Сборник задач по физике с решениями и ответами. Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика: Для учащихся 9-11 классов - Долгов А.Н., Протасов В.П., Соболев Б.В.

Автор: Долгов А.Н. Протасов В.П. Соболев Б.В.

Теги: физика термодинамика задачи по физике молекулярная физика

Год: 2001

Похожие

Сборник задач по физике с решениями и ответами. Часть 3. Электричество и оптика: Для учащихся 9-11 классов

Сборник задач по физике с решениями и ответами. Механика

Молекулярная физика и термодинамика. Основные положения и решения задач

Сборник задач по общему курсу физики. Термодинамика и молекулярная физика

Текст

Сборник задач по физике с решениями и ответами. Часть П. Молекуляр-
ная физика и термодинамика: Для учащихся 9-11 классов, абитуриентов и
студентов младших курсов / Подред. А.И. Долгова. М.: МИФИ, 2001. — 108 с.
Авторы: А.Н. Долгов, В.П. Протасов, Б.В. Соболев
Во вторую часть сборника включены задачи по молекулярной физике и термо-
динамике, предлагавшиеся за последние годы на вступительных экзаменах в
МИФИ, в лицеи при МИФИ, а также на олимпиадах им. И.В. Курчатова и
И.В. Савельева. Для основной части задач приведены решения, для задач с одно-
типным решением даны только ответы.
Сборник предназначен для поступающих в МИФИ и физико-математические
лицеи при МИФИ, а также может быть использован студентами младших курсов и
слушателями всех форм подготовительного обучения.
Рекомендован редсоветом МИФИ в качестве учебного пособия
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие............................................4
Задачи Решения
и ответы
1. Газовые законы. Уравнение состояния
идеального газа..............................5 6 42
2. Закон Дальтона................................................. 10 10 52
3. Основы молекулярно-кинетической
теории газа..........................................14 16 63
4. Термодинамика газа...............................18 21 72
5. Теплообмен. Уравнение теплового баланса.
Фазовые переходы.................................... 27 28 89
6. Насыщенные и ненасыщенные пары.
Влажность........................................... 34 35 100
7. Поверхностное натяжение.
Капиллярные явления......................
38 40 105
3

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый сборник задач по молекулярной физике и термо-
динамике является второй частью учебного пособия по физике,
цель которого — оказать помощь учащимся в самостоятельной ра-
боте над физическими задачами. Первая часть пособия «Механика»
издана МИФИ в 2000 г.
В данный сборник включены задачи по основным разделам мо-
лекулярной физики и термодинамики: основы молекулярно-
кинетической теории газа, газовые законы, термодинамика газа,
насыщенные и ненасыщенные пары, теплообмен и фазовые пере-
ходы в термодинамических системах и т.д. Как и в первой части
пособия, каждый раздел начинается с краткого теоретического вве-
дения, которое дает возможность вспомнить ключевые положения
этого раздела физики и поможет в решении задач.
Задачи повышенной сложности отмечены звездочкой.
4
1. ГАЗОВЫЕ ЗАКОНЫ.
УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
Идеальным называют газ, состоящий из молекул или атомов,
взаимодействием и собственным объемом которых можно пренеб-
речь. При давлениях меньших или порядка 10 атм. (~1106Па)
любой газ можно считать идеальным.
Основными макроскопическими параметрами, характеризую-
щими состояние газа в целом, являются объем тела Г. давление Р,
абсолютная температура Т, которая связана с температурой по
шкале Цельсия t формулой:
Т= 1 + 213.
Макроскопические параметры идеального газа связаны уравне-
нием состояния:
pV = — RT = vRT,
Ц
называемым уравнением Клапейрона — Менделеева. Здесь R =
= 8,31 Дж/(моль-К) — универсальная газовая постоянная, m — мас-
ти
са газа, ц — молярная масса газа, v =-количество газа, выра-
Ц
женное в молях.
Газовая постоянная R связана с числом Авогадро NА и посто-
янной Больцмана к = 1,38 • 1023 Дж/К соотношением:
R = kNA.
С учетом этого соотношения уравнение состояния идеального
газа можно записать как
pV = NkT,
5
или
р = пкТ.
Такая форма записи уравнения состояния удобна для описания
смесей газов, так как в этом случае параметры газа не связаны с
сортом частиц.
Уравнение Клапейрона — Менделеева можно считать результа-
том обобщения ряда частных законов.
Закон Бойля — Мариотта. Для данной массы идеального газа
при постоянной температуре (изотермический процесс) произведе-
ние его объема на давление является постоянной величиной:
pV - const.
Закон Гей — Люссака. Для данной массы идеального газа при
постоянном давлении (изобарический процесс) объем газа с изме-
нением температуры изменяется по линейному закону:
V = const • Т .
Закон Шарля. Для данной массы газа при постоянном объеме
(изохорический процесс) отношение его давления к температуре не
изменяется при изменении температуры:
р!Т = const.
ЗАДАЧИ
1.1. В сосуде находится 1 л воды при температуре 27 °C. Чему
стало бы равно давление внутри сосуда, если бы силы притяжения
между молекулами воды внезапно исчезли?
1.2. Сухой воздух по объему состоит на 78 % из азота и на 21 %
из кислорода. Определить для воздуха отношение азота к кислоро-
ду по массе.
1.3. Масса m = 716 мг органического соединения в газообразном
состоянии, имеющего формулу (СзНбО)и при давлении
р -105 Па и температуре t = 200 °C занимает объем V = 243 см^ .
6
Найдите значение параметра п. Атомные массы: углерода
Р1 = 12 г/моль, водорода ц2 = 1 г/моль, кислорода ц3 = 16 г/моль.
1.4. Аквалангисту необходимо определить глубину озера. Ника-
ких иных инструментов, кроме цилиндрической мензурки с деле-
ниями у него нет. Как ему справиться с задачей?
1.5. Два баллона с кислородом вместимостью 2 и 7 л соединили
трубкой. Какое давление установится в баллонах, если до соедине-
ния оно соответственно было равно 1,0 105 Па и 0,52-105 Па?
Температура газа не изменилась.
1.6. Объем некоторой массы идеального газа при изобарическом
нагреве на ДГ = 10 К увеличился на а = 0,03 части от первоначаль-
ной величины. Определить начальную температуру газа.
1.7. Определить температуру газа, находящегося в закрытом со-
суде, если давление газа увеличивается на 0,4 % первоначального
давления при нагревании газа на 1 °C.
1.8. При нагревании некоторой массы идеального газа на Д/ -
- 250 °C его объем увеличился на а = 1/7, а его давление увеличи-
лось на р = 1/2 своего первоначального значения. Какова была пер-
воначальная температура газа?
1.9. В воде всплывает пузырек воздуха. Определить, на какой
глубине пузырек имел вдвое меньший объем, чем у поверхности
воды? Атмосферное давление /?о=1О5Па, плотность воды
р = 103 кг/м3. Изменение температуры, давления пара и искрив-
ление поверхности не учитывать, g = 10 м / с2.
1.10. На какую глубину в жидкости плотности р надо погрузить
открытую трубку длиной L, чтобы, закрыв верхнее отверстие, вы-
нуть столбик жидкости высотой £/2? Атмосферное давление .
1.11. Бутылка, наполненная газом, плотно закрыта пробкой,
площадь поперечного сечения которой Д' = 2,5 см2 . До какой тем-
7
пературы надо нагреть газ, чтобы пробка вылетела из бутылки, ес-
ли сила трения, удерживающая пробку F= 12 Н? Начальное давле-
ние газа в бутылке и наружное давление воздуха одинаковы и рав-
ны р0 = 100 кПа, а начальная температура Tq = 270 К.
1.12. В закрытом сосуде содержится идеальный газ. Во сколько
раз:
а) уменьшится или увеличится его давление, если сократить на
15 % число его молекул;
б) надо уменьшить или увеличить абсолютную температуру га-
за, чтобы его давление уменьшилось на 30 %;
в) надо уменьшить или увеличить объем сосуда, чтобы давление
газа в нем уменьшилось на 25 %?
1.13. Внутри закрытого с обоих концов горизонтального цилин-
дра имеется тонкий поршень, который может скользить в цилиндре
без трения. С одной стороны поршня находится водород массой
W1 = 3,0 г, с другой — азот массой /и2 =21 г. Молярные массы во-
дорода и азота Ц[ = 2 г/моль и ц2 = 28 г/моль соответственно. Ка-
кую часть объема цилиндра занимает водород?
1.14* . В вертикальном закрытом с обоих торцов цилиндре нахо-
дится массивный поршень, по обе стороны которого по одному мо-
лю воздуха при одинаковой температуре. Давление газа в верхней
части сосуда =150кПа, в нижней /?02 =250 кПа. Во сколько
раз был увеличен общий занимаемый газом объем, если при неиз-
менном количестве и температуре газа, а так же массе и размерах
поршня, давление газа в верхней части сосуда стало р\ =50 кПа.
Трение поршня о стенки цилиндра пренебрежимо мало.
1.15* . В вертикальном закрытом с обоих торцов цилиндре нахо-
дится массивный поршень, по обе стороны которого по одному мо-
лю воздуха при одинаковой температуре. Отношение верхнего
объема к нижнему п = 4,0. Каким станет отношение объемов, если
общий объем, занимаемый газом, уменьшить в к = 2,0 раза, а коли-
8
чество и температуру газа, а также массу и размеры поршня оста-
вить неизменными. Трение поршня о стенки цилиндра пренебре-
жимо мало.
1.16* . В вертикальном закрытом с обоих торцов цилиндре нахо-
дится массивный поршень, по обе стороны которого по одному мо-
лю воздуха. При температуре Т = 300 К отношение верхнего объе-
ма к нижнему п = 4,0. При какой температуре это отношение станет
к = 3,0? Трение поршня о стенки цилиндра пренебрежимо мало.
1.17* . В вертикальном закрытом с обоих торцов цилиндре нахо-
дится массивный поршень, по обе стороны которого по одному мо-
лю воздуха при одинаковой температуре. Отношение давления в
нижней части сосуда к давлению в верхней п = 3,0. В обе части до-
бавили равные количества газа и отношение давлений стало к = 2,0.
На сколько увеличили количество газа в цилиндре? Трение поршня
о стенки пренебрежимо мало.
1.18* . Свободно перемещающийся непроницаемый, тонкий и
невесомый поршень делит цилиндрический сосуд объемом V = 100
л на две части. В одну часть сосуда вводят некоторое количество
воды, а в другую некоторое количество газа. В сосуде поддержи-
вают температуру Т = 373 К. Какое давление установится в сосуде,
если в него вводят:
а) От] = 74 г воды, = 10 г водорода;
б) От] = 74 г воды, 1»2 = 74 г углекислого газа;
в) W] = 36 г воды, ~ 2,8 г азота.
Молярные массы; воды Ц] =18 г/моль, водорода Ц]]2 =2г/моль,
углекислого газа Цсо2 ~ 44 г/моль, азота pN2 = 28 г/моль.
9
2. ЗАКОН ДАЛЬТОНА
Если в сосуде находится смесь г различных идеальных газов, то
полное давление газа будет равно сумме их парциальных давлений
(закон Дальтона):
P = ^Pi
1=1
Парциальным называют давление, которое производит каждая
компонента смеси, если она занимает весь объем, т е.
PiV = ^-RT.
Hi
ЗАДАЧИ
2.1 . Определить плотность смеси mj =4г водорода и m2 =32г
кислорода при температуре t = 7 °C и давлении р = 105 Па. Моляр-
ные массы: водорода Ц] = 2 г/моль и кислорода ц2 = 32г/моль.
2.2 . Баллон емкостью И| = 2 л заполнен газом при давлении
Р\ = 12 • 105 Па, другой баллон емкостью К2 = 5 л заполнен тем же
газом при давлении р2 =2,2-105 Па. Какое давление установится в
баллонах, если их соединить тонкой трубкой? Процесс изотерми-
ческий.
2.3 . Какой воздух тяжелее — сухой или влажный (при одинако-
вых температуре и давлении)?
2.4 . Лазерные трубки объемом Ио = 60 см должны заполняться
смесью гелия и неона в молярном отношении £ = 5:1 соответст-
10
венно при общем давлении в трубке Pq = 800 Па. Имеются балло-
ны с этими газами, каждый объемом V= 2 л. Давление в баллоне с
гелием р\ =6670 Па, в баллоне с неоном р^ - 2670 Па. Какое чис-
ло лазерных трубок можно заполнить этим количеством газа?
2.5 . Первоначально перевернутая про-
бирка длины / = 100 см, содержащая воздух
и насыщенный пар, касается открытым кон-
цом поверхности воды. Затем пробирку по-
гружают в воду наполовину, при этом по-
верхность воды в пробирке оказывается на
глубине Н - 45 см. Температура постоянна,
атмосферное давление р0 = 105Па, плотность воды р = 103 кг/м3.
Найдите давление насыщенного водяного пара.
2.6 . Герметичный сосуд заполнен сухим воздухом при атмо-
сферном давлении р -1,01 • 105 Па при (q = 0 °C. В него поместили
некоторое количество воды и нагрели до t= 100 °C. Определите
давление, которое установится внутри сосуда. Рассмотреть сле-
дующие варианты начальных условий:
а) объем сосуда V= 20 л, масса воды т = 19 г;
б) V= 30 л, т = 15 г.
2.7 *. Теплоизолированный сосуд разделен перегородкой на час-
ти объемами Р] и Р’2 В первую поместили V] молей атомарного
газа одного сорта, во вторую — v2 другого при одинаковой темпе-
ратуре. Перегородка абсолютно проницаема для молекул газа пер-
вого сорта и только для них. Определить отношение установив-
шихся давлений в обеих частях. Газ — идеальный.
2.8 *. Теплоизолированный сосуд разделен перегородкой на две
части объемами Г] и Г2 . В первую поместили V] молей атомарно-
го газа одного сорта и v2 — другого при одинаковой температуре,
во второй части — вакуум. Перегородка абсолютно проницаема
для молекул газа второго сорта и только для них. Определить от-
ношение установившихся давлений в обеих частях. Газ — идеаль-
ный.
2.9 . В сосуде объемом V= 0,5 л находится т = 1 г парообразного
йода J 2 . При температуре t = 1000 °C давление в сосуде оказалось
равным /? = 105 Па. Найти степень диссоциации молекул йода J2
на атомы J при этих условиях. Степень диссоциации — отношение
11
числа диссоциировавших молекул к общему числу молекул до дис-
социации. Молярная масса йода J2 равна ц = 254 г/моль.
2.10 *. Объем сосуда, содержащего ненасыщенный водяной пар,
увеличили на а = 20 %, при этом р = 15 % массы пара улетучилось
из сосуда. Затем температуру пара увеличили на у = 50 %, в резуль-
тате 5=10% молекул Н2О распались с образованием молекуляр-
ного водорода Н2 и кислорода О2 . В итоге давление в сосуде из-
менилось по сравнению с первоначальным на Др = 1,0 • 103 Па. Ка-
ково было первоначальное давление пара в сосуде?
2.11 *. Объем сосуда, содержащего некоторое количество угле-
кислого газа СО 2 , уменьшили на а = 10 %, при этом из него уле-
тучилось Р = 20 % газа. Затем газ нагрели на ДТ = 50 К и его давле-
ние увеличилось по сравнению с первоначальным на у = 30 %, при-
чем оказалось, что 5 = 20 % молекул газа распались на молекулы
угарного газа СО и кислорода О2. Какова была первоначальная
температура газа?
2.12 *. Объем сосуда, содержащего молекулярный кислород О2,
увеличили на а = 60 %. Затем количество газа изменили на некото-
рую величину, газ подвергли воздействию излучения, в результате
температура газа увеличилась наР = 30%иу = 90% молекул ки-
слорода превратились в молекулы озона О3. В итоге давление в
сосуде увеличилось на 5 = 40 % по сравнению с первоначальным.
На сколько изменили количество газа в сосуде, если первоначально
в нем содержалось v = 10 молей кислорода?
2.13 *. В сосуде, разделенном пополам перегородкой, находятся
/Я] =2г водорода и /я2=32г кислорода при температуре
Zq = 27 °C и одинаковом давлении. После того как перегородку уб-
рали, и газы прореагировали, установилась температура t = 127 °C
и давление р = 105Па. Определить первоначальное давление в со-
суде. Молярные массы водорода Ц] = 2 г/моль и кислорода
|л2 =32г/модь.
2.14 *. Объем сосуда, содержащего Vj = 2 моля угарного газа СО
и v2 = 1 моль кислорода О2, уменьшили на а = 20 %, при этом из
сосуда было потеряно некоторое количество молекул каждого сор-
12
та, пропорциональное их первоначальному количеству (равные до-
ли). Из числа оставшихся в сосуде, 0 = 60% молекул СО и О 2
вступили в реакцию с образованием углекислого газа СО2 и тем-
пература газа увеличилась по сравнению с первоначальным на у =
= 50 %, а давление на 8 = 20 %. Какое количество молекул газа бы-
ло потеряно из сосуда?
2.15 *. В сосуде, разделенном пополам перегородкой, находятся
Wj = 64 г окиси углерода (СО) в одной части, и m2 = 32 г кислоро-
да (О2) в другой части при температуре Iq = 27 °C. После того как
перегородку убрали и газы прореагировали, установилась темпера-
тура t = 127 °C и давление р = 4 • 104 Па. Определить первоначаль-
ное давление в обеих частях сосуда.
2.16 *. В сосуде, разделенном пополам перегородкой, находятся
л?! = 40 г окиси углерода (СО) в одной части и m2 = 32 г кислорода
(О2) в другой части при температуре Zq =27 °C. После того как
перегородку убрали и газы прореагировали, установилась темпера-
тура /= 127 °C и давление р = 4 • 104 Па. Определить первоначаль-
ное давление в обеих частях сосуда.
13
3. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ ГАЗА
Молекулярно-кинетическая теория объясняет свойства макро-
скопических тел (т е. состоящих из очень большого числа частиц) и
процессов в них протекающих на основе представлений об их мик-
роскопическом строении, т.е. исходя из того, что вещества состоят
из мельчайших беспорядочно движущихся частиц (атомов, или мо-
лекул), которые взаимодействуют друг с другом.
Ввиду малости масс атомов и молекул их значения приводят не
в абсолютных величинах, а в относительных, т.е. сравнивают их с
некоторой эталонной массой. В качестве эталона берут ~ массы
атома углерода и относительной молекулярной (или атомной) мас-
сой вещества Мг называют отношение массы данной молекулы
или атома к массы атома углерода. При таком выборе эталона
относительные массы атомов и молекул близки к целым числам.
Единицей количества вещества в СИ служит моль. В одном мо-
ле вещества содержится столько же молекул или атомов, сколько
12
атомов содержится в 0,012 кг углерода С (т.е. углерода с отно-
сительной атомной массой Мr = 12).
В одном моле любого вещества содержится одно и то же число
атомов или молекул. Это число
Na =6,02-1023 ——
моль
называют постоянной Авогадро.
Количество вещества v равно отношению числа молекул в теле
А к постоянной Авогадро:
N
v =---.
14
Масса любого тела
т = mqN ,
где т0 — масса одной молекулы.
Молярная масса вещества
Ц = ~nA-
Концентрация молекул равна числу молекул в единице объема
Согласно основному уравнению молекулярно-кинетической
теории давление идеального газа р пропорционально произведению
концентрации молекул п на среднюю кинетическую энергию < Е >
поступательного движения молекул:
2
р=—п<Е >,
3
m0<v2> 2
где < Е >=--------, < v > — средний квадрат скорости моле-
кул.
Из этого уравнения и уравнения Клапейрона — Менделеева, за-
писанного в виде
р = пкТ
следует
3
<Е>=—кТ.
2
Как видим, абсолютная температура есть мера кинетической энер-
гии поступательного движения молекул. При абсолютном нуле
температуры (Т = 0) прекращается поступательное движение моле-
кул.
15
ЗАДАЧИ
3.1. Оцените размер молекулы воды в жидком состоянии при
нормальных условиях.
3.2. Оцените среднее расстояние между молекулами воздуха при
нормальных условиях.
3.3. Оцените среднюю длину пробега молекул газа между двумя
последовательными столкновениями с другими молекулами, если
—10 25 —3
их диаметр t/= 3 10 м, а концентрация и = 3 • 10 м
3.4. Скорость движения газовых молекул при обычных условиях
измеряется сотнями метров в секунду. Почему процесс взаимного
проникновения (диффузии газов) происходит с гораздо меньшими
скоростями?
3.5. Почему броуновское движение особенно заметно у мелких
взвешенных частиц, а у более крупных оно менее заметно?
3.6. Чему равна средняя энергия поступательного движения мо-
лекулы водорода, если т = 2,5 кг его занимая объем V = 2 м3, про-
изводит давление р -1,5 • 105 Па? Na = 6-1023 моль-1.
3.7. Оцените скорость молекул воздуха при нормальных услови-
ях (/= 0 °C, р = I05 Па). Молярная масса воздуха ц = 29 г/моль.
3.8. Оцените скорость молекул идеального газа, имеющего
плотность р = 1,8 кг / м3 при давлении р = 1,5 • 105 Па.
3.9. Средняя длина пробега молекулы водорода между двумя
последовательными столкновениями с другими молекулами
I = 1-10-7 м. Оцените длительность промежутка времени между
двумя последовательными столкновениями. Молярная масса водо-
рода ц - 2 г/моль, условия — нормальные: t = 0 °C, р = 105 Па.
3.10. Оцените среднюю длину пробега молекулы углекислого
газа между последовательными столкновениями с другими моле-
кулами при нормальных условиях (Z = 0 °C, р = 105 Па), если число
столкновений каждой молекулы с другими в среднем за 1 секунду
v = 9 • 109 . Молярная масса углекислого газа ц = 44 г/моль.
3.11. В закрытом сосуде содержится идеальный газ. Во сколько
раз уменьшится или увеличится его давление, если средняя квадра-
тичная скорость его молекул увеличится на 20 %?
16
3.12* . В длинной гладкой теплоизолированной трубе находятся
теплоизолированные поршни массами и m2, между которыми
в объеме находится одноатомный газ при давлении р^ . Порш-
ни отпускают. Определите их максимальные скорости, если масса
газа много меньше массы каждого поршня.
3.13. Почему в атмосфере Земли, практически, отсутствуют мо-
лекулы водорода, а у Луны вообще нет атмосферы?
3.14* . Оцените число ударов молекул воздуха о поверхность
2
оконного стекла площадью 5 = 1 м со стороны аудитории за ин-
тервал времени At = 1 с. Температура воздуха в аудитории t -
- 21 °C, давление р = 105 Па, молярная масса воздуха ц =
= 29 г/моль.
3.15* . Метеорит пробивает в обшивке космического корабля от-
2
верстие площадью 5 = 1 мм . Объем жилых помещений корабля
И = 103 м3, температура воздуха в них / = 27°С при давлении
р = 105 Па, молярная масса воздуха ц = 29 г/моль. Оцените, сколь-
ко времени у космонавтов в запасе, чтобы одеть скафандры?
17
4. ТЕРМОДИНАМИКА ГАЗА
Термодинамика изучает поведение не отдельных молекул, а по-
ведение вещества в целом вне связи с каким-либо конкретным
представлением о внутреннем строении тел и особенностей движе-
ния образующих их частиц.
Термодинамическое описание основывается на введении важ-
нейшего понятия — состояние системы, которое для химически
однородной среды определяется совокупностью ее термодинами-
ческих параметров — параметров состояния, т е. физических ве-
личин, которые характеризуют макроскопические свойства систе-
мы. Такими параметрами являются, например, объем системы, ее
масса, удельный объем, занимаемый единицей массы вещества,
полная энергия, температура и т.д. Если состояние системы не из-
меняется во времени, то оно называется стационарным. Равновес-
ное состояние — такое стационарное состояние системы, которое
не обусловлено влиянием внешних сил. Равновесное состояние га-
за, например, характеризуется и таким параметром, как давление.
Между тремя основными параметрами состояния газа существует
функциональное соотношение, называемое уравнением состоя-
ния. Для идеального газа таким соотношением является уравнение
Клапейрона— Менделеева (см. разд.1). В равновесном состоянии
реализуется определенное распределение молекул по скоростям и
энергиям.
Всякое изменение состояния системы (тела) называется термо-
динамическим процессом. В любом процессе происходит измене-
ние параметров системы. Равновесным называется процесс, при
котором система проходит непрерывный ряд равновесных состоя-
ний. При равновесном процессе состояние системы должно ме-
няться бесконечно медленно. Все реальные процессы протекают с
конечной скоростью и поэтому являются неравновесными. Лишь в
18
отдельных случаях неравновесностью реальных процессов можно
пренебречь.
В термодинамике рассматриваются процессы, для которых про-
межуточные состояния незначительно отличаются от равновесных
систем. Наиболее полные представления о свойствах большого
числа частиц дает совместное использование термодинамики и мо-
лекулярной физики.
Первый закон термодинамики представляет собой обобщен-
ный закон сохранения энергии: если механическая энергия систе-
мы неизменна, то сообщаемое системе количество теплоты О равно
сумме изменения (приращения в математическом смысле) внут-
ренней энергии АП и работы, совершенной системой над внешни-
ми телами
Q = &U + A.
Внутренней энергией (обычно) называется сумма кинетической
и потенциальной энергий взаимодействия молекул. Например,
внутренняя энергия идеального газа равна сумме кинетических
энергий молекул. В случае одноатомного газа — это кинетическая
энергия поступательного движения молекул
U = M<E>=-NkT = --—RT = -- — -RT = -pV.
2 2 Na 2 ц 2
В случае двухатомного газа необходимость учета кинетической
энергии вращательного движения молекул приводит к выражению:
тт 5 „ 5 т 5 т,
U = —NkT =----RT = — pV.
2 2 ц 2
Теплота и работа — с одной стороны, это две формы передачи
энергии, а с другой — меры переданной энергии. Теплота и работа
обладают тем общим свойством, что они существуют лишь в про-
цессе передачи энергии, а их величина (и знак) зависят от вида это-
го процесса. Процесс передачи энергии без совершения работы на-
зывается теплообменом Система называется теплоизолирован-
ной, если между ней и окружающей средой отсутствует теплооб-
мен. В результате столкновения молекул в области соприкоснове-
ния двух тел, имеющих различную температуру, возникает поток
19
энергии через границу раздела этих тел в направлении убывания
температуры. Этот способ передачи энергии называется теплопро-
водностью. Другой способ — конвекция — связан с переносом
вещества в виде течений, возникающих в жидкостях и газах и
стремящихся к выравниванию температуры в среде. Передача теп-
лоты (т.е. энергии) возникает и в случае излучения и поглощения
телом электромагнитных волн.
Работой идеального газа называет-
ся работа, которую совершает газ про-
тив сил внешнего давления
^2
А = J p(V) dV,
при расширении газ совершает положительную работу, при сжа-
тии— отрицательную. На диаграмме состояния в координатах
р - V (давление — объем) работа, совершаемая в любом процессе
(на рисунке I - 2), количественно определяется площадью трапе-
ции (1 - 2 -V2 -Hj) под графиком процесса. В случае изобариче-
ского процесса А = р(У2 ~ И)
Второй закон термодинамики (формулировка Клаузиуса) гла-
сит: теплота не может самопроизвольно переходить от менее на-
гретого тела к более нагретому (т.е. для передачи теплоты от хо-
лодного тела к горячему необходимо совершить работу). Второй
закон термодинамики связан с необратимостью реальных про-
цессов в макроскопических системах и указывает направление
возможных энергетических превращений. Процесс является обра-
тимым, если при совершении его сначала в прямом, а затем в об-
ратном направлении в исходное состояние возвращается как сама
система, так и все внешние тела. Необходимым и достаточным ус-
ловием обратимости термодинамических процессов является их
равновесность.
Теплоемкостью называется физическая величина, численно
равная количеству теплоты, которой надо сообщить телу, чтобы
нагреть его на один градус:
Удельная и молярная теплоемкость — теплоемкость единицы
С
массы однородного вещества с - — и одного моля вещества
т
Сц = с-р соответственно. Теплоемкость идеального газа, впрочем
как и других физических систем, характеризует не столько саму
систему, сколько происходящий в ней процесс. При совершении
изохорического процесса для всех одноатомных идеальных газов
молярная теплоемкость
cv =-R
2
(двухатомных Су = — R).
можно представить в виде
Внутреннюю энергию идеального газа
Л т'Г
U = с\—Т .
Ц
В изобарическом процессе молярная теплоемкость любого идеаль-
ного газа
с р ~ cv *" К
ЗАДАЧИ
4.1. Сообщалось ли идеальному газу те-
пло в процессе, для которого зависимость
объема от абсолютной температуры имеет
вид, показанный на рисунке?
4.2. График зависимости давления иде-
ального газа от абсолютной температуры
приведен на рисунке. Сообщалось ли этому
газу тепло?
4.3. При расширении идеального газа его
давление изменялось в соответствии с кри-
вой 1 —> 2, расположенной между изотер-
мой и адиабатой (рисунок). Сообщалось ли
этому газу тепло и как менялась его темпе-
ратура?
21
4.4. Какую работу совершат т = 6 кг водорода, расширяясь при
изобарическом нагревании от = 5 °C до t2 = 155 °C?
4.5. Одноатомный идеальный газ в количестве 1 моль находится
в закрытом сосуде при температуре 27 °C. Какое количество тепло-
ты надо сообщить газу, чтобы его давление повысилось п = 3 раза?
4.6. В теплоизолированном сосуде в начальный момент времени
находится одноатомный идеальный газ при температуре Tq = 300 К
и кусочек железа массой т = 0,2 кг при температуре Т- 500 К. На-
чальное давление газа />0=105 Па, его объем V = 1000 см3.
Удельная теплоемкость железа С = 450 Дж/(кг К). Найдите давле-
ние газа в равновесном состоянии.
4.7. Состояние v молей идеального газа
3 изменялось сначала по изохоре 1-2, затем
по изобаре 2-3. Отношение давлений в со-
стояниях 1 и 2 задано: р2 / р\ = к . Известно.
F 3 7-
г что в состоянии 3 температура газа равна 1.
Определить работу, совершенную газом в
процессе 1-2-3. На графике 0-1-3 —
прямая.
3 4.8. Состояние v молей идеального газа
изменялось сначала по изобаре 1-2, затем
2 по изохоре 2-3. При этом газом совершена
у работа Л. Отношение объемов в состояниях 1
и 2 задано: V2 IV\ = к . Известно, что в со-
стоянии 1 температура газа равна Т. Опреде-
лить температуру газа в состоянии 3. На
графике 0-1-3 — прямая.
Г
4.9. Состояние v молей идеального газа
изменялось вначале по изобаре 1-2, затем
по изохоре 2-3. При этом газом совершена
работа А. Отношение давлений в состояниях
2 и 3 задано: р2/ р$=к . Известно, что тем-
пература в состоянии 3 равна температуре в
состоянии 1. Определить эту температуру.
22
4.10. Одноатомный идеальный газ в количестве 1 моля находит-
ся в закрытом сосуде при температуре 27 °C. Какое количество те-
плоты надо сообщить газу, чтобы его давление повысилось в 3
раза.
4.11. Состояние v молей идеального газа
изменялось сначала по изохоре 1-2, затем
по изобаре 2-3. При этом газом совершена
работа А. Известно, что температура в со-
стоянии 1 совпадает с температурой в со-
стоянии 3 и равна Т. Определить отношение
объемов в состояниях 3 и 2: / К2 .
з
4.12. При изобарическом нагревании газа от /] = 20 °C до
= 50 °C газ совершает работу А = 2,5 кДж. Определить число мо-
лекул N газа, участвующих в этом процессе.
4.13. Найти работу изобарического расширения v = 2 молей иде-
ального газа, если известно, что концентрация молекул в конечном
состоянии в q = 2 раза меньше, чем в начальном при температуре
Т} = 300 К.
4.14* . Некоторый газ расширяется от объема К] =1л до объема
К2 - 11 л. Давление при этом меняется по закону р = а -V , где а =
= 4 103 Па /м3 . Найти работу А, совершенную газом.
4.15* . Газ расширяется от объема Г] = 3 м3 до объема V2 = 5 м3
так, что давление меняется по закону р = а - h • V , где а =
= 3,5-104 Па и h = 0,5 • 104 Па/м3 . Найти работу А, совершенную
газом в этом процессе.
4.16. Один моль идеального газа изохорически перевели из со-
стояния 1 в состояние 2 так, что его давление уменьшилось в
п= 1,5 раза. Затем газ изобарически нагрели до первоначальной
температуры Д . При этом газ совершил работу А = 0,83 кДж. Оп-
ределите величину 7].
23
4.17. В теплоизолированном цилиндре под теплонепроницае-
мым поршнем находится одноатомный идеальный газ с начальным
давлением /?о=1О5Па, объемом Г0=Здм3 и температурой
То = 300 К. При сжатии газа над ним совершили работу А = 90 Дж.
Найдите температуру газа после сжатия.
4.18. На сколько увеличится внутренняя энергия одноатомного
идеального газа в процессе изобарического расширения, если газу
сообщили при этом количество теплоты Q - 30 кДж?
4.19. Некоторое количество идеального одноатомного газа уча-
ствует в процессе, в ходе которого сначала давление газа изохори-
чески увеличили в п = 2 раза, а затем его объем изобарически уве-
личили в к = 3 раза. Какое количество теплоты сообщают газу в
указанном процессе? Начальное давление и объем газа pQ = 105 Па
и Vq ~ 100 л соответственно.
4.20. Водород массой т = 0,5 кг участвует в процессе, в ходе ко-
торого сначала его давление изохорически уменьшают в п = 5 раз, а
затем его объем изобарически увеличивают таким образом, что на-
чальная и конечная температуры газа в процессе совпадают. Мо-
лярная масса водорода Ц - 2 г/моль. Какую работу совершил газ в
указанном процессе, если его начальная температура То =500 К?
4.21. При изобарном расширении т = 20 г водорода его объем
увеличился в п = 2 раза. Начальная температура газа 7’= 300 К. Оп-
ределите работу газа при расширении. Молярная масса водорода
р. = 2 г/моль.
4.22. В теплоизолированный цилиндрический сосуд, закрытый
легко перемещающимся практически невесомым поршнем, помес-
тили v молей атомарного газа при температуре То . Начальный
объем газа — Ко. В результате поршень двигается до тех пор, пока
объем газа не увеличится до V. Во сколько раз уменьшилась при
этом температура газа, если давление окружающей среды остается
постоянным. Газ — идеальный.
24
4.23. Один моль одноатомного газа, имевшего температуру О °C,
нагревается при постоянном давлении. Какое количество теплоты
необходимо сообщить газу, чтобы его объем удвоился? Какая ра-
бота при этом будет совершена газом?
4.24. В теплоизолированный сосуд поместили Vj молей атомар-
ного газа при температуре и v2 молей при температуре . Оп-
ределить установившуюся температуру газа. Газ — идеальный.
4.25* . Считая известной молярную теплоемкость газа при по-
стоянном объеме су, вывести формулы для величины молярной
теплоемкости идеального газа для процессов, описываемых зако-
нами:
\ а
а) Р = - ',
б) v = --
7
в) И=а7'2;
г) р -aV.
В этих формулах р, V, Т— давление, объем и температура (по
абсолютной шкале) газа соответственно; а — некоторая изначаль-
но заданная константа.
4.26 *. Один моль идеального одноатомного газа участвует в
термодинамическом процессе, для которого его теплоемкость ме-
няется по закону c = R(Tq ГТ~), где Tq =300 К. При какой темпе-
ратуре объем газа будет максимальным?
4.27 *. Один моль идеального одноатомного газа участвует в
термодинамическом процессе, для которого его теплоемкость ме-
няется по закону с - R(Tq /Т), Tq = 400 К. При какой температуре
давление газа будет минимальным?
4.28 *. Один моль идеального одноатомного газа участвует в
термодинамическом процессе, для которого его теплоемкость ме-
няется по закону с = R(T2 /Tq) , Tq = 300 К. При какой температу-
ре давление газа будет максимальным?
25
4.29 *. Один моль идеального одноатомного газа участвует в
термодинамическом процессе, для которого его теплоемкость ме-
няется по закону с = R(T / Tq ), 7q = 400 К. При какой температуре
объем газа будет минимальным?
4.30 *. В двух объемах находится: в одном = 1019, а в другом
N2 = 0,4-1019 молекул одного и того же газа. В исходном состоя-
нии внутренняя энергия первого объема газа была на AU = 1,9 Дж
больше, второго. Объемы приводят в тепловой контакт. В устано-
вившемся состоянии средняя энергия, приходящаяся на одну моле-
кул в первом объеме уменьшилась на 25 %. Какова внутренняя
энергия газа в первом объеме в исходном состоянии? Газ — иде-
альный. Теплообмен с внешней средой отсутствует.
26
5. ТЕПЛООБМЕН. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОВОГО
БАЛАНСА. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ
При термодинамическом равновесии могут возникнуть неодно-
родные системы, при которых исходная система распадается на
несколько фаз — жидкость, твердое тело и газ. Их равновесное со-
существование называется фазовым равновесием. Процесс пере-
хода фаз друг в друга при изменении температуры и давления на-
зывается фазовым превращением. Переход из одной фазы в дру-
гую при определенных давлении и температуре сопровождается
выделением или поглощением некоторого количества теплоты, что
является следствием изменения внутренней энергии системы. Вы-
ражением закона сохранения энергии для системы, претерпеваю-
щей фазовые превращения, является уравнение теплового баланса,
устанавливающее, что в замкнутой системе общее (суммарное) ко-
личество выделившейся теплоты равно общему количеству погло-
щенной теплоты.
Плавлением называется переход вещества из кристаллического
состояния в жидкое, при этом поглощается количество теплоты
Q = X чп, где т — масса вещества, X — удельная теплота плавле-
ния. Кристаллизация — образование кристаллического тела из
жидкости, сопровождающееся выделением количества теплоты
Q = X • т . Испарение — переход вещества из жидкого состояния в
газообразное, для чего при постоянной температуре жидкости не-
обходимо передать количество теплоты О = г| • т, где г| — удель-
ная теплота парообразования. Обратный процесс — конденсация.
Кипением называется процесс перехода жидкости в пар, происхо-
дящий в результате образования в объеме жидкости пузырьков,
заполненных насыщенным паром, всплывающих к поверхности
жидкости. Для образования пузырьков необходимо, чтобы давле-
27
ние насыщенного пара превосходило внешнее давление, близкое в
обычных условиях к атмосферному. Поэтому условие кипения
жидкости в открытом сосуде имеет вид />ш1 (У) = ратм. Центрами
парообразования (как и других фазовых переходов) являются не-
однородности, например, частицы примесей.
ЗАДАЧИ
5.1. В тающий снег поместили пробирку со льдом, имеющим
температуру О °C. Будет ли таять лед в пробирке?
5.2. Почему электрическая лампочка заполняется инертным га-
зом до давления, существенно меньшего атмосферного?
5.3. Вода в стакане замерзает при О °C. Если это воду расчленить
на маленькие капельки, то вода в некоторых из них может быть
переохлаждена до -40 °C. Так, капельки воды, из которых состоят
облака, обычно начинают замерзать при температуре ниже -17 °C.
Как объяснить этот факт?
5.4. Как можно охладить воду ниже 0 °C так, чтобы она не за-
мерзала?
5.5. Почему при первых морозах водоемы легче замерзают, если
идет снег?
5.6. Какое вещество служит лучшим охладителем — речной лед
или снег, взятые при одинаковой температуре?
5.7. Как можно нагреть воду выше 100 °C так, чтобы она не за-
кипала?
5.8. Может ли кипеть вода в кастрюле, плавающей в другой ка-
стрюле с кипящей водой?
5.9. Имеется сосуд с расплавленным веществом и кусочек того
же вещества в твердом состоянии. Как, не дожидаясь затвердева-
ния, предсказать, что произойдет с объемом вещества при переходе
в твердое состояние?
5.10. Пламя горелки коптит. Если подвести сверху вертикаль-
ную стеклянную трубку, то копоть пропадает, однако появляется
снова, если трубку закрыть сверху. Объясните это явление.
28
5.11. Нормальная температура человека равна 36,4-36,6 °C. По-
чему человеку не холодно при 25 °C и очень жарко при 37 °C?
5.12. Известно, что для измерения температуры ртутным термо-
метром нужно 5-10 мин, а для того, чтобы сбросить ртуть, когда
термометр вынут, достаточно иногда секунды. Почему это проис-
ходит?
5.13. Почему ожоги паром опаснее ожогов кипятком?
5.14. Почему крупные озера редко сразу замерзают от берега до
берега, в то время как малые на той же широте покрываются
сплошным слоем льда?
5.15. Возможно ли понизить температуру воздуха в помещении,
если открыть дверцу включенного в электросеть бытового холо-
дильника?
5.16. Каким образом можно увеличить внутреннюю энергию го-
рячего тела за счет уменьшения внутренней энергии холодного те-
ла?
5.17. На рисунках (а, б) даны графики изменения объема свинца
и воска при нагревании. На каком из графиков представлена соот-
ветствующая зависимость для свинца, а на каком для воска?
5.18. Два образца одного металла, об-
ладающие различной температурой, при-
вели в соприкосновение. По графику за-
висимости температуры образцов от
времени определить, у какого из образ-
цов масса больше. Потери тепла во
внешнюю среду отсутствуют.
29
ды г = 2,54-106 Дж/кг.
Л, = 3,35 • 1О5 Дж/кг.
5.19. Нагретое тело опустили в со-
суд с жидкостью. По графику зависи-
мости температуры тела и сосуда с
жидкостью от времени определить, чья
теплоемкость больше: тела или сосуда
с жидкостью. Потери тепла во внеш-
нюю среду отсутствуют.
5.20. По графикам зависимости тем-
пературы тел от сообщенной им тепло-
ты определить, у какого из тел удель-
ная теплоемкость больше, если массы
тел равны.
5.21. По графикам зависимости тем-
пературы тел от сообщенной им тепло-
ты определить, у какого из тел больше
масса, если удельные теплоемкости тел
одинаковы?
5.22. Из колбы, в которой находи-
лось т = 575 г воды при О °C, откачи-
вают воздух и водяные пары, благодаря
чему часть воды в колбе замерзает. Оп-
ределить массу образовавшегося льда.
Удельная теплота парообразования во-
удельная теплота плавления льда
5.23. До какой температуры нужно нагреть алюминиевый куб,
поставленный на лед при t = О °C, чтобы куб полностью в него по-
грузился? Испарением воды пренебречь. Удельная теплоемкость
алюминия с = 9,2-102 Дж/(кгград), удельная теплота плавления
льда Х = 3.35-105 Дж/кг, плотность льда и алюминия, соответст-
венно, р1 =0,9 г/см3 и р2 =2,7 г/см3.
5.24. В алюминиевый чайник массой т\ = 0,5 кг налили воду в
количестве /и2 = кг ПРИ температуре /] = 20 °C и поставили на
30
электроплитку с КПД п = 30 %. Плитка потребляет мощность
У = 5,0-103 Вт. Через какое время масса воды в чайнике умень-
шится на Aw = 100 г? Удельная теплоемкость алюминия
С] =9,0-102 Дж/(кг-К); удельная теплоемкость воды t'2 =
= 4,2-103 Дж/(кг-К); удельная теплота парообразования для воды
г = 2,3 • 106 Дж/кг.
5.25. Теплоизолированный сосуд содержит смесь, состоящую из
wj = 2,0 кг льда и w2 =10 кг воды при общей температуре
= 0 °C. В сосуд подают водяной пар при /2 = Ю0°С в количестве
w3 = 2,0 кг. После установления равновесия в сосуде будет нахо-
диться вода. Какова будет ее температура? Удельная теплоемкость
воды с = 4,2-103 Дж/(кг-К); удельная теплота плавления льда
X = 3,3-105 Дж/кг; удельная теплота парообразования для воды
г = 2,3 • 106 Дж/кг.
5.26. Какое количество природного газа надо сжечь, чтобы
W] = 4,0 кг льда, взятого при tj = -20 °C, превратить в пар с темпе-
ратурой /2 =100 °C. КПД нагревателя т| = 60 %. Удельная теплота
сгорания газа q = 3,4-10 Дж/кг, удельная теплота парообразова-
ния для воды г = 2,3-106 Дж/кг; удельная теплоемкость льда
С] = 2,1 • 103 Дж/(кг-К); удельная теплоемкость воды с2 =
= 4,2 • 103 Дж/(кг-К); удельная теплота плавления льда Х =
= 3,3-105 Дж/кг.
5.27. В медный сосуд, нагретый до температуры = 350 °C, по-
ложили w2 = 600 г льда при /2 = -10 °C. В результате в сосуде ока-
залось w3 = 550 г льда, смешанного с водой. Определите массу со-
суда. Теплообмен с окружающей средой отсутствует. Удельная те-
плоемкость меди С]=4,0-102 Дж/(кг-К); удельная теплоемкость
31
льда с2 =2,1-10* 3 * Дж/(кг-К); удельная теплота плавления льда
X = 3,3 • 105 Дж/кг.
5.28* . В калориметр, содержащий Wj = 100 г льда при tj = 0 °C,
впущено w2 =Ю0 г водяного пара при /2 =100 °C. Какая темпера-
тура установится в калориметре? Удельная теплоемкость воды
с = 4,2-103 Дж/(кг-К), удельная теплота парообразования г =
= 2,3 • 106 Дж/кг, удельная теплота плавления льда X =
= 3,3-103 Дж/кг. Каково будет фазовое состояние содержимого
калориметра?
5.29* . В калориметр налито = 2 кг воды при Zj = +5 °C и по-
ложен кусок льда массы /и2 = 5 кг ПРИ *2 = ~^0 °C. Определите
температуру содержимого калориметра после установления тепло-
вого равновесия. Теплоемкостью калориметра и теплообменом с
внешней средой пренебречь. Удельная теплоемкость воды
q = 4,2 • 103 Дж/(кг-К), удельная теплоемкость льда с2 =
= 2,1 • 103 Дж/(кг-К) и удельная теплота плавления льда равны
Х = 3,3 -105 Дж/кг.
5.30* . В цилиндре под невесомым поршнем площадью
У = 100 см2 находится =18 г насыщенного водяного пара. В
цилиндр впрыскивают /л2 =18 г воды при /0 = 0°С. На сколько
переместится поршень? Теплоемкостью и теплопроводностью ци-
линдра пренебречь. Снаружи цилиндра нормальное атмосферное
давление р0 =105 Па. Удельная теплоемкость и теплота парооб-
разования для воды с = 4,2 • 103 Дж/(кг-К) и г = 2,3 • 10б Дж/кг.
1
2
3
# V/ 'А 'А

5.31* . В открытый цилиндрический сосуд
налиты в виде трех тонких горизонтальных
слоев несмешивающиеся и взаимнонерас-
творимые жидкости. Сосуд с жидкостями
медленно и равномерно по объему нагрева-
ют. При какой температуре в сосуде начнет-
А А А 'А
32
ся процесс кипения? Давление наружного воздуха — нормальное
атмосферное. Зависимость давления насыщенного пара от темпера-
туры для каждой из жидкостей можно представить в виде
Рт = а(7” 7’пл )2, гДе ^пл — температура плавления, а— посто-
янная величина. Для налитых в сосуд жидкостей температуры
плавления и кипения соответственно равны: 7пл1 = 300 К,
7’кип1=400К, 7^ =300 К, 7^ =380 К, 7’гш3 =250К, =
= 350 К. Насыщенный пар можно считать идеальным газом.
Л’атм 0 Па.
5.32 *. В открытый цилиндрический сосуд
налиты в виде трех тонких горизонтальных
слоев несмешивающиеся и взаимнонераство-
римые жидкости. Сосуд с жидкостями мед-
ленно и равномерно по объему нагревают.
При какой температуре в сосуде начнется
'// '// я 1
2
# # 3
процесс кипения? Давление наружного воздуха — нормальное ат-
мосферное. Зависимость давления насыщенного пара от темпера-
туры для каждой из жидкостей можно представить в виде
Лт = а(7’-7’пл)2, гДе ^пл — температура плавления, а— посто-
янная величина. Для налитых в сосуд жидкостей температуры
плавления и кипения соответственно равны: Т’д,] =280 К,
7кип|=380К, Т^ЗООК. 7’кип2 =380К, 7’пл3=ЗООК, 7^ =
= 400 К. Насыщенный пар можно считать идеальным газом.
Ратм =Ю5 Па.
5.33 . Сосуд с мутной водой был оставлен на ночь на подоконни-
ке. К утру муть осталась только у стенки сосуда, обращенной к
комнате. В какое время года произведен опыт?
33
6. НАСЫЩЕННЫЕ И НЕНАСЫЩЕННЫЕ ПАРЫ.
ВЛАЖНОСТЬ
Пар — газообразная форма вещества, т.е. принципиальной раз-
ницы между газом и паром нет. В закрытом сосуде увеличение
массы пара происходит до тех пор, пока не установится динамиче-
ское равновесие, характерное для данной температуры: число мо-
лекул, переходящих в единицу времени из жидкости в пар и из па-
ра в жидкость, одинаково. Пар, находящийся в состоянии теплово-
го равновесия с жидкостью того же химического состава, называ-
ется насыщенным паром. Давление насыщенного пара— наи-
большее давление, которое может иметь пар при данной темпера-
туре. Давление насыщенного пара является функцией температуры.
При давлении порядка атмосферного и температуре порядка
комнатной (по абсолютной шкале) насыщенный и ненасыщенный
(перегретый) пары можно рассматривать как идеальный газ и
применять к ним уравнение Менделеева— Клапейрона. Однако
нужно иметь в виду, что при изотермическом изменении объема
давление насыщенного пара не изменяется. В то же время при изо-
хорическом изменении температуры меняется как давление, так и
масса насыщенного пара.
Воздух, содержащий водяной пар, называют влажным. Давление
атмосферного воздуха складывается из парциальных давлений су-
хого воздуха рс и водяного пара /?п, т.е. атмосферное давление
Ратм ~ Рс + Рп •
Количество пара в воздухе характеризуют абсолютной и отно-
сительной влажностью. Абсолютная влажность выражается пар-
циальным давлением паров в воздухе (либо плотностью паров).
Относительная влажность ср равна отношению давления пара
рп к давлению насыщенного пара Рщу (либо, что эквивалентно.
34
отношению плотности паров рп к плотности насыщенных паров
Рнп) ПРИ данной температуре
ф = _£п_ = _Рп_.
Рнп Рнп
Обычно относительную влажность выражают в процентах.
ЗАДАЧИ
6.1. Сравните поведение молекул в идеальном газе и в насы-
щенном паре при изотермическом сжатии?
6.2. В каком месте на Земном шаре абсолютная влажность воз-
духа может быть максимальной?
6.3. Почему иногда поверхности окон запотевают? Какие это
поверхности — внешние или внутренние? При каких условиях на
этих поверхностях образуется лед?
6.4. В большинстве домов для одинакового ощущения комфорта
температура воздуха зимой должна быть выше, чем летом. Чем
можно объяснить этот эффект?
6.5. Если в комнате достаточно тепло и влажно, то при открыва-
нии зимой форточки образуются клубы тумана, которые в комнате
опускаются, а на улице поднимаются. Объясните явления.
6.6. На улице целый день моросит холодный осенний дождь. В
комнате развешено выстиранное белье, проведена влажная уборка.
Высохнет ли белье быстрее, если открыть форточку?
О
6.7. В комнате объемом 120 м при температуре 15 °C относи-
тельная влажность 60 %. Определить массу водяного пара в комна-
те. если давление насыщенного водяного пара при 15 °C равно
1705 Па.
О
6.8. В сосуде объемом V = 1 м при температуре t = 20 °C
находится воздух с относительной влажностью <р = 30 %.
Определите относительную влажность после добавления в сосуд и
полного испарения т - 5 г воды. Температура поддерживается
постоянной. Давление насыщенных паров воды при 20 °C равно
рнп = 2,3-103 Па. Молярная масса воды ц = 18 г/моль.
35
6.9. Цилиндрический сосуд, содержащий
ненасыщенный пар, закрыт тяжелым плотно
прилегающим к стенкам сосуда поршнем, ко-
торый может свободно перемещаться вдоль
сосуда. Сосуд медленно охлаждают. Показать
графически характер зависимости высоты
поршня над дном сосуда от температуры
X (Т). X = 0 — координата дна сосуда,
X = Хо — начальное положение поршня.
6.10. При температуре Т = плотно при-
легающий к стенкам цилиндрического сосуда
тяжелый поршень лежит на тонком слое жид-
кости. Сосуд медленно нагревают. При темпе-
ратуре Т - Тж > 7}) выполняется условие ратм • 5 + Mg = /?нас • 5.
где 5 — площадь поперечного сечения сосуда, М— масса поршня.
Pemt — атмосферное давление, рнас — давление насыщенных
паров жидкости, g— ускорение свободного падения. Показать
графически характер зависимости высоты поршня над дном сосуда
от температуры Х(Т). X- 0 — координата дна сосуда, X = Х$ —
начальное положение поршня.
6.11. Плотно прилегающий к стенкам цилиндрического сосуда
тяжелый поршень, лежавший на тонком слое летучей жидкости,
медленно поднимают. Температура среды — постоянна. Показать
графически характер зависимости давления на внутреннюю по-
верхность поршня от его высоты над дном сосуда р(Х). X - 0 —
координата дна сосуда, X =Xq — начальное положение поршня
(см. рисунок к задаче 6.10).
6.12. Плотно прилегающий к стенкам
поршень медленно вдвигают внутрь цилинд-
рического сосуда, содержащего ненасыщен-
ный пар. Температура среды — постоянна.
Показать графически характер зависимости
давления на внутреннюю поверхность порш-
36
ня от высоты над дном сосуда р(Х). Х=$ — начальное положе-
ние поршня, X =Xq —координата дна сосуда.
6.11. В теплоизолированном цилиндре под невесомым поршнем
находится т = 5 г воды при температуре 20 °C. Площадь поршня
5 - 600 см2 , внешнее давление р = 1 атм. Цилиндр медленно на-
гревают до тех пор, пока вся вода не испарится. На какую высоту
поднимется поршень?
37
7. ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ.
КАПИЛЛЯРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
На поверхности жидкости, вблизи границы, разделяющей жид-
кость и ее пар, молекулы испытывают межмолекулярное взаимо-
действие не такое, как молекулы, находящиеся внутри объема жид-
кости. Так как силы притяжения молекулы жидкости к молекулам
пара в среднем значительно слабее сил взаимодействия с другими
молекулами жидкости, то на молекулы, расположенные в поверх-
ностном слое жидкости, действует направленная внутрь жидкости
равнодействующая сил взаимодействия.
Для перенесения молекул из глубины объема жидкости в ее по-
верхностный слой необходимо совершить работу по преодолению
указанной выше силы. Эта работа идет на увеличение поверхност-
ной энергии. Так называется избыточная энергия , которой об-
ладают молекулы в поверхностном слое по сравнению с их энерги-
ей внутри объема жидкости:
=c-S,
здесь 5— площадь свободной поверхности жидкости на границе
раздела жидкости и газа, с — коэффициент поверхностного натя-
жения. На границе соприкосновения жидкости с твердыми телами
наблюдается явление смачивания, состоящее в искривлении сво-
38
бодной поверхности жидкости около твердой стенки сосуда. По-
верхность жидкости, искривленная на границе с твердым телом,
называется мениском. Линия, по которой мениск пересекается с
твердым телом, называется периметром смачивания. Явление
смачивания характеризуется краевым углом 6 между поверхно-
стью твердого тела и мениском в точке их пересечения, т е. в точ-
ках периметра смачивания. Жидкость называется смачивающей
л
твердое тело, если 0 < 0 < л / 2, и несмачивающей, если — < 6 < л .
Ситуацию, когда 0 = 0, называют полным или абсолютным смачи-
ванием. а 0 = л — полным несмачиванием.
Если поверхность жидкости ограничена периметром смачива-
ния, то к жидкости приложена сила поверхностного натяжения,
распределенная по периметру смачивания. Направление действия
силы поверхностного натяжения — перпендикулярно периметру
смачивания и по касательной к поверхности жидкости. Величина
силы поверхностного натяжения , действующей на участке
периметра смачивания длиной А/, равна
|А#пн| = о • А/.
'// #
'А '/'
# '//
а)
б)
Искривление поверхности жидкости в результате действия сил
поверхностного натяжения создает дополнительное (избыточное)
давление на жидкость по сравнению с давлением под плоской по-
верхностью. Для сферической поверхности мениска радиусом г при
краевом угле 0 дополнительное давление
Ьр ------COS0 .
г
39
Таким образом, если мениск выпуклый (а) и соответственно
у < 6 < л , то &р>0, если мениск вогнутый (б) и 0 < 6 < ^, то
Др <0.
Проявление сил поверхностного натяжения, действующих на
жидкость, помещенную, например, в узкую трубку (капилляр), на-
зывают капиллярными явлениями.
ЗАДАЧИ
7.1. Вода легче песка. Почему же ветер может поднять тучи пес-
ка, но очень мало водяных брызг?
7.2. В закупоренном чистом стеклянном сосуде налито некото-
рое количество воды. Как она расположится, если сосуд с водой
попадет в условия невесомости?
7.3. С какой минимальной высоты надо уронить каплю жидко-
сти сферической формы на несмачиваемую поверхность, чтобы она
разбилась на N одинаковых капель? Считать, что образующиеся
капли имеют также сферическую форму. Радиус «большой»
капли — R, плотность жидкости — р, коэффициент поверхностно-
го натяжения — о.
7.4. Оцените размер капель воды, вытекающих из трубки диа-
метром D = 2 мм. Коэффициент поверхностного натяжения воды
о = 0.073 Н/м. Плотность воды р = 1 г/см3, g = 10 м/с2 .
7.5. Подвижную перемычку прямо-
угольной рамки, на которую натянута
пленка мыльной воды, удерживают и
соединяют с нед сформированной
пружиной длиной 10 . Второй конец
пружины жестко закреплен. Жест-
кость пружины — к. коэффициент поверхностного натяжения — о,
ширина рамки — /. Перемычку отпускают. Какое количество тепла
выделится или поглотится при движении перемычки, если все тела
можно считать невесомыми? Перемычка движется без трения. Рам-
ка — неподвижна.
40
7.6*. В воду опустили конец верти-
кальной стеклянной трубки малого диа-
метра, вода полностью смачивает стек-
ло, считая известными внутренний ра-
диус капилляра г0, плотность воды р, '// '//
'А *
коэффициент поверхностного натяже-
ния о, определить количество тепла, которое выделится или погло-
тится в результате развития капиллярных явлений. Мениск — ниже
верхнего среза трубки. Считать, что расстояние, на которое сме-
стится мениск в процессе развития капиллярных явлений, много
больше радиуса капилляра.
7.7*. В ртуть опустили стеклянную трубку малого диаметра,
ртуть полностью не смачивает стекло. Считая известным внутрен-
ний радиус капилляра гц, плотность ртути р, коэффициент поверх-
ностного натяжения о, определить количество тепла, которое вы-
делится или поглотится в результате развития капиллярных явле-
ний. Мениск — выше нижнего среза трубки. Считать, что расстоя-
ние, на которое сместится мениск в процессе развития капилляр-
ных явлений, много больше радиуса капилляра.
41
РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ
1 . Газовые законы.
Уравнение состояния идеального газа
1.1. Исчезновение сил притяжения между молекулами воды оз-
начало бы. что воду следовало рассматривать как систему' невзаи-
модействующих частиц, т.е. как идеальный газ. В этом случае дав-
ление внутри сосуда можно было бы найти из уравнения состояния
газа
о = — А7’ = —АГ®1,38 108 Па = 1380атм.
Иц ц
Таким образом, получили оценку величины давления, при котором
газ (находящийся при температуре порядка комнатной) заведомо
не будет являться идеальным.
1.2. Уравнение состояния для компонент воздуха имеет вид
jpH-aN =^-RT,
Hn
pV-ao =^-RT,
Ho
где и a о — объемные доли азота и кислорода в воздухе соот-
ветственно.
Отсюда отношение азота к кислороду по массе будет равно
_ aN ' HN ~ 3 2 5
“о Но
1.3. Молярная масса ц соединения (СзН6О)и
Н = (Н1 +Н2 +Нз)«-
42
Из уравнения Клапейрона — Менделеева
mRT
ц =--------------------------•
Решая полученную систему уравнений, находим
mRT
п ----------------= 2 .
(Pl + ц2 + Рз)Р^
1.4. Аквалангисту необходимо нырнуть на дно озера, удерживая
мензурку вверх дном. Тогда глубину погружения Н он сможет оп-
ределить, воспользовавшись законом Бойля — Мариотта
Ро zo -S = (PQ +pgH)lyS,
или
_ fj A
PSUi J
где pq — давление воздуха в атмосфере; Iq — высота мензурки;
— высота столба воздуха в мензурке на глубине Н, р — плот-
ность воды.
При атмосферном давлении р0 = 1 • 105 Па в системе единиц СИ
— ~10м.
Pg
1.5. Давление кислорода в каждом из баллонов меньше 106 Па,
поэтому состояния газов в баллонах и в системе баллонов, соеди-
ненных трубкой, будут описываться уравнением состояния идеаль-
ного газа, т.е.
=vi^b
Р2^2 =v2^2i
+K2) = (v] +v2)/?T.
Здесь p — давление в системе баллонов, соединенных трубкой. Так
как по условию Ту = ?2 = Т, то
£1й±£Л.ои.1о51и
И + >2
43
1.6. Пусть Vq, Tq и К], Г] — объем и абсолютная температура
газа начального и конечного состояний соответственно. По закону
Гей — Люссака при постоянном давлении идеального газа
П Tq ’
или, учитывая, что Г} = Го + ДГ,
V() Tq
„ vl ~Vq
По условию-------= а , следовательно,
Vq
Tq = — «333 К.
а
1.7. Так как объем сосуда не меняется, то из закона Шарля для
изохорного процесса
Го „ А РоО + а)
Го Ту Г0+ДГ’
находим
Го= — = 250 К.
а
1.8. Для данной порции идеального газа характеристики двух
его различных состояний pq , Vq , Tq и ру, Vy, Г] связаны соот-
ношением:
То т,
По условию задачи ру = pQ (1 + ос), И] = Vq (1 + Р) , Г] = Го + ДГ .
Отсюда
Го =---а =------------* 350 К
сс + р + оср сс + р + ар
44
1.9. Указание. Решение аналогично решению задачи 1.4.
h = — [lo.-ikjOM.
Р2Ил J
1.10. В условии задачи диаметр трубки не дается, следователь-
но, капиллярными явлениями, т.е. влиянием сил поверхностного
натяжения, можно пренебречь.
В закрытой и поднятой из воды трубке давление воздуха р
меньше рц на величину гидростатического давления столба ос-
« L
тавшеися в трубке жидкости pg —, т.е.
L
P = Po-pg~-
Воздух в закрытой трубке расширялся изотермически, поэтому
Р0*0 = рУ,
Ид = S(L -Н), S — площадь сечения трубки, Н — глубина погру-
жения ее в жидкость, V - S • — .
2
Отсюда
2 Pg 4
1.11. Условие равновесия сил, удерживающих пробку в бутылке
p0S + F = pS,
где р — давление газа в бутылке.
Т
Подставляя в это уравнение р- р$ —, найденное из закона
То
Шарля (V= const) для данной массы газа и решая полученное урав-
нение относительно температуры Т. до которой нужно нагреть газ,
найдем
( F
T = TQ 1 + —-;
k Pos
405 К.
45
1.12. а) Уменьшится в-«1,18 раза;
1 -а
б) уменьшить в —-— « «1,43 раза;
1 -а
в) увеличить в —?—«1,33 раз.
1 -а
1.13. Основные параметры состояний водорода (/?], Kj, Т\) и
азота (/?2- ^2’ ^1) связаны уравнением Клапейрона— Менде-
леева:
pxVx=^RI\
Hl
и
/’2^2 ~ ——RTi.
М-2
Так как в условиях термодинамического и механического рав-
новесия 7] = ?2 и Р\ = Р1 ’то
У2 = Hlffl2
И H2W1 ’
и
а= И _ М-2^1 _2
K]+K2 H2W1+H1W2 3
1.14. Исходные давления в обеих частях цилиндра меньше
106Па, поэтому газ в них как в начальном, так и в конечном со-
стоянии можно считать идеальным.
Уравнения состояния газов, находящихся в каждой из частей
цилиндра, имеют вид:
начальное состояние —
>01
RT т/ RT
----- И02 ----;
Р01 Р02
46
конечное состояние —
к1=«1, к2=^;
Pl Р2
Г01, К02 — исходные объемы газов в верхней и нижней частях ци-
линдра; И], ^2 — конечные объемы газов в тех же частях цилинд-
ра; Р2 — давление в нижней части цилиндра. При записи уравне-
ний состояния приняты во внимание неизменность количества газа
и его температуры.
Давление в нижней части цилиндра всегда больше давления в
верхней части на величину давления /?п, создаваемого весом
поршня, т.е.
Рп = Р02 ~ Р01 =Р2~Р1-
Отсюда р2 = Pi +(Pq2 ~ А)1) •
Отношение общих объемов, занимаемых газом, в начальном и
конечных состояниях
g _ И + v2 _ Pl Р1+(Ро2~РоО _ 2
^01+ ^02 1 j 1
Р01 Р02
1.15. Пусть Pjq и И2о — начальные объемы газов в верхней и
нижней частях цилиндра; V] и V2 — объемы тех же газов после их
К л
сжатия. По условию задачи —— = п . Общий объем газов до сжатия
^20
И0 =Ио + ^20 = (л + 1)^20 •
Давление в нижней части цилиндра всегда больше давления в
его верхней части на величину давления /?п, создаваемого весом
поршня, т е.
Рп = Р2 ~ Pl = Р20 ~ Р1(1 •
Подставляем сюда выражения для давлений из уравнения Кла-
пейрона — Менделеева, приняв во внимание тот факт, что количе-
ство и температура газа при их сжатии не изменились
47
J_____1__ J_____1 n-l
V\ V20 Ho ”^20
По условию задачи общий объем газа уменьшается в к раз, по-
этому
Ио +И2О_КО kv _k(v2+vx)
и 2q —-------—-------—-----—----------.
л +1 п + \ п + 1 п + 1
Из двух последних равенств находим
_1____I п2 -1
И2 ~ кп(У2+Г})'
г- V\
Преобразуя это равенство и сделав в нем замену г = — , полу-
V2
чим квадратное уравнение относительно искомой величины г
Физический смысл имеет только один корень этого уравнения:
п2 -1 1(и2 -I)2 '
г =------+ , --7~- +1 .
2Ь? V 4£2и2
Численное значение этого корня
г ~ 2,3 .
Т к(п2-1) 45
1.10. — =---------= —,
То « (к- - 1) 32
Т -422 К.
1.17. К обеим частям добавили по--молей газа.
Аг-1
1.18. Рассмотрим случай а), когда во вторую часть сосуда вводят
т2 = 10 г водорода.
Так как в сосуде поддерживается температура 7= 373 К, т е.
температура кипения воды при давлении р -105 Па, то установив-
48
шееся в сосуде состояние равновесия будет зависеть от того,
сколько испарится воды.
Найдем вначале максимальное количество воды ттах, которая
может испариться. Это произойдет в том случае, если пары воды
будут занимать весь объем сосуда. Из уравнения состояния идеаль-
ного газа
PV
wmax — Н >
Ki
где в качестве давления следует взять давление насыщенных паров
при температуре Т = 373 К, которое, как известно, составляет
/’нас ~ 1' 105 Па. Тогда
18-ИГ3-105 100 1(Г3
-------------кг « 58 г.
8,3-373
wmax ~
Так как wmax < , то испариться может только часть введен-
ной в сосуд воды. Это означает, что максимальное значение давле-
ния паров воды в сосуде равно давлению насыщенных па-
ров, т.е. «1-105 Па.
Г12'-'
В то же время в той части сосуда, в которую поместили водо-
род. давление не может быть меньше того давления , которое
“2
будет в случае, когда водород занимает весь объем сосуда. Из
уравнения Клапейрона — Менделеева:
тт=_^2_Л£ = 1 55.105Па
Нз НН2 v
Так как рЛ“п больше максимально возможного при Т= 373 К
м2
давления паров воды, то в сосуде установится давление . При
этом вода будет целиком находиться в жидком состоянии и ее объ-
емом И] = 0,074 л по сравнению с объемом сосуда при расчете дав-
ления можно пренебречь, т.е. можно считать, что практически весь
объем сосуда занят водородом.
49
В случае б) реализуется другой вариант равновесного состояния
системы, а именно — в той части сосуда, куда помещалась вода,
будет находиться смесь воды в жидком состоянии и насыщенного
водяного пара. При этом давление в сосуде будет равно р -105 Па,
т.е. давлению насыщенного пара при Т = 373 К. Это обусловлено
тем обстоятельством, что давление углекислого газа в объеме
V= 100 л при Г= 373 К
min =_^2_^Lw52.104 ш
С°2 НСО2 У
/? = 105Па углекислый газ будет зани-
меньше давления насыщенного водяного пара. При давлении на-
сыщенного водяного пара
мать объем
^RT .
—------— л.
Нсо2 Р
пар с водой будут занимать объем
48 л. Масса насыщенного водяного пара, т е. ко-
Усо2
Насыщенный водяной
У*=У-Усо2
личество испарившейся воды составит
/и = ~ 28 г.
RT
Таким образом, давление в сосуде будет равно /? = 105Па при
массе испарившейся воды m « 28 г.
В случае с) реализуется третий вариант возможного равновесно-
го состояния системы: в обеих частях сосуда содержится идеаль-
ный газ, причем в той части сосуда, в которую наливалась вода,
будет находиться ненасыщенный водяной пар, так как количество
налитой в сосуд воды меньше wmax (см. случай «а»). Следователь-
но, давление в сосуде будет меньше давления насыщенных паров
воды при Т= 373 К, т.е. меньше чем р = 105 Па. Проверка этой ги-
потезы и составляет суть решения.
50
Складывая по частям равенства, выражающие уравнения со-
стояния пара в одной части сосуда и газа в другой:
pVx=-^-RT
НН2О
и pV2=^RT,
hn2
находим
т1 , т2
НН2О HN2 ,
Р =
RT <
— «0,9 105 Па.
V
51
2. Закон Дальтона
2.1. Так как давление смеси мало, то ее можно считать идеаль-
ным газом. В соответствии с законом Дальтона давление смеси р
равно сумме парциальных давлений каждого из компонент р\ и
Р2, которые находятся из уравнения состояния идеального газа.
., RT (т\ тэУ гг,
Итак, р = р-\+Р2=------ —4--------- V— объем смеси; 7=( +
v М-2 J
+ 273 °C.
По определению плотность смеси
/л1+/л2_ (т1+ти2)/’ 3
р — — - —• — jZv г / м
г г/ ( \
V RT
P2j
2.2. Установившееся давление согласно закону Дальтона будет
равно
Р = Р{ + Р2>
где р] и Р2 — парциальные давления каждого из перемешивае-
мых газов в получившейся смеси. Так как процесс — изотермиче-
ский, то давления, в свою очередь, можно найти, пользуясь зако-
ном Бойля — Мариотта:
рМ+Ъ^Р^,
Р2^+У2>Р2У1-
В результате
РЛДДЛ =5.105 ш
И +г2
2.3. Найдем отношение плотностей сухого рс и влажного рвл
воздуха
РС=у5 Рвл=-у-Я
52
где тс — масса сухого воздуха в объеме V при давлении рс:
тъ — масса воздуха во влажной порции газа объемом V с парци-
альным давлением ръ; /яп — масса водяного пара в этой же
влажной порции с парциальным давлением рп.
Массы и давления связаны уравнениями состояния.
рп1/ = /ипЛ77ц11,
рвГ = ювЯГ/цв,
рсУ = тсЯТ/р.ъ,
где цп =18 г/моль, цв =28 г/моль.
По условию задачи давления сухого и влажного воздуха одина-
ковы, а давление влажного воздуха рвл в соответствии с законом
Дальтона равно рвл = ръ + рп .
Выражая массы через давления, находим плотности:
Pc ,
Рвл = (Рв ’ Ръ + PnAi) ! &Т
Отношение плотностей
1 + £п
Рс _ РсРв _ РвРв + PbAi _________Ръ
Рвл Рв/?В+Рп/7П РвРв + Рп/’п I j Рп Дп
Рв Ръ
так как цп < цв, то — > 1 и, следовательно, влажный воздух легче
Рв
сухого.
53
2.4. Количество молей гелия vjq и неона V20 в одной лазерной
трубке связаны законом Дальтона
RT RT
РО = Р1 + Р2 -v10 V7~ + v20 —
к0 к0
и условием
v10 =^20-
Решая эту систему уравнений, найдем
„ _ к PqVq
10 к + \ RT ’
v PqVq
20 RT(k +1)
Количество молей гелия V] и неона vj в баллонах соответст-
венно равны:
PyV p2V
Vi =—-— и Vo =---
1 RT RT
Следовательно, имеющимся количеством гелия можно заполнить
„ V] (£ + 1) P\V _
Л^Ме =---=------------~ 333 трубки,
V1O к pQVQ
а неоном
#Ne = —— = (k +1) —— « 667 трубок.
v20
Таким образом, имеющимся количеством газа можно заполнить
333 трубки.
2.5. В соответствии с законом Дальтона давление воздуха в не-
погруженной в воду пробирке /?взд можно найти как разность ат-
мосферного давления pq и давления насыщенных паров рнас:
Т’взд — PQ /’нас •
54
Аналогично, давление воздуха в погруженной в воду пробирке
Рвзд больше давления в непогруженной пробирке на величину
гидростатического давления столба воды высотой Н, т.е.
Рвзц = РО ~ Рнас *" РёН
При атмосферном давлении воздух — идеальный газ, поэтому
его характеристики р, V. Т связаны уравнениями состояния:
^взд RT
Рвзц -
RT
ц (~+h\s
U )
S— площадь поперечного сечения пробирки. Здесь учтено, что
масса воздуха в погруженной и непогруженной в воду пробирках
остается неизменной.
Приравнивая отношения , найденные с помощью каждой
Рвзд
из пар написанных выше уравнений, получаем
/’нас ~ РО
= 0,145 105
Па.
2.6. В соответствии с законом Дальтона давление в сосуде скла-
дывается из давления сухого воздуха рвзд и давления паров воды
/»Н2О> причем, если часть воды остается в жидкой фазе, то давле-
ние паров не может превосходить давления насыщенных паров при
заданной температуре. Поэтому прежде всего необходимо выяс-
нить — будет ли пар насыщенным или нет. Для этой цели посчита-
55
ем массу воды, которая потребуется для образования, насыщенного
пара при t = 100 °C. Из уравнения Клапейрона — Менделеева
ррК
'"нас = —,
где р = ртс = 1 Ю5 Па.
Для варианта а) задачи находим
'"нас ~ 11,63 г.
Так как /инас < т, то испарится только часть воды. Пар в сосуде
будет насыщенным, а давление его рнас=1105 Па.
Давление воздуха при Т - t + 100 °C = 373 °C по закону Шарля
Т
Рвзд ~ Рй гр
'0
Давление смеси воздуха и пара в сосуде
Р = PQ + Рнас = 238 105 Па.
Для варианта б) расчет показывает, что для того, чтобы в объеме
V= 30 л пар был насыщенным, в сосуд надо поместить как мини-
мум данас «17,5 г воды. Так как m < /инас, то пар в сосуде не будет
насыщенным, поэтому его парциальное давление нужно опреде-
лить, используя уравнение Менделеева — Клапейрона. В итоге
Т = А)~ + ^ = 2,2-105 Па.
То цК
2.7. В силу прозрачности перегородки парциальное давление га-
за первого сорта p-у в объеме Т2 определяется суммарным объе-
мом сосуда Т] + И2, т.е. в соответствии с уравнением Клапейро-
на — Менделеева:
Ру =—^—RT.
56
В то же время парциальное давление газа второго сорта в этом
объеме зависит только от И2 :
р2 =—RT.
V2
Так как сосуд термоизолирован, то согласно закону Дальтона дав-
ление газовой смеси на стенки второй части сосуда р2 будет равно
, v2 v
P2=P1+P2= _ + —
Тогда отношение установившихся давлений в обеих частях со-
суда будет равно
.£1=1+ +к2) 1
Pl L У1Г2
2.8. Решение аналогично решению предыдущей задачи.
A =i । vl(^l +^2)
Pl v2^1
2.9. До диссоциации число молекул йода в сосуде
n = -na,
ц
Ад — число Авогадро. В процессе диссоциации вместо одной мо-
лекулы J2 появляются два атома йода, т.е. вместо А-частиц в сосу-
де образуются N - AN + 2 ДА = N + ДА частиц идеального газа,
для которых
р V - (А + ДА) — Т = —f 1 + — ]rT = -[1 + —W .
nA N) Д A )
Отсюда
A mRT
57
2.10. Ненасыщенный водяной пар в сосуде можно рассматри-
вать как идеальный газ, поэтому массу водяного пара т, находив-
шегося в сосуде, можно найти из уравнения состояния идеального
газа:
р0 , Vq, Tq — первоначальные давление, объем и температура па-
ра; Цн2О — молярная масса паров воды.
После того, как из сосуда улетучилась часть пара, в нем остался
пар массой
/н(1-Р).
При увеличении температуры оставшегося пара часть его дис-
социировала на водород и кислород. При этом массы диссоцииро-
вавшего тя и недиссоциировавшего пара тн д равны
тя = w(l~P)5,
/Пн.д = Н1-Р)(1-5).
Схема реакции диссоциации
2Н2О —> 2Н2 + О2.
С учетом закона сохранения массы веществ массы водорода
/ин2 и кислорода ff?o2 > образовавшихся при диссоциации, равны
= т(1~ 5)5 •
Установившееся давление в сосуде (р$ + Др) (Ро — первона-
чальное давление) по закону Дальтона является суммой парциаль-
ных давлений оставшегося водяного пара и образовавшихся водо-
рода и кислорода. Каждое из этих парциальных давлений находит-
ся из уравнений состояния идеальных газов:
WH2
то2
58
Pi =
/и, RT
где /и,, ц, — масса и масса z-ro компонента. В итоге
1 8(1-р> ! 8 5(1-р> ! (1 -Р)(1 - 5)/и _
9 ЦН2 9 ^О2 ЦН2О
=»Л(1+5/2)Р0,
(1 + а)
Здесь учтено, что установившаяся температура Т = Tq (1 - у).
Окончательно
Р° = (1-Р)(1 + уХ1 + 8/2)~1' = 8’6’103 Па-
1 + а
2.11. Первоначальная температура углекислого газа
RT
V
(14-5/2X1-3)
2.12. Количество газа увеличивается на
Ду = у-
(1 + 8)(1 + а) г
(1+р/1-|у1
• = 14,6 молей.
2.13. Первоначальное давление в сосуде
/’о=|у^ = Ю5 Па.
59
2.14. Доля г массы утерянных газов
г1 (1 + 8)(1 — <х)
Количество утерянных:
угарного газа —
12 2
yVj = — моля или — N& - 2,4 • I02"* молекул;
кислорода —
yv2 =у моля или “’Уд = 1,3 -1023 молекул.
2.15. Обозначим щ, р2 и М-3 молярные массы соответственно
СО, О2 и СО2 . Схема реакции, которая произойдет, когда уберут
перегородку, имеет вид
2СО + О2 =2СО2.
Выясним, полностью ли прореагируют газы. Составим пропор-
цию. Если на каждые ц2 грамм кислорода расходуется 2ц। грамм
окиси углерода, то с /и2 граммами кислорода прореагируют
2ц]
mi -—— • т2 =56 грамм СО.
И2
Следовательно, окись углерода прореагирует не вся. После ре-
акции в сосуде будет находиться
11 2Н1
т3 ~ т2 + т\ = т2 1 4---
I ^2 J
грамм
двуокиси углерода и
, 2ui
Д7«1 = mi - /И] = -----т2 грамм
И2
60
непрореагировавшей окиси углерода. Пусть V— объем одной по-
ловинки сосуда, р\ и Р2 — исходные давления окиси углерода и
кислорода соответственно. Соответствующие уравнения состояний
исходных газов
P-[V = — RTq, p2V = ^RT0,
Hl Н2
где То = 273 °C +.
Давление в сосуде с убранной перегородкой будет складываться
из парциальных давлений оставшейся окиси углерода р{ и образо-
вавшейся двуокиси углерода />3. Значения р{ и />3 можно найти
из уравнений состояний
p{.2V = ^-RT, p3-2V=~^-RT.
Hl НЗ
Здесь Т = 273 °C + t и учтено, что образовавшиеся газы занима-
ют весь сосуд.
Тогда
2Г I И1
Из,
Выражая отсюда V и подставляя его в уравнения состояния ис-
ходных газов, получаем
= 2р—_____________-___________=
1 Р Т j । Hl w2 ( 2Н1(Нз ~Н1) т2
НЗ т\ Н2НЗ т2
НЗ L
р2=2р —---------г---Ч—ч---« 2,6 104 Па.
Т Н2 т1 ! (Н2 +2Н1) 2
Н1 т2 НЗ
61
2.16.
П To 1
Pco ~^P~^ 7 TV
T 14 t H2 И
М2 m\ Ip-2 2Нз 2J
= 2p
Zb.----------*---------- » 4,17 104
T Pl f m2 i) 1 f М2 J
— ~ + l +- ^-1
P2Llwl J 2<P3 J_
Па.
э Г0
Po2 =2p —
1 + ^
«2
M-2 , M-2
Мз 2щ
f--1
\M3 J
«3,51-IO4
Па.
62
3. Основы молекулярно-кинетической теории газа
3.1. По определению концентрация молекул вещества равна
N
п = —,
V
N— число молекул; V — объем, в котором они заключены.
С другой стороны
NA
п = р—^-.
Р
р — плотность, а ц — молярная масса вещества соответственно;
TVA — число Авогадро. Эта формула получается при составлении
пропорции:
ц грамм вещества содержат TVA молекул,
рК грамм вещества содержат N молекул,
т.е.
А Аа
п = — = р---.
У н
Объем И], занимаемый одной молекулой,
v} =- = -У-.
« Р^А
Линейный размер ячейки пространства, приходящегося на 1 мо-
лекулу,
Для воды р = 103 кг /м3, поэтому
б?«3-1(Г10 м.
Так как жидкости практически несжимаемы, то можно считать,
что в них молекулы упакованы очень плотно, без промежутков (в
63
отличие от газов), следовательно, полученная величина может рас-
сматриваться в качестве оценки размера молекулы.
3.2. Известно, что один моль любого газа при нормальных усло-
виях (/>0 = 1атм = 1,013-105 Па и t = 0 °C, или Tq =273 К) занимает
объем
V= 22,4 л.
Так как в 1 моле вещества содержится ТУд =
= 6,022 • 1023 молекул, то объем пространства Fj, приходящийся на
1 молекулу,
= — = ^- = 3,72 10'26 м3.
pNk
Линейный размер а ячейки пространства, приходящейся на 1
молекулу, равен (ячейку представляем в виде кубика):
О = 3/^- = = 3,34-10-8 м.
V Ма
Эта величина и может служить оценкой среднего расстояния
между молекулами воздуха:
~3 10-8 м.
3.3. Среднюю длину пробега молекулы газа между двумя после-
довательными столкновениями с другими молекулами /ср можно
оценить из условия, что объем, «охватываемый» молекулой от мо-
мента ее столкновения с одной молекулой до момента столкнове-
ния с другой Ио, будет равен объему Fj, приходящемуся на одну
молекулу в газе.
4зр
64
При этом
Vo =S-/cp =ml2 /ср,
где S = itd2 — площадь «охватываемая» молекулой в плоскости,
перпендикулярной направлению ее движения (см. рисунок), тогда
как
V— объем, занимаемый газом; Л''— число молекул газа в этом
объеме.
Приравнивая Го и V\, получаем
/ср -1,2-КГ7 м.
ltd2п
3.4. В процессе диффузии молекулы сталкиваются друг с дру-
гом, меняя направления движения. При этом после каждого акта
столкновения (называемого рассеянием) молекулы с равной веро-
ятностью могут лететь как в переднюю полусферу, т е. в первона-
чальном направлении, так и в заднюю, т.е. в направлении, проти-
воположном первоначальному. В результате процесс взаимного
проникновения молекул происходит со скоростями, гораздо мень-
шими скоростей самих молекул.
3.5. Броуновское движение обусловлено столкновениями моле-
кул жидкости с взвешенной в нем частицей, масса которой М, во
много раз больше массы молекул жидкости.
Полагая столкновения молекул и частиц упругими (не происхо-
дит «прилипания»), а удар центральным из закона сохранения им-
пульса:
ту = -ту + MV,
где v — скорость молекул, а V — скорость частицы после удара,
найдем
V = 2 — у .
М
65
Тогда кинетическая энергия Т, приобретаемая частицей
2 М 0
Eq — кинетическая энергия молекул воды. Отсюда видно, что ки-
нетическая энергия передаваемая частице, взвешенной в жидкости,
тем меньше, чем больше ее масса. Поэтому и броуновское движе-
ние у крупных частиц менее заметно.
3.6. При давлении, задаваемом в условии задачи, водород можно
считать идеальным газом, поэтому его характеристики связаны
уравнением Клапейрона — Менделеева:
pV = — RT.
Н
Преобразуем это выражение, выделив в нем явным образом
среднюю кинетическую энергию поступательного движения моле-
3
кул < Е >= — кТ:
pV =—NA-kT = — — NA <Е>.
ц 3 ц
Отсюда <Е>=——-^— = 61О-20 Дж.
2 m Na
3.7. Давление и температура воздуха таковы, что его можно счи-
тать идеальным газом.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения моле-
кул идеального газа
2
т() — масса молекул, < v > — среднее значение квадрата скоро-
сти молекул. Квадратный корень из <v2 > называют средней
квадратичной скоростью. Она и служит оценкой скорости молекул,
т.е.
vcp.KB = J--=,-------~ 480 м/с-
V mo V н
66
3.8. Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории
газа следует
Обозначения физических величин см. в задаче 3.7. Отсюда так
же, как и в задаче 3.7:
V Р
3.9. При нормальных условиях водород можно считать идеаль-
ным газом, поэтому средняя квадратичная скорость молекул водо-
рода (см. задачу 3.7)
уср.кв ~
3RT
Длительность промежутка времени Д/ между двумя последова-
тельными столкновениями:
Д/ = =<l > J-b_ « 5,4 • 10ч 1 с.
vcp.KB ’ 3RT
3.10. При нормальных условиях углекислый газ можно считать
идеальным газом. Если время между двумя последовательными
столкновениями с другими молекулами обозначить Д/, то число
столкновений каждой молекулы за 1 с будет равно
1 ^ср.кв 1 3RT
At I ц
(обозначения физических величин см. в задаче 3.9).
Отсюда средняя длина пробега молекулы углекислого газа меж-
ду последовательными столкновениями с другими молекулами
равна
67
3.11. Увеличится в (1 + а)2 = 1.44 раза.
3.12. Поршни приводятся в движение за счет внутренней энер-
гии газа, величину которой можно посчитать из основного уравне-
ния кинетической теории газов
2 2N
ра=—п<Е >=----
и 3 3V
2 Ж
зУ’
где п — концентрация молекул, N — число молекул газа в объеме
V, <Е> — средняя кинетическая энергия молекул газа, W — его
внутренняя энергия. Отсюда
^ = |/>0И0.
В пренебрежении массой газа по сравнению с массой поршня
законы сохранения энергии и импульса для системы «газ +
+ поршни» запишутся в виде

2 2
W]Vj W2V2
2 2 ’
V] = w2v2.
Следовательно,
I 3?0т2
V ] — ----------- ,
у (т2 + w2)
j 3Poml
v2 — -------------
у т2(т} + m2)
3.13. Атмосфера Земли— это газовая оболочка вокруг Земли,
представляющая собой смесь газов («78 % азота, « 21 % кислорода
и « 0,9 % других газов), находящихся в состоянии термодинамиче-
ского равновесия. В этом состоянии, как известно, средние кинети-
ческие энергии поступательного движения молекул одинаковы.
Среднюю скорость молекул можно оценить из соотношения:
2
”Lo.<_v >=lkr
2 2
68
или
[MT I3RT
<v>«vepKB= ------= -----.
V V И
Обозначения очевидны.
Для водорода (ц = 2 г/моль) при нормальных условиях (7 =
= 273 К)
<v>H®1850 м/с,
для азота при тех же условиях
<v>N*500 м/с.
Как видим, средняя скорость молекул воздушной оболочки Зем-
ли значительно меньше второй космической скорости
v2 =11,2 км/с, которую должны иметь любые тела (молекулы или
космические корабли) для того, чтобы покинуть Землю. Однако
при термодинамическом равновесии не все молекулы, хотя и
большая их часть, имеют скорость, близкую к vCp. Некоторая их
часть, и тем большая, чем ближе <v> к v2. имеют скорость
больше, чем вторая космическая скорость. Из сравнения величин
v 2 и < v > для разных газов воздушной оболочки Земли можно
сделать вывод о том, что для того, чтобы покинуть Землю, наибо-
лее благоприятные возможности имеет водород, для которого
< v >Н ближе всего к v 2 . Именно поэтому в атмосфере Земли
практически отсутствуют молекулы водорода.
Для Луны вторая космическая скорость vij =2,4 км/с значи-
тельно меньше, чем для Земли. Поэтому вероятность покинуть Лу-
ну у любых молекул ее газовой оболочки гораздо больше и, как
следствие, Луна не имеет атмосферы.
3.14. При заданных условиях (р = 10э Па) воздух можно счи-
тать идеальным газом, поэтому молекулы воздуха, удаленные от
поверхности стекла на расстояние не большее, чем < v > Д/
(< v > — средняя скорость молекул, под которой будем иметь вви-
А 1
ду среднеквадратичную скорость, Д/ = —, v — частота столкнове-
v
69
ний молекул), будут менять направление своего движения только
при столкновениях с поверхностью окна, а не за счет столкновений
друг с другом. При этом за время Д/ о поверхность стекла ударятся
в среднем
., nS < v > Д/
W =-----------
6
молекул воздуха, т.е. те молекулы, которые находятся в объеме
Sv Al и движутся в направлении окна, п — концентрация молекул.
Это — 1/6 часть (примерно) всех молекул, заключенных в объеме
Sv At (рисунок).
Концентрацию молекул можно выразить через давление р и
температуру Т - t + 273 К из уравнения состояния идеального газа
р = пкТ. а скорость можно найти из соотношения, связывающего
среднюю кинетическую энергию поступательного движения моле-
кулы < Е > и абсолютную температуру
„ 3 , г < v2 >
<Е>=—кТ = тпп------,
2 2
— масса молекулы.
Тогда
N _ Р^А1 [UP = pSAlNA I 3 ~ 2 iq27
6ЕГ у 6 у R(t + 273)p
Здесь NA =6-1023 ——
моль
70
3.15. В единицу времени в отверстие площадью 5 будет выле-
тать
AN pS 3 , ....
—- = — /v д ----- молекул (см. задачу 3.14).
At 6 у RT[i
Полное число молекул воздуха в корабле N найдем из уравнения
Клапейрона — Менделеева:
N = n-V
РУ
кТ '
Полагая, что скорость утечки воздуха неизменна, а давление
воздуха в корабле, необходимое для жизнеобеспечения космонав-
тов, не меньше половины атмосферного, время утечки и. следова-
тельно, время, которое есть у космонавтов в запасе, можно найти
как
N
AN/At
5 \ 3RT
71
4. Термодинамика газа
4.1. Да. В процессе перехода газа из состояния 1 в состояние 2
температура и, следовательно, внутренняя энергия газа оставались
неизменными, но объем возрастал, следовательно, газ совершал
положительную работу, а в соответствии с первым законом термо-
динамики
Q = MJ + A.
4.2. Соединив прямыми линиями точки 1 и 2 с началом коорди-
нат и учитывая, что для идеального газа -у- = const, приходим к
выводу, что И2 > , так как изохора 0-1 имеет больший наклон,
чем изохора 0-2. Таким образом, в рассматриваемом процессе газ
расширялся и, следовательно, совершил положительную работу.
Кроме того, температура газа повышалась, т.е. увеличивалась его
внутренняя энергия. Следовательно, в процессе 1 —> 2 к газу было
подведено некоторое количество теплоты.
4.3. Так как давление газа при расширении уменьшалось мед-
ленней, чем при адиабатическом процессе, для которого Q = 0, то к
газу подводилось тепло.
С другой стороны, так как давление газа падало медленнее, чем
при изотермическом процессе, то его температура уменьшалась.
4.4. При изменении объема газа на ДИ = И2 “И при постоянном
давлении /> работа газа равна
А = pKV.
Из уравнения состояния идеального газа
pV = — RT
находим
A = pbV = — RbT = — АД/«3750 кДж.
ц р
4.5. Так как объем газа не изменяется, то газ не совершает рабо-
ту (А = 0) и по закону Шарля
72
Ро ^0
или
ДГ = Г-Г0=(н-1)Г0.
Нагревание газа при V= const в соответствии с первым началом
термодинамики будет приводить к изменению его внутренней
энергии:
3 3
2 = MJ = — vRAT = -R£T (V= 1).
Следовательно,
3 3
е = -(« - \)RTq l)R(t0 + 273°С) = 7,5 кДж .
4.6. Так как по условию задачи система замкнута, то внутренняя
энергия ее неизменна. Поэтому равновесное состояние системы
будет устанавливаться при передаче тепла газу от более горячего
куска железа. Уравнение теплового баланса в этом случае имеет
вид
Л/Ск(ГЛ-Г0) = МГ-Гх).
Здесь Л/— масса газа, Тх — установившаяся температура,
3 R
Су =-------удельная теплоемкость газа при постоянном объеме.
2 р
р— молярная масса газа, R— универсальная газовая постоянная.
Таким образом,
3 Л/
R(Tx-T0) = cm(T-Tx).
2 Н
1-Г Л/
Подставив сюда —R, определенное из уравнения состояния иде-
Н
ального газа по характеристикам начального состояния, т.е.
М PqV
— к — ——
Н То
73
и разрешив это уравнение относительно Тх, получим
3
cmT + -PqV
Т =------------
х 3 PqV
спг + —
2 То
Давление газа р в равновесном состоянии найдем из закона
Шарля (И = const):
2mcT
Р = Ро^ = Р<Г ^- = 1.66105 Па.
Зр0И
4.7. Так как в процессе 1-2 объем не изменяется, то работа в
этом процессе равна нулю. Следовательно, работа А, совершенная
газом в процессе 1-2-3, равна работе, совершенной в процессе
2-3, т.е.
Используя уравнения состояния газа в состояниях 1 и 3,
P\V}=vRTx,
РзУз=уКТ,
получим
Т Т
А - vRp^--------- .
Р\)
Характеристики газа в состояниях 1 и 3 связаны объединенным
газовым законом:
_ р3Уз
7] Т
Т TV
Из него следует, что — =---—. По условию задачи точки 1 и 3 на
Р\ Рзуз
графике (pV) связаны линейной зависимостью, т.е.
74
v3 Рз
V3 P2 k
rr T
Поэтому —- =-----. Подставляя это отношение в выражение для
Р\ кР2
работы, получаем
Указание. Решение аналогично решению задачи 4.7.
4.9. Учитывая, что в уравнениях состояния газа
Р1И =v7?7’1,
Рз^з = V^T3
для состояний 1 и 3 соответственно
Р]=Р2 и T\=T3=T,
находим
Так как в процессе 1-2-3 работа А совершается газом только в
процессе 1 - 2, то
A = P1(V2-Vx) = vRT(k-\).
Отсюда
4.10. Так как сосуд — закрытый, то газ не может совершать ра-
боту. Поэтому в соответствии с первым началом термодинамики
75
количество теплоты, сообщенное газу, равно изменению его внут-
ренней энергии:
Q = MJ.
3
Для одноатомного газа в количестве v = 1 моль ДСТ = — RAT, где
ДГ — изменение температуры газа. Это изменение можно найти из
р2
закона Шарля для идеального газа. Полагая — = q, получим
Р\
&Т = Тд (q -1), Tq — начальная температура.
Окончательно
3
2 = -7?7Ь(<7-1)«7,5кДж.
4.12. Работа газа при изобарическом нагревании
А = р(У2-У}) = рУ2-рУ}.
Произведения рУ2 и рУ] можно найти из уравнений состояний
идеального газа, записанных для температур Zj = 273 °C + ?] и
Т2 = 273 °C + /2 • Полагая в этих уравнениях v - — = , найдем
N _ 6.1 о24 молекул.
Л(Г2-Т!)
4.13. Запишем уравнения состояний газа в состояниях 1 и 2 в
виде
Pl=Hl*7i,
/>2 =n2kT2.
76
Обозначая отношение концентраций молекул газа в начальном и
«1
конечном состоянии через q, т.е. q ~ и учитывая, что расшире-
«2
ние газа было изобарическим (ру = - р), найдем
т2 =T\q.
Для вычисления работы v молей газа А уравнения состояния га-
за выразим через количество вещества в молях, т.е.
P2V2 =vRT2 .
Тогда работа изобарического расширения газа будет равна
А = р(У2 _ И)= v/?(^ _ 1)^1 ~ 5 кДж.
4.14. Работу газа Л можно вычислить как площадь под графиком
зависимости давления от объема (см. рисунок):

= 0,24 Дж.
р, + рэ - V}2
4.15. А = = U 2 «30кДж.
Указание: см. решение предыдущей задачи.
4.16. В процессе 1—2—3 газ совершает работу только на участ-
ке 2 - 3. Поэтому
^123 -^23 ~ Р2^У - -^2)~ P2V3 ~ P2V2
77
Состояния газа I и 3 (Т = const) связаны уравнением Бойля —
рл
Мариотта: /’i^l=Z’3^3- Откуда — = — = — = и или К3 =wCj =
И РЗ Р2
= л₽2. В то же время состояния I и 2 связаны законом Шарля:
Тх т2 '
п т Г1
Отсюда / 2 — —
п
Используя уравнение Клапейрона — Менделеева для состояния
2 газа
^2и2 = rt2.
и преобразуя выражение для работы, получим
Л = Л123 = p2V2 (п -1) = RT2 (и -1) = RT} .
Отсюда Т} = - « 300 К.
R(n -1)
4.17. Так как цилиндр и поршень теплоизолированы, то в соот-
ветствии с 1 -м началом термодинамики работа А, совершенная над
газом, затрачивается на изменение его внутренней энергии, что и
приводит к повышению температуры газа:
3 3
А = AU = -vR&T = -vR(T - То).
В выражении для At/ множитель — учитывает, что газ — одно-
атомный. Записывая уравнение состояния идеального газа для на-
чального состояния
Ро^о = v^0
и решая полученную систему уравнений, найдем
Т = 7Ь
1-1--------
I з pqVq
= 360 к.
78
4.18. В соответствии с 1-м началом термодинамики сообщенное
газу количество теплоты Q было израсходовано на изменение
внутренней энергии Д£/ и на работу А, совершенную газом; т.е.
0 = Д£/ + Л.
Для одноатомного газа Д£/ = ——ВАТ , а работа при изобариче-
2 ц
т
ском расширении равна A = p&V-—RAT. Следовательно,
И
Q = — — R&Т. Отсюда Д7 = и ДС/ = -0 = 18 кДж.
2 ц 5 mR 5
4.19. В изохорическом процессе газ не совершает работу, по-
этому количество теплоты Qy, сообщенное газу, расходуется
только на изменение его внутренней энергии:
Qy = MJ = ^vRMT .
При этом из закона Шарля
получаем Д7’ -Tq
'р~Ро
ч РО
= Tq (п -1). Следовательно,
3 3
Qy =-v/?To(n-l) = -poro(n-l).
При выводе этой формулы использовано уравнение Клапейрона —
Менделеева для начального состояния газа:
v^0 = pqVq.
В изобарическом процессе теплота расходуется не только на из-
менение внутренней энергии, но и на совершение работы:
3
Qp=-vRAT + p^V.
79
Подставляя сюда ДГ = Г] (к -1), найденное из закона Гей —
Люссака, и преобразуя это выражение, получаем:
3
ep=-vJR7’1(^-l) + jP1(r2-r1) =
Лр^к-^Лр^кА),
Р\’ — параметры состояния газа после изохорического на-
гревания. При получении этой формулы также использовано урав-
нение Клапейрона— Менделеева для состояния газа после его
изохорического нагревания.
Общее количество теплоты, сообщенной газу,
Q = Qv +QP -Ро^о
3 5
-(п-1) + -п(к-1)
= 115 кДж.
4.20. Работа совершается газом только тогда, когда меняется его
объем. Так как при этом р - const, то
А = рАУ = — RAT .
И
Так как начальная и конечная температуры в рассматриваемом
процессе одинаковы, то будут одинаковыми по величине и измене-
ния температуры на участках изобарического расширения и изохо-
рического сжатия. Эти изменения найдем из закона Шарля для
процесса изохорического сжатия:
£к__£о_
Tq ’
или
ДТ = ГК
г _ Т (1 Гк 1 _ Т (п D
-'0-у0 1------у0-------
I Ро) п
Окончательно
A = — Tq^—— = 830 кДж.
р. п
80
4.21. При изобарическом расширении (ро = const) работа газа
равна
А=рДУ,
ДР — изменение объема газа.
Изменение объема ДИ легко связать с изменением температуры
ДТ, воспользовавшись уравнением Клапейрона — Менделеева для
двух различных состояний газа, характеристики которых pq , Vq и
Tq , а также Pq , Ии Т:
ДР =—R(T-То).
И
Т V
Из этих уравнений получаем также, что — = — = п, или
То vo
ДТ = То (и -1). Отсюда А = —RTq (л - 1) = 25 кДж.
Ц
4.22. В соответствии с первым началом термодинамики количе-
ство теплоты Q. сообщаемое системе, расходуется на изменение ее
внутренней энергии Д1) и на совершение системой механической
работы А, т.е.
2 = Д£7 + Л.
В данном случае сосуд теплоизолирован, поэтому Q = 0 и газ
может увеличивать свой объем (т.е. совершать работу против сил
давления окружающей среды) только за счет изменения внутрен-
ней энергии.
Так как газ атомарный, то его внутренняя энергия изменяется на
величину
3 3
Ди = -vRbT = -vR(T-TQ),
Т — установившаяся температура газа. Работа, совершаемая газом,
A = p(V-Vo),
где р — давление, создаваемое внешними силами, которое по усло-
вию задачи остается неизменным в процессе изменения объема га-
за. Его можно найти из уравнения Клапейрона — Менделеева, так
81
как оно равно установившемуся давлению газа в процессе его рас-
ширения: pV = vRT.
Первое начало термодинамики в данном случае будет иметь вид
•J ( у _ Т/- 5
-vR(T-T0) + vRT ------5-
2 I V J
= 0.
то I 5
Отсюда — - —
Т 13
2М
3 V J'
4.23. Уравнения состояния исходного газа ((ц = 0°С) и нагрето-
го до температуры t имеют вид
pgvo - v^o;
pV = vRT,
где pq , Ко. Tq — 273 К и p, V. 7"= 273 +Л—давление, объем и
температура начального и конечного состояний соответственно. По
условию задачи v = 1, Pq= р Тогда из уравнений состояния газа
следует
T = TQ —
VQ
и
рДУ = RAT = R(T - 70).
Работа, совершаемая газом при нагревании, равна по определению
А=рДУ,
т.е.
A = R(T-T0) = RT0(n-l) = RT0 =2270 Дж,
V
где п = — = 2.
Vo
Теплота, расходуемая на нагревание газа, в соответствии с пер-
вым началом термодинамики идет на совершение работы газом и
изменение его внутренней энергии, т.е.
82
з
Q = A + AU = RTo(n-l) + -R(T-To) =
= |/?7b(n-l>|/?7’o*567O Дж.
4.24. По закону Дальтона давление газа р равно сумме парци-
альных давлений
Р = Р\ + Р1 ,
где /?j — парциальное давление газа при температуре 1\ :
Р2 — парциальное давление газа при температуре :
V— объем, занимаемый газом.
Давление всего газа после установления термодинамического
равновесия согласно уравнению Клапейрона — Менделеева равно
Р =(V1 +v2) —,
Т — установившаяся температура.
Так как сосуд термоизолирован, то в процессе установления
термодинамического равновесия внутренняя энергия газа не изме-
няется, следовательно, pV - p'V, т.е. р = р', отсюда получаем
т _ vl?l + v2^2
vi+v2
4.25. а) По определению молярная теплоемкость газа равна
ц vAT
где АТ" — изменение температуры газа; v — число молей; Q —
количество теплоты, подвешенное к газу. Величину Q можно найти
83
из первого начала термодинамики. Q - MJ + А . Здесь Д(/ — из-
менение внутренней энергии газа, а А — работа, им совершаемая.
Д(/ связано с изохорической (К= const) теплоемкостью газа соот-
ношением:
Д£7 = сууДТ,
а работа А может быть посчитана как
>2
А = jpdV,
Kj, К2 — пределы изменения объема газа при температурах Zj и
Г2 (ДГ = Г2 -Г0 соответственно.
Используя уравнение состояния идеального газа pV = vRT и
закон изменения давления как функции температуры р = а!Т,
данный в условии задачи, сделаем замену переменной под знаком
интеграла:
M^pdvJ2^.2vRTdT
= 2vRAT.
а
Окончательно
Q = cyv&T + IvRAT = v(cy + 27?)ДГ.
Следовательно, с = су +2R.
Рассмотрим еще один вариант решения. Пусть в указанном про-
цессе произошло малое изменение параметров: температуры Т =>
=> Т + ДГ и объема газа в соответствии с уравнением Менделее-
ва — Клапейрона:
vR Г oil vR
ДК = —(Г + ДГ)2 -г2 =—дг(2г + дг).
a u а
Работа газа А = рДИ (так как изменение параметров мало, т.е.
Д/?« р, то и переход из одного состояния в другое можно считать
изобарическим)
.. Q r &U + A
с~ пт —-—= Inn ----------=
дг^-0 ДГ • v ДГ->О ДГ • v
84
ускДГ + у/?ДГ(2 + ДГ/Г)
= lim -------------------------= су + 2R;
Д7->0 ДГ • V
б) с = Су - R ;
в) с = Су + 2R \
ч R
г) С = Су +-.
2а
4.26. В термодинамическом процессе, в котором участвует газ,
количество подведенного тепла, внутренняя энергия и работа, со-
вершаемая газом, изменяются соответственно по законам:
(2 = сДТ = -^ДТ,
Т1
3
AU = -RAT
2
и
RT
А = рДУ = — ДУ,
где ДТ" — изменение температуры газа; ДК — изменение его объ-
3
ема. Коэффициент — в At/ учитывает одноатомность газа, а фор-
мула для работы газа написана с учетом того, что взят один моль
идеального газа.
В таком случае первое начало термодинамики для газа, свойства
которого указаны в условии задачи, запишется как
^-R^T = -R^T + — ДУ .
/2 2 V
Поделив обе части полученного соотношения на ДТ и рассмат-
ривая бесконечно малые изменения температуры, найдем
/ 7 \
ДУ dV V Tq 3
lim ---= — = — —-------
\Т->()ДТ dT T т1 2
85
Экстремальные значения объема газа будут соответствовать
dV п „
случаю, когда — = 0. Приравнивая правую часть последнего со-
dT
отношения нулю, находим, что экстремальная температура газа
равна
Л„„=^П«245 К.
Заменив в — Tq на 7"ЭКСТп, убеждаемся в том, что при этой тем-
dt и
пературе /’экстр > объем газа действительно максимальный, так как
~ dv а dV п
при Т < /экстр ,гг > о, а при / > /экстр ,гр < 0
dl di
Возможно ответить на вопрос задачи в результате несколько уп-
рощенных рассуждений, а именно, если согласно условиям задачи
в указанном процессе при некоторой температуре объем газа дос-
dV п
тигает своего максимума, то в этой точке = 0, а следовательно,
в ее окрестностях процесс совпадает с изохорическим, т.е. тепло-
емкость газа совпадает с теплоемкостью в изохорическом процессе
— R => 7’эксто - Tq .
Т
1 экстр у
4.27. Для приведенного в условии задачи термодинамического
процесса первое начало термодинамики запишется в виде
R^-bT = -RbT + pbV
Т 2
(см. решение задачи 4.18). Чтобы выяснить условия, при которых
давление газа экстремально, воспользуемся уравнением состояния
RT
для одного моля газа V =- и выразим ДК через Д7 и Ар:
Р
86
W = r(L±
—- — R — = R —-—----—---—— =
(7? + Др) p (р + Др)р
r Др
^рДТ-ТДр &vRp дт
p(p + Др) ДГ p(p + Др)
Преобразуя второе начало термодинамики, получим
т р-Т^-
R — = ~R + R----=>
Т 2 р + Др
Др dp pt 5 Го>
=> 11Ш -2- = — = —----I
ДЛ+ОДГ dT Т\2 Т )
Давление будет экстремальным при температуре
^экстр - ~Tq =\60 К.
Анализ зависимости при Т < ГЭКСТр и Т > Гжстр показывает,
что экстремальное значение температуры газа соответствует мини-
муму его давления. Если не требуется обоснование достижения
давлением своего минимального значения, то можно использовать
способ, предложенный в задаче 4.18: в точке экстремума
4.28. Давление газа будет максимальным при
4.29. Объем газа будет минимальным при
3
Т = -Тп =600 к.
2 и
87
4.30. Так как теплообмен системы с внешней средой отсутству-
ет, то условие задачи можно записать в виде системы уравнений:
171
l/2 = -^2s2 ’
— Д t/ .
С7,=С71+С72,
е - (1 -а)Е],
t/y =(7Vi +N2)s>
где 77] и U2 — внутренняя энергия газов в первом и втором объе-
мах соответственно; Е] и е2 — начальная средняя энергия моле-
кул в первом и втором объемах соответственно; е — средняя энер-
гия молекул в первом и втором объемах после установления тепло-
вого равновесия; Uj и Uу — внутренняя энергия системы до на-
чала теплообмена и по окончании его соответственно; а = 0,25.
Согласно первому началу термодинамики внутренняя энергия
системы останется неизменной, т.е. U, - U/. Учитывая это усло-
вие и решая вышеприведенную систему уравнений, получаем
17, = А17------------------= 2 Дж.
1 Nx-N2 +a(#i +N2)
88
5. Теплообмен. Уравнение теплового баланса.
Фазовые переходы
5.1. Нет. Отсутствует поток тепла, так как дно пробирки и лед,
содержащийся в ней, имеют одинаковую температуру / = О °C.
5.2. Инертный газ не вступает в химические реакции с материа-
лом нагреваемой спирали и не разрушает ее.
Газ низкой плотности обладает низкой теплопроводностью и
повышает КПД электрической лампочки как осветительного при-
бора, уменьшая тепловую мощность, рассеиваемую в окружающую
среду.
Помимо этого прочность стеклянного баллона лампочки на раз-
рыв изнутри существенно меньше, чем его прочность на сжатие
снаружи благодаря форме, близкой к сферической. Поэтому лампу
целесообразно наполнять газом до такого давления, чтобы в нагре-
том состоянии оно не превышало атмосферного.
5.3. Чем больше объем воды, тем больше центров кристаллиза-
ции, например, пылинок в нем. В маленькой капле их может вовсе
не оказаться.
5.4. Один из вариантов охлаждения воды до температуры ниже
О °C (Т < 273 К) состоит в изменении ее физико-химических
свойств. Это можно сделать, например, растворяя в ней поварен-
ную соль, что приводит к уменьшению температуры замерзания
воды.
Смысл другого варианта охлаждения можно понять из диаграм-
мы фазового состояния воды (рисунок). На рисунке р — давление,
89
Т — абсолютная температура. Воду, предварительно очищенную
от примесей, которые являются центрами кристаллизации, нужно
поместить в замкнутый сосуд и одновременно с ее охлаждением
увеличивать давление в сосуде, например, путем сжатия воды
поршнем.
5.5. Снежинки служат центрами кристаллизации, вокруг кото-
рых начинается образование льда.
5.6. Лед. При сравнимой со снегом удельном теплоемкостью лед
имеет более высокую плотность.
5.7. Налить очищенную от примесей воду в замкнутый сосуд и,
медленно и равномерно нагревая его, закачать в него воздух до
давления, выше атмосферного.
5.8. Нет. В плавающей кастрюле не будет потока тепла от ее
дна, так как дно и вся вода в кастрюле находятся при температуре
! = 100 °C.
5.9. Нужно погрузить кусочек твердого вещества в расплавлен-
ное.
Если твердый кусочек будет плавать, то это означает, что его
плотность меньше плотности расплава. Поэтому при затвердевании
плотность расплава будет уменьшаться, а объем его увеличиваться.
Если твердый кусочек утонет, то, наоборот, объем вещества при
переходе в твердое состояние будет уменьшаться.
5.10. Так как температура воздуха на верхнем конце трубки су-
щественно меньше, а трение о стенки трубки значительно слабее,
чем о массу окружающего воздуха, в ней возникает свободная кон-
векция воздуха, обеспечивающая интенсивную подачу кислорода.
В результате сжигаемый углеводород будет выгорать полностью, а
сажа не будет образовываться. При закрытой сверху трубке кон-
векции нет, поэтому сгорание углеводорода будет неполным, т.е.
копоть появится снова.
5.11. Человеческий организм непрерывно вырабатывает тепло,
избыток которого при температуре окружающей среды, меньшей
температуры тела, передается во внешнюю среду. При температуре
окружающей среды, выше нормальной человеческой температуры,
отдача вырабатываемого тепла во внешнюю среду за счет тепло-
проводности невозможна.
5.12. Известно, что скорость теплообмена пропорциональна раз-
ности температур соприкасающихся объектов. Поэтому при изме-
90
рении температуры тела разность температур тела и термометра
постепенно уменьшается и процесс теплообмена замедляется. Ко-
гда термометр вынут— между ним и воздухом имеется большая
разность температур. Поэтому объем ртути быстро уменьшается и
также быстро происходит сброс ртути в начальное состояние.
5.13. Удельная теплота парообразования для воды г =
= 2,3 106 Дж/кг, а удельная теплоемкость ее с = 4,2 • 103 Дж/(кг К).
Поэтому при попадании на палец человека одинаковых количеств
пара и кипятка за счет конденсации пара выделится примерно в 5
раз большее количество тепла, чем за счет охлаждения кипятка.
5.14. Особенности замерзания озер зависят как от величины
внутренней энергии содержащейся в них воды, так и от передачи
тепла в окружающую среду. Количественно внутренняя энергия
озера пропорциональна массе воды в нем и, следовательно, его
объему V. Количество теплоты, теряемое озером в результате есте-
ственной конвекции, пропорционально площади его поверхности 5.
Скорость охлаждения озера и, следовательно, замерзания поверх-
ностного слоя воды будет тем больше, чем больше площадь его
поверхности и тем меньше, чем больше в нем воды, т.е. будет про-
порциональна отношению S/V. Из размерностных соображений
очевидно, что в общем случае это отношение обратно пропорцио-
нально линейному размеру озера. Поэтому из двух озер с разными
размерами быстрее замерзнет от берега до берега то из них, кото-
рое меньше.
5.15. Нельзя. При открытой двери включенный холодильник бу-
дет отбирать тепло не от холодильной камеры, а из окружающей ее
атмосферы и отдавать его туда же.
5.16. Самопроизвольная передача внутренней энергии от холод-
ного тела к горячему в соответствии со вторым началом термоди-
намики невозможна. Чтобы от холодного тела передать внутрен-
нюю энергию (в форме теплоты) к горячему телу, необходимо со-
вершить работу. Эту работу затрачивают другие тела. Пример —
холодильные установки, в которых тепло от холодильной камеры,
имеющей низкую температуру, передается в атмосферу, темпера-
тура которой выше температуры холодильной камеры. В качестве
третьего тела используется испарительный агрегат компрессионно-
го типа, перекачивающий и сжимающий хладоагент.
91
5.17. а) воск; б) свинец.
При низкой температуре в твердом состоянии воск — аморфное
тело, свинец — кристаллическое тело. Переход воска в жидкое со-
стояние происходит постепенно, т.е. его характеристики, например,
вязкость и удельный объем, меняются с температурой плавно.
Свинец вначале при нагревании по линейному закону расширяется,
оставаясь в твердой фазе. Затем при достижении температуры
плавления он изотермически перейдет в жидкое состояние, при
этом его параметры, в том числе, удельный объем, будут изменять-
ся скачкообразно.
5.18. т2>ту. Из условия теплового баланса 21 -Q1 следует
С]ту (0 - /]) - с2т2 (t2 - 0), 0 — установившаяся температура, /] и
t2 — начальные температуры образцов. Так как образцы изготов-
лены из одного и того же материала и изменение температуры об-
разцов (0 -ty) > (t2 - 0) , то т2 > ту.
5.19. с2 <су.
5.20. В соответствии с законом
Q = ст АТ
при сообщении одного и того же количества теплоты Q двум телам
одной и той же массы, но разной природы больше изменится тем-
пература того тела, удельная теплоемкость с которого меньше.
Следовательно, для приведенных на рисунке зависимостей с2 < су.
5.21. т2 > ту. См. задачу 5.20.
5.22. Пусть Д/и — масса образовавшегося льда, тогда
т - Ат — масса воды, откачанной из колбы в виде водяных паров.
Составим уравнение баланса. Количество теплоты, отданное во-
дой, претерпевшей фазовый переход из жидкого состояния в твер-
дое (кристаллическое) Qy = Дш X. Количество теплоты, получен-
ное водой, претерпевшей фазовый переход из жидкого состояния в
газообразное (пар) Q2 = (т- Ат) г . При отсутствии теплообмена
с окружающей средой
Qy = Q2 => Am - т —Г-— = 508 г.
Х + г
92
5.23. tH = ^«121 °C.
p2c
5.24. Количество теплоты, расходуемое на процессы:
нагревания чайника до температуры Z2 = 100 °C —
21 = т1С1 (t2 -?i);
нагревания до температуры t2 содержащейся в нем воды —
22 =w2c2(/2 - 'О;
испарения воды в количестве Aw —
2з = Aw • г .
Количество теплоты, затраченное нагревателем за время Т:
Q = t]NT.
Из уравнения теплового баланса 2 = 2] + Q1
(wjq+w2c2)(r2-0 + Aw-r
1 --------------------------~ 625 c «10 мин 25 c.
r\N
5.25. Количество теплоты, выделенной при процессах:
конденсации пара — Q\=f-m3;
охлаждения воды, полученной из пара, до температуры 9 равно-
весного состояния — О2 = cw3(Z2 - 9).
Количество теплоты, израсходованной на процессы:
таяния льда — 2з ~ ^т\ '>
нагревания воды, содержащейся в сосуде и полученной изо
льда, до температуры 9 — 2д = с(т} + w2)(® ~ h)
Из уравнения теплового баланса
rm3 + cm3(t2 -9) = Xw] +c(ml + m2)(Q-tx)
находим установившуюся температуру
rm3 + cm3t2 - Xw,
е = __2-----------L ~ 81о
C(w1+w2+w3)
93
, W1(C1A7] +Х + С2ДГ2 + r)
5.26. m = —!!!----------— ------« 0,6 кг,
r\q
ЬТ\ =0°-/] =20 °C,
AT2 =/2 -0° = 100°C.
5.27. m = + s 2! 0 r_
Z]C]
Установившаяся температура в системе t = 0 °C.
5.28. Обозначим:
бконд количество теплоты, которое сможет выделиться при
конденсации всего пара;
бплав — количество теплоты, необходимое для плавления льда;
бнагр — количество теплоты, требующееся на нагревание воды
от температуры плавления льда до 100 °C:
бконд = w2r = 2,3 • 105 Дж,
бплав =т\ -^ = 3,3-104 Дж,
бнагр = т\ c(h - h ) = 4,2 • 104 Дж.
Так как 2К0НД > бПлав + бнагр > то температура равновесного со-
стояния вещества в калориметре будет 7= 100 °C. При этом скон-
денсируется только часть впущенного пара. Пусть Аш — количе-
ство сконденсировавшегося пара. Тогда уравнение теплового ба-
ланса будет иметь вид
бконд = бплав + бнагр •
Здесь бконд = ’г • Тогда
т^ + тхс((2 -t] ) „
Аш = —5-----1— ----— « 33 г.
г
Таким образом, в калориметре будет находиться wj + Дот «133г
воды и ш2 “ ~ 67 г насыщенного пара при температуре t =
= 100 °C.
94
5.29. В начале в калориметре будут происходить следующие два
разнонаправленных процесса: охлаждение воды и нагревание льда.
Дальнейшее зависит от того, какая из субстанций — лед или во-
да— первой достигнет температуры фазового перехода и затем
либо вода, остывшая до температуры фазового перехода t = О °C,
будет превращаться в лед, отдавая тепло на нагревание куска льда,
либо кусок льда, достигший t = О °C, начнет таять, получая тепло
от остывшей воды. Чтобы определить, каким путем устанавливает-
ся равновесие, посчитаем количество теплоты Q\, необходимое
для охлаждения воды до t = О °C
21 = т}с}(t} - 0 = 4,2-104 Дж,
и количество теплоты 2г > необходимое для нагревания льда до
t = 0 °C
2г =™2с2(/-/2) = 4.2-ю5 Дж.
Сравнивая 21 и Qz> заключаем, что первой остынет вода и
начнет замерзать, отдавая тепло на нагревание льда.
Количество замерзшей воды Длг найдем из условия теплового
баланса
22 = (?i - 0 + &т
В правой части этого уравнения второе слагаемое — количество
теплоты, выделившееся при замерзании воды массой Ат .
Отсюда
Ат «1,15 кг.
Таким образом, при нагревании куска льда до t = 0 °C замерзнет
только часть налитой в калориметр воды и в калориметре будет
находиться /и2 = /и2 + Ат « 6,15 кг льда и т{ = т^ - Ат = 0,85 кг
воды при температуре t = 0 °C.
Следовательно, температура содержимого калориметра составит
t = 0 °C.
5.30. Так как пар в цилиндре насыщенный и давление его
/>0=1атм., т.е. равно атмосферному, то температура пара
/=100 °C, или Т = 273 + t = 373 К. Чтобы найти характеристики
95
равновесного состояния после введения в цилиндр воды, посчитаем
количество теплоты О2, необходимое для нагревания введенной
воды до 100 °C, и количество теплоты Q], которое сможет выде-
литься при этой температуре при конденсации всего пара:
Q2 = m2ct = 7560 Дж,
□l = г /и, =414000 Дж.
Сопоставление и О2 показывает, что введенная в цилиндр
вода нагреется до /= 100 °C за счет теплоты, выделившейся при
конденсации части пара. Таким образом, равновесное состояние
системы установится при температуре Т = t + 273=373 °C. Масса
сконденсированного пара
А/и = « 3,3 г.
г
При этом оставшийся пар будет занимать объем
- Аш RT
Н Ро
Так как до введения воды в цилиндр объем, занимаемый паром,
RT
И0 ----------------------------
Н Ро
то перемещение поршня в цилиндре составит
, Го-Г S111RT m2ctR(213°C + t)
п ~------=-------------------------= 0.56 м.
5 Ц PqS гц-PqS
При нахождении перемещения полагалось, что объем, занимае-
мый водой в цилиндре, пренебрежимо мал по сравнению с Ро и V .
г> с rz т1
В этом можно удостовериться, сравнив объем воды Kj =-------
Рв
(рв — плотность воды) С Vq и V .
96
5.31. Процесс кипения начнется в местах, где имеются неодно-
родности. например, там. где проходят границы раздела слоев раз-
нородных жидкостей или на стенках сосуда. Так как нагрев по ус-
ловию осуществляется медленно и равномерно, т е. температуру
стенок сосуда можно считать совпадающей с температурой жидко-
сти. то наиболее благоприятные условия для начала процесса кипе-
ния складываются на границах раздела слоев жидкости и вот поче-
му. В соответствии с законом Дальтона для идеального газа при
образовании пузырька пара на границе раздела давление внутри
него будет складываться из парциальных давлений насыщенного
пара каждой из жидкостей, т.е. условие закипания на границе раз-
дела двух жидкостей /-й и к-й запишется следующим образом:
Рату, ~ Рнп (./) + Рнп
Гидростатическим давлением столба жидкости можно пренеб-
речь, так как по условию слои жидкости — тонкие. Таким образом,
процесс кипения начнется в той части сосуда с жидкостями, где
давление паров в пузырьках первым достигнет атмосферного. Это
может произойти на одной из двух границ раздела жидкостей: 1-2
или 2-3, при выполнении условия
Ратм =aU)(T-TnA(j))2 + а(к)(Т - Тп;[(к))2.
Для каждой из жидкостей, налитых в сосуд, найдем вначале, че-
му равны коэффициенты а в законах /?нп =а(Г-71пч)2. Восполь-
зуемся тем обстоятельством, что кипение начинается при давлении
пара жидкости, равном атмосферному давлению. Полагая
Рнп = Ратм ’ = ^кип - наЙДем
а = Ратм
(^кип - ^пл )
Рнп ~ Ратм
( T-Т V
1 2 ПЛ
Т -Т
V кип 1 пл )
97
Температура, при которой начнется процесс кипения на границе
разделаj-й и к-й жидкостей, определяется уравнением:
р -р ( ^плО). f Цт-Т^к) V
17кип(7) - ^плО)) Икип^-^пл^);
Вводя обозначения:
АГ(Лг) = 7КИГГ(^) ,
а = ДГ2(7) + ДГ2(£),
6 = Гпл(7)ДТ2(^) + Гпл(^)ДГ2О),
с = ГП2Л (У)ДТ2 (£) + Гпл (к)ЬТ2 (7) - ДТ2 (7)ДТ2 (£)
и решая полученное квадратное уравнение относительно Т, полу-
чим
т — т ( ъх-Ь± ^ь2 ~ас
— ^кипО»^) —
а
b-yjb2 -ас
Решение со знаком «-» в числителе, т.е. , сле-
а
дует отбросить, так как при подстановке числовых значений тем-
пература кипения получается ниже температуры плавления каждой
из жидкостей.
Вычисления температуры кипения дают
Г^2)-354К,
^«362 К.
Таким образом, кипение жидкости в сосуде начнется на границе
раздела слоев 7 и 2 при температуре Гкип « 354 К.
98
5.32. Кипение жидкости в сосуде начнется на границе раздела
слоев 1-2 при температуре
(см, решение задачи 5,30),
5.33. Стенки сосуда, обращенные к комнате и окну, находились
при разной температуре. Поэтому в воде образовался конвекцион-
ный поток, который, как известно, направлен от холодной стенки к
теплой. Если муть осела у стенки сосуда, обращенной к комнате, то
это означает, что более низкой была температура стенки, обращен-
ной к окну, т е. опыт был произведен зимой.
99
6. Насыщенные и ненасыщенные пары. Влажность
6.1. При изотермическом сжатии идеального газа растет концен-
трация молекул и, как следствие, увеличивается его давление.
При изотермическом сжатии насыщенного пара концентрация
молекул и давление газа остаются неизменными.
6.2. Абсолютная влажность воздуха определяется количеством
содержащихся в нем паров воды, точнее, их плотностью, которая
максимальна для насыщенного пара и очень быстро увеличивается
при повышении температуры воздуха. Поэтому на Земном шаре
абсолютная влажность может быть максимальной над акваториями
океанов, озер или рек на экваторе, где температура воздуха дости-
гает наибольших значений.
6.3. Запотевание окон — это конденсация паров воды, содержа-
щихся в теплом и влажном воздухе комнаты, на холодной поверх-
ности оконного стекла. Оно возможно, если температура воздуха
на улице меньше температуры воздуха в комнате. Естественно, что
запотевают внутренние поверхности стекол. Если перепад темпе-
ратур на улице и в комнате большой (температура воздуха на улице
много меньше О °C), то сконденсировавшая вода будет замерзать,
образуя снежную корку или наледь.
6.4. Ощущение комфорта зависит от абсолютной влажности
воздуха, которая в летние месяцы практически одинакова на улице
и в доме. В зимнее время влажность уличного воздуха существенно
меньше. Недостающую влажность в доме частично можно компен-
сировать увеличением температуры воздуха в комнате. При этом
парциальное давление паров воды в комнате будет больше, чем на
улице.
6.5. При соприкосновении с холодным уличным воздухом пары
воды, находящиеся в теплом воздухе комнаты, конденсируются,
образуя туман. Клубы тумана имеют более низкую температуру по
сравнению с температурой влажного воздуха в комнате, но более
высокую по сравнению с температурой воздуха на улице. Так как
нагретый газ легче холодного, т.е. его плотность меньше, то оче-
видно, клубы тумана в комнате будут опускаться, а на улице под-
ниматься.
6.6. Высохнет. По условию задачи естественно полагать, что на
улице и в комнате водяной пар будет насыщенным. Но так как в
100
комнате температура воздуха выше, чем на улице, то и абсолютная
влажность в комнате будет больше, чем на улице. При открытой
форточке влажность воздуха в комнате будет уменьшаться и, сле-
довательно, белье будет сохнуть.
6.7. По определению относительной влажности воздуха она рав-
на отношению парциального давления р водяного пара, содержа-
щегося в воздухе при данной температуре, к давлению /»н насы-
щенного пара при той же температуре
ф = _£_.100%.
/’н
<р- р„
Отсюда р = iQpy Массу пара в комнате найдем из уравнения
состояния идеального газа
m = w^=±W^K925r
RT Т 100%
6.8. Из определения относительной влажности воздуха находим
первоначальное давление паров воды:
Рй =Рнп • ф/Ю0% .
Первоначальную массу т!} паров воды можно определить из
уравнения состояния идеального газа:
_Ро-цУ
° RT
Количество воды, содержащейся в воздухе, после добавления
новой порции станет равным mQ + m, а парциальное давление па-
ров
(mQ+m)RT m RT
р -------+ —77
ц V ц V
Влажность воздуха <ркон будет равна
Фкон = Ф + — ’ Ю0% « 59% .
И ^нп
101
6.9. Так как поршень может свободно перемещаться вдоль сосу-
да, то давление пара в сосуде при любой температуре будет
равно сумме атмосферного давления ратм и давления, создаваемо-
Mg с
го весом поршня ръ -----, о — площадь поршня: р§ = ратм +
+ ~~~, М— масса поршня. Состояние пара в сосуде зависит от его
температуры. Пусть Tq — начальная температура пара. При неко-
торой температуре Гнас <Tq пар будет насыщенным. В области
температур Гнас < Т < Tq состояние пара описывается уравнением
состояния идеального газа
PqV = PqS(X-D) = -RT .
ц
ти [I — масса и молярная масса газа соответственно; 5 — площадь
поршня; D — толщина слоя жидкости, образовавшегося при кон-
При Т = Tq X -Xq, поэтому это уравнение можно переписать
как
Т
X = D + (X0-D)±-.
Jo
Таким образом, на участке Тнас < Т < Tq зависимость X (Т) —
линейная, проходящая через точки X = D при Т = 0 и X = Xq при
102
T = Tq. При Т - Тпж весь пар сконденсируется, а поршень опус-
тится на дно сосуда (толщиной слоя жидкости по сравнению с Xq
пренебрегаем). График зависимости Х(Т) показан на рисунке.
6.10. См. решение задачи 6.9.
6.11. На участке Xq <Х <ХГ? при подъеме поршня давление в
сосуде равно давлению насыщенных паров жидкости, Хгр — вы-
сота, при которой пар еще насыщенный, а жидкость вся улетучи-
лась. При X > А'рр р(Х) следует уравнению состояния идеально-
.... m RT m RT „
го газа p(X) =------=--------. л — площадь поршня..
ц V ц 5 • X
6.12. Ненасыщенный пар ведет себя как идеальный газ. Поэтому
mRT mRT
Р{ р5й ~pS(X0-X)
Здесь S — площадь поршня,
103
h = Xfi -X — высота поршня над дном сосуда. С увеличением X
mRT
давление в сосуде будет расти от начального значения р0 =-
Л)
mRT
до давления насыщенных паров по закону р(л) =-------------.
р5(%0-Х)
Затем оно будет оставаться неизменным, пока весь пар не сконден-
сируется. При дальнейшем увеличении X давление неограниченно
растет (рисунок).
6.13. Испарившаяся вода перейдет в насыщенный пар, объем ко-
торого составит
т RT
|/ —----.
ц Р
Здесь ц— молярная масса воды, Т= 373 К (100 °C) — темпера-
тура насыщенного водяного пара при внешнем давлении р = 1 атм.
(105 Па). Следовательно, высота, на которую поднимется поршень,
ТТ V m RT
Н = — =--------® 11 см.
X ц pS
104
7. Поверхностное натяжение. Капиллярные явления
7.1. На образование водяных брызг, т.е. мелких капель воды, не-
обходимо затратить энергию, тогда как песчинки являются слабо
связанными образованиями.
7.2. Вследствие полного смачивания вода растечется по стенкам
сосуда, а воздух примет форму, близкую к шаровой, так как это
соответствует минимуму свободной поверхности воды и, следова-
тельно. минимуму поверхностной энергии.
7.3. При разбиении большой капли радиусом R на N капель ра-
диуса г закон сохранения энергии можно записать в виде
с • 4тг/?2 + р • у кВ? gH = о • 4пг 2 • N .
2 2
Здесь с • 4лн и а • 4яг есть поверхностная энергия исходной
капли и получившихся соответственно.
Правая часть в уравнении есть полная поверхностная энергия
образовавшихся капель и, следовательно, работа, затраченная на их
образование. Второе слагаемое в левой части уравнения представ-
ляет собой энергию, высвободившуюся при падении капли в поле
тяготения с высоты Н.
Радиус маленьких капель г находим из условия сохранения ко-
личества вещества
М= Nm,
т — масса отдельной маленькой капли, М— масса большой капли.
Так как М - V р, где V— объем капли, то г - —==. Решая урав-
нение относительно Н, находим
Я За(^Й-1)
7.4. Перед отрывом от трубки сила тяжести FT, действующая на
каплю, уравновешивается силами поверхностного натяжения Fu.
105
Модуль силы поверхностного натяжения, действующей на контур
длиной nd, равен Fn = nda . Модуль силы тяжести
4 з nD3
F.,=mg = -nr -P S = —^Pg,
5 о
D — диаметр капли.
Отсюда
„ \f>d<5 А А
D = 3----« 4,4 мм.
V Рё
7.5. Под действием сил поверхностного натяжения пленки пру-
жина растянется, а ее потенциальная энергия увеличится на вели-
ЦДх)2
чину —-—, где Дх — смещение перемычки из начального по-
ложения. При этом поверхностная энергия пленки уменьшается на
величину AS о = Дх I • ст, где AS — изменение площади поверх-
ности пленки. Общее же изменение энергии всей системы в целом
составит
ЦДх)2
AW =---------Дх • I • о.
2
Связь между Дх и характеристиками системы можно найти из
условия равновесия перемычки:
F +F =0
^упр т -" пов v >
где Fynp = £Дх — модуль силы упругости пружины, FnoB = ст I —
модуль силы поверхностного натяжения пленки. Отсюда
и, следовательно,
Д^ = -
„2,2
СТ I
~2к~
106
Поскольку ДИ^сО, т.е. механическая энергия системы умень-
шилась, а саму систему можно считать замкнутой, то высвободив-
шаяся энергия выделится в форме теплоты, количество которой в
соответствии с законом сохранения энергии будет равно
„2,2
Q = -^W = ^—.
2к
7.6. По условию задачи вода смачи-
вает стекло, поэтому ее уровень в ка-
пилляре будет выше уровня плоской
поверхности воды за пределами капил-
ляра на некоторую величину Н, и, кро-
ме того, мениск будет иметь форму
полусферы в силу полного смачивания.
Подъем воды в капилляре обусловлен
действием силы поверхностного натяжения
F = ,
распределенной по периметру смачивания, имеющего длину 2тгг0 .
Приложенные к отдельным участкам периметра смачивания ком-
поненты силы направлены вертикально вверх — вследствие пол-
ной смачиваемости краевой угол 0 = 0. Столб жидкости в капилля-
ре будет находиться в равновесии при условии, что сила поверхно-
стного натяжения и сила тяжести, приложенные к столбу, взаимно
уравновешены. Учитывая то обстоятельство, что Н», т.е.
влиянием воды, находящейся под поверхностью мениска выше Н,
можно пренебречь, запишем условие равновесия столба воды в ка-
пилляре.
2тсгосг = pnr^Hg => Н = 2g .
P^Og
Работа, совершенная силой поверхностного натяжения при пе-
ремещении мениска внутри капилляра до положения равновесия,
Ana=F.H = ^~.
1J37
Приращение потенциальной энергии жидкости в поле тяжести в
том же процессе составит
ЛН/ Н 2и Н 2тга2
Д W = mg — = ртсго Hg — =---
2 2 pg
(сила тяжести приложена к центру тяжести, который, в данном
случае, совпадает с центром масс столба жидкости).
Работа сил поверхностного натяжения затрачивается на прира-
щение полной энергии системы — потенциальной и внутренней.
Увеличение внутренней энергии системы происходит в результате
выделения некоторого количества теплоты
? 2
Лпн^ + 2 => Q = —
Pg
7.7. Работа Л1Ш, совершенная силой поверхностного натяжения
при перемещении мениска в капилляре до положения равновесия
. 47ССГ2
Аш —
pg
Приращение потенциальной энергии ртути в поле тяжести в том же
процессе составит
Работа сил поверхностного натяжения затрачивается на изменение
потенциальной энергии ртути и на изменение внутренней энергии,
выделяющейся в форме теплоты, т.е.
Aiai = AW + Q.
„ 2 тест2
Отсюда Q --------> 0 .
Pg
Указание: см. решение предыдущей задачи.
108