 = 15,7 см.
Координаты центра тяжести трапеции по (V.33) и (V.34):
4,8 + 4,8.15,7+15,72
Ус ==------г. --------= 5,6 см.
3-20,5
5.	Определяем несущую способность сечения при косом изгибе с круче-
нием. Предварительно по (V.23), (V.41), (V.25):
10,4 — 7,4
гн = (24,3 —5,8)2+---—0,542 = 40,6 см;
218
tg Ya =~—.-2 sin P =-^—— 0,895 = 0,542;
b	18
0,5-18—7,4
z'=(5,6 — 2)2—----------— 0,542 =5,3 cm;
H '	7	0,446
0=18.1 [(24,3 — 5,6) + (0,5  18 — 7,4) 0,895 • 0,542] — 30 • 1 [30 -1 +
+ 18 (0,707 — 0,446)]2 = —1730 cm2.
T огда
.	0,283-2100
7,11-4500-40,6—1,57-800-5,3— —------------ 1730
20
M‘l~	0,174	~
0,985-2 +0,2 + 0,542
0,446
1 300 000 — 6650 — 51 500	1 241 850	_ _ r _
=-------------------------=-----------= 523 000 = 5,23 T’M.
1,97 + 0,2 + 0,21	2,38
Результаты теоретических расчетных данных и эксперименталь-
ных даны в табл. V.I.
Таблица V.1
Сравнение результатов теоретических расчетов с экспериментальными данными
Шифр балок	«б- кг/см2	Арматура			Ф,... °		Разрушающий момент		§	
		продольная		поперечная, d мм/шаг.см					сп s" 1 н я 1 <	<п Я h
		см2	см2				экспери- менталь- ный Т‘М		теорети- ческий т-м		
БН-0-1	430	5,15			6/15	10	0,1	6,28	5,48	—12,75	
БН-0-2	430	5,15	—	6/15	10	0,167	5,42	5,71	+5,35	
БН-0-3	430	5,15	—	6/15	10	0,1	5,95	5,6	—5,88	
БН-0-4 ,	430	5,15	—-	6/15	10	0,167	4,89	5,52	+ 12,9	
БН-1-1	452	5,15	—	6/10	15	0,152	5,56	5,32	—4,32	
БН-1-2	452	5,15	—	6/10	15	0,152	5,92	5,28	—10,83	
БН-1-3	472*	5,15	—	8/10	15	0,166	5,96	5,43	—8,9	
БН-1-4	472	5,15	—	8/10	15	0,166	5,88	5,39	—8,34	
БН-1-5	387	6,03	—	8/10	10	0,19	6,4	5,93	—7,34	
БН-1-6	387	6,03	—	8/10	10	0,19	6,32	5,7	—9,82	
БН-1-9	380	4,62	—	6/10	10	0,15	5,6	5,06	—9,65	
БН-1-10	380	4,62	—	6/10	10	0,15	5,2-	4,53	—12,88	
БН-2-1	363	7,11	1,57	6/20	10	0,2	6,8	6,81	+ 0,15	
БН-2-2	363	7,11	1,57	6/20	10	0,2	7,3	6,81	—6,72	
БН-2-1А	457	7,11	1,57	—	10	0,2	7,2	7,32	+ 1,67	
БН-2-2А	457	7,11	1,57	—	10	0,2	6,62	7,32	+ 10,58	
БН-2-3	425	7,65	3,08	8/10	10	0,3	6	6,43	+7,17	
БН-2-4	425	7,65	3,08	8/10	10	0,3	6,4	6,43	+0,47	
БН-2-5	360	7,65	2,26	6/15	15	0,15	7,6	7,11	—6,45	
БН-2-5А	360	7,65	—	6/15	15	0,15	8,16	7,23	—11,4	
БН-2-6	360	7,65	2,26	6/15	10	0,15	7,8	7,26	—6,93	
БН-2-6А	360	7,65	—	6/15	10	0,15	8,4	7,7	—8,34	
219
ГЛАВА VI
РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ПО НАКЛОННОМУ СЕЧЕНИЮ ПРИ КОСОМ ИЗГИБЕ
Обеспечение прочности изгибаемых элементов по наклонным
сечениям является одним из основных требований при проектиро-
вании.
Ниже рассматривается расчет прочности наклонных сечений для
элементов, армированных хомутами постоянного сечения с постоян-
ным шагом, для двух случаев положения нейтральной оси: когда
сжатая зона бетона имеет форму треугольника (случай I) или форму
трапеции (случай II). Нагрузка приложена к элементу со стороны
сжатой зоны.
VI.1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
Для изучения работы железобетонных элементов по наклонному
сечению при косом изгибе было испытано 48 балок прямоугольного
сечения размерами 18,5 X 40, 22 X 30 и 22 X 22 см, длиной I =
= 300 см (без хомутов и с хомутами) при углах наклона силовой пло-
скости к оси у (3 = 15° и |3 = 25° и при пролетах среза а =
= (1,5-Ь 2)/iK.
Опытами выявлены две схемы разрушения балок по наклонным
селениям:
схема I. В балках с хомутами со слабой продольной арматурой,
доведенной до опоры (непереармированных на приопорном участке
пролета среза) [16], преодолевается сопротивление всей армату-
ры, пересеченной пространственной косой трещиной, которая зна-
чительно раскрывается (с уширением у нижней грани АВ); проис-
ходит взаимный поворот двух образовавшихся дисков вокруг шар-
нира в сжатой зоне над косой трещиной в результате — пластичное
разрушение — излом балки по косой трещине, как й при разруше-
нии по вертикальному сечению (рис. VI. 1, а);
схема II. В балках с сильной продольной арматурой (имеющих
избыточное количество арматуры на приопорных участках) с рас-
крытием косой трещины преодолевается сопротивление большей ча-
сти хомутов, пересеченных ею, и бетона сжатой зоны; в результа-
те наблюдается хрупкое или не резко хрупкое разрушение с взаим-
ным сдвигом частей балки, разделенных трещиной. При этом проис-
ходили срез или срез и раздробление сжатой зоны бетона. Характер
220
разрушений сжатой зоны бетона над косой трещиной, как и прояв-
ление хрупкости, зависит от процента поперечного и продольного
армирования. Срез и хрупкость в большей степени проявлялись
в балках без хомутов (рис. VI. 1, б).
В обеих схемах разрушения напряжения не достигали предель-
ных только в хомутах, расположенных вблизи сжатой зоны, вслед-
ствие малого раскрытия косой трещины в этом месте.
Из опытов вытекает, что характер разрушения по наклонным се-
чениям при косом изгибе аналогичен разрушению при плоском по-
перечном изгибе.
Рис. VI.1
Углы наклона следов пространственной косой трещины обруше-
ния по параллельным граням мало отличаются между собой по
величине.
Между углом наклона следа пространственной косой трещины
на силовой плоскости к оси балки ак и углом наклона р силовой пло-
скости к оси сечения у существует прямая связь: при постоянном
пролете среза а с увеличением угла р увеличивается и угол ак
и наоборот (см. табл. VI.2).
VI.2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
По полученным экспериментальным данным в основу расчета
положены следующие предпосылки.
1.	Сечение по косой трещине разрушения принимается плоским,
и углы пересечения плоскости косого сечения с параллельными гра-
нями балки равны между собой (рис. VI.2, а также VI.7):
OSJ = ап = cz; ain = aiv = ai.	(VI. 1)
2.	Нейтральные оси косого и нормального опасных сечений парал-
лельны между собой:
tgeK = tge.	(vi.2)
Для обеспечения этого условия необходимо при обрыве продоль-
ной арматуры в соответствии с уменьшением величины изгибающе-
го момента обрывать попарно крайние стержни взаимно перпенди-
кулярных граней.
221
При этом линии Ак — Ак и А — А, соединяющие центры тяже-
сти площадей оставшейся продольной арматуры f&iX K и fa>!/)K, пере-
сеченной косой трещиной, и всей продольной арматуры /а>х и /а>г„
определенной из условий прочности опасного нормального сечения
3—3, расположенных по граням АВ и ВВ, будут больше прибли-
жаться к параллельности между собой tg <рк = tg Ф (Рис- VI .3,
а также рис. VI .9).
3.	Арматура, пересеченная косой трещиной, работает только на
растяжение, а предельное сопротивление в ней и в бетоне над тре-
222
щиной возникает одновременно. В действительности разрушение
может достигаться последовательно. Это учитывается тем, что в ис-
ходное уравнение расчета для элементов, разрушающихся по схе-
ме II, вводится коэффициент условий работы для поперечной арма-
туры, т. е. принимается пониженное расчетное сопротивление £а>х.
Имеется в виду, что при разрушении по схеме II сопротивление про-
дольной арматуры используется неполностью.
Рис. VI.3
4.	При разрушении по схеме I сечение сжатой зоны бетона при-
нимается плоским, нормальным к продольной оси элемента, а
эпюра напряжений — прямоугольной. -
5.	При разрушении по схеме II для косого сечения за расчетное
положение нейтральной оси принимаем ее положение при опреде-
лении прочности по нормальному сечению. Эта предпосылка выз-
вана отсутствием теории прочности бетона на срез при изгибе, что
не позволяет определить напряжение в растянутой арматуре в на-
чале косой трещины переармированных элементов и как следствие
исключает возможность определения действительного положения
нейтральной оси косого сечения.
В действительности, как показали опыты автора и других ис-
следователей [49] ,гв предельном состоянии площадь проекции сжато-
срезываемой зоны бетона наклонного сечения на поперечное сечение
223
элемента несколько менее площади сжатой зоны нормального се-
чения:
Л5.к<^б.	(VI.3)
Это компенсируется тем, что усилия в хомутах', расположенных
у концов трещин, в расчете не учитывают.
Сечение сжато-срезываемой зоны бетона находится в одной пло-
скости с сечением растянутой зоны наклонной трещины.
6.	Крутящий момент в расчете не учитывают в силу малого его
значения.
VI.3. УСЛОВИЯ ПРОЧНОСТИ НАКЛОННЫХ СЕЧЕНИЙ
Условия предельного равновесия части балки, ограниченной ко-
сой трещиной:
2МП = 0;	(VI.4)
2КР = 0,	(VI.5)
где SMn — сумма моментов всех сил относительно оси п—п, про-
ходящей через точку приложения равнодействующей сжатой зоны
бетона и перпендикулярной силовой плоскости (см. рис. VI.7,
VI.8);	— сумма проекций всех сил на нормаль коси элемента,
расположенной в силовой плоскости (см. рис. VI.2).
Уравнения (VI.4) и (VI.5) с учетом действующих внешних на-
грузок и внутренних усилий могут быть записаны иначе:
Мк = Л4а.к +Mx.k + M0.k;	(VI.4')
Qk Qx.k + Qo.k + <?б.к>	(VI.5')
где МЕ — изгибающий момент от внешних расчетных нагрузок,
действующих в силовой плоскости; Л4а.к, Л4Х.К, Af0.K — изгиба-
ющие моменты от внутренних усилий соответственно в продольных,
поперечных и наклонных стержнях арматуры; QK — поперечная
сила в наклонном сечении от внешних расчетных нагрузок, вычис-
ленная у конца следа косого сечения на силовой плоскости; Qx к,
Q0>K, Сб.к — проекции внутренних расчетных усилий в поперечных,
наклонных стержнях и в бетоне сжато-срезываемой зоны на нормаль
к оси элемента.
VI.4. РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ НАКЛОННЫХ СЕЧЕНИЙ
ПРИ ДЕЙСТВИИ ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛЫ
При отсутствии отгибов, поперечная сила будет восприниматься
бетоном сжато-срезываемой зоны и хомутами и условие прочности
примет вид:
Qk = Qx.K + Сб.к-	(VI.6)
Поперечная сила Q6>K, воспринимаемая бетоном сжато-срезывае-
мой зоны наклонного сечения при косом изгибе, как показали опы-
224
ты, зависит главным образом от геометрических размеров сечения,
прочности бетона, от угла [3 и от угла наклона пространственной ко-
сой трещины ак к оси балки и возрастает с ее крутизной. Эта зави-
симость выражается формулой, которая аналогична формуле при
плоском поперечном изгибе (см. рис. VI.2, VI.3):
<2б.к = KKRpbJiKtg ак,	(VI.7)
где Ьк — участок перпендикуляра к силовой плоскости, отсекае-
мый гранями элемента.
При
&к=~;	(VI-8)
b	cos p
при
tgp>4 R;	(vi-8')
b	sin p
/zK — полезная высота сечения балки в направлении силовой пло-
скости (расстояние от точки приложения равнодействующей усилий
в продольной растянутой арматуре до наиболее сжатого волокна се-
чения), которая определяется по формуле (pHC.VI.2)
Лк Ло cos р + bQ sin р,	(VI.9)
действительной для любого положения силовой плоскости.
Величины Ьк и Лк связаны между собой обратной зависимостью
от угла р так, что с увеличением р первая увеличивается, а вторая
уменьшается и наоборот;
где ак и CQ — соответственно угол наклона к оси и проекция на ось
элемента следа плоскости наклонной трещины на силовой плоскости.
Опытами установлено, что крутизна наклонной пространствен-
ной трещины к оси балки и поперечная сила, вызывающая разруше-
ние, находятся в зависимости от величины QjiK/MK (см. балки
В и Г, табл. VI.3). При расчетах это влияние на прочность элемента
по косому сечению учитывается косвенно при определении Q6>K и
Qx.k через tg а и локальные проекции Clt С2, С3, С4 косого сечения
на ось балки.
Величина Со определяется через локальные проекции наклонного
сечения на ось балки, т. е. в конечном счете через С2, в зависимости
от формы сжато-срезываемой зоны бетона и положения силовой пло-
скости по формулам, вытекающим из расчетных схем (рис. VI-2,
VI.4) с учетом предпосылки 5 n/VI.3.
8 Зак. 731
225
2.	Случай I. Сжато-срезываемая зона — треугольник
Проекция следа пространственной косой трещины на нижнюю
грань АВ (рис. VI.3, а)
c3=bctgai=c2-ttge.	(Vi.п)
Тогда Со определится в зависимости от положения силовой пло-
скости по отношению к граням сечения следующим образом:
а)	силовая плоскость пересекает обе малые грани (рис. VI.4, а):
Со = С2 + С3 - (ВД + ММ') ctg 04. (VI.12)
После подстановки С3 и ctg аг из (VI. 11)
BD = b — Ьо — ау tg Р; ММ' = Ьо — hgtg р
и преобразований формула (VI. 12) примет вид:
Со = С2(1 + tg 0 tg Р);	(VI.12')
б)	силовая плоскость пересекает обе большие грани (рис. VI.4, б):
Со = С2 + С3 — (BD + ММ') ctg а.' (VI.13)
Подставляя С3 из (VI.И):
ctga = —; BD — h—h0—ахctgР;
h
ММ' = h0 — bo ctg p
и сделав преобразования получим
C0 = C2A(tge + ctgp);	(VI.13')
в)	силовая плоскость пересекает малую грань и большую грань
со стороны сжатой зоны ( рис. VI.4, в):
Со = С2 + С3 - (BD ctg ax + MM'ctg a). (VI.14)
226
После аналогичных подстановок и преобразований получим
С0 = С2( 1 +4 tgepl -4-(«х-ау tgp)-
( п L Ъ
-^-(ho-boCtg ₽)]};	(VI.14')
г)	силовая плоскость пересекает малую грань и большую грань
со стороны растянутой зоны (рис. VI.4, г):
Со = С2 + С3 — (BDctg а + MM'ctg ах) ' (VI .15)
или
с0=с2[ 1 +Atg0[ i-4-(d0-Mg₽)]-
I п _ l о	J
__L(a₽_aactgP)}.	(VI.15')
Обозначив в формулах (VI.12) — (VI.15) сомножители при С2
через Llt получим формулу общего вида:
Со = С2Ц.	(VI. 16)
2. Случай 11. Сжато-срезываемая зона — трапеция
Проекция следа косой трещины С3 на грани АВ определяется
через С2 совместным решением равенства С2/1 — |2 = С Ji —
вытекающим из предпосылки 1, и равенства С3 = С2 — Clf выте-
кающего из расчетной схемы (см. рис. VI.3, б):
С1 = СА;	(VI.17)
C3 = C2(l-fe2),	(VI.18)
где k2 = 1 — g/1 — g2.
Величина Co для этого случая определяется так же, как и для
случая 1, только в исходное равенство для каждого положения си-
ловой плоскости добавляют слагаемое Z, представляющее собой
проекцию на ось элемента сжатого участка косой трещины
(рис. VI.3, в).
При этом
C2 + Z = /ictga = -^_.	(VI.19)
1—§2
Формулы для определения Со при различных положениях сило-
вой плоскости с учетом (VI. 18) будут иметь следующий законченный
вид:
положение а (рис. VI .4, а)
Со = С2 + Z + С3-(BD + ММ') ctg ax =
= Са
___1
1-^2
t-(l-fe2)4tg₽l;
О J
(VI.20)
8*
227
положение б (рис. VI.4, б)
Co = C2(-A--fe2+4ctgpy,	(VI.21)
положение в (рис. VI.4, в)
С0 = Са{——F(l—£3) Г 1—L^-^tgp) —
U—Ь2	L о	_
—(Йо-MgP)};	(VI.22)
положение г (рис. VI.4, г)
с0=са(—L-+(i-^)fi—L (fro-^tgP)’-
U—§2	L ь	j
—1_(ау_ах ctg p)j.	(VI.23)
Обозначив множители при C2 через L2, получим общую фор-
мулу
Со = С2Л2.	(VI.24)
Для более удобного использования при практических расчетах
формулы для определения коэффициентов L± и Л2 сведены в
табл. VI. 1. Все эти формулы удовлетворяют граничным условиям
при р = 0 и tg Р = h/b, когда силовая плоскость проходит через
геометрический центр сечения элемента.
Формула (VI.7) с учетом (VI.10), (VI.16) и (VI.24) запишется
в виде:
Q6.K=feK	,	(VI.25)
где
c2l = ck—-
ho
Ск — проекция участка следа плоскости косого сечения на силовой
плоскости от точки приложения равнодействующей усилий продоль-
ной арматуры до конца его в сторону сжато-срезываемой зоны
(рис. VI.3,e).
Коэффициент L в формуле (VI.24) имеет значения:
при треугольной форме сжато-срезываемой зоны
Z. = L1-^-cos₽;	(VI.26)
при трапециевидной форме
L = cos р.	(VI.27)
228
8В Зак. 731
Таблица VI. 1
Коэффициенты £х; Gi и
Случай положения силовой плоскости								Форма сжато-срезываемой зоны				
								треугольник			трапеция	
									Gi		La	Ga
а					Л у			l+tg 0 tgp	(2-Ь) cos ₽+ +(2*i— Ь) sin p	При <pi = l 2cos p — b —— tg0 (cos P— —sin P)		(1 +K2) COS p + (l— /c2) sin p
	с	с*					..	X					
			Г-	-4								
				а/	, Ьо							
					ъ							
												
'б								b — (tg0+ctg₽)			l_b ‘*+*с,е’	
			J									
			j/									
												
СлЭ
О
Продолжение табл. VI.1
Случай положения силовой плоскости								Форма сжато-срезываемой зоны					
								треугольник			трапеция		
								Li	Gi		Ls		g2
в								ь	Г	1 i + —tge и-—х п	[	о Xfe—aptgP)] — — (Ло—ctg 0)	(2—g1)cosP + +(2fei—gi) sin Р	При <Р1 = 1 b 2cos0--“tgOx X (cos р—sin р)	 -}-(1—k2) [1 — 1 — S2	L — -г(ах ~^tgp)] — 0	J —-^-(Ло —froctgP)		(l+/<2) cosP+ (1-K2) sin P
													
Г					А?			Ь	Г	1 1+ —tg0 1- — X п.	L	° X(&o—Mg₽)] — —	OxCtgP)			1 с. +(1—^2) J — S2 	 —— (Ьа 	 hat0 f	1 — hl —	
			^4-								b ' ”	“ 'J —-у(^ —«xCtgP)		
Примечание. А и D—точки приложения равнодействующей усилий в растянутой арматуре и в сжатой зоне бетона.
Относительная величина предельной поперечной силы при ко-
сом изгибе, обозначенная в (VI.25) через kK, может быть определена
по формуле
kK = nk0,	(VI.28)
где k0 = 1,85, как при плоском поперечном изгибе [3].
Экспериментально-теоретические исследования показали, что п
зависит от угла наклона силовой плоскости (табл. VI.2). Для опре-
деления п предлагается в первом приближении зависимость
п = 0,767 + 0,233 cos 4р.	(VI.29)
При tg Р h/b можно принимать kK = 1,85.
При определении поперечной силы QX.K, воспринимаемой хо-
мутами, пересеченными наклонным сечением, усилия в отдельных
ветвях заменяем усилиями, равномерно распределенными вдоль
граней балки:
(VI.30)
и
где /х — площадь сечения одной ветви хомута; и — шаг хомутов;
7?а х = тк^а — расчетное сопротивление* хомутов (и отгибов);
тк — усредненный коэффициент, учитывающий неравномерность
работы хомутов (и отгибов) в косой трещине, в первом приближении
принимаемый такой же величины, как и при простом изгибе.
Формулы расчетной поперечной силы QX.K, воспринимаемой хо-
мутами, можно записать как сумму проекций усилий в них на нор-
маль к оси балки, расположенную в силовой плоскости:
а) при треугольной форме сжато-срезываемой зоны
Qx.k = ?х КС1 + С2) cos ₽ + (С3 + С4) sin ₽]. (VI.31)
Проекции следов наклонного сечения С19 С3, С4 на гранях эле-
мента определяют через проекцию следа его С2 на грани ВВ' сов-
местным решением равенств:
.	.	Сл	1
ctg СИ = ctg ап = —= —1- = ctg а;
Л	ft—^ft
.	.	Сз Сл i ч
ctg аи = ctg aiv = -Л = г-~ = ct2 ai >
b	b — qib
выражающих условие предпосылки 1 п. VI.1 и равенства:
+ С3 = С2 + с4,
вытекающего из расчетной схемы.
При этом
Ci = С2 (1	^i); С3 = CJzi, С& = С2 (&i	^i),
где kr =
8В*
231
Подставляя значения Clt С2 и С3 в уравнение (VI.31), получим
Сх.к = К2 - В? cos р + (2^ - sin р]. (VI-ЗГ)
Обозначив в формуле (VI.ЗГ) выражение в квадратных скобках
через Glt получим
<2х.к = Q^Gr,	(VI.31")
. б) .при трапециевидной форме сжато-срезываемой зоны
Qx.K = <7х 1(С1 + С2) cos Р + С3 sin р].	(VI.32)
После подстановки Сх из (VI.17) и С3 из (VI.18) уравнение
(VI.32) принимает вид:
Qx.k = <7x^2 1(1 + k2) cos р + (1 — k2) sin pl. (VI.32')
Обозначив в (VI.32') множитель в квадратных скобках через
G2, получим:
Qx.K = ^C2G2.	(VI.32")
Для общего случая формулы (VI.31") и (VI.32") можно записать
в виде:
Qx.K = ^c2G.	(VI.33)
Подставив значения QXK и Q6.K в уравнение (VI.6), получим:
Qk=9xC2g+^£^1.	(VI34)
С 2
. Проекция наиболее опасного наклонного сечения (сечения ми-
нимальной прочности) определяется по правилам нахождения ми-
нимума функции [3]. Так, при отсутствии в пределах наклонного
сечения постоянно действующей нагрузки
г гл_ kKRpbKht
dc2 Vх C2G + C2 L
откуда
Q __ 1 /
2“И qxGL
Подставив С2 в (VI.34) с учетом рекомендаций Руководства [59],
получим
(VI.35)
(VI.36)
При действии в пределах наклонного сечения постоянной рав-
номерно распределенной нагрузки р:
Q ___ 1 f	Р	,
(<7xG + p£)L’
(VI.37)
232
Q^]/\kKRpbah*-^-(qx + p±] ,
Г	L \	и /
где
G = Gx = (2 — ВО cos р + (2^ — Bi) sin
при треугольной форме сжато-срезываемой зоны;
G = G2 = (1 + &г) cos Р + (1 — ^2) sin Р
(VI.38)
р	(VI.39)
(VI.40)
при трапецеидальной форме сжато-срезываемой зоны.
Формулы для определения Gx и G2 приведены в табл. VI. 1.
Если трепециевидная форма сжатой зоны приближается к тре-
угольной (что бывает при ЫН < 1/1,5 и р > 10°), то, учитывая пред-
посылку (VI.3), следует определять L и G по формулам для треуголь-
ной формы, приведенным в табл. VI. 1.
При этом если tg 0 > hlb, то из условия S6/S0 IB] необхо-
димо считать, что нейтральная ось проходит через ребро А
(см. рис. VI.2).
Формулы (VI.36) и (VI.38) удовлетворяют граничным условиям.
Из совместного решения уравнений (VI.33) — (VI.35) следует, что
в опасном наклонном сечении усилие, воспринимаемое хомутами,
приблизительно равно усилию, воспринимаемому бетоном сжато-
срезываемой зоны, т. е.
Qx.k«Q6.k«0,5Qk = |/ kKRpbKh*qx-?- . (VI.41)
Практически проверку прочности балок по наклонным сечениям
и расчет поперечной арматуры проводят совместным решением ра-
венств (VI.30), (VI.36) и (VI.38).
Расчет производят по невыгоднейшим наклонным сечениям,
начинающимся в сечении с наибольшей поперечной силой (у опор)
и сечениям, проходящим через расположенные в растянутой зоне
точки изменения интенсивности поперечного армирования.
Конструктивное требование ограничения величины поперечной
силы можно представить для косого изгиба в виде:
—-	(VI.42)
Ьк Z к 7
НО
Qk
Qk ~ 1,2	~ Qk a = -5п£_
bKZK ~ 6к 0,9Лк ~ 1,08Ьк/гк ’ пр 0,55
Вводя понижающий коэффициент ткр на действие крутящего
момента, получим
—(VI .43)
^кр	3,48
ИЛИ
QK 0,3 ткр RnpbJiK.	(VI .44)
233
В случае когда условие (VI.44) не удовлетворяется, рекомен-
дуется увеличить размеры сечения элемента, не меняя отношения
b/h, принятого из условий расчета прочности по нормальному се-
чению, либо повысить марку бетона.
Наибольшее возможное расстояние между хомутами определяет-
ся из условия, чтобы поперечная сила в косой трещине, не пересе-
кающей хомутов, могла быть полностью воспринята бетоном сжато-
срезываемой зоны, т. е. чтобы
<2к < Q6.k-	(VI.45)
Подставив Q6 к из формулы (VI.25) и принимая, что длина про-
екции наклонного сечения C2L должна быть равна максимальному
расстоянию между хомутами, получим
«маке<	.	(VI.46)
ЧК
Вследствие возможных неточностей при установке хомутов эта
величина практически уменьшается против теоретической в такой
же пропорции, как и при простом изгибе, т. е. в 1,5 раза:
«макс0.67	ж li?RPb«hL ' (VI.47)
Чк	Чк
Кроме расчетных требований шаг поперечных стержней должен
удовлетворять конструктивным требованиям СНиП и допол-
нительным требованиям, вытекающим из результатов испытаний
(п. VI.5).
Прочность наклонных сечений по поперечной силе, действующей
в силовой плоскости, можно не рассчитывать, если величина глав-
ных растягивающих напряжений, вычисленных по приближенной
формуле —не превышает расчетного сопротивления бетона
ткр^к“к’
на растяжение, т. е. когда
Qk < rnKpbKhKRp.	(VI.48)
Величину понижающего коэффициента ткр на действие крутя-
щего момента для практически встречающихся случаев отношения
b/h и углов наклона р можно принять в среднем равной 0,9.
VI.5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКТИВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ,
ОБЕСПЕЧИВАЮЩИЕ ПРОЧНОСТЬ НАКЛОННЫХ СЕЧЕНИЙ
НА ПОПЕРЕЧНУЮ СИЛУ
В процессе испытаний выявлено, что при разрушении по наклон-
ным сечениям переармированных продольной арматурой балок в на-
чале косой трещины на участке пролета среза может произойти вза-
имный горизонтальный сдвиг верхней неармированной и нижней
продольно армированной частей балки по плоскости, проходящей
234
через крайние стержни боковой и нижней грани (см. балки Б25-2,
Б25-ЗА, табл. VI.2). Чтобы этого не было, рекомендуется крайние
боковые стержни продольной арматуры, расположенные на взаимно
перпендикулярных гранях, охватывать хомутами. При действии
вблизи опоры сосредоточенных грузов и армировании балок сварны-
ми каркасами следует предусматривать дополнительную анкеровку
на опорах в виде двух поперечных стержней в направлении сило-
вой плоскости, приваренных к анкерующим стержням каркасов
граней и верхнему хомуту. Диаметр этих стержней принимают рав-
ным диаметру основного анкерующего стержня грани. Стержни
ставят на расстоянии 50 мм.
Отгибы, необходимые по расчету, следует в целях более эффек-
тивного их использования ориентировать в направлении силовой
плоскости.
При решении практических задач расчет наклонных сечений в
любом случае начинают с определения расчетных геометрических
параметров 6К, по формулам (VI.8), (VI.8'), (VI.9), L и G по фор-
мулам, приведенным в табл. VI. 1, а также относительной величины
поперечной силы &к, воспринимаемой бетоном сжато-срезываемой
зоны по формулам (VI.28), (VI.29).
Дальнейший ход расчета зависит от характера задачи, а именно:
1) проверка прочности балок по наклонным сечениям:
а)	по формуле (VI.30) определяют расчетное усилие qx на единицу
длины;
б)	по формулам (VI.36) и (VI.38) проверяют прочность расчетного
наклонного сечения;
2)	расчет поперечной арматуры в случаях, когда не соблюдается
условие (VI.48):	.
а)	по формуле (VI.36) вычисляют
З&к ^р
б)	по формуле (VI.30), задавшись нормативным шагом попереч-
ных стержней (хомутов) U < (7макс, находят площадь сечения од-
ной ветви хомута
f __ Ух U
/ X -- р
*<а.х
Пример VI. 1. Балка, работающая на косой изгиб, имеет размеры сече-
ния: h = 40 см; b = 18 см. Бетон марки 300; /?пр = 140 кг/см2; /?р =
= 10,5 кг/см2. Продольная рабочая арматура класса А-П; Га = 14,745 см2;
7?а = 2700 кг/см2; диаметр и расположение арматуры из условий расчета
прочности по нормальному сечению показаны на рис. VI.5. Хомуты диамет-
ром 8 мм из стали класса A-I, = 1700 кг/см2 расположены по периме-
тру сечения балки с постоянным шагом и = 20 см; угол р = 15°. 4g
Определить наибольшую расчетную поперечную силу, которая может
быть воспринята косым сечением балки.
235
1.	Координаты точки приложения равнодействующей усилий в продоль-
ной арматуре:
h	h 27?а Fa, i yi 40
«!/= —-</0 -------- == —
rt —13,99 = 6,01 cm;
2
^a, i
2/?a ^a, i
2^a Fa.,i
18
------3,02 = 6,98 см.
2
b	b
ax- 2 -x0- 2
Соответственно:
hQ = h—ay = ^—6,01=33,99 cm;
b$ = b— ax = 18—6,98 = 11,02 cm.
Рис. VI.5
o h 40
2.	Так как tgp у = yg 0,2679 = 0,596 > 0,365, сжатая зона имеет тре-
угольную форму.
Для определения положения нейтральной линии определим параметры:
Fa/?a	14,745-2700
а = —Л—=—т--------------= 0,387;
/?адпр 18-40-140
ар=*а + 0,56 — (f/a + 0,5/i) tg₽ =
= 3,02 + 0,5-18 —(13,99 + 0,5-40)0,2679 = 3,01 см.
Подставляя значения известных величин в формулы [10]:
Ф1В1 = 2а;
ИР1 — Р = 3аР>
= о,774; 18фх — 10,716^ — 9,06 = 0,
из совместного решения которых найдем:
^i = — = -^-8 =^0,82;
Фх 0,974
40
= 0,82—= 1,84.
18
получим
g1=0,8; ф!-=0,974;
tg9=^i -7-
b
236
3.	По формулам (VI.9) и (VI.8):
hK = hQ cosP + bQ sinP = 33,99 • 0,966 + 11,92- 0,259 = 35,69 см;
b 18
bK —----— =—------= 18,6 cm.
cosp	0,966
4.	По формулам (VI.26), (VI.39) с учетом данных табл. VI. 1 определяем
параметры наклонного пространственного сечения:
L = Li-j-cos ₽= (1+tg 0 tg₽)-y-cos Р =
35,69
=(1 +1,84-0,2679)—^—0,966 = 1,289;
G = (2 — gi)cos P + (2fej — gi) sinP=(2 — 0,76) • 0,966 + (2 • 0,834 —
— 0,76)0,259 = 1,433.
5.	По формулам (VI. 29) и (VI.28) находим относительную величину по-
перечной силы, воспринимаемой бетоном сжато-срезываемой зоны:
kK ==, nkQ = (0,767 + 0,233 cos 4-15°) 1,85 = 1,63.
6.	По формуле (VI. 19)
fxRa.x	0,503-1700
<7х =-------=-------—-----= 43 кг/см.
и	20
7.	По формуле (VI.36) расчетная поперечная сила, воспринимаемая на-
клонным сечением,
2 О
3feK Яр Ьк hx q* — =
3-1,63-10,5-18,6-35,69a-43-=7,66 t.
1,289
8.	Наибольшее допустимое расстояние между хомутами по форму-
ле (VI.47)
п 0,163.140.18,6.35,692
и макс — 0,67	= 47,3 > и — 20 см.
1,00
Пример VI.2. Расчетная поперечная сила балки QK = 10 т. Поперечное
сечение балки h = 30 см; b = 22 см. Бетон марки 300; ЯПр = 140 кг/см2;
Яр == Ю,5 кг/см2. Продольная рабочая арматура класса А-П; диаметр и раз-
мещение арматуры из условий прочности по нормальному сечению показаны
на рис. VI.6. Угол наклона силовой плоскости к оси у — р = 15°.
Определить сечение хомутов при одинаковом шаге их. Хомуты из стали
класса A-I; /?а = 1700 кг/см2.
1.	Координаты точки приложения равнодействующей усилий в продоль-
ной арматуре:
h___—Л-и ея	iyt
К,- г +»•= 2 +	,
b	22
Ьо = — + Хь=*~— 4-2,8= 13,8 см.
30
= —— +10 =25 cm;
237
Так как tg Р h/b — 0,2679 • 30/22 = 0,364 < 0,365, сжатая зона бетона
имеет форму трапеции.
2.	Параметры для определения положения нейтральной линии:
Га/?а	10,145-2700	„
а bhRnp	22-30-140
ар = ха + 0,56 — (уя + 0,5ft)tg Р = 2,8 + 0,5 • 22 — (10 + 0,5  30)Х
Х0,2679 = 7 см.
Подставляя значение известных величин в формулы [10]:
Si + S2 = 2а;
ь (Ъ + 2£2) - h (gt + S1S2 + Si) tg ₽ = Зар & + g2),
получим:
Si + S2 = 0,57;
Ц — 3,255g2 + 0,2038 = 0,
из которых = 0,486,	— 0,084.
Тогда:
1—Е,	1—0,486
fe2 =-— = ----------=0,561;
1— U 1—0,084
h	30
tg 0 = (lx-fe) — = (0,486 - 0,084) — = 0,547.
3.	По формулам (VI.9) и (VI.8) расчетные геометрические параметры се-
чения:
hK = hQ cos р +&о sin р = 25-0,966 + 13,8-0,259 = 27,724;
4.	Проверяем условие (VI.48):
/ПкрМк Яр = 0,9-22,77-27,724-10,5 = 5,97 т,
что меньше внешней поперечной силы QK = Ю т; следовательно, необходим
расчет поперечной арматуры.
Предварительно проверим достаточность размеров поперечного сечения:
0,Зткр/?Прдк/гк=0,3-0,9-140-22,77-27,724=26,5 т,
что больше QK = 10 т; следовательно, размеры сечения удовлетворяют кон-
структивным требованиям.
5.	Параметры наклонного сечения по формулам (VI.27) и (VI.40) и
табл. VI. 1:
£ = l2-7S-cos₽= —-Ц-—(1— fe2) -^-tg р]-^-cos р =
Л	|_ 1 —д2	О J
Г 1	30	1	27,724
= —------——(1—0,618) ——0,2679 -4----------0,966 = 0,893;
L 1—0,084	k	7	22 J 30
G = (1	+ k2) cos р + (1	— fc2)sin ₽	=	(1 +	0,618) 0,966 +	(1 — 0,618)0,259 =
= 1,562.
6.	По формулам (VI. 18) и (VI. 17)
kK=nkQ = 1,85 (0,767 + 0,233 cos 60°) = 1,63.
238
(10 000)2
<7х —
7.	По формуле (VI.25)
------------G~ =	1	-----------Г~562 =63’72 кг/см-
3kKRvbKhx —	3-1,63-10,5-22,77-27,7242—----
L	0,893
8.	Принимая конструктивно наибольший шаг хомутов
1,63-10,5-22,77-27,7242
и = 15 < «макс = 0,67----------у;	--------=20 см,
10 000
по формуле (VI. 19) найдем необходимую площадь сечения одной ветви хо-
мута
. qx и 63,72-15
/х = -^—= —’------= 0,56 см2.
/х Ra 1700
Принимаем dx = 8 мм > 0,2 d = 0,2 • 22 = 4,4 мм.
VI.6. РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ НАКЛОННЫХ СЕЧЕНИЙ
ПРИ ДЕЙСТВИИ ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА
Прочность железобетонных элементов на момент по наклонным
сечениям обеспечивается надежной анкеровкой продольной растя-
нутой арматуры на свободных опорах и надлежащим расположением
отгибов и обрывов стержней в пролете.
Конструктивные требования по анкеровке и расположению
отгибов продольных растянутых стержней, обеспечивающие
прочность наклонных сечений при косом изгибе, принимаются такие
же, как и при плоском изгибе.
При обрыве продольных растянутых стержней рассчитывают
длину запуска их w за места теоретического обрыва, т. е. за нормаль-
ное сечение, в котором эти стержни не нужны при расчете прочно-
сти на изгиб. Этот расчет производят из условия достаточной проч-
ности по изгибающему моменту (VI.4) опасного наклонного сечения,
начинающегося в точке обрыва продольных стержней, лежащей
в силовой плоскости (см. рис. VI.9). При отсутствии отгибов урав-
нение (VI.4) будет иметь вид:
К+А1Х к.	(VI.49)
В развернутом виде с учетом значений проекций локальных
трещин Ci, С3 и С4, выраженных через проекцию трещины С2 на гра-
ни В В' из условий предпосылки ln.VI.2 и расчетной схемы
(рис. VI.7, VI.81, формула (VI.49) принимает вид:
а)	при треугольной форме сжатой зоны:
=	^1к)> ^3“^2^1К> ^4 ~ ^2 (^1К	£1к)’>
Я; = Ra Ра. к + -у 7Х C°S №1 + <7х COS (/?1К —	+
+ -у 9xcosP(l—^)2C22+-T9xsinpfei2K_C22 +
-Ь <7Х sin р&1к (1 — £1К) СВ,	(VI.50)
239
Рис. VI.7
или, после преобразований,
АГк = ^а.	+9x^2 cos PGO1,	(VI.51)
cos р
где
G01 = 1 - 2|1К + 0,5|1К + k1K [ 1 + (0,5&1к +1 -|1к) tg р|;
240
б)	при трапециевидной форме сжатой зоны
Мк<RaFaK+ Cl cos pG02,	(VI.52)
cos p
GO2 = O,5 [1 +&2k + (1-tgp];
241
Коэффициенты, определяющие положение нейтральной оси
наклонного сечения, находят совместным решением уравнения
суммы проекций всех сил на продольную ось элемента SZ — О
и уравнения, вытекающего из предпосылки (VI.2):
а)	при треугольной форме сжатой зоны:
51к ^Ф1к ^пр BaFa, к ~
=: t g Э =	,
<Pik&	ф1 Ь '
откуда
;	<VL63)
О Г Адр tg V
^K = vl/ 2-^Fa.Ktg9.	(VI.54)
п V *\пр
В формулах (VI.51), (VI.52):
qx =	— усилие, воспринимаемое хомутами одной грани на
единицу длины балки; /х — площадь сечения одной ветви хомута;
Ra — расчетное сопротивление хомутов; и — шаг хомутов;
б)	при трапециевидной форме сжатой зоны:
(?1к	?2к) ^^?пр В а В а,, к = Ф
(L-u)4=tg0=^1-^)4’
b	ь
откуда
51К	- ^а- к _ bh	bo,54tg0; h	(VI.55)
^2К =	_ Ли к R& b Rnp	— O,5-^-tg0. h	(VI.56)
Ордината ус точки приложения равнодействующей сжимающих
усилий в бетоне, входящая в формулы (VI.51) и (VI.52), определяет-
ся по общей методике нахождения центра тяжести плоских фигур.
Коэффициенты и £2, определяющие положение нейтраль-
ной оси опасного нормального сечения, определяются из условия
расчета прочности элемента по этому сечению.
Записав уравнения (VI.51) и (VI.52) в общем виде для любой
формы сжатой зоны бетона
K-^^ + 9xClcoSpG0,	(VI.57)
cos р
определим длину проекции С2 наиболее опасного наклонного се-
чения из условия минимальной разности между изгибающим момен-
242
том, воспринимаемым арматурой, пересеченной наклонной трещи-
ной, и внешним моментом относительно этой же оси п — п
(см. рис. VI.7 и VI.8):
d (Мвнутр—Мвнеш)   d ( р р	—Ус
dC2 ~ dC2 |Д а а'к cos 0
+<?х С2 cos 0GO )—Мк — О,
откуда
С2 =------Q— .
2</х cos 0Go
Подставив значение С2 из (VI.58) в (VI.57), получим
1
4?XGO J cos₽
Мк
RaPa.K(ha-yc)+ ф
(VI. 58)
(VI.59)
При действии в пределах проекции наклонной пространствен-
ной трещины постоянной распределенной нагрузки р поперечная
сила у конца наклонного сечения
Q = Qi — р (С2 + С4) = Qi — рС0 = Qi — pCzL0.
При этом длина проекции следа наиболее опасного наклонного
сечения
Qi
2<?х cos0Go+pLo
(VI.60)
и формула прочности (VI.57) с учетом (VI.60) будет иметь вид:
'а. к~~~~7Г~ Н~	( 9fl -I	YcOSPGo,	(VI.61)
cos p	\ 2gx cos pc?o + pLo /
где Q — поперечная сила в начале наклонного сечения.
По формулам (VI.59), (VI.61) можно проверять прочность на из-
гиб и по наклонным сечениям, начинающимся в пределах от грани
опоры до конца зоны анкеровки напрягаемой арматуры предва-
рительно-напряженных элементов, армированных прядями без ан-
керов, учитывая, что в пределах зоны анкеровки расчетные сопро-
тивления арматуры имеют пониженные значения.
В формулах (VI.59) и (VI.61) приняты обозначения:
а)	при треугольной форме сжатой зоны бетона Go = G01
Lq 1 ~г ^1к	^1к*>
б)	при трапециевидной форме Go = G02; Lo = 1.
Для определения теоретической длины w0 запуска обрываемых
стержней за сечение теоретического обрыва (рис. VI.9) расчетный
момент в наклонном сечении выразим через и Qb действующие
в нормальном сечении 1 — 1, проходящем через конец обрыва-
243
2-2
емых стержней, а затем—через известные усилия М0 и Qo в нормаль-
ном сечении 0 — 0, проведенном через точку теоретического обрыва:
^внеш = Мк = ”Ь
M1 = M0-Qw0+-^--,
Qi = Qo — pw0.
Тогда
мвяеш = Мк = M0—Qw0 +	+ (Qo-P^o) Со- (VI. 62)
Формула момента внутренних усилий (VI.57) с учетом значений
М0 = КаРа.Л=^, С2 = -^
cos р	Lo
244
будет иметь вид:
С2
внутр “ М) ?Х COS fJG0 2 .
ьо
Проекция следа наклонного сечения Со на силовой плоскости
элемента определяется из условия минимума разности мо-
(VI.62) и (VI.61):
d (Мвнутр — Мвнеш)  2 ?х cos ftfio q   p^ ) Q
dCo	L2
(VI.63)
на ось
ментов
откуда
Qo P®0 r 2
C n =----—- bo.
2gx cos pG0
Подставив (VI.62) целевую часть, a (VI.63) в правую часть урав-
нения (VI.49), а также используя формулу (VI.64), после преоб-
разований получим
^__2Qo^
р
= 0,
2?х Pl 1 +
12
где A = —£— .
cos p<j0
rp	Qo / 1	1
Тогда	1----------=
p , Г
Приняв
найдем
Ар
2qx
Ар
4<?х
(VI.64)

(VI.65)
4,=--------ац—
Go
4<7xcos0—~+р
L0
Полная длина запуска w за место теоретического обрыва увели-
чивается на 5 d для закрепления конца стержня в бетоне:
® =-----------------+5d.
л	а	I
4?xcosp—~ + р
Lo
Если нагрузка р в пределах наклонной трещины отсутствует,
то
(VI. 66)
w =-----------------+ 5d.
, ft G«
4<7xcosp —
Lo
(VI.67)
245
(VI.68)
В формулах (VI.66) и (VI.67) параметры наклонного сечения Go
и Lo имеют те же значения, что и в формулах (VI.59) и (VI.61).
Практически расчет выполняют в такой последовательности:
1) устанавливают места теоретического обрыва и определяют
площадь обрываемой арматуры Fa K согласно эпюре изгибающих
моментов, действующих в силовой плоскости (графически — с по-
строением эпюры усилий в арматуре или аналитически — как при
простом изгибе);
2) вычисляют для каждой плоскости теоретического обрыва от-
ношения площади обрываемой арматуры к площади всей арматуры
Fa. к]
и определяют площадь обрываемых стержней по каждой грани
элемента в отдельности в долях от площади сечения всех стержней
соответствующей грани:
F° —nF
1 at xt к — а, я»
р° —nF
1 а, у, к 11,1 а»
3) определяют величину поперечной силы Qo и место теоретиче-
ского обрыва и по формулам (VI.66), (VI.67) вычисляют w.
При определении параметров Go и Lo, входящих в эти формулы,
коэффициенты <р1к, £1к, £2к вычисляют по формулам (VI.53) —
(VI.56) с учетом площади оставшейся (необорванной) арматуры
FaK — Fa.K для рассматриваемого места теоретического обрыва
и угла наклона 0 нейтральной оси опасного нормального сечения,
по которому подбирают сечения рабочей продольной арматуры.
По конструктивным соображениям и для экономии металла
следует обрывать верхние стержни арматуры граней.
Пример VI.3. Определить место теоретического обрыва продольных стер-
жней и длину запуска их ш для балки, изображенной на рис. VI. 10. Угол на-
клона силовой плоскости р = 15°. Бетон марки 300; 7?пр = 140 кг/см2. Про-
дольные стержни из стали класса А-П; 7?а = 2700 кг/см2; Fa.K, макс =
= 21,63 см2. Хомуты диаметром 8 мм из стали класса А-I; /?а = 2100 кг/см2;
шаг хомутов на приопорных участках (длиной 165 см) и = 15 см, в средней
части пролета и = 30 см; сжатая зона бетона опасного нормального сечения
1—1 имеет треугольную форму. Угол наклона нейтральной оси 0 = 48°.
1.	Обрываем крайние стержни граней: по грани АВ — 025 мм, по гра-
ни ВВ’ — 020 мм общей площадью Fa к =8,043 см2; п = ~б-:---= 0,372.
^а.к.макс
2.	Рассчитываем нормальное сечение с арматурой после обрыва двух про-
дольных стержней.
Сечение арматуры после обрыва
^а.к —^а. к. макс — Fa.к =21,63 — 8,043 = 13,587 см2;
коэффициенты, определяющие положение нейтральной линии, по фор-
мулам (VI.53) и (VI.54):
’"-тУ 2В~ 
V Г Апр
Fa, к	1 , / . 2700
tg 0	25 И 140
а.к
13,587
— =0.869;
246

ордината точки приложения равнодействующей усилий в сжатой зоне
бетона
!/с=4-ЬкЛ = 4-0,482-50^8 см;
и	О
Рис. VI.10
ордината точки приложения равнодействующей усилий в арматуре пос-
ле обрыва
3,142 • 8
ау~—о"ео—+ 3,5 = 1,85 + 3,5=5,35 см;
13,587
плечо внутренней пары
ZK— (h yQ dy)—	(50—8—5 35) = 38 cm;
COS p	O^yoo
247
момент, воспринимаемый сечением с арматурой Fa.K = 13,587 см2 после
обрыва,
Mx = /?a Fa,KZK = 2700-13,587-38 = 1 394026 кг-см = 13,94 т-м.
Этот момент можно определить проще, приняв, что момент на участке
между сечениями 1—1 и 2—2 изменяется по закону прямой и что плечи вну-
тренней пары в этих сечениях равны:
=	а.к^к— 0,372/?а Fa Za =
= 0,6282?aFa>KZK • 0,628Л4макс = 0,628-20,25= 12,72 т-м;
погрешность составляет:
3.	Место теоретического обрыва арматуры (расстояние от опоры) опре-
деляем из условия
Л4Х = 0, 5д/х—0,5дх2,
т. е. 13,94 = 0,5 • 4,5 • 6 х — 0,5 • 4,5х2, откуда хх = 1,33 м; х2 = 4,67 м.
4.	Поперечную силу в месте теоретического обрыва определим из подобия
треугольников в эпюре поперечных сил:
' /	2	\	/	2	\
Qo = Смаке ( 1 =“ 7“	) — 15 I 1 — ~~~ 1,35 I = 8,25 тс.
\	I	)	\	о	/
5.	Усилие, воспринимаемое хомутамиодной грани на единице длины
балки,
/х#а 0,503-1700
7Х = —77~=----------77-------=	57	кг/пог. см.
и	1о
6.	Параметры (?01 и L01 пространственного наклонного сечения:
Ьк 0,452	.
Ф1к " 0,816 —°’554’
G»i = l-2Ьк+0,5£1к + К1к [1 +(0,5Kik+ 1)-51к tg ₽] =
= 1—2-0,452+0,5(0,452)2+ 0,554(1 +(0,5-0,554 +
+ 1—0,452) 0,2679] = ,0871;
£01 = 1 + fe1K—£1К = 1 + 0,554—0,452 = 1,102.
7.	По формуле (VI.67) длина запуска
Qo	8250
су0 =--------т---==-------------- Q_ — =54,7 см.
248
Рис. VI.ll
Полная длина запуска:
для стержня 0 20 w =	4~ 5 d = 52,’3 + 5 • 2 = 62 см > 20 d = 20\
Х2 = 40 см;
для стержня 025 w =	+ 5d = 5,25 4~ 5 • 2,5 = 65 см > 20 d =
= 20 • 2,5 = 50 см.
Пример VL4. Определить длину
запуска, w для?двух [крайних продоль-
ных стержней 018 и 22 мм (Fa.K =
= 6,35 см1 2 * *) однопролетной балки, наг-
руженной равномерно распределенной
нагрузкой. Угол наклона силовой пло-
скости р = 15°. Бетон марки 300; 7?пр=
= 140 кг/см2. Продольные стержни из
стали класса А-П; /?а — 2700 кг/см2.
Размеры сечения балки, диаметр и раз-
мещение продольной арматуры, рассчи-
танной из условия прочности опасного
нормального сечения, показаны на
рис. VI.И. ^а.кмакс=:19,04 см2. Сжа-
тая зона имеет форму трапеции. Угол
наклона нейтральной оси 0 = 23°20'.
Хомуты диаметром 8 мм из стали клас-
са А-I; 7?а = 2100 кг/см2; и = 15 см.
Расчетная поперечная сила в месте тео-
ретического обрыва стержней Q = 5,2 т.
1. По формулам (VI.55) и (VI.56) вычислим коэффициенты, определяю-
щие положение нейтральной оси сечения после обрыва стержней (при Fa.K=
= ^.кмакс-^.К = 19-04 ~ 6>35 ~ 12’7 * * * * см2):
llK- bh
^а.к
|S- + 0>5-^-tge =
АПр	“
12,7
30-40
2700	30
-----4-0,5-----0,432 =0,389;
140	40
а.к
t
§2К bh
R. Ь	12,7	2700	30
——^-—0,5— tg 6=----— •-----—0,5 — 0,432 = 0,021.
Япр Я 30 - 40	140	40
2. Определим параметры 602 и £02 пространственного наклонного се-
чения:
1— giK	1-0,389	0,611
k2K =--------=-----------=-------= 0,625;
1—Ьк 1—0,021	0,979
Go2 = O,5[1+^2k + (1 — &2к)2 tg р] =0,5 [1 4-0,6252+ (1 —0,625)2 0,2679] =
= 0,5 [1 4-0,39 4~(1—2-0,6254-0,39) 0,2679] =
0,5-1,43=0,72; L02 = l-
3. Вычислим усилие, воспринимаемое хомутами одной грани на единице
длины балки:
- fTR&	0,503-1700	„
<7х =-------=--------—------=57 кг / см.
и	15
249
4.	По формуле (VI.67) длина запуска стержней за место теоретического
обрыва
G02	0,72
4gx cos ₽-- 4 • 57 • 0,966 ——
Lq2	1
5.	Полная длина запуска:
для стержня 0 18 ш + 5 d = 32 + 5 • 1,8 = 41 см > 20 d =
= 20 • 1,8 = 36 см;
для стержня 0 22 w =	+ 5 d = 32 + 5 • 2,2 = 43 см < 20 d =
— 20 . 22 = 44 см.
Принимаем для стержня 0 22 w = 44 см.
VI.7. СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ
РАЗРУШАЮЩИХ УСИЛИЙ С ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ
ДАННЫМИ
Сравнение теоретической величины разрушающих поперечных
сил и изгибающих моментов, полученных по такой методике расчета,
дает удовлетворительную сходимость с экспериментальными дан-
ными; это подтверждает достоверность принятых предпосылок
и приемлемость методики для практического пользования. Соответ-
ствующие данные приведены в табл. VI.2 — VI.4.
Таблица V1.2
Сравнение теоретических и экспериментальных данных
Шифр балки	Размеры сечения bxh, см b0Xh0, см	«б- кг/см2	СМ2	р°	a/h	Разру- шающая попереч- ная сила <?б.к, т	ctgaK	_	I то т	1	ци II т С	Величина п по (VI.29)	* пЭ ~п А==-~Г-х пэ хюо	100 /и
Б15-1	18,5x40 12,5X34,2	212	14,745	15	2,05	10,04	1,85	0,75	0,883	—17,7	0,26
Б15-1А	18,5X40 11,8x34	217	14,745	15	2,05	9,245	1,92	0,724	0,883	—21,9	1,8
Б15-2А	18,7X40 11,5X34,5	304	19,008	15	2,1	11,095	1,89	0,723	0,883	—22,1	0,6
Б15-3	18,5X40 11,9X34,3	200	23,666	15	2,04	9,83	1,75	0,746	0,883	—18,4	2,3
Б25-1	18,3X40 14,3X32	196	17,185	2.5	2,075	9,6	1,63	0,664	0,727	—9,5	6
Б25-1А	18,5X40 14x32	196	’ 17,185	25	2,075	8,9	1,66	0,628	0,727	—15,7	2,7
Б25-2	18,5x40,5 13,6x33,5	216	19,988	25	2	12,58	1,495	0,706	0,727	—3	3,3
Б25-2А	18,5x40 13,7X32,2	216	19,988	25	2	12,36	1,54	0,713	0,727	—2	4,9
Б25-3	18,5X40 13X33	185	25,04	25	2	13,15	1,425	0,71	0,727	—2,4	2,4
Б25-ЗА	18,5X40 13,5x33	200	25,04	25	2	11,63	1,49 Ср	0,675 еднее откло	0,727 нение	—7,7 — 12,04	2,3
Примечания: 1. a/h—относительная величина пролета среза.
2. и — соответственно крутящий и изгибающий моменты.
kK	<Эб.к
3. При определении пэ = — принято:	— ctg ак; 0,185.
«о
Сравнение теоретических и экспериментальных данных
Таблица VI.3
Шифр балки	Размеры сечения bXh, см Лк, см	*б' кг/см1	Fa.K- CMi	Поперечное армиро- вание		0е	д h	Разрушающая попе- речная сила, т		О о н « О’ 1	« «и о О’ 0	Отношение — 100
				с?х, мм	шаг хому- тов см			экспери- менталь- ная Q9	теорети- ческая QT		
				GT.X' кг/см1							
					Uy, см						
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
А15-2Х	19X40 36,63 ,	334	17,65	8 2760	14 14	15	1,8	23,3	24,03	—3,14	0,5
А15-2ХА	18,5X39,5 . 35,98	330	17,65	8 2760	14 14	15	1,8	20,5	22,46	—9,57	. 2
А15-ЗХА	18,6x40 36,84	330	21,02	8 2760	12,5 12,5	15	1,9	24	23,29	4-2,96	0
А25-2ХА	18,5X39,5 33,69	453	17,65	8 2760	14 14	25	1,45	27,5	22,21	4-19,24	1,8
А25-ЗХ	18,2X40 34,22	404	21,19	8 2760	10 10	25	1,45	30,9	25,17	+ 18,54	1,3
А25-ЗХА	18,5X40 35,16	404	21,19	8 2760	10 10	25	1,45-	31,3	28,48	+9	0,6
Б15-1Х	18X40 36,236	219	14,74	6,5 3680	16 16	15	2,05	15,6	15,53	—0,44	3,5
Б15-1ХА	18X40 36	211	14,74	6,5 3680	16 16	15	2,05	14,79	16,78	—13,46	3,6
Б15-2Х	18,3x40 36,365	298	19,01	8 3300	16 16	15	2,05	21,6	21 *65	—0,23	1,9
Б15-2ХА	18,5X40 36,28	298	19,01	8 3300	16 16	15	2	22,1	19,3	4-12,65	1,9
	1										
Б15-ЗХ’	18,5X40,5 36,72	196	23,67	8 3300	12,5 12,5	15 '	2	20,94	16,63	+20,58	6,6
Б15-ЗХА	18,5x40 36,033	196	23,67	8 2760	14 14	15	1,95	20,52	17,84	+ 13,48	4,1
Б25-1ХА:	18,2X40 35,112	205	17,19	6,5 3680	15 15	25	2	12,8	14,02	—9,7	4
Б25-2Х	18,3x40 35,03	210	20	8 3300	15 15	25	2	16,4	15,25	+7	3,9
Б25-2ХА	18,4X40 . 34,71	210	20	8 3300	15 7,5	25	2	17,17	14,07	4-18	4,8
Б25-ЗХ	18,5x40,5 34,64	210	25	8 3300	12,5 12,5	25	2	20	15,71	+21,4	5,1
В15-1Х	21,7X30,5 28,19	208	13,36	8 2950	13 И	15	1,5	22,6	19,67	+ 12,96	0
В15-1ХА	21,5x30 27,804	208	13,36	8 2950	11 11	15	1,5	20,92	20,79	+ 0,62	2,54
В25-1Х	21,6X30,6 28,32	209	14,02	8 2950	11 И	25	1,5	22,2	17,81	+ 19,77	1,14
В25-1ХА	21,6x30,5 28,57	209	14,02	8 2950	11 11	25	1,5	20,8	17,62	+ 15,29	1,8
Г15-1ХА	22X30,5 28,09	230	13,36	6,5 2950	И 11	15	2	15,5	15,23	4-1,74	0
Г25-1Х]	22X30,2 28,14	232	14,02	6,5 2950	11 11	25	2	17,46	14,79	+ 15,3	2,25
Продолжение табл. VI.3
Шифр балки	Размеры сечения b\h, см Лк, см	*б< кг/см2	Fa,K' см2	Поперечное армиро- вание		3°	а т	Разрушающая попе- речная сила, т		о о Е- М О' I £Г> М 1 О' О) « О' II	Отношение — 100
				мм	шаг хо- мутов нх, см			экспери- менталь- ная Q3 чк	теорети- ческая QT		
				•ат.х' кг/см2							
					Uy, см						
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Г25-1ХА	21,6X30 27,87	232	14,02	6,5 2950	й 11	25	2	16,8	14,76	+ 12,15	1,73
Д45-1Х	22x22 24,6	230	8,98	6,5 2950	10 10	45	2	14,15	12,8	+9,54	0
Среднее отклонение 	 Среднее квадратичное отклонение											+8,107 10,36	
Примечания: 1. Теоретическая разрушающая поперечная сила балки Б25-ЗХ определена с учетом прохождения
нейтральной оси через ребро А, т. е. при £1=1 (рис. VI. 2).
2. a/h—относительная величина пролета среза.
3. Л1Эр и	— соответственно крутящий и изгибающий моменты.
4. Приведенные в графе 10 величины определены
по формуле QrK=]/ 4kK^bKh2KqXY 
Таблица VI.4
Сравнение теоретических и экспериментальных данных при действии изгибающего момента
Шифр балки	Размеры сечения h/b, см	*б- кг/см2	Продольное армирование		Поперечное армирование			Условия испы- тания		Изгибающие моменты		о О) к Л Й 1 II <1	^КР — 100
			К' d • К см2	°т’ кг/см2	d, мм	ат, кг/см2	и, см	3°	расстоя- ние от грузов до опор а, см	экспери- менталь- ный М^> т-м	теорети- ческий т-м		
А15-ЗХ	40 18,5	330	15,4	3200	8	2565	12,5	15	76	17,1	17,9	—4,3	5,6
А25-1Х	39,5 18,5	377	9	3400	6,5	3760	12,5	25	67	11,11	12,33	—9	0
Б25-ЗХА	40,5 18,8	200	8,84	3500	8	3200	12,5	25	80	12,42	12,74	—4,2	6,37
Г15-1Х	30,5 22	230	8,46	3350	6,5	2950	11	15	60	8,52	10,55	—17,5	0
Примечания: 1.	—крутящий момент, замеренный в эксперименте.
2. Величины М* определены с учетом значений 7? в соответствии с рекомендациями СНиП.
ГЛАВА VII
ТРЕЩИНОСТОЙКОСТЬ БЕТОННЫХ И ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ КОСОМ ИЗГИБЕ
VII.1. РАСЧЕТ ТРЕЩИНОСТОЙКОСТИ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО-
НАПРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
Трещиностойкость нормальных сечений рассчитывают исходя
из условия
(VII.1)
где М — изгибающий момент от расчетной или нормативной на-
грузки (в зависимости от категории трещиностойкости) относительно
любой оси сечения; Мт — момент внутренних усилий в сечении
перед образованием трещин относительно той же оси.
Внутренние усилия определяют исходя из следующих предпо-
сылок:
1)	равнодействующая усилий в напрягаемой и ненапрягаемой
арматуре равна величине предварительного обжатия No. Обжатие
элемента напрягаемой арматурой принимают как внешнее усилие
и определяют с учетом всех потерь и точности натяжения. В нена-
прягаемой арматуре усилия определяют с учетом влияния усадки
и ползучести бетона;
2)	напряжения в растянутой зоне бетона к моменту образования
трещин принимают равными /?р; при этом учитывают неупругие
деформации растянутого бетона. Эпюра напряжений растянутой
зоны бетона прямоугольная. Модуль деформации Ер = vp£6;
коэффициент vp = 0,5;
3)	эпюру напряжений в сжатой зоне бетона в момент образова-
ния трещин принимают треугольной;
4)	дискретное расположение арматуры заменяют равномерно рас-
пределенным по линиям, параллельным граням элемента;
5)	арматуру в сжатой и растянутой зонах располагают так,
чтобы равнодействующие усилий в них лежали в плоскости действия
внешних сил, а эта плоскость должна проходить через геометриче-
ский центр тяжести сечения;
6)	для определения напряжений в арматуре и в сжатой зоне бе-
тона в момент образования трещин принимают линейную зависи-
мость между деформациями в сечении.
256
Тогда краевые деформации (рис. VII.1):
g	__ g
^макс Р н______х
Рис. VII.1
Рис. VI 1.2
а соответствующие напряжения в арматуре и в сжатой зоне бетона:
аа = Еаеа-2п/?р-^=^
СТа = Еа 6а = 2п7?р I
п—X
кс “	_*х
(VII.3)
Напряжения в растянутой зоне бетона при действии усилия
предварительного обжатия и внешнего изгибающего момента при
косом изгибе (рис. VI 1.2)
Nq NQey ___________ No ех . Мх .
Об. р— г ~7 i/макс г ЛмаксТ т i/макс Т
Гп ^П, X	JTL, у	X
+ 7^-хмакс.	(VII.4)
257
где Fn — приведенная площадь поперечного сечения; Jn x и
Jny — приведенные моменты инерции сечения относительно осей
х й у.
Поскольку
Л4Ж = Al cos [3, Му = М sin'p,
ех = е0 sin [3, еу — е0 cos р,
то выражение (VI 1.4) может быть представлено в виде:
(VII.5)
„	кг „ ( Умаксcos Р । ^макс s*n Р
°б.р—	“7 JV о *=0 I ",	г
Г П	\ П, X	JTLt У
У m&rc cos Р । Хмакс sin Р
^п,х	^п, у
Принимая аб р = /?р, из (VI 1.5) определим момент трещино-
образования Л1Т, т. е. тот внешний момент, который может вос-
принять сечение перед образованием трещин:
Л1Т — N 0 -[
„ ( £/макс COS р
Fn -------Г------+
\ Jn, X
Хмакс sin Р
ty
_|________________Яр_____________
j/макс COS р । ^макс sin Р
Ai, х	^п, у
Обозначив
^п, х ____г А1, у ___________г
Р 1!	Х9	J7 V
г п умакс	г п Лмакс
_________1	гх Гу
cos р sin Р rx sin р +гу cos Р
гх гу
(VII.6)
(VII.7)
где гх и гу — ядровые расстояния относительно осей х и у\ гр — яд-
ровое расстояние в плоскости действия внешних сил (рис. VI 1.3),
учитывая (VI 1.7) можно записать
1
#макс CQS р । -Умане sin Р
^п, х	Лт, у
= r^Fn
(VII.8)
и, подставив (VII.8) в (VII.6), получим
Л1Т = NoeQ + Л/огР + ^рЯпг
или по аналогии с плоским изгибом
Мт = No (е0 + г3) +	= Мяоб + tfpIFp. (VII.9)
258
Физический смысл выражения (VII.9) виден из рис. VII.4. Мо-
мент трещинообразования состоит из двух моментов: Моб и RpW$.
Первый из„ них Л1об соответствует внешнему моменту Л11, при ко-
тором в предварительно обжатом элементе напряжения в наиболее
удаленном растянутом ребре становятся равными нулю. Действи-
тельно, из условия
( Умакс CQS Р । -^макс s*n Р \ Мр 
\ Лт, х	у / Рц
Рис. VII.3
Рис. VII.4
При действии в сечении внешнего момента равного Л1об,
сечение можно рассматривать как работающее в условиях косого
внецентренного сжатия усилием No, приложенным на грани ядра
сечения с эксцентрицитетом гр. В самом деле, если
X
No
Хб
No
— £о +
то усилие предварительного обжатия No перемещается в ядровую
точку, лежащую в плоскости действия внешних сил, на расстоянии
е0 + от своего первоначального положения.
Величина и точка приложения Мо зависят от наличия или от-
сутствия в сжатой зоне напрягаемой арматуры. В первом случае
No — равнодействующая сил предварительного обжатия арма-
турой, расположенной в сжатой и растянутой зонах:
No = NC)K + Alp.
259
Положение No относительно центра тяжести сечения определяют
значением
 £рМр—
где ер и ес — эксцентрицитеты равнодействующих 7Ур и Nc в пло-
скости действия внешних сил. В случае когда напрягаемая арма-
тура в сжатой зоне отсутствует,
Af о -А^р» ео ^р*
Момент Ми = RpWp представляет собой момент внутренних
усилий, действующий в плоскости внешней нагрузки и вычислен-
ный в предположении упругой работы материала. Неупругие свой-
ства бетона в растянутой зоне будем учитывать введением упруго-
пластического момента сопротивления. В этом случае, момент
7И//-7?Р^.	(VII.10)
Вычислим W$ — упругопластический момент сопротивления
при косом изгибе. Составляющая момента внутренних усилий
в плоскости, нормальной к нейтральной оси (см. рис. VII.1),
Ь
Н—х— — sin а
М' = Xi G6dF + RpFp-----------1-------[_
fc	2
+ ^F^x-c') + oaFa(H-x-c).	(VII.11)
Учитывая, что M' является компонентой Ми, можно записать
по аналогии с (VII. 10)
(VII.12)
где И/р — «компонента» упругопластического момента сопротивле-
ния в плоскости, перпендикулярной нейтральной линии. Поскольку
Мп= .	(VII.13)
cos (а—р)
где а — угол наклона нейтральной линии к главной оси инерции
х — х (см. рис. VII.3), определяемый по известной формуле сопро-
тивления материалов
tga = ^-tgp,	(VII.14)
260
s
то, подставив в (VII.10) значения (VII.12) и (VII.13), получим
ь
Н—х — —sin а
j	?-----
Fc	2
o'aF^(x—c')+GaF& (H—x—c)
Rp cos (а —P)
(VII. 15)
Преобразуя полученное выражение с учетом (VII.3), окончатель-
но найдем
.т / 27и с
+ sn. р )--:---
J cos (а—р)
(VII. 16)
где Льс — момент инерции приведенной площади сжатой зоны от-
носительно нейтральной линии; 5п.р — статический момент при-
веденной площади растянутой зоны относительно той же оси.
Следует особо подчеркнуть, что зависимости (VII. 11) — (VII. 16)
получены в предположении, что весь внешний момент восприни-
мается моментом внутренних усилий Мц, т. е. при No = 0. Это, не-
значительное на первый взгляд, замечание имеет чрезвычайно важ-
ное значение в настоящей методике. В самом деле, вычисление Мц,
а следовательно, определение геометрических характеристик се-
чения не зависит от величины усилия обжатия. Поэтому значение
Wl может быть табулировано в зависимости от соотношения разме-
ров поперечного сечения и угла р.
Положение нейтральной оси определяется при этом не из условия
равенства статических моментов приведенных сжатой и растянутой
зон сечения относительно нейтральной оси (как это делается при
плоском изгибе), а с учетом принятой эпюры напряжений в сечении
(см. рис. VII.1).
VII.2. ПРАКТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ТРЕЩИНОСТОЙКОСТИ
Для практического расчета трещиностойкости при косом из-
гибе воспользуемся зависимостью (VI 1.9)
Мт = No (е0 + г₽) +
Расстояние от центра тяжести сечения до границы ядра сечения
в плоскости действия внешних сил (см. рис. VI 1.3)
bk /l+tg2p
6 1+fetgp
(VII.17)
261
Упругопластический момент сопротивления при косом изгибе
TFj можно выразить через упругий момент сопротивления как
=	(VII. 18)
где
’	6 l+4tSp	'
Подставив в (VII.16) значения геометрических характеристик,
выразим упругопластические моменты сопротивления:
для случая I положения нейтральной оси
6
84 + 108fe tg ₽ +102А2 tg2 Р + 666? tg? P +
+ 226* tg* p + 36? tg? P + -5— 6’ tg’ P
x___________________________I!_________. (VII 20)
48-|-726 tg p+9162 tg2 p 4-836? tg?P +	’
+446* tg4 P +11 ks tg5 P + k* tg’ P
для случая II положения нейтральной линии
гт = fr3 /l+fe«tg*p Vl+tg2 р
₽	i+62tg2p
„	26 f х0——
6?(l+62tg2P)	.	\ °	2
6(1+6* tg2p)(tf-x0)	(H-x0)
(VII.21)
Тогда из (VII.18) с учетом (VII.19), (VII.20) и (VII.21) получим
выражения для коэффициента, учитывающего пластические свой-
ства материала:
в случае I положения нейтральной линии
84 + 1086 tg р + 10262 tg2 Р + 666? tg? р +
+ 226*tg*P + 36?tg?p + -^-6’tg’p
Х 48 + 726 tg р + 4362 tg2 р + 116? tg? Р + 6* tg* Р ’
в случае II положения нейтральной линии
1/1+6* tg2 р(1 + 6 tg Р) г k
X [ i+6*tg2P +
3(2х0-Я)2 1
Ф 6 (1 +62 tg2 Р) J '
(VII.22)
(VII.23)
262
Обозначим
В = — . 3^±-tg2p.-...	(VII.24)
6 i+fetg₽	’
Тогда с учетом (VII.24) зависимости (VII.17) и (VII.18) можно
переписать как:
гр =4 В,	(VII.25)
К
W$ = b3B.	(VII.26)
И если выражения (VII.23) и (VII.24) для вычисления В и ур
протабулировать (табл. VI 1.1, VI 1.2), то расчет трещиностойкости
при косом изгибе будет так же прост, как и при обычном изгибе.
Т а б л и ц а VII .1
Значения коэффициента В = — • — ---——
6	1 + ^tgg
&=- b	Угол р... °									
	0	5	10	15	20	25	30	35	40	|	45
4	2,667	1,983	1,588	1,333	1,156	1,027	0,931	0,857	0,799	0,754
3,5	2,042	1,569	1,282	1,091	0,956	0,856	0,781	0,722	0,677	0,643
3	1,5	1,193	0,996	0,861	0,763	0,69	0,634	0,561	0,557	0,536
2,5	1,042	0,858	0,734	0,646	0,58	0,531	0,492	0,462	0,439	0,423
2	0,667	0,57	0,5	0,449	0,411	0,381	0,357	0,339	0,325	0,314
1,5	0,375	0,333	0,301	0,277	0,258	0,243	0,232	0,223	0,217	0,212
1	0,167	0,154	0,144	0,136	0,13	0,125	0,122	0,12	0,118	0,116
1/1,5	0,074	0,07	0,067	0,065	0,063	0,062	0,062	0,062	0,062	0,063
1/2	0,042	0,04	0,039	0,038	0,038	0,037	0,037	0,038	0,038	0,039
1/2,5	0,027	0,026	0,025	0,025	0,025	0,025	0,025	0,025	0,026	0,027
1/3	0,019	0,018	0,018	0,018	0,018	0,018	0,018	0,018	0,019	0,02
1/3,5	0,014	0,013	0,013	0,013	0,013	0,013	0,013	0,014	0,014	0,015
1/4	0,01	0,01	0,01	0,01	0,01	0,01	0,01	0,011	0,011л	0,012
263
ьо	Таблица VII.2
£	Значения ур
к	Угол 0...°																		
	0	5	Ю	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90
4	1,75	2,094	2,2	2,2	2,198	2,172	2,136	2,098	2,061	2,025	1,99	1,957	1,926	1,896	1,866	1,837	1,809	1,78	1,75
3,5	1,75	2,086	2,189	2,2	2,2	2,188	2,159	2,125	2,089	2,052	2,016	1,981	1,947	1,914	1,882	1,849	1,817	1,784	1,75
3	1,75	2,034	2,17	2,2	2,2	2,2	2,182	2,153	2,12	2,084	2,047	2,011	1,974	1,937	1,901	1,864	1,827	1,789	1,75
2,5	1,75	1,998	2,139	2,196	2,2	2,2	2,199	2,18	2,153	2,121	2,085	2,048	2,009	1,969	1,927	1,885	1,842	1,797	1,75
2	1,75	1,957	2,096	2,171	2,2	2,2	2,2	2,2	2,185	2,161	2,13	2,094	2,054	2,011	1,964	1,915	1,863	1,808	1,75
1,5	1,75	1,912	2,036	2,122	2,174	2,199	2,2	2,2	2,2	2,196	2,178	2,15	2,113	2,07	2,019	1,961	1,897	1,827	1,75
1	1,75	1,862	1,958	2,039	2,102	2,149	2,181	2,199	2,2	2,2	2,2	2,199	2,181	2,149	2,102	2,039	1,958	1,862	1,75
1/1,5	1,75	1,827	1,897	1,961	2,019	2,07	2,113	2,15	2,178	2>196	2,2	2,2	2,2	2,199	2,174	2,122	2,036	1,912	1,75
1/2	1,75	1,818	1,863	1,915	1,964	2,011	2,054	2,094	2,13	2,161	2,185	2,2	2,2	2,2	2,2	2,171	2,096	1,957	1,75
1/2,5	1,75	1,797	1,842	1,885	1,927	1,969	2,009	2,048	2,085	2,121	2,153	2,18	2,199	2,2	2,2	2,196	2,139	1,998	1,75
1/3	1,75	1,789	1,827	1,864	1,901	1,937	1,974	2,011	2,047	2,084	2,12	2,153	2,182	2,2	2,2	2,2	2,17	2,034	1,75
1/3,5	1,75	1,784	1,817	1,849	1,882	1,914	1,947	1,981	2,016	2,052	2,089	2,125	2,159	2,188	2,2	2,2	2,189	2,066	1,75
1/4	1,75	1,78	1,809	1,837	1,866	1,896	1,926	1,957	1,99	2,025	2,061	2,098	2,136	2,172	2,198	2,2	2,2	2,094	1,75
В случае когда равнодействующая усилий в напрягаемой арма-
туре не лежит в плоскости действия внешних сил, величина е0
вводится в расчет с поправочным коэффициентом, который для пря-
моугольного сечения имеет вид:
1 +А; tg у Vi +tg2p
1-HtgP ’ 1/1 +tg2y
(VII.27)
где у — угол между осью у и линией, соединяющей точку прило-
жения равнодействующей усилий в напрягаемой арматуре с центром
тяжести сечения (рис. VI 1.5).
Рис. >11.5
Пример VII. 1. Требуется определить величину момента трещинообразо-
вания для элемента прямоугольного сечения (рис. VII.6) при следующих дан-
ных. Сечение напрягаемой арматуры FH — 5,07 см2; величина предваритель-
ного напряжения с учетом всех потерь оа = 3700 кг/см2; точка приложения
равнодействующей усилий предварительного обжатия находится в плоскости
действия внешних сил; эксцентрицитет е0 = 10,5 см. Бетон марки 400; 7?т —
— 17,5 кг/см2. Угол наклона плоскости действия сил Р = 15°.
h 30
Определяем вспомогательные коэффициенты: k ~ b ~~ 15 “ 2; П°
табл. VII.1 находим В — 0,449; по табл. VII.2	= 2,171.
Из зависимостей (VI 1.25) и (VI 1.26):
15
=-----0,449 — 3,37 см;
р 2
UZp = 153-0,449 = 1515 см3;
Wo = FH(ya = 5,07-3700==18 759 кг.
Момент трещинообразования
Л1т = ^(ео4-/-р) + у1’/?т №р= 18 759 (10,5+3,37) +
+ 2,171-17,5-1515 = 317746 кг-см.
.9 Зак. 731
26-5
Пример VII.2. Требуется определить значение момента трещинообразо-
вания для элемента прямоугольного сечения с напрягаемой арматурой,
расположенной в растянутой и сжатдй зонах (рис. VII.5). Дано: FH = 12,7 см2
(5 0 18), рн = 2,24 см2 (2 0 12). Величина предварительного напряжения
с учетом всех потерь: в растянутой зоне оа = 4000 кг/см2, в сжатой зоне
Оа = 4500 кг/см2, е0 = 5 см, RT = 19,5 кг/см2, р = 20°, е' = 27 см.
Определим расстояние между точками приложения равнодействующих
усилий обжатия в растянутой и сжатой зонах:
d' ~ V(е' -Но sin р)2 + (е0 cos р)2 =
= К(27 +5-0,342)2 + (5-0,94)2 =29,1 см;
' 5 • 0,94
sin ф =--------= 0,162.
Т 29,1
Положение точки приложения равнодействующей всех сил обжатия опре-
деляется величиной
FHcrad'	12,7.4000-29,1
ak =------------f—— =--------------------=24,3 см;
0 FH(ra + FH(ra 12,7.4000 4-2,24-4500
do—J^ (do sin ф)2 4-(do cos ф--е')2 =
= V (24,3-0,162)2+ (24,3-0,985—27)2 =4,98 см.
Угол между вертикальной осью сечения и линией No — 0, соединяющей
центр сечения с точкой приложения равнодействующей дбжимающих усилий,
л	е' — d'n cos ф	3
V = — + arctg  , -° / =90 +arctg-—=128°.
d0 Sin ф	- О,оо
По зависимости (VI 1.27) находим
1 +fe tg у Kl+tg2P _ 1-3-1,28	/1 +0,3642
1+AtgP ’ /1 +tg2 у - 1 +3-0,364 ‘ 1/1 + 1,282
Далее находим:
по табл. VII.1 В = 0,763;
по табл. VII.2 ур = 2,2;
rR = — В= —0,763 = 5,08 см;
₽ k 3
UZp=63B=203-0,763« 6100 см3.
Сила предварительного обжатия
Л^о = оа + (Та = 12,7 • 4000 + 2,24- 4500	60 800 кг.
266
Момент трещинообразования
Л1т=^0(~-О,89ео + Гр)+ Yp RT №+ = 60 800 (—0,89-5 + 5,08) +
+ 2,2 • 19,5-6100^300 000 кг-см.
Пример VII.3. Требуется определить момент трещинообразования для
стеновой панели с симметричным армированием (рис. VII.7). Бетон марки 200;
R = 10 кг/см2; FH = 12,25 см2 (8 0 14); величина пред-
варительного напряжения* с учетом всех потерь оа =
= 2500 кг/см2; tg р = 0,1;
Вычисляем
е = 0.
h
k — —
b
120
по зависимости
по зависимости
(VII.22)
(VII.17)
определяем — 1,752;
определяем
bk V1 + tga Р 24-5 1/1 +0,12
₽= 6 ’ l+fetgp ~	6
= 13,4 см?
Рис. VI 1.7
1+0,5
величину момента сопротивления
находим из зависимости
(VII.19):
_ 63fe2 ]/l+tg3p
₽	6	’ 1+fetgP
243 • 52
6
]/1 +0,12
1+0,5
38 600 см3.
Момент трещинообразования
Мт = о ''р + Ят Г= 12 > 25 • 2500 -13,4 +
+ 10-1,752-38 600^ 1 086 000 кг-см.
VII.3. СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ
С ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ
В табл. VI 1.3 приведены данные теоретических расчетов и опыт-
ных по 39 балкам:’ 16 балок серии БПН, испытанных в Полтавском
ПСИ Л. И. Сердюком; 11 балок серий БНА, БНБ и БНВ, испытан-
ных там же В. А. Чернявским, и 12 балок серии ПН, испытанных
в НИИЖБ М. 3. Арафатом.
По отдельным сериям расхождение составило:
для балок серии БНП: от —16,5 до +13,2% при среднем арифме-
тическом расхождении +2,2%;
для балок серий БНА, БНБ и БНВ: от —24,5 до +15,3% при
среднем арифметическом расхождении —9,4%;
для балок серии ПН: от —23,9 до +2,8% при среднем арифме-
тическом расхождении —8,6%.
9*
267
Таблица Vll .3
Сравнение теоретических и эксйериментальных данных
Балка		S w го	Мт> кг«м	X		Балка	OQ.	М~, кг-м о	S м Бн	X	
				1 го	фО X					1 го	м э XI 00%
БПН-10-1	10	2830	3086	—9,1		БНА-12-15	15	4140	4560	—	10,1
БПН-10-2	10	3530	3236	4-8,3		БНА-13-15	15	4480	5575	—24,5	
БПН-20-1	20	2500	2912	—	16,5	БИА-14-15	15	4520	5055	—	11,8
БПН-20-2	20	2750	2740	+0,4		БНБ-22-15	15	7700	7430	+3,5	
БПН-10-3	10	3410	3035	+ Ю.5		БНБ-23-15	15	7250	8410	—	16
БПН-10-4	10	3570	3100	+ 13,2		БНВ-25-15	15	4240	5115	—20,6	
БПН-15-1	15	3325	3280	+ 1,4		БНВ-26-15	15	4160	5165	—24,1	
БПН-15-2	15	3325	3160	+ '		ПН-1-2а	11	. 1458	1484	—	1,8
БПН-15-3	15	3365	3155	+6,2		ПН-1-26	11	1458	1543	—5,8	
БПН-15-4	15	3325	3115	+6,3		ПН-1-За	14	1139	1411	—23,9	
БПН-20-3	20	2650	2755	—4		ПН-1-36	14	1351	1406		+ 1
БПН-20-4	20	2530	2830	—11,8		ПН-Ь4а	20	1139	1260		10,6
БПН-10-5	10	3760	3400	+9,6		ПН-1-46	20	1139	1223	—7,4	
БПН-10-6	10	3780	3300	+ 12,7		ПН-1-6а	30	1534	1491	+2,8	
БПН-20-5	20	3050	3120	—2,3		ПН-1-66	30	1344	1489		10,8
БПН-20-6	20	3370	3205	+4,9		ПН-1-6в	45	1344	1444	—7,4	
БНА-7-15	15	6020	5375	+ Ю,7		ПН-1-10а	45	1294	1459		12,7
БНА-9-15	15	6350	5375	+ 15,3		ПН-1-106	45	1344	1497		Н,4
БНА-10-15	15	4670	4795	—2,7		ПН-1-Юв	30	1344	1487	—10,7	
БНА-11-15	15	4510	5525	—22,5							
Среднее арифметическое Аср=—4,4%
Среднее квадратичное сг=11%
Среднее арифметическое расхождение по всем балкам Дср ~
= — 4,4% при среднем квадратичном отклонении о = 11%.
Эти результаты позволяют рекомендовать предлагаемый метод
для практического использования. Следует, однако, заметить, что
специальных опытов по определению трещиностойкости при косом
изгибе до настоящего времени не проводилось. Все приведенные
опытные данные были получены попутно при исследовании проч-
ности элементов. Поэтому дальнейшее экспериментальное изучение
трещиностойкости при косом изгибе является актуальной проб-
лемой.
ПРИЛОЖЕНИЕ I
НОМОГРАММЫ ДЛЯ РАСЧЕТА НА КОСОЕ ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ. КОЭФФИЦИЕНТЫ
Ф И g, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ПОЛОЖЕНИЕ НЕЙТРАЛЬНОЙ ОСИ
270

«о
ФО
i
кэ
co
dVHdwoi/ndu
274
to
ел
276
ПРИЛОЖЕНИЕ II
ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА НА КОСОЙ ИЗГИБ
Таблица И.1
Прямоугольное сечение
Значения Аож =	^2- ; 61 = —= 0,08; б2 = — = 0,1
	%															
а	0,05	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0 ,7	0,8	0,9	1	1,1	1 ,2	1 ,з	1 ,4	1 ,5
0,01	0,009	0,009	0,009	0,009	0,008	0,008	0,008	0,008	0,007	0,007	0,007	0,006	0,006	0,005	0,005	0,005
0,02	0,018	0,018	0,018	0,017	0,017	0,016	0,015	0,015	0,014	0,014	0,013	0,012	0,011	0,011	0,01	0,01
0,04	0,036	0,036	0,035	0,034	0,033	0,032	0,03	0,029	0,028	0,026	0,027	0,023	0,021	0,021	0,019	0,019
0,06	0,053	0,053	0,052	0,05	0,048	0,047	0,045	0,042	0,04	0,038	0,036	0,033	0,031	0,03	0,028	0,027
0,08	0,07	0,07	0,068	0,066	0,063	0,061	0,058	0,055	0,052	0,049	0,046	0,043	0,041	0,039	0,037	0,035
0,1 •	0,087	0,087	0,084	0,081	0,078	0,075	0,071	0,067	0,063	0,06	0,056	0,052	0,05	0,047	0,045	0,043
0,12	0,103	0,102	0,099	0,096	0,092	0,088	0,083	0,079	0,074	0,07	0,065	0,061	0,058	0,055	0,053	0,05
0,14	0,118	0,117	0,114	0,11	0,106	0,101	0,095	0,09	0,084	0,079	0,074	0,07	0,066	0,063	0,06	0,057
0,16	0,133	0,132	0,129	0,124	0,119	0,113	0,107	0,101	0,094	0,088	0,083	0,078	0,074	0,07	0,067	0,064
0,18	0,148	0,147	0,143	0,137	0,132	0,125	0,118	0,111	0,104	0,097	0,092	0,086	0,081	0,077	0,074	0,07
0,2	0,162	0,161	0,157	0,15	0,144	0,136	0,128	0,121	0,113	0,106	0,099	0,093	0,088	0,084	0,08	0,076
0,22	0,176	0,175	0,17	0,163	0,156	0.147	0,138	0,13	0,122	0,114	0,107	0,1	0,095	0,09	0,086	0,082
0,24	0,189	0,189	0,183	0,176	0,165	0,158	0,148	0,139	0,13	0,122	0,114	0,107	0,102	0,096	0,092	0,088
Продолжение табл. II.1
К
%	* 0,05	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6
0,26	0,202	0,202	0,195	0,188	0,176	0,168	0,158
0,28	0,215	0,214	0,207	0,199	0,186	0,178	0,167
0,3	0,228	0,226	0,219	0,21	0,196	0,188	0,176
0,32	0,24	0,239	0,231	0,221	0,206	0,197	0,185
0,34	0,251	0,25	0,242	0,231	0,215	0,206	0,193
0,36	0,262	0,261	0,252	0,241	0,224	0,214	0,201
0,38	0,273	0,272	0,262	0,251	0,233	0,222	0,208
0,4	0,284	0,282	0,272	0,26	0,241	0,23	0,215
0,42	0,294	0,292	0,282	0,269	0.249	0,238	0,222
0,44	0,303	0,302	0,291	0,278	0,257	0,245	0,229
0,46	0,312	0,311	0,3	0,286	0,264	0,252	0,235
0,48	0,321	0,32	0,308	0,293	0,271	0.259	0,241
0,5	0,33	0,328	0,316	0,3	0,278	0,265	0,247
0,52	0,338	0,336	0,324	0,307	0,284	0,271	0,253
0,54	0,346	0,344	0,331	0,314	0,29	0,277	0,259
0,55	0,349	0,347	0,335	0,317	0,292	0,279	—
Значения Аох, находящиеся ниже
0,7	0,8	0,9	1	1,1	1 ,2	1 ,з	1 Л	1 »5
0,148	0,138	0,13	0,121	0,114	0,108	0,102	0,098	0,094
0,157	0,146	0,137	0,128	0,121	0,114	0,108	0,104	0,099
0,165	0,154	0,144	0,134	0,126	0,119	0,114	0,109	0,104
0,173	0,161	0,151	0,14	0,132	0,125	0,119	0,114	0,109
0,18	0,168	0,157	0,146	0,137	0,13	0,124	0,119	0,114
0,187	0,175	0,163	0,152	0,142	0,135	0,129	0,124	0,118
0,194	0,181	0,169	0,158	0,147	0,14	0,134	0,128	0,122
0,201	0,187	0,175	0,163	0,152	0,145	0,138	0,132	0,126
0,208	0,193	0,181	0,168	0,157	0,15	0.142	0,136	—
0,214	0,199	0,186	0,173	0,162	0,154	0,146	—	—
0,22	0,205	0,191	0,178	0,166	0,158	—	—	—
0,225	0,21	0,196	0,182	0,17	—	—	—	—
0,231	0,215	0,201	—	—	—	—	—	—
0,236	—	—	—	—	—	—	—	—
—	—	—	—	А	—-	—	—	—
—	—	—	—	—	—	—	—	—
жирной черты, относятся ко второму случаю положения нейт-
Примечание,
ральной оси.
Таблица II.2
Г-образное сечение. Свес плиты слева
279
		Значен!		Мх		b	= 1 . ^_ =		= 0,08;	б2= -	-=0,1		
			1Н ож~ Кпр b		/9 h2	Г1	А	1,5 %	х h		ь					
ап	0,02	0,06	0,1	0,15	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
П Л1	0 009	0,009	0,009	0,009	0,009	0,008	0,008	0,008	0,007	0,006	0,006	0,005	0,005
и, U1 0,02 Л Л/1	0,018 0 036	0,018 0,035	0,017 0,034	0,017 0,034	0,017 0,033	0,016 0,031	0,015 0,03	0,015 0,028	0,013 0,025	0,012 0,023	0,011 0,021	0,01 0,019	0,009 0,018
и, ич 0,06 г» ля	0,053 0,069	0,052 0,068	0,05 0,066	0,049 0,064	0,048 0,062	0,046 0,069	0,043 0,055	0,04 0,051	0,036 0,046	0,033 0,042	0,03 0,039	0,028 0,036	0,026 0,036
и, ио Л 1	0,085	0,083	0,081	0,079	0,076	0,072	0,067	0,061	0,056	0,051	0,047	0,043	—
и, 1 0 1 9	0,1	0,098	0,095	0,092	0,089	0,084	0,077	0,071	0,065	0,06	0,055	0,05	—
V , 1 Z Л 14	0,115	0,112	0,109	0,105	0,102	0,095	0,087	0,08	0,074	0,068	0,062	—	—
0,16	0,129	0,126	0,122	0,118	0,114	0,105	0,097	0,089	0,082	0,075	0,069	—	—
0,18	0,143	0,139	0,134	0,13	0,125	0,115	0,106	0,097	0,089	0,082	—	—	—
0,2	0,156	0,152	0,146	0,141	0,136	0,125	0,115	0,105	0,096	0,089	—	—	—
0,22	0,169	0,164	0,158	0,152	0,146	0,134	0,123	0,112	0,103	—	—	—	—
0,24	0,181	0,175	0,169	0,162	0,155	0,142	0,13	0,119	0,109	—	—	’—	—
0,26	0,192	0,186	0,179	0,172	0,164	0,15	0,137	0,126	£				
ьо ОО О .	.						 Продолжение табл. II. 2											
					_	X												
ап	0,02	0,06	0,1	0,15	0,2	0,3	0,4	0,5	о\б	0,7	0,8	0,9	1
0,28	0,203	0,197	0,189	0,181	0,173	0,158	0,144	0,132						 >				
0,3	0,214	0,207	0,198	0,189	0,181	0,165	0,151	—	—-	—	—	—	—
0,32	0,224	0,216	0,207	0,197	0,188	0,171	0,156	—	5>1	—	—	—	—
0,34	0,233	0,225	0,215	0,205	0,195	0,177	—	—	—	—	—				
0,36	0,242	0,233	0,223	0,212	0,202	0,183	—	—	—	—	—	—	—
0,38	0,25	0,241	0,23	0,219	0,208	—	—	—	—	—	—				
°’4	0,258	0,248	0,236	0,225	0,214	—	—	—	—	—	—				
0,42	0,265	0,255	0,242	0,23	—	—	—	—	—	—	—	—		
0,44	0,272	0,261	0,248	—	—	—	—	—	—								
0,46	0,278	0,267	__	—	—	—	—	—	—	—	—				
0,48	0,284	—	—	—	—	—	—	—	—	—	—	—	—
. Примечание. Все значения Аох для Г-образного сечения (табл. II. 1—II.3) относятся к случаю I поло-
жения нейтральной оси, так как случай II возможен только при % = tg ₽ ~ П < 0,005 и практически почти не
встречается.	ь
Таблица II.3
Г-образное сечение. Свес плиты слева
о	.	Ь 1 О ^1	.	02
Значения Лох=----—— при т)' = —	; д1== —= 0,08; 62==—=0,1
К пр 0 0	J 0ц 2	0	О
ап										
	0,02	0,06	0,1	0,15	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7
0,01	0,009	0,009	0,009	0,009	0,008	0,008	0,007	0,006	0,005	0,005
0,02	0,018	0,018	0,017	0,017	0,016	0,015 '	0,014	0,012	0,01	0,009
0,04	0,035	0,035	0,034	0,033	0,032	0,029	0,026	0,022	0,02	
0,06	0,052	0,051	0,049	0,047	0,046	0,041	0,037	0,032	0,028		
0,08	0,067	0,066	0,063	0,061	0,059	0,053	0,047	0,041	0,036	—
0,1	0,082	0,08	0,077	0,074	0,071	0,063	0,056	0,049	—	—
0,12	.0,097	0,094	0,09	0,086	0,082	0,073	0,054	0,057				
0,14	0,11	0,107	0,102	0,097	0,092	0,082	0,072	—				
0,16	0,123	0,119	0,113	0,107	0,102	0.09	0,079	—	—	—
0,18	0,135	0,13	0,124	0,117	0,11	0,097'	—			*			
0	0,146	0,141	0,134	0,126	0,118	0,104	—	—	—	—
0,22	0,157	0,151	0,143	0,134	0,126	—	—	—	—		
0,24	0,167	0,16	0,151	0,142	0,13з	—	i >i	—	—	—
0,26	0,176	0,168	0,159	0,149	0,139	—		—	—,	—
0,28	0,185	0,176	0,166	0,155	—	—	—	—				
0,3	0,192	0,183	0,172	—	—	—	—	—	—		
0,32	0,199	0,189	—	—	—	—	—	—					
0,34	0,206	0,195	—	—	—	—	—	—				
0,36	0,212	—	—,	—	—	—	—	—	—	—
Ю
00
Пр имечание., Все значения Лох для Г-образного сечения (табл. II.1—II.3) относятся к случаю I положения
нейтральной оси, так как случай II возможен только при 1 =	т]<0,005 и практически почти не встречается.
*	о
Таблица II.4
ND
ьо	Тавровое сечение
34#	&	1	Л 1	^2
Значения	п₽и	=~ = Т^;	= f=7= б1= Т=°’°8; ^Т^0’1
ап	X											
	0,02	0,06	0,1	0,15	0,2	|	0,3	0,4	|	0,5	0,6	|	0,7	0,8	0,9
'0,01	0,009	0,009	0,009	0,009	0,009	0,009	0,009	0,008	0,008	0,007	0,007	0,006
0,02	0,018	0,018	0,018	0,018	0,018	0,018	0,017	0,017	0,017	0,016	0,016	0,016
0,04	0,036	0,036	0,036	0,036	0,035	0,035	0,034	0,033	0,032	0,031	0,031	0,0 3_
0,06	0,054	0,054	0,053	0,053	0,052	0,052	0,051	0,049	0,046	0,045	0,044	0,04
0,08	0,071	0,071	0,07	0,07	0,069	0,069	0,067	0,063	0,06	0,057	0,055	0,05
0,1	0,088	0,088	0,087	0,086	0,086	0,084	0,082	0,077	0,074	0,069	0,064	0,06
0,12	0,105	0,105	0,104	0,103	0,102	0,099	0,096	0,091	0,086	0,08	0,073	0,068
0,14	0,121	0,121	0,12	0,119	0,118	0,1_14	0,109	0J04	0,097	0,089	0,082	0,076
0,16	0,137	0,137	0,136	0,134	0,133	0,128	0,122	0,115	0,107	0,098	0,09	0,084
0,18	0,153	0,153	0,151	0,149	0,147	0,141	0,134	0,126	0,116	0,107	0,098	0,091
0,2	0,169	0,168	0,166	0,164	0,161	0,154	0,145	0,136	0,125	0,115	0,105	—
0,22	0,184	0,183	0,181	0,179	0,175	0,166	0,156	0,145	0,133	0,122	0,112	—
0,24	0,199	0,198	0,196	0,194	0,187	0,178	0,166	0,154	0,141	0,129	0,118	—
0,26	0,213	0,211	0,209	0,208	0,199	0,188	0,175	0,162	0,148	0,136	—	—
0,28	0,226	0,224	0,221	0,22	0,211	0,198	0,184	0,17	0,155	0,142	—	—
0,3	0,239	0,237	0,233	0,231	0,222	0,208	0,192	0,177	0,162			
Продолжение табл. II.4
												
п	0,02	0,06	0,1	0,15	0,2	0,3	|	0,4	0,5	0,6	1 °-7 1	0,8	0,9
0,32	0,252	0,249	0,245	0,241	0,232	0,217	0,199	0,184	0,168			—	—
0,34	0,264	0,26	0,256	0,25	0,242	0,225	0,206	0,19	—	—	—	—
0,36	0,275	0,271	0,266	0,259	0,251	0,233	0,213	0,196	—	£1>1	—	—
0,38	0,286	0,281	0,276	0,268	0,259	0,24	0,219	—	—	—	—	—
0,4	0,297	0,291	0,286	0,287	о; 267	0,247	0,225	—	—	—	—	—
0,42	0,307	0,301	0,295	0,285	0,275	0,254	—	—	—	—	—	—
0,44	0,316	0,309	0,303	0,293	0,282	0,26	—	—	—	—	—	—>
0,46	0,324	0,317	0,311	0,3	0,289	0,266	—	—	—	—	—	—
0,48	0,332	0,325	0,318	0,307	0,295	—t	—	—	—	—	—	—
0,5	0,34	0,332	0,325	0,313	0,301	—	—	—	—	—	—	—
0,52	0,347	0,339	0,331	0,319	£,306	—	—	—	—	—	—	—
0,54	0,354	0,345	0,336	0,324	—	—	—	—	—	—	—	—
0,55	0,357	__0_,348	0,338	—	—	—	—	—	—	—	—	—
	Примечания:!. Та пунктирной линии — к случаю			бличные значения Аох для таврового (табл. II.4—II.7) сечения относятся: выше I-а; выше сплошной жирной линии—к случаю П-а; выше двойной пунктирной ли-								
	нии — к случаю II; ;		выше двойной сплошной линии—к случаю 1 положения нейтральной							оси.		
Мх	= ЛОх -^пр	h-		/—	V)		rr и			с	аП	^пр	\	ап==ат)			ь
			|/ ^ох	ИЛИ 11. 	 I / ЯпрЬ	И		Аох ^пр	 ’ 7 а	Ra		“Р'р ^пр	л ; л —	Ь'п 5
			f - - у Гх-1	>Fa; fy=‘	С==А,=	Му fl ?	1		2,5 V	1		
		Уд =				= Л4^ & Я	, и 		. V -— 1+с	0,5 + 2,5%			Уь ’		
го ОО ОЭ			2. Для прямоугольного			сечения 1	’п = 6> 1]' =	— 1 и ап -	= а.			
284
Мх
Значения Лох = -~—— при t]
Rnpbh.2
ап				
	0,02 |	0,06 |	0.1	|	0,15
0,01	0,009	0,009	0,009	0,06'»
0,02	0,018	0,018	0,018	0,018
0,04 ,	0,036	0,036	0,036	0,035
0,06	0,054	0,054	0,053	0,052
0,08	0,071	0,071	0,07	0,069
0,1	0,088	0,088	0,087	0,086
0,12	0,105	0, 105	0,104	0,102
0,14	0,121	0,121	0,12	0,118
0,16	0,137	0,136	0,136	0,134
0,18	0,152	0,151	0,15	0,148
0,2	0,167	0,165	0,163	0,16
0,22	0,181	0,179	0,176	0,172
0,24	0,195	0,192	0,189	0,184
0,26	0,208	0,205	0,202	0,196
0,28	0,221	0,217	0,213	0,207
0,3	0,233	0,229	0,224	0,218
0,32	0,244	0,24	0,235	0,228
0,34	0,255	0,251	2,245	0,237
0,36	0,266	0,260	(Г, 255	0,246
0,38	0,276	0,269	0,264	0,254
0,4	0,285	0,278	0,272	0,262
0,42	0,294	0,286	0,28	0,27
0,44	0,302	0,294	0,287	0,276
0,46	0,309	0,302	0,294	0,282
0,48	0,316	0,308	0,3	0,288
0,5	0,323	0,314	0,306	0,294
0,52	0,329	0,32	0,31 1	
0,54	0,335	0,326		
0,55	0_,23_8	0_,_32_8		
				
Таблица 11.5
Тавровое сечение
b	1 , h'a
b'a 1,5’ V h
1	*	#1	^2
0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	I
0,009	0,009	0,009	0,008	0,008	0,007	0,007	0,006	0,006
0,018	0,018	0,017	0,017	0,017	0,016	 0^,016	0,01J5	0_,0Н5
0,035	0,035	0,034	0,033	0_,032	о_,оз_1	0,029	0,026	0,026
0,052	0,052	0,051	0,048	0,046	0,043	0,04	0,036	
0,069	0,068	0,065	0,062	0,059	0,054	0,051	0,045	
0,086	0,083	0,079	0,075	0,07	0,064	0,059	0,054	
0,101	0,097	0,092	0,087	0,081	0,073	0,067	0,062	
0,116	0,111	0,105	0,098	0,09	0,082	0,075	0,069	
0,13	0,124	0,116	0,108	0,099	0,09	0,082	0,076	
0,143	0,136	0,127	0,118	0,108	0,098	0,089		
0,156	0,148	0,137	0,126	0,116	0,105	0,096		
0,168	0,158	0,146	0,134	0,124	0,112			
0,18	0,168	0,155	0,142	0,131	0,118			
0,191	0,178	0,163	0,15	0,137				
0,201	0,187	0,171	0,158	0,143				
0,211	0,196	0, 179	0,164					
0,22	0,204	0,186						
0,229	0,212	0,192						
0,238	0,219	0,1_98						
0,245	0,225								
0,252	0,231	а> 1						
0,259	0,237							
0,265 0,271								
Таблица 11.6
Тавровое сечение
О L	п 1
Значения Лох=--_ при п'=7^ =
«пр bh	6П 2 h 6
Л	cto
б1=-£ = 0,08; 62 = у = 0,1
ап										
	0,02	0,06	0,1	0,15	0,2	0.3	0,4	0,5	0,6	0,7
0,01	0,009	0,009	0,009	0,009	0,009	0,009	0,008	0,008	0,007	0,006
0,02	0,018	0,018	0,018	0,018	0,018	0,018	0,018	0,017	0,016	0,015
0,04	0,036	0,036	0,036	0,036	0,036	0,036	0,035	0,034	0,032	.0,031
0,06	0,054	0,054	0,054	0,054	0,053	0,053	0,052	0,05	0,048	0,047
0,08	0,071	0,071	0,071	0,071	0,07	0,07	0,068	0,064	0,062	0,061
о,1	0,088	0,088	0,088	0,087	0,087	0,086	0,083	0,078	0;077	0,072
0,12	0,105	0,105	0,105	0,104	0,102	0,101	0,097	0,092	0,09_	0,083
0,14	0,122	0,122	0,121	0,119	0,П8	0,116	0,_1П	0,106	0,1	0,092
0,16	0,139	0,138	0,137	0,136	0,134	0J3	0,125	0,118	0,109	0,099
0,18	0,155	0,154	0,153	0,151	0,15	0,144	0,137	0,128	0,117	0,105
0,2	0,171	0,17	0,168	0,166	0,164	0,157	0,148	0,137	0,124	—
0,22	0,186	0,185	0,183	0,181	0,178	0,169	0,158	0,145	0,131	
0,24	0,201	0,2	0,198	0,195	0,191	0,18	0,167	0,152	0,137	
0,26	0,216	0,215	0,213	0,208	0,203	0,19	0,175	0,159		
0,28	0,23	0,229	0,227	0,219	0,214	0,199	0,182	0,165		
о,з	0,244	0,242	0,239	0,23	0,224	0,208	0,189	0,17		
0,32	0,256	0,253	0,25	0,241	0,233	0,215	0,194			
0,34	0,268	0,264	0,259	0,251	0,242	0,222	0,199			
0,36	0,279	0,274	0~268	0,259	0,25	0,228				
0,38	0,29	0,284	0,277	0,267	0,257	0,233	£1>1			
0,4	0,3	0,293	0,286	0,275	0,264	0,238				
0,42	0,309	0^302	0,293	0,282	0,27					
0,44	0,317	о,зГ	о,з	0,288	0,275					
0,46	0,325	0,317	0,306	0,293	0,28					
0,48	0,332	0,323	0,312	0,298						
0,5	0,338	0,328	0,316							
0,52	0,344	0,333	0,32							
0,54	0,349	0,337								
0,55	0,352									
										
285
Т а б л и ц а II.7
Тавровое сечение
мх	Ь 1 Л'
Значения	при Л' =-^=-; ?' = ~ =
ап	%					
	0,02	0,06	0,1	0,15	0,2	0,3
0,01	0,009	0,009	0,009	0,009	0,009	0,009
0,02	0,018	0,018	0,018	0,018	0,018	0,018
0,04	0,036	0,036	0,036	0,036	0,036	0,036
0,06	0,054	0,054	0,054	0,054	0,053	0,053
0,08	0,071	0,071	0,071	0,071	0,07	0,07
0,1	0,088	0,088	0,088	0,087	0,087	0,084
.	0,12	0,105	0,105	0,105	0,104	0J02	0,098
0,14	0,122	0,122	0,121	0,П9	0,117	0,112
0,16	0,138	0,138	0,137	0,134	0,131	0,125
0,18	0,154	0,154	0,152	0,148	0,144	0,136
0,2	0,169	0,167	0,165	0,161	0,156	0,146
0,22	0,183	0,18	0,177	0,173	0,167	0,155
0,24	0,196	0J93	0,189	0,184	0,178	0,163.
0,26	0,209	0,205	0,201	0,194	0,187	0,171
0,28	0,221	0,216	0,211	0,204	0,196	0,178
о,з	0,232	0,227	0,221	0,213	0,204	0,184
						
1	аг 5; 61=-=0,08; 62		II »| II О		
				
0,4	0,5	0,6	0,7	0,8
0,008	0,008	0,007	0,006	0,006
0,018	0,017	0,016	0,015	0,014
0,035	0,034	0,032	0,031	0_,029
0,052	0,05_	0_,048	0,044	0,041
0,067	0,063	0,061	0,055	0,049
0,08	0,076	0,07	0,063	
0,093	0,086	0,078	0,07	
0,104	0,096	0,086		
0,115	0,105	0,093		
0,124	0,112			
0,133	0,119			
0,14	0,125			
0,147				
0,1’53				
Продолжение табл. II .7
ап	К										
	0,02	0,06	о; 1	0,15	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8
0,32	0,242	0,237	0,23	0,221	0,211	0,19					
0,34	0,252	0,246	0,239	0,229	0,218						
0,36	0,261	0,234	0,246	0,236	0,224						
0,38	0,27	0,262	0,253	0,242	0,229						
0,4*	0,277	0,269	0,259	0,247							
0,42	0,284	0,275	0,265								
0,44	0,29	0,281	0,27								
0,46	0,296	0,286									
0,48	0,301										
П римечания: 1. Табличные значения Лох для таврового (табл. II.4 — II.7) сечения^относятся: выше пунк
тирной линии — к случаю I-а; выше сплошной линии—к случаю II-а; выше двойной пунктирной линии—к случаю II;.
выше двойной сплошной линии—к случаю I положения нейтральной оси.
ND
00
„ Л n L U,. к . /	.	4"f ^7 fl . „
Мх—-^ox^np^n^ > h—1/	л п к НЛИ V Л D	’Fa.— п
У	^ох^пр0	г	^ох^пр	а а
h ' с '	, M„h	1	2,5 V 1
ТА = -; fx=Pfa;/Wx;	Р=—
2. Для прямоугольного сечения Ьп~Ь, т)' = 1 и ап = а.
^п^пр^п^	f	f f b
-------- • ап==аП'=И—--T]'; T)'=V^
^пр	*п
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Байков В. Н. Расчет косоизгибаемых железобетонных элементов
по несущей способности в двух взаимно перепендикулярных направлениях.
«Бетон и железобетон», 1966, № 2.
2.	БоришанскийМ. С. Исследование работы внецентренно сжа-
тых железобетонных элементов. «Проект и стандарт», 1936, № 6 и 7.
3.	Боришанский М. С. Расчет отогнутых стержней и хомутов
в изгибаемых железобетонных элементах по стадии разрушения. М.»
Стройиздат, 1946.
4.	Б у р л а ч е н к о П. М. О сопротивлении железобетонных балок дей-
ствию центрально и внецентренно приложенных поперечных сил. «Известия
вузов». Серия «Строительство и архитектура», 1962, № 5.
5.	Б а б и ч В. И., Руденко Ю. М., Фалеев Л. В. О рациональном
армировании железобетонных элементов прямоугольного сечения с одиночной
арматурой, работающих на косой изгиб. «Известия вузов». Серия «Строитель-
ство и архитектура», 1971, № 3.
6.	Б о р и с о в а М. А., А р а ф а т М. 3. Исследование прочности и тре-
щиностойкости предварительно-напряженных элементов при косом изгибе.
В сб.: «Предварительно-напряженные железобетонные конструкции произ-
водственных зданий и инженерных сооружений». М., Стройиздат, 1969.
7.	Вахненко П. Ф. Расчет на косое внецентренное сжатие железо-
бетонных элементов прямоугольного сечения с несимметричной арматурой.
В сб.: «Строительные конструкции», вып. 1, Киев, «Буд1вельник», 1965.
8.	Вахненко П. Ф. О рациональном размещении арматуры по се-
чению кососжимаемых железобетонных элементов. «Бетон и железобетон»,
1969, № 2.
9.	Вахненко П. Ф., Руденко Ю. М., ТоряникМ. С. Экспе-
риментально-теоретические исследования прочности кососжимаемых желе-
зобетонных элементов. «Известия вузов». Серия «Строительство и архитекту-
ра», 1970, № 2.
10.	В а х н е н к о П. Ф. Расчет прочности кососжимаемых железобе-
тонных элементов на экспериментальной основе. В сб.: «Строительные кон-
струкции», вып. XV. Киев, «Буд1вельник», 1971.
И. Гвоздев А. А. Расчет несущей способности конструкций по методу
предельного равновесия. М., Стройиздат, 1949.
12.	ГольденблатИ. И., Р а т ц Э. Г. Определение напряжений
в стойках прямоугольного сечения при косом изгибе со сжатием. «Социали-
стическая индустрия», 1932, № 12.
13.	ГлазерС. И. Расчет железобетонных балок прямоугольного се-
чения при косом изгибе. «Бетон и железобетон», 1958, № 8.
14.	ГлазерС. И. Расчет железобетонных элементов прямоугольного
сечения на косое внецентренное сжатие. «Бетон и железобетон», 1959, № 9.
15.	К расчету железобетонных элементов на косой изгиб и косое внецен-
тренное сжатие. В сб.: «Строительные конструкции», вып. 15. Киев,
«Буд1вельник», 1971.
16.	Д о л я К. X. К расчету прочности наклонных сечений косоизгиба-
емых ненапряженных железобетонных элементов прямоугольного сечения на
действие изгибающего момента. «Известия вузов». Серия «Строительство и
архитектура», 1968, № 11.
288
17.	Д о л я К. X. Несущая способность косоизгибаемых железобетонных
балок при действии поперечных сил. «Бетон и железобетон», 1969, № 5.
18.	Д о л я К. X. Сопротивление косоизгибаемых железобетонных балок
действию поперечных сил. «Известия вузов». Серия «Строительство и архитек-
тура», 1970, № 55.
19.	Д о л я К. X., Т о р я н и к М. С. Расчет прочности косоизгибаемых
железобетонных балок прямоугольного сечения на действие поперечной силы.
«Бетон и железобетон», 1971, № 1.
20.	Л е с с и г Н. Н. Определение несущей способности железобетонных
элементов прямоугольного сечения при совместном действии изгиба и кру-
чения. «Бетон и железобетон», 1959, № 3.
21.	Л е с с и г Н. Н. Исследование случаев разрушения по бетону желе-
зобетонных элементов прямоугольного сечения, работающих на изгиб с кру-
чением. Труды НИИЖБ. М., Стройиздат, 1961.
22.	Л е с с и г Н. Н. Определение несущей способности железобетон-
ных элементов прямоугольного сечения, работающих на изгиб с кручением.
Труды НИИЖБ, вып. 5. М., Госстройиздат, 1959.
23.	Лопатто А. Э. Расчет сечений и конструирование железобетон-
ных конструкций. Киев, Госстройиздат, 1963.
24.	Мурашкин Г. В. Влияние предварительного напряжения на
прочность и трещиностойкость железобетонных балок, работающих на кру-
чение с изгибом. «Бетон и железобетон», 1965, № 10.
25.	Попович Н. А. Косой изгиб прямоугольного железобетонного
сечения. «Проект и стандарт», 1937, № 6.
26.	Р а т у ш и н с к и й К. Н. Расчет железобетонных стоек, подвержен-
ных одновременному действию продольного усилия и изгиба в двух плоско-
стях. «Строительная промышленность», 1932, № 8.
27.	Р у л л э Л. К. Исследование работы на изгиб с кручением железобе-
тонных балок двутаврового сечения. Труды НИИЖБ. М., Стройиздат, 1970.
28.	Ст о л я р о в Я. В. Введение в теорию железобетона. М., Стройиздат,
1941.
29.	С е р д ю к Л. И. Экспериментально-теоретические исследования проч-
ности обычных^ и предварительно-напряженных элементов прямоугольного,
таврового и Г-образного сечений со стержневой арматурой при косом изгибе.
Диссертация. Новочеркасск, 1966.
30.	Смолин Н. И. Косой изгиб железобетонных балок. Труды Горь-
ковского. ИСИ им. В. П. Чкалова. Юбилейный выпуск, город Горький,
1951,
31.	СНиП глава П-В. 1-62*. «Бетонные и железобетонные конструкции.
Нормы проектирования». М., Госстройиздат, 1962.
32.	Т о р я н и к М. С. Экспериментальное исследование и расчет по ста-
дии разрушения железобетонных стоек, работающих на центральное сжатие
и косой изгиб. Научные записки Полтавского института инженеров сельскохо-
зяйственного строительства, вып. I. Полтава, 1949.
33.	Торяник М. С. Расчет по стадии разрушения железобетонных се-
чений, работающих на косое внецентренное сжатие. «Строительная промыш-
ленность», 1940, № 5.
34.	Торяник М. С. Косое внецентренное сжатие в железобетоне.
Киев, Гостехиздат, 1951.
35.	Т о р я н и к М. С. Расчет железобетонных элементов на косое
внецентренное сжатие. «Строительная промышленность», 1951, № 9.
36.	Г в о з д е в А. А., Л е с с и г Н. Н , Т а л ь К. Э. Некоторые новые
положения расчета и конструирования железобетонных конструкций. Веб.:
«кРасчет и конструирование элементов железобетонных конструкций». М.,
Стройиздат, 1964.
37.	Т о р я н и к М. С. Особенности расчета по предельному состоянию
железобетонных элементов на косое внецентренное сжатие. Тезисы докладов
Всеукраинской научно-технической конференции по бетону и железобетону.
Киев, Госстройиздат, 1956.
289
38.	Т о р я н и к М. С. Расчет на косой изгиб железобетонных элементов.
«Известия вузов». Серия «Строительство и архитектура», 1958, № 6.
39.	Т о р я н и к М. С. Расчет железобетонных балок на косой из-
гиб. «Бетон и железобетон», 1959, № 3.
40.	Т о р я н и к М. С. Расчет на косой изгиб и кручение железобетон-
ных элементов. Тезисы докладов Всеукраинской межвузовской конференции
по вопросам развития строительного производства. Киев, 1959.
41.	ТоряникМ. С. Экономия материалов в сборных железобетонных
конструкциях, работающих на косой изгиб. Тезисы докладов и резолюции
Всесоюзного научного совещания по вопросам удешевления сборных железо-
бетонных конструкций. М., 1959.
42.	ТоряникМ. С. Расчет на косой изгиб железобетонных подкрано-
вых балок, прогонов покрытий и горизонтальных элементов каркасов наруж-
ных стен зданий с двойной и одиночной арматурой. «Бетон и железобетон»,
1960, № 6.
43.	Т о р я н и к М. С. Косое внецентренное сжатие и косой изгиб в же-
лезобетоне. Киев, Госстройиздат, 1961.
44.	Т о р я н и к М. С. Расчет на косой изгиб по несущей способности
предварительно-напряженных железобетонных элементов. «Бетон и железо-
бетон», 1965, № 1.
45.	Т о р я н и к М. С., В а х н е н к о П. Ф. Расчёт на косое внецентрен-
ное обжатие предварительно-напряженных железобетонных элементов, ра-
ботающих на косой изгиб от эксплуатационной нагрузки. В сб.: «Строитель-
ные конструкции», вып. IV. Киев, 1966.
46.	Т о р я н и к М. С., С е р д ю к Л. И. «Опитно-теоретические иссле-
дования на предварительно напрягнати стомано ветонови греди, подложени
на косо отъване». «Техническа мисьл», 1966, № 1.
47.	Т о ц к и й О. Н. Приближенные способы расчета косоизгибаемых же-
лезобетонных элементов. «Бетон и железобетон», 1965, № 1.
48.	Т о ц к и й О. Н. Рациональное размещение арматуры в косоизги-
баемых железобетонных элементах. «Бетон и железобетон», 1965, № 12.
49.	Тихомиров С. А. К вопросу о сопротивлении железобетон-
ных балок действию поперечных сил при изгибе. Диссертация, Л., 1961.
50.	Ф а л е е в Л. В., К у з ь м е н к о А. М. Экспериментально-теорети-
ческие исследования несущей способности железобетонных балок пря-
моугольного сечения, работающих на косой изгиб с кручением. В сб.: «Строи-
тельные конструкции», вып. 11. Киев, «Буд!вельник», 1965.
51.	Ф а л е е в Л. В. Экспериментально-теоретические исследования
несущей способности железобетонных балок таврового сечения, работающих
на косой изгиб с кручением. «Известия вузов». Серия «Строительство и архи-
тектура», 1967, № 2.
52.	Ф а л е е в Л. В. О границе переармирования железобетонных эле-
ментов прямоугольного и таврового сечений, работающих на косой изгиб
с кручением. «Известия вузов». Серия «Строительство и архитектура», 1970,
№ 3.
,	53. Ф р а н к Б. Д. Общий случай расчета прямоугольного железобетон-
/ ного сечения. «Проект и стандарт», 1935, № 5.
54.	III а в е л ь с к и й А. Е. Косой изгиб железобетонных балок. Сбор-
ник работ кафедры инженерных конструкций Белорусского политехническо-
чХо института. Минск. 1939.
55.	Чистова Т. П. Элементы таврового сечения под действием изгиба
и кручения. Труды НИИЖБ. М., Стройиздат, 1970.
56.	Юдин В. К. Работа железобетонных балок прямоугольного сече-
ния на кручение с изгибом. «Бетон и железобетон», 1964, № 1.
57.	Инструкция по проектированию железобетонных конструкций. М.,
Стройиздат, 1968.
58.	Has-Jakobsen A. Ultimate Strength of nonrectangular Structural
Concrete Members. «Journal АС1», Proceedin. V. 58, m. 3, Bept. 1961.
59.	Руководство по проектированию железобетонных конструкций (без
предварительного напряжения». М., Стройиздат, 1968.
290
60.	T op я н икМ. С., В а х н ен к'оП. Ф. Расчет железобетонных эле-
ментов двутаврового сечения на косое внецентренное сжатие с малыми эксцен-
трицитетами. «Бетон и железобетон», 1968, № 6.
61.	ТоряникМ. С., СердюкЛ. И. О проверке прочности сжатой
зоны косоизгибаемых железобетонных элементов. «Известия вузов». Серия
«Строительство и архитектура», 1967, № 11.
62.	Bayer. Doppelt aussermitting beanspruchte Eisenbetonquershnitte
bei Ausschluss der Betonzugspanunden. «Bauing», № 16, 1935.
63.	В r e s 1 e r B. Design Criteria for Reinforced Columns Under Axial
Load and Biaxial Bending. «АС1 journal», № 5, 1960.
64.	Fischer. Uber de Bemessung des Eisenbetonrechteckguerschnittes
im Faile schiefer Biegurig. «Beton und Eisen», № 38, 1939.
65.	G б r n e r O. Zuz Ermittlung der Nullinienlage der Rechteckguerschnit-
tes bei Doppelbiegung und Landskraft. «Bauplanung und Bautechnik», № 9,
10, 1955.
66.	К i s i e 1 Г. Zginanie niesymetryczne W Zelbecie, Warszawa, «Inzynie-
ria i Budownictwo», № 3, 1952.
67.	Loser B. Die Bemessung der Bewehrung Rechteckiguersehuitten bei
zweiachsiger Biegung. «Beton und Eisen», № 6, 7, 1941.
68.	Linder H. Bemessung von Rechteckguerschnitten bei schiefer
Biegung. Beton und Stahlbetonbau. Heft 7, 1959.
69.	N о 1 t e L. Betrag zur Berechnung von Eisenbetongueschnitten auf
schiefe biegung mit und ohne Normalkraft. «Der Bauingenieur», Heft 39/40,
1936.
70.	О p 1 a d e n K. Spanungsnachweise bei schiefer Biegung mit und ohne
Langskraft in beliebigen Querschnitten. «Beton und Stahlbetonbau». Heft 11,
1958.
71.	P u c h e r A. Uber die schiefer Biegung von Eisenbetonstaben. «Bauinge-
nieur», № 21, 1940.
72.	R i c h a r d, F u r 1 о n g. Ultimate Strength of Square Columns Under
Biaxially Eccentric Loads. «АС1 journal», № 9, 1961.
73.	S a g e r W. Ein Verfahren zur Bemessung rechteckiger Eisenbetongu-
crschuitten bei schiefer Biegung mit und ohne Langskraft. «Der Bauindeni-
eur», S. 217, 1941.
74.	S a 1 i g e r R. Schiefe ausmittiger Bruch im bildemnen Bereich. Wien,
1956.
75.	T 6 p f e r H. Beitrag zur Berechnung von zweeiachsig beanspruchten,
rechteckigen Stahlbetonquerschnitten nach dem Traglastverfahren. «Bauplanung
und Bautechnik», Heft 12, 1961.
76.	Werner und Klingberg. Berechnung von rechteckigen Eisen-
betonguerschnitten, die von nieht-axialen Biegungsmomenten beansprucht
sind. «Beton und Eisen», № 37, 1938.
77.	В i s h a r a A. Prestressed Concrete blands beams under combined
torsion, bending and shear. «АС1 journal» № 7, vol. 66, 1969.
78. E v a n s R. H., К h a 1 i 1 M. G. A. The behaviour and Strength of
Prestressed Concrete of Rectangular Beams Subjected to Combined Bending and
Torsion. «The Structural Engineer», vol. 48, № 2, 1970.
79. О s b u r n D. L., Mayogloub, MattokA. H. Strength of Rein-
forced Concrete Beams With Web Reinforcement in Combined Torsion, Shea*,
and Bending. ACI journal, vol. 66, № 1, 1969.
80. S w a m у N. The Behaviour and Ultimate Strength of Prestressed
Concrete Hollon Beams under Combined Bending and Torsion, «Concrete Re-
search», vol. 14, № 40, 1962 (London).	\
81.	Torj anik M. S. Berechnung fon Stahlbetonelementen auf schiefen
exzentrischen Druck. «Bauplanung und Bautechnik», Heft 2, Berlin, 1953.
291
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие..................................................... 3
Введение........................................................ 5
Г лава I. Косое	внецентренное сжатие.............................10
1.1.	Основные	предпосылки.......................................10
1.2.	Двутавровое сечение. Случай больших	эксцентрицитетов .... 12
1.	Основные расчетные уравнения........................12
2.	Подбор сечения арматуры.............................20
3.	Проверка прочности..................................21
1.3.	Двутавровое сечение. Случай малых эксцентрицитетов.........22
1.4.	Другие формы поперечных сечений............... 24
1. Тавровое сечение....................................24
2. Прямоугольное сечение...............................24
1.5.	Рациональные схемы армирования.............................29
1.	Влияние положения нейтральной оси на прочность элемента 29
2.	Схемы армирования кососжимаемых	элементов...........30
1.6.	Расчет прочности кососжимаемых элементов при различных схе-
мах армирования...............................................36
1.7.	Расчет прочности кососжимаемых элементов с использованием но-
мограмм ........................................................39
1.8.	О рациональных формах и соотношениях размеров сечения косо-
сжимаемых элементов.............................................40
1.9.	Учет гибкости кососжимаемых элементов......................43
1.10.	Примеры расчета.......................................... 43
1.11.	Сравнение теоретически вычисленной несущей способности с по-
лученной из экспериментов.......................................56
Глава II. Косой изгиб элементов таврового, Г-образного и прямоуголь-
ного сечений....................................................57
II.	1. Основные положения.......................................57
II.	2. Случай 1 положения нейтральной оси.......................58
А. Элементы с двойной арматурой............................58
1.	Тавровое сечение............................  .	. . 58
2.	Г-образное сечение..................................62
3.	Прямоугольное сечение...............................63
Б.	Элементы с одиночной арматурой.........................64
1.	Тавровое сечение....................................64
2.	Г-образное сечение..................................64
3.	Прямоугольное сечение.............................  65
II.3.	Случай I-а положения нейтральной	оси......................65
А.	Тавровое сечение с двойной арматурой....................65
Б.	Тавровое сечение с одиночной арматурой ............... 67
В.	Г-образное сечение с двойной арматурой..................67
Г.	Г-образное сечение с одиночной арматурой................68
292
11.4.	Случай II положения нейтральной оси........................69
А. Элементы с двойной арматурой..............................69
1.	Тавровое сечение.....................................69
2.	Г-образное сечение...................................70
3.	Прямоугольное сечение................................71
Б. Элементы с одиночной' арматурой .	*......................72
1.	Тавровое сечение.....................................72
2.	Г-образное сечение...................................72
3.	Прямоугольное сечение..............................  72
II.5.	Случай П-а положения нейтральной оси.......................73
А.	Тавровое сечение с двойной арматурой.....................73
Б. Тавровое сечение с одиночной арматурой .................. 74
В.	Г-образное сечение с двойной и одиночной арматурой .... 74
II.6.	Случай III положения нейтральней оси.......................75
А. Элементы с двойной арматурой..............................75
1.	Тавровое сечение..........................*..........75
2.	Г-образное сечение ..................................77
Б. Элементы с одиночной арматурой............................78
1. Тавровое сечение......................................78
2. Г-образное сечение....................................78
II.7.	Симметричное расположение арматуры в растянутой зоне. . 79
П.8. Расчет на косой изгиб элементов таврового и Г-образного сечения
с плитой в растянутой зоне.......................................80
А. Тавровое сечение.........................................80
Случай I положения нейтральной оси........................80
1.	Элементы с двойной арматурой........................80
2.	Элементы с одиночной арматурой.......................82
Сл	учай Л положения нейтральной оси......................82
1.	Элементы с двойной арматурой........................83
2.	Элементы с одиночной арматурой...................... 83
Б. Г-образное сечение.....................................  84
II.9.	Рекомендации по предварительному определению случая поло-
жения нейтральной оси.	Расчетные	таблицы..................85
А.	Тавровое сечение........................................86
1.	Двойная арматура.....................................86
2.	Одиночная арматура...................................86
Б. Г-образное сечение......................................86
1.	Двойная арматура.....................................86
2.	Одиночная арматура...................................87
В.	Прямоугольное сечение...................................87
1.	Двойная арматура.....................................87
2.	Одиночная арматура...................................88
11.10.	Некоторые особенности	расчета	сечений	с двойной арматурой 89
11.11.	Плоский изгиб элементов таврового, Г-образного и прямоуголь-
ного сечений....................................................91
11.12.	Примеры расчета.........................................92
II.	13. Сравнение несущей способности, вычисленной теоретически,
с полученной из экспериментов ................................. 100
II.	14. Расчет прямоугольных сечений на косой изгиб методом аппрок-
симации изостатических кривых...................................101
1.	Расчет сечений с одиночным армированием.............101
2.	Определение предельного армирования...................Ш
3.	Расчет сечений с двойной арматурой..................115
4.	Сравнение несущей способности, вычисленной методом
аппроксимации изостатических кривых, с полученной из экс-
периментов .............................................119
293
Глава 111. Расчет сечений предварительно-напряженных элементов
на косой изгиб по несущей способности (по прочности)............122
111.1/Основные положения........................................122
Ш.2. Случай I положения нейтральной оси ........................123
1.	Двутавровое и тавровое сечения......................123
2.	Г-образное сечение.............................. . . 128
3.	Прямоугольное сечение...............................129
Ш.З.	Случай I-а положения нейтральной	оси....................129
1. Двутавровое и тавровое сечения.......................130
2. Г-образное сечение...................................130
III.4.	Случай II положения нейтральной	оси....................131
1.	Двутавровое и тавровое сечения......................131
2.	Г-образное сечение..................................133
3.	Прямоугольное сечение...............................134
III.5.	Случай П-а положения нейтральной	оси....................134
1.	Двутавровое и тавровое сечения...................  .	134
2.	Г-образное сечение..................................135
III.6.	Случай III положения нейтральной	оси....................135
1.	Двутавровое и тавровое сечения......................135
2.	Г-образное сечение..................................136
III.7.	О расчете элементов таврового и Г-образного сечений с плитой
в растянутой зоне...............................................137
1.	Тавровое сечение....................................138
2.	Г-образное сечение..................................139
III.8.	Примеры расчета сечений предварительно-напряженных-элемен-
тов на косой изгиб по несущей способности........................140
II	1.9. О проверке прочности сжатой зоны бетона сечений при косом
изгибе (о предельном армировании)................................144
III.	10. Определение площади сжатой и растянутой арматуры при
5б >	 148
Глава IV. Расчет несущей способности элементов прямоугольного и
таврового сечений на косой изгиб £	кручением..................151
IV.	1. Основные предпосылки.................................151
IV.2.	Расчет элементов прямоугольного сечения на косой изгиб с кру-
чением ........................................................153
1.	Случай I. Сжатая зона — треугольник...............154
2.	Случай II. Сжатая зона — трапеция.................158
3.	Разграничение случаев расчета.....................160
4.	Анализ основных формул............................162
5.	Примеры расчета...................................165
IV	.3. Расчёт элементов таврового сечения на косой изгиб с кручением 170
1.	Случай	I-а (рис. IV.9)...........................170
2.	Случай	П-а........................................173
3.	Случай 1-6........................................176
4.	Случай	П-б........................................179
5.	Случай	III.......................................182
6.	Определение случаев	положения	нейтральной оси .... 185
7.	Примеры расчета..................................189
8.	Сопоставление экспериментальных и теоретических значе-
ний разрушающего момента.............................195
9.	Определение границы	переармирования..............201
294
Глава I/. Расчет несущей способности предварительно-напряженных
железобетонных элементов, работающих на косой изгиб с кручением
V	.I. Некоторые экспериментальные данные.................... 204
V.	2. Основные положения.....................................207
V.3	. Случай I. Сжатая зона — треугольник....................208
V.4.	Случай II. Сжатая зона — трапеция........................211
V.	5. Определение случая положения нейтральной оси и угла наклона
косых трещин.................................................213
V	.6. Некоторые конструктивные рекомендации..................214
V.	7. Примеры расчета........................................216
Глава VI. Расчет прочности железобетонных элементов по наклонному
сечению при косом изгибе......................................220
VI.	1. Экспериментальные данные...............................220
VI.2	. Основные положения....................................221
VI.	3. Условия прочности наклонных сечений...................224
VI	.4. Расчет прочности наклонных сечений при действии поперечной
силы...........................................:..............224
1.	Случай I. Сжато-срезываемая зона—треугольник . . . 226
2.	Случай II. Сжато-срезываемая зона — трапеция.......227
VI	.5. Дополнительные конструктивные требования, обеспечивающие
прочность наклонных сечений на поперечную силу................234
VI.	6. Расчет прочности наклонных сечений при действии изгибающего
момента.......................................................239
VI.7	. Сравнение теоретической величины разрушающих усилий с эк-
спериментальными данными......................................250
Глава VII, Трещиностойкость бетонных и железобетонных элементов
при косом изгибе .............................................256
VI	I. 1. Расчет трещиностойкости предварительно-напряженных эле-
ментов прямоугольного сечения.................................256
V	I 1.2. Практический метод расчета трещиностойкости.........261
VI 1.3. Сравнение теоретических расчетов с экспериментальными дан-
ными .........................................................267
Приложение I. Номограммы для расчета на косое внецентренное сжа-
тие. Коэффициенты ср и определяющие положение нейтральной оси 269
Приложение II. Таблицы для расчета на косой изгиб.............277
Список литературы ............................................288
РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
ПРИ СЛОЖНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ
Под ред. д-ра техн, наук, проф.
М. С. Торяника
Научный редактор Р. И. Трепененков
Редакция литературы по строительной физике
и конструкциям
Зав. редакцией Т. В. Горячева
Редактор издательства А. В. Болотина
Внешнее оформление художника Б. К- Дормидонтова
Технический редактор 3. С. Мочалина
Корректоры Г. Г. Морозовская, В. С. Якунина
Сдано в набор 11/III 1974 г. Подписано к печати 12/VI 1974 г.
Формат 60Х90х/1в Д. л. Бумага типографская № 3.
18,5 усл. печ. л. (уч.-изд. 18,74 л.) Тираж 14 000 экз.
Изд. № VI-3883. Цена 1 р. 05 к. Зак, тип. 731
Стройиздат
103006, Москва, Каляевская, 23а
**♦
Московская типография № 4 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
Москва, И-41, Б. Переяславская ул., дом 46
ОПЕЧАТКИ
Стра- ница	Строка	Напечатано	Следует читать
18	7-я снизу	О	/O-Kg+y
133	2-я сверху	+Д(оД)-	+ХсоД)-
178	5-я сверху	При	При Ь<и
278	1-я и 2-я снизу	Примечание. Зна- чения АоХ, находя- щиеся ниже жирной черты,	Примечание. Зна- чения Аох, находя- щиеся ниже цифр, набранных жирно
283	8, 9, 12, 15, 17-я снизу	Двойные пунктирные линии	Двойные сплошные линии
Поправка. На стр. 83 текст после формулы (11.176) следует
читать: Коэффициенты и определяются в зависимости от
расположения арматуры в растянутой зоне поперечного сечения:
при расположении арматуры по рис. 11.10, а—по формулам
(11.157) и (11.158); при расположении по рис. 11.10, б —по фор-
мулам (11.157) и (11.159); при расположении по рис. II.11—по
формулам (11.160) и (11.161).
Зак. 731
РАСЧЕТ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
ПРИ СЛОЖНЫХ
ДЕФОРМАЦИЯХ