Автор: Эйлер Л.
Теги: математика высшая математика дифференциальные уравнения дифференциальные исчисления классики естествознания
Год: 1949
Текст
КЛАССИКИ
ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
КЛАССИКИ
ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
МАТЕМАТИКА
МЕХАНИКА
ФИЗИКА
АСТРОНОМИЯ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО -ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Жосива- \<}Ц<}-Ленинград
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
перевод
с латинского,
вступительная статья
м пршмегания
М. Я. В ыгод с кого
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХ Н И КО -ТЕ ОРЕТ ИЧ Е С КО Й ЛИТЕРАТУРЫ
Жосква-
11-5-4
Редактор В. А. Калакуцкий, Тех. редактор М. Д. Суховцева.
Подписано к печати 15/IV1949 г. 36,25 печ. л. 49,83 уч.-издат. л. 54 988 тип. зн. в печ. л.
А-04314. Тиран; 5000 экз. Цепа книги 30 руб. Переплёт 3 руб. Заказ JA 1004.
16-я типография Главполиграфиздата при Совете Министров СССР.
Москва, Трёхпрудный пер., 9.
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО К «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ
ИСЧИСЛЕНИЮ» Л. ЭЙЛЕРА
М. Я. Выгодский
1. В 1755 г. i [еторбургская Академия Наук выпустила в свет одно
из самых замечательных пронЗ!зедеиий математической литера-
литературы—-«Дифференциальное исчисление», принадлежащее перу члена
Петербургской Академии Леонарда Эйлера. Как и большинство научных
трудов в эту эпоху, оно было написано на латинском я:-шке. Русский
его перевод появляется сейчас впервые. По этому произведению в тече-
течение целого столетня учились математики всего мира; особенно силь-
сильное влияние оказало оно на преподавание и развитие математики
в России1). И хотя в пзше время труд Эйлера уже не может служить
учебником дифференциального исчисления, однако и теперь он пред-
представляет большой интерес. Богатство содержания, изумительное мас-
мастерство приёмов, гениальная изобретательность в решении труднейших
вопросов, величавая простота изложения и несравненные педагогические
достоинства — всё это делает чтение «Дифференциального исчисления»
чрезвычайно поучительным и вместе с тем увлекательным для учаще-
учащегося и для педагога, для математика и для историка науки.
Сочинения многих классиков математической мысли трудно до-
доступны, особенно читателю, удалённому от зпохп их созидания
на столетия. Чтобы разобраться в творениях Ферма, Декарта, Ньютона.
Лейбница, Гаусса, нужно затратить большой труд, для облегчения
которого нужны обстоятельные комментарии. Произведения Эйлера
не таковы. Ход мысли автора в них всегда ясен: часто, правда, его рас-
рассуждения не могут нас убедить, но всегда видно, как думал Эйлер
и чего нехватает в его рассуждениях. Поэтому «Дифференциальное
исчисление» Эйлера почти не нуждается в комментариях частного
характера. Там, где они казались переводчику необходимыми, он их
давал в коротких сносках.
Но «Дифференциальное исчисление» представляет большую книгу,
чтение которой от начала до конца потребует большого времени.
Между тем, многим читателям, которые не будут иметь возможности
'') В рамках этой статьи нет возможности охаракн'рпзовать значение 'Лидера
в iicvopnn математики вообще и в истории русской .математики в часшосч-н. Ми отсы-
отсылаем читателя к сборнику «Лепиард Эйлер», изданному Лка т.омией Наук СССР в 19:53 г..
и к ".татьп Л. II. Югакеппча «Л. Эйлер и русская математика в XVIII в.» («Труды
Иисгптута sTOTopim естествознания», т. III, 1У49).
6 м. я. выгодский
прочесть это сочинение целиком, будет интересно воспользоваться им
как хрестоматией по истории математики в XVIII в., как собранием
замечательных образцов аналитического мастерства или с иными целями.
Эти читатели нуждаются в общем обзоре произведения. В настоящей
статье такой обзор и даётся. Но для того, чтобы читателю — даст ли он
себе труд изучить произведение Эйлера полностью или пожелает огра-
ограничиться тем, что наиболее его заинтересует—были ясны позиции автора,
его отношение к предшественникам и значение его работы для после-
последующего развития науки, я сначала постараюсь в кратких чертах
охарактеризовать историческую обстановку и отметить отличительные
особенности стиля Эйлера.
2. Дифференциальное и интегральное исчисления, если сделать уда-
ударение на последнем слове, были созданы Ньютоном и Лейбницем
в 70—80-х годах XVII в. К этому времени основные идеи анализа были
уже хорошо разработаны. Опираясь на работы древнегреческих мате-
математиков, в первую очередь Архимеда, авторы XV11 в.—Кеплер, Гали-
Галилей, Кавальери, Торичелли, Ферма, Паскаль, Валлис и другие — систе-
систематически развили процессы интегрирования и дифференцирования.
Эти операции не были ещё облечены в отвлечённую форму. Они рас-
рассматривались в неразрывной связи с геометрическими и механическими
задачами. Но общность этих операций отчётливо сознавалась. Так, за-
задачи спрямлений кривой и нахождения центра тяжести тела сводили
к задаче квадратуры (определению площади, порождённой движением
ординаты данной кривой), а для выполнения квадратур были указаны
общие методы, по существу тождественные с методами интегрального
исчисления. Правда, эти методы охватывали сравнительно узкий класс
кривых, т. е., выражаясь по-современному, до Ньютона и Лейбница
математики умели вычислять интегралы сравнительно узкого класса
функций. Но это был недостаток техники, над преодолением которого
успешно работали.
Понятие производной функции также выступало в геометрической
и механической форме: отыскивали скорости по заданному закону дви-
движения; находили подкасательную кривой, заданной уравнением в декар-
декартовых координатах. Зная длину подкасательной, можно построить
касательную. Отношение же ординаты к подкасательной есть не что
иное, как производная ординаты относительно абсциссы; хотя это отно-
отношение и Не привлекало особого внимания предшественников Ньютона
и Лейбница, мы всё же вправе сказать, что здесь в геометрической
форме выступает понятие производной, ибо ведь принципиально не важ-
v dv -, vdx
но, рассматривается ли функция -^- или функция ~-, дающая длину
подкасательной.
Самое понятие функции в отвлечённой его форме не было ещё
высказано. Но уже метод графического представления, который соста-
составляет основную идею «Геометрии» Декарта и который систематически
применялся задолго до Декарта Галилеем (не говоря о более ранних
предвосхищениях),— уже этот метод по существу обнаруживает нали-
наличие общего понятия функциональной зависимости.
Задачи дифференцирования и интегрирования рассматривались каж-
каждая по отдельности; первая — как задача о касательной, вторая — как
задача о площади. Но уже Ферма, как видно из черновых его заметок,
понимал взаимно-обратный характер этих задач. Учитель Ньютона
Барроу доказал эту взаимную обратность, оставаясь на почве гео-
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ! СЛОВО
метрического представления об интегрировании, как о квадратуре, и о
дифференцировании, как проведении касательной.
Нельзя на одной-двух страницах дать сколько-нибудь полное пред-
представление о своеобразии инфинитезимальных методов XVII в., но уже
из изложенного можно видеть, как много ещё оставалось сделать
Ньютону и Лейбницу для того, чтобы эти методы получили ту глубину
и широту, которой обладает исчисление бесконечно малых. Сейчас будет
сказано, что было ими сделано.
3. В шестидесятых годах XVII в. алгебра обладала уже той
символикой, которой мы пользуемся и сейчас. Между тем интегриро-
интегрирование и дифференцирование, выполнявшиеся, как сказано, в геометри-
геометрической форме, не имели ещё никакого или почти никакого алгоритма.
Ньютон и Лейбниц, независимо друг от друга, использовали ап-
аппарат алгебраической символики и создали такой алгоритм. Обозна-
Обозначения Лейбница стали вскоре общепринятыми. Мы пользуемся ими
и сейчас. Обозначения Ньютона были иными. Хотя они несколько усту-
уступали лейбницевым, но в общем достигали той же цели: методы
интегрирования и дифференцирования были облечены в форму исчисления.
Символическое оформление позволило отвлечь основные инфини-
тезимальные понятия от их геометрического и механического овеще-
овеществления. Хотя и Ньютон и Лейбниц постоянно связывают свой
алгоритм с геометрической и механической картиной и зачастую
существенно опираются на интуицию, но отвлечённые понятия
переменного количества и функции (Ньютон говорит «отнесённое коли-
количество» и «соотнесённое количество», но наименование не играет,
конечно, роли) отчётливо выставлены на первый план.
Человеку нашей эпохи этот шаг или, лучше сказать, скачок,
может показаться мало значительным; ведь и алгебраическая симво-
символика уже существовала, и основные операции и даже связь между
ними были изучены и нашли многообразные применения. Велика ли
заслуга объединить эти элементы? К этому можно было бы добавить
ещё, что у предшественников Ньютона и Лейбница (ферма, Барроу
и др.) уже были попытки облечь в символическую форму операции
интегрирования и дифференцирования.
Может быть, и сами творцы нового- исчисления не придавали
большого значения этому своему открытию. Но на самом деле это
было открытие величайшей важности. А что создание хорошей удобной
символики было не столь лёгким делом, видно хотя бы из тех сохра-
сохранившихся черновых записей Лейбница, где он делал первые попытки
создания этой символики. Так, дифференциал функции у Лейбниц
обозначал сначала через •—•, а интеграл её через \ у. Легко видеть,
что эти обозначения не выдерживают никакого сравнения с поздней-
позднейшими обозначениями Лейбница, ставшими почти немедленно общим
достоянием математиков европейского континента.
4. Изобретение алгоритма исчисления бесконечно малых позволило
Ньютону, Лейбницу и ученикам Лейбница Якову и Иоганну Бернулли
в течение нескольких лет получить поразительно большое число очень
важных новых результатов.
Прежде всего техника дифференцирования и интегрирования была
развита почти до тех пределов, в которых мы ею владеем теперь.
Повторное дифференцирование функций, которое как бы само напра-
напрашивалось на перо вычислителя, позволило без труда решать ряд Задач,
М. Я. ВЫГОДСКИЙ
которые представляли прежде большие трудности, как, например,
задачу определения радиуса кривизны. Вообще многие задачи геометрии
и механики, которые прежде доступны были лишь самым выдающимся
математикам, стали теперь посильными для каждого обучившегося
новому алгоритму.
В повестку дня был поставлен в общей форме вопрос об интегриро-
интегрировании дифференциальных уравнений, который прежде ставился лишь
для очень частных случаев и удовлетворительно решался лишь в еди-
единичных случаях. Лейбниц и его ученики сразу применили разделение
переменных и ряд подстановок. Как мы теперь знаем, трудности,
связанные с решением дифференциальных уравнений с помощью
квадратур, носят не технический, а принципиальный характер, и если
усилия школы Лейбница были направлены преимущественно на разыс-
разыскание решений в квадратурах, то Ньютон смело пошёл в лобовую
атаку и дал общий метод, сила которого даже при тех ограничениях,
которые впоследствии оказалось необходимым на него наложить,
была огромной. Я имею в виду метод функциональных (по преиму-
преимуществу степенных) рядов. Так как этот метод играет особенно боль-
большую роль в творчестве Эйлера, остановимся на этом вопросе несколько
подробнее.
б. Когда Ньютон начинал свою деятельность, интеграционные
методы, созданные его предшественниками, позволяли выполнять
квадратуры, равносильные вычислению инте-
интегралов вида
а1хт* + а2хт2+ .. . -f akxmk)dx, A)
где т1, тг, .. ., тк суть любые числа.
В основе этого интегрирования лежало
правило, равносильное формуле
<• ~m+i
Рис.1. lxmdx=c^+i- B)
Один только случай т— —1 не укладывался в эту формулу. Задача
(* Iя* /1-у
вычисления интеграла \ х~л<1х— \ — на языке математиков XVII в.
формулировалась как задача разыскания площади А, В, С, D (рис. 1),
описываемой ординатой гиперболы ху — 1.
Ферма, исходя из инфинитезимальных геометрических соображений,
заметил, что площадь ABCD растёт в арифметической прогрессии,
когда абцисса x = OD растёт в геометрической прогрессии. Если мы
примем во внимание, что в то время это свойство клалось в основу
определения и вычисления логарифмов, то будет понятно, что это
открытие было равносильно установлению формулы
=ftlgx, C)
где к — постоянный множитель, величина которого зависит, как мы
сказали бы теперь, от основания, по которому берутся логарифмы,
т. е. от того числа, которому в упомянутом соответствии двух про-
прогрессий отвечает логарифм, равный 1. Если пользоваться десятичными
логарифмами, то ft = ln 10 «s 2,718 ... Таким образом, имея таблицу
логарифмов, можно было найти квадратуру гиперболы.
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО
Хотя такие таблицы, и притом весьма точные и подробные, были
налицо, но техника их составления была чрезвычайно утомительна.
Установленная Ферма связь между квадратурой гиперболы и вычисле-
вычислением логарифмов, естественно, вызвала попытки разыскать алгебраи-
алгебраическое выражение площади гиперболы, т. е., выражаясь современным
языком, найти для интеграла V — алгебраическое выражение.
Эти попытки оставались бесплодными, пока Николаю Меркатору
не пришла в голову простая мысль отнести гиперболу ВС к другой
системе координат. Если взять начало в точке А с абсциссой О А = 1,
то уравнение гиперболы, как было легко усмотреть, принимает вид
у(ж+1) = 1, и задача сводится к определению интеграла
Чтобы свести этот интеграл к интегралам от степенных функций,
Меркатор выполнил деление 1:A+ж), иными словами, представил
—- как сумму бесконечной геометрической прогрессии
1— х + х% — х* + х* — ... E)
Суммированием прогрессии постоянно пользовался Ферма, но даже
этот величайший математик не догадался использовать обращение
этого суммирования так, как сделал это во всех отношениях средний
математик Меркатор, который, не смутившись тем, что многочлен E)
имеет бесчисленное множество членов, проинтегрировал его и получил
результат, равносильный. формуле
\пA+х)=х-±.х*+~х*-^х*+... F)
Об этом результате Меркатор упомянул в своей книге «Логарифмо-
техника», вышедшей в 1668 г.
Спустя шесть лет, Ньютон писал Лейбницу, что это и многие
другие применения бесконечных рядов к интегрированию было ему
'известно ещё в 1665 г., но что, ознакомившись с книгой Мерка-
тора, он потерял интерес к дальнейшим занятиям этими вопросами,
предполагая, что либо сам Меркатор знает всё это, «либо другие
найдут остальное прежде, чем я окажусь в состоянии написать
об этом».
Если даже отнестись, как это сделал Лейбниц и вслед за ним
некоторые историки, с недоверием к этому сообщению и заподозрить,
что идею применения бесконечных рядов Ньютон заимствовал у Мер-
катора, то и тогда результаты Ньютона, которые были им сообщены
Коллину тотчас после ознакомления с «Логарифмотехникой», поражают
своей силой. А через два-три года в своём «Методе флюксий и бес-
бесконечных рядов» (напечатано в 1736 г., спустя 9 лет после смерти
автора ')) Ньютон дал развёрнутую картину применения рядов к инте-
*) И. Ньютон, Математические работы. Перевод проф. Д. Д. Морду хай -
Болтовского, 1937, стр. 25 —166.
10 М. Я. ВЫГОДСКИЙ
грированию функций и к решению дифференциальных уравнений вида
y = f(x, у),
где за f{x,y) можно взять любой бесконечный или конечный степенной
ряд вида ^^а1кх1ук. А так как Ньютон умел разлагать в ряды все «эле-
/с I
ментарные функции», то практически любое дифференциальное уравнение
оказывалось, таким образом, разрешённым. От внимания Ньютона
не ускользнуло, что рядами этими можно пользоваться лишь при
достаточно малых значениях х, у. Но и за пределами сходимости этих
рядов Ньютон находил решение дифференциальных уравнений путём
введения новых переменных х~а + х', у = Ь + у'. Это, разумеется,
равносильно разложению f(x,y) по степеням х — а, у — Ъ.
Ньютон не ставил вопроса об определении радиуса сходимости
рядов или хотя бы о доказательстве сходимости данного ряда. Он
довольствовался достаточно быстрым убыванием членов ряда. Тем
менее склонен был он подвергать сомнению законность почленного
дифференцирования и интегрирования рядов. Лейбниц и его ученики
уделяли этим вопросам несколько больше внимания. Лейбниц, например,
установил признак сходимости знакопеременных рядов, и сейчас
носящий его имя. Яков и Иоганн Бернулли обнаружили и доказали
поразительный для этой эпохи факт расходимости гармонического ряда
и других рядов с неограниченно убывающими членами.
6. Казалось бы, что факт существования рядов с убывающими
членами, и всё же расходящихся, должен был бы предостеречь против
безоговорочного перенесения на бесконечные ряды свойств многочле-
многочленов. На самом деле происходит обратное; наиболее существенные
открытия конца XVII и начала XVIII вв. в области исчисления бес-
бесконечно малых покоились на совершенно некритическом обращении
с бесконечными рядами.
Тот же Иоганн Бернулли в поисках наиболее общего метода
интегрирования в 1694 г. приходит к формуле, которую в изменённых
обозначениях можно представить в виде
[ v dx-rn
yjax-xy
dy 4- —х- ^L х'
dx +~1 • 2 • 3 dx* ~ 1 ¦ 2 • 3 • 4
Эту формулу он получает так.
] [одиитегральное выражение у dx представляется в виде
, , , х2 d2y , х2 d2y , х3 dzy
ydx + xdy — xdy— -—- -~ + -—- -г-- 4- ~л—г,—n ~гъ—
У ' У у 1 • 2 da; ' 1 • 2 Же ' 1 • 2 • 3 d%1
_ х3_ d*y_ xi сРу х* Д4?/ _ ,„,
1 ¦ 2 • 3 dx* 1 • 2 • 3 • 4 ~dx* ~^ 1 • 2 • 3 • 4 dx3 • ' ' ' '
Указывается, что аналогичное выражение можно построить и при
большем числе слагаемых. Затем первый и второй, третий и четвёртый
и т. д. члены объединяются и представляются в виде
х3 .Фу
1-2-3
Теперь выполняется почленное интегрирование, причём число
слагаемых сразу берётся бесконечным, а последний, непарный член.
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО Ц
просто отбрасывается. Спустя 20 лет, в 1714 г., английский математик
Брук Тэйлор, ярый сторонник Ньютона в споре о приоритете открытия
исчисления бесконечно малых, в своём «Методе приращений» вывел
формулу G) по существу тем же приёмом. Установив с помощью
интегрирования по частям (мы снова меняем обозначения), что
и что аналогичные формулы имеют место при любом числе членов,
он переходит к бесконечному ряду, совершенно не учитывая влияния
последнего слагаемого.
В этом же сочинении Тэйлор даёт, имея в виду ту же цель дать
общие методы квадратур, разложение функции у в бесконечный сте-
степенной ряд вида
, dz I , d2z .„.
y = z + v~di + ^v !&+••¦' (9)
где 2 есть значение функции у при некотором значении аргумента х,
а 15 есть приращение аргумента, соответствующее вычисляемому зна-
значению у.
Этот ряд (он был позднее назван рядом Тэйлора) Тэйлор, не за-
замечая его связи с рядом G), получает иными, но столь же «наивными»
средствами. Он исходит из интерполяционной формулы, данной
Ньютоном в 1711 г.1).
Пусть аргумент х получает, начиная со значения х = а, п после-
последовательных приращений, равных Ах, и пусть Af(a), А2/(а), A*f{a)
и т. д. суть конечные разности функции f{x), взятые при х=а,т. е.
Д/ (а) = / (а + Ах) - f (а), Д/ (а + Ах) = /[(а + 2Дх) - / (а)
а) = Д/ (а + Ах) — Д/ (а), Д2/ (а + Ах) = Д/ (а + 2Дж) — Д/ (а + Ах)
\
Тогда согласно формуле Ньютона мы имеем тождественно
где п есть любое целое положительное число.
Идея Тэйлора состоит в следующем. Положим nAx — h. Тогда
f (a + h) = f (a) + h —^- + —j-^ ^^- -\
1.2.3
Эта формула всё ещё содержит конечное число п + 1 членов: Тэйлор
не выписывает их дальше. Далее Ах предполагается бесконечно малым,
а Л—фиксированным. Тогда коэффициент h(h — Ах) «обращается» в А2;
h{h — Ах) (h — 2Дх)— в Лг и т. д., а величины -У* , I а и т- Д* —
df (a) da/ (a)
в производные v,' , ^ ' и т. д.
х) Ньютон, Математические раб-лы, пер. Д. Д. Мордухай—Болтовского,
ОНТИ, 1937, стр. 210-217.
12 м. я. выгодский
Отсюда Тэйлор получает формулу, которая в модернизованном виде
имеет вид
и которая совпадает с формулой (9), более близкой к оригиналу
по начертанию. Он не смущается тем, что число членов в формуле
A1) бесконечно велико, и не даёт себе труда оценить погрешность,
появляющуюся в последних членах формулы A0).
Таковы те чудовищные, с нашей точки зрения, приёмы, которые
применялись в XVIII в. при выводе наиболее важных результатов
анализа. В течение всего XVIII в. никто не попробовал положить
в основу вывода ряда Тэйлора оценку совершаемой погрешности.
Даже Лагранж, который в 1797 г. впервые поставил вопрос о погреш-
погрешности, происходящей вследствие замены бесконечного ряда Тэйлора
конечным числом его членов, не помыслил о том, чтобы исходить
из этой оценки при выводе ряда Тэйлора; этот ряд принимался им
за исходный принцип всей его теории функций.
Эйлер не представлял исключения из правила. Напротив, он был
смелее, чем все его предшественники.
Его не только не смущала мысль о возможной расходимости ряда,
но он оперировал с заведомо расходящимися рядами так, как если
бы они были обыкновенными многочленами.
7. Было бы, однако, большой ошибкой полагать, что математики
XVIII в., в частности предшественники Эйлера, не придавали значе-
значения или не интересовались вопросом обоснования анализа. Напротив,
и Ньютон, и Лейбниц, и их последователи не раз обращались к этому
вопросу. Но нельзя сказать, чтобы в XVIII в. было найдено такое
его решение, которое могло бы считаться достаточным. Недаром ещё
на исходе века, 1784 г., Берлинская академия, которую возглавлял
в то время Лагранж, объявила конкурс, в котором математикам всего
мира было предложено «дать ясную и строгую теорию того, что в мате-
математике называется бесконечным».
Здесь нет возможности сколько-нибудь полно осветить различные
точки зрения на природу математической бесконечности, которые
высказывались предшественниками Эйлера. Мы ограничимся поэтому
тем, что нам кажется безусловно необходимым для понимания пози-
позиций нашего автора.
Наиболее продуктивной точкой зрения—к ней обращались даже
её противники, когда от общих рассуждений они переходили к полу-
получению конкретных результатов—была точка зрения, которую мы
назовём лейбницевой, так как Лейбниц и его ученики развивали её
наиболее последовательно.
В учебнике анализа бесконечно малых, который выпустил в 1696 г.
Лопиталь и который, как заявляет автор *), написан под сильным
влиянием братьев Бернулли, особенно младшего, Иоганна, бесконечно
малая величина определена, выражаясь на современном языке, аксио-
аксиоматически. Именно выставляется следующий постулат: «Требуется,
чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно
х) Г. Ф. Лопиталь, Анализ бесконечно малых, Перевод Н. В. Левп,
под род. А. П. Юшкевича, ГТТИ, 1935, ст.р. 59.
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО 13
малую величину, можно было брать безразлично одну вместо другой
или (что то же самое) чтобы величина, которая увеличивается или
уменьшается лишь на другую величину, бесконечно меньшую, чем
она сама, могла быть рассматриваема, как остающаяся той же самой
величиной». Второй постулат требует, чтобы кривую линию можно
было рассматривать как ломаную с бесконечным числом бесконечно
малых звеньев.
Дифференциал Лопиталь определяет как бесконечно малое при-
приращение. Все формулы дифференциального исчисления он получает
затем с большой лёгкостью. Так,
d (ху) = (х + dx) (у + dy) — xy — xdyArydx-\-dxdy = xdy-\-y dx,
«ибо dxdy есть величина, бесконечно малая по сравнению с другими
членами у dx ж xdy».
Итак, бесконечно малая величина в этой концепции не есть
нуль, но ведёт себя в известных случаях, как обыкновенный нуль.
На ту же точку зрения иногда становился и Ньютон.
«Так как мы предположили 0 бесконечно малой величиной,—
говорит он при выводе соотношения между флюксиями (производ-
(производными) количества;,?/, связанных соотношением х3 — ах2 + аху — у3~0,—
то те члены, которые на неё умножены, можно считать за ничто
в сравнении с другими. Поэтому я ими пренебрегаю...»1).
Однако математики XVII — XVIII вв., одни, как Ньютон, в боль-
большей, другие, как Лейбниц, в меньшей мере, не были вполне успокоены
(почему— скажем ниже) такой концепцией и искали иного выхода.
Так, Лейбниц в своём основном мемуаре 1684 г. определяет дифферен-
дифференциал dx независимой переменной, как произвольное количество, а
дифференциал dy зависимой переменной как такое количество, отно-
отношение которого к dx равно отношению приращения ординаты каса-
касательной к приращению абсциссы.
Некоторые историки хотят видеть в этом определении современ-
современное определение дифференциала функции как произведения производ-
производной па приращение аргумента. Оно было бы таковым, если бы Лейбниц
умел дать определение углового коэффициента касательной, и самое
важное, если бы он умел вывести формулы дифференциального исчис-
исчисления, исходя из этого определения. Но эти формулы он получает
так же, как это впоследствии сделал Лопиталь.
Если Лейбниц использует геометрическую интерпретацию, то
Ньютон, стремясь обеспечить строгость изложения, исходит в «Методе
флюксий» из механической картины, определяя «флюксию» (производ-
(производную) как скорость изменения функции относительно аргумента, кото-
которому приписывается роль времени. Однако при выводе основных
соотношений между флюксиями он, как мы видели, вынужден поль-
пользоваться тем же приёмом, что и Лопиталь.
В «Математических началах натуральной философии» A687 г.)
Ньютон ещё ближе, чем в «Методе флюксий», подходит к идее предела
и даже употребляет термин «предел», который, можно сказать, отсюда
и ведёт своё происхождение. Это дало основание многим учёным
видеть в ньютоновом «методе первых и последних отношений»
далеко идущее предвосхищение идей Коши. Академик Н. Н. Лузин
J) Ньютон, Математические работы, стр. 50.
14 м. я. выгодский
считает даже, что у Ньютона «теория пределов выполнена с гораздо
большей осторожностью, чем у Коши» *). Против такого взгляда можно
было бы выставить много возражений. Анализируя рассуждения,
проводимые Ньютоном при выводе конкретных результатов, можно
показать, что идея предела не является у него математическим ору-
орудием, не является составной частью действующего аппарата. Это
потребовало бы, однако, большего места, чем мы располагаем в дан-
данной статье. Кроме того, всегда можно было бы ожидать контрвозра-
контрвозражения, что Ньютон, отчётливо владея методом пределов, не мог ещё
или даже не стремился к тому, чтобы придать ему столь же отчёт-
отчётливое словесное выражение.
Однако если не только в 1687 г., но и четверть века спустя,
Ньютон, говоря о принципиальных вопросах обоснования анализа,
высказывает суждения, идущие вразрез с концепцией предела у Коши,
то мы вправе сказать, что идея предела у Ньютона и не могла быть
рабочим орудием анализа. Между тем, в
«Рассуждении о квадратуре кривых», по-
появившемся в 1711 г., мы находим именно
такие суждения. Ньютон рассматривает
здесь секущую СК и касательную СИ
(рис. 2). «Если, — говорит Ньютон2),—
точки С и с отстоят друг от друга на
какой-нибудь малый промежуток, то пря-
С К
у ру р
2. мая С К мало отстоит от касательной
СИ. Для того чтобы прямая СК совпала
с касательной СН и нашлись бы последние отношения линий СЕ, Ее
и сС, необходимо, чтобы точки С и с сошлись и совершенно совпала 3).
В математике не следует оставлять без внимания и самые малые
ошибки». Таким образом «последнее отношение» или, что по Ньютону
то же, «предел» отношения сЕ : СЕ (в современных обозначениях Ау : Лх)
здесь есть не что иное, как значение Ау: Ах в тот момент, когда
точки Сие совершенно совпадают, т. е. когда Ах в точности равно
нулю.
Здесь, таким образом, Ньютон решительно отказывается от по-
позиции, занятой им в «Методе флюксий», но вместо с тем вступает
в противоречие с заявлением, сделанным им в «Началах»: «Предель-
«Предельные отношения исчезающих количеств не суть отношения пределов
этих количеств», на которое часто ссылаются как на отчётливую
формулировку идеи предела 4). Вместо этого в «квадратуре кривых»
высказывается, правда не в достаточно развёрнутой форме, положение,
что флюксия (производная) есть отношение нулей.
На эту точку зрения стал в своём «Дифференциальном исчисле-
исчислении» Эйлер.
8. Может показаться очень удивительным, что математическая
мысль в течение многих десятилетий после Ньютона не могла стать
на путь сколько-нибудь последовательного проведения идеи предела,
г) Н. Н. Лузин, Ньютонова теория пределов в сборнике «Исаак Ньютон,
АН СССР, 1943, стр. 55.
2) Ньютон, Математические работы, стр. 168.
3) Курсив мой. М. В.
4) Как мы указывали, на самом деле и в «Началах» эта точка зрения не дей-
действенна.
вступить:льное слово 15
которая ныне является предметом элементарного преподавания.
Причину этого явления многие видят в том, что «математики полага-
полагались на беглость, с которой постепенно приучались выполнять эти
операции (операции с 'бесконечно малыми величинами), и на оче-
очевидную правильность множества полученных результатов и не забо-
заботились дальше о принятии нужных мер предосторожности» *). Часто
ссылаются на даламберовский совет «Travaillez, et la foi viendra»
(работайте, и уверенность появится) и в этом усматривают подтвер-
подтверждение упомянутого объяснения.
Нельзя, конечно, отрицать, что правильность результатов была
источником оптимизма, выраженного в даламберовском афоризме и что
она давала математикам XVIII в., так сказать, моральную поддержку
в их творческой работе.
И всё же упомянутое объяснение представляется мне недоста-
недостаточным. Действительно, математики XVIII в. прекрасно видели необ-
необходимость обеспечить строгость и безупречность результатов, тем
более что не всегда была налицо уверенность в их правильности
(достаточно, например, вспомнить споры о логарифме отрицательного
числа и о задаче звучащей струны). А если бы они и были уверены
в правильности результатов, то непрекращавшиеся нападки со стороны
критиков от Беркли до Гегеля должны были побуждать, хотя бы
в целях самообороны, построить крепость анализа на более солидном
фундаменте.
В попытках такого рода и в самом деле .не было недостатка.
Однако ни Ньютону, ни Лейбницу, ни Эйлеру, ни Даламберу, у ко-
которого современная идея предела была высказана с большой отчётливо-
отчётливостью, ни Лагранжу, не говоря о десятках других, менее крупных деяте-
деятелей науки, не удалось создать действующего аппарата, который мог бы
выдержать логическую критику.
Чтобы понять, почему упомянутые попытки не достигали цели,
мы должны обратить внимание на то, что математика XVHI в. имела
своеобразный идеал строгости.
Этот идеал отнюдь не совпадал с античным, с позиций которого
исходила философская критика и на почве которого ещё пытались
удержаться некоторые математики XVII века ").
Античная математика опиралась на весьма развитой формальный
аппарат; хотя он и являлся продуктом абстракции от наглядных
образов, приобретённых из внешнего мира, однако в самом математи-
математическом мышлении приобрёл характер абсолютных норм. В тех довольно
многочисленных случаях, когда этот аппарат оказывался недостаточ-
недостаточным для логической обработки некоторого конкретного материала,
античные математики готовы были принести содержание в жертву
форме. Так, Евклид совершенно игнорирует задачу спрямления окруж-
1) Г. Ц е й т е н, История математики в Х\ I и XVII вв. Перевод П. Новикова,
ГТТИ, 1933 г.
То же мнение высказывает Г. Клейн, Лекции о развитии математики в XIX
столетии, перевод Б. Лившица и др., 1937, стр. 39. Я бору эти два высказывания
наудачу. Число их очень велико.
2) Разумеется, я не утверждаю, что идеал строгости в математике изменялся
в ночь с 31 декабря 16^9 на 1 января 1700 года; под термином «математика 18 века»
я понимаю здесь эпоху, открывающуюся завершением создания исчисления бес-
бесконечно малых G0—80-е годы 17 века) и заканчивающуюся в 80—90 годах 18 века;
при этом речь идёт не о всех математиках поголовно, а о преобладающей точке
зрения.
16 М. Я. ЕЫГОДСКИП
ности, задачу квадратуры круга и многие другие проблемы, занимав-
занимавшие умы его предшественников, потому только, что для их решения
традиционный формальный аппарат был недостаточным.
Практическая устремлённость математики XVIII в. не могла
мириться с этой прокрустовой манерой древних. Но создание нового
формального аппарата, который мог бы охватить новый круг вопросов
науки о природе, было в то время делом непосильным: слишком мало
было исследовано идейгое содержание обширного и каждодневно
увеличивающегося материала математических фактов. К тому же
на математике не могла не отразиться основная тенденция философии
XVIII в. Ведь материализм XVIII в. исходил из предпосылки, что
содержание всякого мышления и знания происходит из чувственного
опыта.
Вот почему формальной критике анализа бесконечно малых мате-
математики XVIII в. противопоставляли апелляцию к природе и её законам,
разумеется, в том метафизическом понимании последних, которое
было присуще этой эпохе.
Таким образом, если античный идеал строгости в математике
состоял в согласованности рассуждений с установившимися формаль-
формальными нормами, то идеал строгости в XVIII в. состоял в согласован-
согласованности рассуждений с законами природы. 1равда, этот идеал, насколько
мне известно, никем из математиков XVIII века не был сформулиро-
сформулирован, ибо в то время проблема доказательства, как таковая, ещё
не возникала.
Но не случайно Ньютон, Маклорен и другие английские математики
вводят в учение о флюксиях понятие механического движения.
В апелляции к процессу «течения» они ищут оправдания формаль-
формальных операций исчисления флюксий. Современная математика идёт
обратным путём: формальные операции она стремится положить
в основу описания движения.
Но при интуитивном восприятии движения скорость его нелегко
представить как предел отношения As : At, ибо течение времени
необратимо, и стремление At к нулю, так сказать, насилует естествен-
естественную направленность процесса.
Характерно, что когда Ньютон хочет пояснить понятие «послед-
«последнего отношения» на примере из области механики, он рассматривает
As i-
не величину u = lim -г—, а величину, которую я обозначу через о и ко-
которую я обозначу через v и которую Ньютон определяет, как «скорость,
которую имело тело ранее, чем. оно достигло места, где движение
прекращается»1). Эту величину он сравнивает с величиной, которую
я обозначу через v0 и которую Ньютон определяет, как «ту скорость,
обладая которой тело достигает крайнего места и при которой дви-
движение прекращается». Величину v Ньютон уподобляет отношению х:у
двух бесконечно малых количеств х,у, а величину к0 —пределу этого
отношения. Из контекста ясно, что Ньютон рассматривает случай,
когда и0ф02), т. е. когда тело «на полном ходу» наталкивается на пре-
х) Ньютон, Математические начала натуральной философии, пер. А. Н. Кры-
Крылова, Известия Никол, морск. акад., вып. IV, 1915, стр. 64.
2) Это ясно из того, что в том же абзаце, сопоставляя состояние тела в момоит
достижения места остановки и состояние его после достижения места остановки,
Ньютон говорит, что после остановки у тела <<нет скорости», в момент же оста-
остановки, как видно из цитированной фразы, у тела, по Ньютону, скорость есть.
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО J7
пятствис, останавливающее его или, выражаясь на современном мате-
математическом языке, когда скорость v является в рассматриваемой
точке разрывной функцией времени1). Таким образом для иллюстрации
предельного перехода пример Ньютона является совершенно непод-
неподходящим.
Лсйбницево понятие дифференциала как постоянной, но неизмеримо
малой, величины, при всей его формальной противоречивости, гораздо
лучше подходило к фактически применяемому способу определения ско-
скорости как отношения достаточно малого пути к соответственному
промежутку времени. Этим и нужно, мне кажется, объяснить факти-
фактическое преобладание концепции Лейбница. Конечно, для ньютонианцев
эта концепция была неприемлема, но даже Ньютон в «Началах»,
против своего желания, сбивается на путь Лейбница. «Я разумею,
говорит он, — эти количества (произведения двух множителей) как
неопределённые и изменяющиеся... и как бы возрастающие или убы-
убывающие от постоянного движения или течения, и их мгновенные при-
приращения или уменьшения разумею под словом „моменты"». Надо
подразумевать, что это суп, едва-едва зарождающиеся начала конеч-
конечных величин 2).
Правда, Ньютон тут псе оговаривается, что за моменты нельзя
принимать конечные частицы. Однако из этого следует лишь то, что
он не хочет мыслить лейбницевыми образами и тем не менее невольно
пользуется ими.
Чтобы подтвердить правильность высказанного здесь суждения
о математическом идеале XVIII в., приведу ещё несколько примеров.
В 1734 г. знаменитый философ Д. Беркли выступил с развёрну-
развёрнутой критикой ньютоновых методов обоснования анализа 3). Эта критика
вскрывала все слабые с формальной точки зрения места ньютонова
обоснования. Последователи Ньютона, Робине и Джюрин, возражали
г) Это обстоятельство я хотел бы особоню подчеркнуть, так как недавно
академиком А. Н. Колмогоровым как раз в связи с рассмлтриевым иримором было
выскшшо противоположное мнение. Вот что пяшет А. Н. Колмогоров в своей статье;
«Ньютон и современное математическое мышление» (сборник «Московский Универ-
Университет—-памяти Исаака Ньютона», Издание МГУ, 1946, стр. 35—36):
«Часто Ньютона упрекают в непоследовательности за то, что он нередко
говорит о предельном значении отношения Я = х : у при х -> 0, у -+ 0, как о значе-
значения, к которому отношение А стремится и которого в конце концов дости-
достигает. Часто считают, что он тем самым приходит к определению в духе Лейб-
nuia —Эйлера предельного отношения, пак отношения двух бесконечно малых или
ещё вульгарнее—двух нулей. В действительности дело объясняется тем, чти
у Ньютона функция автоматически считается определенной по непрерывности
в тех точках, в которых она имеет определённый предел . . . Так как функции
(флюенты) у Ньютона но самому определению непрерывны, то в таком подходе
к делу нет логической ошибки».
Что функции у Ньютона вообще предполагаются непрерывными (только не
по определению, а в качестве неявной предпосылки) это верно; но именно это
и даёт нам право говорить о непоследовательности Ньютона в данном случае.
Кстати сказать А. Н. Колмогоров па стр. 35 упомянутой его статьи сам подчёрки-
подчёркивает, что в рассматриваемом примере величину скорости в момент прекращения
движения Ньютон считает неравной нулю. Поэтому в данном случае Ньютон и
в самом деле «скатывается» на позчцин Лейбница (о позиции Эйлера речь будет
дальше), хотя трудно сказать, что он «приходит к определению» в духе Лейбни-
Лейбница—Эйлера, потому что он хотел бы избежать подобных определений. И это—
не единственный случай (см. ниже в тексте).
2) Ньютон, Математические начала натуральной философия, пер. А. Н. Крылова,
Известия Никол. Морск. акад., вып. V, 1916, стр. 20.
3) The Annalyst or A Discourse addressed to an Infidel Mathematician. The
Works' of G. Berkeley, 1901, т. III.
2 л. Эйл»р
18 м. я. выгодскип
Беркли. Но в понимании ньютоновой концепции предела они разнились
друг с другом. Их разногласие может показаться с современной
точки зрения беспредметным. Спор шёл о том, достигает ли перемен-
переменная величина предела или нет. Но по сути дела, спорили о том, что
составляло, как мы видели, камень преткновения для Ньютона: равна
ли нулю бесконечно малая величина. Для решения этого вопроса
Джюрин рисует такую физическую картину: пусть правильный много-
многоугольник вписан в окружность; затем число его сторон последователь-
последовательно удваивается. Обратится ли он в окружность или лишь будет
неограниченно приближаться к ней? Если первое удвоение совершается,—¦
говорит Джюрин,— за час, второе — за полчаса, третье — за четверть
часа и т. д., то через два часа многоугольник обратится в окружность.
Зенон, рассматривая аналогичный пример (Ахилл, догоняющий
черепаху), приходил к выводу о невозможности движения, основы-
основываясь на логических соображениях. Математик XVIII в. отвергает
логические доводы, опираясь на законы движения. В этом сказывается
характерная черта математики XVIII в., на которую мы обратили вни-
внимание читателя.
Приведём другой пример. В 1696 г. Яков Бернулли, применив
меркаторов приём деления — = 1-—х-\-х'2— ос3 -\-... к случаюх = 1,
получает, по его выражению, «изящный парадокс»
1=1 — 1 + 1-1-1... . A2)
Он даёт тут же и объяснение этого парадокса: нри делении полу-
чается остаточный член, равный ±— . Этот остаток и дополняет сумму
в правой части, которая равна 0 или 1, до половины.
Казалось бы, это исчерпывающее объяснение должно было бы
удовлетворить самым строгим требованиям, Однако вокруг этого
парадокса вскоре возгорелся оживлённый спор.
В 1703 г. Гранди пытался объяснить равенство
A_1)+A_1) + ...= 0+0-'-...+ 0 = 1,
которое он считал равносильным равенству A2) как символическое
выражение всемогущества бога, который сотворил мир из ничегох).
Впрочем, тот же Гранди, чувствуя, видимо, недостаточность
своей «интерпретации», прибег позднее к другой: отец оставляет
в наследство двум сыновьям дрогоценный камень, который должен
один год находиться в обладании одного брата, на следующий год пе-
переходить к другому и т. д. Продать его сыновья' не могут. Таким об-
образом, сокровище фактически разделено пополам, тогда как первый
из братьев обладает последовательно суммой 1, 1 — 1, 1 —1 + 1 и т. д.
Лейбниц отверг и это объяснение Гранди. Предложенное самим
Лейбницем объяснение сводится к тому, что сумма ряда имеет рав-
равные шансы быть равной нулю или единице, а потому, по теории веро-
вероятностей, она должна быть равна половине. Лейбниц при этом ссылает-
ссылается на объективную основу законов теории вероятностей: в природе, —
говорит он, — господствует справедливость; она предписывает вещам
*) М. Cantor, Vorlesungei iiber Geschichte der Mathematik, 2-е изд.,
т. Ill, стр 365.
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО 19
«закон непрерывности», и применение этого закона «никогда не при-
приводит к ошибкам, хотя бы оно и не покоилось на строгом доказатель-
доказательстве»1).
Мы видим, что Лейбниц становится здесь на натурфилософскую
позицию, хотя математическая сторона дела уже была полностью
вскрыта его учеником.
Христиан Вольф в 1710 г., защищая инфинитезимальную концеп-
концепцию Лейбница, пишет: «Заметьте хорошенько, что бесконечно малая
величина только по сравнению с другой может быть принимаема за
нуль; сама же по себе она не является нулём. В самом деле, пред-
представьте, что вы желаете измерить высоту горы и что во время этой
работы ветер сдул песчинку с её вершины. Итак, гора стала ниже на
диаметр песчинки. Однако так как измерение горы производится
таким образом, что величина высоты окажется одной и той же,
лежит ли песчинка на её вершине или сдута ветром, то можно счи-
считать песчинку по сравнению с большой горой за ничто и таким обра-
образом считать её величину по сравнению с высотой горы за бесконечно
малую»2).
Снова апелляция к прообразам бесконечно малых величин в дей-
действительности.
Эйлер полемизирует с Вольфом. Ему нетрудно показать логиче-
логическую несостоятельность аргументов Вольфа. Вопреки Вольфу, он дока-
доказывает, что бесконечно малое количество есть самый настоящий нуль.
Но он поступает, как Вольф, когда своё положение стремится, согла-
согласовать с физической картиной (бесконечная протяжённость вселенной,,
бесконечная делимость материи) 3). В этом-то стремлении положить
в основу формальных операций математики внешние моменты и состоит,
как я полагаю, причина неудач, которые постигали все попытки
обоснования анализа в XVIII в.
Став на эту точку зрения, мы легко поймём, что слабость мате-
математики XVIII в. была в то же время её силой. Если бы математики
XVIII в. могли стоять на позициях формального обоснования (разу-
(разумеется, это было исторически невозможно), то исчисление бесконечно
малых никогда не было бы создано.
9. Перу Эйлера принадлежит 783 работы по самым различным
вопросам математики, механики, астрономии, физики, техники и фило-
философии. Но едва ли не наибольшее внимание в течение всей своей
долголетней научной деятельности — он начал её двадцатилетним юно-
юношей в 1728 г. и интенсивно работал до самой смерти A783 г.), кото-
которая застала его за вычислительной работой, — Эйлер уделял развитию
методов анализа бесконечно малых и в первую очередь развитию уче-
учения о рядах. Его первые юношеские работы были посвящены реше-
решению задачи о геодезических линиях; из этого выросло созданное Эйле-
Эйлером вариационное исчисление, которое он систематически изложил
в опубликованной в 1744 г. работе 4).
*) М. Cantor, Vorlesunjjeu йЪ>-т Geschichte tier Matliematik, 2-е изд. т. III,.
стр. 367.
a)Ch. Wolff, Die Anfangsgriinde aller mathematischen Wissenschafteii,
1710. Цитирую по переводу С. Я. Лурье в сборнике «Л. Эйлер» АН. СССР, 1935,
стр. 60.
3) См. в «Дифференциальном исчислении», гл. III, § 75 — 76.
4) Л. Эйлер, Метод нахождения кривых линий, обладающих свойством ма-
максимума или минимума. Русский перевод Я. М. Боровского, под ред. чл.-корр~
АН СССР И. С. Котлякова, ГТТИ, 1934.
20 М. Я. ВЫГОДСКИЙ
Но уже с 17,'jO г. в центре внимания Эйлера окалываются беско-
бесконечные ряды и их многообразные приложения. Едва закончив работу
лад «Методом нахождения кривых», Эйлер составляет план «полного трак-
трактата об исчислении бесконечно малых», о котором он пишет и письмо
к Гольдбаху 4 июля 1744 г. Выполнение этого плана составило важ-
важную часть Bceii дальнейшей работы Эйлера. В 174S г. в Лозанне
вышло его «Введение в анализ бесконечно малых». Первая часть
этого труда имеется в русском переводе '); па неё Эйлер неоднократно
ссылается к печатаемой здесь работе. Во второй части излагается ана-
аналитическая геометрия и элементы дифференциальной геометрии. На
эту часть Эйлер в «Дифференциальном исчислении» совершенно не
•опирается. Современному читателю нот необходимости для пони-
понимания «Дифференциального исчисления» предварительно изучать
«Введение», так как п большинстве случаев ссылки Эйлера касаются
результатов, которые пыле общеизвестны. Однако многие главы
«Введения» имеют самостоятельный интерес и дают поучительный
материал для чтения. Содержание «Введения» выходит далеко за пре-
пределы того, что необходимо для понимания дальнейших частей эйле-
эйлерова трактата. По словам Эйлера, ого целью при составлении «Введе-
«Введения» было заставить читателя «незаметно и как бы сверх ожидания
ознакомиться с идеей бесконечного» ~). Но мы не ошибёмся, если
добавим, что Эйлер- преследовал ещё другую цель: собрать воедино
и систематически изложить результаты, пол\чонлые в течение почти
20 лет работы, которые, будучи печатаемы в научных журналах, глав-
главным образом в «Записках Петербургской академии» (Commentarii
-Academiae Petropolitanae), были мало доступны учащимся.
Главное внимание во «Введении» Эйлер уделяет разложению раз-
различных выражений в ряды, суммированию рядов и применению рядов
к решению разнообразных вопросов алгебры, тригонометрии и теории
чисел.
После сказанного выше мы не должны удивляться тому, что
Эйлер не основывает изучение бесконечных рядов на понятии сходи-
сходимости. Он просто переносит на них все свойства алгебраических выра-
выражений и с помощью виртуозных преобразований получает множество
поразительных результатов. Может быть, наиболее замечательной
в этом смысле главой является глава XVI, где Эйлер рассматривает
теоретико-числовую проблему, и до сих пор не разрешённую до конца.
Операция дифференцирования, естественно, не рассматривается во
«Введении», но без бесконечно малых и бесконечно больших величин
Эйлер обойтись всё же не может. Мы уже упоминали — и ещё вернёмся
к этому вопросу, — что в «Дифференциальном исчислении» Эйлер ста-
становится на ту точку зрения, что бесконечно малая величина есть
постоянная величина, в точности равная нулю. Во «Введении» он,
видимо, старается уклониться от рассмотрения принципиального во-
вопроса о природе бесконечности. Но там, где ему приходится иметь
дело с бесконечно малыми, он выражается о них в стиле школы
Лейбница.
Так, разложение функции ах по степеням х Эйлер начинает сле-
следующим рассуждением *):
1) Л. Эйлер, Введение в анализ бесконечномалых, т. I, пер. Е. Л. Паца-
новского, под ред. проф. С. Я. Лурье, ОНТИ, 1930.
*) Цит. соч., стр. 25.
3) «Введение», стр. 115 русского перевода.
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО 21
«Так как а0 — 1 и при возрастании показателя числа а одновре-
одновременно увеличивается значение степени, если только а есть число,
большее единицы, то отсюда следует, что когда показатель бесконечно
мало превышает пуль, то сама степень также бесконечно мало пре-
превзойдёт единицу. Если со будет числом бесконечно малым, т. е. стиль
малой д роб ми, что она только-только не равна нулю1'), m а'0 = 1 -j- <'j7
причём О будет также числом бесконечно малым».
Здесь с полной определённостью сказало, что бесконечно малая
величина ие равна пулю. Таким образом, в 1744—1745 гг., когда
Эйлер приступил к составлению своего «Введения», он ещё стоял ira
позициях своего учителя 1!'0ганна Бсрнулли. Весьма вероятно, что
уже в 1748 г., когда «Введение» появилось в печати, Эйлер уже изме-
изменил свою точку зрения 2).
10. Второй частью энциклопедическою труда Эйлера явилось печа-
печатаемое здесь «Дифференциальное исчисление». Оно было сдано Эйле-
Эйлером в печать ещё и 1748 г.. по полнилось в свет лишь л 1755 г. Хотя
Эйлер в эю время (с 1741 по 17оC г.) жил в Берлине, но он, как
член Петербургской Академии, печатал многие свои работы в России.
В Петербурге было издано и «Дифференциальное исчисление». Спустя
15 лет Петербургская Академия закончила печатанием и последнюю
часть эйлеровой трилогии, «Интегральное исчисление», в трёх больших
томах A768—1770 гг.). Дополнительны)!:, четвёртый, том вышел уже
после смерти Эйлера в 1794 г. Здесь мы должны ограничиться обзо-
обзором «Дифференциального исчисления».
Оно состоит из двух частей. Первая посвящена дифференциальному
исчислению в собственном смысле слова. Вторая даёт приложения
дифференциального исчисления к теории рядов, к высшей алгебре,
к теории максимума и минимума и к другим вопросам анализа. Пер-
Первоначально Эйлер предполагал посвятить специально геометрическим
вопросам третью часть «Дифференциального исчисления»; в конце
цервой части он говорит, что переходит к изложению приложений
дифференциального исчисления к учению о рядах и к геометрии.
В последних главах 2-й части, начиная с 11-й, имеются даже ссылки
на третью часть, посвященную геометрическим приложениям3). Но
в заключительных словах предисловия (из которого видно, что предис-
предисловие было написано в последнюю очередь) Эйлер говорит, что он вовсе
но касается приложений дифференциального исчисления к геометрии
кривых линий. Ясно, что Эйлер, отказавшись в последний момент от
намерения включить в книгу третью часть, пе имел времени просмот-
просмотреть написанный текст, чтобы исключить из него ненужные уже ссылки.
Тем: удивительнее, что эта книга представляет собой стройное целое
и, несмотря па свои размеры, легко обозрима.
Ей предпослано довольно большое предисловие, написанное, как
мы видели, в последнюю очередь. Кроме очень сжатого и схематиче-
схематического исторического очерка, оно содержит мало нового по сравнению
с текстом книги. Важно отмстить, что здесь Эйлер после обстоятельно
разобранного примера (полёт ядра; это единственный физический
х) ...tantum no I niiiil.i '¦¦it aequalis. (Курсив ной. —М. В.)
2) См. статью С. Я. Лурье «Эйлер и его исчисление нулей» в сборнике
«Л. Эйлер» ЛИ СССР, 1У:>7, стр. 57.
3) Сохранилась незаконченная рукопись этой третьей части. Она была впервые
напечатана в 1862 г. в I т. посмертных сочинений Эйлера: Leonardi Euleri opera,
postuma, т. I. стр. 32'i.
22 м. я. выгодский
пример во всей книге!) даёт то общее определение функции, с которого
и поныне начинаются все популярные учебники анализа.
Однако это определение так же, как упоминаемое в предисловии
понятие предела, у Эйлера почти не действует. В «Дифференциальном
исчислении» функция рассматривается преимущественно как «анали-
«аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого пере-
переменного количества и чисел или постоянных количеств». Так Эйлер
определял функцию во «Введении в анализ». Так определял функцию
и его учитель Иоганн Бернулли ещё в 1718 г. Определение, данное
в предисловии, навеяно, вероятно, ньютоновским понятием «соотнесён-
«соотнесённого количества».
Авторы, писавшие до Эйлера общие сочинения по анализу — Нью-
Ньютон, Лопиталь, Бернулли, Краг, Маклорен, — в большей или меньшей
мере связывали основные понятия анализ» с геометрическими или
механическими образами. Эйлер впервые поставил себе целью изло-
изложить анализ абстрактно. Противопоставляя свою книгу другим сочи-
сочинениям, где «начальные основы дифференциального исчисления как
бы исходят из геометрии», он не без гордости говорит, что в его
книге «всё изложение ограничено пределами чистого анализа, так что
для изложения всех правил не понадобилось ни одного чертежа».
В этом отношении сочинение Эйлера послужило образцом для мно-
многих последующих сочинений по анализу, и в настоящее время, более
чем когда-либо прежде, абстрактность изложения анализа является
идеалом, к которому стремятся многие авторы. Посмотрим, как осу-
осуществляет этот идеал Эйлер.
11. В первых двух главах 1-й части Эйлер строит базу, на кото-
которой он, далее, хочет построить учение о дифференциалах. Этой базой
служит исчисление конечных разностей. Имеющийся здесь материал
не нов. Он содержался в работах Ньютона, Тэйлора, Стирлинга.
Однако благодаря доступности изложения и обилию прекрасно подо-
подобранных примеров (в том и другом Эйлер показывает себя непревзой-
непревзойдённым мастером на протяжении всей книги) читатель здесь мог
впервые найти краткое, связное и ясное изложение основ исчисления
конечных разностей. Нужно отметить, что Эйлеру принадлежат и упо-
употребляемые здесь обозначения, в частности, общепринятые сейчас обо-
обозначения приращения буквой Д, образцом которого послужило ему,
очевидно, лейбницево обозначение дифференциала d.
Уже в этих первых главах обнаруживаются особенности изложе-
изложения, связанные с особенностями математического мышления Эйлера
и его эпохи. Мы говорили выше о том, что математики XVIII в. для
оправдания новых понятий и операций привлекали на помощь явле-
явления внешнего мира. Это обстоятельство, а также и замечательная
сила, которой, как оказалось, обладает математический алгоритм,
породили уверенность в том, что математические действия, как и явле-
явления природы, подчинены законам, которые, подобно законам природы,
даны нам, так сказать, принудительно. Математик XIX в. стремился
вывести математическую закономерность; математик XVIII в. стре-
стремился её открыть, в уверенности, что она существует вне зависимости
от тех или иных соглашений. Так, для математика XIX в. выраже-
выражение 1 • 2 • 3 ¦ ...» п имеет смысл только для целых п, т. е. функция
и! определена только для целочиследных значений аргумента. Для
остальных значений её можно доопределить с большей или меньшей
степенью произвола. Для Эйлера закономерность, определяющая и!
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО 2'Л
для целочисленных п, представляется совершенно достаточной для
того, чтобы искать значение Г-уу'- Ещё до 1730 г. он нашёл1), что
= ;Г " ^ примере 1 § 402 второй части настоящей книги чита-
читатель найдёт этот вывод.
Совершенно таким же образом Эйлер в §§ 17 и 18 I главы «Диффе-
«Дифференциального исчисления» переносит на дробные и отрицательные пока-
показатели найденные им для целых показателей формулы конечных раз-
разностей. Так действовал и Ньютон, перенося на дробные и отрицатель-
отрицательные показатели мультипликативный закон образования биномиальных
коэффициентов, обнаруженный для целых показателей. Но и тогда,
когда Эйлеру нужно установить какой-либо закон, имеющий место
для целочисленных значений аргумента, он поступает не так, как
поступил бы математик нашего времени. Он ограничивается наблюде-
наблюдением этого закона для некоторого (притом довольно небольшого) числа
значений, подобно тому как естествоиспытатель устанавливает всеоб-
всеобщий закон природы из конечного числа наблюдений.
Так, в § 10 гл. I Эйлер находит непосредственным вычислением
¦формулы, которые мы написали бы в виде
f(h),
Приведя ещё две дальнейшие формулы для A*f(x) и Л5/ (х), он
устанавливает, что «коэффициенты в этих формулах подчинены тому же
закону, который наблюдается у степеней бинома». В дальнейшем же
он ссылается на тождественность этих коэффициентов с биномиальными
для разности любого порядка.
Не нужно думать, что Эйлер не даёт в таких случаях общего
доказательства ввиду его трудности или, наоборот, предоставляет
проведение лёгкого доказательства читателю. Нет, для него самого
«неполная индукция» вполне убедительна. Кто усомнится в этом,
пусть прочтёт §§ 13—15 первой главы, где Эйлер устанавливает связь
между коэффициентами в выражениях разностей функции х". Эта связь
усматриваемся Эйлером из таблицы первых семи разностей. Приведён-
Приведённые же Эйлером общие формулы, выражающие эту связь, содержат
ошибку. Систематическое её повторение исключает возможность опе-
опечатки или описки 2). Если бы Эйлер сделал попытку доказать упомя-
упомянутый закон связи, он тотчас же обнаружил бы эту ошибку и испра-
исправил бы её.
На протяжении всего «Дифференциального исчисления» Эйлер
лишь один раз доказывает обнаруженный им по индукции закон, да
и то по особым обстоятельствам. Из рекуррентной зависимости, най-
найденной им в § 111 2-й части для коэффициентов а, C, у, 8, г, ...
1) De progressionibus transcendentibus seu quorum termini algebraicj dari
aequeunt, Commeniarii Academiae Petropolitanae, т. V A730), стр. 36 — 57.
2) См. примечание к § 15 ч. 1.
24 М. Я. ВЫГОДСКИЙ
формулы суммирования, он последовательно определяет значения
а, р, у, • •. Найдя, что
2 = - ~ , з О,
72J ' '
он замечает (§ 112), что «продолжая это вычисление дальше, будем по-
последовательно находить, что члены попеременно исчезают». В другом
аналогичном случае это наблюдение показалось бы, вероятно, Эйлеру
достаточным для установления общего закона. По в данном случае его вни-
внимание привлекает тот факт, что первый член а — • - представляет исключе-
исключение из установленного правила.«Вследствие этого, — говорит Эйлер,—пред-
Эйлер,—представляется, что ряд этих значений вступает в столкновение с законом
непрерывности». Вот почему Эйлер считает необходимым «строго дока-
доказать, что все нечётные члены, кроме первого, необходимо должны
исчезать». С этой целью Эйлер рассматривает ряд
1 + аи + |Вгг-|-угг3 + Ьи*-\- . .. A3)
Пользуясь исходным рекуррентным законом, связывающим коэффи-
коэффициенты а, |В, у, о, Эйлер преобразует (§ 114) этот ряд к виду
— и-\ .-, , • (J3a)
r4~^j ~4 • 0 • 8 • 10~г'"
Так как во втором слагаемом нет почётных степеней, то в ряд Aо),
тождественно равный выражению (Ilia), но входят никакие другие
}гечётные степени, кроме первой. Теперь Эйлер имееет право утверж-
утверждать, что из коэффициентов т., у, г... только первый отличен от нуля.
И он добавляет: «при этом т; нарушается закон непрерывности», что,
по сути дела; означает, что найдена построенная по простому закону
формула A3а), вполне определяющая ряд чисел а, р, у, 5, ...
Мы сказали, что первые две глаьы «Дифференциального исчисле-
исчисления» должны, по плану Эйлера, дать ему базу для обоснования диф-
дифференциального исчисления. Но материал этих глав значительно выхо-
выходит за пределы необходимого для этой цели. В первой главе (§§ 1 — 2о)
Эйлер находит сначала выражение конечных разностей различных эле-
элементарных функций, на которые он при выводе формул дифференци-
дифференциального исчисления не опирается. Конец главы (§§ 24 — об) посвящен
операции, обратной образованию конечной разности, т. е. разысканию
по данной раздости той функции, от которой эта разность взята. Эту
функцию Эйлер называет суммой и доказывает (§ 25), что она в самом
деле даёт сумму данных разностей. Эйлер находит, далее, выражения
этой суммы для простейших функций.
Во второй главе Эйлер, следуя Стирлингу, выводит (§ 44) выражение
общего члена ряда, у которого конечные разности некоторого порядка
обращаются в нуль, через конечные разности. Полученное выражение
есть .не что иное, как интерполяционная формула Ньютона, из кото-
которой, как мы указывали, Тэйлор получил свой ряд. На возможность
применения этой формулы для интерполяции Эйлер указывает в § 52.
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО 25
]Гримеров он здесь не рассматривает, так как вопросу об интерполя-
интерполяции рядов посвящена специально XVII, а фактически XVI глава
2-й части. Там рассматриваются наряду с рядами, имеющими постоян-
постоянную разность, и произвольно построенные ряды.
С § 53 II главы начинается рассмотрение «суммациопного члена»
т. е. выражения для суммы его первых х членов. Так кик для ряда
суммационных членов данный ряд есть ряд первых разностей, то
суммациопиьш член ряда с постоянными разностями находится с по-
помощью интерполяционной формулы Ньютона (§ 57). В общем случае
задача сводится (§ 59) к задаче разыскания «суммы» в вышеуказанном
смысле, т. с. к обращению разностного дифференцирования. .Впрочем,
этим методом Эйлер может разыскать султмационньш член лишь для
узкого класса функций (целые рациональные и факториальные функ-
функции). При суммировании ряда степеней натуральных чисел появля-
появляются упомянутые берпуллиевы чиста, но пока свойства их не рас-
рассматриваются и имя Бернулли не упоминается.
12. В следующих двух главах, III и IV, Эйлер рассматривает
принципиальные вопросы, связанные с обоснованием дифференциаль-
дифференциального исчисления. Третью главу «О бесконечных и бесконечно малых»
Эйлер начинает сразу с полемики против лейбницианцев, ни разу не
указывая, с кем, собственно, он спорит и всегда приводя мнения
своих противников в своём собственном изложении. Это, конечно,
облегчает задачу разгрома противников. Так как с логической
стороны позиция лейбиициапцев и сама по себе была легко уязвимой,
то не приходится удивляться тому, что ряд силлогизмов (§§ 72 — 74)
приводит Эйлера к выводу, что «числа, могут до бесконечности увели-
увеличиваться» (§ 73) и что «никакого бесконечного количества не может
существовать» (§ 74). Можно, напротив, удивляться тому, что Эйлер
тотчас же ослабляет свою позицию в этом вопросе. Он начинает § 75
с заявления, что «количество, которое достигается без конца совер-
совершаемыми приращениями» ]), всё же можно «должным способом
(dabito modo) ввести в исчисление». При этом он апеллирует к тому,
что даже в природе «существуют или по крайней мере могут мыс-
мыслиться такие случаи, в которых, казалось бы, в действительности
существует бесконечное число». Осторожное слово «казалось бы» по-
позволяет Эйлеру не претендовать на безусловное решение натурфило-
натурфилософских вопросов о бесконечности мира и бесконечной делимости
вещества, о которых идёт речь в следующих параграфах. Во всяком
случае ои не отвергает ни бесконечности вселенной, ли бесконечной
делимости материи и в § 77 приходит, напротив, к заключению, что
если вселенная бесконечна, то «число тел, составляющих вселенную,
... больше всякого могущего быть заданным числа». Отсюда делается пока
лишь тот вывод, что «бесконечное число и число, большее всякого
могущего быть заданным2), — ото синонимы». Хотя существование
числа, «которое не может принимать никакого приращения», Эйлер
в § 74 отвергал самым категорическим образом, и хотя силлогизмы,
к которым Эйлер обнаруживает большое пристрастие, легко привели
бы его к тому, что число, «большое всякого могущего быть заданным»,
не может принимать никакого приращения, тем не менее в § 82
Эйлер приходит к выводу, что даже в том случае, если в природ©
J) Ad quam incremcutis sine fine, con^estis pervenitur.
2) Ngmerus omni assigdabin maior.
:2б м. я. выгодский
не существовало бы бесконечного числа, в математике всё же необ-
необходимо «допустить бесконечное число». Мне представляется совер-
совершенно непонятным, как мог Эйлер примириться с таким противо-
противоречием; он, который своих противников корит наличием противоречий
в их концепции.
.Эйлер ничего не говорит, как можно указанное противоречие
устранить, но он, несомненно, чувствует, что почва начинает коле-
колебаться под его ногами, потому что следующий параграф начинается
с заявления, что <<это учение о бесконечном станет более понятным,
если мы разъясним, что такое бесконечно малое в математике».
13. На этот вопрос Эйлер после нескольких чисто грамматиче-
грамматических замечаний сразу отвечает (§ 83) так: «если кто спросит, что такое
бесконечно малое количество в математике, то мы ответим, что оно
точно равно нулю... Впрочем, сомнения, если таковые остались бы,
совершенно исчезнут в дальнейшем, когда мы изложим это исчисление».
В следующих параграфах устанавливаются правила действий
с нулями. Если dx есть бесконечно малое количество или, что, по
Эйлеру, одно и тоже, нуль, то равенство а -\- dx= а, которое Лопи-
таль принимает за постулат, становится травиальным тождеством.
Количества 2dx, 3dx и т. д. суть тоже нули, но деление 2dx: dx,
'.Ых: dx даёт не неопределённый результат, но 2, 3 и т. д. Отноше-
Отношение dx2: dx равно нулю, а отношение dx: dx'1 равно бесконечности,
так же как отношение 1 : dx. Теперь (ср. § 92) нам понятно, почему
Эйлер вынужден был допустить существование бесконечного числа.
Труднее понять, зачем ему понадобилось с самого начала отрицать суще-
ч'.твование бесконечного числа и корить своих противников указани-
указанием на противоречия, вытекающие из этого допущения. Повидимому
Эйлер предвидел следующее возражение, которое может быть ему
сделано: если со = - - (а, по Эйлеру, это так и есть) и если нуль мень-
меньше всякого положительного числа, то число ос должно быть больше
нсякого положительного числа, между тем как, по Эйлеру, оо < 2со
(§ 93). В пользу такого предположения говорит уже то, что первый
свой удар Эйлер обрушивает на тех противников (существовали ли
такие на самом деле, не сражается ли здесь Эйлер сам с собой?),
которые якобы утверждали, что существует число, которое нельзя
дальше увеличивать. Как бы то ни было, Эйлер обходит молчанием
упомянутое внутреннее противоречие его концепции и провозглашает
законной операцию деления нулей, которую, как мы видели, Ньютон
выполнял, так сказать, украдкой.
Поскольку идея предела по тем или иным причинам (мы выше
пытались установить, по каким именно) не была органически воспри-
воспринята математиками первой половины XVIII в., они должны были
смотреть на бесконечно малые количества как на количества посто-
янные. И кто желал быть последовательным, должен был выбирать
между двумя крайностями. Или бесконечно малое количество не равно
нулю; тогда трудность состояла в том, чтобы объяснить, почему же
оно обладает при сложении с обычными арифметическими количествами
¦свойством нуля. Лейбницианцы искали ответ на этот вопрос в физиче-
физических сопоставлениях. Или же бесконечно малые количества равны
нулю; тогда трудность состояла в том, чтобы объяснить, каким обра-
аом из этих «безразличных» нулей получаются определённые резуль-
результаты. Эйлер, для которого алгоритм всегда стоял на первом плане,
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО 27
.привлёк ею и для разрешения этой трудности. Стоит обозначить
нуль через с», через dx или ещё как-нибудь иначе, и тогда 2 u>, 2dx
и т. д. тоже будет нулём, но «безразличие» уже исчезнет, действие
-2<и : <" производится уже но над безразличными, а над определёнными
нулями, и получается вполне определённый результат 0:0=2. Для
математика XVIII в. эта позиция должна была быть уязвимой не
только и не столько тем, что она вступала к противоречие с зако-
законами арифметики —сами эти законы не были ещё приведены в строй-
стройную логическую систему; отрицательные и иррациональные числа
хфедставляли с логической точки зрения не меньшую загадку, чем бес-
бесконечно малые количества. Математик XVIII в. должен был главную
трудность позиции Эйлера видеть в наличии явного, так сказать,
грубого расхождения между равенством 0:0 = 2 и равенством 0=0.
Сомнение этого рода Эйлер пытается устранить (§ 84) путём раздвоения
понятия равенства. Ofi различает равенство ((арифметическое» от равен-
равенства «геометрического» и утверждает, что два нуля всегда равны между
-собой арифметически, но вообще по равны геометрически. В дальней-
дальнейшем это различение не соблюдается, и за счёт этого Эйлеру удаётся
провести свой корабль через подводные камни логических трудностей
и вывести на глубокую воду плодотворных математических операций.
Но впереди оставалось ещё одно грозное препятствие. Нужно
•было объяснить, как «из ничего» в процессе интегрирования полу-
получается коночная величина. Для лейбницианцев проблема интегрирования
не создавала новых трудностей; если бесконечно малое количество
можно уподобить песчинке, которую ветер сдувает с горы, а гора от
этого не становится ниже, то, с другой стороны, вся гора состоит из
.песчинок. Но для Дилера здесь возникает, по существу, новая труд-
трудность. К счастью, он может отложить её разрешение: в «Дифферен-
«Дифференциальном исчислении» (§§ 1S9 — 141) он имеет дело с интегрированием
лишь как с операцией, обратной дифференцированию. Но наступит
момент, когда Эйлер должен будет ввести интегрирование в собствен-
собственном смысле слова. И тогда он, вместо того чтобы найти проход через
трудное место, предпочтёт обойти его.
В седьмой главе 1-го тома «Интегрального исчисления»') Эйлер
ставит задачу: «Найти приближённое значение интеграла у = \Xdx»;
дополнительно задаётся условие, что при х = а функция у должна
иметь значение Ь. Эйлер придаёт аргументу х «очень малые» после-
последовательные приращения и обозначает через а, а', а", а'" и т. д.
значения аргумента, через А, А' А", А'" и т. д. соответствующие
значения функции X и через Ь, Ь', Ь", Ь'" соответствующие зна-
значения функции у. Так как функция X,—говорит он далее, — изменяется
мало, напишем ли мы а или а + а вместо х, то мы можем считать её
как бы постоянной2). Рассуждая так же относительно следующих
приращений, Эйлер получает выражения:
Ь' = 6 + А (а' -а),
(а' — а)+А' (а" —а'),
Ь'" = 6 + А (а' — а) + А' (а" — а') + А" [а'" — а")
') L. E u 1 е г i, Institutiones calculi integralis, т. 1. 3-е изд. Petropoli, 182'»,
стр. I7<j.
2)...tanquam constantem spectare.
28 М. Я. ВЫГОДСКИЙ
и т. д. и заканчивает словами: «Следовательно, насколько бы х ни превос-
превосходило а, ряд а', а", а'", возрастая, будет продолжен до х, и послед-
последняя сумма даст значение у». Теперь мы полностью приведём «схолию».
в которой Эйлер перебрасывает мост от первообразной функции, о ко-
которой до сих пор только и шла речь, к определённому интегралу.
«Интегрирование,—говорит Эйлер, — обычно определяется так.
Говорят, что это есть суммирование всех значений дифференциальной
формулы X dx, если переменному х придавать последовательно все
отличающиеся друг от друга на разность dx значения от некоторого
данного значения а вплоть до х; разность же эту dx нужно считать
бесконечно малой. Таким образом, этот способ представления инте-
интегрирования подобен тому, согласно которому в геометрии линии пред-
представляются как совокупности бесчисленных точек. Подобно тому' как
это последнее представление, если его правильно выразить, может
быть допущено, так можно стерпеть и приведённое объяснение интегри-
интегрирования, когда на помощь ему призваны, как ото нами здесь сделано, исти н-
иые начала, чтобы можно было отразить всякие нападки. Из изложенного
же метода во всяком случае ясно, что интегрирование можно получить из
суммирования приближённо; точно же его нельзя совершить иначе, как
положив,что разности являются бесконечно малыми,т.е. нулями х). Отсюда
возникло и наименование «интегрирование», которое называют также
«суммированием», и знак интеграла \. Коль скоро суть дела выяснена,
их можно полностью сохранить».
Мы видим, что Эйлер подошёл вплотную к предложению о том,
что значение первообразной функции есть предел «интегральной
суммы». Но так как понятие предела ему чуждо, он,вынужден сказать,
что точное значение интеграла можно получить, «но иначе как» поло-
положив слагаемые нулями. Но можно ли это п самом деле сделать и
как тогда представить себе суммирование нулей—-на этот вопрос
у Эйлера ответа нет.
14. Конец третьей главы Эйлер посвящает разбору парадоксов,
связанных с понятием бесконечно большого числа. Мы остановимся
на одном только примере. В § 100 рассматривается ряд чисел
1 1 l _i' i 1 1
-з ' — 2 ' ~^Г' ~~(Г ' ~-: i' ТТ' ~~5~'
Поскольку знаменатели непрерывно возрастают, дроби должны непре-
непрерывно убывать, и потому «многим казалось, что отрицательные чиста
можно рассматривать кик числа, большие бесконечности» '). Объяс-
Объяснение, которое вслед за тем даёт Эйлер, в сущности, ничего не
г) ... neque vcro exueto expodiri, nisi differei,iiue infii if о parvac, hoc esi
bullae, statuui.tur.
2) И здесь Эйлер умножает число защитников оспариваемого им мнетш-
Вряд ли оц мог иметь в л иду кого-нибудь, кроме Валлиса. Пюледиий в «Арифме-
«Арифметике бесконечных» A655 г.) иолуччл сюттшеп'де между площадями криволиней-
криволинейных фигур, которое л современных обозначениях мо;кио предстапить формулой
Н 0
Ошибочно распространив эту формулу на случай п<—1, и сшоставив её с тем, чтл
ординаты кршюи - - = ( — ' при отрицательном п иольше соответствующих
(I \ п у
ВСТУПИТЕЛЬНОЙ СЛОВО 29
разъясняет; он лишь «вышибает клип клином», успокаивая читателя,
что «если рассмотреть ряд чисел
_l _ I _i_ 1111
I 1 1
ТО О ПОЛОЖИТелЬНЫХ ЧИСЛах .—.-,. —-г-,, гтт И Т. Д. НИКТО ПО СК;1-
(~*1)~' (~'-)' \~~ U"
жет, что они больше, бесконечности».
Заодно разбираются и парадоксы, связанные с расходящимися
бесконечными рядами. <?десь Эйлер повторяет объяснение Иоганна
Нернулли относительно остатка ряда. Однако Эйлер отстаивает за
расходящимися рядами право на их существование.
«Хотя суммы их,—говорят он, (§ 109) — и оказываются совершенно
несогласными с истиной1, однако они никогда.по приводят к ошибкам;
напротив, приняв их, мы получаем множество замечательных вещей, ко-
которых мы должны были бы лишиться, если бы пожелали совсем отбро-
отбросить эти суммирования. По ведь эти суммы, если они были бы ложными,
не могли бы всегда приводить пас к истинным результатам, тем
более что они уклонялись бы от истины ие на малое, а на беско-
бесконечное количество». Выход из этого кажущегося противоречия
(§ 111) Эйлер находит в том, что понятию «сумма рядов» он припи-
приписывает расширенный смысл: «Мы скажем, что сумма некоторого бес-
бесконечного ряда есть конечное выражение, из разложения которого
возникает этот ряд». Эта точка зрения, если её точнее сформулиро-
сформулировать, является предвосхищением многих плодотворных идей более
позднего времени, например идеи аналитического продолжения. Этим
заканчивается III глава.
В четвёртой главе («О природе дифференциалов любого порядка»)
вводится понятие дифференциала и интеграла. Дифференциал опреде-
определяется (§ 114) как бесконечно малая разность. После подробного разъ-
разъяснения этого определения Эйлер снова полемизирует «с теми, кто
полагает, что дифференциалы можно рассматривать как бесконечно
малые приращения» (§§112 —123). Далее, вводятся дифференциалы
высших порядков. Наконец, вводится интегрирование, как действие,
обратное дифференцированию. Изложение здесь, как и всюду у Эйлера,
очень подробное и, насколько это возможно при наличии внутренних
недочётов системы, очень понятное.
15. Следующие четыре главы посвящены технике дифференциро-
дифференцирования. Здесь мы найдём немного материала, который был бы новым
для того времени, и очень мало вещей, которые могли бы быть ин-
интересными для современного читателя. Мы можем поэтому ограни-
ограничиться несколькими беглыми замечаниями.
Отметим, прежде всего, что, несмотря на резкое различие в прин-
принципиальных установках, техника операций с дифференциалами у
ординат гиперболы — — 1 — ) . Валлис пришёл к заключению, что отношениг
единицы к отрицательному числу больше бесконечности. Аналогичного утвержде-
утверждения для отрицательных чисел Валлис не высказывал. Напротив, и в «Арифметике
бесконечных» и в «Алгебре» A685 г.) Валлис считает, что отрицательные числа
меньше положительных. Этот вопрос рассмотрен в ещё не опубликованной диссер-
диссертации Ф. Д. Крамара («Интеграционные методы Валлиса»).
г) Здесь имеется в виду, что ряд, представляющий внутри радиуса сходи-
сходимости некоторую функцию, не даёт значения её за пределами радиуса сходимости.
30 М. Я. ВЫГОДСКИЙ
Эйлера совершенно не отличается от техники Лейбница и его ученике}?.
Даже выражения Эйлера прямо совпадают с выражениями лейбни-
цианцев. «В этом выражении, —говорит Эйлер в первом же пара-
параграфе V главы,—второй член и все следующие исчезают по сравнению*
с первым (ргае primo)». Таким образом, разногласия между этими
двумя направлениями носят чисто словесный характер и никак не-
неотражаются на сути рассуждения.
В той же пятой главе (§ 170) устанавливается правило дифферен-
дифференцирования функции от нескольких количеств, которые сами являются
функциями некоторого независимого переменного. Здесь это правило
установлено по индукции. Эйлер обещает строгое доказательство дать
позднее. Обещанное доказательство даётся в §§ 209—26iJ гл. VII («О диффе-
дифференцировании функций, содержащих два или большее число перемен-
переменных». Как понимал Эйлер «строгость», можно видеть из того, что дока-
доказательство опирается на положение, что дифференциал функции многих-
переменных линейно выражается через дифференциалы аргументов (§212).
А это положение выводится индуктивно на основании двух тривиаль-
тривиальных примеров. В одном из них функция имеет вид X-\-Y -\-Z, где X
есть функция от х, Y есть функция от у и Z — функция от z; в другом
функция имеет вид XYZ.
Я хотел бы обратить ещё внимание читателя на интересный вывод,
теоремы об однородных функциях (§§ 222—225), носящей сейчас на-
название теоремы Эйлера. Замечу, что, однородная функция была опреде-
определена Эйлером во «Введении» не столь общим образом, как мы её опре-
определяем теперь; именно, Эйлер называет целую функцию однородной, когда
все её члены имеют одну и ту же степень («Введение», § 84); дробная
рациональная функция по определению однородна, если числитель и зна-
знаменатель её будут однородными (§ 85). Понятие однородной функции
распространяется также на случай функции, содержащей радикал..
Более общего случая Эйлер не рассматривает. То свойство, которым
мы теперь определяем однородную функцию, выводится Эйлером для
рассматриваемых частных случаев, исходя из определений, им данных.
Именно на это свойство и ссылается Эйлер при выводе теоремы о част-
частных производных однородной функции. Поэтому по существу эта тео-
теорема доказана для самого общего случая.
Остальную часть VII главы (§§ 217—241) составляет теория пол-
полного дифференциала, которую интересно прочесть в изложении самого
Эйлера. Эйлер устанавливает, что если dV — Р dx + Qdy, т. е. если Р и Q
суть частные производные функции v, то функции Р и Q связаны.
дР аО Г г п,.. f ЛР\ / dQ\~\ r\
соотношением —=— в обозначениях Эйлера ( -j- ) = ( -г- ) ¦ Он
Оу dx [_ l \.dyj V dxj J
OP iiQ ,
упоминает и о том, что условие»—=-р не только необходимо, но и
достаточно для того, чтобы выражение Pdx-^-Qdy было полным диф-
дифференциалом. Доказательство достаточности даётся в «Интегральном
исчислении». Нелишне отметить, что хотя в §§ 226—228 и даётся общее
доказательство упомянутой теоремы (идею которого нетрудно усмотреть
в современном строгом доказательстве), предварительно Эйлер считает
нужным убедиться в справедливости теоремы для частного случая однород-
однородной функции. С этой единственной целью он и ввёл в «Дифференциаль-
«Дифференциальное исчисление» упомянутую выше теорему об однородных функциях.
Восьмая глава («О повторном дифференцировании дифференциальных
выражений») содержит своеобразное изложение вопросов, составляющих
ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 131
отсюда
d2y — 2а1 + 6а V
dx* ~ ' (а2 + 22K '
d4// 24a6 — 2
dx~* "~ (^-fT2)* '
d*p — 720a6z + 2400а4л3 - 720a-xb
II: Пусть у = ^г; тогда первый и следующие дифференциалы
будут:
Уж
dby _ 2-lbx + 600:r3 + 12Oxu
db/ 22.", + 4050a;2 + 5'iOOa;4 + 72Га-6
dxb (i _ Х2\ 13/г
Вычисление этих дифференциалов можно легко продолжить дальше*
однако закон, по которому члены их следуют друг за другом, усматри-
усматривается не сразу. Коэффициент высшей степени х всегда есть произве-
произведение натуральных чисел от 1 до числа, равного порядку искомого
дифференциала. Если продолжить дальше составление этих формул
и внимательно рассмотреть их, то можно заметить, что для у — ——=
]/1 — I2
будем иметь следующую общую формулу:
х" + ~2 ~~l~ni~~~ Х"~г + 2ТТ, ' Г^2ТТ^4~~ хП~* +
)
"
Подобного рода примеры полезны не только для приобретения навыка
в практике дифференцирования; законы, наблюдаемые при нахождении
дифференциалов всех порядков, и сами по себе достойны внимания
и могут привести к другим открытиям.
32 М. Я. ВЫГОДСКИЙ
Глава пятая («Разыскание суммы рядов по общему члену») посвя-
ацена выводу так называемой формулы Эйлера-Маклорена1). Здесь
Эйлер вводит в рассмотрение бернуллиевы числа и рассматривает их
свойства. 'Глава эта представляет собой образчик замечательной
виртуозности. Аналитический гений Эйлера проявляется здесь с наи-
наибольшей силой. Её непременно нужно прочесть в подлиннике, и потому
здесь мы не будем излагать её содержания более подробно.
В шестой главе («О суммировании прогрессий с помощью беско-
бесконечных рядов») обшая формула суммирования применяется к много-
многочисленным частным случаям. Получается много поразительных и изящ-
изящных результатов. Принципиальный интерес представляет пользование
асимптотическими рядами, из которых Эйлер определяет значение
постоянной, входящей в его формулу. В частности, для гармонического
ряда эта постоянная есть так называемая «эйлерова константа».
В конце главы Эйлер замечает, что применение его формулы
наталкивается на затруднения в том случае, когда входящий в форму-
формулу интеграл не поддаётся вычислению. Поэтому он обещает в сле-
следующей главе дать другое выражение суммы, которое в таких слу-
случаях может быть использовано с большим успехом.
Седьмая глава («Дальнейшее развитие вышеизложенного метода
суммирования») действительно содержит формулу суммирования, не
страдающую упомянутым недостатком, ибо она вовсе не содержит
интегралов. Если я не ошибаюсь, практическое её значение невелико.
Но крайней мере результаты, получаемые с её помощью Эйлером, по
сути, сводятся к суммированию геометрической прогрессии. Но в связи
¦с ней возникает интересный принципиальный вопрос. С формальной
стороны ряд, рассматриваемый Эйлером при выводе первой era
формулы суммирования, получается из ряда, положенного в основу
вывода второй формулы, при частном значении входящего во вторую
формулу параметра. С другой стороны, обе формулы выводятся
совершенно одинаковыми методами. Между тем во второй формуле,
которая должна, казалось бы, включать в себя первую как ча'стный
случай, вовсе не содержится никакого интеграла, тогда как в первую
формулу он входит. Этот парадокс, который имеет то же происхожде-
происхождение, что и факт неприменимости общей формулы суммы геометрической
прогрессии к случаю, когда знаменатель её равен единице, или тот
факт, что общая формула интегрирования степени неприменима
к случаю, когда показатель степени равен —1, Эйлер и старается
объяснить в § 178.
В восьмой главе («О применении дифференциального исчисления
к образованию рядов») разложение различных функций в ряды
*) Маклорен опубликовал эту формулу в своём «Трактате о флюксиях»,
вышедшем в 1742 г. Следовательно, он имел бы возможность познакомиться,
«ели не с восьмым томом «Записок Петербургской Академии» (Commentarii
Academiae Petropolitanae), который вышел в 1741 г. и где Эйлер дал вывод
своей формулы суммирования, то во всяком случае с шестым томом, где Эйлер
привёл свою формулу без доказательства. Есть основания полагать, однако,
что Маклорен, цитирующей в своей работе 1, 2, 3 и 5 тт. «Записок», не знал
6-го тома. Следует также заметить, что вывод Маклорена значительно отли-
отличается от вывода Эйлера, хотя и Маклорен опирается на ряд Тэйлора. Как
вывод Маклорена, так и его запись результата более точны, чем у Эйлера.
Поэтому, связывая с формулой суммирования имена обоих этих математиков,
мы н& совершаем исторической ошибки. Вывод Маклорена изложен у Cantor5»:
Vorlesurgen йВег Geschichte der Math., т. 3, стр. 683—685. См. также Reiff.
Geschichle der unendlichen Reihen, Tubingen, 1889, стр. 85.
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО 33
осуществляется с помощью метода неопределённых коэффициентов,
комбинируемого с дифференцированием. Здесь, между прочим, впервые
коэффициенты разложения функции sec x в степенной ряд выражены
через берпуллишш числа (§223). Кроме стои&ншлх рядов, рассматри-
рассматриваются также разложения более общего типа (§§208—215).
В девятой главе («О применении дифференциального исчисления
к решению уравнений») даётся способ получения более точных зна-
значений корня уравнения по исходному грубому приближению. Идея,
которую здесь использует Эйлер,—представление искомого корня в виде
ряда, расположенного по степеням разности между искомым корнем
и исходным приближением, была широко использована впервые Нью-
Ньютоном, а затем его английскими последователями, так что в этой гла-
главе мы не находим принципиально новых вещей. Но систематическое
применение ряда Тэйлора и большое число примеров выгодно отличают
лзложение Эйлера от изложения его предшественников.
Десятая глава («О максимумах и минимумах») содержит вывод
необходимых и достаточных признаков максимума и минимума функ-
функций одной переменной. Рассматривается большое количество примеров
и даются практические указания, могущие облегчить технику вычис-
вычислений. И в этой главе не содержится каких-либо принципиально
новых методов.
Напротив, одиннадцатая глава («О максимумах и минимумах много-
многозначных функций и функций многих переменных») содержит материал,
который в общем виде трактуется впервые. Единственные многозначные
функции, с которыми Эйлер здесь имеет дело, это алгебраические выраже-
выражения, содержащие радикалы. Эйлер различает два вида максимумов и
минимумов многозначных функций. Один—это о.бычпые относительные
экстремумы, имеющие место на одной из ветвей функции. Они опреде-
определяются тем же методом, каким находятся экстремумы однозначных
функций; другой—это различные типы абсолютных граничных экстре-
мумоь, которые могут иметь место в точках ветвления. Для определе-
определения их Эйлер подвергает исследованию выражение многозначной
функции.
Этот материал механически объединён в одной главе с вопросом
о максимумах и минимумах функций многих переменных, к которому
Эйлер переходит, начиная с § 286. Установление необходимого при-
признака экстремума (§ 286) совершается, конечно, без труда. Что ка-
касается достаточного условия, то Эйлер (см. § 290 и примечание к нему)
допускает при выводе его принципиальную ошибку, полагая, что функ-
функция двух переменных должна иметь максимум, если она имеет ма-
максимум относительно каждого из аргументов при постоянстве другого.
Представляется весьма удивительным, что Эйлер не заметил на про-
простейших примерах неверности полученного им критерия.
17. Следующие две главы (гл. XII «О применении дифференциалов
к разысканию действительных корней уравнений», гл. XIII <<О призна-
признаках мнимых корней») содержат оценки чиста действительных и мни-
мнимых корней; все эти оценки получаются в конечном счёте из предполо-
предположения, гласящего, что между двумя корнями уравнения /(ж) = 0 дол-
должен лежать корень уравнения f (х) — 0. Это почти очевидное положение
было применено для оценки числа корней впервые, вероятно, Комыбол-
лом. В статье ого, опубликованной в 1728 г. в Philosophical Transactions,
содержатся, в частности, все результаты, имеющиеся в ХШ главе
эйлерова «Дифференциального исчисления». Большинство их было дано
3 Л. Эйлер
34 М. Я. ВЫГОДСКИЙ
ещё Ньютоном в «Универсальной арифметике» A707 г.) без доказатель-
доказательства. В одном существенном пункте (см. приложение к § 324), который
остался недоказанным у Ксмпбелла, Эйлер делает попытку дать дока-
доказательство; последнее оказывается, однако, совершенно не убедительным.
Эта теорема Ньютона была впервые доказана спустя более чем ста
лет Сильвестром.
Четырнадцатая глава («О дифференциалах функций в некоторых
особых случаях») рассматривает те случаи, когда по какой-либо при-
причине нельзя, как мы бы теперь сказали, считать приращение функции
эквивалентным её дифференциалу. Такой случай имеет прежде всего
место, когда производная равна нулю, а также и тогда, когда функция
(при данном значении аргумента) недифференцируема.
Эйлер рассматривает оба эти случая. Он вводит понятие «полного» или
«истинного» дифференциала (§§ 337—339), который, по сути дела, есть
выражение приращения функции. В случае, когда первая производная
равна нулю, он из этого выражения выделяет главную часть и считает
её дифференциалом функции. Если эта главная часть имеет относитель-
относительно приращения аргумента порядок, меньший единицы, то функция не-
недифференцируема. Это, кбнечно, единственный доступный Эйлеру слу-
случай недифференцируемости.
Пятнадцатая глава носит характерный заголовок «О значениях функ-
функций, которые в некоторых случаях кажутся неопределёнными». Для
Эйлера выражение ——. «не может быть неопределённым», даже если
Р=0 и ф = 0 (§ 355). Оно имеет вполне определённое значение, и нуж-
нужно лишь устранить кажущуюся неопределённость. Достаточно полно рас-
0 00 тт
смотрены неопределенности вида ^-и —. Неопределенность вида сю—со
рассматривается лишь на частных, и притом нарочито взятых, случаях.
Главы шестнадцатая («О дифференцировании непредставимых функ-
функций») и семнадцатая («Об интерполировании рядов») содержат мате-
материал, о котором мы уже упоминали в начале п. 10. В примечании к
§ 368 читатель найдёт обзор этих глав. Поэтому здесь мы ограничимся
замечанием, что эти главы очень поучительны как с принципиальной
стороны, так и по полученным в них результатам.
Наконец, последняя, восемнадцатая глава («О применении дифферен-
дифференциального исчисления к разложению дробей») даёт основанный на при-
применении дифференцирования метод определения числителей простейших
дробей, на которые разлагается рациональная дробь; предполагается,
что корни знаменателя известны. Заметим,что ни здесь, ни во «Введении»,
где вопрос этот решался чисто алгебраическими способами, не даётся
доказательства возможности такого разложения.
Таково многообразное содержание «Дифференциального исчисления».
Приведённый здесь его краткий обзор мне хотелось бы закончить сло-
словами академика А. Н. Крылова, который характеризует «Дифферен-
«Дифференциальное исчисление» Эйлера в таких выражениях: «В современном
смысле слова это сочинение является как бы устарелым; тем не менее
оно остаётся в высшей степени поучительным по превосходному под-
подбору примеров, по изяществу многих выводов и преобразовании и по
оригинальности и богатству содержания».
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
К АНАЛИЗУ КОНЕЧНЫХ
И К УЧЕНИЮ
О РЯДАХ
INSTITUTIONES
CALCULI
DIFFERENTIALS
CUM El US VSU
IN ANALYSI FINITORUM
AC
DOCTRINA SERIERUM
AUCTORE
LEONHARDO EULERO
АСАЙ. REG. SCiENT. ET ELEG. LITT. BORUSS. DIRECTORE
PROF. ИОНОВ. ACAD. IMP. SCIENT. PETROP. ET AC ADEMIARUM
REGIARUM PARISINAE ET LONDINENSIS
SOC1O.
IMPBNSTS
ACADEMIAE IMPERIAUS SCfENTIARUM
PETROPOLITANAE
ПРЕДИСЛОВИЕ
Трудно объяснить, что такое дифференциальное исчисление
и вообще анализ бесконечно малых тому, кто его совсем не знает.
Здесь не приходится поступать так, как это делается обычно в дру-
других науках, где изучение предмета начинают с его определения.
Не то, чтобы вовсе нельзя было бы дать никакого определения этого
исчисления; но для того, чтобы уяснить смысл такого определения,
нужно обладать понятиями, которые мало употребительны не только в
обычной жизни, но даже ив анализе конечных количеств; они разви-
развиваются и объясняются обычно лишь при изучении дифференциального
исчисления. Вот почему оказывается,что определение дифференциального
исчисления можно понять лишь после того, как будут с достаточной
ясностью освещены его начальные основы.
Заметим прежде всего, что это исчисление имеет дело с перемен-
переменными количествами. Хотя всякое количество по самой природе своей
может до бесконечности увеличиваться и уменьшаться, однако, пока
вычисление направлено к какой-либо определённой цели, мы пред-
представляем себе, что одни количества постоянно сохраняют одну и ту же
величину, другие же изменяются, проходя все ступени увеличения
и уменьшения. Для того, чтобы отметить это различие, первые
количества называют постоянными, а вторые переменными, так
что это отличие обусловливается не столько природой вещи, сколь-
сколько характером вопроса, для решения которого производится вычи-
вычисление.
Чтобы эту разницу между постоянными и переменными количе-
количествами уяснить наилучшим образом на примере, рассмотрим полёт
ядра, вытолкнутого из орудия силой пороха. Этот пример представ-
представляется наиболее удобным для уяснения сути дела. Здесь мы встре-
встречаемся с несколькими количествами, взаимную связь которых нужно
установить: это, во-первых, количество пороха, во-вторых—угол воз-
возвышения орудия над горизонтом, в-третьих—дальность- полёта над
горизонтальной плоскостью, в-четвёртых—время, в течение которого
летящее ядро находится в воздухе; если же опыты производятся не
над одним и тем же орудием, то сверх того нужно принять в расчёт
и длину орудия и вес ядра. Чтобы не усложнять задачи, мы здесь
отвлечёмся от разнородности орудий. Пусть теперь количество пороха
остаётся всегда одним и тем же, угол же возвышения орудия непре-
непрерывно меняется, и пусть ищутся дальность полёта и продолжитель-
38 ПРЕДИСЛОВИЕ
ность движения ядра в воздухе. В этой задаче пороховой заряд или
сила толчка будет количеством постоянным; угол же возвышения,
а также дальность полёта и его продолжительность нужно будет от-
отнести к количествам переменным, если мы желаем определить их
для всех степеней возвышения, чтобы узнать отсюда, как изменяются
дальность и продолжительность полёта в зависимости от всех изме-
изменений угла возвышения. Дело будет обстоять иначе, если угол воз-
возвышения орудия будет оставаться одним и тем же, количество же
пороха будет непрерывно изменяться, и нужно будет определить те
изменения в полёте ядра, которые от этого произойдут. Действительно,
здесь возвышение орудия будет количеством постоянным, количество
же пороха, а • также дальность и продолжительность полёта будут
количествами переменными. Теперь видно, каким образом в зависи-
зависимости от постановки вопроса одно и то же количество можно считать
иной раз постоянным, иной же раз — переменным. Вместе с тем — и это
заслуживает наибольшого внимания — отсюда становится понятным,
каким образом переменные количества могут зависеть одни от других
так, что при изменении одного из них и остальные должны претер-
претерпеть изменение. Именно, в первом случае, когда количество пороха
оставалось одним и тем же, с изменением возвышения орудия из-
изменяются также дальность и продолжительность полёта. Таким
образом дальность и продолжительность полёта являются здесь
переменными количествами, зависящими от возвышения ору-
орудия, и если меняется возвышение, то и они тотчас же претерпе-
претерпевают некоторые определённые изменения. Во втором же случае
продолжительность и дальность полёта зависят от количества поро-
пороха, изменение которого должно в них произвести определённые
изменения.
Когда некоторые количества зависят от других таким образом,
что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то
первые называются функциями вторых. Это наименование имеет чрез-
чрезвычайно широкий характер1); оно охватывает все способы, какими
одно количество может определяться с помощью других. Итак, если
х обозначает переменное количество, то все количества, которые как-
либо зависят от х, т. е. определяются им, называются его функциями;
таковыми являются квадрат количества х и все другие его степени,
равно как и количества, как угодно составленные из них. Эти коли-
количества могут быть и трансцендентными и вообще любыми, если только
они так зависят от х, что с увеличением или уменьшением х сами они
подвергаются изменениям. Отсюда возникает такой вопрос: пусть коли-
количество х увеличивается или уменьшается на данное количество; как
тогда изменятся те или иные его функции, т. е. какое они получат
приращение или какой ущерб? В простейших случаях этот вопрос
решается легко; если количество х увеличивается на количество ш, то
его квадрат х2 вследствие этого получит приращение 2жш-)-ш2 и, значит,
приращение х будет относиться к приращению ж2, как ш к 2хи>-\~ш2у
т. е. как 1 к 2х-\-ш. Подобным образом и в других случаях рассма-
рассматривают отношение приращения х к приращению или ущербу, который
получает при этом какая-либо его функция. Разыскание этого отно-
отношения приращений не только имеет большое значение само но себе,
В оригинале: quae denominatio latissime patet.
ПРЕДИСЛОВИЕ 39
но и служит основой для всего анализа бесконечно малых. Чтобы ото
стало ясным, возьмём вышерассмотренныи пример, где мы имели
квадрат ж2. Его приращение 2хт-{-ш2, которое он получает, когда коли-
количество х увеличивается па приращение ш, как мы видели, относится
к ш, как 2х-|-ш к 1. Отсюда ясно, что чем меньшим берётся прира-
приращение си, тем более приближается ото отноггтопие к отношению 2ж к \;
однако оно полностью переходит в это отношение не ранее, чем нри-
ращешго и совершенно исчезнет. Отсюда понятно, что если прира-
щешк' ш переменного количества х обращается в нуль, то возникающее
при этом приращение его квадрата х", хотя оно тоже исчезает, одна-
однако имеет к а отношение 2х к 1. То, что сказано здесь о квадрате,
можно сказать и о всех других функциях количества х. А именно.
исчезающие их приращения, которые ошг принимают, когда само
количество х принимает исчезающее приращение, имеют к отому по-
последнему определённое и могущее быть указанным отношение1). Так
мы подошли к определению дифференциального исчисления. Это есть
метод определения отношения исчезающих приращений, получаемых
какими-либо функциями, когда переменному количеству, функциями
которого они являются, даётся исчезающее приращение. Что в этом
определении заключена, и притом исчерпывающим образом, истинная
суть дифференциального исчисления—это легко усмотрит всякий, кто
не является новичком в этом деле.
Итак, дифференциальное исчисление занимается не столько ра-
разысканием самих исчезающих приращений, ибо они суть нули, сколько
рассмотрением их взаимной зависимости и их отношения, а так как
такие отношения выражаются конечными количествами, то нужно
считать, что и дифференциальное исчисление занимается конечными
величинами. Правда, его правила в той форме, как они обычно даются,
могут создать представление, что их назначение состоит в определении
самих исчезающих приращении; однако заключения никогда не основы-
основываются на исчезающих приращениях, рассматриваемых абсолютно; они
исходят всегда из отношения исчезающих количеств. Так же обсто-
обстоит дело и в интегральном исчислении; мы определим ого наиболее
подходящим образом, если скажем, что интегральное исчисление
есть метод, с помощью которого по известному отношению исчезаю-
исчезающих приращений находятся те функции, чьими, являются эти при-
приращения.
Чтобы эти отношения можно было легче составлять и вводить
в вычисление, эти исчезающие приращения, хотя они и являются
нулями, обозначают определёнными знаками; поскольку мы вводим их,
ничто но мешает присвоить исчезающим приращениям и определённые
наименования. Они называются диффоронцпалами; так как о mi лишены
количества, они называются также бесконечно малыми. Таким образом
название «бесконечно малые» согласно природе этих количеств должно
толковаться в том смысле, что мы считаем их за нули в полном смысле2),
т. е. за ничто. Например, если количеству х мы дадим приращение о>,
так что оно обратится в х-\-ш, то его квадрат х" обратится в х%-\-2хы-\-т~
и. значит, получит приращение 2хм-\-и>'\ Поэтому приращение ш коли-
количества х будет относиться к прпращонию 2ет>-[™«г квадрата х3, как 1. к
1) В оригинале: cortam of. assigi.abilem ratioi:em.
¦) Aninir.o nulla.
40 ПРЕДИСЛОВИЕ
Ц). Это отношение переходит в отношение 1 к 2х лишь тогда,
когда а) исчезает. В самом деле, пусть ш=0; тогда, действительно,
отношение исчезающих приращений (а только оно и рассматривается
в дифференциальном исчислении) равно отношению 1 к 2х- и, обратно,
это отношение будет согласно с истиной лишь тогда, если приращение о>
на самом деле исчезнет и станет в точности равным нулю. Значит, если
этот нуль, обозначенный через а>, представляет приращение количества хг
то, так как он относится к приращению квадрата ж2, как 1 к 2х, то
приращение квадрата хг будет равно 2хо> и, значит, тоже будет равно
нулю. Вместе с тем отсюда ясно, что обращение в нуль этих прира-
приращений не мешает их отношению, которое равно отношению 1 к 2х,
быть вполне определённым. Так как тот нуль, который мы выше вы-
выразили буквой со, в дифференциальном исчислении рассматривается как
приращение количества х, то он представляется знаком dx и называется
дифференциалом количества х; и если вместо ев положить dx, то диф-
дифференциал количества х2 будет 2xdx. Подобным образом окажется, что
дифференциал куба Xs будет равен 3x*dx, и вообще дифференциал
какой-либо степени хп будет равен пх" dx. И какие бы функции ко-
количества х ни были предложены—в дифференциальном исчисле-
исчислении даются правила для нахождения их дифференциалов. Но всегда
нужно иметь в виду, что так как эти дифференциалы сами по себе
суть нули, то из них нельзя вывести ничего, кроме их взаимных от-
отношений, которые непременно дают конечные количества. И по-
поскольку начальные основы дифференциального исчисления устанавли-
устанавливаются именно таким, единственно рациональным способом, все воз-
возражения, которые обычно выдвигаются против этого исчисления, ру-
рушатся сами собой. Они, однако, полностью сохранили бы силу, если
бы дифференциалы, т. е. бесконечно малые, не обращались бы
точно в нуль.
Однако некоторые авторы, писавшие о дифференциальном исчисле-
исчислении, сочли необходимым ввести различие между дифференциалами
и абсолютным нулём и установить особую категорию бесконечно малых
величин, которые якобы не полностью исчезают, но сохраняют неко-
некоторое количество, которое, однако, меньше, чем всякое могущее быть
заданным. Им справедливо делалось возражение, что этим нарушается
геометрическая строгость и что выводимые отсюда заключения, по
справедливости, внушают сомнения, ибо такого рода бесконечно малыми
количествами приходится пренебрегать. Действительно, мы можем счи-
считать эти бесконечно малые количества сколь угодно незначительными,
но когда мы отбрасываем несколько таких количеств и тем более бес-
бесчисленное их множество сразу, то может получиться очень большая
ошибка. Напрасно они пытаются опровергнуть это возражение, ссылаясь
на те примеры, в которых с помощью дифференциального исчисления
получаются те же результаты, что с помощью элементарной геометрии.
В самом деле, если бесконечно малые, которыми пренебрегают при
вычислении, не являются нулями, то ошибка непременно должна про-
произойти, и притом тем большая, чем в большем числе накопляются
бесконечно малые количества. Если же тем не менее этого не случается,
то скорее нужно было бы приписать это несовершенству исчисления,
в котором одни ошибки компенсируются другими, чем снять с самого
исчисления подозрение в ошибочности. Если же такая компенсация
происходит без какой-либо новой ошибки, то эти примеры служат
очень хорошим доказательством того, что я и хочу доказать, т. е. что
ПРЕДИСЛОВИЕ 41
количества, которыми мы пренебрегаем, мы должны считать совер-
совершенно и абсолютно равными нулю и что бесконечно малые, которые
рассматриваются в дифференциальном исчислении, но отличаются от
абсолютного нуля. Ещё менее устраняются затруднения, когда некото-
некоторые говорят, что бесконечно малые нужно уподобить пылинкам но
отношению к горе или даже ко всему земному шару. Хотя, конечно,
тому, кто стал бы определять величину всего земного шара, мо?кно
было бы легко простить ошибку не только в одну, но и в тысячу пы-
пылинок, однако геометрическая строгость не терпит даже и столь малой
ошибки, и э.то возражение, если оно имело бы какое-нибудь основание,
оставалось бы очень важным. Какую выгоду надеются извлечь те, кто
хочет отличать бесконечно малые от нуля, сказать трудно, но боятся
они того, что если бесконечно малые считать полностью исчезающими,
тогда оказалось бы невозможным их сравнение, к которому, как они пони-
понимают, сводится всё дело. Поэтому они и считают необходимым сохранить
за бесконечно малыми какую-то величину, чтобы иметь нечто такое, что
можно подвергать сравнению. Однако о аи принуждены считать эту
величину столь малой, чтобы её можно было рассматривать так, как если
бы она была равна нулю, и без ошибки пренебрегать ею в вычислении.
Однако они не осмеливаются назначить какую-нибудь определённую
величину, которая была бы нечувствительно малой; ведь если бы
они увеличили её вдвое или втрое, то им пришлось бы производить
сравнения таким же образом. Из этого ясно, что величина эта не
играет никакой роли дри сравнении и что, следовательно, сравнение
не становится невозможным и в том случае, когда эта величина совер-
совершенно исчезает.
Но из вышесказанного яспо, что сравнение, производимое в диффе-
дифференциальном исчислении, имеет место лишь в том случае, если прира-
приращения, о которых мы говорили, полностью исчезают. Действительно,
приращение количества х, которое мы в общем случае обозначаем через
ш, относится к приращению квадрата а;2, равному 2хш +ш2, как 1 к 2х+ш.
Это отношение всегда отличается от отношения 1 к 2 х, если только ш
не равно нулю. Если же мы положим ш=0, тогда, в самом деле, мы можем
утверждать, что это отношение становится в точности равным отношению
1 к 2 х. Однако вместе с тем ясно, что чем меньше мы возьмём это прира-
приращение со, тем ближе подойдём к этому отношению. Поэтому не только
позволительно, но, по сути дела, и надлежит считать эти приращения
снаиала конечными и изображать их на чертежах, когда последние нужны
для иллюстрации рассматриваемого вопроса, конечными линиями. Затем
нужно мысленно представить, что эти приращения становятся всё мень-
меньшими и меньшими, и тогда мы найдём, что их отношение всё более и более
приближается к некоторому определённому пределу, которого они дости-
достигают, однако, лишь тогда, когда полностью обращаются в нуль. Этот
предел, который составляет как бы последнее отношение упомянутых
приращений, и является истинным объектом дифференциального исчисле-
исчисления. Следовательно, нужно считать, что первые основания дифферен-
дифференциального исчисления заложил тот, кому впервые пришло на ум рассма-
рассматривать те последние отношения, к которым приращения переменных
количеств, уменьшаясь всё более и более, приближаются и которых
они, наконец, достигают, исчезая.
Следы такого рассмотрения мы находим у дрешшх авторов; им
поэтому нельзя отказать в наличии некоторого представления об анализе-
бесконечно малых и в обладании кое-каким знакомством с ним. Мало-
42 ПРЕДИСЛОВИЕ
помалу эта наука делала потом всё большие и большие успехи и не сразу
достигла она того состояния, в котором мы её видим ныне; правда, в ней
и сейчас гораздо больше тёмных мест, чем освещенных. В самом деле,
хотя дифференциальное исчисление охватывает функции любого нида,
сколь бы ни были они сложны, однако но сразу стал известен метод взаим-
взаимного сравнения исчезающих приращений всевозможных функций; это
открытие делали постепенно, восходя ко всё более сложным функциям.
Что касается рациональных функций, то последнее отношение их исче-
исчезающих приращений умели находить задолго до времени Ньютона и Лейб-
Лейбница, так что нужно считать, что дифференциальное исчисление в приме-
применении к рациональным функциям было найдено много раньше этого вре-
времени. Нет никакого сомнения в том, что открытием той части дифферен-
дифференциального исчисления, которая занимается иррациональными функциями,
мы обязаны Ньютону. Он был счастливо приведён к этому замечательной
своей теоремой о разложении произвольной степени бинома; этим весьма
изящным открытием область дифференциального исчисления была рас-
расширена удивительным образом. Не в меньшей степени мы обязаны и Лейб-
Лейбницу тем, что этому исчислению, которое до него рассматривалось лишь
как совокупность особых искусных приёмов, он придал форму научной
дисциплины, собрал её правила в систему и отчётливо их изложил.
В самом деле, таким образом были созданы средства для дальнейшего
развития этого исчисления, и стало возможным, исходя из достоверных
начал, найти ответ на нерешённые ещё вопросы. Вскоре, действительно,
стараниями самого Лейбница, а также братьев Бернулли, которых он
к этому привлёк, дифференциальное исчисление было распространено
на трансцендентные функции—эга его часть до тех пор оставалась
неразработанной. Тем самым была заложена прочная основа интеграль-
интегрального исчисления. Опираясь на неё, авторы, разрабатывавшие впослед-
впоследствии интегральное исчисление, обогащали его всё новыми и новыми
результатами. Так и Ньютон дал очень важные результаты интеграль-
интегрального исчисления1); но когда последнее было впервые открыто, это уста-
установить с такой определённостью нельзя, ибо его возникновение вряд ли
можно отделить от первого появления дифференциального исчисления.
Поскольку же наибольшая часть интегрального исчисления остаётся
неразработанной и до сих пор, то на это исчисление и нельзя смотреть
как на вполне открытое, и за каждым, кому удаётся внести посильный
вклад для его усовершенствования, мы должны будем с благодарностью
признать его заслугу. Вот какого мнения следует держаться в вопросе
о славе открытия этого исчисления, возбуждавшем, я полагаю, до сих
пор так много споров.
Что же касается до различных наименований, которые математики
разных стран присваивают этому исчислению, то все они сходны в том
отношении, что очень хорошо согласуются с данным здесь определением;
действительно, назвать ли исчезающие приращения, отношения которых
мы рассматриваем, дифференциалами или флюксиями, всегда нужно
считать их равными нулю; таким должно быть истинное понятие о беско-
бесконечно малом. Тогда всё то, что было предметом скорее любопытных, чем
полезных споров относительно дифференциалов второго и более высоких
порядков, становится совершенно ясным, поскольку все эти дифферен-
дифференциалы сами по себе в равной мере исчезают и поскольку никогда они
... amplissima dederat specimena calculi integralis.
ПРЕДИСЛОВИЕ 43
не берутея сами по себе, а рассматривается лишь их взаимное соотно-
соотношение. В самом деле, отношение двух исчезающих приращений снова
выражается некоторой функцией, поэтому, если исчезающее прираще-
приращение этой функции сравнивается с другими приращениями, то нужно
считать, что мы имеем дело со вторыми разностями. Таким же обра-
образом нужно понимать переход к дифференциалам более высоких по-
порядков, так что на самом деле всегда мыслятся конечные количества,
а знаки дифференциалов применяются лишь для удобного их предста-
представления.
На первый взгляд ото воззрение на анализ бесконечно малых может
некоторым показаться неосновательным и совершенно бесплодным, хотя
упоминавшаяся выше таинственная категория1) бесконечно малых не мо-
может обещать большего. На самом же деле, если мы можем точно знать
отношения между исчезающими приращениями каких-либо функций,
то это знание и само по себе чрезвычайно важно, но, кроме того, оно
настолько необходимо при разрешении многих, и притом наиболее труд-
трудных, вопросов, что без его помощи в них вообще ничего понять нельзя.
Так, например, если ставится вопрос о движении ядра, выброшенного
орудием, и при этом нужно учесть сопротивление воздуха, то сразу никак
нельзя определить, как будет двигаться ядро на протяжении конечного
расстояния, ибо как направление пути, по которому движется ядро,
так и скорость его, от которой зависит сопротивление, меняются в каж-
каждый момент. Однако чем меньше расстояние, пройденное ядром, тем
меньшей будет эта изменчивость и тем легче можно будет приблизиться
к познанию истины. Если же это расстояние мы сделаем совершенно
исчезающим, то, поскольку тогда уничтожится всякая неравномер-
неравномерность направления пути и скорости, можно будет на основании законов
движения точно определить влияние сопротивления и найти изменение
движения, возникшее в момент времени2). А зная эти мгновенные изме-
изменения или, лучше сказать, их взаимное соотношение (ибо сами они суть
нули), мы уже получаем очень большую пользу, и теперь задачей инте-
интегрального исчисления является вывести отсюда заключение о движении,
меняющемся на протяжении конечного пространства. Я полагаю, однако,
что нет нужды показывать дальше пользу дифференциального исчисления
и вообще анализа бесконечно малых, ибо сейчас хорошо известно, что,
если мы желаем точно решить хотя бы самый простой вопрос, касаю-
касающийся движения твёрдых или жидких тел, мы не можем обойтись без
помощи анализа бесконечно малых и что часто эта наука оказывается
даже ещё недостаточно разработанной, чтобы мы могли полностью решить
тот или иной вопрос. Можно сказать, что во всех отраслях науки этот
высший анализ применяется столь широко, что всё, чего можно достичь,
не прибегая к нему, можно считать почти за ничто.
В этой книге я намерен вывести всё дифференциальное исчисление
из истинных начал и изложить его столь подробно, чтобы не опустить
ни одного из найденных до сих пор результатов, к нему относящихся.
Я разделил всё сочинение на две части. В первой из них, введя основные
понятия дифференциального исчисления, я изложил метод дифферен-
дифференцирования всевозможных функций и показал, как находить дифферен-
дифференциалы не только первого, но и высших порядков, как для функций одного
1) В оригинале: species ille arcana.
3) В оригинале: puncto temporis, т. е. «в точке времени».
44 ПРЕДИСЛОВИЕ
переменного, так и для функций двух и большего числа переменных.
Во второй части я изложил разнообразные применения дифференциаль-
дифференциального исчисления к анализу конечных количеств и к учению о рядах. Здесь
я с особой обстоятельностью изложил теорию максимумов и минимумов.
Применения же дифференциального исчисления к геометрии кривых линий
я здесь вовсе не касаюсь; в этом не было большой нужды, так как в дру-
других сочинениях этот раздел изложен очень подробно, так что даже основ-
основные положения дифференциального исчисления как бы выводятся из
геометрии, а как только они достаточно развиты, с большим старанием
применяются к этой науке. Здесь же всё изложение ограничено пределами
чистого анализа, так что для изложения всех правил этого исчисления
не понадобилось ни одного чертежа.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ,
СОДЕРЖАЩАЯ
ПОЛНОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ
ЭТОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
ГЛАВА I
О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
1. Из того, что в предшествующей книге*) было сказано о пере-
переменных количествах и о функциях, явствует, что когда переменное
количество на деле изменяется2), все его функции тоже претерпевают
изменение. Так, если переменное количество х получает прираще-
приращение ш, так что вместо х пишется х + и>, то все функции от х, как,
например, х1, х3, a'X.z, примут другие значения, а именно, х% перей-
дёт в г? + 2яш 4-си2, х3 перейдёт в х3 -f- Зж2со -{-Зхш" -f- w3 и а
a -\~ ос
а 4- хЛ- и)
превратится в —г-—т-т-^ ;—г- Такого рода изменение возникает всег-
да, кроме случая, когда функция имеет лишь обманчивый вид пере-
переменного количества, на самом же деле является постоянным количе-
количеством, как, например, х°; такая функция остаётся неизменной как бы
ни изменялось количество а;3).
2. Так как об этом говорилось достаточно, подойдём ближе к тем
свойствам функций, на которые опирается весь анализ бесконечно
малых4). Итак, пусть у есть какая-либо функция переменного коли-
2) Bj «Введении в анализ бесконечно малых», гл. I, § 5. Русский перевод
Б. Л. Пацановского, под редакцией проф. С. Я. Лурье, ОНТИ, 1936, Стр. 29
и след.
2) В оригинале: actu variatur. Переменное количество, по Эйлеру, «содержит
в себе всевозможные определённые значения», т. е. потенциально способно к изме-
изменению. Здесь подчёркивается, что изменение должно иметь место и актуально.
3) Во «Введении в анализ» Эйлера (цит. соч., гл. I, § 4) сказано: «функция
переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо
образэм из этого неременного количества и чисел или постоянных величин».
Согласно этому определению функция переменного количества может и не быть
переменным количеством (ср. «Введетше в анализ», гл. I, § 5).
Что же касается понятия «аналитического выражения», то Эйлер нигде его
не определяет; по смыслу, в котором этот термин употребляется в различных
произведениях Эйлера, можно было бы сказлть, что аналитическое выран;епие
составляется с помощью «элементарных» действий, рассматриваемых в алгебре
и тригонометрии; эти действия могут производиться в бесконечном множестве.
В частности, Эйлер широко пользуется бесконечными степенными рядами. Класс
эйлеровых функций очень широк. Он включает в себя все непрерывные (в совре-
современном смысле) функции. См. А. М а р к у ш е в и ч, Элементы теории аналитиче-
аналитических функций. Учпедгиз, 1944, Введение, § 4.
4) Заметим, что Эйлеру не чужда была и более общая точка зрения на функ-
функцию, высказанная ещё Ньютоном (см. предисловие Эйлера к настоящему сочи-
сочинению его).
48 ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
чества х\ вместо последнего будем подставлять последовательно зна-
значения, растущие в арифметической прогрессии, а именно, х, х-\-ш,
х-\-2а>, а; + 3а>, х-\-&ш и т. д. Обозначим через у1 значение, которое
принимает функция у, если в неё вместо х подставить ж + ш; подоб-
подобным образом пусть у11 есть значение у, когда вместо х пишется
х-\- 2си; равным образом пусть у111, y1Y, yv представляют значения у,
появляющиеся тогда, когда вместо х мы полагаем х-\- Зш, а; + 4(о,
х + 5<« и т. д., так что эти различные значения х и у соответствуют
ДРУГ Другу следующим образом:
X,
У
х + ш,
У1
х + 2(о,
yll
х + 3@
ут
, х + 4(о,
2/IV
х-\- 5(о
2/v
и
и
т.
т.
д.
Д.
3. Так как арифметический ряд х, х-\-ш, х-\-2ш и т. д. можно
продолжать бесконечно, то ряд у, у1, у11 и т. д., происшедший
из функции у, также будет продолжаться бесконечно, и его природа
будет зависеть от природы функции у. Так, если будет у = х или
у = ах-\-Ь, то ряд у, у1, у11 и т. д. также будет арифметическим; если
будет у= , ряд будет гармоническим, если же у = ах, то будем
иметь геометрический ряд. И нельзя придумать такого ряда, который
не мог бы произойти таким образом из некоторой функции1); эта
функция от х по отношению к ряду, который из неё происходит, назы-
называется его общим членом. И так как каждый ряд, образованный по
определённому закону, имеет общий член, то он происходит из опре-
определённой функции х. Подробнее это излагается в учении о рядах.
4. Но здесь наше внимание обращено преимущественно на раз-
разности, которыми члены ряда у, у1, у11 и т. д. отличаются друг от
друга. Чтобы поставить их в связь с дифференциалами, будем обо-
обозначать их следующим образом:
yl — y — Ay, у11 — yl = Ayl, у111 — yll = Ay11 и т. д.
Следовательно, Ау представляет приращение, которое принимает
функция у, если в ней вместо х положить х+ш, где ш обозначает
какое-нибудь по произволу взятое число. В учении о рядах обычно
берётся (о = 1, но для нашей цели выгодно пользоваться общим зна-
значением, которое можно по усмотрению увеличивать или уменьшать.
Это приращение Ау функции у называют разностью, на которую
последующее значение у1 превосходит первое значение у. Она всегда
рассматривается как приращение2), хотя часто она на самом де-
деле представляет ущерб3), признаком чего служит отрицательное её
значение.
5. Так как у11 происходит из у, если вместо х написать х + 2ш,
то очевидно, что должно произойти то же количество, если сперва
вместо х положить х-\-ш, а затем снова поставить я + ю вместо х.
Значит, у11 произойдёт из у1, если в последнем вместо х написать
х) Это утверждение Эйлер мог бы обосновать лишь ссылкой на свою огром-
огромную практику. В его глазах такая ссылка должна была оказаться достаточной.
При надлежащем уточнении понятия «аналитическое выражение» (см. предыдущую
сноску) это утверждение легко доказывается.
2) Incrementum.
3) Decrementum,
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ 49
a; + wi поэтому by1 есть приращение количества у1, которое оно при-
принимает, если положить ж + w вместо х ; вследствие этого Ау1 подоб-
подобным же образом называют разностью количества у1. Равным образом
Ау11 будет разностью у11, т. е. тем его приращением, которое оно
принимает, если вместо х положить х-\-ш; и Дг/Ш будет разностью,
т. е. приращением у111, и т. д. Таким образом, мы из ряда значений у,
а именно, у, у1, у11, у111 и т. д., получим ряд разностей Ay, Ay1, Ay11
и т. д. Они находятся вычитанием каждого члена первого ряда из
следующего члена.
6. Если, после того как найден ряд разностей, снова взять
из него разности, вычитая каждый член из следующего, то возникнут
разности разностей; они называются вторыми разностями и всего
удобнее представляются символически следующим образом1):
—Дт/П,
Итак, Д2г/ называется второй разностью у, Д'У — второй разностью у1
и т. д. Подобным же образом из вторых разностей, если снова взять
их разности, получаются третьи разности, которые будем записывать
так: А3у, ду и т. д., затем четвёртые разности Aiy, ду и т. д.,
сколько будет угодно.
7. Мы представим эти отдельные ряды разностей на схеме, чтобы
их связь легче бросалась в глаза.
Арифметическая прогрессия
х, ic-f-o), ж-{-2ш, х-\-'Зо>, х -{-4«>, х -f- 5ш и т. д.
Значения функции
У, У1> Уп, Уш, У1У> Vs' и т- Д-
Первые разности
Ay, Ay1. Ay11, Ay111, A?/IV и т. д.
Вторые разности
ь?у,
Третьи разности
Д'
Четвёртые разности
Пятые разности
'у, *
А1у
АЪУ
и
/", У-ут
А3у11 и т
У и т. д.
и т. д.
т. д.
и т. д.
. д.
х) У Эйлера вторая разность от у обозначается но большей части через /
и лишь изредка, при сопоставлении с разностями высших порядков, через Д2г/.
Третьи и высшие разности обозначаются всегда через Д3;/, Д4у и т. д.
4 л. Эйлер
50 ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
Любой из этих рядов получается из вышестоящего вычитанием
каждого предшествующего числа из последующего. Итак, пусть вместо у
подставляется какая-нибудь функция от х. Так как, зная способ
её составления, легко образовать значения у1, у11, у111 и т. д., то из
них без труда будут найдены' отдельные ряды разностей.
8. Положим, что у = х; тогда будет у1 — xl = х-\-ш, у11 = хи = х-\-2ю
и т. д. Беря отсюда разности, будем иметь Ах = ш, Ах1 — со, Да;п = и>
и т. д. Поэтому все первые разности х будут постоянны и, значит,
вторые разности исчезают1); равным образом исчезают третьи разности
и все разности следующих порядков. Так как Да; = и>, то по аналогии
вместо буквы со мы можем с удобством употреблять символ Да;. Итак,
у переменного количества х, последовательные значения которого х,
х1, х11, х111 и т. д., как мы приняли, составляют арифметическую
прогрессию, разности Да;, Да;1, Да;11 и т. д. будут постоянны и равны
между собой. Вследствие этого Агх = О, Д3ж = 0, А1х = 0 и т. д.
9. Мы приняли здесь, что значения х, которые ему последова-
последовательно даются, образуют арифметическую прогрессию, так что первые
разности этих значений постоянны, а вторые и все остальные исче-
исчезают. Хотя это зависит от нашего произвола, поскольку мы могли бы
с равным правом употребить какую-нибудь другую прогрессию, однако
арифметической прогрессией пользуются предпочтительно перед всеми
остальными как потому, что она наиболее проста и легка для усвое-
усвоения, так главным образом и потому, что она способна охватить все
значения, какие только может принимать х.
Действительно, если давать количеству о> как отрицательные, так
и положительные значения, то в ряде значений х содержатся всевоз-
всевозможные действительные количества, которые могут быть подставлены
вместо х; напротив, если бы выбрали геометрический ряд, то к отри-
отрицательным значениям не открывалось бы никакого доступа. По этой
причине об изменении функций у удобнее всего судить по значе-
значениям х, которые составляют арифметическую прогрессию.
10. Подобно тому как мы имеем Ау = у1 — у, так и высшие раз-
разности можно определить, исходя из членов первого ряда у, у1, yIlr
у111 и т. д.
В самом деле, так как
Ьу1 = у11 — у1,
то
поэтому
д»у = ду — А2у = ут — Зу" + Зу1 — у.
Подобным образом
А*у = у™ =
и
Аьу = у —byIV
г) В оригинале evaaescunt. Мы сохраняем термин, которым пользуется Эйлер,
ввиду того значения, которое оно имеет в эйлеровом обосновании анализа (гл. III
настоящей работы). Эйлер пользуется и термином «обращается в нуль» (in nihilum
bit) как синонимом.
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ 51
Коэффициенты в этих формулах подчинены тому же закону,
который наблюдается у степеней бинома *). Итак, подобно тому как
первая разность определяется с помощью двух членов ряда у, у1, у11,
у111 и т. д., так вторая разность с помощью трёх, третья — четырёх
и т. д. Зная же разности всех порядков количества у, мы подобным
образом определим разности всех порядков количеств у1, уО- и т. д.
11. Итак, когда предложена какая-нибудь функция у, то можно
найти как первую, так и следующие её разности, отвечающие раз-
разности со, на которую возрастают значения х. И для этого нет необхо-
необходимости продолжать дальше ряд значений у2). Действительно, как
первая разность Ау находится, если в у вместо х написать х-\-ш
и из полученного значения у1 вычесть самоё функцию у, так вторая
разность получится, если в первой разности Ау вместо х положить
х-\-ш, так что получится Ау1, и вычесть Ау из Ау1. Подобным образом,
если взять разность от второй разности А2у, вычитая её из значения,
которое она принимает, если вместо х положить х+ш, то получится
третья разность А3у и далее таким же образом четвёртая разность
А4у и т. д. Итак, если бы кто-нибудь умел отыскивать первую раз-
разность всякой функции, то он тем самым мог бы находить и вторую
разность, и третью, и все следующие, ибо вторая разность у есть
не что иное, как первая разность от Ау, третья разность у есть нечто
иное, как первая разность от А"у, и т. д.
12. Если функция у составлена из двух или нескольких частей,
так что у = p-\-q-\-q-\-r -f- и т. д., то, поскольку у1 — р1 + q1 + г1 -\-
+ и т. д., разность будет Ау = Ар-f- Aq + Аг -|- и т. д. и подобным образом
далее
A2y = AV + As? + Aar+ и т. д.,
так что разыскание разностей немало облегчается, если предложен-
предложенная функция составлена из частей. Если же функция у есть произ-
произведение двух функций р и }, т, е. р pq, то, поскольку у1 — plql и
Р1 = Р + Д/>,
ql = q + Aq,
*) Эйлер ие считает необходимым доказывать это утверждение, хотя он мог бы
легко применить метод полной индукции, хорошо известный в его время. Вообще,
Эйлер не склонен никогда доказывать для общего случая закон, который он уста-
установил для ряда частных случаев, если этот закон представляется ему «естествен-
«естественным». Мы вскоре будем иметь случай убедиться в том, что это не только педаго-
педагогический приём, но и внутреннее убеждение Эйлера.
Конечные разности были впервые введены Ньютоном. Для приближённого
выполнения квадратур он применил интерполяционную формулу, носящую сейчас
его имя. Об этой формуле Ньютон сообщил в нарочито неясной форме в своём
письме к Лейбницу в lr>7G г. Опубликована она в кратком сочинении Ньютона
Metliodus differentialis («Разностный метод»; русский перевод: И. Ньютон. Мате-
Математические работы. Перевод и комментарии проф. Д. Д. Мордухай-Болтовского,
ОНТИ, 1937, стр. 210 — 217). Стерлинг в своей работе Methodus-differentialis
newtoniana (Ньютонов разностный метод, 1719 г.) дал более простой вывод Ньюто-
Ньютоновой формулы. Для этой цели он установил формулы, отличающиеся только
обозначениями от тех, которые здесь даёт Эйлер. Обозначения, употребляемые
здесь, введены самим Эйлером.
2) Эйлер хочет сказать, что нет необходимости пользоваться формулами пре-
предыдущего параграфа и сразу составлять выражения j/H, г/ , разумеется, фактически
ряд значений у продолжается.
52 ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
будем иметь
откуда
Р1ЯХ =
Ay = pAq -f- qAp~\- ApAq.
Значит, если р есть постоянное количество, равное а, то, как
Да = 0, первая разность функции y=aq будет Ay = aAq; подобным
образом вторая разность А2у= aA2q, третья A3y = aAsq и т. д.
13. Так как всякая целая рациональная функция есть сово-
совокупность 1) нескольких степеней х, то мы сможем находить все раз-
разности целых рациональных функций, если будем знать, как пред-
представляются разности степеней. Поэтому в нижеследующих примерах
мы разыщем разности отдельных степеней х.
Так как х°—1, то Аж° = 0, ибо х° не изменяется, хотя х и пере-
переходит в ж + ш.
Далее, как мы видели, Ах —0 и Д2ж = О, и вместе с тем исчезают
все разности следующих порядков. Так как это уже известно, то мы
начнём со второй степени.
Пример 1
Найти разности всех порядков степени х'2.
Так как здесь у = хг, то будет yl= (х-}-№)*; поэтому
Ау= 2шх + си3.
Это первая разность. Вследствие постоянства ш будем иметь
А-у = 2шг, А*у~- 0, А*у = 0.и т. д.
Пример 2
Найти разности всех порядков степени х3.
Положим у — х3; так как у1— (ж+ шK, то
Ау — Зо)ж2 + 3o)?:r-f-a>3.
Это первая разность. Затем, поскольку Ах'1 — 2wa;-f- ш'2, будем иметь
Д3ша;2 = 6(о2а; + 3иK и Д3со2я; = 3«>3 и Дш3 = 0.
Сложив это, будем иметь
Агу = 6аг:к + 6ш3 и А3у = 6ш3.
Следующие же разности исчезают.
Пример 3
Найти разности всех порядков степени х1.
Положим у = х*; так как, у1 = (х-\-шI, то
у = Ьшх3 -\- 6о) °~х- + 4w3a; -f-m*-
г) Aggregatum.
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ 53.
Это первая разность. По предыдущему имеем:
= 12w2a;2 + I2w3a;+4cu4,
= 12ш3ж + 6w4,
A4w3a; = 4u>4,
Аш4 = 0.
Сложив это, будем иметь вторую разность
А2у -.= 12а> V + 24co3z -f- 14<о4.
Так как, далее,
A24wsa;= 24a>4,
A14w4.-= 0,
то находим третью разность
А3у = 2iwsx + Збш4
и, наконец, четвёртую разность
A4^ = 24w4.
Так как она постоянна, то разности следующих порядков исчезают.
Пример 4
Найти разности любого порядка степени хп.
Положим у = хп; так как у1 = (х + ш)п, у11 = (х + 2и>)™, г/ш=(а;+Зо>)
и т. д., то, развернув степени, получим:
"J i ^т—^—;4<uVl~24 i—т—y~—'8ш3хп~* -I- и т. д.,
= я"-j- -т- ¦ .шх"-1 Н ^——^-9o)V~-—^-j—^-^ -27<о3а;"~+ и т. д.,
= х" + -~ • 4ша; Ч —г— loco "ж —^——г 64(о "ж и т. д.
Взяв отсюда разности, найдём:
п ., , , га (га—1) , „ „ , п (п — I) (п — 2) , „
y = u>x"-1 + \'ш*х"~*+ ">*хп-
и т. д.,
+ и т. д.,
Г'!(" 2) 37ш3ж"-3 + и т. д.
54
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
Снова возьмём разности; получится
д.у = п (п - 1) «V -«+ --^ТГ^
Ду = П (п ~ \ ) а» V-3 + П(Д1~12И"
„ т# д.?
п = п(п -
18а> V-3
Из этих формул с помощью вычитания найдём, далее,
и т. д.,
т. д.
и дплее
'у = п(п — 1)(га — 2)(га — 3)oLzn-*+ и т. д.
14. Чтобы легче усмотреть закон, которому следуют эти разности
степени х", положим, прежде всего, для краткости:
1 '
D П(П- 1)
1 • 2 • 3
« (д -1)(п- 2) (»
1 ¦ 2 • 3 ¦ 4
_ п (и - 1) (п - 2) (га - И) (п - 4)
Л = Г~ПГПГ^4~-~5
и т. д.
Затем образуем следующую таблицу, которая послужит для выра-
выражения отдельных разностей:
у 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
Ау '0, 1, i, 1, 1, 1, 1,
Д3г/ 0, 0, 2, 6, 14, 30, 62,
А3у 0, 0, 0, 6, 36, 150, 540,
А*у 0, 0, 0, 0, 24, 240, 1560,
А5у 0, 0, 0, 0, 0, 120, 1800, 16800, 126 000 и т. д.
А'у 0, 0, 0, 0, 0, 0, 720, 15120, 191520 и т. д.
Д'у 0, 0, 0, 0, 0, 0. О, 5040, 141120 и т. д.
0, 0 и т. д.
1, 1 и т. д.
126, 254 и т. д.
1806, 5796 и т. д.
8400, 40824 и т. д.
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ 55
Число, содержащееся в каком-либо ряде этой таблицы, найдётся,
если сложить предшествующее число того же ряда с вышестоящим
числом и сумму помножить на указатель, стоящий при знаке Д. Так,
в ряде, отвечающем разности Д6?/, член 16800 найдётся, если пред-
предшествующий член 1800 сложить с вышенапис энным 1560 и сумму 3360
помножить на 5.
15. Составив эту таблицу, мы получим отдельные разности сте-
степени хп = у следующим образом1):
frUm*x"~* + и т. д.,
'я"-4 4- и т. д.,
Д3г/ = 6С(«3а;п-3-! 36DcuV-4 + 1Ь0Ео>5хп-5 + и т. д.,
Вообще же разность У^у порядка т степени х" выразится следующим
образом:
Пусть
, _ п (п — \)(п- 2) ... (п. — т + 1)
1 • 2 - З...т '
г, п —т Т т п — т— 1 Тг лг п — т. — 1 Т
К = -»+11> L=-7^T-K, M^-^^-L и т. д.
Далее, пусть
v = (in + l)m+2 - ~ тт*2 + ^LlM (т - ly»*» _
т (т — 1) (т — 2) / cwm** •
1-23 (т~-2)т*2+ И т. д
Найдя эти значения, будем иметь
т1 + 1гп+2а;"-т^4- и т. д.
То, что это выражение правильно, само собой следует из способа,
которым отдельные разности выводятся из значений у, у1, у*1, у111 )
и т. д.
') О том, как найдены Эйлером коэффициенты при В, С, D, ..., т. е. числа,
составляющие таблицу § 14, говорится в следующем примечании.
2) Это выражение неправильно: оно даёт не Дт2/, а Дтг/1, что, действительно,
следует из способа, установленного в § 10 по неполной индукции. Найдём пра-
правильное выражение по тому же способу. Пользуясь обозначением ( , ) Для
56 ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
коэффициента к-й степени в разложении бинома п-й степени ( так что /¦= { \
К ~ ( П + I ) , L= ( +2 ) и т. д. ) , мы напишем формулу § 10 в виде
-2) Ч"
(п ~\n
. )
будет равен
Так как взятие каждой новой разности понижает степень многочлена на единицу,
го при i <m это выражение тождественно равно нулю. При значениях I, равных т,
m-fl, то+ 2, . . . мы имеем:
(то -
Формула, данная Эйлером, станет правильной, если вмшчины я, {J, f заменчть
величинами а', fi', f'-
Приведённая Эйлером таблица (§ 14) есть не что иное, как таблица вели,
гаи />™. Устанавливаемый им peKyppetiTHbnt закон представляется формулой
m\Pi -i-Pi ) —Pi-irf \*t
Из неправильной формулы, приведённой в таксте, таблицу § 14 получить
1ельзя. Подмеченный же Эйлером рекуррентный закон может быть доказан только
га основании формулы, даюшей правильное выражение для коэффициентов.
Таким образом, можно с полной уверенностью сказать, что Эйлер и не
1ытался доказывать рекуррентный закон, усмотренный им из таблицы.
Справедливость этого закона можно доказать следующим образом: по фор-
формуле A) имеем
^ эти выражения, соединяя попарно члены, стоящие в одном и том же
столбце. Так как по известному свойству биномиальных коэффициентов
о получаем
ГЛ. I О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ 57
16. Из этого явствует, что если показатель п будет целым поло-
положительным числом, то мы дойдём в конце концов до постоянных
разностей и все следующие за ними будут равны нулю. Так, будем
иметь:
и, наконец,
AV=-l-2.3...nc«n.
Итак, всякая целая рациональная функция в конце концов сведётся
к постоянной разности, а именно, для функции от х первой степени
ах + b постоянна уже первая разность; она равна аш; для функции
второй степени ах2 + Ьх + с постоянна вторая разность; она равна 2аш2.
У функции же ' третьей степени постоянной будет третья разность,
у четвёртой — четвёртая и т. д.
17. Но способ, которым мы нашли разности степени хп, прости-
простирается ещё шире и распространяется также на те степени, у которых
показатель п есть отрицательное или дробное или даже иррациональ-
иррациональное число. Для большей ясности представим лишь первые разности
этих особых степеней, так как закон вторых и следующих разностей
усматривается не столь легко; итак, мы будем иметь:
Ля* = iu>x3 4- 6(о 2ж2 + 4о) 2х + <о4
и т. д.
Подобным же образом будем иметь:
, (О (О2 (О3
+ И Т. Д.,
2@
F
З.о
Xх
4м
+ -
и
!п>2
X*
i»2
т.
4ш3
10(о3
Xе
20(о3
Д.
И Т. Д.,
Умножая на т и замечая, что
'то — 1 \ _ w(w — 1)... (то — s г 1)(от — s) /то
/
\
s J s!
находим
То же выражение даёт и B) после замены i на i + 1. Этим рекуррентный эакон,
выражаемый формулой B), доказан.
.58 ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
Равным образом будем иметь:
2 <° ">2 i <1K
Ах =—г г-\ гг — и т. д.,
2х~ 8х* 1Ьх "
—и т. д.,
1
~ со З»J 5о>3
- = дН г 7- + ит. д.,
2х'г 8ж" 16ж ~
_1
. 8 <» . 2ш2 14<
Да; = *7 + -J
*7 JW + и т. д.
Зх 9z3 81а:3
18. Ясно, что яти разности, если показатель при х не будет целым
положительным числом, имеют бесконечное выражение, т. е. состоят
из бесконечного числа членов. Между тем те же разности могут быть
представлены и конечными выражениями. Действительно, так как при
х = — имеем yJ=— .то
х * х + и> -
если дрооь -¦ развернуть в ряд, получится вышеприведенное выра-
выражение. Подобным образом
Ах = l\ — =
4-иK *2 '
а для иррациональных степеней будем иметь
,- __ . , 11 1
Д1 / t = у х 4- «и — I/ж и А -73- = . j=.
' Ух Ух-г а, Ух
Эти формулы, если их обычным образом выразить рядами, дадут
вышеприведённые выражения.
19. Этим способом можно найти также разности дробных или
иррациональных функций; так, если ищется первая разность дроби
1 1 т 1
-г-;—5, то полагаем ?/=-——: и так как у1 = ---,-,—,-гтг—~,—- у
й- 4-х я24-ж а + х + 2<1>ж 4- °>
то
это выражение также может быть обращено в бесконечный ряд.
Положим а2 + ж2 = /* и 2<оа;-)-С1J = 0> будем иметь
= — — -—: 4- —— — -*— 4- и т и
р -Q р pztpi p\V " Л* "•
ит- Д-
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ 5Р
Если подставить вместо Р и Q их значения, то будем иметь
. _ л 1 _ 2о>ж + ">2 I ^ш2*2 + 4ш3а; + п>*
У~* а"- + х- ~~ ~ (а?~+~х*у ~" (а'г+хг)г ~~ ~
- , ¦• , ом + И т. д.
(а-2-(-я2I ' м
Если эти члены расположить по степеням со, получим
. 1 _ 2шх м3 (Зж2 - а-) 4«>3(ж3-а2ж)
и Т. Д.
20. Подобными же бесконечными рядами могут быть выражены
и разности иррациональных функций.
Пусть предложена функция г/ = }/я2 -f-ж'2,
тогда
yi = ]/а2+Т3 + 2«>а; + о>^
Положим
а2+а;2 = Р и 2сиж-f i»2 = <?;
будем иметь
—2!_ _ит. д.,
откуда
Дм=Д1/а2 + х2=— ^ ~— +и т. д.
^ 2/аЧ^ 8(а2 + ж2)^я3+^
или
. (ОЖ а2а>2 <г2со3ж
Д-у= ^ ч—' . ¦+• и т. д.
)^а3+^2 2(а2+ж2)]/а2 + ж2 2 (а2 4-ж2J ]/а2+ж2
Отсюда мы видим, что разность какой угодно функции у количества х
также можно выразить в этом виде, так что
\у = рш -\- Qm* -\- Rms -f Swl + и т. д.,
где Р, Q, R, S и т. д. суть некоторые функции х, которые в каждом
случае могут быть определены из функции у.
21. В этом же виде можно представить и разности трансцендент-
трансцендентных функций, что будет ясно видно из следующих примерок:
Пример 1
Найти первую разность гиперболического ') логарифма х.
Положим у = \х и так как г/т = 1(а; + ш), то будет
') То-есть натурального. Название «гиперболический логарифм» проистекает
из того,.что эта функция представляет площадь, описываемую ординатой гипербо-
гиперболы у = —. Эйлер пользуется как термином «гиперболический», так и термином.
«натуральный логарифм». Обозначение ) Эйлер употребляет для логарифма,
взятого по любому основанию.
60 ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
Но такого рода логарифм мы выше 1) научились выражать бесконеч-
бесконечным рядом; применив его, будем иметь
. - U> ОJ <О3 Ш1
Пример 2
Найти первую разность показательного количества ах.
Положив у=ах, будем иметь i/1 — ах^"> — axaw; но выше2) мы
показали, что
1О . , <ol о . <о» A аJ . а>8 A o)s .
взяв это значение, будем иметь
Да=уу = Ду = —[ 1Г2 + 1-23 +ит- д-
Пример 3
В круге, радиус которого равен 1, найти разность синуса дуги х.
Пусть sin х — у; тогда у1 = sin (х-\-ш), откуда
Ау — у1 — у = sin (ж 4- ">) — sin х.
Но sin (x + u>) = cos ш sin x -\- sin ш cos x, а с помощью бесконечных
рядов мы показали3), что
. ОJ СО4 СО» ,
cos со = 1 _ 1 2 + Г1Т;4 - riTrrir5Tg-. + и т. д.
подставив эти ряды будем иметь
. . <о2 • <i>3 <i>* . иN
Д 81пж= ш cos а; —^-sina; —т- cosx-j- ^т sin.a;-f- топ008 х — и т- Д-
Пример 4
В круге, радиус которого равен 1, найти разность косинуса дуги х.
Положив у = cos х, поскольку у1 «=cos (x + и>), будем иметь
у1 = cos о) • cos х — sin со • sin x
и
Ay = cos ш • cos х — sin ш • sin x — cos x.
Применив те же ряды, что выше, получим
tO2 <1>3 • <!)* <05
ACOS?= —О) Sin Ж .г- COS X + — 81П X + 24 C0S Х ~~ Ш) Slli X ~ И Т" Д>
х) «Введение», т. I, гл. VII, § 121.
2) «Введение в анализ»,-ч. I, гл. VII, § 115.
3) Там же, гл. VIII.
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ 61
22. Итак, если предложена какая-нибудь функция у ог х, будь
она алгебраической или трансцендентной, её первая разность может
быть представлена в форме
Ау = Ра> + Qa>* + Ra>3-J,-Su>* + п т- д ;
если от неё снова возьмём разность, то увидим, что вторая разность
у должна иметь следующий вид:
+Лш4 + и т. д.;
подобным же образом третья разность у будет
&*У = /"»3 +<?< + Ло)" -f и т. д.
и т. д.
При этом нужно заметить, что буквы Р, Q, R и т. д. употреб-
употребляются здесь не для выражения определённых значений; в различных
разностях они обозначают различные функции. Я пользуюсь одними
и теми же буквами лишь для того, чтобы хватило запаса различных
букв.
Эти выражения разностей следует хорош» заметить, так как и
анализе бесконечно малых они находят очень широкое применение.
23. Итак, я изложил спогоб, которым можно для каждой функции
найти её первую разность, а также разности следующих порядков,
поскольку они находятся из последовательных значений у1, у11, у111,
yIV и т. д. количества у. Но и обратно, по данным разностям любого
порядка количества у могут быть получены эти изменяющиеся
значения у. Действительно, мы имеем:
у1 =
+ 4Л*у+Д«у
и т. д.,
где числовые коэффициенты снопа являются коэффициентами разложе-
разложения бинома. Так как у1, у11, у111 и т. д. суть значения у, возника-
возникающие, если вместо х последовательно полагать значения х -f- со, ?-j-2u>,
?+3«> и т. д., то мы можем обозначить через у'п) значение, которое
получит у, если вместо х напишем х-\~па>; это значение будет
i п к , п (п — 1) .» . п (п— I) (п. — 2).,
У + гг Ay -J- - о — Д // -1— ~т А3 у 4-и т.д.
Отсюда же можно найти выражение у и тогда, когда п — число отри-
отрицательное. Так, если вместо х положить х — ш, то функция у примет
такой вид:
' I — и т. д.;
если же вместо х положить х — 2о>, то функция у перейдёт в
у — 2Дг/-ЬЗД2г/ — 4Д3?/+ 5Д4г/— и т. д.
24. Скажем ещё несколько слов об обратном методе, которым
должно было бы находить по данной разности ту функцию, разность
которой дана. Так как этот вопрос очень трудный и для его решения
62 ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
часто требуется применять самый анализ бесконечно малых, то мы
изложим здесь лишь некоторые более лёгкие случаи. Прежде всего,
если мы найдём разность какой-либо функции, то, идя обратным путём,
мы можем найти в свою очередь ту функцию, из которой произошла
разность. Так, поскольку разность функции ах-\-Ь есть «ш, то, если
мы будем искать, от какой функции аш является разностью, ответ
получаем тотчас же: эта функция есть ах-\-Ь. В неё входит постоян-
постоянное количество Ь, которое не входило в разность и которое, следова-
следовательно, зависит от нашего произвола. И вообще всегда, если разность
какой-либо функции Р есть Q, то также и от функции Р -j- А, где А
обозначает какое-либо постоянное количество, разность будет Q. Значит,
если предлагается эта разность Q, то функция, из которой она произо-
произошла, будет Р-\-А и, следовательно, не имеет определённого значения,
поскольку постоянная А зависит от произвола.
25. Искомую функцию, разность которой предлагается, мы будем
называть суммой. Это наименование применяется как потому, что
обычно сумма противопоставляется разности, так и потому, что искомая
функция и на самом деле есть сумма всех предшествующих значений
разности. Действительно, мы имели
у1 = у + ±у и г/п = г/ + Аг/ + Лу[.
Продолжим ряд значений у в обратную сторону и то значение, которое
соответствует значению х — ш, обозначим через уи предыдущее значе-
значение— через уп, дальше стоящие — через ут, у^, у\ и т. д. Тогда обра-
образуется идущий в обратную сторону ряд
У\, У.х, Ут, Уп, У1 , У
с его разностями
Будем иметь у =-= lyL + yi , yi = ±уи г у и, Уп = %ш +¦ Уш и т. д., так что
У = % + ±Уп + ЛУш + л?/г\'+ л2/т + и т. д.,
т. е. функция у, разность которой есть \у, будет суммой всех пред-
предшествующих значений разности \у, которые возникают, если вместо х
написать предшествующие значения х — ш, х~2и, г-Зш и т. д.
26. Как для обозначения разности мы пользовались знаком л,
так сумму мы будем обозначать знаком 2 • Если разность функции у
есть z, то z=Ay; мы ранее показали, как найти разность ъ, если дано у.
Если же дана разность z, а нужно найти её сумму у, то y = /jZ.
Таким образом, из уравнения z = -sy, обращая его, мы получаем
уравнение г/ = 22! сюДа можно было бы ещё но указанным выше при-
причинам прибавить какое-нибудь постоянное количество; поэтому уравне-
уравнение z = Ay, если его обратить, даст также y—^z-1 -С. Так, поскольку
разность количества ау, где а есть постоянноз количество, есть аЛг/= az,
будем иметь 2 az = аУ- А так как Ах = ш, то 2 ш = х + С и Zj ш = ах + ^'¦>
вследствие постоянства ш будем также иметь ^]ш2 = шх -\-С, 2jWs =
= т"х -f- С и т. д.
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ 63-
27. Если мы обратим найденные выше выражения разностей cie-
пеней х, то будем иметь
и отсюда
Затем будем иметь
откуда
2 т— х— — V _ — — — J
Л ~ 2»> ZJ 2 2ш 2 -
Далее,
2 Fшх' + 3ш*х + о>а)=х*,
или
зш ^ *3 -г ;j«ua 2 ж + ш3 2 J = а'3
следовательно,
2 х* V 0>" X1 \
или
2 а:' я2 i ")Ж
Подобным образом будем иметь
2322
если подставить сюда вместо 2а;"> 2Ж и 2^ ранее найденные значе-
значения, найдём
Zl X " 4ш '" 2 "г 4 •
Далее, так как
то после подстановок получим
у, х* = ^ - W +!ш^3 - .тг, «•*»•
Идя далее, найдём подобным же образом
и
V х' = ^ - i a;e + г, ^^' - J- <» V + А
^J 7ш 2 2 Ь 42
Эти выражения мы ниже научим находить легче.
(i4 ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
28. Итак, если предложенная разность есть целая рациональная
функция от х, то её сумма (т. е. та функция, разностью которой она
является) легко находится из этих формул. Действительно, так как
в состав разности будет входить несколько степеней количества х,
то мы найдём сумму для каждого члена и все такие суммы сложим.
Пример 1
Пусть ищется функция, разность которой есть ах1 -\-bx-\-с.
Ищем суммы отдельных членов с помощью прежде найденных
формул.
Будем иметь:
чл о ахг ах2 , аи>х
2— Ъх~_ _Ъх
ЬХ ~ ¦ ¦ ¦ 2а> ~~ 2
Собрав эти суммы, будем иметь
(ах2 + Ьх+с)= х* —х--\ ^— х + С.
Это есть искомая функция, разность которой равна ах~ -\-bx-\- с.
Пример 2
Пусть ищется функция, разность которой есть х* — 2urar -i- w4.
Поступая таким же образом, получаем:
2 1 1 ч 1 i
ж =.:5»а; -2х*
— 'V. 2игЖ3 = — — Хг -f «>~Х: —Ж
Jamad J О
И
следовательно, искомая функция будет
1 5 1 4 1 3 , 2 2 I 19
¦р~ X — X — ШХ -\- 0) X -j- X77 (
.ко Z о oU
Действительно, если здесь вместо х положить х + о) и от получившегося
количества отнять вышонайденное, то останется предложенная разность
29. Если мы внимательнее рассмотрим суммы, которые мы нашли
для степеней х, то в первых, вторых и третьих членах легко заметим
закон, по которому следуют друг за другом отдельные члены; но закон
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ 65
образования остальных членов не столь очевиден, чтобы можно было
представить сумму степени х" в общем виде. Однако в дальнейшем
(§ 132 второй части) мы покажем, что
* 6 "
(л + 1) о> 2 Ж + 2 ' 2 • 3 * 6 " 2-3-4 -5
1 п (в - 1) (га - '2) (п - 3) (п - 4) ..» _
"*¦ 6 ' 2-3-4. 5-0-7 Х
? ^ ,
10 2-3...8-9 ~*~
5 п (»-!)... (в - 8) <¦.»¦_,
6 2 - 3 ... 10 . 11
(l21 *(»-!) • ¦ . (я - Ю) »" „n^ii ,
210 2 ¦ 6 ... 12 • 13
35 п(п~1) ...(я -12) со" „
2 2 • 3 . .. It • 15
w — 14) <о» -„
30 2-3 ... 16 ¦ 17
43 867 п(п - 1) ... (n — 16) со" „_„
42 ' 2 • 3 ... 18 • 19 Х
1222 277 п(п- 1) ... (п —18) u»1» n_lt
110 ' 2 • 3 ... 20 • 21 Х +
854 513 п(п —1) .. . (и — 20) со2! ,и
6 ' 2 ¦ j .. . 22 • 23 ~
1181 820 455 п (п - 1) ... (га - 22) со" 23
• :— -. 7Гг X
546 2 • 3 .. . 2. •2о
76 977 927 п (п - 1) ... (га - 24) аJ' „_
2 ' 2 - 3 ... 26 - 27 Х
23 749 461 029 га (га - 1) ... (п - 26) со"
30 ' 2 • 3 . .. 2« ¦ 29
„_27
8 615 841276 005 я (га - 1) ... (га - 28) со'» „,2,
+ 462 ' Y- 6 ... 30 • 31 +
и т. д. +С.
В этой прогрессии особо важное значение имеют численные коэффици-
коэффициенты; как они образуются —здесь ещё не место излагать.
30. Если п не есть целое положительное число, то эта сумма,
очевидно, продолжается до бесконечности и таким образом сумма не
может быть найдена в конечном виде. Кроме того, здесь нужно заме-
заметить, что в выражение суммы входят не все степени, более низкие
чем предложенная; действительно, отсутствуют члены х"^2, хп~1, х'1^,
хп~* и т. д., т. е их коэффициенты равны нулю; однако коэффициент второго
члена х" не следует этому закону; он равен — ^. С помощью этого
выражения можно представить в бесконечной форме суммы всех степе-
степеней, показатели которых суть дробные или отрицательные числа,
за исключением одного только случая, когда п = — 1, так как тогда
член .-- делается бесконечным, ибо тг 4-1 = 0. Так, если положить
т»= —2, будет
з? ~ ыс + +
з? ~ ыс ~~ 2х> 2 ' Зж5 + б ' 5х5 6 " 1х7 + 10 ' 9а:9
5 to9 691 со" 35 -о13 3 617 со"
6 ' Их" + 210 13Х15 2 " 15х"
~И Т# Д*
Л. Эйлер
66 ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
31. Итак, если предложенная разность будет какой-либо степенью
количества х, то всегда можно будет указать её сумму, т. е. выра-
выражение функции, разностью которой она является. Если же предложен-
предложенная функция имеет другой вид, так что её нельзя разбить на части,
являющиеся степенями, тогда сумму найти очень трудно, а часло
и вовсе невозможно, разве что случайно обнаружится, что она
произошла из некоторой функции. Поэтому следует разыскивать разно-
разности многообразных функций и хорошо их заметить, чтобы, если ког-
когда-нибудь такая функция окажется предложенной, тотчас же можно
было представить её сумму, т. е. функцию, из которой она произошла.
Кроме того, много правил, с помощью которых нахождение сумм пора-
поразительно облегчается, даёт метод бесконечно малых.
32. Искомую сумму можно найти легче, если предложенная раз-
разность состоит из простых множителей, составляющих арифметическую
прогрессию, разность которой есть само количество ш. Так, пусть
предложена функция (ж + tu) (х + 2ш) и ищется её разность; так как
после подстановки х + со вместо х эта функция переходит в (х + 2ш) (х-\-Зш),
то её разность будет 2ш(ж4-2ш). Поэтому, обратно, если предложена
разность 2ш(ж + 2<!>), то её сумма будет (х + ю) (х + 2ш). Следовательно,
будем иметь
2, . Г\ \ 1 / . \ , I О \
[X -\- лСО 1 = -— ух -т- W) 1Хт лйI.
Подобным образом, если предложена функция (х + п<о) (ж + (п +1) ш),
то, так как её разность есть 2ш (ж+ (п+ 1) со), будем иметь
2 (я + пш) = ¦- {х + (п — 1) со) (х + пе>).
33. Если функция состоит из большего числа множителей, как,
например,
у = (х + (п — 1) ш) (х + жо) (х + (п + 1) (»),
то, поскольку
г/i = {х + пш) (х + (и + 1) w) (ж + (и + 2) m),
будем иметь
Аг/ = Зш (ж + nco) (s + (n + 1)ш),
так что
2 {х-гпш)(х + (п+ l)m) = ~ (x+(n—l)<o)(x + nm)(x+{n + l)a>).
Подобным образом найдём, что
2 (х + исо) {х + (п + 1) ш) (х + (п + 2) со) =
= ^ (ж + (л - 1) о>) (ж + пы) (а + (п + 1) «¦>) (ж + (п + 2) ш).
Отсюда становится само собой ясным закон нахождения суммы, когда
разность состоит из нескольких множителей такого рода. Хотя эти
ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ 67
разности и являются целыми рациональными функциями, однако их
суммы этим способом находятся легче, чем предшествующим методом.
34. Отсюда открывается также путь к нахождению сумм дробных
разностей. В самом деле, пусть предложена дробь
так как
ТО
1
х + (п -г 1) "> ~~ х + пш ~~ (х+ то) (х + (п + 1) со) '
и поэтому
jLA (a; 4- гаш) (a; 4- (n 4-1) ">) "> ж 4- n»
Пусть, далее,
_ 1
^ (a: 4- гаю) (z 4- (re 4- 1) 10) '
так как
j _ 1
У ~~ (x 4- (n 4-1) o>) (ж 4- (га + 2) <o) »
то
* (a: 4 пш) (ж — (re +1) u>.) (x + (re 4- 2) u>) "
Поэтому
¦sr, 1 -1
)(х + (п + 2)а>) 2ф (х + Пи:)Хх + (п + 1) ш) *
Подобным образом
(х + п.») (а; + (п + 1) и) (х + (п + 2) ш) (ж + (п + 3) <о)
3m (ж 4- геш) (ж -I- (re 4- 1) o>) (x 4- (n + 2) to) *
35. Этот метод суммирования следует хорошо усвоить, ибо суммы
таких разностей не могут быть найдены предшествующим . дхетодом.
Если же, сверх того, разность имеет числитель или множители знаме-
знаменателя следуют друг за другом не в арифметической прогрессии, то
надёжнейший способ, разыскания суммы состоит в том, чтобы разло-
разложить предложенную разность на её простейшие дроби; если по отдель-
отдельности их нельзя суммировать, то, соединив их попарно, можно найти
их сумму всякий раз, когда это возможно вообще сделать. Нужно
только посмотреть, нельзя ли найти сумму с помощью формулы
у 1 у _L_=_JL:-
ZJ х 4- (re + 1) "> ^-Ji+Bo) x 4- nw '
в самом деле, хотя ни одна из этих двух сумм сама по себе не может
быть представлена, однако разность их является известной.
36. Итак, в этих случаях дело сводится к разложению каждой
дроби на её простейшие, которое было подробно рассмотрено в преды-
предыдущей книге. Как можно с его помощью находить суммы, мы пока-
покажем на нескольких примерах.
G8 ГЛ. I. О КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
Пример 1
Пусть ищется сумма, разность которой есть ——Х~У '" .
Разложим предложенную разность на её простейшие дроби; полу-
получим
\_ 1 1 1 2 1
со X со x-j- u> а) ж + 2о>
Так как по предыдущей формуле
у 1 _у 1 L_
^—' а; ¦+- mo -^J .-г + (га + 1) со г-(-вш'
ТО
у ! = у — -.
J—lx J-J X+ со Л
Следовательно, искомая сумма будет
1 у 1 , JL у _1 1у _1_ = -^ V _1 1
НО
J_=y _i 1_
значит, искомая сумма будет
_ J 2 _ -За: —со
и>х и) (a; -f- ">) Ш2:
Пример 2
3<*
Пусть ищется сумма, разность которой есть ————-r.
1 1
Положив эту разность равной z, будем иметь z = —-q- , и поэтому
22_у 1_у _1_ = у _i у _1 J_ =
ZJ г ^Ja;+3u) ZJx^-a /Ja;+3co z
z -(- 2co -Zj z-f3u) a; a; + u> a; a: + u> a:-t-2u>*
Это есть искомая сумма. Итак, всякий раз как выражения, содержа-
содержащие знаки суммирования 2> в конце концов взаимно уничтожаются,
можно будет найти выражение суммы предложенной разности; если
же этого уничтожения не последует, это — признак того, что сумма
не может быть найдена.
ГЛАВА II
О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ
37. Тт>, что природа рядов выясняется лучше всего с помощью
разностей, достаточно известно уже из начальных основ математики.
В самом деле, для арифметической прогрессии, которую обычно рас-
рассматривают прежде всего, основное свойство состоит в том, что её пер-
первые разности равны между собой и, значит, вторые и все остальные
разности будут нулями. Затем есть ряды, у которых только вторые
разности равны;, они поэтому удачно названы рядами второго поряд-
порядка, тогда как арифметическая прогрессия называется рядом пер-
первою порядка. Дальше будут ряды третьего порядка; у них по-
постоянны третьи разности. К рядам четвёртого и следующих поряд-
порядков относят те, у которых только четвёртые или высшие разности
постоянны.
38. В этом подразделении содержатся бесчисленные роды рядов,
однако не все ряды можно отнести к одному из этих родов. Встре-
Встречаются бесчисленные ряды, которые при составлении их разностей
никогда не приводят к постоянным членам. Таковы, помимо бесчислен-
бесчисленных других, геометрические прогрессии; они никогда не дают постоян-
постоянных разностей, как можно видеть из следующего примера:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 и т. д.,
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 и т. д.,
1, 2, 4, 8, 16, 32 и т. д.
В самом деле, так как ряд разностей какого угодно порядка равен
самому предложенному ряду, то равенство разностей- прямо исклю-
исключается. Поэтому должны быть установлены многие классы рядов,
из которых лишь один можно подразделить на порядки, соответству-
соответствующие порядкам постоянных разностей. Этот класс мы и будем по пре-
преимуществу рассматривать в настоящей главе.
39. Две вещи обычно ищутся для распознания природы ряда:
общий член и сумма или суммационный член1). Общий член есть
неопределённое выражение, содержащее в себе всякий член ряда
и являющееся вследствие этого функцией переменного количества х, ко-
которая при x — i представит первый член ряда; второй оно представит
Terminus summatorius.
70 ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ
при х = 2, Гтретий при ж = 3 и т. д. Итак, если известен общий
член, то найдётся какой угодно член ряда, хотя бы закон, которым
связаны отдельные члены ряда, и не был усмотрен. Например, пола-
полагая х =1000, мы тотчас найдём тысячный член. Так, общий член ряда
1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120 и т. д.
есть 2хг — х; действительно, если положить ж=1, эта формула даёт
первый член 1; если положить х = 2, получается второй ,ллен; если
положить ж = 3— третий и т. д.; отсюда ясно, что сотый член этого
ряда получится, если положить х =100; он будет равен 19900.
40. Индексом или показателем в каком-либо ряде называются
числа, которые указывают, каков порядок каждого члена. Так, индекс
первого члена есть 1, второго 2 и т. д. Индексы отдельных членов
ряда обычно надписываются над ними следующим образом:
Индексы
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и т. д.
Члены
А, В, С, D, E, F, G и т. д.,
откуда тотчас же явствует, что G есть седьмой член предложенного
ряда, ибо его индекс есть 7. Таким образом, общий член ряда есть
не что иное, как тот член ряда, у которого индекс или показатель
есть неопределённое число ж. Мы покажем сперва, как нужно нахо-
находить общий плен ряда какого-либо порядка, т.. е. ряда, у которого
либо первые, либо вторые, либо другие последующие разности постоян-
постоянны. Затем мы перейдём к разысканию суммы.
41. Начнём с рядов первого порядка, т. е. с арифметических про-
прогрессий; их первые разности постоянны. Пусть а есть пер'вый член
ряда, а 6 — первый член ряда разностей; ему равны и все остальные,
так что ряд составлен следующим образом:
Индексы
1, 2, 3, 4, 5, 6 и т. д.
Члены
а, а + Ь, а + 26, а + 36, а + 46, а+ 56 и т. д.
Разности
6, 6, Ь; 6, 6 и т. д.
Отсюда тотчас явствует, что член, индекс которого есть х, будет
а+(ж—1N и, следовательно, общий член будет bx + а — 6; он составлен
из первого члена самого ряда и первого члена ряда его разностей.
Если обозначить через а1 второй член ряда, то так как Ь = а1 — а,
общий член ряда будет
(ai — a)x + 2a — al = aI(x~ 1) — я (ж+ 2),
так что общий член арифметической прогрессии можно выразить через
её первый и второй члены.
42. Пусть в ряде второго порядка — члены самого ряда а, первых
разностей 6, вторых разностей с; тогда сам ряд, вместе со своими
ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ 71
разностями, будет составлен так."
Индексы
1. 2, 3, 4, 5, 6, 7 и т. д.
Члены
а, а + Ь, а+2Ь + с, а + ЗЪ + Зс, а+46 + бс, а+5Ь + 10с, а + 66 + 15с и т. д..
Первые разности
Ь, Ь+с, Ь + 2с, Ь + Зс, Ь + 4е, Ь + 5е и т. д.
Вторые разности
о, с, с, с, с и т. д.
Из наблюдения над ним вытекает, что член, индекс которого х, будет
это, следовательно, есть общий член предложенного ряда. Обозначим
теперь второй член самого ряда через а1, а третий член через ап; так
как по основному свойству разностей (§ 10)
Ь = а1 — а и с — аи — 2а1-\- а,
то общий член будет
1) (а* - а) +{* ~ */
а + (х -1) (а* - а) +{* ~ */ (*~ 2) (а" - 2ai + a);
его можно привести к такому виду:
а11 (х - 1) (ж — 2) 2а1 (х - 1) (а: - 3) д (ж - 2) (х - 3)
1.2 1-2 + 1-2 '
или же к такому:
^ (а;_ 1) {х - 2) -^ (х - 1) (в - 3) + | (а - 2) (я - 3),
или же, наконец, к такому:
i (*-!,(*-2) (,-3
так что он выражается через три члена самого ряда.
43. Пусть ряд третьего порядка есть а, а1, а11, а111 и т. д.; его
первые разности б1, 6П, б111 и т. д., вторые разности с, с1, с", еш
и третьи d, d, d, ибо они постоянны.
Индексы
1, 2, 3, 4, 5, 6 и т. д.
Члены
а, а\ аи, ат, a™, av и т. д.
Первые разности
6, Ь\ Ь", б»1, 6'v и т. д.
Вторые разности
с, с1, с", с111 и т. д.
Третьи разности
d, d, d и т. д.
72 ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ
Так как
c + 4d и т. д.,
то общий член, т. е. тот член, индекс которого есть х, будет
а Л. (*-*> , (»-1)(я-2) (*-1)(а-2)(*-3) ,
так образуется общий член из разностей. Так как, далее,
b = al—a, c = an —2a1 +a, d = a™ — ЗдН + За1 — а,
то, если подставить эти значения, общий член примет вид
ш (х-1)(*-2)(х-3) _ о п
1-2-3 °a
(*-2)(х-3)(х-4) .
а ITF3 '
его можно также представить следующим образом:
(а:-1)(а:-2)(а:-3)(ж-4) / ат Здп
_3<^_ о_\
а;-2 x-l) '
44. Пусть теперь предложен ряд какого угодно порядка.
Индексы
1, 2, 3, 4, 5, 6, и т. д.
Члены
а, а1 , а11, дш, aiv, av и т. д.
Первые разности
6, б1 , 6", 6Ш, 6IV и т. д.
Вторые разности
е, с1 , с11, с111 и т. д.
Третьи разности
d, d1, d11, и т. д.
Четвёртые разности
е, е1 и т. д.
Пятые разности
/ и т. д.
Общий член выражается через первый член самого ряда и пер-
первые члены разностей Ь, с, d, e, f и т. д. следующим образом:
—Пг с ~^~ ГПТз iJ{~
-г 1-2.3-4 с •" и '• д>>
ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ 73
пока не дойдём до постоянных разностей. Из этого ясно, что если
постоянные разности не появляются никогда, то общий член предста-
представляется бесконечным выражением.
45. Так как разности выражаются через члены самого ряда, то,
если подставить значения разностей, общий член окажется выражен-
выраженным в той же форме, в какой мы представили его для рядов пер-
первого, второго и третьего порядков. Так, для ряда четвёртого порядка
общий член будет
C-1) (ж-2) (з-З) (ж-4) (ж-5) Г aIV 4аш 6an 4a1 a
1-2-3-4 \х-Ь я-4 + х-3 i-2 + i~j
откуда легко усмотреть закон, по которому составляются члены рядов
последующих порядков. А из этого явствует, что общий член для
любого порядка будет целой рациональной функцией х, в которой
наибольшее измерение х совпадает с порядком, к которому относится
ряд. Так, общий член рядов первого порядка есть функция первой
степени, второго порядка — второй степени и т. д.
46. Разности же, ,как мы видели выше, получаются из самих чле-
членов ряда следующим образом:
Ь = аг — a, c = all — 2al+a, d = a"i — ЗаР + За1 — а,
61 = аи _ ai f ci = вш _ 2an + ei , cP = a™ — 3a™ + 3a« - a* ,
Звш_ац#
Поэтому, так как в рядах первого порядка все значения с = О, будем
иметь
en = 2ai —a," oni = 2fln-ai, а^ = 2аЩ-а^ и т. д.,
откуда ясно, что эти ряды вместе с тем являются реккурентными
и их шкала отношения1) есть 2,-1. Далее, так как для рядов вто-
второго порядка значения d = 0, то будем иметь
йш = 3an —3a1 +a, aIV = Заш — За" + а1 и т. д.,
так что и эти ряды будут рекуррентными, и их шкала отношения
будет 3, —3, +1. Подобным образом можно показать, что и все ряды
этого класса, каков бы нп был их порядок, вместе с тем принадле-
принадлежат к классу рекуррентных рядов, причём шкала отношения состоит
из коэффициентов степени бинома, на единицу превышающей порядок,
к которому относится ряд.
47. Так как для рядов первого порядка также и все значения
d и е и всех последующих разностей равны нулю, то для них будем
также иметь
«ш = За" - За1 + а,
и т. п.,
а также
aiv = 4ani = 6aH + 4fli -a,
av = 4aIV — 6аш + 4зп — а1
и т. д.
') Шкалой отношения (scala reiationis) математики XVIII в. называли; вслед за
Моавром, совокупность коэффициентов в выражении п-го члена рекурреятног >
ряда через члены низшего порядка.
74 ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ
Следовательно, эти ряды оказываются принадлежащими к бесчислен
ным видам рекуррентных рядов и их шкалы отношения могут быть
•3, -3, +1; 4, -6, +4,-1; 5, -10, +10, -5, + 1 и т. д.
Подобным же образом становится понятным, что какой угодно ряд
этого изучаемого нами класса вместе с тем является рекуррентным
рядом, и притом рекуррентным его можно сделать бесчисленными
способами; действительно, шкала отношения будет
п п{п-\) п(п-1)(п-2) _ га(п-1)(п-2)(гс-3)
1 ' 1-2 ' + 1-2-3 ' 1-2-3-4 И Т* Д"
где п есть целое положительное число, большее чем число, которым
указывается порядок. Следовательно, этот ряд возникает также из раз-
разложения дроби, знаменатель которой есть A — у)п в согласии с тем,
что было установлено о рекуррентных рядах в предыдущей книге *).
48. Мы видели, что у всех рядов этого класса, какого бы порядка
они ни были, общий член есть целая рациональная функция х. Ясно,
что и обратцо, все ряды, общий член которых является такого
рода функцией х, относятся к этому классу и в конце концов приво-
приводятся к постоянным разностям. При этом, если общий член будет
функцией первой степени ах + Ь, то, поскольку возникший
из него ряд будет рядом первого порядка, т. е. арифметическим, он
будет иметь постоянные первые разности. Если же общий член будет
функцией второй степени вида ах* + Ьж + с, тогда ряд, который дол-
должен из неё возникнуть, если вместо х подставлять последовательно
числа 1, 2, 3, 4, 5 и т. д., будет второго порядка и будет иметь
постоянные вторые разности; подобным образом общий член третьей
степени ах3 + Ьх1 + сх + d даст ряд третьего порядка и т. д.
49. Из общего члена можно не только найти все члены ряда, но
и вывести ряды разностей как первых, так и последующих. Действи-
Действительно, если первый член ряда вычесть из второго, получим первый
член ряда разностей; второй получится, если второй член самого ряда
вычесть из третьего; таким же образом член ряда разностей, индекс
которого есть х, получим, если член самого ряда, индекс которого
есть х, вычесть из следующего, индекс которого есть ж + 1. Поэтому
если в общем члене положить х-\-\ вместо а; и из этого члена
вычесть общий член, то остаток даст общий член ряда разно-
разностей; таким образом если X будет общий член ряда, то его разность ДХ
(которая находится по способу, изложенному в предыдущей главе,
если положить ш = 1) будет общим членом ряда первых разностей.
Подобным образом Д2Х будет общим членом ряда вторых разностей,
Д3Х—третьих и т. д.
50. Если общий член X будет целой рациональной функцией,
в которой п есть наибольший показатель степени х, то, как можно
заключить из предыдущей главы, её разность ДХ будет функцией,
степень которой на единицу ниже, т. е. функцией п—1 степени. Далее Д2Х
будет функцией п — 2 степени, А3Х — функцией п — 3 степени и т. д. Поэтому
если X будет функцией первой степени ах + Ь, то его разность ДХ
будет постоянна и равна а; так как она является общим членом ряда
разностей, то мы видим, что ряд, общий член которого X есть функ-
функция первой степени, будет арифметическим, т. е. рядом первого порядка.
«Введение в анализ бесконечно малых», т. I, гл. 4, § 67.
ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ 75
Подобным образом, если общий член ряда будет функцией второй
степени, то вследствие постоянства А2Х ряд, происходящий отсюда,
будет иметь постоянные вторые разности и, значит, будет рядом вто-
второго порядка; так будет и дальше: какой степени будет функция X,
составляющая общий член, такого же порядка будет и ряд, порождён-
порождённый ею.
51. Поэтому ряды степеней натуральных чисел приводят к по-
постоянным разностям, что видно из следующей схемы:
Первые степени
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и т. д.
Первые разности
1, 1, 1, \, 1, 1, 1 и т. д.
Вторые степени
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 и т. д.
Первые разности
3, 5, 7, 9, И, 13, 15 и т. д.
Вторые разности
2, 2, 2. 2, 2, 2 и т. д.
Третьи степени
I. 8, 27, 64, 125, 216, 343 и т. д.
Первые разности
7, 19, 37, 61, 91, 127 и т. д.
Вторые разности
12, 18, 24, 30, 36 и т. д.
Третьи разности
6, 6, 6, 6 и т. д.
Четвёртые степени
1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401 и т. д.
Первые разности
15, 65, 175, 369, 671, 1105 и т. д.
Вторые разности
50, 110 194, 302, 434 и т. д.
Третьи разности
60, 84, 108, 132 и т. д.
Четвёртые разности
24, 24, 24 и т. д.
Таким образом, то, что в предыдущей главе было сказано о нахож-
нахождении разностей любого порядка, здесь послужит для нахождения
общих членов каких угодно разностей, порождаемых рядами.
76 ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ
52. Если будет пзвестен общий член какого-нибудь ряда, то с его
помощью можно будет не только найти все его члены до бесконеч-
бесконечности :), но и продолжить ряд в обратном направлении. Действительно,
подставляя вместо х отрицательные числа, можно представить те его
члены, указатели которых отрицательны. Так, если общий член будет
+ 3x
——, то, подставляя вместо ж как положительные, так и отрица-
отрицательные индексы, мы будем иметь следующий, продолженный в об©
стороны ряд:
Индексы
и т. д._5,-4, -3,-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и т. д.
Ряд
и т. д. +5, +2, О,- 1, — 1, 0, 2, 5, 9, 14, 20, 27 и т.д.
Первые разности
и т. д. -3, -2, _1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и т. д.
Вторые разности
и т. д. 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 и т. д.
Так как из разностей можно образовать общий член, то, исходя и,
разностей, можно каждый ряд продолжить в обратном направлении;
при этом, если разности в конце концов становятся постоянными,
то эти члены могут быть представлены в конечном виде, в противном
же случае — через бесконечное выражение. Более того, из общего члена
можно определить и те члены, индексы которых суть дроби; в этом
и состоит интерполяция рядов.
53. После того, что было выше сказано сб общем члене, мы перей-
перейдём к разысканию суммы или суммационного члена рядов какого-либо
порядка. Если предложен какой-нибудь ряд, то суммациопный член
есть функция от х, которая равна сумме стольких членов ряда, сколько
единиц содержит число х. Таким образом, суммационный член
будет составлен так, что если положить х = 1, получится первый член
ряда, если же положить х = 2, получится сумма первого и второго,
если же положить ж = 3—сумма первого, второго и третьего и т. д.
Если из предложенного ряда образовать новый, первый член которого
был бы равен первому члену предложенного ряда, второй—сумме
двух членов, третий— сумме трёх и т. д., то этот новый ряд по отношению
к предложенному называется суммирующим; общий член этого суммирую-
суммирующего ряда есть суммационный член предложенного ряда; таким образом,
нахождение суммационного члена сводится к нахожденипю общего
члена.
54. Итак, пусть предложенный ряд будет таков:
а, сЛ, a", a"i, a™, av и т. д.
а его суммирующий ряд
А, А1, А11, Аш, AIV, AY и т. д.
') Jn infinitum.
ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ 77
По свойству этого ряда, только что отмеченному, будем иметь
А = а,
А1 ^а + а1 ,
= a + a1 + a" + a"i + aIV,
Av = a + a1 + a11 + a111 + «IV + av
и т. д.
Следовательно, разности суммирующего ряда будут
А1 -А^а1 , Аи — А1 = a", 4111 -4П = а*" и т. д.
Значит, предложенный ряд, если отбросить первый его член, будет
рядом первых разностей суммирующего ряда. Если же к первому ряду
присоединить спереди член, равный нулю, так что будем иметь
О, A, A1, A11, A111, A™, Av и т. д.,
то для этого ряда рядом первых разностей будет сам предложенный
ряд
a, a1, a11, a111, aIV, аУ и т. д.
65. По этой причине первые разности предложенного ряда будут
вторыми разностями суммирующего, вторые разности предложенного
ряда будут третьими разностями суммирующего, третьи — четвёртыми
и т. д. Поэтому, если предложенный ряд в конце концов будет иметь
постоянные разности, то и его суммирующий ряд сведётся к постоян-
постоянным разностям и, следовательно будет рядом той же природы, только
порядок его будет на единицу выше. Значит, суммационный член
таких рядов всегда может быть представлен конечным выражением.
Ибо общий член ряда
О, А, А1, А", Ат, А™ и т. д.,
т. е. член, соответствующий индексу х, представит сумму х—1 чле-
членов ряда a, a1, a11, a111, aIV и т. д., и если затем вместо х написать
-z-f-1, то получится сумма х членов, т. е. сам суммационный член.
5G. Итак, пусть для предложенного ряда
a, а\ а«, о™, а™, аУ, а™ и т. д.
ряд первых разностей есть
b, Ь1, 6", б1", 6IV, 6V, 6VI и т. д.,
ряд вторых разностей
c, fi, с11, сш, cIV, cv, cVI и т. д.,
ряд третьих разностей
d, d1, da, dm, dIV, dv, d™ и т. д.
и т. д., пока не получатся постоянные разности. Образуем затем
суммирующий ряд; если впереди в качестве его первого члена поста-
поставить 0, то этот ряд, вместе со своимиоюследовательными разностями,
78 ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ
будет иметь следующий вид:
Индексы
1, 2, 3, 4, Ъ, 6, 7 и т. д.
Суммирующий ряд
О, Л, А1, А11, Аш, А1Х, Ау и т. д.
Предложенный ряд
a, a1, a11, a111, a*v, av, aYI и т. д.
Первые- разности
b, Ь1, Ьп, 6Ш, 6IV, 6V, bvl и т. д.
Вторые разности
c, с1, с", сш, cIV, cv; cVI и т. д.
Третьи разности
d, d1, d", din, jiv; dv; jvi и т. д.
Общий член суммирующего ряда, т. е. член, соответствующий индек-
индексу х, будет
А \ , (Х - 1) (Х - 2) t (Ж - 1) (Ж - 2) B - 3) ,
Он представляет вместе с тем сумму х — 1 членов предложенного ряда
a, a1, a11, a111, aIV и т. д.
67. Если же в этой сумме вместо х — 1 написать х, то получится
суммационный член, дающий-сумму х членов^
Значит, если за буквами Ъ, с, d, e и т. д. сохранить их прежнее
значение, то будем иметь
для ряда
a111, a1Y, а
общий член
a, a1, a11, a111, a1Y, а4 и т. д.
1- 2•3 • 4
суммационный член
l%-'\+X-{^^,^^U+ и т. д.
Итак, найдя изложенным способом общий член ряда какого-нибудь
порядка, мы без труда найдём из него суммационный" член, ибо он
образуется из тех же самых разностей.
ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ 79
58. Этот способ на-хождения суммационного члена по разностям
ряда пригоден прежде всего для тех рядов, которые в конце концов при-
приводят к постоянным разностям; действительно, в ¦ других случаях мы
не находим конечного выражения. Но если мы внимательно взвесим
то, что прежде было сказано об основном свойстве суммационного
члена, то перед нами откроется другой способ. Это — способ нахожде-
нахождения суммационного члена непосредственно из общего члена; он имеет
гораздо более широкое применение и в бесчисленных случаях при-
приводит к конечным выражениям там, где первый способ даёт выраже-
выражения бесконечные. Пусть предложен какой-нибудь ряд
а, Ь, с, A, е, / и т. д.,
общий член которого, т. е. член, отвечающий индексу х, равен X;
суммационный член его пусть будет равен S. Так как он представляет
сумму стольких членов от начала, сколько единиц содержит число х,
то сумма х — 1 членов будет равна S — X. Поэтому количество X будет
разностью выражения S — X, ибо оно получается в остатке, если S — X
отнять от последующего количества S.
59. Итак, X = A(S— X) есть разность, взятая тем способом, кото-
который мы изложили в предшествующей главе, с тем только отличием,
что здесь у нас постоянное количество ш равно 1. Поэтому, переходя
снова к суммам, будем иметь ^X^S— X, так что искомый сумма-
суммационный член будет
Итак, нужно искать сумму функции X методом, изложенным прежде,
и к ней прибавить общий член X; в совокупности получим суммиру-
суммирующий член. Поскольку же в суммы, которые нужно брать, входит
постоянное количество С, которое следует прибавить или отнять, его
нужно будет подобрать в соответствии с данным случаем. Но очевидно,
что если положить х = 0 (в этом случае число суммируемых членов
равно нулю), то сумма также будет равна нулю; значит, это постоян-
постоянное количество С должно быть определено так, чтобы, положив х = О,
мы имели также S — 0. Итак, подставив в уравнение S=^]X-\-X-{-C
значения 5 = 0 и х = 0, мы найдём значение С.
60. Так как теперь всё дело сведено к вышепоказанному сумми-
суммированию функций при ш=1, то мы используем ранее выполненные
суммирования; прежде всего для степеней х будем иметь (§ 27):
= х,
2 г— — г2 — 1 г
х— 2 х -jx,
Х~Ж 2Ж+6'
2 3 l I 1 3 , 1 2
л.3 л.4 л.3 |_ ™Z
Еж5 — — з-' — — а;5 4- -°- ж4 — — х%
2„е 1^ 7 1 „6 , J_ 5 J_ „з _j_ А
Х — 7 2Г2 б +42'
. *уЗ ^
80 ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ
К этим формулам можно присоединить общую формулу для суммы
степени хп, данную в § 29; там нужно только всюду написать единицу
вместо си. С помощью этих формул можно легко находить суммацион-
ные члены всех тех рядов, общие члены которых суть целые рацио-
рациональные функции х.
61. Обозначим через S ¦ X суммационный член ряда, общий член
которого есть X. Как мы видели,
причём постоянное С берётся таким, чтобы суммационный член S ¦ X
исчезал при х = 0. Выразим суммационные члены степенных рядов,
т. е. рядов, общие члены, которых имеют вид хп. Итак, положим
S ¦ х" = 1 + 2" + 3" + 4" + • • • + х";
тогда будем иметь:
9 . тп — —— -rn+1 r -L-rn4- 1 . " т"-1 J- га (га — 1)(га — 2) а_,
° * ~п+1Ж ^ 2 Ж + 2 г-З3* ~"б"' 2-3-4-5 ^ +
1 га(га-1)... (я-4) „., _ _3 п(п-\)... (га-6) п_7
"*" 6 ' 2-3...6-7 10 ' 2-3...8-9j "*"
г А п(и-1)...(л-8) „., _ 691 п(п-1) ... (в-10) г J
+ б' 2 • 3 ... 10 ¦ 11 210 2 • 3 ... 12 • 13
35 д(га-1)...(д-12) а_]3 3617 raQ-1) ... (га-14) »_16
+ 2' 2-3... 14. 15 30 2-3...1о-17 "^
43 867 га(га-1) ... (га-16) а_17 _ 1 222 277 п[п-1) ... (га-18) „_„
+ 42 2-3... 18-19 110 ' 2-3... 20- 21
854 513 п(ге-1) ... (га-20) „_21 _ 1181 820 455 ге(га-1) ... (га —22) „,2, ,
~! 6 ' 2 • 3 ... 22 • 23 Х 54Ь ' 2 • 3 ... 24 • 25 Х
76 977 927 га (га — 1) ... (га-24) п_зд 23 749 461029 га (д - 1) ... {п- 25) п_37
"¦ 2^ ' 2 • 3 ... 26 • 27 30 " 2 • 3 .. . 28 • 2 J Х
И Т. Д.
62. Итак, мы получим следующие суммы для различных значе-
значений п:
S -хй = х,
Sx^x' + ^x
S .х* = ±-
4
а; —-ж -f-2 х +-jx ^
ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ 81
1 ¦>
* it , 1 19» 11 *¦*¦ Л t ^^ ОО г , О ¦, 6У1
455 . 691 . , 35 .
16 2 4 24 ' 12 16 12 24 ' 4
5
4~"
~14
As
91
~24;
v.12 1
c i
.143
12~:
j-i»
429
16
140 3_361_7
+ 3 510 *
и т. д.
Эти суммы, исходя из общей формулы, можно продолжить до суммы
двадцать девятых степеней. Можно пойти и ещё дальше, если найти
дальнейшие числовые коэффициенты общей формулы.
63. Впрочем, в этих формулах наблюдается некоторый закон,
с помощью которого любая из них легко может быть найдена из пред-
предшествующей; исключение составляет лишь последний член, если в нём
содержится первая степень х, ибо тогда в последующей сумме появ-
появляется один лишний член. Если оставить его в стороне, то из фор-
формулы
Sx" = «х"*1 +$хп -^-ух"'1 — схп-г + гх" '5 — 1х"~7-{-ух" 9 и т. д.
мы будем иметь
п -\-'l n + lr ' п ' п — А '
га — 6
и т-
Если п будет чётным числом, то мы получим верное выражение сле-
следующей суммы. Если же п будет нечётным числом, то в последующей
сумме нужно будет, сверх того, определить последний член, который
будет иметь вид ± ух. Но его можно найти непосредственно из сле-
следующих соображений. Если положить х=1, то должна получиться
сумма одного только члена (т. е. первого члена, который равен единице).
Поэтому положим во всех уже найденных членах х=1, а всю сумму
положим равной 1. Тогда мы получим значение <р и, найдя его, смо-
сможем итти дальше. Этим приёмом можно было бы найти все вышепри-
вышеприведённые суммы. Например, так как
то
Z — 7 ' о ":"T 2 ' j ' 12 a ' 12
л. Эймер
82 ГЛ. И. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ
или
Sx' = j х7 + ~
Положим теперь х=1; получим
поэтому
— JL _ -L _ J.
как мы ранее нашли, исходя из общей формулы.
64. С помощью этих суммационных формул можно легко нахо-
находить суммационные члены всех рядов, общие члены которых суть
целые рациональные функции х, и это делается гораздо быстрее, чем
с помощью разностей по предыдущему методу.
При ме р 1
Найти общий член ряда 2, 7, 15, 26, 40, 57, 77, 100, 126 и т. д.,
-. Зх2 + х
общий член которого есть —-— .
Так как общий член состоит из двух слагаемых, то будем искать
для каждого из них суммационный член по вышеприведённым форму-
формулам; получим
и
теперь будем иметь
„ Зх*+х 1 ,
S ¦ —f^= 2-* + +2 ;j{+y
Это есть искомый суммационный член. Так, если положить х =5, то
--• б3 = 90 будет суммой пяти членов
2 + 7 + 15 + 26 + 40 = 90.
Пример 2
Найти суммационный член ряда 1, 27, 125, 343, 729, 1331 и т. д.,
который содержит кубы нечётных чисел.
Общий член этого ряда равен
Bz- IK = 8я3 - 12z2 + 6я - 1.
Следовательно, суммационный член составится следующим образом:
+ 8- Sx* = 2xi + ix!l + 2x2
-12- S -я2= ... —ixs — 6x1 — 2x
+ 6 • S ¦ х = + Зх2 + Зх
и, наконец,
— 1 • S ¦ х'= —х
Значит искомая сумма = 2а;1 — х2 = я2 Bа;2 — 1).
ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ 83
Так, если положить х = 6, то 36- 71=2556 будет суммой шести
членов предположенного ряда
1 + 27 + 125 + 343 + 729 + 1331 = 2556.
65. Если же общий член будет произведением простых множите-
множителей, то общий член найдётся легче тем способом, который изложен
выше в § 32 и следующих. Действительно, при <о = 1 мы имеем:
2 (х + п) (х + п л-1) (х + п + 2) = ~(х + п - 1) (х + п) (х + п + 1) (х + п + 2)
и т. д.
Если к этим суммам мы прибавим общие члены, а также такое по-
постоянное, которое при х = 0 давало бы исчезающий суммационный
член, то получим следующие суммационные формулы:
S ¦ (х + п) = -j (х+п) (х + п + 1) - y п (п + 1),
S ¦ (х + п) (х + п -f 1) =у (х + п) (ж + га+1) (a;-f га+ 2)—-| п{п + 1)(п+2),
S (х + п) {х + п + 1) (х + п 4- 2) =
= i (аН- л) (ж + п + 1) (ж + л + 2) (ж -u n + 3) - -J- л (л + 1) (л + 2) (л + 3)
и т. д.
Таким образом, если п = 0 или га= —1, то постоянное количество
в этих суммах исчезает.
66. Итак, суммационный член ряда 1, 2, 3, 4, 5 и т. д., общий
член которого есть х, будет равен —х{х-{- 1) и суммирующий ряд
будет 1, 3, 6, 10, 15 и т. д. Суммационный член этого последнего
ряда будет равен
х (х + 1) (ж + 2)
1-2-3
и суммирующий ряд будет 1, 4, 10, 20, 35 и т. д. Последний в свою
очередь имеет суммационный член, равный
ж (ж-И) (я+2) (и+ 3)
1-2-3-4
который будет общим членом ряда 1, 5, 15, 35, 70 и т. д., а у этого
ряда суммационный член будет равен
ж(ж + 1)(ж+2)(ж+3)(ж + 4)
1 - i ¦ 3 • 4 • а
Эти ряды должны быть хорошо замечены предпочтительно перед дру-
другими, так как повсюду они имеют очень широкое применение. Ведь
из них получаются коэффициенты бинома, возведённого в степени,
а насколько широко применяются эти коэффициенты, прекрасно изве-
известно каждому, кто хоть немного имел дело с этими вещами.
6*
84 ГЛ. П. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ
67. Отсюда легко найти и те суммационные члены, которые мы
прежде получали из разностей. Тамх) мы нашли выражение общего
члена в следующем виде:
т. д.
Если мы найдём суммационный член для каждого слагаемого и все
их сложим, то мы получим суммационный член, отвечающий этому
общему члену. Так как
S ¦ (х-1)(х-~2)=±х(х-1)(х~2),
S-(x-l)(x-2)(x-3) = ~x(x-l){x-2)(x-3)
и т. д.,
то искомый общий член будет
Хп + 1-2 О -г ! . 2 . 3 Сг 1.2-3- 4 Й ^ и т- Д-
Он совпадает с тем, который раньше (§ 57) был получен из разпостей.
68. Далее этот способ определения общих членов можно применить
и к дробям; действительно, так как выше (§ 34) мы нашли (мы пола-
полагаем ш = 1), что
х+п '
ТО
1 t
i -
Если, как и црешде, мы к найденным суммам прибавим общий член,
или, что то же, если в этих выражениях вместо х положим x-\-i, то
мы будем иметь
f2)T 2 (га-1) (га+ 2)
И
с ,
1 t . 1
3 (х + га^1)(а;4_п + 2)(ж + ™ + 3) ' 3 (п + 1) (ге -{- 2) (га + 3) '
Составлоние этих формул легко продолжать сколь угодно дальше.
69. Так как
(х -i- п) (х 4- п 4-1) п 4- 1 г 4- п 4- 1 '
то будем также иметь
1 „ t I i
x-un х-r п j-l «4-1 х -\- п-\-
В § 56
ГЛ. II. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ 85
Таким образом, хотя ни один из этих двух суммационных членов не
может быть представлен сам по себе, однако их разность известна,
и вследствие этого во многих случаях мы можем довольно быстро
находить суммы рядов; это происходит тогда, когда общий член есть
дробь, знаменатель которой разлагается на простые множители. Тогда
вся дробь разлагается на простейшие дроби; 'после этого с помощью
данной леммы тотчас же выяснится, может ли быть выражен общий
член или нет.
„ „ . ,.,1,1,1,11
Найти сумма цииппыи член ряда 1 +~ "Ь ~~г гл"Ь г?+т,7 и т. д.
При мop 1
чл
общий член которого равен -—--— ¦
Этот общий член, будучи разложен, приводится к виду — -— -
Значит, суммационныи член равен
26' • 1 == 25 • -\ .
X X - 1
Но предыдущей лемме он будет равен
х + J
4 111
Так, если х = 4, то будем иметь -'- -- 1 -;- — 4- -- -}- —
ТГ » „11
Пусть ищется суммационныи член ряда —, ^ ,
111
, jp: и т. д.
Пример 2
ион
общий член которого равен , * - .
Так как знаменатель общего члена имеет множители 2х — 1
и 2x4-3, то он разлагается на такие части:
1 _i iiiii 1
~4~ ' 2x^1 V ' 2х~+^ ~~ ? ' 1 8Г ' 3 "
Но
1
--
Следовательно.
~2 Х + 2 Х + 2
Восьмая часть этого выражения даст искомый суммационныи член,
именно
_1_ 1 1 1 _ х х __ хDх-1-_5)_
Т "*" Г2 ~' 8х + 4 " ~ to +12 ~ 4jr + 2 " 3D^ " "
86 ГЛ. И. О ПРИМЕНЕНИИ РАЗНОСТЕЙ В УЧЕНИИ О РЯДАХ
70. Так как фигурные числа г), каковыми являются коэффициенты
бинома, возведённого в степень, заслуживают быть отмеченными пред-
предпочтительно перед друиши, то выразим суммы рядов, числители
которых равны единиц;), знаменатели жо суть фигурные числа. Это
легко сделать на основании § 68. Итак, для ряда, у которого
общий член ость суммациотшй член будет
1 . ч ') ¦>
X (х -\ 1) ' 1 X г 1 '
i ¦ '1 ¦ ¦:, з 1-3
x(x-v i) (л 2) ' 2 (ж-! 1)(х ~\-Ч) '
1 • 2 • 3 ¦ ', ', 1-2-4
аГ(-мЛ) (аГн ~iHT+ -Л) ' З' "~G"-Н") (j-+:l)Jx + 3) '
1 • 2 ¦ 3 • 4 • 5 т '> 1 • 2 • 3 • 5
П Т Л И
Отсюда сам co6oii вьтяс]!яется закон, по которому следуют друг за
другом эти выражения. Однако отсюда m\-n-.:m получить еуммацион-
ного члена, отвечающего оощему члену , поо он не может быть
выражен коночной формулой.
71. Так как суммационнып члетг даёт сумму стольких членов,
сколько единиц содержится в индексе х, то, очевидно, мы получим
суммы этих рядов, продолженных бесконечно, если индекс х сделаем
бесконечным; в этом случае вторые члены только что найденных выра-
выражений исчезают вследствие обращения в бесконечность знаменателей.
Значит, отн бесконечные ряды имеют конечные суммы, каковыми
будут:
\
1
' I
1 -r -1
!
3~
1
l
r
, 1
. 1 ,
"~ To "'
, L ,
.1 l
10
!
20 '
1
3") '
Л +
1 .
"i ;>" ¦"
I
" 3 :> l
1
70 1
1 .
и
и
и
и
IS
т.
т.
т.
т.
т.
Д.
Д.
Д.
д.
д.
-)
о
== ~t '
4
~"з" '
= — И Т. Д.
Таким образом, положив х = ос, могкно найти суммы всех бесконечных
рядов, для которых мы знаем суммиционные члены, если только суммы
конечны; а это имеет место, если в суммациоплом члене количество х
имеет в числителе столько жо измерений, сколько в знаменателе.
,. . п (п 4-1)
') Фигурными числами называли целые числа 1шдд —-—-- - (треугольные
. п (п + 1) (re i- 2) . .. s п (п + 1) (п Ь 2) (п + 3)
¦шела), ——•¦—{г ,\ (чотырохуго.чьныо чпглп), ——т ,- (пятиуголь-
,- (пятиугольные числа) и т. д.
ГЛАВА III
О БЕСКОНЕЧНЫХ II БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
72. Так как всякое количество, сколь бы ни было оно большим,
может увеличниаться и дальше, и ничто не препятствует тому, чтобы
к какому-либо данному количеству прибавлять другое количество
того же рода, то всякое количество может быть без конца увеличи-
увеличиваемо; действительно, оно никогда не станет столь большим, чтобы
к нему ничего больше нельзя было прибавить. Итак, по существует
столь большой величины, чтобы нельзя было получить большую, и,
значит, вне сомнения находится положение, что всякое количество
может быть увеличиваемо до бесконечности *). Действительно, кто
станет это отрицать, тому придётся утверждать, что существует пре-
предел, достигнув которого количество не могло бы его превзойти. Стало
быть, он должен будет установить такую величину, к которой ничего
больше нельзя прибавить. А так как это нелепо и противоречит поня-
понятию о величине, то необходимо согласиться с тем, что всякая вели-
величина непрестанно может быть увеличиваема без конца, т. е. до
бесконечности.
73. Это становится ещё яснее при рассмотрении отдельных видов
количеств. Так, нелегко найти кого-либо, кто стал бы утверждать,
что ряд натуральных чисел 1, 2, 'Л, 4, 5, 6 и т. д. будет где-то иметь
границ}', так что дальше не сможет быть продолжен. Действительно,
нет такого числа, к которому нельзя было бы прибавить ещё одну
единицу и таким образом получить следующее, большее число. Значит,
ряд натуральных чисел продолжается без конца п никогда не дохо-
доходит до максимального числа, для которого не существовало бы ника-
никакого большего. Подобным образом прямая линия никогда не может
быть продолжена настолько, чтобы дальше её больше нельзя было
продолжать. Это убеждает нас в том, что как числа могут до беско-
бесконечности увеличиваться, так и линии могут до бесконечности быть
продолжаемы. А так как числа и .¦пиши суть киды количеств, то вместе
') В оригинале in iiifiiiituiu. т. с «в бесконечное». У Эйлера ото выражение
имеет всегда смысл «безгранично», «бесконечно», ло перевести его одним из этих
слои я не решился потому, что другие авторы вкладывали в этот термин иной
смысл, и ниже Эйлер встмшет с ними в полемику, которая потеряла бы смысл
при таком перевозе. Выражение «до бесконечности» казалось мне наиболее подхо-
подходящим потому, что оно обычно употребляется именпо в смысле «безгранично», но
по своей грамматической конструкции может дать повод к представлению, что речь
идёт о некотором пределе, го которого способно увеличиваться количество.
88 ГЛ. III. О БЕСКОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
с тем становится понятным, что для всякого количества, сколь бы
оно ни было велико, существует ещё большее, для последнего снова
есть большее, и так, увеличивая всё дальше и дальше, можно итти
без конца, т. е. до бесконечности.
74. Хотя это столь ясно, что всякий, кто хотел бы уто отрицать, дол-
должен был бы сам себе противоречить, однако многие, пытавшиеся объяс-
объяснять это учение о бесконечном, настолько аатомпили его и облекли такими
трудностями ч даже противоречиями, что лишились всякой возможности
выпутаться. Из того, что количество может увеличиваться до бесконеч-
бесконечности1), некоторые заключили, что и в самом деле существует бесконечное
количество, которое, по их описанию, уже не может принимать никакого
приращения. Но тем самым, устанавливая такого рода количество, кото-
которое не может дальше увеличиваться, они ниспровергают идею количества.
Кроме того, те, кто допускает бесконечное, сражаются сами с собой. Дей-
Действительно, кладя предел приращению, на которое способно количество,
они в то же время отрицают, что величина может увеличиваться без конца;
следовательно, они отрицают также, что количество может увеличиваться
до бесконечности, ибо оба эти выражения совпадают. Таким образом,
устанавливая бесконечное количество, они в то же время его отрицают.
Действительно, если количество не может увеличиваться без конца, т. е.
до бесконечности, то, конечно, не может существовать никакого беско-
бесконечного количества.
75. Итак, уже из того, что всякое количество могло бы увеличиваться
до бесконечности, казалось бы, следует, что никакого бесконечного коли-
количества up, существует. Действительно, количество, подвергнутое непре-
непрерывному наращению, не станет бесконечным, если прежде не будет нара-
нарастать без коппа; а что должно совершаться боз конца, то нельзя считать
как бы уже сделанным. Между тем не только позволительно такого
рода количество, которое достигается без конца совершаемыми прираще-
приращениями, обозначать некоторым символом и таким образом должным спо-
способом ввести в исчисление, как вскоре мы подробно покажем,—но и во
вселенной существуют или но крайней мере могут мыслиться такие случаи,
в которых, казалось бы. в действительности существует бесконечное число.
Так, если вещество, как полагают многие философы, делимо до бесконеч-
бесконечности, то число частей, из которых состоит некоторый данный кусок
вещества, на самом деле будет бесконечным; действительно, если считать
его конечным, то вещество заведомо не было бы делимым до бесконечности.
Подобным образом, если бы вселенная была бесконечна, как склонны
считать многие, то число тел, составляющих мир, бесспорно не могло бы
быть конечным, и потому также было бы бесконечным.
76. Казалось бы, эти два положения противоречат друг другу. Однако,
рассмотрев их внимательнее, можно освободить их от всяких неудобств.
Действительно, кто полагает, что вещество делимо до бесконечности,
тот отрицает, что при беспрестанном делении вещества можно когда-либо
дойти до столь малых частей, что дальше они не могут долиться. Следо-
Следовательно, вещество не будет иметь никаких неделимых далее частей,
ибо отдельные частицы, к которым мы уже пришли в результате непрестан-
непрестанного деления, способны подразделяться дальше. Итак, кто говорит, что
в этом случае число частей бесконечно, тот разумеет последние части,
которые неделимы далыпе, а так как до них никогда но дойти, к тому
же их и пет, то он пытается исчислить те части, которых нет. Действительно,
') См. предыдущею
ГЛ. III. О БЕСКОНЕЧНЫХ 11 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 89
если вещество может непрестанно без конла подразделяться, то оно вовсе
лишено неделимых, т. е. простых, частой; таким образом, не остаётся
ничего, что можно исчислять. Поэтому, кто считает вещество делимым
до бесконечности, тот вместе с тем отрицает, что вещество составлено из
простых частей.
77. Если же, говоря о частях какого-либо тела или вещества, мы разу-
разумели бы не последние пли простые части, ибо их нет, а те, которые в дей-
действительности производятся делением, тогда, при допущении гипотезы о
делимости вещества до бесконечности, не только можно будет любой, хотя
бы малейший, кусок вещества рассечь на множество частей, но и невозможно
будет назначить никакого числа, столь большого, чтобы нельзя было полу-
получить большего числа частей, высеченных из этого куска. Итак, число
частей, правда не последних, а таких, которые сами ещё делимы дольше
и которые составляют некоторое тело, будет больше всякого могущего
быть назначенным числа. Точно так же, если вселенная бесконечна, то
число тел, составляющих вселенную, равным образом будет больше вся-
всякого могущего быть заданным числа; а так как последнее не может быть
конечным, то, следовательно, бесконечное число и число, большее всякого
могущего быть заданным,—это синонимы.
78. Итак, кто таким образом смотрит на делимость вещества до беско-
бесконечности, тот не подвергает себя никаким неудобствам, которые обычно
приписывают этому мнению, и не принуждён утверждать ничего такого,
что было бы против здравого смысле. Те же, кто, напротив, отрицают,
что вещество делимо до бесконечности, попадают в труднейшее положение,
из которого они вообще никак не могут выбраться. Действительно, они
принуждены утверждать, что всякое тело делится на определённое число
таких частей, что, если дойти до них, никакое дальнейшее деление не
может иметь места; эти последние частицы одни называют «атомами»,
другие «монадами» и «простыми ct/щпостями». Почему же эти последние
частицы не допускают дальше никакого деления? Тому могут быть две
причины: одна, что они лишены всякой протяжённости, другая же та,
что хотя они и протяжённы, но столь тверды и так построены, что никакой
силы нехватит для их рассечения. В защиту какого бы мнения эти люди
ни высказывались, они равным образом запутываются в трудностях.
79. Действительно, пусть последние частицы не имеют никакой про-
протяжённости, так что они вовсе лишены частей; при таком толковании
сохраняется лучше всего идея простых сущностей. Но тогда никаким
образом нельзя понять, как может тело состоять из конечного числа таких
частиц. Положим, что кубический фут вещества состоит из тысячи таких
простых сущностей и, значит, может быть в действительности разделён
на тысячу частей; если они равны, то они будут кубическими дюймами;
если же не равны, то одни будут меньше, а другие больше. Итак, один
кубический дюйм был бы простой сущностью и таким образом возникло
бы величайшее противоречие, если только они не пожелают сказать,
что в кубическом дюйме имеется только одна простая сущность, остальное
же пространство пустое. Но таким образом они уничтожили бы непрерыв-
непрерывность тел, не говоря уже о том, что эти философы вообще изгоняют пустоту
из вселенной. Если бы они возразили, что число простых сущностей,
составляющих кубический фут вещества, в тысячу раз больше, они и этим
ничего не выгадали бы; действительно, невозможно, чтобы то, что являлось
бы следствием числа тысяча, не имело бы места равным образом при лю-
любом другом числе, как бы велико оно ни было. Эту трудность хорошо видел
остроумнейший Лейбниц, первый изобретатель монад, когда он выставил
ГО ГЛ. III. О БЕСКОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
утверждение, что материя делима абсолютно до бесконечности. Итак,
до монад можно дойти не ранее, чем тело в действительности было бы
разделено до бесконечности. Но этим самым он полностью отрицает суще-
существование простых сущностей, из которых могли бы состоять тела; ибо
тот, кто отрицает, что тела состоят из простых сущностей, и тот, кто
утверждает, что тела делимы до бесконечности, выражают одно и то же
мнение.
80. Не в большой степени, они остаются себе верны, если говорят,
что последние частицы протяжённы, но не могут быть раздроблены на
части вследствие величайшей твёрдости. Действительно, коль скоро они
допускают протяжённость последних частей, они утверждают, что послед-
последние частицы состоят из частей; могут ли эти части быть друг от друга
отделены пли пет—это не имеет большого значения; притом они не могут
указать никакой причины, которая могла бы породить такую твёрдость.
Л вот очень многие из тех, кто отрицают делимость вещества до бесконеч-
бесконечности, повидимому, достаточно ясно ощутили это неудобство, ибо они
предпочитают придерживаться первоначального представления о послед-
последних частицах; трудности же, связанные с ним, они могут ослабить лишь
некоторыми, весьма легковесными метафизическими ухищрениями, наг
правленными большей частью на то, что мы якобы не можем доверяться
заключениям, сделанным согласно математическим началам; и они готовы
принять, что размерности должны обладать простыми частями. Но прежде
они должны были бы доказать, что эти их последние частицы, из опре-
определённого числа которых якобы состоит тело, совершенно непротяжённы.
81. Итак, не будучи в состоянии найти какой-нибудь выход из
этого лабиринта и должным образом отразить возражения, они прибе-
прибегают к ухищрениям, отвечая, что эти возражения основаны на чувст-
чувствах и на воображении, между тем как в таком деле надлежит руко-
руководствоваться только чистым разумом, чувства же и основанные на
них умозаключения очень часто обманывают нас. Чистый разум якобы
признаёт возможность того, что тысячная часть кубического фута
вещества лишена всякой протяжённости, что представляется воображе-
воображению нелепым. Что чувства часто нас обманывают, —это, конечно,
верно, но такое возражение меньше чем кому-нибудь другому может
быть сделано математикам. Ведь именно математика в первую очередь
защищает нас от обмана чувств и учит, что одно дело - как на самом
деле устроены предметы, воспринимаемые чувствами, другое дело —
• какими они кажутся; эта паука даёт надёжнейшие правила; кто им
следует — тому не опасен обман чувств. Итак, такого рода ответы
совершенно недостаточны, и вместо того, чтобы защитить своё учение,
метафизики делают его ещё более сомнительным.
82. Но вернёмся к поставленному нами вопросу. Если даже отри-
отрицать, что во вселенной действительно существует бесконечное число,
то всё же в математических исследованиях часто встречаются вопросы,
на которые нельзя ответить, если не допустить бесконечного числа.
Так, пусть ищется сумма всех чисел, которые составляют ряд
¦J -{-2-4-3 + 4-1-54- и т. д.; так как эти числа, возрастая, следуют
друг за другом без конца, то их сумма заведомо не может быть конеч-
конечной; тем самым оказывается, что она бесконечна. Вообще, если коли-
количество таково, что оно больше всякого конечного количества, то оно
не может не быть бесконочным. Для обозначения такого количества
математики пользуются знаком со, которым обозначается количество,
большее всякого конечного, т. о. могущего быть заданным, количества.
ГЛ. III. О БЕСКОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 01
'Гак, поскольку параболу можно определить, сказав, что она есть
бесконечно длинный эллипс, мы будем вправе утверждать, что ось
параболы является бесконечной прямой линией.
83. Это учение о бесконечном станет более понятным, если мы
разъясним, что такое бесконечно малое в математике. Нот никакого
сомнения, что всякое количество может уменьшаться до тех пор,
пока совсем не исчезнет и не обратится в ничто. Но количество беско-
бесконечно малое есть не что иное, как количество исчезающее, и потому
оно точно равно пулю. С этим согласуется и такое определение беско-
бесконечно малых, согласно которому они меньше всякого могущего Сыть
заданным количества. Действительно, если количество будет столь
мало, что оно меньше всякого могущего быть заданным количества,
то оно заведомо не может быть неравным нулю; ибо, если бы оно не
было равно нулю, то можно было бы задать количество, равное ему,
что противно предположению. Итак, если кто спрссит, что такое беско-
бесконечно малое количество в математике, то мы ответим, что оно точно
равно нулю. Следовательно, в этом понятии не кроется никаких тайн,
какие обычно ему приписываются и которые для многих делают исчи-
исчисление бесконечно малых весьма подозрительным. Впрочем, сомнения,
если таковые остались бы, совершенно исчезнут в дальнейшем, когда
мы изложим это исчисление.
84. Поскольку мы показали, что бесконечно малое количество
есть точно нуль, то прежде всего следует ответить на вопрос, почему
бесконечно малые количества мы не всегда обозначаем одним и тем же
символом 0, но употребляем для их обозначения различные знаки.
Действительно, так как лее нулеяые количества равны между собой,
то кажется излишним обозначать их разными знаками. Но хотя верно,
что два любых нуля равны между собой в том смысле, что их разность
есть нуль, однако существует два способа сравнения: один—арифме-
один—арифметический и другой—геометрический; из первого мы усматриваем раз-
разность, а из второго — частное, происшедшее от сравнения количеств.
И лот арифметическое отношение между какими-либо двумя нулями
есть отношение равенства, геометрическое же отношение не является
отношением равенства. Легче всего это видно из геометрической про-
пропорции 2:1 = 0:0, в которой четвёртый член равен нулю, так же как
и третий. Но по основному свойству пропорции, поскольку первый
член вдвое больше чем второй, необходимо, чтобы и третий был вдвое
больше чем четвёртый.
85. Эго совершенно ясно из простой арифметики; ведь каждому
известно, что нуль, помноженный на какое угодно число, даёт нуль,
т. с. что п -0=0, и потому п: 1 ~ 0: 0. Отсюда ясно, что два пуля
могут иметь друг к другу любое геометрическое отношение, хотя
с арифметической точки зрения их отношение есть отношение равен-
равенства. Итак, поскольку между нулями может иметь место любое отно-
отношение, то для того, чтобы эти различные отношения выразить, нарочно
пользуются различными символами, особенно тогда, когда требуется
определить геометрическое отношение двух разных нулей. Но в исчи-
исчислении бесконечно малых ничего больше я по делается, как находится
отношение между различными бесконечно малыми. Поэтому, если мы не
будем пользоваться для их обозначения различными знаками, то полу-
получится величайшая путаница, и никак нельзя будет из неё выбраться.
86. Пусть согласно принятому в анализе бесконечно малых спо-
способу обозначения dx обозначает бесконечно малое количество. Тогдл
92 ГЛ. 111. О БЕСКОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
как dx = 0, так и adx = 0, если а есть какое-нибудь конечное коли-
количество. Тем не менее геометрическое отношение; adx : dx будет конечным,
именно отношением а:\. Поэтому эти два бесконечно малых dxviadx,
хотя каждое из них и равно нулю, нельзя смешивать одно с другим,
если ищется их отношение. Подобным же образом, если мы имеем
различные бесконечно малые dx и dy, то, хотя каждое из них и равно
нулю, однако их отношение нулю не равно. В разыскании отношения
двух таких бесконечно малых и состоит вся сущность дифференциаль-
дифференциального исчисления. На первый взгляд может показаться, что польза
такого сравнения совершенно ничтожна. Оказывается, однако, что она
чрезвычайно велика, и с каждым днём это всё болен и более обнару-
обнаруживается.
87. Так как бесконечно малое есть ючно нуль, то, очевидно,
конечное количество не увеличится и не уменьшится, если к нему
прибавить или от него отнять бесконечно малое. Пусть а есть конеч-
конечное количество, a dx — бесконечно малое. Тогда a-\-dx и а — dx
и вообще а ± ndx равно а. Рассматриваем ли мы соотношение между
а ± ndx и а арифметически или геометрически, и в том и в другом
случае мы получаем отношение равенства. Что арифметическое отно-
отношение есть отношение равенства — это совершенно очевидно; действи-
действительно, так как nd.c = 0. то будет
а ± ndx — а -— U,
а что геометрическое отношение есть отношение равенства, ясно из
того, что
a -J- nd.c ,
Отсюда вытекает следующее, пользующееся очень широким признанием,
правило: бесконечно малые уничтожаются, относительно конечных
и могут быть отбрасываемы при наличии последних. Поэтому само
собой отпадает возражение, ставящее в упрёк анализу бесконечно
малых пренебрежение геометрической строгостью, ибо то, что отбрасы-
отбрасывается, есть не что иное, как подлинный нуль. И потому с полным
правом можно утверждать, что и в этой высшей науке столь же тща-
тщательно соблюдается величайшая геометрическая строгость, какую мы
находим в книгах древних авторов.
88. Так как бесконечно малое количество dx подлинно равно нулю,
то и его квадрат dx2, куб dx3 и любая другая степень, имеющая
положительных! показатель, будет равна нулю и потому будет исчезать
относительно конечных количеств. Но бесконечно малое количество dx*
будет, кроме того, исчезать и относительно dx; действительно, dx±dx*
к dx будет находиться в отношении равенства, производится ли ариф-
арифметическое или геометрическое сравнение. В первом нет никакого
сомнения. Сравнивая же геометрически, мы будем иметь
dx ±- dx-: dx = —^ = 1 ± dx = 1.
Равным образом будет dx±dxs — dx и вообще dx ± dx"*1 — dx, если п
есть число, большее нуля. Следовательно, геометрическое отношение
будет dx ± dxntl: dx— I ± dx" и вследствие dx" — Q оно будет отноше-
отношением равенства. Если подобно тому, как это делается для степеней,
мы назовём dx бесконечно малым первого порядка, dx2 — бесконечно
ГЛ. III. О БЕСКОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 93
малым второго порядка, dx3—третьего порядка и т. д. то, очевидно,
бесконечно малые высших порядков исчезают относительно бесконечно
малых первого порядка.
89. Таким же образом можно показать, что бесконечно малые
третьего и более высоких порядков исчезают относительно беско-
бесконечно малых второго порядка и вообще, что бесконечно малое какого-
либо высшего порядка исчезает относительно бесконечно малого низ-
низшего порядка. Таким образом, если т будет числом, меньшим чем п,
то будет
ибо, по доказанному, dx" исчезает относительно dxm. Это имеет место
и для дробных показателей; так, dx исчезает относительно [/dx, т. е.
относительно dx", и будет
a \fdx i-bdx = a \f dx."
Если же показатель степени da; равен 0, то будет dx"=\, несмотря на
то что dx—О. Поэтому степень dx", будучи равной единице при
п = О, из конечного количества сразу становится бесконечно малым,
как только показатель п делается большим нуля.
Итак, существует бесчисленное множество бесконечно малых
величин различных порядков; хотя все они равны нулю, однако их
нужно непременно отличать друг от друга, если наше внимание
обращено на то их взаимоотношение, которое выражается геометри-
геометрическим отношением.
90. Установив понятие бесконечно малого количества, мы легче
сможем выяснить природу бесконечных, т. е. бесконечно больших.
количеств. Известно, что значение дроби -- оказывается тем большим,
чем более уменьшается знаменатель z. Поэтому, если z становится
количеством, меньшим любого могущего быть заданным количества,
т. р. бесконечно малым, то значение дроби — должно стать большим
чем любое могущее быть заданным количество, т. е. бесконечно боль-
большим. Поэтому, если единица или какое-либо другое конечное коли-
количество делится на бесконечно малое, т. е. на нуль, то частное
будет бесконечно большим, т. е. бесконечно большим количеством.
Итак, поскольку знак со обозначает бесконечно большое количество,
то мы будем иметь равенство
справедливость которого вытекает также из того. что. обратив его,
мы будем иметь
±~ dx 0.
оо
Действительно, чем больше становится знаменатель г дроби — , тем
меньше значение дроби,, и если z становится бесконечно большим
количеством, т. е. z=oo; то значение дроби — необходимо должно
оыть бесконечно малым.
94 ГЛ. III. О БЕСКОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
91. Кто не согласился бы с этим выводом, тому придётся попасть
в весьма затруднительное положение и притом нарушить достоверней-
дше основы анализа. Действительно, если кто-нибудь будет утвер-
утверждать, что значение дроби — конечно, будучи равным, ска?кем, Ь, то,
умножив обе части этого равенства на 0, он получит a—0-b, так что
конечное количество Ь, иомноженпое на пуль, дало бы конечное
количество а, что было бы нелепо. Тем более значение Ь этой дроби —
не могло бы равняться нулю, ибо нуль, помноженный на нуль,
никак не может в произведении дать количество а. К такому
же нелепому выводу придёт тот, кто станет отрицать, что
— = 0; действительно, ему пришлось бы тогда сказать, что — равно
конечному количеству Ь; а так как из уравнения — — Ь законно сле-
_. а а
довало бы равенство со — — -, то значение дроии -. , числитель и зна-
менатель которой суть конечные числа, было Сьт бесконечным, что,
конечно, было бы нелепо. Нельзя также считать значения дробей --
и — мнимыми, иоо значение дроои, числитель которой конечный,
а знаменатель мнимый, не может быть ни бесконечно большим, ни
бесконечно малым.
92. Итак, бесконечно большое количество, к которому нас привело
это рассуждение и с которым 'мы только и имеем дело в анализе,
может быть лз^чше всего определено, если сказать, что бесконечно
большое количество есть частное, возникающее в результате деления
конечного количества па бесконечно малое. В свою очередь бесконе* нз
малое количество есть частнее, возникающее в результате деления
конечного количества на бесконечно большое. Поэтому имеет место
такая геометрическая пропорция: бесконечно малое количество отно-
относится к конечному, как конечное к бесконечно большому; действи-
действительно, как бесконечное количество в бесконечное число раз больше
конечного, так и конечное в бесконечное число раз больше, чем бес-
бесконечно малое. Значит, эти обороты речи, которые многим не нра-
нравятся, не заслуживают осуждения, ибо они опираются на достовер-
нейшие основы. Из уравнения — = оо следует далее, что нуль, помно-
помноженный на бесконечное количество, может в произведении дать
конечное количество, что могло бы показаться несообразным,
если бы это не было выведено с полной точностью при помощи пра-
правильных рассуждений.
93. Подобно тому как между бесконечно малыми, если их срав-
сравнивать между собой с помощью геометрического отношения, обнару-
обнаруживается огромное различие, так и между бесконечно большими
количествами существует ещё большее отличие, ибо они различаются
друг от друга не только при геометрическом, но и при арифметическом
сравнении. Обозначим через А то бесконечное количество, которое
происходит от деления конечного количества а на бесконечно малое dx,
так что ~г~Л. Тогда будет
dx
2а г, . па .
V" = ?А И -т- — ПА,
dx dx '
ГЛ. III. О БЕСКОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 95
так как пА есть также бесконечное количество, то, значит, между
бесконечными количествами может иметь место какое угодно отноше-
отношение. Если бесконечное количество умножить или разделить на конеч-
конечное количество, то получим бесконечное количество. Следовательно,
нельзя не согласиться с том, что бесконечное количество может
и дальше быть увеличиваемо. II легко видеть, что если геометриче-
геометрическое отношение двух бесконечных количеств не есть отношение равен-
равенства, то тем более не может быть отношением равенства их арифмети-
арифметическое отношение, ибо их разность тогда будет бесконечно велика.
94. Некоторым людям понятие бесконечного, которым мы поль-
пользуемся в математике, представляется подозрительным, и они поэтому
полагают, что нужно отвергнуть анализ бесконечно .малых. Однако
без этого понятия мы не можем обойтись даже в элементарных отде-
отделах математики. В самом дело, в арифметике, где обычно излагается
учение о логарифмах, логарифм нуля считается и отрицательным
и бесконечно большим, и никому не приходило в голову заявить,
что этот логарифм конечен, а тем более что он равен кулю. В гео-
геометрии и тригонометрии мы видим это ещё яснее: кто и когда отрицал,
что тангенс или секанс прямого угла есть бесконечно большое количе-
количество? А так как произведение тангенса па котангенс рпвго квадрату
радиуса1), а котангенс прямого угла равен нулю, то и в геометрии
приходится согласиться с тем. -что произведение нз*ля на бесконечное
количество может быть конечным.
95. Так как есть бесконечное количество А, то, очевидно, коли-
Л ,
чество ^ 0}гдет количеством, в оескоиечное число раз оольшим чем
^—; действительно отношение у-: ~ равно отношению а : А, т. е. отно-
отношению конечного числа к бесконечно большому. Итак, между беско-
бесконечными количествами бывают такие соотношения, что одни могут
быть в бесконечное число рез больше других. Так, -^ есть
бесконечное количество, в бесконечно большое число раз большее
чем т-; действительно, если положить -г- — А, то будет - -., -= J— . Кодоб-
п-Ё ' d ос ' el X" ах
ным образом бесконечное количество —¦- будет в бесконечное число
раз больше чем -^-, и. значит, в бесконечное число раз бесконечно
ах"
больше чем -у- . Итак, существует бесконечно много ступеней беско-
бесконечных количеств, из которых каждая бесконечно больше предыду-
предыдущей. При этом, если число т хоть сколько-нибудь больше чем п,
то j^ будет бесконечным количеством, в бесконечное число раз боль-
яшм чем оесконечное количество -?-„.
96. Между бесконечно малыми количествами, как все мы видели,
могут не иметь места отношения равенства, тогда как все их ариф-
арифметические отношения суть отношения равенства. Бесконечно же
]) Здесь, как- п всюду, термин sin, cos, tj " т. д. обозначают линии синуса,
косинуса, тангенса и т. д. в триго .ометрнческом круге, радиус которого вообще
не принимается за единицу измерения.
96 ГЛ. III. О БЕСКОНЕЧНЫХ II БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
большие количества могут иметь геометрическое отношение равен-
равенства, будучи неравными арифметически. Действительно, если а и b
обозначают коночные количества, то бесконечные количества -° + b
а
и — имеют геометрическое отношение равенства; в самом деле, част-
частное, проистекающее от деления первого из них на второе, равно
1 -! —--1, ибо dx-0; между тем, если их сравнить арифметически,
их отношение будет отношением неравенства, ибо их разность равна Ь.
Подобным образом 3~2+j~ K т~. имеет геометрическое отношение
равенства, ибо знаменатель отношения равен 1-\- dx= 1; разность же
есть j- , так что она бесконечна. Итак, если рассматривать геометри-
геометрические отношения, то бесконечно большие количества низшего порядка
исчезают в сравнении с бесконечно большими высшего порядка.
97. Из того, что выше сказано о порядках бесконечных количеств,
тотчас же ясно, что произведение бесконечно большого количества
на бесконечно малое может давать не только конечное количество —
чго это может случиться, мы видели выше—но и бесконечно большое
или бесконечно малое. Так, если бесконечное количество -*- помно-
dx
жить на бесконечно малое dx, оно даст конечное произведение, рав-
равное а; если же -т- помножить на бесконечно малое dx- или на dx*,
или на другое бесконечно малое высшего порядка, то произведение
будет adx или adx", или adx3 и т. д., т. е. бесконечно малым. Таким
жо образом убедимся, что если бесконечное количество -j-t, помно-
жить н;) бесконечно малое dx, то произведение будет бесконечно боль-
ншм; и вообще, если %-н помножить на bdxm, то произведение abdxm~"
будет бесконечно малым, если m превосходит п, конечным, если m
равно п, и бесконечно большим, если m меньше чем п.
98. Как бесконечно малые, так и бесконечно большие количества
часто встречаются в числовых рядах; так как они чередуются с конеч-
конечными числами, то становится очень ясно, как совершается переход от
конечных количеств к бесконечно большим и бесконечно малым. Рас-
Рассмотрим сперва ряд натуральных чисел, продолженный также в обрат-
обратном направлении: и т. д. — 4, — 3, — 2, — 1, -f 0, +1. +2, -(-3, +4,
и т. д. Итак, числа, непрестанно убывая, дают, наконец, пуль, т. е.
бесконечно малое количество, а дальше становятся отрицательными.
Отсюда ясно, что от убывающих положительных чисел к возраста-
возрастающим отрицательным переход совершается через нуль. Если же. мы
рассмотрим их квадраты, то так как все они положительны
и т. д. +16, +9, +4, -И, +0. ---1, -г 4, +9. --L6 и т. д.,
то нуль будет служить также переходом от убывающих положитель-
положительных чисел к возрастающим положительным. Если же переменить знаки,
то нуль окажется также переходом от отрицательных убывающих чисел
к отрицательным возрастающим.
ГЛ. III. О БЕСКОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНО-МАЛЫХ 97
99. Если рассмотреть ряд, общий член которого есть \/~х, т. е. ко-
который, продолженный и в обратном направлении, будет иметь вид
и т. д. -\-\f—3, -j- \f—2, -j- j/"—1, +~0,
+ V^> +V^> +Y% +V^ и т- д-;
то станет ясно, что нуль можно рассматривать как границу, через
которую совершается переход от действительных количеств к мнимым.
Если эти члены рассматривать как ашшкаты кривых, то будет
•очевидно, что если они сначала будут положительными и будут убы-
убывать до тех пор, пока не исчезнут, то, продолженные дальше, они ста-
станут или отрицательными, или снова положительными, или мнимыми.
Точно так же, если апликаты сперва будут отрицательными, то они,
после того как исчезнут, если продолжать дальше, станут либо поло-
положительными, либо отрицательными, либо мнимыми. Многочисленные
примеры этих явлений даёт учение о кривых линиях, изложенное
в предшествующей книге1).
100. Подобным образом в рядах могут встретиться также беско-
бесконечные члены. Так, в гармоническом ряде, общий член которого
есть - - , индексу х = 0 будет [отвечать бесконечно большой член
- -, и весь ряд имеет такой вид:
l 1 1 1,1 1 1 1
И Т. Д. —,-, —у, —у, —-?-, +— , -|- у, -r-j, -f-ИТ. Д.
Если итти справа налево, то члены возрастают, и уже — является
бесконечно большим; затем члены становятся отрицательными и убы-
убывают. Таким образом, бесконечно .большое количество может рассматри-
рассматриваться как граница, пройдя которую положительные числа становятся
отрицательными и обратно. Многим поэтому казалось, что отрицатель-
отрицательные числа можно рассматривать как числа, большие чем бесконечное,
вледствие того, что в рассмотренном ряде непрестанно возрастающие
члены, после того как они достигнут бесконечности, становятся отри-
отрицательными. Однако если мы рассмотрим ряд, общий член которого
есть — , то после перехода через бесконечность мы снова будем иметь
положительные члены
,1 ,t ,1 ,1 .1 .1 ,1
и т. д. +-, +j, +т, -!- —, -f-T. +т, +тит. д.
о которых, однако, никто не скажет, что они больше бесконечности.
101. Часто также бесконечно большой член ряда образует гра-
границу, отделяющую действительные члены от мнимых, как, например,
в ряде, общий член которого есть —^= :
ух
1_ , 1 ,, _. 1 , _1_ J_ , 1 L 1_
д' у^Ъ' Y~-'i' ' Y-i' u' ~*"]/i' ' YV гузит'д''
однако отсюда не следует, что мнимые количества больше бесконеч-
бесконечности, так же как из вышеприведённого ряда
и т.д. -|-]/^3, +\/~^2, +]/^1, +0, +]/Т, Ч-|/2, +/3нт.д.
J) Во второй части «Введения в анализ» (русского перевода нет).
Л. Эйлер
98 ГЛ. III. О БЕСКОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНО-МАЛЫХ
не следует, что мнимые количества меньше нуля. Далее, от дейст-
действительных членов можно перейти к мнимым так, чтобы границей-
He были ни 0, ни со. Это имеет место, например, если общий член
будет 1 + \/~х. Однако в этих случаях, так как вследствие иррацио-
иррациональности каждый член имеет двойной знак, граница между действи-
действительными и мнимыми членами всегда имеет два равных между собой
значения. Но 'коль скоро члены, которые прежде были положитель-
положительными, стновятся отрицательными, переход всегда совершается либо
через бесконечно малое, либо через бесконечно большое. Всё это ста-
становится более ясным из закона непрерывности, который мы выявили
в кривых линиях.
102. Из суммирования бесконечных рядов также можно заимство-
заимствовать многое, служащее как для лучшего уяснения этого учения
о бесконечном, так и для устранения ряда сомнений, которые обычно
возникают в этом деле. Прежде всего, если ряд состоит из равных
членов, как, например,
1 + 1 + 1 + 14-1 + 1 и т. д.,
и он продолжается без конца, т. е. до бесконечности, то нет, конечно,
никакого сомнения, что сумма всех этих членов больше чем всякое
могущее быть заданным число. Поэтому она необходимо должна быть
бесконечной. Это подтверждается и происхождением такого ряда; он
возникает из разложения дроби
-_-^ = 1 + Ж + 2Г-Г Z" + И Т. Д.
при а=1; следовательно,
— =1 + 1+1 + 1+ и т. д.,
и поэтому сумма равна
1 1
= — = иесконе^шости.
=
1—1 и
103. Хотя здесь не может родиться сомнения, поскольку одно
и то же конечное число, взятое бесконечно много раз, должно дать
бесконечность, однако самое происхождение из общего ряда
т. д.,
l + a; + :
повидимому, связано с огромнейшими несообразностями. Действительно,
если вместо х мы последовательно будем полагать числа 1.2,3,4
и т. д,, то, получим следующие ряды вместе с их суммами:
Л.. . 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + и т. д. = -—- = бесконечности,
1. — 1
В. ..1+2 + 4 + 8 + 16+ и т. д. = ^=-1,
С...1 + 3+9+27 + 81+ и.т. д. =-Ц=_1.
D:..1 + 4 + 16+64 + 256+ и т. д.=-гА7=_1 и т. д.
Так как отдельные члены ряда В, кроме первого, больше чем члены
ряда А, то сумма ряда В необходимо должна была бы быть много
больше чем сумма ряда А. Однако в результате нашего вычисления
сумма ряда А оказывается бесконечной, а сумма ряда В отрицатель-
ГЛ. III. О БЕСКОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНО-МАЛЫХ 99
ной, т. е, меньшей нуля, чего понять нельзя. Ещё меньше можно
согласовать с привычными представлениями, что суммы ряда В и сле-
следующих рядов С, D и т. д. оказываются отрицательными, тогда как
все их их члены положительны.
104. На этом основании многим представляется правдоподобным
мнение, которое было упомянуто выше, а именно, что отрицательные
числа можно считать как бы большими бесконечности, т. е. более чем
бесконечными. А так как и при уменьшении чисел, переходя через
нуль, мы приходим к отрицательным числам, то они устанавливают
различие между отрицательными числами вида
л '¦>¦¦> -i 1 + 2 --- 3
— 1, — 2, — ¦!, и т. д. и вида —^, —j-, —^ , и т. д.;
говоря, что первые меньше нуля, а вторые больше бесконечности.
Однако этот приём не устраняет трудности, создаваемой рядом
1 + 2х + Зх* + Ьх' + 5х* + и т. д. = 1 -,
A — X)'
кз которого происходят следующие ряды:
А. .. 1 + 2 + 3 + 4 -f 5 + и т. д. = -,-т-—— = — = бесконечности,
Д...1 + 4+12 + ;*2 + 80+ и т. д. =^-1-^ = 1.
Так как отдельные члены ряда В, исключая только первые два,
больше чем члены ряда А, то на этой основе совершенно невозможно
объяснить, каким образом сумма ряда А оказывается бесконечной,
а сумма ряда В равной 1, т. е. одному перво,му члену.
105. Но так как, если мы пожелали бы отрицать, что
, +1 +а —а
-1 = 37 и чт0 --Ъ = ТЪ>
мы опрокинули бы прочнейшие основы анализа, то выше упомянутое
объяснение и вообще не может быть допущено. Вместо этого мы
должны признать, что неверны те суммы, которые были получены
из общих формул. Действительно, так как эти ряды происходят
из непрестанного деления, причём остаток делится всё дальше
и дальше, но становится тем больше, чем дальше мы идём вперёд,,
то мы никогда не можем пренебречь им, и тем более нельзя отбросить
последний остаток, т. е. тот, что остаётся после бесконечного числа
деления, ибо он бесконечно велик. Так как в вышеприведённых
рядах мы этого не соблюдали, ибо не находили никаких остатков,
то нет ничего удивительного в том, что эти суммирования привели
к нелепости. Этот ответ, так как он- основан на рассмотрении самого
происхождения рядов, и является вернейшим и устраняет всякие
сомнения.
106. Для большей ясности рассмотрим разложение дроби ,
содержащее сперва только конечное число членов. Итак, будем иметь:
1 1* 1 'Г- 1 *>-3
г~ = 1 I а; + х2 + ж3 + 1-1:^ и т. д
7*
100 ГЛ- HI. О БЕСКОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНО-МЛЛЫХ
Если кто-нибудь пожелал бы сказать, что сумма конечного ряда
1 -f х + х2 + х3 есть , то он отклонился бы от истины па коли-
чество , а кто захотел. б!,1 утверждать, что сумма ряда
1 -|- X т ж г X ~- . . . -j- X
1 г г- Г1001
равна _ , тот ошиося оы на количество ; -эта ошиока, если ж
есть число, большее единицы, была бы очень велика.
107. Из этого ясно, что тот, кто хотел бы утверждать, что сумма
того же ряда, продолженного до бесконечности, т. о. сумма ряда
1 + х + х' + х* + • - • + х",
1 , ^+1
равна , тот отклонился бы от истины на величину ——, которая,
(юли х > 1, будет бесконечно большой. Вместе с тем становится ясно,
почему сумма бесконечного ряда 1 + х + х2 + х3 -f xi -f и т. д. действи.-
телыю равна —— , если х есть дрооь, меньшая единицы. Ведь
в этом случае погрешность ' ¦ становится бесконечно ыалон. т. е.
нулём, и его можно спокойно пренебречь; так, при х = — , получаем
верный результат
.,1,1.1.1 l
Точно так же этим способом мы получим истинную сумму и осталь-
остальных рядов, если х будет дробью, меньшей чем единица.
108. Так же разрешается вопрос о суммах расходящихся рядов
с чередующимися знаками -f- и —, которые получаются из той же фор-
формулы, если подставлять в неё вместо х отрицательные числа. Действи-
Действительно, так как, если но брать в расчёт последнего остатка, мы имеем
г-К"= 1 ~х+х*~х*+ х*~х*+ и т- д-'
то будет
Л...1 — 1 + 1—1 + 1 — 14- и т. д. с= 1 ,
В ... 1—2 + 4— 8 + 16 — 32+ пт.д.=^,
С ... 1-3+9-27 + 81-243+ и т. д. = ~
и т. д.
Но ясно, что сумма ряда В не может равняться У3, ибо чем больше
членов мы берём, тем более суммы их удаляются от 1/3. Между тем
сумма каждого ряда всегда должна быть пределом, к которому мы тем
ближе подходим, чем больше членов складываем.
109. Из этого некоторые заключили, что такие ряды — они назы-
называются расходящимися— вообще не имеют никакой определённой
суммы, ибо, выполняя сложение членов, мы но имеем приближения
к какому-либо пределу, который можно было бы принять за сумму
бесконечного ряда. Так как эти суммы уже потому, что мы прене-
пренебрегаем последними остатками, являются, как было показано, ошибоч-
ГЛ. III. О БЕСКОНЕЧНЫХ II БЕСКОНЕЧНО-МАЛЫХ Ю1
ными, то это мнение полностью согласуется с истиной. Однако против
него можно с полным правом возразить, что упомянутые суммы, хотя
они и оказываются совершенно несогласными с истиной, однако
никогда не приводят к ошибкам, и что напротив, приняв их, мы
получаем множество замечательных вещей, которых мы должны были
бы лишиться, если бы пожелали совсем оказаться от этих суммиро-
суммирований. Но ведь эти суммы, если они были бы ложными, не могли бы
всегда приводить нас к истинным результатам, тем более, что они
уклонялись бы от истины не на малое, а на бесконечное количество,
и, следовательно, они должны были бы бесконечно далеко уводить
нас от истины. Так как этого, однако, ле происходит, то нам остаётся
развязать этот труднейший узел.
110. II вот я говорю, что вся трудность кроется в названии
«сумма». Действительно, если под «суммой» ряда понимать, как это
обычно делается, результат сложения всех его членов, то нет ника-
никакого сомнения, что суммы можно получать только для тех беско-
бесконечных рядов, которые являются сходящимися и дают результаты,
тем более близкие к некоторому определённому значению, чем больше
членов складывается. Расходящиеся же ряды, члены которых не
убывают, могут обнаруживать чередование знаков + и —, в про-
противном же случае они вообще не будут иметь никаких определённых
сумм, если только слово «сумма» понимается в смысле результата
сложения всех членов. Но в тех случаях, о которых мы упоминали,
из неверных сумм получаются верные результаты не потому, что
конечное выражение, скажем ; , есть сумма ряда 1 -f x -f х? + х3 +
и т. д., а потому, что это выражение, если его разложить, даёт
именно такой ряд. Таким образом здесь можно было бы вовсе отка-
отказаться от наименования «сумма».
111. Этих затруднений и кажущихся противоречий мы совершенно
избежим, если мы припишем слову «сумма» значение, отличное
от обычного. А именно, мы скажем, что сумма некоторого бесконеч-
бесконечного ряда есть конечное выражение, из разложения которого возни-
возникает этот ряд. 13 этом смысле у бесконечного ряда 1 + х -{- х2 + х3 -f-
и т. д. истинная его сумма будет равна , ибо этот ряд про-
происходит из разложения этой дроби, какое бы число ни подставлять
вместо х. При этом соглашении, если ряд будет сходящимся, то новое
определение слова сумма совпадёт с обычным, а так как расходящиеся
ряды не имеют никакой суммы в собственном смысле слова, то из
этого нового наименования не проистечёт никаких неудобств. Приняв
это определение, мы сможем сохранить выгоды пользования расходя-
расходящимися рядами и в то же время защититься от всяческих обвинений.
ГЛАВА IV
О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ЛЮБОГО ПОРЯДКА
112. В первой главе мы видели, что если переменная величина х
принимает приращение, равное <о, то происходящее вследствие этого
приращение какой-либо функции от х можно выразить в виде
Рш -{-Qu>- -j-Rw3 4- и т. д., причём это выражение либо конечно, либо
продолжается бесконечно. Следовательно, функция ?/, если в ней
вместо х написать х-\-ш, получит следующее значение:
у' = у ± рш + Qwi + Ru>3 + Sa>A + и т. д.
Если от него отнять первоначальное значение у, то остаток будет
разностью функции у и выразится следующим образом:
Ау = Pw + Qo)s + Rw3 + 5о>* + и т. д.
а так как последующее значение х есть х1 = х\-ш, то разность х,
т. е. Ах, будет равнч со. Буквы жз Р, Q, R и т. д. обозначают функ-
функции х, зависящие от вида функции у; мы показали в первой главе,
как они находятся.
113. Таким образом, каково бы ни было приращение ш перемен-
переменного количества х, мы тотчас же сможем определить приращение,
приобретаемое какой-либо функцией у от х, ибо для каждого выра-
выражения у мы можем определить функции Р, Q, R и т. д. Но в насто-
настоящей главе и во всём анализе бесконечно малых это приращение to,
на которое, как мы принимаем, возрастает переменное количество х,
мы будет считать бесконечно малым, т. е. исчезающим или равным
нулю. Отсюда ясно, что и приращение, т. е. разность функции у,
также будет бесконечно мало. А так как при этом предположении
отдельные члены выражения
/)Ш + <?U)a+J?(O3+5(D4-f И Т. Д.
исчезают в сравнении с последующими (§ 88 и следующие), то оста-
останется лишь один первый член Рш, и, таким образом, в этом случае,
когда ш есть бесконечно малое, разность количества у, т. е. Ау,
равна Рш.
114. Таким образом, анализ бесконечно малых, к изложению
которого мы здесь приступаем, есть не что иное, как частный случай
метода разностей, изложенного, в первой главе. Этот случай насту-
ГЛ. IV. О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ЛЮБОГО ПОРЯДКА ЮЗ
лает тогда, когда разности, которые мы раньше считали конечными,
полагаются бесконечно малыми. Для того чтобы случай, с которым
имеет дело анализ бесконечно малых, отличать от метода исчисления
разностей, целесообразно воспользоваться для обозначения бесконечно
малых разностей как особыми наименованиями, так и особыми сим-
символами. Итак, назовём вместе с Лейбницем бесконечно малые разности
дифференциалами,и так как в первой главе мы уже установили раз-
различные порядки разностей, то теперь нетрудно будет понять, что
такое первые, вторые, третьи и т. д. дифференциалы какой-либо
функции. Вместо буквы А, которой мы раньше обозначали разно-
разности, мы будем теперь пользоваться буквой d, так что dy будет обозна-
обозначать первый дифференциал от у, d2y — второй дифференциал, dsy— тре-
третий и т. д.
115. Так как бесконечно малые разности, которые мы здесь рас-
рассматриваем, мы назвали дифференциалами, то и всё исчисление,
с помощью которого находятся и применяются дифференциалы,
принято называть дифференциальным исчислением. Английские мате-
математики, из которых Ньютон эту новую ветвь анализа начал совер-
совершенствовать первым, как Лейбниц первым из германских, пользуются
как другими наименованиями, так и другими знаками. А именно,
бесконечно малые разности, которые мы называем дифференциалами,
они предпочитают именовать флюксиями; иногда они их называют
также приращениями (incrementa). Эти названия лучше звучат
в латинской речи; они также и по смыслу довольно хорошо выра-
выражают обозначаемые ими вещи. Действительно, переменная вели-
величина, непрестанно возрастая и принимая всё новые и новые значения,
может рассматриваться как величина текущая, и потому название
«флюксия», которое применялось Ньютоном первоначально для обо-
обозначения скорости возрастания, было по аналогии перенесено на
бесконечно малые приращения, которые принимает количество, когда
оно как бы течёт1).
116. Но, хотя нам не пристало бы спорить с англичанами об
использовании наименований и об определениях, и перед лицом судьи
мы оказались бы побеждёнными в том, что касается чистоты латин-
латинского языка, а также удобства выражений, однако нет никакого
сомнения, что мы отняли бы у англичан пальму первенства в отно-
отношении обозначений. Действительно, дифференциалы, которые они
называют флюксиями, у них принято обозначать точками, которые
ставятся над буквами, так что у означает у них первую флюксию у,
у — вторую флюксию, у — третью флюксию и т. д. Так как способ
обозначения зависит от произвола, то эти обозначения нельзя отвер-
отвергать, если число точек невелико, так что их легко можно сосчитать.
Однако если нужно надписывать много точек, то этот способ создаёт
величайшую путаницу и множество неудобств. Действительно, десятый
дифференциал или десятую флюксию крайне неудобно обозначать
таким образом: у. тогда как наш способ обозначения d10y легко поня-
х) Латинское г.лово fluxio обозначает «течение». Слово differentiate (дифферен-
(дифференциал) придумано Лейбницем, который произвел его от латинского слова differentia
¦{разность). У Ньютона слово «флюксия» обозначает, собственно, не дифференциал
функции, а то, что мы теперь называем производной функцией.
404 ГЛ. IV. О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ЛЮБОГО ПОРЯДКА
тен. Бывают же случаи, когда нужно выразить дифференциалы гораздр*
более высоких и даже неопределённых порядков; в этих случаях
способ англичан становится вовсе непригодным.
117. Мы будем пользоваться как нашими наименованиями, так
и нашими обозначениями, ибо первые в наших странах уже приняты
в употреблении и многим знакомы, вторые же являются и более-
удобными. Однако здесь было небесполезно упомянуть о наименованиях
и обозначениях англичан, чтобы те, кто раскроют их книги, могли
понять и их. Ведь и англичане не настолько упорно привержены
к своему обычаю, чтобы они вовсе отвергали и не считали для себя
достойным читать то, что написано по нашему способу. Мы также
читаем их труды с огромным интересом и извлекаем из них очень-
большую пользу; но часто мы замечаем, что и они не без пользы
читают произведения наших авторов. Поэтому, хотя всегда очень
желательно было бы установить единый способ выражения своих мыслей,
однако не так уже трудно и нам и им приобрести навык, требую-
требующийся для понимания книг, написанных по чужому способу.
118. Так как буква ю до сих пор означала у нас приращение
или разность, на которую мыслится возрастающим переменное коли-
количество х, то теперь ш будет дифференциалом х и потому согласно-
принятому способу обозначения будет u> = dx; следовательно, da; будет
бесконечно малой разностью, на которую мыслится возрастающим х.
Подобным образом дифференциал у будет обозначаться dy, и если у
есть какая-либо функция х, то дифференциал dy будет обозначать,
приращение, которое принимает функция у, когда х переходит
в x-\-dx. Поэтому, если в функции у вместо х всюду подставить
x-\-dx, а результирующее количество положить равным у1, то будет
dy = r/i — у; и таким образом будет найден дифференциал всякой
функции. Это ясно относительно первого дифференциала, т. е. диф-
дифференциала первого порядка; относительно остальных мы увидим
это позднее.
119. Нужно хорошо уяснить, что буква d здесь не обозначает
какого-либо количества, но употребляется только в качестве знака.,
выражающего слово «дифференциал», таким же образом, как в учении
о логарифмах буква 1 употребляется как знак логарифма или в алгебре-
символ у в качестве знака корня. Таким образом, dy не обознаг-
чает, как это принято вообще в анализе, произведения количества d~
на количество у, и нужно произносить: «дифференциал у». Подобным
образом, если написано d*y, то двойка не есть показатель степени
и d2 не обозначает степени количества d, но служит лишь для удоб-
удобного и краткого обозначения наименования «второй дифференциал».
Так как буква d в дифференциальном исчислении представляет
не количество, а только знак, то в вычислениях, где встречается
несколько постоянных количеств, во избежание недоразумений
не следует пользоваться буквой d для обозначения одного из них.
Таким же образом мы обычно избегаем вводить в вычисление букву /'
там, где в то же время встречаются логарифмы. Но было бы жела-
желательно выражать эти буквы d и I несколько видоизменёнными знаками,
чтобы не смешивать их с буквами алфавита, которыми обычно обо-
обозначаются количества. Таким именно образом вместо буквы г, которой;
прежде обозначалось слово «корень» (radix), теперь принят искажён-
искажённый знак \/~ .
ГЛ. IV. О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ЛЮБОГО ПОРЯДКА ^05
120. Мы видели, что первый дифференциал у, если у 6yjs,et функ-
функцией х, должен иметь вид Рт. А так как <o = dx, то будет dy = Pdx.
Значит, какой бы функцией х ни являлось количество у, его диффе-
дифференциал выразится произведением некоторой функции х, которую мы
обозначили через Р, на дифференциал х, т. е. на dx. Итак, хотя диф-
дифференциалы dy и dx являются подлинно бесконечно малыми коли-
количествами и потому равны нулю, однако между собой они имеют
конечное отношение, а именно, будет dy.dx=P:l, Следовательно,
если найдена функция Р, то известно и отношение между дифферен-
дифференциалами dx и dy. И, хотя дифференциальное исчисление состоит
в разыскании дифференциалов, в нём разыскивают не столько самые
дифференциалы, которые равны нулю и потому находились бы без
труда, сколько взаимное их геометрическое отношение.
121. Дифференциалы находятся гораздо легче, чем конечные раз-
разности. Действительно, для нахождения конечной разности Ау, на
которую возрастает функция у, когда переменное количество х при-
принимает приращение ш, недостаточно знать функцию Р; сверх того,
нужно определить функции Q, R, S и т. д., входящие в конечную
разность, которую мы положили равной
Pa> + Q<a* + R3+ и т. Д.
Для нахождения же дифференциала у достаточно знать одну только
функцию Р. Поэтому, если известна конечная разность какой-либо
функции х, то очень легко найти её дифференциал; но, обратно, зная
дифференциал функции, ещё нельзя найти её конечную разность!
Ниже, однако, будет показано, как, зная дифференциалы всех порядков,
можно найти конечную разность какой-либо предложенной функции.
Впрочем, из изложенного здесь ясно, что первый дифференциал
dy — Pdx представляет первый член конечной разности, ибо первый
член равен Р<в.
122. Пусть приращение ш, которое получает переменное х, будет
очень малым, так что в выражении Рш -f- QwP-^-Roi3 и т. д. члены Qot'
и ДоK, а тем более остальные становятся столь малыми, что в вычис-
вычислении, где не требуется очень большая точность, ими можно пренеб-
пренебречь по сравнению с первым членом. Тогда, зная первый дифферен-
дифференциал Р dx, мы знаем, правда приближённо, и первую разность, ибо
и она будет равна Рш; это даёт немалую пользу во многих случаях^
в которых анализ применяется к практическим задачам. Вследствие
этого некоторые полагают, что дифференциалы можно рассматривать
как чрезвычайно малые приращения; они не согласны с тем, что диф-
дифференциалы точно равны нулю, а считают их лишь неопределённо
малыми. Это представление даёт другим возможность обвинять анализ
бесконечно малых в том, что с его помощью находятся не истинные
количества, но лишь приближённые. Это возражение всегда сохра-
сохраняло бы некоторую силу, если бы мы не считали бесконечно малые
в точности равными нулю.
123. Те, кто отрицает, что бесконечно малые обращаются точна
в нуль, желая опровергнуть это возражение, сравнивают дифференциалы
с крохотными пылинками, взятыми по отношению ко всей земле.
Никто, говорят они, не считался бы неверно измерившим количество
земли, если бы он отклонился от истины на одну пылинку. Итак,
они хотят, чтобы между конечным количеством и количеством беско-
бесконечно малым существовало бы то же отношение, что между всей
106 гл. iv. о природе дифференциалов; любого порядка
землёй и мельчайшей пылинкой; если же кому-либо это различие
показалось бы недостаточно большим, то они увеличили бы это отно-
отношение в тысячу раз или более, чтобы нельзя было Представить себе
более значительной малости. Всё же они вынуждены бывают признать,
что высшая геометрическая строгость здесь немножко страдает. Поэтому,
чтобы отразить вышеупомянутое возражение, они берут такие примеры,
где решение можно найти как с помошью геометрии, так и с помощью
анализа, и из совпадения решений заключают о доброкачественности
второго метода. Этот довод, правда, не решает вопроса, ибо часто
можно правильный ответ найти неправильными методами, но так как
такая ошибка здесь не совершается, то он убеждает нас скорее в том,
что количества, которыми пренебрегают в исчислении бесконечно'
малых, отнюдь не являются нечувствительно малыми, но в точности
равны нулю, как мы и принимаем.
124. Перейдём к разъяснению природы дифференциалов второго
порядка; они получаются из вторых разностей, о которых говорилось
в первой главе, если положить бесконечно малое количество ш
равным dx. Положим, что количество х возрастает равными прираще-
приращениями, так что, если второе значение х1 будет равным x + dx, то сле-
следующие будут alI = x + 2x, x111 = xJr'idx и т. д. Тогда вследствие
постоянства первых разностей dx вторые разности исчезают, и следо-
следовательно, также второй дифференциал х, т. е. d'3x, равен нулю. Поэтому
также и дальнейшие дифференциалы будут равны нулю, т. е. d3x = 0,
dlx — 0, d5x = 0 и т. д. Можно, правда, возразить, что эти дифферен-
дифференциалы, будучи бесконечно малыми, сами по себе равны нулю и что
это не является отличительным свойством переменного количества х,
приращения которого, по предположению, равны. Но на самом деле
это исчезновение нужно истолковывать так, что дифференциалы d*x,
d3x и т. д. не только сами по себе суть нули, но также и исчезают
по отношению к тем степеням dx, с которыми их можно сравнивать
в других случаях.
125. Чтобы лучше это понять, нужно вспомнить, что вторая
разность какой-либо функции от х — пусть она будет у — представляется
выражением Рш'л + Qw3-\- Rw*-\- и т. д. Если же ш бесконечно мало,
то члены (?ш3, Яш1 и т. д. исчезают по сравнению с первым членом
Рш2, так что если положить ш = dx, второй дифференциал у будет
равен Pdx2, где dx2 обозначает квадрат дифференциала dx. Поэтему
второй дифференциал у, т. е. d2y, сам по себе равен нулю, однако
так как dsy = Pdx2, то он будет иметь к dx2 конечное отношение
Р:1. Но если у=х, то Р = 0, Q = 0, R--=0 и т. д., так что в этом
случае второй дифференциал х исчезает также и относительно dx*
и высших степеней dx. В этом смысле и нужно понимать то, что мы
сказали выше, т. е. что dzx = Q, сРх = О и т. д.
126. Так как вторая разность есть не что иное, как разность
первой разности, то второй дифференциал, или, как он часто именуется,
дифференцио-дифференциал, есть не что иное, как дифференциал первого
дифференциала. Далее, так как постоянное количество не испытывает
ни приращения, ни ущерба и не обладает никакими разностями, ибо
последние присущи одним переменным количествам, то мы в том же
смысле можем сказать, что все дифференциалы любого порядка
от постоянных количеств равны нулю, т. е. они исчезают по сравне-
сравнению со всеми степенями dx. Так как дифференциал от dx, т. е. d*x,
равен нулю, то дифференциал dx можно рассматривать как постоянное
ГЛ. IV. О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ЛЮБОГО ПОРЯДКА Ю7
количество, и всякий раз, как говорят, что дифференциал какого-либо
количества равен нулю, нужно считать это количество принимающим
равные приращения. А здесь мы принимаем х за то количество,
дифференциал которого является постоянным, и, исходя из этого,
оцениваем для различных функций изменчивость, которой подвержены
их дифференциалы.
127. Положим, что первый дифференциал у равен pdx. Для нахо-
нахождения его второго дифференциала нужно снова искать дифференциал
количества pdx. Но так как dx есть постоянное количество и не изме-
изменяется, когда вместо х мы пишем х -f- dx, то необходимо только найти
дифференциал конечного количества р; итак, пусть dp — qdx, ибо мы
видели, что дифференциалы всех функций х представляются в этом
виде. Как мы показали это для конечных разностей, дифференциал пр,
если п есть постоянное количество, равен nq dx. Положив dx вместо п,
найдём, что дифференциал количества pdx будет равен q dx2. Поэтому,
если dy — pdx и dp = qdx, то второй дифференциал day будет равен
qdx2, и, таким образом, оказывается, что, как мы уже отмечали выше,
второй дифференциал у имеет конечное отношение к dx"*.
128. В первой главе мы отметили, что вторые и следующие раз-
разности можно определить лишь в том случае, если принять, что зна-
значения х следуют друг за другом по некоторому определённому закону;
так как этот закон является произвольным, то мы берём эти значения
в арифметической прогрессии, так как она наиболее проста и удобна.
По той же причине и о вторых дифференциалах ничего определённого
нельзя сказать, если первые дифференциалы, которыми непрестанно
нарастает переменное количество х. не следуют друг за другом
по некоторому данному закону. Поэтому мы и полагаем все первые
дифференциалы х, т. с. dx, dx1, dx11 и т. д., равными между собой.
Отсюда мы получаем вторые дифференциалы
d2x — dxl — dx = 0, d2xl = dx11 — dx1 — О и т. д.
Итак, вторые и высшие дифференциалы зависят от порядка, которому
взаимно подчинены дифференциалы переменного количества х, а этот
порядок является произвольным. Первые же дифференциалы этим
условием не стеснены. Поэтому между дифференциалами первого
порядка и дифференциалами последующих порядков в отношении
их разыскания существует огромное различие.
129. Если последовательные значения х, х1, х11, х111, xiv и т. д.
количества х берутся не в арифметической прогрессии, а подчинены
в их следовании друг за другом другому какому-либо закону, тогда
первые их дифференциалы dx, dx1, dx11 и т. д. не будут равны между
собой, и потому d2x не будет равен нулю. Поэтому вторые дифферен-
дифференциалы каких-либо функций от х примут другой вид. Действительно,
если первый дифференциал такой функции будет pdx, то для нахож-
нахождения её второго дифференциала недостаточно помножить дифферен-
дифференциал количества р на dx, но, кроме того, нужно знать дифференциал
количества dx, т. е. d2x. Так как второй дифференциал получается
вычитанием pdx из следующего значения этого количества, которое
получается, если положить х + dx вместо х и dx + dx'z вместо dx,
то положим, что следующее значение р ость р -f qdx и тогда следующее
значение р dx будет
(р -\- д dx) (dx + d2x) — р dx-\- pd~x -J- q dx" -f qdxd-x.
-108 ГЛ. IV. О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ЛЮБОГО ПОРЯДКА
Отнимаем от него р dx, и второй дифференциал будет
d2y = pd2x + q dx2 + q dx d2x = pd2x-\-q dx2,
ибо qdxd2x исчезает по сравнению с pd2x.
130. Хотя простейшим и удобнейшим отношением, которое можно-
приписать приращениям х, есть отношение равенства, однако часто^
случается, что принимаются равными приращения не того переменного
количества х, функцией которого является у, а некоторого другого
количества, относительно которого х является некоторой функцией.
Более того, часто полагаются равными первые дифференциалы такого
другого количества, для которого остаётся неизвестным соотношение х.
В первом случае вторые и следующие дифференциалы х будут зависеть
от отношения, в котором х находится к тому количеству, которое
принимается за равномерно растущее, и их нужно находить тем же
способом, который мы здесь дали для определения вторых дифферен-
дифференциалов у по дифференциалам х. Во втором же случае вторые и еле
дующие дифференциалы х должны будут рассматриваться как неиз-
неизвестные, и вместо них нужно будет употреблять знаки d2x, dsx,
d*x и т. д.
131. Каким образом в этих случаях нужно выполнять дифферен-
дифференцирование, мы ниже покажем подробнее. Здесь же мы будем попреж-
нему считать количество х равномерно растущим, так что все первые
дифференциалы dx, dx1, d11 и т. д. мы должны считать равными между
собой и, следовательно, вторые и следующие дифференциалы равными
нулю. Чтобы выразить это условие, говорят, что дифференциал хг
т. е. dx, принимается за постоянное. Пусть теперь у есть какая-либо-
функция от х; так как она выражается через х и через постоянные,
то её первый, второй, третий, четвёртый и т. д. дифференциалы,
обозначаемые знаками dy, d2y, d3y, d*y и т. д., могут быть выражены
через х и dx. А именно, если в у вместо х написать ж + ^низ этого
значения вычесть предыдущее, то остаток будет первым дифференциалом;.
если в нём вместо х положить х -f- dx, получим dy1 и будет
d2y = dyl — dy. Подобным образом, если положить x + dx вместо хг
получим из d2y d2yl и d2yL — d2y даст d3y и т. д. В таких действиях
дифференциал всегда рассматривается как постоянное количество,,
которое уже не имеет никакого дифференциала.
132. Из соотношения, которое определяет функцию у через х, как
с помощью метода конечных разностей, так гораздо легче и с помощью-
методов, которые будут даны ниже, можно определить значение
функции р, которая, будучи помножена на dx, даст первый диффе-
дифференциал dy. Положим dy — pdx; тогда дифференциал количества pdx
даст второй дифференциал d2y. Поэтому, если будет dp = q dx, то вслед-
вследствие постоянства dx получится d2y = qdx2, как было ранее показано.
Поступая так же дальше, так как дифференциал второго дифференциала
даёт третий дифференциал, положим, что dq?=rdx; тогда будет d3y=rdxa;
подобным образом, если будем искать дифференциал этой функции г
и найдём, что dr = sdx, то получим четвёртый дифференциал d*y — sdx*
и т. д., и если мы будем уметь находить первый дифференциал любой
функции, то сможем определить и дифференциал любого порядка.
133. Чтобы яснее представить себе вид этих различных дифферен-
дифференциалов и в то же время способ их нахождения, мы составим следу-
следующую таблицу.
ГЛ. IV. О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ЛЮБОГО ПОРЯДКА 1_OS
Если у будет какая-либо функция х, то
будет если положить
dy — pdx, dp — qdx,
d2y=qdx2, dq = rdx,
d*y = г dx3, dr = sdx,
(i4у --= s dx1, r/.v = t dx
d"у — t dx',
и т. д.
"Гак как функция р узнаётся из функции у дифференцированием,
и подобным образом из р находится q и далее г, а из него далее s
и т. д., то легко наши дифференциалы любого порядка от у, когда
дифференциал dx принимается за постоянное количество.
134. Так как р, q, г, s, t и т. д. суть конечные количества,
конечно, являющиеся функциями у, то первый дифференциал у будет
иметь конечное отношение к первому дифференциалу х, а именно
отношение р к 1. Поэтому дифференциалы dx и dy называются одно-
однородными. Далее, так как d2y к dx2 имеет конечное отношение, именно
отношение q к 1, то d2y и dxz будут однородны; таким же образом
будут однородны d'y и dx3 и точно так же d*y и dx4 и т. д. 1 аким
образом, так же как первые дифференциалы однородны между собой,
т. е. имеют друг к другу конечное отношение, так будут однородны
вторые дифференциалы с квадратами первых, третьи дифференциалы
о кубами первых и т. д. И вообще дифференциал у порядка п, кото-
который представляется выражением dny, будет однороден с той степенью
.дифференциала dx, показатель которой есть п.
135. Таким образом, как по сравнению с dx исчезают все те
степени его, показатели которых больше единицы, так по сравнению
с dy исчезают также dx2, dx3, dx* и т. д. и дифференциалы высших
порядков dry, dsy, diy и т. д., которые к этим степеням имеют конечное
отношение. Таким же образом по сравнению с d2y, так как он одно-
однороден с dx'2, исчезают все степени dx, более высокие, чем вторая;
исчезают, следовательно, также dx3, dx* и т. д. Но сравнению с diy
исчезают dx*, d*y, dx5, d5y и т. д. Таким образом, если будут предло-
предложены какие-нибудь выражения, содержащие эти дифференциалы, можно
легко узнать, будут ли они однородны или нет. При этом нужно будет
обращать внимание только на дифференциалы, конечные же коли-
количества можно опускать, так как они не нарушают однородности,
а вместо дифференциалов второго и более высоких порядков нужно
написать однородные с ними степени dx. Если мы получим и там
и здесь то же число измерений, то выражения будут однородны.
136. Так, выражения Pd-y~ и Qdy d3y окажутся однородными. Ибо
d2y2 обозначает квадрат количества d~y, а так как d2y однороден с dx2,
то d2y" однородно с dx*. Далее, так как dy однороден с dx и d3y с dx3,
то произведение dyd3y однородно с dx*. Из этого следует, что выра-
выражения Pd2y" и Qdy d3y однородны между собой, так что они имеют
конечное отношение друг к другу. Таким же образом мы придём
к заключению, что выражения
Pdstf Qd*y
d1
dx d'y dy1
НО ГЛ. IV. О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ЛЮБОГО ПОРЯДКА
однородны; действительно, подставив вместо dy, d2y, dsy и d5y одно-
однородные с ними степени dx, т. е. dx, dx1, dx3 и dxb, мы получим
выражения Pdx3 и Qdx3, которые будут однородны между собой.
137. Если жо после выполнения такого приведения предложенные
выражения не будут содержать равных степеней dx, то они не будут
однородны и потому не будут иметь конечного отношения друг к другу.
Одно из них будет либо бесконечно больше, либо бесконечно меньше
другого, так что одно будет исчезать относительно другого. Так,
Pd3ii Qd2)/a
d а- к ->d" ¦ будет иметь бесконечно большое отношение; действи-
действительно, первое приводится к Pdx, а второе к Qdx3, так что второе
исчезает по сравнению с первым. Поэтому, если в некотором вычислении
встретится сумма двух таких выражений
Pd*y_ QrfV
dx-
dx- dy '
то второй член по сравнению с первым можно безопасно отбросить.
и удершать в вычислении только первый член 2У ; действительно^
существует отношение совершенного равенства между выражениями
Pdsy , Qjy Pdsy
и
d.c* ^ dy dx1- '
ибо знаменатель отношения равен
С помощью этого приёма дифференциальные выражения можно иногда
удивительно упростить.
138. В дифференциальном исчислении даются правила, с помощью
которых можно найти первый дифференциал любого предложенного
количества, а так как вторые дифференциалы находятся из первых,
третьи теми же действиями находятся из вторых и т. д. последующие
из предыдущих, то дифференциальное исчисление содержит метод
нахождения всех дифференциалов любого порядка. От слова «дифферен-
«дифференциал», которое обозначает бесконечно малую разность, производятся
другие наименования, принятые в употреблении. Так, имеется глагол
«дифференцировать», который означает «находить дифференциал», гово-
говорят, что количество «дифференцируется», когда находится его диф-
дифференциал. Слово же «дифференцирование» означает действие, с помощью
которого находятся дифференциалы. Поэтому дифференциальное исчис-
исчисление называется также методом дифференцирования, ибо оно содержит
способ находить дифференциалы.
139. Как в дифференциальном исчислении для каждого количества
находится его дифференциал, так, в свою очередь, имеется вид исчис-
исчисления для нахождения того количества, для которого предложен
дифференциал. Оно называется интегральным исчислением. Причина
такого наименования состоит в том, что если дифференциал можно
рассматривать как бесконечно малую часть количества, на которую
оно возрастает, то само это количество но отношению к своей части
может рассматриваться как целое (infcegram), почему оно и называется
его интегралом. Так, если dy есть дифференциал количества у, то,
в свою очередь, у будет интегралом количества dy, и так как d3y есть
дифференциал от dy, то dy будет интегралом от d'*y. Подобным образом
ГЛ. IV. О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ЛЮБОГО ПОРЯДКА Щ
d2y будет интегралом от d3y и d3y интегралом от d*y и т. д. Таким
образом, каждое дифференцирование, если его рассматривать обращение,
даст пример интегрирования.
140. Происхождение и природа интегралов, так же как дифферен-
дифференциалов, лучше всего могут быть уяснены па основе учения о конеч-
конечных разностях. Действительно, после того как было показано, каким
образом нужно находить разность каждого количества, мы, идя
в обратном направлении, показали также, каким образом, если будет
предложена разность, можно найти то количество, разностью которого
она является; это количество по отношению к его разности мы назвали
её суммой. И как при переходе к бесконечно малым разности обра-
обращаются в дифференциалы, так количества, названные там суммами,
получают теперь наименование интегралов, и потому нередко и инте-
интегралы называют суммами. Англичане, которые называют дифферен-
дифференциалы флюксиями, называют интегралы текущими количествами
(quantita tesfluentes), и согласно их словоупотреблению найти флюенту
данной флюксии означает те же самое, что мы выражаем словами:
найти интеграл данного дифференциала.
141. Как дифференциалы мы обозначаем символом d, так для обозна-
обозначения интегралов мы пользуемся знаком J , который, будучи поставлен
перед дифференциальным количеством, обозначает то количество, диф-
дифференциалом которого является первое количество. Так, если дифферен-
дифференциал у будет pdx, т. е. dy = pdx, то у будет интегралом количества
pdx, что записывается так: у = \ pdx, ибо y—\dy. Итак, интеграл
количества pdx, который обозначается через j pdx, есть количество,
дифференциал которого равен pdx. Подобным образом, если d3y= qdz*,
то, так как dp = qdx, интеграл количества d~y, т. е. dy, равен pdx
и вследствие р = J q dx будет dy — dx \ q dx и поэтому y= I dx J qdx.
Если, далее, dq — rdx, то будет q = \ rdx и dp = dx j rdx; таким обра-
образом, если скова употребить знак J, станет р= I dx j г dx, далее,
dу = dx I dx I r dx и у — I dx I dx J rdx.
142. Так как дифференциал ay есть бесконечное малое количество,
а его интеграл у — количество конечное и таким же образом второй
дифференциал d'zy бесконечно меньше, чем его интеграл dy, то
очевидно, что дифференциалы исчезают по сравнению со своими инте-
интегралами. Чтобы лучше оттенить это обстоятельство, бесконечно малые
количества подразделяют на порядки. Бесконечно малыми первого
порядка называют те, к числу которых относятся первые дифферен-
дифференциалы dx и d-g1); бесконечно малые второго порядка включают диф-
дифференциалы второго порядка; последние же однородны с dx2; подобным
образом бесконечно малые, однородные с dx3, называются бесконечно
малыми третьего порядка; к ним, следовательно, относятся все третьи
дифференциалы и т. д. Таким образом, как бесконечно малые первого
порядка исчезают по сравнению с конечными количествами, так бес-
бесконечно малые второго порядка исчезают по сравнению с бесконечно
малыми первого порядка и вообще бесконечно малые любого более
высокого порядка исчезают по сравнению с бесконечно малыми низ-
низшего порядка.
*) Как ясно из заключительной части фразы, Эйлер хочет здесь сказать, что
бесконечно малыми первого порядка называются те бесконечно малые количества,
которые однородны с dx и dy.
112 ГЛ. IV. О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ЛЮБОГО ПОРЯДКА
143. Теперь, когда бесконечно малые подразделены на порядки,
мы можем сказать, что дифференциал конечного количества есть бес-
бесконечно малое количество первого порядка, дифференциал бесконечно
малого первого порядка есть бесконечно малое второго порядка и т. д.
Очевидно, что и обратно, интеграл бесконечно малого первого порядка
есть конечное количество, интеграл бесконечно малого второго порядка
есть бесконечно малое первого порядка и т. д. Если предложенный
дифференциал будет бесконечно малым порядка п, то его интеграл
будет бесконечно малым порядка п — 1, так что если при дифферен-
дифференцировании порядок бесконечно малых повышается, то при интегриро-
интегрировании мы переходим к более низким порядкам до тех пор, пока мы
не придём к самим конечным количествам. Если же мы захотим снова
интегрировать конечные количества, то согласно тому же закону мы
придём к бесконечно большим количествам; интегрируя последние,
придём к количествам, в бесконечное число раз большим, чем преж-
прежние, и, продолжая поступать таким образом, мы будем получать
порядки бесконечных количеств, из которых каждое в бесконечное
число раз превосходит предшествующее.
144. Нам остаётся ещё сказать в этой главе о принятых нами
обозначениях, чтобы не оставалось места ни для каких недоразуме-
недоразумений. Прежде всего, знак дифференциала d относится только к непо-
непосредственно за ним следующей букве; так, dx у должно обозначать
не дифференциал произведения ху, по дифференциал количества х,
умноженный на количество у. А для того, чтобы устранить всякие
сомнения, принято писать количество у перед знаком d, так что через
ydx обозначается произведение у на dx. Но если у есть количество,
перед которым стоит знак радикала или знак логарифма, тогда оно
ставится обычно после дифференциала. Так, dxy а2 — х1 обозначает
произведение конечного количества \/ai—xi на дифференциал dx и
подобным образом dx ](l+x) есть произведение логарифма количества
1+ж на dx. На том же основании d2y у х выражает произведение вто-
второго дифференциала diy на конечное количество \f х.
145. Итак, знак d относится только к непосредственно следующей
букве; он не относится даже к показателю степени, если таковой при
букве имеется. Так, dxi обозначает не дифференциал количества х'\
а квадрат дифференциала количества х, так что показатель степени 2
нужно отнести не к ж, а к dx. Можно было бы также писать dxdx,
подобно тому как произведение дифференциалов dx и dy мы пишем
в виде dxdy\ однако первый способ записи dx* более употребителен, так
как он короче. Особенно неудобно было бы многократно повторять dx
при обозначениях высших степеней dx. Поэтому куб дифференциала dx
обозначается через dxs и для дифференциалов высшего порядка соблю-
соблюдается тот же способ. Так, d2yl обозначает четвёртую степень дифферен-
дифференциала второго порядка d2y, a dsy3 \/x обозначает, что квадрат дифферен-
дифференциала третьего порядка количества у умножается на ]/ х; если же его
нужно было бы помножить на рациональное количество х, запись
имела бы вид xd3y'i.
146. Если же мы хотим, чтобы знак d относился более чем к одной
следующей букве, то нужно ввести для этого особое обозначение.
В этом случае мы пользуемся по преимуществу скобками, в которые
заключается то количество, дифференциал которого нужно обозначить.
Так, d (x"' + г/') .обозначает дифференциал количества хг-\-уг. Правда,
ГЛ. IV. О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ЛЮБОГО ПОРЯДКА Ц;{
если мы хотим обозначить дифференциал степени такого количества,
мы вряд ли сможем избежать двусмысленности; действительно, если
мы напишем d(x"' + y3)'i, то это можно также понимать как квадрат-
количества d(x'1 + y2). Мы можем, однако, в этом случае привлечь
на помощь точку, так чтобы d- [x1 -f г/"J обозначало дифференциал коли-
количества (х2 + г/!J. Если же точку опустить, оно будет обозначать квадрат
количества d (x2 + у2J. Таким образом, с помощью точки можно удобно
указать, что знак d относится ко всему количеству, следующему за
этой точкой. Так d-xdy будет выражать дифференциал количества
х dy, a d3 ¦ х dy \f a'- -j- х~ — дифференциал третьего порядка выражения
х dy*\/~а*-\- х'\ представляющего произведение конечных количеств х
и |/а2+а;- на дифференциал dy.
147. Тогда как знак дифференцирования d относится только к коли-
количеству, непосредственно за ним следующему, если только между ними не
стоит точка, подчиняющая этому знаку всё следующее выра?кение, — знак
интеграла, напротив, всегда охватывает целиком всё выражение, перед
которым он поставлен. Так. Jydx(a'2—аг)" обозначает то количестве,
дифференциал которого есть ydx(a* — x*)". а выражение Jxdx J* dx 1 x
обозначает количество, дифференциал которого ость xdxj dxlx.
Значит, если мы захотим выразить произведение двух интегралов,
например интегралов /ydx и \ zdx, то мы не должны будем написать
его так: J* ydx j zdx ибо это можно будет понять как интеграл коли-
количества у dx Jz dx. Для устранения двусмысленности и здесь принято
пользоваться точкой, так что J* ydx ¦ j z dx обозначает произведение
шнегралов j ydx n J zdx.
148. Анализ бесконечно малых занимается разысканием как диф-
дифференциалов, так и интегралов, и потому он разделяется па две части,
из которых одна называется дифференциальным исчислением, другая
же —интегральным исчислением. В дифференциальном исчислении изла-
излагаются правила, по которым находятся дифференциалы любых коли-
количеств; в интегральном же исчислении указывается путь для разыска-
разыскания интегралов предложенных дифференциалов. И в том и в другом
исчислении указываются вместе с тем те очень важные применения,
которые они имеют как в самом анализе, так и в высшей геометрии.
Вот почему эта часть анализа настолько уже разрослась, что в одном
томе умеренных размеров она совершенно не может быть умещена.
В особенности в интегральном исчислении, что ни день, открываются
новые приёмы интегрирования и новые приложения к решению раз-
различного рода задач. Вследствие этих новых открытий, которые следуют
непрерывно друг за другом, интегральное исчисление никогда нельзя
исчерпать, а тем более в совершенстве изложить. Я постараюсь, однако,
изложить в этой книге всё, что до настоящего времени было открыто,
или по крайней мере объяснить те методы, с помощью которых всё
это легко можно вывести.
149. Часто анализ бесконечно малых подразделяется на нескольгм
частей; кроме дифференциального и интегрального исчисления принято
особо рассматривать дифференцио-дифференциальное и экспоненциаль-
экспоненциальное исчисление. В дифференцио-дифференциальном исчислении изла-
излагается обычно метод разыскания дифференциалов второго и высшиу
порядков. По так как .я намереваюсь излагать способ пахождоли-т
дифференциация! любого порядка п самом дифференциальном исчислении,
S Л. Ой.че:)
114 ГЛ. IV. О ПРИРОДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ЛЮБОГО ПОРЯДКА
то мы откажемся от этого подразделения, которое, повидимому, сделано
было скорее из желания придумать что-нибудь, чем в интересах самого
дела. Что же касается экспоненциального исчисления, то знаменитый
Иван Бернулли, которому мы навеки обязаны благодарностью за бес-
бесчисленное множество важнейших открытий в анализе бесконечно малых,
распространил в нём методы дифференцирования и интегрирования на
показательные количества. Но так как я решил приспособить как
дифференциальное, так и интегральное исчисление к количествам
всякого рода, как алгебраическим, так и трансцендентным, то выделять
отсюда особую часть было бы излишним и не соответствующим
поставленной цели.
160. В этой книге я решил рассмотреть дифференциальное исчис-
исчисление, и я намереваюсь изложить способ, с помощью которого можно
с удобством находить не только первые дифференциалы, но и вторые
и более высоких порядков. Сперва я буду рассматривать алгебраичес»
кие количества; начну я с функций одного переменного, затем перейду
к функциям многих переменных и, наконец, к функциям, которые
задаются с помощью уравнений. Потом я распространю нахождение диф-
дифференциалов на те неалгебраические количества, с которыми мы можем
ознакомиться без помощи интегрального исчисления; таковы лагарифмы
и показательные количества, а затем также дуги круга и, обратно,
синусы и тангенсы дуг круга. Наконец, я начну дифференцировать коли-
количества, составленные из вышеупомянутых каким-либо образом, и на
этом будет закончена первая часть дифференциального исчисления,
посвященная методам дифференцирования.
151. Вторая часть посвящена изложению применений дифферен-
дифференциального исчисления к анализу и к высшей геометрии. Общую алгебру
дифференциальное исчисление обогащает многими удобными средствами
для нахождения корней уравнений, для изучения и суммирования
рядов, для определения значений выражений, которые в некоторых
случаях кажутся неопределёнными, и для других целей. Высшая
геометрия также многое приобретает благодаря дифференциальному
исчислению; с его помощью можно определять с изумительной лёг-
лёгкостью касательные кривых линий и их кривизну и решать многие
другие вопросы, как, например, задачу о лучах, отражённых от кривых
линий или преломлённых ими. Хотя этим можно было бы заполнить
обширнейший трактат, но я постараюсь, несколько это возможно, изло-
изложить всё кратко и ясно.
ГЛАВА V
О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ОДНО ПЕРЕМЕННОЕ
152. Так как дифференциал переменного количества х равен dr.
то, переходя к ближайшему значению х, будем иметь х1 = ж + dx.
Поэтому если у есть какая-либо функция х, то если в ней вместо х
положить x-\-dx, она перейдёт в у1 и разность у1— у даст дифферен-
дифференциал у. Следовательно, если мы положим у = хп, то будет
у1 = (х -- dx)" -= хп ¦+ пхп~Чх -;- -Ц-^- хп~Чх* + и т. д.
и, следовательно,
dy = yl—y = nxn~1dx-ir "~** x"~-dx2 + и т. д.
В этом выражении второй член и все следующие исчезают по сравне-
сравнению с первым, следовательно, дифференциал от хп будет nxn~1dx. т. е.
Отсюда, если а есть число, т. о. постоянное количество, то будем
иметь daxn = naxn~*dx. Итак, дифференциал какой-нибудь степени х
находится умножением её на показатель степени, делением на х
и умножением получающегося выражения на dx. Это правило легко удер-
удержать в памяти.
153. Зная первый дифференциал х", мы легко найдём из него второй
дифференциал; при этом здесь, как всегда, мы будем считать диф-
дифференциал dx постоянным. Так как в дифференциале пхп~г4х множитель
ndx является постоянным, то нужно взять дифференциал множителя
ж"-1, который равен (л — 1) хп~Чх. Умножая это на ndx, мы получим
второй дифференциал
сР • х" = п(п — 1)х"-Чх\
Подобным образом, если дифференциал хп~'\ который равен (га —2) х"~Чхг
мы помножим на п (п — 1) xn~2dx2, то получим третий дифференциал
d* ¦ хп = п (п — 1) (га — 2) х"~Чх\
Далее, четвёртый дифференциал будет
d* ¦ х" = га (га - 1) (га - 2) (га - 3) хп-Чх*
116 ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
и пятый дифференциал
f/5 • хп = п (и - 1) (п - 2) {п - 3) (и - 4) xn~bdx\
Отсюда очень легко усматривается вид следующих дифференциалов.
154. Всякий раз, как п есть целое положительное число, мы при-
приходим в конце концов к исчезающим дифференциалам; это значит, что
они в том смысле равны нулю, что исчезают по сравнению со всеми
степенями dx. Приведём здесь простейшие случаи
d ¦ х= dx, d2 • х — 0, d3 ¦ х — 0 и т. д.,
d • xi = 2xdx, d2-x2 = 2dx', d3-x2 = 0, d4 ¦ z2 = 0 и т. д.,
d ¦ х* = ixsdx, d" ¦ xl = \2хЧх\ d3 ¦ ж4 = 24z dx\ d4 • xi = 24 dx\
rP-a;4=0 и т. д..
di-x' = 120xdxi, d5-a;6=120dx5, cZ6-x5 = 0 и т. д.
Таким образом, ясно, что если п есть целое положительное число, то
дифференциал порядка п степени хп есть постоянное количество,
равное 1-2-3. . .п dxn, дифференциалы же всех более высоких поряд-
порядков равны нулю.
155. Если п есть отрицательное целое число, то можно взять диф-
, „ill
ференциалы отрицательных степеней х : —, -а- , —3 и т. д., так как
— = аг1, -2= х'2 и вообще -jh = x~w. Таким образом, если в предшест-
предшествующей формуле положить п = —т, то первый дифференциал будет
— mdx ,. Tv m(mJrl)dxi „
равен —sm~» второй дифференциал равен --—-^~ , третий диф-
дифференциал равен 1~~ъ—'— и т. д.; надлежит заметить
в первую очередь следующие простейшие случаи:
d- —= ¦- , d-¦ —_ — —3— , d?J¦ — — т— и т. д.,
, I _ -2dx V1 I _6 dx* ,3 1 _ —Vtdx*
х~*~' ~~х* ' х1- х*~ ' х-= ~%ь И Т' ^"
,1 -Зйж 7> 1 12 dx2 ,, 1 —bOdx3
х3— ж4 ' г:! хь ' х.3~ хв Д-'
,1 —'id* 7, 1 20 da:3 ., 1 —120 da:3
d- —.= —г— , d- —, = —j— , a • -j=-- 7 и т. д.,
г 7
X1 Ж7
, 1 — 5 dx ,, 1 30 dx3 7a 1 —нищ-
d • — = s— , d" • — = — , d3 • — = И т. д.
Хь Хь X" X1 . X" X"
И Т. Д.
156. Полагая, далее, вместо п дробные числа, мы получим диф-
дифференциалы иррациональных формул. Действительно, если п = —,
то первый дифференциал выражения xv, т. с. \/~х*, будет равен
ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 117
второй дифференциал равен
Отсюда
, / — dx ,, /— —dx1 .3 3/ —
4 у х-' ] (ix )/ x3 64л:2 (/ о:3
Достаточно нсдшого вглядеться в ати выражения, чтобы легко нау-
научиться находить дефференциалы такого рода и без предварительного
представления корня в виде степени.
157. Если р. равно не 1, а какому-либо другому числу, положитель-
положительному или отрицательному, то дифференциалы находятся с той же-
лёгкостью. А так как дифференциалы второго и высших порядков
производятся из первых дифференциалов по тому же закону, по ко-
которому последние производятся из самих степеней, то мы приведём
здесь в качестве простейших примеров лишь первые дифференциалы:
;, d- xs ]/rx = ~ x2dx\/ хн т. д.,
х. d-x~\f x—~xdx\/x
, L — dx ,1 - Ых , l — '>dx
d- — - = —jzr , d¦ —-¦= = — , d¦ — = -=¦ и т. д.,
Ух ЧхУ х xVх 2х*-Ух -хгУх 2х3 |/ х
d¦ у х2 — — -^~ , d-x у х = -*- dxy x, d-xprx~ = -^-dxprx\
d-x1^ x = ~xdx.y ¦' х, d ¦ x'\f x2 = ~>t x dx]/ x2 и т. д.,
, 1 _ --dr j I _ - 2 dx , 1 -k dx
, 1 _ —~>dr , t —Idx
158. Теперь можно уже находить дифференциалы всех алгебраи-
алгебраических рациональных функций, так как отдельные их члены суть
степени х, а их мы умоем дифференцировать. Действительно, так как
количество
P + Q + r+s+nv. Д.,
если положить x-\-dx вместо х. переходит в
р + dp + <7 + dq -f- г 4- dr -f s + ds-f- и т. д.,
то ого дифференциал будет равен
dp + dq-}-dr-\-ds-\-m т. д.
Поэтому, если мы умоем, определить дифференциалы количеств р, д,
г, s, то тем самым мы знаем и дифференциал их суммы. А так как
дифференциал количества, кратного р, есть такое же кратное коли-
количества dp, т. е. dap = adp, то дифференциал количества ap-\-bq-\- сг
равен adp + bdq-{- с dr. Так как, наконец, дифференциал постоянного
118 ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
количества равен нулю, то дифференциал выражения ap + bq-j-cr
равен adp 4- bdq + cdr.
159. Так как отдельные члены целых рациональных функций
являются либо постоянными, либо степенями х, то дифференцирова-
дифференцирование целой рациональной функции легко выполняется по данным
выше правилам. Так, будем иметь:
d (а + х) = dx, d (a 4- bx) = bdx.
d(a + x2) = 2xdx, d (a2 — х2) = — 2xdx,
d(a-\-bx-{- ex2) = bdx + 2cxdx,
d{a + bx + ex3 -;- ex3) =bdx + lex dx + 3ex2dx,
d(a + bx + ex* + ex3 + /ж4) = b dx+2cx dx + 3ex2dx + ifxsdx.
Если же показатели степени будут неопределёнными, то будем иметь
d(l — xn)= —nxn-ldx, dil + x^^mx^'dx,
d (a + bxm + cxn) = mbxm-4x + ncxn~l dx.
160. Так как целые рациональные функции различаются по сте-
степеням сообразно наибольшей степени х, то ясно, что если мы будем
брать последовательные дифференциалы таких функций, то в конце
концов они станут постоянными, а затем обратятся в нуль, если,
конечно, дифференциал dx считается постоянным. Так, для функции
первой степени а-\-Ьх первый дифференциал bdx является постоянным,
а второй и следующие—нулями. Если имеем функцию второй степе-
степени а + Ъх + схг — у, то будет
d2y = 2cdx2, d3y=0.
Подобным образом, если взять функцию третьей степени
a -f- bx + ex2 + ex3 = у,
то будем иметь
2сх dx + 3ex2dx, d2y — 2с dx2 -
Вообще, если какая-либо функция имеет степень п, то её дифферен-
дифференциал порядка п будет постоянным, а все следующие нулями.
161. Дифференцирование не встретит затруднений и в том случае,
если среди степеней х, составляющих такого рода функцию, встретят-
встретятся такие, у которых показатели степени являются дробными или от-
отрицательными числами. Так,
I. Если
то будет
. bdx cdx
dy=гуъ*~& '
II. Если
у = -^г= 4- Ь + с |/ х — еж.
то будет
, —adx.cdx 7
ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Ц9
,2 За dx1 с dx2
III. Если
то будет
, -'Ibdx , kcdx Ijdx
ft j t _____ I | '
¦ixy x1 3xJy x ¦'-
H
.., 10J) dx2 28c dx2 , (if dx-
J 9x2f^ 9xsfrx xi '
Такого рода примеры очень легко решаются по данным выше правилам.
162. Если количество, подлежащее дифференцированию, будет
степенью такой функции, дифференциал которой мы умеем находить,
то предшествующие правила достаточны для нахождения её первого
дифференциала. Действительно, пусть р есть какая-либо функция х,
дифференциал которой dp нам известен; тогда первый дифференциал
степени р" будет равен np"'1dp. Этим способом можно решить следу-
следующие примеры:
I. Если у—{а-\-х)п, то будет
II. Если у= (а2 — х°У, то будет
dy = — ix (a2 — х-) dx.
III. Если у= 3 3, т. е. у — (а2-\-х-)~*, то будет
, _ -2xdx
IV. Если у = у а -(- Ъх -\- сх', то будет
, bdx-+1cxdr
2 У а -\- Ьх -\- схг
X. Если у= |/(я4 — ж4K, т. е. у = (а1 — х*K, то будет
о!м= х (а* — х) ах= -—— .
1 --
VI. Если ?/= -у____- , т. е. г/=A — х2) ^, то будет
VII. Если у=у а-\-У Ьх-\-х , то будет
2/ =
120 ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
VIII. Если у--= —=^— , то вследствие
х -)- у а- — х-
,, г — -. — х dx
/I 1/ i-J - _ *Y» -
It у Cl " Лу ~ ———
иудет
, — dx ¦ j- xdx : у' а'г — х- __ xrfr — dx V a~s - - хг
(х ~- У а* - х2J (-2 -I- Y'aF^-x-Y Уа2 — х-
лли
Bх2-а-K у а--х1
IX. Если у 1/ ( 1- —:-f 3|/"A — Ж2)Л , тп полоуким
" ч у х У
=Р и
вследствие
y=yr(i —
будет
'iY'i-p + 'i'
Но по предыдущему
, — dx , — fix dx
1х\' х 3 | 1 — V
Подставив эти значения, будем иметь
, 'idx:2xYx — 4xdx : frl - х2
Подобным же образом, подставляя отдельные буквы вместо более
или менее сложных выражений, мы легко найдём дифференциалы всех
функций такого рода.
163. Если подлежащее дифференцированию количество будет про-
произведением двух или большего числа функций, дифференциалы кото-
которых известны, то его дифференциал очень легко найти следующим
образом. Пусть р и q суть функции х, дифференциалы которых dp и dq
уже известны; так как после подстановки х + dx вместо х р переходит
в p-^-dp, a q—в q~\-dq, то произведение pq преобразуется в
(р + dp) (q -f dq) = pq + pdq + qdp + dp dq.
Значит, дифференциал произведения pq будет равен pdq-\- qdp-\- dpdq;
так как здесь pdq и qdp суть бесконечно малые первого порядка,
a dpdq—бесконечно малое второго порядка, то последний член исче-
исчезает, п мы будем, следовательно, иметь
d ¦ pq— pdq+ qdp.
ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 121
Итак, дифференциал произведения pq состоит из двух членов, которые
мы получим, если каждый сомножитель умножить на дифференциал
другого. Отсюда легко вывести правило дифференцирования произведе-
произведения pqr трёх сомножителей. Действительно, если мы положим qr=zr
то будет pqr=pz и d ¦ pqr = pdz-\-zdp. Но вследствие z — qr будет
dz — qdr -f-г dq. Подставив эти значения вместо z и dz, будем иметь
d ¦ pqr = pq dr + prdq + qr dp.
Подобным образом, если подлежащее; дифференцированию количество
имеет четыре сомножителя, мы будем иметь
d ¦ pqrs = pqr ds + pqs dr -f- prs dq 4- qrs dp;
отсюда каждый легко усмотрит правила дифференцирования для слу-
случая большего числа сомножителей.
J. Таким образом, если у = (а-\-х)(Ь — х), то будем иметь
dy = — dx {а + х) + dx (b — х) = — a dx -f- b dx — 2х dx.
Этот дифференциал легко найти также с помощью разложения предло-
предложенного количества. Действительно, тогда получаем у = ab — ах-\-Ьх — х"
и, следовательно, с помощью вышеизложенных правил найдём
dy= — a dx -f- b dx — 2x dx.
II. Если у — — \/~а2 — х'-, то положим
-7 = p и |/*я2 — x% — q.
Так как
то будет
dp= ¦—— и dq — r
= pdq+ qdp=> -==J^=-~]/ a" - x\
у a2— x1 x
После приведения к общему знаменателю это даст
— x2dx — a2dx -'- x2dx — a 2dx
x2y a- — х- х2уа*~х~-
Значит, искомый дифференциал будет
j — a2dx
У~ х2-/а*~х2 '
х1
III. Если у — - , то положим
Э Va' + x*
1
х- — р и -—г = о;
так как
dp = 2.x dx и a<7 = -3-,
то будет
, , , — 2а;5 dx , 2z rfa; 2а4ж dx
pdq + qdp= ^ +__¦:*, ?-
122 ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Следовательно, искомый дифференциал будет
, 2aixdx
dy = ————-== .
IV. Если у= ^--= , то положим
Так как
dp = dx
я
, — dx — х dx : У1 -f x1 — dx (x + У1 -г хг) — dx
(х У\ ~х2)'~ (х-'г У \. +х')'~ У1-1- х- (х +У1 -f-x2) У1-
то будет
— xdx dx dx(yi+x2 — x)
, 7
pdq ; qdp=
следовательно, искомый дифференциал будет
dy = х. ~ — .
(x-f У \ + х*)У 1 +х'г
Если умножить числитель и знаменатель этой дроби па ]/1 + х* — х,
получится
dy = . . — = — 2.x dx.
УI - x'z /l -)- ж3
Тот же дифференциал мои;но проще найти другим способом: так как
х
то, умножая числитель и знаменатель на у 1 + х-—х, мы получим
у ~х}/ 1 + х° — х- = )/"х2 -\-х* — х'.
Дифферопцкал этого выражения по первому правилу есть
dy = *J±t^J?.~2xdx = d*+^x _2xdx.
Ух-Тх* Ух + х*
V. Если 2/ = (a + x) (b— x) (x — с), то будет
dy= (a + x) (b — x) dx — (a + x) (x — c)dx + (b — x) (x — с) йж.
VI. Если у — x {a* + x2) ]/ a2 — x2, то, так как здесь три сомножи-
сомножителя, найдём
dy = dx (a2 + х2) У а*-х- -f 2x° dx \/'а*-х* -
у а* — х-
4- а3х- — ix*)
164. Хотя дробь можно представить как произведение, однако для
дифференцирования дроби более удобно пользоваться особым правилом.
ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 12.°,
Пусть предложена дробь — и нужно найти её дифференциал. При под-
подстановке x-\-dx вместо х эта дробь переходит в
p p.dq dp
после вычитания самой дроби ~ остаётся её дифференциал
д Р _ d? _ Pj-'l
' ~ч ч <f'
dp d'i ,_
так как член , исчезает; следовательно, оудем иметь
,
q-
-откуда получается следующее правило для дифференцирования какой-
либо дроби:
Из дифференциала числителя, умноженного на знаменатель, нужно
вычесть дифференциал знаменателя, помноженный на числитель, и оста-
остаток разделить на квадрат онаменателя; частное будет искомым диф-
дифференциалом дроби.
Применение этого правила поленится следующими примерами:
I. Если у — ,, то согласно этому правилу
, _ (a- J- х-) dx - 2хг dx (а3 - х2) dx
,т -г. V"<** +х~
U. Если ?/ = —; — , то мы находим
J о- — х-
, (a--x-)xdx: Уа~ + х* Ч- 1х dx Va-'
dy
и после упрощений
, (За2 + х1) х dx
dy —
(а2-г2J Уа? + х1~
Часто лучше бывает пользоваться тем правилом, которое вытекает из
первой формулы
, р dp p dq
Ч ~~ Ч Чг '
и согласно которому дифференциал дроби находится следующим обра-
образом: дифференциал числителя делится на знаменатель и из этого
вычитается дифференциал знаменателя, помноженный на числитель
и разделённый на квадрат знаменателя. Так, например,
III. ЕСЛИ у— ~* 1> Т0
-Ixdx (я2 --хг) Bагх dx + ix3 dx)
!) Эйлер разлагает выражение , в ряд по степеням dq, ограничиваясь
двумя первыми членами. При этом в окончательном результате оказывается опущен-
р dq1 dp dq
•ным член второго порядка -—~, тогда'как член того же порядка — сохра-
сохраняется. Поскольку он всё равно должен в дальнейшем быть отброшенным, эта
непоследовательность не ведёт к ошибке.
124 ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
После приведения к общему знаменателю мы получим
, — 2xdxBai + 2а"-х- — .г4)
dy = гтт—1. * i 442 : •
165. Этого уже достаточно для разыскания дифференциала любой
рациональной функции х. Для случая, когда эта функция целая, спо-
способ дифференцирования уже был изложен выше. Пусть теперь пред-
предложенная функция является дробной; она всегда может быть приве-
приведена к виду
" " ' ' ~ "+ и т. д.
a -\- jlr -j- -(х- 4 Их* -\- гя4 + $хь -}- и т. д.
Положим числитель равным /;, а знаменатель равным д. так что
у = — . Тогда будем иметь
Но так как
p^A + Bx + Cx' + Dx^-j-Ex'-f и т. д.
и
q — а -(- fix 4- ух2 -f lx3 -(- sx* + и т. д.,
то
d Bd\2Cd + 3D2dx + /lEx3(lx г и т. д.
cfy =$ dx + 2уж с?х + Зох2 da; + ^га;3 dx + и т. д.
Отсюда, выполнив умножение, получим:
2aCxdx-\-'Aa.Dx2 dx + izEx" dx-\- и т. д. -j-
+ 2$Cxidx-r[ $Dxzdx+ и т. д. +
гdx + 2-(Сх3dx + и т. д. +oBx3dx+ и т. д..
/> dq = рл dx + $Bx dx + $Cx2 dx + $Dxs dx ~- и т. д. +
+ 2уЛх^ + 2у7?а;2^ + 2у<:а;3с?х+ и т. д. +
+ ЗоЛх2 dx -j- 'ЛЬВх3 dx + и т. д. +-4еЛ:г3 Лс 4- и т. д.
Итак, искомый дифференциал будет иметь такой вид:
> з-4
>
з-4 (/х и т. д.
-t-o/?l -| 2о.С 1 . -гИ [Х <U -28В (Х — 3sB I
Vox' ^ ic il % \ I 1
(^ + ?-с + Тх2 -- йх* + вх* + Zxb + и т. д.J
Это выражение очень удобно для быстрого нахождения дифференциала
любой рациональной функции. Каким образом числитель дифференциала
составлен из коэффициентов числителя и знаменателя предложенной
дроби—это тотчас же становится понятным из рассмотрения формулы-
Знаменатель же дифференциала есть квадрат знаменателя предложен-
предложенной функции.
ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 125
166; Если числитель или знаменатель предложенной дроби или
оба они состоят из множителей, то после выполнения умножения дробь
примет тот вид, который мы только что дифференцировали; однако
и этих случах лучше пользоваться особым правилом.
Пусть предложенная дробь есть у ~ рг . Положим числитель рг
равным Р, тогда
dP — р dr •' г dp.
Но так как у . _ то
a dP - Р dq
dy ~ ? •
Если сюда подставить вместо Р и dP их выражения, то получим:
I. Если у -г-. EL } хо его дифферепциал
, _pq dr + qrdp — pr dq
ay — ^
Если у~~то. положив q* = Q, будем иметь
Поэтому:
II. Если у ¦-- —_, то будет
, __ qs dp - pqjls — ps dq
йУ
Если у = ?~ , то положим рг = Р и qs—Q, так что получим у = -
м
, QdP -P dQ
dv = .
А так как
dP = p dr + r dp
и
dQ = q ds -\- s dq,
¦то получается следующая формула дифференцирования:
III. Если у = ^-, то будет
, pqs dr '¦- qr.i dp — pqr ds — prs dq
dy =¦'- ~:^._
или
, r dp pdr prdq prds
пУ ~~ qs + qs q*s ?.si
Подобным образом, если числитель и знаменатель предложиннон
дроби имеют несколько сомножителей, то дифференциалы будут найдены
тем же способом, и ото не потребует более пространных выкладок.
Поэтому я опускаю относящиеся сюда примеры, тем более, что вскоре
126 ГЛ- V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
будет изложен общий способ, охватывающий все эти частные методы,
дифференцирования.
167. Бывают, однако, случаи, когда дифференциалы произведений,
и дробей можно выразить проще, чем с помощью изложенных здесь,
общих правил. Это случается тогда, когда множители, составляющие-
либо самую функцию, либо её числитель и знаменатель, являются,
степенями.
Положим, что подлежащая дифференцированию функция есть.
y = pmq"; чтобы найти её дифференциал, положим рт=Р и qn = Q, так.
что
y = PQ и dy = PdQ + QdP.
Но так как
dP = mp'"'1dp и dQ = nqnldq,
то после подстановки этих значений получаем
dy = npmqn~l dq -f mpm xqn dp = pm~'qn-1 (np dq -'- nxq dp),
откуда вытекает следующее правило:
I. Если y = pmqn> то будет
dy = //""У г (np dq + mq dp).
Подобным образом мы можем найти дифференциал произведения трёх
сомножителей; он выразится следующим образом:
II. Если у = pmq"rk, то будет
dy = pm-iq"-~1r'-i (mqrdp-\-nprdq-\-kpq dr).
168. Если же будет предложена дробь, числитель или знаменатель
которой имеет множитель, представляющий собой степень, то также
можно установить частные правила.
гт .- рт
Пусть сперва предложенная дрооь есть у — -—', согласно правилу
дифференцирования дроби будем иметь
, mpm~lq dp — рт dq
dy -г .
Этот дифференциал удобнее выразить так:
от
р'"~г (mq dp — р dq)
I. Если у=.^—) то будет
Пусть теперь у — --а; согласно тому же правилу имеем
7 '/" dp — npqn~l dq
Если числитель и знаменатель этого выражения разделить на q"'1, то
будем иметь
Поэтому:
ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 127
II. Если у = -^ , то будет
ч
dy — 4dP~nPdll
Если же будет предложена дробь у = ^j , то получим
mp™-lgndp - npmqn-1 dq
что можно привести к виду
Поэтому:
III. Если у = тг , то будет
л __ pm-l{mqdp — npdg)
Наконец, если будет предложена дробь у= -,„ „, то по общему пра-
правилу дифференцирования дроби будем иметь
, pmqn dr - mpm-'gnr dp — пртду^г dq
Так как числитель и знаменатель этого выражения можно разделить
на рт'1дп Л, то
IV. Если « = •- — то будет
pq dr — mqr dp — npr dq
аУ = p^i^qn—! •
Если число сомножителей будет больше, то такие же правила, которые
было бы излишне формулировать словесно, можно найти без труда для
любого случая.
169. Правила дифференцирования, которые мы только что изло-
изложили, являются настолько общими, что нельзя придумать никакой
алгебраической функции от х, которая не могла бы дифференцироваться
с их помощью. Действительно, пусть функция от х будет рациональ-
рациональной, целой или дробной; для первого случая в § 159 был дан способ
дифференцирования таких функций, для второго же случая вопрос
был рассмотрен в § 155. Точно так те мы указали способ дифферен-
дифференцирования для случая, когда функция содержит множители. Далее
мы показали, как дифференцировать иррациональные количества
всякого рода. Каким бы образом они ни входили в предложенную
функцию (через сложение, через вычитание, через умножение или
через деление), всегда мы мо?кем свести дело к уже рассмотренным
случаям. Разумеется, это относится к явным функциям; что же
касается неявных функций, которые задаются уравнениями, то их
уместно будет рассмотреть ниже, после того как мы покажем, как
дифференцировать функции двух или большего числа переменных.
170. Если мы внимательно рассмотрим и сравним друг с другом
отдельные правила, изложенные здесь, то сможем свести их к одному
чрезвычайно общему правилу; строгое его доказательство можно будет
дать лишь позднее *); но и здесь нетрудно будет усмотреть, что оно
г) См. § 214.
128 ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
•справедливо. Каждая алгебраическая функция состоит из частей,
связанных друг с другом сложением, вычитанием, умножением или деле-
делением; эти части будут либо рациональными, либо иррациональными. Назо-
Назовём эти количества, составляющие какую-либо функцию, её частями:
Тогда предложенная функция сперва будет дифференцироваться
поочерёдно относительно каждой ее части так, как если бы лишь
одна эта часть была переменной, другие же все части — постоянными.
После этого отдельные дифференциалы, полученные из отдельных частей
описанным способом, нужно собрать в единую сумму, и таким образом
получится дифференциал предложенной функции.
С помощью этого правила можно дифференцировать решительно
все функции, по исключая, как ниже будет показано, и трансцен-
трансцендентных.
171. Для пояснения этого правила положим, что функция у
состоит из двух частей, связанных сложением или вычитанием, так что
Будем считать сперва только первую часть р переменной, а вторую q —
постоянной; тогда дифференциал будет равен dp; затем будем считать
только вторую часть j-q переменной, а первую р — постоянной; тогда
дифференциал будет равен -± dp. Из этих дифференциалов и соста-
составляется искомый дифференциал, так что
dy = dp ± dq
в полном согласии с тем, что было уже найдено выше. Отсюда тот-
тотчас же вытекает, что если функция будет состоять из нескольких
частей, друг с другом складываемых или вычитаемых, т. е.
У = Р i q ± г ± я,
то с помощью огого правила мы должны найти
dy — dp ± dq ± dr ± ds,
т. е. в точности то же самое, что давало полученное прежде правили.
172. Если части умножаются друг па друга, так что
У = Р<1>
то, считая переменной только часть р, мы, очевидно, получим диф-
дифференциал, равный q dp; если же считать переменной только часть ц,
то дифференциал будет равен р dq. Эти два дифференциала нужно
сложить друг с другом, тогда получится искомый дифференциал
dy = qdp-{- pdq,
что нам уже известно из предыдущего. Если умножением будут сг.я-
заны несколько частей, как, например,
у = pqrs,
то, считан последовательно каждый из них переменно!!, мы получим
такие дифферепциалы:
qrs dp, pra dq. pqs dr. pqr ds.
Лх сумма даст искомый дифференциал, т. о.
dy = qrs dp -f ргч dq -f- jiqs ilr -f pqr ds,
ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЙ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 129
в полном согласии с ранее найденным. Итак, дифференциал- соста-
составляется из одного и того же числа частей, как в том случае, когда
части, составляющие функцию, прибавляются друг к другу или вычи-
вычитаются, так и в том случае, когда они помножаются друг на друга.
173. Если части, образующие функцию, связаны друг с другом
делением, т. е.
то согласно вышеприведённому правилу будем считать переменной
сначала только часть р, и тогда вследствие постоянства q дифферен-
дифференциал будет равен —. Затем полагаем переменной только часть q;
так как y = pq~l, то дифференциал будет равен — —г~) эти два диф-
дифференциала, вместе взятые, дадут дифференциал предложенной функции
, dp pdq q dp — p dq
что мы уже нашли раньше. Подобным образом, если предложенная
функция есть
то, считая последовательно отдельные её части р, q, r, s перемен-
переменными, мы получаем следующие дифференциалы:
q dp p dq pq dr pq ds
" i » —~ т~ ' И ^~ ¦ ,
rs rs r's rs-
откуда
, qrs dp + /""s dq — pqs dr — pqr ds
"У = ^ •
174. Когда отдельные части, из которых составлена функция,
таковы, что мы умеем выразить их дифференциалы, мы сможем также
найти дифференциал самой функции. Если части будут рациональными
функциями, то их дифференциалы можно найти не только с помощью
данных выше правил, но и с помощью того же общего правила.
Если же части будут иррациональными, то так как иррациональности
сводятся к дробным степеням, то их можно будет продифференцировать
по правилу дифференцирования степеней, согласно которому dxn =
= пх"~1dx. Таким же способом можно осуществить дифференцирование
иррациональных формул, когда они, сверх того, содержат другие
подкоренные выражения. Отсюда ясно, что если общее правило, кото-
которое здесь было дано, а ниже будет доказано, сочетать с правилом
дифференцирования степеней, то можно будет выразить дифференциалы
всех без исключения алгебраических функций.
175. Из всего вышесказанного с очевидностью следует, что если у
есть какая-либо алгебраическая 1) функция от х, то её дифферен-
дифференциал dy будет иметь вид dy = pdx, где выражение для р может быть
всегда найдено по изложенным здесь правилам. Это выражение р
такжо есть алгебраическая функция х, ибо при её определении не
совершается никаких других операций, кроме тех обычных, с помощью
которых составляется алгебраическая функция. Поэтому если у есть
1) Слово «алгебраическая» в оригинале отсутствует; очевидно, это описка
или опечатка.
9 л. Эйлер
130 ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
алгебраическая функция х, то и -р есть алгебраическая функция х.
Точно так же, если z есть алгебраическая функция х и dz — q dx, то
так как q есть алгебраическая функция х, то также -г- есть алге-
алгебраическая функция х, равная -- . Поэтому, если в некоторое алгебраи-
алгебраист
ческое выражение входит выражение вида •=- , это не препятствует
тому, чтобы первое выражение было алгебраическим, если только у
и z являются алгебраическими функциями.
176. Это заключение мы можем распространить и на дифферен-
дифференциалы вторых и более высоких порядков; действительно, если у есть
алгебраическая функция х и если dy = p dx, a dp = q dx, то при
постоянстве дифференциала dx, как мы выше видели, будет d2y = q dx2.
А так как по вышеизложенным причинам количество q также будет
алгебраической функцией х, то и —\ является не только конечным
количеством, но, сверх того, и алгебраической функцией х, если
только у была такого же рода функцией. Подобным же образом мы
увидим, что и j-^-, -т^- и т. д. будут алгебраическими функциями а;,
если только у будет алгебраической функцией; и если z также является
алгебраической функцией х, то все конечные выражения, которые
составляются из дифференциалов любого порядка количеств у, z и dx,
dzy d3v dx d*y , -.
как, например, ^, j~ ; j^z и т. д., также будут алгебраи-
алгебраическими функциями х.
177. Тот метод, который был здесь дан для нахождения первого
дифференциала х, можно также применить для нахождения дифферен-
дифференциалов второго и более высокого порядков. Действительно если у есть
какая-либо алгебраическая функция х, то из её дифференциала dy = pd%
мы можем найти выражение для р. Если мы его снова будем диф-
дифференцировать и получим dp—gdx, то, считая dx постоянным, мы будем
иметь d*y = q dx2 и, таким образом, найдём второй дифференциал. Диффе-
Дифференцируя, далее, q и получив dq = r dx, мы найдём третий дифференциал
d3y — rdx3 и таким же образом будут найдены дифференциалы более
высоких порядков, ибо количества р, q, г и т. д. все будут алгебраи-
алгебраическими функциями х, и для их дифференцирования достаточно выше-
вышеизложенных правил. Таким образом, вопрос этот можно решить
последовательным дифференцированием: опуская dx в выражении диф-
дифференциала у, мы получаем выражение для j- = p; если это выраже-
выражение снова продифференцировать и разделить на dx, для чего доста-
достаточно повсюду опустить дифференциал dx, то мы получим выра-
выражение для <7 = -з~. Подобным образом найдём, далее, T — rfi и т« Д-
I. Пусть у = -~-.—т и ищутся его дифференциалы первого и после-
дующих порядков.
Дифференцируя и деля на dx, будем иметь
dy — 2а2х
dx ~ 7a*T^)F '
ГЛ. V. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 131
отсюда
d''y _ — 2al + C>a-xz
<Гхг~ (а2 + **)»
dzy 2ia*x — 24а2.г3
Зг* = "(а2 + я*L
Л4,</ 24а« - 240а4.г2
dxl (a- + j2M
d^u — 720aex + 2400a4x3 - '.
~ = ^ „-g И Т. Д.
]]. Пусть у = ¦ —:; тогда первый и следующие дифференциалы
будут:
til/ x
d3y
Tlbx +
-ПГ, + 4050a;2 + 5400a;4 + "j2V^
Вычисление этих дифференциалов можно легко продолжить дальше;
однако закон, по которому члены их следуют друг за другом, усматри-
усматривается не сразу. Коэффициент высшей степени х всегда есть произве-
произведение натуральных чисел от 1 до числа, равного порядку искомого
дифференциала. Если продолжить дальше составление этих формул
и внимательно рассмотреть их, то можно заметить, что для у — ¦ —=
будем иметь следующую общую формулу:
| Л "f Y "ГГ2""" •" T2.i 1-2-3-4
d"y _ 1 • 2 ¦ 3 .,_L№_ j 1 ¦ :i ¦ 5 _ n (n - 1) ... (re-5) a_,,_,
di" — 7,1 ) "*" 2 • 4 • b 1 • 2 ... 6
2: . 4 • 6. 8 1 • 2...Н
п-8 [ и
Подобного рода примеры полезны не только для приобретения навыка
в практике дифференцирования; законы, наблюдаемые при нахождении
дифференциалов всех порядков, и сами по себе достойны внимания
и могут привести к другим открытиям.
ГЛАВА VI
О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ
ФУНКЦИИ
178. В интегральном исчислении нам ещё придётся встретиться
с бесчисленными видами трансцендентных, т. е. неалгебраических,
количеств. Но уже во «Введении в анализ бесконечно малых» мы имели
возможность познакомиться с некоторыми наиболее употребительными
количествами такого рода; мы встретились с ними в учении о лога-
логарифмах и круговых дугах. Свойства этих количеств были изложены
с такой ясностью, что вычисления с ними можно производить почти
так же легко, как с алгебраическими количествами. В этой главе мы
разыщем также их дифференциалы, чтобы свойства и природа этих
количеств стали ещё яснее и чтобы, таким образом, был продолжен
путь к интегральному исчислению, которое, собственно, и является
источником трансцендентных количеств.
179. Прежде всего рассмотрим логарифмические количества, т. о.
такие функции от х, которые, кроме алгебраических выражений, содер-
содержат также логарифм количества х или какие-либо его функции. Так
как для выполнения дифференцирования алгебраические количества но
создают никаких затруднений, то вся трудность состоит в нахождении
дифференциала логарифма какой-либо функции от х. Так как есть
много разных видов логарифмов, которые, однако, имеют друг
к другу постоянные отношения, то здесь мы предпочтительно будем
рассматривать гиперболические логарифмы; из них легко образуются
и все остальные логарифмы. Действительно, если гиперболический лога-
логарифм функции р будет равен 1 р, то логарифм той же функции р} взя-
взятый из другой системы, будет равен пг\ р, где т есть число, которым
выражается отношение этой системы логарифмов к гиперболическим.
Таким образом, 1 р здесь всюду будет обозначать гиперболический лога-
логарифм количества р.
180. Итак, будем искать дифференциал гиперболического логарифма
количества х и положим у — \х, так что требуется найти значение
дифференциала dy. Положим x-\-dx вместо х; тогда у перейдёт в т/т =
— y-\-dy, поэтому будем иметь
y = I(x + dx)-lx =¦
ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ ЦУЛ
но мы уже выразили раньше 1) гиперболический логарифм выраже-
выражения 1+2 с помощью бесконечного ряда и нашли
l(l-f-Z)=Z_^+J_^.+ И Т. Д.
Подставив — вместо z, мы иолучим
, dx dx- , dx3 ,
Так как все члены этого ряда исчезают по сравнению с первым,
то будем иметь
d ¦ 1 х = dy = — ,
Значит, дифференциал какого-либо другого логарифма, отношение
г . г- ndx
которого к гнпгроолическому есть п : 1, будет равен — .
181. Если будет предложен логарифм 1 р какой-либо функции р
количества х, то с помощью того же рассуждения мы найдём, что его
дифференциал равен —'; таким образом, для разыскания дифференциа-
дифференциалов лог- рифмов мы получим следующее правило:
Нумсно взять дифференциал количества р, логарифм которого пред-
предлагается, и этот дифференциал, разделенный на самое количество р,
даст искомый дифференциал логарифма.
Это правило вытекает также из выражения ?—-=— , к которому
в предшествующей книге 2) мы привели логарифм количества р. Пусть
to = 0; так как 1 р — , то будем иметь
d ¦ ip=d- -1- fr = fr-1 dp = ^ ,
так как со=О. Заметим, что -f есть дифференциал гиперболического
логарифма р, если же будет предложен обыкновенный логарифм р, то
этот дифференциал - нужно умножить па число 0,434 294 48 и т. д.
182. С помощью этого правила мы дюжем найти очень легко диф-
дифференциал логарифма какой угодно функции количества х. как можно
видеть 1тз следующих примеров.
I. Если у=.[х, то dy — — .
II. Если у—\хп, то положим х" — р, так что у—\р, и будем
иметь dy= ¦-- . Но dp— yix"~l dx, откуда
, п dx
dy =-- .
J X
Тот же результат мы получим, опираясь на основное свойство
логарифмов; действительно, так как 1 хп =п\х, то будем иметь d\xH =
, , ndx
й) «Введение в анализ», т. I, гл. VII, § Vl'i.
а) «Введение в анализ», т. 1, гл. VII.
134 ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
III. Если г/ = 1A+х2). то
, Ixdx
IV. Пусть ?/=Ы -у ; так как у = —l]/~i—x*= — у 1A —ж»),
то найдём
, х dx
а'У= га-
V. Если у—Л -jJL=r-, то вследствие у = \х— ~ 1A + хг) получим
7 4х х dx dx
VI. Если y = l(x + \/'l + x2), то
, _ dx+xdx-.yi -fx2 x dx
x+^i+*
i+yl+i! (x + yl-\-x2)yl + x*
если числитель и знаменатель этой дроби разделить на х-
то получим
7 dx
dy= -j-=r~- .
t _ r
VII. Если у— ¦ I (xy —1 + J/ 1 — z2), то положим x\/ — l=z.
Так как ?/= l(z ¦{- l/l + z'2), то по предыдущему будем иметь
v -i
dy——r=dz: l/l+z2. Поэтому вследствие c?z = <7x]/ —1 будем иметь
\/"\~~хг '
Итак, хотя предложенный логарифм содержал мнимые количества,
однако дифференциал его является действительным.
183. Если количество, логарифм которого предложен, имеет мно-
множителей, то сам логарифм разлагается на несколько других логариф-
логарифмов следующим образом. Пусть предложено у = 1 pqrs; так как
y = \p-\-lq + lr-\-ls, то мы будем иметь
Такое разложение имеет место и тогда, когда количество, логарифм
которого нужно дифференцировать, является дробью. Действительно,
пусть у =1^1- так как y=\p-\-lq—\r — \s, то мы будем иметь
, dp , dii dr d.s
J p <I г ,ч
He причинят затруднения и степени; действительно, пусть ?/ = 1 —-—v ;
так как у = ml p-\- nlq — plr — vis, то мы будем иметь
, mdp , п da и. dr ds
dr/ = ^ — v - .
ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ 135
I. Пусть у = 1 (а + ж) F + ж) (с + х); так как
у = 1 {а 4- ж) + 1 F 4- ж) 4-1 (с -t- ж),
то искомый дифференциал будет
, dx . dx dx
аУ'-^ТГХ^Г l7T~x'^ Г-fx •
II. Если ы = - 1 ——:. то
" 1! 1 — х '
?/~ I 1A+х)- 1-1A-*);
отсюда
III. Если
будем иметь
J/ =
?/ =
dy—
1 i V^i +
2 j/-t +
= ii(i/"r
1
'•>
1
2
1+*
г2 4- .x
ж2 — z
Ir +
1
2
U
TO
*)-
1
dX dx
-x 1-х» ¦
вследствие
- 1 {\rrfj
rl-r
— X
, _ 2
^ УТ-Рт5 У1{х Y1 + х
То же самое мы найдём легче, если уничтожим иррациональность
в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \/ I-{-х'1-\-х; дей-
действительно, мы получим
У = 4 1 (l/1 + ж2 + жJ - 1 A/Г+ ж2 + ж);
дифферепл,иал этого количества, как мы раньше видели, есть
, dx
IV. Пусть ?/ = 1 г™ ; положим числитель этой дроби ряв-
V I 1 - х-у 1 - х
ным /?:
а знаменатель равным q:
/!+"?-J/1-х = 9;
мы будем иметь
?/=1А=]я_]? и dy = *-?-*!.
.1 q г 1 J р ,]
Но
, 'ij dx --dx i л/'л—,— л/"л \ —qdx
dp — —~p=rz = A/ 1 4- X — I/ 1 — x) = у- :
2-/l-)-i -l\'l-x 2^1-j2 2 /l-i2
r/r (/г в
2 >/ 1 \- x ЧУ 1-х
о т/ | гг
136 ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИИ
Отсюда
dp da —ndx pdx — (p--\-q2)dx
P 'l -1рУ \-oc* 2?]/l-x2 2pq У 1-х2
Ho p" 4- <l = 4 и pq — 2x, откуда
dy == ~t .
Тот же дифференциал найдётся легче, если предложенный логарифм
мы преобразуем следующим образом:
Действительно, положив —Ь l/ тг — 1 = />, мы будем иметь
dx. dx -doe _ dx __ -dx A + тА-я-'
и, значит, вследствие /?= : будем иметь
:
, dp —dx
dy—--= r — , как раньше.
P хУ\ — хг
184. Так как первые дифференциалы логарифмов, если их разделить
на dx, являются алгебраическими количествами, то вторые диффе-
дифференциалы и дифференциалы следующих порядков легко находятся
по правилам предыдущей главы; при этом дифференциал dx мы будем
считать постоянным. Так, положив у = \х, мы будем иметь:
, dx ,1ц 1
dtf = - и -• =-- .
•' х ах х
,., -dx2 d2y -I
d'y ¦-- —,— и -r-Z = —; ,
¦' х~ dx- X'
,, _ 2 dx* dh/ _ _2_
v -(,
и т. д.
Точно так же, если р будет алгебраическим количеством и если
у = 1р, то хотя у и не является алгебраическим количеством, однако
1Г > Т^-' л~4 п Т- Д* ^УДУТ алгебраическими функциями количества х.
185. После того как мы познакомились с дифференцированием
логарифмов, мы легко сможем дифференцировать функции, в которын
входят алгебраические выражения и логарифмы. Особенно легко эти
тогда, когда функции составляются только из логарифмов, что видно
из следующих примеров.
I. Пусть у=(\х)'2; положим \х = р, тогда вследствие у ~~ р* будем
иметь dy — 2р dp. Но dp — '--- . значит, будем иметь
, 2dx
ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ jЬ7
II. Подобным образом, если у=(\х)п, то
, и dx ,, , ,
dy = --¦ {\х)"-\
откуда, если у = \ 1 х, то вследствие п — — будем иметь
dy — —у- . .
III. Если р будет какая-либо функция количества х и если
У = ('Р)'' • т0
Так как дифференциал (//> можно паГгти но предыдущим правилам,
то будет известен также и дифференциал количества у.
IV. Если у =1 plq и если р м q суть какие-либо функции х, то
по правилу дифференцирования произведения, приведённому выше,
будем иметь
V. Если у = х \х, то но тому жо правилу будем иметь
VI. Если г/ — х'п 1 х х'", то. дифференцируя по отдельности
dy --- dx 1 x + x-'--- = dx ] x -f dx.
1 x x"',
m
части этого выражения, найдём
i
d ¦ хт I х = mx'""''ix 1 x 4- x'"~ ]dx и d ¦ x""* ~- x'" ~' dx,
1 m
откуда
VII. Если y = xjx)". то
dy — mx"'-1 dx A x)n -f nrx"-~x dx (I x)u~[.
VIII. Может случиться, чти встретятся логарифмы логарифмов;
если, например, будем иметь // = 11з;. то положим \x-~p; тогда у~=\р
, dp , dr
и dy ¦-.: -- ; но dp = ¦ ¦ t откуда
IX. Если же будит ,у= 111 ж, то, положив 1х - />, будем иметь у ~[\р
1 dp тт , dx
и по предыдущему примеру получим dy=—j—. rio dp = — ; подставив
эти значения, будем иметь
, d.r
аи— . -,r- .
186. Изложив дифференцирование логарифмов, .мы переходим
к показательным количествам, т. е. к таким степеням, показатели
степени которых суть переменные количества. Дифференциалы таких
функций могут быть найдены следующим образом. Пусть ищется диф-
дифференциал количества ах; для разыскания его положим у = ах; взяв
138 ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
логарифмы, будем иметь 1 у = х 1 а. Теперь возьмём дифференциалы;
тогда получим — — dxla, откуда dy — у dxla. А так как у = ах, то
dy — ахdxla; это и есть дифференциал количества ах. Подобным обра-
образом, если р будет какой-либо функцией х, то дифференциал показа-
показательной функции ар будет равен ар dpi а.
187. Тот же дифференциал можно получить, непосредственно осно-
основываясь на свойстве показательных количеств, изложенном во «Вве-
«Введении». Пусть предложено выражение ар, где р обозначает какую-либо
функцию х', если положить х 4- dx вместо х, эта функция перейдёт
в р -\- dp. Поэтому, если положить у = ар, то когда х перейдёт в х + dx,
мы будем иметь у -\-dy= aJ>+r1!> и, значит,
Но выше1) мы показали, что показательное количество а- выражается
рядом
1 -f z 1 а 4- —-Ц^- - + -(^- + и т- Д- •
откуда
а^Р = 1 + dp 1 а + -—™— + и т. д.
и a,dP—I = dpla, так как все следующие члены исчезают по сравне-
сравнению с dpi а. Следовательно, будем иметь
dy^=d-ap = а*> dpla.
Поэтому дифференциал показательного количества ар есть про-
произведение трёх сомножителей: самого показательного количества, диф-
дифференциала dp показателя степени и логарифма постоянного количе-
количества а, которое, возводится в переменную степень.
188. Пусть, е есть число, гиперболический логарифм которого
равен 1, так что 1й = 1. Тогда дифференциал количества ех будет
равен exdx. Если dx считать постоянным, то дифференциал предыду-
предыдущего выражения будет равен ех dx~\ это есть второй дифференциал
количества ех . Подобным образом третий дифференциал будет равен
p'flx2. Поэтому, если у—.епх, то
, , d:v , ,,.
vx и —- = n-eni
и, далее,
dii , , dv , ,,
-f -= nevx и —-, = n-en
a x ax-
dp = ns eix, p. =- n* enx и т. д.
dx3 dx'1
Отсюда ясно, что первый, второй и все следующие дифференциалы
количества епх образуют геометрическую прогрессию и, значит, диф-
дифференциал порядка т количества епх=-у, т. е. dmy, равен nmenxdxm и,
йтУ
следовательно, есть постоянное количество, равное пт.
у dxm
189. Если количество, которое возводится в степень, само будет
переменным, то дифференциал найдётся подобным же образом.
!:усть р и q суть какие-либо функции х и пусть предложено показа-
]) «Лпрдсние в анализ», т. I, гл. VII, § 125.
ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ 139
тельное количество у = рч. Взяв логарифмы, б}гдем иметь ly = qlp;
продифференцировав, получим
qp +
У Р
откуда
Ну = ydq\ pJryqdp=: ~p<idq] р + qpq~j dp,
так как y = pq. Итак, этот дифференциал состоит из двух членов, из
которых первый pqdq\p получается, если предложенное количество pq
продифференцировать так. как если бы р было постоянным количе-
количеством и лишь показатель q был бы переменным; другой же член
qpq~i dp получается, если в предложенном количестве pq показа-
показатель q рассматривается как постоянное количество и лишь количество р
считается переменным. Следовательно, этот дифференциал можно было бы
найти по правилу, изложенному выше (§ 170).
190. Дифференциал этого же выражения рч можно найти, исходя
из основного свойства показательных количеств. Пусть ?/ = /?9; поло-
положим x-\~dx вместо х, тогда у -\-dy= (р -\- dp)q~i<1q. Если это выражение
мы по известному нам способу разложим в ряд, то получим
у + dy = рч • "</ -f (q 4- dq) p^ dq-1 dp -j- ('7--'- аЛЩ±-?--1_) pn^o-2 Hpz 4-
и т. д.;
поэтому
dy = pi ¦ lb> — pi +{q + dq) рч+dq-i dp,
ибо члены, содержащие более высокие степени dp. исчезнут по сравне-
сравнению с членом (q+dq) p4Jrd(i-'[ dp. Но
p(l+fq__pq = р<1 (pdq-. i) ^ pi A 4-H,.q ] p A- d^Jlll 4. и т. д. _ 1) =
= /?" dq 1 p.
Второй же член, если в нём написать q вместо q + dq, обратится в qp'1 dp,
и значит, как и прежде, мы будем иметь dy = pqdqlp-\-qpq~idp.
191. Тот же дифференциал можно найти, исходя из основного
свойства показательных количеств ещё следующим образом: если обо-
обозначить через е число, гиперболический логарифм которого равен 1,
то pi = е9'v. Так как логарифм обоих этих количеств есть q I p,
то y = eqlp. Поэтому, так как теперь основание степени е является
постоянным, то
как раньше было указано в правиле § 187. Восстановим снова pq вме-
вместо eq ] р, тогда будем иметь
dy = pqdq\p-rpqq dp : p — pq dqlp + qpi-1 dp.
Итак, если у = хх, то dy — xx dx I x-\-xxdx: отсюда можно опреде-
определить также и следующие дифференциалы; именно, мы найдём
И Т. Д.
140 гл- '' !¦ ° ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦКНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
192. Из дифференциалов функций, в которые входят показательные
количества, в первую очередь нужно отметить в качестве примеров те.
которые происходят от дифференцирования выражения ех р:
d-ex p =¦¦ ех dp-\- ех pdx — ех (dp + p dx).
1. Если у — е,х хп , то
dу = ех nx"~l dx -f- ''x ?" dx.
т. е.
dy = ех dx {nx" :-\-х").
П. Если у = fv (x— 1), то
dy = г'1' х dx.
Ш. Если у — ех {х2— 1х-\-'?), то
dy -- ех х- dx.
IV. Если y = ex{xs-3x* + 6x+Q), то
dy — ех х3 dx.
193. Если сами показатели будут показательными количествами,
то дифференцирование выполняется по тем же правилам. Так, пусть
требуется дифференцировать количество еех ¦ положим ех = р, так что
у ¦= е"х = е" .
Мы будем иметь dy = (Jt'dp: но dр = ех dx, откуда, если у —¦ е"х . то
dy — t>:x t'x dx. Если m.Q у-^= ее" , то
dy =•-- 6'"'1 e'-1'- dx.
Если теперь у = p''r . то полошим <7Г ~—?; Судом иметь
"'?/ = /-1" ^= 1 Р'+ -Z/**"' f'P
и
(/z = ^гй;-1 g -1- гдг~1 (/(у,
откуда
dy = /?"r/(i/- J /> 1 (/ -J- pzrq' dq\p-\- p~qr dp: p.
Поэтому, если у = pqr, то
Таким же образом можно будет найти дифференциал любого показа-
показательного количества.
194. Перейдём теперь к тем трансцендентным количествам, к зна-
знакомству с которыми нас выше привело1) рассмотрение круговых дуг.
Пусть в круге, радиус которого мы будем считать равным единице,
предложена дуга, синус которой равен х. Эту дугу мы обозначим
через arc sin а: и найдём дифференциал этой дуги, т. е. приращение,
которое она принимает, когда синус х возрастает на свой дифферен-
дифференциал dx. Это можно снести к дифферегщированию логарифмов, так как
во «Введении» (§ 138) мы показали, что выражение arc sin а; можно
-1) «Введение в анализ», т. I, г.к VIII.
ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ Ml
представить логарифмическим выражением —rz— l(l/"l — хг-\-х\/— l).
Итак, положим // = arcsina:. Тогда
После дифференцирования (§ 182 гл. VII) получим
— ' ~ х— -i- A V -
\г\-~х> + х > - L
откуда
195. Дифференциал круговой дуги можно ещё легче найти без
помощи логарифмов. Действительно, пусть у = arc sin x; тогда х будет
синусом дуги у, т. е. x=siny. Так ка^к если вместо х поло?кить
x-\-dx, у перейдёт л y-\-dy, то х -(- dx = sin (у-\- dy); но так как
sin (с + 6) ~ sin a • cos 6 -j- cos а • sin b,
то
sin (т/ + с!у) = sin ?/ ¦ cos с??/ + cos у sin с?у.
Синус же исчезающей дуги dy равен самой дуге, а косинус равен
полному синусу1); поэтому
sin (// -(- dy) = sin у -j- rfy cos у,
и, значит.
j; + dx = sin у л- dy cos у.
Но так как sin?/ = a;, то косинус количества у, т. о. cos?/, равен
тих з
dy =
|/ 1 - .г3. I!осло подстановки этих значений будем иметь dx = dy у' 1
откуда получим
>/ 1 - х'-
Итак, дифференциал дуги, птус которой предложен, равняется диф-
дифференциалу синуса, разделённому на косинус.
19G. Если р будет какой-либо функцией количества х, а у будет
обозначать дугу, синус которой равен р, т. с. у = arc sin p, то диффе-
дифференциал этой дуги dy = _L_— , где у 1—/г вырагкает косинус той же
дуги. Поэтому можно найти также и дифференциал дуги, косинус
которой предложен. Действительно, пусть у — arc cos x; тогда синус той
же дуги равен [/1 — х" и, значит, у = атсвт\/ — х!. Положив
р = У 1 — х", будем иметь
, — х dx
у ~~ уТ^х~*
1) То-есть единице, максимальному значению синуса [Г. К.] (Это примечание,
так же как некоторые из дальнейших, отмеченные инициалами Г. К., принадле-
принадлежат Г. Колалевскому, редактору 10-го тома Полного собрания сочинений Эйлера),
142 ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
откуда
dv = — .
у уг^*
Итак, дифференциал дуги, косинус которой предложен, равняется
дифференциалу косинуса, взятому с об ратным знаком и разделённому
на синус той мсе дуги.
Это можно также показать следующим образом. Пусть у = arc cos z;
, dx
положим z = arc sin я; тогда «=—===, но дуга у и дуга z, вместе
v JL —~ ОС
взятые, дают постоянную дугу 90°, так что y+z есть постоянное
количество и, следовательно, dy-\-dz = O, т. е. dy~—dz, откуда
di/ = ~~ , как и прежде.
У 1-х-
197. Пусть требуется найти дифференциал дуги, тангенс которой
дан, так что y = arctgx; но синус дуги, тангенс которой есть х, будет
равен —-х— , а косинус равен — , . Итак, положим — р,
г У\+х* Vl + x* У\+х*
, \
так что I/ 1 — />а = - Тогда у = arc sin/?; отсюда согласно только
у 1 +х*
что данному правилу будем иметь dy = р - . Но вследствие
yi — р-
х - , dx
р = — будем иметь ар= j ; подставив эти значения, полу-
yi + x2
чим
, их
Итак, дифференциал дуги, тангенс которой предложен, равняется
дифференциалу тангенса, разделённому на квадрат секанса. Действи-
Действительно, если х есть тангенс, то ]/1 + а;2 есть секанс.
198. Подобным образом, если будет предложена дуга, котангенс
которой дан, так что у = arc ctg x, то так как тангенс той же дуги'
1 1
= --, то, положив — = р} будем иметь y = arctgjD, и следовательно,
7 dp . 7 — dx ,
аг/=-——. А так как dp—-—г-, то после подстановки будем иметь
, — dx
1
т. е. дифференциал котангенса, взятый с об ратным знаком и разде-
разделённый на квадрат косеканса.
Далее, пусть предложено у = arc sec х. Так как у = arc cos— , то
, dx dx
- 1
Ьсли же y=arccosec x. то будем иметь г/ = агс sin— и, значит,
, -dx
dy= _ .
* хУх1-\
ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИИ 143
Часто встречается и синус-версус1); пусть предложено y = arcsvx.
Так как у = arc cos (I —x), а синус этой дуги равен \/'1х — х\ то
, dx
'J ~ У 2~Г-^с* '
199. Итак, хотя дуга, для которой дан синус, или косинус, или
тангенс, или котангенс, или секанс, или косеканс, или, наконец,
синус-версус, есть количество трансцендентное, однако её дифферен-
дифференциал, разделённый на dx, будет алгебраическим количеством и, сле-
следовательно, алгебраическими количествами будут также вторые, третьи,
четвёртые и т. д. её дифференциалы, если их разделить на соответ-
соответствующие степени dx. Впрочем, для того чтобы лучше усвоить это
дифференцирование, дадим здесь следующие примеры:
I. Пусть г/= arc sin 2x j/ I. — х3;- положим р = 2х\/\—х*. так что
у = arcsin p, тогда dy— -JL^. Но
yip*
подставив эти значения, будем иметь
'I dx
-х*
Это ясно также и из того, что 2а; J/1—х2 есть синус дуги, вдвое
большей чем та, для которой х есть синус; следовательно, будем иметь
о . 2dx
w = 2arcsma; и, значит, dy = —^ .
у 1 — х2
II. Пусть у —- arc sia ,т~^ ; положим 2 = р,
тогда
Так как
то будем иметь
г) Синус-версус есть проекции дуги окруяшооти на радиус, нроведённы!)
к одному ив её концон; при радиусе, равном 1, он равен 1 — cos а, где а —угло-
—угловая мера дуги.
144 ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
III. Пусть у = arc sin j/ Ц~— 5 положим j/ L~ х = р>
тогда
+-Х , —dx
откуда
, dp
2# 2х
IV. Пусть ?/ = arc tg ., ; положив р — г-^ггг > будем иметь
Так как do правилу дифференцирования тангенса (§ 197)
"»-?&¦•
ТО
, -2dx
V. Пусть y = arctg L ; положим р=- , тогда
., 2 + х- - 2 уТ+х3
P — -2 - эг2
rf - rf^ t/.r _ dx (|/"Г+^3 - l)
Так как r/?y = ^-_f~^ > т0 будем иметь
, dx
что ясно также ил того, что
arc tg = -•- arc bgx.
VI. Пусть ?/ = earosinx; ото выражение также можно дифференци-
дифференцировать по вышеизложенным правилам, и мы будем иметь
dv = еа гс sin х ——— .
Таким же образом можно будет дифференцировать все функции х,
в которые, кроме логарифмов и показательных количеств, входят также
круговые дуги.
200. Так как дифференциалы дуг, разделённые на dx, суть коли-
количества алгебраические, то их вторые и следующие дифференциалы
можно находить по правилам дифференцирования алгебраических
ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ 145
функций. Пусть, например, ?/ = arcsina;. Так как dy = —~х—, то
У 1—хг
будем иметь -^ = . Дифференциал этого выражения даст зпаче-
У 1 — X"
ние -,~, если считать dx постоянным. Таким образом, дифференциалы
всех порядков количества у выразятся следующим образом:
если у = arc sin x, то
dy _ 1
dx у'Т^йГ- '
и если считать dx постоянным,
d'2!/ х
dx~i (I — x-)^l- '
d3t/ 1 + 2-е2
Дх A — х2
d*y _
d'y __ 225ж + 600xs + 120i»
и т. д.;
отсюда, как и раньше (§ 177), мы заключаем, что в общем случае
будет
„ . 1 п (п - 1) „,,1.3 п (га - 1) in — 2) (п — 3) „ . ,
+?• ЧТУ1* " +2-4- 1.2.3.4 Ж
.1-3-5 п (п - 1) (п - 2) (п - 3) (га- 4) (га-5)
+ 2Т4^Г 1-2. 3-4.5-6 Ж
201. Остаются количества, которые получаются из обращения
вышерассмотренных, т. е. синусы и тангенсы данных дуг. Как их
нужно дифференцировать, мы сейчас покажем. Пусть х есть дуга круга
и пусть sin х — её синус, дифференциал которого мы должны найти.
Положим у = sin х; подставим х + dx вместо х, у перейдёт в y-\-dy\
мы будем иметь у+ dy = sin (x-\-dx) и
dy = sin (x -f- dx) — sinx.
Ho
sin (x + dx) = sin x • cos dx -f cos ж • sin c?z
и. как мы показали во «Введении»1),
./.3.й
Отбросив исчезающие члены, будем иметь cosrfa;=l и sindx =
откуда
sin (ж -f- dx) = sin a; + dx cos ж.
Поэтому если у = sin ж, то dy = dx cos х.
!) Часть I, гл. VIII, § 134.
Ю Л. Эйлер
146 ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
Итак, дифференциал синуса какой-либо дуги равен дифференциалу
этой дуги, помноженному на её косинус.
Если р будет какой-либо функцией х, то подобным образом будем
иметь
d ¦ sin p = dp • cos p.
202. Подобным образом, если требуется найти дифференциал коси-
косинуса дуги х, то положим у = cos х и, подставляя x-\-dx вместо z,.
получим
у -\. dy = cos (x 4- dx).
Но
cos (х-\- dx) = cos x cos dx — sin a; sin dx,
а поскольку, как мы только что видели, cos dx = 1 и sindx = dx, то
у -\- dy — cos x — dx sin x,
откуда
йг/ = — dx&in x.
Итак, дифференциал косинуса какой-либо дуги равен дифференциалу
этой дуги, взятому с обратным знаком и помноженному на её синус.
Так, если р будет какой-либо функцией количества х, то
d • cos p — — dp sin p.
Эти дифференциалы могут быть получены также из предыдущих
следующим образом. Пусть y = sinp; тогда р —arcsiny и
dp = -?!=,.
Но вследствие y = sinp будем иметь cosjp = |/1 — у2; подставив это зна-
значение, будем иметь dp = —— и
dy = dp cos p,
как прежде. Равным образом, если у = cosp, то yl — у* — &ихр и
р= arc cos у; следовательно,
^ Y Х — уг sin P'
откуда, как и прежде, получаем
dy = — djosin p.
203. Если y = tgx, то
dy — tg (x -+¦ da;) — tg z.
Ho
"если от этой дроби отнять тангенс х, то останется
-tgx)
аУ~ l-tgx.tSdx •
Но тангенс исчезающей дуги dx равен самой дуге, так что tg dx — dxr
ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ 147
а знаменатель 1 — dxtgx обращается в единицу; поэтому будем иметь
dy=dx (I + tg2a:),
1 + tg2 x = sec2 x = —5- ,
6 cos2 х'
где cos2ж обозначает квадрат косинуса количества х; следовательно,
если у = tg ж, то
= da; sec3 а:
cos2 a;
Этот дифференциал можно найти также с помощью дифференцирова-
sin х
ния синусов и косинусов; действительно, так как tga; = , то
COS ОС
r dx cos2 x 4-dx sin2 a; cte
, " cos3 a; cos'! x
вследствие
sin2 ж -f cos2 x = 1.
204. Этот же дифференциал можно найти иначе. Так как y = tgx.
то х= arctg у, и по вышеизложенным правилам мы получил
Но так как y — tgx, мы будем иметь у 1 + ^2 = sec а; = . Значит,
dx—dy cos2а; и
da;
как прежде. Итак, дифференциал тангенса какой-либо дуги равняется
дифференциалу дуги, разделённому на квадрат косинуса той же дуги.
Подобным образом, если y — dgx, то a; = arcctg?/ и
Но
1/ 1 + у2 = cosec х = —: ,
' ' у sin я
откуда
dx = — dy sin2 x
и
, —dx
йУ ~ sin2 x '
Итак, дифференциал котангенса какой-либо дуги равняется дифферен-
дифференциалу дуги, взятому с обратным знаком и разделённому на квадрат
синуса той же дуги.
Или: так как ctg х = -г— , то, дифференцируя эту дробь, будем
иметь
— dx sin2 x — dx cos2 x ¦ dx
sin2 x sin2 x
как только что было найдено.
10*
148 ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
205. Пусть предлагается секанс дуги, так что у = sec х: так как
1
у = , то
* COS X
j da; sin х , .
ay = ; — = dx tg x sec x.
J cos2 x °
Подобным образом, если y = cosecx, то вследствие у==—: будем иметь
, — dx cos x
" sin"х
Для этих случаев формулировать специальные правила было бы
излишне. Если предлагается синус-версус дуги: у = sv x, то, так как
у = 1 — cos х, будем иметь dy = da; sin а;. Итак, без труда можно выпол-
выполнить дифференцирование во всех случаях, когда предлагается какая-
нибудь прямая линия, отнесённая к дуге, ибо её всегда можно выра-
выразить через синус или косинус. По данным правилам можно найти
не только первые дифференциалы, но также вторые и следующие.
Положим, что у = sin x и z= cos а; и что dx есть постоянное количество;
тогда будем иметь:
z = cosa;,
dy = da; cos a;,
d*y— —da;2 sin a;,
d3y= —dx3 cos x,
d*y =* dx* sin x
dz— —dxsinx,
d2z= —dx2 cos a;,
d3z = dx3 sin x,
d*z = dx1 cos a;
и т. д. и т. д.
206. Подобным образом можно найти дифференциалы всех поряд-
порядков тангенсов дуги х. Действительно, пусть у = tg х = и пусть dx
cos ж
постоянно; тогда
sin ж
2/ =
COS X
dy 1
dx cosa x '
d?y 2 sin x
dx2 cos3 x '
d3y__ 6 ^ 4
dxa cos1 x cos2 x '
diij 24 sin a; 8 sin z
dx* cos5 x cos3 x '
d*y _ 120 _ 120 16
dxb ~ cos6 x cos4 x ' cos2 x '
d*y 720 sin a; 480 sin a; 32 sin x
+
dxe cos7 x cos5 x cos3 x '
d7y 50i0 6720 2016 64
—- _, J ___ • Vf T Tt
dx7 cos8 x cos6 x cos4 x cos2 x '
207. Итак, любые функции, в которые входят синусы или коси-
косинусы дуг, можно дифференцировать по этим правилам, что видно из
следующих примеров:
I. Если у = 2 sin х cos x = sin 2x, то
cos2 x — 2da; sin2 x = 2 dx cos 2x.
ГЛ. VI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ 149
П. Если у = у " ^os х или у — sin — x, то
, dx sin x
A — cos x)'
Но так как
у 2A — cos x) = 2 sin -к- x и sin я = 2 sin -r- a; cos у я»
то будем иметь
, l , l
ay ^-^ ax cos у х,
что непосредственно следует из формулы y = sin-^-x.
1 l
III. Если у = cos I — , то, положив 1 — = р, будем иметь у = cos p и
dy= — rfjDsin p.
Но так как р = 11 — \х, то будет dp= , так что
ОС
j dx . -, 1
dy±= — sin 1 —.
а х х
IV. Если y — esiax, то
dy = esinx dxcosx.
— n-
-COS X
V. Если y = ecosx, то
VI. Пусть y = l\^l—у 1 — eslnxy ; положим esinx= p; вследствие
будем иметь
" 2A- Vl-i
Но
, esin xn rfxcosa:
^ siu2 x
подставив это значение, получим
nesin xdx cos ж
2 sin2
т2г(.1-К l-esinvK l-esin
ГЛАВА VII
О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ,
СОДЕРЖАЩИХ ДВА ИЛИ БОЛЬШЕЕ ЧИСЛО ПЕРЕМЕННЫХ
208. Если два или большее число переменных количеств х, у, z
вовсе не зависят друг от друга, то может случиться, что хотя все
они являются переменными, однако, когда одна из них возрастает или
убывает, остальные остаются неизменными; действительно, поскольку
предполагается, что они не имеют между собой никакой связи, изме-
изменение одной не влияет на другие. Значит, и дифференциалы количеств
у и z не будут зависеть от дифференциала х и, следовательно, когда х
возрастёт на свой дифференциал dx, количества у и z могут остаться
теми же или измениться любым образом. Итак, если дифференциал
количества х мы положим равным dx, то дифференциалы dy и dz
остальных количеств останутся неопределёнными и по нашему произ-
произволу могут обозначать либо просто нули1), либо бесконечно малые,
имеющие к dx какое угодно отношение.
209. Часто, однако, буквы у и z обозначают либо неизвестные
функции х, либо такие функции, для которых не» рассматриваются
их соотношения с х. В этом случае их дифференциалы dy и dz будут
иметь к dx определённое отношение. Но зависят ли у и z от х или не
зависят, способ дифференцирования, который мы здесь рассматриваем,
остаётся одним и тем же. Мы ищем для функции, как-либо образо-
образованной из нескольких переменных х, у и z, дифференциал, который
она получает, когда каждое из переменных х, у и z возрастает
на свой дифференциал dx, dy и dz. Чтобы найти этот дифференциал,
мы должны в предложенной функции повсюду написать вместо коли-
количеств х, у, z соответственно x-\-dx, y-\-d,y, z-\-dz и от полученного
таким образом выражения отнять предложенную функцию. Остаток
даст искомый дифференциал, что с очевидностью ясно и из природы
дифференциалов.
210. Пусть X есть функция количества х и пусть дифференциал
её, т. е. приращение, которое она получает, когда х возрастёт на его
дифференциал dx, равен Р dx. Затем пусть Y ость функция у, а диф-
дифференциал её равен Qdy; это приращение получает У, когда у пере-
J) Prorsus nibil. Здесь Эйлер хочет противопоставить постоянное количество,
вовсе не получающее приращения, переменному количеству, принимающему беско-
бесконечно малое (т. е., по Эйлеру, равное нулю!) приращение.
ГЛ. VII. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 151
ходит в y-\-dy. Пусть Z ость функция z и её дифференциал пусть
равен Rdz. Эти дифференциалы Р dx, Qdy, Rdz могут быть найдены
с помощью данных выше правил, если известна природа функций X,
Y и Z. Если теперь будет предложено количество X -\-Y -{-Z, которое
является, таким образом, функцией трёх переменных х, у и г, то его
дифференциал будет равен Р dx -f Q dy + R dz. Однородны между собой
оти три дифференциала или нет — безразлично. Действительно, члены,
которые содержат степени dx, исчезают по сравнению с Р dx так, как
если бы остальных членов Qdy и Rdz не было. То же самое произой-
произойдёт и с членами, которыми мы пренебрегаем при дифференцировании
функций У и Z.
211. Пусть обозначения X, Y и Z сохраняют прежний смысл
и пусть предложена функция XYZ количеств х, у и z, для которой
требуется разыскать дифференциал. Так как, если мы напишем x-\-dx
вместо х, уЛ-dy вместо у и z + dz вместо z, X перейдёт в X + Pdx.
Y — ¦& Y -\-Qdy \х Z— в Z-\- Rdz, то сама предложенная функция XYZ
перейдёт в
(X f P dx) (Y + Q dy) {Z + R dz) =
= XYZ + YZP dx + XZQ dy 4- XYR dz + ZPQ dxdy+ YPR dx dz +
4- XQR dy dz + PQR dx dy dz.
Но так как dx, dy и dz бесконечно малы, то однородны ли члены
между собой или нет,—последний член исчезает по сравнению с любым
предшествующем. Далее, член ZPQ dx dy исчезает как по сравнению
с YZPdx, так и по сравнению с XZQdy. По той же причине исчезают
члены YPRdxdz и XQRdydz. Следовательно, отняв предложенную
функцию XYZ, мы найдём, что её дифференциал равен
YZP dx + XZQ dy + XYR dz.
212. Этих примеров функций трёх переменных х, у и z — к ним
можно было бы добавить примеры функций от любого большего числа
переменных—достаточно, чтобы показать, что если предложена какая-
либо функция трёх переменных х, у и z, то как бы ни были соеди-
соединены между собой оти переменные, дифференциал её всегда будет
иметь вид pdx-^-qdy + rdz, где р, q и г будут функциями либо всех
трёх переменных х, у и z, либо двух, либо только одной, в зависи-
зависимости от того, как предложенная функция будет составлена из пере-
переменных х, у и z и постоянных количеств. Подобным образом, если
предложена функция четырёх или большего числа переменных х, у, г
и v, то дифференциал её всегда будет иметь вид
р dx -f q dy + г dz + s dv.
213. Рассмотрим сперва функцию только двух переменных х и у;
пусть она равна V. Дифференциал её должен иметь вид
dV — pd,x-\-q dy.
Если количество у мы будем считать постоянным, то будет dy=O,
значит, дифференциал функции V будет р dx; если же мы положим
постоянным х, так что dx=-0, то только у останется переменным,
и тогда дифференциал количества V окажется равным q dy. А так как,
когда оба количества х и у считаются переменными, мы имеем
dV = pdx + qdy, то мы получаем следующее правило для дифферен-
дифференцирования функции V, содержащей два переменных х и у.
152 ГЛ. VII. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Сперва будем считать переменным только количество х, другое лес
количество у будем рассматривать как постоянное и найдём дифферен-
дифференциал количества V, который пусть будет равен pdx. Затем буде и
считат,1) переменным только количество у, другое оке количеств^
х —постоянным и будем искать дифференциал количества V, который
пусть будет равен qdy. Тогда, считая оба количества х и у перемен-
переменными, мы будем иметь dV= p dx-\- qdy.
214. Подобным образом так как дифференциал функции трёх пере-
переменных х, у, z, которую положим равной V, имеет вид
dz,
то ясно, что если бы приняли за переменное только количество х.
а остальные у и z оставить постоянными, то вследствие йг/=О и dz=O
дифференциал количества V оказался бы равным pdx. Равным образом
мы нашли бы, что дифференциал количества V равен qdy, если хш г
будут постоянными и только у мы будем считать переменным; наконец,
если х и у будут считаться постоянными и только z будет предпо-
предположено переменным, то дифференциал V окажется равным г dz. По-
Поэтому для дифференцирования функций трёх или большего числа пере-
переменных нужно поочерёдно каждое из количеств считать переменным
и дифференцировать функцию так, как если бы остальные были
постоянными; затем отдельные дифференциалы, которые найдены
в предположении переменности отдельных количеств, нужно сложить,
и их сумма будет искомым дифференциалом предложенной функции.
215. В этом правиле, найденном нами для дифференцирования
функции скольких угодно переменных, содержится доказательство общего
правила, данного выше (§ 170), с помощью которого можно дифферен-
дифференцировать любую функцию, содержащую одну переменную. Действи-
Действительно, если вместо отдельных частей, о коюрых там говорилось,
мы поставим различные буквы, то функция примет вид функции
стольких же различных переменных и, следовательно, по изложен-
изложенному здесь способу её можно будет продифференцировать, рассматри-
рассматривая последовательно каждую её часть так, как если бы только она
одна была переменной, и соединяя все дифференциалы, которые полу-
получаются из отдельных частей, в единую сумму. Эта сумма будет иско-
искомым дифференциалом после того, как в ней будут восстановлены
вместо отдельных букв их значения. Таким образом, это правило
является чрезвычайно широким и распространяется на функции многих
переменных, как бы они ни были составлены. Вследствие этого оно
имеет обширное применение повсюду в дифференциальном исчислении.
216. После того как мы нашли общее правило, с помощью кото-
которого можно дифференцировать функции какого угодно числа перемен-
переменных, полезно будет показать его применение на нескольких примерах.
I. Если V = xy, то
dV = xdy Ary dx.
II. Если V = — , то
,... dx x dy
~ У Уг
III. Если V = -—^—- , то
у \ )
ГЛ. VII. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 153
IV. Если 7=(ад + Рг/ + уГEа; + гг/ + С)п, то
dV = м (ах 4- ру + уO" (8ж + ау + Q" (а dж + Р dy) -f
-f и (ах + °г/ + T)m (Saj + SV + О"'1 E
или
(ZF = («X + р?/ + у)"' (Ьх + еу л- С)" X
X txdx \xdy \ydx \ у dy > dx > dy I.
\ +7ZaSJ +naej + wBo j +^sj J ] /
V. Если V = ylx, to
VI. Если V = хи, то
dV = yxy-1 dx -rXvdy\ x.
VII. Если F = arc tg — , то
xdy-ydx
VIII. Если F = sin a; cos у, то
dV = dж cos a; cos у — dy sin ж sin у.
IX. Если V = —^-'—. , то
,„ e'ydz e%~(x- dy — yx dx)
X. Если F = c'arc sin -—-j^^-JL, to мы найдём
x+ у хг — у2
dV = ег dz arc sin • r' J + e2 .. ' ( J r,—y= .
х-\-Ух--у* (х+ У xi-yi) O3-?/2) UYX
217. Мы видели, что если V есть какая-либо функция двух пере-
переменных х и у, то её дифференциал будет иметь вид dV = P dx-\-Q dy,
где jP и Q суть функции, зависящие от функции V и определяемые
ею. Отсюда следует, что эти два количества Р и Q каким-то опреде-
определённым образом зависят друг от друга, ибо каждое из них зависит
от одной и той же функции F.
Какова бы ни была эта связь между конечными количествами
Р и Q — эту связь мы впоследствии установим — очевидно, что не все
дифференциальные выражения вида Pdx-\-Qdy, в которых Р и Q
были бы произвольно образованы из х и у, могут быть дифференци-
дифференциалами некоторой конечной функции V количеств ж, и у. Действительно,
если менаду функциями Р и Q не соблюдается то взаимоотношение,
которого требует природа дифференцирования, то дифференциал
Pdx + Qdy никак не может произойти от дифференцирования и, зна-
значит, не будет иметь интеграла.
218. Таким образом, при интегрировании нам чрезвычайно важно
знать это соотношение между количествами Р и Q для того, чтобы
можно было отличить те дифференциалы, которые в самом деле прои-
произошли из дифференцирования некоторой конечной функции, от тех,
154 ГЛ. VII. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
которые образованы по произволу и не имеют никаких интегралов.
Хотя мы пока ещё и не занимаемся интегрированием, однако и для
более глубокого изучения свойств действительных дифференциалов
полезно установить это соотношение; знакомство с ним необходимо
не только в интегральном исчислении, к которому здесь мы подготов-
подготовляем путь, и в дифференциальном исчислении оно очень многое уяс-
уясняет. Прежде всего ясно, что если V есть функция двух перемен-
переменных х и у, то в её дифференциале Pdx-\-Qdy должны содержаться
оба дифференциала dx и dy. Не может быть ни Р = 0, ни Q — 0. По-
Поэтому если Р есть функция х и у, то выражение Pdx не может быть
дифференциалом никакого конечного количества, т. е. не существует
никакого конечного количества, дифференциал которого был бы ра-
равен Р dx.
219. Так, например, не существует никакого конечного количе-
количества V, алгебраического или трансцендентного, дифференциал которого
равнялся бы ух dx, если только у есть переменное количество, не
зависящее от х. Действительно, если мы предположим, что такого
рода конечное количество V существует, то так как у входит в его
дифференциал, необходимо чтобы у входило также и в само количе-
количество V; но если бы V содержало у, то вследствие переменности у диф-
дифференциал dy необходимо должен был бы входить в дифференциал
V. А так как этого нет, то и не может быть, чтобы дифференциал yxdx
произошёл из дифференцирования какого-либо конечного количества.
Так как теперь ясно, что выражение Р dx-\-Qdy, если Q равно 0, а
Р содержит у , не может быть действительным дифференциалом, то
ясно, что количество Q не может быть взято по произволу и что оно
зависит от значения количества Р.
220. Чтобы найти соотношения между Р и Q в дифференциале
dV = P dx + Q dy, мы положим сначала, что V есть функция нулевого
измерения количеств х и у; от частных случаев мы потом поднимем-
поднимемся к общему соотношению1). Если мы положим y = tx, то количество х
совершенно исчезнет из функции V, и мы получим функцию одного
только t; пусть она равна Т, а дифференциал её равен О dt, где 9 есть
функция от t. Положим теперь также и в дифференциале Pdx-\-Qdy
повсюду y = tx и dy = tdx + xdt; тогда мы получим Pdx-\-Qtdx-\-Qxdt.
Так как dx не должен сюда входить, то необходимо, чтобы Р -\- Qt = 0,
Р Р х
т. е. чтобы Q~ — = , т. е. будет
Таково соотношение между Р и Q для данного случая. Далее, должно
быть Q = Qx и, значит, Qx должно быть функцией количества t, т. е.
функцией нулевого измерения количеств хну. Точно так же вслед-
вследствие Q = — мы имеем Р = -2 , и как Рх, так и Qy будут функция-
функциями нулевого измерения переменных х и у.
221. Итак, если дифференцируется функция V нулевого измере-
измерения количеств х и у, то её дифференциал dV = Рdx -\~'Qdy всегда со-
составлен так, что Рх -f- Qy = 0, т. е. если в дифференциале вместо
дифференциалов dx и dy написать х и у, то получатся количества,
равные 0, как явствует из следующих примеров.
См. bctj'h. статью (§ 13).
ГЛ. VIi: О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 155
I. Пусть V — ; тогда
,,, у dx — x dy
а V = '
V
и если положить х нмосто dx и у пмссто dy, то будем иметь
I/X—XI) __ „
II. Пусть V = —. ; тогда
откуда
— y'-x-Yy'-x
III. Пусть F= -J _ _.: ; эта функция является функцией нуле-
-у+ у х*+у*
вого измерения количеств х и у; мы будем иметь
JT7- 2х2с1у— 2ху dx
-Это выражение, если вместо dx и dy положить хну, станет равным нулю.
IV. Пусть V = 1 ^з^ ; тогда
, . 2xdy — 2y dx
2xy—2yx _ „
1ГТТ ту • УЖ — ?/
V. Пусть К = arc sin -— ; тогда
У х + у
Это выражение обладает тем же свойством.
222. Рассмотрим теперь другие однородные функции и пусть V
есть функция п измерений количеств хну. Поэтому если положить
y=tx, то V примет вид Тхп, где Т есть функция t. Пусть dT=Sdt; тогда
dV = xn Qdt + п Тх'1^1 dx;
таким образом, если мы положим dV = Р dx-\-Q dy, то вследствие
dy=tdx + х dt будем иметь
x dt.
Так как это выражение должно совпадать с предыдущим, то
Р + Qt = пТхп^ = ~ ,
так как V=Txn. Вследствие этого и в силу t—— мы имеем
—
156 ГЛ. VII. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Это уравнение определяет соотношение между Р и Q таким образом,
что если одно из них известно, то другое легко находится. Так как,
далее, Qx = xn&, то Qx, а значит, и Qy и Рх будут функциями п
измерений количеств х и у.
223. Итак, если в дифференциале какой-либо однородной функ-
функции от х и у вместо dx и dy положить х и у, то полученное коли-
количество будет равняться самой функции, дифференциал которой был
найден, помноженной на число измерения.
I. Если 7= ]/х'*+у-> т0 n = 1 " вследствие
будем иметь
У~х- + у*
II. Если 7=: , то п=2 и
у-х
dl/ =x^ : : ___ : : .
Положим а; вместо da; и у вместо dy; получим
(у х) у—х
III. Если V = -п, ^г , то п = — 4 и
()/2+а;)
,у _ 4;/ dp+ixdx
Если положить х и у вместо dx и dy, это выражение перейдёт в
_ 4;/2 + 4зг- , ^
IV. Если 7 = х21?^ , то п = 2 и
dV = 2xdx 1jH^ + 2x
После упомянутой подстановки получим
2а;1 = 2 7.
224. То же свойство будет соблюдено и в том случае, когда V
будет однородной функцией многих Беременных. Пусть 7 есть функ-
функция количеств х, у, z, которые в совокупности всюду дают п изме-
измерений. Дифференциал её dV будет иметь вид Pdx-\- Qdy+ Rdz. Теперь
положим y—tx и 2 = sx, так что
dy=tdx-\-xdt и dz = s dx -f- x ds.
Тогда функция 7 примет вид Uxn, где U есть функция двух пере-
переменных t и s; следовательно, если положить dU = pdt + qds, то бу-
будем иметь
dV = xnp dt + xnq ds -f nllx"'1 dx.
Первое же выражение dV даст
dV — P dx -f- Qt dx + (te c^ + Rs dx + Rx ds.
ГЛ. VII. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 157
Сопоставив эти выражения, мы получим
i^nUx"-1--
пГ
откуда
Это же свойство распространяется и на любое большее число пере-
переменных.
225. Итак, если будет предложена однородная функция скольких
угодно переменных х, у, г, v и т. д., то её дифференциал всегда
будет обладать тем свойством, что если вместо дифференциалов dx,
dy, dz, do и т. д. написать соответственно конечные количества х, у,
Z, и и т. д., то получится сама предложенная функция, умноженная
на число измерений. Это правило сохраняет силу и тогда, если V есть
однородная функция одного только переменного х. Действительно, в
этом случае V будет степенью х и представится выражением V = ах",
которое является однородной функцией п измерений; и, конечно, не
существует другой какой-либо функции количества х, кроме степени п,
в которой х повсюду имел бы п измерений. Так как теперь dV = naxn~1dx,
то, положив х вместо dx, мы получим пах", т. е. nV. Это замеча-
замечательное свойство однородных функций нужно хорошо заметить, так как
в интегральном исчислении оно принесёт нам большую пользу.
226. Чтобы разыскать теперь общее соотношение, которым связаны
количества Р и Q, составляющие дифференциал Р dx + Q dy какой-либо
функции V двух переменных жиг/, нужно обратить внимание на следу-
следующее. Пусть V есть какая-либо функция х и у и пусть V переходит
в R, если вместо х положить x+dx; если же положить у +- dy вместо
у, то пусть V переходит в S; а если одновременно вместо х и ?/ на-
написать х -J- dx и y + dy, то пусть V изменит'-.я в V1. Поскольку R по-
получается из V, если вместо х положить х + dx, то ясно, что если
затем в R положить у + dy вместо.?/, то получится V1; но то же самое
будет и тогда, если в V одновременно положим х + dx вместо х и
у -f dy вместо у. Подобным образом, если в S положить х + dx вместо ж,
то, так как 5 уже получилось из V после подстановки у -f- dy вместо у,
снова получится V1. Это можно ясное усмотреть из следующей схемы:
Количество
V
V
V
R
S
перехо-
переходит в
R
S
VI
VI
VI
если вместо
X
У
X
У
У
X
положить
x-\-dx
У+dy
x-{-dx
У + dy
У+dy
x+dy
158 ГЛ. \И. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
227. Итак, пусть V дифференцируется так, что только х рассма-
рассматривается как переменное, количество же у—как постоянное. Так как
при подстановке x-\-clx вместо х функция V переходите R, то её диф-
дифференциал будет равен R— V; но из формулы dV = Pdx-\- Q dy следует,
что тот л;е дифференциал будет равен Р dx, откуда будем иметь
R— V = Pdx. Если же теперь вместо у положить y-\-dy, a x рассмат-
рассматривать как постоянное, то Я. перейдёт в V1, а V перейдёт в S, так что
количество R — V перейдёт в V1 — S и, значит, дифференциал коли-
количества R — V = Р dx, который получается в том случае, если только
количество у принимается за переменное, будет равен
Подобным образом, так как V после подстановки y-\-dy вместо у пере-
переходит в S, то дифференциал количества V, если считать только у
переменным, будет S — V, и поэтому S — V =Qdy. А так как S при
подстановке x + dx вместо х переходит в V1 и V переходит в R, то
количество S — V перейдёт в V1 — R, и дифференциал количества
5 — V = Q dy, который получается, если считать только х переменным,
будет равен
т. е. в точности совпадает с ранее найденным дифференциалом.
228. Из этого совпадения можно вывести следующее заключенно.
Пусть дифференциал какой-либо функции V двух переменных х и у
будет dV — Pdx + Qdy; тогда дифференциал количества Р dx, который
получается, если одно только количество у рассматривается как пере-
переменное, а х считается постоянным, будет равен дифференциалу коли-
количества Qdy, который получается, если одно только количество у рас-
рассматривается как переменное, а х считается постоянным. Пусть, счи-
считая переменным только у, мы будем иметь dP = Zdy; тогда дифферен-
дифференциал количества Р dx, взятый в том же предположении, будет равен
Z dx dy, а если считать только х переменным, то мы будем иметь
также dQ=-Zdx; действительно,- только в этом случае дифференциал
количества Q dy, взятый указанным образом, также будет равен Zdxdy.
Отсюда становится ясным соотношение, связывающее количества Р и
Q. Коротко говоря, оно состоит в том, что дифференциал количества
Рdx при постоянном х равен дифференциалу количества Qdy при
постоянном у.
229. Это замечательное свойство будет более понятным, если мы
поясним его несколькими примерами.
I. Пусть V — yx; тогда
dV = у dx + xdy,
так что
Р = у и Q = z,
откуда, считая х постоянным, будем иметь
d ¦ Р dx — dx dy,
а считая у постоянным, будем иметь
d ¦ Qdy = dxdy.
Эти два дифференциала равны друг другу.
ГЛ. VII. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 159
II. Пусть V -— \' х* + 2ху; тогда
,у х dx -+¦ у dx -\- х dy
так что
р = . _.*_+JL__. и Q =
У+ 2/
и Q ,
х~ -+¦ 2xi/ У^д:2 + 2ху
откуда, считая постоянным х, будем иметь
(х- \-2xtj' '*
а считая постоянным у, будем иметь
d-Qdy=
(
III. Пусть F = a; sin г/ + г/sin я 2), тогда
dF = dx sin г/ + a; dy cos г/ + dy sin x + ^ rfa; соь х.
Поэтому
P dx= dx sin у -\-y dx cos a;
и
(? d?/ == dy sin x-\- x dy cos y.
Следовательно, при постоянном х будем иметь
d • Р dx = dx dy cos y-\- dxdy cos x,
а при постоянном у будем иметь
d ¦ Qdy — dxdy cos у -{-dxdy cos x.
IV. Пусть F = xv; тогда
dV = xv dy 1 x + yx"'1 dx,
так что
P dx = yz1'-1 da;
и
Qdy = xvdy\x.
[(оэтому при постоянном х будем иметь
d • Pdx = xy~1dxdy + yxy-1 dx dylx,
а при постоянном у будем иметь
d • Qdx = уху~г ¦ dxdy\x-{- xy'r dx dy.
230. Это свойство можии выразить иным образом, и тогда мы
обнаружим весьма изящное свойство всех функций двух переменных.
Если какая-либо функция V двух переменных дифференцируется
в предположении, что только х переменно, и этот дифференциал снова
дифференцируется в предположении, что переменно только у, то после
этого двукратного дифференцирования получается тот же результат,
1) В оригинале V = х sin А у-\- у sin А х, где буква А служит обозначением
слова arcus — дуга.
160 ГЛ. VII. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
который мы получили бы, если бы, идя в обратном порядке, сначала
дифференцировали функцию V, считая переменным только у, а затем
дифференцировали бы этот дифференциал, считая переменным только х;
а именно в обоих случаях получится одно и то ?ке выражение вида
Zdxdy. Объяснение этой тождественности с очевидностью вытекает
из предыдущего свойства. Действительно, если V дифференцируется
в предположении, что только х является переменным, то получается
Р dx; если же V дифференцируется в предположении, что переменным
является только у, то получается Qdy. Но мы раньше доказали, что
дифференциалы этих дифференциалов, взятые указанным образом, равны
между собой. Впрочем, это свойство непосредственно следует из рас-
расчёта, произведённого" в § 227.
231. Соотношение между Р и Q, если Р dx-\-Q dy будет дифферен-
дифференциалом функции V, можно выразить также следующим образом.
Поскольку Р и Q суть функции от х и у, продифференцируем обе, счи-
считая переменными как х, так и у. Пусть
dP — р dx -\- r dy
и
dQ = qdx-\-s dy.
Значит, считая х постоянным, будем иметь
dP = r'dy и dt- P dx = r dx dy.
Далее, считая у постоянным, будем иметь
dQ = qdx и d • Qdy = qdxdy.
А так как два дифференциала rdxdy и qdxdy равны между собой,
то мы заключаем, что
q=r.
Итак, функции Р и Q связаны друг с другом так, что если мы про-
продифференцируем их, как мы это сделали, то количества q и г будут
равны между собой. Для краткости нам удобно будет, но крайней
мере в этой главе, ввести новые обозначения для количеств гид.
Именно, мы обозначим количество г через ( —г- ) ; в этой записи обо-
обозначено, что Р дифференцируется таким образом, что только у счи-
считается переменным количеством и что дифференциал dP делится на dy;
действительно, таким образом мы получаем конечное количество г.
Подобным образом ( -~- j будет обозначать конечное количество q,
ибо эта запись обозначает, что функция Q дифференцируется в пред-
предположении, что только х переменно, и затем дифференциал dQ
делится на dx.
232. Мы будем пользоваться этим способом записи, хотя он и мог
бы иной раз внести двусмысленность (здесь она устраняется скобками),
для того чтобы избежать многословности при описании условий диф-
дифференцирования. Таким образом, мы можем кратко выразить соотно-
соотношение между Р и Q, записав, что
dy ) V dx ) •
Итак, в такого рода дробях знаменатель, кроме общего своего значе-
значения, состоящего в том, что числитель нужно разделить на него, указы-
ГЛ. VII. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 161
вает ещё, что дифференциал числителя должен быть взят таким образом,
чтобы переменным считалось только, то количество дифференциал которого
стоит в знаменателе. Таким образом, благодаря делению дифференциалы
будут вовсе устранены из исчисления, и дроби ( —г- j и ( —-ь- J будут
выражать конечные количества, которые в данном случае будут равны
между собой. Итак, приняв этот способ, мы можем представить также
количества р и s в виде
При этом, как мы уже отмечали, дифференцирование числителя под-
подчинено условию, накладываемому знаменателем.
233. Это свойство удивительным образом согласуется с тем, кото-
которым, как выше было показано, обладают однородные функции. Пусть
V есть однородная функция п измерений количеств х и у; положим
dV = Pdx-\-Qdy и докажем, что nV = Px-\-Qy, т. е. что
л _ J^_ ?х
у У
Пусть dP = p dx -\-rdy; тогда
Что это выражение равно ( ~- J , мы докажем следующим образом.
Дифференцируем Q, считая переменным только х; так как при нашем
предположении *)
,« пР dx P dx xp dx
^ ~~ У У У '
то будем иметь
/" dQ \ (п — 1) Р рх
V dx ) ~ у ~у '
и должно будет иметь место соотношение
(га — 1) Р рх
У II
т. е.
Справедливость этого равенства очевидна из того, что Р есть одно-
однородная функция п—1 измерений количеств х и у, вследствие чего её
дифференциал по свойству однородных функций должен быть соста-
составлен так, что
(я— 1) Р = рх + гу.
234. Свойство, выражаемое равенством i —г— j = ( —— J , которое,
как мы показали, является общим для всех функций двух поромеп-
14 г, ъ nV Рх
1) 1о-есть в продполо/коши О = пли, что то же, в нротлоложоини
У У
nV = Px-\-Qy, которое подложит доказательству. Как видно из дальнейшего, это
«доказательство» состоит в том, что мы приходим к соотношению, спраподлипост!.
которого сама носит столь же гипотетический характер.
11 Л. Эйлер
162 ГЛ. VII. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
ных, позволяет нам обнаружить свойство функций трёх и большего
числа переменных. Пусть V есть какая-либо функция трёх переменных
х, у и z. Положим
dV = P\dx = Q dy + R dz.
Если в этом дифференциальном выражении считать количество z,
постоянным, то мы будем иметь dV = P dx-\- Qdy; по в этом случае
по предыдущему должно быть ( —т— ) = ( ~т^- ) • Если же считать постоян-
постоянным количество у, то будет dV =- Р dx-\- RdzH, следовательно, будем иметь
/ dP Л / иR Ли .,-/¦ dQ , f dli \
—г- =•¦• ( —— ). Наконец, полагая х постоянным, найдем ( —^- = ( —г— ) .
\dz J \dx J "" ' \dz J \dy J
Итак, в дифференциале P dx-\-Qdy + Rdz функции V количества Р,
Q, R связаны друг с другом таким образом, что
235. Отсюда вытекает следующее свойство функций, содержащих
три или большее число переменных количеств, аналогичное свойству,
которое мы выше (§ 230) доказали для функций двух переменных.
Если V будет какая-либо функция трёх переменных х, у и z и если
её трижды дифференцировать, полагая переменным сначала одно
только количество, скажем х, при втором дифференцировании только у
и при третьем только z, то мы получим выражение вида Zdxdydz,
которое будет одним и тем же, в каком бы другом порядке мы
ни взяли количества х, у и z. После трёхкратного дифференцирования
мы придём, таким образом, к одному и тому же выражению Z dx dy dz
шестью различными способами, ибо возможно шестью способами
взять количества х, у и z в различном порядке. Но какой бы порядок
ии избрать, если функцию V дифференцировать, считая переменным
только первое количество, этот дифференциал снова дифференцировать,
считая переменным только второе, в дифференциал опять дифференци-
дифференцировать, считая переменным только третье количество,, мы получим одно
и то же выражение.
236. Чтобы это свойство стало более ясным, положим, что
dV---Pdx+ Qdy + Rdz,
и будем дифференцировать количества Р, Q и R; их дифференциалы,
как прежде было доказано, будут составлены следующим образом:
(IP =¦¦ pdx + sdy + t dz,
dQ = s dx -L q dy -f- и dz,
dR — t dx -г и dy -f r dz.
Дифференцируем теперь V, считая переменным только х; получим Р dx.
Этот дифференциал снова дифференцируем, считая переменным только у;
тогда получим sdxdy; если мы будем дифференцировать это коли-
количество, считая переменным только z, то после деления на dxdydz мы
получим Г-j-J- Разместим теперь переменные в порядке у, х, z;
тогда первое дифференцирование даст Qdy, второе S dy dz и третье
(после деления на dxdydz) даст ( -г-), как и раньше. Расположим
переменные в порядке z, у, х\ тогда первое дифференцирование дасг
ГЛ. VII. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 16;{
Rdz, второе и dydz и третье после деления на dxdydz даст (-j~)-
Но так как при постоянном у мы имеем dQ = s dx -\- и dz, то
(ds \ / du \
— \ = I .__ J , что оыло доказано прежде.
237. Положим, что
v __ Х'У
и продифференцируем эту функцию столько раз трижды, сколькими
способами можно расположить переменные х, у, z в различном порядке.
I. Диффереп- II. Дифферен- 111. Дифферен-
считая переменным
считая переменным
считая переменным
считая переменным
считая переменным
считая переменным
цируем
только х
'Ixy dx
ТОЛЬКО X
'Ixy dx
ТОЛЬКО If
х- dy
только у
х~ dy
2x-yz dz
ТОЛЬКО Z
¦Z-x"-yz dz
только у
2xdx dy
ТОЛЬКО Z
kxyz dx dz
ТОЛЬКО X
2x dx dz
ТОЛЬКО Z
2x2z dy dz
ТОЛЬКО X
¦'ixyz dx dz
(a* - z'Y
только у
2z2z dy dz
цируем
только г
\xz dx dydz-
ТОЛЬКО Ц
'isz dx dydz
ТОЛЬКО Z
\xtdxdydz
ТОЛЬКО X
hxz dx dydz
только у
'iXz dx dydz
ТОЛЬКО .Г
•\xz dx dydz
Из этого примера ясно, что в каком бы порядке ни были взяты
переменные, после трёхкратного дифференцирования получается одно
и то же выражение
\xz dx dy dz
238. Подобно тому как после трёхкратного дифференцирования мы
пришли к одному и тому же выражению, мы можем усмотреть согла-
согласованность и в дифференциалах, получаемых после двукратного диф-
дифференцирования. Именно, в них каждое выражение встречается дваж-
дважды, и мы видим, что выражения, в которые входят те же дифферен-
дифференциалы, равны между собой. Точно так же и третьи дифференциалы
все равны между собой вследствие того, что в них входят те же
дифференциалы dx dy dz. Отсюда мы заключаем, что если V будет
функцией скольких угодно переменных х, у, z, v, и и т. д. и если
её последовательно дифференцировать несколько раз так, чтобы
каждый раз считать переменным только одно переменное количество,
то всякий раз, как мы получим выражения, в которые входят одни
И*
164 ГЛ. VII. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
и те же дифференциалы, эти выражения вместе с тем будут равны
между собой. Так, после двукратного дифференцирования, если один
раз считать переменным только х, а другой раз только у, получится
одно и то же выражение вида Ъ dx dy, вне зависимости от того, какое
из двух переменных было взято раньше, а какое потом. Подобным
«образом шестью различными способами мы придём к одному и тому
же выражению вида Zdxdydz и двадцатью четырьмя способами
к выражению вида Z dxdy dzdo и т. д.
239. В справедливости этих теорем сможет легко убедиться каж-
каждый, кто внимательно отнесётся к вышеразъяснённым основным поло-
положениям, и самостоятельное размышление даст для понимания больше
чем многословные рассуждения, без которых нельзя было бы провести
доказательство. Так как значение этих свойств весьма важно при
изучении интегрального исчисления, то начинающим рекомендуется
не только тщательно вдуматься в них и убедиться в их справедли-
справедливости, но и проверить их на многочисленных примерах, чтобы таким
образом приобрести навык в этих вещах и впоследствии пожать
плоды, которые этим будут порождены. Это мы советуем не только
начинающим, но и том, кто уже знаком с основами дифференциаль-
дифференциального исчисления, так как почти все руководства по этому разделу
анализа вовсе обходят этот вопрос. По большей части авторы их
довольствуются изложением правил дифференцирования и их приме-
применения к высшей геометрии; они не занимаются исследованием свойств
дифференциалов, между тем как эти свойства обогащают интегральное
исчисление очень важными вспомогательными средствами. По этой
причине нам казалось необходимым в настоящей главе подробно
рассмотреть этот почти совершенно новый вопрос, что вместе с тем
подготовит почву для выполнения более трудных интегрирований
и облегчит работу, которую мы должны будем предпринять в даль-
дальнейшем.
240. Познакомившись, таким образом, со свойствами, которыми
обладают дифференциалы функций двух и большего числа переменных,
.мы легко будем в состоянии узнать, мо;кот ли предложенное диффе-
дифференциальное выражение, в которое входят два или большое число
переменных, получиться в результате дифференцирования какой-
нибудь функции, или это невозможно. Действительно, если в выра-
выражении Pdx-\-Qdx не будет иметь места равенство
то мы, наверное, можем утверждать, что но существует пикакой
функции количеств х и у, дифференциал которой был бы равен
Р dx -\-Q dy, и, следовательно, в интегральном исчислении нельзя разыс-
разыскивать интеграл такою выражения. Так, поскольку в выражении
ух dx + x"' dy упомянутое условие не соблюдено, не существует функ-
функции, дифференциал которой был бы равен ух dx + хг dy. На вопрос же
¦о том, всякий ли раз, когда
dy J'"\dx )>
выражение Pdx-\-Qdy можно получить дифференцированием некоторой
функции, — на этот вопрос надёжный отпет нам смогут дать лишь
основные начала интегрирования.
ГЛ. VII. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 165
241. Если в предложенном дифференциальном выражении имеются
три переменных количества или большее их число, как, например,
Р dx + Q dy + R dz,
тогда оно никоим образом не может получиться в результате диффе-
дифференцирования, если не удовлетворены следующие три условия:
{'dy )- \dx)> \dz )- V. dx ) И \dz ) \dy
Если из этих условий хотя бы одно не имеет места, то мы наверное
можем утверждать, что не существует никакой функции количеств а\
у и z, дифференциал которой был бы равен
Pdx+Qdy + Rdz;
следовательно, никак нельзя разыскать интеграл такого дифферен-
дифференциального выражения, и потому говорят, что оно совсем не имеет
интеграла. Совершенно ясно, что в интегральном исчислении, раньню
чем предпринимать разыскание интеграла, надлежит узнать, могут ли
быть интегрированы данные дифференциальные выражения.
ГЛАВА VIII
О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
242. Если имеется одно единственное переменное и его первый
дифференциал считается постоянным, то мы можем вышеизложенным
методом найти дифференциалы любого порядка. Именно, если диф-
дифференциал какой-либо функции сноза дифференцировать, то получается
её второй дифференциал; снова дифференцируя его, получаем третий
дифференциал функции и т. д. То же правило имеет место и тогда,
когда функция содержит несколько переменных или только одно,
дифференциал которого не считается постоянным. Пусть сначала V
ость какая-либо функция количества х, причём dx не является посто-
постоянным, а меняется как угодно, так что дифференциал количества
dx равен йгх, дифференциал последнего рапен йгх и т. д. Будем
лекать второй и следующий дифференциалы функции V.
243. Шложим,. что норный дифференциал функции V равен Pdx,
где Р есть какая-либо функция х, вид которой зависит от вида V.
Если теперь мы желаем найти второй дифференциал функции V, то
нужно снова дифференциропать первый дифференциал Р dx. Он являет-
является произведением двух переменных количеств Р и dx; пусть первое из
них имеет дифференциал dP — pdx, второе имеет дифференциал d2x.
По правилу дифференцирования произведения мы будем иметь второй
дифференциал
d"V = 1 d2x+ pdx2.
Если затем положить dp~qdx, то, так как дифференциал количества
dxr есть 2dxd~x, дифференцируя снова, получаем
ds? = Pdsx + dP d"x + 2p dx d2x + dp dx\
Но вследствие
dP — pdx и dp = qdx
будем иметь
d*V = P d*x + 3/7 dx d2 x + q dxs;
подобным образом найдутся и следующие дифференциалы.
244. Применим это к степеням количества х и найдём дифферен-
дифференциалы их в том случае, когда dx не полагается постоянным.
I. Пусть V = x; тогда
dV = dx; d*V = d!x- d*V = d3x; d*V = d*x и т. д.
ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ 167
II. Пусть V = х", тогда
dV -- 2xdx,
dW = 2xd2xn- 2dx:,
d*V =¦- 2x dzx -j- 6 dx d-x,
d4V = 2x d\x + 8 dx d3x + 6 d*z\
d*V = 2x d'x 4-10 dx d*x + 20 d*x dzx.
III. Вообще, если V = x", то
f/F = nj;"-1 dx.
rfT = m"j г/2ж + и (re — 1) x" 2 dz2,
rf3l'r = nx"-ld*x + 3n (re — 1) ж"-2 dx d'x + n (n—1) (n — 2) x"~3dx\
d'V = nx"-1 d*a; + Ы (n — 1) a:" dxd*x + 3n (ra — 1) x"-2 rf2a;J +
+ 6re (re — 1) (re — 2) a:"-3 dxrPx -\- n {n-l){n — 2) (re — 3) xn dx\
1'кли dx будет постоянным и вследствие этого drx = 0, d3x-=Q, dix—0
it т. д., то мы снова получим те же дифференциалы, которые уже
раньше были найдены в этом предположении.
245. Так как дифференциалы любого порядка количества х диф-
дифференцируются по тому же закону как конечные количества, то вся-
всякое выражение, в которое, кроме конечного количества, входят его
дифференциалы, можно будет дифференцировать по вышеизложенным
правилам. Так как это иногда приходится делать, то мы приведём
!десь несколько примеров.
I. Пели F---—т^,-, то, дифференцируя, будем иметь
... _.... и. ^ . d-x 2x d2x*
dx- ' dx dx3
II. Если V --¦ у- , то
dx '
f A X
V — 1
dx*
то, что мы взяли в качестве функции и бесконечно большое коли-
количество, не создаёт Г5дОсь никакой помехи.
III. Пусть V -—¦ х11 ^-,-; так как V преобразуется в
x^ld-x — 2x- Idx,
то, дифференцируя по обычным правилам, будем иметь
dV — 2х dx I d"x + х-гг- — ix dx 1 dx '—. .
d-x dx
Подобным образом найдутся и высшие дифференциалы количества V.
246. Если предложенное выражение содержит два переменных
количества х и у, то можно принять, что дифференциал одного из
них является постоянным либо что ни один из дифференциалов не
является постоянным; действительно, мы можем по произволу принять
¦за постоянное любой из двух дифференциалов, ибо от нашего произвола
зависит, по какому закону будут возрастать последовательные значе-
значения одного из переменных. Однако мы не можем считать, что диффе-
дифференциалы обоих переменных постоянны одновременно; действительно,
этим мы приняли бы, что между количествами х и у существует
168 ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
определённое соотношение, тогда как либо его вовсе нет, либо оно
считается неизвестным. В самом деле, если мы считаем, что х воз-
возрастает равномерно, и в то же время устанавливаем, что у также
принимает равные приращения, то этим самым мы утверждаем, что
у=ах-\-Ь, так что у зависит от х, чего, однако, принять мы не имеем
права. Поэтому можно принять либо, что постоянным является только
одно переменное, либо, что ни одно не является постоянным. Но
если мы будем уметь производить дифференцирование, не считая
постоянным ни один из дифференциалов, то тем самым нам будут
известны и дифференциалы, получаемые в предположении, что какой-
либо один дифференциал является постоянным; для этого достаточно,
если, скажем, dx полагается постоянным, повсюду вычеркнуть члены,
содержащие d'x, dsx, d*x и т. д.
247. Итак, пусть V есть какая-либо конечная функция количеств
х и у и пусть dV = Pdx + Qdy. Желая найти второй дифференциал
количества V, мы будем считать оба дифференциала dx и dy перемен-
переменными; так как Р и Q суть функции х а у, то положим
dP = pdx + q dy,
dQ — rdx + q dy,
ибо, как мы видели,
= (=r
yJ {dxj Г-
Теперь будем дифференцировать
dV = Pdx + Qdy
и найдём
d*V = Р dlx + р dx2 + 2r dx dy -i-Qd*y + q dy*.
Если дифференциал dx считать постоянным, то
d2V = р dx* + 2г dx dy + Q d2y + q dy-;
если же считать постоянным дифференциал dy, то
d'-V = P d'x -f p dx2 + 2rdxdy + q dy*.
248. Итак, если какая-либо функция количеств х и у дифферен-
дифференцируется дважды, причём никакой из дифференциалов не полагается
постоянным, то её второй дифференциал всегда имеет вид
d2V = P d*x + Q d2y + R dx* + S dy"' + T dx d y,
причём количества P, Q, R, S и Т зависят друг от друга таким обра-
образом, что при обозначениях, введённых в предшествующей главе,
Если из этих условий хотя бы одно не выполняется, то мы можем
наверное утверждать, что предложенное выражение не является
вторым дифференциалом ни для какой функции. Итак, тотчас же
можно будет распознать, является ли выражение подобного вида
вторым дифференциалом какого-либо количества или не является.
ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ 169
249. Подобным образом можно найти третьи и следующие диффе-
дифференциалы; лучше показать это на частных примерах, чем применять
общие формулы.
Пусть V = ху; тогда
dV =ydx-\- xdy,
d2V=y dix + 2dxdy -\ xdzy,
d3V = у dzx -f- 3dy d~x + I dx d2y+ x d3y,
d'V = у d*x -l kdy d3x + Qd2x d2y + Ых day + x d*y
и т. д.
В этом примере числовые коэффициенты следуют друг за другом но
тому же закону, что и коэффициенты степени бинома, так что их
можно выписать сколько угодно.
Если же V = — , то
dV = —' — ^
,„, dfiy Idx dij , 2i/ dx3 у d2x
JV ^^]l_ I 6 dx* AУ _3dV d*x i 62/ da: d2a; f> У dx3 _
И Т. Д.
Б этом примере закон следования коэффициентов при дифференциалах
усматривается не столь легко, как в предшествующем.
250. Эгот метод дифференцирования применим не только к конеч-
конечным функциям; тем же способом можно найти дифференциалы всякого
выражения, которое уже содержит в себе дифференциалы, причём
можно принять, что какой-либо один дифференциал является постоян-
постоянным или что постоянных дифференциалов нет. В самом деле, посколь-
поскольку каждый дифференциал можно дифференцировать таким же образом
и по тому же закону, как дифференцируются конечные количества,
правила, изложенные в предшествующих главах, сохраняют силу
и должны соблюдаться и здесь. Таким образом, пусть V есть выраже-
выражение, конечное или бесконечно большое или бесконечно малое, и его
нужно дифференцировать. Способ дифференцирования усматривается
из следующих примеров.
I. Пусть V= у dx*-\- dy', тогда
CLV —
У-г?то
dV = dx 4- v—~ — -y~-—v^
dy dy2
Hi ir T7- (dx* + dy*)*
111. Пусть V — ¦¦ , ,, —, ,, , тогда
J dxd2y — dydzx
у dx* + dy>
II. Пусть V — У-г?, тогда
__ Cdx d*x -f Ыу d'2y) Vdx* + dy* _ (dx* 4- dy^ (dxdsy - dy d3x)
dx d*y — dy a*x {dx dzy — dy d*xy
170 ГЛ..VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
Эти дифференциалы взяты в наиболее общем виде, так как ни-
никакой из дифференциалов мы не считали постоянным; но отсюда легко
найти те дифференциалы, которые получаются, если считать постоян-
постоянным dx или dy.
251. Если никакой из дифференциалов мы не принимаем за
постоянное количество, то мы не устанавливаем никакого закона,
по которому следовали бы друг за другом значения переменных.
Поэтому вторые и следующие дифференциалы будут неизвестны и не
будут обозначать ничего определённого. Выражение, в котором
будут содержаться вторые и высшие дифференциалы, не будет иметь
никакого определённого значения, пока какой-либо дифференциал
не будет предположен постоянным; до этого значение его останется
неопределённым и будет меняться, смотря по тому, положим ли мы
постоянным тот или другой дифференциал. Однако существуют такие
выражения, содер;кащие вторые дифференциалы, которые даже в том слу-
случае, если ни один из дифференциалов мы не будем считать постоян-
постоянным, всё же будут иметь определённое значение, которое останется
одним и тем же, какой бы дифференциал мы ни положили бы посто-
постоянным. Свойства таких выражений мы в дальнейшем рассмотрим более
обстоятельно и укажем, как отличать их от тех, которые не имеют
определённых значений.
252. Чтобы уяснить эту особенность выражений, содержащих вто-
вторые или более высокие дифференциалы, мы возьмём сначала выраже-
выражения, содер?кащие одно только переменное. Легко видеть, что если
в какое-либо выражение входит второй дифференциал d2x переменного
количества х и если никакой дифференциал не взят за постоянное, то
выражение не может иметь никакого определённого значения. Дей-
Действительно, если мы положим постоянным дифференциал количества х,
то будет d:x = Q; если же мы будем считать постоянным дифференци-
дифференциал количества х'\ а значит, и выражение xdx, то так как дифферен-
дифференциал xd''x-\- dx2 количества xdx должен быть равен 0, будем иметь
dx2
d3x = ¦ . Если же постоянным дол?кен быть дифференциал пхп dx
некоторой степени х", а значит, и выражения хл~1 dx, то второй её
дифференциал будет равен нулю:
х"-1 d2x+(n—l) хп~2 dx2 = 0,
и значит,
Мы получим ещё другие значения для й"~х, если будем считать посто-
постоянными дифференциалы других функций количества х. Ясно, что выра-
выражение, в которое входит d2x, будет иметь самые различные значения,
,, dx*
в зависимости от того, напишем ли мы вместо d%x нуль или ,
или — — —?- , или другое выражение подобного рода. Так, пусть
хЧх
иудет предложено выражение ¦ , г , которое вследствие однородности
бесконечно малых количеств d'x и dx2 должно иметь конечное значе-
значение; оно станет равным нулю, если dx считать постоянным; если же
постоянным будет d ¦ х'\ то оно перейдёт в —х, если постоянным
будет d ¦ х3, оно перейдёт в — 2х; если постоянным будет d • х*, то оно
ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ 171
перейдёт в — Зх и т. д. Итак, оно не может иметь определённого зна-
значения, пока не будет указано, какой дифференциал считается посто-
постоянным.
253. Таким же. образом мы убедимся в непостоянстве значения
какого-либо выражения, содержащего третий дифференциал. Рассмо-
Рассмотрим, например, выражение J^j?., которое, подобно предыдущему, долж-
должно иметь конечное значение. Если дифференциал dx является посто-
постоянным, то это выражение переходит в выражение —, значение которого
вскоре будет найдено. Пусть теперь постоянным будет d ¦ х2; тогда
... dxL
¦</"¦'/"-- — , и, дифференцируя снова, будем иметь
,3 _ 1dxd"-x dx?- M
X Xй Xz '
_ ... dx-
Jiio d'X— ; итак, в этом случае предложенное выражение переходит
ее
и — ож\Если же постоянным будет d . х", то d2x — — ^—^- , и значит.
з 2(п_-У)Лх dy (n - 1) dxz __ 2(и-1Jс?ж3 (n~V)dx*
х ' ~ х- ~ х* х*
Bге -1)(n-l)dxs
Лтак. в этом случае будем иметь
dsn ('In. — I) dx
iPx ~~ x
M
x% dsx ,.-. ,. .,
-г—.rr = — \?n — 1) x',
dx d2x ч ' '
откуда ясно, что если л = 1, т. е. если dx постоянно, то значение
предложенного выражения будет равно —#2. Мы видим отсюда, что
если в какую-либо формулу входят дифференциалы третьего или выс-
высшего порядка, но при этом не указано, какой дифференциал прини-
принимается за постоянное, то формула не имеет никакого определённого
значения и потому решительно ничего не выражает; поэтому такого
рода выражения не могут встретиться в исчислении.
254. Подобным образом если формула содержит два или большее
число переменных и если в неё входят дифференциалы второго или
кысших порядков, то она, очевидно, не может иметь определённого
значения, пока какой-нибудь дифференциал не будет положен посто-
постоянным. Исключение составляют только некоторые случаи, которые мы
сейчас разберём. Действительно, если в некоторую формулу входит
(Рх, то, поскольку значение d!x меняется каждый раз, как тот или
иной дифференциал полагается постоянным, не может быть, чтобы фор-
формула имела одно определённое значение. То же имеет место и для
какого-либо дифференциала высшего порядка количества х, а также для
вторых и высших дифференциалов остальных переменных. Однако если
в формулу входят вторые дифференциалы двух или большего числа пере-
переменных, то может оказаться, что непостоянство, порождаемое одним,
уничтожается непостоянством остальных. Вследствие этого и возни-
возникает тот упомянутый выше случай, когда такого рода формула, содер-
172 ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
жащая дифференциалы двух или большего числа переменных, может
иметь определённое значение, несмотря на то что ни один из дифферен-
дифференциалов не полагается постоянным.
255. Так, например, формула
yd"x+xd2y
dxdy
не может иметь фиксированного значения, пока какой-либо дифферен-
дифференциал не будет положен постоянным. Ибо, если положить постоянным dx,.
то получится ~,—¦—; если же положить постоянным dy, то получится:
v d2x r
^—-т-; ясно, однако, что эти выражения не обязательно равны между
собой. Ибо, если бы они были обязательно равными, то они должны
были бы оставаться равными, какая бы функция количества х ни была
подставлена вместо у. Положим, что у=х'г; поскольку при постоян-
постоянном dx будем иметь d2y — 2dxi, формула j—f- даст 1; если же поло-
положить постоянным dy, т. е. 2х dx, то будем иметь d2y = 2x d2x +• 2dx2 = 0,
и значит, d2x— — , так что формула v ?¦¦ даст— —. Так как уже
в одном случае мы обнаружили расхождение, то тем более в общем
случае * j? при постоянном dx не будет равно j-p-r- при постоянном dy.
гг. -г yd2x + xd2y
Так как, далее, формула -—-т--т—- не сохраняет неизменного значения,
когда постоянным полагается один раз dx, а другой раз dy, то тем
более она не сохранит неизменного значения, если постоянным будет
положен дифференциал какой-нибудь функции количества я, или-коли-
или-количества у, или обоих этих количеств.
256. Отсюда ясно, что такого рода формула может иметь опреде-
определённое значение лить в том случае, если она составлена так, что
после того, как вместо тех переменных у, z и т. д. , которые
входят в неё кроме х, подставить какие-либо функции коли-
количества х, вторые и высшие дифференциалы количества х, т. е.
dlx, dzx и т. д., совершенно устраняются из вычисления. Действи-
Действительно, пусть после какой-либо такой подстановки в формуле ещё
будет оставаться d2x, или d3x, или dxx и т. д.; так как эти дифферен-
дифференциалы меняют своё значение всякий раз, как мы берём одни или дру-
другие постоянные, то и значение этой формулы будет неопределённым.
di 2
и j- ydix + xd2i/
Именно так и составлена формула ——т—j , которую мы выше рас-
рассматривали. Если бы она имела определённое значение, что бы ни
обозначало у, она должна была бы иметь определённое значение, когда у
есть какая-либо функция х. Однако, уже если посложить у = х, то
2xd^x
формула наша обратится в формулу -—^- , а эта последняя, безусловно,
является неопределённой, так как в неё входит d*x, и она будет при-
принимать всё новые и новые значения, всякий раз как новые дифферен-
дифференциалы будут полагаться постоянными; это нам хорошо известно из
§252.
257. Может, однако, возникнуть сомнение, существуют ли такие
формулы, содержащие два или больше дифференциалов второго или
более высокого порядка, которые обладали бы тем свойством, что
ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
«ели подставить какие-либо функции одного переменного вместо осталь-
остальных переменных, дифференциалы второго порядка должны взаимно
уничтожиться. Это сомнение мы устраним, указав формулу, которая
действительно обладает этим свойством; таким образом, сущность дела
выяснится путём проверки. А именно, я утверждаю, что формула
dy d2x —
dx*
¦обладает упомянутым свойством, т. е. какую бы функци^о количества х
ни подставить вместо у, всегда дифференциалы второго порядка совер-
совершенно исчезают. Проверим это свойство на следующих примерах:
I. Пусть у — х2; тогда
dy = 2xdx и d2y = 2xd*x
i-, T dy d2x — dx dhj
лсли эти значения подставить в формулу — -т-^ , мы получим
Чх dx d-x — 2х dx d*x — Idx3 __ „
dx3
II. Пусть у = хп; тогда
dy = пхп~г dx, d2y — nxn~l d2x-\-n (n — 1) xn~2 dx*.
Если эти значения подставить в формулу — -т~ , то последняя пре-
преобразуется следующим образом:
геж"-1 dx d'x - nxn~vdr d2x - n (n - 1) xn~
dx3
- -n{n-i)xn-\
III. Пусть y*= —\/i —xl; тогда
, xdx ., x d2x , dx*
dy = ._ и d2y — —pr -\
я формула
перейдёт в
d*x xdlx 1 —I
Итак, во всех этих примерах вторые дифференциалы d2x взаимно уни-
уничтожаются, и так же будет всегда, какие бы другие функции ни под-
подставить вместо у.
258. Хотя уже эти примеры показывают справедливость нашего
т di/d-x — dxdlu
утверждения, что формула — -r-s имеет вполне определенное зна-
значение, какой бы дифференциал ни был принят за постоянное количе-
количество, однако мы можем без труда доказать это утверждение. Пусть у
есть какая-либо функция количества х; пусть её дифференциал есть
dy = pdx; количество р также есть некоторая функция х и, значит,
его дифференциал будет иметь вид dp—qdx, где q снова будет функ-
дией х. Так как dy—pdx, то, дифференцируя, будем иметь d*y =
d^ qdx1 и
dyd'-'x — dxd-y pdxd!x—pdxd*z—qdxz = —qdx3.
174 ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
Так как это выражение не содержит никаких вторых дифференциалов,,
то оно будет иметь фиксированное значение и >J х ~ ж у будет рав-
равно — д. Итак, какова бы ни была зависимость у от х, вторые диффе-
дифференциалы взаимно уничтожатся, и потому значение этой формулы,
которое при других обстоятельствах было бы неопределённым, стано-
становится определённым и фиксированным.
259/ Хотя здесь мы считали, что у есть функция от х, однако
это положение остаётся истинным и в том случае, если у вовсе иг
зависит от х. Действительно, поскольку мы вместо у нодставлялп
какую угодно функцию от х и но определили, какая это будет функ-
функция, мы не приписываем количеству у никакой зависимости от .т..
Впрочем, можно провести доказательство таким образом, чтобы вовсе
не упоминать о функции. Действительно, пусть у есть какое-либо-
количество, зависящее от х или не зависящее; его дифференциал dy-
будет однороден с дифференциалом dx, так что ¦— будет представлять-
конечное количество, дифференциал которого, т. е. приращение, полу-
получаемое им, когда х переходит в х-\- dx, а у в y-\-dy, будет фиксиро-
фиксированным и не будет зависеть от закона образования вторых дифферен-
дифференциалов. Положим ¦— = р; тогда будем иметь dy = pdx и d2y = pd2x -j-
-\-dpdx, откуда
dxd'2y — dy d2x = dp dx2.
Значение этого выражения не является неопределённым, ибо оно содер-
содержит только первые дифференциалы и ноэтому остаётся одним и тем же
независимо от того, примем ли мы за постоянное количество
какой-нибудь дифференциал или никакой дифференциал не будем пола-
полагать постоянным.
260. Так как выражение dyd'x — dxd2y, несмотря на то что в него
входят вторые дифференциалы (можно считать, что они потенциально
взаимно уничтожаются), имеет фиксированное значение, то и всякое
выражение, в которое вторые дифференциалы входят только черт;?
посредство формулы dyd~x — dxd'y, равным образом будет иметь фи-
фиксированное значение. Вообще, если положить dy d*x — dxd!y = m и если V
будет количество, составленное из первых дифференциалов dx, dy и о>
каким бы то ни было образом, то оно будет иметь фиксированное зна-
значение. Действительно, так как на дифференциалы dx и dy не оказывает
никакого влияния произвольный закон, по которому мы заставляем
расти значения количества г, а в ш вторые дифференциалы взаимно
уничтожаются, то и количество V будет не неопределённым, а фикси-
фиксированным. Так выражение
dx d-y — dy агх.
обладает фиксированным значением, хотя и может показаться, что
вторые дифференциалы его портят. Сверх того, так как числитель
и знаменатель однородны, выражение это имеет конечное значение,
разве что случайно оно окажется бесконечно большим или бесконечно'
малым.
261. Таким же образом, как доказано, что формула dxd"y — dyd2T.
имеет фиксированное значение, можно доказать, что и формулы
dxd"z— dzdix и dyd**z — dzd2y
ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ 175
имеют конечные значения. Следовательно, выражения, которые содер-
содержат три переменные х, у и г, если в них не входят никакие другие
вторые дифференциалы, кроме здесь указанных, будут иметь фикси-
фиксированные значения, как если бы в них вовсе не было вторых диф-
дифференциалов. Так, выражение
з
г- dz2) '
(dx -;¦ dz) dHj — (dy -,- dz) dzx -+¦ (dx - dy) d- z '
несмотря на наличие вторых дифференциалов, обладает фиксированным
значением. Подобным образом можно получить формулы, содержащие
большее число переменных, в которых наличие вторых дифферен-
дифференциалов не препятствует тому, чтобы они имели фиксированные зна-
значения.
262. За исключением формул такого рода, все остальные формулы,
содержащие вторые дифференциалы, имеют неопределённые значения
и потому не могут иметь места в исчислении, если только не указан
какой-либо дифференциал, который полагается постоянным. Но как
только какой-нибудь дифференциал положен постоянным, тотчас ж«
все выражения, сколько бы переменных они ни содержали и какие бы
дифференциалы порядка выше первого в них ни входили, получат
фиксированные значения, и теперь они могут входить в исчис-
исчисление. Так, если, например, dx положен постоянным, то дифферен-
дифференциалы второго и высшего порядков исчезают, и какие бы функции
от х ни подставлялись вместо у, z и т. д., их вторые дифференциалы
выразятся через dx2, третьи —через dx3 и т. д., и таким образом
непостоянство, вызванное наличием вторых дифференциалов, перестаёт
иметь место. То же самое происходит в том случае, когда постоянным
полагается первый дифференциал другого переменного или какой-либо
функции.
263. Из этого следует, что дифференциалы второго и более высо-
высоких порядков на самом деле никогда не входят в исчисление и вслед-
вследствие неопределённости их значений вообще непригодны для анализа.
Действительно, когда вторые дифференциалы, по видимости, имеются
налицо, то либо какой-нибудь первый дифференциал полагается
постоянным, либо никакой постоянным не полагается. В первом
случае вторые дифференциалы вовсе исчезают из исчисления, поскольку
они выражаются через первые. Во втором же случае, если только
вторые дифференциалы не уничтожаются взаимно, их значение будет
неопределённым, и потому им не место в анализе; если же они взаимно
уничтожаются, то их наличие является лишь кажущимся, и нужно
считать, что на самом доле есть только конечные величины и их
первые дифференциалы. Так как, однако, они часто, хотя и кажущимся
образом, используются в исчислении, то мы должны были показать,
как с ними обращаться. Сейчас мы покажем, каким образом всегда
можно избавиться от вторых и высших дифференциалов.
264. Если выражение содержит только одно переменное коли-
количество х и если в него входят высшие дифференциалы d'x, dzx, d*x
и т. д., то оно может иметь фиксированное значение лишь в том
случае, когда какой-либо первый дифференциал полагается постоянным.
Пусть t есть то переменное количество, дифференциал которого пола-
полагается постоянным, так что d2t = 0, d3t = 0, dH = 0 и т. д. Положим
dx = pdf, тогда р будет конечное количество, на дифференциал кото-
176 ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
рого неопределённость вторых дифференциалов не оказывает влияния,
и, кроме того, ~ будет конечным количеством. Пусть dp — qdtn подоб-
подобным образом, далее, dq = rdt, dr = sdt и т. д. Количества q, r, set. д.
будут конечными и будут иметь фиксированные значения. Так как
dx = p dt, то
d:x=dpdt = qdt1, d3x = qdt* = rdt3, dix = drdt3 = sdti и т. д.;
если эти значения подставить вместо d2x, d3x, d*x и т. д., то выра-
выражение будет содержать только конечные количества и первый диф-
дифференциал dt, так что оно уже не будет иметь неопределённого
значения.
265. Если х есть функция от t, то таким образом можно совер-
совершенно исключить количество х, так что останется только количество t
и его дифференциал; если же t ость функция от х, то и обратно,
х есть функция от t. Можно, однако, удер?кать в вычислении коли-
количество х и его дифференциал, если повсюду, по выполнении ранее
сделанных подстановок, восстановить вместо t и dt их выражения
через х и dx. Чтобы пояснить это, положим t равным хп, так что
постоянным полагается первый дифференциал количества хп. Так как
dt — nx^dx, то
и dp = ~ (п ~ )} dx- = qdt = n qx"-1 dx,
r nxa V * '
откуда
— (n-i) , (n-1) Bn-l)dx
q — —^ ^_ ' и dq — ¦¦¦ 2 —
Далее,
_ (n - i) Bn - 1)
(n - 1) Bra - 1) Cn - 1)
Поэтому, если дифференциал количества хп положить постоянным,
то будем иметь
а л —
__ (п - 1) Bя - 1) (З^г — 1) dx*
и т. д.
2G6. Если- выражение содержит два переменных х и у и если
дифференциал одного из них, например, дифференциал я, полагается
постоянным, то вследствие о=0 из вторых и высших дифферен-
дифференциалов войдут только дифференциалы d~y, d"y и т. д. Их можно
устранить тем самым способом, который мы использовали выше,
если положим
dy=pdx, dp -qdx, dq — rdx, dr-sdx и т. д.
Действительно) тогда будем иметь:
d'y — qdx*, d3y = rdx3, d*y-- .vr/ж4 и т. д.
Но выполнении этих подстановок получится выражение, которое,
помимо конечных количеств х, у, р, q. r, s и т. д., может содержать
ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ 177
только первый дифференциал dx. Так, если будет предложено выра-
выражение
I/ dx' ->- j, di/ d3!/
и если л?:г принято на постоянное, то положим
(!у — pdx, (Ip = qdx. dq — rdx и dz — sdx.
После подстановки этих значении предложенное выражение преобра-
преобразуется в выражение
(у -\- хрт Л- xs) dx'1
которое уже не содержит вторых и высших дифференциалов.
267. Подобным же образом можно устранить вторые и высшие
дифференциалы, приняв за постоянное dy. Если же мы будем считать
постоянным какой-нибудь другой первый дифференциал dt, то сначала
вышеизложенным способом мы устраним из вычисления высшие диф-
дифференциалы количества х, полагая
dx= pdt. dp —qdt, dq-rdt, dr — sdt и т. д.,
откуда
d'2x — qdt', d3x --- r dt3, d'x — я dt* и т. д.,
а ;;атем таким же образом устраним высшие дифференциалы //,
полагая
dy-Pdt, dp = Qdt, dQ = Rdt, dR=Sdt и т. д.,
откуда
d'y Qdlr. d3y=Rdt3, d.*y=Sdt* и т. д.
Подставив эти значения, получим выражение, которое, помимо
конечных количеств х, р, q, r. s и т. д., у, Р, Q, R, .S и т. д., может
содержать только дифференциал dt и поэтому не будет иметь неопре-
неопределённого значения.
268. Зависит ли первый дифференциал, который полагается посто-
постоянным, только от х, пли только от у. или, наконец, одновременно
от х и от у, —нет нужды вводить два ряда количеств р, q, г и т. д.
Действительно если dt зависит только от х, то буквы р, q, г и т. д.
становятся функциями количества х, и в выражение войдут только
буквы Р, Q, R и т. д. То же самое случится, если постоянный диф-
дифференциал dt будет зависеть только от у. Если же dt зависит от обоих
переменных, то нужно несколько видоизменить действия. Пусть,
например, за постоянное количество принимается дифференциал у dx;
тогда ydix-\-dxdy=0, откуда
Пусть теперь
dy=pdx, dp = qdx, dq~rdx и т. д.
Тогда
dt _
dx-
12 Л. Эйлер
178
гл. viii. о повторном дифференцировании
Дифференцируя ещё раз, получаем
,8
^.
3 2pdxd2x
У
Подставим сюда вместо d2x его значение——— ; будем иметь
Далее
J . I .
У
dxa
У
У У* У У \ У* У
79 P d'x~
и, подставляя вместо а2х значение — -— , получим
,. / -г , 10 pq 15 pz \ , ,
\ У У* Уд J
и т. д. Далее, так как dy = pdx, то
Подставляя каждый раз вместо d2x выражение —
будем полу-
получать
у у У у
и т. д.
После подстановки этих значений высших дифференциалов, иред-
ложенное выражение примет такой вид, что в нём уже не будет
содержаться больше никаких высших дифференциалов, и мы избав-
избавляемся от необходимости рассматривать какой-либо дифференциал как
постоянное количество. В самом деле, так как после выполнения
этого преобразования больше нет вторых дифференциалов, то и пот
необходимости вспоминать о том, какой дифференциал прежде был
принят за постоянное количество.
269. В приложениях дифференциального исчисления к теории
кривых линий часто случается, что за постоянное принимают первый
дифференциал ]/ ~dxl + dy2. Поэтому мы покажем, как нужно в этом
случае исключать вторые и высшие дифференциалы. Тем самым станет
ясно, как решается такой же вопрос, если нужно будет принять
за постоянное какой-нибудь другой дифференциал.
Положим снова
dy = pdx, dp = qdx, dq — rdx, dr = sdx и т. д.;
тогда дифференциал ]/dx* -f- dy2 примет вид dx |/ 1 + рг. Так как
он является постоянным, то будем иметь
и значит,
'¦р-
ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ 179
таким образом, мы имеем значение количества йгх. Далее, будем
иметь
,3 __ рт dx3 q- dx3 . 2/A/2 dx3 2pqdxd2x
йх- -f+т f+p^ • A + рЧ2 ~Г чГр^ -'
pr dx3 q- dx3 lip'tq2 dx3 рт dx3 C/>2 — 1) i/2 dr3
¦' — fjrp ~ hT" + "(i+'pi-f '= ~CfpT (Г+ yy •
Далее, получим
„ psdxi A0p2-3) gr dx1 A5^3-13) pij3 dx*
Но так как мы положили dy — pdx, то, дифференцируя, будем иметь
... 7 ., .„ , , р'а dx% n dx1
(t~y = qdx'-\- pd~x~ qdx* — ~ =~—5- ,
,3 _ rdx3 'Ipfdx3 , Igdxdtx
а'У = \^y- -liTW + 1+P2 '
откуда
Дифференцируя ещё pars, находим
,4 s dxi 13р</ г dx* 4 (G/>2 — 1) f/3 dr*
Итак, все высшие; дифференциалы обеих переменных х и у выразятся че-
через конечные количества и через степени dx, и после этих подстановок мы
получим выражение, совершенно свободное от вторых дифференциалов.
270. Изложив способ, которым можно освободиться от вторых
и высших дифференциалов, покажем его применение на нескольких
примерах.
т т-т xd-u ,
I. Пусть предложено выражение —гт , в котором dx положено по-
постоянным. Если положить dy —- pdx, и dp= qdx, то вследствие d1y = qdx"
предложенное выражение нерелдёт в конечное выражение xq.
II. Пусть предложено выражение -— ~¦--, в котором поло?кено
постоянным dy. Положим dx~ pdy, dp= qdy; так как d2x — qdy'1, то
14- p* п -
получится —. ]Ьсли же mi>j пожелали бы положить, как прежде,
dy = p dx, dp = qdx, то вследствие постоянства dy будем иметь
-p(i-'-p')
() = pd'2x-i- dpdx и d2x= —<!— , следовательно, предложенное выраже-
выражение переидет в
ттт и vdzx — xd2y
Ш. Пусть предложено выражение -—-=—-—- , в котором положено
постоянным ydx. Положим dy — pdx и dp = qdx; согласно §268 будем
р dx* - p^dx*
иметь dix=——— и diy = qdxi— ; после этих подстановок
предложенное выражение преобразуется в выражение —1._"™? _j. ^ #
IT? rr dx^A-dyZ
JV. Пусть предложено выражение —-^—— , в котором постоянным
положено ^fdz^—dy1. Снова положим dy = pdx, dp = qdx; по предыду-
12*
180 ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
щему параграфу будем иметь «i2?y = г———^ j следовательно, предложенное
A -Y-p2J
выражение переидет в — .
Из этих примеров становится достаточно ясным, каким образом
в каждом представляющемся случае, если какой-нибудь первый диф-
дифференциал принимается за постоянное, нужно исключать вторые и высшие
дифференциалы.
271. Итак, если указанным образом ввести конечные количества
p,q,r,s и т. д., вторые и высшие дифференциалы можно исключить,
так что всё данное выражение, помимо конечных количеств х, у, р, д, г, s
и т. д., будет содержать только дифференциал dx. Обратно, если
предлагается такого рода приведённое выражение, то его снова можно
привести к первоначальному виду, введя вместо р, q, r, s и т. д.
вторые и высшие дифференциалы. При этом совершенно безразлично,
какой именно первый дифференциал принимается за постоянное, тот
ли самый, что раньше, или какой-либо другой. Более того, можно
не принимать за постоянное никакого дифференциала, и таким обра-
образом получатся выражения, содержащие вторые и более высокие диф-
дифференциалы, которые, хотя никакой дифференциал и не принимается
за постоянное, всё же будут обладать фиксированными значениями.
Что такого рода выражения существуют, мы показали выше.
272. В самом деле, пусть предложено какое-нибудь выражение,
содержащее конечные количества х, у, р, q, г и т. д. и дифференциал dx,
причём
dy dp dq
P=rLy q — zf> г—у1 и т. д.
y dx ' 1 dx' dx M
Если мы пожелаем исключить буквы p,q,r и т. д. так, чтобы вместо
них вошли вторые и высшие дифференциалы количеств х и у и чтобы
никакой дифференциал не был принят за постоянное, то будем иметь
, dxd-y — dy d2x
dP=— •Л*-*1—•
и отсюда
dx dzy — difdix
9 = " "dx»~' '
Дифференцируя эту формулу, получим
, dx2 dau - Ых d"-x dHi 4- 3<h/ d*x2 — dx dy d3x
aq — dxi ,
откуда
dxz d*y — odx dzx d'zj' + 3dy d-x2 — dx dy d3x
Если, сверх того, в выражение входит буква s, обозначающая т— ,
вместо неё нужно подставить значение
__ dx3diy - Ых2 d2x d'y - Ых* d2y d*y 4- lodx d2x2 d2y 4- lOdx dy d2x d*x ,
s~ ~~ dT* ¦ r
— tody d2x3 — dx2 dy dlx
После подстановки этих значений вместо количеств р, q,r,s и т. д.
предложенное выражение преобразуется в другое, содержащее вые-
ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ 181
шие дифференциалы количеств х и у; это выражение, хотя бы ника-
никакой дифференциал не принимался за постоянное, всё же будет иметь
не неопределённое, а фиксированное значение.
273. Таким образом, всякая формула, содержащая дифференциал выс-
высших порядков, d которой некоторый'первый дифференциал предполагается
постоянным, может быть преобразована в другую формулу, в которой
никакой дифференциал не полагается постоянным и которая, несмотря
на это, имеет одно и то же фиксированное значение. А именно, сперва
с помощью изложенного выше метода мы исключим высшие дифферен-
дифференциалы, положив dy=j'dx, dp — qdx, dq = rdx, dr = sdx и т. д., а затем
подставим вместо p,q.r,s и т. Д. найденные только что значения.
Тогда получится выражение, равное первому и не требующее, чтобы
какой-либо дифференциал был принят за постоянное количество. Это
преобразование мы поясним следующими примерами:
I. Пусть предложено выражение -j-j , в котором dx полагается
постоянным. Требуется преобразовать его в другое выражение, в кото-
котором никакой дифференциал не принимается за постоянное. Положим
dy = pdx, dp — qdx, тогда, как мы видели в § 270, предложенное вы-
выражение перейдёт в выражение qx. Подставим теперь вместо q значе-
значение, которое оно получает, когда никакой дифференциал не полагает-
dx d-u —dii dLx.
ся постоянным, т. е. значение q — л з >' тогДа найдем выра-
выражение
.г d.r dh/ — re dy d--x
dx3 '
равное предложенному и не содержащее никакого постоянного диффе-
дифференциала.
II. Пусть предложено выражение ———— , в котором dy принято
за постоянное. Положим dy = pdx и dp—qdx; тогда данное выраже-
выражение перейдёт в выражение — ——— ; положим теперь (§270) р=~г
dx d2t/ ~ dii d'x „ ..
и </= - , - ; тогда мы найдем выражение
dy (tl:r2 + dy-)
<ly il-.r — dx d*y '
которое имеет фиксированное значение, когда никакой дифференциал
не принимается за постоянное, и которое имеет то же значение, что
предложенное выражение.
... „ ifd'-x — х d'li)
iij. Пусть предло?кено выражение -'-—j--j > в котором за посто-
постоянное принят дифференциал ydx. Положим dy = pdxy dp — qdx; тогда,
как мы видели раньше (§ 270), это выражение преобразуется в выра-
выражение — 1—-?_)---, которое, не принимая никакого дифференциала
за постоянное, мы преобразуем в выражение
. х dx dry — х dy dzx ,x<ty_ x d'x dy" — y^dx^dу — ух dx d-y + yx dy d-x
dx* dy2 ~* у dx~~ у dx* dy "
tit- rr dx + dy
IV. Пусть предложено выражение —-^ -,в котором за постоян-
постоянное принят дифференциал ydxJ-\-dy-. Положим dy = р dx и dp=-=qdx;
182 ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
тогда получится выражение ; . Положим теперь
dy dx d2y— dy d2x
1 dx •* dxs
тогда, не принимая никакого дифференциала за постоянное, мы полу-
получим выражение
(dx* -\-dy-y
dx-а-у — ах di/d^x '
равносильное предложенному.
V. Пусть предложено выражение -^п--— > в котором дифференциал dx
принят аа достоянное. Положим dy~--pdx. dp = qdx и dq = rdx; тогда
вследствие d у=qdx' и dsy = rdx3 предложенная формула перейдёт
rdx- г„
я формулу . J енеръ вместо q и г подставим значения, которые
они получают, когда никакой дифференциал не принимается за постоян-
постоянное, т. о. значения
dx d-y — ,/у dzx dr* <Ру - 3d.г d-.r d2y -'- 3d и •!-:;•- - dx dy d*x
?= dx''' "~ И Г = " ^ ' J
мы получим следующее выражение, равносильное предложенному:
dx-dh/ - idx d2x d-y 4- Щ/ Г-х! + dx dyd3x _ dx (dx d3i/ - dy d*x) _ ,, ,г.
dx d-y — dy dix dx dzy — dy d2x
274. Если мы внимательнее рассмотрим эти преобразования, то мы
сможем установить более удобный метод их выполнения, при котором
не понадобится вводить буквы р, </, г и т. д. Для достижения этой
цели применяются различные приёмы, смотря по тому, будет ли тот
или иной дифференциал принят в предложенном выражении за по-
постоянное. Положим сперва, что в предложенной дифференциальной
формуле постоянным является дифференциал dx; так как мы поло-
положили pdx вместо dy, а петом снова —¦ вместо р, то первые дифферен-
дифференциалы dx и dy всюду, где они входили в предложенное выражение,
останутся неизменными. Там же, где встречалось d'-y, вместо него мы
, „ d.r d-xi — (,'v d2x
пишем qdx", а потом вместо q подставляем значение н~~»~" "
Поэтому преобразование будет выполнено, если повсюду вместо d"y
dx d2y — dy d'-x ,., dy d2x
прямо положить -,--- -, т. е. о"?/ --:—.
r dx •' dx
I fycTb, сверх того, в предложенное выражение входит dsy;
тогда, поскольку вместо него полагается rdx3, а затем вместо г под-
подставляется приведённое выше значение, нужно будет всюду вместо d3y
написать
,3 №*х d-y idy d'2x- (Iу dzx
" У 1Г~ Л dx~> ' di~ '
после чего предложенное выражение преобразуется в другое,
которое не будет содержать никакого постоянного дифференциала.
3'
1ак, если оудет предложено выражение ~j—jr , в котором dx
ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ 183
полагается постоянным, то, положив d2y ^— вместо d2y, мы найдём
равное ему выражение
dx d-y — dy d-x '
не содержащее никакого дифференциала.
2. Теперь легко понять, что если в некотором выражении за
постоянное принимается дифференциал dy, то повсюду вместо d2x
,, dx d-y ,„ ,„ 3dx- rf«a
нужно написать d-x г— и вместо ах написать dx2i
¦> dy
г и вместо ах написать dx
dy dy ^
, 3-Jxd*y- dxdsi/
+ ~1~ — ' > и тогда получится равносильное выражение, в кото-
котором никакой дифференциал не полагается постсянным. Если же в пред-
предложенном выражении за постоянное будет принят дифференциал у dx,
то, так как |§ 268]
,„ jii-'x- ,., , ., в2 dx-
(гх — и d'y = qdx"— ,
у •' у
мы должны будем повсюду вместо d2x написать —— , а вместо d~y
написать d'-y У, —- —~f- ', более высокие дифференциалы я не рас-
рассматриваю, так как они встречаются в таких вопросах очень редко.
Если же в предложенном выражении за постоянное будет принят
дифференциал }f dx1 + dy'1, то, так как мы нашли [§269], что
pq dx"- ,., q dx-
d-x — — '„-—, и d'y-- ,Lj—.,,
-i, - dy* d-x — dx dy d-u
вместо tf'-x повсюду нужно оудет написать ——^-тх7~г——..а вместо«/2г/
написать —'— ,-,- --г-,--'—- . Так, если будет предложено выражение
— * -'---~ -у , в котором У dx'-\-dif принято за постоянное, то оно
прообразуется в выражение;
dy d-x — ах d2y '
в котором никакой дифференциал не принимается за постоянное.
276. Чтобы эти преобразования можно было легче производить на
практике, мы собрали их в ншкеследующую таблицу.
Итак, каждая дифференциальная формула высшего порядка пре-
преобразуется в другую, не содержащую никакого постоянного дифферен-
дифференциала, с помощью следующих подстановок.
I. Если за постоянное принимается дифференциал dx,
вместо
нужно написать
,., ,„ dy и*х
d-y J d-y--*-.-,
js
аУ
8O ^y
У Tx
dx
Sdy d*xz dy d*x
184
ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
II. Если за постоянное принимается дифференциал dy,
вместо
dzx
нужно написать
,., dx A-IJ
/7 ¦"У _
dy '
dx i
dy dy1 dy
ill. Если за постоянное принимается дифференциал ydx.
нужно написать
dx dy
У '
d~y - —— ,
и dx у
dy u'-x dx il'-y 3dx dy-
у у y-
I'J '^'Х d'~xJ ,'ЛAУ'''Х'- dyd'x iciyd-y idy-d^x :~:!y3
вместо
d2x
d"y
d*x
~dx ' "dx*
dx
У
ydx
"Г
IV. Если -ли постоянное принимается дифференциал v/~dх*-г dy*,
нужно написать
dy- d'-x —dx dy d'y
rf"_'2"+ dy* '
dx1 d2y — dx dy d1x
dx1 -{-dy- '
dy2d3x — dx dy dby (dx d'2y — dy dzx) {Ady- d-y — dx-dly -J- idx dy d-x)
dxiJ, dy'1 (dx- -dy1I
dx* diy — dx dy d-sx (dy dlx — dx d-y) (Ma:2 d^x — dy1 d~x-\- idx dy d-y)
dlx
d-y
d3x
277. Итак, выражения, не содержащие никакого постоянного диф-
дифференциала, будут составлены таким образом, что можно принять ;sa
постоянное по произволу какой угодно дифференциал. Исходя из этого,
можно, рассматривая дифференциальные выражения, в которых никакой
дифференциал не полагается постоянным, установить, является „и
их значение неопределённым или фиксированным. Для этого сначала
положим какой-нибудь дифференциал, например dx, постоянным; затем по
правилу предшествующего параграфа приведём выражение снова к такому
виду, в котором никакой дифференциал не предполагается постоянным.
Если это выражение совпадёт с предложенным, то последнее будет
фиксированным и не будет зависеть от непостоянства вторых дифферен-
дифференциалов; если же получится выражение, отличное от предложенного,
тогда последнее имеет неопределённое значение. Так, пусть предло-
предложено выражение ydrx — xd~y, в котором никакой дифференциал не
полагается постоянным; для того чтобы установить, имеет, ли оно фи-
фиксированное или неопределённое значение, положим dx постоянным;
тогда предложенное выражение перейдёт в — xd2y; теперь по первому
у 72 7" dy d2x
правилу предшествующего параграфа вместо dy положим d-y ^— ,
и мы найдём выражение —xd2y-\ ^ , несходство которого с пред-
предложенным указывает на то, что предложенное выра?кение не имеет
фиксированного и определённого значения.
ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
278. Подобным образом, если будет предложено общее выражение
вида
Pd'x + Qdxdy+Rd'y,
можно установить условие, при котором оно имеет фиксированное зна-
значение, когда никакой дифференциал не принят за постоянное. Для
этого положим dx постоянным; тогда предложенное выражение перей-
перейдёт в выражение Qdxdy -lRcPy; последнее мы снова преобразуем так,
чтобы ого значение оставалось одним и тем же, хотя бы никакой диф-
дифференциал не считался постоянным; лмы получим, таким образом, выра-
г\ 1 7 i л 7 Rdii d1x
жение Qdxdy-\-Rdy -, , которое совпадет с предшествующим,
если Pdx-\- Rdy = 0; таким образом, только в этом случае его значение
будет фиксированным. Если же мы не будем иметь Р = -,-", или, что
Pd х
то же, R = ,-- , то предложенное выражение Pd2x-\-Qdxdy -\-Rdly
не будет иметь фиксированного значения; его значение будет неопре-
неопределённым и будет меняться в зависимости от того, принимается ли за
постоянное тот или иной дифференциал.
2Т9. Основываясь на этих началах, легко также будет преобразо-
преобразовать дифференциальное выражение, в котором какой-нибудь дифферен-
дифференциал положен постоянным, к другому виду, где принимается за посто-
постояннее другой дифференциал. Для этого нужно сначала привести выра-
выражение к такому виду, который не содержит никакого постоянного
дифференциала, а затем положить постоянным этот другой дифферен-
дифференциал. Так, если в предложенном выражении дифференциал dx принят
за постоянное и требуется преобразовать его в другое выражение,
которое содержало бы постоянный дифференциал dy, то в формулах,
которые должны быть подставлены вместо d2y и d'y, нужно вследствие
постоянства dy положить d'-y—O, d3y = 0, так что вместо dhj нужно
^ dy d'x 7ч idy d2?'1 diidsx
оудет подставить . — и вместо ay подставить . ., —- ———.
„ „ (dx- + d)rf2
1аким ооразом, выражение— —. '— , в котором ах положено поетонн-
(dx'+dtrK'*
пым, преооразуется в выражение -~т——— > в котором постоянным
полагается dy.
280. Если, наоборот, выражение, в котором dy полагается постоян-
постоянным, требуется преобразовать в другое, в котором постоянным является
7 /¦• dxd-y ,з
dx, то вместо d~x нужно подставить -г—:— , а вместо d x выражение
3dxd2u'- dxd3u , r ~ - r
„•• j-^- . Иодооным ооразом, если формулу, в которой постоян-
постоянным полон?ено \/dx'z-\- dy", нужно преобразовать в другую, в которой
, , ,., dx dy d'^y
постоянпым будет dx, то вместо d'x нужно написать — , i , , 3 и вместо
d2y нужно написать -?—,—-^—? . Если же формулу, в которой dx принято
за постоянное, нужно преобразовать в другую, в которой постоянным
будет \/dx*-fdy'~, то вследствие постоянства dx2 + dy2 имеем
dxd'-x 4- dyd2y = 0
186
ГЛ. VIII. О ПОВТОРНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
dlx = —
dy dzy
Приняв это значение вместо d~x, мы должны написать вместо d*y
выражение
,2 dy2d2y (dy1 rdy-) d-y
J dxz dx1
... r (dx1 ~dys) ,
I аким образом, выражение — ~(Г~^~~ > в КОТОРОМ dx есть постоянное,
преобразуется в другое, в котором постоянным полагается \/~dx1 -f- dy%,
а именно в выражение
dx
Г Л А В А IX
О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
281. В этой главе мы ставим со бе задачей прежде всего объяснить,
как дифференцируются функции количества х, неявно определяемые
уравнением, которое содержит в себе соотношение между функцией у
и количеством х. После этого мы остановимся на рассмотрении природы
дифференциальных уравнении и покажем, каким образом они возникают
из конечных уравнений. Поскольку в интегральном исчислении наиболее
трудным вопросом является, интегрирование дифференциальных уравне-
уравнений, т. е. нахождение таких конечных уравнений, которые согласо-
согласовались бы с дифференциальными уравнениями, мы должны будем здесь
внимательно рассмотреть свойства дифференциальных уравнений, выте-
вытекающие из их происхождения, и таким образом подготовить путь
к изучению интегрального исчисления.
282. Приступая к решению поставленного вопроса, положим, что у
есть такая функция количества х, которая определяется квадратным
уравнением
?/2 + Р?/4-<? = 0.
Так кик выражение y'~-k-Py-\~Q равно нулю при любом значении .г,
оно будет также равно нулю, если вместо х написать x-\-dx; при
-этом у перейдёт в y-\-dy. Если от количества, полученного после этой
подстановки, отнять первоначальное количество y':-\-Py-\-Q, в остатке
получится его дифференциал, который в силу сказанного также будет
равен нулю. Отсюда ясно, что всегда, если какое-либо выражение
будет равно нулю, его дифференциал также будет равен нулю, и если
два количества будут равны менаду собой, то и их дифференциалы будут
равны. Таким образом, поскольку у' -f- Py -\-Q = О, мы будем иметь
также
2у dy -r- P dy + ydP-f- dQ = О,
а так как Р и Q суть функции .г, то их дифференциалы будут иметь
вид
dP = pdx и dQ — q dx,
следовательно, будем иметь
2у dy -r P dy - урdx-\-qdx --= 0.
откуда
d}/ чр + д
~dr ~~ in + Г ¦
188 ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
283. Подобно тому как конечное уравнение
выражает соотношение между у и х, так дифференциальное уравнение
выражает соотношение между dx и dy, т. е. отношение между dy и dx.
Но так как мы имеем -J'- = — ^f J'L, то это отношение dy : dx будет
известно лишь тогда, если будет известна сама функция у. Иначе
и быть не может. В самом доле, так как конечное уравнение даёт
два значения у, то каждое из них будет иметь свой дифференциал
ИР '- П v т
и из выражения —., - получится как тот, так и другой дифферен-
дифференциал, смотря по тому, подставим ли мы в это выражение то или другое
значение у. Подобным образом, если функция у определяется из куби-
ческого уравнения, то функция ~- оудет иметь три значения, соот-
соответствующие трём значениям количества у. Если в предложенном
конечном уравнении у имело бы четыре или большее число измерений,
dy
то столько же значении должно иметь ~ .
284. Функция у может быть, однако, исключена из уравнения,
так как мы имеем два уравнения, содержащие у, а именно, конечное
уравнение и уравнение дифференциальное. Но тогда дифференциал dy
будет иметь столько измерений, сколько прежде их имело у, так что
полученное уравнение будет заключать в себе все различные отноше-
отношения количества dy к dx. В качестве примера возьмём снова уравне-
уравнение у"- 4- Ру -г Q — 0; его дифференциальное уравнение есть 1у dy + Р dy +
+ у dP -\- dQ = 0; из последнего находим
_ __Pdy + dQ_
¦I ~ ~~ idy t-~dls '
Подставив это значение вместо у в первое уравнение, получим урав-
уравнение
D0 - Р*) ду* + D<? - Р») dPdy + Q dP* — PdPdQ + dQ- = 0,
корни которого суть
--Р dP - dQ
d LdP Г
Эти корни дают два дифференциала, соответствующие двум значениям
получаемым из конечного уравнения.
285. После того как найдено значение dy, можно повторным диф-
дифференцированием найти значение d2y, а затем значения dsy, d*y и т. д.
А так как они будут неопределёнными, пока какой-либо первый диф-
дифференциал не будет принят за постоянное, то мы для большего удобства
будем считать постоянным dx. Возьмём в качестве примера уравнение
дифференцируя его, мы получим
Зу- dy -f- Зх2 dx = Зах dy -f- За?/ d^,
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ 189
откуда
dy ay — у2
<ix у1 — ах
Возьмём снова дифференциалы, положив dx постоянным; мы найдём
d1y — airdy — a-.x dy 4- 2х2у dy — 2xi/2 dx -f- а2у dx 4- их1 dx
dx (>/~ — ax)~
„ . „ а у dx 4- xz dx
Подставим вместо ay только что наидештоо его значение ---—у^г
и разделим на d.r; тогда будем иметь
d'zy (ay — г2) ('1х'*у — ayz — a'zx) . ax~ 4- azy — '-ХЦ2
dx1 ~~ (i/'-aij3 (if—axy
ИЛИ
d2y bax'2y! — 2x4y — 2жг/4 — 2asxy 2a3xy
Чх*~ (if — ах)я (у' — ахУ '
так как и:! конечного уравнения мы имеем 2х4у — 2ху4 — бах'у3. Таким
образом, с помощью конечного уравнения мы можем эти значения
преобразовывать к бесчисленным видам.
286. Точно так же и первое дифференциальное уравнение можно
видоизменять бесчисленными способами, если его комбинировать
с конечным уравнением. Так, в предшествующем примере мы нашли
дифференциальное уравнение
у" dy -f- x~ dx = их dy + ay dx;
если его помножить па у, получим
у3 dy + x2y dx = axy dy + ayldx\
если в это уравнение вместо if подставить его выражение 'Лаху — х,
получим новое уравнение
2аху dy — ж3 dyAr х'гу dx = aif dx;
если его снова помножить на у и затем вместо if подставить его
выражение, то будем иметь
2аху2 dy — х3у dy -\- x2y2 dx = Ъа-ху dx — ах3 dr.
Вообще, пусть Р, Q, R суть какие-либо функции количеств х и у.
Если дифференциальное уравнение помножить на Р, будем иметь
Ру2 dy -f- Px2 dx = aPx dy -f- aPy dx.
С другой стороны, так как х3-\-уг — 'iaxy=<= 0, то будем также иметь
(Xs + у3 — Заху) (Qdx + Rdy) = 0.
Если эти дифференциальные уравнения сложить, получим общее диф-
дифференциальное уравнение, порождаемое предложенным конечным урав-
уравнением.
287. Бесчисленное множество дифференциальных уравнений из одного
и того же конечного уравнения можно получить также и в результате
самого дифференцирования, если прежде чем дифференцировать конечное
уравнение мы помножим или разделим его на какое-нибудь количество.
Пусть, например, Р есть какая-либо функция х и у, причём
dP — р dx-\- qdy. Если помножить конечное уравнение на Р, а затем
дифференцировать, получится общее дифференциальное уравнение.
190 ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
которое может иметь бесчисленное множество видов, которые будут
различными всякий раз, как за Р мы будем принимать всё новые
и новые функции. Множество возрастёт ещё в бесконечное число раз,
если к найденному дифференциальному уравнению мы прибавим данное
конечное уравнение, помноженное на выражение вида Qdx + R dy, где
за Q и R можно принять какие угодно функции жиг/. Хотя все эти
уравнения дают соотношение между dy и dx, связывающее дифферен-
дифференциал функции у, зависимость которой от х определяется конечным
уравнением, с dx, однако они имеют гораздо более широкое поле дей-
действия и выражают также дифференциалы количества у, определяемые
из других конечных уравнений. Причина этого выяснится лучше всего
в интегральном исчислении.
288. Не только из одного и того же конечного уравнения можно
вывести бесчисленное множество дифференциальных уравнений, но также
можно найти много, и притом бесконечно много, конечных уравнений,
которые приводят к одним и тем же дифференциальным уравнениям.
Гак, два уравнения
г/2 -.- ах + ab
у ---- ах
совершенно отличны друг от друга, ибо в первом уравнении вместо b
можно подставить любое постоянное количество. Однако оба эти урав-
уравнения после дифференцирования дают одно и то же дифференциальное
уравнение
1у dy — a dx.
Более того, все уравнения вида у2 = ах, какое бы значение ни приписать
количеству а, могут быть охвачены одним дифференциальным уравне-
уравнением, в которое а не входит. В самом деле, разделим наше уравнение
на х, так что будем иметь — —и; после дифференцирования это урав-
уравнение даст
2х dy — у dx = 0.
Точно так же трансцендентные уравнения и уравнения алгебраические
могут приводить к одному и тому же дифференциальному уравнению,
как это имеет место для уравнений
у2 — ах = 0
if — ах = Ъг е ° .
Действительно, если то и другое уравнения разделить на е ° , то получим
уравнения
X
е~* (у2 — ах)=0
и
х
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ 191
После дифференцирования любого из них получается одно и то же
дифференциальное уравнение
lydy — adx —у-—- + х dx — 0.
289. Причина этой, множественности состоит в том, что дифферен-
дифференциал постоянного количества равен нулю. Так, если конечное уравне-
уравнение привести к такому виду, чтобы некоторое постоянное количество
стояло бы одиноко и не умножалось или не делилось бы на перемен-
переменные количества, то дифференцирование даст уравнение, в которое это
постоянное количество вовсе не войдёт. Таким образом, любое постоян-
постоянное количество, входящее в коночное уравнение, может быть устранено
с помощью дифференцирования. Так, пусть будет предложено уравнение
х3 + у3 = 3аху.
Если его разделить на ху, мы получим - -»- = За; будучи продиффе-
ху
ренцировано, это уравнение даст уравнение
2х3у dx + 2ху3 dy — xidy — у* dx -=¦ 0,
в которое постоянное а больше не входит.
290. Если нужно избавиться от нескольких постоянных количеств,
входящих в конечное уравнение, то это можно сделать с помощью
дифференцирования, повторённого дважды или несколько раз. Таким
образом, в конце концов будут получены дифференциальные уравнения
высших порядков, совершенно не содержащие этих постоянных коли-
количеств. Так, пусть будет предложено уравнение
у"' ----- та'1 — пх2
и пусть требуется с помощью дифференцирования избавиться от постоян-
постоянных количеств та3 и п. Первое из них устраняется после первого
дифференцирования, и мы получаем j
у dy + пх dx = 0;
отсюда мы образуем уравнение —~-{-п = 0, которое при постоянном da;
даст после дифференцирования уравнение
ху d2y + х dy2 — ydxdy — O,
которое, хотя оно и не содержит никаких постоянных, однако охва-
охватывает все уравнения, представленные формулой у'* = та'г — их2, какие бы
значения ни были приписаны буквам т, п и аг.
291. С помощью дифференцирования можно устранить не только
постоянные, входящие в конечное уравнение, но также и одно из
переменных, а именно то, дифференциал которого принят за постоян-
постоянное. Для этого из предложенного уравнения, связывающего х и у,
нужно найти значение х; мы получим x = Y, где У есть некоторая
функция количества у; тогда будем иметь dx = dY и, так как dx при-
принято за постоянное, после дифференцирования мы имеем 0=d'2Y. Если
же мы будем иметь уравнение
х2 + ах + Ь= Y,
то, трижды дифференцируя его, получим 0 = d3Y. Уравнение же
192 ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
четырежды дифференцированное, даст 0 = е?4У. Может показаться, что
в эти уравнения входит только одно переменное количество, и тогда
оно перестало бы быть переменным, так как ни в каком уравнении
переменное но может быть только одно. Однако так как мы приняли,
что дифференциал dx является постоянным и так как его отношение
должно содергкаться в уравнении, то нужно считать, что на самом
деле он в уравнение входит. Неудивительно поэтому, что часто встре-
встречаются дифференциальные уравнения второго и более высоких поряд-
порядков, в которые входит, повидимому, только одно переменное.
292. Особенно нужно отметить, что с помощью дифференцирования
можно освободиться от иррациональных и трансцендентных количеств,
входящих в уравнение. Что касается количеств иррациональных, то,
так как иррациональность можно устранить при помощи известных
преобразований, после дифференцирования мы получим уравнение,
свободное от иррациональности. Но часто удобнее это можно сделать,
не прибегая к упомянутым преобразованиям, ибо, сравнивая диффе-
дифференциальное уравнение с конечным, мы можем исключить иррациональ-
иррациональное выражение, если оно имеется в единственном числе. Если же
конечное уравнение содержит два или большее число иррациональных
членов, то его дифференциальное уравнение ну?кно снова дифферен-
дифференцировать, и таким образом мы найдём столько дифференциальных
уравнений высших порядков, сколько нужно для исключения ирра-
иррациональных членов. Таким же образом можно устранить неопределён-
неопределённые показатели степени, а также показатели дробные. Так, если будем
иметь
то после дифференцирования получим
ту"'-1 dy = — 2п (а2
Рязделив это уравнение на конечное, найдём уравнение
т dy - пх dx
у а* — х1 '
в которое больше не входит неопределённый показатель степени.
Отсюда ясно, что дифференциальное уравнение, свободное от всякой
иррациональности, может произойти из иррационального конечного
уравнения и даже из уравнения, содержащего трансцендентные коли-
количества.
293. Чтобы стало понятным, каким образом с помощью дифферен-
дифференцирования можно исключить трансцендентные количества, мы начнём
с логарифмов. Так как их дифференциалы являются алгебраическими,
то вопрос решается без труда. Пусть, например,
y = xlx.
Тогда будем иметь — =1ж, откуда, дифференцируя, получаем
х dy — у dx dx
Xs X
и, следовательно,
х dy — у dx = x dx.
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ 193
Если логарифм входит дважды, то нужно дифференцировать два раза.
Пусть, например,
у 1 х = х 1 у.
Будем иметь у—х- = \у и, дифференцируя,
xdylx + ydx— ydxlx_ dy
xr ~ у '
Отсюда заключаем, что
, х2 du — у-dx
1 X = -j- Z—г- .
ух dy — ул dx.
Снова дифференцируем это уравнение, полагая dx постоянным; получим
dx х'2 dly 4- 2х dx dy — 1у dx dy (у2 dx. — х- dy) (ух d2y + т. dy2 — у dx dy)
x ух dy — у1 dx (ух dy — уг dxI
ИЛИ
dx y3x dx d^y — y-x1 dx dry Л 'iyx-dxdif — y'X dx dy2 + y3dx2 dv — 2xy2 dx- dy — x3 dy*
x. (yx dy — ya dxI-
Это уравнение после упрощений даст
у3х dx d2y — y'x'dx d2y -\- Зух'2 dx dy2 — 2xya dx dy* -f Зг/3 dx1 dy —
— Ixy dx~ dy — x3 dy — -— 0,
или
уъх~ (у — x) dx d'!y -\- Зух dx dy (x1 dy + y' dx) — 'Itf'x'- dx dy (dx -f- dy) =
= x* dy3 + yl dx".
294. Показательные количества устраняются из уравнения таким
же образом, как логарифмы. Пусть, например, предло?ксно будет урав-
уравнение
где Р и Q суть Kaitne-лиоо функции х и у; это уравнение можно пре-
преобразовать в логарифмическое уравнение IP=Q, дифференциал кото-
которого ость -— = dQ или
dP = PdQ.
Ничто не мешает применить этот приём и в том случае, если показа-
показательные количества войдут в большем числе. В самом деле, если
одного дифференцирования окажется недостаточно, вопрос решится
с помощью двух или нескольких дифференцирований.
I. Пусть y=-xZT7^ '¦> помножим числитель и знаменатель этой
г- т ё2х +1 „х у +1 .¦> ,1/4-1
дроои на ех , получим у — -^— , откуда е- = -—- и Ах = I: .
f." —i 1 у — 1 '/ — 1
Дифференциал этого уравнения есть
j ^ dy
(i X '--- ".i :
у2 1
- 1 1 - //-
,,Х .1. f,- X
II. Пусть у — 1 —;-'—; первое дифференцирование даёт dy =
(e*-e-x)dx d>/ eix -1 „- dy + dx n
= eJ+8-— «ли _=^ri, откуда e-I=-df-_-rfy-. Следовательно,
л. Эйле1>
194 ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
„ , dvA-dx т-г 7 f I dxdsy
2х = 1 :у j— . Полагая dx постоянным, будем иметь dx = -=—;—-—.-
или
dx'1 —d3y A- dy-.
295. Таким же образом устранятся из уравнения с помощью диф-
дифференцирования трансцендентности, зависящие от круговых функций,
что видно из следующих примеров:
I. Пусть ?/ = aarcsin — ; тогда
, a dt
тт тт V Ч ч du —х dn А-ч dr . у Тт
П. Пусть w = acos— ; тогда — = cos —и --- = ¦ -sin-. Но
•> -J х ' а х а X' х
так как cos — =-- , то sin — = ''•— : подставив это значение полу-
х а х a j j
чим
dy (у dx — x dy) Vа" — уг
а ах1
ИЛ И
х2 dy = (у dx — х dy) у a2 — у'1.
III. Пусть у = иг sin х А- п cos ж; поело первого дифференцирования
получим
dy — т dx cos x—ndx sin x;
дифференцируя ещё раз при постоянном dx, будем иметь
d2y = — т dx2 sin х — п dx2 cos x.
Ото уравнекие, разделённое на первое, даёт —-= —dx'1. или
d°y Ат у dx'1 = 0.
В этом уравнении не содержатся не только синус и косинус, но также
постоянные m и п.
IV. Пусть ?/ = sinlx; тогда arcsiny== \x; с помощью дифференци-
dy dx
рования получаем — = — ; возводя в квадрат, получаем уравне-
1' 1- у1 х
ние
х2 dif- = dx" — у- dx~;
полагая в последнем dx постоянным и дифференцируя ещё раз, получаем
2х2 dy d"-y At 2x dx dy- =? — 2y dx" dy
или
x" d'-y A- x dx dy Ar у dx" — 0.
V. Пусть у = aewx sin пх; дифференцируя, будем иметь уравнение
dy = maemx dx sin пх -f naernx dx cos nx.
Разделив ехчз на предложенное, получим
dv , л dx cos пх , , , .
- = in dx A ; = in dx A- n dx cts nx.
у sin nx ' °
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНКНИЯХ 195
Следовательно,
. / dy пг\
arcctg ( —~ 1 =-- пх.
° \пу dx n J
Это уравнение, будучи продифференцировано при постоянном dx, даёт
п dx= —.-—
mJ?/2 da-- 4 /i-i/2 dx'6 — 2my dx dy f- <ij/2 '
ИЛИ
(//(' 4- n~) if dx' — 2m i/ dx dy = — у d2y ').
Итак, ясно, что хотя бы в дифференциальном уравнении и не было
никаких трансцендентных количеств, однако оно может произойти из
конечного уравнения, в которое каким-нибудь образом входят транс-
трансцендентные количества.
296. Так как дифференциальные уравнения первого и высших
порядков, содержащие две переменные х и у, происходят из конечных
уравнений, то и дифференциальные уравнения выражают соотношение
между этими переменными. А именно, если предложено какое-либо диф-
дифференциальное уравнение, содержащее два переменных х и у, то оно
обозначает, что между х и у существует некоторое соотношение, в силу
которого у является какой-то функцией от х. Таким образом, природа
дифференциального уравнения будет выяснена, если можно будет пред-
представить у в виде такой функции от х, которая указывается дифферен-
дифференциальным уравнением, т. е. которая составлена таким образом, что
если повсюду подставить её вместо у, её дифференциал вместо dy, её
высшие дифференциалы вместо d2y, d3y и т. д., то получится тождест-
тождественное уравнение. Разысканием таких функций и занимается интеграль-
интегральное исчисление, цель которого состоит в том, чтобы по данному диффе-
дифференциальному уравнению определить ту функцию количества х, которой
равно другое переменное у, или, что то же, найти конечное уравнение,
дающее соотношение между х и у.
297. Пусть, например, предложено уравнение
2у dy — a dx — ¦-—- -\-xdx— О,
к которому мы пришли раньше (§ 288); оно определяет соотношение
между х и у, выражаемое в то же время конечным уравнением
X
у~ — ах — Ь'еа "
X
Так как из этого уравнения мы находим у"'= ах-\-Ь'~еа, то ясно, что
ах-]-Ь'2еа —у есть та функция от х, которой равно переменное у
и силу предложенного уравнения. Ибо, если подставить в уравнение
х
вместо у'2 значение ах-\-Ь~е.а и вместо 2уdy его дифференциал
J) В первом издании.
п dx dy1 — пу dx d2y , „ . , , ., ,,
л dx = -7—-— ^ —2 a— - - и,in (m- ;- it-) y' dx- — Imy dx dy ==¦ d,r — у d-y
m-y- dx- J-п-уг dx2 — 2my dx dy
[Г. A*.].
13*
196 ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
a dx-\— еа dx, то получим тождественное уравнение
Ъ2 * Ъ*~ -
adtA еаdx— a dx — xdx еаdx4-хdx — 0.
а а '
Таким образом, ясно, что всякое дифференциальное уравнение, так ;ко
как и уравнение конечное, выражает определённое соотношение между
переменными х и у; однако это соотношение нельзя найти без помощи
интегрального исчисления.
298. Чтобы лучше это понять, положим, что нам известна та функ-
функция от х, которая равна количеству у в силу какого-нибудь дифферен-
дифференциального уравнения первого или высшего порядка. Пусть
dy = pdx, dp — qdx, dq = rdx и т. д.
Если, кроме того, в дифференциальном уравнении дифференциал dx
был принят за постоянное, то будем иметь d2y — qdx\ d3y — rdx3 и т. д.
Когда эти значения будут подставлены в уравнение, все его члены
станут однородными, так что от дифференциалов dx мы освободимся
с помощью деления. Мы получим тогда уравнение, содержащее только
конечные количества х, у, р, д, г и т. д. А так как р, q, г и т. д.
суть количества, зависящие от вида функции у, то в действительности
предложенное уравнение даёт соотношение только между двумя коли-
количествами х и у. Таким образом, всякое дифференциальное уравнение
определяет некоторое определённое соотношение между переменными
х а у. Поэтому, если, решая какую-нибудь задачу, мы придём к диффе-
дифференциальному уравнению, связывающему х и у, то нужно считать, что
оно таким же образом выражает соотношение между х и у, как если бы
мы пришли к конечному уравнению.
299. Итак, указанным способом можно всякое дифференциальное
уравнение привести к такому конечному виду, чтобы в нём содержа-
содержались только конечные количества, дифференциалы же, т. е. количества
бесконечно малые, вовсе не входили бы. Действительно, если у есть
некоторая функция от х, то, положив dy—pdx, dp = qdx, dq = rdx
и т. д., какой бы дифференциал ни был принят за постоянное, мы
сможем выразить вторые и высшие дифференциалы через степени коли-
количества dx, которые затем совершенно устранятся с помощью деления.
Так, пусть предложено уравнение
ху d3y -f хг dy d"y + у- dx d~y — xy dx3 = 0,
в котором dx положено постоянным.. Положив dy=p dx, dp — q dx
и dq=rdx и разделив всё уравнение на dx3, мы придём к уравнению
х yr + x2pq + ifq — ху = 0.
Это конечное уравнение и определяет соотношение между х и у.
300. Итак, все дифференциальные уравнения, каков бы ни был
их порядок, с помощью подстановок
dy=pdx, dpt=qdx, dq = rdx и т. д.
приводятся к уравнениям, содержащим только конечные количества.
Если дифференциальное уравнение было первого порядка, так что
в него входили только первые дифференциалы, то это преобразование
вводит, кроме количеств х и у, ещё количество р. Если дифференциаль-
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ 197
ное уравнение было второго порядка, т. е. содержало вторые дифферен-
дифференциалы, то вводится, кроме того, количество д; если третьего порядка,
то, сверх того, количество г, и т. д. Поскольку, таким образом, диф-
дифференциалы вовсе исключаются из вычисления, постоянный дифферен-
дифференциал становится совершенно излишним, и нам больше нет нужды,
хотя бы в уравнение входили количества q, r, возникающие из вторых
дифференциалов, указывать, принят ли за постоянное какой-либо диф-
дифференциал. В самом деле, теперь безразлично, сочтём ли мы по произ-
произволу какой-либо дифференциал постоянным или никакой дифференциал
не будем считать постоянным.
301. Если предлагается дифференциальное уравнение второго или
высшего порядка и если указано, что в нём никакой дифференциал
не принят за постоянное, то тотчас же можно узнать, содержится
ли в нём определённое соотношение между хну или не содержится.
В самом деле, так как никакой дифференциал не принимается за по-
постоянное, то от нашего произвола зависит, какой дифференциал поло-
положить постоянным. Значит, нужно только рассмотреть, выражает ли
уравнение одно и то же соотношение между х и у, если различные
дифференциалы полагать постоянными. Если это не имеет места, то мы
имеем верный признак того, что уравнение но выражает никакого опре-
определённого соотношения и потому не может иметь места при решении
какой-либо задачи. Вернейшим же и в то же время самым лёгким спо-
способом узнать это является тот самый способ, который мы изложили
выше (§ 277) применительно к дифференциальным выражениям и кото-
который позволяет узнать, имеют ли они фиксированные значения.
302. Итак, если предложено такое дифференциальное уравнение
второго или более высокого порядка, в котором никакой дифференциал
не положен постоянным, то нужно сначала принять за постоянное диф-
дифференциал dx, затем снова привести это уравнение к такому виду,
который соответствует предположению, что никакой дифференциал
не принят за постоянное. Как было показано выше (§ 276) примени-
применительно к дифференциальным выражениям, для этого нужно положить
d
¦Sd'xd
dx
+ -
г v a -x
dx
\dv d*x2
dx>
И Т.
вместо d
dy d3x
dx
Д.
у
,3
вместо ay
После этого нужно посмотреть, совпадает ли полученное таким
образом уравнение с предложенным; если совпадает, то предложенное
уравнение выражает определённое соотношение между х и у; если же
не совпадает, то уравнение будет неопределённым и не будет выражать
определённого соотношения между переменными х и у, как это было
подробно показано выше.
303. Чтобы лучше уяснить это, рассмотрим уравнение
Р d*x + Q d*y + R dx2 + S dx dy + T dy* = 0.
Пусть указано, что оно найдено в предположении, что никакой диф-
дифференциал не принят за постоянное. Положим, что постоянным является
dx; тогда предложенное уравнение перейдёт в уравнение
Q d*y + R dx' + S dx dy + T dy" = 0.
198 ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Если мы теперь снова откажемся от рассмотрения постоянных диф-
дифференциалов, то из этого уравнения мы по вышеизложенному способу
получим уравнение
Так как оно отличается от предложенного только тем, что у них пер-
первые члены различны, то нужно посмотреть, имеет ли место равенство
Р==— -~- . Если да, то предложенное уравнение выражает фиксирован-
фиксированное соотношение между х и у. Это соотношение найдётся по правилам,
которые мы изложим в интегральном исчислении, какой бы первый
дифференциал ни был принят за постоянное. Если же не будет иметь
п О dv r
места Р = — j^ > т0 предложенное уравнение будет невозможным.
304. Итак, чтобы уравнение
Р d-x +Qd3y + Rdx"+ S dxdij+T dif ¦=, 0
по было нелепым, необходимо, чтобы Р dx-j-Qdy — 0; это может про-
произойти двояким образом: либо в действительности будем иметь
Р —— j > т- е- уравнение Pdx-\-Qdy — 0 будет тождественным, либо
Р dx + Qdy = O будет тем дифференциальным уравнением первого поряд-
порядка, из дифференцирования которого произошло предложенное уравне-
уравнение. В этом последнем случае уравнение Pdx + Qdy = 0 будет совпа-
совпадать с предложенным и выражать то же соотношение между х и у.
Тогда это соотношение можно найти без помощи интегрального исчи-
исчисления. Действительно, так как Рdx-\- Qdy = 0, то, дифференцируя,
•будем иметь
Pd-x + Q dhj + dPdx+ dQ dy = 0.
Если отнять ото уравнение от предложенного, в остатке получится
Р dx2 + S dx dy f T dy* = dPdx+ dQ dy.
А так как dy = —:, то дифференциалы можно вовсе устранить,
и мы получим конечное уравнение, содержащее х и у, дающее соот-
соотношение между ними.
305. Пусть при решении задачи мы, не полагая никакого дифферен-
дифференциала постоянным, пришли к уравнению
x3d*x + x2yd2y — у2 dx% -f x2 dy' + a2 dx"' = 0.
Так как известно, что это уравнение не является нелепым, то будем
иметь
х3 dx-\- z-ydy — 0
или
х dx + у dy = 0.
Дифференциал этого уравнения будет
xs d"'x + x-y d2y-{- 3x2 dx2 + 2xy dx dy -f %г dy3 = 0.
Отняв это уравнение от предложенного, будем иметь в остатке
a2 dx2 — у2 dx2 — 2х2 dx2 — 2ху dxdy = 0
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ 199
ИЛИ
d1 dx — y2dx — Зх2 dx — 2ху dy = 0.
Но так как х dx -{- у dy = 0, то будем иметь
2ху dx --- — 2х3 dx
и, следовательно.
a'2 dx — т/3 dx — х" dx = 0
или
у" + х3 = а2.
Это уравнение выражает истинное соотношение между х и у, поскольку
оно согласуется с ранее найденным дифференциальным уравнением
xdx-\- ydy = 0. Если такой согласованности не обнаружилось бы, то
предложенное уравнение нужно было бы считать невозможным. А так
как в данном случае согласованность имеет место, то мы смогли найти
конечное уравнение х2-{-г/2 = я2 без помощи интегрального исчисления.
306. Дадим теперп пример невозможного уравнения. Пусть пред-
предложено уравнение
г/2 d'x — х* d2y + у dx3 — х dy"- -\-adxdy = 0,
в котором никакой дифференциал не принят за постоянное. Тогда мы
будем иметь у'2 dx — x2dy = 0 и, дифференцируя, получим
уг dix — х2 d2y + 2у dx dy — 2х dx dy = 0.
Положив это выражение равным предложенному, мы получим
у dx2 — х dy2 + a dx dy = 2у dx dy — 2x dx dy.
А так как dy — y-.i--, то, освободившись от дифференциалов, мы полу-
получим
1 _^!-f—- = — — —
J х3 x'z х2- х
ИЛИ
Xs — у* + аЩ = 2ху° — 2х2у.
Согласуется ли это уравнение с дифференциальным уравнением уг dx —
— x"~dy — 0, легко выяснится дифференцированием. Мы будем иметь
За;2 dx — Зг/2 dy + axdy+ ay dx = 2y"' dx + ixy dy — 2x' dy — ixy dx,
т. e.
dy _ 'Ax- + ay — 2if- + kxy
dx 'Ay* — ax -\- ixy — 2xz '
Отсюда ¦р=^, и следовательно, будем иметь
Зж4 + ix3y + ах* у = Зу4 -f 4яу3 — аху-
или
4г31/ —
ах?/ = -^-^—^гт:— = Зу* -Ь х?/- — х-?/ — Зх*.
Но прежде из конечного уравнения мы нашли, что
аху = у3 + 2ху"' - 2х2у — х3.
Вычитая это уравнение из предыдущего, получим уравнение
200 ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
которое распадается на уравнения
0=?у — х
м
2у- -j- ух + 2х2 = О.
Первое из них. у = х, хотя и согласуется с дифференциальным уравне-
7 Ф dx
нием ау—-г , однако противоречит прежде наиденному конечному
уравнению, если только не положить а = 0 или если не считать оба
переменных хну постоянными. Но в этом случае, е.сли dx=0 и dy — Q,
удовлетворяется всякое дифференциальное уравнение; поэтому пред-
предложенное уравнение не может существовать.
307. Рассмотрим теперь дифференциальные уравнения, содержащие
три переменные х, у и z; они могут быть первого, второго или высшего
порядков. Чтобы изучить их природу, нужно заметить, что конечные
уравнения, содержащие три переменные, определяют соотношение, кото-
которое существует между одной из них и двумя остальными; иными сло-
словами, дно определяет, какой функцией количеств х и у является z.
Итак, конечное уравнение такого рода будет решено, если мы найдём,
какую функцию количеств х и у нужно подставить вместо z, чтобы
уравнение удовлетворилось. Таким же образом дифференциальное уравне-
уравнение, содержащее три переменных, будет определять, какова та функция,
которая выражает одно переменное через другие;' и нужно считать, что
решил дифференциальное уравнение тот, кто указал такую функцию
двух переменных х и у, которая, подставленная вместо третьего пере-
переменного z, удовлетворит уравнению, т. е. сделает его тождественным.
Итак, дифференциальное уравнение будет решено, если либо будет
определена функция от х и у, выражающая значение количества z,
либо будет указано конечное уравнение, выражающее значение, кото-
которое дол?кно иметь z.
308. Всякое дифференциальное уравнение, содержащее только два
переменных, всегда выражает определённое соотношение между ними.
Для уравнений с тремя переменными это имеет место не всегда. Есть
такие уравнения, которым ни в каком случае, какие бы функции х и у
ни подставлять вместо z, удовлетворить нельзя. Так, если предложено
уравнение
= ydx,
то, как легко видеть, не существует такой функции количеств х и у,
которая, будучи подставлена вместо z, даст zdy — ydx; действительно,
дифференциалы dx и dy никаким образом не уничтожатся. Таким же
образом мы убедимся, что нет никакой функции количеств жиг, кото-
которая, будучи подставлена вместо у, удовлетворила бы тому же уравне-
уравнению. Действительно, какую бы функцию жиг мы ни взяяи, в её диф-
дифференциал будет входить дифференциал dz, который не может унич-
уничтожиться, так как его нет в уравнении. Поэтому не может существо-
существовать никакого конечного уравнения, связывающего х, у и z, которое
соответствовало бы дифференциальному ура&нению zdy = ydx.
309. Следовательно, дифференциальные уравнения, содержащие три
переменных количества, нужно подразделить на действительные и мни-
мнимые. Мнимым или нелепым будет таксе уравнение, которому нельзя
удовлетворить никаким конечным уравнением; таков.о, например, урав-
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ 201
нение zdy = ydx, которое мы только что рассмотрели. Действительным
же будет то уравнение, для которого можно найти такое равносильное
ему конечное уравнение, которое выражало бы одно из переменных
в функции двух других. Таково уравнение
г dy + у dz = х dz + z dx + x dy -f у dx.
Действительно, оно совпадает с конечным уравнением yz — xz-\- xy и даёт
XV
z = —z—.
У-Х
Это различие между действительными и мнимыми уравнениями надо
соблюдать очень тщательно, особенно в интегральном исчислении, ибо
было бы смешно искать интеграл какого-нибудь дифференциального
уравнения, т. е. конечное уравнение, удовлетворяющее ему, когда
такого конечного уравнения вовсе не существует.
310. Прежде всего ясно, что все дифференциальные уравнения,
содержащие три переменных, в которые, однако, входят только два
дифференциала, являются мнимыми' и нелепыми. Действительно, пусть
в уравнение, содержащее z, входят только дифференциалы dx и dy,
дифференциал же dz вовсе не входит. Тогда ясно, что нельзя найти
никакой функции от х и у, которая, будучи подставлена вместо г, сде-
сделала бы уравнение тождественным. Действительно, дифференциалы dx
и dy никаким образом ие будут уничтожены. Итак, в этих случаях
вообще не существует конечного уравнения, удовлетворяющего диф-
дифференциальному, разве что случайно окажется возможным задать такое
соотношение между хну, которое могло бы иметь место, каково бы ни
было z, как это мы имеем для уравнения
zdy — zdx — уйу — х dx,
которому удовлетворяет уравнение у = х. Однако в каждом случае легко
выяснить, может ли это случиться; для этого нужно только сначала
найти соотношение между х и у при z — 0, а затем проверить, удовле-
удовлетворяет ли это соотношение предложенному уравнению при каком
угодно значении количества z.
311. Уравнение с тремя переменными может быть нелепым не только
в том случае, когда в него входят только два дифференциала, но
и тогда, когда в него входят все три дифференциала. Положим, напри-
например, что Р и Q суть функции количеств х и у и что мы имеем уравне-
уравнение
Если оно не является нелепым, то будет существовать некоторая функ-
функция z количеств х и у, дифференциал которой будет равен dz — pdx +
+ gdy, и будет Р = р и Q = q. Но выше (§ 232) мы доказали, что
pdx+qdy может быть дифференциалом некоторой функции от х и у
лишь в том случае, если (j-)= ( ,г ) > где> как было раньше условлено,
(«Ту обозначает дифференциал количества р, взятый в предположе-
предположении, что только у переменно, и разделённый на dy, а ( ?- J есть диф-
дифференциал количества q, взятый в предположении, что переменно
202 ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
только х, и разделённый на dx. Поэтому уравнение dz = P dx-\- Qdy
может быть действительным лишь в том случае, если
\^dx
312. Совершенно в таком же положении находится уравнение
dZ = Pdx + Q dy,
если в нем Z обозначает какую-либо функцию от z, a P и Q суть функ-
функции х и у, не содержащие третьего переменного z. Действительно, для
того чтобы Z могло быть равным функции от х и у, необходимо, чтобы
/dP\ fdQ\ a
( 7/ = ( j" . ¦ • ^тот критерии позволяет судить относительно всякого
уравнения, принадлежащего к рассматриваемому общему виду, является
л:; оно действительным или нелепым. Так, уравнение zdz = у dx -J- xdy,
очевидно, является действительным, ибо вследствие Р = у п Q—x мы
имеем
Уравнение же azdz = y"dx -f x'-r/у является нелепым; действительно,
\dyj J \dxj
а эти значения не равны.
313. Установим теперь наиболее общий критерий. Пусть Р, Q и R
суть какие-либо функции от х, у и z; тогда всякое дифференциальное
уравнение первого порядка с тремя переменными будет принадлежать
к виду
Всякий раз, как это уравнение является действительным, z будет
равняться некоторой функции количеств х и у, и значит, его диф-
дифференциал будет иметь вид dz— pdx+ qdy. Поэтому, если в предложен-
предложенное уравнение подставить эту функцию количеств х и у вместо z
ir pdx-\-qdy вместо dz, то необходимо должно получиться тождествен-
тождественное уравнение 0---0. Но n;s предложенного уравнения мы имеем
Коатому, если в Р. () и R подставить вместо z его значение, то
до'тжно получиться
Р О
;,= -- и ?=-- .
314. Но так как dz — pdx~\-qdy, то по ранее доказанному будем
иметь ( у^)= ( т~-) • Поскольку же после подстановки вместо z его
выражения череп х и у должно быть
Р
р=-7{ и
мы оудем иметь
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
203
так что после умножения на R"' получим уравнение
J
J
где знаменатели dy и dx попрежнему указывают, что в дифференциалах,
стоящих в числителях, нужно считать постоянным только то перемен-
пое количество, дифференциал которого стоит в знаменателе. Но диф-
дифференциалы d,P, dQ, dR будут известны лишь после того, как в самих
количествах Р, Q и R вместо z будет подставлено надлежащее значе-
значение, а так как оно неизвестно, то нужно поступить следующим
образом:
315. Так
положим
как Р, Q и R суть функции количеств х, у и z, то
d,P = ndx + $dy + ydz,
dQ - odx-r sdy-j- Zdz,
dR = t\dx + My + :dz,
s. и т. д. обозначают те фуршцпи, которые происходят
от дифференцирования. Представим теперь, что вместо г повсюду под-
подставлено его выражение через х и г/, и положим вместо dz значе-
значение pdx-\-qdy; тогда будем иметь:
где я, р, у, б,
dQ = (8 + гр) dx + (г + lq) dy,
dR -=- (т) + ip) dx + @ + iq) dy.
Из этих выражений будем иметь
316. Так как для того, чтобы уравнение было действительным,
требуется, чтобы
то, подставив сюда найденные значения, будем иметь
Р (в + tg) - Д (Р + Y7) = ^ (>} + ip) - Д (8 -^
Но раньше мы нашли, что
Р =
Р
R
д= -
Так как в эти выражения дифференциалы больше не входят, то ими
можно пользоваться и без того, чтобы вместо z было подставлено его
выражение через х и у. Итак, мы будем иметь
или
А так как количества р, о, f, i\, I, 9- находятся дифференцированием,
то при указанном выше способе обозначения м$л будем иметь
204 ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СРАВНЕНИЯХ
Если уравнение этим свойством не обладает, оно будет не действитель-
действительным, а мнимым и нелепым.
317. Хотя это правило получено из рассмотрения переменного 2,
однако так как в него все количества входят равноправно, то очевид-
очевидно, что мы получили бы то же выражение и из рассмотрения осталь-
остальных переменных. Итак, если предложено какое-либо дифференциаль-
дифференциальное уравнение первого порядка с тремя переменными, тотчас же мо-
можно судить, действительное ли оно или мнимое. Для этого нужна
сравнить его с уравнением общего вида
и найти значение выражения
Если оно равно нулю, то уравнение будет действительным; если же
оно не будет равно нулю, то это — верный признак того, что уравнение
является мнимым или нелепым.
318. Предложенное уравнение всегда можно также привести к виду
dz=O;
так как первоначальное уравнение принимает этот вид при R—1, то
критерий можно выразить проще следующим образом:
Всякий раз, как это выражение на самом деле оказывается равным
нулю, предложенное уравнение является действительным; если же
имеет место противное, то уравнение будет мнимым. Последнее утвер-
утверждение в силу доказанного является безусловно достоверным. Что
касается первого, то пока можно было бы усомниться в том, что
уравнение является действительным всегда, когда упомянутый кри-
критерий указывает н*а это. В данном месте это не может быть доказано
со всей полнотой и может быть подтверждено доказательством лишь
в интегральном исчислении. Здесь мы ограничимся утверждением
этого факта, и если кто-либо склонен был на минуту усомниться в его
истинности, то он может не бояться никакой опасности.
319. Из этого критерия прежде всего явствует, что если е уравнении
Pdx + Qdy + Rdz= 0
Р будет функцией только одного переменного х, Q — функцией только
переменного у и R — функцией только переменного z, то уравнение
всегда будет действительным. Действительно, в этой случае
fdp\ n fdp\ A CdQ\ (Л fdQ\ л fdR\ л fdR\ л
(-5-) = 0, (j-)=0, ( з-^ ) = 0, ( з-М = 0, г =0 я г =0>
\dy У \dz/ \dz J \dxj ' \dx J \dy J '
так что всё выражение, которое составляет критерий, само собой
исчезает.
320. Если Р попрежнему является функцией только переменного
х, Q — функцией только переменного у, a R — какой-либо функцией
х, у и z, то уравнение будет действительным, если
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ 205
или
Г**Л-Г**>1=р-о
Так, пусть будет предложено уравнение
Idx Ыу x-y*dz
Так как здесь
=^ и /* = q
у zb
и, значит,
fdR\ _4xys
\dx~J — ~z»~ И \d~yj
ТО
t\ _n (dR\ ^хуг
и, следовательно, предложенное уравнение действительное.
321. Пусть Р и Q будут функциями переменных ха у, a R— функ-
функцией только переменного z; так как
г ¦¦ fdP\ / dO\ „,
то уравнение оудет действительным, если (t") = (j^)- *° же самое
условие имеет место, если Pdx-\-Qdy должно быть полным дифферен-
дифференциалом, т. е. дифференциалом, происшедшим от дифференцирования
какой-то конечной функции количеств х и у. Уже раньше (§ 312) мы
заметили, что уравнение dZ = Pdx-\-Qdy, где Z есть функция только
количества z, a P и Q—функции количеств х и у, может быть дей-
действительным лишь в том случае, когда ( -г- ) = Г-^ J. Эти случаи пол-
полностью согласуются друг с другом, ибо вместо Rdz, если R есть функ-
функция только количества z, можно положить dZ, где Z есть функция
только количества z.
322. Чтобы пояснить этот критерий на примере, рассмотрим
уравнение
Fxy2z — 5?yz3) c?x + {Ъх'-yz -— 4.Г23) Л/ + {-ix'y2 — 6xyz2) dz — 0;
¦сравнив его с уравнением общего вида, получаем:
- byz\ (^) = Q?)
-4xz3, (g) =
(g) = 10^z-4z3, (g) = oxy-
R=z',xy — 6xyz", (j?^=8x?f-6yz\ (J~) = 8x-y —
После того как эти значения найдены, уравнение, дающее критерий,
примет вид
{6x?/z - byz3) (- Зх2у — бд-z2) + {Ъх-yz - ixz*) {2x?/ + 9yz~) +
+ Dа;2?/2 — Qxyz-) Bxijz — z3) = 0.
206 ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Если это выражение развернуть, то все члены взаимно уничто-
уничтожатся, и мы получим 0=0; это указывает на то, что предложенное
уравнение действительно.
323. Когда же выражение, которое, таким образом, получается из
критерия, не исчезает, это есть признак того, что предложенное урав-
уравнение мнимое. Так как, однако, критерий даёт конечное уравнение,
то, если последнее согласуется с дифференциальным уравнением, оно
вместе с тем выражает соотношение между переменными х и у. Таким
образом, возникают те случаи, о которых мы уже упоминали выше
(§ 310). Так, пусть предложено уравнение
(z — x)dx + {у ~z)dy = 0.
Здесь
P = z — x, Q = y — z и i?=0.
Далее,
fdP\ f
UJ=1 и С
Уравнение, служащее критерием, имеет вид
или
откуда
А так как здесь случайно оказывается, что уравнение у~х вместе
с, тем удовлетворяет дифференциальному уравнению, то предложенное
уравнение не означает ничего иного, кроме того, что у — х.
324. Итак, если предложено дифференциальное уравнение, содер-
содержащее три переменных
Pdx + Qdy + Rdz — 0,
то нужно различать три случая, к которым может привести уравнение
Первый случай имеет место, если это выражение в самом деле равно
нулю. Тогда предложенное уравнение действительно. Если же это
конечное выражение не является тождественным, то нужно посмотреть,
удовлетворяет ли оно предложенному уравнению. Если удовлетво-
удовлетворяет, то мы будем иметь конечное уравнение; это —второй случай.
Третий же случай имеет место, если ковочное уравнение не совмест-
совместно с предложенным дифференциальным уравнением, и тогда пред-
предложенное уравнение будет мнимым, и нельзя будет найти никакого
конечного уравнения, которое удовлетворило бы ему.
325. Первый и третий случаи являются сами собой очевидными:
второй же, хотя он встречается очень редко, нужно хорошо заметить.
Так как в примере, которым мы выше его пояснили, мы имели
уравнение, содержавшее лишь два дифференциала, то приведём ещё
уравнение
(Z — у) dx + xdy + {у — z) dz,
ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ 207
в которое входят все три дифференциала. Мы будем здесь иметь
?-. (Ю-0- (?)-<-
откуда получаем конечное уравнение, дающее критерии
z-x—y=0
ИЛИ
z = x + y.
Подставим это значение вместо z в дифференциальное уравнение; мы
будем иметь
xdx + xdy — х (dx + dy) = 0.
Так как это уравнение является тождественным, то отсюда следует,
что дифференциальное уравнение но выражает ничего, кроме
326. Мы сказали, что все дифференциальные уравнения первого
порядка с тремя переменными содержатся в уравнении вида
Pdx+Qdy + Rdz=O.
Однако может возникнуть сомнение относительно таких уравнении,
которые содергкат вторые или высшие измерения дифференциалов, како-
каковым является, например, уравнение
Р dx- + Qdy2 + R dz* = 2Sdxdy + 2T dx dz + 2V dy dz.
Об этих уравнениях нужно заметить, что они ни в каком случае
не могут быть действительными, если только они не распадаются на-
множителей выше рассмотренного вида; тогда они сводятся к простей-
простейшим уравнениям. Действительно, так как наше уравнение даёт
_ Т dx 4- V dч ± Ydx- (Т1- -PR)-\- idx dy (TV + RS) + dyi (F2 - QH)
то ясно, что z может быть равным некоторой функции количеств хм. у,
т. е. dz равным выражению вида pdx + qdy, лишь в том случае, если
иррациональное количество становится рациональным, т. е. если
{Г1 - PR) {V1 - QR) = {TV-RSf
или
PV* + 2STV + QT2
PQ-S2
Итак, если это конечное уравнение не удовлетворяет предложенному
уравнению, то последнее будет мнимым.
327. Мы должны были бы в этой главе остановиться ещё на диф-
дифференциальных уравнениях высших порядков и установить случаи,
когда они оказываются действительными и когда мнимыми. Но так-
как эти критерии оказались бы очень сложными, то мы не станем
выполнять этой работы, тем более что эти критерии проистекают и:;-
208 ГЛ. IX. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
того же источника, которым мы здесь уже пользовались. Впрочем,
если в интегральном исчислении нам понадобятся эти критерии, мы
легко сможем тогда их найти. По той же причине мы не будем здесь
рассматривать и уравнения, содержащие большее число переменных.
Они почти никогда не встречаются, а если когда-либо встретятся, то
без труда смогут быть рассмотрены, исходя из изложенных здесь основ-
основных начал. Поэтому после всего вышеизложенного мы заканчиваем здесь
изучение правил дифференциального исчисления и переходим к тем
замечательным применениям, которые это исчисление имеет как в самом
анализе, так и в высшей геометрии.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
ЧАСТЬ ВТОРАЯ,
СОДЕРЖАЩАЯ ПРИМЕНЕНИЕ
ЭТОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
В АНАЛИЗЕ КОНЕЧНЫХ
А ТАКЖЕ В УЧЕНИИ
О РЯДАХ
ГЛАВА I
О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РЯДОВ
1. Так как нам нужно показать применение дифференциального
исчисления в общем анализе и в учении о рядах, то здесь придётся
привести некоторые вспомогательные сведения из общей алгебры, кото-
которые обычно не излагаются. Хотя большая их часть уже рассмотрена
нами во «Введении», однако кое-что мы там опустили, отчасти потому,
что считали более удобным изложить это тогда, когда в этом будет
необходимость, а отчасти потому, что нельзя было предвидеть всё, что
нам позднее понадобится. Сюда относится преобразование рядов, кото-
которому мы посвящаем эту главу и с помощью которого какой-либо ряд
можно преобразовать в бесчисленные другие ряды, которые все будут
иметь одну и ту же сумму, так что если известна сумма предложен-
предложенного ряда, то и остальные ряды можно будет тотчас же суммировать.
На основе того, что будет изложено в этой главе, мы сможем в даль-
дальнейшем с помощью дифференциального и интегрального исчислений
расширить учение о рядах.
2. Мы будем рассматривать преимущественно такие ряды, отдель-
отдельные члены которых содержат множителями последовательные степени
некоторого неопределённого количества, ибо такие ряды имеют более
широкое применение и приносят большую пользу.
Пусть предложен следующий общий ряд, сумму которого, известна
она или нет, мы положим равной S, так что
5 ¦- ах + Ьх"- -L схя -г dx* 4- рхъ ¦-- и т. д.
Теперь положим х = —У— ; разложение в бесконечные ряды даёт:
Х = У — У"' + Уъ — 1/ + Уь — У*-г и т. д.,
х* = у- — 2у3+ .%4 — 4?/5 + 5г/6-6?/' + и т. д.,
x3=,ys — Зг/44-6?/5 — l0i/ + lbif~2h/-i- и т. д..
х* = у1 — krf +10?/' - 20?/' + 35?/8 — 56г/9 + и т. д.
и т. д.
Подставив эти значения и расположив ряд по степеням количества у,
мы получим
S — ау — ay2 -J- ау3 — ау* + ауъ и т. д. —
+ 6-26 + 36-46 +
r с — Зс + 6с -4-
14
212 ГЛ. I. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РЯДОВ
З.Так как мы положили х = ~— , то ?/ = —- ; после подстановки
1-1 у J 1-Х
этого значения вместо у предложенный ряд
S = ах+ Ьх2 4- схг + dx* + ехъ 4- и т. д.
преобразуется в ряд
в котором коэффициент Ь — а первого члена есть первая разность коли-
количества а, взятая из ряда а, Ъ, с, d, e и т. д.; её мы выше обозначали
через Да; коэффициент третьего члена с — 2Ъ-\-а есть вторая разность
Д2а; коэффициент четвёртого есть третья разность Д3а и т. д. Таким
образом, пользуясь последовательными разностями количества а, кото-
которые образуются из ряда а, Ь, с, d, e и т. д., мы преобразуем предло-
предложенный ряд к виду
S = t-—- а + <л v Да + /1 Х -чг ДаД + ,. Х дч A3a-f и т. д.
1-х A — х)- (\. — ху ' A—г4) ' м
Следовательно, сумма этого ряда будет известна, если известна сумма
предложенного ряда.
4. Если ряд а, Ъ, с, d и т. д. построен таким образом, что в конце
концов его разности становятся постоянными, это имеет место в том
случае, если его общий член будет целой рациональной функцией,
то второй ряд г^— а + ,. _ ху Да + и т. д. в конце концов будет иметь
исчезающие члены и, таким образом, его сумму можно будет представить
конечным выражением. Так, если уже первые разности ряда а, Ь, с, d
и т. д. постоянны, то сумма ряда ах + bx1 -f- cxs + dx* + ехь + и т. д.
будет равна
Если постоянными будут вторые разности коэффициентов ряда, то сумма
предложенного ряда будет равна
X
а
Таким образом, сумма рядов такого вида легко находится с помощью
разностей коэффициентов.
I. Пусть ищется сумма ряда
1х + За;2 -{-Ъх3 + 7а;4 + 9а;6 + и т. д.
Первые разности 2, 2, 2, 2 и т. д.
Так как первые разности постоянны и так как а = 1 и Да = 2, то сумма
предложенного ряда будет равна
II. Пусть ищется сумма ряда
6 + a т. д.
Первые разности 3, 5, 7, 9 и т. д.
Вторые разности 2, 2, 2 и т. д.
ГЛ. I. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РЯДОВ 213
Так как а — 1, Да = 3, Д2а = 2, то сумма предложенного ряда будет равна
х За2 1хг _ х + хг
\^~х + A - а;)^ + A - л)» ~~ ТГ^I" '
III. Пусть ищется сумма ряда
S = 4z+ibxi-t&0x3 + 85xi+'[56xb + 259x< + ii т. д.
Первые разности 11, 25, 45, 71, 103 и т. д.
Вторые разности 14, 20, 23, 32 и т. д.
Третьи разности 6, 6, б и т. д.
Так как а = 4, Да = 11, 12а- 14, Л3а == 6, то сумма будет
„ 4.1 L 1lz2 , 14а3 Сж*_
~ п^ '" A) ~~ A^х~У ' liT^a")*
ИЛИ
„ _ 4д —ж2 + 4,г3 —ж4 __ g(l -fx8)D-i)
15- (i=xy -~ (T=^F •
б. Этим способом находятся суммы рядов с бесконечным числом
членов, по таким же образом эти ряды можно суммировать и вплоть
до данною какого-либо члена. Пусть, например, предлагается ряд
S = ах + Ьхг + сх3 + dx* + . . . + охп
и ищется его сумма. Если этот ряд бесконечный, то сумма будет равна
Рассмотрим теперь члены этого ряда, следующие за членом охп, т. е.
члены
pxn*1 + qxn*2-\-rxn*3 + sxn*i + n т. д.
Сумма последнего ряда, если его предварительно разделить на х", может
быть найдена, как раньше; снова умножив на х", мы получим
Если эту сумму отнять от суммы ряда продолженного до бесконеч-
бесконечности, то останется искомая сумма предложенной части ряда
S =~(а-хпр) + 1J^W (la-х»&р) + b-^-f (A>a-хп^р) + и т. д.
I. Пусть ищется сумма конечного ряда
S = 1х + 2х2 + Зх3 + 4х +i.. . + пхп.
Найдём разности его коэффициентов, а также коэффициентов, следу-
следующих за последним коэффициентом
1, 2, 3, 4 и т. д.
1, 1, 1 и т. д.
п + I, п+2, п + 3 и т. д.
1, 1 и т. д.
Мы будем иметь а = 1, Да = 1, р = п-\-1, \р = \, поэтому искомая сумма
есть
14 ГЛ. I. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РЯДОВ
(ЛИ
II. Пусть ищется сумма конечного ряда
S = х + 4а;2 -j- 9х3 + 16х4 --•••+ пгхп.
Найдём сначала его разности
(и + 1J., (га+2)», (п + Зу и т. д.
и т. д.
и т. д.
!, 4, 9, 16 и т. д.
3, 5, 7 и т. д.
2, 2 и т. д.
Искомая сумма будет
я = db (* - <и +j )s*3)+7г^)»- ('л - B/г+з) *") + 7r^WB ~ 2х"]
или
„ _ ж + х°- + (п
6. Если предложенный ряд не имеет таких коэффициентов, для
которых разности в конце концов становятся постоянными, тогда для
определения его суммы применённое здесь преобразование ничего не
даёт. С его помощью даже приближённо определить сумму ряда нельзя
будет с большим удобством, чем это можно сделать путём сложения
членов предложенного ряда. Действительно, если в ряде ах-\-Ьх* + сх3 + dxl
и т. д. будет ж<1, а только в этом случае может иметь место, так
сказать, собственное суммирование, то будет -—— > х, и следовательно,
новый ряд сходится медленнее, чем предложенный. Если же в пред-
предложенном ряде будет х — 1, тогда все члены ноього ряда будут беско-
бесконечными, так что в этом случае такое преобразование совершенно
бесполезно.
7. Рассмотрим ряд, в котором знаки 4- и — чередуются и кото-
который получается из предыдущего, если х взять отрицательным. Таким
образом, пусть имеем ряд
S = ах — Ьж2+са;3 — dx1 -f- ?хь — и т. д.,
который получается, если в предшествующем ряде х взять отрицатель-
отрицательным; возьмём, как и раньше, разности Да, Д2а, Д3а и т. д. из ряда
коэффициентов а, Ъ, с, d, e и т. д., отнеся знаки только к степеням
количества х. Тогда предложенный ряд преобразуется в ряд
и мы видим, что предложенное уравнение можно суммировать в тох
же случаях, как и предшествующее, а именно, если ряд а, Ъ, с, d
и т. д. в конце концов даёт постоянные разности.
8. Однако в этом случае преобразование позволяет удобнее найти
приближённое значение предложенного ряда ах — Ъх1 + сх3 — dx* -f- схъ
X
-, по
х '
и т. д.; действительно, каково бы ни было число х, дробь ^—-
степеням которой располагается второй ряд, меньше единицы; если х
равно 1, то т-^— = -.-. Если же х < 1, то, положив х= — , будем иметь
ГЛ. I. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РЯДОВ 215
х 1
= -, так что ряд, полученный после преобразования, сходится
всегда быстрее, чем предложенный. Рассмотрим, прежде всего, случай,
когда х=1, который для суммирования рядов является очень важным.
Пусть
5 = а — 6 + с — d -\-е — / + и т. д.
и пусть первые, вторые и следующие разности количества а, которые
получаются из прогрессии а, Ь, с, d, с и т. д., обозначаются через Да,
Д2а, Л3а и т. д.; тогда будет
1 1 1 и 1
2 4~ р " 16 ' • Д-
Этот ряд, если он и не оборвётся, легко даст сумму с очень большим
приближением.
9. Покажем применение этого последнего преобразования в случае
Z — 1 на нескольких примерах и, прежде всего, на таких примерах,
в которых истинная сумма может быть выражена в конечном виде.
Таковыми являются расходящиеся ряды, в которых числа а, Ь, с, d
и т. д. в конце концов дают постоянные разности; так как суммы их
в обычном значении этого слова не могут быть собственно говоря, пред-
представлены, то термин «сумма» мы здесь будем понимать в том смысле,
который мы ему приписали выше (§ 111 1-й части), так что суммой
мы будем называть значение того конечного выражения, из разложения
которого возникает предложенный ряд.
I. Пусть предложен следующий ряд Лейбница:
5=1 —1 + 1 —1+1 —1 + и т. д.
Так как в нём все члены равны, то все разности равны нулю, и так
как а = 1, то 5=—.
II. Пусть предложен ряд
5 = 1—2 + 3—4 + 5 — 6+ и т. д.
Первые разности 1, 1, 1, 1, 1 и т. д.
Так как а — \, Да = 1, то
<? -1 * — 1
III. Пусть предложен ряд
5 = 1 — 3 + 5 — 7 + 9— и т. д.
Первые разности 2, 2, 2, 2 и т. д.
Так как а = 1 и Да = 2, то
2 4 '
IV. Пусть предложен ряд треугольных чисел
5=1—3 + 6—10+15-21+ и т. д.
Первые разности 2, 3, 4, 5, 6 и т. д.
Вторые разности 1, 1, 1 и т. д.
Так как здесь а — 1, Да = 2 и Д2а = 1, то
<?_1_1+1= 1
216 ГЛ. I. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РЯДОВ
V. Пусть предложен ряд квадратов
5 = 1 —4 + 9-16 + 25-Зб + и т. д.
Первые разности 3, 5, 7, 9, 11 и т. д.
Вторые разности 2, 2, 2, 2 и т. д.
Так как а=1, Аа = 3, Д3а = 2, то
<?_ * 3 4- 2 -О
VI. Пусть предложен ряд биквадратов
5=-1 —16 + 81—256+625 —1298+и т. д.
Первые разности 15, 65, 175, 369, 671 и т. д.
Вторые разности 50, 110, 194, 302 и т. д.
Третьи разности 60, 84, 108 и т. д.
Четвёртые разности 24, 24 и т. д.
Следовательно,
„ 1 15 50 го 24 0
10. Если ряд расходится в большей степени, чем геометрический
ряд и другие подобные последнему, то он тотчас же преоГразуется
в быстро сходящийся ряд; если же прообразованный ряд ещё недо-
недостаточно быстро сходится, то его можно таким же образом превратить
в другой, быстрее сходящийся.
1. Пусть предложен геометрический ряд
8 + 16-32+и т. д.
Первые разности 1, 2, 4, 8, 16 и т. д.
Вторые разности 1, 2, 4, 8 и т. д.
Третьи разности 1,2,4 и т. д.
Так как во всех разностях первый член равен единице, то сумма
ряда выразится следующим образом:
5==___+___ + ___+и т. д.
1
Сумма последнего ряда равна — . Действительно, ряд этот возникает
О
—— ,
из разложения дроби —— , тогда как предложенный ряд возникает из
разложения дроби —¦-— .
II. Пусть предложен рекуррентный ряд
S=l — 2 +5 — 12 + 29-70+169— и т. д.
Первые разности 1, 3, 7, 17, 41, 99 и т. д.
Вторые разности 2, 4, 10, 24, 58 и т. д.
Третьи разности 2, 6, 14, 34 и т. д.
Четвёртые разности 4, 8, 20 и т. д.
Пятые разности 4, 12 и т. д.
Шестые разности 8 и т. д.
и т. д.
ГЛ. I. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РЯДОВ
217
Таким образом, первые члены разностей составляют следующую удво-
удвоенную геометрическую прогрессию 1, 1, 2, 2, 4, 4, 8, 8, 16, 16 и т. д.;
следовательно,
1 1.2 2,4 4,8
+
Jj =^ '
2
т+4
16 ^ 32 64
128
Так как все члены, кроме первого, попарно взаимно уничтожаются,
то S = —. Предложенный же ряд происходит из разложения дроби
1 1
= — , как мы показали это при изучении свойств рекуррентных
рядов ').
III. Пусть предложен гипергеометрический ряд 2)
? = 1-2+6-24 + 120-720 + 5040 и т. д.
Его последовательные разности пам удобно будет представить слелу
ющим образом:
1
2
6
24
120
720
5 040
40 320
362 880
3 628 800
Первые
разности
1
4
18
96
600
4 320
35 280
322 560
3 265 920
Вторые
разности
3
14
78
504
3 720
30950
287280
2 943 360
Третьи
разности
И
64
426
3216
27 240
256320
2 656 080
и т. д.
Если продолжить вычисление этих разностей, то будем иметь
2119 16 687 ,
2 4 + 8 16 ~г 32 G4 "
128
256
148 329 _ 14.08 457 16 019 531
"" 512 1О2'Г~ ~" 20 i 8
190 890 >-
+ и т. Д.
Сложим два первых члена; тогда получим S=-r-\-A, где
. 3 11 . 53 3)9 . 2119
Л = + +И Т
Если теперь таким же образом взять разности, то будем иметь
615 4', 01
. __3 5 21 _ 9
' * 2^ И^ 2t
о '¦ 212 214
36 585 342 207 , 3 565 321
40 866 525
' 223
+ И Т. Д.
J) «Введение в анализ», т. I, гл. IV и XIII.
2) Общий члеи этого ряда есть ( — 1)" • 1-2 • 3 ... п. [Г Я.].
118 ГЛ. I. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РЯДОВ
Сложим деэ начальных члена и будем иметь J. = — -\-B, где
Я=-2Г--2!в -И Т. Д.
лова взяв разности этого ряда, будем иметь
D 21 15 100 429 5241 26 283 , 33S 835 2 771097
" 29 21г ' 215 218 221 2i4 ' 2-7 230
Соберём воедино четыре начальных члена и положим
1 тт fti
¦де
п 5241 26 283 ,
?=-2П 224-+ И т. д.
Сели сложить несколько членов этого ряда, то получим приближённо
-, 15 6i5 60 417 п
/ =--2^ ^зо^- Отсюда мы можем заключить, что сумма предложен-
юго ряда S = 0,400820551); однако едва ли это значение может счи-
аться точным за пределами трёх или четырёх десятичных знаков,
'ак как расходимость ряда очень велика; во всяком случае это значе-
ше меньше истинного. В другом месте я нашёл, что эта сумма равна
),403 652 407 7, причём все цифры вплоть до последней здесь верны2).
11. В первую очередь это преобразование чрезвычайно полезно
щя преобразования рядов, которые хотя и сходятся, но медленно,
! другие ряды, которые сходятся гораздо быстрее. Так как при этом
юследующие члены меньше, чем предыдущие, то первые разности
>трицательны; поэтому при последующих вычислениях нужно внима-
внимательно учитывать знаки.
I. J Еусть предложен ряд
,, liiii
Первые разности —-^ , — 2Т3 ' ~3~^' ~~ 4^5 ' ~5^ш т" д"
Вторые разности 1, 2ТзТ4-, YA~b ' 4~|t6h т- Д-
Третьи разности -1, -—111—, -3.!.5-6И т' д'
Четвёртые разности +—и т. д.
и т. д.
Следовательно,
5|+ + + Л+ + И Т Д
х) В оригинале 5 = 0,400 820 38. Исправлено Г. Ковалевским.
а) Истинное эначеаие S есть 1— е \ , или, как теперь пишут,
i
-be li (— J, где li обозначает интегральный логарифм. Если произвести вычисле-
1ие точно, пользуясь таблицами иитеграль iux логарифмов, то найдём, что
? = 0,433 652 6 {7 67... Таким образом, четыре п юлодние цифры Эйлера не верпы. Эту
шшбку впервые указал Ыаскерони (Maschero^.ii Adnotatioiies ad Euleri calculum
r.tegralem, Ticini, 17У0) [Г. R.].
ГЛ. I. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РЯДОВ
219
Оба эти ряда, как мы уже нашли во «Введошга» *), представляют гипер-
гиперболический логарифм двойки.
II. Пусть предложен ряд, из которого определяется длина окруж-
окружности 2):
?==1__ + „_т4----+ит. д.
Первые разности — j-j , — -^-, — ф-, - ^д , ~ <Гп и т- д*
п , 2-4 2-4 2-4 2-4
Вторые разности + —5 , -^ , — -д , ^-^ и т. д.
„ 2-4-6 2-4-6
Третьи разности — j^^Tf > ~ а-5-7-9 и т" д-
и т. д.
Следовательно, сумма ряда будет
с__ 1 , 1 1-2 l-2-з
6 ~ Т + 3^2 + 3^2 ¦+" F5T7T
или
ос 4 , * , I , i
25= ! + У + зГо + 3^
III. Пусть ищется значение бесконечного ряда
5 = 12-13+14-15+ 16-17+ и т. д.
Так как вначале разности очень отличны друг от друга, то сложим
первые члены вплоть до 110, взяв их значения из таблиц. Мы найдём,
что значение этих членов равно — 0,^91100 5, и будем иметь
5=0,391105+110 — 111 + 112-113+ и т. д.
до бесконечности. Взяв эти логарифмы из таблиц, найдём их разности.
Т. Д.
1-2-3.4
110=1,000 000 0
111 = 1,041392 7
112 = 1,0791812
113 = 1,113 943 2
Первые
разности
413 927
377 885
:/±7 622
114=1,146128 0 ! 321846
299 6;,3
Вторые
разности
:,б 042
30 263
25 776
22 21.:,
H5 = i,i66 09i;:
Отсюда найдём
110-111 + 112-113+ и т. д. =-.
Третьи |Четвёртые Пятые
разности разности
-J-
(
577Э
4487
3563
1292
924
разности
4-
368
1,00000
413 927 3G0i2 _ _5779 _ 1292 _ 36J
2 64
«Введение», т. I, гл. VII.
радиуса 1.
3) Сумма этого ряда равна —, т. е. длиие восьмой части окружности-
220 ГЛ. I. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РЯДОВ
Следовательно, значение предложенного ряда будет
5 = 12-134-14-15+и т. д. = 0,098 060 1.
Этому логарифму отвечает число 1,253315.
12. Таким же образом, как эти преобразования мы получили, под-
подставляя в ряд вместо х дробь т^-~ > мы получим бесчисленнее множе-
множество других преобразований, если вместо х подставим другие функции
количества у. Так, пусть снова предложен ряд
S = ах + Ьхг + схг + dx* + ехъ + fx* + и т. д.
Положим х = у{\ — у); после этого мы получим ряд
S = ay — ay2 +
dif — Uif
+ fy° + и т. д.
Если один из этих рядов будет суммируемым, то будет известна также
и сумма другого. Так, если
S = х + х% + х3 + х4 + х5 + и т. д. =iA~,
л. "~ X
то
з = у-у3-у* + у' + у7-у9-у10 + п т. д.
Сумма этого ряда будет равна ~_—~-а .
13. Если второй ряд где-нибудь обрывается, тогда сумма первого
ряда может быть найдена точно. Положим, что а = \ и что п найден-
найденном ряде все члены, следующие за первым, исчезают. Тсгда S = у
и вследствие х — у — у2 сумма первого ряда равна у—V {.Т — ж)-
Но так как а = 1, то
с= 2=4-!24-
/= 43-
4-6- J.10-12-14
И Т. д.
, значит, первый ряд имеет вид
= ^— у (-^- — х)=х
и т. д.
ГЛ. I. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РЯДОВ 221
Этот же ряд мы получим, если иррациональное количество будет раз-
разложено в ряд и вычтено из половины.
14. Чтобы получить более общее преобразование, положим
х = у A + пуУ, тогда предложенный ряд
S = ax + bx2 + cx3 + dx* + n т. д.
преобразуется в следующий:
пау +
+ by* + \nbif
, , 3v 4 . 3vCv — 1) ,
cv + тпсу + i-2 n
и т. д.
Если сумма этого ряда будет известна, будет известна и сумма пер-
первого, и наоборот. А так как п и v можно взять по произволу, то из
одного суммируемого ряда можно, таким образом, получить бесчислен-
бесчисленное множество других.
15. Можно произвести преобразование так, чтобы сумма найден-
найденного ряда оказалась иррациональной. Это можно сделать следующим
образом.
Пусть предложен ряд
S = ах + bxz + сх& + dx1 -f ex' -f /x11 + и т. д.
Тогда
Sx = ах' + bx* + ex" + dx* + ex10 + /x12-f и т. д.
Положим теперь
х= у
Тогда х* = -~—г , и предложенный ряд преобразуется в ряд
; = "У* + паг/ + п'ау9 + п3аг/ + п'ау" + и т. д.
у \ — пу*
+ by* + 2nbif + 3/г26т/8 + in3by10 -f и т. д.
-\-cif + спсу*-\- 6п-су10 4-и т. д.
. д.
и т. д.
Таким образом, если сумма S будет известна из первого ряда, то мы
будем иметь также и сумму ряда
С
-,- = ау + (па +b)y* -f {п*а + 2nb + с) уь + и т. д.
V 1 — пу1
222 ГЛ. I. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РЯДОВ
16. Если полежим п——1, то коэффициенты этого ряда будут
последовательными разностями количества а, взятыми из ряда
a,bc,d и т. д.; если же в предложением ряде знаки чередуются, тогда
коэффициенты будут этими разностями, если положить /г = 1. 1.усгь?
таким образом, ^..а, \2а, и3а и т. д. суть первые, вторые, третьи и т. д.
разности количества а, взятые из ряда чисел а, Ъ, с, d и т. д. Если
S = ах + Ьх3 ~\-схь -+- dx1 + и т. д.,
то, положив х = ——— , будем иметь
1/ Л 4-1/-*
— ay% A- lay3 -r A* air -J- \3ay7 + и т. д.
/l + 2/2
Если же
S —¦ ах — bx3 -J- ex5 — rfa;7 -f ea;9 — и т. д.,
то, положив x — -~ , будем иметь
-^-=== —ay — Aay3 4-А2ауъ — \3ay7 ~ и т. д.
Таким образом, если ряд а, 6, с, d и т. д. в конце концов даёт посто-
постоянные разности, то оба ряда могут быть точно просуммированы; впро-
впрочем, это суммирование вытекает также из изложенного выше.
17. Положим, что коэффициенты а, Ь, с, d и т. д. образуют ряд
.1111
!> ?'1Г'Т'?И т- Д-
Тогда, как мы раньше (§ 11 ч. 2) видели,
, ( 2 ,, 2 • 'i ,з 2-4-6
Поэтому мы можем: просуммировать следующие два ряда:
I. Пусть S — X + —х3 + -^х5-\-—х7+ и т. д., тогда
S-1.1J + *.
2 1 — ж
Положим теперь х ту — , тогда будем иметь
^ У l + j/2 — у
откуда
1 (yT+l/1 + 2/) 2 , 2-4. 2-4-6 ,,
Vr-f^ =УТУ +ЗТ5У-УТ-7ТУУ?+И
ill
II. Пусть S = z—— х3 + -т-х5—=-27-Ь и т. д., тогда
5 = arctgx.
Положим теперь х = —— , тогда будем иметь
S = arc tg у =г arc sin w = arc cos l/1 — и2
ГЛ. I. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РЯДОВ 22.;
Таким образом, мы сможем выполнить следующее суммирование:
arc sin у ,2 ,
18. Вместо х можно подставлять также и трансцендентные функ-
функции количества у и, таким образом, произвести другие, более трудные
суммирования. Однако для того, чтобы новые ряды не были слишком
сложными, нужно выбирать такие функции, степени которых можно
легко выразить. Таковыми являются показательные количества еу.
Итак, пусть предложен ряд
S = ах + Ъх2 -\- сх3 + dxl 4- ex5 + /x" + и т. д.
Положим х = епуу, где е есть число, гиперболический логарифм кото-
которого равен 1; тогда х2 —е2лу ¦ у2, х3 = езпу • у3 и т. д. Но, как известно,
zz z3 г4
ег — 1 -f- Z Н -\ 1 : - + и т> Л-
Поэтому предложенный ряд преобразуется в ряд
ill
S = ay 4- nay2 + —- п2ау3 + — п3ау* + — niayb + и т. д. +
4 „ 4 8 ,, ,
i О
3 9
fCI/!t-j-nCI/4j/i!C!/4 И Т.Д. +
4- dy* + — ис?г/5 + и т. д. 4-
4-ет/6+ и т. д.
и. т. д.
I. Пусть предложен геометрический ряд
S — х + хг + х3 4-х4 4-ж5 + х° -t- и т. д.;
тогда
Положим теперь тг= —1, так что x = e~vy и
5 = е'Уу == у ¦
мы найдём тогда сумму
(!Днако закон составления этого ряда не усматривается.
224 ГЛ. I. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РЯДОВ
И. Пусть во втором ряду все члены, кроме первого, равны нулю;
тогда
l 3 2 j 8 8 125 . , 54 6 1Ч
Ь=—па, c = Yna> " =—з"п ' e = ~2i ' f~ 5" па ) и т-Д-
А так как S = ау и х — уепу, то
у = х-пх2 + ±п*х3-^п3х* + ^п1х*-^-п*х*+ и т. д.
Так как в этих рядах закон их составления не выявляется, то сум-
суммирования, получаемые с помсщью этой подстановки, приносят мало
пользы. Особого же внимания заслуживают преобразования, происхо-
происходящие из подстановки я=т-- — , ибо они дают не только замечатель-
замечательные суммирования, но также и удобные способы для приближённого
нахождения сумм рядов. Теперь, после того как мы предпослали те
средства, которые найдены без помощи дифференциального исчисления,
мы переходим к применению этого исчисления к учению о рядах.
29
В оригинале /=—-~пьа [Г. К.].
ГЛАВА II
О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ
19. Если будет известна сумма ряда, в члены которого входит
неопределённое количество х и который, следовательно, будет функ-
функцией от х, то, какое бы значение ни было задано количеству х,
всегда можно будет указать сумму ряда. Поэтому, если вместо х
положить x-\-dx, то, сумма полученного в результате ряда будет
равна сумме первоначального ряда, взятой в.месте с её дифферен-
дифференциалом. Отсюда следует, что дифференциал суммы равен дифферен-
дифференциалу ряда. Поскольку, таким образом, как сумма, так и отдельные
члены ряда будут помножаться на dx, то, если повсюду разделить на
dx, получится новый ряд, сумма которого будет известна. Подобным
же образом, если дифференцировать этот новый ряд и его сумму,
а затем повсюду произвести деление на dx, получится ещё один ряд
вместе с его суммой. Таким образом, из одного суммируемого ряда,
содержащего неопределённое количество, последовательным дифферен-
дифференцированием можно получить бесчисленное множество новых рядов,
которые также будут суммируемы.
20. Чтобы это стало яснее, рассмотрим неопределённую геометри-
геометрическую прогрессию, ибо сумма её
-—-- = 1 -\-x-\- х2 ->-х3 -, -ж4-г х* + х"+ и т. д.
известна.
Если теперь выполнить дифференцирование, будем иметь
, х 2 = dx + 2х dx + Зх2 dx -f 4т3 dx -f 4.ж4 dx + 6х5 dx + и т. д.
A — X)
п после деления на dx получим
~(ТЗ^)Г = 1 + 2z + Зхг + \х* + 5ж* + и т. д.
Если снова дифференцировать и разделить на dx, получится
-^-^- = 2+2-Зж + 3-4^ + 4-5^ + 5-6а;4 + и т. д.
или
_J__ =П + За: - fcc* + 10*4 15z* + 21zs -l и т.д.,
\i — х)
15 Л. Эйлер
226 ГЛ. II. О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ
где коэффициенты суть треугольные числа. Если дифференцировать
последний ряд и разделить на dx, получится ряд
1 + 4+1 Ох* + 20х3 + 35х4+ и т.д.,
коэффициенты которого суть первые пирамидальные числа. Если пос-
поступать так дальше, будут получаться те же самые ряды, которые мы
уже умеем находить из разложения дроби _ .
21. Этот метод разыскания рядов получит более широкое развитие,
если, прежде чем выполнять какое-либо дифференцирование, мы пом-
помножим сам ряд и его сумму на какую-либо степень или какую-либо
функцию количества х. Так, поскольку
-^-- = 1 -1.Х + X*-{-Xs + X*-\-ХЬ Л- И Т. Д.,
1 — X
то, помножив повсюду на х'", будем иметь
2Х + и т. д.
Теперь дифференцируем этот ряд; после деления на dx получим
™—_^L_J±1_ = mjjn-i + (т + 1) Х'" + (т + 2) хт*1 + (т + 3) хт**+ и т. д.
Теперь разделим на х'"'1; будем иметь
то —(то— 1)х т , х . ,
=+ *="* +(
и т. д.
Прежде чем выполнить новое дифференцирование, помножим этот ряд
на хи; тогда получим
_,_П -ПЦ
Г~х + Jl-xY = тх" + {т -1-1} х' + {т + 2) x"ti+ и т" д-
Теперь выполним дифференцирование и разделим на dx; будем иметь
тпх"'1
1-х ' A-хJ "* A-хK ~~
1)п { + 2)( 2)хп*1+ и т.д.
Разделив ещё на хп~\ получим
тп (т + п + 1) х 2а;2
-J—-J- J -^ _ ^^ h ^_ху ~
— тп+(т+1) (п + 1)х + (т + 2) (п + 2) х2 + и т. д.
Так можно будет поступать и дальше, и всегда мы будем находить те
же ряды, которые порождаются разложением дробей, составляющих
сумму.
22. Так как для первоначально взятой геометрической прогрессии
можно найти её сумму вплоть до некоторого члена, то таким образом
можно будет найти также сумму ряда, состоящего из конечного числа
членов. Так, поскольку
-Ц^^- = 1 + х+ х- + хъ + х* + ... -\-хп,
ГЛ. II. О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ 227
то, выполнив дифференцирование и разделив члены на dx, будем
иметь
1 (Л + 1)х»-пх»*'_, 2 v , , _|_ит«-1
-^ZTxf О^г) ¦' ¦
Отсюда можно найти суммы натуральных чисел , вплоть до некоторого
предела. Помножим теперь этот ряд на х, получим ряд
Если его снова дифференцировать и разделить на dx, он даст ряд
(I-*K
который, помноженный на х, даст
г!-(в +1J s"+l + Bга2 + 2п -1) xn*z - га2
= X -г '
а этот ряд после дифференцирования, деления на dx, умножения на х
даст ряд
•¦• +п3хп,
сумма которого, таким образом, будет найдена. Подобным же образом
можно найти сумму биквадратов и высших степеней.
23. Этот метод может быть приложен ко всем рядам, содержащим
неопределённое количество, суммы которых известны. Так как, кроме
геометрического ряда, все рекуррентные ряды обладают тем преиму-
преимуществом, что их можно суммировать не только до бесконечности, но
и вплоть до некоторого члена, то и из них этим методом можно найти
бесчисленное множество других суммируемых рядов. Так как подробное
рассмотрение было бы слишком пространным, то мы остановимся
только на одном случае.
Именно, пусть предложен ряд
.—х- ^ = х + х2Ч-2х3 + За;4 + 5х5 + 8а;в+13х74- и т. д.
Дифференцируя его и разделив на dx, мы получим
16+ и т. д.
A — X — Х-)
Легко видеть, что все ряды, получаемые таким образом, будут
также рекуррентными, так что их суммы можно найти и из их основ-
основного свойства.
24. Вообще, если для ряда, принадлежащего к виду
ах + 6я2 + сх3 4- dx* -\- и т. д.
будет известна сумма, которую мы положим равной S, то можно найти
и сумму ряда, получаемого умножением отдельных членов на члены
арифметической прогрессии. Действительно, пусть имеем ряд
S = ах + 6х2 + сх3 + dx* + ex" -f- и т. д.
Помножим на хт; будем иметь
Sxm = ахт-1 + Ьхт*2 + схт*3 + dxm**-f exm*s-\- и т. д.
15*
8 ГЛ. II. О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ
1фференцируем это уравнение и разделим на dx:
mSx-1 + хт ^ = (иг + 1) ах + (т -j- 2) bx'"*1 + (т + 3) схт*>
и т. д.
шделим на х1"; тогда будем иметь
xdS
mS
dx
= (т -\-1) ах-\- (т -\-2) i
3)
;ли же мы желали бы найти сумму ряда
и т. д.
и т. д.,
) нужно будет помножить предыдущий ряд на р и положить
Р -}- р = а, так что т = ч' ; тогда сумма последнего ряда окажется
у* ds
dx
25. Можно также найти сумму ряда, получаемого из предложен-
ого помножением отдельных его членов на члены ряда второго по-
ядка, т. е. ряда, вторые разности которого постоянны. Действительно,
ы уже нашли раньше, что
t-\-(т-\-2) Ъх*'-\-(т-{-3) сх*-{¦ и т. д
и т. д.
[омножим на хп; будем иметь
mSxn+ dl =(т +
дифференцируем, считая dx постоянным; после деления на dx получим
' dx
dx
'азделим на хп~г и помножим на к, получим:
, с , (m + n+l)kxdS . kc*d*S
inkS 4- -г-1 т~>— =
1 dx dx~
г
dx
Сравним теперь этод ряд с тем1); будем иметь
ктп -\- km -J- кп + к = а
\тп + 2кт + 2кп + 4А; = а
Первая
разность
ft/и + кп + 3ft = р
km + Аи + 5ft = Р + Y
и т. д.
- и т. д.
Вторая
разность
,1
следовательно, « = —у,
2? „
n = Зи
х) То-есть с рядом, получаемым почленным умножением ряда ах-\-Ъх% -{-сх3 [-...
на члены а, а + C, a-|-234-fi.-- ряда с постоянными вторыми разностями.
ГЛ. II. О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ 229
Значит, сумма предложенного ряда будет
26. Подобным образом можно найти сумму ряда
Аа + ВЬх + Ссх"- + Ddx3 + Eexi + и т. д.,
если известна сумма S ряда
S = а -\- Ъх -\- ex" + dx3 + exi + fxb + и т. д.
и если Л, 5, С, Z) и т. д. образуют ряд с постоянными разностями.
Действительно, так как предложенный ряд должен быть составлен из
рядов предшествующих видов, то положим, что его сумма равна
с , $xdS , rx*d2S . 8x3d3S
Чтобы найти теперь а, [3, у, о и т. д.. напишем каждый из рядов в раз-
развёрнутом виде; мы будем иметь:
a.S = а.а + <Лх + ясх2 + эЯх3-J- аб?44- и т. д.,
1 4- 4реж*4- и т. д.,
хг d*S „ , о , з i с 4 t
2^г-=- • • • !сх~ + 3ldx + Qlex + и т- Д->
-= ойа;3 + 43еж4 4- и т- Д->
. .гея4 4- и т. д.,
24 их4
и т. д.
Эти ряды, взятые вместе, сравним с предложенным рядом
Сравнение отдельных членов даст:
$=В-я = В-А,
•[ = С — 2$ — з.=-С — 2В + А,
? Т) Ч.. 4Q ~ Г) '1Г* I Q О J
*J — i' <J г ^Н ^^ ^ — -*-^ Ol>" ~г" *JJ-J -tT.
и т. д.
После того как эти значения, таким образом, найдены, мы получим
искомую сумму
¦7 aq I (B—A)xdS , (С - 2В + А) х* d*S , (D - ЗС + ЗВ — А) х3 d*S
Z = Ao4-—-—f к —^—-f-5 ^v ——-—;р4 1- и т. д.
' \ ¦ dx ' 1 • 2 • dx3 ' 1 • 2 ¦ 3 • dxd "^
или, если последовательные разности ряда А. В, С, D, Е и т. д. обо-
обозначить обычным образом, будем иметь
если, как мы приняли,
S = а 4- Ьх 4- car 4- dx3 4- ex4 4- /ж5 + и т. д.
Таким образом, если ряд А, В, С, D в конце концов будет иметь
ГЛ. II. О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ
эянные разности, то сумму ряда Z можно будет выразить в конеч-
виде.
37. Если через е обозначить число, гиперболический логарифм
рого равен 1, то
X X* X3 ?* X5
мём этот ряд за первоначальный; так как S — ех, то
dS ,. d*S x
-г = е , j—, = е и т. д.
dx dx2
'ому сумма -ряда
Вх Сх2 -Dx3 Ex^
' 1 1--2'1-2-3~*~1-2-3-4' ' Д-'
рый составлен из предшествующего и из ряда А, В, С, D и т. д.,
1зится следующим образом:
, пусть предложен ряд
5х . Юг2 . 17х3
++
авим разности ряда
А, В, С, D, Ей т. д.,
А = 2, 5, 10, 17, 26 и т. д.,
ДЛ= 3, 5, 7, 9 и т. д.,
А2А= 2, 2, 2 и т. д.
эда видно, что сумма ряда
о , _ . 10z2 , 17*s , 24х«
2 + 5х+ — + -_+ — + и т. д.
т равна
ех B + Зх + хг) = ех {1 + х){2 + х),
впрочем, и само собой ясно. Действительно, мы имеем:
2х . 2х2 , 2х3 2х* ,
+ т+т + ?+ит. д.,
+ ^ + ^ + ^+и т. д.,
2 + + +и т д
и т. д.
28. То, что было выше сказано, относится не только к рядам
сконечным числом членов, но и к суммам какого-либо числа их
шв; ведь коэффициенты а, Ь, с, d и т. д. можно либо брать в беско-
юм числе, либо оборвать. Но так как этот случай не требует особого
гснения, то мы точнее сформулируем результат, найденный выше,
к, пусть предложен какой-либо ряд, отдельные члеьы которого
оят из двух сомножителей. Одни из них пусть образуют ряд, при-
[щий к постоянным разностям. Тогда сумма этого ряда может быть
ГЛ. И. О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ 231
определена, если после того, как эти множители будут опущены, ряд
окажется суммируемым. Именно, пусть предложен ряд
Z = Аа + ВЪх + Ссх2 + Ddx3 + Eexi-f и т. д.,
в котором количества Л, В, С, D, Е и т. д. составляют такой ряд,
который в конце концов сводится к постоянным разностям. Тогда сумма
этого ряда может быть получена, если известна сумма S ряда
S = а + Ьх + ex"' -\- dx3 -f- ex* + и т. д.
В самом деле, если из ряда А, В, С, D, Е и т. д. мы найдём после-
последовательные разности, как было показано в начале этой книги,
А, В, С, D, E, F и т. д.,
АА, ЛВ, AC, AD, AE и т. д.,
А2А, А*В, А2С, АЮ и т. д.,
А3А, А3В, А3С и т. д.,
А'А, Д45 и т. д.,
АЬА,
то сумма предложенного ряда будет
„ „ . . xdS . x' d2S
2^ + +
где в высших дифференциалах количества S дифференциал dx пола-
полагается постоянным.
29. Если ряд А, В, С, D и т. д. никогда не приводит к постоян-
постоянным разностям, то сумма ряда Z выразится через посредство нового
ряда, который, однако, может сходиться быстрее, чем предложенный.
Таким образом, предложенный ряд преобразуется в другой, равный ему.
Пусть, например, предложен ряд
который, как известно, представляет 1 , так что У=—1A — у).
1 — у'
Разделим этот ряд на у и положим у = х и Y = г/Z, так что
— у \ У>~Х\
Тогда
я я:3 я3 ж4 ж6
Сравнив этот ряд с рядом
— -\-x-\-x -\-х -г х + a; -f- ж +и т. д. =* 1_а_ ,
мы получим для ряда А, В, С, D, Е и т. д. следующие значения:
.1111
1, у, у , у , у и т. д.,
1 _ 1 1_ _ 1
1 . 2 ' 2~П$ ' 3 • 4 ' 4 • 5 ' '
1-2 1-2 1.2
1-2-3' 2". 3- 4 ' 3-4.5
1-2.3 1-2-3
1.2-3-4' 2-3-4-5
и т. д.
тг и т. Д.,
и т. д.
\2 ГЛ. II. О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ
аким образом, будем иметь
А=\, АА=-±-, А2Л = 4"> ДМ=-|ит
с- 1
алее, так как о = ; , то
1-х
dS 1 d*S 1 d3S 1
<Пс~A^х)* ' 1 • 2 da;2 ~ <l-zK ' 1 • 2 ¦ 3 tfz3 ~ A - гL
одставив эти значения, получим сумму
~ Т^Г ~ НТ-^у- + 3(i -гK 4 A - ху ' 5A —
так как х~ у и У = — 1A — г/) = г/Z, то
аким образом, этот ряд выражает 1 ( 1-fr—^—j = l = —1A —у),
1раведливость чего устанавливается на основания ранее доказанного.
30. Чтобы показать применение этого метода в том случае, когда
меются только нечётные степени, а знаки чередуются, рассмотрим
1звестно, что У = arc tg у.
Разделим этот ряд на у и положим = Z и у' — х, тогда
;сли этот ряд сравнить с рядом
5=1— х + х2-х3 + х*-хь+ и т. д.,
о получим, что 5 = - • и что ряд коэффициентов А, В, С, D и т. д.
1 -f X
у дет:
4-1 1 1 -1 1 и т д
Л— 1, 3 , 5 , -, , у и i. Д.,
. , 2 2 2 2
АЛ= —-J7, — ц-^ , — 5Т^' ~77~у п т- д''
_ 2-4 2-4 2-4
~ 3^~5 ' iT-~5"-~T ' 5 • 7 - У И Т' Д-'
... 2 ¦ 4 ¦ С, 2-4-6
ДУ= — -—е—-, — т;—?—^j—г, И Т. Д.,
3 • 5 ¦ / .j • 5 • 7 • У
2 ¦ 4 • 0 • 8
3.5-7-
и т. д.
И Т- Д-
1о так как о = j—— , то
dS 1 d2i
• 2 • 3 - dx*
ГЛ. II. О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ 233
Подставив эти значения, мы получим
7 _ 1 2х 2 ¦ 4ж2 , 2 • 4 • бж3 м
1 + 1+ 3 A 4 *У 3 -5A+ xf ^ ~3~5~7 A + -сL ' И Т- Д-
Положив снова х = у- и помножив на у, получим
v . '/ , 2;/3 2 ¦ i?/5 2 • 4 ¦ С> • v7 ,
°^ [ + гт2A-г;/2)- :i-5(l--t/2)J 3 • 5 ¦ 7 A 4 У2L ^
31. Рассмотренньш выше ряд, который представляет выражение
дуги круга через тангенс, можно прообразовать так?ке и другим спо-
способом, сравнивая его с логарифмическим рядом; Расс!мотрим ряд
Z — 1— -| + ^г- — х— Л-\ — jy+ и т. д.
и сравним его с рядом
Тогда значения букв А, В, С, D и т. д. будут:
. __ 0 2 4 6 8
л ~Т ' ~ ' Т ' Т ' Т, и
. . 2 4 2 +2 +2
Л^= 1Г' ЗТ5' 5Т7' УТ9 И Т
и, -2-4 -2-4 -2 • 4
ЛЛ~ 7ГТ" ' 3-5-.7' 5-7.9 И Т' Д
ЛМ= ^-^^ и т. д.,
и т. д. .
Далее, так как 5 = -^ — ^- 1 A+^)) то
2 A + х) ' 1 • 2 • rfx2 4 A + x
7*= rVi"X^w и т- д-
1 • 2 • 3 dx3 6 A 4 zK' 1 ¦ 2 • 3 • 4
Следовательно, 6"Л = S — = 1, и из остальных выражений получаем
у __л х ^ 2 • 4х3
3 A 4 аг) 3 • 5 A 4 гK "~ 3 ¦ 5 ¦ 7 A 4 хK И Т< Д"
I Еоложим теперь х — у2 и помножим на ?/; будем иметь
Y t ^)-35(^yy~8-:^if^- и т. д.
Таким образом, этому преобразованию не служил помехой бесконечный
член -Q-, который входил в ряд S. Если же у кого остаётся сомнение,
тот пусть разложит отдельные члены ряда, кроме первого, по степеням
количества у в ряд; он убедится, что действительно получается перво-
первоначально предложенный ряд.
2?4 ГЛ. II. О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ
32. До сих пор мы рассматривали только такие ряды, в которые
входили степени переменного количества. Теперь же мы перейдём
к другим рядам, которые содержат в отдельных своих членах одну
и ту же степень переменного, как, например, ряд
„_ 111 1
й - а + х + Ъ+х + c'Vx + d^c +"г И-|Т- Д"
Если будет известна сумма S этого ряда и если она выражается неко-
некоторой функцией количества х, то, дифференцируя и деля на —dx,
будем иметь
-dS 1 1 1 , 1
" dx ~ Ja'+ x)- ' (b + xf ' (с + x)- r(d-]-xJ *~ T Т. Д.
Если мы будем дифференцировать этот ряд и затем разделим на — 2dx,
то найдём ряд кубов
Л? _ 1 1^ u 1 i
rld"x*~~ (a-fx)* "+" (b + xK ' (с + хK + (d + xf + И Tl Д-
Если этот ряд снова дифференцировать и разделить на —3dx, то
получим
_ _
(Ь + х)* + (с+х)* + (d + х)*
и
Подобным же образом найдутся суммы всех следующих степеней, если
только будет известна сумма первоначального ряда.
33: Подобного рода ряды дробей, содержащие неопределённое коли-
количество, мы нашли прежде во «Введении» 1), где мы показали, что если
обозначить через тс полуокружность круга, радиус которого равен 1, то
будет
1,1 1 1,1.1
т п — тп n + m 2n — m'2n+mSn — m ¦ Д-»
т т п — т п-\-т 2га— т 2п+т Зп —
п sin — -к
п
т
¦п COS — V. . м . . . .
га 11.1 1.1 1
г_ И Т Д
т т п — тп + т ¦2п—т2пЛ-т Ъп — т '
га sin — те
п
Так как за т и п можно принять любые числа, то положим п — 1 и т = х,
чтобы получить ряды, подобные тому, который был предложен в преды-
предыдущем параграфе. Тогда будем иметь
¦к 1.1 1 _ 1 , _J , 1 _
siu яж х'1 — х \\-х 2-х
¦к cos -кх _ 1 1 1 1 , 1 1
sin -пх ~ х 1 — х'1-\-х 2 — х~*~ 2-\-х 3-х '
Следовательно, с помощью дифференцирований можно найти суммы
каких-либо степеней, получаемых из этих дробей.
') «Введение», т. I, гл. X.
ГЛ. II. О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ 235
34. Рассмотрим первый ряд и пусть для краткости -^— = S; высшие
«го дифференциалы будем брать, полагая dx постоянным. Тогда
ь~ х + 1'~х~ 1 +х~г^Гх-г2 +x-rg_х— и т. д.,.
-<^?1 1 1 1 1
"" B - а;J ' B + жJ C-яJ'~ " Т# Д-'
A - хр A + жJ "" B - а;J ' B + жJ
Л? _ _1_ _[ 1 1__ 1
~2</ха ~~х* ' A— x)J A + ж);< B - -сK B + х
1_
K * (З^хK ~~ и т-
JL
_ _ _(- Л-
хЛ ~~ A - хL ~~ A + жL """ B - а.L "^ B + xf ~~ (А - жL
4 1 * ! I ! |
ху B - xf + B + жN + C
~~ И
1 1 1111__
^ xf~~ и т-
1 1 1
-х)' A -f х)8 """ B — жN "^" B + xf
II т. д.
Заметим, что для чётных степеней знаки подчиняются одному и тому же
закону и точно так же для нечётных степеней соблюдается один и тот
же закон знаков. Таким образом, суммы всех этих рядов находятся
из дифференциалов выражения S = -~^
35. Чтобы проще выразить эти дифференциалы, положим
sinJuZ = p и q;
тогда
dp =¦ тг dx cos izx ='щ dx и dq= — npdx.
А так как S = — , то
T9K K
kfq
_ 5/2i7 28g2 5 < _
dx ' Ps + P' W~
d'S _ , /^120g5. I8O73
p
? 132074 662g2 61N _ ^ (g« + 179g4 +479д" + 61)
7 "* р~ь~+ 3" + )
d7S _ g / jQ'tO?7 10 920g5 7266'/3 13839Л _
!^ ^ Vv "ft • p<> I }74 ¦" ~~p~*~) ~
= -* (s7 + 543?5 + 3111?3 + 1385?),
d^S __ 9 ^40 320г3 100800.?" 83 664g4 24 568?2 1385N _
'dx3~7Z V p F ' ? ' P8 *" p /~
= ~ (qs + 16365e+ 18 270^4 + 19 028^ + 1385) и т. д.
236 ГЛ. II. О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ
Эти выражения легко получать и дальше до какого угодно предела:,
действительно, если будем иметь
± dxn V/'nfl Pni pn'3 + p^ +
то следующий дифференциал после перемены знака будет иметь вид
+((n-4)Y+(«-5)S)^+ ит.д. J
36. Отсюда получатся суммы рядов, найденных выше, в § 34.
а именно:
р
— dS тс2 q
dx ~ Т ' р1 '
24
_ я= / 24g* 28<?2 5 Л
a;4 ~ 2'\ ръ "*" р3 Р У '
— d^S _ я" /120?5 180g3 61?\
120 dxb ~120 V P6 P4 ~^~f ) '
d«S _ u7 /720<г8 ШО74 662<73 61N
720 dxe ~ 720 V p7 ' p5 ' p3 ^7/ ''
¦re3 /5O'iO?7 , 10 920?5 ; 72ббс/3 1385?\
5040 \ d3 ' o6 ' n* ' n2 У '
р3
320^ 100 800?в _^ 83бб4?^ 24 56832 1385Л
Р9 ~^ Р7 ' ~ръ ' р3 ' р )
" 40 320 V Р9 ~^ Р7 ' ~ръ ' р3 ' р )'
37. Таким же образом поступим с другим рядом, который мы нашли^
выше (§ 33):
¦л COS КС _ \_ 1 1 I 1 1
sin т.х ~~ х 1 — х*~1-\-х 2-х ~"~ 2 -(-ж 3 —а; Т-
т-, тс COS тех _
Положив для краткости —.- -:— = Т, мы получим следующие суммиро-
суммирования:
т 1 1,1 1 , 1
-dT _ I 1 1
77"~ xi + (l-x)i+(T+
i2?11 1 1
B - хK + B-; хK ~~ " Т- Д-'
_^ 1 г" 1 1 1
S4~t"(l-x)'t" A + жL "т" B - жL "* B + xf ' П Т' Д'7
1 1 11 1 _
+ + M И Т. Д.,
11 1 1 1
B)tTB + )fT "
120(
И Т. Д.,
ГЛ. И. О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ 237
где для чётных степеней все члены положительны, а для нечётных
знаки -f и ~ чередуются.
38. Чтобы пайти значения этих дифференциалов, положим, как
в раньше,
i = p и cosnx = q,
так что р"' + q2 = 1; тогда
dp = -кд dx и dq — — ~р dx.
С помощью этих выражений мы будем иметь:
71 = 71'7'
dx — " ^/ J]
2*»?
247» 1?
a 16
dx5 ~ \ p* P* 1
d*T __ ^ / 720r?5 960g3 272? Л
-d-*T 8/50i0?e , SiOO?4 , 36%72 , 272 N
384g3 7936g
dxa ~ Tl \^ p<> "r p7 + /;5 T "pi- J
И Т. Д.
Эти формулы легко получить и дальше до какого угодно предела. Дей-
Действительно, если
то следующее выражение будет
,.dn*1T-.lrn,2 /(в + 1)а7и (n-l)(»-t-:i)<7"-' (га-ЗХ^+т)?"'4 , ит „ \
^ da;"*1 ~ V Рп+2 ~^ 7я Р1^2 У '
39. Итак, положив sim«: = p и cosTia; = 3, мы получим следующие
суммы рядов, данных в § 37:
2 dx2 p* '
24 dx*
238 ГЛ. И. О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ
' . 4?3 , 17?
720 dx*
-d7T _r
MiOtfa? ~'" \р*~т Ър*
dsT ,/g' 6?6 6<y8
40 390 da8
И т. д.
40. Помимо этих рядов, мы нашли во «Введении» 2) некоторые дру-
гие; из которых с помощью дифференцирования подобным образом можно
получить новые ряды.
Так, мы показали, что
1 it/ж 1,1,1.1 1,
?х~^Г^"~ТГ'=:Г~Л^^х + ^^х + 1ь^х~2^Гх+ И Т- Д>
Положим, что сумма этого ряда равна S, так что
Тогда
о 1 я COS тс У а;
~ 2х 2)/ж sianYx
cos я >^а: |
dx |2^а + 4а; /ж ' sin тс /5 4z (sin тс /гJ '
Следовательно, это выражение представляет сумму ряда
A - яJ "^ D - xf "*" (9 - xf i"A6 - а;J + B5 я:)^ + И Т#
Далее, мы показали также, что
e^V^+l I 1,1,
2 1/"ж j2tc У~х _ .. 2а;
Если эту сумму положить равной S, то будем иметь
— dS__ 1 1 1 1
Но
dS —тс
т. д.
Следовательно, сумма последнего ряда равна
-dS я е2я1^ 2
4х /а; е2тс
Подобным образом можно с помощью дальнейших дифференцирований
найти суммы следующих степеней.
41. Если будет известно значение какого-либо произведения, соста-
составленного из множителей, содержащих неопределённую букву, то из
него можно будет тем же методом найти бесчисленное множество сум-
суммируемых рядов. Так, пусть значение произведения
(l + ax)(l+px)(l+yx)(l-f Sx)(l+ex) и т. д.
') «Введение», т. I, гл. X.
ГЛ. II. О РАЗЫСКАНИИ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ 239
равно S, т. е. некоторой функции количества х. Взяв логарифм, будем
иметь
(Y l(H-5a:)+ и т. д.
Теперь возьмём дифференциалы; после деления на dx получим
dS а $ т 3
Л dx 1 + хх ^ I -г ря ~ Ц- Y-z 1 "i - &<• ' м'
Дальнейшим дифференцированием можно найти суммы каких-либо сте-
степеней этих дробей, совершенно так же, как мы подробно объяснили
в предыдущих примерах.
42. ЬЬ «Введении»2) мы нашли некоторые выражения подобного
рода; применим к ним этот метод. Если тс есть дуга в 180° круга,
радиус которого равен 1, то, как было нами показано,
. тп т-л W' — m? 16n2 — mz 36га2 — то2
8Ш И Т Д
тп _ п' — т2 9ге2 — тг 1Ьпг - т- 49па — т2
C0S 2^ ~ п* ' "~9^ ^25^ 49па И Т>
Положим п = \ и /и = 2х, так что
1 - х- 4 - т.2 9 - х3 16 -
81П 7ГХ = ПХ
или
sin та: = тех—-— — ¦ —9 - ¦ — — . и т. д.
1+я 2-г 2+г 3-ж 3+х 4-ж
Г -"а 2^ з^ з"- — . И Т. Д.
1 —4а:2 9-4х- 25 —4х2 49 — 4х2
или
г l+2x 3 —2а: 3 + 2х 5 —2х о + 2х
ит-
-!- • — В' -3 5 5~-
Если взять логарифмы этих выражений, то будем иметь
, 1 - 2х , , 1 + 2х , 3 - 2х , т 3 + 2х , л 5 — 2х ,
^I-^ [-1 —х Hi -3- +1—f~ + 1 -j- + И Т. Д.
43. Возьмём теперь дифференциалы этих логарифмических рядов;
после того как повсюду будет выполнено деление на dx, первый ряд
даст
¦п COS тех 1 * 1 * ^ Л_ ^ ^ 1_
"si.x тсх ~~ х 1-х "•" 1+~х ~~ 2-ж ' 2 + а: 3 —а; "*" и т- Д-
Это тот же самый ряд, который мы рассматривали в § 37. Другой же
ряд даст
— ¦к sin -кх __2|2 2_и2 2л
СоГад "~ "~ 1 -2ж "г" 1 + 2а: ~" 3-2а; """ 3+~2а7 ~ 5 — 2x r И Т# Д"
«Вводоние», т. I, гл. IX и X.
:40 гл. и. о разыскании суммируемых рядов
1оложкм 2x — z, так что х=~, и разделил, на — 2; Пудом иметь
. 1
те SIM - тс;
1 1
2 cos- тс;
[о так как
• 1 /"! —соэяг
sin-7tz= |/ -—2-
тс l/4-cos^Tz 2 2__ 2^ 2 2
гли, если написать х вместо г,
¦к ]А — cos тех _2 2_i2 2_i2
[рибавим этот ряд к первоначально найденному
те COS V.X 1 1,1 1,1 1
"sTir^T ~ x 1 "i ^~ 1 +ж ~~ 'Т—~х ^ 2 + ж ~~ З^
мы найдем, что сумма ряда
1.1 1 1 1,1
+
1-х lJ-i 2 -а
II Т. Д.
х г1—х \.+х 2-х ' 2+ж ' 3—ж
те l/l— COS тег . те COS пх тт , l/l — СОЯ тех
эавна - -; Н . . Но дрооь -V , если числитель
y
, /i 1 — cos tzx „
i знаменатель помножить на J 1 — cos-ж, примет вид —^ . Поэтому
:умма ряда будет равна — , эта та же сумма, которую мы нашли
1 § 34; поэтому мы не будем подвергать её дальнейшему рассмотрению.
ГЛАВА III
О НАХОЖДЕШШ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
41. Каким образом из конечных разностей функций легко можно
нанти их дифференциалы, это мы подробно изложили в начале книги;
и именно из этого мы исходили при выводе основных свойств
дифференциалов. Действительно, если разности, которые прежде счита-
считались конечными, теперь исчезают и обращаются в нуль, то возникают
дифференциалы; а так как в этом случае многие, а часто и бесчислен-
бесчисленные члены, составляющие конечную разность, отбрасываются, то диф-
дифференциалы можно найти гораздо легче и выразить гораздо удобнее
и проще, чем конечные разности. Поэтому обратный путь, путь подъёма
от дифференциалов к конечным разностям, казалось бы, закрыт. Однако
по тому способу, которым мы здесь будем пользоваться, можно будет
из дифференциалов всех порядков какой-либо функции определить все
её конечные разности.
45. Пусть у есть какая-либо функция от х. Так как она, если
положить x-\-dx вместо х, переходит в y-\-dy, то, если снова положить
х 4- dx вместо х, значение у -\- dy возрастёт на свои дифференциал &у-\- diy
и станет равным y-\-2dy + d'y; таким образом, это значение будет
соответствовать значению x-j-2dx количествах. Подобным образом, если
мы положим, что количество х непрерывно возрастает на свой дифферен-
дифференциал dx, так что оно принимает последовательно значения х -f- dx,
x-\-2dx, x-\- ddx, x + ^'Jx и т. д.. то у будет иметь следующие указанные
в приводимой таблице соответствующие значения:
оначение количества
х
х -г dx
x + 2dx
х -\- 3dx
х -j- idx
x ¦-- bdx
x + Qdx
и т. д.
Соответствующие значения функции
У
у -'— dy
у ¦- 2dy + d'y
у + 3d у -J- М2у + dsy
у + Ыу -г 6d-y + Ы3у -г d4y
у + ос!у -'- 10d2y + 10dsy + 5d47/ + d'y
т/ -f- Gr/// f lM2y + 20d3?y + 15rf4y + (id*у -I- <Zeг/
и т. д.
46. Нообщс, если х порейдёт в x~\-ndx, то функция у примет вид
п(п — 1)
1 • 2 • 3 • \
-dAy+ и т. д.
JJ. Oii.iep
242 гл- HI. О НАХОЖДЕНИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Хотя в этом выражении каждый член бесконечно меньше, чем пред-
предшествующий, но зато мы не опустили ни одного члена для того, чтобы
эта формула оказалась пригодной для решения рассматриваемого вопроса.
Действительно, мы будем считать п бесконечно большим числом, а так
как, как мы раньше указывали, произведение бесконечно большого
количества на количество бесконечно малое может равняться конечному
количеству, то второй член сможет оказаться однородным с первым,
т. е. ndy сможет представлять конечное количество. По этой же при-
причине, хотя €ат/ в бесконечное число раз меньше чем dy, третий член
П 1 9 ^У сможот выражать конечное количество, так как другой
множитель —-—о в бесконечно большее число раз больше чем п; таким
образом, если п полагается бесконечным числом, то нельзя будет от-
отбросить никакой из членов этого выражения.
47. Если же п положить бесконечным числом, то какое бы конечное
число ни было прибавлено или отнято, результирующее число будет
иметь к п отношение равенства, и потому вместо отдельных сомножи-
сомножителей п—1, п — 2, п — 3, п—4 и т. д. можно будет повсюду написать п.
А так как —г—9 d2y=^nid~y—^nd2y, то первый член ^n*~d-y к после-
последующему „nd2y будет относиться, как в к 1, так что второй исчезает
n(n-l)
по сравнению с первым; следовательно, вместо —¦-—-— можно написать
-п2. Подобным образом коэффициент четвёртого члена n ^п ~ i—"- можно
свести к -л- и равным ооразом в последующих членах можно пренебречь
теми числами, которые вычитаются из я в сомножителях. Поэтому
функция у, если в ней вместо х положить x-\-ndx, где п есть бесконеч-
бесконечное число, получит следующее значение:
, nd\f n-d'-ii , n3d3i/
у+ + ч +
4S. Поскольку при бесконечно большом п произведение ndx может
выражать конечное число, несмотря на то что dx есть бесконечно
малое, положим ndx — ш, так что п = -, ; таким образом, п, будучи
частным от деления коночного количества си на бесконечно малое dx,
будет числом бесконечным. По с помощью полученного здесь значения п
мы найдём, что если переменное количество х возрастёт па некоторое
конечное количество о>, т. е. если вместо х мы положим х -f- to, то какая-
либо его функция у примет вид
и> dj/
У + \TTdi, + T
1 • 2 • 3 • 4 dx* + и т- Д-
В этом выражении отдельные члены могут быть найдены последователь-
последовательным дифференцированием количества у. Но выше мы показали, что
когда у является функцией от х, все эти функции ~ , ~, j\ и т. д.
представляют конечные количества.
49. Когда переменное количество х предполагается возрастающим
на конечное количество со, какая-либо его функция у возрастает на первую
её разность, которую мы выше обозначали через mj, причём мы имели
ГЛ. 111. О НАХОЖДЕНИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 243
ш = дх. Поэтому можно будет с псмсщью последовательного дифферен-
дифференцирования найти разность количества у, именно мы будем иметь
idy
dx '
<¦ -d
;<- +
d>y
dr.*
m3d3y <i>
bdx* 2i
_j_ Ax^d3]/
fd"y
\dx*
Ax'
+ И T.
>d*y
dx* +
Д.
И Т.
д.
ИЛИ
Таким образом, конечная разность iy выразится рядом, члены которого
расположены по степеням количества Ах. В свею очередь отсюда ясно
что если количество ж возрастает лишь на бесконечно малое, количество
так что Ах становится его дифференциалом dx, то все члены, кроме
первого, исчезают, и мы имеем _\у = dy; действительно, если сделать
/\y = dx, то разность / у, по определению, переходкт в дифференциал dy.
50. Поскольку, если вместо х положить а + ш, какая-либо его функ-
функция у принимает значение
"><i;/ . H>2d~y u>3di/s m*di4
У + ~dt + ~Ых" ~г w + Шх* + и т- д-;
справедливость этого выражения можно будет проверить на примерах,
в которых высшие диффе} енциалы количества у, в конце концов исчезают;
действительно, в этих случаях число членов вышеприведённого выраже-
выражения станет конечным.
Пример 1
Пусть ищется значение выражения х' — х, если вместо х поло-
житъ х+ 1.
Полежим у = Х'~х\ тек кгк предполагается, что х переходит
в хА-\, то ш=1; взяв теперь дифференциалы, будем иметь
dy о . d2v o d3y „
~ = 2х — 1, хч = 2, т4 = 0 и т. д.
dx ' dx1 ' dx3 M
Значит, функция у — хг—х, если полошить х-\- 1 вместо х, перейдёт в
х2 — х + 1 Bх — 1) + \ ¦ 2 = х3 + а-.
Действительно, если их2 — х емссто х мы па самом деле положим х -)- ], то
ж2 перейдёт в аг -\- 2х-}-1,
а; » » ж + 1
следовательно, ж'—ж перейдет в х3 + х
Пример 2
Пусть ищется значение выражения х3 -\- х'-\- х, если вместо х поло-
положить х-\-2.
Положим у = х3 -j- х"~-\- х и w = 2; так как теперь
у •= xs 4- а^2 -г ^i
то
З + 2+1, .^=6^+2, ^3^6, ^=0 и т. д.
1С*
i ГЛ. III. О НАХОЖДЕНИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Отсюда значение функции у — х* -j- х2 + х, если вместо х положить
\-2, будет
х3 + хг + х + 2(Зх" + 2х-\ 1)-!- 1Fх + 2)+ ^ ¦ 6 = ж8 + 7ж* 4-17-}-«14.
.) же значение получится, если зга саном дело вместо х подставить
+ 2.
Пример Я
Пусть ищется значение выражения x*~-\-3x-\-i, ест вместо х поло-
:итъ х—'3.
Здесь, следовательно, о> = —3; положив
у = х*-+Ъх + 1,
.дом иметь-
гкуда, если положить х — 3 вместо ж, функция x:-j-3x-\-l перейдёт в
ж2 + 3.г+1- ^Bг + 3)+ l-2=x- — ?,x-\-l.
51; Если за (о мы примем отрицательное число, мы найдём значе-
значено, которое принимает какая-либо функция количества, когда х умень-
1аотся на данное количество о>. Именно, если вместо х положить х — <»,
D какая-либо функция у от х примет значение
~ " т-
тсюда могут быть найдены все те изменения, которым может подверг-
уться количество у, когда количество х изменяется каким-либо обра-
!ш. Если у будет целой рациональной функцией от х, то, так как
конце концов мы придём к исчезающим её дифференциалам, изменён-
ое её значение представится конечным выражением; если же у не бу-
ет функцией этого рода, то изменённое значение выразится бесконеч-
1лм рядом, сумму которого, следовательно, можно будет представить
оночным выражением, ибо, если на самом деле сделать подстановку,
змонённое значение легко находится.
52. Так же, как была найдена первая разность, можно представить
следующие разности подобными же выражениями. Действительно,
.vivrb х принимает последовательно значения х + <х>, х-\-2w, ж + Зо),
:-j-4<» и т. д. и пусть соответствующие значения у обозначаются через
il- //"• ?/'"' '/П и т- Н-' как мы положили в начале этой книги. Так как
''. уп> У1П! ?/lv J1 T- Л- суть значения, которые порождает у, если
;место х написать соответственно ж + w, х-\-2т, х-\-Зт, х-^^т и т. д.,
•о от и значения количества ;/, по доказанному, представятся следующим
юразом:
У =
-ay ^ w + -ш> + 2Vdi+ "т-
и т. д.
ГЛ. III. О НАХОЖДЕНИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 945
245
53. Так как, если лу, д2т/, л*у: д*у и т. д. суть первая, вторая,
третья, четвёртая и т. д. разности, то
- -V + у
и т. д.,
и эти разности выразятся через дифференциалы следующим образом:
only o>2(i2i/ io:!(i3i/ co4d4i/
&У= ~dx + М^" + ТЗ^ "Ь 2W.r' + " Т- Д-'
„ __ B2-2 • l)a>2rf2i/ , B3-2 ¦ l)<..3d3i/ B''-2 . l^oWy
3 (З2 - 3 • 22 + 3 • 1) u>3d3.v , CJ - 3 ¦ 24 4- 3 • 1) шЧ1,, ,
65Г»
24 4 • 1) u>4d4iy
4 _ D4 - 4 • 3* + 6 • 24 — 4 • 1) u>4d4iy ('45 - 4 • :*5 -4 Г, . 25
и т. Д.
54. Само собой ясно, насколько полезны эти выражения разностей
в учении о рядах и прогрессиях; в дальнейшем ото будет подробно
изложено. В этой же главе мы остановимся на тех применениях, кото-
которые непосредственно обогащают наши познания о рядах. Хотя обычно
принимают, что индексы членов какого-нибудь ряда составляют ариф-
арифметическую прогрессию, разность которой есть единица, однако для
того, чтобы обеспечить возможность более широкого использования
и более лёгкого применения метода, мы положим, что разность равна со.
Таким образом, если общий член, т. е. тот, который соответствует
индексу х, будет у, то последующим членам будут отвечать индексы
аг + и), ж+2<п, х+Зш и т. д. Итак, если этим индексам соответствуют
нижеследующие члены ряда
х, х + о), х + 2и>, х-:-.'](•), х + 4(о и т. д.,
у, Р, Q, R, S и т. д.,
то эти члены выразятся через у и через его дифференциалы следящим
образом:
dи to2 d~i/ o>3 d3i/ ш* d^ij
2a dii 4io2d3i/ , 8(o3rf!i/ 16u>4d4i/
dx ~T~ ~ ЫЖ~ ' 6dx3 + 24ir* + ' Д''
= y-u- rf/ + -^ + -^ + -ы^- L и т. д.,
_ { 5«odi/ 25w2d^i7 12Г)и>3сC1/ G25(o4^4(/ ,
=У Г -^f + ~22i*~ + 6dcJ "¦ 2W^ "•" И Tl Д-
246 ГЛ. III. О НАХОЖДЕНИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
55. Если эти выражения вычитать друг из друга, то в разности
количество у больше не войдёт, и мы будем иметь:
_ utdii . tA^d1!/ ">3d3i/ «>4 diy
/ 2/ + + ^ + + И Т Д
d>/ , З-о* d'y , l^dhi
dT+^2dr-+-bd^ + ^d^
rfy 7.o'ri'?/ P.7 ¦.»*,/ 175,,,^<;/
36.).o*a!'i/
Если эти выражения снова вычитать друг из друга, то взаимно
уничтожатся также первые дифференциалы, и мы будем иметь:
R 2П4-Р 2'a'd*« I 12">3(j3?/ I 50 ИЛу
Г 25 I Д- 2шЫ*" 1 2't-lM3-'/ I 114ia4d''/ I и т д
Если же эти выражения вычитать друг из друга, то из выкладки
устранятся также вторые дифференциалы:
т. д.,
Продолжая вычитание дальше, получим:
5 - 4Л + 6<? - 4Р + у = *???¦ + и т. д.,
Г-45 + 6Л-4<?+Р=^17 + и т. д.
T-5S f 10Д - 10^ + 5Р - у = -12102"м5'- + и т. д.
58. Если у будет целой рациональной функцией количества х,
то сё высшие дифференцтлы в конце концов исчезнут, и мы, поступая
по этому способу, в конце концов придём к исчезающим выражениям.
Так как эти выражения суть разности количества у, то мы должны
внимательно присмотреться к их виду и к их коэффициентам:
У = У>
. о) dt/ , (О2 d-Ц ftK dsl/ mi d%4 ! a>5 ds>(
~'У = ~d^~ + ~2d:c*~ + ~'6dx3~ + ~2bdx~i~ ^ l20"dir + " T' Д''
_ w-d-:/ 3«>8(f3,i/ 7-.>4d4»' 15,oM'?/ 31<.)e^i/
^ d^~ ^3"ifx3 + 3"'. 'idx* + 3 • 4 • 5^5ж '" ~S ¦ 4 ¦ 5 • 6d*s" ^ И " Д-'
ГЛ. III. О НАХОЖДЕНИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 247
,4 <o*rf4i/ 10ody 65w dy 350.od?/ 1701u>d8y
^ = ~й*~ ~* 5dx5 " "Г" 5 • Gdx" 5 • 6 • 7rf^ + 1Г-"бТУТ85^Г + И Т. Д.
<оЛу 140оЛу 1050orf*v G951c.>° rfa.(y
6da6 •" g • 7<Ы + (i • 7 • 8dx^" + б^У^Т^Т» + И Т• Д•'
7 ¦ 8 • УЛг» ^" 7 • 8 • У . Шх™ + И Т- Д-
Каким образом в этих рядах следуют друг за другом знаменатели —
это ясно. Что касается числителей, то коэффициенты их образуются
таким образом, что каждый коэффициент числителя есть сумма коэф-
коэффициента, стоящего выше и предшествующего коэффициента, помно-
помноженного на показатель разности. Так, например, в ряде, выражающем
разность Д'т/, 2646= 1050 + 6 ¦ 266.
57. Рассмотрим ещё тот же ряд, продолженный и в обратную сто-
сторону; он будет содержать члены, отвечающие индексам
х — <о, х — 2«), х — Зш и т. д.
¦х—'т. х — 3«|, x~-w, х — с», х, ж + со, :e-J-2cu, х-\-с.т, х-\-?<в и т. д.,
•V, г, q, р, у, Р, Q, R, S и т. д.
Так как
ю da , <i>2 d2// o>sd''t/ t «I4 dlи
Р = У г 1UZ?* ~ ° Т• Д•'
2<ody '402dhf 8o>3rf3i/ lm,>4dVv
"У ~dj~ ¦ ^d^ 6l^~^ 2Ш*~~П Т" Д''
256-0* d4y
то 1чли вычесть эти значения из вышеприведённых значений Р, Q, R, S
и т. д. будем иметь:
Р — р ю dxj оK d3y и5 (i5j/
=^ + " т д
2.0 d,i 8j.>sd3y , 32..>5 d-'y
dy C4<o3i3y 102ico5d5y
Г I ^Т^з I TVrv/^T ги т • Д •
Если же эти члены сложить с вышеприведёнными, то так как здесь
отсутствуют дифференциалы чётных порядков, из выкладки устранятся
нечётные дифференциалы. Действительно, мы будем иметь:
Р+р о»2 d2y <o4d4j/ ci>edej/
« '
, 409jo>6d6// .
{- ^—(- и т Л
~ 720ix6 ' "
58. Так как все вышеприведённые члены ряда могут быть выра-
выражены, то мы можем, сложив их, найти суммационный член предложен-
48
ГЛ. III. О НАХОЖДЕНИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
ого ряда. А именно, пусть первый член соответствует индексу z—iw;
огда сам первый член будет;
Пей dl/ П20JЙа7/ Паа>3 d3y niuiidil/
Ых*
'ак как член, соответствующий индексу х, есть у, а число всех члр-
:ов равно га+1, то сумма всех членов, взятых от первого до иослед-
его у включительно, т. е. суммационный член, будет равна
+ 2в + 3"+...+»»)+ их. д.
59. Но выше (§ 62 первой части) мы выразили суммы содергка-
цихся здесь рядов. Если эти выражения мы подставим сюда, то сумма
сашего предложенного ряда будет равна
/ i л \ tadi/ S 1 .,.1
1
зо
пдс 71 определится из индекса первого члена, начиная с которого
зодсчитывается сумма. Так, если положить со = 1 и если индекс пер-
зого члена равен 1, второго равен 2, а последнего — х, так что
1редложенным является ряд
1, 2, 3, 4, .. . , ж,
а, Ь, с, d, . . . , у,
го, поскольку х — n—i и п = х— 1, сумма этого ряда будет равна
3 Ж 2
1 4 1
30
12
60. Так как коэффициенты в этой сумме, если х будет большим
числом, будут быстро увеличиваться, то такое её выражение большой
пользы учению о рядах не приносит. Однако будет всё же полезно
ГЛ. III. О НАХОЖДЕНИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 249
отметить некоторые свойства, вытекающие отсюда. Пусть общий член
есть у = хп, и обозначим суммационный член через S ¦ у или S ¦ хп.
Применяя повсюду это обозначение, будем иметь
1 . 1 с
~2~ ж ~~2 — и • л х,
111
— а;3—^х" + -х^--= S ¦ х2 — х2,
^-х* — ^-х3 + ^-х2 = 3 ¦ хя — х3 и т. д.
4 2 4
Поэтому F3 вышеприведённого выражения мы получим
Sxn = ж"+1 - па"-15 • а; + из" + -^тт"^ ж"'5' ' ^2 ~
п(п-\) п(п-1)(га-2) п,3„ з , га (re-1) (я-2) „
jTg— « 1.2-3 Ж Л ' Х + ГГ2~Гз Х + и т- д-
Но так как
(l-^^O^l-n+^-'^-^-^H т. д.,
то будем иметь
п(п —1) п(п— 1)(п — 2) .
я—ТГТ--'-- 1-а.з ~и т- д- = 15
поэтому, за исключением случая п — 0, когда ото выражение равно
нулю,
(
n(n—l)(n —2)(n —3) „ 4С
-1—;^ xn^s
* — и т. д.
61. Чтобы лучше усмотреть как справедливость, так и силу этой
формулы, рассмотрим частные случаи. Пусть сначала л = 1; тогда
S-x — x*-{-x — S ¦ х, и поэтому 5 • х— х, а это хорошо известно.
Положим теперь п = 2; тогда будем иметь
S • х2 = х3 + х2 — 2xS ¦ х + S ¦ х2.
Так как в этом равенстве члены S • х2, входящие в обе его части, взаимно
уничтожаются, то оно даёт то же самое, что предшествующее, а именно,
Д.2 1 д.
S ¦ х — —5— • Если п = 3, то будем иметь
S ¦ xa = xl + x3 — 3x2S ¦ x + 3xS ¦ ж2 — S ¦ х3
и потому
S ¦ х3= ^xS ¦ х2~у x2S ¦ х+ jxa(x+ 1).
Если положим и = 4, получим
S ¦ х* = хь + х1 — ixsS ¦ x + 6x2S ¦ x2 — kxS ¦ х3 + S ¦ х\
откуда, так как S • х* уничтожится, будем иметь
S • х3 = | xS ¦ х3- x2S ¦ х + i x3 (x + 1).
Утроив это равенство и вычтя удвоенное предыдущее, будем иметь
в остатке
S* xSz*Z*{z + 1)
ГЛ. III. О НАХОЖДЕНИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
и положить п — Ъ, то получится
S ¦ хъ = х' + хъ - bx*S ¦ х + iOx*S ¦ хг - ICteVS- • х3 + 5xS ¦ х* - S ¦ хъ
S ¦ x* = jxS ¦ x'-bx'S ¦ х3 + bx3S ¦ ж1 — -|аЛ? ¦
i и .-=6 получится
S ¦ x<i = x7 + x' — 6x5S ¦ x+lbxlS ¦ x3 — 20x3S ¦ xa + lox"S ¦ x1
- 6xS ¦ xb + S ¦ x
S ¦ ж5=-| xS ¦ x4-^x2S ¦ x3 + ^-x3S ¦ x*-xlS ¦ x + ~xb(x+
2t t_> 4. Q
62. Отсюда мы заключаем, что вообще, если п=±2т-\-\, то
,т Bт+1Jт „ 2т^
Bт-\-1) 2т. Bт— 1) „ с ,,„ ., 2т +1 „„ с, ,1 „m*i
2 • 1 • 2 ~^~S ли-л ... л Л u -^ "Г "n" •*> V/
и же 7г = 2m -f- 2, to, так как члены 6" ¦ ж""**2 взаимно уничтожаются,
цём
х8 . Х_&Вх8 . х +
¦ B/я + 1JтBот-1) зо „2т-з „зт с „ _,
i 2^1Т4 "^ — ... — Ж '-• • X -i- 2,
Следовательно, суммы нечётных степеней можно двояким образом
зделить из сумм низших степеней и из различных комбинаций этих
s формул можно образовывать бесчисленные другие.
63. Но гораздо легче находить суммы почётных степеней из пред-
твующих сумм; для этого даже достаточно знать только одну пред-
твующую сумму чётных степеней. Действительно, из найденных
ie (§ 62, ч. 1) выражений сумм известно, что число членов,
авляющих сумму, возрастает только у чётных степеней, так что
via нечётных степеней состоит из стольких же членов, сколько их
зт предшествующая сумма чётных степеней. Так, если сумма чёт-
степени хш есть
S ¦ x2n = a.x'ir + ^x"n + ^x2n^1~oxm'3 + sx2n-5 — и т. д.
видели ведь, что члены, следующие за третьим, через один отсут-
гют, а также что знаки чередуются), то из неё можно найти сумму
[ующей степени ж2"*1, если отдельные члены первой суммы помно-
ь соответственно на числа
2ге + 1 2л + 1 in + 1 2п. + I 2ге 4- 1
2^Т2Х' 2п~+~1Х' ~~2,ГХ> :1^Л Х> 2^^ Z И Т- Д-;
ь не оставлены без внимания н отсутствующие члены. Таким
зом, мы будем иметь
S • xini
•ad
im образом, если известна сумма степени х'", то из неё тотчас же
но образовать сумму степени ж2"*1.
ГЛ. III. О НАХОЖДЕНИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 251
64. Этот способ разыскания последующих сумм можно распро-
распространить и на чётные степени. Но так как в их суммы входит новый
член, то последний с помощью этого метода не определяется. Однако
его всегда можно найти, основываясь на том известном свойстве самого
ряда, что если положить ж = 1, то и сумма должна стать равной 1.
Обратно, если известна сумма какой-либо степени, всегда можно найти
суммы предшествующих степеней. Действительно, если
S ¦ х" = ахп*1 + $хп-\--[хп-1 — охп-3-геп-5 — ^х"~'!+ и т. д.,
то для предшествующей степени будем иметь
S ¦ х"-1 = ~+~ ах" + - ?ж" -1 + ^=1 уж"-2-—- ох"-1 + и т. д.,
п таким же образом можно итти назад дальше, сколько будет угодно,
следует при этом отметить, что всегда будем иметь а=—— и р = у ,
что ясно из данных выше формул.
65. При некотором внимании станет тотчас же ясным, что сумма
степеней хп~г получается, если дифференцировать сумму степеней хп
м дифференциал еб разделить на ndx 1). Таким образом, d ¦ S • хп =
= ndx ¦ S ¦ хп~л, а так как d ¦ хп — nxn'1dx, то будем иметь
d ¦ S ¦ xn^S ¦ nxn-4x = S ¦ d • xn,
хул чего ясно, что дифференциал суммы равен сумме дифференциала.
Л вообще, если общий член какого-либо ряда равен у и S ¦ у есть его
суммационный член, то будем также иметь S-dy—d-S-y, т. е.
сумма дифференциалов всех членов равняется дифференциалу суммы
самих членов. Причину этого равенства легко усмотреть из того, что
было сказано выше о дифференцировании рядов. Действительно, так как
S ¦ хп = х"+{х— I)" + (х — 2)п + (х-3)п + (х — 4)"+ и т. д.,
то будем иметь
"' ndx*" =х"~*+{х — l)"-1 + (x-2)n-1 + (x — ;i)n-1+ и т. j{. = S-xn~\
•ho доказательство применимо и ко всем другим рядам.
66. Вернёмся, однако, к тому, от чего мы сделали отступление,
т. е. к разностям функций. О них мы должны сделать ещё несколько
замечаний. Мы видели, что если у есть какая-либо функция от ж и если
вместо х всюду положить х ± ш, то функция у примет следующее
значение:
. т (ill , <iJrf2;/ | iAxd?'JI
11 ± +
/
2 .sdx*+r- ¦f^tdxi - r-~2^yrtT5^5 + и т- Д-
Это выражение будет иметь место независимо от того, будет ли за о)
принято какое-либо постоянное количество или количество, зависящее
от х. Действительно, после того как с помощью дифференцирования
, d\i d^v d3u
найдены значения дробей -,-, j~, ,г и т. д., переменность множи-
толей о), оJ, с»3 и т. д. уже не имеет значения, и потому безразлично,
обозначает ли ш постоянное или переменное количество, зависящее от х.
67. Итак, положим, что ш = х, так что в функции у вместо х
пишется х — х. Тогда мы получаем, что если в какой-либо функции у
1) Если п ест!> чётное число, то нужно опустить последний член. (Г. К.)
>2 ГЛ. III. О НАХОЖДЕНИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
¦ х повсюду написать 0 вместо х, то функция получит значение
xdu , x4hi x3d3y , xldiy
xdu , x4hi xd
J Idx'l^dx* 1-2-
1 • 2 • 3 • kdx*
и т
ледовательно, это выражение всегда представляет то значение, кото-
зе получает какая-либо функция у, если в ней положить х = 0.
праведливость этого покажут следующие примеры:
Пример 1
Пусть у = х2-f ax + ab; найдём значение у при х=0 при этом
ранее известно, что оно равно ab.
Так как у = х'г + ах -\- ab, то
dy _ „ d\tj __ ,
зэтому искомое значение окажется равным
х? 4- ах-\- ab — х Bх-\- a) -J- хх ¦ 1 = ab.
Пример 2
Пусть у —Xs — 2x^-3; требуется найти значение у при х = 0;.
<вестно, что оно равно 3.
Так как у^х1 — 2ж + 3, то
l4r—9 \r
dx~ ' l-idx1 ' l-2
скомое значение окажется равным
х3 — 2х + 3 — х (.':V — 2) + х- ¦ ?>х - х* = 3.
Пример '¦'>
Пусть у — ; требуется найти значение упри z = 0; известно.
по оно равно нулю.
Так как у==—?-, то
dy _ 1 d*y _ 1 d3y _ 1
и т. д.
dx ~ A - xY ' X ¦ 2 dx- ~ A-хK ' Т~^''Г- Jdx3 ~ A - xf
ледовательно, искомое значение равно
х х , а;2 г3 х4
1-х ~ 7^- *)т п A - жK ~~ (Г-"*? "*" Т1 - «/ — и ' • д-
, следовательно, значение этого ряда равпо нулю. Это ясно также
з того, что этот ряд, если отбросить его первый член, примет вид
——-г— (Ди + н!,!" и т- Д'» а это —геометрический ряд и его
умма равна т ^ттт т — Г"^— » так чт0 найденное значение будет
A — Х)"-\-Х {1; X) X X
авно
х х
1 -л ~~ Г- х
ГЛ. III. О НАХОЖДЕНИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 254
JI р и м е р 4
Пусть у = сх, г()е е, есть число, гиперболический логарифм которого
равен единице, и пусть требуется найти значение у при ж—0;
известно, что оно равно 1.
Так как у = вх, то
dti -. d-tj v
/¦=-е , -j--=-"-e и т. д.;
dx ' dx-
лоотому искомое значение будет равно
х сх • х ех¦ х- ех ¦ х3 , ." ех • х'
,, ^ г __. __ .___.___^. _,._______. _ т. д. =
х , х- х% , х* \
~ T + l.->~TT2^3" + lT2-3-'i"~ И Т" Д' ) '
Но выше ') мы видели, что ряд
. X 3? X* , Xх
1 ! : , . ¦-\ 0—~ и т- Д-
выражает значение с~х; следовательно, искомое значение будет равно
II р и м с р 5
Пусть y = smx. Ясно, что при х-~() буОст у=0; это покажет
и общая формула.
Действительно, так как y — sinx, то
dy dz>/ ¦ d3xi diy
-¦i_=COSa:, -j^;~ —S1U_, -r^r, = — COSZ, -r-; = SinX И Т. Д.
dx ' dx' ' dx3 ' dx* "
При ж= 0 значение у будет таково:
sin а. — --cos ж — .—-sinx-f- - -*—cos ж-г- ------sin ж— и т. д.,
а это равно
1— А; 4--_—?;г-, т—г-^г-7-^-т- + И Т. Д. ) —
Но из этих рядов первый выражает cos ж, второй sin ж; поэтому искомое
значение будет равно sinxcosa; — cos .r sin ж = 0.
68. Отсюда г) мы видим, что и обратно, если у есть такая функция
от а., что она исчезает при ж = 0, то
a; dy x2d-y x3rf*i/ . x'dly
У ~ Tdx + Y'-2dxJ l-2-3i_3""r~2-3-Wa;* ~ " T" Д" == U-
Сл(-дов"тельио, ото есть общее уравнение всех функций от х, которые,
когда х становится равным нулю, в то же время сами исчезают.
Поэтому это уравнение обладает тем свойством, что какую бы функ-
функцию от х, лишь бы она исчезала при исчезающем х, ни подставить
вместо у, она всегда будет этому уравнению удовлетворять. Если же у
будет такая функция от х, которая при х = 0 получает данное значе-
1) «Введение», т. I, гл. \ II.
ГЛ. III. О НАХОЖДЕНИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
равное А, тогда будем иметь уравнение
х dy x2d'2y x3d3y xdy
У ~~ Tdt + UUx1 ~ T-'i^Mx* + 1.2.3-id** ~ И т' Д- = А>
юе охватывает все функции от х, получающие при х=0 чначо-
1.
19. Если вместо х написать 2х, т. е. х + х, то какая-либо функция
которую мы обозначим через у, получит значение
x2d~y xs.i3y xidiy
T^bilr^T+ И Т Д
же вместо х написать пх, т. е. х-\-(п—1)х, то функция у получит
ние
(n-l)xdy (п-\)-хЧ2у {п — \)х4у
Tdx ' ГШ* +:2^^'-+ и т- Д-
це же, если вместо х написать t, то в силу t — x-\-t — х кокая
ю функция у преобразуется к виду
Ых + \-2dx* ^ 1.2-3rfxJ "I" и т- Д-
а образом, если v есть такая же функция от t, какой является у
то, так как v полз'чается из у, если положить t вместо ж, будем
v-y-i -ldx i- 1,.ldx, -t- j.^.^rf-TT и i. д.
)аведливости этого можно убедиться на каком угодно пример<\
Пример
Тустъ у—х! — х; очевидно, что если вместо х положить t, ти-
: иметь v — t'~ — t; то лее са.лое даст а найденное выражение.
1бо вследствие у = х~ — х мы будем иметь
^ = 2а-1 и -Й = 1,
dx 'ldxi
v = x2~x+{t-x) Bx- 1) + (t-xf --=
= х- — х + 2tx — 2x2 — t + x +1' — 2ix + x'2 = t' — t.
если у будет такой функцией от х, которая при х — а пере-
в Л, то вследствие t = a и и = Л будем име!Ь
•• д.
!дователыю, этому уравнению удовлетворнют все те функции от х,
ые при х = а переходят в Л.
То-есть из формулы, данной в начале ыастоящ то параграфа,
ГЛАВА IV
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
70. В предыдущей гла,ве мы отчасти уже показали, как при-
применяются найденные там общие выражения конечных разностей для
разыскания рядов, которые выражали бы значение какой-либо функции
количества х. В самом деле, если у есть данная функция от х, то
значение, которое она принимает при х = 0, будет известно- если
положить его равным А, то, как мы нашли, '
У dx ""Г" i.2dx- Г2Тз5^+Г2^7^Г— и т- Д-=
Здесь мы не только имеем ряд, продолжающийся по большей части
до бесконечности, сумма которого равняется постоянному количеству А,
хотя в отдельные члены его входит переменное количество х, но также
и самую функцию у мы можем выразить с помощью ряда. Дейстнп-
тельно, мы будем иметь
?/= А ' xdy x2i~'' хЧ1и__ хЧ""
J г d7 \.<idx* ~~Л'5.Мх*~Т1Жы??~т' и т- д-
Несколько примеров на это уже было приведено.
71. Чтобы для разыскания этих рядов открывался больший про-
простор, положим, что функция у переходит в z, когда вместо у в-.-ю'Ч
пишется у + ш, так что х есчь такая же функция от х + ш какой у
является от х. Мы показали (§ 48), что
Z=,,4- hi
У^ dx
г]'ак как отдельные члены этого ряда можно найти с помошью после-
последовательного дифференцирования количесчва у, полагая dx = const
и так как вместе с тем значение количества 2 можно фактически
выразить подстановкой х + со вместо z, то этим способом мы всегда
получим ряд, равный значению количества г, который, если со будет
очень малым количеством, сходится очень быстро и приближённо пред-
представит значение z, если взять даже не очень большое число членов
Поэтому эта формула имеет очень широкое применение в приближённых
вычислениях.
72. Чтобы при ознакомлении с замечательными применениями этой
формулы соолюсти порядок, будем сначала подставлять вместо у алгеб-
алгебраические функции от х. Пусть сперва у^хп: тогда, если вместо х
(J ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИИ РЯДАМИ
i положим х-\-ш, будем иметь г = («+*")"• А так как
'Л=пхП~1' g = »(»-l)a:n-2,3-»(«-!) (п-2)х»-*г
^ = я(и_|)(н-2)(и-3)Жп-* и т. д.,
по подстановке этих значений получится
, \п п I п ¦„ 1 I П (П — 1) п „ „ П (п — 1) (п — 2) „ „
; -}- «>) = ж + ~Т" Ж «> -| Y—., х (" Н ^—Т—^Г— ж " '"" + и т- А-
о — хорошо известное ньютоново выражение, с помощью которого
зпень бинома (х-\-т)п обращается в ряд. Число членов этого ряда
?гда конечно, если п есть целое положительное число.
73. Отсюда мы можем также найти такой ряд, который выразил
значение степени бинома так, чтобы этот ряд обрывался всякий
з, как показатель степени будет отрицательным числом '). Для этого
— их
X + и '
гда
значит, мы оудем иметь
' хгп „ nx'lu , п (п—1) хп и2 п(п—1)(п — 21 x" u:i
j —^ ¦ Js —f - . —] ------ -- - „~ ^ -- _ —- ^- _ -р И j ^ д ^
зделим всюду на х2"; будем иметь
_„ пх'пи п(и—\.')хгпи* п (п — V) (п - 2) х~п и%
X + U) — X — t (Г-Хм) + ¦ 1 . о (V4- ггK ГТ 2 • 3 (aT+TiO» ^ " '' Л'
ложим теперь — н = т; получим
X -f- и) = Хт -\- т^ . " -[- "! 9 I _^ ч'г- + "~Т7^—з Сх \-иУ " ^ П Т' Д-
ат ряд, если т есть целое отрицательное число, будет состоять из
неч!гого числа членов. Этот ряд, следовательно, будет равняться
рвому найденному, если в нём вместо со и и написать и и т, поело
14) он будет иметь вид
._, ,,, . тхт~1п , т (т — 1) хт~*-и" , т (т — 1) (т — 2) хт~3и^
U) — х т i I- t _ 2 , 1.2-3 -|- и 1. д.
74. Тот 5ке ряд можно получить из выражения, данного в начале
70. Действительно, если у переходит в А при х=0, но мы имеем
xdv X'd'i/ x^d-'i/ x%dy .
!J dx Г1 • 2 dx> 1 • 2 • 3 rfx3 ^ 1 • 2 • 3 • i dx4 A' '
ложим г/ = (х + а)"; тогда Л = а" и вследствие
g = rc (* + «)'<-, g = n(n-1)(.x +
g = „ („_ 1) Gl-2){x + а)"-3 и т. д.
x) Здось, конечно, подразумевается слово «целым».
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ 257
мы получим
{х4-а)п — |i(iTa)n-4 n(^\~2i)x'{x + a)n^— и т. д. = а".
Разделим на ап(х-\-а)п; тогда получится
(х 4-а) = а
-U.,2
па~п.с п(п — 1)а~пх
' 1 -~2 (ж + aJ
— и т. д.
Если положить вместо х, а и и соответственно и, ж*и—м, то полу-
получится ранее найденный ряд.
75. Если вместо т представлять дробные числа, то оба ряда ста-
станут бесконечными; однако если и по сравнению с х будет очень
невелико, то ряды будут быстро сходиться к истинному значению.
Итак, пусть т = — и х = ау ; из первого найденного нами ряда по-
получим
(а"' + U) v = вч A 4- -f -"_ ,:- ^^ JJ- + i^^H;-2v) j?- + „ т. д.),
А ряд, кото|)ый мы нашли позднее, даст
v(«v+h) v • 2у(я"' 4-мJ v • 2v • 3v (av 4-кK
Этот ряд сходится б]Iс,трее, чем первый, так как его члены убывают
и тогда, если и > ау , первый же ряд в этом случае расходится.
Если, например, ;i = l, v = 2, то
г ., , Г , , I ¦ м 1 ¦ 3 и- , 1 - 3 • 5 м3 Л
у а- -!- ;г = а ( 14- ^v—-тг~\ ~г .)"~w"!"r-\i ^—:>—7—g7~j—~^г^ и т- Д- ) •
Подобным образом, полагая вмесчо v числа 3, 4, 5 и т. д. и сохраняя
fj. = l, мы будем иметь:
iu 1 • гнз . 1 • \ ¦ ;и3
л- и = а
— п A ~
1и
4 (а4 ¦+- г()
1м
5 («ь [-«)
1
4 . ц
1
' о ¦ 1С
и
(о'
¦ 6
)(<!
) И2
14- mV
и3
;5 + иJ
¦. д.
1 • 5 ¦ 9 и;! ,
812(^+п)» + и т-
1 • 6 • 11м3 *
76. Из этих формул можно будет легко найти корень какой-либо
степени из какого угодно предложенного числа. Действительно, пусть
предложено какое-нибудь число с. Найдём близкую к этому числу
степень, которая может быть либо больше ого, либо меньше. В пер-
первом случае и будет отрицательным числом, во втором случае — поло-
положительным. Если окажется, что полученный ряд недостаточно быстро
сходится, то мы помножим число с на какую-нибудь степень, скажем
на р , если нужно извлечь корень степени v, и будем искать корень
из числа /vc; разделённый на /, он даст искомый корень из числа с.
Чем больше число /, тем быстрее будет сходиться ряд; особенно семи
некоторая степень аУ не сильно отличается от /v с.
1/ Л. Эйлер
8 ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
Пример 1
Пусть ищется квадратный корень из числа 2.
Если без предварительной подготовки положить а = 1 и в = 1, то
)лучится
/Т| л , 1 L • :! 1-3-5
/2 - 1 + ~- 4- утТГг^" "*" 2 - 4 • 6 • 2-' + И Т- Д-
отя ужо этот ряд достаточно быстро сходится, однако предпочтительно
юждо умножить число 2 на какой-нибудь квадрат, например на 25,
гобы произведение 50 было очень мало отличным от другого квад-
1та 49. Поэтому будем искать квадратный корень из 50; разделен-
разделений на 5, ои даст/2. Мы будем теперь иметь а--1 и в=1, так что
ли
l
100
1 ¦ з
1 • 3
100 ¦ 200 ' 100 • 200 • 300
«т.д.)
и т. д.).
'то выражение очень удобно для подсчёта в десятичных дробях.
Действительно, мы будем иметь:
4- 1.400000000000 0
140000000000
2 100 000000
35 000 000
7
5
5
1
100 '
5
1
Too '
3
200 '
1
100
3
200
о
300
фоизведение предыдущего
на
00
хроизведение предыдущего
11аШ
ироизведение предыдущего
11
600
на
652 100
11025
202
произведение предыдущего
13
Следовательно,/2= 1,414 213 562 373 0.
Пример 2
Пусть ищется кубический, корень из 3.
Помножим 3 на куб 8 и будем искать кубический корень из 24;
в самом деле ^24 = 2 |/3. Положим а = 3 и и= —3; тогда
о /л 1 • 3 . 1 • '» • 3* 1 -4 • 7 • З3 . .
,3A-Г1-ж-К5ТТ7^-!Г7^-ГЙГ+ и т. д.)
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РИДАМИ 259
или
3У •) :! /1 l I ¦ 'i I • 't • 7 .
и т. д.).
Этот ряд сходится уже очень быстро, ибо каждый его член более чом
в восемь раз превосходит предшествующий. Если же 3 помножить на
куб 729, то получим 2187 и |/187 = f/TF^TO^ 9 */3. Так как те-
теперь а — 1Я и н. — — 10, то будем иметь
з/5 _ 13 . 1-10 I • 4 • 10- t-'t-y-lO1
К •' ~Г11~ л --/is; ' :з -V:. 2187^ ~ з"-Т.?Г2Ш^ ¦ и т* дЛ
каждый член этого ряда более чем в двести раз превосходит пред-
предшествующий.
77. Разложение степени бинома имеет очень широкое применение:
оно может охватить все алгебраические функции. Пусть, например,
ищется значение функции |/а + 2bx -J- сх'\ выраженное с помощью
ряда. Его можно будет получить по предыдущим формулам, рассма-
рассматривая два члена вместо как один. Далее, ото представление можно
получить с помощью первого из приведённых нами выражений. Ибо.
если положить ]/ a -f- 2bx -\- сх2 = у, то так как при х — 0 будет у = ]/ а.
то Л=у а, и так как дифференциалы функции у выражаются фор-
формулами
<iy Ь + сх &1у ас — Ь'2
^* ' dx* ~
Ъ(Ь--ас) (h -\ сх) d*y _ 3 (й2 - ас) (ас - 5V- — 8hcx - ксг х2)
(а-\-ЧЪх-'гсх*У'!"- ' dxl (а^ЧЬ + *I!* И I. Д.,
то из них получим
(Ь - сх) х (Ъ! — ас.) х2 (Ъ- — ас) (Ь -(- сх) х"'
У а -т- 2Ьх 4- сх" ~ \fa ~2Ьх~~+сх* 2 (а + 2Ьх 4- сх1)^ 2 (я + 2!>х + сх*)о/"
(Ь2 — ас) E?>'2 — ас ¦¦{- Sucx -- We- ж2) х* , ,"'
_\ /_Ь ._-• ^ и т. д. \ а.
8 (а + 2Ьх -i- сх"-) /з
Если везде помножить на j/я-f-26ж + сж2, то ряд станет рациональным.
и мы будем иметь:
l/ а(а + 26ж + са;2) - а -г 26а: 4- с^3 — F -г сх) х <Ъ*-ас)х* _
' х ' \ / 2(а + 2Ьх + сх2)
(Ь2 — ас) (& + еж) д.3 (?^2 — ас) EЬ2 — ас
или
1-^а +26ж+ сжа ---
:2)|/a 2 (a + 2&Z + CZ2J У а
78. Перейдём теперь к трансцендентным функциям и будем под-
подставлять их вместо у. Пусть сперва у = 1х; положив ж+со вместо х,
будем иметь z= 1 (x-j-ш). Пусть это какие угодно логарифмы, которые
17*
60 ГЛ. IV. О ИРГСДСТЛВЛШШИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
меют к гиперболическим отношение, равное п :1 . Для гиперболиче-
ких логарифмов п—l, а для табличных п = 0,434 294 481 903 2. Тогда
.иффоропциалы функции у = \х будут
di/ п d-y n d3!/ 2n
"dx ~~x~ ' dx* : "" р~ ' 1х~з == "г3" И Т" Д'
1з них получается
, . . , пш т»! то3 псо*
1 (ж - on —1^-1 _________—7—1+ и Т- Д-
1одобным образом, если ш поло?кить отрицательным, будем иметь
п , . , /ко no-2 mo3 nu>4
1(Х~~ @) -IX —-;,— —-; — И Т. Д.
V ' X 1Х* Л,?-> kXl
5сли этот ряд вычесть из предыдущего, будем иметь
1—-— ^ 2п { I-—-T -t- ^-r -f-^-?- + и т. д. ) .
х - <о V г ' 3xJ ож5 7х7 м у
79. Если в первъм из найденных рядов
. , , . , пт nws , nu>3 mo4 .
1(.т [-со) =1я + -___+___+ и т. д.
положить
и — х '
ТО
их
х -\- ш ¦=
и —;
(жт«) = 1и + 1ж-l(w —ж) -Лж+-—. + Я-Г-—г*+ и т. д.
ж
, / . , m: пх- пхг
1 (м- —ж) 1 и г -к, ,т, —, ^— -- и т. д.
4 ' и — х 2 (и — х)' а (и — x)s
Взяв х отрицательным, получим
1 / i \ 1 , ПХ , ПХ2 ИХ3 ПХ*
1(и+а;) = 1в + __+..(__+з(^^ + 411й^^ И Т- «•
G помощью этих рядов логарифмы можно находить очень быстро, если
ряды хорошо сходятся. Такими будут ряды, которые легко выводятся
из предшествующих, а именно
Цх M)==la: + nC4--^ + i-i+ й т. д.),
+ ±
и т. д.).
Так как эти ряды отличаются друг от друга только знаками, то, если
ими пользоваться для вычислений, можно с их помощью, не затрачи-
затрачивая лишнего труда, найти логарифмы сразу двух чисел о? + 1 и ж—1.
Далее, будем иметь ещё такие ряды:
_L + 1l+JL+ и т.
Л. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИИ РЯДАМИ
261
80. Таким образом, по данному логарифму - числа х можно найти
без труда логарифмы соседних чисел ж+1 их — 1; более того, по
логарифму числа х — 1 можно отыскать число, на два большее, и об-
обратно. Хотя это подробно было показано во «Введении» *), мы всё же
добавим здесь несколько примеров.
I [ р и м с р 1
По данному гиперболическому логарифму числа 10, равному
2,302 585 092 994 0, найти гиперболические логарифмы чисел 11 и 9.
Так как здесь ищутся гиперболические логарифмы, то будем
иметь п — 1 и, следовательно, получим такие ряды:
111 110 !
I 9 = 110
~
1
5~ j-Q6 — и т. д.,
10
2 • 10J ЗЛО» 4 • 10«
w т тт
Для разыскания сумм этих рядов соберём по отдельности чётные и не-
нечётные члены, будем иметь:
10
• 103
= 0,100 000 000000 0
= 0,000333 333 333 3
5~1б* т °-°00 002 00° 00° °
¦- -гф- - 0,000 000 01 i 28л 7
97То? -= ().°00 °00 000 1! 1 1
п.\о" -¦¦¦0,000000 000 (ЮОП
ъ~\ф = 0,005 000 000
~Qi = 0,000 025 000 000 О
.-1 „ = 0,000 000 166 666 6
_Lj:, 0,000 000 001 250 О
___L 0,000000 000 010 0
to • io10
._ *--.. 0,000000 000000 I
9
5 025 167 926
Сумма = 0,100 335347731 Т)
Сумма обеих сумм будет 0,105 360 515 657 7
Разность их будет 0,095 310179804 3
Но " I 10--2,302 585 092 994 0
Следовательно. 1 j 1 ,= 2,397 895 272 798 3
и 19 -==2,197 224 577 336 3.
Отсюда, далее. 13 ^-1,098 612 288 6681
и 199 -=4,595 119 850134 6
При ме р 2
По найденному теперь логарифму числи 99 найти лога рифм чи-
числа 101.
Для этого воспользуемся найденным выше рядом
Ч* + 1) -К^1)+;г^^^«т. д.,
') «Введение», т. I, гл. VII.
i2
ГЛ. I\'. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
котором положим z = 100; тогда будем иметь ряд
о 9 с> °
1 101 — 1 99 :—*^ л _ _- i - ! t -,- и т п
I 1Ш - 1 JJ , 10() , .5 _ 100, -; . _ 10(), - _ _ 100?-1 И 1. Д.,
,гмма которого, определённая из этих его четырёх членов, оказы-
ются равной 0,020000666 706 6: нрибаыш оё к ! 99, получим 1101 =
¦=•4.015 1205168412.
Пример '.'>
По данному табличному логарифму числа 10, равному 1, найти
/гарифмы чисел 11 и 9.
Так как идось мы ищем обыкновенные табличные логарифмы,
удем иметь
и--- 0.434 294 481 903 2:
1одоват<\ыго, положи» ./•-.- 10, будем иметь
-I- * I- '" I i * ' i л s\ lS t i~\ I I », till t
)9
1U' 4 ¦ L01 '
71 П
II Т. Д..
¦л
/joepo.M по отдельности четные и почетные члены.
-". = 0,043 429 418 190 V, -., "т-, --= 0,002 171 472 409 Г)
:; -
¦Id
Q;1- 0,000141764 827 3
г 0,000 000 868 588 9
-,- ^п-4 - 0,000 010 857 :;>62 0
. -t-7 .0,000 000 001J012
-<Г7хо< ¦J °'000 0(H 0(H 048 -
If.*iou " 0,0000000000004
С) ¦ 10*
"s ¦ То5
--0,000 000072 382 4
~-0.0000000005428
ioTToTo - а(ХH 00° 00° ш :!
i>
ii ": 0,000000000 000О
Сумма ^0,043 575 087 859 3 Сумма ,=¦-0,002 182 4.02 701 0
Сумма обеих сумм -0,015 757 490 560 3.
Разность ых --= 0,041 392 685 158 3,
а так как ПО --¦= 1,000000 000 000 0,
то 111 -^ 1,041 392 685 158 .'5
и J 9 --- 0,954 242 509 4 39 7 '),
отс«)да 13 ,= 0,477 121 254 71Э 8
и 1 99 -=-- 1,995 635 194 598 0 г).
11 [) и м е р 1
По найденному здесь табличному логарифму числа 99 найти таб-
табличный логарифм числа 101.
1) 15 первом изд;шии 1У ¦¦---0,y5i 242 509 V39 6. [/'. А1.]
2) В аерном индании 1УУ --1.095 035 19ri 597 9. [/'. A'.j
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ 26'Л
Применив здесь тот же ряд, которым мы пользовались во втором
примере, будем иметь
т. ;,
Если в этот ряд подставить значение, которое должно иметь //., то
быстро найдём сумму, равную
0,008 686179184 9.
Прибавив её к
получим
1101=2,004 321373 782 9.
81. Пусть теперь в нашем общем выражении у есть показатель-
показательная функция и пусть у = ах; положив х -(- о> вместо х, мы будем иметь
z = ах+<о; вследствие
-J=-.ax\a, --—=аг(] a)J, -\ = ах 1 a)z и т. д.
dx dx- v ' dx' v '
будем иметь
+ —- т- -Y. 2- - t ; 2 .-3-т и т. д.
Если разделить па ах, получится ряд, выражающий значение показа-
показательного количества, который мы нашли ужо во «Введении» 2),
а именно
(о 1 я о>2A af , ™3(I af ,
а{0 = I 4- -- - -4 - ¦ ^ п т и
а 1-т- г , j . 2 т 1 2 . 3-h к Д-
Подобным образом, вняв о> отрицательным, будем иметь
_,и л <•> 1 я м2 A яJ «:! A аK .
а «. = 1-_ + _1—r-_i4- и т. д.
Из сочетания этих рядов получим
а'° + а~'° _ . _, со2 A аI «И A яI1 ™5 A яN
' и ^г "ТГ~2~ 1Т1ТзТ^ ' | . 2 • 3 Г4 - 5 • 6 "' И Т- Д-'
ОШ-¦-(Г'"' о>1я а.'!(Ь1ГЧ <«Г'(ЬN
"" 2" ~" 1 П" 1 • 2 • 3" ' 1 ¦ 2 • • 4 • 5 "•" • д-
Напомним, что 1а означает гиперболический логарифм числа а.
82. С помощью этой формулы можно найти по данному логарифму
соответствующее ему число. Пусть в какой-нибудь системе логариф-
логарифмов, в которой логарифм числа а положен равным 1, предложен какой-
либо логарифм х. Найдём в той же системе логарифм, близкий к и,
и пусть и = х-\-ш; число же, соответствующее логарифму х, пусть
равно у = ах. Число, отвечающее логарифму х-\-ю = и, будет равно
_ z< и мы 5удем иметь
о>2 AаJ о>3AаK «4AаL
"I Г2-+1-Л-Т1ГТ- ГТТ73Т-4+ И ''• Д
х) В первом издании пивторяется ошибка, указанная п предыдущем
НИИ,
J) «Введение», т. I, гл. VII.
14 ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РИДАМИ
от ряд, так как си есть небольшое число, быстро сходится. Покажем,
к пользоваться этим рядом, на следующем примере:
При м ор
Пусть ищется число, равное степени 224 числа 2.
Так- как 2!4 = 16 777 216, то 2~-4 = 21П 777~iG, и если взять обыкио-
ниые логарифмы, гн> логарифм этого числа будет равен 16 77721612.
) так как
12 -= 0,301 029 995 663 981 195 213 738 89,
логарифм искомого числа будет
5 050445, 259 733 675 932 039 063.
7о характеристика указывает, что искомое число выражается 5050 446
фрами; так как их невозможно напти все, достаточно будет опреде-
гть начальные цифры; их нужно найти но мантиссе
0,259 733 675 932 039 063 = и.
з таблиц находим, что число, логарифм которого близко подходит
этому, равно 1,818; положим его равным у; его логарифм
х = 0,259 593 878 885 948 644,
сюда
со = 0,000 139 797 O't6 090 419.
зк как здесь
я = 10,
1 а = 2,302 585 092 994 045 684 017 991 4
w 1д = 0,000321 894 594372400 J).
злее,
у = 1,8.18 000 000 000 000 000.
-|il у = 585 20i 372 569 023 2),
mlSlJ}ly^ 94 187 062 066 2),
"""\у= 1010U102-),
813
I ¦ 2 - 3
a-1 (la)*
¦ 2 • 3 .~4
1,818 585 298 569 738 004 3).
Таковы начальные цифры искомого числа; из них все, за исклю-
?нием, может быть, последней, верны.
83. Рассмотрим круговые трансцендентные количества, и пусть,
ж всегда, мы полагаем, радиус круга равен 1 и у есть дуга круга,
шус которого равен х, т. о. ?y = arcsinx. Положим х-\-ш вместо х;
Y) Р, нервом издании <» 1 а =--= 0,000 321 894 594 372 398. Т. h\]
-) В перпо-м издании последние цифры 0, \, 0. Г. ii'.j
3) В первом издании 1818 585 298 569 737 997. [Г. 'К.\
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ 265
тогда z = arc sin (z + u>). Чтобы выразить его значение, найдём диффе-
дифференциалы количества у (§ 200 первой части):
rh/ I d!t/ х d'Ji/ 1-- 2л:3 dh/ O.r -f Gy;3
rfx т/'Г^.г2 ' "'¦'^ A — a.--K'5 ' '^-c8 A — a;-)'''2 ' ^-';l ~ A — .г2O'- '
(i5// <t '.-7-2.C2- 2'ixl Л/ 225ж-1 COOx3- 12O.r5
II т. д.
Из 3iого находим
arc sin (x гш) = arc, sin x -j- / -r ^ ' "_ я -f -^ ^-^ -.--
«>5(9 -72z2 -r-l\x
2i(L-x2O/;; 120 (l-
-г и т. д.
8J-. Итак, если известна дуга, синус которой равен х, то с помощью
этой формулы можно найти дугу, синус которой есть ж —ш, если о>
ос-ть весьма малое количество. Нужно найти сумму ряда, и она выра-
выразит дугу в частях радиуса, которые легко перевести в дуговые меры,
как это будет видно из следующего примера:
Пример
Пусть ищется дуга круга, синус которой равен — — 0,333 333 ИЗЗ Л.
Найдём из таблиц дугу круга, синус которой равен числу, ближайшему
меньшему чем ^-; она будет равна 19О28Г. Синус её равен 0,3; 32584. Итак,,
положим 19°28! = arc sin x = у\ тогда х = 0,333 258 4 и ш = 0,000 074 9 и из
таблиц находим \f 1 — х'2 — cos у = 0,942 835 6. Следовательно, искома и
дуга z, для которой предложен синус, равный — , будет равна
cos i/ 2 cos3 г/ '
Это выражение уже является достаточным. Произведя вычисления с
помощью логарифмов, будем иметь:
1ш = 5,874 4818
1 cos у = 9,974 435 9
1 ^_w__ = 5/900 015 9 -^ = 0,000 079 441 2
COS !/ COS I)
1-^-= 1,800091 8
COS3!/ '
1 siu?/ := 9.548 345 2
COS 1/
1,348 437 0
12 = 0,301030 0
2 cos3//
Сумма = 0,000 079 442 3
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
есть значение дуги, которую нужно прибавить к 19°281, чтобы
>азить её в секундах; возьмём её логарифм, который равен
5,900 0518,
него вычтем
4,685 574 9
1,214 476 9" '
му логарифму отвечает число
16,38615,
ороо является числом секунд; дробную его часть выразим в тер-
х. квартах и т. д. и получим, что искомая дуга равна
19°28116" 23Ш 10!V8v 24VI.
85. Подобным образом найдём выражение и для случая косинуса.
— dx
южим у = arc cosх. Так как dy - --- , то ранее найденный ряд
У 1-х2
тете я неизменным, только переменятся знаки. Итак, мы будгм
ть
. . со ш
гс (;os (х t со) = его cos x ,-^= —
,>» (9 4- 72x2 + 2i.c4)
т. Д.
-x* (l-x-f- бA-а;г
ч>4 (Ox -f 6x3) .,>» (9 4- 72x2 + 2i.c
24A —ж3) /2 120 (I-ж2)'2
т ряд, как и предыдущий, будет сходиться очень быстро, если ил
№цы синусов взять углы, близкие к истинным, так что но большой
ги достаточно взять один только первый член --" - - . Однако если
У\.-х*
удет очень близок к 1, т. е. к полному синусу, то вследствие того,
знаменатели становятся очень малыми, сходимость ряда ослабе-
г ]). Поэтому в тех случаях, когда х лишь немногим меньше чем 1,
ту того, что тогда разности становятся очень малыми, удобнее
ьзоваться обычной интерполяцией.
86. Положим теперь, что у есть дуга, тангенс которой даётся,
тоть будет y = arcLga; и z = arctg(a; + (o). Тогда
ш du <o2 <i2!/ оK d3j/
z = У '- ~dt + 'Yd^- + Та?""' и т- д-
Чтобы найти члены этого ряда, найдём дифференциалы коли-
гва у:
dy I dhi _ —2x dhi _ — 2-^ 6ж*
Аё "~1 4-ж1 ' А7а = (М-х2K ' dz5 "~ A 4-ж3K '
i*V24a:-2'ia3 dBi/ 24 - 240х2 $
' Й8" AJ-
и т. д.,
гда находим, что
re tg (х 4- ш) = arc tg х г ^ + щ~ т (Tf^
l) Ilia series convergentiam amittit-
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ 267
87. Этот ряд, запои составления которого не столь очевиден, можно
преобразовать к другому виду, где закон следования тотчас же бро-
бросается в глаза. С этой целью положим arc tg ж = 90° — и, так что х-¦¦-¦-
COS и , . .) 1 dii 1 .
= ctgM = -—; тогда 1 -t-зг — . , . откуда -,-=-.- =sm2«. Гак как.
° sm и sl.2 и - dx 1 х'X"
далее, dx =--¦ ~-.f, т. о. du -dxsriru. то. беря дальнейшие диффе-
дифференциалы, будем иметь
,-'- 2 du sin и cos и -.= du sin 2и —dx sin"« sin 2м,
гак' что
• : — sin'Msin 2м,
dx1
d%u
^ H 00S W Sin ~U — ^U ?>1^и C')S ~u — ~ d ^ ^
)f'K ЧТО
~3 ^w sin2 M (cos м sin Зм -f- sin гг cos ¦ м) = da sin2 a sin 4и -
-•-- - - dx sin1 м sin iu,
T~>~'I'd " sin*мsin4м и т. д.
Отсюда мы заключаем, что
arc tsr (.r - (и) =--arc tsr x -f- -'" sin м sin н — "^ sin2 м sin 2м +
-t- -'- sin3 и sin 3m — -'- sin" и sin 4м f- ^- sin5 м sin 5м — и т. д.:
:i 4 о
¦гак как здесь arc lg jc --у и arc tg ж-—90° — и, то будем иметь
у = 90°—и.
88. Если положить arc ctg x ¦—- у и arc ctg (ж-|-(о) =z, то
mdy оJ йгу } w3dy3 . u>idy1
гак что
, , —dx
Л так как dy ¦--¦- -¦ , ;, то члены этого ряда, кроме первого, совна
дают, если не считать знаков, с членами ранее найденного ряда. По-
Поэтому положим, как прежде, arc tg ж = 90°— и или arc ctg ж — и, так
что и — у. Тогда
arc ctg (x 4- ш) arc ctg x — "- sin м sin a -}- "- sin'2 м sin 2м —
— -д- sin3 м sin Нм + y si и sin 4и — и т.д.
-Jto выражение неносредственно вытекает жл предшествующего;' дей-
«¦ткителъно, поскольку
arc ctg (x + ш) = 90° — arc tg (x + о>)
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
arc ctg x = 90° — arc tg x,
м иметь
arc ctg (x 4- <«) — arc ctg ж == — arc tg (x 4- w) 4- arc tg ж.
39. Из этих выражений вытекают многие важные частные случаи^
чаемые подстановкой различных данных значений вместо х и со.
ъ сначала а; = 0; так как м =—arc tg x 4-90°, том = 90° и sin и =1;,
п = 0, sin3n=—1, sin 4м = 0, sin5M —I, sin 6м = 0, sin 7и =—1
д., откуда получаем
arctgo)=-y — "q""* У4"!» И4" и т' д'
ость хорошо известный ряд, выражающий дугу, тангенс которой
н со.
Пусть теперь Ж----1; тогда arc tga; =45°; следовательно, и = 45°;
да
1 . г, . • ., l • / л • - 1
пи :¦=—==, sin Аи =1, sin .ж -—?=., sin 4м = 0, sin ;ш — ,
/2 /2 V2
sin 6м = —1, sin 7м = -?= и т. д.
значения дают
с tg A 4- «>) = 45° 4- т/ — .77", + я^"~ FTTx ~г fiTx "~~ iT7t\ "г «Тро ~
128 ~И Т* Д>
10-32 ^TiT64lFl28^ 14-128
[м образом, если си =—1, то, поскольку arc tg A + си) = 0 и
= —, получаем
7-21 ^ У - 2й ^ 10-26
И Т- Д>
это значение подставить в предыдущее выражение вместо дуги
то будем иметь
<о+1 <ог—1 со3 4-1 <о541 , .«'-Г' «41 ,
ряд очень удобен для отыскания приближённого значения ¦— .
Ю. Так как
•те _ 1 . J_ _, 1 1 I 1
Т ~ Г-^ ^~ 2^ ~ 3-2- 5-23"~ "б-IP J.24 """ И Т" Л''
ены, имеющие в знаменателях 2, 6, 10 и т. д.,
1 1
жают yarc tg у, то
™ 1 .1.1,1 1 1 1 ¦ 1
~--arc tg у + ^-t---^3.— 5^5 —7^4+ yTo-»4" ITT»" и T>
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ 269.
С другой стороны, поскольку, если во второй формуле взять о>
¦отрицательным,
. /л \ ! 1 . 1 1 1 1 ,
arc tg A-о)) = — --— + ^ —ъ^~лТ»~ТТ* + и т- д'~
()> СО" A)^ <О5 О)** Ш^
1-9 i-1 а-22 ' Г)-2? ' G-23^ 7-21 м->
I
то, если с» = 7,-, оудом иметь
11,1 1 1 1 1
arc tg -j - — - ¦ —, н- -р - ^ - ц72» - -7-2. + п т. д. -
I -y> Г) iTTj •) .15 ~*Г ~r OS "^ Г ol> "~ *~ Oil ~~ ^ ^* Д*
Снова кзяв члены, которые разделены на 2, 6, 10 и т. д., будем иметь
11 11,1 1 1,1,
arctg y== -arc tg — + f^+3^— 5751 — y^i + "^s + и т- Д- —
1,1111 1 1
—-^-arc tg ——— ———-. + 7г-^-8-}- =-^j-j — ^-^li"— и т. д.,
гак что
1,11.1 l l
arc tg
ь ¦> '" I .:>. т" ;;^ j-2» ~7-24 ' И Т' Д'
1 __.... 1 1 1 11 1
1Г\ -^ I ^ г\Й I — fill -. nid *^
Если подставить это значение в предыдущий ряд и при этом разло-
разложить в ряд также и arc tg — , то найдём:
( . . 1 1 1,1,
1+ 1721-5^-^2-3+9725+ И Т- д-~
1 1
7С 1 1,1
4 \ 1-22 3-25 ' 5.28
I
1
И Т 7Т
9214 м'
7-24 9-214
I i_ 1 1 _ , _i i_
( 1-24 3-210 5- 2^6 ~^~ 7-2J" У-28
90а 1). Полагая х-~\, можно найти ещё много других рядов.
Если же положим х = ]/ 3, так что arc tg x = 60°, то
м = 30° и sin м-= — , sin 2м---^-, sinSw—l, sin 4м = -^-— .
sin5K-= —, sin6H = 0, sin 7м =—^ и т. д.,
откуда
О7
3-26 7-28^ 8-29 у-29
*) В первом издании по ошибке повторён помор 90. [Г. К.]
70 ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
ели же положить х — —г= , так что arc tgx — ,'0°, то
„по . УН ¦ ., УТ . ., ,. . , уТ
а-—ЬО и эти——--, 81п2м = — -, sm.lM —Л), sin4м--—Чт-
2 2 2
sin5w — 5~ , sin См = 0, sin 7м ^- и т. д.
одставив оти значения, Пудом иметь
arct.(Tf —Г Lm !=:«)" L .
1 тт
начит, если «> — -р= , то, поскольку 30° =- — , будем иметь
те __1_ 1_ 1 __ 1 1 1
91. Вернёмся к найденному общему выражению
arc tg (x + m) = arc tg x j- — sin и sin и - -^ sin2 и sin 2м, Ь
+ '"-sin3Msin3H - и т. д.
О
положим со= —х, так что arc tg (я Ч-ш) -- 0; тогда
arctg х — — sin и sin м + ysiu'^asin 2м + .,-sin3Msin Зм-f- и т. д.
о так как arc tg:r--=90o — и — ^—и, то
cos и
° sin u
оэтому
= ц + cos и sin и -г -г- cos'3 и sin 2м. + — cos3 м sin Зм •- — cos4 и sin 4н. и т. д„
гот ряд заслуживает особого внимания потому, что какую бы дугу
ы ни взяли вместо и, значение ряда получается всегда одно и то же:,
ю равно ~ .
Если же w = — 2х, то, цосколькуагс tg (—х) — — arc tg x, получается
2 arctg х — —sin и sin м + '*^- sin2 и sin 2м. + —sin3 и sin Зм г и т. д.
•л; COS u
так как arc tg x.-- - — м и а; = -=— , то
° 2 sin u '
2 22 23
к — 2м + — cos в sin и + ~г c°s'2 м sin 2м -L ,- cos3 к si n '¦ hi -r- и т. д.
12 J
, sin 4м =0,
усть и — 45" — -^ ; тогда
1 1 • г, , .,
COS U = —,^ sin i; ——т-—> 8Ш ^Н " I, SinoM : ¦ _
п5м — • г- , sin 6н -= — 1, sin 7м -- —-,-— , sin 8м = 0 и т. д. и будем)
У1 ' У'*
меть ,
TCN 1 2 ° '}- о3 ^3 24 •"" 25
2 1 ^ 2 Г A b б V <i ^10 • 11 '
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ 271
Этот ряд, хотя он и расходится, достоин внимания вследствие его
простоты.
92. Положим в найденном общем выражении
1 -1
(О = — X = ¦
х sin и cos и
Вследствие
cos и
х — ——
sin и
будем иметь
arc tg (ж 4- ш) — arc tg ( ) = — arc tg — ¦= — *- -j- arc tgx.
Отсюда получится следующее выражение:
¦к sin и sin 2м sin 3u sin 4u
"IF ~ 1 cos u Ycos^lT ~т~ 3 cos3 u "*" 4"cos*"u" ! и т- Д-
Jfpn m='45° оно даст тот же ряд, который был найден последним.
Если же положить ш — —у \ -(-х*", то вследствие х =——"получится
ю = •
и
1
arc tg (s — YY^xz) -¦= —arc tg (УТ+Ис* —х) =
1.1 1 /те
= — -2- arctg — = — YVl— arc
arc tga; = -~ — u.
Поэтому будем иметь
тс 1 ,1 . , I • о 1 • о , ! • /
у == -j- u + y sin м г у sin Аи -f у sin ли + -,- sin 4и -f- и т. д.
Если дифференцировать это уравнение, будем иметь уравнение
О--у + cos м г cos 2м-L cos Зи 4-cos 4м + и т. д.,
смысл которого уясняется из свойств рекуррентных рядов1).
93. Если подобным образом дифференцировать прежде найденные
ряды, получатся новые суммируемые ряды. Прежде всего из ряда
, . , -П. (О (О2 (tl3 <!>'"> <06
arc-tg(l + «»)-T-r-2 -Гг + зл-.^ ЬёТ8-и т. д..
вытек am- ряд
1 1 «> ¦«* „И <»° т& , «о»
2 _j- 2« + <»* ~ ~^ ~ ^ + 7*~ 8" " ^ "8 ЪТ "г 3:i ~~ " '' Д' '
который получается разложением дроби
4 -j-п)* ~ 2
Далее ряд
Y = и 4- cos м sin и + у cos2 u sin гг -1- — cos3 и sin 3« 4- — cos4 и sin 4м 4 и т. д.,
J) Cuius ratio ex natura sorierum recurrentium.
2 ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИИ РЯДАМИ
ли его дифференцировать, даст
0= 1+cos 2в + cos и cos Зи-|- cos2 м cos 4и. + ros3 м cos ом + и т. д.
шонец, ряд
¦п. sin и , sin 1u sin 3if sin 'i«
2 " cos и r 2 cos- и ' 3 cos* it ' 4 cos4 и • • Д»
ёт
,-, 1 . cos (t cos In , cos 3it
cos- и ' cos8 u ' cos4 и cos5 м ' '
и
„ , COS И COS 111 COS 3l4 COS'lK COS 5ri
L) - 1 -j- 3 "t" Ц 1 -. ' : 1- И Т. Д.
cos и cos- и cus6 и cos4 и cos0 и
94. Но в первую очередь найденное общее выражение
arc tg (x -• о)) — arc tg x -¦- —sin и sin и —^-sin2« sin 2u-\-
~r -^г-sin3 и sin Зи— и т. д.,
о
е
x--ctgu или к —-arc ctga;-—90° — arctgx,
жет служить для нахождения угла или дуги, отвечающих каждому
иному тангенсу. Действительно, пусть предложенный тангенс равен«Л
цем в таблицах тангенс, близко к ному подходящий. Пусть он
вен х и пусть ему отвечает дуга, равная у. Тогда м = 90° — у. По-
жим тогда x + m = t, т. с. ш — t — x, и искомая дуга будет равна
г/ + ™ sin и sin и — "г-sin'и sin 2м + н т. д.
о правило особенно полезно, тогда когда предложенный тангенс
пик и вследствие этого искомая дуга мало отличается от 90°. Дей-
зителыю, в этих случаях вследствие быстрого роста тангенсов обыч-
¦й метод интерполяции даёт результат, очень далёкий от истинного,
ссмотрим следующий пример:
Пример
Пусть ищется дуга, тангенс которой равен 100; радиус пили-
пилится равным единице.
Дуга, приближённо равная данной, есть 89°25J; тангенс её есть
х = 98,217943.
[читая его из
t ^ 100,000000,
иучаем в остатке
ш = 1,782057.
лее, так как у ^89°2b1, то гг = 0°35], 2и-=Г101, Зи ^ Г451 и т. д.
идём теперь отдельные члены с помощью логарифмов. К
1о> = 0,250921 5
лба в им
1 sin м = 8,007 786 7
1 sin и = 8,007 786 7
1 to sin a sin и = 6,266 494 9
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
27а
вычтем
Следовательно,
К
прибавим
вычтем
вычтем
останется
Следовательно,
Далее, к
црибавим
вычтем
вычтем
Следовательно,
Наконец, .к
прибавим
18 л. Эйлер
4,685 574 9
1,580 920 0~
wain и sin к— 38,099 56 секунды.
1 ш sin2 м = 6,266 494 9
1 и =0,2509215
J sin 2м = 8,308 7941
4,826 2105
12^0,3010300
1 — ш- sin' a sin 2м - 4,525 180 5
4,685 574 9
9,839 605 6
ш'2 sin2 и sin 2м --- 0.69120 секунды.
jm3 =0,752 764 5
]sins« = 4,023 3601
1 sin3 u = 8,484 847 9
3,260 972 5
13 = 0,4771213
2,783 8512
4,685 574 9
8,098 276 3
— ш* sin* и sin Зн = 0,01254 секунды.
1 О)*:- 1,003 686 0
Jsm4 и = 2,031146 8
1 sin 4м = 8,609 7341
1,644 566 9
274
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
вычтем
вычтем
Следовательно,
Отсюда
14 = 0,602 0600
1,042 506 9
4,689 574 9
6,356 932 0
— ш* sin* и sin 4м = 0,00023 секунды.
Члены, которые нужно
прибавить
38,09956
0,01254
отнимем
Члены, которые нужно
отнять
0,69120
0,00023
38,11210 0,69143
0,69143
; i
37,42067 = 37'125Ш 141V 24V 36Vi.
Поэтому дуга, тангенс которой в сто раз больше радиуса, будет равна
89°25i 37" 251" 14^ 24V 36VI.
В квартах ошибка содержаться не будет. Она может оказаться лишь
в квинтах; таким образом, мы можем сказать, что этот угол равен
89°2Ь1 37й 25Ш 141V. Если будет предложен ещё больший тангенс, то даже
если ш будет иметь большее значение, дугу можно будет, поскольку и
будет ещё меньшим углом, определить с той же быстротой.
95. До сих пор мы подставляли вместо у дугу круга. Теперь будем
полагать вместо у обратные функции, каковыми являются sin ж, сова;,
tga;, ctga: и т. д. Итак, пусть у = sin х; положив x-j-ш вместо х, будем
иметь z = sin (х + ш). Уравнение
. о> dy , <o2 d2y , id8 d3ii
2==2/ + + + Т7^+ и т д
вследствие
dy d2x . d3y ~ ""* diy
t C0SX =*lnX =С°8Ж ^
tx dx* ^ ^135 И Т. Д.
даст
ill
sin (х + ш) = sin х + ш cos х—- ш1 sin х—- w3 сов х +-<гтш* sinх + и т. д.
Взяв ш отрицательным, будем иметь
ill
sin (я — u))=sin? — ш cos а;—.у ш2 sin х + -7 ">s cos x -\-^ju>* sin x— и т. д.
j~- D 2.4.
Если же положить у = со$х, то вследствие
d*y
? = сое х и т. д.
dy .
?= — sin
d3y
= ~ cos a;, ^ =
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ 275
будем иметь
cos (х + ш) = cos х — ш sin x— — ш3 cosa:-j- — (ossiiia; + w4 ens ж— и т. д.,
а взяв и) отрицательным, будем иметь
1 1-1
cos (а;—ш) = cos х-\-ы sin а;—^ш-vvsx—— ш3 sin а;-г • ш4 cosa;+ и т. д.
96. Эти формулы имеют очень важное значение как для составле-
составления таблиц синусов и косинусов, так и для интерполирования их.
В самим деле, если будут известны синус и косинус какой-либо дуги х,
то с их помощью легко будет найти синус и косинус углов х-\-ш
и х — и>, если разность ш будет достаточно мала; действительно, в этом
случае найденные ряды сходятся очень быстро. Но необходимо, чтобы
дуга ш была выражена в частях радиуса. Так как дуга 180° есть
3,141 592 653 589 793 23846,
то это легко сделать; в самом деле, разделив на 180, будем иметь
дуга 1° -0,017 453 292 519 943 295 769,
дуга I1 =0,000 290 888 208 665 721590,
дуга 10й = 0,000 048 481 368 110 953 599.
Пример 1
Найти, синус и косинус углов 45O1J u 44О59* пи данным синусу
и косинусу угла 45°; оба они равны
4- = 0,707 106 781 186 5.
Так как
sin х = cos x = 0,707 106 781 186 5
и
ш = 0,000 290 888 208 6,
то, чтобы легче выполнить вычисления, найдём предварительно:
2а) = 0,000 581 776 417 3,
Зш = 0,000 872 664 625 9,
4ш = 0,001163 552 834 6,
5ш = 0,001454 441043 s1),
6ш = 0,001745 329 251 9,
7ш = 0,002 036 217 460 б1),
8ш = 0,002 327 105 669 З1),
9ш = 0,002 617
') В первом издании 5™ = 0,0014L 441 043 2,
7и>= 0,002 036 217<i605,
8ш = 0,002 327 105 669 2. [Г. К. |
18*
276
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
Теперь cosinz и mcosz найдутся следующим образом:
7 . 0,000 203 621746 606")
0
7 .
1 .
0 .
6 .
7 .
8 .
1 .
1 .
8 .
6 .
0.000002 036 217 46 2)
2 908882
• • •
174 532
20 362
2 327
. 29
. 2
! '. о
Следовательно,
Помножим на <»:
i sin х = «) cos x = 0,000 205 689 024 883).
' ш cos ж = 0,000 102 844 512 44*).
0
8
4
4
5
0,000 000 029 088 82
'. '. 58177
23 271
1 163
116
Помножаем на
4 or cos x = 0,000 000029 916 23
\ иг cos х = 0,00000000997208.
9 . 0,000 000 000002 61
9 . 20
7 . 2
4 ш' cos ж = 0,000 000 000 002 89.
Следовательно, для отыскания sin45°lI к
sin х = 0,707 106 781186 5
прибавим
о) cos x=r-- 2 036 890 249
0,707 312 470 211-
вычтем
-j(i) sma; —
299 162
0,707 312 440 295 2
1) В первом издании 0,000 203 G21 716 05. \Г. К.\
") В первом пздаиип 0,000 002 036 217 4. [Г. А".]
3) В первом издании 0,000 205 689 024 90. (Г. К.\
*) В первом издании 0,000 102 844 512 45. [Г. Л".]
вычтем
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ 277
-г о)э cos х --т 29
о
sin 45°li = 0,707 312 440 292 3 = cos 44°59I.
Для отыскания же cos45°lI от
cos х-0,707 106 781 186 5
вычтем
ш si п я = 2 056 890 249
0,706901 921бГб"
вычтем
1 ш> cos х = 299 162
0,706 901062 245 4
прибавим
- -uKcosx— 29
о
cos \5°li,- 0,706 901 062 248 3 - sin 44С49'
Пример 2
/7о данным синусу и косинусу дуги 67°301 найти синус и косинус
дуг 6Т311 и 67°291.
Будем производить это вычисление с точностью до седьмого деся-
десятичного знака, с какой обычно составляются таблицы, и тогда с по-
помощью логарифмов работа будет выполнена легко. Так как х = 67°301
и w= 0,000 290 888, то
1 со =- 6,463 725 9
и
1 sin х -¦=¦ 9,9C5 615 3 1 cos x = 9,582 839 7
1 о) =6,463 7259 1ш = 6,4637259
1 о) sin х = 6,429 341 2 \ ш cos x = 6,046 565 6
1 \ со = 6,162 695 9 1 Л m = 6д62 695 9
1 - ш2 sin х == 2,592 037 1 11 ш^ cos х = 2;209 261 Г>
Следовательно,
ш sin х = 0,000 268 74, ш cos х = 0,000 111 32,
~ шг sin х = 0,000 000 04, A u>2 cos ж = 0,000 000 01,
откуда
sin 67°31i = 0,923 990 8, cos 67°31i = 0,382 414 7,
sin 67°29i = 0,923 7681 cos 67°29J = 0,382 952 2.
Здесь можно было обойтись даже оез членов —m'-sinx и —ев* сов г.
278 ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
97. Комбинируя ряды, которые мы нашли выше-,
111
sin (х + ш) = sin,x -fo) cos я—„- (o3sin:r — у-и>3созз: + ^,-'о*зтх+ и т. д.,
(¦os (х + ш) = cos х — to sin х —• ,-,- со3 cos x --!- -g «>3 sin х + ;,, ** cos х — и т. д.,
sin (х — «>) = sin:r — <о cos ж-—-- <ог sin я; -I- -- to3 cos a: + --f w'sina;— и т. д.,
1 1.1
cos (а; — «)) — cos х + «> sin ж — -<i>2cosa;— у <i>3sin:r -j- 57 ш4 cos x 4- и т. д.,
мы находим, что
si.i (ж + ю) + sin (.г — м)
= sin я —— w2 sin a; J-^rto* sin ж— ^-tu'sina;-)- и т. д. —si
sin (х + со) — sin (х — о>)
-
1 1 5 1 7
.= ш cos ж — — ю cos х -;- — о)" cos ж — щ^ ш7 cos х + и т. д. = cos х sm ш,
откуда получаются найденные выше1) ряды для косинусов и синусов:
. 1 , , 1 . 1 , ,
cosu> = l— y0) +24 720е" + и т- Д-»
11 1
sinio = o>—^ш' + ^-Гл"*5 — ё~тт;0O -т и т. д.
Эти ряды получаются из рядов, выписанных вначале, если положить
2 = 0; действительно, так как cos 2=1 и sina; = 0, то первый ряд даст
sincu, а второй созш.
98. Положим теперь у—Лцх, так что z ---¦= tg (x -f ш); вследствие
sia х г
у = будем иметь
¦у cos х •"*
dy I d2)/ sia.r d3?/ 1 3sin2:r 3 2
dx cos2 ж' 2dx* cos3 2' 2 da:3 cos2 ж ' cos1 x cos4 a; cos2 a; '
dly 3sin.r s,in x d'"y 15 15 2
¦ + ¦
2 ¦ 4 da;4 cos5 ж cosJ x ' 2-4 dr' cos3 x cos4 x cos2 x '
откуда следует, что
f<» со2 sin ж , <o3 ю4 sin x ,
cos2 ж ' cos3 ж T cos' i ' соз"'ж ' \
I ** ' и т и I
*- Зсоз2ж 3cos2a; " '
С помощью этой формулы mo;i;ho но данному тангенсу некоторого угла
найти тангенсы близких углов. Так как ряд, стоящий в верхней строке;
является геометрическим, то, собрав его в единую сумму, мы будем
иметь
. a>4-(o2tffx 2a>3 W1 si» ж
tg (x |- <») — tg x -f — V--—- — s x ~ -3-—-3-,- — и т. д.
или
, . sin x cos ж 4- a) 2w3 (o'sii i
tg (x -!- ш) .-= 5 !j 2 ^ и т. д.
Эта формула удобнее для применения.
1) «Вврдоиио в анализ», ч, I, гл. VII, § 13'*.
ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ 279
99. Подобные выражения можно найти также для логарифмов сину-
синусов, косинусов и тангенсов. Действительно, если у равен логарифму
синуса угла х, что мы обозначим так: y = \siax, тогда z= \$,in.(x-\-m).
„ dii га cos о; _ d'y n d3-/ +2racosa;
Вследствие - = -^^ будем иметь ^ = _ -^ , — = -^^ и т.д.,
откуда
ГС со COS X П и>2 П ю3 COS X
ч-- и т. д.,
где п обозначает число, на которое нужно помножить гиперболические
логарифмы, чтобы получить предложенные логарифмы. Если же у = 1 tg x
и z=l tg (я + w), то
dy п 2п d2y In cos 2x
dx sia x cos x sin 2x ' dxz (sin 2x)'z '
так что
, ч i ь 2ге <* In <D2'cos 2x ,
+ 0)) = ltga;+iI-^-liIjr^r+ и т. д.
С помощью этих формул можно интерполировать логарифмы синусов
и косинусов.
100. Пусть у обозначает дугу, для которой логарифм синуса равен х,
т. е. пусть у = А-1 sin я1). Пусть z есть дуга, для которой логарифм
синуса равен х+ш, т. е. z = A-1 sin (я + о>), тогда х = 1 sin у,
dx n cos у
dy sia у '
откуда
dy sin у
dx n cos у '
'У __ dy
с3 п cos2 т/
Следовательно,
., _ d-w d-г/ <fc sin y rf2u sift/
Мы будем иметь -Н; = - ^^- = -г~гт- ; значит, ^ =-;—^- .
¦'м ах- га cos- у га-* cos3 т/ ' da;2 n2cos3y
2n'cos»у + И Т" Д-
Подобным образом найдётся выражение, если будет дан логарифм коси-
косинуса.
Если же y = Altga;2) и z — A-ltg (ж+ <•>), то, так KaKa;=ltg?/,
получим
dx __ п dy sin у cos j/ sin 1y
dij sia у cos у dx n 2n '
Поэтому
d2y 2dy cos 2t/ da; sin 2y cos 2;/
d2i/ sin 2y cos 2?/ sin 4i/ d3y sin 2y cos ky
dx1 2~n/ = kri<- ' dx* "~ 2~п,* И Т- Д"
Отсюда
, (о sin 2w , w2 sin 2i/ cos 2г/ <«3 sin 2г/ cos 4v .
Т. Д.
x) Здесь сохранено обозначение Эйлера, аналогичное его обозначению A sin x,
соответствующему нашему arcsi.i x. Точка, стоящая перед 1 sin ж, заменяет скобки,
в которые заключается это выражение. Эйлерова запись y=AIsiia; обозначает,
чтож = 1 si.i у. Аналогично нужио полимать употребляемые данные выражения А-1 tg x.
2) См. предыдущую сноску.
280 ГЛ. IV. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
101. Так как способ пользования этими выражениями при состав-
составлении таблиц логарифмов синусов и тангенсов легко понять из выше-
вышесказанного, то мы на этом дольше останавливаться не будем. Рас-
Рассмотрим ещё такое выражение: у — ехsin пх, и пусть z=eXr ">s\nn(x-\ <о);
так как мы имеем:
¦j- = ex (sin пх -f- n с os x),
j^ = e-x ((I — ft2) sin пж--2», cos ж),
т! -"-- ez (A — 3n2)*sin nx-i-n C — п1) cos nx),
~ = е* (A — 6и2 + и4) sin гая 4 « D — 4га2) cos nx),
dp'i^ex((i— Юп2-гЪпл)я\ппх '-п(Ь-±-iOri2 4-п*)совпх) и т. д.
то, подставив эти значения и разделив на ех, будем иметь:
e^sin /г (х + ">) = sin пж -f-0) si п пх + ¦—-— or sin «ж ~г —т.— с°3 sin nx -1-
-J ,7 (u4sinnx + ii т. д. + ио) cosrex+ 5-<dj cos/га;+
— f> o> cosnx-i 1— ^co4cosraa: + iT т. д.
102. Отсюда можно получить многие частные случаи. Нам доста-
достаточно будет рассмотреть следующее.
Если 2 = 0, то будем иметь
2га „ , геC— п-) 3 , n('i—ku'-) , п C — + ) , ,
еш81П геш = /го) + у <u" -L -^-j-—^№ + ~"~~24^ ш 120 + и т# д*
Если <о = — ж, то вследствие sin « (х+м) = 0 будем иметь
2г. , , п. C-па) ., тг('1-4ге2)
па; 9- ж2 4" ~^ -х-'— ——^ -х* г И Т. Д.
tg 7?.а; ^-- i _ ге2 1 - {\пг „ i-fin'J-«< , " ¦
I _ а:.. .__ г- - - -- я- : ~л х> - и т. Д.
Если вообще /г==1, то получим
еш sin (а; + ю) = sin ж М -J- со ¦—^ с»3 — с w4 — -- со5 + ~ о>' + и т. д. J -¦
Если же и = 0, то вследствие sin п {х+ ш) = п (x4-m), sin nx ¦= пх
и cosrax=l, после того как всюду разделим на п, получим
е(х -L ш) - ж + mx -l - ш2 а; -г — «K а; -'^ ^ uj4 а; 4- и т- Д- г
1
)
(О8
: 1 4
! f)
л
- И Т. Д.
ll ') Jl-ft
Способ составления этого ряда очевиден.
ГЛАВА V
РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
103. Пусть общий член какого-либо ряда, равный у, отвечает
индексу х, так что у есть некоторая функция от х. Пусть далее Sy
есть сумма или суммационный член ряда, выражающий результат
сложения всех членов от первого или какого-нибудь иного фиксиро-
фиксированного члена до у включительно. Мы будем • подсчитывать суммы
рядов от первого члена, так что, если х=1, то у даст первый член,
и Sy также выразит этот первый член. Если же положить х = 0, то
суммационный член должен обратиться в нуль, так как тогда нет
никаких суммируемых членов. Таким образом, суммационный член Sy
будет такого рода функцией от х, которая исчезает при х — 0.
104. Если общий член у состоит из нескольких частей, так что
у = /> + д + г+ и т. д., тогда сам ряд может рассматриваться как со-
составленный из нескольких других рядов, общие члены которых суть р,
q, г и т. д. Поэтому, если будут известны суммы отдельных этих рядов,
то вместе с тем можно будет определить сумму предложенного ряда;
в самом деле, она будет равна результату сложения отдельных сумм.
Поэтому, если y = p + q-\-r+ и т. д., .то будем иметь Sy = Sp + Sq--,
+ Sr -f- и т. д. А так как выше мы определили суммы рядов, общие члены
которых суть какие-нибудь степени х, имеющие целые положительные
показатели, то можно будет найти суммационный член всякого ряда,
общий член которого есть ах" +Ьха + сх~г -4- и т. д., где а, [3, у, и т. д.
суть целые' положительные числа, т. е. общий член которого есть целая
рациональная функция от х.
105. Пусть в ряде, общий член которого, т. е. член, отвечающий
индексу х, равен у, член, предшествующий общему, т. е. отвечающий
индексу х—1, равен v. Поскольку о получается из у, если вместо х
написать х — 1, будем иметь
dy d2i/ d3y d*y
Если у будет общий член ряда
12 3 4 ...х — 1 х
a + b + c + d+ ... +v+y
а член этого ряда, отвечающий индексу 0, будет равен Л, то*?, поскольку
оно является функцией от х, будет общим членом ряда
1 2 3 4 5... х,
282 ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
Поэтому, если Sv есть сумма этого ряда, то Sv= Sy~y-\- А. Таким
образом, при х — 0, поскольку Sy = 0 и у = А, также и Sv исчезает.
106. Так как
dij d'2n d3y
"=у-Тх + ш*-п&+ и т-д"
то, по доказанному,
и вследствие Sv = Sy — у + А будем иметь
. ,, dy „ d'Ay „ d3y _ d4«
V —¦ A = о —^ — и —г^—h~ о —г^ lS —L И Т. Л
Таким образом, получится
qdy . т п dry „ d3.!/ , „ d4»/
Итак, если известны суммационвые члены рядов, общие члены которых
dly d3v diy ..
суть т-=5, -т\ г ttj I то из них найдется суммационный член ряда, общий
член которого есть -^ . Постоянное же количество А должно быть взято
так, чтобы при 2 = 0 суммационный член S ,- исчезал, и с помощью этого
условия оно определится легче, чем если мы ска?кем, что оно является
членом, соответствующим индексу 0, в ряде, общий член которого равен у.
107. Это даёт возможность найти суммы степеней натуральных чисел.
Действительно, пусть у = хпЛЛ\ так как
dx — (n~1 > ' Ых>-~~ 1-2
1-2-3
то, подставляя эти значения, будем иметь
1>;<3n-1>5g»-«+ и т. д.;
если обе части равенства разделить на и+1, будем иметь
5ж" == ~. xn+i +^ Sx"-1 + '^~У Sxn~z + и т. д. —const.
Постоянное это должно быть взято так, чтобы при х = 0 весь сумма-
суммационный член исчезал. Таким образом, с помощью этой формулы
из известных уже сумм низших степеней, общие члены которых
суть ж", хп~'2 и т. д., можно найти сумму высших степеней, выра-
выражаемых общим членом хп.
108. Если в этом выражении п есть целое положительное число,
то число членов будет конечным. Таким образом, сумма низших сте-
степеней будет известна с полной точностью. Действительно, если п = 0, то
Зная её, можно будет перейти к высшим степеням; в самом деле,
полагая п= 1, будем иметь
S X1 - -J X* -f -J- Sx" = ~ X* 4- I X.
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ 283
Если положить п = 2, получим
далее,
= у хя + Sx ~ Sx» = Is» 4- i *! J" 1 *>
= I ж5 l A Sz3 - у Яж* -| Sr - \ Sxn,
или
Таким же образом и дальше суммы высших степеней будут состав-
составляться из сумм низших. Это легче можно сделать следующим образом.
109. Так как выше мы нашли, что
du ^ d2u dz с25н d-z . „
то если положить -г- = z, будем иметь —^ — j- -'~ и т.] д. По-
скольку теперь dy = zdx, то ?/ будет количеством, дифференциал кото-
которого равен zdx, что можно обозначить так: у= \ zrfa;. Хотя нахождение
количества у по данному z требует применения интегрального исчи-
исчисления, однако здесь мы можем пользоваться формулой \ zdx, если
только мы не будем подставлять вместо z никаких других функций от х,
кроме таких, чтобы эта функция, дифференциал которой равен zdx,
могла быть получена из известного ранее. Итак, подставив эти значе-
значения, будем иметь
sS + JK д
причём нужно прибавить такое постоянное, чтобы при ж=0 сумма Sz
исчезала.
110. Если в первое из этих выражений подставить вместо у букву г,
или, что то же, если дифференцировать второе, получится
„dz 1 „d'z l qd>z , l „d*z
S + SSS "Д
Если же вместо у положить ,- , то будем иметь
Л d^ ~— dx ~ 2" Л dbfi— " ° dx~* 24 ° dx* ¦ Д-
d*z dH
Подобным образом, если вместо у последовательно полагать ^ и ^
и т. д., найдём
с d3z rf2z I cdlz I Qd*z
Sdx* = d^ "i- T 5 и* ~ б' ^ 575 "
-d*z_d>z 1 d»*_ 1 ^dH _ 1 „^z_
и т. д. до бесконечности.
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
dz d2z d3z
111. Если теперь эти значения S -.- , S-j—,, ?-7-3 и т- Д- последо-
ельно подставить в выражение
, . 1 Qdz 1 cdzz , 1 ,,d3z
dxSS+SH Д
мы найдём для Sz выражение, которое будет состоять из чде-
Г , dz d-fi d*z . у „
i \zdx,z, ,- , -,-j, -т-^ и т. д., коэффициенты которых легко найти
дующим образом. Положим
raz + fJai-Y-di-j + __ и т. Д.
место этих членов подставим те их выражения, которые получаются
предшествующих рядов, из которых
Г , с 1 „dz X „d-z I „d3z ," 1 tldlz
\ Z dx -'--- Sz b — + - - О T-r, - - -j S-. г;;т О т-. - И Т. ,Д.,
J 1 а.с о ax- 2t dx- 12U ах1
, с,^ a „d'-z. * „d*z а .Л .
'j.z — -)-аЛ 3 — о -,— + -тг о j—„-—,, о -т-\ - и т. д.,
2-^5^-Г и Т.Д.,
. ., d*z
f-"J -Т-Г И Т. Д.
dx*
И т. Д.
к как эти значения, будучи сложены, должны дать Sz, то коэф-
циенты а, 8, у, S и т. д. определятся из следующих уравнений:
2 0 24 ' 120 ' " 2 ' 0 24 ¦ 120 720 '
2" "г 0 2i "" 120 720 "" 5040 ~ И '' Д-
112. Из этих уравнений можно будет последовательно найти зна-
знания всех букв а, р, у, 3 и т. д.; мы получим
1. 1 _ 3
2 ' ^ :" 2 "G ~" Е" ^ ^
0 ^1. 1 _ 3 а , 1 _
:" ^ ^ 7 "г 24 " ;
2 0 ' 24 120 720' "' 2 Г, ' 21 120 ' 720 ~ М#
родолжая эти вычисления дальше, будем последовательно находить,
о члены попеременно исчезают. Именно, члены, стоящие на третьем,
[том, седьмом и т. д. месте, будут равны нулю. Но первый член
юдставляет исключение, и вследствие этого представляется, что ряд
их значений вступает в столкновение с законом непрерывности. Тем
шее необходимо поэтому строго доказать, что все нечётные члены,
>оме первого, необходимо должны исчезать.
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ 285
113. Так как отдельные буквы определяются из предшествующих
по их постоянномл' закону, то они образуют рекуррентный ряд. Чтобы
выразить его, рассмотрим ряд
1 -f- сш -г $и~ -'- ум3 + ом4 — аи'а -г -"" -г и т. д.
Пусть значение ого равно г. Тогда очевидно, что упомянутый рекур-
рекуррентный ряд проистекает из разложения дроби
l
V
|SS+
[[ если можно эту дробь другим способом разложить в ряд, располо-
расположенный по степеням и, то необходимо должен получиться тот же
самый ряд
V — 1 + ш + fiir -J- ум* 4- ои4 -- гц5 4- и т. д.
Таким образом, будет найден другой закон, из которого определятся
те же значения а, C, у, 8 и т. д.
114. Если е ость число, гиперболический логарифм которого равен
единице, то
с-" =-- 1 — и + 2 к- — -г «,s + — м* — ^ м5 + и т. д.
Поэтому будем иметь
,1 1 ,
I /7 -*- --77"
24 ' 120
так что
1 - е-и . 1 1 , 1.1
-17" ="" ! ~ V « "Г с-»" - й «' + г,„ в» - и т. д.,
Уничтожим теперь в ряде второй его член ли — --^ '?, так что полу-
получится
V —--г/— 1 4-Зи2-т-уи* !-Зи*-!-г»г5 и т. д.
Тогда будем иметь
2 1 — е~"
Помножим числитель и знаменатель па е - ; будем иметь
, — и - — «1
V- - и - и^е~ +е ~ '
V 9 U —
9 '" — 1 1 •
и {с ~ —с 1 )
i _L
Разложив количества е~ иг2 в ряды, получим
, и- , и* , мв
У I г 2^4^ 2-4-6• 8+ 2-4-6-8-10-12 И
286 ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
или
1 + 24 + 24-68 + 24-6-81012+ И Т-Д'
I/ - /I
2
- . ц
+A6
115. Так как в этой дроби совершенно отсутствуют нечётные сте-
степени, то и в его разложение вовсе не войдут никакие чётные степени.
Поэтому, так как V — -~- и равен ряду
1 + $и* + *{и3 + Ъи* + еи* + и т. д.,
то коэффициенты нечётных степеней у, s, -ц, t и т. д. все исчезают. Таким
образом, становится очевидна причина, почему в ряде 1-\-аи-\-$и*-\-
•-)- ук3 + ?и4 + и т. д. члены, занимающие чётные места, все равны
нулю, кроме второго, и при этом всё же сохраняет силу закон непре-
непрерывности. Итак, будем иметь
U = l+^u + $u2-t-bui + ^u'+(lus-r и т. д.
Если буквы C,8, С, О будут определены с помощью разложения выше-
вышеприведённой дроби, мы получим суммационный член Sz ряда, общий
член которого, отвечающий индексу х, равен z, в виде
ix + o^+ZS7i+ и т. д.
116. Так как ряд 1 +рм2 + 8а* + Сыв + 0^8-f и т. д. происходит из
разложения дроби
2 4 "
\, и^, и* а6 '
+ 4-6+4-6-8-10"Ь4-6-8-1012.14+ И Т" Д"
то буквы fJ, 8, С, 0 и т. д. подчинены такому закону:
^ 2.4 4-6'
. _ 1 (J 1
2-4-6-8 4-6 4-6-810'
1 5 р
е=
__
2-4...12 4-6 4-6-8-10 4-6...14'
? * Р
2-4...16 4-6 4-6-8-10 4-6...10 4-6...18
И Т. д.
Эти значения попеременно положительны и отрицательны.
117. Если мы припишем этим буквам, взятым через одно, отрица-
отрицательные знаки, так что
da; + Tz-Ps + 8S5-C5? + es?- и т.д.,
то буквы р, 8, С, 6 и т. д. определятся из дроби
2~Г4+ 2-4.6-8 ~2-4...й2 + 2-4...16~ и т" Д-
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ 287
если её разложить в ряд
1 + 8и2 + бы4 -f Си6 + Ом.8 + и т. д.
Поэтому будем иметь
Р ==6~.^^2-'. '
1 = 1 - 1 4 _L_
4-6 4-G-8-10 2-4.6.8 '
3 В . 1 1
' "" 477, ^б7у71О г 4-6. . .14 2.477.12 И ''' Д''
и теперь все члены будут положительны.
118. Положим {3= —А, 8= — В, {.= —С и т. д., так что
^-z + A^-Zf^ + C^- и т. д.,
и для определения букв A,B,C,D и т. д. рассмотрим ряа
l — Au^ — Bu' — Cu' — Du*— и т. д.,
который происходит из разложения дроби
. 1Л 1 i
477J+ 4-6-8-10 ~ 47б. . .14 + 4-6.. .18 ~ И Т' Д-
Или можно рассмотреть ряд
Аи — Ви3 — Civ' — Du7 — Ей*— и т. д. —S,
который происходит из разложения дроби
и2 и4 и*
1-274 +2747 бТТ~27477Т2+ И т' Д'
S = г, ; = .
А так как
_1_ =л_а1А if! и8
2М 2-4 2-4-6-8 2-4...12
1 и и3 , иъ а7
8ln2" = Y 27476 + 2Х7Т0-2Х7Т4^ И Т' Д"'
то отсюда следует, что
со4" 1 . 1
« = -—— = TctgTu.
2 sin — a
Поэтому, если котангенс дуги - и разложить в ряд, члены которого
расположены по степеням и, то из этого ряда можно будет найти зна-
значения букв А, В, C,D,E и т. д.
11 1
119. Так как s = yctg-u, то — и = arcctg2s; дифференцируя,
будем иметь —du= -—^т или ^s + ^и + ^s2^m = 0 или
4 ?в + 1 + 4.v2 = 0.
аи
288 ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА НО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
Но так как
•V - - Ли — Ви3 — Си" — и т. д.
то
4р= — -, — 4.4 — 3 ¦ 4Ви-~ 5 • 4Си4— и т. д.
1= 1
4s' --^ — 8.1 — 8Ви2 — 8CV-8ZV — и т. д. -г
+ 4Л2и3 -f 845м1 + 8АСа' + и т. д. +
-f-45V+ и т. д.
Приравнивая нулю суммы однородных членов, будем иметь
к 2AD + 2BC
2'
12
г 1АЕ v-llih С- ,, 2Л?+2ЙВ+2С/>
/1 г¦-_ _ / , -— _ ' If T 'Г
13 ' "3 ¦ Д-
Уже из этих формул ясно, что эти значения положительны.
120. Так как знаменатели этих дробей очень велики, и это очень
мешает при вычислениях, то вместо букв А, В, С, D и т. д. введём
следующие новые буквы:
к -
1-2-3' 1-2-3-4-5'
г - !_
1-2-3. . .7 '
Ъ ТГ и т- Д-
1-2-3...9' 1-2-3. ..И
Тогда найдём, что
— 1 ft - ' ¦ v--2 Л Я г — 2 '* vJ 8 7 fiJ
„ 3 л ,, 10-0-8 п ., ,, 12 , г, 12-11-10 0„ 1211-10-9 8 ,
? --. 2 • -7" *0 J~ 2 j j ;- ру, , -= Z — US 4" <i ; ; ?. [ЭО -| , — У!;
„ 14 „ о 14-13-12 Q „ 14 13-1-211-10 .
-' о- . > vg и Т. Д.
1-2...5 ' ' 1-2...7
121. Удобнее же будет воспользоваться формулами
1 о __ '' а2 _ 6 о - _ 8 I 8-7-6 З2
а ¦ - -j , Р ---= у .J ' У '" 1 а" ° " Т ЯТ + 3 ¦ 4 - 5 " '
^ __ 10 , , 10-9-8 г »_12, , 12-11-10 п> , 12-11-10-9-8-Г8
3 ' 3 • 4 • ."i " '' ' 3 ~~*~ 3-4-3 " 3 • 4 ¦ 5 • si • 7 2 '
14 г ^_ 14-13-12 q_ 14-13-12-11-10 „
, 10 16-15-14 nr 16-15...12 , 1 Г,. lo. . .10 й2
О --= — ат) 4—-¦ , ^ рС -г——/ -r"Ys + ~"o~7 о 5" и Т- ^-
Согласно этому закону вычисление совершается без труда, а если най-
найдены будут значения букв а, р, у, S и т. д., то суммационный член
какого угодно ряда, общий член которого, соответствующий индексу х,
равен z, выразится следующим образом:
: dz Эй п , у и, z о й'з ,
1-2. 1 1 dz» i-2. .". 13rfVu "'" " !" ^'
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
289
Буквы же-а, {3, у, о, а и т. д., как мы нашли, имеют следующие зна-
значения:
а = у или 1-2а=1,
1
1
3
& = То
__ 5
„__691
ч~10
35
Ч= 2
3617
6 = ^о-
43 867
Л =
V =
42
1222 277
: ш
854 513
6
1 181820 455
' 546
76 977 927
23 749 461 029
: зо
8 615 841 276 005
: 462
1.2-Зр = 1,
1-2-3-4т = 4,
1-2-3-4-58 = 36,
1-2-3. ..6s = 600,
1-2-3. ..Т, =24-691,
1-2-3... 8т) =20160-35,
1-2-3... 96 =12 006-3617,
1-2-3... 10i =86400-43867,
1-2-3...Их =362 880-1222 277,
1-2-3.. .12/. = 79 833 600-854 513,
1-2-3... 13[i. = 11 404 800-1 181820 455,
l-2-3...14v =43 589145 600-76977 927 '),
1 • 2- 3... 15? = 43 589 145 600-23 749 461 029,
1-2-3... 16-=45 287 424 000-8 615841 276 005
и т. д.
122. Эти числа имеют очень широкое применение повсюду в уче-
учении о рядах. В самом деле, во-первых, из этих чисел можно образо-
образовать последние члены в суммах чётных степеней, которые, как выше
мы отметили, нельзя, подобно остальным членам, найти из предше-
предшествующих сумм. В суммах чётных степеней последние члены содержат
произведение х на некоторые числа. Эти числа Для степеней II, IV,
VI, VIII и т. д. суть "g"' 30' 42' 30 и т- Д- с чередующимися зна-
знаками. Но эти числа получаются, если вышенайденные значения а, [3,
у, 8 и т. д. разделить соответственно на нечётные числа 3, 5, 7, 9 и т. д.,
так что эти числа, которые по имени открывшего их Якова Бернулли а)
») В первом издании 1-2-3.. .14v = 109 109 145 600-7 697 792 [Г. К.].
2) Яков Бернулли получил эти числа (он обозначал их через А, В, С, D...) как
коэффициенты в найденном им выражении суммы степеней натуральных чисел:
"с+1 ' 2
2-3-
+
с(с-1)(С-2)(С-3)(С-4)
2-3-4-5-6
(I)
Л. Эйле^,.
290 ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
называют бернуллиевыми, будут
а
3
СП.
5
Т
7
3
9
е
11
?
13
т)
15
0
17
1 ч
6 * '
1 -,
~30~ '
1 р.
42 *"''
зэ
5 _
66 '
273J и
7 ~-
6
3617 ~
— Т0"~*
1
19
X
21
Я
23
li
25
V
27
?
' 29
л
31
'¦>
43 8G7 ^
796 ¦"'
1746Н #
331 ^
854 513 р
1 18
233Г64ОЭ1
2730 ~"
8 553 103 д.
6
23 749 4 "Л 029
870
283-617
3J0 '
11131-593
2-3-23
¦ ж>
13-657 931
6
8 615 811276 005 m
14 322
123. Таким образом, эти бернуллиевы числа можно найти непо-
непосредственно из следующих уравнений:
<?¦
1
с
10-9
2-
1
11
1
11
.2
•13
• 2
1-2
Г2 '
1-2
"
13 v
15^
5
-\
9 '
:®н
Tf!"
>Г 0-
«^ 1 1.2.
10-9-8-7
1-2-3-4
12-1110
' 1-2-3-4
1413-12
' 1-2-3-
6-5
3-4
2
11
•9
-11
4
И Т
1
9 "° '
58 е,
2 5864
. д.,
12
14
• 11-
•13-
1-2
10
3-4
12
•3-
•9-8
•11-
4-5
i-7
10-9
• 6
закон составления которых очевиден сам собой; следует только отме-
отметить, что там, где входит квадрат какой-либо буквы, коэффициент вдвое
меньше, чем он, казалось бы, должен быть по общему правилу. На
самом же деле члены, которые содержат произведения неравных букв,
Эта замечательная формула дана в его работе Ars conjoctandi («Наука предугады-
предугадывания», т. е. теория вероятностей), опубликованной после счертя автора в 1713 г.
и составленной около 1635 г. Формуле A) предшзствует вывод частных формул для
Sn" при с— 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10. Они имеют тот же вид, что формулы § 62 ч. 1
«Дифференциального исчисления» Сйлера. Доказательства обшзй формулы A) Бер-
нуллч не даст. Можно думать, что путём сравнения коэффициентов соответству-
соответствующих членов частных формул Бернулля обнаруживает мультипликатив:.ый закон
образования третьего, четвёртого и т. д. коэффициента, как это делает Эйлер
в § 63 ч. 1. Доказательство формулы (I) в развернутом виде впервые дано Эйле-
Эйлером в настоящей книге (§ 132 ч. 2). Так как формула суммирования, из которой
исходтг Эйлер, была опубликована им в «Записках петербургской Академии» за
1733/3'» г. (т. 6) (доказательство дано несколько позднее в т. 8 тех же «Записок»),
то не подлежит сомнению, что уже в начале тридцатых годов Эйлер владел дока-
доказательством формулы A),
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ 291
должны считаться входящими дважды; так например,
« 1-2 ло^ 1-2-3-4 ^^^ 1 • 2 • 3 -4 • 5 -6 ^
12-11 -10 ... Ь^щ 12 • 11 ¦ 10 ... 3
+ 1.2-3...8 Ш+ 1-2-3...10
124. Те же числа а, р, у, S и т. д. входят далее в выражения сумм
рядов дробей следующего общего вида:
1 + 2Л> + ^+Й+А+и т- д-'
если п есть чётное положительное число. Действительно, во «Введении»
мы дали выражения этих сумм через степени полуокружности % круга
радиуса 1, и можно усмотреть, что в коэффициенты этих степеней вхо-
входят эти самые числа а, |3, у, 8, s и т. д. Но для того чтобы убедиться
в том, что это совпадение не является случайным, а должно необхо-
необходимо иметь место, мы разыщем эти суммы особым способом, благодаря
которому легко будет обнаружить закон составления этих сумм. Так
как выше (§ 43) мы нашли, что
п т 1 1 11 f 1 1
+ r2n + m 3nm + И Т* Д-)
f
2п-т r2n + m 3n-m
то, соединяя члены попарно, будем иметь
¦к т _ 1 2т 2т \2т
— Ctg — it = — — „а _ ma — 4ге^ - то2 ~ 9п4 т2 ~~ 16ла m2 ~ И Т#
откуда заключаем, что
1111
+ + +
^гТГ^г + kni _тг + 9п^ - то2 + 16л2 - т2 + И Т* Д- ~ Ш*
Положим теперь и = 1 и вместо »г возьмём и, так что
Каждую из этих дробей разложим в ряд
г 1 2 + Ц4 + Ц6 + Ц8 + и т- Д->
4 — и* 2а 2* 2е 2е 210
9-и' "~ 3* З4 ~ З3 г З8 ' 3-°
1 1 ^ в« и» н»
+ + + +
16 - и2" ~ 42 ^ 44 ^ 4е т 48 ^ 4
И Т. Д.
и т. д.,
125. Если положить
1 + 2Х + ^г + 4^+ и т- Д- = Ь' 1 + 2То + з^» + 4^+ и т> д'=е>
л I i_ _1_ _1_ и гг тт г \ -А 1 ! (- И Т. Д. = f
-1~Г9в "г зв 4е 212 З12 412
И Т. Д.,
19»
292 ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
то вышеприведённый ряд преобразуется в ряд
+ fu1'> + и т. д. = J-j-j-J
Но в § 118 мы нашли, что числа, обозначенные буквами Л, В, С, D
и т. д., обладают тем свойством, что, если положить
s=~—Аи + Ви* — Си* — Du7 — Еи° — и т. д.,
! 1 1
то s—" ctg-y и. Поэтому, положив тм вместо — и или 2-й вместо и,
получим
lctg«B= ^- -2Ат,и~23Веиг~2"Скви"-ш т. д.,
откуда, умножая на " , будем иметь
I- ctg тга = ^ — 2Лг° - 23?tiV2 - 25С-V — 2'Z)jtV — и т. д.,
а отсюда следует, что
— -?- ag™ = 2Arr +23Вг.*и> -1-2*С^и1 + 2Wvsu* ± и т. д.
Так как мы только что нашли, что
2^г — ^ctgTO = a + ba:-rCM4--b«'-;- и т. д.,
то необходимо должно быть
1 ¦ 2 ¦ :> " " 1 • 2 " '
2'ЛЯ , 23 S3
1 ¦ 1 ¦ ¦> ¦ ^ ¦ о 1 . 2 ¦ о •
23 8 2ф 8
— Т" ¦-- — —- 7Г
2 . з... 9 1 • 2...S '
99- 9»[)?
f _.
~ 1 • 2 • 3 ... 13 " 1 ¦ 2 ... 12 "
И Т. Д.
126. Это очень простое рассуждение не только позволяет легко сум-
суммировать все ряды обратных степеней, которые мы получили в пре-
предыдущем параграфе, но в то же время показывает, каким образом эти
суммы образуются по известным значениям букв а, [3, у, 5, э и т. д.
или из бернуллиевых чисел %, S3, S, ® и т. д. Так как в § 122 мы
определили пятнадцать таких чисел, то из них можно найти все суммы
обратных чётных степеней вплоть до суммы ряда
^ "Г 930 ' 330 Г" ^зо" I 530 1 И Т • Д •
Именно, сумма этого ряда будет равна
9-28* те*о = 2«* ,.
1 ¦ 2 • 3 ... 31 1 ¦ 2 ... 30
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ 293
Если же кто захотел бы определять эти суммы дальше, то это будет
очень легко сделать, продолжив определение чисел а, {3, у, о и /т. д.
или чисел 91, 33, © и т. д.
IS?: Числа а, р, у и т. д. или образованные из них числа ?1, S3, Е, ф
и т. д. лучше всего производить из разложения котангенса какого-либо
угла в бесконечный ряд. Действительно, так как
— ctg-^-и= Аи — Ви3— Си5 — Du7— Ей9— и т. д.,
то
Аи1 + Ви* + Си' + Du* + и т. д. = 1 — 4 ctg 1-й;
если теперь вместо коэффициентов А, В, С и т. д. подставить их зна-
значения, то мы найдём
Г:'аи2 , Зц4 чиг . 8ив
Пользуясь же бернуллиевыми числами, будем иметь
2Iu2 . S3u* \ ©и" , Фи8 . ,
П2 + 1-2.3.4 Ч-1-2.. .6 + 1-2. ..8 + ИТ- Д-= 1
Из этих рядов с помощью дифференцирования можно найти бесчислен-
бесчисленные другие и, таким образом, суммировать бесчисленные ряды, в кото-
которые входят эти весьма замечательные числа.
128. Возьмём первое уравнение и помножцм его на и, так что
аи3 , Рк5 . f"' 5"9 , м2 . 1
Дифференцируя и деля на du, получим
аи2 Ри4 -у11" 5и8
П^ + + Г Т Т
Г Т 2ТГГ8
. . 1
= 1 — и ctg -j и
4 sin2 — и
если дифференцировать ощё раз, будем иметь
,, , U2 COS - U
+
т- д- = -
sm2 — 4 sin3 -— и
Если же дифференцировать второе уравнение, будем иметь
+ + +и т д ctg
Т~ и т. д. = -
Г + Г2Т73 + П25+Т^Т и т. д. = -TctgTM+г .
4 sin2 —- м
Если положить и = ~, то из этих уравнений, так как ctg— тг=О
и sin-.y-=l, получим следующие суммирования:
. аи2 В«4 уте» й«8
1-2-3 ' 1-2-3-1.5 ^ 1-2...7 ^ 1-2...9 г д''
4 - 1-2 ^ 1-2ТзТ4"+ 1-2... 6 + 1-2... 8 +
ая г Ртс3 vTO5 5ТО7
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
ли из последнего уравнения вычесть первое, в остатке получится
(q-P)»» (j>-T)«« , (Г-*)"8 ,
а~~ТГ2Тз~+1-2-3.4-5+ 1.2... 7 + и т- А-
чно так же получим
Д8=Г2 + 1-2.3-4 + 1-2...6 + 1-2...8 + ИТ'Д"
Г = 1 +1^71+17^775+ 1.2... 7 + и т- д-
129. Мз таблицы значений а, р, у, 8 и т. д., которые мы нашли
ше (§ 121), явствует, что они сначала убывают, а затем возрастают
увеличиваются до бесконечности. Поэтому стоит труда исслгдоиать,
каком отношении эти числа, после того как они продолжены уже
гтаточно далеко, продолжают расти дальше. Пусть о есть какое-ли-
число этого ряда чисел a, J3, у, 3 и т. д., очень далёкое от начала,
пусть <|) есть следующее из этих чисел. Так как с помощью этих
сел определяются суммы обратных степеней, то пусть 2п есть пока-
гель тех степеней, в сумму которых входит число ср; тогда 2п-\-2
цег показатель степени, отвечающий числу if, и число п будет очень
1ико. Из § 125 будем иметь
1 + 2^ + 3^ + 4^+ И Т. Д. "i-^.V
л | * I 1_ , _1_ . и т и 23+'Ф
^-Г 22П+а "Г 3,п,2 "Г" km,2 "Г и i. д. ~ 1.2.з... Bп + 3)
пи второе уравнение разделить на первое, будем иметь
1+ + +И
т- »•
так как п есть очень большое число, то каждый из рядов при-
«кённо равен 1, и мы будем иметь
к как п обозначает, какое по порядку место занимает число ср,
[и отсчёт вести от первого числа а, то это число ср будет относиться
следующему за ним ty, как и2 к п2; это отношение будет совершенно
лагным с истинным, если п будет бесконечным числом. Так как
зближённо it2 =10, то, если положить и =100, сотый член будет
шерно в тысячу раз меньше следующего за ним. Итак числа а, C,
0 и т. д., равно как и бернуллиевы числа ?(, 58, ©, ® и т. д.,
тзуют очень сильно расходящийся ряд, который расходится больше,
1 любая геометрическая прогрессия, члены которой возрастают.
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ 295
130. После того как найдены значения чисел а, р, у и т. д. или
ЭД, S3, К и т. д., если предложен ряд, общий член которого г есть
какая-либо функция индекса х, то суммационный член Sz этого ряда
выразится следующим образом:
с С , , 1 , 1 dz 1 d3z
1 dbz 1 d'z
42 1.2...6dxs 3J 1 ¦ 2... 8
5 d93 691 d
.. .10 dx»~2U0 1-2. . Л2
^z 3617 d
" lT2T.Tl4di" 5UT i-2...16rfxis "r
43 867 rf'7z 17'* 611 dl»z
"*"
85i_5l3 dilz 236 З6'« 0Л
' 1
1-2.. .18d:ci7 330 1-2.. .
13i 1.2...22ЙЛ" 273Э 1 • 2.. .2i
8 553103 d2bz 23 749 461029 d"z
l-2...26d^3S 870 1-2. ..2Sdx"
8 615 841 276 005 d™z
t
"T" 14 322 l-2...-A0dx*» И Т- Д<
Следовательно, если известен интеграл \ zdx, т. е. то количество,
дифференциал которого равен zdx,' то суммационный член найдётся
с помощью последовательного дифференцирования. Но постоянно сле-
следует помнить, что к этому выражению надлежит всегда прибавлять
такое постоянное, чтобы сумма становилась равной нулю, если поло-
положить х равным нулю.
131. Если z есть целая рациональная функция от х, то поскольку
все её дифференциалы, в конце концов, исчезают, суммационный член
выразится конечным выражением. Мы поясним это следующими при-
примерами.
Пример 1
Пусть ищется суммационный член ряда
12 3 4 5 х
1 +9 + 25 + 49 + 81+ ... +{2х-1)г.
Так как здесь
z= Bх—1J = 4х8
то
Действительно, дифференцируя это выражение, получаем zdx — tkX
—ixdx + dx. Далее, с помощью дифференцирования будем иметь
dz о , d-z o d3z A
у-=8х—4, т—. = 8, j-., = 0и т. д.
dx ' dxi ' dx3
Значит, искомый суммационный член будет
~х3-2х*+х+2х*-2х + ~+~х-~± const.
296 ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
Это постоянное должно уничтожать члоны -;- -; следовательно,
будем иметь
Так, при х — 4 сумма четырёх первых членов будет
^-1 7 • 9 = 84.
Пример 2
Пусть ищется суммационный член ряда
12 3 4 х
1 + 27 + 125 + 343+ ...+Bх-1K.
Так как
z =_- Bх— IK = 8х3—12а;2 + 6х— 1,
то
[ z dx = 2x4-- ix3 + За;3—ж,
? 6, ^ = 48^-24, -
следующие дифференциалы исчезают. Поэтому
S Bх — IK = 2х* — 4ж3 + Зх2 — х +
— ^ ± const.,
т. е.
5 Bя - 1 K = 2а;4 - х* = ж2 Bа;2 -1).
Так, при а; = 4 будем иметь 1+27 + 125 + 343 = 496.
132. После того как мы нашли общее выражение • для суммацион-
ного члена, само собой получается тот суммационный член, который
мы дали в первой части (§§ 29 и 61) для степеней натуральных чисел
и доказательств которого мы там привести не имели возможности.
В самом деле, если положить z = xn, то \ zdx~ n хп*'; дифферен-
дифференциалы же выразятся так:
dz „ , d2z . ,\ п • ^3" / л\ i П\ п-з
Tx = nxn-i; Sg = n{n — \)xn-, -5^=п(и-1)(л-2)ж" 3,
= п (п- 1) (и - 2) (га - 3) (п - 4) я"-5, ^=и (п~ 1). .. (л—6) ж" и т. д.
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУМШЛ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ 297
Отсюда мы получаем следующий суммационный член, отвечающий
общему члену х":
on 1 п+1 1 п , I га ., , 1 га(га —1)(п-2) ,, з
л -г 1 '2 ' о 2 30 2-3-4 '
. 1 ге (га — 1) (« —2) (га — 3)(га—4) п_6 1 га (га — 1) . . . (га — 6) „ _7 .
+ 42 2~TT7j . 5 ^6 Х ~ 30 2 ¦ 3 ... 8 Х *
5 п(га-1) ... (га-8) _ „ 691 га (ге — 1) .. : (га — 10) „ ,, ,
^66 2 • 3/. .10 2730 2-3... 12 ~
__L 1_п(п -_)._. . (га - 12) хП ,,з
6 2 • 3 ... 14 JlO 2 ¦ 3 ... 16 +
438G7 n(n-l) ...(»- If,) . 174 611 n (n - 1) . . . (n - 18) ,
798 2 • 3 ... 18 330 2 • 3 ... 20 Г
854 51,4 n(n — 1) . . . (re — 20) n .^ 236 З6'« 0Э1 n (ra — 1) . . . (ra — 22) n_23
Ш irTT".T22 Ж " 27з1 2 ¦ 3 ... 24 X
, 8 553 103 n (n - 1) ... (n - 24) n_25 _ 23 749 461 02Э n(n-l) ... (n - 2Г.) „_„
^ 6 2 ¦ 3 . . . 2G Ж 870 ' 2-3 .7728 X +
_, 8 615 841 276 005 ra(n-1) ... (n - 28) „ _29
"' U322 ' 2^3 ... 30 X " -
Это выражение не отличается от вышевыведенного; только здесь мы
ввели бернуллиевы числа ЭД, S3, 6 и т. д., тогда как раньше мы поль-
пользовались числами а, р, у и т. д. Впрочем, согласие между обоими
выражениями и само собой очевидно. Итак, мы можем получить отсюда
суммационные члены для всех степеней вплоть до тридцатой включи-
включительно. Если бы мы пошли по другому пути, это можно было бы сделать
лишь с помощью очень длинных и скучных вычислений.
133. Выше (§ 59) мы дали почти такое же выражение сумма-
ционного члена через общий член. Действительно, оно равным образом
содержало последовательные дифференциалы общего члена; но от най-
найденного здесь оно отличалось главным образом тем, что оно не тре-
требовало вычисления интеграла \ zdx, но зато отдельные дифференциалы
общего члена помножались там на некоторые функции от х. Сейчас
мы снова получим такое же выражение нижеследующим способом, более
соответствующим природе рядов; из этого способа станет в то же время
более ясным тот закон, согласно которому следуют друг за другом
коэффициенты дифференциалов. Итак, пусть общий член ряда z есть
какая-либо функция от индекса х и пусть искомый суммационный член
есть s; как мы видели, он является такой функцией от х, которая
исчезает при х = 0. Согласно доказанному выше (§ 68) свойству этих
функций будем иметь
xds x^dh x3d2s , xidis r ,.
S ~~ ~Idx~ + 1 • 2di* ~~ 1 • 2 • 3dx3 ~r 1 • 2 ¦ 3 • kdx* ~~ " T' Д" ~
134. Так как s есть сумма всех членов ряда от первого до по-
последнего z, то очевидно, что, если в s вместо х положить х—1, то
первоначальная сумма лишается своего последнего члена. Значит, мы
будем иметь
_ ds . d2s d3x , dls
у — Ж^ — —-^ — — — -j-^—— и Т. Д.,
так что
ds d2s dzs d*s
Z = 3i~~2d^+(W^~2W^~ И Т' Д-
298 ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
Это уравнение даёт возможность определить общий член по данному
суммационному члену, что и само но себе очень легко. Но с помощью
удачного сочетания этого уравнения с тем, которое было дано в пре-
предыдущем параграфе, можно определить выражение s через х и z. Для
этого положим, что
Bdz CdH
где А, В, С, D и т. д. суть необходимые коэффициенты, постоянные
или переменные. Так как
ds dis dss d*s d5s
+ ~~ И
dz d'z d3z
то, если получаемые отсюда значения z, j-, —=-j, -т-j- и т. д. под-
подставить в предыдущее уравнение, найдём
s — s
Л _ Ads i -^ **** __А d3s J- ^ ^— ^ ^5s 4_
, Bdz Bd's В d3s В d*s В d°s
<~ A~i OJ,J "Г ..J-4 О '. rl^S "Г ^ Т. Д.
С d2z C#s , С d's
Dfc , ?» dJs D i
и
_Bft_ _Б d5s .
И Т. Д.
Таким образом, эти ряды, взятые вместе, будут равны нулю.
135. Так как ранее мы нашли, что
п х ds , x*d2s x3d3s , x*d*s
то если положить предыдущие уравнения равными последнему, то полу-
получатся следующие выражения для букв А, В, С, D и т. д.:
л-г п-^-А Г-----А
> 2 2 ' 6 2 6'
4" ~ 6 Т' 120 Т Т 4" 120 И Т* Д"
После этого как эти значения букв А, В, С, D и т. д. найдены, мы
определим по общему члену z суммационный член s — Sz следующим
образом:
с . Bdz , Cd4 DdH , Е dlz F dH .
Sz = Az j Ь j >¦= j ч + ~j~i j-^-+ и т. д.
dx dx1 dx3 dz* dxa
136. Так как
A~X, B = -^X' efX! 6~ X 4""''~'~12a''
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ 299
то ясно, что эти коэффицпенты те же, что мы имели выше (§ 59); таким
образом, полученное здесь выражение суммационного члена совпадает
с тем, которое мы нашли там, и потому
= ±Sx*-±x< и т. д.
Следовательно, будем иметь
Sx*- И Т- Д-
хdz xzd*z xH'z xidiz
+
Но если в общем члене z положить х = 0, получится член, отвечающий
индексу, равному нулю. Если положить этот член равным а, то будем
иметь
х dz . x2d2z x3d3z
dx 2dxz &dx3
dx 2dxz
так что
х dz x4*z . хЧЧ x*dlz
После подстановки этого значения будем иметь
^Sx*-^Sx> + ^Sx*- и т. д.
Итак, если известны суммы степеней, то для какого угодно о5щего
члена можно будет найти соответствующий суммационный член.
137. Так как мы нашли выражение суммационного члена Sz
в двух видах, и в одном из них содержится интеграл \ zdx, то если
эти два выражения положить равными друг другу, мы получим зна-
значение интеграла \ zdx, представленное с помощью ряда. В самом деле,
так как
+ и т Д
.... dz „ dzz ~ , d3z o „ ,
(х + 1) z - а - Тх Sx + Т72-^ Sx* - 4727^-,- Sx' + и т. д.
то
=(*+4) 2-°-s
где %, S3, К и т. д. суть бернуллиевы числа, которые мы получили
выше (§ 122).
„ , „ dz n diz ,
Пусть, например, z = xi; тогда а = и, -т— = Ах и -^- = 1, следова-
следовательно, будем иметь
300 ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ
Г 1 1
или \ х3 dx — — х3; действительно, дифференцируя —ж3, находим как
раз x'dx.
138. Теперь перед нами открывается новый путь для нахождения
суммационных членов рядов степеней. Действительно, эти суммацион-
ные члены легко образуются из коэффициентов А, В, С и т. д., кото-
которые мы ввели выше, а каждый из этих коэффициентов выражается через
предыдущие. Поэтому, если в формулы, данные в § 135, подставить
вместо этих букв их значения, приведённые в § 136, то будем иметь
Sx2 — х2 = ±ха — 1-х — ~ Sx — x),
о Л It
Sx3 -х* = ±-х*-\х~± (Sx' - x>) - ^ {Sx - x),
Отсюда, следовательно, суммы высших степеней можно выразить через
суммы низших степеней.
139. Если мы внимательно присмотримся к закону, по которому,
как мы выше (§ 135) нашли, коэффициенты А, В, С, D и т. д., сле-
следуют друг за другом, то увидим, что они образуют рекуррентный ряд.
Действительно, если мы разложим дробь
х + — Л + —ж3к2 + —ж4и3 + —аАD + и т. д.
по степеням и и примем, что получается ряд '
A + Bu + Cu2 + Dui-\-Eui+ и т. д.,
то, как ранес^ мы нашли1),
1 1
А—х, В — —х* — -^ А и т. д.
Таким образом, после того как будет найден этот ряд, мы получим
суммационныо члены рядов степеней. Но дробь, из разложения кото-
рой получается этот ряд, можно представить в виде —^—— . А эта
дробь, если х будет целым положительным числом, перейдёт в
Так как теперь
1 = 1,
u . . и , и2 , и3 , и4
е«=1+т + _ + __+__+ и Т. Д.,
1 + +
1-2 + 1-2-3 ^ 1-2-3-4
)-"~ 4- и т д .
34 + А
«Введение», ч. 1, гл. IV.
ГЛ. V. РАЗЫСКАНИЕ СУММЫ РЯДА ПО ОБЩЕМУ ЧЛЕНУ 301
то
Л — х,.
6 L ^ ' 0 "б
и т. д.
Этим полностью иодтверждается и доказывается ранее уже обнаружен-
обнаруженная связь этих коэффициентов с суммами степеней.
ГЛАВА VI
О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИИ С ПОМОЩЬЮ
БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
140. В предыдущей главе мы нашли для суммационного члена
какого-либо ряда, общий член которого, т. е. член, отвечающий ин-
индексу х, равен z, выражение
Оно непосредственно даёт сумму рядов, общие члены которых суть
какие-либо целые рациональные функции индекса х, ибо в этих слу-
случаях мы, в конце концов, приходим к исчезающим дифференциалам.
Если же z не является такого рода функцией от х, тогда дифферен-
дифференциалы её следуют друг за другом до бесконечности, и таким образом
получается бесконечный ряд, выражающий сумму предложенного ряда
вплоть до члена с данным индексом х. Поэтому сумма предложенного
ряда, продолженного до бесконечности, получится, если положить х= со;
с помощью этого приёма мы найдём другой бесконечный ряд, равный
первоначальному.
141. Если положить х = 0, то выражение, дающее сумму, должно,
как мы уже отмечали, исчезать. Если же это не происходит, то нужно
прибавить к сумме или отнять от неё такое постоянное количество,
чтобы это условие было удовлетворено. После этого, если положить
ж = 1, найденная сумма представит первый член ряда; если положить
х — 2, она даст совокупность первого и второго члена, если же поло-
положить ж = 3, получим совокупность трёх первых членов ряда, и т. д.
А так как сумма одного, двух, трёх и т. д. членов известна, то будет
известно значение бесконечного ряда, которым эта сумма выражается,
и этим способом можно гуммировать бесчисленные ряды.
142. Если к сумме мы прибавим такое постоянное, что при ж = О
сумма исчезает, то и во всех остальных случаях, какие бы числа ни
были подставлены вместо х, сумма даст правильное значение. Поэтому,
очевидно, что если к найденной сумме прибавить такое постоянное
количество, чтобы сумма давала истинный результат в каком-нибудь
одном случае, то и во всех остальных случаях должна получаться
истинная сумма. Вследствие этого, если, положив х = 0, нельзя будет
выяснить, какое значение получает выражение суммы, и значит, нельзя
будет отсюда найти постоянную, которую нужно прибавить, тогда можно
ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ 303
будет взять за х какое-нибудь другое число и прибавить такое постоян-
постоянное, чтобы получалась должная сумма. Как это нужно делать — будет
лучше видно из следующих примеров.
142а1). Рассмотрим, прежде всего, гармоническую прогрессию
1 1
Так как общий её член равен — , то z=— и суммационный член нахо-
находится следующим образом. Прежде всего, будем иметь \ zdx= \ — =l?;
далее найдём дифференциалы
dz _ 1 d2z _ l d3z i_
dx ^~ ' пх~*= a5"' Ых* ~ ~x~*'
dlz 1 dbz
24 dx* 3s ' 120 dx*> ж
Таким образом, отсюда будем иметь
- - zr и т- Д-
Здесь постоянное, которое нужно прибавить, нельзя определить из слу-
случая х = 0. Поэтому положим х— 1, так как теперь s= 1, то будем имегь
сопи.,
откуда найдём, что эта постоянная равна
1 91 58 ©
2 + 2 4 +
так что искомый общий член будет
58 © Ф
2 + 2 4 + 6 8 + и т. д.,
143. Так как бернуллиевы числа %, $8, К, © и т. д. образуют рас-
расходящийся ряд, то это значение постоянного нельзя узнать. Но если
вместо х подставить большее число и если фактически найти сумму
некоторого числа членов, то значение постоянного легко найдётся.
Положим с этой целью х = 0 и, сложив десять первых членов, найдём,
что их сумма равна
2,928 968253 968 253 968.
Этому числу должно равняться выражение суммы, если в нём положить
х = 10, так что получим
+ 20~20Э + 4~0000 6 000 000 " 800000000~ И Т> д- + °'
х) В первом издании по ошибке повторён номер 142. (Г. К.)
304 ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
Если вместо 110 взять гиперболический логарифм десяти, а вместо
9(, S3, © и т. д. подставить выше (§ 122) найденные значения, то найдём
это постоянное ')
С = 0,5 772 156 649 015 325.
Следовательно, ото число выражает сумму ряда
1 , 91 , S3 . G % ,
т V + Т л' у- + и т. д.
144. Если вместо а; подставлять числа, но слишком большие, то, так
как сумма легко находится непосредственно, мы получим сумму сле-
следующего ряда:
2* - 2^ + te« - 6? + 8* ^ И Т. Д. = S - 1 Я - С.
Если же ж будет очень большим числом, то тогда, наоборот, легко опре-
определяется значение этого бесконечного выражения в десятичных дробях,
и этим определяется сумма ряда. Однако ясно, что если ряд продолжить
до бесконечности, то его сумма будет бесконечно большой; в самом деле,
при х = со бесконечным будет и 1х, хотя отношение 1а; к х бесконечно
мало. Чтобы можно было удобнее определять сумму любого числа чле-
членов ряда, мы выразим значения %, 33, (? и т. д. в десятичных дробях:
% = 0,166 666 666 666 6,
58 = 0,033 333 333 333 3,
6=0,023 809 523 809 5,
© = 0,033 333333 333 3,
6 = 0,075 757 575 757 5,
5=0,253 1135531135,
© = 1,166 666 666 666 6,
?> = 7,092 156 862 745 1 и т. д
Следовательно,
-^ = 0,083 333 333 333 3,
— = 0,008 333 333 333 3,
•f- = 0,003 968 253 968 2,
¦5=0,004166 666 666 6,
-^- = 0,007 575 757 575 7,
¦§ = 0,021092 796 0928,
^- = 0,083 333 333 333 3 и т. д.
х) Число С есть так называемая эйлерова постоянная, часто встречающаяся
в исчислении конечных разностей. В приводимом здесь её выражении неверен
только последний знак. Не лишне отметить, что ряд, из которого её Эйлер здесь
получает, является, как легко видеть, расходящимся при всех значениях х; только
возрастание членов начинается не сразу, а с члена, номер которого растёт
с ростом х. Можно доказать, что частичные суммы убывающих членов этого ряда
при х—>оо имеют предел; этот предел и есть эйлерова постоянная. Разумеется,
Эйлер не видел никакой надобности в подобном доказательстве.
ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ 305
Пример 1
и- ^ .,1,1,1,1,1,
Найти сумму тысячи членов ряда 1 + — 4- — + -- -[-— + -^- + и т. д.
Z о -к О О
Положим х = 1000, так как
110 ---¦ 2,302 585 092 994 045 684 0,
то
1^ = 6,907 755 278 982 1
const. = 0,577 215 664 901 5
А = 0,000 500 000000 0
7,485 470943 883 6
Вычтем
о~ = 0,000 000 083 333 3
7,485 470860550 3
Прибавим
Ji = 0,000 000 000 000 0
Следовательно,
7,485 4708605503
есть искомая сумма тысячи членов; она не составляет и семи с полови-
половиной единиц.
П р и м е р 2
lllll
Найти сумму миллионов "членов ряда 1 -j- у + — + — 4- -=- + -g- + и т. д.
Тнк как ж = 1000000, то 12 = 6110; следовательно,
12 = 13,8155105579642
const. = 0,577 215 664 9015
А= 0,000000500000 0
2,'JC
14,392 726 722 865 7 = искомой сумме.
145. Если вместо х положить очень большое число, то сумма най-
найдётся достаточно точно из одного только первого члена 1 х, если приба-
прибавить к нему постоянное С. Отсюда можно вывести важные следствия.
Так, пусть х есть очень большое число; положим
1 1
1 Г 3
так как приближённо s -— 1 х -{- С и t = 1 B + у) + С, то
t - s = 1 (х Н- у) — 12 = 1^-^Л
и, следовательно, этот логарифм приближённо выразится гармоническим
рядом, состоящим из конечного числа членов, следующим 'образом:
х ^ х -t-1 ~~ аЧ~2 "Г ж f 3 "' • * * + х + у
20 JJ. Эй.1С|>
306 ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
Этот логарифм выразится точнее, если упомянутые суммы $ и t мы
возьмём с большей точностью. Так, если взять
то иудем иметь
i 1 1
х 2х
, ?±У = _!_¦ _JL_, ¦ _J_ ,JL_ 1_ 1 ,
х х + 1 ' я4-2~'" ' ж|-2/ 2х 2(х-г/) 12а:3 '
и, значит,
У?
Если же х есть столь большое число, что можно отбросить два послед-
последних члена, то приближённо будем иметь
х -f 2 ' ' " ' хА у ¦ 2 \х
145а 1). Из того же гармонического ряда можно вывести сумму сле-
следующего ряда, в который входят только нечётные числа:
у + J + -g" + у + э" + • • • + 2JX1 •
Действительно, если взять все члены, то
,.1,1.1, 1 . 1
~ ^ + ' + + 2Bх +1) ~ 2 Bх +1J + 4 Bж + IL ~~ 6~B^+lTe + И Т" Д"
Сумма же членов, стоящих на чётных местах,
будет вдвое меньше, именно
1 г , 1 ! ,1.
Если этот ряд отнять от первого, будем иметь
J4-1-! Х 4-1 4- Ф i -
Y^" /J + 2"Bх + 1) 2BхН-1)!"г4Bа:
1 , 91 58 .
~4i + 4^~8^ + И Т- Д-
146. С помощью того же общего выражения можно найти
также и сумму какого угодно гармонического ряда. Действительно,
пусть
i 11 l _
т -\- п 2т + л 3m -f- л тх 4- п
1) В первом издании по ошибке повторён номер 145. (Г. К.)
ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ 307
Так как общий член ость z = - -,— , то
тх -+- я
Г , 1 , , , . dz m d*z то2
\zdx = —1(тх + п), з-= — ;—« > kj-j=; i—^j
J то v " dx {mx + nJ' 2dx* (тх + п)ъ'
dzz m3 *z то4 d6z m5
— И T TT
(mi+nL1 2'irfa;4 (mx + nN' 12
Отсюда находим
l , / , v l 8tm ЗЗто3
6 (тх + п)а ' 8 (тх + п)а
— И Т. Д.
Если положить х = 0, то найдём, что постоянное, которое нужно при-
прибавить, равно
п_ 1 , 1 to ЯЗт3 , вт»
^"~ "~"^W~2n + 2n2~-4^" + '6^- И Т. Д.
147. Положим п — 0; так как сумма ряда
т * 2т ~ Zm ~ ' ' ' ~ тх
равна
а сумма ряда
. . 1 1,1 1 . ,1
равна
аз
И Т- Д-
то, если от этого ряда отнять первый, взятый т раз, получим ряд
11111
т т
т 2т
сумма которого равна
1 91 , 93 1 , 21 33
и, если положить #=оо, сумма будет равна \т. Следовательно, пола-
полагая вместо т числа 2, 3, 4 и т. д., будем иметь
121М + 4 + + »«
1 + 1 + 1-1 + |+1 + {+1_1+ит.д.
и т. д.
20*
;;jO8 гл. vi. о суммировании прогрессий с помощью рядов
148. Оставив гармонический ряд, перейдём к рассмотрению ряда
обратных квадратов. Пусть
Так как в этом ряде общий член есть z= -¦•-, то \ zdx — — — и диф-
X" J X
фрренциалы количества z будут
dz _ 1 d*z _ l d33 _ l
2Лс~~ ж1' ' 2^}da;~2~~z4 ' 2^4rfx3 ж^ И Т' Д"
откуда сумма будет
/ . _! __ __— __- _J_ ., __!_ _. 1 | тт Т ТТ
' ^ 1^ tl ^ Ч ( г ^^ 9 1 Q 11 1 ¦" I • /Л •
В ней постоянное С, которое должно быть прибавлено, нужно опре-
определить из какого-нибудь одного случая, для которого сумма
известна. Положим ж=1; так как s=l, то мы должны иметь
+ идз+©ф+®- и т. д.
Но этот ряд, будучи сильно расходящимся, не даёт значения постоян-
iroro С. Но так как выше (§ 125) мы доказали, что сумма этого ряда,
продолженного до бесконечности, равна -—, то положим х = ехэ ns = -r ;
тогда С=^, ибо все остальные члены исчезают. Следовательно, будем
иметь
1 +1 - I + % - зз + ? -ф + е— и т. д. = ~ .
149. Если бы сумма этого ряда не была известна, то значение
постоянного С нужно было бы найти из другого какого-нибудь слу-
случая, для которого сумма непосредственно найдена. С этой целью можно
положить х — 10; выполнив сложение десяти членов, найдём
s = 1,549 767 731 166 540 690.
Тогда
прибавим — - ^ 0,1,
вычтем -— — 0,005
2ж2
1,644 767 731166 540 690,
прибавим
|- -:, 0,000 166 666 666 666 666
1,644 934 397 833 207 356,
вычтем
-.- 0,000 000 333 333 333 333
хь
1,644 934 064 499874 023,
прибавим
~ - 0,000 000 002 380 952 381
\ ,644 934 066 880 826 404,
ГЛ. VI, О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ 300
вычтем
^ = 0,000 000 000 033 333 333
х"
1,644 934 066 847 493 071,
прибавим
J = 0,000 000 (Ю0 000 757 575
1 644 934 066 848 250 646,
вычтем
4-3 = 0,000 000 000 000 025 311
1,644 934 066 848 225 335,
прибавим
J = 0,000 000 000 000 001 166
Щ~4934066 848 226 501,
вычтем
1,644 934 066 848 226 430 = С.
<3то число вместе с тем есть значение выражения —, что станет ясно
тому, кто произведёт вычисление, исходя из известного значения
числа tv1). Отсюда вместе с тем мы видим, что хотя ряд 9t, $8, G?
и т. д. расходится, однако этот способ даёт истинную сумму. /
160. Пусть теперь z = -g- и
Так как
Т" K"»
1_ _J± _L
2х*> 1 • 2 ¦¦idx~ -lxiJ l-2-3-4rfx- ~ i
dzz _ 1 rf4- _ 1 rfB2 1
~i~i.7~.b~dx* ~ ~2x*' 1 • i>. ..6rfx4" ~" 2ж" Г^~2ТТ. 7 rfz5 "~ 2i~s
то будем иметь
_ r I 1 Ш 533 ТЕ
S "~ ° ^ + ^« — 2Ж4 + 2r« ^8 И '2 • Д-
Положим здесь х=1; поскольку тогда s=l, получим
c=i+|-{ + }«-i»+4e-4®+ и т. д.,
и это значение С вмосю с том должно дать сумму предложенного
ряда, продолженного до бесконечности. Но так как в отличие от сумм
чётных степеней суммы нечётных степеней нам не известны, то зна-
значение С нужно найти из известной суммы нескольких членов. Пусть,
например, 2=10; тогда
' 'Ix1 2х6 2xi 2хв ixs
г) Последняя цифра найденного здесь результата неверна: истинное её зна-
значение равно не нулю, а шести.
ilO гл. vi. о суммировании прогрессий с помощью рядов
Чтобы легче выполнить вычисления, предварительно найдём
^- = 0,250000000000 0
-^ == 0,083 333 333 333 3
\- = 0,083 333 333 333 3
-^- = 0,150000 0000000
^ = 0,416 666666 666 6
^=1,645 238 095 238 0
^ = 8,750 000 000000 0
Щ=60,283 333 333 333 3
и т. д.
Таким образом, члены, которые нужно прибавить к s, будут
~ = 0,005 000 000 000 000 000
g = 0,000 025 000 000 000 000
g = 0,000 000 000 833 333 333
|gn = 0,000 000 000 000 416 666
= 0,000 000 000 000 000 875
0,005 025 000833 750875
Члены же, которые нужно вычесть, будут
-jp, = 0,000 500 000 000 000 000
|^ = 0,000 000 083 333 333 333
Щ; = 0,000 000 000 015 000 000
J§ = 0,000 000 000 000 016 452
\ = 0,000 000 000 000 000 060
0,000500 083348 349 845
от 0,005 025 000 833 750 875
0,004 524 917 485 401030
« = 1,197 531985 674193 251
С = 1,202 056 903 159 594 281г)
Истинное значргше С есть 1,202 053 903 15Э 594 285 39... [Г. К.\
ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИИ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ ЗЦ
151. Если таким же образом мы пойдём дальше, то найдём суммы
всех рядов обратных степеней, выраженные десятичными дробями.
1 + ф- т ^г + ^ + и т • Д. = 1,644 934 066 848 226 4 - ^ тг2,
1 + h+w г Ь~+и т- д-= 1J02 °56 903159 594 2'
1 +5V + :J- + ?¦ + и т. Д. = 1,082 323 233 711 138 1 = x.l %.rt «*>
1 + ~ + 3V + jr + и т. д. = 1,036 927 755 143 369 9 1),
l+^ + + + Д
iV-fH т. д. = 1,008 349 277 381 9228 2),
^- + и т. д. = 1,004 077 356 197 944 3 = { г|^
^.- + и т- Д-= 1,002 008 392 826 082 2,
4i + и т" д" = j -000 575 127 818 ° = tS
^-1 + и т. д. = 1,000494 188604 11943),
i 086 553 3080=
1^^ + ,^+^з + и т- Д. -1,000 122 713 347 578 4*),
1 + ^ + ^ + 4^ + и т. д. ==1,000061 248 135 058 7^ Г-
l+^ + ^ + i+H т. д. = 1,0000305882363070,
l+'i + sVe + ^ + H т. д. :.= 1,0000152822594086 = гт
152. Отсюда, обратно, можно найти суммы выше полученных бес-
бесконечных рядов, состоящих из бернуллиевых чисел. Именно, будем
иметь
4 + !-®+!-! + " *• Д- = 0,57721 и т. д.,
+ т. д.=^*г,
1 + у-у+ 2+~? 2"+И Т- Д- = 1>2020 и т-
, , 1 1 3 • Ш 5 • 683 7 ¦ 8К 9 • IPS r 23ЭЗ 4
+ 3 2+23 23 + 23 +ИТдте
2-3
1) В первом издании 1,036 927 755 106 863 2. [Г. Л".]
а) В первом издании 1,003 349 277 386 6018. [Г. К.)
3) В первом издании 1 000 494 183 60i 109 4. [Г. Я.]
4) В первом издании 1,000122 723 3'G 585 7. [Г. К.]
312 ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
, 1_1 3 ¦ 4 ¦ 5% __ 5 ¦ 6 • 733 ' 7j_8^_9g _ 9 ¦ 10 ¦ 11Ъ
+ 4 " "" 2 • 3 • 'i 2 • 3 • 4 + 2 • ~3 • 4 2-3-4 ^
+ ит. д. = 1,0369 и т. д.
. , J. 1_ 3-4-5-6ЭД 5 ¦ G - 7 ¦ 893 , 7 ¦ 8 ¦ 9 - 10(? _ 25g 6
1-г 5~2 + 2-3-4-5 2-3-4-5~г2-3-4-Ь ~ И Т< Д-~ 1Т2~Т7б ^
И Т. Д.
Таким образом, стоящие на чётных местах ряды можно суммировать
с помощью квадратуры круга; от какого трансцендентного количества
зависят остальные ряды — до сих пор не известно; во всяком случае
они не могут быть выражены нечётными степенями количества ж так,
чтобы коэффициенты были рациональными числами. Чтобы по крайней
мере приблизительно составить представление, каковы были бы коэф-
коэффициенты степеней ж для нечётных степеней, мы присоединим следу-
следующую таблицу:
l + i + ^ + ^ + и т. д = _Z!_;
1+-?3+33+43+и т. д = ^-Ji__ приближённо,
i + ^+J+i + и т- д • -^эототаг точпо'
1+2»+Г*+4*+И Т- Д == 295^1215 приближённо,
f. + i + H т-д ="94Йад точно>
З»" 4 + И Т- Д = 29^7284
+ + т ^00 Т0ЧН°'
1+Т. + Т.+ Р + И Т- Д- " =9Ж35 приближённо
И Т. Д.
L53. Исходя из этого, можно интерполировать ряд бернуллиовых.
чисел
к, », s, ф, е, |, и т. д.,
хотя он и представляется неправильным, т. е. можно определить
члены, стоящие посредине между какими-нибудь двумя членами
этого ряда. Действительно, если член, лежащий посредине между
первым членом % и вторым $8, т. е. член, отвечающий индексу
1 -г-, будет равен р, то будем иметь
2:
1 + — -i-— 4-и т д - 2'р -3
Поэтому
^==2^A + 2V + ^ + M т- Л.) = 0,05815227.
В пррвом и.чдаиии [Г. К.]
ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ ;ИЛ
Подобным образом, если член, лежащий посредине между $В и К,
т. е. член, имеющий индекс 2 — , положим равным д, то. поскольку
будем иметь
&( + 2>->-1-г11 т- Д-) = 0,02541.4 27.
Таким образом, если бы можно было найти суммы тех рассмотренных
нами рядов, у которых показатели степеней суть нечётные числа.
тогда можно было бы также интерполиропать ряд бернуллиевых чисел,
154. Положим теперь z =¦ — г и будем искать сумму ряда
S ~п2
¦ я2+1 ~«2+4 ' ге2 + 9 ~
Так как \ zdx— \ a_f 2, то будем иметь
\ zdx— —
\ x arctg —
j п b п
Положим, arcctg --=ы; тогда
ж cos и лГ2 "X2 1 sin2 м d.r rfi*
П ° Sill U П1 Slli2 U Пг П Sini U '
, dx sin2 м
Д« = .
п
Дифференциалы количества z найдутся следующим образом:
, 2dusinwcosM dx sin2 и sin 2м dz sin2wsin22«
л2 n6 dx n3
d'z du (sin и cos и sin 2a 4- sin2 и cos 2u) da; sin8 м sin Зи
-_Г = — — -_4
и
d2z sin3 и ¦ sin Зм
Подобным образом, как мы нашли уже раньше (§ 87) для того жо
случая
d3z sin4 м • sin 'ш d^z sin5 и ¦ sin 5«
2 • 3dx3 n* ' 2 ¦ 3 • itdx* = ^~ И Т> Д'
Из этих значений получится искомая сумма
я u , sin2 м 91 sin2u • sin 2м . S3 sin4M ¦ sin 4м g sin6u • sin 6к .
S _____ _j_ —^ _ _j j. _ __ _. __ |_
, ® sin8M • sin 8m
_j-_ __ и T. д., + const.
Если для того, чтобы определить постоянное, положить здесь х = 0?
что даст s = 0, то мы будем иметь ctgM=O, так что угол и будет
;U4 гл. vi. о суммировании прогрессий с помощью рядов
иметь 90°, и поэтому sin к = J, sin2H = 0, sin4M = 0, sin 6a = 0 и т. д.
Таким образом, на первый взгляд представляется, что
Однако, нужно заметить, что хотя все остальные члены исчезают,
но так как коэффициенты Si, S3, 6 и т. д., в конце концов, становятся
бесконечными, то сумма может быть конечной.
155. Для того чтобы надлежащим образом определить это постоянное,
положим х= со. Сумму рассматриваемого ряда, продолженного до бес-
бесконечности, мы уже нашли во «Введении» 2) и показали, что она равна
1 , -к т.
~~ W ^ 2га + 7(e2n^Tl)" '
Но если положить ж==оо, то м = 0, так что и sin« = 0; вместе с тем
исчезают и синусы всех кратных дуг. А так как в нашем ряде степени
sin и возрастают, то расходимость ряда не может помешать тому, чтобы
в этом случае значение ряда исчезло. Таким образом, s= ~ -f- С,
откуда будем иметь
_* 4-С— - — 1 — I - и Г= — — i *_
2п - 2п* ¦¦ In r n(e~nn-l) W Г п(е2пте-1) '
Поэтому сумма искомого ряда будет
_ -к и 1 sir,2u. 9t sin2Msin2u .
S ~ 2ra ~"n ~~ № ~*~ ~2re^ 2 re1 '
. S3 siii4tt • sin 4м (У sine« • si.i 6it , «
•+-4- ^ !j -^p— -+ и т. д. +-и_---_.
Нужно заметить, что если л будет очень большим числом, то последний
член —— сделается столь малым, что им можно пренебречь.
п (е те — 1)
156. Положим, что х~-=п, так что
пЧ1Тл' + 4 га2 + 9 ' ' ' ' л3 ¦+- геа '
Тогда ctga=l и м = 45°=-, . Поэтому получим sin« ——^=i, sin2jt=l,
sin4^ = 0, sin6w——1, sin8M = 0, sinlOK=l и т. д. Поэтому будем
иметь
6 • 8гс4 10
В это выражение из бернуллиевых чисел входят только числа, стоящие
на нечётных местах. Поэтому, если мы сначала найдём с помощью
непосредственного подсчёта значение s, то отсюда можно будет опре-
определить количество тс; действительно, мы будем иметь
и т.д. -
Хотя в последний член входит тс, однако так как он весьма мал, то
достаточно иметь' значение тс с небольшой точностью.
') «Введение», ч. 1, гл. X.
ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ 315
Пример
Пусть п — 5; тогда
— _L _i- — 4- — -4- — —
Если выполнить сложение, эти члены дадут
s = 0,146 746 305 690 549 494.
Тогда члены ряда будут
ins = 2,934 926 113 810 989 88,
1-0,2,
% __ 0,006 666 666 666 666 66
~т? = 3,141592 780 477 565 4 '
g _ 0,000 000126 984126 98
3~ Ч.1 ¦ п* ~ 3,141592 653 493 529 56 '
<? 0,000 000 000 096 969 69
5 . 24 ¦ n»° ~ 3,141 592 05 3 590 499 25 '
®_ _ 0,000 000 000 000 426 66
1~~?~-~п1*~ 3,141 592 653 590 072 59 '
Л1625
Л
'У-2s • га" 3,141592 653 590 078 84 *
Это значение столь близко подходит к истинному, что удивительно,
как можно было столь лёгким вычислением достигнуть этого. Разумеется,
это выражение несколько больше истинного; действительно, от него
нужно ещё отнять —^—^— ; значение этого выражения, так как при-
приближённое значение тс известно, можно найти. С помощью логарифмов
мы сделаем это таким образом.
Так как тг1 е= 1,364 376 353 8, то
1 в2"* = Юл 1 е = 13,643 763 5.
А так как
4те 4тч , 4тч
= —- Ч ^ и т. д.,
то легко видеть, что для нашего вычисления достаточно взять лишь
первый член. Увеличим характеристику на 17; так как у нас имеется
17 десятичных знаков, будем иметь
Чте= 17,497 1498
14= 0,602 0600
вычитаем
1е2п« = 13,643 763 5
4,455 446 3
Следовательно,
-^ = 28 539.
Вычитая из
3,141592 653 59007884,
316 ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
будем иметь
- ¦- 3,141 592 653 589 793 45.
Это выражение отличается от истинного только в предпоследнем деся-
десятичном знаке; это неудивительно, ибо мы ещё должны были бы отнять
8
член ——2io аз" > который даёт 22, и тогда неверным мог бы быть лишь-
последний знак. Ясно, впрочем, что если за п мы возьмём большее
число, например, число 10, тогда можно будет без труда найти окруж-
окружность с точностью до 25 и более знаков.
157. Будем теперь полагать z трансцендентными функциями х,.
и пусть z=l:r. Мы будем брать гиперболические логарифмы, ибо деся-
десятичные легко к ним приводятся; нусть
.у =-= 1 1 + ] 2 + ] 3 + 1 4 4 ... г I .г.
Так как теперь z—lx, то
d = x\ х — х;
действительно, дифференциал этого выражения есть <1х\х. Далее,
dz I d'z 1 d3z 1 т d'z- 1
* И
flb ^ x" ' dix» = — ж* ' Г^УЙх3 ~ x3 'Г2 • -J
Отсюда заключаем, что
S zlzZ+lx + +
Д"
T TT^Jrlr r:^TTW И Т. Д. +СОП81.
Если положить х= I, то, поскольку s== 1 1=0, постоянное С пришлось бы
определять из ряда
" — " 1 . 2 ¦ 3 • 4 5 • 6 ' 7 • 8 ' "-
Но этот ряд вследствие сильной его расходимости непригоден даже
для приближённого вычисления количества С.
158. Однако мы можем найти не только приближённое, но и точное
значение С, если рассмотрим валлисово выражение, найденное для
значения к и доказанное во «Введении» 2). Это выражение имело вид
«_ _ 2 ¦ 2 • 4 ¦ 4 • G ¦ G ¦ 8 ¦ 8 ¦ 10 . 10 ¦ 12 и т. д.
2" ~~ 1~~3™3~П)~Г5~. 7 • 7 ¦ 9 ¦ 9 . 11 • 11 и т. д. "
Действительно, логарифмируя, будем иметь
1 и —1 2 = 212+214 4-216+ 2 18+ 21 К)+ 112+ и т. д.—
— 11-213 —215 —217 —219-2111 - и т. д.
Положим теперь в рассматриваемом ряде ж=сс. Так как
1 1 + 1 2+1 3 + 1 4+... + ] х = С+Сх + ~Л\ х — х,
то
11+1 2 + 1 3 + 14 ... +1 2х-С+^2х + 1^1 2ж-2я
и
1 2 + 14 + 1 6 + 1 8+ ... +1 2x = C+(x-\-\r~\\ x + xl 2-х.
«Введение», т. I, гл. XI.
ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ 317
¦Следовательно,
1 1+1 3 + 1 3 + 1 7+ ...+lBz-l)==s;l х+(^х+^I2 — х.
Поскольку, таким образом, мы имеем
1^ = 21 2 + 21 4 + 21 6 + . .. + 21 2х -1 2х -
-21 1-21 И—21 5- . ..—21Bя—1),
то, полагая ж—ос, получим
| х + 2х\ 2 —2ж —1 2 — 1 х — 2х\ х — Bх+\)\ 2 + 2х,
так что 1 ~ =2С—21 2; следовательно, 2С = 1 2тс и С= — 1 2т:, откуда
в десятичных дробях найдём
С -¦= 0,9 189 385 332 046 727 417 803 297,
и вместе с тем суммируется следующий бесконечный ряд
-1 )_ . . J и т тт — 1 ?т
1 1 . 2 ! 3 ¦ 4 5 • В 1 7 • 8 и т. Д. — 2 1 zr.
159. После того как это постоянное С= у 1 2тг найдено, можно получить
сумму логарифмов, взятых в любом числе из ряда 11 + 12 + 1 3+ и т. д.
В самом деле, если положить
s = t 1 + 1 2 + 1 3+... + 1 х,
то будем иметь
и т.д.
если, конечно, предложенные логарифмы были гиперболическими;
если же предложены были бы обыкновенные логарифмы, тогда в членах
— 1 2т: + f ж + ^ ) 1 х нужно было бы взять вместо 1 2т: и 1 х обыкно-
обыкновенные логарифмы; остальные же члены ряда
91 33
нужно было бы помножить на 0,434 294 481903 251827 = п. Таким
образом, для обыкновенных логарифмов имеем
1 т. = 0,497 149 872 694 133 854 351268
1 2 = 0,301 029 995 663 981 195 213 738
1 2т: =~0,9817986835811504965 006
j 1 2г = 0,399 089 934 179 057 524 782 503
Пример
Пусть ищется сумма тысяча табличных логарифмов
« = 11 + 12 + 13+... + ! 1000.
Следовательно, будем иметь г =1000 и
] ж— з.оооооооооемки».
318 ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
откуда
xlx-= 3000,000 000 000 000 0
\ 1 х = 1,500 000 000 000 0
4- 12гс= 0,399 089 934179 0
3001,899 089 934179 0
Вычтем
пх= 434,2944819032518
2567,604 608 030 927 2
Далее,
= 0,000036191206 8
1 • 2*
вычитаем
п5В = 0,000 000 000 001 2
3 - ix3
0,000 036191205 6
прибавляем
2567,604 608 030 9272
Искомая сумма
s * 2567,604 644 222 132 8.
Так как s есть логарифм произведения чисел
1-2-3-4-5... 1000,
то ясно, что это произведение, если его вычислить, будет иметь.
2568 знаков; слева его начальные цифры будут 423872, а за ними
будет следовать ещё 2561 цифра.
160. G помощью этого суммирования логарифмов можно также
найти приближённо произведение какого угодно числа последователь-
последовательных натуральных чисел. Сюда можно прежде всего отнести задачу
об определении среднего, т. е. максимального биномиального коэффи-
коэффициента в разложении какой-либо степени (а + Ь)т, Заметим, что если т
есть нечётное число, то имеется два средних коэффициента, равных
между собой. Взятые вместе, они должны дать средний коэффициент
разложения следующей чётной степени. Так как, следовательно,
максимальный коэффициент в разложении какой-либо чётной степешг
вдвое больше, чем средний коэффициент в разложении нечётной степени,
то достаточно определить максимальный средний коэффициент для
нечётных степеней. Итак, пусть пг — 2п' средний член можно представить-
в виде
2га Bга — 1) Bга - 2) Bга - 3) ... (п +1)
1 -2 -3-4 ... п
Обозначим этот средний коэффициент через и и представим его в виде-
_ 12. 3 • 4 . ..2га
" ~~ "A • 2 ¦ 3 • 4 . .. п>* *
ГЛ. \1. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
Логарифмируя,, будем иметь
1 м = 1 1 + 1 2 + 1 3+1 4 + 1 5 + ...+1 2п~
-2 11-2 12-2 13-2 14-2 15-... -21л.
161. Возьмём здесь гиперболические логарифмы; будем иметь
11 + 12+13+14+...+1 2л =
= 1 1 2п+ Bл + i)l п+ Bл + у) 1 2~2п +
. 9t J8^ S
+ 1 • 2 • 2л "з • 4 ¦ 2?га3 + 5 • 6 • 25ге5 И Т' Д'
И
2 И + 2 12 + 2 13 + 2 14+ ... + 2 In =
1 о , /о , л\ 1 о , 291 2» , 26
= 12и + B« + 1Iп-2п + т-1^-г-47Гз + г-6~6- и т- «•
Отняв это выражение от предыдущего, получим в остатке
т —и т.д.
1 • In ' 3 • 4 ¦ re
Собрав эти члены попарно, будем иметь
1ц! 22" 391
291 2Я9 2Е
+ ^.- .» + и т. Д.
'
т. л.
Тогда
А Т^гая 1 • 2 • 2га г 3 • 4 ¦ 2%3 5 • G ¦
Пусть
__38* _15S_ 63g 255®
1 ¦ 2 • 2»га^ 3 - 4 • 2«л^ + 5 . 6 • 2«гав ~ 1~~^1ма + И Т" д-
. А , В . С , D
92П у-
в = 1-7=-2л1^
К гая V
так что
22"
К =
Но при 2п=зт будем иметь
2VT2V 2VT2V
В . С , D , Е
_^_ЛВ_ЛС_ АО _ _
2т4 тв т8~ mi0 ~~ И Т' Я" ~
В2 ВС
И Т. Д. +
2/п8 и»"
л»
+ит. д.-г
+ — +ИТ. Д.-
А1 А3В
320 гл. \i. о суммировании прогрессий с помощью рядов
Так как это выражение должно быть равным выражению
Ж 1583 , 63g 2552)
-1m3 3 • 4ш4 Г 5 • 6ms 7 • 8m»
Т" Дм
то получим
162
Отсюда
или
п
Е-
-
АС
- 4/)
. Так как ЭД
1
4 '
находим
(•+*
1
'га3
1
¦24п
+
29
2 '
i • 4 '
3
1 R2
ПС
г, ' '
1
96 ;
1
• Зга4
-
2» • ;-
, 63©
1 5-6'
-лзд
А'2С
и
8 - ™ ,
27
1 213 ¦ 5
{„4 -И3
t /1 '
Л f>1 j
т. д.
27
640 '
ni'l
121 ,
• ,5гев '
, 2555
7 • *
ИЗО
*,, 3) =
90 031
» ¦ З2 • 5
107
219 ¦ З
В
J '
1 .5 1023©
о '9-Ю
30 ' 66 '
90 031
2" ¦ З3 • о • 7 " Т*
489
или, если выполнить возведение в степень, будем иметь приближённо
W = -
Таким образом, средний член в разложении A -1 IJ" будет относиться
к сумме всех членов 2'",
как 1 к у ^
¦или, если для краткости положить 4w = v,
как 1 к /от A-7 + ??-??~ «Т*" 4V+ и
П р и м о р 1
Пусть ищется средний коэффициент в разложении бинома
Известно, что он равен
10 • 9 • 8 • 1 ¦ <"> ?Г9
ГЛ. М. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИИ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ 321
Применяя последнюю найденную для и формулу, будем иметь при?г = 5:
~ = 0,050 0000
-1- = 0,001250 0
Вычтем
Вычтем
t
128n3
о
16 • 128n4
о,
о,
=
051
,051
2500
625
187 5
39
Следовательно,
Его логарифм
/-+н т. д. = 1,051 183 6
отнимая от
откуда
= 0,021 678 4
Ьг = 0,698 9700
I к = 0,497 149 8
1,217 798 2
1 уГп- (! о-^ГТГдТ) = 0,608 899 1;
122П = 3,010290 9
1и = 2,401 4008,
П р и м е р 2
Пусть ищется отношение, в котором средний член разложения
сотой степени бинома 1 + 1 находится к сумме 2100 всех членов.
Воспользуемся для этого ранее найденной формулой
331
1558
1 ¦ 2 ¦ in 3 • 4 • 23л3 5 • 6 • 25п5
Т. Д.
Положим в ней 2п=т, так что будем иметь степень A + 1)гп, и под-
подставим вместо 9(, 33, E, "В и т. д. их значения. Получим
_ , __ 2»' J^
20m3 + 112m"r
Д#
Так как здесь логарифмы являются гиперболическими, то помножим
их на
& = 0,434 294481 903 251
21 JI. Эйлер
322 ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
так, чтобы они преобразовались в табличные; тогда
2т ft , ft к 17ft 31ft ,
1в = 1
k_ Jk
Lm "+¦ 9ifrj3
112m7
Так как средний коэффициент есть и, то искомое отношение будет
2т : и, так что
2'" _ , / 1
ft:
' 4m
17ft
31ft
Так как показатель т = 100, то
— = 0,004 342 944 8, —., = 0,000 000 434 3, --, = 0,000 000 00.
Поэтому будем иметь
Тогда
,—-0,001085 736 2
km '
-,4~ = 0,000 000 0181
0,001085 7181
1~ = 0,497 149872 6
\~т = 1,698970 004 3
1-1 тл= 2,196119 876 9
ft
km
1,
к
2km3 '
и т. д.
= 1,098 059 938 4
-0,001085 7181
1,099145 656 5 =
9И»
0100
Следовательно, будем иметь -— = 12,564 51 и, значит, в разложении
степени A-flI00 средний член будет относиться к сумме 21<м> всех
членов, как 1к 12,564 51.
163. Пусть теперь общий член z есть показательная функция ах,
так что суммировать нужно следующий геометрический ряд:
s = а + а2 -|- а3 + а4 + ... + ах.
Так как он является геометрическим, то его сумма заранее известна;
она равна s = — . Найдем теперь эту сумму по изложенному
здесь способу. Так как z = ax, то будем иметь jzd?=— ; действи-
действительно, дифференциал этого выражения есть ах dx; далее будем иметь
Ж = аХ1а> ё~а*AаУ> ? = о*Aв)*ит. д..
ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ 323
01куда следует, что
Для определения постоянного С положим я = 0; так как s=0, то будем
иметь
п 11 91 т , ^ п \з
С=-Га-^—Т7Т\а + Т7ГТТ1(\аУ- и т. д.,
так что получим
п, (а* -1) а -
1 ак как сумма есть — , то будем иметь
а 1 , 1 , 91 1 58 ., ., , 6
+ +1аП1а) +
где 1а есть гиперболический логарифм количества а; отсюда
(а+1Iо , . 9t(Ia)a % A а)* 6 (I а)8
2(а-1) "^ 1 • 2 1-2.3-4"^1-2...6 Д"'
и таким образом можно будет определить сумму этого ряда.
164. Пусть общий член есть z = sin arc и
s = sin a 4- sin 2a 4- sin 3a 4- • • • + sin ax.
Так как этот ряд является рекуррентным, то его также можно сум-
суммировать; мы будем иметь
sin a + sin ax — sin (ax + а) sin a + A — cos a) sin ax — gin a cos ax
S ~ 1 — 2cisa + l ~ 2~A - cos a) '
С другой стороны, будем иметь
\zdx= \ dx sin ax = cos ax
J J a
И
d^ <i3z . rf53
r = a cos аа;, -т—= — a* cosax, ,- = a" cos ax и т. д.
dx ' ax6 ахъ
Следовательно,
r, l . l . ,91 , S8a3co%ax ,
s — С cos ах-\--к sin ax + т—s a cos arc + —-—-—— +
, Ka5 cos ax , Фа7 c>soi .
+ гг2тт^:-б + 1.2.3...8 + и т- Д-
Положим x = 0, так что s = 0; тогда
Г — ! — — — 58я3 ga5
а 1-2 1 • 2 ¦ 3 • 4 ¦ 1 • 2 ...6 и т. д.,
следовательно,
1 ¦ . /л , ( 1 SI a 93a3 (Sa5 Л
s^sinaa+ll-cosas)^-- — -__._i 2 б-ит. д.j .
Но так как
1 . , A — cos аж) sin a
S = 75- Sin пХ -f ^—;г7Т ^ :— ,
2 ' 2 A — cos a)
-21*
324 ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИИ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
то получим
sin а _ 1 1 _ 1 <Иа ЗЗя3 (fa5
~ Т Cig ~2 п~ а ~~~ 1 То — ГТоТз'ТТ ~~ 1 2 Г ~ » т-
2(T-.M»srt) ~ Т Cig 2 п~ а 1 То ГТоТзТТ 1 • 2 ... Г,
Эгот же ряд мы получили уже выше (§ 127).
165. Пусть теперь z — cos ax и ряд, который нужно суммиро-
суммировать, есть
s .;= cos а -j- cos 2a + cos За + .. . -f cos a#.
Так как этот ряд является рекуррентным, то сумма его есть
COS a — 1 {- cos ax — cos (ах 1-я) 1.1 ,11
s = _____J L = _ _ + _ cos а* + 9_ ctg T a em ах.
Чтобы определить сумму по нашему методу, найдём
:= \ dxcas ax= - sin ax
а
и
dz . d»z . 2 , .
-,- = —asinaa:, -=— = a sin ax, ¦r-i==—a" sin ax и т. д.
si
Следовательно,
„ , 1 . .1 ЧЫ sin й1 S3«3sina.r
s = C + -rt- sin. ax-\ -9 cos ax 1—^ i ¦ ¦» ¦ з ¦ 4 ~ J1 т< д<
Пусть х = 0; тогда s = 0 и С— —.,-, так что будем иметь
1,1 , 1 91я sin ax 33a3 sin ат
s= — y+--> ^osax-\--a smax у-^ ^ .'о . 3 . 't и Т- д>
Так как
1,1 .1.1
.v = — v |- -,- cos ax -f- -o ctg -у a • sin ax,
то, как мы ужо нашли пише (§ 164), будем иметь
1 t 1 1 Sis 23a3 6a5
Tctg-2-a =--г->-тт^Т^-1.2-з...б~ и т- Д"
166. Выше (§ 92) мы нашли, что если а есть какая-либо дуга, то
= — + sin а + - - sin 2a -f- -„sin 3a — ,- sin 4a -J- и т. д.
Рассмотрим этот ряд и пусть z = — sin аж, так что
1 1 1 ¦
s = sina + -o sin 2a +-г,-sin 3a + . . . -j— sin ax.
И этом случае мы имеем
^in ax;
\ zdx= \
этот интеграл нельзя найти. Но мы будем иметь
dz a I d2; а2 . In . 2 .
— = — cos ox г sin ax, , .- = — — si n ах ccs ах 4- - .; sin ax,
dx х х~ ' dx' х хг х*
d*z a3 Зя- . , fia Г. .
-г-,--- cos ax -j- --,- sm a а; + —„ cos ax — . sin ax,
dx3 x x" ' x3 j1 '
d^z a1 . 'ia% 12a2 . 1\a 24 .
j—; = - sm ax J,—- cos ax — , sin ax r cos ax H—. sin ax.
ГЛ. VI. О СУММИРОВАНИИ ПРОГРЕССИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ 325
Таким образом, поскольку нельзя ни найти выражения интегральной
формулы [ zdx, ни выразить достаточно удобно этих дифференциалов,
мы не можем определить этим методом суммы данного ряда так, чтобы
отсюда можно было вывести какие-либо заключения. С таким же
неудобством мы встречаемся во многих других случаях, когда общий
член ряда не является достаточно простым для того, чтобы его диф-
дифференциалы можно было выразить удобным законом. Поэтому в сле-
следующей главе мы выведем другие общие выражения для сумм рядок,
у которым общие члены либо имеют слишком сложный вид, либо
вовсе не могут быть даны. Эти выражения можно будет иецользешач i>
с большим успехом. Несовершенство изложенного здесь метода стано-
становится особенно очевидным, если переменить знаки членов предложен-
предложенного ряда. Действительно, тогда, хотя бы общий член и был простым,
суммационный член этим методом не может быть удобно выражен.
ГЛАВА VII
ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ВЫШЕИЗЛОЖЕННОГО
МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ
167. Чтобы восполнить недостаток изложенного выше метода сумми-
суммирования, мы рассмотрим в этой главе такие ряды, общие члены которых
имеют более сложный вид. Так как вышонайденное выражение не может
представить истинную сумму геометрической прогрессии конечной фор-
формулой, хотя другими методами эту прогрессию можно легко суммировать,
то здесь мы прежде всего рассмотрим такие ряды, члены которых суть
произведения членов геометрического ряда на члены другого какого-либо
ряда. Итак, пусть предложен ряд
12 3 4 х
составленный из геометрического ряда р, р2, р3, р* и т. д. и какого-либо
другого а -\-Ь -+- с -f- d -f- и т. д., общий член которого, т. о. член, отвеча-
отвечающий индексу х, равен у, и найдём общее выражение для значения
суммы этого ряда s = S-ypx.
168. Будем следовать тому же способу, которым мы пользовались
выше, и пусть v есть член, предшествующий члену у в ряде а + b + с -\- d +
: и т. д. и А — член, предшествующий а, т. е. тот член, который отвечает
индексу 0. Тогда vpx~x будет общий член ряда
12 3 4 х
Если сумму этого ряда обозначить через S-vp*'1, то будем иметь
S • vp*'1 — —S-vpx = S ¦ урх — урх + А.
Но так как
di/ , d-ii d3u . d'y
у — it (_ — n -¦.' _ it x. Д .
" dx ' 2dx- fi^z-r' ' 9'x^i-4 " '
iо будем иметь
1 с d3y _ 1 „ dly t
6/7 dxi t ' 24/) rfx4 '
ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ 327
Отсюда
S-yP'-prXyP"l-Ap-S.%p' + S.»&p'- и т. д.).
Итак, если известны суммационные члены рядов, общие члены которых
суть ?¦ рх, -~- рх, -j-J3 Рх и т- Дч то из них можно найти суммационный
член S-ypx.
169. Отсюда можно найти суммы рядов, общие члены которых имеют
вид хпрх. Действительно, пусть у = х"; тогда А = О, если только п не
равно нулю; в последнем случае А = 1. Так как
1-2-3
ТО
^
и т. Д.
Если в эту формулу вместо п последовательно подставлять числа
О, 1, 2, 3 и т. д., то мы получим нижеприведённые суммирования;
в первом случае, когда л = 0, нужно положить A — i, в остальных же
случаях Л = 0:
Это есть известная сумма геометрической прогрессии.
ИЛИ
r p-
или
Далее,
Sx3px = -^ (ж3/?х+1 - 35 • ж2/?1 + 35 • хрх - S ¦ рх)
или
" /,-1 \Р-\У^ (Р-1У (P-IL
таким же образом, идя дальше, мы сможем определить суммы высших
степеней х*рх, х6рх, и т. д. Однако это можно удобнее сделать с помощью
общего выражения, которое мы сейчас установим.
170. Так как мы нашли, что
^Рх- и т. д.),
328 ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ
где А есть такое постоянное, что сумма становится равной нулю, если
положить х = 0 (ибо в этом случае у = А и ур**1 —-Ар), то мы можем
опустить это постоянное; только нужно всегда помнить, что к сумме
необходимо прибавлять такое постоянное, чтобы сумма исчезала при х = О
или чтобы она удовлетворяла какому-нибудь другому условию. Подступим
теперь z вместо у; будем иметь
S ¦ pxz — -—-.- — -—. S ¦ i-1-j- + -г~, гт S ¦ рх ,-„
г р—\ р — 1 d:c ' '1 (р — 1) ' dx1
1 d3z I dlz 1 dbz
Sx + sXT)s"Pxd& + и т-
r| g. dz d:z dsz
Далее будем последовательно полагать ,,-,., уг3 п т- Д- вместо у:
тогда будем иметь
с xdz р*'1 dz 1 pxd4 . 1 с p!'dsz
^ rft: р—1 dx р — 1 йж2 ' 2 (/> — 1) dxz
dx^ d 1 dx^ ту I dtr^ ^ (D W dcc^ * ?*<*
dx3 ~ p-1 ' dx* ~~ p — 1 ' dx* * 2 (p-i) dx5 И Т- Д"
И Т. Д.
Если теперь последовательно подставлять эти выражения, то S- pxz пред-
представится в следующем виде:
Р р — 1 р — I dx' р — 1 dx2 р — 1 dx3 /> — 1 dx4 /> — 1 dxb '
171. Для того чтобы определить значения букв я, $, у, 5, г и т. д.„
подставим вместо всех членов найденные для них ряды, а именно
= о • D 2 Н о • ~ о • 1— ~~~ о * — И Т Д
р — \ г 1 р — jl dx 2 (/> — 1) аха ' 6 (/> — 1) аа:*1
Р CES л Р ЛЗ 1 с Р &"% 1 с Р ^ ^ i
. i == ? i__ L. ^ . - — ^ * _ _!_ j^ 'i^ Д^
гР .ч А» = 1 • /^г + -—-. S ¦ р--г^- — и т. д.,
px^dH „ pxdsz
~ .vj ч = о • , ,, + И Т. Д.
о — l)dx3 dxJ ' м
Тогда мы будем иметь
S ¦ pxz = S ¦ pxz -f-
Л~2 J~A /.. 4\ Л~Я О/. С., i"\'-^ ' ,?„4 1 И Т. Д.
/>-1 dx 2(p-l) dx2 гЬ(р — 1) dx3 24 (/э-1) dx
а , а
¦— а
р— i ' 2 (р— 1) б (/> —
Ч -1. _J_ t»
iy
2 (P-1)
T ,
ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ 329
откуда получим следующие значения коэффициентов а, °, у, 2, а и т. д.:
и т. д.
172. Положим для краткости г = </; тогда будем иметь
Р — '¦
т. -q,
У ¦= fa -I- у a? + J 1 = 9s -r ?2 + 4 ?»
, , 5 . , 13 , , 'J , , 31 j . I
* "--= !'r^ + I 9 i" T » + iJGO 9 + 720 1
II Т. Д.
Это можно выразить ещё следующим образом:
а =
D
Р —
1
Ч
1 '
2q--
1-
673-
24 74
120;
720-,
Ь7
2 '
4- &72 + 7
1-2-3 '
Ь3б73 4- I'»-/2 -Ч
1-2-3-4
•4- 1800.75 + 1560g4 +
504077 + 15120</в-1 168007
1-i
и т.
1,»4. 7
5407»
5 4- 84
!-3-4-
- Д-,
LG272
ОО74 -
о -G- 7
г '/
1806G3 + 12б72 + '/
где какой-либо коэффициент, например 16 800, получается, если сумму
двух вышестоящих коэффициентов 1560+1800 помножить на показатель,
степени количества д, который здесь равен 5.
173. Восстановим снова вместо q выражение —-г . Тогда получим*
3= р + 1
__ р2 + 4р 4-1
^ 1-2-3- (/> — !)
330 ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ
.,_ р3+ 11/>2 +Up+ 1
°~ 1-2-3-4 (/>-1L '
р* — 2бр3 -)- 66/>2 + 26/J -(- 1
+ Ш1р2
Закон составления этих количеств таков: если какой-либо член пред-
представить в виде
n^An3-i-Bpn-i+Cpn-5 + Dpn~i + n т. д.,
1-2-3...(re-
ТО
Z) = 5n -1 - и • 4»-1 + ^-р^' З1»-1 -
п (п - I) (п - 2) Г)п_1 , ге(ге-1)(ге-_2)(ге-_3)
1-2-3 " ' 1-2-3-'»
Таким образом, отсюда можно продолжать вычисление коэффициен-
коэффициентов оц р, у, о и т. д., до какого угодно предела.
174. Если вглядеться в закон, которым связаны между собой эти
коэффициенты, то легко обнаруживается, что они составляют рекуррент-
рекуррентный ряд и получаются от разложения дроби
и и-
Действительно, оно даст некоторый ряд
Положим эту дробь равной V; так как
то будем иметь
и- ил м*
______ит. д.
где е есть число, гиперболический логарифм которого равен единице.
Если аначение V выразить рядом, расположенным по степеням коли-
количества и, то получим ряд
коэффициенты которого а, C, у и т. д. будут теми самыми, которые
«ам нужны в данной задаче. После того как они будут найдены, мы
ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ 331
получим выражение
с х Px+l Г adz . $d*z vd3z , 8 dlz
которое является суммационным членом ряда
•общий член которого равен pxz.
175. Так как мы нашли, что V = -——ц- , то мы будем иметь
ц
е — г
Логарифмируя, получим
и = 1 (pv — p~\-l) —
и, дифференцируя, будем иметь
вследствие этого
А так как
V= 1 -[- агг + Рм'2 + "!и* + ш1 + ?и° -- и т. д.,
то
pV1 = р + 2<хри + 2$ри2 + 2у/ж3 + 25^и4 -\-2гриъ + и т. д. +
+ а.*ри2 + 2эфри3-{-2гчри*-\-21.с>ри6+ и т. д. -}-
4- р>м4 + 2Ъчри5 + и т. д.
р~ 1) и3 +
+ и т. д.,
р —1)зм4 + 6(/?—1)См5+ и т. д.
Приравняв эти выражения друг другу, мы найдём:
6 (р- 1) С = е (р + 1) + 2x2/? +
7 (р- 1) т] =С (р + 1) + 2аар + 233^+ YV
и т. д.
Из этих формул, если за р принять некоторое данное число, зна-
значения коэффициентов а, р, у, о и т. д. можно определить легче, чем
из ранее найденного закона.
176. Прежде чем обратиться к рассмотрению частных значений р,
положим, что z = xn, так что требуется суммировать ряд
*+ ... +хпрх.
332 ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ
С помощью ранее найденного выражения мы получим
{ Р ГП Р п^Х , Р'+Р п{п-\) у.-2
I , с
I Р3 + *Р2 + Р »("-1)("-2) -л-з , и _ „ f
L &-Ту"~ ГТг Х ~г И Т- Д" J
где С есть постоянное количество, выбираемое так, чтобы s = О
при х = 0.
Подставляя вместо п последовательно числа 0, 1, 2, 3, 4 и т. д.г
будем иметь
„х f Р±
С „1 X
О • X р —
С . „2 Я _ ^Х ( _P_fl _ 2РЖ , Р (Р + 1) "\ Р(Р + 1)
10
_, 5(р3+ Up2 + Up + l)px*'x (p4 4- 2Gp3
5 х* пх — l JL'-> ур ~t" i^ р ж ^" >.р -г 4J -t-1; p *ж- г
15 (р3 4- Ир2 + Ир + l)pY+1x2 G(p4 + 2Gp3 + *'>Gp2-
1 + 302p* + 57p +1) (pT^1 - P) „ ^ ..
и т. д.
(p -1)'
177. Отсюда ясно, что каждый раз, как z будет целой рациональ-
рациональной функцией от х, можно будет найти сумму ряда, общий член
которого есть pxz, ибо, беря дифференциалы количества z, мы в конце
концов дойдём до исчезающих дифференциалов. Так, если предложен
ряд
рг + 6р3+ 104 + ... +~^ Рх,
то, поскольку
2 = ¦ и — = Т 4 И — 1
2 И dx Х + 2 И dx^"~ Ij
суммационный член будет
„_ Pr+1 (I % | 1 2ж + 1 , р + 1 \ р / р + 1 1 \
P-1U Т~2Х 2(р-1) ' 2(p-l)V P-1 Vl(p-l)* 2(р-1)У
или
ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ 333
Если же з но будет целой рациональной функцией, тогда выражение
суммащгонного члена станет бесконечным. Так, если z— —, так что
•суммировать нужно ряд
11 1
то, поскольку
dz _ Г d-z _ 2 d*z _ 2-Л dlz 2-3-4
мы получим суммационный члезг
1 , р + 1 , р2 4- 4р -L 1 ,
¦S " р -, 1 V х Г (/> - 1) х- г (р - IJ х3 + (р- IK г4^ г
p»+llpi!-J-llp4-l ,
+—(^1)ГЯ-в—+ «¦
Здесь постоянное С нельзя определить из случая х = 0; для опре-
определения этого постоянного положим поэтому х = 1; так как тогда
,S = jD, ТО
А 4 ?±1 j ?±
1 ч_ и т
178. Отсюда видно, что до тех пор, пока р не обозначает какого-
либо определённого числа, мы но получаем большой пользы для при-
приближённого суммирования рядов. Но сразу же ясно, что вместо d
нельзя написать i, ибо тогда все коэффициенты а, р, у> 8 и т. д.
стали бы бесконечно большими. А так как ряд, который мы сейчас
рассматриваем, при р=1 обращается в ряд, который мы уже рас-
рассмотрели выше, то удивительно, что этот как будто бы самый лёгкий
случай нельзя получить из здесь рассматриваемого. Далее, замеча-
замечательно также и то, что в случае р=1 суммирование требует вычисле-
вычисления интеграла Jzdx, тогда как в общем случае сумма получается без
всякого интегрирования. Таким образом, оказывается, что в то время,
как все коэффициенты а, |3, у и т. д. становятся бесконечными,
появляется это интегральное выражение. При этом случай р=\
является единственным, к которому нельзя применить найденное здесь
общее выражение. Впрочем, не следует думать, что в этом случае
общая формула даёт неверный результат, ибо, хотя все члены её
и становятся бесконечными, однако на самом деле все бесконечности
взаимно уничтожаются, и остаётся конечное количество, равное сумме
и совпадающее с тем, которое находится по первому методу, что будет
подробнее разъяснено ниже.
179. Пусть теперь />=••—1. Тогда в ряде, который подложит
суммированию, знаки чередуются:
1 2 ;; 4 ... х
— a + b — c-f-d— ... ± z,
где z положительно, если х есть чётное число, и отрицательно, если х
есть нечетное число. Итак, положим
— а + b — c + d— ... -\-z = s.
334 ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ
Тогда будем иметь
adz . $d*z vdsz , Sd*z
Sd*z \ „
__._ ит.д.)+С,
где верхний знак нужно брать, если х есть число чётное, и нижний —
если х есть число нечётное. Переменив знаки, получаем
• , ,, /, -г- -^ 1 / adz , $d-z yd'z
где выбор знака совершается по тому же закону.
180. В этом случае коэффициенты могут быть найдены из ранее-
полученных выражений, в которые всюду подставляется р = — 1.
Однако они легче находятся по формулам, данным выше в § 175,
из которых тотчас же усматривается, что эти коэффициенты, взятые
через один, исчезают. Действительно, если положить р=—1, то эти.
формулы принимают вид
— 2ос=1, — 4Р = О, — 6у = О-ос2, -83 = 0—2ар,
— 10г = 0 — 2aT — Р2, — 12Е = 0—2а5 —2ру и т. д.,
откуда находим, что так как fi = 0, то также и 8 = 0, далее.. С = 0^
6 = 0 и т. д. Остальные же буквы определяются следующим образом:
181. Чтобы эти вычисления можно было произвести удобнее, введём.'
новые буквенные обозначения; пусть
1-2-3-4-5-G '
E
1-2-3 ... 10
Тогда ранее найденная сумма будет
1 f , Adz BdH Cdbz
Z + \-2dx ~"l.2.3-4da" +1-2...6dx5 ~ И Т-
Коэффициенты же определятся из следующих формул:
-i2-liAF I 12-11-10'9 pn , 12-11-Ю9-8-7
- -ТГ Atj + 1.2-3-4 ^^ + -ТгТзТ^У"
и т. д.,
ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ 335
которые можно представить в более лёгком и удобном для вычисле-
вычисления виде следующим образом:
В — "> —
U - 2 '
С = ЗАВ,
Е = ЪАТ> + 5 ¦ -^ ЯС,
и т. д.
Выполнив эти вычисления, найдём
А = 1,
В=1,
?=155 =5- 31,
F = 2073 == 691 • И,
С = 38 227 = 7 • 5461 = 7 -^^
Я = 929 569 =3617-257,
/ = 28 820619 = 43 867 -9-73
и т. д.
182. Если внимательно рассмотреть эти числа, то наличие в них
множителей 691, 3617, 43 867 легко позволит сделать заключение, что
эти числа имеют связь с вышенайденными бернуллиевыми числами
и могут быть из них определены. Тому, кто будет искать это соот-
соотношение, тотчас же станет ясно, что эти числа можно образовать-
из бернуллиевых чисел Ж, S3, 6, ©, E и т. д. следующим образом:
А
В
С
D
Е
с
Н
= 2-
= 2 •
= 2-
= 2 •
= \
= 2-
= 2
1 •
3 •
7
• IE
31
¦ за
• 533
•95
)• 17<
127 • i:
35 • 2
и
= 2
= 2
2
5) =2
г =2
Й® = 2
57? = 2
т. д.
B2
B*
B.
B.
B10
\^
B1*
B1в
— 1) 31,
-1K3,
-1N,
-1K),
-1)®,
-1)©,
— 1)^
Так как бернуллиевы числа являются дробными, а наши коэффи-
коэффициенты— целые, то ясно, что эти множители всегда уничтожают дроби;.
336 ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ
итак, мы будем иметь
В--Л,
Е = Ъ- 31 = 153,
F = 3 • 691 = 2073,
G = 7 -43 • 127=38 227,
// = 257 • 3617 = 929 569,
/ - 9 • 73 • 43 867 = 28 820 619,
К = Ъ- 31 • 41 • 174611 = 1 109 652 905,
? = 89 ¦ 683-854 513 = 51943281731,
М = 3 ¦ 4097 • 236 364 091 = 2 905 151 042 481,
^=--=2731 • 8191 -8 553103 = 191329672 483963
и т. д.
Обратно, из этих целых чисел можно найти бернуллиевы числа.
183. Итак, если бернуллиевы числа использовать для предложен-
предложенного ряда
12 3 4 5 х
а — Ь + с — d + e—.. . Тг,
то его сумма будет
A , B2 g
Легко усмотреть, что эти числа не случайно входят в это выражение.
Действительно, поскольку предложенный ряд получается, если из ряда
где все члены имеют знак -)-, отнять дважды взятую сумму членов,
стоящих на чётных местах, 6 + ^ + /+ и т- Д-, постольку и найден-
найденное выражение может быть разложено на две части, из которых одна
есть сумма всех членов, взятых со знакои + ; она будет равна
Zdx
сумма же членов, стоящих на чётных местах, находится тем же
способом, которым мы пользовались выше. В самом деле, так как
последний член z отвечает индексу х, то предпоследний, отвечающий
индексу х — 2, будет
2 dz 2-d2z 243z
Z +
Z ~~ dx + 1-2 dx- ~ UY-Td^ ' 1-2-3-4 di«"~ И Т" Д"
Эта формула получается! из той, которой ранее выражался предпослед-
ний член, если вместо х написать -- . Таким образом, сумма членов,
стоящих на нечётных местах, получится, если в сумме всех членов
ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ 337
заменить повсюду х через у . Следовательно, она равна
1С , , 1 . 1%dz 2358d3z , 25gd5z
2" ) zdx+ 2 Z + i~2di~l • 2 ¦ 3 • 4^3 + 1 • 2 ... 6dz*""~H T" Д-
Если удвоить эту сумму п вычесть из предыдущей суммы, или если,
в случае, когда х есть чётное число, предыдущую сумму вычесть из
удвоенной этой суммы, то остаток даст сумму ряда
12 3 4 5 х
а — Ь-\- с — d-\-e— .. .Т- z,
которая, следовательно, будет равна
Это выражение совпадает с только что найденным.
184. Возьмём в качестве z степень хп количества х и найдём сумму
ряда
1_2П + ;;" — 4-...т хп.
Так как
dz га n_t d3z га (га— \){п — 2; „ _3
х • dx 1 а • 2. ' octcc I • 2. * о
то, пользуясь коэффициентами Л, В. С, D, найдём, что искомая сумма
есть
г д а п , \
В п (га — 1) (га — 2) „_3 , С п (п — 1) (п — 2» (п — 3) ;га — 4) „ ,6 (
1 '-' 1 (» —1) . . . (ге —6) - ,
( — — —-г—.,¦—-^- ж"-' + и т. д. L-ccnst. j
гд>> верхний знак берётся, если х есть чётное число, нижний же —
если х есть число нечётное. Постоянное же нужно определить так,
чтобы cjMMa исчезала при х = 0 (в этом случае берётся верхний знак).
Подставляя вместо п последовательно числа 0, 1, 2, 3 п т. д., найдём
следующие суммирования
_^_ 1 . 1
Таким образом, если число членов четно, то сумма будет равна 0: если
же оно нечётно, то сумма будет равна 1.
ц ¦[ 2 + 3 — 4 + Т # = -F -
Таким образом, если число членов четно, то сумма будет равна —- г,,
1,1
при нечетном же числе членов она равна —х-\--^.
J1I. 1 - -1'-\-,у — 4' + ... -~ х' = ^ -^ (х~ тI).
Таким образом, для чётного числа членов сумма равна — , х~ — - х,
22 Л. Эйле[>
338 ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШИЕ РАЗВИТИИ МЕТОДА О Л1МПН >\>, \ ИНН
1 , , 1
для нечетного же она равна - х- I- _} х.
IV. 1-23 ,-3»-V :- ...Ti-J=^ I (:r:i+ ^ .г1- J)-~-
Таким образом, для чётного числа членов сумма равна 7)-х3—г ?\
для нечётного же равна — х3 • ~х' —
V. 1 - 2* + -У - '** - • • ¦ =F ** = * 2 (>л : ^'а - -О-
Таким образом' для чётного числа сумма равна - ., х1 ¦-- х"-{- , х, для
1 . , з 1
нечетного равна --х -\-х — . х и т. д.
185; Мы видим, что для чётных степеней постоянное слагаемое
исчезает, и в этих случаях сумма чётного числа членов отличается
от суммы нечётного числа лишь знаком. Если же л будет бесконечным
числом, то так как оно не является пи чётным, ни нечётным, :>то
различение должно терять силу, и следовательно, в сумме нужно будет
отбросить члены, имеющие двойной знак. Отсюда следует, что сумма
таких рядов, если их продолжить до бесконечности, выражается одним
только постоянным количеством, подлежащим прибавлению.
Поэтому будем иметь
1 - - 1 -|- 1 — I f п т- Д- Д() бесконечности = ., .
1 — 2 +3 - 4 + и т. д =',|- = +--" ., 1>'Н,
1 —24- 3~~ 44- н т. д =.- (I,
l_2' + 3«-4'-i- и т. д =-Ч=..^ ^"*,
1— 2*-{-:,* — 44-г " т. д --о,
1 _ 2е + 3е — А' г и т. д ==(),
1 — 24-З7 — 44- и т. д — — |(; — " s
и т. д.
Эти же суммы находятся с помощью изложенного пьмпе (§ 8) метода
суммирования рядов с чередующимися знаками т- и
186. Если вместо п мы будем брать отрицательные числа, то выраже-
выражение суммы станет бесконечным. Пусть и=--1: тогда будем им< ть
сумму ряда
"~ 2"" Т ~'г ТГ ~ "il "г ¦ • • + ~i "
__ 1 /¦ 1 Л , й с /; Л , ,
Так как в этом случае постоянную нельзя определить из случая
ж--—0, она должна быть найдена из другого случая. Положим х=\.
ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ 339
Так как тогда сумма раина 1 и знак берётся нижним, то будем иметь
, i/^i л , в с
I'OriSt. = 1 — -( — -\- ¦,-¦ : -г И Т. Д.
пли
! ! />' Г I)
••<Ш81.= _, -г , -„ -ri2-U;+ » Т. Д.
Можно также положить л: —2; так как сумма теперь равна — и знак
нужно взять нижний, то будем иметь
или
:i Л В С
const. = ;—,—:- + -—-4— -- ,A. + " т. Д-
Если же положить х—\. то будем иметь
17 Л , В С I)
COHSt. = ,-¦•/ ¦;., -f- -, -. ,"¦," г,- 1' i.- ~ г* " '• Д-
Как бы мы ни определяли постоянное, всегда получится одно и то же
значение, которое вместе с тем даст сумму ряда, продолженного до
бесконечности.
187. С помощью .)тих новых чисел А, В, С, Г), Е и т. д. можно
также удобно суммировать ряды обратных чётных степеней, в которые
входят только нечётные числа. Действительно, если положить
1,11 1 1.
то будем иметь
1 ' 4- -1 Л- — '"'
Если этот ряд отнять от предыдущего, то и остатке получим
А так как значения s для отдельных чисел а мы нашли уже выше
(§ 125), то будем иметь
В тЛ
14-
^ ~х~~
-1 1
1
1
1
1
i
56
1
о8
1
1 " — J
1
1
+ " т. д. — ^ .-.,"'.':?"Т~Т, 4 .
, J) -к"
'• ''' 1 . 2 S 'i '
.1,1,1 К п^
1 г ;jh "Г 5ib-r^-|- " т. Д. — i : ^T:t... юЧ
и т. д.
Если же будут входить все числа, но знаки будут чередоваться, то, так как
1,1 1 , (O2H_1)s...s
¦71*
340 ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ
мы будем иметь
1_J_J_JL_J_-I._HT . -dn?? "8„B-
2з "Г За 42 "Г ГJ • Д- — г . 2 -?- — х .
JL_ и т д -¦ В^ -
51 1 2 3 4 4 '
24 ~ З4 44 ^ 51 1 • 2 • 3 • 4 4 ' i • 2 • 3 • 4 " '
_ JLJLHT т
2s Т 3' 48 "Г Г)е д' ~ 1 • 2 ... 6 4 " 1 • 2 ... 5 • б
1,1 1,1 C-2S .' B'
2ю^з10 410 ~ 510 д* 1 - 2 ... 10 10 1 - 2 ... 10
И Т. Д.
188. Так же как до сих пор мы рассматривали ряды, члены кото-
которых суть произведения членов геометрической прогрессии р, р2, р", р*
и т.?д. на члены какого-нибудь ряда а, Ь, с, d и т. д.. можем мы рас-
рассматривать и ряд, члены которого суть произведения членов каких-либо
двух рядов, из которых один можно считать как бы известным. Пусть
известный ряд есть
12 3 х
Л + В-> C+...+Z,
а другой, неизвестный, есть
a -f- Ь + с + .. ( + z,
и пусть ищется сумма ряда
Aa-{-Bb + Cc+ ...+Zz.
Положим гё равной Z?. Пусть предпоследний член известного ряда
равен У; тогда, если положи!ь х -- 1 вместо х, выражение суммы
.S • Zz перейдёт 1з
" Ы^+ 24Й.С4 И Т- Я' J •
Так как это выражение представляет сумму ряда Zs 6<:i последнего
его члена Zz, то будем иметь
„ „ v Г* , Yd'-.i Yd*s .
Zs — Lz -- Уs , i - т,-г-, -, -• -f и т. д.
dr. 2<lxJ i-dz6
Это уравнение содержит в себе соотношение, которым сумма Zs ставится
в зависимость от У, Z и г.
189. Для того чтобы решить это уравнение, пренебрегаем сначала
членами, содержащими дифференциалы. Тогда будем иметь s = 7_Y ¦
Обозначим это значение ^ТГу чсР°а ^*Г; тогда истинное значение s =
= Pljrp\ подставив это значение в уравнение, получим
.„ „. YdP1 Yd2?1 Ydp Yd*p
BУ)р+_ и т. д. --d-±+^- и т. д.
dp1 d8?1
Нрибапим с обеих сторон У/*1; так как Р1 g—^~ ~2d~j?— И Т" ^' есть
то значение количества Р1, которое получается, если вместо х подста-
ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ 34J
вить х — i, то положим это значение равным Р. Тогда будем иметь
Пренебрегая здесь дифференциалами, будем иметь
YjP-P1)
У (Р — Р^)
Положим - г/—у— = Q1 и пусть p = Qljrq\ тогда получим
Обозначив через Q значение количества Q1. которое оно примет, если
вместо х написать х—1, будем иметь
и т. д.
Пренебрегая здесь дифференциалами, получим
Y(Q~Ql)
q Z'-Y '
Положим —~=—у— — R1 и пусть истинное значение q = R1 -f- r; подобным
же образом найдём
_ Г (Я-Л1)
Т— Z-Y~ •
Продолжая поступать так же, найдём искомую сумму
Zs = Z {Pi + ф + Л1 + и т. д.).
190. Итак, если предложен какой-либо ряд
Аа+ВЬ+Сс+ .. . +Yy+Zz,
то его сумму можно определить следующим образом:
если подставить х — \ вместо л
пусть Р1 перейдёт в Р,
пусть Q1 перейдёт в Q,
пусть R1 перейдёт в R,
положим
Zt,
У(Р — Р1)
Z — Y
YiQ-Q1)
YiR-R1)
= (?!
пусть S1 перейдёт в S
—у У— = S
и т. д.
После того как эти значения найдены, сумма ряда будет равна
ZPt + ZQl + Ztf1 + ZSi + и т. д.
-f постоянное, которое должно обратить сумму в нуль, если положить
ж=0, или, что то же, которое обеспечиЕало бы, чтобы удовлетворялось
какое-либо условие.
Л42 гл. vii. дальнейшее разшгпп: метода оммпронашш
191. Эта формула, которая не «-одержит никаких дифференциалов,
в очень многих случаях легко применяется и часто даёт истинную
сумм)'. Так, пусть предложен ряд
одесь Z =. //" и z = x'*; мы будем им«-ть У =//' ', .-, = —'' и .. -
Л, — / р — | /, — 1
==--- ,. Отсюда получим
/>- 1
т-Я _ /": /, />.г---'/>.<¦-/,
!>-'¦' Р - !
сп = '¦ -рт + р о=~2р''+ :!/>.
0>-1)- ч (/'-U3
Т)\ - / 1> -'
(/' — 1 )'¦ ' {/' ~ ')''
Все остальные исчезают; таким образом, сумма будет jianna
„х f '"!! _ -рх-~ г -¦" Л _ >' -/> —
f V/'-i </'-5)г (p-ijv (p-iI (/--if
~' V/' 1 (/'-!)-(/'-1)V "(/»-lK'
как выше (§ 176) уже было нами naii;ieiio.
192. Таким же способом, которым мы пришли к этому выражению
суммы, мы можем найти другое выражение, если предложенный ряд
не составлен из двух других. Это выражение можно будет употреблять
преимущественно в тех случаях, когда в предыдущем выражении полу-
получаются исчезающие знаменатели. Итак, пусть предложен ряд
1 2 :: \ ...ос
>¦ а -\- b -\- г + <1 \ ... \-z;
так как, если положить г - ! вместо х, сумма лишается своего послед-
последнего числа, то будем иметь
+ +Т
или
,h d--
Так как в .itv сумму .< не пходит. то препебрс-Гс'К'м ны'-пшмп диффс-ргн-
циалами и получаем .s- = J z a ?: иоло;ким $ zdx= Pl и пу«- гь Р1 перехо-
переходит в Р. если вместо .г нашьать г - 1.
Пусть истинная сумма s = Р1 р. Тогда будем им'-ть
'И'1 ''-?'] , ... , ''/' d'P ,
Z ~dx ~~-У1.,-~Г " K "'" "'" ds ~~ 'Zd r"- ' " '' ;L
Так ьак
/->= />i — ----- и т. Д.,
их Id r-
ТО
- /)I , )i _ dJ[ _ <lii' J_ „ T :,
d с 111 у '
Г.!. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ ::4.'i
откуда
^z- P}- P)dx.
Положим. далее. / (z - Р1 -\-Р) Aх — Q1, 11 пусть :>то значение переходит
в Q, когда .г 1 подставляется вместо т. Пусть
\(z />' ; Р О'-f О) A'х- 7?1 -B1-
i lyci'b. да. гее.
и т. д. 1]с];омая сумма оудет
s=-P] ;.(Я + 7?] ; Лч+ I' т. Д- + const..
причём постоянное должно удовлетворять какому-нибудь условию.
103. Несколько изменив обозначения, мы представим это суммиро-
суммирование I! следующем виде. Если предложен подлежащий суммированию
ряд
1 2 I] 4 х
s = a ]-b \-c + d-\ . . . + z.
положим если подставить х—1 вместо х,
\ z d:r -. Р пусть Р перейдёт в р,
Р — \ (P — /j)ds~Q пусть Q перейдёт в q,
Q — q)dx~R пусть R перейдёт в г.
После того как ;>тн значения найдены, сумма ряда будет равна
и т. д.
Это выражение легко даст сумму, если можно будет выразить укапан-
укапанные выше интегралы. Чтобы пояснить применение отоп формулы,
возьмём для примера z == ж'"' , х. г|'огда
Р = - :г"-\- t х . />= г: X — ., .Г'+-(.. Р—р — Х-~-г
(Р — /;) г/х =, ^ xs — -- х; Q =-- 2 х- Н^ -г х,
<} — .,- х~— х-1--- , (J—q х—,,-
\ «? -
= -9 х ¦—
244 ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУхММИРОВАНИЯ
? = 0 и остальные значения исчезают. Поэтому искомая сумма будет
у х* + ^х + \
+
г | а; = -*- ж {х + 1)
-f 2).
Таким же образом с помощью последовательных интегрирований можно
найти суммы всех рядов, общие члены которых суть целые рациональ-
рациональные функции от х. Отсюда легко усмотреть, как широко простирается
учение о рядах, и многих томов было бы недостаточно для того,
чтобы охватить все методы, как уже имеющиеся, так и те, которые
можно ещё придумать.
194. До сих пор мы искали сумму, начиная с первого члена
и кончая тем, индекс которого есть х. Если такая сумма известна,
то, положив х—со, можно узнать сумму ряда, продолженного до беско-
бесконечности. Часто, однако, предпочтительно искать не сумму членов
от первого до члена с индексом х, а сумму всех членов от члена,
индекс которого есть х, до бесконечности. В этом случае мы получаем
более удобные окончательные выражения. Итак, пусть предложен ряд,
общий член которого, т. е. член, отвечающий индексу х, равен z;
пусть следующий член, отвечающий индексу х -\-1, равен z1; следующие
же за ним пусть будут zn, zul и т. д., и пусть ищется сумма сле-
следующего бесконечного ряда
х х-\-1 х + 2 х+3 и т. д.
s = z-\-zi + z11 гZ'11-\- и т- Д. до бесконечности.
Таким образом, сумма s будет функцией от х; если в ней положить
х +1 вместо х, получится первоначальная сумма без первого члена z.
Но так как при этой замене s переходит в
ds , d2s
s г<?-гщ1;- п ¦'• я-
то мы будем иметь
, ds d2s
dx Hdx*
dis
ИЛИ
ds
dss
195. Рассуждая, как раньше, найдём, пренебрегая высшими диф-
дифференциалами, что 6=С— \zdx. Положим V zdx = P и пусть истинное
значение s — C — Р-\-р\ тогда
dP
d3P
dp
d3p
ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ 345
Пусть Р переходит в Р1, если вместо х положить х—1. Тогда
г>т I dp , d2p d3n
р1 + + + ? + и т д
Отсюда, пренебрегая высшими дифференциалами, получаем
р= J (Pi-P)dx-P.
Положим
\ (Pi—P)dx-P--^ —Q
а пусть p——Q + q\ тогда
т dQ diQ i dl! i di'l i
Пусть <2 переходят в Q1, если вместо х положить ж+1. Тогда
О = г + Р-/"-^-^+? + ^ + и т. д.,
откуда следует, что q=\ (Ql — Q) dx — Q. Поэтому, если цифра 1,
поставленная при каждом количестве сверху, будет обозначать то
значение, которое это количество принимает, когда вместо х мы пола-
полагаем x-j-i, и если положить
11 т. д.,
то предложенный ряд z 4- z1 + z11 -j- znl -f-zIV -j- и т. д. будет иметь
сумму, равную С —Р — Q —R — S — и т. д., где постоянное С нужно
определить таким образом, чтобы при х—оз вся сумма исчезала. Так
как приложение этого выражения требует выполнения интегрирований,
то в данном месте мы не можем разъяснять, как пользоваться этим
выражением.
196. Чтобы избежать интегральных формул, положим сумму ряда
равной ys, где у есть некоторая известная функция от х. Тогда
будут известны значения у1, у11 и т. д., которые эта функция прини-
принимает, если вместо х полагать х4-1, х + 2 и т. д. Если положить х 4-1
вместо х, получим прежний ряд без первого члена; сумма этого ряда,
следовательно, будет
. ds , d*s . d3s .
+ + + +и т
или
Пренебрегая здесь дифференциалами, получим s= ^ Положим
У У
?,4B I'-'I. VII. ДЛДЫТЕПШКЕ Р\.Ч1!П!ПК Л1КТОДЛ СУМ МПРОНЛШШ
--"— — Р, и пусть истинное значение s =—Р-\-[>. Тогда
у - >¦>
: - -I- ' -;- —- • II т ;r
так что
Положим O^:1^—-^-1- . и пусть /, = () + (/; тоглл
Положим Л = ^=^-) и пусть 7=-
?/ - ?/
Если мы будом Л.ТТ1Г далыио таким же образом, то сумма пред-
предложенного ряда z-t-zljrzu ;-гИ1 + 21Ути т. д. найдётся следующим
образом. Взяв произвольно функцию от т, которая пусть равна у,
положим
р = - " = -:-
I/ - - I/ -*.''
.'/ — V ¦'
и т. д.
Тогда искома!; сумма будет равна
С— Py-'i Q'J — R>/-• $у—11 т- Д->
.где- за С нужно принят!, такое постоянное количество, пуп kotojiom
сумма исчезает, если полои;пть .г со.
197. !>озьмё.м у— п*, так как ?/' — с/'41 ',то будем иметь у1 -у — с/Л' (с; !),
<)i куда
.1
, __
1 •- i rt1 (Г2 - II
И Т. Д.
Г. [. VII. ДА. I
КШПГЛО РЛ.ЧШГГПК МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ 347
Поэтому сумма предложенного ряда будет
С —
а— У (а - [)-
¦¦±п:.
(« •-
(а — 1 L
— и т. д.
Такор игр ьырая.'спис суммы mi.i нашли у;кс ш.нис. i; uppBoii главе.
Если данать ь'оличсстиу у другие значения, можно получить бесчис-
бесчисленные другие выражения, ил которых можно выбирать такие, кото-
которые наилучшим обраном подходят к тому пли иному случаю.
ГЛАВА VIЛ
О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К ОБРАЗОВАНИЮ РЯДОВ
198. Мы расскажем ещё об одном применении дифференциального
исчисления к учению о рядах, а именно, о применении его к самому
образованию рядов. Мы ужо упоминали об этом, когда речь шла
о разложении в ряд дроби, знаменатель которой есть степень какой-
либо функции. Этот метод сходен с тем, который мы уже применяли
несколько раз, когда полагали функцию, разлагаемую в ряд, равной
некоторому ряду, имеющему при отдельных членах неопределённые
коэффициенты, которые затем должны быть определены из устанавли-
устанавливаемых равенств. Этот способ определения коэффициентов часто
облегчается удивительным образом, если, прежде чем его применить,
мы продифференцируем уравнение, введя первые, а иной раз и вторые
дифференциалы. Так как этот метод имеет очень широкое применение
в интегральном исчислении, то мы его изложим здесь обстоятельно.
199. Прежде всего повторим вкратце то, что ранее было сказано
о разложении дробей в ряды без помощи дифференциального исчи-
исчисления. Пусть предложена какая-нибудь дробь
n т. д. _
3 -\- Sit4 4- и ТД '
a -j- t)Z + ^Z2 + их3 -\- Sit4 4- и Т.Д.
которую нужно представить в виде ряда, расположенного по сте-
степеням х. Представим себе, что s выражается неопределённым рядом
з = 'И + Ш+&х2 + (?)х3 + ®х*+%х> + п т. д.
Так как, если с помощью умножения освободиться от дроби, мы
будем иметь
С2 + ZK + ?4 + F6 + Gz'+ и т. д. =
+ ?JX3 + eXi + ^X*-l-qx<' + ll Т. Д.),
то, подставив вместо s предполагаемый ряд, получим уравнение:
А + Вх + Сх* + Dx3 + Ex* +Fxb +и т. д.
+ и т. д.
+и т. д.
+и т. д.
Ш -\-Ш + E3 +и т. д.
->г%е +Я3з +и т. д.
+ 9Г, +и т. д.
ГЛ. VIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗОВ. РЯДОВ 349
Приравняв друг другу отдельные члены, содержащие одну и ту же
степень х, получим
@а + фр + ?у 4- 238 + %щ — Е = О
и т. д.
Из этих уравнений определяются предположительно взятые коэффи-
коэффициенты, и таким образом находим бесконечный ряд
914- 23z 4- Кгг + ®zs4- ©а:4 + и т. д.,
равный предложенной дроби .9. Этим способом, если как числитель,
так и знаменатель имеют конечное число членов, можно получить
все рекуррентные ряды, о которых мы подробно говорили выше1).
200. Если же либо числитель, либо знаменатель, либо и тот и
другой возводятся в какую-либо степень, то тогда этим способом ряд
получить трудно, так как работа становится чрезвычайно утоми-
утомительной, если только возводимая в степень функция не является
биномом. С помощью же дифференциального исчисления этой работы
можно избежать. Пусть сперва мы имеем один только числитель
и пусть
требуется найти ряд, расположенный по степеням х, равный этой
степени трёхчлена; заранее, конечно, известно, что ряд будет конеч-
конечным, если показатель -п будет целым положительным числом. Пред-
Представим себе снова, что s выражается неопределённым рядом
Х2-\-%Х3 + ®Х*+ И Т. Д.
Заранее известно, что первый член 31 этого ряда равен Ап, дейст-
действительно, если положить х = 0, то из предложенной первоначальной
формулы находим, что ,« = ЛП, а из предположительно взятого ряда s = 9l.
Такой способ определения первого члена необходим по самой сути
дола, если мы желаем перейти к дифференциалам, ибо, как сейчас
станет ясным, из них первый член не определяется.
201. Так как .9 = (А-\- Вх-{- Сх")", то, логарифмируя, будем иметь
Отсюда, дифференцируя, получим
ds nB dx^inCxdx ., „ ^ ds
Т^-А + В^-С*- или (A.\/}x+Cx')
А из предположительно взятого ряда мы имеем
J = S3 4- 2©z 4- ЗФаг 4 4gxs + Щх< ,- и т. д.
1) «Введение¦>, ч. 1, гл. IX и XII.
350 ГЛ. VIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФКР. ПС'ШС. I. К ОБРАЗОВ. РЯДОВ
Ьсли вместо , подставить итог ряд, а вместо s подставить предполо-
предположительно взятый ряд, получится следующее уравнение:
-,- l№+ 2/М + ;Ш1:-:- '.УУ(?
11
и
II
и
и
т.
т.
т.
т.
т.
д.
д.
д.
Д.
д.
Приравнивая друг другу члены, имеющие одинаковые степени коли-
количества х, будем иметь
Ь - — j— ,
,f _ (л - 1) В$Б - 2п( \Ч
271 " '
_ (л-2^ве-гBл \)<:-$
g= (» Ji^BX г B„ - 2)Ct?
^ _ (л-4)Ве -!-Bл .-;{) ГТ
II Т. Д.
Поскольку, как мы видели, %=Ап, будем иметь Ч-У = пА" '/У. и отсюда
последовательно определятся все остальные коэффициенты. II;? этих
формул очень легко виден закон, которому подчинены эти коэффи-
коэффициенты; он оставался бы очень тёмным, если бы мы пожелали непо-
непосредственно возводить трёхчлен в степень.
202. Тот же метод пригоден и в том случае, если требуется воз-
возвести какой угодно многочлен в какую угодно степень. Мусы.
.v = (.4 + Вт, + С х- + Dx3 + /п-4 -| и т. д.)":
допустим, что
s = % -f "tSx + fo'J -f- r^>x'1 •+- Q.iA -f- л т. д.
Тогда % = Ап; это значение мы получаем, полоукнв х = 0. Как мы
делали это прежде, будем логарифмировать и затем дифференцировать»
Тогда мы найдём
ds _ nBdx-i-2nCxdx-r:iiiDx2dx-' 'mExUlx ,- ir т. д.
s ЛГ— lix Tc'x1 -J- (>7гя т-1-Тг*~ и -i~~X
или
(Л + Лж р Сж2 •(- Dx3 + Ь'ж4 -{- и т. д.) •-,*- =
= s (га!У -\-2nCx -\-'Лп.От~ \ \пЕх3-i- и т. д.).
Так как
~ Ие./г-г- и т. д.,
ГЛ. МП. О ПРИМЕНЕНИИ ДПФФКР. ПСЧИСЛ. К OHPA.-jOli. РПДОП 351
ds ,
то, подставляя :лп ряды в мост и ,s и .--, иудом иметь
ЛЯЗ ; 2
;А%х* + и т. д.
2/iii-f ЗЛЕ- 45® ч и т. д.
t\H+ 2C'(E-f ЗСФ ii т. д.
-:- IJ4& -~ 2/Ж + и т. д.
+ ЕЧв -I- и т. д.
2пС18+ 2tiCl
и т. д.
и т. д.
+ и т. д.
и т. д.
5FU+ и т. д.
Отсюда для определения коэффициентов получаем следующие (формулы:
злх =--¦(« ) + ( ) +
г*ш ^ (/( ;;) уух + B«. 2) ел -ь (Зи - -1)
Г). 15 = (п - 4) 7ig 7 B// — :;} СТ + (Згг - 2) ( ) +
" т. д.
Отсюда становится' совершенно очевкдны.м, Kai> ci!:i.<aiu.i между codoii
нредиоло/кнтолыю взятые коэффициенты 41, 33, &. Ф и ь-а); их опре-
определить, исходя из равенства 21= Л".
'20!?. Если количество Л-\ Вх + Сх~ - - Dx3-\- и т. д. плк-ст кон(>чное
число членов, а и есть целое положительное число, то любая степень
также должна иметь конечное число членов. Ясно, что в :>том случае
только что найденные выражения должны в конце концов исчезать,
а так как все члены должны быть налицо '), то, как только один впер-
впервые исчезнет, должны исчезать и все следующие. Положим, что
предложенное выражение есть трёхчлен Л -\- Вх-\- Сх'1 и ищется его куб.
так что п = 3. Тогда будем иметь
91 = Л3,
так
чти % =
2Л(? = 2SS3
•Ш) = iBii
Ч8 = :'> А-И,
(? = 'SAIV + ЗЛ
D = В* + ЬА/ЗС
@ = звн: -J- :!л
= С3,
З , 3 = 0.
Так как уже два коэффициента равны нулю, а каждый следующий
зависит от двух предшествуюгцих, то. очевидно, все след\ ющио равным
1) Эйлер, очевидно, хочет сказать, что в общей формуле разложении ни один
из коэффициентов ниаких степеней не может тождественно ранннтьои нулю.
352 ГЛ. VIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗОВ. РЯДОВ
образом должны исчезать. Поэтому тем более замечательным является
найденный нами закон, которым связаны друг с другом эти коэффи-
коэффициенты.
204. Если п будет отрицательным числом, так что s будет равно
дроби, то ряд станет бесконечным. Пусть
S = (а-1-gx + yi2 + их3 + ег4 + и тГдГ)" '
предположим, что его значение выражается рядом
и т. д.
Если в предыдущих формулах положить А = а, Z?=j3, ? = Y и т. д.
и вместе с тем п сделать отрицательным, то получим следующие
формулы для определения коэффициентов %, 93, Е, 2) и т. д.:
2а© + (л + 1) рй + 2ni% = 0,
За® + (/г + 2) р(? + B/г + 1) уЗЗ + 3nS9l = 0,
44® + (п + 3) р® + Bга + 2) ye + (Зп + 1) о» + 4ns?[ = 0,
¦ (л + 4) p(S + Bп + 3) 7® + (Зп + 2) о© + D/г + 1) s23 + 5п;Я = 0
и т. д.
Эти формулы дают тот же закон зависимости между коэффициентами,
который мы подметили уже прежде во «Введении»1 и справедливость
которого теперь, наконец, можно Оьтло доказать строго.
205. Так обстоит дело, если числитель дроби есть единица или
даже какая-либо степень количества х, скажем, хт; в самом деле.
в последнем случае достаточно будет помножить найденный для
первого случая ряд 91 + SQx + Кжа -j- Фж3 + и т. д. на хт. Если же чи-
числитель имеет два пли большее число членов, тогда мы не будем
наблюдать вышеустановлешюго закона следования коэффициентов.
Поэтому найдём его здесь с помощью дифференцироваиия. Пусть
и т. д.
и прсдстаиПдМ себе, что значение этой дроби выражается рядом
х = Я ЬЗЗа;+еж2+5;а:3+(?2;4+ и т. д.
Чтобы определить первый его член, положим х = 0; тогда из первого
А '
выражения будем иметь —^ , а из предположенного ,ч-=3(; следователь-
А
но, необходимо, чтобы 91 = —^-. После того как этот член определён,
остальные найдутся с помощью дифференцирования.
206. Логарифмируя, будем иметь
ls^l(A+Bx + Cx2 + Dx3+ и т. д) — nl(a4 pz-f уж!+ и т. д.).
:) «Вводенио», ч. 1, гл. IV.
ГЛ. VIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗОВ. РЯДОВ 353
Отсюда, дифференцируя, получим
ds В dx + 2Cxdx + 'iDxzdxJr и т. д. п$ dx + In^x dx + ZnSx2 dx + и т. д.
~ + и т. д. а + §х + fx2 + Sxa + и т. д.
Освободившись от дробей с помощью умножения, будем иметь
' Ал 4 А$х + Луг3 + Аох3 + и т. д.
-\-Ву. + -SP4" -Sy 4" и т. д.
4- Со. + СР + и т. д. {" "dF
4- i?a+ и т. д.
s —
а:2 + 4Лег3 + и т. д. 1
+ 2Bf+ ЗВЪ+ и т. д. I
4- С$+ 2Су4- и т. д. \ns-
+ ?ф+ и т. д. )
А так как-^-= S 4-2Кх + 3®ж24- и т. д., то, выполнив подстановка,
будем иметь
ЛаЯЗ + пАЩ
+ ОВо.% + (п ~ }
J
y ЗпАШ
4" л5рЗЗ + Bтг — 1)Яуй [_
- Са» 4- (л - 2) СР51 | = '
Bп + 2) Лу© + (Зл + 1) 4S» +
^ 4- (Зи —
23а» + (п —
и т. д.
Отсюда легко усмотреть закон составления этих формул. В самом
деле, первая строка каждого уравнения составлена по тому же закону,
который мы имели в § 204. Коэффициенты вторых строк получаются
из коэффициентов первых строк вычитанием п+1; таким же образом,
вычитая тг +1 из коэффициентов вторых строк, получаем коэффициенты
третьих, точно так же получаются коэффициенты всех последующих
строк из коэффициентов предшествующих. Что касается самих букв,
из которых составляется какой-либо член, то их очень легко образовать,
руководствуясь только наблюдением.
23 л. Эйлер
354 ГЛ. VIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗОВ. РЯДОВ
207. Пусть теперь и числитель будет какой-либо степенью, т. е.
пусть
_ (А + Вх + Схг + Рх3 + и т. д.)т
S i+ и т. д.)" "
Представим себе, что
s = 21 + %х + Еж2 + ®^3 + ©ж4 + и т. д.
Лт
Тогда будем иметь )>[ — — ; остальные же коэффициенты определятся
следующих формул:
ЛаШ + пАрК \
— тВа.% )= ]'
— (/л —1) 5*23 + (и-/к) да V = 0;
--2тСо.% )
ЗЛа® + (п + 2) ЛР К + B/г + 1) ЛуЯЗ + 3/гЛЬ%
— (т—2) 5ag + (/г — гп + 1) В$Ъ + B/г—«г
4Ла<? + (га -j- 3) лр® + B/г + 2) Лу(? + (Зге + i) Л8*В + 4/гЛвЭД.
¦ (п—т + 2) 5рК + Bге—/л + -1) .йуЗЗ + C/г—-7/г) ВЬ%
-Bт —2) CaS + (п—2т + 1) С?*ЯЗ + Bw, —2m) Cy9i
C/п —1) ?>aS3 + C/г-«г
= 0.
и т. д.
Закон, по которому эти формулы дальше следуют друг за другом,
легче уяснить из наблюдения, чем описать словесно. По мере спуска
коэффициенты уменьшаются на п-\-т; по мере же продвижения в гори-
горизонтальном направлении они постоянно возрастают на п — 1.
208. Вот каким образом мы расширили учение о рядах, пополнив
вышеуказанный недостаток и определив закон образования коэффициен-
коэффициентов не только для того случая, когда один знаменатель дроби являет-
является какой-либо степенью, но и для того случая, когда и числитель
состоит из какого угодно числа членов; для того чтобы открыть этот
закон, одной индукции оказалось недостаточно. Рекуррентные ряды,
помимо тех применений, которые мы уже показали, приносят также
очень большую пользу для приближённого нахождения сумм всевоз-
всевозможных рядов. Пример этого мы имели ужо в главе первой настоящей
части, когда мы преобразовывали ряд подстановкой х = j-f-— в другой
ряд, который часто может содержать конечное число членов. Тот же
метод можно было бы распространить шире, если подставлять вместо х
другие функции. Так как, однако, закон последовательного составления
тех рядов, которые следовало бы подставлять вместо степеней коли-
количества х, был тогда недостаточно явственным, то мы сочли нужным
отложить рассмотрение этого расширенного метода до настоящего мо-
момента, когда упомянутый закон был бы уже обнаружен. Однако,
обдумав вопрос более внимательно, мы увидели, что при решении его
l"JJ. Mil. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФ1-Р. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗОВ. РЯДОГ. \ 55
можно обойтись без этого закона последовательного составления рядов,
прибегнув лишь к помощи того самого метода, которым мы воспо (ь-
зовались для разыскания упомянутого закона.
209. Итак, пусть предло;кен какой-либо ряд
Сх°~\- Dx* + Ex* + Fx° + и т. д.
н требуется преобразовать его в другой ряд, члены которого суть
дроби, знаменатели которых — степени следующего выражения:
а + рж -}- уж" + ох3 + гх4 -f- и т. д.
Чтобы начать с простейшего случая, положим, что
s = 1 —, 1 ' 1- J- и т. д.
а -\- рж ' (а + р)' (а+ Р^K (а ¦- dx)* '
Приравняв этот ряд данному выражению, помножим с обеих сторон
на a-j-Рж; тогда получим
.4а 4- Ва.х -\- Сш1 + Вшл 4- и т. д.
4- ЛВ 4- Щ - Ср 4- и т. д.
Положим $( = .4а; тогда
и т. д.
Разделив на .г, будем иметь
Л' + ^ -:-CV + Z>V + h т. д.=_^- +(-А-^+(^--+ их. д.
Снова помножим на я-1-рж; тогда, положив
и т. д.,
будем IlM('il)
A'a + A-x+H-x' + Cx' + n т. д. = 85 + —^ +(^у> + ° т- д'
Положим тслс])ь 53 = Л'а и будс;м поступать, к;ж раньше; если поло-
положить
и т. д., и т. д.,
то будем иметь К = Л"а, 2) = Л'"а, (?=Л""а и т. д. Следовательно,
сумма предложенного ряда представится выражением
.__ Аа Л'ах А"ххг А'"ах3
S — а -^х + (Т+|*Г- + (*+;?хK + К+7*)* Т' Д'
23*
,456 ГЛ. VIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗ. РЯДОВ
То же выражение мы получили бы, если бы применили подстановку
х dy
¦——тг = у или х = , ,, .
210. Это преобразование применяется с наибольшим успехом, если
предложенный ряд А-\-Вх-\-Сх1 -\-ж т. д. составлен таким образом,
что он, в конце концов, совпадает с рекуррентным или, лучше, с гео-
метрическим рядом, получаемым из дроби 1). Действительно,
тогда значения А', В', С и т. д. в конце концов исчезают, и тем более
буквы А", А'", А"" и т. д. составляют очень быстро сходящийся ряд.
Подобным же образом мы сможем воспользоваться трёхчленными
и многочленными знаменателями, которые будут очень полезными,
если предложенный ряд, в конце концов, будет совпадать с рекур-
рекуррентным. Пусть предложен ряд
s = A + Bx + Cx2 + Dx3 + Ex* + n т. д.
Положим
&х + Ъх
"" (a + fix + fX*K '
S~a. + $x + tx' т (а+$х + -(Х*)* " (a + fix + fX*K ' (a
Помножим с обеих сторон на a-f" $xJc Y2-2) положив
и Щ =
и т. д.
получим после деления на хг уравнение того же вида, что первое:
' (п Л- Rr J_ vr2\2 * in _(_ .чл. _i vt243 I* "¦ *•• Д»
Р^сли теперь будем поступать, как раньше, полагая
'а = А",
'z^B", и W=A'*,
и т. д.;
затем
и т. д.
и дальше будем находить подобные выражения, то будем иметь
_ Аа+ (А$ + Ва)х [А'а + (А'$ + В'а)х]х* [А"а + (А"$ + В" а) х] х*
S ~~ ct + fJi + fX2 + (а + рх + ух*) + (я + ft* + уж2K +и т- Д-
1)Как видно из последующего, это выражение не нужно понимать в том смысле,
что, начиная с некоторого члена данного ряда, он представляет собой в точности
геометрическую прогрессию. Речь идёт о ряде, для которого отношение последу-
последующего коэффициента к предыдущему стремится (и притом быстро) к пределу,
равному——. Тогда величины А$ +Ва = А', В$-{-Сл = В' и т. д. образуют после-
последовательность, имеющую предел, равный нулю.
ГЛ. VIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗ. РЯДОВ 357
211. Положим ж=1, что нисколько не уменьшает общности,
поскольку а, р, у могут быть взяты по произволу. Тогда
т. д.
Если будем последовательно образовывать выражения
= B"! и т. д.
и т. д. и т. д.
и если, кроме того, для краткости положим
то сумма предложенного ряда выразится следующим образом:
s =
212. Подобным же образом можно взять знаменатели, состоящие
из большего числа членов, и, так как из предыдущего легко понять
ход решения, мы рассмотрим здесь только случай четырёхчленного
знаменателя. Пусть
B + C D + E F + G + т. д.
Ищем следующие значения:
Пусть
г + и т. д-J
Отсюда вместе с тем становится совершенно ясно, как будут стро-
строиться последующие выражения, если в знаменателе мы будем брать
большее число членов.
358 ГЛ. VIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗ. РЯДОВ
213. Вовсе нет необходимости в том, чтобы знаменатели дробей,
через которые мы выражаем ряд, были степенями одного и того же
выражения
я -)- $х + рг -)- и т. д.
Это выражение может меняться в отдельных членах. Для большей
ясности возьмём сначала только два члена и представим себе, что ряд
обращается в следующий ряд дробей:
21 'Ш.'х %." х
'" ~ а + $х ~Т~ (о + jJz) (а' + ря) "*~ ТаЯ^рж) (а' + Р'ж) ("а" + $"х) """ И Т" Д*
Помножим сначала с обеих сторон на a-fpz и положим
и ?1=
и т. д.
Разделив на ж, будем иметь
Далее будем номножать таким же образом на а' + р'х, затем на a" -J- $"
и т. д. ц будем полагать
'"я'" = А"",
ф +'"а'" = В"",
Cy + D'x'=C" С'Т+ ?>"*" = С" С"Т" + D'"a,'" = С'"
и т. д., и т. д., и т. д.
Тогда будем иметь
%'=А'а.', ?1" = Л"а", %\.'" = А'"о.'" и т. д.,
и. значит, предложенный ряд обратится в ряд вида
Ло. Л'а'х . А"а"хг .
S = а$х + (а+рх)A'+№ + '(а + Ы'(а'~+~V'iW'~TVxj +И Т'
где значения а, р, а', fi', а", C", а'", р'" и т. д. произвольны и в ка-
каждом случае могут быть выбраны так, чтобы новый ряд сходился очень
быстро.
214. Применим этот же способ к трёхчленным множителям. Пусть
предложен какой-либо ряд s=A-\-B~\-C-\-D-\-E-\-F-\-n т. д.
АЧ + В'{> + Со = A', A'Y + В'Р + С V = А",
'Р' + D'<x' = B",
и т. д. и т. д.
B'T + C"a."=A'", A"'-{'" + B'"$'
C"$"+D"o." = B'", B"Y" + С"'$'"
D'T + E"<*" = C'" C"'-{'"i-D'"$'
и т. д. и т. д.
ГЛ. VIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗ. РЯДОВ 359
Далее, положим для краткости
х'"+?Г"+¦/'" = тп'"
и т. д.
Тогда сумма предложенного ряда будет
s = а(А + В) л_«'(ЛЧ-»') + *"(А" + В") , ^:'.С4+ В"') и т_
го ' mm' mm'm" тт'т'т"'
, рЛ , Р'Л' , ?"Л" , р"'Л"'
I Л I _ L __i L . -- 1 и Т Д
го гот' тт'т" тт'т"т"'
215. Так как полученные результаты имеют столь общий характер,
что применение их может оказаться недостаточно ясным,, то мы огра-
ограничим преобразование, данное в § 213. Мы положим х= — 1, так что
будем иметь ряд
s=A — B-\-C— D + E — F + G — и т. д.
и положим
В-А = А', В'-2А' = А", В" — ЗА"=А'", В'" ~Ы'"=А"",
С — В = В', С — 2В' = В", С" — ЗВ" = В'", С"' — кВ'" = В"",
D-C^C, D'~2C' = C", D' — 3C = C'", Z)'"-4C"" = C"",
E — D = D' E' — 2D' = D" E" — 3D" = D'" E'" — 4?>'" =Z>""
и т. д. и т. д. и т. д. и т. д.
После того как эти значения будут найдены, сумма предложенного
ряда будет равна следующему ряду:
-A__^L_l А" fill' л""
S ~ 2 2 • 3 + - 3~- 4 2 • 3 • 4 • 5 + 2 • 3 • 4 - 5 • 6 И Т* Д>
Подобным зке образом какой угодно предложенный ряд можно пре-
преобразовать в бесчисленные другие ряды, ему равные. Среди них, без
сомнения, найдутся ряды, сходящиеся очень быстро, и с их помощью
можно будет найти сумму с очень большой степенью точности.
216. Но вернёмся к разысканию рядов, закон составления которых
раскрывает дифференциальное исчисление. Так как алгебраические
количества мы уже рассмотрели, перейдём теперь к количествам транс-
трансцендентным. Пусть ищется ряд, равный следующему логарифму:
+ еа;5 + и. т. д).
Предположим, что условию удовлетворяет ряд
Так как дифференцирование этого уравнения даёт
ds _ a + 2pa:+3i-:j:2 + 4azs + 5EZ4 + H T д
то будем иметь
A + ax + Par -'- '{x3 + 8x4 + и т. д.) -^ = a + 2$x + Зуо;2 + 4oxs + и т. д.
360 ГЛ. VIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗ. РЯДОВ
А так как из предположенного равенства мы имеем
т. д.,
то после этой подстановки мы получим следующее уравнение:
т. д.
-f $а + 223а+ 3&а+4®а + и т. д.
+ Щ+ 2Щ+ ЗЕр + и т. д.
т. д.
-{-и т. д.
+ и т. д.
Из него получаем следующие формулы для определения коэффициентов:
и т. д.
217. Пусть теперь предложено показательное количество
где е есть число, гиперболический логарифм которого равен единице,
и предположим, что искомый ряд есть
s=l + ^x+S3x2 + 6a;3 + 2)a;1 + (Sa;5 + H т. д.
Уже из случая я=0 ясно, что первый член должен быть единицей.
Так как, логарифмируя, мы имеем
f и т. д.,
то, дифференцируя, будем иметь
Но из предположенного равенства будем иметь
+¦ и т. д.
= a + %т.х + ЗЗах2 + gar1 + З)^1 + и т. д.
+ 2Р + 29ф + 2Щ + 2®р + и т. д.
+ 3Т +ЗЩ +333Y+ и т- Д-
+ 48 +АШ + и т. д.
+ 5е 4- и т. д.,
ГЛ. VIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗ. РЯДОВ 361
откуда получаются следующие формулы для определения букв
<&, S3, ©, Ф и т. д.:
31-а,
(S = в + 4~ «8
и т. д.
218. Точно так же, если дуга, синус или косинус которой ищет-
ищется, выражается биномом или полиномом, или даже бесконечным рядом,
можно тем же способом выразить её синус или косинус бесконечным
рядом. Но чтобы это сделать наиболее удобным образом, нужно' не
останавливаться на первых дифференциалах, а прибегнуть к помощи
вторых дифференциалов. Пусть
s = sin (ax + рх2 + ух" + их* + ?хь + и т. д.).
Представим себе, что искомый ряд есть
s = $x + 93x2 + (Sx34-?>:e4+(Sx5+ и т. д.
В самом деле, известно, что первый член исчезает. Но так как нам
предстоит спуститься ко вторым дифференциалам, то нужно опреде-
определить также и коэффициент %. Для этого посмотрим, что произойдёт,
если х положить бесконечно малым. Тогда дуга будет равна ах, а
синус будет равен ей; следовательно, будем иметь ЭД = а. Положим
теперь для краткости
z = ax + px2 + Ya;3+ и т. д.,
так что s = sinz. Дифференцируя, будем иметь ds*=dzcosz и, снова
дифференцируя, (Z2s = d2zco8z — dz2sinz. Так как теперь мы имеем
sin z = s и cosz=-j-, то будем иметь
d2s = s{ — s dz2 или dz d2s + s dz3 = ds d*z.
dz
219. Положим, что дуга z выражается только двучленом и чтс
z
Тогда
dz
и при постоянном dx
dz3 = (a3 + 6a2px + 12ap V + 8pV) dx3.
Далее, так как s = %x + ЯЗх2 + Kx3 -f Фх4 + и т. д.,
то
J ?t + 2S5 + 3(?!' + 4SKT}- и т. д.
и т. д.
ГЛ. МП. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗ. РЯДОВ 363
Таким образом, мы имеем
. хг х* х* Xs
cosa;=l___+ ______________+ _____ и т. д.;
что было уже подробно докапано выше J).
Первый же ряд, представляющий синус, при [3=0 и а=1 даст
3 Х ЗС^ ЭС
.^_T___ + T-2-.3-4j5 ^г_т:;+ и т. д.
221. Из этих хорошо известных рядов для синуса и для. косинуса
выводятся ряды для тангенса, котангенса, секанса и косеканса какого
угодно угла. Тангенс получается, если синус разделить на косинус,
котангенс — если косинус разделить на синус, секанс—если радиус 1
разделить на косинус и косеканс —если радиус разделить на синус.
Ряды, получающиеся от деления, кажутся весьма неправильными;
однако, за исключением ряда, представляющего секанс, остальные
можно с помощью определённых выше бернуллиевых чисел свести
к простому закону последовательности членов. Действительно, так
как выше (§ 127) мы нашли, что
+ + + + и * Д1 ^ "
\1 + 1-2-3-4 + ТГ2Т377. ^ + Г2 ¦ ¦«
г
то, полагая -—¦ -и — х, оудем иметь
если же положить— х вместо х, то будем иметь
1 __ 2 Жх 1Ъхп- 2gx5 <X%x\
¦^T^-TTl" 1 • 2-з • 4~ 1 -2 • з -4 -5-6 ~ГТ2":зГ.,8~ и т- д-
222. Отсюда можно выразить рядом и тангенс какой-либо дуги
следующим образом. Мак как
ТО
ctg 2 х = -у^- - %^ = -у,- ctg о: i- tg ж,
и потому
tg х — ctg я — 2 ctg 2x.
А так как
„ . „ 1 2Щх 2%х 2S
2ctg2a; = ——¦fTa~Т. 2Т3Т4—ГТгТГб ~ и т' д
«Введение», ч. I, гл. МП.
ГЛ. МП. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР". ИСЧИСЛ. К ОБРАЗ. РЯДОВ Ж<>
Таким образом, мы имеем
. X2 X* Xе X8
СО8Ж=1_1_+Г___Т_ ______ __ + _____ И Т. Д.,
что было угке подробно доказано выше а).
Первый же ряд, представляющий синус, при р=0 л а—1 даст
sin J = ^__|L_ + __2_^___ __?!__ + и т. д.
221. Из этих хорошо известных рядов для синуса и для косинуса
выводятся ряды для тангенса, котангенса, секанса и косеканса какого
угодно угла. Тангенс получается, если синус разделить на косинус,
котангенс — если косинус разделить на синус, секанс—если радиус 1
разделить на косинус и косеканс —если радиус разделить на синус.
Ряды, получающиеся от деления, кажутся весьма неправильными;
однако, за исключением ряда, представляющего секанс, остальные
можно с помощью определённых выше бернуллиевых чисел свести
к простому закону последовательности членов. Действительно, так
как выше (§ 127) мы нашли, что
\~2 + 1-2-3-4 + 1——J—6 + ——2 7. .8 + и т. Д. = 1 - х Ctg -2- «,
г
tcj, полагая -~}-и=х, оуде.м иметь
* v f- |~ Лч __. ^ _____ __________ ______ _ 11 ГП tt
ttg x— — — ——g i . 2 -~3 • '_ 1 • 2 ¦ 3. ..6 1 -"'2~- 3." .8 и»1.Д.,
если же положить—-- х вместо х, то будем иметь
ClS!TZ=!c Т~2 12-3-4 1 - 2 - 3 - 4~Т- 6 ~ ГТ2^зГ.,8 "~ И Т- Д-
222. Отсюда можно выразить рядом и тангенс какой-либо дуги
следующим образом. Так как
ТО
ctg 2 х = -j-r-- — -|^ = ^г ctS х Т ь% х>
и потому
tg г = ctg z — 2 ctg 2x.
А так как
2Sa;
Т.7Г.'г> ~ и т'
2ctg2x_ — _—-_г/2---_--_-_-_ и т. д.
«Введение», ч. I, гл. МП.
364 ГЛ. VIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗ. РЯДОВ
то, вычитая второй ряд из первого, будем иметь
, 2«B«-l)ga»
-2.3-4 + 1-2.. .6
- Д>
Если ввести числа А, В, С, D и т. д., найденные в § 182, то будем
иметь
2Ах , 23Вх3 , 2*Схь . 27Dz7
^ Х = ГТ2 ' ГТ"гТ
и т. д.
3 ¦ 4 ~ 1 ¦ 2. . .6 ~ 1 • 2. ..8
223. Косеканс же мы найдём следующим образом. Так как
ctg ж = tgж + 2 ctg 2ж = ct 4- 2 ctg 2ж,
то будем иметь
ctg2z = 2 ctg x ¦ ctg2a:+l.
Извлекая корень, получим
ctg ж = ctg 2 ж + cosec 2 ж,
откуда
cosec 2х = ctg ж — ctg 2x
и, положив ж вместо 2ж, будем иметь
1
cosec ж = ctg-s-a; — ctg ж.
Так как мы уже имеем котангенс, именно
1 _ 2 2%х_ 2%ж 2<$,х _
Ctg— Ж— — — ^—2 ! . 2 . з ¦ 4 1-2. ..6 И Т< Д-'
то, вычитая второй ряд из первого, будем иметь
I , 2 B-1) Шх , 2B3-l)S3a:3 , 2B5-
+ + +
- И Т. Д.,
224. Секанс же нельзя выразить через эти бернуллиевы числа:
для этого требуются другие числа, а именно числа, которые входят
в суммы нечётных обратных степеней. Именно, если положить
. 1_ ,11,1 __ ™
3 + 5 ~ Т+ ~9 И Т> Д" ~ а ' х '
,__i,j L'i =JL j?.
З8 "•' 53 V ~v 93 Д' 1 • 2 ' 24 '
1 L-lJ: L _l — ит л = - • -"-
3^ 5^ 7^ Ч^ * 1 * ^ • 3 • 4 ^^ '
. L'1 ! . ! _ 5 ж7
З7 ^ ~W V"t"W~ И Т- Д" "" Ч • 2...G ' s"'
. 1_ 1 Li1— — е те°
З11 "¦ 5" 711 "I" 9а и т- Д>~ iT~2.7.~W ' "
И Т. Д.
ГЛ. VIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К ОБРАЗ. РЯДОВ 365
то будем иметь
а = 1,
Р = 1,
Y-5,
8 = 61,
s=1385,
С = 50521,
7) = 2 702 765,
6 = 199360 981,
1 = 19 391512145,
¦/ = 2404 879 661671 ')
и т. д.
Из этих значений 2) получим
- и
225. Чтобы доказать эту связь ряда, представляющего секанс,
с числами а, р, у, S и т. д., рассмотрим ряд
* 1,1 1 1,1,1
- -. г= V- — \- ¦ ] — и т д
. т т п—т п+т 2п — т 2п4-т ' Зп — т
п sin — те п
га
с которым мы уже имели дело выше (§ 33). Положим т——п — к;
тогда будем иметь
1 _ _J l__^ 1
'п + 2к Зп-2/с Зга + 2ft "•" 5п - 27с "^" И Т" Д'
А п — 2к
2га COS — я
Пусть — = х, т. е. Атс = х/г; тогда
те ж , те те те
2га пте — 2гаа; ите-)-2гаа; Зга тс — '1пх Зпк-\-2пх ' *
ИЛИ
2 2 2 2
те-2г+ те+ia: 3^ - 2х З
ИЛИ
_ 4те _ 4 ¦ Зте , 4 ¦ 5те 4 • 7те
Sec Я— те3 _ 4а.г — -g^—^zS'+ 25те2-4ж2 ^49те2-4^+
Если теперь каждый член разложить в ряд, получим
4 /. 1 , 1 1 . 1
И Т"
1,11,1 Л
оз ' 53 73 Уа * J
1,1 1,1
"ZT { 1™ qs+"^ — -^5 + TIF" и т- Д.
и т. д.
Если вместо этих рядов подставить введённые выше значения, то полу-
получится тот ряд для секанса, который мы выше привели.
J) Истинное значение х есть 2 404 879 675 441. (Г. К.)
2) Числа а, р, f, 3, и т. д. называются теперь эйлеровыми числами. (Г. К.)
:Ш гл. vin. о применении диффер. исчисл. к1 образ, рядов
226. Отсюда тотчас же обнаруживается закон, по которому сле-
следуют друг за другом числа а, р, у, 3 и т. д., участвующие л выраже-
выражениях сумм нечётных обратных степенен. Действительно, так как
sec х = Ж = а + Г^ _х* + ТГТ1Г. 4 х* + —Г7Гь х% + " т- д-'
то необходимо, чтобы этот ряд был равен дроби
I
X2 X' Хь Xя
\ | гг
1-1! 1 • 2 ¦ 3 -4 1 • 2...G + I ¦ 2...S
и))иравняв их, получим
д
и т.
~ п т-
1 1-2.
откуда вытекают следующие уравнения:
;=Ь>>
4 • 3 о 4-3-2-1
1 " ~П~2; Г
*_&¦:> б • 5 •'»¦ з „ , о.. 1
rj = s~2 '•' ~ l'• 2 -т- р п" 1:.. с,а>
S ¦ 7 „ К - 7 • G • 5 S. .. 3 „ R. . . I
e-ir.u-v.->--.3-"'J+L:::r.p-i^sa
и т. д.
Из этих формул нами и найдены те значения этих букв, которые ирп-
ведены в § 224 и с помощью которых можно выразить суммы рндоп,
имеющих вид
.1 l 1,1
1—3,т + — — jt: + ^п: — " т- Д-,
если и есть нечётное число.
ГЛАВА IX
О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИИ
227. Выше было ужо достаточно выяснено, что понятие уравнения
можно свести к понятию функции1). В сад:ом деле, пусть у есть какая-
либо функция от х. Если мы положим у —О, то эта формула будет
охватывать всевозможные конечные уравнения, как алгебраические,
так и трансцендентные. Говорят, что уравнение у = 0 решено, если
найдено такое значение х, которой, будучи подставлено в функцию у,
делает её на самом деле равной нулю. Часто существует несколько
такого рода значений х. Они называются корнями уравнения у = 0.
Итак, если положим, что числа /, g, h, i и т. д. суть корни уравне-
уравнения у~0, то функция у составлена таким образом, что, если в неё
вместо х подставить либо /, либо g, либо /гит. д., получится на самом
дело у = 0.
228. Так как функция у исчезает, если в неё вместо х подста-
подставить /, т. е. x+(f — x), где / есть корень уравнения г/ = 0, то на осно-
основании того, что выше (§ 48) было доказано о функциях, мы будем
иметь
иметь
Из этого уравнения значение / корня у = 0 определяется так. что
какое бы число мы ни подставили вместо х, мы всегда, подставив
соответствующие значения у, d?, ?g- и т. д., получим уравнение,
дающее истинное значение /. Чтобы это было понятнее, положим, что
y = x3 — 2x2 + 3x — i;
тогда будем иметь
Подставив эти значения, получим
О = х3- 2х2 + 3z - 4 + (/ - х) (За;2 - 4х + 3) + (/ - xf (За - 2) + (/- х)\
') В оригинале: Constitution от acquationum ad functianum rationem reduci
posse supra iam satis oster.sum ost. Mho неясно, ua какое место «Дифференциального
исчисления» или «Введения в анализ> здесь ссылается Эйлер. Во всяком случае
в следующих строках вопрос освещен с достаточной полнотой.
368 ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВН.
Или, выполнив умножения,
т. е. мы получаем уравнение, сходное с предложенным; оно, следова-
следовательно, имеет те же корни.
229. Хотя таким образом мы не приходим к новому уравнению,
из которого можно было бы легче определить значение корня /, однако
отсюда можно вывести очень полезные вспомогательные приёмы для
разыскания корней. Действительно, если мы примем за х значение,
которое уже близко подходит к корню какого-либо уравнения, так что
/ — х есть очень малое количество, тогда члены уравнения
образуют очень быстро сходящийся ряд. Поэтому мы не допустим боль-
большей погрешности, если отбросим все члены, кроме двух начальных.
Итак, если за х принять значение, которое уже приближённо равно
корню какого-либо уравнения у = О, то мы будем иметь приближённо
, у dx
Из этой формулы мы найдём, хотя и не точное, но ещё более близкое
к истинному, значение корня /. Подставив его снова вместо х, мы полу-
получим гораздо более точное значение / и, продолжая поступать таким же
образом, будем подходить к истинному значению корня.
230. Так можно находить прежде всего корни всех степеней из
каких-либо чисел. Действительно, пусть предложено число ап + 6,
и требуется извлечь из него корень степени п. Положим хп = ап + Ь,
т. е. х" — а" — 6 = 0, так что у = хп—а" — Ь; тогда будем иметь
п(п- 1) (п - 2) з
и Т. Д.
' Vd^ - 1-2.3
Следовательно, если искомый корень положим равным /, так что
f=pran-\-b, то будем иметь
0 = жп — a" + 6-f n(f — x)xn-1 + n(-^~21) {f-x)*x"-2+ и т. д.
Если теперь мы возьмём вместо / число, которое приближённо равно
искомому корню, что будет, когда мы положим х = а, если только b
есть столь малое число, что an-\-b < {a -f-1)", то будем иметь прибли-
приближённо Ь =з пап~х (/ — а), и потому
что даёт нам гораздо более точное значение корня. Если же мы поже-
пожелаем взять ещё и третий член, так что
Ъ = па"-1 (/-«) + Ц^-} а«" (/ - а)\
то получим
(/ — а) = -~1(/-e)+n(n_1)an-I
ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВН. 369
и. значит.
/ -= а - ± - 4- ,/. I?!
26
п л и
t (га - 2) a -f l/a-T 2 (?Г- lffrTraa71^
Таким образом, с помощью извлечения квадратного корня мы найдём
рщё более точное значение корня.
Пример
Найдем квадратный корень из какого-либо числа с, т. е. пусть
Возьмём число, близкое к корню и равное а, и положим 6 = с — а2.
Так как аг + Ь=с, то, поскольку /1=2, первая формула даёт / = а-\—-— =
; вторая же даёт /=]/ с; это есть сам искомый корень. Так
^ .. с 4- о1
как теперь мы имеем приолиженное значение корня, равное —-—,
то напишем это значение вместо а и тогда получим более точное зна-
значение корня f——,— а . Пусть, например, с = 5; из первой формулы
будем иметь / = s~ ~Ь'<> • Положив а = 2, будем иметь /=2,25; т< перь
положим а = 2,25; получим / = 2,236111; положим далоо а = 2,236 1111;
тогда будем иметь /=2,236 067 9; это значение уже очень мало отли-
отличается от 'истинного.
231. Подобным же образом можно приближённо найти корень какого
, 11 da-
уГОДНО уравнения с помощью уравнения f~z — "-у—, принял сначала
за х значение, мало отличающееся от какого-либо корня уравнения.
А для того чтобы найти такое значение х, будем подставлять bmict<>
х последовательно различные значения и из них выберем такое, ко-
которое даст функции наименьшее, т. е. наиболее близкое к нулю,
значение. Так, пусть
Тогда
у-
по.
X
X
X
X
=
=
з
,га
0,
:1;
: 2
- 2х"~
-J-Зж —4.
получае,м
2/-= -4,
г/= -2,
w = + 2,
откуда можно вид» ть, что корень содержится между значениями I и L
количества х. Так кэк теперь мы имеем —¦ = 3х* — 4х 4- 3, то для
24 л. Эйлер
;,70 ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВН.
разыскания корня / уравнения я" — 2х'1-\-'6х — 4 = 0 мы получим
следующее уравнение:
_ у dx _ j;3 - 2ж2 -f 3x — 4
!~X~'~dJZ=X 3z--4*i-3 •
2
Пусть х=1; тогда / = 1 + —= 2. Положим теперь ж =2; тогда будем
- 12 - 12 12 104
иметь f — 2— -г-= Г. Пусть, следовательно, # = -=-; тогда / —-=—т^-гт =
—r=jjT = 1,653. Если мы захотим итти дальше, то будет лучше восполь-
воспользоваться логарифмами.
Итак, положим л = 1,653; тогда
1х = 0,218 272 9 х-^ 1,653 000
1 х! = 0,436 545 8 х"-= 2,732 409
1 ж3 = 0,654 818 4 х% = 4,516 673
х3 = 4,516 673
\\х = 4,959 000
х* + Зх = 9,475 673~™ Зж2 + 3 = 11,197 227
2ж- + 4 = 9,464 818 4х = 6,612 000
числитель = 0,010 855 знам. = 4,585 227
1числ. = 8,035 6298
1 знам. = 0,6613608 х= 1,653 000
1 дроби = 7,374 269 0 дробь = 0,002 367
1= 1,650 633
Это значение yate очень близко к истинному.
232. Можно, однако, вывести из общего выражения более быстрые
нриближония. В самом деле, было найдено, что если корень какого-
либо уравнения у=0 есть x = f, то
dx 2dx* + 6dx3
и т
Пусть / — х — z, так что корень есть / = х + z, и положим
du dp da dr
, = p, -f- - 11, ,- Г, r=S и т- Д-
dx y' dx ¦"• dx ' dx
Тогда
В этом уравнении нужно, взяв за х какое-либо значение, которое вме-
вместе с тем определяет значения у, р, q, r, s и т. д., найти количество z.
Если оно будет найдено, то мы будем иметь корень f — x-{-z предло-
предложенного уравнения у — 0. Дело сводится, таким образом, к тому, чтобы
найти отсюда наиболее удобным образом значение неизвестного z.
33. Вообразим, что z представлено таким сходящимся рядом
z-^-A -. /?-. C^-D-\-K ;- и т. д.
ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРЛВИ. 371
Поело подстановки будем иметь
У=У
pz= Ар + Вр -\-Ср -{Dp +Кр + " т. д.
\-qzl = -r-A'q + ABq -\-ACq + ADq + и т. д.
1 6_
Отсюда получаем следующие уравнения:
А- — у
В= ~2р>
с= —У1з1 • &
\а*в
+
S +
Bcq
~АВ
¦тАЧ
+
t --\-
л
и
и
и
и
т.
т.
т.
т.
д.
д.
Д.
Д.
и т. д.
и, значит, будем иметь
""""/Г 2р3 2р8"Гбр* 8р' ~т~ 12^e 2i/>s T' Л"
При ме р
Пусть предложено уравнение хь-\-2х — 2=0.
Мы будем, следовательно, иметь
и т. д.
Положим теперь х — 1, ибо это значение мало отличается от корня.
Будем иметь
у = \, /7 = 7, G = 20, г = 60, s=120,
откуда получаем
- _ _L_ 10 _ 200_i 10 _ 5 ' 100° _i_ 500 5 j_
или
1 10 130 1745
^= —j-fi—ji- у и т. д.
Следовательно, будем иметь z— —0,18 и корень / = 0,82; если это
значение снова подставить вместо х, то получится корень, чрезвы-
чрезвычайно близкий к истинному.
372 ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВН.
234. Таким образом, мы нашли бесконечный ряд, который выражает
корень какого угодно уравнения; он имеет, однако, то неудобство
что, с одной стороны, не виден закон его составления, с другой же
стороны, он слишком сложен и недостаточно пригоден для пользова-
пользования. Поэтому мы предпримем то же исследование другим способом
и найдём более правильный ряд, выражающий корень какого угодно
предложенного уравнения.
Пусть, кок прежде, предложено уравнение у = 0, где у есть
какая-либо функция от я; вопрос сводится к тому, чтобы определить
значение количества х, которое, будучи подставлено вместо х, сде-
сделало бы функцию у равной нулю. Но так как у есть функция от х,
то и обратно, можно рассматривать х как функцию от у, и с этой
точки зрения разысканию подлежит то значение функции х, которое
она получает, когда количество у исчезает. Таким образом, если
положим, что / есть то значение количества х, которое является
корнем уравнения у — 0, то поскольку х переходит в /, если положить
у—О, мы будем иметь по доказанному выше (§ 67)
dx у2 d2x у3 d3x y*dlx
1> этом уравнении дифференциал dy полагается постоянным. Если
положить
dx dp da dr
t = Pj zr = Q> j^—r, j- = s и т. Д.,
dy ^' dy *' dy dy '
то, введя эти обозначения, чтобы не связывать себя выбором постоян-
постоянного дифференциала, будем иметь
f = x — py-\-^qy'—-j-rya + ^syt-^-Qtyi + и т.д.
235. Если количеству х приписать какое-либо значение, то чем
самым определятся и значения количеств р, q, r, s и т. д., а, найдя
их, мы будем иметь бесконечный ряд, выражающий значение корня /.
Если же уравнение ?/ = 0 имеет несколько корней, то они получаются
когда вместо х мы возьмем различные значения, а так как у может
принимать одно и то же значение, когда х мы даём различные значе-
значения, то неудивительно, что один и тот же ряд часто может дакать
несколько значений. Для того чтобы в этих случаях устранить воз-
возможность сомнений, и в то же время чтобы сделать ряд сходящимся,
нужно принимать за х такое значение, которое уже близко подходит
к зла 1СНИЮ искомого корня. Тогда значение у станет весьма малым,
и члены ряда будут быстро убывать, так что, взяв небольшое число
членов, мы найдём для / значение, которое уже достаточно близко
к истинному. Если теперь это значение снова подставить вместо х, то
количество у станет ещё меньшим, ряд будет сходиться ещё быстрее,
л таким образом мы теперь найдём корень / столь точно, что погреш-
погрешность будет ничтожно .малой.
230. Положим, что требуется извлечь корень степени п из какого-
либо числа N. Если взять ближайшую /г-ю степень, то предложенное
число легко представляется в виде 7V = a" + 6. Таким образом, мы
будем иметь
хп = а" + Ь и у=-хп — а"-Ь,
ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВИ. .' 7.1
откуда
, _ , , dx t
ay •---- пхп ах и , - = р — —-„-г,
j (и — 1) dx dp n — 1
f па,П ?у 1 n2Xi" L '
. _ (re — I) Bn — 1) dx d-i _ _ (n - 1) Bn - 1.)
, (re- I)f2re— 1) (Зге — I) dx dr _ (n, - 1) ('In - 1) (!!/t — I)
XI Т. Д.
Положим теперь х~а; тогда у= — Ь и искомый корень / ¦¦--'[/'ап-\-Ь
выразится следующим образом:
, _ , _о (п — \) h* (п - U Bп - 1) b3 (re- l)Bn- ltCre-l)ft4 |
> ~~п"г адп^! ~ „ . Ъпа-1^ "¦" ге ¦ 2ге • 3;«j3li:rr ;t • 2ге • Зга ¦ 4а* • а5"^" ~ " Т' Д'
Таким оо])азом, мы находим тот самый ряд, который обычно получается
разложением бинома.
237. Выполняя извлечение корня, мы нашли приближённый корень а
и вместе с тем остаток 6; теперь нужно, чтобы получить более точный
корень, прибавить к корню а значение дроби —r^-т- При этом
так как N = а" + Ь. Однако найденный таким образом корень больше
истинного, так как нужно ещё отнять третий член. Поэтому, чтобы
с помощью деления остатка Ъ найти корень, ещё более близких"!
к истинному, нужно найти более удобный делитель; предположим,
что он есть
па"'1 -; %b + f>b2 -f у&3 + " т. д.
А так как должно быть
Ъ __
геа"4- %Ь •-- pb* -j- уб3 г и т. д.
7) (п.-l)fr2 , (п - 1)Bге- I),'K (п-1)Bге -
то, выполнив умножение "на па"-\- а6 + рб2 + уб3 f и т- Д-> получим
/ л (»-1)^ (^-1)Bд-1)Ь3 (п-1)Bя-1)(Зп-1)Ь^
а2» 2ireV" + и Т. Д.
(п - 1) а?>3
. (п-
1
•1)Bп-
2га-а-"~1 '
1)аЬ* ,
1 па'1-1
Отсюда выводятся следующие уравнения, определяющие а^3у и т. д.
а =
о
2а '
(re-l)a (ra-1)Bre-l) (ге-1)(« +
i
2паа Gfta"hl 12na'ui '
-1)а (га-1)Bге-1)Cга—1)
374 1ЛЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВН.
Таким образом, дробь, которую нужно прибавить к ранее найденному
корню а, будет
ъ
„_ (п-\)Ь (га1 -V) Ъ1 (л2—1)Ь3 '
ПЯ + 2^ TW^ + 2ina^ ~ и т- Д-
238. Таким образом, если нужно извлечь квадратный корень из
числа N, и если уже найдено приближённое значение корня а, а также
остаток 6, то к найденному корню нужно добавить частное от деления
остатка 6 на
о , ь ft2 , Ь3
Если же нужно извлечь кубический корень, то остаток 6 нужно раз-
разделить на
о . , Ь 2Ьг . Ь*
3а+т-&+*р- и т- «•
Применение этих формул мы поясним на следующих примерах.
Пример 1
Пусть извлекается квадратный корень из числа 200.
Положим N = 200; так как ближайший квадрат есть 196, то будем
иметь а — 14 и остаток 6 = 4; его нужно, следовательно, разделить на
28+ 1 1_4- 1——
io+ J 7 • 190 ^ 1 ¦ 196 • У8 '
так что делитель будет равен 28,142135. Если на него разделить 4,
то получим десятичную дробь, которая должна быть прибавлена к 14
и которая будет верна в десятом знаке и в дальнейших.
Пример 2
Пусть извлекается кубический корень из числа 7V=10.
Ближайший куб есть 8, и остаток равен 2, откуда имеем а —2 и
6 = 2, делитель же равен 12 + 1 — ^=12,9444. Поэтому искомый куби-
кубический корень приближённо равен ,
2 о!!000
^ 12 ¦ 9414 64 722"'
239. Ряд, найденный нами для корня, можно считать как бы
рекуррентным, происшедшим из некоторой дроби; таким образом, боль-
большое число членов ряда можно заменить гораздо меньшим числом
членов, составляющих числитель и знаменатель дроби. Так, при
некотором внимании можно заметить, что приближённо мы имеем
2
(я + b)n -¦= ап
а-П-^1>'
а ещё более точно,
ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВН. 375
Подобным образом, если ввести большее число членов, можно получить
ещё более точные дроби, как, например,
aV, + <JLt9.
9.JL±) ab г
{а + Ь)п = ап ____^_^^^ (п
J3o тее того, можно получить общую формулу подобного рода; для того
чтобы представить её в удобном виде, полошим
А "
• 2т
i) (n^j-m^l) . «, _ (т —1)(п — т+1)
2Bт-1) " ' -О— " 2Bт-1)
, _ (т - 2) (n -f т - 2) _ (Wj-2) (n_-»n ^- 2)_ «,
Ь~ 3Bт-2) ' " 3"Bm-2) *
Л _ (-_3) (п + т — 3) г _ (w - 3) (га - т + 3) $
' 4"Bт - 3) ~ 4 f 2~т - ;!)
И Т. Д. II Т. Д.
После того как эти значения определены, будем иметь
и т. д.
г-363-!-и т. д.
240. Если подставить вместо п дробное число, то эти формулы
будут весьма удобны для приближённого извлечения корня. Так, если
нужно извлечь корень какой-либо степени из выражения оп л Ь. то
можно воспользоваться следующими формулами:
(ап , 6),7 _
12raVn + бга Bга +1) аЧ> + B» 4-1) (n + 1) ft»
Ее щ же положить an-{-b = N, так что а" —- N — Ь, то будем иметь
(а +0) -a
, I 12n».V» - 6га Bга - \) Kb + Bи - 1) (п - 1) &г
241. Общая формула для разыскания корня какого-либо уравне-
уравнения применяется к уравнениям, имеющим несколько членов, совер-
совершенно так же, как обычная формула бинома к решению чистых
уравнений хп = с. Притом в этом случае общая формула 'переходит
в формулу бинома. Но наше общее выражение с одинаковым успехом
применяется и тогда, когда уравнение является многочленным'), или
даже трансцендентным, и даёт бесконечный ряд, который выражает
значение корня. Так как именно в этих случаях и сказывается вся
сила этой общей формулы, то мы покажем здесь несколько подробнее
способ её применения. Пусть, например, предложено многочленное
З'равнение, состоящее из трёх членов:
хп + сх = N,
1) В оригин шв: si . . aequatio fuerit affecta.
376 ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРЛВП.
где с и TV суть какие-либо данные выражения. Положим хп -\-cx-N = у:
тогда dy = {nxn~l + с) dx, откуда р=—п _L —; таким образом, мы имеем
_
dp =
п(п -i)xn--dx
Так как г = ~, s~y- и т. д., то подобным образом находим
_ «"- (п - 1) Bга - 1) х'-п'А - п (п - 1) (га - 2) схп~а
г — ____-_. _
- га3 (га — 1) (Зга — 1)('_'ге — 1)?3"~8 -1-4га2 (га — 1)(га -- 2) Bга — I) сх-п~
п (п - 1) (п - 2) (га - 3) с2.*
I _ п3 (га - 1) (га - 2) Bга - 1) B9га - 11) cxin~7 - \
\+пЦп-1)(п-2)Bп-
У _ п (П — 1) G1 — 2) ( П -
га-29) Л
..'1—5
и т. д.
После того как найдены эти значения, корень предложенного урах;-
ыения представится в виде
/ = х—ру+ .^qy'' — (-гу3 -|- ^^sy* — --q 1УЪ \' п т- Д•
Какое бы число мы ни подставили вместо х, — после этого и буквы
г/, р, q, r, s и т. д. получат определённые значения,—сумма ряда
будет равна значению одного из корней.
Пример 1
Пусть предложено уравнение х3-{-2х — 2.
Здесь с = 2, N = 2, п = Ъ и у3-\-2x--2.
Положим ? — 1; тогда у =--1 и
= I q -^ — А. г =.-= 71') я = -И^* и т д.
Корень уравнения будет
^ = 1_^_. |___|i-_ и т. д. = 0,771072 г).
Положим теперь х = 0,77; так как у-.-х3+2х — 2, то
s= —2160jDV-f 720р'ж.
В первом «здаиип r-v*-, /- 1—?- - - т- — ^—^ и т. д. = 0,/,07-"«1.
ГЛ. IX. U ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРЛВН. 377
Логарифмируя, будем иметь:
Is = 9,886490 7 х =0,77
1^ = 9,772 9814 х! = 0,592 9
J ж" = 0,059472 1 xs = 0,456 533
2^ = 1.54
х3 + 2х= 1,996 533
у = —0,003 467
Следовательно.
1(—у) = 7,539 953 8 : 'х% + 2 = 3,7787
1 р = 9,422 657 5 1 (Зх2 -\- 2) = 0,577 342 4
J (— Ру) = 6,962 611 3 —РУ = 0,000 917 511
1.г = 9,886 490 7
13--=0,477 1213
I if -- 5,079 907 U
1 ( — -г '/У2) ^-711 492 1 — * ^г/5 = 0,000 000 514
Следовательно, корень / = 0,770 916 997. что лишь в последнем знаке
может содержать ошибку.
При м е j) 2
Пусть предложено уравнение х*— 2аг" + 4а; = 8.
Положим y = xi — 2x* -t 4a; — 8; будем иметь
1 dp — Зх2 4-1
^"=;
— х -М), p--=,-
(х3 - х 4-1) ' dx 4 (х3 - х 4-1J '
следовательно,
? ^ 16 (x3-ж-t-IK" ' 5ж" ""' " ~ 16 (x3 - x 4-1L и r = 4(ж->-ж-г1)* И Т" Д'
Отсюда будем иметь корень предложенного уравнения
, , у (Зх2-1Ь/3 __ Gж4 —4х2--2х_4 1) ?/3 _
Теперь нужно дать количеству х удобное значение, чтобы наш ряд
стал сходящимся. Прежде всего ясно, что если количеству дать
такое значение, при котором х3—х 4-1 = 0, то все члены ряда, кроме
первого, станут бесконечными, и значит, мы не сможем получить
никакого результата. Следовательно, нужно дать количеству х такое
значение, чтобы у оказалось малым, а х3 — х-\-\ не слишком малым.
Пусть х 1; тогда у— —5 и
, , 5 23 125
/¦—l-f-- 77 + 77 " '• '1'
г,, 5 25 , 125 ,
1 ак как три члена - ¦, — —; , -j-~^-образуют геометрическую прогрессию,
¦г> - .. , . Г» ,.
сумма которой есть — , го приближенно будс'М иметь / =-,- . !1оло;:сим
ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВП.
3 -
поэтому а; = —; будем иметь
23
=-1б и
23
откуда
Положи.м теперь a;=l,61j тогда будем иметь
1 ж = 0,206 825 9 х = 1,61 Пусть х3 - х + 1 = z
Jar = 0,413 651 8 я* = 2,5021
1 ж3 = 0,620 477 7 ж8 = 4,173 281
1 ж4 = 0,827 303 6 ж4 = 6,718 983;
1( — у) = 8,401 693 4 отсюда
lz= 0,551 8502 у= -0,025217
2= 3,563 281
f = 0,001 769 2
Зя31 - 6,7763
14 = 0,602060 0
1-7-^=7,247 783 2
4г
1 (За;2-1) = 0,830992 6
1^ = 6,803 3868
7,634 379 4
Ь3 = 1,655 550 6
5,978 828 8
132 = 1,5051500
3
-
Ш_ = 0;000 002 976.
4,473 6788
Следовательно, /=1,611766 2").
242. Этот метод разыскания приближённых корней уравнения
таким же образом применим и к трансцендентным количествам. Пусть,
например, мы ищем число х, логарифм которого, взятый по какому-
либо основанию, относится к самому числу, как 1 к п. Тогда мы
получаем уравнение х — п\х — 0. Пусть к есть модуль этих логарифмов,
так что эти логарифмы можно получить умножением гиперболических
к dx
логарифмов на к. Тогда будем иметь d\x = . Положим, следова-
следовательно, х — п\х = у и пусть / есть искомое значение количества х,
при котором х=п\х. Тогда будем иметь
, , kridx dx(x — kn)
dil — dx = ' '
J XX
x) В первом издании /=—+— — -- + -.,. * r ¦ - и т. л. =---1,61. Исправил
Г. Ковалевский.
Ь^ ^°i | (^lrJ-pll = о,000 003 952. Сяодопа-
2) В первом издании 1 32 = -Ь^' ^°-i
'»,77 t /0» о
тольио, /-^1,611763 2. (Г. К.)
ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВН. 379
и
d.r х , кп dx
¦3- = v — , откуда ар = — -- —,—- ;
ау ' х — кп' - г (ж —/спJ'
1'ледовательно,
dp — кпх ,_ Iknx dx-t-k2n'dx
dj " q ~~ (x~^krif ' q = (x-kn)i '
dq knx Bx -j- kn)
Ti = '"=—H—, . и т. д.
di/ (x — knf '
Поэтому мы получаем
, xi/ knxif- кпхи3Bх+ kn)
1 x — kn 1(x-knf Ь(х-1т)* Д-
Ниже (§ 272) мы покажем, мто эта задача имеет решение лишь в том
случае, если кп > е, где е есть число, гиперболический логарифм
которого равен 1, т. е. должно быть кп > 2,718 281 8.
Пример
Пусть ищется число, неравное 10, табличный логарифм которого
равен десятой части самого числа.
Так как в задаче речь идёт о табличных логарифмах, то будем
иметь к = 0,434 294 481903 25 и, так как п = 10, будем иметь
&/г = 4,3429448190325. Положив теперь х = 1, будем иметь у—\, и
получим
, . . 1 , 2,171472'.
^!=1+3T3T29 +-( " " Д
Таким образом, приближённо будем иметь /=1,37. Положим, следо-
следовательно, 2 = 1,37; будем иметь 12 = 0,136 720 567156406 и, так как
у = z — 1012, будем' иметь у = 0,002 794 328435 94 и — х + кп =
= 2,972 944819 032 5.
Следовательно,
12 = 0,136 7205
1 у = 7,446 277 3
7,582 997 8
1 {кп-х) = 0,473 1866 _ху __
7,1098112 х~кп~
— кпху* кпу —ху g.
Гак как, далее, третий член есть 2(х-кпУ== 2(х-кп? ' x-U'r0бУдем
иметь
1-—*—= 7,109 8112
\у = 7,446 277 3
1 Ли = 0,637 784 2
5,193872 7
1(Аи-ж)а = 0,946 373 2
"J2474995
12=0,301030 0
380 ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРЛВ11.
1 третьего члена = 3,946 469 5
I член х = 1,37
II член =0,001287 69
Ш член =0,00000088
/= 1,371288 57
1 / = 0,137 128857.
243. Если уравнение будет показательным, его можно привести
к логарифмическому; так, если ищется такое значение х, при котором
хх = а, то будем иметь х\т =] а. Поэтому, положив у==х\х—la
получим
dy = dxlx + dx и ^ = /)=гТТТ^;
далее
, _ — dx dp — l
dx 3dx dq 1
так что =¦/• =
т^ , так что ,- = г — —
Далее будем иметь
, - idx Шх I'd
= ,,.3/1 у 1 х\* ' gs/t . ia;45 х'ЧгГ'-
Следовательно,
-2 10 15
S—— __. __
-> , 4 IT \ ".
Х3A+1.г)"' x3(L-rlxN x'(l--lxO
6 40 105 105
— 2't 196 700 12 '.П 9ir>
U = -
Таким образом, если истинное значение х равно /; так что f—a,
то будем иметь
~
8х3A pi*O 8ж4A t-
5/у4 7 у5
_
-|-J жI ~ 12^A + lx 6 tTx1 A-1-
20х'A !-
и т. д.
Это выражение, продолженное до бесконечности, какое бы зна-
значение х ни подставить в него, если взять y~xlx—la, даст истинное
значение /. Так, если положить ж = 1, то будем иметь у=—\а и
.. Aя> , 2AаK 9A а)* , Я2Aд)° 025Aа)«
а — -, g - - -г ^ Г4,-- и г. д.
Следует иметь в виду, что здесь 3 г/ есть гиперболический логарифм а.
ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВН. 381
II ]) и м е ])
Пусть ищется такое число /. для которого f= 1U0.
Так как « = 100 и у -= х\х — \а — х Ух — 1100, то, поскольку оче-
п
видно, что />3 и < 4, положим х ~".> • тогда будем иметь
1ж= 1,25276290849
х\х= 4,384 670389 72 ')
1100= 4,605 170185 99
г/ = —0,220499 796 27 х)
1 + 1ж = 2,25276296849.
Пользуясь обыкновенными логарифмами, будем иметь
1 (-у) = 9,343 408 3
1A + 1 ж) = 0,352 715 6
8^90692 7 1"L = 0'0978797
1гГ = 8,686 816 6
31 A + 1 х) = 1,058 1468
= 7,628 6698
12, = 17 = 0^845
6,7835718 "жA + 1ж)
Следовательно, приближённо будем иметь /=3,597 272 2. Если же
сверх этого взять следующие члены, то будем иметь / = 3,597 285 2.
244. Дифференциальное исчисление приносит, кроме того, очень
большую пользу при решении таких уравнений, для которых заранее
известно некоторой соотношение между их корнями. Пусть предло-
предложено уравнение у = 0, в котором у есть некоторая функция от х.
Если известно, например, что два корня этого уравнения разнятся
друг от друга на данное количество а, то эти два корня легко
находятся следующим образом. Пусть х есть меньший из этих корней;
тогда больший будет равен х-\-а. Поскольку функция у исчезает,
когда х есть один из корней уравнения у~0, у будет также исчезать,
если вместо х подставить х-\-а. Поэтому будем иметь
А , ady azdhi . о3 сГ-у
Так как у — 0, то мы будем отсюда иметь также
л dif ad'-i/ , a'2 d3y , a3 d*u .
d7"i~~2dxT~r~Galc>~r'nJJt '" " т- д-
Эти два уравнения, взятые совместно, с помощью метода исключе-
исключения дадут значение того корня х, который меньше другого на ко-
количество а.
*) В первом издания х 1 ж = 4,384 670 349 Г1 . . . >)¦-= - 0,220 499 83G 27. Испра-
Исправил Г. К.
382 ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ .УРАВН.
Пример
Пусть предложено уравнение хъ— 24а3 + 49а:2— 36 = 0 и пусть
откуда-либо известно, что оно имеет два корня, разнящихся на единицу.
Положив у = Xs — 24а;3 -f- 49a;2 — 36, будем иметь
d'y _,
Так как я = 1, то будем иметь
А 5а:4 + 10а;а — 62а:2 + 31а; + 26 = 0.
Но мы имеем
В a;5 — 24z3-j-49ж2 — 36 = 0.
Помножим верхнее уравнение на х, а нижнее на 5 и вычтем одно
из другого. В остатке получим
1 Оа;4 + 58а;3 - 214х3 + 26а; + 180 = 0
или
С 5а:4 + 29а;3—107х2+13а:+ 90=0.
Вычитая отсюда первое уравнение А, получим в остатке
# 19а;»-45а.2-18а;+ 64 = 0
О-Ъх 95а;1 —225а;3 —90а;2+-320а; = 0
-4-19 95а;4+ 190*3-1178а;2+ 589я +494 - 0
Е 415а,8 — 1088а:2 + 269а; + 494 = 0
#•415 7885а;3-18 675а:2-7470а;+ 26 560 = 0
?•19 7885а;3-20 672а;2+ 5111а:+ 9386= 0
F 1997а;2 -,12 581а: + 17 174 = 0
#•247 4693а:3—И 115а:2-4446а:+15 808 = 0
?•32 13 280а:3-34 816а:2 + 8608а;+15 808 = 0
858Ъ3 - 23 701л;* + 13 054а; = 0
G 8587а:2 - 23 701а; + 13 054 = 0
F ¦ 8587 ... 17 148 239а;2 — 108 033 047а; + 147 473 \ 38 = 0
О- 1997 . . . 17 148239а:2-47330897а;+ 26068838 = 0
60 702 150а- — 121 404 300 = 0
Ил этого уравнения следует, что а; = 2 и потому а:=3 также будет
корном уравнения. Оба эти значения удовлетворяют уравнению.
245. Эти действия можно выполнить и без помощи дифференциаль-
дифференциального исчисления, ибо то же самое уравнение, которое даёт дпффорен-
ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВН. 38:>
циальное исчисление, получается, если в самом предложенном уравнении
положить х-\-а вместо х. Впрочем, этот метод исключения слишком
утомителен, и если бы уравнение имело более высокую степень, то работа
была бы совершенно непосильной; тем более этот метод может иметь
место для трансцендентных уравнений. Но если мы положим, что два
корня предложенного уравнения равны между собой, тогда, в силу
а = О, дифференциальное уравнение принимает вид -—¦ =0. Таким
образом, всякий раз, как уравнение у = 0 будет иметь два равных
корня, мы будем иметь -j- = О, и эти два уравнения, совместно взятые,
дадут то значение х, которому равны оба корпя. Отсюда, обратно,
если два уравнения у = 0 и -~ = 0 имеют общий корень, то он будет
двойным корнем уравнения у = 0. А это имеет место в том случае,
если после того как количество х будет совершенно исключено из двух
уравнений i/ = 0 и ^ = 0, мы нридём к тождественному уравнению.
Так, пусть предложено уравнение
Мы будем иметь также За;2 — 4а;—4 = 0. Если второе уравнение удвоить
и сложить с первым, то получится
х3 + 4хг — 122 = 0 или хг + 4х — 1.2 = 0.
Утроив, находим
Зх*-т 12а;-36= 0
вычтем
За:2- 4а;— .4 = 0
16:гГ--32~=0. ~
Так как мы получаем х =2, то подставим это значение в одно из пре-
предыдущих Зх"' — 4а; — 4 = 0; получаем тождественное уравнение 12—8 —
— 4 = 0. Отсюда заключаем, что предложенное уравнение ж3 — 2а;2 —
— 4а;+ 8= 0 имеет два равных корня, каждый из которых равен 2.
246. Итак, если мы имеем алгебраическое уравнение скольких
угодно измерений J)
x" + Ax"-1 + Bxn-- + Cxn-3 + Dx"~i+ и т. д.-0,
которое имеет два равных между собой корня, то мы также будем
иметь
па;"-1 + (и — 1) Ах'"' + (п — 2) Вхп~3 + (га — 3) Схп~1 + (га — 4) Dxn~b -f
¦-)- и т. д. = 0.
Иначе говоря, двойной корень первого уравнения будет в то же время
корнем второго уравнения. Помножим первое уравнение на п, второе
на х и вычтем ил первого. Получим следующее новое уравнение:
Ах' -\-2Rx'1-2 •:-'ЛСхп-3 + Шхп 4+ и т. д. г=
!) Т. (. какой угодно степени.
384 ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ПСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВН.
Сложим теперь первое уравнение, умнож'чшоо на а. и последнее,
умноженное на 6. Будем иметь
axn + {a + b)Axn-1 + {a + 2b)Bx'>-2 + (a + 3b)Cxn's+ и т. д. =0.
Это уравнение, взятое совместно с первым, обнаружит наличие равных
корней, если предложенное уравнение имело их. Так как количества
я, Ъ можно взять по произволу, то коэффициенты а, а + Ь, а + 26 и т. д.
составляют произвольную арифметическую прогрессию. Поэтому, если
предложенное уравнение имеет два равных корня, то они будут найдены,
если отдельные члены уравнения помножить соответственно на члены
какой-нибудь арифметической прогрессии; новое уравнение, полученное
таким образом, будет также обладать тем же корнем, который является
двойным корнем предложенного уравнения. Так, уравнение
хп + Ах11'1 + Вх"-2 + Схп~г + Dxn'1 + и т. д. =0,
если его члены помножить на арифметическую прогрессию
а, а + 6, а + 26, а + 36, а+ 46 и т. д.,
даст новое уравнение
ax'l + {a + b)Axn~1 + {a + 2b)Bx'l-2 + C(a + 3b)xn->+ и т. д. =0.
Это уравнение, взятое совместно с первым, обнаружит наличие равных
корней. Это есть хорошее известное правило для разыскания равных
корней какого-либо уравнения.
247. Если уравнение у = 0 имеет три равных корня, то будем
иметь не только -т^-= 0, но также и -,~ = 0, если вместо х подставить
значение того корня, который является для уравнения у = 0 тройным.
Чтобы показать это, положим, что уравнение у~0 имеет три корня
х. х + а и х + 6, которые сначала пусть отстоят друг от друга па конечные
интервалы а и 6. Так как у исчезает, если вместо х положить а; + а
или х + 6, то будем иметь
adif a2d2i/ a3d3y а4Aгц ,
¦'/ + -ЛГ + -:Ш*-+W-+ 2W^+ « т. Д. ^ 0.
hdi/ b-d^-u
Если от каждого из двух последних уравнешга отнять первое, будем
иметь
dii ad'1!/ a2d3y addty A
dx + W + "W + ^ + И Т. Д. = 0,
d,j bdh, ЪЧ1"у ,аЧ^ (
Вычтем одпо из этих уравнений из другого и разделим на а — Ь, тогда
будем иметь
dhi (a + b)d3y , <a2 t- ah 4- Ь-) dly „
Положим теперь а = 0 и 6=0, так что теперь три корня равны между
соГой. Так как всо члены, кроме первых, теперь исчезают, то будем
иметь
у = 0, ^=0 и |-?-,--0.
J dx dx%
ГЛ. IX. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕР. ИСЧИСЛ. К РЕШЕНИЮ УРАВН. 385
243. Итак, всякий раз, как уравнение у = 0 имеет три равных
корня, скажем, /, / и /, ото количество будет также корнем не только
уравнения -7^=0, но и уравнения --,— —0. Отсюда ясно, что, так как /
есть общий корень уравнений -~ = 0 и его дифференциального уравне-
d2y „ ,
ния -т-у = U, то на основании того, что выше было доказано о двойных
равных корнях, / должн
Поэтому, если уравнение
равных корнях, / должно быть двойным корнем уравнения -, - = 0.
2 + Cxn-3 + Dxn~i+ и т. д. =0
имеет три равных корпя /, / и /, то, если члены его помножить
на члены какой-либо арифметической прогрессии, получаемое в резуль-
результате уравнение будет иметь два равных корня / и /; поэтому его можно
снова помножить на какую-либо арифметическую прогрессию, и тогда
получим уравнение, имеющее то же количество / простым корнем.
Таким образом, получатся три уравнения, имеющие общий корень /.
Комбинируя их, легко этот корень исключить. Если выбрать такие
прогрессии, у которых либо первый, либо последний член равен нулю,
тогда получим уравнение, степень которого на единицу ниже, и таким
образом исключение можно будет выполнить легче.
249. Подобным образом можно показать, что если уравнение г/=0
имеет четыре равных корня, /, /, /, /, то положив x = f, мы будем
иметь не только у= 0, -/ = 0и ~гт=0, но также -г~ =0. Иными
f ' dx dx,- ' dxi
словами, если уравнение у — 0 имеет четырёхкратный корень x = f,
то уравнение *-—-—() имеет этот корень трижды, уравнение -^ =0 —
дважды и уравнение ~~л =0—однократно, ото легче усмотреть, если
обратить внимание на то, что функция у в этом случае должна иметь
вид (х — fyX, где А' есть некоторая функция от х. Если мы возьмём
её в этом виде, то будем иметь
так что можно разделить па (а;—/K. Далее таким же образом -j-y2
будем иметь множитель (ж — /K и -~г —множитель х—/; из этого ясно,
что если корень x — f входит в уравнение у = 0 четырежды, то он
в уравнение -?- = 0 должен входить трижды, в уравнение -^- = 0 —
d-'ij 1Л
дважды и в уравнение -j-^.— O —однократно.
25 л. Эйлер
ГЛАВА X
О МАКСИМУМАХ II МИНИМУМАХ
250. Если функция количества х составлена так, что при возрастании
значения х она всё время возрастает иль всё время убывает, то эта
функция не имеет ни максимума, ни минимума. В самом деле, какое бы
значение этой функции ни взять, последующие значения будут больше,
а предшествующие меньше. Такой функцией является, например,
функция х3 + х, значение которой при возрастании х возрастает, а при
убывании х убывает; следовательно, эта функция может иметь максимум
лишь в том случае, если задать количеству х максимальное, т. е.
бесконечное значение. Подобным же образом она получит минимальное
значение, если положить х=—оо. Но за исключением этого случая,
когда функция составлена так, что при возрастании х она всё время
возрастает или всё время убывает, она где-либо будет иметь макси-
максимальное или минимальное значение, т. е. такое значение, которое либо
больше, либо меньше, чем предшествующие и последующие значения.
Так, функция х2—2я+3 = 0 имеет минимальное значение, если поло-
положить х=1; действительно, какое бы другое значение мы ни дали
количеству х, функция всегда будет иметь большее значение.
851. Чтобы яснее усмотреть свойство максимумов и минимумов,
положим, что у есть такая функция от х, которая получает макси-
максимальное значение, если положить ж = /. Понятно, что если положить ж
большим или меньшим, чем /, то получаемое значение количества у
будет меньше, чем то, которое оно принимает при ? = /. Подобным
образом, если при x = f функция- у получает минимальное значение,
необходимо, чтобы, положив х либо большим, либо меньшим, чем /,
мы получали всегда большее значение количества у. Таково опреде-
определение абсолютного максимума или минимума. Но кроме того, говорят,
что функция у принимает максимальное значение, например, при x = f,
если это значение функции больше, чем те последующие или предше-
предшествующие, которые получаются, если у положить лишь немного боль-
большими или немного меньшими, чем /, хотя бы при подстановке других
значений х функция принимала гораздо большие значения. Подобным
образом, говорят, что функция у принимает минимальное значение
при x = f, если это значение функции меньше, чем те, которые она
принимает, если вместо х подставлять либо ближайшие большие, либо
ближайшие меньшие, чем /, значения. В этом втором смысле мы в даль-
дальнейшем и будем употреблять термины «максимум» и «минимум».
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ :]87
252. Прежде чем будет показано, как находить эти максимумы
и минимумы, следует отменить, что это исследование имеет г.кч-ло
собственно лишь по отношению к тем функциям, которые мы i-ыше
назвали однозначными и которые составлены таким оОргзом, что ;-..я
каждого значения х они принимают лишь одно значение. Двузначными ;>;<;
и многозначными функциями мы назвали такие функции, которые д.гя
отдельных значений х имеют два или большее число значений; та.-?; ми
функциями и являются, например, корни квадратных уравнений и урав-
уравнений большего числа измерений. Если у является такого род;' ;\ ,у-
значной или многозначной функцией от х, тогда, собственно, 1;е,..:/;я
сказать, что она принимает наибольшее или наименьшее значение i.pn
x=f. Действительно, при x—f она получает два или большее число
значений одновременно, точно так же и предшествующих и последующих
значений она имеет несколько, и судить о максимуме или минимуме
становится не так легко, разве что значения функции у, отвечающие
отдельным значениям х, все, рроме одного, являются мнимыми; в этом
случае она имеет обманчивый иид однозначной функции. Итак, сначала
мы рассмотрим однозначные функции и то функции, которые имеют
обманчивый вид однозначных; потом только мы укажем, каким образом
следует применить полученный критерий к многозначным функциям.
253. Итак, пусть у есть однозначная функция от х; поэтому,
какое бы значение ни подставить вместо х, она получает всегда тотько
одно действительное значение; пусть х есть то значение, которое даёт
функции у наибольшее или наименьшее значение. В перыж случае,
если вместо х подставить либо ж + а, либо х—у., значение у будет
меньше, чем если положить а=0, во втором же случае—больше.
Но так как, если подставить ж-f-oc вместо х, функция у переходит в
a dy а3 с\ги а3 d3y
а если положить ж —а вместо х, функция у переходит и
ad у я2 dhj а3 с?3// ,
то необходимо, чтобы в случае максимума было
ad» a2d2u a3d3y
a di/ a-d2y a3 dsy
В с.а^чае ;ке, если значение у есть минимум, будем иметь
a dii a2 d'li а3 dsy
У<У + Si~ + -щг + -щг + и т- д-'
. ady а'-d2?/ a"'d3y
У<У~ ^ЬГ + W-~-65^»- + и т- д-
254. Так как это должно иметь место тогда, когда а есть очень
малое количество, то положим а столь малым, чтобы можно было
отбросить его высшие степени; тогда как для случая максимума, так
- a. dy /л г.,
и для случая минимума должно будет иметь место —т^- = 0. 1аьим
25*
388 1'Л. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
,- a d и .
ооразом, если , но оудет равно нулю, то значение у не может быть
ни максимумом, ни минимумом. Таким образом, мы получаем для
нахождения как максимумов, так и минимумов такое общее правило.
Нужно положить дифференциал предложенной функции у равным нулю,
и тогда то значение х, которое даёт для функции максимальное или
минимальное значение, будет корнем этого уравнения. Остаётся, однако,
неизвестным, будет ли найденное значение у максимумом или мини-
минимумом; более того, может оказаться, что у ие будет ни максиму-
максимумом, ни минимумом. Ведь мы нашли только, что в том и другом
случае будет -^- = 0, но мы не утверждали, что всякий раз как -— = О,
у получает наибольшее или наименьшее значение.
255. Однако для разыскания тех случаев, когда значение у оказы-
оказывается наибольшим или наименьшим, нужно прежде всего выполнить
эту операцию, т. е. приравнять дифференциал предложенной функции
нулю и пайти все корни уравнения -,— = 0. Затем, когда корни будут
найдены, нужно будет посмотреть, какой из них даёт функции максималь-
максимальное или минимальное значение, или никакой ие даёт ни максимума, ни
минимума. Мы покажем, действительно, что возможны случаи, когда
dy „ , г
нет ни максимума, ни минимума, хотя и имеет место :jr = '-'. 11>сть
/—то значение, или одно из тех значений, которое мы получаем ш
уравнения
d" — ft
Подстасим э;о значение л выражения -,-т , -г— и т. д.. п пусть в ре-
результате, этой подстановки
dhi dh/ d4i)
Пусть функция у, если положить / вместо х, переходит и F; тогда,
если вместо х положить f+эс, эта функции перейдёт в
7' :>%'Р ri*Q-\- 2iaV-r и т. д.;
если же вместо х положить / — а, она перейдёт в
Ь '- .,х~р— Qa<7+ .„ orr— и т. д.
Отсюда ясно, что если р будет количеством положительным, то оба
значения будут .меньше, чем F, по крайней мере, если а есть очень
малое количество: поэтому значение F, которое функция принимает
при x-=f, будет минимумом. Если жо р есть количество отрицатель-
отрицательное, тогда пр;т х — f функция получает максимальное значение.
250. Если же р — 0, тогда нужно посмотреть, каково значение
количества q. Если оно но будет равно нулю, то значение у не будет
пи максимумом, ни минимумом; ибо, положив х— / -|- с, мы будем иметь
/¦'+ тг^ЧУР) а положив x — j — а, будем иметь F— -.s.sq<CF. Если же
и q = 0, то нужно посмотреть, каково значение количества г; если оно
будет положительным, то значение F, которое функция принимает
при x-~j, будет минимальным; если же г имеет отрицательное зпаче-
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ 389
ние, то F будет максимумом. Если же также и г исчезает, то ответ
на вопрос нужно искать, рассматривая значение следующей буквы s, совер-
совершенно так же, как раньше мы делали это по отношению к букве q. Именно,
если s не будет равно нулю, то функция не будет пи максимумом, ни мини-
минимумом. Если же также и s = 0, то следующая буква t, если ока будет
иметь положительное значение, укажет, что имеет место минимум;
если же она будет иметь отрицательное значение, она укажет максимум.
Если же и эта буква t исчезает, то для решения вопроса нужно посту-
поступать совершенно так же, как мы делали л предыдущих случаях. Таким
образом, о каждом корне уравнения ¦,-'- = 0 мы сможем сказать, даёт ли
он функции у максимальное или минимальное значение, или не даёт
ни того, ни другого; и таким образом можно будет найти все макси-
максимумы и минимумы, которые может принимать функция у.
257. Если уравнение ~ = О имеет два равных корня, так что оно
имеет множителем квадрат (х— /J, то, если положить x = f, одновре-
одновременно исчезает и , ?', и мы будем иметь р = О, по q пе будет равно
нулю. Значит, в этом случае функция у не имеет ни максимума,
ни минимума. Если же уравнение -,- =0 имеет три равных корня,
т. е. ~ имеет множителем куб (х — /K, тогда, если положить # = /,
(tec
получим j^{ =0 и — =0, но j—i пе будет равно нулю. Значит, если
значение этого члена будет положительным, будет иметь место мини-
минимум, если же отрицательным, то максимум. Таким образом, высказан-
ныи ранее признак сводится к тому, что, если выражение ¦— имеет
множителем (х — /)", где п есть нечётное число, то функция у, если
в ней положить х = /, примет максимальное или минимальное значение,
если же число п будет чётным, тогда подстановка не даёт ни макси-
максимума, ни минимума.
258. Разыскание максимума и минимума часто не мало облегчается
следующими соображениями. В тех случаях, когда функция у имеет
максимум или минимум, какое-либо сё кратное ау, если а есть поло-
положительное число, также одновременно имеет максимум или минимум.
То же имеет место для у3, у5, у7 и т. д. и вообще для ауп, если п
есть нечётное положительное число, ибо эти выражения составлены
так, что они возрастают при возрастании у и убывают при убывании у.
Далее, в тех случаях, когда у является максимумом или минимумом,
— у, —ау, Ъ — ау и вообще Ъ — ау", где п есть нечётное положитель-
положительное число, будут, в обратном порядке, минимумом или максимумом.
Подобным образом, в тех случаях, когда у есть максимум или мини-
минимум, выражения -, —3, -5 и вообще ~ ± Ь, где а есть положительное
количество и п есть нечётное положительное число, дадут, в обратном
порядке, минимум или максимум. Если же а будет отрицательным
количеством, тогда эти формулы дадут максимальное значение, если у
есть максимум, или минимальное, если у есть минимум.
259. Эти заключения нельзя в неизменном виде перенести на чёт-
чётные степени; действительно, если у принимает отрицательные значения,
то его чётные степени получают положительные значения; поэтому
390 ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
может случиться, что в то время, как у принимает минимальное
значение, именно значение отрицательное, его чётные степени стано-
становятся максимумами. При этих обстоятельствах мы можем утверждать,
что если у будет максимумом или минимумом, имея положительное
значение, югда и его чётные степени у%, г/4 и т. д. будут также макси-
максимумами или минимумами, если же максимумом будет отрицательное
значение у, тогда его квадрат у'' получит минимальное значение,
и обратно, если отрицательное значение у будет минимумом, тогда
У'1} 2/4 и т- Д- будут максимумами. Если же показатели степени коли-
количества у будут отрицательны, тогда произойдёт обратное. Впрочем,
то, что здесь было сказано о чётных и нечётных показателях, имеет
место не только для целых чисел, но и для дробей, знаменатели кото-
-15 7 13
рых являются нечетными числами; в этом вопросе дроби -, -, -, й, F
о о о о о
¦л -24246
и т. д. равносильны нечетным числам, дроби же -, 5, =, -, - и т. д.—
о о О О 7
чёчным,
260. Если же знаменатели будут чётными числами, тогда, поскольку,
1 3
когда у имеет отрицательное значение, его степени у2, ?/* и т. д. будут
мнимыми, — о них можно утверждать лишь следующее: если положи-
положительное значение количества у будет максимумом или минимумом,
1 3 1
тогда также у1, у2, у и т. д. равным образом будут максимумами или
_1 _a _i
минимумами; напротив, у *, у '1, у * и т. д. — минимумами или макси-
максимумами. По так как эти иррациональные количества имеют одновременно
два значения, одно положительное, а другое —отрицательное, то для
отрицательных значений нужно будет утверждать противоположное тому,
что здесь было сказано о положительных. Если же отрицательное значение
количества у даёт максимум или минимум, тогда, поскольку все
рассматриваемые степени становятся мнимыми, их нельзя причислить
ни к максимумам, ли к минимумам. С помощью вышеизложенных
соображений становится часто очень лёгким разыскание максимума
и минимума, которое иначе было бы чрезвычайно трудным.
261. Так как вышесказанное в первую очередь относится к рацио-
рациональным функциям, ибо только они одни являются однозначными *),
то прежде всего мы рассмотрим целые функции и отыщем их максимумы
и минимумы. Так как такие функции можно привести к виду
xn + Axn-1-'rBxn~t + Cxn-3-\r и т. д.,
то прежде всего ясно, что их значение не может быть больше чем
то, которое получится, если положить ж = оо; далее, если ж ——оо,
то ота формула принимает значение, равное оо", если п есть чётное
число, к —оэ'!, если п есть число почётное; тогда последнее значение
х) Г. Ковалевский в примечании к этому мосту замечает, что n S 10 первой главы
«Во.¦;],".;ия в анализ», а таьжо в начале § 268 «Дифференциального исчисления»
Эйл'[) увязив ют на еущ^стиозашю траиоцоидеит пых однозначных фуньций. М.ю
кажется, что данноз место не противоречит этим высказываниям Эйлера. Говори
и том, что рацюлальлыо фу.шции од.хи только являются однозначными, Ойле,)
нротиплтпетявляот пу. не трансцоы (Опт лыл, а «иррапиональныч функциям >, 1;отор'.<
(ом. § 10 «Вводония») но Эйлеру, «все являются многозначными, потому что
:<[щи радикалов обладают неопределсилостью».
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
391
будет самым минимальным из всех. Кроме того, однако, часто суще-
существуют другие максимумы и минимумы в том смысле этих слов, который
мы им приписали. Поясним это следующими примерами.
Пример 1
Найти значения х, при которых функция (х — а)" становится
максимумом или минимумом.
Положив (х— а)" = ?/, будем иметь
а?+»(*-«)"-.
Положив это равпым нулю, получим х = а. А так как -Л имеет мно-
жителем (х—а)", то из § 257 ясно, что у может быть максимумом
или минимумом лишь в том случае, если п — 1 есть нечётное число,
т. е. п есть число чётное. Так как в этом случае мы имеем
т. е. у есть число положительное, то, следовательно, значение у при
х — а будет минимальным. В этом легко убедиться, ибо при х~а
мы имеем у = 0; если же х положить большим или меньшим, чем а,
то так как п есть чётное число, то у получит положительное значе-
значение, т. е. значение, большее нуля; если же п есть нечётное число,
то функция у = (х — а)" не имеет ни максимума, ни минимума. Далее,
очевидно, что то же самое имеет, место, если п есть число дробное,
чётное или нечётное, а именно, (х — а)*/ становится минимумом
при х = а, если а есть число чётное, a v — нечётное; если же оба эти
числа нечётные, то не будет пи максимума,, ни минимума.
II р и м о р 2
Найти случаи, в которых значение формулы х% + 3а; + 2 становится
максимальным ила минимальным.
По.южим хй-\- Ъх-\- 2 = у\ тогда
dy
d~v
Положим, следовательно, 2жрЗ=-0; получим ж= — -. Даёт ли этот
случай максшлум или минимум, мы должны узнать из значения
^-—^=1; так как оно положительно при люоом х, то мы имеем минимум.
Т-, 3 1
Ьсли положить х— — -, то получаем у= —т, если же количеству х
мы будем приписывать какие-либо другие значения, то будем всегда
получать значения у, большие, чем — у . Так же и из природы самой
формулы х2-г'ох-}-2 ясно, что она должна иметь минимальнее значение;
действительно, так как она возрастает до бесконечности как при х = ос,
так и при х— —со, то необходимо, чтобы некоторое значение коли-
количества х давало бы количеству у минимальное из всех значений.
392 ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
Пример 3
Найти случаи, в которых выражение х3— ах2-\-Ьх — с получает
максимальное или минимальное значение.
Положив у =- Xs — их2 + Ъх—с, будем иметь
j- = ox' — lax 4-b и -^тЧ, =•. x — a, -у-, -- i.
Положив -— = 3a;2— 2aa; + 6 = 0, будем иметь
a± Yat-ЪЪ
Отсюда ясно, что предложенная формула не будет иметь ни максимума,
ни минимума, если только не будет а2 > 36. Если же а2 > 36, то в одном
из случаев будет максимум, в другом — минимум. Действительно, мы
имеем
а ...
откуда видно, что если не имеет места а = ;о, то значение х =
О
делает формулу у = хя — ах2 + Ьх — с минимальной, а значение х =
= —максимальной. Найдём теперь, каковы будут эти значе-
о
2 1
ния количества у. Так как Зх2—2ах + Ь = 0, т. е. Xs— % ах1 -\- - Ьх — О,
то будем иметь
1 4>
2/= — ^ах2+ ^Ьх — с;
1 2 2а2 аЪ
а так как - ах — х -\- -— , то
2/о, „. , аЪ 2а (а2 - 36) -^ 2 (а2 - 36) У~а* — ЭЬ аЬ
у=-(ЗЬ-а*)х+ - -с= 27 Т — '27 ; + Т ~С
или
2а3 а?? т- 2 / ¦• ом!
где верхний знак нужно взять для минимума, а нижний — для макси-
максимума.
Остаётся ещё случай а2 = 36; так как в этом случае ^1 = 0, а сле-
следующий член г-Д = 1 не равен нулю, то, следовательно, в этом случае
предложенная формула не будет принимать ни максимальнрго, ни мини-
минимального значения.
Пример 4
Найти случаи, в которых функция х* — 8a;3-f 22a; — 24а;+12 коли-
количества х становится максимальной или минимальной.
Положив у = х1 — 8х" + 22аг — 24а; +12, будем иметь
g = 4х3 - 24** + 44* - 24, g = Qx* - 24* + 22.
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ ,493
Теперь положим
^| = 4а;3 — 24а;2 + 44а; — 24 = О или х3 — 6х2 + Их — 6 = 0.
Мы получим для х три действительных значения
I. х = 1, П. х = 2, III. х=:3.
Из первого значения получаем ~-2 =4; поэтому при х= 1 предложенная
функция становится минимумом. Из второго значения а; = 2 получаем
^-т~ = — 2, поэтому предложенная функция имеет максимум. Из третьего
значения х=3 получаем ~^ = +4; поэтому предложенная функция
сноваг имеет минимум.
Пример 5
Пусть предложена функция у — х5— bxi + Ъх34-1; спрашивается,
в каких случаях она становится максимумом или минимумом.
Так как
^ = 5а;1 - 20а;3 + 15жг,
то составим уравнение х* — 4а;3 + Зж2 = 0; его корни суть
I и И. х = 0, III. з = 1, IV. ж=3.
Так как первый и второй корни равны, то они не дают ни максимума,
ни минимума; действительно, -р^ =0, но -,-~ не исчезает. Третий же
корень х= 1, так как ^~:г — №х3 — ЗОж2 + 15а; даёт —^-^ = — 5; следова-
следовательно, в этом случае функция становится максимумом. Из четвёртого
корня х = 3 получаем ^Д =45, так что предложенная функция яв-
ляется минимумом.
Пример 6
Найти случаи, в которых формула у = 10а;* — 12ж6 +15#4 — 20а;3 + 20
становится максимумом или минимумом.
Мы будем иметь
g = 60а;6 - 60а;4 f 60а;3 - 60а;2 и ^|т = Ъх1 - 4а;3 + За:5 - 2х.
Составим уравнение Xs — a;4 -f- %3 — а;2 = 0; так как, разложив его на мно-
множители, мы имеем хг (х — 1) (аг+1) = 0> то оно имеет два равных
корня х—0, затем корень а; = 1 и сверх того два мнимых корня, полу-
получаемых из уравнения ж2+ 1 = 0. Так как двойной корень х = 0 не даёт
ни максимума, ни минимума, то остаётся только рассмотреть корень
х—1, который даёт -^ = 2; это значение положительно, что указывает
минимум.
262. Таким образом, определение максимумов и минимумов зависит
от корней дифференциального уравнения -—¦ =0; наивысшая степень
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
этого уравнения на единицу ниже, чем степень предложенной функции у,
если, конечно, у есть целая рациональная функция. Ясно, что в общем
случае, если предлагается функция
хп + Ах11'1 + Вхп~-+ Cxn~s ¦lrDxn~i+ и т. д. =у.
го её максимумы и минимумы определяются корнями уравнения
пхп~х -|- {п — 1) -4х"^24- (п — 2) Вхп~3 J,- (п — 3) Схп^ -\- и т. д. =0.
Положим, что действительные корни а, р, у, о и т. д. этого уравнения
расположены в порядке их величины, так что а есть наибольший
корень, C <^ а, у<р и т- Д- Рассмотрим сначала случай, когда все эти
корни не равны между собой; тогда каждый из них даст предложенной
формуле у максимальное или минимальное значение и, следовательно,
функция у будет иметь столько максимумов или минимумов, сколько
действительных корней будет иметь уравнение ^=0. Если же два
или большее число корней будут равны между собой, то дело будет
обстоять так, что два равных корня не дадут ни максимума, ни мини-
минимума, тройные же корни будут равносильны одному; и вообще, если
число равных корней будет чётным, то отсюда не полз'чится ни макси-
максимума, ни минимума; если же это число будет нечётным, то отсюда полу-
получится либо один максимум, либо один минимум.
283. Какие корпи дают максимум, а какие минимум —можно опре-
определить и без помощи вышеизложенного правила. Так как функция у
при х = оо становится также бесконечной и так как в границах между
бесконечностью и а значения количества х не дают никакого макси-
максимума и никакого минимума, то очевидно, что значения функции у,
когда вместо х последовательно подставляются значения от оэ до я,
должны всё время убывать; поэтому значение х =d-\- ш даёт функции у
большее значение, чем значение х = а. Отсюда следует, что так
как х = а должно давать либо максимальное, либо минималь-
минимальное значение, то необходимо, чтобы в этом случае функция у стала
минимумом; значит, если х уменьшать дальше и положить ж-=ос —о>,
то значение количества у будет снова возрастать до тех пор, пока х
dii р.
но станет раытым р, т. е. второму корню уравнения т- = О, дающему
максимум или минимум. Поэтому этот второй корень х = [3 даёт ма-
максимум, и при значении х = р1 —ш функция у будет оставаться меньшей,
чем при ж —р, всё время, пока х не станет равным у. Следовательно,
последнее значение снова даст минимум. Из этого рассуждения ясно,
что первый, третий, пятый и т. д. корпи уравнения -.- дают мини-
минимумы, второй же, четвёртый, шестой и т. д. —максимумы. В то же
время отсюда ясно, что в случае двух равных корней максимум и мини-
минимум срастаются и, таким образом, не имеет места ни максимум, п\\
минимум.
264. Таким образом, если в предложенной функции
у = хп 4 Ахп~1 + Вхп~2 + Схп~% + и т. д.
наибольший показатель п будет чётным числом, то уравнение
dJl = nxn-i 4- (п — 1) Ахп~2 4 (п — 2) Яг-"-3 4 и т. д. = 0
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ 395
будет иметь нечётную степень и потому будет иметь либо один дей- •
ствительный корень, либо три, либо пять, либо иное нечётное их число.
Если действительным будет один корень, то он даст минимум; если
будут три действительных корня, то наибольший даст минимум, сред-
средний— максимум, а наименьший—снова минимум. Если же действи-
действительных корней будет пять, то функция будет иметь три минимума
и два максимума, и так далее.
Если же показатель п будет нечётным числом, то уравнение -f¦ = О
будет иметь чётную степень и потому либо совсем не будет иметь
действительных корней, либо будет иметь их два, либо четыре, либо
шесть и т. д. В первом случае функция у пе будет иметь ни макси-
максимума, ни минимума, во втором же случае, если существуют два корня,
то из них больший даст минимум, а меньший—максимум; если суще-
существуют четыре корня, то первый (самый большой) и третий дадут мини-
минимум, второй лее и четвёртый — максимум. И всегда, каково бы ни было
число корней, максимумы и минимумы чередуются друг с другом.
265. Перейдём теперь к дробным рациональным функциям, состав-
составляющим другой вид однозначных функций. Пусть
где Р и Q суть какие-либо функции *) количества х; прежде всего ясно,
что если количеству х дать такое значение, чтобы было Q = О, то если
только вместе с тем не исчезает Р, функция у становится бесконечной,
и может показаться, что здесь мы имеем максимум. Однако этот слу-
случай нельзя считать за случай максимума; действительно, обратная
дробь ^ становится минимальной во всех тех случаях, когда предло-
Р О
женпая дробь - является максимальной; поэтому дробь - должна
была бы стать минимальной в случае, когда Q исчезает; ото, однако,
происходит не всегда, ибо она может принимать и ещё меньшие зна-
значения, а именно, отрицательные. После того как это сомнение устра-
устранено, мы ещё раз убеждаемся в справедливости данного выше правила,
что максимумы и минимумы должны оыть получены из уравнения j^, = U.
Ит;:).'. в предложенном случае должно быть
dy _QdP-P dQ
dx (F~dx
и, следовательно,
QdP~P dQ = O.
Корпи, этого уравнения к могут дать функции у максимальные или
лшш.мальиые значения. Если же возникает сомнение, имеет ли место
d-'i
максимум или минимум, то нужно ооратнться к значению -^—;\ осла
оно положительно, будет иметь место минимум; если же отрицательно —
максимум. Если же и это значение -,-| исчезает, что происходит
1) Подразз'мевается, очевидно, «целые».
396 ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
dti „ ,.
в том случае, если уравнение -?- — О имеет два или оольптее число
равных корней, то всегда нужно помнить, что чётное число рапных
корней не даёт ни максимума, ни минимума.
Пример 1
Найти случаи, в которых функция , становится максимумом
или минимумом.
Прежде всего ясно, что эта функция обращается в нуль в трёх"
случаях: а:=со, а;=0, х~ —со; поэтому она имеет по крайней мерс
два максимума или минимума. Чтобы найти их, положим у =,. , г -
тогда будем иметь
j
И d*
dx (l + z2J dx* A4-ж2)8 "
Положим теперь ~- =0; тогда 1 — а:2 = 0 и либо х= -j-1? либо х — —1.
т. л d2>/ 4 -
а первом случае ж= -t- 1 мы имеем ->-* = —^ , и потому г/ имеет м;;-
„1 " dhj , 4
ксимум, равный у ; во втором случае ж=—1 мы имеем ^=+у, по-
поэтому у имеет минимум, равный — --.
То же самое можно найти легче, если обратить предложенную
дробь а, положив г/= —— = жН—; нужно только заметить, что
максимум, который мы найдём, обратится в минимум, и наоборот. Мы
будем иметь
dx ~~ т2 ' И Зо;2 ~ ж5 '
Таким образом, положив -^ = 0, бзтдем иметь х" — 1 = 0 и, следова-
следовательно, либо ж= + 1, либо ж= —1, как и прежде. В случае
х = -j-1 мы имеем ^| — 2, поэтому г/ есть минимум, а предло-
предложенная формула - — максимум. В случае же х= — 1 мы имеем
d'2y o 1
з--= —^, откуда у есть максимум, а-; минимум.
Пример 2
Найти случаи, в которых формула а становится максиму-
максимумом или минимумом.
2 — Зг 4- ж2
Положив 2/ = 9_) 3,,-4,-гг' ^УДем иметь
• 12 d2y
ж2 + Зх
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ 397
Положим --^ = 0; тогда либо х— + ]/~2^ либо х — —\f2. ^ первом слу-
случае х = +1/ 2 будем иметь
Это значение положительно, так как числитель и знаменатель поло-
положительны; следовательно, минимальное значение у равно
43V! 17= -0,029 437 25.
4 -h 3 l/ 2
Во втором случае а; — —• |/ 2 имеем
d'J[___ - 48]/2 -;- 72 __ 24 C-2 )/2)
dz2~~ D-3|/> ~ D-3>-/2K
Это значение будет отрицательным, так как числитель положителен,
а знаменатель отрицателен; поэтому максимальное значение у будет
равно
\±ЩЗ = _ 12 \/ 2 - 17 = - 33,970 562 74.
Хотя это значение меньше, чем первое, минимальное, однако оно
является максимумом, так как оно больше, чем ближайшие соседши*
значения, получаемые, если вместо х подставить значения либо не-
немного большие, либо немного меньшие, чем—у 2. Так как \ 2 содер-
4 з
жится между пределами —и —, то легко произвести проверку гледу-
юшим образом:
если x — -rz, то у - —--. -- —0,0285;
й и 7J '
если х= ]/~2,, то у =12 }/ 2—17 =; —0,0294 ишшиум;
если ж-= -'--, то ?/ -= — -~ = — 0,0285;
4 „г
если х= ~, то у——ЛЬ;
если а: =—]/ 2, то у= —33,970 максимум;
если х— v-, то ?/= —35.
II р и м е р ';
гг , ,, х- — х -1
Найти случаи, в которых формула ;— -1 - становится максиму-
максимумом или минимумом.
Положим м= -,-- —. тогда
J х- -\- х— 1
di,_ 2-е2 —4ж A2>/ __ - 4г3 -!- 12х3 ^ 4
dx = (х-5 J- а: -^1)"- И '<?? =П ж2"+^;~- IK " "
Положим ,-=0, тогда либо &•-—0, либо ж= 2; ц первом случае-уА— —-т- .
цоэтому у будет иметь максимум, ровный— 1. Во втором случае х = 2
S98 ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
dh/ 20 .. 3
мы имеем -,-- = -^ , поэтому ?/ имеет минимум, равный — , хотя тот ма-
максимум меньше, чем этот минимум. Это можно будет проверить, дакая х
следующие значения:
1 13
если х = — --• , то у = — -1 ;
если х = 0, то у=— j максимум;
1 7
если ж = j- -.т , то У = —: >
если ?=2-—— то у— — ;
если я:=2, то ?/ = - минимум;
если х = Z -(- тг , то ?/ = - .
Из того, что если положить х== 1, будем иметь ?/=! и, слсД'лштелыю,
г/> — 1, мы заключаем, что между значениями 0 и 1 количества х
содержится какое-то одно значение, при котором у= оо.
Пример 4
Пусть ищутся случаи, в которых дробь -^bJT"~i становится ма-
максимумом или минимумом.
Положив у = —f—Ч—; , будем иметь
Я^ — СС~" ~]~ 1
.7—ЗОг5 — 16г3+!2.г-
Следовательно, мы будем иметь уравнение
а;8 + 4ж4-.1.г3 — 1 = 0;
оно разлагается на два уравнения:
х2 — 1 = 0 и :с} + эх'2 + 1=0.
из которых первое имеет корня ж= +1 и i=-l, а второе, будучи
5+-iA2i
разрешенным, дает х-— -—-—, из чего не получается никакого'
действительного корня. Из двух найденных корней первый х— +1
даёт-у-'з= —142), и потому у имеет максимум, равный 2; второй же
корень х = — 1 даёт j—>~ + ^3), поэтому у имеет минимум, равный -- 2.
, „ dy 2?+18ж-2tz-16ж !-12ж ,„„,
1) В первом издании ~ = — —г——'¦ . \Г.К.\
ах,1- (xi — х- -;- \у
2) В первом издании , •„-==—8. [Г. /Г.|
3) В первом издании ,-^= г«. \Г. />".;
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ 399
Пример 5
Найти случаи, в которых дробь rrz~:rr~\ становится максимумах
или минимумом.
Положим у = -.-— , будем иметь
20z3
di/
Положив же -~:¦= 0, будем иметь
ж6 — 2.Г1—2ar + i=0;
разделив это на ?2+1, получим
х! — Зх2 +1 = 0.
Это уравнение разлагается на
х" — х ~ 1 = 0 и х2 + х — 1 = 0,
откуда получаем следующие четыре действительных корня:
1. X = ^ , 11. Х= v ,
щ. ^-Щ^, IV. х=-1-=р.
Так как все эти корни содержатся в уравнении х1 — 3.x3+ 1=0, то.
положив х* = 3х2—• 1, мы будем иметь для всех корней
d*y _2х A0-20х2) _ 5 (\-2х2) _ 5A-2х2) _х2-х __х*-1
1) U У ~ 2хЛ ~~ 2х '
Для двух же первых- корней,, получаемых из уравнения х'1 — х-\-\,
мы будем иметь
d'y _ 5B.е + 1) _ 5Bж+1) _ ^
dx* ~ ~~ 2аГ(Зж+2") ~~ ~~ 2 Eж + с!) И У ~~ 2 '
J акпм образом, первый корень х=—:-^т— дает
d2y__
dx* 11 + 5/5 '
1— /5~
и потому у есть максимум. Второй корень х = —— даёт
гРу 5B — /5) 5(/5-2)
/5-11 '
5
и потому ?/ .-= — также будет максимумом. Два остальных корня дают
1
значение у= — —, которое является минимумом.
2С>(\. В этих примерах исследование того, какое из найденных зна-
значений даёт максимум, а какое минимум, можно было бы произвести
тг „ dy „ d-i/
легче. Действительно, так как —= 0, то значение члена -т-^, принимая
400 ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
по внимание это уравнение, можно выразить проще. Пусть предложена
Р
дробь у= -. Так как
,,.d(QdP-PdQ) 2dQ(QdP-PdQ)
а У- - - Q1 ~ ¦ Q3
Но так как Q dP — Р dQ = 0, то второй член исчезает, и мы будем
иметь
„ _ d(QdP-PdQ) Qd'P-Pd-Q
ay- Qz - ф •
i ак как решение вопроса зависит от того, является ли значение этого
члена положительным или отрицательным, а знаменатель его Q* всегда
положителен, то дело сводится к рассмотрению только числителя:
„ ,,п п ,„_ d(QdP-PdO) r
всякий раз как Qd'P Р d'Q или———-т—г — будет положительным,
мы можем сказать, что имеется минимум, если же это значение отри-
отрицательно, то максимум. Другими словами, после того как будет пай-
d'i -. R dR
дено -,- , которое будет иметь вид — , нужно отыскать только ,- . и если
корень отого выражения даёт положительное значение, то из него
иолучле'о! минимум, если же отрицательное—то максимум.
2G7. Если знаменатель предложенной дроби будет квадратом или
Р
какой-либо белое высокой степенью, так что у— — то получим
_QdP-nPdQ
йУ '
rr QdP-nPdQ r> r
Положив - = - = it, будем иметь
dx
dy _ Д
dx~ qn + l '
ш максимумы и минимумы определятся из корней уравнения R—0.
Так как, далее,
d-y _ QdR~ (п -г 1> R dQ
dx nn'i x '
го, поскольку R = 0, будем иметь
d-y dR _
dx pn-i l '
если это значение положительно, будем иметь минимум, а если отри-
отрицательно — максимум. Но ясно, что если п есть нечётное число, то
поскольку ()пЛ х всегда положительно, заключение можно вывести^
dR
рассматривая только -г- ; если же п есть четное число, то нужно вос-
QdR
пользоваться выражением -*~г— •
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ 401
рт
Положим далее, что предлагается дробь'—= у, тогда
(mQ dP-nP dQ) ptn-i
dy= ^н •
„. - mQdP-nPdO „
1аким образом, если положить — -v =-- К, то корни уравнения
R = 0 укажут случаи, в которых функция у становится максимумом
или минимумом. Так как
dy _ pm-iR
dx Q"'1 '
ТО
djj, ___ I'"'-2 R ((та - 1) Q dP - (n -i-1) P dQ) Pm-' dR
dx ~~ Qn*2 "' Q"*1 '
и поскольку R = 0, получим
day __ P-1 dR
dx2 ~ Qn+1 dx ¦
Это выражение можно сверх того разделить на какой-либо квадрат
—^. Кроме того, уравнение Р = 0 также даст максимум или минимум,
если т будет чётным числом; таким же образом, если мы рассмотрим
обратное выражение -^ , то увидим, что максимум или минимум полу-
получится при Q = 0, если п будет числом чётным, как мы уже указывали
выше (§ 257). Здесь, однако, мы не останавливаемся на тех максиму-
максимумах или минимумах, которые проистекают отсюда, и для разъяснения
метода исследуем лишь те, которые получаются из уравнения Д = 0.
Пример 1
Предлагается функци-я у—^\п > спрашивается, в каком случае
она становится максимумом или минимумом.
Положим у = -(—' д [п; прежде всего ясно, что у = 0, если ж = —у
и у=со, если х =--—-j,. Первый из этих случаев даст минимум,
а второй — максимум, если т и п будут чётными числами. Кроме того,
будем иметь
dy
и потому
R = (т — га) $ох -
Положив i? = 0, будем иметь
гш8 — та By
X =^
(т - п) р§ '
Далее, поскольку -т- = (т — п)^Ь, нужно посмотреть, является ли
Р'"-1<Ш_тат-1 $"**¦ /g}-{lT\m-ii-2 dR
Qn^dx ~ .nn+1dm-1 V m-ra J " Зж "
26 Л. Эйлер
402 ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
положительным или отрицательным количеством. В первом случае
предложенная формула будет минимумом, во втором — максимумом.
„ (z + 3K Pm~1dR 9 . (z + 'O3
Так, если у^^ф, то ^т^_ = _ , и поэтому формула
будет минимумом, если положить х = 0.
Если же у = |—ф-, то
Р'1 dR
On+1 dx
mm 1 / n — r,
/I -4- fw m *
и а; = —¦— . Т.ак как т и га предполагаются положительными числами,
то решение вопроса получается из формулы (га — т)п~т*2 (т — п) или
(п — т)"~т (гп — га). Если re>m, то найденное значение х = г——гп—
всегда даст максимум; если же га < тп, то чётное число гп — п даст
(х -1K -
минимум, нечетное же—максимум; так, например, ;—-~ будет макси-
мумом при х = — 5; действительно, у = — -'-,= — -- •
Пример 2
Пусть предложена формула у =; , х„-г-2 •
Мы будем иметь
dy A + хГ , . P'"-i dR_ A4-»)»
Так как здесь A + гсJ и A + х2K всегда имеют положительное значение,
то решение вопроса сводится к рассмотрению формулы — х — 2; если
она положительна — имеем минимум, если же отрицательна — макси-
максимум. Но из уравнения 3 — Ьх — #2 = 0 следует, что либо
х= — 2 + у~1 либо х= — 2-]/г7.
В первом случае—х — 2=—|/ 7, так что предложенная дробь будет
максимумом; во втором же случае — минимумом, так как— х —2 = -f-1/7 .
Если положить х— — 2-J-J/7, то будем иметь 1+я = — l+j/7
и 1 + я2 = 12 — 4 ]/7, откуда
Если же положить ж= — 2 — |/, то будем иметь
y=4=2/j = - 0,0950.
268. Существуют также иррациональные и трансцендентные
функции, которые обладают свойством однозначных функций и потому
для них максимумы и минимумы могут быть найдены тем же способом.
Действительно, кубические корни и корни всех нечётных степеней
являются на самом деле однозначными, так как они дают лишь одно
действительное значение. Что же касается квадратных корней и корней
всех чётных степеней, то хотя они на самом деле, если только явля-
являются действительными, имеют два значения — одно положительное,
другое — отрицательное, однако каждый из этих корней может рас-
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ 403
сматриваться сам по себе, и в этом смысле можно искать максимум
и минимум. Так, если у будет какой-либо функцией от х, то хотя
корень из у имеет два значения, однако каждое из них можно рас-
рассматривать отдельно, а именно, -\-\fy будет иметь максимальное или
минимальное значение, если у будет иметь таковое, и притом будет
положительным, ибо в противном случае корень из у будет мнимым.
Наоборот, —]/ у будет минимумом или максимумом в тех случаях,
в которых -(- ]/у будет максимумом или минимумом. Что же касается
какой-либо степени у11, то она будет максимумом или минимумом
в тех же случаях, если п будет числом нечётным; если же п будет
чётным числом, то нужно рассматривать лишь те случаи, в которых ?/
получает положительное значение, в этих случаях одно из двух зна-
значений даёт максимум, а другое минимум.
269. Так как дифференциальное уравнение, порождаемое степенью
функции ут, есть —-,—- =0 и так как корни этого уравнения указы-
т
вают вместе с тем те случаи, в которых иррациональная степень уп
является максимумом или минимумом, то для определения максимума
и минимума мы имеем два уравнения: одно г/т~1 = 0 и другое -У = 0.
Первое из них переходит в j = 0 и даёт максимум или минимум лишь
в том случае, если т — 1 есть нечётное число, т. е. если т есть
число чётное. Причина этого была выяснена в § 257. Но если п есть
нечётное число, то число тп четно. Поэтому, если мы будем обозна-
обозначать чётные числа через 2р., а нечётные — через 2v—1, то функция
^2n:Bv-i) окажется максимумом или минимумом, когда количеству х
мы будем давать те значения, которые оно получает как из уравне-
уравнения у = 0, так и из уравнения т- = 0. Если же m есть нечётное число,
ТО фуНКЦИЯ 2/B(i —1) : C2N —1) или ^Bn-l):2v сТаНОВИТСЯ МЭКСИМумОМ ИЛИ
минимумом лишь тогда, когда вместо х мы будем подставлять значе-
значения, удовлетворяющие уравнению ~г = 0. При этом во втором случае,
т. е. в случае y^v--^)-^ максимумы и минимумы получатся лишь
тогда, когда получаемые из уравнения з- = 0 значения х дают у поло-
положительные значения.
о
270. Так, выражение х'л становится минимумом, если положить
х = 0, ибо в этом случае х" становится минимумом. Но если выра-
2_
жение хъ мы не приведём к виду х2, то вышеизложенный метод ничего
не даст, ибо в случае ж=0 члены ряда
u) dy uJ d2y a>3 d3y
которые должны давать критерий, *Bce, кроме первого, становятся
бесконечными. Действительно, положив у = х3, будем иметь.
dy 2 d2y — 2 d*y 2-4
йх=~Т' dx~*=~~J ' dV3 =—T и т' д-
26*
404 ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
Таким образом, ни уравнение -,у = —^ = 0 не даёт значения х = 0,
ни следующие члены не дают признака максимума или минимума.
Так как мы приняли, что ряд
ш dy ш2 dzy uK d3y
становится сходящимся, если со положить очень малым, то естественно,
что общему методу не подчиняются те случаи, в которых этот ряд яв-
является расходящимся, что и имеет место в приведённом здесь примере
у = хл , если положить ж —0. Поэтому в таких случаях необходимо
прибегнутьк приведению, которым мы выше воспользовались, чтобы свести
предложенное выражение к другому, которое не обладало бы этим
недостатком. Это приходится делать, впрочем, в очень редких случаях,
которые либо содержатся в формуле у'г"'~1, либо легко к ней приво-
дятся. Так, если ищутся максимумы или минимумы выражения yZv-1 z,
где есть какая-либо функция от х, то нужно исследовать выра-
выражение y2v-z2*1'1, ибо оно становится максимумом или минимумом в тех
же случаях, что и предложенное.
271. За исключением этого случая, который теперь не представ-
представляет затруднений, функции, содержащие иррациональные количества,
можно изучать так же, как рациональные, и их максимумы и мини-
минимумы можно находить таким же образом. Мы поясним это следую-
следующими примерами.
Пример 1
Пусть предложена формула уа*-\-х2—х; спрашивается, в каких
случаях она становится максимумом. ¦ или минимумом.
Положив у — \/~а'- + хг — х, будем иметь
dy х . d*y о2
ах i/ji i jj dx2
(а2 -Нх2) '2
Таким образом, положив ^- = 0, будем иметь х = ]/ а* -\- х* и, следова-
следовательно, ? = со. При этом d—2 — Q. Подобным образом все следующие
члены j^3 , j^-4 и т. д. будут равны нулю; таким образом остаётся
неизвестным, максимум это или минимум. Причина здесь в том, что
на самом деле х может быть равным как —со, так и +оо. Между тем,
полагая х = А- оо, мы в силу
получаем у —0; это значение является наименьшим из всех.
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
405
Пример 2
Пусть ищутся случаи, в которых выражение |/"аа+ 2Ьх-\-тх1—пх
становится максимумом илч минимумом.
Положив у — ]/а2 + 2-\-bxmxz— пх, будем иметь
Ъ-\-тх
dy
2
Приравняв это нулю, будем иметь
Ь2 + 2тЪх + /и V = и2а2 + 2п*Ьх + тпгх2
или
Х ~
2Ьх {п2 - то) + п2а2 — Ь2
Поэтому
X —
(га2 - то) Ь ± 1/"тога2 (то - га2) а2 - п2 (га - га2)
ге2)
или
откуда
Но так как
то будем иметь
то то
_ /та2 — Ь1
та2 -Ь2
з >
(а2 -\- 1Ъх f mi2)'2
_
(то—га2)
та*— Ь'г
Гта"--Ь% \'~
Следовательно, если "г;Г_"? 3 не будет положительным количеством,
то ни максимума, ни минимума вовсе не будет. Если же оно будет
положительным, то верхний знак даст минимум, если т > пг, и макси-
максимум, если т < и2.
Если взять нижний знак, будем иметь обратное. Так, если т — 2,
я=1 и 6 = 0, то формула \f а1 + 2х* — ж становится минимумом при
ж = Ч l/2a2 = —^ и максимумом при ж= ¦ 7-.. Таким образом,
2 ' /2 У 2
минимум будет равен а |/2 ^и = -^ и максимум будет равен
у 2 у 2
]/"§ /2 '
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
Пример 3
Пусть ищутся случаи, в которых вырамсение y/rlJrmxi+ \f \.—пх1
становится максимумом ила минимумом.
„-, dti пи' пх3
Так как ? = у $ , то
A-nz4L
1 1
тх3 A — nz4L = raz3 A -f-тж'L , так, что т4 A — пж4K = п4 A f тх1K
или
и4 — ?ге4 + 3/ига {п3 + т3) х1 + Зт V (п2 — т2) ж8 + т3га3 (те + ») ж13 = 0.
Таким образом, если это уравнение не имеет положительного корня
для количества х4, то вовсе нет ни максимума, ни минимума. Это
уравнение неудобно решать в общем виде; так как один из корней есть
1 4
. тА — га3 , т — 1?гтап + Т^теге2 — п
* ИЛИ х = ' ¦L-1 ,
то мы возьмём частный случай т = 8п; тогда будем иметь
— 4095 + 24 • 513м;4 — 3 • 63 • 64nV + 9 • 5ШV3 = 0
или
512га'х12 — 1344raV + 1368пя4 — 455 = 0.
Положим 8raa;4 = z; тогда будем иметь
z3-21z2 + 17lz-455 = 0.
Это уравнение имеет делитель z — 5; другой сомножитель будет
г2 — 16z-|-91 = 0; он имеет мнимые корни. Таким образом, мы имеем
только z = 8nx* = 5, так что х= у g— . Это значение делает выражение
\/\i + 8геа;4) + j/l — пх* максимумом или минимумом. Чтобы узнать,
какой из этих случаев имеет место, найдём
dh/ _ Зтаж2 Згеж2
dt*~ Г Г"-
A + тх4L A - пх4L
Так как гп = 8п: положим #* = — , тогда
d*y _ /24ге _ Зге \ 2 360 геха
6Г C: вL"/ б4"
так что т-| отрицательно. Следовательно, yfl Н- 8пх* -\- у 1 — пх*
4 /
при х = г/ х- становится максимумом. Этот максимум равен
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ 407
|/ 6-f 1/ —= . Если вместо пх* положить и, то, очевидно, выраже-
выражение [/1 -+- 8м + [/" 1—it становится максимумом при и = -з-, и это макси-
4 /—
мальное значение будет равно —¦?- =2,347 627. Следовательно, какое
бы значение ни написать вместо ~ , наше выражение примет меньшее
о
значение.
272. Подобным же образом будут определяться максимумы и мини-
минимумы, если в предложенное выражение будут входить также и транс-
трансцендентные количества. За исключением случая, когда предложенная
функция будет многозначной и нужно будет несколько её значений
рассматривать одновременно, корни дифференциального уравнения дадут
максимумы или минимумы, если только не окажется, что имеются
равные корни в чётном числе. Мы поясним это исследование на несколь-
нескольких примерах.
Пример 1
Найти число, которое имеет минимальное отношение к своему
логарифму.
Что такое минимальное отношение существует — ясно из того,
что это отношение становится бесконечным как при ж = 1, так и при
?=со. Следовательно, обратно, дробь — где-то имеет максимальное
значение, именно там, где ^ становится минимумом. Чтобы найти
I ОС
\х
решение этого вопроса, положим у=— ; тогда
X
dy_ 1 \x
d:C Xz X~
Положив его равным нулю, будем иметь \х=1 и, так как здесь мы
взяли гиперболический логарифм, то, если обозначить через е число,
гиперболический логарифм которого равен 1, то будем иметь х = е. А так
как всякие логарифмы находятся в постоянном отношении к гиперболи-
гиперболическим, то и при любом основании логарифмов отношение — будет
минимальным, т. е. отношение максимальным. Так как для таб-
табличных логарифмов 1 е = 0,434 294 481 9, то дробь — будет всегда мень-
434 294 481 9 - 47
ше> чем 271828182 84 ' т' e> пРиблизительно меньше, чем ^ , и нет
такого числа, которое имело бы к своему логарифму отношение,
меньшее, чем 305 к 47. Что в этом случае мы имеем максимум, ясно
dy 1 -1 х г
из того, что вследствие -^ = —^— мы будем иметь
d2y j_ _ 2 (l-Is) _ _ l
dx* ж»~ x* ~ ~ i5 '
ибо 1 — 1 x = 0; таким образом, ^-| отрицательно.
408 ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
Пример 2
_i
Найти такое число х, чтобы степень хх стала максимумом.
Что у этого выражения есть максимум видно из того, что, под-
подставляя вместо х числа, мы имеем
1
1Т =1,000 000
2 = 1,414 213
3» = 1,442 250
4Г= 1,414 213
Положим хх = у; тогда
d4 ~ f \ \хл
dx~* \хг x-J "
Положив это значение равным нулю, будем иметь 1ж=1и х— с, где
е = 2,718 281 828.
_i
А так как -f- = A —\х) ^Ц-., то будем иметь
1 J 1
d-v гх И vx -гх
dx* х3' ^ lX>dx & ~~ ж3' >'
d2 -
ибо 1 — 1ж=0. Так как ¦— есть отрицательное количество, то хх
становится максимумом при х = е. -Но так как й = 2,718 281 182 8, то
находим, что с е = 1,444667861 009 764 7. Это значение легко полу-
получается из ряда
Этот пример легко также решить, основываясь на предыдущем. Дей-
ствительно, если хх есть максимум, то также и его логарифм, который
1х ..
равен — , должен быть максимулюм; а для этого, как мы нашли, должно
быть х =- е.
П р и м е р 3
Найти такую дугу х, чтобы её синус был максимумом или мини-
минимумом.
Положив sin х = у, будем иметь -j- = cos x; поэтому cos x = 0. Отсю-
Отсюда получаются следующие значения х: + о , ± .-, > ± .,- и т. д. Но
1) В первом издании -уЦ = g+A— ] ж) d • ~ = —?— .[Г. К.]
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ 409
s~2= —sin x. Так как эти значения, будучи подставлены вместо а;, дают
d^v
для количества х\= —sinх, либо —1, либо +1, то в первом случае
будем иметь максимумы, а во втором — минимумы, как и известно.
Пример 4
Найти такую дугу х, чтобы прямоугольник х sin x стал максималь-
максимальным.
Что максимум существует — ясно из того, что как в случае х = 0°,
так и в случае х =180° предложенный прямоугольник исчезает. Поло-
Положим у = х sin х; тогда
r = sina;4- x cos x.
dx
Поэтому
tg X = —Ж.
Пусть ? = 90° + м; тогда tgz=—ctgit; следовательно, ctgu = 90° + u.
Чтобы решить это уравнение по способу, изложенному выше (§ 234),
положим z = 90° + m — ctgM, и пусть / есть искомое значение дуги и.
Так как dz ~ du -}- -^4- , то
da sin2u , 2 du sin и cos >*
P~~ dz l+siu2u' ^ " A-rSinuJ "
Поэтому
dp 2 sin3u cos i* 7 6 du sin2«. cos2i* — 2 d(* sin4 » 12 du sin4i* cos3m
ds ~~ ^ ~ A + sia2 uf ' ^ "^,~ A + sin8!*)' A
Следовательно,
dq 6 sin% cos3 и — 2 sin6». 12 siu6i* cos^u 6 sin4i* — 14 sin6u. + 4 sin8;*
I (l+'sii.8!*M ~ A -j-sin«uM '
Отсюда будем иметь
/==м— pz-)-~qz-— X^rz3+ и т. д.
Положим, что после нескольких проб мы нашли для / приближённое
значение и = 26° 15'; тогда 90° -f u= 116° 15' и дуга, равная котангенсу,
определится следующим образом. От
lctg» = 10,307 025 0
отнимем
4,685 574 9
5,6214501
Следовательно,
ctg в = 418 263,7"
или
to '
откуда
7 4'^lfi ^" — ?Ч6 Ч"
г=л оогт — zoo,о .
410 ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ
Чтобы найти значение члена pz, выполним следующее вычисление:
1 sin u = 9,645 705 8
lsin2u = 9,2914116
sin2<t = 1,195 61
1A-I-sin'27i) = 0,077 5895
1^ = 9,213 822 1
lz = 2,373463 7
1/72 = 1,587 285 8
Следовательно,
/и = 38,6621 секунды
или
/>z=389'3""
отняв от
и = 26° 15'
получим
/ = 26° 14'21" 20"'17""
и искомая дуга
х= 116° 14' 21" 20'" 17"".
т» - 1 „ sin'u cos u „
Кроме того, нужно прибавить третий член - - gz2 = т,, ¦ 2 \зz •
Для того чтобы найти его значение, нужно выразить z в частях
радиуса следующим образом:
lz = 2,373 463 7
прибавим
4,685 574 9
7,059 038 6
прибавим
"'5^-2=1,587 2858
8,646 324 4
прибавим
1 sin и = 9,645 705 8
1 cos и = 9,952 730 8
8,244 7600
вычтем
ГЛ. X. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ 411
Следовательно,
-J-9z2 = 0,012 291
ял и
2,
Учтя и этот член, получим искомую дугу
х =116" 14' 21" 21'" О"";
же воспользоваться более точными логарифмами, найдём
х = 116° 14' 21" 20'" 35"" 47'"".
ГЛАВА XI
О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ
ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
273. Если у будет многозначной функцией от х, так что для каж-
каждого значения х она будет получать несколько действительных значе-
значений, то при изменении х эти несколько значений будут связаны друг
с другом таким образом, что они представят несколько рядов значений,
В самом деле, если у мы будем рассматривать как ординату кривой
линии, а х — как абсциссу, то сколько у будет иметь различных дей-
действительных значений, столько различных ветвей одной и той же кри-
кривой будут отвечать одной и той же абсциссе; и те значения у, кото-
которые составляют одну и ту же ветвь, мы должны считать связанными
друг с другом; значения же, относящиеся к различным ветвям, будут
разъединёнными друг от друга. Итак, мы будем иметь столько рядов,
взаимно связанных значений у, сколько различных действительных
корней у принимает при каком-либо значении х- И в каждом из рядов
значения у, когда х возрастает, либо возрастают, либо убывают, либо
сначала возрастают, а потом убывают, либо наоборот. Отсюда ясно,
что в каждом ряде взаимно связанных значений существуют максимумы
и минимумы так же, как для функций однозначных.
274- Для разыскания этих максимумов и минимумов пригоден тот
же метод, который был изложен в предыдущей главе для однозначных
функций. Действительно, так как при возрастании переменного х па «*
функция у всегда принимает вид
и> dy
то необходимо, чтобы для случая максимума или минимума член "~—
исчезал, т. е. чтобы -4'= 0. Следовательно, корни уравнения -^ = 0 ука-
укажут те значения х, которым в отдельных рядах взаимно связанных
значений у соответствуют максимумы или минимумы. При этом не воз-
возникнет сомнений, в каком именно ряде взаимно связанных значений
будет иметь место максимум или минимум. В самом деле, так как
в уравнение j =0 будут входить обе переменные х и у, то нельзя
будет определить значения х иначе, как исключив переменное у с помо-
помощью уравнения, дающего отношение между х и у. Но прежде чем
ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 413
сделать это, мы придём к уравнению, которое представит значение у
в виде рациональной ш.и однозначной функции от х. Таким образом,
найдя значения х, мы для каждого из них найдём и соответствующее
значение у, которое будет максимумом или минимумом в том ряде
¦последовательных взаимно связанных значений, которому оно принад-
принадлежит.
275. Признак же того, являются ли эти значения максимумами или
минимумами, можно установить таким же образом, как это было ука-
указано раньше. Именно, нужно найти значение количества ~, выражен-
выраженное в конечном виде, и в него вместо х подставить последовательно
все найденные значения х; в то же время вместо у нужно подставлять
значения, соответствующие взятым значениям х. После этого нужно
посмотреть, примет ли выражение т-j положительное или отрицатель-
отрицательное значение. В перво\. случае будем иметь минимум, а во втором
„ d2u d2y
максимум. Ьсли же и ->—2 исчезает, тогда нужно взять выражение^;
если оно в этом случае не исчезает, то мы не имеем ни максимума,
dsy
*ни минимума; если же и -~3 исчезает, то нужно исследовать выражение
>Л*у , d^ii
-г\ таким же образом, как раньше мы исследовали —^ ; если же в каком-
либо случае и -,—t будет исчезать, нужно будет взять пятый дифферен-
дифференту ,
циал количества -^ > и всегда, как бы далеко ни пришлось итти, за-
заключение, к которому приводят дифференциалы нечётного порядка,
сбудет тем же, которое указано для выражения ~|. Таким образом,
г с d*-v d3n d*v
в этих случаях нужно будет брать выражения ¦—., -~ , -=-^ и т. д., до
тех пор, пока не придём к такому, которое в предложенном случае не
исчезает; если это будет дифференциальная формула нечётного порядка,
то не будет ни максимума, ни минимума; если же чётного порядка, то
положительное значение будет служить признаком минимума, а отрица-
отрицательное—признаком максимума.
276. Положим, что функция у определяется через х каким-либо
¦уравнением; дифференцируя это уравнение, получим формулу вида
Рdx-\-Qdy — 0. Следовательно. положив ^?/=^0, будем иметь =0
¦и, значит, либо Р = 0, либо Q=co. Последнее уравнение не может,
•однако, иметь места, если соотношение между х и у выражено целым
рациональным уравнением, ибо либо х, либо у тогда должно было бы
стать бесконечным. Поэтому исследованию подлежит только уравнение
^ = 0; его корни, т. е. значения, которые х Болучает после того, как
с помощью предложенного уравнения переменное у будет полностью
исключено, укажут случаи, когда значения у становятся максималь-
максимальными или минимальными. Для суждения же о том, получается ли ма-
максимум или минимум, нужно рассмотреть формулу r-f. Если диффе-
дифференциальное уравнение Р dx-\-Qdy = 0, мы продифференцируем ещё раз
и положим
dP Rd + Sdy и dQ =
414 ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ
то при постоянном dx будем иметь
А так как мы уже имеем -^ = О, то, разделив уравнение на dx, полу
чим
Следовательно, в дифференциальном уравнении Pdx-{-Qdy = 0 нужно
дифференцировать только количество Р, полагая у постоянным; тогда
-о
мы получим R dx; затем найдём значение дроби -^; если оно будет
положительным, будем иметь минимум; если отрицательным — максимум..
ЧЧЧ. Пусть у есть двузначная функция от х, определяемая уравне-
уравнением уг + ру -f- <7 = 0, где р и q суть какие-либо однозначные функции,
от х. Дифференцируя, будем иметь 2ydy-\-pdy-{-ydp-\-dq = 0 и, сле-
следовательно, Р dx = ydp-\- dq. Положив Р = 0, будем иметь у dp + dq = О
dq
и получим у=—-г-, так что у представится однозначной функцией1
от х; таким образом, какое бы значение ни было найдено для х, из
него и из у будет найдено одно определённое значение этой функции.
Исключение же у выполняется легко: если в предложенное уравнение
у'1 + ру + q = 0 вместо у подставить значение — ~ , то получим
dq*— pdpdq-\- qdp3 = 0; если это уравнение разделить на dz2 и разрешить,
то получим все значения х, которым соответствуют максимумы или
минимумы; это будет ясное из следующих примеров.
Пример 1
Предложено уравнение у2-\-тху + а"' -{-Ьх-\-пх2 = 0.
Определить максимумы или минимумы функции у.
Продифференцировав уравнение, будем иметь
2у dy + mx dy + my dx + bdx-\- 2nx dx = 0,
откуда
Р = ту -(- Ь -f- 2пх и Q = 2у + /иа\
Положив Р = 0, получим у = LJ^— ; это значение, будучи подста-
подставлено в самое уравнение, даёт
И2 .. 4/ib б2 О 2 L
го2 то2 т2
или
хг —
откуда
1пЬ
го2га —
ИЛИ
_ 2 ± ] + B-4га)аг _ -тоб Т 2 У
га(т2 —4п) " то4 — 4п
ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 415
Полагая теперь переменным только х, получаем dP = 2п dx, так что
R = 2n. Но
± Y
откуда
R ± 2nz
Q YпЬ- + га (тг — 4л) аа '
Так как числитель 2ri2 всегда положителен, то если взять верхний
знак, получим для у максимальное значение, если же взять нижний
знак — минимальное. Здесь нужно заметить следующее:
I. Если т = 0, то из уравнения Р = О тотчас же следует
х= — ^-, так что нет нужды ни в каком исключении. Так как
у=± 9-]/"(га&3 — 4тг2а2), то этому значению соответствуют два значе-
значения у, из которых положительное является максимумом, а отрица-
отрицательное—минимумом.
II. Если тг = О, то получаем у= и х возрастает до бесконеч-
бесконечности1), а у на бесконечном протяжении2) сохраняет одно и то же
значение, так что нет ни максимума, ни минимума.
III. Если т2 = 4и, то будем иметь ^пЬх-\-Ь2 + т2а2 = 0 или.
X = „-г— И
— тЧ
Ъ + 2пх _ _2Ъ + т*х __ 26 Ь + та mW-b s,
У~ ~т ~~ 2т ~ 2то 2mb ~ 2mb '"
о го2а3 |-Ь2
Следовательно, соответствующее этому значению х= ~—значе-
ние у = —s—т— будет наибольшим или наименьшим. А так как, чтобы
получилось это значение у, нужно в выражении
_ — тЪ =F Vnb* + п (т.* — 4га) а*
" тг — 4п
взять нижний знак, то значение у будет минимальным4).
х) В оригинале in infinitum excrescit. Это выражение у Эйлера обычно озна-
означает, что х принимает бесконечно большое значение. Смысл этой фразы можно
понимать двояко. Если Эйлер хочет сказать, что у при всевозможных значениях
х сохраняет одно и то же значение, то это, конечно, неверно. Но, повидимому, Эйлер
хочет сказать, что при достаточно больших значениях ж изменения у сколь
угодно малы, т. е. что у асимптотически приближается к — — .
а) Per spatium infinitum. Если предыдущее толкование правильно, то здесь
имеются в виду значения х, превосходящие некоторое достаточно большое число.
3) В первом издании в знаменателях нет множителя 2. Исправил Г. KoRa-
левский.
*) Чтобы получить у из этого выражения, в котором при т2 = 4га знамена-
знаменатель обращается в нуль, Эйлер здесь должен был бы разложить числитель в ряд.
Верхний знак даст бесконечное значение у; ему соответствует бесконечное значе-
значение х. Картина становится совершенно ясной, если прибегнуть к графическому
изображению. Данное уравнение в рассматриваемом случае представляет пара-
параболу. Характерно, что Эйлер ни здесь, ни в других примерах не прибегает-
к геометрической интерпретации, хотя он во второй части «Введения в анализ»*
дал все необходимые в данном случае сведения по аналитической геометрии.
416 ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ
Пример 2
Предложено уравнение у2—х2у-\-х— х3~—0; определить макси-
максимальные или минимальные значения у.
Продифференцировав уравнение, получим
2у dy — x*dy— 2xy dx + dx — Зх2 dx + 0.
Следовательно,
Р = 1 — За;2 — 2ху и Q = 2y — x\
Поэтому, положив Р = 0, будем иметь у = —-—- и, подставив это зна-
значение,
ИЛИ
1 _ вх2 + 2х3 + 9а:4 -\- 2х5 = 0.
Один корень этого уравнения есть х==—1; ему соответствует у=1.
Положив у постоянным, имеем R ~ — 6х — 2у и, следовательно,
это выражение при ж = — 1 и у = 1 даёт —4, так что значение у=\
является максимумом. Значению х = — 1 соответствует ещё другое
значение у, определяемое из уравнения у2 — у = 0. Оно равно нулю
и не является ни максимумом, ни минимумом. Если найденное нами
уравнение пятой степени разделить на ж-f-l, то получится уравнение,
корни которого нельзя определить просто.
Пример 3
Пусть предложено уравнение у2 -j- 2x2y -\- ix—3 = 0; из него тре-
требуется найти максимальные или минимальные значения у.
Дифференцирование даёт уравнение
2у dy -f- 2a;2 dy + ixy dx + Ых = 0.
Положив j- = 0, будем иметь ху-\-1=0, откуда у = ; это значе-
значение, будучи подставлено в предложенное уравнение, даёт уравнение
^2 - 2а: + 4а: - 3 = 0 = 2z3 - За:2 + d,
корни которого суть х = 1, х = 1 и х ~ — — . Так как теперь мы имеем
dy kxii -[- 4 Ixy + 2
~dx '" Чу + 2x*~ ~ у 4-жа '
то, дифференцируя, будем иметь ^ z~ —тгг . при этом мы считаем у
постоянным (так как принимаем dy-~O) и полагаем ху-{-1 =0. Итак,
мы получаем следующие значения:
г
1
1
1
Т
У
— 1
-1
2
dh/
dx*
оэ
оо
16
— максимум
ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 417
Так как для равных корней мы имеем ^ ,= со, то остается неизвест-
неизвестным, имеет ли здесь место максимум или минимум. А так как мы
имеем вместе с тем у 4-х2 —О, то в этом случае даже не имеет места
-Г=0» ибо в дроби т^= —(Г мы имеем P=0w.Q = 0. Поэтому, коль
скоро не имеет места основное свойство максимума и минимума, здесь
нет ни того, ни другого. Но мы имеем здесь признак того, что в слу-
случае х = \ оба значения у равны между собой1). Об этом свойстве
мы будем говорить подробнее ниже, когда перейдём к приложению
дифференциального исчисления к учению о кривых линиях. Правда,
вопрос этот имеет отношение и к здесь рассматриваемому, но, чтобы
не было необходимости касаться его дважды, мы целиком отложим его
до последующего рассмотрения2).
278. Для многозначных уравнений существует сверх того другой вид
максимумов и минимумов, которые не находятся по вышеизложенному
методу. Их свойство можно легко объяснить на примере двузначных
функций. Пусть у есть какая-либо двузначная функция от х, так что,
какое бы значение ни дать количеству х, для у получатся два значе-
значения, которые либо оба действительные, либо оба мнимые. Положим,
что эти значения у становятся мнимыми, если положить х >¦ /, и дей-
действительными, если положить х < /. Тогда при х = / два значения у
сливаются в одно; пусть оно равно g. Так как при х > / функция
но имеет никакого действительного значения, то если окажется, что
при х < / оба значения у либо больше, чем g, либо меньше, чем %,
тогда в первом случае значение y = g будет минимальным, а во вто-
втором— максимальным, ибо в первом случае оно меньше, чем оба пред-
предшествующие, а во втором—больше. Такой максимум или минимум
нельзя найти по вышеизложенному методу, так как здесь мы не имеем
У- = 0. Такие максимумы или минимумы бывают различных родов, ибо
в иных случаях они являются максимумами и минимумами относительно
предшествующих и последующих значений, взятых во взаимно связан-
связанных рядах, в иных же случаях — максимумами и минимумами относи-
относительно двух разделённых значений, либо только предшествующих, либо
только последующих.
279. Такой случай имеет место, если предложенное уравнение
будет иметь вид
где р н х суть функции от х, не делящиеся на / — х. Пусть q при-
принимает положительное значение, если положить x = f, или немного
большим, или немного меньшим. Пусть /? = g при x = f; очевидно, что
при x — f оба значения у сливаются в одно y = g; если же х > /,
то оба значения у становятся мнимыми. Положим поэтому, что х несколько
меньше, чем/, скажем, ж = / — о>; тогда функция р переходит в
и> dp со'- dzp
х) В данном случае одновременно удовлетворяются три уравнения / (ху) = 0,
— =0 и — = 0, т. е. для кривой / (х, у)=0 точка х = 1 является кратной.
Ox dy
а) См. § 10 вводной статьи.
27 л. Эйлер
418 ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ
а функция q — в
о> dq u>2 dzq
ч- i^+w- ит-д-
Таким образом, в этом случае будем иметь
о> dp a>2d2p / /" u) dq , u>2 d2q \
V = Я ,— + д . ., — ИТ. Д. 4-CUl/ @(O з-^ 4 j-~- — И Т. Д. .
Возьмём о> очень малым, так что по сравнению с ш высшие его степени
исчезают; тогда будем иметь у = g — -jr--± ш ]^ШЯ- Эти значения коли-
количества г/ будут оба меньше, чем g, если >- будет положительным,
и больше, если ^ будет отрицательным. Следовательно, двойное значе-
значение y = g в первом случае будет максимумом, а во втором случае —
минимумом.
280. Таким образом, эти максимумы и минимумы происходят
оттого, что, во-первых, при х — f оба значения количества у становятся
равными, при х > / — мнимыми, а ири х < / — действительными; во-вто-
во-вторых, оттого, что при x = f — ш второй иррациональный член даёт более
высокие степени ш, чем рациональный член. То же самое имеет место
и в том случае, если y = p±(f — ж)" J/r(/ — х) q, причём п есть целое
число, большее нуля. А так как не только квадратный корень, но
и всякий другой корень чётной степени даёт ту же неопределённость
знака, то такой же случай будет иметь место, если будем иметь
y — p-j-(f — x),Zm q, если только 2ге + 1>2/?г; тогда мы будем иметь
(у — рУ2т = (} — хУп*^-т или (у — pfm=,(f — xf^'Q. Всякий раз как
функция у выражается такого рода уравнением, причём 2п + 1 > 2т,
значение количества у при x = f будет максимумом иди минимумом;
dp
первое^имеет место, если -f — положительное количество, второе же —
если т^ — отрицательное количество при x = f. Если же в этом случае
-? = 0, тогда будем иметь
поэтому если только не имеет места ^— > 2, то мы не будем иметь
2га +1 о ,
ни максимума, ни минимума; если же —^— > 2, тогда у =-g будет ма-
d'-p d*p
ксимумом, если -~ имеет отрицательное значение, и минимумом, если -^
d*p
имеет положительное зиачение; если же и -г— исчезает, то для реше-
решения вопроса нужно таким же образом поступать дальше.
281. Итак, если у будет такого рода функцией от х, то может
случиться, что кроме максимумов и минимумов, которые даёт первый
метод, будут существовать также максимумы и минимумы упомянутого
второго рода; их можно будет исследовать изложенным здесь способим.
Поясним это следующими примерами.
ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 419
Пример 1
Определить максимумы и минимумы функции у, которая опре-
определяется уравнением
у* — 2ху - 2хг — 1 + Зх + Xs = 0.
Чтобы найти максимумы и минимумы первого рода, продифферен-
продифференцируем уравнение; мы будем иметь
2у dy — 2x dy — 2y dx — 4x dx + 3dx + Зж3 dx = 0.
Положим -^ = 0; будем иметь
3 „ 3 „
2/ = 2 - *с + -2- ат.
Это значение, будучи подставлено в первое уравнение, даёт уравнение
9х* — 32а.3 + 42а;2 — 24а; + 5 = 0,
которое распадается на
9а;2 — 14а; + 5=0 и х1 — 2х + 1 = 0.
Второе уравнение даёт дважды х=1, и тогда ?/ = 1; следовательно,
в этом случае в дроби
dy __ 2]i - 3 + 4х - Зха
dx ~ 2у— -1х
исчезает также знаменатель и, таким образом, здесь нет максимума
или минимума первого рода; первое же уравнение даст ж=1 и
х = •„• ; первое из этих значений порождает то же неудобство, что пре-
„ 5 3 10 , 25 23
дыдущие. Положив же х=~, мы имеем у==^—^"^271=7п'
, dy 2у-3 + 4я-3а:3 dhi 4 — бх — 3z+2 - , Л
А так как /- = у ^— , то ~, = — = - 1—, ибо dy = O
dx 2y — 2x dx* 2у — 2х У~х
dh/ 9
и числитель равен нулю. Следовательно, будем иметь -j^ — -^> так что
значение x = y даёт минимум первого рода. Далее, так как (у ~ х.у ~
= A — хK, то будем иметь
и поэтому при х=1 мы имеем максимум второго рода. Действитель-
Действительно, положив а;=1 — ш, будем иметь у=1—ш±ш^/ш; оба эти значе-
значения меньше чем 1, если ш взять очень малым.
Пример 2
Найти максимумы и минимумы функции y = 2x — xl±. A — хI \/ 1—х.
Для нахождения максимумов и минимумов первого рода продиф-
продифференцируем уравнение; тогда будем иметь
420 ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ
Это значение, если его положить равным нулю, даёт прежде всего
х -= 1, а так как
то у в этом случае будет максимумом первого рода, и будем иметь
у -- 1. Разделив же уравнение'-Д =0 на 1—х, будем иметь
4 qp 5 V1 —ж = 0 или 16 =- 25 — 2Ъх,
откуда х -—-^ и -j-4'=— 2 ± 3. Поэтому, если взять верхний знак, то
2j ах- 286Ц
будем иметь минимальное значение у — п-г^-; если же взять нижний
821
знак, то будем иметь ?/ —ттпг, и может показаться, что это максимум;
на самом же деле может иметь место только верхний зпак, ибо
'i-Foj/l — х может быть равным нулю лишь в том случае, если
|/1—х = Н—р~. Итак, мы нашли максимум первого рода в случае
¦х = 1 и у — 1 и минимум первого рода в случае x=ip- и у = !
К])омо того, мы получаем также максимум второго рода, если ж=1;
в этом случае у=1. Действительно, положив х=1 — ш, мы будем
иметь, что у:--1 — о2 ^ ш2 j/ (о в обоих случаях меньше чем единица.
Итак, при ж— 1 сливается два максимума, один первого, другой вто-
второго рода; они составляют как бы смешанный максимум.
282. Эти примеры не только уясняют природу этого второго вида
максимумов и минимумов, но также позволяют образовать сколько
угодно таких функций, которые обладают максимумами или миниму-
минимумами второго рода. На вопрос же о том, каким образом, если предло-
предложена какая-либо функция, можно узнать, обладает ли она такого ро-
рода максимумами и минимумами или нет, мы дадим ответ в следу-
следующем разделе *), так как это исследование очень хорошо пояснит свой-
свойства кривых линий. Легко, впрочем, понять, что если у будет такой
функцией от ж, которая имеет максимум или минимум второго вида,
то так?ке и обратно, х будет такого же рода функцией от у. Ибо если
в уравнении (у — жJ=A— жK, которое при ж = 1 даёт у максимальное
значение второго рода, поменять местами переменные у и ж, то урав-
уравнение (х — у)' ¦- A—у)'' также даст для у такого рода функцию от х,
которая будет иметь максимум второго рода. Действительно, поло-
положив х = \, мы будем иметь A — г/J = A— уУ и, следовательно, два-
дважды будет у = 1 и один раз —2/ = 0. Если же положить ж = 1 -|- со, то
будем иметь (l-foi — уK = A — г/)?; значит, если мы положим у = 1-}-4,
то будем иметь (о) — 4J=( — срK =—гь3 и, следовательно, ю должно
быть отрицательным. Пусть поэтому г/=1 — 9> тогда будем иметь
(<» + <рJ = <р3- Так как если да взять очень малым, ср3 исчезает по срав-
сравнению с <р2, то си необходимо должно быть отрицательным; следова-
следовательно, значению х —!-{-<» не будут соответствовать никакие действи-
действительные значения количества у. Если же положить ж =1 —шиг/ = 1 —у,
то вследствие (<р — а>J = (р3 будем иметь <р = со + со j/'u) и, значит,
х) См. § 10 вводной статьи.
ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 421
у = 1 — ш ^р ш j/ш, следовательно, оба значения г/, отвечающие значе-
значению ж = 1 — ш, меньше, чем значение ?/ = 1, отвечающее значению х = 1.
Следовательно, это значение у будет максимумом.
283. До сих пор мы рассматривали только двузначные функции;
максимумы и минимумы их легко исследуются, так как два их значе-
значения легко могут быть выражены с помощью решения квадратного
уравнения. Если же функция у выражается уравнением более высо-
высокой степени, то можно применить с тем же успехом ранее из.тожон-
ный метод, с помощью которого мы находили максимумы и минимумы
первого рода. Разыскание же максимумов и минимумов второго рода
мы откладываем до следующего раздела. Здесь мы приведём несколь-
несколько примеров того, как нужно поступать с трёхзначными и многознач-
многозначными функциями.
При м ер 1
Пусть функция у, максимумы или минимумы которой ищутся,
определена уравнением
у3 + х3 = Заху.
Дифференцируя это уравнение, получаем
%2 dy + За:2 dx = Зах dy + Зау их,
так что
dy ay— хг
dx у* — ах
Максимум или минимум будет, следовательхо, иметь место, если
ау — х2 или у = —; если подставить это значение в предложенное
уравнение, получим
Д*. -f х3 = Зх3 или х* = 2а3х\
Таким образом, будем иметь трижды х = 0; в этом случае также
х'2
и знаменатель у2 — ах—0, ибо у= — = 0. Имеет ли место в этом
случае максимум или минимум, мы узнаем, если дадим количеству х
значение, очень мало отличное от нуля. Таким образом, пусть х = о>
и у — <&; так как tp3 + ш3 = Заш<р, то либо ^> = а]/ш, либо <р = 8аK. В пер-
первом случае будем иметь а3 ш ]/^ш = Зэоа<о |/"со и, следовательно, а = у За.
Таким образом, при х = ш будем иметь у= ± |/"Заш. Следовательно,
хотя ш не может быть отрицательным, однако из двух значений у
одно больше чем нуль, а другое "меньше, и потому у = 0 не является
ни максимумом ни минимумом. Если же положить ^ = ри>2, то будем
иметь ш3 = 3арш3 и, следовательно, 8 = — и <?= — • Таким образом,
в этом случае взять ли х равным + <о или — <о, значение количества у
будет больше нуля, так что в этом случае г/ = 0 будет минимумом.
Остаётся ещё рассмотреть третий случай из уравнения ж3 = 2я3, кото-
которое даёт х = а\/г2 и y=a']/^4. Чтобы узнать максимум это или мини-
минимум, найдём из уравнения -,- = а\_ х второй дифференциал; посколь-
422 ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ
ку dy=O и ay — z:i=0, мы будем иметь -,-|= - ~—— ; в рассматри-
ваемом случае значении этого выражения есть tX = = •
это указывает па то, что значение у является максимумом.
П р п м о р 2
Пусть функция у определяется уравнением у* + х* + ay" -f- ax1 =
— Ъ*х -\- Ь3у; найти её максимальные ала минимальные значения.
Так как с помощью дифференцирования мы получаем
4г/3 dy + За?/?dy - Ь3 dy = W dx — Зах"dx — 4ж3 dx,
то будем иметь
dy _ Ьг — Ъах" -kxz'
dx 4;/3 j- За»/2 — fc3 '
так что нужно положить Ья — Заж2 + 4ж3. Вопрос, следовательно, сво-
дится к тому, чтобы найти максимумы и минимумы однозначной
функции bs — ax^ — xi\ они имеете с тем будут максимумами или
минимумами функции у. Пусть а = 2 и 6=3, т. е. пусть предлагается
уравнение у4 -f х1 + 2г/ + 2z3 = 21х + 27у; тогда
27 — Г)Ж2 — 4ж3
if/3 -i- 6,'/2 — 27
Разделив последние уравнения на 2х — 3 = 0, получим 2л;2+ 6ж+ 9 = 0;
^ 3
так как корни этого второго уравнения мнимы, то будем иметь х = -=-
и уравнение уА-\-2у% — 27т/= ' -, отдельные корни которого будут ли-
либо максимумами, либо минимумами. Л так как
dy _ 11 — 6а;2 -'1Х> dh/ _ — 12х-12х2
'dx = ~4р"^Г6"р 1Г27~ ; Т0 З1 "~ '4^3 + 67^ 2
если это выражение приж=-.- будет полонштельным, будем иметь
минимум, в противоположном же случае — максимум.
Пример 3
Пусть ут-\-ахп — byv xq; определить максимумы и минимумы коли-
количества у.
Дифференцируя, получаем
dy __ qbyP xi-'L - пах"-1
~d~x ~ ту'1
Если приравнять это нулю, то будем иметь прежде всего х = 0, если
только п и q будут больше единицы, и вместе с тем у = 0. Для того
чтобы в этом случае решить, имеем ли мы максимум или минимум,
нужно исследовать ближайшие значения, ибо знаменатель также ста-
становится равным нулю. Результат этого исследования будет зависеть
в первую очередь от показателей. Кром е того, уравнение —J- = 0 даст
ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 423
также ур = х ч\ если это значение подставить в предложенное
па -
уравнение и положить — =g, то будем иметь
т_ mn-mq rr^ тп-тд—пр
ц^ х~ +ахп = ~хп или gv х р =(п^1^ ,
s q ь q
откуда
I ^ а *\ р : (тп — mq—пр) m:(mn — mq—тр)
) • о
Ч ) 'Ь
ш вместе с тем будет найдено значение количества у. Затем нужно
посмотреть, получает ли дифферепцио-дифферецциал *)
положительное или отрицательное значение; в первом, случае можно
будет сказать, что мы имеем минимум, во втором же — максимум.
Пример 4
Пусть у* -]-х4 = 4:Ху — 2; найти максимумы и минимумы функции у.
Выполнив дифференцирование, получим
dx у — х3
dij у3— х '
отсюда у--Xs. Следовательно, х12 = 3х* — 2 или х1* — За;4 + 2 = 0; это
уравнение распадается па уравнения Xs+ х* — 2 — 0 и xi — 1 = 0,
а первое распадается на х* — 1 и х* + 2 = 0. Отсюда будем иметь два-
дважды либо х = + 1, либо х= — 1; в обоих случаях исчезает также и зна-
знаменатель дроби —. Поэтому, чтобы исследовать, имеет ли в этих
случаях место максимум или минимум, положим х=1 — <о и у=1 — <р;
¦будем иметь
поэтому
4<оф = 6ф2 -f- 6<o2 -— 4©s ¦— 4ш3 -f- ф4 -f- оL,
ш так как ш и ф очень малы, то 4шф = 6р3 + 6oj2. Следовательно, зна-
значение о будет мнимым, возьмём ли мы о> положительным или отри-
отрицательным. Если у т х будут координатами кривой, то она при ж=1
и у = 1 будет иметь изолированную точку2). Это значение, следова-
следовательно, нельзя считать ни максимумом, ни минимумом, ибо предшеству-
предшествующие и последующие значения, которые нужно было бы взять для
сравнения, становятся мнимыми.
1284. Если уравнение, выражающее соотношение между х и у,
будет составлено так, что функция количества х будет приравнена
к функции количества х, скажем Y = X, то для нахождения макси-
максимумов или минимумов следует положить dX = 0; у будет максимумом
в тех случаях, в которых X будет максимумом или минимумом.
г) Т. е. второй дифференциал.
2) В оригинале punctum coniugatum.
424 ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ
Подобным образом, если х рассматривать как функцию количества у, то
х будет максимумом или минимумом, если dY~0, т. е. если У будет
максимумом или минимумом. Однако отсюда не следует, что у и х
одновременно будут максимумами или минимумами. Так, если будем
иметь уравнение lay — у% — 2Ъх—х~'', то у будет максимумом или мини-
минимумом, если х = Ь, и тогда у = а±|/А«2'—6\ Количество и;е х стано-
становится максимумом или минимумом цри у=а, и тогда ж = 6 ± \/~Ь* — а'2,
но у не будет максимумом или минимумом при х—Ь±^ \fb~ — а\
хотя х в этом случае есть максимум или минимум. Впрочем,
в этом случае, если у имеет максимальные или минимальные значе-
значения, то ж»этим свойством вовсе не будет обладать, ибо у но может
иметь максимум или минимум, если не имеет моста а > Ь, а в этом
случае максимум или минимум количества х становится мнимым.
285. Может также случиться, что не все корни уравнения dX—O
дадут максимальные или минимальные значения у; действительно,
если это уравнение будет иметь два равных корня, то мы не получим
ни максимума, ни минимума; то же самое случится, если несколько
корней в чётном числе будут равны менаду собой. Так, если предла-
предлагается уравнение b (у—а)% = {х — 6K+с3, то, дифференцируя его, полу-
получим' 2bdy(y — а) = 3dx (х — 6)а, но функция у при х = Ъ не будет
ни максимумом, ни минимумом, так как здесь мы имеем два равных
корня. Если же х рассматривать как функцию от у, то эта функция
становится максимумом или минимумом, если положить у=а, и тогда
ж = 6 — с будет минимумом. Наконец, так как в уравнении вида У = Х
переменные х и у не смешиваются друг с другом, то если коли-
количеству х задать значение, которое являлось бы корнем уравнения dX = 0,
то все значения количества у, если только они действительны, будут
максимумами или минимумами; этого не будет, если в уравнении бу-
будут перемешаны оба переменных.
28С. То, что остаётся ещё сказать о свойствах максимумов н ми-
минимумов, мы отложим до следующего раздела, так как это удобнее
будет объяснить и изобразить на фигурах. Мы переходим поэтому
к функциям, составленным из нескольких переменных и будем искать
значения, которые нужно задать отдельным неременным так, чтобы
сама функция получила максимальное или минимальное значение.
Прежде всего, ясно, что если переменные не будут перемешаны
между собой так, что предложенная функция будет иметь вид Х + У,
где X есть функция переменного х, & Y ость функция переменного у,
то предложенная функция X-f-У будет максимумом, если одновремен-
одновременно X и У будут максимумами, и минимумом, если одновременно
X и У будут минимумами. Следовательно, для разыскания максимума
нужно найти те значения переменого х, при которых X становится
максимумом, и точно так же значения у, при которых У становится
максимумом, и эти значения, найденные для х и у, дадут функции
Х + У максимальное зцачение; то же самое следует сделать для ра-
разыскания минимума. Нужно, таким образом, остерегаться, к^к бы не
оказались взятыми два значения х и у различной природы, т. е. такие,
что первое делает X максимумом, а второе даёт У минимальное значе-
значение, или наоборот. В самом деле, если это произойдёт, то функция
Х + У не будет ни максимумом, ни минимумом. Функция же X—У будет
максимумом, еслч X будет максимумом и в то же время У минимумом.
Наоборот, X—Убудет минимумом, если X будет минимумом, а У — мак-
ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 425
симумом. Если же обе функции X и У будут либо максимумами,
либо минимумами, то их разность X — Г не будет ни максимумом, ни
минимумом. Всё это ясно и понятно из свойств максимумов и
минимумов, изложенных ранее.
287. Таким образом, если ищутся максимумы или минимумы функ-
функции двух переменных, то решение вопроса требует гораздо больше
предосторожности, чем если бы переменное было одно. В самом деле,
нужно не только тщательно различать для каждого из переменных
случаи, в которых имеют место максимум и минимум, но также нуж-
нужно соединять их попарно таким образом, чтобы предложенная функ-
функция была максимумом или минимумом; это станет более ясным из
примеров.
Пример 1
Пусть предломсена следующая функция двух переменных х и у:
у* — 8у* -f 18у* — 8у-\- х3 — За;3 — Зх; требуется найти значения, кото-
которые нужно подставить вместо у и х, чтобы эта функция получила
максимальное или минимальное значения.
Так как это выражение разлагается на две части вида Y -\-Х, из
которых одна есть функция переменного у, а вторая—функция перемен-
переменного х, то нужно разыскать случаи, в которых каждая из этих частей
является максимумом или минимумом. Так как
то
Если положить это выражение равным нулю, то, разделив на 4, будем
иметь уравнение
— d*Y
3. А так как тт-. = Зг/ — 12г/ + 9,
то при у= 2 получится максимум. Для остальных же двух корней
у = 2±уЗ, получаемых из уравнения у2 — 4?/+1 = 0, будем иметь
d*Y
I2d 3 ~У2 — 4^ + 3=2, так что оба корня дают минимум. Итак, в этих
случаях будем иметь:
у = 2 Y = 8 максимум,
у = 2 — ]/3 У = — 1 минимум,
у = 2+\/ Y=—1 минимум.
Подобным же образом, так как
Х = хя-3х*-3х,
то будем иметь
откуда получаем уравнение
426 ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ
— й% ~У г
и я=1±]/2. Значит, , , —х—1= ±у2. Следовательно, корень
даёт минимум, а именно, Х= — 5 — 4 ]/2, аж = 1—1/
+ 1 д у, , ]/, ж 1
даёт максимум, именно, Х=—5 + 4 ]/2. Вследствие этого предло-
предложенная формула
X + Y = у' - 8г/ + 18г/9 - % + Xs - Зх2 - Зх
становится максимумом, если положить у=2 и # = 1 —)/ 2 и полу-
получается Х-\- Y — 3 + 4 )^2. Эта же формула Х + Г становится миниму-
минимумом, если взять либо у = 2 — |/3, либо у = 2 + ]/~3 и z = l + ]^2;
в обоих случаях будем иметь Х + У=—6 —4J/2.
Пример 2
Пусть предложена следующая функция двух переменных у1 — 8уг +
-+- 18?/а — 8у— Xs + Заг + За:; требуется найти, в каких случаях она
становится максимумом ила минимумом.
При обозначениях предыдущего примера будем иметь
-8у и Х = х3-3х2-
Предложенная формула будет иметь вид Y — X и поэтому будет ма-
максимумом, если Y будет максимум, а X минимум. Так как эти слу-
случаи мы уже рассмотрели раньше, то ясно, что Y — X получит макси-
максимальное значение при ?/ = 2 и ж=1 + ]/2, и будем иметь Y — Х =
= 13 + 4|/2. Минимальным же значение Y — X будет в том случае,
если Y — минимум, а X — максимум, что имеет место при у = 2 ± у 3
и х = 1—У 2 и тогда Y — Х = 4 — 4 ]/2. Впрочем, в обоих примерах
ясно, что те значения, которые мы нашли, не являются наибольшими
или наименьшими из всех; ибо, если в том и другом случае положить,
например, ?/ = 100 И1 = О, то, несомненно, получится значение боль-
большее, чем найденное нами; подобным же образом, если положить у = 0,
а х = —100 или х= +100. то получится значение, меньшее чем те,
которые мы нашли для случая минимума. Таким образом, нужно хо-
хорошо усвоить то понятие о природе максимумов и минимумов, которое
было дано выше, т. е. что максимальным называется такое значение,
которое больше как предыдущих, так и последующих ближайших со-
соседних значений, а минимальным — такое, которое меньше как пред-
предшествующих, так и последующих таких значений. Так, в нашем при-
примере значение количества Y—X, получающееся при у = 2 и х = 1 + у 2
больше, чем значения, которые получаются, если положить у = 2 ± ш
и а; = 1+ ]/2 + ср, где за ш и ср взяты достаточно малые количества.
288. После рассмотрения этих примеров нам легче будет найти
пути для решения общего вопроса. Пусть V есть какая-либо функция
двух переменных х и у и пусть требуется найти для хну такие зна-
значения, которые дают функции V максимальное или минимальное зна-
значение. Так как для этого обоим переменным х и у нужно дать опре-
определённые значения, то положим, что одна из них у уже имеет то зна-
значение, которое требуется, чтобы сделать функцию V максимумом или
минимумом. Тогда задача будет состоять только в том, чтобы и для
другого переменного х найти подходящее значение. Это мы сделаем,
ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 427
дифференцируя функцию V в предположении, что переменным является
только х и полагая дифференциал равным нулю. Подобным же обра-
образом, если мы предположим, что переменное х уже имеет то значение,
которое способно сделать функцию V максимумом или минимумом, то
значение переменного у мы найдём, дифференцируя V в предположе-
предположении, что только у является переменным и полагая этот дифференциал
равным пулю. Таким образом, если дифференциал функции V будет
равен Pdx-\-Q dy, то нужно будет, чтобы и Р = 0 и Q = 0; из этих
.двух уравнений можно будет найти значения обоих переменных х и у.
289. Поскольку, таким образом, мы находим значения х и у, не
делая различия между случаями, в которых функция V становится
максимумом или минимумом, нам необходимо теперь тщательно разли-
различить друг от друга случаи максимума и минимума. Для того чтобы
функция V была максимумом, необходимо, чтобы оба переменных со-
содействовали этому; ибо если одно даст максимум, а другое —минимум,
то функция не станет ни максимумом, ни минимумом. Поэтому, найдя
из уравнения Р = 0 и Q = 0 значения переменных х и у, нужно иссле-
исследовать, дают .ли они одновременно максимум или одновременно'мини-
одновременно'минимум функции V; и лишь тогда, когда будет установлено, что значе-
значения обоих переменных, полученные нами, дают максимум, мы сможем
утверждать, что функция в этом случае получает максимальное значе-
значении. То же самое нужно сказать о минимуме, так что функция V не
может принимать минимальное значение, если оба переменных хну
не дают минимума. Таким образом, нужно отбросить все те случаи,
в которых одно переменное даёт максимум, а другое — минимум. Может
случиться так, что значение одного из переменных, или даже значе-
значения обоих переменных, найденные из уравнений Р = 0 и (?=0, не
дают ни максимума, ни минимума. Эти случаи равным образом должны
быть отброшены как вовсе негодные.
290. Вопрос о том, дают ли найденные значения хну максимум
или минимум, нужно исследовать относительно каждого из них та-
таким же образом, как делали мы это выше, когда имели только одно
переменное. А именно, чтобы установить критерий относительно пере-
переменного х, нужно рассматривать другое переменное у как постоянное;
пусть тогда dV — Pdx или ^— = Р. Дифференцируем Р ещё раз, счи-
dV dP
тая у постоянным, так что получаем ~з~1= -р > теперь нужно посмо-
посмотреть, положительным или отрицательным будет значение количества
dP r
з— , после того как в него будут подставлены вместо хну ранее наи-
наиденные значения. В первом случае будем иметь минимум, во вто-
втором же — максимум. Подобным же образом пусть при постоянном х
dV
мы имеем dV — Qdy, т. г. -j— = Q; дифференцируем Q ещё раз, считая
У ' do
переменным только у и рассмотрим значение, которое получает -j*
после подстановки вместо х и у значений, наиденных из уравнений
Р~0 и Q — 0. Если это значение положительно, то мы будем иметь
минимум, если же отрицательно —максимум. Отсюда ясно, что если
dp do
найденные значения х и у дают выражениям ^— и -у-- различные зна-
знаки, т. е. одному — положительный, а другому—отрицательный, тогда
функция V не может иметь ни максимума, ни минимума. Если же оба
428 ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИП
dP do
выражения -г- и -у* положительны, то получим минимум; в противо-
противоположном же случае, если оба будут отрицательными — максимум х).
.., „ „ dp do *
291. Ьсли же одно из выражении --— и -,— или оба исчезают,
когда вместо x и у подставляются найденные значения, тогда нужно
„ d*P d->Q
перейти к следующим дифференциалам — --у и -,>, если они не исче-
исчезают, то не имеет места ни максимум, ни минимум; если же они ис-
исчезают, то нужно обратиться к следующим дифференциалам и посту-
* dP
пать таким же образом, как это мы делали с выражениями -т-
и ~ • Чтобы яснее было, в каких случаях с этим приходится иметь
дело, положим, что получается значение х = <х; если оно делает выра-
dP dP
жение -г- исчезающим, то -г- должно иметь множителем х— а;
если этот множитель является уединённым и не имеет соседнего рав-
равного себе, то не будет ни максимума, ни минимума. То же самое про-
произойдёт, если -V- будет иметь множителем (х — аK или (х— аM и так
далее. Если же будем иметь множитель (х—аJ или (х— аL и так
далее, то это будет служить указанием на максимум или минимум;
но, кроме того, нужно посмотреть, согласуется ли это с тем, на что
указывает у.
292. В этих случаях, однако, можно удивительным образом изба-
избавиться от труда, связанного с переходом к высшим дифференциалам.
В самом деле, положим для большей общности, что мы нашли
аж+р = 0 и что выражение ,- имеет множителем (ax-j-pJ, так что
dP d3P
ч— = (ах-{-$уТ. Так как ax-fp = O, то -^ = 2х221 и, следовательно, так-
как 2а2 положительно, можно будет решить вопрос, рассматривая ко-
количество Т; если оно получит положительное значение, будем иметь
минимум, в противоположном ?ке случае — максимум. Этим же спосо-
способом можно будет пользоваться и при нахождении максимума и мини-
минимума функции одного переменного, так что никогда не будет надоб-
надобности подниматься к более высоким дифференциалам. Более того, нет
необходимости прибегать и ко вторым дифференциалам; в самом дело,
если из уравнения Р = 0 получаем оо:+8 = 0, то необходимо, чтобы Р
имело множителем аж+р. Пусть Р= (ax-J- P) Г; так как
г) Здесь Эйлер допускает грубую ошибку; условия -,— > 0; - - > 0, конечно,
являются необходимыми, но они отнюдь не являются достаточными. Удивительно,
что Эйлер не усмотрел этого хотя бы на простейших примерах. Так, функция
2 = ж2 — Зжу + у3 при ж = 0, ?/ = 0 не имеет пи максимума, ни минимума, хотя усло-
условия -j— = 2>0, ~ = 2 > 0 удовлетворены. Действительно, она имеет минимум
3 = 0, если изменять только х или только у, но значения ж = «, у = ш дают фуш;-
ции z отрицательное значение — ш2. Достаточным условием экстремума является,.
,)-z d^z { O'z V
как известно, положительность выражения —-- —, — ( ) .
ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 429
то, в силу лх-\-^ = 0, будем иметь -=— —v,T. Таким образом, этот мно-
множитель Т, смотря по тому, будет ли значение аТ положительным или
отрицательным, сразу же укажет наличие минимума или максимума.
293- После всего сказанного будет уже нетрудно, если предло-
предложена какая-либо функция, содержащая два переменных, разыскать
случаи, в которых ота функция становится максимумом или миниму-
минимумом. Если понадобится сверх того сделать какие-либо замечания, то
они будут подсказаны развитием самих примеров. Поэтому сейчас
полезно будет пояснить данное правило несколькими примерами.
Пример 1
Пусть предложена следующая функция двух переменных V = хг +
-\-ху^-у" — ах — Ъу; требуется найти, в каких случаях она становится
„максимумом или минимумом.
Так как dV = 2xdxJrydx + x dy + 2ydy — adx — b dx, то если
сравнить это выражение с общим выражением dV — Pdx-{-Qdy, бу-
будем иметь
Р--=2х + у — а и Q = 2y-\-x — b.
Отсюда получим уравнения
2х + у — а = 0 и 2у + х — 6 = 0.
Исключая из них у, получим х—6 = 4а; — 2а и, следовательно,
А так как
х = ——— и у = а — 2х = —-—
-j— — ^ и —,—
ах ау
то оба эти выражения указывают наличие минимума; отсюда мы за-
заключаем, что формула
х2 + ху -j- у"' — ах — by
1а — Ъ 25 — а
•становится минимумом, если положить х=—^— и У~ —о—•
о о
образом, получаем значение
так как оно единственно, то оно является наименьшим из всех. Сле-
Следовательно, единственным способом можно получить
о , „ , — а 4-ah — Ьг
х* + ху + у ах Ьу'
и так как мепыпе это выражение не может быть, то уравнение
ж2 -j- xy -j- у2 — ах—6г/ = ^ с3
невозможно.
430 ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ
Пример 2
Пусть предложена формула V = xt> + y3 — Заху; требуется найти
случаи, в которых V получает максимальное или минимальное значение..
Так как dV = Зх2 dx -f- Зу2 dy — Зау dx — Зах dy, то
Р = 3х*~— Зау и Q = 3y* — Зах,
откуда
Так как у* = х*: аа= ах, то х* — а3х = 0 и, значит, либо х — 0, либо
х=а. В первом случае у = 0, во втором же у = а. Так как
dP й d*P dQ „ d*Q c
-j— = Ьх -,— „- = b и —— = by и — = b,
то в первом случае, когда х~0 и у = 0, нет ни максимума, ни мини-
минимума. Во втором же случае, когда х=а и у = а, получается мини-
минимум, если а будет положительным количеством, и тогда V= —а3.
Однако это значение меньше лишь по отношению к ближайшим пред-
предшествующим и последующим; ибо, конечно, V может принимать го-
гораздо меньшие значения, если обоим переменным х и у давать отри-
отрицательные значения.
Пример 3
Пусть предложена функция У = хг-{-ауг — bzy-j-cx; требуется:
найти её максимальные или минимальные значения.
Так как dV = Зх* dx + 2ау dy—bxdy — bydx + cdx, то
р7=3х* — by-J- с и Q = 2ay — Ьх.
Положив эти значения равными нулю, будем иметь у —^ и потому
Зж' — -z—t- с = 0 или х == гг ,
2а 12а
откуда
Ь2 ^ |/&4 - Ыа2с
Х~ Ч2а *
Таким образом, если не будет иметь места б4-—^48а2с>0, то не будет
ни максимума, ни минимума. Положим 6* — 48а'2с = 62/2, так что
J2 ДО _ /2)
с = —\ г' ' ; тогда будем иметь
Ъг ± Ь/ Ь2 (Ь ± /)
"""¦ \2а
Так как, далее,
dQ
di/
TO
dP _ ?;(?» 4-. /)
Таким образом, если 2а и -~?~- »е являются количествами одного
н того же знака, то нот. ни максимума, ни минимума. Если же оба
ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 431
положительны, либо отрицательны, что имеет место, если произведе-
произведение их Ь (b ± /) будет положительным, то функция V будет минимумом,
если а — положительное количество, и максимумом, если а — количе-
количество отрицательное. Следовательно, если / = 0 или с = ^—^, то так как
Ь2 есть положительное количество, функция V будет минимумом, если
Ъ2 Ь3
а есть количество положительное, тогда ж = — и у=—— • если же,
напротив, а отрицательно, то эти значения дадут максимум. Если / < Ь,
то в обоих случаях получается или максимум или минимум; если же
/ > о, тогда только случаи х = ——=— и У = —<м а даст максимум
или минимум, смотря по тому, будет ли а положительным или отри-
отрицательным. Пусть, например, а=1, 6 = 3 и /=1, так что имеем фор-
формулу V = x3 + y3— 3xy + Yx'> так как а положительно, то оно стано-
.3 13
вится минимумом, если положить х~1 и у = -к-> или х¦= ^ и у— — -
1 5
В первом случае получаем У= —, а во втором V= rr . Однако ясно,
что, давая х отрицательные значения, можно получить много меньшие
значения для V. Таким образом, нужно иметь в виду, что значения
1 з
V = -r меньше, чем те, которые получаются приж=1 + ш и у = — -{-<%,
когда о) и ср — малые числа, положительные или отрицательные; пре-
15 15
дел, которого ш не должно превзойти, равен — —, ибо при оо < — т>
может случиться, что V будет меньше, чем -г .
Пример 4
Найти, максимумы или минимумы функции
V=xi-Jryi — ах2у — аху2 -f c'x2 -f c\f.
Дифференцируя, будем иметь
Р = 4ьх3—2аху—ауг -\-2с%х и Q=kif — ах1 —
Положив эти значения равными нулю и вычитая одно из другого,
будем иметь
4х3 - 4у3 + ах2 — ау2 + 2с*х — 2с2у = 0.
Так как это делится на х — у, то будем иметь прежде всего у -= х
и 4х3 — Зах* + 2с"'х = 0, что даёт
Зл 4- у 9л2 — 32с2
х = 0 и 4:Х2~Зах — 2с", или ж = —=-*¦—з *
о
Если положить ж = 0, то будет также у = 0 и так как
то функция F будет минимумом и будет равна нулю. Если же положим
432 ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ
х=у = а±У а — ^ причём должно быть 9as > 32с2, то вследствие
4зг =—. Зах — 2с2 будем иметь
*_?_ = «I = ш. _2ах + 2с> = 7оз-4с« = ;
dx dy 8 '
так как при 32с2 < 9я2 это значение всегда положительно, то значение
V и в этом случае является минимумом, и мы будем иметь
v=-&ai+f6а v - ici т ш ^ -32с^Г-
Теперь разделим уравнение ix" — 4?/ + ах"* — ау2-+- 2с3х—2с2у на х — у;
будем иметь 4ж2 + 4ж?/ + 4г/2 + йж -Ь я у + 2с2 = 0. Из уравнения же Р = 0
будем иметь у* = —?ху-\ х3 -\ ; подставив это значение в преды-
предыдущее уравнение, получим
J kax — а1
Но предыдущее уравнение само даёт
у=-х±
откуда
IGa;3 -]- 8ах'! -|- 8с2я + 2ас' =
Освобождаясь от иррациональности, получим
256а;' -|- 192аж5 + 80а2ж4 + &asz3—alx*—2a3c*z -f ^а2с4 = 0;
+ 256с2 + 160ас2 + 48аас2 + 32ас4
+ 64с4.
Действительные корни этого уравнения, если они имеются, укажут
т. dp do ..
максимумы или минимумы функции V, если количества ^ и^ будут
иметь один и тот же знак.
Пример 5
Найти максимумы или минимумы выражения
х*-f mx"-yt 4- ?/4 + я3#3 -г па"*ху -J- агу3 = V.
Дифференцируя, будем иметь
/> = 4х3 + 2тжг/2 -|- 2аН + геа'-'у -= 0,
Q ^ 4г/3 f 2/иа;гу + 2а"у + геа2х = 0.
Сложив эти уравнения и вычтя их одно из другого, будем иметь
Dа:2 + 4жу + ^f~2mxy + 2а%—паг) {х—у) = 0,
4у2 + 2тху -\-
г) В первом издании вместо 8сгж стоит 4с2.г, а в следующем уравнения вместо
25бса, 160ас2, 64с4, 32ас4 поставлены неверные ){оэффицпоиты 128с2, У бас8, 16с4, 16ас4.
ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 433
Разделив эти уравнения на х—у и х-^-у, затем снова выполнив сложе-
сложение и вычитание, получим
4а;3 + 4г/3 + 2аа = О и кху—2тху—/га2 = 0.
Второе из этих уравнений даёт у = тЛх ; первое же не имеет дей-
действительных корней. Итак, мы имеем три случая:
I. Пусть у = х; тогда 4я3 + 2тх3 + 2asx-j- na2x = 0, откуда имеем
либо х — 0, либо 2 B + т)х* + B+ п) аг = 0. Пусть ж = 0; тогда также
у = 0 и в силу
2 ^ + 2тх2+2а\
В этом случае V = 0 будет минимумом, если коэффициент а2 положи-
телен. Бо втором случае мы получаем х =—о~Т4- Т > Деиствительное
71 + 2
решение имеет место лишь тогда, когда —-г-х есть отрицательное чис-
число. Пусть = — 2кг или л = —2к"'т—4А2—2, тогда х= ^ ка и
у=±ка. Но
d? 2тк*а2 + 2а* и |5= 12к2а* + 2тк3а2+ 2а\
Так как эти значения равны, то V будет максимумом или минимумом,
смотря по тому, будут ли эти количества положительны или отрица-
отрицательны.
II. Пусть у—— х; тогда 2 (т +2) ж3 = (п—2) а3х и, следовательно,
либо х = 0, либо ж2 = ^ ~ " . Первый корень ж = 0 приводит нас
к предшествующему случаю. Второй же корень будет действительным,
если -I'/х~2\ бУДет положительным количеством, и, так как мы имеем
-]— = -j-> даст либо максимум, либо минимум.
III. Пусть у = ^1^-; тогда
, , тп3а1 , о , ге3а4
4' + + 2а +
Это уравнение не имеет действительных корней, разве что а~ есть
отрицательное количество.
Пример б
Пусть предложена следующая определённая функция У = х*-^-у*—
—х*-\-ху — у'2; найти её максимальные или минимальные значения.
Так как здесь Р = 4х3—2х + г/ = 0 и Q = 4г/3 — 2у + х = 0, то из
первого уравнения у = 2х—4х3; подставив это во второе, получим
256я»-384ж' + 192 z5-4(ks + Зж = 0.
Один корень этого уравнения естьа; = 0, откуда у — О. Следовательно,
в этом случае вследствие
^ = 12^-2 и ^=12х*-
ах ау
28 Л. Эйлер
434 ГЛ. XI. О МАКСИМУМАХ И МИНИМУМАХ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИИ
будет максимум F = 0. Если же найденное уравнение разделить на х,
будем иметь уравнение
256ж9-384а;в + 192х«-40а;« +3 = 0,
которое имеет множитель 4ж2 — 1, откуда 4а;3 =1 и ж=±-н- и
.1 dp do . r
у— ± у; тогДа^7 = 5^ = ' слеД0Ватсльн0. в обоих случаях получаем
минимум V =—-о-. Разделим предыдущее уравнение на 4ж2 — 1; тогда
получим уравнение
64ж« - 80ж4 + 28жг— 3 = 0,
которое снова дважды содержит множитель 4а;2 —1 = 0, так что получим
предыдущий случай. Кроме того, будем иметь 4ж3 — 3 = 0 и ж =±-5-;
этому значению соответствует значение у = ^-——. Следовательно, будем
иметь -J- = jb=7 и, значит, V будет минимумом и будет равно
— -jr . Это значение есть наименьшее из всех, которые может иметь
функция V, и поэтому уравнение У= —у —са всегда является невоз-
невозможным. Из вышесказанного становится ясным также и метод разыска-
разыскания максимумов и минимумов функций, содержащих три и большее
число переменных.
ГЛАВА XII
О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ К РАЗЫСКАНИЮ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ
294. Основное свойство максимумов и минимумов даёт нам возмож-
возможность узнать, являются ли действительными или мнимыми корни
уравнения. Действительно, пусть предложено уравнение какой-либо
степени
хп~ Ахп-г + Вхп^ — Cx"~3 + Dxni — и т. д. = 0,
корни которого пусть будут р, q, r, s, t и т. д. и притом р пусть
будет наименьший корень, q — следующий по величине, а также
остальные корни пусть располагаются в порядке их величины, т. е.
<7 > Р> г > Ч> s > r> t > s и т. д. Примем, что все корни уравнения дей-
действительны; тогда наибольший показатель п будет в то же время и
числом корней р, q, г и т. д. Мы будем считать, что все эти корни
не равны между собой; этим, однако, не исключается равенство корне й,
так как неравные корни, если разность их становится бесконечно
малой, делаются равными.
295. Предложенное выражение хп — Ах"~1 + и т. д. лишь тогда
становится равным нулю, когда вместо х подставляется одно из зна-
значений р, q, г и т. д., во всех же остальных случаях оно не исчезает.
Положим
хп — Ахп-1 + Вхп-2-Схп^+ш т. д. =z,
так что z можно рассматривать как функцию от х. Представим себе
теперь, что вместо х последовательно подставляются всевозможные
значения, начиная с наименьшего х= — со и непрерывно ув(ли*;ш!а-
ющисся; очевидно, что тогда z будет получать значения либо большие
нуля, либо меньшие, и исчезнет не раньше, чем положим х — р. В этом
случае будем иметь z=0. Будем увеличивать х, давая ему значения,
большие р; тогда значения z будут либо положительны, либо отрица-
отрицательны, пока мы не придём к значению x — q; в этом случае снопа
будем иметь z=0. Поскольку, таким образом, значения z изменяются
от нуля и снова до нуля, необходимо, чтобы где-то в промежутке z
имело либо максимальное, либо минимальное значение: максимальное,
если значения z, когда х изменяется между пределами р и q, будут
положительны; минимальное —если они будут отрицательны. Подобным
образом, когда х изменяется, увеличиваясь от q до г, функция z
28*
436 ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ
должна достигать максимума или минимума, а именно, максимума,
осли раньшо был минимум, и наоборот. В самом деле, мы видели
вышэ (§ 263), что максимумы и минимумы чередуются друг с другом.
29S. Так как между двумя какими-либо корнями количества х
имеется значение, при котором функция z становится максимумом или
минимумом, то число максимумов и минимумов, которые имеет
функция z, на единицу меньше, чем число действительных корней, и
они чередуются друг с другом так, что максимальные значения z по-
положительны, а минимальные отрицательны. Наоборот, если функция z
имеет положительный максимум или по крайней мере положительное
значение при х ¦-- f и отрицательный минимум или по крайней море
отрицательное значение при х — g, то, поскольку при переходе х от /
к g функция z из положительной становится отрицательной, необходи-
необходимо, чтобы в промежутке она прошла через нуль, и потому будет
существовать корень количества х, заключённый между пределами /
и g. Если же условие, чтобы максимальные и минимальные значения
количества z поочерёдно были положительными и отрицательными, не
выполняется, то такого заключения сделать нельзя. Действительно,
если у функции z будут минимумы, которые также будут положитель-
положительны, то может случиться, что значение количества z перейдёт от мак-
максимума к следующему минимуму, не исчезая в промежутке. Из сказан-
сказанного, впрочем, ясно, что если у предложенного уравнения и не все
корни действительны, всё же всегда между какими-либо двумя корня-
корнями имеется максимум или минимум. Обратное же предложение вообще
несправедливо, т. е. между двумя какими-либо максимумами или мини-
минимумами может не содержаться действительный корень. Это заключе-
заключение, однако, можно сделать, если добавлено условие, что одно ш
значений z будет положительным, а другое отрицательным.
297. Мы видели выше, что значения количества х, при которых
функция
n А+В"^ Cf'+D"*—и т. д.
становится максимумом или минимумом, являются корнями дифферен-
дифференциального уравнения
^ = пхп-г — {и -1) Ах" -3 4- (п - 2) Вхп-г—(п—3) Схп~* + и т. д. = 0.
Поэтому очевидно, что если все корни уравнения z = 0—их число
равно п — будут действительны, тогда и все корпи уравнения -т=0
будут действительны. В самом деле, так как z имеет столько макси-
максимумов или минимумов, сколько единиц содержит число п — 1, то необ-
необходимо, чтобы уравнение-т^ = 0 имело п—1 действительных корней1).
г) Ci времени Жирара и Декарта, т. е. с тридцатых годов XVII века, пи у
кого из математиков не было сомнения в правильности «основной теоремы» алгеб-
алгебры, гласящзй, что уравнение ге-й степени всегда имеет п корней. Однако доказать
эту теорему сколько-нибудь строго до середины XVIII века никто не пытался.
Эйлер в 1749 году опубликовал два доказательства, но оба они неудовлетворитель-
неудовлетворительны, причём одно из них исходит из утверждения, что уравнение любой степени
должна быть разрешимым в радикалах. Эта же ложная идея появляется и в позд-
позднейших работах Эйлера. За три года до Эйлера Даламбер пррдложил доказатель-
доказательство, которое хотя и не было достаточным, содержало плодотвор.ше идеи, исполь-
использованные позднее Кошя. Первое доказательство основной теоремы алгебры, основан-
основанное на верных, хотя и на не доведённых до конца рассуждениях, было дано
ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ 437
В то же время отсюда ясно, что функция -j- не может иметь макси-
максимумов или минимумов больше чем п—1. Итак, мы имеем следующее
очень важное правило: если все корни уравнения z = 0 будут действи-
действительны, тогда и все корни уравнения ^г=0 будут действительными.
Отсюда следует, что если не все корни уравнения z= 0 будут действи-
действительными, то и не все корни уравнения -г- будут действительными.
298. Так как между какими-либо двумя дсйстшие.чьными корнями
уравнения z=0 существует одно значение, при котором функция z
становится максимумом или минимумом, то отсюда следует, что если
уравнение z=0 имеет два действительных корня, один корень урав-
уравнения ~ = 0 необходимо будет действительным. Таким же образом,
если уравнение z=0 имеет три действительных корня, то уравнение
т- = 0 наверное будет иметь два действительных корня. И вообще,
еслп уравнение z=0 имеет т действительных корней, то уравнение
— = 0 должно иметь по крайней мере т—1 действительных норией.
Поэтому, если уравнение -г- = 0 имеет корней меньше, чем т — 1, то
в свою очередь уравнение z= 0 наверное будет иметь меньше чем гг.
действительных корней. Следует, однако, остерегаться, чтобы не при-
принять за истинное обратное предложение; в самом деле, если дифферен-
дифференциальное уравнение т-= 0 имеет несколько действительных корней или
даже все его корни действительны, то отсюда не следует, что хотя
бы один корень уравнения z=0 действителен. Может случиться, что
все корни уравнения -,- — О действительны, но все корни уравнения
z — 0 мнимые.
290. Однако, если присоединить вышеупомянутое условие, то можно
будет высказать обратное предложение таким образом, что по числу
действительных корней уравнения -- = 0 можно будет наверное узнать.
сколько действительных корней имеет уравнение z = 0. Действительно,
положим, что ос, C, у, S и т. д. суть действительные корни уравнения
,--=0 и что а есть наибольший из них, а остальные расположены
в порядке их величины. Таким образом, если подставлять эти значе-
значения вместо х в функцию z, она. будет принимать поочерёдно макси-
максимальные и минимальные значения. Так как функция z становится
равной оо, если положить ж=со, то её значения, очевидно, должны
постоянно убывать, в то время как значения х убывают от оо до я.
Поэтому при х = a. z становится минимумом. Если при этом функция z
при х=а получает отрицательное значение, г;о необходимо, чгшбы
где-то прежде она была равной нулю, t;ik что уравнение z=0 будоч
иметь действительный корень х > а. Если жо при х = а. функция z вес
ещё сохраняет положительное значение, то она не могла никогда прежд;
в 17'J9 г. Гауссом. См. Cantor, Vorlosungc. v-Ьчт Gcscliicblo dor Mallumatik, том
III. стр. 58a —5J7, 601 — Г.0'i; том IV, стр. % — \<H, а чпюьо Ф. K.'icliii. Лекции
о развитии математики в 19 столетии, ч. 1. Русский не pi иод Б. Лившица и др..
1937, стр. 8Г> и след.
438 ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ
быть меньше; в противном случае существовал бы ещё один минимум
до того, как х, уменьшаясь, достигло бы а, а это противоречило бы
сделанному предположению. Следовательно, уравнение z = 0 не может
иметь ни одного действительного корня, большего чем а. Итак, если
пиложим, что z = s2l при ж = а, то можно высказать следующее сужде-
суждение: если 9Х будот количеством положительным, то уравнение не будет
иметь ни одного действительного корня, большего чем а, если же 91
будет количеством отрицательным, то уравнение всегда будет иметь
действительный корень, больший чем а, и притом только один.
300. Чтобы такие суждения можно было высказать и дальше,
положим, что
при
ж =
х =
х =
т —
А, —
X —
и т.
а
Р
Y
я
е
Д-
МЫ
Z
т
Z
Z
и
имеем
= 91
= 93
= 6
<Т\
&)
= е
т. д.
Так как 91 было минимумом, то 83 будет максимумом, и если'ЭД было
положительным, то и 33 будот положительным, и тогда между преде-
пределами аир не будет действительных корней уравнения z = 0. Поэтому,
если это уравнение не имеет ни одного действительного корпя, боль-
большего чем а, то оно не будет также идоеть ни одного корня, большего
чом р. Если же 91 будет количеством отрицательным, — в этом случае урав-
уравнение имеет один действительный корень х > а, — нужно посмотреть,
положительно или отрицательно значение 23. В первом случае, будет
существовать корень х > р, во втором же между пределами аир не
будет ни одного корня. Подобным же образом, так как 58 было ма-
максимумом, то S будет минимумом; поэтому, если S3 имело отрицатель-
отрицательное значение, то тем более S будет отрицательным, и в этом случае
между пределами р и у не будет ни одного корня. Если же S3 будет
положительно, то будет существовать один действительный корень
между пределами р и у, если и S отрицательно; если же и (? положи-
положительно, тогда между пределами их Р и у не будет ни одного корня;
подобным же образом можно будот высказать и дальнейшие суждения.
301. Чтобы эти суждения легче было уяснить, я сопоставил их
в следующей таблице.
Уравнение z - 0 будет иметь
один действительный корень,
заключённый между продолами
х = со и х — а
ж—а и х=Р
х-= р и х = у
х — y и х = 6
х — о и я = s
и. т. д.,
если будем иметь
93 =
51 =
91= -
23= Ч-
е= -
®= +
и
и
и
и
и т. д.
ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УВЛВНЕНИЯ 439
Для этих предложений имеют место со всей строгостью также и обрат-
обратные отрицательные, а именно:
уравнение z = 0 не будет иметь
ни одного действительного кор-
корня, заключённого между пре-
пределами
х = оо и х = а
Х = Х И ? = {3
ж = р и х== y
И Т. Д.,
если не будем иметь
91=-
<?=-
и
и
и
и
и т. д.
58 =
© =
е=
С помощью этих правил, если будут известны корни уравнения -у- = 0,
мы найдём не только число действительных корней уравнения z = 0,
но также и пределы, между которыми будут содержаться отдельные
корни.
Пример
Пусть предложено уравнение х* — 14ж2 + 24а; — 12 = 0; спрашивается,
имеет ли оно действительные корни и сколько их.
Дифференциальное уравнение будет ix3—28ж+24-=0 или х3—1х-\-
+6=0; корни его суть 1, 2 и —3. Если расположить их в порядке
величины, будем иметь
откуда
а = 2,
Т=-3,
= -4,
6=-129.
Так как 21 отрицательно, то предложенное уравнение будет иметь
действительный корень, больший чем 2, и так как 58 отрицательно, то
ни между пределами 2 и 1, ни между пределами 1 и —3 действитель-
действительных корней не будет. А так как при х= —3 мы имеем z=E = —129
и так как, положив х= — со, будем иметь z= со, то необходимо, чтобы
существовал действительный корень, заключённый между пределами
— 3 и —со. Итак, предложенное уравнение имеет два действительных
корня, один из них больше чем 2, другой — меньше чем — 3. Следо-
Следовательно, два корня будут мнимыми. Таким образом, из рассмотрения
последнего максимума или минимума предложенного уравнения можно
вывести такие же заключения, как из рассмотрения одного первого.
А именно, если предложенное уравнение будет чётной степени,, то если
последний максимум или минимум (а в этом случае он будет мини-
минимумом) будет отрицателен, мы будем иметь действительный корень,
если же положительным, то мнимый.
302. Таким образом, правило, позволяющее судить о наличии
действительных или мнимых корней, может быть высказано следующим
образом. Пусть предложено какое-либо уравнение z = 0; рассмотрим
его дифференциальное уравнение -г 0=. Пусть корни последнего,
440 ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ
расположенные в порядке их величины, будут a, J3, у, о и т. д. и пусть при
х=га, р, у, о, е, С, и т. д.
имеем
z=«, 93, е, ф, е, ^, и т. д.
Если знаки будут
1- — + — 4- и т. д.,
то уравнение z=0 будет иметь столько действительных корней, сколько
есть букв и, р, у и т. д. и, сверх того, ещё один. Если же одна из
больших букв не будет иметь поставленного внизу её знака, это будет
признаком наличия пары мнимых корней. Так, если % будет иметь
знак +, то между пределами со и р не будет ни одного действитель-
действительного корня. Если S3 будет иметь знак —, то не будет ни одного корня
между пределами аир, если же (? будет иметь знак + , то не будет
ни одного корня между пределами р и 8 и так далее. Вообще же сверх
мнимых корней, обнаруживаемых таким образом, уравнение z = 0 будет
иметь столько мнимых корней, сколько их имеет уравнение — = 0.
303. Если окажется, что какое-либо из значений ЭД, 33, E, © и т. д.
исчезает, то в этом месте уравнение z=0 будет иметь два равных
корня. Так, если ЭД = 0, то оно будет иметь два корня, равных а; если
же S3 = 0, то будет два корня, равных р. Действительно, в этом случае
уравнение z = 0 будет иметь один корень, общий с дифференциальным
уравнением -j-z = 0; а выше мы доказали (§ 245), что это служит при-
признаком наличия двух равных корней. Если же уравнение ,-= 0 имеет
два или большее число равных корней, то, если число их чётное, не будет ни
максимума, ни минимума. Значит, для нашей цели равными корнями в чёт-
чётном числе можно пренебрегать. Если же число равных корней уравнения
т-=0 будет нечётным, то при установлении критерия можно отбросить
все, кроме одного, если только случайно не окажется, что в этом случае
исчезает также функция z. В самом дело, если это случится, то и уравне-
уравнение z -0 будет иметь равные корни, и притом па один больше, чем урав-
уравнение (,- = 0. Так, если будем иметь - = (х— С)"/?, так что это урав-
уравнение будет иметь п корней, равных С, то если при х = I также и г
исчезает, уравнение z=0 будет иметь n-f 1 корней, равных С.
304. Применим эти правила к простейшим уравнениям и начнём
с квадратного уравнения. Пусть предложено уравнение
его дифференциальной уравнение будет
dz — 9Г л
dx
Положив его равным нулю, будем иметь
1 . 1
х= -А или а = -9-
ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ 441
Подставим это значение вместо х; тогда получим
z= — ±А* + В = <&,
откуда заключаем, что если значение % отрицательно, т. е. если
А3 > 45, то уравнение будет иметь два действительных корня, один —-
больший чем -=¦ А, другой — меньший. Если же значение 91 будет поло-
положительно, т. е. если А2 < 4S, тогда оба корня предложенного уравне-
уравнения будут мнимыми. Если же ЭД = 0, т. е. Ai=iB, тогда предложенное
уравнение будет иметь два равных корня, и каждый из них будет
1
равен -к-А. Так как все это хорошо известно из свойств квадратных
уравнений, то правильность наших принципов находит неплохое под-
подтверждение, и в то же время обнаруживается их полезность в этом
деле.
305. Перейдём теперь к кубическому уравнению и будем произ-
производить исследование тем же способом. Итак, пусть предложено уравнение-
Его дифференциальное уравнение есть
Зжг- 2Ах+В = d?.
Если мы положим это равным нулю, получим уравнение
,_2Ах — В
корни которого либо оба мнимые, либо равные, либо неравные действи-
действительные. Так как отсюда
_ A±YAi-iB
х з '
то оба корня будут мнимые, если А2 < 35; в этом случае кубическое
уравнение будет иметь только один действительный корень, для кото-
которого нельзя установить никаких других границ, кроме 4- со и — со.
Пусть теперь оба корня равны между собой, т. о. А2 = 35; тогда
х = -^ . Таким образом, если только не имеет места одновременно
z = 0, то эти два корня учитывать не нужно, и уравнение пепрсяшему
будет иметь один действительный корень; если же при х~--тг в то же
2 1
время z =0, что будет иметь место, если будем иметь — А3-}--- АВ—С=Ь
или [С = ~АВ — ^А*, т. е. если В =^ ~ А2 и С — ^А3, то] уравнение
будет иметь три равных корня, каждый из которых равен * А. Рас-
Рассмотрим теперь третий случай, когда два корня дифференциального
уравнения действительны и не равны между собой, что имеет место, если
442 ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ
1 1
А* > ЗВ. Пусть, следовательно, А* = ЗВ -\- f или В = -— А2—^-/3; тогда
ати два корня будут
x-A±f
х--3- .
11 11
Мы получим, таким образом, а = —-4 + v/ и P = if ^ —-«г/• Теперь
а о О о
нужно найти соответствующие значения z и количеств St и S3; так как
2 1
оба эти значения удовлетворяют уравнению х1 = — Ах —- В, то будем
о о
иметь
1 2 2 1 "
Итак, мы получаем отсюда
% = A + AB
% = -lJA* + ±AB + ±A4-?Bf~-C = ±A*-±Ar + lr-C,
ибо В = -^~А2—в /а- Значит, если ЭД будет количеством отрицательным,
112
что произойдёт, если С > ^ А3 —— Ар — от/3' то Уравнение z = 0 будет
иметь один действительный корень, больший чем а, т. е. больший чем
I 1
-А + "з"/- Положим, таким образом, что
или что
С = 2Г43~?Л^~27'
Тогда, как мы видели, предложенное кубическое уравнение будет иметь
действительный корень, больший чем -- А-\- -^- f. Каковы же будут
о о
остальные корни, мы узнаем, рассмотрев количество S3. Но S3 = ^ /3g2;
если оно положительно, то уравнение имеет ещё два действительных
корня, один в границах между а и [j, т. е. между -~-4+—/ и -^А ^ /,
а другой будет меньше, чем - А ;с- /. Если же g2 > ^ /3, т. е. если
93 будет отрицательно, тогда уравнение будет иметь два мнимых корня.
Если же 23=0, т. е. если -9,/3 = g2) тогда будем иметь два равных
1 1
корня, каждый из которых равен р = уЛ — у/. Наконец, если зпаче-
11 2
ние $ положительно, т. с. С < ^ ..43 — — Af — ^ /3> то уравнение будет
иметь два мнимых корня, третий же будет действительным и будет
ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ 443
1 1
меньше, чем А — -/. Если же значение 21 = 0, то дна корня будут
равны а, а третий остаётся меньшим, чем -—А —/.
о о
306. Итак, для того чтобы все три корня уравнения хг—Ах~-\-Вх—
—С = 0 были действительными, требуется выполнение трёх условий. Во-
первых, должно быть
*<ТЛК
1 1
Пусть поэтому В = -^-Аа—-/\ Во-вторых, необходимо, чтобы
О О
В-третьих, необходимо, чтобы
±А-±АГ +
Последние два условия сводятся к тому, что С должно содержаться
между пределами
или
между
27 9
пределами
1(А +
¦А}
/Г
» 2 з
27'
(Л- 2/)
и
и
^ А3 * AV- _i_ 2 f»
27 Л Т Л' + 27' ,
Если из этих условий не выполняется хотя бы одно, то уравнение будет
иметь два мнимых корня. Так. если .4 = 3, 5 = 2, то -^-/3 -—-^- A1—B=i
и /! = 3; так что все корни уравнения х3 — Зх* + 2х — С = 0 не могут
быть действительными, если только С не содержится между пределами
и -) (—. Поэтому, если мы будем иметь либо С < ——-— .
т. е. С < — 0,3849, либо С > + ^Цр-, т. е. С> 0,3849, или, выражая
эти два условия совместно С3 > ^, то уравнение будет иметь только
один действительный корень.
307. Так как в каждом уравнении можно освободиться от второго
члена, то положим, что А = 0, после чего будем иметь следующее куби-
честое уравнение:
Xs + Вх — С = 0.
Таким образом, для того чтобы все три корня этого уравнения были
действительными, необходимо, чтобы, во-первых, было В < 0, т. е. В
должно быть отрицательным количеством. Пусть 5= — к\ тогда /: = ЗА2;
кроме того, требуется, чтобы количество С было заключено между
оо 9 ' 2 f
пределами —^if и rjf> т- е- медаДУ ~ if &*' ]/ ЗА3 и -f - A''J/ЗА* .
444 ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ
Следовательно, будем иметь С*<^к* или С2 < — ==В3. Таким обра-
образом, характерный признак кубических уравнений, имеющих три дей-
действительных корня, можно выразить единым условием, если сказать,
что количество
4S3 + 27С*
должно быть отрицательным. Действительно, этим уже потребовано,
чтобы В было отрицательным количеством, так как в противном случае
453 + 27С2 не могло бы быть отрицательным. Поэтому мы можем вообще
утверждать, что все три корня уравнения х3 + Вх ± С = 0 будут дей-
действительными, если 453 + 27С2 будет отрицательным количеством; если
же это количество будет положительным, тогда только один корень
будет действительным, остальные же два мнимыми; если же &В3 + 27С3 = 0.
то все корни будут действительными, но среди них будут два равных.
308. Перейдём теперь к биквадратным уравнениям и положим, что
у них отсутствует второй член. Пусть, таким образом,
Положим я = —; тогда будем иметь уравнение
для которого дифференциальное уравнение есть
2Ви - ЗСи2 + 4Dus = 0;
один его корень равен нулю; затем будем иметь
, ЬСи-L
И" = 7ГГ~
— ЗС ± У$С* ~ 32ДД
И ~ 87) '
Таким образом, для того чтобы все четыре корня были действитель-
действительными, требуется прежде всего, чтобы 9С > 32BD. Положим поэтому
9С2 =¦ 32BD + g2; тогда и = —'-^— . Здесь количество С мы всегда можем
считать положительным; в самом деле, если бы этого пе было, то если
положить и = — v, это будет иметь место. Но мы вскоре докажем, что
все корни могут быть действительными лишь в том случае, если Л
есть количество отрицательное. Поэтому положим В = — g2, тогд;1
будем иметь
9С2 - 9/2 - 32glD и u = Z—ff!.
Теперь нужно рассмотреть дна случая: первый, когда D епь коли-
количество положительное, н второй, когда оно—отрицательное.
1. Пусть D есть положительное количество; тогда / > С, и три
корня количества и, расположенные в порядке их величины, будут:
1. a- HJJ , Z. M-J, 6. и— 8? -.
ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ 445
Уравнение же
л Си3 , Виг , 1 г,
W ~^ IT ~i 15 = '
если в него подставить вместо и эти значения, даст следующие
три значения:
ог^ 27(С+/)з(С-3/) , 1 S = J_ g_ 27(С-Л3(С + 3/) , 1
из которых первое и третье должны быть отрицательными; так как С
положительно и С < /, то как первое, так и третье значение меньше,
чем -ту . Итак, нужно, чтобы
ИЛИ
4096D3<27(/ + CKC/-C) и 4096ZK < 27 (/-СK(С + 3/).
Но первое количество всегда гораздо больше, чем второе; поэтому
27
достаточно, если будем иметь /K < —— (/ — СK(С + 3/), и одновременно
В = —32~Z> и f > С', тогда и D > 0. Итак, если D будет положитель-
положительным количеством, С—положительным и В—отрицательным, так что / > С
и ?3<^G(/-C)s(C + 3/), т. е. /)<!(/-С) УЩТС, тогда все корни
уравнения будут действительными. Если же /)> — (/ — С) у 3/ + С,
но D < — (f + C) yf'Sf — С, тогда два корня будут действительными
и два мнимыми. Если же D > (/+С) ^3/ —С, то все четыре корня
будут мнимыми.
II. Пусть D есть отрицательное количество, положим его рав-
равным— F, причём С остаётся положительным, а В отрицательным, так как
9С2 - <J/2 9/2 - 9Са y-i . г, г ЗС ± 3/
^: —32D = 32F— ' то С > /. 1 аким образом, так как и = 81) =
32F
ЗС -j- 3/
gw—! , то три значения количества и, расположенные в порядке
их. величины, будут
i. . = о. 2. в—«^Н, з. .--!^Н.
Они дадут следующие значения:
W__JL »- 27(
¦л — F , ^3 —
Так как ЭД есть отрицательное количество, то уравнение безусловно
будет иметь один, а, значит, и два действительных корня. Для того же,
чтобы все корни были действительными, нужно, чтобы S3 было поло-
положительным количеством, т. е. чтобы 27 (С — /K (С + 3/) > 4096F3; далее
необходимо, чтобы © было отрицательным количеством, т. е. чтобы
446 ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ
27 (С+ /K (С— 3/) < 4096F3. Поэтому, для того чтобы все корни были
действительными, необходимо, чтобы F3 содержалось между пределами
4096(C+fy(C~3f) и JL{c~f
т. е. чтобы F содержалось между пределами
{C + f)/C=3f и ^{С-
и если F не содержится между этими пределами, то два корня будут
мнимыми.
III. Положим теперь, что В есть положительное количество и D —
' С2 — 9/3
также положительное; так как В=—™тг~> т0 будем иметь С>},
зс ± з/
и так как и — о, , то корни, расположенные в порядке их величины,
будут
1 и_3<С+/_) 2 и-3.(-с-^ 3 о-О
откуда получаются следующие значения:
27(С+/)»(С-30 , * cq__ 27(C-/)(C ff __
л~ 4ЛУС/;4 "*" /> ' "° '.09б^4 "^ D ¦ D -
Так как здесь © есть положительное количество, то два корня навер-
наверное будут мнимыми. Если при этом 41 будет отрицательным, что прои-
произойдёт, если 4096ZK< 21{C + fK{— C+3f), то два корня будут дей-
действительными; если же 4096Z>* > 27 (C + fKCf — С), тогда все четыре
корня будут мнимыми.
IV. Пусть В остаётся положительным, a D пусть отрицательно
и равно — F; тогда, поскольку В = —^Гр—> будем иметь / > С, и так
как м= ?-'—. то три корня количества и, расположенные в порядке
их величины, будут
:,. —Щр. 2. ,_0 „ 3. «=-
откуда получаем следующие значения:
«_ 27(/-С)МС+3/) 1 да_ J_ ff ) _
л~ 40%^^ F' ^^ F' 4J46F* F-
Так как здесь §1 и © отрицательны, то уравнение наверное имеет два
действительных корня, а так как S3 отрицательно, то два корня будут
мнимыми.
309. Пусть теперь буквы В, С, D обозначают положительные коли-
количества; тогда мы получаем четыре признака, которые вследствие
/.= \/ C2~^BD можно высказать следующим образом:
I. Пусть уравнение имеет вид z4 — Bxi + Cx + D = 0. Тогда все его
корни будут действительными, если
я )
я )
y
ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ 447
два корня будут действительными, а два мнимыми, если
т BD + с
и, наконец, все корни будут мнимыми, если
И. Пусть уравнение имеет вид ж4 — Вх' + С ж— D = 0; тогда два
корня всегда будут действительными; два остальных будут также дей-
действительными, если количество D будет содержаться между следу-
следующими пределами:
з /
з I
Гб( С- VCi~™BD ) у
D < Гб( С- VCi~™BD ) у С + 3
если же D не будет содержаться между этими пределами, то два осталь-
остальных корня будут мнимыми.
III. Пусть уравнение имеет вид ж4 + Вх2 ± Сх + D = 0; тогда два
корня всегда будут мнимыми. Два остальных будут действительными,
если
но эти два остальных корня будут также мнимыми, если
IV. Пусть уравнение имеет вид xl -f- Вх"' ± Сх — D = 0; два корня
этого уравнения всегда действительны, а два остальных — всегда мнимые.
Пример 1
Пусть предложено уравнение а;4 — 2х2 + Зх + 4 = 0, опрашивается,
каковы его корни, действительные они или мнимые.
Этот пример подходит под первый случай; здесь В —2, С = 3
а В = 4, откуда
следовательно, условия, чтобы все корни были действительными, суть
1
448 ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ
Таким образом, если воспользоваться приближёнными значениями,
69 24
нужно исследовать, имеем ли мы 4 < — и 4 < — . Так как имеет место
1о 1о
лишь первое условие, то два корня уравнения действительные и два
мнимые.
Пример 2
Пусть предложено уравнение х* — 9я' + 12ж— 4 = 0.
Так как оно подходит под второй случай, то оно будет иметь два.
действительных корня. Исследуем природу остальных корпей; так как
здесь В = 9, С = 12 и D = i, то будем иметь
>-^BD = V 144-32 -4 = 4.
Таким образом, нужно посмотреть, имеем ли мы
4 > — 16 у 0, т.е. 4 > О
а
Так как выполняются и to и другое условия, то предложенное урав-
уравнение будет иметь четыре действительных корня.
Пример 3
Пусть предложено уравнение х* + я3 — 2х + 6 = 0.
Так как оно подходит под третий случай, то два корня наверное
будут мнимыми. Далее мы имеем здесь 5=1, С = 2 и Z) = 6 и, значит,
Так как это количество мнимое, то два остальных корня наверное
будут мнимыми.
Пример 4
Пусть предложено уравнение х*—4х3-\-8х2 —
Избавимся сначала от второго члена; подставляя ж=г/ + 1, будем
иметь:
-4а;3= -4?/3-12?/2-12г/-4
— 16у —16
+ 20= +20
Следовательно,
ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ 449
Так как это уравнение подходит под третий случай, то оно будет
иметь два мнимых корня. Так как здесь В = 2, С = 8, D = 9, то
32
Z-^BD = \/ 64-64=0.
Нужно, следовательно, сравнить Z) = 9 и 7-^8 |/— 8=— 3. Так как
D = 9> — 3, то два остальных корня также будут мнимыми.
Пр им ер 5
Пусть предложено уравнение ж1— 4а;8 — 7а;3 + 34а; — 24 = 0; известно,
что его корни суть 1, 2, 4 и —3.
Применим теперь правила; уничтожим второй член, полагая
я = г/+1; получим уравнение
которое подходит под второй случай; мы имеем 5=13, С = 12 и D — 0.
Следовательно, должно быть D > — 24 у — 24 или 0 > — 9 ]/ 3 и Z) < 0;
а так как D не является большим, чем 0, то уравнение будет иметь
четыре действительных корня. Действительно, если D = 0, то второе
уравнение принимает вид D < — ( „ J р^^С, так что 1 < r-=, \/ 4С
или 276й < 45s; и в самом деле, мы имеем 27 • 144 < 4 • В",
т. е. I 6 • 27 < 13s.
310. Если бы мы захотели перенести подобные признаки на урав-
уравнения более высоких степеней, то столкнулись бы с очень большими
трудностями, так как корни дифференциальных уравнений по большей
части не могли бы быть определены; но всякий раз, как эти корни
представляется возможным указать, вышеизложенные правила позволят
заключить, сколько действительных и сколько мнимых корней будет
иметь предложенное уравнение. Поэтому, в случае уравнения, состо-
состоящего только из трёх членов, можно определить число его действи-
действительных и мнимых корней. Действительно, пусть предложено следу-
следующее общее уравнение:
Возьмём его дифференциальное уравнение
dz , m „ i . « л
__. (т I «\ л./71+n—1 I « Лл.Л—1
Положив его равным нулю, мы будем иметь, прежде всего, хп~1 — 0,
поэтому если п есть число нечётное, то не получается ни одного корня,
дающего максимум или минимум; если же п есть число чётное, то
один из корней, подлежащих учёту, будет а; = 0. Затем мы будем иметь
(т + п) хт + пА — 0; это уравнение, если т есть число чётное и А есть
положительное количество, не имеет ни одного действительного корня.
Поэтому подлежат рассмотрению следующие случаи.
I. Пусть т есть число чётное, п есть число нечетное; тогда корня
1 = 0 в расчёт принимать не нужно. Таким образом, если А есть поло-
положительное количество, то не будет ни одного корня, дающего макси-
29 л. Эйлер
450 ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИИ
мум или минимум. А так как т + п есть нечётное число, то предло-
предложенное уравнение будет иметь единственный действительный корень.
Если же А будет отрицательным количеством (положим А= —Е),
будем иметь
пЕ
т + п'
откуда
т + п
Из этих значений получаем
тЕ
(У
т + п \т + пу
Таким образом, если ЭД есть отрицательное количество, т. е. если
тЕ ( пЕ \n:m
—\— ( —;— ) ^ ?* 1
т+п\т+пj
то уравнение будег иметь один действительный корень, больший чем а.
Если сверх того
т-\ п\т-\
^_ Л" : т
\ п J '
т. е., соединяя оба условия в одно, если
(т + п)т*пВт < ттппЕт*п,
тогда уравнение будет иметь три действительных корня; если же ото
условие не имеет места, то уравнение будет иметь единственный
действительный корень. Всё это справедливо для уравнения х'"*п —
— Ехп + В = 0, если т есть число чётное-, а га — почётное. Если здесь ?
будет числом отрицательным, то уравнение всегда будет иметь един-
единственный действительный корень.
II. Пусть оба числа т и п будут нечётными, так что т + п есть
число чётное, и корень х = 0 не должен приниматься в расчёт. Так
как (т + п) хт + пА -= 0, то х= — \/ —р-. Если этот единственный
корень обозначить через а, то будем иметь
91 3 + /? (
т гп т ,- п \ni -г
Если это значение будет отрицательным, то предложенное уравнение
будет иметь два действительных корня, в противоположном же случае
не будет иметь ни одного. Итак, предложенное уравнение хт*п -{-Ахп -f-
+ В = 0 будет иметь два действительных корня, если
ттп"Ат*п > {т+п)т*пВт;
если же
ттппАт*п < (т + п)т*пВт,
то ни одного действительного корня не будет.
ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ 451
III. Пусть оба числа т и п будут чётными; тогда и т+п будет
чётным, и один корень х — 0 даст максимум или минимум. Этот корень
будет единственным, если А есть положительное количество; полагая
ос = О, будем иметь ?( = ЯЗ. Поэтому, если также и В будет положи-
положительным количеством, то уравнение не будет иметь действительных
корней. Если же В есть отрицательное количество, то б\>дут суще-
существовать два действительных корня, но не больше, если только А
будет количеством положительным. Положим теперь, что А есть отри-
т Г р
цательное количество, т. е. А — — Е, тогда х=±у -—:—, и мы будем
иметь три максимума или минимума, а именно,
... .._ .. .. ™f~nE
m + n '
Им будут соответствовать следующие значения количества
Л./71 + Л 17л.П 1 D.
л/ i> л/ -т- JJ .
Таким образом, если В есть отрицательное количество, то, поскольку %.
и © отрицательны, уравнение будет иметь только два действительных
корня, ибо также 58 = В будет отрицательным. Если же В будет поло-
положительным количеством, то уравнение будет иметь четыре действи-
действительных корня, если
(т + п)т*пВт < ттппЕт*п,
и ни одного действительного корня, если
(т + п)тлпВт > ттппЕп
и"
IV. Пусть т будет нечётным числом, а п — чётным; тогда корень
х = 0 даст максимум или минимум. Кроме того, будем иметь
х=— I/ —г- — . Таким образом, если А есть положительное число,
л d m / пА
то будем иметь « = 0 и р=— |/ ——— и, следовательно,
= Я и S3 = -
т+п\т+п
Поэтому, если В есть количество отрицательное (положим В= — F)
и сверх того
ттппАт*п > {т + n)m*"Fm,
то уравнение будет иметь три действительных корпя; в противном же
случае только один корень будет дейстьительным. Если же А есть
количество отрицательное, то, положив его равным А = — Е, будем
иметь х= -f
29*
452 ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ
Этим значениям будут соответствовать значения:
и a5 =
Поэтому уравнение будет иметь три действительных корня, если 'В
будет количеством положительным и
ттп"Ет*" > (т + п)т*пВт;
если это свойство не имеет места, то уравнение будет иметь только
один действительный корень.
311. Пусть все коэффициенты равны 1, а р и v суть некоторые
целые числа; тогда мы получим такие признаки для нижеследующих
уравнений. Уравнение
l_|_ 1 = 0
имеет единственный действительный корень. Уравнение
a;2n+2v-J _ х2ч-1 ±1 = 0
будет иметь три действительных корня, если
Bр + 2v — 1Jh.+2v-i < B^ Bv — lp-i.
А так как этого никогда не может быть, то это уравнение будет иметь
всегда только один действительный корень. Уравнение
имеет два действительных корня. Уравнение
не имеет ни одного действительного корня. Уравнение
a;2li+2v _{_ Х2ч + 1 = 0
не имеет ни одного действительного корня. Уравнение
имеет два действительных корня. Уравнение
X2n + 2v+l_j_a.2v:j:: l = 0
имеет единственный действительный корень. Уравнение
имеет единственный действительный корень.
Впрочем, так как в третьем случае оба показателя суть чётные
числа, то, полагая хг — у, можно привести уравнение к более простому
виду, и, таким образом, этот случай можно было бы опустить. Теперь
можно утверждать, что никакое уравнение, состоящее из трёх членов,
не может иметь более трёх действительных корней.
Пример
Найти случаи, в которых уравнение хь ± Ах"' ± В = 0 имеет три
действительных корня.
Так как это уравнение подходит под четвёртый случай, то ясно>
что количества А и В должны иметь противоположные знаки. Если
ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ 453
оно не имеет такого вида, то будет иметь только один действительный
корень. Если же предложенное уравнение имеет вид я5 ± .4а;2 ^ В — О,
то для того, чтобы оно имело три действительных корня, необходимо,
3125
чтобы 3*22Л5 > Ъ5В3, т. е. чтобы Аъ > -^- В3. Таким образом, если
В—1, то нужно, чтобы Аь > -г^- , т. е. чтобы /1 > 1,960 132. Если же
А = 2, то уравнение будет иметь три действительных корня; так как
один из них есть ж = 1, то, следовательно, и биквадратное уравнение
х* + а;3 + х°-—х—1=0 имеет два действительных корня. Впрочем, в этом
можно убедиться как с помощью изложенных правил, так и на осно-
основании того, что было доказано в предшествующей книге '), где мы
доказали, что каждое уравнение чётной степени, свободный член
которого есть отрицательное число, всегда имеет два действительных
корчя.
312. Эти правила позволяют также иметь суждение об уравнениях,
имеющих четыре члена, в тех.случаях, когда корни дифференциального
уравнения можно выразить удобно, что имеет место тогда, когда показа-
показатели степени неизвестного х в трёх первых или в трёх последних членах
образуют геометрическую прогрессию. Так как это рассуждение, если
его проводить в общем виде, привело бы к рассмотрению множества
частных случаев, го мы проведём его только на нескольких примерах.
Пример 1
Пусть предложено уравнение х1 — 2хь +х3 — а = 0.
Положив z = x7—2хд-\-х3 — а, будем иметь
d? = lx° ~ Юз;4 + За:2.
Положив это значение равным пулю, получим прежде всего а;2 = 0;
этот двойной корень не нужно принимать to внимание. Далее будем
5 + 2
иметь 7з;4 = 10а;2— 3, откуда з;2 = —у—i и мы получаем четыре значе-
значения х, которые, если их расположить в порядке возрастания, дадут
для z следующие значения:
а=1.
g _ _ М. I/ - а
----- — а.
Таким образом, если а есть число положительное, то будед! имстг.
либо а > —- 1/ -у , либо а < ^— |/ — ; в первом случае, поскольку вес
числа %, 48, К, ® отрицательны, предложенное уравнение будет иметь
«Введение», ч. 1, глава II.
454 ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ
единственный действительный корень х^>1. Во втором случае, если
а < ф- у у, уравнение будет иметь три действительных корня; пер-
первый больше единицы, второй заключ ён между пределами 1 и 1/ -=- и
/IT /"W
у И — у -=¦ .
Если же а есть количество отрицательное, то, полагая х =— у,
мы приведём уравнение к предыдущему виду. Итак, для того чтобы
предложенное уравнение имело три действительных корня, необходимо,
чтобы а < 0,0916134 или а < ^ .
Пример 2
Пусть предложено уравнение axs — За;6 + Юж* — 12 = 0.
Так как здесь показатели трёх последних членов составляют ариф-
арифметическую прогрессию, то положим х = — ; тогда уравнение иреобра-
зуется к виду
а-Зу- + 10уь-12у* = 0.
Поэтому положим
z = 12/ - Юг/5 + 3/ — а = 0;
дифференцируя, будем иметь
Из этого уравнения мы получаем прежде всего у = 0; далее будем
иметь
„ 50i/3 — 6 з 25 ±7
у = -96- и 2/* = -?->
13/Т 13/"§
и, следовательно, либо у— I/ —-, либо ?/= I/ — Расположив эти три
корпя в порядке их величины, мы найдём следующие соответствующие
значения количества z:
-п.
99 1:У 9 99 тУ^Э
= — а.
Таким образом, если а> у ^~, то предложенное уравнение будет
I3/ 1
иметь два действительных корня: один больший чем I/ --, другой-
меньший чем 0. Кроме них, оно будет ещё иметь два действительных
корня, если одновременно ?$ будет положительным количеством, т. е.
ГЛ. XII. РАЗЫСКАНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ 455
99 .3 /" 9
если а < ~=g I/ — ¦ Поэтому предложенное уравнение будет иметь
четыре действительных корня, если количество а будет содержаться
3/Т 99 3/~9~ ,
между пределами I/ -- и 23б I/ ?" 5 эти пределы приблизительно
равны 0,480 75 и 0,506 74. Так, при а = -^ уравнение ж8 — 6z" + 20а;3 —
— 24 = 0 будет иметь четыре действительных корня между нре-
делами оо, i/ j/3, 0, —со; таким образом, три будут положи-
положительны и один отрицателен.
ГЛАВА XIII
О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕЙ
313. В предыдущей главе мы изложили способ исследования при-
природы корней какого угодно уравнения; с его помощью можно, если
предложено какое-нибудь уравнение, найти, сколько оно имеет дей-
действительных и сколько мнимых корней. Однако большей частью про-
проводить это исследование Оказывается очень трудно, когда дифферен-
дифференциальное уравнение составлено так, что найти его корни нельзя.
Прадда, в этих случаях можно применить тот же способ к самому
дифференциальному уравнению, исследуя природу его корней по его
дифференциальному уравнению, определяя, таким образом, приближённо
его корни; однако чаще всего эта работа оказалась бы слишком тяго-
тягостной. Поэтому часто оказывается достаточным знание таких признаков,
наличие которых дало бы возможность с уверенностью заключить, что
предложенное уравнение имеет мнимые корни, хотя бы даже отсут-
отсутствие их и не позволяло бы заключить, что все корни действительны.
Хотя такое знание и является несовершенным, однако часто оно
не лишено пользы; поэтому изложению этих признаков мы и посвя-
посвящаем настоящую главу.
314. В предыдущей главе мы видели, что если все корни какою-
либо уравнения
z=x" — Лхп-1 + Вхп^ — GV'-3 + Zfe"-4— и т. д. =0
действительны, то и все кории его дифференциального уравнения будут
действительны. Вместе с тем мы показали, что из того, что все корни
дифференциального уравнения будут действительными, не следует, что
все корни предложенного уравнения будут действительными. Однако
если дифференциальное уравнение имеет мнимые корни, то всегда
с полным правом мы можем заключить, что и предложенное уравне-
уравнение должно иметь по крайней мере столько же мнимых корней.
Я говорю «по крайней мере». В самом деле, может случиться, что
самое уравнение будет иметь большее, число мнимых корней. Таким
образом, из дифференциального уравнения нельзя заключить большего,
чем то, что если оно имеет мнимые корни, то и само предложенное
уравнение должно иметь мнимые корни и нритом по меньшой лоре
столько же.
315. Если предложенное уравнение помножить на какую-либо сте-
степень хт, где т есть целое положительное число, то все корни нового
ГЛ. XIII. О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕЙ 457
уравнения будут действительны, если все корни предложенного уравне-
уравнения были действительными; точно так же в этом случае будут дей-
действительными все корни дифференциального уравнения, после того как
оно будет разделено на ж. Таким образом, если все корни уравнения
хп — АяГ^ + Вх"-1 — Cx'^ + Dz"— и т. д. =0
действительны, то также действительными будут все корни уравнения
(т+п)хп~(т + п — 1)Ахп-1 + {т+п — 2)Вх11-*— и т. д. =0.
По той же причине, если последнее уравнение помножить на хк и затем
снова продифференцировать, то все корни полученного уравнения
{т + п) \к + п) хп — (т + п — 1) (к + п — 1) Ах"'1 +
+ {т + п — 2){к + п — 2)Вхп-2— и т. д. =0
также будут действительными и таким же образом можно итти дальше
сколько будет угодно. Если же обнаружится, что такого рода урав-
уравнение имеет мнимые корни, то тем самым будет известно, что само
предложенное уравнение будет иметь по крайней мере столько жо>
мнимых корней.
316. Если предложенное уравнение перед тем, как оно дифферен-
дифференцируется, не умножать ни на какую степень х, то такое же суждение
можно высказать относительно уравнения на единицу низшей степени.
Так, если все корни предложенного уравнения
хп~Ах"-1 + Вхп-2--Схп'3+ и т. д. =0
действительны, то и все корни его дифференциальных уравнений
всех порядков будут действительными. Поэтому действительными'будут
все корни следующих уравнений:
пх"'1 — {п - 1) Ахп~2 + (п - 2) Вх"-3 — (га - 3) Сх"-* + и т. д. = 0,
п(п~ 1)хп-2 — (п — 1)(п — 2)Ахп-3+(п — 2)(п — 3)Вхп-*— и т. д. -=(',
п {п — 1) (п — 2) хп-3 — {п—1)(п — 2)(п —3) Ахп~* + и т. д. = 0,
п(п~ 1)(и — 2) (я — 3)жп-'—(п — 1)(п—2) (га—3) (тг—4).4ж"-* + и т. д. = 0
и т. д.
Эти уравнения приводятся к виду
. д.
п(п — 1) л(ге —1)(п —2)
п (п — 1) га(к— 1)(п —2)
= 3)^4) ^„-с_ (» - 3) (« - 4) (га - 5) ____0
га (га — I) га (га — 1) (га — 2)
4>< 5> DИ5И>Ц6) л-7 + и т. „
п ' ге (га — 1) га (га — 1) (га — 2)
И Т. д.
317. Таким образом, о корнях предложенного уравнения можно
судить по уравнению низшей степени. Так, если т есть какое-либо
число, меньшее чем п, и если все корни предложенного уравнения
458 ГЛ. XIII. О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕЙ
действительны, то действительными будут и все корни следующего
уравнения степени т:
Jtf + fB^ lf""!!!W"o? С*™ + И Т. Д. = 0.
а п (п — 1) п (п — 1) (га — 2) ' м
Ксли положить т-=2, получим уравнение
х2 - - Ах + -4^-,т 5-0.
п п (п — 1)
Его корни должны быть действительными, если все корни предложен-
предложенного уравнения
х" — Ах"-1 + Вхп~* — Сх"'3 + и т. д. =0
действительны. А так как это квадратное уравнение может иметь дей-
Аг 2 ¦ 1
ствитсльныо корпи лишь' в том случае, если —j- > —j~z.~\\ B> то, сле-
следовательно, все корни предложенного уравнения могут быть действи-
тельными лишь в том случае, если Аг >—^-г-В. Поэтому, если
А'1 <С — В, то это будет верным признаком того, что предложенное
уравнение имеет по крайней мере два мнимых корня.
318. Таким образом, мы установили необходимое условие, которому
должны быть подчинены коэффициенты трёх первых членов для того,
чтобы все корни предлогкенного уравнения были действительными.
Этот признак обладает тем свойством, о котором мы упомянули вначале..
а именно, хотя в случае А* > —^j- В нельзя ничего утверждать о дей-
действительности корней, однако если А2 <С г В, то по крайней мере
два корня наверное являются мнимыми. Таким образом, если вместо п
подставлять последовательно числа 2, 3, 4, 5 и т. д., то мы найдём
следующее:
ж2 - Ах + В = 0 • Л2 > 4Б,
хг — Ах- + Вх ~ С = 0 . А*>\В,
0 . . . . • .А*>^В,
хь — Ах4- + Вх3 - Сх' + Dx — Е = 0 . . . А2 > ~ В.
Следовательно, если второй член отсутствует, а третий коэффициент В
является положительным, так что уравнение имеет вид
х" + Вх"-2 — Схп'3 + Dx" — и т. д. = 0,
то все его корни не могут быть действительными, но по крайней мере
цва будут мнимыми.
319. Такого же рода признаки можно установить для коэффици-
коэффициентов следующих членов, если мы примем во внимание, что уравнение
1— Aij + By*~ Cif+Dy*— и т. д. -0
имеет столько же действительных и столько же мнимых корней, сколь-
ГЛ. XIII. О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕЙ 459
ко само предложенное уравнение. В самом деле, это уравнение полу-
получается из предложенного, если положить х = — , так что, зная корни
одного уравнения, мы будем знать также корни другого. Поэтому,
если все корни предложенного уравнения действительны, то и все
корни дифференциального уравнения
— А 4- 2Ву — 3Cif + 4D?/3 — и т. д. =0,
полученного из взаимного уравнения, будут действительными. Подста-
Подставим сюда снова х вместо — . Тогда получится уравнение
Ахп-*-г2Вхп-2 + ЗСхп-3 — 4аг"-4 + и т. д. = 0
и, следовательно, все его корни будут действительными, если таковыми
были корпи предложенного уравнения. Отсюда ясно, что если л = 3, то
необходимо, чтобы В2 > ЗАС.
320. Будем дифференцировать это уравнение дальше. Мы получим
2 0.-3, Вхп-> + 1^?=А> С*" ~ и т. д. = 0,
_ =(
Ахш гт-Вхт~*+ 3m<?!zilL Cx'"-2~ ит д -0
АХ n_l?SX + („ _ !) („ _ о) UX И 1. Д. -U.
Если теперь положить т = 2, то получим уравнение
Ах_рВх+^?Сх
п—\ (га —1)(п —2)
И Т. Д.
Вообще, если т есть число, меньшее чем п, то
Чтобы его корни были действительны, необходимо, чтобы --*_ ., >
> ^—. Поэтому, если все корни предложенного уравнения
действительны, то будем иметь
Если будет i?2 <-S——^f'4C, то это верный признак того, что предло-
2 (п — 2)
женное уравнение имеет по крайней мере два мнимых корня. Таким
образом, если п — 3: то признак будет В1 > ЗАС; если п = 4, то
52 > -9—^- -1С; если п = 5, тоВ1 ~> -.у-—^ АС и так далее.
321. Чтобы перенести эти признаки на следующие коэффициенты,
возьмём снова уравнение, найденное для определения ?/:
— A -f 2% — ЗС?/ + 4Z)?/3 — 5??/4 + и т. д. = 0.
Дифференцируя его ещё раз, получим
2В-6С7/-, V2Dг/- 20Eif + и т. д. ==0.
460 ГЛ. XIII. О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕЙ
Если в этом уравнении снова восстановить — вместо у, оно даст урав-
уравнение
Вхп~2 — ЗСхп'3 4- 6Dxn-* — 1<Жг"-5 4- и т. д. = 0,
из которого при дальнейшем дифференцировании следует уравнение
г> п з З(л-З) п п 4 , 6(л-3)(л-4) п „_5 п
^ л-2 °Х ' (л-2)(тг-3) И Т. Д. -U
и вообще
Если положим т = 2, получится квадратное уравнение
9Са 6 • 2•В•D
корни которого действительны, если ¦ - — > — -— — , т. с.
(Л — _) (Л — L) (Л — 6)
Поэтому, если все корни предложенного уравнения действительны,
будем иметь С2 > „; ^ BD, если же это условие не выполняется, то
О \7Ь — Of
уравнение наверное будет иметь по крайней мере два мнимых корня.
322. Если полученное выше уравнение 2В — 6Су+ 12/)г/2—и т. д. = 0
снова продифференцировать, получим
— 6С 4- 2Wy — 60Eyz 4- и т. д. =0
или
f и т. д. =• 0.
Это уравнение, если восстановить х вместо — , перейдёт в уравнение
n-5~ 20Fxn-«+ и т. д. = 0,
дальнейшее дифференцирование которого даст
-л _ 4 (в - 4) D „_, 10(га-4)(га-5)
D _
п п , 4 (п — 5) ,-. „ . , 10 (п — 5)(ге — 6) г-, п , ,.
Са;"-5 —--- Dxn~° + -~—^—^—~ Ех"'7 — и т. д. = 0
?г — 3 (л — 3) (п — 4)
и вообще
Exm~2— и т. д. =0.
л —3 (n —3)^i-
Положим те = 2; тогда будем иметь
= 0.
Сх /)ж + ,I, ,,
я — 3 (л — 3) (п — 4)
Если корни этого уравнения действительны, то должно быть
D-4) д, 2-10 гр 5(П-3) г„
^ > СЬ ИЛИ ^ > -4(^4)" 6L'
323. Отсюда уже становится ясным, какие соотношения будут
иметь место для всех коэффициентов. Если все корни уравнения
х" — Ах"'1 4- Вх"-- — Czn-S 4- Dxn-*—Exn-5 + и т. д. =0
ГЛ. XIII. О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРЕЕЙ 461
будут действительны, то будем иметь
СЕ,
D > .^
4(п —4)
?2 б (п -4)
Ь (п — 5)
И Т. Д.
Если из этих условий не выполняется хотя бы одно, то уравнение
будет иметь по крайней мере два мнимых корня. И если эти условия
независимы друг от друга, то легко видеть, что какое их число
не выполняется, столько же пар мнимых корней будет существовать. Если
же хотя бы все эти условия выполняются для какого-нибудь уравне-
уравнения, то отсюда ещё не следует, что у него нет никаких мнимых кор-
корней; напротив, может случиться, что, несмотря на это, все его корни
являются мнимыми. Итак, нужно остерегаться, чтобы этим признакам
не придать большего значения, чем то, которым они обладают в силу
начал, из которых они выведены.
324. Легко видеть, что невыполнение каждого признака в отдель-
отдельности не может служить указанием наличия пары мнимых корней.
Действительно, в уравнении степени п имеется п — 1 членов, и для
каждого из них, кроме первого и последнего, можно получить по одному
признаку. Таким образом, всего мы будем иметь п—1 признаков; но
если все они не выполняются, то уравнение, конечно, не может иметь
2п —2 мнимых корней, так как оно имеет всего только п корней.
Но один признак всегда обнаруживает наличие двух мнимых корней,
а так как может случиться, что два признака не укажут большего
числа мнимых корней, то нужно.посмотреть, являются ли эти признаки
соседними или нет; в первом случае число мнимых корней не увели-
увеличится, во втором же случае, поскольку в признаки входят совершенно
различные буквы, каждый из них укажет наличие пары мнимых кор-
корней *). Так, если будем иметь
ла ^- 2/1 г? „ 3( 1)
А < i(l) В И
2(„-2)
х) Рассуждение Эйлера, конечло, не доказывает правильности его утвер-
утверждения, однако оно весьма любопытно для характеристики тех требований (вернее,
той нетребовательности), которые предъявлялись к математическому доказатель-
доказательству в XVIII веке. Как указывает ниже сам Эйлер, приводимая здесь оценка числа
мнимых корней была дана впервые Ньютоном (V,07 г.4 в его «Универсальной
арифметике» («Arithmetica Universalis», 3-е издание, Leiden, 1732, стр. 184—187),
который высказал её без всякого доказательства. Английский математик Кемп-
белл в статье, напечатанной в 35-м томе Philosophical Tra sactions, датированном
1728 г., вывел приводимые Эйлером достаточные признаки тем самым способом,
который излагается в тексте. Он доказал, таким образом, лишь то, что любой
из признаков позволяет утверждать о наличии хотя бы одной пары мнимых
корней. Что касается более сильного утверждения, высказанного Ньютоном в той
форме, в какой мы его находим ниже в тексте, то Кемпбелл ограничивается
утверждением: «из сказанного непосредственно выводится доказательство правила,
462 ГЛ. XIII. О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕЙ
то отсюда не следует с необходимостью существование четырёх мни-
мнимых корней; может быть, что каждый из этих признаков указывает
на наличие одной и той же пары. Если же будем иметь
^В и C'<-;(""S BD,
^ 1(л—1) ^ З(л-З)
причём В2 ^> -„'-—~-АС: то это служит указанием на наличие четы-
четырёх мнимых корней.
325. Итак, два непосредственно следующие друг за другом при-
признака дают не больше того, что можно заключить из одного; если же
они идут друг за другом в прерывающемся порядке, так что между
двумя какими-либо признаками располагается один или несколько
противоположных признаков, тогда каждый позволяет заключить о на-
наличии двух мнимых корней. Это рассуждение приводит пас к следу-
следующему правилу. Над всеми коэффициентами предложенного уравнения,
кроме первого и последнего, следующим образом надпишем ранее
найдепные коэффициенты признаков:
2.ч _ 3 (п - 1) 4 (га - 2) 5 (га - 3)
Т(«^1)~ 2 (га- 2) (га - 3) 4 (л - 4)
хп~ Ах"-1 + Вхп-2 — Сх11-3 + Dxn~*~ и т. д. =0.
+ ... ... ... ... я т. д.
Затем возьмём квадрат каждого коэффициента и посмотрим, болыда
он или меньше, чем надписанная дробь, помноженная на произведение
прилегающих коэффициентов; в первом случае под соответствующим чле-
членом поставим знак + , во втором яге знак — . Под первым же и под
последним членом будем всегда ставить знак -f-. Теперь нужно будет
считать, что уравнение будет иметь по крайней мере столько же мни-
мнимых корней, сколько будет перемен в ряде подписанных знаков.
328. Это есть правило, найденное Ньютоном для определения
числа мнимых корней каюго-либо уравнения; относительно него нужно
только хорошо помнить, что, как мы ужо отмечали, уравнение часто
может иметь большое число мнимых корней, чем то, i оторое указы-
указывается этим методом. Поэтому другие авторы прилагали старание
к тому, чтобы найти другие подобные правила, которые давали бы
более точно число мнимых корней, так чтобы истинное число мнимых
корней не так часто превосходило число, указываемое правилом.
Из правил такого рода наибольшими преимуществами обладает правило
Компболла, данное им в допо шениях к «Универсальной арифметике»
Ньютона. Поэтому следует здесь изложить это правило»..^олл..-Ojjo и
ire является совершенным. Оно основывается на следующей лемме.
Пусть а, р, у, о, г и т. д. суть какие-либо количества и пусть число,
их есть т. Положим, что сумма этих количеств
сумма их квадратов
ее.2 -f- Р2 + Y2 + 'J* "I" и т* Д* ~ ^>
которое дат з.тиеиитый Ныото.? и которым определяется число невозможных
юр.гей в каном-л'тЗ..! „a i.i.im у рачнеапч». Доказательство теоремы Ньютона было
впорчие да ю Ся п.чтетром в L87L г. (Тга saclions of Ihe R. Irish Acad., т. 24). Ere
можно найти в книге П. Weber, Lehrbuch tier Algebra, т. I.
ГЛ. XIII. О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕЙ 463
так что во всяком случае V > 0. Но так как сумма парных произве-
произведений
- п S2 — V
ар -f- ау + ас -j- ру + рЗ + и т. д. = —-— ,
то будем иметь (т—i)V > S*—V или mV > S*. Ибо если взять квад-
квадраты разностей между всеми парами количеств, то сумма их будет
= (a-p)» + (a-Y)a + (a-o)» + (p-Y)« + (p-fi)' + H т. д.
= (m-l)(a2 + P2 + Y2 + S2+ и т. д.) - 2 (ap + ay + a8 + ру + и т. д.)
= {m-\)V -2S-^- = mV-S\
А так как сумма квадратов действительных чисел всегда положитель-
положительна, то
mF-?2>0, т. e. mV > S\
327. Предпослав эту лемму, рассмотрим теперь уравнение
х" - Ах"'1 + Вхп-2 - Сх"~3 + Dx"-' - Ехп-& + Fxn~a — к т. д. =0.
Пусть все его корни, число которых есть п, действительны. Обозна-
Обозначив их через а, Ь, с, d, е и т. д., будем иметь, как известно из свойств
уравнений, число слагаемых
А = а + b + с + d + и т. д. п
B = ab + ac + ad+bc + bd+ и т. д. "^у—2~
C = abc + аЫ + abe + acd + bed + и т. д. ?^L=^L
7ч l j i j. 7i re (n — 1) (га — 2)(ге — 3»
Z) = a&cc? + abce -j- abde-{- и т. д. — г-~—~± '
Возьмём квадраты всех членов каждого ряда и положим
Р = a2 + b"' + с2 -;- d1-\- и т. д.,
Q ¦-= а"Ь%-\- а2с'2-\- a2rf2i- 62с2 + и т, д.,
# = a2&V+a262d2-j-a-&V + aVd2+ и т. д.,
S+ а*-Ь'сЧ> + а2Ь-2с*ег + а2ЬЧ*е2-1- п т. д.,
и т. д.
Тогда, в силу свойств сочетаний, будем иметь
Р = А' - 22?,
<? = Z?!-2.4C f 2?>,
R = C- 2BD + 2АЕ - 2F,
S = ZJ - 2СЕ + 22?Е - 2ЛС + 2//
и т. д.
464 ГЛ. XIII. О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕЙ
328. В силу предпосланной леммы будем иметь
пР > А\
1.2 4>а '
га (к-1) (к-2) „ rt
Ь2Тз Л > °
п (п - 1)(п - 2) (п - 3) о Л2
1-2-3-4 ^>,>^
И Т. д.
Если вместо Р, Q, R к т. д. подставить ранее найденные значения,
получим следующие свойства действительных корней:
Аг или А%>~\в>
Л
1.2 U Ь2~АЬЛ Г2
или
2п(п — 1)
Подобным образом следующие уравнения дадут
2/1 (п — 1)(п-2)
1-2-3
2n(,ra- 1) (га - 2) (п - 3)
^Щ^щ^ -(CE-BF + AG-H).
1-2-3-4
Здесь, таким образом, квадрат каждого коэффициента сравнивается не
только с произведением ближайших прилежащих коэффициентов, но
также с парными произведениями равноотстоящих коэффициентов,
однако так, что знаки этих произведений чередуются.
329. Таким образом, над всеми членами уравнения, кроме первого
и последнего, нужно надписать дроби, числители которых суть удво-
удвоенные коэффициенты бинома, возведённого в ту же степень, а знаме-
знаменатели суть эти же биномиальные коэффициенты, уменьшенные на еди-
единицу. Таким образом, рассматривая уравнения квадратные, кубические,
биквадратные и т. д., мы будем иметь, если все их корни действи-
действительны,
Для кубического уравнения
б б
х3 — Ах2+ Вх — С = О
будем иметь
А2>ЗВ и В*>ЗАС,
ГЛ. XIII. О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕЙ 465
Для биквадратного
X 12 8
х* - Ах3 + Вх2 — Cx + D -- О
будем иметь
А2>^В, B2>l4(AC-D), C*>^
Для уравнения пятой степени
Ю 20 20 1»
x*—Axi + Вх3 — Схг + Dx—E = 0
будем иметь
А*>™В, В'>™
Для уравнения шестой степени
C*>™(BD-AE) и D*>^CE.
12 30 SO 30 12
":> 14 19 14
Xе - Ах' + Вх* - - Сх* -1 ?хг — Ех 4- F ¦= 0
будем иметь
А* > ~ В; В> > g (AC-D) , Cr > -J
/>2 > g (CE-BF), Е"- >
и т. д.
330. Если, таким образом, какой-либо из этих признаков не имеет
места, то это служит указанием на то, что по крайней мере два корня
предложенного уравнения являются мнимыми. Но так как, если не
имеют места все эти признаки, уравнение не может иметь вдвое боль-
большего числа мнимых корней, то суждение о числе корней нужно вы-
высказать в данном случае так же, как раньше мы высказали его отно-
относительно правила Ньютона. А именно, если квадрат какого-либо члена
будет больше, чем надписанная дробь, помноженная на произведения
равноотстоящих членов, то мы подпишем под этим членом знак 4-.
и противном же случае знак — ; под первым же и под последним чле-
членами будем всегда подписывать знак 4-. После этого будем наблюдать
порядок этих подписанных знаков, и сколько раз будем иметь пере-
перемены знака, столько мнимых корней будет указало. Каждый раз, как
это правило укажет большее число корней, чем правило Ньютона, оно
даст результат, более близкий к истинному. Может, однако, случиться,
что уравнение будет иметь больше мнимых корней, чем на то указы-
указывают оба эти правила.
331. Таким образом, мы ошиблись бы, если бы стали применять
эти признаки как точные указания о число действительных и .мнимых
корней, ибо может случиться, что уравнение может иметь больше
мнимых корней, чем указывают эти признаки. При этом ошибка может
стать тем большей, чем выше степень уравнения. Действительно, для
квадратного уравнения эти признаки дают всегда истинный результат,
так что, если они не указывают ни одного мнимого корня, то уравне-
уравнение никаких мнимых корней и но имеет. Кубическое же уравнение
30 л. Эй.!.ер
466 ГЛ. XIII. О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕЙ
может иметь два мнимых корня, хотя бы ни одно из двух правил
(оба они в данном случае совпадают) не указывало наличия мнимых
корней. Найдём эти случаи. Пусть предложено общее кубическое урав-
уравнение
3 3
ха—Ах1-
Если в нём Л2 > ЗВ и В1 > ЗАС, то ни одно из двух правил но ука-
указывает наличия мнимых корней. Однако выше мы видели, что для
того чтобы мнимых корней не существовало, требуется, во-первых,
чтобы Б<--Л"; это условие требуется и обоими правилами; пусть,
1 1
таким образом, В = — А*—у/2; тогда необходимо ещё, чтобы С содер-
содержалось между пределами
11 о 11 О
_ Ая- - At' — /3 и — 43 Af3-±—t*
17 У ' 27' 27 ~У~ ' 27' '
Однако оба прагила требуют лишь того, чтобы было С < ^- , т. о.
чтобы
1 2 , fi
21 27 ' ' "^ 277i "
Это [условие может иметь место и в том случае, когда С не содер-
содержится между указанными пределами.
332. Действительно, пусть
27 27 ' ~^~ 2ТА %''
тогда наши правила не укажут никаких мнимых корней. Между тем
два мнимых корня будут существовать, если будем иметь либо
27 27 ' ^ 13Л" ° 27 У ' 27' '
лиПо
Т1АШ-яАГ + ш-*'>Г1А'-ъА? + Т1Г-
Таким образом, если будем иметь либо
то кубическое уравнение будет иметь два мнимых корня, хотя ни одно
из правил не укажет наличия мнимых корней. Мы считали здесь, что А
положительно; если бы оно было отрицательным, то, полагая х=—у,
мы преобразовали бы уравнение к такому виду, что А было бы поло-
положительно. Таким образом, можно образовать бесчисленные кубиче-
кубические уравнения, которые будут иметь два мнимых корня, тогда как пС-.г,
правила их не укажут. Действительно, пусть g'3=- ¦¦ ^а "*" **"' тогди
Или пусть g-'^^L^I—h\ где V < КА\^ > ; тогда
и B = ±A'-±
ГЛ. XIII. О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕЙ 407
Таким образом в обоих случаях получается уравнение, имеющее два
мнимых корня, не указываемых ни одним из обоих правил. Положим,
например, А = 4, / —1; тогда В = Ъ и, поскольку ga — ..-у, +/t% будем
иметь
>::> ~25 , 50 3
C~10S~108~" ~27~" -
Поэтому, если С < т^ . то уравнение х3—4л2 + 5а: — С —0 всегда будет
иметь два мнимых корня. Если же взять g*=-- — Л3, то должно быть
Л <^ — > так ч'° мьг получим
Пусть Л2 = Tg ; уравнение z3— 4xj + 5j;—т^ = 0 будет иметь два мнимых
корня, хотя ни одно из правил не укажет их наличия.
333. Более того, можно образовать такие общие уравнения, для
которых нп то, ни другое правило не обнаружит мнимых корней
и которые, однако, весьма часто будут их иметь два или большее
число. Это происходит тогда, когда чередуются пары одинаковых зна-
знаков, как в уравнении
хп—Ах — Вхп-2 + Схп 3 + /)х"-4—Ехп-Ь~Fxn-'-\- и т. д. -,()
или в уравнении
-b~Fx"-°— и т. д. = 0.
В этом случае ни то, ни другое правило никогда не указывает ника-
никаких мнимых корней. Но тагие уравнения очень часто имеют мнимые
корни, что можно видеть хотя бы на примере кубического уравнения
х3—Ах" — Вх-\-С = 0, которое всегда имеет два мнимых корпя, если
при р = А" + ЗВ будем иметь либо
Однако и в таких случаях мнимые корни могут быть обнаружены
с помощью наших правил, если уравнение подстановкой преобразовать
к другому виду. Положим х — у-\-к\ тогда будем иметь
- Ау*-'ЗАку-Ак* [_
-Ву — Вк (~v-
+ С \
Если к этому уравнению применить рассмотренные правила, то прежде
всего сразу получаем
{Зк-А)а > 3 {Ък*—2Ак—В),
а для того чтобы имело место соотношение
(Ж~2Ак-ВУ > 3{Гк-А) {k*-Akt~Bk + O,
468 ГЛ. ХШ. О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕЙ
которое составляет второй признак, необходимо, чтобы
В' + ЗАС + {АВ—9С) k + (A* + ЗВ) к* > О
при любом значении к. Возьмём такое число к так, чтобы это выра-
выражение приняло минимальное значение, что будет, если положить
, ъс — АВ т, 1-е. г
л — Ьсли и это выражение будет больше нуля, то будет
вероятным, что предложенное уравнение не будет вовсе иметь мнимых
корней. Но мы получим
ИЛИ
А так как В~— /J—.гЛа, то будем иметь
или
4/*-8.4'/* + 4Л4/1 + 108 ЛС/; > Л4/*-2 Vf'-biACf + Л' + 54А*С + 729С3
или
4/в > 9Л74-6Л73-162-467' + Л' + 54Л'С 4. 729С3.
Разлагая на множители, получаем, что должно быть
B/3 + Л3 - ЗЛ/2 + 27С) B/3-Л3 + ЗЛ/2-27С) > 0.
Следовательно, наши правила укажут наличие мнимых корней, если
будем иметь либо
О-1л3 + 1л/3|/3 и о-^л' + ^л/' + ^л
либо
Это — то же условия, которые мы нашли выше. Таким образом, ясно,
что с помощью удобного преобразования предложенного уравнения
можно усовершенствовать правила, приведённые в этой главе, так,
что они дадут истинные результаты и в том случае, если их обратить.
334. Из тех же начал можно вывести также правило Гарриота1),
утверждающее, что какое-либо уравнение имеет столько положитель-
положительных корней, сколько имеется в нём перемен знаков, или столько отри-
отрицательных корней, сколько в нём повторений знаков; это правило имегт
силу только для уравнений, все корни которых действительны.
Положим, что все корни уравнения
х"~Лх" -l+Bx'1^- Cxn s -{- Dx" 4 - и т. д. ¦--, О
') Правило Гарряота (Harriot, 1560 —1021) иместно сейчас под названном
правила Декарга. Гарриит установил его раньше Декарта (работа Гарриота «Artis
ai.alyticae praxis» вышла после смерти автора в 1631 г.; раСмта Декарта —в 1637 г.),
исходя из тех же соображений, из которых получил его Декарт (см. Дет: ар т.
Геом.'трчн, перевод А. П. Ютыковича. ОНТИ, 19.!8, стр. 77). Весьма возможно,
чт > Декарт но акал работы Гаррнота. Су. примечания А. П. Юшкевича в упомя-
упомянутой кнпгс, стр. 227.
ГЛ. XIII. О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕЙ 469
действительны и положительны; тогда корни его дифференциального
уравнения
пхп1~(п— 1)Ах"-* + (п—2)Вх"'3 — и т. д. =0
не только все действительны и положительны, но и дают пределы,
между которыми содержатся корни первого уравнения. Кроме того,
если положить х — — , то п уравнение
l~Ay+By*—Cy* + Dy* — и т. д. =0
будет иметь все корни действительные и положительные, причём боль-
большие корни первого уравнения дают меньшие корни второго. Положим
теперь, что предложенное уравнение последовательно подвергается
дифференцированию до тех пор, пока не получится уравнение первого
порядка, которое будет иметь вид х А—О (§ 'Ml). И у этого урав-
уравнения корень будет положительным, так что коэффициент второго
члена будет иметь знак—, как мы и приняли. Если же этот коэффи-
коэффициент имел бы знак +, тогда можно было бы наверное заключить,
что не все корни предложенного j-равнения положительны, но по
крайней мере один является отрицательным, а именно тот, который
соответствует установленным до этого пределам.
335. Если предложенное уравнение преобразовать в уравнение,
взаимное с ним, затем это взаимное уравнение продифференцировать
и, наконец, снова восстановить х, и если продолжать дифференцировать
до тех пор, пока не придём к простому уравнению, которое, согласно
§ 320, будет иметь вид
то корень этого последнего уравнения должен быть положителен, если
все корни предложенного уравнения были действительными положи-
положительными; следовательно, второй и третий члены будут иметь различ-
различные знаки. Таким образом, если два члена имеют одинаковые знаки,
то это укажет на наличие одного отрицательного корня, соответству-
соответствующего пределу, указываемому этим уравнением, который будет отли-
отличен от предела) указываемого предыдущим уравнением, ибо теперь мы
один раз произвели обращение корней. Отсюда заключаем, что если три
первых члена уравнения будут иметь одинаковые знаки, то это ука-
указывает на наличие двух отрицательных корней.
336. Подобным образом, если мы будем производить обращение
и дифференцирование, как в § 321, и будем продолжать их до тех пор,
пока не придём к простому уравнению
то и это уравнение должно будет иметь положительный корень, если
все корни предложенного уравнения были положительны. Поэтому,
если третий и четвёртый члены будут иметь одинаковые знаки, то это
укажет на наличие одного отрицательного корня. Таким же образом
постоянно, если какие-либо два соседних члена будут иметь одинак! -
вые знаки, получится один отрицательный корень; поэтому предложи
470 ГЛ. XIII. О ПРИЗНАКАХ МНИМЫХ КОРНЕЙ
ное уравнение будет иметь по крайней мере столько же отрицатель-
отрицательных корней, сколько раз одинаковые знаки следовали друг за другом,
ибо каждый из этих признаков относился к различным пределам. Если
же мы положим, что все корни предложенного уравнения отрицательны,
то, поскольку корни всех выведенных из него дифференциальных урав-
уравнений также должны быть отрицательными, все члены должйы будут
иметь одинаковые знаки. Поэтому, если два соседних члена имеют раз-
различные знаки, то отсюда можно заключить, что имеется по крайней
мере один действительный корень. Подобным же образом можно будет
сказать, что уравнение имеет по крайней мере столько же положи-
положительных корней, сколько перэмен знаков в нём имеется. А так как
всякое уравнение имеет сколько жэ корней, сколько имеется парных
сочетаний соседних знаков, и не больше, то следовательно, каждое
уравнение, все корни которого действительны, имеет столько же поло-
положительных корней, сколько в нём перемен знака, и столько отрица-
отрицательных, сколько в нём повторений знака.
ГЛАВА XIV
о дифференциалах: функции в некэторых
ОСОБЫХ СЛУЧАЯХ
337. Если у есть какая-либо функция от х и если это переменное
количество х получает приращение со, так что х переходит в
то функция у получает значение
так что она принимает приращение
как мы выше доказали (§ 48). Поэтому, если u> = dz, т. е. если х воз-
возрастает на свой дифференциал dx, то функция у получает приращение,
равное
dy + { dly + ~ d3y + ^ i1?/ + и т. д.,
что и будет истинным диффоронциалом количества у. Поскольку какой-
либо член этого ряда имеет бесконечное отношэние к следующим, то
лсо члены исчезают по сравнению с первым, так что dy, взятое обыч-
обычным образом, представляет истинный дифференциал количества у.
Подобным же образом истинные вторые, третьи, четвёртые и т. д. диф-
ф"]»онциалы количества у будут
dty+dly + ?%d' +
и т. д.,
и т. д.,
И т- я-
и х. д.,
и т. „.
Она получаются из выражений § 56, если вместо со и т. д. положить dx.
Таким образом, это будут полные дифференциалы количества у, ибо
в них мы не пренебрегаем и теми членами, которые исчезают по
472 ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
сравнению с первым. Эти члены можно найти, если последовательно
дифференцировать функцию у, полагая dx постоянным. Так, если
у=ах—х'Ь, то поскольку dy = adx—2xdx и d'y~ 2dxz, полные диф-
дифференциалы количества у будут
dy = a dx~-2x dx—dx'; d'y ——2dx'\
следующие же равны нулю.
338. Хотя в общем случае в этих выражениях последующие члены
считаются нулями но сравнению с первыми, однако в особых случаях,
когда исчезает сам первый член, оснонание для этого отпадает, и вто-
вторым членом пренебрегать уже нельзя. Так, в предшествующем примере,
хотя дифференциал формулы у=ах — х: равен (а — 2х) dx и член—dx'
отбрасывается, так как он бесконечно меньше, чем первый (а—2x)dx,
однако при этом, очевидно., подразумевается условие, что первый член
сам по себе не исчезает. Поэтому, если ищется дифференциал функции
., 1
у = ах—х в том случае, когда х= -а, то нужно сказать, чти он
равен —dx2; т. е. если переменное х возрастает на дифференциал dx.
то приращение функции у в случае х = -,-а будет равно dx"'. За исклю-
исключением же этого единственного случая дифференциал функции у будет
равен (а — 2x)dx\ действительно, если не будем иметь ж = — а, то второй
член —dx1 по сравнению с первым всегда может быть с полным
правом отброшен. Правда, если пренебречь членом dx" даже в случае
:с— 9-а, мы не впадём в ошибку; действительно, ведь первые диффе-
дифференциалы обычно сравниваются между собой; и так как dy——dx%
в случае х= -^ а исчезает по сравнению с первым дифференциалом dx,
то безразлично, будем ли мы в этом случае иметь <i?/ = 0 или
339. Пусть у есть некоторая функция от х и пусть, последова-
последовательно дифференцируя, мы имеем
dy=pdx, dp = qdx, dq = rdx, dr — sdx и т. д.
Тогда полные дифференциалы количества у, в которых мы ничем не
пренебрегаем, будут
*-щ>Ых*+ и т- д-
d* ¦ у — q dx'1 -f- r dx3 -f- r^ + s dx* + - t dxb -f- и т. д.
•j 5
d1-y = rdx* f -- s dx*+ -^ t dxb f и т. д.
d* ¦ у = s dx* + 2t dxb + 0 т. д.
db y — t dxb + и т. д.
и т. д.
Если первые члены этих выражений не исчезают, то они одни дадут
дифференциалы у; если же в каком-либо случае первый член будет
ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 473
равен нулю, то следующий член выразит искомый дифференциал. Если
же и второй член исчезает, тогда третий даст значение искомого
дифференциала; если же и этот исчезнет, то четвёртый и т. д. Отсюда
ясно, что ни для какой функции количества х первый дифференциал
никогда не исчезает вполне; так, если бы даже мы имели р = 0, —в этом
случае обычно считается, что ду исчезает, —то этот дифференциал
выразится через более высокую степень количества dx, например через
1 1
-,- qdx* или, если также q—-0, через—-~-rdxs и т. д.
340. Хотя в этих случаях дифференциалом количества у но отно-
отношению к другим первым дифференциалам, с которыми он сравнивается,
мы законно пренебрегаем и считаем его за нуль, однако часто полезно
знать истинное его выражение. Действительно, из полной формы диф-
дифференциала тотчас же можно видеть, в каких случаях данная функция
становится максимумом или минимумом. В самом деле, если
1 1
dy = p dx-}- qdx°- +-r-r dx" + и т. д.,
то для того чтобы у получило максимальное ила минимальное значе-
значение, необходимо, чтобы /> = 0. Следовательно, в этом случае мы имеем
dy= -qdx" и функция у, если вместо х положить x-^dx, перейдёт
2
в у + if qdx2 и, следовательно, будет минимумом, если q имеет поло-
положительное значение, и максимумом, если q имеет отрицательное зна-
значение. Если же вместе с тем д = 0, то dy = -yrdx*, и функция у, если
положить х i dx вместо х, перейдёт в у ± .r-rdx"; в этом случае не
будет ни максимума, ни минимума; если же и г—0, то, если положить
х ± dx, вместо х, функция станет равной у+ sdx*, что даст макси-
максимум, если s будет отрицательным количеством, и минимумом, если
л —количество положительное. Другие случаи, когда применяются
выражения полных дифференциалов, встретятся нам ниже.
341. Положим, что р исчезает при х = а; это произойдёт, если
р = (х—а)Р, а это будет, если
у=~(х~аKР + С,
где С означает какое-либо постоянное количество. Действительно, так
как
р dx = (х—а)г dP + 2 (х—а) Р dx,
то при /> = 0 мы действительно имеем х — а. Так как далее
dpdx^q dxz = {x—af d*P + 4 (x—a) dP dx + IP dx\
то при х — а получим qdx~ = 2Pdx2 и полный дифференциал в случае
х= а будет
dy = Pdx\
если только не исчезнет и Р при х=а; этот случаи я рассмотрю
позднее.
Данный же случай можно следующим образом обобщить. Пусть
z = {х—а)% Р + С
474 ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
и пусть у есть какая-либо функция от z, так что dy = Zdz, где Z есть
какая-либо функция количества z—(x—а)'Р-\-С. Тогда будем иметь
dz = (x—aK dP + 2 (x—a) f> dx
и
pdx = Z (x—aJ dP + 2Z (х — а) Р dx.
Это выражение становится равным нулю, если х — а; в этом случае,
пренебрегая членами, содержащими множитель (х — а), будем также
иметь qdx1 = 2PZdx', так что в случае х = а имеем dy — PZdx', где
в выражение PZ повсюду вместо х положено а. Поэтому, если у будет
какой-либо функцией количества z+(x—а)'Р + С, так что dy = Zdz,
то в случае х = а будем иметь
Следовательно, эта функция у даст максимум в случае х = а, осла при
этом PZ будет отрицательным количеством, и минимум, если PZ будет
количеством положительным.
342. Если р — (х—а) Р, то при х — а исчезает также q; а подобное
выражение для р получается, если
у = (х—а)г
Тогда будем иметь
pdx = (х—аK dP 4- 3 (х—а)г Р dx,
q dx1 == (х—аK d'P + 6 (х—а) >dPdx + Q (x—a) P dx%.
05a эти выращэная исчезают при х=а, следующее же будет
г dx* = (х—аK d3P + 9 {х—а) 'd'-Pdxi-18 (х—а) dP dx' -f QP dx" = QP dx*
при х = а. Так как р и q исчезают при х = а, то
dy -^rdx3 = Pdx\
Подобным образом, если положить
z = (x — aKP-rC
и пели у будот какой-либо функцией от z, так что dy = Zdz, то,
поскольку
dz{ = х — aK dP + 3 (х — а)* Р dx,
GyfljM имоть также р — 0 и д = 0 и получим rdx —3QPZdx3, откуда при
х—а будем иметь
dy = PZdx\
Поэтому функция у, хотя при х — а мы и имеем р — 0, на получает
нц максимального, ни минимального значения.
343. Эти дифференциалы можно легче найти из основного свойства
дифференциалов. В самом деле, диффзренциал количества у получается,
если у вычитается из ближайшзго следующзго значения, которое оно
получает, если вместо х подставить х -{¦ dx. Возьмём сначала первый
ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 475
из вышерассмотренных случаев, когда мы имели
y = {x-afP + C.
Положим здесь x-\-dx вместо х; тогда будем иметь
yi = (x — a-
откуда
dy = (х — а + dxJ Р1 — {х — а)% Р;
следовательно, при х=а будем иметь dy = Pidx2, а так как отношение
V1 к Р есть отношение равенства, то
dy = Pdx2.
Подобным образом, если
z=(x — a)"P + C,
то dz = P dx2; поэтому, если у есть какая-либо функция от z, причём
dy = Z dz, то будем иметь
dy = PZdx%
при х = а.
Далее, пусть
г = (х-аIР4-С.
Тогда zI~(x— а + dx)zPl-\-C и поэтому при х — а
Если, далее, у есть какая-либо функция от z и dy — Zdz, то при х = а
будем иметь
где в функциях Р и Z вместо х повсюду подставлено а. Так как в этом
случае z = C и Z есть функция от z, то Z будет постоянным количе-
количеством, а именно, такой функцией количества С, какой прежде оно было
от количества z.
344. Вообще, если
у={х-а)пР+С,
то так как
yI = (x — a+ dx)" P1 + С,
при х = а будем иметь
dy = Pdxn;
оели п>1, то этот дифференциал исчезает по отношению к другим
первым дифференциалам, которые однородны с dx. Из предыдущего
ясно, что функция у в случае х = а будет максимумом или минимумом,
есла п б^дет числом чётным; действительно, если Р при х=п есть
но хожительное количество, то у будет минимумом; если же Р есть
отрицательное количество, то у будет максимумом. Мы видим, что таким
способом максимумы и минимумы находятся гораздо легче, чем выше-
вышеизложенным методом, ибо нет нужды переходить к высшим дифферен-
дифференциалам. Если же
z=(x — a)nP \-С
и у ость какая-либо функция от z, так что dy — Zdz, то в случае х — а
будем иметь
476 ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
Следует заметить, что здесь п есть положительное число, т. е. больше
нуля; если бы п было числом отрицательным, тогда при ж = 0 количе-
количество (х — а)п не исчезало бы, как мы принимали, но было бы бесконечно
большим.
345. Теперь мы видим, что этим способом дифференциал находится
гораздо легче, чем с помощью ряда, которым мы прежде выражали
полный дифференциал; действительно, если п есть целое число, то нам
пришлось бы рассмотреть столько членов этого ряда, сколько п содер-
содержит единиц. Если жо п есть число дробное, тогда этот ряд вообще
никогда не даст истипного дифференциала. В самом деле, положим, что
Если мы рассмотрим ряд
ill
dy =± р dx ¦{- v q dx3 + -^r dx3 -f — s dx* + и т. д.,
то будем иметь
- з
¦* г 4 ух-а Ъ {* - ¦ а) У г ~ а 16 (х - af \ х - а
Поэтому, если положить х = а, то получим, правда, /> = 0, но все сле-
следующие члены будут бесконечными, поэтому дифференциал dy в атом
случае вовсе нельзя будет определить. Метод же, основанный на свой-
свойствах дифференциалов, не оставит места никакому сомнению. Действи-
Действительно, так как у=(х — aK/2-fa|/a, то положив х -f- dx вместо х, полу-
получим у1 = (х — а + dxK!2 -j- а \/ а и будем иметь при х = а dy~dx\fdx.
Следовательно, этот дифференциал исчезает по сравнению с dx, вторые
же дифференциалы, однородные к dx\ будут исчезать по сравнению
с ним.
348. Рассмотрим несколько подробнее те случаи, когда показатель
п есть число дробное; пусть
так как у1 ¦— Р1 \fx — а + dx + С, то
при х = а. Следовательно, этот дифференциал будет иметь бесконечное
отношение к dx и к дифференциалам, однородным с dx. Отсюда ясно,
как будет в этом случае обстоять дело с максимумом и минимумом.
Если положить а + dx вместо х, то у перейдёт в
С + Р \/"dx.,
и вследствие двузначности у'"dx функция у будет иметь два значения:
одно большее, чем значение С, которое она получает при х — а, а дру-
другое меньшее; таким образом, в случае х = а не будет ни максимума.
ни минимума. Кроме того, если dx взять отрицательным, то значение
у будет мнимым. То же самое произойдёт, если будем иметь
ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 477
г — Р \f х — а + С и у будет какой-либо функцией от z, причём dy = Z dz.
Действительно, тогда будем иметь dy = PZ^fdx при х = а.
347. Пусть предложена функция
и требуется найти её дифференциал при х = а; из предшествующего
ясно, что он будет равен
m
dy = Р dz7' ;
поэтому, если m > п, то ;ггот дифференциал исчезает относительно dx,
если же пг < п, то отношение —• будет бесконечно большим. Кроме
того, если п есть чётное число, то дифференциал dy будет иметь два
значения: одно положительное, а другое отрицательное; таким образом,
функция у, которая при х=--а становится равной С, будет иметь при
х = а + dx два значения: одно большее, чем С, а другое меньшее. Если
же положить x~a—dx, то у станет мнимым; поэтому в данном случае
у не будет ни максимумом, ни минимумом. Положим теперь, что зна-
знаменатель п есть число нечётное. Числитель m будет либо чётным, либо
нечётным. Пусть сперва пг есть чётное число. Так как dy сохраняет
одно и то же значение, возьмём ли мы dx положительным или отрица-
отрицательным, то очевидно, функция у при х~а будет либо максимумом,
либо минимумом, смотря по тому, будет ли Р отрицательным количе-
количеством или положительным. Если же и m и п будут нечётными, то диф-
дифференциал dy переменит знак на противоположный при отрицательном
dx; следовательно, в этом случае функция у при х = а не будет ни ма-
максимумом, ни минимумом.
348. Если функция у будет состоять из нескольких членов, каждый
из которых делится на х — а, так что
у=(х— a)m P + (x
тогда при х — а её дифференциал будет
dy =
Если в атом выражении п > т, то второй член исчезает по сравнению
с первым, так что получается только dy=-Pdxm. Если же п есть дробь
с чётным знаменателем, то хотя Q dx" исчезает но сравнению с Р dxm,
однако вовсе пренебречь им нельзя. Действительно, благодаря этому
выражению становится ясным, что если dx взять отрицательным, то
значение dy будет мнимым, чего не видно из первого члена Pdx'".
Таким образом., поскольку если п есть дробь с чётным знаменателем,
•;о нельзя взять dx отрицательным, а если его взять положительным,
ю член Qdx" будет иметь два значения,—функция у—-(х — а)тР¦{¦
, (х - a)" Q -I- С, которгя при х~—а становится рашюп С, будет при
х а -\- dx равна
Так как оба эти значения либо больше, либо меньше чем С, смотря
по тому, будет ли Р количеством положительным или отрицательным,
то функция у при ,х— а будет минимумом или максимумом второго
рода (§ 278).
478 ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
349. Таким образом, в этих случаях истинные дифференциалы функ-
функции нельзя найти по обычным правилам дифференцировашш, ибо послед-
последние пригодны лишь в том случае, когда дифференциал функции одно-
однороден с dx. Если же в каком-либо исключительном случае дифферен-
дифференциал функции выражается через степень dx", тогда правило даёт для
этого дифференциала нуль, если п есть число, большее единицы; если
же п есть число, меньшее единицы, то правило даёт бесконечно боль-
большой дифференциал. Так, если ищется дифференциал функции y = Yа — х
. dx ,
при х = а, то поскольку dy= т:=1 > мы получаем при х—а иу =
у а — х
= — -q . Если же мы хотим прибегнуть к помощи следующих дифферен-
дифференциалов, то все они обращаются в бесконечность, так как знаменатели
их равны нулю, так что отсюда ничего заключить нельзя. На самом
же деле в этом случа.е, как мы видели, dy=y — dx, так что оп является
мнимым. Если же вместо г положить х — dx, то будем иметь dy~\/dx,
и этот дифференциал будет бесконечно больше, чем dx, так что dx
будет исчезать по сравнению с dy. Таким образом, в этом случае обыч-
обычное правило не приводит к ошибке, так как оно даёт для dy бесконечно
большое значение.
350. Итак, от обычных правил дифференцирования приходится
отступать всякий раз, как в ряде
pdx+ -~qdx'i-\--b rdxs+ и т. д.,
которым выражается полный дифференциал функции у, первый член
р либо становится равным нулю, либо обращается в бесконечность:
в этом случае дифференциал нужно находить, исходя из первых начал;.
Итак, всякий раз, как ищется дифференциал функции у, отвечающей
данному значению х, при котором буква р становится либо бесконечно
малой, либо бесконечно большой, нужно прибегать к первоосновам диф-
дифференцирования. В остальных же случаях, когда не имеет Mecia
ни /> = 0, ни р = оо, обычное правило будет давать истинное значешю
дифференциала. Впрочем, не нужно забывать о случае, упомянутом
ранее (§ 348), когда функция у содержит член вида (х — a)nQ, где п-
есть дробь, имеющая чётный знаменатель; в самом деле, хотя в этом
случае имеются дифференциалы более низкого порядка, чем Qdx",
по сравнению с которыми Qdx" исчезает, однако, поскольку dx" при
отрицательном dx становится мнимым, этот член Qdx" обращает в мни-
мнимые все остальные, по сравнению с которыми он исчезает; как это про-
происходит, лучше всего будет видно графически. Теперь я поясню при-
примерами те особые случаи, в которых истинный дифференциал нелы.н
найти по обычному правилу.
Пример 1
Пусть ищется дифференциал функции
у—а+х— У (х2 + ах — х) \/ 'lax — х* при х = а.
Дифференцирование показывает, что дифференциал этой функции
ГЛ. XrV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
при х = а нельзя найти по принятым правилам; действительно, мы имеем
-xdx — -^adx + — dxy2ax — x* + (axdx-
dy=dx+ , r
у х2-\-ах — ху lax — х%
Если положить х=а, то dy = dx— -—= 0. Будем теперь отправляться
от начальных основ дифференцирования; положив x + dx вместо х, мы
будем иметь
у1 = а + х -f dx —
— ух'1 + 2х dx -f dx1 + ax+ a dx—(x + dx) \^2ax~xi -f 2а dx—ixdx—dx1.
Если же положить х = а, то будем иметь
= 2а + dx — Yla*~ +'^adx + dx*—(a + dx) \/a* — dx*.
А так как j/aa — dxs = a— -?- (следующими членами можно без опасьи
пренебречь, ибо не все члены низшего порядка уничтожаются, как
вскоре будет ясно), то будем иметь
у1 = 2а + dx — у/or + 2а dx + |- dx'.
Далее, извлекая корень, получим
но в случае ж = а будем иметь _/=«; и потом}', поскольку ylz^y-\-dy,
получим
dy= — 7- .
J 4a
Отсюда вместе с тем ясно, что предложенная функция стгшоы)¦, i я
максимумом при х = а.
Пример 2
Найти дифференциал функции у=2ах — х2 + а\/а* — х' при х—а.
Если выполнить дифференцирование обычным способом, получаем
dy=--2adx — 2xdx axdx
У а' - х* '
Это выражение при х = а становится бесконечным и, следовательно,
таким способом дифференциал нейти нельзя. Дифференциалы же сле-
следующих порядков равным образом становятся бесконечными, так ч-ю
ни из них, ни из ряда pdx + - qdx'+ — rdx3 + и т. д. нельзя найти
истинное значение дифференциала. Положим поэтому х -f dx вместо х;.
тогда будем иметь
у1 = 2ах — х -j- 2а dx — 2х dx — dx" + а \/'а% — х1 — 2х dx — dx1
iSO ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
и при х = а
В этом же случае у —а2, откуда dy= — dx2 + а }/ — la dx, а так как
dx' исчезает по сравнению с \f— la dx, то
dy= а \/ — 2а dx .
Поэтому, если дифференциал dx берётся положительным, то dy будет
мнимым, если же вместо х написать х — dx, то будем иметь
dy — а \/2а dx.
Так как это выражение имеет два значения—одно положительное, дру-
другое— отрицательное, то функция у при х—а не будет ни максимумом,
ни минимумом.
Пример 3
Найти дифференциал функции у = 3а*х — Зах2 -j- х3 + (а—#J |/ а3— х3
при х = а.
Так как эта функция преобразуется к виду
у = as -- (а — х)а j- (a — хK у а1 + ах -f хг,
то при х — а-\ dx мы имеем
7
yi =.= а3 -J- dx3 — dx'' у^За*
7
и п этом же случае у = а3. Таким образом, dy -— dx3 - - dx* \f3a3J n так
7
как а?ж3 исчезает по сравнению с dx3 , то
7
dy=- -dx'A У За1;
таким образом, при х — а функция у не является ни максимумом, пи
минимумом.
П р и м с р 4
Найти дифференциал функции у= I/' х -\- у/Гх" = A -\- \f x)\rx при
х ¦--= 0.
Tiiif как предлагается случаи г = 0и так :;а'; г, этом случае у = 0,
то вместо а; напишем только da; и будем иметь
1_ 3
dy =--- dx2 j- rfx* или dy — {l -г ^'А'/х) I7 dx.
Отсюда прежде всего ясно, что dx нельзя паять отрицательным. Далее,
хотя корень из \/ dx сам по ср-бе имеет два значения — одно положи-
положительное, другое отрицательное, однако в данном случае, когда в выра-
выражение входит ег'о корень |/ dx, его можно Срать только с положитель-
положительным знаком. По у dx будет иметь оба знака, так что мы будем иметь
ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 481
dy = \^dx±\/rdx и y1 = 0+]/rdx ±\/dx3, так как у = 0. Так как оба
значения у1 больше, чем значение у, то, следовательно, при х = 0
у является минимумом. То обстоятельство, что в формуле, выражающей
функцию у = ]/ х + \fx3, не содержится функция у = —\/х+ j/ x3 обна-
обнаружится, когда мы ту и другую функцию приведём к рациональной
форме. Действительно, если первую представить в виде y—\fx=\/x%
и возвести в квадрат, получим у%— 2у \/~х + х = х ]/ х или у1-\-х =
= (х + 2у) ]/'х; снова возводя в квадрат, будем иметь уравнение
if — 2у2х — 4ж2у + х3—х3 = 0.
Вторая же у+\гх=угх3 даст г/а +х = (х — 2у) \'r x и далее
3 — х3 = 0.
Это уравнение отлично от первого. Но другой член j x3 сохраняет
двузначность. Нужно поэтому иметь в виду, что хотя вообще при знаке
корня чётной степени мы имеем два знака, -f- и —, однако этой дву-
двузначности не будет, если в то же выражение входят корни высших
чётных степеней того же количества; ибо они становятся мнимыми.
если корень низшей степени получает отрицательный знак. Это служит
причиной того, что появляются максимумы и минимумы второго рода
в таких случаях, в которых они на первый взгляд не имеют места.
Пример 5
Найти дифференциал функции
при ? = /.
Положим х — / = <!; так как y = a-}-\/t + t \/t+t* yft, то ищется
дифференциал этого выражения при if = 0, ибо тогда у = а. Положим
t + dt или O+dt вместо t; получим
у1 = у + dy = а + ]/dt + dt Ydt+dt* Y~dt,
поэтому будем иметь
dy = \/"dt + dt \fd~t + dt2 |/ di.
Отсюда прежде всего ясно, что дифференциал dt нельзя взять отри-
отрицательным, ибо тогда dy будет мнимым. Далее, не только |/dt, но
и [felt нельзя взять отрицательным, ибо в этом случае \fdt был бы
мнимым; таким образом, дифференциал имеет лишь два значения:
dy = yjt + dt V~dt ± dt' \fd~t\
так как оба эти значения больше, чем нуль, то, следовательно, функ-
функция у является минимумом второго рода при it=0, т. е. при x — f.
Итак, хотя в подобных случаях члены, какими здесь являются
dt Ydt и df\/dt, исчезают по сравнению с первым, однако их нужно,
если принимается во внимание множественность значений, сохранять,
чтобы избежать мнимостей.
31 Л. Эйлер
482 ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
Пример 6
т < — и
Найти дифференциал функции у = ах + Ьхг + (х— /)" + (х — /)
при х = f.
Если положить x = f, будем иметь y = af+bfi; если же вместо х
положить x + dx, т. е. f + dx, то получим ближайшее значение
i_
yi = af + bf + adx + 2bfdx + b dx" + dx" + dx * " ,
так что
dy = adx + 2bf dx + b dx2 + dx" + dxm \/'dx7>.
Таким образом, дифференциал dx можно брать отрицательным лишь
в случае, если п есть число чётное. Последний член dxm ]/ dx" имеет
два знака; поэтому у1 будет иметь два значения; оба они больше, чем
значения у, если только а + 2bf будет количеством положительным
и показатели п и т-\--^п будут больше единицы. Следовательно, зна-
значение функции у при х = / будет минимумом как в том случае, когда п
есть число целое, так и тогда, когда оно есть дробное число, лишь бы
только числитель во втором случае и самое число в первом случае
не были чётными.
351. Этот метод непосредственного вывода дифференциалов из
основных положений полезен главным образом для функций транс-
трансцендентных, ибо здесь в некоторых случаях дифференциал, найденный
обычным способом, либо исчезает, либо представляется обращающимся
в бесконечность. Здесь встречаются такие виды бесконечных и бес-
бесконечно малых количеств, с которыми никогда не приходится иметь
дело при рассмотрении алгебраических выражений. Действительно,
если i есть бесконечное число, то lj является также бесконечным,
однако имеет бесконечно малое отношение не только к самому числу г,
но и к любой его степени i", сколь бы малым ни был показатель п.
Таким образом, дробь — будет бесконечно малой и станет конечной
не раньше, чем показатель п станет бесконечно малым. Итак, It будет
однороден с i", если показатель п будет бесконечно мал. Положим
теперь i = —, где ш есть бесконечно малое количество; тогда — 1и>
будет однороден с —у,, если показатель п бескопечпо мал, так что
— — будет однородно с ш". Таким образом, —=->— будет бесконечно
малым по сравнению с dx", где п есть бесконечно малая дробь. Таким
образом, если будем иметь г/= ¦—.—, то дифференциал функции у при
<Е = 0 будет равен —-^-=йж", и потому dy будет иметь к dx и к какой-
либо степени dx бесконечное отношение, и по сравнению с —^~э—
J choc
будут исчезать все степени dx, сколь бы малыми ни были их показатели.
352. Далее, мы видели, что если а есть число, большее единицы,
a i— бесконечное число, то а1 будет бесконечным количеством столь
высокого порядка, что по сравнению с ним не только i, но и любая
ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 48о
степень in исчезает; и i" станет однородным с а1 не раньте чем пока-
затель п станет бесконечным. Положим теперь i = —, так что ш есть
- " 1
бесконечно малое количество; тогда аш будет однородным а —^, где я
-— 1
есть бесконечно большое число, и потому а ш, т. е. —г^ будет бес-
бесконечно малым по сравнению с ш". Значит, 1-d - будет бесконечно
малым количеством, которое исчезает по сравнению со всеми степе-
степенями dx, ибо оно однородно со степенью dx", где п есть бесконечно
большое число. Поэтому, если ищется дифференциал количества
1 I
у = —^г при х = 0, то поскольку у = 0, будем иметь dy = —5^-, так
(X О.
что dy будет бесконечно меньше, чем сколь угодно высокая сте-
степень dx.
353. Если же а есть число, меньшее единицы, то так как — будет
больше единицы, вопрос сведётся к предыдущему. Именно, если будем
иметь выражение а-", то оно, если полошить а = 1: Ь, преобразуется
в 6 ш, т. е. в —^-, которое будет, так как 6 > 1, однородно с ш",
где п есть бесконечно большое число. После этих замечаний мы сможем
решить следующие примеры.
Пример 1
Найти дифференциал функции у^=х'г — т— при ж = 0.
Так как при х — 0 и у=0, то, если положить x-\-dx, т. е. O-t-afa:
вместо х, получим
1й йх'
I
А так как г-1— однородно с dxn, где и есть бесконечно милое
число, то по сравнению с ним dx3 исчезает, и мы будем иметь
dy = —г-j— = dx".
у I dx
Так как логарифмы отрицательных чисел являются мнимыми, то dx
нельзя взять отрицательным, и потому при х=0 функция будет мини-
минимумом, но не принадлежащим пи к первому, пи ко второму роду,
К первому роду она не принадлежит потому, что у не имеет ближай-
ближайших предшествующих значений, а является меньшей лишь но срав-
сравнению с последующими значениями, которые получаются, ес.чи х взять
большим нуля. Ко второму же роду она не принадлежит потому, что
последующие значения, с которыми сравнивается значение у, не
являются двойными. Таким обрааом, мы приходим к третьему виду
максимумов и минимумов, которые имеют место только для логариф-
мичесьих и трансцендентных функций, для алгебраических же не
31*
484 ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
встречаются никогда; об этом будет более подробно сказано в следу-
следующей части, трактующей о кривых линияхг).
Пример 2
Найти дифференциал функции у = (а — х)" — х" (\а — 1 х)п при х — а.
Этот дифференциал, если п есть целое число, можно найти из
общей формулы
1 1
dy = pdx + -^ qdx' +~г rdx3 -f- и т. д.
Действительно, мы будем иметь
pdx= — n(a — x)n~xdx — nxn^dx{la — lx)n + nxn~l A a —lx)n-xdx;
это значение при х = а исчезает, ибо далее при п=1 будем иметь
pdx= —dx-\-dx = 0.
Если теперь мы пойдём дальше, то получим
—- q dx" = "-" (а — х)п~"^хг — —f—^— xn~~ dx* Aа — 1 х)п +
4- y" x dx1 A а — 1 ж) J Н ^—s~ z"~" da;' A а — 1 a;)"-1 —
Отсюда, если п=1, то будем иметь — qdx"' = — при а; = а. Подобным
образом, если п~2, то нужно будет перейти к третьему члену и т. д.
Поэюму легче будет воспользоваться основными положениями диф-
дифференцирования. Так как при х = а мы имеем у = 0, то, если положить
х + dx, т. е. а + dx вместо х, будем иметь
yl = (— dx)n — (a + dx)" (I a—1 (а +dx))n =y + dy = dy,
ибо у=0. Но
,, . j » 1 . dx dx1 , dx3
{(a -t-ax) = 1 а -j тг-^ + тп— и т. д..
\ i / а 2а2 ' За3 '
откуда
dy = (— da;)" — Г a" -J- па" da; Н—^—q~" а"~2 da;3 + и т.
Й2
dx , dx3 dx3 , у л ,
Таким образом, при х = а искомый дифференциал dy предложенной
функции будет
если и = 1, dw = -^—, как ранее мы нашли,
2JX
с\ 7 2dx3
если тг = 2, аг/= „—,
если п -- 3, dy = -_— ,
если тг = 4, dy= -^~~
и т. д. и т. д.
Если п будет числом нечётным, то функция у при х = а будет иипи-
*) См. § 10 вводной статьи.
ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 485
мум, если же п — число чётное, то не будет ни максимума, ни минимума;
то же самое будет справедливо, если п будет дробью с нечётным
знаменателем. Если же п будет дробью с чётным знаменателем,
тогда dx нужно считать отрицательным, чтобы не получилось мнимо-
мнимости и вследствие двузначности функция не будет иметь ни максимума,
ни минимума.
Пример 3
Найти дифференциал функции у=хх при ж = — , где е есть число,
гиперболический логарифм которого равен 1.
Так как в общем случае мы имеем dy = arEdx (la; + 1), то в случае
х = —, т. е. \х=—1 этот дифференциал исчезает. Сравним этот диф-
ференциал с общим выражением pdx-{- —-qdx* + и т. д.; будем иметь
) и q = zx
Положив 1ж= — 1 или х = —, будем иметь
G
1-е
е—1
е ~Г
Поэтому искомый дифференциал есть
следовательно, функция у —Xх становится минимумом при х==—.
Пример 4
Найти дифференциал функции у = хп-\- е~1:х при х = 0.
Так как при х — 0 и у = 0, то, если положить x~0-\-dx, Судем
иметь
yy ir
Но, как мы видели, i.dx однородно с бесконечной степенью коли-
количества dx, т. е. с dx°°, поэтому оно исчезает по сравнению с dx'1, таз.
что
dy = dx".
354. Подобно тому как в некоторых случаях первые дифферен-
дифференциалы нельзя получить по обычным правилам дифференцирования,
так и для дифференциалов второго, третьего и более высоких порядков
бывают случаи, когда в полном выражении дифференциала
d • y = pdx + Y^dx2 + ~^- rdx3 + ~isdxi+ и т. д.
некоторые из количеств q, r, s и т. д. либо исчезают, либо обращаются
в бесконечность. А именно, так как (§ 339),
• у -=qdz2 + rdx +
486 ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
то, если в каком-либо случае # = 0, будем иметь d3y = rdx3, если же
в этом случае и г исчезает, тогда будем иметь d2y = r-,sdx* и т. д.
Если же либо q, либо г, либо s и т. д. становится бесконечным, тогда
из этого ряда вовсе нельзя найти второй дифференциал, а нужно
будет прибегнуть к основному началу дифференциалов, т. е. нужно
будет положить x + dx вместо х, отыскать значение у1, затем положить
х-{- 2dx вместо х, отыскать значение у11, и тогда истинное значение
второго дифференциала будет
d2y — dy\ — dy = dyu — 2yl + у.
Подобным образом, если потребуется найти третий дифференциал, то
сверх того нужно будет в у вместо а; написать х-\-Шх; тогда, найдя
значение г/ш, будем иметь
d3y = у™ — Зу11 + Зу1 — у
и т. д. Эти случаи мы поясним следующими примерами.
Пример 1
Найти второй дифференциал функции у=г,г при х=-у=..
Найдём полный дифференциал у из выражения
ill
dy = p dx -\- — qdx* + — г dxz 4- ^г s dxi + п т. д.;
для р, q, r, s и т. д. найдем следующие значения:
... , __.. х2 43а4ж-43а2ж3
Р— — 7~2~i—щ' Я = —тт^—кг— и г= /-?-;—ks— •
Так как теперь
dy ==zrdx + T^sdx4+ и т. д.,
л а 27/з~
то, поскольку ^=0 при х = —рг=, и г= 8 з при том же значении q,
искомый второй дифференциал будет
Пример 2
аг хг
Найти третий дифференциал функции у = -^тг~г пРи х=а- Най-
Найдём, как прежде, полный дифференциал
dy=^qdx2+ jrdx3+ ^sdxA+ и т. д.
Так как третий дифференциал есть d3y = r dxs + yscfa;1 + и т. л. и
так как
7* =
ГЛ. XIV. О ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 487
то будем иметь г = 0 при х — а; поэтому нужно будет перейти к зна-
значению s, которое будет
48а4 — 144ааж» 8х D8а*ж — 48а2сс3)
гт - 96а* 6
Положив здесь х = а, будем иметь s=—n = li поэтому в данном
случае будем иметь
Пример 3
Найти дифференциалы всех порядков функции у = ахт + Ьх"
при х = 0.
Если будем полагать последовательно x-\-dx, x + 2dx, x+3dx
и т. д. вместо х, то найдём следующие значения функции у:
ух = а{х + йх)т + b (х + dx)n,
у11 = а (х + 2dx)m + Ь (х + 2dx)n,
уш ^а(х + Ых)т + b{x + 3dx)n
и т. д.
Положим х~0, тогда у = 0, и его дифференциалы будут
dy = a dxm + b dx",
d'y = Bm — 2)adxm + B" — 2) b dxn,
d"y = Cm — 3 • 2m + 3) a dxm + C" — 3 • 2n + 3) b dxn,
dly = Dm — 4- 3m + 6-2m — 4) a dxm + D" — 4-3" + 6-2n— 4) bdxn
и т. д.
Если показатель п будет больше, чем т., то вторые члены этих выра-
выражений будут исчезать по сравнению с первыми. Тем не менее нужно
эти члены сохранить, если число п будет дробным, для того, чтобы
можно было учесть случаи, когда эти дифференциалы становятся мни-
мнимыми или двузначными. Дальнейшее рассмотрение этих случаев уместно
будет перенести в учение о кривых линиях1).
х) См. § 10 вводлой статьи.
ГЛАВА XV
О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИИ, КОТОРЫЕ В НЕКОТОРЫХ
СЛУЧАЯХ КАЖУТСЯ НЕОПРЕДЕЛЁННЫМИ
355. Если какая-либо функция у переменного х- будет дробью — ,
числитель и знаменатель которой при некотором значении х одновре-
р
менно исчезают, то в этом случае дробь - , выражающая значение
функции у, становится равной -^ . Так как это выражение может быть
равным любому количеству—конечному, бесконечному или бесконечно
малому, то в этом случае из него вовсе нельзя найти значения у,
и потому кажется, что это значение неопределённо. Легко, однако,
видеть, что так как, за исключением этого случая, функция у по-
постоянно получает определённое значение, какое бы значение ни было
р
подставлено вместо х, то и в этом случае значение г= не может быть
неопределённым. Это ясно хотя бы из следующего примера: если
а2-*2 о ~
у = а_х , то при х = а мы получаем у=-^-. Однако так как, разделив
числитель на знаменатель, мы получаем у = а-\-х, то очевидно, что
при х — а будем иметь у—2а, так что в этом случае дробь — равно-
равносильна количеству 2а.
356. Поскольку выше мы показали, что между нулями может су-
существовать какое угодно отношение, то в примерах подобного рода
нужно найти то отношение, которое числитель имеет к знаменателю.
А так как для нулей, взятых абсолютно, нельзя усмотреть их взаим-
взаимного отличия, то вместо них нужно ввести бесконечно малые количе-
количества. Хотя последние по их значению не отличаются от нуля, однако.
так как функции, составляющие числитель и знаменатель, различны,
то значение дроби тотчас же определяется. Так, если мы имеем дробь
adx
g-g^j To хотя на самом деле числитель и знаменатель равны нулю, од-
однако очевидно, что значение этой дроби является определённым, а
именно, оно равно у. Если же мы имеем дробь ^-?-, то значение её
будет равно нулю, тогда как значение дроби ,-,-* бесконечно боль-
большое. Таким образом, если вместо нулей, которые часто входят в исчи-
ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 48М
сление, мы введём бесконечно малые количества, то мы извлечём из
этого ту выгоду, что мы сможем тотчас же узнать отношение их друг
к другу, и, таким образом, не останется больше сомнения относи-
относительно значения таких выражений.
357. Чтобы всё это стало вполне ясным, положим, что у дроби
У ~п как числитель, так и знаменатель исчезают при х-=а. Чтобы
избежать, однако, нулей, которые нельзя сравнивать между собой,
положим х= а + dx; эта подстановка на самом деле совпадает с пер-
первой х=а, так как dx = 0. При х = a-\-dx, функции Р и Q переходят
в P-{-dP и Q + dQ. Так как подстановка x=a-\-dx равносильна под-
подстановке х=а, то положим повсюду в этих выражениях х = а.
Тогда функции Р и Q по условию исчезают. Поэтому, если
вместо х полошить а + dx, то дробь преобразуется в дробь -т- ,
которая, следовательно, выражает значение функции - при х = а.
А это выражение уже не может быть неопределённым, если взять
истинные дифференциалы функций Р и Q, о которых мы говорили
в предыдущей главе. Действительно, при этом ни dP, ни dQ никогда
не обратятся в нуль абсолютно и если не выразятся через дифферен-
дифференциал dx, то во всяком случае выразятся через его степени. Если мы
найдём, таким образом, что dP = Rdxm adQ = Sdxn, то значениефунк-
Р R dxm
ции у= -г в случае х=а будет равно -=-,-п-. Поэтому оно будет ко-
печным и равным -г-, если т = п; если т > п, то истинное значение
предложенной дроби будет равно нулю, если же т < /г, то это значе-
значение будет бесконечным.
р
358. Итак, всякий раз, как встретится дробь у., числитель и зна-
знаменатель которой в некотором случае, например в случае х = а, исче-
исчезают одновременно, значение такой дроби в этом случае найдётся по
следующему правилу.
Ищутся дифференциалы количеств Р и Q при х = а\ они, подста-
dP
вляются вместо самих количеств Р и Q, после чего дробь ,-- даст
искомое значение дроби у. .
Если дифференциалы dP и dQ, найденные обычным способом, не
становятся бесконечными и не исчезают при х = а, то можно их со-
сохранить; если же они одновременно оба становятся равными нулю или
оба равными бесконечности, то нужно найти полные дифференциалы
по способу, изложенному в предыдущей главе. Часто вычисление чрез-
чрезвычайно упрощается, если сначала положить х — a = t или x=a-{-t:
г Р
мы получаем тогда дрооь - , числитель и знаменатель которой исче-
исчезают при х = а, и дифференциалы dP и dQ получатся, если всюду под-
подставить dt вместо t.
Пример 1
2> т/Ь2 t*
Пусть ищется значение дроби —± при t — 0.
Так как в этом случае t = 0, и как числитель, так и знаменатель
исчезают, то нужно только вместо t написать dt, и искомое значениь
490 ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
представится дробью -т~г . А так как у b' — dt2 = b s>-, то
)та дробь переходит в дробь ^j—rr2 = ят • Поэтому предложенная дробь
при 1 = 0 получает значение 26 •
Пример 2
Пусть ищется значение дроби - —, ——г прих = 0.
* ^ г Ya^x- Yа- х ^
Здесь снова можно сразу же вместо х подставить йх\ после этого,
поскольку
xt= a + \dx + ~,
x2
ar — a dx + dx* = a — -r- dx + -3—
7 dx
числитель станет равным ах, а знаменатель равным -т=; отсюда на-
у а _
ходим, что значение предложенной дроби будет равно ]/ а.
Пример 3
гг я - х3 -iax2 + 1а*-х- 2а3 - 2а"- Ylax- а2
Пусть ищется значение дроби =
у х*-2ах-а- -[- 2а у 2ах - х*
при х = а.
Если дифференцировать обычным образом и подставить дифферен-
дифференциалы вместо числителя и знаменателя, то получим дробь
Зх2 — Sax-\- 1а"--2аъ : Ylax — a*
2x - 2a -l- 2a (a-x): \'r 2ax - x1
числитель и знаменатель которой снова исчезают при х=а. Поэтому
снова подставляем вместо числителя и знаменателя их дифференциалы;
получаем дробь
Ох - 8а \- 2а1: Bах - агK/-
2 - 2а3: Bах - a*fh '
числитель и знаменатель которой снова исчезают при х = а. Поэтому
опять подставим вместо числителя и знаменателя их дифференциалы;
получим
6 — 6а5 : Bах — в2) '* 1 — аъ: Bах — а2) '2
6а3 (а - х) : Bах - x-fli ~ а3 (а - х): Bах - х2L- '
ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 491
13 снова при х = а как числитель, так и знаменатель исчезают. По-
Поэтому снова подставляем вместо них дифференциалы; получаем
5а6: {Ых-а*)''2
Теперь, наконец, вместо х полагаем а и получаем определённую дробь
-- ' а а — — 5а, которая даёт значение искомой дроби.
Если же прежде чем предпринимать ото исследование, положить
х — а + t, то предложенная дробь преобразуется к виду
la^ + iaH — aC- \-13-Ча2 ]/a2 riat
— 2а2 + «2 + 2а У а2 - f-
Так как она принимает вид -^ при t — 0, то положим dt вместо t;
тогда будем иметь
1аъ J- 2a2 dt — a dt2 f d«3 - 2а2 У~аГ^2а~с11
— 2а2 + dt2 + 2а У a2- dt2
Разложим теперь иррациональные выражения в ряды, которые будем
продолжать до тех пор, пока члены не перестанут уничтожаться ра-
рациональными членами:
/ dt2 dt3
у a* -j- 2a dt — а -{- dt — -—f- ^-,г —
подставив эти значения, получаем дробь
:>то есть ранее найденное значение предложенной дроби.
Пример 4
Найти значение дроби " "я—— j~-JL--' при, х — а.
а — х -\- у аг — х2
Если вместо числителя и знаменателя подставим их дифферен-
дифференциалы, то получим дробь
— а : У 2а2 — 2а.г — (а—х) : У2ах—х'2
— 1-х: У а2 — х2
которая при х = а будет равна предложенной дроби. Числитель и зна-
знаменатель полученной дроби при х = а становятся бесконечными.
Однако если числитель а знаменатель помножить на—у а — х, то
492 ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИИ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
получим дробь
У 3
+ (а - жK/з : У lax - х*
У а — х-\-х: У a f- x
а : У 2а .
которая при х=а даст определенное значение ¦ -= = 1, которое
а : У 2а
равно предложенной дроби при х = а.
359. Таким образом, если мы имеем дробь -, числитель и знаме-
знаменатель которой исчезают при х = а, то её значение можно найти и по
обычным правилам дифференцирования, и нет необходимости прибегать
к тем дифференциалам, которые мы изучали в предыдущей главе. Дей-
ствительно, если предложенная дробь — при х=а будет равна такой
дроби -j-:, числитель и знаменатель которой при х = а дадут конечные
значения, то значение предложенной дроби окажется известным; если
числитель будет равен нулю, а знаменатель будет конечным, то дробь
будет равна нулю. Если же знаменатель будет равен нулю, а числи-
числитель конечен, то дробь будет равна бесконечности. Если либо числи-
числитель, либо знаменатель, либо оба они становятся равными бесконеч-
бесконечности, что случается, если производится деление па количества, кото-
которые при х =-- а исчезают, тогда, помножая числитель и знаменатель на
эти делители, мы освобождаемся от этого неудобства, как это было
в последнем примере. Если же как числитель, так и знаменатель при
х—а снова исчезают, тогда нужно снова дифференцировать, как мы
d1P
сделали это сначала; тогда получим дробь -, , которая также будет
равна предложенной дроби при х=а; а если снова случится с этой
дробью, что она будет равна -тг, то вместо неё нужно взять дробь
d3P
-,-^г и т. д., пока мы не придём к такой дроби, которая будет иметь
определённое значение, будь то конечное, бесконечно большое или
бесконечно малое. Так, в третьем примере нам пришлось дейти до
дроби -,-4— прежде, чем мы смогли найти значение предложенной
дроби.
360. Польза этого метода обнаруживается при определении сумм
найденных выше (§ 22 гл. II) рядов, если в этих рядах положить
х—1. Действительно, из того, что там было сказано, следует, что
х — хп *¦'
X-\- X" -\- X* -{- ... + X — j _ ж >
,п + 1) хп+1 \-пхп*2
X + 2х2 + Зх3 + ... + ПХп =
... +Bп-1)а;5п-1 =
;п-1 _x + .r3-Bn J-1)^n*i + l27j-l)a:2"
(i-x-y
X + 4ж'! + 9xs + . . . + П2Х" =
х l-x"- — (п + IJ х4*1 + Bп2 г 2га — '.
--= (l-i)»
И Т. Д.
ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 49 '»
Но если бы мы пожелали определить суммы этих рядов для случая
z=l, то в выражениях их как числитель, так и знаменатель оказа-
оказались бы исчезающими. Таким образом, значения этих сумм при ?=1
можно будет найти изложенным здесь методом. А так как эти суммы
известны из других соображений, то согласие результатов ещё лучше
убедит нас в правильности этого метода.
П р » мор 1
х —
х — х*1
Определить значение дроби '—i—:—. при ж=1; в этом случае она
выражает сумму ряда 1 + 1 + 1+ ... +1, состоящего из п членов, и,
следовательно, будет равна п.
Так как в случае _с=1 числитель и знаменатель исчезают, то
вместо них подставляем их дифференциалы; получаем
ч го при ж=1 даёт для искомой суммы значение, равное п.
Пример 2
Найти значение дроби ... при _с = 1; в атом случае она вы-
ражает сумму ряда 1 + 1 + 1+ ... +1, состоящего из п членов и,
-ледовательно, равна п.
Если взять дифференциалы, то предложенная дробь преобразует' "•
j; дробь
значение которой при х=1 будет равно п.
Пример 3
„ . . . х-(п + \)х*1 + пхп'г .
Найти значение дроби ^ -• г^ при ж = 1; в этом ел у
чае она выражает сумму ряда 1 + 2 + 3+ ... +п, которая, как из-
пг 4- п
честно, равна —~— .
Взяв дифференциалы, получим дробь
у которой как числитель, так и знаменатель при _с=1 исчезают. Возь-
Возьмём снова дифференциалы; получим дробь
—п (п + 1)г ж"-1 -|- п (п +1) (п + 2) хп
2
которая при _с = 1 переходит в ._ _=^—--I11 т. е. в сумму под-
подложенного ряда.
494 ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
Пример 4
„ „ а - x+xa-Bn + l)x +Bге-1)г .
Найти значение дроби — - ¦—--г—^—- - при ж = 1;
A — X )
в этом случае она выражает сумму ряда 1 + 3 + 5+ ... + Bп — 1),
которая, как известно, равна ri\
Подставив вместо числителя и знаменателя их дифференциалы,
получим дробь
1 + За.3-Bга + IJ х2п + Bга - 1) B» + 3) ж22 .
-4яA-*-) '
так как и она имеет то неудобство, что при х=1 обращается в — ,
то снова возьмём дифференциалы; получим дробь
бж-2/гB/1 + IJ ж2" + B/г-1)Bп + 2) Bл + 3)я2п+1
которая при x—i переходит в
6-2пBтг+ IJ +Bн-1)Bп+2)B«
Пример 5
Найти значение дроби * +*"-(" + 1)'»B+1 -L Bда+ 2n-i)x"+a-B»x"+s
/г/?м х = 1\ в этом случае она выралсает сумму ряда 1 + 4 + 9 +...+«%
ill
которая, как известно, равна -=- п3 + —и' +-^/г.
Взяв дифференциалы числителя и знаменателя, получим дробь
+(п~ 2)Bп-4 2«-1)жп+1 - п2 (га + 3) ж" ь2
- 3 A - xf '
числитель и знаменатель которой при ж=1 снова исчезают. Возьмём
поэтому, вторые диффереициалы; получим
2-га(га + IK хп~1 +{пА 1) (п + 2)Bп3 + 2п - \)хп - raa(re+ 2)(ra+3)a"+1
'Гак как попрежнему остаётся то же неудобство, перейдём к третьим
дифференциалам; получим дробь
- п{п - 1) (п. -J-1K жп-а + п (га -|- 1) (п + 2) Bп2 |- 2га-1) д" - п2 - (га 4 14" + 2) (" + 3) хп
- 6
которая, наконец, перейдёт при х = 1 в следующее определённое выражение
- п (га-1)(гаЧ 1)а + га(га+1)(пЧ 2)(п2-п-1) _ к (га + 1) Bга + 1) __
_ 6 ~ 6 ~
Это —то самое значение, которое, как было прежде найдено, выражает
упомянутый ряд.
ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 49й
Пример 6
Пусть предложена дробь х .~~J°tv ', требуется найти её значент
при х=1.
Так как эта дробь есть произведение двух дробей ——» * ~Л—rv и так
как значение первого множителя при х = 1 равняется—, то остаётся найти
значение друюго сомножителя^ -р\ взяв дифференциалы, найдём, что
гея™ п -
это значение равно —^гг = —\ таким образом, значение предложенное
дроби при х = 1 будет равно г-. То же значение мы получим, если непо-
непосредственно возьмём дифференциалы в предложенной дроби. Действи-
Действительно, мы получим дробь
значение которой при х = 1 будет равно —Y = T ' как и пРежДе-
361. Тем же методом можно будет пользоваться и тогда, если либо
числитель, либо знаменатель предложенной дроби - , либо оба они бу-
будут количествами трансцендентными. Для большей ясности мы считаем
полезным добавить следующие примеры.
Пример 1
Пусть предложена дробь а ~* и пусть ищется её значаw:
при х = а.
Взяв дифференциалы, мы тотчас же приходим к дроби
значение которой при х = а будет пап.
Пример 2
\х
Пусть предложена дробь , и пусть ищется ее. значение пщх — 1.
Взяв дифференциалы числителя и знаменателя, получаем дробь
1 :х -2/1-х
— 1:2 >/ 1-х
\х
значение которой при х=1 равно нулю. Следовательно, дробь ~Т7т~~х
при х = 1 исчезает.
496 ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
Пример 3
а —х — а] а + а\х
Пусть предложена дробь —_Л/о—^х^ и пУстъ ищется её значе-
значение при х = а; в этом случае её числитель и знаменатель исчезают.
Дифференцируя, согласно правилу, числитель и знаменатель,
будем иметь
-1 + а:х (а-
-(а-х): Y~lax-xi~~ -x(a-x)
Хотя здесь числитель и знаменатель тоже исчезают при х~а, однако
так как оба они делятся на а — х, то мы получим дробь — |/ ~а ~ х,
Т X
¦начение которой при х = а является определённым и равно — 1. Итак
предложенная дробь становится при х = а равной—1.
Пример 4
ех—е~х
Пусть предложена дробь ,-гг-у—\ > и пусть ищется её значение
при х = 0.
Взяв дифференциалы, будем иметь функцию
1 : A+ х) '
из которой находим, что искомое значение равно 2.
Пример 5
Найти значение дроби а-——' при х = 0.
Если вместо числителя и знаменателя подставить их дифферен-
дифференциалы, получим дробь
ех -1: A + х)
Так как она также переходит в -j-, если положить з; = 0, то снова
берём дифференциалы; получаем дробь
14-1
которая при ж = 0 даёт —-.— =1. То же самое получим, если ера i у
подставить dx + 0 вместо х. Действительно, так как
edx=i+dx + ~dx* и т. д. и +1A \-dx) = dx - -!-«гя' + ит.д.,
то
edx_ 1_]A+йж)_йх2_ .
1х~г d'x* ~
ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 497
Пример 6
хп
Пусть ищется значение дроби - при х = со.
Для приведения дроби к такому виду, чтобы она переходила в ¦=-
при а; = со, представим её следующим образом:
1 :\х
1: хп'
В самом деле, теперь при х = со как числитель, так и знаменатель
исчезают. Полошим далее х= — , так что при х = со будем иметь г/ = 0;
тогда предложенная дробь представится в виде
1 : \у
~у^~'
и нужно будет определить её значение при г/ = 0.
т-> г х г ¦ _ 1 : «A уJ 1 : A уJ
Взяв дифферепциалы, будем иметь дробь -- ~,1_1— = —-„ - ; так как
она при 2/ = 0 переходит в --, то возьмём снова дифференциалы; тогда
_2 : A yf r
оудем иметь - -aTi— - ; так как здесь снова налицо то же неудобство,
,. 6 : A yY r
то возьмем вновь дифференциалы; получится ——~ и, таким образом,
сколько бы мы ни шли дальше, всегда буцем встречаться с тем же
неудобством. Чтобы, несмотря на это, получить искомое значение, обо-
г 1 : 1 I/ „
значим через .у значение дроби —^— щту = О; так как в этом случае
мы имеем также
1: A уу
S —-
и так как из того уравнения *) мы имеем
то. разделив на предыдущее уравнение, получим
Отсюда видно, что при г/=0 количество s становится бесконечным.
Следовательно, значение дроби ' пу при а; = 0 бесконечно и потому,
если положить y = dx, то уг~ будет иметь к dxn бесконечное отноше-
отношение, как мы уже заметили выше (§ 351).
1:1 у
То-есть из уравнения s=— —п— .
3- Л. Эйлер
498 ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
Пример 7
Пусть ищется значение дроби —_t. х при х = 0; в этом случае
как числитель, так и знаменатель исчезают.
хп
Пусть _, ,х =s; взяв дифференциалы, будем иметь также
Так как мы снова встречаемся с тем же неудобством и так как это
будет повторяться всё время, до каких бы пор мы ни продолжали
дифференцировать, то воспользуемся применённым прежде приёмом.
Первое уравнение даёт
хп =е~1 •" xs и хп<-п + 1) = е-(™+1) -\*s"+i;
второе уравнение даёт
откуда
хп(п+1) _ е-п : х sn . nn _
Если приравнять эти значения, получим
так что при х = 0 имеем
Поэтому при х бесконечно малом dxn будет иметь к e~i '¦dx беско-
бесконечно большое отношение, какое бы конечное число мы ни взяли
для щ отсюда следует, что e~i:dx есть бесконечно малое, однородное
с dxm, если т есть бесконечно большое число.
Пример 8
т, о I- I — sin х + cos х т1.
Пусть ищется значение дроби -. ! приж=~ , т. е.
13 ч r sinx + cosa; — 1 г -
при х, равном дуге в 90°.
Взяв дифференциалы, получим дробь
— cos х — sin x
cos x — sin x
Так как при х = у , sinx = l и cos х= 0, то эта дробь при х = ^- ста-
становится равной 1, так что единица есть значение предложенной
дроби. Это ясно и без дифференцирования. Действительно, так как
cos х = 1^A + sinx) A—sin#), то предложенная дробь преобразуется
в дробь
— sinx+
1^1 + sin x— \/ 1 — sin x '
которая, очевидно, становится равной 1, если sin# = l.
ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 499
Пример 9
ХХ — X
Найти значение выра.исеиия — при х = 1.
1 — х + Х х г
Если подставить вместо числителя и знаменателя их дифферен-
дифференциалы, то получим дробь
-1+1': х '
Так как она при х=1 становится равной -^ , то возьмём снова диф-
дифференциалы; получим дробь
которая при х=1 становится равной — 2; это и есть значение пред-
предложенной дроби при ж=1.
362. Поскольку мы решили изучить здесь все выражения, значе-
значения которых в некоторых случаях кажутся неопределёнными, то мы
- Р
должны рассмотреть не только те дроби -г , числитель и знаменатель
которых в некотором случае исчезают, но также и такие дроби, чи-
числитель и знаменатель которых в некотором случае становятся беско-
бесконечными, ибо и их значения также кажутся неопределёнными. Пусть Р
и Q будут такими функциями от х, что при некотором значении х = а
оое они становятся бесконечными, тогда дробь - получает вид — , ибо
и бесконечности, как и нули, могут иметь друг к другу некоторое от-
отношение. Но отсюда нельзя найти истинное значение дроби. Однако
' Р
этот случай можно свести к предыдущему, если преобразовать дробь рг
1 • О
к виду j-p' и^° У этой дроби числитель и знаменатель исчезают
при х = а; поэтому значение её можно найти по ранее изложенному спо-
способу. Но можно так же найти искомое значение и без преобразования,
если вместо х подставить не a, a a -f- dx; тогда мы получим не абсолютные
бесконечности ос, а выражения вида -р или -г-.А , хотя эти выражения
так же бесконечны, как со, по так как количество dx и его степени
можно сравнивать друг с другом, то искомое значение легко найдётся.
363. К тому же классу принадлежат и произведения двух сомно-
сомножителей, из которых один исчезает при некотором значении х = а,
а другой обращается в бесконечность. Действительно, когда какое-либо
количество может быть представленным в виде 0-со, его значение
кажется неопределённым. Пусть PQ есть такое произведение, что если
подставить х—а, будет Р = 0 и Q= от. Значение этого произведения
мы найдём по вышеизложенным правилам, если положим Q= ^. Дей-
Р
ствительно, тогда произведение PQ преобразуется в дробь ^ , числи-
числитель и знаменатель которой исчезают при х — а, так что значение её
можно будет найти ранее изложенным методом.
32*
500 ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
Так, пусть ищется значение произведения A—a;)tg-^ прих=1;
и этом случае 1 — х = 0 и tg-,-=oo. Обратим это произведение в дробь
1-х
ct'Jf — та X
числитель и знаменатель которой исчезают при х—Л. Так как диффе-
дифференциал числителя 1 — х есть — dx, а дифференциал знаменателя ctg —-
равен — * ". а, то значение предложенной дроби при ж=1 будет
равно
2 . ты ¦ тс.с 2
— sin —- ¦sin-.- = — ,
¦к 2 -л
иоо sin
y = 1.
364. Сюда же в первую очередь должны быть отнесены и такие
выражения, которые, если задать х некоторое определённое значение,
принимают вид со — со ; действительно, так как два бесконечных коли-
количества могут разниться друг от друга на конечную величину, то ясно,
что в этом случае значение выражения нельзя определить иначе, как
найдя разность между двумя бесконечностями. Подобный случай имеет
место, если предлагается такая функция Р — Q, что при х = а в ней
как Р= со, так и ()= со. В этом случае искомое значение не столь
легко можно определить с помощью вышеизложенного правила. В самом
деле, если положить в этом случае Р — Q==f, то будем иметь ep~Q = ef,
e-Q
так что ef = -^r>, то при х = а будет исчезать как числитель, так и
е *
знаменатель, одпако если применить данное выше правило, то получим
. c-Qdo . e'Q . do
е* = —ь— , откуда, так как е' = -^гь > получим 1 = v>-, таи что искомое
е dP ' е а1
зиачепие / отсюда нельзя будет найти. Однако всякий раз как Р и Q
суть алгебраические количества, поскольку они moivt быть бесконеч-
бесконечными лишь в том случае, когда представляют дроби, знаменатели кото-
которых исчезают, Р — Q можно будет представить в виде единой дроби,
знаменатель которой равным образом будет исчезать. Если при этом
и числитель будет исчезать, то значение можно будет определить по
вышеизложенному способу; если же числитель не исчезает, то истинное ¦
значение будет бесконечным.
Так, пусть требуется найти значение выражения
1 2
1 — X 1 — Ж2
при х=1. Так как оно переходит в выражение
- 1 -Ь х _ -1
1 - х- ~ 1 + х '
1
то ясно, что искомое значение равно — 7.
ГЛ. XV. U ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 501
365. Если же функции Р и Q будут трансцендентными, тогда такое
преобразование привело бы к очень тягостному вычислению. В этих
случаях на помощь может прийти прямой метод: вместо значения
х = а, при котором оба количества Р и Q обращаются в бесконечность,
можно положить х~а-\-т, где <» есть бесконечно малое количество,
за ьотоуос можно принять dx. Если после этой подстановки мы полу-
получим Р =- '- -}-В и (?== — 4- С, то функция Р — Q, очевидно, перейдёт
в В — С; ото значение будет коночным. Поясним этот метод разыскания
значений таких' функции следующими примерами.
Пример 1
Пусть ищется значение выражения —т- при х — 1. Поскольку
как —^Ц , так и т^ становится бесконечным при х = 1, положим х = \-\-ш.
Тогда предложенное выражение преобразуется в
1 Ь <¦> _ 1
U1 1 A + О>) "
А так как
1A + «') =0) — -ОГ + -СО3 — И Т. Д. =0) ( 1 — -U) + -ОТ — И Т. Д. J ,
то будем иметь
/11 "N 11
A -!- .о) I 1 - 7> <о -|- - и2 - п т. д. 1 - 1 ^ „) - - о>2 и т. д.
ref 1- -«) 1-~О)!-П Т. Д. j № I 1 — - о) + - ">г И Т. Д. )
-1 . * 2
Если теперь положить со бесконечно малым, т. е. ш = О, то ясно, что
1
искомое значение равно -=.
Пример 2
Пусть с есть число, гиперболический логарифм которого равен 1, а %
есть полуокрунспость круга, радиус которого равен 1; найти значение
выражения а—f-- . — при х = 0.
^х х (е*гг — 1)
Предложенное выражение представляет сумму ряда')
_l_ + -J_ + ^_ + ^_+_L_+ и т.
1 -|_х2 4 + х'г 9 + z2 1 fi -1--г3 mxtit
Если положить здесь а; = 0, то должна получиться сумма ряда
Гь ш
«Введение», т. I, гл. X.
502 гл. хх. о значениях функций в некоторых случаях
которая, как известно,, равна -«- . Если же в предложенное выражение
¦П.Х — 1 ТС
подставить х — 0, то значение этого выражения кажется в высшей
степени неопределённым, ибо все его члены бесконечны. Положим
x = w, где ш есть бесконечно малое количество. Тогда первый член
¦кх — 1 -
. обращается в
Так как далее
+ * Ло3 -1- ц т. д..
о
то второй член -— обращается в
те
а> ( 2теа) (-2и2о>2-[- - Tt3!!K-^" И Т. Д. ) _!со'2 ( 1 ртссо-,- 7- та3<и2 -р и Т. Д. )
Но
= 1 — w> -f - -Jo)° — и т. д.,
1 \- км 4- = к2и>^ -1- и т. д.
О
следовательно, второй член равен
1 * . 1 „
г^-аГ + б**- и т- д-
^ 1 о
Если приоавить к нему первый член, получим гтг; это и есть искомое
значение предложенного выражения при ж = 0.
Тот же результат можно получить и с помощью метода, применя-
применяющегося к дробям, числитель и знаменатель которых в некотором
случае исчезают; действительно, предложенное выражение преобра-
преобразуется в дробь
числитель и знаменатель которой исчезают при х = 0. Возьмем поэтому
дифференциалы; тогда получим дробь
Л* -Ья-
или
у которой при х = 0 числитель и знаменатель снова исчезают. Поэтому
снова возьмём дифференциалы; будем иметь дробь
- 4
ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 503
или
или
числитель и знаменатель которой снова исчезают при ж = 0. Поэтому
снова возьмём дифференциалы, получим дробь
которая при х = 0 дает —, как и раньше.
Прим ер 3
Сохраняя те же обозначения е и я, найти значение выражения
ори х = 0.
Это выражение преобразуется в дробь
4x8**+ 4*
числитель и знаменатель которой при х = 0 исчезают. Положим х — ш-
так как
1 1
елсо = 1 -\-пш -J--it2a>3 + p ^3№8-г и т. д.,
то предложенная формула преобразуется в выражение
1 1
¦в2со-|- - тс3<о2 -1- - тс4оK + II т. Д.
8со~4я!о3-|-2т;2о>3+ и Т. Д. '
которое при бесконечно малом ш даёт сразу „тс2; это и есть искомое
значение предложенного выражения при # = 0. Но предложенное выра-
выражение т- даёт сумму ряда г)
3 |52 +
которая при х = 0 становится равной -и2.
Пример 4
выражения -=
\ -it
Предложенная формула — — -—, выражает сумму бесконечного
Пусть ищется значение выражения -^—г—т при х = 0.
J.SC
«Введение», т I, гл. X.
504 гл. xv. о значениях функций в некоторых случаях
ряда
Если положить х = О, должна получиться сумма ряда
l+J + J + Гб + п'-Д-,
1 .-> m , Sill теж
которая равна -тс". 1ак как tg^x = - , то предложенное выражение
принимает вид
1 я cos пх sin их — пх cos тсж
2xJ 2л; sin пх 2ж3 sin таж '
числитель и знаменатель этой дроби исчезают при х = 0. Поэтому по-
положим ж = о>; так как
1 1л
Sin U0) = TiO) —-тс3ш34- И Т. Д., C0St:(U = 1 —-7i2<o3-j- И Т. Д.,
то предложенное выражение будет равно выражению
теш — - -те3»3 -|- и Т. д. — тао) -I та3о>3 — и Т. Д. - тс3о>3 — и Т. Д.
., 1 о е 2ТС«>3 — II Т. Д. '
2iuo3- --АM-]- и Т. Д.
О
которое вследствие бесконечной малости ш даёт -т;2.
Пример 5
Зная сумму бесконечного ряда 1)
1,1,1,1, « Sin--«а;
\ ж2 9 ж2 25 — xJ 'i9 — хг — 1 '
4.x cos -яж
найти его сумму при х = 0.
Так как
• 1 1 1 з з 1 л 1 ¦> , ,
sin - тгж = - тех — ,— к"х и т. д. и cos -tzx =1—,-«'т и т. д.,
то предложенное выра?кенае будет равно выражению
1 2 й 4 3 1 , 1 4 ,
^ тс х - — тс ж и т. д. 2Г~48*Г+ И Т' Д-
и т. д. 4— - тс2г2-|- и т. д.
значение которого при х = 0, очевидно, равно -тс3; это и есть сумма
ряда
что выше было доказано различными способами. Если же за х взять
какое-либо чётное число, то сумма предложенного ряда всегда равна
нулю.
«Введение», т. I, гл. X.
ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 505
366. В тех рядах, которые мы рассматривали в последних двух
примерах, и в иных рядах, содержащих переменную букву х, коли-
количеству х можно задавать такие значения, что некоторый член обра-
обратится в бесконечность; в этих случаях и сумма всего ряда будет
бесконечной. Так, если в ряд
1-х2- ' \-Х" ' 9-z2 ' 16-х" [ "
вместо а; подставить какое-либо целое число, то один из его членов
станет бесконечным, ибо его знаменатель исчезает; поэтому сумма ряда
становится бесконечной. Если же этот бесконечный член будет удалён
и-ч ряда, тогда остальная сумма, несомненно, будет конечной, так что
сумма ряда, получаемого из данного после удаления его бесконечного
члена, представится выражением вида со — оо; какое именно значе-
значение она будет иметь, можно будет найти по изложенному здесь спо-
способу. Это будет яснее видно из нижеприводимых примеров.
Пример 1
Найти при х=1 сумму ряда
1 ¦ l ' l • ~'— + и т д
.* + ,уз
из которого изъят первый член, обращающийся в этом случае в беско-
бесконечность.
Так как сумма всего ряда в общем случае равна
1хг 2х to
то искомая сумма оудет равна
t
2х- 2х tfif -КХ, 1-х3
при х=1. Положим ж=1+(о; тогда для искомой суммы получим
выражение
! « , _!__
2 A -t- -J«> -;- <о2) 2 A + <о) t,' (я -f «^) 2<» \- ш~ '
Но
tg (~ -1- спи) = lgio7c = T0) + - тЛп3 + и т. д.
о
Так как здесь первый член г—= при х = 1 имеет определённое
1
1
0,B + 2»
при бесконечно малом со, а в этом случае можно будет пренебречь
также членом -т^вг. Но при ш = 0 мы будем иметь
506 РЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
ш следовательно, сумма ряда
1,1.1.1 .
a + -8 + i5 + 2i+ и т- Д-
113
равна ¦^ + г==4' чт0 известн0 из Других соображений.
Пример 2
Найти сумму ряда
в случае, когда х полагается равным какому-либо целому числу п, если
из ряда устраняется член —$ —2, который становится бесконечным*
Таким образом, искомая сумма представляется выражением
Ъ:- 2х tg -ах га2 - .т2 '
в которое нужно подставить х = п; в этом случае первый член г-^
обращается в —--г, а два остальных становятся бесконечными. Положим
х — ra-j-co; так как
tg (~П -j- 7TU)) i= tg Ш = 7t(D.
то, положив со бесконечно малым, будем иметь'* для искомой суммы
выражение
J _* , 1
2а3 2 (я |-л)л"> г^гю + о2
ИЛИ
2га2 о>Bга + 2о>) • <o(>ir<o) 2;г3 Bи +2») Bга г ">) "
Если здесь положить w = 0, получим, что искомая сумма равна
1,1 3
Поэтому
3 __ 1 1 1
га^ ~ 1 - пг ~^~ 4 - п- "*" 9- «2
+
• * * ^~ (га - 1)а - и2 ^ (га -г IL - «2 (" + 2J - «* ^
и т. д. до бесконечности, т. е. сумма этого бесконечного ряда будет равна
т- Д- =
(„4-1J-п2 '(га
_ 3 [ г ¦ _J_ . г | *
~ 4п2 ^ п3 - 1 г «2 - 4 ^ п2 - 9 ~т~ ¦ ¦ ' ' га3 - (п -1)8 '
ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ 507
Пример 3
Найти сумму ряда
1
49
Т. Д.
1
х=1, если изъять первый член ¦ 3 , который в] этом случае
становится бесконечным.
. 1
те Sin — ях
Так как сумма этого ряда в общем случае равна
4я cos —
то искомая сумма будет равна значению
. 1
•я Sin у -их .
I 1-х'
kx cos -,- r.x
при х=1. Так как оба члена становятся бесконечными, то положим
х=\ — (в. Тогда, поскольку при бесконечно малом ш
sin
мы получим выражение
1
которое становится равным — при oj = 0. Таким образом,
4 8 ' 24 ' 48 ' 80 ^ 120 ^ д'
Пример 4
Найти сумму ряда
1,1,1
+
положить х равным какому-либо нечётному числу 2п — 1 и гели
п 1
изъять из ряда член -—---2_ 2, который в этом случае становится
бесконечным.
Искомая сумма будет равна
. 1
¦к Sin — -кос
1
4ж cos — -тех
508 ГЛ. XV. О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
при х =2п—1. Положим х = 2п — 1 — ш, где ш есть бесконечно малое
количество; тогда
1 / 2га 1 1 Л 1
sin у то; = sin i —^— п — -- лш J = ^ cos у ua>r
1 . / 2га - 1
s i
где верхний знак берётся, если п есть число нечётное, нижний же —
если это число чётное. Подобным образом будем иметь
1 /278-1 1 Л , ¦ 1
cos — тгж = cos f —-— тс — -г гм ) = ±sm — тис»;
так что будет ли п чётным или нечётным, получим
1 .1 1
COS — V.X T.g — Т.Х — Ttu)
Следовательно, искомая сумма представится выражением
2ш Bи — 1 — <¦>)
и поэтому будет равна , 7 _ . Так, если и = 2, то
36 ~~ ~ Y + То" "•" ^о ' И + Иг" + и т. д.
Что результат отого суммирования перси — известно из других сообра-
соображений.
ГЛАВА XVI
О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ
ФУНКЦИИ
367. Непредставимыми функциями я называю здесь такие функции,
которые нельзя выразить ни определёнными выражениями, ни корнями
уравнений, так что не только они не являются алгебраическими,
но по большей части неизвестно, к какому роду трансцендентных
функций они принадлежат. Такого рода непредставимой функцией
является, например, функция
которая, безусловно, зависит от х, по если только х не является целым
числом, никоим образом не может быть представлена. Подобным образом,
выр ажение
1 • 2 ¦ 3 -4 ... х
будет непредставимой функцией от х, ибо, если х есть какое угодно
число, то значение её нельзя выразить не только алгебраически,
но и с помощью какого-либо определённого рода трансцендентных
функций. Общее понятие о таких непредставимых функциях может
нам дать рассмотрение рядов. В самом деле, пусть предложен какой-
либо- ряд
1 2 3 4 х
A+B+C+D+ ...+Х;
если его сумму S нельзя выразить конечной формулой, то она будет
непредставимой функцией от х, а именно,
Подобным образом, произведение последовательных членов ряда, как,
например,
Р = А- В- С -D ...X,
будет непредставимой функцией от х, но её можно привести к преды-
предыдущему виду с помощью логарифмов; действительно, будем иметь
510 ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ
368. В этой главе я хочу изложить метод разыскания дифференциалов
таких непредставимых функций. Хотя может показаться, что этот вопрос
относится к первой части этого сочинения, где излагались правила
дифференциального исчисления, однако он требует более широких
познаний в учении о бесконечных рядах, которые можно было сообщить
только во второй части, поэтому, будучи вынуждены отступить от есте-
естественного порядка, мы касаемся этого вопроса здесь. Так как это
исследование является совершенно новым и никем до сих пор не про-
производилось, то мы настолько ещё далеки от возмояшости исчерпать
эту часть дифференциального исчисления, что попытаемся лишь наметить
её основы. А затем я приведу несколько вопросов, разрешение которых
требует дифференцирования такого рода функций, чтобы можно было
тут же видеть пользу этого исследования. В будущем она, несомненно,
станет гораздо большей.
369. Чтобы дифференцировать такого рода непредставимые функции,
необходимо прежде всего найти те значения, которые они получают,
если вместо х положить х-\-о>. Пусть
1 2 3 4 ... х
и пусть ? есть то значение количества S, которое оно -получает, если
вместо х положить ж + ш. Пусть Z есть член ряда, отвечающий индексу
? + о). Члены, соответствующие индексам х-\-\, х-\-2, z-f-З и т. д.,
мы обозначим через X', X", X'" и т. д., а член, отвечающий беско-
бесконечному индексу х + °°, через Х'"'1). Подобным образом, члены, соот-
соответствующие индексам х + ю + 1, ж + о> + 2, х + «> + 3 и т. д., мы будем
обозначать через Ъ', Z", Ъ'" и т. д.; пусть Z|co'есть член, отвечающий
индексу х-{-<а-{- <х>. При этих обозначениях будем иметь
X",
Подобным же образом, так как - последовательно возрастает на Z-',fZ"
и т. д., будем иметь:
s' = s + z' + Z",
И Т. Д.
г) В этой главе Эйлер столь свободно обращается с бесконечностью, что его
выводы могут показаться совершенно неосновательными. Между тем, по сущзству,
рассуждения Эйлера являются совершенно законными; при некоторых, с точки
зрения Эйлера само собой разумеющихся, ограничениях, накладываемых на рас-
рассматриваемые функции, их можно строго обосновать, полностью сохраняя идею
Эйлера.
ГЛ. Х\1. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ 511
Постановка ьадачи такова: пусть /(х) есть некоторая функция, определённая
для всех вещественных значений аргумента х. Рассмотрим функцию F(х), опре-
определённую для целочисленных положительных значений х формулой
Задача состоит в разыскании такой функции Ф (х), которая была бы определена
для всех значений х и которая совпадала бы с F(х) при целочисленных значениях
аргумента. Разумеется, функция Ф (х) должна быть аналитической и тогда произ-
производные «непредставимой» функции можно принять равными производным функции
Ф (х) при соответствующих значениях аргумента. Решение Эйлера можно на совре-
современном явыке изложить следующим образом. Пусть сначала х есть целое число.
Тогда формулу A) можно преобразовать так:
*" (*) = [/ A) - / <* + !)] + I/ (-) - / <аЧ- 2)] + .. . + [/ (у) - / (х !- у)} -г
+ /(х + у + 1) + Лх + у+2)+...+,Bх-гу). B)
Здесь у есть любое целое число.
Если /(х) -* 0'при х -» со, как это имеет место во всех трёх примерах § 371,
то в формуле B) сумма последних х слагаемых стремится к нулю при у -* со и при
фиксированном х, и истому F (х) можно представить сходящимся рядом:
... C)
Выражение C) можно принять за определение функции F (х) при дробных
значениях х. Для этого нужно, конечно, чтобы ряд C) оставался сходящимся.
Это обеспечивается, например, монотонностью функции / (х) (во всех примерах §371
функция f(x) монотонна). Тогда ряд C) для дробного х мажорируется рядом
такого же вида при целочисленном х.
Эйлер разлагает выражения / (а) — / (х -\- а) в ряды по степеням х и собирает
члены, содержащие одну и ту же степень х. Накладываемое этим на функцию / (х)
ограничение молчаливо подразумевается Эйлером всегда. Здесь оно еще ослабляется
тем, что достаточно потребовать возможности разложения при 0< я < 1, ибо-
интерполяцию можно начать не с первою члена, а с члена /(о), где а есть бли-
ближайшее к х целое число. Так Эйлер и поступает в § 373. Таким образом, полу-
получаются просты-» выражения для всех: производных «непредставимой» функции.
По существу же задача дифференцирования такой функции уже решена формулой C),
которую можно дифференцировать почленно вследствие предполагающейся анали-
аналитичности функции f(x).
Эйлер, однако, пе ограничивается рассмотрением простейшего случая, когда
/ (х) -* О при х -* со. Он рассматривает п случай, когда / (х) стремится к конечному
или бесконечному пределу, но первая разность / (х 4-1) — / (х) стремится к нулю
при х ->.со. Рассматривается и более общий случай, когда к нулю стремится раз-
разность какого-либо высшего порядка, тогда как разности низшего порядка к нулю
не стремятся.
Пусть первая разность стремится к нулю. Тогда последние х слагаемых
формулы B) можно представить в виде
/ (х + у + 2) = / (х + у +1) 4- Д/ (х + у +1),
) = f (х + у + 1) + Af (х + у + 1) + А/ (х + у + 2)
и т. д. Так как, по предположению, А/ (х + у 4-1), А/ (х -|- у 4- 2) и т. д. стремятся
к нулю, при у -+ со п х есть фиксированное целое число, то сумма Ry рассматри-
рассматриваемых членов может быть представлена в виде
Д„ = ж/(х +y + i)-|-е(з/), W
где е (у) -> 0 при у -* со.
Преобразуем выражение D) следующим образом:
- / A)J + [/ C) - / B4 + ...+[/ (у + 1) - / (у,]} +
Так как при фиксированном целом х число слагаемых во второй фигурной скобко
постоянно, и первые разности при у -* со стремятся к нулю, то
где 7j (у) -* 0 и е (у) -* 0 при у -» со.
512 ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ
370. Теперь нужно исследовать, каким свойством обладает ряд
S, S', S", S'" и т. д., продолженный до бесконечности. Если в беско-
бесконечности он совпадает с арифметической прогрессией, что имеет место,
если члены ряда X, X', X", X'" и т. д. в бесконечном сходятся
к равенству, так что в конце концов разности ряда S, S', S" и т. д.
становятся равными, то в этом случае количества S ', iS'°° , Sico
и т. д. будут составлять арифметическую прогрессию, и поскольку
s\r. н <о| = 51«| +ш ^ioo+ц — ^i"--!) = wS\^ и + A —о,) Slooi;
будем иметь
s|0o| = 0M|oo+1| + (i-<»)«s00'-
Но
откуда
Отсюда получим уравнение
2 + Z' -fZ" + Z'" + ...+&*> =
= S + X' + X" + X'" + ... + X'00' + шХ1*+и,
из которого определяется искомое значение 2, которое принимает
функция S, когда в неё вместо х мы подставляем х-\- ш. Именно,
мы получим
S = S + <i>X|4O+1i + X'+X" + X"'+ и т. д. до бесконечности —
— Z' — Z" — Z'" — и т. д. до бесконечности.
Если бесконечно удалённые члены1) ряда А, В, С, D и т. д. исчезают,
то член шХ1'- +11 исчезает, и его можно опустить.
'371. Итак, значение количества 2 выражается новым рядом; его
можно получить, если известен общий член ряда А + В + С + и т. д.,
Поэтому при целом х функция F (х) представляется сходящимся рядом
F(x) = z/(l) + {[/(l)-/(z + l,+z[/B)-/(l^}4-
-:- {[' B) - / О + 2>] + х [/ (!!) - / B)]} + . . ., (.,)
который можно принять за определение функции F (х) при дрсбиом х.
Разлагая разности / (а) — / (х + а) в бсскопечные ряды, Эйлер представляет
ряд E) в виде суммы двух рядов:
* if A) + [/ 02) - / A)] + [/ C) - / BK г • • • V F)
я
г [/'A) u/B) + ...] + |i [y"(i)+/"B) + ...]-|-i? [,'"A)-¦-/'" B) !-.-].
Но из текста §§ 376 и 379 ясно, что Эйлер хорошо видит, что в рассматри-
рассматриваемом случае ряд (Ь) и ряд
х У A)+)'B)+...],
взятые по отдельности, расходятся, однако «взятые вместе» дают сходящийся ряд.
В случае, когда первая разность к нулю не стремится, но вторая разность
стремится, получается более сложное выражение (§ 378). Впрочем, после сделанных
разъяслений эти и дальнейшие рассуждения Эйлера не представят трудности для
читателя. [Прим. перев.)
х) В оригииале termini infinitosimi.
516 1'Л- XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ
ЗТ2. Вышеизложенное позволит нам также интерполировать сум-
суммы, т. е. определять значение суммационного члена, когда число
слагаемых не является целым. В самом деле, сети положить ж —О,
то будем иметь также S = 0, а И будет выражать сумму стольких
членов, сколько единиц содержит число ш, хотя бы это число ш и не
было целым. Так, в первом примере, если положить
будем иметь
ИЛИ
+ -[ + Л + 1 + 1 + И Т. д.
-г *>"(l I -\- + J, -I¦ 7li- "I- 5T + и т. д.
и т. д.
В третьем же примере будем иметь
v = 1 1- ' ' 'l + j -'- + '
Значение количества 2, будет ли со целым или дробным числом,
выразится следующим образом:
т,— -!- -оп!тг + "v7^ +" и т- д-
I 1 . 2 • о
II Т. Д.
373. Тот же метод можно применить и к общему случаю. Пусть
мы имеем ряд
1 2 3 4 ... я
S = A+B + C + D+ ...-4-Х.
Пусть X при подстановке х-\-ш вместо х переходит к Z, a S в -; тогда
а так как Z', Z", Z"' и т. д. подобным же образом выражаются через
X', X", X'" и т. д., то будем иметь
2 - S + о>Х' - hi _ ? ,у . (X' + X" + X"Ч X"" -:- и т. д.)
» т. д.)
и т. д.
514 ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ
Подставив dx вместо ш, получим полный дифференциал предложенной
функции S:
dS = dx
Т
1
И Т. Д.
Пример 2
Найти дифференциал следующей непредставимой функции от х:
Так как общий член этого ряда есть Х = -$ т, то
X'=-
X" =
X'" ¦
rjt I I
И Т. Д.
. И Т. Д.
Так как бесконечно удалённые члены этого ряда исчезают и являются
равными, то значение S, если вместо х подставить х + ш, становится
равным
+ + + И Т «
I -f 2ш 2х + 3 + 2а> 2з + 5 + 2ш
ИЛИ
2х +1) Bх +1 + 2(о) + Bх + 3) Bх + 3 + 2о>) +
Если расположить члены по степеням ш> будем иметь
— И Т. Д.
Т-
B*
B* + 5)*
И Т. Д.
ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ 515
Положим теперь dx вместо ш; тогда получим полный дифференциал
предложенной непредставимой функции
h?+ ит-д-)
и т. д.
Пример 3
Найти полный дифференциал следующей непредставимой функции
от х:
Так как общий член этого ряда равен -д, то бесконечно удалённые
члены будут исчезать и будут равны между собой. Поэтому поскольку
Zi
i
X" =
(х -f 2)n '
1
Z' =
Z'" —
и т. д.
и т. д.,
будем иметь
X'-Z' =
л. '— о =
Отсюда находим
,n+2 1
n (n + 1) to2 n(n+l){n
\П*2 Г
6 (ж
¦ — и т. д.,
— и т. д.
i
n(n
1 • 2
«+2)шз
1 1.1, Л
:5TI)n'ri + (x + 2)"*t ~^~ <х+-А)п+1 + и т- Д- )
__ _J L__-| ___-j- и Т. Д. \
1-2-3
Поэтому, положив ш = йа;, получим искомый полный дифференциал
функции S.
I 1
(х + if1*3 ^ (х + 2)'"» ^ (х + 3)п*8
И Т. Д.
и т. д.
и т. д.
33*
516 ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ
372. Вышеизложенное позволит нам также интерполировать
мы, т. е. определить значение суммационного члена, когда число
слагаемых не является целым. В самом деле, если положить « = 0,
то будем иметь также S — О, a ? будет выражать сумму стольких
членов, сколько единиц содержит число ш, хотя бы это число со и не
было целым. Так, в первом примере, если положить
будем иметь
) + 2B + и>) + 3C+со) + '-"- ' -¦-" + И Т> Д>
ИЛИ
J_ 1 1 1
J-—4- 1 4- * 4- * 4-
и т. д.
В третьем же примере будем иметь
111 1
2__4i_i_4--+ 4
Значение количества S, будет ли ш целым или дробным числом,
выразится следующим образом:
Т. д.
i 1 . 2. з D1+-21T^ + li+r"'"Tri:»"" и т> Д-
И Т. Д.
373. Тот же метод можно применить и к общему случаю. Пусть
мы имеем ряд
1 2 3 4 ... х
Пусть X при подстановке х + ш вместо х переходит в Z, a S в I; тогда
+ И Т. Д.,
а так как Z', Z", Ъ'" и т. д. подобным же образом выражаются через
X', X", X'" и т. д., то будем иметь
^ = 5 + о)Х|тИ'-?й • {Х' + Х" + Х"' + Х""+ и т. д.)
id2(x' + x" + x'" + x""+ и т- д-)
' + X""+ II Т. д.)
и т. д.
ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ 517
Если Х'-+11 не равно нулю, то, чтобы устранить из рассмотрения
бесконечность, можно представить это количество следующим образом:
X1 г+"" = X' -f (X" - X') + (X'" - X") + (X"" - X'") + и т. д.).
Таким образом, мы получим
Z=S + *X' + m{{X"-X')-\-{X"'-X') + (X""--X'")i- и т. д.)
-j-d-{X' + X" + X"'-\-X""+ и т. д.)
~Ш*** • (X'-f Х» + Х"'+Х-"'-[- их. д.)
—^Г*.{Х' + Х''-\-Х'" + Х"" + и т. д.)
и т. д.
Следовательно, если положить о> —- dx, получим для полного диффе-
дифференциала количества
S = A + B + C+ ...- X
следующее выражение:
— X') + {X'" — X'') + (X"" — X'")-\- и т. д.)
- d • (X' + X*-!-X"'+-Y""-b и т. д.)
- \ d2 ¦ (Х' + Х" f Х'" + Х""+ и т. д.)
- -\d3 ¦ (X' ^ X" + X'" -г X"" -;- и т. д.)
и т. д.
374. Положим, что х = 0; тогда
Х' = А, X" = В и т. д.,
так что Х'+Х" + Х'"+ и т. д. есть бесконечный ряд, общий член
которого равен X. Образуем затем ряды из следующих общих членов:
dX d'-X d*X d*X
dx ' <Ш* ' Mi* ' ~2\dx* П Т' Д'
Пусть суммы этих рядов, продолженных до бесконечности, будут
При х ---~ 0 также и S ~ 0, a il будет суммой ряда
А + В + С -\-D+ ... +Z,
содержащего ш членов; действительно, Z есть член, индекс которого
есть ш, является ли о> целым числом или дробью. Поэтому будем иметь
2 -.= шЛ -]- to ((В — Л) -l (C — B) + {D - С) + и т. д.) —
- -1«93 — о*3К — оK2> — oLg — и т. д.,
где nepiitiii ряд можно опустить, если члены предложенного ряда
в конце концов исчезают.
375. Напишем теперь х вместо о>; тогда И перейдёт и S, таг; что
1 2 3 4 ... х
s = a+b + c-[-d-:- ... ч х,
518 ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ
и теперь значение S выразится бесконечным рядом следующим образом:
S = Ах + х((В — А) + (С — B) + (D — С) + и т. д.)—
— ЗЗж — &х2 — 2)ж3 — &х* — &zB — и т. д.
Так как значение этого ряда выражается одинаково, будет ли х целым
числом или дробным, то дифференциалы всех порядков количества S
отсюда легко определяются:
2- = A + (B-A) + {C-B) + {D — C) + и т. д.-
32)ж2 — 4©ж3 — и т. д.
-^ = g _ 3®х - 6®х3 - lOgz3 — и т. д.
с/3 С
.~
= - 2) - Шх — lOgs2 - 20©х3 - и т. д.
¦г^^-б-бда:—^©ж1 —35фгв — и т. д.
Так как полный дифференциал равен
dS + -J- rf'S + i с/35 + :~ d*S + и т. д.,
то полный дифференциал предложенной функции S будет
dS = A dx + E — .4) dx + (С — В) йж + (D — С) dx + и т. д.
— %dx—&{2xdx-\- dx2) — Ъ (Зхг dx + Зх dx" + dx3)
dxi)— и т. д.
376. Итак, этим способом можно выразить дифференциал какой-либо
непредставимой функции S, если бесконечно удалённые члены ряда
A + B + C + D+ и т. д.
либо исчезают, либо равны между собой. Если бесконечно удалённые
члены этого ряда не будут равны нулю, то сумма ряда, образованного
из общего члена -,— , будет бесконечной, но в соединении с рядом
A+(B — A) + (C — B) + (D — C)+ и т. д.
даст конечную сумму. Но может случиться, что члены ряда А-{-В-\-
-\-С + D + и т. д. бесконечно возрастают таким образом, что не только
сумма ряда S3, но также сумма ряда © становится бесконечно большой.
В этом случае не достаточно нрибавить сумму А-\-(В — А)-{-{С—В)
и т. д. Так как в этом случае бесконечно удалённые значения, рас-
рассмотренные в § ;Л0, а именно, S |GOI, S \°=+1', S^°°+'^, уже больше не
составляют арифметической прогрессии, как мы принимали раньше, то
нужно знать закон составления этой прогрессии. Прежде мы прини-
принимали, что первые разности этих членов равны; теперь распространим
этот метод на случай, когда лишь вторые разности или третьи, или
более высокие полагаются постоянными.
ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ 519
377. Рассуждая так же, как в § 309, положим, что вторые разно-
разности упомянутых значений являются постоянными; мы имеем
Отсюда будем иметь
Первые разности
Вторые разности
| 4-'" ^" ~ ^ (Х|со+21 — Х|оо+1') =
поэтому будем иметь уравнение
S + Z' +Z" + Z'" + ... + Zi«i = J + X' + X" + X'" + .. • + Xl°°i-
1 -2 Л ^ 1 -2
аз которого получаем
' + X" + X'" + X""+ и т. д. до бесконечности
— Z' — Z" — Z'"—¦ Z"" — и т. д. до бесконечности
Но бесконечно удалённые члены можно представить так, что будем
иметь:
и т. д.
— Z' — Z" - Z'" - Z"" - и т. д.
"+ и т.
„ _ и т>
1 .2 A + "*" + +ит. д.
l
Здесь в то же время ясен и закон, по которому будет составлять-
составляться это выражение, если лишь третьи или лишь четвёртые или более
высокие разности будут постоянными.
378. Как выше было доказано,
a- dX , ш2 d!X , a.» d*X ,
+ + + и
Если вместо Z', Z", Z'" и т. д. подставить получаемые отсюда зна-
значения, то мы получим следующее выражение для значения S после
520 ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАШШ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ
подстановки в него
вместо х:
+ X" + A'"-f- А"" + А'""+ и т. д.
— X' -X" -А"' —X"" - и т. д.
^i^L-J^X" [ + Х"' +Х"" 4-Х'"" 4-Х""" 4- и т. пЛ
+ ю("~21) {—2Х" -2А'" ~2Х"" —IX'"" — и т. д. )
4-Х'" + X"" -!- и т. д.|
«> (со — 1) v,
Х' -г А
-!ld-{X' + X" + X'" + X""+ и т. д.)
д.)
— Tj"h~d3' (X' 4-Х" 4- X'" 4- А"" 4 и т. д.)
и т. д.
Если вместо со положить dx, то получим полный дифференциал пред-
предложенной непредставимой функции S:
4-X" 4-Х"'4-Х"" 4-Х""'4- и т- д.
— X"
1 • 2
dx A - dx\
1 • 2
Л
Х
Х"" +Х'"" +Х""" + л т. д.)
— 2Х" —2Х'" -2Х"" —IX"'" -и т. д.!
¦X' +Х" +Х'" +Х""
и т. д. j
—*- Г 4-А"" 4-Х'"" -I- и т. д.
т„ dx(\ -dx)A — dx) dx(l-dx)(l-dx) ]—ЗА'" —ЛА"" — II Т. Д.
-2*' 1.2.3
о-х'-^-"^.^"-
1 • -1 ¦ :;
J
^ —X' -А" - п т. д.
— d ¦ (Х'4-Х" + Х'" 4-Х"" 4-Х""'4- и т. д.)
— ^da- (А'4-Х" -ГХ'-Х"-Х'""+ и т. д.)
-{-rf3 ¦ (А' + А'Ч-A'" .;-.Y""-j-X'"- и т. д.)
II Т. Д.
Это выражение имеет общий характер и даёт искомый дифференциал,
ьаков бы ни был порядок тех разностей, которые становятся постоян-
постоянными. Эта формула приспособлена к постоянным разностям, причём
видно, каков будет закон её составления, если для получения посто-
постоянных разностей придётся иттп дальше.
ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ 521
379. Если ряд А + 5 + C + D -f и т. д., из которого образуется
непредставимая функция
1 2 'Л \ ... х
составлен таким образом, что его бесконечно удалённые члены исче-
исчезают, то, как мы уже отметили,
dS= -d ¦ (Л" 4-Х"-1 Л"" 4-Х""-}- н т. д.)
—l-d*. (X'-:-X" + .Y'".4-X"- " 'г- Д-)
~~ds- (X' + X" t-X'"+X""+ и т. д.)
- ,'. tf4 • (Л" + X" + X'" + X"" + и т. д.)
_ 1
II Т. Д.
Если бесконечно удалённые члены этого ряда не равны нулю, но,
однако, имеют исчезающие разности, тогда к этому выражению нужно
сверх того добавить
[ f -|-Х" + Х'" + Х"" }-Х + и т. д.)
[ -X' -X" —X'" -X"" - п т. А.)
Если же лишь вторые разности бесконечно удалённых членов ряда
А-}-В-\-С-гD J\- и т. д. исчезают, тогда, кроме того, нужно добавить-
( 4-Х'" +Х"" +Х'"" + и т. д.)
I ~Х" I
<Lv(dr-\) ^ _2Х" —IX'" ~2Х"" -- и т. д.}
{ +Х' +Х" +Х"' -!- " т. Д-J
Если лишь третьи разности упомянутых бесконечно удалённых членов
будут исчезающими, то кроме уже использованных выражений нужно
добавить ещё
( +Х"" 4-Х'"" +Х""" + п т.д.)
+ Х'"
— :.х'" -ях"" -:\х'"" - и т. д.
dx_(dx- l)(ds -2) _9V"
+ :.Х" +:jx"' +.чх"" + и т. д.
7-Х'
-Л" -Л" -X"' - п т. д.
г\ акой же вид будут иметь и те выражения, которые нужно будет ещё
добавить, если исчезающими будут лишь более высокие разности беско-
бесконечно удалённых членов ряда А + В + С + D + и т. д. Таким обрано.м,
522 ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ
какой бы ряд мы ни приняли, если только его бесконечно удалённые
члены в конце концов приводятся к постоянным разностям, мы смо-
сможем определить дифференциал образованной им непредставимой функции.
380. Если положить х — 0, то будем шшеть X'= А, Х" — В, Х'" = С
и т. д. Так как A -f- В -+¦ С-f-D + и т. д. есть ряд, общий член кото-
которого есть X, то, образовав из общих членов
dX d*X_ <^>Х_ dlx
dx ' 2d^ ' Й13 ' 1Ш* и
подобным же способом бесконечные ряды и обозначив их суммы соот-
соответственно буквами S3, 6, ©, E и т. д., мы выразим сумму ш членов
ряда
A + B + C + D+ и т. д.
таким образом, что будет безразлично, является ли ш целым числом
или нет. Напишем х вместо ш, так что
1 2 3 4 ... х
Если бесконечно удалённые члены этого ряда исчезают, то
5=-»я;-©а!1-©ж*-®в*- и т. д.
Если бесконечно удалённые члены имеют только постоянные первые
разности, то к этому значению надо сверх того прибавить
[ +B + C + D + E+ и т. д.1)
х\А
{ -A — B-C — D- и т. д.]
Если же лишь вторые разности этих бесконечно удалённых членов
иечезают, то, кроме того, нужно прибавить
С +С +D +Е +F -f и т. д.")
\+В |
f(fL_ib -2B-2C-2D-2E- и т. д. )¦
" \~А I
{ +А +В +С +D + и т. д.]
Если исчезают лишь третьи разности, то сверх того нужно прибавить
•следующий бесконечный ряд:
+ D +Е +F +G + и т. д.'
+ С
— 3C — 3D — 3E — 3F— и т. д.
х(х-1)(х-2) ! 2В
' -f35 + 3C + 3?>-f з?-|- И т. д.
+ А
— А —В —С —D — и т. д-J
381. Распространим это на другой род непредставимых функций,
которые представляют собой последовательные произведения несколь-
ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ 523
ких членов предложенного ряда J. + 5+C + .D + и т. д. Пусть, таким
образом,
1 2 3 4 ...х
S = A- В- С ¦ D ... X,
и пусть ищется прежде всего значение И, в которое преобразуется S,
если вместо х написать аг + ш. Положим, как и прежде, что Z здесь
тот член ряда A-j- В + С + D + и т. д., индекс которого равен x-{-<at
и что X отвечает индексу х. Для того чтобы свести этот случай к пре-
предыдущему, возьмём логарифмы; тогда
Если бесконечно удалённые члены этого ряда исчезают, то применив
тот же метод, которым мы пользовались прежде, будем иметь:
1S = 1S + 1X' + 1X" + 1X'" + и т. д.
— 1Z' —1Z"— 1Z'" - и т. д.
Возвращаясь отсюда к числам, будем иметь
v __ ,j X' X" Х^' Х^"
- — о ¦¦ ъ, • ъ„ • L,ti ¦ г,„, • и т. д.
Зто выражение пригодно, следовательно, в том случае, если беско-
бесконечно удалённые члены ряда А, В, С, D и т. д. равняются 1. Если
же логарифмы бесконечно удалённых членов этого ряда не исчезают,
но имеют исчезающие разности, то к ряду, который мы нашли для IS
нужно, кроме того, добавить ряд
1§-, + 1™+1^77>+ И Т. Д.).
Взяв числа, будем иметь
тл с тт-fO* -А. -Л- Л. Л. А. Л.
- = S-X 2> ^ z'" и т- «•
382. Если мы положим теперь х = 0 — в этом случае S = l, X'=A,
Х" = В, Х'" — С и т. д., то Е будет обозначать произведение ш членов
ряда А, В, С, D и т. д. Будем теперь вместо ш писать х, так что ?
получит то значение, которое раньше мы приписывали количеству 5,
1 2 3 4 ...х
S = A- ВС- D ...X.
Так как теперь Z', Z", Z'" и т. д. переходят в X', X", X'" и т. д.,
то если логарифмы бесконечно удалённых членов ряда А, В, С, D
и т. д. исчезают, S выразится следующим образом:
S- А . Л. . с . D . и т д
^-J7 X" X77' X"" Д*
Если же исчезают лишь разности логарифмов бесконечно удалённых
членов ряда А, В, С, D и т. д., то функция S выразится следующим
образом:
,, лх Вх А1~х С* В1~х DXCX~X ExDl~x
<-> ¦-= А • —-^-t— • —-^т, • —х'" ' X77" " и т* Д-
524 ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИИ
Если лишь вторые разности этих логарифмов исчезают, то из предше-
предшествующего легко видно, какие множители нужно сверх того добавить.
Этот случай мы опустим, так как вряд ли он встретится. Впрочем,
применение этих выражений в деле интерполяции будет показано
в следующей главе.
383. Так как цреждо всего нам нужно дифференцировать такого
рода непредставимые функции, то здесь мы найдём дифференциал
функции
S = А ¦ В ¦ С ¦ D . . . X.
Для этого снова возьмём ранее найденное уравнение
1 S = \S -|-1 Л" + 1 X" -г 1 X'" + и т. д.
— \Ъ' —\Ъ" —\Ъ'"— и т. д.
Так как \Z получается из IX, если вместо х полошить х-\-ш, то
Подставив эти значения в \7У, \ Z", IZ'" и т. д., будем иметь
1S = IS — fcd- AХ' + 1Х" + 1Х'" + 1Х""-и т. д.)
-*A*di- A-Y' + LY" + 1.Y"' + 1X"h т. д.)
-^rf'.(l.Y' + l.Y" + ].Y""-H.Y""+n т. д.)
и т. д.
Положим теперь со = dx. Тогда II—\S-\-d- \S и поэтому
d'J =~d • A .Y' + 1 X" + 1 X'" + 1X"" + и т. д.)
-Id'*- AХ'-ЫХ" + ]Х'" + 1Х"-ит. д.)
- -J- d:s ¦ AX' -|- IX" + 1 Л"" + 1 Х'"Ч и т. д.)
и т. д.
Эта формула пригодна, если логарифмы бесконечно удалённых членов
ряда А, В, С, D и т. д. исчезают. Если же они не исчезают, но имеют
исчезающие разности, то к предыдущему выражению полного диффе-
дифференциала нужно ещё добавить ряд
dx
x 1 X' -f dx (I ?,- -j- 1 ^' + 1 'У"'- 4- и т. д.) ,
и тогда получится поаный дифференциал.
384. То же самое можно представить иначе. Положим х = 0; тогда
1S перейдёт в 0. Образуем теперь ряды, общие члены которых суть
, .. d ¦ 1 Л" <Р ¦ \Х d3 ¦] Л"
1Л' -d~ ' -id^T > " r,^3 " " Т. Д.
Пусть суммы этих бесконечных рядов соответственно будут ЭД. 33, К, Ъ
и т. д. Напишем х вместо ш, так что Y.--—S; тогда
IS = — Ъх — Сж2 — Тх3 — E.г4 - и т. д.,
ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИИ 525
если логарифмы бесконечно удалённых членов ряда Л, В, С, D и т. д.,
общий член которого есть X, исчезают. Если же лишь разности этих
логарифмов исчезают, то
1 S - - х \ 1 4- х (\ П- - 1 С- ~ 1 "- -L I -— + и т л
— ЗЗх—(Jx2—2)х3 — ©х4 --¦ и т. д.
Таким образом, дифференциал количества IS будет
-- =•- dxlA + dx(J-j-{-l -в -\- 1 7J + 1 y/ + ls т' д'
— 48 dx — 2^xdx — 4%xidx-^x3dx-T3. т. д.
Если же требуется найти полный дифференциал, то он будет
? = tf*l^ + d*(lj+l? + l?- + l~ + ii т. д.)
— 33 dx — (J Bx dx + dx2) — 25 (За;3 dx + Зх dx2 -i- dx3) — и т. д.
Чтобы показать применение этих формул, мы прибавим следующие
примеры, которые решим обоими способами.
Пример 1
Найти дифференциал непредставимой функции
„_ 1 з_ 5 7 2r- i
2 ' \ ' "G ' "8 ' ' * ' ~2аГ~ "
Здесь прежде всего следует заметить, что бесконечно удалённые члены
этого произведения обращаются в единицу, и потому их логарифмы
исчезают. Так как здесь Х = —;>—, то
и вообще
X1 ---^.у^,---1 ,
откуд а
J- их. — J- l ^Л ^~ Ljiu J I i.1 •iJut' [ iL-fbij
Bz 4- 2и - IJ ¦ (<lx -T -In)* '
B.г4-2д- IL "•" B,-c i-2/iL
И т. д.
526 ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ
Следовательно, полный дифференциал будет:
1 . 1
dS
~И Т' Д"
A 1 1
Bх + 1)» + B* + 3I + B* + 5)*
111
_
Bх+3K ' B* + 5K 1 " ¦ "'
111 {
-И Т. Д. J
Если Hte ищется только первый дифференциал, то он будет
т = ~2dx ¦ ( + +
То Hte самое по другому методу, изложенному в § 394, мы найдём?
следующим образом. Так как
то
d-\X 2 1 d» ¦ 1 X
dx ~2x-l x '
Поэтому
9t ll l| l| + ll + H т. д.
4+4+4+4+i+ht. д.
2 2 2 2 2
г" 4-Т-Т-10-И Т- Д-
Г1 1 1 1
__ T + 3,- + 5i+7,-
~" 2I 11 _1__
V. 2^ 4s" б7 8^ И Т' Д'
3 1 1 1 1 1 _
24 44 б4 8*
И Т. Д.
ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ 527
или
п- 4 /-. 1,1 1,1
ее 1бЛ 1 , 1 1,1 Л
g==__^l__+___+jj-H Т. fl.j И Т. Д.
Подставив найденные значения, будем иметь
1 1 1,1
— и т. дЛ
111,1 Л
^ + дг—4?+р-—И Т. Д-J
_- + i— — + — —ИТ ^
~-^ + ^~^ + ^—Ш Т- Д-) И Т' Д-
Таким образом, если х = 0,— в этом случае 15 = 0 и 5=1, —то
dS=— 2dxl2.
Пример 2
Найти дифференциал непредставимой функции
5 = 1-2. 3-4. ..х.
Члены ряда 1, 2, 3, 4 и т. д. возрастают до бесконечности таким
образом, что разности логарифмов исчезают; действительно,
] (ос + 1) - 1 оо = 1 A + ~Л =- = 0.
v ' \ оо/ со
Так как X —х, то
Х' = ж+1, Х" = х+2, Х'" = х + 3 и т. д.
Далее, так как 1Х = 1х, то
следовательно, если бы последние логарифмы исчезали, то было бы
dS ,/-1,1,1,1
dx{ + ^a T
dx* f 1
IJ
1
Но так как лишь разности логарифмов исчезают, то сверх того нужно
добавить выражение
т. д.;
528 ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИИ
¦ -г -j-_2 _ l _ 1II
+ 1 " I +
Л так как
-г -j-_2 _ _ ____
х + 1 " х~- I ¦> (х -7 [)- + 3 (х ¦+- !)•> 4 (х- -г i)i " " Т- Д-'
, .<¦ f 3 _ 1 1_ 1 I
а;"-{- ~ .еУ- -1(х [-'I)* ' 3(.г + 2)» 47^-2)*" 'г И Т' Д-
и т. д.,
то истинный полный дифференциал будет
^ + „ Т. д.
^ + и т. д.
_^ 4-и т. д.
+
и т. д.
Если же мы хотим выразить этот дифференциал другим способом, то,
поскольку
d ¦ 1 X I d- ¦ ] X I d* ¦ 1 ЛГ 1
= \x,
d.r, x ' 2dx2
d» ¦ J Л' 1
мы будем иметь следующие ряды:
% = 11 +1 2 + 13 + 14 -г-1 5 + и т. д.,
» = l(l+ ->- + -? + -; -Г-5- + И т. д.),
Так как 1 А = 1 1 = 0, то из § 384 имеем
+ 1 + l+l^ +
т. д.
J--I--J.+Л + и т. д.)
х*
г3 Г 1 4 4 ' 4
— -- г3 Г 1 4- - -- -4- -'- 4- — 4- и Т. Д.
3 1Ч1^23+33^43 ' Д
+ ~ + ±
т. д.) и т. д.
Хотя первые два ряда, на которые помножается х, каждый в отдель-
отдельности имеют бесконечную сумму, однако вместе они дают конечную
сумму. Действительно, если взять в каждом из этих рядов п членов,
то получится
I) —1— .,—Y~T n ¦
ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ 529
Но выше (§ 142а) мы нашли, что
.,1,1,1, . i ,.,1,1 91 , 93
1 +- — + — + — -{- ¦ ¦ ¦ 4— = const. + In + —, + —,— н т. д.,
причём это постоянное равно 0,577 215664 901 5325 г). Поэтому, если
положить п=со, будем иметь
Следовательно, значение этих двух рядов, продолженных до беско-
бесконечности, будет равно
1 (оо + 1) — const. — 1 оо = — const.
Отсюда будем иметь
16' = х ¦ 0,577 215 664901 5325
4 + | + ^ + ^+и т. д.
1 з ( ] , I i 1 II
Т Х У г -V "г ? "Г 43 ^ 5V г " т • Д-
+та;*С1+^ j-y1'+i+> -'~u т-д-)и т'д-
Отсюда легко найти дифференциалы любого порядка. Действительно,
^=—dz- 0,577 215 664 901 532 5
х dx (^l+l+i- + i-+BI+H т. д.)
т. д.)
¦^ + ^ + ^+^ + п т- Д-) и т- Д-
Если эти ряды собрать в один, будем иметь
^ - - dx ¦ 0,577 215 664 901 532 5 +
. х dx , x dx , xdx . x dx
T
+ x) ' 2B + я) ' 3C + x) r 4D+x)
Поэтому, если х = 0, то
^^—t/a;. 0,577 215 664 901532 5.
Из первого же выражения мы будем в этом случае иметь
dS i ,
+,l+p+~ + » т. Д.)
+l + |+-j+H т. д.)
+^- + p+i+H т. д.) и т. д.
J) В последнем знаке имеется погрешность; верная цифра будет S. [Г. К.]
3'» л. Эйлер
530 ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ
385. Дифференциалы подобного рода непредставимых функций мож-
можно определять также и для особых случаев *), поскольку здесь мы
нашли полные дифференциалы. Поэтому если такие функции входят
в выражения, которые кажутся неопределёнными — такие выражения
мы рассматривали в предыдущей главе,—их значения можно опреде-
определить тем же методом. Это уяснится на следующих примерах.
Пример 1
Определить значение выражения
х(х-1) (я:-1)Bл-1)
в случае, когда полагается х = 1.
Положим
1 -f- ~y + -3- +•••+ — = s-
Тогда, согласно § 372,
5 = *A+4г + 1з- + -4Т+ и т. д.)
— Х~ A -)--5а- + -оГ + Г+ и т- Д")
+ х3A + ^г + -у1- + -41г+ и т. д.)
И Т. Д.
Но мы имеем также
$ = + 1 + — + ~з~ + -™ + ->- + и т. д.
11111
— и т. д.
1+х 2 + х 3-[-х 4 -Гх о+х
Если каждый член этого ряда сочетать с соответствующим членом
предыдущего ряда, получится
C>~ Х + 271+хТ + 3 B + х) + 4 C+х) + И 1Ч Д-
Это выражение является более удобным, так как мы должны положить
х= 1. Пусть ж=1 + ш; тогда будем иметь
или
г + -зГ + ^- + -5;г + и т. д. J =
, 1 1 1 Л
Г + „. +-7-5- + -е7Г+ И Т. Д. —
(-2V+4-+TV+-5V + и т. д.
и т. д.
х) Т. е. в случаях, рассматриваемых в гл. XIV.
ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИИ 5:ц
Всё выражение при х = 1 + си перейдёт в выражение
1 + S3u> - ©а>2 f ф<о3 - И Т. Д. 1
или
о) -;- 23") + 2@™2 - ®о>2 — и т. д. _ 1 + S3 + 235ш - go> - и т. д.
' o>(l-|-u>)(l+2u)) ~ A + ш)A-}-2о)) '
Положим теперь <о = 0; тогда значение предложенного выражения при
х =1 будет равно
1 + 8 = 1 + А + А-+ ^- + и т. д.
Так как этот ряд равен — тг, .то, следовательно, искомое значение
1 .,
равно-— тг.
Пример 2
Найти значение выражения
в случае, когда полагается х=1.
11 1
Введём обозначение 1+ -^-+-^-+... + — = о и положим ж=1 + <»;
тогда, как мы нашли в предыдущем примере
где
Ш = *- -J- А л. -А. I ~ -ь и т д. = А -2 — i
"° 2а ' З2 ' 4- " 5- ' м G '
<у _ JL л_ А_ г-L i-A_ i
1 i i i
и т. д.
Если теперь положить а:=1+а>, то предложенное выражение при-
примет вид
1 -<»2 A + S3) A+">) (l + 2m) (l+SSco-go>2 + S)co3- и Т. Д.)
Ю О) \\ -4— (J)) (О^
Если это выражение привести к одному знаменателю оKA+ («)., будем
иметь
1 + со - со2 - иK + "> -|- 2и>2 + со3 4- SS"> A + 2а) + со2)
1 - S3c» -Ь Кс»2 - ®w3 - 2со — 293и>3 + 2Е«K — и т. д.
<1JA -\-U>)
а это выражение приводится к виду
ш2+gm'+a»K \-щшз-%шз 'г п т. д.
5!i2 ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть теперь «>=0; тогда получаем 1 + (?. Поэтому значение пред-
предложенного выражения при х — \ будет равно 1 + 6, и поэтому оно
представится рядом
1 + ~2^~ г ~А* + *~ + ~ог + И Т- Д''
сумма которого не может быть выражена ни через логарифмы, ни
через окружность круга, и до сих пор мы не можем представить ис-
искомое значение каким-либо другим образом в конечном виде. Из этих
двух примеров достаточно ясно видно, какое применение может иметь
дифференцирование непредставимых функций в учении о рядах.
386. Изложенный здесь метод дифференцирования непредставимых
Функций основан на предположении, что бесконечно удалённые члены
ряда Л, В, С, D, Е и т. д. либо равны нулю, либо имеют исчезающие
разности. Если ни то, ни другое не имеет места, то пользоваться
лтнм методом нельзя. Поэтому я изложу здесь другой метод, не стес-
стесняемый этим условием; он основан на общем способе суммирования
ряда, имеющего заданный общий член, который был подробно изложен вы-
выше (гл. V). Пусть 91, 93, (?, ®, (S суть бериуллоевы числа, полученные
и § 122, и пусть предложена следующая непредставимая функция:
1 2 3 4 ... г
s¦¦¦=.-[ +я-:-с i n+...+х.
Так как выше (§ 130) мы показал», что
Л' = \ X dx j-- — X -j- —,—«"и "i—"->~ ^—'~d~ r Г "¦>~T<—¦'—7~Yd~^ ' и '' д"'
то отсюда легко будет определить дифференциал этой функции. Дей-
Действительно, мы будем иметь
~ ' 2 * ' 1 • 2 dx 1 • 2-3-4 dxi r 1 ¦ 2 • 3 • 4 • 5 • Ь dx-' ' Д'
387. Если же предложенная прогрессия связана с геометриче-
геометрической— в этом случае бесконечно удалённые её члены никогда не при-
приводятся к постоянным разностям, и потому первый метод не может
быть применён никаким образом,—тогда будет полезен метод, изложенный
в § 174. В самом деле, пусть предложена функция
S = Ар 4- Btf + Ср* 4- Dp*+ .. . + Хрх.
Будем искать такие значения букв а, р, у, 3 и т. д., чтобы
.Р-=± = 1+ли.\-^а' + -(и' + Ъи* + ^~ и х. д.
Найдя эти значения, как мы .что сделали v § 173, будем иметь
S = - р—, ¦ рх {X — %. }- —.-г- — --.-г- -'- ^-г-,: — и т. д.)
/> — 1 ' v dx dr.- dr/ • dx4 '
-': постоянное. Это постоянное должно сделать сумму равной нулю
яри ж=0 или удовлетворить какому-либо другому условию. Если
взять дифференциал, то ото постоянное пропадет, и мы будем иметь
dS = — —.- • Vх dx 1 1> (.Y-----,-- -j- -^j-^ '-' " -,- л т. д.)
р — I г ' v dx ' dx1- dxA '
' p-1 '' ^"^ dx
- _-- i-P——^.,..,, т. д.)
ГЛ. XVI. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ НЕПРЕДСТАВИМЫХ ФУНКЦИЯ Г?З.Ч
или
М = -0Т (Х dx\p~(o.l p-1) dX + (р 1 р _ я) ^~
~(Tl/>-3)g+ и т. д.),
это и есть искомый дифференциал предложенной функции S.
388. Если предложенная непредставимая функция состоит из
множителей, то независимо от того, имеют ли логарифмы бесконечно
удалённых сомножителей постоянные разности или нет, всегда можно
этим методом найти дифференциал функции. Действительно, пусть
1 2 3 4... ж.
S = А ¦ В ¦ С ¦ D. . . X.
Так как отсюда
1S = 1A+\B+.1C + ID4- ... -fix,
то, обращаясь к помощи бернуллиевых чисел, мы _будем по преды-
предыдущему методу иметь
\S= ^dslX+^-lX + -T-w-T7T_r-_+ и т. д.
Дифференцируя это выражение, получим
1 1 - 2 dx I ¦ -> ¦ 3 • 4 dx3 ' 1 • 2 • 3 • 4 ¦ 5 • 6 dit4
Если, например, будем иметь Х — х, так что
S=l • 2-3 • 4...ж,
то, прилагая эту формулу, найдём выражение
г/Л" , , rfa; Я йж 58 dx &dx Ъ dx
которое, если х есть очень большое число, будет более удобным, чем
найденное ранее.
ГЛАВА XVII
ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
389. Говорят, что ряд интерполируется,- если указываются его
члены, отвечающие дробным или даже иррациональным индексам.
Таким образом, если известен общий член ряда, то интерполяция не пред-
представляет никаких затруднений, ибо какое бы число ни подставить
вместо индекса х, это выражение даст соответствующий член. Если
же ряд составлен так,' что его общий член никаким образом не ока-
оказывается возможным определить, тогда интерполяция такого ряда
весьма трудна, и по большей части члены, не отвечающие целым
индексам, нельзя определить иначе, чем с помощью бесконечного
ряда. В предыдущей главе мы определили отвечающие любым ин-
индексам значения таких выражений, которые обычными способами нельзя
выразить в конечном виде. Это принесёт нам большую пользу при
выполнении интерполяций. Поэтому здесь мы внимательнее рассмотрим,
как в этом вопросе применяются результаты, полученные в предыду-
предыдущей главе.
390. Пусть предложен какой-либо ряд
1 2 3 4 ... х
A + B + C+D+...+X,
общий член которого X известен, а суммациопный член S неизвестен.
Образуем другой ряд, общий член которого был бы равен суммацион-
ному члену данного ряда. Этот новый ряд будет
А,(л + В), {А + В + С), {А + В + С f D), (.4 + В + С + D + Е) и т. д.
и его общий член, т. е. член, отвечающий индексу х, будет равен
A + B + C-\-D+...+X = S.
Так как явное его выражение неизвестно, то интерполяция этого
нового ряда связана с трудностями, о которых мы ранее упоминали.
Чтобы интерполировать этот ряд, нужно найти те значения количе-
количества S, которые последнее принимает, если вместо х подставлять
какие-либо нецелые числа. В самом деле, когда х есть целое число,
то соответствующее значение S находится без затруднений, а именно,
нужно произвести сложение стольких членов, сколько х содержит
единиц.
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ 535
391. Чтобы можно было использовать результаты предыдущей главы,
положим, что х есть целое число, так что соответствующее ему зна-
значение S = A + B + C+...+X известно, и будем искать значение S,
в которое преобразуется S, если вместо х подставить х + и, где о) есть
какая-либо дробь. Тогда S будет тот член предложенного ряда,
подлежащего интерполяции, который отвечает индексу х-\~и>. Если
мы найдём его, то интерполяция предложенного ряда тем самым бу-
будет выполнена. Пусть Z есть тот член ряда А, В, С, D, Е и т. д.,
который отвечает индексу х + ш, и пусть Z', Z", Z"' и т. д. будут
последовательные члены, имеющие индексы х-\-и> -{¦!, x -\-<о + 2,
х -f- u> -f- 3 и т. д. Предположим сначала, что бесконечно удалённые
члены ряда А, В, С, D и т. д. исчезают. Итак, ряд
А, (А г В) (А + В + С), (A + B + C + D) и т. д.,
у которого член, отвечающий индексу х, есть S = A-\-B-{-C-\-...-\-X
будет интерполирован, если мы отыщем его член 2, который отвеча-
отвечает индексу ж-f-w; но, как было найдено,
2^S + X' + X" + X'"-hX"" + и т. д.
— Z' — Z" — Z"' — Z""— и т. д.
Таким образом, мы будем иметь бесконечный ряд, равный искомому
члену И. Так как
7 „ adX , <
L = A + 1п "r ~1
то мы можем преобразовать этот ряд к виду
Z = S - ?-d ¦ (X' + Х" + Х"' +Х"" + и т. д.)
--.:^d'-.(X' + X" + X'" + X""+ и т. д.)
--^-d* ¦ (X' +Х" + Х'" + Х"" + и т. д.)
и т. д.
Из этих двух формул можно применить ту, которая в каком-либо
случае окажется более удобной.
392. Возьмём в качестве ряда А, В, С, D и т. д. какой-либо
гармонический ряд
общий член которого, т. е. член, отвечающий индексу х, равен
г^- = Х. Следовательно, нужно образовать ряд
г
о
1
536 ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
общий член которого, отвечающий индексу х, будет
а а -р 6 ' a -j- 26 л -р 36 ¦ ' ' а -р (х — 1) Ъ
Если теперь ? есть член этого ряда, отвечающий индексу х + о>, то,
„ 1 _
поскольку Z = -. гг-= , будем иметь
J а - (х -р со — 1) 6
Y' =
a -f-bx '
а + 6 + Ьх ' a \-i> г Ьх + 6«>
а + 26 + 6ж а -|- 26 -г Ьг -р 6ч>
и т. д. и т. д.
Отсюда получим
1.1, 1
а + Ъ + Ьх + 1Г+й4
11
а -\- Ьх -\- Ъш а -р 6 + Ьх + ^^ в + 2fc + 6a; -j- 6a
Другое же выражение будет иметь такой вид:
т И Т. Д.
S = S
Х2^гь^, + и т. д.)
(а + 26-и
(а + 6 +Ьх? + (а -р 26
и т. д.
Пример 1
* + И Т' Д>
Пусть предложен ряд
требуется определить члены его, отвечающие дробным индексам.
Здесь а=1 и 6=1; поэтому, если член, отвечающий целому индек-
индексу х, положить равным
5 = 1 + т + 4 + --- + ?'
а член, отвечающий дробному индексу х-\-т, обозначить через sl. то
будем иметь
¦— и т. д.
u) 2-p^-t~"> 3 -f- ж -(- ш -j-рж-ри) 5-рх-рш
Заметим, что если будет известен член, отвечающий дробному индексу
ш — положим этот член равным Т, то из него легко можно будет найти
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ 53 7
член с индексом ж + ш; действительно, если Т', Т", Т'" суть члены,
отвечающие индексам 1+ш, 2 + <о, 3 + <о и т. д. и т. д., то
L-L
J^ Т_! L__! \ L-_L
л 14-» ' 2-го» з4-°>
и т. д.,
так что достаточно найти лишь те члены, которые соответствуют индексам
о>, меньшим единицы. С этой целью положим ж = 0; тогда также S = О,
и член ряда Т, отвечающий дробному индексу ш, выразится следующим
образом:
*=Т+Т+4+Т+ и т. д.
Если обратить эти дроби в бесконечные ряды, получится другое
выражение
Т — _i_ m f4_i_JL4-—4--1-L--4- и Т 1
т 2! т 3' т 4! ' 5s ^ '• '
<A + 4г + ^ + ^ + ^+ и т. д.)
+ i + ^ + ^ + ^-+ и т. д.)
+ ~^ + ^-+~+^+ и т. д.)
и т. д.,
которое очень удобно для нахождения приближённого значения Т.
Так найдём тот член предложенного ряда, который отвечает
индексу —; полагая его равным Т, будем иметь
2 12 12 1'^
У=1 _ +___ + ___ + ____+ и т. д.
ИЛИ
--1- 1-1 -Х i-i и т
2 "г 4 ~ 5 "i" б"""" И Г-
Значение этого ряда равно 2 — 212, и, таким образом, члеп с индек-
индексом — может быть выражен в конечном виде. Следовательно, члены,
13 5 7
индексы, которых равны —, —, —, — и т. д., выразятся следующим
образом:
т. 1 3 5 7
Индексы — — у j
Чгены 2-212, 2 + |-212, 2 + -| + |-212, 2 | |
и т. д.
338 ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
Пример 2
Пусть предложен ряд
12 з
требуется выразить его члены, отвечающие дробным индексам.
Здесь о=1, Ь = 2; поэтому, если член, отвечающий целому индек-
индексу х, положить равным
' 3 ' 5 ' '¦" ' 2х-\'
а член, отвечающий дробному индексу х-\-ш, обозначить через ?, то
будем иметь
1,1.1,1
и т.
1
— и т. д.
2 (х -J-o>) 5 -1- 2 (х -+- ш)
Так как достаточно найти члены, индексы которых меньше единицы,
то пусть х—0 и S = 0. Если член, соответствующий индексу ш, поло-
положить равным Т, то будем иметь
г-=1+т+т + т+т+ ит-д-
1^ 111
9 -1- 2
Ы Т"
Если положить, что (о есть какое-либо число, то поскольку Т есть
член, отвечающий индексу <о, У будет общим членом предложенного
ряда; он выразится также следующим образом:
Т _ 2м ¦ 2ю , 2ю , 20»
~" I(lh2a>)"r 3C + 2со)"г 5E-г2со)п" 7G + 2ш)^~ ' м'
или так:
A111
1 л_ . _ j_ __ л_ _ -! кит л
+ "^ + -Ji- + "^ + gV + И Т. Д.)
^4^+и1. д.)
+ ^4
и т. д.
Положим, что ш = -- ; тогда член, отвечающий этому индексу, будет
и будем иметь:
Индексы —
Члены 12, -1+12, А + 1 + 12, | +.| + | +12 и т. д.
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ 539
Если <» = ---, то будем иметь
2
— у—y — jj—^— И Т. Д.
-ИЛИ
I
39-i. Если теперь для ряда общего вида
1 f1 . 1 \ /1,1
ищется член, отвечающий индексу — , то пужпо в выра;кениях преды-
предыдущего параграфа положить х = 0 и ш = —; тогда S = 0, и искомый
член, соответствующий индексу -о-, будет
12 1 2 1 2
-1 «. 2а 4-6 ' а |-6 ^а г :Л ' а, + 2/; 2а + 56 ""'" И ' Д'
лли, если преобразовать члены к более однородному виду
1 v 1 1 , 1 1,1
2 ~' 2а 2я|-() ' 2а f-26 2а + 36 2а -р 'Л '
Так как в этом ряде знаки + и — чередуются, то если взять после-
последовательные разности, значение -r-S выразится по методу, изложен-
изложенному выше (§ 8), рядом, сходящимся быстрее.
Но ряд разностей будет
-6 - 6 - 6
Ча Bа -Н Ь) ' Bа -i Ъ) Aа -г 26)' Bа + 2Ь) Bа + 36)
6) И Т- Д"
2а Bа+ 6) Bа-1-26)' Bа^ЬбУBа"+~26)B"а + 36) И Т" Д"'
-W-з
2а Bа + 6) Bа + 2&УBа + 36) И Т" Д-
Отсюда заилючаом, что
\_ v _ 1 X ¦ Ь , 1 • 2Ь2 1 • 2 • 363
2 ^ ~ 4а "^* На Bа-1-6; "г 16а Bа -j- 6) Bа +26) ~^~ 32а Bа + 6)"Bа -г 26) Bа -|- а
'Таким обра.чо.м, получим
И Т' Д*
2а а Bа+ 6)"' 2а Bа + Ь) Bа-Г2')) ' 2а Bа + 6) Bа-г 2Ь)Bа +36) ""*" П 1 • Д-
Этот ряд сходится очень быстро и даёт приближённое значение члена И
без большого труда.
394:. Вообще, если бесконечно удалённые члены ряда А, В, С, D, Е
л т. д. исчезают, член, отвечающий индексу со, будет равен Z, а сле-
следующие за ним члены, отвечающие индексам о>-}-1, <о -J- 2, <а-{-3 и т.д.,
будут Z', Z", Z'", Z"" и т. д., то, положив в предыдущих формулах
540 ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
(§ 391) х = 0, так что б1 = 0 и Х' = А, Х" = В, Х'" = С и т. д., найдём,
что если образовать ряд
12 3 4
А, (А + В), {A + B + Q, (A + B+C + D) и т. д.
и положить член его, отвечающий индексу ш, равным 2, то
? = {A — Zf) + {B — Z") + {C — Z'") + {D — Z"") + и т. д.
Из этого выражения можно найти какие угодно промежуточные члены.
Однако достаточно для выполнения интерполяции найти те члены,
которые отвечают индексам ш, меньшим единицы. Если будет найден
член S, отвечающий такому индексу ш, то, обозначив члены, отве-
отвечающие индексам «i-fl, ш-|-2, ш + Зи т. д., через ?', ?", ?'" и т. д.,
будем иметь
и т. д.
Пример 1
Интерполировать ряд
12 3
+
Пусть ? есть член этого ряда, отвечающий индексу о>. Так как дан-
данный ряд образован суммированием ряда
1 + 1- + Т + Г6 + А+ ит- Д"
общий член которого, отвечающий индексу ю, равен —, то
И Т. Д.
Таким образом, если ищется тот член предложенного ряда, который
1 1
отвечает индексу -^, то нужно положить ш = —, и тогда получим
9 ' 4 25 ~ У 49 ' м
или
v _ 4 Л1 _ -1 д. -L _ .14- — — — -|- а т
Но так как
i-i-L-i — — 4- = —
то
V. — &.C4 — —
12
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ 541
Это и есть член, отвечающий индексу — . Следовательно,
13 5
индексам у, т , -„- и т. д.
, 1,4.4 1,4.4,4 1 ,
оудут отпочать члены 4 —-;г, т -f--a-~- j~~, j-\---\-— — — т.- и т. д.
Пример 2
Интерполировать ряд
1, (lfj)>
Пусть ^ есть член, отвечающий какому-либо индексу «>; так как
ряд образован суммированием ряда
'" Т + 25 "'" 49 + 81 "¦' Л Т* Л"'
оощии член которого, отвечающий индексу и>7 ость Z=- - —.-j, то
7/ ^ 1 ^"^ х_ 2'" = --— и т
Поэтому будем иметь
v_!j i xi i J + и т л
.— И Т. Д.
Положим № = у, чтобы найти член предложенного ряда, отвеча-
отвечающий индексу, равному — ; этот член будет
...1,11.11, Tt2
1*=1-Т+ 9—16 + 25-36+ И Т- Д- =^и-
И:? него следующим образом определятся члены, занимающие среднее
положение между какими-либо двумя данными:
13 5 7
индексам -^, —, у, у и т. д.
те2 1 , те2 1 , 1 . г-2 1 1 , 1 , r.J
оудут отвечать члены -, - + ^ , — + ^ -|- -^ , 4" +16 "^ 30 г 12 и т" д'
Пример 3
Интерполировать ряд
12 3 4
1, (l-f-^г), (i + ^r + ^r), (l-l-i+^гЧ-^г) и т- Д-
542 ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
Пусть попрежнему И есть член, отвечающий индексу о>; будем
иметь 2 = —jj- и
ryt 1 rylr 1 7 // /
L -(ГТ^Г' ~B+^j*' л
Отсюда получим
- = 1+Y«+-^- + -^г+ и т. д.
ГB
l
+ 4*~" И Т- Д"
Если, следовательно, пожелаем определить член, отвечающий индек-
индексу -j , то он будет равен
l-4 + fr-|п+ зп--п + и т. д.
О J-. v О J
или
/* 1 1 1 1 1 1 N
on I _i ?_ i_ _i _-)__: - — 4- и т n 1
V2" 3" ' 4n 5" ^ 0" 7"^ MV '
Поэтому, если положить
м? ,. Л | ' _t i it т тт
^ О к О D
то член предложенного ряда, отвечающий индексу —, будет равен?
2n(l — 5R); следовательно, индексам
13 5
Т' Т' Т и т- д-
будут соответство-
соответствовать члены 2П-2ЛЭТ, 2n+-Ji-2f{, 2n+5-+^-2R и т. д..
Пример 4
Интерполировать ряд
12 3 4
L (l + -sr\ Г1+4г+4-\ ri + ^r+^r + ^r^) и т. д.
Пусть ? есть член, соответствующий какому-либо индексу со; так кик;
Z= Bа)_1)Т» то будем иметь
7' ^ 7" 7"' ^ т
~~ B<о + 1)" > ~Bа. + 3)«' ~ Bо> + 5)" • Д-
И
2^1 + 1 + 1-, + ^+ и т. д.
I111
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОК 543
1 1
Положим ш = — ; тогда получим чле н, отвечающий индексу -., :
1-^ + ^-^ + ^-^+ и т. д. =gt.
Из него найдутся далее остальные члены, лежащие посредине между
данными
Индексы у у v и т. д.
Члены 31, jJi + SR, ,1, + 45 + » и т. д.
395. Положим теперь, что бесконечно удалённые члены ряда А, В,
С, D, Е и т. д., из суммирования которого образуется ряд, подле-
подлежащий интерполяции, не исчезают, но составлены так, что исчезают их
разности, и пусть X есть член этого ряда, отвечающий индексу х,
a Z есть член, отвечающий указателю х-\-о>. Пусть далее X', X", X'",
X"" и т. д. суть члены, следующие за X, a Z', Z", Z'", Z"" и т. д. —
члены, следующие за Z. При этих обозначениях пусть предложено
интерполировать ряд
А, (А + В), (А + В + С), (A + B+C + D) и т. д.
Пусть его член, отвечающий индексу х, равен S. а член, отвечающий
индексу х+ш, равен И. Тогда на основании того, что было сказано
в предыдущей главе, будем иметь
' +.Y" +А"" + и т. д.
-Z' —Z" -Z'" - и т. д.
v, , I Х"^-Х'" + Х""+ и т. д. \
I —А —Л —Л И Т. Д. )
Пдесь, как и раньше, достаточно nairra члены, отвечающие; индот^м,
меньшим единицы. Положим х = 0, так что Л1 = (); X'=.ii V --¦//
и т. д.; член, отвечающий индексу ш, будет
Z^(A-Z') + {B-Z") + (C-Z'") + (D-Z"<')+ и т. д.
+ и + А + а>{(В — А) + (С —B) + (D-C) + (E-D)+ и т. д.)
или, если обозначить разности принятым ранее способом, согласно.
которому АА = В— А, ДР = С-Ви т. д., то будем иметь
2 = (А - Z') + (B- Z") + {С - Z'") -г (D - Z"") + и т. д.
+ ш(Л+Д.4 + ДР + ДС + Д?+ и т. д.).
396. Если же бесконечно удалённые члены ряда А, В, С, D, Е
и т. д., суммированием которого образуется ряд, подлежащий интер-
интерполяции, не исчезают сами и не исчезают также их первые разности,
то для того, чтобы выразить значение S, нужно будет добавить ещё-
несколько рядов, а именно, столько, чтобы прийти к исчезающим
разностям бесконечно удалённых членов. Пусть попрежнему в ряде
ГЛ. XML ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
А, В, С, D, Е и т. д. член, отвечающий индексу х, равен X, а следующие
.ча ним— X', X", X"' и т. д.; индексу жеж + ш пусть отвечает член Z,
за которым следуют Z'. Z", Z'" и т. д., и пусть предложен ряд
12 3 4
Л, (.4 4-/?), {A + B + Q, (A + B+C+D) и т. д.,
член которого, отвечающий индексу х. есть
Д-Л + Я + С-ЬЯ-г... -f-X,
и И1гдексу х-\-<я отвечает член I, так что
индексам отвечают члены
x + w -\- 1
х -f- (о + 2
х + м + 3
Г =E-[-Z'
V f f t кч I /7/ ¦ nrff ¦ НГ' r I
II Т. Д. и Т. Д.
Ксли теперь разности членов выразятся следующим образом:
АХ' = Х"~Х', АХ" = .\""-Х", ДХ'"=Х""-Х"' и т. д.,
А;Х' -АХ"-АХ', Д4Х" = АХ'"-ЛХ", А2Х"" = ДХ""-ДХ'" и т. д.,
ASX' = А2Х" — А2Х', Д3Х" --- А2Х'" - Д3Х" и т. д.,
то согласно § 377 член - выразится так:
1-5' + Х/ + Х"+Х'"-ЬХ"" + и т. д.
— Z' — Z" — Z'" -- Z""— и т. д.
Х"'-1-ДХ""+ и т. д.)
'" + АгХ"" -L- и т. д.)
+ члЙГ(Ь+ д*х" + Л*х'" + ^Х"" ~ и т- д-)
и т.. д.
397. Как мы уже заметили, достаточно добавить столько рядов,
чтобы дойти до постоянных разностей; если же мы пожелаем брать
эти ряды до бесконечности или по крайней мере до тех пор, пока
не исчезнут разности конечных членов, тогда, поскольку
и т. д.,
всё найденное выражение стягивается и принимает следующий вид:
Е^^ + о.Х'-Ь;;^ АХЧ^т^АТ+ и т. д.
Это выражение представляет суммационный член А + В + С + D + и т. д.;
если же известен суммаиионный член, то интерполяция не пред-
представит никаких затруднений. Можно пользоваться также и этой
формулой: всякий раз, когда она обрывается, она представит любой
интерполируемый член в конечном и алгебраическом виде; если же
она продолжается до бесконечности, то лучше применять первую
формулу, основанную на рассмотрении бесконечно удалённых членов
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ 545
Последняя, если в ней положить х = 0, так что ? будет обозначать
член, отвечающий индексу ш, примет, поскольку S = 0, следующий вид:
Е= A+B+C+D+ и т. д.
— Z' — Z" -Z'"-Z""- и т. д.
+ <•> (A + AA+AB + AC + AD + и т. д.)
+ ^^- (АА + А*А + А*В + А*С + AW + и т. д.)
)
^ = т и т- д-
и т. д.
или, если положить для краткости
<о(<о-1) р <о (со - 1) ((О - 2)
-Т72- = Р -L-dV-^ = т
будем иметь
1 = а,4 -f рд,4 + уД2Л + ЯД3Л + и т. д.
+ .4 +аДЛ + ^Д3Л + уд8^+ и т. д. — Z'
+ 5 +аЛ? + РЛ3? + УД35+ и т. д. —Z"
+ С +аДС + рД2С + уД3С+ и т. д. -Z'"
и т. д.
Число горизонтальных рядов является, правда, бесконечным, но каждый
ряд состоит из конечного числа членов.
Пример
Интерполировать ряд
12 3 4
2.3Л /^ 1 , 2 3 . 4 "\
Пусть член этого ряда, отвечающий индексу ш, равен ь. Так как он
получается суммированием ряда -=¦, —, 7-, -=- и т. д., toZ = —^— ,
^ О Ч: О U> -4— 1
и так как для бесконечно удалённых членов уже первые разности
исчезают, то нужно взять только первые разности. Так как
A = y> B==~i> С==Т' -° = у и т- Д->
то эти первые разности будут
ДЛ=^3, AZ?^4, ДС^ит. д.
Отсюда будем иметь
+ 2^3 +374 +4Г5 +5^6+ и Т- Д-
Ш + 1 @+2 (О + 3 <О -Ь 4
, ' „ !^^ , !__ И Т ТТ
ш+ 2 i»-f 3 («+ 4 о>4-5 ' м"
-•'> Л. Эйлер
546 ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
или, поскольку
Ш A) A) О)
будем иметь
<¦>+ 1 со 4-2 @+3 <0+4
со -(-2 ш + 3 ш+4 ш + 5 А"
Таким образом, если ищется член, отвечающий индексу ¦=- , то он
будет
или
2 =
так что
или
А так
2 "-
*Е
2 Ь
как
1
2
t
2
4
1
4
1
4
2-5
t
4-5
1
4
3
5
!
3-
4
6-
1
6
2
7 4-!
7 8-'
1
8
ь
) 5
Э 1
1
10
1
3
4
t
• 11
!
011
1
12
у
1
6-
i:
- и
i
13
4
т.
+
i 9
5 11 И Т. д.
»
д.
и т. д.
то будем иметь
так что
S = 212- -'-.
о
398. Перейдём теперь к интерполированию рядов, члены которых
составлены из сомножителей. Пусть предложен ряд наиболее общего
вида
12 3 4 5
А, АВ, ABC, ABCD, ABCDE и т. д.
и пусть его член, отвечающий индексу ш, равен 2. Следовательно,
1? будет членом, соответствующим индексу ш в ряде
12 3 4
\А, {1А + 1В), {1А + 1В + 1С), {IA + IB + IC + ID) и т. д.
Если мы предположим, что бесконечно удалённые члены этого ряда
исчезают и что член ряда А, В, С, D, Е и т. д., отвечающий индексу ш .
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ 547
есть Z, а следующие члены, отвечающие индексам to-f-1, «>-j-2, u>-f-3,
ш+4 и т. д., суть Z', Z", Z'", Z"" и т. д., то по доказанному выше
и т. д.
_1Z'-1Z"-1Z'"-1Z""- и т. д.
Переходя к числам., будем иметь
?_? _Ё. -?. JL
Ъ'" Z"' Z'" ' '//'" * и Т; Д-
399. Если же логарифмы бесконечно удалённых членов ряда А, В,
С, D, Е и т. д. не исчезают, но имеют исчезающие разности, то, как
мы видели,
1? = Ы+1Я + 1С + и т. д.
-IZ' — 1Z"-IZ"'~ и т. д.
В . ,С , -.1)
В . ,С , -.1) . \
j + lw-i-l^-'r и т. д. j .
Переходя от логарифмов к числам, будем иметь
Z" Z- z""~ • и т-
Если же лишь вторые разности логарифмов бесконечно удалённых
членов исчезают, то будем иметь
D+ и т. д.
— \Z' — \Z" — \Z"' — \Z""— и т. д.
+ »(M + l5 + lg- + lg + l?+ и т. д.)
+ 1.2 \}а 11^ + 1^ + 1^+1^+ И Г.
Из этих формул получим
х
X -777 * И Т. Д.
Егли со < 1, то более удобно эта формула выразится следующим образом:
л 1*2 * 1 -^ пшB-ш) г> 1>2 /^шB—(о)
¦" == ц)A-ю) ' о)A-ш)' " ¦ • iu(i-<n) ~~ " И Т. Д.
В 1-2 С 1-2 Z' Z) Ь2 Z"
400. Применим эту интерполяцию к ряду
12 3 4
а а(а + с) а(а+с)(а + 2с) а (а + с) (а + 2с) (а -)- Зс)
2с~)'
его сомножители образуют ряд
2 3 4
а + с а + 2с а + Зс
Ь ' Ь+с' ( +2с '
И Т. Д.,
35*
548 ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
у которого логарифмы бесконечно удалённых членов равны нулю.
Следовательно, будем иметь
„ а — с + са> „, а + см
Z== , , Z =5— и т. д.
Ъ — с + cut' Ь + сю м
Если положить член этого ряда, отвечающий индексу ш, равным -,
то согласно § 398 будем иметь
(а + с) (?) + с + с») (а + )( + с + с)
' И-Т" Д*
сю) ' (Ь + с)(а+с + сю) ' F + 2с)(а-+- 2с + сю)
Если, например, мы пожелаем определить член, отвечающий
1 1 -
индексу — , то, положив ш = —, будем иметь
v аBЬ+с) (а + с)B& + 3с) (а + 2с) B6 +5с)
6Bа + с) F + с)Bа + 3с) (о + 2с) Bа + 5с)
Пример
Интерполировать ряд
1 Ы$ 1-3-5 1 -3-5-7 1-3-5-7-9
И
И Т. Д.
2-4-6 ' 2^46^8 ' 2-4-6-8-10
Так как здесь а — \, 6 = 1 и с = 2, то если член, отвечающий
какому угодно индексу ш, положить равным Е, будем иметь
У __ 1 B + 2о>) 3 D + 2о») г 5F + 2о>)
2A+2<о) ' 4C + 2u>)L* 6E + 2») ' 8G+2<о)
и т-
Если члены, отвечающие индексам ш + 1, ш + 2, ш -f 3 и т. д., обозна-
обозначить через Е', ?", S'" и т. д., то
v, _ 1 + 2а> v
~" ~ 2 + 2(о ' -1-
v/, 1 + 2@ . 3 + 2@ „
2 + 2@ 4+2@ '
1 + 2(i> 3 + 2<о 5 + 2<о
2 + 2<о 4 + 2@ 6 -1- 2<о
Таким образом, если мы пожелаем определить член, отвечающий
1 1 -
индексу у, то, положив ш=— , будем иметь
1-3 3-5 5-7 7-9 9-11
И т. Д.
2-2 4-4 6-6 8-8 10-10
Но раньше *) было показано, что
тс — 2- — — 6-6 —
где тс есть полуокружность круга радиуса 1.
Поэтому промежуточные члены, отвечающие индексам -^ ,-s-,-5-
и т. д., можно выразить через полуокружность круга следующим
«Введение», т. I, гл. XI.
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ 549
образом:
¦хх 13 5 7
Индексы: у , —, — , -^
тт 2 2 2 2-42 2-4-6 2
Члены: —, — • — , .—^ • — , ^-^ • — и т. д.
те ' 8 те ' 3-0 те 3-O-V те
Эту же интерполяцию нашёл Баллис в своей «Арифметике беско-
бесконечных» 2).
401. Рассмотрим теперь ряд
12 3 4
а, а(а + Ь), а (а-\-Ь) (а + 2Ь), а {а + Ъ) {а + 26) (а + 36) и т.д.,
сомножители которого составляют арифметическую прогрессию
а, (а+ 6), (а +26), (а + 36), (а + 46) и т. д.
Его бесконечно удалённые члены составлены таким образом, что раз-
разности их логарифмов исчезают. Так как Z—a — 6 + Ъа
и
Z' = a + 6o>, Z" = a + 6 + 6co, Z'" = а + 26 f Ьш и т. д.,
то, если И есть тот член предложенного ряда, индекс которого
равен ш, будем иметь
т ,
Нандя ото значение, обозначим через to какое-либо дробное число,
меньшее единицы; тогда следующие члены, отвечающие индексам
1 + 01, 2 + со, 3 + со и т. д., определятся следующим образом:
i:'" = (а л- 6to) (a + 6 + Ьш) (а + 26 + 6m) L
п т. д.
Таким образом, если мы пожелаем определить член, отвечающий
1 1 _
индексу -^-, то, положив ш=у, будем иметь
i i i -i i i
'(л -iJ (a + lJ(a ¦г2Ь)'г (a J- 2Ь) ~ (а + ЗЬ) 2
_; « .4.
так что, возведя в лвид2)ат, получим
Ц T до
f \ "N/" -Э'Ч -* l?"\r O^v ^^
x (а + 2Ь)(а+8Ь)^.ит _
J) J. Wall is, Opera mathematica, т. 1, стр. 355. [Г. К.]
550 ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
402. Положим, что в рассмотренном выше ряде (§ 400)
12 3 3
±
1
член, отвечающий индексу у, равен б; тогда
и т. д.
Положим теперь
тогда будем иметь
/==а, g=a+—6 и h = b;
а(а + Ъ) (- , ~,V-_LJ~L, - и Т Д.
(¦^00+40
так что ?2 = а9 и XI = ]/~аЬ. Поэтому, если положим, что в ряде
12 3 4
а, а(а + Ь), а {а + Ь) (а + 26), a (a +6) (a + 26) (a + 36) и т. д.,
член, отвечающий индексу -„- , равен Е, а в ряде
12
о а(а
и т. д.
член, соответствующий индексу -- , равен 9, то будем иметь
Так как здесь член ряда числителей, соответствующий индексу
Y1 равен 2, то, если положить, что член ряда знаменателей, отвеча-
1 S S2
ющий индексу у, равен Л, будем иметь 6=^5 но 6 = —, откуда
? = -^-, т. е. 2А = а. Эти теоремы неплохо иллюстрируют интерполя-
интерполяцию такого рода рядов.
Пример 1
Пусть предложен следующий подлежащий интерполяции ряд:
1, 1-2, 1-2-3, 1-2-3-4 и т. д.
Так как здесь a = 1 и 6 = 1, то, если положить равным S член,
отвечающий индексу w, будем иметь
* ^ "d ° '* ¦ * 'J . и Т Д
3 + ш 5 + о>
" ~ 1 + «о 2 + ш 3 + ш 5 +
Здесь всегда можно принять, что ев есть дробь, меньшая единицы;
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ 551
и тем не менее интерполяция распространяется на весь ряд. Действи-
Действительно, если обозначить через ?', 2", ?'" и т. д. члены, отвечающие
индексам 1 + to, 2-fo>, 3 + ш иг, д., то будем иметь
Г = A + «,)?,
и т. д.
Таким образом, член предложенного ряда, отвечающий индексу
v, будет
1 i i i L L
2 n! 91" o 2 oil г2
—1_ . Lj?_r.?-4- • и т. д.
Is1 2* З2
ИЛИ
v* 2-4 4-6 6-8 810
зТз'б^'т^'эТ' ит*
Отсюда, так как
_2 2-2 4-4 6_-6^
будем иметь
Следовательно,
1 3, 5 7
индексам у, yj, у, у
T^-iT 3 Y-к 3~5 1/"л 3-5-7 l^i»
оудут отвечать члены -у- , у • -у- , ^ - -у- , ^тг " "~2~ и т' Д-
Пример 2
Пусть предложен следующий подлежащий интерполяции ряд
12 3 4
1, 1-3, 1-3-5, 1-3-5-7 и т. д.
Так как здесь а = 1, 6 = 2, то если положить равным Е член,
отвечающий индексу ю, будем иметь
? = J: 1?- . f ± - i -L - и Т д
1 + 2@ 3+2@ 5 + 2@ - rt '
следующие же по порядку члены будут составлены так:
S'" = A + 2ш) C + 2ш) E + 2ю) S
и т. д.
552 ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
Таким образом, если мы пожелаем определить член, отвечающий
индексу ^ > и обозначим этот член через -, то будем иметь
v _ Y^7i УъЛ У^7 \/J^j
2 г ~б~" ' ~8~ и т# д*
Следовательно,
„_ЬЗ 34 о,7 И _ 2
~ 2^2 - 4^4 " 6^6 " 8^8 И Т* Д" ~ ~И '
так что будем иметь Е = 1/ — и
индексам -, -, ~, - , и т. д,
— , 2- у — , 2-41/ —,2-4-6 I/ — и т. д.
Если же первый ряд и этот помножить друг на друга, так что
будем иметь ряд
12 3 4 5
Г, 12-2-3, l-2-3J-5, Г.2-3--4-5-7, Г-2-3'-4-52-7-9 и т. д.,
то его член, соответствующий индексу -^, будет равен —~- ¦ 1/ — = ——,
в чём легко убедиться, если этому ряду придать вид
12 3 4
1-2 1-2-3-4 1.2-3-i-5-6 1-2-3-4-5-6¦7-8
— > —2г > 2^ , а1 И Т- Д-
Очевидно, что член этого ряда, отвечающий индексу — , равен —^
Пример 3
Пусть предложен следующий, подлежащий интерполяции ряд:
12 3 4
JL п (" ~ 1) га(га-1)(п-2) п(п-1)(га-2)
Т ' ~\-i ' 1-2-3 ' 1-2-3.i
и т. д.
Рассмотрим по отдельности числители и знаменатели этого ряда.
Так как числители суть
12 3 4
п, п{п—1), /г (га—1) (и—2), и (а—1) (и—2) (га —3) и т. д.,
то здесь а=п и 6= — 1, так что член этого ряда, отвечающий индек-
индексу о), равен
д — со п — 1 — to га — 2 — со
Но это выражение не даёт ничего достоверного, так как множители
его становятся отрицательными. Поэтому преобразуем предложенный
ряд, полагая для краткости 1-2-3. ..n = N, в ряд
2 3
1-1-2-3.. Лп- 1) ' 1-2-1.2-3...(л-2) ' 1-2-3-1-2-3...(л-3)
II Т. Д.
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ 553
Знаменатели этого ряда состоят иу двух групп сомножителей. Одна
составляет ряд
12 3
1-2-3... (тг-1), 1-2-3... (я — 2), 1-2-3... (га —:;) и т. д.,
член которого, отвечающий индексу ш, совпадает с членом ряда
12 3 4 5
1, 1-2, 1-2-3, 1-2-3-4, 1-2-:;-4-5 и т. д.,
отвечающим индексу п— со и равным
1 -j- л"^> ' 2-hn-«> ' 3 + л - о И Т" Д-
Пуеть член этого ряда, отвечающий индексу 1—ш, будет ранен в
Тогда
H = i_^r -_.:»— . J.il— и т. д.
2 — « 3 — (в 4 — to M
н так как индексам 1—со, 2—со, 3 — со и т. д.
отвечают члены 9, B—со) в, B—со) C — со) в и т. д.,
то индексу тг—со будет отвечать член
B — О)) C—CU) D-Со) . . . (И —СО) О.
Вторая группа сомножителей, входящих в знаменатель, образует ряд
B3 4
1, 1-2, 1-2-3, 1-2-3-4, 1-2-3-4-5 и т. д.
Если член его, отвечающий индекс}- со, положить равным -\, то будем
иметь
л\ — (О ,^@ (ч1 —(О o(J> О^—(tl L^
После того как ото найдено, положим, что член предложенного ряда
п п(п-1) п(п-\)(п-2) ге_(ге-1)(л-2)(п-3)
отвечающий индексу со, равен 12; тогда будем иметь
V = К
~" Л B - «.) C - <«) ('* - «>) ... (п - »>) Н "
Но
jV 2 3 4 ri
B — и») C — ю) D — io) ...(rt — m) 2-ю ' 3 — <o ' 4 — Ю л —
н 1-2 2-33-4
Л " Т Д
Отсюда находим, что искомый член, отвечающий индексу со, будет
„2345 п
2 — <о 3 — «о 4 — ш ' 5 — ш**' п —
- X
(Н-<о)B-<о) B + «о)C-о) (З-ЬсоИ*-»)
X j^^ • jj^ • -^ И Т. Д.
554 ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ
•Следовательно, индексу -~- будет отвечать член
2
1.4 6 8 10 12 2га 3-3 5-5 7-7 9-9
,Т ' У * Т " ? " И ' " ' 2га-1 ' 2~Л ' 4^6
который приводится к виду
4.6-8-10... 2га ^
зЛГУ1Г.77Bп~-~1;Г ' "»
т. е. будет равен
2 2-4-6-8-10...2га
и т. д.
"is 1-3-5.7-9...Bп-1)"
Если положим п=2, получим такой подлежащий интерполяции ряд:
0 12 3 [4 5 6
1, 2, 1/0, 0, 0, 0 и т. д.;
1 Ifi
член его, отвечающий индексу -=• , будет равен 5-.
Пример 4
Пусть ищется член, отвечающий индексу — в ряде
0 1 ^ 3 4
1 Ъ1 1-1-3 1-1-3-5
+ + И Т
2-4-6-8
Этот ряд получается из предыдущего, если положить л= —
Поэтому искомый член S будет равен
2 2.4-6-8...2п
1-3-5-7... Bга- 1)
при п — — . Положим, что при п = —
2-4-6-8... 2л
1-3-5-7. ..Bге-1)
Тогда 0 будет членом, отвечающим индексу — в ряде
2 2-4 2-4-6 2-4-6-8
Т ' ГГз > 1-3-5 ' 1-3-5-7 И Т# Д"'
по предыдущему он будет равен —. Поэтому искомый член предло-
предложенного ряда, отвечающий индексу -~-, будет равен 1. А так как,
если член этого ряда, отвечающий какому-нибудь индексу о>, есть 2,
следующий за ним будет S'=—-—?, то предложенный ряд следу-
ющим образом интерполируется членами, лежащими посредине:
Индексы:
14 ^ 7
П4 О Q
и> Т' а> Т' ^' Т' d' Y
Члены: 1, 1, -*-, О, "Д^1 , 0, д -' 4 •' б ' ° и т" д'
ГЛ. XVII. ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ РЯДОВ 555
Пример 5
Пусть п будет каким-либо дробным числом. Найти член, отвеча-
отвечающий индексу ш в ряде
0 12 3 4
. п п(п—1) п(п— 1)(ге — 2) п{п — \){п— 2)(п — 3)
' Т ' 1 • 2 ' ' 1^2~И ' 1-2-3 И Т" Д-
Если выражение
2 — и) 3 — о> 4 — с
сравнить с § 400, получим а = 1, с = 1, 6 = 1 —oj и, положив и вместо
<», будем иметь
1 2 3 л_1A — <о + п) 2B — а> + ге)
1_ш 2 —ш 3—ш л —«в A-<о)A + п) B —
так что искомый член, отвечающий индексу ш, который мы положим
равным 2, будет
A + а») B - <») B + »>)C-с«)
)()( + )()И ' Д' 1-2 " 2-3 Д"
и потому
1.A +л) " 2-B + ге) 3-C + п) Тс Д-
Таким образом, всякий раз как п — ш будет целым числом, значение
? можно выразить рационально.
Так, если п = ш, то 1=1,
если л = 1 + со, то Е = и,
„ „ л (ге — 1)
если п = ^ + (о, то ii = —¦^-~9— i
если п = 3 + (о, то 1 = 1.2-3 *
Если же to — п будет целым положительным числом, то всегда будем
иметь 2 = 0.
ГЛАВА XVIJ1
О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К РАЗЛОЖЕНИЮ ДРОБЕЙ
4(К$. Метод разложения какой угодно предложенной дроби па
простейшие, который мы изложили во «Введении» '), хотя сам по себе
достаточно прост, можно при помощи дифференциального исчисления
упростить так, что во многих случаях применение его потребует го-
гораздо меньшего труда. Изложенный шшо метод часто наталкивается
на довольно большие препятствия, когда вместо пои ш<ч;тного колг-
чества приходится подставлять значение, которое определяется из
какого-лргоо множителя; особенно затруднительно это в тех случаях,
когда знаменатель разлагаемой дроби плюет неопределённую степень.
В этих случаях бывает прежде всего очень трудно выполнить деление
знаменателя на найденный уже его множитель. Если же прибегнуть
к помощи дифференциального исчисления, то можно обойтись без этого
действия благодаря тому, что по нужно будет узнавать тот второй
сомножитель знаменателя, который получается от его деления на уже
найденный множитель. Это преимущество достигается применением
метода, с помощью которого определяется значение дроби, числитель
и знаменатель которой в некотором случае вместе исчезают. В этой,
главе мы покажем, каким образом этот метод даёт возможность удоб-
удобнее и проще производить разложение дробей, о котором выше уже
говорилось, и на этом закончим настоящую книгу, в которой мы изла-
излагали применение исчисления к анализу.
р
404. Пусть предложена какая-либо дробь —, числитель и знаме-
знаменатель которой суть целые рациональные функции количества х.
Прежде всего нужно посмотреть, не имеет ли х в числителе Р
той же степени, что в знаменателе или более высокой. Если этот
Р
случай имеет место, то дробь -—- содержит "в себе целую часть вида
Л + Вх-\-Сх% + и т. д., которую можно будет найти с помощью деле-
деления. Оставшаяся часть даст дробь, которая будет иметь тот же зна-
знаменатель, но её числитель будет некоторой функцией R, степень кото-
которой будет ниже, чем степень знаменателя Q, так что теперь нужно
будет выполнить разложение дроби —. Впрочем, нет необходимости
(.Введение», т. I, гл. И. [Г. К.]
ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 557
знать этот новый числитель R, ибо те же простые дроби, которые
дала бы дробь ~ , можно найти и непосредственно из предложенной
дроби, как мы отмечали уже раньше.
Р
405. Итак, помимо целой части, если дрооь — её содержит, нужно
найти простейшие дроби, знаменатели которых являются либо двучле-
двучленами вида f + gx, либо трёхчленами вида / + 2xcos<p • j//g + gx%, либо
степенями таких выражений, вторыми, третьими или более высокими.
Все эти знаменатели будут множителями знаменателя Q, так что
каждый множитель количества Q даст простейшую дробь. Так, если
знаменатель Q имеет множитель f-\-gx, то из него получится прос-
простейшая дробь вида
'f + gx
Если в знаменатель входит множитель (f-rgx)'*, получатся две дроби
(/4- gx)*+ /+gX ¦
Если же знаменатель содержит множитель третьей степени
то из этого множителя получатся три дроби
и т. д. Если же знаменатель Q будет иметь трёхчленный множитель
вида /2 — 2fgx ccs ср + g'x3, то из него получится простейшая дробь
такого вида:
а если в нём будут два равных множителя этого вида, т. е. если
в него входит множитель (/2 — 2/рт cos 9 -\-g2x")~, то отсюда возникнут
две дроби
(/- - ijgx ens 4 + g*x*)i ^ 7*-2fgx+gW '
Кубический множитель вида (f — 2fgx + g'x*K даст три простейшие
дроби и т. д.
406. Итак, разложение какой-либо дроби —- производится следу-
следующим образом. Сначала ищутся все множители знаменателя Q, как
простые^ т. е. двучленные, так и трёхчленные. Если среди них будут
равные, их нужно хорошо заметить и считать за один. Затем для
каждого из этих множителей знаменателя нужно найти простейшую
дробь либо тем способом, который был прежде изложен, либо тем,
который мы сейчас будем излагать и которым можно по произволу
пользоваться вместо первого. После этого сумма всех этих простейших
дробей вместе с целой частью, если предложенная дробь - - содергкит
таковую, исчерпает значение предложенной дроби. Разыскание множи-
множителей знаменателя Q мы здесь будем считать как бы известным, по-
поскольку оно зависит от решения уравнения Q--0. Поэтому здесь мы
558 ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
изложим метод, при посредстве которого для каждого данного мно-
множителя знаменателя с помощью дифференциального исчисления можно
определить происходящую из него простейшую дробь. А так как
знаменатели этих простейших дробей уже имеются, то нам предстоит
показать, как находить числитель каждой дроби.
407. Итак, положим, что знаменатель Q дроби — имеет множи-
множитель / -f- gx, так что Q = (/ + gx) S, и что другой множитель S больше
не содержит множителя f + gx. Пусть простейшая дробь, происходящая
Ж V
от этого множителя, равна j——, а дополнение имеет вид —,, так что
Таким образом,
так что
будем
V
s
Ж
t+g
иметь
Р
~ Q
, v _
х + S ~
91
f+g*
Р
Q
U
P-&S
А так как V есть целая функция от х, то необходимо, чтобы Р—%S дели-
делилось на f-\-gx; поэтому, если положить / + gx = 0 или х = ^-^-, то выра-
жение Р — %S будет исчезать. Пусть х— . Тогда, поскольку
Р — 315 = 0, будем иметьЭД = —г , как это было найдено ранее. Но так
как S=
*~^ , то будем иметь
если всюду положить / + gx = 0 или х — -—-. А так как в этом случае
как числитель, так и знаменатель Q исчезают, то на основании того,
что ранее было сказано о разыскании значения таких дробей, будем
иметь
,,« __(f+gxydP + Pgdx
Л dQ '
оложить х = —— .Но, по
о
будем иметь
если здесь положить х = —— .Но, поскольку в этом случае (/ -j- gx) dP — 0r
о
А- dQ ¦
Таким образом, значение % числителя легко находится с помощью
дифференцирования.
408. Итак, если знаменатель Q предложенной дроби имеет простой
множитель f-\-gx, то от него происходит простейшая дробь
Ж
ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 559
где 31 = jq- после того, как сюда будет подставлено вместо х
значение —- из уравнения f-\-gx — O. Таким образом, теперь нет
необходимости разыскивать, как это мы делали прежде, второй со-
сомножитель S знаменателя Q, который получается от деления Q на
f + gx. Значит, если Q не представлено в виде произведения множи-
множителей, то мы можем обойтись без этого деления, особенно тягостного,
если х в знаменателе Q имеет неопределённые показатели степени,
"Р dx
ибо значение 3t получается из формулы -Ч^- • Если же знаменатель Q
уже будет разложен на множители, так что значение S отсюда сей-
сейчас же находится, тогда предпочтительно пользоваться другим выра-
р
жением, которое мы нашли, именно выражением 31 = ¦--, в котором рав-
равным образом нужно положить х = —— . Таким образом, для разыскания
значения 31 в каждом случае можно применять ту формулу, которая
представляется более удобной. Применение этой новой формулы мы
поясним несколькими примерами.
Пример 1
Пусть предложена дробь , х7; требуется определить простей-
простейшую дробь, происходящую от содержащегося в знаменателе множи-
множителя 1 -+- х.
Здесь Q=l-\-x1'1, и, хотя известно, что знаменатель имеет мно-
множитель 1-\-х, однако, если мы пожелали бы, как этого требует пер-
первый метод, разделить на него, мы получили бы
S^i-x + x* — х3-\ 1-х1'.
пР dx
Поэтому удобнее будет воспользоваться новой формулой % = ,>„- . Так
как здесь /=1, g=l и Р — х", то, поскольку dQ— Пх1" dx, получим,
ха 1 1
что % = -у7 1в- = -jj^r ПРИ ж=—1, откуда 31=—— и простейшая
дробь, происходящая от входящего в знаменатель множителя i 4-х,
будет
|
17A +ж) •
Пример 2
хт
Пусть предложена дробь j-n; определить простейшую дробь,
происходящую от содержащегося в знаменателе множителя 1 — х.
Так как предложенный множитель есть 1 — ж, то / — 1 и g= — 1.
Знаменатель (? = 1 — х2П даёт dQ——2nx'n~1dx, откуда, поскольку
Р — хт, получаем 31 = _ 2пх*п-1' "^ если положить из уравнения 1 — х — О
х = 1, то получим 31 = г- , так что простейшая дробь будет
1
In A -х) '
560 ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Пример 3
хт
Пусть предложена дробь --_, кг.-, п', определить её простейшую
дробь, происходящую от входящего в знаменатель множителя 1— х.
Здесь /=1, g=—I, P = xm, Q = l-4xk + 3x" и
Следовательно,
и, положив х=1, будем иметь % = j _ . Итак, простейшая дробь,
происходящая от этого входящего в знаменатель множителя 1 — х,
будет
I
Dft — Sn) (l —x) '
409. Положим теперь, что дробь —=г- имеет в знаменателе Q мно-
множителем квадрат (f + gxJ; тогда происходящие от неё простейшие
дроби суть
(/ + gxf ~*~ f + gx
Пусть Q= (f + gx)-S, дополнение равно -у-, так что
V_ _ Р_ _ Ш S3 „ _
Так как V есть целая функция, то необходимо, чтобы Р
— 58 (f-\-gx) S делилось на (f + gxJ; а так как S больше не содержит мно-
р
жителя / + gx, то также и выражение — ЭД — 33 (/ + gx) будет делиться
_ *
на (Z + ga;K, так что при /-J-g? = O, т. е. при х = ——, но только само
б
Р
оно, но и его дифференциал d - -^ SSgrfa; будет исчезать. Положим
о
-/ - ах Р
поэтому х = —— ; тогда из первого уравнения оудем иметь эд,==—^-,
1 71
а из второго 23 == —,- d ¦ —г ; найдя эти значения, получим искомые
дроби
% , S3
Пример
Пусть предложена дробь ; , знаменатель которой имеет
множитель A — а;J; найти простейшие дроби, происходящие от него.
Так как здесь /=1, g = _l, Р = жт и Q = 1 — 4ж3 -| За;4, то будем
иметь
Р mi1"-' da: |- 2 (m - 1) ж d-c + 3 (m - 2) ж1"*1
-Ь 2х + Зх* И d ' S
ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 561
Следовательно, положив х=1, будем иметь
откуда получим искомые дроби
1 ^ 4 - 3m
6A -а;)'2" " 18A -а-) '
410. Если знаменатель дроби — имеет три равных множителя, т. е.
если (? = (/ + gxKS, то пусть простейшие дроби, происходящие от этого
кубического множителя (f + gxK, суть
31 , 5В^ а
Р V
а дополнение этих дробей до предложенной дроби — пусть будет - ;
тогда
Поэтому выражение -=—51 — 58 (/ + ?*)•—E(/ + ga;)!! будет делиться на
(/ + ga;K; следовательно, если положить f + gx = O, т. е. 2 =—-, то не
только само это выражение, но также и его первый и второй диффе-
дифференциалы становятся равными нулю. Таким образом, при х = — будем
иметь:
d ¦ J-33g dx-2&g dx (f + gx) = 0,
Из первого уравнения будем иметь
Из второго будем иметь
Наконец, из третьего получим
р
411. Пусть вообще знаменатель <^ дроби-имеет множитель
так что Q=(f + gx)nS. Положим, что дроби, происходящие от этого
множителя (f + gx)", суть
до тех пор, пока не придём к последней, знаменатель которой есть
gx. Рассуждая, как прежде, найдём, что выражение
(/ g)(/ g)(/ ga;)l-g(/+ga;L- и т. д.
36 Л. Эйлер
562 ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
должно делиться на
g,z)";
следовательно, как оно само, так и все
его дифференциалы до порядка п — 1 должны исчезать при ж= —' . Из
этого мы найдём, что
% ах о
1
*-U&I*d's>
р
s'
и т. д.,
где всюду положено х = ——
Следует помнить, что дифференциалы выражения — нужно брать
раньше, чем вместо х подставлять -J-; действительно, я противном
-1
случае количество -; перестанет оыть переменным.
412. Таким образом, этим способом числители %, 58, (?, 5) и т. д.
выражаются проще, чем по способу, изложенному во «Введении», ы часто
по этому новому способу также и значения их находятся легче. Для
того чтобы это сравнение можно было произвести легче, определим
значения букв ?(,ЯЗ, 6,® и т. д. по первому способу.
Положив ?= — —
тогда
тогда
тогда
тогда
» = f.
,v '
Оставляя ж переменным, положим:
/ ~г gx * '
f -г g*
и т. д.
413. Если же у знаменателя Q дроби _ не все простые множители
действительны, тогда нужно попарно соединить те множители, произ-
произведение - которых является действительным. Пусть, таким образом,
ГЛ. -XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 56Л
/! — 2/gxcos ®-\-g'2x~ есть множитель знаменателя Q. Если положить
его ранным нулю, получим два мнимых корня
откуда оудем иметь
ж" — ^ cos по ± ——-—— sin по.
Положим, что Q~(f'--2fgxcosf-\-g^x**) S, и пусть S больше не делится
на /3 — 2fgxcos 9 + g^x'1. Пусть дробь, происходящая от этого множи-
множителя, есть
% + ах
Г - ~2fgx cos <f + g2x* '
Р V
а дополнение её до предложенной дроби - равно -^; тогда
V л
~ /- - 2~fgi. c
/- - 2fgi. cos f + g'x2 '
p
откуда Р — {% + ax) S и потому ^ — *& — ax также делятся на
f- -2fgx cos cp+g-x2. Следовательно, -, ~% -}- ax исчезнет, если положить
/:- 2fgx cos 'f + g'2x: — 0, т. е. если положить либо
x = -- cos <p -| sin <p,
либо
= — cos ф l=r- sin
414. Произведём в каждой из целых функций Р и S одну и ту же
подстановку. Так как вместо каждой степени х" количества х нужно
подставить бином
хп = у cos щ ± Л
то сначала положим в обеих функциях ~ cosncp вместо х"; пусть после
Ь
этого Р перейдёт в ^5, a S в <&. Далее, положим в обеих функциях
/"
!р вместо хп; |пусть после этого Р перейдёт в р, а б1 в §; здесь
нунчио иметь в виду, что до этих подстановок нужно полностью раз-
развернуть функции Р и .S, так что, если бы они состояли из множителей,
то после выполнения умножения их не останется. После того как эти
значения *>$, р,<3,% будут найдены, функция Р, если в ней положить
х— '- cos 9 ± —/•—¦-'' перейдёт, очевидно, в $ ± -. _ , а функция Л'
в 6 ±-^~ . Так как -, — $С — ях или Р—-($ + аг) 5 в том и другом
случае должны исчезать, то будем иметь
JG*
564 ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Ввиду наличия двойного знака получаем два уравнения
р = Щ + Ув coB9+°-lf- sin*.
Исключая из них 91, получаем
®*-в«Р = -в'F:+в1)в1п?;
так что будем иметь
Исключая затем sin<p, будем иметь
Следовательно,
% — -
415. Так как
с_ V
/2 - -ifgx cos с
и так как в случае, если
как числитель, так и знаменатель исчезают, то в этом случае будем
иметь
,-, dQ : dx
2g*x — 2. g cos f
Положим теперь, что, когда повсюду будет сделана подстанонка
х" = -„- cos/г<р, функция ¦— перейдёт в О; если же подставить
хп = ~п sin ny, то она перейдёт в ц. Тогда ясно, что если полошить
to
z= — ccs ф-t — sin ф. то функция т- перейдёт в С. j ~—¦. Сле-
е gy -I dx ' у -1
довательно, функция S перейдёт в
± 2fg sin f : Y ~ I *
Так как S—<& ± f , то, если вместо х положить то же значение,
будем иметь
± ~-j = ± 4^-sin <?—2/gs sin
Следовательно, будем иметь
ifg sin> И 2/g'sin ? '
ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 585
Подставив эти значения, получим
_ If- (pq_+ <PjQ)
91 = 2/?(^
?2
416. Таким образом, мы получаем удобный способ для определе-
определения простейшей дроби для какого-либо мпожителя второй степени;
так как в этом способе при вычислении сохраняется знаменатель, то
мы избегаем деления, с помощью которого нужно было бы определять
значение буквы S и которое часто представляет немалые трудности.
Итак, если знаменатель Q дроби -= имеет множитель /2 — 2/g:rcos9 +
-\-g"'xi, то простейшая дробь, происходящая от этого множителя, мы
полагаем её равной
'Д + or
j^~'2f~gx cos7"+ g*i* '
определится следующим образом. Положим х = — cos о и вместо каж-
дой степени хп переменного х напишем --„cos/up. Пусть при этом Р
о
перейдёт в Ц?, а функция -^; в D,. Затем полагаем там же ;r=--sin^;
тогда для какой-либо степени будем иметь х" = ^ sin ncp, и Р перейдёт
ь
в р, a -jЛ в q. Когда, таким образом, найдены значения букв 5E, ?},
р, q, количества % и а определятся следующи^м: образом:
Таким образом, дробь, происходящая от множителя f—2fgx cos 9 + g2x8
анаменателя <?, будет
(?l2 + q2) (/2 - 2/i'x cos ? + gV)
Пример 1
Пусть предложена дробь —,,-~п > знаменатель которой а + Ьхп
имеет множитель f — 2fgxcos 9 -f g2x2. Найти простейшую дробь, отве-
отвечающую этому множите ню.
Так как здесь Р = хт и Q—a + bx": то
dx
откуда
—1)?.
5<*>6 ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Из отих уравнений
, = ^тйрг sin (n-тге--1)»
$D + Vq = ^Ьтрг cos (л - m -1) <р.
Поэтому искомая простейшая дробь есть
2»п-"'(/ sin if-sin (и — те— 1) <р + gx cos(n — m — 1) ер — / cos и-cos (re — m — 1) e)
ИЛИ
2»»-м (до cos (re _ m „_ j) о — / cos (re — m) y)
Прим е р 2
Пусть предложена дробь -^-——^— , знаменатель которой, пусть
имеет множитель f—2/gxcos 9 +g''x~; найти простейшую дробь, про-
происходящую от, него.
Так как Р = 1 и () = ахт + 6.гт+"; то
^ ¦= max + (m -f я) bx"ltnl,
fn
так что, положив хп — -й cos n<p, мы, поскольку Р — х°, будем иметь
$=1 и
О- = -^гйг cos (и — 1) <р + -—-^гь-тсп cos (m + и - 1) 9,
а положив ?"== ^-„sin «9> будем иметь р = 0 и
Ц = -^iri=r- sln С"»-1) 9 + „.«.Л sin (m +rc-1)9-
Следовательно,
С" + Ч' = -^tij— + —1-^пЫ* cos re? + ^Т^Т) •
Поскольку. /" — 2/gx cos х-\-д~"х° есть делитель выражения а-\-Ьх71,
будем иметь
а-\- т„- cos «9 = 0 и -~5ШП(р = 0, откуда а-=-~ .
Следовательно, будем иметь
m . _ та/1"-1 •¦ , ,ч
„„.,...-. -sin(m + «-
= ~~n-7lT=T ((т + п) sin (m -\- к—1) 9—»г cos щ ¦ sin (яг — 1) о) =
— ~m"rii=i in cos w? • sia (m — 1) 9 + (w + w) sin /19• cos (m — 1) 9)
ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 567
q= mni-i ({m + n) cos {m + n — l)v — m cosntp-cos(m —1) 9).
о
Пли так как f—'2fgx cos 9 + g'x' есть также делитель выражения
ах-(-te""", то будем иметь
а
-1 JflB + n—i
r cos (/га — 1) » + -^ттнч cos (/га + п— 1) сь = О
—j^zi sin (m — l)®-\- -^m—,— sin (m -j- n—1) <? — 0,
откуда
или
Q= —n°_t cos (нг—1) <p и q = ~i— sin (m —1) <p.
Из этих значений получаем искомую дробь
2gm (/ cos m<& — gx cos (m — 1) <р)
па/-1 (/2 - 2/^ж cos ? + g2x2) '
Эта формула вытекает из первого примера, если положить т отрица-
отрицательным; тогда не было бы необходимости рассматривать данный слу-
случай особо.
Пример 3
Пусть знаменатель дроби —r-i-w-—rn имеет множитель
у " a-rbxn-]- си,1
fr—2fgx ccs cp -f g'z1',
найти простейшую дробь, происходящую от этого множителя.
Если f—2fgx cos 9 + g2x2 есть множитель знаменателя a -j- bx" -\- cx'-"}
то, как было показано выше,
а + -4 cos пу + С-ш cos 2п'-о — 0 и ~ sin щ -f -4г sin 2«'f = 0.
Итак, Р = хт л <2 = с? + Ьж" + сх"п\ будем иметь
d? 1+ 2лсаг"-1
? + 2лсаг
откуда находим:
jm jm
$ = -—- cos /га<р и р = ^ sin /ге«р,
Ь Ь [
0 = ^-008 (/1-1)^ + ^=1-сое Bп-1) ?,
q - Щ^- si n (в-1) ? + ^r,- sin Bв-1) о.
Поэтому буде.м иметь
^6 / cos
568 ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Но из двух первых уравнений имеем
^ (^-cos
так что
2с3/ап
-~ cos ray = -j2-n—Zb° — --3„- .
Подставив это значение, будем иметь
^-* ~I~ 4 tf2"
ИЛИ
rJi" + 4 == —
Далее, будем иметь
& = -pn7n4- sin ("—пг—1) 9 + -^5s=r-sin Bга—те—
6 Ь
gWV,w cos (п—т—1) о + —,^^- ccs Bл—w —1) <j>.
После того как эти значения найдены, мы получаем искомую про-
простейшую дробь
2/g (фд - pS) sin у Ч
1 -\ g? cjs л -|- г-V)
417. Эти дроби выразятся проще, если мы определим множители
знаменателя. Итак, пусть знаменатель предлогкенпой дроби есть
а + Ьхп.
Если представить его трёхчленный множитель в виде
то, как показано во «Введении», мы будем иметь
Ып Ъ1п
a + - ,;• cos га» = 0 и -^rsinnip = 0;
так как sinra9 = 0, то будем имечь либо /19= Bft—1) jt, либо га9=2Лтг.
В первом случае ccs rap =— 1, во втором случае cos rap = 1. Если а и b
суть положительные количества, то имеет место первый случай, когда
а = -/5Г . Поэтому
Л L
/ = а " и g = bTl.
Удержим вместо этих иррациональных количеств буквы fug или,
лучше сказать, положим a — f" и b — gn, так что нужно определить
множители функции
Итак, мы имеем <р = — — , где к может обозначать любое целое
положительное число; но за к нет необходимости принимать числа,
большие тех, которые дают выражение меньшим единицы. Таким
ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 569
образом, множители предложенного выражения /n + gn%" будут сле-
следующие:
f~—2fgx cos -- + g'x*
и т. д.,
причём нужно заметить, что если п есть нечётное число, то будет
ещё один двучленный множитель
если же п ость число чётное, то не будет ни одного двучленного
множителя.
Пример 1
х^
Разложить дробь -п—^ п п на её простейшие дроби.
'Гак 'как все трёхчленные множители знаменателя содержатся
ь выражении
то в примере 1 предыдущего параграфа нужно положить а = /л; b = g"
2к 1) п
, откуда будем и
sin (п—т — 1) <p = si
Bk - 1) те
и о = , откуда будем иметь
cos (га—та—1) в = -cos (m + 1) <p = -cos <J5
Таким образом, от этого множителя произойдёт дробь
-1)*
, (
— / cos-
гГ-)
+ 8
Псутому предложенная дробь разложится на следующие простейшие
дроби:
„. . я . (т. +-1) те „ (те -I-1) те /" те \
2/siii- - si I v-——-'- 2cosv '—— ( gx — f cos— 1
n n n V n J Л
n)n-m-igm Л2 _ ygx cog J: _,_ ь,2а,
i — --1 2 cos -v :—— [g
n n V
nfn-m-igm Qt_ 2fgx COS -~ + g'x2 Л
2/ sri ¦ - si:i — --1 2 cos -v :—— [gx — f cos — )
, '± n n V n J
2/ sin — sin -i— — 2 cos -i —'— [ gx - / cos — I
nf«~m-i?m (p-
и т. д.
570 ГЛ. ХМИ. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Если п есть число чётное, то мы получим, таким образом, все про-
простейшие дроби, если н^е п есть число нечётное, то вследствие нали-
наличия двучленного множителя / + gx к дробям, полученным этим спо-
способом, нужно, сверх того, добавить ещё дробь
где знак + берётся в том случае, когда т есть число чётное; в нро-
тивном случае берётся знак —. Если т было бы числом, большим
чем п, то к этим дробям присоединилась бы ещё целая часть вида
Axm-n+Bzm-in + Czm-3n + Dxm-•" + и т. д.,
до iex пор пока показатели остаются целыми. При этом будем иметь:
Agn = l, следовательно, Л = -й-,
О
с r
ь
и т. д., и т. д.
Пример 2
Разложить дробь т,м, п m на её простейшие дроби.
Что касается множителей выражения fn + g"x", то от них проис-
происходят те те дроби, которые мы получили в предыдущем примере:
остаётся только определить те дроби, которые происходят от другого
множителя хт знаменателя. Удобнее всего сделать это следующим
образом. Положим предложенную дробь раиной
тогда будем иметь
х I г S х
= 1, следовательно, % = -„- ,
<
Если п—т будет ещё оставаться отрицательным числом, то нужно
будет поступить подобным же образом. Таким образом, сколь бы ни
было велико т, мы получим следующий ряд простейших дробей:
хт ~г j-m-n ~г ~хт-%п ' '^«-"зп ~Г И Т. Д.,
в котором нужно взять столько членов, чтобы знаменатели оставались
ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 571
положительными. Итак, будем иметь:
%fn = i, следовательно, "*}{ = --,
S3g"+ (?/" = 0, <?=+-,
и т. д., и т. д.
Следовательно, всё разложение предложенной дроби на простейшее
будет таким:
I <г" п2П <уЗ'г
* _| » _ _ _ _ ? L и т тт
/ж / ¦? / •*- Iх
, . „, . те . (m — 1) те (m — 1) те /" те Л
•2/g're sin sin — + 2gm cos ^— f ga; - / cos — J
У2 - 2/gx cos — 4- ?2x
. Зтс . 3(?ге-1)те „ _ 3(m-lOt/' , Зте\
sin — • siu ——-—— + 2gm cos —— I gx - / cos — J
„y.um-i Лг ... 2/o-x cos ~ 4- ?2X2
5те film — 1)те _ 5(m—1)тс
sin L + 1gm cos
5те film 1)те _ 5(m1)тс/ 5те\
2/^m sin — • sin — —L- + 1gm cos — — ( t>x - / cos — )
n n n v n J
^n+m-i Л) _ -2/?x cos---:-¦ --x2
'4
и т. д.
Если п будет нечётным числом, то к этому выражению ввиду нали-
наличия в знаменателе множителя f + gx нужно будет ещё добавить дробь
где верхний злак нужно взять, если т есть число чётное, а нижний —
если т есть число нечётное.
418. Рассмотрим тепе*рь выражение а-\-Ьхт, в котором 6 сель
число отрицательное. Таким образом, пусть предложена функция
Первый её множитель всегда есть /—gx, а, если п есть чётное число,
то также и / -\- gx будет её множителем. Остальные же множители
будут трёхчленными. Если общий их вид есть
f — 2fgxccs <?-{¦ g-x-,
то будем иметь
/"- f" cts п<? ¦¦--0 п Р1 sin по = О
или
sin/го == 0 и cosn«- = l.
572 ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Чтобы эти уравнения удовлетворялись, должно быть иср = 2/пг, где п
есть некоторое целое число; поэтому будем иметь ср = -1?. Следова-
Следовательно, общий вид множителя будет
2—2/g-cos— + ?"аг.
Если брать вместо 2к все чётные числа, меньшие чем показатель п,
получим все трёхчленные множители
/3—2/ga;cos —+gV,
/J — 2/ga;cos-+g";r3,
cos — + g'x~
и т. д.
Пример 1
Разложить дробь -„—^-^ на её простейшие, дроби.
Так как знаменатель имеет множитель /—gx, то от него произой-
дет дробь вида -j-z.— • Чтобы определить её числитель, положим хт -- Р
и f"—gV=Q; тогдГ
dQ = — ng"xn-1dx,
л мы будем иметь
где нз^жно положить х = — . Таким образом, 2t = lt_,M_ - , и происходя-
щая от множителя /—gz дробь будет
1
n/«~m-ign, (/ _ gx) •
Если и есть чётное число, то, так как тогда знаменатель имеет ещё
множитель f + gx, положим, что происходящая от него дробь равна
. Тогда будем иметь
Л ~~
где нужно положить х = —-. Так как и—1 есть число почётпое, то
^n~ixn-i__ — yn-i. но хт _.±±_ ^ где верхний знак берётся, если т есть
чётное число, а нижний,— если т есть число нечётное. Поэтому
';Я = ^Tri=sp.ip»» а простей,шая дробь от множителя f + gx будот
4=1
ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Дялее, так как общий вид трёхчленных множителей есть
то, произведя сравнение с примером 1 § 416, будем иметь а = /",
1 П 2ЙТС
¦Ь --¦- — g" и <р = — , откуда
sin га© = О, cos ra<p = 1,
sin (га — т — 1) » = — sin (т + 1) о = — sin2ft(m + 1)"
и
/ л\ i , л\ Zk (то 4-1) те
cos (и — m — 1) «р = cos (m + 1) ? = cos —-—l—— .
Следовательно, простейшая дробь, происходящая отсюда, будет
„, . 2кп . 2к(пг + 1)ъ 2к (то +1) те { , 2кп\
2/ sin — • sin — — 2 cos —! ¦—'— I gx — f cos — )
njn-m-lgm I ya . 2/gx COS -
Поэтому искомые простейшие дроби будут:
. 2/ sin — • sin — '¦—— — 2 cos -—~" ( gx — f cos — )
1 ,71 71 П \ П J
-- . „j _ . ___ — .
V. i J
If sin — • sin —~-—— — 2 cos —— ( gx — f cos — )
,re n n V n J
' ' 7 4^ n
„yn-m-XjM / уз _ 2ygx C3S 1- g2x2 j
бте 6 (TO 4- 1) те „ 6 (то 4- 1) те / оте \
2/ sin — • sin — — 2 cos — ( gx — f cos — j
n n n v n /
Л2 _
И Т. Д.
К ним, если га будет числом чётным, нужно, сверх того, добавить
дробь
при которой верхний знак — нужно взять, если пг есть число чётное,
а нижний -f-, если оно нечётное. Кроме того, если m есть число,
ые меньшее чем п, нужно добавить целую часть
~*n + Czm^n + Dxm-in+ и т. д.,
пока показатели не станут отрицательными, причём мы будем иметь:
A=—~n,
и т. д. и т. д.
574 ГЛ, XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИИ
Пример 2
Разложить дробь т п—-^-^ на её простейшие дроби.
Дроби, которые происходят от множителя /"—g"x", будут то же,
что раньше, только в прежних формулах нужно взять т отрицатель-
отрицательным. Поэтому обратимся к другому множителю хт. Если положим,
что от него происходят дроби
21 33 © 2>
ряд которых нужно продолжать до тех пор, пока показатели степени
количества х не станут отрицательными, то будем иметь:
9(/п = 1; следовательно, 4&.=-щ,
и т. д., и т. д.
Следовательно, предложенная дробь разложится на следующие про.
стейшие дроби:
_ _^ L _ ¦> [_ " I 1 L и т Т
. 2* . 2(то-1)я _ 2 (го-1) л/ 2геЛ
2/gm sm— • sin — i—h 2gm cos -^ ^— I gx— j cos — )
n n н \ n J
p - 2fgx cos — + g2x2 J
_ . m . ¦'«« . 4 (m — 1) те „ „ 4 (m — 1) те /" , 4те -,
2/gm -sin — • sm - —h 2»m cos — ( gx - / cos — )
n n ft, \ n J
njn*m-\ (f— 2fgX COS '— + g-x*
. 6« . 6(m — 1) тс m 6(m—Пте/" Оте\
sin — • sin -^ ^ [-2gm cos -i '— I gx — f cos — )
rt/«+M-l /" y2 _ 2^ cos ^ _L „2j;2 Л
и т. д.,
к которым, если п есть число чётное, нужно, сверх того, добавить
дробь
её не будет, если п будет нечётным числом. Верхний знак — берётся,
если т есть чётное число, а нижний -|-, если т есть число нечётное.
ГЛ. XVIII. О ПРПМЕНЕШШ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 575
419. Таким способом можно разложить на простейшие и всо те
дроби, знаменатели которых состоят из двух множителей вида а + 6т".
Если же знаменатель будет содержать трёхчлен а + Ьхп + схш, то сна-
сначала нужно посмотреть, можно ли его разложить на два действитель-
действительных множителя предыдущего вида. Если это оказывается возможным,
то разложение на простейшие дроби можно производить по изложен-
изложенному выше способу. Действительно, пусть предложена дробь
Разложим её прежде всего на две дроби вида
ахт , $хт
fn + gnxn-TJn+knxn,
тогда будем пометь
a/" -f p/n = t и аЛ" + fe" = О,
откуда
так что получим
И Я = - -;
¦ у» (/,/-' _ g«) " J' — yTi. ( „n _ АП) ¦
Если показатель т будет больше чем п, то будет более удобным пре-
преобразовать данную дробь в следующие:
при этом
а + |3 = 0 и а/
так что
а-—1— и Р- _J_
ОС -—* — ——г: у± р гт*^ ' г
Какое бы из двух этих преобразований мы ни применили, обе получен-
полученные таким образом дроби разложатся по вышеизложенному методу
на свои простейшие дроби, которые, взятые все вместе, будут равны
предложенной дроби.
420. Точно так же изложенный выше метод будет достаточным
в том случае, когда знаменатель будет состоять из нескольких членов,
имея вид
a -J- Ьх" + сх1 + dx3n + cxm + и т. д.,
если его можно разложить на множители вида /" ± g"xn. В самом
деле, положим, что нужно разложить на простейшие дроби следующую
дробь:
{a-xu)(b~ zn)(c-xn)(d~xn) и т. д. "
Сначала разложим её на дроби
Ах'" , В хт €хт . 1)
;ГГ^ "Г ь _ хи "I- с_хн Ч d_x
576 ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИЛЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
числители их определятся следующим образом:
1
(Ъ — а) (с — a) (d — а) и т. д. '
_ 1
~" (а — Ь)(с — h)(d - 0) и т. д. '
с_ 1
~~ (а - с) (Ь - с) (d - с) и т. д. '
После этого подготовительного преобразования каждая из дробей раз-
разложится по вышеизложенному способу на её простейшие дроби и вес-
они должны быть собраны в единую сумму.
421. Если же не все множители знаменателя
а + Ьхп + сх'п + dxsn + и т. д.
будут действительными, то нужно будет попарно объединить мнимые-
множители. Положим, что произведение двух таких множителей есть
у2" — 2/л^"х" cos to + g2nx'in.
Так как это выражение не имеет никаких действительных простых
корней, то мы можем положить, что трёхчленные множители имекп
общий вид
Г - 2.
Число таких множителей будет равно п. Положив х" = -^cosy, полу-
о
чим уравнение
1 — 2 cos ш • cos ivf + cos 2щ = 0.
Положим затем х" = -ft sinny; тогда получим ещё уравнение
— 2 cos со • sin п*у -\- sin 2nrs> = 0,
которое, будучи разделено на sin ny, даёт cos n<p = cos «>, так что. одно-
одновременно удовлетворяет и первому уравнению. Итак, будем иметь
щ = 2кк ± ш, где к есть какое-либо целое число; поэтому будем иметь.
<р = ~— , и все множители будут иметь вид
/2 — Ifgx cos - -~— + g-x-,
так что мы будем иметь следующие множители:
и т. д.
Их нужно брать до тех пор, пока число их не станет равным я_
ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 577
422. Итак, пусть требуется разложить дробь
f-n - 2jngnXn COS a> + g»nx*n
на её простейшие дроби.
Так как каждый трёхчленный множитель знаменателя имеет вид
2кк J- со g
где ф = ^—, то рассмотрим дробь
finx — 2flgnxn*x cos со -\
равную ей, и положим, что числитель хт = Р, а знаменатель
fnx — 2f"gnxT*1 cos со + g2nz2n+1 — Q.
Тогда будем иметь
do
v _ у-л _ 2i In + 1) f g x" cos со -J-
dx
Полагая
будем иметь
en /'" m f" m Bft« + со)
Ц5==^- COSTWCp ИЛИ '45 = Si COS—J ——-
S § n
a
O, = /2" A — 2 (n + 1) cos со • cos ncp + Bn + 1) cos 2ncp).
Но так как cos щ = cos со, то
cos 2n<p = 2 cos2 со — 1,
так что
p = fn (— 2л + 2n cos2 со) = — 2re/2n sin2 со.
Положим, далее,
x" = -77sin n<a;
тогда получим
? = pi em
и
q = — /2n B (n + 1) cos со . sin и<р — Bn + 1) sin 2n<p).
Так как
sin 2и.<р = 2 sin щ • cos wp = 2 cos со • sin щ,
то будем иметь
q = 2л/2п cos со . sin 719.
Но так как ncp = 2Аи ^ со, то sin щ = ± sin со и
q= ± 2n/2"sinm • cos со.
Найдя это, будем иметь:
Q2 4- q2 = ^w2/*" sin2 со,
tyq _ ^q, = _/__ (-j- cos ягер • sin ш • cos ш + sin m<f • sin2«) r
37 л. Эйлер
57Я ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
или
Ук\ - ;рС = l!- -'^— sin«) • cos (me T «>),
II.'IU
qfsq —pu= ± -•-,,„, sin» • cos L
pq = "-'--— (— ccsmy ¦ siir <» rt sinmcp - coso> ¦ sinco),
ОПЛИ43П
pq = ± -'---„г" s^n 0> ' sin ("г? Т m),
ИЛП
cv,-. , 2ге/1И*гп . . 2А-шя-h (те - re) <«
^PD> + pq= ± —S^- slum • sin ^ — .
Следовательно, от содержащегося в знаменателе множителя
/' - ijgX COS —^^ -Г ?'Ж-
произойдёт такая простсйп!ая дробь:
, . 2кп 4- <•> 2/дагтс 4- (/га — ге) а> . 2ктп ± (т ~ п) т f j -^тс + u>"\
-'- / sin —— ¦ cos ==-^ — J- sin ==-i — I gx — / ens =— I
-'- ' 7i re "" n V re у
ИЛИ
гау2»-т„м-1 sin U) A y2 _ 2/ffa. cos '2kn ± m + gix2 Л
2kmn -J- (т?г — re^ u> . 2k (m — 1) n -{- (m — n — i)
-•> — ±/sin—i '-—^ '—
. 4- g2x2
Пример
xm~x
Разложить дробь -^—я,п п п„ „—, an ,n «а её простейшие дроби.
J" ¦ Z/ g X СОЬ <i> 4^ ь ^
Искомые простейшие дроби суть:
о) (т — п) а) G71 — п) со /" <о "Ч
/ sin — • cos • 1- sin gx - f cos — )
n n n \ n J
npn-"Y"~l sin™ Сp -2igxcos~ +g2x" J
, . 2tc — «> 2ттс — (m — n) ю . Эт.те — (m — re) «> /" 2те— ч>\
/ sin — - — ¦ cos 1-sm I gx~ /cos )
n/sn-wgm-i Sin со Г /2 „ 2/^x COS ?ZLH!!! _(- rf^J j
, . 2«-i-M 2/7lu -- (.'тг — re) <o . 2/n«4-(m — тг) o) /" , 2я-|- ^Л
/sin ¦— -cos —i-sm- i •( gx — fcos
i re re re V re /
npn-mgm-i s;n
ГЛ. XVIII. О ПРИМЕНЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 579
4тс — ш 4тте — (т — л) со . 'чпп — (т — п) и> /" 4ie — »\
/ sin • cos г sin - — ( gx — f cos )
n n n V n J
_2, cos ^Li^ _¦ ?2x.i \
— u> 4тя -г (т-п) ю . W« тс--(;?? —w'i n> /" 4 те ,-°>\
;— • cos • - + sin - - - \ gx— 1 ens j
n n л v n J
„ysn-m^m-i sin A) /" /2 _ 2/o-a; cos iTC_LL^ Jp „а^з Л
II Т. Д.
Ряд этих дробей нужно продолжать до тех noj), пока число их не ста-
станет равным п. Если т будет либо большим чем 2и—1, либо отрица-
отрицательным числом, то нужно будет, сверх того, добавить: в первом слу-
случае члены, составляющие целую часть, во втором же дроби, которые
легко находятся по способу, изложенному выше.
37'
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр<
М. Я. Выгодский. Вступительное слово к «Дифференциальному исчислению»
Л. Эйлера 5
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Предисловие • 37
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Глава I. О конечных разностях 47
Глава II. О применении разностей в учении о рядах 69
Глава III. О бесконечных и бесконечно малых '. 87
Глава IV. О природе дифференциалов любого порядка ........ 102
Глава V. О дифференцировании алгебраических функций, содержащих
одно переменное . . . . i 115
Глава VI. О дифференцировании трансцендентных функций ...... 132
Глава VII. О дифференцировании функций, содержащих два или боль-
большее число переменных 150
Глава VIII. О повторном дифференцировании дифференциальных выра-
выражений 166
Глава IX. О дифференциальных уравнениях 187
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Глава I. О преобразовании рядов 211
Глава II. О разыскании суммирующих рядов 225
Глава III. О нахождении конечных разностей 241
Глава IV. О представлении функций ря'дами 255
Глава V. Разыскание суммы ряда по общему члену • 281
Глава VI. О суммирсвании прогрессий с помощью бесконечных рядов 302
Глава VII. Дальнейшее развитие вышеизложенного метода суммирования 326
Глава VIII. О применении дифференциальпого исчисления к образованию
рядов 348
Глава IX. О применении дифференциального исчисления к решению
уравнений 367
Глава X. О максимумах и минимумах 386
Глава XI. О максимумах и минимумах многозначных функций и функ-
функций многих переменных 412
Глава XII. О применении дифференциалов к разысканию действитель-
действительных корней уравнения 435
Г л ава ХШ. О признаках мнимых корней 456
Глава XIV. О дифференциалах функций в некоторых особых случаях . 471
Глава XV. О значениях функций, которые в некоторых случаях кажутся
неопределёнными 488
Глава XVI. О дифференцировании непредставимых функций . • .... 509
Глава XVII. Об интерполировании рядов 534
Глава XVIII. О применении дифференциального исчисления к разложению
дробей • . 556
О П Е Ч А Т КII
Строка
21 сверху
6 снизу
1 снизу
7 снизу
19 снизу
14 сверху
3 сверху
7 сперху
17 снизу
23 снизу
Напечатано
A80 мм)
окисляется
20 г
рН 6=7
1 -3%
полуторная
патогенных
края
1 : 12 000
рлстго'р
Следует читать
A60 мм)
раскислявши
10 г
рИ=7
3%
ординарная, полуторная
непатогенных
крап
1 :32 000
раствор NaCI 0,4,'v,
ait. 017.