Сборник задач по физике с решениями и ответами. Часть 3. Электричество и оптика: Для учащихся 9-11 классов - Долгов А.Н., Протасов В.П., Соболев Б.В.

Автор: Долгов А.Н. Протасов В.П. Соболев Б.В.

Теги: физика термодинамика задачи по физике молекулярная физика

Год: 2001

Похожие

Сборник задач по физике с решениями и ответами. Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика: Для учащихся 9-11 классов

Сборник задач по физике с решениями и ответами. Механика

Сборник задач по физике (электричество и оптика)

Задачи по физике. Пособие для учащихся 9-11 классов

Текст

Сборник задач по физике с решениями и ответами. Часть III. Электриче-
ство и оптика: Для учащихся 9-11 классов, абитуриентов и студентов младших
курсов / Под ped. А.Н. Долгова. М.: МИФИ, 2001. — 188 с.
Авторы: А.Н. Долгов, В.П. Протасов, Б.В. Соболев
В третью часть сборника включены задачи по электричеству и оптике, предла-
гавшиеся за последние годы на вступительных экзаменах в МИФИ, в лицеи при
МИФИ, а также на олимпиадах им. И.В. Курчатова и И.В. Савельева. Для основ-
ной части задач приведены решения, для задач с однотипным решением даны
только ответы.
Сборник предназначен для поступающих в МИФИ и физико-математические
лицеи при МИФИ, а также может быть использован студентами младших курсов и
слушателями всех форм подготовительного обучения.
Рекомендован редсоветом МИФИ в качестве учебного пособия
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие.......
1. Электростатика.
2. Электрический ток
3. Магнитное поле.
4. Оптика.........
.............4
Задачи Решения
и ответы
..5 10 66
22 28 100
39 41 135
47 55 149

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый сборник задач по электричеству и оптике являет-
ся заключительной третьей частью учебного пособия по основным
разделам школьной физики. Две других части были изданы ранее
МИФИ: «Механика» — в 2000 г.; «Молекулярная физика и термо-
динамика» — в 2001 г. Как и первые две части, третья часть данно-
го сборника предназначена для повторения основных разделов фи-
зики, изучаемых в средней школе, и для самостоятельной подго-
товки к вступительному экзамену в вуз по физике.
Данный сборник, как предыдущие, построен единым образом: к
каждому отдельному физическому разделу дается краткое теорети-
ческое введение, вполне достаточное для того, чтобы учащийся
смог самостоятельно решить задачи этого раздела. Чтобы учащий-
ся мог проконтролировать себя, для многих задач даются подроб-
ные решения. Для однотипных задач приводятся только ответы.
Задачи повышенной сложности отмечены звездочкой.
4
1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
При определенных условиях тела электризуются, т.е. приобре-
тают свойство вступать в электромагнитные взаимодействия.
Физическая величина, характеризующая это свойство тел или час-
тиц и определяющая значение сил и энергий при таких взаимодей-
ствиях называется электрическим зарядом. Свойства электриче-
ского заряда:
электрические заряды делятся на положительные и отрицатель-
ные (одноименно заряженные тела или частицы отталкиваются,
разноименно заряженные — притягиваются);
электрический заряд — величина, независящая от скорости
движения носителя заряда;
электрический заряд — величина, аддитивная, т.е. заряд любой
системы тел равен сумме зарядов тел, входящих в систему;
электрический заряд имеет дискретную природу, т.е. заряд лю-
бого тела кратен элементарному заряду, равному по величине за-
ряду элементарных частиц — электрона и протона;
при всех явлениях, связанных с перераспределением электриче-
ских зарядов в изолированной системе взаимодействующих тел,
алгебраическая сумма электрических зарядов остается постоянной
(закон сохранения электрического заряда).
Силы электростатического взаимодействия (неподвижных в
инерциальной системе отсчета тел) зависят от формы, размеров
заряженных тел и характера распределения зарядов на этих телах.
В случае неподвижных точечных зарядов q^ и д2 > а также заря-
женных тел шарообразной формы, если их заряды q\ и д2 распре-
делены равномерно по объему или по поверхности этих тел, спра-
ведлив закон Кулона-, силы F электростатического взаимодействия
между зарядами q^ и <?2, находящимися в вакууме, прямо пропор-
циональны величинам зарядов, обратно пропорциональны квадрату
расстояния г между ними (между их центрами в случае шарообраз-
5
ной формы взаимодействующих тел) и направлены по прямой, со-
единяющей эти заряды (центры шарообразных тел):
2
где к = —-— = 9109Н-м2 /Кл2 — постоянная закона Кулона в
4 ле о
системе единиц СИ, е0 = 8,85-10~12 Кл/Нм2 (Ф/м) — электри-
ческая постоянная.
Сила электростатического взаимодействия точечных зарядов
или равномерно заряженных шаров в однородном и бесконечном,
газообразном или жидком диэлектрике
е • г2
где е — относительная диэлектрическая проницаемость среды.
Для описания дальнодействия электромагнитного взаимодейст-
вия вводится понятие поля. Силовой характеристикой электриче-
ского поля является вектор напряженности поля
ёЛ,
q
где F — сила, действующая на «пробный» заряд q, помещенный в
данную точку поля (пространства). Для графического изображения
электростатического поля используют метод силовых линий. Си-
ловые линии (линии напряженности) представляют собой вооб-
ражаемые кривые линии, касательные к которым в любой точке
совпадают с направлением вектора Е в этой точке поля. Силовые
линии непрерывны, они начинаются на положительных и заканчи-
ваются на отрицательных зарядах или уходят в бесконечность. Си-
ловые линии нигде не пересекаются.
Энергетической характеристикой электростатического поля яв-
ляется его потенциал — скалярная величина, равная
W
<Р = — ,
<1
где W — потенциальная энергия «пробного» заряда q, помещенно-
го в данную точку поля.
6
Точечный заряд q, помещенный в бесконечный однородный
жидкий или газообразный диэлектрик, создает в окружающем про-
странстве поле, для которого (тоже для шарообразного однородно
заряженного тела)
Е • Г
где г — расстояние от данной точки пространства до точечного за-
ряда (до центра шара).
Внутри шара радиусом R с равномерно распределенным по его
поверхности зарядом q Е = 0 , а потенциал постоянен и равен
R
Геометрическое место точек электростатического поля с одина-
ковыми потенциалами называется эквипотенциальной поверхно-
стью. В каждой точке эквипотенциальной поверхности вектор на-
пряженности поля перпендикулярен к ней, работа по перемещению
электрического заряда по эквипотенциальной поверхности равна
нулю.
Принцип суперпозиции', напряженность Е и потенциал ф поля
системы N зарядов q\ . qi - q^ (не обязательно точечных) в дан-
_ TV _ N
ной точке пространства равны Е = Е, и ф = .
/=1 /=1
Потенциальная энергия системы точечных зарядов q, опре-
деляется выражением:
Ф, — потенциал поля, создаваемого всеми остальными зарядами в
точке пространства, где находится заряд qt. Следствие: потенци-
альная энергия заряда q, равномерно распределенного по поверх-
7
ности сферы радиуса R, погруженной в бесконечный жидкий или
газообразный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью е:
Я/-1
2 г-R
Бесконечная однородно заряженная плос-
кость создает в пространстве однородное элек-
тростатическое поле, модуль напряженности
которого равен Е = ° (в СИ). Линии напря-
2ео£
женности перпендикулярны плоскости.
Работа силы, действующей на точечный за-
ряд q со стороны электрического поля, при пе-
ремещении Дг
А = -q•Дф,
где Дф = ф(г + Дг) - ф(г) в соответствии с оп-
ределением потенциала. Поскольку в однород-
ном поле A = q -Ё- ЛЕ, то Дф = - Ё -|Дг| • cos а.
В проводниках электрическое поле вызывает движение свобод-
ных зарядов — электронов, поэтому в электростатическом случае
напряженность поля внутри проводника должна быть равна нулю.
Следовательно, область внутри проводника и его поверхность
должны иметь одинаковый потенциал, другими словами, весь объ-
ем проводника является эквипотенциалью. Вне проводника элек-
трическое поле не равно нулю, причем вектор Ё должен быть пер-
пендикулярен к поверхности проводника в каждой ее точке. Нали-
чие касательной составляющей напряженности поля привело бы к
движению свободных зарядов вдоль поверхности.
Заряды и потенциалы заряженных проводников не могут быть
заданы одновременно произвольным образом. Если изолированно-
му уединенному проводнику сообщить заряд q и его потенциал бу-
дет равен ф, то отношение <?/ф остается постоянным для любых q.
Величина С = q!ф получила название емкости проводника. Так
как заряженный проводник можно представить в виде суммы
8
большого количества точечных зарядов, обладающих одинаковым
потенциалом, то энергия заряженного проводника:
2 2
Пару проводников, заряжаемых разноименными равными по аб-
солютной величине зарядами, называют конденсатором. Провод-
ники, образующие конденсатор, называют обкладками. Разность
потенциалов между обкладками конденсатора называют напряже-
нием Ф1 - ф2 = U конденсатора. Величина заряда на обкладках q и
напряжение U связаны соотношением:
q/U = С,
где С — емкость конденсатора. Простейший конденсатор — пло-
ский— представляет собой две одинаковые плоские пластины,
расстояние между которыми d много меньше поперечного размера
обкладок, поэтому поле между обкладками можно считать одно-
родным. Емкость плоского конденсатора С = e.oe.S/d, где .S’ —
площадь поверхности обкладок, е — диэлектрическая проницае-
мость однородного диэлектрика, заполняющего пространство меж-
ду обкладками. Энергию заряженного конденса-
тора — энергию электрического поля, сосредото-
ченного в пространстве между обкладками, мож-
но выразить следующим образом:
2 2С 2
При параллельном соединении конденсато-
ров соединяют их одноименно заряженные об-
кладки, общая емкость батареи
С = С] + + ••• + .
9
Cl C2 CN
c
При последовательном соединении конденсаторов соединя-
ются их разноименные обкладки, при этом заряды на всех обклад-
ках одинаковы по величине, а складываются величины, обратные
емкостям:
С
1 1 1
—-------1------к ... Ч-------.
С1 С2 CN
ЗАДАЧИ
1.1. На расстоянии I = 2 см друг от друга закреплены два точеч-
ных заряда, равных по величине и противоположных по знаку. Ве-
личина напряженности электрического поля, созданного этими за-
рядами в точке, удаленной от каждого из них на d = 1 см, равна
Е - 2 В/м. Определите величину зарядов.
1.2. Два точечных заряда составляют в сумме Q = 880 мкКл. При
расстоянии между зарядами г = 3,0 м между ними действует сила
отталкивания, равная F = 190 Н. Чему равен по величине каждый
из зарядов?
1.3. Два разноименных точечных заряда величиной
<7 = 4,0 • 10~8 Кл каждый помещены в вакууме на расстоянии а =
= 1,0 см друг от друга. Определите напряженность электрического
поля в точке, удаленной на Ь = 2 см от каждого из зарядов.
1.4. Напряженность электрического поля у поверхности Земли в
среднем равна Е- 120 В/м и направлена по вертикали. Найдите
10
электрический заряд Земли, учитывая, что ее радиус
Л3 = 6,4 103 км.
1.5. Три одноименных заряда , д2 и Яз связаны друг с дру-
гом двумя нитями. Длина каждой из нитей / (рисунок). Найдите
силу натяжения нити, связывающей и <?2.
/ /
О о — о
<h
1.6. В центре квадрата, в вершинах которого находятся точеч-
ные заряды q = 1,6 • 10-12Кл, помещен отрицательный точечный
заряд. Какова величина этого заряда, если вся система зарядов на-
ходится в равновесии?
1.7. Три точечных заряда q^ =1мкКл, <?2=4мкКл и
<73 =1мкКл находятся на трех взаимно перпендикулярных пря-
мых, пересекающихся в точке А. Расстояния от точки А равны
Г| = 1 см, г2 = 2 см, - 3 см соответственно. Найдите величину на-
пряженности электрического поля в точке Я.
1.8. Три одинаковых точечных заряда q = 8,5 • 10-7 Кл располо-
жены в вершинах воображаемого равностороннего треугольника.
Где и какой точечный заряд Q нужно поместить, чтобы вся система
находилась в равновесии?
1.9* . Две стороны равностороннего треугольника образованы
одинаковыми равномерно заряженными палочками. При этом в
центре треугольника потенциал равен фо =10 В, а напряженность
электрического поля Ео =10 В/м. Найдите потенциал, а также мо-
дуль и направление вектора напряженности электрического поля в
той же точке, если убрать одну из палочек.
1.10* . Три точечных одноименных заряда помещены в верши-
нах куба, длина ребра которого равна а. Определите напряжен-
11
ность электрического поля в точке Л. Рассмотреть случаи (а, б, в, г)
относительного расположения зарядов, приведенные на рисунках.
1.11* . Предположим, что сила, действующая между двумя то-
чечными зарядами, зависит от расстояния между ними, как 1/га .
Как будет вести себя точечный заряд, помещенный внутрь (не обя-
зательно в центр) равномерно заряженной по поверхности сферы.
В начальный момент времени точечный заряд покоится. Рассмот-
реть случаи, когда а) а = V5 , б) а = V? , в) а = ^2 , г) а = V3 .
1.12* . Незаряженный металлический цилиндр вращается вокруг
своей оси с постоянной угловой скоростью <в = 2 • 103рад/с. Найди-
те напряженность электрического поля в цилиндре на расстоянии
12
г = 1 см от его оси. Заряд электрона равен е = 1,6 • 10 19 Кл, масса
т = 0,9 10-30 кг.
1.13* . Два тонких поршня площадью 5 = 20 см2 каждый, поме-
щенные в горизонтальный цилиндр из диэлектрика, образуют пло-
ский конденсатор, заполненный воздухом при атмосферном давле-
нии ро=1О5Па. Во сколько раз изменится расстояние между
поршнями, если их равномерно зарядить разноименными зарядами
величиной <2 = 3 10-6Кл? Температура в системе постоянна. По-
перечные размеры поршней велики по сравнению с расстоянием
между ними.
1.14. Частица массой те = 10 12 кг и зарядом q = -2 -10 пКл
влетает в однородное электрическое поле напряженностью Е =
= 40 В/м под углом ф = 120° к его силовым линиям со скоростью
Vq =220 м/с. Через какой промежуток времени частица сместится
вдоль силовой линии на расстояние Ай = 3 м?
1.15* . Шар массой те = 1 кг и зарядом q = 2 • 10~4 Кл подвешен
на изолирующей нити в однородном электрическом поле
Е = 3 • 104 В/м, причем вектор Ё перпендикулярен силе тяжести и
направлен влево. Шарик отвели вправо так, что нить отклонилась
на угол а = 30° от вертикали. Найдите силу натяжения нити при
прохождении ею вертикального положения, g = 10 м/с2 .
13
1.16. Два одинаковых заряженных
I шарика, масса и заряд которых равны
1 О соответственно: т = 10 г, <? = 5 • 10-7 Кл
/ \ соединены двумя изолирующими нитя-
I / \ ми одна длиной I = 10 см, другая дли-
/ \ ной 2/ = 20 см. Систему удерживают за
/_________\ середину длинной нити в точке О, а за-
q 1 Я тем точку подвеса О поднимают с уско-
рением а = g = 9,8 м/с2 вертикально
вверх. Определите натяжение короткой нити, соединяющей шари-
ки во время их подъема.
1.17. Шарик массой т = 2,0 г, имею-
ХПС ,П-9„
щии заряд <7 = 2,5 10 Кл, подвешен на
нити и движется по окружности радиуса
R = 3 см так, что нить вращается с угло-
вой скоростью <в = 2 рад/с. В центр ок-
ружности поместили шарик с таким же
зарядом. Какой должна стать угловая
скорость вращения нити, чтобы радиус окружности, по которой
движется шарик не изменился?
О 1.18. Два маленьких заряженных
А шарика одинаковой массы т = 0,1 кг
подвешены в точке О на двух нерастя-
жимых нитях той же длины, что и свя-
g зывающая их нить АВ. После пережи-
гания ранее натянутой нити АВ шарики
поднимаются на максимальную высоту, соответствующую гори-
зонтальному положению нитей АО и ВО. Определите натяжение
нитей в этом положении. Массами нитей (из изолирующего мате-
риала) пренебречь.
1.19 . Частица, заряд которой д, а масса т, пролетает область од-
нородного электрического поля протяженностью d за время t. Ско-
14
рость v0 частицы на входе в поле направлена вдоль поля. Опреде-
лите напряженность электрического поля.
1.20 . Совпадает ли траектория свободной заряженной частицы,
движущейся в электрическом поле, с силовыми линиями этого по-
ля.
1.21 *. Изобразите примерную картину силовых линий и эквипо-
тенциалей электрического поля для следующих систем:
состоящей из точечного заряда и незаряженной металлической
сферы (рис. а);
состоящей из точечного заряда и незаряженного металлического
цилиндра (рис. б).
1.22 *. Изобразите примерную картину силовых линий и эквипо-
тенциалей для электрического поля заряженного металлического
диска (рис. а) и полого металлического цилиндра (рис. б).
I
а)
Q
б)
1.23 . Два точечных заряда q\ = +1 нКл и q^ = -10 нКл находятся
на расстоянии друг от друга I = 55 см. Определите напряженность
поля в точке линии, соединяющей заряды, где потенциал поля ра-
вен нулю.
1.24 . Расположение точечных зарядов =10мкКл, 0 =
= 100 мкКл, ^2 =25мкКл показано на рисунке. Расстояние между
зарядами q^ и Q равно Г] = 3 см, а между q^ и Q расстояние
15
r2 =5 см. Какую минимальную работу необходимо совершить,
чтобы заряды и 92 поменять местами? Заряды — точечные.
_ Q
«2
1.25 . Четыре одинаковых точечных заряда q помещены в вер-
шинах куба, длина ребра которого равна а. Какую работу необхо-
димо совершить, чтобы перенести заряд из точки А в точку В? Рас-
смотреть случаи относительного расположения зарядов и точек А и
В, приведенные на рисунках.
1.26 . Из бесконечности навстречу друг другу со скоростями V]
и V2 движутся два электрона. Определите минимальное расстоя-
ние, на которое они сблизятся.
1.27 . Два одноименных точечных заряда величиной
= 1,0 10-5 Кл и 92 = 3,0 • 10-5 Кл движутся из бесконечности на-
встречу друг другу вдоль одной прямой. Массы зарядов
16
Wj =1,0-10 5 кг и те2 =2,0-10 5 кг, скорости, с которыми они на-
чинают движение, Vj = 3,0-103м/с и v2 = 2,0-103м/с. Определите
минимальное расстояние между зарядами.
1.28 *. Скорости двух электро- д
нов V] и v2 лежат в одной плос- V1 ^v2
кости и при расстоянии I = 10 мкм ^Да a/V
между электронами образуют уг- — “
лы а = 45° с прямой, соединяю-
щей электроны. На какое мини-
мальное расстояние сблизятся электроны, если
|v]| = |v2| = vo =104м/с? Заряд электрона ^ = 1,6-10-19Кл, масса
те = 0,9-10-3°кг.
1.29 *. На горизонтальной поверхности на расстоянии I = 30 см
друг от друга удерживаются два заряженных, одинаковых малень-
ких бруска массой те = 1,6 г каждый. Заряды брусков также одина-
ковы и равны q = 7,5-10-8 Кл. Какое расстояние пройдет каждый
из брусков, если их освободить? Коэффициент трения о плоскость
ц = 0,15, g = 10 м/с2 .
1.30 . Два точечных заряда q} = 3 • 10 4 Кл и q2 - 4 • 10-4 Кл за-
креплены в вершинах треугольника А и В соответственно, а третий
точечный заряд q$ -- 2 • 10~4 Кл массой те = 20 г удерживают в вер-
шине С. Какую скорость разовьет этот заряд, если его отпустить?
АС = 5 см; ВС = 6 см; АВ = 7 см. Силой тяжести пренебречь.
1.31 . Электрон и позитрон движутся по окружности вокруг сво-
его неподвижного центра масс, образуя атом позитрония. Найдите
отношение потенциальной и кинетической энергий частиц. Элек-
трон и позитрон отличаются только знаком своего заряда.
17
1.32 *. л =100 маленьких проводящих сферических капелек с
потенциалом <р = 3,0 В каждая при слиянии образовали одну каплю
той же формы. Каков ее потенциал?
1.33 *. и = 106 сферических капелек сливаются в одну сфериче-
скую каплю. Радиус каждой капельки г = 5,0-10-4 см, заряд
9 = 1,6-10“14Кл. Какая энергия затрачивается на преодоление
электрических сил отталкивания при соединении капелек?
1.34 *. Два металлических шарика— один радиусом R с элек-
трическим зарядом -qQ и другой радиусом -JlR с зарядом
+ 2^q — соединили проволочкой ничтожной емкости и затем
разъединили. Расстояние между шариками I» R. Как изменилась
потенциальная энергия системы?
1.35 *. Два металлических шарика — один радиусом R с зарядом
<7(), другой радиусом л/ЗА электронейтральный — соединили про-
волочкой ничтожной емкости и затем разъединили. Расстояние
между шариками I » R, шарики неподвижны. Как изменилась по-
тенциальная энергия системы?
1.36 *. Металлический шарик радиусом
R с электрическим зарядом - q0 помещен
внутрь тонкостенной металлической сфе-
ры радиуса 2R, которой сообщен заряд
+ V2^q. Центры шарика и сферы совпа-
дают. Шарик и сферу соединили прово-
18
почкой ничтожной емкости и затем разъединили. Как изменилась
потенциальная энергия системы?
1.37 *. Металлическому шарику ра-
днусом R, помещенному внутрь элек-
тронейтральной изолированной тол- Д/
стостенной металлической сферы, со- I I Ом l\ I
общей заряд qQ. Центры шарика и
сферы совпадают. Внутренний радиус
сферы равен 41R, внешний— 2R.
Шарик и сферу соединили проволочкой ничтожной емкости и за-
тем разъединили. Как изменилась потенциальная энергия системы?
1.38 *. Центры двух неметаллических неподвижных сфер радиу-
сом R = 10 см, по поверхности которых равномерно распределен
одинаковый отрицательный заряд q^ = 5 10-7Кл, расположены на
расстоянии 7 = 35 см друг от друга. По линии центров в сферах сде-
ланы небольшие отверстия. Вдоль этой линии движется положи-
тельно заряженная частица с зарядом <?2 = 7 10-7Кл, имеющая в
средней точке между сферами скорость, близкую к нулю. На какое
максимальное расстояние она удалится от этой точки?
1.39 *. Центры двух неметаллических неподвижных сфер радиу-
са R = 10 см, по поверхности которых равномерно распределен
одинаковый положительный заряд q^ = 2 -10—7 Кл, расположены на
расстоянии I = 24 см друг от друга. По линии центров в сферах сде-
ланы небольшие отверстия. Вдоль этой линии движется отрица-
тельно заряженная частица с зарядом <?2 = 1-10-7Кл, имеющая в
средней точке между сферами близкую к нулю скорость. На какое
максимальное расстояние она удалится от этой точки?
1.40 *. В тонкостенной непроводящей равномерно заряженной
сфере массой W] = 5 10-5кг и радиусом /? = 10~2м имеются два
небольших диаметрально противоположных отверстия. Заряд сфе-
ры =10~8Кл. Первоначально сфера покоится. По прямой, со-
единяющей отверстия, из бесконечности движется со скоростью
19
v = 5 м/с частица массой w2 = 10-5 кг с зарядом <?2 = 3 • 10~9 Кл,
одноименным с q^. Каковы будут скорости тел, после того, как они
удалятся относительно друг друга на бесконечность?
1.41 *. Точечный заряд q\ =1,0-10“5Кл массой ту =1,0-10-5кг
движется по оси одноименно с ним заряженного кольца. Какую
наименьшую скорость должен иметь точечный заряд на очень
большом расстоянии от кольца, чтобы пролететь сквозь него? Мас-
са кольца те2 =2,0 10-5кг, его радиус /? = 5,0 10-2м, а величина
заряда <?2 =3,0-10-5Кл. Кольцо не закреплено и первоначально
покоится.
1.42 *. Электрическая цепь АВ содержит 23 пары конденсаторов
емкостью Q =1мкФ и С2 =2 мкФ. Оцените эквивалентную ем-
кость цепи.
1.43 . Плоский воздушный конденсатор, имеющий емкость С =
= 40 мкФ, заряжен до напряжения U= 100 В и отключен от источ-
ника. Какую работу совершит внешняя сила при равномерном
уменьшении расстояния между обкладками вдвое?
1.44 . Разности потенциалов на конденсаторах с емкостями
С] =ЗмкФ и С2 =5 мкФ равны t/j =200 В и С/2 = 100 В соответст-
венно. Конденсаторы соединяют между собой разноименно заря-
женными пластинами. Найдите энергию, которая выделяется при
перезарядке конденсаторов.
1.45 *. Две проводящие сферы радиусами А] =10 см и
Т?2 = 20 см, имеющие общий центр и заряженные разноименными,
но одинаковыми по величине зарядами q = 7,5 • 10-8Кл, соединили
проволокой. Какое количество теплоты при этом выделилось?
20
1.46 *. На два последовательно соединенных воздушных конден-
сатора с емкостью С) =100 пФ и С2 =250 пФ подано напряжение
U - 300 В. Не отключая источника от конденсаторов, все простран-
ство между обкладками конденсатора Q заполняют диэлектриком
с проницаемостью в = 4,5. Какую работу при этом совершит источ-
ник?
1.47 . Один конец проволочки соединили с ре- *
гистрирующей частью электрометра, а другой //\
перемещают по поверхности заряженного про- ////\.
водника, форма которого показана на рисунке. v / / //\
Каким образом при этом меняются показания \ / / / Л
электрометра? хс
21
2. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
Электрическим током называется упорядоченное движение
электрических зарядов. Направлением электрического тока счита-
ется то направление, в котором упорядоченно движутся положи-
тельные заряды. Силой тока называется скалярная величина I,
равная количеству электричества, которое за единицу времени пе-
реносится сквозь поперечное сечение проводника
/ = lim —.
Д/-»о А/
Для постоянного тока в металлическом проводнике
I = еп <\'> S. где е — абсолютное значение заряда электрона, п —
концентрация электронов, <v> — средняя скорость упорядоченно-
го движения электронов, 5— площадь поперечного сечения про-
водника. Для существования в проводнике постоянного тока не-
обходимо выполнение следующих условий:
напряженность электрического поля в проводнике должна быть
отличной от нуля и постоянной во времени;
цепь постоянного тока должна быть замкнута',
в цепи должны находиться источники энергии (источники тока),
которые совершают работу, необходимую для обеспечения упоря-
доченного движения электрических зарядов в проводнике, и обес-
печивают движение электрических зарядов внутри источника тока
в направлении, противоположном действию сил электростатиче-
ского поля, приводящего к упорядоченному движению заряды в
проводнике. Для самого общего описания действия источника тока
в цепи, независимо от его природы, вводят понятие — «сторонние»
силы. В этом случае под работой источника понимают работу этих
«сторонних» сил, т.е. сил неэлектростатического происхождения.
22
Электродвижущая сила (ЭДС) — характеристика источника
тока, равная работе, производимой источником при переносе еди-
ничного положительного заряда по замкнутой цепи
е = —
Напряжение (падение напряжения) на участке цепи 1-2 —
физическая величина, равная полной работе, которая совершается
электростатическими и «сторонними» силами при перемещении
единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2 цепи
Л лэл.ст jClop
^2-1 = = ' -1~-- + = (ф1 -ф2) + е2-Ь
Я 9 <7
Ф] и q>2 — потенциалы точек 1 и 2 соответственно.
Для металлического проводника
справедливо соотношение (закон Ома
для однородного участка цепи)
2
^2-1 = Ф1 - Ф2 = R •1
(£2-1 = 0, т.е. на участке цепи отсутствуют источники «сторонних»
сил). В случае однородного цилиндрического проводника его со-
противление Rравно
где р— удельное сопротивление
проводника, I — длина проводника, 5-^22______________<
5— площадь поперечного сечения. м---------------------►
р = р0(1 + а-7), Ро — удельное со-
противление при О °C, t — темпера-
тура по шкале Цельсия.
Закон Ома для участка цепи, содержащего источник ЭДС (закон
Ома для неоднородного участка цепи) в общем виде
R I = (ф] ~Ф2)+е2-1 •
23
Для случая на рисунке а
= -<р2) + е,
для случая на рисунке б
/?/ = (Ф1 -ф2)-е.

R
а)
Закон Ома для полной цепи, состоящей
из источника тока с ЭДС в и внутренним
сопротивлением г и внешнего сопротивле-
ния R.
г +R
Метод расчета разветвленных элек-
трических цепей с использованием правил
Кирхгофа', узлом А в разветвленной цепи на-
зывается точка, в которой сходится (пересе-
кается) не менее трех проводников.
Первое правило Кирхгофа (правило уз-
лов): алгебраическая сумма сил токов, схо-
N
дящихся в узле, равна нулю: ^/,=0, на-
i=l
пример на рисунке /j + /2 - /3 - /4 = 0 . Токи считаются положи-
тельными, если они втекают в узел, и отрицательными, если они
вытекают из узла. Первое правило Кирхгофа является выражением
того факта, что при протекании постоянных токов в узлах не нака-
пливаются электрические заряды.
Второе правило Кирхгофа (правило контуров): в любом замк-
нутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электри-
ческой цепи, электрическая сумма произведений сил токов /, на
сопротивления соответствующих участков этого контура равна
24
N M
алгебраической сумме имеющихся ЭДС =Хе< Если токи
1=1 1=1
совпадают с выбранным направлением обхода контура, то они
считаются положительными. ЭДС в, источников считаются поло-
жительными, если они создают токи, направленные в сторону об-
хода контура. Второе правило Кирхгофа является следствием зако-
на Ома для неоднородного участка цепи, так как при обходе замк-
нутого контура изменение потенциала оказывается равным нулю.
Расчет разветвленной цепи постоянного тока проводится в сле-
дующей последовательности: а) произвольно выбираются направ-
ления токов во всех участках цепи; б) записываются п -1 незави-
симых уравнений правила узлов, где п — число узлов в цепи;
в) произвольные замкнутые контуры выделяются так, чтобы каж-
дый новый контур содержал по крайней мере один участок цепи,
не входящий в ранее рассмотренные контуры. В разветвленной це-
пи, содержащей п узлов и т участков цепи между соседними узла-
ми, число независимых уравнений правила контуров равно
т-и + 1.
П р и м е р. На рисунке
стрелками указаны выбранные
направления токов /j, 12 , /3 на
участках цепи. Пунктирными Ry
линиями показаны выделенные
замкнутые контуры I и II и на-
правления их обхода. Внутрен- е1
ние сопротивления источников
ЭДС приняты равными нулю.
Запишем уравнения правил:
для узла А
ly +I2 -I3 =0,
для контура I
A^l -J2R2 ~е1 -е2>
для контура II
/2/?2 +hR3 ~е2 +е3 •
25
Если известны параметры элементов цепи (Я, и е, ) и необхо-
димо рассчитать силу и направление протекающих в цепи токов
(/,), то полученная система уравнений является достаточной. На-
правление тока определяется знаком полученной при решении сис-
темы уравнений алгебраической величины силы тока: если полу-
ченное решение для силы тока положительное, то направление то-
ка на данном участке цепи совпадает с выбранным, если — отрица-
тельное, то направление тока — противоположное выбранному.
При составлении электри-
Ry R2 Rtf ческой цепи проводники могут
^-4—J-L—I— - — —-t—J-—соединяться последовательно
или параллельно. При после-
довательном соединении проводников, а) сила тока во всех частях
цепи одинакова; б) падение напряжения в цепи равно сумме паде-
ний напряжений на отдельных участках
U = Uy + и2 +... + UN
в) эквивалентное сопротивление цепи равно сумме сопротивлений
отдельных проводников
R — R\ + R2 +... + R^.
При параллельном соединении провод-
ников'. а) сила тока в неразветвленной части
цепи равна сумме сил токов, текущих по
отдельным проводникам
/ = /1 +12 + ... + /#;
б) падения напряжения в параллельно со-
единенных участках цепи одинаковы;
в) складываются величины, обратные со-
противлениям параллельно соединенных
участков
R
1 1 1
-----1-----+... ч------.
r2 rn
26
Работа и мощность тока. Закон Джоуля— Ленца. Если
электрический ток постоянен, то при перемещении зарядов на уча-
стке электрической цепи за время t электрические и «сторонние»
силы совершают работу
A = IUt,
где I — сила тока, U — падение напряжения на рассматриваемом
участке. В общем случае, если ток— переменный /(/), то
t
А = . Мощность (мгновенная) электрического тока
о
Р = i -U.
Если проводник (сопротивлением R), по которому протекает ток
силой I, неподвижен и в нем не происходят химические реакции, то
мгновенная мощность тока
Р = /2 R,
и характеризует скорость выделения теплоты в проводнике, по-
скольку в этом случае вся работа по перемещению зарядов затра-
чивается на нагрев проводника.
При протекании по цепи переменного тока i(t) его принято ха-
рактеризовать величиной эквивалентного ему по тепловому дейст-
вию постоянного тока, силу которого I называют действующим
значением силы тока. Количество теплоты, выделяющееся на
проводнике сопротивлением R за период Т переменного тока, оди-
наково в случае протекания по нему переменного тока /(/) и по-
стоянного тока /:
т Гт
jR i2(t)dt=R I2 Т => 1= -ji2(t)dt.
О Го
Аналогичным образом вводится понятие действующего на-
пряжения'.
Г?
-fu2(t)dt .
Г о
27
В случае переменных токов и напряжений, изменяющихся по
гармоническому закону i(t) = Im sin®/ и u(t) = Um sin(coz + <р), их
действующие значения равны:
1 = ^ и U = ^,
V2 V2
а средняя (за период 7) мощность тока на участке цепи может быть
выражена, как
7 j tj
<Р >= (t)i(t)dt/Т = ———cos<p = IUcoscp,
о 2
где <р — разность фаз между током и напряжением.
ЗАДАЧИ
2.1. В проводнике длиной / полный движущийся заряд, равно-
мерно распределенный по проводу, равен q. Определите среднюю
скорость движения зарядов, если ток равен I.
2.2. По медному проводнику сечением .S'= 1мм 2 течет ток
1= 10 мА. Найдите среднюю скорость упорядоченного движения
электронов вдоль проводника, если на один атом меди приходится
один электрон проводимости. Атомный вес меди А = 63,6; а плот-
ность р = 8,9 г/см3. Заряд электрона е = 1,6 • 10-19 Кл.
2.3. Почему электрический проводник, по которому идет элек-
трический ток, не испытывает никаких механических сил в направ-
лении движения электронов?
2.4. Пучок ультрафиолетовых лучей с длиной волны А,-10~7м
передает металлической поверхности мощность Р = 10"6 Вт. Опре-
делите величину возникающего фототока, если фотоэффект вызы-
вают а = 0,01 падающих фотонов. Потенциал облучаемого провод-
ника остается неизменным.
28
2.5. Какое количество аккумуляторов нужно соединить после-
довательно, чтобы получить в цепи ток I - 4 А при разности потен-
циалов на полюсах батареи U= 220 В? ЭДС каждого аккумулятора
в = 2 В, внутреннее сопротивление г = 0,25 Ом.
2.6. Резистор с сопротивлением R = 38 Ом изготовлен из медно-
го провода массой т = 11,2 т. Чему равен диаметр провода? Удель-
ное сопротивление меди р = 1,8 • 10~8 Ом • м, плотность меди
d = 8,9 • 103 кг/м3 .
2.7. Когда к источнику ЭДС подключили резистор сопротивле-
нием Л] =5,0 Ом, сила тока стала 7] =1,0 А, а когда подключили
резистор сопротивлением /?2=15О.м, то /2 =0,50 А. Определите
внутреннее сопротивление источника.
2.8. К батарейке с ЭДС в = 3,0 В подключили резистор сопро-
тивлением R = 20 Ом. Падение напряжения на резисторе оказалось
U = 2,0 В. Определите ток короткого замыкания батарейки.
2.9* . Чтобы определить место повреждения изоляции двухпро-
водной телефонной линии длиной L = 5 км, к одному ее концу при-
соединили источник ЭДС с е = 10 В. При этом оказалось, что если
провода у другого конца линии разомкнуты, ток через источник
Zj = 2 А; а если замкнуты накоротко, то ток через источник
/2 =ЗА. Найдите сопротивление изоляции в месте повреждения.
Сопротивление каждого провода линии R = 2 Ом. Внутренним со-
противлением источника пренебречь.
2.10* . Определите ток, текущий
через идеальный диод в цепи, изо-
браженной на рисунке. U= 100 В,
= 1 кОм, /?2 = 2 кОм, 1?з = 3 кОм,
R4 = 4 кОм.
29
2.11* . Определите ток, текущий че-
рез ВДеальный диод в цепи, изобра-
У 1/4 женной на рисунке. U- 100 В,
+ I = 1 к®м’ ^2 ~ кОм, /?з = 3 кОм,
/?4=4кОм.
2.12. Какое дополнительное сопро-
тивление необходимо присоединить к
вольтметру с сопротивлением R = 1500 Ом, чтобы цена деления на
шкале увеличилась в п = 5 раз?
2.13. Вольтметр, рассчитанный на измерение напряжений до
Uy = 20В, необходимо включить в сеть с напряжением t/2 = 120В.
Какое для этого требуется включить дополнительное сопротивле-
ние, если ток в вольтметре не должен превышать 1т =5 мА?
2.14. Два одинаковых вольтметра, соединенных последователь-
но, при подключении к источнику постоянного тока показывают
напряжение = 4,5 В каждый. Один вольтметр, подключенный к
тому же источнику, показывает напряжение =8 В. Определите
ЭДС источника.
2.15. Амперметр с сопротивлением Ry =2 Ом, подключенный к
источнику ЭДС, показывает ток I = 5 А. Вольтметр с сопротивле-
нием Л2 -150 Ом, подключенный к тому же источнику ЭДС, пока-
зывает напряжение U = 12 В. Определите величину тока короткого
замыкания источника.
2.16*. Для схемы, изображенной
на рисунке, определите ток через
диод. ЭДС Е| =6,0 В и е2 =8,5 В;
внутреннее сопротивление источ-
ников rj =100 Ом и г2=150Ом;
сопротивление нагрузки Ry =
= 20 Ом и Л2 =15 Ом. Прямое со-
противление диода г0 = 1,5 Ом; об-
ратное Rq =150 Ом.
2.17*. Для схемы, изображенной
на рисунке, определите ток через
30
диод. ЭДС £j =6,0 В и в2 =9,0 В; внутреннее сопротивление ис-
точников Г] =120 Ом и г2=150Ом; сопротивление нагрузки
Л] = 18 Ом и Л2 = 25 Ом; прямое сопротивление диода г0 = 1,5 Ом;
обратное Rq =150 Ом.
2.18. От генератора с ЭДС в = 250 В и внутренним сопротивле-
нием г = 0,1 Ом необходимо протянуть к потребителю двухпровод-
ную линию длиной I = 100 м. Какая масса алюминия пойдет на из-
готовление линии, если мощность потребителя Р = 22 кВт, и он
рассчитан на напряжение U= 220 В? Удельное сопротивление
алюминия р = 2,8 • 10-8 Ом • м . Плотность алюминия d = 2,7 г/см3.
2.19. Четыре проводника с сопротивлением по Ry =1,5 Ом каж-
дый требуется соединить так, чтобы получить сопротивление
R2 = 2 Ом. Как это сделать?
2.20. Какое сопротивление и как нужно подключить к провод-
нику с сопротивлением Ry = 24 Ом, чтобы получить сопротивление
R2 = 20 Ом?
2.21. Величины сопротивлений в приве-
денном на рисунке участке цепи Ry = 1 Ом,
Л2=2 0м, Л3=ЗОм, /?4=40м. Между ^2
точками А, В, С, D необходимо подключить I “1
добавочное сопротивление г = R2 таким П п
II I I
образом, чтобы общее сопротивление уча- т т
стка цепи при этом было: а) минимально 1—4—i I &
возможным; б) максимально возможным.
Какие это пары точек для случаев а) и б)?
Каким будет общее сопротивление участка
в случаях а) и б)?
2.22. Величина каждого сопротивления в схеме, изображенной
на рисунке, R = 1 Ом. Каково сопротивление цепи между точками
А и В?
31
2.23. Определите общее сопротивление цепи:
= — Ом,
1 2
2.24. Из проволоки сопротивлением R = 10 Ом сделали кольцо.
Где следует присоединить к кольцу провода, подводящие ток, что-
бы сопротивление между точками присоединения равнялось
г = 1 Ом?
2.25. Постройте график зависимости общего сопротивления це-
пей, показанных на рисунках, от сопротивления реостата г.
В)
2.26* . Определите сопротивление R^q бесконечных цепей (см.
рисунок), состоящих из периодически повторяющихся элементов.
Считать сопротивление R известным.
32
2.27* . Определите сопротивление цепи, образованной двенадца-
тью одинаковыми проводниками сопротивлением R каждый, со-
единенными между собой, как показано на рисунках а), б) и в) при
подключении к точкам А и В.
2.28* . Определите сопротивление цепи, образованной двенадца-
тью проволочками, составляющими ребра куба и соединенными
между собой в вершинах куба, при подключении к точкам А и В.
Сопротивление каждой проволочки R. Рассмотрите три варианта
расположения точек Л и В, показанных на рисунках а), б) и в).
33
2.29. Резистор сопротивлением R = 45 Ом и конденсатор соеди-
нены последовательно с аккумулятором, при этом заряд на обклад-
ках конденсатора равен q\ = 6-10~5Кл. Если же резистор и кон-
денсатор подключить к аккумулятору параллельно, то заряд на об-
кладках конденсатора будет q2 = 4 10-5Кл. Найдите внутреннее
сопротивление аккумулятора.
D R A R/3
2.30. В электрической схеме,
изображенной на рисунке, е = 4 В;
г = 1 Ом; С) = 2 мкФ; С2 = 4 мкФ.
Найдите заряд на обкладках кон-
денсатора Q. R = 3 Ом.
2.31. В изображенной на рисун-
ке схеме конденсатор имеет заряд
^^ЮмкКл. Какой заряд q2 бу-
дет на конденсаторе, если ключ К
замкнуть?
2.32* . Для приведенной схемы
определите разность потенциалов
Фл ~ Фв межДУ точками А и В,
если ЭДС источника е = 12 В, а его
внутреннее сопротивление пре-
небрежимо мало.
2.33. Найдите заряд на конден-
саторе С2. Внутренним сопротив-
лением источника ЭДС пренеб-
речь. Емкости конденсаторов рав-
ны: Cj =1мкФ, С2=2мкФ,
С3 = 3 мкФ; сопротивления со-
ставляют 7?i =10 Ом, А2=20Ом,
ЭДС источника е = 6 В.
2.34* . Определите заряд, кото-
рый пройдет через сопротивление
7?! после размыкания ключа К.
Внутреннее сопротивление источ-
34
ника ЭДС г =10 Ом, s = 50B, Ry = R2 = /?з = R4 = 20 Ом, С =
= 10 мкФ.
2.35 *. Какой заряд пройдет через
конденсатор С при переключении ключа
К из положения А в положение В? Внут-
реннее сопротивление источников
г =10 Ом, е = 50 В, 2?o=Bj=10 0m,
R2 = 20 Ом, 7?з = 30 Ом, С = 10 мкФ.
2.36 *. Какой заряд пройдет через
конденсатор С при переключении ключа
К из положения А в положение В? Внут-
реннее сопротивление источников ЭДС
пренебрежимо мало, s = 50 В,
С = 10 мкФ. Сила тока, текущего через
сопротивление Rq , при переключении
уменьшается в к = 1,4 раза.
2.37 . Сопротивление Ry при напряжении U = 220 В потребляет
мощность Ру =484 Вт, сопротивление R2 — Р2 =121 Вт. Если со-
противления Ry и R2 поочередно включать последовательно с не-
известным сопротивлением г, то потребляемая ими мощность в
обоих случаях оказывается одинакова. Определите величину со-
противления г.
2.38 . При включении двух неизвестных сопротивлений в сеть
напряжением £7=220 В один раз последовательно, а второй раз
дараллельно, они потребляют мощности Ру =16 Вт и Р2 =100 Вт
соответственно. Определите величину неизвестных сопротивлений.
Сопротивление подводящих проводов пренебрежимо мало.
2.39 *. Два одинаковых чайника, каждый из которых потребляет
при напряжении U = 220 В, мощность Р = 400 Вт, закипают при
последовательном и параллельном включении за одно и то же вре-
мя. Чему равно сопротивление подводящих проводов?
2.40 . Один раз сеть постоянного напряжения соединили прово-
дами с резистором Ry, второй раз с резистором R2. При этом в
цепи протекали токи силой ly = 1А и 12 = 0,8 А соответственно.
35
Если в сеть подключить только соединительные провода, то какой
силы ток по ним потечет? R^l Ry = к = 1,5.
2.41 *. К источнику ЭДС подключают в качестве нагрузки со-
противления. При величине сопротивлений Ry = 25 Ом и
Т?2=16 0м на нагрузке выделяется одна и та же мощность
W ~ 400 Вт. Определите величину тока короткого замыкания ис-
точника.
2.42 *. Источник тока поочередно подключают сначала к одному
резистору, а затем к другому. Найдите ЭДС этого источника тока,
если в первом случае течет ток 1у = 30 А и в резисторе выделяется
мощность Ру = 180 Вт, а во втором случае ток равен 1^ = 10 А и со-
ответствующая мощность в резисторе равна =100 Вт.
2.43 . В каком случае электрическая лампа потребляет большую
мощность: сразу после включения ее в сеть или по прошествии не-
которого времени.
2.44 . Цепь, содержащую две лампы
А ^2 ~ накаливания Л1 (220 В, 40 Вт) и Л2
& 0 | ® Т (6 В, 3 Вт), включили в сеть при замк-
J нутом ключе К, затем ключ разомкну-
ли. В этом случае обе лампы горели
нормально. Когда же эту цепь включили в сеть при разомкнутом
ключе К, лампа Л2 сразу же перегорела. Почему?
2.45* . Шесть лампочек для карманного фонарика включены в
сеть с помощью реостата, обеспечивающего нормальный накал ка-
ждой лампочки. Как изменится создаваемая этими лампочками ос-
вещенность, если одна из них перегорит?
220В
2.46. Комната освещена пятью последовательно соединенными
лампами, на каждой из которых написано: 220 В, 75 Вт. Затем одну
из них заменили лампой, на которой написано: 220 В, 100 Вт. Будет
ли она светить ярче, чем замененная?
36
2.47. Определите во сколько раз увеличивается или уменьшается
тепловая мощность, выделяющаяся в приведенных цепях при пере-
ключении ключа из положения А в положение В. Сопротивления
всех элементов одинаковы; напряжение, приложенное к цепям, по-
стоянно.
2.48. Постройте график зависимости тепловой мощности, выде-
ляющейся в цепях, показанных на рисунках, от сопротивления рео-
стата г, если прикладываемое напряжение U постоянно.
2.49. В вашем распоряжении имеются раствор соли азотнокис-
лого серебра AgNCh, источник постоянного тока (батарейка), ам-
37
перметр с неотградуированной шкалой, графитовый и платиновый
стержни. Как, пользуясь всем этим, отградуировать амперметр?
2.50* . Определите, какая масса алюминия выделится на катоде
за Д/ = 10 ч при электролизе А12(8О4)з, если в течение этого време-
ни ток через электролит равномерно убывает от Z] = 1,5 А до
Z2 = 0,5 А. Атомный вес алюминия М - Т1, число Авогадро Nд -
= 6 1023 моль-1, заряд электрона е -1,6 • 10-19 Кл.
2.51. Никелирование металлического изделия с площадью по-
верхности 5 = 120 см2 продолжалось / = 5ч при силе тока Z =
= 0,3 А. Валентность никеля Z= 2; атомный вес Л/ = 59, плотность
р = 9г/см3. Определите толщину нанесенного слоя никеля. Число
23 —1 —19
Авогадро Na =6 10 моль , заряд электрона е = 1,6 10 Кл.
2.52. Определите, какая масса меди выделилась на катоде за
t = 100 с, если ток за это время равномерно возрастал от Zj = 1,0 А
до Z2 = 3,0 А, а электролитом является C11SO4. Атомный вес меди
23 — 1
ц = 64, число Авогадро Ад =6-10 моль , заряд электрона
е = 1,6 • 10-19 Кл.
2.53. Сколько времени нужно производить электролиз воды,
чтобы получить V= 1 л водорода Н2 при Г = 27 °C и Р = 105Па.
Молярная масса водорода ц = 2 г/моль, число Авогадро Ад =
= 6 1023 моль-1, заряд электрона е = 1,6 • 10-19Кл. Ток при элек-
тролизе I- 100 А.
2.54. Можно ли измерить электроскопом или электрометром на-
пряжение в цепи переменного тока?
38
3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Магнитное поле в каждой точке пространства характеризуется
вектором магнитной индукции В. Условились выбирать направ-
ление вектора В в точке расположения магнитной стрелки совпа-
дающим с направлением от южного к северному полюсу стрелки.
Графически магнитное поле можно изобразить, если ввести пред-
ставление о линиях магнитной индукции (иногда их называют си-
ловыми линиями магнитного поля). Линии магнитной индук-
ции — воображаемые линии, касательные к которым в каждой
точке совпадают с направлением вектора В в этих точках поля.
Линии магнитной индукции замкнутые (в отличие от линий напря-
женности электрического поля).
На электрический заряд величиной q, движущийся со скоростью
v в магнитном поле индукцией В, действует сила Лоренца, мо-
дуль которой равен
|#л | = q • v • В • sin а,
где а — угол между векторами v и В. Направление силы Fn оп-
ределяется правилом левой руки , расположим руку так, чтобы ли-
нии магнитной индукции (т.е. вектор В) входили в ладонь, а на-
правление четырех пальцев совпало с направлением вектора скоро-
сти заряда, тогда направление отогнутого в сторону большого
пальца совпадает с направлением силы, действующей на положи-
тельный заряд (на отрицательный заряд действует сила противопо-
ложного направления).
На прямой проводник с током силы I и длиной I, помещенный в
однородное магнитное поле с индукцией В, действует сила Ампе-
ра, направление которой определяется правилом левой руки, а мо-
дуль равен
|Гд | = / • / • В • sin а,
где а — угол между вектором В и направлением тока в проводни-
ке.
39
Закон Ампера: на участок длины / одного из
двух параллельных прямых бесконечных про-
водников, расположенных на расстоянии R друг
от друга, по которым текут токи силы Zj и /2,
действует сила притяжения (отталкивания) при
одинаковых (противоположных) направлениях
токов, модуль которой равен
НО -ц 2-Д -Z2 z
4л R
где Ц() — магнитная постоянная в СИ, ц— относительная магнит-
ная проницаемость однородной изотропной среды, в которой нахо-
дятся проводники с током.
Потоком магнитной индукции ДФ
сквозь участок поверхности с малой пло-
щадью ДХ, такой, что в его пределах поле
В можно считать однородным, называет-
ся скалярная величина
ДФ = В • ДХ • cos а ,
где а — угол между вектором В и норма-
лью п к поверхности.
Магнитный поток Ф сквозь произвольную поверхность с
щадью S находится алгебраическим суммированием потоков
N
сквозь участки поверхности Ф = £ ДФ, .
1=1
Универсальный закон индукции: если
нитный поток через поверхность, ограниченную
замкнутым проводящим контуром, является
функцией времени, то в контуре возникает ин-
дуцированная ЭДС
ЙФ(Г)
£ =------.
dr
Задание нормали п к поверхности, ограниченной проводящим
контуром, определяет положительное направление на контуре (для
индукционного тока) по правилу буравчика (или правого винта).
пло-
ДФ;
маг-
40
Таким образом закон индукции определяет не только величину
ЭДС индукции, но и ее направление. Отметим, что известное пра-
вило Ленца, определяющее направление индукционного тока, от-
ражает свойство любых физических систем, сформулированное в
принципе Ле Шателье: при любом внешнем воздействии в системе
возникают процессы, препятствующие изменениям, вызванным
внешним воздействием.
В контуре с изменяющимся током, который находится в изме-
няющемся собственном магнитном поле, возникает явление элек-
тромагнитной индукции, называемое в этом случае явлением са-
моиндукции, характеристикой которого служит ЭДС самоиндук-
ции. Собственное магнитное поле тока создает магнитный поток Ф
сквозь контур, который пропорционален силе тока I в контуре, если
контур находится в неферромагнитной среде, т.е. Ф = L I, где ве-
личина L называется индуктивностью контура. ЭДС самоиндук-
ции в этом случае
Для создания тока I в контуре с индуктивностью L необходимо
совершить работу на преодоление ЭДС самоиндукции. Энергия
контура с током — величина, равная этой работе. Если среда, в ко-
торой находится контур, — неферромагнитная, то энергия контура
с током
ЗАДАЧИ
3.1. Вы получили доступ к участку двухпроводной линии посто-
янного тока. Как при помощи вольтметра и компаса определить, с
какой стороны находится источник напряжения?
3.2. На двух легких проводящих нитях подвешено проволочное
кольцо, через которое пропущен ток I. Кольцо находится в гори-
зонтальном однородном магнитном поле с индукцией В. Найдите
силу, с которой растягивается кольцо.
41
3.3. Замкнутый проволочный контур, двигаясь из бесконечно-
сти, с постоянной скоростью пересекает зазор между полюсами
магнита, создающего однородное магнитное поле. Контур движет-
ся перпендикулярно силовым линиям магнитного поля. Изобразите
качественно на графике зависимость тока в контуре от времени.
Площадь, охватываемая контуром, много меньше площади попе-
речного сечения зазора магнита.
3.4. Прямой постоянный магнит падает сквозь металлическое
кольцо. Будет ли магнит падать с ускорением свободного падения?
3.5. По двум прямым очень длинным и параллельным проводам
текут токи одинаковой силы. Во сколько раз изменится величина
вектора магнитной индукции в точке пространства, удаленной от
каждого из проводов на расстояние, равное расстоянию между
проводами, если изменить направление одного из токов.
3.6. На двух легких проводящих нитях горизонтально висит ме-
таллический стержень длиной I = 0,25 м и массой т = 15 г. Стер-
жень находится в однородном магнитном поле с индукцией
В = 0,3 Тл, направленной вертикально вниз. Определите угол от-
клонения нитей от вертикали, если сила тока в стержне I = 0,2 А.
3.7. Металлический стержень длиной / = 1 м падает с высоты
Н = 10 м, оставаясь все время параллельным поверхности Земли.
Какая максимальная разность потенциалов возникнет на концах
стержня, если создать однородное магнитное поле, параллельное
поверхности Земли и перпендикулярное к оси стержня с индукцией
В = 1 Тл? Магнитным полем Земли пренебречь.
3.8. Проволочный виток, замыкающий об-
\ 0 кладки конденсатора, помещен в однородное
магнитное поле, линии индукции которого
перпендикулярны к плоскости витка. Индукция
магнитного поля равномерно растет со скоростью
ДВ/А/= 5 • 10-2Тл/с. Емкость конденсатора С=100мкФ. Пло-
щадь, охваченная витком, S- 200 см2. Определите заряд пластин
конденсатора.
3.9. Проволочный контур, имеющий форму равностороннего
треугольника со стороной а = 20 см, помещен в однородное маг-
нитное поле с индукцией В = 1,0 Тл так, что перпендикуляр к плос-
кости контура составляет угол а = 60° с направлением поля. В не-
42
который момент времени индукция магнитного поля начинает рав-
номерно уменьшаться до нуля. Найдите время спада индукции до
нуля, если известно, что в контуре возникает ЭДС индукции е =
= 100 В.
3.10. Жесткая проводящая рамка квадратной формы лежит на
горизонтальной непроводящей поверхности и находится в посто-
янном однородном магнитном поле, линии индукции которого па-
раллельны двум сторонам рамки. Масса рамки т = 20 г, длина ее
стороны а - 4 см, величина магнитной индукции В = 0,5 Тл. Какой
величины постоянный ток нужно пропустить по рамке, чтобы рам-
ка начала приподниматься?
3.11. По двум параллельным
проводникам, находящимся друг от
друга на расстоянии / = 0,5 м, пе-
ремещают перемычку с постоянной
скоростью v = 10 м/с. Между про-
водниками включены последовательно два конденсатора, причем
отношение их емкостей и = С2 / С] = 1,5 . Вся система находится в
постоянном однородном магнитном поле, вектор индукции которо-
го ортогонален плоскости, в которой лежат проводники. Какова
индукция магнитного поля, если на конденсаторе С2 напряжение
//=0,5 В.
3.12* . Провод, имеющий форму незамкну-
той окружности радиуса R = 1,0 м, находятся в
однородном магнитном поле с индукцией
В = 3,0 • 10-2 Тл. По проводу с постоянной ско-
ростью v = 4,0 м/с перемещают проводящую
перемычку так, что вектор скорости v ортого-
нален перемычке. В начальный момент времени перемычка каса-
лась провода в некоторой его точке. Определите ЭДС индукции в
образовавшемся замкнутом контуре через время t = 0,2 с после на-
чала движения.
3.13* . Два замкнутых накоротко прямых провода, образующих
стороны угла а = 30°, находятся в однородном магнитном поле с
индукцией В = 0,3 Тл. По проводам скользит с постоянным ускоре-
нием а = 2,5 м/с2 проводящая перемычка. Первоначально пере-
43
мычка находилась в вершине угла, ее ско-
уОк рость в начальный момент времени равна ну-
\ лю, вектор ускорения ортогонален перемычке
/ — I лгХ. и паРаллелен биссектрисе угла а. Определите
/ о ▼ — \ ЭДС индукции в образовавшемся замкнутом
' В ' контуре через время t = 0,4 с после начала
движения.
3.14. Небольшое заряженное тело массы /я = 10-3кг, прикреп-
ленное к нити длиной 7=10 см, может двигаться по окружности в
вертикальной плоскости. Однородное магнитное поле индукции
В = 1 Тл перпендикулярно этой плоскости. При какой наименьшей
скорости тела в нижней точке, оно сможет совершить полный обо-
рот? Заряд тела q = 10-5Кл.
3.15. Конденсатор емкостью С = 10 6Ф зарядили до напряжения
U= 2 В и подключили к катушке с индуктивностью L =
= 0,9 • 10-2 Гн. Через сколько времени энергия электрического поля
в конденсаторе будет в п = 3 раза меньше энергии магнитного поля
в катушке?
3.16. Как следует соединить конденсаторы емкостями
С] =120 пФ и С2=156пФ и катушку индуктивностью L-
= 125 мкГн, чтобы получить колебательный контур, настроенный
на длину волны X = 350 м? Скорость света в вакууме с = 3 • 108 м/с.
3.17* . Колебательный контур со-
~||+ держит два конденсатора емкостями
J Q ^1 L С] = 1,0 мкФ и С2 = 2,0 мкФ и две ка-
L\ с 5 £,2
S г тт ? тушки индуктивностями Li = 1,0 мГн и
I С2Н ^2 I
'---ТЗгТГ"-1 ^2 = 2,0 мГн. Омическое сопротивле-
ние контура пренебрежимо мало. В
контуре возбуждают электромагнитные колебания. В некоторый
момент времени напряжения на конденсаторах равны Щ = 9,0 В и
U2 =4,0 В, а сила тока в контуре равна нулю. Направление элек-
трического поля в конденсаторах отмечено на рисунке. Определите
амплитуду силы тока в контуре.
44
3.18* . Колебательный контур со- - ц +___
держит два конденсатора емкостями J С]11 U\I
Q =1,0 мкФ и С2 =2,0 мкФ и две ка- s 5^-2
I Л1 77 Г
тушки индуктивностями Д =1,0мГн И I 2|| и2 |
Л2= 2,0 мГн. Омическое сопротивле- “ +
ние контура пренебрежимо мало. В контуре возбуждают электро-
магнитные колебания. В некоторый момент времени напряжения
на конденсаторах равны J7] =12,0 В и С2 = 7,0В, а сила тока в
контуре равна нулю. Направление электрического поля в конденса-
торах отмечено на рисунке. Определите амплитуду силы тока в
контуре.
3.19* . Колебательный контур содер-
жит два конденсатора емкостями
Q = 1,0 мкФ и С2 = 2,0 мкФ и две ка-
тушки индуктивностями Lj = 1,0 мГн и
Л2 = 2,0 мГн. Омическое сопротивление
контура пренебрежимо мало. В контуре возбуждают электромаг-
нитные колебания. В некоторый момент времени напряжение на
конденсаторе Q равно Uq =10,0 В, а конденсатор С2 не заряжен,
сила тока в контуре Iq = 5,0 А. Направление тока в контуре и элек-
трического поля в конденсаторе отмечено на рисунке. Определите
амплитуду силы тока в контуре.
3.20* . Колебательный контур содер-
жит два конденсатора емкостями --------------HF"----1
С] =1,0 мкФ и С2=2,0мкФ и две ка- J ^1 ^0 Хк
L\ с ) 5 Z>2
тушки индуктивностями Z]=l,0 мГн И | Ст
Z2 =2,0 мГн. Омическое сопротивление —““Ц------
контура пренебрежимо мало. В контуре
возбуждают электромагнитные колебания. В некоторый момент
времени напряжение на конденсаторе С] равно Uq =10,0 В, а кон-
денсатор С2 не заряжен, сила тока в контуре Iq = 5,0 А. Направле-
ние тока в контуре и электрического поля в конденсаторе отмечено
на рисунке. Определите амплитуду заряда на обкладках конденса-
тора С 2
45
3.21* . Какое количество теплоты
выделится на сопротивлении г = 1,0 Ом
после размыкания ключа К в приведен-
ной схеме, если сопротивление
R = 2,0 Ом, емкость конденсатора
С = 3,0 • 10-3 Ф, индуктивность катушки
L = 5,5 • 10-3Гн, ЭДС источника
е = 12 В? Излучением пренебречь,
внутреннее сопротивление источника
принять равным нулю.
3.22* . Какое количество теплоты
выделится на сопротивлении г -
= 1,0 Ом после размыкания ключа К в
приведенной схеме, если сопротивле-
ние R = 2,0 Ом, емкость конденсатора
С - 3,0 • 10-3 Ф, индуктивность катушки
L = 5,5- 10~3Гн, ЭДС источника
е = 12 В? Излучением пренебречь, внутреннее сопротивление ис-
точника принять равным нулю.
3.23. Протон с кинетической энергией Е = 1,6 • 10-13 Дж влетел в
постоянное, однородное магнитное поле перпендикулярно его си-
ловым линиям, индукция поля 5=1 Тл. Какова должна быть ми-
нимальная протяженность магнитного поля для того, чтобы на-
правление движения протона изменилось на противоположное?
Масса и заряд протона равны, соответственно: тп = 1,7 • 10~27 кг,
е = 1,6-10"19Кл.
3.24. Альфа-частица прошла ускоряющую разность потенциалов
U = 104 В и влетела в область взаимно перпендикулярных одно-
родных электрического и магнитного полей. Напряженность элек-
трического поля Е = 10 кВ/м, а индукция магнитного поля
В = 0,1 Тл. Найдите отношение заряда альфа-частицы к ее массе,
если она двигается равномерно и прямолинейно.
46
4. ОПТИКА
В оптике изучаются явления распространения и взаимодействия
электромагнитного излучения с веществом. Основными характери-
стиками электромагнитного излучения являются; v — частота
волны, в виде которой представляется излучение; X — длина вол-
ны, т е. расстояние, на котором фаза гармонической волны изменя-
ется на 2 л.
В вакууме электромагнитное излучение распространяется со
скоростью с = 3-108м/с, в среде его скорость распространения v
уменьшается; v < с. Длина волны, частота и скорость распростра-
нения волны связаны соотношением:
V
v
„ 1 2л с
I = — =------период колебании волны; и — циклическая частота
v а
колебаний. Для электромагнитного излучения в вакууме
Лд = — = CL .
V
Для описания распространения и взаимодействия электромаг-
нитного излучения с веществом используют различные приближе-
ния: геометрической оптики, физической (волновой) оптики и
квантовой оптики.
Геометрическая оптика. Приближение геометрической оптики
используется в тех случаях, когда длиной волны электромагнитно-
го излучения можно пренебречь по сравнению с размерами прибо-
ров, с помощью которых изучается это излучение. В рамках этого
приближения рассматриваются законы распространения в прозрач-
ных средах электромагнитного излучения видимой части спектра,
т.е. света (Хо = 0,4 - 0,76 мкм). Это рассмотрение проводится на
47
основе представлений о свете как о совокупности световых лу-
чей — линий, вдоль которых распространяется энергия световых
электромагнитных волн. Пучки световых лучей, пересекаясь, не
взаимодействуют и распространяются после пересечения незави-
симо друг от друга.
Отношение скорости света в вакууме с к скорости света v в дан-
ной среде n = dv = -^/ёц « Ve называется (абсолютным) показа-
телем преломления этой среды, здесь е и ц — (относительные)
диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, ц «1 — для
неферромагнитных сред. Среда называется оптически однород-
ной, если показатель преломления ее везде одинаков. В оптически
однородной среде лучи прямолинейны.
Законы отражения света:
1) падающий (АО), отраженный
(ОС) лучи и перпендикуляр к гра-
нице раздела двух сред, восста-
новленный в точке падения луча
(ВО), лежат в одной плоскости;
2) угол отражения равен углу па-
дения а = р.
Законы преломления света (законы Снеллиуса).
1. Лучи падающий (АО), преломленный (OD) и перпендикуляр к
границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча
(ВО), лежат в одной плоскости.
2. Отношение синусов углов падения и преломления есть вели-
чина постоянная, равная относительному показателю преломления
данных двух сред
sin a «2
sin у «1
Если световой луч из оптически более плотной среды падает на
границу раздела с оптически менее плотной средой (И] > л2 ), то
при углах падения а > апр, где sin апр = и2 /«i, преломления све-
та не происходит. При условии а = апр угол преломления у = —, и
при а > апр свет не переходит во вторую среду. Это явление назы-
48
вается полным (внутренним) отражением. Угол апр называется
предельным углом полного отражения. Если свет переходит из
вещества с показателем преломления И] = п в воздух, для которого
«2 ~ 1, то условие полного отражения примет вид
5'
sinanp -Мп.
Световые лучи обладают свойством
обратимости хода. Если световой
луч, испущенный из точки А, двигаясь
в оптической среде, попадет в точку В,
в которой его направление распро-
странения изменяют на противопо-
ложное, то он вновь попадет в исход-
ную точку А, пройдя по той же самой
траектории. Каждая точка S источника света (монохроматического)
в геометрической оптике считается центром расходящегося пучка
лучей, который называется гомоцентрическим. Если после отра-
жений и преломлений в различных средах пучок остается гомоцен-
трическим, то его центр S' называется изображением точки S в
оптической системе. Изображение S' называется действитель-
ным, если в точке S' пересекаются сами лучи пучка, и мнимыми,
если в ней пересекаются продолжения этих лучей (в направлении,
противоположном направлению распространения лучей).
Простейшая оптическая система —
плоское зеркало. Для того чтобы найти
изображение точки (5) в плоском зерка-
ле, достаточно на продолжении перпен-
дикуляра (OS), опущенного из точки на
зеркало, отложить за зеркалом такой же
отрезок прямой (OS'). Геометрические
размеры протяженного источника света
и его мнимого изображения в плоском зеркале одинаковы. Лин-
за — прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверх-
ностями. Прямую, проходящую через центры сферических поверх-
ностей, называют главной оптической осью. Линза считается тон-
кой (тонкая линза), если ее толщина много меньше, чем радиус ее
J*
О
S'
49
поверхностей. Можно считать, что главная оптическая ось пересе-
кает тонкую линзу в одной точке, называемой оптическим цен-
тром линзы. Оси, проходящие через центр линзы и не совпадаю-
щие с главной оптической осью, называются побочными осями.
Во всех оптических инструментах используются тонкие пучки (т е.
пучки с малым углом раствора), идущие вблизи оптической оси
системы. Такие пучки называются параксиальными.
Лучи параксиального светового пучка, распространяющегося
параллельно главной оптической оси, пересекаются в точке, лежа-
щей на этой оси и называемой главным фокусом линзы (слово
«главный» часто опускают в тексте). У всякой тонкой линзы име-
ются два фокуса по обе стороны от нее на равных расстояниях от
центра линзы. Плоскость, проведенная через фокус линзы перпен-
дикулярно к главной оптической оси, называется фокальной. Рас-
стояние от оптического центра линзы до ее главного фокуса назы-
вается фокусным расстоянием линзы (f). Величина, обратная фо-
кусному расстоянию D = у-, называется оптической силой линзы.
Она измеряется в диоптриях [дптр]. [D] = дптр = м-1. Лучи, па-
дающие на линзу параллельно какой-либо побочной оптической
оси, после преломления в линзе пересекаются в точке, лежащей на
фокальной плоскости (побочный фокус).
Тонкие линзы по своим свойствам делятся на собирающие (ри-
сунки а) и рассеивающие (рисунки б). Особенности прохождения
лучей в собирающих линзах показаны на рисунках а).
Луч 1 — 1', проходящий через оптический центр тонкой линзы,
не преломляется. Луч 2-2', падающий параллельно главной опти-
ческой оси 00', после преломления пересекает главную оптиче-
скую ось в фокусе F. Если падающий луч 3-3' проходит через
оптическую ось в фокусе, то после преломления он распространя-
ется параллельно главной оптической оси. Параллельные лучи
1-1' и 4-4' после преломления пересекаются в точке А на фо-
кальной плоскости за линзой MN.
50
Особенности прохождения лучей в рассеивающих линзах пока-
заны на рисунках б.
Луч 1-Г, проходящий через оптический центр тонкой линзы,
не преломляется. Луч 2-2', падающий параллельно главной опти-
ческой оси ОО', после преломления распространяется таким обра-
зом, что его продолжение в противоположном распространению
направлении пересекает фокус, лежащий перед линзой. Если про-
должение падающего луча 3-3' в направлении распространения
пересекает фокус, лежащий за линзой, то после преломления луч
распространяется параллельно главной оптической оси. Парал-
лельные лучи 1-Г и 4-4' после преломления распространяются
таким образом, что их продолжение в противоположном распро-
странению направлении пересекаются в точке А на фокальной
плоскости MN перед линзой.
Изображение S' источника света S, получаемое с помощью
тонкой рассеивающей линзы, — всегда мнимое (а). Изображение,
получаемое с помощью тонкой собирающей линзы, может быть как
мнимым (б), так и действительным (в). Для построения изображе-
51
ния необходимо рассмотреть преломление в линзе гомоцентриче-
ского пучка лучей, используя свойства тонких линз. Например, в
построениях, показанных на приведенных ниже рисунках, рас-
смотрен гомоцентрический пучок, образованный лучом 1 - Г, про-
ходящим через оптический центр линзы, и лучом 2-2', падающим
на линзу параллельно главной оптической оси. Важное свойство
тонкой линзы: изображением отрезка прямой линии является также
отрезок прямой; отрезок прямой линии, ортогональный главной
оптической оси, имеет в качестве изображения отрезок прямой
также ортогональный главной оптической оси.
Линейным (поперечным) увеличением тонкой линзы Г называ-
ется отношение:
Г = —
АВ ’
где А'В' — изображение отрезка АВ, причем АВ и А'В' ортого-
нальны главной оптической оси.
52
a
предмета (AB) и до его изображения (А 'В') соответственно.
_ - I 1 1 г г
Формула тонкой линзы. ± — = ± — ± —, где j — фокальное рас-
f ah
стояние линзы. В левой части знак «+» берется для собирающей
линзы и знак «-» — для рассеивающей. Первое слагаемое в правой
части берется со знаком «+» для реального предмета (источника
расходящего пучка световых лучей) и знак «-» — для мнимого, т.е.
сходящего пучка (сформированного в некоторой оптической сис-
теме), лучи которого (точнее их продолжения) пересекаются за
линзой на расстоянии а от нее.
Второе слагаемое в правой части берется со знаком «+», если
изображение, формируемое линзой, — действительное и знак «-»,
если изображение — мнимое.
Волновая оптика. В рамках волновой оптики распространение
в различных средах и взаимодействие электромагнитного излуче-
ния, в том числе и света, рассматривается с учетом волновых
свойств излучения. Волновое приближение полезно в тех случаях,
когда длина волны становится сравнимой с размерами приборов.
Длина световой (электромагнитной) волны X в веществе с показа-
телем преломления п уменьшается по сравнению с длиной волны
Х() в вакууме: Л = In, это связано с тем. что в веществе умень-
шается в п раз скорость распространения волны, тогда как частота
колебаний электромагнитного поля в нем остается неизменной.
Оптической длиной пути волны называется произведение
n-d , где п — показатель преломления среды, d— геометрическая
длина пути волны. Разность 5 оптических путей лучей, испущен-
ных двумя источниками, называется оптической разностью хода
5 = «2^2 ~п\^\
53
При наложении некогерентных световых волн происходит
только усиление света. Результатом наложения когерентных волн
является интерференция, при этом становится возможным наблю-
дение, например на экране, интерференционной картины, т е.
устойчивого перераспределения интенсивности света. Условие
усиления волн от двух когерентных источников (условие интерфе-
ренционного максимума):
5 = т'к, т = 0, ± 1, ± 2,... .
Условие ослабления волн от двух когерентных источников (усло-
вие интерференционного минимума):
5 = (2w-I)-.
Устройство, состоящее из большого числа регулярно располо-
женных щелей, получило название дифракционной решетки. По
принципу Гюйгенса — Френеля каждая щель является источником
когерентных вторичных волн, способных интерферировать друг с
другом. Если на дифракционную решетку (ДР) перпендикулярно к
ней падает пучок параллельных лучей света (плоская световая
волна), то под углом дифракции <р на экране (Э), расположенном в
фокальной плоскости линзы (Л), будет наблюдаться интерферен-
ционная картина. Интерференционные максимумы при дифракции
на решетке будут наблюдаться под углами <р, удовлетворяющими
условию:
d • sin <р = п X,
где п = 0, 1, 2, называется порядком максимума или порядком
спектра, d называется постоянной (периодом) дифракционной
решетки.
Квантовая оптика. Приближение квантовой оптики использу-
ется при описании тех особенностей взаимодействия электромаг-
нитного излучения с веществом, которые можно объяснить, отвле-
54
каясь от волновой природы излучения. В квантовой оптике элек-
тромагнитное излучение (свет) рассматривается как поток час-
тиц— фотонов, не обладающих массой покоя и движущихся со
скоростью света. Основными характеристиками фотона являются
его энергия s и импульс Р.
г-hv = tia>, /’ = — = —.
с ^0
где v(co) — частота (циклическая частота) электромагнитной вол-
ны, h (й = И/2п) — постоянная Планка.
Фотоэффект — явление взаимодействия света с веществом, в
результате которого энергия фотонов передается электронам веще-
wv2 wv2
ства. Уравнение Эйнштейна hv = -—+ А, где -------— наи-
2 2
большая кинетическая энергия фотоэлектронов, А — работа выхо-
да электронов, представляет собой закон сохранения энергии при
внешнем фотоэффекте. Минимальную частоту v0 =A/h, при ко-
торой еще возможен внешний фотоэффект, называют красной гра-
ницей фотоэффекта.
Некоторые физические константы, используемые при решении
задач данного раздела:
величина заряда электрона (протона) — е = 1,6 • 10~19 Кл;
постоянная Планка — h = 6,6 • 10-34 Дж • с;
Q
скорость света в вакууме — с = 3 • 10 м/с;
масса электрона — т = 0,9 1О-30 кг;
электрическая постоянная — е0 = 8,9 • 10”12 Кл /(Н • м2).
ЗАДАЧИ
4.1. Плоское зеркало повернули вокруг оси, проходящей через
точку падения луча и перпендикулярно плоскости падающего и
отраженного лучей. На какой угол повернули зеркало, если отра-
женный от него луч повернулся на угол 5 = 42°?
4.2. На поверхности плоского экрана находится точечный ис-
точник света. Параллельно экрану расположено зеркало в форме
равностороннего треугольника со стороной а = 20 см. Центр зерка-
ла находится напротив источника. Определите диаметр светового
пятна, образованного на экране отраженными от зеркала лучами.
55
4.3. Два точечных источника света находятся на одном и том же
расстоянии а = 20 см от поверхности плоского зеркала. Расстояние
от одного из источников до изображения другого равно b = 50 см.
Определите расстояние между источниками.
4.4. Человек, рост которого h = 1,75 м, находится на расстоянии
I = 6 м от столба высотой Н= 7 м. На каком расстоянии от себя че-
ловек должен положить на Землю горизонтально маленькое плос-
кое зеркало, чтобы видеть в нем изображение верхушки столба?
4.5. Человек ростом Н - 1,8 м видит Луну по направлению, со-
ставляющему угол а = 60° с горизонтом. На каком расстоянии от
себя человек должен положить на Землю маленькое плоское зерка-
ло, чтобы в нем увидеть отражение Луны?
4.6. В дно водоема глубиной а = 2,0 м вбита свая, которая на
h = 0,75 м выступает из воды. Найти длину тени от сваи на дне во-
доема, если высота Солнца над горизонтом в данный момент
Ф = 45°. Показатель преломления для воды и = 1,33.
4.7. В дно водоема вертикально вбита свая. Длина подводной
части сваи в к = 2 раза больше, чем надводной. Полагая дно водо-
ема горизонтальным, определите, во сколько раз длина возвышаю-
щейся над дном водоема части сваи больше длины ее тени на дне
водоема. Падающие солнечные лучи образуют с поверхностью во-
ды угол а = 60°. Показатель преломления воды п = 1,33.
4.8. Световой луч падает по нормали на боковую грань прямой
стеклянной призмы, поперечное сечение которой — равнобедрен-
ный треугольник, а - 70°. Показатель преломления стекла п = 1,5.
Определите угол между падающим и вышедшим из призмы лучами.
4.9. При каких значениях показателя
преломления материала прямоугольной
призмы возможен ход луча, изображен-
ный на рисунке? Сечение призмы — рав-
нобедренный прямоугольный треуголь-
ник, луч падает на грань АВ перпендику-
лярно.
4.10. Тонкий световой луч падает на
боковую грань стеклянной призмы из воз-
духа под углом р = 45°. Угол между боко-
/а\ " \ выми гранями призмы равен а = 30°. По-
" \ 1 8 казатель преломления воздуха равен 1, а
стекла п = 1,41. Определите угол смеще-
/ \ ния луча от первоначального направления
L___________\ распространения 5.
56
4.11. Луч, отраженный от поверхности стекла, образует с пре-
ломленным лучом прямой угол. Определите угол падения, если
показатель преломления для стекла п = 2, а для воздуха равен 1.
4.12. Луч, отраженный от поверхности стекла, образует с пре-
ломленным лучом прямой угол. Определите угол преломления, ес-
ли показатель преломления стекла п - 1,73; а для воздуха равен 1.
4.13. В воздухе длина волны монохроматичного света
- 0,6 мкм. При переходе в стекло длина волны становится рав-
ной X = 0,42 мкм. Под каким углом свет падает на границу раздела
воздух — стекло, если отраженный и преломленный лучи образуют
прямой угол? Показатель преломления воздуха считать равным
единице.
4.14. Луч падает на плоскопараллельную пластинку из стекла
под углом равным 45°. Какова толщина пластинки, если луч при
выходе из нее сместится на а = 2,0 см? Показатель преломления
стекла л - 1,8.
4.15. Почему с моста лучше видно рыбу, плывущую в реке, чем
с низкого берега?
4.16. Луч света падает из воздуха на поверхность жидкости под
углом а] = 40° и преломляется под углом 0] = 24° . При каком уг-
ле падения луча угол преломления будет 02 = 20° ?
4.17. Луч света падает на поверхность раздела двух прозрачных
сред под углом а] = 35° и преломляется под углом 0] = 25° . Чему
будет равен угол преломления, если луч будет падать под углом
а 2 =50°?
4.18. Пучок параллельных световых лучей шириной d0 -1,0 см
падает под углом а = 60° из воздуха (показатель преломления ра-
вен 1) на плоскую поверхность толстой стеклянной пластинки. Оп-
ределите показатель преломления стекла, если ширина пучка в
пластинке d= 1,6 см.
4.19. Постройте изображение то-
чечного источника S в тонкой соби- S । А
рающей линзе. Используя построе- |
ние, получите зависимость расстоя- ----1—— ----------1—
ния между изображением и главной F F
оптической осью линзы от фокусно- у
57
го расстояния линзы OF, расстояния SA между источником и глав-
ной оптической осью линзы, расстояния АО между источником и
линзой. Решите эту же задачу для рассеивающей линзы.
4.20. Постройте изображение то-
чечного источника S в тонкой соби-
рающей линзе. Используя построение,
получите зависимость расстояния р А О р
между изображением и линзой от фо- -L
кусного расстояния линзы OF, рас- v
стояния АО между источником и линзой, расстояния SA между ис-
точником и главной оптической осью линзы. Решите эту же задачу
для рассеивающей линзы.
4.21. Постройте изображение точки S, лежащей на главной оп-
тической оси тонкой рассеивающей линзы (см. рисунки). F— фо-
кус.
у
• ----f—
S F F
к
а)
V
• + — ♦------1—
F S F
к
б)
4.22. Постройте изображение точки S, лежащей на главной оп-
тической оси тонкой собирающей линзы (см. рисунки). F— фокус.
д
---------1--
F S F
V
а)
4.23. Постройте ход луча до прохож-
дения им тонкой рассеивающей линзы.
F— фокус линзы (см. рисунок).
58
4.24. Постройте изображение отрезка АВ, получаемое с помо-
щью тонкой собирающей линзы.
4.25. Постройте изображение отрезка АВ, получаемое с помо-
щью тонкой рассеивающей линзы.
у
А В
О'--\—h<---1----О
F F
к
б)
а)
4.26. Постройте изображение отрезка АВ, получаемое с помо-
щью тонкой линзы: а и б — собирающей; в — рассеивающей.
в)
4.27. Постройте изображение отрезка АВ, параллельного опти-
ческой оси тонкой собирающей линзы (рисунки а и б), а также па-
59
раллельного оптической оси тонкой рассеивающей линзы (рису-
нок в).
а) б) в)
4,28. На рисунке показано изображение S' точечного источни-
ка, полученное с помощью тонкой рассеивающей (а) и собирающей
(б) линз. Построением определите положение источника.
4.29* . На рисунке показаны точечный источник S, его изобра-
жение S' и главная оптическая ось тонкой линзы. Построением
определите положение самой линзы и ее фокусов.
0'------------------о"
.S'
,S
О'------------------о"
а)
б)
4.30. Фокусное расстояние тонкой собирающей линзы /= 50 см.
Предмет высотой Н = 1,2 см помещен на расстоянии а = 60 см от
линзы. Какой высоты получится изображение?
4.31. Фокусное расстояние тонкой собирающей линзы F= 30 см,
расстояние от предмета до фокуса 7= 10 см, линейные размеры
предмета h = 5 см. Фокус — между предметом и линзой. Опреде-
лите размеры изображения Н.
60
4.32. Фокусное расстояние тонкой рассеивающей линзы /=
= 12 см. Изображение предмета находится на расстоянии h = 9.0 см
от линзы. Чему равно расстояние от предмета до линзы?
4.33. Предмет имеет высоту h = 2,0 см, а изображение Н = 80 см.
Определите фокусное расстояние тонкой собирающей линзы, с по-
мощью которой получено изображение, если предмет находится на
расстоянии а = 20,5 см от линзы.
4.34. Определите фокусное расстояние тонкой рассеивающей
линзы, если известно, что изображение предмета, помещенного
перед ней на расстоянии а - 50 см, получилось уменьшенным в п =
= 5 раз.
4.35. Известно, что изображение предмета, помещенного перед
тонкой линзой на расстоянии а = 50 см, мнимое уменьшенное в п =
= 3 раза. Определите фокусное расстояние линзы.
4.36* . Сходящийся пучок лучей падает на тонкую рассеиваю-
щую линзу таким образом, что продолжения всех лучей пересека-
ются в точке, лежащей на оптической оси линзы на расстоянии
я = 15 см от нее. Найдите фокусное расстояние линзы, если после
преломления в линзе лучи собираются в точке, находящейся за
линзой на расстоянии b = 60 см от линзы.
4.37. Предмет находится на расстоянии /] =10см от переднего
фокуса собирающей линзы, а экран, на котором получается изо-
бражение предмета, расположен на расстоянии /2 =40 см от задне-
го фокуса линзы. Определите фокусное расстояние линзы.
4.38. Расстояние между предметом и его прямым и увеличен-
ным в п = 2 раза изображением, полученным с помощью тонкой
линзы, равно I = 10 см. Найдите оптическую силу линзы.
4.39. Оптическая сила тонкой собирающей линзы D = 5,0 дптр.
Предмет поместили на расстоянии а = 60 см от линзы. На каком
расстоянии от линзы получится изображение этого предмета?
4.40. На расстоянии а = 50 см перед тонкой собирающей линзой
с фокусным расстоянием F= 30 см на главной оптической оси по-
мещен предмет протяженностью Н = 15 см. Какова протяженность
вдоль главной оптической оси изображения предмета?
4.41. Тонкая собирающая линза увеличивает изображение пред-
мета в п = 4 раза. Если этот предмет передвинуть вдоль оптической
оси на S = 5 см, то увеличение уменьшится в к = 2 раза. Найдите
фокусное расстояние линзы.
61
4.42. С помощью тонкой линзы получают двукратно (Г = 2) уве-
личенное действительное изображение предмета. Затем линзу пе-
редвигают на /= 10 см и получают мнимое изображение такого же
размера. Определите фокусное расстояние линзы.
4.43. Предмет находится на расстоянии а = 1.5F от тонкой лин-
зы. Его приблизили к линзе на расстояние &J = 0,7F. На сколько
при этом переместится изображение предмета, если оптическая
сила линзы D - -2,4 дптр? F — фокусное расстояние.
4.44. Точечный источник света описывает окружность в плоско-
сти, перпендикулярной оптической оси тонкой собирающей линзы
с фокусным расстоянием F= 7 см. Изображение источника наблю-
дается на экране, расположенном на расстоянии h = 0,35 м от лин-
зы. Во сколько раз отличаются ускорения, с которыми движутся
изображение и источник?
4.45* . Точечный источник света расположен на главной оптиче-
ской оси тонкой собирающей линзы на расстоянии а = 30 см от
линзы. На экране, расположенном перпендикулярно главной опти-
ческой оси на расстоянии 1\ - 10 см от линзы, наблюдается светлое
пятно. Размеры пятна не изменяются, если экран расположить на
расстоянии ?2 =20 см от линзы. Определите фокусное расстояние
линзы.
4.46* . Расстояние между предметом и экраном /= 120 см. Где
нужно поместить тонкую собирающую линзу с оптической силой
D = +4 дптр, чтобы на экране получилось отчетливое изображение
предмета?
4.47. Четкое изображение лампы на экране возникает при двух
положениях тонкой линзы, помещенной между ними. Найдите фо-
кусное расстояние линзы. Расстояние между двумя положениями
линзы равно / - 30 см, между лампой и экраном 5 = 50 см.
4.48* . На главной оптической оси перед тонкой рассеивающей
линзой с фокусным расстоянием F=20cm расположен точечный
источник света. По другую сторону линзы перпендикулярно глав-
ной оптической оси линзы расположено плоское зеркало. Найдите
расстояние между источником и его изображением в зеркале. Ис-
точник удален от зеркала на расстояние I - 1 м, а от линзы на рас-
стояние 5=30 см.
62
4.49* . Собирающая линза дает изображение предмета на экране.
Между линзой и экраном параллельно плоскости линзы установле-
на стеклянная плоскопараллельная пластинка толщиной d = 4 см с
показателем преломления п = 1,4. Как надо переместить экран,
чтобы вновь получить отчетливое изображение предмета? Считать
углы падения малыми.
4.50* . На клин с углом раствора
а= 1° и показателем преломления
п = 1,5 нормально к его грани АВ
падает параллельный пучок света.
За клином расположена собираю-
щая линза с фокусным расстоянием
F= 180 см. Грань АВ перпендику-
лярна главной оптической оси линзы. В фокальной плоскости лин-
зы находится экран. На сколько сместится светлая точка на экране,
если клин убрать?
4.51. Длина волны света в среде уменьшается в п раз. где п —
показатель преломления среды. Означает ли это, что ныряльщик не
может видеть окружающие тела в естественном цвете?
4.52. На белом листе бумаги красным и зеленым карандашами
сделали две надписи. Через какое стекло — красное или зеленое —
можно прочесть надпись, сделанную зеленым карандашом?
4.53. Цветное стекло растерто в порошок, который кажется со-
вершенно белым. Как узнать, каков был цвет стекла?
4.54. Почему днем Луна имеет чистый белый цвет, а после захо-
да Солнца принимает желтоватый оттенок?
4.55. Почему столб дыма, поднимающийся над костром, при
свете дня на фоне дальнего леса кажется серо-голубым, на фоне
неба — черным, а на фоне Солнца приобретает желтовато-красный
оттенок?
4.56. Интенсивность солнечного излучения на поверхности Зем-
ли в полдень составляет Р = 1,3 кВт/м2 . Считая, что солнечный
свет монохроматичен и имеет длину волны X = 0,6 мкм, определите
число фотонов, ежесекундно попадающих в глаз, обращенный к
Солнцу. Диаметр зрачка принять равным <7 = 4 мм.
4.57. При аннигиляции электрона и позитрона образовалось два
одинаковых гамма-кванта. Найдите длину волны такого гамма-
излучения, если кинетической энергией частиц до реакции можно
пренебречь.
63
4.58. Работа выхода электронов из кадмия А - 6,5 • 10 19 Дж. Ка-
кой должна быть длина волны излучения, падающего на поверх-
ность кадмиевой пластинки, чтобы при фотоэффекте максимальная
скорость вылетающих электронов была равна vmax = 7,2 • 105 м/с?
4.59. Красной границе фотоэффекта для алюминия соответству-
ет длина волны Хкр =332нм. Найдите длину волны, при которой
фотоэлектроны, вырываемые с поверхности алюминиевого катода
в вакуумном диоде, не достигают анода под действием задержи-
вающего напряжения t/3 = 1 В.
4.60. При поочередном освещении поверхности некоторого ме-
талла светом с длиной волны %] =350 нм и Х2 =540 нм обнаружи-
ли, что соответствующие максимальные скорости фотоэлектронов
отличаются в п - 2 раза. Найдите работу выхода с поверхности это-
го металла.
4.61. Определите максимальное число электронов, которые
можно удалить с поверхности уединенного цинкового шара с элек-
троемкостью С — 20 пФ, если его облучать светом с длиной волны
X = 324 нм. Работа выхода для цинка Лвых = 3,0 • 10~19 Дж.
4.62* . Определите силу тока насыщения для фотоэлемента с це-
зиевым катодом. Поток световой энергии, падающей на фотоэле-
мент Р = 1,0 мВт. Задерживающее напряжение для этого излучения
U3 = 0,07 В, красная граница фотоэффекта для цезия А.кр = 650нм.
Считать, что каждый падающий на катод фотон вызывает появле-
ние фотоэлектрона.
4.63* . Под действием света с длиной волны Л = 140 нм фото-
электрон вылетает с поверхности медного шарика радиусом
7? = 50 мм, имеющего заряд Q = +1,1 • 10~10 Кл. Считая, что элек-
трон вылетел в радиальном направлении, найдите максимальное
расстояние, на которое он удалится от поверхности шарика. Работа
выхода электрона из меди А = 7,2 10-19 Дж.
4.64. В однородном поперечном магнитном поле с индукцией
В = 8 10~3Тл фотоэлектроны с максимальной энергией, вырывае-
мые с поверхности металла квантами с длиной волны % = 73 нм,
описывают окружности радиуса R = 1,5 мм. Найдите работу выхода
электрона из металла.
64
4.65. Плоский алюминиевый электрод освещается ультрафиоле-
товым излучением с длиной волны 1 = 8,3 • 10-8 м. На какое макси-
мальное расстояние может удалиться фотоэлектрон от поверхности
электрода, если вне электрода имеется задерживающее однородное
электрическое поле напряженностью Е = 750 В/м? Красная граница
фотоэффекта для алюминия соответствует длине волны =
= 33,2-10-8м.
4.66. Какова длина волны фотона, испускаемого атомом водоро-
да при переходе электрона с орбиты радиусом Г; = 2,1-10-8 см на
орбиту радиусом Г2 = 5,3 • 10-9 см?
4.67. Два когерентных источника 5] и
испускают электромагнитные волны с длиной
волны X = 1 м и находятся на расстоянии
d = 2 м друг от друга. Точка А находится на
расстоянии / от источника S] и AS’j-LS'pS'j.
Если разность фаз излучения источников
равна нулю, то: а) при каком минимальном / в
точке А наблюдается интерференционный
максимум; б) при каком максимальном / в
точке А наблюдается интерференционный
максимум; в) при каком максимальном / в
точке А наблюдается интерференционный
минимум?
S2
4.68. При наблюдении через дифрак-
ционную решетку край видимого спек-
тра первого порядка виден на расстоя-
нии / = 3,5 см от середины интерферен-
ционной картины. Расстояние от ди-
фракционной решетки до экрана
L - 50 см. Период решетки d -10~2 мм.
Определите на основе указанных дан-
ных длину волны красного цвета.
4.69. Параллельный пучок света с длиной волны X = 0,65 мкм
падает перпендикулярно на дифракционную решетку, содержащую
N = 200 штрихов на длине I = 1 мм. Какое количество светлых по-
лос можно будет наблюдать на экране, расположенном за
решеткой?
65
РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ
1. Электростатика
1.1. Точка, удаленная от каждого из за-
рядов на расстояние d = 1 см, находится в
середине отрезка, соединяющего заряды
(рисунок). Каждый из зарядов создает в
этой точке напряженности А) и £’2, вели-
чины которых равны, а направления одинаковы. Полная напряжен-
ность в соответствии с принципом суперпозиции равна
г, ,2
£’ = £]+ Е2 = 1к . Отсюда q =-----»1,1 • 10~14 Кл.
d^ Fk
1.2. Решение системы
Я] +<12=Q',
а
Q L ^f-г „
дает пт = —11---------« 394 мкКл.
' 2 У Qk
q2 = 486мкКл.
1.3. Модули вектора напряженно-
сти электрического поля, создавае-
мого каждым из зарядов в отдельно-
сти в указанной точке равные по ве-
личине
£1=£2=AJL.
ь
66
Напряженность поля создаваемого обеими зарядами в этой точке в
соответствии с принципом суперпозиции равна векторной сумме
полей Е\ и Ё2, т е. Е -Е\ + Ё2 . Направление вектора Ё парал-
лельно линии, соединяющей заряды (см. рисунок), а модуль его
равен
Е = к — = 4,5 105 В/м.
Ь3
1.4. Если считать, что Земля имеет форму шара, то напряжен-
ность электрического поля вблизи ее поверхности Е вследствие
сферической симметрии и симметрии распределения зарядов, соз-
дающих поле, будет такой же, как и у поля точечного заряда q, по-
мещенного в центр Земли, и имеющего величину, равную заряду
Земли, т.е. Е = —--.
4те0 Rj
Отсюда q - 4m(tER3 » 5,5 105 Кл.
1.5. Силы, действующие на заряды, показаны на рисунке.
------ ^21 Л? ^32 ^23 ------► ^13
1 О- "-►< О ►«.................... о_________
^21 Ч2 Ч3 Р23
По 3-му закону Ньютона:
^31 = ~Лз > ^21 = ”^12 > ^23 = -F32 ’ ^12 = —^21 , ^23 = ~^32 >
при ЭТОМ
I? I |р 1-/Л193 Ip I _ I р |_ 1, Ч\^2 Ip I _ I р I ?2?3
К31 -Р13\~к р21 -К12 -к—3—> К23 -К32 -*—
Illi 4/2 I I I I ;2 I I I I z2
Внешнее поле отсутствует, следовательно, система находится в
равновесии. Условия равновесия каждого из зарядов имеют вид
67
или
^31 +^21 = Г(Ь
< Tq +F32 = Т + F\2,
T = F^3 +F23-
QyG'X
Из первого уравнения Tq = F13 + Fy2 = к —— + к ——.
4/2 г
1.6. 2 = -2л^ + 1?»-1,53-1012Кл.
1.7. В соответствии с принципом
суперпозиции полей напряженность
поля в точке А Е является векторной
суммой напряженностей Еу, Ё2 и £3,
создаваемых зарядами qy, q2 и q2 со-
ответственно (см. рисунок). Так как
заряды расположены на взаимно пер-
пендикулярных прямых, а точка А яв-
ляется точкой их пересечения, то вели-
чину напряженности удобнее находить,
используя правила векторной алгебры. При сложении векторов
складываются и их проекции. Модуль результирующего вектора на-
ходим по трем проекциям на взаимно ортогональные оси. В итоге
Е = ^Еу + Е2 +Е1 = к + Ц- + Ц-- L56 • 106 В/м.
V Ч 4 гз
1.8. Чтобы система зарядов могла находиться в равновесии,
полная напряженность поля, создаваемая всеми зарядами в месте
расположения любого из них должна равняться нулю. Очевидно,
что в силу симметрии расположения зарядов qt (z = 1, 2, 3) заряд Q
противоположного знака зарядам qt нужно поместить в месте пе-
ресечения высот треугольника. В этой точке полная напряженность
поля, создаваемого зарядами равна нулю, так как каждый заряд
~ Г Я
q, создает напряженность поля, величина которой Е, = Зк-Е-
а2
(а— сторона треугольника), а сами векторы Е, ориентированы
под углами 120° друг к другу.
68
Чтобы полная напряженность
поля равнялась нулю в месте рас-
положения какого-либо из зарядов
qj, напряженность поля от заряда
Q в этой точке должна равняться
по величине суммарной напря-
женности поля в этой точке от
двух других зарядов qt
Последнюю можно найти по тео-
реме косинусов (см. рисунок)
Е = ^Ef2 + Е^ -2EjE2 cos 120° = к.
а2
Здесь Е] = Е2=к . Итак,
а2
-Як*-,
сг
Отсюда Q = - ~^= « -4,9 -10 7 Кл.
1.9. Перпендикуляры, опущенные из центра треугольника на
каждую из палочек, являются для них осями симметрии. Поэтому в
точках, лежащих на этих перпендикулярах к данной палочке, заряд
палочки создает напряженность поля, направленную вдоль перпен-
дикуляра (в направлении от палочки). Продольные компоненты
напряженности поля (параллельные палочкам) компенсируют друг
друга. Пусть Е], Е2, Е — напряженности полей, создаваемых
зарядами первой, второй и двух палочек сразу соответственно в
центре треугольника. Модули Et и Е2 равны, а угол между этими
векторами равен 120° (см. рисунок). Поэтому
|Е] | = |е2 | = Е = Eq = 10 В/м.
69
Потенциал поля Фо> создаваемого за-
рядом двух палочек в силу принципа
суперпозиции складывается из потен-
циалов полей <р, создаваемых зарядом
каждой из палочек в отдельности. Так
как заряды палочек одинаковы, то в
центре треугольника будут одинако-
выми и потенциалы полей от каждой
из палочек. Поэтому
ф = ^- = 5В.
2
1.10. В данном случае напряжен-
ность поля Е в точке Л, являющую-
ся векторной суммой полей Д
(z = 1, 2, 3), создаваемых каждым из
зарядов q,
Ё = Ё3 + Ё2 + Ё3,
удобнее находить, вычислив предва-
рительно проекции вектора Е на
оси выбранной системы координат,
т.е.
Ех Е\х + + Д?х •
Еу - Е\у + E2v + &3у ’
Ez = E\z + E2z + E3z .
Модуль вектора Е будет равен
Е = ^(Е\х + Е2х + Е3х)Е 2 + (Ely + Е2у + Е3у)2 + (Дг + E2z + E3z)2 .
Принимая во внимание особенности расположения зарядов в
пространстве, удобно в качестве системы координат взять декарто-
ву систему координат с началом в точке А и осями, направленными
вдоль ребер куба. Тогда (см. рисунок) в случаях:
70
а) Ех = Е3х = к -—• cos а • cos 45° = к -Д,
(л/За)"
Ev = E2v + E3v =к~. cos45° + £ . cos а-sin 45° =
у у у Ы (тМ2
=t^4+t_^=f । ' W,
2 а2 43 а2 <л/2 л/з J а2
Ez =EXz +E2z +E3z = k^ + k- sin45° + £ sinа =
(42а)" (у/За)
2
1.11. Пусть заряд qQ находится в некоторой точке А внутри
сферы. Проведем диаметр сферы, проходящий через эту точку.
Ввиду симметрии распределения заряда по поверхности сферы
относительно любого ее сечения, проходящего через этот диаметр,
а в самом сечении-симметрии распределения заряда относительно
диаметра, можно утверждать, что заряд может двигаться только
71
вдоль этого диаметра. Рассмотрим два узких конуса внутри сферы
с вершиной в точке А и с углом при вершине р, осью которых бу-
дет этот диаметр (см. рисунок) и сравним силы, с которыми заряды,
находящиеся на соответствующих шаровых сегментах, будут дей-
ствовать на точечный заряд д$.
Величина зарядов q^ и q2, находящихся на шаровых сегментах
qi =5] ст, q2 = S2 ст, о— поверхностная плотность зарядов на
сфере, .S'] и S2 — площади шаровых сегментов. При малых углах
Р
В 7 2
4\ ~ — -4ЛГ] ст = рГ] ст,
4л
В 9 9
?2 ~ ' 4тсг2 ст = Рг2 ст ,
Г1 и г2 — расстояния от точки А до соответствующего сегмента
сферы. При произвольных углах р коэффициент пропорционально-
сти между зарядом сегмента q и расстоянием до него от точки А
будет некоторой функцией угла при вершине конуса /(Р) = С(Р),
но одинаковой для обеих конусов, т.е.
= С($)г?<з,
q2 = С(р)г22ст.
Следовательно, на точечный заряд q§, помещенный внутрь рав-
номерно заряженной сферы, со стороны шаровых сегментов будут
72
действовать силы, зависимость которых от расстояния г и парамет-
ра а будет иметь вид
2
Возможны два варианта поведения точечного заряда.
I вариант. Заряды q§ и поверхностный заряд сферы — разно-
именные. В этом случае F— сила притяжения. Поэтому, если а > 2
(а = Vs , а = л/7 ), то для г2 > И ^*2 < Л и заряд упадет на ближ-
ний к нему участок поверхности сферы.
Если а < 2 (а = >/2 , а = V3 ), то для г2 > /] F2 > 7*i и первона-
чально покоившийся заряд будет двигаться ускоренно до центра
сферы, а затем начнет замедляться и остановится с другой стороны
от центра сферы на расстоянии от поверхности, равном q . После
остановки заряд вновь начнет двигаться, но уже в обратном на-
правлении, т.е. заряд q§ будет совершать колебательное движение.
II вариант. Заряды и заряд сферы — одноименные. В этом
случае F— сила отталкивания.
При а - д/5 и а = V? заряд будет совершать колебательное
движение.
При а = >/2 и а = заряд упадет на ближний к нему участок
поверхности сферы.
1.12. Металлический цилиндр является проводником. Перенос-
чиком заряда в нем служат свободные электроны. При вращении
цилиндра эти электроны удерживаются на определенном расстоя-
нии г от оси цилиндра, так как на них действует кулоновская сила
FK, величина которой пропорциональна напряженности электри-
ческого поля в этой точке, т.е. FK =еЕ.
Из уравнения динамики для вращающегося электрона:
mti>~R-eE
ma2R 7
следует, что Е =-----~ 2,25 • 10 В/м.
е
73
1.13. Так как поперечные размеры поршней велики по сравне-
нию с расстоянием между ними, то электрическое поле, создавае-
мое зарядом, находящимся на поршнях, можно найти как поле рав-
номерно заряженной бесконечной плоскости
2eqe ’
где ст = — — поверхностная плотность заряда. Относительная ди-
электрическая проницаемость воздуха е = 1. Сила Кулона, с кото-
рой поршни притягиваются, равна
Давление воздуха в промежутке между заряженными
поршнями:
F Q2
Р = Ро + ^ = Ро +—у—
5 252Е0
Так как температура в системе постоянна, то объем и давление в
промежутке между поршнями для случаев заряженных и незаря-
женных поршней связаны законом Бойля — Мариотта:
= PqVq .
В свою очередь V = Sd, а = Sd§, следовательно, расстояние
между поршнями уменьшится в
к = — = — = 1 + —« 2,25 раза.
d РО 2S2£qPq
1.14. Так как заряд частицы отрицательный, то со стороны элек-
трического поля на частицу будут действовать сила FK, ориенти-
рованная против вектора напряженности поля (см. рисунок). На-
правим ось ОХ вдоль направления действия силы FK . В соответст-
вии со 2-м законом Ньютона частица будет двигаться с ускорени-
74
ем, направленным вдоль оси ОХ. Мо-
ы.е
дуль ускорения а =------. Уравнение
2т
движения частицы
\q\E ->
x(t) = Xq -Vq COS <p t +--1~
2m
или
\q\E 2
Д/г(1) = -v0 cos ср-/ + --.
2m
Решая это квадратное относительно t уравнение, находим
туп cosq> + J(mvQ coscp)2 + 2/пЫ£ДА
t =-------------i« 2,5 • 10 с.
qE
1.15. Натяжение нити при прохождении ею вертикального по-
ложения можно найти из спроектированного на вертикаль уравне-
ния динамики для шарика:
v2
т — = T-Fr,
I т
где Т — сила натяжения нити, /'т = mg — сила тяжести, дейст-
вующая на шарик, I — длина нити, a v — скорость шарика в мо-
мент прохождения нитью вертикального положения. Скорость ша-
рика можно найти из закона сохранения энергии, который в данном
случае запишется как
2
... X г, WV
mgl(\ - cos а) + qEl sin а = .
В данном уравнении первое слагаемое есть работа силы тяжести,
равная взятому с обратным знаком изменению гравитационной по-
тенциальной энергии при переходе шарика из начального состоя-
ния в состояние, при котором нить вертикальна; второе слагаемое
представляет собой работу сил электрического поля по перемеще-
75
mv* I 2
нию заряда из начального положения в конечное; ----кинети-
ческая энергия, приобретаемая шариком.
Решая полученную систему уравнений, находим
Г = mg(3 - 2 cos а) + 2qE sin а ~ 18,7 Н.
q 1.16. До начала движения
/С системы модуль минимальной
/ \ кулоновской силы расталкива-
/ Vi Р ?2
/ тг \ F, й
_____у X больше модуля силы тяжести
I FT = mg , т.е. шарики разойдутся
I — на максимально возможное рас-
▼ -^т стояние и все нити будут натя-
нутыми. Пусть Г1 и — силы натяжения шариков (см. рисунок).
Для ускоренного движения системы уравнения движения каждого
из шариков в проекциях на направление движения и на перпенди-
кулярное ему направление будут иметь соответственно вид
7] sin а - mg = ma;
2
' Т2+Т} cos а =---1.
1cos2 а
а2
Отсюда Т2 =--------------m(a + g)ctga ® 0,1Н.
16я£о/2 cos2 а
1.17. Из уравнений динамики для двух случаев вращения шари-
ков:
f 2
® 1 R = g tga;
2 <?2
тя2 = mg tga- к -2—,
R2
76
где первое равенство системы — без заряда в центре окружности;
второе равенство — с зарядом в центре окружности; а — угол, об-
разованный нитью с вертикалью. Отсюда
I 2
2 ка , „ .
ю2 =,I©]----» 1,7 м/с.
V mR3
1.18. Рассмотрим, что будет происходить с шариками после пе-
режигания нити. Пережигание нити приводит к тому, что мгновен-
но исчезает одна из сил, которые удерживали шарики в равнове-
сии, — сила натяжения нити АВ. Равнодействующая оставшихся
сил, действующих на каждый из шариков, будет сообщать шарикам
ускорение, которое будет менять их скорость как по направлению
(центростремительная компонента ускорения), так и по величине
(тангенциальная компонента ускорения). В начальный момент ско-
рости шариков равны нулю, а тангенциальные компоненты ускоре-
ния имеют наибольшие значения. По мере подъема шариков их ли-
нейные скорости будут увеличиваться, а тангенциальные ускоре-
ния уменьшаться. Такие особенности движения шариков будут со-
храняться до некоторого момента нового положения равновесия
сил, в который силы натяжения нитей, силы тяжести и силы куло-
новского расталкивания для каждого из шариков уравновесят друг
друга. В этот момент тангенциальное ускорение шариков будет
равно нулю, а их линейная скорость максимальна. После этого ша-
рики продолжат движение, но теперь равнодействующая сил, дей-
ствующих на шарики, изменится так, что сообщаемое ею шарикам
тангенциальное ускорение изменит свое направление на противо-
положное и по мере подъема шариков будет возрастать по величи-
не. При этом скорость, которую набрали шарики, будет умень-
шаться и в точках их наивысшего подъема скорость шариков будет
равна нулю, а величина тангенциального ускорения максимальна.
В этих точках сила натяжения нитей Т в соответствии со 2-м зако-
ном Ньютона будет равна по модулю силе кулоновского расталки-
вания шариков, т.е.
. W12
4^0 (2/)2 16те0/2
77
ClyCl"}
Для нахождения ------ воспользуемся законом сохранения энер-
/2
гии. За нуль отсчета гравитационной потенциальной энергии выбе-
рем исходное положение нити АВ. В этом положении шарики об-
ладают только электростатической потенциальной энергией, рав-
1 42
ной W =------------. Когда шарики поднимаются на максимальную
4яео /
высоту Н они обладают только потенциальной энергией.
гравитационной и электростатической. Кинетическая энергия, ко-
торой обладали шарики, поднимаясь вверх, в этом положении рав-
на нулю. Таким образом,
4ле0 21 47се0 I
47СЕ0 /2
уЗ
Следовательно, Т = -у- mg ® 0,86 10 ~3 Н.
1.19. Для q > 0 уравнение движения частицы в поле
2
x(t) = vot + — ,
где а =-----ускорение частицы, которое находится из основного
m
уравнения динамики. При x(t) = d
2m(d - vot)
Для частицы, у которой q < 0
2m(d + v0t)
г. =-----------.
78
1.20. В общем случае траектория свободной заряженной части-
цы, движущейся в поле, не совпадает с силовой линией, так как
касательная к силовой линии указывает только направление дейст-
вующей силы, т.е. направление ускорения, тогда как касательная к
траектории указывает направление скорости частицы. Траектория и
силовые линии совпадают только при движении частиц в однород-
ном поле, когда начальная скорость частицы направлена вдоль си-
ловой линии.
1.21.
79
1.22.
80
X
1.23. Пусть х — расстояние от
заряда qy до точки, где потенциал
равен нулю (см. рисунок). Из усло-
вия равенства потенциала этой точ-
ки нулю
<p=t«L_tM = 0
X 1-х
находим
X = ——--- / — X — ——
<71 +|?2| <71 +кг|
Напряженность поля в этой точке
Е = к О- + к = к » 4 • 103 В/м.
X2 (/-х)2 /2<лЫ
1.24. Потенциальные энергии системы зарядов в начальном
и конечном WK состояниях равны соответственно
IT Jwi2_ + SlS.+12e'
И +г2 П г2 )
И + г2 '•г ri J
Минимальная работа, которую необходимо совершить, чтобы
поменять заряды qy и q^ местами, равна разности потенциальных
энергий конечного и начального состояний:
л=ди,=«а_^2)е(агй>=+9одж.
г\г2
1.25. Работа А равна разности потенциальных энергий взаимо-
действия зарядов в конечном WK и начальном №н состояниях сис-
темы. Тогда получаем в случаях
т 2 2 2 э 2
. и, 2<? q q 2q
aV2 ay/3 a aj2
81
a
Отметим, что в случаях а) и б) А < 0, а в случаях в) и г) А > 0.
1.26. Сближение электронов удобнее рассмотреть в системе от-
счета, в которой один из электронов вначале покоился. В этой сис-
теме другой электрон будет налетать на покоящийся со скоростью
V] + v2. Электроны отталкивают друг друга, поэтому их сближе-
ние будет сопровождаться уменьшением скорости налетающего
электрона и увеличением скорости первоначально покоящегося
электрона. Это изменение скорости будет происходить до тех пор,
пока скорости обоих электронов не сравняются по величине, т е.
относительная скорость их станет равной нулю. Из закона сохране-
ния импульса (систему из двух электронов можно считать замкну-
той) следует, что скорость каждого из электронов в этом случае
Л , V]+V2
будет равна v, = v2 -----.
При сближении электронов часть кинетической энергии нале-
тавшего электрона переходит в потенциальную энергию кулонов-
ке2
ского отталкивания иК =--, е — заряд электронов, г — расстоя-
г
ние между ними.
При максимальном сближении (r = rmm) закон сохранения
энергии запишется в виде
/ \2
щр-±12 1
у 2 J
2
( 2 J
2
ке2
гтш
т — масса электрона. Отсюда rmjn =-----------
w(vi +v2)2
82
1.27. Рассмотрим движение
зарядов в системе центра масс
(с.ц.м.). Пусть ось ОХ направ-
лена вдоль V2 (см. рисунок).
Тогда скорость р, с которой
сама с.ц.м. движется вдоль
оси ОХ.

wvj - WV]
«1 + W2
В с.ц.м. заряды начинают движение с импульсами
Р\ =Р2=Р2~ ₽w2
„ тхт2 ,
= Р\ + р^1 =--------(V] + V2).
тх + т2
Кулоновская сила отталкивания будет тормозить заряды и в со-
ответствии со 2-м законом Ньютона в равной мере уменьшать ве-
личину импульса каждого из зарядов. Минимальное расстояние
между зарядами г1П1П будет в том случае, когда импульсы зарядов в
с.ц.м. станут равными нулю. Из закона сохранения энергии
*2 *2
А , Pl
2т\ 2т2
находим
_2ZW2(W1 +"*2)
Гщщ _ 2 ~ СМ'
W]W2(V1 +v2)
Если проводить рассмотрение в той системе отсчета, в которой
заданы скорости зарядов, то, используя законы сохранения энергии
и импульса, можем составить уравнения:
у? ffl2v2 _ 0”1 +^2)v2 kqxq2
‘ 2 2 2 rmin ’
mxvx - m2v2 - (mx + m2)v,
так как в момент наибольшего сближения относительная скорость
зарядов равна нулю, т.е. они движутся с одной и той же скоростью
v . Решая систему уравнений, найдем rmin .
83
1.28. При движении электронов за счет кулоновского отталки-
вания будут уменьшаться составляющие их скоростей, направлен-
ные вдоль прямой, соединяющей электроны. При максимальном
сближении электронов эти составляющие станут равными нулю.
Поперечные составляющие скоростей, т е. перпендикулярные этой
прямой, меняться не будут.
Для вычисления минимального расстояния между электронами
воспользуемся законом сохранения энергии:
2 2 2 2
, <7 ~ mv0 , <7 wv0 • 2
+ 2—- = к-^— + 2——sm2a.
I 2 г • 2
Здесь к = —-—. Отсюда
4ле0
Ъш =----------Ц-----— ~ 3,4 10-6 м.
4nE0wvQ/cos a
я2
1.29. Когда бруски перестают удерживать, то на каждый из них
в горизонтальном направлении действует постоянная по величине
сила трения скольжения = \irng « 2,4 • 10-3Н и уменьшающаяся
по величине по мере удаления брусков друг от друга сила кулонов-
ского расталкивания, начальное значение которой
1 2
-----^-~5,6-1(Г3Н.
47Г80 Z2
Пока сила кулоновского расталкивания брусков больше силы тре-
ния бруски будут двигаться ускоряясь, а затем, когда знак неравен-
ства сменится на противоположный, бруски будут замедляться и в
конце концов остановятся. Ввиду одинаковости брусков и их заря-
дов каждый из них пройдет одно и то же расстояние. Обозначим
его S. Для вычисления S воспользуемся законом сохранения энер-
гии. Перемещение брусков сопровождалось уменьшением потен-
циальной энергии системы Wp => Wp , которая была затрачена на
совершение работы против силы трения, т е. А = -AWp = .
84
Так как
А = 2\xmgS,
а2
W" = -3-----,
р 4л8д/
,
р 4л8о(/ + 2S)’
то
2 ,
S =-----3---------« 33.5 см.
SitEQiimgl 2
Здесь принято, что, ввиду малости брусков, потенциальная энергия
их кулоновского взаимодействия такая же, как и для точечных за-
рядов.
1.30. По принципу суперпозиции потенциал электрического по-
ля, создаваемого зарядами q} и q2 в точке С.
Фс = Ф1 + Ф2 = к
В соответствии с законом сохранения энергии работа, которую со-
вершат консервативные силы электрического поля над зарядом ,
[ , ^2 ]
[вС ACJ
Л = ?з • ФС
затрачивается на сообщение заряду кинетической
г ту1 п
1 =----. Отсюда
2
энергии
^Д[«!_+«гк153м/с.
т I ВС АС)
1.31. Массы и скорости электрона и позитрона в позитронии
равны, поэтому суммарная кинетическая энергия частиц £к = гт2,
85
а потенциальная энергия их взаимодействия Еп =----------, е —
4ле0 (2г)
заряд электрона, е() — электрическая постоянная, г— радиус ок-
ружности, по которой движутся частицы, 2г — расстояние между
электроном и позитроном. Связь между £к и £п можно найти,
воспользовавшись уравнением динамики для вращательного дви-
жения каждой из частиц атома, спроектированным на ось, прохо-
дящую через частицы:
9 9
mv _ 1 q
г 4ле0 (2г)2
Учитывая это соотношение, находим
£п/£к = -2.
1.32. Заряд в проводнике распределяется по поверхности, т.е. в
нашем случае равномерно по поверхности капель. Пусть р —
плотность вещества, г и R — радиусы маленькой и большой капель
соответственно. Тогда объем, масса и заряд
маленькой капли
тл 4 з 4 з <рг
К, = — nr , т = — Ttr р, q = -—;
м 3 3 Н 4 к
большой капли
4 7 4 7
Иб= —л£3, М-~ ял р, Q = nq .
Так как М = пт, то R = 1/пг, а потенциал Uбольшой капли
U = к^- = 1[п2 -ф~65В.
R
Полученный результат будет справедлив и для капель непрово-
дящей (диэлектрической) жидкости, если заряд равномерно рас-
пределен по объему.
1.33. Энергия, затрачиваемая при соединении капелек на пре-
одоление электрических сил отталкивания, равна потенциальной
энергии взаимодействия зарядов N капелек, собранных в одну
86
большую каплю и рассматриваемых как точечные заряды. Послед-
нюю в соответствии с определением можно найти из выражения:
1 N
WN = ’
2 i=l
/=Л’ я,
где <р( = У к-----потенциал поля, создаваемого всеми заря-
7=1 гу
дами, кроме /-го в точке пространства, где находится заряд . По-
скольку потенциал электрического поля внутри большой капли
всюду одинаков и равен потенциалу U на ее поверхности, то <р;
гт kQ
можно записать как <р)• = U - ф], где q>j = —-потенциал поля,
г
создаваемый отдельным зарядом (капелькой) на ее поверхности и
з/ F
внутри нее, a U =yJN • <pj (см. решение задачи 1.30). Так как
электрические заряды всех маленьких капелек одинаковы, то
2
WN Л^-0ф=£:^^^^-1)~2,ЗДж.
2 < ) 2г \ )
1.34. Электростатическая энергия системы включает в себя соб-
ственную энергию каждого из шариков и энергию их взаимодейст-
вия.
Собственная энергия заряженного шарика W равна работе
внешних сил, которая совершается при сообщении шарику заряда q
2
и равна Wj = —— (/ = 1,2 — номера шариков), С( -— емкость ша-
2С,
риков.
Поскольку заряд q,, находящийся на шариках, связан с созда-
ваемыми им потенциалом <р( соотношением:
Qi = Qi
Cj 4ле0/?(-
87
то емкость металлических шариков равна С, =4itZQRi, е0 — элек-
трическая постоянная. Поэтому собственная энергия /-го шарика
W\ радиуса , имеющего заряд qh дается выражением:
4ле0 ZRj
Энергия взаимодействия заряженных шариков
4ле0 I
Следовательно, до соединения шариков проволочкой потенци-
альная энергия системы JFHa4 равнялась
j ?12 ! 1 ! 1 Я\Я2
4л8о 2R} 4ле0 2R2 4ле0 I
1 Г?? , йк(1 + 2>/2)^
8лео R2 J 8л80 R
В последней строке учтено, что, так как по условию задачи
I »R, то энергией взаимодействия шариков можно пренебречь.
После соединения шариков проволокой их заряды перераспре-
деляются до выравнивания потенциалов. При этом суммарный за-
ряд шариков остается неизменным
Я} + ?2 ~ ~Яо + 27о - Яо
Пусть установившийся потенциал шариков равен <р0. Тогда но-
вые заряды шариков
Я} = 4л80<р0/?], q2 - 4л80<р07?2 .
Используя условие сохранения полного заряда, находим
Фо =
Яо_______
4л80(/?] + R2)
88
и соответственно
71 =qQ g I1/?' = " О’
Л] + л 2
72 = 70 = 7о ^2 (>/2 -1).
Л] + Л2
После разъединения шариков потенциальная энергия системы
И'кон станет равной
w ~______—
"кон о
o718q
(?i)2 ,
Ry R2 8K8q R
1Инач 1 + 2V2 n n
т е. уменьшится в-----= —=------а 9,2 раза.
И'кон >/2-1
1.35. Электростатическая энергия системы в начальном состоя-
нии
. < 2 2
1 <11 [ 72
4ле0 2R] 2Ri
1 др
8ле0 R
Заряды шариков в конечном состоянии
д\ =?о/(^з + 1),
д'г = 7о>/з/(>/з + 0’
а электростатическая энергия системы
W =_____L_
"кон л
4Я80
Gi)2 ! (д'2)2 „ 1 до
2Л] 2R2 8яео(>/з +1) R
Таким образом, полная электростатическая энергия системы в
результате соединения шариков проволокой уменьшилась в
^L = (V3+1)« 2,73 раза.
^кон
Указание. См. решение задачи 1.34.
89
1.36. Потенциальная энергия системы складывается из собст-
венных энергий шарика и сферы и энергии их взаимодействия.
Собственная энергия любого заряженного тела равна работе
внешних сил, которая совершается при сообщении телу электриче-
ского заряда. Для уединенного тела сферической формы, каковыми
являются и шарик и его оболочка, эту работу можно посчитать как
где к =-----, е о — электрическая постоянная, q — заряд тела.
4л80
г — его радиус. Поэтому собственные энергии шарика и сфе-
рической оболочки )Усф будут соответственно равны
2
=к~ •
сф 2R
Поскольку центры шарика и сферы совпадают, энергию их
взаимодействия 1КВЗ можно найти как
И'вз = "9оФ2 ,
где - qQ — заряд шарика, q>2 — потенциал, создаваемый поверх-
ностным зарядом сферы q% в месте расположения шарика. Этот
потенциал, как известно, равняется потенциалу поверхности самой
сферы и может быть вычислен с помощью принципа суперпозиции
полей:
2 2R
В итоге
9
90
Полная потенциальная энергия №н начального состояния сис-
темы
После соединения проволочкой оболочки и шара заряд шара пе-
ретекает на оболочку и новый заряд оболочки q2 становится рав-
ным:
= (V2 -1^0 •
После разъединения шара и оболочки потенциальная энергия
системы 1FKOH будет определяться собственной энергией заряда,
находящегося на оболочке, т.е.
w -к^2? 3-2л/2^02
кон 2г2 4 R
Таким образом, потенциальная энергия системы уменьшилась в
П = = 2(5 + 3^2 18,5 раз.
И'кон
1.37. Собственная потенциальная энергия шарика в началь-
ном состоянии.
2R
Потенциальная энергия взаимодействия )ТВЗ зарядов, индуци-
рованных на оболочке, и заряда шарика:
с 1 j \
^вз=91-Ф2,3=^О •
Здесь q\ =qo — заряд шара, R3 - 2R, R2 = y/lR .
Полная потенциальная энергия системы 1Тнач в начальном со-
стоянии:
W
гг нач
^3-^2)
&2К3
^1.
Jl R
R 2
91
При соединении шарика и сферы проволочкой заряд шарика пе-
ретечет на сферу и после разъединения шарика и сферы потенци-
альная энергия системы WK01l будет равна собственной энергии
заряда, находящегося на внешней поверхности сферы, т.е.
kql
кон 2R3 4Л
Потенциальная энергия системы уменьшится в
ц = -^2- = 2>/2(V2 -1)® 1,17раза.
^кон
1.38. В средней точке между сферами результирующая сила,
действующая со стороны заряда сфер, равна нулю. Когда же части-
ца сместится в сторону какой-либо из сфер, то она начнет втяги-
ваться внутрь той сферы, к которой оказалась ближе. При этом
движение частицы будет ускоренным, так как сила, втягивающая
частицу в сферу, растет по мере приближения к ней частицы, а си-
ла, действующая на частицу со стороны другой сферы и препятст-
вующая ее втягиванию, уменьшается. Когда частица окажется
внутри сферы, на нее перестает действовать втягивающая сила со
стороны заряда этой сферы и поле, создаваемое зарядом другой
сферы, начнет тормозить частицу. В результате торможения части-
ца остановится. Максимальное расстояние х, на которое частица
удалится от средней точки между сферами, будет зависеть от того,
где находится точка остановки: внутри самой сферы, или вне ее.
Допустим, что точка остановки частицы находится внутри сферы.
Тогда закон сохранения энергии для двух положений частицы —
начального (в средней точке) и конечного в точке остановке, запи-
шется как
Eki +f/2 =Ц' + f/2 + Eltf,
или
2 2
mv, к<1\42 k<M2 k Ml
2 HI HI R l/2 + х 2
92
17l\ 2 WV у*
Здесь и Ekf =—---------кинетические энергии частицы
соответственно в средней точке и в точке остановки, = -к щ
и U2 = -к -------потенциальные энергии взаимодействия заряда
частицы и сфер 1 и 2 в средней точке между ними, U{ =-к и
R
U2 = -к ^2-------потенциальные энергии взаимодействия заряда
//24-х
частицы и сфер в точке остановки. Так как уг «О по условию за-
дачи, и vy = 0 (частица остановилась), то закон сохранения энер-
гии примет вид:
1 1 1 1
17,5 17,5 -10 17,54-х
Отсюда х = 52,5 см. Точка, соответствующая этому удалению от
средней точки лежит вне пределов сферы, что противоречит сде-
ланному предположению. Поэтому закон сохранения энергии нуж-
но записать, взяв в нем потенциальную энергию взаимодействия
частицы и сфер в точке остановки, находящейся за пределами сфе-
ры. Если у — расстояние от точки остановки до поверхности сферы
с внешней по отношению к средней точке стороны, то
1 1 1 1
17,5 17,5 ^45 +у + 10 +у ’
Решение этого уравнения дает у « 0,75 . Следовательно, макси-
мальное расстояние L, на которое заряженная частица удалится от
средней точки, равно Л = ~ + Л + у « 28 см.
1.39. Максимальное удаление частицы от средней точки х = 3 см
(см. решение задачи 1.38).
1.40. Так как частица и сфера имеют заряды одного знака, меж-
ду ними в соответствии с 3-м законом Ньютона действуют две ку-
лоновские силы отталкивания, которые по мере сближения части-
цы и сферы увеличиваются по модулю и одна из которых будит
тормозить частицу, а другая ускорять движение сферы. При этом
93
возможны два варианта движения и взаимодействия частицы и
сферы.
В одном случае, когда скорость налетающей частицы v меньше
некоторой минимальной скорости vmjn, необходимой для попада-
ния частицы внутрь сферы, частица и сфера сблизятся до некоторо-
го минимального расстояния между ними. После этого частица из-
менит направление своего движения на противоположное и объек-
ты взаимодействия разлетятся в разные стороны.
В другом случае, когда v > vmjn , частица попадая внутрь сферы
через одно отверстие, вылетает из нее через другое и удалится на
бесконечность. В силу симметрии взаимодействия частицы и сфе-
ры при разных положениях частицы относительно сферы, а также
постоянства энергии взаимодействия зарядов частицы и сферы,
когда частица движется внутри нее, скорости сферы vc и частицы
v4 при удалении последней на бесконечность примут первона-
чальные значения, те. v4=v,vc=0.
Для определения минимальной скорости воспользуемся замкну-
тостью системы «частица + сфера» и применим к ней законы со-
хранения импульса и энергии:
w2vmin = т\и + т2и,
2 2 2
wlvimn _ ,?l?2 ™2«
— К, " — 1 I т------ .
2 R 2 2
При записи уравнений учтено, что минимальная скорость час-
тицы, необходимая для ее проникновения в сферу, определяется
электростатическим потенциалом поверхности сферы <рс, т.е.
<рс =к —, где R— радиус сферы. Помимо этого в этом случае
R
скорость частицы относительно сферы должна быть равна нулю,
т е. в момент проникновения внутрь сферы скорости частицы v4 и
сферы vc равны: v4=vc=u. Решая уравнения относительно
vmin, находим
vmin = J----о----------« 2,5 М/С.
у Rm2mi
94
Таким образом, частица пролетит сквозь сферу и будет иметь на
бесконечности скорость, равную первоначальной
v'4 =v = 5m/c,
а сфера придет в состояние покоя:
vc =0.
1.41. Законы сохранения импульса и энергии для системы «то-
чечный заряд + кольцо» имеет вид:
W]Vmin = mxv + m2v,
2 2 2
wlvmin = ffllv + W2V + к <7192
2 2 2 R
Здесь vmjn — скорость точечного заряда на бесконечности, v —
скорости точечного заряда и кольца в момент, когда заряд оказыва-
kqxq2
ется в центре кольца, —------потенциальная энергия кулонов-
ского взаимодействия точечного заряда и заряда кольца в тот же
момент.
„ 2kqxq-,(mx + т2) . 1Пз .
Отсюда vmjn = ------ ~ -- -----= 4 • 10 м/с.
у Rmx т2
Указание: см. решение задачи 1.40.
1.42. Представим эквивалентную
схему цепи как показано на рисунке.
Здесь С — емкость всех остальных
пар конденсаторов Сх и С2, кроме
первой. Эквивалентная емкость цепи
Л В Сэкв может быть тогда найдена,
как
1
^экв
_ 1 1
~ сх+ с2+С
или
СХ(С2 + С)
экв с+сх+с2
95
При достаточно большом числе пар конденсаторов Q и С2
подключение к цепи АВ очередной пары практически не изменяет
емкость цепи. Поэтому, не делая большой погрешности, можно по-
ложить Сэкв « С.
Решая получающееся квадратное уравнение, найдем
С «^-2 *_+_4£29z£1 = (7з - 1)МкФ «0,73мкФ.
1.43. При уменьшении расстояния между пластинами отклю-
ченного от источника плоского воздушного конденсатора в п раз,
его емкость увеличивается во столько же раз, а заряд на обкладках
остается неизменным. Работа внешней силы по изменению рас-
стояния между обкладками равна разности энергий конечного и
начального состояний конденсатора, т.е.
2пС 2С 2 и 4
1.44. Суммарный заряд на пластинах конденсаторов не изменит-
ся, а емкость после их соединения равна сумме емкостей (парал-
лельное соединение), т.е.
С = С} +С2,
CXUX-C2U2=(CX+C2)U,
U— напряжение на обкладках конденсаторов после их соедине-
ния. При записи закона сохранения заряда учтено, что конденсато-
ры соединяются разноименно заряженными пластинами.
Суммарная энергия конденсаторов до их соединения
2 2
после соединения
W JCX+C2)U2 = (CXUX-C2U2)2
f 2 2(CX+C2)
96
а выделившаяся энергия
ДW = Wt - Wf = ~8 4. j0-2
f 2(С1+С2)
1.45. Система из заряженных сфер обладает некоторой началь-
ной энергией И'^гач. После соединения сфер проволокой их заряд и
энергия 1Грк0Н становятся равными нулю. Запасенная энергия вы-
деляется в проволоке и в самих сферах в виде джоулева тепла, ве-
личина которого Q в соответствии с законом сохранения энергии
равна
Q = -AWp = -(fFpKOH - 1Грнач)= ^рнач.
Учитывая, что исходные заряды сфер были одинаковыми по ве-
личины, но противоположными по знаку, энергию системы можно
рассчитать как энергию заряженного сферического конденсатора.
Энергия конденсатора любой формы дается выражением:
W = ^-,
2
где q — его заряд, U — напряжение на обкладках. Эту формулу
легко получить, если посчитать работу, которую необходимо со-
вершить для того, чтобы зарядить конденсатор, перенося заряд ма-
лыми порциями с одной обкладки на другую. При этом нужно учи-
тывать, что первая порция заряда переносится через нулевую раз-
ность потенциалов, а каждая следующая переносится через раз-
ность потенциалов U = qtC, пропорциональную уже перенесен-
ному заряду.
Напряжение на обкладках конденсатора, равное разности по-
тенциалов на поверхностях сфер U = <pj - <p2> посчитаем, восполь-
зовавшись принципом суперпозиции. Будем для определенности
считать заряд внутренней сферы положительным. Зависимость по-
тенциала электрического поля, создаваемого зарядом каждой из
сфер, как функции расстояния г до центра сфер показана на рисун-
ке.
97
Так как обе сферы — проводящие, то для внутренних их облас-
тей, т.е. для г < Ry для внутренней сферы и для г <R2 для внеш-
ней сферы, потенциал не будет зависеть от расстояния до центра
сферы.
В соответствии с принципом суперпозиции потенциал точек по-
ля, находящихся на поверхности внутренней сферы, равен
^=к«—к^,
Rx R2
а потенциал точек
сферы, равен
поля, находящихся на поверхности внешней
<Р2 = к ——k — = Q.
R2 r2
Следовательно,
^ = Ф1 -ч>2
98
и
g=^>-^ = |,3.l0-4^
* 2R}R2
1.46. Энергия Wi системы последовательно соединенных кон-
денсаторов Cj и С 2
1 С] + С2 2
Энергия W2 этих же конденсаторов после заполнения диэлек-
триком обкладок конденсатора С2
sC,C2 t?
еС| + с2 г
Работа источника
А = W2 - W} =
qcjce-i) и2
(еС1+С2)(С]+С2) 2
«4-10~6 Дж.
1.47. Показания электрометра не будут изменяться, так как по-
казания электрометра отражают потенциал исследуемого тела, а
потенциал проводника во всех точках его поверхности одинаков.
99
2 . Электрический ток
2.1. Если скорость движущихся зарядов v, то время Д/, за кото-
рое заряд Д<? пройдет провод длиной I
С другой стороны,
Д</ = УД/ = / — = <?.
v
Отсюда v - —.
Я
2.2. Обозначим п = ---концентрацию атомов меди и, сле-
А
довательно, электронов проводимости в проводнике. Здесь Ад —
число Авогадро, А — атомная масса меди. Если в — модуль заряда
электрона, то п • е — концентрация свободных зарядов в провод-
нике. За промежуток времени Д/ любое поперечное сечение про-
водника площадью 5 пересечет заряд, заключенный в объеме SvA/,
где v — скорость упорядоченного движения электронов. Величину
перенесенного заряда Aq за время Д/ можно определить как произ-
ведение этого объема на концентрацию свободных зарядов, т.е.
Дд = еиДуД/.
С другой стороны, заряд, переносимый током силой I за время
Д/ через любое поперечное сечение проводника, равен
&q = Ikt .
I IA -7
Отсюда v =----------= 7,5 • 10 ' м/с.
enS epSNA
2.3. Под действием приложенной электродвижущей силы элек-
троны двигаются вдоль проводника и сталкиваются с атомами, пе-
редавая им как энергию, так и импульс. Передаваемая энергия мо-
жет выделяться в форме, например, теплоты, а передаваемый им-
пульс создает силу, действующую на проводник в направлении
движения электронов. Однако величина этой силы ничтожно мала
по сравнению с силой тяжести проводника, так как средняя ско-
100
рость перемещения электронов по проводнику и, следовательно,
передаваемый импульс являются очень маленькими величинами.
2.4. aP&t — энергия, передаваемая излучением на образование
фототока, за время Д/;
— энергия, затрачиваемая на образование одного фотоэлек-
трона;
аРД/Х ,
N =----------количество образовавшихся фотоэлектронов;
he
ж . еа-РМк
----------заряд, образующийся за время Д/.
he
Следовательно, сила возникающего фототока
/ = = .|0-'»А.
Д/ he
2.5. При последовательном соединении нескольких источников
тока полная ЭДС батареи равна алгебраической сумме ЭДС всех
источников. Чтобы собрать батарею, дающую разность потенциа-
лов U = 220 В, аккумуляторы с е = 2 В нужно соединить между со-
бой разными полюсами (см. рисунок).
»
Если батарея состоит из п аккумуляторов, то полная ЭДС бата-
реи =не, а суммарное внутреннее сопротивление ее R§=nr .
По закону Ома для неоднородного участка цепи
U = еб - IRq = н(е - 1г) =>
U
-----= 220 штук,
е - 1г
2.6.
16Р"» -
—-----« 0,2 мм.
it2 dR
TtD2 ,,
m-Vd --------Id;
4
s TtD2
D — диаметр провода, / — его длина, V — объем.
101
2.7. В соответствии с законом Ома для полной цепи
- 1
h =——>
r + R2
где £ — ЭДС, аг — внутреннее сопротивление источника. Решая
полученную систему уравнений относительно г, находим
— /i R}
г = -2-3--!—L = 5 Ом.
/1 -12
2.8. По известной ЭДС г падение напряжения на резисторе на-
ходится как
и = -^~ => r = ^—^R.
R + r U
г — внутреннее сопротивление батарейки. По определению сила
тока короткого замыкания
_ £
КЗ ~ ~
——— = 0,3 А.
г (е - U)R
2.9. Электрическую схему измерений сопротивления повреж-
денной линии можно изобразить рисунком.
На рисунке R\ и R2 сопротив-
ления участков проводов до места
повреждения и после него соот-
ветственно, г— сопротивление в
месте повреждения изоляции, К —
ключ.
При разомкнутом ключе ток в
цепи
27?1 +г
102
Откуда 2/?i =---г. Когда ключ замкнут, ток в цепи
h
е е(2Л2 + г)
1 э —---------—-----------
2R2r 4RxR2+2Rr
i-------
1 2R2+r
Используя эти два соотношения и учитывая, что по условию за-
дачи Л) + R2 - R, получим квадратное уравнение:
h
£
r2/2 -2rs + 1-^-e 2R-— =0.
Решая его, находим
И,2 =е
(72-Л) [1Т L , (2^1 -е)/2
/2/1 [ V е(/2-Л)
Отсюда Г] = 0,62 Ом и г2 = 2,72 Ом.
5 — г
Второе решение не годится, так как Л] = —— > 2, чего быть не
может, потому что для всей линии сопротивление R = 2 Ом.
2.10. Ток через диод равен разности токов, текущих через со-
противления Rx и или R2 и R3. Чтобы найти эти токи можно
воспользоваться тем, что сопротивление идеального диода в пря-
мом направлении близко к нулю и пренебречь падением напряже-
ния на сопротивлении диода. Тогда исходная схема будет эквива-
лентна изображенной на рисунке.
Токи через сопротивления в этой схеме считаются просто:
рЭКВ _ „ЭКВ
к1234 -Л12
рЭКВ
+ /?34
^1^2 + ^3^4
/?] + R2 R3 + R4
юз
рЭКВ
к1234
un=IRi2=^-R3R4{Rl+R2y
/?]/?2(^3 + fy)
IR3A ! , W*3+*4)’
R3R4(R} + R2)
t/12 r ^34
-----, 1л =-------
Ry Ra
Искомый ток
/д =/. -/4=______________________=10мА
д RlR2(R3+R4)+R3R4(Rl+R2)
2.11.
/ = /з
U(R2R3~R}R4)
R}R2(R3+R4) + R3R4(Rx+R2)
— 4 мА.
2.12. Увеличение цены деления
вольтметра означает расширение
диапазона измеряемых напряжений.
С этой целью к вольтметру надо под-
ключить последовательно добавочное
сопротивление Rroq . В этом случае
U = Ujz + UДоб , где U — напряжение, измеряемое на нагрузоч-
ном сопротивлении; ^итах — максимальное напряжение, измеряе-
мое вольтметром; С/доб — напряжение на добавочном сопротивле-
нии. Так как токи, текущие через вольтметр и добавочное сопро-
Uy ипоб
тивление одинаковы, то 1у = /дод , или —= —-—, Ry — со-
Ry Ядоб
противление вольтметра.
104
Отсюда
Т 1 _ ^ДОб т т
“ ЛГ г"
и
Для расширения диапазона измеряемых напряжений в и =-------
^тах
раз требуется включить последовательно с вольтметром сопротив-
ление Ядоб = (п- 1)ЯГ = 6000 Ом.
2.13. Дополнительное сопротивление, которое нужно включить
последовательно с вольтметром
Ядоп = (« - W = U1 = 20 кОм.
ДОН \ / У J J J J
\и\ )*т ‘т
Указание. См. решение задачи 2.12.
2.14. При последовательном соединении вольтметров сила тока
г £
в цепи , а показания каждого из вольтметров

= I.R =
r + 2R
Здесь е — ЭДС источника тока, г — внутреннее сопротивление ис-
точника, R — сопротивление вольтметра.
£
В цепи с одним вольтметром сила тока /2 =--~> а его показа-
ТТ „ „
ния U 2 =-----. Исключая г из соотношении для показании вольт-
r + R
метров, находим
£ =-
СУ2-Ц
105
2.15. Пусть е — ЭДС источника, г— его внутреннее сопротив
ление. Тогда
/ = ——;
г + RX
U = -^~
r+R2
Решая полученную систему уравнений, находим
(U - IRX)R2
(IR2-U) ’
iu(R2-Ri)
IR2-U
и ток короткого замыкания
e_IU(R2-Rx)
г R2(U-IRX)
= 29,6 А.
2.16. Выберем направления токов на отдельных участках цепи
так, как показано на рисунке.
Применим первое правило Кирхгофа к узлу Л, а второе правило
к контурам ВАех и Ве2А :
’2 -'1 =с
' »1(П =-еь
72(Г2 +^2)+'r0 ~~е2-
Здесь Гд — сопротивление диода в прямом направлении.
106
Решая полученную систему уравнений, найдем
у _е1(г2 + R2)~e2(rl +^1)< 0
ЛэСП +Г2 + R1 +/?2) + (H +^)(r2 + ^2)
Так как / < 0, то следует повторить расчет, изменив направле-
ние тока / на противоположное и взяв в качестве г0 обратное со-
противление диода. Получим
j _E2(rl +^l)~el(r2 +r2)«5 • 10-4 А
г0 (Г1 + r2 + R\ + R2 ) + (rl + R1 )(r2 + R2 )
2.17. Ток прямой
j =е2 (rl +^i)~el(r2 +r2)«8 10-3А
д го(г2 + П +^1 + ^2) + (Ri +п)(^2 +гг)
Указание. См. решение задачи 2.16.
2.18. Ток через сопротивление нагрузки R: I----------,
г + R + Rx
Rx — сопротивление линии.
Мощность Р, выделяемая в нагрузке:
P = IU =---—-----.
г + R + Лх
Л D и2
Отсюда, учитывая, что Р =-, находим
Сопротивление линии Rx и ее массу т можно связать между
собой, используя соотношение:
m = d-V = d-LS.
107
Здесь V — объем расходуемого алюминия, S — площадь попереч-
ного сечения провода, L = 21. Тогда
4pdl2 4pdl2P
—---=------------«15,1 кг
X zU-U2-
2.19. Одно сопротивление подключается к 3-м другим, соеди-
ненным параллельно.
2.20. Rx = 120 Ом. Параллельно.
2.21. а) Включая сопротивление, параллельно данному, делаем
сопротивление участка меньшим меньшего из них. Следовательно,
для того, чтобы сделать сопротивление приведенного участка цепи
минимально возможным, надо подключить добавочное сопротив-
ление между точками В и С, в этом случае /?тт =8/9 Ом.
б) Очевидно, что следует уменьшить вклад наименьшего из по-
следовательно включенных сопротивлений, так как его вклад и так
минимален. Таким образом, добавочное сопротивление надо под-
ключить между точками А и В, в этом случае /?тах =46/29 Ом.
2.22. Сопротивления R^, R$ и соединены параллельно. Их
эквивалентное сопротивление
^234 = Я / 3.
В свою очередь /?234 соединено последовательно с R^ и оба
они параллельны R$:
Л2346 = ^R’
Л23465 = уЛ-
Сопротивление цепи между точками А и В:
RAB ~ + ^23465 = у R
2.23. /?общ = 0,5 Ом.
108
2.24. Пусть I — длина всего кольца, х — длина одного из участ-
ков кольца между точками подсоединения проводов. Тогда
(х — /) — длина другого участка кольца. Соответственно сопротив-
ление отдельных участков кольца
R}=-R и R2=^^-R.
1 I I
Так как участки соединены параллельно, то эквивалентное со-
противление между точками проводов будет равно
_ я, я2 __ j i=
экв Rl+R2 R
Решая полученное квадратное уравнение относительно х /1,
найдем, что отношение длины одного участка к длине всего кольца
должно составлять
x/Z = —
2
2.25. а) Эквивалентное сопротивление цепи
R(R2 + 2Rr-2r2)
экЬ~ (2R-r)(r + R)
Для построения графика /?эк11(г) это выражение удобнее пред-
ставить в виде
7?экв О’)— 27?
3R3
(2R-r)(r + R)
Корни знаменателя второго слагаемого г = 2R и г = -R, следо-
вательно, максимум знаменателя будет при г = R / 2. С учетом диа-
пазона изменения г 0<r<R график 7?экв (г) показан на рисунке.
109
^ЭКВ^
R ЭКВ
R r
б) Эквивалентное сопротивление це-
пи /?экв равно
г2
^ЭКВ ~ Г 2ft + R '
График зависимости R(r) показан на
рисунке.
в) Для построения графика /?экв (г)
эквивалентное сопротивление цепи
D (2R - r)R .
кэкв = г +-------- удобно предста-
3R-г
вить в виде суммы двух функций: ли-
нейной У] (г) = г + R и гиперболы
. . R2
R2
R3KB (И = О') + У 2 О') = r + R - —-
5К — Г
График зависимости /?экв (г) показан на рисунке.
110
2.26. а) Цепь, которая начинается
со второго из периодически повто-
ряющихся элементов, подобна исход-
ной. Обозначим ее сопротивление г.
Тогда исходная цепь эквивалентна
представленной на рисунке. Ее сопро-
тивление
R(R + 2r)
л.лр =----------
2R + 3r
Отсюда г- R Г^З .
В остальных случаях:
б) г = я(1 + л/з);
в)
г)
/?(1 + Уз)
2
2.27. а) Цепь удобно перери-
совать в виде, показанном на
рисунке. Точки цепи, которые
находятся на оси симметрии
полученной схемы, проходящей
между точками А и В, имеют
одинаковые потенциалы и их
можно объединить. При этом
два сопротивления, пересекае-
мые осью симметрии, следует
представить как сумму двух
сопротивлений, каждое величи-
ной по R/2.

6)^=1/?.
4
111
в) В силу симметричности протекающих по цепи токов (см. ри-
сунок) ее можно преобразовать эквивалентным образом, т.е. не из-
меняя протекающих по ее элементам токов, в цепь, содержащую
только параллельные и последовательные соединения проводни-
ков.
Rab-^R-
2.28. а) Перерисуем схему цепи так, как показано на рисунке.
Точки а. б, в, г имеют одинаковые потенциалы. Следовательно,
проволочки, соединяющие точки а и б, а также виг, можно убрать,
3
не изменяя токов в цепи. Тогда Л 45 = — г .
112
б) Точки / и 2, а также 3 и 4 имеют
одинаковые потенциалы (см. рисунок).
7г
Объединяя их, находим R^g = —.
в) В силу симметрии цепи потен-
циалы точек 1 и 2, 3 и 4 совпадают,
т.е. = ф2 и Фз = Ф4, следовательно,
7 и 2, а также 3 и 4 можно объединить.
В результате получаем цепь, представленную на рисунке. Прове-
дем далее мысленный эксперимент — создадим между точками А и
В падение напряжения U и получим приведенную систему токов в
цепи, причем искомое сопротивление
rab
и
Л +12
Для нахождения величины токов /] и 72 составим уравнения,
используя закон Ома.
□ D □
-RL + -(В -I2) + -RI, =U-
2 1 2 1 2 2 1
7? . 7? R
—И ~у(Л ~h) + ~h -V
2U т 6U
-----ч *') = ---------
5Я 1 5Я
=> &АВ '
О
113
2.29. При последовательном соединении сопротивления и кон-
денсатора с аккумулятором заряд на обкладках конденсатора
можно найти как q± -Сг, где £ — ЭДС источника, С — емкость
конденсатора.
При параллельном подсоединении конденсатора и сопротивле-
ния к источнику напряжения на обкладках конденсатора
У 7 Г D /’7 7 Сб7? «
и = J2R =------, а заряд q2=CU =-----. Здесь J2 — сила тока,
г+R R +г
текущего через сопротивление R, г — внутреннее сопротивление
аккумулятора.
Отсюда
г = (?1 R = f it _ = 22,5 Ом.
Я2 )
2.30. Сила тока, протекающего через сопротивление R
1 = -^—.
г +R
Падение напряжения на этом сопротивлении и, следовательно,
на конденсаторах
Конденсаторы включены последовательно, поэтому их эквива-
лентная емкость
с_ QC2
С] +с2
Заряд на каждом конденсаторе будет одинаковым и равным за-
ряду на эквивалентной емкости
q = CU =
С]С2 sR
= 4 мкКл.
С[ + С2 R + г
114
2.31. При разомкнутом ключе ток через сопротивления
6°= —,
1 2R
падение напряжения на конденсаторе R = , заряд конден-
сатора = CC/j = — . Отсюда £ = .
Обозначим токи, текущие по
участкам цепи при замкнутом
ключе, так, как показано на рисун-
ке.
Используя правила Кирхгофа
для двух контуров, содержащих
только омические сопротивления,
и одного узла, получим систему
уравнений:
- i^R + i\R = е;
i$R + /2^ ~ 0.
2 Е
Решая ее, найдем q =-. Падение напряжения U{ на конден-
3 R
саторе при замкнутом ключе
Щ = ixR=-z=~^-,
1 3 3 С
а заряд на конденсаторе
13 мкКл.
?2=СЦ'=1?1
2.32. Так как сопротивление R и конденсатор С соединены друг
с другом (обозначим точку соединения буквой D), то разность по-
тенциалов между точками А и В можно найти как разность падений
напряжений на сопротивлении R-.
UR=4>A~ (PD
115
и на конденсаторе С:
С = Фв — ф£> •
Действительно,
UR ~UC =Ч>А “Фв-
3
В то же время Ur = Ir •/? = —£,
JК = —----ток, текущий через
-R
3
сопротивления R и Л/3;
последовательно соединенные
£ С
Uс = q / С = —, q = £ Сэкв = £ • —-заряд на обкладках последо-
вательно соединенных конденсаторов емкостью С и С/2.
Отсюда фд - фд = = 5 В.
2.33. Применим за нуль потенциал
точки О (см. рисунок). Тогда потен-
циал точки В будет равен падению
напряжения на сопротивлении Т?2,
т.е.
zR-j
Обозначим фс потенциал точки С. Величину его найдем из ус-
ловия, что сумма зарядов в месте соединения обкладок всех трех
конденсаторов равна О. Заряды каждого из конденсаторов равны
чсх =с1(фл -фс) = с1(£-фс);
<7с3 = сзФс;
Итак, - qc^ + qc3 - q<j2 = 0, или
116
Отсюда
--------------{ С1 + С 2 ----
С} + С2 + С3 Я] + r2 ,
и
9с2
£^2(^2^3 ~^1Q)
(Л] +7?2)(С] +С2 + С3)
® 3,3 мкКл.
2.34. Так как через конденсатор постоянный ток не течет, то при
замкнутом ключе К разность потенциалов на обкладках конденса-
тора равна падению напряжения U2 на сопротивлении R2 . Так как
R2 и 7?з соединены между собой последовательно и оба они па-
раллельны Т?4 , то падение напряжения на нагрузке
________е^4 (^2 + ^3 )____
234 r(R2+R3+R^ + RA(R2+R3)
Сила тока через сопротивление R2
j =____________£^4__________
r(R2 +R3 + Т?4) + Т?4 (R2 +R3)
а падение напряжения на нем
£^2~^4
U 2 = /2-^2 —
r(R2+R3+R^ + R^R2+R3)
Заряд на конденсаторе
£С7?2^?4
<72 ’ СU2 —
г(Т?2 + ^3 + ^4 ) + ^4 (-^2 + Л3 )
После замыкания ключа К разность потенциалов на обкладках
конденсатора будет равна падению напряжения U3 на сопротивле-
нии R3. В этом случае сила тока I через R3:
1 =----!----?
г + R2 + R3
падение напряжения на нем
С73 = IR3 =-,
r+R2+R3
117
и заряд на конденсаторе
<73=<^3 =
еС7?3
г + /?2 + R3
Так как при переключении ключа разность потенциалов между
обкладками конденсатора меняет знак, то заряд, проходящий через
сопротивление Rj, соединенное последовательно с конденсатором,
будет равен сумме зарядов <72 и Яз > т е-
_Г *3 ^2^4
J [r + R2+R3 r(R2 + R3 + Я4) 4- R4(R2 + Я3) J
s= 340мкКл.
2.35. Когда ключ находится в
положении А исходная цепь мо-
жет быть преобразована в цепь,
показанную на рисунке а). Для
этой цепи ток /'о, текущий через
сопротивление Rq , равен
_ в
R^Rz+R,
Падение напряжения U23 на участке, включающем сопротивле-
ния R2 и R3:
. R\(R2 +-^з) ___£^1 (-^2 + -^3 )
+ R2 4- R3 (г 4- Rq )(/?] + R2 4- R3) + (R2 4" R3)
Tok /3, текущий через сопротивление R3,
t U23 _________________eR1________________
R2 4- R3 (r 4- Rq )(•/?! 4- R2 4- R3) 4- 7?] (T?2 4- R3)
а падение напряжения на нем
118
Так как U3 равно разности потенциалов между обкладками
конденсатора, то его заряд , когда ключ находится в положении
Я, равен
,.4 = си3 --------------.
(г + Rq )(7?i + 7? 2 + 7?з) + Л] (7? 2 + 7?з)
Когда ключ находится в по-
I 7?3П :: с ложении В, исходная цепь экви-
П т валентна цепи, показанной на
_=Т 7? П рисунке б). Различие между це-
I 1U пями а) и б) заключается в том,
г П I что, во-первых, сопротивления
Т 7?0П 7?] и Т?2 поменялись местами, и,
» I во-вторых, к отрицательному
полюсу источника теперь под-
ключена другая обкладка конденсатора. Учитывая эти различия
заряд qg конденсатора, когда ключ находится в положении В, мо-
жет быть найден по формуле для заряда, когда ключ был в положе-
нии Я. При этом нужно сделать замену 7?] <=> R-^. Тогда
=______________^7?27?з_____________
ЧВ (г + 7?0)(7?1+7?2+7?з) + 7?2(7?1+7?з)’
Так как при переключении ключа Я заряд пластин конденсатора
поменялся на противоположный по знаку, то заряд Aq, прошед-
ший через конденсатор С будет равен сумме зарядов qA и q% , т.е.
= +Чв =
(г -I- 7?0 )(7?i + Т?2 )(7?] + Т?2 + 7?з) + 7?]Т?2 (R\ + 7? 2 + 27?з)
[(г + Ro )(7?i + Т?2 + R3) + R} (R-z + &з)]
х--------------------------------------« 240мкКл.
[(г + 7?О)(7?1 +Т?2 + 7?з) + Т?2 (7?1 +7?з)]
2.36. При ключе К в положениях Я и В через сопротивление Rq
текут токи, соответственно, равные
119
_ 6е . _ Зе
1А ~ 6R0 +5R ’ 1В ~ 3R0 + 4R
(см. решение предыдущей задачи).
По условию 1д/ ijj^k . Используя это равенство, находим

R(*-Sk)
6(*-i)
Заряды на конденсаторе при соответствующих положениях
ключа:
ЗС7?е ЗС7?е
ал ---------, qn ----------.
л 6R0+5R 3Ro+4R
При переключении ключа из положения А в положение В по-
лярность заряда на обкладках конденсатора не меняется. Поэтому
заряд |Д</|, прошедший через конденсатор С при переключении
ключа К, равен разности зарядов и qB, т.е.
N = ЗСЛ(ЗД°+Д)°
1 14/1 (67?О+57?)(37?О+47?)
J2-Q(t-l)Cea 10-5
к
2.37. Если пренебречь сопротивлением подводящих проводов,
то величину сопротивлений R\ и Т?2 можно найти, воспользовав-
шись определением мощности тока Р = IU и законом Ома для уча-
U2 U2
стка цепи U = IR. Отсюда R\ =---- и Т?2 =--. Мощности, no-
7’1 Р2
требляемые этими сопротивлениями при поочередном включении
последовательно с ними неизвестного сопротивления г, равны, со-
U2R, п U2R2
ответственно, г3 =------— и Рд =--------—. Поскольку по ус-
(r + *l) (г + Т?2)2
ловию задачи Р$ = Р4, то решение получающегося уравнения от-
_________________________
носительно г дает r = jRiR2 = , =211 Ом.
120
2.38. Мощности, потребляемые последовательно и параллельно
соединенными сопротивлениями R\ и R2, равны, соответственно,
р U2 р =U2(P1-^P2)
Р\ + Р\Р^
Отсюда
С74
*1*2= —
R + R ~U2
Ai -г K'y —--.
I Pl
В соответствии с теоремой Виета R\ и Р2 будут корнями квад-
ратного уравнения:
4Д
Р1
4Pi
Р2
Л2_£1Л + .^ = О.
Л Р\Р1
Решая это уравнение, находим
rj2 ( I ДР
R, = — 1-J1------------------Ь = 605Ом,
2M У Р2)
Tj2 ( I лр '
R2 =--- 1 + J1--1 = 24200м.
2М V р2)
2.39. В соответствии с законом Ома для полной цепи через на-
грузку сопротивлением Rx течет ток, сила которого I - ———,
Rx + г
г— сопротивление подводящих проводов. Мощность, потребляе-
jj2 R
мая в нагрузке, PX~I2RX =------— . Если внутреннее сопротив-
(^+г)2
ление чайников R, то при их последовательном соединении
Rx = 2R, а потребляемая ими мощность
D 2U2R
Л “-------7-
(2R + г)2
121
При параллельном соединении чайников Rx = R / 2 , а потреб-
ляемая ими мощность
_ u2r
</? Г
2 — + г
U )
Так как при последовательном и параллельном соединении чай-
ники закипают одновременно, то Ру = Р2. Решая получаемое из
этого условия уравнение относительно г, находим г = R . При од-
ном включенном в сеть чайнике Рх = Р, Rx =R . Тогда
U2 U2
Р =----, или r = R =-----= 30,25 Ом.
47? 4Р
2.40. Обозначим U — напряжение в сети, г — сопротивление
соединительных проводов. При включении сопротивлений Ry и
О “А - Т U
R2 в сеть, в ней будет протекать ток силой 1у =---------- и
r + Ry
, U v R2 }
12 =------ соответственно. Учитывая, что —- = к и исключая из
г + R2 Ry
этих соотношений U, найдем
п _''01-'2)
К\ ~~г-—~
h2 - /j
Подставляя затем Ry в выражение для тока 1у, получим, что
при подключении только соединительных проводов по ним потечет
ток силой
j = E = /,/?.№-D = 2A
г ki2 - /]
2.41. Ток в цепи I = —-—, е — ЭДС источника, г — его внут-
R + r
реннее сопротивление, R — сопротивление нагрузки. Тепловая
мощность, выделяемая на сопротивлении нагрузки,
w = -2r- .
(R + r)2
122
Приравнивая друг другу значения мощностей и выде-
ляемые, соответственно, на сопротивлениях Г] и находим
г = . Из формулы для выделяемой мощности следует
Е
Окончательно, ток короткого замыкания
Г ^R]R2
2.42. По закону Ома для полной цепи сила тока в цепи находит-
ся как
7 = ——.
г + R
Здесь е — ЭДС источника, г — внутреннее сопротивление ис-
точника, R — сопротивление нагрузки. При этом на нагрузке выде-
2 2
ляется мощность Р = I R , откуда следует R-P11 . Подставляя R
в формулу для силы тока и записывая ее для двух рассматриваемых
в условии задачи случаев, получаем
г + Р}Н{
r + P2Hl
Решая полученную систему относительно е, находим
р2/?-р,/22
Е —-----------= 1Z £>.
2.43. По прошествии некоторого времени сопротивление элек-
трической лампы больше сопротивления в момент ее включения.
Поэтому, как следует из закона Джоуля — Ленца, потребляемая
мощность тока Р - / R будет самой большой непосредственно в
самый момент включения лампы в сеть.
2.44. Удельное сопротивление проводников р зависит от темпе-
ратуры по закону
p = p0(I + a/),
123
где ро — удельное сопротивление проводника при 0°С, t — тем-
пература в градусах Цельсия, а— температурный коэффициент
сопротивления, величина которого для металлов в диапазоне тем-
ператур 0-г 100 °C порядка (З-гб)-Ю-3 град"1. Следовательно, и
сопротивление самих нитей накаливания лампочек R меняется по
аналогичному закону
/ I
Я = р —= Ро~(1+а0,
id id
где / — длина нити, 5— площадь ее поперечного сечения. В итоге
в холодном и нагретом состоянии нити накаливания электрических
лампочек имеют заметно различающиеся сопротивления и, следо-
вательно, выделяющуюся на них тепловую мощность.
Посчитаем тепловую мощность, выделяющуюся на Л2 при из-
начально разомкнутом ключе К и при ключе, который разомкнули,
когда цепь была уже включена в сеть.
Обозначим R*, и R%, R\ сопротивления нитей накала
ламп Л1 и Л2, соответственно, в не включенном (холодном — ин-
декс «х») и в работающем (горячем — индекс «г») состояниях.
Пусть в соответствии с температурной зависимостью сопротивле-
ний проводников эти сопротивления различаются в и раз (и > 1).
Например, сопротивление вольфрамовой нити накаливания увели-
чивается при прохождении по ней тока и, следовательно, при ее
нагревании более, чем в 10 раз (п > 10). Тогда
/?1Х =R[/n, Rl=R^/n.
Сопротивления R{ и R\ вычисляются по параметрам ламп,
Г U? г И?
приводимым на их цоколях: R] =--= 1210 Ом, Я 2 =-= 12 Ом,
р\ р2
т.е. /?{ » /?2 .
124
Ключ К вначале замкнут, затем размыкается. Ток в цепи, а сле-
довательно, и через Л2, сразу же после размыкания ключа в соот-
ветствии с законом Ома для участка цепи
Rl + R2
а выделяющаяся на Л2 тепловая мощность
[R{n + R2
Ключ К разомкнут с самого начала. В этом случае ток в цепи в
момент включения ее в сеть
I - и . . Un
2 R* + Я2Х Rj + R2 ’
а выделяющаяся на Л2 тепловая мощность в этот момент
“2 - 12 ^2 _ 7-----------
Так как R2 I R\ «1, то
Р2/Р}
'nR[+R$'
ч «Г + *2 ,
2»1.
' n + R2/R[ '
Как видим, при изначально разомкнутом ключе К тепловая
мощность, выделяемая на Л2, во много раз больше мощности, вы-
деляемой на ней при первоначально замкнутом ключе. Этим и объ-
ясняется возможность сгорания лампы Л2, когда цепь включается в
сеть при разомкнутом ключе К.
125
2.45. Мощность, потребляемая шестью лампочками,
i/2 г _ 6U2r
6 “Г г)2б’(6Р + г)2’
Р + -
I б)
г — сопротивление одной лампочки, г/6 — эквивалентное сопро-
тивление шести лампочек, R — сопротивление реостата.
Аналогично — мощность, потребляемая пятью лампочками,
_ 5U2r
*5 ~---------------------------7-
(5R + г)2
Нормальная работа лампочек возможна, если сопротивление
реостата много больше эквивалентного сопротивления лампочек
гэкв - г! 6, т.е. R » гэкв. Полагая, что г / R «1, найдем
р5/Рб «V>1,
т е. пять лампочек будут потреблять большую (по сравнению с ше-
стью лампочками) мощность и, следовательно, создавать большую
освещенность. Если не перегорят.
2.46. Сопротивления лампочек, использованных для освещения,
когда через них протекает ток:
U2 U2
Pi =----= 645 Ом, R2 =----= 484 0м.
Л
Будем полагать, что при замене ламп температура нити накала
не изменяется. Следовательно, будут неизменными и сопротивле-
ния ламп.
Когда включены последовательно пять ламп, каждая из них по-
2
требляет мощность Pj = Zj Р; =---.
25Р]
Если одна из ламп с сопротивлением Pj заменена на лампу с
сопротивлением Р2, то последняя будет потреблять мощность
(4Р, + Р2)2
126
Отношение потребляемых мощностей г) новой и замененной
ламп
Р2 _ 25R}R2
(4Л1+Л2)2
«0,83.
Следовательно, новая лампа будет светить слабее.
2.47. Для цепи на схеме а) обозначим сопротивления как пока-
зано на рисунке и найдем эквивалентные сопротивления цепи и
выделяющуюся в ней тепловую мощность.
Ключ в позиции А: 2
пЭКВ пЭКВ n п
R А _ Л12 ^45 Л3________ R
™~(r^+r™)r3+r™r45 г
о _ и2 _2U2
a ~ra ~ Я
Лэкв
Ключ в позиции В.
R™ = 2R,
пзкв _
ю "
R^Rn 2
------= —к,
3
трЭКВ __ г)ЭКВ n _ п
Л1234 “ Л123 + Л4 -
RB Rn3,RS 5
№4+я5 8
, 127
Рв =
U2
рВ
лэкв
8//2
5R
При переключении ключа из положения А в положение В тепло-
р
вая мощность выделяющаяся в цепи уменьшается в -1,25 раза.
РВ
В других случаях:
б) уменьшается в 8/7 раза;
в) увеличивается в 1,25 раза;
г) уменьшается в 8/7 раза.
2.48. а) В соответствии с законом Ома для полной цепи ток в
цепи
U
г + R’
а мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении,
P = I2 (r + R) =
U2
г + R
График Р(г) показан на рисунке.
б) Эквивалентная схема цепи показана на рисунке. Сопротивле-
r(R- г)
ние цепи /<экв = R н-------.
128
Мощность, выделяемая в цепи,
Р(г) =---
R + r- —
R
При г = 0 и г = R
U2
Р(О) = P(R) =.
Z\
При г - R / 2 знаменатель принимает максимальное значение, а
мощность — минимальное
4 U2
График зависимости мощности от г показан на рисунке.
в) Эквивалентное сопротивление цепи
R -/? । rR
'ЪКВ - Л +
г + R
а мощность, выделяющаяся в цепи,
Р(г) =
U2(r + R)
R(2r + R) '
129
Для построения графика Р(г) удобнее представить в виде
U2
Р(г) = — 1 +
2R
R
2r + R
т.е. как сумму константы и части гиперболы. График /’(г) показан
на рисунке.
г) График зависимости тепловой мощности от сопротивления
реостата г показан на рисунке.
2.49. С указанной целью можно осуществить процесс электро-
лиза раствора азотнокислого серебра в воде. Для этого необходимо
собрать замкнутую электрическую цепь, как показано на рисунке.
Графитовый и платиновый стержни играют роль электродов и по-
гружены в раствор электролита, находящийся в электролитической
ванне. Будучи изготовлены из инертных материалов сами они в
процессе электролиза, т.е. окислительно-восстановительной реак-
ции, которая протекает под действием и при участии электрическо-
го тока, в химические реакции не вступают.
130
В растворе молекулы азотнокислого серебра под влиянием элек-
трического поля полярных молекул воды диссоциируют, т.е. рас-
падаются, на положительные ионы (катионы) серебра Ag+ и отри-
цательные ионы (анионы) кислотного остатка NO J . Под воздейст-
вием электрического поля, создаваемого в цепи источником посто-
янного тока, ионы серебра будут смещаться к отрицательному
электроду (катоду), а достигнув его будут нейтрализованы имею-
щимися на катоде избыточными электронами и, превратившись в
нейтральные атомы серебра, будут оседать на катоде. Ионы ки-
слотного остатка будут двигаться к положительному электроду
(аноду) и, взаимодействуя на его поверхности с продуктами диссо-
циации молекул воды, будут образовывать легко диссоциирующие
молекулы азотной кислоты и вызывать образование газообразного
кислорода. Приведем уравнения соответствующих химических ре-
акций:
AgNO3 ->Ag++NO3
Ag + + e" -»Ag
2H2O-2e" —>4H++O2 T
NOJ + H+^HNO3
4AgNO3 + 2H2O->4Ag+4HNO3+O2 t
Обратим внимание, что движение двух ионов Ag+ и NO3 в
электролите соответствует перемещению в внешней цепи (от анода
к катоду) одного электрона, поэтому при расчете силы тока можем
131
принимать во внимание движение только одного сорта ионов, на-
пример, серебра.
, enNN еп Ат
I =-----= --------А д ,
At At ц
где е — заряд электрона, п — валентность иона и ц — молярная
масса ионов данного сорта, NA — число Авогадро, AN и Ат—
количество и масса ионов данного сорта соответственно, достиг-
ших электрода за время At протекания постоянного тока I через
электролит. Отсюда легко получить выражение закона Фарадея для
электролиза.
Ат = к • I • At,
1 Н
где к =--------электрохимический эквивалент вещества.
enN А
„ Ат
Измеряя скорость ---, с которой осаждается на отрицательном
At
электроде серебро и используя закон Фарадея, можно найти силу
электрического тока I. Скорость осаждения серебра на электродах
измеряется посредством их взвешивания до и после пропускания
электрического тока через ванну в течение промежутка времени At.
2.50. Полный заряд Aq, прошедший через электролит за время
А/, можно найти как площадь под графиком зависимости силы тока
от времени. В данном случае
+1-)
Aq = -- 2 At.
„ . Aq (I\ +I2)A1
За это время на катоде выделится N =--= —--------- атомов
пе 2-п е
алюминия, п = 3 — валентность атома алюминия, е — элементар-
ный электрический заряд. Так как масса одного атома алюминия
132
то = (ц — атомная масса алюминия, — число Авогадро),
то масса выделившегося на катоде вещества
А М-(Л + ^2)^ 1 т
Дте --!«1,7 г.
2N^ - п-е
2.51. Для нахождения массы нанесенного слоя никеля восполь-
зуемся законом Фарадея
С другой стороны, Д/и - Shp , h — толщина слоя. Следователь-
но,
. К Л
h ----—— «15,4 мкм.
eN^ ZSp
2.52.В . = (,|+/2)И'»6,710-5кг.
2neN А
Указание. См. решение задачи 2.50.
2.53. Решая систему уравнений, получающихся из объединенно-
го закона Фарадея:
Дте = —£—-
eN
и уравнения Клапейрона — Менделеева:
находим
enNApV „
М =---^4— « 77 с.
IRT
Здесь ц— молярная масса молекулы водорода Н2, а не атома
Н, поэтому п = 2.
133
2.54. Можно. Показания электроскопа и электрометра опреде-
ляются взаимным отталкиванием двух одноименно заряженных
тел —- лепестков электроскопа или стрелки электрометра и прово-
дящей стойки, к которой крепится ее ось. При условии, что частота
переменного тока значительно превышает частоту собственных
свободных колебаний лепестков или стрелки измерительного при-
бора, лепестки или стрелка будут совершать колебания малой ам-
плитуды около некоторого среднего положения, соответствующего
действующему значению напряжения.
134
3. Магнитное поле
3.1. С помощью вольтметра нужно определить, у какого провода
выше потенциал, а с помощью магнитной стрелки направление то-
ка, воспользовавшись при этом правилом буравчика. Направление
тока в проводе укажет, с какой стороны находится источник.
3.2. Под действием силы Ампера кольцо сориентируется в про-
странстве так, что линии индукции поля будут перпендикулярны
плоскости кольца, а направление тока в кольце будет образовывать
с направлением поля правый винт. На любой элемент кольца дли-
ной А/ со стороны поля будет действовать сила Ампера AF = В1Л!.
Эта сила уравновешивается силами натяжения Т (см. рисунок).
Из условия равновесия кольца находим
AF = 2 Г sin » 7Ла .
2
Так как А/ = R • Да , то Т - BIR .
3.3. График зависимости 1(1) показан на рисунке.
3.4. Нет, не будет. Свободному падению магнита (т.е. с ускоре-
нием а = g) препятствует взаимодействие магнитного поля самого
135
магнита с магнитным полем индуцированного в металлическом
кольце тока.
3.5. В соответствии с принципом суперпозиции полей вектор
магнитной индукции в данной точке В равен сумме векторов маг-
нитной индукции полей, создаваемых каждым током в отдельно-
сти, т.е. В = В] + В2 . В случае параллельных токов (рисунок а)
Bi = В, cos30° + В2 cos30° = ^-о/-,
2га
а — сила тока.
В случае антипараллельных токов (рисунок б)
В г = Bi cos 60° + В2 cos 60° =
J 2па
/3
3.6. На стержень действуют сила тяже-
сти Вт, сила натяжения нити Т и сила Ам-
пера Fa . Модуль силы Ампера
FA = ВП sin а, где а — угол между направ-
лением тока в стержне и вектором магнит-
ной индукции. В данном случае а = 0, т.е.
F^-BIl. Условие равновесия стержня в
136
магнитном поле в проекциях на оси системы координат (см. рису-
нок) дает
Т sin а = IBI,
Т cos а = mg
или
1В1
a = arctg-«6°.
mg
3.7. Согласно закону Фарадея в падающем стержне возникает
разность потенциалов, равная по модулю ЭДС индукции
ДФ ВД5 _ , . „
Ф = Еиип =--=-----cos а = dnI cos а sin 13,
Д/ Д/
где ДФ = В AS cos а — магнитный поток через поверхность, кото-
рую при падении захватывает стержень; а — угол между вектором
магнитной индукции В и нормалью к поверхности;
AS = IvAt sin р — площадь поверхности, захватываемой проводни-
ком, движущимся со скоростью v, за время А/; Р — угол между на-
правлением движения и осью проводника. В данном случае а = О,
Р = л / 2 . Максимальное значение разности потенциалов будет в
момент, когда проводник коснется Земли, т.е. при vmax = y[2gH .
Окончательно,
Фтах ~Bl^2gH а 14 мВ.
3.8. Модуль ЭДС индукции, возникающей в контуре при возрас-
тании индукции магнитного поля,
ДФ о АВ
е =---= .S--.
At At
Заряд пластин конденсатора
а = Се = CS ® 0,1 мкКл.
At
137
3.9. Модуль ЭДС индукции, наводимой в контуре,
АФ АВ
е - ---= о cos а —,
А/ Аг
S — площадь контура; АВ — изменение индукции магнитного по-
ля. Так как по условию задачи АВ = В, то
4е
3.10. Под действием силы Ампера FA = IBa sin а (а = л/2) од-
на из сторон рамки, параллельных линиям магнитной индукции В,
будет прижиматься к поверхности, а другая стремиться подняться.
Момент силы Ампера М= IBa2. Момент силы тяжести
, , т да ж , „ „ _
Л7Т = -°- . Минимальный ток /mjn , который необходимо пропус-
тить по рамке, чтобы одна из сторон начала подниматься находим
из условия равновесия рамки Мт = Л/А :
Anin
mg
IBa
= 5А.
3.11. Модуль ЭДС индукции, возникающей в контуре, образо-
ванном конденсаторами и перемычкой, при перемещении пере-
мычки в магнитном поле с индукцией В
d®
Е =----
dt
= Blv.
Соответственно заряд, накопленный конденсаторами, эквива-
С С\С2
лентная емкость которых С экв ------, равен
С] +С2
а = Сэкве = —-—— Blv .
С1 +с2
138
Ho q = q2 = C2U , q2 — заряд на емкости С2 . Отсюда
B = U(C}+C2) = Q+n)U
C\lv lv
= 0,25 Тл.
3.12. В контуре, образованном перемычкой и частью кольцевого
провода, по которой скользила перемычка, возникает ЭДС элек-
тромагнитной индукции, модуль которой в момент времени / в со-
ответствии с законом Максвелла равен скорости изменения в этот
момент времени магнитного потока через поверхность, ограничен-
ную данным контуром, т.е.
е -
d®
dt
Поскольку магнитное поле однородно, а угол а между вектором
магнитной индукции В и нормалью к поверхности контура п ра-
вен 0° или 180°, т.е. jcos а| = 1, то изменение магнитного потока
обусловлено только изменением площади поверхности контура
S(t). Поэтому
Е = В-
dS
dt
Для данной задачи S(t) — сложная функция времени t, для на-
хождения которой потребуется проделать достаточно громоздкие
вычисления. Чтобы избежать этого, воспользуемся упрощенным
у
приемом, посчитав модуль ЭДС как е = В —. где в качестве AS
1 1 At
возьмем изменение площади контура за очень маленький промежу-
ток времени At, предшествовавший моменту времени t.
Как видно из рисунка, площадь
AS, «заметаемую» перемычкой за
время At к моменту времени t, можно
найти как площадь прямоугольника,
одна сторона которого DE - vAt, а
другая АВ равна длине хорды окруж-
ности, на которой в этот момент на-
ходится перемычка:
139
AB = 2у1аО2 -OD2 = 2^R2 -(R-CD)2 = 2jvt(2R-vt) .
Окончательно
e = IB • v ^Nt(2R-Nt) = 0,24 B.
3.13.
— = Ba2t3 tg- = 3,2 • 10-2 B.
dt 2
Указание. См. решение задачи 3.12.
3.14. На тело действуют сила тяжести
FT, сила Лоренца Fn и сила натяжения
нити Т . Чтобы тело сделало полный обо-
рот, сила натяжения нити должна быть
отличной от нуля во всех точках траекто-
рии. Только в единственной, наивысшей
точке траектории, А она может стать рав-
ной нулю (см. рисунок). При этом ско-
рость в нижней точке В будет минималь-
ной, если в верхней точке траектории сила
Лоренца и сила тяжести направлены в противоположные стороны.
Спроектируем основной закон динамики для тела в точке А на на-
правление О А '.
maKC = mg-qvAB + TA,
г л
или учитывая, что ац с =--, 1А = 0
т —= mg - q\A В .
( I 2
qBl 4т g
Отсюда vA = 1 + — —-
2т V а2В21
Для определения минимальной скорости в точке В v*gin вос-
пользуемся законом сохранения механической энергии. За нуль
140
отсчета потенциальной энергии выберем положение точки В. В ней
о w(v п“П Y
тело обладает только кинетической энергией Екин =—, в
л ту2л
точке А кинетической энергией = —-— и потенциальной
^пот = •
Из закона сохранения энергии
wv2
-V В2 ! = -^- + 2mgl
находим Uinf = v2 + 4/g и, подставив сюда v2 ,
min
Vfi =
< , ^в2/2
5gl + ~-
2m1
4m2g
7Б2?
к. 2,2 м/с.
3.15. Первоначальная энергия конденсатора, запасенная в нем
при зарядке
Если конденсатор подключить к катушке индуктивности, то в
цепи возникнут гармонические колебания, которые, при отсутствии
потерь энергии, будут незатухающими.
Энергия электрического поля будет следовать за изменениями
напряжения на конденсаторе и зависеть от времени t как
„Л z ч CU2 2 CU2 Z1 „ х
0^(0 =—-—cos cat =—-—(l + cos2o>0,
со — круговая частота колебаний.
В силу закона сохранения энергии суммарная энергия электри-
ческого поля в конденсаторе Wgft) и магнитного поля в катушке
141
W^(t) не будет зависеть от времени и будет равна первоначально
запасенной энергии, т.е.
CU2
В искомый момент времени tn
wE(t„)
Решая полученную систему из трех уравнений, находим
cos2co/„ = ---=
1 + п 2
tn = -VZc«10~4c.
” 3
3.16. Колебательный контур, состоящий из катушки с индуктив-
ностью L и конденсатора емкостью С, имеет собственную частоту
колебаний
1
СО = - .
4lc
Частота колебаний контура, настроенного на длину волны излу-
чения X.
со = 2tcv = 2тс —.
X'
v = — — циклическая частота колебаний. Отсюда
X
X2
С =----— «275 пФ.
47сс2А
Следовательно, конденсаторы нужно соединить параллельно.
3.17. Так как омическое сопротивление контура пренебрежимо
мало, то энергия, запасенная в контуре и равная сумме энергий
142
электрического поля конденсаторов И#(/) и магнитного поля ка-
тушек FKM(O, не зависит от времени, т.е.
^(0 + ^(0 = const.
По условию задачи в некоторый момент времени /' /(/') = 0.
Это означает, что W^(t’) = 0, а энергия электрического поля равна
энергии, запасенной на этот момент конденсаторами, т.е.
X , С2и1
2 2
wE(t') =
В любой другой момент времени в силу закона сохранения
энергии должно выполняться соотношение:
где I — ток в контуре.
Отсюда видно, что амплитудное значение тока /тах достигает-
ся в том случае, когда энергия электрического поля минимальна.
Этот минимум удобно найти, представив WE(t) как функцию за-
рядов, находящихся на конденсаторах, и воспользовавшись сохра-
нением заряда. Обозначим х заряд на обкладках конденсатора Q в
некоторый момент времени. Тогда заряд q2 на обкладках конден-
сатора С 2 в тот же момент времени q'2=Q~x, где
Q = Ч\ ~ 41 ~ ~ C2U2 — полный заряд в контуре.
Энергия электрического поля
X2
2С]
(g~x)2
2С2
143
Wp (x) минимальна при хэке --------, а значение ее при
q + С2
г = хэкс.
rmin =__^L_ = I£l£LZ£2£2)i
Е 2(С,+С2) 2(Ci+C2)
Следовательно,
c,q2 | с2т/2 _ (g + £2)/2ах | (C1q -с2т/2)2
2 2 2 2(Q+C2)
и
Лпах = (^1 + f/2 ), -» 6,1 А
max 1 2^(С1+С2)(£1+£2)
3.18. 7тах = 17/, -U2U-------------«2,4 А.
max | 1 2|^(С1 +С2)(£1 +£2)
Указание. См. решение задачи 3.17.
3.19. Из условия сохранения заряда в контуре при возникающих
в нем колебаниях
91 + 92 = Q7/0
находим минимальную энергию электрического поля в контуре
wmm = Ч и0
2(Cj +С2)
Амплитудное значение силы тока в контуре соответствует мак-
симуму энергии магнитного поля и минимуму энергии электриче-
ского поля. Из закона сохранения энергии
, (Й+^-2)^0 ы/min , (£] + L2 )/max
------1----------= vV p H------------
2 2 .2
144
следует
/max = /2 +------£££--------* 6 , А
V (c,+c2)(Ll+L2)
Указание. См. решение задачи 3.17.
3.20. В процессе электромагнитных колебаний в контуре заряды
и </2 конденсаторов Q и С2 соответственно меняются со вре-
менем как по абсолютной величине, так и по знаку, но суммарный
их заряд неизменен и равен Q = q\ (0 + q2 (t) = C^UQ.
Так как омическое сопротивление контура пренебрежимо мало,
то в процессе колебаний не меняется и полная энергия, запасенная
в контуре. Эта энергия равна сумме энергий электрического поля
конденсаторов и магнитного поля катушек. С учетом начальных
условий закон сохранения энергии при колебаниях имеет вид
Ь 2Cj 2С2 2
Из этого уравнения видно, что амплитудные значения зарядов
на конденсаторах соответствуют максимуму энергии электрическо-
го поля и минимуму энергии магнитного поля , кото-
рые достигаются при токе в контуре I(t) = 0. Для этого экстре-
мального случая закон сохранения энергии запишется в виде
(Al + L2)/q + CxUq _ q\(t) + q2 (Q
2 2 2Q 2C2
Решение этого уравнения совместно с уравнением, выражаю-
щим закон сохранения заряда, дает
„max _ 'Н'-2
/2
JJ + fj2 . +С2)(А +^2)Л)
ио +л ^0 +-----7TZ-------
V с1с2
23-10”5 Кл.
145
3.21. После размыкания ключа К в контуре, состоящем из ка-
тушки индуктивности L, конденсатора С и параллельно включен-
ных сопротивлений г и R, возникнут свободные затухающие элек-
тромагнитные колебания, в результате которых энергия электриче-
ского поля Wq , запасенная в конденсаторе, и энергия магнитного
поля тока WR, запасенная в катушке индуктивности, выделится в
форме теплоты на сопротивлениях г и R. Пренебрегая потерями
энергии на излучение электромагнитных волн, закон сохранения
энергии можно записать в виде
Wc+WL=Qr+QR,
где
Се2
—------запасенная энергия электрического поля,
L12
WR = —^-----запасенная энергия магнитного поля тока,
z(R + r)
1q -----------ток, проходящий через катушку индуктивности
г R
при замкнутом ключе К, Qr и QR — количество теплоты, выде-
лившееся на сопротивлениях г и R соответственно. Теплота, выде-
лившаяся на сопротивлениях, представляет собой работу тока. На
каждом из участков, содержащем сопротивления г или R, эту рабо-
ту2
ту за промежуток времени dt удобно посчитать как dQr =--dt и
г
U2
dQR =---dt. Тогда работа тока на сопротивлениях г и R за все
R
время Т, когда в контуре были электромагнитные колебания, равна
О
О
Q к
соответственно. Отсюда —— = —. Выражая из этого соотношения
Qr г
Qr и подставляя его в закон сохранения энергии, получим
а .?.21с:г«2..+^^>2ко,74дж.
2r2R(r + R)
146
2R2(r + R)
Указание. См. решение задачи 3.21.
3.23. На протон, движущийся в магнитном поле, будет действо-
вать сила Лоренца Fn = evB, перпендикулярная его направлению
движения и линиям индукции магнитного поля. Вследствие этого
протон будет двигаться по окружности, радиус которой R можно
найти из 2-го закона Ньютона:
mv2
та =----= evB .
R
т\ -j2Em
Отсюда R = -— =------«14.5 см.
еВ еВ
Чтобы поле изменило направление движения протона на проти-
воположное, его протяженность L должна быть
£ = 27? = 29 см.
3.24. а-частица будет двигаться по прямой линии только в том
случае, если сила Лоренца, действующая на нее со стороны маг-
нитного поля, будет уравновешена силой, действующей на нее, со
стороны электрического поля, т.е.
ZeE - ZevB,
где е — элементарный электрический заряд; v — скорость а-
частицы; Е — модуль вектора напряженности электрического поля;
В — модуль вектора магнитной индукции; Z = 2 для а-частицы.
Отсюда
Е
v = —.
В
147
При прохождении ускоряющей разности потенциалов в U вольт
а-частица приобретает кинетическую энергию Т, равную ZeU, или
nrv^
Т = ZeU = . Отношение заряда а-частицы к массе составит
Ze E2 2
— =-------- = 0,48 IO8Кл/кг.
w 2UB2
148
4. Оптика
4.1. На рисунке показано исходное положение зеркала и поло-
жение зеркала, повернутого на угол ср.
Законы отражения света для этих двух положений имеют вид:
Найдем угол 5 между двумя
положениями отраженных лучей:
5 = а' - у =а' - (/' - ср) =
= а - г' + <р = г + ср-/' + <р = 2ср .
Следовательно, угол поворота
зеркала
ср = 5/2 = 21°.
4.2. Так как при отражении све-
та угол падения равен углу отра-
жения, а зеркало расположено па-
раллельно экрану, то линейные
размеры светового пятна от зерка-
ла будут вдвое больше размеров
самого зеркала (см. рисунок). По-
149
этому площадь светового пятна 5П будет в 4 раза больше площади
самого зеркала:
Л’п =л/3п2 -692 см2.
4.3. Из закона отражения света следует, что изображение и
S2 источников 5] и Л’2 находятся на тех же расстояниях от по-
верхности зеркала, что и сами источники (см. рисунок), т.е.
5^]' = S2S2 =2а, SXS2 = S{S2 = Ь .
Поэтому расстояние между источниками
L - л/й2 - 4а2 = 30 см.
4.4. В соответствии с законом отражения света луч 1, падающий
из вершины столба на зеркало (см. рисунок), и луч 2, отраженный
от зеркала и попадающий в глаз человека, лежат в одной плоско-
сти. а углы падения i и отражения г равны:
/
150
Если х — расстояние от человека до зеркала, то как видно из ри-
сунка.
Отсюда х -------= 1,2 м.
H + h
4.5. На рисунке без соблюдения масштаба показан ход лучей:
1 — прямой видимой Луны;
2 — падающего от Луны на зеркало;
3 — отраженного от зеркала и попадающего в глаз человека;
АВ — прямая, параллельная горизонту;
ОВ — перпендикуляр, опущенный из Луны на прямую АВ.
Обозначим L — расстояние от глаза человека до Луны, х — рас-
стояние от человека до зеркала.
В соответствии с законом отражения света
151
Следовательно,
х FC АВ - AD L cos а - х
tg г = — = tg z = =----=---------
6 Н ОС ОС Zsina+Я
Решение этого уравнения относительно х дает
HL cos а
Zsin а + 1Н
Поскольку 2Н « Zsin а , то
„ Н ,
х « Н • ctg а = —= ® 1 м.
V3
4.6. Длина тени от сваи на дне
водоема
I = /] + /2 = b ctg (р + a tg г.
По закону Снеллиуса
sin i cos q>
п =----=-------.
sin г sin г
Выражая tg г через (р, нахо-
дим
, , х cos ср
I - b ctg (p + a . ---= 2 m.
/2 2
yn -cos (p
a + b
I
(£ + 1)уи2 - cos2 a
/ 2 2
ctg ay и -cos a+Zcosa
«2,16.
Указание. См. решение предыдущей задачи.
4.8. Так как луч падает по нормали к боковой грани призмы, то в
призме он будет распространяться в том же самом направлении.
152
Если далее он попадет на другую боковую грань, то на ней он
испытывает полное внутреннее отражение и выйдет из призмы че-
рез ее основание. Угол падения луча на основание
г = 180°- <180°~а) _ (90° - а) - 90° = 15°.
Угол преломления на основании
г = arcsin(n • sin z)« 22,8°.
Следовательно, отклонение вышедшего луча от первоначально-
го направления составит
Дф= 2(90° - а) - [г - z] ® 32,2° .
Если в призме луч попадает сразу на ее основание, то он испы-
тает на нем полное внутреннее отражение, и попадает на другую
грань под углом z' = 0°. Пройдя через эту грань, не преломившись,
он отклонится от первоначального направления на угол
Д(р = а = 70° .
4.9. Угол при вершине призмы
а = 45° . На гранях АС и ВС луч дол-
жен испытывать полное внутреннее
отражение, т е. должны выполняться
условия:
1
sin z > —;
п
1
sinz >—,
и
где п — показатель преломления призмы. При отражении света
внутри призмы i = r, i' = г', поэтому
1
sinz > —;
и
. . (п Л 1
Sin I ~ Sin----I > —
1^2 ) п
1
sin z > —;
п
1
COS Z > —
и
153
• 2^1
sin a>——;
и2
2^1
cos a > —-
n2
Следовательно, n>\'l .
• 2 2 2
sin a + cos a > —— .
n2
4.10. Из закона Снеллиуса
sin p _ ист
sin у ивзд
находим угол преломления луча в призме
(см. рисунок):
sin у = sin р взд « 0,5
иСт
=> у = 30°.
В треугольнике ОАВ АВАО = 60° , следовательно, угол падения
луча на другую грань призмы равен 90°, т.е. луч выходит из приз-
мы, не преломляясь. В таком случае угол смещения луча в призме
будет равен углу DAB, т.е.
5 = - р = 15° .
4.11. В соответствии с законами
преломления и отражения света.
sinz _ п
5 sin г ив ’
где ив — показатель преломления
воздуха.
Учитывая, что по условию задачи r + i = — , и решая систему
уравнений относительно I, находим
i = arctg — = 53°.
«в
154
4.12. г = arctg ~ ® 47°.
«в
Указание: см. решение предыдущей задачи.
4.13. Угол падения i и угол преломления г (см. рисунок к задаче
4.11) луча света связаны законом Снеллиуса:
sinz _ и2 _ V1
sin Г И] У2
где V] и V2 — скорости света в воздухе и стекле соответственно;
и; = I (воздух); «2 — показатель преломления стекла.
У читывал, что при прохождении границы раздела сред частота v
не меняется, а длина волны света А и скорость v связаны соотно-
шением: V, = Агг (z = 1,2), находим
sin z А]
sin г А 2
Отсюда sin i = —- sm г .
А2
По закону отражения света z = Г .
По условию задачи г + i' = — .
2
Исключая неизвестные из этих уравнений, получаем tg а =
Ai_
А 2
А,
Откуда а = arctg —L = 55° .
^2
4.14. Ход луча в пластинке
показан на рисунке. Обозначим
толщину пластинки ОВ = /.
Угол преломления г найдем,
воспользовавшись законом
Снеллиуса.
155
Из треугольника ОВС
ВС =
cos г
а из треугольника BCD
а - ВС sin а = ВС sin(z - г).
Решая полученную систему уравнений относительно I, находим
/2 2 •
ayn -sin i
/ Г~2 2 •
sin / у и -sin z-cosz
« 4,5 см.
4.15. Из-за явления полного внутреннего отражения (ПВО). С
увеличением угла падения света при переходе его из воды в воздух
сильно уменьшается доля световой энергии, проходящей через
границу раздела, а при угле падения z « 49° весь свет отражается в
воду.
4.16. Из закона Снеллиуса для двух лучей, падающих на по-
верхность жидкости под углами <х ] и a2, справедливо равенство:
sin ct] _ sina2
sin Pi sinp2
Pl и p2 —углы преломления лучей.
Отсюда
. sin on sin р2
a2 =arcsin — —
33°.
sin Pi
. „ . | sin a2 sin Pi
4.17. P2 = arcsin
sina]
34° (см. решение предыдущей
задачи).
4.18. Из треугольников ACB и ABD (см. рисунок) следует
.D dQ d d
AB =------------ => cos p = —cos a =>
cos a cos p dQ
156
JdQ - o'2 cos2 a
=> sin В = ---------------
*0
Полагая в уравнении закона Снеллиуса S —~ = Ист , л?взд = 1.
sinp ивзд
sinat/0
получаем ист = - = 1,44.
•^a2 - d2 cos2 a
4.19. Построение изображения точечного источника .S' в тонкой
собирающей линзе показано на рисунке а.
АО
SSA'O-SSAO => A'O-SA'-—,
SA
&SF2A'~ABF2O => S'A' = BO^-^
OF2
(1)
(2)
Ho A'F2 = A'O + OF2, BO = SA и OF2 = OFj = OF.
157
г VA'
Следовательно, о А - лА --+ 1 .
< OF J
Подставляя сюда А'О из (1) и решая полученное уравнение от-
носительно .S' Анаходим
SA’.^"'-
OF-АО
Построение изображения точечного источника 5' в тонкой рас-
сеивающей линзе показано на рисунке б.
Аналогичное решение для рассеивающей линзы
SA'- SAOF
OF + АО
4.20. Построение изображения в линзах смотри на рисунках а и
б предыдущей задачи. Из подобия тех же самых треугольников,
которые рассматривались в этой задаче, находим:
для собирающей линзы — А'О = АО----—----:
OF - АО
, OF
для рассеивающей линзы — АО - АО---------.
OF + АО
4.21. Изображение S' точки .S' будет находиться на главной оп-
тической оси линзы. Чтобы найти его проведем из точки S произ-
вольный луч / до пересечения его с линзой и другой параллельный
ему луч 2 через оптический центр линзы до пересечения его с фо-
158
кальными плоскостями линзы (побочная оптическая ось). Так как
линза — рассеивающая, то луч 1 будет казаться выходящим из точ-
ки пересечения побочной оси (луча 2) с фокальной плоскостью.
При этом лучи 1 и 2 должны быть расходящимися. Соединяя пря-
мой точку пересечения луча 1 и линзы с точкой пересечения луча 2
с фокальной плоскостью, находим точку пересечения S' этой пря-
мой с главной оптической осью. Эта точка и будет изображением
точки .S'
а)
4.22. Принципиальное построение хода лучей такое же, как и
для рассеивающей линзы (см. предыдущую задачу). Различие за-
ключается в том, что лучи 1 и 2 должны сходиться в одну точку на
фокальной плоскости, которая находится по другую сторону от
линзы по отношению к источнику. Пересечение с главной оптиче-
ской осью прямой, проходящей через точки пересечения луча I с
линзой и луча 2 с фокальной плоскостью, и дает положение изо-
бражение S'.
159
4.23. Строим продолжение за-
данного луча 1 до пересечения
его с задней фокальной плоско-
стью линзы в точке А. Строим
вспомогательный луч 2, прохо-
дящий через точку А и центр
линзы О без преломления. Так
как лучи 1 и 2 после прохожде-
ния линзы кажутся исходящими
из одной точки А на фокальной
плоскости, то до прохождения линзы они были параллельны (рису-
нок).
4.24. Для построения изображения отрезка нужно найти изо-
бражение начала и конца отрезка. Построение хода лучей в этом
случае проводится так же, как и в случае, когда находится изобра-
жение точек, лежащих на главной оптической оси линзы (см. зада-
чу 4.22). Удобнее оба луча, исходящие из крайних точек отрезка,
взять параллельными.
160
Указание. См. решение задач 4.21 и 4.23.
4.26.
в)
161
4.27.
162
Указание. Для построения изображения отрезка воспользовать-
ся лучами, проходящими через концы отрезков и оптический центр
линзы, а также лучом, проходящим через отрезок АВ.
4.28. Проводим из изображения S' источника два луча: один
через фокус линзы, находящийся с той же стороны от линзы, что и
изображение, до пересечения с линзой, а из точки пересечения луч,
параллельный главной оптической оси, и другой, проходящий че-
рез оптический центр линзы. Точка их пересечения укажет поло-
жение источника 5.
4.29. Прямая /, соединяющая источник и его изображение, явля-
ется побочной оптической осью линзы. Поэтому, проводя эту пря-
163
мую до пересечения ее с главной оптической осью, находим опти-
ческий центр линзы 2. Другой луч 2 проводим через источник па-
раллельно главной оптической оси до точки пересечения его с лин-
зой. Прямая, которая проходит через эту точку пересечения и изо-
бражение источника, пересечет главную оптическую ось в фокусе
линзы.
4.30. Из подобия треугольников АОВ и A'OB' (см. рисунок)
На,
— = ° — расстояние от изображения до линзы.
п - ь - 111
Для тонкой собирающей линзы — = — + — .
fab
164
Решая эту систему уравнений, находим Н' ---= 6 см.
a-f
h-F
4.31. Н =—— = 15см.
/
Указание. См. решение предыдущей задачи.
4.32. Так как b<f, то изображение предмета— мнимое
уменьшенное прямое.
Отсюда а - —-— = 36 см.
f-ь
165
4.33. Первый случай — мнимого изображения: предмет нахо-
дится от линзы на расстоянии, не превосходящем фокусное (рису-
нок а)
Второй случай — действительного изображения: предмет нахо-
дится на расстоянии, превосходящем фокусное (рисунок б), но
меньше двойного фокусного:
166
1-1 1
f a b'
. h a
aH
H+h
= 21 cm.
4.34. В рассеивающей линзе изображение всегда мнимое (см.
рисунок), поэтому формула тонкой линзы в данном случае
_1-1_1
fab
По условию
АВО и А'В'О
АВ _ а
~АГВ'~~Ь'
Решая получившуюся систему уравнений, находим
f = = 12,5 см.
п-1
167
4.35. Мнимое уменьшенное изображение может быть получено
только с помощью рассеивающей линзы. Поэтому
f =----= 25 см
п-1
(см. решение предыдущей задачи).
4.36. Формула для рассеивающей линзы сходящегося пучка лу-
чей и действительного изображения (лучи собираются в точке)
имеет вид:
_1 = _1 1
f а
Отсюда f - fl—-20 см.
b -а
4.37. Расстояние от предмета до линзы а = f + 1\ и от линзы до
экрана h - /+ /2 связаны формулой линзы, которая в данном слу-
чае имеет вид:
1-1 1
f а Ь’
/— фокусное расстояние линзы. Подставляя сюда а и Ь, получаем
f ~ ФхЬ = 20 см.
4.38. Прямое увеличенное изображение может быть получено
только с помощью собирающей линзы. При этом изображение бу-
дет действительным, а предмет должен располагаться между лин-
зой и ее фокусом (см. рисунок).
168
Тогда
1 = 1-1-
Га ,ь’ ,
•b=a + l-, => f =-------
А'В' b (п-1)2
----= — -п
АВ а
По определению оптической силы линзы
D = — =-----— = 5дптр.
f nl
4.39. Фокусное расстояние линзы f - -1 = 20 см < а = 60 см. Из
х ~ 1 1
формулы тонкой линзы для этого случая U = —F —, находим
а b
4.40. Возможны два случая:
а) на расстоянии а от линзы находится ближний к линзе конец
предмета (дальний конец находится на расстоянии а +Н от
линзы);
б) на расстоянии а от линзы находится дальний от линзы конец
предмета (ближний конец находится на расстоянии а-Н от лин-
зы).
В случае а) изображение ближнего к линзе конца предмета Ь§ в
соответствии с формулой линзы
будет находиться от линзы на расстоянии
169
а изображение дальнего конца предмета на расстоянии
д a + H-f
Протяженность предмета вдоль главной оптической оси
6g —
Я/2
(а - f )(a + Н - f)
«-19,3 см.
Знак «-» означает, что получившееся изображение будет пере-
вернутым.
В случае б) расчет положения предмета проводится аналогич-
ным образом:
ьб =
(a-H)f ь
а-Н-Г
af
a~f’
д "
Ы2 = bn - Ь& =-----------------= -135 см.
д (a-f)(a-H-f)
4.41. Увеличенное изображение предмета в собирающей линзе
можно получить при двух вариантах относительного расположения
предмета и линзы:
предмет располагается на расстоянии от линзы больше фокус-
ного и меньше удвоенного фокусного, в этом случае изображение
предмета — действительное;
предмет располагается на расстоянии от линзы меньше фокус-
ного, в этом случае изображение предмета — мнимое.
Естественно, что фокусное расстояние линзы не зависит от спо-
соба его вычисления. Поэтому рассмотрим случай, когда предмет
располагается дальше фокуса. Тогда п = ——— (см. решение задачи
4.30), а — расстояние от предмета до линзы. Чтобы изображение
предмета уменьшилось в к раз, т.е. увеличение стало равным
Г = п/к , предмет нужно отодвинуть от линзы. Для этого положе-
ния предмета
« f
к а + S - f
170
Решая полученную систему уравнений относительно/ находим
4.42. Линза — собирающая, так как исходное положение пред-
мета создает действительное изображение. Переход от действи-
тельного изображения к мнимому возможен, если предмет с рас-
стояния от линзы больше фокусного передвигают ближе к линзе на
расстояние, которое становится меньше фокусного.
Для исходного положения предмета:
Г = (см. предыдущую задачу).
Для нового положения предмета:
Из этих уравнений: f = = 0,1 м.
4.43. Так как D < 0, то из формулы для рассеивающей линзы
1 1 1
---=------следует, что вначале предмет находился от линзы на
fab
расстоянии
Расстояние от линзы подвинутого предмета
«2 = а - Д/,
поэтому новое положение изображения от линзы определяется рас-
стоянием
fa2 Да-Ы)
ь2 ------=---------•
«2 + f a-M + f
171
Таким образом, изображение предмета придвинется к линзе на рас-
стояние
А/ =
~ь2 =
/2Д/
(а +/)(а - А/+/)
« 0,065 см.
4.44. Источник и его изображение вращаются с одинаковой уг-
ловой скоростью со, поэтому ускорения, с которыми движутся ис-
точник пист и изображение пиз, относятся как радиусы описывае-
мых ими окружностей:
2
диз _ ® _ ^из
аист СО2 ЛИст Гист
Отношение радиусов, в свою очередь, можно найти из формулы
линзы:
1
—+
а b
определив с ее помощью расстояние а от линзы до плоскости, в
которой движется источник
bf
Тогда из подобия треугольников (см. рисунок к задаче 4.30, где
надо взять гиз = Н', г = Н) находим
^ИЗ _
ГИСТ а
Следовательно,
®ист а J
4.45. Изложенная в условии задачи ситуация возможна, когда
источник 5 помещен перед фокусом линзы F (см. рисунок), а экра-
ны располагаются по обе стороны от изображения источника на
равных расстояниях от него. Если обозначить 2х расстояние между
172
пятнами при двух положениях экранов, то из подобия треугольни-
ков ABS' и А 'В 'S' можно определить положение изображения ис-
точника на главной оптической оси как b = /] + х, или b = li - х.
Отсюда Ь = ~+— . Из формулы линзы получаем
4.46. Расстояния от линзы до предмета а экрана b связаны усло-
вием I = а + Ь (см. рисунок) и формулой линзы:
173
учитывающей, что изображение на экране можно получить, когда
2 I
предмет находится перед фокусом линзы. Отсюда a -al + — = 0.
Решая данное уравнение, получим
Следовательно, возможны два положения линзы: на расстоянии
<7] * 36 см от предмета и на расстоянии ~ 84 см.
4.47. Расстояния между линзой, лампой и ее изображениями на
экране при двух возможных положениях линзы (см. рисунок) свя-
заны формулой линзы и условиями задачи.
При записи формулы линзы учтено, что изображения лампы на
экране можно получить, когда лампа и экран находятся по разные
стороны от линзы. Из этих уравнений следует, что
174
а]й] ay(S-ay)
£7] + by S
или
a2^2 (ay + l)(S - ay -1)
a~> 4* bj S
Приравнивая правые части этих равенств, находим
«1
S-1
2
и f =---------------= 8 см.
4.8’
4.48. Источник дает расходящийся пучок лучей, линза — рас-
сеивающая, а изображение для расходящегося пучка — мнимое.
Поэтому формула линзы в данном случае записывается, как
F S b
Отсюда расстояние от изображения до линзы
./+S
175
Так как расстояние от линзы до экрана / - 5, а изображение в
линзе находится по ту же сторону от линзы, что и предмет, то рас-
стояние от изображения в линзе до экрана (см. рисунок)
d = l-S+b.
Учитывая, что на таком же расстоянии d от экрана, но по дру-
гую сторону зеркала, будет находиться изображение источника в
зеркале, расстояние между источником и изображением в зеркале L
можно найти, как
L = l + d = 2l-S + = 182 см.
f + S
4.49. Построим ход лучей в системе до и после помещения стек-
лянной пластинки между линзой и экраном (см. рисунок). Луч 1,
проходящий через фокус линзы, после преломления в линзе пойдет
параллельно главной оптической оси и, следовательно, перпенди-
кулярно поверхности пластинки, поэтому преломляться ею не бу-
дет. Луч 2. являясь центральным, упадет на поверхность пластинки
под некоторым углом а и испытывает преломление на обеих по-
верхностях пластинках. Выйдя из пластинки луч 2 останется па-
раллельным падающему. При отсутствии пластинки лучи 1 и 2 оп-
ределяют положение точки А' и, следовательно, изображения
А'В’ предмета АВ, а при наличии пластинки положение точки А"
и. следовательно, изображения А"В".
176
Из рисунка следует, что расстояние X, на которое необходимо
переместить экран, равно
А 'Г
Х = В'В" = — ,
tga
где А 'С = ОК - OL = c/(tg a - tg Р), Р — угол преломления луча 2 в
пластинке.
Следовательно,
tZ(tga-tgP) / tgP"
—--- — Lil 1 1 '
tg a tg a J
По условию задачи углы падения малы, поэтому справедливы
соотношения: sin a «tg а и sin р «tg р. Учитывая также закон пре-
sin ос Лстек 1
ломления ------=------ и полагая ивозд = 1, находим
sinp иВ()ЗД
—— «1,14см.
п
Следовательно, экран необходимо отодвинуть от пластинки на
расстояние
Х = 1,14 см.
4.50. После прохождения света через клин, пучок сохраняет па-
раллельность, но отклоняется на некоторый угол ср вследствие пре-
ломления. Величина этого угла может быть найдена из закона пре-
ломления света. На передней грани клина пучок не преломляется,
так как он падает нормально к этой грани (угол падения i = 0). На
заднюю грань клина пучок падает под углом а, а выходит из клина
под углом ср к главной оптической оси линзы, равным (см. рисунок)
ср = г -a,
sin a 1
где г находится из закона преломления, ----= — . Таким образом,
sin г п
ср = arcsin(« sin a) - a. Параллельный пучок света, падающий на
177
собирающую линзу под углом ср к главной оптической оси, собе-
рется в точку в фокальной плоскости линзы, отстоящую от главной
оптической оси на расстоянии
d = f • tg ср.
Принимая во внимание малость углов а и ср, получаем
d» /'(и - 1)а «1,5 10-2 м.
4.51. Нет. Восприятие света человеческим глазом зависит не от
его длины волны, а от частоты, которая при переходе из одной сре-
ды в другую не меняется.
4.52. Через красное. Красный свет, падающий через красное
стекло на бумагу, будет практически одинаково отражаться от бе-
лого фона и от красной надписи, в результате чего красная надпись
будет неотличима от белого фона. От зеленой надписи красный
свет почти не отражается, поэтому зеленая надпись будет казаться
черной на светлом красном фоне.
4.53. Необходимо смочить порошок, например, водой. Поверх-
ность сухого порошка кажется белой потому, что она рассеивает
падающий на порошок белый свет во все стороны.
Если порошок смочить водой, то поверхность воды будет рас-
сеивать свет только в определенных направлениях, а зерна порош-
ка будут избирательно рассеивать белый свет, придавая рассеянно-
му свету тона самого стекла. При этом насыщенность рассеянного
178
света будет усилена за счет рассеяния его более глубокими слоями
порошка.
4.54. Желтоватый оттенок Луны после захода Солнца обуслов-
лен отражением солнечного света от ее поверхности. В дневное
время к этому отраженному свету добавляется голубой свет неба,
обусловленный рассеянием солнечного света в атмосферной обо-
лочке Земли. Смешение этих цветов и воспринимается глазом как
чистый белый цвет.
4.55. На фоне леса костер наблюдается в отраженном солнечном
свете. Так как синий свет рассеивается дымкой сильнее всего, то в
цвете дыма на фоне дальнего (темного) леса преобладают серо-
голубые тона.
Когда костер наблюдают на фоне неба, то глаз улавливает про-
ходящий сквозь дым солнечный свет. Поскольку падающий на дым
свет преимущественно голубой, то полное его отражение дымом
воспринимается глазом как черный цвет.
На фоне Солнца дым наблюдается в проходящем солнечном
свете, т.е. свете преимущественно белого цвета. Опять же вследст-
вие сильного отражения синего света, в проходящем через дым
свете преобладают тона, относящиеся к другому участку спектра
дневного света, т.е. к желто-красному.
2 р
4.56. Q~ Р S =-------мощность излучения, попадающего
в глаз, обращенный к Солнцу.
* U, . Л • 2 ' Р • А/
АЖ = (7А/ =-------------энергия излучения, попадающего в
4
глаз за промежуток времени А/.
£) =hc fk — энергия одного фотона.
Число фотонов, ежесекундно попадающих в глаз:
= = io16 1
А/ Е] • Д/ 4 he с
4.57. Законы сохранения импульса и энергии для аннигиляции
электрона и позитрона в два у-кванта имеют вид:
179
0 = Л. +Ру2',
2 2
тс +тс =eYi +еу2 j
=Ру2;
% =еъ = тс1
_ he
Так как для у-квантов их энергия е = — и импульс р связаны
X
е
соотношением р = —, то
с
Х = —= А~2,45-10-12м.
е тс
4.58. Из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта
wvmax
— -А
X вых 2
находим X =-----——-----« 223 нм.
л д-WVmax
Лвых 2
4.59. Фотоэлектроны, вырываемые с поверхности фотокатода в
вакуумном диоде, не будут достигать анода под действием запи-
рающего напряжения U3 в том случае, если их кинетическая энер-
гия будет меньше или равна работе против сил электрического по-
ля, тормозящего электроны в межэлектродном пространстве, т.е.
wv™x<g£/
2
Из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта находим, что это
возможно при длине волны излучения
Лс + е£/3ХКр
4.60. Из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта следует, что
если X] <Х2, то для соответствующих максимальных скоростей
фотоэлектронов должно выполняться неравенство:
.max max
V2 <V1
180
тях тях it
По условию задачи V] = т2 Решая систему уравнении:
относительно Я, находим
-1)
4.61. При облучении светом шара в результате фотоэффекта с
его поверхности удаляются электроны, а сам шар приобретает по-
ложительный заряд. Электрическое поле, создаваемое зарядом ша-
ра, препятствует удалению электронов (на бесконечно большое
расстояние от шара) и при достижении некоторого максимального
положительного заряда <7max=ej^ (N— число удаленных элек-
тронов) все вырываемые светом с поверхности шара электроны бу-
дут возвращаться на шар. В соответствии с законом сохранения
энергии предельная кинетическая энергия электронов Е™ах, при
которой это будет происходить, равна работе А, которую необхо-
димо совершить электрону против сил электрического поля для
удаления на бесконечно большое расстояние от шара, т.е.
Е™** = А = = ец>.
Здесь U3 - ср ---=------задерживающее напряжение, равное
потенциалу на поверхности шара (так как шар уединенный, то по-
тенциал бесконечно удаленных от шара точек принимаем равным
нулю).
Используя уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
। , г-max
вых "г Г-'К
181
находим
N = С ——^°ых- 2,4 • 108 электронов.
кг2
4.62. Обозначим AN — число фотонов, поглощенных фотокато-
дом за промежуток времени Дг. Так как каждый фотон вызывает
появление одного электрона, то ДА одновременно дает число элек-
тронов, вылетающих с фотбкатода. Максимально возможное зна-
чение силы тока, называемое током насыщения /нас, будут в том
случае, если все фотоэлектроны соберутся на аноде фотодиода, т е.
AqNN „
'нас = — = е-> Щ = — полный заряд, собираемый на ано-
At Д/
де.
Мощность поглощаемого катодом светового излучения Р зави-
сит от числа поглощенных фотонов AN, как
где hv — энергия одного фотона, a AN hv — энергия излучения,
еР
поглощаемого за время ДЛ Отсюда /нас = — .
hv
Энергию поглощаемых фотонов выразим из уравнения Эйн-
штейна, в котором максимальную кинетическую энергию электро-
на выразим через запирающее напряжение J73:
_ wv max
Lmax — 2
= eU3.
Тогда
, he
hv =----+
Лкр
еЩ
и
нас =-------« 5,1 • 10 ~4 A.
Hac hc + eU3km
J Ikp
182
4.63. В уравнении Эйнштейна для фотоэффекта
Ас . „
— = А + Е
А,
max >
максимальную энергию фотоэлектрона £тах следует взять равной
разности потенциальных энергий электрона на поверхности шари-
ка и на максимальном удалении от него, т.е.
Ас . eQ ( 1
— = А + —— —
А 4тге0 1^/?
1
R + 'max ,
Решая это уравнение относительно rmax, находим
=-------й------------г *|>4 см
. п2| Ас л
4тге07?-------А
I А
4.64. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
2
— -А +Е -А +WVmax
_ Лвых т 'Jmax ~ ^вых т 2
ЛВЬ1х — работа выхода фотоэлектронов, £тах и vmax соответст-
венно максимальные энергия и скорость фотоэлектронов.
Уравнение динамики для электронов, движущихся в магнитном
поле, в проекции на направления радиус-вектора г
wvmax
= evmax5 •
Решение полученной системы уравнений дает
Лых = — ---^-^-«6,6-10"19 Дж.
А 2т
183
4.65. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта имеет
вид:
he / X - А + Wv „„„
К Шал
где А = he / Хо — работа выхода электрона из облучаемого мате-
риала, Xq — длина волны света, соответствующая красной границе
фотоэффекта, max — максимальная кинетическая энергия фото-
электронов. Если d — максимальное расстояние от поверхности
электрода, на которое может удалиться электрон в задерживающем
однородном электрическом поле, то max = eEd. Отсюда
d = —
he Г 1 1 '
е£^Х Хо>
1,5 см.
4.66. На электрон в атоме водорода действует единственная си-
ла — сила кулоновского притяжения
2
F = k — ,
где \Яе |= |<7р I= Я — заряд электрона и протона, г — радиус орбиты
электрона. Основной закон динамики для вращательного движения
электрона в проекции на радиус-вектор электрона имеет вид
или
v — скорость электрона.
Энергия электрона в атоме W равна сумме его потенциальной и
кинетической энергий, т.е.
W=F +Е =
" ^пот т ^кин
184
Решая полученную систему уравнений, находим
2г
При переходе электрона с орбиты радиусом t\ на орбиту радиу-
са г2 будет излучаться фотон, энергия которого hv равна
у
2 Пг2
Так как v = — , то
X
X = 2Лей^ = = u |0.s м
kq2{t\-r2) q(rx-r2)
4.67. Условие интерференционного максимума в точке Л :
у d2 +12 -1 = пк,
где п = 1, 2, ..., следовательно,
z^2-h2X2
2пк
Тогда
d2
a) /min = — = 1,5 м при н= I;
/max = /щт
в) Условие интерференционного минимума в точке А при мак-
симальном I:
'2 -/
max ‘max
, _rf2-X2/4
max ’ - э,/э м,
4.68. Условие наблюдения в указанной точке экрана интерфе-
ренционного максимума первого порядка
d • sin ф = X,
/
где sin ф = .. .
185
Тогда
jL ,»710~7м
7/2 + /2
4.69. Определим максимальный порядок спектра, наблюдаемого
за решеткой
d • sin ф = А • п => нтах
d_
А
I
МГ
= Р,8] = 7,
здесь положили ф = 90°, т.е. максимальный для наблюдения угол
дифракции. Наибольшее количество светлых полос, которое можно
будет наблюдать, 2нтах +1 = 15.
186